Бертран Рассел

«Наше знание внешнего мира как область для научного метода в философии»

Страница 4 из 8 · 56 086 зн. · 64 мин. чтения

ЛЕКЦИЯ IV МИР ФИЗИКИ И МИР ЧУВСТВ

ЛЕКЦИЯ IV МИР ФИЗИКИ И МИР ЧУВСТВ

Среди возражений против реальности объектов чувств есть одно, которое вытекает из кажущегося различия между материей, как она представляется в физике, и вещами, как они представляются в ощущении. Ученые, по большей части, готовы осудить непосредственные данные как «чисто субъективные», в то же время поддерживая истинность физики, выведенной из этих данных. Но такое отношение, хотя оно и может быть способно к оправданию, очевидно, нуждается в нем; и единственное возможное оправдание должно быть таким, которое представляет материю как логическую конструкцию из чувственных данных — если, конечно, не существует какого-то полностью априорного принципа, с помощью которого неизвестные сущности могли бы быть выведены из известных. Поэтому необходимо найти какой-то способ наведения моста между миром физики и миром чувств, и именно эта проблема займет нас в настоящей лекции. Физики, по-видимому, не осознают этой пропасти, в то время как психологи, которые осознают ее, не обладают математическими знаниями, необходимыми для ее преодоления. Проблема трудна, и я не знаю ее решения в деталях. Все, на что я могу надеяться, — это сделать проблему ощутимой и указать на род методов, с помощью которых следует искать решение.

Начнем с краткого описания двух контрастирующих миров. Мы возьмем сначала мир физики, ибо, хотя другой мир дан, в то время как физический мир выведен, для нас сейчас мир физики более привычен, а мир чистых чувств стал странным и трудным для повторного открытия. Физика началась с веры здравого смысла в довольно постоянные и довольно жесткие тела — столы и стулья, камни, горы, землю, луну и солнце. Эта вера здравого смысла, следует заметить, является актом дерзкого метафизического теоретизирования; объекты не присутствуют постоянно в ощущении, и можно сомневаться, существуют ли они там, когда их не видят или не осязают. Эта проблема, которая стала острой со времен Беркли, игнорируется здравым смыслом и поэтому до сих пор игнорировалась физиками. Мы имеем здесь первый отход от непосредственных данных ощущения, хотя это отход лишь путем расширения, и, вероятно, был сделан нашими дикими предками в какую-то очень отдаленную доисторическую эпоху.

Но столы и стулья, камни и горы не совсем постоянны или совсем жесткие. Столы и стулья теряют свои ножки, камни раскалываются морозом, а горы расщепляются землетрясениями и извержениями. Затем есть другие вещи, которые кажутся материальными, и все же не проявляют почти никакой постоянности или жесткости. Дыхание, дым, облака — примеры таких вещей; в меньшей степени это лед и снег; а реки и моря, хотя и довольно постоянны, ни в какой степени не являются жесткими. Дыхание, дым, облака и вообще вещи, которые можно видеть, но нельзя осязать, считались едва ли реальными; по сей день обычным признаком призрака является то, что его можно видеть, но нельзя осязать. Такие объекты были своеобразны тем фактом, что они, казалось, исчезали полностью, а не просто превращались во что-то другое. Лед и снег, когда они исчезают, заменяются водой; и не потребовалось больших теоретических усилий, чтобы изобрести гипотезу о том, что вода — это та же вещь, что лед и снег, но в новой форме. Твердые тела, когда они ломаются, распадаются на части, которые практически такие же по форме и размеру, как были раньше. Камень можно разбить в порошок, но порошок состоит из зерен, которые сохраняют характер, который они имели до дробления. Таким образом, идеал абсолютно жестких и абсолютно постоянных тел, который ранние физики преследовали во всех меняющихся явлениях, казался достижимым путем предположения, что обычные тела состоят из огромного числа крошечных атомов. Этот бильярдный взгляд на материю доминировал в воображении физиков до совсем недавних времен, до тех пор, по сути, пока он не был заменен электромагнитной теорией, которая в свою очередь развивается в новый атомизм. Помимо особой формы атомной теории, которая была изобретена для нужд химии, некий вид атомизма доминировал во всей традиционной динамике и подразумевался в каждом утверждении ее законов и аксиом.

Живописные описания, которые физики дают материальному миру, как они его представляют, претерпевают бурные изменения под влиянием модификаций в теории, которые гораздо слабее, чем мог бы предположить обыватель по изменениям в описании. Некоторые черты, однако, остались довольно стабильными. Всегда предполагается, что существует нечто неразрушимое, способное к движению в пространстве; то, что неразрушимо, всегда очень мало, но не всегда занимает лишь точку в пространстве. Предполагается, что существует одно всеобъемлющее пространство, в котором происходит движение, и до недавнего времени мы могли бы предположить также одно всеобъемлющее время. Но принцип относительности придал значимость концепции «местного времени» и несколько уменьшил уверенность людей в одном равномерно текущем потоке времени. Не догматизируя относительно окончательного исхода принципа относительности, однако, мы можем, я думаю, с уверенностью сказать, что он не уничтожает возможность корреляции различных местных времен и поэтому не имеет таких далеко идущих философских последствий, как иногда предполагается. На самом деле, несмотря на трудности с измерением, одно всеобъемлющее время все еще, я думаю, лежит в основе всего, что физика может сказать о движении. Таким образом, мы все еще имеем в физике, как и во времена Ньютона, набор неразрушимых сущностей, которые можно назвать частицами, движущимися относительно друг друга в едином пространстве и едином времени.

Мир непосредственных данных совершенно отличен от этого. Ничто не постоянно; даже вещи, которые мы считаем довольно постоянными, такие как горы, становятся данными только тогда, когда мы видим их, и не даны непосредственно как существующие в другие моменты. Далеко не то, что дано одно всеобъемлющее пространство, существует несколько пространств для каждого человека, в соответствии с различными чувствами, которые дают отношения, которые можно назвать пространственными. Опыт учит нас получать одно пространство из них путем корреляции, и опыт, вместе с инстинктивным теоретизированием, учит нас соотносить наши пространства с теми, которые, как мы верим, существуют в чувственных мирах других людей. Построение единого времени предлагает меньше трудностей, пока мы ограничиваемся частным миром одного человека, но корреляция одного частного времени с другим является делом большой трудности. Таким образом, помимо любых флуктуирующих гипотез физики, возникают три основные проблемы при соединении мира физики с миром чувств, а именно (1) построение постоянных «вещей», (2) построение единого пространства и (3) построение единого времени. Мы рассмотрим эти три проблемы последовательно.

(1) Вера в неразрушимые «вещи» очень рано приняла форму атомизма. Лежащим в основе атомизма мотивом был, я думаю, не какой-либо эмпирический успех в интерпретации явлений, а скорее инстинктивная вера в то, что под всеми изменениями чувственного мира должно быть нечто постоянное и неизменное. Эта вера, несомненно, поощрялась и питалась своими практическими успехами, кульминацией которых стало сохранение массы; но она не была порождена этими успехами. Напротив, они были порождены ею. Философские авторы по физике иногда говорят так, как будто сохранение чего-либо является существенным для возможности науки, но это, я полагаю, совершенно ошибочное мнение. Если бы априорная вера в постоянство не существовала, те же законы, которые сейчас сформулированы в терминах этой веры, могли бы точно так же быть сформулированы без нее. Почему мы должны предполагать, что, когда лед тает, вода, которая заменяет его, является той же вещью в новой форме? Лишь потому, что это предположение позволяет нам изложить явления способом, который согласуется с нашими предрассудками. Что мы действительно знаем, так это то, что при определенных условиях температуры явление, которое мы называем льдом, заменяется явлением, которое мы называем водой. Мы можем дать законы, согласно которым одно явление будет сменяться другим, но нет никакой причины, кроме предрассудка, рассматривать оба как явления одной и той же субстанции.

Одна задача, если сказанное только что верно, которая стоит перед нами при попытке соединить мир чувств с миром физики, — это задача реконструкции концепции материи без априорных верований, которые исторически породили ее. Несмотря на революционные результаты современной физики, эмпирические успехи концепции материи показывают, что должна существовать некоторая законная концепция, которая выполняет примерно те же функции. Время еще едва ли пришло, когда мы можем точно сформулировать, что это за законная концепция, но мы можем видеть в общем виде, какой она должна быть. Для этой цели необходимо только взять наши обычные утверждения здравого смысла и переформулировать их без предположения о постоянной субстанции. Мы говорим, например, что вещи меняются постепенно — иногда очень быстро, но не без прохождения через непрерывный ряд промежуточных состояний. Что это означает, так это то, что, учитывая любое чувственное явление, обычно будет, если мы наблюдаем, непрерывный ряд явлений, связанных с данным, ведущий через незаметные градации к новым явлениям, которые здравый смысл рассматривает как явления той же вещи. Таким образом, вещь может быть определена как определенный ряд явлений, связанных друг с другом непрерывностью и определенными каузальными законами. В случае медленно меняющихся вещей это легко увидеть. Рассмотрим, скажем, обои, которые выцветают в течение лет. Это усилие — не мыслить их как одну «вещь», чей цвет немного отличается в одно время от того, что он есть в другое. Но что мы действительно знаем об этом? Мы знаем, что при подходящих обстоятельствах — то есть когда мы, как говорится, «в комнате» — мы воспринимаем определенные цвета в определенном узоре: не всегда точно те же цвета, но достаточно похожие, чтобы чувствовать себя знакомыми. Если мы можем сформулировать законы, согласно которым цвет варьируется, мы можем сформулировать все, что эмпирически верифицируемо; предположение, что существует постоянная сущность, обои, которая «имеет» эти различные цвета в различное время, является актом необоснованной метафизики. Мы можем, если хотим, определить обои как ряд их аспектов. Они собраны вместе теми же мотивами, которые заставили нас рассматривать обои как одну вещь, а именно комбинацией чувственной непрерывности и каузальной связи. Более широко, «вещь» будет определена как определенный ряд аспектов, а именно тех, которые обычно назывались бы аспектами вещи. Сказать, что определенный аспект является аспектом определенной вещи, будет просто означать, что он является одним из тех, которые, взятые серийно, являются вещью. Все тогда будет продолжаться как прежде: все, что было верифицируемо, неизменно, но наш язык интерпретируется так, чтобы избежать ненужного метафизического предположения о постоянстве.

Вышеупомянутое исключение постоянных вещей дает пример максимы, которая вдохновляет все научное философствование, а именно «бритвы Оккама»: сущности не должны умножаться без необходимости. Другими словами, имея дело с любым предметом, выясните, какие сущности несомненно вовлечены, и сформулируйте все в терминах этих сущностей. Очень часто результирующее утверждение более сложное и трудное, чем то, которое, подобно здравому смыслу и большей части философии, предполагает гипотетические сущности, в существование которых нет веской причины верить. Нам легче вообразить обои с меняющимися цветами, чем думать просто о ряде цветов; но ошибка — предполагать, что то, что легко и естественно в мышлении, является тем, что наиболее свободно от неоправданных предположений, как случай с «вещами» очень метко иллюстрирует.

Вышеприведенный краткий отчет о генезисе «вещей», хотя он может быть верным в общих чертах, опустил некоторые серьезные трудности, которые необходимо кратко рассмотреть. Начиная с мира беспорядочных чувственных данных, мы хотим собрать их в ряды, каждый из которых может рассматриваться как состоящий из последовательных явлений одной «вещи». Существует, для начала, некоторый конфликт между тем, что здравый смысл рассматривает как одну вещь, и тем, что физика рассматривает как неизменную коллекцию частиц. Для здравого смысла человеческое тело — это одна вещь, но для науки материя, составляющая его, постоянно меняется. Этот конфликт, однако, не очень серьезен и может, для нашей грубой предварительной цели, быть в значительной степени проигнорирован. Проблема: по каким принципам мы будем выбирать определенные данные из хаоса и называть их все явлениями одной и той же вещи?

Грубый и приблизительный ответ на этот вопрос не очень труден. Существуют определенные довольно стабильные коллекции явлений, такие как пейзажи, мебель в комнатах, лица знакомых. В этих случаях мы мало колеблемся, рассматривая их в последовательных случаях как явления одной вещи или коллекции вещей. Но, как иллюстрирует «Комедия ошибок», мы можем быть введены в заблуждение, если судим по простому сходству. Это показывает, что вовлечено нечто большее, ибо две разные вещи могут иметь любую степень сходства вплоть до точного подобия.

Другим недостаточным критерием одной вещи является непрерывность. Как мы уже видели, если мы наблюдаем то, что мы рассматриваем как одну меняющуюся вещь, мы обычно находим ее изменения непрерывными, насколько наши чувства могут воспринимать. Мы таким образом ведомы к предположению, что, если мы видим два конечно различных явления в два разных времени, и если у нас есть причина рассматривать их как принадлежащие к одной и той же вещи, то был непрерывный ряд промежуточных состояний этой вещи в течение времени, когда мы не наблюдали ее. И так приходит мысль, что непрерывность изменения необходима и достаточна, чтобы составить одну вещь. Но на самом деле это ни то, ни другое. Это не необходимо, потому что ненаблюдаемые состояния, в случае, когда наше внимание не было сосредоточено на вещи на всем протяжении, являются чисто гипотетическими и не могут быть нашим основанием для предположения, что более ранние и более поздние явления принадлежат к одной и той же вещи; напротив, именно потому, что мы предполагаем это, мы допускаем промежуточные ненаблюдаемые состояния. Непрерывность также не достаточна, поскольку мы можем, например, пройти через чувственно непрерывные градации от любой одной капли моря к любой другой капле. Максимум, что мы можем сказать, — это то, что прерывность во время непрерывного наблюдения, как правило, является признаком различия между вещами, хотя даже это нельзя сказать в таких случаях, как внезапные взрывы.

Предположение о непрерывности, однако, успешно делается в физике. Это доказывает что-то, хотя и не что-то очень очевидной полезности для нашей настоящей проблемы: это доказывает, что ничто в известном мире не противоречит гипотезе, что все изменения действительно непрерывны, хотя из-за слишком большой быстроты или из-за нашего недостатка наблюдения они не всегда могут казаться непрерывными. В этом гипотетическом смысле непрерывность может быть допущена как необходимое условие, если два явления должны быть классифицированы как явления одной и той же вещи. Но это не достаточное условие, как видно из примера капель в море. Таким образом, нечто большее должно быть найдено, прежде чем мы сможем дать даже самое грубое определение «вещи».

Что требуется далее, по-видимому, является чем-то в природе выполнения каузальных законов. Это утверждение, как оно стоит, очень расплывчато, но мы постараемся придать ему точность. Когда я говорю о «каузальных законах», я имею в виду любые законы, которые соединяют события в разное время, или даже, как предельный случай, события в одно и то же время, при условии, что связь не является логически доказуемой. В этом очень общем смысле законы динамики являются каузальными законами, и таковы же законы, соотносящие одновременные явления одной «вещи» к разным чувствам. Вопрос: как такие законы помогают в определении «вещи»?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны рассмотреть, что именно доказывается эмпирическим успехом физики. Доказывается то, что ее гипотезы, хотя и неверифицируемы там, где они выходят за пределы чувственных данных, ни в одной точке не находятся в противоречии с чувственными данными, но, напротив, идеально таковы, чтобы сделать все чувственные данные вычислимыми из достаточной коллекции данных, принадлежащих данному периоду времени. Теперь физика нашла эмпирически возможным собрать чувственные данные в ряды, каждый ряд рассматривается как принадлежащий к одной «вещи» и ведущий себя, в отношении законов физики, способом, которым ряды, не принадлежащие к одной вещи, в общем не вели бы себя. Если должно быть однозначно, принадлежат ли два явления к одной и той же вещи или нет, должен быть только один способ группировки явлений так, чтобы результирующие вещи подчинялись законам физики. Было бы очень трудно доказать, что это так, но для наших настоящих целей мы можем позволить этому пункту пройти и предположить, что есть только один способ. Мы должны включить в наше определение «вещи» те из ее аспектов, если таковые имеются, которые не наблюдаются. Таким образом, мы можем положить следующее определение: Вещи — это те ряды аспектов, которые подчиняются законам физики. Что такие ряды существуют, является эмпирическим фактом, который составляет верифицируемость физики.

Может быть еще возражено, что «материя» физики — это нечто иное, чем ряды чувственных данных. Чувственные данные, может быть сказано, принадлежат психологии и являются, во всяком случае в некотором смысле, субъективными, тогда как физика совершенно независима от психологических соображений и не предполагает, что ее материя существует только тогда, когда она воспринимается.

На это возражение есть два ответа, оба некоторой важности.

(a) Мы рассматривали в вышеприведенном отчете вопрос о верифицируемости физики. Теперь верифицируемость отнюдь не то же самое, что истина; это, по сути, нечто гораздо более субъективное и психологическое. Для того чтобы пропозиция была верифицируемой, недостаточно, чтобы она была истинной, но она должна также быть такой, чтобы мы могли обнаружить, что она истинна. Таким образом, верифицируемость зависит от нашей способности приобретать знание, а не только от объективной истины. В физике, как она обычно излагается, есть много того, что неверифицируемо: есть гипотезы относительно (α) того, как вещи выглядели бы для зрителя в месте, где, как случается, нет зрителя; (β) того, как вещи выглядели бы в моменты, когда, на самом деле, они не появляются никому; (γ) вещей, которые никогда не появляются вообще. Все они введены для упрощения формулировки каузальных законов, но ни одна из них не составляет неотъемлемой части того, что известно как истинное в физике. Это приводит нас к нашему второму ответу.

(b) Если физика должна состоять полностью из пропозиций, известных как истинные, или по крайней мере способных быть доказанными или опровергнутыми, три вида гипотетических сущностей, которые мы только что перечислили, должны все быть способны быть выставлены как логические функции чувственных данных. Чтобы показать, как это могло бы быть сделано, давайте вспомним гипотетическую лейбницевскую вселенную Лекции III. В этой вселенной мы имели ряд перспектив, две из которых никогда не имели никакой сущности в общем, но часто содержали сущности, которые могли быть достаточно соотнесены, чтобы рассматриваться как принадлежащие к одной и той же вещи. Мы будем называть один из этих «актуальным» частным миром, когда есть актуальный зритель, которому он является, и «идеальным», когда он просто сконструирован на принципах непрерывности. Физическая вещь состоит, в каждый момент, из целого набора ее аспектов в этот момент, во всех разных мирах; таким образом, мгновенное состояние вещи — это целый набор аспектов. «Идеальное» явление будет аспектом, просто вычисленным, но не актуально воспринятым никаким зрителем. «Идеальное» состояние вещи будет состоянием в момент, когда все ее явления идеальны. Идеальная вещь будет той, чьи состояния во все времена идеальны. Идеальные явления, состояния и вещи, поскольку они вычислены, должны быть функциями актуальных явлений, состояний и вещей; на самом деле, в конечном счете, они должны быть функциями актуальных явлений. Таким образом, нет необходимости, для формулировки законов физики, приписывать какую-либо реальность идеальным элементам: достаточно принять их как логические конструкции, при условии, что у нас есть средства знать, как определить, когда они становятся актуальными. Это, на самом деле, у нас есть с некоторой степенью приближения; звездное небо, например, становится актуальным всякий раз, когда мы решаем посмотреть на него. Нам открыто верить, что идеальные элементы существуют, и не может быть причины для неверия в это; но если только в силу какого-то априорного закона мы не можем знать это, ибо эмпирическое знание ограничено тем, что мы актуально наблюдаем.

(2) Три основные концепции физики — это пространство, время и материя. Некоторые из проблем, поднятых концепцией материи, были указаны в вышеприведенном обсуждении «вещей». Но пространство и время также поднимают трудные проблемы того же рода, а именно трудности в сведении беспорядочного неопрятного мира непосредственного ощущения к гладкому упорядоченному миру геометрии и кинематики. Давайте начнем с рассмотрения пространства.

Люди, которые никогда не читали никакой психологии, редко осознают, сколько умственного труда ушло на построение одного всеобъемлющего пространства, в которое предполагается, что вписываются все чувственные объекты. Кант, который был необычайно невежественен в психологии, описал пространство как «бесконечное данное целое», тогда как мгновенное психологическое размышление показывает, что пространство, которое бесконечно, не дано, в то время как пространство, которое можно назвать данным, не бесконечно. Какова природа «данного» пространства на самом деле, — это трудный вопрос, по которому психологи отнюдь не согласны. Но некоторые общие замечания могут быть сделаны, которые будут достаточны, чтобы показать проблемы, не принимая сторон ни в каком психологическом вопросе, все еще находящемся в дебатах.

Прежде всего следует заметить, что разные органы чувств имеют разные пространства. Пространство зрения существенно отличается от пространства осязания: лишь благодаря опыту в младенчестве мы учимся соотносить их. В более зрелом возрасте, когда мы видим объект в пределах досягаемости, мы знаем, как до него дотронуться и примерно то, каким он будет на ощупь; если мы касаемся объекта с закрытыми глазами, мы знаем, где нам следует искать его взглядом и примерно то, как он будет выглядеть. Однако это знание выводится из раннего опыта установления корреляции между определенными видами осязательных ощущений и определенными видами зрительных ощущений. Единое пространство, в которое вписываются оба вида ощущений, является интеллектуальной конструкцией, а не данностью. Помимо осязания и зрения существуют и другие виды ощущений, которые дают другие, хотя и менее важные пространства: их также необходимо вписать в единое пространство посредством эмпирически установленных корреляций. И как в случае с вещами, так и здесь: единое всеобъемлющее пространство, хотя и удобно как способ выражения, не обязательно должно существовать на самом деле. Все, что делает достоверным опыт, — это несколько пространств различных чувств, соотнесенных посредством эмпирически открытых законов. Единое пространство может оказаться обоснованным как логическая конструкция, составленная из нескольких пространств, но нет веских оснований предполагать его независимую метафизическую реальность.

Другое различие между пространствами непосредственного опыта и пространством геометрии и физики касается точек. Пространство геометрии и физики состоит из бесконечного числа точек, но никто никогда не видел и не осязал точку. Если в чувственном пространстве и существуют точки, то они должны быть результатом вывода. Трудно увидеть какой-либо способ, которым их, как независимые сущности, можно было бы обоснованно вывести из данных; поэтому и здесь нам придется, если возможно, найти некоторую логическую конструкцию, некое сложное собрание непосредственно данных объектов, которое обладало бы геометрическими свойствами, требуемыми от точек. Принято считать точки простыми и бесконечно малыми, но геометрия никоим образом не требует, чтобы мы мыслили их именно так. Все, что необходимо для геометрии, — это чтобы они имели взаимные отношения, обладающие определенными перечисленными абстрактными свойствами, и вполне может быть, что совокупность данных ощущения послужит этой цели. Как именно это должно быть сделано, я пока не знаю, но кажется вполне определенным, что это возможно.

Следующий иллюстративный метод, упрощенный для удобства манипулирования, был изобретен доктором Уайтхедом с целью показать, как точки могут быть сконструированы из чувственных данных. Прежде всего мы должны заметить, что не существует бесконечно малых чувственных данных: любая поверхность, которую мы можем видеть, например, должна иметь некоторую конечную протяженность. Но то, что поначалу представляется как единое неделимое целое, под влиянием внимания часто обнаруживает способность распадаться на части, содержащиеся внутри целого. Таким образом, один пространственный объект может содержаться внутри другого и быть полностью им охваченным. Это отношение охвата, с помощью некоторых весьма естественных гипотез, позволит нам определить «точку» как определенный класс пространственных объектов, а именно как все те (как в конечном итоге выяснится), о которых естественным образом можно было бы сказать, что они содержат эту точку. Чтобы получить определение «точки» таким образом, мы действуем следующим образом:

Данное множество объемов или поверхностей в общем случае не будет сходиться в одну точку. Но если они становятся все меньше и меньше, при этом из любых двух объектов множества всегда найдется один, который охватывает другой, то мы начинаем получать условия, которые позволили бы нам рассматривать их как имеющие точку в качестве своего предела. Гипотезы, требуемые для отношения охвата, таковы: (1) оно должно быть транзитивным; (2) для двух различных пространственных объектов невозможно, чтобы каждый охватывал другой, но единичный пространственный объект всегда охватывает сам себя; (3) любое множество пространственных объектов, такое, что существует по крайней мере один пространственный объект, охваченный ими всеми, имеет нижний предел или минимум, т. е. объект, охваченный всеми ими и охватывающий все объекты, которые охвачены всеми ими; (4) чтобы избежать тривиальных исключений, мы должны добавить, что должны существовать примеры охвата, т. е. действительно должны существовать объекты, из которых один охватывает другой. Когда отношение охвата обладает этими свойствами, мы будем называть его «производителем точек». При заданном отношении охвата мы будем называть множество объектов «охватывающим рядом», если из любых двух объектов один содержится в другом. Нам требуется условие, которое обеспечило бы сходимость охватывающего ряда к точке, и оно достигается следующим образом: пусть наш охватывающий ряд будет таким, что при любом другом охватывающем ряде, члены которого охвачены в любом произвольно выбранном члене нашего первого ряда, существуют члены нашего первого ряда, охваченные в любом произвольно выбранном члене нашего второго ряда. В этом случае наш первый охватывающий ряд можно назвать «пунктуальным охватывающим рядом». Тогда «точка» — это все объекты, которые охватывают члены данного пунктуального охватывающего ряда. Чтобы обеспечить бесконечную делимость, нам требуется добавить еще одно свойство к тем, что определяют производителей точек, а именно: любой объект, который охватывает сам себя, также охватывает объект, отличный от него самого. «Точки», порожденные производителями точек с этим свойством, окажутся такими, как того требует геометрия.

(3) Вопрос о времени, пока мы ограничиваемся одним частным миром, является несколько менее сложным, чем вопрос о пространстве, и мы можем довольно ясно видеть, как с ним можно было бы справиться с помощью таких методов, которые мы рассматривали. События, которые мы осознаем, длятся не просто математическое мгновение, а всегда некоторое конечное время, как бы мало оно ни было. Даже если существует физический мир, подобный тому, который предполагает математическая теория движения, впечатления на наши органы чувств производят ощущения, которые не являются просто и строго мгновенными, и поэтому объекты чувств, которые мы непосредственно осознаем, не являются строго мгновенными. Мгновения, следовательно, не входят в число данных опыта и, если они правомерны, должны быть либо выведены, либо сконструированы. Трудно увидеть, как они могут быть обоснованно выведены; таким образом, мы остаемся с альтернативой, что они должны быть сконструированы. Как это сделать?

Непосредственный опыт предоставляет нам два временных отношения между событиями: они могут быть одновременными, или одно может быть раньше, а другое позже. Оба они являются частью исходных данных; дело не в том, что даны только события, а их временной порядок добавляется нашей субъективной активностью. Временной порядок, в определенных пределах, дан в той же мере, что и события. В любой приключенческой истории вы найдете такие отрывки: «С циничной улыбкой он направил револьвер в грудь бесстрашного юноши. “На слове три я выстрелю”, — сказал он. Слова “один” и “два” уже были произнесены с хладнокровной и размеренной отчетливостью. Слово “три” уже формировалось на его губах. В этот момент ослепительная вспышка молнии разорвала воздух». Здесь мы имеем одновременность — не обусловленную, как хотел бы нас убедить Кант, субъективным ментальным аппаратом бесстрашного юноши, а данную столь же объективно, как револьвер и молния. И в непосредственном опыте в равной степени дано, что слова «один» и «два» предшествуют вспышке. Эти временные отношения имеют место между событиями, которые не являются строго мгновенными. Таким образом, одно событие может начаться раньше другого и, следовательно, быть до него, но может продолжаться после того, как другое началось, и, следовательно, быть также одновременным с ним. Если оно сохраняется после того, как другое закончилось, оно также будет позже другого. «Раньше», «одновременно» и «позже» не противоречат друг другу, когда мы имеем дело с событиями, которые длятся конечное время, как бы мало оно ни было; они становятся противоречивыми только тогда, когда мы имеем дело с чем-то мгновенным.

Следует заметить, что мы не можем дать то, что можно назвать абсолютными датами, а только даты, определенные событиями. Мы не можем указать на само время, а только на какое-то событие, происходящее в это время. Поэтому в опыте нет оснований предполагать, что существуют времена в противоположность событиям: события, упорядоченные отношениями одновременности и последовательности, — это все, что предоставляет опыт. Следовательно, если мы не хотим вводить излишние метафизические сущности, мы должны при определении того, что математическая физика может считать мгновением, действовать посредством некоторой конструкции, которая не предполагает ничего, кроме событий и их временных отношений.

Если мы хотим точно назначить дату с помощью событий, как нам следует поступить? Если мы возьмем любое одно событие, мы не сможем назначить нашу дату точно, потому что событие не является мгновенным, то есть оно может быть одновременным с двумя событиями, которые не являются одновременными друг с другом. Чтобы точно назначить дату, мы должны быть в состоянии теоретически определить, является ли любое данное событие до, в момент или после этой даты, и мы должны знать, что любая другая дата является либо до, либо после этой даты, но не одновременна с ней. Предположим теперь, вместо того чтобы брать одно событие A, мы берем два события A и B, и предположим, что A и B частично перекрываются, но B заканчивается раньше, чем A. Тогда событие, которое является одновременным и с A, и с B, должно существовать в течение времени, когда A и B перекрываются; таким образом, мы подошли несколько ближе к точной дате, чем когда рассматривали A и B по отдельности. Пусть C — событие, которое является одновременным и с A, и с B, но которое заканчивается раньше, чем закончилось A или B. Тогда событие, которое является одновременным с A, B и C, должно существовать в течение времени, когда все три перекрываются, что является еще более коротким временем. Действуя таким образом, беря все больше и больше событий, новое событие, которое датируется как одновременное со всеми ними, постепенно становится все более и более точно датированным. Это подсказывает путь, с помощью которого можно определить полностью точную дату.

Возьмем группу событий, любые два из которых перекрываются, так что существует некоторое время, как бы мало оно ни было, когда они все существуют. Если есть какое-либо другое событие, которое является одновременным со всеми ними, давайте добавим его к группе; будем продолжать до тех пор, пока не сконструируем группу такую, что никакое событие вне группы не является одновременным со всеми ними, но все события внутри группы являются одновременными друг с другом. Давайте определим эту целую группу как мгновение времени. Остается показать, что она обладает свойствами, которых мы ожидаем от мгновения.

Каковы свойства, которых мы ожидаем от мгновений? Во-первых, они должны образовывать ряд: из любых двух одно должно быть раньше другого, а другое не должно быть раньше первого; если одно раньше другого, а другое раньше третьего, первое должно быть раньше третьего. Во-вторых, каждое событие должно быть в определенном числе мгновений; два события одновременны, если они в одном и том же мгновении, и одно раньше другого, если есть мгновение, в котором находится одно, которое раньше некоторого мгновения, в котором находится другое. В-третьих, если мы предположим, что всегда происходит какое-то изменение где-то в течение времени, когда любое данное событие сохраняется, ряд мгновений должен быть компактным, т. е. при любых двух мгновениях должны быть другие мгновения между ними. Обладают ли мгновения, как мы их определили, этими свойствами?

Мы будем говорить, что событие «в» мгновении, когда оно является членом группы, которой образовано мгновение; и мы будем говорить, что одно мгновение раньше другого, если группа, являющаяся одним мгновением, содержит событие, которое раньше, но не одновременно с некоторым событием в группе, являющейся другим мгновением. Когда одно событие раньше, но не одновременно с другим, мы будем говорить, что оно «полностью предшествует» другому. Теперь мы знаем, что из двух событий, которые не являются одновременными, должно быть одно, которое полностью предшествует другому, и в этом случае другое не может также полностью предшествовать первому; мы также знаем, что если одно событие полностью предшествует другому, а другое полностью предшествует третьему, то первое полностью предшествует третьему. Из этих фактов легко вывести, что мгновения, как мы их определили, образуют ряд.

Далее нам нужно показать, что каждое событие «в» по крайней мере одном мгновении, т. е. что при любом событии существует по крайней мере один класс, подобный тем, что мы использовали при определении мгновений, членом которого оно является. Для этой цели рассмотрим все события, которые одновременны с данным событием и не начинаются позже, т. е. не являются полностью после чего-либо одновременного с ним. Мы будем называть их «начальными современниками» данного события. Окажется, что этот класс событий является первым мгновением, в котором существует данное событие, при условии, что каждое событие, полностью после некоторого современника данного события, является полностью после некоторого начального современника его.

Наконец, ряд мгновений будет компактным, если при любых двух событиях, из которых одно полностью предшествует другому, существуют события, полностью после одного и одновременные с чем-то полностью до другого. Является ли это так или нет — эмпирический вопрос; но если нет, то нет причин ожидать, что временной ряд будет компактным. [17]

Таким образом, наше определение мгновений обеспечивает все, что требует математика, без необходимости предполагать существование каких-либо спорных метафизических сущностей.

Мгновения также могут быть определены с помощью отношения охвата, точно так же, как это было сделано в случае с точками. Один объект будет временно охвачен другим, когда он одновременен с другим, но не до или после него. Все, что охватывает временно или охвачено временно, мы будем называть «событием». Чтобы отношение временного охвата было «производителем точек», нам требуется (1) чтобы оно было транзитивным, т. е. если одно событие охватывает другое, а другое — третье, то первое охватывает третье; (2) чтобы каждое событие охватывало само себя, но если одно событие охватывает другое отличное событие, то другое не охватывает первое; (3) чтобы при любом множестве событий, таком, что существует по крайней мере одно событие, охваченное ими всеми, существовало событие, охватывающее все, что они все охватывают, и само охваченное всеми ими; (4) чтобы существовало по крайней мере одно событие. Чтобы обеспечить бесконечную делимость, нам требуется также, чтобы каждое событие охватывало события, отличные от него самого. Предполагая эти характеристики, временной охват является бесконечно делимым производителем точек. Теперь мы можем сформировать «охватывающий ряд» событий, выбрав группу событий такую, что из любых двух одно охватывает другое; это будет «пунктуальный охватывающий ряд», если при любом другом охватывающем ряде, таком, что каждый член нашего первого ряда охватывает некоторый член нашего второго, каждый член нашего второго ряда охватывает некоторый член нашего первого. Тогда «мгновение» — это класс всех событий, которые охватывают члены данного пунктуального охватывающего ряда.

Корреляция времен различных частных миров с целью создания единого всеобъемлющего времени физики — более сложный вопрос. Мы видели в Лекции III, что различные частные миры часто содержат коррелированные явления, которые здравый смысл рассматривал бы как явления одной и той же «вещи». Когда два явления в разных мирах коррелированы таким образом, что принадлежат одному мгновенному «состоянию» вещи, было бы естественно рассматривать их как одновременные и тем самым предоставляющие простой способ корреляции различных частных времен. Но это можно рассматривать лишь как первое приближение. То, что мы называем одним звуком, будет услышано людьми вблизи источника звука раньше, чем людьми, находящимися дальше от него, и то же самое применимо, хотя и в меньшей степени, к свету. Таким образом, два коррелированных явления в разных мирах не обязательно должны рассматриваться как происходящие в одну и ту же дату в физическом времени, хотя они будут частями одного мгновенного состояния вещи. Корреляция различных частных времен регулируется желанием обеспечить максимально простое изложение законов физики и поэтому поднимает довольно сложные технические проблемы; но с точки зрения философской теории здесь не возникает очень серьезных трудностей принципиального характера.

Приведенный выше краткий очерк не следует рассматривать как нечто большее, чем предварительный и наводящий на размышления. Он предназначен лишь для того, чтобы показать, каким образом, имея мир с теми свойствами, которые психологи находят в мире чувств, можно, посредством чисто логических конструкций, сделать его доступным для математической обработки путем определения рядов или классов чувственных данных, которые можно назвать соответственно частицами, точками и мгновениями. Если такие конструкции возможны, то математическая физика применима к реальному миру, несмотря на тот факт, что ее частицы, точки и мгновения не могут быть найдены среди фактически существующих сущностей.

Проблема, которую призваны прояснить вышеприведенные соображения, — это проблема, важность и даже существование которой были скрыты прискорбным разделением различных дисциплин, преобладающим во всем цивилизованном мире. Физики, невежественные и пренебрежительные к философии, довольствовались тем, что принимали свои частицы, точки и мгновения на практике, признавая при этом с ироничной вежливостью, что их концепции не претендуют на метафизическую обоснованность. Метафизики, одержимые идеалистическим мнением, что реален только разум, и парменидовским убеждением, что реальное неизменно, повторяли одно за другим предполагаемые противоречия в понятиях материи, пространства и времени и поэтому, естественно, не предпринимали попыток изобрести состоятельную теорию частиц, точек и мгновений. Психологи, проделавшие неоценимую работу по выявлению хаотической природы сырых материалов, поставляемых необработанным ощущением, были невежественны в математике и современной логике и поэтому довольствовались тем, что говорили, что материя, пространство и время — это «интеллектуальные конструкции», не делая никаких попыток показать в деталях, как интеллект может конструировать их или что обеспечивает практическую обоснованность, которую физика показывает им обладать. Философы, как следует надеяться, придут к признанию того, что они не могут достичь какого-либо прочного успеха в таких проблемах без некоторых небольших знаний в логике, математике и физике; тем временем, из-за нехватки студентов с необходимым оснащением, эта жизненно важная проблема остается нетронутой и неизвестной.

Существуют, правда, два автора, оба физики, которые сделали кое-что, хотя и немного, для того, чтобы привести к признанию проблемы как требующей изучения. Эти два автора — Пуанкаре и Мах, Пуанкаре особенно в своей «Науке и гипотезе», Мах особенно в своем «Анализе ощущений». Оба они, однако, сколь бы восхитительна ни была их работа, страдают, как мне кажется, от общего философского предубеждения. Пуанкаре — кантианец, в то время как Мах — ультраэмпирик; у Пуанкаре почти вся математическая часть физики является лишь конвенциональной, в то время как у Маха ощущение как ментальное событие отождествляется с его объектом как частью физического мира. Тем не менее, оба эти автора, и особенно Мах, заслуживают упоминания как внесшие серьезный вклад в рассмотрение нашей проблемы.

Когда точка или мгновение определяется как класс чувственных качеств, первое впечатление, которое это производит, вероятно, будет впечатлением дикого и своевольного парадокса. Здесь, однако, применимы определенные соображения, которые снова будут уместны, когда мы перейдем к определению чисел. Существует целый тип проблем, которые могут быть решены с помощью таких определений, и почти всегда поначалу будет возникать эффект парадокса. При заданном множестве объектов, любые два из которых имеют отношение того рода, который называется «симметричным и транзитивным», почти наверняка мы придем к тому, чтобы рассматривать их как обладающие некоторым общим качеством или как все имеющие одно и то же отношение к некоторому одному объекту вне множества. Этот род случая важен, и поэтому я попытаюсь прояснить его, даже ценой некоторого повторения предыдущих определений.

Отношение называется «симметричным», когда, если один член имеет это отношение к другому, то другой также имеет его к первому. Таким образом, «брат или сестра» — это «симметричное» отношение: если один человек является братом или сестрой другого, то другой является братом или сестрой первого. Одновременность, опять же, является симметричным отношением; так же как и равенство в размере. Отношение называется «транзитивным», когда, если один член имеет это отношение к другому, а другой к третьему, то один имеет его к третьему. Симметричные отношения, упомянутые только что, также являются транзитивными — при условии, что в случае «брата или сестры» мы позволяем человеку считаться своим собственным братом или сестрой, и при условии, что в случае одновременности мы имеем в виду полную одновременность, т. е. начало и окончание вместе.

Но многие отношения являются транзитивными, не будучи симметричными — например, такие отношения, как «больше», «раньше», «справа от», «предок», фактически все такие отношения, которые порождают ряды. Другие отношения являются симметричными, не будучи транзитивными — например, различие в любом отношении. Если A отличается по возрасту от B, а B отличается по возрасту от C, из этого не следует, что A отличается по возрасту от C. Одновременность, опять же, в случае событий, которые длятся конечное время, не обязательно будет транзитивной, если она означает лишь то, что времена двух событий перекрываются. Если A заканчивается сразу после того, как B началось, а B заканчивается сразу после того, как C началось, A и B будут одновременными в этом смысле, так же как B и C, но A и C вполне могут не быть одновременными.

Все отношения, которые естественным образом могут быть представлены как равенство в любом отношении или как обладание общим свойством, являются транзитивными и симметричными — это применимо, например, к таким отношениям, как быть одного роста, веса или цвета. Благодаря тому факту, что обладание общим свойством порождает транзитивное симметричное отношение, мы начинаем воображать, что везде, где встречается такое отношение, оно должно быть обусловлено общим свойством. «Быть одинаково многочисленными» — это транзитивное симметричное отношение двух совокупностей; следовательно, мы воображаем, что обе имеют общее свойство, называемое их числом. «Существование в данное мгновение» (в том смысле, в котором мы определили мгновение) — это транзитивное симметричное отношение; следовательно, мы приходим к мысли, что действительно существует мгновение, которое придает общее свойство всем вещам, существующим в это мгновение. «Быть состояниями данной вещи» — это транзитивное симметричное отношение; следовательно, мы начинаем воображать, что действительно существует вещь, отличная от ряда состояний, которая объясняет транзитивное симметричное отношение. Во всех таких случаях класс членов, которые имеют данное транзитивное симметричное отношение к данному члену, будет выполнять все формальные требования общего свойства всех членов класса. Поскольку класс определенно существует, в то время как любое другое общее свойство может быть иллюзорным, благоразумно, чтобы избежать ненужных предположений, заменить общее свойство, которое обычно предполагалось бы, классом. Это причина определений, которые мы приняли, и это источник кажущихся парадоксов. Никакого вреда не будет, если существуют такие общие свойства, как предполагает язык, поскольку мы не отрицаем их, а лишь воздерживаемся от их утверждения. Но если таких общих свойств в любом данном случае нет, то наш метод обезопасил нас от ошибки. В отсутствие специальных знаний, следовательно, метод, который мы приняли, — единственный, который является безопасным и который избегает риска введения фиктивных метафизических сущностей.

ЛЕКЦИЯ V ТЕОРИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ

ЛЕКЦИЯ V ТЕОРИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Теория непрерывности, которой мы будем заниматься в настоящей лекции, является, в большинстве своих уточнений и разработок, чисто математическим предметом — очень красивым, очень важным и очень восхитительным, но, строго говоря, не являющимся частью философии. Только логическое основание теории принадлежит философии, и только оно займет нас сегодня вечером. То, как проблема непрерывности входит в философию, в общих чертах следующее: пространство и время рассматриваются математиками как состоящие из точек и мгновений, но они также обладают свойством, которое легче почувствовать, чем определить, которое называется непрерывностью и которое, по мнению многих философов, разрушается, когда они разрешаются в точки и мгновения. Зенон, как мы увидим, доказал, что анализ на точки и мгновения невозможен, если мы придерживаемся взгляда, что число точек или мгновений в конечном пространстве или времени должно быть конечным. Поздние философы, полагая бесконечное число самопротиворечивым, нашли здесь антиномию: пространства и времена не могли состоять из конечного числа точек и мгновений по таким причинам, как у Зенона; они не могли состоять из бесконечного числа точек и мгновений, потому что бесконечные числа считались самопротиворечивыми. Поэтому пространства и времена, если они вообще реальны, не должны рассматриваться как состоящие из точек и мгновений.

Но даже когда точки и мгновения, как независимые сущности, отбрасываются, как это было в теории, отстаиваемой в нашей последней лекции, проблемы непрерывности, как я попытаюсь показать сейчас, остаются в практически неизменном виде. Давайте поэтому, для начала, допустим точки и мгновения и рассмотрим проблемы в связи с этой более простой или, по крайней мере, более знакомой гипотезой.

Аргумент против непрерывности, поскольку он опирается на предполагаемые трудности бесконечных чисел, был устранен позитивной теорией бесконечного, которая будет рассмотрена в Лекции VII. Но остается чувство — того рода, которое привело Зенона к утверждению, что летящая стрела находится в покое, — которое предполагает, что точки и мгновения, даже если они бесконечно многочисленны, могут дать только прерывистое движение, последовательность различных неподвижностей, а не плавные переходы, с которыми нас познакомили чувства. Это чувство обусловлено, я полагаю, неспособностью осознать воображением, так же как и абстрактно, природу непрерывных рядов, какими они предстают в математике. Когда теория была постигнута логически, часто требуется еще долгий и серьезный труд, чтобы почувствовать ее: необходимо остановиться на ней, вытеснить из ума, одну за другой, вводящие в заблуждение предположения ложных, но более знакомых теорий, приобрести тот вид близости, который в случае иностранного языка позволил бы нам думать и мечтать на нем, а не просто конструировать трудоемкие предложения с помощью грамматики и словаря. Я полагаю, именно отсутствие этого вида близости заставляет многих философов рассматривать математическую доктрину непрерывности как неадекватное объяснение непрерывности, которую мы испытываем в мире чувств.

В настоящей лекции я сначала попытаюсь объяснить в общих чертах, что представляет собой математическая теория непрерывности в ее философски важных сущностях. Применение к актуальному пространству и времени для начала не будет рассматриваться. Я не вижу причин предполагать, что точки и мгновения, которые математики вводят при работе с пространством и временем, являются актуально физически существующими сущностями, но я вижу причины предполагать, что непрерывность актуального пространства и времени может быть более или менее аналогична математической непрерывности. Теория математической непрерывности — это абстрактная логическая теория, не зависящая в своей обоснованности от каких-либо свойств актуального пространства и времени. Что утверждается для нее, так это то, что, когда она понята, определенные характеристики пространства и времени, ранее очень трудные для анализа, оказываются не представляющими никакой логической трудности. То, что мы знаем эмпирически о пространстве и времени, недостаточно, чтобы позволить нам сделать выбор между различными математически возможными альтернативами, но эти альтернативы все полностью понятны и полностью адекватны наблюдаемым фактам. На данный момент, однако, будет хорошо забыть о пространстве и времени и непрерывности чувственного изменения, чтобы вернуться к этим темам, оснащенными оружием, предоставленным абстрактной теорией непрерывности.

Непрерывность в математике — это свойство, возможное только для ряда членов, т. е. для членов, расположенных в порядке, так что мы можем сказать о любых двух, что один идет раньше другого. Числа в порядке величины, точки на линии слева направо, моменты времени от более раннего к более позднему — это примеры рядов. Понятие порядка, которое здесь вводится, не требуется в теории кардинального числа. Можно знать, что два класса имеют одинаковое число членов, не зная никакого порядка, в котором они должны быть взяты. Мы имеем пример этого в таком случае, как английские мужья и английские жены: мы можем видеть, что должно быть одинаковое число мужей и жен, не имея необходимости располагать их в ряд. Но непрерывность, которую мы теперь должны рассмотреть, является по существу свойством порядка: она не принадлежит множеству членов самих по себе, а только множеству в определенном порядке. Множество членов, которые могут быть расположены в одном порядке, всегда могут быть расположены и в других порядках, а множество членов, которые могут быть расположены в непрерывном порядке, всегда могут быть расположены и в порядках, которые не являются непрерывными. Таким образом, сущность непрерывности должна искаться не в природе множества членов, а в природе их расположения в ряду.

Математики различают разные степени непрерывности и ограничили слово «непрерывный» для технических целей рядами, имеющими определенную высокую степень непрерывности. Но для философских целей все, что важно в непрерывности, вводится низшей степенью непрерывности, которая называется «компактностью». Ряд называется «компактным», когда никакие два члена не являются последовательными, но между любыми двумя есть другие. Одним из простейших примеров компактного ряда является ряд дробей в порядке величины. При любых двух дробях, как бы близко они ни были, есть другие дроби, большие, чем одна, и меньшие, чем другая, и поэтому никакие две дроби не являются последовательными. Нет дроби, например, которая идет следующей после 1/2: если мы выберем некоторую дробь, которая очень мало больше 1/2, скажем 51/100, мы можем найти другие, такие как 101/200, которые ближе к 1/2. Таким образом, между любыми двумя дробями, как бы мало они ни различались, есть бесконечное число других дробей. Математическое пространство и время также имеют это свойство компактности, хотя является ли актуальное пространство и время таковыми — это дальнейший вопрос, зависящий от эмпирических свидетельств и, вероятно, неспособный быть отвеченным с уверенностью.

В случае абстрактных объектов, таких как дроби, возможно, не очень трудно осознать логическую возможность того, что они образуют компактный ряд. Трудности, которые могут ощущаться, — это трудности бесконечности, ибо в компактном ряду число членов между любыми двумя данными членами должно быть бесконечным. Но когда эти трудности решены, сама компактность не представляет большого препятствия для воображения. В более конкретных случаях, однако, таких как движение, компактность становится гораздо более противной нашим привычкам мышления. Поэтому будет желательно рассмотреть в явном виде математическое описание движения с целью сделать его логическую возможность ощутимой. Математическое описание движения, возможно, искусственно упрощено, когда рассматривается как описывающее то, что фактически происходит в физическом мире; но то, что фактически происходит, должно быть способно, при некотором количестве логических манипуляций, быть приведено в рамки математического описания и должно, в своем анализе, поднимать именно такие проблемы, какие поднимаются в их простейшей форме этим описанием. Пренебрегая, поэтому, на данный момент вопросом о его физической адекватности, давайте посвятим себя просто рассмотрению его возможности как формального изложения природы движения.

Чтобы упростить нашу проблему как можно больше, давайте представим крошечное пятнышко света, движущееся вдоль шкалы. Что мы имеем в виду, говоря, что движение непрерывно? Для наших целей нет необходимости рассматривать все, что математик имеет в виду под этим утверждением: только часть того, что он имеет в виду, философски важна. Одна часть того, что он имеет в виду, заключается в том, что если мы рассмотрим любые две позиции пятнышка, занимаемые в любые два мгновения, будут другие промежуточные позиции, занимаемые в промежуточные мгновения. Как бы близко мы ни брали две позиции, пятнышко не прыгнет внезапно от одной к другой, а пройдет через бесконечное число других позиций на пути. Каждое расстояние, как бы мало оно ни было, проходится путем прохождения через все бесконечные ряды позиций между двумя концами расстояния.

Обложка выбранной аудиокниги Выберите главу Плеер готов к воспроизведению
0:00 0:00

Громкость