Читатель, который желает это сделать, может без особого труда вычислить результат взятия среднего из двух или трех результатов, действуя точно так же, как мы приняли на стр. 476. «Кривая вероятности ошибок», с которой мы должны начать в этом случае, стала, конечно, просто конечной прямой линией. Рассматривая вопрос как задачу о простых комбинациях, мы можем разделить линию на ряд равных частей равноотстоящими точками; а затем продолжить брать их по две вместе всеми возможными способами, как мы делали в случае, обсуждавшемся несколько страниц назад.
Если бы мы это сделали, то обнаружили бы следующее. Когда берется среднее из двух, «кривая вероятности ошибок» среднего значения становится треугольником с исходной прямой линией в качестве основания; так что конечное среднее или центральная точка становится наиболее вероятным результатом даже при таком начале процесса усреднения. Если бы мы взяли средние из трех, четырех и так далее, то обнаружили бы, что здесь начинает проявляться биномиальный закон. Знакомая колоколообразная форма экспоненциальной кривой приближалась бы все ближе и ближе, пока мы не получили бы нечто совершенно неотличимое от нее.
§ 27. Таким образом, вывод заключается в том, что когда мы имеем дело со средними значениями, включающими значительное число, в общем случае нет необходимости заранее предполагать биномиальный закон распределения в наших исходных данных. Закон расположения того, что мы можем назвать производной кривой, а именно той, которая соответствует средним значениям, не будет заметно затронут этим. Соответственно, мы, по-видимому, оправданы в применении всего того же аппарата вычислений, что и в предыдущем случае. Мы принимаем начальное среднее значение за вероятное положение истинного центра или конечного среднего значения: мы оцениваем вероятность того, что мы находимся в пределах допустимого расстояния от истины при этом, вычисляя «среднеквадратичную ошибку»; и мы обращаемся к этому же элементу для определения модуля, т.е. величины сжатия или рассеяния нашей производной кривой вероятности ошибок.
Те же общие соображения будут применимы к большинству других видов закона вероятности ошибок. В широком смысле — мы вскоре перейдем к рассмотрению некоторых исключений — каким бы ни было первоначальное расположение (т.е. расположение отдельных результатов), расположение производных результатов (т.е. расположение средних значений) будет более скученным к центру. Это следует из уже отмеченной характеристики комбинаций, а именно того, что экстремальные значения могут быть получены только путем повторения нескольких экстремумов, тогда как промежуточные значения могут быть получены либо путем повторения промежуточных, либо через противодействие противоположных экстремумов. При условии, что исходное распределение симметрично относительно центра, и при условии, что пределы возможной ошибки конечны, или, если они бесконечны, что падение частоты по мере удаления от среднего значения происходит очень быстро, тогда результаты взятия средних будут лучше, чем результаты, основанные на доверии к единичным результатам.
§ 28. Теперь мы обратим внимание на исключительный случай. Мы сделаем это не потому, что он часто может встречаться на самом деле, а потому, что его рассмотрение заставит нас с некоторой тщательностью спросить себя, что мы подразумеваем в вышеприведенных примерах, называя результаты усреднения «лучшими», чем результаты отдельных значений. Диаграмма донесет до нас суть трудности лучше, чем любое словесное или символическое описание.
Черная линия представляет закон ошибок, легко выразимый словами, и такой, который, как мы увидим впоследствии, можно представить как встречающийся на практике. Он представляет положение вещей, при котором до определенного расстояния от O с каждой стороны, а именно до A и B, вероятность ошибки уменьшается равномерно с расстоянием от O; в то время как за пределами этих точек, до E и F, вероятность ошибки остается постоянной. Пунктирная линия представляет результирующий закон ошибок, полученный путем взятия среднего из предыдущих двух по два вместе. Является ли последний «лучшим», чем первый? При нем, безусловно, большие ошибки встречаются реже, а промежуточные — чаще; но тогда, с другой стороны, малые ошибки встречаются реже: является ли такое положение вещей в целом улучшением или нет? Это требует от нас пересмотра всего вопроса.
§ 29. Во всех случаях, обсуждавшихся в предыдущих разделах, превосходство кривой средних значений над кривой отдельных результатов проявлялось в каждой точке. Большие ошибки были реже, а малые ошибки — чаще; только в одной промежуточной точке они были равны, и эта точка не предполагалась обладающей каким-либо особым значением или важностью. Соответственно, у нас не было повода анализировать различные случаи, включенные в общее отношение. Было достаточно сказать, что один лучше другого, и для всех целей было достаточно принять «модуль» в качестве меры этого превосходства. Фактически, мы вполне можем просто сказать, что среднее значение этих средних результатов лучше, чем среднее значение отдельных.
Однако, когда мы приступаем к тому, что Юм называет «просеивающим настроением», и спрашиваем, почему достаточно так доверять среднему значению, мы обнаруживаем, в дополнение к выдвинутым до сих пор соображениям, что требовался некоторый постулат относительно последствий ошибок, которые мы совершаем. Это включало оценку того, что иногда называют «ущербом» от ошибки. По-видимому, принималось как должное, что большие и малые ошибки стоят на одной и той же общей основе, будучи вредными по своим последствиям, но что их пагубные эффекты возрастают в большей пропорции, чем их собственная величина.
§ 30. Предположим для сравнения случай, в котором важность ошибки прямо пропорциональна ее величине (конечно, мы предполагаем, что положительные и отрицательные ошибки уравновешивают друг друга в долгосрочной перспективе): не похоже, чтобы взятие средних давало какое-либо преимущество. Нечто подобное можно считать преобладающим в случаях простой купли-продажи. Предположим, что кому-то пришлось купить очень большое количество ярдов ткани по постоянной цене за ярд: что ему приходилось делать это, скажем, пять раз в день в течение многих дней подряд. И представим, что измерение ткани каждый раз оценивалось грубо, с результирующими ошибками, которые с равной вероятностью могут быть как в избытке, так и в недостатке. Имело бы для него хоть малейшее значение, платил ли он отдельно за каждый кусок; или если бы пять оценочных длин были сложены вместе, их среднее значение взято, и с него взималась бы эта средняя цена за каждый кусок? В последнем случае ошибки, которые будут допущены при оценке каждого куска, будут, конечно, меньше в долгосрочной перспективе, чем они были бы в первом: будет ли это иметь какое-либо значение? Ответ, безусловно, заключается в том, что это не будет иметь ни малейшего значения ни для одной из сторон сделки. В долгосрочной перспективе, поскольку участвуют одни и те же стороны, не будет иметь значения, были ли промежуточные ошибки малыми или большими.
Конечно, ничто из этого нельзя считать общим правилом. Почти в каждом случае, когда нам приходится производить измерения, мы обнаружим, что большие ошибки гораздо более вредны, чем малые, то есть вредны в большей пропорции, чем их простая величина. Даже при купле-продаже, где участвуют разные покупатели, это должно быть так, ибо удовольствие того, кто получил больше, вряд ли сравнится с болью того, кто получил меньше. И во многих случаях научных измерений большие ошибки могут быть просто фатальными в том смысле, что если бы не было разумной перспективы их избежать, мы бы вообще не стали предпринимать измерения.
§ 31. Если бы нас заботили только практические соображения, мы могли бы остановиться на этом этапе; но если мы хотим осознать полное логическое значение взятия среднего как средства для этой конкретной цели, а именно оценки некоторой заданной величины, мы должны более внимательно рассмотреть такой исключительный случай, как тот, который был указан на рисунке на стр. 493. То, что мы там предположили, — это положение вещей, при котором чрезвычайно малые ошибки были очень частыми, но как только мы выходили за пределы небольшого диапазона, все остальные ошибки в значительных пределах были равновероятны.
Нетрудно представить пример, который удачно проиллюстрирует данный случай: в худшем случае он может показаться немного надуманным. Представьте себе, что некая фирма в Англии получила срочный заказ на поставку части машины, скажем, парового двигателя, клиентам в отдаленное место; и что было абсолютно необходимо, чтобы работа была точной до десятой доли дюйма, чтобы она была хоть сколько-нибудь полезна. Но представьте также, что были присланы две спецификации, основанные на разных измерениях, в одной из которых длина требуемой детали была описана как шестьдесят, а в другой — шестьдесят один дюйм. При допущении любого обычного закона ошибок, биномиального типа или нет, нет сомнений, что фирма лучше всего справилась бы с очень плохой работой, сконструировав деталь в 60 с половиной дюймов: т.е. у них было бы больше шансов оказаться в пределах требуемой десятой доли дюйма, поступив так, чем выбрав любую из двух спецификаций наугад и сконструировав ее точно по ней. Но если бы закон был того типа, который указан на нашей диаграмме, то кажется столь же несомненным, что у них было бы меньше шансов оказаться в пределах требуемого узкого допуска, поступив так. Как простой вопрос вероятности — то есть, если бы такие оценки применялись снова и снова — было бы меньше неудач, если бы просто выбрали одно из противоречивых измерений наугад и работали точно по нему, чем если бы доверились среднему значению из двух.
Это наводит на некоторые дальнейшие размышления относительно взятия средних значений. Теперь мы перейдем к другому исключительному случаю, но включающему несколько иные соображения, чем те, которые только что обсуждались. Как и прежде, его удобнее всего представить, начав с примера.
§ 32. Предположим, что два разведчика были посланы определить калибр пушки во вражеском форте — мы можем представить, что форт должен был быть занят на следующий день и использован против врага, и что было важно иметь запас ядер или снарядов — и что результат таков: один из них сообщает, что калибр равен 8 дюймам, а другой — 9. Было бы разумно предположить, что среднее из этих двух, а именно 8 1/2 дюймов, является более вероятным значением, чем каждое из них в отдельности?
Ответ, по-видимому, таков. Если у нас есть основания полагать, что возможные калибры имеют природу непрерывной величины — т.е. что все значения в определенных пределах должны считаться допустимыми (предположение, которое мы всегда делаем в нашем обычном обратном переходе от наблюдения или величины к объекту, который наблюдается или измеряется) — тогда мы были бы оправданы в выборе среднего значения как более вероятного. Но если, с другой стороны, у нас были основания полагать, что целые дюймы всегда или обычно предпочтительнее, как это на самом деле имеет место сейчас с тяжелыми орудиями, нам было бы лучше взять, даже наугад, одну из двух представленных нам оценок и довериться только ей, вместо того чтобы брать среднее из двух.
§ 33. Принцип, на основе которого мы здесь действуем, можно сформулировать так. Точно так же, как в прямом процессе вычисления или отображения «ошибок», будь то в алгебраической формуле или на диаграмме, мы обычно предполагаем, что их возможность непрерывна, т.е. что все промежуточные значения возможны; так и в обратном процессе определения вероятного положения оригинала по известному значению двух или более ошибок мы предполагаем, что это положение способно оказаться в любой точке между определенными пределами. В таком примере, как приведенный выше, где мы знаем или подозреваем разрывность этой возможности положения, ценность среднего значения может быть полностью сведена на нет.
В вышеприведенном примере предполагалось, что мы знаем, что калибр пушек, вероятно, будет измеряться в английских дюймах или в каких-то других признанных единицах. Но если бы батарея находилась в Китае или Японии, и мы ничего не знали бы об используемых там эталонах длины, мы больше не могли бы апеллировать к этому принципу. Несомненно, весьма вероятно, что эти калибры не являются величинами, непрерывно изменяющимися; но в полном неведении относительно фактически принятых эталонов мы во всех отношениях находимся в таком же положении, как если бы они были этой непрерывной природы. Когда это так, возражения против доверия к среднему значению больше не будут иметь силы, и если бы у нас была только одна возможность или очень мало возможностей, нам лучше всего было бы придерживаться обычной практики.
§ 34. Однако, когда мы можем собрать и сравнить большое количество измерений различных объектов, это соображение о вероятной разрывности объектов, которые мы таким образом измеряем — то есть их тенденция принимать ту или иную из конечного числа различных величин, вместо того чтобы проявлять равную готовность приспосабливаться ко всем промежуточным значениям — снова приобретает важность. Фактически, имея достаточное количество измеримых объектов, мы можем с большой вероятностью вывести эталон, в соответствии с которым были сделаны рассматриваемые вещи.
Это проблема, которую г-н Флиндерс Питри атаковал с такой проницательностью и прилежанием в своей работе по индуктивной метрологии, работе, которую, просто в силу ее спекулятивного интереса, вполне можно рекомендовать изучающему теорию вероятностей. Основные принципы, на которых основано рассуждение, следующие: (1) все мастера склонны строить свои работы в соответствии с круглыми числами или простыми дробями своих единиц измерения; и (2) стремясь обеспечить это, они будут отклоняться от него в терпимом соответствии с законом ошибок. Результатом этих двух предположений является то, что если мы соберем очень большое количество измерений различных частей и пропорций какого-либо древнего здания — скажем, египетского храма — хотя никакая заданная длина вряд ли будет постоянно не представлена, все же мы обнаружим заметную тенденцию измерений группироваться вокруг определенных детерминированных точек в нашей собственной или любой другой стандартной шкале измерений. Эти точки отмечают длину эталона или некоторого кратного или дольного эталона, используемого старыми строителями. Едва ли стоит говорить, что существует множество практических соображений, которые необходимо принять во внимание, прежде чем можно будет ожидать, что этот метод даст заслуживающие доверия результаты, но ведущие принципы, на которых он основан, сравнительно просты.
§ 35. Рассмотренный только что случай — это, по сути, не что иное, как повторение, при ином применении, того, что занимало наше внимание на очень ранней стадии. Мы отметили (гл. II) возможность кривой вероятности ошибок, которая вместо того, чтобы иметь одну вершину, как та, что соответствует обычному закону ошибок, должна отображать два горба или вершины. Можно легко показать, что эта проблема измерений древних зданий — не что иное, как возобновление того же вопроса, в несколько более сложной форме, в отношении вопроса о функциях среднего значения.
Возьмем простой пример. Предположим случай, в котором большие ошибки, определенной приблизительной величины, явно более вероятны, чем малые, так что кривая вероятности ошибок, вместо того чтобы подниматься в один пик к центру, как в случае знакомого закона ошибок, показывает там углубление или долину. Представьте, по сути, две биномиальные кривые с коротким интервалом между их центрами. Теперь, если бы мы вычислили результат взятия средних значений здесь, мы обнаружили бы, что это сразу же стремится заполнить долину; и если бы мы продолжали достаточно долго, то есть если бы мы продолжали брать средние из достаточно больших чисел, в центре начал бы появляться пик. Фактически, начала бы появляться знакомая одиночная биномиальная кривая.
§ 36. Тогда сразу возникает вопрос: должны ли мы это делать? Дадим ли мы среднему значению свободу действий для выполнения его назначенной функции — таким образом скучивать вещи к центру? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны ввести различие. Если бы эта своеобразная двухвершинная кривая была, как это мыслимо могло бы быть, истинной кривой ошибок — то есть, если бы она представляла отклонения, фактически сделанные при прицеливании в реальный центр — результат был бы именно тем, что нам нужно. Это послужило бы примером преимуществ, которые можно получить путем взятия средних значений даже в обстоятельствах, которые первоначально были неблагоприятными. Нетрудно предложить подходящую иллюстрацию. Предположим, человек стреляет в мишень из какого-то укрытого места, но так, что линия огня пересекает широкую открытую долину, вдоль которой обычно дует сильный ветер. Если бы следы от выстрелов наблюдались, мы обнаружили бы, что они группируются вокруг двух центров справа и слева от яблочка. И если бы результаты были нанесены на кривую, они дали бы такую двухвершинную кривую, как мы описали. Но если бы ветры были одинаково сильными и преобладающими в противоположных направлениях, мы обнаружили бы, что процесс усреднения исправил бы последующее возмущение.
Однако, если бы кривая представляла, как это определенно более вероятно, некоторый результат природных явлений, в которых существовала, так сказать, реальная двойная цель со стороны природы, было бы иначе. Возьмем, например, результаты измерения большого количества людей, принадлежащих к двум очень неоднородным расам. Кривая вероятности ошибок была бы здесь того типа, который указан на стр. 45, и если бы численность двух смешанных рас была равна, она отобразила бы пару двойных пиков. Снова возникает вопрос: «должны» ли мы включать весь диапазон в сферу одного среднего значения? Ответ заключается в том, что обязательство зависит от цели, которую мы преследуем. Если мы хотим сравнить эту неоднородную расу в целом с какой-то другой или с ней самой в другое время, мы сделаем хорошо, если усредним без анализа. Вся статистика населения, как мы уже видели (см. стр. 47), вынуждена игнорировать множество различающих характеристик рассматриваемого рода. Но если бы нашей целью было интерпретировать причины этой аномальной кривой ошибок, мы сделали бы хорошо, если бы разбили статистику на соответствующие части и подвергли их анализу отдельно.