АТЛАНТИЧЕСКИЙ
ЕЖЕМЕСЯЧНИК.
ЖУРНАЛ ЛИТЕРАТУРЫ, ИСКУССТВА И ПОЛИТИКИ.
ТОМ V. — ФЕВРАЛЬ 1860 Г. — № XXVIII.
Примечание корректора: исправлены мелкие опечатки. Сноски перенесены в конец статьи. Для HTML-версии создано оглавление.
Contents
СЧЕТ И ИЗМЕРЕНИЕ. МОЯ ПОСЛЕДНЯЯ ЛЮБОВЬ. ШЕТЛАНДСКАЯ ШАЛЬ. ROBA DI ROMA. ЯНТАРНЫЕ БОГИ. ДРУЗЬЯ ПОЭТА. ВОСПОМИНАНИЯ А. Б., ИЛИ МАТИЛЬДА МАФФИН. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕТКИ О ВИЗИОНЕРЕ. ПЕРЕМИРИЕ В ПИСКАТАКУА. МАРОНЫ ЯМАЙКИ. ИСТОРИЯ ПРОФЕССОРА. МЕКСИКА. ОБЗОРЫ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ ЗАМЕТКИ. НЕДАВНИЕ АМЕРИКАНСКИЕ ПУБЛИКАЦИИ
СЧЕТ И ИЗМЕРЕНИЕ.
Хотя из-за быстроты работы глаза и разума группировка и счет группами кажутся единой операцией, все же, поскольку вещи можно видеть только последовательно, как бы быстро это ни происходило, счет вещей, будь то идеальных или реальных, обязательно происходит по одной. Это первый шаг данного искусства. Второй шаг — группировка. Использование группировки служит для экономии речи при нумерации и письма при записи чисел за счет упражнения памяти. Таким образом, запоминание групп является частью начального образования каждого человека. Пока это искусство не освоено в определенной степени, очень удобно использовать пальцы в качестве представителей тех единиц, из которых состоят группы. Эта практика привела к повсеместному принятию группы, производной от пальцев левой руки. Принятие этой группы стало первым отчетливым шагом к ментальной арифметике. Предыдущие группировки предназначались для частных нумераций; эта же — для нумерации в целом, являясь, по сути, первой числовой базой — пятеричной. По мере того как люди продвигались в использовании чисел, они приняли группу, производную от пальцев обеих рук; таким образом, десять стало базой нумерации.
Запись чисел, как и нумерация, началась с единиц, перешла к пятеркам, затем к десяткам и т. д. Римская система записи состояла из ряда знаков, обозначающих 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т. д. — ряд, очевидно, являющийся результатом счета по пяти пальцам и двум рукам, где обозначаемые числа являются произведениями последовательного умножения на пять и на два попеременно. Римляне придерживались своего способа, и он не полностью вышел из употребления в наши дни, почитаемый за свою древность, восхищающий своей красотой и практикуемый за свою удобство.
Древнегреческий ряд соответствовал римскому, хотя изначально знаки для 50, 500 и 5000 места не имели. В конечном итоге, однако, эти места были заполнены с помощью составных знаков.
Греки отказались от своего древнего способа в пользу алфавитного, который, поскольку он обозначал одной буквой каждое число арифметического ряда от одного до девяти отдельно, а также в сочетании путем умножения с последовательными степенями базы нумерации, был определенным улучшением; однако, поскольку он состоял из знаков, которые из-за их количества было трудно запомнить, а из-за их сходства легко перепутать, он был далек от совершенства.
Несомненно, предпринимались энергичные усилия для устранения этих недостатков, и, по-видимому, в результате этих усилий появился арабский или индийский способ; который, обозначая степени базы позицией, сократил количество знаков до количества членов арифметического ряда, начиная с нуля и заканчивая числом со значением базы минус один.
Особенностью арабского способа, следовательно, по сравнению с греческим, римским или алфавитным, является позиционное значение; значение комбинации в любом из них просто равно сумме ее элементов. В арабском же способе значение последовательных разрядов, считая справа налево, равно последовательным степеням базы, начиная с нулевой степени, каждая цифра в комбинации умножается по значению на степень базы, соответствующую ее месту, и значение целого равно сумме этих произведений.
Арабский способ по праву считается одним из самых счастливых результатов человеческого интеллекта; и хотя он является самым сложным из всех когда-либо применявшихся, его эффективность как арифметического средства снискала ему репутацию великой простоты — репутацию, которая распространяется даже на нынешнюю базу, которая из-за своей тесной и привычной связи со способом принимается за часть самого способа.
Что касается этого впечатления, можно заметить, что качества, присущие способу, не имеют сходства с качествами, присущими базе. Качества нынешнего способа хорошо известны и хорошо приняты. Качества нынешней базы принимаются вместе со способом, но качества, присущие базе, еще предстоит определить. При попытке установить их необходимо будет рассмотреть способы использования нумерации и записи чисел.
Их можно разделить на три категории: научные, механические и коммерческие. Первая ограничена, будучи уделом немногих; вторая общая, будучи привычной для многих; третья универсальна, будучи необходимой для всех. Поэтому коммерческое использование будет определять настоящее исследование.
Коммерция, будучи обменом собственностью, требует определения реального количества, причем в таких пропорциях, которые наиболее легко получаемы и наиболее часто востребованы. Это может быть сделано только путем принятия единицы количества, которая является одновременно реальной и постоянной, а также таких кратных и дольных единиц, которые согласуются с природой вещей и требованиями использования: реальной, потому что собственность, будучи реальной, может быть измерена только реальными мерами; постоянной, потому что определение количества требует стандарта сравнения, который неизменен; удобно пропорциональной, потому что время и труд драгоценны. Если следовать этим правилам, результатом станет система реальных, постоянных и удобных весов, мер и монет. Следовательно, нумерация и запись чисел, наиболее подходящие для коммерции, будут теми, которые лучше всего согласуются с такой системой.
С самых ранних периодов особое внимание уделялось единицам количества, и, в отсутствие более постоянных величин, правители людей предлагали свои собственные тела в качестве мер; отсюда сажень, ярд, шаг, локоть, фут, пядь, ладонь, дюйм, фунт и пинта. Вполне вероятно, что египтяне первыми придали таким мерам постоянную форму государственных стандартов, и что копии их переносились торговлей и иными путями к окружающим народам. Со временем они искажались и должны были быть сверены со своими оригиналами; но для отдаленных народов это было неудобно; более того, правители этих народов имели множество причин предпочесть сверку их со своими собственными телами. Таким образом, они становились дважды искаженными; однако, поскольку они не соблюдались должным образом, люди поступали по своему усмотрению, так что почти каждый торговый город и ярмарка имели свои собственные веса и меры; и поскольку в регулировании монет правительства, подобно людям, поступали по своему усмотрению, так что почти каждая нация имела свою особую валюту, общим результатом было то, что при законах и практиках правителей и управляемых, ни одни из которых не следовали законному курсу, царила полная путаница. Действительно, система весов, мер и монет с постоянным и реальным стандартом, а также соответствующими кратными и дольными единицами, хотя и лелеялась как мечта немногими, никогда еще не была представлена миру в определенной форме; и поскольку в отсутствие такой системы соответствующая система нумерации и записи чисел не может принести никакой реальной пользы, вероятно, что ни та, ни другая никогда не были полностью идеализированы. Напротив, нынешняя база принимается как установленный факт, из разряда законов мидян и персов; настолько, что когда задается великий вопрос, один из главных вопросов века — как привести эту массу путаницы в гармонию? — ответ гласит: необходимо лишь принять один постоянный и реальный стандарт с десятичными кратными и дольными единицами и соответствующей номенклатурой, и дело сделано: ответ, на котором продолжают настаивать, хотя предложение было честно опробовано и ясно доказано как невыполнимое.
С тех пор как началась торговля, купцы, а за них и правительства, время от времени устанавливали кратные и дольные единицы данных стандартов; однако по какой-то причине они редко выбирали число десять в качестве базы. Не является ли тот факт, что она не использовалась чаще, достаточным доказательством того, что это использование не является для нее правильным, учитывая долгое и тесное сочетание десятичной нумерации и записи чисел с количествами, требуемыми в коммерции? То, что это не так, можно показать следующим образом: вещь может быть разделена непосредственно на равные части только путем деления ее сначала на две, затем деления каждой из частей на две и т. д., получая 2, 4, 8, 16 и т. д. равных частей, но десять — никогда. Это происходит из-за того, что удвоение или складывание — единственный прямой способ деления реальных количеств на равные части, а балансировка — ближайший косвенный способ — два факта, которые во многом доказывают, что двоичное деление подходит для весов, мер и монет. Более того, использование, очевидно, требует, чтобы вещи делились на два чаще, чем на любое другое число — факт, по-видимому, обусловленный естественным согласием между людьми и вещами. Таким образом, оказывается, что двоичное деление вещей не только наиболее легко достигается, но и наиболее часто требуется. Действительно, оно в некоторой степени необходимо; и хотя его можно частично отбросить с соразмерным неудобством, его никогда нельзя отбросить полностью, что было доказано опытом. То, что люди частично отбросили его к своему собственному ущербу, достаточно подтверждается. Вспомните ту неоднородную массу беспорядков, на которую уже было указано. Из них наши собственные монеты представляют собой знакомый пример. По причинам, указанным выше, монеты, чтобы быть практичными, должны представлять степени двойки; однако при рассмотрении обнаружится, что из наших двенадцати номиналов монет только половина получена путем двоичного деления, и то не в регулярном ряду. Не дают ли эти шесть номиналов, какими бы нерегулярными они ни были, нашим монетам их основное удобство? Тогда почему мы утверждаем, что наши монеты десятичные? Разве их градации не произведены следующими умножениями: 1 x 5 x 2 x 2-1/2 x 2 x 2 x 2-1/2 x 2 x 2 x 2 и 1 x 3 x 100? Является ли что-либо из этого десятичным? Мы могли бы иметь десятичные монеты, отбросив все, кроме центов, даймов, долларов и орлов; но вопрос не в том, что мы могли бы иметь, а в том, что мы имеем? Конечно, у нас нет десятичных монет. Чисто десятичная система монет была бы невыносимой обузой, потому что она потребовала бы значительно увеличенного количества мелких монет. Это можно проиллюстрировать с помощью древнегреческой системы записи, используя только простые знаки, за исключением второго знака, чтобы сделать ее чисто десятичной. Чтобы выразить 9,99 доллара такой записью, можно использовать только три знака; следовательно, требуется девять повторений каждого, что составляет в общей сложности двадцать семь знаков. Чтобы заплатить это десятичными монетами, требуется такое же количество штук. Включая второй греческий знак, требуется двадцать три знака; включая также составные знаки — только пятнадцать. В римской записи без вычитания — пятнадцать; с вычитанием — девять. В алфавитной записи — три знака без повторения. В арабской — один знак, повторенный трижды. В федеральных монетах — девять штук, одна из которых является повторением. В дуальных монетах — шесть штук без повторения, с остатком.
При градации реальных весов, мер и монет важно принять те номиналы, которые наиболее удобны, которые требуют наименьших затрат капитала, времени и труда и которые наименее вероятно перепутать друг с другом. Какова же наиболее удобная градация? База два дает ряд из семи весов, которые можно использовать: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 фунта. С их помощью можно взвесить любой вес от одного до ста двадцати семи фунтов. Это, пожалуй, наименьшее количество весов или монет, с помощью которых можно взвесить или оплатить эти различные количества фунтов или долларов. С тем же количеством весов, представляющих арифметический ряд от одного до семи, можно взвесить только от одного до двадцати восьми фунтов; и хотя можно использовать более расширенный ряд, это только добавит неудобств; более того, из-за сходства размеров такие веса будут легко перепутаны. База десять дает только два веса, которые можно использовать. База три дает ряд весов 1, 3, 9, 27 и т. д., который обещает большое удобство; но поскольку можно использовать только четыре, так как пятый слишком тяжел для обращения, и поскольку их использование требует вычитания, а также сложения, они не обладают ни удобством, ни возможностями двоичных весов; более того, необходимость вычитания делает этот ряд особенно непригодным для монет.
Законный вывод из вышесказанного, по-видимому, заключается в том, что совершенно практичная система весов, мер и монет — не только практичная, но также приятная и удобная, поскольку требует наименьшего возможного количества штук, которые нелегко перепутать друг с другом, и поскольку согласуется с естественным делением вещей, а потому коммерчески правильна и позволяет избежать многих дробных вычислений, — это та, и только та система, последовательные номиналы которой представляют последовательные степени двойки.
То, что таким образом можно избежать многих дробных вычислений, очевидно из того факта, что система будет однородной. Таким образом, поскольку двоичная градация обеспечивает одну монету для каждого двоичного деления доллара, вплоть до шестьдесят четвертой части и далее, если необходимо, любое из этих делений может быть оплачено без остатка. Напротив, федеральная градация, хотя и частично двоичная, дает одну монету только для каждого из первых двух делений. Из оставшихся четырех делений одно требует двух монет, а другое — трех, и ни одно из них не может быть оплачено полностью. Таким образом, оказывается, что существуют четыре деления доллара, которые нельзя оплатить федеральными монетами, деления, которые постоянно используются и неизбежны, поскольку являются результатом естественного деления вещей и популярного деления фунта, галлона, ярда, дюйма и т. д., которое выросло из него. Те дроби, которые нельзя оплатить, будучи правильным результатом неоднородной системы, являются постоянным источником ревности и часто вызывают споры, а иногда и ожесточенные ссоры между покупателем и продавцом. Ущерб общественной морали, возникающий по этой причине, подобно разрушительному эффекту постоянного падения воды, хотя и слишком медленен в своем прогрессе, чтобы его можно было отчетливо проследить, не менее верен. Экономическая ценность двоичной градации в совокупности огромна; однако ее моральную ценность не следует упускать из виду, когда требуется полная оценка ее достоинств.
Признавая, что двоичная градация подходит для весов, мер и монет, следует, что должна быть предусмотрена соответствующая база нумерации и записи чисел, как наиболее подходящая для коммерции. Для этой цели сразу же напрашивается число два; но поскольку двоичная нумерация и запись чисел слишком многословны для арифметической практики, становится необходимым выбрать в качестве базы степень двойки, которая обеспечит более емкую запись: степень двойки, потому что никакое другое число не будет согласовываться с двоичной градацией. Едва ли уместно говорить, что была выбрана третья степень, ибо альтернативы не было — вторая степень слишком мала, а четвертая слишком велика. К счастью, третья удивительно подходит для этой цели, сочетая в себе емкость восьмерки с простотой двойки.
Можно спросить, как число, до сих пор почти полностью игнорировавшееся в качестве базы нумерации, внезапно оказалось столь хорошо подходящим для этой цели. Дело в том, что нынешняя база принимается как правильная для нумерации, как бы ошибочно это ни было, и предполагается, что она правильна и для градации; и это очень лестное предположение, обещающее совершенно однородную систему весов, мер, монет и чисел, чего не может быть ничего более желательного; но, подобно сирене, оно уводит разум от надлежащего исследования предмета, и базовые качества чисел, будучи не подвергнутыми сомнению, остаются неизвестными. Когда принимается естественный порядок и база градации устанавливается ее приспособленностью к вещам, а база нумерации — ее согласием с базой градации, тогда, при постановке вопроса о базовых качествах чисел, два оказывается правильным для первого использования, а восемь — для второго.
Идея изменения базы нумерации покажется большинству людей абсурдной, а ее реализация — невозможной; однако вероятно, что это будет сделано. Вопрос скорее во времени, чем в факте, и времени предостаточно. Распространение образования в конечном итоге приведет к тому, что это станет востребованным. Изменение системы записи не является невозможной вещью. Греки изменили свою, сначала на алфавитную, а затем, вместе с остальным цивилизованным миром, на арабскую — оба изменения больше, чем то, что предлагается сейчас. Изменение нумерации — это действительно более серьезный вопрос, но трудность может быть не такой большой, как рисуют наши опасения. Его введение нельзя сравнивать с введением французской градации, которая, будучи теоретически совершенной, практически абсурдна.
Десятичная нумерация выросла из того факта, что у каждого человека десять пальцев на руках, без ссылки на науку, искусство или коммерцию. В конечном итоге ученые люди обнаружили, что она не является лучшей для определенных целей, следовательно, изменение может быть желательным; но поскольку они не были склонны приспосабливаться к популярным практикам, которые они ошибочно рассматривали не как необходимые последствия, а просто как вредные привычки, они предложили базу, ориентированную не столько на коммерцию, сколько на науку. Предложение, однако, так и не было реализовано; действительно, как отмечает Деламбр, попытка французской комиссии была бы тщетной не только по причине, которую он приводит, но и потому, что она не согласуется с естественным делением, а потому не подходит для коммерции; также она не подходит для средних способностей человечества к числам; ибо, хотя некоторые могут быть способны использовать двенадцатеричную нумерацию и запись чисел с легкостью, подавляющее большинство находит себя способными только к десятичной, а некоторые не дотягивают даже до этого, за исключением самого простого использования. Теоретически двенадцать следует предпочесть десяти, потому что оно согласуется по крайней мере с измерением круга, а десять не согласуется ни с чем; кроме того, оно обеспечивает более емкую запись и делится на 6, 4, 3 и 2 без дроби — качества, которые теоретически ценны.