«Четвертое измерение»

Примечания корректора

Очевидные опечатки были исправлены без уведомления. Вся остальная орфография и пунктуация оставлены без изменений.

Обложка была подготовлена корректором и передана в общественное достояние.

THE FOURTH DIMENSION

НЕКОТОРЫЕ ОТЗЫВЫ ПРЕССЫ

«Г-н Ч. Г. Хинтон обсуждает тему высшей размерности пространства, стремясь избежать математических тонкостей и технических сложностей, чтобы его аргументацию могли проследить читатели, недостаточно сведущие в математике, чтобы следовать за этими процессами рассуждения». — Notts Guardian.

«Четвертое измерение — это предмет, который вызывает огромное восхищение у многих преподавателей, и хотя нельзя притворяться, что полностью постиг концепции и аргументы г-на Хинтона, все же следует признать, что он раскрывает эту неуловимую идею в весьма увлекательном свете. Помимо основного тезиса книги, многие главы представляют большой самостоятельный интерес. В целом, интересная, умная и оригинальная книга». — Dundee Courier.

«Книга будет весьма полезна для изучения людьми, которые любят упражнять свой ум на задачах абстрактного мышления». — Scotsman.

«Профессор Хинтон поступил правильно, предприняв попытку написать трактат умеренного объема, который был бы одновременно ясным по методу и свободным от школьных технических сложностей». — Pall Mall Gazette.

«Он сделал из этого очень интересную книгу». — Publishers’ Circular.

«Г-н Хинтон пытается объяснить теорию четвертого измерения так, чтобы обычный рассуждающий ум мог уловить, что имеют в виду под этим математики-метафизики. Если он не совсем преуспел, то не из-за отсутствия ясности с его стороны, а потому, что вся теория является таким абсолютным потрясением для всех наших предвзятых идей». — Bristol Times.

«Энтузиазм г-на Хинтона — лишь результат исчерпывающего исследования, которое позволило ему представить свой предмет читателю с гораздо большей ясностью, чем та, к которой он привык». — Pall Mall Gazette.

«Книга на всем своем протяжении представляет собой очень солидное рассуждение в области высшей математики». — Glasgow Herald.

«Тем, кто желает постичь смысл этого несколько сложного предмета, было бы полезно прочитать "Четвертое измерение". От читателя не требуется никаких математических знаний, и любой, кто не боится немного напрячь мышление, должен быть в состоянии проследить за аргументацией». — Light.

«Блестяще ясное изложение старой проблемы четвертого измерения. Все, кто интересуется этой темой, найдут работу не только увлекательной, но и понятной, поскольку она написана легкодоступным стилем. Иллюстрации делают текст еще более ясным, и в целом книга самым замечательным образом адаптирована к требованиям новичка или студента». — Two Worlds.

«Те, кто ищет умственной гимнастики, найдут изобилие упражнений в "Четвертом измерении" г-на Ч. Г. Хинтона». — Westminster Review.

Первое издание, апрель 1904 г.; второе издание, май 1906 г.

Views of the Tessaract.

ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ

АВТОР:

Ч. ГОВАРД ХИНТОН, магистр искусств, АВТОР «НАУЧНЫХ РОМАНОВ», «НОВОЙ ЭРЫ МЫСЛИ» И Т. Д.

ЛОНДОН, SWAN SONNENSCHEIN & CO., LIMITED, 25 ХАЙ-СТРИТ, БЛУМСБЕРИ, 1906

ОТПЕЧАТАНО В HAZELL, WATSON AND VINEY, LD., ЛОНДОН И ЭЙЛСБЕРИ.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Я постарался представить тему высшей размерности пространства в ясной манере, лишенной математических тонкостей и технических сложностей. Чтобы привлечь интерес читателя, в первых главах я остановился на перспективе, которую открывает гипотеза о четвертом измерении, и рассмотрел множество связей, существующих между этой гипотезой и обычными темами наших размышлений.

Отсутствие математических знаний не станет помехой для читателя, поскольку я не использовал никаких математических процессов рассуждения. Я придерживаюсь того взгляда, что пространство, о котором мы обычно думаем, пространство реальных вещей (которое я назвал бы проницаемой материей), отличается от пространства, рассматриваемого математикой. Математика многое расскажет нам о пространстве, подобно тому как атомная теория многое расскажет нам о химических соединениях тел. Но, в конце концов, теория не является в точности эквивалентной предмету, в отношении которого она выдвигается. Поэтому со стороны наших обычных пространственных восприятий открывается возможность для простого, вполне рационального, механического и наблюдательного способа рассмотрения этого предмета высшего пространства, и этой возможностью я воспользовался.

Детали, приведенные в первых главах, особенно в главах VIII, IX, X, возможно, покажутся утомительными. Они не имеют существенного значения для основной линии аргументации, и если оставить их до прочтения глав XI и XII, то они послужат интересными и наглядными иллюстрациями свойств, обсуждаемых в последующих главах.

Я выражаю благодарность друзьям, которые помогали мне в проектировании и подготовке модификаций моих предыдущих моделей, и в немалой степени издателю этого тома, г-ну Зонненшайну, чьей уникальной оценке хода мыслей этого, как и моих предыдущих эссе, обязана их публикация. Предоставив цветную пластину в дополнение к другим иллюстрациям, он значительно повысил удобство для читателя.

Ч. Говард Хинтон.

CONTENTS

CHAP.

PAGE

I. Four-Dimensional Space 1

II. The Analogy of a Plane World 6

III. The Significance of a Four-Dimensional Existence 15

IV. The First Chapter in the History of Four Space 23

V. The Second Chapter in the History Of Four Space 41

Lobatchewsky, Bolyai, and Gauss

Metageometry

VI. The Higher World 61

VII. The Evidence for a Fourth Dimension 76

VIII. The Use of Four Dimensions in Thought 85

IX. Application to Kant’s Theory of Experience 107

X. A Four-Dimensional Figure 122

XI. Nomenclature and Analogies 136

XII. The Simplest Four-Dimensional Solid 157

XIII. Remarks on the Figures 178

XIV. A Recapitulation and Extension of the Physical Argument 203

APPENDIX I.—The Models 231

APPENDIX II.—A Language of Space 248

ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ

ГЛАВА I. ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Нет ничего более неопределенного и в то же время более реального, чем то, на что мы указываем, когда говорим о «высшем». В нашей социальной жизни мы видим это проявленным в большей сложности отношений. Но эта сложность — не все. В то же время существует контакт с чем-то более фундаментальным, более реальным, постижение этого.

С большим развитием человека приходит осознание чего-то большего, чем все формы, в которых оно проявляется. Появляется готовность отказаться от всего видимого и осязаемого ради тех принципов и ценностей, представлением которых являются видимое и осязаемое. Физическая жизнь цивилизованного человека и просто дикаря практически одинаковы, но цивилизованный человек обнаружил глубину в своем существовании, которая заставляет его чувствовать, что то, что кажется всем для дикаря, является лишь внешней стороной и принадлежностью его истинного бытия.

Итак, это высшее — как нам его постичь? Оно обычно охватывается нашими религиозными способностями, нашей идеализирующей тенденцией. Но высшее существование имеет две стороны. У него есть бытие, а также качества. И, пытаясь осознать его через наши эмоции, мы всегда принимаем субъективный взгляд. Наше внимание всегда приковано к тому, что мы чувствуем, что мы думаем. Есть ли какой-либо способ постижения высшего согласно чисто объективному методу естественной науки? Я думаю, что есть.

Платон в чудесной аллегории говорит о людях, живущих в таком состоянии, что они были практически низведены до положения обитателей мира теней. Они были скованы и воспринимали лишь тени самих себя и всех реальных объектов, проецируемые на стену, к которой были обращены их лица. Все движения для них были лишь движениями по поверхности, все формы — лишь формами очертаний без какой-либо субстанциональности.

Платон использует эту иллюстрацию, чтобы изобразить отношение между истинным бытием и иллюзиями чувственного мира. Он говорит, что подобно тому, как человек, освобожденный от своих цепей, мог бы узнать и обнаружить, что мир тверд и реален, и мог бы вернуться и рассказать своим скованным товарищам об этой большей высшей реальности, так и философ, который был освобожден, который погрузился в мысль об идеальном мире, в мир идей, более великих и более реальных, чем вещи чувств, может прийти и рассказать своим ближним о том, что более истинно, чем видимое солнце — более благородно, чем Афины, видимое государство.

Теперь я принимаю предложение Платона, но буквально, а не метафорически. Он воображает мир, который ниже этого мира, поскольку теневые фигуры и теневые движения являются его составляющими; и ему он противопоставляет реальный мир. Как реальный мир по отношению к этому теневому миру, так и высший мир по отношению к нашему миру. Я принимаю его аналогию. Как наш мир в трех измерениях по отношению к теневому или плоскому миру, так и высший мир по отношению к нашему трехмерному миру. То есть высший мир является четырехмерным; высшее бытие, поскольку его существование касается его качеств, должно быть найдено через концепцию актуального существования, пространственно более высокого, чем то, которое мы осознаем нашими чувствами.

Здесь вы заметите, что я неизбежно опускаю все то, что придает очарование и интерес сочинениям Платона. Все те концепции прекрасного и доброго, которые бессмертно живут на его страницах.

Все, что я сохраняю из его великой сокровищницы богатств, — это просто одна вещь: мир, пространственно более высокий, чем этот мир, мир, к которому можно приблизиться только через его камни и деревья, мир, который должен быть постигнут кропотливо, терпеливо, через его материальные вещи, его формы, его движения, его фигуры.

Мы должны научиться осознавать формы объектов в этом мире высшего человека; мы должны ознакомиться с движениями, которые объекты совершают в его мире, чтобы мы могли узнать что-то о его повседневном опыте, его мыслях о материальных объектах, его механизмах.

Средства для проведения этого исследования даны в самой концепции пространства.

Часто случается, что то, что мы считаем уникальным и не связанным, дает нам внутри себя те отношения, посредством которых мы способны увидеть его как связанное с другими, определяющее их и определяемое ими.

Так, на Земле дано явление веса, посредством которого Ньютон привел Землю в ее истинное отношение к Солнцу и другим планетам. Наш земной шар был определен по отношению к другим телам Солнечной системы посредством отношения, которое существовало на самой Земле.

И так само пространство несет в себе отношения, посредством которых мы можем определить его как связанное с другим пространством. Ибо внутри пространства даны концепции точки и линии, линии и плоскости, которые действительно включают в себя отношение пространства к высшему пространству.

Там, где заканчивается один отрезок прямой линии и начинается другой, находится точка, и сама прямая линия может быть порождена движением точки.

Одна часть плоскости ограничена от другой прямой линией, и сама плоскость может быть порождена прямой линией, движущейся в направлении, не содержащемся в ней самой.

Далее, две части твердого пространства ограничены друг относительно друга плоскостью; и плоскость, движущаяся в направлении, не содержащемся в ней самой, может порождать твердое пространство.

Таким образом, продолжая, мы можем сказать, что пространство — это то, что ограничивает две части высшего пространства друг от друга, и что наше пространство будет порождать высшее пространство, двигаясь в направлении, не содержащемся в нем самом.

Еще одно указание на природу четырехмерного пространства можно получить, рассмотрев проблему расположения объектов.

Если у меня есть ряд мечей различной степени яркости, я могу представить их в отношении этого качества точками, расположенными вдоль прямой линии.

Fig. 1.

Если я помещу меч в A, рис. 1, и буду рассматривать его как обладающий определенной яркостью, то другие мечи могут быть расположены в ряд вдоль линии, как в A, B, C и т. д., в соответствии с их степенями яркости.

Fig. 2.

Если теперь я приму во внимание другое качество, скажем, длину, их можно расположить на плоскости. Начиная от A, B, C, я могу найти точки для представления различных степеней длины вдоль таких линий, как AF, BD, CE, проведенных из A, B и C. Точки на этих линиях представляют различные степени длины при одной и той же степени яркости. Таким образом, вся плоскость занята точками, представляющими все мыслимые разновидности яркости и длины.

Fig. 3.

Вводя третье качество, скажем, остроту, я могу провести, как на рис. 3, любое количество вертикальных линий. Пусть расстояния вдоль этих вертикальных линий представляют степени остроты, таким образом, точки F и G будут представлять мечи определенных степеней трех упомянутых качеств, и все пространство послужит для представления всех мыслимых степеней этих трех качеств.

Если теперь я введу четвертое качество, такое как вес, и попытаюсь найти способ представить его, как я сделал с другими тремя качествами, я столкнусь с трудностью. Каждая точка в пространстве занята какой-то мыслимой комбинацией трех уже взятых качеств.

Чтобы представить четыре качества таким же образом, как я представил три, мне потребовалось бы еще одно измерение пространства.

Таким образом, мы можем указать природу четырехмерного пространства, сказав, что это своего рода пространство, которое дало бы позиции, представляющие четыре качества, так же как трехмерное пространство дает позиции, представляющие три качества.

ГЛАВА II. АНАЛОГИЯ ПЛОСКОГО МИРА

Рискуя некоторой многословностью, я подробно разберу опыт гипотетического существа, ограниченного движением на плоской поверхности. Поступая так, я получу аналогию, которая послужит в наших последующих исследованиях, потому что изменение в нашей концепции, которое мы делаем при переходе от форм и движений в двух измерениях к тем, что в трех, дает образец, по которому мы можем перейти еще дальше к концепции существования в четырехмерном пространстве.

Лист бумаги на гладком столе дает готовый образ двухмерного существования. Если мы предположим, что существо, представленное листом бумаги, не имеет знаний о толщине, на которую он выступает над поверхностью стола, очевидно, что он не может иметь знаний об объектах подобного описания, кроме как через контакт с их краями. Его тело и объекты в его мире имеют толщину, о которой, однако, он не имеет сознания. Поскольку направление, простирающееся вверх от стола, ему неизвестно, он будет думать об объектах своего мира как простирающихся только в двух измерениях. Фигуры для него полностью ограничены их линиями, точно так же, как твердые объекты для нас — их поверхностями. Он не может представить себе приближение к центру круга, кроме как прорвавшись через окружность, ибо окружность заключает центр в направлениях, в которых движение возможно для него. Плоская поверхность, по которой он скользит и с которой он всегда находится в контакте, будет ему неизвестна; нет никаких различий, по которым он мог бы распознать ее существование.

Но для целей нашей аналогии это представление является недостаточным.

Существо, описанное таким образом, не имеет ничего, от чего можно было бы оттолкнуться; поверхность, по которой он скользит, не дает средств, с помощью которых он мог бы двигаться в одном направлении, а не в другом. Помещенный на поверхность, по которой он свободно скользит, он находится в состоянии, аналогичном тому, в котором мы были бы, если бы мы были подвешены свободно в пространстве. Нет ничего, от чего он мог бы оттолкнуться в любом известном ему направлении.

Давайте поэтому изменим наше представление. Давайте предположим вертикальную плоскость, по которой скользят частицы тонкой материи, никогда не покидая поверхности. Пусть эти частицы обладают силой притяжения и сцепляются вместе в диск; этот диск будет представлять глобус плоского существа. Его нужно представлять как существующего на ободе.

Fig. 4.

Пусть 1 представляет этот вертикальный диск плоской материи, а 2 — плоское существо на нем, стоящее на его ободе, как мы стоим на поверхности нашей Земли. Направление силы притяжения его материи даст существу знание о верхе и низе, определяя для него одно направление в его плоском пространстве. Также, поскольку он может двигаться вдоль поверхности своей Земли, у него будет чувство направления, параллельного ее поверхности, которое мы можем назвать вперед и назад.

У него не будет чувства право и лево — то есть направления, которое мы распознаем как простирающееся из плоскости вправо и влево от нас.

Различие право и лево — это то, что мы должны предположить отсутствующим, чтобы спроецировать себя в состояние плоского существа.

Пусть читатель представит себя, глядя вдоль плоскости, рис. 4, все более отождествляющимся с тонким телом на ней, пока он наконец не посмотрит вдоль, параллельно поверхности плоской Земли, и вверх и вниз, теряя чувство направления, которое простирается вправо и влево. Это направление будет для него неизвестным измерением.

Наши пространственные концепции настолько тесно связаны с теми, которые мы выводим из существования гравитации, что трудно осознать состояние плоского существа, не представляя его в материальном окружении с определенным направлением верха и низа. Отсюда необходимость нашей несколько сложной схемы представления, от которой, когда ее смысл будет понят, можно отказаться в пользу более простой — тонкого объекта, скользящего по гладкой поверхности, которая лежит перед нами.

Очевидно, что мы должны предположить некоторые средства, с помощью которых плоское существо удерживается в контакте с поверхностью, по которой он скользит. Самое простое предположение, которое можно сделать, — это наличие поперечной гравитации, которая удерживает его на плоскости. Эту гравитацию нужно считать отличной от притяжения, осуществляемого его материей, и не воспринимаемой им.

На этой стадии нашего исследования я не хочу входить в вопрос о том, как плоское существо могло бы прийти к знанию о третьем измерении, а просто исследовать его плоское сознание.

Очевидно, что существование плоского существа должно быть очень ограниченным. Прямая линия, стоящая вертикально от поверхности его Земли, создает преграду для его прогресса. Объект, подобный колесу, которое вращается вокруг оси, был бы ему неизвестен, ибо нет мыслимого способа, которым он может добраться до центра, не пройдя через окружность. У него были бы вращающиеся диски, но он не мог бы добраться до их центра. Плоское существо может представить движение из любой одной точки своего пространства в любую другую посредством двух прямых линий, проведенных под прямым углом друг к другу.

Fig. 5.

Пусть AX и AY будут двумя такими осями. Он может совершить перемещение из A в B, двигаясь вдоль AX к C, а затем из C вдоль CB параллельно AY.

Тот же результат, конечно, может быть получен путем перемещения к D вдоль AY, а затем параллельно AX от D к B, или, конечно, любым диагональным движением, составленным из этих осевых движений.

Посредством движений, параллельных этим двум осям, он может проследовать (за исключением материальных препятствий) из любой одной точки своего пространства в любую другую.

Fig. 6.

Если теперь мы предположим третью линию, проведенную из A под прямым углом к плоскости, очевидно, что никакое движение ни в одном из двух известных ему измерений не перенесет его ни в малейшей степени в направлении, представленном AZ.

Линии AZ и AX определяют плоскость. Если бы его можно было снять с его плоскости и перенести на плоскость AXZ, он оказался бы в мире, точно таком же, как его собственный. От каждой линии в его мире отходит пространственный мир, точно такой же, как его собственный.

Fig. 7.

От каждой точки в его мире можно провести линию, параллельную AZ, в направлении, неизвестном ему. Если мы предположим, что квадрат на рис. 7 является геометрическим квадратом, то от каждой его точки, как внутри, так и на контуре, можно провести прямую линию, параллельную AZ. Совокупность этих линий образует твердую фигуру, основанием которой является квадрат на плоскости. Если мы рассмотрим квадрат как представляющий объект в мире плоского существа, то мы должны приписать ему очень малую толщину, ибо каждая реальная вещь должна обладать всеми тремя измерениями. Эту толщину он не воспринимает, но думает об этом реальном объекте как о геометрическом квадрате. Он думает о нем как об обладающем только площадью, а не степенью твердости. Края, которые выступают из плоскости на очень малую величину, он считает имеющими только длину и не имеющими ширины — являющимися, по сути, геометрическими линиями.

С первым шагом в постижении третьего измерения к плоскому существу пришло бы убеждение, что он ранее сформировал неправильную концепцию о природе своих материальных объектов. Он представлял их как геометрические фигуры только двух измерений. Если существует третье измерение, такие фигуры не способны к реальному существованию. Таким образом, он признал бы, что все его реальные объекты имели определенную, хотя и очень малую толщину в неизвестном измерении, и что условия его существования требовали предположения о протяженном листе материи, от контакта с которым в своем движении его объекты никогда не отклоняются.

Аналогичные концепции должны быть сформированы нами на предположении о четырехмерном существовании. Мы должны предположить направление, в котором мы никогда не можем указать, простирающееся от каждой точки нашего пространства. Мы должны провести различие между геометрическим кубом и кубом из реальной материи. Куб из реальной материи, мы должны предположить, имеет протяженность в неизвестном направлении, реальную, но настолько малую, что она не воспринимается нами. От каждой точки куба, как внутренней, так и внешней, мы должны вообразить, что возможно провести линию в неизвестном направлении. Совокупность этих линий составила бы высшее твердое тело. Линии, уходящие в неизвестном направлении от грани куба, составили бы куб, начинающийся от этой грани. Из этого куба все, что мы увидели бы в нашем пространстве, было бы гранью.

Опять же, точно так же, как плоское существо может представить любое движение в своем пространстве двумя осями, так и мы можем представить любое движение в нашем трехмерном пространстве посредством трех осей. Нет точки в нашем пространстве, в которую мы не могли бы переместиться какой-либо комбинацией движений в направлениях, отмеченных этими осями.

При допущении четвертого измерения мы должны предположить четвертую ось, которую мы назовем AW. Она должна предполагаться под прямым углом к каждой из трех осей AX, AY, AZ. Точно так же, как две оси, AX, AZ, определяют плоскость, которая похожа на исходную плоскость, на которой мы предполагали существование плоского существа, но которая отходит от нее и встречается с ней только в линии; так и в нашем пространстве, если мы возьмем любые три оси, такие как AX, AY и AW, они определяют пространство, подобное нашему пространственному миру. Это пространство отходит от нашего пространства, и если бы мы были перенесены в него, мы обнаружили бы себя в пространстве, точно похожем на наше собственное.

Мы должны отказаться от любой попытки представить это пространство в его отношении к нашему, точно так же, как плоское существо должно было бы отказаться от любой попытки представить плоскость под прямым углом к своей плоскости.

Такое пространство и наше идут в разных направлениях от плоскости AX и AY. Они встречаются в этой плоскости, но не имеют ничего другого общего, точно так же, как плоское пространство AX и AY и пространство AX и AZ идут в разных направлениях и имеют общую только линию AX.

Опуская все обсуждение того, каким образом плоское существо могло бы быть задумано для формирования теории трехмерного существования, давайте исследуем, как, имея в своем распоряжении средства, он мог бы представить свойства трехмерных объектов.

Fig. 8.

Есть два способа, которыми плоское существо может думать об одном из наших твердых тел. Он может думать о кубе, рис. 8, как о состоящем из ряда сечений, параллельных его плоскости, каждое из которых лежит в третьем измерении немного дальше от его плоскости, чем предыдущее. Эти сечения он может представить как ряд плоских фигур, лежащих в его плоскости, но, представляя их так, он разрушает их связность в высшей фигуре. Набор квадратов, A, B, C, D, представляет сечение, параллельное плоскости куба, показанного на рисунке, но они не находятся в своих надлежащих относительных позициях.

Плоское существо может проследить движение в третьем измерении, предполагая прерывистые скачки от одного сечения к другому. Таким образом, движение вдоль края куба слева направо было бы представлено в наборе сечений на плоскости как последовательность углов сечений A, B, C, D. Точка, движущаяся от A через BCD в нашем пространстве, должна быть представлена на плоскости как появляющаяся в A, затем в B и так далее, не проходя через промежуточное плоское пространство.

В этих сечениях плоское существо опускает, конечно, протяженность в третьем измерении; расстояние между любыми двумя сечениями не представлено. Чтобы осознать это расстояние, можно использовать концепцию движения.

Fig. 9.

Пусть рис. 9 представляет куб, проходящий поперечно плоскости. Он покажется плоскому существу как квадратный объект, но материя, из которой состоит этот объект, будет постоянно изменяться. Одна материальная частица занимает место другой, но она не приходит откуда-либо и не уходит куда-либо в пространстве, которое знает плоское существо.

Аналогичный способ представления высшего твердого тела в нашем случае — это представить его как состоящее из ряда сечений, каждое из которых лежит немного дальше в неизвестном направлении, чем предыдущее.

Fig. 10.

Мы можем представить эти сечения как ряд твердых тел. Таким образом, кубы A, B, C, D могут рассматриваться как сечения на разных интервалах в неизвестном измерении высшего куба. Расположенные таким образом, их связность в высшей фигуре разрушается, они являются лишь представлениями.

Движение в четвертом измерении от A через B, C и т. д. было бы непрерывным, но мы можем представить его только как занятие позиций A, B, C и т. д. последовательно. Мы можем показать результаты движения на разных стадиях, но не более того.

В этом представлении мы опустили расстояние между одним сечением и другим; мы рассмотрели высшее тело просто как ряд сечений и, таким образом, опустили его содержимое. Единственный способ показать его содержимое — это призвать на помощь концепцию движения.

Fig. 11.

Если высший куб проходит поперечно нашему пространству, он появится как куб, изолированный в пространстве, часть, которая не вошла в наше пространство, и часть, которая прошла сквозь него, не будут видны. Постепенное прохождение через наше пространство проявится как изменение материи куба перед нами. Одна материальная частица в нем сменяется другой, не приходя и не уходя ни в каком направлении, на которое мы можем указать. Таким образом, посредством длительности фигуры мы можем показать ее высшую размерность; куб из нашей материи, при предполагаемых обстоятельствах, а именно, что он имеет движение поперечно нашему пространству, мгновенно исчез бы. Высший куб длился бы до тех пор, пока не прошел бы поперечно нашему пространству на все свое расстояние протяженности в четвертом измерении.

Как плоское существо может думать о кубе как о состоящем из сечений, каждое из которых подобно фигуре, которую он знает, простирающейся от его плоскости, так и мы можем думать о высшем твердом теле как о состоящем из сечений, каждое из которых подобно твердому телу, которое мы знаем, но простирающемуся от нашего пространства.

Таким образом, взяв высший куб, мы можем рассматривать его как начинающийся от куба в нашем пространстве и простирающийся в неизвестном измерении.

Fig. 12.

Возьмем грань A и представим, что она существует просто как грань, квадрат без толщины. От этой грани куб в нашем пространстве простирается путем занятия пространства, которое мы можем видеть.

Но от этой грани одинаково простирается куб в неизвестном измерении. Мы можем думать о высшем кубе, тогда, взяв набор сечений A, B, C, D и т. д. и рассматривая, что от каждого из них идет куб. Эти кубы не имеют ничего общего друг с другом, и от каждого из них в его актуальной позиции все, что мы можем иметь в нашем пространстве, — это изолированный квадрат. Очевидно, что мы можем взять наш ряд сечений любым способом, каким пожелаем. Мы можем взять их параллельно, например, любой из трех изолированных граней, показанных на рисунке. Соответственно трем сериям сечений под прямым углом друг к другу, которые мы можем сделать из куба в пространстве, мы должны представить высший куб как состоящий из кубов, начинающихся от квадратов, параллельных граням куба, и из этих кубов все, что существует в нашем пространстве, — это изолированные квадраты, от которых они начинаются.

ГЛАВА III. ЗНАЧЕНИЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ

Получив теперь концепцию четырехмерного пространства и сформировав аналогию, которая без каких-либо дальнейших геометрических трудностей позволяет нам исследовать его свойства, я отсылаю читателя, чей интерес заключается главным образом в механическом аспекте, к главам VI и VII. В настоящей главе я рассмотрю общее значение исследования, а в следующей — историческое происхождение этой идеи.

Во-первых, что касается вопроса о том, есть ли какие-либо доказательства того, что мы действительно находимся в четырехмерном пространстве, я вернусь к аналогии плоского мира.

Существо в плоском мире не могло бы иметь никакого опыта трехмерных форм, но оно могло бы иметь опыт трехмерных движений.

Мы видели, что его материя должна предполагаться имеющей протяженность, хотя и очень малую, в третьем измерении. И таким образом, в малых частицах его материи вполне можно представить, что происходят трехмерные движения. Из этих движений он воспринимал бы только равнодействующие. Поскольку все движения наблюдаемого размера в плоском мире являются двухмерными, он воспринимал бы только равнодействующие в двух измерениях малых трехмерных движений. Таким образом, существовали бы явления, которые он не смог бы объяснить своей теорией механики — происходили бы движения, которые он не смог бы объяснить своей теорией движения. Следовательно, чтобы определить, находимся ли мы в четырехмерном мире, мы должны исследовать явления движения в нашем пространстве. Если происходят движения, которые не объяснимы на основе предположений нашей трехмерной механики, мы получили бы указание на возможное четырехмерное движение, и если, более того, можно было бы показать, что такие движения были бы следствием четырехмерного движения в мельчайших частицах тел или эфира, мы получили бы сильное предположение в пользу реальности четвертого измерения.

Продвигаясь в направлении все более и более мелкого дробления, мы приходим к формам материи, обладающим свойствами, отличными от свойств более крупных масс. Вероятно, что на некоторой стадии этого процесса мы пришли бы к форме материи столь мелкого дробления, что ее частицы обладают свободой движения в четырех измерениях. Эту форму материи я называю четырехмерным эфиром и приписываю ей свойства, приближающиеся к свойствам идеальной жидкости.

Откладывая подробное обсуждение этой формы материи до главы VI, мы теперь исследуем средства, с помощью которых плоское существо пришло бы к выводу, что в его мире существуют трехмерные движения, и укажем аналогию, по которой мы можем заключить о существовании четырехмерных движений в нашем мире. Поскольку размеры материи в его мире малы в третьем направлении, явления, в которых он обнаружил бы движение, были бы явлениями малых частиц материи.

Предположим, что в его плоскости есть кольцо. Мы можем представить токи, текущие вокруг кольца в любом из двух противоположных направлений. Они произвели бы несхожие эффекты и дали бы начало двум различным полям влияния. Если кольцо с током в нем в одном направлении взять, перевернуть и снова положить на плоскость, оно было бы идентично кольцу с током в противоположном направлении. Операция такого рода была бы невозможна для плоского существа. Следовательно, у него в пространстве были бы два непримиримых объекта, а именно, два поля влияния, обусловленные двумя кольцами с токами в них в противоположных направлениях. Под непримиримыми объектами в плоскости я подразумеваю объекты, которые нельзя представить как преобразованные один в другой любым движением в плоскости.

Вместо токов, текущих в кольцах, мы можем представить другой вид тока. Представьте ряд маленьких колец, нанизанных на исходное кольцо. Ток вокруг этих вторичных колец дал бы две разновидности эффекта, или два разных поля влияния, в зависимости от его направления. Эти две разновидности тока можно было бы превратить одну в другую, взяв одно из колец, перевернув его и снова положив на плоскость. Эта операция невозможна для плоского существа, следовательно, и в этом случае в плоскости были бы два непримиримых поля. Теперь, если бы плоское существо обнаружило два таких непримиримых поля и могло доказать, что их нельзя объяснить токами в кольцах, ему пришлось бы признать существование токов вокруг колец — то есть в кольцах, нанизанных на первичное кольцо. Таким образом, он пришел бы к признанию существования трехмерного движения, ибо такое расположение токов находится в трех измерениях.

Теперь в нашем пространстве есть два поля разных свойств, которые могут быть произведены электрическим током, текущим в замкнутой цепи или кольце. Эти два поля могут быть изменены одно в другое путем изменения направления токов, но они не могут быть изменены одно в другое любым поворотом колец в нашем пространстве; ибо расположение поля по отношению к самому кольцу различно, когда мы переворачиваем кольцо и когда мы меняем направление тока в кольце.

В качестве гипотез для объяснения различий этих двух полей и их эффектов мы можем предположить следующие виды пространственных движений: во-первых, ток вдоль проводника; во-вторых, ток вокруг проводника — то есть колец токов, нанизанных на проводник как на ось. Ни одно из этих предположений не объясняет факты наблюдения.

Следовательно, мы должны сделать предположение о четырехмерном движении. Мы обнаруживаем, что четырехмерное вращение природы, объясненной в последующей главе, имеет следующие характеристики: во-первых, оно дало бы нам два поля влияния, одно из которых можно было бы превратить в другое, подняв цепь в четвертое измерение, перевернув ее и снова положив в наше пространство, точно так же, как два вида полей в плоскости можно было бы превратить одно в другое путем изменения направления тока в нашем пространстве. Во-вторых, оно включает в себя явление, точно идентичное той самой замечательной и таинственной особенности электрического тока, а именно, что это поле действия, край которого обязательно упирается в непрерывную границу, образованную проводником. Следовательно, при допущении четырехмерного движения в области мельчайших частиц материи мы должны ожидать обнаружить движение, аналогичное электричеству.

Теперь, явление столь универсального распространения, как электричество, не может быть обусловлено материей и движением в каком-либо очень сложном отношении, но должно рассматриваться как простое и естественное следствие их свойств. Я делаю вывод, что трудность в его теории обусловлена попыткой объяснить четырехмерное явление трехмерной геометрией.

В свете этого доказательства мы не можем игнорировать то, которое предоставляется существованием симметрии. В этой связи я упомяну простой способ создания изображений насекомых, иногда практикуемый детьми. Они ставят несколько клякс чернил на прямой линии на листе бумаги, складывают бумагу вдоль клякс, и при открытии получается реалистичное изображение насекомого. Если бы мы нашли множество таких фигур, мы бы заключили, что они возникли в результате процесса складывания; шансы против такого рода дублирования частей слишком велики, чтобы допустить предположение, что они были сформированы каким-либо иным способом.

Создание симметричных форм организованных существ, хотя, конечно, не обусловленное переворачиванием тел какого-либо значительного размера в четырехмерном пространстве, вполне можно представить как обусловленное расположением таким образом мельчайших живых частиц, из которых они построены. Таким образом, не только электричество, но и жизнь, и процессы, посредством которых мы думаем и чувствуем, должны быть приписаны той области величины, в которой происходят четырехмерные движения.

Я не имею в виду, однако, что жизнь можно объяснить как четырехмерное движение. Мне кажется, что весь уклон мысли, который стремится объяснить явления жизни и воли как обусловленные материей и движением в каком-то особом отношении, принят скорее в интересах объяснимости вещей, чем с каким-либо вниманием к вероятности.

Конечно, если бы мы могли показать, что жизнь является явлением движения, мы смогли бы объяснить многое, что в настоящее время неясно. Но на пути стоят две большие трудности. Необходимо было бы показать, что в зародыше, способном развиться в живое существо, были модификации структуры, способные определить в развитом зародыше все характеристики его формы, и не только это, но и определить характеристики всех потомков такой формы в бесконечном ряду. Такая сложность механических отношений, какой бы неоспоримой она ни была, не может, безусловно, быть лучшим способом группировки явлений и дачи практического отчета о них. И другая трудность заключается в том, что никакое количество механической адаптации не дало бы того элемента сознания, которым мы обладаем и который в модифицированной степени разделяется животным миром.

В тех сложных структурах, которые люди строят и направляют, таких как корабль или железнодорожный поезд (и которые, если бы их увидел наблюдатель такого размера, что люди, направляющие их, были бы невидимы, казались бы представляющими некоторые явления жизни), видимость одушевленности обусловлена не какой-либо диффузией жизни в материальных частях структуры, а присутствием живого существа.

Старая гипотеза о душе, живом организме внутри видимого, кажется мне гораздо более рациональной, чем попытка объяснить жизнь как форму движения. И когда мы рассматриваем область экстремальной миниатюрности, характеризующуюся четырехмерным движением, трудность представления такого организма рядом с телесным исчезает. Лорд Кельвин предполагает, что материя образована из эфира. Мы вполне можем предположить, что живые организмы, направляющие материальные, являются координационными с ними, не состоящими из материи, а состоящими из эфирных тел, и как таковые способными к движению через эфир и способными порождать материальные живые тела по всему минеральному миру.

Гипотезы, подобные этим, не находят непосредственного основания для доказательства или опровержения в физическом мире. Давайте поэтому обратимся к другой области и, предположив, что человеческая душа является четырехмерным существом, способным в себе к четырехмерным движениям, но в своем опыте через чувства ограниченным тремя измерениями, спросим, соответствует ли история мысли, этих продуктивностей, которые характеризуют человека, нашему предположению. Давайте рассмотрим те шаги, посредством которых человек, предположительно четырехмерное существо, несмотря на свое телесное окружение, пришел к признанию факта четырехмерного существования.

Откладывая это исследование до другой главы, я здесь резюмирую аргумент, чтобы показать, что наша цель является полностью практической и независимой от каких-либо философских или метафизических соображений.

Если два выстрела сделаны по мишени, и вторая пуля попадает в другое место, чем первая, мы предполагаем, что была какая-то разница в условиях, при которых был сделан второй выстрел, по сравнению с теми, которые влияли на первый выстрел. Сила пороха, направление прицеливания, сила ветра или какое-то условие должны были быть другими во втором случае, если курс пули был не точно таким же, как в первом случае. Соответственно каждой разнице в результате должна быть какая-то разница в предшествующих материальных условиях. Прослеживая эту цепь отношений, мы объясняем природу.

Но есть также другой способ объяснения, который мы применяем. Если мы спросим, что было причиной того, что был построен определенный корабль или что была возведена определенная структура, мы могли бы приступить к исследованию изменений в клетках мозга людей, которые проектировали работы. Каждое изменение в одном корабле или здании по сравнению с другим кораблем или зданием сопровождается изменением в процессах, которые происходят в мозговом веществе проектировщиков. Но практически это была бы очень долгая задача.

Более эффективным способом объяснения производства корабля или здания было бы исследование мотивов, планов и целей людей, которые их конструировали. Мы получаем кумулятивный и последовательный корпус знаний гораздо легче и эффективнее последним способом.

Иногда мы применяем один, иногда другой способ объяснения.

Но следует заметить, что метод объяснения, основанный на цели, намерении, воле, всегда предполагает механическую систему, на которой работает воля и цель. Концепция человека как желающего и действующего из мотивов включает в себя концепцию ряда единообразных процессов природы, которые он может модифицировать и применение которых он может осуществить. В механических условиях трехмерного мира единственным волевым агентством, которое мы можем продемонстрировать, является человеческое агентство. Но когда мы рассматриваем четырехмерный мир, вывод остается совершенно открытым.

Метод объяснения, основанный на цели и намерении, не начинается, конечно, внезапно с человека и не заканчивается на нем. Есть столько же позади проявления воли и мотива, которые мы видим в человеке, сколько позади явлений движения; они являются координационными, ни одно из них не может быть сведено к другому. И начало исследования той воли и мотива, которые лежат позади воли и мотива, проявленных в трехмерном механическом поле, находится в концепции души — четырехмерного организма, который выражает свое высшее физическое бытие в симметрии тела и дает цели и мотивы человеческого существования.

Наша первичная задача — сформировать систематическое знание явлений четырехмерного мира и найти те точки, в которых это знание должно быть призвано для завершения нашего механического объяснения вселенной. Но вспомогательный вклад в верификацию гипотезы может быть сделан путем обзора истории человеческой мысли и исследования того, представляет ли она такие черты, которые естественно ожидались бы при этом допущении.

ГЛАВА IV. ПЕРВАЯ ГЛАВА В ИСТОРИИ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Парменид и азиатские мыслители, с которыми он находится в тесном родстве, выдвигают теорию существования, которая находится в тесном согласии с концепцией возможного отношения между высшим и низшим размерным пространством. Эта теория, предшествующая и находящаяся в заметном контрасте с основным потоком мысли, который мы опишем впоследствии, образует замкнутый круг сама по себе. Это та теория, которая во все века имела сильное притяжение для чистого интеллекта и является естественным способом мышления для тех, кто воздерживается от проецирования своей собственной воли в природу под видом причинности.

Согласно Пармениду из Элейской школы, все есть одно, неподвижное и неизменное. Постоянное среди преходящего — эта точка опоры для мысли, эта твердая почва для чувства, от открытия которой зависит вся наша жизнь — не является призраком; это образ среди обмана истинного бытия, вечного, неподвижного, единого. Так говорит Парменид.

Но как объяснить меняющуюся сцену, эти мутации вещей!

«Иллюзия», — отвечает Парменид. Различая истину и заблуждение, он рассказывает об истинном учении об одном — ложном мнении о меняющемся мире. Он не менее памятен манерой своей защиты, чем делом, которое он защищает. Это как если бы со своей твердой опоры бытия он мог играть с мыслями, под бременем которых трудились другие, ибо от него исходит та беглость предположений и гипотез, которая образует текстуру диалектики Платона.

Может ли разум представить себе более восхитительную интеллектуальную картину, чем картина Парменида, указывающего на единое, истинное, неизменное и в то же время готового обсуждать всякого рода ложные мнения, формируя также космогонию, ложную, «но мою собственную», на манер того времени?

В поддержку истинного мнения он двигался отрицательным путем, показывая внутренние противоречия в идеях изменения и движения. Сомнительно, чтобы его критика, за исключением второстепенных моментов, когда-либо была успешно опровергнута. Чтобы выразить его доктрину тяжеловесным современным языком, мы должны сделать утверждение, что движение является феноменальным, а не реальным.

Давайте представим его доктрину.

Fig. 13.

Представьте лист неподвижной воды, в который опускается наклонная палка с движением вертикально вниз. Пусть 1, 2, 3 (рис. 13) будут тремя последовательными положениями палки. A, B, C будут тремя последовательными положениями точки встречи палки с поверхностью воды. По мере того как палка опускается, точка встречи будет перемещаться от A к B и C.

Предположим теперь, что вся вода удалена, осталась только пленка. В месте встречи пленки и палки произойдет разрыв пленки. Если мы предположим, что пленка обладает свойством, подобным мыльному пузырю, смыкаться вокруг любого проникающего объекта, то по мере того, как палка движется вертикально вниз, разрыв в пленке будет перемещаться.

Fig. 14.

Если мы пропустим спираль через пленку, пересечение даст точку, движущуюся по кругу, показанному пунктирными линиями на рисунке. Предположим теперь, что спираль неподвижна, а пленка движется вертикально вверх; вся спираль будет представлена в пленке последовательными положениями точки пересечения. В пленке постоянное существование спирали воспринимается как временная последовательность — запись прохождения спирали представляет собой точку, движущуюся по кругу. Если теперь мы предположим сознание, связанное с пленкой таким образом, что пересечение спирали с пленкой порождает осознанный опыт, мы увидим, что в пленке у нас будет точка, движущаяся по кругу, осознающая свое движение, ничего не знающая о той реальной спирали, записью последовательных пересечений которой пленкой является движение точки.

Легко представить сложные структуры природы спирали, структуры, состоящие из нитей, и предположить также, что эти структуры различимы друг от друга в каждом сечении. Если мы будем рассматривать пересечения этих нитей с пленкой по мере ее прохождения как атомы, составляющие пленочную вселенную, мы получим в пленке мир кажущегося движения; у нас будут тела, соответствующие нитевидной структуре, и положения этих структур по отношению друг к другу порождают тела в пленке, движущиеся среди друг друга. Это взаимное движение является лишь кажущимся. Реальность состоит из постоянных неподвижных структур, а все относительные движения объясняются одним равномерным движением пленки в целом.

Таким образом, мы можем представить плоский мир, в котором все разнообразие движения является феноменом структур, состоящих из нитевидных атомов, пересекаемых плоскостью сознания. Переходя к четырем измерениям и нашему пространству, мы можем представить, что все вещи и движения в нашем мире являются считыванием постоянной реальности пространством сознания. Каждый атом в каждый момент времени — это не то, чем он был, а новая часть той бесконечной линии, которой он является сам. И вся эта система, последовательно раскрывающаяся во времени, которое есть лишь последовательность сознания, раздельная в своих частях, в своей целостности является одним огромным единством. Представляя доктрину Парменида таким образом, мы получаем более твердую опору в ней, чем если бы мы просто позволили его словам покоиться, величественным и массивным, в наших умах. И мы также получили средства для представления фаз той восточной мысли, которой Парменид был не чужд. Модифицируя его бескомпромиссную доктрину, давайте предположим, возвращаясь к плоскости сознания и структуре нитевидных атомов, что эти структуры сами движутся — действуют, живут. Тогда в поперечном движении пленки возникли бы два феномена движения: один, обусловленный считыванием в пленке постоянных существований, каковы они сами по себе, и другой феномен движения, обусловленный модификацией записи самих вещей их собственным движением в процессе их прохождения.

Таким образом, сознательное существо в плоскости имело бы, так сказать, двоякий опыт. При полном прохождении структуры, пересечение которой с пленкой дает все его сознание, основные и главные движения и действия, которые он совершал, были бы записью его высшего «я», каким оно существовало неподвижным и бездействующим. Незначительные модификации и отклонения от этих движений и действий представляли бы активность и самоопределение полного существа, его высшего «я».

Допустимо предположить, что сознание в плоскости имеет долю в той воле, посредством которой полное существо определяет себя. Таким образом, побуждение и воля, инициатива и жизнь высшего существа были бы представлены в случае существа в пленке инициативой и волей, способными не определять какие-либо великие вещи или важные движения в его существовании, а только малые и относительно незначительные действия. Во всех главных чертах своей жизни его опыт был бы репрезентативным для одного состояния высшего существа, чье существование определяет его по мере прохождения пленки. Но в своих мелких и кажущихся неважными действиях он участвовал бы в той воле и определении, посредством которых действует и живет все то существо, которым он является на самом деле.

Изменение высшего существа соответствовало бы другой жизненной истории для него. Давайте теперь сделаем предположение, что пленка за пленкой проходит через эти высшие структуры, что жизнь реального существа считывается снова и снова в последовательных волнах сознания. Существовала бы последовательность жизней в различных продвигающихся плоскостях сознания, каждая из которых отличалась бы от предыдущей, и отличалась бы в силу той воли и активности, которые в предыдущей не были посвящены более великим и кажущимся наиболее значительными вещам в жизни, а мелким и кажущимся неважными. Во всех великих вещах существо пленки разделяет существование своего высшего «я», каким оно является в любой момент времени. В малых вещах он разделяет ту волю, посредством которой высшее существо изменяется и меняется, действует и живет.

Таким образом, мы получаем концепцию жизни, изменяющейся и развивающейся в целом, жизни, в которой наше разделение, прекращение и мимолетность являются лишь кажущимися, но которая в своих событиях и ходе изменяется, меняется, развивается; и сила изменения и преобразования этого целого заключается в воле и силе, которыми ограниченное существо обладает для направления, руководства, изменения самого себя в мелких вещах своего существования.

Перенося наши концепции на концепции существования в высшей размерности, пересекаемой пространством сознания, мы получаем иллюстрацию мысли, которая находила частое и разнообразное выражение. Однако, когда мы спрашиваем себя, какая степень истины в ней заключена, мы должны признать, что, насколько мы можем видеть, она является лишь символической. Истинный путь в исследовании высшей размерности лежит в другом направлении.

Значение парменидовской доктрины заключается в том, что здесь, как и снова и снова, мы обнаруживаем, что те концепции, которые человек вводит сам, которые он не выводит из простой записи своего внешнего опыта, имеют поразительное и значимое соответствие с концепцией физического существования в мире высшего пространства. Насколько близко мы подходим к мысли Парменида этим способом представления, сказать невозможно. Что я хочу отметить, так это адекватность иллюстрации, не только для того, чтобы дать статическую модель его доктрины, но и такую, которая способна, так сказать, к пластической модификации в соответствие с родственными формами мысли. Либо одно из двух должно быть истинным — либо четырехмерные концепции дают удивительную силу представления мысли Востока, либо мыслители Востока должны были смотреть на четырехмерное существование и рассматривать его.

Переходя теперь к основному потоку мысли, мы должны подробно остановиться на Пифагоре, не из-за его прямого отношения к предмету, а из-за его отношения к исследователям, которые пришли позже.

Пифагор изобрел двухсторонний счет. Давайте представим односторонний счет позициями aa, ab, ac, ad, используя эти пары букв вместо чисел 1, 2, 3, 4. Я ставлю «a» в каждом случае первым по причине, которая сразу станет ясной.

У нас есть последовательность и порядок. Здесь не обязательно задействована концепция расстояния. Разница между позициями — это разница порядка, а не расстояния; только при отождествлении с числом равных материальных вещей, находящихся в соположении, возникает понятие расстояния.

Теперь, помимо простого ряда, я могу иметь, начиная с aa, ba, ca, da, с ab, bb, cb, db и так далее, формируя схему:

da db dc dd

ca cb cc cd

ba bb bc bd

aa ab ac ad

Этот комплекс или многообразие дает двухсторонний порядок. Я могу представить его набором точек, если буду остерегаться предположения о каком-либо отношении расстояния.

Fig. 15.

Пифагор изучал этот двоякий способ счета применительно к материальным телам и открыл то самое замечательное свойство комбинации числа и материи, которое носит его имя.

Пифагорейское свойство протяженной материальной системы может быть продемонстрировано способом, который будет полезен нам впоследствии, и который поэтому я буду использовать сейчас вместо того, чтобы использовать тот вид фигуры, который использовал он сам.

Рассмотрим двухстороннее поле точек, расположенных правильными рядами. Такое поле будет предполагаться в следующем аргументе.

Fig. 16.

Очевидно, что на рис. 16 четыре точки определяют квадрат, который мы можем принять за единицу измерения площадей. Но мы можем измерять площади и другим способом.

Рис. 16 (1) показывает четыре точки, определяющие квадрат.

Но четыре квадрата также сходятся в одной точке, рис. 16 (2).

Следовательно, точка в углу квадрата в равной степени принадлежит четырем квадратам.

Таким образом, мы можем сказать, что точечное значение показанного квадрата равно одной точке, ибо если мы возьмем квадрат на рис. 16 (1), он имеет четыре точки, но каждая из них в равной степени принадлежит четырем другим квадратам. Следовательно, одна четвертая каждой из них принадлежит квадрату (1) на рис. 16. Таким образом, точечное значение квадрата равно одной точке.

Результат подсчета точек такой же, как и тот, который получен при подсчете заключенных в них квадратных единиц.

Следовательно, если мы хотим измерить площадь любого квадрата, мы можем взять число точек, которые он заключает, посчитать их как по одной, и взять одну четвертую числа точек в его углах.

Fig. 17.

Теперь нарисуйте диагональный квадрат, как показано на рис. 17. Он содержит одну точку, а четыре угла дают еще одну точку; следовательно, его точечное значение равно 2. Значение является мерой его площади — размер этого квадрата равен двум единичным квадратам.