ИСЧИСЛЕНИЕ ЛОГИКИ
By
GEORGE BOOLE
Cambridge and Dublin Mathematical Journal
Vol. III (1848), pp. 183-98
В недавно опубликованной работе [1] я продемонстрировал применение новой и своеобразной формы математики для выражения операций разума в процессе рассуждения. В настоящем эссе я намерен предложить такое изложение части этого трактата, которое могло бы дать верное представление о природе разработанной системы. Я постараюсь четко сформулировать те положения, в которых заключаются ее характерные отличия, и предложу более подробную иллюстрацию некоторых особенностей, которые менее заметно представлены в оригинальной работе (с. 184) [2]. Та часть системы, которой я ограничу свои замечания, касается категорических суждений, и положения, которые я намерен проиллюстрировать в рамках этого ограничения, являются следующими:
(1) Что предметом логики являются отношения классов и способы, которыми разум созерцает эти отношения.
(2) Что до нашего осознания существования суждений существуют законы, которым подчиняется понятие класса, — законы, зависящие от устройства интеллекта и определяющие характер и форму процесса рассуждения.
(3) Что эти законы способны к математическому выражению и что, таким образом, они составляют основу интерпретируемого исчисления.
(4) Что эти законы, кроме того, таковы, что все уравнения, сформированные в соответствии с ними, даже если они выражены через функциональные знаки, допускают полное решение, так что любая задача в логике может быть решена путем обращения к общей теореме.
(5) Что формы, в которых фактически представлены суждения в соответствии с принципами этого исчисления, аналогичны формам философского языка.
(6) Что, хотя символы исчисления не зависят в своей интерпретации от идеи количества, они тем не менее, в своем частном применении к силлогизму, приводят нас к количественным условиям вывода.
Именно два последних положения я здесь желаю проиллюстрировать, поскольку в упомянутой работе они были лишь частично подтверждены примерами. Однако другие пункты также станут предметом попутного обсуждения. Необходимо предварительно ввести следующее обозначение.
Универсум мыслимых объектов представляется через 1 или единицу. Я принимаю это как первичное и предметное понятие. Все подчиненные понятия класса понимаются как сформированные из него путем ограничения согласно следующей схеме.
Предположим, что у нас есть понятие любой группы объектов, состоящей из x, и других, и что x, который мы назовем элективным символом, представляет ментальную операцию выбора из этой группы всех x, которые она содержит, или фиксации внимания на x с исключением всего того, что не является x, ментальную операцию выбора x и так далее; тогда, если 1 или универсум является предметным понятием, мы будем иметь
и так далее.
Таким же образом мы будем иметь
Более того, из рассмотрения природы вовлеченной ментальной операции станет ясно, что выполняются следующие законы.
Обозначая через x, y, z любые элективные символы,
Из первого из них видно, что элективные символы дистрибутивны в своей операции; из второго — что они коммутативны. Третий я назвал индексным законом; он присущ элективным символам.
Истинность этих законов вовсе не зависит от природы, количества или взаимных отношений индивидов, включенных в различные классы. В классе может быть только один индивид, а может быть и тысяча. Могут существовать индивиды, общие для разных классов, или классы могут быть взаимно исключающими. Все элективные символы дистрибутивны и коммутативны, и все элективные символы удовлетворяют закону, выраженному через (3).
Эти законы фактически воплощены в каждом устном или письменном языке. Эквивалентность выражений «хороший мудрый человек» и «мудрый хороший человек» — это не просто трюизм, а утверждение закона коммутации, представленного в (2). И существуют аналогичные иллюстрации других законов.
С этими законами связан общий аксиоматический принцип. Мы видели, что алгебраические операции, выполняемые с элективными символами, представляют ментальные процессы. Таким образом, соединение двух символов знаком + представляет агрегацию двух классов в единый класс, соединение двух символов xy, как при умножении, представляет ментальную операцию выбора из класса x тех членов, которые принадлежат также другому классу y, и так далее. Посредством таких операций понятие класса модифицируется. Но помимо этого разум обладает способностью воспринимать отношения равенства между классами. Упомянутая аксиома, таким образом, заключается в том, что если отношение равенства воспринимается между двумя классами, это отношение остается неизменным, когда оба субъекта одинаково модифицируются описанными выше операциями. (A). Эта аксиома, а не «диктум Аристотеля», является реальным фундаментом всякого рассуждения, при этом форма и характер процесса определяются тремя уже сформулированными законами.
Верно не только то, что каждый элективный символ, представляющий класс, удовлетворяет индексному закону (3), но можно строго доказать, что любая комбинация элективных символов f(x, y...), которая удовлетворяет закону f(x, y...)^n = f(x, y...), представляет собой понятную концепцию — группу или класс, определяемый большим или меньшим числом свойств и состоящий из большего или меньшего числа частей.
Четыре категорических суждения, на которых основано учение об обычном силлогизме, суть
All Ys are Xs. A, No Ys are Xs. E, Some Ys are Xs. I, Some Ys are not Xs. O.
Мы рассмотрим их в отношении классов, между которыми выражается отношение.
A. Выражение «Все x суть y» представляет класс xy и поэтому будет выражено через x = vy, связка «суть» — знаком =, неопределенный термин «некоторые y» эквивалентен «некоторым y». Языковой конвенцией является то, что слово «некоторые» выражается в субъекте, но не в предикате суждения. Термин «некоторые y» будет выражен через vy, где v — элективный символ, соответствующий классу, некоторые члены которого являются y, но который в других отношениях произволен. Таким образом, суждение «Все x суть y» будет выражено уравнением x = vy.
E. В суждении «Никакие x не суть y» отрицательная частица, по-видимому, присоединяется к субъекту вместо предиката, к которому она явно относится [3]. Мы намерены сказать не то, что те вещи, которые не суть x, суть y, а то, что вещи, которые суть x, суть не-y. Теперь класс «не-y» выражается через 1 - y; следовательно, суждение «Никакие x не суть y», или, скорее, «Все x суть не-y», будет выражено через x = v(1 - y).
I. В суждении «Некоторые x суть y», или «Некоторые x суть некоторые y», мы могли бы рассматривать «некоторые» в субъекте и «некоторые» в предикате как относящиеся к одному и тому же произвольному классу v, и так написать vx = vy.
но меньшим допущением будет воздержаться от этого. Таким образом, мы должны написать
vx = v'y, относясь к другому произвольному классу v'.
O. Аналогично, суждение «Некоторые x не суть y» будет выражено уравнением vx = v'(1 - y).
Из вышесказанного будет видно, что формы, в которых четыре категорических суждения A, E, I, O представлены в нотации элективных символов, аналогичны формам чистого языка, т.е. формам, которые приняла бы человеческая речь, если бы ее правила были полностью построены на научной основе. В подавляющем большинстве суждений, которые могут быть осмыслены разумом, законы выражения не были модифицированы употреблением, и аналогия становится более очевидной, например, интерпретация уравнения xy = z
такова: класс z состоит из всех x, которые суть y, и всех x, которые суть не-y.
[1] Математический анализ логики, являющийся эссе к исчислению дедуктивного рассуждения. Кембридж, MacMillan; Лондон, G. Bell.
[2] Математический анализ логики
[3] Существует два способа понимания суждения «Никакие x не суть y». 1-й, в смысле «Все x суть не-y». 2-й, в смысле «Неверно, что какие-либо x суть y», т.е. суждение «Некоторые x суть y». Первое из них является категорическим суждением. Второе — это утверждение относительно суждения, и его выражение относится к отдельной части элективной системы. Мне кажется, что именно последний смысл действительно принимается теми, кто относит отрицание «не» к связке. Относить его к предикату — это не бесполезное уточнение, а необходимый шаг для того, чтобы сделать суждение действительно отношением между классами. Я полагаю, что будет обнаружено, что этот шаг действительно предпринимается в попытках обосновать аристотелевские правила распределения.
Транспозиция отрицания — очень распространенная черта языка. Привычка делает нас почти нечувствительными к ней в нашем собственном языке, но когда в другом языке тот же принцип проявляется иначе, как в греческом, οὺ φημὶ вместо φημὶ οὺ, это требует внимания.
Общие теоремы, относящиеся к элективным функциям.
Мы подошли к этому этапу — мы обладаем классом символов x, y, z и т.д., удовлетворяющих определенным законам и применимых к строгому выражению любого категорического суждения вообще. Нашей следующей задачей будет продемонстрировать несколько общих теорем исчисления, которые покоятся на основе этих законов, и эти теоремы мы впоследствии применим к обсуждению частных примеров.
Из общих теорем я представлю только два набора: те, которые относятся к разложению функций, и те, которые относятся к решению уравнений.
Теоремы разложения.
(1) Если f(x) — любой элективный символ, то f(x) = f(1)x + f(0)(1 - x)
коэффициенты f(1), f(0), которые являются количественными или обычными алгебраическими функциями, называются модулями, а x и 1 - x — конституэнтами.
(2) Для функции двух элективных символов мы имеем f(x, y) = f(1, 1)xy + f(1, 0)x(1 - y) + f(0, 1)(1 - x)y + f(0, 0)(1 - x)(1 - y)
в котором f(1, 1), f(1, 0) и т.д. являются количественными и называются модулями, а xy, x(1 - y) и т.д. — конституэнтами.
(3) Функции трех символов, f(x, y, z) = f(1, 1, 1)xyz + f(1, 1, 0)xy(1 - z) + ... + f(0, 0, 0)(1 - x)(1 - y)(1 - z)
в котором f(1, 1, 1), f(1, 1, 0) и т.д. являются модулями, а xyz, xy(1 - z) и т.д. — конституэнтами.
Из этих примеров очевиден общий закон разложения. И я хочу, чтобы было отмечено, что этот закон является лишь следствием первичных законов, которые были выражены в (1), (2), (3).
ТЕОРЕМА. Если у нас есть любое уравнение f(x, y...) = 0 и мы полностью разложим первый член, то каждый конституэнт, модуль которого не обращается в ноль, может быть приравнен к 0.
Это позволяет нам интерпретировать любое уравнение по общему правилу.
ПРАВИЛО. Перенесите все члены в первую часть, разложите ее по всем вовлеченным в нее элективным символам и приравняйте к 0 каждый конституэнт, модуль которого не обращается в ноль.
Для доказательства этих и многих других результатов я должен отослать к оригинальной работе. Следует отметить, что на с. 66 [4] z было по ошибке подставлено вместо x, и что ссылка на с. 80 [5] должна быть к предложению 2.
В качестве примера возьмем уравнение x + y - 2xy = 0
Здесь f(x, y) = x + y - 2xy, откуда значения модулей суть f(1, 1) = 1 + 1 - 2 = 0, f(1, 0) = 1 + 0 - 0 = 1, f(0, 1) = 0 + 1 - 0 = 1, f(0, 0) = 0 + 0 - 0 = 0
так что разложение (9) дает x(1 - y) + y(1 - x) = 0
что, по сути, является лишь другой формой (11a). Мы имеем тогда, согласно Правилу, x(1 - y) = 0, y(1 - x) = 0
первое подразумевает, что нет таких x, которые суть не-y, второе — что нет таких y, которые суть не-x, вместе они выражают полное значение исходного уравнения.
Мы можем, однако, часто рекомбинировать конституэнты с выигрышем в простоте. В данном случае, вычитая (12) из (11b), мы имеем x - y = 0
или x = y
то есть класс x идентичен классу y. Это суждение эквивалентно двум предыдущим.
Таким образом, все уравнения имеют равное значение, которые при разложении дают одну и ту же серию конституэнтных уравнений, и все они интерпретируемы.
[4] Математический анализ логики
[5] Там же.
Общее решение элективных уравнений.
(1) Общее решение уравнения f(x, y) = 0, в котором задействованы только два элективных символа, причем x — тот, чье значение ищется, есть x = f(0, 1) / (f(0, 1) - f(1, 1)) * y + f(0, 0) / (f(0, 0) - f(1, 0)) * (1 - y)
Коэффициенты f(0, 1) / (f(0, 1) - f(1, 1)) и т.д.
здесь являются модулями.
(2) Общее решение уравнения f(x, y, z) = 0, причем x — символ, значение которого должно быть определено, есть x = f(0, 1, 1) / (f(0, 1, 1) - f(1, 1, 1)) * yz + f(0, 1, 0) / (f(0, 1, 0) - f(1, 1, 0)) * y(1 - z) + ...
коэффициенты которого мы по-прежнему будем называть модулями. Закон их формирования будет легко виден, так что общие теоремы, которые были даны для решения элективных уравнений двух и трех символов, могут рассматриваться как примеры более общей теоремы, применимой ко всем элективным уравнениям вообще. При применении этих результатов следует заметить, что если модуль принимает форму 0/0, он должен быть заменен произвольным элективным символом v, и что если модуль принимает любое числовое значение, кроме 0 или 1, конституэнт, множителем которого он является, должен быть отдельно приравнен к 0. Хотя эти условия выводятся исключительно из законов, которым подчиняются символы, и без какой-либо ссылки на интерпретацию, они тем не менее делают решение каждого уравнения интерпретируемым в логике. К таким формулам также может быть сведен любой вопрос об отношениях классов. Одной или двух очень простых иллюстраций может быть достаточно [6].
(1) Дано x = vy
x, которые суть y, состоят из x, которые суть y, и x, которые суть не-y. Требуется найти класс x.
Здесь f(x, y) = x - vy = 0
и подставляя в (14), мы имеем x = v / (v - 1) * y + 0 / (0 - 1) * (1 - y) = v / (v - 1) * y
Следовательно, класс x включает все x, которые суть y, неопределенное число x, которые суть y, и неопределенное число индивидов, которые не суть ни x, ни y. Классы v и v' будучи совершенно произвольными, неопределенный остаток является таким же; он может исчезнуть или нет [7].
Поскольку 1 - x представляет класс, не-x, и удовлетворяет индексному закону
как это очевидно при проверке, мы можем, если захотим, определить значение этого элемента точно так же, как мы определили бы значение x.
Возьмем, в иллюстрацию этого принципа, уравнение x = vy, (Все x суть y), и найдем значение 1 - x, класса не-x.
Положим 1 - x = x', тогда x = 1 - x', x' = 1 - vy, и если мы запишем это в форме x' - (1 - vy) = 0 и представим первый член через f(x'), здесь принимая x' вместо x, в (14), мы будем иметь
решение примет вид
x' = 1 - v + v' / (1 - v) * (1 - y)
Бесконечный коэффициент второго члена во второй части позволяет нам написать
коэффициент 0/0 заменяется тогда на v'', произвольный элективный символ, мы имеем
1 - x = (1 - v) + v''(1 - y)
Мы можем заметить относительно этого результата, что коэффициент (1 - v) + v''(1 - y) во второй части удовлетворяет условию
как это очевидно при возведении его в квадрат. Следовательно, он представляет класс. Мы можем заменить его элективным символом v''', тогда мы имеем
интерпретация которого есть
Все не-y суть не-x.
Это известное преобразование в логике, называемое обращением через контрапозицию, или отрицательным обращением. Но это далеко не исчерпывает полученное нами решение. Логики упустили тот факт, что когда мы преобразуем суждение «Все x суть (некоторые) y» в «Все не-y суть (некоторые) не-x», существует отношение между двумя (некоторыми), подразумеваемыми в предикатах. Уравнение (18) показывает, что каково бы ни было условие, ограничивающее x в исходном суждении, — не-y в преобразованном суждении состоят из всех, которые подчиняются тому же условию, и произвольного остатка, которые не подчиняются этому условию. Уравнение (17) далее показывает, что нет таких x, которые не подчиняются этому условию.
Мы можем аналогично свести уравнение x = v(1 - y), «Никакие x не суть y», к форме 1 - y = v'(1 - x), «Никакие y не суть x», с подобным отношением между v и v'. Если мы решим уравнение x = vy, «Все x суть y», относительно v, мы получим вспомогательное отношение x(1 - y) = 0, «Никакие x не суть не-y», и аналогично из уравнения x = v(1 - y) (Никакие x не суть y) мы получаем xy = 0. Эти уравнения, которые могут быть получены и другими способами, я использовал в оригинальном трактате. Все уравнения, интерпретации которых связаны, аналогично связаны сами по себе путем решения или разложения.
[6] Автор привел только один пример в этом частном случае.
[7] Этот вывод может быть проиллюстрирован и проверен путем рассмотрения такого примера, как следующий.
Пусть x обозначает все пароходы, или паровые суда, y обозначает все вооруженные суда, z обозначает все суда Средиземного моря.
Уравнение (a) тогда выразило бы, что вооруженные пароходы состоят из вооруженных судов Средиземного моря и паровых судов не Средиземного моря. Из этого следует —
(1) Что в Средиземном море нет вооруженных судов, кроме пароходов.
(2) Что все невооруженные пароходы находятся в Средиземном море (поскольку паровые суда не Средиземного моря вооружены). Отсюда мы заключаем, что суда Средиземного моря состоят из всех невооруженных пароходов; любого числа вооруженных пароходов; и любого числа невооруженных судов без пара. Это, выраженное символически, есть уравнение (15).
О силлогизме.
Формы категорических суждений, уже выведенные, суть
y = vx, All Ys are Xs, y = v(1 - x), No Ys are Xs, vy = v'x, Some Ys are Xs, vy = v'(1 - x), Some Ys are not-Xs,
из которых первые два дают, путем решения, 1 - x = v'(1 - y). «Все не-y суть не-x», x = v(1 - y), «Никакие x не суть y». К вышеприведенной схеме, которая является схемой Аристотеля, мы могли бы присоединить четыре категорических суждения
1 - y = vx, All not-Ys are Xs, 1 - y = v(1 - x), All not-Ys are not-Xs, v(1 - y) = v'x, Some not-Ys are Xs, v(1 - y) = v'(1 - x), Some not-Ys are not-Xs,
первые два из которых аналогично преобразуемы в
1 - x = v'y, All not-Xs are Ys, x = v'y, All Xs are Ys, or No not-Xs are Ys,
Если теперь две посылки любого силлогизма выражены уравнениями вышеуказанных форм, исключение общего символа y приведет нас к уравнению, выражающему заключение.
Ex. 1. All Ys are Xs, y = vx, All Zs are Ys, z = v'y,
исключение y дает
интерпретация которого есть
Все x суть z,
форма коэффициента vv' указывает на то, что предикат заключения ограничен обоими условиями, которые по отдельности ограничивают предикаты посылок.
Ex. 2. All Ys are Xs, y = vx, All Ys are Zs, y = v'z.
исключение y дает
которое интерпретируется как «Некоторые x суть z». Всегда необходимо, чтобы один термин заключения был интерпретируем посредством уравнений посылок. В вышеуказанном случае оба таковы.