«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

Если физический континуум C может быть подразделен разрезом, сводящимся к конечному числу элементов, все различимых друг от друга (и, следовательно, не образующих ни континуума, ни нескольких континуумов), мы скажем, что C есть одномерный континуум.

Если, напротив, C может быть подразделен только разрезами, которые сами являются континуумами, мы скажем, что C имеет несколько измерений. Если достаточно разрезов, являющихся континуумами одного измерения, мы скажем, что C имеет два измерения; если достаточно разрезов двух измерений, мы скажем, что C имеет три измерения, и так далее.

Так определяется понятие физического континуума нескольких измерений, благодаря этому очень простому факту, что две совокупности ощущений различимы или неразличимы.

Математический континуум нескольких измерений. — Отсюда понятие математического континуума n измерений возникло совершенно естественно путем процесса, очень похожего на тот, который мы обсуждали в начале этой главы. Точка такого континуума, как вы знаете, предстает перед нами как определенная системой n различных величин, называемых ее координатами.

Эти величины не всегда должны быть измеримыми; существует, например, ветвь геометрии, независимая от измерения этих величин, в которой речь идет лишь о том, чтобы знать, например, находится ли на кривой ABC точка B между точками A и C, а не о том, равна ли дуга AB дуге BC или в два раза больше. Это то, что называется анализом ситус (топологией).

Это целый свод доктрин, который привлек внимание величайших геометров и где мы видим, как одна из другой вытекают серии замечательных теорем. Что отличает эти теоремы от теорем обычной геометрии, так это то, что они чисто качественные и что они оставались бы верными, если бы фигуры были скопированы рисовальщиком настолько неумелым, что он грубо исказил бы пропорции и заменил прямые линиями, более или менее изогнутыми.

Благодаря желанию ввести затем меру в только что определенный континуум, этот континуум становится пространством, и рождается геометрия. Но обсуждение этого отложено до второй части.

ЧАСТЬ II ПРОСТРАНСТВО

ГЛАВА III

Неевклидовы геометрии

Всякий вывод предполагает предпосылки; эти предпосылки сами по себе либо самоочевидны и не нуждаются в доказательстве, либо могут быть установлены только путем опоры на другие положения, и поскольку мы не можем таким образом уходить в бесконечность, всякая дедуктивная наука, и в частности геометрия, должна покоиться на определенном числе недоказуемых аксиом. Все трактаты по геометрии начинаются, следовательно, с формулировки этих аксиом. Но среди них следует сделать различие: некоторые, например, «вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу», являются не положениями геометрии, а положениями анализа. Я рассматриваю их как аналитические суждения a priori и не буду ими заниматься.

Но я должен сделать акцент на других аксиомах, которые свойственны геометрии. Большинство трактатов формулируют три из них явно:

1º Через две точки можно провести только одну прямую;

2º Прямая линия есть кратчайший путь из одной точки в другую;

3º Через данную точку не проходит более одной параллельной данной прямой.

Хотя доказательство второй из этих аксиом обычно опускается, его можно было бы вывести из двух других и из тех, гораздо более многочисленных, которые неявно допускаются без формулировки, как я объясню далее.

Долгое время тщетно пытались доказать также третью аксиому, известную как постулат Евклида. Какое огромное усилие было потрачено на эту химерическую надежду, поистине невообразимо. Наконец, в первой четверти девятнадцатого века, почти в одно и то же время, венгр и русский, Бойяи и Лобачевский, неопровержимо установили, что это доказательство невозможно; они почти избавили нас от изобретателей геометрий «sans postulatum»; с тех пор Академия наук получает лишь одну или две новые демонстрации в год.

Вопрос не был исчерпан; вскоре он сделал большой шаг вперед с публикацией знаменитого мемуара Римана под названием: «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Эта работа вдохновила большинство недавних трудов, о которых я буду говорить далее и среди которых уместно упомянуть работы Бельтрами и Гельмгольца.

Геометрия Бойяи-Лобачевского. — Если бы можно было вывести постулат Евклида из других аксиом, очевидно, что, отрицая постулат и допуская другие аксиомы, мы пришли бы к противоречивым следствиям; поэтому было бы невозможно построить на таких предпосылках связную геометрию.

Но это именно то, что сделал Лобачевский.

Он предполагает в самом начале, что: «Через данную точку можно провести две параллели к данной прямой».

И он сохраняет, кроме того, все остальные аксиомы Евклида. Из этих гипотез он выводит ряд теорем, среди которых невозможно найти какое-либо противоречие, и он строит геометрию, чья безупречная логика ни в чем не уступает логике евклидовой геометрии.

Теоремы, конечно, сильно отличаются от тех, к которым мы привыкли, и они не могут не быть поначалу немного обескураживающими.

Так, сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых углов, и разность между этой суммой и двумя прямыми углами пропорциональна площади треугольника.

Невозможно построить фигуру, подобную данной фигуре, но других размеров.

Если мы разделим окружность на n равных частей и проведем касательные в точках деления, эти n касательных образуют многоугольник, если радиус окружности достаточно мал; но если этот радиус достаточно велик, они не встретятся.

Бесполезно умножать эти примеры; положения Лобачевского не имеют отношения к положениям Евклида, но они не менее логически связаны одно с другим.

Геометрия Римана. — Вообразите мир, населенный исключительно существами без толщины (высоты); и предположим, что эти «бесконечно плоские» животные находятся все в одной плоскости и не могут выбраться. Допустим, кроме того, что этот мир достаточно удален от других, чтобы быть свободным от их влияния. Пока мы делаем гипотезы, нам ничего не стоит наделить этих существ разумом и поверить, что они способны создать геометрию. В этом случае они, конечно, припишут пространству только два измерения.

Но предположим теперь, что эти воображаемые животные, оставаясь без толщины, имеют форму сферической, а не плоской фигуры и все находятся на одной сфере без возможности сойти с нее. Какую геометрию они построят? Во-первых, ясно, что они припишут пространству только два измерения; то, что будет играть для них роль прямой линии, будет кратчайшим путем из одной точки в другую на сфере, то есть дугой большого круга; одним словом, их геометрия будет сферической геометрией.

То, что они назовут пространством, будет этой сферой, на которой они должны оставаться и на которой происходят все явления, которые они могут знать. Их пространство будет поэтому неограниченным, поскольку на сфере всегда можно двигаться вперед, никогда не будучи остановленным, и все же оно будет конечным; никогда нельзя найти его конца, но можно совершить по нему кругосветное путешествие.

Так вот, геометрия Римана — это сферическая геометрия, распространенная на три измерения. Чтобы построить ее, немецкому математику пришлось выбросить за борт не только постулат Евклида, но и первую аксиому: «Через две точки может пройти только одна прямая».

На сфере через две данные точки мы можем провести в общем случае только один большой круг (который, как мы только что видели, играл бы роль прямой для наших воображаемых существ); но есть исключение: если две данные точки диаметрально противоположны, через них можно провести бесконечное множество больших кругов.

Точно так же в геометрии Римана (по крайней мере, в одной из ее форм) через две точки будет проходить в общем случае только одна прямая; но есть исключительные случаи, когда через две точки может проходить бесконечное множество прямых.

Существует своего рода оппозиция между геометрией Римана и геометрией Лобачевского.

Так, сумма углов треугольника:

Равна двум прямым углам в геометрии Евклида;

Меньше двух прямых углов в геометрии Лобачевского;

Больше двух прямых углов в геометрии Римана.

Число прямых, проходящих через данную точку, которые могут быть проведены в одной плоскости с данной прямой, но нигде не встречающихся с ней, равно:

Одной в геометрии Евклида;

Нулю в геометрии Римана;

Бесконечности в геометрии Лобачевского.

Добавьте, что пространство Римана конечно, хотя и неограниченно, в смысле, данном выше этим двум словам.

Поверхности постоянной кривизны. — Одно возражение все еще оставалось возможным. Теоремы Лобачевского и Римана не содержат противоречий; но как бы многочисленны ни были следствия, которые эти два геометра вывели из своих гипотез, они должны были остановиться, не исчерпав их, поскольку их число было бы бесконечным; кто может сказать тогда, что если бы они продвинули свои дедукции дальше, они не пришли бы в конечном итоге к какому-то противоречию?

Эта трудность не существует для геометрии Римана, при условии, что она ограничена двумя измерениями; в самом деле, как мы видели, двумерная риманова геометрия не отличается от сферической геометрии, которая является лишь ветвью обычной геометрии и, следовательно, находится вне всякого обсуждения.

Бельтрами, соотнеся таким же образом двумерную геометрию Лобачевского с ветвью обычной геометрии, в равной степени опроверг это возражение в той мере, в какой оно касается этого вопроса.

Вот как он это осуществил. Рассмотрим любую фигуру на поверхности. Представим себе эту фигуру, начерченную на гибком и нерастяжимом холсте, приложенном к этой поверхности таким образом, что когда холст перемещается и деформируется, различные линии этой фигуры могут менять свою форму, не меняя своей длины. В общем случае эта гибкая и нерастяжимая фигура не может быть перемещена, не покидая поверхности; но существуют некоторые частные поверхности, для которых такое движение было бы возможно; это поверхности постоянной кривизны.

Если мы возобновим сравнение, сделанное выше, и вообразим существ без толщины, живущих на одной из этих поверхностей, они будут считать возможным движение фигуры, все линии которой остаются постоянными по длине. Напротив, такое движение показалось бы абсурдным животным без толщины, живущим на поверхности переменной кривизны.

Эти поверхности постоянной кривизны бывают двух сортов: некоторые имеют положительную кривизну и могут быть деформированы так, чтобы быть наложенными на сферу. Геометрия этих поверхностей сводится, следовательно, к сферической геометрии, которая является геометрией Римана.

Другие имеют отрицательную кривизну. Бельтрами показал, что геометрия этих поверхностей есть не что иное, как геометрия Лобачевского. Двумерные геометрии Римана и Лобачевского, таким образом, соотнесены с евклидовой геометрией.

Интерпретация неевклидовых геометрий. — Так исчезает возражение в той мере, в какой оно касается двумерных геометрий.

Было бы легко распространить рассуждения Бельтрами на трехмерные геометрии. Умы, которых не отталкивает пространство четырех измерений, не увидят в этом трудности, но их мало. Поэтому я предпочитаю действовать иначе.

Рассмотрим некоторую плоскость, которую я назову фундаментальной плоскостью, и построим своего рода словарь, сопоставив друг с другом двойную серию терминов, написанных в двух колонках, точно так же, как в обычных словарях соответствуют слова двух языков, значение которых одинаково:

Пространство: Часть пространства, расположенная над фундаментальной плоскостью.

Плоскость: Сфера, пересекающая фундаментальную плоскость ортогонально.

Прямая: Окружность, пересекающая фундаментальную плоскость ортогонально.

Сфера: Сфера.

Окружность: Окружность.

Угол: Угол.

Расстояние между двумя точками: Логарифм двойного отношения этих двух точек и пересечений фундаментальной плоскости с окружностью, проходящей через эти две точки и пересекающей ее ортогонально. И т. д., и т. д.

Теперь возьмем теоремы Лобачевского и переведем их с помощью этого словаря, как мы переводим немецкий текст с помощью немецко-английского словаря. Мы получим таким образом теоремы обычной геометрии. Например, та теорема Лобачевского: «сумма углов треугольника меньше двух прямых углов» переводится так: «Если криволинейный треугольник имеет в качестве сторон дуги окружностей, которые при продолжении пересекали бы фундаментальную плоскость ортогонально, сумма углов этого криволинейного треугольника будет меньше двух прямых углов». Таким образом, как бы далеко ни заходили следствия гипотез Лобачевского, они никогда не приведут к противоречию. В самом деле, если бы две теоремы Лобачевского были противоречивы, то же самое было бы и с переводами этих двух теорем, сделанными с помощью нашего словаря, но эти переводы являются теоремами обычной геометрии, и никто не сомневается, что обычная геометрия свободна от противоречий. Откуда берется эта уверенность и оправдана ли она? Это вопрос, который я не могу здесь рассматривать, потому что он потребовал бы пространных рассуждений, но который очень интересен и, я думаю, не является неразрешимым.

Ничего не остается тогда от выше сформулированного возражения. Это еще не все. Геометрия Лобачевского, восприимчивая к конкретной интерпретации, перестает быть праздным логическим упражнением и способна к приложениям; у меня нет времени говорить здесь об этих приложениях, ни о той помощи, которую Клейн и я получили от них для интегрирования линейных дифференциальных уравнений.

Эта интерпретация, кроме того, не является единственной, и можно было бы построить несколько словарей, аналогичных предыдущему, которые позволили бы нам с помощью простого «перевода» преобразовать теоремы Лобачевского в теоремы обычной геометрии.

Неявные аксиомы. — Являются ли аксиомы, явно сформулированные в наших трактатах, единственными основаниями геометрии? Мы можем убедиться в обратном, заметив, что после того, как они последовательно отбрасываются, все еще остаются некоторые положения, общие для теорий Евклида, Лобачевского и Римана. Эти положения должны покоиться на предпосылках, которые геометры допускают без формулировки. Интересно попытаться выделить их из классических доказательств.

Стюарт Милль утверждал, что каждое определение содержит аксиому, потому что, определяя, человек неявно утверждает существование определяемого объекта. Это заходит слишком далеко; редко в математике дается определение без того, чтобы за ним не следовало доказательство существования определяемого объекта, и когда от этого отказываются, то обычно потому, что читатель может легко восполнить его. Не следует забывать, что слово «существование» не имеет того же смысла, когда оно относится к математической сущности, и когда речь идет о материальном объекте. Математическая сущность существует, если ее определение не подразумевает противоречия, ни в самом себе, ни с уже допущенными положениями.

Но если наблюдение Стюарта Милля нельзя применить ко всем определениям, оно тем не менее справедливо для некоторых из них. Плоскость иногда определяется следующим образом:

Плоскость есть поверхность, такая, что прямая, соединяющая любые две ее точки, целиком лежит на этой поверхности.

Это определение явно скрывает новую аксиому; правда, мы могли бы изменить его, и это было бы предпочтительнее, но тогда нам пришлось бы сформулировать аксиому явно.

Другие определения вызвали бы не менее важные размышления.

Таково, например, определение равенства двух фигур; две фигуры равны, когда они могут быть совмещены; чтобы совместить их, одну нужно перемещать до тех пор, пока она не совпадет с другой; но как ее перемещать? Если бы мы спросили об этом, без сомнения, нам ответили бы, что это нужно делать, не меняя формы и как твердое тело. Порочный круг был бы тогда очевиден.

На самом деле это определение ничего не определяет; оно не имело бы смысла для существа, живущего в мире, где были бы только жидкости. Если оно кажется нам ясным, то это потому, что мы привыкли к свойствам естественных твердых тел, которые не сильно отличаются от свойств идеальных твердых тел, все размеры которых неизменны.

Тем не менее, как бы несовершенно оно ни было, это определение подразумевает аксиому.

Возможность движения твердой фигуры не является самоочевидной истиной, или, по крайней мере, она такова лишь в духе постулата Евклида, а не как аналитическое суждение a priori.

Более того, изучая определения и доказательства геометрии, мы видим, что человек обязан признать без доказательства не только возможность этого движения, но и некоторые его свойства, кроме того.

Это сразу видно из определения прямой линии. Было дано много дефектных определений, но истинное — это то, которое подразумевается во всех доказательствах, где входит прямая линия:

«Может случиться, что движение твердой фигуры таково, что все точки линии, принадлежащей этой фигуре, остаются неподвижными, в то время как все точки, расположенные вне этой линии, движутся. Такая линия будет называться прямой линией». Мы намеренно в этой формулировке отделили определение от аксиомы, которую оно подразумевает.

Многие доказательства, такие как доказательства случаев равенства треугольников, возможности опускания перпендикуляра из точки на прямую, предполагают положения, которые не сформулированы, ибо они требуют допущения, что возможно переместить фигуру определенным образом в пространстве.

Четвертая геометрия. — Среди этих неявных аксиом есть одна, которая, как мне кажется, заслуживает некоторого внимания, потому что, когда она отбрасывается, может быть построена четвертая геометрия, столь же связная, как геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Чтобы доказать, что перпендикуляр всегда может быть воздвигнут в точке A к прямой AB, мы рассматриваем прямую AC, подвижную вокруг точки A и первоначально совпадающую с фиксированной прямой AB; и мы заставляем ее вращаться вокруг точки A до тех пор, пока она не придет в продолжение AB.

Таким образом, предполагаются два положения: во-первых, что такое вращение возможно, и, во-вторых, что оно может быть продолжено до тех пор, пока две прямые не придут в продолжение одна другой.

Если первый пункт допущен, а второй отвергнут, мы приходим к ряду теорем, даже более странных, чем теоремы Лобачевского и Римана, но в равной степени свободных от противоречий.

Я приведу только одну из этих теорем, и не самую необычную: «Реальная прямая может быть перпендикулярна самой себе».

Теорема Ли. — Число аксиом, неявно введенных в классические доказательства, больше, чем необходимо, и было бы интересно свести его к минимуму. Можно сначала спросить, возможно ли это сокращение, не являются ли число необходимых аксиом и число вообразимых геометрий бесконечными.

Теорема Софуса Ли доминирует во всем этом обсуждении. Она может быть сформулирована так:

Предположим, что приняты следующие посылки:

1º Пространство имеет n измерений;

2º Движение жесткой фигуры возможно;

3º Для определения положения этой фигуры в пространстве требуется p условий.

Число геометрий, совместимых с этими посылками, будет ограничено.

Я могу даже добавить, что если n задано, то для p можно указать верхний предел.

Следовательно, если допустить возможность движения, то можно изобрести лишь конечное (и даже довольно небольшое) число трехмерных геометрий.

Геометрии Римана. — Однако этот результат, по-видимому, противоречит Риману, ибо этот ученый конструирует бесконечное множество различных геометрий, и та, которой обычно присваивают его имя, является лишь частным случаем.

Все зависит, говорит он, от того, как определяется длина кривой. Существует же бесконечное множество способов определения этой длины, и каждый из них может стать отправной точкой новой геометрии.

Это совершенно верно, но большинство этих определений несовместимы с движением жесткой фигуры, которое в теореме Ли предполагается возможным. Эти геометрии Римана, во многих отношениях столь интересные, поэтому никогда не могли бы быть ничем иным, кроме как чисто аналитическими, и не поддавались бы доказательствам, аналогичным евклидовым.

О природе аксиом. — Большинство математиков рассматривают геометрию Лобачевского лишь как простую логическую диковинку; некоторые из них, однако, пошли дальше. Поскольку возможны несколько геометрий, то достоверно ли, что наша — истинная? Опыт, несомненно, учит нас, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам; но это происходит потому, что треугольники, с которыми мы имеем дело, слишком малы; разность, согласно Лобачевскому, пропорциональна площади треугольника; не станет ли она, быть может, ощутимой, когда мы будем оперировать с большими треугольниками или когда наши измерения станут более точными? Евклидова геометрия была бы, таким образом, лишь временной геометрией.

Чтобы обсудить это мнение, мы должны прежде всего спросить себя, какова природа геометрических аксиом.

Являются ли они синтетическими суждениями a priori, как говорил Кант?

Тогда они навязывались бы нам с такой силой, что мы не могли бы ни помыслить противоположное суждение, ни построить на нем теоретическое здание. Не существовало бы никакой неевклидовой геометрии.

Чтобы убедиться в этом, возьмем подлинно синтетическое суждение a priori, например, следующее, роль которого мы видели в первой главе:

Если теорема верна для числа 1 и если доказано, что она верна для n + 1 при условии, что она верна для n, то она будет верна для всех положительных целых чисел.

Попробуйте затем уйти от этого и, отрицая данное положение, попытайтесь основать ложную арифметику, аналогичную неевклидовой геометрии, — это невозможно; возникло бы даже искушение с первого взгляда рассматривать эти суждения как аналитические.

Более того, возобновляя нашу фикцию о существах без толщины, мы едва ли можем допустить, что эти существа, если их разум подобен нашему, приняли бы евклидову геометрию, которой противоречил бы весь их опыт.

Следует ли нам поэтому заключить, что аксиомы геометрии — это экспериментальные истины? Но мы не экспериментируем с идеальными прямыми или окружностями; это можно делать только с материальными объектами. На чем же тогда могут основываться эксперименты, которые должны служить фундаментом для геометрии? Ответ прост.

Мы видели выше, что мы постоянно рассуждаем так, как если бы геометрические фигуры вели себя как твердые тела. То, что геометрия заимствовала бы из опыта, были бы, следовательно, свойства этих тел. Свойства света и его прямолинейное распространение также дали начало некоторым положениям геометрии, и в частности положениям проективной геометрии, так что с этой точки зрения возникло бы искушение сказать, что метрическая геометрия — это учение о твердых телах, а проективная — учение о свете.

Но остается трудность, и она непреодолима. Если бы геометрия была экспериментальной наукой, она не была бы точной наукой, она подвергалась бы постоянному пересмотру. Более того, она была бы уже сегодня признана ошибочной, поскольку мы знаем, что не существует строго жесткого твердого тела.

Аксиомы геометрии, следовательно, не являются ни синтетическими суждениями a priori, ни экспериментальными фактами.

Они являются соглашениями; наш выбор среди всех возможных соглашений направляется экспериментальными фактами; но он остается свободным и ограничен лишь необходимостью избегать всякого противоречия. Именно поэтому постулаты могут оставаться строго истинными, даже если экспериментальные законы, определившие их принятие, являются лишь приближенными.

Иными словами, аксиомы геометрии (я не говорю об аксиомах арифметики) — это просто замаскированные определения.

Тогда что нам думать о вопросе: истинна ли евклидова геометрия?

Он не имеет смысла.

С таким же успехом можно спросить, истинна ли метрическая система, а старые меры ложны; истинны ли декартовы координаты, а полярные координаты ложны. Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая; она может быть лишь более удобной.

Так вот, евклидова геометрия есть и останется наиболее удобной:

1º Потому что она самая простая; и это так не только вследствие наших умственных привычек или не знаю какой прямой интуиции, которую мы можем иметь относительно евклидова пространства; она самая простая сама по себе, точно так же как многочлен первой степени проще многочлена второй степени; формулы сферической тригонометрии сложнее формул плоской тригонометрии, и они казались бы таковыми даже аналитику, не знающему их геометрического значения.

2º Потому что она достаточно хорошо согласуется со свойствами естественных твердых тел — тех тел, которые наши руки и глаза сравнивают и с помощью которых мы создаем наши измерительные приборы.

ГЛАВА IV

Пространство и геометрия

Начнем с небольшого парадокса.

Существа с разумом, подобным нашему, и обладающие теми же чувствами, что и мы, но без предварительного воспитания, получили бы от подходящим образом выбранного внешнего мира такие впечатления, что они были бы вынуждены построить геометрию, отличную от евклидовой, и локализовать явления этого внешнего мира в неевклидовом пространстве или даже в пространстве четырех измерений.

Что касается нас, чье воспитание было завершено нашим реальным миром, то если бы нас внезапно перенесли в этот новый мир, мы не испытали бы затруднений в отнесении его явлений к нашему евклидову пространству. И наоборот, если бы эти существа были перенесены в нашу среду, они были бы вынуждены соотносить наши явления с неевклидовым пространством.

Более того, приложив небольшое усилие, мы могли бы сделать то же самое. Человек, который посвятил бы этому свою жизнь, мог бы, возможно, достичь осознания четвертого измерения.

Геометрическое пространство и перцептуальное пространство. — Часто говорят, что образы внешних объектов локализованы в пространстве, даже что они не могут быть сформированы иначе, как при этом условии. Также говорят, что это пространство, которое служит таким образом готовой рамкой для наших ощущений и наших представлений, идентично пространству геометров, свойствами которого оно обладает в полной мере.

Для всех здравомыслящих людей, которые думают так, предыдущее утверждение должно было показаться совершенно необычайным. Но давайте посмотрим, не подвержены ли они иллюзии, которую рассеял бы более глубокий анализ.

Каковы, прежде всего, свойства пространства в собственном смысле слова? Я имею в виду того пространства, которое является объектом геометрии и которое я буду называть геометрическим пространством.

Ниже приведены некоторые из наиболее существенных:

1º Оно непрерывно;

2º Оно бесконечно;

3º Оно имеет три измерения;

4º Оно однородно, то есть все его точки идентичны одна другой;

5º Оно изотропно, то есть все прямые, проходящие через одну и ту же точку, идентичны одна другой.

Сравните его теперь с рамкой наших представлений и наших ощущений, которую я могу назвать перцептуальным пространством.

Визуальное пространство. — Рассмотрим сначала чисто визуальное впечатление, обусловленное образом, сформированным на дне сетчатки.

Беглый анализ показывает нам этот образ как непрерывный, но обладающий лишь двумя измерениями; это уже отличает от геометрического пространства то, что мы можем назвать чистым визуальным пространством.

К тому же этот образ заключен в ограниченную рамку.

Наконец, есть еще одно различие, не менее важное: это чистое визуальное пространство не является однородным. Все точки сетчатки, помимо образов, которые могут там формироваться, не играют одной и той же роли. Желтое пятно никоим образом не может считаться идентичным точке на краю сетчатки. В самом деле, не только тот же объект производит там гораздо более яркие впечатления, но и в любой ограниченной рамке точка, занимающая центр рамки, никогда не будет казаться эквивалентной точке вблизи одного из краев.

Несомненно, более глубокий анализ показал бы нам, что эта непрерывность визуального пространства и его два измерения — лишь иллюзия; это отделило бы его, следовательно, еще больше от геометрического пространства, но мы не будем останавливаться на этом замечании.

Зрение, однако, позволяет нам судить о расстояниях и, следовательно, воспринимать третье измерение. Но каждый знает, что это восприятие третьего измерения сводится к ощущению усилия аккомодации, которое необходимо предпринять, и к ощущению конвергенции, которую необходимо придать обоим глазам, чтобы воспринимать объект отчетливо.

Это мышечные ощущения, совершенно отличные от визуальных ощущений, которые дали нам понятие о первых двух измерениях. Третье измерение, следовательно, не будет казаться нам играющим ту же роль, что и другие два. То, что можно назвать полным визуальным пространством, поэтому не является изотропным пространством.

Оно имеет, это правда, ровно три измерения, что означает, что элементы наших визуальных ощущений (по крайней мере те, которые объединяются для формирования понятия протяженности) будут полностью определены, когда известны три из них; говоря языком математики, они будут функциями трех независимых переменных.

Но рассмотрим дело немного пристальнее. Третье измерение открывается нам двумя различными способами: усилием аккомодации и конвергенцией глаз.

Несомненно, эти два показания всегда согласованы, между ними существует постоянная связь, или, математическими терминами, две переменные, которые измеряют эти два мышечных ощущения, не кажутся нам независимыми; или опять же, чтобы избежать обращения к математическим понятиям, уже довольно утонченным, мы можем вернуться к языку предыдущей главы и сформулировать тот же факт следующим образом: если два ощущения конвергенции, A и B, неразличимы, то два ощущения аккомодации, A' и B', которые соответственно сопровождают их, будут столь же неразличимы.

Но здесь мы имеем, так сказать, экспериментальный факт; a priori ничто не мешает нам предположить обратное, и если обратное имеет место, если эти два мышечных ощущения изменяются независимо друг от друга, нам придется принять во внимание еще одну независимую переменную, и «полное визуальное пространство» предстанет перед нами как физический континуум четырех измерений.

Мы имеем здесь даже, я добавлю, факт внешнего опыта. Ничто не мешает нам предположить, что существо с разумом, подобным нашему, имеющее те же органы чувств, что и мы, может быть помещено в мир, где свет достигал бы его, только пройдя через отражающие среды сложной формы. Два показания, которые служат нам для суждения о расстояниях, перестали бы быть связанными постоянной связью. Существо, которое достигло бы в таком мире воспитания своих чувств, несомненно, приписало бы полному визуальному пространству четыре измерения.

Тактильное пространство и моторное пространство. — «Тактильное пространство» еще сложнее, чем визуальное, и дальше отстоит от геометрического пространства. Излишне повторять для осязания обсуждение, которое я привел для зрения.

Но помимо данных зрения и осязания, существуют другие ощущения, которые способствуют столько же и даже больше, чем они, генезису понятия пространства. Они известны каждому; они сопровождают все наши движения и обычно называются мышечными ощущениями.

Соответствующая рамка составляет то, что можно назвать моторным пространством.

Каждая мышца порождает особое ощущение, способное усиливаться или уменьшаться, так что совокупность наших мышечных ощущений будет зависеть от стольких переменных, сколько у нас мышц. С этой точки зрения моторное пространство имело бы столько измерений, сколько у нас мышц.

Я знаю, скажут, что если мышечные ощущения способствуют формированию понятия пространства, то это потому, что у нас есть чувство направления каждого движения и оно составляет неотъемлемую часть ощущения. Если бы это было так, если бы мышечное ощущение не могло возникнуть иначе, как в сопровождении этого геометрического чувства направления, геометрическое пространство действительно было бы формой, навязанной нашей чувственности.

Но я не воспринимаю ничего подобного, когда анализирую свои ощущения.

Что я действительно вижу, так это то, что ощущения, соответствующие движениям в одном и том же направлении, связаны в моем разуме простой ассоциацией идей. Именно к этой ассоциации сводится то, что мы называем «чувством направления». Это чувство, следовательно, не может быть найдено в одном-единственном ощущении.

Эта ассоциация чрезвычайно сложна, ибо сокращение одной и той же мышцы может соответствовать, в зависимости от положения конечностей, движениям самого разного направления.

К тому же она, очевидно, приобретенная; она, как и все ассоциации идей, является результатом привычки; эта привычка сама по себе является результатом весьма многочисленных опытов; без всякого сомнения, если бы воспитание наших чувств было завершено в иной среде, где мы были бы подвержены иным впечатлениям, возникли бы противоположные привычки и наши мышечные ощущения ассоциировались бы по другим законам.

Характеристики перцептуального пространства. — Таким образом, перцептуальное пространство в своей тройной форме — визуальной, тактильной и моторной — существенно отличается от геометрического пространства.

Оно не является ни однородным, ни изотропным; нельзя даже сказать, что оно имеет три измерения.

Часто говорят, что мы «проецируем» в геометрическое пространство объекты нашего внешнего восприятия; что мы их «локализуем».

Имеет ли это смысл, и если да, то какой?

Означает ли это, что мы представляем себе внешние объекты в геометрическом пространстве?

Наши представления — лишь воспроизведение наших ощущений; они могут, следовательно, быть размещены только в той же рамке, что и эти последние, то есть в перцептуальном пространстве.

Нам так же невозможно представить себе внешние тела в геометрическом пространстве, как художнику — нарисовать на плоском холсте объекты с их тремя измерениями.

Перцептуальное пространство — лишь образ геометрического пространства, образ, измененный по форме своего рода перспективой, и мы можем представлять себе объекты, только подчиняя их законам этой перспективы.

Поэтому мы не представляем себе внешние тела в геометрическом пространстве, но мы рассуждаем об этих телах так, как если бы они были расположены в геометрическом пространстве.

Когда говорят, что мы «локализуем» такой-то объект в такой-то точке пространства, что это значит?

Это просто означает, что мы представляем себе движения, которые необходимо было бы совершить, чтобы достичь этого объекта; и нельзя сказать, что для того, чтобы представить себе эти движения, необходимо проецировать сами движения в пространство и что понятие пространства должно, следовательно, существовать заранее.

Когда я говорю, что мы представляем себе эти движения, я имею в виду лишь то, что мы представляем себе мышечные ощущения, которые сопровождают их и которые не имеют никакого геометрического характера, которые, следовательно, вовсе не предполагают предсуществования понятия пространства.

Изменение состояния и изменение положения. — Но, скажут, если идея геометрического пространства не навязана нашему разуму и если, с другой стороны, ни одно из наших ощущений не может его предоставить, как она могла возникнуть?

Это то, что мы теперь должны исследовать, и это займет некоторое время, но я могу в нескольких словах резюмировать попытку объяснения, которую я собираюсь развить.

Ни одно из наших ощущений, взятое изолированно, не могло привести нас к идее пространства; мы приходим к ней, лишь изучая законы, согласно которым эти ощущения сменяют друг друга.

Мы видим сначала, что наши впечатления подвержены изменениям; но среди изменений, которые мы констатируем, мы вскоре приходим к необходимости провести различие.

В одно время мы говорим, что объекты, вызывающие эти впечатления, изменили состояние, в другое время — что они изменили положение, что они были лишь перемещены.

Меняет ли объект свое состояние или только свое положение, это всегда переводится для нас одинаковым образом: модификацией в совокупности впечатлений.

Как же тогда мы могли прийти к различению между ними? Это легко объяснить. Если произошло только изменение положения, мы можем восстановить первоначальную совокупность впечатлений, совершив движения, которые возвращают нас в положение напротив подвижного объекта в той же относительной ситуации. Мы таким образом исправляем произошедшую модификацию и восстанавливаем исходное состояние обратной модификацией.

Если речь идет о зрении, например, и если объект меняет свое место перед нашим глазом, мы можем «следить за ним глазом» и поддерживать его образ в одной и той же точке сетчатки соответствующими движениями глазного яблока.

Эти движения мы осознаем, потому что они произвольны и потому что они сопровождаются мышечными ощущениями, но это не значит, что мы представляем их себе в геометрическом пространстве.

Так что то, что характеризует изменение положения, что отличает его от изменения состояния, — это то, что оно всегда может быть исправлено таким образом.

Может, следовательно, случиться, что мы переходим от совокупности впечатлений A к совокупности B двумя различными способами:

1º Непроизвольно и не испытывая мышечных ощущений; это происходит, когда именно объект меняет место;

2º Произвольно и с мышечными ощущениями; это происходит, когда объект неподвижен, но мы движемся так, что объект совершает относительное движение по отношению к нам.

Если это так, то переход от совокупности A к совокупности B — это лишь изменение положения.

Из этого следует, что зрение и осязание не могли дать нам понятие пространства без помощи «мышечного чувства».

Не только это понятие не могло быть выведено из одного ощущения или даже из серии ощущений, но, более того, неподвижное существо никогда не могло бы его приобрести, поскольку, будучи не в состоянии исправить своими движениями последствия изменений положения внешних объектов, оно не имело бы никаких оснований отличать их от изменений состояния. Столь же мало оно могло бы приобрести его, если бы его движения не были произвольными или не сопровождались никакими ощущениями.

Условия компенсации. — Как возможна подобная компенсация, такая, что два изменения, в остальном независимые друг от друга, взаимно исправляют друг друга?

Разум, уже знакомый с геометрией, рассуждал бы следующим образом: Очевидно, если должна произойти компенсация, то различные части внешнего объекта, с одной стороны, и различные органы чувств, с другой стороны, должны находиться в одном и том же относительном положении после двойного изменения. И для того чтобы это было так, различные части внешнего объекта должны точно так же сохранить по отношению друг к другу то же относительное положение, и то же самое должно быть верно для различных частей нашего тела по отношению друг к другу.

Иными словами, внешний объект в первом изменении должен быть перемещен как жесткое твердое тело, и то же самое должно быть с целым нашего тела во втором изменении, которое исправляет первое.

При этих условиях компенсация может иметь место.

Но мы, которые пока ничего не знаем о геометрии, поскольку для нас понятие пространства еще не сформировано, мы не можем рассуждать так, мы не можем предвидеть a priori, возможна ли компенсация. Но опыт учит нас, что это иногда случается, и именно с этого экспериментального факта мы начинаем отличать изменения состояния от изменений положения.

Твердые тела и геометрия. — Среди окружающих объектов есть такие, которые часто подвергаются перемещениям, поддающимся исправлению таким образом с помощью коррелятивного движения нашего собственного тела; это твердые тела. Другие объекты, форма которых изменчива, лишь в исключительных случаях подвергаются подобным перемещениям (изменение положения без изменения формы). Когда тело меняет свое место и свою форму, мы больше не можем соответствующими движениями вернуть наши органы чувств в ту же относительную ситуацию по отношению к этому телу; следовательно, мы больше не можем восстановить первоначальную совокупность впечатлений.

Только позже, и как следствие новых опытов, мы учимся разлагать тела переменной формы на более мелкие элементы, такие, что каждый из них перемещается почти в соответствии с теми же законами, что и твердые тела. Таким образом, мы отличаем «деформации» от других изменений состояния; в этих деформациях каждый элемент претерпевает лишь изменение положения, которое может быть исправлено, но модификация, претерпеваемая совокупностью, более глубока и больше не поддается исправлению коррелятивным движением.

Такое понятие уже очень сложно и должно было появиться относительно поздно; более того, оно не могло бы возникнуть, если бы наблюдение твердых тел уже не научило нас отличать изменения положения.

Поэтому, если бы в природе не было твердых тел, не было бы и геометрии.

Другое замечание также заслуживает внимания. Предположим, твердое тело последовательно занимает положения α и β; в своем первом положении оно произведет на нас совокупность впечатлений A, а во втором положении — совокупность впечатлений B. Пусть теперь имеется второе твердое тело, обладающее качествами, совершенно отличными от первого, например, другим цветом. Предположим, оно переходит из положения α, где оно дает нам совокупность впечатлений A', в положение β, где оно дает совокупность впечатлений B'.

В общем случае совокупность A не будет иметь ничего общего с совокупностью A', ни совокупность B с совокупностью B'. Переход от совокупности A к совокупности B и переход от совокупности A' к совокупности B' являются, следовательно, двумя изменениями, которые сами по себе в общем случае не имеют ничего общего.

И все же мы рассматриваем эти два изменения как перемещения и, более того, мы считаем их одним и тем же перемещением. Как это может быть?

Это просто потому, что они оба могут быть исправлены одним и тем же коррелятивным движением нашего тела.

«Коррелятивное движение», следовательно, составляет единственную связь между двумя явлениями, которые в противном случае мы никогда не мечтали бы уподоблять.

С другой стороны, наше тело, благодаря количеству своих сочленений и мышц, может совершать множество различных движений; но не все они способны «исправлять» модификацию внешних объектов; только те будут способны на это, в которых все наше тело, или по крайней мере все те наши органы чувств, которые вступают в игру, перемещаются как целое, то есть без изменения их относительных положений, или на манер твердого тела.

Резюмируем:

1º Мы приходим сначала к различению двух категорий явлений:

Одни, непроизвольные, не сопровождающиеся мышечными ощущениями, приписываются нами внешним объектам; это внешние изменения;

Другие, противоположные по характеру и приписываемые нами движениям нашего собственного тела, — это внутренние изменения;

2º Мы замечаем, что некоторые изменения каждой из этих категорий могут быть исправлены коррелятивным изменением другой категории;

3º Мы отличаем среди внешних изменений те, которые имеют таким образом коррелят в другой категории; их мы называем перемещениями; и точно так же среди внутренних изменений мы отличаем те, которые имеют коррелят в первой категории.

Так определяются, благодаря этой взаимности, особый класс явлений, которые мы называем перемещениями.

Законы этих явлений составляют объект геометрии.

Закон однородности. — Первый из этих законов — закон однородности.

Предположим, что внешним изменением α мы переходим от совокупности впечатлений A к совокупности B, затем что это изменение α исправляется коррелятивным произвольным движением β, так что мы возвращаемся к совокупности A.

Предположим теперь, что другое внешнее изменение α' заставляет нас снова перейти от совокупности A к совокупности B.

Опыт учит нас, что это изменение α' подобно α, поддается исправлению коррелятивным произвольным движением β' и что это движение β' соответствует тем же мышечным ощущениям, что и движение β, которое исправляло α.

Этот факт обычно формулируется словами, что пространство однородно и изотропно.

Можно также сказать, что движение, которое однажды было произведено, может быть повторено второй и третий раз, и так далее, без изменения его свойств.

В первой главе, где мы обсуждали природу математического рассуждения, мы видели важность, которую следует придавать возможности бесконечно повторять одну и ту же операцию.

Именно из этого повторения математическое рассуждение черпает свою силу; именно поэтому, благодаря закону однородности, оно имеет власть над геометрическими фактами.

Для полноты к закону однородности следует добавить множество других аналогичных законов, в детали которых я не хочу вдаваться, но которые математики суммируют одним словом, говоря, что перемещения образуют «группу».

Неевклидов мир. — Если бы геометрическое пространство было рамкой, навязанной каждому из наших представлений, рассматриваемому индивидуально, было бы невозможно представить себе образ, лишенный этой рамки, и мы не могли бы изменить ничего в нашей геометрии.

Но это не так; геометрия — лишь резюме законов, согласно которым эти образы сменяют друг друга. Ничто тогда не мешает нам вообразить серию представлений, подобных во всех точках нашим обычным представлениям, но сменяющих друг друга согласно законам, отличным от тех, к которым мы привыкли.

Мы можем представить себе тогда, что существа, получившие свое воспитание в среде, где эти законы были таким образом нарушены, могли бы иметь геометрию, весьма отличную от нашей.

Предположим, например, мир, заключенный в большую сферу и подчиненный следующим законам:

Температура не является равномерной; она наиболее высока в центре и уменьшается пропорционально расстоянию от центра, опускаясь до абсолютного нуля, когда достигается сфера, в которую заключен этот мир.

Чтобы уточнить еще более точно закон, согласно которому эта температура изменяется: пусть R — радиус ограничивающей сферы; пусть r — расстояние рассматриваемой точки от центра этой сферы. Абсолютная температура будет пропорциональна R² − r².

Я далее предположу, что в этом мире все тела имеют один и тот же коэффициент расширения, так что длина любой линейки пропорциональна ее абсолютной температуре.

Наконец, я предположу, что тело, перенесенное из одной точки в другую с другой температурой, немедленно приходит в тепловое равновесие со своей новой средой.

Ничто в этих гипотезах не является противоречивым или невообразимым.

Подвижный объект будет тогда становиться все меньше и меньше по мере приближения к предельной сфере.

Заметим прежде всего, что, хотя этот мир ограничен с точки зрения нашей обычной геометрии, он будет казаться бесконечным своим обитателям.

В самом деле, когда они пытаются приблизиться к предельной сфере, они остывают и становятся все меньше и меньше. Поэтому шаги, которые они делают, также становятся все меньше и меньше, так что они никогда не могут достичь предельной сферы.

Если для нас геометрия — лишь изучение законов, согласно которым движутся жесткие твердые тела, то для этих воображаемых существ это будет изучение законов движения твердых тел, искаженных различиями температуры, о которых только что говорилось.

Несомненно, в нашем мире естественные твердые тела также претерпевают изменения формы и объема вследствие нагревания или охлаждения. Но мы пренебрегаем этими изменениями при закладке основ геометрии, потому что, помимо того, что они очень незначительны, они нерегулярны и, следовательно, кажутся нам случайными.

В нашем гипотетическом мире это было бы уже не так, и эти изменения следовали бы регулярным и очень простым законам.

Более того, различные твердые части, из которых состояли бы тела его обитателей, претерпевали бы те же изменения формы и объема.

Я сделаю еще одну гипотезу; я предположу, что свет проходит через среды с различным преломлением и такие, что показатель преломления обратно пропорционален R² − r² . Легко видеть, что при этих условиях лучи света были бы не прямолинейными, а круговыми.

Чтобы оправдать то, что предшествует, мне остается показать, что некоторые изменения в положении внешних объектов могут быть исправлены коррелятивными движениями разумных существ, населяющих этот воображаемый мир, и таким образом, чтобы восстановить первоначальную совокупность впечатлений, испытываемых этими разумными существами.

Предположим на самом деле, что объект перемещается, претерпевая деформацию, не как жесткое твердое тело, а как твердое тело, подверженное неравномерным расширениям в точном соответствии с законом температуры, предположенным выше. Позвольте мне для краткости назвать такое движение неевклидовым перемещением.

Если разумное существо окажется поблизости, его впечатления будут модифицированы перемещением объекта, но он может восстановить их, двигаясь подходящим образом. Достаточно, если в конечном итоге совокупность объекта и разумного существа, рассматриваемая как образующая единое тело, претерпела одно из тех частных перемещений, которые я только что назвал неевклидовыми. Это возможно, если предположить, что конечности этих существ расширяются согласно тому же закону, что и другие тела мира, который они населяют.

Хотя с точки зрения нашей обычной геометрии при этом перемещении происходит деформация тел и их различные части больше не находятся в том же относительном положении, тем не менее мы увидим, что впечатления разумного существа снова стали теми же самыми.

В самом деле, хотя взаимные расстояния различных частей могли измениться, части, первоначально находившиеся в контакте, снова находятся в контакте. Следовательно, тактильные впечатления не изменились.

С другой стороны, принимая во внимание гипотезу, сделанную выше относительно преломления и кривизны лучей света, визуальные впечатления также останутся теми же самыми.

Эти воображаемые существа будут, следовательно, подобно нам, вынуждены классифицировать явления, свидетелями которых они являются, и отличать среди них «изменения положения», поддающиеся исправлению коррелятивным произвольным движением.

Если они построят геометрию, это будет не, как наша, изучение движений наших жестких твердых тел; это будет изучение изменений положения, которые они таким образом отличат и которые суть не что иное, как «неевклидовы перемещения»; это будет неевклидова геометрия.

Таким образом, существа, подобные нам, воспитанные в таком мире, не имели бы той же геометрии, что и наша.

Мир четырех измерений. — Мы можем представить себе четырехмерный мир так же хорошо, как и неевклидов.

Чувство зрения, даже с одним глазом, вместе с мышечными ощущениями, относящимися к движениям глазного яблока, было бы достаточным, чтобы научить нас пространству трех измерений.

Образы внешних объектов рисуются на сетчатке, которая является двумерным холстом; они — перспективы.

Но, поскольку глаз и объекты подвижны, мы видим последовательно различные перспективы одного и того же тела, взятые с разных точек зрения.

В то же время мы обнаруживаем, что переход от одной перспективы к другой часто сопровождается мышечными ощущениями.

Если переход от перспективы A к перспективе B и переход от перспективы A' к перспективе B' сопровождаются одними и теми же мышечными ощущениями, мы уподобляем их друг другу как операции той же природы.

Изучая затем законы, согласно которым эти операции комбинируются, мы признаем, что они образуют группу, которая имеет ту же структуру, что и группа движений жестких твердых тел.

Теперь мы видели, что именно из свойств этой группы мы вывели понятие геометрического пространства и понятие трех измерений.

Мы понимаем таким образом, как идея пространства трех измерений могла родиться из зрелища этих перспектив, хотя каждая из них имеет лишь два измерения, поскольку они следуют друг за другом согласно определенным законам.

Что ж, точно так же, как перспектива трехмерной фигуры может быть сделана на плоскости, мы можем сделать перспективу четырехмерной фигуры на картине трех (или двух) измерений. Для геометра это лишь детская игра.

Мы можем даже сделать с одной и той же фигуры несколько перспектив с нескольких разных точек зрения.

Мы можем легко представить себе эти перспективы, поскольку они имеют лишь три измерения.

Представьте, что различные перспективы одного и того же объекта сменяют друг друга и что переход от одной к другой сопровождается мышечными ощущениями.

Мы будем, конечно, рассматривать два из этих переходов как две операции той же природы, когда они связаны с одними и теми же мышечными ощущениями.

Ничто тогда не мешает нам вообразить, что эти операции комбинируются согласно любому закону, который мы выберем, например, так, чтобы образовать группу с той же структурой, что и группа движений жесткого твердого тела четырех измерений.

Здесь нет ничего невообразимого, и все же эти ощущения — именно те, которые почувствовало бы существо, обладающее двумерной сетчаткой, которое могло бы двигаться в пространстве четырех измерений. В этом смысле мы можем сказать, что четвертое измерение вообразимо.

Заключения. — Мы видим, что опыт играет незаменимую роль в генезисе геометрии; но было бы ошибкой отсюда заключать, что геометрия является, даже отчасти, экспериментальной наукой.

Если бы она была экспериментальной, она была бы лишь приближенной и временной. И какое грубое приближение!

Геометрия была бы лишь изучением движений твердых тел; но в действительности она не занимается естественными твердыми телами, ее объектом являются некоторые идеальные твердые тела, абсолютно жесткие, которые суть лишь упрощенный и очень отдаленный образ естественных твердых тел.

Понятие этих идеальных твердых тел извлечено из всех частей нашего разума, и опыт — лишь повод, который побуждает нас извлечь его из них.

Объектом геометрии является изучение частной «группы»; но общее понятие группы предсуществует, по крайней мере потенциально, в нашем разуме. Оно навязано нам не как форма нашего чувства, а как форма нашего рассудка.

Только из всех возможных групп должна быть выбрана та, которая будет, так сказать, эталоном, к которому мы будем относить естественные явления.

Опыт направляет нас в этом выборе, не навязывая его нам; он говорит нам не то, какая геометрия самая истинная, а то, какая самая удобная.

Заметьте, что я смог описать фантастические миры, воображенные выше, не переставая использовать язык обычной геометрии.

И, в самом деле, нам не пришлось бы менять его, если бы нас перенесли туда.

Существа, воспитанные там, несомненно, сочли бы более удобным создать геометрию, отличную от нашей и лучше приспособленную к их впечатлениям. Что касается нас, перед лицом тех же впечатлений, несомненно, мы сочли бы более удобным не менять наши привычки.

ГЛАВА V

Опыт и геометрия

1. Уже на предыдущих страницах я несколько раз пытался показать, что принципы геометрии не являются экспериментальными фактами и что, в частности, постулат Евклида не может быть доказан экспериментально.

Сколь бы решающими ни казались мне уже приведенные доводы, я считаю, что должен подчеркнуть этот пункт, потому что здесь ложная идея глубоко укоренилась во многих умах.

2. Если мы сконструируем материальную окружность, измерим ее радиус и длину окружности и посмотрим, равно ли отношение этих двух длин π, что мы сделаем? Мы проведем эксперимент над свойствами материи, из которой мы сконструировали эту круглую вещь, и той, из которой была сделана использованная мера.