«Символическая логика»

Далее, выражение «x′1y′0» становится «Все x′ суть y», где предикат меняется с y′ на y.]

стр. 073 ГЛАВА III.

СИЛЛОГИЗМЫ. § 1. Представление силлогизмов. Мы уже знаем, как представить каждое из трех суждений силлогизма в индексной форме. Когда это сделано, все, что нам нужно, — это записать три выражения в ряд, поставив «†» между посылками и «¶» перед заключением.

[Таким образом, силлогизм

«Никакие x не суть m′; Все m суть y. ∴ Никакие x не суть y′».

может быть представлен так:—

xm′0 † m1y′0 ¶ xy′0

Когда суждение нужно перевести из конкретной формы в индексную, читателю поначалу будет удобно переводить его сначала в абстрактную форму, а оттуда — в индексную. Но после небольшой практики он обнаружит, что переходить прямо от конкретной формы к индексной совсем несложно.]

стр. 074 § 2. Формулы для решения задач на силлогизмы. Как только мы нашли с помощью диаграмм заключение для данной пары посылок и представили силлогизм в индексной форме, у нас появляется формула, с помощью которой мы можем сразу найти, не прибегая снова к диаграммам, заключение для любой другой пары посылок, имеющих те же индексные формы.

[Таким образом, выражение

xm0 † ym′0 ¶ xy0

является формулой, с помощью которой мы можем найти заключение для любой пары посылок, чьи индексные формы:

xm0 † ym′0

Например, предположим, у нас есть пара суждений

«Никакие обжоры не здоровы; Никакие нездоровые люди не сильны».

предложенных в качестве посылок. Приняв «людей» за наш «универсум» и сделав m = здоровые; x = обжоры; y = сильные; мы могли бы перевести пару в абстрактную форму, таким образом:—

«Никакие x не суть m; Никакие m′ не суть y».

Они в индексной форме были бы

xm0 † m′y0

которые идентичны тем, что в нашей формуле. Следовательно, мы сразу знаем, что заключение:

xy0

то есть в абстрактной форме,

«Никакие x не суть y»;

то есть в конкретной форме,

«Никакие обжоры не сильны».]

Теперь я возьму три различные формы пар посылок и выведу их заключения раз и навсегда с помощью диаграмм; и таким образом получу несколько полезных формул. Я назову их «Фиг. I», «Фиг. II» и «Фиг. III».

стр. 075 Фиг. I. Сюда относится любая пара посылок, которые обе являются нулевыми и содержат неподобные элиминанды.

Простейший случай —

xm0 † ym′0

∴ xy0

В этом случае мы видим, что заключение является нулевым и что ретиненды сохранили свои знаки.

И мы обнаружим, что это правило справедливо для любой пары посылок, выполняющих данные условия.

[Читателю лучше убедиться в этом, проработав на диаграммах несколько вариантов, таких как

m1x0 † ym′0 (что ¶ xy0) xm′0 † m1y0 (что ¶ xy0) x′m0 † ym′0 (что ¶ x′y0) m′1x′0 † m1y′0 (что ¶ x′y′0).]

Если в посылках утверждается существование хотя бы одного ретиненда, то, конечно, это может быть утверждено и в заключении.

Следовательно, мы получаем два варианта Фиг. I, а именно:

(α) где один ретиненд так утвержден;

(β) где оба так утверждены.

[Читателю лучше проработать на диаграммах примеры этих двух вариантов, такие как

m1x0 † y1m′0 (что доказывает y1x0) x1m′0 † m1y0 (что доказывает x1y0) x′1m0 † y1m′0 (что доказывает x′1y0 † y1x′0).]

Формула, которую нужно запомнить, —

xm0 † ym′0 ¶ xy0

со следующими двумя правилами:—

(1) Две нулевые посылки с неподобными элиминантами дают нулевое заключение, в котором оба ретиненда сохраняют свои знаки.

стр. 076 (2) Ретиненд, существование которого утверждается в посылках, может быть так же утвержден в заключении.

[Заметьте, что правило (1) — это просто формула, выраженная словами.]

Фиг. II. Сюда относится любая пара посылок, одна из которых нулевая, а другая — сущность, и которые содержат подобные элиминанды.

Простейший случай —

xm0 † ym1

∴ x′y1

В этом случае мы видим, что заключение является сущностью и что ретиненд нулевой посылки изменил свой знак.

И мы обнаружим, что это правило справедливо для любой пары посылок, выполняющих данные условия.

[Читателю лучше убедиться в этом, проработав на диаграммах несколько вариантов, таких как

x′m0 † ym1 (что ¶ xy1) x1m′0 † y′m′1 (что ¶ x′y′1) m1x0 † y′m1 (что ¶ x′y′1).]

Формула, которую нужно запомнить, —

xm0 † ym1 ¶ x′y1

со следующим правилом:—

Нулевая посылка и сущность с подобными элиминантами дают сущность, в которой ретиненд нулевой посылки меняет свой знак.

[Заметьте, что это правило — просто формула, выраженная словами.]

стр. 077 Фиг. III. Сюда относится любая пара посылок, которые обе являются нулевыми и содержат подобные элиминанды, существование которых утверждается.

Простейший случай —

xm0 † ym0 † m1

[Заметьте, что «m1» здесь указано отдельно, потому что неважно, в какой из двух посылок оно встречается: так что это включает три формы «m1x0 † ym0», «xm0 † m1y0» и «m1x0 † m1y0».]

∴ x′y′1

В этом случае мы видим, что заключение является сущностью и что оба ретиненда изменили свои знаки.

И мы обнаружим, что это правило справедливо для любой пары посылок, выполняющих данные условия.

[Читателю лучше убедиться в этом, проработав на диаграммах несколько вариантов, таких как

x′m0 † m1y0 (что ¶ xy′1) m′1x0 † m′y′0 (что ¶ x′y1) m1x′0 † m1y′0 (что ¶ xy1).]

Формула, которую нужно запомнить, —

xm0 † ym0 † m1 ¶ x′y′1

со следующим правилом (которое является просто формулой, выраженной словами):—

Две нулевые посылки с подобными элиминантами, существование которых утверждается, дают сущность, в которой оба ретиненда меняют свои знаки.

Чтобы помочь читателю запомнить особенности и формулы этих трех фигур, я соберу их все вместе в одну таблицу.

pg078TABLE IX.

Фиг. I.

xm0 † ym′0 ¶ xy0

Две нулевые посылки с неподобными элиминантами дают нулевое заключение, в котором оба ретиненда сохраняют свои знаки.

Ретиненд, существование которого утверждается в посылках, может быть так же утвержден в заключении.

Фиг. II.

xm0 † ym1 ¶ x′y1

Нулевая посылка и сущность с подобными элиминантами дают сущность, в которой ретиненд нулевой посылки меняет свой знак.

Фиг. III.

xm0 † ym0 † m1 ¶ x′y′1

Две нулевые посылки с подобными элиминантами, существование которых утверждается, дают сущность, в которой оба ретиненда меняют свои знаки.

Теперь я разберу с помощью этих формул, в качестве моделей для подражания читателю, некоторые задачи на силлогизмы, которые уже были решены с помощью диаграмм в Книге V, Гл. II.

(1) [см. стр. 64] «Ни один мой сын не является нечестным; Люди всегда относятся к честному человеку с уважением».

Универсум: «люди»; m = честный; x = мои сыновья; y = те, к кому относятся с уважением.

xm′0 † m1y′0 ¶ xy′0 [Фиг. I.

т.е. «Ни один мой сын не остается без уважительного отношения».

стр. 079 (2) [см. стр. 64] «Все кошки понимают французский; Некоторые цыплята — кошки».

Универсум: «существа»; m = кошки; x = понимающие французский; y = цыплята.

m1x′0 † ym1 ¶ xy1 [Фиг. II.

т.е. «Некоторые цыплята понимают французский».

(3) [см. стр. 64] «Все прилежные студенты успешны; Все невежественные студенты неуспешны».

Универсум: «студенты»; m = успешные; x = прилежные; y = невежественные.

x1m′0 † y1m0 ¶ x1y0 † y1x0 [Фиг. I (β).

т.е. «Все прилежные студенты образованны; и все невежественные студенты ленивы».

(4) [см. стр. 66] «Все солдаты сильны; Все солдаты храбры. Некоторые сильные люди храбры».

Универсум: «люди»; m = солдаты; x = сильные; y = храбрые.

m1x′0 † m1y′0 ¶ xy1 [Фиг. III.

Следовательно, предложенное заключение верно.

(5) [см. стр. 67] «Я восхищаюсь этими картинами; Когда я чем-то восхищаюсь, я хочу тщательно это изучить. Я хочу тщательно изучить некоторые из этих картин».

Универсум: «вещи»; m = то, чем я восхищаюсь; x = эти; y = вещи, которые я хочу тщательно изучить.

x1m′0 † m1y′0 ¶ x1y′0 [Фиг. I (α).

Следовательно, предложенное заключение, xy1, неполное, полное же звучит так: «Я хочу тщательно изучить все эти картины».

стр. 080 (6) [см. стр. 67] «Только храбрые достойны прекрасного; Некоторые хвастуны — трусы. Некоторые хвастуны не достойны прекрасного».

Универсум: «люди»; m = храбрые; x = достойные прекрасного; y = хвастуны.

m′x0 † ym′1 ¶ x′y1 [Фиг. II.

Следовательно, предложенное заключение верно.

(7) [см. стр. 69] «Никто из тех, кто намерен ехать на поезде и не может найти транспорт, и у кого нет достаточно времени, чтобы дойти до станции пешком, не может обойтись без бега; Эта группа туристов намерена ехать на поезде и не может найти транспорт, но у них есть достаточно времени, чтобы дойти до станции пешком. Этой группе туристов не нужно бежать».

Универсум: «люди, намеревающиеся ехать на поезде и неспособные найти транспорт»; m = имеющие достаточно времени, чтобы дойти до станции пешком; x = нуждающиеся в беге; y = эти туристы.

m′x′0 † y1m′0 не подпадают ни под одну из трех фигур. Следовательно, необходимо вернуться к методу диаграмм, как показано на стр. 69.

Следовательно, заключения нет.

[Выполните упражнения § 4, 12–20 (стр. 100); § 5, 13–24 (стр. 101, 102); § 6, 1–6 (стр. 106); § 7, 1–3 (стр. 107, 108). Также прочитайте примечание (A) на стр. 164.]

стр. 081 § 3. Софизмы. Любой аргумент, который обманывает нас, создавая видимость доказательства того, что он на самом деле не доказывает, можно назвать «софизмом» (происходит от латинского глагола fallo — «я обманываю»): но конкретный вид, который мы сейчас обсудим, состоит из пары суждений, которые предлагаются в качестве посылок силлогизма, но не дают заключения.

Когда каждая из предложенных посылок является суждением в I, E или A (единственные виды, с которыми мы сейчас имеем дело), софизм можно обнаружить с помощью «метода диаграмм», просто разместив их на трилитеральной диаграмме и заметив, что они не дают никакой информации, которую можно было бы перенести на билитеральную диаграмму.

Но предположим, что мы работаем «методом индексов» и имеем дело с парой предложенных посылок, которые оказались «софизмом», как мы можем быть уверены, что они не дадут никакого заключения?

Наш лучший план, я думаю, — иметь дело с софизмами так же, как мы уже имели дело с силлогизмами: то есть взять определенные формы пар суждений и проработать их стр. 082 раз и навсегда на трилитеральной диаграмме, убедившись, что они не дают заключения; а затем записать их для будущего использования в качестве «форм софизмов», точно так же, как мы уже записали наши три формулы для силлогизмов.

Теперь, если бы мы записали два набора формул в одной и той же форме, а именно методом индексов, был бы значительный риск перепутать эти два вида. Поэтому, чтобы сохранить их различие, я предлагаю записывать формы для софизмов словами и называть их «формами», а не «формулами».

Давайте теперь перейдем к поиску с помощью метода диаграмм трех «форм софизмов», которые мы затем запишем для будущего использования. Они следующие:—

(1) Софизм подобных элиминантов, существование которых не утверждается. (2) Софизм неподобных элиминантов с посылкой-сущностью. (3) Софизм двух посылок-сущностей.

Они будут обсуждаться отдельно, и будет видно, что каждая из них не дает заключения.

(1) Софизм подобных элиминантов, существование которых не утверждается. Очевидно, что ни одно из данных суждений не может быть сущностью, поскольку этот вид утверждает существование обоих своих терминов (см. стр. 20). Следовательно, они оба должны быть нулевыми.

Следовательно, данная пара может быть представлена как (xm0 † ym0), с x1, y1 или без них.

Они, размещенные на трилитеральных диаграммах, суть

xm0 † ym0x1m0 † ym0

xm0 † y1m0x1m0 † y1m0

стр. 083 (2) Софизм неподобных элиминантов с посылкой-сущностью. Здесь данная пара может быть представлена как (xm0 † ym′1) с x1 или m1 или без них.

Они, размещенные на трилитеральных диаграммах, суть

xm0 † ym′1x1m0 † ym′1m1x0 † ym′1

(3) Софизм двух посылок-сущностей. Здесь данная пара может быть представлена либо как (xm1 † ym1), либо как (xm1 † ym′1).

Они, размещенные на трилитеральных диаграммах, суть

xm1 † ym1 xm1 † ym′1

стр. 084 § 4. Метод действий с данной парой суждений. Предположим, что перед нами пара суждений отношения, которые содержат пару кодивизиональных классов, и что мы хотим установить, какое заключение, если таковое имеется, является их следствием. Мы переводим их, если необходимо, в индексную форму, а затем действуем следующим образом:—

(1) Мы изучаем их индексы, чтобы увидеть, являются ли они

(a) парой нулевых суждений; или (b) нулевым суждением и сущностью; или (c) парой сущностей.

(2) Если они являются парой нулевых суждений, мы изучаем их элиминанты, чтобы увидеть, являются ли они неподобными или подобными.

Если их элиминанты неподобны, это случай Фиг. I. Затем мы изучаем их ретиненды, чтобы увидеть, утверждается ли существование одного или обоих из них. Если один ретиненд так утвержден, это случай Фиг. I (α); если оба, это случай Фиг. I (β).

Если их элиминанты подобны, мы изучаем их, чтобы увидеть, утверждается ли существование какого-либо из них. Если да, это случай Фиг. III; если нет, это случай «софизма подобных элиминантов, существование которых не утверждается».

(3) Если они являются нулевым суждением и сущностью, мы изучаем их элиминанты, чтобы увидеть, являются ли они подобными или неподобными.

Если их элиминанты подобны, это случай Фиг. II; если неподобны, это случай «софизма неподобных элиминантов с посылкой-сущностью».

(4) Если они являются парой сущностей, это случай «софизма двух посылок-сущностей».

[Выполните упражнения § 4, 1–11 (стр. 100); § 5, 1–12 (стр. 101); § 6, 7–12 (стр. 106); § 7, 7–12 (стр. 108).]

стр. 085 КНИГА VII.

СОРИТЫ.

ГЛАВА I.

ВВЕДЕНИЕ. Когда набор из трех или более билитеральных суждений таков, что все их термины являются видами одного и того же рода, и они также связаны так, что два из них, взятые вместе, дают заключение, которое, будучи взято с другим из них, дает другое заключение, и так далее, пока все не будут использованы, очевидно, что если исходный набор был истинным, то последнее заключение также было бы истинным.

Такой набор с присоединенным последним заключением называется «соритом»; исходный набор суждений называется его «посылками»; каждое из промежуточных заключений называется «частичным заключением» сорита; последнее заключение называется его «полным заключением» или, короче, его «заключением»; род, видами которого являются все термины, называется его «универсумом рассуждения» или, короче, его «универсумом»; термины, используемые в качестве элиминантов в силлогизмах, называются его «элиминантами»; а два термина, которые сохраняются и поэтому появляются в заключении, называются его «ретинендами».

[Заметьте, что каждое частичное заключение содержит один или два элиминанта; но полное заключение содержит только ретиненды.]

Заключение называется «следствием» из посылок; по этой причине перед ним обычно ставится слово «Следовательно» (или символ «∴»).

[Заметьте, что вопрос о том, является ли заключение следствием из посылок, не зависит от фактической истинности или ложности любого из суждений, составляющих сорит, а зависит исключительно от их отношения друг к другу.

стр. 086 В качестве образца сорита возьмем следующий набор из 5 суждений:—

(1) «Никакие a не суть b′; (2) Все b суть c; (3) Все c суть d; (4) Никакие e′ не суть a′; (5) Все h суть e′».

Здесь первое и второе, взятые вместе, дают «Никакие a не суть c′».

Это, взятое вместе с третьим, дает «Никакие a не суть d′».

Это, взятое вместе с четвертым, дает «Никакие d′ не суть e′».

И это, взятое вместе с пятым, дает «Все h суть d».

Следовательно, если исходный набор был истинным, то это также было бы истинным.

Следовательно, исходный набор с присоединенным заключением является соритом; исходный набор — его посылки; суждение «Все h суть d» — его заключение; термины a, b, c, e — его элиминанты; а термины d и h — его ретиненды.

Следовательно, мы можем записать весь сорит так:—

«Никакие a не суть b′; Все b суть c; Все c суть d; Никакие e′ не суть a′; Все h суть e′. ∴ Все h суть d».

В вышеприведенном сорите 3 частичных заключения — это суждения «Никакие a не суть e′», «Никакие a не суть d′», «Никакие d′ не суть e′»; но если бы посылки были расположены иначе, можно было бы получить другие частичные заключения. Так, порядок 41523 дает частичные заключения «Никакие c′ не суть b′», «Все h суть b», «Все h суть c». Всего к этому сориту существует девять частичных заключений, которые читателю будет интересно вывести самостоятельно.]

стр. 087 ГЛАВА II.

ЗАДАЧИ НА СОРИТЫ. § 1. Введение. Задачи, которые нам предстоит решить, имеют следующую форму:—

«Даны три или более суждений отношения, которые предлагаются в качестве посылок: требуется установить, какое заключение, если таковое имеется, является их следствием».

Мы ограничимся в настоящее время задачами, которые можно решить с помощью формул Фиг. I. (См. стр. 75.) Те, что требуют других формул, довольно сложны для начинающих.

Такие задачи можно решить одним из двух методов, а именно:

(1) Метод отдельных силлогизмов; (2) Метод подчеркивания.

Они будут обсуждаться отдельно.

стр. 088 § 2. Решение методом отдельных силлогизмов. Правила для выполнения этого следующие:—

(1) Назовите «универсум рассуждения». (2) Составьте словарь, сделав a, b, c и т.д. обозначениями терминов. (3) Приведите предложенные посылки к индексной форме. (4) Выберите две, которые, содержа между собой пару кодивизиональных классов, могут быть использованы в качестве посылок силлогизма. (5) Найдите их заключение по формуле. (6) Найдите третью посылку, которая вместе с этим заключением может быть использована в качестве посылок второго силлогизма. (7) Найдите второе заключение по формуле. (8) Действуйте так до тех пор, пока не будут использованы все предложенные посылки. (9) Приведите последнее заключение, которое является полным заключением сорита, к конкретной форме.

[В качестве примера этого процесса возьмем в качестве предложенного набора посылок,

(1) «Все полицейские на этом участке ужинают с нашим поваром; (2) Ни один человек с длинными волосами не может не быть поэтом; (3) Амос Джадд никогда не был в тюрьме; (4) Все «кузены» нашего повара любят холодную баранину; (5) Только полицейские на этом участке — поэты; (6) Никто, кроме ее «кузенов», никогда не ужинает с нашим поваром; (7) Люди с короткими волосами все были в тюрьме».

Универсум: «люди»; a = Амос Джадд; b = кузены нашего повара; c = бывшие в тюрьме; d = длинноволосые; e = любящие холодную баранину; h = поэты; k = полицейские на этом участке; l = ужинающие с нашим поваром

Теперь нам нужно привести предложенные посылки к форме с подстрочными индексами. Начнем с того, что приведем их к абстрактной форме. Результат таков:

(1) «Все k суть l»; (2) «Ни одно d не суть h′»; (3) «Все a суть c′»; (4) «Все b суть e»; (5) «Ни одно k′ не суть h»; (6) «Ни одно b′ не суть l»; (7) «Все d′ суть c».

Теперь их легко привести к форме с подстрочными индексами, как показано ниже:

(1) k_1 l′_0 (2) d_h′_0 (3) a_1 c_0 (4) b_1 e′_0 (5) k′_h_0 (6) b′_l_0 (7) d′_1 c′_0

Теперь нам нужно найти пару посылок, из которых можно вывести заключение. Начнем с № (1) и будем просматривать список, пока не найдем ту, которую можно взять вместе с ней, чтобы образовать посылки, относящиеся к Фиг. I. Мы видим, что № (5) подойдет, поскольку мы можем взять k в качестве исключаемого термина. Итак, наш первый силлогизм:

(1) k_1 l′_0 (5) k′_h_0 ∴ l′_h_0 … (8)

Теперь мы должны снова начать с l′_h_0 и найти посылку, которая сочеталась бы с ней. Мы видим, что № (2) подойдет, где h — наш исключаемый термин. Итак, наш следующий силлогизм:

(8) l′_h_0 (2) d_h′_0 ∴ l′_d_0 … (9)

Теперь мы использовали № (1), (5) и (2) и должны поискать среди остальных пару для l′_d_0. Мы видим, что № (6) подойдет. Итак, записываем:

(9) l′_d_0 (6) b′_l_0 ∴ d_b′_0 … (10)

Теперь что мы можем взять вместе с d_b′_0? № (4) подойдет.

(10) d_b′_0 (4) b_1 e′_0 ∴ d_e′_0 … (11)

Вместе с этим мы можем взять № (7).

(11) d_e′_0 (7) d′_1 c′_0 ∴ c′_e′_0 … (12)

А вместе с этим мы можем взять № (3).

(12) c′_e′_0 (3) a_1 c_0 ∴ a_1 e′_0

Это полное заключение, переведенное в абстрактную форму, выглядит так:

«Все a суть e»;

а это, переведенное в конкретную форму, звучит так:

«Амос Джадд любит холодную баранину».

При фактическом решении этой задачи вышеприведенные пояснения, разумеется, были бы опущены, и на бумаге осталось бы только следующее:

(1) k_1 l′_0 (2) d_h′_0 (3) a_1 c_0 (4) b_1 e′_0 (5) k′_h_0 (6) b′_l_0 (7) d′_1 c′_0

(1) k_1 l′_0 (5) k′_h_0 ∴ l′_h_0 … (8)

(8) l′_h_0 (2) d_h′_0 ∴ l′_d_0 … (9)

(9) l′_d_0 (6) b′_l_0 ∴ d_b′_0 … (10)

(10) d_b′_0 (4) b_1 e′_0 ∴ d_e′_0 … (11)

(11) d_e′_0 (7) d′_1 c′_0 ∴ c′_e′_0 … (12)

(12) c′_e′_0 (3) a_1 c_0 ∴ a_1 e′_0

Заметьте, что при решении сорита этим методом мы можем начать с любой посылки, которую выберем.]

§ 3. Решение методом подчеркивания. Рассмотрим пару посылок

x_m_0 † y_m′_0

которые дают заключение x_y_0

Мы видим, что для получения этого заключения мы должны исключить m и m′ и записать x и y вместе в одном выражении.

Теперь, если мы договоримся помечать m и m′ как исключенные и читать два выражения вместе, как если бы они были записаны как одно, то две посылки будут точно представлять заключение, и нам не нужно будет записывать его отдельно.

Договоримся помечать исключенные буквы подчеркиванием, ставя одинарную черту под первой и двойную под второй.

Две посылки теперь принимают вид

x_m_0 † y_m′_0

которые мы читаем как «x_y_0».

При выписывании посылок для подчеркивания будет удобно опустить все подстрочные индексы. Что касается «0», мы всегда можем предполагать, что они написаны, а что касается «1», нас не интересует, какие термины утверждаются как существующие, за исключением тех, которые появляются в полном заключении; и для них будет достаточно легко обратиться к исходному списку.

[Теперь я пройду процесс решения этим методом на примере, разобранном в § 2.

Данные таковы:

1 k_1 l′_0 † 2 d_h′_0 † 3 a_1 c_0 † 4 b_1 e′_0 † 5 k′_h_0 † 6 b′_l_0 † 7 d′_1 c′_0

Читателю следует взять лист бумаги и самостоятельно записать это решение. Первая строка будет состоять из вышеприведенных данных; вторая должна составляться по частям в соответствии со следующими указаниями.

Начнем с записи первой посылки с ее номером над ней, но опуская подстрочные индексы.

Теперь нам нужно найти посылку, которую можно объединить с этой, т. е. посылку, содержащую либо k′, либо l. Первая, которую мы находим, — это № 5; и мы присоединяем ее через †.

Чтобы получить заключение из них, k и k′ должны быть исключены, а то, что останется, должно быть взято как одно выражение. Поэтому мы подчеркиваем их, ставя одинарную черту под k и двойную под k′. Результат мы читаем как l′_h.

Теперь мы должны найти посылку, содержащую либо l, либо h′. Просматривая ряд, мы останавливаемся на № 2 и присоединяем ее.

Теперь эти 3 нулевых суждения фактически эквивалентны (l′_h † d_h′), в которых h и h′ должны быть исключены, а то, что останется, взято как одно выражение. Поэтому мы подчеркиваем их. Результат читается как l′_d.

Теперь нам нужна посылка, содержащая l или d′. № 6 подойдет.

Эти 4 нулевых суждения фактически эквивалентны (l′_d † b′_l). Поэтому мы подчеркиваем l′ и l. Результат читается как d_b′.

Теперь нам нужна посылка, содержащая d′ или b. № 4 подойдет.

Здесь мы подчеркиваем b′ и b. Результат читается как d_e′.

Теперь нам нужна посылка, содержащая d′ или e. № 7 подойдет.

Здесь мы подчеркиваем d и d′. Результат читается как c′_e′.

Теперь нам нужна посылка, содержащая c или e. № 3 подойдет — на самом деле, должна подойти, так как это единственная оставшаяся.

Здесь мы подчеркиваем c′ и c; и, поскольку все теперь читается как e′_a, мы присоединяем e′_a_0 в качестве заключения через ¶.

Теперь мы просматриваем ряд данных, чтобы увидеть, было ли e′ или a дано как существующее. Мы находим, что a было дано таким образом в № 3. Поэтому мы добавляем этот факт к заключению, которое теперь выглядит как ¶ e′_a_0 † a_1, т. е. ¶ a_1 e′_0; т. е. «Все a суть e».

Если читатель добросовестно выполнил вышеуказанные указания, его письменное решение теперь будет выглядеть следующим образом:

1 k_1 l′_0 † 2 d_h′_0 † 3 a_1 c_0 † 4 b_1 e′_0 † 5 k′_h_0 † 6 b′_l_0 † 7 d′_1 c′_0

1 k_l′ † 5 k′_h † 2 d_h′ † 6 b′_l † 4 b_e′ † 7 d′_c′ † 3 a_c ¶ e′_a_0 † a_1 т. е. ¶ a_1 e′_0;

т. е. «Все a суть e».

Читателю следует теперь взять второй лист бумаги, скопировать только данные и попытаться самостоятельно проработать решение, начав с какой-нибудь другой посылки.

Если ему не удастся получить заключение a_1 e′_0, я посоветовал бы ему взять третий лист бумаги и начать сначала!]

Теперь я в кратчайшей форме разберу сорит из 5 посылок, чтобы он послужил моделью для читателя при решении примеров.

(1) «Я очень ценю все, что дает мне Джон; (2) Ничто, кроме этой кости, не удовлетворит мою собаку; (3) Я особенно забочусь обо всем, что я очень ценю; (4) Эта кость была подарком от Джона; (5) Вещи, о которых я особенно забочусь, — это вещи, которые я не даю своей собаке».

Универсум «вещи»; a = данные мне Джоном; b = данные мной моей собаке; c = очень ценимые мной; d = удовлетворительные для моей собаки; e = те, о которых я особенно забочусь; h = эта кость.

1 a_1 c′_0 † 2 h′_d_0 † 3 c_1 e′_0 † 4 h_1 a′_0 † 5 e_1 b_0

1 a_c′ † 3 c_e′ † 4 h_a′ † 2 h′_d † 5 e_b ¶ d_b_0

т. е. «Ничто из того, что я даю своей собаке, не удовлетворяет ее», или «Моя собака не удовлетворена ничем, что я ей даю!»

[Заметьте, что при решении сорита этим процессом мы можем начать с любой посылки, которую выберем. Например, мы могли бы начать с № 5, и результат тогда был бы

5 e_b † 3 c_e′ † 1 a_c′ † 4 h_a′ † 2 h′_d ¶ b_d_0]

[Решите примеры § 4, 25–30 (стр. 100); § 5, 25–30 (стр. 102); § 6, 13–15 (стр. 106); § 7, 13–15 (стр. 108); § 8, 1–4, 13, 14, 19, 24 (стр. 110, 111); § 9, 1–4, 26, 27, 40, 48 (стр. 112, 116, 119, 121).]

Читатель, который успешно справился со всеми предложенными до сих пор примерами и который жаждет, подобно Александру Македонскому, «новых миров для завоевания», может применить свои свободные силы к следующим 17 экзаменационным работам. Ему рекомендуется не пытаться выполнить более одной работы в день. Ответы на вопросы о словах и фразах можно найти, обратившись к указателю на стр. 197.

I. § 4, 31 (стр. 100); § 5, 31–34 (стр. 102); § 6, 16, 17 (стр. 106); § 7, 16 (стр. 108); § 8, 5, 6 (стр. 110); § 9, 5, 22, 42 (стр. 112, 115, 119). Что такое «классификация»? И что такое «класс»?

II. § 4, 32 (стр. 100); § 5, 35–38 (стр. 102, 103); § 6, 18 (стр. 107); § 7, 17, 18 (стр. 108); § 8, 7, 8 (стр. 110); § 9, 6, 23, 43 (стр. 112, 115, 119). Что такое «род», «вид» и «видовое отличие»?

III. § 4, 33 (стр. 100); § 5, 39–42 (стр. 103); § 6, 19, 20 (стр. 107); § 7, 19 (стр. 109); § 8, 9, 10 (стр. 111); § 9, 7, 24, 44 (стр. 113, 116, 120). Что такое «реальные» и «воображаемые» классы?

IV. § 4, 34 (стр. 100); § 5, 43–46 (стр. 103); § 6, 21 (стр. 107); § 7, 20, 21 (стр. 109); § 8, 11, 12 (стр. 111); § 9, 8, 25, 45 (стр. 113, 116, 120). Что такое «деление»? Когда классы называются «содивизиональными»?

V. § 4, 35 (стр. 100); § 5, 47–50 (стр. 103); § 6, 22, 23 (стр. 107); § 7, 22 (стр. 109); § 8, 15, 16 (стр. 111); § 9, 9, 28, 46 (стр. 113, 116, 120). Что такое «дихотомия»? Какое произвольное правило она иногда требует?

VI. § 4, 36 (стр. 100); § 5, 51–54 (стр. 103); § 6, 24 (стр. 107); § 7, 23, 24 (стр. 109); § 8, 17 (стр. 111); § 9, 10, 29, 47 (стр. 113, 117, 120). Что такое «определение»?

VII. § 4, 37 (стр. 100); § 5, 55–58 (стр. 103, 104); § 6, 25, 26 (стр. 107); § 7, 25 (стр. 109); § 8, 18 (стр. 111); § 9, 11, 30, 49 (стр. 113, 117, 121). Что такое «субъект» и «предикат» суждения? Какова его «нормальная» форма?

VIII. § 4, 38 (стр. 100); § 5, 59–62 (стр. 104); § 6, 27 (стр. 107); § 7, 26, 27 (стр. 109); § 8, 20 (стр. 111); § 9, 12, 31, 50 (стр. 113, 117, 121). Что такое суждение «в I»? «В E»? И «в A»?

IX. § 4, 39 (стр. 100); § 5, 63–66 (стр. 104); § 6, 28, 29 (стр. 107); § 7, 28 (стр. 109); § 8, 21 (стр. 111); § 9, 13, 32, 51 (стр. 114, 117, 121). Какова «нормальная» форма суждения существования?

X. § 4, 40 (стр. 100); § 5, 67–70 (стр. 104); § 6, 30 (стр. 107); § 7, 29, 30 (стр. 109); § 8, 22 (стр. 111); § 9, 14, 33, 52 (стр. 114, 117, 122). Что такое «универсум рассуждения»?

XI. § 4, 41 (стр. 100); § 5, 71–74 (стр. 104); § 6, 31, 32 (стр. 107); § 7, 31 (стр. 109); § 8, 23 (стр. 111); § 9, 15, 34, 53 (стр. 114, 118, 122). Что подразумевается в суждении отношения относительно реальности его терминов?

XII. § 4, 42 (стр. 100); § 5, 75–78 (стр. 105); § 6, 33 (стр. 107); § 7, 32, 33 (стр. 109, 110); § 8, 25 (стр. 111); § 9, 16, 35, 54 (стр. 114, 118, 122). Объясните фразу «сидеть на заборе».

XIII. § 5, 79–83 (стр. 105); § 6, 34, 35 (стр. 107); § 7, 34 (стр. 110); § 8, 26 (стр. 111); § 9, 17, 36, 55 (стр. 114, 118, 122). Что такое «обратные» суждения?

XIV. § 5, 84–88 (стр. 105); § 6, 36 (стр. 107); § 7, 35, 36 (стр. 110); § 8, 27 (стр. 111); § 9, 18, 37, 56 (стр. 114, 118, 123). Что такое «конкретные» и «абстрактные» суждения?

XV. § 5, 89–93 (стр. 105); § 6, 37, 38 (стр. 107); § 7, 37 (стр. 110); § 8, 28 (стр. 111); § 9, 19, 38, 57 (стр. 115, 118, 123). Что такое «силлогизм»? И что такое его «посылки» и его «заключение»?

XVI. § 5, 94–97 (стр. 106); § 6, 39 (стр. 107); § 7, 38, 39 (стр. 110); § 8, 29 (стр. 111); § 9, 20, 39, 58 (стр. 115, 119, 123). Что такое «сорит»? И что такое его «посылки», его «частичные заключения» и его «полное заключение»?

XVII. § 5, 98–101 (стр. 106); § 6, 40 (стр. 107); § 7, 40 (стр. 110); § 8, 30 (стр. 111); § 9, 21, 41, 59, 60 (стр. 115, 119, 124). Что такое «универсум рассуждения», «исключаемые термины» и «оставляемые термины» силлогизма? А сорита?

КНИГА VIII.

ПРИМЕРЫ, ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

[N.B. Ссылочные метки для примеров, ответов и решений можно найти на правом поле.]

ГЛАВА I.

ПРИМЕРЫ. EX1 § 1. Суждения отношения, подлежащие приведению к нормальной форме. 1. Я ходил на прогулку.

2. Я чувствую себя лучше.

3. Никто не читал письмо, кроме Джона.

4. Ни ты, ни я не стары.

5. Ни одно толстое существо не бегает хорошо.

6. Только храбрые достойны прекрасного.

7. Никто не выглядит поэтично, если он не бледен.

8. Некоторые судьи теряют самообладание.

9. Я никогда не пренебрегаю важными делами.

10. То, что трудно, требует внимания.

11. То, что вредно, следует избегать.

12. Все законы, принятые на прошлой неделе, относятся к акцизам.

13. Логика сбивает меня с толку.

14. В доме нет евреев.

15. Некоторые блюда вредны, если они плохо приготовлены.

16. Неувлекательные книги вызывают сонливость.

17. Когда человек знает, что он делает, он может обнаружить мошенника.

18. Ты и я знаем, что мы делаем.

19. Некоторые лысые люди носят парики.

20. Те, кто полностью заняты, никогда не говорят о своих обидах.

21. Никакие загадки не интересуют меня, если их можно решить.

EX2 § 2.

Пары абстрактных суждений, одно в терминах x и m, а другое в терминах y и m, подлежащие представлению на одной и той же трехлитеральной диаграмме. 1. Ни одно x не суть m; Ни одно m′ не суть y.

2. Ни одно x′ не суть m′; Все m′ суть y.

3. Некоторые x′ суть m; Ни одно m не суть y.

4. Все m суть x; Все m′ суть y′.

5. Все m′ суть x; Все m′ суть y′.

6. Все x′ суть m′; Ни одно y′ не суть m.

7. Все x суть m; Все y′ суть m′.

8. Некоторые m′ суть x′; Ни одно m не суть y.

9. Все m суть x′; Ни одно m не суть y.

10. Ни одно m не суть x′; Ни одно y не суть m′.

11. Ни одно x′ не суть m′; Ни одно m не суть y.

12. Некоторые x суть m; Все y′ суть m.

13. Все x′ суть m; Ни одно m не суть y.

14. Некоторые x суть m′; Все m суть y.

15. Ни одно m′ не суть x′; Все y суть m.

16. Все x суть m′; Ни одно y не суть m.

17. Некоторые m′ суть x; Ни одно m′ не суть y′.

18. Все x суть m′; Некоторые m′ суть y′.

19. Все m суть x; Некоторые m суть y′.

20. Ни одно x′ не суть m; Некоторые y суть m.

21. Некоторые x′ суть m′; Все y′ суть m.

22. Ни одно m не суть x; Некоторые m суть y.

23. Ни одно m′ не суть x; Все y суть m′.

24. Все m суть x; Ни одно y′ не суть m′.

25. Некоторые m суть x; Ни одно y′ не суть m.

26. Все m′ суть x′; Некоторые y суть m′.

27. Некоторые m суть x′; Ни одно y′ не суть m′.

28. Ни одно x не суть m′; Все m суть y′.

29. Ни одно x′ не суть m; Ни одно m не суть y′.

30. Ни одно x не суть m; Некоторые y′ суть m′.

31. Некоторые m′ суть x; Все y′ суть m;

32. Все x суть m′; Все y суть m.

EX3 § 3.

Отмеченные трехлитеральные диаграммы, подлежащие интерпретации в терминах x и y.

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

EX4 § 4.

Пары абстрактных суждений, предложенные в качестве посылок: заключения, которые нужно найти. 1. Ни одно m не суть x′; Все m′ суть y.

2. Ни одно m′ не суть x; Некоторые m′ суть y′.

3. Все m′ суть x; Все m′ суть y′.

4. Ни одно x′ не суть m′; Все y′ суть m.

5. Некоторые m суть x′; Ни одно y не суть m.

6. Ни одно x′ не суть m; Ни одно m не суть y.

7. Ни одно m не суть x′; Некоторые y′ суть m.

8. Все m′ суть x′; Ни одно m′ не суть y.

9. Некоторые x′ суть m′; Ни одно m не суть y′.

10. Все x суть m; Все y′ суть m′.

11. Ни одно m не суть x; Все y′ суть m′.

12. Ни одно x не суть m; Все y суть m.

13. Все m′ суть x; Ни одно y не суть m.

14. Все m суть x; Все m′ суть y.

15. Ни одно x не суть m; Ни одно m′ не суть y.

16. Все x суть m′; Все y суть m.

17. Ни одно x не суть m; Все m′ суть y.

18. Ни одно x не суть m′; Ни одно m не суть y.

19. Все m суть x; Все m суть y′.

20. Ни одно m не суть x; Все m′ суть y.

21. Все x суть m; Некоторые m′ суть y.

22. Некоторые x суть m; Все y суть m.

23. Все m суть x; Некоторые y суть m.

24. Ни одно x не суть m; Все y суть m.

25. Некоторые m суть x′; Все y′ суть m′.

26. Ни одно m не суть x′; Все y суть m.

27. Все x суть m′; Все y′ суть m.

28. Все m суть x′; Некоторые m суть y.

29. Ни одно m не суть x; Все y суть m′.

30. Все x суть m′; Некоторые y суть m.

31. Все x суть m; Все y суть m.

32. Ни одно x не суть m′; Все m суть y.

33. Ни одно m не суть x; Ни одно m не суть y.

34. Ни одно m не суть x′; Некоторые y суть m.

35. Ни одно m не суть x; Все y суть m.

36. Все m суть x′; Некоторые y суть m.

37. Все m суть x; Ни одно y не суть m.

38. Ни одно m не суть x; Ни одно m′ не суть y.

39. Некоторые m суть x′; Ни одно m не суть y.

40. Ни одно x′ не суть m; Все y′ суть m.

41. Все x суть m′; Ни одно y не суть m′.

42. Ни одно m′ не суть x; Ни одно y не суть m.

EX5 § 5.

Пары конкретных суждений, предложенные в качестве посылок: заключения, которые нужно найти. 1. Я ходил на прогулку; Я чувствую себя лучше.

2. Никто не читал письмо, кроме Джона; Никто, кто не читал его, не знает, о чем оно.

3. Те, кто не стары, любят гулять; Ты и я молоды.

4. Твой курс всегда честен; Твой курс — всегда лучшая политика.

5. Ни одно толстое существо не бегает хорошо; Некоторые борзые бегают хорошо.

6. Некоторые, кто достоин прекрасного, получают по заслугам; Только храбрые достойны прекрасного.

7. Некоторые евреи богаты; Все эскимосы — язычники.

8. Леденцы сладкие; Некоторые сладкие вещи нравятся детям.

9. Джон в доме; Все в доме больны.

10. Зонтики полезны в путешествии; То, что бесполезно в путешествии, следует оставить.

11. Слышимая музыка вызывает вибрацию в воздухе; Неслышимая музыка не стоит того, чтобы за нее платить.

12. Некоторые праздники дождливы; Дождливые дни утомительны.

13. Ни один француз не любит пудинг; Все англичане любят пудинг.

14. Ни один портрет дамы, заставляющий ее гримасничать или хмуриться, не является удовлетворительным; Ни одна фотография дамы не обходится без того, чтобы заставить ее гримасничать или хмуриться.

15. Все бледные люди флегматичны; Никто не выглядит поэтично, если он не бледен.

16. Ни один старый скряга не весел; Некоторые старые скряги худы.

17. Никто, кто проявляет самоконтроль, не теряет самообладания; Некоторые судьи теряют самообладание.

18. Все свиньи толстые; Ничто из того, что кормят ячменной водой, не является толстым.

19. Все кролики, которые не жадны, черные; Ни один старый кролик не свободен от жадности.

20. Некоторые картины — не первые попытки; Никакие первые попытки не бывают по-настоящему хорошими.

21. Я никогда не пренебрегаю важными делами; Твое дело неважно.

22. Некоторые уроки трудны; То, что трудно, требует внимания.

23. Все умные люди популярны; Все услужливые люди популярны.

24. Легкомысленные люди причиняют вред; Ни один вдумчивый человек не забывает обещания.

25. Свиньи не умеют летать; Свиньи жадны.

26. Все солдаты хорошо маршируют; Некоторые младенцы — не солдаты.

27. Никакие свадебные торты не полезны; То, что вредно, следует избегать.

28. Джон трудолюбив; Ни один трудолюбивый человек не несчастен.

29. Ни один философ не тщеславен; Некоторые тщеславные люди — не игроки.

30. Некоторые акцизные законы несправедливы; Все законы, принятые на прошлой неделе, относятся к акцизам.

31. Ни один военный не пишет стихов; Никто из моих жильцов не является гражданским лицом.

32. Никакое лекарство не приятно; Сенна — это лекарство.

33. Некоторые циркуляры читаются без удовольствия; Никакие письма с просьбой о помощи не читаются с удовольствием.

34. Все британцы храбры; Ни один моряк не трус.

35. Ничто понятное никогда не сбивает меня с толку; Логика сбивает меня с толку.

36. Некоторые свиньи дикие; Все свиньи толстые.

37. Все осы недружелюбны; Все недружелюбные существа нежеланны.

38. Ни один старый кролик не жаден; Все черные кролики жадны.

39. Некоторые яйца сварены вкрутую; Ни одно яйцо не является неразбиваемым.

40. Ни одна антилопа не является неграциозной; Грациозные существа радуют глаз.

41. Все хорошо откормленные канарейки поют громко; Ни одна канарейка не бывает меланхоличной, если она поет громко.

42. Некоторые стихи оригинальны; Ни одна оригинальная работа не может быть создана по желанию.

43. Ни одна страна, которая была исследована, не кишит драконами; Неисследованные страны очаровательны.

44. Ни один уголь не белый; Ни один негр не белый.

45. Ни один мост не сделан из сахара; Некоторые мосты живописны.

46. Ни один ребенок не терпелив; Ни один нетерпеливый человек не может сидеть смирно.

47. Ни одно четвероногое не умеет свистеть; Некоторые кошки — четвероногие.

48. Зануды ужасны; Ты — зануда.

49. Некоторые устрицы молчаливы; Ни одно молчаливое существо не забавно.

50. В доме нет евреев; Ни один язычник не имеет бороды длиной в ярд.

51. Канарейки, которые не поют громко, несчастны; Ни одна хорошо откормленная канарейка не перестает петь громко.

52. У всех моих сестер простуда; Никто не может петь, если у него простуда.

53. Все, что сделано из золота, драгоценно; Некоторые шкатулки драгоценны.

54. Некоторые булочки богаты; Все булочки хороши.

55. Все мои кузены несправедливы; Все судьи справедливы.

56. Боль утомительна; Никакой боли не желают с нетерпением.

57. Всякое лекарство противно; Сенна — это лекарство.

58. Некоторые недобрые замечания раздражают; Никакие критические замечания не добры.

59. Ни один высокий человек не имеет шерстистых волос; У негров шерстистые волосы.

60. Все философы логичны; Нелогичный человек всегда упрям.

61. Джон трудолюбив; Все трудолюбивые люди счастливы.

62. Эти блюда все хорошо приготовлены; Некоторые блюда вредны, если они плохо приготовлены.

63. Ни одна захватывающая книга не подходит для лихорадочных больных; скучные книги вызывают сонливость.

64. Ни одна свинья не умеет летать; все свиньи жадны.

65. Когда человек знает, что делает, он может распознать мошенника; мы с вами знаем, что делаем.

66. Некоторые сны ужасны; ни один ягненок не ужасен.

67. Ни одному лысому существу не нужна расческа; у ящериц нет волос.

68. Все битвы шумны; то, что не производит шума, может остаться незамеченным.

69. Все мои кузены несправедливы; ни один судья не является несправедливым.

70. Все яйца можно разбить; некоторые яйца сварены вкрутую.

71. Предубежденные люди не заслуживают доверия; некоторые непредубежденные люди нелюбимы.

72. Ни один диктаторски настроенный человек не популярен; она диктаторски настроена.

73. Некоторые лысые люди носят парики; у всех ваших детей есть волосы.

74. Ни один омар не является неразумным; ни одно разумное существо не ожидает невозможного.

75. Ни один кошмар не приятен; неприятные переживания не вызывают страстного желания.

76. Ни один сливовый пирог не является полезным для здоровья; некоторые полезные вещи приятны.

77. Ничего приятного не следует избегать; некоторые виды варенья приятны.

78. Все утки переваливаются при ходьбе; ничто из того, что переваливается, не является грациозным.

79. Сэндвичи сытны; в этом блюде нет ничего несытного.

80. Ни один богач не просит милостыню на улице; те, кто не богат, должны вести учет расходов.

81. Пауки плетут паутину; некоторые существа, которые не плетут паутину, свирепы.

82. Некоторые из этих магазинов не переполнены; ни один переполненный магазин не является комфортабельным.

83. Благоразумные путешественники носят с собой много мелких денег; неблагоразумные путешественники теряют свой багаж.

84. Некоторые герани красные; все эти цветы красные.

85. Никто из моих кузенов не справедлив; все судьи справедливы.

86. Ни один еврей не сумасшедший; все мои жильцы — евреи.

87. Занятые люди не всегда говорят о своих обидах; недовольные люди всегда говорят о своих обидах.

88. Никто из моих кузенов не справедлив; ни один судья не является несправедливым.

89. Все трезвенники любят сахар; ни один соловей не пьет вино.

90. Ни одна загадка не интересует меня, если ее можно решить; все эти загадки неразрешимы.

91. Все ясные объяснения удовлетворительны; некоторые оправдания неудовлетворительны.

92. Все пожилые дамы разговорчивы; все дамы с хорошим характером разговорчивы.

93. Ни один добрый поступок не является противозаконным; то, что законно, можно совершать без колебаний.

94. Ни один младенец не прилежен; ни один младенец не является хорошим скрипачом.

95. Все шиллинги круглые; все эти монеты круглые.

96. Ни один честный человек не обманывает; ни один нечестный человек не заслуживает доверия.

97. Никто из моих мальчиков не умен; никто из моих девочек не жаден.

98. Все шутки призваны развлекать; ни один Акт Парламента не является шуткой.

99. Ни одно насыщенное событиями путешествие не забывается; путешествия без событий не стоят того, чтобы писать о них книгу.

100. Все мои мальчики непослушны; все мои девочки недовольны.

101. Никакое неожиданное удовольствие не раздражает меня; ваш визит — это неожиданное удовольствие.

EX6 § 6. Тройки абстрактных суждений, предложенные в качестве силлогизмов: подлежат проверке.

1.Some x are m; No m are y′. Some x are y. 2.All x are m; No y are m′. No y are x′. 3.Some x are m′; All y′ are m. Some x are y. 4.All x are m; No y are m. All x are y′. 5.Some m′ are x′; No m′ are y. Some x′ are y′. 6.No x′ are m; All y are m′. All y are x′. 7.Some m′ are x′; All y′ are m′. Some x′ are y′. 8.No m′ are x′; All y′ are m′. All y′ are x. 9.Some m are x′; No m are y. Some x′ are y′. 10.All m′ are x′; All m′ are y. Some y are x′. 11.All x are m′; Some y are m. Some y are x′. 12.No x are m; No m′ are y′. No x are y′. 13.No x are m; All y′ are m. All y′ are x′. 14.All m′ are x′; All m′ are y. Some y are x′. 15.Some m are x′; All y are m′. Some x′ are y′. 16.No x′ are m; All y′ are m′. Some y′ are x. 17.No m′ are x; All m′ are y′. Some x′ are y′. pg10718.No x′ are m; Some m are y. Some x are y. 19.Some m are x; All m are y. Some y are x′. 20.No x′ are m′; Some m′ are y′. Some x are y′. 21.No m are x; All m are y′. Some x′ are y′. 22.All x′ are m; Some y are m′. All x′ are y′. 23.All m are x; No m′ are y′. No x′ are y′. 24.All x are m′; All m′ are y. All x are y. 25.No x are m′; All m are y. No x are y′. 26.All m are x′; All y are m. All y are x′. 27.All x are m; No m are y′. All x are y. 28.All x are m; No y′ are m′. All x are y. 29.No x′ are m; No m′ are y′. No x′ are y′. 30.All x are m; All m are y′. All x are y′. 31.All x′ are m′; No y′ are m′. All x′ are y. 32.No x are m; No y′ are m′. No x are y′. 33.All m are x′; All y′ are m. All y′ are x′. 34.All x are m′; Some y are m′. Some y are x. 35.Some x are m; All m are y. Some x are y. 36.All m are x′; All y are m. All y are x′. 37.No m are x′; All m are y′. Some x are y′. 38.No x are m; No m are y′. No x are y′. 39.No m are x; Some m are y′. Some x′ are y′. 40.No m are x′; Some y are m. Some x are y.

EX7 § 7. Тройки конкретных суждений, предложенные в качестве силлогизмов: подлежат проверке. 1. Ни один врач не является энтузиастом; вы — энтузиаст. Вы не врач.

2. Словари полезны; полезные книги ценны. Словари ценны.

3. Ни один скряга не является бескорыстным; никто, кроме скряг, не хранит яичную скорлупу. Ни один бескорыстный человек не хранит яичную скорлупу.

4. Некоторые гурманы нещедры; все мои дяди щедры. Мои дяди не гурманы.

5. Золото тяжелое; ничто, кроме золота, не заставит его замолчать. Ничто легкое не заставит его замолчать.

6. Некоторые здоровые люди толстые; ни один нездоровый человек не является сильным. Некоторые толстые люди не сильны.

7. «Я видел это в газете». «Все газеты лгут». Это была ложь.

8. Некоторые галстуки нехудожественны; я восхищаюсь всем художественным. Есть некоторые галстуки, которыми я не восхищаюсь.

9. Его песни никогда не длятся и часа; песня, которая длится час, утомительна. Его песни никогда не бывают утомительными.

10. Некоторые свечи дают очень мало света; свечи предназначены для того, чтобы давать свет. Некоторые вещи, предназначенные для того, чтобы давать свет, дают его очень мало.

11. Все, кто стремится учиться, усердно работают; некоторые из этих мальчиков усердно работают. Некоторые из этих мальчиков стремятся учиться.

12. Все львы свирепы; некоторые львы не пьют кофе. Некоторые существа, которые пьют кофе, не свирепы.

13. Ни один скряга не щедр; некоторые старики нещедры. Некоторые старики — скряги.

14. Ни одно ископаемое не может быть несчастным в любви; устрица может быть несчастна в любви. Устрицы — не ископаемые.

15. Все необразованные люди поверхностны; все студенты образованны. Ни один студент не поверхностен.

16. Все молодые ягнята прыгают; ни одно молодое животное не является здоровым, если оно не прыгает. Все молодые ягнята здоровы.

17. Плохо управляемый бизнес убыточен; железные дороги никогда не управляются плохо. Все железные дороги прибыльны.

18. Ни один профессор не невежествен; все невежественные люди тщеславны. Ни один профессор не тщеславен.

19. Благоразумный человек избегает гиен; ни один банкир не является неблагоразумным. Ни один банкир не упускает возможности избежать гиен.

20. Все осы недружелюбны; ни один щенок не является недружелюбным. Щенки — не осы.

21. Ни один еврей не честен; некоторые язычники богаты. Некоторые богатые люди нечестны.

22. Ни один бездельник не добивается славы; некоторые художники не бездельничают. Некоторые художники добиваются славы.

23. Ни одна обезьяна не является солдатом; все обезьяны озорны. Некоторые озорные существа не являются солдатами.

24. Все эти конфеты — шоколадные кремы; все эти конфеты вкусные. Шоколадные кремы вкусные.

25. Ни один маффин не является полезным для здоровья; все булочки вредны для здоровья. Булочки — не маффины.

26. Некоторые неавторизованные отчеты ложны; все авторизованные отчеты заслуживают доверия. Некоторые ложные отчеты не заслуживают доверия.

27. Некоторые подушки мягкие; ни одна кочерга не является мягкой. Некоторые кочерги — не подушки.

28. В невероятные истории трудно поверить; ни одна из его историй не является вероятной. Ни в одну из его историй нелегко поверить.

29. Ни один вор не честен; некоторые нечестные люди разоблачены. Некоторые воры разоблачены.

30. Ни один маффин не является полезным для здоровья; вся пышная еда вредна для здоровья. Все маффины пышные.

31. Ни одна птица, кроме павлинов, не гордится своим хвостом; некоторые птицы, которые гордятся своим хвостом, не умеют петь. Некоторые павлины не умеют петь.

32. Тепло облегчает боль; ничто, что не облегчает боль, не полезно при зубной боли. Тепло полезно при зубной боли.

33. Ни один банкрот не богат; некоторые купцы не являются банкротами. Некоторые купцы богаты.

34. Скучных людей боятся; никого, кто скучен, никогда не просят продлить свой визит. Никого, кого боятся, никогда не просят продлить свой визит.

35. Все мудрые люди ходят на своих ногах; все немудрые люди ходят на своих руках. Ни один человек не ходит и так, и этак.

36. Ни одна тачка не является комфортабельной; ни одно некомфортабельное транспортное средство не популярно. Ни одна тачка не популярна.

37. Ни одна лягушка не поэтична; некоторые утки непоэтичны. Некоторые утки — не лягушки.

38. Ни один император не является дантистом; все дантисты внушают страх детям. Ни один император не внушает страха детям.

39. Сахар сладкий; соль не сладкая. Соль — не сахар.

40. Каждый орел умеет летать; некоторые свиньи не умеют летать. Некоторые свиньи — не орлы.

EX8 § 8. Наборы абстрактных суждений, предложенные в качестве посылок для соритов: необходимо найти заключения.

[Примечание: в конце этого раздела приведены инструкции по варьированию этих примеров.]

1. 1. Ни одно c не является d; 2. Все a являются d; 3. Все b являются c.

2. 1. Все d являются b; 2. Ни одно a не является c′; 3. Ни одно b не является c.

3. 1. Ни одно b не является a; 2. Ни одно c не является d′; 3. Все d являются b.

4. 1. Ни одно b не является c; 2. Все a являются b; 3. Ни одно c′ не является d.

5. 1. Все b′ являются a′; 2. Ни одно b не является c; 3. Ни одно a′ не является d.

6. 1. Все a являются b′; 2. Ни одно b′ не является c; 3. Все d являются a.

7. 1. Ни одно d не является b′; 2. Все b являются a; 3. Ни одно c не является d′.

8. 1. Ни одно b′ не является d; 2. Ни одно a′ не является b; 3. Все c являются d.

9. 1. Все b′ являются a; 2. Ни одно a не является d; 3. Все b являются c.

10. 1. Ни одно c не является d; 2. Все b являются c; 3. Ни одно a не является d′.

11. 1. Ни одно b не является c; 2. Все d являются a; 3. Все c′ являются a′.

12. 1. Ни одно c не является b′; 2. Все c′ являются d′; 3. Все b являются a.

13. 1. Все d являются e; 2. Все c являются a; 3. Ни одно b не является d′; 4. Все e являются a′.

14. 1. Все e являются b; 2. Все a являются e; 3. Все d являются b′; 4. Все a′ являются c;

15. 1. Ни одно b′ не является d; 2. Все e являются c; 3. Все b являются a; 4. Все d′ являются c′.

16. 1. Ни одно a′ не является e; 2. Все d являются c′; 3. Все a являются b; 4. Все e′ являются d.

17. 1. Все d являются c; 2. Все a являются e; 3. Ни одно b не является d′; 4. Все c являются e′.

18. 1. Все a являются b; 2. Все d являются e; 3. Все a′ являются c′; 4. Ни одно b не является e.

19. 1. Ни одно b не является c; 2. Все e являются h; 3. Все a являются b; 4. Ни одно d не является h; 5. Все e′ являются c.

20. 1. Ни одно d не является h′; 2. Ни одно c не является e; 3. Все h являются b; 4. Ни одно a не является d′; 5. Ни одно b не является e′.

21. 1. Все b являются a; 2. Ни одно d не является h; 3. Ни одно c не является e; 4. Ни одно a не является h′; 5. Все c′ являются b.

22. 1. Все e являются d′; 2. Ни одно b′ не является h′; 3. Все c′ являются d; 4. Все a являются e; 5. Ни одно c не является h.

23. 1. Все b′ являются a′; 2. Ни одно d не является e′; 3. Все h являются b′; 4. Ни одно c не является e; 5. Все d′ являются a.

24. 1. Все h′ являются k′; 2. Ни одно b′ не является a; 3. Все c являются d; 4. Все e являются h′; 5. Ни одно d не является k′; 6. Ни одно b не является c′.

25. 1. Все a являются d; 2. Все k являются b; 3. Все e являются h; 4. Ни одно a′ не является b; 5. Все d являются c; 6. Все h являются k.

26. 1. Все a′ являются h; 2. Ни одно d′ не является k′; 3. Все e являются b′; 4. Ни одно h не является k; 5. Все a являются e; 6. Ни одно b′ не является d.

27. 1. Все c являются d′; 2. Ни одно h не является b; 3. Все a′ являются k; 4. Ни одно c не является e′; 5. Все b′ являются d; 6. Ни одно a не является c′.

28. 1. Ни одно a′ не является k; 2. Все e являются b; 3. Ни одно h не является k′; 4. Ни одно d′ не является c; 5. Ни одно a не является b; 6. Все c′ являются h.

29. 1. Ни одно e не является k; 2. Ни одно b′ не является m; 3. Ни одно a не является c′; 4. Все h′ являются e; 5. Все d являются k; 6. Ни одно c не является b; 7. Все d′ являются l; 8. Ни одно h не является m′.

30. 1. Все n являются m; 2. Все a′ являются e; 3. Ни одно c′ не является l; 4. Все k являются r′; 5. Ни одно a не является h′; 6. Ни одно d не является l′; 7. Ни одно c не является n′; 8. Все e являются b; 9. Все m являются r; 10. Все h являются d.

[Примечание: в каждом примере в разделах 8 и 9 можно начинать с любой посылки по желанию и, таким образом, получить столько различных решений (все, конечно, приводящие к одному и тому же полному заключению), сколько посылок в примере. Следовательно, § 8 действительно содержит 129 различных примеров, а § 9 содержит 273.]

EX9 § 9.

Наборы конкретных суждений, предложенные в качестве посылок для соритов: необходимо найти заключения. 1. (1) Младенцы нелогичны; (2) Никто, кто может справиться с крокодилом, не презираем; (3) Нелогичные люди презираемы.

Универсум «лица»; a = способный справиться с крокодилом; b = младенцы; c = презираемые; d = логичные.

2. (1) Мои кастрюли — единственные вещи, которые у меня есть и которые сделаны из жести; (2) Я нахожу все ваши подарки очень полезными; (3) Ни одна из моих кастрюль не приносит ни малейшей пользы.

Универсум «мои вещи»; a = сделанные из жести; b = мои кастрюли; c = полезные; d = ваши подарки.

3. (1) Ни один из моих картофелей, который является новым, не был сварен; (2) Весь мой картофель в этом блюде пригоден в пищу; (3) Ни один из моих несваренных картофелей не пригоден в пищу.

Универсум «мой картофель»; a = вареный; b = съедобный; c = в этом блюде; d = новый.

4. (1) На кухне нет евреев; (2) Ни один язычник не говорит «шпундж»; (3) Все мои слуги на кухне.

Универсум «лица»; a = на кухне; b = евреи; c = мои слуги; d = говорящие «шпундж».

5. (1) Ни одна утка не вальсирует; (2) Ни один офицер никогда не отказывается вальсировать; (3) Вся моя домашняя птица — утки.

Универсум «существа»; a = утки; b = моя домашняя птица; c = офицеры; d = желающие вальсировать.

6. (1) Каждый, кто в здравом уме, может заниматься логикой; (2) Ни один сумасшедший не пригоден для службы в присяжных; (3) Никто из ваших сыновей не может заниматься логикой.

Универсум «лица»; a = способный заниматься логикой; b = пригодный для службы в присяжных; c = в здравом уме; d = ваши сыновья.

7. (1) В этой коробке нет моих карандашей; (2) Ни одна из моих цукатов не является сигарой; (3) Вся моя собственность, которая не в этой коробке, состоит из сигар.

Универсум «мои вещи»; a = сигары; b = в этой коробке; c = карандаши; d = цукаты.

8. (1) Ни один опытный человек не является некомпетентным; (2) Дженкинс всегда совершает ошибки; (3) Ни один компетентный человек не совершает ошибок постоянно.

Универсум «лица»; a = всегда совершающий ошибки; b = компетентный; c = опытный; d = Дженкинс.

9. (1) Ни один терьер не бродит среди знаков зодиака; (2) Ничто, что не бродит среди знаков зодиака, не является кометой; (3) Никто, кроме терьера, не имеет кудрявого хвоста.

Универсум «вещи»; a = кометы; b = с кудрявым хвостом; c = терьеры; d = бродящие среди знаков зодиака.

10. (1) Никто не выписывает «Таймс», если он не образован; (2) Ни один еж не умеет читать; (3) Те, кто не умеет читать, не образованы.

Универсум «существа»; a = умеющий читать; b = ежи; c = выписывающий «Таймс»; d = образованный.

11. (1) Все пудинги приятны; (2) Это блюдо — пудинг; (3) Ни одна приятная вещь не является полезной для здоровья.

Универсум «вещи»; a = приятные; b = пудинги; c = это блюдо; d = полезные для здоровья.

12. (1) Мой садовник заслуживает того, чтобы его слушали по военным вопросам; (2) Никто не может помнить битву при Ватерлоо, если он не очень стар; (3) Никто действительно не заслуживает того, чтобы его слушали по военным вопросам, если он не помнит битву при Ватерлоо.