«Трактат по механике»

(186.) Когда тело получает импульс в направлении, перпендикулярном оси, но не пересекающем ее, производится равномерное вращательное движение. Скорость этого движения зависит от силы импульса, расстояния направления импульса от оси и способа, которым масса тела распределена вокруг оси. Следует учитывать, что вся сила импульса распределяется между различными частями массы и передается им от точки, где приложен импульс, по причине сцепления и прочности частей, и невозможности одной части уступить силе, не увлекая за собой все остальные части. Приложенная сила действует на те частицы, которые ближе к оси, чем ее собственное направление, при выгодных обстоятельствах; ибо, согласно тому, что уже было объяснено, их способность сопротивляться эффекту приложенной силы мала в той же пропорции, что и их расстояние. С другой стороны, приложенная сила действует на частицы массы на большем расстоянии, чем ее собственное направление, при пропорционально невыгодных обстоятельствах; ибо их сопротивление приложенной силе велико пропорционально их расстояниям от оси.

Пусть CD (рис. 72) — сечение тела, сделанное плоскостью, проходящей через ось AB. Предположим, что импульс приложен в P, перпендикулярно к этой плоскости, и на расстоянии PO от оси. Эффект импульса, распределенный через массу, заставит тело вращаться на AB с равномерной скоростью. Существует определенная точка G, в которой, если бы вся масса была сосредоточена, она получила бы от импульса ту же скорость вокруг оси. Расстояние OG называется радиусом инерции оси AB, а точка G называется центром инерции относительно этой оси. Эффект импульса на массу, сосредоточенную в G, велик в точно такой же пропорции, как OG мал. Это легко следует из свойства моментов, которое уже было объяснено; откуда можно сделать вывод, что чем больше радиус инерции, тем меньше будет скорость, которую тело получит от данного импульса.

(187.) Поскольку радиус инерции зависит от способа, которым масса расположена вокруг оси, следует, что для разных осей в одном и том же теле будут разные радиусы инерции. Из всех осей, взятых в одном и том же теле параллельно друг другу, та, которая проходит через центр тяжести, имеет наименьший радиус инерции. Если дан радиус инерции любой оси, проходящей через центр тяжести, можно найти радиус любой параллельной оси; ибо квадрат радиуса инерции любой оси равен квадрату расстояния этой оси от центра тяжести, сложенному с квадратом радиуса инерции параллельной оси через центр тяжести.

(188.) Произведение численных выражений для массы тела и квадрата радиуса инерции — это величина, часто используемая в механической науке, и она была названа моментом инерции. Моменты инерции, следовательно, для разных осей в одном и том же теле пропорциональны квадратам соответствующих радиусов инерции; и, следовательно, увеличиваются по мере увеличения расстояний осей от центра тяжести (187).

(189.) Из того, что было объяснено в (187), следует, что момент инерции любой оси может быть вычислен с помощью обычной арифметики, если момент инерции параллельной оси через центр тяжести известен заранее. Определение последнего, однако, потребовало бы аналитических процессов, совершенно неподходящих для природы и целей настоящего трактата.

Скорость вращения, которую тело получает от данного импульса, велика в точно такой же пропорции, как момент инерции мал. Таким образом, момент инерции можно считать во вращательном движении аналогичным массе тела в прямолинейном движении.

Из того, что было объяснено в (187), следует, что данный импульс на данном расстоянии от оси сообщит наибольшую угловую скорость, когда ось проходит через центр тяжести, и что скорость, которую он сообщит вокруг других осей, будет уменьшена в той же пропорции, в какой квадраты их расстояний от центра тяжести, сложенные с квадратом радиуса инерции для параллельной оси через центр тяжести, увеличены.

(190.) Если в теле принята любая точка и прямые линии расходятся во всех направлениях из этой точки, обычно существуют две из этих линий, которые, будучи принятыми как оси вращения, одна имеет больший, а другая меньший момент инерции, чем любая из других. Примечательным обстоятельством является то, что, какова бы ни была природа тела, какова бы ни была его форма и каково бы ни было положение принятой точки, эти две оси наибольшего и наименьшего момента всегда будут под прямым углом друг к другу.

Эти оси и третья через ту же точку, и под прямым углом к обеим из них, называются главными осями той точки, из которой они расходятся. Чтобы сформировать отчетливое понятие об их относительном положении, представим, что ось наибольшего момента лежит горизонтально с севера на юг, а ось наименьшего момента — с востока на запад; тогда третья главная ось будет представлена перпендикулярно вверх и вниз. Первые две называются главными осями наибольшего и наименьшего момента, третья может быть названа промежуточной главной осью.

(191.) Хотя моменты трех главных осей в целом неравны, все же могут быть найдены тела, имеющие определенные оси, для которых эти моменты могут быть равны. В некоторых случаях момент промежуточной оси равен моменту главной оси наибольшего момента: в других он равен моменту главной оси наименьшего момента, а в других моменты всех трех главных осей равны друг другу.

Если моменты любых двух из трех главных осей равны, моменты всех осей через ту же точку и в их плоскости также будут равны; и если моменты трех главных осей через точку равны, моменты всех осей вообще, через ту же точку, будут равны.

(192.) Если моменты главных осей через центр тяжести известны, моменты для всех других осей через эту точку могут быть легко вычислены. Чтобы осуществить это, необходимо только умножить моменты главных осей на квадраты косинусов углов, образованных ими соответственно с осью, момент которой ищется. Произведения, сложенные вместе, дадут требуемый момент.

(193.) Объединяя этот результат с результатом (189), станет очевидно, что момент всех осей вообще может быть определен, если известны моменты главных осей через центр тяжести.

(194.) Очевидно, что главная ось наименьшего момента через центр тяжести имеет меньший момент инерции, чем любая другая ось вообще. Ибо она имеет, по своему определению (190), меньший момент инерции, чем любая другая ось через центр тяжести, и каждая другая ось через центр тяжести имеет меньший момент инерции, чем параллельная ось через любую другую точку (187) и (189).

(195.) Если две из главных осей через центр тяжести имеют равные моменты инерции, все оси в любой плоскости, параллельной плоскости этих осей и проходящей через точку, где перпендикуляр от центра тяжести встречает эту плоскость, должны иметь равные моменты инерции. Ибо согласно (191) все оси в плоскости этих двух имеют равные моменты, и согласно (189) оси в параллельной плоскости имеют моменты, которые превышают эти на ту же величину, будучи одинаково удаленными от них (187).

Отсюда очевидно, что если три главные оси через центр тяжести имеют равные моменты, все оси, расположенные в любой данной плоскости и проходящие через точку, где перпендикуляр от центра тяжести встречает эту плоскость, будут иметь равные моменты, будучи одинаково удаленными от параллельных осей через центр тяжести.

(196.) Если три главные оси через центр тяжести имеют неравные моменты, нет никакой точки вообще, для которой все оси имели бы равные моменты; но если главная ось наименьшего момента и промежуточная главная ось через центр тяжести имеют равные моменты, тогда будут две точки на главной оси наибольшего момента, одинаково удаленные по противоположным сторонам от центра тяжести, в которых все оси будут иметь равные моменты. Если три главные оси через центр тяжести имеют равные моменты, никакая другая точка тела не может иметь главные оси равного момента.

(197.) Когда тело вращается на фиксированной оси, части его массы вращаются по кругам вокруг оси; и поскольку они движутся с общей угловой скоростью, они будут иметь центробежные силы, пропорциональные их расстояниям от оси. Если бы составляющие части массы не были объединены силами сцепления, энергии которых больше этих центробежных сил, они были бы отделены и улетели бы от оси; но их сцепление предотвращает это и заставляет эффекты различных центробежных сил, которые влияют на различные части массы, передаваться так, чтобы изменять друг друга и, наконец, производить одну или несколько сил, механически эквивалентных целому, и которые оказываются на ось и сопротивляются ею. Мы предлагаем теперь объяснить эти эффекты, насколько это возможно сделать понятными без помощи математического языка.

Очевидно, что любое количество равных частей массы, которые равномерно расположены по кругу вокруг оси, имеют равные центробежные силы, действующие от центра круга во всех направлениях. Они взаимно нейтрализуют друг друга и поэтому не оказывают никакой силы на ось. То же самое можно сказать обо всех частях массы, которые регулярно и равномерно распределены со всех сторон оси.

Также, если равные массы помещены на равных расстояниях на противоположных сторонах оси, их центробежные силы уничтожат друг друга. Отсюда кажется, что давление, которое ось вращения испытывает от центробежных сил вращающейся массы, возникает из неравномерного распределения материи вокруг нее.

Из этого рассуждения будет легко заметить, что в следующих примерах ось вращения не будет испытывать никакого давления.

Шар, вращающийся на любом из своих диаметров, плотность которого одинакова на равных расстояниях от центра.

Сфероид или цилиндр, вращающийся на своей оси, плотность которого одинакова на равных расстояниях от оси.

Куб, вращающийся на оси, которая проходит через центр двух противоположных оснований, будучи равномерной плотности.

Круглая пластина равномерной толщины и плотности, вращающаяся на одном из своих диаметров как на оси.

(198.) Во всех этих примерах будет замечено, что ось вращения проходит через центр тяжести. Общая теорема, частными случаями которой они являются, гласит: «если тело вращается на главной оси, проходящей через центр тяжести, ось не будет испытывать никакого давления от центробежной силы вращающейся массы». Это свойство, в котором главные оси через центр тяжести уникальны. Нет никакой другой оси, на которой тело могло бы вращаться без давления.

Если две из главных осей через центр тяжести имеют равные моменты, каждая ось в их плоскости имеет тот же момент и должна считаться в равной степени главной осью. В этом случае тело вращалось бы на любой из этих осей без давления.

Гомогенный сфероид дает пример этого. Если бы любой из диаметров земного экватора был фиксированной осью, Земля вращалась бы на нем, не производя давления.

Если три главные оси через центр тяжести имеют равные моменты, все оси через центр тяжести должны считаться главными осями. В этом случае тело вращалось бы без давления на любой оси через центр тяжести.

Шар, в котором плотность массы на равных расстояниях от центра одинакова, является примером этого. Такое тело вращалось бы без давления на любой оси через свой центр.

(199.) Поскольку в этих случаях на ось не оказывается никакого давления, состояние тела не изменится, если во время его вращения ось перестанет быть фиксированной. Тело, несмотря на это, продолжит вращаться вокруг оси, а ось сохранит свое положение.

Таким образом, волчок из гомогенного материала и симметричной формы будет вращаться устойчиво в том же положении, пока трение его точки с поверхностью, на которой он покоится, не лишит его движения. Это явление, которое может быть продемонстрировано только тогда, когда ось вращения является главной осью через центр тяжести.

(200.) Если тело вращается вокруг любой оси через центр тяжести, которая не является главной осью, центробежное давление представлено двумя силами, которые равны и параллельны, но которые действуют в противоположных направлениях на разные точки оси. Эффект этих сил заключается в том, чтобы произвести напряжение на ось и придать телу тенденцию двигаться вокруг другой оси под прямым углом к первой.

(201.) Если фиксированная ось, на которой вращается тело, является главной осью через любую точку, отличную от центра тяжести, то давление будет произведено центробежной силой вращающейся массы, и это давление будет действовать под прямым углом к оси на точку, для которой она является главной осью, и в плоскости через эту ось и центр тяжести. Величина давления будет пропорциональна массе тела, расстоянию центра тяжести от оси и квадрату скорости вращения.

(202.) Поскольку все давление в этом случае оказывается на одну точку, устойчивость оси не будет нарушена, при условии, что только эта точка зафиксирована. Так что даже если бы ось была свободна вращаться на этой точке, никакое движение не возникло бы, пока никакие внешние силы не действуют на тело.

(203.) Если ось вращения не является главной осью, центробежные силы произведут эффект, который не может быть представлен одной силой. Эффект можно понять, представив две силы, действующие на разные точки оси под прямым углом к ней и друг к другу. Количества этих давлений и их направления зависят от фигуры и плотности массы и положения оси, способом, который не может быть объяснен без помощи математического языка и принципов.

(204.) Эффекты на ось, которые были сейчас объяснены, — это те, которые возникают из движения вращения, из какой бы причины это движение ни возникло. Силы, которые производят это движение, однако, сопровождаются эффектами на ось, которые еще предстоит заметить. Когда эти силы, будь то природа мгновенных действий или постоянных сил, полностью сопротивляются осью, их направления должны по отдельности находиться в плоскости, проходящей через ось, или они должны, по принципам сложения сил [(74) и след.], быть механически эквивалентны силам в этой плоскости. Во всех других случаях приложенные силы должны производить движение и, за исключением определенных случаев, должны также производить эффекты на ось.

По правилам сложения сил возможно во всех случаях разложить приложенные силы на другие, которые находятся либо в плоскостях через ось, либо в плоскостях, перпендикулярных к ней, либо, наконец, некоторые в плоскостях через нее, а другие — в плоскостях, перпендикулярных к ней. Эффект тех, которые находятся в плоскостях через ось, уже был объяснен; и мы теперь ограничим наше внимание теми движущими силами, которые действуют под прямым углом к оси и которые производят движение.

Будет достаточно рассмотреть эффект одной силы под прямым углом к оси; ибо каково бы ни было количество сил, которые действуют либо одновременно, либо последовательно, эффект целого будет решен путем комбинирования их отдельных эффектов. Эффект, который производит одна сила, зависит от двух обстоятельств: 1. Положение оси по отношению к фигуре и массе тела, и 2. Количество и направление самой силы.

В целом толчок, который ось испытывает от удара, может быть представлен двумя ударами, приложенными к ней в разных точках, один параллелен приложенной силе, а другой перпендикулярен ей, но оба перпендикулярны оси. Существуют определенные обстоятельства, однако, при которых этот эффект будет изменен.

Если импульс, который получает тело, находится в направлении, перпендикулярном плоскости через ось и центр тяжести, и на расстоянии от оси, которое имеет к радиусу инерции (186) ту же пропорцию, что эта линия имеет к расстоянию центра тяжести от оси, существуют определенные случаи, в которых импульс не произведет никакой перкуссии. Охарактеризовать эти случаи в целом потребовало бы аналитических формул, которые невозможно удобно перевести на обычный язык. Та точка плоскости, однако, где направление приложенной силы встречает ее, когда не производится никакой перкуссии на ось, называется центром перкуссии.

Если ось вращения является главной осью, центр перкуссии должен быть на прямой линии, проведенной через центр тяжести, пересекающей ось под прямым углом, и на расстоянии от оси, которое уже было объяснено.

Если ось вращения параллельна главной оси через центр тяжести, центр перкуссии будет определен таким же образом.

(205.) Существует много положений, которые может иметь ось, в которых не будет центра перкуссии; то есть не будет направления, в котором импульс мог бы быть приложен без производства толчка на ось. Одно из этих положений — когда это главная ось через центр тяжести. Это единственный случай вращения вокруг оси, в котором не возникает эффекта от центробежной силы; и поэтому следует, что единственный случай, в котором ось не испытывает никакого эффекта от произведенного движения, — это тот, в котором она должна неизбежно испытывать эффект от того, что производит движение.

Если на тело воздействуют постоянные силы, их эффект в каждый момент определяется общими принципами сложения сил.

ГЛ. XI. О МАЯТНИКЕ.

(206.) Когда тело помещено на горизонтальную ось, которая не проходит через его центр тяжести, оно будет оставаться в постоянном равновесии только тогда, когда центр тяжести находится непосредственно под осью. Если эта точка помещена в любое другое положение, тело будет колебаться из стороны в сторону, пока атмосферное сопротивление и трение оси не уничтожат его движение (159, 160). Такое тело называется маятником. Качающееся движение, которое оно получает, называется осцилляцией или вибрацией.

(207.) Использование маятника, не только для философских целей, но и в обычной экономике жизни, делает его предметом значительной важности. Он предоставляет наиболее точные средства измерения времени и определения с точностью различных природных явлений. С его помощью обнаруживается изменение силы тяжести в разных широтах и экспериментально демонстрируется закон этого изменения. В настоящей главе мы предлагаем объяснить общие принципы, которые регулируют колебание маятников. Мелкие детали относительно их конструкции будут даны в двадцать первой главе этого тома.

(208.) Простой маятник состоит из тяжелой молекулы, прикрепленной к концу гибкой нити, и подвешенной за фиксированную точку O (рис. 73). Когда маятник помещен в положение OC, молекула находится вертикально под точкой подвеса, он будет оставаться в равновесии; но если его оттянуть в положение OA и там освободить, он будет опускаться к C, двигаясь по дуге AC с ускоренным движением. Прибыв в C и приобретя определенную скорость, он, по причине своей инерции, продолжит двигаться в том же направлении. Он, следовательно, начнет подниматься по дуге CA' с приобретенной таким образом скоростью. Во время своего подъема вес молекулы замедляет его движение точно так же, как он ускорял его при опускании от A к C; и когда молекула поднялась по дуге CA', равной CA, вся ее скорость будет уничтожена, и она перестанет двигаться в этом направлении. Он будет, таким образом, помещен в A' точно так же, как в первом случае он был помещен в A, и, следовательно, он будет опускаться от A' к C с ускоренным движением, точно так же, как он сначала двигался от A к C. Он затем поднимется от C к A, и так далее, постоянно. В этом случае нить, на которой подвешена молекула, считается идеально гибкой, нерастяжимой и незначительного веса. Точка подвеса считается без трения, а атмосфера — не оказывающей сопротивления движению.

Из того, что было сказано, очевидно, что времена движения от A к A' и от A' к A равны и будут продолжать быть равными, пока маятник продолжает вибрировать. Если бы количество вибраций, совершаемых маятником, было зарегистрировано, а время каждой вибрации известно, этот инструмент стал бы хронометром.

Скорость, с которой движение маятника ускоряется при его опускании к самому низкому положению, не является равномерной, потому что сила, которая его толкает, постоянно уменьшается и полностью исчезает в точке C. Движущая сила возникает из эффекта гравитации на подвешенную молекулу, и этот эффект всегда производится в вертикальном направлении AV. Чем больше угол OAV, тем менее эффективной будет сила гравитации в ускорении молекулы: этот угол, очевидно, увеличивается по мере приближения молекулы к C, что станет очевидным при осмотре рис. 73. В C сила гравитации, действующая в направлении CB, полностью расходуется на придание натяжения нити и неэффективна в перемещении молекулы. Отсюда следует, следовательно, что движущая сила наибольшая в A и постоянно уменьшается от A к C, где она полностью исчезает. Те же наблюдения будут применимы к замедляющей силе от C к A' и к ускоряющей силе от A' к C, и так далее.

При заданной длине нити и заданной силе тяжести время колебания зависит от длины дуги A C или от величины угла A O C. Если, однако, этот угол не превышает определенного предела, время колебания не будет подвержено сколько-нибудь заметным изменениям, как бы ни варьировался этот угол. Таким образом, время колебания будет одним и тем же, независимо от того, составляет ли угол A O C 2°, 1° 30′, 1° или любую меньшую величину. Это свойство маятника выражается словом изохронизм. Строгое доказательство этого свойства опирается на математические принципы, подробности которых были бы неуместны в настоящем трактате. Однако нетрудно объяснить в общих чертах, почему один и тот же маятник совершает колебания по большим и меньшим дугам за одно и то же время. Если он начинает движение из точки A, сила тяжести в начале движения воздействует на него с эффектом, зависящим от наклона линий O A и A V. Если он начинает движение из точки a, воздействие силы тяжести будет значительно меньше, чем в точке A; следовательно, маятник начинает двигаться медленнее, когда он совершает колебание из точки a, чем когда он движется из точки A: таким образом, большая величина размаха компенсируется увеличенной скоростью, благодаря чему большие и меньшие дуги колебаний проходятся за одно и то же время.

(209.) Чтобы подтвердить это свойство экспериментально, достаточно подвесить небольшой металлический шарик или другой тяжелый предмет на гибкой нити и привести его в состояние колебания; если вся дуга колебания не превышает 4° или 5°, трение в точке подвеса и другие причины будут постепенно уменьшать дугу колебания, так что по прошествии нескольких часов она станет настолько малой, что движение будет едва заметно без помощи микроскопа. Если наблюдать за колебаниями этого маятника по точному хронометру в начале, в середине и ближе к концу его движения, можно обнаружить, что скорость не претерпевает сколько-нибудь заметных изменений.

Этот замечательный закон изохронизма был одним из ранних открытий Галилео. Рассказывают, что в юности он наблюдал за люстрой, подвешенной к потолку церкви в Пизе, которая совершала маятниковые колебания, и был поражен равномерностью их темпа, даже когда амплитуда размаха заметно менялась.

(210.) В пункте (117.) было указано, что сила тяжести воздействует на все тела одинаково и перемещает их с одной и той же скоростью, независимо от природы или количества материалов, из которых они состоят. Поскольку именно сила тяжести приводит маятник в движение, следует ожидать, что условия этого движения не будут зависеть ни от количества, ни от качества материала маятникового тела. И мы действительно находим это так; ибо если небольшие куски различных тяжелых веществ, таких как свинец, латунь, слоновая кость и т. д., подвесить на тонких нитях равной длины, они будут колебаться за одно и то же время, при условии, что их вес составляет значительную долю по отношению к сопротивлению атмосферы или что они подвешены в вакууме.

(211.) Поскольку время колебания маятника, совершающего колебания по малым дугам, не зависит ни от величины дуги колебания, ни от качества или веса маятникового тела, необходимо объяснить обстоятельства, от которых зависит изменение этого времени.

Первым и наиболее примечательным из этих обстоятельств является длина подвесной нити. Самые грубые эксперименты продемонстрируют тот факт, что каждое увеличение длины этой нити приведет к соответствующему увеличению времени колебания; но по какому закону происходит это увеличение? Если длина нити удвоится или утроится, увеличится ли время колебания также в двойной или тройной пропорции? Эта задача допускает точное математическое решение, и результат показывает, что время колебания увеличивается не пропорционально увеличенной длине нити, а как квадратный корень из этой длины; то есть, если длина нити увеличена в четыре раза, время колебания увеличится в два раза. Если длину нити увеличить в девять раз, время колебания утроится, и так далее. Это соотношение в точности такое же, как то, которое, как было доказано, существует между расстояниями, которые проходит тело при свободном падении, и временем падения. Если в таблице на странице 89 цифры, обозначающие высоту, понимать как длину различных маятников, то цифры непосредственно над ними будут выражать соответствующие времена колебаний.

Этот закон пропорциональности длин маятников квадратам времени колебания может быть экспериментально установлен следующим образом:

Пусть A, B, C (рис. 74) — три небольших металлических предмета, каждый из которых прикреплен нитями к двум точкам подвеса, и пусть они расположены на одной вертикальной линии под точкой O; предположим, что они отрегулированы так, чтобы расстояния O A, O B и O C находились в пропорции чисел 1, 4 и 9. Отведем их от вертикали в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, так, чтобы нити находились в одной плоскости, и, следовательно, три маятника имели бы одинаковый угол колебания. Будучи теперь освобожденным, маятник A немедленно опередит B, а B — C, так что A завершит одно колебание раньше, чем B или C. К концу второго колебания A маятник B завершит свое первое колебание, так что подвесные нити A и B будут тогда разделены на весь угол колебания; к концу четвертого колебания A подвесные нити A и B вернутся в свое первое положение, при этом B совершит два колебания; таким образом, отношение времен колебаний B и A будет 2 к 1, а отношение их длин — 4 к 1. К концу третьего колебания A маятник C завершит одно колебание, и подвесные нити совпадут в положении, отстоящем на весь угол колебания от их первого положения. Таким образом, три колебания A совершаются за то же время, что одно колебание C: отношение времени колебания C и A, следовательно, составляет 3 к 1, а отношение их длин — 9 к 1, в соответствии с законом, который был объяснен ранее.

(212.) Во всех предыдущих наблюдениях мы предполагали, что материал маятникового тела имеет незначительные размеры, а весь его вес сосредоточен в физической точке. Это обычно называют простым маятником; но поскольку условия невесомой подвесной нити и тяжелой молекулы без размеров не могут существовать на практике, простой маятник следует считать воображаемым и используемым лишь для установления гипотетических теорем, которые, хотя и неприменимы на практике, тем не менее являются средством исследования законов, управляющих реальными явлениями маятниковых тел.

Поскольку маятниковое тело имеет определенные размеры, его отдельные части будут находиться на разных расстояниях от оси подвеса. Если бы каждая составная часть такого тела была отдельно соединена с осью подвеса тонкой нитью, она, будучи не связанной с другими частицами, была бы независимым простым маятником и колебалась бы согласно уже объясненным законам. Отсюда следует, что те частицы тела, которые находятся ближе всего к оси подвеса, колебались бы, если бы их освободили от связи с другими, быстрее, чем те, которые находятся дальше. Однако связь, которую имеют частицы тела в силу своей твердости, заставляет их всех колебаться за одно и то же время. Следовательно, те частицы, которые находятся ближе к оси, замедляются более медленным движением тех, которые находятся дальше; в то же время более удаленные частицы, напротив, подталкиваются вперед большей склонностью более близких частиц к быстрому колебанию. Это будет легче понять, если мы представим две частицы материи A и B (рис. 75), соединенные с одной и той же осью O негибкой проволокой O C, весом которой можно пренебречь. Если бы B убрали, A колебался бы за определенное время, зависящее от расстояния O A. Если бы убрали A, а B поместили на проволоку на расстоянии B O, равном четырем расстояниям A O, B колебался бы за время, вдвое большее предыдущего. Теперь, если оба помещены на проволоку на только что упомянутых расстояниях, склонность A колебаться быстрее будет передаваться B посредством проволоки и будет подталкивать B вперед быстрее, чем если бы A не было: с другой стороны, склонность B колебаться медленнее будет передаваться проволокой к A и заставит его двигаться медленнее, чем если бы B не было. Негибкое качество соединительной проволоки в этом случае заставит A и B колебаться одновременно, причем время колебания будет больше, чем у A, и меньше, чем у B, если бы каждый из них колебался, не будучи связанным с другим.

Если вместо двух частиц материи, помещенных на проволоку, предположить большее их количество, расположенное на различных расстояниях от O, очевидно, что те же рассуждения будут применимы. Они будут взаимно влиять на движение друг друга; те, что расположены ближе всего к точке O, ускоряют движение более удаленных и сами замедляются последними. Среди этих частиц найдется одна, в которой все эти эффекты будут взаимно нейтрализованы, причем все частицы, расположенные ближе к O, будут замедлены по отношению к тому движению, которое они имели бы, если бы не были связаны с остальными, а более удаленные — в том же отношении ускорены. Точка, в которой расположена такая частица, называется центром колебаний.

То, что здесь было замечено относительно эффектов частиц материи, помещенных на жесткую проволоку, будет в равной степени применимо к частицам твердого тела. Те, что находятся ближе к оси, подталкиваются вперед теми, что находятся дальше, и в свою очередь замедляются ими; и, как и в случае с частицами, помещенными на проволоку, в теле существует определенная частица, в которой эффекты взаимно нейтрализуются и которая колеблется за то же время, как если бы она не была связана с другими частями тела, а была просто соединена тонкой нитью с осью. Благодаря этому центру колебаний расчеты, касающиеся колебания твердого тела, становятся такими же простыми, как расчеты для молекулы незначительной величины. Все свойства, которые были объяснены как присущие простому маятнику, могут быть таким образом перенесены на колеблющееся тело любой величины и формы, рассматривая его как эквивалентное одной частице материи, колеблющейся в своем центре колебаний.

(213.) Из этих рассуждений следует, что виртуальная длина маятника должна оцениваться расстоянием его центра колебаний от оси подвеса, и, следовательно, времена колебаний различных маятников находятся в той же пропорции, что и квадратные корни из расстояний их центров колебаний от их осей.

Исследование положения центра колебаний в большинстве случаев является предметом сложного математического расчета. Оно зависит от величины и формы маятникового тела, способа распределения массы по его объему или плотности его отдельных частей, а также от положения оси, на которой оно качается.

Местоположение центра колебаний может быть определено, когда известны положение центра тяжести и радиус инерции; ибо расстояние центра колебаний от оси всегда получается путем деления квадрата радиуса инерции (186.) на расстояние центра тяжести от оси. Так, если 6 — радиус инерции, а 9 — расстояние центра тяжести от оси, то 36, деленное на 9, что равно 4, будет расстоянием центра колебаний от оси. Отсюда можно сделать общий вывод, что чем больше отношение радиуса инерции к расстоянию центра тяжести от оси, тем больше будет расстояние центра колебаний.

Из этих рассуждений следует, что длина маятника не ограничивается размерами его объема. Если ось расположена так, что центр тяжести находится близко к ней, а радиус инерции сравнительно удален, центр колебаний может находиться далеко за пределами маятникового тела. Предположим, что центр тяжести находится на расстоянии одного дюйма от оси, а радиус инерции — 12 дюймов; тогда центр колебаний будет находиться на расстоянии 144 дюймов, или 12 футов. Такой маятник по своим наибольшим размерам может не превышать одного фута, и все же время его колебания будет равно времени колебания простого маятника длиной 12 футов.

Благодаря этим средствам маятники малых размеров могут быть заставлены колебаться так медленно, как это требуется. Инструменты, называемые метрономами, используемые для отсчета времени музыкальных исполнений, сконструированы на этом принципе.

(214.) Центр колебаний отличается очень замечательным свойством по отношению к оси подвеса. Если A (рис. 76) — точка подвеса, а O — соответствующий центр колебаний, время колебания маятника не изменится, если его снять с опоры, перевернуть и подвесить за точку O. Отсюда следует, что если взять O в качестве точки подвеса, то A будет соответствующим центром колебаний. Таким образом, эти две точки являются обратимыми. Это свойство может быть проверено экспериментально следующим образом. Приведя маятник в состояние колебания, подвесим небольшое тяжелое тело на тонкой нити, длина которой отрегулирована так, чтобы оно колебалось одновременно с маятником. Измерим расстояние от точки подвеса до центра колеблющегося тела и отложим это расстояние на маятнике от оси подвеса вниз; таким образом будет получено местоположение центра колебаний, поскольку расстояние, измеренное таким образом от оси, является длиной эквивалентного простого маятника. Если теперь маятник снять с опоры, перевернуть и подвесить за полученный таким образом центр колебаний, он будет колебаться одновременно с телом, подвешенным на нити.

(215.) Это свойство взаимозаменяемости центров колебаний и подвеса было в недавнее время принято капитаном Кейтером в качестве точного средства определения длины маятника. Установив с большой точностью две точки подвеса, в которых одно и то же тело будет колебаться за одно и то же время, расстояние между этими точками, будучи точно измеренным, является длиной эквивалентного простого маятника. См. главу XXI.

(216.) После того как был объяснен способ, которым время колебания маятника зависит от его длины, нам предстоит рассмотреть, как на это время влияет притяжение силы тяжести. Очевидно, что, поскольку маятник приводится в движение этим притяжением, скорость его движения возрастет, если движущая сила получит какое-либо приращение; но еще предстоит решить, в какой именно пропорции время колебания будет уменьшаться при любом предполагаемом увеличении интенсивности земного притяжения. Математически можно доказать, что время одного колебания маятника относится к времени свободного падения в перпендикулярном направлении с высоты, равной половине длины маятника, как окружность круга к его диаметру. Поскольку, следовательно, времена колебаний маятников находятся в фиксированной пропорции к временам свободного падения через пространства, равные половинам их длин, отсюда следует, что эти времена имеют такое же отношение к силе притяжения, как времена свободного падения через их длины к этой силе. Если бы интенсивность силы тяжести увеличилась в четыре раза, время падения с заданной высоты уменьшилось бы в два раза; если бы интенсивность увеличилась в девять раз, время падения через заданное пространство уменьшилось бы в три раза, и так далее; скорость уменьшения времени всегда пропорциональна квадратному корню из увеличенной силы. Согласно только что сказанному, этот закон будет применим и к колебаниям маятников. Любое увеличение интенсивности силы тяжести заставило бы данный маятник колебаться быстрее, и увеличенная скорость колебания была бы в той же пропорции, что и квадратный корень из увеличенной интенсивности силы тяжести.

(217.) Поскольку законы, регулирующие времена колебаний маятников по отношению друг к другу, хорошо понятны, вся теория этих инструментов будет завершена, когда будет объяснен метод определения фактического времени колебания любого маятника в зависимости от его длины. В таком исследовании необходимо определить два элемента: 1. точное время одного колебания и 2. точное расстояние центра колебаний от точки подвеса.

Первое определяется путем приведения маятника в движение в присутствии хорошего хронометра и точного подсчета количества колебаний, совершаемых за любое заданное число часов. Разделив общее время, в течение которого маятник совершает колебания, на количество колебаний, сделанных за это время, можно получить точное время одного колебания.

Расстояние центра колебаний от точки подвеса может быть сделано предметом легкого расчета, если придать маятниковому телу определенную единообразную форму и материал.

(218.) Получив таким образом время колебания одного маятника известной длины, мы сможем немедленно решить любую из следующих задач.

«Найти длину маятника, который будет колебаться за заданное время».

«Найти время колебания маятника заданной длины».

Первая решается следующим образом: время колебания известного маятника относится к времени колебания искомого маятника, как квадратный корень из длины известного маятника к квадратному корню из длины искомого маятника. Таким образом, эта длина находится по обычным правилам арифметики.

Вторая может быть решена следующим образом: длина известного маятника относится к длине предлагаемого маятника, как квадрат времени колебания известного маятника к квадрату времени колебания предлагаемого маятника. Таким образом, последнее время может быть найдено арифметически.

(219.) Поскольку темп маятника имеет известную связь с интенсивностью земного притяжения, мы можем с помощью этого инструмента не только обнаруживать определенные вариации этого притяжения в различных частях Земли, но и определять фактическую величину притяжения в любом данном месте.

Фактическая величина земного притяжения в любом данном месте оценивается высотой, с которой тело упало бы свободно в этом месте за любое заданное время, например, за одну секунду. Чтобы определить это, найдем длину маятника, который колебался бы за одну секунду в этом месте. Как окружность круга относится к его диаметру (известная пропорция), так одна секунда будет относиться к времени падения с высоты, равной половине длины этого маятника. Таким образом, это время является предметом арифметического расчета. В пункте (120.) было доказано, что высоты, с которых тело падает свободно, находятся в той же пропорции, что и квадраты времен; откуда следует, что квадрат времени падения с высоты, равной половине длины маятника, относится к одной секунде, как половина длины этого маятника к высоте, с которой тело упало бы за одну секунду. Следовательно, эту высоту можно немедленно вычислить, и таким образом можно определить фактическую величину силы тяжести в любом данном месте.

(220.) Чтобы сравнить силу тяжести в различных частях Земли, достаточно покачать один и тот же маятник в рассматриваемых местах и наблюдать скорость его колебаний. Пропорция силы тяжести в различных местах будет соответствовать квадратам скорости колебания. Наблюдения такого рода проводились в нескольких местах Био, Кейтером, Сэбином и другими.

Поскольку Земля представляет собой массу материи почти сферической формы, вращающуюся со значительной скоростью вокруг оси, на ее составные части воздействует центробежная сила; в силу которой они имеют тенденцию улетать в направлении, перпендикулярном оси. Эта тенденция возрастает в той же пропорции, в какой увеличивается расстояние любой части от оси, и, следовательно, те части Земли, которые находятся вблизи экватора, сильнее подвержены этому влиянию, чем части вблизи полюса. Уже было объяснено (145.), что форма Земли подвержена влиянию этой причины и что она приобрела сфероидальную форму. Центробежная сила, действуя в противовес земному притяжению, уменьшает его эффекты; и, следовательно, там, где эта сила более эффективна, маятник будет колебаться медленнее. Таким образом, скорость колебания маятника становится показателем величины центробежной силы. Но последняя варьируется пропорционально расстоянию места от оси Земли; и таким образом скорость маятника указывает на соотношение расстояний различных частей поверхности Земли от ее оси. Форму Земли можно таким образом определить, и то, что ей приписывает теория, может быть практически доказано.

Это, однако, не единственный метод, с помощью которого можно определить форму Земли. Поскольку меридианы являются сечениями Земли через ее ось, если бы их форма была точно определена, форма Земли была бы известна. Измерения дуг меридианов в большом масштабе были выполнены и до сих пор проводятся в различных частях Земли с целью определения кривизны меридиана на разных широтах. Этот метод не зависит от какой-либо гипотезы относительно плотности и внутреннего строения Земли и считается некоторыми более точным, чем тот, который зависит от наблюдений маятников.

(221.) Было сказано, что когда дуга колебания маятника не очень мала, изменение его длины окажет заметное влияние на время колебания. Сконструировать маятник так, чтобы время колебания было независимым от амплитуды размаха, было излюбленной задачей геометров. Эта задача была решена Гюйгенсом, который показал, что кривая, называемая циклоидой, ранее открытая и описанная Галилео, обладает свойством изохронности; то есть тело, движущееся по ней под действием силы тяжести, будет колебаться за одно и то же время, независимо от длины описываемой дуги.

Пусть O A (рис. 77) — горизонтальная линия, а O B — круг, расположенный под этой линией и соприкасающийся с ней. Если этот круг катить по линии от O к A, точка на его окружности, которая в начале движения находится в O, во время движения опишет кривую O C A. Эта кривая называется циклоидой. Если предположить, что круг катится в противоположном направлении к A′, та же точка опишет другую циклоиду O C′ A′. Поскольку точки C и C′ являются низшими точками кривых, если провести перпендикуляры C D и C′ D′, они будут соответственно равны диаметру круга. По известному свойству этой кривой дуги O C и O C′ равны удвоенному диаметру круга. Предположим, что из точки O подвешена гибкая нить, длина которой равна удвоенному диаметру круга и которая удерживает маятниковое тело P на своем конце. Если кривые O C и O C′ поднять из плоскости чертежа так, чтобы они образовали поверхности, к которым может прилегать нить, то конец P дотянется до точек C и C′, когда вся нить будет приложена к любой из кривых. По мере того как нить отклоняется в любую сторону от своего вертикального положения, она прикладывается к большей или меньшей части любой из кривых, в зависимости от величины ее отклонения от вертикали. Если ее отклонять в каждую сторону до тех пор, пока точка P не достигнет точек C и C′, конец опишет циклоиду C P C′, в точности равную и подобную тем, что уже упоминались. Воспользовавшись этим свойством кривой, Гюйгенс сконструировал свой циклоидальный маятник. Время колебания не подвергалось никаким изменениям, как бы ни менялась дуга колебания, при условии, что длина нити O P оставалась прежней. Если взять малые дуги циклоиды по обе стороны от точки P, они не будут заметно отличаться от дуг круга, описанного с центром O и радиусом O P; ибо при небольших отклонениях от вертикального положения влияние кривых O C и O C′ на нить O P совершенно незначительно. Именно по этой причине, когда дуги колебания кругового маятника малы, они обладают свойством изохронности, присущим дугам циклоиды. Но когда отклонение P от вертикали велико, влияние кривых O C и O C′ на нить вызывает значительное отклонение точки P от дуги круга, центром которого является O, а радиусом — O P, и, следовательно, свойство изохронности в круговом маятнике больше наблюдаться не будет.

ГЛ. XII. О ПРОСТЫХ МАШИНАХ.

(222.) МАШИНА — это инструмент, с помощью которого сила или движение могут передаваться и модифицироваться в отношении их количества и направления. Существует два способа применения машины, которые дают начало разделению механической науки на части, называемые СТАТИКОЙ и ДИНАМИКОЙ; одна включает теорию равновесия, а другая — теорию движения. Когда машина рассматривается статически, она представляется как инструмент, с помощью которого силы определенных величин и направлений уравновешивают другие силы других величин и других направлений. Если она рассматривается динамически, она считается средством, с помощью которого определенные движения определенной величины и направления могут быть заставлены производить другие движения в других направлениях и количествах. Однако в настоящем трактате не будет удобно следовать этому разделению предмета. Мы, напротив, будем, как и до сих пор, рассматривать явления равновесия и движения вместе.

Эффекты механизмов слишком часто описываются таким образом, что они приобретают вид парадокса и вызывают удивление тем, что, по-видимому, противоречит результатам самого обычного опыта. Наша цель здесь — пойти другим путем и попытаться показать, что те эффекты, которые преподносились как нечто удивительное, являются необходимыми, естественными и очевидными результатами причин, приспособленных для их производства способом, аналогичным объектам самого привычного опыта.

(223.) При применении машины следует учитывать три вещи. 1. Силу или сопротивление, которое требуется поддерживать, противопоставлять или преодолевать. 2. Силу, которая используется для поддержания, обеспечения или преодоления этого сопротивления. 3. Саму машину, с помощью которой эффект этой последней силы передается первой. Какова бы ни была природа силы или сопротивления, которые необходимо поддерживать или преодолевать, технически это называется весом, поскольку, что бы это ни было, всегда можно найти вес эквивалентного эффекта. Сила, которая используется для поддержания или преодоления его, технически называется мощностью.

(224.) Выражая эффект механизма, принято говорить, что мощность поддерживает вес; но это, на самом деле, не так, и отсюда возникает то появление парадокса, о котором уже упоминалось. Если, например, говорят, что мощность в одну унцию поддерживает вес в одну тонну, это не без оснований вызывает удивление, потому что факт, как он сформулирован, если толковать термины буквально, физически невозможен. Никакая мощность меньше тонны не может, в обычном понимании этого слова, поддерживать вес в одну тонну. Однако возникнет вопрос, как случается, что машина кажется делающей это? как случается, что, удерживая шелковую нить, которую разорвал бы вес в одну унцию, можно поддерживать многие сотни веса? Чтобы объяснить это, достаточно будет рассмотреть эффект машины, когда мощность и вес находятся в равновесии.

(225.) В каждой машине есть некоторые фиксированные точки или опоры; и расположение частей всегда таково, что давление, создаваемое мощностью или весом, или обоими, распределяется между этими опорами. Если вес составляет двадцать сотен, его можно распределить так, что любая пропорция, как бы велика она ни была, может быть перенесена на фиксированные точки или опоры машины; можно сказать, что только оставшаяся часть поддерживается мощностью, и эта часть никогда не может быть больше самой мощности. Рассматривая эффект таким образом, оказывается, что мощность поддерживает ровно столько веса и не более, сколько равно ее собственной силе, а вся оставшаяся часть веса поддерживается машиной. Сила этих наблюдений станет более очевидной, когда будут объяснены природа и свойства механических сил и других машин.

(226.) Когда машина рассматривается динамически, ее эффекты объясняются на других принципах. Это правда, что в этом случае очень малая мощность может поднять очень большой вес; но тем не менее, при этом, какая бы машина ни использовалась, общие затраты мощности на поднятие веса на любую высоту никогда не меньше тех, которые были бы затрачены, если бы мощность была немедленно приложена к весу без вмешательства какой-либо машины. Это обстоятельство проистекает из универсального свойства машин, благодаря которому скорость веса всегда меньше скорости мощности в точно такой же пропорции, в какой сама мощность меньше веса; так что когда определенная мощность прикладывается для поднятия веса, скорость, с которой осуществляется подъем, всегда медленнее в той же пропорции, в какой велик вес. Из должного рассмотрения этого замечательного закона станет легко понять, что машина никогда не может уменьшить общие затраты мощности, необходимые для поднятия любого веса или преодоления любого сопротивления. В таких случаях все, что машина когда-либо делает или может сделать, — это позволить мощности расходоваться с медленной скоростью и в более выгодном направлении, чем если бы она была немедленно приложена к весу или сопротивлению.

Предположим, что P — мощность, составляющая одну унцию, а W — вес, составляющий 50 унций, и что P поднимает W с помощью машины. В силу уже указанного свойства следует, что пока P перемещается на 50 футов, W будет перемещен на 1 фут; но при перемещении P на 50 футов совершаются 50 отдельных усилий, каждым из которых 1 унция перемещается на 1 фут, и которыми коллективно 50 отдельных унций могли бы быть последовательно подняты на 1 фут. Но вес W составляет 50 унций и был поднят на 1 фут; откуда следует, что затраты мощности равны тем, которые были бы необходимы для поднятия веса без вмешательства какой-либо машины.

Этот важный принцип может быть представлен в другом аспекте, который, возможно, сделает его более очевидным. Предположим, что вес W был фактически разделен на 50 равных частей, или предположим, что это был сосуд с жидкостью весом 50 унций, содержащий 50 равных мер; если бы эти 50 мер последовательно поднимались на высоту 1 фут, усилия, необходимые для этого, были бы такими же, как те, что использовались для перемещения мощности P на 50 футов, и очевидно, что общие затраты силы были бы такими же, как те, что необходимы для поднятия всего содержимого сосуда на 1 фут.

Когда природа и свойства механических сил и других машин будут объяснены, сила этих наблюдений будет воспринята более отчетливо. Эффекты опор и фиксированных точек в поддержании части веса, а иногда и всего веса, как веса, так и мощности, станут тогда очевидными, и каждая машина будет служить подтверждением замечательной пропорции между скоростями веса и мощности, которая позволила нам объяснить то, что в противном случае могло бы быть парадоксальным и трудным для понимания.

(227.) Самым простым видом машин являются те, которые обычно называют МЕХАНИЧЕСКИМИ СИЛАМИ. Они по-разному перечислялись разными авторами. Если, однако, цель состоит в том, чтобы распределить по отдельным классам, и в наименьшем возможном их количестве, те машины, которые сходны по принципу, механические силы могут быть сведены к трем.

1. Рычаг. 2. Шнур. 3. Наклонная плоскость.

К тому или иному из этих классов могут быть сведены все простые машины, а все сложные машины могут быть разложены на простые элементы, которые подпадают под них.

(228.) Первый класс включает каждую машину, которая состоит из твердого тела, вращающегося на фиксированной оси, хотя название рычаг обычно ограничивалось случаями, когда машина принимает определенные конкретные формы. Это, безусловно, самый полезный класс машин, и он потребует в последующих главах очень подробного развития. Общий принцип, на котором устанавливается равновесие между мощностью и весом в машинах этого класса, уже был объяснен в (183.). Мощность и вес всегда предполагаются приложенными в направлениях под прямым углом к оси. Если провести линии от оси перпендикулярно направлениям мощности и веса, равновесие будет существовать при условии, что мощность, умноженная на перпендикулярное расстояние ее направления от оси, равна весу, умноженному на перпендикулярное расстояние его направления от оси. Это принцип, к которому мы будем иметь случай обратиться при объяснении различных машин этого класса.

(229.) Если момент мощности (184.) больше, чем момент веса, эффект мощности будет преобладать над эффектом веса и поднимет его; но если, с другой стороны, момент мощности меньше, чем момент веса, мощности будет недостаточно для поддержания веса, и она позволит ему упасть.

(230.) Второй класс простых машин включает все те случаи, в которых сила передается с помощью гибких нитей, веревок или цепей. Принцип, по которому оцениваются эффекты этих машин, заключается в том, что натяжение по всей длине одного и того же шнура, при условии, что он совершенно гибкий и свободен от эффектов трения, должно быть одинаковым. Таким образом, если сила, действующая на одном конце, уравновешивается силой, действующей на другом конце, как бы ни был согнут шнур или какой бы путь он ни был вынужден принять по любым причинам, которые могут повлиять на него между его концами, эти силы должны быть равны, при условии, что шнур свободен для перемещения через любые препятствия, которые могут его отклонить.

В этот класс машин включены все различные формы блоков.

(231.) Третий класс простых машин включает все те случаи, в которых вес или сопротивление поддерживаются или перемещаются по твердой поверхности, наклоненной к вертикальному направлению.

Эффекты таких машин оцениваются путем разложения всего веса тела на два элемента с помощью параллелограмма сил. Один из этих элементов перпендикулярен поверхности и поддерживается ее сопротивлением; другой параллелен поверхности и поддерживается мощностью. Пропорция, следовательно, мощности к весу всегда будет зависеть от наклона поверхности к направлению веса. Это будет легко понять, обратившись к тому, что уже было объяснено в главе VIII.

К этому классу машин относятся наклонная плоскость, обычно так называемая, клин, винт и многие другие.

(232.) Чтобы упростить развитие элементарной теории машин, целесообразно опустить рассмотрение многих обстоятельств, которые, однако, должны быть строго учтены, прежде чем можно будет предпринять какое-либо практически полезное применение этой теории. Машина, как мы должны ее рассматривать в настоящее время, — это вещь, которая не может иметь реального или практического существования. Ее различные части считаются свободными от трения: все поверхности, которые движутся в контакте, предполагаются бесконечно гладкими и отполированными. Твердые части считаются абсолютно негибкими. Вес и инерция самой машины полностью игнорируются, и мы рассуждаем о ней так, как если бы она была лишена этих качеств. Шнуры и веревки предполагаются не имеющими жесткости, бесконечно гибкими. Машина, когда она движется, предполагается не испытывающей сопротивления атмосферы и находящейся во всех отношениях в таких условиях, как если бы она была в вакууме.

Едва ли нужно говорить, что, поскольку все эти предположения ложны, ни одно из последствий, выведенных из них, не может быть истинным. Тем не менее, поскольку искусство состоит в том, чтобы приблизить машины к этому состоянию идеального совершенства настолько, насколько это возможно, выводы, которые таким образом получены, хотя и ложны в строгом смысле, все же отклоняются от истины лишь в малой степени. Подобно первому наброску картины, они напоминают в своих общих чертах ту истину, к которой после многих последующих исправлений они должны окончательно приблизиться.

После того как было сделано первое приближение на основе нескольких ложных предположений, которые были упомянуты, последовательно учитываются различные эффекты, которые ранее игнорировались. Шероховатость, жесткость, несовершенная гибкость, сопротивление воздуха и других жидкостей, эффекты веса и инерции машины — все это исследуется, и их законы и свойства обнаруживаются. Модификации и исправления, предложенные таким образом как необходимые для внесения в наши прежние выводы, применяются, и делается второе приближение, но все же только приближение, к истине. Ибо, исследуя законы, регулирующие несколько только что упомянутых эффектов, мы вынуждены исходить из новой группы ложных предположений. Чтобы определить законы, регулирующие трение поверхностей, необходимо предположить, что каждая часть контактирующих поверхностей равномерно шероховата; что твердые части, которые несовершенно жесткие, и шнуры, которые несовершенно гибкие, состоят по всем своим размерам из однородного материала; так что несовершенство не преобладает в одной части больше, чем в другой. Таким образом, всякая нерегулярность оставляется без внимания, и берется общее среднее значение эффектов. Очевидно, следовательно, что этими средствами мы все еще не смогли получить результат, точно соответствующий реальному положению вещей; но столь же очевидно, что мы получили результат, гораздо более соответствующий этому состоянию, чем это было достигнуто ранее, и достаточно близкий к нему для большинства практических целей.