«Творческий интеллект: Очерки о прагматическом подходе»

В 1836-39 гг. в «Ученых записках Казанского университета» появились эпохальные «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» Лобачевского. Доказав, что «если прямая линия, падающая на две другие прямые линии, делает внутренние углы по одну сторону меньше двух прямых, то эти две прямые линии при продолжении встретятся», Евклид, обнаружив, что не может доказать, что во всех остальных случаях они не параллельны, принял это как аксиому. Но это никогда не казалось очевидным. Система Лобачевского сводилась просто к развитию геометрии на основе противоречивой аксиомы о том, что через точку вне прямой можно провести неопределенное число линий, ни одна из которых не пересечет данную линию в этой плоскости. В 1832-33 гг. аналогичные результаты были достигнуты Яношем Бойяи в приложении к «Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseosos puræ ... introducendi» его отца под названием «Наука абсолютного пространства». В 1824 году диссертация Римана под руководством Гаусса ввела идею n-кратно протяженной величины, или изучение n-мерных многообразий, и была открыта новая дорога для математического интеллекта.

Поначалу это новое знание породило всевозможные метафизические гипотезы. Если возможно построить геометрии n-измерений или геометрии, в которых аксиома параллельных больше не верна, почему бы не быть тому, что пространство, в котором мы производим наши измерения и на котором мы основываем нашу механику, является одним из этих «неевклидовых» пространств? И действительно, было проведено много экспериментов в поисках какой-либо подсказки, что это может быть так. Такие эксперименты в отношении «кривых пространств» казались особенно заманчивыми, но все они оказались бесплодными в результатах. Неудача ведет к исследованию причин неудачи. Если бы наше пространство было одним из этих пространств, как было бы возможно для нас узнать этот факт? Традиционное определение прямой линии никогда не было удовлетворительным с физической точки зрения. Определить ее как кратчайшее расстояние между двумя точками — значит ввести идею расстояния, а сама идея расстояния не имеет смысла без идеи прямой линии, и поэтому определение движется по порочному кругу. С метафизической стороны Лотце (Metaphysik, с. 249) и другие (Мерц, History of European Thought in the Nineteenth Century, том II, с. 716) критиковали эти попытки, в целом справедливо, но лучшая интерпретация ситуации была дана Пуанкаре.

Две линии мысли теперь ведут к пересмотру наших концепций фундаментальных понятий геометрии. С одной стороны, само исследование постулатов, которое привело к открытию по-видимому странных неевклидовых геометрий, было легко продолжено до исследования простейшего базиса, на котором могла бы быть основана геометрия. Затем, по реакции, оно было продолжено с использованием аналогичных методов при работе с алгеброй и другими формами анализа, с результатом, что постепенно возникли концепции математических сущностей, представляющие новую стадию абстракции в эволюции математики, которые вскоре будут обсуждаться как доминирующие концепции в современной мысли. С другой стороны, также возникла проблема отношений этих геометрических миров друг к другу, что было первостепенно значимо в помощи прояснению отношений математики в ее «чистой» и «прикладной» формах.

Геометрия прошла через стадию абстракции, подобную той, что рассматривалась в связи с арифметикой. Начав с открытия неевклидовой геометрии, становится все более очевидным, что линия не обязательно должна быть названием аспекта физического объекта, такого как коньковая линия дома и тому подобное, или даже более абстрактной механической характеристикой направления движения; — хотя настойчивость, с которой интуитивно настроенные геометры стремились адаптировать такие иллюстрации к своим нуждам, несколько затушевала этот факт. Однако даже беглый просмотр современного трактата по геометрии проясняет, что произошло. Например, профессор Гильберт начинает свои «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie) не с определения точек, линий и плоскостей, а с допущения трех различных систем вещей (Dinge), из которых первая, называемая точками, обозначается A, B, C и т. д., вторая, называемая прямыми линиями (Gerade), обозначается a, b, c и т. д., и третья, называемая плоскостями, обозначается α, β, γ и т. д. Отношения между этими вещами затем получают «genaue und vollständige Beschreibung» (точное и полное описание) через аксиомы геометрии. И тот факт, что эти «вещи» называются точками, линиями и плоскостями, не дает им никаких коннотаций, обычно ассоциируемых с этими словами, кроме тех, которые определены следующими группами аксиом. Действительно, другие геометры еще более эксплицитны в этом пункте. Так, для Пеано (I Principii di Geometria, 1889) линия — это просто класс сущностей, отношения между которыми — это уже не конкретные отношения, а типы отношений. Плоскость — это класс классов сущностей и т. д. И можно привести почти неограниченное число примеров, о которых теоремы геометрии будут выражать истины, ни один из которых не имеет близкого сходства с пространственными фактами в обычном смысле.

Философы, как мне кажется, медленно признавали значимость шага, вовлеченного в эту последнюю фазу математической мысли. Мы были так обучены произвольному различению между отношениями и концептами, что, будучи давно знакомы с общими идеями концептов, мы не знакомы с обобщенными идеями отношений. И все же это именно то, что математика повсюду представляет. Был совершен переход от отношений к типам отношений, так что вместо того, чтобы говорить в терминах количественных, пространственных и временных отношений, математики теперь могут говорить в терминах симметричных, асимметричных, транзитивных, нетранзитивных реляционных типов и тому подобного. Они представляют, однако, не что иное, как эмпирический характер, который является общим для таких отношений, как отношения отца и сына; должника и кредитора; хозяина и слуги; a находится слева от b, b от c; c от d; a старше b, b старше c, c старше d и т. д. Следовательно, это не отказ от опыта, а его обобщение, которое приводит к исчислению, потенциально применимому не только к нему, но и к другому предмету мысли. Действительно, если бы не возможность этого обобщения, почти неограниченная применимость диаграмм, столь полезных в классе для иллюстрации всего, от природы реальности до категорического императива, а также для более технических применений психологических и социальных наук, была бы непонятна.

Было бы парадоксом, однако, если бы, начиная с процессов счета и измерения, были достигнуты обобщения, которые больше не имели бы значения для счета или измерения, и неевклидовы гипермерные геометрии поначалу, кажется, представляют этот парадокс. Но, как доказывает результат нашей второй линии мысли, это не так. Исследование отношений различных геометрических систем друг к другу показало (ср. Браун, «Работа А. Пуанкаре», Journ. of Phil., Psy., and Sci. Meth., том XI, № 9, с. 229), что эти различные системы имеют соответствие друг с другом, так что для любой теоремы, сформулированной в одной из них, существует соответствующая теорема, которая может быть сформулирована в другой. Другими словами, при наличии любой фактической ситуации, которая может быть сформулирована в евклидовой геометрии, аспект, рассматриваемый как прямая линия в евклидовом изложении, будет рассматриваться как кривая в неевклидовом, и ситуация, рассматриваемая как трехмерная методами Евклида, может рассматриваться как имеющая любое число измерений, когда выбран правильный фундаментальный элемент, и наоборот, хотя, конечно, элемент не будет линией или плоскостью в нашем эмпирическом использовании термина. Это то, что Пуанкаре имеет в виду, говоря, что наша геометрия — это свободный выбор, но не произвольный (The Value of Science, ч. III, гл. X, сек. 3), ибо существует много ограничений, налагаемых фактом на выбор, и обычно есть некоторое ясное указание на удобство относительно выбранной системы, основанное на фундаментальном идеале простоты.

Очевидно, таким образом, что геометрия и арифметика сближаются, и что сегодня различие между ними несколько трудно поддерживать. Старая арифметика ограничивала себя в значительной степени изучением отношений, вовлеченных в серийные порядки, как предложено счетом, тогда как геометрия занималась прежде всего отношениями групп таких серий друг к другу, когда серии или группы серий представлены как линии или плоскости. Но отчасти благодаря взаимодействию в аналитической геометрии, а отчасти в обобщении своих собственных методов, обе пришли к признанию фундаментального характера отношений, вовлеченных в их мышление, и арифметика, через комплексное число и алгебраические неизвестные величины, пришла к рассмотрению более сложных серийных типов, в то время как геометрия приблизилась к анализу своих серий через взаимодействие с теорией чисел. Для обеих содержание их сущностей и вовлеченные отношения были сведены к минимуму. И это верно даже для таких, казалось бы, существенно интуитивных областей, как проективная геометрия, где сущности могут быть заменены направленными линиями, а аксиомы превращены в реляционные постулаты, управляющие их конфигурациями.

Тем не менее, геометрия, как и арифметика, осталась верна потребности, которая дала ей первоначальный импульс. Как в начале она была лишь методом работы с конкретной ситуацией, так в конце она является не чем иным, как таким методом, хотя, как в случае с арифметикой, от все более тесного контакта с рассматриваемой ситуацией она была приведена, благодаря уточнениям, которые приносят вдумчивый и постоянный контакт, к расчленению этой ситуации и вниманию к аспектам ее, о которых не мечтали в начальный момент. В некотором смысле, таким образом, не существует таких вещей, как математические сущности, как их представлял бы схоластический реализм. И все же математика не имеет дело с нереальностями, ибо она повсюду занимается реальными рациональными типами и системами, где такие типы могут быть продемонстрированы. Или мы можем сказать чисто практическим образом, что математические сущности конституируются их отношениями, но эта фраза не может быть здесь интерпретирована в гегельянском онтологическом смысле, в котором она сыграла столь большую и столь пагубную роль в современной философии. Такая метафизическая интерпретация и ее последствия являются основой парадоксальных абсолютизмов, таких как тот, к которому пришел профессор Ройс (World and the Individual, том II, дополнительное эссе). Своеобразный характер абстрактной или чистой математики, по-видимому, заключается в том, что ее собственные операции на более низком уровне составляют материал, который служит предметом, с которым имеют дело ее поздние исследования. Но математика, в конце концов, не фундаментально отличается от других наук. Концепты всех наук одинаково составляют специальный язык, особенно адаптированный для работы с определенными адаптациями опыта, и различия в развитии разных наук лишь выражают разные степени успеха, с которыми такие языки были сформулированы в отношении того, чтобы сделать возможным предсказание относительно еще не реализованных ситуаций. Некоторые науки все еще ищут свои термины и фундаментальные концепты, другие формулируют свою первую «грамматику», а математика, все еще неадекватная, ежегодно выигрывает как в словаре, так и в гибкости.

Но если мы должны концептуализировать математические сущности как простые конечные точки в реляционной системе, необходимо, чтобы мы стали ясны в отношении того, что именно подразумевается под отношением и какова связь между отношениями и количествами. Современная мысль продемонстрировала сильную тенденцию настаивать, несколько произвольно, на «внутреннем» или «внешнем» характере отношений. Первый акцент был прежде всего связан с идеалистической онтологией и часто приносил с собой сложные диалектические вопросы об идентичности индивидуальной вещи при переходе от одной реляционной ситуации к другой. Последнее настаивание означало прежде всего то, что вещи не меняются с изменением отношений к другим вещам. Оно, однако, часто подразумевало независимое существование, в некотором любопытно метафизическом состоянии, отношений, которые ничего не связывают, и едва ли менее парадоксально, чем старый взгляд. В области физических явлений оно, кажется, торжествует, в то время как факты социальной жизни, с другой стороны, придают некоторое правдоподобие взгляду «интерналистов». Как и во многих таких дискуссиях, лучший способ обойти их — это забыть их аргументы и обратиться к свежему и независимому исследованию фактов, о которых идет речь.

IV Вещи, отношения и количества

Пока я пишу, путь мне прокладывает профессор Коэн (Journ. of Phil., Psy., and Sci. Meth., том XI, № 23, 5 ноября 1914 г., с. 623-24), который очерчивает теорию отношений, тесно связанную с той, что у меня на уме. Профессор Коэн пишет: «Подобно различению между первичными и вторичными качествами, различие между качествами и отношениями кажется мне подвижным, потому что «природа» вещи меняется по мере того, как вещь переходит из одного контекста в другой... Для профессоров Монтегю и Лавджоя «вещь» подобна старомодному землевладельцу, а качества — ее незапамятным частным владениям. Вещь может вступать в коммерческие отношения с другими, но эти отношения являются внешними. Она никогда не расстается со своим наследством. Мне же «природа» вещи кажется не столь частной или фиксированной. Она может состоять полностью из облигаций, акций, франшиз и других способов, которыми представлен общественный кредит или право на определенные транзакции... Во всяком случае, отношения или транзакции могут рассматриваться как более широкие или более первичные, чем качества или владения. Последние могут быть определены как внутренние отношения, то есть отношения внутри системы, которая составляет «вещь». Природа вещи содержит сущность, т. е. группу характеристик, которые в любой данной системе или контексте остаются инвариантными, так что если они изменены, вещи выпадают из нашей системы... но одна и та же вещь может представлять разные сущности в разных контекстах. По мере того как вещь переходит из одного контекста в другой, она приобретает новые отношения и отбрасывает старые, и во всех трансформациях происходит изменение или переадаптация линии между внутренними отношениями, которые составляют сущность, и внешними отношениями, которые находятся вне внутреннего круга...»

Прежде чем продолжить, однако, я хотел бы предложить некоторые интерпретации этих утверждений, за которые, разумеется, профессор Коэн не несет ответственности и с которыми он не был бы полностью согласен. Моя общая позиция будет проиллюстрирована первым комментарием. Понятия — это лишь средства обозначения фрагментов опыта, данных прямо или косвенно. Если мы затем попытаемся говорить о «природе вещи», возможны две интерпретации этого выражения. «Вещь» как таковая — это лишь частица реальности, которую некий мотив, который без чрезмерного расширения термина можно назвать практическим, побудил нас рассматривать как более или менее изолируемую от остальной реальности. Тогда ее природа может состоять либо из ее отношений к другим практически изолированным реальностям или вещам, ее фактической эффективной ценности в окружающей среде (и, следовательно, меняться вместе со средой, как отмечает профессор Коэн), либо может состоять из ее сущности, «отношений внутри системы», рассматриваемых с точки зрения потенциальностей, подразумеваемых ими для различных сред. В первом смысле природа может легко меняться при изменении среды, но если она меняется во втором смысле, как замечает профессор Коэн, она «выпадает из нашей системы». Я бы интерпретировал это как означающее, что у нас больше нет этой вещи, а есть какая-то другая вещь, выделенная из реальности другой целью и другой точкой зрения. Я не стал бы говорить вслед за профессором Коэном, что «одна и та же вещь может представлять разные сущности в разных контекстах». Каждая реальность — это нечто большее, чем одна вещь: человек — это совокупность атомов, живое существо, животное и мыслящий субъект, и все это разные вещи по своей сущности, хотя и обладающие некоторыми общими характеристиками. Всякое приписывание «вещности» есть абстракция, и можно сказать, что все частные вещи участвуют в более высоких, т.е. более абстрактных, уровнях вещности. Следовательно, попытка сохранить вещность при изменении сущности кажется мне лишь эхом того мотива, который так долго выводил онтологический монизм из логического факта, что помыслить любые две вещи — значит, по меньшей мере, поместить их в общую вселенную дискурса. Вследствие этого я разошелся бы с профессором Коэном в этом единственном пункте (который, возможно, в значительной степени является вопросом определения, хотя здесь и не маловажным) и различал бы природу вещи просто как актуальную и как потенциальную. Из них только первая меняется вместе со средой, тогда как вторая меняется лишь тогда, когда вещь перестает быть собой, переходя в какую-то иную вещь. Другими словами, если этот пример не насилует мысль профессора Коэна, я вполне могу понять эту статью как стимулятор критики или как средство разжигания огня. Профессор Коэн, подозреваю, воспринял бы это как означающее, что одну и ту же вещь — эту статью — следует рассматривать как обладающую двумя разными сущностями в двух разных контекстах, ибо «одна и та же вещь может обладать двумя разными сущностями в разных контекстах», тогда как я предпочел бы интерпретировать ситуацию как означающую, что передо мной три (и столько еще, сколько может быть) разные вещи, обладающие тремя разными сущностями: во-первых, бумага как физический объект, обладающий значительным числом определенных свойств; во-вторых, написанные слова, которые, несомненно, в одном смысле являются лишь структурными модификациями физического объекта бумаги (т.е. окрашивание ее чернилами и т.д.), но чья реальность для моей цели заключается в способности вызывать идеи, приобретаемые вещами в качестве символов (вещи, действительно, но вещи, чья сущность заключается в эффектах, которые они производят на читателя, а не в их физическом характере); и в-третьих, химические и производящие горение свойства бумаги. Теперь мне проще рассматривать ситуацию как таковую, в которой три вещи имеют общую точку в вещности, т.е. общий абстрактный элемент, чем думать о «вещи», меняющей контексты и тем самым меняющей свою сущность.

Но теперь мое расхождение с профессором Коэном становится более заметным. Он продолжает следующим примером (с. 622): «Наш сосед М. высок, скромен, весел, и мы понимаем, что он банкир. Его высокий рост, скромность, веселость и тот факт, что он банкир, мы обычно рассматриваем как его качества; тот факт, что он наш сосед, — это отношение, которое он, по-видимому, имеет к нам. Он может сменить место жительства, перестать быть нашим соседом и все же остаться тем же человеком с теми же качествами. Если, однако, я стану его портным, его высокий рост переведется в определенные отношения измерения; если я стану его социальным компаньоном, его скромность будет означать, что он будет состоять со мной в определенных социальных отношениях и т.д.». Другими словами, мы иллюстрируем доктрину о том, что «качества сводимы к отношениям» (ср. с. 623). Эту доктрину я не могу полностью принять без модификации, ибо не могу понять, что она означает. Без каких-либо предпосылок относительно субъективности или сознания (ср. с. 623, (а)) в мире, как я его знаю, существуют определенные цветные объекты — пусть это выражение будет воспринято наивно, чтобы избежать идеалистически-реалистической дискуссии, которая здесь неуместна. Теперь мне так же непонятно, что красные цветы и зеленые листья гераней перед моими окнами должны быть сводимы к простым отношениям в каком-либо экзистенциальном смысле, как было бы спрашивать о квадратном корне их запаха, хотя, конечно, вполне понятно, что физическая теория и предсказания относительно зеленых и красных поверхностей (или запахов) должны быть сформулированы в терминах атомных расстояний и вибраций эфира специфической длины. Научная концепция, в конце концов, есть не что иное, как указание на то, как ухватиться за вещи и манипулировать ими для получения предвиденных результатов, и ее сущности являются реальными вещами лишь в том смысле, что они являются практически эффективными ключевыми нотами сложной реальности. Соответственно, вместо сведения качеств к отношениям, мне кажется гораздо более понятным взглядом рассматривать отношения как абстрактные способы восприятия качеств в целом, как качества, мыслимые в их функции наведения моста или совершения перехода между двумя фрагментами реальности, которые ранее были приняты как отдельные вещи. Действительно, именно потому, что вещи не являются онтологически независимыми сущностями (а скорее выделениями из подлинно взаимосвязанного существования), отношения становятся важными как указания на практическую значимость качественных непрерывностей, которые были проигнорированы при предварительной изоляции вещи. Таким образом, вместо экзистенциального мира, который является «сетью отношений, чьи пересечения называются терминами» (с. 622), я нахожу более понятной качественно гетерогенную реальность, которая может быть по-разному разделена на вещи и которая может быть абстрактно заменена системами терминов и отношений, адекватных для символизации их эффективной природы в определенных аспектах. Существует тенденция для определенных атрибутов сохранять свою конкретность (качественность) в вещах, а для других — предполагать связь вещей с другими вещами и тем самым подчеркивать более абстрактный аспект опыта. Так возникает временное и практическое различие, которое имеет тенденцию восприниматься как противопоставление между качествами и отношениями. Поскольку пространственные и временные характеристики обладают своей главной практической ценностью в связи вещей, они, подобно соседскому характеру профессора Коэна, обычно принимаются абстрактно как простые отношения, в то время как формы, цвета и т.д., а также «скромность, высокий рост, веселость» профессора Коэна могут быть осмыслены легче без акцента на другие вещи и поэтому имеют тенденцию приниматься в своей конкретности как качества, но насколько тонка эта разделительная линия, становится ясно из легкого перевода профессора Коэна этих вещей в отношения.

Если рассматривать это чисто интеллектуалистически, то сначала возникла бы фикция разделения в том, что на самом деле уже непрерывно, а затем другая фикция, чтобы навести мост через созданный таким образом разрыв. Это, конечно, было бы той фальсификацией, против которой выступает Бергсон. Но такая интерпретация означает непонимание природы абстракции. Абстракция не подменяет реальное нереальным, а выделяет из реальности подлинную ее характеристику, которая адекватна для определенной цели. Таким образом, мыслить время как последовательность моментов — значит не фальсифицировать время, а выделить из процессов, происходящих во времени, их характеристику, посредством которой можно делать предсказания, которые могут быть верифицированы и превращены в инструмент для контроля жизни или окружающей среды. Подобное непонимание абстракции, сопряженное с более полным, чем у Бергсона, пониманием ценности ее результатов, привело неореализм к настойчивому требованию превращения абстракций в существующие сущности, из которых реальный мир считается организованным составным агрегатом.

Практика превращения качеств в чисто сознательные сущности во многом способствовала затемнению статуса научного познания, ибо она оставила лишь количество в качестве единственного реального характера актуального мира. Но стоит принять реалистическую точку зрения, и количество станет не более реальным, чем качество. Для первобытного человека качественный аспект реальности, вероятно, является первым, на который он обращает внимание, и только через усилия по взаимодействию с миром в его качественном характере его количественная сторона навязывается вниманию. Тогда рождается так называемая «точная» наука, но из этого не следует, что качества отныне становятся незначительными. Они по-прежнему являются основой всех отношений, даже тех, которые наиболее непосредственно истолковываются как количественные. Качество и количество — это лишь разные аспекты мира, которые статус нашей практической жизни заставляет нас брать раздельно или абстрактно. «Вещь» — не меньшая абстракция, в которой мы игнорируем определенные непрерывности с остальным миром, потому что мы устроены так, что требования жизни делают целесообразным поступать именно так. Как только вещи даны, становятся возможными дальнейшие абстракции, среди которых те, что ведут к математическому мышлению, в котором совершаются более высокие абстракции, всегда направляемые «порождающей проблемой» (ср. Карл Шмидт, Jour. of Phil., Psy., and Sci. Meth., Vol. X, No. 3, 1913, pp. 64-75).

V Функция теории в науке

Контролирующими факторами для прогресса научной мысли являются изобретения, которые приводят ученого в более тесный контакт с его данными и направляют внимание на сложности, которые в противном случае ускользнули бы от наблюдения. Эта цель лучше всего достигается путем концептуализации сущностей, которые с какой-то точки зрения практически изолируемы от контекста, в котором они встречаются. Слишком часто философская мысль путала это практическое обособление с онтологическим разделением и поэтому была вынуждена вводить метафизические и внешние отношения, чтобы снова собрать эти сущности в реальном мире, когда в действительности они никогда не были отделены друг от друга и, следовательно, от реального мира. Более того, концептуальная модель, построенная по принципу математического исчисления, часто считается истиной par excellence по аналогии с портретом, сделанным фотоаппаратом. Прогресс в науке, однако, показывает, что эти модели приходится постоянно перестраивать. Каждая из них, по-видимому, ведет к дальнейшему знанию, которое требует ее реконструкции, так что истина приобретает идеальную ценность как конечная, но недостигнутая, если не недостижимая, цель, в то время как существующая наука сводится к рабочим гипотезам. С позитивистской точки зрения, однако, цель не только практически недостижима, но и иррациональна, ибо, по-видимому, есть все доказательства того, что она выражает нечто, противоречащее природе реального. И все же научная теория не является полностью произвольной. Мы не можем конструировать природу как состоящую из любых видов сущностей, которые могут соответствовать нашему капризу. И это потому, что сама наука признает, что ее сущности не являются действительно изолированными, но наделены всевозможными свойствами, которые служат для соединения их с другими сущностями. Они — лишь символы критических точек реальности, которые, будучи осмыслены определенным образом, делают поведение целого понятным. Действительно, единственный значимый смысл, в котором они истинны для ученого, заключается в том, что они указывают на реальные связи, которые в противном случае могли быть упущены из виду, и это возможно только благодаря тому факту, что реальность обладает характеристиками, которые они представляют, и что вместе со своими отношениями они дают приблизительное представление того, что актуально представлено, точно так же, как успешный портретист учитывает индивидуальность глаз, носа, рта и т.д., хотя он и не подразумевает, что лицо составлено из этих отдельных черт, как дом строится из досок.

Атомная теория, например, несомненно, оказала величайшую услугу химии, и атомы, несомненно, обозначают значимую остановку в анализе физического мира. Однако в свете электронных теорий становится все более очевидным, что атомы не являются предельными частицами и даже не все одинаковы (Беккер, «Изостазия и радиоактивность», Sci., 29 янв. 1915), когда они представляют собой одно вещество. Опять же, хотя пока нет доказательств, позволяющих предположить, что сам электрон должен считаться делимым (если не считать различия между положительным и отрицательным электроном), есть предположения, что электроны могут сами возникать и исчезать (ср. Мур, «Происхождение и природа жизни», с. 39). «Мудро позитивистский ум», — пишет Энрикес («Проблемы науки», с. 34), — «может видеть в атомной гипотезе лишь субъективное представление», и, можно добавить, «в любой другой гипотезе». Он продолжает (с. 34-36): «лишая атом конкретных атрибутов, присущих его образу, мы обнаруживаем, что рассматриваем его как простой символ. Логическая ценность атомной теории зависит, таким образом, от установления надлежащего соответствия между символами, которые она содержит, и реальностью, которую мы пытаемся представить».

«Теперь, если мы вернемся к тому времени, когда атомная теория была принята современной химией, мы увидим, что простые атомные формулы содержат лишь представление неизменных отношений в комбинации простых тел, по весу и объему; последние берутся в отношении к хорошо определенному газообразному состоянию.

«Но, будучи введенной в науку, атомная фразеология предложила расширение значения символов и поиск в реальности фактов, соответствующих ее более расширенной концепции.

«Теория продвигается вперед, подгоняемая, так сказать, своей метафизической природой, или, если хотите, ассоциацией идей, которую несет с собой конкретный образ атома.

«Таким образом, вместо простых формул мы подставили в химии соединений углерода структурные формулы, которые представляют, благодаря расположению или группировке атомов в молекуле, структурные отношения второго порядка, то есть отношения, присущие определенным химическим трансформациям, по отношению к которым некоторые группы элементов имеют в некотором роде инвариантный характер. И здесь, поскольку образа простой молекулы на плоскости недостаточно для объяснения, например, фактов изомерии, мы должны прибегнуть к стереохимическому представлению Вант-Гоффа.

«Должны ли мы далее напоминать о кинетической теории газов, фактах, объясняемых расщеплением молекул на ионы, гипотезе, предложенной, например, Ван-дер-Ваальсом, о том, что атом имеет фактический объем? Должны ли мы указать на физическое явление совершенно иного класса, например, на окрашивание тонкой пленки, образующей мыльные пузыри, которую У. Томсон принял за меру размера молекулы?

«Такое резюме результатов ясно показывает, что мы не можем помочь прогрессу науки, блокируя путь теории и глядя только на ее позитивные аспекты, то есть на совокупность фактов, которые она объясняет. Ценность теории заключается скорее в гипотезе, которую она может предложить посредством психологического представления символов.

«Мы не будем делать из всего этого вывод, что атомная гипотеза должна соответствовать чрезвычайно тонким ощущениям существа, напоминающего совершенного человека. Мы даже не будем рассуждать о возможности этих воображаемых ощущений, поскольку они мыслятся просто как расширение наших собственных. Но мы повторим в отношении атомной теории то, что, как говорят, заметил один прославленный мастер относительно единства материи: если при первом рассмотрении кажется возможным факт, который противоречит атомному взгляду на вещи, существует высокая вероятность того, что такой факт будет опровергнут опытом.

«Не означает ли такая способность к адаптации к фактам, тем самым предоставляя модель для них, возможно, позитивную реальность теории?»

И вышеуказанные принципы столь же верны для математических концепций, как и для химических. Везде именно «способность адаптации к фактам» является критерием отрасли математики, за исключением, конечно, того, что в математике факты не всегда являются физическими фактами. Математика успешно осуществила обобщение, благодаря которому ее собственные методы предоставляют материал для более высоких обобщений. Мнимое число и гипермерные или неевклидовы геометрии могут быть абсурдными, если измерять их по стандарту физической реальности, но они тем не менее имеют нечто реальное в отношении определенных математических процессов на более низком уровне. Нет никакого философского парадокса в современной арифметике или геометрии, как только признано, что они являются лишь абстракциями подлинных черт более простых и более очевидно практических манипуляций, которые ясно выведены из взаимодействия человеческого существа с подлинными реальностями.

В свете этих соображений я не могу не чувствовать, что частые попытки математиков с философским складом ума и философов, погружающихся в математику, вывести геометрические сущности из психологических соображений совершенно ошибочны и являются лишь еще одним примером тех традиционных предпосылок психологии, которые, как указал профессор Дьюи (Jour. of Phil., Psy., and Sci. Meth., XI, No. 19, p. 508), были «завещаны философией семнадцатого века психологии, вместо того чтобы возникнуть внутри психологии»... которые «были навязаны ей философией, когда она была еще слишком незрелой, чтобы защитить себя».

Анри Пуанкаре («Наука и гипотеза», гл. IV; «Ценность науки», гл. IV) и Энрикес («Проблемы науки», гл. IV, особенно B — «Психологическое приобретение геометрических концепций») предоставляют два из наиболее знакомых примеров такого рода философствования. Каждый изолирует особые чувства — зрение, осязание или движение — и пытается показать, как существо, оснащенное только одним из этих чувств, могло бы прийти к геометрическим концепциям, которые отличаются, конечно, от пространства, представленного нашей привычной евклидовой геометрией. Затем возникает вопрос о слиянии этих различных видов опыта в единый опыт, транскрипцией которого может быть геометрия. Энрикес находит параллель между историческим развитием и психогенетическим развитием постулатов геометрии (loc. cit., p. 214 seq.). «Три группы идей, которые связаны с концепциями, служащими основой для теории континуума (Analysis situs), метрической и проективной геометрии, могут быть связаны, по своему психологическому происхождению, с тремя группами ощущений: с общими тактильно-мышечными ощущениями, с ощущениями особого осязания и зрения соответственно». Пуанкаре даже вызывает к жизни наследственный опыт, чтобы обосновать свою правоту (Sci. and Hyp., гл. V, конец). «Часто говорили, что если индивидуальный опыт не мог создать геометрию, то этого нельзя сказать о наследственном опыте. Но что это значит? Имеется ли в виду, что мы не могли экспериментально продемонстрировать постулат Евклида, но что наши предки смогли это сделать? Ни в коем случае. Имеется в виду, что путем естественного отбора наш разум адаптировался к условиям внешнего мира, что он принял геометрию, наиболее выгодную для вида: или, другими словами, наиболее удобную».

Теперь, несомненно, в этих утверждениях может быть доля истины. Как подразумевается последней цитатой из Пуанкаре, современный ученый вряд ли может сомневаться в том, что факт адаптации нашего мышления к миру, в котором мы живем, обусловлен тем фактом, что именно в этом мире мы эволюционировали. Как подразумевается обоими авторами, если бы можно было ограничить человеческий контакт с миром определенной формой сенсорного отклика, мышление об этом мире происходило бы в других терминах, чем сейчас, и, по-видимому, было бы менее эффективным. Но эти допущения не означают, что такие абстракции проливают какой-либо свет на природу математических сущностей. Рассел («Научный метод в философии») находится в любопытном положении, возводя арифметику к чисто логическому статусу, но играя с геометрией и ощущением на манер Пуанкаре, которому он по этой причине воздает несколько неохотную похвалу.

Психологические методы, на которых основаны все подобные исследования, открыты для всякого рода критики. Главным образом, концепции, на которых они основаны, даже если они верны, являются лишь абстракциями. Нет ни малейших доказательств существования организмов с единственным дифференцированным органом чувств, ни малейших доказательств того, что когда-либо существовал такой организм. Действительно, согласно современным отчетам об эволюции нервной системы (ср. Г. Г. Паркер, Pop. Sci. Month., февр. 1914), различные чувства возникли через постепенную дифференциацию более общей формы рецептора стимулов, и, следовательно, возможность отделения особых чувств — это конец серии, а не начало. Но как бы то ни было, математические концепции, которые мы изучаем, были постигнуты только высокоразвитым организмом, человеком, но он начал постигать их уже на ранней стадии своей карьеры, прежде чем проанализировал свой опыт и связал его с конкретными органами чувств. Конечно, может быть приятным упражнением, если кому-то нравится такого рода вещи, предположить вместе с большинством психологов определенные элементарные ощущения, а затем изучить объем информации, который каждое из них может дать в свете возможных математических интерпретаций, но делать это — не значит показать, что существо, столь скудно наделенное, когда-либо приобрело бы геометрию рассматриваемого типа или вообще какую-либо геометрию. Выводы такого рода находятся в той же категории, что и выводы о гипотетических детях, которые раньше оправдывали все теории педагога и психолога, или об экономическом человеке, которые, боюсь, до сих пор играют слишком большую роль в мире социальных наук.

VI Математический интеллект

Реальная природа интеллекта, какой она предстает в развитии математики, есть нечто совершенно иное, чем природа сенсорного анализа. Интеллект — это фундаментально навык, и хотя навык может быть приобретен в связи с каким-то видом сенсорного контакта организма и среды, он определяется этим контактом лишь в том смысле, что если бы сенсорные условия были иными, потребности организма могли бы быть иными, и вид и степень навыка, которого он мог бы достичь, были бы иными, чем при первоначально принятых условиях. Всякий раз, когда начала математики появляются у первобытных народов, мы находим стадию развития, которая требует проявления навыка в решении определенных практических ситуаций. Поэтому мы обнаружили еще в начале наших исследований, что невозможно утверждать слабый интеллект из-за ограниченных достижений в счете, точно так же, как было бы абсурдно предполагать слабый интеллект философа из-за его неспособности манипулировать бумерангом. Этот пример лишь предполагает вид навыка, который он никогда не был побужден приобрести.

И все же можно отличить интеллектуальный навык, или, лучше сказать, навыки, от физической или атлетической доблести. Прежде всего, он направлен на формирование и использование концептов, а концепт — это лишь символ, который может быть подставлен вместо опыта. Хорошо построенный концепт — это часть системы концептов, где отношения заняли место реальных связей таким образом, что, забывая об актуальности, можно представить ситуации, которые никогда не происходили или, по крайней мере, не даны непосредственно в то время и в том месте, где происходит представление, и подставить их вместо актуальных ситуаций таким образом, чтобы их можно было целесообразно встретить, если или когда такие ситуации представятся. Изолированный концепт, то есть тот, который не является частью какой-либо системы, — это такая же мифическая сущность, о какой когда-либо мечтал дикарь. Действительно, это добавило бы много ясности нашему мышлению, если бы мы могли ограничить использование «интеллекта» навыком конструирования и использования различных систем концептов и говорить конкретно о математическом интеллекте, философском интеллекте, экономическом интеллекте, историческом интеллекте и тому подобном. Проблема творческого интеллекта — это, в конце концов, проблема приобретения определенных форм навыка, и хотя общие линии одинаковы для всего знания (потому что инструменты везде являются символическими представлениями, или концептами), в каждой области изучаемая ситуация создает разные типы трудностей, которые нужно преодолеть, и предполагает разные методы достижения объекта.

В математике формальный импульс к сведению содержания фундаментальных концептов к минимуму и к подчеркиванию лишь отношений был наиболее успешным. Мы видели его результаты в таких геометриях, как геометрии Гильберта и Пеано, где пустое имя «сущность» вытесняет более конкретную «точку», а «1» арифметики имеет тот же характер. В социальных науках, однако, такие примеры, как «политический» и «экономический» человек, являются явными провалами, в то время как, возможно, «атом» и «электрон» приближаются к идеалу в физике и химии. В математике все дальнейшие концепты могут быть определены коллекциями этих фундаментальных сущностей, конституированных определенными указанными способами. И стоит отметить, что как фактически, так и логически коллекция сущностей, определенных таким образом, не является простым агрегатом, но обладает дифференцированным характером, который, хотя и является результатом ее конституции, не является свойством ни одного из ее элементов. Целое число, таким образом, есть коллекция единиц, но свойства целого числа — это нечто совершенно иное, чем свойства элементов, через которые оно конституировано, точно так же, как атом может состоять из электронов и все же, в валентности, обладать свойством, которое не является прямым аналогом любого свойства, которым обладают электроны, не организованные таким образом.

Естествознание, однако, рассматривает такое построение своих фундаментальных сущностей в новые сущности как процесс, происходящий во времени, а не как следствие изменения формы целого, делающего новые аналитические формы целесообразными. Следовательно, оно указывает на возникновение подлинных новизн в сфере объективной реальности. Математика, с другой стороны, обобщила свои концепты за пределы фактов, подразумеваемых в пространственных и временных наблюдениях, так что, хотя она значима в обеих областях в силу природы своих абстракций, ее новизны — это новизны новых концептуальных формаций, различение ранее не замеченных обобщений отношений, существующих в сфере фактов. Но тот факт, что время таким образом вышло за пределы своего эмпирического значения в математической сфере, не является основанием для предоставления математике возвышенного положения как науки о вечных реальностях, о субсистентных существах или тому подобном. Обобщение концептов для охвата как пространственных, так и временных фактов не создает новых сущностей, для которых должно быть предоставлено место в разделе реальностей. Метафизики не должны быть «нуждающимися точильщиками» М. Анатоля Франса (ср. «Сад Эпикура», гл. «Язык метафизиков»). Тем не менее, успех абстракции для математического интеллекта был огромен.

Никакое значимое мышление не является целиком работой отдельного человека. Идеи — это продукт социального сотрудничества, в котором одни вырвали грубые концепты у природы, другие усовершенствовали их через использование, а третьи построили их в эффективную систему. Первые шаги были, несомненно, предприняты в попытке коммуникации, и прогресс был отчасти прогрессом языка. Исходная природа человека может иметь в качестве своей части те реакции, которые мы называем любопытством, но, как Огюст Конт давно отметил (Леви-Брюль, «А. Конт», с. 67), эти реакции являются одними из самых слабых в нашей природе и без давления практических дел вряд ли могли бы продвинуть расу дальше варварства. Наука была игрушкой грека, утешением Средневековья, и только для современного человека она стала инструментом таким образом, что ознаменовала эпоху в еще только начинающемся открытии разума.

Человек, в конце концов, рационален только потому, что через свою нервную систему он может держать свои непосредственные реакции под контролем и, наконец, реагировать как существо, которое имело опыт и извлекло из него пользу. Концепты — это среда, через которую этот опыт в действительности сохраняется; они выражают не просто записанный факт, но также значимость факта, не просто контакт с миром, но также отношение к будущему. Может быть, простое суждение факта, цитирование сходств и различий, является основой научного знания, но прежде чем знание станет достойным этого имени, эти факты претерпевают идеальную трансформацию, контролируемую потребностями успешного предсказания и мотивируемую тем самосознательным осознанием ценности контроля, которое подняло человека над зверями полевыми.

Сфера математики, которую мы исследовали, — это лишь один аспект роста интеллекта. Но в теории, по крайней мере, она является одной из самых интересных, поскольку в ней достигаются высочайшие абстракции науки, в то время как ее эмпирические начала не утрачены. Но ее процессы и их значимость ни в чем не отличаются по существу от процессов других наук. Она отмечает один путь специализации в открытии разума. И в этих терминах мы можем прочитать всю историю. Цитируя профессора Вудбриджа (Columbia University Quarterly, дек. 1912, с. 10): «Мы можем видеть человека, поднимающегося с земли, пораженного первым смутным намеком на то, что вещи и силы вокруг него конвертируемы и контролируемы. Любопытство возбуждает его, но он подавлен необученным воображением. Вещи, которые пугают его, он пытается напугать в ответ. Вещи, которые благословляют его, он благословляет. Он хотел бы отпугнуть земную тень от луны и принести в жертву самое дорогое благоприятному небу. Это не помогает. Но малые вещи учат его и дисциплинируют его воображение. Он пнул камень, который ушиб его, только чтобы быть ушибленным снова. Поэтому он превращает камень в оружие и начинает покорение мира, напевая песнь триумфа по пути. Такова его история вкратце — ошибка, обращение, завоевание и песня. Эту последовательность он повторит в больших вещах. Он повторит ее еще и будет радоваться там, где сейчас отчаивается, превращая хаос своей социальной, политической, индустриальной и эмоциональной жизни в здоровую силу. Он снова запоет. Но открытие разума приходит первым, а затем — песня».

НАУЧНЫЙ МЕТОД И ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ МЫСЛИТЕЛЬ

ДЖОРДЖ Г. МИД

Ученый в древнем мире находил свой критерий реальности в свидетельстве присутствия сущности объекта. Это свидетельство приходило путем наблюдения, даже к платонику. Платон мог рассматривать это свидетельство как пробуждение воспоминаний об идеальной сущности объекта, увиденной в мире за пределами небес во время предыдущей стадии существования души. На языке «Теэтета» это было согласие флуктуирующего чувственного содержания с мыслительным содержанием, запечатленным в душе или созерцаемым ею. У Аристотеля это снова согласие организованного чувственного опыта с видением, которое разум получает о сущности объекта через перцептивный опыт ряда примеров. То, что дает печать реальности, — это совпадение перцепта с рациональным содержанием, которое должно в каком-то смысле быть в разуме, чтобы обеспечить знание, как оно должно быть в космосе, чтобы обеспечить существование объекта. Отношение этого критерия реальности к аналитическому методу очевидно. Наш перцептивный мир всегда более переполнен и запутан, чем идеальные содержания, которыми должна проверяться реальность его значения. Цель анализа варьируется в зависимости от характера науки. В случае теоретических наук Аристотеля, таких как математика и метафизика, где действуют путем демонстрации из данных существований, анализ изолирует такие элементы, как числа, точки, линии, поверхности и тела, сущности и существенные акциденции. Аристотель подходит к природе, однако, как он подходит к произведениям человеческого искусства. Действительно, он говорит о природе как о творце par excellence. В изучении природы, следовательно, как и в изучении практических и продуктивных искусств, первостепенное значение имеет то, чтобы наблюдатель имел идею — конечную причину — как средство расшифровки природы живых форм. Здесь анализ переходит к изоляции характеров, которые уже присутствуют в формах, чьи функции, как предполагается, известны. По аналогии предполагаются такие идентичности, как идентичность рыбьих плавников с конечностями других позвоночных, и достигаются некоторые весьма поразительные предвосхищения современных биологических концепций и открытий. Аристотель признает, что теория природы формы или сущности должна поддерживаться наблюдением актуального индивида. Чего не хватает, так это какого-либо корпуса наблюдений, который имеет ценность отдельно от какой-либо теории. Он проверяет свою теорию наблюдаемым индивидом, который уже является воплощенной теорией, а не тем, что мы привыкли называть фактами. Он ссылается на других наблюдателей, чтобы не согласиться с ними. Он не представляет их наблюдения отдельно от их теорий как материал, который имеет экзистенциальную ценность, независимую на время от какой-либо гипотезы. И это согласуется с этой позицией, что он никогда не представляет наблюдения других в поддержку своей собственной доктрины. Его анализ в этой области биологического наблюдения не приводит его обратно к тому, что в современной науке является данными, а к общим характерам, которые составляют определение формы. Его индукция включает в себя собирание индивидов, а не данных. Таким образом, анализ в теоретических, естественных, практических и продуктивных науках ведет обратно к универсалиям. Это вполне согласуется с метафизической позицией Аристотеля, что поскольку материя естественных объектов имеет реальность через свою реализацию в форме, все, что появляется без такого значения, может быть объяснено только как выражение сопротивления, которое материя оказывает этой реализации. Это область слепой необходимости, а не конструктивной науки.

Непрерывный прогресс в науке был возможен только тогда, когда анализ объекта познания поставлял не элементы значений, как объекты были осмыслены, а элементы, абстрагированные из этих значений. То есть научный прогресс подразумевает готовность оставаться в условиях толерантного принятия реальности того, что не может быть сформулировано в принятой доктрине времени, но что должно быть сформулировано в форме противоречия с этими принятыми доктринами. Область того, что обычно подразумевается под термином факты или данные, принадлежит полю, лежащему между старой доктриной и новой. Это поле не населено аристотелевским индивидом, ибо индивид — это лишь реализация формы или универсальной сущности. Когда новая теория вытеснила старую, новый индивид появляется на месте своего предшественника, но в период, в течение которого старая теория вытесняется, а новая возникает, сознательно растущая наука оказывается занятой тем, что с одной стороны является обломками старого, а с другой — строительным материалом нового. Очевидно, это должно находить свое непосредственное raison d'être в чем-то ином, чем значение, которое ушло, или значение, которое еще не здесь. Это правда, что даже самые скудные факты не лишены значения, хотя значение, которое они имели в прошлом, утрачено. Значение, однако, которое все еще принадлежит им, признанно неадекватно, иначе не было бы научной проблемы, которую нужно решить. Таким образом, когда старые теории распространения инфекционных заболеваний утратили свою силу из-за случаев, когда эти объяснения не могли быть применены, диагнозы и отчеты, которые все еще могли быть даны о случаях болезни, сами по себе не были объяснением распространения инфекции. Факты распространения инфекции не могли быть подведены ни под доктрину заражения, которая была разрушена фактическими событиями, ни под доктрину теории микробов болезни, которая еще не родилась. Логическую важность зависимости этих фактов от наблюдения, а следовательно, от индивидуального опыта ученого, я буду иметь случай обсудить позже; то, на что я ссылаюсь здесь, это то, что сознательный рост науки сопровождается появлением этого рода материала.

Было две области древней науки, математика и астрономия, в которых был достигнут весьма значительный прогресс, факт, который, по-видимому, поэтому представляет исключение из только что сделанного утверждения. Теория роста математики — это спорная территория, но независимо от того, происходят ли математические открытия и изобретения шагами, которые можно идентифицировать с теми, что отмечают прогресс в экспериментальных науках, или нет, индивидуальные процессы, в которых возникли открытия и изобретения, почти неизменно теряются из виду в демонстрации, которая представляет результаты. Было бы неправильно утверждать, что в развитии математики не возникло никаких новых данных, перед лицом таких инноваций, как отрицательное число, иррациональное, мнимое, бесконечно малое или трансфинитное число, и все же инновации предстают как переформулирование математических теорий, а не как новые факты. Конечно, верно, что эти достижения зависели от проблем, подобных тем, которые в исследованиях Кеплера и Галилея привели к ранним концепциям процедуры бесконечно малых, и от таких начинаний, как привлечение объединенных теорий геометрии и алгебры к опыту непрерывного изменения. В течение столетия после формулировки метода бесконечно малых люди были заняты переносом нового инструмента анализа в каждую область, где его использование обещало прогресс. Концепции метода были некритичными. Его приложения были центром внимания. Следующее столетие предприняло попытку навести порядок в концепциях, последовательность в доктрине и строгость в рассуждениях. Доминирующей тенденцией этого движения была логическая, а не методологическая. Развитие шло в интересах оснований математики, а не в использовании математики как метода для решения научных проблем. Конечно, это никоим образом не мешало свободе применения математической техники к проблемам физической науки. Напротив, именно из-за богатства и разнообразия содержаний, которые использование математических методов в физических науках привнесло в доктрину, эта логическая чистка стала необходимой в математике. Движение было не только логическим в отличие от методологического, но и логическим в отличие от метафизического. Оно отказалось от евклидова пространства с его аксиомами как метафизической предпосылки, и оно отказалось от аристотелевской субсумптивной логики, для которой определение является необходимой предпосылкой. Оно признает, что не все может быть доказано, но оно не берется утверждать, какими должны быть аксиомы; и оно также признает, что не все может быть определено, и не берется определять, что должно быть определено имплицитно, а что эксплицитно. Его константы — это логические константы, такие как пропозиция, класс и отношение. С ними и им подобными, а также с относительно немногими примитивными идеями, которые представлены символами и используются согласно определенным данным постулатам, становится возможным привести весь корпус математики к единой обработке. Развитие этой чистой математики, которая становится логикой математических наук, стало возможным благодаря такому обобщению теории чисел и теорий элементов пространства и времени, что строгость математических рассуждений обеспечена, в то время как физику предоставлена широчайшая свобода в выборе и конструировании концептов и образов для его гипотез. Единственное принуждение — это логическое принуждение. Метафизическое принуждение исчезло из математики и наук, технику которых она предоставляет.

Именно это принуждение ограничивало древнюю науку. Евклидова геометрия определяла пределы математики. Даже механика культивировалась в значительной степени как геометрическая область. Метафизическая доктрина, согласно которой физические объекты имели свои собственные места и свои собственные движения, определяла пределы, в которых могли осуществляться астрономические спекуляции. В этих пределах греческий математический гений достиг поразительных результатов. Достижения любого периода будут ограничены двумя переменными: типом проблемы, против которой наука формулирует свои методы, и материалами, которые анализ предоставляет в распоряжение ученого при атаке на проблемы. Технические проблемы трисекции угла и удвоения куба — это иллюстрации проблем, которые характеризуют геометрическую доктрину, находившую свою технику. Появляется также метод анализа проблемы на более простые проблемы, допущение истинности заключения, которое должно быть доказано, и процесс аргументации от этого к известной истине. Более фундаментальная проблема, которая появляется сначала как квадратура круга, которая становится проблемой определения отношения круга к его диаметру и развития метода исчерпывания, ведет к сфере, правильным многогранникам, коническим сечениям и началам тригонометрии. Число не было освобождено от отношений геометрических величин, хотя Архимед мог мыслить число большее или меньшее любой назначаемой величины. С методом исчерпывания, с концепциями числа, найденными в трудах Архимеда и других, с началами сферической геометрии и тригонометрии, и с медленным ростом алгебры, находящим свое высшее выражение в той последней вспышке греческого математического творчества, работе Диофанта, присутствовали все концепции, которые были необходимы для атаки на проблемы скоростей и изменяющихся скоростей, и развитие метода анализа, который был революционным инструментом Европы со времен Возрождения. Но проблемы отношения между временем и пространством движения, которое должно меняться просто как движение, без ссылки на сущность объекта в движении, были проблемами, которые не возникали, возможно, не могли возникнуть, чтобы противостоять греческому уму. В любом случае его математика была прочно внедрена в евклидово пространство. Хотя существуют указания на некоторое недоверие, даже в греческие времена, к аксиоме параллельных, предположение, что математическое рассуждение может быть сделано строгим и всеобъемлющим независимо от специфического содержания аксиомы и определения, было невозможным для грека, потому что такое предположение могло быть сделано только при предпосылке теории чисел и алгебры, способных выразить континуум в терминах, которые независимы от чувственной интуиции пространства и времени и от движения, которое происходит внутри пространства и времени. Таким же образом механика возвращалась к фундаментальным обобщениям опыта относительно движений, которые служили аксиомами механики, как небесной, так и земной: допущения естественного движения земных субстанций к их собственным местам по прямым линиям, и небесных тел по кругам и с равномерными скоростями, равновесия, где равные веса действуют на равных расстояниях от точки опоры.