Ясно, что если мы стремимся к формальному рассуждению, мы всегда в конечном итоге придем к таким утверждениям, как выше, в которых не упоминаются никакие реальные вещи или свойства; это произойдет из простого желания не тратить время на доказательство в частном случае того, что можно доказать в общем виде. Было бы нелепо проводить длинный аргумент о Сократе, а затем проводить точно такой же аргумент о Платоне. Если наш аргумент — это (скажем) тот, который справедлив для всех людей, мы докажем его относительно «», с гипотезой «если — человек». С этой гипотезой аргумент сохранит свою гипотетическую значимость, даже когда не является человеком. Но теперь мы обнаружим, что наш аргумент оставался бы значимым, если бы вместо предположения, что — человек, мы предположили бы, что он — обезьяна, гусь или премьер-министр. Поэтому мы не будем тратить время, принимая в качестве посылки « — человек», а возьмем « — », где — любой класс индивидов, или «», где — любая пропозициональная функция некоторого заданного типа. Таким образом, отсутствие всякого упоминания о конкретных вещах или свойствах в логике или чистой математике является необходимым следствием того факта, что это исследование является, как мы говорим, «чисто формальным».
В этот момент мы сталкиваемся с проблемой, которую легче сформулировать, чем решить. Проблема такова: «Каковы составляющие логического суждения?» Я не знаю ответа, но предлагаю объяснить, как возникает эта проблема.
Возьмем (скажем) суждение «Сократ был до Аристотеля». Здесь кажется очевидным, что мы имеем отношение между двумя терминами и что составляющими суждения (как и соответствующего факта) являются просто два термина и отношение, т. е. Сократ, Аристотель и «до». (Я игнорирую тот факт, что Сократ и Аристотель не являются простыми; а также тот факт, что то, что кажется их именами, на самом деле является сокращенными описаниями. Ни один из этих фактов не имеет отношения к данному вопросу.) Мы можем представить общую форму таких суждений как «», которую можно прочитать как « имеет отношение к ». Эта общая форма может встречаться в логических суждениях, но никакой конкретный ее экземпляр не может встретиться. Должны ли мы сделать вывод, что сама общая форма является составляющей таких логических суждений?
Имея суждение, такое как «Сократ до Аристотеля», мы имеем определенные составляющие, а также определенную форму. Но форма сама по себе не является новой составляющей; если бы она была таковой, нам потребовалась бы новая форма, чтобы охватить как ее, так и другие составляющие. Мы можем, по сути, превратить все составляющие суждения в переменные, сохраняя форму неизменной. Это то, что мы делаем, когда используем такую схему, как «», которая обозначает любое из определенного класса суждений, а именно те, которые утверждают отношения между двумя терминами. Мы можем перейти к общим утверждениям, таким как « иногда истинно» — т. е. существуют случаи, когда имеют место двойные отношения. Это утверждение будет принадлежать к логике (или математике) в том смысле, в котором мы используем это слово. Но в этом утверждении мы не упоминаем никаких конкретных вещей или конкретных отношений; никакие конкретные вещи или отношения никогда не могут войти в суждение чистой логики. Нам остаются чистые формы как единственно возможные составляющие логических суждений.
Я не хочу категорически утверждать, что чистые формы — например, форма «» — действительно входят в суждения того типа, который мы рассматриваем. Вопрос об анализе таких суждений сложен, с противоречивыми соображениями с той и другой стороны. Мы не можем сейчас углубляться в этот вопрос, но мы можем принять в качестве первого приближения взгляд, что формы — это то, что входит в логические суждения в качестве их составляющих. И мы можем объяснить (хотя и не формально определить), что мы подразумеваем под «формой» суждения следующим образом:
«Форма» суждения — это то, что в нем остается неизменным, когда каждая составляющая суждения заменяется другой.
Таким образом, «Сократ раньше Аристотеля» имеет ту же форму, что и «Наполеон больше Веллингтона», хотя каждая составляющая этих двух суждений различна.
Мы можем, таким образом, установить в качестве необходимой (хотя и недостаточной) характеристики логических или математических суждений то, что они должны быть такими, которые можно получить из суждения, не содержащего переменных (т. е. таких слов, как «все», «некоторые», «а», «то» и т. д.), путем превращения каждой составляющей в переменную и утверждения, что результат всегда истинен или иногда истинен, или что он всегда истинен в отношении некоторых переменных, что результат иногда истинен в отношении других, или любой вариант этих форм. И другой способ выразить то же самое — сказать, что логика (или математика) занимается только формами и занимается ими только в том смысле, что они всегда или иногда истинны — со всеми перестановками «всегда» и «иногда», которые могут возникнуть.
В каждом языке есть слова, единственная функция которых — указывать на форму. Эти слова, в широком смысле, наиболее распространены в языках с наименьшим количеством флексий. Возьмем «Сократ — человек». Здесь «есть» не является составляющей суждения, а лишь указывает на форму «субъект-предикат». Аналогично в «Сократ раньше Аристотеля» «есть» и «чем» лишь указывают на форму; суждение то же самое, что «Сократ предшествует Аристотелю», в котором эти слова исчезли, а форма указана иначе. Форма, как правило, может быть указана иначе, чем специфическими словами: порядок слов может сделать большую часть того, что требуется. Но этот принцип не следует переоценивать. Например, трудно представить, как мы могли бы удобно выразить молекулярные формы суждений (т. е. то, что мы называем «функциями истинности») без какого-либо слова вообще. Мы видели в главе XIV, что для этой цели достаточно одного слова или символа, а именно слова или символа, выражающего несовместимость. Но даже без одного мы столкнулись бы с трудностями. Однако это не тот момент, который важен для нашей текущей цели. Для нас важно заметить, что форма может быть единственным предметом общего суждения, даже если ни одно слово или символ в этом суждении не обозначает форму. Если мы хотим говорить о самой форме, у нас должно быть слово для нее; но если, как в математике, мы хотим говорить обо всех суждениях, имеющих эту форму, слово для формы обычно оказывается не обязательным; вероятно, в теории оно никогда не является обязательным.
Предполагая — как, я думаю, мы можем, — что формы суждений могут быть представлены формами суждений, в которых они выражены, без какого-либо специального слова для форм, мы пришли бы к языку, в котором все формальное принадлежало бы синтаксису, а не словарю. На таком языке мы могли бы выразить все суждения математики, даже если бы не знали ни одного слова этого языка. Язык математической логики, если бы он был доведен до совершенства, был бы таким языком. У нас были бы символы для переменных, такие как «» и «» и «», расположенные различными способами; и способ расположения указывал бы на то, что нечто утверждается как истинное для всех значений или некоторых значений переменных. Нам не нужно было бы знать никаких слов, потому что они понадобились бы только для придания значений переменным, что является делом прикладного математика, а не чистого математика или логика. Одним из признаков суждения логики является то, что при наличии подходящего языка такое суждение может быть высказано на таком языке человеком, который знает синтаксис, не зная ни одного слова словаря.
Но, в конце концов, существуют слова, выражающие форму, такие как «есть» и «чем». И в каждой символике, изобретенной до сих пор для математической логики, есть символы, имеющие постоянные формальные значения. Мы можем взять в качестве примера символ несовместимости, который используется при построении функций истинности. Такие слова или символы могут встречаться в логике. Вопрос в том: как нам их определить?
Такие слова или символы выражают то, что называется «логическими константами». Логические константы могут быть определены точно так же, как мы определили формы; по сути, они являются тем же самым. Фундаментальной логической константой будет то, что является общим для ряда суждений, любое из которых может быть получено из любого другого путем подстановки терминов друг вместо друга. Например, «Наполеон больше Веллингтона» получается из «Сократ раньше Аристотеля» путем подстановки «Наполеона» вместо «Сократа», «Веллингтона» вместо «Аристотеля» и «больше» вместо «раньше». Некоторые суждения могут быть получены таким образом из прототипа «Сократ раньше Аристотеля», а некоторые — нет; те, которые могут, — это те, которые имеют форму «», т. е. выражают двойные отношения. Мы не можем получить из вышеуказанного прототипа путем пословной подстановки такие суждения, как «Сократ — человек» или «афиняне дали цикуту Сократу», потому что первое имеет форму «субъект-предикат», а второе выражает трехчленное отношение. Если у нас должны быть какие-либо слова в нашем чисто логическом языке, они должны быть такими, которые выражают «логические константы», и «логические константы» всегда будут либо являться, либо быть производными от того, что является общим для группы суждений, выводимых друг из друга вышеуказанным способом путем пословной подстановки. И это общее — то, что мы называем «формой».
В этом смысле все «константы», встречающиеся в чистой математике, являются логическими константами. Число 1, например, производно от суждений формы: «Существует такой термин, что истинно тогда и только тогда, когда — это ». Это функция от , и различные суждения возникают в результате придания различных значений . Мы можем (с небольшим пропуском промежуточных шагов, не относящихся к нашей текущей цели) принять вышеуказанную функцию от за то, что подразумевается под «класс, определенный является единичным классом» или «класс, определенный является элементом 1» (1 — это класс классов). Таким образом, суждения, в которых встречается 1, приобретают значение, которое выводится из определенной постоянной логической формы. И то же самое обнаружится для всех математических констант: все они являются логическими константами или символическими сокращениями, полное использование которых в надлежащем контексте определяется с помощью логических констант.
Но хотя все логические (или математические) суждения могут быть выражены полностью в терминах логических констант вместе с переменными, это не означает, что, наоборот, все суждения, которые могут быть выражены таким образом, являются логическими. Мы нашли пока необходимый, но не достаточный критерий математических суждений. Мы достаточно определили характер примитивных идей, в терминах которых могут быть определены все идеи математики, но не примитивных суждений, из которых могут быть выведены все суждения математики. Это более сложный вопрос, относительно которого пока не известно, каков полный ответ.
Мы можем взять аксиому бесконечности в качестве примера суждения, которое, хотя и может быть сформулировано в логических терминах, не может быть утверждено логикой как истинное. Все суждения логики обладают характеристикой, которую раньше выражали, говоря, что они аналитичны или что их противоречия самопротиворечивы. Этот способ изложения, однако, не является удовлетворительным. Закон противоречия — лишь одно из логических суждений; он не имеет особого превосходства; и доказательство того, что противоречие некоторого суждения является самопротиворечивым, вероятно, потребует других принципов дедукции, помимо закона противоречия. Тем не менее, характеристика логических суждений, которую мы ищем, — это та, которую чувствовали и которую намеревались определить те, кто говорил, что она заключается в выводимости из закона противоречия. Эта характеристика, которую на данный момент мы можем назвать тавтологией, очевидно, не принадлежит утверждению, что число индивидов во вселенной равно , каким бы ни было число . Если бы не разнообразие типов, можно было бы логически доказать, что существуют классы из терминов, где — любое конечное целое число; или даже что существуют классы из терминов. Но из-за типов такие доказательства, как мы видели в главе XIII, являются ошибочными. Нам остается эмпирическое наблюдение, чтобы определить, есть ли в мире целых индивидов. Среди «возможных» миров, в лейбницевском смысле, будут миры, имеющие один, два, три... индивида. Кажется, нет даже никакой логической необходимости, почему должен существовать хотя бы один индивид — почему, собственно, вообще должен существовать какой-либо мир. Онтологическое доказательство существования Бога, если бы оно было значимым, установило бы логическую необходимость по крайней мере одного индивида. Но оно общепризнанно как недействительное и, по сути, основывается на ошибочном взгляде на существование — т. е. оно не осознает, что существование может быть утверждено только о чем-то описанном, а не о чем-то названном, так что бессмысленно аргументировать от «это есть такой-то» и «такой-то существует» к «это существует». Если мы отвергнем онтологический аргумент, мы, по-видимому, вынуждены сделать вывод, что существование мира — это случайность, т. е. оно не является логически необходимым. Если это так, никакой принцип логики не может утверждать «существование», кроме как при наличии гипотезы, т. е. ни один из них не может иметь форму «пропозициональная функция такая-то иногда истинна». Суждения этой формы, когда они встречаются в логике, должны будут встречаться как гипотезы или следствия гипотез, а не как полные утвержденные суждения. Полные утвержденные суждения логики будут все такими, которые утверждают, что некоторая пропозициональная функция всегда истинна. Например, всегда истинно, что если подразумевает и подразумевает , то подразумевает , или что, если все — это , и — это , то — это . Такие суждения могут встречаться в логике, и их истинность не зависит от существования вселенной. Мы можем установить, что если бы вселенной не существовало, все общие суждения были бы истинными; ибо противоречие общего суждения (как мы видели в главе XV) — это суждение, утверждающее существование, и поэтому оно всегда было бы ложным, если бы вселенная не существовала.
[43] Примитивные суждения в Principia Mathematica таковы, что позволяют сделать вывод, что существует по крайней мере один индивид. Но теперь я рассматриваю это как дефект логической чистоты.
Логические суждения — это такие, которые могут быть познаны a priori, без изучения реального мира. Мы знаем только из изучения эмпирических фактов, что Сократ — человек, но мы знаем правильность силлогизма в его абстрактной форме (т. е. когда он сформулирован в терминах переменных) без необходимости обращаться к опыту. Это характеристика не логических суждений самих по себе, а того, как мы их познаем. Однако это имеет отношение к вопросу о том, какова может быть их природа, поскольку существуют некоторые виды суждений, которые, как можно было бы предположить, было бы очень трудно познать без опыта.
Ясно, что определение «логики» или «математики» должно быть найдено путем попытки дать новое определение старому понятию «аналитических» суждений. Хотя мы больше не можем довольствоваться определением логических суждений как тех, которые следуют из закона противоречия, мы можем и должны по-прежнему признавать, что они представляют собой совершенно иной класс суждений, чем те, которые мы познаем эмпирически. Все они обладают характеристикой, которую мы минуту назад согласились назвать «тавтологией». Это, в сочетании с тем фактом, что они могут быть выражены полностью в терминах переменных и логических констант (логическая константа — это то, что остается постоянным в суждении, даже когда все его составляющие изменены), даст определение логики или чистой математики. На данный момент я не знаю, как определить «тавтологию». [44] Было бы легко предложить определение, которое могло бы показаться удовлетворительным на некоторое время; но я не знаю ни одного, которое я счел бы удовлетворительным, несмотря на то, что чувствую себя полностью знакомым с характеристикой, для которой требуется определение. Поэтому в этой точке, на данный момент, мы достигаем рубежа познания в нашем обратном пути к логическим основаниям математики.
[44] На важность «тавтологии» для определения математики мне указал мой бывший ученик Людвиг Витгенштейн, который работал над этой проблемой. Я не знаю, решил ли он ее, или даже жив он или мертв.
Мы подошли к концу нашего несколько краткого введения в математическую философию. Невозможно адекватно передать идеи, которые затрагиваются в этом предмете, пока мы воздерживаемся от использования логических символов. Поскольку обычный язык не имеет слов, которые естественно выражали бы именно то, что мы хотим выразить, необходимо, пока мы придерживаемся обычного языка, придавать словам необычные значения; и читатель обязательно, через некоторое время, если не сразу, начнет приписывать словам обычные значения, тем самым приходя к неверным представлениям о том, что предполагалось сказать. Более того, обычная грамматика и синтаксис необычайно вводят в заблуждение. Это имеет место, например, в отношении чисел; «десять человек» грамматически имеет ту же форму, что и «белые люди», так что можно подумать, что 10 — это прилагательное, определяющее «людей». Это имеет место, опять же, везде, где задействованы пропозициональные функции, и, в частности, в отношении существования и описаний. Поскольку язык вводит в заблуждение, а также потому, что он расплывчат и неточен при применении к логике (для которой он никогда не предназначался), логическая символика абсолютно необходима для любого точного или тщательного рассмотрения нашего предмета. Поэтому те читатели, которые желают овладеть принципами математики, будем надеяться, не будут уклоняться от труда освоения символов — труда, который, на самом деле, гораздо меньше, чем можно было бы подумать. Как должно было стать очевидным из вышеприведенного беглого обзора, в этом предмете существует бесчисленное множество нерешенных проблем, и предстоит проделать большую работу. Если эта маленькая книга приведет какого-либо студента к серьезному изучению математической логики, она послужит главной цели, ради которой была написана.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Агрегаты, 12; Алефы, 83, 92, 97, 125; Алиорелятивы, 32; Все, 158 сл.; Анализ, 4; Предки, 25, 33; Аргумент функции, 47, 108; Арифметизация математики, 4; Ассоциативный закон, 58, 94; Аксиомы, 1; Между, 38 сл., 58; Больцано, 138 прим.; Ботинки и носки, 126; Граница, 70, 98, 99; Кантор, Георг, 77, 79, 85 прим., 86, 89, 95, 102, 136; Классы, 12, 137, 181 сл.; рефлексивные, 80, 127, 138; сходные, 15, 16; Клиффорд, У. К., 76; Коллекции, бесконечные, 13; Коммутативный закон, 58, 94; Конъюнкция, 147; Последовательность, 37, 38, 81; Константы, 202; Конструкция, метод, 73; Непрерывность, 86, 97 сл.; канторовская, 102 сл.; дедекиндовская, 101 сл.; в философии, 105; функций, 106 сл.; Противоречия, 135 сл.; Сходимость, 115; Конверс, 16, 32, 49; Корреляторы, 54; Объективные аналоги, 61; Счет, 14, 16; Дедекинд, 69, 99, 138 прим.; Дедукция, 144 сл.; Определение, 3; экстенсиональное и интенсиональное, 12; Описания, 139, 144; Описания, 167; Измерения, 29; Дизъюнкция, 147; Дистрибутивный закон, 58, 94; Различие, 87; Область, 16, 32, 49; Эквивалентность, 183; Евклид, 67; Существование, 164, 171, 177; Возведение в степень, 94, 120; Расширение отношения, 60; Фикции, логические, 14 прим., 45, 137; Поле отношения, 32, 53; Конечное, 27; Поток, 105; Форма, 198; Дроби, 37, 64; Фреге, 7, 10, 25 прим., 77, 95, 146 прим.; Функции, 46; дескриптивные, 46, 180; интенсиональные и экстенсиональные, 186; предикативные, 189; пропозициональные, 46, 144; пропозициональные, 155; Пробел, дедекиндовский, 70 сл., 99; Обобщение, 156; Геометрия, 29, 59, 67, 74, 100, 145; аналитическая, 4, 86; Большее и меньшее, 65, 90; Гегель, 107; Наследственные свойства, 21; Импликация, 146, 153; формальная, 163; Несовместимость, 147 сл., 200; Неполные символы, 182; Неразличимые, 192; Индивиды, 132, 141, 173; Индукция, математическая, 20 сл., 87, 93, 185; Индуктивные свойства, 21; Вывод, 148; Бесконечное, 28; рациональных чисел, 65; канторовское, 65; кардинальных чисел, 77 сл.; и ряды и ординалы, 89 сл.; Бесконечность, аксиома, 66 прим., 77, 131 сл., 202; Экземпляры, 156; Целые числа, положительные и отрицательные, 64; Интервалы, 115; Интуиция, 145; Иррациональные числа, 66, 72; Кант, 145; Лейбниц, 80, 107, 192; Льюис, К. И., 153, 154; Сходство, 52; Предел, 29, 69 сл., 97 сл.; функций, 106 сл.; Предельные точки, 99; Логика, 159, 65, 194 сл.; математическая, v, 201, 206; Логизация математики, 7; Отображения, 52, 60 сл., 80; Математика, 194 сл.; Максимум, 70, 98; Медианный класс, 104; Мейнонг, 169; Метод, vi; Минимум, 70, 98; Модальность, 165; Умножение, 118 сл.; Мультипликативная аксиома, 92, 117 сл.; Имена, 173, 182; Необходимость, 165; Окрестность, 109; Нико, 148, 149, 151; Нуль-класс, 23, 132; Число, кардинальное, 10 сл., 56, 77 сл., 95; комплексное, 74 сл.; конечное, 20 сл.; индуктивное, 27, 78, 131; бесконечное, 77 сл.; иррациональное, 66, 72; максимум?, 135; умножаемое, 130; натуральное, 2 сл., 22; неиндуктивное, 88, 127; вещественное, 66, 72, 84; рефлексивное, 80, 127; отношение, 56, 94; сериальное, 57; Оккам, 184; Вхождения, первичные и вторичные, 179; Онтологическое доказательство, 203; Порядок, 29 сл.; циклический, 40; Осцилляция, предельная, 111; Парменид, 138; Партикулярии, 140 сл., 173; Пеано, 5 сл., 23, 24, 78, 81, 131, 163; Пирс, 32 прим.; Перестановки, 50; Философия, математическая, v, 1; Платон, 138; Множественность, 10; Пуанкаре, 27; Точки, 59; Потомство, 22 сл., 32; собственное, 36; Постулаты, 71, 73; Предшественник, 98; Посылки арифметики, 5; Примитивные идеи и суждения, 5, 202; Прогрессии, 8, 81 сл.; Суждения, 155; аналитические, 204; элементарные, 161; Пифагор, 4, 67; Количество, 97, 195; Отношения, 64, 71, 84, 133; Сводимость, аксиома, 191; Референт, 48; Числа отношений, 56 сл.; Отношения, асимметричные, 31, 42; связные, 32; многие-к-одному, 15; один-ко-многим, 15, 45; один-к-одному, 15, 47, 79; рефлексивные, 16; сериальные, 34; сходные, 52; квадраты, 32; симметричные, 16, 44; транзитивные, 16, 32; Релатум, 48; Представители, 120; Строгость, 144; Ройс, 80; Сечение, дедекиндовское, 69 сл.; предельное, 111; Сегменты, 72, 98; Выборы, 117; Последующий, 98; Ряды, 29 сл.; замкнутые, 103; компактные, 66, 93, 100; сгущенные в себе, 102; дедекиндовские, 71, 73, 101; порождение, 41; бесконечные, 89; совершенные, 102, 103; вполне упорядоченные, 92, 123; Шеффер, 148; Сходство, классов, 15 сл.; отношений, 83; отношений, 52; Некоторые, 158 сл.; Пространство, 61, 86, 140; Структура, 60 сл.; Подклассы, 84 сл.; Субъекты, 142; Вычитание, 87; Преемник числа, 23, 35; Силлогизм, 197; Тавтология, 203, 205; То, 167, 172 сл.; Время, 61, 86, 140; Функция истинности, 147; Значение истинности, 146; Типы, логические, 53, 135 сл., 185, 188; Нереальность, 168; Значение функции, 47, 108; Переменные, 10, 161, 199; Веблен, 58; Глаголы, 141; Вейерштрасс, 97, 107; Уэллс, Г. У., 114; Уайтхед, 64, 76, 107, 119; Витгенштейн, 205 прим.; Цермело, 123, 129; Ноль, 65
ОТПЕЧАТАНО В ВЕЛИКОБРИТАНИИ КОМПАНИЕЙ NEILL AND CO., LTD., ЭДИНБУРГ.
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
Незначительные типографские исправления и изменения в оформлении были внесены без комментариев.
Эта электронная книга была создана с использованием текста OCR, любезно предоставленного Университетом Торонто через Интернет-архив.
Introduction to Mathematical Philosophy | Project Gutenberg