«Исследования и упражнения по формальной логике»

(b) Мы можем попытаться обойти трудность, объяснив, что под тождеством мы подразумеваем непрерывное тождество, как когда я говорю: «Эта ручка — та же самая, которой я писал вчера». Здесь уже нет чистого тождества, поскольку есть различие во времени.

Если, принимая эту интерпретацию, мы подразумеваем под законом тождества, что то, что истинно для чего-либо в данное время, истинно для него и в другое время, то мы получаем не самоочевидный закон, а логическую ошибку. Ибо свойства объектов не постоянны. Другими словами, обладание объектом каким-либо данным свойством не является, подобно истинности суждения (выраженного полностью), независимым от времени.

Тогда под законом тождества в такой интерпретации мы должны подразумевать утверждение не какого-либо тождества свойств, а тождества субъекта свойств среди всех изменений, которые могут происходить в самих свойствах. Это можно рассматривать как теорию о природе индивидуальности и непрерывного тождества среди изменений, и она имеет большое значение на своем месте. Но она не может должным образом стоять в ряду традиционных законов мышления, которые составляют фундамент логической доктрины.

416. Закон противоречия. Принцип противоречия лучше всего рассматривать как выражение одного аспекта отношения между противоречащими суждениями, а именно того, что они не могут быть оба истинными. Существенной характеристикой суждения является то, что оно претендует на истинность. Но мы не можем объявить что-либо истинным, не объявив тем самым неявно что-то другое ложным. Всякое утверждение подразумевает отрицание; и мы не можем ясно уловить смысл любого данного суждения, если не понимаем точно, что именно оно отрицает.

Отношение между суждением и его отрицанием делается явным законом противоречия и законом исключенного третьего, первый из которых провозглашает, что два противоречащих суждения не могут быть оба истинными, а второй — что они не могут быть оба ложными.

Ясно, что закон противоречия в такой интерпретации не продвигает нас очень далеко и что он не может выполнить функцию, которую приписал ему Гамильтон, — служить принципом всякого логического отрицания. Он служит, однако, для выражения значимости отрицания и в то же время для изложения (с иной точки зрения, чем та, что принята в законе тождества) фундаментального постулата, который должен быть принят, если наши процессы мышления и рассуждения должны быть обоснованными. Ибо обоснованность мышления и рассуждения требует, чтобы ложные суждения опровергались; и только с помощью закона противоречия такое опровержение возможно. Опровержение требует, чтобы было установлено другое суждение, противоречащее первому; но это было бы бесполезно, если бы два противоречащих суждения могли быть истинными одновременно.

Таким образом, закон противоречия занимает свое место рядом с законом тождества как первый принцип диалектики и рассуждения: не продвигая нас на нашем пути, но служа постулатом, без которого нам было бы невозможно даже начать.

Мы можем перейти к рассмотрению формулы «A не есть не-A», которой обычно выражается закон противоречия. Здесь, как отмечает Зигварт, мы имеем уже не выражение отношения между двумя суждениями, а утверждение, что в данном суждении предикат не должен противоречить субъекту; и поскольку отрицание и противоречие не имеют первичного смысла, кроме как в отношении к суждениям, эта интерпретация принципа противоречия во всяком случае не может считаться столь же фундаментальной, как та, которую мы привели ранее. В то же время ясно, что если бы какое-либо A было не-A, то, понимая под не-A все, что не принадлежит к классу A, мы имели бы два противоречащих суждения, ибо мы могли бы утверждать о чем-то одновременно и то, что оно принадлежит к классу A, и то, что оно не принадлежит к классу A.

Формулу «A не есть не-A» не следует, следовательно, отвергать, если признается ее вторичный характер.

Отношение Милля к закону противоречия содержит кажущуюся непоследовательность. Он начинает с того, что рассматривает его как способ определения отрицания. Это, говорит он, просто тождественное суждение: если отрицание истинно, то утверждение должно быть ложным; ибо отрицание не утверждает ничего, кроме ложности утверждения, и не имеет никакого другого смысла или значения вообще. Однако он продолжает, как в «Логике», так и в «Исследовании философии сэра Уильяма Гамильтона», говорить об этом законе как об обобщении опыта. Он находит его первоначальное основание в том факте, что вера и неверие — это два разных психических состояния, исключающих друг друга, и этот факт мы получаем путем простейшего наблюдения за нашим собственным разумом. Мы наблюдаем, более того, что свет и тьма, звук и тишина, равенство и неравенство, короче говоря, любое положительное явление и его отрицание — это различные явления, резко противопоставленные, и одно всегда отсутствует, когда присутствует другое. Из всех этих фактов закон противоречия, по мнению Милля, является обобщением.

Logic, ii. 7 § 5.

В этом аргументе, по-видимому, задействованы два различных пункта. Что касается отсылки к вере и неверию, мы должны согласиться, что основание закона противоречия следует искать в природе суждения. Существенной характеристикой суждения является то, что оно претендует на истинность, и утверждение истины по самой своей природе подразумевает отрицание. Однако трудно увидеть, где здесь появляется какое-либо обобщение.

Другой пункт, который поднимает Милль, а именно факт, что все наше знание состоит из контрастов, — это обобщение, которое обычно известно как психологический закон относительности. Тот факт, однако, что мы не можем постичь свет иначе как в отличие от тьмы, звук — иначе как в отличие от тишины и т. д., не может рассматриваться как эквивалентный закону противоречия. То, что утверждает этот закон, есть, как выражается сам Милль, то, что «одна и та же пропозиция не может быть одновременно ложной и истинной».

Буль утверждает, что «аксиома метафизиков, которая называется принципом противоречия и которая утверждает, что невозможно, чтобы что-либо обладало качеством и в то же время не обладало им, является следствием фундаментального закона мышления, выражением которого является x² = x». Закон противоречия выражается в системе Буля в форме x(1 − x) = 0, где x может обозначать либо истинность суждения, либо термин; и, конечно, ясно, что x(1 − x) = 0 следует из x² = x. Будет, однако, замечено, что обратное также верно, так что вопрос о том, какой из двух законов является действительно более фундаментальным, остается открытым для обсуждения. Помимо этого, любая попытка вывести закон противоречия из какого-либо другого принципа вообще открыта для фундаментального возражения, что, если закон противоречия не принят в качестве постулата, ни один шаг в рассуждении невозможен: ибо как только нам позволено утверждать суждение и в то же время отрицать его, нам тем более позволено утверждать суждение и отрицать любой вывод, который может быть из него сделан. К вопросу о взаимозависимости законов мышления мы вернемся.

Отрицалось, что закон противоречия является необходимым законом мышления, на том основании, что мы не только часто сталкиваемся с самопротиворечиями, но что иногда люди даже хвастались тем, что придерживаются противоречивых мнений. Если, однако, закон противоречия должен быть отвергнут, необходимо показать не просто то, что мы иногда противоречим себе, а то, что мы делаем это с полной ясностью мысли и что мы не выставляем себя при этом в глупом свете.

Сравните Bain, Logic, Deduction, с. 223.

Сам факт того, что мы придерживаемся противоречивых мнений, ничего не значит, пока самопротиворечие не осознается нами. В таких случаях можно предположить, что та или иная из противоречивых доктрин будет отброшена, как только противоречие между ними станет очевидным. Если истинность обеих все еще поддерживается, вероятно, обнаружится, что существует какая-то оговорка — например, посредством проведения различия между разными видами истины, когда одна доктрина считается истинной буквально, а другая — в каком-то поэтическом или аллегорическом смысле, — благодаря чему последовательность восстанавливается ценой двусмысленности и недостатка ясности. Помимо какого-либо объяснения такого рода, проблема объяснения того, как некоторые из нас, по-видимому, придерживаются противоречивых убеждений, является задачей скорее для психолога, чем для логика. Окончательное объяснение следует искать в путанице мыслей, или недостатке интеллектуальной искренности, или в сочетании этих двух причин. С логической точки зрения оставаться в неразрешенном противоречии — значит выставлять себя в глупом свете и признавать поражение.

417. Софизм «Лжец». Софизм, известный как Ψευδόμενος или «Лжец», некоторыми авторами считался представляющим исключение из универсальной применимости закона противоречия.

Сравните Ueberweg, Logic, с. 245.

«Эпименид, критянин, говорит, что все критяне — лжецы. Следовательно, он сам лжец. Значит, то, что он говорит, не истинно, и критяне не лжецы. Но если так, то его утверждение может быть принято, и они — лжецы. И так далее, ad infinitum».

Решение просто, если мы интерпретируем утверждение Эпименида как означающее лишь то, что критяне обычно говорят неправду. Пусть тогда его утверждение понимается в более строгом смысле, чем этот, а именно как означающее, что критяне всегда и во всем лжецы, что ни одно утверждение, сделанное критянином, никогда ни при каких обстоятельствах не бывает истинным.

Опять же, решение просто, если мы просто предположим, что утверждение ложно. Эпименид здесь говорит неправду, но критяне часто или иногда говорят правду. Мы явно путаем противоречащее с противным, если переходим от позиции, что неверно, будто критяне всегда и во всем лжецы, к позиции, что то, что говорит критянин, должно поэтому быть истинным.

Софизм становится немного более озадачивающим, если мы начнем с допущения, что истинно, будто критяне никогда не говорят правду. Такое допущение не содержит самопротиворечия, и поэтому нет ничего, что мешало бы нам взять его в качестве отправной точки. Раз это так, пусть Эпименид сделает свое утверждение. Поскольку оно истинно, вот критянин, который сказал правду, и, следовательно, оно ложно. Его собственная истинность доказывает его собственную ложность. Но, опять же, поскольку оно истинно, Эпименид не может говорить правду, и, следовательно, оно ложно. Еще раз его собственная истинность доказывает его собственную ложность.

Аргумент можно также представить следующим образом. Допустим, что истинно, будто критяне всегда и во всем лжецы, и тогда пусть Эпименид, критянин, сделает это утверждение. Либо он говорит истину, либо он говорит ложь. Но если он говорит истину, то из этого следует, что он говорит ложь; в то время как, с другой стороны, если он говорит ложь, он лишь предоставляет дополнительное доказательство истинности того, что он говорит.

Проблема, требующая решения, заключается в том, как кажущийся обоснованным аргумент может таким образом привести в качестве своего результата лишь голое противоречие. Объяснение состоит в том, что мы начали с посылок, которые неявно противоречивы, и что наше последующее рассуждение выполнило свою надлежащую функцию, сделав противоречие явным. Нет ничего самопротиворечивого в допущении, что критяне никогда не говорят правду; но, начав с этого допущения, мы не можем без неявного противоречия предположить, что критянин делает это утверждение. Другими словами, две посылки — «критяне всегда и во всем лжецы» и «Эпименид, критянин, сказал это» — не могут быть истинными одновременно.

418. Закон исключенного третьего. Закон исключенного третьего дополняет закон противоречия в объяснении природы отношения между двумя противоречащими суждениями. Закон противоречия говорит нам, что из двух противоречащих суждений одно или другое должно быть ложным, причем истинность одного подразумевает ложность другого; закон исключенного третьего говорит нам, что из двух противоречащих суждений одно или другое должно быть истинным, причем ложность одного подразумевает истинность другого. Только с помощью двух законов в сочетании смысл отрицания может быть выражен полностью.

Зигварт рассматривает закон исключенного третьего как производный принцип, зависящий от принципа противоречия и другого принципа, который он называет принципом двукратного (или двойного) отрицания. Он отмечает, что для полного истолкования природы отрицания мы должны добавить к принципу противоречия дальнейший принцип, согласно которому отрицание отрицания является утвердительным, что отрицать отрицание — значит утверждать тот же предикат о том же субъекте. Этому дальнейшему принципу он дает название двойного отрицания; и, говорит он, только потому, что отрицание отрицания есть само утверждение, нет ничего среднего между утверждением и отрицанием.

Вывод следующий. Пусть X = «A есть B», а X = «A не есть B». Принцип противоречия говорит нам, что из двух суждений X и X одно обязательно ложно. Отсюда следует, что одно обязательно истинно. Ибо если я отрицаю X, то тем самым я поддерживаю X, в то время как если я отрицаю X, то (согласно принципу двойного отрицания) я поддерживаю X. Следовательно, отрицание обоих эквивалентно утверждению обоих, то есть оно влечет за собой противоречие. Отсюда нет среднего суждения между утверждением и отрицанием.

В критике вышеизложенного можно поставить вопрос, оправдывает ли нас голый закон противоречия в явном переходе от отрицания X к утверждению X. Собственная формулировка принципа противоречия у Зигварта гласит, что X и X не могут быть истинными вместе. Это позволяет нам перейти от утверждения X к отрицанию X или от утверждения X к отрицанию X; но не более того. Более того, в подходе Зигварта к этому вопросу, по-видимому, отсутствует симметрия. Он заставляет закон противоречия давать (1) утверждение X есть отрицание X, (2) утверждение X есть отрицание X, (3) отрицание X есть утверждение X; в то время как принцип двойного отрицания дает только (4) отрицание X есть утверждение X.

Все четыре этих отношения требуются для того, чтобы природа противоречия была выражена полностью; но если мы не суммируем все четыре в одном утверждении, кажется лучше выразить (1) и (2) с помощью принципа противоречия, а (3) и (4) — с помощью второго принципа, называем ли мы последний именем принципа исключенного третьего или любым другим именем. Будет замечено, что мы можем выразить (1) и (2) вместе в форме «Неверно, что X и X оба истинны», а (3) и (4) вместе — в форме «Либо X, либо X».

Принцип двойного отрицания Зигварта, таким образом, по-видимому, выражает половину того, что обычно выражается с помощью закона исключенного третьего; и его отдельное признание можно считать излишним. Я согласен с Зигвартом, однако, в том, что закон исключенного третьего делает не более чем помогает раскрыть смысл отрицания.

Нет необходимости занимать место обсуждением отношения формулы «Всякое A есть B или не-B» к принципу исключенного третьего, как описано выше. Эта формула выражает вторичное отношение между так называемыми противоречащими терминами, которое следует из соответствующего, но более фундаментального отношения между противоречащими суждениями.

Для того, что обычно известно как закон исключенного третьего, Джевонс предлагает название «закон двойственности». Он делает это на том основании, что рассматриваемый закон утверждает, что на каждом шагу есть две возможные альтернативы, и поэтому придает всем формулам рассуждения двойственный характер. Закон двойственности занимает важное место в системе формальной логики Джевонса, которая основана на повторном применении принципа дихотомического деления. Можно, однако, поставить вопрос, не должен ли закон двойственности, если он используется таким образом, включать в себя закон противоречия так же, как и закон исключенного третьего. Столь же важно на каждом этапе, чтобы альтернативы были исключающими, как и то, что они являются исчерпывающими.

Principles of Science, 1, § 3.

419. Основания, на которых отрицались абсолютная универсальность и необходимость закона исключенного третьего. Универсальная применимость закона исключенного третьего отрицалась чаще, чем применимость любого из двух ранее обсуждавшихся законов. Отрицание обычно зависит от путаницы между противоречащей оппозицией и противной оппозицией. Говорят, например, что существует среднее между «большим» и «меньшим». Это верно; но закон исключенного третьего не исключает возможности такого среднего. Этот закон не говорит нам, что данная величина должна быть либо больше, либо меньше другой данной величины; он лишь говорит нам, что она должна быть либо больше, либо не больше.

Тесно связан с этим случай, когда наша неспособность (из-за отсутствия необходимых знаний или способности к различению) решить в пользу одной из двух противоречащих альтернатив, как предполагается, дает третью альтернативу; как, например, когда к двум альтернативам «виновен» и «не виновен» добавляется третья альтернатива «не доказано». «Виновен» и «не виновен», рассматриваемые чисто в отношении к предполагаемому преступнику, являются истинными противоречащими, и они не допускают никакого среднего. Но «доказано, что виновен» и «доказано, что не виновен» — это противные, а не противоречащие; и именно здесь появляется третья альтернатива «не доказано».

Некоторая трудность может также возникнуть из-за двусмысленности или неопределенности в использовании языка. Так, возможно, можно сказать, что заключенный может быть ни «виновным», ни «не виновным», а «частично виновным». Под «виновным», однако, мы должны понимать либо «полностью виновный», либо «виновный в какой-либо степени»; и какое бы из этих значений мы ни приняли, трудность разрешается.

Мы можем аналогичным образом подойти к вопросу о том, имело ли место действие, занимающее конечный интервал времени для своего завершения, или нет, когда оно фактически происходит; например, была ли битва выиграна или нет, когда она наполовину завершена, или взошло солнце или нет, когда половина его окружности находится над горизонтом.

Трудности, которые возникают в таких случаях, как эти, — это на самом деле вербальные трудности.

Другие трудности, возникающие из-за неопределенности относительно точного диапазона применения терминов, частично вербальны, а частично зависят от наших несовершенных способностей к различению. Мы, возможно, колеблемся сказать о данном цвете, является ли он «синим» или «зеленым», и поэтому является ли он «синим» или «не синим». Если, однако, с помощью спектра или иным образом мы можем определить совершенно точно, что мы подразумеваем под «синим», трудность устраняется.

Милль замечает, на ином основании, чем любое из вышеперечисленных, что принцип исключенного третьего не является истинным, если не сделать большую оговорку. «Пропозиция должна быть либо истинной, либо ложной, при условии, что предикат является таким, который может быть в каком-либо понятном смысле приписан субъекту. «Абракадабра есть вторая интенция» — ни истинно, ни ложно. Между истинным и ложным есть третья возможность — бессмысленное» (Logic, ii. 7, § 5).

Ответ на это заключается в том, что закон исключенного третьего применяется только к пропозициям, собственно так называемым, то есть к пропозициям, рассматриваемым как вербальные выражения суждений, условие, которое явно не выполняется предложением (ложно называемым пропозицией), которое является бессмысленным. Если мы определим пропозицию как вербальное выражение суждения, то «бессмысленная пропозиция» — просто случайный набор слов, который ничего не передает уму — в действительности является противоречием в терминах.

Под «бессмысленной пропозицией» в вышеприведенном аргументе мы понимали так называемую пропозицию, которая не имеет смысла для человека, который ее произносит, или для кого-либо еще. Для данного индивида утверждение, сделанное кем-то другим, может быть бессмысленным, потому что он не понимает силы используемых терминов; но это никоим образом не влияет на принцип, что утверждение будет, как дело факта, либо истинным, либо ложным.

Хотя, однако, каждое суждение должно быть либо истинным, либо ложным, вполне возможно, что могут быть заданы неподходящие вопросы, правильные ответы на которые будут отрицательными, но будут ощущаться как бесплодные и незначительные, потому что любой, кто понимает смысл используемых терминов, сразу признает, что предикат не может быть в каком-либо понятном смысле приписан субъекту.

Сравните раздел 85.

Является ли добродетель круглой? Этот вопрос ощущается как абсурдный; но он не является бессмысленным. Говоря, что что-либо является круглым, мы подразумеваем, что оно имеет некоторую фигуру и что его фигура является круглой. Если, следовательно, вопрос о круглости поднимается в связи с чем-то, что является нематериальным и, следовательно, вообще не имеет фигуры, ответ должен быть отрицательным.

Сравните Bradley, Principles of Logic, с. 145. Г-н Брэдли задает вопрос: «Когда предикат действительно известен как не являющийся «таким, который может быть в каком-либо понятном смысле приписан субъекту», не является ли это само по себе достаточным основанием для отрицания?»

Этот пункт, возможно, едва ли кажется стоящим того, чтобы его поднимать. Он помогает, однако, объяснить, как Милль приходит к своему отрицанию универсальной применимости закона исключенного третьего. В его критике доктрины ноуменов Гамильтона поднимается вопрос, имеет ли материя сама по себе минимум делимости или она бесконечно делима. Ответ Милля заключается в том, что, хотя здесь мы, по-видимому, имеем противоречащие альтернативы, обе, возможно, должны быть отвергнуты, поскольку делимость, возможно, вообще не является предикабильной для материи самой по себе. Другими словами, пропозиция о том, что материя сама по себе имеет минимум делимости, ни истинна, ни ложна, а бессмысленна.

Следует заметить, однако, что «иметь минимум делимости» и «быть бесконечно делимым» не являются противоречащими, кроме как в сфере делимого. Если принять более широкую точку зрения, противоречащее «иметь минимум делимости» должно быть выражено просто в форме «не иметь минимума делимости», причем последнее включает случай «бесконечной делимости», а также случай «абсолютной неприменимости атрибута делимости».

420. Являются ли законы мышления также законами вещей? Взгляд на законы мышления, принятый на предыдущих страницах, делает вопрос о том, являются ли эти законы также законами вещей, несколько вводящим в заблуждение. Мы описали законы как постулаты, которые являются фундаментальными во всяком обоснованном мышлении и рассуждении, и мы рассматривали их как касающиеся по существу суждений. Наши результаты могут быть очень кратко суммированы следующим образом.

Истина, утверждаемая в любом суждении, когда она выражена полностью, независима от времени и контекста. Соответственно, у нас нет возможности принять суждение на одном этапе аргументации или хода рассуждения и отвергнуть его на другом. Эта недвусмысленность акта суждения провозглашается законом тождества, а также законом противоречия, причем один рассматривает вопрос с позитивной, а другой — с негативной точки зрения. Опять же, всякое суждение включает в себя как утверждение, так и отрицание; и сила любого суждения не постигается нами полностью, пока мы ясно не осознаем, что именно оно отрицает, а также что оно утверждает. Закон противоречия в сочетании с законом исключенного третьего имеет функцию сделать явным то, что мы подразумеваем под отрицанием. Три закона могут быть выражены этими формулами: «Я утверждаю то, что утверждаю, и отрицаю то, что отрицаю»; «Если я делаю какое-либо утверждение, я тем самым отрицаю его противоречащее»; «Если я делаю какое-либо отрицание, я тем самым утверждаю его противоречащее».

Из этого следует, что мы не можем добиться никакого прогресса в материальном знании, кроме как в подчинении этим законам. Но в то же время они не продвигают напрямую наше знание вещей. Они являются отчетливо законами, относящимися к суждениям, а не напрямую к вещам, о которых мы судим.

Без сомнения, когда говорится, что законы мышления являются также законами вещей, законы рассматриваются в том, что мы считали их вторичными формами: «A есть A»; «A не есть не-A»; «Все есть A или не-A». Но даже в этом случае трудно придать им какой-либо смысл, если рассматривать их как реальные пропозиции. Под «A» мы подразумеваем «A», ни больше, ни меньше; и под «не-A» мы подразумеваем «то, что не есть A, но включает все остальное». Законы не претендуют на предоставление какого-либо материального знания, и их обоснованность никоим образом не зависит от материальных условий.

Вопрос, поднятый в этом разделе, по существу уже был рассмотрен более подробно в специальной связи с законом тождества.

421. Взаимные отношения трех законов мышления. Если признается обоснованность обычных процессов непосредственного умозаключения, можно показать, что три закона мышления взаимно вовлекают друг друга.

Начиная с гипотетической пропозиции,

If A is true then C is true (i), мы получаем в качестве ее (истинного) дизъюнктивного эквивалента,

It cannot be that A is true and C is not true (ii), и в качестве ее альтернативного эквивалента,

Either C is true or A is not true(iii). Если теперь вместо C мы напишем A, мы получим следующий набор эквивалентных пропозиций:

«Если A истинно, оно истинно»; «Не может быть, чтобы A было одновременно истинным и не истинным»; «A есть либо истинное, либо не истинное»;

и это выражения закона тождества, закона противоречия и закона исключенного третьего соответственно.

Уже было показано в разделе 108, что аналогичный результат достижим, если мы напишем S вместо P в следующей тройке эквивалентных пропозиций:

«Всякое S есть P»; «Ничто не является одновременно S и не-P»; «Все есть P или не-S».

Эти результаты указывают на тесные отношения, существующие между тремя законами. Но ошибкой было бы полагать, что мы можем рассматривать только один из них как фундаментальный, а два других — как выводимые из этого одного. Ибо законы мышления стоят в основании всякого доказательства, и они должны быть постулированы для того, чтобы вышеприведенные эквивалентности могли быть сами показаны как обоснованные.

422. Законы мышления в отношении к непосредственным умозаключениям. Признавая, что законы мышления стоят в основании всякого доказательства, остается дальнейший вопрос, какие умозаключения, если таковые имеются, могут быть показаны как обоснованные только с их помощью.

Гамильтон утверждает, что закон тождества является принципом всякого логического утверждения, закон противоречия — всякого логического отрицания, а закон исключенного третьего — всякой логической дизъюнкции. Под логическим утверждением мы можем здесь понимать утверждение, которое может быть основано на чисто формальных соображениях без отсылки к материи мышления, и мы можем интерпретировать логическое отрицание и логическую дизъюнкцию аналогично. Три закона мышления, соответственно, считаются Гамильтоном оправдывающими то, что мы в другом месте называли формальными пропозициями, в зависимости от того, являются ли они утвердительными, отрицательными или дизъюнктивными соответственно. Деление на утвердительные, отрицательные и дизъюнктивные, однако, носит характер перекрестного деления; и возникает вопрос, куда нам поместить формальные гипотетические суждения, такие как следующие: «Если истинно, что все, что есть S, есть P, то истинно, что все, что не есть P, не есть S»; «Если истинно, что все S есть M и что все M есть P, то истинно, что все S есть P». По-видимому, поскольку они являются утвердительными, их следует отнести к закону тождества; и поскольку принцип любого формального умозаключения вообще может быть выражен в формальной пропозиции, аналогичной по характеру вышеприведенным пропозициям, мы обнаруживаем, что Гамильтон практически излагает доктрину, что в трех законах мышления (если не в одном законе тождества) мы имеем достаточный фундамент, на котором можно базировать все логическое умозаключение.

Эта доктрина может, во-первых, быть кратко рассмотрена с особым вниманием к непосредственным умозаключениям.

Можно согласиться с тем, что процесс обверсии может быть основан исключительно на законах противоречия и исключенного третьего. От «Всякое S есть P» мы переходим к «Ни одно S не есть не-P» по закону противоречия; и от «Ни одно S не есть P» мы переходим к «Всякое S есть не-P» по закону исключенного третьего.

Но это другое дело, когда мы переходим к рассмотрению процессов конверсии и контрапозиции; и будет обнаружено, что попытки базировать эти процессы исключительно на трех законах мышления обычно сводятся либо к голым утверждениям, либо к практическим отрицаниям того, что конверсия и контрапозиция вообще являются процессами умозаключения.

Де Морган отмечает: «Когда какой-либо автор пытается показать, как восприятие конвертируемости «A есть B» дает «B есть A» следует из принципов тождества, различия и исключенного третьего, я смогу судить о процессе; как есть, я обнаруживаю, что другие не выходят за рамки простого утверждения, и что я сам могу обнаружить petitio principii в каждой из моих собственных попыток» (Syllabus of Logic, с. 47).

Тест, который я был бы склонен применить к любой попытке доказательства обоснованности процесса конверсии, состоит в том, чтобы спросить, в чем принцип, задействованный в доказательстве, делает явной неконвертируемость O-пропозиции и нелегитимность простой конверсии A. Ясно, что мы не имеем права предполагать, что любые самоочевидные принципы, которые мы можем призвать на помощь, эквивалентны закону тождества.

Например: «Если один класс полностью или частично содержится во втором, то второй по крайней мере частично содержится в первом; если один класс полностью исключен из второго, то второй полностью исключен из первого».

Следующая попытка обосновать конверсию A и I с помощью закона тождества может быть взята в качестве примера: «Всякая утвердительная пропозиция может рассматриваться как утверждающая, что существуют определенные вещи, которые обладают атрибутами, коннотируемыми как субъектом, так и предикатом — класс SP. Следовательно, принцип тождества оправдывает конверсию утвердительной пропозиции. Ибо если существуют S, которые обладают атрибутом P, принцип тождества делает необходимым, чтобы некоторые из объектов, которые обладают этим атрибутом, были S». Закон тождества упоминается здесь, но мы можем справедливо спросить, в какой форме этот закон действительно появляется. Сводится ли аргумент к чему-то большему, чем то, что в таком анализе обоснованность рассматриваемой конверсии самоочевидна? Не могли бы мы вместо слов «принцип тождества делает необходимым» подставить слова «это самоочевидно»?

Поскольку аргумент претендует на то, чтобы быть чем-то большим, чем это, он содержит petitio principii.

Сравните, далее, обсуждение легитимности конверсии в разделе 99.

Без сомнения, если непосредственные умозаключения — это не более чем вербальные трансформации, то они все могут быть основаны на принципе тождества, как интерпретировал его Милль, а именно на принципе, что все, что истинно в одной форме слов, истинно в любой другой форме слов, имеющей тот же смысл. Но если конверсия (или любая другая форма непосредственного умозаключения) — это нечто большее, чем просто вербальная трансформация, эквивалентность конвертенда и конверса — это как раз то, что мы должны показать; они не являются просто двумя разными формами слов, имеющими один и тот же смысл.

423. Законы мышления и опосредованные умозаключения. Мэнсел выражает взгляд, что силлогистическое рассуждение — и, действительно, всякое формальное рассуждение вообще — может быть основано исключительно на законах тождества, противоречия и исключенного третьего. Принцип тождества, говорит он, непосредственно применим к утвердительным модусам в любой фигуре, а принцип противоречия — к отрицательным. Его доказательство этой позиции состоит в квантификации предикатов пропозиций, составляющих силлогизм, и затем использовании — для утвердительных — аксиомы, что «то, что дано как тождественное целому или части какого-либо понятия, должно быть тождественным целому или части того, что тождественно тому же понятию», и — для отрицательных — аксиомы, что «некоторые или все S, будучи даны как тождественные всем или некоторым M, отличны от каждой части того, что отлично от всех M».

Prolegomena Logica, с. 222.

Эти формулы, однако, отчетливо выходят за рамки законов тождества и противоречия, как они обычно излагаются. Они могут, действительно, рассматриваться как эквивалентные dictum de omni et nullo, адаптированному так, чтобы быть применимым к силлогизмам, состоящим из пропозиций с квантифицированными предикатами; и если предполагается, что dictum — это лишь другая форма изложения законов тождества и противоречия, то вопрос не нуждается в дальнейшем обсуждении. Только в этом случае мы не должны более выражать закон тождества ни в форме «Что истинно, то истинно», ни в форме «A есть A»; ни закон противоречия ни в форме «Если суждение истинно, его противоречащее не истинно», ни в форме «A не есть не-A». Законы, сформулированные таким образом, не могут рассматриваться как адекватные выражения аксиомы, на которой строится силлогистическое рассуждение. Они не выявляют функцию среднего термина, которая является характерной чертой силлогизма, и правила силлогизма не могли бы быть выведены из них.

Конечно, силлогистическое рассуждение, как и всякое другое рассуждение, предполагает законы мышления, и в процессе косвенной редукции, который занимает не последнее место в доктрине силлогизма, эти законы входят явно.

Нет необходимости подробно рассматривать формальные умозаключения, относящиеся к логике отношений, например: «B больше C», «A больше B», следовательно, «A больше C». Здесь нам требуется принцип, что все, что больше чего-либо, что больше третьей вещи, само больше третьей вещи; и было бы еще труднее, чем в случае с dictum de omni et nullo, вывести этот принцип непосредственно из трех законов мышления.

ПРИЛОЖЕНИЕ C.

ОБОБЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ИХ ПРИМЕНЕНИИ К СЛОЖНЫМ ПРОПОЗИЦИЯМ. 465

ГЛАВА I.

КОМБИНАЦИЯ ТЕРМИНОВ.

465 На следующих страницах рассматриваются проблемы, которые обычно относили к области символической логики. Однако они не рассматривают символическую логику напрямую, если понимать этот термин в его обычном смысле, а именно как обозначение той отрасли науки, в которой используются символы операций. Разумеется, в широком смысле вся формальная логика является символической.

424. Сложные термины. — Простой термин можно определить как термин, который не состоит из комбинации других терминов. Мы обозначаем простой термин одной буквой; например, A, P, X. Комбинация простых терминов дает сложный термин; и комбинация может быть либо конъюнктивной, либо альтернативной.

Сложный термин, возникающий в результате конъюнктивной комбинации других терминов, можно назвать конъюнктивным термином, и будет удобно обозначать такой термин простым соположением входящих в него других терминов. 466 Этот вид комбинации иногда называют детерминацией; и мы можем называть элементы, объединенные в конъюнктивном термине, детерминантами этого термина. Таким образом, A и B являются детерминантами конъюнктивного термина AB.

466 Конъюнктивная комбинация терминов в символической логике обычно представляется знаком умножения.

Сложный термин, возникающий в результате альтернативной комбинации других терминов, можно назвать альтернативным термином; и мы можем называть элементы, объединенные в таком термине, альтернатами этого термина. Таким образом, A и B являются альтернатами альтернативного термина «A или B». 467

467 Альтернативная комбинация терминов в символической логике обычно представляется знаком сложения.

469 На следующих страницах, в соответствии с точкой зрения, указанной в разделе 191, альтернаты в альтернативном термине не рассматриваются как обязательно исключающие друг друга (за исключением, конечно, случаев, когда они являются формально противоречащими). Таким образом, если мы говорим о чем-либо как об «A или B», мы не намерены исключать возможность того, что это является и A, и B. Иными словами, «A или B» не исключает AB.

В этом месте необходимо кратко рассмотреть логическое значение слов «и», «или». В предикате пропозиции их значение ясно; они указывают на конъюнктивную и альтернативную комбинацию соответственно; например, «P есть Q и R», «P есть Q или R». Но когда они встречаются в субъекте пропозиции, в каждом случае возникает двусмысленность, на которую необходимо обратить внимание.

Так, было бы выигрышнее в краткости, если бы мы могли записать пропозицию с альтернативным термином в качестве субъекта в форме «P или Q есть R». Однако это последнее выражение естественнее было бы интерпретировать как означающее «P есть R или Q есть R», при этом сила «или» понимается не как дающая единую категорическую пропозицию с альтернативным субъектным термином, а как краткий способ альтернативного соединения двух пропозиций с общим предикатом. Следовательно, когда мы подразумеваем первое, следует принять более определенный способ изложения: «Все, что есть либо P, либо Q, есть R» или «Любая вещь, которая есть либо P, либо Q, есть R».

Существует также двусмысленность в форме «P и Q есть R». Это естественнее было бы интерпретировать не как единую категорическую пропозицию с конъюнктивным субъектным термином (PQ есть R), а как краткий способ конъюнктивного соединения двух пропозиций с общим предикатом, а именно: «P есть R и Q есть R». Поэтому, чтобы однозначно выразить пропозицию с конъюнктивным субъектным термином, будет хорошо либо принять метод простого соположения без какого-либо соединительного слова, как, например, «PQ есть R», либо использовать одну из более громоздких форм: «Все, что есть и P, и Q, есть R» или «Любая вещь, которая есть и P, и Q, есть R». 468

468 Можно заметить, что как в этом случае, так и в случае с «или» мы избавляемся от двусмысленности, помещая слова в предикат придаточного предложения. Г-н Джонсон выражает суть последних трех абзацев в тексте, указывая, что «обычная речь принимает конвенцию: субъекты синтезируются внешне, а предикаты синтезируются внутренне» (Mind, 1892, стр. 239). Другими словами, «и» и «или», встречающиеся в предикате, понимаются как выражающие конъюнктивный или альтернативный термин; но встречающиеся в субъекте, они понимаются как выражающие конъюнктивную или альтернативную пропозицию.

425. Порядок комбинации в сложных терминах. — Порядок 470 комбинации в сложном термине безразличен, будь то комбинация конъюнктивная или альтернативная. 469

469 Это иногда называют законом коммутативности. Сравните: Буль, «Законы мышления», стр. 31, и Джевонс, «Принципы науки», 2, § 8.

Таким образом, AB и BA имеют одно и то же значение. Выходит одно и то же, выбираем ли мы из класса A элементы B или из класса B элементы A.

Опять же, «A или B» и «B или A» имеют одно и то же значение. Безразлично, образуем ли мы класс, добавляя элементы B к элементам A или добавляя элементы A к элементам B.

426. Противопоставление сложных терминов. — Каким бы сложным ни был термин, критерий противоречащего противопоставления, приведенный в разделе 40, должен по-прежнему применяться: «Пара противоречащих терминов связана таким образом, что вместе они исчерпывают всю вселенную, к которой делается отсылка, в то время как в этой вселенной нет индивида, о котором можно было бы одновременно утверждать и то, и другое». В дальнейшем будет удобно обозначать противоречащий любому простому термину соответствующей строчной буквой. Таким образом, вместо «не-A» мы можем писать a, а вместо «не-B» — b.

Теперь все, что не есть AB, должно быть либо a, либо b, в то время как ничто, что есть AB, не может быть ни a, ни b. Следовательно,

⎰ AB, ⎱ a или b,

образуют пару противоречащих. Аналогично,

⎰ A или B, ⎱ ab,

являются парой противоречащих. И то же самое будет справедливо, если A и B обозначают термины, которые сами по себе уже являются сложными (хотя и относительно простыми по сравнению с AB или «A или B»).

Если, таким образом, два термина конъюнктивно объединены в сложный термин (детерминантами которого они будут являться), то противоречащий этому сложному термину находится путем альтернативного объединения противоречащих двух детерминантов. И, наоборот, если два термина альтернативно объединены в сложный термин (альтернатами которого они будут являться), то противоречащий этому сложному термину находится путем конъюнктивного объединения противоречащих двух альтернатов.

В каждом случае мы подставляем вместо соответствующих относительно простых терминов их противоречащие и (в зависимости от обстоятельств) меняем 471 конъюнктивную комбинацию на альтернативную или альтернативную комбинацию на конъюнктивную.

Но какой бы степени сложности ни достиг термин, он будет состоять из ряда конъюнктивных и альтернативных комбинаций; и он может быть последовательно разложен на комбинации пар относительно простых терминов, пока, наконец, не будет показано, что он является результатом комбинации абсолютно простых терминов. Например: «ABC или DE или FG» является результатом альтернативной комбинации «ABC или DE» с FG; «ABC или DE» является результатом альтернативной комбинации ABC с DE; FG является результатом конъюнктивной комбинации F с G; и ABC, DE могут быть разложены аналогично.

Следовательно, последовательное применение вышеуказанного правила для нахождения противоречащего сложного термина, когда мы имеем дело с одной парой детерминантов или альтернатов, приведет к тому, что мы в конечном итоге подставим вместо каждого входящего в него простого термина его противоречащий и изменим характер их комбинации повсюду. 470 Мы можем, таким образом, сформулировать следующее правило для получения противоречащего любого сложного термина: Замените каждый составляющий простой термин его противоречащим и повсюду замените конъюнктивную комбинацию на альтернативную и наоборот. 471 Это правило просто в применении, и оно имеет фундаментальное значение при рассмотрении сложных пропозиций, принятом на следующих страницах.

470 Таким образом, беря термин «ABC или DE или FG» и в первом случае обозначая противоречащий сложного термина чертой, проведенной над ним, мы имеем последовательно:

ABC or DE or FG = ABC (DE or FG) = (AB or c) DE . FG = (a or b or c) (d or e) (f or g).

471 Сравните: Шрёдер, «Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 18.

Таким образом, противоречащий «A или BC»

есть «a и (b или c)», т.е. «ab или ac»;

и противоречащий «ABC или ABD»

есть (a или b или c) и (a или b или d),

который с помощью правил, которые будут даны в дальнейшем, сводится к форме

a или b или cd.

Два сложных термина могут быть формально несовместимыми или противоречащими, не являясь при этом истинными противоречащими. Это будет иметь место, если они содержат противоречащие детерминанты, не исчерпывая при этом вселенную дискурса. Термины AB и bC дают пример: ничто не может быть одновременно AB и bC (ибо, если бы это было так, нечто было бы одновременно B и не-B), но мы не можем сказать a priori, что все есть либо AB, либо bC (поскольку нечто может быть Abc, которое не есть ни AB, ни bC).

427. Дуальность формальных эквивалентностей в случае сложных терминов. — В следующих разделах будет показано, что некоторые сложные термины формально эквивалентны другим сложным терминам или простым терминам (например, «A или aB» = «A или B», «A или AB» = A); и важно с самого начала заметить, что такие формальные эквивалентности всегда идут парами. Ибо если два термина эквивалентны, то их противоречащие также должны быть эквивалентны; и, следовательно, применяя правило получения противоречащих, данное в предыдущем разделе, мы получаем возможность сформулировать простой закон: каждой формальной эквивалентности соответствует другая формальная эквивалентность, в которой конъюнктивная комбинация повсюду заменена на альтернативную и наоборот. 472 Этот закон может быть более точно установлен следующим образом: формальная эквивалентность, справедливая для любого заданного набора терминов, должна в равной степени быть справедливой для любого другого набора терминов; и, следовательно, все, что справедливо для терминов A, B и т. д., должно быть справедливо для их противоречащих a, b и т. д. Следовательно, имея любую эквивалентность, мы можем сначала заменить каждый простой термин его противоречащим, а затем взять противоречащий каждой стороны эквивалентности. Результатом этого двойного преобразования будет то, что мы получим другую эквивалентность, в которой каждая конъюнктивная комбинация была заменена на альтернативную, и наоборот, в то время как входящие в них символы терминов остались неизменными. Это доказывает то, что требовалось.

472 На это указывает Шрёдер, «Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 3. Две эквивалентности, которые таким образом взаимно выводимы одна из другой, можно назвать взаимными.

Применение вышеуказанного закона будет полностью проиллюстрировано в разделах, которые следуют непосредственно за этим.

428. Законы дистрибутивности. — Чтобы конъюнктивно объединить простой термин с альтернативным термином, мы должны конъюнктивно объединить его с каждым альтернатом альтернативного. 473 «A и (B или C)» 474 обозначает все, что есть A и в то же время либо B, либо C, и, следовательно, эквивалентно «AB или AC». Отсюда следует, что для конъюнктивного объединения двух альтернативных терминов мы должны конъюнктивно объединить каждый альтернат одного с каждым альтернатом другого. Таким образом, 473 «(A или B)(C или D)» обозначает все, что есть либо A, либо B, и в то же время либо C, либо D, и эквивалентно «AC или AD или BC или BD». 475

473 Сравните: Джевонс, «Принципы науки», 5, § 7.

474 В таком случае использование скобок необходимо, чтобы избежать двусмысленности. Так, «A и B или C» могло бы означать «AB или C» или, как выше, «AB или AC».

475 Вводим ли мы алгебраические символы в логику или нет, здесь существует очень близкая аналогия с алгебраическим умножением, которую невозможно скрыть.

Тогда мы имеем

A(B или C) = AB или AC,

и, применяя закон дуальности формальных эквивалентностей, приведенный в предыдущем разделе, мы сразу получаем другую эквивалентность, а именно:

A или BC = (A или B)(A или C). 476

476 Эта эквивалентность могла бы быть установлена и независимо с помощью некоторых эквивалентностей, приведенных в следующих разделах.

Эти две эквивалентности называются Шрёдером законами дистрибутивности. 477 Они имеют величайшее значение при манипулировании сложными терминами и их упрощении.

477 «Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 9, 10.

429. Законы тавтологии. — Для исключения избыточных терминов из сложного термина могут быть установлены следующие правила: (a) Повторение любого заданного детерминанта избыточно. Выбрать из класса A элементы A — это процесс, который оставляет нас там же, где мы начали. Другими словами, то, что есть и A, и A, идентично тому, что есть A. Таким образом, такие термины, как AA, ABB, являются тавтологичными; первый просто обозначает класс A, а второй — класс AB. Отсюда вышеуказанное правило, которое Джевонс называет законом простоты. 478 (b) Повторение любого заданного альтерната избыточно. Сказать, что что-либо есть «A или A», эквивалентно простому утверждению, что это есть A. Следовательно, такие термины, как «A или A», «A или BC или BC», являются тавтологичными; и мы имеем вышеуказанное правило, которое Джевонс называет законом единства. 479

478 См. «Pure Logic», § 42; и «Принципы науки», 2, § 8. Соответствующее уравнение x^2 = x является фундаментальным в системе Буля; см. «Законы мышления», стр. 31.

479 См. «Pure Logic», § 69; и «Принципы науки», 5, § 4.

Из правила, приведенного в разделе 427, будет видно, что закон простоты (AA = A) и закон единства («A или A» = A) являются взаимными; то есть первый выводим из второго и наоборот. Ибо единственное различие между ними состоит в том, что конъюнктивная комбинация в одном заменена на альтернативную комбинацию в другом. 480

480 Читателю может помочь в понимании рассуждений в разделе 427, если мы проработаем этот конкретный случай независимо. Если AA = A, то aa = a, ибо все, что формально справедливо в случае A, должно быть формально справедливо и в случае любого другого термина. Но если два термина эквивалентны, то их противоречащие должны быть эквивалентны. Следовательно, из aa = a следует, что «A или A» = A. И ясно, что мы могли бы аналогично перейти от «A или A» = A к AA = A.

474 430. Законы развития и редукции. — Важные формальные эквивалентности дают законы противоречия и исключенного третьего.

Согласно закону противоречия, термин, содержащий противоречащие детерминанты (например, Bb), не может представлять какой-либо существующий класс. Следовательно, «A или Bb» эквивалентно просто A; другими словами, конъюнктивная комбинация противоречащих может быть безразлично введена или опущена как альтернат.

Опять же, согласно закону исключенного третьего, термин, содержащий противоречащие альтернаты (например, «B или b»), представляет всю вселенную дискурса. Следовательно, A(B или b) эквивалентно просто A; другими словами, альтернативная комбинация противоречащих может быть безразлично введена или опущена как детерминант.

Можно заметить, что вышеуказанные эквивалентности, а именно:

A или Bb = A, A(B или b) = A,

являются взаимными.

Применяя далее законы дистрибутивности, данные в разделе 428, мы имеем следующее:

A = A или Bb = (A или B)(A или b), A = A(B или b) = AB или Ab.

Их можно рассматривать как формулы для развития и редукции терминов. Таким образом, подстановку (A или B)(A или b) вместо A можно назвать развитием термина посредством закона противоречия; а подстановку «AB или Ab» вместо A — развитием термина посредством закона исключенного третьего. В обоих вышеуказанных случаях термин A развивается по отношению к термину B. Аналогично, развивая A по отношению к B и C, мы получили бы (A или B или C)(A или B или c)(A или b или C)(A или b или c), если бы мы использовали закон противоречия, или «ABC или ABc или AbC или Abc», если бы мы использовали закон исключенного третьего. Развитие посредством закона исключенного третьего является более полезным из двух процессов при манипулировании сложными терминами, и можно считать, что именно это имеется в виду, когда говорят о развитии термина без дальнейших уточнений.

И наоборот, процесс перехода от (A или B)(A или b) к A или от «AB или Ab» к A можно назвать 475 редукцией термина посредством закона противоречия или закона исключенного третьего, в зависимости от обстоятельств.

Следуя Джевонсу, мы можем называть альтернативный термин типа «AB или Ab» дуальным термином, а подстановку A вместо «AB или Ab» — редукцией дуального термина. 481

481 «Pure Logic», § 103. Конъюнктивный термин (A или B)(A или b) также можно называть дуальным термином, а его редукцию к A — редукцией дуального термина.

431. Законы поглощения. — Можно показать, что любой альтернат, который является лишь подразделением другого альтерната, может быть безразлично введен или опущен из сложного термина. Таким образом, поскольку AB является подразделением A, термины «A или AB» и A эквивалентны. Это правило (которое Шрёдер называет законом поглощения 482) может быть установлено следующим образом: путем развития A по отношению к B, «A или AB» становится «AB или Ab или AB»; но согласно закону единства это эквивалентно «AB или Ab»; и путем редукции это эквивалентно A.

482 «Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 12. Этот закон поглощения эквивалентен одному из «методов сокращения» Буля («Законы мышления», стр. 130). Сравните также: Джевонс, «Pure Logic», § 70.

Применяя правило, данное в разделе 427, мы получаем второй закон поглощения, а именно: A(A или B) = A, который является взаимным первому закону поглощения: «A или AB» = A.

432. Законы исключения и включения. — Противоречащий любого альтерната в сложном термине может быть безразлично введен или опущен как детерминант любого другого альтерната; то есть термины «A или aB» и «A или B» эквивалентны. Это может быть установлено следующим образом: согласно закону поглощения «A или aB» эквивалентно «A или AB или aB», и путем редукции это дает «A или B». Вышеуказанную эквивалентность можно назвать законом исключения на том основании, что, переходя от «A или B» к «A или aB», мы делаем альтернаты взаимно исключающими.

Взаимная эквивалентность A(a или B) = AB может быть выражена следующим образом: противоречащий любого детерминанта в сложном термине может быть безразлично введен или опущен как альтернат любого другого детерминанта. Эту эквивалентность можно назвать законом включения на том основании, что, переходя от AB к A(a или B), мы делаем детерминанты коллективно включающими всю вселенную дискурса.

433. Резюме формальных эквивалентностей сложных терминов. — Ниже приводится резюме формальных эквивалентностей, содержащихся в пяти предыдущих разделах (те, что заключены в скобки, 476 в каждом случае связаны друг с другом взаимно способом, указанным в разделе 427):—

(1) A (B or C) = AB or AC,⎱ Laws of Distribution ; (2) A or BC = (A or B) (A or C),⎰ (3) AA = A,⎱ Laws of Tautology (Law of Simplicity and Law of Unity) ; (4) A or A = A,⎰ (5) A = A or Bb = (A or B) (A or b),⎱ Laws of Development and Reduction ; (6) A = A (B or b) = AB or Ab,⎰ (7) A or AB = A,⎱ Laws of Absorption ; (8) A (A or B) = A,⎰ (9) A or B = A or aB,⎱ Law of Exclusion and Law of Inclusion. (10) AB = A (a or B),⎰ 434. Конъюнктивная комбинация альтернативных терминов. — Первый закон дистрибутивности дает общее правило для конъюнктивной комбинации альтернатив. Но в целях такой комбинации особое внимание можно обратить (i) на второй закон дистрибутивности, а именно: (A или B)(A или C) = A или BC; и (ii) на эквивалентность (A или B)(AC или D) = AC или AD или BD, которая может быть установлена следующим образом: согласно первому закону дистрибутивности (A или B)(AC или D) эквивалентно «AAC или ABC или AD или BD»; но согласно закону простоты AAC = AC, а согласно закону поглощения «AC или ABC» = AC; следовательно, наш исходный термин эквивалентен «AC или AD или BD», что и требовалось доказать.

Из вышеуказанных эквивалентностей мы получаем два следующих практических правила, которые очень помогают в упрощении процесса конъюнктивного объединения альтернатив: (1) Если две альтернативы, которые должны быть конъюнктивно объединены, имеют общий альтернат, этот альтернат можно сразу записать как один альтернат результата, и нам не нужно проходить форму объединения его с любым из оставшихся альтернатов любой из альтернатив; (2) Если две альтернативы должны быть конъюнктивно объединены и альтернат одной является подразделением альтерната другой, то первый альтернат можно сразу записать как один альтернат результата, и нам не нужно проходить форму объединения его с оставшимися альтернатами другой альтернативы. 483

483 Эти правила эквивалентны второму методу сокращения Буля («Законы мышления», стр. 131).

477

УПРАЖНЕНИЯ.

435. Упростите следующие термины: (i) AD или acD; (ii) Ad или Ae или aB или aC или aE или bC или bd или bE или be или cd или ce. [K.]

(i) Согласно правилу (1) в разделе 433, «AD или acD» эквивалентно (A или ac)D; и это согласно правилу (9) эквивалентно (A или c)D; что опять же согласно правилу (1) эквивалентно «AD или cD». 484 (ii) Дуальный термин «bE или be» может быть сведен к b, и, следовательно, «Ad или Ae или aB или aC или aE или bC или bd или bE или be или cd или ce» = «Ad или Ae или aB или aC или aE или b или bC или bd или cd или ce». Согласно разделу 433, правилу (7), мы можем теперь опустить все альтернаты, в которых b встречается как детерминант, а согласно правилу (9), B может быть опущен везде, где он встречается как детерминант; соответственно наш термин сводится к «Ad или Ae или a или aC или aE или b или cd или ce». Поскольку a теперь является альтернатом, дальнейшее применение тех же правил оставляет нас с «a или b или cd или ce или d или e»; и это непосредственно сводится к «a или b или d или e».