МЕНОН II ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИАЛОГА СОКРАТА С МЕНОНОМ, В КОТОРОМ МАЛЬЧИК ДОКАЗЫВАЕТ, ЧТО КОРЕНЬ ИЗ ДВУХ ИРРАЦИОНАЛЕН
Сократ
Издание Millennium Fulcrum [Авторское право 1995]
Сократ: Ну вот мы и встретились в назначенное время, Менон.
Менон: Да, и день, кажется, выдался для этого прекрасный.
Сократ: И я вижу, что наш слуга тоже здесь.
Мальчик: Да, я здесь и готов исполнить вашу волю.
Сократ: Чудесно. Теперь, Менон, я хочу, чтобы ты был начеку, как и в прошлый раз, и следил, чтобы я ничему не учил мальчика, а лишь извлекал из его разума те предпосылки, которые уже там заложены.
Менон: Я сделаю все, что в моих силах, Сократ.
Сократ: Большего я ни от кого и не требую, Менон. Я уверен, что ты справишься хорошо, и надеюсь, что не дам тебе повода остановить меня, если я скажу слишком много и ты почувствуешь, что я на самом деле подсказываю мальчику ответ на эту загадку.
Менон: Нет, Сократ, не думаю, что мне придется прерывать тебя из-за чего-либо, что ты скажешь сегодня, ибо самые удивительно ученые мужи из школы Пифагора потратили многие часы, недели и даже месяцы и годы, трудясь на свой манер, чтобы прийти к мистическим решениям головоломок, порожденных простыми квадратами, с которыми мы работали в прошлый раз. Поэтому я уверен, что верну себе добродетель, которую утратил на днях, когда ты так твердо доказал, что я ошибался, утверждая, будто корень из квадрата площадью в два квадратных фута непостижим для этого мальчика — а он прекрасный мальчик, и мы должны заставить его понять, что он должен стараться изо всех сил и не чувствовать, что совершил нечто дурное, став причиной того, что я утратил перед тобой свою добродетель.
Сократ: Менон, друг мой, я придерживаюсь мнения — и надеюсь, вскоре ты его разделишь, — что твоя добродетель в тот день не уменьшилась, а возросла.
Менон: Не понимаю, как это возможно, когда я был унижен, увидев, как этот юный мальчик с весьма скромным образованием за считанные минуты достиг высочайших мистических уровней магии пифагорейцев. Особенно после того, как я поставил на кон столько обедов, сколько ты смог бы съесть в моем доме, утверждая, что этого быть не может.
Сократ: Прежде всего, друг Менон, позволь заверить тебя, что я обещаю никогда не объедать тебя до нитки, да я бы и не смог, если бы даже попытался, ибо вкусы мои просты, а кошелек твой полон. Тем не менее, Менон, друг мой, я поспешу добавить, что обещаю, если хочешь, никогда не приходить к твоему столу без приглашения.
Вторая причина, по которой тебе и твоей добродетели следует чувствовать себя лучше после событий того дня, заключается в том, что раньше ты заблуждался, а теперь заблуждаешься меньше. А путь к добродетели, по крайней мере один из его аспектов, состоит в обнаружении и исправлении ошибок.
Менон: Сократ, ты знаешь, что всегда желанный гость за моим столом, за исключением тех случаев, когда я страдаю от язвы, которую ты сильно раздражаешь, или когда я принимаю знатнейших вельмож страны, и ты выглядел бы неуместно в своей одежде. (Сократ был известен своим простым одеянием и тем, что носил свои вещи до тех пор, пока они не изнашивались. Однако единственный сохранившийся пример его письма — это список белья в стирку, так что мы знаем, что он содержал свою одежду в чистоте и некотором порядке, хотя и простоте)
Сократ: Я надеялся, что ты приглашаешь меня потому, что я благотворно влияю на твое развитие, а не по какой-либо другой причине. Я заметил, что ты не ответил на мое утверждение о том, что я увеличил твою добродетель путем изгнания твоего заблуждения.
Менон: Ну, Сократ, ты же знаешь, что не всегда легко отказаться от своих привычек, даже если обнаружил, что они ошибочны. Поэтому, пожалуйста, прости меня, если я звучу не так благодарно, как тебе хотелось бы за твои уроки.
Сократ: Чем легче человек расстается с привычками заблуждения, тем легче заменить заблуждение тем, что, как мы надеемся, не является заблуждением. Разве это не путь к добродетели?
Менон: Да, Сократ, и ты знаешь, что путь этот труден и что мы часто спотыкаемся и падаем.
Сократ: Да, но разве не правда, что мы спотыкаемся и падаем о препятствия, которые сами же себе и создаем?
Менон: Безусловно, это совершенно верно, Сократ, в некоторых случаях.
Сократ: Что ж, тогда продолжим, ибо я вижу, что настал час, когда я лучше всего мыслю, и этот час скоро пройдет, а вместе с ним, надеюсь, немного уменьшится и твое невежество.
Менон: Хорошо сказано, Сократ. Я с тобой.
Сократ: И заключим ли мы пари на сегодняшние события?
Менон: Конечно, Сократ.
Сократ: И что ты поставишь против того, что этот мальчик докажет, что длину корня из квадрата площадью в два квадратных фута невозможно выразить отношением двух целых чисел?
Менон: Ты можешь получить все, что в моей власти дать, если только это не причинит вреда мне или кому-то другому.
Сократ: Хорошо сказано, мой друг Менон, и я на этом остановлюсь. А что я предложу тебе в качестве ответного пари?
Менон: Ну, самое простое, что приходит на ум, — это поставить на кон все те обеды, которые ты выиграл у меня в прошлый раз.
Сократ: Очень хорошо, пусть будет так.
Менон: Теперь, Сократ, поскольку ты мой друг, я должен дать тебе дружеское предостережение: ты ведь знаешь, что пифагорейцы ревностно охраняют свои секреты с помощью тайных собраний, защищенных секретными рукопожатиями, тайными знаками, паролями и всем прочим, не так ли?
Сократ: Я слышал об этом, друг Менон.
Менон: Тогда будь уверен, что они будут мстить тебе за то, что ты демистифицируешь идеи и концепции, которые они так долго, упорно и тайно создавали и защищали; ибо они крайне ревнивы и прячутся в горных пещерах, которые едва ли можно назвать монастырями даже самому суровому монаху.
Сократ: Я понимаю, что ты имеешь в виду, друг Менон, и благодарю тебя за заботу, но я думаю, что если я проиграю, они не будут меня беспокоить, а если я выиграю, это покажется всем настолько простым, что было бы величайшим безумием для кого-либо делать хоть малейший жест, чтобы защитить свою павшую мистическую тайну. К тому же, у меня есть гражданский долг перед Афинами и всеми афинянами — делать все возможное, чтобы защитить и просветить их.
Менон: Очень хорошо, Сократ. Пожалуйста, никогда не говори, что я не пытался тебя предупредить, особенно после того, как они пригвоздят тебя к кресту в общественном месте, где каждый мог бы услышать, как ты говоришь, что вина за это лежит на моем имени.
Сократ: Не волнуйся, друг Менон, ибо если бы я не показал этот простой логический трюк тебе, я бы просто пошел по улице и нашел кого-нибудь другого, хотя и не того, чьей компанией и беседой я наслаждался бы так же, как твоей.
Менон: Спасибо, друг Сократ.
Сократ: Теперь, мальчик, помнишь ли ты меня и квадраты, с которыми мы работали и играли в прошлый раз?
Мальчик: Да, господин Сократ.
Сократ: Пожалуйста, Менон, вели мальчику называть меня просто по имени, как и все остальные. Обращение «господин» лишь сбивает меня с мысли, к тому же это создает большую дистанцию между мной и мальчиком.
Менон: Ты слышал, что сказал Сократ, мальчик. Можешь так сделать?
Мальчик: Да, господин. (Поворачиваясь к Сократу) Вы знаете, что вы мне очень нравитесь, и что я называю вас «господин» не только из-за нашего положения в обществе, но и из-за моего искреннего уважения и восхищения, особенно после событий того дня.
Сократ: Да, мальчик. И я постараюсь оправдать твои ожидания. (Поворачиваясь к Менону) Позволишь ли ты наградить мальчика, а также меня самого, если он докажет к твоему удовлетворению, что квадратный корень из двух иррационален?
Менон: Конечно, Сократ.
Сократ: (отводя мальчика в сторону) Чего бы ты больше всего хотел на свете, мальчик?
Мальчик: Вы имеете в виду что угодно?
Сократ: Ну, я не могу гарантировать, что достану это для тебя, но, по крайней мере, я могу попросить, а просить не вредно; к тому же, как ты должен знать, очень трудно ожидать, что кто-то даст тебе то, что ты хочешь, если ты никогда не даешь им знать, что ты этого хочешь.
Мальчик: Ну, Сократ… вы знаете, чего бы я хотел.
Сократ: Знаю ли?
Мальчик: Лучше, чем я знал квадратный корень из двух в прошлый раз.
Сократ: Значит, ты хочешь быть свободным человеком и гражданином.
Мальчик: (опуская глаза) Да.
Сократ: Не опускай глаза, ибо это достойное желание, и оно говорит в пользу того, кто его имеет. Я поговорю с Меноном, а ты попридержи язык.
Мальчик: Да, Сократ. (кланяется, чтобы поцеловать его руку, Сократ отворачивается)
Сократ: Друг Менон, как ты думаешь, насколько трудно будет этому мальчику доказать иррациональность квадратного корня из двух?
Менон: Ты знаешь, что я считаю это невозможным, Сократ.
Сократ: Ну, а сколько времени это заняло у пифагорейцев?
Менон: Думаю, у них ушли годы.
Сократ: И сколько их было?
Менон: Довольно много, хотя не все работали одинаково, а некоторые почти совсем не работали, ибо их больше интересовали треугольники правильного и добродетельного вида, а не квадраты и их корни.
Сократ: Можешь дать мне оценку?
Менон: Нет, не могу сказать, что могу. Прости, Сократ.
Сократ: Ничего страшного, примешь ли ты пять мыслителей в качестве оценки?
Менон: Думаю, это будет справедливо.
Сократ: И предположим ли мы, что они работали два года — это наименьшее число, которое сохраняет множественное число, а наше предположение было, что они работали годами.
Менон: Два года меня вполне устраивают, Сократ.
Сократ: Очень хорошо, Менон, выходит, что пифагорейцы потратили в общей сложности 10 лет мыслительного времени на решение загадок квадратного корня из двух.
Менон: Согласен.
Сократ: А хотел бы ты нанять пифагорейцев управлять твоим хозяйством, Менон?
Менон: Конечно, хотел бы, Сократ, если бы их можно было нанять, но, как ты хорошо знаешь, они люди скрытные и никого не нанимают.
Сократ: Ну, а если бы я мог достать тебе одного, возможно, одного из лучших, фактически лидера группы, решившей задачу с квадратным корнем из двух, разве ты не нанял бы его, причем за высокую плату?
Менон: Конечно, Сократ. Я был бы дураком, если бы не сделал этого.
Сократ: И ты поставил бы его во главе своего дома.
Менон: И всех моих земель тоже, Сократ.
Сократ: Возможно. Тогда я хотел бы предложить, чтобы, если этот мальчик решит доказательство иррациональности квадратного корня из двух в течение следующих нескольких часов нашей дискуссии, ему была выплачена заработная плата, равная той, что причитается твоему самому высокопоставленному слуге за десять лет службы, ибо он совершит для тебя десять лет службы за следующие несколько часов, если преуспеет.
Менон: Это звучит вполне справедливо, Сократ, мне нравится твоя логика.
Сократ: (мальчик дергает его за тунику, жалуясь, что хочет свободы, а не просто ведро золота) Тише, мальчик, разве ты не обещал придержать язык?
Мальчик: Да, Сократ, но…
Сократ: (поворачиваясь к Менону) И, конечно, с денежным вознаграждением за такую должность идет все остальное.
Менон: Конечно, Сократ. Я никогда не думал тебя обманывать.
Сократ: Я знаю это, друг Менон, но я прошу лишь ради мальчика, который не привык слышать о высоких финансах и власти, и ранге, которые сопутствуют таким вещам.
Менон: Конечно, Сократ. Мне сказать мальчику, что он получит?
Сократ: Ты очень добр, мой друг Менон.
Менон: (поворачивается к мальчику) Ты осознаешь, что слуга не может владеть той суммой золота, которую я должен был бы дать тебе, если бы ты победил?
Мальчик: Да, господин.
Менон: Поэтому я должен был бы дать тебе свободу владеть деньгами, прежде чем я смог бы дать тебе деньги, не так ли?
Мальчик: Да, господин.
Менон: И, давая тебе свободу, я был бы небрежен, если бы не дал тебе работу и праздник в честь твоего выхода в свет, соответствующий твоему богатству, не так ли?
Мальчик: Я не могу точно сказать, господин, хотя полагаю, что так.
Менон: Ты полагаешь правильно. Я буду кормить тебя целую неделю празднеств и одену в лучшие одежды, пока тебя будут представлять лучшим дамам и господам Афин, из которых ты волен выбирать себе друзей, деловых партнеров, светских знакомых, связи, а возможно, даже жену, если найдешь кого-то, кто тебе понравится. Понимаешь ли ты теперь, что нет ничего, что я бы упустил, о чем тебе пришлось бы просить, или что если бы тебе пришлось просить, я бы дал это немедленно и просил бы твоего прощения за свою ошибку?
Мальчик: Трудно понять, но я верю вам на слово.
Сократ: Теперь не давай этому вскружить тебе голову, мальчик. Это то, до чего ты мог бы додуматься сам, если бы приложил свой ум, как делал это с квадратами в прошлый раз. Сможешь ли ты так же хорошо справиться сегодня?
Мальчик: Я должен думать и надеюсь, что да, друг Сократ, ибо я вижу, что вы действительно мой друг, и я надеюсь, что сегодня я более способен, так как кое-чему научился в прошлый раз.
Сократ: Посмотрим, мальчик. Перейдем к испытанию. Теперь ты помнишь квадраты, с которыми мы имели дело в прошлый раз.
Мальчик: Да, Сократ.
Сократ: А тот конкретный квадрат на диагонали, который мы сделали, чья площадь была два, помнишь ли ты его?
Мальчик: Да, Сократ.
Сократ: И ты помнишь, что длина стороны квадрата, умноженная сама на себя, дает площадь квадрата.
Мальчик: Все в школе это знают, Сократ.
Сократ: Ну, может быть. Однако именно об этой стороне, которая при умножении на саму себя дает площадь два, я хотел бы поговорить сегодня подробнее. Как ты на это смотришь?
Мальчик: Это хорошо, Сократ. Я помню ту линию, и она мне, можно сказать, больше всего понравилась, если вы понимаете, о чем я.
Сократ: Хорошо, тогда мы отлично проведем время. Знаешь ли ты, какой длины эта линия, мальчик?
Мальчик: Ну, я знаю, что вы оба сочли это мудрым, когда я сказал, что она такой длины, что при возведении в квадрат дает квадрат площадью два, так что я полагаю, мне следует ответить именно так.
Сократ: И это хороший ответ. Мы сделаем его еще лучше по мере продвижения.
Мальчик: Хорошо.
Сократ: Помнишь ли ты, как ты споткнулся и упал лицом вниз в прошлый раз, когда подумал, что квадрат площадью девять на самом деле является квадратом площадью восемь?
Мальчик: О да, Сократ! И мне очень стыдно, потому что я до сих пор не знаю достаточно, чтобы быть уверенным, что никогда больше не совершу такой ошибки, и поэтому я знаю, что мне не хватает добродетели и правоты.
Сократ: Их не хватает не настолько, чтобы нельзя было улучшить, не так ли, мальчик?
Мальчик: Я надеюсь и молюсь, что нет.
Сократ: Что ж, сегодня ты расскажешь нам кое-что об этом числе, которое при умножении на само себя дает два.
Мальчик: Я расскажу вам все, что знаю или думаю, что знаю, Сократ, и надеюсь, что я прав или что меня можно будет поправить.
Сократ: Менону, конечно, он прекрасный мальчик, эх, Менон?
Менон: Да, я горжусь тем, что владею им, но я не вижу, как он может быть достаточно умен, чтобы проделать сегодня работу, на которую у монаха-пифагорейца ушло бы десять лет уединенной жизни.
Сократ: Посмотрим. Мальчик, ты отлично справляешься. Думаю, я мог бы даже сделать из тебя ученого, хотя боюсь, что ты можешь удариться в вино и женщин со своим новообретенным богатством, если преуспеешь, вместо того чтобы продолжать оттачивать остроумие, которое должно принести тебе эту награду.
Мальчик: Не думаю, что я хотел бы проводить так много времени с женщинами или с вином, Сократ.
Сократ: Ты что-нибудь найдешь, без сомнения. Итак, вернемся к числу, которое при возведении в квадрат дает нам два. Что мы можем сказать о таком числе? Оно нечетное или четное? Ну, оно должно было бы быть целым числом, чтобы быть одним из них, не так ли, и мы видели в прошлый раз, что происходит с целыми числами, когда их возводят в квадрат? Они дают нам 1, 4, 9 и 16 в качестве площадей квадратов, не так ли?
Мальчик: Да, Сократ, хотя я помню, как думал, что должно было быть число, которое дало бы восемь, Сократ?
Сократ: Думаю, мы найдем его, если будем продолжать искать. Теперь, помнишь ли ты, должно ли это число быть больше или меньше единицы?
Мальчик: Больше, Сократ. Ибо единица в квадрате дает площадь только один, а нам нужна площадь два, которая больше.
Сократ: Хорошо. А что насчет двух?
Мальчик: Два дает квадрат четыре, что слишком много.
Сократ: Отлично. Значит, квадратный корень из двух меньше стороны два, которая является корнем из четырех, и больше стороны один, которая дает один?
Мальчик: Да, Сократ.
Сократ: (Поворачиваясь к Менону) Итак, теперь он дошел до того, до чего доходит большинство из нас в определении величины квадратного корня из двух? И дальнейшее продвижение — это по большей части догадки, не так ли?
Менон: Да, Сократ, но я не вижу, как он это сделает.
Сократ: Ни он, ни я. Но я знаю. Смотри! (поворачиваясь к мальчику) Теперь я собираюсь рассказать тебе кое-что, чего ты не знаешь, так что Менон будет слушать очень внимательно, чтобы убедиться, что он согласен с тем, что я могу тебе это рассказать. Ты знаешь умножение, мальчик?
Мальчик: Мне казалось, я продемонстрировал это, Сократ?
Сократ: Так и есть, мой мальчик, не так ли, Менон?
Менон: Да, Сократ, я помню, он делал это в прошлый раз.
Сократ: А знаешь ли ты способ отменить умножение?
Мальчик: Это называется деление, но я знаю его не так хорошо, как умножение, поскольку мы изучали его не так долго.
Сократ: Что ж, я не буду просить тебя много делить, а скорее попрошу лишь сказать, можно ли назвать определенные ответы нечетными или четными и тому подобное. Тебя это устраивает?
Мальчик: Это меня вполне устраивает, Сократ.
Сократ: Тогда ты знаешь, что такое нечетные и четные числа, мальчик?
Мальчик: Да, мне рассказать вам?
Сократ: Пожалуйста. Мне было бы интересно услышать, чему их учат.
Мальчик: (мальчик декламирует) Число может быть только нечетным или четным, если оно целое, то есть не имеет частей, а только целые единицы того, что оно измеряет. Четные числа особенные тем, что в них содержатся только целые двойки, без остатка единиц, в то время как нечетные числа всегда имеют единицу в остатке, когда все двойки изъяты.
Сократ: Интересное и довольно эффективное определение. Согласен ли ты, Менон?
Менон: Да, Сократ. Пожалуйста, продолжай.
Сократ: Теперь, мальчик, что ты получаешь, когда делишь эти нечетные и четные числа на другие нечетные и четные числа?
Мальчик: Иногда получаются целые числа, особенно когда делишь четное число на четное, но нечетные числа иногда дают целые числа, как нечетные, так и четные, а иногда они дают числа, которые не являются целыми, но имеют части.
Сократ: Очень хорошо, и называли ли когда-нибудь твои учителя эти числа отношениями?