«Principia Mathematica, том 2»

Важные предложения для умножения суть

*118·33.

*118·34.

*118·341.

*118·35.

*118·351.

Важные предложения для возведения в степень суть

*118·43.

*118·44.

*118·441.

*118·45.

*118·451.

*118·46.

*118·461.

с двумя аналогичными предложениями *118·462·463,

*118·47.

*118·471.

с двумя аналогичными предложениями *118·472·473.

Таким образом видно, что, за исключением некоторых исключительных случаев, связанных с 0 и 1, во всех арифметических операциях униформные или частично униформные формальные числа могут заменить те, которые построены в соответствии с конвенцией .

*118·01.

Что касается символики, то это предложение с исключением из гипотезы является транскриптом *20·18. Но если или (не исключая обоих) является формальным числом, необходимо в случае, если вхождение в является арифметическим. Фактически это предложение воплощает три фундаментальных предложения Принципа арифметической подстановки, к которым пришли в Предварительных пояснениях о типах. Его необходимость возникает из конвенции , которая объясняется там.

*118·11.

Док.

*118·12.

*118·13.

*118·2.

*118·201.

*118·21.

Док.

Здесь ссылка относится к конвенции , объясненной в предисловии.

*118·22.

Док.

*118·23.

Док.

*118·24.

Док.

*118·241.

*118·25.

Док.

*118·3.

*118·301.

*118·31.

Док.

*118·311.

*118·32.

Док.

*118·33.

*118·34.

Док.

*118·341.

*118·35.

*118·351.

*118·352.

*118·4.

*118·401.

*118·402.

Док.

*118·41.

Док.

*118·411.

*118·42.

*118·421.

*118·43.

*118·44.

*118·441.

*118·45.

Док.

*118·451.

Док.

*118·46.

*118·461.

Док.

*118·462.

*118·463.

*118·47.

*118·471.

Док.

*118·472.

*118·473.

*119. ВЫЧИТАНИЕ.

Резюме *119.

Обработка вычитания следует тем же общим линиям, что и сложение, и упрощается результатами в *110. Трудность возникает из того факта, что вычитание (в любом обычном смысле этого термина) не всегда возможно; а также из того факта, что результат, когда он возможен, не всегда является кардинальным числом.

Мы полагаем

*119·01.

Таким образом, когда вычитание (в обычном смысле термина) невозможно,

Вопрос экзистенциальной корректировки типов рассматривается в предисловии в сочетании со следующими определениями:

*119·02.

*119·03.

Затем мы переходим к выводу элементарных свойств, выводимых из этих определений.

*119·11.

*119·12

*119·14.

*119·25.

*119·26.

Следующая группа предложений касается некоторых простых результатов вычитания.

*119·32.

*119·34.

*119·35.

Затем рассматриваются ассоциативные законы.

*119·44.

*119·45.

Затем рассматривается вопрос о типах:

*119·52.

Трудность возникает из того факта, что если и суть два полных типа, членами которых являются классы, мы не можем доказать, что либо , либо .

*119·54.

Затем мы получаем

*119·541.

Наконец, мы показываем, что любая экзистенциальная корректировка типов будет достаточной для компонентов:

*119·61.

*119·62.

Также *119·25·26 теперь расширены до

*119·64.

Единственные применения предложений этого параграфа связаны с индуктивными кардинальными числами (ср. *120).

*119·01.

Здесь суффикс к знаку вычитания введен, чтобы показать, что мы имеем дело с кардинальным вычитанием. Будет обнаружено, что не является , за исключением гипотез для и .

*119·02.

*119·03.

*119·04.

Заметьте, что вхождение формального числа на месте или в есть арифметическое вхождение, и, соответственно, к нему применяется .

*119·1.

*119·101.

*119·102.

*119·103.

*119·11.

*119·12.

Док.

Таким образом, есть , когда есть .

*119·13.

Док.

*119·14.

*119·21.

Обозначение определено в *65·01.

Док.

*119·22.

Док.

*119·23.

Док.

*119·24.

*119·25.

Док.

*119·26.

Док.

*119·27.

О расширении этой теоремы см. *119·64.

*119·31.

Док.

Предпоследний шаг в доказательстве использует принцип, объясненный в предисловии, что, поскольку в предыдущей строке уравнение имеет стороны, тип которых не определен конвенциями и , для них может быть выбран любой удобный тип. Тип, выбранный в этой строке, таков, что , и ссылки указывают на существование по крайней мере одного такого типа.

*119·32.

*119·33.

Док.

*119·34.

*119·35.

Док.

*119·41.

Док.

*119·42.

Док.

Заметьте, что если есть бесконечный класс, из того, что , не следует, что . Это будет доказано, однако, когда есть индуктивный класс (ср. *120·41).

*119·43.

Док.

*119·44.

Док.

*119·45.

*119·51.

Док.

*119·52.

Трудность в отношении типов, которая возникает из того факта, что и не были доказаны как идентичные, не существует, когда есть «индуктивное число»; ср. *120·413.

*119·53.

*119·531.

Док.

*119·532.

Док.

*119·54.

*119·541.

*119·61.

Док.

*119·62.

Док.

*119·63.

Док.

*119·64.

Док.

*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме *120.

Индуктивные кардинальные числа — это те, которые подчиняются математической индукции, начиная с 0, т.е. на языке Части II, Раздела E, они являются потомством 0 по отношению к отношению к , или, на более популярном языке, это те, которые могут быть достигнуты из 0 последовательными прибавлениями 1. В прежние времена предполагалось, что это все кардинальные числа, а математическая индукция рассматривалась как своего рода самоочевидная аксиома. Теперь мы знаем, что только некоторые кардинальные числа подчиняются математической индукции, начиная с 0. Именно эти кардинальные числа и должны быть рассмотрены в этом параграфе. Они охватывают 0, 1, 2, ... и, как правило, все те кардинальные числа, которые обычно называются конечными, все те, которые могут быть выражены в обычной арабской системе счисления, и никакие другие. Предложения, которые должны быть доказаны относительно них в этом параграфе, являются элементарными и знакомыми; интерес заключается целиком в определении и методе доказательства, а не в самих предложениях.

Положим

Поскольку имеет обязательно свою область определения и область значений одного и того же типа, важно быть осторожным при отметке отношений типа. Соответственно, мы также полагаем

Мы начинаем с применения предложений *90. Таким образом, мы имеем

*120·11.

*120·12.

*120·121.

*120·13.

*120·15.

*120·151.

*120·152.

Затем мы переходим к выводу элементарных свойств индуктивных классов , полагая

Мы имеем

*120·21.

*120·211.

(У нас здесь нет эквивалентности, потому что, насколько мы знаем, могло бы быть возможным определить двусмысленность так, чтобы , даже когда . Это не будет возможным, однако, если предполагается аксиома бесконечности.)

*120·212·213.

*120·214.

У нас есть набор предложений, применяющих индукцию к классам напрямую, а не через посредство кардинальных чисел. Таким образом, мы имеем

*120·251.

*120·26.

Затем мы формулируем аксиому бесконечности и доказываем (*120·33), что она эквивалентна предположению, что если есть индуктивное кардинальное число, . Чтобы доказать это, мы сначала доказываем различные предложения о , среди прочих следующие:

*120·311.

*120·322.

Затем мы переходим к рассмотрению вычитания (*120·41 — ·418), которое дает кардинальное число только тогда, когда вычитаемое есть индуктивное кардинальное число. Мы имеем

*120·41.

Мы могли бы обоснованно положить вместо , поскольку будет истинным всякий раз, когда оно значимо.

Мы имеем

*120·411.

*120·4111.

Следовательно, мы приходим к условиям, необходимым для обычной точки зрения на вычитание; а именно,

*120·412.

Также из *120·4111 мы выводим

*120·414.

И из *120·411 ·119·34 мы находим

*120·416.

Затем мы доказываем, что никакая собственная часть индуктивного класса не подобна целому (*120·426), т.е. что индуктивные классы являются нерефлексивными, и различные связанные предложения, например,

*120·423.

*120·4232.

*120·428.

*120·429.

Последние два из вышеуказанных предложений не имеют места в общем случае, когда есть кардинальное число, которое не является индуктивным.

Затем мы доказываем, что если есть существующее индуктивное кардинальное число, то любое существующее кардинальное число больше, равно или меньше (*120·441); что если , суть индуктивные кардинальные числа, то таковым является и (*120·45 ·4501), и если есть индуктивное кардинальное число, отличное от , то таковыми являются и (*120·452). Затем у нас есть некоторые предложения, касающиеся математической индукции, начинающейся с 1 или 2, например,

*120·4622.

*120·47.

Из *120·452 мы выводим

*120·48.

так что любое число, меньшее индуктивного числа, является индуктивным. Следовательно

*120·481.

что является предложением, постоянно используемым, и

*120·491.

Затем мы доказываем, что если , суть индуктивные кардинальные числа, то и суть либо индуктивные кардинальные числа, либо (*120·5 ·120·52), в то время как, наоборот, если или есть существующее индуктивное кардинальное число, то и суть таковыми же, с исключениями для 0 и 1 (*120·512 ·56 ·561). Следовательно, мы выводим единственность деления и извлечения корней (*120·51 ·53 ·55), пока речь идет об индуктивных числах.

Затем у нас есть набор предложений об аксиоме бесконечности и мультипликативной аксиоме. Мы доказываем (*120·61), что если существует какое-либо существующее кардинальное число, которое не является индуктивным, то аксиома бесконечности истинна. Из *83·9·904 мы выводим индукцией, что если есть индуктивный класс, для которого не является числом, то существует (*120·62), откуда следует, что либо мультипликативная аксиома, либо аксиома бесконечности должны быть истинными (*120·64).

Наконец, у нас есть набор предложений об индуктивных классах. Мы доказываем

*120·71.

*120·74.

*120·75.

с аналогичными предложениями (включающими, однако, гипотезу относительно ) по предмету .

Предложения настоящего параграфа существенны для обычной арифметики конечных чисел. В настоящей работе, однако, они не используются много после настоящего раздела, пока мы не дойдем до Части V, Раздела E, где мы имеем дело с порядковой теорией конечного и бесконечного.

*120·01.

Заметьте, что в силу наших общих конвенций для дескриптивных функций двух аргументов (*38), . То есть есть отношение кардинального числа к его непосредственному предшественнику. Это число, записанное в обычной математической нотации как +1 в ряду положительных и отрицательных целых чисел, точно так же, как его конверс есть число -1. (Следует заметить, что если есть любое кардинальное число, + не тождественно , поскольку + есть отношение, в то время как есть класс классов.)

*120·011.

Все члены принадлежат к тому же типу, что и , так что, если есть любой член , «» значимо.

*120·02.

*120·021.

В силу этих определений индуктивный класс — это тот, чье кардинальное число есть индуктивное кардинальное число.

*120·03.

«», подобно «», есть арифметическая гипотеза, которую некоторые сочтут самоочевидной, но которую мы предпочитаем сохранить как гипотезу и приводить в этой форме всякий раз, когда она уместна. Подобно «», она утверждает теорему существования. В вышеуказанной форме она утверждает, что если есть любое индуктивное кардинальное число, то существует по крайней мере один класс (рассматриваемого типа), который имеет членов. Эквивалентным предположением было бы то, что если есть любой индуктивный класс, то существуют объекты, которые не являются членами . Ибо в этом случае, если есть такой объект, . Следовательно, по индукции, каждое индуктивное кардинальное число должно существовать. Другим эквивалентным предположением было бы то, что (класс всех объектов рассматриваемого типа) не является индуктивным классом. Предположение, что существует в рассматриваемом типе, является, как мы увидим, более сильным предположением, чем вышеуказанное, если только мы не предполагаем мультипликативную аксиому.

Если аксиома бесконечности истинна, индуктивные кардинальные числа все различны одно от другого, т.е. , где и суть индуктивные кардинальные числа, не равно , если только . Но если аксиома бесконечности ложна, то в любом заданном типе все кардинальные числа после определенного являются . (За исключением самого низкого типа, последнее существующее кардинальное число должно быть степенью 2.) То есть, если (скажем) 8 было самым большим существующим кардинальным числом в рассматриваемом типе, мы имели бы в этом типе , и то же самое относилось бы к 10, 11, .... Эту возможность необходимо учитывать в том, что следует далее.

Чтобы придать типическую определенность аксиоме бесконечности, мы пишем

*120·04.

Тогда «» утверждает, что если есть любое индуктивное кардинальное число, то существуют по крайней мере объектов того же типа, что и .

*120·1.

*120·101.

Правая сторона вышеуказанной эквивалентности дает обычную формулу для математической индукции. Заметьте, что условия значимости требуют, чтобы было взято в том же типе, что и . Этот факт особенно уместен в доказательстве *120·15.

Символ «» имеет двусмысленный тип, не обязательно один и тот же в разных вхождениях; также, согласно конвенции, объясненной в предисловии как действующей для и , «» не будет подразумевать, что и имеют один и тот же тип. Соответственно, чтобы избежать ошибки в связи с *120·1 ·101, требуется типическая определенность, как в трех следующих предложениях.

*120·102.

*120·103.

*120·11.

*120·12.

*120·121.

С помощью этого предложения и *120·12 любое заданное кардинальное число в ряду натуральных чисел может быть показано как индуктивное кардинальное число; таким образом, например, чтобы показать, что 27 есть индуктивное кардинальное число, нам придется использовать *120·121 двадцать семь раз подряд.

*120·122.

*120·123.

*120·124.

Док.

*120·13.

Док.

Вышеуказанное предложение часто удобно для индуктивных доказательств.

*120·14.

Док.

Это предложение не показывает, что каждое индуктивное кардинальное число является существующим кардинальным числом; чтобы получить это, нам требуется аксиома бесконечности.

*120·15.

т.е. кардинальное число, которое не является пустым и является индуктивным в любом одном типе, также является индуктивным в любом другом типе.

Док.

*120·151.

Док.

*120·152.

Док.

Следующие предложения, дающие альтернативные формы для определения индуктивных классов, вставлены для того, чтобы показать, что теория индуктивных классов могла бы рассматриваться менее арифметическим образом, чем мы приняли.

*120·2.

*120·201.

Док.

*120·21.

Док.

Заметьте, что «» не доказано выше. Доказательство сталкивается с трудностью, что мы можем иметь ; чтобы установить наше предложение в этом случае, мы должны показать, что если , то каждый класс есть индуктивный класс. Мы можем, однако, доказать следующую импликацию.

*120·211.

Док.

*120·212.

*120·213.

*120·214.

Следующие предложения являются леммами для *120·24.

*120·22.

Док.

*120·221.

Док.

*120·222.

Док.

Доказательство этого предложения могло бы также идти путем использования униформных формальных чисел, применяя *118·241.

*120·23.

Док.

*120·24.

Док.

Это предложение могло бы быть использовано для определения индуктивных классов. Оно дает форму математической индукции, применимую к классам, а не к числам. Фактически оно утверждает, что индуктивный класс — это тот, который может быть сформирован путем добавления членов по одному, начиная с . Это сделано более явным в *120·25. Вместо , в вышеуказанных предложениях, так же как и в тех, что следуют, мы можем ясно подставить

*120·25.

*120·251.

*120*26.

*120·261.

*120·27.

Док.

Это предложение также следует непосредственно из *12·21·15.

*120·3.

*120·301.

*120·31.

Док.

*120·311.

*120·32.

Док.

*120·321.

Док.

*120·322.

*120·33.

*120·41.

Док.

Вышеуказанное предложение устанавливает (с естественными ограничениями) единственность (внутри каждого типа) вычитания (понимаемого как в *120·412), когда вычитаемое есть индуктивное кардинальное число. (Когда вычитаемое есть неиндуктивное кардинальное число, вычитание перестает давать уникальный результат.) Следовательно, мы приходим к следующим расширениям *118 для случая индуктивных кардинальных чисел:

*120·411.

Док.

*120·4111.

Док.

*120·412.

Док.

*120·413.

Док.

*120·414.

*120·415.

*120·416.

*120·417.

*120·418.

*120·42.

Док.

*120·422.

Док.

*120·423.

Док.

*120·4231.

Док.

*120·4232.

*120·424.

Док.

*120·425.

Док.

*120·426.

Док.

*120·427.

Вышеуказанное предложение показывает, что никакой рефлексивный класс не является индуктивным.

*120·428.

Док.

*120·429.

Док.

Следующее определение, в котором «» означает «», определяет «вид» кардинального числа как все кардинальные числа, которые меньше, равны или больше . Мы не можем доказать, если только не предположим мультипликативную аксиому, что все кардинальные числа принадлежат к виду , за исключением случая, когда есть индуктивное кардинальное число. Во всех других случаях могут, насколько известно в настоящее время, существовать другие кардинальные числа, которые не являются ни больше, ни меньше .

*120·43.

*120·431.

*120·432.

*120·433.

*120·434.

*120·435.

*120·436.

*120·437.

*120·438.

Док.

*120·44.

Док.

*120·441.

*120·442.

Док.

*120·45.

Док.

*120·4501.

Док.

Следующее предложение является леммой в доказательстве *120·452.

*120·451.

Док.

Это предложение могло бы быть расширено до большей общности в отношении типов; но его единственное использование — в качестве леммы.

*120·452.

Док.

В предпоследней строке вышеуказанного доказательства мы подставляем вместо функции *120·11 функцию

Следующие предложения требуются главным образом как ведущие к *120·4621 ·4622 ·47, которые полезны при доказательстве предложений, касающихся всех индуктивных кардинальных чисел, отличных от нуля.

*120·46.

Док.

*120·461.

Док.

*120·462.

*120·4621.

Док.

*120·4622.

Док.

Именно от этого предложения зависит несущественность типов при рассмотрении кардинальных чисел индуктивного типа.

*120·463.

*120·47.

Таким образом, математическая индукция, начинающаяся с 1, будет применима ко всем кардинальным числам индуктивного типа, за исключением 0. Аналогичные предложения могут быть доказаны подобным образом для 2, 3, ....

*120·471.

Док.

*120·472.

Док.

*120·473.

Док.

*120·48.

Таким образом, каждое кардинальное число, которое не больше любого кардинального числа индуктивного типа, является кардинальным числом индуктивного типа.

*120·481.

Таким образом, если можно найти какой-либо класс индуктивного типа, содержащий данный класс, то данный класс также является классом индуктивного типа.

*120·49.

Док.

Таким образом, каждое кардинальное число неиндуктивного типа (за исключением ) больше любого кардинального числа индуктивного типа (за исключением ).

*120·491.

Док.

*120·492.

В силу *120·491 класс , который не является классом индуктивного типа, содержит подклассы, имеющие 0, 1, 2, 3, ... членов. Если мы возьмем последовательные классы подклассов , то они будут взаимно исключающими, и все они существуют при условии, что не является кардинальным числом индуктивного типа, т.е. при условии, что выполняется аксиома бесконечности. Таким образом, если выполняется аксиома бесконечности, мы получаем классы подклассов, содержащиеся в любом классе неиндуктивного типа. Отсюда следует, как мы увидим позже, что если есть класс неиндуктивного типа, то есть рефлексивный класс. Это, по-видимому, наиболее близкий возможный подход к отождествлению двух определений конечного и бесконечного, когда мультипликативная аксиома не предполагается. Когда мультипликативная аксиома предполагается наряду с аксиомой бесконечности, мы выбираем один класс из , один из и так далее; затем, формируя логическую сумму всех этих классов, мы получаем членов, которые являются элементами . Отсюда следует, что есть рефлексивный класс; ибо, как мы увидим позже, рефлексивный класс — это класс, который содержит подклассы членов. Таким образом, с помощью мультипликативной аксиомы два определения конечного и бесконечного могут быть отождествлены.

*120·493.

Док.

*120·5.

Док.

Ограничение, подразумеваемое в гипотезе вышеприведенного предложения, не является необходимым, если мы предположим, что аксиома бесконечности должна нарушаться в любом одном типе, если она нарушается в любом другом, т.е. где и — любые два объекта любых двух типов. Доказательство этого предложения потребовало бы допущений относительно взаимосвязи различных типов, которые не были сделаны в наших предыдущих доказательствах.

*120·51.

Это предложение устанавливает единственность деления среди кардинальных чисел индуктивного типа.

Док.

Если , в вышеприведенном являются типически двусмысленными символами, такими как , то мы имеем ; ибо в этом случае . Также, если и одного типа, мы имеем в силу *103·43. Следовательно, «» может быть с истинностью подставлено вместо «» в вышеприведенном предложении, поскольку результат истинен всякий раз, когда он значим. Но в этой форме предложение дает меньше информации, так как оно ничего не говорит о том, что происходит, когда и не одного типа.

*120·511.

Док.

*120·512.

Док.

*120·513.

Это предложение не выполняется, когда есть кардинальное число неиндуктивного типа.

*120·52.

Док.

*120·53.

Док.

Если , , — типически двусмысленные символы, мы имеем в заключении вышеприведенного предложения вместо . Также, если и одного типа, ; таким образом, всякий раз, когда «» значимо.

*120·54.

Для доказательства, которое здесь приведено кратко, сравните *117·58.

Док.

*120·541.

*120·542.

*120·55.

Док.

*120·56.

Док.

*120·561.

Док.

*120·57.

Здесь «» обязательно находится в более высоком типе, чем «», потому что оно применяется к классу, членом которого является .

Док.

*120·6.

Док.

*120·61.

Док.

*120·611.

Док.

*120·62.

Док.

Вышеприведенное предложение может быть также выведено из *120·611 с помощью *62·231.

*120·63.

В силу этого предложения мультипликативная аксиома не требуется при работе с конечным числом множителей, даже когда некоторые или все множители сами являются бесконечными.

*120·64.

Док.

Таким образом, из наших двух арифметических аксиом, мультипликативной аксиомы и аксиомы бесконечности, по крайней мере одна должна быть истинной.

*120·7.

*120·71.

Док.

Вышеприведенное предложение часто используется.

*120·72.

Док.

*120·721.

Док.

*120·73.

*120·731.

*120·74.

Док.

*120·741.

Док.

*120·75.

Док.

*120·76.

Док.

Следующие предложения направлены на установление обратного к *120·76 при условии подходящей гипотезы. Окончательный результат приведен в *120·77.

*120·761.

Док.

*120·762.

Док.

*120·764.

*120·765.

*120·766.

Док.

*120·767.

*120·77.

*121. ИНТЕРВАЛЫ.

Резюме *121.

Настоящий номер посвящен классу членов между и относительно некоторого отношения , т.е. тем членам, которые лежат на пути от к , на котором любые два последовательных члена имеют отношение . Такой путь можно назвать -путем, и если , шаг от к можно назвать -шагом. Для того чтобы существовал -путь от к , необходимо и достаточно, чтобы мы имели . Когда это условие выполняется, в общем случае будет много -путей от к . Но если , или если , то самое большее один путь ведет от к . Это следует из предложений *96. В силу этих предложений, если , то на всем пути от к , и этот путь образует открытый ряд. Две другие возможности с — это (предполагая )

В первом случае существует циклический путь от к , и существуют два пути от к : один состоит из той части цикла, которая необходима для достижения , другой состоит из этой части вместе со всем циклом, необходимым для перемещения от обратно к . Таким образом, класс членов, которые могут быть достигнуты в некотором путешествии от к , есть весь класс потомков , т.е. класс , который является циклом, составляющим путь от к .

Во втором случае потомки образуют , и находится в круговой части . Здесь, как и прежде, существуют два пути от к , из которых первый останавливается, как только достигает , в то время как второй продолжает движение по кругу, пока снова не придет к . Таким образом, здесь опять все потомки лежат на некотором пути между и .

Интервал между и определяется как класс членов, лежащих на некотором пути от к . Будет четыре вида интервала, в зависимости от того, включаем мы или не включаем конечные точки как таковые. Мы обозначаем вид, включающий обе конечные точки, через , исключающий обе — через , а два других соответственно через

Определения таковы

Если является либо один-ко-многим, либо многим-к-одному, оно будет один-к-одному на всем интервале , за исключением самое большее одной исключительной точки, а именно соединения хвоста и круга . Если или , интервал между и не может быть -образным, а должен быть либо открытым, либо циклическим; в любом случае на всем , без исключений; ибо если , на всем интервале, потому что интервал содержится в , и если , потому что интервал содержится в . Таким образом, на протяжении этого номера мы будем постоянно иметь гипотезу ; если , предполагается, что интервал пройден от к , в то время как если , предполагается, что он пройден от к . В любом случае интервал между и должен быть классом индуктивного типа. Это доказано в *121·47. Если, однако, является сериальным (ср. *204) и, таким образом, ни многим-к-одному, ни один-ко-многим, интервал между и есть отрезок ряда между и , с конечными точками или без них в соответствии с выбранным определением, и не обязательно должен быть классом индуктивного типа.

Если интервал между и (оба включены) имеет членов, мы говорим, что . Таким образом, если существует только один путь от к , «» означает, что требуется шагов, чтобы добраться от к . Предполагая , если мы также имеем (т.е. если ни одно из семейств не является циклическим), то если и , мы будем иметь . На этой основе строится индуктивная теория , и показано, что класс таких отношений, как для различных индуктивных значений , есть то же самое, что , класс степеней , включая (*121·5). Определение таково

Весь класс таких отношений, как для различных индуктивных значений , называется , т.е. мы полагаем

Если существует, и если , то потомки , пока мы не достигнем члена, для которого , могут быть однозначно описаны как 2-й, 3-й, ...-й, ... члены потомства , причем само является 1-м членом. Корреляция, осуществленная таким образом с кардинальными числами индуктивного типа, является логической сущностью процесса счета; последнее кардинальное число, использованное в корреляции, есть кардинальное число посчитанных членов. Мы будем называть эти члены , , ... , ..., определяя следующим образом:

Это обозначение не противоречит , как определено в *65.01. Там должен быть класс, если есть кардинальное число, здесь должно быть кардинальное число, а — отношение.

Следовательно, всякий раз, когда существует, число членов от начала до (оба включены) есть . Это факт, на который опирается счет. Если есть многим-к-одному, и содержится в разнообразии, и есть любое кардинальное число индуктивного типа, отличное от 0, то существует тогда и только тогда, когда имеет по крайней мере членов; т.е., грубо говоря, существует всякий раз, когда можно было бы ожидать его существования. В этом случае все потомство содержится в ряду , , ... , ... (*121·62). Если потомство является классом индуктивного типа, этот ряд останавливается; если нет, он образует прогрессию (ср. *122).

Предложения настоящего номера очень полезны не только в этом разделе, но и в порядковой теории конечного и бесконечного, а также в частях книги, следующих за этой теорией.

После некоторых предложений, которые просто повторяют определения и дают непосредственные следствия, мы переходим (*121·3 и сл.) к теории .

*121·302.

*121·305.

*121·31.

Когда есть транзитивное сериальное отношение, мы будем иметь .

*121·321.

*121·333.

*121·35·351·352.

Аналогичный результат справедлив для , которое = в тех же обстоятельствах.

Далее мы переходим к доказательству того, что интервал (при аналогичной гипотезе) всегда является классом индуктивного типа. Это занимает *121·4—·47, будучи суммированным в предложении

*121·47.

Это важное предложение. Оно ведет к

*121·481.

с аналогичным предложением, если .

Следующий набор предложений (*121·5—·52) касается . Предполагая , мы доказываем, что и (*121·5); что если не пусто, (*121·501); что (*121·52) и (*121·502); и что и т.д. (*121·51).

Наш следующий набор предложений касается (*121·6—·638). Мы имеем

*121·601.

*121·602.

*121·634.

Наконец, у нас есть три предложения (*121·7—*121·72) о , из которых наиболее полезным является

*121·7.

*121·01.

*121·011.

*121·012.

*121·013.

*121·02.

*121·03.

*121·031.

*121·04.

*121·1.

*121·101.

*121·102.

*121·103.

*121·11.

*121·12.

*121·121.

*121·13.

*121*131.

*121·14.

*121·141.

*121·142.

*121·143.

*121·2.

*121·201.

*121·202.

*121*21.

Док.

*121·22.

*121·23.

*121·231.

*121·24.

Док.

*121·241.

*121·242.

*121*25.

*121·251.

*121·252.

*121·253.

*121·254.

*121·254 часто используется в теории рядов.

*121·26.

Док.

*121·27.

Док.

*121·271.

*121·272.

Док.

*121·273.

Док.

*121·3.

Док.

*121·301.

Док.

*121·302.

*121·303.

Док.

*121·304.

Док.

*121·305.

Док.

*121·306.

Док.

*121·307.

*121·308.

*121·31.

*121·32.

Док.

Если не является кардинальным числом, или если , .

*121·321.

Док.

*121·322.

*121·323.

*121·324.

Док.

*121·325.

Док.

*121·326.

*121·327.

Док.

*121·33 и ·331 являются леммами для *121·332, которое является очень полезным предложением.

*121·33.

Док.

Из вышеприведенного предложения следует, что

Это не следует, если , потому что всегда будет истинно, если , и поэтому (когда ) если .

*121·331.

Док.

*121·332.

*121·333.

*121·34.

Док.

*121·341.

*121·342.

*121·35.

Док.

*121·351.

*121·352.

*121·36.

Док.

*121·361.

*121·37.

Док.

*121·371.

*121·372.

*121·373.

*121·374.

Доказательства этих предложений аналогичны доказательству *121·37.

*121·38.

*121·381.

*121·382.

*121·383.

*121·384.

*121·39.

Док.

Следующая серия предложений касается доказательства *121·47, т.е. Доказательство для следует из доказательства для с помощью *121·143. Ограничиваясь, таким образом, , мы действуем следующим образом.

Мы доказываем сначала, что, начиная с z и двигаясь назад, каждый новый шаг добавляет только один член (который может не быть отличным от всех своих предшественников); т.е. мы имеем . Отсюда следует по индукции, что если есть класс индуктивного типа, то и есть класс индуктивного типа. Таким образом, нам нужно только доказать, что есть класс индуктивного типа. Здесь мы должны различать два случая, в зависимости от того, или . В первом случае мы имеем , откуда есть класс индуктивного типа, и поэтому таковым является и .

Но во втором случае, когда , дело обстоит сложнее. В этом случае является членом цикла, причем цикл есть . Мы должны доказать, что этот цикл должен быть классом индуктивного типа. Учитывая , будет членом этого цикла, если , и может находиться в конце хвоста , если . (Ср. *96.)

Согласно *96·453, мы знаем, что есть , когда ограничено . Следовательно, в , имеет уникального предшественника, скажем . Предположим . Мы затем воображаем барьер, помещенный между и , т.е. мы строим отношение , которое должно выполняться между любыми двумя последовательными членами , за исключением и . Полагая , мы имеем . Тогда отношение порождает открытый ряд, состоящий из всех членов ; т.е. мы имеем . Следовательно, согласно нашему предыдущему случаю, поскольку есть класс индуктивного типа, таковым является и .

Если , то согласно *96·33 цикл сводится к единственному члену , и поэтому все еще является классом индуктивного типа.

Следовательно, , а значит, и , всегда является классом индуктивного типа, когда , что и требовалось доказать.

*121·4.

Док.

*121·41.

Док.

В силу этого предложения нам нужно только доказать . Это очевидно, когда , ибо тогда либо , либо . Но когда , это сложнее.

*121·42.

Док.

*121·43.

Док.

*121·431.

Док.

*121·432.

Док.

*121·433.

Док.

*121·434.

Док.

*121·44.

Док.

*121·441.

*121·45.

*121·46.

*121·47.

*121·48.

Док.

*121·481.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в доказательстве *122·35, которое является важным предложением в теории прогрессий.

Следующие предложения касаются отождествления таких отношений, как со степенями в смысле *91.

*121·5.

Док.

*121·501.

Док.

*121·502.

Док.

*121·51.

Док.

*121·52.

Мы на более позднем этапе (*301) дадим общее определение . Когда это определение будет введено, мы сможем доказать, при гипотезе *121·51, Определение отложено из-за различных осложнений, которые затрудняют общее определение . Главная трудность возникает, когда . Таким образом, предположим, что у нас есть ; мы также будем иметь , , и т.д. Следовательно, если у нас есть , мы имеем . Опять же, предположим, что этот случай исключен, но предположим . Тогда мы будем иметь . Таким образом, общее определение должно быть сложным, за исключением случаев, когда .

Следующие предложения касаются ряда отношений и ряда членов . Отношение выполняется между двумя членами (грубо говоря), когда требуется шагов, чтобы добраться от первого ко второму; член есть -й член, начиная с , который, когда он существует, есть . Для того чтобы существовал, необходимо, чтобы существовал, и чтобы существовал только один член в области , такой, что интервал от до (оба включены) состоит из членов. Когда это имеет место для всех кардинальных чисел индуктивного типа от 1 до , мы можем сказать, что порождает ряд, начинающийся с и имеющий по крайней мере членов, каждый из которых коррелирует с одним из кардинальных чисел в интервале от 1 до , оба включены; т.е. ряд имеет -й член, всякий раз, когда . Если это выполняется для всех индуктивных значений , семейство есть прогрессия [9]. (Будет замечено, что все такие члены, как , принадлежат семейству , которое не обязательно должно составлять всю область .)

*121·6.

Док.

*121·601.

Док.

*121·602.

Док.

*121·61.

Док.

*121·62.

Док.

*121·63.

Док.

*121·631.

Док.

*121·632·633 требуются для доказательства *121·634.

*121·632.

Док.

*121·633.

*121·634.

*121·635.

Док.

*121·636.

Док.

*121·637.

Док.

*121·638.

Док.

*121*64.

Док.

*121·641.

*121·65.

Док.

*121·66.

Док.

Следующее предложение используется в *122·38·381.

*121·7.

Док.

*121·71.

Док.

*121·72.

СНОСКИ:

[9] Ср. *122, ниже.

*122. ПРОГРЕССИИ.

Резюме *122.

Под «прогрессией» мы понимаем ряд, который подобен ряду кардинальных чисел индуктивного типа в порядке возрастания величины (предполагая, что все кардинальные числа индуктивного типа существуют), т.е. ряд, члены которого могут быть названы , где каждый член ряда коррелирует с некоторым кардинальным числом индуктивного типа, и каждое кардинальное число индуктивного типа коррелирует с некоторым членом ряда. Такие ряды принадлежат отношенческому числу (ср. *152 и *263), которое Кантор называет . Их порождающее отношение может быть принято как транзитивное отношение «раньше» и «позже», или как отношение один-к-одному непосредственного предшественника к непосредственному преемнику. Мы зарезервируем обозначение для транзитивных порождающих отношений прогрессий; в настоящее время мы имеем дело с отношениями один-к-одному, которые порождают прогрессии. Класс этих отношений мы будем называть «».

Неудобно определять прогрессию как ряд, который порядково подобен ряду кардинальных чисел индуктивного типа, как потому, что это определение применимо только в том случае, если мы предполагаем аксиому бесконечности, так и потому, что мы в любом случае должны показать, что (предполагая аксиому бесконечности) ряд кардинальных чисел индуктивного типа обладает определенными свойствами, которые могут быть использованы для получения прямого определения прогрессий. Существование прогрессий, однако, достижимо только с помощью аксиомы бесконечности, и тогда легче всего получается из того факта, что кардинальные числа индуктивного типа образуют прогрессию. Мы не будем рассматривать теорему существования до следующего номера (*123).

Начиная с этого номера, используется соглашение Предисловного заявления, когда это уместно.

Характеристики порождающего отношения прогрессии, которые мы используем в определении, следующие:

(1) есть отношение один-к-одному;

(2) существует первый член, т.е. ;

(3) вся область содержится в потомстве первого члена, т.е. . (Если бы это не удалось, состояло бы из двух или более различных семейств, из которых, поскольку мы имеем , все, кроме одного, должны были бы быть циклическими семействами.)

(4) каждый член области имеет преемника, т.е. ряд бесконечен. Это обеспечивается , или (что эквивалентно) .

Эти четыре свойства достаточны для определения отношений один-к-одному, порождающих прогрессии. Будет замечено, что (2), (3) и (4) все обеспечиваются

Это обеспечивает , согласно *14·21; это обеспечивает , согласно *37·25 и *90·163; следовательно, согласно *33·181, , и поэтому

Следовательно, наше определение прогрессий таково

Вместо того чтобы указывать в определении, что должно быть отношением один-к-одному, достаточно положить , что вместе с подразумевает , и может быть подставлено вместо без изменения силы определения (*122·17).

В настоящем номере мы докажем, среди прочих предложений, что каждый существующий класс, содержащийся в прогрессии, имеет первый член (*122·23), т.е. что прогрессии являются вполне упорядоченными рядами; что в прогрессии (*122·16), что делает предложения *121 доступными; что если есть любое кардинальное число индуктивного типа, отличное от 0, существует (*122·33), т.е. ряд имеет -й член; что любой класс, содержащийся в и имеющий последний член, является классом индуктивного типа (*122·43), и что любой класс, содержащийся в и не имеющий последнего члена, сам является областью прогрессии (*122·45), так что каждый класс, содержащийся в , является либо индуктивным, либо областью прогрессии (*122·46); что если есть многим-к-одному, и член его области, и если потомки не имеют последнего члена и никто из них не является потомком самого себя, то упорядочивает этих потомков в прогрессию (*122·51); и что то же самое справедливо, если есть один-к-одному и (*122·52); и что если и принадлежит одному из поколений , но не одному из поколений , то упорядочивает все семейство в прогрессию (*122·54).

Следующие общие наблюдения о семействах отношений один-к-одному могут послужить для прояснения значения предложений этого раздела.

Учитывая любое отношение , мы называем , т.е. семейство . Если есть один-к-одному, это семейство может быть четырех различных видов. (1) Это может быть замкнутый ряд, подобный углам многоугольника. Это происходит, если . В этом случае семейство образует класс индуктивного типа. (2) Это может быть открытый ряд с началом и концом; это происходит, если

В этом случае также семейство образует класс индуктивного типа. (3) Это может быть открытый ряд с началом и без конца, или с концом и без начала. Это происходит, если или если . В этом случае ряд имеет тип или , и является неиндуктивным и рефлексивным. (4) Ряд может быть открытым и не иметь ни начала, ни конца. Это происходит, если . В этом случае мы получаем ряд, чье отношенческое число есть сумма (в смысле *180) и , что опять же является неиндуктивным и рефлексивным. Во всех четырех случаях, если и будут любыми двумя членами семейства , интервал между и является классом индуктивного типа.

Если является членом , или если семейство содержит член , случаи (1) и (4) исключаются, так как ряд имеет начало. В этом случае число предшественников любого члена является индуктивным числом. Будет замечено, что каждое семейство либо полностью содержится в , либо полностью содержится в ; семейства видов (2) и (3) (исключая, в (2), те, которые имеют конец, но не имеют начала) содержатся в , в то время как семейства видов (1) и (4), а также те из (2), которые имеют конец, но не имеют начала, содержатся в ; семейства, содержащие член , содержатся в , в то время как все остальные содержатся в .

Таким образом, отношение один-к-одному в общем случае порождает ряд полностью несвязных рядов, некоторые замкнутые, другие открытые, с началом или концом или без них. Условие того, что все ряды должны быть открытыми, есть .

Случай -образного семейства, рассмотренный в *96, не может возникнуть, когда , ибо в -образном семействе член в соединении хвоста и круга имеет двух предшественников, одного в хвосте и одного в круге, так что рассматриваемое отношение не является . Отсюда следует, что, когда , если есть семейство, содержащее член , (ср. *96·23).

Когда существует, существует только одно семейство, которое имеет начало. В этом случае, игнорируя другие семейства (если таковые имеются), мы называем члены семейства соответственно , , , .... Если семейство имеет членов, где есть кардинальное число индуктивного типа, его последним членом будет . Если, с другой стороны, число членов семейства не является кардинальным числом индуктивного типа, оно должно быть ; в этом случае семейство образует прогрессию, членами которой являются , , , ..., , ..., где всегда существует, когда есть кардинальное число индуктивного типа.

В дополнение к уже упомянутым предложениям, важны следующие:

*122·21.

(Ср. примечание к *122·21, ниже.)

*122·34.

*122·341.

В силу этих двух предложений члены прогрессии суть , где встречается каждое кардинальное число индуктивного типа. Это тот же факт, который обычно предполагается, когда члены представлены как

*122·35.

*122·36.

*122·37.

*122·38.

Т.е. число членов до любой заданной точки прогрессии является индуктивным.

*122·01.

*122·1.

*122·11.

Док.

Заметьте, что, согласно соглашениям относительно дескриптивных символов, включает существование , тогда как не включает, поскольку, если не существует, мы имеем , и поэтому будет удовлетворять эквивалентности, т.е. будет удовлетворять эквивалентности, хотя у него нет первого члена. Это причина, по которой явно появляется в *122·11, хотя в *122·1 оно было только неявным.

*122·12.

*122·14.

Док.

*122·141.

Док.

*122·142.

*122·143.

*122·15.

Док.

*122·151.

*122·152.

*122·16.

Это предложение позволяет нам применять к прогрессиям все предложения *121, в которых мы имеем в качестве гипотезы

*122·17.

Док.

Чтобы проиллюстрировать это предложение, рассмотрим его применение к кардинальным числам индуктивного типа, расположенным в порядке возрастания величины; т.е. возьмем в качестве значения отношение

Мы тогда имеем ; также

Мы имеем также , так что .

Опять же , откуда , т.е.

Но мы не получаем или , если у нас нет , что является аксиомой бесконечности. Если это условие не выполняется, мы достигаем, наконец, кардинального числа индуктивного типа, которое = , и мы имеем , так что имеет двух непосредственных предшественников, а именно самого себя и последнее существующее кардинальное число. Потомство 0 в этом случае есть , в котором круг сузился до единственного члена, а именно .

Таким образом, нам нужна аксиома бесконечности, чтобы доказать

*122·2.

*122·21.

Это предложение, вместе с *122·16 и *91·56, показывает, что если , имеет три свойства, которыми определяются транзитивные сериальные отношения (ср. *204), а именно: оно (1) транзитивно, (2) содержится в разнообразии, (3) связно, т.е. такое, что оно соотносит любые два различных члена своей области. Мы на более позднем этапе определим порядковое число как класс таких отношений, как , где .

*122·22.

Док.

*122·23.

Док.

Это предложение показывает, что каждый существующий класс, содержащийся в прогрессии, имеет первый член, т.е. что прогрессия является вполне упорядоченным рядом (ср. *250).

*122·231.

Док.

*122·24.

Док.

За исключением случаев, когда , не сведется к единственному члену. Фактически, если , , т.е. состоит из первых членов прогрессии.

*122·25.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что то, что мы можем назвать «арифметической прогрессией» в прогрессии, является прогрессией, т.е. если, начиная с любого члена прогрессии, мы берем каждый второй член, или каждый третий член, или каждый -й член, мы все равно имеем прогрессию.

*122·26.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что если существующий класс, содержащийся в прогрессии, не имеет максимума, то за любым заданным членом прогрессии следуют члены этого класса.

Следующее предложение гласит, что если класс имеет члены, принадлежащие прогрессии, и существуют члены прогрессии, которые не предшествуют ни одному члену этого класса, то в прогрессии существует последний член этого класса.

*122·27.

Док.

*122·28.

Док.

*122·3.

*122·31.

Док.

*122·32.

Док.

*122·33.

Док.

*122·34.

*122·341.

Док.

В силу *122·34·341 все члены прогрессии встречаются в ряду x, f'x, ... , f^n'x, ... , и каждое индуктивное кардинальное число, за исключением 0, используется при формировании этого ряда.

*122·35.

Док.

*122·36.

Док.

*122·37.

Док.

*122·38.

*122·381.

Следующая серия предложений посвящена доказательству того, что любой класс, содержащийся в прогрессии, является индуктивным, если он имеет последний член, и является прогрессией, если он не имеет последнего члена. В последнем случае предполагается, что он упорядочен так же, как и в исходной прогрессии. Некоторое усложнение необходимо для определения его взаимно однозначного порождающего отношения. Если f — порождающее отношение исходной прогрессии, мы переходим сначала к f_α, затем к (f_α)|_κ, где κ — рассматриваемый класс; это дает нам транзитивное порождающее отношение для κ. Называя это отношение R, мы затем переходим к R_*, т.е. к отношению последовательных членов ряда, порожденного R. Это отношение оказывается взаимно однозначным и упорядочивает κ в прогрессию; следовательно, наше предложение доказано. Причина необходимости этого обходного пути заключается в том, что последовательные члены κ могут не быть последовательными членами исходной прогрессии.

*122·41.

Док.

*122·42.

Док.

*122·43.

Таким образом, каждый класс, который содержится в прогрессии и имеет последний член, является индуктивным. Далее нам нужно доказать, что это осуществляется в следующих предложениях.

*122·44.

Примечание. Гипотеза здесь выходит за рамки того, что необходимо для заключения, но является гипотезой, требуемой для *122·45, для которой настоящее и последующие предложения являются леммами.

Док.

*122·441.

Док.

*122·442.

При доказательстве *122·443 ниже мы предполагаем κ ∈ Prog и рассматриваем максимум κ, который, как показано, существует и равен y, откуда y ∈ κ.

Док.

*122·443.

Док.

*122·444.

Док.

*122·45.

Это предложение показывает, что любой ряд, извлеченный из прогрессии и не имеющий последнего члена, является прогрессией.

*122·46.

Это предложение показывает, что любое число, меньшее, чем количество членов в прогрессии, является индуктивным. Этот результат будет развит в следующем номере (*123).

*122·47.

Док.

*122·48.

Док.

*122·49.

Следующие предложения касаются обстоятельств, при которых потомство или семейство члена образует прогрессию.

*122·51.

Здесь R_*(x) имеет значение, определенное в *96.

Док.

Следующее предложение (*122·52) используется в *123·191, *261·4 и *264·22.

*122·52.

Док.

Оставшиеся предложения (*122·53·54·55) в дальнейшем не используются.

*122·53.

Док.

*122·54.

Док.

*122·55.

Док.

*123.

Резюме *123.

В этом номере мы рассматриваем арифметические свойства ℵ₀, наименьшего из трансфинитных кардинальных чисел Кантора. Кантор определяет ℵ₀ как кардинальное число любого класса, который может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с индуктивными кардинальными числами. Это определение предполагает, что ℵ₀ существует, когда n является индуктивным кардинальным числом; иными словами, оно предполагает аксиому бесконечности; ибо без нее индуктивные кардинальные числа образовали бы конечный ряд с последним членом, а именно с ℵ₀. По этой причине, среди прочих, мы не делаем подобие индуктивным кардинальным числам нашим определением ℵ₀. Мы определяем ℵ₀ как класс тех классов, которые могут быть упорядочены в прогрессии, т.е. как ℵ₀ = Cls ∩ Prog. Затем мы должны доказать, что ℵ₀, определенное таким образом, является кардинальным числом, и что если оно не пусто, то оно является числом индуктивных чисел.

Для удобства мы на данный момент полагаем R_n для отношения κ к n, когда n является индуктивным кардинальным числом. Затем мы легко доказываем

*123·21·23.

Единственное, что еще требуется для доказательства ℵ₀ = ℵ₀, это ℵ₀ = ℵ₀, т.е.

Согласно *120·311, это верно, если ℵ₀ = ℵ₀, что верно, если верно ℵ₀ = ℵ₀. Следовательно

*123·25·26.

откуда, согласно *123·36,

*123·27.

Опять же, из *122·34·341 очевидно, что если κ является прогрессией, κ всегда может быть поставлено в отношение R к индуктивным кардинальным числам (*123·3), поскольку κ состоит из членов x, f'x, ... , f^n'x, ... , и все индуктивные кардинальные числа используются при приведении κ к этому виду. Следовательно

*123·31.

откуда также

*123·311.

Остается доказать, что любой класс, подобный индуктивным кардинальным числам, является ℵ₀; это может быть доказано только при допущении аксиомы бесконечности. Мы доказываем сначала (*120·32), что если κ является прогрессией, а R — взаимно однозначное отношение, обратная область которого есть κ, то R'κ является прогрессией, область которой есть κ. Следовательно

*123·321.

Из этого и *123·31, *123·311 мы получаем

*123·322.

Следовательно, согласно нашим предыдущим результатам

*123·34.

Также мы имеем, согласно *120·322 выше, ℵ₀ = ℵ₀, откуда, поскольку ℵ₀ = ℵ₀, мы получаем наконец

*123·36.

Что касается существования ℵ₀ в различных типах, если ℵ₀ = ℵ₀ верно, т.е. если для любого индуктивного кардинального числа n существуют классы, имеющие n членов и состоящие из членов того же типа, что и n, то ℵ₀ = ℵ₀. Таким образом

*123·37.

Арифметические свойства ℵ₀ в отношении сложения, умножения и возведения в степень индуктивным кардинальным числом легко доказываются. Мы имеем

*123·41.

*123·421.

*123·422.

*123·52.

*123·53.

Все эти предложения хорошо известны.

Ранние предложения настоящего номера по большей части являются непосредственными следствиями предложений, доказанных в *122.

*123·01.

*123·02.

*123·1.

*123·101.

*123·11.

*123·12.

*123·13.

Док.

*123·14.

*123·15.

*123·16.

*123·17.

Док.

*123·18.

*123·19.

*123·191.

*123·192.

Док.

*123·2.

*123·21.

Док.

*123·22.

*123·23.

Док.

*123·24.

Док.

*123·25.

*123·26.

*123·27.

*123·3.

Док.

*123·31.

*123·311.

Здесь не предполагается, что κ и λ одного типа.

*123·312.

Док.

*123·313.

Док.

*123·32.

*123·321.

*123·322.

Док.

*123·323.

*123·33.

*123·34.

*123·35.

*123·36.

*123·361.

*123·37.

Док.

*123·39.

Док.

*123·4.

*123·401.

Док.

*123·41.

*123·411.

*123·42.

Заметьте, что κ_1 — это нечетные члены, а κ_2 — четные члены κ.

Док.

*123·421.

Док.

*123·422.

Док.

*123·43.

Док.

*123·44.

Док.

*123·45.

*123·46.

Док.

*123·47.

Док.

Следующие предложения посвящены доказательству ℵ₀ = ℵ₀. Приведенное доказательство в общих чертах принадлежит Кантору. Оно состоит в том, чтобы показать, что отношение R, определенное в гипотезе *123·5, является прогрессией.

*123·5.

Док.

*123·501.

Док.

*123·502.

Док.

*123·503.

Док.

*123·504.

*123·51.

*123·52.

*123·53.

*123·7.

Док.

*124. РЕФЛЕКСИВНЫЕ КЛАССЫ И КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме *124.

В этом номере мы должны перейти ко второму определению бесконечности, упомянутому во введении к этому разделу. Класс, который является бесконечным согласно этому определению, мы предлагаем называть рефлексивным классом, поскольку класс такого рода способен к рефлексии в часть самого себя. Класс называется рефлексивным, когда существует взаимно однозначное отношение, которое соотносит класс с собственной частью самого себя. (Собственная часть — это часть, не являющаяся целым.) Рефлексивное кардинальное число — это гомогенное кардинальное число рефлексивного класса.

Мы легко доказываем, что рефлексивные классы не являются индуктивными (*124·271), что рефлексивные кардинальные числа таковы, что они больше или равны ℵ₀ (*124·23), и таковы, что они не меняются при прибавлении 1 (за исключением ℵ₀) (*124·25). Доказать, что классы, которые не являются индуктивными, должны быть рефлексивными, до сих пор не удавалось без допущения мультипликативной аксиомы. Однако нам не нужно принимать эту аксиому в общем виде, а только применительно к произведениям факторов. При этом допущении результат следует из серии предложений, объясненных ниже. Таким образом, если произведение факторов, ни один из которых не равен нулю, никогда не равно нулю, то два определения конечного и бесконечного совпадают (*124·56).

Мы будем называть кардинальное число μ «мультипликативным кардинальным числом», если произведение μ факторов, ни один из которых не равен нулю, никогда не равно нулю. Таким образом, все индуктивные кардинальные числа являются мультипликативными кардинальными числами; и допущение, необходимое для отождествления двух определений конечного и бесконечного, состоит в том, что ℵ₀ должно быть мультипликативным кардинальным числом.

Для рефлексивного класса мы используем обозначение «Refl», а для рефлексивного кардинального числа мы используем «Refl_num». Мы определяем рефлексивное кардинальное число как гомогенное кардинальное число рефлексивного класса, т.е. мы полагаем Refl_num = Cls_hom ∩ Refl. Единственный эффект этого состоит в исключении ℵ₀ из рефлексивных кардинальных чисел, что удобно. Затем нам нужно (по аналогии с *110·03, *110·04) определение того, что имеется в виду, когда неоднозначный символ, такой как Refl_num, называется рефлексивным, и поэтому мы полагаем

Для класса мультипликативных кардинальных чисел мы используем обозначение «Mult». Таким образом, мы полагаем Mult = Cls_hom ∩ Mult_num, откуда следует, что если μ ∈ Mult, произведение μ факторов, ни один из которых не равен нулю, никогда не будет равно нулю.

Мы начинаем в этом номере с более очевидных свойств Refl, доказывая, что Refl — это класс, который содержит подклассы из ℵ₀ членов (*124·15), что это класс, число которого не меняется, когда удаляется один член (*124·17), и что он остается рефлексивным, если из него удаляется любой индуктивный класс (*124·182).

Затем мы приводим соответствующие предложения, касающиеся Refl_num (*124·23·25·252), доказывая, в дополнение к уже упомянутым предложениям, что рефлексивное кардинальное число больше любого индуктивного кардинального числа (*124·26), и что класс, который не является ни индуктивным, ни рефлексивным (если таковые существуют), — это класс, который не содержит и не содержится ни в какой прогрессии (*124·34). О таких классах см. замечания в конце этого номера.

Затем (*124·4·41) мы приводим предложение, просто воплощающее определение Mult, и показываем, что все индуктивные кардинальные числа являются мультипликативными, что непосредственно следует из *120·62.

Следующая серия предложений (*124·51 и сл.) посвящена доказательству того, что если μ является мультипликативным кардинальным числом, то два определения конечного и бесконечного совпадают. Доказательство, которое несколько сложно, протекает следующим образом.

Начнем с того, что мы знаем, что если κ — класс, который не является индуктивным, он содержит классы, имеющие n членов, если n — любое индуктивное кардинальное число. Таким образом, мы имеем κ_n ∈ Cls_n ∩ Sub'κ. Классы классов Cls_n ∩ Sub'κ, Cls_1 ∩ Sub'κ, ... , Cls_n ∩ Sub'κ, ... таким образом образуют прогрессию, которая содержится в Cls_hom ∩ Sub'κ. Следовательно (*124·511) Cls_hom ∩ Sub'κ ∈ Prog. До сих пор мультипликативная аксиома не требуется.

Вышеупомянутая прогрессия классов классов есть Cls_n ∩ Sub'κ. Если R — селективное отношение для этого класса классов, R'Cls_n ∩ Sub'κ является прогрессией, содержащейся в κ. Следовательно

*124·513.

откуда

*124·514.

Чтобы доказать следующий шаг, а именно κ ∈ Refl, мы начинаем заново. Мы имеем, по гипотезе, прогрессию, область которой содержится в κ; следовательно, κ ∈ Refl. Таким образом, будет достаточно доказать κ ∈ Refl, где условия значимости требуют, чтобы κ состоял из классов.

Для этой цели мы доказываем, что ни один член κ не может быть последним, у которого есть новые члены, не встречавшиеся ранее. Доказательство продолжается тем, что если бы это было не так, κ был бы индуктивным классом, и поэтому, согласно *120·75, κ был бы индуктивным классом. Следовательно (*124·534) члены κ, которые вводят новые члены, образуют ℵ₀, согласно *123·19; и, следовательно, так же поступают классы новых членов, которые они вводят (*124·535). Следовательно (*124·536) выборка из этих классов новых членов, которая является подклассом κ, также является ℵ₀, и поэтому (*124·54) существует прогрессия, содержащаяся в κ, если существует рассматриваемая выборка. Это завершает доказательство.

В силу *124·511 и *120·74 мы имеем, без мультипликативной аксиомы, κ ∈ Refl ⊃ κ ∈ Inf.

*124·6.

Следовательно, если бы можно было показать, что κ не может быть рефлексивным, если только κ не является рефлексивным, двойное применение этого позволило бы нам, посредством *124·6, отождествить два определения конечного без мультипликативной аксиомы.

*124·01.

Эквивалентным определением было бы

*124·02.

*124·021.

*124·03.

*124·1.

*124·11.

*124·12.

*124·13.

*124·14.

Док.

*124·141.

Док.

*124·15.

Док.

*124·151.

*124·16.

Док.

*124·17.

Док.

*124·18.

*124·181.

Док.

*124·182.

*124·2.

*124·21.

*124·23.

Док.

*124·231.

*124·232.

*124·24.

Док.

*124·25.

*124·251.

*124·252.

Док.

*124·253.

Док.

*124·26.

Док.

*124·27.

*124·271.

Док.

*124·28.

Док.

*124·29.

Док.

*124·3.

*124·31.

В силу вышеприведенного предложения, если существуют какие-либо числа, которые не являются ни индуктивными, ни рефлексивными, они таковы, что они не больше, не меньше и не равны ℵ₀. (Существование ℵ₀ в подходящем типе может быть выведено из существования чисел, которые не являются ни индуктивными, ни рефлексивными; ср. *124·6.) Два дополнительных предложения (*124·33·34) приведены ниже о неиндуктивных нерефлексивных классах и кардинальных числах. Тема возобновляется в замечаниях в конце номера.

*124·33.

*124·34.

Док.

*124·4.

*124·41.