«Философия математики»

МЕТОД ЛАГРАНЖА.

Лагранж, стремясь свести все различные задачи об изопериметрах к общему анализу, организованному в отдельное исчисление, был приведен к мысли о новом виде дифференцирования, к которому он применил характеристику δ, зарезервировав характеристику d для обычных дифференциалов. Эти дифференциалы нового вида, которые он обозначил названием вариации, состоят из бесконечно малых приращений, которые получают интегралы не в силу аналогичных приращений соответствующих переменных, как в обычном трансцендентном анализе, а в силу предположения, что форма функции, стоящей под знаком интеграла, претерпевает бесконечно малое изменение. Это различие легко представить применительно к кривым, у которых мы видим, что ордината или любая другая переменная кривой допускает два рода дифференциалов, очевидно весьма различных, в зависимости от того, переходим ли мы от одной точки к другой, бесконечно близкой к ней на той же кривой, или к соответствующей точке бесконечно близкой кривой, полученной в результате определенной модификации первой кривой. Более того, ясно, что относительные вариации различных величин, связанных друг с другом любыми законами, вычисляются, за исключением характеристики, почти точно так же, как и дифференциалы. Наконец, из общего понятия вариаций таким же образом выводятся фундаментальные принципы алгоритма, свойственного этому методу, состоящие просто в очевидно допустимой свободе переставлять по желанию характеристики, специально предназначенные для вариаций, до или после тех, которые соответствуют обычным дифференциалам.

После того как эта абстрактная концепция была сформирована, Лагранж смог легко и самым общим образом свести все задачи об изопериметрах к простой обычной теории максимумов и минимумов. Чтобы получить ясное представление об этом великом и удачном преобразовании, мы должны предварительно рассмотреть существенное различие, возникающее в различных вопросах об изопериметрах.

Два класса вопросов. Эти исследования, по сути, должны быть разделены на два общих класса, в зависимости от того, являются ли искомые максимумы и минимумы абсолютными или относительными, если использовать сокращенные выражения геометров.

Вопросы первого класса. Первый случай — это тот, в котором неопределенные определенные интегралы, максимум или минимум которых ищется, не подчинены по природе задачи никакому условию; как это происходит, например, в задаче о брахистохроне, в которой выбор должен быть сделан среди всех мыслимых кривых. Второй случай имеет место, когда, напротив, переменные интегралы могут изменяться только согласно определенным условиям, которые обычно состоят в том, что другие определенные интегралы (которые зависят таким же образом от искомых функций) всегда сохраняют одно и то же заданное значение; как, например, во всех геометрических вопросах, относящихся к реальным изопериметрическим фигурам, и в которых по природе задачи интеграл, относящийся к длине кривой или к площади поверхности, должен оставаться постоянным во время варьирования того интеграла, который является объектом предлагаемого исследования.

Исчисление вариаций дает непосредственно общее решение вопросов первого класса; ибо из обычной теории максимумов и минимумов очевидно следует, что искомое соотношение должно сводить к нулю вариацию предлагаемого интеграла по отношению к каждой независимой переменной; что дает условие, общее как для максимума, так и для минимума: и, в качестве характеристики для различения одного от другого, вариация второго порядка того же интеграла должна быть отрицательной для максимума и положительной для минимума. Так, например, в задаче о брахистохроне мы будем иметь, чтобы определить природу искомой кривой, уравнение условия

δ∫_{z_{2}}^{z_{1}}√([1 + (f'(z))^{2} + (π'(z))^{2}] / (2gz)) dz = 0,

которое, будучи разложено на два по отношению к двум неизвестным функциям f и π, которые независимы друг от друга, полностью выразит аналитическое определение искомой кривой. Единственная трудность, свойственная этому новому анализу, состоит в исключении характеристики δ, для чего исчисление вариаций предоставляет неизменные и полные правила, основанные, в общем, на методе «интегрирования по частям», из которого Лагранж извлек таким образом огромную выгоду. Постоянная цель этой первой аналитической разработки (которую здесь не место рассматривать подробно) состоит в том, чтобы прийти к реальным дифференциальным уравнениям, что всегда возможно; и тем самым вопрос переходит в область обычного трансцендентного анализа, который предоставляет решение, по крайней мере в той мере, чтобы свести его к чистой алгебре, если интегрирование может быть выполнено. Общая цель метода вариаций состоит в осуществлении этого преобразования, для чего Лагранж установил правила, которые просты, неизменны и гарантируют успех.

Уравнения пределов. Среди величайших особых преимуществ метода вариаций по сравнению с предыдущими изолированными решениями изопериметрических задач является важное рассмотрение того, что Лагранж называет уравнениями пределов, которые до него полностью игнорировались, хотя без них большая часть частных решений оставалась неизбежно неполной. Когда пределы предлагаемых интегралов должны быть зафиксированы, их вариации равны нулю, и нет необходимости их учитывать. Но это уже не так, когда эти пределы, вместо того чтобы быть строго неизменными, подчинены лишь определенным условиям; как, например, если две точки, между которыми должна быть проведена искомая кривая, не фиксированы и должны лишь оставаться на заданных линиях или поверхностях. Тогда необходимо обратить внимание на вариацию их координат и установить между ними соотношения, соответствующие уравнениям этих линий или этих поверхностей.

Более общее рассмотрение. Это существенное рассмотрение является лишь окончательным дополнением к более общему и более важному рассмотрению, относящемуся к вариациям различных независимых переменных. Если эти переменные действительно независимы друг от друга, как когда мы сравниваем между собой все мыслимые кривые, которые могут быть проведены между двумя точками, то то же самое будет и с их вариациями, и, следовательно, члены, относящиеся к каждой из этих вариаций, должны будут отдельно равняться нулю в общем уравнении, которое выражает максимум или минимум. Но если, напротив, мы предполагаем, что переменные подчинены каким-либо фиксированным условиям, необходимо будет принять во внимание результирующее соотношение между их вариациями, так что число уравнений, на которые затем разлагается это общее уравнение, всегда равно только числу переменных, которые остаются действительно независимыми. Именно так, например, вместо того чтобы искать кратчайший путь между любыми двумя точками, выбирая его среди всех возможных, можно предложить найти только то, какой является кратчайшим среди всех тех, которые могут быть выбраны на любой заданной поверхности; вопрос, общее решение которого, безусловно, составляет одно из самых красивых приложений метода вариаций.

Вопросы второго класса. Задачи, в которых рассматриваются такие модифицирующие условия, по своей природе очень близки ко второму общему классу приложений метода вариаций, охарактеризованному выше как состоящему в исследовании относительных максимумов и минимумов. Однако между этими двумя случаями существует существенное различие: в последнем модификация выражается интегралом, который зависит от искомой функции, в то время как в другом она обозначается конечным уравнением, которое дано непосредственно. Отсюда очевидно, что исследование относительных максимумов и минимумов постоянно и неизбежно сложнее, чем исследование абсолютных максимумов и минимумов. К счастью, очень важная общая теория, открытая гением великого Эйлера до изобретения исчисления вариаций, дает единообразное и очень простое средство сделать один из этих двух классов вопросов зависимым от другого. Оно состоит в том, что если мы добавим к интегралу, который должен быть максимумом или минимумом, постоянное и неопределенное кратное того, который по природе задачи должен оставаться постоянным, то будет достаточно найти, согласно общему методу Лагранжа, указанному выше, абсолютный максимум или минимум всего этого выражения. Действительно, можно легко понять, что часть полной вариации, которая произошла бы от последнего интеграла, должна быть равна нулю (из-за постоянного характера последнего), так же как и часть, обусловленная первым интегралом, которая исчезает в силу состояния максимума или минимума. Эти два условия, очевидно, объединяются, чтобы произвести в этом отношении эффекты, в точности подобные.

Таков набросок общего способа, которым метод вариаций применяется ко всем различным вопросам, составляющим то, что называется теорией изопериметров. Несомненно, в этом кратком изложении было замечено, как много в этом новом анализе было использовано второе фундаментальное свойство трансцендентного анализа, отмеченное в третьей главе, а именно: общность бесконечно малых выражений для представления одного и того же геометрического или механического явления, в каком бы теле оно ни рассматривалось. Действительно, на этой общности по своей природе основаны все решения, обязанные методу вариаций. Если бы одна формула не могла выразить длину или площадь любой кривой; если бы другая фиксированная формула не могла обозначить время падения тяжелого тела, по какой бы линии оно ни спускалось и т. д., как можно было бы разрешить вопросы, которые неизбежно требуют по своей природе одновременного рассмотрения всех случаев, которые могут быть определены в каждом явлении различными субъектами, которые его демонстрируют.

Другие приложения этого метода. Несмотря на чрезвычайную важность теории изопериметров, и хотя метод вариаций поначалу не имел иной цели, кроме логического и общего решения этого порядка задач, мы все же имели бы лишь неполное представление об этом прекрасном анализе, если бы ограничили его назначение только этим. На самом деле абстрактная концепция двух различных видов дифференцирования очевидно применима не только к случаям, для которых она была создана, но и ко всем тем, которые представляют по какой-либо причине два различных способа заставить одни и те же величины варьироваться. Именно так сам Лагранж сделал в своей «Аналитической механике» обширное и важное приложение своего исчисления вариаций, используя его для различения двух видов изменений, которые естественным образом представлены вопросами рациональной механики для различных рассматриваемых точек, в зависимости от того, сравниваем ли мы последовательные положения, занимаемые в силу своего движения одной и той же точкой каждого тела в два последовательных момента, или переходим от одной точки тела к другой в тот же самый момент. Одно из этих сравнений порождает обычные дифференциалы; другое дает начало вариациям, которые там, как и везде, являются лишь дифференциалами, взятыми под новым углом зрения. Такова общая трактовка, в которой мы должны понимать исчисление вариаций, чтобы должным образом оценить важность этого замечательного логического инструмента, самого мощного из тех, что человеческий разум создал до сих пор.

Поскольку метод вариаций является лишь огромным расширением общего трансцендентного анализа, мне нет нужды специально доказывать, что он может рассматриваться с различных фундаментальных точек зрения, которые допускает исчисление косвенных функций, рассматриваемое в целом. Лагранж изобрел исчисление вариаций в соответствии с бесконечно малой концепцией и, действительно, задолго до того, как он предпринял общую реконструкцию трансцендентного анализа. Когда он осуществил это важное преобразование, он легко показал, как оно может быть применено и к исчислению вариаций, которое он изложил со всей надлежащей разработкой в соответствии со своей теорией производных функций. Но чем труднее для понимания использование метода вариаций из-за более высокой степени абстракции рассматриваемых идей, тем более необходимо при его применении экономить усилия ума, принимая наиболее прямую и быструю аналитическую концепцию, а именно концепцию Лейбница. Соответственно, сам Лагранж постоянно предпочитал ее в важном использовании, которое он сделал из исчисления вариаций в своей «Аналитической механике». На самом деле среди геометров нет ни малейшего колебания в этом отношении.

ЕГО ОТНОШЕНИЯ К ОБЫЧНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ.

Чтобы сделать как можно более ясным философский характер исчисления вариаций, я думаю, что должен в заключение кратко указать на соображение, которое кажется мне важным и с помощью которого я могу приблизить его к обычному трансцендентному анализу в большей степени, чем это сделал Лагранж.

В предыдущей главе мы отметили формирование исчисления частных разностей, созданного Д'Аламбером, как введение в трансцендентный анализ новой элементарной идеи: понятия двух видов приращений, различных и независимых друг от друга, которые функция двух переменных может получить в силу изменения каждой переменной отдельно. Именно так вертикальная ордината поверхности или любая другая величина, которая к ней относится, варьируется двумя способами, которые совершенно различны и которые могут следовать самым разным законам, в зависимости от того, увеличиваем ли мы ту или иную из двух горизонтальных координат. Теперь такое соображение кажется мне очень близким по своей природе к тому, которое служит общим основанием метода вариаций. Последний, действительно, в действительности сделал не что иное, как перенес на сами независимые переменные особую концепцию, которая уже была принята для функций этих переменных; модификация, которая значительно расширила его использование. Поэтому я думаю, что, что касается только фундаментальных концепций, мы можем считать исчисление, созданное Д'Аламбером, установившим естественный и необходимый переход между обычным бесконечно малым исчислением и исчислением вариаций; такое выведение которого, по-видимому, приспособлено для того, чтобы сделать общее понятие более ясным и простым.

Согласно различным соображениям, указанным в этой главе, метод вариаций представляет собой высшую степень совершенства, которой анализ косвенных функций еще достиг. В своем первоначальном состоянии этот последний анализ представлял собой мощное общее средство облегчения математического изучения природных явлений путем введения для выражения их законов рассмотрения вспомогательных величин, выбранных таким образом, что их отношения неизбежно более просты и более легки для получения, чем отношения прямых величин. Но формирование этих дифференциальных уравнений не предполагало допуска каких-либо общих и абстрактных правил. Теперь анализ вариаций, рассматриваемый с самой философской точки зрения, может рассматриваться как по своей природе предназначенный для того, чтобы сделать доступным для исчисления фактическое установление дифференциальных уравнений; ибо в большом числе важных и трудных вопросов таков общий эффект варьированных уравнений, которые, будучи еще более косвенными, чем простые дифференциальные уравнения по отношению к специальным объектам исследования, также гораздо легче формируются, и из которых мы можем затем, с помощью неизменных и полных аналитических методов, целью которых является исключение нового порядка введенных вспомогательных бесконечно малых величин, вывести те обычные дифференциальные уравнения, которые часто было бы невозможно установить напрямую. Метод вариаций составляет, таким образом, самую возвышенную часть той обширной системы математического анализа, которая, исходя из самых простых элементов алгебры, организует путем непрерывной последовательности идей общие методы, все более и более мощные для изучения натурфилософии, и которая в целом представляет собой самый несравненно внушительный и недвусмысленный памятник мощи человеческого интеллекта.

Мы должны, однако, также признать, что концепции, которые обычно рассматриваются в методе вариаций, будучи по своей природе более косвенными, более общими и, особенно, более абстрактными, чем все остальные, использование такого метода требует неизбежно и непрерывно высочайшей известной степени интеллектуального усилия, чтобы никогда не упускать из виду точный объект исследования, следуя рассуждениям, которые предлагают уму такие ненадежные места для отдыха и в которых знаки почти не приносят никакой помощи. Мы должны, несомненно, в значительной степени приписать этой трудности то малое реальное использование, которое геометры, за исключением Лагранжа, до сих пор сделали из такой замечательной концепции.

ГЛАВА VI.

ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ.

Различные фундаментальные соображения, указанные в пяти предыдущих главах, составляют, в действительности, все существенные основы полного изложения математического анализа, рассматриваемого с философской точки зрения. Тем не менее, чтобы не пренебречь ни одной действительно важной общей концепцией, относящейся к этому анализу, я думаю, что должен здесь очень кратко объяснить истинный характер рода исчисления, который очень обширен и который, хотя в основе своей он действительно принадлежит к обычному анализу, все же рассматривается как имеющий существенно отличную природу. Я имею в виду исчисление конечных разностей, которое будет специальным предметом этой главы.

Его общий характер. Это исчисление, созданное Тейлором в его знаменитом труде под названием Methodus Incrementorum, состоит по существу в рассмотрении конечных приращений, которые функции получают как следствие аналогичных приращений со стороны соответствующих переменных. Эти приращения или разности, которые принимают характеристику Δ, чтобы отличить их от дифференциалов, или бесконечно малых приращений, могут в свою очередь рассматриваться как новые функции и стать предметом второго аналогичного рассмотрения, и так далее; из чего вытекает понятие разностей различных последовательных порядков, аналогичных, по крайней мере по внешнему виду, последовательным порядкам дифференциалов. Такое исчисление очевидно представляет, подобно исчислению косвенных функций, два общих класса вопросов:

1°. Определить последовательные разности всех различных аналитических функций одной или нескольких переменных как результат определенного способа увеличения независимых переменных, которые обычно предполагаются возрастающими в арифметической прогрессии.

2°. Взаимно, исходить из этих разностей или, более общо, из любых уравнений, установленных между ними, и вернуться к самим примитивным функциям или к их соответствующим отношениям.

Отсюда следует разложение этого исчисления на два различных, которым обычно дают названия прямого и обратного исчисления конечных разностей, причем последнее иногда называют также интегральным исчислением конечных разностей. Каждое из них также, очевидно, допускало бы логическое распределение, подобное тому, которое дано в четвертой главе для дифференциального и интегрального исчисления.

Его истинная природа. Нет сомнения, что Тейлор думал, что с помощью такой концепции он основал исчисление совершенно новой природы, абсолютно отличное от обычного анализа и более общее, чем исчисление Лейбница, хотя и опирающееся на аналогичное рассмотрение. Именно так почти все геометры рассматривали анализ Тейлора; но Лагранж с его обычной глубиной ясно понял, что эти свойства принадлежат гораздо больше формам и обозначениям, используемым Тейлором, чем самой сути его теории. На самом деле то, что составляет особый характер анализа Лейбница и делает его действительно отличным и превосходным исчислением, — это обстоятельство, что производные функции в общем совершенно иной природы, чем примитивные функции, так что они могут привести к более простым и более легко формируемым отношениям: откуда вытекают замечательные фундаментальные свойства трансцендентного анализа, которые уже были объяснены. Но это не так с разностями, рассматриваемыми Тейлором; ибо эти разности по своей природе являются функциями, существенно похожими на те, которые их породили, обстоятельство, которое делает их непригодными для облегчения установления уравнений и препятствует их приведению к более общим отношениям. Каждое уравнение конечных разностей является, по сути, уравнением, непосредственно относящимся к самим величинам, чьи последовательные состояния сравниваются. Леса новых знаков, которые создают иллюзию относительно истинного характера этих уравнений, маскируют его, однако, очень несовершенным образом, поскольку его всегда можно было бы легко сделать очевидным, заменив разности эквивалентными комбинациями примитивных величин, для которых они на самом деле являются лишь сокращенными обозначениями. Таким образом, исчисление Тейлора никогда не предлагало и никогда не сможет предложить в каком-либо вопросе геометрии или механики ту мощную общую помощь, которая, как мы видели, неизбежно вытекает из анализа Лейбница. Лагранж, более того, очень ясно доказал, что мнимая аналогия, наблюдаемая между исчислением разностей и бесконечно малым исчислением, была радикально порочной в том смысле, что формулы, принадлежащие первому исчислению, никогда не могут предоставить в качестве частных случаев те, которые принадлежат последнему, природа которого существенно отлична.

Из этих соображений я прихожу к мысли, что исчисление конечных разностей в целом неправильно классифицируется как трансцендентный анализ в собственном смысле слова, то есть как исчисление косвенных функций. Я считаю его, напротив, в соответствии с взглядами Лагранжа, лишь очень обширной и очень важной ветвью обычного анализа, то есть того, что я назвал исчислением прямых функций, поскольку уравнения, которые оно рассматривает, всегда, несмотря на обозначения, являются простыми прямыми уравнениями.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЯДОВ.

Чтобы подытожить как можно кратче предыдущее объяснение, исчисление Тейлора следует рассматривать как постоянно имеющее своей истинной целью общую теорию рядов, самые простые случаи которых были рассмотрены только до этого прославленного геометра. Я должен был бы, собственно, упомянуть эту важную теорию при рассмотрении во второй главе собственно алгебры, обширной ветвью которой она является. Но чтобы избежать двойной ссылки на нее, я предпочел заметить ее только при рассмотрении исчисления конечных разностей, которое, сведенное к своему самому простому общему выражению, является не чем иным, как полным логическим изучением вопросов, относящихся к рядам.

Каждый ряд, или последовательность чисел, выведенных друг из друга согласно любому постоянному закону, неизбежно порождает эти два фундаментальных вопроса:

1°. Предполагая закон ряда известным, найти выражение для его общего члена, чтобы иметь возможность немедленно вычислить любой член, не будучи обязанным последовательно формировать все предыдущие члены.

2°. В тех же обстоятельствах определить сумму любого числа членов ряда посредством их мест, чтобы ее можно было узнать без необходимости постоянно складывать эти члены вместе.

Поскольку эти два фундаментальных вопроса считаются решенными, можно предложить, взаимно, найти закон ряда из формы его общего члена или выражения суммы. Каждая из этих различных задач имеет тем больше объема и трудности, чем большее число различных законов можно представить для ряда, в зависимости от числа предыдущих членов, от которых каждый член непосредственно зависит, и в зависимости от функции, которая выражает эту зависимость. Мы можем даже рассматривать ряды с несколькими переменными индексами, как это сделал Лаплас в своей «Аналитической теории вероятностей» с помощью анализа, которому он дал название теории производящих функций, хотя это на самом деле лишь новая и высшая ветвь исчисления конечных разностей или общей теории рядов.

Эти общие взгляды, которые я указал, дают лишь несовершенное представление о поистине бесконечном объеме и разнообразии вопросов, к которым геометры поднялись с помощью этого единственного рассмотрения рядов, столь простого на вид и столь ограниченного в своем происхождении. Оно неизбежно представляет столько же различных случаев, сколько алгебраическое решение уравнений, рассматриваемое во всем его объеме; и оно по своей природе гораздо сложнее, настолько, действительно, что оно всегда нуждается в последнем, чтобы привести его к полному решению. Мы можем, следовательно, предвидеть, каково должно быть все еще его крайнее несовершенство, несмотря на последовательные труды нескольких геометров первого порядка. Мы, действительно, не обладаем еще полным и логическим решением никаких, кроме самых простых вопросов этого рода.

Его тождество с этим исчислением. Теперь легко понять необходимое и совершенное тождество, которое уже было объявлено, между исчислением конечных разностей и теорией рядов, рассматриваемой во всех ее аспектах. На самом деле каждое дифференцирование по манере Тейлора очевидно сводится к нахождению закона формирования ряда с одним или с несколькими переменными индексами из выражения его общего члена; точно так же каждое аналогичное интегрирование может рассматриваться как имеющее своей целью суммирование ряда, общий член которого был бы выражен предложенной разностью. С этой точки зрения различные задачи исчисления разностей, прямые или обратные, решенные Тейлором и его преемниками, действительно имеют очень большую ценность, как рассматривающие важные вопросы, относящиеся к рядам. Но очень сомнительно, дают ли форма и обозначение, введенные Тейлором, действительно какое-либо существенное облегчение в решении вопросов такого рода. Было бы, возможно, более выгодно для большинства случаев и, безусловно, более логично заменить разности самими членами, определенные комбинации которых они представляют. Поскольку исчисление Тейлора не опирается на действительно отличную фундаментальную идею и не имеет ничего свойственного ему, кроме системы знаков, никогда не могло быть действительно никакого важного преимущества в рассмотрении его как отделенного от обычного анализа, ветвью которого оно в действительности является. Это рассмотрение разностей, в большинстве случаев бесполезное, даже если оно не вызывает осложнений, кажется мне сохраняющим характер эпохи, в которой, поскольку аналитические идеи не были достаточно знакомы геометрам, они естественным образом были приведены к предпочтению специальных форм, подходящих для простых численных сравнений.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ИЛИ РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.

Как бы то ни было, я не должен заканчивать эту общую оценку исчисления конечных разностей, не заметив новой концепции, которой оно дало начало и которая с тех пор приобрела большое значение. Это рассмотрение тех периодических или разрывных функций, которые сохраняют одно и то же значение для бесконечного ряда значений соответствующих переменных, подчиненных определенному закону, и которые должны быть неизбежно добавлены к интегралам уравнений конечных разностей, чтобы сделать их достаточно общими, как простые произвольные константы добавляются ко всем квадратурам, чтобы завершить их общность. Эта идея, первоначально введенная Эйлером, с тех пор была предметом обширного исследования М. Фурье, который сделал новые и важные приложения ее в своей математической теории тепла.

ПРИЛОЖЕНИЯ ЭТОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Ряды. Среди основных общих приложений, которые были сделаны из исчисления конечных разностей, было бы уместно поставить в первый ряд, как самые обширные и самые важные, решение вопросов, относящихся к рядам; если, как было показано, общая теория рядов не должна рассматриваться как составляющая по своей природе фактическое основание исчисления Тейлора.

Интерполяции. Этот большой класс задач будучи затем отложен в сторону, самым существенным из истинных приложений анализа Тейлора является, несомненно, до сих пор общий метод интерполяций, столь часто и столь полезно используемый в исследовании эмпирических законов природных явлений. Вопрос состоит, как хорошо известно, в интеркалировании между определенными заданными числами других промежуточных чисел, подчиненных тому же закону, который, как мы предполагаем, существует между первыми. Мы можем в изобилии проверить в этом главном приложении исчисления Тейлора, насколько действительно чуждым и часто неудобным является рассмотрение разностей по отношению к вопросам, которые зависят от этого анализа. Действительно, Лагранж заменил формулы интерполяции, выведенные из обычного алгоритма исчисления конечных разностей, гораздо более простыми общими формулами, которые теперь почти всегда предпочитаются и которые были найдены непосредственно, без использования понятия разностей, которое только усложняет вопрос.

Приближенное спрямление и т. д. Последний важный класс приложений исчисления конечных разностей, который заслуживает того, чтобы быть отличенным от предыдущего, состоит в исключительно полезном использовании его в геометрии для определения путем приближения длины и площади любой кривой, и таким же образом кубатуры тела любой формы. Эта процедура (которая может, кроме того, рассматриваться абстрактно как зависящая от того же аналитического исследования, что и вопрос интерполяции) часто предлагает ценное дополнение к чисто логическим геометрическим методам, которые часто приводят к интегрированиям, которые мы еще не знаем, как выполнить, или к вычислениям очень сложного исполнения.

Таковы различные основные соображения, которые следует заметить в отношении исчисления конечных разностей. Это исследование завершает предложенный философский очерк абстрактной математики.

Конкретная математика теперь будет предметом аналогичной работы. В ней мы будем особенно посвящать себя изучению того, как было возможно (предполагая, что общая наука исчисления совершенна), с помощью неизменных процедур, свести к чистым вопросам анализа все задачи, которые могут быть представлены геометрией и механикой, и тем самым придать этим двум фундаментальным основам натурфилософии степень точности и, особенно, единства; одним словом, характер высокого совершенства, который мог быть сообщен им только таким путем.

КНИГА II.

ГЕОМЕТРИЯ.

КНИГА II.

ГЕОМЕТРИЯ.

ГЛАВА I.

ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА ГЕОМЕТРИЮ.

Ее истинная природа. После общего изложения философского характера конкретной математики по сравнению с характером абстрактной математики, данного во вводной главе, здесь не нужно специально показывать, что геометрия должна рассматриваться как истинная естественная наука, только гораздо более простая и, следовательно, гораздо более совершенная, чем любая другая. Это необходимое совершенство геометрии, полученное по существу применением математического анализа, который она столь выдающимся образом допускает, склонно порождать ошибочные взгляды на реальную природу этой фундаментальной науки, которую большинство умов в настоящее время считает чисто логической наукой, совершенно независимой от наблюдения. Тем не менее, для любого, кто внимательно изучает характер геометрических рассуждений, даже в нынешнем состоянии абстрактной геометрии, очевидно, что, хотя факты, которые в ней рассматриваются, гораздо теснее связаны, чем те, которые относятся к любой другой науке, все же всегда существует в отношении каждого тела, изучаемого геометрами, определенное число примитивных явлений, которые, поскольку они не установлены никаким рассуждением, должны основываться только на наблюдении и которые формируют необходимую основу всех дедукций.

Научное превосходство геометрии проистекает из того, что явления, которые она рассматривает, являются неизбежно самыми универсальными и самыми простыми из всех. Не только все тела природы могут порождать геометрические исследования, так же как и механические, но, более того, геометрические явления существовали бы, даже если бы все части вселенной рассматривались как неподвижные. Геометрия тогда по своей природе более общая, чем механика. В то же время ее явления более просты, ибо они очевидно независимы от механических явлений, в то время как последние всегда осложнены первыми. Те же отношения справедливы при сравнении геометрии с абстрактной термологией.

По этим причинам в нашей классификации мы сделали геометрию первой частью конкретной математики; той частью, изучение которой, в дополнение к ее собственной важности, служит незаменимой основой для всего остального.

Прежде чем рассматривать непосредственно философское изучение различных порядков исследований, которые составляют нашу нынешнюю геометрию, мы должны получить ясное и точное представление об общем назначении этой науки, рассматриваемой во всех ее аспектах. Таков объект этой главы.

Определение. Геометрия обычно определяется очень расплывчатым и совершенно неправильным образом как наука о протяженности. Улучшением этого было бы сказать, что геометрия имеет своим объектом измерение протяженности; но такое объяснение было бы очень недостаточным, хотя в основе своей правильным, и было бы далеко от того, чтобы дать какое-либо представление об истинном общем характере геометрической науки.

Чтобы сделать это, я думаю, что должен сначала объяснить две фундаментальные идеи, которые, будучи очень простыми сами по себе, были необычайно затемнены использованием метафизических соображений.

Идея пространства. Первая — это идея пространства. Эта концепция по существу состоит просто в том, что вместо рассмотрения протяженности в самих телах мы рассматриваем ее в неопределенной среде, которую мы считаем содержащей все тела вселенной. Это понятие естественным образом подсказывается нам наблюдением, когда мы думаем о впечатлении, которое тело оставило бы в жидкости, в которую оно было помещено. Ясно, на самом деле, что в отношении своих геометрических отношений такое впечатление может быть заменено самим телом, не изменяя рассуждений относительно него. Что касается физической природы этого неопределенного пространства, мы спонтанно приводимся к тому, чтобы представлять его себе как совершенно аналогичное реальной среде, в которой мы живем; так что если бы эта среда была жидкой, а не газообразной, наше геометрическое пространство, несомненно, мыслилось бы также жидким. Это обстоятельство, более того, является лишь очень второстепенным, так как существенная цель такой концепции состоит лишь в том, чтобы заставить нас рассматривать протяженность отдельно от тел, которые проявляют ее нам. Мы можем легко понять заранее важность этого фундаментального образа, поскольку он позволяет нам изучать геометрические явления сами по себе, делая абстракцию от всех других явлений, которые постоянно сопровождают их в реальных телах, не оказывая, однако, никакого влияния на них. Регулярное установление этой общей абстракции должно рассматриваться как первый шаг, который был сделан в рациональном изучении геометрии, что было бы невозможно, если бы было необходимо рассматривать вместе с формой и величиной тел все их другие физические свойства. Использование такой гипотезы, которая, возможно, является самой древней философской концепцией, созданной человеческим разумом, стало теперь настолько привычным для нас, что нам трудно точно оценить ее важность, пытаясь оценить последствия, которые возникли бы из ее подавления.

Различные виды протяженности. Вторая предварительная геометрическая концепция, которую мы должны рассмотреть, — это концепция различных видов протяженности, обозначаемых словами объем, поверхность, линия и даже точка, и обычное объяснение которых столь неудовлетворительно.

Хотя очевидно невозможно представить себе какую-либо протяженность, абсолютно лишенную любого из трех фундаментальных измерений, не менее неоспоримо, что во многих случаях, даже непосредственной полезности, геометрические вопросы зависят только от двух измерений, рассматриваемых отдельно от третьего, или от одного измерения, рассматриваемого отдельно от двух других. Опять же, независимо от этого прямого мотива, изучение протяженности с одним измерением, а затем с двумя, ясно представляется как незаменимое предварительное условие для облегчения изучения полных тел с тремя измерениями, непосредственная теория которых была бы слишком сложной. Таковы два общих мотива, которые обязывают геометров рассматривать отдельно протяженность в отношении одного или двух измерений, а также относительно всех трех вместе.

Общие понятия поверхности и линии были сформированы человеческим разумом для того, чтобы он мог думать постоянным образом о протяженности в двух направлениях или только в одном. Гиперболические выражения, обычно используемые геометрами для определения этих понятий, склонны передавать ложные идеи о них; но, рассматриваемые сами по себе, они не имеют иной цели, кроме как позволить нам рассуждать с легкостью относительно этих двух видов протяженности, делая полную абстракцию от того, что не должно приниматься во внимание. Теперь для этого достаточно представить измерение, которое мы хотим исключить, становящимся постепенно все меньше и меньше, при этом два других остаются прежними, пока оно не достигнет такой степени тонкости, что уже не может фиксировать внимание. Именно так мы естественным образом приобретаем реальную идею поверхности и, путем второй аналогичной операции, идею линии, повторяя для ширины то, что мы сначала сделали для толщины. Наконец, если мы снова повторим ту же операцию, мы придем к идее точки, или протяженности, рассматриваемой только в отношении ее места, делая абстракцию от всякой величины, и предназначенной, следовательно, для определения положений.

Поверхности, очевидно, имеют, более того, общее свойство точно ограничивать объемы; и таким же образом линии, в свою очередь, ограничивают поверхности и ограничены точками. Но это соображение, которому часто придается слишком большое значение, является лишь вторичным.

Поверхности и линии, таким образом, в действительности всегда мыслятся с тремя измерениями; было бы, на самом деле, невозможно представить себе поверхность иначе, как в виде чрезвычайно тонкой пластины, а линию иначе, как в виде бесконечно тонкой нити. Даже ясно, что степень тонкости, приписываемая каждым индивидом измерениям, от которых он хочет сделать абстракцию, не является постоянно идентичной, ибо она должна зависеть от степени тонкости его привычных геометрических наблюдений. Это отсутствие единообразия, кроме того, не имеет реальных неудобств, поскольку достаточно, чтобы идеи поверхности и линии удовлетворяли существенному условию своего назначения, чтобы каждый представлял себе измерения, которыми следует пренебречь, как меньшие, чем все те, величину которых его повседневный опыт дает ему повод оценить.

Мы видим отсюда, как лишены всякого смысла фантастические дискуссии метафизиков об основаниях геометрии. Следует также заметить, что эти первоначальные идеи обычно представляются геометрами нефилософским образом, поскольку, например, они объясняют понятия различных видов протяженности в порядке, абсолютно обратном их естественной зависимости, что часто порождает самые серьезные неудобства в элементарном обучении.

ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ ГЕОМЕТРИИ.

Эти прелиминарии будучи установлены, мы можем перейти непосредственно к общему определению геометрии, продолжая мыслить эту науку как имеющую своей окончательной целью измерение протяженности.

В этом вопросе необходимо углубиться в тщательное объяснение, основанное на различении трех видов протяженности, поскольку понятие измерения не является в точности тем же самым в отношении поверхностей и объемов, что и в отношении линий.

Природа геометрического измерения. Если мы возьмем слово измерение в его прямом и общем математическом значении, которое означает просто определение значения отношений между любыми однородными величинами, мы должны считать в геометрии, что измерение поверхностей и объемов, в отличие от измерения линий, никогда не мыслится, даже в самых простых и самых благоприятных случаях, как осуществляемое напрямую. Сравнение двух линий рассматривается как прямое; сравнение двух поверхностей или двух объемов, напротив, всегда косвенное. Таким образом, мы мыслим, что две линии могут быть наложены друг на друга; но наложение двух поверхностей или, тем более, двух объемов очевидно невозможно в большинстве случаев; и даже когда оно становится строго осуществимым, такое сравнение никогда не бывает ни удобным, ни точным. Тогда очень необходимо объяснить, в чем собственно состоит истинно геометрическое измерение поверхности или объема.

Измерение поверхностей и объемов. Для этого мы должны учитывать, что, какой бы ни была форма тела, всегда существует определенное число линий, более или менее легких для назначения, длина которых достаточна, чтобы точно определить величину его поверхности или его объема. Геометрия, рассматривая эти линии как единственно поддающиеся непосредственному измерению, предлагает вывести из простого их определения отношение поверхности или искомого объема к единице поверхности или к единице объема. Таким образом, общая цель геометрии в отношении поверхностей и объемов состоит собственно в том, чтобы свести все сравнения поверхностей или объемов к простым сравнениям линий.

Помимо очень большой легкости, которую такое преобразование очевидно предлагает для измерения объемов и поверхностей, из него проистекает, если рассматривать его более расширенным и более научным образом, общая возможность сведения к вопросам линий всех вопросов, относящихся к объемам и поверхностям, рассматриваемым в отношении их величины. Таково часто самое важное использование геометрических выражений, которые определяют поверхности и объемы в функциях соответствующих линий.

Правда, иногда используются прямые сравнения между поверхностями или между объемами; но такие измерения не рассматриваются как геометрические, а только как дополнение, иногда необходимое, хотя и слишком редко применимое, к недостаточности или трудности истинно рациональных методов. Именно так мы часто определяем объем тела, а в некоторых случаях и его поверхность, с помощью его веса. Точно так же в других случаях, когда мы можем заменить предлагаемый объем эквивалентным жидким объемом, мы устанавливаем непосредственно сравнение двух объемов, пользуясь свойством, присущим жидким массам, принимать любую желаемую форму. Но все средства такого рода являются чисто механическими, и рациональная геометрия неизбежно отвергает их.

Чтобы сделать более ощутимой разницу между этими способами определения и истинными геометрическими измерениями, я приведу один очень примечательный пример: способ, которым Галилей определил отношение обычной циклоиды к отношению производящей окружности. Геометрия его времени была еще недостаточной для рационального решения такой задачи. Галилей задумал идею открытия этого отношения путем прямого эксперимента. Взвесив как можно точнее две пластины из одного и того же материала и равной толщины, одна из которых имела форму круга, а другая — созданной циклоиды, он нашел вес последней всегда втрое превышающим вес первой; откуда он сделал вывод, что площадь циклоиды втрое больше площади производящей окружности, результат, согласующийся с истинным решением, впоследствии полученным Паскалем и Валлисом. Такой успех очевидно зависит от чрезвычайной простоты искомого отношения; и мы можем понять необходимую недостаточность таких уловок, даже когда они фактически осуществимы.

Из вышеизложенного нам становится ясна природа той части геометрии, которая относится к объемам, и той, которая относится к поверхностям. Однако характер геометрии линий не столь очевиден, поскольку для упрощения изложения мы рассматривали измерение линий как осуществляемое непосредственно. Следовательно, в отношении них требуется дополнительное пояснение.

Измерение кривых линий. Для этой цели достаточно провести различие между прямой линией и кривыми линиями, причем измерение первой рассматривается как прямое, а измерение остальных — всегда как косвенное. Хотя наложение иногда строго применимо к кривым линиям, тем не менее очевидно, что подлинно рациональная геометрия должна обязательно отвергать его, поскольку оно не допускает никакой точности, даже когда это возможно. Таким образом, общая цель геометрии линий состоит в том, чтобы в каждом случае свести измерение кривых линий к измерению прямых линий; и, следовательно, в самом широком смысле — свести к простым задачам о прямых линиях все вопросы, касающиеся величины любых кривых. Чтобы понять возможность такого преобразования, мы должны заметить, что в каждой кривой всегда существуют определенные прямые линии, длины которых должно быть достаточно для определения длины кривой. Так, в круге очевидно, что из длины радиуса мы должны быть способны вывести длину окружности; точно так же длина эллипса зависит от длины его двух осей; длина циклоиды — от диаметра производящего круга и т. д.; и если вместо рассмотрения всей кривой целиком мы потребуем, более общо, длину какой-либо дуги, то будет достаточно добавить к различным прямолинейным параметрам, определяющим всю кривую, хорду предложенной дуги или координаты ее концов. Обнаружение отношения, существующего между длиной кривой линии и длиной подобных ей прямых линий, является общей задачей той части геометрии, которая относится к изучению линий.

Соединяя это соображение с теми, что были ранее предложены в отношении объемов и поверхностей, мы можем сформировать очень ясное представление о науке геометрии, задуманной во всех ее частях, назначив ей в качестве общей цели окончательное сведение сравнений всех видов протяженности — объемов, поверхностей или линий — к простым сравнениям прямых линий, которые единственные рассматриваются как способные быть выполненными непосредственно и которые, в самом деле, не могли бы быть сведены к каким-либо другим, более легким для осуществления. Такая концепция в то же время ясно указывает на истинный характер геометрии и кажется подходящей для того, чтобы с первого взгляда показать ее полезность и совершенство.

Измерение прямых линий. Чтобы завершить это фундаментальное объяснение, мне еще предстоит показать, как в геометрии может существовать особый раздел, относящийся к прямой линии, что на первый взгляд кажется несовместимым с принципом, согласно которому измерение этого класса линий всегда должно рассматриваться как прямое.

Это действительно так по сравнению с измерением кривых линий и всех других объектов, рассматриваемых геометрией. Но очевидно, что оценка прямой линии не может рассматриваться как прямая, за исключением тех случаев, когда к ней может быть приложена линейная единица. Однако это часто представляет непреодолимые трудности, как я имел случай показать по другому поводу во вводной главе. Мы должны, следовательно, сделать измерение предложенной прямой линии зависимым от других аналогичных измерений, которые могут быть выполнены непосредственно. Таким образом, неизбежно существует первичная отдельная ветвь геометрии, посвященная исключительно прямой линии; ее цель — определять одни прямые линии через другие посредством отношений, принадлежащих фигурам, возникающим из их сочетания. Эта предварительная часть геометрии, которая почти незаметна при рассмотрении всей науки в целом, тем не менее восприимчива к большому развитию. Она, очевидно, имеет особое значение, поскольку все другие геометрические измерения сводятся к измерениям прямых линий, и если бы их нельзя было определить, решение любого вопроса осталось бы незавершенным.

Таковы, следовательно, различные фундаментальные части рациональной геометрии, расположенные в соответствии с их естественной зависимостью: геометрия линий рассматривается первой, начиная с прямой линии; затем геометрия поверхностей и, наконец, геометрия тел.

БЕСКОНЕЧНАЯ ПРОТЯЖЕННОСТЬ ЕЕ ОБЛАСТИ.

Определив с точностью общую и конечную цель геометрических исследований, науку теперь необходимо рассмотреть в отношении области, охватываемой каждым из трех ее фундаментальных разделов.

Рассматриваемая таким образом, геометрия по своей природе очевидно восприимчива к расширению, которое является строго бесконечным; ибо измерение линий, поверхностей или объемов неизбежно представляет столько же различных вопросов, сколько мы можем вообразить различных фигур, подлежащих точным определениям; и число их, очевидно, бесконечно.

Геометры поначалу ограничивались рассмотрением наиболее простых фигур, которые непосредственно предоставлялись им природой или выводились из этих примитивных элементов посредством наименее сложных комбинаций. Но после Декарта они осознали, что для построения науки наиболее философским образом необходимо применить ее ко всем мыслимым фигурам. Эта абстрактная геометрия будет тогда неизбежно включать в качестве частных случаев все различные реальные фигуры, которые может представить внешний мир. Таким образом, фундаментальным принципом в подлинно рациональной геометрии является рассмотрение, насколько это возможно, всех фигур, которые могут быть строго осмыслены.

Самого поверхностного изучения достаточно, чтобы убедить нас в том, что эти фигуры представляют собой бесконечное разнообразие.

Бесконечность линий. Что касается кривых линий, рассматривая их как порожденные движением точки, подчиняющимся определенному закону, ясно, что мы будем иметь, в общем, столько же различных кривых, сколько мы можем вообразить различных законов для этого движения, которые могут быть определены бесконечностью различных условий; хотя иногда случайно может случиться, что новые способы порождения дают кривые, которые уже были получены. Так, среди плоских кривых, если точка движется так, чтобы оставаться постоянно на одном и том же расстоянии от фиксированной точки, она породит круг; если постоянной остается сумма или разность ее расстояний от двух фиксированных точек, описываемая кривая будет эллипсом или гиперболой; если их произведение, мы получим совершенно иную кривую; если точка удаляется одинаково от фиксированной точки и от фиксированной прямой, она опишет параболу; если она вращается по кругу в то же время, когда этот круг катится вдоль прямой линии, мы получим циклоиду; если она движется вдоль прямой линии, в то время как эта линия, закрепленная одним из своих концов, вращается каким угодно образом, результатом будут то, что в общих чертах называют спиралями, которые сами по себе очевидно представляют столько же совершенно различных кривых, сколько мы можем предположить различных отношений между этими двумя движениями поступательного и вращательного и т. д. Каждая из этих различных кривых может затем дать новые, благодаря различным общим конструкциям, которые придумали геометры и которые порождают эвольвенты, эпициклоиды, каустики и т. д. Наконец, существует еще большее разнообразие среди кривых двоякой кривизны.

Бесконечность поверхностей. Что касается поверхностей, то фигуры здесь неизбежно еще более различны, если рассматривать их как порожденные движением линий. Действительно, фигура может варьироваться не только при рассмотрении, как в случае с кривыми, различных бесконечно многочисленных законов, которым может быть подчинено движение производящей линии, но также и при допущении, что сама эта линия может менять свою природу; обстоятельство, не имеющее аналогов в кривых, поскольку точки, которые их описывают, не могут иметь никакой отличной фигуры. Таким образом, два класса весьма различных условий могут вызывать изменение фигур поверхностей, в то время как для линий существует только одно. Бесполезно приводить примеры этого двояко бесконечного множества поверхностей. Достаточно было бы рассмотреть крайнее разнообразие одной лишь группы поверхностей, которые могут быть порождены прямой линией и которые включают в себя все семейство цилиндрических поверхностей, конических поверхностей, наиболее общий класс развертывающихся поверхностей и т. д.

Бесконечность объемов. Что касается объемов, то здесь нет повода для какого-либо особого рассмотрения, поскольку они отличаются друг от друга только поверхностями, которые их ограничивают.

Чтобы завершить этот очерк, следует добавить, что сами поверхности предоставляют новое общее средство для осмысления новых кривых, поскольку любая кривая может рассматриваться как результат пересечения двух поверхностей. Именно таким образом, в самом деле, были получены первые линии, которые мы можем считать действительно изобретенными геометрами, поскольку природа непосредственно дала прямую линию и круг. Мы знаем, что эллипс, парабола и гипербола — единственные кривые, полностью изученные древними, — в своем происхождении мыслились только как результат пересечения конуса с круговым основанием плоскостью в различных положениях. Очевидно, что при комбинированном использовании этих различных общих средств для образования линий и поверхностей мы могли бы получить строго бесконечный ряд различных форм, исходя лишь из очень небольшого числа фигур, непосредственно предоставленных наблюдением.

Аналитическое изобретение кривых и т. д. Наконец, все различные прямые средства для изобретения фигур едва ли имеют какое-либо дальнейшее значение, поскольку рациональная геометрия приняла свой окончательный характер в руках Декарта. Действительно, как мы увидим более полно в главе III, изобретение фигур теперь сведено к изобретению уравнений, так что нет ничего проще, чем вообразить новые линии и новые поверхности, изменяя по желанию функции, введенные в уравнения. Эта простая абстрактная процедура в этом отношении бесконечно более плодотворна, чем все прямые ресурсы геометрии, развитые самым мощным воображением, которое посвятило бы себя исключительно этому порядку концепций. Она также объясняет самым общим и самым поразительным образом неизбежно бесконечное разнообразие геометрических форм, которое, таким образом, соответствует разнообразию аналитических функций. Наконец, она показывает не менее ясно, что различные формы поверхностей должны быть еще более многочисленными, чем формы линий, поскольку линии представляются аналитически уравнениями с двумя переменными, в то время как поверхности порождают уравнения с тремя переменными, которые неизбежно представляют большее разнообразие.

Предыдущих соображений достаточно, чтобы ясно показать строго бесконечную протяженность каждого из трех общих разделов геометрии.

РАСШИРЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Чтобы завершить формирование точного и достаточно расширенного представления о природе геометрических исследований, теперь необходимо вернуться к данному выше общему определению, чтобы представить его под новой точкой зрения, без которой полная наука была бы осмыслена лишь очень несовершенно.

Когда мы назначаем объектом геометрии измерение всех видов линий, поверхностей и объемов, то есть, как было объяснено, сведение всех геометрических сравнений к простым сравнениям прямых линий, мы, очевидно, имеем преимущество указания общей цели, очень точной и очень легкой для понимания. Но если мы отбросим всякое определение и исследуем фактический состав науки геометрии, мы поначалу будем склонны рассматривать предыдущее определение как слишком узкое; ибо несомненно, что большая часть исследований, составляющих нашу нынешнюю геометрию, вовсе не кажется имеющей своей целью измерение протяженности. Несмотря на это фундаментальное возражение, я буду настаивать на сохранении этого определения; ибо, в самом деле, если вместо того, чтобы ограничиваться рассмотрением различных вопросов геометрии изолированно, мы попытаемся охватить ведущие вопросы, по сравнению с которыми все остальные, какими бы важными они ни были, должны рассматриваться лишь как второстепенные, мы в конечном итоге признаем, что измерение линий, поверхностей и объемов является неизменным объектом, иногда прямым, хотя чаще всего косвенным, всех геометрических трудов.