«Principia Mathematica, том 2»

*200. ОТНОШЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕСЯ В РАЗНООБРАЗИИ.

Резюме *200.

Некоторые из предложений этого параграфа являются повторениями или непосредственными следствиями предыдущих предложений, особенно тех предложений *50, которые имеют дело с разнообразием. Но мы здесь главным образом заняты предложениями, которые будут полезны в теории рядов; это приводит нас к введению предложений о [выражение] и о вопросах, связанных с отношенческой арифметикой и другими темами. Будет видно, что «[выражение]» (т.е. «[выражение] асимметрично») является важной гипотезой, как и [выражение], примеры использования которой у нас уже были в *96 и *121.

Следующие предложения являются одними из самых полезных в этом параграфе:

*200·12.

Это предложение, которое делает невозможным определение порядкового числа 1, которое занимало бы свое место среди отношенческих чисел, применимых к рядам.

*200·35.

Это следствие *200·12.

*200·36.

*200·361.

Т.е. если [выражение], никакой член не предшествует самому себе или любому из своих предшественников, и никакой член не следует за самим собой или любым из своих преемников.

*200·38.

*200·39.

Затем у нас есть коллекция предложений, касающихся отношенческой арифметики.

*200·211.

Т.е. свойство содержания в разнообразии инвариантно для преобразований схожести;

*200·4.

*200·41.

и другие подобные предложения.

Затем у нас есть набор предложений, касающихся [выражение] и [выражение]. Наиболее важными являются

*200·5.

*200·52.

*200·53.

Т.е. если [выражение] асимметрично, члены, которые предшествуют части [выражение], не следуют за всем [выражение], и наоборот.

*200·11.

*200·12.

Док.

*200·2.

Док.

*200·21.

Док.

*200·211.

Свойства отношений очень часто являются общими для всех отношений, которые подобны данному отношению, и это особенно относится к тем видам свойств, которыми мы больше всего заняты. Вышеприведенное предложение является иллюстрацией этого факта: оно показывает, что свойство содержания в разнообразии инвариантно для преобразований схожести.

*200·22.

Док.

Мы имеем, без необходимости типической определенности, [выражение], оба из которых являются непосредственными следствиями *200·211. Обратные импликации, однако, не выполняются, если [выражение] взято в типе, в котором [выражение].

*200·3.

*200·31.

*200·32.

*200·33.

*200·34.

*200·35.

Док.

*200·36.

*200·361.

Док.

*200·37.

Док.

*200·38.

*200·381.

Док.

*200·39.

Док.

*200·391.

Док.

Вышеприведенное предложение полезно в теории сегментов.

Следующие предложения касаются идей отношенческой арифметики. Аналогичные предложения будут доказаны для транзитивности и связности в *201 и *202, откуда аналогичные предложения, касающиеся рядов, будут выведены в *204.

*200·4.

Док.

Это предложение является частью доказательства того, что сумма двух взаимно исключающих рядов есть ряд.

*200·41.

*200·42.

Док.

Следующие предложения (*200·421·422·423) являются леммами для *204·53.

*200·421.

Док.

*200·422.

Док.

*200·423.

Док.

*200·43.

Док.

Следующие предложения, за исключением *200·52, касаются [выражение] и [выражение], т.е. класса членов, предшествующих (или следующих за) всему [выражение].

*200·5.

Док.

*200·51.

Док.

*200·52.

Док.

Это предложение часто используется в теории вполне упорядоченных рядов.

*200·53.

Док.

Вышеприведенное предложение часто используется. Если [выражение] — существующий класс, содержащийся в [выражение], [выражение] и [выражение] — две части дедекиндова «сечения», определяемого [выражение] (исключая максимум [выражение], если таковой имеется). Вышеприведенное предложение показывает, что эти две части взаимно исключают друг друга.

*200·54.

Док.

Это предложение является леммой, цель которой — избежать необходимости введения гипотезы или в доказательствах, в которых она не является действительно необходимой. Первое использование этого предложения встречается в *206·551.

*201. ТРАНЗИТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *201.

Существует две основные разновидности транзитивных отношений, а именно те, которые являются симметричными, и те, которые являются асимметричными. Транзитивные симметричные отношения обладают формальными свойствами равенства: примеры таких отношений встречались выше, например, тождество, схожесть и подобие. Однако предложения настоящего раздела скорее являются такими, которые будут полезны в связи с транзитивными асимметричными отношениями, поскольку они предназначены для применения к рядам.

Мы обозначаем класс транзитивных отношений через «»; таким образом, многие предложения этого раздела аналогичны предложениям, номера которых имеют ту же десятичную часть в *200. Таковы: если транзитивно, то таково и его обратное (*201·11), и таково любое отношение, которое подобно P (*201·211); и транзитивны (*201·3·31); если транзитивно, то таково и (*201·33). Предложения *201·4—·42, которые имеют дело с идеями отношенческой арифметики, также аналогичны *200·4—·42.

Однако большинство других предложений этого раздела не имеют аналогов в *200. Среди наиболее важных из них — следующие:

*201·14.

*201·15.

*201·18.

Это предложение очень важно, поскольку оно обеспечивает огромное упрощение при использовании всех предложений, включающих или, когда эти предложения должны быть применены к транзитивным отношениям. Благодаря вышеуказанному предложению отпадает, когда речь идет о транзитивных отношениях. С другой стороны, остается полезным: если , «» будет означать «предшествует или является », что, если порождает ряд, членами которого являются и , эквивалентно «не следует за ».

У нас есть ряд предложений (*201·5—·56) о и . Основные из них:

*201·5.

*201·501.

Эти два предложения выражают тот факт, что предшественник предшественника является предшественником.

*201·52.

Таким образом, если состоит из вместе с предшественниками его членов.

*201·521.

*201·55.

Далее у нас есть набор важных предложений о и . Основные из них:

*201·63.

*201·65.

Об этих двух предложениях см. примечания, приложенные к ним ниже.

*201·01.

*201·1.

*201·11.

Док.

*201·12.

В силу этого предложения, содержание в отношении различия эквивалентно (когда речь идет о транзитивных отношениях) асимметрии. В общем случае это не так для отношений, которые не являются транзитивными; так, например, само отношение различия содержится в отношении различия, но является симметричным.

*201·13.

Док.

*201·14.

Док.

Следующие предложения (*201·15—·19) касаются и .

*201·15.

*201·16.

Это предложение важно, поскольку часто случается, что ряд задается как определенный взаимно-однозначным отношением , как, например, в *122, и в таких случаях является сериальным отношением в нашем текущем смысле. Согласно вышеуказанному предложению, всегда транзитивно; согласно *96·421, связано, когда ограничено потомством данного члена, при условии ; согласно *96·23, если и , содержится в отношении различия на всем протяжении потомства . Таким образом, если — взаимно-однозначное отношение, ограниченное любым семейством, имеющим начало, будет сериальным отношением.

*201·17.

Док.

*201·18.

Док.

Это предложение важно, поскольку оно упрощает все предложения, касающиеся и , в случае, если транзитивно. Следующее предложение является примером этого упрощения.

*201·19.

Следующие предложения (*201·2—·22) касаются доказательства того, что транзитивность не затрагивается преобразованиями подобия и, следовательно, принадлежит каждому члену отношенческого числа или ни одному из них.

*201·2.

Док.

*201·201.

*201·21.

Док.

*201·211.

Это показывает, что транзитивность — это свойство, которое не меняется при преобразованиях подобия. Следовательно,

*201·212.

*201·22.

*201·3.

Док.

*201·31.

Док.

Если не , . Отношение, квадрат которого есть , является транзитивным, поскольку содержится в каждом отношении.

*201·32.

Док.

*201·33.

Док.

Следующие предложения (*201·4—·42) касаются идей отношенческой арифметики.

*201·4.

Док.

*201·401.

Док.

*201·41.

Док.

*201·411.

*201·42.

Док.

Следующие предложения (*201·5—·56) касаются и , т.е. предшественников некоторой части класса и предшественников всего класса.

*201·5.

*201·501.

*201·51.

Док.

*201·52.

*201·521.

*201·53.

*201·54.

*201·55.

Док.

Следующее предложение является леммой, которая используется в *205·192 и *206·24.

*201·56.

Док.

Следующие предложения, до конца раздела, касаются отношения , определенного в *121. Мы можем рассматривать как означающее «непосредственно предшествует». *201·6·61·62 являются леммами для *201·63.

*201·6.

Док.

*201·61.

Док.

*201·26.

*201·63.

Вышеуказанное предложение имеет фундаментальное значение. Отношение (определенное в *121) играет большую роль в теории рядов. Это отношение «непосредственного предшествования». Его область определения состоит из тех членов, которые имеют непосредственных преемников; его область значений — из тех, которые имеют непосредственных предшественников. Во вполне упорядоченных рядах , в то время как состоит из всех членов (кроме первого), которые не принадлежат первой производной (ср. *216). В любом ряду состоит из всех членов, которые являются пределами возрастающих рядов, а состоит из всех членов, которые являются пределами убывающих рядов.

*201·64.

Док.

*201·65.

Когда является рядом, — это условие того, что он является компактным рядом, т.е. таким, в котором между любыми двумя членами есть другие. В силу *201·65 это условие эквивалентно , что означает, что ни один член не имеет непосредственного предшественника.

Следующее предложение впервые используется в *253·521.

*201·66.

Док.

*201·661.

Док.

Вышеуказанное предложение является леммой для следующего.

*201·662.

Это предложение впервые используется в *253·521.

*202. СВЯЗНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *202.

Отношение называется связным, когда либо оно само, либо его обратное выполняется между любыми двумя различными членами его поля, т.е. когда, если , , мы имеем . Таким образом, поле связного отношения состоит из одного семейства, если только отношение не является пустым, и в этом случае у него нет семейств. И наоборот, отношение, которое имеет одно семейство или ни одного, является связным. Связность необходима, в дополнение к транзитивности и асимметрии, для того чтобы отношение могло порождать единый ряд. Если — класс транзитивных или асимметричных отношений, то транзитивно или асимметрично; но если — класс связных отношений, то в общем случае не является связным. Следовательно, если — класс рядов, то не является одним рядом, а является множеством отдельных рядов. Это одна из причин, почему арифметическая сумма отношения отношений определяется не как , а как (ср. *162), поскольку последнее, но не первое в общем случае, является связным, когда и все члены являются связными (*202·42).

Когда связно, если — любой класс, содержащийся в , мы имеем , и существует не более одного члена , не принадлежащего ни , ни . Этот член , если он существует, является максимумом . Если, далее, (т.е. если асимметрично), . Таким образом, когда и связно, и асимметрично, и являются дополнениями друг друга, и вместе они составляют дедекиндово сечение, определяемое тем, что — это все члены, которые не следуют за всем , а — это все члены, которые следуют за всем .

Более общо, если — любой класс, не обязательно содержащийся в , тогда, когда связно, мы имеем , и когда асимметрично, мы имеем . Таким образом, когда оба условия выполнены, мы имеем (*202·503)

Вышеуказанные включения и вытекающее из них равенство будут постоянно требоваться в дальнейшем. Деление на две взаимно исключающие части — это дедекиндово «сечение», определяемое классом . Если , две части становятся, как упоминалось выше, . Если, далее, не пусто, они становятся . Если содержится в и содержит всех своих собственных предшественников, они становятся . В этой упрощенной форме дедекиндовы «сечения» будут рассмотрены позже (*211).

Мы принимаем в качестве нашего определения

Некоторые из предложений настоящего раздела являются аналогами предложений в *200 и *201. Таковы: если связно, то таково и (*202·11); если связно, то таково и любое подобное отношение (*202·211); и связны (*202·3·31); если связно, то таково и (*202·33); а также различные предложения, связанные с отношенческой арифметикой (*202·4—·42). Однако большинство предложений этого раздела имеют дело со свойствами, присущими связности. Среди наиболее важных из них:

*202·101.

*202·103.

Это лишь альтернативные формы определения.

*202·13.

*202·5.

*202·501.

*202·503.

*202·505.

*202·52.

*202·524.

*202·55.

В силу этого предложения (и других), если является рядом, а — класс (не единичный класс), содержащийся в , то — это порождающее отношение ряда, состоящего из класса в том порядке, который он имеет в ряду .

*202·7.

Это предложение следует рассматривать в связи с *201·63. Вместе они показывают, что когда является рядом, — взаимно-однозначное отношение.

*202·01.

Определение см. в *97·01.

*202·1.

*202·101.

*202·102.

*202·103.

*202·104.

*202·11.

*202·12.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *202·181 включительно (за исключением *202·16·161), касаются и . Часто случается, что они связны, когда не является таковым, например, если — отношение среди индуктивных кардинальных чисел.

*202·13.

Док.

*202·131.

*202·132.

*202·133.

Док.

*202·134.

*202·135.

Док.

*202·136.

*202·137.

*202·138.

*202·14.

*202·141.

*202·15.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в порядковой теории конечного и бесконечного (*260·4).

*202·16.

Док.

*202·161.

Док.

*202·162.

Док.

*202·17.

Док.

*202·171.

*202·172.

*202·18.

Док.

*202·181.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в порядковой теории конечного и бесконечного (*261·2).

Следующее предложение является леммой для *202·211, которая показывает, что если отношение связно, то таковы и все подобные отношения.

*202·21.

Док.

Доказательства трех следующих предложений проводятся подобно доказательствам аналогичных предложений в *200 и *201.

*202·211.

*202·212.

*202·22.

*202·3.

Док.

*202·31.

Док.

*202·33.

Док.

Следующие предложения (*202·4—·42) касаются приложений отношенческой арифметики.

*202·4.

Док.

Вышеуказанное предложение иллюстрирует причины определения , как это было сделано в *160. Когда и связны, в общем случае не является связным: именно дополнительный член обеспечивает связность.

*202·401.

Док.

*202·41.

Док.

*202·411.

*202·412.

Док.

*202·42.

Док.

*202·5.

Док.

Следующие предложения (*202·501-·51) касаются отношений и . Они важны, и *202·501·503·505 будут часто использоваться.

*202·501.

Док.

*202·502.

Док.

*202·503.

Док.

*202·504

Док.

*202·505.

Док.

*202·51.

Док.

Следующие предложения (*202·511—·524) касаются . *202·52 показывает, что если , не может иметь более одного первого члена или более одного последнего члена, и *202·523 показывает, что это все еще верно, если только связно. *202·511 показывает, что если — связное отношение, которое имеет первый член, тогда, если — любой класс, существуют предшественники всего , когда и только когда является таким предшественником, и когда и только когда . *202·524 показывает, что если связно и имеет первый член, состоит из преемников первого члена. Эти предложения часто используются.

*202·511.

Док.

*202·52.

Док.

*202·521.

Док.

*202·522.

*202·523.

*202·524.

Док.

Следующие предложения (*202·53—·55) касаются отношений с ограниченными полями. Такие отношения постоянно используются в теории рядов.

*202·53.

Док.

Это предложение важно в рядах. Если и — сериальные отношения, и , они удовлетворяют вышеуказанной гипотезе; следовательно, если — ряд, содержащийся в данном ряду , — это просто с ограниченным полем. Таким образом, ряды, содержащиеся в данном ряду, полностью определяются своими полями.

*202·54.

Док.

Вышеуказанное предложение часто используется. *202·55, которое является непосредственным следствием *202·54, используется постоянно.

Следующее предложение используется в *232·14.

*202·541.

Док.

*202·55.

*202·56.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *212·652.

*202·6.

Док.

Следующее предложение является леммой для *202·62, которое само по себе является леммой для *204·52.

*202·61.

Док.

*202·611.

*202·62.

Док.

Три следующих предложения (*202·7—·72) касаются . Из них *202·7 важно: оно показывает, что если связно, ни один член не может иметь более одного непосредственного предшественника или преемника. *202·72 используется в *204·71, которое является важным предложением.

*202·7.

Док.

*202·71.

Док.

*202·72.

*202·8.

Док.

*202·81.

Док.

Вышеуказанное предложение показывает, что если связно и любой класс выбран из , тогда упорядочивает в порядке, который подобен тому, в котором упорядочивает корреляты .

*204. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА РЯДОВ.

Сводка *204.

В этом разделе мы даем определение и несколько более простых свойств рядов. Большинство предложений этого раздела вытекают непосредственно из предложений *200, *201 и *202. Наше определение:

У нас есть

*204·16.

любое из которых могло быть принято в качестве определения.

После нескольких предложений, дающих другие возможные формы определения ряда, мы переходим к набору предложений, которые следуют непосредственно из предложений *200, *201 и *202. Таковы

*204·2.

*204·21.

*204·24.

*204·25.

Еще одно важное предложение о парах:

*204·272.

так что пары — это единственные ряды, имеющие единичные классы в качестве своих областей определения или областей значений.

Затем мы переходим к набору предложений о . У нас есть

*204·33.

Также, если — взаимно-однозначное отношение и (*204·34·35).

Затем у нас есть несколько предложений (*204·4—·44) об отношениях с ограниченными полями. Наиболее важные из них:

*204·4.

*204·41.

Это предложение важно, поскольку оно показывает, что любой ряд, содержащийся в данном ряду, полностью определяется, когда задано его поле.

Далее у нас есть ряд предложений (*204·45—·59), применяющих отношенческую арифметику к рядам. Первый набор из них (*204·45—·483) касается доказательства того, что если в ряду сделано «сечение», ряд является суммой двух частей, на которые сечение его делит, где сумма берется в смысле *160 или *161, в зависимости от того, состоит ли одна часть сечения из одного члена или нет. Большинство этих предложений не требуют полной гипотезы о том, что является рядом, а только некоторой ее части. Так, например, у нас есть

*204·46.

с аналогичным предложением для и (*204·461).

Далее мы доказываем, что если и — взаимно исключающие ряды, их сумма является рядом, и наоборот (*204·5); что если — ряд, к которому не принадлежит , и являются рядами, и наоборот (*204·51); что если — ряд взаимно исключающих рядов, его сумма является рядом (*204·52); что если и — ряды, то таково и (*204·55); что если — ряд рядов, содержится в отношении различия и является транзитивным (*204·561), в то время как если также вполне упорядочен, т.е. таков, что каждый существующий подкласс имеет первый член, тогда является рядом (*204·57); и что если и — ряды, и вполне упорядочен, тогда и являются рядами (*204·59). Эти предложения существенны для порядковой арифметики, но к ним не будут возвращаться до тех пор, пока мы не достигнем этого этапа (Разделы D и E этой Части).

Далее у нас есть коллекция предложений (*204·6—·65) о для различных значений , и, наконец, три предложения о . Два из них часто используются, а именно

*204·7.

*204·71.

*204·01.

*204·1.

*204·11.

*204·12.

*204·121.

*204·13.

Док.

*204·14.

*204·15.

Док.

*204·151.

*204·16.

У нас также есть . Ибо, согласно *200·37, поскольку , следует, что

Отношение, такое как , где , удовлетворяет , но не . С другой стороны, удовлетворяет , но не .

*204·2.

*204·21.

*204·22.

*204·23.

*204·24.

*204·25.

*204·26.

Три следующих предложения имеют дело с парами. Пары часто требуют особого обращения в силу того факта, что если — пара, , так что , тогда как в любом другом случае, если — ряд, . Следовательно, часто требуются следующие предложения.

*204·27.

Док.

*204·271.

Док.

*204·272.

*204·3.

*204·32.

Док.

*204·33.

Док.

Три следующих предложения требуют только , но необходимы для применения к рядам, и поэтому удобны в форме, приведенной здесь.

*204·331.

*204·34.

*204·35.

Это предложение показывает, что ряд сегментов, которые имеют верхние пределы, подобен исходному ряду, ибо сегмент, чей верхний предел есть , — это , и ряд таких сегментов — это .

Следующие предложения (*204·4—·44) касаются отношений с ограниченными полями.

*204·4.

*204·41.

В силу вышеуказанных двух предложений, ряды, содержащиеся в данном ряду, — это отношения, возникающие в результате ограничения поля; процесс ограничения поля — это просто процесс выбора части исходного ряда без изменения порядка.

*204·42.

*204·421.

*204·43.

Док.

*204·44.

Следующие предложения (*204·45—*204·483) касаются деления ряда на две части, одна из которых полностью предшествует другой. Случай, когда одна из частей состоит из одного члена, требует особого обращения, как и случай, когда обе части состоят из одного члена, т.е. когда ряд является парой.

*204·45.

Док.

*204·46.

Док.

*204·461.

*204·462.

*204·463.

Док.

*204·47.

Док.

*204·48.

Док.

*204·481.

*204·482.

Док.

*204·483.

Следующие предложения касаются применения отношенческой арифметики к рядам.

*204·5.

*204·51.

*204·52.

Док.

*204·53.

Док.

*204·54.

Док.

*204·55.

Док.

*204·551.

Док.

*204·56.

Док.

*204·561.

Док.

Для того чтобы доказать, что связно, нам требуется дополнительная гипотеза, а именно, что вполне упорядочен, т.е. что каждый класс, содержащийся в и не являющийся пустым, имеет первый член.

*204·562.

Док.

*204·57.

*204·58.

Док.

*204·581.

*204·59.

Док.

Два следующих предложения являются леммами для *204·62.

*204·6.

Док.

*204·61.

Док.

*204·62.

Док.

*204·63.

Док.

*204·64.

Док.

Следующее предложение используется в *234·101.

*204·65.

Док.

*204·7.

Об этом предложении см. замечания, предшествующие *201·6.

*204·71.

*204·72.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *274·23.

*205. МАКСИМАЛЬНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ.

Сводка *205.

Минимальные точки класса относительно отношения — это те члены , которые принадлежат полю , но по отношению к которым ни один член не имеет отношения ; то есть это те члены , которые принадлежат , но не имеют предшественников в . Аналогично, максимальные точки — это те члены , которые принадлежат , но не имеют преемников в . Оба эти понятия уже были определены в *93, но там они использовались только для специальной цели изучения порождений. Их главная полезность — в связи с рядами, и именно в этой связи мы теперь будем их рассматривать. Многие свойства максимумов и минимумов в рядах не требуют всей гипотезы «», а только «». Это верно, в частности, для фундаментального свойства максимумов и минимумов в рядах, а именно того, что каждый класс имеет не более одного максимума и одного минимума. Минимум класса, если он существует, является первым членом класса, а максимум, если он существует, — последним членом. Максимумы относительно — это минимумы относительно ; следовательно, свойства максимумов вытекают непосредственно из соответствующих свойств минимумов и будут изложены без доказательств в дальнейшем.

Будет видно, что максимумы и минимумы зависят только от : часть (если таковая имеется), которая не содержится в , не имеет значения.

В соответствии с определениями *93, класс минимумов обозначается через , где определение таково: . Таким образом, — это отношение, содержащееся в . Когда связно, мы имеем , т.е. (согласно *71·12) . Отсюда следует, что если — множество классов, которые все имеют минимумы, — это селективное отношение для , т.е. . Благодаря этому факту существование селекций иногда может быть доказано при работе с рядами (особенно с вполне упорядоченными рядами) в случаях, когда такое доказательство было бы невозможно, если бы не было задано сериальное упорядочивание.

Определение выбрано так, чтобы исключить из ту часть , которая не содержится в , и сделать , т.е. , при условии . По этим двум причинам мы должны отвергнуть два более простых определения, которые в противном случае могли бы показаться предпочтительными. Одно из них дало бы , которое могло бы быть получено путем подстановки . Это согласуется с нашим определением всякий раз, когда , но не в противном случае, поскольку оно включает в любую часть , не содержащуюся в . Следовательно, это требует гипотезы во многих предложениях, которые с нашим определением не требуют этой гипотезы, и, в частности, в предложении , так что вместо того, чтобы иметь (как с нашим определением) , мы имели бы только . По этим причинам данное определение менее удобно, чем то, которое мы приняли.

Другое определение, которое напрашивается, — это то, которое даст . Если бы это определение было принято, мы могли бы вообще обойтись без специального обозначения, используя вместо . Однако это определение имеет тот недостаток, что если и , так что мы имеем . Это требует добавления гипотезы (как в *204·45 выше, например) в случаях, когда с нашим определением такая гипотеза не требуется. Если мы возьмем вместо в качестве класса минимальных точек, мы обеспечим , когда и , но не когда . Таким образом, у нас все еще есть исключения, против которых нужно предусмотреть меры, которые не возникают с определением, которое мы приняли.

Первые несколько предложений этого раздела уже были доказаны в *93, но повторяются здесь для удобства ссылки.

Предложения этого раздела многочисленны и часто используются. Среди элементарных свойств и , с которых начинается раздел, следует отметить следующие:

*205·12.

*205·123.

*205·14.

*205·15.

*205·16.

*205·18.

*205·19.

*205·194.

Благодаря этому предложению мы иногда можем обойтись без гипотезы в предложениях о минимумах, которые в противном случае требовали бы этой гипотезы.

*205·197.

Наш следующий набор предложений (*205·2—·27) вводит гипотезу о том, что связно, или транзитивно и связно. Основные из них:

*205·21.

Т.е. если минимум существует, он предшествует любому другому члену .

*205·22.

Т.е. члены, которые идут после некоторой части , — это те, которые идут после его минимума (когда минимум существует).

*205·25.

Далее у нас есть фундаментальное предложение:

*205·3.

откуда

*205·31.

что ведет к

*205·33.

Это предложение полезно в теории вполне упорядоченных рядов. Заметьте, что «» означает, что состоит из классов, которые имеют минимумы.

Далее у нас есть набор предложений (*205·4—·44), имеющих дело с отношениями к и ; затем у нас есть предложения об отношениях минимумов двух разных классов, из которых наиболее полезным является

*205·55.

Далее у нас есть различные предложения о , из которых главное:

*205·65.

Т.е. предшественники всего класса, содержащегося в , — это предшественники его минимума (если он у него есть).

Полезное предложение:

*205·68.

Т.е. если — наследственный класс, его минимумы относительно такие же, как его минимумы относительно .

Далее мы доказываем, что если имеет максимум, то таково и (*205·7), и что если , только единичный класс может иметь свой максимум, идентичный своему минимуму (*205·73).

*205·8—·85 касаются отношенческой арифметики. Главное предложение здесь —

*205·8.

Т. е. в любой корреляции минимумы коррелятов класса являются коррелятами минимумов.

Мы завершаем двумя предложениями об отношениях с ограниченными полями. Более полезным из них является

*205·9.

*205·1.

*205·101.

*205·102.

*205·11.

*205·111.

*205·12.

*205·121.

*205·122.

*205·123.

*205·13.

*205·131.

*205·14.

*205·141.

*205·15.

*205·151.

*205·16.

*205·161.

*205·17.

Док.

*205·18.

Док.

*205·181.

Док.

*205·182.

Док.

*205·183.

Док.

*205·19.

Док.

*205·191.

*205·192.

Док.

*205·193.

*205·194.

Док.

*205·195.

*205·196.

Док.

*205·197.

*205·2.

Док.

В оставшейся части настоящего номера, когда предложение доказано для P, мы не будем приводить соответствующее предложение для P̃, если только оно не является особо важным. Когда предложения, касающиеся P̃, потребуются для ссылки в дальнейшем, мы будем ссылаться на соответствующие предложения для P, в случае если не существует ссылки для P̃.

*205·21.

*205·211.

Док.

*205·22.

*205·23.

Док.

*205·24.

*205·241.

*205·25.

Док.

Следующее предложение используется в теории вполне упорядоченных рядов (*250·2).

*205·251.

*205·252.

*205·253.

*205·254.

*205·255.

Док.

*205·256.

*205·26.

Док.

*205·261.

Док.

*205·262.

Док.

*205·27.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *250·7.

*205·3.

Док.

Вышеуказанное предложение имеет большое значение в теории максимумов и минимумов.

*205·31.

*205·32.

*205·33.

Док.

*205·34.

Следующее предложение используется в *260·17.

*205·35.

Док.

*205·36.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *230·53.

*205·37.

Следующее предложение используется в *257·21.

*205·38.

Док.

*205·381.

Док.

Три следующих предложения подводят к *205·42, которое используется в *261·26.

*205·4.

Док.

*205·401.

Док.

Следующее предложение, помимо того что оно требуется для *205·41, используется в *250·151.

*205·41.

Док.

*205·42.

Док.

Следующее предложение подводит к *205·44.

*205·43.

Док.

*205·44.

Следующие предложения рассматривают обстоятельства, при которых минимум одного класса идентичен минимуму другого или предшествует ему.

*205·5.

Док.

*205·501.

Док.

*205·51.

Док.

*205·52.

Док.

*205·53.

Док.

*205·54.

*205·55.

Док.

*205·56.

Док.

*205·561.

*205·6.

*205·601.

*205·61.

*205·62.

*205·63.

*205·64.

Док.

*205·65.

Док.

*205·66.

*205·67.

Док.

*205·68.

Док.

*205·681.

*205·7.

Док.

*205·71.

Док.

*205·72.

*205·73.

Док.

*205·731.

*205·732.

Док.

Следующие предложения подводят к *205·75, которое показывает, что минимум класса принадлежит P, если только часть класса, содержащаяся в P, не является Λ.

*205·74.

Док.

*205·741.

Док.

*205·742.

Док.

*205·75.

Заметьте, что P ∩ α ⊂ P ∩ β в общем случае не эквивалентно P ∩ α ⊂ P ∩ β, поскольку последнее подразумевает P ∩ α ⊂ P ∩ β, тогда как первое — нет.

Следующее предложение важно.

*205·8.

Док.

*205·81.

Док.

*205·82.

Два следующих предложения используются в *251·13.

*205·83.

Док.

*205·831.

Док.

Два следующих предложения используются в *251·14.

*205·832.

Док.

*205·833.

Док.

Следующее предложение используется в *251·25.

*205·84.

Док.

*205·841.

Док.

Следующее предложение используется в *251·2.

*205·85.

Док.

*205·9.

*205·91.

Док.

*206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ.

Резюме *206.

«Секвентом» класса α является минимум членов, которые идут после всего класса α; то есть мы полагаем P`α = min (P“ (CʻP - α)). Таким образом, секвенты α — это его непосредственные преемники. Если α имеет максимум, секвенты являются непосредственными преемниками максимума; но если α не имеет максимума, не будет ни одного члена P, за которым непосредственно следует секвент α; в этом случае, если α имеет единственный секвент, секвент является «верхним пределом» α. Всякий раз, когда P связно, а следовательно, всякий раз, когда P является рядом, каждый класс имеет один секвент или ни одного по отношению к P, согласно *205·3.

Будет видно, что секвенты α такие же, как секвенты α ∩ CʻP, и, следовательно, P`α зависит только от α ∩ CʻP: если α имеет члены, не принадлежащие CʻP, они не имеют значения.

Для непосредственных предшественников класса α мы полагаем P̃`α = min (P̃“ (CʻP - α)). Мы имеем P̃`α = P`α, так что предложения о P̃`α следуют из предложений о P`α путем простой замены P на P̃; поэтому они не будут приведены в дальнейшем.

Среди элементарных свойств P`α, с которых начинается этот номер, наиболее важными являются следующие:

*206·13.

Это лишь воплощает определение.

*206·131.

*206·134.

*206·14.

Таким образом, если α имеет первый член, это секвент пустого класса или любого другого класса, который не имеет общих членов с α.

*206·16.

Это непосредственно следует из *205·3. Это ведет к

*206·161.

Таким образом, если P — связное отношение, ни один класс не имеет более одного секвента. В общем случае это не так для отношений, которые не являются связными, даже там, где идея секвентов вполне естественно применима. Возьмем, например, отношение потомка к предку, и пусть α будет классом монархов Англии. Тогда P`α будут такими родителями монархов, которые сами не были монархами.

*206·171.

Это предложение утверждает, что y является секвентом α, если весь класс α предшествует y, но каждый член, который предшествует y, либо принадлежит α, либо предшествует некоторому члену α. Когда P — ряд и α не имеет максимума, мы имеем P`α = y, т. е. секвент α, если он существует, — это член, чьи предшественники идентичны предшественникам членов α. Это случай предела (ср. *207).

Далее у нас есть набор предложений (*206·211—·28), касающихся P`α и P̃`α. Когда P транзитивно и связно, а α — существующий класс, содержащийся в CʻP и имеющий секвент, мы будем иметь P`α = y. То есть предшественники секвента — это члены α и предшественники членов, в то время как секвент и его преемники — это преемники всего класса α. Различные части этого утверждения требуют различных частей гипотезы. Таким образом, мы имеем

*206·211.

*206·213.

*206·22.

*206·23.

Если P транзитивно, значение P`α не меняется, если мы добавим к α любой набор членов, содержащихся в P“α (*206·24); таким образом, в частности, P`α = P`(α ∪ P“α) (*206·25). Таким образом, мы можем заполнить любые пробелы в α и взять весь ряд до конца α, не меняя секвент.

Далее у нас есть набор предложений (*206·3 — *206·38) о секвенте P`α, т. е. сегмента, определенного y. Если P — ряд, P`α — это максимум α, если α имеет максимум, секвент α, если α имеет секвент, но не имеет максимума, и несуществующий, если α не имеет ни максимума, ни секвента (*206·35·331·36).

Наш следующий набор предложений (*206·4 — ·52) касается секвентов единичных классов, особенно {x}, и классов вида P“{x}.

*206·4.

*206·42.

откуда следуют три предложения:

*206·43.

*206·45.

*206·46.

Из вышеуказанных предложений следует, что, когда P — ряд, любой член x ряда P является секвентом класса его предшественников, x является секвентом P“{x}, если любой из них существует, и секвент класса, который имеет максимум, является непосредственным преемником (если таковой имеется) максимума, т. е.

*206·5.

Затем у нас есть набор предложений (*206·53 — ·57) о секвенте P“{x}, т. е. секвенте предшественников всего класса α. Эти предложения особенно полезны в связи с «дедекиндовыми» рядами, т. е. рядами, в которых каждый класс имеет либо максимум, либо секвент (*214). Все эти предложения требуют полной гипотезы о том, что P — ряд. В этом случае P`α = min (P“α), т. е. секвент (если он существует) предшественников всего класса α — это минимум (если он существует) α. Более того, по определению максимум α, если он существует, — это прецедент P`α. Следовательно, α имеет либо минимум, либо прецедент, если α имеет либо секвент, либо максимум (*206·54). Более того, секвент и максимум α являются соответственно (если они существуют) секвентом и максимумом предшественников всех преемников всего класса α (*206·551). Следовательно, мы приходим к выводу, что предположение о том, что каждый класс вида P“{x} имеет либо максимум, либо секвент, эквивалентно как предположению о том, что каждый класс имеет либо максимум, либо секвент (*206·56), так и предположению о том, что каждый класс имеет либо минимум, либо прецедент (*206·55). Отсюда следует, что эти два последних предположения эквивалентны (*206·57), т. е. что ряд является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его конверс является дедекиндовым (*214·14).

Далее мы рассматриваем (*206·6 — *206·63) корреляции, показывая, что если два отношения коррелированы, секвенты коррелятов любого класса являются коррелятами секвентов, т. е.

*206·61.

Мы завершаем набором предложений (*206·7 — ·732), показывающих, что секвент класса не меняется, если мы удалим из класса любой член, кроме его максимума (*206·72); что если класс имеет члены в P, и имеет как прецедент, так и секвент, прецедент имеет отношение P к секвенту (*206·73), и что прецедент не идентичен секвенту (*206·732). Эти предложения носят характер лемм, использование которых в основном относится к теории отрезков (*215).

*206·01.

*206·02.

*206·1.

*206·101.

Мы не будем формулировать никаких других предложений о P̃`α (если только не будет особой причины), поскольку вышеуказанное предложение позволяет вывести их непосредственно из соответствующих предложений о P`α.

*206·11.

Заметьте, что когда α не пусто, α ∩ CʻP = α, так что множитель α ∩ CʻP справа излишен; но когда α ∩ CʻP = Λ, мы имеем P`α = P`Λ, так что множитель α ∩ CʻP становится значимым. Благодаря этому множителю секвенты α — это P`α, так что если P`α существует, P`α — это секвент α.

*206·12.

*206·13.

*206·131.

*206·132.

*206·133.

*206·134.

Док.

Эта формула для P`α обычно более удобна, чем *206·13·132.

*206·14.

Док.

*206·141.

Док.

*206·142.

*206·143.

*206·144.

*206·15.

*206·16.

*206·161.

Таким образом, в ряду или в любом связном отношении ни один класс не имеет более одного секвента.

*206·17.

Док.

Следующие предложения дают упрощенные формулы для P`α в различных частных случаях.

*206·171.

Док.

*206·172.

*206·173.

*206·174.

Док.

Предложения *206·173·174 рассматривают пределы. Когда класс α не имеет максимума, т. е. когда P“α ∩ α = Λ, его секвент (если он существует) называется его пределом. Согласно вышеуказанным предложениям, предел — это член y такой, что весь класс α предшествует y, но каждый предшественник y предшествует некоторому члену α (*206·173); это также член, чьи предшественники идентичны предшественникам членов α (*206·174). Тема пределов будет явно рассмотрена в *207.

*206·18.

*206·181.

*206·2.

Док.

*206·21.

*206·211.

Док.

*206·212.

Док.

*206·213.

Док.

*206·22.

*206·23.

Док.

*206·24.

Док.

*206·25.

*206·26.

Док.

*206·27.

Док.

*206·28.

Док.

*206·3.

*206·31.

*206·32.

Док.

В гипотезе *206·32 мы имеем как P ∈ Trans, так и P ∈ Conn. Пока P не содержится в Diversity, оба они необходимы. Например, предположим, что мы берем P = I. Тогда P транзитивно и связно, но не содержится в Diversity. Мы имеем P`{x} = x. Также P̃`{x} = x. Таким образом, в этом случае P`{x} существует, но P̃`{x} не существует. Когда P — ряд, т. е. когда P содержится в Diversity, помимо того, что P транзитивно и связно, существование P`α влечет существование P̃`α, и поэтому гипотеза P ∈ Conn, которая появляется в *206·32, становится ненужной.

*206·33.

Док.

*206·331.

*206·34.

Док.

*206·35.

Док.

*206·36.

Док.

Условие P ∈ Dedekind является определением того, что можно назвать «дедекиндовыми» рядами, т. е. рядами, в которых, когда любое деление поля на две части производится таким образом, что первая часть полностью предшествует второй, тогда либо первая часть имеет последний член, либо вторая часть имеет первый член. (Когда эти альтернативы также являются взаимоисключающими, ряд имеет «дедекиндову непрерывность».) Если α — любой класс, P“α — это сегмент P, определенный α. В силу вышеуказанного предложения, каждый сегмент дедекиндова ряда имеет секвент. Секвент класса, не имеющего максимума, — это то, что обычно называют пределом. Таким образом, в ряду, имеющем дедекиндову непрерывность (в котором сегменты никогда не имеют максимумов), каждый сегмент имеет предел.

*206·37.

Док.

*206·38.

Док.

*206·4.

Док.

*206·401.

*206·41.

*206·42.

Док.

*206·43.

*206·44.

*206·45.

*206·451.

Док.

*206·46.

Док.

*206·47.

Док.

*206·48.

Док.

*206·5.

Док.

*206·51.

Док.

*206·52.

Док.

*206·53.

Док.

*206·531.

Док.

*206·54.

Док.

*206·55.

*206·551.

Док.

*206·56.

Док.

*206·57.

Это предложение важно, поскольку оно показывает, что когда серийное отношение удовлетворяет аксиоме Дедекинда, то же делает и его конверс. Таким образом, если все классы, которые не имеют максимума, имеют верхний предел, то все классы, которые не имеют минимума, имеют нижний предел, и наоборот.

*206·6.

Док.

*206·61.

Док.

*206·62.

*206·63.

*206·7.

Док.

*206·71.

Док.

*206·72.

Док.

*206·73.

Док.

*206·731.

Док.

Заметьте, что «P`α = P`β» — это не то же самое предложение, что «P`α = P`β». Первое подразумевает α ∩ CʻP = β ∩ CʻP, тогда как второе — нет, в силу соглашений относительно дескриптивных символов, объясненных в *14.

*206·732.

Док.

*207. ПРЕДЕЛЫ.

Резюме *207.

Член y называется «верхним пределом» α в P, если α не имеет максимума и y является секвентом α. В этом случае y непосредственно следует за классом α, хотя нет ни одного члена α, за которым y непосредственно следует. Секвенты, которые являются пределами, имеют особое значение, и удобно иметь для них специальное обозначение. Мы пишем «lim_P α» для верхнего предела α; или, если это удобнее, «lim_P (α)». (Это удобнее, когда α заменено выражением, состоящим из нескольких букв, или буквой с суффиксом.) Нижним пределом α будет непосредственный предшественник α, когда α не имеет минимума; это мы обозначаем через «lim_P̃ α».

Следующие предложения о пределах по большей части непосредственно следуют из предложений *206 о секвентах.

Наше определение сформулировано так, что пределом пустого класса является первый член нашего ряда (если таковой имеется). Это отступление от обычного использования удобно для того, чтобы всякий раз, когда наш ряд содержит любую предельную точку в обычном смысле, ряд предельных точек мог существовать, т. е. чтобы lim_P (CʻP) мог существовать всякий раз, когда существуют существующие части CʻP, имеющие верхние пределы. Ряд lim_P (CʻP) — это «первая производная» P. Определение предела — это lim_P α = P`α.

Помимо предела, нам требуется для многих целей единое обозначение для «предела или максимума». Это мы обозначаем через «lim_P α», полагая lim_P α = P`α ∪ max_P α. Аналогично для нижнего предела или минимума мы используем «lim_P̃ α», полагая lim_P̃ α = P̃`α ∪ min_P α. Мы имеем lim_P̃ α = lim_P̃ α (*207·101) и lim_P̃ α = lim_P̃ α (*207·401). Следовательно, нет необходимости доказывать предложения, касающиеся нижних пределов, поскольку они непосредственно следуют из предложений, касающихся верхних пределов.

В силу нашего определения предела, y является пределом α, если y является секвентом α и α не имеет максимума (*207·1). Таким образом, если α имеет максимум, оно не имеет предела (*207·11), но если оно не имеет максимума, класс его пределов — это класс его секвентов (*207·12). Таким образом, существование класса пределов эквивалентно существованию класса секвентов в сочетании с несуществованием класса максимумов, т. е.

*207·13.

*207·2 — ·232 состоят из различных формул для lim_P α. Мы имеем

*207·2.

Т. е. весь класс α предшествует y, но любой предшественник y предшествует некоторому члену α.

*207·231.

Т. е. предел α, если он существует, — это член y, чьи предшественники идентичны предшественникам некоторой части α.

Мы также имеем

*207·232.

Это предложение следует сравнить с *205·54, которое (слегка переписанное) есть

Из них обоих мы приходим к

*207·51.

которое служит для иллюстрации полезности «lim_P α».

Мы имеем

*207·24.

Т. е. если P связно, класс не может иметь более одного предела; также

*207·25.

Т. е. любые члены, за которыми есть некоторые члены α, могут быть добавлены к α, не меняя предел.

Далее у нас есть набор предложений (*207·251 — ·27), доказывающих, что если класс имеет предел, любой отдельный член класса может быть удален без изменения предела (*207·261), и что в любом случае, при условии, что класс не является единичным, его минимум (если таковой имеется) может быть удален без изменения предела (*207·27). Затем мы доказываем (*207·291), что если P — ряд и α — класс, который имеет предел, предшественники предела — это класс α.

Затем у нас есть набор предложений (*207·3 — ·36) о пределе P“{x} и родственных вопросах. Если x не имеет непосредственного предшественника, предел P“{x} — это x, и наоборот (*207·32·33). Следовательно

*207·35.

Т. е. предельные точки P — это те, которые не имеют непосредственных предшественников.

Далее мы обращаем наше внимание на «lim_P α». Это снова один-многие, при условии, что P связно (*207·41). Мы имеем по определению

*207·42.

*207·43.

*207·44.

*207·45.

Также мы имеем

*207·46.

которое является очень полезным предложением, как и *207·51 (приведенное выше).

Полезным предложением при работе с классами классов, содержащимися в ряду, является

*207·54.

Т. е. если каждый член α имеет предел, предел или максимум (если таковой имеется) пределов — это предел или максимум, и фактически предел, класса ∪α.

Далее у нас есть набор предложений (*207·6 — ·66) о корреляциях, доказывающих, что предел, или lim_P, коррелятов — это коррелят предела или lim_P, т. е.

*207·6.

*207·64.

Последние три предложения (*207·7 — ·72) являются леммами для использования в теории отрезков (*215·5·51).

*207·01.

*207·02.

*207·03.

*207·04.

*207·1.

*207·101.

Мы не будем приводить дальнейшие предложения о нижних пределах, если только не будет особой причины, поскольку все они следуют из предложений о верхних пределах посредством *207·101.

*207·11.

*207·12.

*207·121.

*207·13.

*207·14.

Вышеуказанное предложение важно, потому что P ∈ Dedekind — это характеристика «дедекиндовых» рядов, т. е. таких, которые удовлетворяют аксиоме Дедекинда.

*207·15.

*207·16.

*207·17.

*207·18.

Док.

*207·2.

*207·21.

Док.

*207·22.

Это очень часто наиболее удобная форма для lim_P α. Она утверждает, что предел α — это член y такой, что весь класс α полностью предшествует y, но каждый предшественник y предшествует некоторому члену α.

*207·23.

Док.

*207·231.

*207·232.

*207·24.

Док.

*207·25.

Док.

*207·251.

Док.

*207·26.

*207·261.

*207·262.

*207·263.

*207·27.

Док.

*207·28.

*207·281.

*207·282.

*207·29.

Док.

*207·291.

Док.

*207·3.

Док.

*207·31.

Док.

*207·32.

*207·33.

*207·34.

Док.

*207·35.

Док.

*207·36.

Док.

В силу этого предложения все пределы являются пределами классов вида P“{x}. В этом отношении пределы (в общем) отличаются от сегментов. Если мы назовем P“α сегмент, определенный α, в общем случае будут существовать сегменты не вида P“{x}. Однако это будут сегменты, которые не имеют секвентов, а следовательно, не имеют пределов; таким образом, их существование не вводит пределы, не выводимые из классов вида P“{x}.

*207·4.

*207·401.

*207·41.

*207·42.

*207·43.

*207·44.

*207·45.

*207·46.

Док.

*207·47.

Док.

*207·48.

*207·481.

*207·482.

Док.

*207·5.

*207·51.

*207·52.

*207·521.

Док.

*207·53.

Док.

*207·54.

Док.

*207·55.

*207·6.

Док.

*207·61.

*207·62.

*207·63.

Док.

*207·64.

*207·65.

*207·66.

*207·7.

Док.

*207·71.

*207·72.

*208. КОРРЕЛЯЦИЯ РЯДОВ.

Резюме *208.

Предложения этого номера в основном важны из-за их следствий в теории вполне упорядоченных рядов (*250 и сл.) и в теории векторных семейств (*330 и сл.). Когда два вполне упорядоченных ряда порядково схожи, они имеют только один коррелятор; и вполне упорядоченный ряд не является порядково схожим ни с одним из своих сегментов. Из этих двух предложений первое является непосредственным следствием *208·41, а второе — непосредственным следствием *208·47.

Предложения, касающиеся корреляторов двух отношений P и Q, получаются из предложений, касающихся корреляторов P с самим собой, посредством того факта, что если S, T — два коррелятора P и Q, то S̃ ∘ T — коррелятор P с самим собой. Опять же, корреляторы P с самим собой рассматриваются в этом номере как частный случай корреляторов P с частями самого себя. Последнее — это понятие, которое окажется важным по другим причинам, нежели те, по которым оно используется в нашем текущем контексте. Если P связно и S коррелирует P с частью самого себя (так что S ∈ 1 → 1 и S“CʻP ⊂ CʻP), P будет содержать члены трех видов: (1) те, для которых S`x = x, (2) те, для которых S`x P x, (3) те, для которых x P S`x. Наши предложения следуют из несуществования (при определенных обстоятельствах) максимумов или минимумов классов (2) и (3).

Следующее определение определяет «корреляции P с частями (или со всем) самого себя». Буквы «» означают «порядковую корреляцию». Для кардинальной корреляции, если возникнет необходимость, мы должны использовать «», т.е. мы должны положить так, чтобы . В настоящее время мы занимаемся соответствующим порядковым понятием; таким образом, нам требуется Это обеспечивается полаганием

Будет замечено, что если есть то, что мы назвали «нерефлексивным» классом (ср. *124), , и . Когда нерефлексивен, то же самое верно для ; и когда рефлексивен, также рефлексивен в том смысле, что он содержит собственные части, подобные самому себе, хотя если вполне упорядочен, такие собственные части не могут быть сегментами , но должны простираться до конца .

Класс корреляторов со всем самим собой, т.е. , является подклассом , и является особенно важным. Этот класс сильно отличается по своим свойствам от соответствующего кардинального класса. Если имеет более одного элемента, класс (который является «перестановками» в обычном элементарном смысле) всегда имеет более одного элемента. Но класс (который состоит из таких перестановок , которые оставляют порядок неизменным) будет состоять из единственного члена , если только не содержит классов, которые не имеют ни минимума, ни максимума, в каковых случаях будет много корреляторов со самим собой. В качестве простого примера возьмем ряд отрицательных и положительных целых чисел в их естественном порядке. Тогда, если есть любое из этих целых чисел, есть коррелятор всего ряда с самим собой. Если мы возьмем только положительные целые числа, уже не является коррелятором всего ряда с самим собой, поскольку все целые числа, меньшие , опущены из коррелята.

Первое важное использование предложений этого номера находится в начале теории вполне упорядоченных рядов (*250). Используемые там предложения суть

*208·41.

Т.е. если связен и асимметричен, и каждый существующий подкласс имеет либо минимум, либо максимум, и не может иметь более одного коррелятора.

*208·42.

*208·43.

Т.е. если каждый существующий подкласс имеет минимум, коррелятор с частью самого себя никогда не может перемещать члены назад. Таким образом, например, чтобы взять простой пример, бесконечный ряд, состоящий из некоторых натуральных чисел в порядке возрастания, не может иметь свой -й член меньшим, чем .

*208·45.

Т.е. если связен и каждый существующий подкласс имеет как максимум, так и минимум, никакая собственная часть не является порядково схожей с . Это предложение важно в теории конечных рядов и конечных ординальных чисел.

*208·46.

Т.е. если каждый существующий подкласс имеет минимум, часть , которая порядково схожа с , должна доходить до конца , т.е. не должна полностью предшествовать никакому члену .

*208·47.

Это является непосредственным следствием *208·46.

Доказательство вышеприведенных предложений сводится просто к показу того, что если и , то , так что не является самым ранним членом, для которого , поскольку есть более ранний член, для которого верно то же самое. Следовательно, не может иметь минимума; и аналогично не может иметь максимума (*208·14). До сих пор нам не требуется никакой гипотезы относительно . Предполагая теперь , мы аналогично показываем, что если коррелирует всё с самим собой, не может иметь максимума, а не может иметь минимума.

Предложения о корреляторах с следуют из вышеприведенных путем взятия двух корреляторов и и применения вышеприведенных предложений к , который является коррелятором всего с самим собой.

*208·01.

*208·1.

Док.

*208·11.

Док.

*208·111.

*208·12.

*208·13.

Док.

*208·131.

*208·14.

Док.

Таким образом, доказательство того, что не имеет минимума, а не имеет максимума, не требует никакой гипотезы относительно . Доказательство того, что не имеет максимума, а не имеет минимума, требует гипотезы . Это доказательство следует из следующих предложений.

*208·2.

Док.

*208·21.

Док.

*208·211.

*208·22.

Док.

Заметьте, что в силу *208·111 вышеприведенная гипотеза дает , так что . Следовательно, мы приходим к *208·3.

*208·3.

Док.

*208·31.

*208·32.

*208·4.

Док.

*208·41.

Вышеприведенное предложение имеет большое значение в теории вполне упорядоченных рядов.

*208·42.

*208·43.

*208·431.

*208·44.

Док.

В силу этого предложения, если есть конечный ряд, никакая собственная часть не является порядково схожей с . (Позже будет показано, что конечный ряд — это такой, в котором каждый существующий содержащийся класс имеет как максимум, так и минимум.) Следующее предложение дает более явную форму вышеприведенного результата.

*208·45.

Док.

Следующие предложения полезны в теории сегментов вполне упорядоченных рядов, поскольку они показывают, что вполне упорядоченный ряд никогда не является порядково схожим ни с одним из своих сегментов.

*208·46.

Док.

*208·461.

*208·47.

Док.

РАЗДЕЛ B. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ОТРЕЗКАХ И ПРОИЗВОДНЫХ.

В этом разделе нашей главной темой будут сечения и сегменты. Эта тема займет *211, *212 и *213, а *210 будет состоять из предложений, главная польза которых заключается в их применении к сегментам. В *214 мы рассмотрим дедекиндовы ряды, которые тесно связаны с сегментами, благодаря тому факту, что одним из главных предложений в этом предмете является то, что ряд сегментов ряда является дедекиндовым. В *215 мы рассмотрим «отрезки», которые состоят из любой последовательной части ряда и образованы произведением верхнего и нижнего сечения. Наконец, в *216 мы рассмотрим производную ряда или класса , содержащегося в ряде: первая есть ряд предельных точек ряда, т.е. , последняя есть класс пределов существующих подклассов , т.е. .

Класс называется сечением , когда он содержится в и содержит все предшественники своих членов, т.е. есть сечение , если . Таким образом, сечение состоит из всего поля до определенной точки. Оно может состоять из всех предшественников , т.е. оно может быть формы ; или, опять же, оно может состоять из них вместе с , в каковом случае оно имеет форму ; или, опять же, оно может быть не определимо посредством единственного секвента или максимума, а быть формы , где есть класс без предела или максимума. Класс сечений обозначается . Сечение будет называться «верхним сечением» .

Идея сегмента немного менее общая, чем идея сечения. Мы определяем сегмент как любой класс формы , т.е. как любой член . При условии, что транзитивно, сегменты содержатся среди сечений. Но даже в ряде сечения, как правило, не содержатся среди сегментов: если есть ряд, и если есть член , который не имеет непосредственного преемника, будет сечением, но не сегментом.

Если сегмент имеет максимум, он должен также иметь секвент. Сегменты, которые не имеют максимума, образуют особенно важный класс сегментов: это классы такие, что ; они образуют класс .

Свойства сечений и сегментов, рассматриваемых как классы классов, многочисленны и разнообразны: они рассматриваются в *211. В *212 мы переходим к рассмотрению рядов сечений и сегментов. Эти ряды суть и (ср. *170). Ряд таких сегментов, которые не имеют максимума, есть . Мы полагаем Тогда оказывается, что так что нет необходимости вводить специальное обозначение для ряда сечений.

Всякий раз, когда связен и транзитивен, оказывается эквивалентным логическому включению в сочетании с разнообразием (с полем, ограниченным ). То есть (*212·23), Отсюда следует (*212·24), что У нас также есть (*211·6·17) Отсюда легко следует, что всякий раз, когда связен, есть ряд. Аналогично будет рядом, если транзитивен и связен.

Факт связности, который требуется для того, чтобы или был рядом, следует из Чтобы иметь дело с такими случаями в общем виде, мы изучаем в предварительном номере (*210) следствия, которые можно вывести из гипотезы Мы находим, что при этой гипотезе, полагая если (*210·13), и таким образом в тех же обстоятельствах есть ряд (*210·14).

Интересный момент относительно таких рядов — это их поведение в отношении пределов. Предполагая, что не является единичным классом (чтобы обеспечить , если есть любой подкласс , логическое произведение является минимумом , если оно является членом (*210·21), и нижним пределом , если оно является членом , но не (*210·23). Аналогично есть максимум , если оно является членом (*210·211), и верхний предел , если оно не является членом , но является членом (*210·231). Таким образом, если таков, что всякий раз, когда , мы имеем , отсюда следует, что каждый подкласс имеет либо максимум, либо предел, т.е. ряд является дедекиндовым. Теперь каждый из трех классов , , проверяет это условие, т.е. сумма любого подкласса любого из этих классов принадлежит рассматриваемому классу (*211·63·64·65). (Это верно без какой-либо гипотезы относительно .) Следовательно, мы приходим к результату, что (т.е. ряд сечений) является дедекиндовым рядом всякий раз, когда связен и не пуст (*214·32), в то время как (т.е. ряд сегментов) является дедекиндовым рядом всякий раз, когда транзитивен, связен и не пуст (*214·33), а (ряд сегментов, не имеющих максимума) является дедекиндовым рядом всякий раз, когда он существует и связен (*214·34). Эти предложения важны и являются источником большой части полезности сечений и сегментов.

Для многих целей, особенно в ординальной арифметике, необходимо рассматривать сечения не как классы, а как ряды. То есть, если есть член , мы хотим иметь дело с , а не с . Ряд всех таких членов можно было бы предположить как . Но здесь необходимо ограничение из-за того факта, что если существует, и оба являются сечениями, и и оба являются , так что будет отношением, которое будет иметь к самому себе. Чтобы избежать этого, мы сначала исключаем из рассматриваемых сечений и, таким образом, полагаем Тогда есть ряд сегментов, рассматриваемых как ряды. При условии, что есть ряд, отношение выполняется между любыми двумя членами и его поля тогда и только тогда, когда . Предмет рассматривается в *213; польза предложений этого номера не проявится, пока мы не дойдем до ординальной арифметики.