«Principia Mathematica, том 1»

*84·42.

*84·421.

*84·422.

*84·43.

Док.

*84·5.

Док.

Можно было бы предположить, что обратное вышесказанному также будет верно. Но это не так; ибо хотя обеспечивает, что и не могут перекрываться, когда они неравны, тем не менее мы можем иметь , не имея , так что если , мы будем иметь , откуда, если , следует, что не является , даже если .

*84·51.

Док.

*84·52.

Док.

*84·521.

Док.

Вышеприведенная пропозиция является леммой для *84·522, которая используется в важной пропозиции об отношениях взаимно исключающих отношений (*163·17).

*84·522.

Док.

*84·53.

Док.

*84·54.

*84·55.

*84·59.

Док.

*84·6.

*84·61.

*84·62.

*85. РАЗЛИЧНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ.

Сводка *85.

В этом параграфе доказываются некоторые важные пропозиции, а остальные пропозиции этого параграфа являются в основном леммами. Наиболее важными пропозициями являются следующие:

*85·1 и *85·14, которые показывают, что если есть , то области совпадают с областями , и подобно , тем самым сводя проблему выборок из многих-однозначных отношений к проблеме выборок из классов классов.

*85·27 и *85·43, которые показывают, что если , состоит из реляционных сумм областей и подобно ; т.е. класс -выборок из подобен классу, полученному следующим образом: берем члены по одному и формируем -выборки каждого; таким образом мы получаем класс классов, каждый класс которого имеет форму , где ; затем мы делаем выборку из этого класса классов; эта выборка является членом ; число таких выборок такое же, как число .

*85·28 и *85·44, которые являются частными случаями *85·27 и *85·43, но более полезными, чем они. *85·44 является источником ассоциативного закона в кардинальном умножении; он утверждает, что если есть , имеет то же число членов, что и . (Об ассоциативных законах в целом см. примечания к *42·1·11.) То есть, если мы формируем класс селективных отношений ( для каждого , который является членом , а затем формируем класс селективных отношений для , мы получаем то же число членов, как если бы мы приступили к формированию класса селективных отношений для . То, как эта пропозиция дает ассоциативный закон умножения, может быть объяснено следующим образом. Мы определим произведение чисел членов как число . Таким образом, например, если числа членов есть , , число есть . Предположим, что другие члены есть и , и что и снова имеют по три члена каждое. Тогда число есть произведение чисел , , , т.е. это произведение , и .

Но числа членов есть

Таким образом, число есть

Следовательно, *85·44 позволяет нам заключить, что , что является случаем ассоциативного закона. Фактически, *85·44 дает нам этот закон в его общей форме, когда число скобок и множителей в каждой скобке может быть бесконечным или конечным безразлично.

Другой важной парой пропозиций является *85·53·54. Они позволяют нам свести проблему выборок для любого отношения к проблеме выборок из класса классов. Метод заключается в следующем: для любого заданного термина сформируйте класс упорядоченных пар, релатумом которых является , в то время как референт является термином, имеющим отношение к . Назовите этот класс пар . Сформируйте этот класс для каждого , который является членом ; таким образом мы получаем класс классов, а именно . Тогда число выборок из этого класса классов такое же, как число .

У нас есть еще одна важная пара пропозиций в этом параграфе, а именно *85·61·63. Они показывают, что то, что называется «аксиомой Цермело», эквивалентно тому, что называется «мультипликативной аксиомой». Аксиома Цермело [63] заключается в том, что если есть любой класс, никогда не является нулевым, т.е. . «Мультипликативная аксиома» заключается в том, что если , существует по крайней мере один класс, образованный путем взятия одного представителя из каждого члена , что эквивалентно

В *85·63 эти две аксиомы показаны как эквивалентные. Из теоремы Цермело [64] следует, что обе они эквивалентны предположению, что каждый класс может быть вполне упорядочен. Это будет доказано позже (*258).

Вышеупомянутые пропозиции, выраженные символически, выглядят следующим образом:

*85·1.

*85·14.

*85·27.

*85·28.

*85·43.

*85·44.

Следующие пропозиции зависят от определения

*85·5.

Т.е. есть класс всех пар, релатумом которых является y, в то время как референт имеет отношение к . Затем мы имеем

*85·53.

дающая конструкцию для посредством , и

*85·54.

которая сводит вопрос о существовании -выборок к вопросу о существовании -выборок.

*85·61.

Эта пропозиция дает конструкцию для любой -выборки в терминах -выборки из , и сводит вопрос о существовании первой к вопросу о существовании последней. Особенно важным случаем является случай, когда . Это рассматривается в

*85·63.

*85·1.

Док.

*85·11.

Док.

*85·111.

*85·112.

*85·12.

Док.

Эта пропозиция используется в связи с порядковым умножением (*173·14).

*85·13.

Док.

В вышеприведенной пропозиции гипотеза, требуемая относительно по *82·231, есть только ; но так как , .

Вышеприведенная пропозиция используется в связи с «семействами» (*97·31).

*85·14.

Док.

*85·21·22 являются леммами для *85·24, которая, вместе с *85·26, требуется для *85·27.

*85·21.

*85·22.

Здесь также может быть записано как . Скобки опущены, потому что никакой другой смысл невозможен.

Док.

*85·24.

Док.

Следующие пропозиции являются леммами для *85·26.

*85·241.

Док.

*85·243.

Док.

*85·244.

Док.

*85·245.

Док.

*85·25.

*85·26.

Док.

*85·27.

*85·28.

Следующая пропозиция является леммой для *85·31.

*85·3.

Условия значимости здесь и в *85·31·32·33·34 требуют .

Док.

Следующие пропозиции, вплоть до *85·42 включительно, касаются обстоятельств, при которых мы можем вывести из . *85·32·33·34 впоследствии не используются; остальные используются при доказательстве *85·43.

*85·31.

Док.

*85·32.

Док.

*85·33.

Доказательство проходит точно так же, как в *85·32.

*85·34.

Следующие пропозиции, *85·4·41·42, являются леммами для *85·43·44, которые имеют фундаментальное значение, поскольку они являются источником ассоциативного закона в кардинальной арифметике.

*85·4.

*85·41.

Док.

*85·42.

Док.

*85·43.

Док.

*85·44.

Следующая пропозиция используется в связи с кардинальным умножением (*114·301).

*85·45.

Док.

Цель следующих пропозиций, вплоть до *85·55, состоит в том, чтобы показать, как получить из класса классов класс выборок, имеющий то же число членов, что и . Для этой цели мы вводим новое обозначение, представляющее довольно важный анализ пар, содержащихся в данном отношении. Пара содержится в отношении , когда ; таким образом, если, фиксируя , мы сформируем класс пар , все эти пары содержатся в . Мы полагаем

*85·5.

Тогда . Также есть класс всех пар, содержащихся в , и . Мы теперь докажем, что , так что каждый член может быть выведен из члена , и проблема существования сводится к проблеме существования выборок из класса взаимно исключающих существующих классов.

*85·51.

*85·52.

*85·53.

Док.

*85·54.

Док.

Следующая пропозиция часто полезна.

*85·55.

Док.

*85·56.

*85·6.

Док.

Следующая пропозиция часто используется.

*85·601.

Док.

*85·61.

*85·62.

*85·63.

Док.

Примечание. ( есть «аксиома Цермело». Вышеприведенная пропозиция показывает, что это верно, если , что опять-таки верно, если в силу *84·412. Последняя из них — «мультипликативная аксиома», которая, таким образом, как показано, подразумевает «аксиому Цермело».

Следующие пропозиции ведут к *85·72, которая используется в теории двойного подобия (*111·3).

*85·7.

Док.

*85·701.

*85·702.

*85·71.

Эта пропозиция утверждает, что если мы можем выбрать один подкласс из каждого члена (где есть класс классов), то выборки из полученных таким образом подклассов являются выборками из .

*85·72.

Док.

Следующая пропозиция является леммой, используемой в теории двойного подобия (*111·313).

*85·81.

Док.

СНОСКИ:

[63] См. Math. Annalen, Vol. LIX.

[64] там же.

*88. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫБОРОК.

Сводка *88.

Существование выборок, насколько известно в настоящее время, не может быть доказано в общем виде. То есть мы не можем доказать ничего из следующего:

Можно показать, что все эти различные пропозиции эквивалентны между собой; и в силу теоремы Цермело (ср. *258) они эквивалентны пропозиции «каждый класс может быть вполне упорядочен». В настоящем параграфе мы должны доказать вышеуказанные эквивалентности, а также некоторые пропозиции, дающие существование выборок в различных частных случаях.

Наиболее очевидной из вышеприведенных пропозиций является последняя, а именно: «Если есть класс взаимно исключающих классов, ни один из которых не является нулевым, существует по крайней мере один класс , который берет один и только один член из каждого члена ». Это мы определим как «мультипликативную аксиому».

Мы будем называть мультипликабельным отношением (обозначается «Rel Mult»), если существует , или, что то же самое, если .

Мы будем называть мультипликабельным классом классов, если существует , т.е. мы полагаем

Мультипликативная аксиома будет обозначаться «».

В настоящем параграфе мы сначала приведем различные эквивалентные формы предположения о том, что есть мультипликабельное отношение (*88·1 — ·15); затем мы сделаем то же самое для мультипликабельных классов классов (*88·2 — ·26); далее мы приведем различные эквивалентные формы мультипликативной аксиомы (*88·3 — ·39). (Некоторые важные эквивалентные формы не могут быть даны на данном этапе, так как они зависят от определений, еще не данных, таких как определения кардинального умножения и вполне упорядоченных рядов. Ср. *114·26 и *258·37.) Наконец, мы приведем пропозиции, показывающие, что различные специальные классы классов являются мультипликабельными. Большинство из этих пропозиций не будут использоваться в дальнейшем, но они иллюстрируют природу трудностей, связанных с доказательством того, что класс классов является мультипликабельным, и некоторые из них показывают, что простой размер не мешает классу быть мультипликабельным. Например, *88·48 показывает, что, учитывая любой класс классов , если каждый член заменяется на , результатом является мультипликабельный класс классов; но единственный эффект этого изменения состоит в увеличении числа членов каждого члена нашего класса классов на единицу.

Основные пропозиции в этом параграфе, на которые впоследствии ссылаются, — это следующие:

*88·22.

*88·32.

*88·33.

*88·361.

*88·37.

Вышеприведенное обычно является наиболее удобной формой мультипликативной аксиомы.

*88·372.

Эта пропозиция используется в *114 для доказательства того, что мультипликативная аксиома эквивалентна пропозиции о том, что кардинальное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю.

*88·01.

*88·02.

*88·03.

*88·1.

*88·11.

Док.

*88·12

Док.

*88·13

*88·14

Док.

*88·15.

*88·2.

*88·21.

*88·22.

Док.

*88·23

*88·24

Док.

*88·25

Док.

*88·26.

Док.

*88·3.

*88·31.

Док.

*88·32.

*88·33.

Заметьте, что ( есть аксиома Цермело.

Док.

*88·34.

Док.

*88·35.

Док.

*88·36.

*88·361.

*88·37.

Док.

*88·371.

*88·372.

Эта пропозиция показывает, что мультипликативная аксиома эквивалентна предположению о том, что кардинальное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю.

*88·373.

Док.

*88·38.

*88·39.

Док.

Следующие пропозиции касаются некоторых случаев, в которых существует конструкция, с помощью которой можно доказать существование выборок.

*88·4.

Док.

*88·41.

*88·411.

Док.

*88·42.

В силу этой пропозиции, как будет доказано позже, каждый конечный класс существующих классов является . Ибо мы имеем ; и, согласно вышесказанному, остается , когда один существующий класс добавляется в качестве дополнительного члена; следовательно, результат следует по индукции.

*88·43.

Док.

*88·431.

*88·44.

*88·441.

*88·45.

Док.

*88·46.

Док.

*88·47.

Док.

*88·48.

Доказательство проходит так же, как в *88·46.

*88·5.

*88·51.

*88·52.

*88·53.

РАЗДЕЛ E. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка Раздела E.

Предметами, которые будут рассматриваться в этом разделе, являются некоторые общие идеи, частным примером которых является математическая индукция. Математическая индукция, по сути, является применением к числовому ряду концепции, которая применима ко всем отношениям и часто очень важна. Рассматриваемая концепция — это то, что мы будем называть предковым отношением по отношению к данному отношению. Если есть данное отношение, мы обозначаем соответствующее предковое отношение через «»; название выбрано потому, что если есть отношение родителя и ребенка, будет отношением предка и потомка — где, для удобства языка, мы включаем в число его собственных предков, если является родителем или ребенком чего-либо.

Обычно говорят, что y имеет к x отношение предка к потомку, если существует определенное число промежуточных людей z1, z2, z3, ... таких, что в ряду x, z1, z2, z3, ... каждый член имеет к следующему отношение родителя и ребенка. Но это не является адекватным определением, поскольку точки в x, z1, z2, z3, ... представляют непроанализированную идею. Тогда мы можем попытаться исправить это определение, сказав, что существует конечный класс z промежуточных членов такой, что один член (z1) класса z является ребенком x, один (zn) является родителем y, каждый член z, кроме z1, является ребенком одного (и только одного) члена z, и каждый член z, кроме zn, является родителем одного (и только одного) члена z. Это определение вызывает несколько возражений. Во-первых, оно очень сложное; во-вторых, в отношении общего отношения возникнет трудность в обеспечении единственности члена z, который должен быть родителем (или ребенком) данного члена z; в-третьих (и это действительно фатальное возражение), предложенное определение утверждает, что z должно быть конечным классом, и мы обнаружим, что конечность в соответствующем смысле определяется только посредством самой концепции отношения предка, которую мы здесь пытаемся определить. Фактически, если R обозначает отношение x к y, где n — кардинальное число, то конечное кардинальное число (в требуемом нами смысле) — это такое, к которому 0 имеет отношение R^n, т.е. такое, для которого 0 является предком по отношению к R. Следовательно, мы не должны использовать понятие конечности при определении отношения предка. На самом деле отношение предка определяется следующим образом.

Назовем класс α наследственным по отношению к R, если R“α ⊂ α, т.е. если преемники членов α (по отношению к R) являются членами α. Так, например, если α — класс лиц по фамилии Смит, то α является наследственным по отношению к отношению отца к сыну. Если α — Пэрство, то α является наследственным по отношению к отношению отца к выжившему старшему сыну. Если α — числа, большие 100, то α является наследственным по отношению к отношению n к n+1; и так далее. Если теперь x является предком y, а α — наследственный класс, к которому принадлежит x, то y также принадлежит к этому классу. И наоборот, если y принадлежит к каждому наследственному классу, к которому принадлежит x, то (в том смысле, в котором a является одним из своих собственных предков, если R является чьим-либо родителем или ребенком) x должен быть предком y. Ибо иметь x своим предком — это наследственное свойство, которое принадлежит x, и поэтому, по гипотезе, принадлежит y. Следовательно, x является предком y тогда и только тогда, когда x принадлежит к полю отношения, о котором идет речь, и y принадлежит к каждому наследственному классу, к которому принадлежит x. Это свойство может быть использовано для определения отношения предка; т.е., поскольку мы имеем x R* y ≡ y ∈ R*“{x}, мы полагаем R* = âx {α ∈ Hered_R . x ∈ α . ⊃ . y ∈ α}. Тогда мы имеем R*“{x} = ∩ {α ∈ Hered_R . x ∈ α}. Здесь R*“{x} можно назвать «потомками x». Это класс членов, для которых x является предком.

Чтобы прояснить отношение вышесказанного к математической индукции, подставим 0 вместо x и R вместо R. Тогда, поскольку 1=0+1, мы имеем 0 R 1. Далее 1 R 2. Таким образом, мы находим 0 R* n. Таким образом, если n является потомком 0, n принадлежит к каждому классу, к которому принадлежит 0 и к которому принадлежит n+1, всякий раз, когда n принадлежит к нему. Следовательно, математическая индукция, начиная с 0, докажет свойства n. В элементарной математике принято говорить так, как если бы это относилось ко всем целым числам, т.е. как если бы N (как определено выше) включало все целые числа; но на самом деле только конечные целые числа (в одном из двух смыслов, которые может иметь слово «конечный») принадлежат к классу N, и они принадлежат к нему по определению, будучи определены как класс R*“{0}, т.е. как потомки 0 в вышеуказанном смысле. К бесконечным числам индуктивные доказательства такого рода, начинающиеся с 0, не могут быть применены.

Изучение R* займет *90. Отношение R^n выполняется между x и y, если x R z1, z1 R z2, ..., zn-1 R y и т.д. Изучение этого «и т.д.» занимает *91, «о степенях отношения». Мы можем для многих технических целей рассматривать I как 0-ю степень R; другие степени — R, R^2, R^3 и т.д. Если R^n является степенью R, то и R^(n+1) является таковой. Теперь R^n = R;R^(n-1) согласно определению в *38. Таким образом, если мы имеем R^n ⊂ S, то R^(n+1) ⊂ S;R, что должно быть степенью R, потому что класс степеней R является значением функции, удовлетворяющей гипотезе индукции. И наоборот, если R^n является степенью R, то y достигается n повторениями процесса превращения x в z, начиная этот процесс с x. Следовательно, если R^n является степенью R, мы будем иметь x R^n y.

Следовательно, если мы обозначим класс степеней R через Pot`R, мы имеем R* = ∪ Pot`R. Мы могли бы использовать это как определение R*; но мы можем получить несколько более простую форму. Ибо вышесказанное, как показано без особых трудностей, эквивалентно x R* y, то есть y принадлежит к предкам x по отношению к R, другими словами, y достигается из x путем продвижения вдоль ряда x, z1, z2, ..., что то же самое, что и ряд x R z1, z1 R z2, .... Отношение R* важно само по себе. Мы полагаем R* = R_*, и затем мы полагаем R_ = R* ∪ I.

Мы часто хотим включить I среди степеней R; класс, состоящий из I вместе с Pot`R, мы называем Pow`R. Определение таково: Pow`R = Pot`R ∪ I, откуда мы легко доказываем R_* = Pow`R. Отношение быть связанным некоторой степенью R (отличной от I) является очень важным. Мы обозначаем его через R_*, и полагаем R_* = R* ∪ I. Таким образом, когда x R_* y, мы имеем одно из x R y, x R^2 y, x R^3 y и т.д. Легко доказать, что R_* = R* ∪ I. В ряду, в котором каждый член (кроме первого, если есть первый) имеет непосредственного предшественника, и каждый член (кроме последнего, если есть последний) имеет непосредственного преемника, если R — отношение члена к его непосредственному преемнику, R* — это отношение любого более раннего члена к любому более позднему.

Следующий номер (*92) касается некоторых особых свойств степеней взаимно-однозначных, однозначных и многозначных отношений.

Следующий номер (*93) анализирует поле отношения на последовательные поколения; например, если отношение — это отношение родителя и ребенка, первое поколение будет состоять из Адама и Евы, второе — из их детей, третье — из их внуков и так далее, всегда выбирая самый длинный путь от Адама и Евы, когда были межпоколенческие браки. То есть, беря любое отношение R, первое поколение — это R“{x}, второе — R^2“{x}, третье — R^3“{x} и так далее. Вообще, если R^n является степенью R (включая I), соответствующее поколение — это R^n“{x}.

Чтобы выразить это более удобно, мы вводим новый символ min_R, который требуется также по другим причинам, особенно в рядах. «min_R`α» можно читать как «минимум по отношению к R». Мы рассматриваем «x R y» как «x предшествует y»; тогда в классе α «минимумы α» будут теми членами α, которые принадлежат α и которым не предшествуют никакие другие члены α, т.е. α ∩ ℐ`R“α = Λ. Мы полагаем поэтому min_R = âα {α ∩ ℐ`R“α = Λ}. Следовательно, мы имеем min_R`α = α ∩ ℐ`R“α, т.е. min_R`α состоит из тех членов α, которым не предшествуют никакие другие члены α. (Если α имеет единственный первый член, этот член — min_R`α.) Таким образом, мы имеем, когда R^n — степень R, min_R`R^n“{x} = R^n“{x} ∩ ℐ`R^(n+1)“{x}. Таким образом, R^n“{x} - R^(n+1)“{x}, где R^n — любая степень R (включая I), является поколением x, соответствующим R^n; таким образом, весь класс поколений — это R_pow`R“{x}. Следовательно, мы полагаем gen_R = âx {R_pow`R“{x}}, где «gen» означает «поколение».

Обозначение «min_R» не будет часто использоваться, пока мы не дойдем до рядов, но тогда оно будет использоваться постоянно. В настоящее время мы приведем только те свойства min_R, которые необходимы для наших непосредственных целей, но в Части V (о рядах) мы посвятим номер (*205) его свойствам.

В этом номере мы также вводим обозначение «beg_R» для «min_R`Cnv`R“. «beg_R`α» можно читать как «начало α». Если есть единственное начало α, это beg_R`α; в противном случае класс начал — это min_R`α, который = α ∩ ℐ`R“α. Таким образом, если R — отношение отца и сына, beg_R = Адам; если R — отношение родителя и ребенка, beg_R = Адам и Ева. end_R будет концом α, если таковой имеется; вообще, end_R`α будет классом концов, т.е. min_Cnv`R`α. Первое поколение R — это beg_R`Field`R. Если x ∈ beg_R`Field`R, любое поколение R — это R^n“{x}, где R^n — соответствующая степень R.

Поле отношения состоит, в общем, не только из поколений R, но также из другой части, части, в которой, как бы далеко мы ни шли назад, мы никогда не достигаем начала. Эта часть — Field`R - R_*“beg_R`Field`R. Две части R_*“beg_R`Field`R и Field`R - R_*“beg_R`Field`R взаимно исключают друг друга и вместе исчерпывают Field`R.

Два следующих номера, *94 и *95, почти никогда не имеют отношения к последующим предложениям и поэтому могут быть опущены любым читателем, который не интересуется их содержанием. *94 имеет дело со степенями относительных произведений. Он используется только в следующем номере (*95), об «эквифакторных отношениях». Вопрос, который должен быть рассмотрен в этом номере, может быть объяснен следующим образом. Имея дело с корреляциями и подобными темами, мы часто хотим рассмотреть ряд отношений R;S, R^2;S^2, R^3;S^3, .... Теперь у нас еще нет определения R^n;S^n, где n — любое конечное число; таким образом, мы не можем определить общий член этого ряда как R^n;S^n. Поэтому нам нужен другой метод определения. Мы имеем R;S, R^2;S^2, .... Таким образом, если R^n — любая степень R, общий член нашего ряда — R^n;S^n. Для удобства обозначения мы полагаем R_n = R^n;S^n. Тогда наш ряд состоит из (R_n)n∈N. Сумма всех отношений этого класса рассматривается в этом номере.

Основные предложения, доказанные в *94 и *95, — это два предложения, которые имеют ту же гипотезу, что и теорема Шрёдера-Бернштейна, а именно R ⊂ S и S ⊂ R. Эти два предложения утверждают, что при вышеуказанной гипотезе R* ⊂ S* и S* ⊂ R*.

Оба вместе воссоздают теорему Шрёдера-Бернштейна, поскольку R* ⊂ S* и S* ⊂ R* влечет R* = S*. Таким образом, они представляют, так сказать, постатейный отчет о равенстве, доказанном теоремой Шрёдера-Бернштейна.

*96, о потомстве члена, касается свойств R*“{x}, главным образом когда R — однозначное отношение. В этом случае, в общем, R*“{x} состоит из двух частей: сначала открытый ряд, а затем циклический ряд. Любая из них может исчезнуть или свестись к одному члену. Если мы назовем две части α и β, то все α предшествует всему β, и α ∩ β = Λ. Таким образом, если либо α, либо β исчезает, R*“{x} = α ∪ β. Если β исчезает, ряд никогда не возвращается в себя, то есть R*“{x} — открытый ряд. Если β существует, существует определенная степень R, скажем R^n, такая, что R^n“{x} ∈ β. Если α и β оба существуют, есть один член, а именно преемник последнего члена α, который имеет ровно двух непосредственных предшественников, один в α и один в β; каждый другой член R*“{x} имеет только одного непосредственного предшественника в R*“{x}. Таким образом, R*“{x} имеет форму буквы ρ, с β на кончике хвоста.

*97 имеет дело с анализом поля отношения на семейства. Беря любой член x из Field`R, семейство x по отношению к R — это R*“{x} ∪ (Cnv`R)*“{x}, которое мы пишем Fam_R`x. Таким образом, класс семейств — это Fam_R“Field`R. Те семейства, которые содержат члена α, — это Fam_R“α. Если мы рассматриваем Field`R как расположенное в прямоугольнике, в котором поколения являются последовательными строками, то Fam_R“x будут столбцами. Таким образом, отношение Fam_R“x к R^n“{x} может рассматриваться как обобщенная форма отношения строк и столбцов. При подходящей гипотезе каждая строка является выборкой из столбцов, а каждый столбец — выборкой из строк. Это выражается в следующем предложении: R^n“{x} ⊂ Fam_R`x, откуда мы выводим теоремы существования для выборок в соответствующих случаях.

Важность идей, рассматриваемых в настоящем разделе, очень велика. Эти идеи доминируют в трактовке конечного и бесконечного, теории прогрессий и порядковых чисел, а также в переходе от рядов, порожденных взаимно-однозначными или однозначными отношениями последовательных членов, к рядам, порожденным транзитивными отношениями «до» и «после». Короче говоря, везде, где используется математическая индукция, требуются идеи, рассматриваемые в этом разделе. Части нашей последующей работы, в которых на этот раздел ссылаются чаще всего, — это два раздела о конечных и бесконечных кардинальных и порядковых числах (Часть III, Раздел C и Часть V, Раздел E). В общей теории кардинальных чисел, т.е. в Части III, Разделах A и B, до того, как было введено различие конечного и бесконечного, на настоящий раздел будут ссылаться редко, если вообще будут ссылаться [65].

СНОСКИ:

[65] Настоящий раздел основан на работе Фреге, который первым определил отношение предка. См. его Begriffsschrift (Галле, 1879), Часть III, стр. 55-87. Ср. также его Grundgesetze der Arithmetik, Том I (Йена, 1893), §§ 45, 46 (стр. 59, 60). В этой работе отношение предка используется для доказательства свойств конечных кардинальных чисел и порядковых чисел.

*90. ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДКА.

Резюме *90.

Если R — любое отношение, «x R* y» должно означать «x является предком y по отношению к R», где член считается своим собственным предком при условии, что он принадлежит к полю R. Определение R* таково:

90·01.

То есть, x R* y должно выполняться, когда x принадлежит к полю R, и y принадлежит к каждому наследственному классу, к которому принадлежит x; наследственный класс — это класс α такой, что R“α ⊂ α, т.е. такой, что все преемники членов α являются членами α.

*90·02.

Это определение служит лишь для решения двусмысленности между R* и R_*, каждое из которых могло бы подразумеваться под R*. Будет показано, однако, что они равны (*90·132).

Наиболее важными предложениями этого номера являются следующие:

90·112.

Т.е. если x R* y и если α — наследственное свойство, принадлежащее x, то оно принадлежит y.

*90·12.

Т.е. R* рефлексивно во всем поле R, но не в других местах.

*90·14

*90·15.

*90·151.

*90·16.

*90·163.

Т.е. R*“{x} — наследственный класс.

*90·17.

*90·21.

*90·22.

Т.е. классы, которые являются наследственными по отношению к R, — те же, что и те, которые являются наследственными по отношению к R*.

*90·31.

*90·32.

*90·33.

*90·4.

*90·01.

*90·02.

*90·1.

*90·101.

Док.

*90·102 является леммой для *90·11.

*90·102.

Док.

*90·11.

*90·111.

*90·112.

Док.

*90·12.

Док.

*90·13.

Док.

Следующее предложение является леммой для *90·132.

*90·131.

Док.

*90·132.

Док.

В соответствии с нашей общей конвенцией относительно суффиксов и с определением *90·02, R_* означает R* ∪ I, а не R* (см. *90·132).

*90·14.

Док.

*90·141.

*90·15.

Док.

Заметьте, что I можно удобно рассматривать как 0-ю степень R. Согласно *50·64·65, при умножении на I оно дает R; также оно содержится в R, R^2, R^3 и т.д. I обладает свойствами, касающимися реляционного умножения, аналогичными свойствам 1 в обычном умножении; таким образом, рассматривать I как 0-ю степень R аналогично рассмотрению 1 как 0-й степени n, где n — число.

*90·151.

Док.

*90·16.

Док.

*90·161

Док.

*90·162

*90·163

Это предложение важно, поскольку оно доказывает, что R*“{x} — наследственный класс.

*90·164

Это предложение показывает, что R_*“{x} — наследственный класс.

*90·17

Заметьте, что R_*“{x} означает (R* ∪ I)“{x}.

Док.

*90·171

*90·172

Док.

*90·18

Док.

*90·21.

Док.

*90·22.

Док.

*90·23.

*90·23 полезно в теории сечений ряда (*211). Сечение ряда, порожденного R, определяется как класс α, удовлетворяющий R“α ⊂ α.

*90·24.

Док.

Это предложение показывает, что если α — наследственный класс, который содержит x, то α содержит всех потомков x.

*90·25.

Док.

*90·26.

Док.

*90·27.

Док.

*90·31.

Док.

В последней строке вышеприведенного доказательства процесс таков. Записывая α для R*“{x}, (2) становится R“α ⊂ α, в то время как (3) становится x ∈ α. Следовательно, согласно (2) и (3), R*“{x} ⊂ α. Следовательно, согласно *90·112, y ∈ α, что и требовалось доказать.

*90·311.

Док.

*90·32.

Док.

*90·33.

Док.

*90·331.

*90·34.

*90·341.

*90·35.

Док.

*90·351.

Док.

*90·36.

*90·4.

Док.

*90·41.

Док.

*90·42.

Док.

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *91.

В настоящем номере мы рассматриваем класс отношений R, R^2, R^3, ....

Каждое из них имеет к своему предшественнику отношение ;R; мы имеем R^(n+1) = R^n;R. Таким образом, каждый член ряда имеет к R отношение (R^n)n∈N; следовательно, степени R могут быть определены как те отношения, которые имеют к R отношение (R^n)n∈N. Ряд степеней, начинающийся с R вместо R, аналогично состоит из тех отношений, которые имеют к R отношение (R^n)n∈N. (Этот класс состоит из предыдущего класса вместе с R.) Сказать, что отношение R* выполняется между x и y, оказывается эквивалентным утверждению, что одно из отношений R, R^2, R^3, ... выполняется между x и y; и сказать, что отношение R_* выполняется между x и y, оказывается эквивалентным утверждению, что одно из отношений I, R, R^2, ... выполняется между x и y. Таким образом, мы могли бы начать с определения степеней R и перейти к определению R* как их суммы.

Для удобства обозначения мы полагаем Pot`R = âP {∃n ∈ N . P = R^n}. Тогда определение степеней R, исключая I, таково: Pot`R = {R^n | n ∈ N}, а определение степеней R, включая I, таково: Pow`R = {R^n | n ∈ N} ∪ {I}. (Здесь буквы «id» добавлены, чтобы предположить, что тождество должно быть добавлено к Pot`R.)

Мы полагаем также R* = ∪ Pot`R и R_* = ∪ Pow`R.

Многие из предложений в этом номере используются очень часто. Среди наиболее важных предложений — следующие:

*91·17.

*91·171.

*91·373.

Это формулы индукции. Первые две утверждают, что если свойство α наследственно по отношению к R, то если x принадлежит к α, оно принадлежит любому члену R*“{x}, тогда как если x принадлежит к α, оно принадлежит любому члену R_*“{x}. Третья дает форму индукции, которая иногда мощнее второй. Она утверждает, что если α наследственно при условии, что его аргумент является степенью R, и если x ∈ α, то каждая степень R удовлетворяет α, и наоборот.

*91·23.

*91·24.

Эти два предложения очень полезны, так как дают отношения R* и R_*.

*91·27.

*91·271.

Мы не имеем в общем R* ∩ I = Λ. Если R — род отношения, который порождает ряд (т.е. R либо сам по себе сериален, либо таков, что R* сериален), вышесказанное охарактеризовало бы ряд без первого или последнего члена. Чтобы проиллюстрировать этот вопрос, рассмотрим ряд из четырех членов, x, y, z, w, и пусть R — отношение непосредственного предшествования в этом ряду. Таким образом, R выполняется между x и y, y и z, z и w. Тогда R* выполняется между x и y, x и z, x и w, y и z, y и w, z и w; таким образом, I, которое принадлежит R_*, не принадлежит R*. R^4 выполняется только между x и w; таким образом, ни I, ни R не принадлежат R^4. Все степени R за пределами третьей являются нулевыми. С другой стороны, если мы возьмем циклическое отношение, такое как отношение соседа слева за обеденным столом, мы всегда будем иметь R^n ∩ I ≠ Λ, какой бы степенью R это ни было.

*91·282.

Это предложение показывает, что R*“{x} — наследственный класс по отношению к R.

*91·34.

Это предложение утверждает, что относительное произведение коммутативно, когда каждый множитель — R или степень R.

Далее мы переходим к предложениям, касающимся R_*.

*91·502.

*91·504.

*91·511.

*91·52.

*91·54.

*91·52·54 являются фундаментальными в теории индуктивных отношений.

*91·542.

Это предложение особенно полезно, когда (как часто бывает) мы имеем R ⊂ R^2. В этом случае оно дает R* = R^2*.

*91·55.

*91·56.

Таким образом, R* всегда транзитивно, что является одной из трех характеристик сериальных отношений (ср. *204). Мы обнаружим, что R* часто сериально, когда R таковым не является.

*91·574.

*91·602.

*91·01.

*91·02.

*91·03.

*91·04.

*91·05.

Первые два из вышеприведенных определений введены исключительно для удобства обозначения. Остальные три представляют идеи большой важности. Последнее особенно полезно, когда ряд задан как поле взаимно-однозначного отношения между последовательными членами — как, например, когда ряд натуральных чисел задан как поле отношения n к n+1. Тогда R* — это отношение любого более раннего члена к любому более позднему члену — например, в вышеуказанном случае натуральных чисел, отношение меньшего целого числа к большему.

*91·1.

Док.

*91·11.

*91·12.

*91·13.

*91·14.

*91·15.

*91·16.

*91·17.

*91·171.

Эти предложения имеют большое значение, потому что они позволяют нам доказать, что свойство α принадлежит каждой степени R, если оно принадлежит R (или I) и также принадлежит R^(n+1), всякий раз, когда оно принадлежит R^n.

*91·2.

Док.

*91·201.

*91·204.

Док.

*91·205.

*91·21.

Док.

*91·211

*91·212

Док.

*91·213

*91·22

*91·221

*91·23

Док.

*91·231

*91·24

Док.

*91·241

Док.

Последняя строка вышеприведенного доказательства получена следующим образом: записывая R^n для P, (1) становится R^n ⊂ R*.

Но согласно *91·11, записывая R^n для P из *91·11, и R для Q, мы имеем R^n ⊂ R* ⊃ R^(n+1).

Следовательно, согласно (1) и (2), R^n ⊂ R*, т.е. Pot`R ⊂ R*, что и требовалось доказать.

*91·242.

Док.

*91·25.

Док.

*91·251.

*91·26.

*91·261.

*91·262.

*91·263.

*91·264.

*91·27.

Док.

*91·271.

Док.

*91·28.

*91·281.

*91·282.

*91·283.

Следующие предложения показывают, что относительное произведение двух степеней R коммутативно, т.е. R^m;R^n = R^n;R^m (ср. *91·34).

Мы также имеем (ср. *91·341) R^m;R^n = R^(m+n).

Именно эти предложения (как будет видно в дальнейшем) являются источником коммутативного закона для сложения конечных порядковых чисел. Порядковые числа в общем не коммутативны, так же как относительные произведения в общем не коммутативны; но благодаря тому факту, что относительные произведения, множители которых являются степенями данного отношения, коммутативны, конечные порядковые числа коммутативны.

*91·3.

Док.

*91·301.

*91·302.

Док.

*91·303.

*91·304.

*91·31.

*91·33.

Док.

*91·331.

Док.

*91·34.

Док.

Это коммутативный закон для относительного произведения двух степеней R.

*91·341.

Док.

*91·342.

Док.

*91·343.

*91·35.

*91·351.

*91·352.

*91·36.

*91·37.

Док.

*91·371.

*91·372.

*91·373.

*91·41.

*91·411.

*91·42.

*91·421.

*91·43.

Док.

*91·431.

*91·44.

Док.

*91·45.

Док.

*91·46.

Остальная часть этого номера касается R_* и его отношений к R*.

*91·502.

*91·503.

*91·504.

Док.

Следующие предложения касаются главным образом отношений R* и R_*. Эти отношения воплощены в предложениях

*91·51.

Док.

*91·511.

*91·512.

Док.

*91·513.

Док.

*91·514.

Док.

*91·52.

*91·521.

Док.

*91·522.

*91·53.

Док.

*91·54.

*91·541.

*91·542.

*91·543.

Док.

*91·544.

*91·545.

*91·546.

*91·55.

Док.

*91·56.

Док.

*91·561.

*91·562.

*91·57.

*91·571.

*91·572.

*91·573.

*91·574.

Док.

*91·575.

Док.

*91·58.

*91·581.

*91·59.

Док.

*91·6.

Док.

*91·601.

Док.

*91·602.

Док.

*91·603.

Док.

*91·62.

Эту формулу следует сравнить с *90·11, в которой аналогичная формула дана для R*. Будет замечено, что здесь нам не требуется добавлять I, ибо если x ∈ α, вышеуказанная формула ведет к R*“{x} ⊂ α, т.е. к R*“{x} ⊂ α. Следовательно, R*“{x} ⊂ α, т.е. R*“{x} ⊂ α. Будет замечено, что R*“{x} ⊂ α выполняется всякий раз, когда α принадлежит к каждому наследственному классу, который содержит непосредственных преемников x, тогда как R*“{x} ⊂ α выполняется всякий раз, когда α принадлежит к каждому наследственному классу, к которому принадлежит сам x.

*91·7.

*91·71.

Док.

*91·711.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в теории минимальных точек в ряду (*205·68).

*91·72.

Док.

*91·721.

*91·73.

Док.

*91·731.

Посредством *91·73 или *91·731 степени R часто могут быть расположены в ряд, правило расположения которого состоит в том, что R^m стоит раньше, чем R^n, если m < n, и позже в обратном случае. Но мы получим открытый ряд из этого расположения только если R^m ∩ R^n = Λ; в противном случае степени с определенного момента образуют циклический ряд.

*91·732.

Док.

*91·74.

*91·75.

Док.

*92. СТЕПЕНИ ОДНОЗНАЧНЫХ И МНОГОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *92.

Если R ∈ 1→Rel, из этого следует, что, начиная с данного члена x, существует только один ряд членов z таких, что x R z1, z1 R z2, ....

Так, например, отношение сына к отцу является 1→Rel; и начиная с данного человека, ряд предков по прямой мужской линии (который является вышеуказанным рядом x, z1, z2, ...) уникален и детерминирован. Результатом этого свойства многозначных отношений является то, что если, начиная с члена x, мы идем назад на определенное число шагов к члену y, а затем вперед на большее число шагов к члену z, мы должны пройти через y при переходе от x к z; в то время как если число шагов от x до y меньше, чем от x до z, y должен лежать на пути от x до z. Эти факты выражаются предложением: x R^m y . x R^n z . ⊃ . y R^(n-m) z ∨ z R^(m-n) y.

В настоящем номере мы должны установить различные предложения такого рода.

Мы доказываем в этом номере различные предложения, которые используются в обсуждении «семейств» в *96 и *97, и некоторые, которые используются в теории конечного и бесконечного. Но в целом предложения этого номера используются не часто. Наиболее важными из них являются следующие:

*92·11.

с аналогичным предложением (*92·111) для Cnv`R.

*92·132.

с аналогичным предложением (*92·133) для Cnv`R.

*92·14.

По поводу этого предложения сравните замечания о *91·271 во введении к *91. Если R — сериальное отношение, R* ∩ I = Λ — это условие того, что ряд может не иметь последнего члена.

*92·31.

*92·311.

*92·1.

Док.

*92·101.

*92·102.

*92·11.

Док.

*92·111.

*92·112.

*92·113.

*92·12.

*92·121.

*92·13.

Док.

*92·131.

В этом номере, когда были даны доказательства для R, мы опустим доказательства соответствующих предложений для Cnv`R, так как они всегда в точности аналогичны доказательствам для R.

*92·132.

*92·133.

*92·14.

Док.

*92·141.

*92·142.

Док.

*92·143.

*92·144.

Док.

*92·145.

*92·146.

Док.

*92·147.

*92·15.

*92·151.

*92·152.

*92·153.

*92·16.

Док.

*92·161.

*92·17.

Док.

*92·171.

*92·18.

Док.

*92·181.

*92·19.

Док.

*92·191.

*92·3.

Док.

*92·301.

*92·31.

Док.

*92·311.

*92·312.

*92·32.

Док.

*92·33.

Док.

*92·34.

Док.

*93. ИНДУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ОБЛАСТИ ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *93.

Для этого числа мы вводим три новых обозначения, из которых первые два будут использоваться постоянно, особенно в теории рядов, тогда как третье будет использоваться редко, за исключением настоящего раздела. Два обозначения, которые используются постоянно, таковы: т.е. является членом и из , и никакой член не предшествует в .

Букву можно рассматривать как означающую «начинает». Таким образом, если мы возьмем любой член из и будем двигаться назад и вперед настолько далеко, насколько это возможно, с помощью -шагов, мы получим ряд, который можно назвать «семейством» : этот ряд, если он имеет первый член, имеет такой, который является членом ; таким образом, члены являются начинающими семейств. Например, если есть отношение сверстника к его наследнику, « » будет означать « является сверстником, который не является наследником сверстника»; таким образом, является первым в своем семействе. Если есть отношение родителя и ребенка, « » будет удовлетворяться только Адамом и Евой; и так далее для других отношений.

Определение есть Следовательно . Если есть порождающее отношение ряда, который имеет первый член, этот первый член есть ; если существует последний член, то это .

Если есть любой класс, мы можем назвать член минимумом из относительно , если он является членом и из , но не следует ни за каким членом из , т.е. не является членом . Мы обозначаем это отношение к через « »; таким образом, мы имеем и определение есть

Мы также, когда это удобно, будем писать « » вместо « ».

Мы имеем .

Если является сериальным, сводится к единственному члену, если он не пуст; таким образом, если класс имеет первый член, этот член есть . Мы также полагаем и тогда , если он существует, является последним членом в -ряде. Таким образом, если есть класс сверстников, а есть отношение отца к сыну, состоит из тех сверстников, которые являются первыми в своем роду, тогда как состоит из тех сверстников, которые являются последними в своем роду. Если есть класс чисел, а есть отношение меньшего к большему, есть наименьший член (если он существует), а есть наибольший (если он существует).

и « » и « » будут постоянно использоваться в связи с рядами, где два последних будут рассмотрены подробно, но настоящий номер более специально касается менее общей идеи, а именно идеи поколений. Возьмем, например, отношение родителя и ребенка; назовем его . Тогда первое поколение состоит из тех, кто является родителями, но не детьми, т.е. ; второе состоит из тех, кто является детьми, но не внуками, т.е. , т.е. , т.е. ; третье состоит из тех, кто является внуками, но не правнуками, т.е. , т.е. , т.е. ; и так далее. Также мы имеем следовательно, поколения суть . Таким образом, мы полагаем где « » означает «поколение».

Когда является однозначным отношением, таким как отношение отца и сына, каждое поколение имеет вид , где есть степень (включая ). Когда не является однозначным отношением, это, как правило, не так.

Поколения в общем случае не исчерпывают область . Ибо будет принадлежать поколению только в том случае, если можно достичь последовательными -шагами, начиная с члена . Если некоторые из семейств, составляющих область , не имеют начала, члены этих семейств не будут принадлежать ни к какому поколению . Такие члены вместе составляют класс , который является тем же самым классом.

Таким образом, область может быть разделена на две взаимно исключающие части, и .

Настоящий номер начинается с некоторых элементарных свойств и и . Затем (*93·2 — ·275) мы рассматриваем такие свойства поколений, которые не требуют никакой гипотезы относительно . Мы доказываем

*93·25.

*93·261.

и мы доказываем (*93·274·275), что и взаимно исключают друг друга и вместе составляют . Затем мы переходим к набору предложений (*93·3 — ·41), требующих, чтобы P было однозначным, или многозначным, или взаимно однозначным. Мы доказываем

*93·32.

*93·36.

*93·381.

и различные другие свойства и , когда .

Предложения этого номера используются на протяжении остальной части этого раздела; они также используются в кардинальной теории конечного и бесконечного. Ранние предложения, вплоть до *93·12 включительно, также используются в теории рядов.

*93·01.

*93·02.

*93·021.

*93·03.

*93·1.

*93·101.

*93·102.

*93·103.

Док.

*93·104.

Док.

*93·11.

*93·111.

*93·112.

Док.

*93·113.

*93·114.

*93·115.

*93·116.

*93·117.

*93·118.

*92·12.

*93·13.

*93·131.

Док.

*93·132.

Док.

*92·2.

*93·21.

*93·22.

*93·221.

*93·23.

Док.

*93·231.

Док.

*93·24.

Док.

*93·25.

Док.

*93·26.

Док.

*93·261.

Док.

*93·27.

Док.

*93·271.

Док.

*93·272.

Док.

*93·273.

*93·274.

*93·275.

*93·3.

Док.

*93·31.

Док.

*93·32.

*93·33.

*93·34.

*93·35.

Док.

*93·36.

Док.

*93·37.

*93·38.

Док.

*93·381.

*93·382.

*93·4.

Док.

*93·41.

*93·412.

Док.

*93·42.

Док.

*93·431.

Док.

Следующие предложения, не будучи необходимыми в последующих предложениях, вставлены здесь без доказательства, исключительно ради их внутреннего интереса.

*93·5.

*93·51.

*93·52.

*93·53.

*93·54.

*93·55.

*93·56.

*94. О СТЕПЕНЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ.

Резюме *94.

В этом номере мы будем главным образом заниматься предложениями, связывающими степени с степенями . Если есть степень , будет степень . Если есть степень , это произведение вида

Если мы перенесем начальный в конец, мы получим степень . Таким образом, существует степень , скажем , такая, что

Если , мы находим путем перестановки и наблюдения, что . Таким образом

Выражения вида постоянно необходимы. Они будут специально рассмотрены в *150 и будут постоянно встречаться в дальнейшем.

Вышеуказанные связи и воплощены в следующих предложениях:

*94·14.

*94·21.

*94·31.

От *94·4 до *94·54 все предложения касаются и . Мы доказываем

*94·5.

*94·51.

Наконец, мы доказываем (*94·53·54), что если либо является взаимно однозначным и , либо является взаимно однозначным и , то подобно .

Единственное предложение этого номера, на которое когда-либо ссылаются впоследствии, — это последнее, *94·64, которое, благодаря тому факту, что теорема Шрёдера-Бернштейна уже доказана (*73·88), используется только в *95·23. Но на само *95·23 больше никогда не ссылаются. Поэтому читатель может пропустить чтение предложений этого номера (как и *95) без ущерба для понимания того, что следует; однако ему следует прочитать резюме.

Главная важность предложений в настоящем номере проявляется, когда и удовлетворяют гипотезе теоремы Шрёдера-Бернштейна, т.е.

В этом случае дает то, что мы можем назвать «отражением» в часть самого себя; эта часть может быть снова отражена с помощью в часть самого себя, и так далее. Члены в , которые рано или поздно исключаются этим процессом отражения, составляют , поскольку любое одно отражение исключает члены, которые составляют одно поколение . Члены, не исключенные никаким числом отражений, составляют . Эти два множества членов вместе составляют , т.е. . В этом номере и *95 мы докажем, что при гипотезе Шрёдера-Бернштейна

Эти два предложения вместе дают доказательство теоремы Шрёдера-Бернштейна в силу *93·274·275. Это доказательство по существу такое же, как доказательство Бернштейна, первоначально опубликованное Борелем [66].

Природа двух доказательств теоремы Шрёдера-Бернштейна, а именно Цермело (приведенного в *73) и Бернштейна (которое будет приведено в этом номере и *95), будет лучше всего понята с помощью рисунков.

В доказательстве Цермело мы сначала доказываем, что если является взаимно однозначным, а есть класс, содержащийся в и содержащий , то подобно как , так и . На рисунке точки внешнего прямоугольника образуют , точки внутреннего прямоугольника образуют , а точки внешнего овала образуют . Таким образом, заштрихованная часть рисунка есть . Теперь мы определяем класс классов по следующим характеристикам: является членом , если (1) содержится в , (2) содержит всю заштрихованную область, (3) , т.е. если является членом , то и любой член, к которому имеет отношение , также является членом . Наше предложение получено путем рассмотрения , т.е. области, общей для всех членов . Мы доказываем (*73·81), что и (*73·811), что не содержит никакой заштрихованной области. На рисунке есть меньший овал. Затем мы доказываем (*73·83), что состоит целиком из заштрихованной части и меньшего овала. Следовательно (больший овал) состоит из двух взаимно исключающих частей, а именно и , причем последняя является той частью внутреннего прямоугольника, которая лежит вне внутреннего овала. Предполагая теперь, что является взаимно однозначным, подобно ; следовательно, добавляя , отсюда следует, что подобно , а значит, и .

Чтобы получить отсюда теорему Шрёдера-Бернштейна, необходимо лишь заменить на и на , а также предположить дополнительно, что является взаимно однозначным, область значений которого содержит . Тогда , и мы получаем (*73·87) , а следовательно , что и требовалось доказать.

В доказательстве Бернштейна мы имеем два отношения и с самого начала. В левой части рисунка внешний прямоугольник есть , который = , овал есть , а второй прямоугольник есть . Таким образом, точки внешнего, но не второго прямоугольника образуют первое поколение . Внутри мы можем сформировать третий прямоугольник, который будет , т.е. . Точки, принадлежащие второму прямоугольнику, но не третьему, образуют второе поколение . Мы можем продолжать таким образом к постоянно уменьшающимся прямоугольникам. Точки, которые рано или поздно остаются вне какого-либо прямоугольника, образуют ; те, которые общи для всех прямоугольников, образуют . Аналогичный анализ, представленный в правой части рисунка, может быть применен к , который таким образом разделен на и . Мы доказываем в этом номере (*94·53), что при гипотезе, которая является частью гипотезы теоремы Шрёдера-Бернштейна, ; в следующем номере (*95·71) мы доказываем, что при гипотезе теоремы Шрёдера-Бернштейна, . Следовательно, путем сложения, .

*94·12.

Док.

*94·13.

*94·14.

Док.

*94·2.

Док.

*94·201.

Док.

*94·21.

Док.

*94·22.

Док.

*94·3.

Док.

*94·31.

Следующая серия предложений ведет к доказательству того, что когда , или , мы имеем

*94·4.

Док.

*94·401.

Док.

*94·402.

Док.

*94·41.

Док.

*94·42.

Док.

*94·43.

*94·441.

*94·442.

*94·5.

Док.

*94·51.

*94·52.

*94·53.

Док.

*94·54.

*94·6.

Док.

*94·61.

Док.

*94·62.

Док.

*94·63.

Док.

*94·64.

Док.

СНОСКИ:

[66] Leçons sur la théorie des fonctions (Париж, 1898), Примечание I (стр. 102-7).

*95. ОБ ОТНОШЕНИИ РАВНОМНОЖИТЕЛЬНОСТИ.

Резюме *95.

Цель этого номера может быть объяснена следующим образом. Рассмотрим ряд отношений; требуется найти способ определения этого ряда без использования чисел. Если бы мы использовали числа и имели определение, данное позже (*301), где есть любое конечное целое число, общим членом ряда был бы . Но мы еще не определили числа, и поэтому мы желаем иметь какой-то способ, не включающий числа, для выражения того, что имеется в виду, когда мы говорим, что в данном члене ряда должна быть задействована та же степень и . Мы делаем это следующим образом. Используя определение в *43, мы имеем

Таким образом, общий член нашего ряда получается путем взятия любой степени ( и формирования . Все члены ряда, следовательно, состоят из членов, которые имеют к отношение ( ; т.е. они суть . Для удобства обозначения мы полагаем [67]

Таким образом, класс отношений, который мы хотим рассмотреть, есть ( .

Чтобы проиллюстрировать природу ( , предположим, что есть отношение «двоюродный брат», тогда как есть отношение ребенка к родителю, а есть отношение родителя к ребенку. Тогда есть отношение «троюродный брат», есть отношение «четвероюродный брат» и так далее. Таким образом, ( есть класс всех отношений родства, которые не включают разницу поколений; и « » будет означать « является кузеном в том же поколении».

Большинство предложений в этом номере вставлены, потому что они требуются в доказательстве *95·52, которое гласит, что при подходящих обстоятельствах . Само это предложение доказывается главным образом потому, что оно требуется в доказательстве *95·63, которое гласит, что если , суть взаимно однозначные отношения, каждое из которых имеет свою область значений, содержащуюся в своей области определения, и если первое поколение подобно первому поколению , то сумма поколений подобна сумме поколений . Это ведет непосредственно к предложению (*95·71), которое является половиной теоремы Шрёдера-Бернштейна (другая половина — *94·53 или *94·54), а именно: «Если и суть взаимно однозначные отношения, каждое из которых имеет свою область значений, содержащуюся в области определения другого, то сумма поколений подобна сумме поколений ».

*95·01. (

*95·1.

Док.

*95·11.

Док.

*95·12.

Док.

*95·13.

*95·131.

Док.

*95·132.

*95·14.

Док.

Использование *95·11 в последней строке приведенного выше доказательства осуществляется путем подстановки вместо .

*95·21.

Док.

*95·211.

Док.

*95·212.

*95·22.

*95·221.

Док.

*95·222.

*95·23.

Док.

*95·24.

*95·3.

Док.

*95·301.

*95·302.

Док.

*95·303.

*95·304.

*95·305.

*95·31.

Док.

*95·32.

*95·33.

Док.

*95·34.

*95·35.

*95·351.

Док.

*95·352.

*95·36.

Док.

*95·361.

*95·37.

*95·38.

Док.

*95·381.

*95·382.

Док.

*95·383.

*95·4.

Док.

*95·41.

*95·411.

*95·42.

Док.

*95·43.

Док.

*95·431.

Док.

*95·44.

Док.

*95·45.

Док.

*95·46.

Док.

*95·47.

Док.

*95·471.

*95·51.

Док.

*95·511.

*95·52.

Док.

*95·6.

Док.

*95·601.

*95·61.

*95·62.

*95·63.

Док.

*95·64.

*95·65.

Следующий пример может проиллюстрировать область действия *95·65. Пусть P, Q будут порождающими отношениями двух вполне упорядоченных рядов, ни один из которых не имеет последнего члена. Положим P' = P \ {x | x имеет непосредственного преемника в P} и Q' = Q \ {x | x имеет непосредственного преемника в Q}. Тогда P' есть отношение непосредственного предшествования в P-ряде, а Q' есть отношение непосредственного предшествования в Q-ряде. Мы будем иметь P' ∈ Rel, Q' ∈ Rel. Также, за исключением некоторых особых случаев, P' и Q' являются первыми производными двух рядов (включая первые члены двух рядов). *95·65 утверждает, что, начиная с любого члена ряда и двигаясь назад, конечное число шагов приведет нас к члену первой производной, что верно. Следовательно, согласно *95·65, пренебрегая некоторыми особыми случаями, мы приходим к результату, что если первые производные двух вполне упорядоченных рядов имеют одинаковое кардинальное число членов, то сами ряды имеют одинаковое кардинальное число членов. Это предложение, конечно, может быть доказано иначе; вышесказанное приведено лишь как иллюстрация результатов *95·65.

*95·7.

Док.

*95·71.

Док.

Это предложение и *94·53 или *94·54 вместе восстанавливают теорему Шрёдера-Бернштейна (*73·88). Ибо в силу *93·274·275 и *73·71 они вместе дают P ∈ Rel, Q ∈ Rel, и при этой гипотезе P sm Q.

СНОСКИ:

[67] Это обозначение используется только в настоящем номере. В *257 мы введем иное и совершенно не связанное с этим значение для P_seq. Временное определение обозначается буквами "P_seq" с последующей ссылкой в квадратных скобках на номер или номера, в которых используется определение.

*96. О ПОТОМСТВЕ ЧЛЕНА.

Резюме *96.

Под «потомством» члена x относительно отношения P мы понимаем класс P_seq`x. В настоящем номере мы будем заниматься главным образом отношением P | P_seq`x, т. е. отношением P, ограниченным потомством x. Мы также будем заниматься P_seq`x и P_seq`x, которые, как доказано в *96·13, являются соответственно...

Наиболее интересный случай — когда P ∈ 1→Rel. В этом случае P_seq`x в общем случае имеет форму «ρ», с x на кончике хвоста; то есть P_seq`x может быть разделено на две части: первая — открытый ряд, вторая — замкнутый ряд. Если y — соединение этих двух, мы будем иметь...

Мы также имеем, когда P ∈ 1→Rel, ...

Таким образом, оказывается, что P_seq`x разделено на две части: первая состоит из тех членов, для которых P_seq`y не является циклом, вторая — из тех, для которых P_seq`y является циклом. Первая полностью предшествует второй; первая существует, если P_seq`x не является циклом, вторая — если P_seq`x является циклом. Каждый член в P_seq`x имеет один и только один непосредственный предшественник, за исключением члена (если он существует) в соединении хвоста и круга P_seq`x; этот член имеет ровно два непосредственных предшественника, один в хвосте и один в круге. Но если либо хвост, либо круг пуст, то каждый член в P_seq`x имеет только один непосредственный предшественник, и поэтому P_seq`x ∈ Ser (эти определения должны применяться только в пределах *96). Тогда P_seq`y — открытая часть ряда P_seq`x, а P_seq`z — круговая часть. Открытая часть полностью предшествует круговой части, при условии P_seq`x не является циклом; т. е. ...

Если хвост и круг оба существуют, P_seq`x имеет последний член, скажем w. Преемник этого члена, P`w, является единственным членом в P_seq`x, который имеет два непосредственных предшественника в P_seq`x, а именно w и z.

Наиболее важные применения предложений настоящего номера относятся к теории конечного и бесконечного, как кардинального, так и ординального. Когда P ∈ 1→Rel, тогда, если P_seq`x не является циклом, или, более общо, если P_seq`x имеет последний член, P_seq`x является конечным классом, т. е. тем, что мы назовем «конечным рядом» (ср. *120). То есть мы имеем...

Если P_seq`x существует, но не имеет последнего члена, P_seq`x является прогрессией (ср. *122), когда его члены расположены в порядке, порожденном P. То есть, придавая P_seq`x и P значения, данные Кантором (ср. *123 и *263), и используя «Prog» для класса взаимно однозначных отношений, которые порождают прогрессии, мы имеем...