Затем Фреге задает вопрос: когда две совокупности имеют одинаковое число членов? В обычной жизни мы решаем этот вопрос путем счета; но счет, как мы видели, невозможен в случае бесконечных совокупностей и не является логически фундаментальным для конечных совокупностей. Поэтому нам нужен другой метод ответа на наш вопрос. Иллюстрация может помочь прояснить этот метод. Я не знаю, сколько женатых мужчин в Англии, но я знаю, что это число совпадает с числом замужних женщин. Причина, по которой я это знаю, заключается в том, что отношение мужа и жены связывает одного мужчину с одной женщиной и одну женщину с одним мужчиной. Отношение такого рода называется взаимно-однозначным отношением. Отношение отца к сыну называется отношением «один ко многим», потому что у человека может быть только один отец, но может быть много сыновей; наоборот, отношение сына к отцу называется отношением «многие к одному». Но отношение мужа к жене (в христианских странах) называется взаимно-однозначным, потому что мужчина не может иметь более одной жены, а женщина — более одного мужа. Теперь, всякий раз, когда существует взаимно-однозначное отношение между всеми членами одной совокупности и всеми членами другой по отдельности, как в случае с английскими мужьями и английскими женами, число членов в одной совокупности равно числу в другой; но когда такого отношения нет, число различно. Это и есть ответ на вопрос: когда две совокупности имеют одинаковое число членов?
Мы можем теперь наконец ответить на вопрос: что подразумевается под числом членов в данной совокупности? Когда существует взаимно-однозначное отношение между всеми членами одной совокупности и всеми членами другой по отдельности, мы будем говорить, что эти две совокупности «подобны». Мы только что видели, что две подобные совокупности имеют одинаковое число членов. Это приводит нас к определению числа данной совокупности как класса всех совокупностей, которые подобны ей; то есть мы устанавливаем следующее формальное определение:
«Число членов в данном классе» определяется как означающее «класс всех классов, которые подобны данному классу».
Это определение, как показал Фреге (выражая его в несколько иных терминах), дает обычные арифметические свойства чисел. Оно в равной степени применимо к конечным и бесконечным числам и не требует допущения какого-то нового и таинственного набора метафизических сущностей. Оно показывает, что числа могут быть утверждены не о физических объектах, а о классах или общих терминах, которыми они определяются; и оно применимо к 0 и 1 без каких-либо трудностей, которые другие теории находят при рассмотрении этих двух частных случаев.
Вышеприведенное определение наверняка вызовет на первый взгляд чувство странности, которое может привести к некоторому неудовлетворению. Оно определяет число 2, например, как класс всех пар, а число 3 — как класс всех троек. Это не кажется тем, что мы до сих пор подразумевали, когда говорили о 2 и 3, хотя было бы трудно сказать, что именно мы подразумевали. Ответ на чувство не может быть логическим аргументом, но тем не менее ответ в данном случае не лишен важности. Во-первых, обнаружится, что когда идея, ставшая привычной как неанализируемое целое, впервые точно разлагается на свои составные части — что мы и делаем, когда определяем ее, — почти всегда возникает чувство непривычности, порождаемое анализом, которое имеет тенденцию вызывать протест против определения. Во-вторых, можно признать, что определение, как и все определения, в определенной степени произвольно. В случае малых конечных чисел, таких как 2 и 3, можно было бы составить определения, более соответствующие нашему неанализируемому чувству того, что мы подразумеваем; но метод таких определений лишился бы единообразия и рано или поздно потерпел бы неудачу — самое позднее, когда мы дошли бы до бесконечных чисел.
В-третьих, реальное требование к такому определению, как определение числа, состоит не в том, чтобы оно как можно ближе представляло идеи тех, кто не прошел анализ, необходимый для достижения определения, а в том, чтобы оно давало нам объекты, обладающие требуемыми свойствами. Числа, по сути, должны удовлетворять формулам арифметики; любой несомненный набор объектов, выполняющий это требование, может быть назван числами. На данный момент простейшим набором, который, как известно, выполняет это требование, является набор, введенный вышеприведенным определением. По сравнению с этим достоинством вопрос о том, похожи ли объекты, к которым применяется определение, на смутные идеи чисел, которыми обладают те, кто не может дать определение, или не похожи, имеет очень малое значение. Все важные требования выполняются вышеприведенным определением, и чувство странности, которое поначалу неизбежно, очень быстро пройдет по мере роста привыкания.
Существует, однако, определенная логическая доктрина, которую можно счесть возражением против вышеприведенного определения чисел как классов классов, — я имею в виду доктрину о том, что таких объектов, как классы, вообще не существует. Можно было бы подумать, что эта доктрина разрушит теорию, которая сводит числа к классам, и многие другие теории, в которых мы использовали классы. Это, однако, было бы ошибкой: ни одна из этих теорий ничуть не страдает от доктрины, что классы являются фикциями. Что это за доктрина и почему она не является деструктивной, я попытаюсь кратко объяснить.
Из-за определенных довольно сложных трудностей, кульминацией которых являются определенные противоречия, я пришел к взгляду, что ничего из того, что можно значимо сказать о вещах, т. е. об индивидах, нельзя значимо (т. е. либо истинно, либо ложно) сказать о классах вещей. То есть, если в любом предложении, в котором упоминается вещь, вы подставите класс вместо вещи, вы больше не получите предложения, имеющего какой-либо смысл: предложение перестает быть истинным или ложным, становясь бессмысленным набором слов. Внешние признаки обратного могут быть развеяны минутным размышлением. Например, в предложении «Адам любит яблоки» вы можете подставить «человечество» и сказать: «Человечество любит яблоки». Но очевидно, вы не имеете в виду, что существует один индивид по имени «человечество», который жует яблоки: вы имеете в виду, что отдельные индивиды, составляющие человечество, каждый по отдельности любит яблоки.
Теперь, если ничего из того, что можно значимо сказать о вещи, нельзя значимо сказать о классе вещей, из этого следует, что классы вещей не могут иметь того же рода реальности, что и вещи; ибо если бы они имели, класс можно было бы подставить вместо вещи в суждении, предикатирующем род реальности, который был бы общим для обоих. Этот взгляд на самом деле согласуется со здравым смыслом. В III или IV веке до н. э. жил китайский философ по имени Хуэй Ши, который утверждал, что «гнедая лошадь и рыжая корова — это три; потому что, взятые по отдельности, они — два, а взятые вместе — одно: два и один составляют три». Автор, которого я цитирую, говорит, что Хуэй Ши «особенно любил софизмы, которые так восхищали софистов или недобросовестных спорщиков Древней Греции», и это, несомненно, представляет собой суждение здравого смысла о таких аргументах. И все же, если бы совокупности вещей были вещами, его утверждение было бы неопровержимым. Только потому, что гнедая лошадь и рыжая корова, взятые вместе, не являются новой вещью, мы можем избежать вывода, что везде, где есть две вещи, есть три вещи.
Когда признается, что классы не являются вещами, возникает вопрос: что мы подразумеваем под утверждениями, которые номинально касаются классов? Возьмем такое утверждение, как: «Класс людей, интересующихся математической логикой, не очень многочислен». Очевидно, это сводится к: «Не очень много людей интересуются математической логикой». Ради определенности давайте подставим какое-нибудь конкретное число, скажем 3, вместо «очень много». Тогда наше утверждение будет: «Не три человека интересуются математической логикой». Это может быть выражено в форме: «Если x интересуется математической логикой, и y также интересуется, и z также интересуется, то x идентичен y, или x идентичен z, или y идентичен z». Здесь больше нет никакой отсылки к «классу». Каким-то подобным образом все утверждения, номинально касающиеся класса, могут быть сведены к утверждениям о том, что следует из гипотезы о том, что нечто обладает определяющим свойством класса. Все, что требуется, таким образом, чтобы сделать вербальное использование классов легитимным, — это единообразный метод интерпретации предложений, в которых встречается такое использование, чтобы получить предложения, в которых такого использования больше нет. Определение такого метода — это технический вопрос, которым доктор Уайтхед и я занимались в другом месте и в который нам нет нужды вдаваться в данном случае.
Если теория о том, что классы являются лишь символическими, принята, из этого следует, что числа не являются действительными сущностями, но что предложения, в которых числа вербально встречаются, на самом деле не имеют никаких конституентов, соответствующих числам, а имеют лишь определенную логическую форму, которая не является частью предложений, имеющих эту форму. Это на самом деле так со всеми кажущимися объектами логики и математики. Такие слова, как «или», «не», «если», «существует», «идентичность», «больше», «плюс», «ничто», «все», «функция» и так далее, не являются именами определенных объектов, как «Джон» или «Джонс», а являются словами, которые требуют контекста, чтобы иметь смысл. Все они формальны, то есть их появление указывает на определенную форму предложения, а не на определенный конституент. «Логические константы», короче говоря, не являются сущностями; слова, выражающие их, не являются именами и не могут значимо быть превращены в логические субъекты, за исключением случаев, когда обсуждаются сами слова, в противоположность их значениям. Этот факт имеет очень важное значение для всей логики и философии, поскольку он показывает, как они отличаются от специальных наук. Но поднятые вопросы настолько обширны и сложны, что невозможно продолжать их рассмотрение в данном случае.
ЛЕКЦИЯ VIII О ПОНЯТИИ ПРИЧИНЫ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ПРОБЛЕМЕ СВОБОДЫ ВОЛИ
ЛЕКЦИЯ VIII О ПОНЯТИИ ПРИЧИНЫ, С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ПРОБЛЕМЕ СВОБОДЫ ВОЛИ
Природа философского анализа, как она была проиллюстрирована в наших предыдущих лекциях, теперь может быть сформулирована в общих чертах. Мы начинаем с корпуса общего знания, который составляет наши данные. При рассмотрении данные оказываются сложными, довольно расплывчатыми и в значительной степени логически взаимозависимыми. Путем анализа мы сводим их к предложениям, которые являются настолько простыми и точными, насколько это возможно, и располагаем их в дедуктивные цепи, в которых определенное число исходных предложений формирует логическую гарантию для всех остальных. Эти исходные предложения являются посылками для рассматриваемого корпуса знаний. Таким образом, посылки сильно отличаются от данных — они проще, точнее и менее заражены логической избыточностью. Если работа анализа была выполнена полностью, они будут полностью свободны от логической избыточности, полностью точны и настолько просты, насколько это логически совместимо с тем, что они ведут к данному корпусу знаний. Открытие этих посылок принадлежит философии; но работа по дедукции из них корпуса общего знания принадлежит математике, если «математика» интерпретируется в несколько либеральном смысле.
Но помимо логического анализа общего знания, которое формирует наши данные, существует рассмотрение его степени достоверности. Когда мы пришли к его посылкам, мы можем обнаружить, что некоторые из них кажутся сомнительными, и мы можем далее обнаружить, что это сомнение распространяется на те из наших исходных данных, которые зависят от этих сомнительных посылок. В нашей третьей лекции, например, мы видели, что часть физики, которая зависит от свидетельств, а следовательно, от существования других умов, кроме нашего собственного, не кажется столь же достоверной, как часть, которая зависит исключительно от наших собственных чувственных данных и законов логики. Аналогично, раньше считалось, что части геометрии, которые зависят от аксиомы параллельности, имеют меньшую достоверность, чем части, которые независимы от этой посылки. Мы можем сказать в общем, что то, что обычно проходит как знание, не является одинаково достоверным, и что, когда был осуществлен анализ до посылок, степень достоверности любого следствия из посылок будет зависеть от степени достоверности наиболее сомнительной посылки, использованной при доказательстве этого следствия. Таким образом, анализ до посылок служит не только логической цели, но и цели облегчения оценки степени достоверности, которую следует приписать тому или иному производному убеждению. Ввиду ошибочности всех человеческих убеждений эта услуга кажется по меньшей мере столь же важной, как и чисто логические услуги, оказываемые философским анализом.
В настоящей лекции я хочу применить аналитический метод к понятию «причины» и проиллюстрировать дискуссию, применив ее к проблеме свободы воли. Для этой цели я исследую: I. что подразумевается под каузальным законом; II. каковы свидетельства того, что каузальные законы действовали до сих пор; III. каковы свидетельства того, что они будут продолжать действовать в будущем; IV. чем причинность, используемая в науке, отличается от причинности здравого смысла и традиционной философии; V. какой новый свет проливается на вопрос о свободе воли нашим анализом понятия «причины».
I. Под «каузальным законом» я подразумеваю любое общее предложение, в силу которого возможно вывести существование одной вещи или события из существования другой или ряда других. Если вы слышите гром, не видя молнии, вы делаете вывод, что вспышка тем не менее была, из-за общего предложения: «Всякому грому предшествует молния». Когда Робинзон Крузо видит след, он делает вывод о человеке, и он мог бы оправдать свой вывод общим предложением: «Все следы на земле, имеющие форму человеческой стопы, являются следствием того, что человек стоял там, где находятся следы». Когда мы видим закат солнца, мы ожидаем, что оно взойдет снова на следующий день. Когда мы слышим, как человек говорит, мы делаем вывод, что у него есть определенные мысли. Все эти выводы обусловлены каузальными законами.
Каузальный закон, сказали мы, позволяет нам вывести существование одной вещи (или события) из существования одной или нескольких других. Слово «вещь» здесь следует понимать как применимое только к индивидам, т. е. как исключающее такие логические объекты, как числа, классы или абстрактные свойства и отношения, и включающее чувственные данные, вместе со всем, что логически того же типа, что и чувственные данные. Поскольку каузальный закон непосредственно верифицируем, выводимая вещь и вещь, из которой она выводится, должны обе быть данными, хотя они не обязательно должны быть данными в одно и то же время. На самом деле, каузальный закон, который используется для расширения нашего знания о существовании, должен применяться к тому, что в данный момент не является данным; именно в возможности такого применения состоит практическая полезность каузального закона. Важный момент для нашей текущей цели, однако, заключается в том, что то, что выводится, есть «вещь», «индивид», объект, обладающий тем родом реальности, который принадлежит объектам чувств, а не абстрактный объект, такой как добродетель или квадратный корень из двух.
Но мы не можем познакомиться с индивидом, кроме как через то, что он фактически дан. Следовательно, индивид, выводимый по каузальному закону, должен быть лишь описан с большей или меньшей точностью; он не может быть назван, пока вывод не будет верифицирован. Более того, поскольку каузальный закон является общим и способным применяться ко многим случаям, данный индивид, из которого мы делаем вывод, должен позволять вывод в силу некоторой общей характеристики, а не в силу того, что он является именно тем индивидом, которым он является. Это очевидно во всех наших предыдущих примерах: мы выводим невоспринятую молнию из грома не в силу какой-либо особенности грома, а в силу его сходства с другими ударами грома. Таким образом, каузальный закон должен утверждать, что существование вещи определенного рода (или ряда вещей ряда назначенных родов) влечет за собой существование другой вещи, имеющей отношение к первой, которое остается неизменным до тех пор, пока первая остается того рода, о котором идет речь.
Следует заметить, что постоянным в каузальном законе является не данный объект или объекты, и даже не выводимый объект, оба из которых могут варьироваться в широких пределах, а отношение между тем, что дано, и тем, что выведено. Принцип «одинаковая причина, одинаковое следствие», который иногда называют принципом причинности, гораздо уже по своему охвату, чем принцип, который действительно встречается в науке; на самом деле, если его интерпретировать строго, он не имеет никакого охвата, поскольку «одинаковая» причина никогда не повторяется в точности. Мы вернемся к этому пункту на более позднем этапе дискуссии.
Индивид, который выводится, может быть однозначно определен каузальным законом или может быть описан лишь в таких общих терминах, что многие различные индивиды могли бы удовлетворять этому описанию. Это зависит от того, является ли постоянное отношение, утверждаемое каузальным законом, таким, которое только один член может иметь к данным, или таким, которое могут иметь многие члены. Если многие члены могут иметь рассматриваемое отношение, наука не будет удовлетворена, пока не найдет какой-то более строгий закон, который позволит нам определять выводимые вещи однозначно.
Поскольку все известные вещи находятся во времени, каузальный закон должен учитывать временные отношения. Частью каузального закона будет утверждение отношения последовательности или сосуществования между данной вещью и выводимой вещью. Когда мы слышим гром и делаем вывод, что была молния, закон утверждает, что выводимая вещь раньше данной вещи. Наоборот, когда мы видим молнию и ожидающе ждем грома, закон утверждает, что данная вещь раньше выводимой вещи. Когда мы выводим мысли человека из его слов, закон утверждает, что они (по крайней мере приблизительно) одновременны.