«Исследования и упражнения по формальной логике»

(i) Some S is not M1, All M2 is M1, All M3 is M2, All M4 is M3, All P is M4, therefore, Some S is not P. (ii) Some M4 is not P, All M4 is M3, All M3 is M2, All M2 is M1, All M1 is S, therefore, Some S is not P.

Анализируя первый из вышеприведенных и вставляя опущенные заключения в квадратные скобки, мы имеем —

Some S is not M1, All M2 is M1, [therefore, Some S is not M2,] All M3 is M2, [therefore, Some S is not M3,] All M4 is M3, [therefore, Some S is not M4,] All P is M4, therefore, Some S is not P. Это единственное возможное разрешение сорита, если только порядок посылок не переставлен, и будет видно, что все результирующие силлогизмы находятся во второй фигуре и в модусе Baroco. Сорит, соответственно, можно назвать находящимся в том же модусе и фигуре. Он аналогичен аристотелевскому сориту, субъект заключения появляется в посылке, изложенной первой, а опущенные посылки являются меньшими посылками в своих соответствующих силлогизмах.

Соответствующий анализ (ii) дает следующее:—

Some M4 is not P, All M4 is M3, [therefore, Some M3 is not P,] All M3 is M2, [therefore, Some M2 is not P,] All M2 is M1, [therefore, Some M1 is not P,] All M1 is S, therefore, Some S is not P. Все эти силлогизмы относятся к третьей фигуре и модусу Bocardo; сам сорит также можно считать относящимся к этому же модусу и фигуре. Он аналогичен сориту Гокления: предикат заключения появляется в первой из приведенных посылок, а опущенные посылки являются большими посылками в соответствующих силлогизмах.

Следует заметить, что правила, приведенные в предыдущем разделе, не соблюдены ни в одном из вышеуказанных соритов, поскольку данные правила соответствуют специальным правилам первой фигуры и не применимы, если сорит не относится к этой фигуре. Для соритов, возможных во второй, третьей и четвертой фигурах, можно было бы сформулировать другие правила, соответствующие специальным правилам этих фигур в случае простого силлогизма.

Не утверждается, что сориты в фигурах, отличных от первой, часто встречаются в обычном употреблении, однако их построение представляет определенный теоретический интерес.

Примеры, приведенные в тексте, были намеренно выбраны так, чтобы допускать только один вариант анализа, что не было характерно для примеров из первых двух изданий этой работы. Тем не менее исходные примеры были вполне корректными, и пролить дополнительный свет на общий вопрос может краткий ответ на некоторые критические замечания, высказанные в их адрес. Для второй фигуры был приведен следующий пример (опущенные заключения заключены в квадратные скобки), который был назван аналогичным аристотелевскому сориту:—

All A is B, No C is B, [therefore, No A is C], All D is C, [therefore, No A is D], All E is D, therefore, No A is E. Прежде всего, было высказано возражение, что приведенная выше форма является гоклениевской, а не аристотелевской, поскольку «субъект каждой посылки после первой является предикатом последующей». Это упускает из виду более фундаментальную характеристику аристотелевского сорита: первая посылка и опущенные заключения являются меньшими посылками в соответствующих силлогизмах. Далее было высказано возражение, что вместо приведенного выше анализа можно использовать следующий:— AaB, CeB, [∴ CeA,] DaC, [∴ DeA], EaD, ∴ AeE. Безусловно, такой анализ возможен, но возражение против него заключается в его неоднородном характере. Первая посылка и первое опущенное заключение являются большими посылками, тогда как последнее опущенное заключение — меньшая посылка. Кроме того, первый силлогизм относится ко второй фигуре, второй — к первой, а третий — к четвертой. Следует признать, что то, что выше было названо неоднородным анализом, в некоторых случаях является единственно возможным, но лучше, где это возможно, использовать более однородный подход. Если первая посылка сорита содержит субъект, а последняя — предикат заключения, то последняя посылка неизбежно является большей посылкой финального силлогизма; отсюда можно вывести правило, что мы можем построить такой сорит однородно, только рассматривая первую посылку и все опущенные заключения как меньшие посылки, а все остальные посылки — как большие посылки в соответствующих силлогизмах. Соответствующее правило можно сформулировать, если первая посылка содержит предикат, а последняя — субъект заключения.

Можно обнаружить, что сорит в четвертой фигуре не может иметь более ограниченного числа посылок. Этот вопрос поднимается в разделе 335.

327. Ультратотальное распределение среднего термина. — Обычное силлогистическое правило, касающееся распределения среднего термина, не предполагает признания иных знаков количества, кроме «все» и «некоторые»; если же признаются другие знаки, правило должно быть изменено. Например, допущение знака «большинство» дает следующее корректное рассуждение, хотя средний термин не распределен ни в одной из посылок:—

Most M is P, Most M is S, therefore, Some S is P. Интерпретируя «большинство» в значении «более половины», из вышеприведенных посылок ясно следует, что должно существовать некое M, которое является и S, и P. Однако мы не можем сказать, что в какой-либо из посылок термин M распределен.

Чтобы охватить подобные случаи, Гамильтон (Logic, II, стр. 362) предлагает следующую модификацию правила, касающегося распределения среднего термина: «Квантификации среднего термина, взятые вместе, будь то в качестве субъекта или предиката, должны превышать количество этого термина, взятого во всем его объеме»; иными словами, мы должны иметь ультратотальное распределение среднего термина в двух посылках, взятых вместе.

Де Морган (Formal Logic, стр. 127) пишет следующее: «Говорят, что в каждом силлогизме средний термин должен быть универсальным в одной из посылок, чтобы мы могли быть уверены, что утверждение или отрицание в другой посылке может быть сделано относительно некоторых или всех вещей, о которых было сделано утверждение или отрицание в первой. Этот закон, как мы увидим, является лишь частным случаем истины: достаточно, чтобы две посылки вместе утверждали или отрицали нечто относительно более чем всех экземпляров среднего термина. Если есть сто ящиков, в которые нужно положить сто один предмет двух разных видов, не более одного предмета каждого вида в любой ящик, то в какой-то один ящик, если не больше, будут положены два предмета, по одному каждого вида. Согласно общепринятому учению, предмет одного конкретного вида должен быть положен в каждый ящик, а затем один или несколько предметов другого вида — в один или несколько ящиков, прежде чем можно будет утверждать, что один или несколько предметов разных видов находятся вместе». Сам Де Морган подробно разрабатывает этот вопрос в своем рассмотрении численно определенного силлогизма (Formal Logic, стр. 141–170). В качестве примера численно определенного рассуждения можно привести следующее: если 70 процентов M являются P, а 60 процентов являются S, то по крайней мере 30 процентов являются и S, и P. Аргумент можно представить следующим образом: в среднем из 100 M 70 являются P, а 60 являются S; предположим, что 30 M, которые не являются P, являются S, все равно 30 S можно найти в оставшихся 70 M, которые являются P; это и есть искомое заключение. Проблемы такого рода составляют пограничную область между формальной логикой и алгеброй. Некоторые дополнительные примеры будут приведены в главе 8 (раздел 345).

409. Используя другие буквы, это пример, приведенный Миллем (Logic, ii. 2, § 1, примечание) и процитированный Гербертом Спенсером (Principles of Psychology, II, стр. 88). Более общая проблема, частным случаем которой является вышеприведенная, заключается в следующем: дано, что существует n M, и что a M являются S, в то время как b M являются P; определить, каково наименьшее число S, которые также являются P. Ясно, что у нас нет никакого заключения, если a + b > n, т.е. если нет ультратотального распределения среднего термина. Если это условие выполнено, то, предполагая, что (n − b) M, которые являются не-P, все находятся среди MS, останутся некоторые MS, которые являются P, а именно a − (n − b). Следовательно, наименьшее число S, которые также являются P, должно быть a + b − n.

328. Квантификация предиката и силлогизм. — Будет удобно кратко рассмотреть в этой главе применение доктрины квантификации предиката к силлогизму; результат далек от упрощения. Наиболее важные моменты, которые возникают, могут быть выявлены путем рассмотрения корректности следующих силлогизмов: в первой фигуре — UUU, IUη, AYI; во второй фигуре — ηUO, AUA; в третьей фигуре — YAI. В следующем разделе мы будем действовать более систематично, не принимая во внимание U и ω.

410. В связи со своей доктриной квантификации предиката Гамильтон различает фигурный силлогизм и нефигурный силлогизм. В фигурном силлогизме различие между субъектом и предикатом сохраняется, как в тексте. Однако при строгой квантификации предиката от различия между субъектом и предикатом можно отказаться; в таком случае не остается оснований для различения фигур (которое зависит от положения среднего термина как субъекта или предиката в посылках). Это дает то, что Гамильтон называет нефигурным силлогизмом. Например: «Любая застенчивость и любое похвальное не эквивалентны, всякая скромность и некоторое похвальное эквивалентны, следовательно, любая застенчивость и всякая скромность не эквивалентны»; «Все киты и некоторые млекопитающие равны, все киты и некоторые водные животные равны, следовательно, некоторые млекопитающие и некоторые водные животные равны». Отдельный канон для нефигурного силлогизма дан Гамильтоном следующим образом: «Поскольку два понятия либо оба согласуются, либо одно согласуется, а другое нет, с общим третьим понятием, постольку эти понятия согласуются или не согласуются друг с другом».

(1) UUU в первой фигуре корректен:—

All M is all P, All S is all M, therefore, All S is all P. Следует заметить, что всякий раз, когда одна из посылок является U, заключение может быть получено путем подстановки S или P (в зависимости от случая) вместо M в другой посылке.

Без использования квантифицированных предикатов вышеприведенное рассуждение можно выразить с помощью двух следующих силлогизмов:

All M is P,All M is S, All S is M,All P is M, therefore, All S is P ;therefore, All P is S.

(2) IUη в первой фигуре некорректен, если «некоторые» используется в своем обычном логическом смысле. Посылки: «Некоторое M есть некоторое P» и «Всякое S есть всякое M». Мы можем, следовательно, получить законное заключение, подставив S вместо M в большую посылку. Это дает «Некоторое S есть некоторое P».

Если, однако, «некоторые» здесь используется в значении «некоторые только», то из «Некоторое S есть некоторое P» следует «Никакое S не есть некоторое P», и исходный силлогизм является корректным, хотя отрицательное заключение получено из двух утвердительных посылок.

Этот силлогизм приводится как корректный Томсоном (Laws of Thought, § 103); но, по-видимому, только из-за опечатки вместо IEη. В своей схеме корректных силлогизмов (тридцать шесть в каждой фигуре) Томсон, по-видимому, последовательно интерпретирует «некоторые» в его обычном логическом смысле. Используя это слово в значении «некоторые только», можно было бы признать корректными несколько других силлогизмов, которые он таковыми не считает.

411. Сравните раздел 144.

(3) AYI в первой фигуре, при использовании «некоторые» в его обычном логическом смысле, эквивалентен AAI в третьей фигуре в обычной силлогистической схеме и является корректным. Но он некорректен, если «некоторые» используется в значении «некоторые только», поскольку заключение теперь подразумевает, что S и P частично исключают друг друга, а также частично совпадают, тогда как это не подразумевается посылками. При таком использовании «некоторые» правильное заключение можно выразить только путем указания альтернативы между SuP, SaP, SyP и SiP. Этот случай может послужить иллюстрацией сложностей, в которые мы были бы вовлечены, если бы попытались последовательно использовать «некоторые» в значении «некоторые только».

412. Сравните Monck, Logic, стр. 154.

(4) ηUO во второй фигуре корректен:—

No P is some M, All S is all M, therefore, Some S is not any P. Без использования квантифицированных предикатов мы можем получить то же заключение в Bocardo, таким образом:—

Some M is not P, All M is S, therefore, Some S is not P. Следует заметить, что и (3), и (4) являются усиленными силлогизмами.

(5) AUA во второй фигуре выглядит следующим образом:—

All P is some M, All S is all M, therefore, All S is some P. Здесь у нас нет ни нераспределенного среднего термина, ни незаконного процесса большей или меньшей посылки, ни нарушено какое-либо правило качества, и все же силлогизм некорректен. Применяя приведенное выше правило, что «всякий раз, когда одна из посылок является U, заключение может быть получено путем подстановки S или P (в зависимости от случая) вместо M в другой посылке», мы обнаруживаем, что корректным заключением является «Некоторое S есть всякое P». Более общо, из этого правила подстановки следует, что если одна посылка является U, в то время как в другой посылке средний термин не распределен, то термин, объединенный со средним термином в посылке U, должен быть нераспределенным в заключении. Это представляется единственным дополнительным силлогистическим правилом, необходимым, если мы признаем U-пропозиции в силлогистических рассуждениях.

413. Мы имели бы соответствующий случай, если бы вывели «Никакое S не есть P» из посылок, данных в предыдущем примере.

Всякая опасность ошибки избегается путем разбиения U-пропозиции на две A-пропозиции. В рассматриваемом нами случае имеем:— «Всякое P есть M», «Всякое M есть S»; «Всякое P есть M», «Всякое S есть M». Из первой пары посылок мы получаем заключение «Всякое P есть S»; во второй паре средний термин не распределен, и поэтому никакого заключения вообще не получается.

(6) YAI в третьей фигуре корректен:—

Some M is all P, All M is some S, therefore, Some S is some P. Заключение, однако, ослаблено, поскольку из данных посылок мы могли бы вывести «Некоторое S есть всякое P». Следует заметить, что когда мы квантифицируем предикат, заключение силлогизма может быть ослаблено как в отношении его предиката, так и в отношении его субъекта. В обычном учении о силлогизме это по очевидным причинам невозможно.

414. Или, сохранив исходное заключение, мы могли бы заменить большую посылку на «Некоторое M есть некоторое P»; следовательно, с другой точки зрения, силлогизм можно рассматривать как усиленный.

Без квантификации предиката вышеприведенное рассуждение можно выразить в Bramantip, таким образом:

All P is M, All M is S, therefore, Some S is P. Мы могли бы получить полное заключение «Всякое P есть S» в Barbara.

329. Таблица корректных модусов, полученная в результате признания Y и η в дополнение к A, E, I, O. — Если мы примем шестикратное расписание пропозиций, полученное путем добавления «Только S есть P» (Y) и «Не только S есть P» (η) к обычному четырехкратному расписанию, как в разделе 150, то каждая пропозиция будет просто обратимой, и, следовательно, корректный модус в любой фигуре сводим к любой другой фигуре путем простого обращения одной или обеих посылок. Следовательно, если определены корректные модусы какой-либо одной фигуры, модусы остальных фигур могут быть непосредственно выведены из них.

Можно обнаружить, что в каждой фигуре есть двенадцать корректных модусов, которые не являются ни усиленными, ни ослабленными. Этот результат может быть установлен любым из двух следующих альтернативных методов.

I. Мы можем исследовать, какие различные комбинации посылок дадут заключения форм A, Y, E, I, O, η соответственно.

Будет достаточно, как мы уже видели, рассмотреть какую-то одну фигуру. Мы можем, следовательно, взять первую фигуру, так что положение терминов будет:—

MP SM ⎯⎯⎯⎯ SP (i) Чтобы доказать SaP, обе посылки должны быть утвердительными; и, чтобы избежать незаконной меньшей посылки, меньшая посылка должна быть SaM. Отсюда следует, что большая посылка должна быть MaP, иначе средний термин был бы нераспределенным. Следовательно, AAA — единственный корректный модус, дающий заключение A.

(ii) Чтобы доказать SyP, обе посылки должны быть утвердительными; и, чтобы избежать незаконной большей посылки, большая посылка должна быть MyP. Отсюда следует, что меньшая посылка должна быть SyM, чтобы избежать нераспределенного среднего термина. Следовательно, YYY — единственный корректный модус, дающий заключение Y.

(iii) Чтобы доказать SeP, большая посылка должна быть (1) MeP, или (2) MyP, или (3) MoP, чтобы избежать незаконной большей посылки. Если (1), меньшая посылка должна быть SaM, иначе были бы либо две отрицательные посылки, либо незаконная меньшая посылка; если (2), она должна быть SeM, иначе был бы нераспределенный средний термин или незаконная меньшая посылка; если (3), она должна быть утвердительной и распределять как S, так и M, что невозможно. Следовательно, EAE и YEE — единственные корректные модусы, дающие заключение E.

(iv) Чтобы доказать SiP, обе посылки должны быть утвердительными, и, поскольку SaM была бы неизбежно усиленной посылкой, меньшая посылка должна быть (1) SiM или (2) SyM. Если (1), большая посылка должна быть MaP, иначе был бы нераспределенный средний термин; если (2), она должна быть MiP, иначе была бы усиленная посылка. Следовательно, AII и IYI — единственные корректные (неусиленные и неослабленные) модусы, дающие заключение I.

(v) Чтобы доказать SoP, большая посылка должна быть (1) MeP, или (2) MyP, или (3) MoP, иначе была бы незаконная большая посылка. Если (1), меньшая посылка должна быть SiM, иначе была бы усиленная посылка; если (2), она должна быть SoM, иначе были бы либо две утвердительные посылки с отрицательным заключением, либо нераспределенный средний термин, либо усиленная посылка; если (3), она должна быть SyM, иначе были бы две отрицательные посылки или нераспределенный средний термин. Следовательно, EIO, YOO, OYO — единственные корректные (неусиленные и неослабленные) модусы, дающие заключение O.

(vi) Чтобы доказать SηP, меньшая посылка должна быть (1) SeM, или (2) SaM, или (3) SηM, иначе была бы незаконная меньшая посылка. Если (1), большая посылка должна быть MiP, иначе была бы усиленная посылка; если (2), большая посылка должна быть MηP, иначе был бы нераспределенный средний термин, или две утвердительные посылки с отрицательным заключением, или усиленная посылка; если (3), большая посылка должна быть MaP, иначе был бы нераспределенный средний термин или две отрицательные посылки. Следовательно, IEη, ηAη, Aηη — единственные корректные (неусиленные и неослабленные) модусы, дающие заключение η.

Путем обращения одной или обеих посылок мы можем сразу вывести из вышеизложенного таблицу корректных (неусиленных и неослабленных) модусов для всех четырех фигур следующим образом:—

Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3. Fig. 4. AAAYAAAYAYYA YYYAYYYAYAAY EAEEAEEYEEYE YEEAEEYEEAEE AIIYIIAIIYII IYIIYIIAIIAI EIOEIOEIOEIO YOOAOOYηOAηO OYOηYOOAOηAO IEηIEηIEηIEη ηAηOAηηYηOYη AηηYηηAOηYOη

II. Вышеуказанную таблицу можно также получить путем (1) взятия всех комбинаций посылок, которые возможны a priori, (2) установления специальных правил для выбранной фигуры, которые (вместе с правилами качества) позволят нам исключить комбинации посылок, которые являются либо некорректными, либо усиленными, независимо от того, каким будет заключение, (3) назначения корректного неослабленного заключения в оставшихся случаях.

Ниже приведены все возможные комбинации посылок, корректные и некорректные:

AA (b)YAIAEA (b)OAηA(b) (c) AYYY (a)IY (a) EYOY (a)ηY AIYI (a)II (a) EIOI (a)ηI (c) AE (b)YEIE[EE] (b) [OE][ηE] (b) AOYO (a)IO (a) [EO][OO] (a)[ηO] Aη (b) (c)YηIη (c)[Eη] (b)[Oη][ηη] (b) (c) Комбинации в квадратных скобках исключаются правилом, согласно которому из двух отрицательных посылок ничего не следует.

Взяв третью фигуру, в которой средний термин является субъектом в каждой посылке, и помня, что субъект распределен в A, E, η и только в них, в то время как предикат распределен в Y, E, O и только в них, можно получить следующие специальные правила:

(a) Одна посылка должна быть A, E или η, иначе средний термин не был бы распределен ни в одной из посылок;

(b) Одна посылка должна быть Y, I или O, иначе средний термин был бы распределен в обеих посылках, и, следовательно, была бы усиленная посылка;

(c) Если какая-либо посылка отрицательна, одна из посылок должна быть Y, E или O, иначе (поскольку заключение должно быть отрицательным, распределяющим один из своих терминов) был бы незаконный процесс большей или меньшей посылки.

Эти правила исключают комбинации посылок, отмеченные соответственно (a), (b), (c) выше.

Назначая корректное неослабленное заключение в случае каждой из двенадцати оставшихся комбинаций, имеем следующее: AYA, AII, AOη, YAY, YEE, YηO, IAI, IEη, EYE, EIO, OAO, ηYη. Из этого таблица корректных (неусиленных и неослабленных) модусов для всех четырех фигур может быть расширена, как и прежде.

330. Формальные выводы, не сводимые к обычным силлогизмам. — Ниже приведен пример того, что обычно называют аргументом a fortiori:

B is greater than C, A is greater than B, therefore, A is greater than C. В таком виде он явно не имеет обычной силлогистической формы, поскольку содержит четыре термина; однако иногда предпринимается попытка свести его к обычной силлогистической форме следующим образом:

B is greater than C, therefore, Whatever is greater than B is greater than C, but A is greater than B, therefore, A is greater than C.

415. Попытки свести непосредственные выводы к силлогистической форме уже рассматривались в разделе 110. В настоящем разделе будут рассмотрены несиллогистические опосредованные выводы.

Вслед за Де Морганом мы можем рассматривать это как простое уклонение или как petitio principii. Принцип аргумента a fortiori действительно предполагается при переходе от «B больше, чем C» к «Все, что больше B, больше C». Можно, конечно, признать, что с помощью вышеуказанной редукции аргумент a fortiori сводится к силлогизму вместе с непосредственным выводом. Но этот непосредственный вывод не является тем, который можно оправдать, пока мы признаем только такие отношения между терминами или классами, которые подразумеваются обычной связкой; и если бы кто-то отказался признать корректность аргумента a fortiori, он отказался бы признать корректность шага, представленного непосредственным выводом.

Следующую попытку разрешения 416 следует рассматривать аналогично:

Все, что больше того, что больше C, больше C, A больше того, что больше C, следовательно, A больше C.

416. Сравните Mansel’s Aldrich, стр. 200.

Во всяком случае, ясно, что это не может быть всем рассуждением, поскольку B больше не появляется в посылках вообще.

Суть вопроса, возможно, наиболее ясно можно обозначить, сказав, что, хотя обычный силлогизм может быть основан на dictum de omni et nullo, аргумент a fortiori нельзя заставить опираться исключительно на эту аксиому. Требуется новый принцип, который должен быть поставлен в один ряд с dictum de omni et nullo, а не в подчинение ему. Этот новый принцип можно выразить в форме: «Все, что больше второй вещи, которая больше третьей вещи, само больше этой третьей вещи».

Мансел (Aldrich, стр. 199, 200) рассматривает аргумент a fortiori как пример материального следствия на том основании, что он зависит от «некоторой подразумеваемой пропозиции или пропозиций, соединяющих термины, добавление которых позволяет разуму свести следствие к логической форме». Он осуществил бы редукцию одним из уже упомянутых способов. Это, однако, предрешает вопрос о том, что силлогистическая форма является единственной логической формой. На самом деле убедительность аргумента a fortiori столь же интуитивно очевидна, как и убедительность силлогизма в Barbara. Почему никакое отношение не должно считаться формальным, если оно не может быть выражено словом «есть»? Касаясь этого случая, Де Морган отмечает, что формальный логик имеет право ограничиваться любой частью своего предмета, какой пожелает; «но он не имеет права, кроме права на ошибку, называть эту часть целым» (Syllabus, стр. 42).

Существует неопределенное количество других аргументов, которые по схожим причинам не могут быть сведены к силлогистической форме. Например: A равно B, B равно C, следовательно, A равно C; X — современник Y, а Y — современник Z, следовательно, X — современник Z; A — брат B, B — брат C, следовательно, A — брат C; A находится справа от B, B находится справа от C, следовательно, A находится справа от C; A в ладу с B, а B в ладу с C, следовательно, A в ладу с C. Все эти аргументы зависят от принципов, которые могут быть поставлены в один ряд с dictum de omni et nullo и которые в равной степени аксиоматичны в тех конкретных системах, к которым они принадлежат.

417. В отношении этого аргумента Де Морган пишет: «Это не пример обычного силлогизма: посылки таковы: “A есть равный B; B есть равный C”. Что касается обычного силлогизма, то то, что “равный B” так же хорошо подходит для аргумента, как и “B”, является материальной случайностью значения слова “равный”. Логики, соответственно, чтобы свести это к обычному силлогизму, формулируют эффект композиции отношения в большей посылке и объявляют, что рассматриваемый случай является примером этой композиции в меньшей посылке. Как в: A есть равный равному (C); всякий равный равному есть равный; следовательно, A есть равный C. Это я рассматриваю как простое уклонение. Среди различных достаточных ответов достаточно одного: люди не мыслят так, как указано выше. Когда A = B, B = C, и это дает A = C, слово “равно” является связкой в мышлении, а не понятием, прикрепленным к предикату. Существуют процессы, которые не являются процессами обычного силлогизма в логической большей посылке выше: но, отбрасывая это, логика есть анализ формы мышления, возможного и актуального, и логик не имеет права объявлять, что иное, чем актуальное, является актуальным» (Syllabus, стр. 31, 2).

Претензии, выдвинутые от имени силлогизма как исключительной формы всех дедуктивных рассуждений, должны, следовательно, быть отвергнуты.

Такие претензии выдвигал, например, Уэйтли. Силлогизм, говорит он, есть «форма, к которой в конечном итоге может быть сведено всякое корректное рассуждение» (Logic, стр. 12). Далее он отмечает: «Аргумент, изложенный таким образом регулярно и в полном объеме, называется силлогизмом; который, следовательно, очевидно, не является особым видом аргумента, а лишь особой формой выражения, в которой может быть изложен каждый аргумент» (Logic, стр. 26).

418. Сравните также Whately, Logic, стр. 24, 5 и 34.

Сполдинг, по-видимому, имеет в виду то же самое, когда говорит: «Вывод, антецедент которого состоит из более чем одной пропозиции, является опосредованным выводом. Простейший случай, тот, в котором антецедентные пропозиции суть две, есть силлогизм. Силлогизм есть норма всех выводов, антецедент которых более сложен; и все такие выводы могут, теми, кто считает это стоящим, быть сведены к ряду силлогизмов» (Logic, стр. 158).

Дж. С. Милль поддерживает эти претензии. «Всякое корректное рассуждение», — отмечает он, — «всякое рассуждение, посредством которого из ранее принятых общих пропозиций выводятся другие, столь же или менее общие пропозиции, может быть представлено в некоторых из вышеуказанных форм», т.е. силлогистических модусов (Logic, II. 2, § 1).

То, что требуется для заполнения логического пробела, созданного признанием того, что силлогизм не является нормой всех корректных формальных выводов, было названо логикой отношений. Функция логики отношений состоит в том, чтобы принимать во внимание отношения в целом, а не «те, которые указываются лишь обычной логической связкой “есть”» (Venn, Symbolic Logic, стр. 400). Направление, которое может принять эта ветвь логики, если она когда-либо будет полностью разработана, указано в следующем отрывке из Де Моргана (Syllabus, стр. 30, 31): «Обратимая связка — это та, в которой связующее отношение существует между двумя именами в обеих направлениях: так, “есть прикреплен к”, “есть соединен дорогой с”, “есть равен” и т.д. являются обратимыми связками. Если “X равен Y”, то “Y равен X” и т.д. Транзитивная связка — это та, в которой связующее отношение соединяет X с Z всякий раз, когда оно соединяет X с Y и Y с Z. Так, “есть прикреплен к” обычно понимается как транзитивная связка: “X прикреплен к Y” и “Y прикреплен к Z” дают “X прикреплен к Z”». Студента можно дополнительно отослать к Venn, Symbolic Logic, стр. 399–404; а также к статьям г-на Джонсона о логическом исчислении в Mind, 1892, особенно стр. 26–28 и 244–250.

419. Сравните страницы 149–151.

420. Обычная формальная логика включена в логику отношений, интерпретируемую в самом широком смысле, но только в более обобщенной форме, чем та, в которой она обычно рассматривается.

УПРАЖНЕНИЯ.

331. Покажите, что если любая из двух данных пропозиций достаточна для развертывания данного энтимема первого или второго порядка в корректный силлогизм, то эти две пропозиции будут эквивалентны друг другу, при условии, что ни одна из них не образует усиленную посылку. [J.]

332. Даны одна посылка и заключение корректного силлогизма; в каких пределах может быть определена другая посылка? Покажите, что проблема столь же определенна, как и та, в которой нам даны обе посылки и нужно найти заключение. В каких случаях она абсолютно определенна? [K.]

333. Постройте корректный сорит, состоящий из пяти пропозиций и имеющий «Некоторое A не есть B» в качестве первой посылки. Укажите модус и фигуру каждого из отдельных силлогизмов, на которые может быть разложен сорит. [K.]

334. Обсудите характер следующих соритов, в каждом случае указывая, насколько возможен более чем один анализ: (i) «Некоторое D есть E», «Всякое D есть C», «Всякое C есть B», «Всякое B есть A», следовательно, «Некоторое A есть E»; (ii) «Некоторое A есть B», «Никакое C не есть B», «Всякое D есть C», «Всякое E есть D», следовательно, «Некоторое A не есть E»; (iii) «Всякое E есть D», «Всякое D есть C», «Всякое C есть B», «Всякое B есть A», следовательно, «Некоторое A есть E»; (iv) «Никакое D не есть E», «Некоторое D есть C», «Всякое C есть B», «Всякое B есть A», следовательно, «Некоторое A не есть E». [K.]

335. Обсудите возможность сорита, который можно проанализировать так, чтобы получить корректные силлогизмы, все из которых относятся к четвертой фигуре. Определите максимальное количество пропозиций, из которых может состоять такой сорит. [K.]

336. Исследуйте корректность следующих модусов: в первой фигуре — UAU, YOO, EYO; во второй фигуре — AAA, AYY, UOω; в третьей фигуре — YEE, OYO, AωO. [C.]

337. Исследуйте, в каких фигурах, если таковые имеются, корректны следующие модусы, отмечая случаи, в которых заключение ослаблено:— AUI; YAY; UOη; IUη; UEO. [L.]

338. Если «некоторые» используется в значении «некоторые, но не все», что можно вывести из пропозиций «Всякое M есть некоторое P», «Всякое M есть некоторое S»? [K.]

339. Придавая «некоторые» его обычное логическое значение, покажите, что в любом силлогизме, выраженном с квантифицированными предикатами, посылка формы U всегда может рассматриваться как усиленная посылка, если только заключение также не имеет формы U. [K.]

340. Возможно ли, чтобы существовали три пропозиции, такие, что каждая из них по очереди выводима из двух других? [V.]

341. Определите специальные правила для фигур 1, 2 и 4, соответствующие специальным правилам для фигуры 3, приведенным в разделе 329. [K.]

ГЛАВА VIII.

ПРОБЛЕМЫ СИЛЛОГИЗМА. 342. Значение экзистенциальной интерпретации пропозиций для корректности силлогистических рассуждений. — Мы можем, как и прежде, принять различные предположения относительно экзистенциальной значимости пропозиций и перейти к рассмотрению того, насколько корректность различных силлогистических модусов затрагивается каждым из них по очереди.

(1) Пусть каждая пропозиция интерпретируется как подразумевающая существование как своего субъекта, так и своего предиката. В этом случае существование большего, среднего и меньшего терминов в каждом случае гарантируется посылками, и поэтому не требуется никаких дополнительных предположений относительно существования для того, чтобы заключение было получено законным образом. Мы можем рассматривать вышеуказанное предположение как то, которое молчаливо делается в обычном учении о силлогизме.

421. Следует заметить, что это не совсем то же самое, что предположение (1) в разделе 156.

422. Если, однако, нам позволено действовать, как в разделе 206 (где из «всякое P есть M», «всякое S есть M» мы вывели «некоторое не-S не есть не-P»), мы должны постулировать существование не только непосредственно вовлеченных терминов, но и их противоречий.

(2) Пусть каждая пропозиция интерпретируется как подразумевающая существование своего субъекта. При таком предположении утвердительная пропозиция обеспечивает существование и своего предиката; но не так отрицательная пропозиция. Отсюда следует, что любой модус будет корректным, если только меньший термин не является в своей посылке предикатом отрицательной пропозиции. Это не может произойти ни в первой, ни во второй фигуре, поскольку в этих фигурах меньший термин всегда является субъектом в своей посылке; ни в третьей фигуре, поскольку в этой фигуре меньшая посылка всегда утвердительна. В четвертой фигуре единственными модусами с отрицательной меньшей посылкой являются Camenes и его ослабленная форма AEO. Наш вывод тогда состоит в том, что при данном предположении каждый обычно признаваемый модус является корректным, за исключением этих двух.

423. Редукция к первой фигуре, по-видимому, затрагивается этим предположением, поскольку оно делает контрапозицию A и обращение E в целом некорректными. Контрапозиция A вовлечена в прямую редукцию Baroco (Faksoko). Процесс, однако, в данном конкретном случае корректен, так как существование не-M дается меньшей посылкой. Обращение E вовлечено в редукцию Cesare, Camestres и Festino из второй фигуры; и Camenes, Fesapo и Fresison из четвертой. Поскольку, однако, одна посылка должна быть утвердительной, существование среднего термина тем самым гарантируется, и, следовательно, простое обращение E во второй фигуре и в большей посылке четвертой становится корректным. Также обращение заключения, полученного в результате редукции Camestres, является законным, поскольку исходный меньший термин является субъектом в своей посылке. Следовательно, Camenes (и его ослабленная форма) являются единственными модусами, чья редукция становится незаконной из-за рассматриваемого предположения. Этот результат согласуется с тем, что достигнуто в тексте.

(3) Пусть ни одна пропозиция не интерпретируется как подразумевающая существование ни своего субъекта, ни своего предиката. Взяв S, M, P в качестве меньшего, среднего и большего терминов соответственно, заключение будет подразумевать, что если есть какое-либо S, то есть некоторое P или не-P (в зависимости от того, утвердительное оно или отрицательное). Подразумевают ли это также посылки? Если да, то силлогизм корректен; в противном случае — нет.

В разделе 212 было показано, что универсальное утвердительное заключение «Всякое S есть P» может быть доказано только с помощью посылок «Всякое M есть P», «Всякое S есть M»; и ясно, что эти посылки сами по себе подразумевают, что если есть какое-либо S, то есть некоторое P. При нашем нынешнем предположении, следовательно, силлогизм корректен, если его заключение является универсально-утвердительным.

Далее, как показано в разделе 212, универсальное отрицательное заключение «Никакое S не есть P» может быть доказано только следующими способами:—

(i)No M is P (or No P is M), All S is M, ⎯⎯⎯⎯ therefore, No S is P ; (ii)All P is M, No S is M (or No M is S), ⎯⎯⎯⎯ therefore, No S is P. В (i) меньшая посылка подразумевает, что если S существует, то M существует, а большая посылка — что если M существует, то не-P существует. В (ii) меньшая посылка подразумевает, что если S существует, то не-M существует, а большая посылка — что если не-M существует, то не-P существует (как показано в разделе 158). Следовательно, силлогизм корректен, если его заключение является универсально-отрицательным.

Далее, пусть заключение будет частным. В первой фигуре импликация заключения в отношении существования содержится в самих посылках, поскольку меньший термин является субъектом утвердительной меньшей посылки, а средний термин — субъектом большей посылки. Во второй фигуре мы можем рассмотреть ослабленные модусы, устраненные тем, что уже было сказано относительно универсальных заключений; ибо при нашем нынешнем предположении субальтернация является корректным процессом. Оставшиеся модусы с частными заключениями в этой фигуре — Festino и Baroco. В первом меньшая посылка подразумевает, что если S существует, то M существует, а большая — что если M существует, то не-P существует; во втором меньшая посылка подразумевает, что если S существует, то не-M существует, а большая — что если не-M существует, то не-P существует.

Все обычно признаваемые модусы, таким образом, первой и второй фигур являются корректными. Но иначе обстоит дело с модусами, дающими частное заключение в третьей и четвертой фигурах, за единственным исключением ослабленной формы Camenes (которая сама по себе является единственным модусом с универсальным заключением в этих фигурах). Поскольку субальтернация является корректным процессом, законность последней следует из законности самого Camenes. Но во всех остальных случаях в третьей и четвертой фигурах меньший термин является предикатом утвердительной меньшей посылки. Его существование, следовательно, не несет с собой никакой дальнейшей импликации существования в посылках. Оно делает это в заключении. Следовательно, все модусы третьей и четвертой фигур, за исключением AEE и AEO в последней фигуре, являются некорректными. Возьмем в качестве примера силлогизм в Darapti:—

All M is P, All M is S, ⎯⎯⎯⎯⎯ therefore, Some S is P. Заключение подразумевает, что если S существует, P существует; но в соответствии с посылками S может существовать, в то время как M и P оба не существуют. Импликация, следовательно, содержится в заключении, которая не оправдана посылками.

Следовательно, при предположении, что ни одна пропозиция не подразумевает существование ни своего субъекта, ни своего предиката, все обычно признаваемые модусы первой и второй фигур являются корректными, но ни один из модусов третьей и четвертой фигур, за исключением Camenes и ослабленной формы Camenes. 424

424. Прямое утверждение относительно существования может, однако, сделать отвергнутые модусы законными. Если, например, существование среднего термина прямо дано, то Darapti становится корректным.

(4) Пусть частные пропозиции интерпретируются как подразумевающие, а универсальные — как не подразумевающие существование своих субъектов. Законность модусов с универсальными заключениями может быть установлена, как в предыдущем случае. Рассматривая модусы с частными заключениями, очевидно, что они будут корректными, если меньшая посылка является частной, имея меньший термин в качестве своего субъекта; или если меньшая посылка является частно-утвердительной, независимо от того, является ли меньший термин ее субъектом или предикатом. Disamis, Bocardo и Dimaris также являются корректными, поскольку большая посылка в каждом случае гарантирует существование M, а меньшая подразумевает, что если M существует, то S существует. Вышеизложенное, как будет обнаружено, охватывает все корректные модусы, в которых одна посылка является частной. Остаются только модусы, в которых из двух универсальных мы выводим частную. Ясно, что все эти модусы должны быть некорректными, ибо их заключения будут подразумевать существование меньшего термина, а это не может быть гарантировано посылками. 425

425 Гипотетические заключения (вида «Если S существует, то...» и т. д.), разумеется, по-прежнему будут правомерными.

Таким образом, при допущении, что частные суждения подразумевают существование своих субъектов, а общие — нет, недействительными становятся все ослабленные модусы, а также Darapti, Felapton, Bramantip и Fesapo, 426 каждый из которых содержит усиленную посылку. Короче говоря, любой обычно признаваемый 394 модус при таком допущении является действительным, если только он не содержит либо усиленную посылку, либо ослабленное заключение. 427

426 Можно заметить, что буква p встречается в мнемоническом обозначении каждого из этих модусов, указывая на то, что их сведение к первой фигуре включает обращение per accidens. При рассматриваемом допущении этот процесс недействителен, и здесь мы можем найти подтверждение вышеуказанного результата.

427 Этот результат можно рассматривать как дополнительный аргумент в пользу принятия допущения (4).

343. Связь между истинностью и ложностью посылок и заключения в действительном силлогизме. — Говоря, что силлогизм является действительным, мы подразумеваем, что истинность его заключения вытекает из истинности его посылок; и непосредственным выводом из этого является то, что если заключение ложно, то одна или обе посылки должны быть ложными. Однако обратное неверно ни в том, ни в другом случае. Истинность посылок не вытекает из истинности заключения; равно как и ложность заключения не вытекает из ложности одной или обеих посылок.

Вышеприведенные утверждения, вероятно, были бы приняты как самоочевидные; тем не менее, более удовлетворительным представляется дать их формальное доказательство, и такое доказательство обеспечивается с помощью трех следующих теорем. 428

428 В этом разделе предполагается, что наш перечень пропозиций не включает U. Однако теоремы остаются в силе и для шестичленного перечня, включающего Y и η, так же как и для обычного четырехчленного перечня.

(1) Если дан действительный силлогизм, то ни в каком случае комбинация одной из посылок с заключением не установит другую посылку.

Мы должны показать, что если одна посылка и заключение действительного силлогизма взяты в качестве новой пары посылок, они ни в каком случае не достаточны для установления другой посылки. Если бы это было возможно, то посылка, принятая за истинную, должна была бы быть утвердительной, ибо если бы она была отрицательной, то исходное заключение было бы отрицательным, и, объединив их, мы получили бы две отрицательные посылки, которые не могли бы дать никакого заключения. Кроме того, средний термин должен был бы быть распределен в посылке, принятой за истинную. Это ясно, если он не распределен в другой посылке; а поскольку другая посылка является заключением нового силлогизма, если она распределена там, она должна быть распределена и в посылке, принятой за истинную, иначе мы получили бы незаконный процесс в новом силлогизме. 395 Следовательно, посылка, принятая за истинную, будучи утвердительной и распределяющей средний термин, не может распределять другой термин, который она содержит. 429 Следовательно, этот термин также не может быть распределен в исходном заключении. Но это тот самый термин, который будет средним термином нового силлогизма, и, следовательно, мы получим нераспределенный средний термин. Таким образом, истинность одной посылки и заключения действительного силлогизма не устанавливает истинность другой посылки; и à fortiori истинность заключения сама по себе не может установить истинность обеих посылок. 430

429 Это утверждение, хотя и не является верным для U, верно как для Y, так и для A.

430 Могут быть предложены и другие методы решения, более или менее отличные от вышеприведенного. Несколько похожая проблема обсуждается Солли в «Syllabus of Logic», стр. 123–126, 132–136. Мы показали, что одна посылка и заключение действительного силлогизма никогда не будут достаточны для доказательства другой посылки, но из этого, конечно, не следует, что они никогда не дадут никакого заключения вообще; рассмотрение этого вопроса см. в следующем разделе.

(2) Противоречащие суждения к посылкам действительного силлогизма ни в каком случае не будут достаточны для установления противоречащего суждения к исходному заключению.

Посылки исходного силлогизма должны быть либо (α) обе утвердительными, либо (β) одна утвердительной и одна отрицательной. В случае (α) противоречащие суждения к исходным посылкам будут обе отрицательными; а из двух отрицательных суждений ничего не следует. В случае (β) противоречащие суждения к исходным посылкам будут одна отрицательной и одна утвердительной; и если эта комбинация дает какое-либо заключение, оно будет отрицательным. Но исходное заключение также должно быть отрицательным, и поэтому противоречащее ему суждение будет утвердительным. Следовательно, ни в одном из случаев мы не можем установить противоречащее суждение к исходному заключению. 431

431 Однако возможно, что какое-то заключение может быть получено. См. раздел 359.

(3) Одна посылка и противоречащее суждение к другой посылке действительного силлогизма ни в каком случае не будут достаточны для установления противоречащего суждения к исходному заключению. 432

432 Из этого не следует, что одна посылка и противоречащее суждение к другой посылке действительного силлогизма никогда не дадут никакого заключения вообще. См. следующий раздел.

396 Это непосредственно вытекает из первой из теорем, установленных в этом разделе. Пусть посылками действительного силлогизма будут P и Q, а заключение — R; P и противоречащее суждение к Q не докажут противоречащее суждение к R; ибо если бы они это сделали, то следовало бы, что P и R докажут Q; но было показано, что это не так.

Теперь мы установили с помощью строго формального рассуждения аристотелевское положение о том, что, хотя силлогистически невозможно получить ложное заключение из истинных посылок, вполне возможно получить истинное заключение из ложных посылок. 433 Иными словами, ложность одной или обеих посылок не устанавливает ложность заключения силлогизма. Вторая из вышеприведенных теорем рассматривает случай, в котором обе посылки ложны; третья — случай, в котором ложна только одна из посылок.

433 Гамильтон (Logic, I, стр. 450) считает доктрину «о том, что если заключение силлогизма истинно, посылки могут быть либо истинными, либо ложными, но если заключение ложно, одна или обе посылки должны быть ложными» экстралогической, если не абсолютно ошибочной. Он явно неправ, поскольку рассматриваемая доктрина допускает чисто формальное доказательство.

344. Аргументы из истинности одной посылки и ложности другой посылки в действительном силлогизме, или из ложности одной посылки к истинности заключения, или из истинности одной посылки к ложности заключения. — В этом разделе мы рассмотрим три проблемы, взаимно связанные друг с другом, которые в некотором роде относятся к теоремам, содержащимся в предыдущем разделе. Например, было показано, что одна посылка и противоречащее суждение к другой посылке ни в каком случае не будут достаточны для установления противоречащего суждения к исходному заключению; цель первой из следующих проблем состоит в том, чтобы выяснить, в каких случаях они могут установить хоть какое-то заключение.

(i) Найти пару действительных силлогизмов, имеющих общую посылку, такую, что оставшаяся посылка одного противоречит оставшейся посылке другого. 434

434 Эта проблема была предложена следующим вопросом г-на О'Салливана, который ставит ту же проблему в другой форме: Дано, что одна посылка действительного силлогизма ложна, а другая истинна; определить в общем виде, в каких случаях из этих данных можно сделать заключение.

397 Мы должны найти случаи, в которых P и Q, P и Q' (противоречащее суждение к Q) являются посылками двух действительных силлогизмов. При решении этой и последующих проблем необходимо помнить, что если две пропозиции являются противоречащими, они будут различаться по качеству, а также по распределению своих терминов, так что любой термин, распределенный в одной из них, является нераспределенным в другой, и наоборот. Мы можем, следовательно, предположить, что Q является утвердительным, а Q' — отрицательным. Пусть P содержит термины X и Y, в то время как Q и Q' содержат термины Y и Z, так что Y является средним термином, а X и Z — крайними терминами каждого силлогизма. Поскольку Q' отрицательно, P должно быть утвердительным; и поскольку Y должно быть нераспределенным либо в Q, либо в Q', оно должно быть распределено в P. Следовательно, P = YaX. Q' должно распределять Z: ибо заключение (будучи отрицательным) должно распределять один термин, а X не распределено в P. Отсюда следует, что Z не распределено в Q. Следовательно, Q = YaZ или YiZ или ZiY; Q' = YoZ или YeZ или ZeY. Если проработать различные возможные комбинации, то окажется, что следующими являются силлогизмы, удовлетворяющие условию, что если одна посылка (та, что набрана жирным шрифтом) сохраняется, в то время как другая заменяется на противоречащую ей, заключение все еще может быть получено:— В первой фигуре: AII; В третьей фигуре: AAI, AAI, IAI, AII, EAO, OAO; В четвертой фигуре: IAI, EAO.

(ii) Найти пару действительных силлогизмов, имеющих общее заключение, такую, что посылка в одном противоречит посылке в другом.

Пусть Q и Q' (которые мы можем предположить соответственно утвердительным и отрицательным) будут рассматриваемыми посылками, а P' — заключением; также пусть Q и Q' содержат термины Y и Z, в то время как P' содержит термины X и Z, так что Z является средним термином, а X и Y — крайними терминами каждого силлогизма. Отсюда непосредственно следует, что P' является отрицательным; также что Y 398 должно быть нераспределенным в P', поскольку оно обязательно нераспределено либо в Q, либо в Q'. Следовательно, P' = YoX. Поскольку X распределено в P', оно должно быть также распределено в посылке, которая объединяется с Q'; и поскольку эта посылка должна быть утвердительной, она не может также распределять Z, которое, следовательно, должно быть распределено в Q' (и не распределено в Q). Следовательно, Q = YaZ или YiZ или ZiY; Q' = YoZ или YeZ или ZeY. Если проработать различные возможные комбинации, то окажется, что следующими являются силлогизмы, удовлетворяющие условию, что то же самое заключение может быть получено из другой пары посылок, одна из которых противоречит одной из исходных посылок (а именно, той, что набрана жирным шрифтом):— В первой фигуре: EAO, EIO; Во второй фигуре: EAO, AEO, EIO, AOO; В третьей фигуре: EIO; В четвертой фигуре: AEO, EIO.

(iii) Найти пару действительных силлогизмов, имеющих общую посылку, такую, что заключение одного противоречит заключению другого. 435

435 Эта проблема была предложена следующим вопросом г-на Пантона, который ставит ту же проблему в другой форме: Если заключение подставляется вместо посылки в действительном модусе, исследуйте условия, которые должны быть выполнены для того, чтобы новые посылки были правомерными.

Пусть P будет общей посылкой, Q и Q' (соответственно утвердительным и отрицательным) — противоречащими заключениями; также пусть P содержит термины X и Y, в то время как Q и Q' содержат термины Y и Z, так что X является средним термином, а Y и Z — крайними терминами каждого силлогизма. Поскольку Q утвердительно, P должно быть утвердительным; и поскольку либо Q, либо Q' будет распределять Y, P должно распределять Y. Следовательно, P = YaX. Посылка, которая в сочетании с P доказывает Q, должна быть утвердительной и должна распределять X; следовательно, она не может распределять Z, и Z должно, соответственно, быть нераспределенным в Q (и распределенным в Q'). 399 Следовательно, Q = YaZ или YiZ или ZiY; Q' = YoZ или YeZ или ZeY. Если проработать различные возможные комбинации, то окажется, что следующими являются силлогизмы, удовлетворяющие условию, что противоречащее суждение к заключению может быть получено, хотя одна из посылок (та, что набрана жирным шрифтом) сохраняется:— В первой фигуре: AAA, AAI, EAE, EAO; Во второй фигуре: EAE, EAO, AEE; В четвертой фигуре: AAI, AEE. 436

436 Можно заметить, что каждая из вышеуказанных проблем дает девять случаев. Вместе они охватывают все 24 действительных модуса; но есть три модуса (а именно, EAO в первой и второй фигурах и AAI в третьей фигуре), которые встречаются дважды. 15 неусиленных и неослабленных модусов распределены поровну, а именно: четыре, дающие I-заключения (вместе с OAO), подпадают под (i); шесть, дающие O-заключения (кроме OAO), подпадают под (ii); пять, дающие A- или E-заключения, подпадают под (iii). Все модусы первой фигуры (кроме тех, что с I-посылкой) подпадают под (iii); все модусы второй фигуры (кроме тех, что с E-заключением) подпадают под (ii); все модусы третьей фигуры (кроме того, у которого нет A-посылки) подпадают под (i).

Три набора модусов, разработанные выше, взаимно выводимы друг из друга. Таким образом,

(i)(ii)(iii) P and Q ∴ R=Q and Rʹ ∴ Pʹ=Rʹ and P ∴ Qʹ P and Qʹ ∴ Tʹ=Qʹ and T ∴ Pʹ=T and P ∴ Q В этой таблице (i) представляет возможные случаи, в которых при сохранении одной посылки другая посылка может быть заменена на противоречащую ей. Мы можем затем вывести (ii) случаи, в которых при сохранении заключения одна посылка может быть заменена на противоречащую ей; и (iii) случаи, в которых при сохранении одной посылки заключение может быть заменено на противоречащее ему. Мы могли бы, конечно, с таким же успехом начать с (ii) или с (iii) и оттуда вывести два других.

Сравнивая первый силлогизм из (i) со вторым силлогизмом из (iii) и наоборот, мы видим далее, что (i) дает случаи, в которых при сохранении одной посылки заключение может быть заменено на другую посылку; и что (iii) дает случаи, в которых при сохранении одной посылки другая посылка может быть заменена на заключение.

400 Ниже приводится еще один метод формулирования и решения всех трех проблем: Определить, в каких случаях возможно получить две несовместимые тройки пропозиций, каждая тройка содержит три и только три термина и каждая включает пропозицию, которая идентична пропозиции в другой, а также пропозицию, которая является противоречащей пропозиции в другой.

Пусть пропозиции будут P, Q, R' и P, Q', T; и пусть P содержит термины X и Y; Q и Q' — термины Y и Z; R и T — термины Z и X. Предположим, что Q утвердительно, а Q' — отрицательно. Тогда, поскольку одна из каждой тройки пропозиций должна быть отрицательной, и не более одной может быть таковой (как показано в разделе 214), P и T должны быть утвердительными, а R' — отрицательным. Опять же, поскольку каждый из терминов X, Y, Z должен быть распределен по крайней мере один раз в каждой тройке пропозиций (как показано в разделе 214), и поскольку Y должно быть нераспределенным либо в Q, либо в Q', Y должно быть распределено в P. Следовательно, P = YaX. X, будучи нераспределенным в P, должно быть распределено в R' и T. Следовательно, T = XaZ. Z, будучи нераспределенным в T, должно быть распределено в Q', и, следовательно, нераспределено в Q, и распределено в R'. Следовательно, Q = YaZ или YiZ или ZiY; Q' = YoZ или YeZ или ZeY; R' = XeZ или ZeX. Мы имеем тогда следующее решение нашей проблемы:—

YaZ, YaZ or YiZ or ZiY, XeZ or ZeX ; YaZ, YoZ or YeZ or ZeY, XaZ. 345. Численные модусы силлогизма. 437 — Ниже приведены примеры численных модусов в различных фигурах силлогизма:— 401

Figure 1. (i) All M’s are P’s, At least n S’s are M’s, therefore,At least n S’s are P’s ; (ii) Less than n M’s are P’s, All S’s are M’s, therefore,Less than n S’s are P’s ; (iii) Less than n M’s are P’s, At least n S’s are M’s, therefore,Some S’s are not P’s ; Figure 2. (iv) All P’s are M’s, Less than n S’s are M’s, therefore,Less than n S’s are P’s ; (v) Less than n P’s are M’s, All S’s are M’s, therefore,Less than n S’s are P’s ; (vi) Less than n P’s are M’s, At least n S’s are M’s, therefore,Some S’s are not P’s ; Figure 3. (vii) Less than n M’s are P’s, At least n M’s are S’s, therefore,Some S’s are not P’s ; (viii) All M’s are P’s, At least n M’s are S’s, therefore,At least n S’s are P’s ; (ix) At least n M’s are P’s, All M’s are S’s, therefore,At least n S’s are P’s ; Figure 4. (x) At least n P’s are M’s, All M’s are S’s, therefore,At least n S’s are P’s ; (xi) All P’s are M’s, Less than n M’s are S’s, therefore,Less than n S’s are P’s ; 402