«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Долгое время считалось, что электрические проводники и изоляторы принадлежат к двум противоположным классам веществ. Между невообразимой быстротой, с которой ток проходит через чистую медную проволоку, и тем, как он, по-видимому, полностью останавливается тонкой перегородкой из гуттаперчи или шеллака, не было никакого сходства. Фарадей снова успешно потрудился, чтобы показать, что это лишь крайние случаи цепи веществ, различающихся по всем степеням своей проводимости. Даже лучшие проводники, такие как чистая медь или серебро, оказывают сопротивление электрическому току. Другие металлы обладают значительно более высокими силами сопротивления, и мы постепенно спускаемся через оксиды и сульфиды. Лучшие изоляторы, с другой стороны, допускают атомную индукцию, которая является необходимым предшественником проводимости. Отсюда Фарадей сделал вывод, что, можем ли мы измерить эффект или нет, все вещества в той или иной степени проводят электричество. Одним из следствий этого учения должно быть то, что каждый разряд электричества создает индукционный ток. В случае обычного гальванического тока мы можем легко обнаружить индукционный ток в любой параллельной проволоке или другом соседнем проводнике и можем разделить противоположные токи, которые возникают в моменты начала и конца исходного тока. Но разряд электричества высокого напряжения, подобный молнии, хотя он, безусловно, занимает время и имеет начало и конец, длится столь ничтожную долю секунды, что было бы безнадежно пытаться обнаружить и разделить два противоположных индукционных тока, которые почти одновременны и точно нейтрализуют друг друга. Таким образом, кажущееся отсутствие аналогии объясняется, и нам предоставляется еще один пример явления, не поддающегося наблюдению, но теоретически известного как существующее.

Пожалуй, самый необычный случай обнаружения неожиданной непрерывности находится в открытии Каньяра де ла Тура и профессора Эндрюса, что жидкое и газообразное состояния материи являются лишь отдаленными точками в непрерывном процессе изменения. Ничто на первый взгляд не кажется более отчетливым, чем физическое состояние воды и водяного пара. В точке кипения происходит полный разрыв непрерывности, и полученный газ подчиняется законам, несравненно более простым, чем жидкость, из которой он возник. Но Каньяр де ла Тур показал, что если поддерживать жидкость под достаточным давлением, ее точка кипения может быть неопределенно повышена, и все же жидкость в конечном итоге примет газообразное состояние лишь с небольшим увеличением объема. Профессор Эндрюс, недавно продолживший этот ряд исследований, показал, что жидкая углекислота может при определенной температуре (30,92° C) и под давлением 74 атмосфер находиться одновременно в состоянии, неотличимом от жидкого и газообразного. При более высоких давлениях углекислота может переходить из явно жидкого состояния в истинно газообразное без какого-либо резкого изменения вообще. По мере увеличения давления резкость перехода от жидкости к газу постепенно уменьшается и, наконец, исчезает. Подобные явления или приближение к ним наблюдались и в других жидкостях, и почти нет сомнений, что мы можем сделать широкое обобщение и утверждать, что при адекватном давлении любая жидкость может быть переведена в газ без разрыва непрерывности. Жидкое состояние, более того, рассматривается профессором Эндрюсом лишь как промежуточная ступень между твердым и газообразным состояниями. Существуют различные признаки того, что процесс плавления не является совершенно резким; и если бы эксперименты можно было проводить при адекватных давлениях, считается, что любое твердое тело можно было бы перевести незаметными степенями в состояние жидкости, а затем в состояние газа.

Эти открытия, по-видимому, открывают путь к важнейшим и фундаментальным обобщениям, но вероятно, что во многих других случаях явления, ныне рассматриваемые как дискретные, могут оказаться различными степенями одного и того же процесса. Грэм придерживался мнения, что химическое сродство отличается лишь по степени от обычного притяжения, которое удерживает различные частицы тела вместе. Он обнаружил, что серная кислота продолжает выделять тепло даже при смешивании с пятидесятым эквивалентом воды, так что, по-видимому, не существует четкого предела химического сродства. Он заключает: «Есть основания полагать, что химическое сродство переходит в своей низшей степени в притяжение агрегации».

Атомная теория хорошо обоснована, но ее пределы не очерчены. Как отмечает Гроув, мы можем, выбирая достаточно высокие множители, выразить любую комбинацию или смесь элементов через их эквивалентные веса. Сэр У. Томсон предположил, что способность, которой обладают растительное волокно, овсянка и другие вещества притягивать и конденсировать водяной пар, вероятно, является непрерывной или, по сути, идентичной капиллярному притяжению, которое способно влиять на давление водяного пара и способствовать его конденсации. Существует много случаев так называемого каталитического или поверхностного действия, таких как необычайная способность древесного угля притягивать органические вещества или губчатой платины — конденсировать водород, которые можно рассматривать только как усиленные случаи более общего притяжения. Число веществ, которые поразительным образом разлагаются под действием света, очень ограничено; но многие другие вещества, такие как растительные красители, подвергаются воздействию при длительном облучении; на принципе непрерывности мы могли бы ожидать обнаружить, что все виды материи в той или иной степени подвержены изменениям под воздействием световых лучей. Мнение Гроува состоит в том, что везде, где проходит электрический ток, существует тенденция к разложению, напряжение молекул, которое при достаточной интенсивности приводит к разрушению. Даже металлическую проводящую проволоку можно рассматривать как стремящуюся к разложению. Дэви, вероятно, был прав, описывая электричество как химическое сродство, действующее на массы, или, скорее, как предполагает Гроув, создающее возмущение через цепь частиц. Лаплас зашел так далеко, что предположил, что все химические явления могут быть результатами ньютоновского закона притяжения, примененного к атомам различной массы и положения; но время, вероятно, еще далеко, когда прогресс молекулярной философии и математических методов позволит подтвердить или опровергнуть такое обобщение.

Закон непрерывности.

Под заголовком «Закон непрерывности» мы можем поместить многие применения общего принципа рассуждения о том, что верно для одного случая, будет верно и для подобных случаев, и вероятно верно для того, что, по всей видимости, является подобным. Всякий раз, когда мы обнаруживаем, что закон или сходство строго соблюдается до определенного момента во времени или пространстве, мы с высокой степенью вероятности ожидаем, что он будет продолжать соблюдаться, по крайней мере, еще немного. Если мы видим только часть круга, мы естественно ожидаем, что круговая форма будет продолжена в скрытой от нас части. Если тело равномерно двигалось на определенном пространстве, мы ожидаем, что оно будет продолжать двигаться равномерно. Основание таких выводов, несомненно, идентично основанию других индуктивных выводов. При непрерывном движении каждое бесконечно малое пройденное пространство составляет отдельный составной факт, и если бы мы обладали совершенными способностями наблюдения, самое малое конечное движение включало бы бесконечность информации, что, согласно принципам обратного метода вероятностей, позволило бы нам с уверенностью сделать вывод о следующей бесконечно малой части пути. Но когда мы пытаемся сделать вывод от одной конечной части пути к другой конечной части, вывод будет лишь более или менее вероятным, в зависимости от сравнительной длины частей и точности наблюдения; чем дольше наш опыт, тем вероятнее наш вывод; чем больше длина времени или пространства, на которое распространяется вывод, тем менее он вероятен.

Этот принцип непрерывности проявляется в природе в большом разнообразии форм и случаев. Он привычно выражается в изречении Natura non agit per saltum. Как выразил эту максиму Грэм, в природе нет резких переходов, и различия классов никогда не бывают абсолютными. Всегда есть некоторое уведомление — некоторое предупреждение о каждом явлении, и каждое изменение начинается с незаметных степеней, если бы мы могли наблюдать его с совершенной точностью. Пушечное ядро, действительно, выбрасывается из пушки за ничтожную долю времени; курок нажат, запал зажжен, порох воспламенен, ядро выброшено — все это одновременно для наших чувств. Но нет сомнений, что каждая часть процесса занимает время и что ядро начинает двигаться сначала с бесконечной медленностью. Капитан Ноубл способен измерить с помощью своего хроноскопа продвижение снаряда в 300-фунтовом орудии и обнаруживает, что все движение внутри ствола происходит менее чем за 1/200 долю секунды. Несомненно, что никакая конечная сила не может произвести движение, кроме как за конечное время. Количество импульса, сообщаемого телу, пропорционально ускоряющей силе, умноженной на время, в течение которого она действует равномерно. Таким образом, слабая сила производит большую скорость только при длительном действии. При мощном ударе, таком как столкновение поездов, удар молота по наковальне или выстрел из пушки, время очень коротко, и поэтому ускоряющие силы, вступающие в действие, чрезвычайно велики, но никогда не бесконечны. В случае большого орудия порох при взрыве, как говорят, развивает на мгновение силу, эквивалентную по меньшей мере 2 800 000 лошадей.

Наша вера в некоторые фундаментальные законы природы опирается на принцип непрерывности. Галилей считается первым философом, который сознательно использовал этот принцип в своих аргументах относительно природы движения, и несомненно, что мы никогда не сможем путем одного лишь опыта убедиться в истинности даже первого закона движения. Материальная частица, как нам говорят, когда на нее не действуют внешние силы, будет продолжать находиться в том же состоянии покоя или движения. Это может быть правдой, но поскольку мы не можем найти тело, свободное от действия внешних причин, как нам это доказать? Только наблюдая, что чем меньше величина этих сил, тем ближе закон к истине. Шар, катящийся по неровной земле, вскоре останавливается; по гладкой мостовой он продолжает движение дольше. Деликатно подвешенный маятник почти свободен от трения о свои опоры, но постепенно останавливается из-за сопротивления воздуха; поместите его в вакуумный приемник воздушного насоса, и мы обнаружим, что движение значительно продлевается. Большая планета, такая как Юпитер, испытывает почти бесконечно меньшее трение по сравнению со своим огромным импульсом, чем мы можем создать экспериментально, и мы обнаруживаем в таком случае, что нет ни малейшего свидетельства ложности закона. Опыт, таким образом, информирует нас, что мы можем бесконечно приближаться к равномерному движению, достаточно уменьшая возмущающие силы. Это акт вывода, который позволяет нам выйти за пределы опыта и утверждать, что при полном отсутствии какой-либо внешней силы движение было бы абсолютно равномерным. Состояние покоя, опять же, является предельным случаем, в котором движение бесконечно мало или равно нулю, к чему мы можем прийти, согласно принципу непрерывности, последовательно рассматривая случаи все более и более медленного движения. Существует много классов явлений, в которых, постепенно переходя от очевидного к неясному, мы можем убедиться в природе явлений, которые в противном случае были бы предметом больших сомнений. Так, мы можем достаточно доказать, подобно Галилею, что музыкальный звук состоит из быстрых равномерных импульсов, заставляя удары следовать с интервалами, которые мы постепенно уменьшаем, пока отдельные удары не сольются в равномерный гул или ноту. С большой пользой мы приближаемся, как говорит Тиндаль, к звуковому через грубо механическое. Слушая большой орган, мы не можем не заметить, что самые длинные трубы или их частичные тона вызывают дрожание и трепетание здания. На другом конце шкалы нет фиксированного предела остроты звуков, которые мы можем слышать; некоторые люди могут слышать звуки, слишком пронзительные для других ушей, и поскольку в природе атмосферы нет ничего, что препятствовало бы существованию колебаний, гораздо более быстрых, чем те, которые мы осознаем, мы можем сделать вывод, согласно принципу непрерывности, что такие колебания, вероятно, существуют.

Существует много привычных действий, которые мы совершаем, не зная как. Настолько быстро совершаются акты ума, что анализ кажется невозможным. Мы можем исследовать их только в процессе формирования, наблюдая, что наилучшим образом сформированная привычка приобретается медленно и непрерывно, и именно на ранних стадиях мы можем постичь логику процесса.

Следует заметить, что этот принцип непрерывности должен иметь большой вес только в точных физических законах, тех, которые, несомненно, покоятся в конечном итоге на простых законах движения. Если мы бесстрашно применим этот принцип ко всем видам явлений, мы часто можем быть правы в своих выводах, но также часто и ошибаться. Так, до развития спектрального анализа астрономы наблюдали, что чем больше они увеличивали мощность своих телескопов, тем больше туманностей они могли разрешить на отдельные звезды. Этот результат так часто оказывался верным, что они почти непреодолимо предполагали, что все туманности будут в конечном итоге разрешены телескопами достаточной мощности; однако Хаггинс в последние годы доказал с помощью спектроскопа, что некоторые туманности на самом деле являются газообразными и находятся в истинно туманном состоянии.

Принцип непрерывности должен был постоянно использоваться в исследованиях Галилея, Ньютона и других философов-экспериментаторов, но, по-видимому, он был впервые четко сформулирован Лейбницем. Он, по крайней мере, претендует на то, что первым заговорил о «законе непрерывности» в письме к Бейлю, напечатанном в Nouvelles de la République des Lettres, отрывок из которого приведен в издании работ Лейбница Эрдмана, стр. 104, под заголовком «Sur un Principe Général utile à l’explication des Lois de la Nature». Действительно, утверждалось, что доктрина latens processus Фрэнсиса Бэкона включает в себя принцип непрерывности, но я думаю, что эта доктрина, подобно доктрине «природ» веществ, является лишь расплывчатым утверждением принципа причинности.

Несостоятельность закона непрерывности.

Существуют определенные предостережения, которые необходимо сделать относительно применения принципа непрерывности. Во-первых, там, где этот принцип действительно верен, он может казаться недействующим из-за наших несовершенных средств наблюдения. Хотя физический закон может не допускать совершенно резкого изменения, нет предела тому приближению, которое он может совершить к резкости. Когда мы нагреваем кусок очень холодного льда, поглощение тепла, температура и расширение льда изменяются согласно, по-видимому, простым законам, пока мы не дойдем до нуля по шкале Цельсия. Затем все меняется; происходит огромное поглощение тепла без какого-либо повышения температуры, и объем льда уменьшается по мере его превращения в воду. Если не исследовать это тщательно, изменение кажется совершенно резким; но точное наблюдение, по-видимому, показывает, что существует некоторое предупреждение; лед не превращается в воду сразу, но на малую долю градуса изменение происходит постепенно. Все затронутые явления, если их измерить очень точно, были бы представлены не угловыми линиями, а непрерывными кривыми, претерпевающими быстрые изгибы; и мы, вероятно, можем с уверенностью утверждать, что между какими бы точками температуры мы ни исследовали лед, были бы обнаружены некоторые признаки, хотя и почти бесконечно малые, того кажущегося резкого изменения, которое должно было произойти при более высокой температуре. Можно также отметить, что важные и, по-видимому, простые физические законы, такие как законы Бойля и Мариотта, Дальтона и Гей-Люссака и т. д., верны лишь приблизительно, и отклонения от простых законов являются предупреждениями о резких изменениях, которые в противном случае нарушили бы закон непрерывности.

Во-вторых, необходимо помнить, что математические законы некоторой сложности, вероятно, будут представлять особые случаи или отрицательные результаты, которые могут иметь вид разрывности, как когда закон преломления внезапно дает нам с совершенной резкостью явление полного внутреннего отражения. В волновой теории, однако, нет реального изменения закона между преломлением и отражением. Фарадей в начале своей карьеры обнаружил так много веществ, обладающих магнитными свойствами, что рискнул сделать великое обобщение и заявил, что все тела обладают магнитным свойством железа. Его ошибка, как он позже обнаружил, заключалась в том, что он упустил из виду тот факт, что, хотя они и магнитны в определенном смысле, некоторые вещества обладают отрицательным магнетизмом и отталкиваются, а не притягиваются магнитом.

В-третьих, там, где мы могли бы ожидать преобладания равномерного математического закона, закон может претерпевать резкое изменение в особых точках, и может возникнуть фактическая разрывность. Мы иногда можем подвергнуться опасности рассматривать в рамках одного закона явления, которые на самом деле принадлежат к разным законам. Например, сферическая оболочка из однородного вещества притягивает внешнюю частицу материи с силой, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра сферы. Но этот закон остается верным только до тех пор, пока частица находится вне оболочки. Внутри оболочки закон совершенно иной, и совокупная гравитация сферы становится равной нулю, так как сила в каждом направлении нейтрализуется точно равной противоположной силой. Если бесконечно малая частица находится на поверхности сферы, закон снова иной, и притягательная сила оболочки составляет половину того, что она была бы по отношению к частицам, бесконечно близким к поверхности оболочки. Таким образом, при приближении к центру оболочки с расстояния сила тяжести показывает двойную разрывность при прохождении через оболочку.

Может возникнуть вопрос, действительно ли разрывность неизвестна в природе. Мы постоянно сталкиваемся с событиями, которые являются реальными разрывами в предыдущем законе, хотя разрывность может быть признаком того, что в действие вступила какая-то независимая причина. Если обычный ход приливов прерывается огромной нерегулярной волной, мы приписываем это землетрясению или какому-то гигантскому природному возмущению. Если метеоритный камень падает на человека и убивает его, это явно разрывность в его жизни, которую он не мог предвидеть. Внезапный звук может пройти сквозь воздух, не будучи предваряемым или сопровождаемым каким-либо непрерывным эффектом. Хотя, таким образом, мы можем рассматривать закон непрерывности как принцип природы, строго верный во многих отношениях природных сил, кажется трудным определить пределы, в которых этот закон подтверждается. При его применении требуется большая осторожность.

Отрицательные аргументы относительно принципа непрерывности.

На принципе непрерывности мы иногда можем основывать аргументы большой силы, которые доказывают невозможность гипотезы, потому что она повлекла бы за собой постоянное повторение процесса ad infinitum или же чисто произвольный разрыв в какой-то точке. Знаменитая теория воспроизводства Бонне представляла каждое живое существо как содержащее зародыши, которые были совершенными представителями следующего поколения, так что по тому же принципу они обязательно включали зародыши следующего поколения и так далее до бесконечности. Теория была достаточно опровергнута, как только была четко сформулирована, как в следующей поэме под названием «Вселенная» Генри Бейкера:

“Each seed includes a plant: that plant, again,

Has other seeds, which other plants contain:

Those other plants have all their seeds, and those

More plants again, successively inclose.

“Thus, ev’ry single berry that we find,

Has, really, in itself whole forests of its kind,

Empire and wealth one acorn may dispense,

By fleets to sail a thousand ages hence.”

Общий принцип вывода, что то, что мы знаем об одном случае, должно быть верно для подобных случаев, насколько они подобны, не позволяет нам утверждать что-либо, что мы не можем применять раз за разом при одних и тех же обстоятельствах. На этом принципе Стевин прекрасно продемонстрировал, что веса, покоящиеся на двух наклонных плоскостях и уравновешивающие друг друга, должны быть пропорциональны длинам плоскостей между их вершиной и горизонтальной плоскостью. Он вообразил равномерную бесконечную цепь, подвешенную над плоскостями и свисающую внизу симметричной гирляндой. Если бы цепь когда-либо начала двигаться под действием силы тяжести, была бы та же причина для ее движения вечно, и, таким образом, создания вечного двигателя. Поскольку это абсурдно, части цепи, лежащие на плоскостях и равные по длине плоскостям, должны уравновешивать друг друга. На подобных основаниях мы можем опровергнуть существование любого самодвижущегося механизма; ибо если бы он мог хоть раз изменить свое собственное состояние движения или покоя, пусть даже в самой малой степени, нет причин, почему он не должен делать то же самое раз за разом ad infinitum. Доказательство Ньютоном своего третьего закона движения в случае гравитации носит такой же характер. Ибо он отмечает, что если два гравитирующих тела не оказывают точно равных сил в противоположных направлениях, то одно, оказывающее более сильное тяготение, увлечет оба, и два тела двинутся в пространство вместе со скоростью, возрастающей ad infinitum. Но хотя аргумент мог показаться достаточно убедительным, Ньютон в своей характерной манере провел эксперимент с магнитом и железом, плавающими на поверхности воды. В последние годы само основание принципа сохранения энергии было поставлено на предположении, что невозможно с помощью какой-либо комбинации природных тел постоянно производить силу из ничего. Принцип допускает применение в различных тонких формах.

Лукреций пытался доказать с помощью самого остроумного аргумента такого рода, что материя должна быть неразрушимой. Ибо если бы конечное количество, как бы мало оно ни было, исчезло из существования за любое конечное время, равное количество можно было бы предположить исчезающим за каждый равный интервал времени, так что в бесконечности прошедшего времени вселенная должна была бы перестать существовать. Но аргумент, как бы остроумен он ни был, по-видимому, терпит неудачу в нескольких пунктах. Если прошедшее время бесконечно, почему материя не могла быть создана также бесконечной? Было бы наиболее разумным, опять же, предположить, что материя, уничтожаемая за любое время, пропорциональна материи, остающейся в это время, а не первоначальному количеству; при этой гипотезе даже конечное количество первоначальной материи никогда не могло бы полностью исчезнуть из вселенной. По тем же причинам мы не можем утверждать, что доктрина сохранения энергии действительно доказана или когда-либо может быть доказана как абсолютно истинная, как бы вероятной она ни считалась.

Склонность к поспешному обобщению.

Несмотря на все силы и преимущества обобщения, людям не требуется побуждения к обобщению; они слишком склонны делать поспешные и необдуманные выводы. Как сказал Фрэнсис Бэкон, нашему интеллекту нужны не крылья, а скорее свинцовые грузила, чтобы умерять его ход. Процесс неизбежен для человеческого ума; он начинается с детства и длится до глубокой старости. Ребенок, который однажды испытал боль, боится подобного результата во всех подобных случаях и с трудом может быть заставлен различать случай от случая. Именно осторожности и разборчивости в принятии выводов нам предстоит учиться в первую очередь, и весь жизненный опыт — это один непрерывный урок на этот счет. Баден Пауэлл превосходно описал эту сильную естественную склонность к поспешным выводам и любовь человеческого ума к прослеживанию сходств, реальных или воображаемых. «Наши первые индукции», — говорит он, — «всегда несовершенны и неубедительны; мы продвигаемся к реальным доказательствам путем последовательных приближений; и соответственно мы находим ложное обобщение главной ошибкой большинства первых попыток научных исследований. Способность обобщать точно и философски требует большой осторожности и долгой тренировки и не достигается полностью, особенно в отношении более общих взглядов, даже некоторыми, кто может по праву претендовать на звание очень точных научных наблюдателей в более ограниченной области. Это интеллектуальная привычка, которая приобретает огромную и накапливающуюся силу от созерцания более широких аналогий».

Поспешные и поверхностные обобщения всегда были бичом науки, и не составило бы труда найти бесконечные иллюстрации. Между вещами, которые одинаковы по числу, существует определенное сходство, а именно в числе; но в младенчестве науки людей нельзя было убедить, что в числе не подразумевается более глубокое сходство. Пифагор не был изобретателем мистической науки о числе. В древних восточных религиях семь металлов были связаны с семью планетами, и в семи днях недели мы все еще имеем, и, вероятно, всегда будем иметь, реликт семеричной системы, приписываемой Дионом Кассием древним египтянам. Ученики Пифагора довели доктрину числа семь до больших деталей. Семь дней упоминаются в Книге Бытия; младенцы приобретают зубы в конце семи месяцев; они меняют их в конце семи лет; семь футов был предел роста человека; каждый седьмой год был климактерическим или критическим годом, в который происходило изменение характера. Затем, опять же, были семь мудрецов Греции, семь чудес света, семь обрядов греческих игр, семь ворот Фив и семь генералов, предназначенных завоевать этот город.

В естествознании были не только семь планет и семь металлов, но также семь первичных цветов и семь тонов музыки. Настолько глубоко укоренилась эта доктрина, что мы до сих пор имеем ее результаты во многих обычаях, не только в семи днях недели, но и в семилетнем ученичестве, половом созревании в четырнадцать лет, втором климактерии и юридическом совершеннолетии в двадцать один год, третьем климактерии. Идея была воспроизведена в семи таинствах Римско-католической церкви и семилетних периодах гротескной системы домашнего поклонения Конта. Даже в научных вопросах высочайшие умы иногда уступали, как когда Ньютон был введен в заблуждение аналогией между семью тонами музыки и семью цветами своего спектра. Другие числовые аналогии, хотя и отвергнутые Галилеем, держали Кеплера в рабстве; немалая часть трудов Кеплера в течение семнадцати лет была потрачена на числовые и геометрические аналогии самого беспочвенного характера; и он серьезно полагал, что не может быть более шести планет, потому что не было более пяти правильных многогранников. Даже гений Гюйгенса не помешал ему сделать вывод, что Сатурну может принадлежать только один спутник, потому что вместе со спутниками Юпитера и Земли он завершал совершенное число шесть. Целый ряд других суеверий и заблуждений привязывается к числам шесть и девять.

Именно благодаря ложному обобщению, опять же, законы природы, как предполагалось, обладают тем совершенством, которое мы приписываем простым формам и отношениям. Небесные тела, как считалось, должны двигаться по кругам, ибо круг был совершенной фигурой. Ньютон, по-видимому, принял сомнительную аксиому, что природа всегда действует самым простым путем; формулируя свое первое правило философствования, он добавляет: «Для этой цели философы говорят, что природа ничего не делает напрасно, когда достаточно меньшего; ибо природа довольствуется простотой и не любит помпезности излишних причин». Кейлл устанавливает в качестве аксиомы, что «Причины естественных вещей таковы, что они наиболее просты и достаточны для объяснения явлений: ибо природа всегда действует самым простым и быстрым методом; потому что этим способом действия Божественная Мудрость проявляет себя тем более». Если бы эта аксиома имела какие-либо ясные основания истины, она не применялась бы к ближайшим законам; ибо даже когда конечный закон прост, результаты могут быть бесконечно разнообразными, как в различных эллиптических, гиперболических, параболических или круговых орбитах небесных тел. Простота естественно приятна уму с ограниченными способностями, но для бесконечного ума все вещи просты.

Каждый великий прогресс в науке состоит в великом обобщении, указывающем на глубокие и тонкие сходства. Коперниканская система была обобщением, в том смысле, что она классифицировала Землю среди планет; это было, как выразился епископ Уилкинс, «открытие новой планеты», но ей противостояло более поверхностное обобщение. Те, кто аргументировал исходя из состояния вещей на поверхности Земли, думали, что каждый объект должен быть прикреплен к чему-то другому и покоиться на нем. Неужели Земля, говорили они, одна будет свободна? Привыкшие к определенным особым результатам гравитации, они не могли представить ее действие при совершенно иных обстоятельствах. Ни один поспешный мыслитель не мог уловить глубокую аналогию, указанную Хорроксом между маятником и планетой, верную по существу, хотя и ошибочную в некоторых деталях. Все достижения современной науки проистекают из концепции Галилея, что в небесных телах, как бы ни было различно их состояние, мы в конечном итоге признаем те же фундаментальные принципы механической науки, которые верны на Земле.

Обобщение — великая прерогатива интеллекта, но это сила, которую можно безопасно использовать только с большой осторожностью и после долгой тренировки. Каждый ум должен обобщать, но существуют широчайшие различия в глубине обнаруженных сходств и тщательности, с которой проверяется открытие. По-видимому, существует врожденная способность к прозрению, которой немногие люди обладали в высшей степени и которая позволяла им, без освобождения, конечно, от труда или временных ошибок, обнаруживать единое во многом. Могут существовать умы чрезмерной остроты, которые, однако, обладают лишь способностями к тонкому различению и накоплению в сокровищнице памяти огромных запасов слов и событий. Но сила открытия принадлежит более ограниченному классу умов. Лаплас сказал, что из всех изобретателей, которые внесли наибольший вклад в развитие человеческого знания, Ньютон и Лагранж, по-видимому, обладали в высшей степени счастливым тактом различения общих принципов среди множества объектов, окружающих их, и этот такт он считал истинной характеристикой научного гения.

ГЛАВА XXVIII. АНАЛОГИЯ.

Как мы видели в предыдущей главе, обобщение незаметно переходит в рассуждение по аналогии, и различие здесь в степени. Мы говорим, что обобщаем, когда рассматриваем многие объекты как согласующиеся в немногих свойствах, так что сходство является скорее обширным, чем глубоким. Когда у нас есть лишь несколько объектов мысли, но мы способны обнаружить много точек сходства, мы рассуждаем по аналогии, что соответствие будет даже более глубоким, чем кажется. Может быть неверно, что слова всегда используются в таких различных смыслах, и существует большая расплывчатость в использовании этих и многих логических терминов; но если можно провести какое-либо четкое различие между обобщением и аналогией, то оно указано выше.

Действительно, было сказано, что аналогия обозначает не сходство между вещами, а между отношениями вещей. Лоцман — человек, сильно отличающийся от премьер-министра, но он имеет такое же отношение к кораблю, какое министр имеет к государству, так что мы можем аналогично описать премьер-министра как лоцмана государства. Человек отличается еще больше от лошади, тем не менее четыре человека имеют к трем людям такое же отношение, как четыре лошади к трем лошадям. Существует реальная аналогия между тонами монохорда, мудрецами Греции и воротами Фив, но она не распространяется дальше того факта, что все они были в количестве семи. Между самыми дискретными понятиями, как, например, понятиями времени и пространства, может существовать аналогия, возникающая из того факта, что математические условия течения времени и движения вдоль линии схожи. Нет тождества природы между словом и вещью, которую оно означает; вещество «железо» — это тяжелое твердое тело, слово «железо» — это либо мгновенное возмущение воздуха, либо пленка черного пигмента на белой бумаге; но существует аналогия между словами и их значениями. Вещество железо относится к веществу карбонат железа так же, как название железо относится к названию карбонат железа, когда эти названия используются согласно их научным определениям. Вся структура языка и вся полезность знаков, меток, символов, картинок и представлений различных видов покоятся на аналогии. Я надеюсь, возможно, более полно остановиться на этом важном предмете в будущем и попытаться показать, как изобретение знаков позволяет нам выражать, направлять и регистрировать наши мысли. Здесь будет достаточно заметить, что использование слов постоянно включает аналогии тонкого рода; мы часто были бы в затруднении, как описать понятие, если бы не были вольны использовать в метафорическом смысле название чего-либо, достаточно напоминающего его. Не было бы выражения для сладости мелодии или блеска речи, если бы оно не было предоставлено вкусом меда и яркостью факела.

Беглый осмотр того, как мы популярно используем слово «аналогия», показывает, что оно включает все степени сходства или подобия. Аналогия может состоять только в сходстве числа или отношения, или в подобных отношениях времени и пространства. Она может также состоять в простом сходстве между физическими свойствами. Мы не использовали бы это слово в противоречии с обычаем, если бы сказали, что существует аналогия между железом, никелем и кобальтом, проявляющаяся в силе их магнитных свойств. Существует еще более совершенная аналогия между йодом и хлором; не то чтобы каждое свойство йода было идентично соответствующему свойству хлора; ибо тогда они были бы одним и тем же видом вещества, а не двумя веществами; но каждое свойство йода напоминает во всем, кроме степени, какое-то свойство хлора. Почти для каждого вещества, в котором йод является компонентом, можно обнаружить соответствующее вещество, содержащее хлор, так что мы можем с уверенностью делать выводы от соединений одного вещества к соединениям другого. Иодид калия кристаллизуется в кубах; поэтому следует ожидать, что хлорид калия также будет кристаллизоваться в кубах. Химия в своем нынешнем развитии почти полностью опирается на тщательное и обширное сравнение свойств веществ, выявляющее глубоко лежащие аналогии. Когда встречается любое новое вещество, химик руководствуется в обращении с ним аналогиями, которые оно, по-видимому, представляет с ранее известными веществами.

В этой главе я не могу надеяться проиллюстрировать всепроникающее влияние аналогии в человеческой мысли и науке. Вся наука, как было сказано вначале, возникает из обнаружения тождества, а аналогия — лишь одно из названий, которыми мы обозначаем более глубоко лежащие случаи сходства. Я попытаюсь лишь указать в настоящее время, как аналогия между, по-видимому, различными классами явлений часто служит руководством в открытии. Мы таким образом обычно получаем первое представление о природе, по-видимому, уникального объекта, и таким образом, в ходе развития науки, мы часто обнаруживаем, что снова имеем дело в новой форме с явлениями, которые были нам хорошо известны в другой форме.

Аналогия как руководство в открытии.

Нет сомнений, что открытие чаще всего совершается путем следования подсказкам, полученным от аналогии, как заметил Джереми Бентам. Всякий раз, когда воспринимается явление, первый импульс ума состоит в том, чтобы связать его с наиболее близким по сходству явлением. Если бы мы когда-либо встретили вещь, полностью sui generis, не представляющую аналогии ничему другому, мы были бы неспособны исследовать ее природу, кроме как путем чисто случайных проб. Вероятность успеха такого процесса настолько мала, что предпочтительнее следовать за самой слабой подсказкой. Как я уже указывал (стр. 418), возможные эксперименты почти бесконечны по числу, и очень многочисленны также гипотезы, на которых мы можем основываться. Теперь самоочевидно, что, как бы незначительно ни превосходила вероятность успеха одного курса действий над другим, наиболее вероятный всегда должен быть принят первым.

Химик, обнаруживший то, что он считает новым элементом, будет иметь перед собой бесконечное разнообразие способов обращения с ним и его исследования. Если в каком-либо из своих качеств вещество проявляет сходство со щелочным металлом, например, он естественно приступит к проверке того, обладает ли оно другими свойствами щелочных металлов. Даже самое простое явление представляет так много точек для внимания, что у нас есть выбор среди многих гипотез.

Было бы трудно найти более поучительный пример того, как ум направляется аналогией, чем в описании сэром Джоном Гершелем хода мысли, который привел его к предвосхищению в теории одного из величайших открытий Фарадея. Гершель заметил, что винтообразная форма, технически называемая геликоидальной диссимметрией, наблюдалась в трех случаях, а именно: в электрических спиралях, плагиэдрических кристаллах кварца и вращении плоскости поляризации света. Как он сказал: «Я рассуждал так: вот три явления, согласующиеся в очень странной особенности. Вероятно, эта особенность является связующим звеном, физически говоря, между ними. Теперь, в случае кристаллов и света, эта вероятность была превращена в уверенность моими собственными экспериментами. Следовательно, индукция привела меня к выводу, что подобная связь существует и должна проявиться, так или иначе, между электрическим током и поляризованным светом, и что плоскость поляризации будет отклоняться магнитоэлектричеством». Этим ходом аналогического мышления Гершель был фактически приведен к предвосхищению великого открытия Фарадея о влиянии магнитного напряжения на поляризованный свет. Он пытался в 1822–25 годах обнаружить влияние электричества на свет, пропуская луч поляризованного света через спираль или вблизи длинной проволоки, несущей электрический ток. Такой курс исследования, продолженный с настойчивостью Фарадея и с его экспериментальными ресурсами, несомненно, привел бы к открытию. Гершель также предполагает, что плагиэдрическая форма кристаллов кварца должна быть обусловлена винтообразным напряжением во время кристаллизации; но это понятие остается не подтвержденным экспериментом.

Аналогия в математических науках.

Тот, кто желает приобрести глубокое знакомство с Природой, должен заметить, что существуют аналогии, которые соединяют целые отрасли науки параллельным образом и позволяют нам делать выводы об одном классе явлений на основе того, что мы знаем о другом. Так случалось несколько раз, что открытие неожиданной аналогии между двумя отраслями знания было отправной точкой для быстрого курса открытий. Истины, легко наблюдаемые в одной, могут быть иного характера, чем те, которые проявляются в другой. Аналогия, однажды указанная, ведет нас к открытию областей одной науки, еще не развитых, ключ к которым предоставляется соответствующими истинами в другой науке. Взаимообмен помощью, самый удивительный по своим результатам, может таким образом иметь место, и в то же время ум поднимается к более высокому обобщению и более всестороннему взгляду на природу.

Никакие две науки на первый взгляд не могут казаться более различными по своему предмету, чем геометрия и алгебра. Первая имеет дело с кругами, квадратами, параллелограммами и другими формами в пространстве; последняя — с простыми символами числа. До времени Декарта науки развивались медленно и мучительно, почти в полной независимости друг от друга. Греческие философы, действительно, не могли избежать замечания случайных аналогий, как когда Платон в «Теэтете» описывает квадратное число как «равно-равное», а число, полученное умножением двух неравных множителей, как «продолговатое». Евклид в 7-й и 8-й книгах своих «Начал» постоянно использует выражения, демонстрирующие осознание тех же аналогий, как когда он называет число с двумя множителями «плоским числом» (ἐπίπεδος ἀριθμός) и отличает квадратное число, два множителя которого равны, как «равностороннее и плоское число» (ἰσόπλευρος καὶ ἐπίπεδος ἀριθμός). Он также называет корень кубического числа его «стороной» (πλευρά). В диофантовой алгебре многие задачи геометрического характера решались алгебраическими или числовыми процессами; но не было общей системы, так что решения носили изолированный характер. В целом древние были гораздо более продвинуты в геометрических, чем в символических методах; так, Евклид в своей 4-й книге дает средства деления круга чисто геометрическими средствами на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30 частей, но он был совершенно не знаком с теорией корней из единицы, точно соответствующей этому делению круга.

В средние века, напротив, алгебра продвинулась дальше геометрии, и способы решения уравнений постепенно открывались теми, кто не имел понятия, что на каждом шагу они неявно решали геометрические задачи. Правда, Региомонтан, Тарталья, Бомбелли и, возможно, другие ранние алгебраисты решали изолированные геометрические задачи с помощью алгебры, но всегда использовались конкретные числа, и не проявлялось осознания общего метода. Виет в некоторой степени предвосхитил окончательное открытие и иногда представлял корни уравнения геометрически, но именно Декарту было суждено показать самым общим образом, что каждое уравнение может быть представлено кривой или фигурой в пространстве и что каждый изгиб, точка, острие или другая особенность кривой указывает на некоторую особенность уравнения. Невозможно описать каким-либо адекватным образом важность этого открытия. Преимущество было двояким: алгебра помогала геометрии, а геометрия давала взаимную помощь алгебре. Кривые, такие как хорошо известные сечения конуса, оказались соответствующими квадратным уравнениям; и было невозможно манипулировать уравнениями, не обнаруживая свойств этих важнейших кривых. Таким образом, был открыт путь для алгебраического рассмотрения движений и сил, без чего «Начала» Ньютона никогда не могли бы быть разработаны. Ньютон, действительно, был одержим сильным увлечением в пользу древних геометрических методов; но хорошо известно, что он использовал символические методы для открытия своих теорем, и он время от времени, случайным использованием алгебраического выражения, признавал его большую силу и общность.

Геометрия, с другой стороны, оказала большую помощь алгебре, предоставляя конкретные представления отношений, которые в противном случае были бы слишком абстрактными для легкого понимания. Кривая не очень большой сложности может дать всю историю изменений значения затруднительного математического выражения. Как только мы узнаем, что каждая правильная геометрическая кривая представляет некоторое алгебраическое уравнение, нам наблюдением механических движений предоставляется множество подсказок к открытию математических задач. Каждая частица колеса кареты при движении по ровной дороге постоянно описывает циклоидальную кривую, любопытные свойства которой упражняли изобретательность всех самых искусных математиков семнадцатого века и привели к важным достижениям в алгебраической силе. Можно считать, что открытие дифференциального исчисления было в основном обусловлено геометрической аналогией, потому что математики, пытаясь рассматривать алгебраически касательную к кривой, были вынуждены принять понятие бесконечно малых величин. Нет сомнений, что флюкционный, то есть геометрический, способ изложения дифференциального исчисления Ньютоном, как бы он впоследствии ни замедлял его прогресс в Англии, облегчил его понимание вначале, и я считаю почти несомненным, что Ньютон открыл принципы исчисления геометрически.

Мы можем, соответственно, рассматривать это открытие аналогии, этот «счастливый союз», как называет его Боссю, между геометрией и алгеброй, как главный источник открытий, сделанных за последние три столетия в математических методах. Таково, безусловно, мнение Лагранжа, который говорит: «Пока алгебра и геометрия были разделены, их прогресс был медленным, а применение — ограниченным; но с тех пор, как эти две науки объединились, они придали друг другу взаимную силу и вместе быстрыми шагами двинулись к совершенству».

Развитию механической науки также в значительной степени способствовала аналогия. Абстрактное и неосязаемое понятие, такое как сила, требует большой силы воображения, но оно имеет идеальное конкретное воплощение в виде линии, конец которой может обозначать точку приложения, а направление — линию действия силы, в то время как длина может быть произвольно принята для обозначения величины силы. Аналогия на этом не заканчивается; ибо момент силы относительно любой точки, или ее произведение на перпендикулярное расстояние от линии ее действия до этой точки, оказывается представленным в виде площади, а именно удвоенной площади треугольника, заключенного между точкой и концами линии, представляющей силу. В последние годы было осуществлено большое обобщение; «двойная алгебра» Де Моргана справедлива не только для пространственных отношений, но и для сил, так что треугольник сил сводится к случаю чисто геометрического сложения. Более того, треугольник линий, треугольник скоростей, треугольник сил, треугольник пар сил и, возможно, другие родственные теоремы сводятся по аналогии к одной простой теореме, которая сводится к следующему: существуют два способа добраться от одной угловой точки треугольника к другой, и эти способы, хотя и различаются по длине, идентичны по своим конечным результатам. В системе кватернионов покойного сэра У. Р. Гамильтона эти аналогии воплощены и реализованы самым общим образом, так что любая задача, включающая трехмерность пространства или отношения, аналогичные пространственным, решается с помощью символического метода, обладающего величайшей простотой.

Следует добавить, что открытию аналогии между формами математических и логических выражений мы обязаны величайшим прогрессом в логической науке. Буль основывал свое расширение логических процессов на представлении о том, что логика — это алгебра двух величин, 0 и 1. Его глубокий гений в области символических исследований позволил ему по аналогии осознать, что должна существовать общая система логической дедукции, от которой старые логики уловили лишь несколько фрагментов. Как бы он ни ошибался, ставя алгебру выше логики, никто не может отрицать, что развитие более сложной и зависимой науки продвинулось далеко вперед по сравнению с более простой наукой, и что Буль, обратив внимание на эту связь, совершил одно из важнейших открытий в истории науки. Как Декарт соединил алгебру и геометрию, так и Буль совершил союз логики и алгебры.

Аналогия в теории волновых движений.

Нет такого класса явлений, который более полно иллюстрировал бы как силу, так и слабость аналогии, чем волны, которые возмущают любой вид среды. Все волны, независимо от того, через какую материю они проходят, подчиняются принципам ритмического или гармонического движения, и поэтому данный предмет представляет собой прекрасное поле для математического обобщения. Каждый вид среды может допускать волны, специфические для своих условий, поэтому прекрасным упражнением в аналогическом рассуждении является решение вопроса о том, как при выводах от одного вида среды к другому мы должны учитывать различие обстоятельств. Океанские волны велики и видимы, существуют еще более крупные приливные волны, охватывающие весь земной шар. От таких осязаемых случаев ритмического движения мы переходим к звуковым волнам, длина которых варьируется от примерно 32 футов до малой доли дюйма. Нам стоит лишь представить, если сможем, сороковую октаву ноты «до» первой октавы фортепиано, и мы достигнем колебаний желтого света, причем ультрафиолетовое излучение находится примерно на сорок первой октаве. Таким образом, мы переходим от осязаемого и очевидного к тому, что является неясным, если не непостижимым. Тем не менее, те же явления отражения, интерференции и преломления, которые мы находим в одних видах волн, можно ожидать, mutatis mutandis, и в других.

От великого к малому, от очевидного к неясному — это не только естественный порядок вывода, но и исторический порядок открытия. Физическая наука греческих философов должна была оставаться неполной, а их теории — беспочвенными, потому что они не понимали природы волновых движений. Их системы основывались на представлении о поступательном движении с места на место. Современная наука склоняется к противоположному представлению, что всякое движение является чередующимся или ритмическим, при этом энергия движется вперед, а материя остается относительно неподвижной. Диоген Лаэртский действительно правильно сравнивал распространение звука с расхождением волн на поверхности воды, потревоженной камнем, а Витрувий продемонстрировал более полное понимание той же аналогии. Ньютону предстояло создать теорию волнового движения, показав с помощью математического дедуктивного рассуждения, что частицы упругой жидкости, вибрируя вперед и назад, могут переносить импульс или волну, движущуюся от источника возмущения, в то время как возмущенные частицы возвращаются в свое положение покоя. Он даже смог сделать первое приближение путем теоретического расчета скорости звуковых волн в атмосфере. Его теория звука составила едва ли не менее важную эпоху в науке, чем его гораздо более знаменитая теория тяготения. Она открыла путь ко всем последующим применениям механических принципов к нечувствительному движению молекул. По-видимому, он также был на пороге еще одного применения тех же принципов, которое продвинуло бы науку на столетие вперед и сделало бы его бесспорным основателем всех теорий материи. Он неоднократно высказывал мнение, что свет может быть обусловлен волновыми движениями среды, занимающей пространство, и в одном чрезвычайно интересном предложении отмечает, что цвета, вероятно, являются вибрациями различной длины, «подобно тому как в чувстве слуха природа использует воздушные вибрации различной величины для создания звуков разных тонов, ибо следует наблюдать аналогию природы». Он правильно предвидел, что красный и желтый свет будут состоять из более длинных волн, а синий и фиолетовый — из более коротких, в то время как белый свет будет состоять из беспорядочной смеси волн различной длины. Ньютон почти преодолел самую сильную кажущуюся трудность волновой теории света, а именно распространение света по прямым линиям. Ибо он заметил, что, хотя звуковые волны в некоторой степени огибают препятствие, они не делают этого в той же степени, что и водные волны. Ему оставалось лишь пропорционально распространить аналогию на световые волны, и тогда не только исчезла бы трудность, но и открылась бы истинная теория дифракции. К сожалению, у него была предвзятая теория, что лучи света отклоняются от тени тела, а не к ней, — теория, которую он в тот раз недостаточно сопоставил с наблюдением, чтобы обнаружить ее ложность. Я также не знаю, чтобы Ньютон в каких-либо своих трудах продемонстрировал понимание явлений интерференции, без чего его представление о волнах должно было быть несовершенным.

Хотя общие принципы волнового движения будут одинаковыми в любой среде, в которой происходит движение, обстоятельства могут быть чрезвычайно разными. Между светом, распространяющимся со скоростью 186 000 миль в секунду, и звуком, распространяющимся в воздухе всего около 1 100 футов за то же время, или почти в 900 000 раз медленнее, мы не можем ожидать близкого внешнего сходства. Существуют также большие различия в характере вибраций. Газы почти не допускают поперечных колебаний, поэтому звук, распространяющийся в воздухе, является продольной волной, частицы воздуха движутся вперед и назад по той же линии, по которой волна движется вперед. Свет, с другой стороны, по-видимому, состоит целиком из движения точек силы поперечно направлению распространения луча. Световая волна частично аналогична изгибу стержня или натянутого шнура, приведенного в движение с одного конца. Теперь это изгибающее движение может происходить в любой из бесконечного числа плоскостей, и волны, плоскости которых перпендикулярны друг другу, не могут интерферировать, так же как две перпендикулярные силы не могут интерферировать. Сложные явления поляризованного света возникают из этого поперечного характера световой волны, и мы не должны ожидать встретить аналогичные явления в атмосферных звуковых волнах. Вполне мыслимо, что в твердых телах мы могли бы создавать поперечные звуковые колебания, в которых могли бы воспроизводиться явления поляризации. Но представляется, что даже между поперечными звуковыми и световыми волнами аналогия справедлива скорее в отношении принципов гармонического движения, чем обстоятельств вибрирующей среды; из эксперимента и теории делается вывод, что плоскость поляризации в плоскополяризованном свете перпендикулярна направлению вибрации, а не совпадает с ним, как это было бы в случае поперечных звуковых колебаний. Если это так, то законы упругих сил существенно различаются в применении к светоносному эфиру и к обычным твердым телам.

Аналогия в астрономии.

Нам очень поможет в получении истинной оценки значения аналогии в ее более слабых степенях рассмотрение того, насколько она способствовала прогрессу астрономической науки. Наша точка наблюдения настолько фиксирована по отношению к Вселенной, а наши средства исследования удаленных тел настолько ограничены, что мы неизбежно руководствуемся ограниченными и, по-видимому, слабыми сходствами. Во многих случаях результат подтверждался последующими прямыми доказательствами самого убедительного характера.

В то время как научный мир был разделен во мнениях между Коперниканской и Птолемеевой системами, именно аналогия предоставила наиболее удовлетворительный аргумент. Галилей с помощью своего нового телескопа открыл четыре маленьких спутника, которые обращаются вокруг Юпитера и образуют миниатюрный планетный мир. Эти четыре «Медицейские звезды», как их называли, были отчетливо видны вращающимися вокруг Юпитера с различными периодами, но приблизительно в одной плоскости, и астрономы неотвратимо сделали вывод, что то, что может происходить в меньшем масштабе, может оказаться верным и для большей планетной системы. Это открытие дало, как выразился Гершель, «решающий поворот» мнениям человечества. Даже Фрэнсис Бэкон, который, к чести его научной проницательности, ранее выступал против взглядов Коперника, теперь убедился, сказав: «Мы утверждаем движение Венеры и Меркурия вокруг Солнца, поскольку Галилеем было обнаружено, что у Юпитера также есть спутники». Гюйгенс также не счел излишним принять аналогию в качестве веского аргумента. Даже на продвинутой стадии физической астрономии система Юпитера не утратила своего аналогического интереса; ибо взаимные возмущения четырех спутников проходят через все свои фазы в течение нескольких столетий и, таким образом, позволяют нам проверить в миниатюрном масштабе принципы устойчивости, которые Лаплас установил для большой планетной системы. Колебания или возмущения, которые в движениях планет кажутся вековыми, поскольку их периоды охватывают миллионы лет, можно наблюдать в случае спутников Юпитера в течение полных оборотов в рамках исторического периода астрономии.