Пределы функций для аргументов x в середине P, которые будут рассмотрены позже, выводятся из пределов, рассмотренных в настоящем номере, путем ограничения поля P предшественниками x.
В этом номере мы доказываем, среди прочих, следующие предложения:
*231·103.
*231·12.
*231·13.
*231·141.
*231·191.
*231·192.
*231·193.
Это предложение часто используется в настоящем разделе.
При всех обычных обстоятельствах мы будем иметь lim_P_f ⊆ lim_P_f_upper, так что если верхнее и нижнее предельные сечения не имеют более одного общего члена (т. е. если osc_P_f ∈ 0 ∪ 1), они определяют дедекиндово сечение в Q. Следующие предложения касаются этого факта:
*231·202.
*231·21.
*231·22.
Заметьте, что "f ∈ P_conv_α" — это гипотеза о том, что для аргументов, принадлежащих P, значения принадлежат α.
*231·24.
*231·01.
*231·02.
*231·1.
*231·101.
*231·102.
*231·103.
*231·11.
*231·111.
*231·112.
Док.
*231·113.
Если f — однозначная функция (т. е. одно-многозначное отношение), и если мы пишем f'x для f''ι'x, и y для ι'y, мы имеем y ∈ lim_P_f = Π{x ∈ P ∧ ε!{x' ∈ P ∧ x P x' ∧ y Q f'x'}}. То есть y принадлежит lim_P_f, если для любого аргумента x в P мы можем найти аргумент x', больший или равный x, для которого значение f'x' больше или равно y.
*231·12.
Это обычно наиболее удобная формула для lim_P_f.
*231·121.
Док.
*231·13.
*231·131.
*231·132.
Док.
*231·133.
*231·134.
*231·14.
*231·141.
Док.
*231·142.
Док.
*231·143.
*231·144.
*231·15.
Док.
*231·151.
*231·152.
Гипотеза f ∈ P_conv_α подтверждается не только когда α = Q, но и при определенных более общих гипотезах. Две такие гипотезы, а именно f ∈ P_conv_α, рассматриваются в следующих предложениях.
*231·153.
Док.
*231·154.
Док.
*231·155.
Док.
*231·156.
Док.
*231·16.
*231·161.
*231·17.
Док.
*231·171.
*231·18.
Док.
*231·181.
Док.
*231·182.
Док.
*231·19.
Док.
*231·191.
*231·192.
*231·193.
Это предложение имеет фундаментальное значение.
*231·2.
Док.
Это предложение является фундаментальным в теории предельных сегментов.
*231·201.
*231·202.
Док.
*231·21.
Док.
*231·22.
*231·23.
Док.
*231·24.
Док.
*231·25.
*231·251.
*231·252.
*231·4.
Док.
*231·41.
Док.
*232. ОБ ОСЦИЛЛЯЦИИ ФУНКЦИИ ПО МЕРЕ ТОГО, КАК АРГУМЕНТ ПРИБЛИЖАЕТСЯ К ЗАДАННОМУ ПРЕДЕЛУ.
Сводка *232.
В предыдущем номере мы рассматривали предельную осцилляцию функции, когда аргумент растет без ограничения. Если в предложениях последнего номера мы ограничим поле P рядом P ↓ α, где α ∈ P, предельная осцилляция становится предельной осцилляцией по мере того, как аргумент приближается к α снизу. Если предельная осцилляция состоит из одного члена, это предел функции по мере того, как аргумент приближается к α снизу. Если вместо ограничения аргумента рядом P ↓ α мы ограничим его любым другим классом β, пределом которого является α, мы, при очень обычной гипотезе, получим то же значение для предельной осцилляции, как если бы мы ограничили его рядом P ↓ α. И более общо, при аналогичной гипотезе, если β и γ — два класса аргументов, которые определяют одно и то же сечение (т. е. такие, что P ↓ β = P ↓ γ), то, независимо от того, имеет ли это сечение предел, предельные сечения и предельная осцилляция одинаковы для f ↓ β, как они есть для f ↓ γ. Следовательно, мы приходим к рассмотрению сначала результата ограничения поля P не рядом P ↓ α, а любым классом β. Чтобы не исключать явно случай, в котором β ∈ P, мы имеем дело с P ↓ β, а не с P ↓ β. Следовательно, мы приходим к следующим определениям:
*232·01.
*232·02.
Большинство предложений настоящего номера являются непосредственными следствиями соответствующих предложений в *231. Наиболее важное применение предложений настоящего номера — к случаю, где β имеет форму P ↓ α, α — член P. Мы можем в этом случае взять вместо P ↓ α любой другой класс аргументов γ (например, прогрессию аргументов x_1, x_2, ..., x_n, ...), имеющий α своим пределом, не изменяя предельных сечений или предельной осцилляции. Следовательно, предел функции для данного аргумента (если он существует) может быть определен путем выбора любого подмножества аргументов, имеющих данный аргумент своим пределом (ср. *233·142 ниже).
Из определения lim_(P ↓ β)_f мы получаем непосредственно lim_(P ↓ β)_f = Π{x ∈ β ∧ α_P_lim_f_x}.
*232·11.
Мы доказываем, что lim_(P ↓ β)_f ⊆ lim_(P ↓ β)_f_upper (*232·131), и что если osc_(P ↓ β)_f ∈ 0 ∪ 1, то два предельных сечения и предельная осцилляция все равны osc_(P ↓ β)_f (*232·15). Также мы имеем lim_(P ↓ β)_f = Π{x ∈ β ∧ α_P_lim_f_x}.
*232·14.
Таким образом, замена P ↓ β на P ↓ β в наших определениях имеет эффект делания их применимыми к единичным классам и возможности заменить гипотезу f ∈ P_conv_α на f ∈ P_conv_α. Но когда P транзитивно и связно (и, следовательно, когда P является рядом), замена P ↓ β на P ↓ β в определениях не имеет значения, если только β не является единичным классом. Этот случай тривиален, так как единственный интерес наших определений — когда β не имеет максимума в P.
Из *231·22 мы получаем lim_(P ↓ β)_f ⊆ lim_(P ↓ β)_f_upper.
*232·22.
Далее у нас есть набор предложений, касающихся обнаружения обстоятельств, при которых два класса β и γ, которые определяют одно и то же сечение в P (и, следовательно, имеют один и тот же предел, если таковой имеется), дают одни и те же значения для двух предельных сечений. Для этой цели необходимо только обнаружить обстоятельства, при которых мы можем заменить P ↓ β на P ↓ γ. Когда это может быть сделано, предельная осцилляция функции по мере того, как аргумент приближается к пределу β, может быть определена путем взятия любого множества аргументов, имеющих этот предел. Мы имеем lim_(P ↓ β)_f = lim_(P ↓ γ)_f.
*232·301.
*232·32.
Таким образом, если функция имеет предел по мере того, как аргумент приближается к пределу β, она также имеет предел по мере того, как аргумент приближается к пределу γ.
*232·33.
откуда lim_(P ↓ β)_f = lim_(P ↓ γ)_f.
*232·34.
Мы имеем также lim_(P ↓ β)_f = lim_(P ↓ γ)_f.
*232·341.
Следовательно, мы приходим к выводу, что если P — ряд, и lim_(P ↓ β)_f — предел функции для класса β, если lim_(P ↓ β)_f является членом Q, это его максимум (*232·352), тогда как если lim_(P ↓ β)_f не является членом Q, это его секвент (*232·356), предполагая P ↓ β ∈ δ'P, что, как мы видели (*233·22), обычно имеет место, и предполагая также β ∈ δ'P. С другой стороны, если β не имеет максимума, lim_(P ↓ β)_f — минимум Q; и если β имеет максимум, отличный от α, это есть f'(α) (*232·357 ·358). Этот последний случай невозможен, если только β не имеет непосредственного предшественника. Следовательно, мы приходим к следующему предложению:
*232·38.
Применяя это к ряду, имеющему дедекиндову непрерывность, мы знаем, что lim_(P ↓ β)_f ∈ Q, и что lim_(P ↓ β)_f и lim_(P ↓ β)_f_upper всегда существуют. Следовательно
*232·39.
То есть, если ряд значений Q имеет дедекиндову непрерывность и содержит все значения для аргументов в β, то при условии, что функция имеет определенный предел для класса β, это есть его предел также для класса γ; то есть любая совокупность аргументов, имеющая тот же предел или максимум, что и данное сечение, даст тот же предел для функции.
*232·01.
*232·02.
*232·1.
*232·101.
*232·11.
Док.
*232·12.
*232·121.
Док.
*232·13.
*232·131.
Из вышеприведенных предложений следует, что значения , , и зависят только от ; таким образом, если не содержится в , часть, не содержащаяся в , не имеет значения.
*232·14.
*232·15.
*232·151.
*232·2.
Док.
*232·21.
*232·22.
*232·23.
Док.
*232·24.
Док.
*232·3.
Док.
*232·301.
Док.
*232·31.
Док.
*232·32.
*232·33.
Док.
*232·34.
*232·341.
*232·35.
*232·351.
Док.
*232·352.
*232·353.
Док.
*232·354.
*232·355.
Док.
*232·356.
*232·357.
Док.
*232·358.
Док.
*232·36.
*232·361.
Док.
*232·37.
*232·38.
*232·39.
Док.
*232·5.
*232·51.
*232·511.
*232·52.
*232·53.
Док.
*233. О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ.
Резюме *233.
Существует четыре предела функции по мере приближения аргумента к некоторому члену в аргументном ряду, а именно: верхний и нижний пределы предельного колебания для приближений соответственно снизу и сверху. Если предельное колебание для приближений к снизу сводится к единственному члену, т.е. если , то этот единственный член является пределом функции для приближений к снизу. Если этот единственный член также является предельным колебанием для приближений сверху, мы можем называть его просто пределом функции для аргумента . Это значение (если оно существует) может быть или не быть равным значению для аргумента . Характерным свойством непрерывных функций является то, что предел существует для каждого аргумента и всегда равен значению для этого аргумента. Непрерывные функции будут рассматриваться в *234.
Верхний предел или максимум предельного колебания по мере приближения аргумента к есть верхний предел или максимум предельного сечения. Следовательно, если мы положим , то четырьмя пределами функции по мере приближения аргумента к будут . Будет видно, что есть функция от . Может случиться так, что если мы подставим вместо , функция будет иметь определенный предел по мере возрастания аргумента в , хотя не имеет предела или максимума. Так, если, например, состоит из ряда рациональных чисел, а — из ряда вещественных чисел, если есть класс рациональных чисел, не имеющий рационального предела, мы можем рассматривать предел функции (если он существует) по мере возрастания аргумента в как значение функции для иррационального предела . Таким образом, мы можем расширить область определения функции. Чтобы иметь возможность рассматривать случаи, в которых не имеет предела, мы полагаем . Если есть дедекиндов ряд, всегда существует. Если мы возьмем в качестве любого сегмента , мы, таким образом, получим новую функцию, производную от , но имеющую в качестве своих аргументов сегменты вместо членов . Таким образом, если у имелись рациональные числа в качестве аргументов, эта новая функция будет иметь вещественные числа в качестве своих аргументов. (Вещественные числа можно рассматривать как сегменты ряда рациональных чисел.)
Функция является частным случаем вышеизложенного; таким образом, мы принимаем в качестве нашего определения или, что то же самое,
Важными являются следующие предложения этого номера:
*233·15.
*233·16.
*233·2 — ·25 являются применениями наиболее важных предложений *232·34 — ·39, показывающими обстоятельства, при которых предел функции для класса совпадает с пределом для класса .
*233·4 и последующие предложения применяют более ранние предложения из *233 к случаю, где заменяется на , и, следовательно, заменяется на . Мы имеем
*233·43.
*233·433.
*233·45.
Т.е. в ряду, обладающем дедекиндовой непрерывностью, необходимым и достаточным условием того, чтобы два предела функции по мере приближения аргумента к снизу были равны, является то, чтобы предельное колебание не имело более одного члена.
Далее у нас есть ряд предложений (*233·5 — ·53) о возможности замены на класс , имеющий в качестве своего предела, без изменения пределов функции. Мы должны начать с
*233·5.
в силу *207·291. Отсюда, согласно более ранним предложениям этого номера,
*233·512.
откуда мы получаем
*233·514.
Таким образом, если , — ряды, и есть предел функции для аргумента ( — член, не имеющий непосредственного преемника или предшественника), то есть предел функции для любого класса аргументов, пределом которого является . Следовательно, мы приходим к предложению
*233·53.
Таким образом, если обладает дедекиндовой непрерывностью, и есть класс аргументов, имеющий предел, и если предельное колебание по мере приближения аргумента к этому пределу имеет не более одного члена, то предел функции для класса существует и равен пределу функции для аргумента .
*233·01.
*233·02.
*233·1.
*233·101.
*233·102.
*233·103.
*233·11.
*233·111.
*233·12.
Док.
*233·13.
*233·14.
*233·141.
*233·142.
Док.
*233·15.
*233·16.
Док.
*233·17.
Док.
*233·171.
Док.
*233·172.
Док.
*233·173.
*233·174.
Док.
*233·2.
*233·21.
*233·22.
Док.
*233·23.
*233·24.
*233·241.
*233·25.
*233·4.
*233·401.
*233·402.
*233·41.
Док.
*233·42.
*233·421.
Док.
*233·422.
*233·423.
*233·424.
*233·425.
*233·426.
*233·43.
*233·431.
*233·432.
*233·433.
*233·434.
*233·435.
*233·44.
*233·45.
*233·5.
*233·501.
Док.
*233·51.
*233·511.
*233·512.
*233·513.
*233·514.
*233·515.
*233·516.
*233·52.
*233·53.
*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.
Резюме *234.
В настоящем номере мы занимаемся определением и анализом непрерывности функций. Следующее определение непрерывности дано Дини [17]:
«Мы называем ее [функцию] непрерывной для , или в точке , в которой она имеет значение , если для каждого положительного числа , отличного от 0, но сколь угодно малого, существует положительное число , отличное от 0, такое, что для всех значений , которые численно меньше , разность численно меньше . Иными словами, непрерывна в точке , где она имеет значение , если предел ее значений справа и слева от одинаков и равен ...»
Согласно второй форме вышеприведенного определения, функция от предыдущих номеров должна называться непрерывной в точке , если . Первая форма определения также может быть сформулирована так, чтобы быть свободной от какой-либо ссылки на число, и выводимой из идей, рассмотренных в предыдущих номерах настоящего раздела. Для этой цели вместо «положительного числа » мы берем интервал, в котором содержится , скажем . Аналогично, «значения , которые численно меньше » заменяются аргументами в определенном интервале, содержащем .
Согласно *233·423, если пределы функции по мере приближения аргумента к должны быть все равны, не должен быть максимумом или минимумом . Поэтому мы берем интервал, содержащий , как интервал, в который не включены конечные точки, скажем . Таким образом, наше определение становится
Нам требуется далее, что молчаливо предполагается в определении Дини, чтобы был членом , который не имеет непосредственного предшественника или преемника, т.е.
Чтобы легче работать с вышеприведенным определением, мы анализируем его в произведение четырех факторов, которые касаются соответственно и , и , и , и . Во-первых, очевидно, что (A) есть произведение и фактора, полученного путем подстановки вместо в (). Если , и , () есть произведение и фактора, полученного путем записи вместо и вместо в (); и в силу , () становится , т.е. если транзитивно,
Следовательно, функция непрерывна для аргумента a, если a удовлетворяет () и трем другим гипотезам, возникающим в результате замены на , или на , или и на и . Если мы подставим вместо , и вместо , () становится
Следовательно, непрерывность можно изучать, изучая гипотезу (), и заменяя на и на .
Гипотеза () интересна сама по себе. Мы полагаем . Таким образом, «» означает, что есть член ряда значений такой, что если есть любой более поздний член, функция в конечном счете становится меньше . Если мы положим далее , то, если есть член , функция в конечном счете становится меньше любого более позднего члена и больше любого более раннего члена. Следовательно, есть предел функции по мере того, как аргумент неограниченно возрастает. Следовательно, если мы подставим вместо , и если , есть предел функции по мере приближения аргумента к a снизу, т.е. (Это доказано в *234·462.) Следовательно, подставляя вместо , функция непрерывна снизу в точке , если и непрерывна сверху, если . Эти результаты и различные другие, связанные с ними, доказаны ниже. Эквивалентность двух определений Дини доказана в *234·63. Будет замечено, что практически ничто в теории непрерывных функций не требует использования чисел.
Мы используем символ «» для класса аргументов, для которых предел функции для приближений к a снизу равен . Таким образом, в силу того, что было сказано выше, мы можем положить . Тогда функция непрерывна в точке , если a принадлежит двум классам и . Следовательно, мы полагаем . Функция непрерывна относительно и , если она непрерывна для всех аргументов в . Таким образом, мы полагаем
Наши предложения в этом номере начинаются со свойств и . Мы имеем
*234·103.
Таким образом, гипотеза позволяет нам использовать предложения предыдущих номеров, имеющие гипотезу .
Идентификация наших определений с обычными определениями непрерывности функций осуществляется с помощью предложения
*234·12.
У нас есть коллекция предложений, касающихся отношений к и . — это верхнее сечение (*234·131); — это дополнение , т.е. без его максимума (если таковой имеется). Это выражено в следующем предложении:
*234·174.
Таким образом, мы приходим к
*234·182.
Таким образом, содержится в (*234·201) и, следовательно, имеет не более двух членов (*234·202). Если имеет один член, это единственный член (*234·203). Если имеет два члена, они имеют отношение (*234·242); следовательно, если есть компактный ряд, и не является пустым, его единственный член является и , и (*234·25), в то время как, наоборот, если и равны, каждый из них является единственным членом (*234·251).
Теперь мы применяем вышеприведенные результаты к пределам функции по мере того, как ее аргумент приближается к пределу класса . Это делается, как и прежде, путем подстановки вместо . Мы приходим к предложению (*234·33), что если обладает дедекиндовой непрерывностью, и не является пустым, его единственный член является и , и , т.е. есть предел функции по мере возрастания аргумента в .
Затем мы берем для конкретное значение , так что мы начинаем заниматься тем, что происходит, когда аргумент приближается к a снизу. Для сравнения нашего определения непрерывности с такими определениями, как приведенное выше определение Дини, у нас есть
*234·41.
Т.е. если не является ни первым, ни последним членом -ряда, принадлежит к тогда и только тогда, когда, учитывая любой интервал , сколь угодно малый, в котором содержится , существует аргумент , более ранний, чем , такой, что значение функции для всех аргументов, более ранних, чем a, но не более ранних, чем , лежит в интервале .
Мы выводим из предыдущих предложений, что при обычной гипотезе относительно , если есть дедекиндов ряд, и если есть ряд, и есть единичный класс, его единственный член является и , и , т.е. есть предел функции для приближений к снизу (*234·43). Следующее предложение суммирует наши результаты:
*234·45.
Таким образом, в компактном ряду является необходимым и достаточным условием существования определенного предела функции по мере приближения аргумента к снизу.
Не предполагая , если есть член , и если не имеет непосредственного предшественника или преемника, так что в окрестности ряд компактен, мы все еще имеем (*234·462).
Далее мы рассматриваем . По определению мы имеем
*234·5.
Таким образом, есть аргумент, для которого функция имеет единственное значение, которое не имеет непосредственного предшественника или преемника в , и которое, в силу *234·462, является пределом функции по мере приближения аргумента к снизу (*234·52). Случаи, когда или требуют особого внимания; исключая эти случаи, мы приходим к
*234·51.
Это предложение аналогично *234·41.
Мы доказываем (*234·562), что если , — ряды, и есть любой класс аргументов, для которых все значения принадлежат , и если имеет предел, в котором функция непрерывна снизу, то предел функции, по мере возрастания аргумента в , есть значение функции в пределе .
Далее мы рассматриваем , которое определяется как . Мы показываем, что если есть ряд, поле которого содержит , и транзитивно, и связно, и не является ни , ни , то если принадлежит к классу , есть предел функции для аргумента для приближений либо к снизу, либо сверху (*234·62). Если компактен, обратное также верно (*234·63). Наше определение точки непрерывности, таким образом, идентифицировано со второй формой определения Дини, процитированной выше. Оно идентифицировано с первой формой следующим предложением: В обстоятельствах *234·62, если , мы имеем (*234·64), т.е. есть точка непрерывности тогда и только тогда, когда значение для аргумента является членом -ряда, не имеющим непосредственного предшественника или преемника, и если содержится в интервале , то, как бы мал ни был этот интервал, можно найти два аргумента , такие, что a лежит между ними, и значения для всех аргументов от до (включительно) лежат в интервале .
Мы заканчиваем несколькими предложениями о непрерывных функциях. Последнее из них (*234·73) гласит, что если есть компактный ряд, и транзитивно и связно, то непрерывно относительно и тогда и только тогда, когда оно имеет аргументы в , и для всех таких аргументов мы имеем , т.е. значение для каждого аргумента есть предел для этого аргумента для приближений либо сверху, либо снизу.
*234·01.
*234·02.
*234·03.
*234·04.
*234·05.
*234·1.
*234·101.
Док.
*234·102.
Док.
*234·103.
Док.
*234·104.
Док.
*234·105.
Док.
Когда , вышеприведенное предложение не обязательно верно: оно может не выполняться, если .
Следует заметить, что и являются функциями от , так что они остаются неизменными, когда подставляется вместо . Следовательно, гипотеза столь же эффективна в отношении них, как и гипотеза . Это утверждается в следующем предложении.
*234·106.
*234·107.
Док.
*234·11.
*234·111.
Док.
*234·12.
Док.
*234·121.
*234·122.
*234·13.
Док.
*234·131.
Док.
*234·14.
Док.
*234·141.
*234·142.
Док.
*234·15.
Док.
*234·16.
*234·161.
Док.
*234·162.
Док.
*234·17.
Док.
*234·171.
Док.
*234·172.
Док.
*234·173.
*234·174.
Док.
*234·175.
*234·18.
Док.
В силу этого предложения и являются дополнительными сечениями , т.е. они образуют дедекиндово сечение в .
*234·181.
Док.
*234·182.
Док.
*234·183.
*234·2.
Док.
*234·201.
*234·202.
*234·203.
*234·204.
*234·21.
Док.
*234·23.
Док.
*234·24.
Док.
*234·241.
Док.
*234·242.
Док.
*234·243.
Док.
*234·244.
Док.
*234·25.
*234·251.
Док.
*234·26.
*234·27.
Док.
*234·271.
*234·272.
Оставшиеся предложения настоящего номера по большей части являются непосредственными следствиями уже доказанных. Чтобы получить из уже доказанных предложений предложения, касающиеся предела функции по мере приближения аргумента к пределу некоторого класса аргументов , нам нужно только подставить вместо . Чтобы получить предел функции по мере приближения аргумента к данному члену , мы берем вместо .
*234·3.
*234·301.
*234·31.
*234·311.
*234·312.
*234·32.
*234·321.
*234·322.
*234·329.
*234·33.
*234·331.
*234·34.
*234·35.
*234·351.
*234·352.
*234·4.
*234·41.
*234·42.
*234·421.
*234·422.
*234·43.
*234·439.
*234·44.
*234·441.
*234·45.
*234·46.
*234·461.
*234·462.
*234·5.
*234·51.
Док.
*234·52.
*234·521.
*234·522.
Док.
*234·53.
Док.
*234·54.
Док.
*234·55.
*234·56.
Док.
*234·561.
*234·562.
То есть, если есть любой класс аргументов, имеющий предел, в котором функция непрерывна, то предел функции, по мере приближения аргумента к пределу множества аргументов, есть значение функции для этого предела.
*234·6.
*234·61.
Док.
*234·62.
*234·63.
*234·64.
*234·7.
*234·71.
Док.
*234·72.
*234·73.
Док.
СНОСКИ:
[17] Theorie der Functionen einer veränderlichen reellen Grösse, гл. IV, § 30, стр. 50.
КЕМБРИДЖ: ОТПЕЧАТАНО ДЖОНОМ КЛЕЕМ, МАГИСТРОМ ИСКУССТВ, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
ПРИМЕЧАНИЯ ТРАНСКРИПТОРА
Все пункты из списка опечаток, из всех трех томов, были добавлены и исправлены соответствующим образом.
Авторское обозначение как *102·72·73 является сокращением для *102·72 и *102·73 соответственно.
Леммы *113·01 (страница 302): *120·450 (страница 209); *122·436 (страница 268), *122·473 и *126·122 (страница xxxiii); *124·62 (страница 279); *151·45 (страница 315); *165·372 (страница 387), хотя они и упоминались авторами, не были описаны в соответствующих разделах.
Начиная с раздела C, авторы используют строчную букву «a» в качестве предела, а греческую букву в качестве класса.
Альтернативные тексты для иллюстраций в этой книге были созданы постпроцессором.