Существует правило, дополняющее это, которое широко используется. Оно не является универсально верным, и при его использовании необходимо проявлять величайшую осторожность — двойную осторожность: во-первых, никогда не использовать его, когда это повлечет за собой серьезную ошибку; и, во-вторых, никогда не упускать возможности воспользоваться им в случаях, когда его можно применить. Это правило зависит от того факта, что в очень многих случаях вероятность того, что С истинно, если В истинно, по существу такая же, как вероятность того, что С истинно, если А истинно. Предположим, например, у нас есть среднее количество мужчин среди детей, рожденных в Нью-Йорке; предположим, что у нас также есть среднее количество детей, рожденных в зимние месяцы среди тех, кто родился в Нью-Йорке. Теперь мы можем без сомнения предположить, по крайней мере как близкое приближение (а в отношении вероятностей не было бы уместно проводить очень тонкие расчеты), что доля мужчин среди всех детей, рожденных в Нью-Йорке, такая же, как доля мужчин, рожденных летом в Нью-Йорке; и поэтому, если бы имена всех детей, рожденных в течение года, были помещены в урну, мы могли бы умножить вероятность того, что любое вытянутое имя будет именем ребенка мужского пола, на вероятность того, что это будет имя ребенка, рожденного летом, чтобы получить вероятность того, что это будет имя ребенка мужского пола, рожденного летом. Вопросы вероятности в трактатах по этому предмету обычно были такими, которые относятся к шарам, вытянутым из урн, и карточным играм и так далее, в которых вопрос о независимости событий, как это называется — то есть вопрос о том, является ли вероятность С при гипотезе В такой же, как ее вероятность при гипотезе А, — был очень простым; но в применении вероятностей к обычным вопросам жизни часто бывает чрезвычайно тонким вопрос о том, могут ли два события считаться независимыми с достаточной точностью или нет. Во всех расчетах с картами предполагается, что карты тщательно перемешаны, что делает одну сдачу совершенно независимой от другой. На самом деле карты на практике редко перемешиваются достаточно хорошо, чтобы это было правдой; так, в игре в вист, в которой карты выпали мастями по четыре одной масти и так собраны, они будут лежать более или менее наборами по четыре одной масти, и это будет верно даже после того, как их перемешают. По крайней мере, некоторые следы этого расположения останутся, вследствие чего количество «коротких мастей», как их называют — то есть количество рук, в которых карты очень неравномерно распределены по мастям, — меньше, чем расчеты могли бы сделать его; так что, когда происходит неправильная сдача, где карты, будучи разбросанными по столу, перемешиваются очень тщательно, существует общее мнение, что в руках, сданных следующими, обычно бывают короткие масти. Несколько лет назад мой друг, который много играет в вист, был так любезен, что подсчитал количество пик, сданных ему в 165 руках, в которых карты были, если что, перемешаны лучше, чем обычно. Согласно расчетам, должно было быть 85 таких рук, в которых мой друг держал либо три, либо четыре пики, но на самом деле их было 94, что показывает влияние несовершенного перемешивания.
Согласно принятому здесь взгляду, это единственные фундаментальные правила для вычисления шансов. Дополнительное правило, выведенное из другой концепции вероятности, приводится в некоторых трактатах, которое, если бы оно было верным, могло бы стать основой теории рассуждения. Будучи, как я полагаю, абсолютно абсурдным, его рассмотрение служит для того, чтобы привести нас к истинной теории; и именно ради этой дискуссии, которая должна быть отложена до следующего номера, я привлек внимание читателя к доктрине шансов на этой ранней стадии наших исследований логики науки.
ЧЕТВЕРТАЯ СТАТЬЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ ИНДУКЦИИ
I
Мы обнаружили, что каждый аргумент черпает свою силу из общей истинности класса умозаключений, к которому он принадлежит; и что вероятность — это доля аргументов, несущих в себе истину, среди всех аргументов любого рода. Это наиболее удобно выразить в номенклатуре средневековых логиков. Они называли факт, выраженный посылкой, антецедентом, а то, что следует из него, — его консеквентом; в то время как ведущий принцип, что каждый (или почти каждый) такой антецедент сопровождается таким консеквентом, они называли консеквенцией. Используя этот язык, мы можем сказать, что вероятность принадлежит исключительно консеквенциям, и вероятность любой консеквенции — это число раз, когда антецедент и консеквент оба встречаются, деленное на число всех раз, когда встречается антецедент. Из этого определения выводятся следующие правила для сложения и умножения вероятностей:
Правило для сложения вероятностей. — Даны отдельные вероятности двух консеквенций, имеющих один и тот же антецедент и несовместимые консеквенты. Тогда сумма этих двух чисел есть вероятность консеквенции, что из того же антецедента следует тот или иной из этих консеквентов.
Правило для умножения вероятностей. — Даны отдельные вероятности двух консеквенций: «Если А, то В» и «Если и А, и В, то С». Тогда произведение этих двух чисел есть вероятность консеквенции: «Если А, то и В, и С».
Специальное правило для умножения независимых вероятностей. — Даны отдельные вероятности двух консеквенций, имеющих одни и те же антецеденты: «Если А, то В» и «Если А, то С». Предположим, что эти консеквенции таковы, что вероятность второй равна вероятности консеквенции: «Если и А, и В, то С». Тогда произведение двух данных чисел равно вероятности консеквенции: «Если А, то и В, и С».
Чтобы показать действие этих правил, мы можем рассмотреть вероятности в отношении бросания костей. Какова вероятность выбросить шесть на одной кости? Антецедент здесь — событие бросания кости; консеквент — выпадение шестерки. Так как кость имеет шесть сторон, все из которых выпадают с равной частотой, вероятность выпадения любой из них равна 1/6. Предположим, бросают две кости, какова вероятность выбросить две шестерки? Вероятность выпадения шестерки на любой из них очевидно такая же, когда бросают обе, как и когда бросают одну — а именно 1/6. Вероятность того, что любая из них выпадет шестеркой, когда другая тоже выпадет, также такая же, как вероятность того, что она выпадет шестеркой, независимо от того, выпадет ли другая. Вероятности, следовательно, независимы; и, согласно нашему правилу, вероятность того, что оба события произойдут вместе, есть произведение их отдельных вероятностей, или 1/6 x 1/6. Какова вероятность выбросить двойку-туз? Вероятность того, что первая кость выпадет тузом, а вторая двойкой, такая же, как вероятность того, что обе выпадут шестерками — а именно 1/36; вероятность того, что вторая выпадет тузом, а первая двойкой, также равна 1/36; эти два события — первая туз, вторая двойка; и вторая туз, первая двойка — несовместимы. Следовательно, правило для сложения остается в силе, и вероятность того, что любая из них выпадет тузом, а другая двойкой, равна 1/36 + 1/36, или 1/18.
Таким образом могут быть решены все задачи о костях и т.д. Когда число бросаемых костей предполагается очень большим, математика (которую можно определить как искусство создания групп для облегчения счета) приходит нам на помощь с определенными устройствами для уменьшения трудностей.
II
Концепция вероятности как факта, т.е. как доли раз, когда возникновение одного рода сопровождается возникновением другого рода, называется г-ном Венном материалистическим взглядом на предмет. Но вероятность часто рассматривалась как просто степень убежденности, которая должна быть привязана к суждению, и этот способ объяснения идеи называется Венном концептуалистическим взглядом. Большинство авторов смешивали эти две концепции вместе. Они, во-первых, определяют вероятность события как причину, которую мы имеем, чтобы верить, что оно произошло, что является концептуалистическим; но вскоре после этого они заявляют, что это отношение числа случаев, благоприятных событию, к общему числу случаев, благоприятных или противных, и все одинаково возможны. За исключением того, что это вводит совершенно неясную идею случаев одинаково возможных вместо случаев одинаково частых, это сносное изложение материалистического взгляда. Чистая концептуалистическая теория была лучше всего изложена г-ном Де Морганом в его «Формальной логике: или исчислении умозаключений, необходимых и вероятных».
Великая разница между двумя анализами заключается в том, что концептуалисты относят вероятность к событию, в то время как материалисты делают ее отношением частоты событий вида к событиям рода над этим видом, таким образом давая ей два члена вместо одного. Противостояние может быть представлено следующим образом:
Предположим, у нас есть два правила умозаключения, такие, что из всех вопросов, к решению которых оба могут быть применены, первое дает правильные ответы в 81/100 случаев, а неправильные — в оставшиеся 19/100; в то время как второе дает правильные ответы в 93/100 случаев, а неправильные — в оставшиеся 7/100. Предположим далее, что два правила совершенно независимы в отношении своей истинности, так что второе отвечает правильно в 93/100 случаев, которые первое отвечает правильно, а также в 93/100 случаев, которые первое отвечает неправильно, и отвечает неправильно в оставшиеся 7/100 случаев, которые первое отвечает правильно, а также в оставшиеся 7/100 случаев, которые первое отвечает неправильно. Тогда из всех вопросов, к решению которых оба правила могут быть применены —
оба отвечают правильно 93/100 из 81/100 или 93/100 x 81/100;
второе отвечает правильно, а первое неправильно 93/100 из 19/100 или 93/100 x 19/100;
второе отвечает неправильно, а первое правильно 7/100 из 81/100 или 7/100 x 81/100;
и оба отвечают неправильно 7/100 из 19/100 или 7/100 x 19/100;
Предположим теперь, что в отношении любого вопроса оба дают один и тот же ответ. Тогда (вопросы всегда таковы, что на них нужно отвечать «да» или «нет»), те, в отношении которых их ответы совпадают, — это те, на которые оба отвечают правильно, вместе с теми, на которые оба отвечают ложно, или 93/100 x 81/100 + 7/100 x 19/100 от всех. Доля тех, на которые оба отвечают правильно, из тех, ответы на которые совпадают, следовательно, равна —
((93 × 81)/(100 × 100))/((93 × 81)/(100 × 100)) + ((7 × 19)/(100 × 100)) или (93 × 81)/((93 × 81) + (7 × 19)).
Это, следовательно, вероятность того, что если оба способа умозаключения дают один и тот же результат, этот результат правилен. Мы можем здесь удобно использовать другой способ выражения. Вероятность — это отношение благоприятных случаев ко всем случаям. Вместо того чтобы выражать наш результат в терминах этого отношения, мы можем использовать другое — отношение благоприятных случаев к неблагоприятным. Это последнее отношение можно назвать шансом события. Тогда шанс правильного ответа первым способом умозаключения равен 81/19, а вторым — 93/7; и шанс правильного ответа от обоих, когда они согласны, равен —
(81 × 93)/(19 × 7) или 81/19 × 93/7,
или произведение шансов каждого в отдельности на получение правильного ответа.
Будет видно, что шанс — это величина, которая может иметь любую величину, сколь угодно большую. Событие, в пользу которого есть равный шанс, или 1/1, имеет вероятность 1/2. Аргумент, имеющий равный шанс, не может ничего сделать для усиления других, поскольку согласно правилу его комбинация с другим только умножила бы шанс последнего на 1.
Вероятность и шанс, несомненно, принадлежат прежде всего консеквенциям и относительны к посылкам; но мы можем, тем не менее, говорить о шансе события абсолютно, подразумевая под этим шанс комбинации всех аргументов в отношении него, которые существуют для нас в данном состоянии нашего знания. Взятый в этом смысле, он неоспорим, что шанс события имеет тесную связь со степенью нашей веры в него. Вера — это, безусловно, нечто большее, чем просто чувство; однако существует чувство веры, и это чувство должно и должно варьироваться в зависимости от шанса того, во что верят, как это выведено из всех аргументов. Любая величина, которая варьируется в зависимости от шанса, могла бы, следовательно, казалось бы, служить термометром для надлежащей интенсивности веры. Среди всех таких величин есть одна, которая является особенно подходящей. Когда есть очень большой шанс, чувство веры должно быть очень интенсивным. Абсолютная определенность, или бесконечный шанс, никогда не может быть достигнута смертными, и это может быть представлено соответствующим образом бесконечной верой. По мере того как шанс уменьшается, чувство веры должно уменьшаться, пока не будет достигнут равный шанс, где оно должно полностью исчезнуть и не склоняться ни к суждению, ни от него. Когда шанс становится меньше, тогда должна возникнуть противоположная вера и должна увеличиваться в интенсивности по мере того, как шанс уменьшается, и по мере того, как шанс почти исчезает (чего он никогда не может сделать совсем), противоположная вера должна стремиться к бесконечной интенсивности. Теперь, есть одна величина, которая более просто, чем любая другая, выполняет эти условия; это логарифм шанса. Но есть другое соображение, которое должно, если оно будет принято, зафиксировать нас на этом выборе для нашего термометра. Оно заключается в том, что наша вера должна быть пропорциональна весу доказательств в том смысле, что два аргумента, которые совершенно независимы, ни ослабляя, ни усиливая друг друга, должны, когда они совпадают, произвести веру, равную сумме интенсивностей веры, которую каждый произвел бы отдельно. Теперь, мы видели, что шансы независимых совпадающих аргументов должны быть перемножены, чтобы получить шанс их комбинации, и, следовательно, величины, которые лучше всего выражают интенсивности веры, должны быть такими, чтобы их нужно было складывать, когда шансы перемножаются, чтобы произвести величину, которая соответствует комбинированному шансу. Теперь, логарифм — это единственная величина, которая выполняет это условие. Существует общий закон чувствительности, называемый психофизическим законом Фехнера. Он заключается в том, что интенсивность любого ощущения пропорциональна логарифму внешней силы, которая его производит. Полностью гармонирует с этим законом то, что чувство веры должно быть как логарифм шанса, причем последнее является выражением состояния фактов, которое производит веру.
Правило для комбинации независимых совпадающих аргументов принимает очень простую форму, когда выражается в терминах интенсивности веры, измеренной предложенным способом. Оно таково: возьмите сумму всех чувств веры, которые были бы произведены отдельно всеми аргументами «за», вычтите из этого аналогичную сумму для аргументов «против», и остаток — это чувство веры, которое мы должны иметь в целом. Это процедура, к которой люди часто прибегают под названием взвешивания доводов.
Эти соображения составляют аргумент в пользу концептуалистического взгляда. Его суть в том, что совместная вероятность всех аргументов, которыми мы обладаем в отношении любого факта, должна быть тесно связана с правильной степенью нашей веры в этот факт; и этот момент дополняется различными другими, показывающими согласованность теории с самой собой и с остальной частью нашего знания.
Однако вероятность, чтобы иметь хоть какую-то ценность, должна выражать факт. Следовательно, это нечто, что должно быть выведено на основе свидетельств. Давайте же на мгновение рассмотрим формирование убеждения о вероятности. Предположим, у нас есть большой мешок с бобами, из которого один был тайно взят наугад и спрятан под наперстком. Теперь мы должны сформировать вероятностное суждение о цвете этого боба, вынимая другие по одному из мешка и осматривая их, причем каждый боб возвращается обратно, а содержимое мешка тщательно перемешивается после каждого извлечения. Предположим, первый вынутый боб белый, а следующий — черный. Мы заключаем, что нет огромного преобладания ни одного из цветов и что существует примерно равная вероятность того, что боб под наперстком черный. Но это суждение может измениться после следующих нескольких извлечений. Когда мы вытянули бобы десять раз, если 4, 5 или 6 из них белые, у нас больше уверенности в том, что шансы равны. Когда мы вытянули бобы тысячу раз, если около половины оказались белыми, у нас появляется большая уверенность в этом результате. Теперь мы чувствуем себя довольно уверенно в том, что если бы мы сделали большое количество ставок на цвет отдельных бобов, вынутых из мешка, мы могли бы в долгосрочной перспективе застраховать себя, каждый раз ставя на белый цвет — уверенность, которая полностью отсутствовала бы, если бы вместо выборки из мешка в 1000 извлечений мы сделали бы только два. Теперь, поскольку вся полезность вероятности заключается в том, чтобы обеспечить нас в долгосрочной перспективе, и поскольку эта уверенность зависит не только от значения шанса, но и от точности его оценки, из этого следует, что мы не должны испытывать одинаковую степень убежденности в отношении всех событий, для которых шансы равны. Короче говоря, чтобы выразить надлежащее состояние нашего убеждения, требуется не одно число, а два: первое зависит от выведенной вероятности, второе — от объема знаний, на которых эта вероятность основана. Истинно, что когда наши знания очень точны, когда мы сделали много извлечений из мешка или, как в большинстве примеров в книгах, когда общее содержимое мешка абсолютно известно, число, выражающее неопределенность предполагаемой вероятности и ее подверженность изменению при дальнейшем опыте, может стать незначительным или полностью исчезнуть. Но когда наши знания очень скудны, это число может быть даже важнее, чем сама вероятность; а когда у нас вообще нет знаний, оно полностью подавляет другое, так что нет смысла говорить, что шанс совершенно неизвестного события равен (ибо то, что не выражает абсолютно никакого факта, не имеет абсолютно никакого смысла), и следует сказать, что шанс полностью неопределен. Таким образом, мы видим, что концептуалистский взгляд, хотя и вполне подходящий в некоторых случаях, совершенно неадекватен.
Предположим, что первый боб, который мы вытянули из нашего мешка, был черным. Это послужило бы аргументом, каким бы слабым он ни был, в пользу того, что боб под наперстком тоже черный. Если бы второй боб также оказался черным, это было бы вторым независимым аргументом, усиливающим первый. Если бы все первые двадцать вынутых бобов оказались черными, наша уверенность в том, что спрятанный боб был черным, справедливо достигла бы значительной силы. Но предположим, что двадцать первый боб оказался бы белым и что мы продолжали бы вытягивать бобы до тех пор, пока не обнаружили бы, что вытянули 1010 черных бобов и 990 белых. Мы бы заключили, что то, что наши первые двадцать бобов были черными, — просто необычайная случайность, что на самом деле пропорция белых бобов к черным была заметно равной и что шансы того, что спрятанный боб был черным, были равными. И все же, согласно правилу взвешивания доводов, поскольку все извлечения черных бобов являются независимыми аргументами в пользу того, что боб под наперстком черный, а все извлечения белых — аргументами против этого, перевес в двадцать черных бобов должен был бы порождать одну и ту же степень убежденности в том, что спрятанный боб черный, независимо от общего количества вынутых бобов.