Переходя к этим фигурам, предположим сначала, что желательно найти поверхность CDE, которая собрала бы в точке B лучи, исходящие из другой точки A; и что вершиной этой поверхности будет заданная точка D на прямой линии AB. Я утверждаю, что как при отражении, так и при преломлении необходимо лишь сделать эту поверхность такой, чтобы путь света от точки A до всех точек кривой линии CDE и от них до точки схождения (как здесь путь вдоль прямых линий AC, CB, вдоль AL, LB и вдоль AD, DB) везде проходился за равное время: благодаря этому принципу нахождение этих кривых становится очень легким.
Что касается отражающей поверхности, поскольку сумма линий AC и CB должна быть равна сумме AD и DB, очевидно, что DCE должен быть эллипсом; а для преломления, при условии, что отношение скоростей световых волн в средах A и B известно, например, как 3 к 2 (что, как мы показали, совпадает с отношением синусов при преломлении), необходимо лишь сделать DH равным 3/2 DB; и, описав после этого из центра A некоторую дугу FC, пересекающую DB в точке F, затем описать другую из центра B с полудиаметром BX, равным 2/3 FH; и точка пересечения двух дуг будет одной из искомых точек, через которую должна проходить кривая. Ибо, после того как эта точка найдена таким образом, легко сразу доказать, что время вдоль AC, CB будет равно времени вдоль AD, DB.
Ибо, предполагая, что линия AD представляет время, которое свет затрачивает на прохождение этого же расстояния AD в воздухе, очевидно, что DH, равный 3/2 DB, будет представлять время прохождения света вдоль DB в среде, поскольку здесь требуется больше времени пропорционально тому, насколько медленнее его скорость. Следовательно, вся линия AH будет представлять время вдоль AD, DB. Аналогично, линия AC или AF будет представлять время вдоль AC; а FH, будучи по построению равным 3/2 CB, будет представлять время вдоль CB в среде; и, следовательно, вся линия AH будет представлять также время вдоль AC, CB. Откуда видно, что время вдоль AC, CB равно времени вдоль AD, DB. И аналогично можно показать, если L и K — другие точки на кривой CDE, что времена вдоль AL, LB и вдоль AK, KB всегда представлены линией AH и, следовательно, равны указанному времени вдоль AD, DB.
Чтобы показать далее, что поверхности, которые эти кривые образуют при вращении, будут направлять все лучи, достигающие их из точки A, таким образом, что они стремятся к B, предположим точку K на кривой, более удаленную от D, чем C, но такую, что прямая AK падает снаружи на кривую, служащую для преломления; и из центра B опишем дугу KS, пересекающую BD в точке S, а прямую CB — в точке R; и из центра A опишем дугу DN, встречающую AK в точке N.
Поскольку суммы времен вдоль AK, KB и вдоль AC, CB равны, если из первой суммы вычесть время вдоль KB, а из другой — время вдоль RB, останется время вдоль AK, равное времени вдоль двух частей AC, CR. Следовательно, за время, которое свет прошел вдоль AK, он также прошел бы вдоль AC и, кроме того, совершил бы в среде из центра C частичную сферическую волну, имеющую полудиаметр, равный CR. И эта волна неизбежно коснется окружности KS в точке R, поскольку CB пересекает эту окружность под прямым углом. Аналогично, взяв любую другую точку L на кривой, можно показать, что за то же время, что свет проходит вдоль AL, он также прошел бы вдоль AL и, кроме того, совершил бы частичную волну из центра L, которая коснется той же окружности KS. И так со всеми другими точками кривой CDE. Тогда в момент, когда свет достигает K, дуга KRS будет окончанием движения, распространившегося из A через DCK. И таким образом эта же дуга будет представлять в среде распространение волны, исходящей из A; каковую волну можно представить дугой DN или любой другой, более близкой к центру A. Но все части дуги KRS распространяются последовательно вдоль прямых линий, которые перпендикулярны им, то есть стремятся к центру B (ибо это можно доказать так же, как мы доказали выше, что части сферических волн распространяются вдоль прямых линий, исходящих из их центра), и эти продвижения частей волн составляют сами лучи света. Таким образом, видно, что все эти лучи здесь стремятся к точке B.
Можно также определить точку C и все остальные точки на этой кривой, служащей для преломления, разделив DA в точке G таким образом, чтобы DG составляло 2/3 DA, и описав из центра B любую дугу CX, которая пересекает BD в точке N, и другую из центра A с полудиаметром AF, равным 3/2 GX; или, вернее, описав, как прежде, дугу CX, необходимо лишь сделать DF равным 3/2 DX и из центра A провести дугу FC; ибо эти два построения, как легко понять, сводятся к первому, которое было показано ранее. И из последнего метода очевидно, что эта кривая — та же самая, которую г-н Декарт привел в своей «Геометрии» и которую он называет первым из своих овалов.
Только часть этого овала служит для преломления, а именно часть DK, заканчивающаяся в K, если AK — касательная. Что касается другой части, Декарт заметил, что она могла бы служить для отражений, если бы существовал какой-то материал зеркала такой природы, что с его помощью сила лучей (или, как мы должны сказать, скорость света, чего он не мог сказать, поскольку считал, что движение света мгновенно) могла бы быть увеличена в пропорции 3 к 2. Но мы показали, что в нашем способе объяснения отражения такое не могло бы возникнуть из материала зеркала, и это совершенно невозможно.
Из того, что было доказано об этом овале, будет легко найти фигуру, которая служит для собирания в точку падающих параллельных лучей. Ибо, предполагая точно такое же построение, но точку A бесконечно удаленной, дающей параллельные лучи, наш овал становится истинным эллипсом, построение которого ничем не отличается от построения овала, за исключением того, что FC, которая ранее была дугой круга, здесь является прямой линией, перпендикулярной DB. Ибо, поскольку световая волна DN также представлена прямой линией, будет видно, что все точки этой волны, проходящие до поверхности KD вдоль линий, параллельных DB, впоследствии будут продвигаться к точке B и прибудут туда одновременно. Что касается эллипса, который служил для отражения, очевидно, что здесь он станет параболой, поскольку его фокус A можно рассматривать как бесконечно удаленный от другого, B, который здесь является фокусом параболы, к которому стремятся все отражения лучей, параллельных AB. И доказательство этих эффектов точно такое же, как и предыдущее.
Но то, что эта кривая линия CDE, которая служит для преломления, является эллипсом и такова, что ее большая ось относится к расстоянию между фокусами как 3 к 2, что является пропорцией преломления, может быть легко найдено с помощью алгебраического исчисления. Ибо DB, которая дана, назовем a; ее неопределенный перпендикуляр DT назовем x; а TC — y; FB будет a - y; CB будет sqrt(xx + aa - 2ay + yy). Но природа кривой такова, что 2/3 TC вместе с CB равны DB, как было сказано в последнем построении: тогда уравнение будет между (2/3)y + sqrt(xx + aa - 2ay + yy) и a; что при упрощении дает (6/5)ay - yy, равное (9/5)xx; то есть, сделав DO равным 6/5 DB, прямоугольник DFO равен 9/5 квадрата FC. Откуда видно, что DC — это эллипс, у которого ось DO относится к параметру как 9 к 5; и поэтому квадрат DO относится к квадрату расстояния между фокусами как 9 к 9 - 5, то есть 4; и, наконец, линия DO будет относиться к этому расстоянию как 3 к 2.
Далее, если предположить, что точка B бесконечно удалена, вместо нашего первого овала мы обнаружим, что CDE — это истинная гипербола; которая сделает параллельными те лучи, которые исходят из точки A. И, следовательно, также те, которые параллельны внутри прозрачного тела, будут собраны снаружи в точке A. Теперь следует заметить, что CX и KS становятся прямыми линиями, перпендикулярными BA, потому что они представляют дуги кругов, центр которых бесконечно удален. И пересечение перпендикуляра CX с дугой FC даст точку C, одну из тех, через которые должна проходить кривая. И это действует так, что все части световой волны DN, встречая поверхность KDE, будут продвигаться оттуда вдоль параллелей к KS и прибудут к этой прямой линии одновременно; доказательство чего снова такое же, как то, которое служило для первого овала. Кроме того, с помощью вычисления, столь же легкого, как и предыдущее, обнаруживается, что CDE здесь является гиперболой, у которой ось DO составляет 4/5 AD, а параметр равен AD. Откуда легко доказывается, что DO относится к расстоянию между фокусами как 3 к 2.
Это два случая, в которых конические сечения служат для преломления, и они те же самые, которые объяснены в его «Диоптрике» Декартом, который первым обнаружил использование этих линий в отношении преломления, как и овалов, первый из которых мы уже изложили. Второй овал — это тот, который служит для лучей, стремящихся к заданной точке; в этом овале, если вершина поверхности, принимающей лучи, есть D, случится так, что другая вершина будет расположена между B и A или за A, в зависимости от того, задано ли отношение AD к DB как большее или меньшее значение. И в этом последнем случае он совпадает с тем, что Декарт называет своим 3-м овалом.
Нахождение и построение этого второго овала такое же, как и первого, и доказательство его эффекта — аналогично. Но стоит заметить, что в одном случае этот овал становится идеальным кругом, а именно когда отношение AD к DB такое же, как отношение преломлений, здесь как 3 к 2, как я заметил давно. Четвертый овал, служащий только для невозможных отражений, нет необходимости излагать.
Что касается того, как г-н Декарт открыл эти линии, поскольку он не дал этому никакого объяснения, как и никто другой, насколько мне известно, я скажу здесь мимоходом, каким, как мне кажется, оно должно было быть. Пусть предложено найти поверхность, порожденную вращением кривой KDE, которая, принимая падающие лучи, идущие к ней из точки A, отклоняла бы их к точке B. Затем, рассматривая эту другую кривую как уже известную и то, что ее вершина D находится на прямой линии AB, разделим ее на бесконечное множество малых частей точками G, C, F; и, проведя из каждой из этих точек прямые линии к A, чтобы представить падающие лучи, и другие прямые линии к B, опишем также из центра A дуги GL, CM, FN, DO, пересекающие лучи, идущие из A, в точках L, M, N, O; и из точек K, G, C, F опишем дуги KQ, GR, CS, FT, пересекающие лучи к B в точках Q, R, S, T; и предположим, что прямая линия HKZ пересекает кривую в точке K под прямым углом.
Тогда, если AK — падающий луч, а KB — его преломление внутри среды, необходимо, согласно закону преломления, который был известен г-ну Декарту, чтобы синус угла ZKA относился к синусу угла HKB как 3 к 2, предполагая, что это пропорция преломления стекла; или, вернее, чтобы синус угла KGL имел это же отношение к синусу угла GKQ, рассматривая KG, GL, KQ как прямые линии из-за их малости. Но эти синусы — это линии KL и GQ, если GK взять как радиус круга. Тогда LK должно относиться к GQ как 3 к 2; и в том же отношении MG к CR, NC к FS, OF к DT. Тогда также сумма всех антецедентов ко всем консеквентам была бы как 3 к 2. Теперь, продлевая дугу DO до встречи с AK в точке X, KX будет суммой антецедентов. И, продлевая дугу KQ до встречи с AD в точке Y, сумма консеквентов будет DY. Тогда KX должно относиться к DY как 3 к 2. Откуда казалось бы, что кривая KDE была такой природы, что после проведения из какой-то точки, которая была принята, такой как K, прямых линий KA, KB, избыток, на который AK превосходит AD, должен относиться к избытку DB над KB как 3 к 2. Ибо можно аналогично доказать, взяв любую другую точку на кривой, такую как G, что избыток AG над AD, а именно VG, относится к избытку BD над DG, а именно DP, в этом же отношении 3 к 2. И следуя этому принципу, г-н Декарт построил эти кривые в своей «Геометрии»; и он легко распознал, что в случае параллельных лучей эти кривые становились гиперболами и эллипсами.
Вернемся теперь к нашему методу и посмотрим, как он без труда приводит к нахождению кривых, которые требуются для одной стороны стекла, когда другая сторона имеет заданную фигуру; фигуру не только плоскую или сферическую, или образованную одним из конических сечений (что является ограничением, с которым Декарт предложил эту задачу, оставив решение тем, кто придет после него), но вообще любую фигуру: то есть образованную вращением любой заданной кривой линии, к которой нужно лишь уметь проводить прямые линии в качестве касательных.
Пусть заданная фигура будет образована вращением некоторой кривой, такой как AK, вокруг оси AV, и пусть эта сторона стекла принимает лучи, идущие из точки L. Кроме того, пусть задана толщина AB середины стекла и точка F, в которой желательно, чтобы лучи были все идеально воссоединены, каково бы ни было первое преломление, происходящее на поверхности AK.
Я утверждаю, что для этого единственным требованием является то, чтобы контур BDK, который составляет другую поверхность, был таким, чтобы путь света от точки L до поверхности AK, оттуда до поверхности BDK и оттуда до точки F проходился везде за равное время, и в каждом случае за время, равное тому, которое свет затрачивает на прохождение вдоль прямой линии LF, часть которой AB находится внутри стекла.
Пусть LG — луч, падающий на дугу AK. Его преломление GV будет задано с помощью касательной, которая будет проведена в точке G. Теперь в GV необходимо найти точку D такую, чтобы FD вместе с 3/2 DG и прямой линией GL были равны FB вместе с 3/2 BA и прямой линией AL; что, как ясно, составляет заданную длину. Или, вернее, вычитая из каждого длину LG, которая также задана, необходимо лишь подогнать FD к прямой линии VG таким образом, чтобы FD вместе с 3/2 DG были равны заданной прямой линии, что является вполне легкой плоской задачей: и точка D будет одной из тех, через которые должна проходить кривая BDK. И аналогично, проведя другой луч LM и найдя его преломление MO, точка N будет найдена на этой линии, и так далее столько раз, сколько пожелают.
Чтобы продемонстрировать эффект кривой, опишем вокруг центра L круговую дугу AH, пересекающую LG в точке H; и вокруг центра F — дугу BP; и в AB возьмем AS, равное 2/3 HG; и SE, равное GD. Тогда, рассматривая AH как световую волну, исходящую из точки L, несомненно, что за время, в которое ее часть H прибывает в G, часть A продвинется внутри прозрачного тела только вдоль AS; ибо я предполагаю, как выше, пропорцию преломления как 3 к 2. Теперь мы знаем, что часть волны, падающая на G, продвигается оттуда вдоль линии GD, поскольку GV — это преломление луча LG. Тогда за время, которое эта часть волны затратила от G до D, другая часть, которая была в S, достигла E, поскольку GD и SE равны. Но пока последняя будет продвигаться от E до B, часть волны, которая была в D, распространит в воздух свою частичную волну, полудиаметр которой DC (предполагая, что эта волна пересекает линию DF в точке C) будет равен 3/2 EB, поскольку скорость света вне среды относится к скорости внутри как 3 к 2. Теперь легко показать, что эта волна коснется дуги BP в этой точке C. Ибо поскольку по построению FD + 3/2 DG + GL равны FB + 3/2 BA + AL; при вычитании равных LH, LA останется FD + 3/2 DG + GH, равное FB + 3/2 BA. И, опять же, вычитая с одной стороны GH, а с другой стороны 3/2 AS, которые равны, останется FD с 3/2 DG, равное FB с 3/2 BS. Но 3/2 DG равны 3/2 ES; тогда FD равно FB с 3/2 BE. Но DC было равно 3/2 EB; тогда, вычитая эти равные длины с одной и с другой стороны, останется CF, равное FB. И таким образом видно, что волна, полудиаметр которой есть DC, касается дуги BP в момент, когда свет, идущий из точки L, прибыл в B вдоль линии LB. Можно аналогично доказать, что в этот же момент свет, прошедший вдоль любого другого луча, такого как LM, MN, распространит движение, которое заканчивается на дуге BP. Откуда следует, как часто говорилось, что распространение волны AH после того, как она прошла через толщину стекла, будет сферической волной BP, все части которой должны продвигаться вдоль прямых линий, являющихся лучами света, к центру F. Что и требовалось доказать. Аналогично эти кривые линии можно найти во всех случаях, которые могут быть предложены, что будет достаточно показано одним или двумя примерами, которые я добавлю.
Пусть задана поверхность стекла AK, образованная вращением вокруг оси BA линии AK, которая может быть прямой или кривой. Пусть также заданы на оси точка L и толщина BA стекла; и пусть требуется найти другую поверхность KDB, которая, принимая лучи, параллельные AB, направит их таким образом, что после повторного преломления на заданной поверхности AK они все будут воссоединены в точке L.
Из точки L проведем к некоторой точке заданной линии AK прямую линию LG, которая, будучи рассмотрена как луч света, даст затем свое преломление GD. И эта линия, будучи затем продлена в ту или иную сторону, встретит прямую линию BL, как здесь в точке V. Пусть затем на AB будет воздвигнут перпендикуляр BC, который будет представлять световую волну, идущую из бесконечно удаленной точки F, поскольку мы предположили, что лучи параллельны. Тогда все части этой волны BC должны прибыть одновременно в точку L; или, вернее, все части волны, исходящей из точки L, должны прибыть одновременно на прямую линию BC. И для этого необходимо найти на линии VGD точку D такую, чтобы при проведении DC параллельно AB сумма CD плюс 3/2 DG плюс GL была равна 3/2 AB плюс AL: или, вернее, при вычитании с обеих сторон GL, которая задана, CD плюс 3/2 DG должны быть равны заданной длине; что является еще более легкой задачей, чем предыдущее построение. Точка D, найденная таким образом, будет одной из тех, через которые должна проходить кривая; и доказательство будет таким же, как прежде. И этим будет доказано, что волны, которые идут из точки L после прохождения через стекло KAKB, примут форму прямых линий, как BC; что означает то же самое, что и сказать, что лучи станут параллельными. Откуда следует взаимно, что параллельные лучи, падающие на поверхность KDB, будут воссоединены в точке L.
Далее, пусть задана поверхность AK любой желаемой формы, образованная вращением вокруг оси AB, и пусть толщина стекла посередине равна AB. Также пусть точка L задана на оси за стеклом; и пусть предполагается, что лучи, которые падают на поверхность AK, стремятся к этой точке, и что требуется найти поверхность BD, которая при их выходе из стекла поворачивает их так, как если бы они исходили из точки F перед стеклом.