«Символическая логика»

pg147 32. xm′0†m1y′0¶xy′0 [Рис. I. т.е. «Ни один x не является y′».

33. xm0†my0¶ничего. [Ошибка одинаковых исключаемых членов, не заявленных как существующие.]

34. mx′0†ym1¶xy1 [Рис. II. т.е. «Некоторые x являются y».

35. xm0†y1m′0¶y1x0 [Рис. I (α). т.е. «Все y являются x′».

36. m1x0†ym1¶x′y1 [Рис. II. т.е. «Некоторые x′ являются y».

37. m1x′0†ym0¶xy′1 [Рис. III. т.е. «Некоторые x являются y′».

38. xm0†m′y0¶xy0 [Рис. I. т.е. «Ни один x не является y».

39. mx′1†my0¶x′y′1 [Рис. II. т.е. «Некоторые x′ являются y′».

40. x′m0†y′1m′0¶y′1x′0 [Рис. I (α). т.е. «Все y′ являются x».

41. x1m0†ym′0¶x1y0 [Рис. I (α). т.е. «Все x являются y′».

42. m′x0†ym0¶xy0 [Рис. I. т.е. «Ни один x не является y».

SL5-B Решения к § 5, № 13–24. 13. Ни один француз не любит сливовый пудинг; Все англичане любят сливовый пудинг.

Универсум «люди»; m = любящие сливовый пудинг; x = французы; y = англичане.

xm0†y1m′0¶y1x0 [Рис. I (α).

т.е. англичане — не французы.

14. Ни один портрет дамы, который заставляет ее гримасничать или хмуриться, не является удовлетворительным; Ни одна фотография дамы никогда не обходится без того, чтобы заставить ее гримасничать или хмуриться.

Универсум «портреты дам»; m = заставляющий объект гримасничать или хмуриться; x = удовлетворительный; y = фотографический.

mx0†ym′0¶xy0 [Рис. I.

т.е. ни одна фотография дамы не является удовлетворительной.

15. Все бледные люди флегматичны; Никто не выглядит поэтично, если он не бледен.

Универсум «люди»; m = бледные; x = флегматичные; y = выглядящие поэтично.

m1x′0†m′y0¶x′y0 [Рис. I.

т.е. никто не выглядит поэтично, если он не флегматичен.

16. Ни один старый скряга не бывает веселым; Некоторые старые скряги худы.

Универсум «люди»; m = старые скряги; x = веселые; y = худые.

mx0†my1¶x′y1 [Рис. II.

т.е. некоторые худые люди не веселы.

17. Никто, кто упражняется в самоконтроле, не теряет самообладания; Некоторые судьи теряют самообладание.

Универсум «люди»; m = сохраняющие самообладание; x = упражняющиеся в самоконтроле; y = судьи.

xm′0†ym′1¶x′y1 [Рис. II.

т.е. некоторые судьи не упражняются в самоконтроле.

pg148 18. Все свиньи толстые; Ничто, что питается ячменной водой, не бывает толстым.

Универсум — «вещи»; m = толстые; x = свиньи; y = питающиеся ячменной водой.

x1m′0†ym0¶x1y0 [Рис. I (α).

т.е. свиней не кормят ячменной водой.

19. Все кролики, которые не жадны, черные; Ни один старый кролик не свободен от жадности.

Универсум — «кролики»; m = жадные; x = черные; y = старые.

m′1x′0†ym′0¶xy′1 [Рис. III.

т.е. некоторые черные кролики — не старые.

20. Некоторые картины — не первые попытки; Ни одна первая попытка не бывает по-настоящему хорошей.

Универсум — «вещи»; m = первые попытки; x = картины; y = по-настоящему хорошие.

xm′1†my0¶ничего.

[Ошибка различных исключаемых членов с экзистенциальной посылкой.]

21. Я никогда не пренебрегаю важными делами; Твои дела неважны.

Универсум — «дела»; m = важные; x = пренебрегаемые мной; y = твои.

mx0†y1m0¶ничего.

[Ошибка одинаковых исключаемых членов, не заявленных как существующие.]

22. Некоторые уроки сложны; То, что сложно, требует внимания.

Универсум — «вещи»; m = сложные; x = уроки; y = требующие внимания.

xm1†m1y′0¶xy1 [Рис. II.

т.е. некоторые уроки требуют внимания.

23. Все умные люди популярны; Все услужливые люди популярны.

Универсум — «люди»; m = популярные; x = умные; y = услужливые.

x1m′0†y1m′0¶ничего.

[Ошибка одинаковых исключаемых членов, не заявленных как существующие.]

24. Легкомысленные люди причиняют вред; Ни один вдумчивый человек не забывает обещания.

Универсум — «люди»; m = вдумчивые; x = причиняющие вред; y = забывающие обещания.

m′1x′0†my0¶x′y0

т.е. никто, кто забывает обещание, не обходится без причинения вреда.

SL6-B Решения к § 6. 1. xm1†my′0¶xy1 [Рис. II.] Заключение верно.

2. x1m′0†ym′0 Ошибка одинаковых исключаемых членов, не заявленных как существующие.

3. xm′1†y′1m′0¶xy1 [Рис. II.] Заключение верно.

pg149 4. x1m′0†ym0¶x1y0 [Рис. I (α).] Заключение верно.

5. m′x′1 † m′y0 ¶ x′y′1 [Рис. II.] Заключение верное.

6. x′m0 † y1m0 Ошибка: исключаемые члены не постулированы как существующие.

7. m′x′1 † y′1m0 Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.

8. m′x′0 † y′1m0 ¶ y′1x′0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

9. mx′1 † my0 ¶ x′y′1 [Рис. II.] Заключение верное.

10. m′1x0 † m′1y′0 ¶ x′y1 [Рис. III.] Заключение верное.

11. x1m0 † ym1 ¶ x′y1 [Рис. II.] Заключение верное.

12. xm0 † m′y′0 ¶ xy′0 [Рис. I.] Заключение верное.

13. xm0 † y′1m′0 ¶ y′1x0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

14. m′1x0 † m′1y′0 ¶ x′y1 [Рис. III.] Заключение верное.

15. mx′1 † y1m0 ¶ x′y′1 [Рис. II.] Заключение верное.

16. x′m0 † y′1m0 Ошибка: исключаемые члены не постулированы как существующие.

17. m′x0 † m′1y0 ¶ x′y′1 [Рис. III.] Заключение верное.

18. x′m0 † my1 ¶ xy1 [Рис. II.] Заключение верное.

19. mx′1 † m1y′0 ¶ x′y1 [Рис. II.] Заключение верное.

20. x′m′0 † m′y′1 ¶ xy′1 [Рис. II.] Заключение верное.

21. mx0 † m1y0 ¶ x′y′1 [Рис. III.] Заключение верное.

22. x′1m′0 † ym′1 ¶ xy1 [Рис. II.] Заключение неверное: верное — «Некоторые x суть y».

23. m1x′0 † m′y′0 ¶ x′y′0 [Рис. I.] Заключение верное.

24. x1m0 † m′1y′0 ¶ x1y′0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

25. xm′0 † m1y′0 ¶ xy′0 [Рис. I.] Заключение верное.

26. m1x0 † y1m′0 ¶ y1x0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

27. x1m′0 † my′0 ¶ x1y′0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

28. x1m′0 † y′m′0 Ошибка: исключаемые члены не постулированы как существующие.

29. x′m0 † m′y′0 ¶ x′y′0 [Рис. I.] Заключение верное.

30. x1m′0 † m1y0 ¶ x1y0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

31. x′1m0 † y′m′0 ¶ x′1y′0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

32. xm0 † y′m′0 ¶ xy′0 [Рис. I.] Заключение верное.

33. m1x0 † y′1m′0 ¶ y′1x0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

34. x1m0 † ym′1 Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.

35. xm1 † m1y′0 ¶ xy1 [Рис. II.] Заключение верное.

36. m1x0 † y1m′0 ¶ y1x0 [Рис. I (α).] Заключение верное.

37. mx′0 † m1y0 ¶ xy′1 [Рис. III.] Заключение верное.

38. xm0 † my′0 Ошибка: исключаемые члены не постулированы как существующие.

39. mx0 † my′1 ¶ x′y′1 [Рис. II.] Заключение верное.

40. mx′0 † ym1 ¶ xy1 [Рис. II.] Заключение верное.

стр. 150 SL7-B Решения для § 7.

1. Ни один врач не является восторженным; Вы восторженны. Вы не врач.

Универсум «люди»; m = восторженный; x = врачи; y = вы.

xm0 † y1m′0 ¶ y1x0 [Рис. I (α).

Заключение верное.

2. Словари полезны; Полезные книги ценны. Словари ценны.

Универсум «книги»; m = полезные; x = словари; y = ценные.

x1m′0 † m1y′0 ¶ x1y′0 [Рис. I (α).

Заключение верное.

3. Ни один скупой не является бескорыстным; Никто, кроме скупых, не хранит яичную скорлупу. Ни один бескорыстный человек не хранит яичную скорлупу.

Универсум «люди»; m = скупые; x = корыстные; y = люди, хранящие яичную скорлупу.

mx′0 † m′y0 ¶ x′y0 [Рис. I.

Заключение верное.

4. Некоторые эпикурейцы нещедры; Все мои дяди щедры. Мои дяди не эпикурейцы.

Универсум «люди»; m = щедрые; x = эпикурейцы; y = мои дяди.

xm′1 † y1m′0 ¶ xy′1 [Рис. II.

Заключение неверное: верное — «Некоторые эпикурейцы не являются моими дядями».

5. Золото тяжелое; Ничто, кроме золота, не заставит его замолчать. Ничто легкое не заставит его замолчать.

Универсум «вещи»; m = золото; x = тяжелые; y = способные заставить его замолчать.

m1x′0 † m′y0 ¶ x′y0 [Рис. I.

Заключение верное.

6. Некоторые здоровые люди толстые; Ни один нездоровый человек не является сильным. Некоторые толстые люди не являются сильными.

Универсум «люди»; m = здоровые; x = толстые; y = сильные.

mx1 † m′y0

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

7. Я видел это в газете; Все газеты лгут. Это была ложь.

Универсум «публикации»; m = газеты; x = публикации, в которых я это видел; y = лгущие.

x1m′0 † m1y′0 ¶ x1y′0 [Рис. I (α).

Заключение неверное: верное — «Публикация, в которой я это видел, лжет».

стр. 151 8. Некоторые галстуки не являются художественными; Я восхищаюсь всем художественным. Есть некоторые галстуки, которыми я не восхищаюсь.

Универсум «вещи»; m = художественные; x = галстуки; y = вещи, которыми я восхищаюсь.

xm1 † m1y0

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

9. Его песни никогда не длятся час. Песня, которая длится час, утомительна. Его песни никогда не утомительны.

Универсум «песни»; m = длящиеся час; x = его; y = утомительные.

x1m0 † m1y′0 ¶ x′y1 [Рис. III.

Заключение неверное: верное — «Некоторые утомительные песни не являются его».

10. Некоторые свечи дают очень мало света; Свечи предназначены для того, чтобы давать свет. Некоторые вещи, предназначенные для того, чтобы давать свет, дают очень мало.

Универсум «вещи»; m = свечи; x = дающие и т. д.; y = предназначенные и т. д.

mx1 † m1y′0 ¶ xy1 [Рис. II.

Заключение верное.

11. Все, кто стремится учиться, усердно работают. Некоторые из этих мальчиков усердно работают. Некоторые из этих мальчиков стремятся учиться.

Универсум «люди»; m = усердно работающие; x = стремящиеся учиться; y = эти мальчики.

x1m′0 † ym1

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

12. Все львы свирепы; Некоторые львы не пьют кофе. Некоторые существа, которые пьют кофе, не свирепы.

Универсум «существа»; m = львы; x = свирепые; y = существа, которые пьют кофе.

m1x′0 † my′1 ¶ xy′1 [Рис. II.

Заключение неверное: верное — «Некоторые свирепые существа не пьют кофе».

13. Ни один скупой не щедр; Некоторые старики нещедры. Некоторые старики — скупые.

Универсум «люди»; m = щедрые; x = скупые; y = старики.

xm0 † ym′1

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

14. Ни одно ископаемое не может быть несчастным в любви; Устрица может быть несчастной в любви. Устрицы не являются ископаемыми.

Универсум «вещи»; m = существа, которые могут быть несчастны в любви; x = ископаемые; y = устрицы.

xm0 † y1m′0 ¶ y1x0 [Рис. I (α).

Заключение верное.

стр. 152 15. Все необразованные люди поверхностны; Студенты все образованны. Ни один студент не является поверхностным.

Универсум «люди»; m = образованные; x = поверхностные; y = студенты.

m′1x′0 † y1m′0 ¶ xy′1 [Рис. III.

Заключение неверное: верное — «Некоторые поверхностные люди не являются студентами».

16. Все молодые ягнята прыгают; Ни одно молодое животное не является здоровым, если оно не прыгает. Все молодые ягнята здоровы.

Универсум «молодые животные»; m = молодые животные, которые прыгают; x = ягнята; y = здоровые.

x1m′0 † m′y0

Заключения нет. [Ошибка: исключаемые члены не постулированы как существующие.]

17. Плохо управляемый бизнес убыточен; Железные дороги никогда не управляются плохо. Все железные дороги прибыльны.

Универсум «бизнес»; m = плохо управляемый; x = прибыльный; y = железные дороги.

m1x0 † y1m0 ¶ x′y′1 [Рис. III.

Заключение неверное: верное — «Некоторый бизнес, помимо железных дорог, прибылен».

18. Ни один профессор не является невежественным; Все невежественные люди тщеславны. Ни один профессор не тщеславен.

Универсум «люди»; m = невежественные; x = профессора; y = тщеславные.

xm0 † m1y′0 ¶ x′y1 [Рис. III.

Заключение неверное: верное — «Некоторые тщеславные люди не являются профессорами».

19. Благоразумный человек избегает гиен. Ни один банкир не является неблагоразумным. Ни один банкир не упускает возможности избежать гиен.

Универсум «люди»; m = благоразумные; x = избегающие гиен; y = банкиры.

m1x′0 † ym′0 ¶ x′y0 [Рис. I.

Заключение верное.

20. Все осы недружелюбны; Ни один щенок не является недружелюбным. Ни один щенок не является осой.

Универсум «существа»; m = дружелюбные; x = осы; y = щенки.

x1m0 † ym′0 ¶ x1y0 [Рис. I (α).

Заключение неполное: полное — «Осы не являются щенками».

21. Ни один еврей не честен; Некоторые язычники богаты. Некоторые богатые люди нечестны.

Универсум «люди»; m = евреи; x = честные; y = богатые.

mx0 † m′y1

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

стр. 153 22. Ни один бездельник не добивается славы; Некоторые художники не бездельники. Некоторые художники добиваются славы.

Универсум «люди»; m = бездельники; x = люди, добивающиеся славы; y = художники.

mx0 † ym′1

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

23. Ни одна обезьяна не является солдатом; Все обезьяны озорны. Некоторые озорные существа не являются солдатами.

Универсум «существа»; m = обезьяны; x = солдаты; y = озорные.

mx0 † m1y′0 ¶ x′y1 [Рис. III.

Заключение верное.

24. Все эти конфеты — шоколадные кремы; Все эти конфеты вкусны. Шоколадные кремы вкусны.

Универсум «еда»; m = эти конфеты; x = шоколадные кремы; y = вкусные.

m1x′0 † m1y′0 ¶ xy1 [Рис. III.

Заключение неверное, так как оно шире верного, которое звучит так: «Некоторые шоколадные кремы вкусны».

25. Ни один маффин не является полезным для здоровья; Все булочки вредны для здоровья. Булочки не являются маффинами.

Универсум «еда»; m = полезные для здоровья; x = маффины; y = булочки.

xm0 † y1m0

Заключения нет. [Ошибка: исключаемые члены не постулированы как существующие.]

26. Некоторые неавторизованные отчеты ложны; Все авторизованные отчеты заслуживают доверия. Некоторые ложные отчеты не заслуживают доверия.

Универсум «отчеты»; m = авторизованные; x = правдивые; y = заслуживающие доверия.

m′x′1 † m1y′0

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

27. Некоторые подушки мягкие; Ни одна кочерга не является мягкой. Некоторые кочерги не являются подушками.

Универсум «вещи»; m = мягкие; x = подушки; y = кочерги.

xm1 † ym0 ¶ xy′1 [Рис. II.

Заключение неверное: верное — «Некоторые подушки не являются кочергами».

28. В невероятные истории нелегко поверить; Ни одна из его историй не является вероятной. Ни в одну из его историй нелегко поверить.

Универсум «истории»; m = вероятные; x = те, в которые легко поверить; y = его.

m′1x0 † ym0 ¶ xy0 [Рис. I.

Заключение верное.

стр. 154 29. Ни один вор не честен; Некоторые нечестные люди разоблачены. Некоторые воры разоблачены.

Универсум «люди»; m = честные; x = воры; y = разоблаченные.

xm0 † m′y1

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

30. Ни один маффин не является полезным для здоровья; Вся пышная еда вредна для здоровья. Все маффины пышные.

Универсум «еда»; m = полезная для здоровья; x = маффины; y = пышная.

xm0 † y1m0

Заключения нет. [Ошибка: исключаемые члены не постулированы как существующие.]

31. Ни одна птица, кроме павлина, не гордится своим хвостом; Некоторые птицы, которые гордятся своим хвостом, не умеют петь. Некоторые павлины не умеют петь.

Универсум «птицы»; m = гордящиеся своим хвостом; x = павлины; y = птицы, которые не умеют петь.

x′m0 † my′1 ¶ xy′1 [Рис. II.

Заключение верное.

32. Тепло облегчает боль; Ничто, что не облегчает боль, не полезно при зубной боли. Тепло полезно при зубной боли.

Универсум «средства»; m = облегчающие боль; x = тепло; y = полезные при зубной боли.

x1m′0 † m′y0

Заключения нет. [Ошибка: исключаемые члены не постулированы как существующие.]

33. Ни один банкрот не богат; Некоторые купцы не являются банкротами. Некоторые купцы богаты.

Универсум «люди»; m = банкроты; x = богатые; y = купцы.

mx0 † ym′1

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

34. Зануд боятся; Ни одного зануду никогда не просят продлить свой визит. Никто из тех, кого боятся, не просит продлить свой визит.

Универсум «люди»; m = зануды; x = те, кого боятся; y = те, кого просят продлить свой визит.

m1x′0 † my0 ¶ xy′1 [Рис. III.

Заключение неверное: верное — «Некоторых людей, которых боятся, не просят продлить свой визит».

35. Все мудрые люди ходят на ногах; Все немудрые люди ходят на руках. Ни один человек не ходит на обоих.

Универсум «люди»; m = мудрые; x = ходящие на ногах; y = ходящие на руках.

m1x′0 † m′1y′0 ¶ x′y′0 [Рис. I.

Заключение неверное: верное — «Ни один человек не ходит ни на чем, кроме ног или рук».

стр. 155 36. Ни одна тачка не удобна; Ни одно неудобное транспортное средство не популярно. Ни одна тачка не популярна.

Универсум «транспортные средства»; m = удобные; x = тачки; y = популярные.

xm0 † m′x0 ¶ xy0 [Рис. I.

Заключение верное.

37. Ни одна лягушка не поэтична; Некоторые утки непоэтичны. Некоторые утки не являются лягушками.

Универсум «существа»; m = поэтичные; x = лягушки; y = утки.

xm0 † ym′1

Заключения нет. [Ошибка: различные исключаемые члены при наличии экзистенциальной посылки.]

38. Ни один император не является дантистом; Все дантисты внушают детям страх. Ни один император не внушает детям страх.

Универсум «люди»; m = дантисты; x = императоры; y = внушающие детям страх.

xm0 † m1y′0 ¶ x′y1 [Рис. III.

Заключение неверное: верное — «Некоторые люди, внушающие детям страх, не являются императорами».

39. Сахар сладкий; Соль не сладкая. Соль не сахар.

Универсум «вещи»; m = сладкие; x = сахар; y = соль.

x1m′0 † y1m0 ¶ (x1y0 † y1x0) [Рис. I (β).

Заключение неполное: пропущенная часть — «Сахар не соль».

40. Каждый орел умеет летать; Некоторые свиньи не умеют летать. Некоторые свиньи не являются орлами.

Универсум «существа»; m = существа, которые умеют летать; x = орлы; y = свиньи.

x1m′0 † ym′1 ¶ x′y1 [Рис. II.

Заключение верное.

SL8 Решения для § 8.

1. 1cd0 † 2a1d′0 † 3b1c′0; 1cd † 2ad′ † 3bc′ ¶ ab0 † a1 † b1 т.е. ¶ a1b0 † b1a0

2. 1d1b′0 † 2ac′0 † 3bc0; 1db′ † 3bc † 2ac′ ¶ da0 † d1 т.е. ¶ d1a0

3. 1ba0 † 2cd′0 † 3d1b′0; 1ba † 3db′ † 2cd′ ¶ ac0

4. 1bc0 † 2a1b′0 † 3c′d0; 1bc † 2ab′ † 3c′d ¶ ad0 † a1 т.е. ¶ a1d0

5. 1b′1a0 † 2bc0 † 3a′d0; 1b′a † 2bc † 3a′d ¶ cd0

6. 1a1b0 † 2b′c0 † 3d1a′0; 1ab † 2b′c † 3da′ ¶ cd0 † d1 т.е. ¶ d1c0

7. 1db′0 † 2b1a′0 † 3cd′0; 1db′ † 2ba′ † 3cd′ ¶ a′c0

8. 1b′d0 † 2a′b0 † 3c1d′0; 1b′d † 2a′b † 3cd′ ¶ a′c0 † c1 т.е. ¶ c1a′0

9. 1b′1a′0 † 2ad0 † 3b1c′0; 1b′a′ † 2ad † 3bc′ ¶ dc′0

10. 1cd0 † 2b1c′0 † 3ad′0; 1cd † 2bc′ † 3ad′ ¶ ba0 † b1 т.е. ¶ b1a0

11. 1bc0 † 2d1a′0 † 3c′1a0; 1bc † 3c′a † 2da′ ¶ bd0 † d1 т.е. ¶ d1b0

12. 1cb′0 † 2c′1d0 † 3b1a′0; 1cb′ † 2c′d † 3ba′ ¶ da′0

13. 1d1e′0 † 2c1a′0 † 3bd′0 † 4e1a0; 1de′ † 3bd′ † 4ea † 2ca′ ¶ bc0 † c1 т.е. ¶ c1b0

14. 1c1b′0 † 2a1e′0 † 3d1b0 † 4a′1c′0; 1cb′ † 3db † 4a′c′ † 2ae′ ¶ de′0 † d1 т.е. ¶ d1e′0

15. 1b′d0 † 2e1c′0 † 3b1a′0 † 4d′1c0; 1b′d † 3ba′ † 4d′c † 2ec′ ¶ a′e0 † e1 т.е. ¶ e1a′0

16. 1a′e0 † 2d1c0 † 3a1b′0 † 4e′1d′0; 1a′e † 3ab′ † 4e′d′ † 2dc ¶ b′c0

17. 1d1c′0 † 2a1e′0 † 3bd′0 † 4c1e0; 1dc′ † 3bd′ † 4ce † 2ae′ ¶ ba0 † a1 т.е. ¶ a1b0

18. 1a1b′0 † 2d1e′0 † 3a′1c0 † 4be0; 1ab′ † 3a′c † 4be † 2de′ ¶ cd0 † d1 т.е. ¶ d1c0

19. 1bc0 † 2e1h′0 † 3a1b′0 † 4dh0 † 5e′1c′0; 1bc † 3ab′ † 5e′c′ † 2eh′ † 4dh ¶ ad0 † a1 т.е. ¶ a1d0

20. 1dh′0 † 2ce0 † 3h1b′0 † 4ad′0 † 5be′0; 1dh′ † 3hb′ † 4ad′ † 5be′ † 2ce ¶ ac0

21. 1b1a′0 † 2dh0 † 3ce0 † 4ah′0 † 5c′1b′0; 1ba′ † 4ah′ † 2dh † 5c′b′ † 3ce ¶ de0

22. 1e1d0 † 2b′h′0 † 3c′1d′0 † 4a1e′0 † 5ch0; 1ed † 3c′d′ † 4ae′ † 5ch † 2b′h′ ¶ ab′0 † a1 т.е. ¶ a1b0

23. 1b′1a0 † 2de′0 † 3h1b0 † 4ce0 † 5d′1a′0; 1b′a † 3hb † 5d′a′ † 2de′ † 4ce ¶ hc0 † h1 т.е. ¶ h1c0

24. 1h′1k0 † 2b′a0 † 3c1d′0 † 4e1h0 † 5dk′0 † 6bc′0; 1h′k † 4eh † 5dk′ † 3cd′ † 6bc′ † 2b′a ¶ ea0 † e1 т.е. ¶ e1a0

25. 1a1d′0 † 1k1b′0 † 1e1h′0 † 1a′b0 † 5d1c′0 † 6h1k′0; 1ad′ † 4a′b † 2kb′ † 5dc′ † 6hk′ † 3eh′ ¶ c′e0 † e1 т.е. ¶ e1c′0

26. 1a′1h′0 † 2d′k′0 † 3e1b0 † 4hk0 † 5a1c′0 † 6b′d0; 1a′h′ † 4hk † 2d′k′ † 5ac′ † 6b′d † 3eb ¶ c′e0 † e1 т.е. ¶ e1c′0

27. 1e1d0 † 2hb0 † 3a′1k′0 † 4ce′0 † 5b′1d′0 † 6ac′0; 1ed † 4ce′ † 5b′d′ † 2hb † 6ac′ † 3a′k′ ¶ hk′0

28. 1a′k0 † 2e1b′0 † 3hk′0 † 4d′c0 † 5ab0 † 6c′1h′0; 1a′k † 3hk′ † 5ab † 2eb′ † 6c′h′ † 4d′c ¶ ed′0 † e1 т.е. ¶ e1d′0

29. 1ek0 † 2b′m0 † 3ac′0 † 4h′1e′0 † 5d1k′0 † 6cb0 † 7d′1l′0 † 8hm′0; 1ek † 4h′e′ † 5dk′ † 7d′l′ † 8hm′ † 2b′m † 6cb † 3ac′ ¶ l′a0

30. 1n1m′0 † 2a′1e′0 † 3c′l0 † 5k1r0 † 5ah′0 † 6dl′0 † 7cn′0 † 8e1b′0 † 9m1r′0 † 10h1d′0; 1nm′ † 7cn′ † 3c′l † 6dl′ † 9mr′ † 4kr † 10hd′ † 5ah′ † 2a′e′ † 8eb′ ¶ kb′0 † k1 т.е. ¶ k1b′0

SL9. Решения к § 9. 1. 1b1d0†2ac0†3d′1c′0; 1bd†3d′c′†2ac¶ba0†b1, т.е. ¶b1a0

т.е. Младенцы не могут справиться с крокодилами.

2. 1a1b′0†2d1c′0†3bc0; 1ab′†3bc†2dc′¶ad0†d1, т.е. ¶d1a0

т.е. Ваши подарки мне не сделаны из жести.

pg158 3. 1da0†2c1b′0†3a′b0; 1da†3a′b†2cb′¶dc0†c1, т.е. ¶c1d0

т.е. Весь мой картофель в этом блюде — старый.

4. 1ba0†2b′d0†3c1a′0; 1ba†2b′d†3ca′¶dc0†c1, т.е. ¶c1d0

т.е. Мои слуги никогда не говорят «шпундж».

5. 1ad0†2cd′0†3b1a′0; 1ad†2cd′†3ba′¶cb0†b1, т.е. ¶b1c0

т.е. Моя домашняя птица — не офицеры.

6. 1c1a′0†2c′b0†3da0; 1ca′†2c′b†3da¶bd0

т.е. Никто из ваших сыновей не годен для службы в присяжных.

7. 1cb0†2da0†3b′1a′0; 1cb†3b′a′†2da¶cd0

т.е. Ни один из моих карандашей не является цукатом.

8. 1cb′0†2d1a′0†3ba0; 1cb′†3ba†2da′¶cd0†d1, т.е. ¶d1c0

т.е. Дженкинс неопытен.

9. 1cd0†2d′a0†3c′b0; 1cd†2d′a†3c′b¶ab0

т.е. Ни у одной кометы нет кудрявого хвоста.

10. 1d′c0†2ba0†3a′1d0; 1d′c†3a′d†2ba¶cb0

т.е. Ни один еж не выписывает «Таймс».

11. 1b1a′0†2c1b′0†3ad0; 1ba′†2cb′†3ad¶cd0†c1, т.е. ¶c1d0

т.е. Это блюдо вредно для здоровья.

12. 1b1c′0†2d′a0†3a′c0; 1bc′†3a′c†2d′a¶bd′0†b1, т.е. ¶b1d′0

т.е. Мой садовник очень стар.

13. 1a1d′0†2bc0†3c′1d0; 1ad′†3c′d†2bc¶ab0†a1, т.е. ¶a1b0

т.е. Все колибри малы.

pg159 14. 1c′b0†2a1d′0†3ca′0; 1c′b†3ca′†2ad′¶bd′0

т.е. Никто с крючковатым носом не упускает возможности заработать денег.

15. 1b1a′0†2b′1d0†3ca0; 1ba′†2b′d†3ca¶dc0

т.е. Ни одна серая утка в этой деревне не носит кружевной воротник.

16. 1d1b′0†2cd′0†3ba0; 1db′†2cd′†3ba¶ca0

т.е. Ни один кувшин в этом шкафу не удержит воду.

17. 1b′1d0†2c1d′0†3ab0; 1b′d†2cd′†3ab¶ca0†c1, т.е. ¶c1a0

т.е. Эти яблоки выросли на солнце.

18. 1d′1b′0†2c1b0†3c′a0; 1d′b′†2cb†3c′a¶d′a0†d′1, т.е. ¶d′1a0

т.е. Щенки, которые не хотят лежать смирно, никогда не любят заниматься вышиванием.

19. 1bd′0†2a1c′0†3a′d0; 1bd′†3a′d†2ac′¶bc′0

т.е. Ни одно имя в этом списке не является неблагозвучным.

20. 1a1b′0†2dc0†3a′1d′0; 1ab′†3a′d′†2dc¶b′c0

т.е. Ни один член парламента не должен участвовать в гонках на ослах, если только он не обладает полным самообладанием.

21. 1bd0†2c′a0†3b′c0; 1bd†3b′c†2c′a¶da0

т.е. Никакие товары в этом магазине, которые все еще выставлены на продажу, не могут быть вынесены.

22. 1a′b0†2cd0†3d′a0; 1a′b†3d′a†2cd¶bc0

т.е. Ни один акробатический номер, включающий выполнение четверного сальто, никогда не исполняется в цирке.

23. 1dc′0†2a1b′0†3bc0; 1dc′†3bc†2ab′¶da0†a1, т.е. ¶a1d0

т.е. Морские свинки никогда по-настоящему не ценят Бетховена.

pg160 24. 1a1d′0†2b′1c0†3ba′0; 1ad′†3ba′†2b′c¶d′c0

т.е. Никакие цветы без запаха меня не радуют.

25. 1c1d′0†2ba′0†3d1a0; 1cd′†3da†2ba′¶cb0†c1, т.е. ¶c1b0

т.е. Эффектные говоруны на самом деле не являются хорошо осведомленными.

26. 1ea0†2b1d′0†3a′1c0†4e′b′0; 1ea†3a′c†4e′b′†2bd′¶cd′0

т.е. В этой школе греческий язык учат только рыжие мальчики.

27. 1b1d0†2ac′0†3e1d′0†4c1b′0; 1bd†3ed′†4cb′†2ac′¶ea0†e1, т.е. ¶e1a0

т.е. Свадебный торт всегда плохо на меня влияет.

28. 1ad0†2e′1b′0†3c1d′0†4e1a′0; 1ad†3cd′†4ea′†2e′b′¶cb′0†c1, т.е. ¶c1b′0

т.е. Дискуссии, которые ведутся, пока Томкинс председательствует, ставят под угрозу мирную атмосферу нашего дискуссионного клуба.

29. 1d1a0†2e′c0†3b1a′0†4d′e0; 1da†3ba′†4d′e†2e′c¶bc0†b1, т.е. ¶b1c0

т.е. Все обжоры в моей семье нездоровы.

30. 1d1e0†2c′a0†3b1e′0†4c1d′0; 1de†3be′†4cd′†2c′a¶ba0†b1, т.е. ¶b1a0

т.е. Яйцо бескрылой гагарки не достанется за бесценок.

31. 1d′b0†2a1c′0†3c1e′0†4a′d0; 1d′b†4a′d†2ac′†3ce′¶be′0

т.е. Ни одна книга, проданная здесь, не имеет позолоченного обреза, если только она не стоит 5 шиллингов и выше.

32. 1a′1c′0†2d1b0†3a1e′0†4c1b′0; 1a′c′†3ae′†4cb′†2db¶e′d0†d1, т.е. ¶d1e′0

т.е. Когда вы порежете палец, вы найдете настойку календулы полезной.

33. 1d′b0†2a1e′0†3ec0†4d1a′0; 1d′b†4da′†2ae′†3ec¶bc0

т.е. Я никогда не встречал русалку в море.

pg161 34. 1c′1b0†2a1e′0†3d1b′0†4a′1c0; 1c′b†3db′†4a′c†2ae′¶de′0†d1, т.е. ¶d1e′0

т.е. Все романы в этой библиотеке хорошо написаны.

35. 1e′d0†2c′a0†3eb0†4d′c0; 1e′d†3eb†4d′c†2c′a¶ba0

т.е. Ни одна птица в этом вольере не питается мясными пирожками.

36. 1d′1c′0†2e1a′0†3c1b0†4e′d0; 1d′c′†3cb†4e′d†2ea′¶ba′0

т.е. Ни один сливовый пудинг, который не был сварен в салфетке, невозможно отличить от супа.

37. 1ce′0†2b′a′0†3h1d′0†4ae0†5bd0; 1ce′†4ae†2b′a′†5bd†3hd′¶ch0†h1, т.е. ¶h1c0

т.е. Все ваши стихи неинтересны.

38. 1b′1a′0†2db0†3he′0†4ec0†5a1h′0; 1b′a′†2db†5ah′†3he′†4ec¶dc0

т.е. Ни один из моих персиков не был выращен в теплице.

39. 1c1d0†2h1e′0†3c′1a′0†4h′b0†5e1d′0; 1cd†3c′a′†5ed′†2he′†4h′b¶a′b0

т.е. Ни один ломбардщик не является нечестным.

40. 1bd′0†2c′h0†3e1b′0†4da0†5e′c0; 1bd′†3eb′†4da†5e′c†2c′h¶ah0

т.е. Ни один котенок с зелеными глазами не будет играть с гориллой.

41. 1c1a′0†2h′b0†3ae0†4d1c′0†5h1e′0; 1ca′†3ae†4dc′†5he′†2h′b¶db0†d1, т.е. ¶d1b0

т.е. Все мои друзья в этом колледже обедают за нижним столом.

42. 1ca0†2h1d′0†3c′1e′0†4b′a′0†5d1e0; 1ca†3c′e′†4b′a′†5de†2hd′¶b′h0†h1, т.е. ¶h1b′0

т.е. Мой письменный стол полон живых скорпионов.

43. 1b′1e0†2ah0†3dc0†4e′1a′0†5bc′0 1b′e†4e′a′†2ah†5bc′†3dc¶hd0

т.е. Ни один мандарин никогда не читает стихи Хогга.

pg162 44. 1e1b′0†2a′d0†3c1h′0†4e′a0†5d′h0; 1eb′†4e′a†2a′d†5d′h†3ch′¶b′c0†c1, т.е. ¶c1b′0

т.е. Шекспир был умен.

45. 1e′1c′0†2hb′0†3d1a0†4e1a′0†5c1b0; 1e′c′†4ea′†3da†5cb†2hb′¶dh0†d1, т.е. ¶d1h0

т.е. Радуги не стоят того, чтобы писать им оды.

46. 1c′1h′0†2e1a0†3bd0†4a′1h0†5d′c0; 1c′h′†4a′h†2ea†5d′c†3bd¶eb0†e1, т.е. ¶e1b0

т.е. Эти примеры на сориты трудны.

47. 1a′1e′0†2bk0†3c′a0†4eh′0†5d1b′0†6k′h0; 1a′e′†3c′a†4eh′†6k′h†2bk†5db′¶c′d0†d1, т.е. ¶d1c′0

т.е. Все мои мечты сбываются.

48. 1a′h0†2c′k0†3a1d′0†4e1h′0†5b1k′0†6c1e′0; 1a′h†3ad′†4eh′†6ce′†2c′k†5bk′¶d′b0†b1, т.е. ¶b1d′0

т.е. Все английские картины здесь написаны маслом.

49. 1k′1e0†2c1h0†3b1a′0†4kd0†5h′a0†6b′1e′0; 1k′e†4kd†6b′e′†3ba′†5h′a†2ch¶dc0†c1, т.е. ¶c1d0

т.е. Ослов нелегко проглотить.

50. 1ab′0†2h′d0†3e1c0†4b1d′0†5a′k0†6c′1h0; 1ab′†4bd′†2h′d†6a′k†5c′h†3ec¶ke0†e1, т.е. ¶e1k0

т.е. Опиофаги никогда не носят белые лайковые перчатки.

51. 1bc0†2k1a′0†3eh0†4d1b′0†5h′c′0†6k′1e′0; 1bc†4db′†5h′c′†3eh†6k′e′†2ka′¶da′0†d1, т.е. ¶d1a′0

т.е. Хороший муж всегда приходит домой к чаю.

52. 1a′1k′0†2ch0†3h′k0†4b1d′0†5ea0†6d1c′0 1a′k′†3h′k†2ch†6dc′†4bd′†5ea¶be0†b1, т.е. ¶b1e0

т.е. Купальные машины никогда не делают из перламутра.

pg163 53. 1da′0†2k1b′0†3c1h0†4d′1k′0†5e1c′0†6a1h′0; 1da′†4d′k′†2kb′†6ah′†5ch†3ec′¶b′e0†e1, т.е. ¶e1b′0

т.е. Дождливые дни всегда облачные.

54. 1kb′0†1a′1c′0†3d′b0†4k′1h′0†5ea0†6d1c0; 1kb′†3d′b†4k′h′†6dc†2a′c′†5ea¶h′e0

т.е. Ни одна тяжелая рыба не бывает недоброй к детям.

55. 1k′1b′0†2eh′0†3c′d0†4hb0†5ac0†6kd′0; 1k′b′†4hb†2eh′†6kd′†3c′d†5ac¶ea0

т.е. Ни один машинист не питается леденцами.

56. 1h1b′0†2c1d′0†3k′a0†4e1h′0†5b1a′0†6k1c′0; 1hb′†4eh′†5ba′†3k′a†6kc′†2cd′¶ed′0†e1, т.е. ¶e1d′0

т.е. Все животные во дворе грызут кости.

57. 1h′1d′0†2e1c′0†3k′a0†4cb0†5d1l′0†6e′h0†7kl0; 1h′d′†5dl′†7kl†3k′a†6e′h†2ec′†4cb¶ab0

т.е. Ни один барсук не может отгадать загадку.

58. 1b′h0†2d′1l′0†3ca0†4d1k′0†5h′1e′0†6mc′0†7a′b0†8ek0; 1b′h†5h′e′†7a′b†3ca†6mc′†8ek†4dk′†2d′l′¶ml′0

т.е. Ни один ваш чек, полученный мной, не является оплачиваемым по предъявлении.

59. 1c1l′0†2h′e0†3kd0†4mc′0†5b′1e′0†6n1a′0†7l1d′0†8m′b0†9ah0; 1cl′†4mc′†7ld′†3kd†8m′b†5b′e′†2h′e†9ah†6na′¶kn0

т.е. Я не могу прочитать ни одного письма Брауна.

60. 1e1c′0†2l1n′0†3d1a′0†4m′b0†5ck′0†6e′r0†7h1n0†8b′k0†9r′1d′0†10m1l′0; 1ec′†5ck′†6e′r†8b′k†4m′b†9r′d′†3da′†10ml′†2ln′†7hn¶a′h0†h1, т.е. ¶h1a′0

т.е. Я всегда избегаю кенгуру.

pg164 ПРИМЕЧАНИЯ.

(A) [См. с. 80]. Одно из любимых возражений, выдвигаемых против науки логики ее хулителями, заключается в том, что силлогизм не имеет реальной силы в качестве аргумента, поскольку он содержит логическую ошибку Petitio Principii (т.е. «предвосхищение основания», суть которой в том, что весь вывод содержится в одной из посылок).

Это грозное возражение опровергается с прекрасной ясностью и простотой этими тремя диаграммами, которые показывают нам, что в каждой из трех фигур вывод действительно содержится в двух посылках, взятых вместе, причем каждая вносит свою долю.

Так, в Фиг. I посылка xm0 опустошает внутреннюю ячейку северо-западного квадранта, в то время как посылка ym0 опустошает ее внешнюю ячейку. Следовательно, нужны две посылки, чтобы опустошить весь северо-западный квадрант и тем самым доказать вывод xy0.

Далее, в Фиг. II посылка xm0 опустошает внутреннюю ячейку северо-западного квадранта. Посылка ym1 просто говорит нам, что внутренняя часть западной половины занята, так что мы можем поместить «I» в нее где-нибудь; но если бы это была вся наша информация, мы не знали бы, в какую ячейку ее поместить, так что ей пришлось бы «сидеть на заборе»: только когда мы узнаем из другой посылки, что верхняя из этих двух ячеек пуста, мы чувствуем себя вправе поместить «I» в нижнюю ячейку и тем самым доказать вывод x′y1.

Наконец, в Фиг. III информация о том, что m существует, лишь дает нам право поместить «I» где-нибудь во внутреннем квадрате — но у нее большой выбор заборов, на которых можно посидеть! Нужна посылка xm0, чтобы выгнать ее из северной половины этого квадрата, и нужна посылка ym0, чтобы выгнать ее из западной половины. Следовательно, нужны две посылки, чтобы загнать ее во внутреннюю часть юго-восточного квадранта и тем самым доказать вывод x′y′1.

pg165 ПРИЛОЖЕНИЕ,

АДРЕСОВАННОЕ УЧИТЕЛЯМ.

§ 1. Введение. Есть несколько вопросов, слишком сложных для обсуждения с учащимися, которые, тем не менее, необходимо объяснить всем учителям, в чьи руки может попасть эта книга, чтобы они могли досконально понять, что представляет собой мой символический метод и в чем он отличается от многих других уже опубликованных методов.

Эти вопросы следующие:—

«Экзистенциальный импорт» суждений. Использование «не-есть» (или «не-суть») в качестве связки. Теория «две отрицательные посылки ничего не доказывают». Метод диаграмм Эйлера. Метод диаграмм Венна. Мой метод диаграмм. Решение силлогизма различными методами. Мой метод обработки силлогизмов и соритов. Некоторое описание частей II, III.

§ 2. «Экзистенциальный импорт» суждений. Авторы и редакторы логических учебников, идущие по проторенным путям — к которым я в дальнейшем буду обращаться с (надеюсь, необидным) титулом «Логики» — занимают по этому вопросу позицию, которая кажется мне более смиренной, чем это вообще необходимо. Они говорят о связке суждения «затаив дыхание», почти как если бы это была живая, сознательная сущность, способная сама объявить, что она хочет означать, а нам, бедным человеческим существам, не остается ничего, кроме как выяснить, какова ее суверенная воля и желание, и подчиниться им.

pg166 В противовес этому взгляду я утверждаю, что любой автор книги полностью уполномочен придавать любое значение, какое ему нравится, любому слову или фразе, которые он намерен использовать. Если я вижу, что автор в начале своей книги говорит: «Пусть будет понято, что под словом «черный» я всегда буду подразумевать «белый», а под словом «белый» я всегда буду подразумевать «черный»», я кротко принимаю его правило, каким бы неблагоразумным я его ни считал.

И так, в отношении вопроса о том, должно или не должно суждение пониматься как утверждение существования своего субъекта, я утверждаю, что каждый автор может принять свое собственное правило, при условии, конечно, что оно согласуется с самим собой и с принятыми фактами логики.

Давайте рассмотрим некоторые взгляды, которые могут логически поддерживаться, и таким образом определим, какие из них могут быть удобно приняты; после чего я буду считать себя свободным объявить, какой из них я намерен придерживаться.

Виды суждений, которые следует рассмотреть, — это те, что начинаются со слов «некоторые», «никакие» и «все». Их обычно называют суждениями «в I», «в E» и «в A».

Во-первых, суждение «в I» может пониматься как утверждающее или, наоборот, не утверждающее существование своего субъекта. (Под «существованием» я, конечно, подразумеваю любой вид существования, который соответствует его природе. Два суждения: «сны существуют» и «барабаны существуют» — обозначают два совершенно разных вида «существования». Сон — это совокупность идей, и он существует только в сознании сновидца, тогда как барабан — это совокупность дерева и пергамента, и он существует в руках барабанщика.)

Во-первых, давайте предположим, что I «утверждает» (т.е. «утверждает существование своего субъекта»).

Здесь, конечно, мы должны рассматривать суждение в A как делающее то же самое утверждение, поскольку оно обязательно содержит суждение в I.

Теперь у нас есть I и A, которые «утверждают». Оставляет ли это нас свободными делать любое предположение, которое мы выберем, относительно E? Мой ответ: «Нет. Мы связаны предположением, что E не утверждает». Это можно доказать следующим образом:—

Если возможно, пусть E «утверждает». Тогда (принимая x, y и z за атрибуты) мы видим, что если суждение «Никакие xy не суть z» истинно, то существуют некоторые вещи с атрибутами x и y: т.е. «Некоторые x суть y».

pg167 Также мы знаем, что если суждение «Некоторые xy суть z» истинно, следует тот же результат.

Но эти два суждения являются противоречащими, так что одно или другое из них должно быть истинным. Следовательно, этот результат всегда истинен: т.е. суждение «Некоторые x суть y» всегда истинно!

Quod est absurdum. (См. примечание (A), с. 195).

Мы видим, таким образом, что предположение «I утверждает» обязательно ведет к «A утверждает, но E не утверждает». И это первый из различных взглядов, которые можно мыслимо придерживаться.

Далее, давайте предположим, что I не «утверждает». И вместе с этим давайте примем предположение, что E «утверждает».

Следовательно, суждение «Никакие x не суть y» означает «Некоторые x существуют, и ни один из них не есть y»: т.е. «все они суть не-y», что является суждением в A. Мы также знаем, конечно, что суждение «Все x суть не-y» доказывает «Никакие x не суть y». Теперь два суждения, каждое из которых доказывает другое, являются эквивалентными. Следовательно, каждое суждение в A эквивалентно суждению в E, и поэтому «утверждает».

Следовательно, наш второй мыслимый взгляд заключается в том, что «E и A утверждают, а I — нет».

Этот взгляд, по-видимому, не содержит никакого необходимого противоречия ни с самим собой, ни с общепринятыми фактами логики. Однако, когда мы пытаемся проверить его применительно к реальным фактам жизни, мы обнаружим, я полагаю, что он настолько плохо с ними согласуется, что его принятие было бы, мягко говоря, крайне неудобным для обычных людей.

Позвольте мне записать небольшой диалог, который я только что провел со своим другом Джонсом, пытающимся создать новый клуб, который должен регулироваться строго логическими принципами.

Автор. «Ну что, Джонс! Ты уже открыл свой новый клуб?»

Джонс (потирая руки). «Тебе будет приятно узнать, что некоторые из членов (заметь, я говорю только “некоторые”) — миллионеры! Купаются в золоте, мой мальчик!»

Автор. «Звучит неплохо. А сколько членов уже вступило?»

Джонс (тараща глаза). «Ни одного. Мы еще не начали. С чего ты взял, что начали?»

Автор. «Ну, я думал, ты сказал, что некоторые из членов...»

Джонс (презрительно). «Ты, кажется, не осознаешь, что мы работаем по строго логическим принципам. Частное суждение не утверждает существование своего субъекта. Я просто хотел сказать, что мы приняли правило не принимать никаких членов, пока у нас не будет по крайней мере трех кандидатов, чей доход превышает десять тысяч в год!»

Автор. «О, вот что ты имел в виду, да? Давай послушаем еще о твоих правилах».

Джонс. «Еще одно правило: никто из тех, кто был семь раз судим за подделку документов, не принимается».

Автор. «И здесь, опять же, я полагаю, ты не хочешь утверждать, что существуют такие осужденные?»

Джонс. «Почему же, именно это я и хочу утверждать! Разве ты не знаешь, что общеотрицательное суждение утверждает существование своего субъекта? Конечно, мы не приняли бы это правило, пока не убедились бы, что сейчас живут несколько таких осужденных».

Читатель теперь может сам решить, насколько этот второй мыслимый взгляд согласуется с фактами жизни. Он, я думаю, согласится со мной, что взгляд Джонса на «экзистенциальный импорт» суждений привел бы к некоторым неудобствам.

В-третьих, давайте предположим, что ни I, ни E не «утверждают».

Теперь предположение о том, что два суждения «Некоторые x суть y» и «Ни один x не суть не-y» не «утверждают», необходимо включает в себя предположение, что «Все x суть y» не «утверждает», поскольку было бы абсурдно полагать, что они утверждают в совокупности больше, чем когда они взяты по отдельности.

Следовательно, третий (и последний) из мыслимых взглядов заключается в том, что ни I, ни E, ни A не «утверждают».

Сторонники этого третьего взгляда интерпретировали бы суждение «Некоторые x суть y» как означающее «Если бы существовали какие-либо x, некоторые из них были бы y»; то же самое касается E и A.

Доказуемо, что этот взгляд в отношении A противоречит общепринятым фактам логики.

Давайте возьмем силлогизм Darapti, который повсеместно признан правильным. Его форма такова:

«Все m суть x; Все m суть y. ∴ Некоторые y суть x».

Это они интерпретировали бы следующим образом:—

«Если бы существовали какие-либо m, все они были бы x; Если бы существовали какие-либо m, все они были бы y. ∴ Если бы существовали какие-либо y, некоторые из них были бы x».

То, что этот вывод не следует, было объяснено настолько кратко и ясно г-ном Кейнсом (в его «Формальной логике», 1894 г., стр. 356, 357), что я предпочитаю процитировать его слова:—

«Пусть ни одно суждение не предполагает существования ни своего субъекта, ни своего предиката.

«Возьмем в качестве примера силлогизм в Darapti:—

«Все M суть P, Все M суть S, ∴ Некоторые S суть P».

«Принимая S, M, P соответственно за меньший, средний и больший термины, вывод будет предполагать, что если есть S, то есть некоторое P. Будут ли посылки также предполагать это? Если да, то силлогизм правилен; но иначе нет.

«Вывод предполагает, что если S существует, то P существует; но, в соответствии с посылками, S может существовать, в то время как M и P оба не существуют. Следовательно, в выводе содержится импликация, которая не оправдана посылками».

Это кажется мне совершенно ясным и убедительным. Тем не менее, «для пущей надежности» я могу также представить вышеупомянутый (так называемый) силлогизм в конкретной форме, которая будет понятна даже неискушенному в логике читателю.

Предположим, что была создана школа для мальчиков со следующей системой правил:—

«Все мальчики в первом (высшем) классе должны изучать французский, греческий и латынь. Все во втором классе должны изучать только греческий. Все в третьем классе должны изучать только латынь».

Предположим также, что в третьем и втором классах есть мальчики, но ни один мальчик еще не перешел в первый.

Очевидно, что в школе нет мальчиков, изучающих французский: тем не менее мы знаем из правил, что произошло бы, если бы они были.

Таким образом, данные уполномочивают нас утверждать следующие два суждения:—

«Если бы были мальчики, изучающие французский, все они изучали бы греческий; Если бы были мальчики, изучающие французский, все они изучали бы латынь».

И вывод, согласно «логикам», был бы:

«Если бы были мальчики, изучающие латынь, некоторые из них изучали бы греческий».

Здесь, таким образом, у нас есть две истинные посылки и ложный вывод (поскольку мы знаем, что есть мальчики, изучающие латынь, и что никто из них не изучает греческий). Следовательно, аргумент является неправильным.

Аналогично можно показать, что эта «неэкзистенциальная» интерпретация разрушает правильность Disamis, Datisi, Felapton и Fresison.

Некоторые из «логиков», несомненно, будут готовы ответить: «Но мы не олдричианцы! Почему мы должны нести ответственность за правильность силлогизмов такого устаревшего автора, как Олдрич?»

Очень хорошо. Тогда, для особой пользы этих моих «друзей» (с каким зловещим акцентом иногда используется это имя! «Мне нужно поговорить с тобой наедине, мой юный друг», — говорит мягкий доктор Берч, — «в моей библиотеке завтра в 9 утра. И, пожалуйста, будь пунктуален!»), для их особой пользы, говорю я, я выдвину еще одно обвинение против этой «неэкзистенциальной» интерпретации.

Она фактически делает недействительным обычный процесс «обращения», применяемый к суждению в форме I.

Каждый логик, олдричианец или нет, принимает как установленный факт, что «Некоторые x суть y» может быть законно обращено в «Некоторые y суть x».

Но так ли очевидно, что суждение «Если бы были какие-либо x, некоторые из них были бы y» может быть законно обращено в «Если бы были какие-либо y, некоторые из них были бы x»? Полагаю, что нет.

Пример, который я уже использовал — школа для мальчиков с несуществующим первым классом — прекрасно послужит для иллюстрации этого нового изъяна в теории «логиков».

Предположим, что в этой школе есть еще одно правило, а именно: «В каждом классе в конце семестра староста и второй ученик получают призы».

Это правило полностью уполномочивает нас утверждать (в том смысле, в каком «логики» использовали бы эти слова) «Некоторые мальчики в первом классе получат призы», ибо это просто означает (согласно им) «Если бы были мальчики в первом классе, некоторые из них получили бы призы».

Теперь обращение этого суждения, конечно, есть «Некоторые мальчики, которые получат призы, находятся в первом классе», что означает (согласно «логикам») «Если бы были мальчики, собирающиеся получить призы, некоторые из них были бы в первом классе» (который, как мы знаем, пуст).

Из этой пары обращенных суждений первое, несомненно, истинно: второе, столь же несомненно, ложно.

Всегда грустно видеть, как бэтсмен сбивает свою собственную калитку: сочувствуешь ему как человеку и брату, но как крикетист можешь лишь объявить его «выбывшим!»

Мы видим, таким образом, что среди всех мыслимых взглядов, которые мы здесь рассмотрели, есть только два, которые могут логически поддерживаться, а именно:

I и A «утверждают», но E — нет. E и A «утверждают», но I — нет.

Второй из них, как я показал, влечет за собой большие практические неудобства.

Первый — тот, который принят в этой книге. (См. стр. 19.)

Некоторые дополнительные замечания по этому предмету можно найти в примечании (B) на стр. 196.

§ 3. Использование «не-есть» (или «не-суть») в качестве связки. Что лучше сказать: «Джон не-в-доме» или «Джон есть не-в-доме»? «Некоторые из моих знакомых не-есть-люди-с-которыми-я-хотел-бы-быть-увиденным» или «Некоторые из моих знакомых суть люди-с-которыми-я-не-хотел-бы-быть-увиденным»? Это тот вопрос, который мы должны обсудить.

Это не вопрос логической правоты или неправоты: это просто вопрос вкуса, поскольку обе формы означают в точности одно и то же. И здесь, опять же, «логики», кажется мне, занимают слишком скромную позицию. Когда они наносят последние штрихи к группировке своего суждения, прямо перед тем, как поднимется занавес, и когда связка — всегда довольно суетливый «строгий отец» — спрашивает их: «Должен ли я иметь “не”, или вы прикрепите его к предикату?», они слишком готовы ответить, как хитрый таксист: «Оставьте это вам, сэр!» Результат, кажется, состоит в том, что захватническая связка постоянно получает «не», которое лучше было бы слить с предикатом, и что суждения дифференцируются, хотя их лучше было бы признать в точности схожими. Разве не проще рассматривать «Некоторые люди суть евреи» и «Некоторые люди суть неевреи» как оба утвердительные суждения, вместо того чтобы переводить последнее в «Некоторые люди не-суть евреи» и рассматривать его как отрицательное суждение?

Дело в том, что «логики» каким-то образом приобрели совершенно болезненный страх перед отрицательными атрибутами, который заставляет их закрывать глаза, как испуганных детей, когда они сталкиваются с такими ужасными суждениями, как «Все не-x суть y»; и таким образом они исключают из своей системы многие очень полезные формы силлогизмов.

Под влиянием этого неразумного ужаса они утверждают, что при дихотомии через противоречие отрицательная часть слишком велика, чтобы с ней иметь дело, поэтому лучше рассматривать каждую вещь либо как включенную в положительную часть, либо как исключенную из нее. Я не вижу силы в этом доводе: факты часто говорят об обратном. Как личный вопрос, дорогой читатель, если бы вы сгруппировали своих знакомых в два класса: люди, с которыми вы хотели бы быть увиденными, и люди, с которыми вы не хотели бы быть увиденными, думаете ли вы, что последняя группа была бы намного больше первой?

Для целей символической логики гораздо более удобный план — рассматривать два подразделения, полученные путем дихотомии, на равных основаниях и говорить о любой вещи либо то, что она «есть» в одном, либо что она «есть» в другом, так что я не думаю, что кто-либо из читателей этой книги будет возражать против того, чтобы я принял этот курс.

§ 4. Теория о том, что «две отрицательные посылки ничего не доказывают». Это я считаю еще одним помешательством «логиков», столь же болезненным, как их страх перед отрицательным атрибутом.

Это, пожалуй, лучше всего опровергается методом Instantia Contraria.

Возьмем следующие пары посылок:—

«Никто из моих мальчиков не тщеславен; Никто из моих девочек не жаден».

«Никто из моих мальчиков не умен; Никто, кроме умного мальчика, не мог бы решить эту задачу».

«Никто из моих мальчиков не образован; Некоторые из моих мальчиков не хористы».

(Это последнее суждение в моей системе является утвердительным, поскольку я прочитал бы его «суть не-хористы»; но, имея дело с «логиками», я могу справедливо рассматривать его как отрицательное, поскольку они прочитали бы его «не-суть хористы».)

Если вы, дорогой читатель, заявите после полного рассмотрения этих пар посылок, что вы не можете вывести заключение ни из одной из них — что ж, все, что я могу сказать, это то, что, подобно герцогу в «Терпении», вам «придется довольствоваться нашим сердечным сочувствием»! [См. примечание (C), стр. 196.]

§ 5. Метод диаграмм Эйлера. Диаграммы, по-видимому, сначала использовались только для представления суждений. В известных кругах Эйлера каждый должен был содержать класс, и диаграмма состояла из двух кругов, которые демонстрировали отношения включения и исключения, существующие между двумя классами.

Таким образом, приведенная здесь диаграмма демонстрирует два класса, чьи соответствующие атрибуты суть x и y, как связанные друг с другом таким образом, что следующие суждения все одновременно истинны: «Все x суть y», «Ни один x не суть не-y», «Некоторые x суть y», «Некоторые y суть не-x», «Некоторые не-y суть не-x» и, конечно, обращения последних четырех.

стр. 174

Аналогично, с этой диаграммой истинны следующие суждения: «Все y суть x», «Ни один y не суть не-x», «Некоторые y суть x», «Некоторые x суть не-y», «Некоторые не-x суть не-y» и, конечно, обращения последних четырех.

Аналогично, с этой диаграммой истинны следующие: «Все x суть не-y», «Все y суть не-x», «Ни один x не суть y», «Некоторые x суть не-y», «Некоторые y суть не-x», «Некоторые не-x суть не-y» и обращения последних четырех.

Аналогично, с этой диаграммой истинны следующие: «Некоторые x суть y», «Некоторые x суть не-y», «Некоторые не-x суть y», «Некоторые не-x суть не-y» и, конечно, их четыре обращения.

Заметьте, что все диаграммы Эйлера утверждают «Некоторые не-x суть не-y». По-видимому, ему никогда не приходило в голову, что это иногда может не быть истинным!

Теперь, чтобы представить «Все x суть y», было бы достаточно первой из этих диаграмм. Аналогично, чтобы представить «Ни один x не суть y», было бы достаточно третьей. Но чтобы представить любое частное суждение, потребовалось бы по крайней мере три диаграммы (чтобы включить все возможные случаи), а для «Некоторые не-x суть не-y» — все четыре.

§ 6. Метод диаграмм Венна. Давайте представим «не-x» как «x'».

Метод диаграмм г-на Венна — это большой шаг вперед по сравнению с вышеупомянутым методом.

Он использует последнюю из вышеупомянутых диаграмм для представления любого желаемого отношения между x и y, просто заштриховывая ячейку, известную как пустая, и помещая + в ту, которая известна как занятая.

Таким образом, он представил бы три суждения «Некоторые x суть y», «Ни один x не суть y» и «Все x суть y» следующим образом:—

стр. 175. Будет видно, что из четырех классов, чьи особые наборы атрибутов суть xy, xy', x'y и x'y', только три здесь снабжены замкнутыми ячейками, в то время как четвертому позволено бродить по остальной части бесконечной плоскости!

Это расположение вовлекло бы нас в очень серьезные неприятности, если бы мы когда-либо попытались представить «Ни один x' не суть y'». Г-н Венн однажды (на стр. 281) сталкивается с этой ужасной задачей, но уклоняется от нее в совершенно мастерской манере с помощью простого примечания: «Мы не потрудились заштриховать внешнюю часть этой диаграммы»!

Чтобы представить два суждения (содержащие общий термин) вместе, нужна трехбуквенная диаграмма. Это та, которую использует г-н Венн.

Здесь, опять же, у нас есть только семь замкнутых ячеек для размещения восьми классов, чьи особые наборы атрибутов суть xym, xym', и т.д.

«При четырех терминах в запросе, — говорит г-н Венн, — самая простая и симметричная диаграмма кажется мне той, которая получается путем пересечения четырех эллипсов желаемым образом». Это, однако, обеспечивает только пятнадцать замкнутых ячеек.

Для пяти букв, «самая простая диаграмма, которую я могу предложить, — говорит г-н Венн, — это такая (маленький эллипс в центре следует рассматривать как часть внешней стороны c; т.е. его четыре составные части находятся внутри b и d, но не являются частью c). Должно быть признано, что такую диаграмму не так просто нарисовать, как можно было бы пожелать; но тогда подумайте, какова альтернатива, если кто-то берется иметь дело с пятью терминами и всеми их комбинациями — не что иное, как неприятная задача выписывания или каким-то образом представления перед нами всех 32 вовлеченных комбинаций».

стр. 176. Эта диаграмма дает нам 31 замкнутую ячейку.

Для шести букв г-н Венн предполагает, что мы могли бы использовать две диаграммы, подобные вышеприведенной, одну для f-части, а другую для не-f-части всех остальных комбинаций. «Это, — говорит он, — дало бы желаемые 64 подразделения». Это, однако, дало бы только 62 замкнутые ячейки и одну бесконечную область, которую два класса a'b'c'd'e'f и a'b'c'd'e'f' должны были бы разделить между собой.

Дальше шести букв г-н Венн не идет.

§ 7. Мой метод диаграмм. Мой метод диаграмм напоминает метод г-на Венна тем, что имеет отдельные ячейки, назначенные различным классам, и тем, что отмечает эти ячейки как занятые или как пустые; но он отличается от его метода тем, что назначает замкнутую область для универсума рассуждения, так что класс, который при либеральном правлении г-на Венна бродил по своему желанию по бесконечному пространству, внезапно приходит в ужас, обнаружив себя «запертым, ограниченным, стесненным» в ограниченной ячейке, как и любой другой класс! Также я использую прямолинейные, а не криволинейные фигуры; и я отмечаю занятую ячейку «I» (означающую, что в ней есть по крайней мере одна вещь), а пустую ячейку — «O» (означающую, что в ней нет ни одной вещи).

Для двух букв я использую эту диаграмму, в которой северная половина назначена для «x», южная — для «не-x» (или «x'»), западная — для y, а восточная — для y'. Таким образом, северо-западная ячейка содержит класс xy, северо-восточная — класс xy' и так далее.

Для трех букв я подразделяю эти четыре ячейки, рисуя внутренний квадрат, который я назначаю для m, а внешняя граница назначается для m'. Таким образом, я получаю восемь ячеек, которые необходимы для размещения восьми классов, чьи особые наборы атрибутов суть xym, xym', и т.д.

Эта последняя диаграмма является самой сложной из тех, что я использую в элементарной части моей «Символической логики». Но я могу воспользоваться этой возможностью, чтобы описать более сложные, которые появятся в части II.

стр. 177. Для четырех букв (которые я называю a, b, c, d) я использую эту диаграмму; назначая северную половину для a (и, конечно, остальную часть диаграммы для a'), западную половину для b, горизонтальный прямоугольник для c, а вертикальный прямоугольник для d. Теперь у нас есть 16 ячеек.

Для пяти букв (добавляя e) я подразделяю 16 ячеек предыдущей диаграммы косыми перегородками, назначая все верхние части для e, а все нижние части для e'. Здесь, признаю, мы теряем преимущество того, что класс e находится весь вместе, «в кольцевом ограждении», как и остальные 4 класса. Тем не менее, его очень легко найти; и операция стирания почти так же легка, как стирание любого другого класса. Теперь у нас есть 32 ячейки.

Для шести букв (добавляя h, так как я избегаю букв с хвостиками) я заменяю косые перегородки вертикальными крестами, назначая 4 части, на которые таким образом делится каждая из 16 ячеек, четырем классам eh, eh', e'h, e'h'. Теперь у нас есть 64 ячейки.

стр. 178. Для семи букв (добавляя k) я добавляю к каждому вертикальному кресту маленький внутренний квадрат. Все эти 16 маленьких квадратов назначены для класса k, а все, что вне их, — для класса k'; так что 8 маленьких ячеек (на которые делится каждая из 16 ячеек) соответственно назначены 8 классам ehk, ehk', и т.д. Теперь у нас есть 128 ячеек.

Для восьми букв (добавляя l) я помещаю в каждую из 16 ячеек решетку, которая является уменьшенной копией всей диаграммы; и точно так же, как 16 больших ячеек всей диаграммы назначены 16 классам abcd, abcd', и т.д., так 16 маленьких ячеек каждой решетки назначены 16 классам ehkl, ehkl', и т.д. Таким образом, решетка в северо-западном углу служит для размещения 16 классов abc'd'ehkl, abc'd'eh'kl', и т.д. Эта восьмибуквенная диаграмма (см. следующую страницу) содержит 256 ячеек.

Для девяти букв я помещаю 2 восьмибуквенные диаграммы бок о бок, назначая одну из них для m, а другую для m'. Теперь у нас есть 512 ячеек.

стр. 179

Наконец, для десяти букв я располагаю 4 восьмибуквенные диаграммы, подобные вышеприведенной, в квадрате, назначая их 4 классам mn, mn', m'n, m'n'. Теперь у нас есть 1024 ячейки.

§ 8. Решение силлогизма различными методами. Лучший способ, я думаю, показать различия между этими различными методами решения силлогизмов — это взять конкретный пример и решить его каждым методом по очереди. Давайте возьмем в качестве нашего примера № 29 (см. стр. 102).

«Ни один философ не тщеславен; Некоторые тщеславные люди не суть игроки. ∴ Некоторые люди, которые не суть игроки, не суть философы».

стр. 180. (1) Решение обычным методом.

Эти посылки в том виде, в каком они есть, не дадут заключения, так как они обе отрицательные.

Если с помощью «перестановки» или «обверсии» мы запишем меньшую посылку так:

«Некоторые тщеславные люди суть не-игроки»,

мы можем получить заключение в Fresison, а именно:

«Ни один философ не тщеславен; Некоторые тщеславные люди суть не-игроки. ∴ Некоторые не-игроки не суть философы»

Это может быть доказано сведением к Ferio, таким образом:—

«Ни один тщеславный человек не философ; Некоторые не-игроки суть тщеславны. ∴ Некоторые не-игроки не суть философы».

Правильность Ferio следует непосредственно из аксиомы «De Omni et Nullo».

(2) Символическое представление.

Прежде чем переходить к обсуждению других методов решения, необходимо перевести наш силлогизм в абстрактную форму.