«Четвертое измерение»

Таким образом, мы получили номенклатуру для каждой из областей тессеракта; мы можем говорить о любой из восьми ограничивающих кубов, двадцати квадратных гранях, тридцати двух линиях, шестнадцати точках.

ГЛАВА XIII ЗАМЕЧАНИЯ К РИСУНКАМ

Изучение вышеприведенных рисунков даст ответ на многие вопросы о тессеракте. Если у нас есть тессеракт размером один дюйм в каждую сторону, то он может быть представлен как куб — куб, имеющий белую, желтую, красную оси, и от этого куба как начала — объем, простирающийся в четвертое измерение. Теперь предположим, что тессеракт проходит поперечно нашему пространству, куб красной, желтой, белой осей исчезает сразу, он бесконечно тонок в четвертом измерении. Его место занимают те части тессеракта, которые лежат дальше от нашего пространства в четвертом измерении. Каждое из этих сечений будет длиться только один момент, но все они вместе займут некоторое заметное время при прохождении. Если мы возьмем скорость один дюйм в минуту, сечения будут проходить через наше пространство всю минуту, они займут всю минуту, за исключением момента, который начальный куб и конечный куб занимают при пересечении нашего пространства. В каждом из кубов, сечениях кубов, мы можем провести линии во всех направлениях, кроме направления, занятого синей линией, четвертым измерением; линии в этом направлении представлены переходом от одного сечения куба к другому. Таким образом, чтобы дать себе адекватное представление о тессеракте, мы должны иметь безграничное количество сечений кубов, промежуточных между первым ограничивающим кубом, охристым кубом, и последним ограничивающим кубом, другим охристым кубом. Практически три промежуточных сечения куба будут признаны достаточными для большинства целей. Мы возьмем тогда серию из пяти фигур — два терминальных куба и три промежуточных сечения — и покажем, как различные области появляются в нашем пространстве, когда мы берем каждый набор из трех из четырех осей тессеракта как лежащие в нашем пространстве.

На рис. 107 используются начальные буквы для цветов. Ссылка на рис. 103 покажет полную номенклатуру, которая здесь лишь обозначена.

Fig. 107.

На этом рисунке тессеракт показан на пяти стадиях, удаленных от нашего пространства: первая — ноль; вторая — 1/4 дюйма; третья — 2/4 дюйма; четвертая — 3/4 дюйма; пятая — 1 дюйм; которые называются b0, b1, b2, b3, b4, потому что они являются сечениями, взятыми на расстояниях 0, 1, 2, 3, 4 четверти дюйма вдоль синей линии. Все области могут быть названы от первого куба, куба b0, как и раньше, просто помня, что перенос вдоль оси b дает добавление синего к цвету области в охристом, кубе b0. В конечном кубе b4 окраска исходного куба b0 повторяется. Таким образом, красная линия, перемещенная вдоль синей оси, дает красный и синий или пурпурный квадрат. Этот пурпурный квадрат появляется как три пурпурные линии в сечениях b1, b2, b3, взятых на 1/4, 2/4, 3/4 дюйма в четвертом измерении. Если тессеракт движется поперечно нашему пространству, мы имеем тогда в этой конкретной области, во-первых, красную линию, которая длится мгновение, во-вторых, пурпурную линию, которая занимает ее место. Эта пурпурная линия длится минуту — то есть всю минуту, за исключением момента, занятого пересечением нашего пространства начальной и конечной красной линией. После того как пурпурная линия просуществовала этот период, ее сменяет красная линия, которая длится мгновение; затем она исчезает, и тессеракт прошел через наше пространство. Финальную красную линию мы называем «красная bl.», потому что она отделена от начальной красной линии расстоянием вдоль оси, для которой мы используем цвет синий. Таким образом, линия, которая длится, представляет длительность площади; в этом способе представления эквивалентна измерению пространства. Таким же образом белая линия во время пересечения нашего пространства тессерактом сменяется светло-синей линией, которая длится внутри минуты, и когда тессеракт покидает наше пространство, пересекши его, белая bl. линия появляется как финальное завершение.

Возьмем теперь розовую грань. Перемещенная в синем направлении, она описывает светло-пурпурный куб. Этот светло-пурпурный куб показан в сечениях в b1, b2, b3, а дальняя грань этого куба в синем направлении показана в b4 — розовая грань, называемая «розовая b», потому что она удалена от розовой грани, с которой мы начали, в синем направлении. Таким образом, куб, который мы окрашиваем в светло-пурпурный цвет, появляется как длящийся квадрат. Сама квадратная грань, розовая грань, исчезает мгновенно, как только тессеракт начинает двигаться, но светло-пурпурный куб появляется как длящийся квадрат. Здесь также длительность является эквивалентом измерения пространства — длящийся квадрат есть куб. Полезно связать эти диаграммы с видами, данными в цветной таблице.

Возьмем снова оранжевую грань, ту, что определена красной и желтой осями; от нее идет коричневый куб в синем направлении, ибо красный, желтый и синий, как предполагается, составляют коричневый. Этот коричневый куб показан в трех сечениях на гранях b1, b2, b3. В b4 находится противоположная оранжевая грань коричневого куба, грань, называемая «оранжевая b», ибо она удалена в синем направлении от оранжевой грани. Когда тессеракт проходит поперечно нашему пространству, мы имеем тогда в этой области мгновенно исчезающий оранжевый квадрат, за которым следует длящийся коричневый квадрат, и, наконец, оранжевая грань, которая исчезает мгновенно.

Теперь, поскольку любые три оси будут в нашем пространстве, давайте отправим белую ось в неизвестное, четвертое измерение, и возьмем синюю ось в наше известное пространственное измерение. Поскольку белая и синяя оси перпендикулярны друг другу, если белая ось уходит в четвертое измерение в положительном смысле, синяя ось придет в направление, которое занимала белая ось, в отрицательном смысле.

Fig. 108.

Следовательно, чтобы не усложнять дело необходимостью думать о двух смыслах в неизвестном направлении, давайте отправим белую линию в положительный смысл четвертого измерения, а синюю возьмем как идущую в отрицательном смысле того направления, которое покинула белая линия; пусть синяя линия, то есть, идет влево. Теперь у нас есть ряд фигур на рис. 108. Пунктирный куб показывает, где у нас был куб, когда белая линия шла в нашем пространстве — теперь он повернулся из нашего пространства, и другая твердая граница, другая кубическая грань тессеракта входит в наше пространство. Этот куб имеет красную и желтую оси, как и раньше; но теперь, вместо белой оси, идущей вправо, есть синяя ось, идущая влево. Здесь мы можем различать области по цветам совершенно систематическим образом. Красная линия описывает пурпурный квадрат при переносе вдоль синей оси, которым этот куб порождается из оранжевой грани. Этот пурпурный квадрат, созданный движением красной линии, — та же пурпурная грань, которую мы видели раньше как серию линий в сечениях b1, b2, b3. Здесь, поскольку обе оси — красная и синяя — находятся в нашем пространстве, нам не нужна длительность, чтобы представить площадь, которую они определяют. При движении тессеракта через пространство эта пурпурная грань мгновенно исчезла бы.

От оранжевой грани, которая является общей для начальных кубов на рис. 107 и рис. 108, идет в синем направлении куб, окрашенный в коричневый цвет. Этот коричневый куб теперь весь в нашем пространстве, потому что каждая из его трех осей идет в пространственных направлениях: вверх, в сторону, влево. Это тот же коричневый куб, который появлялся как последовательные грани на сечениях b1, b2, b3. Имея все свои три оси в нашем пространстве, он дан в протяженности; никакая его часть не нуждается в представлении как последовательность. Тессеракт теперь находится в новом положении по отношению к нашему пространству, и когда он движется через наше пространство, коричневый куб мгновенно исчезает.

Чтобы показать другие области тессеракта, мы должны помнить, что теперь белая линия идет в неизвестном измерении. Где мы поместим сечения на расстояниях вдоль линии? Любое произвольное положение в нашем пространстве подойдет: нет способа, которым мы могли бы представить их реальное положение.

Однако, поскольку коричневый куб отходит от оранжевой грани влево, давайте поместим эти последовательные сечения влево. Мы можем назвать их wh0, wh1, wh2, wh3, wh4, потому что они являются сечениями вдоль белой оси, которая теперь идет в неизвестном измерении.

Идя от пурпурного квадрата в белом направлении, мы находим светло-пурпурный куб. Он представлен в сечениях wh1, wh2, wh3, wh4, рис. 108. Это тот же куб, который представлен в сечениях b1, b2, b3: на рис. 107 красная и белая оси находятся в нашем пространстве, синяя — вне его; в другом случае красная и синяя находятся в нашем пространстве, белая — вне его. Очевидно, что грань pink y, противоположная розовой грани на рис. 107, создает куб, показанный квадратами в b1, b2, b3, b4, на противоположной стороне от l. пурпурных квадратов. Также светло-желтая грань в основании куба b0 создает светло-зеленый куб, показанный как серия базовых квадратов.

Тот же светло-зеленый куб можно найти на рис. 107. Базовый квадрат в wh0 — это зеленый квадрат, ибо он ограничен синей и желтой осями. От него идет куб в белом направлении, это тогда светло-зеленый куб и тот же самый, что был упомянут как существующий в сечениях b0, b1, b2, b3, b4.

Случай, однако, немного другой с коричневым кубом. Этот куб мы имеем целиком в пространстве в сечении wh0, рис. 108, в то время как он существует как серия квадратов, левосторонних, в сечениях b0, b1, b2, b3, b4. Коричневый куб существует как твердое тело в нашем пространстве, как показано на рис. 108. В способе представления тессеракта, показанном на рис. 107, тот же коричневый куб появляется как последовательность квадратов. То есть, когда тессеракт движется через пространство, коричневый куб был бы для нас фактически квадратом — он был бы лишь длящейся границей другого твердого тела. Он не имел бы никакой толщины вообще, только протяженность в двух измерениях, и его длительность показала бы его твердость в трех измерениях.

Очевидно, что если существует четырехмерное пространство, материя только в трех измерениях является лишь абстракцией; все материальные объекты должны тогда иметь небольшую четырехмерную толщину. В этом случае вышеприведенное утверждение претерпит модификацию. Материальный куб, который используется как модель границы тессеракта, будет иметь небольшую толщину в четвертом измерении, и когда куб представлен нам в другом аспекте, он не был бы просто поверхностью. Но наиболее удобно рассматривать кубы, которые мы используем, как не имеющие вообще никакой протяженности в четвертом измерении. Это соображение служит для того, чтобы выделить момент, упомянутый ранее, что если существует четвертое измерение, наша концепция твердого тела — это концепция лишь абстракции, и наши разговоры о реальных трехмерных объектах казались бы четырехмерному существу столь же неверными, как нам казались бы рассказы двухмерного существа о реальных квадратах, реальных треугольниках и т. д.

Рассмотрение двух видов коричневого куба показывает, что любое сечение куба может быть рассмотрено представлением куба в другом положении в четырехмерном пространстве. Коричневые грани в b1, b2, b3 — это те самые коричневые сечения, которые были бы получены разрезанием коричневого куба, wh0, поперек на правильных расстояниях вдоль синей линии, как показано на рис. 108. Но поскольку эти сечения помещены в коричневый куб, wh0, они идут друг за другом в синем направлении. Теперь, в сечениях wh1, wh2, wh3, мы смотрим на эти сечения из белого направления — синее направление не существует в этих фигурах. Поэтому мы видим их в направлении под прямым углом к тому, в котором они встречаются друг за другом в wh0. Существуют промежуточные виды, которые пришли бы при вращении тессеракта. Эти коричневые квадраты могут быть рассмотрены с направлений, промежуточных между белой и синей осями. Следует помнить, что четвертое измерение перпендикулярно одинаково всем трем пространственным осям. Следовательно, мы должны брать комбинации синей оси с каждыми двумя из наших трех осей: белой, красной, желтой — по очереди.

На рис. 109 мы берем красную, белую и синюю оси в пространстве, отправляя желтую в четвертое измерение. Если она идет в положительный смысл четвертого измерения, синяя линия придет в противоположном направлении к тому, в котором шла желтая линия раньше. Следовательно, куб, определенный белой, красной, синей осями, начнется от розовой плоскости и пойдет к нам. Пунктирный куб показывает, где был охристый куб. Когда он повернут из пространства, куб, идущий к нам от своей передней грани, — это тот, который входит в наше пространство при этом повороте. Поскольку желтая линия теперь идет в неизвестном измерении, мы называем сечения y0, y1, y2, y3, y4, так как они сделаны на расстояниях 0, 1, 2, 3, 4 четверти дюйма вдоль желтой линии. Мы предполагаем, что эти кубы расположены в линию, идущую к нам, — не то чтобы это было более естественно, чем любая другая произвольная серия положений, но это согласуется с планом, принятым ранее.

Fig. 109.

Внутренняя часть первого куба, y0, — это та, что получена из розовой путем добавления синего, или, как мы называем ее, светло-пурпурная. Грани куба — светло-синяя, пурпурная, розовая. Как нарисовано, мы можем видеть только грань, ближайшую к нам, которая не является той, от которой куб начинается, — но грань на противоположной стороне имеет то же цветовое название, что и грань к нам.

Последовательные сечения серии, y0, y1, y2 и т. д., могут рассматриваться как полученные из сечений куба b0, сделанных на расстояниях вдоль желтой оси. Что находится на расстоянии четверти дюйма от розовой грани в желтом направлении? На этот вопрос отвечают взятием сечения из точки на четверть дюйма вдоль желтой оси в кубе b0, рис. 107. Это охристое сечение с оранжевыми и светло-желтыми линиями. Это сечение, следовательно, займет место розовой грани в y1, когда мы пойдем дальше в желтом направлении. Таким образом, первое сечение, y1, начнется от охристой грани со светло-желтыми и оранжевыми линиями. Цвет оси, которая лежит в пространстве к нам, — синий, следовательно, области этого сечения-куба определены в номенклатуре, они будут найдены полностью на рис. 105.

Остается нарисовать только одну фигуру, и это та, в которой красная ось заменена синей. Здесь, как и раньше, если красная ось уходит в положительный смысл четвертого измерения, синяя линия должна прийти в наше пространство в отрицательном смысле направления, которое покинула красная линия. Соответственно, первый куб придет под положение нашего охристого куба, того, с которого мы имели привычку начинать.

Fig. 110.

Чтобы показать эти фигуры, мы должны предположить, что охристый куб находится на подвижной подставке. Когда красная линия выкачивается в неизвестное измерение, а синяя линия приходит вниз, куб появляется под местом, занятым охристым кубом. Пунктирный куб показывает, где был охристый куб. Этот куб ушел, и другой куб идет вниз от его основания. Этот куб имеет белую, желтую и синюю оси. Его верх — светло-желтый квадрат, и поэтому его внутренняя часть — светло-желтый + синий или светло-зеленый. Его передняя грань образована белой линией, движущейся вдоль синей оси, и поэтому она светло-синяя, левая сторона образована желтой линией, движущейся вдоль синей оси, и поэтому зеленая.

Поскольку красная линия теперь идет в четвертом измерении, последовательные сечения могут быть названы r0, r1, r2, r3, r4, эти буквы указывают, что на расстояниях 0, 1/4, 2/4, 3/4, 1 дюйм вдоль красной оси мы берем все от тессеракта, что может быть найдено в трехмерном пространстве, это трехмерное пространство не простирается вовсе в четвертом измерении, но вверх и вниз, вправо и влево, далеко и близко.

Мы можем видеть, что должно заменить светло-желтую грань r0, когда приходит сечение r1, посмотрев на куб b0, рис. 107. Что находится в нем на расстоянии одной четверти дюйма от светло-желтой грани в красном направлении? Это охристое сечение с оранжевыми и розовыми линиями и красными точками; см. также рис. 103.

Этот квадрат тогда формирует верхний квадрат r1. Теперь мы можем определить номенклатуру всех областей r1, рассматривая, что было бы сформировано движением этого квадрата вдоль синей оси.

Но мы можем принять другой план. Давайте возьмем горизонтальное сечение r0 и, найдя это сечение на фигурах рис. 107 или рис. 103, из них определим, что заменит его, идя дальше в красном направлении.

Сечение куба r0 имеет зеленые, светло-синие, зеленые, светло-синие стороны и синие точки.

Теперь этот квадрат встречается на основании каждой из фигур сечений, b1, b2 и т. д. В них мы видим, что в 1/4 дюйма в красном направлении от него лежит сечение с коричневыми и светло-пурпурными линиями и пурпурными углами, внутренняя часть — светло-коричневая. Следовательно, это номенклатура сечения, которое в r1 заменяет сечение r0, сделанное из точки вдоль синей оси.

Следовательно, окраска, как дана, может быть выведена.

Таким образом, мы получили идеально названную группу тессерактов. Мы можем взять группу из восьмидесяти одного из них, 3 × 3 × 3 × 3, в четырех измерениях, и каждый тессеракт будет иметь свое название: нуль, красный, белый, желтый, синий и т. д., и какой бы кубический вид мы ни взяли из них, мы можем точно сказать, с какими сторонами тессерактов мы имеем дело и как они касаются друг друга. [5]

[5] В этом месте читатель найдет выгодным, если у него есть модели, пройти через манипуляции, описанные в приложении.

Таким образом, например, если у нас есть шестнадцать тессерактов, показанных ниже, мы можем спросить, как «нуль» касается «синего».

Fig. 111.

В расположении, представленном на рис. 111, мы имеем оси: белую, красную, желтую в пространстве, а синяя проходит в четвертом измерении. Следовательно, в качестве оснований у нас выступают охристые кубы. Представьте теперь, что тессерактная группа проходит поперечно нашему пространству — прежде всего мы имеем нулевой охристый куб, белый охристый куб и т. д.; они мгновенно исчезают, и мы получаем сечение, показанное на среднем кубе на рис. 103, и, наконец, как раз когда тессерактный блок переместился на один дюйм поперечно нашему пространству, мы имеем нулевой охристый куб, а сразу после него появляется охристый куб синего цвета. Следовательно, тессерактный нуль соприкасается с тессерактным синим своим охристым кубом, который находится в контакте каждой своей точкой с охристым кубом синего цвета.

Как нуль соприкасается с белым, можем мы спросить? Глядя на начало A, рис. 111, где у нас расположены охристые кубы, мы видим, что нулевой охристый соприкасается с белым охристым оранжевой гранью. Теперь давайте создадим нулевой и белый тессеракты путем движения каждого из этих кубов в синем направлении. Каждый из них порождает соответствующий тессеракт, а плоскость контакта кубов порождает куб, посредством которого тессеракты находятся в контакте. Теперь оранжевая плоскость, перемещаемая вдоль синей оси, порождает коричневый куб. Следовательно, нуль соприкасается с белым посредством коричневого куба.

Fig. 112.

Если мы снова спросим, как красный соприкасается со светло-синим тессерактом, давайте перегруппируем нашу группу, рис. 112, или, вернее, повернем ее так, чтобы получить другой пространственный вид; пусть красная и белая оси идут вверх и вправо, а синяя ось входит в пространство по направлению к нам, тогда желтая ось проходит в четвертом измерении. У нас тогда есть два блока, в которых заданы ограничивающие кубы тессерактов, по-разному расположенные по отношению к нам — расположение на самом деле то же самое, но нам оно кажется иным. Начиная от плоскости красной и белой осей, мы имеем четыре квадрата нулевого, белого, красного, розового тессерактов, как показано в A, на красно-белой плоскости, без изменений, только теперь из них выходит к нам синяя ось. Следовательно, мы имеем нулевой, белый, красный, розовый тессеракты в контакте с нашим пространством своими кубами, которые содержат красно-бело-синюю ось, то есть светло-пурпурными кубами. Следуя за этими четырьмя тессерактами, мы имеем те, что идут следующими за ними в синем направлении, то есть четыре: синий, светло-синий, пурпурный, светло-пурпурный. Они также находятся в контакте с нашим пространством своими светло-пурпурными кубами, так что мы видим блок, как названо на рисунке, каждый куб которого определен красно-бело-синими осями.

Желтая линия теперь выходит из пространства; соответственно, на один дюйм дальше в четвертом измерении мы приходим к тессерактам, которые следуют за восемью названными в C, рис. 112, в желтом направлении.

Они показаны в C.y1, рис. 112. Между рисунком C и C.y1 находится та четырехмерная масса, которая образована перемещением каждого из кубов в C на один дюйм в четвертом измерении — то есть вдоль желтой оси; ибо желтая ось теперь проходит в четвертом измерении.

В блоке C мы наблюдаем, что красный (светло-пурпурный куб) соприкасается со светло-синим (светло-пурпурный куб) в точке. Теперь эти два куба, двигаясь вместе, остаются в контакте в течение периода, в который они вычерчивают тессеракты красный и светло-синий. Это движение происходит вдоль желтой оси, следовательно, красный и светло-синий соприкасаются по желтой линии.

Мы видели, что розовая грань, перемещенная в желтом направлении, вычерчивает куб; перемещенная в синем направлении, она также вычерчивает куб. Давайте спросим, что вычертит розовая грань, если ее переместить в направлении внутри тессеракта, лежащем поровну между желтым и синим направлениями. Какое сечение тессеракта она образует?

Мы сначала рассмотрим только красную линию. Давайте возьмем куб с красной линией в нем и желтой и синей осями.

Fig. 113.

Куб с желтой, красной, синей осями показан на рис. 113. Если красная линия перемещается поровну в желтом и в синем направлении четырьмя равными движениями по 1/4 дюйма каждое, она занимает положения 11, 22, 33 и заканчивается как красная линия.

Теперь весь этот красно-желто-синий или коричневый куб представляется как серия граней на последовательных сечениях тессеракта, начиная с охристого куба и позволяя синей оси проходить в четвертом измерении. Следовательно, плоскость, вычерченная красной линией, представляется как серия линий в последовательных сечениях, в нашем обычном способе представления тессеракта; эти линии находятся в разных местах в каждом последовательном сечении.

Fig. 114.

Таким образом, рисуя наш начальный куб и последовательные сечения, называя их b0, b1, b2, b3, b4, рис. 115, мы имеем красную линию, подверженную этому движению, появляющуюся в указанных положениях.

Теперь мы исследуем, какие положения в тессеракте принимает другая линия в розовой грани, когда она перемещается подобным образом.

Возьмем сечение исходного куба, содержащее вертикальную линию 4 в розовой плоскости, рис. 115. Мы имеем в сечении желтое направление, но не синее.

Из этого сечения в четвертое измерение уходит куб, который образован перемещением каждой точки сечения в синем направлении.

Fig. 115.

Fig. 116.

Рисуя этот куб, мы получаем рис. 116.

Теперь этот куб встречается как серия сечений в нашем первоначальном представлении тессеракта. Сделав четыре шага, как прежде, этот куб представляется как сечения, нарисованные в b0, b1, b2, b3, b4, рис. 117, и если линия 4 подвергается движению, равному в синем и желтом направлениях, она займет положения, обозначенные 4, 41, 42, 43, 44.

Fig. 117.

Следовательно, рассуждая подобным образом о каждой линии, очевидно, что, будучи перемещенной поровну в синем и желтом направлениях, розовая плоскость вычертит пространство, которое показано серией плоскостей сечения, представленных на диаграмме.

Таким образом, пространство, вычерченное розовой гранью, если она перемещается поровну в желтом и синем направлениях, представлено набором плоскостей, очерченных на рис. 118, розовая грань или 0, затем 1, 2, 3 и, наконец, розовая грань или 4. Это тело является диагональным телом тессеракта, идущим от розовой грани к розовой грани. Его длина — это длина диагонали квадрата, его сторона — квадрат.

Давайте теперь рассмотрим неограниченное пространство, которое возникает из расширенной розовой грани.

Это пространство, если оно уходит в желтом направлении, дает нам в нем охристый куб тессеракта. Таким образом, если у нас дана розовая грань и точка в охристом кубе, мы определили это конкретное пространство.

Аналогично, уходя от розовой грани в синем направлении, мы имеем другое пространство, которое дает нам в нем светло-пурпурный куб тессеракта. И если взять любую точку в светло-пурпурном кубе, это пространство, уходящее от розовой грани, фиксируется.

Fig. 118.

Пространство, о котором мы говорим, можно представить как вращающееся вокруг розовой грани, и в каждом из своих положений оно вырезает твердую фигуру из тессеракта, одну из которых мы видели представленной на рис. 118.

Каждая из этих твердых фигур задается одним положением вращающегося пространства, и только одним. Следовательно, в каждой из них, если взята одна точка, фиксируется конкретное из наклонных пространств. Таким образом, мы видим, что при заданных плоскости и точке вне ее пространство определено.

Теперь, две точки определяют линию.

Снова подумайте о линии и точке вне ее. Представьте плоскость, вращающуюся вокруг линии. В какой-то момент своего вращения она проходит через точку. Таким образом, линия и точка, или три точки, определяют плоскость. И, наконец, четыре точки определяют пространство. Мы видели, что плоскость и точка определяют пространство, а три точки определяют плоскость; так что четыре точки будут определять пространство.

Эти четыре точки могут быть любыми точками, и мы можем взять, например, четыре точки на концах красной, белой, желтой, синей осей в тессеракте. Они определят пространство, наклоненное по отношению к пространствам сечения, которые мы рассматривали ранее. Это пространство разрежет тессеракт на определенную фигуру.

Одно из простейших сечений куба плоскостью — это то, в котором плоскость проходит через концы трех ребер, сходящихся в одной точке. Мы сразу видим, что эта плоскость разрезала бы куб на треугольник, но мы пройдем через процесс, с помощью которого плоское существо наиболее удобно решило бы задачу определения этой формы, чтобы мы могли применить этот метод к определению фигуры, в которой пространство разрезает тессеракт, когда оно проходит через 4 точки на единичном расстоянии от угла.

Мы знаем, что две точки определяют линию, три точки определяют плоскость, и при заданных любых двух точках в плоскости линия между ними лежит целиком в плоскости.

Fig. 119.

Пусть теперь плоское существо изучит сечение, сделанное плоскостью, проходящей через точки nullr, nullwh и nully, рис. 119. Глядя на оранжевый квадрат, который, как обычно, мы предполагаем изначально находящимся в его плоскости, он видит, что линия от nullr к nully, которая является линией в плоскости сечения, а именно плоскости через три конца ребер, сходящихся в null, разрезает оранжевую грань по оранжевой линии с точками null. Это, таким образом, одна из границ фигуры сечения.

Пусть теперь куб будет повернут так, чтобы розовая грань оказалась в его плоскости. Точки nullr и nullwh теперь видны. Линия между ними розовая с точками null, и поскольку эта линия общая для поверхности куба и секущей плоскости, она является границей фигуры, в которой плоскость разрезает куб.

Снова предположим, что куб повернут так, что светло-желтая грань находится в контакте с плоскостью плоского существа. Он видит две точки, nullwh и nully. Линия между ними лежит в секущей плоскости. Следовательно, поскольку три секущие линии встречаются и заключают часть куба между собой, он определил фигуру, которую искал. Это треугольник с оранжевыми, розовыми и светло-желтыми сторонами, все равные, и заключающий охристую площадь.

Давайте теперь определим, в какой фигуре пространство, определенное четырьмя точками nullr, nully, nullwh, nullb, разрезает тессеракт. Мы можем видеть три из этих точек в первичном положении тессеракта, опирающегося на наш твердый лист охристым кубом. Эти три точки определяют плоскость, которая лежит в пространстве, которое мы рассматриваем, и эта плоскость разрезает охристый куб на треугольник, внутренность которого охристая (рис. 119 послужит для этого вида), с розовыми, светло-желтыми и оранжевыми сторонами и точками null. Идя в четвертом направлении, в одном смысле, от этой плоскости мы переходим в тессеракт, в другом смысле мы удаляемся от него. Вся площадь внутри треугольника общая для секущей плоскости, которую мы видим, и границы тессеракта. Следовательно, мы заключаем, что нарисованный треугольник общий для тессеракта и секущего пространства.

Fig. 120.

Теперь пусть охристый куб повернется наружу, а коричневый куб войдет. Пунктирные линии показывают положение, которое охристый куб покинул (рис. 120).

Здесь мы видим три из четырех точек, через которые проходит секущая плоскость: nullr, nully и nullb. Плоскость, которую они определяют, лежит в секущем пространстве, и эта плоскость вырезает из коричневого куба треугольник с оранжевыми, пурпурными и зелеными сторонами и точками null. Оранжевая линия этой фигуры та же самая, что и оранжевая линия на последнем рисунке.

Теперь пусть светло-пурпурный куб повернется в наше пространство, по направлению к нам, рис. 121.

Fig. 121.

Секущее пространство, которое проходит через четыре точки nullr, y, wh, b, проходит через nullr, wh, b, и поэтому плоскость, которую они определяют, лежит в секущем пространстве.

Этот треугольник лежит перед нами. Он имеет светло-пурпурную внутренность и розовые, светло-синие и пурпурные ребра с точками null.

Это, поскольку это все от плоскости, что является общим для нее, и это ограничение тессеракта, дает нам одну из ограничивающих граней нашей фигуры сечения. Розовая линия в нем та же самая, что и розовая линия, которую мы нашли на первом рисунке — охристого куба.

Наконец, пусть тессеракт повернется вокруг светло-желтой плоскости, так что светло-зеленый куб войдет в наше пространство. Он будет указывать вниз.

Fig. 122.

Три точки, n.y, n.wh, n.b, находятся в секущем пространстве, и треугольник, который они определяют, является общим для тессеракта и секущего пространства. Следовательно, эта граница — треугольник, имеющий светло-желтую линию, которая та же самая, что и светло-желтая линия первого рисунка, светло-синюю линию и зеленую линию.

Мы теперь проследили секущее пространство между каждым набором из трех, который можно составить из четырех точек, в которых оно разрезает тессеракт, и получили четыре грани, которые все соединяются друг с другом линиями.

Fig. 123.

Треугольники показаны на рис. 123, как они соединяются с треугольником в охристом кубе. Но они соединяются каждый с другим в точно такой же манере; их ребра все идентичны попарно. Они образуют замкнутую фигуру, тетраэдр, заключающий светло-коричневую часть, которая является частью секущего пространства, лежащей внутри тессеракта.

Мы не можем ожидать увидеть эту светло-коричневую часть, не более, чем плоское существо могло бы ожидать увидеть внутренность куба, если бы его угол был просунут через его плоскость. Все, что он может сделать, — это наткнуться на его границы иным способом, чем тот, которым он сделал бы это, если бы он прошел прямо через его плоскость.

Таким образом, в этом твердом сечении вся внутренность лежит совершенно открытой в четвертом измерении. Как бы мы ни обходили его, мы просто смотрим на границы тессеракта, который проникает через наш твердый лист. Если бы тессеракт не прошел так далеко, треугольник был бы меньше; если бы он прошел дальше, мы имели бы другую фигуру, очертания которой можно определить подобным образом.

Предыдущий метод открыт для возражения, что он зависит скорее от нашего вывода о том, что должно быть, чем от нашего видения того, что есть. Давайте поэтому рассмотрим наше пространство сечения как состоящее из ряда плоскостей, каждая очень близка к предыдущей, и понаблюдаем, что можно найти в каждой плоскости.

Fig. 124.

Соответствующий метод в случае двух измерений следующий: плоское существо может видеть ту линию секущей плоскости через nully, nullwh, nullr, которая лежит в оранжевой плоскости. Пусть он теперь предположит, что куб и секущая плоскость проходят наполовину через его плоскость. Заменяя красную и желтую оси, идут линии, параллельные им, сечения розовой и светло-желтой граней.

Где секущая плоскость разрежет эти параллели к красной и желтой осям?

Пусть он предположит, что куб в положении рисунка, рис. 124, повернут так, что розовая грань лежит против его плоскости. Он может видеть линию от точки nullr до точки nullwh и может видеть (сравните рис. 119), что она разрезает AB, параллель к его красной оси, проведенную в точке на полпути вдоль белой линии, в точке B, на полпути вверх. Я буду говорить об оси как имеющей длину ребра куба. Аналогично, позволяя кубу повернуться так, чтобы светло-желтый квадрат качнулся против его плоскости, он может видеть (сравните рис. 119), что параллель к его желтой оси, проведенная из точки на полпути вдоль белой оси, разрезается на половине своей длины следом секущей плоскости в светло-желтой грани.

Следовательно, когда куб прошел наполовину, он имел бы — вместо оранжевой линии с точками null, которую он имел сначала, — охристую линию половинной длины с розовыми и светло-желтыми точками. Таким образом, по мере того как куб медленно проходил через его плоскость, он имел бы последовательность линий, постепенно уменьшающихся в длине и образующих равносторонний треугольник. Вся внутренность была бы охристой, линия, с которой он начал, была бы оранжевой. Последовательность точек на концах последующих линий образовала бы розовые и светло-желтые линии, и конечной точкой была бы null. Таким образом, глядя на последовательные линии в секущей плоскости, по мере того как она и куб проходили через его плоскость, он определил бы фигуру, вырезанную по частям.

Переходя теперь к сечению тессеракта, давайте представим, что тессеракт и его секущее пространство медленно проходят через наше пространство; мы можем исследовать его части и их отношение к частям секущего пространства. Возьмем пространство сечения, которое проходит через четыре точки nullr, wh, y, b; мы можем видеть в охристом кубе (рис. 119) плоскость, принадлежащую этому пространству сечения, которая проходит через три конца красной, белой, желтой осей.

Теперь пусть тессеракт пройдет наполовину через наше пространство. Вместо наших исходных осей мы имеем параллели к ним, пурпурную, светло-синюю и зеленую, каждая той же длины, что и первые оси, ибо сечение тессеракта точно такой же формы, как его охристый куб.

Но пространство сечения, видимое на этой стадии переноса, не разрезало бы сечение тессеракта в плоскости, расположенной так, как сначала.

Чтобы увидеть, где пространство сечения разрезало бы эти параллели к исходным осям, пусть тессеракт качнется так, что, оранжевая грань оставаясь неподвижной, синяя линия входит влево.

Fig. 125.

Здесь (рис. 125) мы имеем точки nullr, y, b, и из пространства сечения все, что мы видим, — это плоскость через эти три точки в нем.

На этом рисунке мы можем провести параллели к красной и желтой осям и увидеть, что, если бы они начинались в точке на полпути вдоль синей оси, каждая из них была бы разрезана в точке так, чтобы быть половиной их предыдущей длины.

Качая тессеракт в наше пространство вокруг розовой грани охристого куба, мы аналогично находим, что параллель к белой оси разрезается на половине своей длины пространством сечения.

Fig. 126.

Следовательно, в сечении, сделанном, когда тессеракт прошел наполовину через наше пространство, параллели к красной, белой, желтой осям, которые теперь в нашем пространстве, разрезаются пространством сечения, каждая из них на полпути, и для этой стадии проходящего движения мы имели бы рис. 126. Сечение, сделанное этого куба плоскостью, в которой пространство сечения разрезает его, есть равносторонний треугольник с пурпурными, светло-синими, зелеными точками и светло-пурпурными, коричневыми, светло-зелеными линиями.

Таким образом, исходный охристый треугольник с точками null и розовыми, оранжевыми, светло-желтыми линиями сменился бы треугольником, окрашенным описанным только что образом.

Этот треугольник изначально был бы лишь очень немного меньше исходного треугольника, он постепенно уменьшался бы, пока не закончился бы в точке, точке null. Каждое из его ребер было бы той же длины. Таким образом, последовательные сечения последовательных плоскостей, на которые мы анализируем секущее пространство, были бы тетраэдром описанного вида (рис. 123), и вся внутренность тетраэдра была бы светло-коричневой.

Front view. The rear faces.

Fig. 127.

На рис. 127 тетраэдр представлен посредством своих граней как два треугольника, которые встречаются в p. линии, и два задних треугольника, которые соединяются с ними, причем диагональ розовой грани предполагается идущей вертикально вверх.

Мы теперь достигли естественного завершения. Читатель может изучить предмет в дальнейших деталях, но не найдет существенной новизны. Я заключаю указанием на то, каким образом фигуры, данные ранее, могут быть использованы при определении сечений методом, развитым выше.

Применяя этот метод к тессеракту, как представлено в главе IX, можно нарисовать сечения, сделанные пространством, разрезающим оси равноудаленно на любом расстоянии, а также сечения тессерактов, расположенных в блоке.

Если мы нарисуем плоскость, разрезающую все четыре оси в точке на расстоянии шести единиц от null, мы имеем наклонное пространство. Это пространство разрезает красную, белую, желтую оси в точках LMN (рис. 128), и так в области нашего пространства, прежде чем мы уйдем в четвертое измерение, мы имеем плоскость, представленную LMN расширенной. Это то, что является общим для наклонного пространства и нашего пространства.

Fig. 128.

Эта плоскость разрезает охристый куб на треугольник EFG.

Сравнивая это с (рис. 72) oh, мы видим, что шестиугольник, нарисованный там, является частью треугольника EFG.

Давайте теперь представим, что тессеракт и наклонное пространство вместе проходят поперечно нашему пространству на расстояние одной единицы, мы имеем в 1h сечение тессеракта, оси которого параллельны предыдущим осям. Наклонное пространство разрезает их на расстоянии пяти единиц вдоль каждой. Рисуя плоскость через эти точки в 1h, будет обнаружено, что она разрезает кубическое сечение тессеракта по нарисованной шестиугольной фигуре. В 2h (рис. 72) наклонное пространство разрезает параллели к осям на расстоянии четырех вдоль каждой, и шестиугольная фигура — это сечение этого сечения тессеракта им. Наконец, когда входит 3h, наклонное пространство разрезает оси на расстоянии трех вдоль каждой, и сечение — треугольник, из которого нарисованный шестиугольник является усеченной частью. После этого тессеракт, который простирается только на три единицы в каждом из четырех измерений, полностью прошел поперечно нашему пространству, и больше его нечего разрезать. Следовательно, складывая плоские сечения в правильных отношениях, мы имеем сечение, определенное конкретным наклонным пространством: а именно октаэдр.

ГЛАВА XIV. [6] РЕКАПИТУЛЯЦИЯ И РАСШИРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО АРГУМЕНТА

[6] Содержание этой главы взято из доклада, прочитанного перед Философским обществом Вашингтона. Математическая часть доклада частично появилась в Трудах Королевской ирландской академии под названием «Формулы ортогонального преобразования Кэли», 29 ноября 1903 г.

Существует два направления исследования, в которых можно вести поиск физической реальности четвертого измерения. Одно — это исследование бесконечно великого, другое — исследование бесконечно малого.

Путем измерения углов огромных треугольников, сторонами которых являются расстояния между звездами, астрономы пытались определить, есть ли какое-либо отклонение от значений, данных геометрическим выводом. Если углы небесного треугольника в сумме не равны двум прямым углам, это было бы доказательством физической реальности четвертого измерения.

Этот вывод заслуживает слова объяснения. Если пространство действительно четырехмерное, следуют определенные выводы, которые должны быть ясно представлены, если мы хотим четко сформулировать вопросы, которые мы задаем Природе. Чтобы объяснить наше ограничение, давайте предположим твердый материальный лист, против которого мы движемся. Этот лист должен простираться вдоль каждого объекта во всех направлениях, в которых он видимо движется. Каждое материальное тело должно скользить или перемещаться вдоль этого листа, не отклоняясь от контакта с ним в любом движении, которое мы можем наблюдать.

Необходимость этого предположения ясно видна, если мы рассмотрим аналогичный случай предполагаемого плоского мира. Если бы существовали какие-либо существа, чей опыт был ограничен плоскостью, мы должны были бы объяснить их ограничение. Если бы они были свободны двигаться в каждом пространственном направлении, они имели бы трехмерное движение; следовательно, они должны быть физически ограничены, и единственный способ, которым мы можем представить существование такого ограничения, — это посредством материальной поверхности, против которой они скользят. Существование этой поверхности могло быть известно им только косвенно. Она не лежит ни в каком направлении от них, в которое ведет их виды движения, о которых они знают. Если бы она была идеально гладкой и всегда в контакте с каждым материальным объектом, не было бы никакой разницы в их отношениях к ней, которая направила бы их внимание на нее.

Но если бы эта поверхность была искривлена — если бы она была, скажем, в форме огромной сферы — треугольники, которые они рисовали, были бы на самом деле треугольниками сферы, и когда эти треугольники достаточно велики, углы отклоняются от величин, которые они имели бы для тех же длин сторон, если бы поверхность была плоской. Следовательно, путем измерения треугольников очень большой величины плоское существо могло бы обнаружить отличие от законов плоского мира в своем физическом мире и таким образом прийти к заключению, что в реальности существовало другое измерение пространства — третье измерение — наряду с двумя, с которыми его обычный опыт делал его знакомым.

Теперь, астрономы сочли стоящим рассмотреть измерения огромных треугольников, проведенных от одного небесного тела к другому, с целью определить, есть ли что-то вроде кривизны в нашем пространстве — то есть, они пытались астрономическими измерениями выяснить, искривлен ли огромный твердый лист, против которого, при допущении четвертого измерения, все скользит, или нет. Эти результаты были отрицательными. Твердый лист, если он существует, не искривлен или, будучи искривленным, не имеет достаточной кривизны, чтобы вызвать какое-либо наблюдаемое отклонение от теоретического значения вычисленных углов.

Следовательно, исследование бесконечно великого не приводит к решающему критерию. Если бы это было так, мы должны были бы выбирать между настоящей теорией и теорией метагеометрии.

Переходя теперь к продолжению исследования в направлении бесконечно малого, мы должны поставить вопрос так: наши законы движения получены из исследования тел, которые движутся в трехмерном пространстве. Все наши концепции основаны на предположении пространства, которое представляется аналитически тремя независимыми осями и вариациями вдоль них — то есть, это пространство, в котором есть три независимых движения. Любое движение, возможное в нем, может быть составлено из этих трех движений, которые мы можем назвать: вверх, вправо, прочь.

Чтобы исследовать действия очень малых частей материи с целью установления, есть ли какое-либо свидетельство в явлениях для предположения четвертого измерения пространства, мы должны начать с ясного определения того, какими были бы законы механики при допущении четвертого измерения. Бесполезно спрашивать, похожи ли явления мельчайших частиц материи на — мы не знаем что. Мы должны иметь определенную концепцию того, какими были бы законы движения при допущении четвертого измерения, а затем спросить, напоминают ли явления активности меньших частиц материи концепции, которые мы разработали.

Теперь, задача формирования этих концепций отнюдь не та, которую можно легко отбросить. Движение в пространстве имеет много особенностей, которые полностью отличаются от движения на плоскости; и когда мы приступаем к формированию концепции движения в четырех измерениях, мы обнаруживаем, что это по меньшей мере такой же шаг, как от плоскости к трехмерному пространству.

Я не говорю, что шаг труден, но я хочу указать, что он должен быть сделан. Когда мы сформировали концепцию четырехмерного движения, мы можем задать рациональный вопрос Природе. Прежде чем мы разработали наши концепции, мы спрашиваем, похоже ли неизвестное на неизвестное — тщетное исследование.

На самом деле, четырехмерные движения во всех отношениях просты и легче для вычисления, чем трехмерные движения, ибо четырехмерные движения — это просто два набора плоских движений, сложенных вместе.

Без формирования опыта четырехмерных тел, их форм и движений, предмет может быть лишь формальным — логически убедительным, а не интуитивно очевидным. Именно к этому логическому постижению я должен апеллировать.

Совершенно просто сформировать эмпирическое знакомство с фактами четырехмерного движения. Метод аналогичен тому, который плоское существо должно было бы принять, чтобы сформировать эмпирическое знакомство с трехмерными движениями, и может быть кратко суммирован как формирование составного чувства, посредством которого длительность рассматривается как эквивалентная протяженности.

Рассмотрим существо, ограниченное плоскостью. Квадрат, заключенный четырьмя линиями, будет для него телом, внутренность которого можно исследовать, только прорвавшись сквозь линии. Если бы такой квадрат прошел поперечно его плоскости, он немедленно исчез бы. Он исчез бы, не уходя ни в каком направлении, на которое он мог бы указать.

Если теперь куб поместить в контакт с его плоскостью, его поверхность контакта выглядела бы как квадрат, который мы только что упомянули. Но если бы он прошел поперечно его плоскости, прорвавшись сквозь нее, он выглядел бы как длительный квадрат. Трехмерная материя даст длительное появление в обстоятельствах, при которых двухмерная материя сразу исчезнет.

Аналогично, четырехмерный куб, или, как мы можем его назвать, тессеракт, который генерируется из куба движением каждой части куба в четвертом направлении под прямым углом к каждому из трех видимых направлений в кубе, если бы он двигался поперечно нашему пространству, выглядел бы как длительный куб.

Куб трехмерной материи, поскольку он не простирается ни на какое расстояние в четвертом измерении, мгновенно исчез бы, если бы подвергся движению поперечно нашему пространству. Он исчез бы и был бы потерян, без возможности указать на какое-либо направление, в котором он двигался.

Все попытки визуализировать четвертое измерение тщетны. Оно должно быть связано с опытом времени в трех пространствах.

Самым трудным понятием для плоского существа было бы понятие вращения вокруг линии. Рассмотрим плоское существо, стоящее перед квадратом. Если бы ему сказали, что вращение вокруг линии возможно, он двигал бы свой квадрат туда и сюда. Квадрат в плоскости может вращаться вокруг точки, но вращаться вокруг линии показалось бы плоскому существу совершенно невозможным. Как могли бы те части его квадрата, которые были на одной стороне ребра, перейти на другую сторону без движения ребра? Он мог бы понять их отражение в ребре. Он мог бы сформировать идею зеркального изображения своего квадрата, лежащего на противоположной стороне линии ребра, но никаким движением, которое он знает, он не может заставить реальный квадрат принять это положение. Результат вращения был бы похож на отражение в ребре, но было бы физически невозможно произвести его в плоскости.

Демонстрация вращения вокруг линии должна быть для него чисто формальной. Если бы он постиг понятие куба, растягивающегося в неизвестном направлении прочь от его плоскости, тогда он может видеть основание его, свой квадрат в плоскости, вращающийся вокруг точки. Он может аналогично постичь, что каждое параллельное сечение, взятое через последовательные интервалы в неизвестном направлении, вращается подобным образом вокруг точки. Таким образом, он пришел бы к заключению, что все тело вращается вокруг линии — линии, состоящей из последовательности точек, вокруг которых вращаются плоские сечения. Таким образом, при заданных трех осях x, y, z, если x вращается, чтобы занять место y, а y поворачивается так, чтобы указывать на отрицательный x, тогда третья ось, остающаяся незатронутой этим поворотом, является осью, вокруг которой происходит вращение. Это, таким образом, должно было бы быть его критерием оси вращения — той, которая остается неизменной, когда происходит вращение каждого плоского сечения тела.

Есть другой способ, которым плоское существо может думать о трехмерных движениях; и, поскольку он дает тип, посредством которого мы можем наиболее удобно думать о четырехмерных движениях, не будет потерей времени рассмотреть его в деталях.

Fig. 1 (129).

Мы можем представить плоское существо и его объект фигурами, вырезанными из бумаги, которые скользят по гладкой поверхности. Толщину этих тел нужно принять настолько ничтожной, что их протяженность в третьем измерении ускользает от наблюдения плоского существа, и он думает о них, как если бы они были математическими плоскими фигурами в плоскости, вместо того чтобы быть материальными телами, способными двигаться по плоской поверхности. Пусть Ax, Ay будут двумя осями, а ABCD — квадратом. Что касается движений в плоскости, квадрат может вращаться вокруг точки A, например. Он не может вращаться вокруг стороны, такой как AC.

Но если плоское существо осознает существование третьего измерения, он может изучить движения, возможные в обширном пространстве, беря свою фигуру часть за частью.

Его плоскость может содержать только две оси. Но, поскольку она может содержать две, он способен представить поворот в третье измерение, если он пренебрежет одной из своих осей и представит третью ось как лежащую в его плоскости. Он может сделать рисунок в своей плоскости того, что стоит перпендикулярно от его плоскости. Пусть Az будет осью, которая стоит перпендикулярно его плоскости в A. Он может нарисовать в своей плоскости две линии, чтобы представить две оси, Ax и Az. Пусть рис. 2 будет этим рисунком. Здесь ось z заняла место оси y, и плоскость AxAz представлена в его плоскости. На этом рисунке всем, что существует от квадрата ABCD, будет линия AB.

Fig. 2 (130).

Квадрат простирается от этой линии в направлении y, но больше этого направления представлено на рис. 2. Плоское существо может изучить поворот линии AB на этой диаграмме. Это просто случай плоского поворота вокруг точки A. Линия AB занимает промежуточные положения, такие как AB1, и после половины оборота будет лежать на Ax, продолженной через A.

Теперь, таким же образом, плоское существо может взять другую точку, A', и другую линию, A'B', в своем квадрате. Он может сделать рисунок двух направлений в A', одно вдоль A'B', другое перпендикулярно его плоскости. Он получит фигуру, точно похожую на рис. 2, и увидит, что, как AB может поворачиваться вокруг A, так A'C' вокруг A.

В этом повороте AB и A'B' не мешали бы друг другу, как они мешали бы, если бы они двигались в плоскости вокруг отдельных точек A и A'.

Следовательно, плоское существо заключило бы, что вращение вокруг линии возможно. Он мог бы видеть свой квадрат, когда он начал совершать этот поворот. Он мог бы видеть его на полпути, когда он пришел лежать на противоположной стороне линии AC. Но в промежуточных частях он не мог бы видеть его, ибо он уходит из плоскости.

Переходя теперь к вопросу о четырехмерном теле, давайте представим его как серию кубических сечений, первое в нашем пространстве, остальные через интервалы, простирающиеся прочь от нашего пространства в неизвестном направлении.

Мы не должны думать о четырехмерном теле как сформированном перемещением трехмерного тела в любом направлении, которое мы можем видеть.

Обратитесь на момент к рис. 3. Точка A, двигаясь вправо, вычерчивает линию AC. Линия AC, двигаясь прочь в новом направлении, вычерчивает квадрат ACEG в основании куба. Квадрат AEGC, двигаясь в новом направлении, вычертит куб ACEGBDHF. Вертикальное направление этого последнего движения не идентично никакому движению, возможному в плоскости основания куба. Это совершенно новое направление, под прямым углом к каждой линии, которую можно провести в основании. Чтобы вычертить тессеракт, куб должен двигаться в новом направлении — направлении под прямым углом к любой и каждой линии, которую можно провести в пространстве куба.

Кубические сечения тессеракта относятся к кубу, который мы видим, как квадратные сечения куба относятся к квадрату его основания, который видит плоское существо.

Давайте представим куб в нашем пространстве, который является основанием тессеракта, поворачивающимся вокруг одного из своих ребер. Вращение увлечет за собой все тело, и каждое из кубических сечений будет вращаться. Ось, которую мы видим в нашем пространстве, останется неизменной, и аналогично серия осей, параллельных ей, вокруг которых вращается каждое из параллельных кубических сечений. Совокупность всех их — плоскость.

Следовательно, в четырех измерениях тело вращается вокруг плоскости. Не существует такой вещи, как вращение вокруг оси.

Мы можем рассматривать вращение с другой точки зрения. Рассмотрим четыре независимые оси, каждая под прямым углом ко всем остальным, проведенные в четырехмерном теле. Из этих четырех осей мы можем видеть любые три. Четвертая простирается нормально к нашему пространству.

Вращение — это поворот одной оси во вторую, а вторая поворачивается, чтобы занять место отрицательного первой. Оно включает две оси. Таким образом, в этом вращении четырехмерного тела две оси меняются, а две остаются в покое. Четырехмерное вращение — это, следовательно, поворот вокруг плоскости.

Как в случае плоского существа результат вращения вокруг линии выглядел бы как создание зеркального изображения исходного объекта на другой стороне линии, так и для нас результат четырехмерного вращения выглядел бы как создание зеркального изображения тела на другой стороне плоскости. Плоскость была бы осью вращения, а путь тела между его двумя появлениями был бы невообразим в трехмерном пространстве.

Fig. 3 (131).

Давайте теперь применим метод, которым плоское существо могло бы исследовать природу вращения вокруг линии, в нашем исследовании вращения вокруг плоскости. Рис. 3 представляет куб в нашем пространстве, три оси x, y, z обозначают его три измерения. Пусть w представляет четвертое измерение. Теперь, поскольку в нашем пространстве мы можем представить любые три измерения, мы можем, если захотим, сделать представление того, что находится в пространстве, определенном тремя осями x, z, w. Это трехмерное пространство, определенное двумя осями, которые мы нарисовали, x и z, и вместо y четвертой осью, w. Мы не можем, сохраняя x и z, иметь и y, и w в нашем пространстве; поэтому мы позволим y уйти и нарисуем w на его месте. Каким будет наш вид куба?