Примечание корректора:

Очевидные опечатки были исправлены.

Исправления, отмеченные в разделе «Опечатки», были внесены в текст. Также были сделаны три дополнительных исправления: 9/10 вместо 1/10 и 9/10 вместо 6/10 на странице 110; и «ex voto» вместо «ex veto» на странице 173.

ФИЛОСОФСКИЙ ОЧЕРК О ВЕРОЯТНОСТЯХ.

ПЬЕРА-СИМОНА, маркиза де ЛАПЛАСА.

ПЕРЕВЕДЕНО С ШЕСТОГО ФРАНЦУЗСКОГО ИЗДАНИЯ

ФРЕДЕРИКОМ УИЛСОНОМ ТРАСКОТТОМ, доктором философии (Гарвард), профессором германских языков в Университете Западной Виргинии,

И

ФРЕДЕРИКОМ ЛИНКОЛЬНОМ ЭМОРИ, инженером-механиком (Вустерский политехнический институт), профессором механики и прикладной математики в Университете Западной Виргинии; членом Американского общества инженеров-механиков.

ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ. ПЕРВАЯ ТЫСЯЧА.

НЬЮ-ЙОРК: JOHN WILEY & SONS. Лондон: CHAPMAN & HALL, Limited. 1902.

Авторское право, 1902, Ф. У. ТРАСКОТТ и Ф. Л. ЭМОРИ.

РОБЕРТ ДРАММОНД, ПЕЧАТНИК, НЬЮ-ЙОРК

ОГЛАВЛЕНИЕ.

| PAGE

PART I.
A PHILOSOPHICAL ESSAY ON PROBABILITIES.

CHAPTER I.
Introduction | 1
CHAPTER II.
Concerning Probability | 3
CHAPTER III.
General Principles of the Calculus of Probabilities | 11
CHAPTER IV.
Concerning Hope | 20
CHAPTER V.
Analytical Methods of the Calculus of Probabilities | 26

PART II.
APPLICATION OF THE CALCULUS OF PROBABILITIES.

CHAPTER VI.
Games of Chance | 53
CHAPTER VII.
Concerning the Unknown Inequalities which may Exist among Chances Supposed to be Equal | 56
CHAPTER VIII.
Concerning the Laws of Probability which result from the Indefinite Multiplication of Events | 60
CHAPTER IX.
Application of the Calculus of Probabilities to Natural Philosophy | 73
CHAPTER X.
Application of the Calculus of Probabilities to the Moral Sciences | 107
CHAPTER XI.
Concerning the Probability of Testimonies | 109
CHAPTER XII.
Concerning the Selections and Decisions of Assemblies | 126
CHAPTER XIII.
Concerning the Probability of Testimonies | 132
CHAPTER XIV.
Concerning Tables of Mortality, and the Mean Durations of Life, Marriage, and Some Associations | 140
CHAPTER XV.
Concerning the Benefits of Institutions which Depend upon the Probability of Events | 149
CHAPTER XVI.
Concerning Illusions in the Estimation of Probabilities | 160
CHAPTER XVII.
Concerning the Various Means of Approaching Certainty | 176
CHAPTER XVIII.
Historical Notice of the Calculus of Probabilities to 1816 | 185

ОПЕЧАТКИ.

Page | 89, | line 22, | for | Pline | read | Pliny
" | 102, | lines 14, 16, | " | minutes | " | days
" | 143, | line 25, | " | sun | " | soil
" | 177, | lines 15, 17, 18, 21, 22, 24,  for  primary read prime
" | 182, | line 5, | for | conjunctions | read | being binary

ЧАСТЬ I. ФИЛОСОФСКИЙ ОЧЕРК О ВЕРОЯТНОСТЯХ.

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ.

Этот философский очерк представляет собой развитие лекции о вероятностях, которую я прочитал в 1795 году в Нормальных школах, куда я был призван декретом Национального конвента в качестве профессора математики вместе с Лагранжем. Недавно я опубликовал по этому же предмету труд под названием «Аналитическая теория вероятностей». Здесь я излагаю без помощи анализа принципы и общие результаты этой теории, применяя их к важнейшим жизненным вопросам, которые, по сути, в большинстве своем являются лишь задачами на вероятность. Строго говоря, можно даже сказать, что почти все наши знания проблематичны; и в том небольшом числе вещей, которые мы можем знать с достоверностью, даже в самих математических науках, главные средства для установления истины — индукция и аналогия — основаны на вероятностях; так что вся система человеческого знания связана с теорией, изложенной в этом очерке. Несомненно, здесь с интересом будет отмечено, что при рассмотрении даже вечных принципов разума, справедливости и человечности, если учитывать только благоприятные шансы, которые постоянно с ними связаны, существует большое преимущество в следовании этим принципам и серьезные неудобства в отступлении от них: их шансы, подобно шансам в лотереях, всегда в конечном итоге берут верх среди колебаний случая. Я надеюсь, что размышления, представленные в этом очерке, могут заслужить внимание философов и направить его на предмет, столь достойный того, чтобы занять их умы.

ГЛАВА II. О ВЕРОЯТНОСТИ.

Все события, даже те, которые в силу своей незначительности не кажутся подчиняющимися великим законам природы, являются их результатом столь же необходимо, как и вращение Солнца. В неведении относительно связей, которые объединяют такие события с общей системой Вселенной, их заставляли зависеть от конечных причин или от случая, в зависимости от того, происходят ли они и повторяются с регулярностью или появляются без всякого порядка; но эти воображаемые причины постепенно отступали по мере расширения границ знаний и полностью исчезают перед лицом здравой философии, которая видит в них лишь выражение нашего неведения истинных причин.

Настоящие события связаны с предшествующими связью, основанной на очевидном принципе, что вещь не может произойти без причины, которая ее порождает. Эта аксиома, известная под названием принципа достаточного основания, распространяется даже на действия, которые считаются безразличными; самая свободная воля не способна породить их без определяющего мотива; если мы предположим две ситуации с совершенно одинаковыми обстоятельствами и обнаружим, что воля активна в одной и пассивна в другой, мы скажем, что ее выбор — это следствие без причины. Это тогда, говорит Лейбниц, слепой случай эпикурейцев. Противоположное мнение — это иллюзия разума, который, теряя из виду ускользающие причины выбора воли в безразличных вещах, полагает, что выбор определяется сам по себе и без мотивов.

Мы должны, следовательно, рассматривать нынешнее состояние Вселенной как следствие ее предшествующего состояния и как причину того, которое должно последовать. Если бы на одно мгновение был дан разум, который мог бы охватить все силы, которыми одушевлена природа, и соответствующее положение существ, которые ее составляют, — разум, достаточно обширный, чтобы подвергнуть эти данные анализу, — он охватил бы в одной и той же формуле движения величайших тел Вселенной и мельчайшего атома; для него ничто не было бы неопределенным, и будущее, как и прошлое, было бы перед его глазами. Человеческий разум предлагает в том совершенстве, которое он смог придать астрономии, слабое представление об этом разуме. Его открытия в механике и геометрии, добавленные к открытию всемирного тяготения, позволили ему охватить в одних и тех же аналитических выражениях прошлые и будущие состояния системы мира. Применяя тот же метод к некоторым другим объектам своего познания, он преуспел в сведении наблюдаемых явлений к общим законам и в предвидении тех, которые должны породить данные обстоятельства. Все эти усилия в поиске истины стремятся постоянно привести его обратно к тому обширному разуму, о котором мы только что упомянули, но от которого он всегда будет оставаться бесконечно далеким. Эта склонность, присущая человеческому роду, — это то, что делает его выше животных; и их прогресс в этом отношении отличает нации и эпохи и составляет их истинную славу.

Вспомним, что прежде, и в недалекую эпоху, необычный дождь или крайняя засуха, комета, имеющая длинный хвост, затмения, северное сияние и вообще все необычные явления рассматривались как знамения небесного гнева. К Небу взывали, чтобы отвратить их пагубное влияние. Никто не молился о том, чтобы планеты и Солнце были остановлены в своем движении: наблюдение вскоре сделало очевидной тщетность таких молитв. Но поскольку эти явления, появляясь и исчезая через долгие промежутки времени, казалось, противоречили порядку природы, предполагалось, что Небо, раздраженное преступлениями Земли, создало их, чтобы возвестить свою месть. Так, длинный хвост кометы 1456 года распространил ужас по всей Европе, уже приведенной в смятение быстрыми успехами турок, которые только что свергли Нижнюю империю. Эта звезда после четырех оборотов вызвала у нас совсем другой интерес. Знание законов системы мира, приобретенное в промежутке, рассеяло страхи, порожденные невежеством относительно истинного отношения человека к Вселенной; и Галлей, распознав тождественность этой кометы с кометами 1531, 1607 и 1682 годов, объявил о ее следующем возвращении к концу 1758 или началу 1759 года. Ученый мир с нетерпением ожидал этого возвращения, которое должно было подтвердить одно из величайших открытий, сделанных в науках, и исполнить предсказание Сенеки, когда он говорил о революциях тех звезд, которые падают с огромной высоты: «Придет день, когда благодаря изучению, проводимому на протяжении нескольких веков, вещи, ныне скрытые, предстанут с очевидностью; и потомство будет удивляться, что столь ясные истины ускользнули от нас». Клеро тогда предпринял попытку подвергнуть анализу возмущения, которые комета испытала под действием двух великих планет, Юпитера и Сатурна; после огромных вычислений он определил ее следующее прохождение через перигелий к началу апреля 1759 года, что было фактически подтверждено наблюдением. Регулярность, которую астрономия показывает нам в движениях комет, несомненно, существует также во всех явлениях.

Кривая, описываемая простой молекулой воздуха или пара, регулируется столь же определенным образом, как и планетные орбиты; единственное различие между ними — то, которое происходит от нашего невежества.

Вероятность относительна, отчасти к этому невежеству, отчасти к нашим знаниям. Мы знаем, что из трех или большего числа событий должно произойти одно; но ничто не побуждает нас верить, что одно из них произойдет скорее, чем другие. В этом состоянии нерешительности нам невозможно объявить об их наступлении с уверенностью. Однако вероятно, что одно из этих событий, выбранное по желанию, не произойдет, потому что мы видим несколько одинаково возможных случаев, которые исключают его наступление, в то время как только один благоприятствует ему.

Теория случая состоит в сведении всех событий одного рода к определенному числу одинаково возможных случаев, то есть таких, относительно существования которых мы можем быть одинаково нерешительны, и в определении числа случаев, благоприятствующих событию, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, является просто дробью, числитель которой — число благоприятных случаев, а знаменатель — число всех возможных случаев.

Предыдущее понятие вероятности предполагает, что при увеличении в одном и том же отношении числа благоприятных случаев и числа всех возможных случаев вероятность остается прежней. Чтобы убедиться в этом, возьмем две урны, A и B, первая из которых содержит четыре белых и два черных шара, а вторая содержит только два белых шара и один черный. Мы можем представить себе два черных шара первой урны соединенными нитью, которая разрывается в момент, когда один из них захватывается, чтобы быть извлеченным, а четыре белых шара, таким образом, образуют две подобные системы. Все шансы, которые будут благоприятствовать захвату одного из шаров черной системы, приведут к черному шару. Если мы теперь представим, что нити, соединяющие шары, совсем не разрываются, ясно, что число возможных шансов не изменится, как и число шансов, благоприятствующих извлечению черных шаров; но два шара будут извлечены из урны одновременно; вероятность извлечения черного шара из урны A будет тогда такой же, как и вначале. Но тогда мы имеем очевидно случай урны B с той единственной разницей, что три шара этой последней урны были бы заменены тремя системами из двух неизменно соединенных шаров.

Когда все случаи благоприятны для события, вероятность переходит в достоверность, и ее выражение становится равным единице. При этом условии достоверность и вероятность сопоставимы, хотя между двумя состояниями ума может быть существенная разница, когда истина строго доказана ему или когда он все еще воспринимает небольшой источник ошибки.

В вещах, которые являются лишь вероятными, различие данных, которые каждый человек имеет относительно них, является одной из главных причин разнообразия мнений, преобладающих относительно одних и тех же объектов. Предположим, например, что у нас есть три урны, A, B, C, одна из которых содержит только черные шары, в то время как две другие содержат только белые шары; должен быть извлечен шар из урны C, и требуется вероятность того, что этот шар будет черным. Если мы не знаем, какая из трех урн содержит только черные шары, так что нет причин полагать, что это C, а не B или A, эти три гипотезы будут казаться одинаково возможными, и поскольку черный шар может быть извлечен только в первой гипотезе, вероятность его извлечения равна одной трети. Если известно, что урна A содержит только белые шары, нерешительность тогда распространяется только на урны B и C, и вероятность того, что шар, извлеченный из урны C, будет черным, равна одной второй. Наконец, эта вероятность переходит в достоверность, если мы уверены, что урны A и B содержат только белые шары.

Именно так инцидент, рассказанный многочисленному собранию, находит различные степени доверия в зависимости от степени осведомленности слушателей. Если человек, который сообщает об этом, полностью убежден в этом и если своим положением и характером он внушает большое доверие, его утверждение, каким бы необычайным оно ни было, будет иметь для слушателей, которым не хватает информации, ту же степень вероятности, что и обычное утверждение, сделанное тем же человеком, и они будут иметь к нему полное доверие. Но если кто-то из них знает, что тот же инцидент отвергается другими столь же заслуживающими доверия людьми, он будет в сомнении, и инцидент будет дискредитирован просвещенными слушателями, которые отвергнут его, касается ли это хорошо подтвержденных фактов или неизменных законов природы.

Именно влиянию мнения тех, кого большинство считает наиболее информированными и кому оно привыкло доверять в самых важных жизненных вопросах, обязано распространение тех ошибок, которые во времена невежества покрывали лицо земли. Магия и астрология предлагают нам два великих примера. Эти ошибки, внушенные в младенчестве, принятые без проверки и имеющие в основе лишь всеобщее доверие, сохранялись в течение очень долгого времени; но, наконец, прогресс науки разрушил их в умах просвещенных людей, чье мнение, следовательно, заставило их исчезнуть даже среди простого народа благодаря силе подражания и привычки, которые так широко распространили их. Эта сила, богатейший ресурс морального мира, устанавливает и сохраняет в целой нации идеи, совершенно противоположные тем, которые она поддерживает в другом месте с тем же авторитетом. Какую снисходительность мы должны тогда проявлять к мнениям, отличным от наших, когда это различие часто зависит только от различных точек зрения, в которые нас поставили обстоятельства! Давайте просвещать тех, кого мы считаем недостаточно проинструктированными; но сначала давайте критически изучим наши собственные мнения и беспристрастно взвесим их соответствующие вероятности.

Различие мнений зависит, однако, от того, каким образом определяется влияние известных данных. Теория вероятностей придерживается столь тонких соображений, что неудивительно, что при одних и тех же данных два человека приходят к разным результатам, особенно в очень сложных вопросах. Рассмотрим теперь общие принципы этой теории.

ГЛАВА III. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Первый принцип. — Первый из этих принципов — это само определение вероятности, которое, как было видно, является отношением числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев.

Второй принцип. — Но это предполагает, что различные случаи одинаково возможны. Если это не так, мы сначала определим их соответствующие возможности, точная оценка которых является одним из самых тонких пунктов теории случая. Тогда вероятность будет суммой возможностей каждого благоприятного случая. Проиллюстрируем этот принцип примером.

Предположим, что мы подбрасываем в воздух большую и очень тонкую монету, две большие противоположные стороны которой, которые мы назовем «орел» и «решка», совершенно одинаковы. Найдем вероятность выпадения «орла» по крайней мере один раз при двух бросках. Ясно, что могут возникнуть четыре одинаково возможных случая, а именно: «орел» при первом и при втором броске; «орел» при первом броске и «решка» при втором; «решка» при первом броске и «орел» при втором; наконец, «решка» при обоих бросках. Первые три случая благоприятствуют событию, вероятность которого ищется; следовательно, эта вероятность равна ¾; так что это ставка три к одному, что «орел» выпадет по крайней мере один раз при двух бросках.

Мы можем насчитать в этой игре только три различных случая, а именно: «орел» при первом броске, что избавляет от необходимости бросать второй раз; «решка» при первом броске и «орел» при втором; наконец, «решка» при первом и при втором броске. Это свело бы вероятность к ⅔, если бы мы рассматривали вместе с д'Аламбером эти три случая как одинаково возможные. Но очевидно, что вероятность выпадения «орла» при первом броске равна ½, в то время как вероятность двух других случаев равна ¼, причем первый случай является простым событием, которое соответствует двум комбинированным событиям: «орел» при первом и при втором броске, и «орел» при первом броске, «решка» при втором. Если мы затем, следуя второму принципу, добавим возможность ½ выпадения «орла» при первом броске к возможности ¼ выпадения «решки» при первом броске и «орла» при втором, мы получим ¾ для искомой вероятности, что согласуется с тем, что найдено в предположении, когда мы играем два броска. Это предположение вовсе не меняет шанса того, кто делает ставку на это событие; оно просто служит для сведения различных случаев к одинаково возможным случаям.

Третий принцип. — Один из самых важных пунктов теории вероятностей и тот, который наиболее способствует иллюзиям, — это способ, которым эти вероятности увеличиваются или уменьшаются при их взаимном сочетании. Если события независимы друг от друга, вероятность их совместного существования есть произведение их соответствующих вероятностей. Так, вероятность выпадения одного туза при броске одной кости равна ⅙; вероятность выпадения двух тузов при броске двух костей одновременно равна 1/36. Каждая грань одной кости может сочетаться с шестью гранями другой, в действительности существует тридцать шесть одинаково возможных случаев, среди которых один единственный случай дает два туза. Вообще, вероятность того, что простое событие в тех же обстоятельствах произойдет последовательно заданное число раз, равна вероятности этого простого события, возведенной в степень, указанную этим числом. Имея таким образом последовательные степени дроби, меньшей единицы, постоянно уменьшающиеся, событие, которое зависит от ряда очень больших вероятностей, может стать крайне маловероятным. Предположим, что инцидент передан нам двадцатью свидетелями таким образом, что первый передал его второму, второй — третьему и так далее. Предположим также, что вероятность каждого свидетельства равна дроби 9/10; вероятность инцидента, вытекающего из свидетельств, будет меньше 1/8. Мы не можем лучше сравнить это уменьшение вероятности, чем с угасанием света объектов при прохождении через несколько стекол. Относительно небольшого числа стекол достаточно, чтобы лишить нас возможности видеть объект, который одно стекло позволяет нам воспринимать отчетливо. Историки, по-видимому, не уделили достаточного внимания этой деградации вероятности событий, когда они рассматриваются через большое число последовательных поколений; многие исторические события, считающиеся достоверными, были бы по крайней мере сомнительными, если бы они были подвергнуты этому испытанию.

В чисто математических науках самые отдаленные следствия участвуют в достоверности принципа, из которого они выведены. В приложениях анализа к физике результаты обладают всей достоверностью фактов или опытов. Но в моральных науках, где каждое умозаключение выводится из того, что ему предшествует, лишь вероятным образом, как бы вероятны ни были эти дедукции, шанс ошибки увеличивается с их числом и в конечном итоге превосходит шанс истины в следствиях, очень отдаленных от принципа. Четвертый принцип. — Когда два события зависят друг от друга, вероятность сложного события есть произведение вероятности первого события и вероятности того, что, если это событие произошло, произойдет второе. Так, в предыдущем случае с тремя урнами A, B, C, из которых две содержат только белые шары и одна содержит только черные шары, вероятность извлечения белого шара из урны C равна ⅔, поскольку из трех урн только две содержат шары этого цвета. Но когда белый шар был извлечен из урны C, нерешительность относительно той из урн, которая содержит только черные шары, распространяется только на урны A и B; вероятность извлечения белого шара из урны B равна ½; произведение ⅔ на ½, или ⅓, является тогда вероятностью извлечения двух белых шаров одновременно из урн B и C.

Мы видим на этом примере влияние прошлых событий на вероятность будущих событий. Ибо вероятность извлечения белого шара из урны B, которая первоначально равна ⅔, становится ½, когда белый шар был извлечен из урны C; она изменилась бы в достоверность, если бы из той же урны был извлечен черный шар. Мы определим это влияние с помощью следующего принципа, который является следствием предыдущего.

Пятый принцип. — Если мы вычислим априори вероятность произошедшего события и вероятность события, состоящего из него и второго, которое ожидается, то вторая вероятность, деленная на первую, будет вероятностью ожидаемого события, выведенной из наблюдаемого события.

Здесь возникает вопрос, поднятый некоторыми философами относительно влияния прошлого на вероятность будущего. Предположим в игре в «орел и решку», что «орел» выпадал чаще, чем «решка». Только по этому мы будем склонны верить, что в устройстве монеты есть тайная причина, которая благоприятствует ему. Так, в поведении жизни постоянное счастье — это доказательство компетентности, которое должно побудить нас предпочитать нанимать счастливых людей. Но если из-за ненадежности обстоятельств мы постоянно возвращаемся в состояние абсолютной нерешительности, если, например, мы меняем монету при каждом броске в игре в «орел и решку», прошлое не может пролить никакого света на будущее, и было бы абсурдно принимать его во внимание.

Шестой принцип. — Каждая из причин, к которым может быть отнесено наблюдаемое событие, указывается с такой же вероятностью, с какой вероятность того, что событие произойдет, предполагая событие постоянным. Вероятность существования любой из этих причин есть тогда дробь, числитель которой — вероятность события, вытекающего из этой причины, а знаменатель — сумма подобных вероятностей относительно всех причин; если эти различные причины, рассматриваемые априори, неравновероятны, необходимо вместо вероятности события, вытекающего из каждой причины, использовать произведение этой вероятности на возможность самой причины. Это фундаментальный принцип той ветви анализа шансов, которая состоит в переходе от событий к причинам.

Этот принцип дает причину, почему мы приписываем регулярные события особой причине. Некоторые философы думали, что эти события менее возможны, чем другие, и что в игре в «орел и решку», например, комбинация, в которой «орел» выпадает двадцать раз подряд, менее легка по своей природе, чем те, где «орел» и «решка» смешаны нерегулярным образом. Но это мнение предполагает, что прошлые события имеют влияние на возможность будущих событий, что вовсе не допустимо. Регулярные комбинации происходят реже только потому, что они менее многочисленны. Если мы ищем причину везде, где мы воспринимаем симметрию, это не потому, что мы рассматриваем симметричное событие как менее возможное, чем другие, но, поскольку это событие должно быть следствием регулярной причины или следствием случая, первое из этих предположений более вероятно, чем второе. На столе мы видим буквы, расположенные в таком порядке: Constantinople, и мы судим, что это расположение не является результатом случая, не потому, что оно менее возможно, чем другие, ибо если бы это слово не использовалось ни в одном языке, мы бы не подозревали, что оно произошло от какой-либо особой причины, но поскольку это слово находится в употреблении среди нас, несравненно более вероятно, что какой-то человек так расположил вышеупомянутые буквы, чем то, что это расположение обязано случаю.

Это место, чтобы определить слово «необычайный». Мы располагаем в нашей мысли все возможные события по различным классам; и мы рассматриваем как «необычайные» те классы, которые включают очень малое число. Так, в игре в «орел и решку» выпадение «орла» сто раз подряд кажется нам необычайным из-за почти бесконечного числа комбинаций, которые могут произойти в ста бросках; и если мы разделим комбинации на регулярные серии, содержащие порядок, легкий для понимания, и на иррегулярные серии, последние несравненно более многочисленны. Извлечение белого шара из урны, которая среди миллиона шаров содержит только один этого цвета, остальные черные, казалось бы нам likewise необычайным, потому что мы формируем только два класса событий относительно двух цветов. Но извлечение числа 475813, например, из урны, которая содержит миллион чисел, кажется нам обычным событием; потому что, сравнивая индивидуально числа друг с другом, не разделяя их на классы, у нас нет причин верить, что одно из них появится раньше других.

Из того, что предшествует, мы должны вообще заключить, что чем необычайнее событие, тем больше потребность в том, чтобы оно было подкреплено сильными доказательствами. Ибо те, кто свидетельствует о нем, будучи способными обмануть или быть обманутыми, эти две причины тем более вероятны, чем менее вероятна реальность события. Мы увидим это особенно, когда перейдем к разговору о вероятности свидетельства.

Седьмой принцип. — Вероятность будущего события есть сумма произведений вероятности каждой причины, выведенной из наблюдаемого события, на вероятность того, что, если эта причина существует, будущее событие произойдет. Следующий пример проиллюстрирует этот принцип.

Представим себе урну, которая содержит только два шара, каждый из которых может быть либо белым, либо черным. Один из этих шаров извлекается и кладется обратно в урну перед тем, как приступить к новому извлечению. Предположим, что в первых двух извлечениях были извлечены белые шары; требуется вероятность снова извлечь белый шар при третьем извлечении.

Здесь могут быть сделаны только две гипотезы: либо один из шаров белый, а другой черный, либо оба белые. В первой гипотезе вероятность наблюдаемого события равна ¼; она равна единице или достоверности во второй. Таким образом, рассматривая эти гипотезы как столько же причин, мы будем иметь согласно шестому принципу ⅕ и ⅘ для их соответствующих вероятностей. Но если имеет место первая гипотеза, вероятность извлечения белого шара при третьем извлечении равна ½; она равна достоверности во второй гипотезе; умножая тогда последние вероятности на вероятности соответствующих гипотез, сумма произведений, или 9/10, будет вероятностью извлечения белого шара при третьем извлечении.

Когда вероятность одного события неизвестна, мы можем предположить ее равной любому значению от нуля до единицы. Вероятность каждой из этих гипотез, выведенная из наблюдаемого события, есть, согласно шестому принципу, дробь, числитель которой — вероятность события в этой гипотезе, а знаменатель — сумма подобных вероятностей относительно всех гипотез. Таким образом, вероятность того, что возможность события заключена в заданных пределах, есть сумма дробей, заключенных в этих пределах. Теперь, если мы умножим каждую дробь на вероятность будущего события, определенную в соответствующей гипотезе, сумма произведений относительно всех гипотез будет, согласно седьмому принципу, вероятностью будущего события, выведенной из наблюдаемого события. Таким образом, мы находим, что если событие произошло последовательно любое число раз, вероятность того, что оно произойдет снова в следующий раз, равна этому числу, увеличенному на единицу, деленному на то же число, увеличенное на две единицы. Помещая самую древнюю эпоху истории пять тысяч лет назад, или 1826213 дней назад, и солнце постоянно восходило в промежутке при каждом обороте в двадцать четыре часа, это ставка 1826214 к одному, что оно взойдет снова завтра. Но это число несравненно больше для того, кто, признавая в совокупности явлений главный регулятор дней и сезонов, видит, что ничто в настоящий момент не может остановить его ход.

Бюффон в своей «Политической арифметике» вычисляет иначе предыдущую вероятность. Он предполагает, что она отличается от единицы только на дробь, числитель которой — единица, а знаменатель — число 2, возведенное в степень, равную числу дней, прошедших с эпохи. Но истинный способ соотнесения прошлых событий с вероятностью причин и будущих событий был неизвестен этому прославленному писателю.

ГЛАВА IV. ОБ ОЖИДАНИИ.

Вероятность событий служит для определения надежды или страха лиц, заинтересованных в их существовании. Слово «надежда» имеет различные значения; оно выражает вообще преимущество того, кто ожидает определенную выгоду в предположениях, которые являются лишь вероятными. Это преимущество в теории случая есть произведение суммы, на которую надеются, на вероятность ее получения; это частичная сумма, которая должна получиться, когда мы не хотим идти на риски события, предполагая, что деление сделано пропорционально вероятностям. Это деление является единственно справедливым, когда все странные обстоятельства исключены; потому что равная степень вероятности дает равное право на сумму, на которую надеются. Мы назовем это преимущество «математическим ожиданием».

Восьмой принцип. — Когда преимущество зависит от нескольких событий, оно получается путем взятия суммы произведений вероятности каждого события на выгоду, связанную с его наступлением.

Применим этот принцип к некоторым примерам. Предположим, что в игре в «орел и решку» Поль получает два франка, если он выбрасывает «орла» при первом броске, и пять франков, если он выбрасывает его только при втором. Умножая два франка на вероятность ½ первого случая и пять франков на вероятность ¼ второго случая, сумма произведений, или два с четвертью франка, будет преимуществом Поля. Это сумма, которую он должен дать заранее тому, кто предоставил ему это преимущество; ибо, чтобы сохранить равенство игры, ставка должна быть равна преимуществу, которое она доставляет.

Если Поль получает два франка, выбрасывая «орла» при первом, и пять франков, выбрасывая его при втором броске, независимо от того, выбросил он его или нет при первом, вероятность выпадения «орла» при втором броске равна ½, умножая два франка и пять франков на ½, сумма этих произведений даст три с половиной франка для преимущества Поля и, следовательно, для его ставки в игре.

Девятый принцип. — В ряду вероятных событий, из которых одни приносят выгоду, а другие — убыток, мы будем иметь преимущество, которое из этого проистекает, путем составления суммы произведений вероятности каждого благоприятного события на выгоду, которую оно доставляет, и вычитания из этой суммы суммы произведений вероятности каждого неблагоприятного события на убыток, который с ним связан. Если вторая сумма больше первой, выгода становится убытком, и надежда сменяется страхом.

Следовательно, мы должны всегда в поведении жизни делать произведение выгоды, на которую надеются, на ее вероятность по крайней мере равным подобному произведению относительно убытка. Но необходимо, чтобы достичь этого, точно оценивать преимущества, убытки и их соответствующие вероятности. Для этого необходима большая точность ума, тонкое суждение и большой опыт в делах; необходимо знать, как остерегаться предрассудков, иллюзий страха или надежды и ошибочных идей, идей фортуны и счастья, которыми большинство людей питает свое самолюбие.

Применение предыдущих принципов к следующему вопросу сильно упражняло геометров. Поль играет в «орел и решку» с условием получения двух франков, если он выбрасывает «орла» при первом броске, четырех франков, если он выбрасывает его только при втором броске, восьми франков, если он выбрасывает его только при третьем, и так далее. Его ставка в игре должна быть, согласно восьмому принципу, равна числу бросков, так что если игра продолжается до бесконечности, ставка должна быть бесконечной. Однако ни один разумный человек не пожелал бы рисковать в этой игре даже небольшой суммой, например, пятью франками. Откуда берется это различие между результатом вычисления и указанием здравого смысла? Мы вскоре признаем, что оно сводится к следующему: что моральное преимущество, которое доставляет нам выгода, не пропорционально этой выгоде и что оно зависит от тысячи обстоятельств, часто очень трудных для определения, но из которых самое общее и самое важное — это состояние фортуны.

Действительно, очевидно, что один франк имеет гораздо большую ценность для того, кто обладает только сотней, чем для миллионера. Мы должны тогда различать в выгоде, на которую надеются, ее абсолютную ценность от относительной. Но последняя регулируется мотивами, которые делают ее желательной, тогда как первая независима от них. Общий принцип для оценки этой относительной ценности не может быть дан, но вот один, предложенный Даниилом Бернулли, который послужит во многих случаях.

Десятый принцип. — Относительная ценность бесконечно малой суммы равна ее абсолютной ценности, деленной на общую выгоду заинтересованного лица. Это предполагает, что каждый имеет некоторую выгоду, ценность которой никогда не может быть оценена как ноль. Действительно, даже тот, кто не обладает ничем, всегда придает продукту своего труда и своим надеждам ценность, по крайней мере равную той, которая абсолютно необходима для его поддержания.

Если мы применим анализ к только что предложенному принципу, мы получим следующее правило: Обозначим через единицу часть состояния индивида, независимую от его ожиданий. Если мы определим различные значения, которые это состояние может иметь в силу этих ожиданий и их вероятностей, произведение этих значений, возведенных соответственно в степени, указанные их вероятностями, будет физическим состоянием, которое доставило бы индивиду то же моральное преимущество, которое он получает от части своего состояния, взятой как единица, и от своих ожиданий; вычитая единицу из произведения, разность будет увеличением физического состояния, обусловленным ожиданиями: мы назовем это увеличение «моральным ожиданием». Легко видеть, что оно совпадает с математическим ожиданием, когда состояние, взятое как единица, становится бесконечным по отношению к вариациям, которые оно получает от ожиданий. Но когда эти вариации являются ощутимой частью этой единицы, два ожидания могут очень существенно различаться между собой.

Это правило ведет к результатам, сообразующимся с указаниями здравого смысла, которые могут быть таким образом оценены с некоторой точностью. Так, в предыдущем вопросе найдено, что если состояние Поля составляет двести франков, он не должен разумно ставить более девяти франков. То же правило ведет нас снова к распределению опасности по нескольким частям ожидаемой выгоды, а не к тому, чтобы подвергать всю выгоду этой опасности. Из этого следует аналогично, что в самой честной игре убыток всегда больше, чем выигрыш. Предположим, например, что игрок, имеющий состояние в сто франков, рискует пятьюдесятью в игре в «орел и решку»; его состояние после ставки в игре будет уменьшено до восьмидесяти семи франков, то есть эта последняя сумма доставила бы игроку то же моральное преимущество, что и состояние его фортуны после ставки. Игра тогда невыгодна даже в том случае, когда ставка равна произведению суммы, на которую надеются, на ее вероятность. Мы можем судить по этому об аморальности игр, в которых сумма, на которую надеются, ниже этого произведения. Они существуют только благодаря ложным рассуждениям и алчности, которую они возбуждают и которая, побуждая людей жертвовать своим необходимым химерическим надеждам, вероятность которых они не в состоянии оценить, являются источником бесконечного числа зол.

Невыгодность азартных игр, преимущество не подвергать той же опасности всю выгоду, на которую надеются, и все подобные результаты, указанные здравым смыслом, существуют, какой бы ни была функция физического состояния, которая для каждого индивида выражает его моральное состояние. Достаточно, чтобы пропорция увеличения этой функции к увеличению физического состояния уменьшалась по мере того, как последнее увеличивается.

ГЛАВА V. ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Применение принципа, который мы только что изложили, к различным вопросам вероятности требует методов, исследование которых породило несколько методов анализа и особенно теорию комбинаций и исчисление конечных разностей.

Если мы сформируем произведение биномов: единица плюс первая буква, единица плюс вторая буква, единица плюс третья буква и так далее до n букв, и вычтем единицу из этого развернутого произведения, результат будет суммой комбинаций всех этих букв, взятых по одной, по две, по три и так далее, причем каждая комбинация имеет единицу в качестве коэффициента. Чтобы иметь число комбинаций этих n букв, взятых по s раз, мы заметим, что если мы предположим эти буквы равными между собой, предыдущее произведение станет n-й степенью бинома «один плюс первая буква»; таким образом, число комбинаций n букв, взятых по s раз, будет коэффициентом s-й степени первой буквы в разложении этого бинома; и это число получается с помощью известной формулы бинома.

Необходимо обратить внимание на соответствующие положения букв в каждой комбинации, наблюдая, что если вторая буква присоединяется к первой, она может быть помещена на первое или второе место, что дает две комбинации. Если мы присоединим к этим комбинациям третью букву, мы можем дать ей в каждой комбинации первый, второй и третий ранг, что образует три комбинации относительно каждой из двух других, всего шесть комбинаций. Из этого легко заключить, что число расположений, которым подвержены s букв, есть произведение чисел от единицы до s. Чтобы принять во внимание соответствующие положения букв, необходимо тогда умножить на это произведение число комбинаций n букв, взятых по s раз, что равносильно удалению знаменателя коэффициента бинома, который выражает это число.

Представим себе лотерею, состоящую из n чисел, из которых r извлекаются при каждом тираже. Требуется вероятность извлечения s заданных чисел в одном тираже. Чтобы прийти к этому, сформируем дробь, знаменателем которой будет число всех возможных случаев или комбинаций n букв, взятых по r раз, а числителем — число всех комбинаций, которые содержат заданные s чисел. Это последнее число очевидно является числом комбинаций остальных чисел, взятых по n минус s раз. Эта дробь будет искомой вероятностью, и мы легко найдем, что она может быть сведена к дроби, числителем которой является число комбинаций r чисел, взятых по s раз, а знаменателем — число комбинаций n чисел, взятых подобным образом по s раз. Таким образом, в лотерее Франции, сформированной, как известно, из 90 чисел, из которых пять извлекаются при каждом тираже, вероятность извлечения заданной комбинации равна 5/90, или 1/18; лотерея должна тогда для равенства игры давать восемнадцать ставок. Общее число комбинаций по две из 90 чисел равно 4005, а число комбинаций по две из 5 чисел равно 10. Вероятность извлечения заданной пары равна тогда 1/4005, и лотерея должна давать четыреста с половиной ставок; она должна давать 11748 ставок для заданной тройки, 511038 ставок для четверки и 43949268 ставок для пятерки. Лотерея далека от того, чтобы давать игроку эти преимущества.

Предположим, в урне a белых шаров, b черных шаров, и после того, как шар был извлечен, он кладется обратно в урну; спрашивается вероятность того, что при n числе извлечений будет извлечено m белых шаров и n - m черных шаров. Ясно, что число случаев, которые могут произойти при каждом извлечении, есть a + b. Каждый случай второго извлечения может сочетаться со всеми случаями первого, число возможных случаев в двух извлечениях есть квадрат бинома a + b. В разложении этого квадрата квадрат a выражает число случаев, в которых белый шар извлекается дважды, двойное произведение a на b выражает число случаев, в которых извлекаются белый шар и черный шар. Наконец, квадрат b выражает число случаев, в которых извлекаются два черных шара. Продолжая так, мы видим вообще, что n-я степень бинома a + b выражает число всех возможных случаев в n извлечениях; и что в разложении этой степени член, умноженный на m-ю степень a, выражает число случаев, в которых могут быть извлечены m белых шаров и n - m черных шаров. Разделив тогда этот член на всю степень бинома, мы получим вероятность извлечения m белых шаров и n - m черных шаров. Отношение чисел a и a + b является вероятностью извлечения одного белого шара при одном извлечении; и отношение чисел b и a + b является вероятностью извлечения одного черного шара; если мы назовем эти вероятности p и q, вероятность извлечения m белых шаров в n извлечениях будет членом, умноженным на m-ю степень p в разложении n-й степени бинома p + q; мы можем видеть, что сумма p + q равна единице. Это замечательное свойство бинома очень полезно в теории вероятностей. Но самый общий и прямой метод решения вопросов вероятности состоит в том, чтобы сделать их зависимыми от уравнений разностей. Сравнивая последовательные условия функции, которая выражает вероятность, когда мы увеличиваем переменные на их соответствующие разности, предложенный вопрос часто дает очень простую пропорцию между условиями. Эта пропорция — то, что называется уравнением обыкновенных или частных дифференциалов; обыкновенных, когда есть только одна переменная, частных, когда их несколько. Рассмотрим некоторые примеры этого.

Три игрока предполагаемой равной способности играют вместе на следующих условиях: тот из первых двух игроков, кто побеждает своего противника, играет с третьим, и если он побеждает его, игра закончена. Если он побежден, победитель играет против второго, пока один из игроков не победит последовательно двух других, что заканчивает игру. Требуется вероятность того, что игра будет закончена за определенное число n игр. Найдем вероятность того, что она закончится точно в n-й игре. Для этого игрок, который выигрывает, должен войти в игру в игре n - 1 и выиграть ее таким образом в следующей игре. Но если вместо выигрыша в игре n - 1 он будет побежден своим противником, который только что победил другого игрока, игра закончилась бы в этой игре. Таким образом, вероятность того, что один из игроков войдет в игру в игре n - 1 и выиграет ее, равна вероятности того, что игра закончится точно этой игрой; и так как этот игрок должен выиграть следующую игру, чтобы игра была закончена в n-й игре, вероятность этого последнего случая будет только половиной предыдущего. Эта вероятность очевидно является функцией числа n; эта функция тогда равна половине той же функции, когда n уменьшено на единицу. Это равенство образует одно из тех уравнений, называемых обыкновенными уравнениями конечных разностей.

Мы можем легко определить с его помощью вероятность того, что игра закончится точно в определенной игре. Очевидно, что игра не может закончиться раньше, чем во второй игре; и для этого необходимо, чтобы тот из первых двух игроков, кто победил своего противника, победил во второй игре третьего игрока; вероятность того, что игра закончится в этой игре, равна ½. Отсюда в силу предыдущего уравнения мы заключаем, что последовательные вероятности окончания игры равны ¼ для третьей игры, ⅛ для четвертой игры и так далее; и вообще ½, возведенное в степень n - 1 для n-й игры. Сумма всех этих степеней ½ равна единице минус последняя из этих степеней; это вероятность того, что игра закончится самое позднее в n играх.

Рассмотрим еще раз первую, более трудную задачу, которая может быть решена с помощью вероятностей и которую Паскаль предложил решить Ферма. Два игрока, А и В, равной силы, играют на условиях, что тот, кто первым выиграет у другого заданное число раз, выигрывает партию и забирает сумму ставок; после нескольких бросков игроки договариваются прекратить игру, не закончив ее: мы спрашиваем, каким образом сумма должна быть разделена между ними. Очевидно, что доли должны быть пропорциональны соответствующим вероятностям выигрыша в партии. Таким образом, вопрос сводится к определению этих вероятностей. Они, очевидно, зависят от числа очков, которых не хватает каждому игроку до достижения заданного числа. Следовательно, вероятность А является функцией двух чисел, которые мы назовем индексами. Если бы два игрока договорились сыграть еще один бросок (соглашение, которое не меняет их положения, при условии, что после этого нового броска раздел всегда производится пропорционально новым вероятностям выигрыша в партии), то либо А выиграл бы этот бросок, и в этом случае число очков, которых ему не хватает, уменьшилось бы на единицу, либо игрок В выиграл бы его, и в этом случае число очков, не хватающих этому последнему игроку, было бы меньше на единицу. Но вероятность каждого из этих случаев равна ½; искомая функция тогда равна половине этой функции, в которой мы уменьшаем на единицу первый индекс, плюс половина той же функции, в которой второй индекс уменьшен на единицу. Это равенство является одним из тех уравнений, которые называются уравнениями в частных производных.

Мы можем определить с его помощью вероятности А, разделяя наименьшие числа и наблюдая, что вероятность или функция, которая ее выражает, равна единице, когда игроку А не хватает ни одного очка, или когда первый индекс равен нулю, и что эта функция становится равной нулю при втором индексе, равном нулю. Предполагая, таким образом, что игроку А не хватает только одного очка, мы находим, что его вероятность равна ½, ¾, 7⁄8 и т. д., в зависимости от того, сколько очков не хватает В: одно, два, три и т. д. В общем случае это единица минус степень ½, равная числу очков, которых не хватает В. Мы предположим затем, что игроку А не хватает двух очков, и его вероятность окажется равной ¼, ½, 11⁄16 и т. д., в зависимости от того, сколько очков не хватает В: одно, два, три очка и т. д. Мы предположим снова, что игроку А не хватает трех очков, и так далее.

Этот способ получения последовательных значений величины с помощью ее уравнения в разностях является долгим и трудоемким. Геометры искали методы получения общей функции индексов, которая удовлетворяет этому уравнению, так чтобы для любого частного случая нам нужно было лишь подставить в эту функцию соответствующие значения индексов. Рассмотрим этот предмет в общем виде. Для этой цели представим себе ряд членов, расположенных вдоль горизонтальной линии так, что каждый из них выводится из предыдущего согласно заданному закону. Предположим, что этот закон выражен уравнением между несколькими последовательными членами и их индексом, или числом, которое указывает ранг, занимаемый ими в ряду. Это уравнение я называю уравнением конечных разностей с одним индексом. Порядок или степень этого уравнения есть разность рангов его двух крайних членов. Мы можем с его помощью определять последовательно члены ряда и продолжать его бесконечно; но для этого необходимо знать число членов ряда, равное степени уравнения. Эти члены являются произвольными постоянными выражения общего члена ряда или интеграла уравнения в разностях.

Представим себе теперь под членами предыдущего ряда второй ряд членов, расположенных горизонтально; представим себе снова под членами второго ряда третий горизонтальный ряд и так далее до бесконечности; и предположим, что члены всех этих рядов связаны общим уравнением между несколькими последовательными членами, взятыми как в горизонтальном, так и в вертикальном смысле, и числами, которые указывают их ранг в обоих смыслах. Это уравнение называется уравнением частных конечных разностей с двумя индексами.

Представим себе таким же образом под плоскостью предыдущего ряда вторую плоскость подобных рядов, члены которых должны быть расположены соответственно под членами первой плоскости; представим себе снова под этой второй плоскостью третью плоскость подобных рядов и так далее до бесконечности; предположим, что все члены этих рядов связаны уравнением между несколькими последовательными членами, взятыми в смысле длины, ширины и глубины, и тремя числами, которые указывают их ранг в этих трех смыслах. Это уравнение я называю уравнением частных конечных разностей с тремя индексами.

Наконец, рассматривая вопрос абстрактно и независимо от измерений пространства, представим себе в общем виде систему величин, которые должны быть функциями определенного числа индексов, и предположим между этими величинами, их относительными разностями по отношению к этим индексам и самими индексами столько уравнений, сколько имеется величин; эти уравнения будут уравнениями частных конечных разностей с определенным числом индексов.

Мы можем с их помощью последовательно определять эти величины. Но подобно тому, как уравнение с одним индексом требует для этого, чтобы мы знали определенное число членов ряда, так уравнение с двумя индексами требует, чтобы мы знали одну или несколько линий рядов, общие члены которых должны быть выражены каждый произвольной функцией одного из индексов. Аналогично уравнение с тремя индексами требует, чтобы мы знали одну или несколько плоскостей рядов, общие члены которых должны быть выражены каждый произвольной функцией двух индексов, и так далее. Во всех этих случаях мы сможем путем последовательных исключений определить определенный член ряда. Но так как все уравнения, между которыми мы производим исключение, содержатся в одной и той же системе уравнений, все выражения последовательных членов, которые мы получаем путем этих исключений, должны содержаться в одном общем выражении, функции индексов, определяющих ранг члена. Это выражение является интегралом предложенного уравнения в разностях, и поиск его составляет предмет интегрального исчисления.

Тейлор — первый, кто в своем труде под названием Metodus incrementorum рассмотрел линейные уравнения конечных разностей. Он дает способ интегрирования уравнений первого порядка с коэффициентом и последним членом, являющимися функциями индекса. По правде говоря, отношения членов арифметической и геометрической прогрессий, которые всегда принимались во внимание, являются простейшими случаями линейных уравнений в разностях; но они не рассматривались с этой точки зрения. Это был один из тех случаев, которые, примыкая к общим теориям, ведут к этим теориям и являются, следовательно, подлинными открытиями.

Примерно в то же время Муавр рассматривал под названием возвратных рядов уравнения конечных разностей определенного порядка, имеющие постоянный коэффициент. Он преуспел в их интегрировании весьма остроумным способом. Поскольку всегда интересно проследить за прогрессом изобретателей, я изложу метод Муавра, применив его к возвратной последовательности, для которой задано отношение между тремя последовательными членами. Сначала он рассматривает отношение между последовательными членами геометрической прогрессии или уравнение из двух членов, которое его выражает. Относя его к членам, меньшим единицы, он умножает его в этом состоянии на постоянный множитель и вычитает произведение из первого уравнения. Таким образом, он получает уравнение между тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Затем Муавр рассматривает вторую прогрессию, отношение членов которой есть тот же множитель, который он только что использовал. Он аналогично уменьшает на единицу индекс членов уравнения этой новой прогрессии. В этом состоянии он умножает его на отношение членов первой прогрессии и вычитает произведение из уравнения второй прогрессии, что дает ему между тремя последовательными членами этой прогрессии отношение, совершенно подобное тому, которое он нашел для первой прогрессии. Затем он замечает, что если сложить почленно две прогрессии, то то же отношение существует между любыми тремя из этих последовательных членов. Он сравнивает коэффициенты этого отношения с коэффициентами отношения членов предложенного возвратного ряда и находит для определения отношений двух геометрических прогрессий уравнение второй степени, корнями которого являются эти отношения. Таким образом, Муавр разлагает возвратный ряд на две геометрические прогрессии, каждая из которых умножена на произвольную постоянную, которую он определяет с помощью первых двух членов возвратного ряда. Этот остроумный процесс, по сути, является тем самым, который д'Аламбер впоследствии применял для интегрирования линейных уравнений бесконечно малых разностей с постоянными коэффициентами, а Лагранж преобразовал в подобные уравнения конечных разностей.

Наконец, я рассмотрел линейные уравнения частных конечных разностей, сначала под названием рекурро-возвратных рядов, а затем под их собственным именем. Наиболее общий и простой способ интегрирования всех этих уравнений представляется мне тем, который я основал на рассмотрении производящих функций, идея которых здесь приведена.

Если мы представим себе функцию V переменной t, разложенную по степеням этой переменной, то коэффициент любой из этих степеней будет функцией показателя или индекса этой степени, который я назову x. V — это то, что я называю производящей функцией этого коэффициента или функции индекса.

Теперь, если мы умножим ряд разложения V на функцию той же переменной, такую, например, как единица плюс дважды эта переменная, произведение будет новой производящей функцией, в которой коэффициент степени x переменной t будет равен коэффициенту той же степени в V плюс удвоенный коэффициент степени, меньшей на единицу. Таким образом, функция индекса x в произведении будет равна функции индекса x в V плюс удвоенная та же функция, в которой индекс уменьшен на единицу. Эта функция индекса x является, таким образом, производной функции того же индекса в разложении V, функцией, которую я назову первообразной функцией индекса. Обозначим производную функцию буквой δ, помещенной перед первообразной функцией. Дифференцирование, обозначенное этой буквой, будет зависеть от множителя V, который мы назовем T и который мы предположим разложенным подобно V по отношению к степеням переменной t. Если мы умножим заново на T произведение V на T, что эквивалентно умножению V на T², мы образуем третью производящую функцию, в которой коэффициент x-й степени t будет производной, подобной соответствующему коэффициенту предыдущего произведения; она может быть выражена тем же символом δ, помещенным перед предыдущей производной, и тогда этот символ будет написан дважды перед первообразной функцией x. Но вместо того, чтобы писать его так дважды, мы даем ему 2 в качестве показателя.

Продолжая таким образом, мы видим в общем случае, что если мы умножим V на n-ю степень T, мы получим коэффициент x-й степени t в произведении V на n-ю степень T, поместив перед первообразной функцией символ δ с n в качестве показателя.

Предположим, например, что T есть единица, деленная на t; тогда в произведении V на T коэффициент x-й степени t будет коэффициентом степени, большей на единицу в V; этот коэффициент в произведении V на n-ю степень T будет тогда первообразной функцией, в которой x увеличен на n единиц.

Рассмотрим теперь новую функцию Z от t, разложенную подобно V и T по степеням t; обозначим символом Δ, помещенным перед первообразной функцией, коэффициент x-й степени t в произведении V на Z; этот коэффициент в произведении V на n-ю степень Z будет выражен символом Δ, затронутым показателем n и помещенным перед первообразной функцией x.

Если, например, Z равно единице, деленной на t минус один, коэффициент x-й степени t в произведении V на Z будет коэффициентом x+1 степени t в V минус коэффициент x-й степени. Это будет тогда конечная разность первообразной функции индекса x. Тогда символ Δ указывает конечную разность первообразной функции в случае, когда индекс изменяется на единицу; и n-я степень этого символа, помещенная перед первообразной функцией, будет указывать конечную n-ю разность этой функции. Если мы предположим, что T есть единица, деленная на t, мы будем иметь T, равное двучлену Z + 1. Произведение V на n-ю степень T будет тогда равно произведению V на n-ю степень двучлена Z + 1. Разлагая эту степень по отношению к степеням Z, произведение V на различные члены этого разложения будет производящими функциями этих же членов, в которых мы подставляем вместо степеней Z соответствующие конечные разности первообразной функции индекса.

Теперь произведение V на n-ю степень T есть первообразная функция, в которой индекс x увеличен на n единиц; переходя от производящих функций к их коэффициентам, мы будем иметь эту первообразную функцию, таким образом увеличенную, равную разложению n-й степени двучлена Z + 1, при условии, что в этом разложении мы подставим вместо степеней Z соответствующие разности первообразной функции и что мы умножим независимый член этих степеней на первообразную функцию. Мы получим таким образом первообразную функцию, индекс которой увеличен на любое число n, с помощью ее разностей.

Предполагая, что T и Z всегда имеют предыдущие значения, мы будем иметь Z, равное двучлену T - 1; произведение V на n-ю степень Z будет тогда равно произведению V на разложение n-й степени двучлена T - 1. Переходя от производящих функций к их коэффициентам, как это только что было сделано, мы будем иметь n-ю разность первообразной функции, выраженную разложением n-й степени двучлена T - 1, в котором мы подставляем вместо степеней T эту же функцию, индекс которой увеличен на показатель степени, а вместо независимого члена t, который есть единица, — первообразную функцию, что дает эту разность с помощью последовательных членов этой функции.

Помещая δ перед первообразной функцией, выражающей производную этой функции, которая умножает x-ю степень t в произведении V на T, и Δ, выражающей ту же производную в произведении V на Z, мы приходим благодаря тому, что предшествует, к этому общему результату: какой бы ни была функция переменной t, представленная T и Z, мы можем в разложении всех тождественных уравнений, которые могут быть образованы среди этих функций, подставить символы δ и Δ вместо T и Z, при условии, что мы запишем первообразную функцию индекса в ряд со степенями и произведениями степеней символов и что мы умножим на эту функцию независимые члены этих символов.

Мы можем с помощью этого общего результата преобразовать любую определенную степень разности первообразной функции индекса x, в которой x изменяется на единицу, в ряд разностей той же функции, в которой x изменяется на определенное число единиц, и наоборот. Предположим, что T есть i-я степень единицы, деленной на t - 1, и что Z всегда есть единица, деленная на t - 1; тогда коэффициент x-й степени t в произведении V на T будет коэффициентом x+i степени t в V минус коэффициент x-й степени t; это будет тогда конечная разность первообразной функции индекса x, в которой мы изменяем этот индекс на число i. Легко видеть, что T равно разности между i-й степенью двучлена Z + 1 и единицей. n-я степень T равна n-й степени этой разности. Если в этом равенстве мы подставим вместо T и Z символы δ и Δ и после разложения поместим в конце каждого члена первообразную функцию индекса x, мы будем иметь n-ю разность этой функции, в которой x изменяется на i единиц, выраженную рядом разностей той же функции, в которой x изменяется на единицу. Этот ряд есть лишь преобразование разности, которую он выражает и которая тождественна с ним; но именно в подобных преобразованиях и заключается сила анализа.

Общность анализа позволяет нам предположить в этом выражении, что n отрицательно. Тогда отрицательные степени δ и Δ указывают интегралы. Действительно, n-я разность первообразной функции, имеющая в качестве производящей функции произведение V на n-ю степень двучлена «один, деленное на t, минус один», первообразная функция, которая является n-м интегралом этой разности, имеет в качестве производящей функции производящую функцию той же разности, умноженную на n-ю степень, взятую как «минус один, деленное на двучлен (один, деленное на t, минус один)», степень, которой соответствует та же степень символа Δ; эта степень указывает тогда интеграл того же порядка, индекс x изменяется на единицу; и отрицательные степени δ указывают равным образом интегралы, где x изменяется на i единиц. Мы видим, таким образом, самым ясным и простым образом рациональность анализа, наблюдаемую между положительными степенями и разностями, а также между отрицательными степенями и интегралами.

Если функция, обозначенная δ, помещенная перед первообразной функцией, равна нулю, мы будем иметь уравнение конечных разностей, и V будет производящей функцией его интеграла. Чтобы получить эту производящую функцию, мы заметим, что в произведении V на T все степени t должны исчезнуть, за исключением степеней, меньших порядка уравнения в разностях; V тогда равно дроби, знаменатель которой есть T, а числитель — многочлен, в котором высшая степень t меньше на единицу порядка уравнения в разностях. Произвольные коэффициенты различных степеней t в этом многочлене, включая нулевую степень, будут определены таким же числом значений первообразной функции индекса, когда мы последовательно делаем x равным нулю, единице, двум и т. д. Когда дано уравнение в разностях, мы определяем T, помещая все его члены в первую часть, а ноль — во вторую; подставляя в первую часть единицу вместо функции, имеющей наибольший индекс; первую степень t вместо первообразной функции, в которой этот индекс уменьшен на единицу; вторую степень t для первообразной функции, где этот индекс уменьшен на две единицы, и так далее. Коэффициент x-й степени t в разложении предыдущего выражения V будет первообразной функцией x или интегралом уравнения конечных разностей. Анализ предоставляет для этого разложения различные средства, среди которых мы можем выбрать то, которое наиболее подходит для предложенного вопроса; это преимущество данного метода интегрирования.

Представим себе теперь, что V есть функция двух переменных t и t', разложенная по степеням и произведениям этих переменных; коэффициент любого произведения степеней x и x' переменных t и t' будет функцией показателей или индексов x и x' этих степеней; эту функцию я назову первообразной функцией, производящей функцией которой является V.

Умножим V на функцию T двух переменных t и t', разложенную подобно V по отношению к степеням и произведениям этих переменных; произведение будет производящей функцией производной первообразной функции; если T, например, равно переменной t плюс переменная t' минус два, эта производная будет первообразной функцией, в которой мы уменьшаем на единицу индекс x, плюс та же первообразная функция, в которой мы уменьшаем на единицу индекс x', минус дважды первообразная функция. Обозначая, чем бы ни был T, символом δ, помещенным перед первообразной функцией, эта производная, произведение V на n-ю степень T, будет производящей функцией производной первообразной функции, перед которой помещают n-ю степень символа δ. Отсюда следуют теоремы, аналогичные тем, которые относятся к функциям одной переменной.

Предположим, что функция, обозначенная символом δ, равна нулю; мы получим уравнение в частных разностях. Если, например, мы сделаем, как прежде, T равным переменной t плюс переменная t' - 2, мы получим ноль, равный первообразной функции, в которой мы уменьшаем на единицу индекс x, плюс та же функция, в которой мы уменьшаем на единицу индекс x', минус дважды первообразная функция. Производящая функция V первообразной функции или интеграла этого уравнения должна тогда быть такой, чтобы ее произведение на T совсем не включало произведений t на t'; но V может включать отдельно степени t и степени t', то есть произвольную функцию t и произвольную функцию t'; V тогда есть дробь, числитель которой есть сумма этих двух произвольных функций, а знаменатель — T. Коэффициент произведения x-й степени t на x'-ю степень t' в разложении этой дроби будет тогда интегралом предыдущего уравнения в частных разностях. Этот метод интегрирования такого рода уравнений кажется мне самым простым и легким благодаря применению различных аналитических процессов для разложения рациональных дробей.

Более подробные сведения по этому вопросу были бы едва понятны без помощи исчисления.

Рассматривая уравнения бесконечно малых частных разностей как уравнения конечных частных разностей, в которых ничем не пренебрегают, мы можем пролить свет на темные места их исчисления, которые были предметом больших дискуссий среди геометров. Именно так я доказал возможность введения разрывных функций в их интегралы при условии, что разрывность имеет место только для дифференциалов порядка этих уравнений или высшего порядка. Трансцендентные результаты исчисления являются, как и все абстракции рассудка, общими знаками, истинный смысл которых может быть установлен только путем возвращения с помощью метафизического анализа к элементарным идеям, которые привели к ним; это часто представляет большие трудности, ибо человеческий ум пытается еще меньше перенести себя в будущее, чем уединиться в самом себе. Сравнение бесконечно малых разностей с конечными разностями может аналогично пролить большой свет на метафизику исчисления бесконечно малых.

Легко доказать, что конечная n-я разность функции, в которой приращение переменной есть E, будучи разделенной на n-ю степень E, частное, приведенное в ряд по отношению к степеням приращения E, образуется первым членом, независимым от E. По мере того как E уменьшается, ряд все более приближается к этому первому члену, от которого он может отличаться лишь на величины, меньшие любой заданной величины. Этот член является тогда пределом ряда и выражает в дифференциальном исчислении бесконечно малую n-ю разность функции, деленную на n-ю степень бесконечно малого приращения.

Рассматривая с этой точки зрения бесконечно малые разности, мы видим, что различные операции дифференциального исчисления сводятся к сравнению отдельно в разложении тождественных выражений конечных членов или тех, которые независимы от приращений переменных, рассматриваемых как бесконечно малые; это строго точно, так как эти приращения являются неопределенными. Таким образом, дифференциальное исчисление обладает всей точностью других алгебраических операций.

Та же точность обнаруживается в приложениях дифференциального исчисления к геометрии и механике. Если мы представим себе кривую, пересеченную секущей в двух соседних точках, называя E интервал ординат этих двух точек, E будет приращением абсциссы от первой до второй ординаты. Легко видеть, что соответствующее приращение ординаты будет произведением E на первую ординату, деленную на ее подсекущую; увеличивая затем в этом уравнении кривой первую ординату на это приращение, мы получим уравнение, относящееся ко второй ординате. Разность этих двух уравнений будет третьим уравнением, которое, разложенное по отношению к степеням E и деленное на E, будет иметь свой первый член, независимый от E, который будет пределом этого разложения. Этот член, равный нулю, даст тогда предел подсекущих, предел, который, очевидно, является подкасательной.

Этот удивительно удачный метод получения подкасательной принадлежит Ферма, который распространил его на трансцендентные кривые. Этот великий геометр выражает символом E приращение абсциссы; и рассматривая только первую степень этого приращения, он определяет точно так же, как мы с помощью дифференциального исчисления, подкасательные кривых, их точки перегиба, максимумы и минимумы их ординат и, в общем, таковые рациональных функций. Мы видим также по его прекрасному решению задачи о преломлении света, включенному в «Собрание писем Декарта», что он умеет распространять свои методы на иррациональные функции, освобождая их от иррациональностей путем возведения корней в степени. Ферма следует, таким образом, считать истинным первооткрывателем дифференциального исчисления. Ньютон с тех пор сделал это исчисление более аналитическим в своем «Методе флюксий» и упростил и обобщил процессы с помощью своей прекрасной теоремы о двучлене. Наконец, примерно в то же время Лейбниц обогатил дифференциальное исчисление обозначением, которое, указывая переход от конечного к бесконечно малому, добавляет к преимуществу выражения общих результатов исчисления преимущество давать первые приближенные значения разностей и сумм величин; это обозначение само по себе приспособлено к исчислению частных дифференциалов.

Мы часто приходим к выражениям, которые содержат так много членов и множителей, что численные подстановки невыполнимы. Это имеет место в вопросах вероятности, когда мы рассматриваем большое число событий. Между тем необходимо иметь численное значение формул, чтобы знать, с какой вероятностью указаны результаты, которые события развивают путем умножения. Необходимо особенно иметь закон, согласно которому эта вероятность постоянно приближается к достоверности, которой она в конечном итоге достигнет, если бы число событий было бесконечным. Чтобы получить этот закон, я принял во внимание, что определенные интегралы дифференциалов, умноженные на факторы, возведенные в большие степени, дали бы путем интегрирования формулы, состоящие из большого числа членов и множителей. Это замечание привело меня к идее преобразования в подобные интегралы сложных выражений анализа и интегралов уравнения в разностях. Я выполнил это условие методом, который дает одновременно функцию, заключенную под знаком интеграла, и пределы интегрирования. Он предлагает эту замечательную вещь, что функция является той же производящей функцией выражений и предложенных уравнений; это привязывает этот метод к теории производящих функций, дополнением которой он, таким образом, является. Далее, речь шла бы только о сведении определенного интеграла к сходящемуся ряду. Это я получил с помощью процесса, который заставляет ряд сходиться тем быстрее, чем сложнее формула, которую он представляет, так что он тем точнее, чем более необходим. Часто ряд имеет в качестве множителя квадратный корень из отношения окружности к диаметру; иногда он зависит от других трансцендентных величин, число которых бесконечно.

Важное замечание, которое относится к большой общности анализа и которое позволяет нам распространить этот метод на формулы и уравнения в разностях, которые теория вероятности представляет наиболее часто, состоит в том, что ряды, к которым приходят, предполагая пределы определенных интегралов действительными и положительными, имеют место равным образом в случае, когда уравнение, определяющее эти пределы, имеет только отрицательные или мнимые корни. Эти переходы от положительного к отрицательному и от действительного к мнимому, которые я впервые использовал, привели меня далее к значениям многих сингулярных определенных интегралов, которые я, соответственно, доказал непосредственно. Мы можем тогда рассматривать эти переходы как средство открытия, параллельное индукции и аналогии, давно используемым геометрами, сначала с крайней осторожностью, затем с полной уверенностью, поскольку большое число примеров оправдало их использование. Между тем всегда необходимо подтверждать прямыми доказательствами результаты, полученные этими различными средствами.

Я назвал совокупность предыдущих методов исчислением производящих функций; это исчисление служит основой для работы, которую я опубликовал под названием «Аналитическая теория вероятностей». Оно связано с простой идеей обозначения повторных умножений величины на саму себя или ее целых и положительных степеней путем записи в верхней части буквы, которая ее выражает, чисел, которые отмечают степени этих степеней.

Это обозначение, использованное Декартом в его «Геометрии» и общепринятое со времени публикации этого важного труда, есть мелочь, особенно по сравнению с теорией кривых и переменных функций, с помощью которой этот великий геометр заложил основы современного исчисления. Но язык анализа, самый совершенный из всех, будучи сам по себе мощным инструментом открытий, его обозначения, особенно когда они необходимы и удачно задуманы, являются столькими же зародышами новых исчислений. Это становится ощутимым на этом примере.

Валлис, который в своем труде под названием Arithmetica Infinitorum, одном из тех, которые наиболее способствовали прогрессу анализа, интересовался особенно следованием нити индукции и аналогии, считал, что если разделить показатель буквы на два, три и т. д., частное будет соответственно картезианскому обозначению, и когда деление возможно, показателем квадратного, кубического и т. д. корня из величины, которая представляет букву, возведенную в делимый показатель. Распространяя по аналогии этот результат на случай, когда деление невозможно, он рассматривал величину, возведенную в дробный показатель, как корень степени, указанной знаменателем этой дроби — а именно, величины, возведенной в степень, указанную числителем. Он заметил затем, что, согласно картезианскому обозначению, умножение двух степеней одной и той же буквы сводится к сложению их показателей, и что их деление сводится к вычитанию показателей степени делителя из такового степени делимого, когда второй из этих показателей больше первого. Валлис распространил этот результат на случай, когда первый показатель равен или больше второго, что делает разность равной нулю или отрицательной. Он предположил тогда, что отрицательный показатель указывает единицу, деленную на величину, возведенную в тот же показатель, взятый положительно. Эти замечания привели его к интегрированию в общем виде одночленных дифференциалов, откуда он вывел определенные интегралы особого рода двучленных дифференциалов, показатель которых есть положительное целое число. Наблюдение затем закона чисел, которые выражают эти интегралы, ряд интерполяций и удачных индукций, где воспринимают зародыш исчисления определенных интегралов, которое так много упражняло геометров и которое является одним из фундаментов моей новой «Теории вероятностей», дало ему отношение площади круга к квадрату его диаметра, выраженное бесконечным произведением, которое, когда его останавливают, ограничивает это отношение пределами, все более сходящимися; это один из самых сингулярных результатов в анализе. Но примечательно, что Валлис, который так хорошо рассмотрел дробные показатели радикальных степеней, продолжал отмечать эти степени так, как это делалось до него. Ньютон в своих «Письмах к Ольденбургу», если я не ошибаюсь, был первым, кто применил обозначение этих степеней дробными показателями. Сравнивая путем индукции, которой Валлис сделал такое прекрасное использование, показатели степеней двучлена с коэффициентами членов его разложения в случае, когда этот показатель цел и положителен, он определил закон этих коэффициентов и распространил его по аналогии на дробные и отрицательные степени. Эти различные результаты, основанные на обозначении Декарта, показывают его влияние на прогресс анализа. Оно имеет еще преимущество давать самое простое и справедливое представление о логарифмах, которые, действительно, являются лишь показателями величины, чьи последовательные степени, увеличиваясь на бесконечно малые градусы, могут представлять все числа.

Но самое важное расширение, которое получило это обозначение, — это расширение переменных показателей, которое составляет экспоненциальное исчисление, одну из самых плодотворных ветвей современного анализа. Лейбниц был первым, кто указал трансцендентные величины с помощью переменных показателей, и тем самым он завершил систему элементов, из которых может быть составлена конечная функция; ибо всякая конечная явная функция переменной может быть сведена в последнем анализе к простым величинам, объединенным методом сложения, вычитания, умножения и деления и возведенным в постоянные или переменные степени. Корни уравнений, образованных из этих элементов, являются неявными функциями переменной. Именно так переменная имеет в качестве логарифма показатель степени, который равен ей в ряду степеней числа, чей гиперболический логарифм равен единице, и логарифм переменной от нее есть неявная функция.

Лейбниц подумал дать своему дифференциальному символу те же показатели, что и величинам; но тогда вместо указания повторных умножений одной и той же величины эти показатели указывают повторные дифференцирования одной и той же функции. Это новое расширение картезианского обозначения привело Лейбница к аналогии положительных степеней с дифференциалами, а отрицательных степеней — с интегралами. Лагранж следовал этой сингулярной аналогии во всех ее развитиях; и с помощью рядов индукций, которые могут рассматриваться как одно из самых прекрасных приложений, которые когда-либо делались к методу индукции, он пришел к общим формулам, которые столь же любопытны, сколь и полезны, по преобразованиям разностей и интегралов одних в другие, когда переменные имеют различные конечные приращения и когда эти приращения бесконечно малы. Но он не дал их доказательств, которые кажутся ему трудными. Теория производящих функций распространяет картезианские обозначения на некоторые из своих символов; она показывает с доказательством аналогию степеней и операций, указанных этими символами; так что ее можно еще рассматривать как экспоненциальное исчисление символов. Все, что касается рядов и интегрирования уравнений в разностях, проистекает из него с чрезвычайной легкостью.

ЧАСТЬ II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ГЛАВА VI. АЗАРТНЫЕ ИГРЫ.

Комбинации, которые представляют игры, были объектом первых исследований вероятностей. В бесконечном разнообразии этих комбинаций многие из них легко поддаются исчислению; другие требуют более трудных исчислений; и трудности возрастают по мере того, как комбинации становятся более сложными, желание преодолеть их и любопытство побудили геометров все более совершенствовать этот вид анализа. Уже было замечено, что выгоды лотереи легко определяются теорией комбинаций. Но труднее узнать, в скольких тиражах можно держать пари один против одного, например, что все числа будут вытянуты, n — число чисел, r — число чисел, вытягиваемых в каждом тираже, и i — неизвестное число тиражей. Выражение вероятности вытягивания всех чисел зависит от n-й конечной разности i-й степени произведения r последовательных чисел. Когда число n значительно, поиск значения i, которое делает эту вероятность равной ½, становится невозможным, по крайней мере, если эта разность не преобразована в очень сходящийся ряд. Это легко делается методом, указанным ниже, для приближений функций очень больших чисел. Таким образом, найдено, что поскольку лотерея состоит из десяти тысяч чисел, одно из которых вытягивается в каждом тираже, существует невыгода в пари один против одного, что все числа будут вытянуты за 95767 тиражей, и выгода в заключении того же пари на 95768 тиражей. В лотерее Франции это пари невыгодно для 85 тиражей и выгодно для 86 тиражей.

Рассмотрим снова двух игроков, А и В, играющих вместе в «орел или решку» таким образом, что при каждом броске, если выпадает орел, А отдает один жетон В, который отдает ему один, если выпадает решка; число жетонов В ограничено, тогда как число жетонов А неограниченно, и игра должна закончиться только тогда, когда у В не останется жетонов. Мы спрашиваем, в скольких бросках нужно держать пари один к одному, что игра закончится. Выражение вероятности того, что игра закончится за i бросков, дается рядом, который включает большое число членов и множителей, если число жетонов В значительно; поиск значения неизвестного i, которое делает этот ряд равным ½, был бы тогда невозможен, если бы мы не свели его к очень сходящемуся ряду. Применяя к нему метод, о котором мы только что говорили, мы находим очень простое выражение для неизвестного, из которого следует, что если, например, у В сто жетонов, это пари чуть меньше одного против одного, что игра закончится за 23780 бросков, и пари чуть больше одного против одного, что она закончится за 23781 бросок.

Эти два примера, добавленные к тем, которые мы уже привели, достаточны, чтобы показать, как задачи игр способствовали совершенствованию анализа.

ГЛАВА VII. О НЕИЗВЕСТНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ, КОТОРЫЕ МОГУТ СУЩЕСТВОВАТЬ МЕЖДУ ШАНСАМИ, ПРЕДПОЛАГАЕМЫМИ РАВНЫМИ.

Неравенства такого рода имеют на результаты вычисления вероятностей заметное влияние, которое заслуживает особого внимания. Возьмем игру в «орел или решку» и предположим, что одинаково легко выбросить ту или иную сторону монеты. Тогда вероятность выбросить орла при первом броске равна ½, а вероятность выбросить его дважды подряд — ¼. Но если в монете существует неравенство, которое заставляет одну из сторон появляться чаще, чем другую, не зная, какая сторона благоприятствует этому неравенству, вероятность выбросить орла при первом броске всегда будет ½; из-за нашего незнания того, какая сторона благоприятствует неравенству, вероятность простого события увеличивается, если это неравенство благоприятствует ему, и настолько же уменьшается, если неравенство противоречит ему. Но в этом же неведении вероятность выбросить орла дважды подряд увеличивается. Действительно, эта вероятность есть вероятность выбросить орла при первом броске, умноженная на вероятность того, что, выбросив его при первом броске, он будет выброшен при втором; но его выпадение при первом броске является основанием для веры в то, что неравенство монеты благоприятствует ему; неизвестное неравенство увеличивает, таким образом, вероятность выбросить орла при втором броске; оно, следовательно, увеличивает произведение этих двух вероятностей. Чтобы подчинить этот вопрос исчислению, предположим, что это неравенство увеличивает на одну двадцатую вероятность простого события, которому оно благоприятствует. Если это событие — орел, его вероятность будет ½ плюс 1⁄20, или 11⁄20, и вероятность выбросить его дважды подряд будет квадратом 11⁄20, или 121⁄400. Если благоприятствуемое событие — решка, вероятность орла будет ½ минус 1⁄20, или 9⁄20, и вероятность выбросить его дважды подряд будет 81⁄400. Поскольку у нас сначала нет оснований полагать, что неравенство благоприятствует одному из этих событий больше, чем другому, ясно, что для получения вероятности сложного события «орел-орел» необходимо сложить две предыдущие вероятности и взять половину их суммы, что дает 101⁄400 для этой вероятности, которая превышает ¼ на 1⁄400, или на квадрат преимущества 1⁄20, которое неравенство добавляет к возможностям события, которому оно благоприятствует. Вероятность выбросить «решка-решка» аналогично равна 101⁄400, но вероятность выбросить «орел-решка» или «решка-орел» равна 99⁄400 каждая; ибо сумма этих четырех вероятностей должна быть равна достоверности или единице. Мы находим таким образом в общем случае, что постоянные и неизвестные причины, которые благоприятствуют простым событиям, считающимся равновозможными, всегда увеличивают вероятность повторения того же простого события.

При четном числе бросков орел и решка должны оба выпасть либо четное число раз, либо нечетное число раз. Вероятность каждого из этих случаев равна ½, если возможности двух сторон равны; но если между ними существует неизвестное неравенство, это неравенство всегда благоприятствует первому случаю.

Два игрока, чья сила предполагается равной, играют на условиях, что при каждом броске тот, кто проигрывает, отдает жетон своему противнику, и что игра продолжается до тех пор, пока у одного из игроков не останется жетонов. Вычисление вероятностей показывает нам, что для равенства игры броски игроков должны быть в обратном отношении к их жетонам. Но если между игроками существует небольшое неизвестное неравенство, оно благоприятствует тому из игроков, у которого наименьшее число жетонов. Его вероятность выигрыша в партии увеличивается, если игроки договариваются удвоить или утроить свои жетоны; и она будет равна ½ или такой же, как вероятность другого игрока в случае, если число их жетонов станет бесконечным, сохраняя всегда то же отношение.

Можно исправить влияние этих неизвестных неравенств, подчинив их самих шансам случая. Так, в игре в «орел или решку», если у кого-то есть вторая монета, которая бросается каждый раз вместе с первой, и кто-то договаривается постоянно называть орлом сторону, выпавшую на второй монете, вероятность выбросить орла дважды подряд с первой монетой будет приближаться гораздо ближе к ¼, чем в случае одной монеты. В этом последнем случае разность есть квадрат малого приращения возможности, которое неизвестное неравенство дает стороне первой монеты, которой оно благоприятствует; в другом случае эта разность есть учетверенное произведение этого квадрата на соответствующий квадрат, относящийся ко второй монете.

Пусть в урну брошены сто чисел от 1 до 100 в порядке нумерации, и после того, как урну встряхнули, чтобы перемешать числа, одно вытягивается; ясно, что если перемешивание было сделано хорошо, вероятности вытягивания чисел будут одинаковыми. Но если мы опасаемся, что среди них есть небольшие различия, зависящие от порядка, в котором числа были брошены в урну, мы значительно уменьшим эти различия, бросив во вторую урну числа в порядке их вытягивания из первой урны и встряхнув затем эту вторую урну, чтобы перемешать числа. Третья урна, четвертая урна и т. д. уменьшили бы все больше и больше эти различия, уже незначительные во второй урне.

ГЛАВА VIII. О ЗАКОНАХ ВЕРОЯТНОСТИ, ВЫТЕКАЮЩИХ ИЗ НЕОГРАНИЧЕННОГО УМНОЖЕНИЯ СОБЫТИЙ.

Среди изменчивых и неизвестных причин, которые мы охватываем общим названием «случай» и которые делают ход событий неопределенным и беспорядочным, мы видим проявление поразительной закономерности по мере их умножения; эта закономерность, по-видимому, подчинена некоему замыслу и рассматривается как доказательство существования Провидения. Однако при размышлении об этом мы вскоре осознаем, что данная закономерность есть лишь развитие соответствующих вероятностей простых событий, которые должны проявляться чаще, если они более вероятны. Представим себе, например, урну, содержащую белые и черные шары; предположим, что каждый раз, когда шар вынимается, он возвращается обратно в урну перед тем, как приступить к новому извлечению. Отношение числа вынутых белых шаров к числу вынутых черных шаров в первых извлечениях чаще всего будет весьма нерегулярным; но изменчивые причины этой нерегулярности производят эффекты, попеременно благоприятные и неблагоприятные для правильного хода событий, которые взаимно уничтожаются в совокупности большого числа извлечений, позволяя нам все яснее видеть отношение белых шаров к черным, содержащимся в урне, или соответствующие вероятности вытягивания белого или черного шара при каждом извлечении. Из этого вытекает следующая теорема.

Вероятность того, что отношение числа вынутых белых шаров к общему числу вынутых шаров не отклонится за пределы заданного интервала от отношения числа белых шаров к общему числу шаров, содержащихся в урне, неограниченно приближается к достоверности при неограниченном умножении событий, как бы мал ни был этот интервал.

Эта теорема, подсказанная здравым смыслом, была трудна для доказательства аналитическим путем. Соответственно, прославленный геометр Якоб Бернулли, который первым занялся ею, придает большое значение данным им доказательствам. Исчисление производящих функций, примененное к этому вопросу, не только с легкостью доказывает данную теорему, но, более того, дает вероятность того, что отношение наблюдаемых событий отклоняется лишь в определенных пределах от истинного отношения их соответствующих вероятностей.

Из предыдущей теоремы можно вывести следствие, которое следует рассматривать как общий закон, а именно: отношения действий природы весьма близки к постоянным, когда эти действия рассматриваются в большом количестве. Так, несмотря на разнообразие лет, сумма продукции в течение значительного числа лет заметно одна и та же; благодаря этому человек посредством полезного предвидения способен обезопасить себя от нерегулярности сезонов, равномерно распределяя по всем сезонам блага, которые природа распределяет неравномерно. Я не исключаю из вышеуказанного закона результаты, обусловленные моральными причинами. Отношение ежегодных рождений к численности населения, а также браков к рождениям обнаруживает лишь небольшие колебания; в Париже число ежегодных рождений почти одинаково, и я слышал, как говорили, что на почте в обычное время число писем, отложенных из-за дефектных адресов, мало меняется каждый год; это также наблюдалось в Лондоне.

Из этой теоремы также следует, что в ряду событий, неограниченно продолжающихся, действие регулярных и постоянных причин должно в конечном счете преобладать над действием нерегулярных причин. Именно это делает доходы лотерей столь же верными, как и продукты сельского хозяйства; шансы, которые они себе резервируют, обеспечивают им выгоду в совокупности большого числа тиражей. Таким образом, поскольку благоприятные и многочисленные шансы постоянно связаны с соблюдением вечных принципов разума, справедливости и человечности, которые создают и поддерживают общества, существует большое преимущество в следовании этим принципам и серьезные неудобства в отступлении от них. Если обратиться к истории и собственному опыту, можно увидеть, что все факты подтверждают этот результат исчисления. Рассмотрим счастливые последствия институтов, основанных на разуме и естественных правах человека среди народов, которые сумели их установить и сохранить. Рассмотрим также преимущества, которые добросовестность принесла правительствам, сделавшим ее основой своего поведения, и то, как они были вознаграждены за жертвы, которых стоила им скрупулезная точность в выполнении своих обязательств. Какое огромное доверие внутри страны! Какое превосходство за рубежом! Напротив, посмотрите, в какую бездну несчастий часто были низвергнуты нации из-за амбиций и вероломства их вождей. Всякий раз, когда великая держава, опьяненная любовью к завоеваниям, стремится к мировому господству, чувство независимости порождает среди угрожаемых наций коалицию, жертвой которой она почти всегда становится. Подобным образом, посреди изменчивых причин, которые расширяют или ограничивают различные государства, естественные границы, действуя как постоянные причины, должны в конечном итоге возобладать. Поэтому для стабильности, как и для счастья империй, важно не расширять их за пределы тех границ, к которым они непрестанно возвращаются действием причин; подобно тому как воды морей, поднятые яростными бурями, возвращаются в свои бассейны под действием силы тяжести. Это опять-таки результат исчисления вероятностей, подтвержденный многочисленными и печальными опытами. История, рассматриваемая с точки зрения влияния постоянных причин, соединила бы интерес любопытства с пользой предложения человеку самых полезных уроков. Иногда мы приписываем неизбежные результаты этих причин случайным обстоятельствам, которые вызвали их действие. Например, противно природе вещей, чтобы один народ когда-либо управлялся другим, когда их разделяет обширное море или огромное расстояние. Можно утверждать, что в конечном счете эта постоянная причина, непрестанно соединяясь с изменчивыми причинами, которые действуют таким же образом и которые развивает ход времени, в конце концов окажется достаточно сильной, чтобы дать покоренному народу его естественную независимость или объединить его с могущественным государством, которое может быть сопредельным.

В большом числе случаев, а это самые важные случаи анализа рисков, вероятности простых событий неизвестны, и мы вынуждены искать в прошлых событиях признаки, которые могут направить нас в наших предположениях о причинах, от которых они зависят. Применяя анализ производящих функций к принципу, разъясненному выше относительно вероятности причин, выведенной из наблюдаемых событий, мы приходим к следующей теореме.

Когда простое событие или событие, состоящее из нескольких простых событий, как, например, в игре, повторялось большое число раз, вероятности простых событий, которые делают наиболее вероятным то, что наблюдалось, являются теми, которые наблюдение указывает с наибольшей вероятностью; по мере повторения наблюдаемого события эта вероятность возрастает и в конечном итоге достигла бы достоверности, если бы число повторений стало бесконечным.

Существует два вида приближений: одно относится к пределам, взятым со всех сторон от вероятностей, которые придают прошлому наибольшую вероятность; другое приближение связано с вероятностью того, что эти вероятности попадают в эти пределы. Повторение составного события все более увеличивает эту вероятность, при этом пределы остаются прежними; оно все более сокращает интервал этих пределов, при этом вероятность остается прежней; в бесконечности этот интервал становится равным нулю, а вероятность переходит в достоверность.

Если мы применим эту теорему к отношению рождений мальчиков к рождениям девочек, наблюдаемому в разных странах Европы, мы обнаружим, что это отношение, которое повсюду примерно равно 22 к 21, указывает с чрезвычайной вероятностью на большую легкость рождения мальчиков. Учитывая далее, что это отношение одинаково в Неаполе и в Санкт-Петербурге, мы увидим, что в этом отношении влияние климата не имеет эффекта. Мы могли бы тогда заподозрить, вопреки общему мнению, что это преобладание мужских рождений существует даже на Востоке. Я, следовательно, предложил французским ученым, отправленным в Египет, заняться этим интересным вопросом; но трудность получения точных сведений о рождениях не позволила им решить его. К счастью, г-н фон Гумбольдт не пренебрег этим вопросом среди бесчисленных новых вещей, которые он наблюдал и собрал в Америке с такой проницательностью, постоянством и мужеством. Он обнаружил в тропиках то же отношение рождений, которое мы наблюдаем в Париже; это должно заставить нас рассматривать большее число мужских рождений как общий закон человеческого рода. Законы, которым следуют в этом отношении различные виды животных, кажутся мне достойными внимания натуралистов.

Тот факт, что отношение рождений мальчиков к рождениям девочек очень мало отличается от единицы даже при большом числе рождений, наблюдаемых в одном месте, представлял бы в этом отношении результат, противоречащий общему закону, без чего мы были бы вправе заключить, что этот закон не существует. Чтобы прийти к этому результату, необходимо использовать большие числа и быть уверенным, что он указан с большой вероятностью. Бюффон приводит, например, в своей «Политической арифметике» несколько общин Бургундии, где рождения девочек превзошли рождения мальчиков. Среди этих общин община Карсель-ле-Гриньон представляет на 2009 рождений в течение пяти лет 1026 девочек и 983 мальчика. Хотя эти числа значительны, они, однако, указывают лишь на большую вероятность рождения девочек с вероятностью 9/10, и эта вероятность, меньшая, чем вероятность не выбросить «орла» четыре раза подряд в игре в «орел или решку», недостаточна для исследования причины этой аномалии, которая, по всей вероятности, исчезла бы, если бы проследить рождения в этой общине в течение столетия.

Регистры рождений, которые ведутся с осторожностью для обеспечения гражданского состояния граждан, могут служить для определения населения великой империи без прибегания к переписи ее жителей — операции трудоемкой и трудновыполнимой с точностью. Но для этого необходимо знать отношение населения к ежегодным рождениям. Самый точный способ получения этого отношения состоит, во-первых, в выборе в империи округов, распределенных почти равным образом по всей ее поверхности, чтобы сделать общий результат независимым от местных обстоятельств; во-вторых, в тщательном подсчете для данной эпохи жителей нескольких общин в каждом из этих округов; в-третьих, в определении на основании ведомостей рождений за несколько лет, предшествующих и последующих этой эпохе, среднего числа, соответствующего ежегодным рождениям. Это число, разделенное на число жителей, даст отношение ежегодных рождений к населению тем точнее, чем значительнее перепись. Правительство, убежденное в полезности подобной переписи, решило по моей просьбе распорядиться о ее проведении. В тридцати округах, распределенных равным образом по всей Франции, были выбраны общины, которые могли бы предоставить наиболее точную информацию. Их переписи дали 2 037 615 человек в качестве общего числа их жителей на 23 сентября 1802 года. Ведомости рождений в этих общинах за 1800, 1801 и 1802 годы дали:

Births | Marriages | Deaths
110312 | boys | 46037 | 103659 | men
105287 | girls |  | 99443 | women

Отношение населения к ежегодным рождениям составляет, таким образом, 28,352845; оно больше, чем оценивалось до настоящего времени. Умножая число ежегодных рождений во Франции на это отношение, мы получим население этого королевства. Но какова вероятность того, что население, определенное таким образом, не отклонится от истинного населения за пределы заданного предела? Решая эту задачу и применяя к ее решению предыдущие данные, я обнаружил, что, если предположить число ежегодных рождений во Франции равным 1 000 000, что доводит население до 28 352 845 жителей, это пари почти 300 000 против 1, что ошибка этого результата не составляет полмиллиона.

Отношение рождений мальчиков к рождениям девочек, которое предлагает предыдущая ведомость, составляет 22 к 21; а браки относятся к рождениям как 3 к 4.

В Париже крещения детей обоих полов немного отклоняются от отношения 22 к 21. С 1745 года, эпохи, когда начали различать полы в регистрах рождений, до конца 1784 года в этой столице было крещено 393 386 мальчиков и 377 555 девочек. Отношение этих двух чисел почти равно 25 к 24; по-видимому, в Париже существует особая причина, приближающая крещения обоих полов к равенству. Если мы применим к этому вопросу исчисление вероятностей, мы обнаружим, что это пари 238 к 1 в пользу существования этой причины, что достаточно для авторизации исследования. При размышлении мне показалось, что наблюдаемая разница заключается в том, что родители в сельской местности и провинциях, находя некоторую выгоду в содержании мальчиков дома, отправляли в Больницу для подкидышей в Париже их меньше относительно числа девочек, согласно отношению рождений обоих полов. Это подтверждается ведомостями регистров этой больницы. С начала 1745 года до конца 1809 года поступило 163 499 мальчиков и 159 405 девочек. Первое из этих чисел превышает второе лишь на 1/38, тогда как оно должно было превзойти его по меньшей мере на 1/24. Это подтверждает существование указанной причины, а именно: отношение рождений мальчиков к рождениям девочек в Париже составляет 22 к 21, если не принимать во внимание подкидышей.

Предыдущие результаты предполагают, что мы можем сравнить рождения с извлечением шаров из урны, содержащей бесконечное число белых и черных шаров, перемешанных так, что при каждом извлечении шансы на вытягивание должны быть одинаковыми для каждого шара; но возможно, что вариации одних и тех же сезонов в разные годы могут иметь некоторое влияние на ежегодное отношение рождений мальчиков к рождениям девочек. Бюро долгот Франции ежегодно публикует в своем ежегоднике таблицы ежегодного движения населения королевства. Уже опубликованные таблицы начинаются с 1817 года; в этом году и в пяти последующих годах родилось 2 962 361 мальчик и 2 781 997 девочек, что дает около 16/15 для отношения рождений мальчиков к рождениям девочек. Отношения каждого года мало варьируются от этого среднего результата; наименьшее отношение — это отношение 1822 года, где оно составляло лишь 17/16; наибольшее — 1817 года, когда оно составляло 15/14. Эти отношения заметно варьируются от отношения 22/21, найденного выше. Применяя к этому отклонению анализ вероятностей в гипотезе сравнения рождений с извлечением шаров из урны, мы обнаруживаем, что это едва ли вероятно. По-видимому, это указывает на то, что данная гипотеза, хотя и является близким приближением, не является строго точной. В числе рождений, которые мы только что указали, внебрачных детей 200 494 мальчика и 190 698 девочек. Отношение мужских и женских рождений в этом отношении составляло тогда 20/19, что меньше среднего отношения 16/15. Этот результат находится в том же смысле, что и результат рождений подкидышей; и, по-видимому, доказывает, что в классе внебрачных детей рождения обоих полов ближе к равенству, чем в классе законнорожденных детей. Разница климатов от севера до юга Франции, по-видимому, не влияет заметно на отношение рождений мальчиков и девочек. Тридцать самых южных округов дали 16/15 для этого отношения, такое же, как и для всей Франции.

Постоянство превосходства рождений мальчиков над девочками в Париже и Лондоне с тех пор, как они наблюдаются, показалось некоторым ученым доказательством Провидения, без которого они полагали, что нерегулярные причины, непрестанно нарушающие ход событий, должны были несколько раз сделать ежегодные рождения девочек превосходящими рождения мальчиков.

Но это доказательство — новый пример злоупотребления, которое так часто совершалось в отношении конечных причин, всегда исчезающих при тщательном изучении вопросов, когда у нас есть необходимые данные для их решения. Рассматриваемое постоянство есть результат регулярных причин, которые дают превосходство рождениям мальчиков и которые распространяют его на аномалии, обусловленные случаем, когда число ежегодных рождений значительно. Исследование вероятности того, что это постоянство сохранится в течение долгого времени, относится к той ветви анализа рисков, которая переходит от прошлых событий к вероятности будущих событий; и, принимая за основу рождения, наблюдавшиеся с 1745 по 1784 год, это пари почти 4 к 1, что в Париже ежегодные рождения мальчиков будут постоянно превосходить в течение столетия рождения девочек; таким образом, нет причин удивляться тому, что это происходило в течение полувека.

Возьмем другой пример развития постоянных отношений, которые события представляют по мере их умножения. Представим себе ряд урн, расположенных по кругу, каждая из которых содержит очень большое число белых и черных шаров; отношение белых шаров к черным в урнах изначально весьма различно и таково, например, что одна из этих урн содержит только белые шары, в то время как другая содержит только черные. Если вынуть шар из первой урны, чтобы положить его во вторую, и, встряхнув вторую урну, чтобы хорошо перемешать новый шар с остальными, вынуть шар, чтобы положить его в третью урну, и так далее до последней урны, из которой вынимается шар, чтобы положить его в первую, и если этот ряд возобновляется непрерывно, анализ вероятности показывает нам, что отношения белых шаров к черным в этих урнах в конечном итоге станут одинаковыми и равными отношению суммы всех белых шаров к сумме всех черных шаров, содержащихся в урнах. Таким образом, посредством этого регулярного способа изменения первоначальная нерегулярность этих отношений в конечном итоге исчезает, чтобы уступить место простейшему порядку. Теперь, если среди этих урн вставить новые, в которых отношение суммы белых шаров к сумме черных шаров, которые они содержат, отличается от предыдущего, продолжая неограниченно в совокупности урн извлечения, которые мы только что указали, простой порядок, установленный в старых урнах, будет сначала нарушен, и отношения белых шаров к черным шарам станут нерегулярными; но мало-помалу эта нерегулярность исчезнет, чтобы уступить место новому порядку, который в конечном итоге будет порядком равенства отношений белых шаров к черным шарам, содержащимся в урнах. Мы можем применить эти результаты ко всем комбинациям природы, в которых постоянные силы, которыми одушевлены их элементы, устанавливают регулярные способы действия, приспособленные для создания в самом сердце хаоса систем, управляемых восхитительными законами.

Явления, которые кажутся наиболее зависимыми от случая, представляют, таким образом, при умножении тенденцию к непрестанному приближению к фиксированным отношениям, таким образом, что если мы представим со всех сторон от каждого из этих отношений интервал, сколь угодно малый, вероятность того, что средний результат наблюдений попадет в этот интервал, в конечном итоге будет отличаться от достоверности лишь на величину, большую, чем заданная величина. Таким образом, посредством исчислений вероятностей, примененных к большому числу наблюдений, мы можем распознать существование этих отношений. Но прежде чем искать причины, необходимо, чтобы не быть введенным в заблуждение тщетными спекуляциями, убедиться, что они указаны вероятностью, которая не позволяет нам рассматривать их как аномалии, обусловленные случаем. Теория производящих функций дает очень простое выражение для этой вероятности, которое получается путем интегрирования произведения дифференциала величины, на которую результат, выведенный из большого числа наблюдений, отклоняется от истины, на константу, меньшую единицы, зависящую от природы задачи и возведенную в степень, показатель которой есть отношение квадрата этого отклонения к числу наблюдений. Интеграл, взятый между заданными пределами и разделенный на тот же интеграл, примененный к положительной и отрицательной бесконечности, выразит вероятность того, что отклонение от истины заключено между этими пределами. Таков общий закон вероятности результатов, указанных большим числом наблюдений.

ГЛАВА IX. ПРИМЕНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ.

Явления природы чаще всего окутаны таким множеством странных обстоятельств, и такое большое число возмущающих причин смешивает свое влияние, что их очень трудно распознать. Мы можем прийти к ним, только умножая наблюдения или опыты, так что странные эффекты в конечном итоге взаимно уничтожаются, а средние результаты выявляют эти явления и их различные элементы. Чем многочисленнее число наблюдений и чем меньше они варьируются между собой, тем ближе их результаты к истине. Мы выполняем это последнее условие выбором методов наблюдений, точностью инструментов и заботой, которую мы проявляем при тщательном наблюдении; затем мы определяем с помощью теории вероятностей наиболее выгодные средние результаты или те, которые дают наименьшее значение ошибки. Но этого недостаточно; необходимо далее оценить вероятность того, что ошибки этих результатов заключены в заданных пределах; без этого мы имеем лишь несовершенное знание степени полученной точности. Формулы, подходящие для этих вопросов, являются, таким образом, истинными улучшениями метода наук, и действительно важно добавить их к этому методу. Анализ, который они требуют, является самым деликатным и самым трудным в теории вероятностей; это один из главных объектов работы, которую я опубликовал по этой теории и в которой я пришел к формулам такого рода, обладающим замечательным преимуществом независимости от закона вероятности ошибок и включения только величин, данных самими наблюдениями и их выражениями.

Каждое наблюдение имеет в качестве аналитического выражения функцию элементов, которые мы хотим определить; и если эти элементы почти известны, эта функция становится линейной функцией их поправок. Приравнивая ее к самому наблюдению, образуется условное уравнение. Если у нас есть большое число подобных уравнений, мы объединяем их таким образом, чтобы получить столько нормальных уравнений, сколько имеется элементов, поправки которых мы затем определяем, решая эти уравнения. Но каков наиболее выгодный способ объединения условных уравнений для получения нормальных уравнений? Каков закон вероятностей ошибок, которым все еще подвержены элементы, которые мы из них извлекаем? Это проясняется для нас теорией вероятностей. Формирование нормального уравнения посредством условных уравнений сводится к умножению каждого из них на неопределенный множитель и объединению произведений; необходимо выбрать систему множителей, которая дает наименьшую возможность ошибки. Но очевидно, что если мы умножим возможные ошибки элемента на их соответствующие вероятности, наиболее выгодной системой будет та, в которой сумма этих произведений, взятых положительно, является минимумом; ибо положительная или отрицательная ошибка должна рассматриваться как потеря. Формируя, таким образом, эту сумму произведений, условие минимума определит систему множителей, которую целесообразно принять, или наиболее выгодную систему. Мы находим таким образом, что эта система есть система коэффициентов элементов в каждом условном уравнении; так что мы формируем первое нормальное уравнение, умножая соответственно каждое условное уравнение на его коэффициент первого элемента и объединяя все эти уравнения, умноженные таким образом. Мы формируем второе нормальное уравнение, применяя таким же образом коэффициенты второго элемента, и так далее. Таким образом, элементы и законы явлений, полученные в совокупности большого числа наблюдений, развиваются с наибольшей очевидностью.

Вероятность ошибок, которые каждый элемент все еще оставляет опасаться, пропорциональна числу, чей гиперболический логарифм равен единице, возведенному в степень, равную квадрату ошибки, взятой как отрицательная величина, и умноженному на постоянный коэффициент, который может рассматриваться как модуль вероятности ошибок; ибо, при неизменной ошибке, ее вероятность быстро убывает, когда первая возрастает; так что полученный элемент весит, если можно так выразиться, по направлению к истине тем больше, чем больше этот модуль. Я назвал бы по этой причине этот модуль весом элемента или результата. Этот вес является наибольшим возможным в системе множителей — наиболее выгодной; именно это дает этой системе превосходство над другими. Благодаря замечательной аналогии этого веса с весами тел, сравниваемых в их общем центре тяжести, получается, что если один и тот же элемент дан различными системами, каждая из которых состоит из большого числа наблюдений, наиболее выгодным, средним результатом их совокупности является сумма произведений каждого частного результата на его вес. Более того, общий вес результатов различных систем есть сумма их частных весов; так что вероятность ошибок среднего результата их совокупности пропорциональна числу, имеющему единицу в качестве гиперболического логарифма, возведенному в степень, равную квадрату ошибки, взятой как минус и умноженной на сумму весов. Каждый вес зависит, по правде, от закона вероятности ошибки каждой системы, и почти всегда этот закон неизвестен; но, к счастью, я смог исключить множитель, который его содержит, посредством суммы квадратов отклонений наблюдений в этой системе от их среднего результата. Было бы тогда желательно, чтобы завершить наше знание результатов, полученных совокупностью большого числа наблюдений, чтобы мы записывали рядом с каждым результатом вес, который ему соответствует; анализ предоставляет для этой цели как общие, так и простые методы. Когда мы таким образом получили экспоненту, которая представляет закон вероятности ошибок, мы будем иметь вероятность того, что ошибка результата заключена в заданных пределах, взяв в пределах интеграл произведения этой экспоненты на дифференциал ошибки и умножив его на квадратный корень из веса результата, деленный на окружность, диаметр которой равен единице. Отсюда следует, что для одной и той же вероятности ошибки результатов обратно пропорциональны квадратным корням из их весов, что служит для сравнения их относительной точности.

Чтобы применить этот метод с успехом, необходимо варьировать обстоятельства наблюдений или опытов таким образом, чтобы избежать постоянных причин ошибки. Необходимо, чтобы наблюдения были многочисленны, и тем более, чем больше элементов нужно определить; ибо вес среднего результата возрастает как число наблюдений, деленное на число элементов. Необходимо также, чтобы элементы следовали в этих наблюдениях разным курсом; ибо если бы курс двух элементов был точно таким же, что сделало бы их коэффициенты пропорциональными в условных уравнениях, эти элементы образовали бы лишь одну неизвестную величину, и было бы невозможно различить их по этим наблюдениям. Наконец, необходимо, чтобы наблюдения были точными; это условие, первое из всех, значительно увеличивает вес результата, выражение которого имеет в качестве делителя сумму квадратов отклонений наблюдений от этого результата. С этими предосторожностями мы сможем использовать предыдущий метод и измерить степень доверия, которого заслуживают результаты, выведенные из большого числа наблюдений.

Правило, которое мы только что дали для заключения условных уравнений, нормальных уравнений, сводится к тому, чтобы сделать минимумом сумму квадратов ошибок наблюдений; ибо каждое условное уравнение становится точным при подстановке в него наблюдения плюс его ошибка; и если мы извлечем из него выражение этой ошибки, легко увидеть, что условие минимума суммы квадратов этих выражений дает рассматриваемое правило. Это правило тем точнее, чем многочисленнее наблюдения; но даже в том случае, когда их число мало, кажется естественным использовать то же правило, которое во всех случаях предлагает простой способ получения без ощупывания поправок, которые мы стремимся определить. Оно служит далее для сравнения точности различных астрономических таблиц одной и той же звезды. Эти таблицы всегда могут быть предположены как приведенные к одной и той же форме, и тогда они отличаются лишь эпохами, средними движениями и коэффициентами аргументов; ибо если одна из них содержит коэффициент, который не встречается в других, ясно, что это сводится к предположению нуля в них в качестве коэффициента этого аргумента. Если теперь мы исправим эти таблицы совокупностью хороших наблюдений, они будут удовлетворять условию, что сумма квадратов ошибок должна быть минимумом; таблицы, которые по сравнению со значительным числом наблюдений ближе всего подходят к этому условию, заслуживают тогда предпочтения.

Именно в астрономии метод, объясненный выше, может быть использован с преимуществом. Астрономические таблицы обязаны поистине поразительной точностью, которой они достигли, точности наблюдений и теорий, а также использованию условных уравнений, которые заставляют содействовать большое число отличных наблюдений в исправлении одного и того же элемента. Но остается определить вероятность ошибок, которые эта поправка все еще оставляет опасаться; и метод, который я только что объяснил, позволяет нам распознать вероятность этих ошибок. Чтобы дать некоторые интересные его применения, я воспользовался огромной работой, которую г-н Бувар только что закончил по движениям Юпитера и Сатурна, из которых он сформировал очень точные таблицы. Он обсудил с величайшей тщательностью противостояния и квадратуры этих двух планет, наблюдавшиеся Брэдли и астрономами, которые следовали за ним вплоть до последних лет; он заключил поправки элементов их движения и их масс по сравнению с массой солнца, принятой за единицу. Его вычисления дают ему массу Сатурна, равную 3512-й части массы солнца. Применяя к ним мои формулы вероятности, я нахожу, что это пари 11 000 к одному, что ошибка этого результата не составляет 1/100 его значения, или то, что составляет почти то же самое — что после столетия новых наблюдений, добавленных к предыдущим и исследованных таким же образом, новый результат не будет отличаться на 1/100 от результата г-на Бувара. Этот мудрый астроном находит также массу Юпитера, равную 1071-й части солнца; и мой метод вероятности дает пари 1 000 000 к одному, что этот результат не ошибочен на 1/100.

Этот метод может быть использован снова с успехом в геодезических операциях. Мы определяем длину большой дуги на поверхности земли посредством триангуляции, которая зависит от базы, измеренной с точностью. Но какая бы точность ни была привнесена в измерение углов, неизбежные ошибки могут, накапливаясь, вызвать значительное отклонение значения дуги, заключенного из большого числа треугольников, от истины. Мы распознаем это значение, таким образом, лишь несовершенно, если вероятность того, что его ошибка заключена в заданных пределах, не может быть назначена. Ошибка геодезического результата есть функция ошибок углов каждого треугольника. Я дал в цитируемой работе общие формулы для получения вероятности значений одной или нескольких линейных функций большого числа частных ошибок, закон вероятности которых мы знаем; мы можем тогда посредством этих формул определить вероятность того, что ошибка геодезического результата содержится в назначенных пределах, каков бы ни был закон вероятности частных ошибок. Кроме того, более необходимо сделать себя независимыми от закона, поскольку самые простые законы сами по себе всегда бесконечно менее вероятны, видя бесконечное число тех, которые могут существовать в природе. Но неизвестный закон частных ошибок вводит в формулы неопределенность, которая не позволяет свести их к числам, если мы не способны исключить ее. Мы видели, что в астрономических вопросах, где каждое наблюдение предоставляет условное уравнение для получения элементов, мы исключаем эту неопределенность посредством суммы квадратов остатков, когда наиболее вероятные значения элементов были подставлены в каждое уравнение. Геодезические вопросы, не предлагая подобных уравнений, требуют поиска другого средства исключения. Величина, на которую сумма углов каждого наблюдаемого треугольника превышает два прямых угла плюс сферический избыток, предоставляет это средство. Таким образом, мы заменяем суммой квадратов этих величин сумму квадратов остатков условных уравнений; и мы можем назначить в числах вероятность того, что ошибка конечного результата ряда геодезических операций не превысит заданную величину. Но каков наиболее выгодный способ распределения между тремя углами каждого треугольника наблюдаемой суммы их ошибок? Анализ вероятностей делает очевидным, что каждый угол должен быть уменьшен на треть этой суммы, при условии, что вес геодезического результата будет наибольшим возможным, что делает ту же ошибку менее вероятной. Существует тогда большое преимущество в наблюдении трех углов каждого треугольника и их исправлении, как мы только что сказали. Простой здравый смысл указывает на это преимущество; но только исчисление вероятностей способно оценить его и сделать очевидным, что посредством этой поправки оно становится наибольшим возможным.

Чтобы убедиться в точности значения большой дуги, которая опирается на базу, измеренную на одном из ее концов, измеряют вторую базу к другому концу; и заключают из одной из этих баз длину другой. Если эта длина очень мало варьируется от наблюдения, есть все основания полагать, что цепь треугольников, которая соединяет эти базы, весьма близка к точной, а также значение большой дуги, которое из нее следует. Исправляют, таким образом, это значение, модифицируя углы треугольников таким образом, чтобы база была вычислена согласно измеренным базам. Но это может быть сделано бесконечным числом способов, среди которых предпочтителен тот, геодезический результат которого имеет наибольший вес, поскольку та же ошибка становится менее вероятной. Анализ вероятностей дает формулы для получения непосредственно наиболее выгодной поправки, которая следует из измерений нескольких баз и законов вероятности, которые делает умножение баз — законы, которые становятся очень быстро убывающими из-за этой множественности.

Обычно ошибки результатов, выведенных из большого числа наблюдений, являются линейными функциями частных ошибок каждого наблюдения. Коэффициенты этих функций зависят от природы задачи и от процесса, которому следовали для получения результатов. Наиболее выгодный процесс — это, очевидно, тот, в котором та же ошибка в результатах менее вероятна, чем согласно любому другому процессу. Применение исчисления вероятностей к натуральной философии состоит, таким образом, в аналитическом определении вероятности значений этих функций и в выборе их неопределенных коэффициентов таким образом, чтобы закон этой вероятности был наиболее быстро убывающим. Исключая, таким образом, из формул посредством данных вопроса множитель, который вводится почти всегда неизвестным законом вероятности частных ошибок, мы можем быть способны оценить численно вероятность того, что ошибки результатов не превышают заданную величину. Мы будем иметь таким образом все, что можно желать, касающееся результатов, выведенных из большого числа наблюдений.

Очень приближенные результаты могут быть получены другими соображениями. Предположим, например, что у кого-то есть тысяча одно наблюдение одной и той же величины; арифметическое среднее всех этих наблюдений есть результат, данный наиболее выгодным методом. Но можно было бы выбрать результат согласно условию, что сумма отклонений от каждого частного значения, все взятые положительно, должна быть минимумом. Кажется действительно естественным рассматривать как очень приближенный результат, который удовлетворяет этому условию. Легко увидеть, что если расположить значения, данные наблюдениями, согласно порядку величины, значение, которое займет среднее, выполнит предыдущее условие, и исчисление делает очевидным, что в случае бесконечного числа наблюдений оно совпало бы с истиной; но результат, данный наиболее выгодным методом, все же предпочтительнее.

Мы видим из того, что предшествует, что теория вероятностей не оставляет ничего произвольного в способе распределения ошибок наблюдений; она дает для этого распределения наиболее выгодные формулы, которые уменьшают насколько возможно ошибки, которых следует опасаться в результатах.

Рассмотрение вероятностей может служить для различения малых нерегулярностей небесных движений, окутанных ошибками наблюдений, и для возвращения к причине аномалий, наблюдаемых в этих движениях.

Сравнивая все наблюдения, именно Тихо Браге распознал необходимость применения к луне уравнения времени, отличного от того, которое было применено к солнцу и планетам. Именно совокупность большого числа наблюдений заставила Майера распознать, что коэффициент неравенства прецессии должен быть немного уменьшен для луны. Но поскольку это уменьшение, хотя и подтвержденное и даже увеличенное Мейсоном, не казалось вытекающим из всемирного тяготения, большинство астрономов пренебрегают им в своих вычислениях. Подчинив исчислению вероятностей значительное число лунных наблюдений, выбранных для этой цели и которые г-н Бувар согласился исследовать по моей просьбе, оно показалось мне указанным с такой сильной вероятностью, что я полагал, что причина его должна быть исследована. Я вскоре увидел, что это может быть только эллиптичность земного сфероида, пренебрегаемая до того времени в теории лунного движения как способная производить лишь незаметные члены. Я заключил, что эти члены становятся заметными посредством последовательных интегрирований дифференциальных уравнений. Я определил тогда эти члены посредством особого анализа и обнаружил сначала неравенство лунного движения по широте, которое пропорционально синусу долготы луны, чего ни один астроном ранее не подозревал. Я распознал тогда посредством этого неравенства, что другое существует в лунном движении по долготе, которое производит уменьшение, наблюдаемое Майером в уравнении прецессии, применимом к луне. Величина этого уменьшения и коэффициент предыдущего неравенства по широте весьма подходят для фиксации сплюснутости земли. Сообщив мои исследования г-ну Бургу, который был занят в то время совершенствованием таблиц луны посредством сравнения всех хороших наблюдений, я попросил его определить с особой тщательностью эти две величины. По весьма замечательному согласию значения, которые он нашел, дают земле ту же сплюснутость, 1/305, которая мало отличается от средней, выведенной из измерений градусов меридиана и маятника; но те, рассматриваемые с точки зрения влияния ошибок наблюдений и возмущающих причин в этих измерениях, не показались мне точно определенными этими лунными неравенствами.

Именно опять-таки посредством рассмотрения вероятностей я распознал причину векового уравнения луны. Современные наблюдения этой звезды, сравненные с древними затмениями, указали астрономам на ускорение в лунном движении; но геометры, и в частности Лагранж, тщетно искавшие в возмущениях, которые это движение испытывало, члены, от которых зависит это ускорение, отвергают его. Внимательное изучение древних и современных наблюдений и промежуточных затмений, наблюдаемых арабами, убедило меня, что оно указано с большой вероятностью. Я взялся тогда опять с этой точки зрения за лунную теорию и распознал, что вековое уравнение луны обусловлено действием солнца на этот спутник, соединенным с вековым изменением эксцентриситета земной орбиты; это привело меня к открытию вековых уравнений движений узлов и перигеев лунной орбиты, каковые уравнения не были даже подозреваемы астрономами. Весьма замечательное согласие этой теории со всеми древними и современными наблюдениями привело ее к очень высокой степени очевидности.

Исчисление вероятностей привело меня подобным образом к причине великих нерегулярностей Юпитера и Сатурна. Сравнивая современные наблюдения с древними, Галлей нашел ускорение в движении Юпитера и замедление в движении Сатурна. Чтобы примирить наблюдения, он свел движения к двум вековым уравнениям противоположных знаков, возрастающим как квадраты времен, прошедших с 1700 года. Эйлер и Лагранж подвергли анализу изменения, которые взаимное притяжение этих двух планет должно производить в этих движениях. Они нашли при этом вековые уравнения; но их результаты были столь различны, что один из двух по крайней мере должен быть ошибочным. Я решил тогда взяться опять за эту важную проблему небесной механики и распознал инвариантность средних планетных движений, что аннулировало вековые уравнения, введенные Галлеем в таблицы Юпитера и Сатурна. Таким образом, остаются, чтобы объяснить великую нерегулярность этих планет, только притяжения комет, к которым многие астрономы эффективно прибегали, или существование нерегулярности в течение долгого периода, произведенной в движениях двух планет их взаимным действием и затронутой противоположными знаками для каждой из них. Теорема, которую я нашел в отношении неравенств такого рода, сделала это неравенство весьма вероятным. Согласно этой теореме, если движение Юпитера ускоряется, движение Сатурна замедляется, что уже соответствовало тому, что Галлей заметил; более того, ускорение Юпитера, вытекающее из той же теоремы, относится к замедлению Сатурна весьма близко в отношении вековых уравнений, предложенных Галлеем. Рассматривая средние движения Юпитера и Сатурна, я был способен легко распознать, что два раза движение Юпитера отличается лишь на очень малую величину от пяти раз движения Сатурна. Период нерегулярности, которая имела бы в качестве аргумента эту разницу, был бы около девяти столетий. Действительно, ее коэффициент был бы порядка кубов эксцентриситетов орбит; но я знал, что в силу последовательных интегрирований она приобретала в качестве делителя квадрат очень малого множителя времени в аргументе этого неравенства, который способен дать ей большое значение; существование этого неравенства показалось мне тогда весьма вероятным. Следующее наблюдение увеличило тогда его вероятность. Предполагая его аргумент равным нулю к эпохе наблюдений Тихо Браге, я увидел, что Галлей должен был найти посредством сравнения современных с древними наблюдениями изменения, которые он указал; в то время как сравнение современных наблюдений между собой должно предлагать противоположные изменения, подобные тем, которые Ламберт заключил из этого сравнения. Я не колебался тогда вовсе предпринять этот долгий и утомительный расчет, необходимый, чтобы убедиться в этом неравенстве. Оно было полностью подтверждено результатом этого расчета, который, более того, заставил меня распознать большое число других неравенств, совокупность которых склонила таблицы Юпитера и Сатурна к точности тех же наблюдений.

Именно опять-таки посредством исчисления вероятностей я распознал замечательный закон средних движений трех первых спутников Юпитера, согласно которому средняя долгота первого минус три раза долгота второго плюс два раза долгота третьего строго равна полуокружности. Приближение, с которым средние движения этих звезд удовлетворяют этому закону с момента их открытия, указывает на его существование с чрезвычайной вероятностью. Я искал тогда причину его в их взаимном действии. Тщательное изучение этого действия убедило меня, что было достаточно, если в начале отношения их средних движений приближались к этому закону в определенных пределах, потому что их взаимное действие установило и поддерживало его строго. Таким образом, эти три тела будут уравновешивать друг друга вечно в пространстве согласно предыдущему закону, если только странные причины, такие как кометы, не изменят внезапно их движения вокруг Юпитера.

Соответственно, видно, как необходимо быть внимательным к указаниям природы, когда они являются результатом большого числа наблюдений, хотя в других отношениях они могут быть необъяснимы известными средствами. Чрезвычайная трудность проблем, относящихся к системе мира, вынудила геометров прибегнуть к приближению, которое всегда оставляет место для опасения, что пренебрегаемые величины могут иметь заметное влияние. Когда они были предупреждены об этом влиянии наблюдениями, они прибегали к своему анализу; исправляя его, они всегда находили причину наблюдаемых аномалий; они определяли законы и часто они предвосхищали наблюдения, обнаруживая неравенства, которые они еще не указывали. Таким образом, можно сказать, что природа сама содействовала аналитическому совершенствованию теорий, основанных на принципе всемирного тяготения; и это, на мой взгляд, одно из самых сильных доказательств истины этого восхитительного принципа.

В случаях, которые я только что рассмотрел, аналитическое решение вопроса изменило вероятность причин в достоверность. Но чаще всего это решение невозможно, и остается только увеличивать все более эту вероятность. Посреди многочисленных и неисчислимых модификаций, которые действие причин получает тогда от странных обстоятельств, эти причины сохраняют всегда с наблюдаемыми эффектами надлежащие отношения, чтобы сделать их распознаваемыми и верифицировать их существование. Определяя эти отношения и сравнивая их с большим числом наблюдений, если обнаруживается, что они постоянно удовлетворяют им, вероятность причин может возрасти до точки, равной вероятности фактов, в отношении которых нет сомнений. Исследование этих отношений причин к их эффектам не менее полезно в натуральной философии, чем прямое решение проблем, будь то для верификации реальности этих причин или для определения законов из их эффектов; поскольку оно может быть использовано в большом числе вопросов, прямое решение которых невозможно, оно заменяет его наиболее выгодным образом. Я обсужу здесь применение, которое я сделал из него к одному из самых интересных явлений природы, приливу и отливу моря.

Плиний дал описание этого явления, примечательное своей точностью, и из него видно, что древние наблюдали, что приливы каждого месяца бывают наибольшими вблизи сизигий и наименьшими вблизи квадратур; что они выше в перигеях, чем в апогеях Луны, и выше в равноденствия, чем в солнцестояния. Они заключили из этого, что данное явление обусловлено воздействием Солнца и Луны на море. В предисловии к своей работе «De Stella Martis» Кеплер допускает существование тенденции вод моря к Луне; но, не зная закона этой тенденции, он смог дать по этому поводу лишь вероятное представление. Ньютон превратил вероятность этой идеи в достоверность, связав ее со своим великим принципом всемирного тяготения. Он дал точное выражение сил притяжения, которые вызывали прилив и отлив моря; и для определения эффектов он предположил, что море в каждый момент принимает положение равновесия, соответствующее этим силам. Таким образом он объяснил основные явления приливов; но из этой теории следовало, что в наших портах два прилива одного и того же дня были бы очень неравными, если бы Солнце и Луна имели большое склонение. В Бресте, например, вечерний прилив в сизигии солнцестояний был бы примерно в восемь раз больше утреннего прилива, что, безусловно, противоречит наблюдениям, доказывающим, что эти два прилива почти равны. Этот результат ньютоновской теории мог быть связан с предположением, что море в каждый момент находится в положении равновесия, — предположением, которое вовсе не является допустимым. Но исследование истинной фигуры моря представляет большие трудности. Опираясь на открытия, которые геометры только что сделали в теории движения жидкостей и в исчислении конечных разностей, я предпринял это исследование и вывел дифференциальные уравнения движения моря, предположив, что оно покрывает всю Землю. Приблизившись таким образом к природе, я получил удовлетворение, увидев, что мои результаты приближаются к наблюдениям, особенно в отношении небольшой разницы, существующей в наших портах между двумя приливами сизигий солнцестояний одного и того же дня. Я обнаружил, что они были бы равны, если бы море повсюду имело одинаковую глубину; я обнаружил далее, что, придавая этой глубине удобные значения, можно было увеличить высоту приливов в порту в соответствии с наблюдениями. Но эти исследования, несмотря на их общность, вовсе не удовлетворили большим различиям, которые даже соседние порты представляют в этом отношении и которые доказывают влияние местных обстоятельств. Невозможность узнать эти обстоятельства, нерегулярность бассейна морей и невозможность интегрирования соответствующих уравнений в частных производных вынудили меня восполнить этот недостаток методом, который я указал выше. Затем я попытался определить наибольшие возможные отношения между силами, которые воздействуют на все молекулы моря, и их эффектами, наблюдаемыми в наших портах. Для этого я воспользовался следующим принципом, который может быть применен ко многим другим явлениям.

«Состояние системы тел, в которой первоначальные условия движения исчезли из-за сопротивлений, встречаемых этим движением, является периодическим, как и силы, которые его оживляют».

Соединив этот принцип с принципом сосуществования очень малых колебаний, я нашел выражение высоты приливов, произвольные величины которого содержат влияние местных обстоятельств каждого порта и сведены к наименьшему возможному числу; необходимо лишь сравнить его с большим количеством наблюдений.

По приглашению Академии наук в начале прошлого века в Бресте были проведены наблюдения за приливами, которые продолжались в течение шести лет подряд. Положение этого порта очень благоприятно для такого рода наблюдений; он сообщается с морем через канал, который впадает в обширный рейд, в глубине которого и был построен порт. Нерегулярности моря распространяются таким образом лишь в малой степени в порт, точно так же, как колебания, которые нерегулярное движение судна производит в барометре, уменьшаются благодаря сужению, сделанному в трубке этого инструмента. Более того, поскольку приливы в Бресте значительны, случайные вариации, вызванные ветрами, лишь слабы; точно так же мы замечаем в наблюдениях этих приливов, как бы мало мы их ни умножали, большую регулярность, которая побудила меня предложить правительству заказать в этом порту новую серию наблюдений приливов, продолженную в течение периода движения узлов лунной орбиты. Это было сделано. Наблюдения начались 1 июня 1806 года; и с этого времени они проводились каждый день без перерыва. Я обязан неутомимому усердию г-на Бувара всем, что касается астрономии, и огромными расчетами, которых потребовало сравнение моего анализа с наблюдениями. Было использовано около шести тысяч наблюдений, сделанных в течение 1807 года и пятнадцати последующих лет. Из этого сравнения следует, что мои формулы представляют с замечательной точностью все разновидности приливов, относящиеся к удалению Луны от Солнца, к склонению этих светил, к их расстояниям от Земли и к законам изменения при максимуме и минимуме каждого из этих элементов. Из этого согласия вытекает вероятность того, что прилив и отлив моря обусловлены притяжением Солнца и Луны, настолько приближающаяся к достоверности, что она не должна оставлять места для разумных сомнений. Она превращается в достоверность, когда мы учитываем, что это притяжение выводится из закона всемирного тяготения, доказанного всеми небесными явлениями.

Воздействие Луны на море более чем вдвое превышает воздействие Солнца. Ньютон и его преемники при развитии этого действия обращали внимание только на члены, деленные на куб расстояния от Луны до Земли, полагая, что эффекты, обусловленные последующими членами, должны быть незначительными. Но исчисление вероятностей проясняет нам, что малейшие эффекты регулярных причин могут проявиться в результатах большого числа наблюдений, расположенных в порядке, наиболее подходящем для их выявления. Это исчисление снова определяет их вероятность и то, до какой степени необходимо умножать наблюдения, чтобы сделать ее очень большой. Применяя его к многочисленным наблюдениям, обсужденным г-ном Буваром, я признал, что в Бресте воздействие Луны на море больше в полнолуния, чем в новолуния, и больше, когда Луна находится в южном склонении, чем когда она в северном, — явления, которые могут быть результатом только членов лунного воздействия, деленных на четвертую степень расстояния от Луны до Земли.

Чтобы достичь океана, воздействие Солнца и Луны проходит через атмосферу, которая, следовательно, должна ощущать его влияние и подвергаться движениям, подобным движениям моря.

Эти движения производят в барометре периодические колебания. Анализ прояснил мне, что они незначительны в наших климатических условиях. Но поскольку местные обстоятельства значительно увеличивают приливы в наших портах, я снова задался вопросом, не сделали ли подобные обстоятельства ощутимыми эти колебания барометра. Для этого я воспользовался метеорологическими наблюдениями, которые проводились каждый день в течение многих лет в Королевской обсерватории. Высота барометра и термометра наблюдается там в девять часов утра, в полдень, в три часа дня и в одиннадцать часов вечера. Г-н Бувар действительно пожелал рассмотреть наблюдения восьми лет, прошедших с 1 октября 1815 года по 1 октября 1823 года, по регистрам. Располагая наблюдения в порядке, наиболее подходящем для выявления лунного атмосферного прилива в Париже, я нахожу лишь одну восемнадцатую миллиметра для величины соответствующего колебания барометра. Именно это особенно заставило нас почувствовать необходимость в методе определения вероятности результата, и без этого метода приходится выдавать за законы природы результаты нерегулярных причин, что часто случалось в метеорологии. Этот метод, примененный к предыдущему результату, показывает его неопределенность, несмотря на большое количество использованных наблюдений, которые необходимо было бы увеличить в десять раз, чтобы получить достаточно вероятный результат.

Принцип, который служит основой для моей теории приливов, может быть распространен на все эффекты случая, к которым присоединяются переменные причины согласно регулярным законам. Действие этих причин производит в средних результатах большого числа эффектов разновидности, которые следуют тем же законам и которые можно распознать с помощью анализа вероятностей. По мере того как эти эффекты умножаются, эти разновидности проявляются с постоянно возрастающей вероятностью, которая приближалась бы к достоверности, если бы число эффектов результатов стало бесконечным. Эта теорема аналогична той, которую я уже развил относительно действия постоянных причин. Всякий раз, следовательно, когда причина, чей прогресс регулярен, может оказывать влияние на род событий, мы можем попытаться обнаружить ее влияние, умножая наблюдения и располагая их в порядке, наиболее подходящем для его выявления. Когда это влияние, по-видимому, проявляется, анализ вероятностей определяет вероятность его существования и его интенсивности; так, изменение температуры от дня к ночи, изменяющее давление атмосферы и, следовательно, высоту барометра, заставляет думать, что умноженные наблюдения этих высот должны показать влияние солнечного тепла. Действительно, давно было признано на экваторе, где это влияние, по-видимому, является наибольшим, небольшое суточное изменение высоты барометра, максимум которого приходится примерно на девять часов утра, а минимум — примерно на три часа дня. Второй максимум приходится примерно на одиннадцать часов вечера, а второй минимум — примерно на четыре часа утра. Ночные колебания меньше дневных, величина которых составляет около двух миллиметров. Непостоянство нашего климата не лишило этой вариации наших наблюдателей, хотя она может быть менее ощутимой, чем в тропиках. Г-н Рамон распознал и определил ее в Клермоне, главном городе округа Пюи-де-Дом, с помощью серии точных наблюдений, сделанных в течение нескольких лет; он даже обнаружил, что она меньше в зимние месяцы, чем в другие месяцы. Многочисленные наблюдения, которые я обсудил, чтобы оценить влияние притяжений Солнца и Луны на барометрические высоты в Париже, послужили мне для определения их суточного изменения. Сравнивая высоты в девять часов утра с высотами тех же дней в три часа дня, это изменение проявляется с такой очевидностью, что его среднее значение каждый месяц было постоянно положительным для каждого из семидесяти двух месяцев с 1 января 1817 года по 1 января 1823 года; его среднее значение за эти семьдесят два месяца составило почти 0,8 миллиметра, что немного меньше, чем в Клермоне, и намного меньше, чем на экваторе. Я признал, что средний результат суточных изменений барометра с 9 часов утра до 3 часов дня составил всего 0,5428 миллиметра в три месяца ноября, декабря, января и что он поднялся до 1,0563 миллиметра в три последующих месяца, что совпадает с наблюдениями г-на Рамона. Другие месяцы не предлагают ничего подобного.

Чтобы применить к этим явлениям исчисление вероятностей, я начал с определения закона вероятности аномалий суточного изменения, обусловленных случаем. Применив его затем к наблюдениям этого явления, я обнаружил, что это пари более чем 300 000 против одного, что его произвела регулярная причина. Я не стремлюсь определить эту причину; я довольствуюсь констатацией ее существования. Период суточного изменения, регулируемый солнечными сутками, очевидно указывает на то, что это изменение обусловлено действием Солнца. Крайняя малость притягательного действия Солнца на атмосферу доказана малостью эффектов, обусловленных объединенными притяжениями Солнца и Луны. Значит, именно действием своего тепла Солнце производит суточное изменение барометра; но невозможно подвергнуть исчислению эффекты его действия на высоту барометра и на ветры. Суточное изменение магнитной стрелки, безусловно, является результатом действия Солнца. Но действует ли это светило здесь, как и при суточном изменении барометра, своим теплом или своим влиянием на электричество и на магнетизм, или, наконец, соединением этих влияний? Длинная серия наблюдений, сделанных в разных странах, позволит нам это понять.

Одним из самых замечательных явлений системы мира является то, что все движения вращения и обращения планет и спутников происходят в направлении вращения Солнца и примерно в той же плоскости его экватора. Столь замечательное явление не является эффектом случая: оно указывает на общую причину, которая определила все его движения. Чтобы получить вероятность, с которой эта причина указана, мы заметим, что планетная система, какой мы ее знаем сегодня, состоит из одиннадцати планет и по меньшей мере восемнадцати спутников, если мы припишем, вслед за Гершелем, шесть спутников планете Уран. Были распознаны движения вращения Солнца, шести планет, Луны, спутников Юпитера, кольца Сатурна и одного из его спутников. Эти движения образуют вместе с движениями обращения совокупность сорока трех движений, направленных в одну и ту же сторону; но с помощью анализа вероятностей обнаруживается, что это пари более чем 4 000 000 000 000 против одного, что это расположение не является результатом случая; это образует вероятность, действительно превосходящую вероятность исторических событий, в отношении которых не существует никаких сомнений. Мы должны, следовательно, верить по крайней мере с равной уверенностью, что первоначальная причина направила планетные движения, особенно если мы учтем, что наклон наибольшего числа этих движений к солнечному экватору очень мал.

Другим столь же замечательным явлением солнечной системы является малая степень эксцентриситета орбит планет и спутников, в то время как орбиты комет очень вытянуты, причем орбиты системы не предлагают никаких промежуточных оттенков между большим и малым эксцентриситетом. Мы снова вынуждены признать здесь эффект регулярной причины; случай, безусловно, не придал почти круговую форму орбитам всех планет и их спутников; значит, причина, которая определила движения этих тел, сделала их почти круговыми. Необходимо, опять же, чтобы большие эксцентриситеты орбит комет были результатом существования этой причины, не повлияв на направление их движений; ибо обнаружено, что существует почти столько же ретроградных комет, сколько и прямых, и что средний наклон всех их орбит к эклиптике очень близок к половине прямого угла, как это и должно быть, если бы тела были брошены наудачу.

Какова бы ни была природа рассматриваемой причины, поскольку она произвела или направила движение планет, необходимо, чтобы она охватила все тела и учла все расстояния, которые их разделяют; это могла быть только жидкость огромного протяжения. Поэтому, чтобы придать им в одну и ту же сторону почти круговое движение вокруг Солнца, необходимо, чтобы эта жидкость окружала это светило как атмосфера. Рассмотрение планетных движений приводит нас, следовательно, к мысли, что в силу чрезмерного тепла атмосфера Солнца была первоначально распространена за пределы орбит всех планет и что она постепенно сократилась до своих нынешних пределов.

В первоначальном состоянии, в котором мы представляем себе Солнце, оно напоминало туманности, которые телескоп показывает нам состоящими из ядра, более или менее блестящего, окруженного туманностью, которая, конденсируясь на поверхности, должна превратить его когда-нибудь в звезду. Если представить себе по аналогии все звезды, сформированные таким образом, можно вообразить их предшествующее состояние туманности, самой по себе предшествуемой другими звездами, в которых туманная материя была все более и более диффузной, а ядро было все менее и менее светящимся и плотным. Возвращаясь, следовательно, как можно дальше назад, можно было бы прийти к туманности настолько диффузной, что едва можно было бы заподозрить ее существование.

Таково действительно первое состояние туманностей, которые Гершель наблюдал с особым вниманием с помощью своих мощных телескопов и в которых он проследил прогресс конденсации, не в одной-единственной, эти стадии не становятся для нас ощутимыми иначе как через столетия, а в их совокупности, примерно так же, как можно в обширном лесу проследить рост деревьев по особям разных возрастов, которые содержит лес. Он наблюдал с самого начала туманную материю, разбросанную в разных массах в различных частях небес, которые она занимает в большом объеме. Он видел в некоторых из этих масс эту материю слегка конденсированной вокруг одной или нескольких слабо светящихся туманностей. В других туманностях эти ядра сияют, более того, пропорционально туманности, которая их окружает. Атмосферы каждого ядра, становясь разделенными последующей конденсацией, приводят к многократным туманностям, образованным блестящими ядрами, очень близкими и окруженными каждое атмосферой; иногда туманная материя, конденсируясь равномерным образом, производила туманности, которые называются планетарными. Наконец, большая степень конденсации превращает все эти туманности в звезды. Туманности, классифицированные согласно этому философскому взгляду, указывают с чрезвычайной вероятностью на их будущее превращение в звезды и на предшествующее состояние туманности существующих звезд. Следующие соображения приходят на помощь доказательствам, извлеченным из этих аналогий.

Долгое время особое расположение определенных звезд, видимых невооруженным глазом, поражало внимание философских наблюдателей. Митчел уже заметил, насколько невероятно, чтобы звезды Плеяд, например, были ограничены в узком пространстве, которое их содержит, только случайностями, и он заключил из этого, что эта группа звезд и подобные группы, которые представляет нам небо, являются результатами первоначальной причины или общего закона природы. Эти группы являются необходимым результатом конденсации туманностей в нескольких ядрах; очевидно, что туманная материя, непрерывно притягиваемая различными ядрами, должна со временем образовать группу звезд, равную группе Плеяд. Конденсация туманностей в двух ядрах образует подобным образом очень близкие звезды, вращающиеся одна вокруг другой, равные тем, чьи соответствующие движения Гершель уже рассматривал. Таковы, далее, 61-я Лебедя и следующая за ней, в которых Бессель только что распознал особые движения, настолько значительные и настолько мало отличающиеся, что близость этих звезд друг к другу и их движение вокруг общего центра тяжести не должны оставлять сомнений. Таким образом, спускаются постепенно от конденсации туманной материи к рассмотрению Солнца, окруженного некогда обширной атмосферой, рассмотрению, к которому возвращаются, как было видно, путем исследования явлений солнечной системы. Столь замечательный случай придает существованию этого предшествующего состояния Солнца вероятность, сильно приближающуюся к достоверности.

Но как солнечная атмосфера определила движения вращения и обращения планет и спутников? Если бы эти тела глубоко проникли в атмосферу, ее сопротивление заставило бы их упасть на Солнце; тогда приходишь к мысли с большой вероятностью, что планеты были сформированы на последовательных пределах солнечной атмосферы, которая, сокращаясь от холода, должна была оставить в плоскости своего экватора зоны паров, которые взаимное притяжение их молекул превратило в различные сфероиды. Спутники были подобным образом сформированы атмосферами их соответствующих планет.

Я подробно развил в своем «Изложении системы мира» эту гипотезу, которая, как мне кажется, удовлетворяет всем явлениям, которые представляет нам эта система. Я ограничусь здесь рассмотрением того, что угловая скорость вращения Солнца и планет, ускоряемая последовательной конденсацией их атмосфер на их поверхностях, должна превосходить угловую скорость обращения ближайших тел, которые вращаются вокруг них. Наблюдение действительно подтвердило это в отношении планет и спутников, и даже в отношении кольца Сатурна, продолжительность обращения которого составляет 0,438 суток, в то время как продолжительность вращения Сатурна составляет 0,427 суток.

В этой гипотезе кометы являются чуждыми планетной системе. Связывая их формирование с формированием туманностей, их можно рассматривать как маленькие туманности с ядрами, блуждающие от системы к солнечной системе и сформированные конденсацией туманной материи, разбросанной в таком большом изобилии во Вселенной. Кометы были бы таким образом, по отношению к нашей системе, как аэролиты по отношению к Земле, для которой они казались бы чуждыми. Когда эти светила становятся видимыми для нас, они предлагают настолько совершенное сходство с туманностями, что их часто путают с ними; и только по их движению или по знанию всех туманностей, ограниченных той частью небес, где они появляются, нам удается их различить. Это предположение объясняет счастливым образом большое расширение, которое принимают головы и хвосты комет по мере того, как они приближаются к Солнцу, и крайнюю разреженность этих хвостов, которые, несмотря на свою огромную глубину, вовсе не ослабляют заметно свет звезд, на которые мы смотрим сквозь них.

Когда маленькие туманности попадают в ту часть пространства, где притяжение Солнца является преобладающим и которую мы назовем сферой активности этого светила, оно заставляет их описывать эллиптические или гиперболические орбиты. Но их скорость, будучи одинаково возможной во всех направлениях, они должны двигаться безразлично во всех смыслах и при всех наклонах эклиптики, что соответствует тому, что наблюдалось.

Большой эксцентриситет кометных орбит вытекает опять же из предыдущей гипотезы. Действительно, если эти орбиты эллиптические, они очень вытянуты, поскольку их большие оси по меньшей мере равны радиусу сферы активности Солнца. Но эти орбиты могут быть гиперболическими; и если оси этих гипербол не очень велики по отношению к среднему расстоянию от Солнца до Земли, движение комет, которые их описывают, будет казаться заметно гиперболическим. Однако из ста комет, элементы которых у нас уже есть, ни одна не показалась определенно движущейся по гиперболе; необходимо, следовательно, чтобы шансы, которые дают заметную гиперболу, были чрезвычайно редкими по отношению к противоположным шансам.

Кометы настолько малы, что для того, чтобы стать видимыми, их перигелийное расстояние должно быть незначительным. До настоящего времени это расстояние превышало лишь дважды диаметр земной орбиты, и чаще всего оно было ниже радиуса этой орбиты. Задумывается, что для того, чтобы приблизиться так близко к Солнцу, их скорость в момент входа в его сферу активности должна иметь величину и направление, ограниченные узкими пределами. Определяя с помощью анализа вероятностей отношение шансов, которые в этих пределах дают заметную гиперболу, к шансам, которые дают орбиту, которую можно спутать с параболой, я обнаружил, что это пари по меньшей мере 6000 против одного, что туманность, которая проникает в активность Солнца таким образом, чтобы быть наблюдаемой, опишет либо очень вытянутый эллипс, либо гиперболу. По величине своей оси последняя будет заметно спутана с параболой в той части, которая наблюдается; значит, неудивительно, что до этого времени гиперболические движения не были распознаны.

Притяжение планет и, возможно, далее, сопротивление эфирных центров должны были изменить многие кометные орбиты в эллипсы, большая ось которых меньше радиуса сферы активности Солнца, что увеличивает шансы эллиптических орбит. Мы можем верить, что это изменение произошло с кометой 1759 года и с кометой, продолжительность которой составляет всего двенадцатьсот дней и которая будет появляться без конца в этом коротком интервале, если только испарение, которое она встречает при каждом своем возвращении к перигелию, не закончит тем, что сделает ее невидимой.

Мы можем далее, с помощью анализа вероятностей, проверить существование или влияние определенных причин, действие которых, как полагают, существует на организованных существах. Из всех инструментов, которые мы можем использовать, чтобы распознать незаметные агенты природы, самыми чувствительными являются нервы, особенно когда особые причины увеличивают их чувствительность. Именно с их помощью было обнаружено слабое электричество, которое развивает контакт двух гетерогенных металлов; это открыло обширное поле для исследований физиков и химиков. Сингулярные явления, которые возникают из-за крайней чувствительности нервов у некоторых индивидуумов, породили различные мнения о существовании нового агента, который был назван животным магнетизмом, о действии на обычный магнетизм и о влиянии Солнца и Луны при некоторых нервных заболеваниях, и, наконец, о впечатлениях, которые заставляют чувствовать близость металлов или проточной воды. Естественно думать, что действие этих причин очень слабое и что оно может быть легко нарушено случайными обстоятельствами; поэтому, поскольку в некоторых случаях оно вовсе не проявляется, его существование не следует отрицать. Мы настолько далеки от того, чтобы распознать все агенты природы и их различные способы действия, что было бы нефилософски отрицать явления только потому, что они необъяснимы в нынешнем состоянии наших знаний. Но мы должны изучать их с вниманием тем более скрупулезным, чем более трудным кажется их допустить; и именно здесь исчисление вероятностей становится незаменимым при определении того, до какой именно точки необходимо умножать наблюдения или опыты, чтобы получить в пользу агентов, которые они указывают, вероятность, превосходящую причины, которые могут быть получены в другом месте для того, чтобы их не допускать.

Исчисление вероятностей может сделать ощутимыми преимущества и неудобства методов, применяемых в спекулятивных науках. Так, чтобы распознать лучшее из методов лечения, используемых при исцелении болезни, достаточно испытать каждое из них на равном количестве пациентов, сделав все условия точно одинаковыми; превосходство наиболее выгодного лечения будет проявляться все больше и больше по мере того, как число будет увеличиваться; и исчисление сделает очевидной соответствующую вероятность его преимущества и отношение, согласно которому оно превосходит другие.

ГЛАВА X. ПРИМЕНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К МОРАЛЬНЫМ НАУКАМ.

Мы только что видели преимущества анализа вероятностей в исследовании законов природных явлений, причины которых неизвестны или настолько сложны, что их результаты не могут быть подвергнуты исчислению. Это случай почти всех предметов моральных наук. Так много непредвиденных причин, либо скрытых, либо неощутимых, влияют на человеческие институты, что невозможно судить a priori о результатах. Серия событий, которые приносит время, развивает эти результаты и указывает средства исправления тех, которые являются вредными. Мудрые законы часто были сделаны в этом отношении; но поскольку мы пренебрегли сохранением мотивов, многие были отменены как бесполезные, и тот факт, что досадные опыты заставили вновь почувствовать потребность, должен был восстановить их.

Очень важно вести в каждой отрасли государственного управления точный реестр результатов, которые произвели различные использованные средства и которые являются столь многими опытами, сделанными в большом масштабе правительствами. Давайте применим к политическим и моральным наукам метод, основанный на наблюдении и на исчислении, метод, который так хорошо послужил нам в естественных науках. Давайте не будем оказывать ни в малейшей степени бесполезное и часто опасное сопротивление неизбежным эффектам прогресса знаний; но давайте изменять лишь с крайней осмотрительностью наши институты и обычаи, к которым мы уже так долго приспосабливались. Мы должны хорошо знать по опыту прошлого трудности, которые они представляют; но мы невежественны в отношении степени зол, которые их изменение может произвести. В этом невежестве теория вероятности направляет нас избегать всякого изменения; особенно необходимо избегать внезапных изменений, которые в моральном мире, так же как и в физическом мире, никогда не действуют без большой потери жизненной силы.

Уже исчисление вероятностей было применено с успехом к нескольким предметам моральных наук. Я представлю здесь основные результаты.

ГЛАВА XI. О ВЕРОЯТНОСТЯХ СВИДЕТЕЛЬСТВ.

Большинство наших мнений основано на вероятности доказательств, поэтому действительно важно подвергнуть ее исчислению. Вещи, это правда, часто становятся невозможными из-за трудности оценки правдивости свидетелей и из-за большого числа обстоятельств, которые сопровождают деяния, которые они подтверждают; но можно в нескольких случаях разрешить задачи, которые имеют много аналогии с вопросами, которые предложены и чьи решения могут рассматриваться как подходящие приближения, чтобы направлять и защищать нас от ошибок и опасностей ложных рассуждений, которым мы подвержены. Приближение такого рода, когда оно хорошо сделано, всегда предпочтительнее самых благовидных рассуждений. Давайте попробуем тогда дать некоторые общие правила для его получения.

Одиночный номер был вытянут из урны, которая содержит тысячу их. Свидетель этого вытягивания объявляет, что вытянут номер 79; спрашивают вероятность вытягивания этого номера. Давайте предположим, что опыт дал знать, что этот свидетель обманывает один раз из десяти, так что вероятность его свидетельства составляет 9/10. Здесь наблюдаемое событие — это свидетель, свидетельствующий, что номер 79 вытянут. Это событие может произойти из двух следующих гипотез, а именно: что свидетель говорит правду или что он обманывает. Следуя принципу, который был изложен о вероятности причин, извлеченных из наблюдаемых событий, необходимо сначала определить a priori вероятность события в каждой гипотезе. В первой вероятность того, что свидетель объявит номер 79, есть сама вероятность вытягивания этого номера, то есть 1/1000. Необходимо умножить ее на вероятность 9/10 правдивости свидетеля; мы будем иметь тогда 9/10000 для вероятности наблюдаемого события в этой гипотезе. Если свидетель обманывает, номер 79 не вытянут, и вероятность этого случая составляет 999/1000. Но чтобы объявить о вытягивании этого номера, свидетель должен выбрать его среди 999 номеров, не вытянутых; и так как предполагается, что он не имеет никакого мотива предпочтения для одних, а не для других, вероятность того, что он выберет номер 79, составляет 1/999; умножая, следовательно, эту вероятность на предыдущую, мы будем иметь 1/1000 для вероятности того, что свидетель объявит номер 79 во второй гипотезе. Необходимо опять же умножить эту вероятность на 1/10 самой гипотезы, что дает 1/10000 для вероятности события, относящегося к этой гипотезе. Теперь, если мы сформируем дробь, числитель которой есть вероятность, относящаяся к первой гипотезе, а знаменатель которой есть сумма вероятностей, относящихся к двум гипотезам, мы будем иметь, по шестому принципу, вероятность первой гипотезы, и эта вероятность будет 9/10; то есть сама правдивость свидетеля. Это также вероятность вытягивания номера 79. Вероятность лжи свидетеля и неудачи вытягивания этого номера составляет 1/10.

Если свидетель, желая обмануть, имеет некоторый интерес в выборе номера 79 среди номеров, не вытянутых, — если он судит, например, что, поставив на этот номер значительную ставку, объявление о его вытягивании увеличит его кредит, вероятность того, что он выберет этот номер, будет уже не как сначала 1/999, она будет тогда 1/2, 1/3 и т. д., согласно интересу, который он будет иметь в объявлении о его вытягивании. Предполагая ее равной 1/9, необходимо будет умножить на эту дробь вероятность 999/1000, чтобы получить в гипотезе лжи вероятность наблюдаемого события, которую необходимо еще умножить на 1/10, что дает 111/10000 для вероятности события во второй гипотезе. Тогда вероятность первой гипотезы, или вытягивания номера 79, уменьшается согласно предыдущему правилу до 9/120. Она тогда очень сильно уменьшена из-за рассмотрения интереса, который свидетель может иметь в объявлении о вытягивании номера 79. По правде, этот же интерес увеличивает вероятность 9/10, что свидетель скажет правду, если номер 79 вытянут. Но эта вероятность не может превышать единицу или 10/10; таким образом, вероятность вытягивания номера 79 не превзойдет 10/121. Здравый смысл говорит нам, что этот интерес должен внушать недоверие, но исчисление оценивает влияние его.

Вероятность a priori номера, объявленного свидетелем, есть единица, деленная на число номеров в урне; она изменена в силу доказательства на саму правдивость свидетеля; она может тогда быть уменьшена доказательством. Если, например, урна содержит только два номера, что дает 1/2 для вероятности a priori вытягивания номера 1, и если правдивость свидетеля, который объявляет его, составляет 4/10, это вытягивание становится менее вероятным. Действительно, очевидно, поскольку свидетель имеет тогда больше склонности к лжи, чем к правде, что его свидетельство должно уменьшить вероятность факта, подтвержденного каждый раз, когда эта вероятность равна или превосходит 1/2. Но если есть три номера в урне, вероятность a priori вытягивания номера 1 увеличена утверждением свидетеля, чья правдивость превосходит 1/3.

Предположим теперь, что урна содержит 999 черных шаров и один белый шар, и что один шар, будучи вытянут, свидетель вытягивания объявляет, что этот шар белый. Вероятность наблюдаемого события, определенная a priori в первой гипотезе, будет здесь, как и в предыдущем вопросе, равна 9/10000. Но в гипотезе, где свидетель обманывает, белый шар не вытянут, и вероятность этого случая составляет 999/1000. Необходимо умножить ее на вероятность 1/10 лжи, что дает 999/10000 для вероятности наблюдаемого события, относящегося ко второй гипотезе. Эта вероятность была только 1/10000 в предыдущем вопросе; эта большая разница проистекает из того, что черный шар, будучи вытянут, свидетель, который желает обмануть, не имеет никакого выбора среди 999 шаров, не вытянутых, чтобы объявить о вытягивании белого шара. Теперь, если сформировать две дроби, числители которых — вероятности, относящиеся к каждой гипотезе, а общий знаменатель — сумма этих вероятностей, мы будем иметь 9/1008 для вероятности первой гипотезы и вытягивания белого шара, и 999/1008 для вероятности второй гипотезы и вытягивания черного шара. Эта последняя вероятность сильно приближается к достоверности; она приближалась бы к ней гораздо ближе и стала бы 999999/1000008, если бы урна содержала миллион шаров, из которых один был белым, вытягивание белого шара становилось тогда гораздо более необычайным. Мы видим таким образом, как вероятность лжи увеличивается по мере того, как деяние становится более необычайным.

Мы предполагали до этого времени, что свидетель вовсе не ошибался; но если допустить, однако, шанс его ошибки, необычайный инцидент становится более невероятным. Тогда вместо двух гипотез мы будем иметь четыре следующие, а именно: гипотеза свидетеля, не обманывающего и вовсе не ошибающегося; гипотеза свидетеля, вовсе не обманывающего и ошибающегося; гипотеза свидетеля, обманывающего и вовсе не ошибающегося; наконец, гипотеза свидетеля, обманывающего и ошибающегося. Определяя a priori в каждой из этих гипотез вероятность наблюдаемого события, мы находим по шестому принципу вероятность того, что подтвержденный факт ложен, равную дроби, числитель которой есть число черных шаров в урне, умноженное на сумму вероятностей того, что свидетель вовсе не обманывает и ошибается, или что он обманывает и не ошибается, а знаменатель которой есть этот числитель, увеличенный на сумму вероятностей того, что свидетель вовсе не обманывает и вовсе не ошибается, или что он обманывает и ошибается в то же время. Мы видим по этому, что если число черных шаров в урне очень велико, что делает вытягивание белого шара необычайным, вероятность того, что подтвержденный факт не является истинным, приближается наиболее близко к достоверности.

Применяя этот вывод ко всем необычайным деяниям, из него следует, что вероятность ошибки или лжи свидетеля становится тем больше, чем необычайнее подтвержденный факт. Некоторые авторы выдвинули противоположное на том основании, что вид необычайного факта, будучи совершенно похожим на вид обычного факта, те же мотивы должны вести нас к тому, чтобы дать свидетелю то же доверие, когда он утверждает тот или другой из этих фактов. Простой здравый смысл отвергает такое странное утверждение; но исчисление вероятностей, подтверждая выводы здравого смысла, оценивает большую невероятность свидетельств в отношении необычайных фактов.

Эти авторы настаивают и предполагают двух свидетелей, одинаково достойных доверия, из которых первый подтверждает, что он видел индивидуума мертвым пятнадцать дней назад, которого второй свидетель утверждает, что видел вчера полным жизни. Тот или другой из этих фактов не предлагает никакой невероятности. Резервация индивидуума является результатом их комбинации; но свидетельства не приводят нас вовсе прямо к этому результату, хотя доверие, которое причитается этим свидетельствам, не должно быть уменьшено фактом, что результат их комбинации является необычайным.

Но если вывод, который проистекает из комбинации свидетельств, был невозможным, одно из них было бы обязательно ложным; но невозможный вывод есть предел необычайных выводов, как ошибка есть предел невероятных выводов; ценность свидетельств, которая становится нулевой в случае невозможного вывода, должна тогда быть очень сильно уменьшена в случае необычайного вывода. Это действительно подтверждается исчислением вероятностей.

Чтобы сделать это понятным, давайте рассмотрим две урны, A и B, из которых первая содержит миллион белых шаров, а вторая — миллион черных шаров. Вытягивают из одной из этих урн шар, который кладут обратно в другую урну, из которой затем вытягивают шар. Два свидетеля, один первого вытягивания, другой второго, подтверждают, что шар, который они видели вытянутым, белый, не указывая урну, из которой он был вытянут. Каждое свидетельство, взятое отдельно, не является невероятным; и легко видеть, что вероятность подтвержденного факта есть сама правдивость свидетеля. Но из комбинации свидетельств следует, что белый шар был извлечен из урны A при первом вытягивании, и что затем, помещенный в урну B, он появился вновь при втором вытягивании, что очень необычайно; ибо эта вторая урна, содержащая тогда один белый шар среди миллиона черных шаров, вероятность вытягивания белого шара составляет 1/1000001. Чтобы определить уменьшение, которое проистекает в вероятности вещи, объявленной двумя свидетелями, мы заметим, что наблюдаемое событие здесь — это утверждение каждым из них, что шар, который он видел извлеченным, белый. Давайте представим 9/10 как вероятность того, что он объявляет правду, что может произойти в настоящем случае, когда свидетель не обманывает и вовсе не ошибается, и когда он обманывает и ошибается в то же время. Можно сформировать четыре следующие гипотезы:

1-я. Первый и второй свидетель говорят правду. Тогда белый шар был сначала вытянут из урны A, и вероятность этого события составляет 1/2, поскольку шар, вытянутый при первом вытягивании, мог быть вытянут либо из одной, либо из другой урны. Следовательно, шар, вытянутый, помещенный в урну B, появился вновь при втором вытягивании; вероятность этого события составляет 1/1000001, вероятность объявленного факта тогда составляет 1/2000002. Умножая ее на произведение вероятностей 9/10 и 9/10, что свидетели говорят правду, мы будем иметь 81/200000200 для вероятности наблюдаемого события в этой первой гипотезе.

2-я. Первый свидетель говорит правду, а второй нет, обманывает ли он и не ошибается, или он не обманывает и ошибается. Тогда белый шар был вытянут из урны A при первом вытягивании, и вероятность этого события составляет 1/2. Затем этот шар, будучи помещен в урну B, черный шар был вытянут из нее: вероятность такого вытягивания составляет 1000000/1000001; мы имеем тогда 1000000/2000002 для вероятности составного события. Умножая ее на произведение двух вероятностей 9/10 и 1/10, что первый свидетель говорит правду, а второй нет, мы будем иметь 9000000/200000200 для вероятности наблюдаемого события во второй гипотезе.

3-я. Первый свидетель не говорит правду, а второй объявляет ее. Тогда черный шар был вытянут из урны B при первом вытягивании, и после того, как он был помещен в урну A, белый шар был вытянут из этой урны. Вероятность первого из этих событий составляет 1/2, а второго — 1000000/1000001; вероятность составного события тогда составляет 1000000/2000002. Умножая ее на произведение вероятностей 1/10 и 9/10, что первый свидетель не говорит правду, а второй объявляет ее, мы будем иметь 9000000/200000200 для вероятности наблюдаемого события, относящегося к этой гипотезе.

4-я. Наконец, ни один из свидетелей не говорит правду. Тогда черный шар был вытянут из урны B при первом вытягивании; затем, будучи помещен в урну A, он появился вновь при втором вытягивании: вероятность этого составного события составляет 1/2000002. Умножая ее на произведение вероятностей 1/10 и 1/10, что каждый свидетель не говорит правду, мы будем иметь 1/200000200 для вероятности наблюдаемого события в этой гипотезе.

Теперь, чтобы получить вероятность вещи, объявленной двумя свидетелями, а именно, что белый шар был вытянут при каждом вытягивании, необходимо разделить вероятность, соответствующую первой гипотезе, на сумму вероятностей, относящихся к четырем гипотезам; и тогда мы имеем для этой вероятности 81/18000082, чрезвычайно малую дробь.

Если два свидетеля подтверждают: первый, что белый шар был вытянут из одной из двух урн A и B; второй, что белый шар был точно так же вытянут из одной из двух урн A' и B', совершенно похожих на первые, вероятность вещи, объявленной двумя свидетелями, будет произведением вероятностей их свидетельств, или 81/100; она будет тогда по меньшей мере в сто восемьдесят тысяч раз больше предыдущей. Видно по этому, насколько в первом случае reappearance (повторное появление) при втором вытягивании белого шара, вытянутого при первом вытягивании, необычайный вывод двух свидетельств уменьшает его ценность.

Мы не придали бы никакой веры свидетельству человека, который стал бы уверять нас, что при подбрасывании сотни игральных костей все они упали на одну и ту же грань. Если бы мы сами были свидетелями этого события, мы поверили бы собственным глазам лишь после тщательного изучения всех обстоятельств и после того, как заручились бы свидетельствами других очевидцев, чтобы быть совершенно уверенными в отсутствии галлюцинации или обмана. Но после такой проверки мы не колеблясь признали бы это, несмотря на крайнюю невероятность; и никто не стал бы, чтобы объяснить это, прибегать к отрицанию законов зрения. Из этого следует заключить, что вероятность постоянства законов природы для нас больше, чем вероятность того, что рассматриваемое событие вовсе не имело места, — вероятность, превышающая вероятность большинства исторических фактов, которые мы считаем бесспорными. По этому можно судить об огромном весе свидетельств, необходимых для признания приостановки естественных законов, и о том, насколько неуместно было бы применять к этому случаю обычные правила критики. Все те, кто, не предлагая такого огромного количества свидетельств, поддерживают это при изложении событий, противоречащих этим законам, скорее уменьшают, чем увеличивают веру, которую они хотят внушить; ибо тогда эти рассказы делают весьма вероятными ошибку или ложь их авторов. Но то, что уменьшает веру образованных людей, часто увеличивает веру необразованных, всегда жадных до чудесного.

Существуют вещи настолько необычайные, что ничто не может уравновесить их невероятность. Но это, под влиянием господствующего мнения, может быть ослаблено до такой степени, что будет казаться уступающим вероятности свидетельств; и когда это мнение меняется, абсурдное утверждение, единодушно принятое в веке, который породил его, предлагает следующим векам лишь новое доказательство крайнего влияния общего мнения на более просвещенные умы. Два великих человека века Людовика XIV — Расин и Паскаль — являются яркими примерами этого. Больно видеть, с какой готовностью Расин, этот замечательный живописец человеческого сердца и самый совершенный поэт, который когда-либо жил, сообщает как о чудесном об исцелении мадемуазель Перье, племянницы Паскаля и приходящей ученицы монастыря Пор-Рояль; больно читать доводы, с помощью которых Паскаль стремится доказать, что это чудо должно быть необходимо религии, чтобы оправдать учение монахов этого аббатства, в то время преследуемых иезуитами. Юная Перье три с половиной года страдала слезной фистулой; она коснулась больного глаза реликвией, которая выдавалась за один из тернов венца Спасителя, и она верила в мгновенное исцеление. Несколько дней спустя врачи и хирурги засвидетельствовали выздоровление и заявили, что природа и лекарства не имели к этому никакого отношения. Это событие, которое произошло в 1656 году, произвело большую сенсацию, и «весь Париж устремился», говорит Расин, «в Пор-Рояль. Толпа увеличивалась изо дня в день, и сам Бог, казалось, находил удовольствие в том, чтобы санкционировать преданность народа количеством чудес, которые совершались в этой церкви». В то время чудеса и колдовство еще не казались невероятными, и никто не колебался приписывать им странности природы, которые нельзя было объяснить иначе.

Такой способ рассмотрения необычайных результатов встречается в самых замечательных трудах века Людовика XIV; даже в «Опыте о человеческом разумении» философа Локка, который говорит, рассуждая о степени согласия: «Хотя общий опыт и обычный ход вещей справедливо имеют огромное влияние на умы людей, заставляя их давать или отказывать в доверии чему-либо, предлагаемому их вере; однако есть один случай, когда странность факта не уменьшает согласия с честным свидетельством о нем. Ибо там, где такие сверхъестественные события соответствуют целям, преследуемым тем, кто имеет власть изменить ход природы, там, при таких обстоятельствах, они могут быть тем более подходящими для того, чтобы вызвать веру, чем более они выходят за рамки обычного наблюдения или противоречат ему». Поскольку истинные принципы вероятности свидетельств были таким образом неправильно поняты философами, которым разум главным образом обязан своим прогрессом, я счел необходимым подробно представить результаты исчисления вероятностей по этому важному предмету.

Здесь естественным образом возникает обсуждение знаменитого аргумента Паскаля, который Крейг, английский математик, представил в геометрической форме. Свидетели заявляют, что они получили от Божества, что, сообразуясь с определенной вещью, человек будет наслаждаться не одной или двумя, а бесконечным множеством счастливых жизней. Как бы ни была мала вероятность доказательств, при условии, что она не бесконечно мала, ясно, что преимущество тех, кто сообразуется с предписанной вещью, бесконечно, поскольку оно является произведением этой вероятности и бесконечного блага; тогда не следует колебаться, чтобы обеспечить себе это преимущество.

Этот аргумент основан на бесконечном числе счастливых жизней, обещанных во имя Божества свидетелями; тогда необходимо предписать им, именно потому, что они преувеличивают свои обещания без всяких границ, следствие, которое противно здравому смыслу. Также исчисление учит нас, что это преувеличение само по себе ослабляет вероятность их свидетельства до такой степени, что делает ее бесконечно малой или равной нулю. Действительно, этот случай подобен случаю свидетеля, который объявил бы о вытягивании самого большого числа из урны, наполненной большим количеством чисел, одно из которых было вытянуто, и который имел бы большой интерес в объявлении о вытягивании этого числа. Уже было показано, насколько этот интерес ослабляет его свидетельство. Оценивая лишь в ½ вероятность того, что если свидетель обманывает, он выберет самое большое число, исчисление дает вероятность его объявления как меньшую, чем дробь, числитель которой есть единица, а знаменатель — единица плюс половина произведения количества чисел на вероятность лжи, рассматриваемую априори или независимо от объявления. Чтобы сравнить этот случай со случаем аргумента Паскаля, достаточно представить числами в урне все возможные количества счастливых жизней, которые число этих чисел делает бесконечным; и заметить, что если свидетели обманывают, они имеют величайший интерес, чтобы аккредитовать свою ложь, в обещании вечности счастья. Выражение вероятности их свидетельства становится тогда бесконечно малым. Умножая его на бесконечное число обещанных счастливых жизней, бесконечность исчезла бы из произведения, которое выражает преимущество, вытекающее из этого обещания, что разрушает аргумент Паскаля.

Рассмотрим теперь вероятность совокупности нескольких свидетельств об установленном факте. Чтобы зафиксировать наши идеи, предположим, что фактом является вытягивание числа из урны, которая содержит сотню их, и из которой было вытянуто одно единственное число. Два свидетеля этого вытягивания объявляют, что было вытянуто число 2, и мы спрашиваем о результирующей вероятности совокупности этих свидетельств. Можно сформировать две гипотезы: свидетели говорят правду; свидетели обманывают. В первой гипотезе вытянуто число 2, и вероятность этого события равна 1/100. Необходимо умножить ее на произведение правдивости свидетелей, правдивости, которую мы предположим равной 9/10 и 7/10: тогда мы получим 63/10000 для вероятности события, наблюдаемого в этой гипотезе. Во второй гипотезе число 2 не вытянуто, и вероятность этого события равна 99/100. Но согласие свидетелей требует тогда, чтобы, пытаясь обмануть, они оба выбрали число 2 из 99 невытянутых чисел: вероятность этого выбора, если свидетели не имеют тайного сговора, есть произведение дроби 1/99 на саму себя; тогда становится необходимым умножить эти две вероятности вместе, и на произведение вероятностей 1/10 и 3/10 того, что свидетели обманывают; таким образом, мы получим 1/330000 для вероятности события, наблюдаемого во второй гипотезе. Теперь мы получим вероятность засвидетельствованного факта или вытягивания числа 2, разделив вероятность, относящуюся к первой гипотезе, на сумму вероятностей, относящихся к двум гипотезам; эта вероятность будет тогда 2079/2080, а вероятность невытягивания этого числа и лжи свидетелей будет 1/2080.

Если бы урна содержала только числа 1 и 2, мы нашли бы таким же образом 21/22 для вероятности вытягивания числа 2, и, следовательно, 1/22 для вероятности лжи свидетелей, вероятность, по крайней мере, в девяносто четыре раза большую, чем предыдущая. По этому видно, насколько вероятность лжи свидетелей уменьшается, когда факт, который они свидетельствуют, менее вероятен сам по себе. Действительно, можно представить, что тогда согласие свидетелей, когда они обманывают, становится более трудным, по крайней мере, когда они не имеют тайного сговора, который мы здесь вовсе не предполагаем.

В предыдущем случае, где урна содержала только два числа, априорная вероятность засвидетельствованного факта равна ½, результирующая вероятность свидетельств есть произведение правдивости свидетелей, деленное на эту сумму, добавленную к произведению соответствующих вероятностей их лжи.

Теперь нам остается рассмотреть влияние времени на вероятность фактов, передаваемых традиционной цепью свидетелей. Ясно, что эта вероятность должна уменьшаться по мере того, как цепь удлиняется. Если факт не имеет вероятности сам по себе, как, например, вытягивание числа из урны, которая содержит бесконечное их множество, то та вероятность, которую он приобретает благодаря свидетельствам, убывает согласно непрерывному произведению правдивости свидетелей. Если факт имеет вероятность сам по себе; если, например, этот факт есть вытягивание числа 2 из урны, которая содержит бесконечное их множество, и из которой достоверно, что вытянули одно число; то, что традиционная цепь добавляет к этой вероятности, убывает, следуя непрерывному произведению, первый множитель которого есть отношение числа чисел в урне минус один к тому же числу, и каждый другой множитель которого есть правдивость каждого свидетеля, уменьшенная на отношение вероятности его лжи к числу чисел в урне минус один; так что предел вероятности факта есть предел этого факта, рассматриваемого априори, или независимо от свидетельств, вероятность, равная единице, деленной на число чисел в урне.

Действие времени ослабляет, таким образом, без конца вероятность исторических фактов, точно так же, как оно изменяет самые долговечные памятники. Можно, действительно, уменьшить его, умножая и сохраняя свидетельства и памятники, которые их поддерживают. Книгопечатание предлагает для этой цели великое средство, к сожалению, неизвестное древним. Несмотря на бесконечные преимущества, которые оно доставляет, физические и моральные революции, которыми поверхность этого земного шара всегда будет взволнована, закончат, в сочетании с неизбежным действием времени, тем, что сделают сомнительными через тысячи лет исторические факты, рассматриваемые сегодня как самые достоверные.

Крейг попытался подвергнуть исчислению постепенное ослабление доказательств христианской религии; предполагая, что мир должен закончиться в эпоху, когда он перестанет быть вероятным, он находит, что это должно произойти через 1454 года после времени, когда он пишет. Но его анализ так же ошибочен, как и его гипотеза о продолжительности Луны причудлива.

ГЛАВА XII. О ВЫБОРАХ И РЕШЕНИЯХ СОБРАНИЙ.

Вероятность решений собрания зависит от большинства голосов, интеллекта и беспристрастности членов, которые его составляют. Так много страстей и частных интересов так часто добавляют свое влияние, что невозможно подвергнуть эту вероятность исчислению. Существуют, однако, некоторые общие результаты, продиктованные простым здравым смыслом и подтвержденные исчислением. Если, например, собрание плохо информировано о предмете, представленном на его решение, если этот предмет требует деликатных соображений, или если истина по этому пункту противоречит установленным предрассудкам, так что было бы пари больше чем один против одного, что каждый избиратель ошибется; тогда решение большинства будет, вероятно, неверным, и страх перед ним будет тем более обоснован, чем многочисленнее собрание. Важно тогда, в общественных делах, чтобы собрания должны были решать предметы, доступные для наибольшего числа; важно для них, чтобы информация была широко распространена и чтобы хорошие труды, основанные на разуме и опыте, просвещали тех, кто призван решать судьбу своих ближних или управлять ими, и предостерегали их против ложных идей и предрассудков невежества. Ученые имели частый случай заметить, что первые концепции часто обманывают и что истина не всегда вероятна.

Трудно понять и определить желание собрания посреди разнообразия мнений его членов. Попытаемся дать некоторые правила в отношении этого дела, рассматривая два самых обычных случая: выборы среди нескольких кандидатов и выбор среди нескольких предложений, относящихся к одному и тому же предмету.

Когда собрание должно выбирать среди нескольких кандидатов, которые представляют себя на одно или на несколько мест одного и того же рода, то, что кажется самым простым, — это чтобы каждый избиратель написал на билете имена всех кандидатов согласно порядку заслуг, который он им приписывает. Предполагая, что он классифицирует их добросовестно, осмотр этих билетов даст результаты выборов таким образом, что кандидатов можно сравнить между собой; так что новые выборы не могут дать ничего большего в этом отношении. Вопрос теперь в том, чтобы заключить порядок предпочтения, который билеты устанавливают среди кандидатов. Представим, что дают каждому избирателю урну, которая содержит бесконечное число шаров, посредством которых он способен оттенить все степени заслуг кандидатов; представим снова, что он вытягивает из своей урны количество шаров, пропорциональное заслугам каждого кандидата, и предположим это число написанным на билете сбоку от имени кандидата. Ясно, что, делая сумму всех чисел, относящихся к каждому кандидату на каждом билете, тот из всех кандидатов, кто будет иметь наибольшую сумму, будет кандидатом, которого собрание предпочитает; и что в общем порядок предпочтения кандидатов будет порядком сумм, относящихся к каждому из них. Но билеты вовсе не отмечают число шаров, которое каждый избиратель дает кандидатам; они указывают исключительно, что первый имеет их больше, чем второй, второй больше, чем третий, и так далее. Предполагая тогда сначала на данном билете определенное число шаров, все комбинации низших чисел, которые выполняют предыдущие условия, одинаково допустимы; и мы получим число шаров, относящихся к каждому кандидату, делая сумму всех чисел, которые каждая комбинация дает ему, и деля ее на целое число комбинаций. Очень простой анализ показывает, что числа, которые должны быть написаны на каждом билете сбоку от последнего имени, от имени перед последним и т. д., пропорциональны членам арифметической прогрессии 1, 2, 3 и т. д. Записывая тогда таким образом на каждом билете члены этой прогрессии и добавляя члены, относящиеся к каждому кандидату на этих билетах, различные суммы укажут по своей величине порядок их предпочтения, который должен быть установлен среди кандидатов. Таков способ выборов, который указывает Теория вероятностей. Без сомнения, было бы лучше, если бы каждый избиратель написал на своем билете имена кандидатов в порядке заслуг, который он им приписывает. Но частные интересы и многие странные соображения о заслугах повлияли бы на этот порядок и поставили бы иногда на последнее место кандидата, наиболее грозного для того, кого предпочитают, что дает слишком большое преимущество кандидатам посредственных заслуг. Также опыт вызвал отказ от этого способа выборов в обществах, которые его приняли.

Выборы абсолютным большинством голосов объединяют с уверенностью не допустить ни одного из кандидатов, которых это большинство отвергает, преимущество выражения чаще всего желания собрания. Он всегда совпадает с предыдущим способом, когда есть только два кандидата. Действительно, он подвергает собрание неудобству делать выборы бесконечными. Но опыт показал, что это неудобство равно нулю, и что общее желание положить конец выборам вскоре объединяет большинство голосов на одном из кандидатов.

Выбор среди нескольких предложений, относящихся к одному и тому же объекту, должен быть подчинен, по-видимому, тем же правилам, что и выборы среди нескольких кандидатов. Но существует между двумя случаями это различие, а именно, что заслуга кандидата не исключает заслугу его конкурентов; но если необходимо выбирать среди предложений, которые противоречивы, истина одного исключает истину других. Посмотрим, как тогда следует рассматривать этот вопрос.

Дадим каждому избирателю урну, которая содержит бесконечное число шаров, и предположим, что он распределяет их по различным предложениям согласно соответствующим вероятностям, которые он им приписывает. Ясно, что общее число шаров, выражающее уверенность, и избиратель, будучи по гипотезе уверенным, что одно из предложений должно быть истинным, он распределит это число в конце концов по предложениям. Задача сводится тогда к этому, а именно, определить комбинации, в которых шары будут распределены таким образом, чтобы их было больше на первом предложении билета, чем на втором, больше на втором, чем на третьем и т. д.; сделать суммы всех чисел шаров, относящихся к каждому предложению в различных комбинациях, и разделить эту сумму на число комбинаций; частные будут числами шаров, которые следует приписать предложениям на определенном билете. Находят анализом, что при переходе от последнего предложения эти частные относятся между собой как следующие величины: первая — единица, деленная на число предложений; вторая — предыдущая величина, увеличенная на единицу, деленная на число предложений минус один; третья — эта вторая величина, увеличенная на единицу, деленная на число предложений минус два, и так далее для других. Запишут тогда на каждом билете эти величины сбоку от соответствующих предложений, и добавляя относительные величины к каждому предложению на различных билетах, суммы укажут по своей величине порядок предпочтения, который собрание дает этим предложениям.

Скажем слово о способе обновления собраний, которые должны меняться в совокупности за определенное число лет. Должно ли обновление производиться в одно время, или выгодно разделить его на эти годы? Согласно последнему методу собрание было бы сформировано под влиянием различных мнений, доминирующих во время его обновления; мнение, которое получило тогда, было бы, вероятно, средним из всех этих мнений. Собрание получило бы таким образом в то время то же преимущество, которое дается ему расширением выборов его членов на все части территории, которую оно представляет. Теперь, если рассмотреть то, чему опыт только слишком ясно научил, а именно, что выборы всегда направляются в наибольшей степени доминирующими мнениями, почувствуют, насколько полезно смягчать эти мнения, одни другими, посредством частичного обновления.

ГЛАВА XIII. О ВЕРОЯТНОСТИ СУДЕБНЫХ РЕШЕНИЙ.

Анализ подтверждает то, чему учит нас простой здравый смысл, а именно: правильность суждений тем более вероятна, чем многочисленнее и просвещеннее судьи. Важно тогда, чтобы апелляционные трибуналы выполняли эти два условия. Трибуналы первой инстанции, находясь в более тесной связи с подсудимыми, предлагают высшему трибуналу преимущество первого суждения, уже вероятного, и с которым последние часто соглашаются, будь то в компромиссе или в отказе от своих претензий. Но если неопределенность дела в судебном процессе и его важность определяют тяжущегося прибегнуть к апелляционному трибуналу, он должен найти в большей вероятности получения справедливого суждения большую безопасность для своего состояния и компенсацию за беспокойство и расходы, которые влечет за собой новая процедура. Это то, что не имело места в институте взаимной апелляции трибуналов округа, институте, тем самым очень вредном для интереса граждан. Было бы, возможно, уместно и сообразуемо с исчислением вероятностей требовать большинства, по крайней мере, в два голоса в апелляционном трибунале, чтобы аннулировать приговор низшего трибунала. Получили бы этот результат, если бы апелляционный трибунал, будучи составленным из четного числа судей, приговор оставался бы в силе в случае равенства голосов.

Я рассмотрю в особенности суждения по уголовным делам.

Чтобы осудить обвиняемого, необходимо, без сомнения, чтобы судьи имели самые сильные доказательства его преступления. Но моральное доказательство никогда не является более чем вероятностью; и опыт только слишком ясно показал ошибки, которым уголовные суждения, даже те, которые кажутся самыми справедливыми, все еще подвержены. Невозможность исправления этих ошибок — самый сильный аргумент философов, которые желали запретить смертную казнь. Мы были бы тогда обязаны воздержаться от суждения, если бы нам необходимо было ожидать математического доказательства. Но суждение требуется опасностью, которая проистекала бы из безнаказанности преступления. Это суждение сводится, если я не ошибаюсь, к решению следующего вопроса: имеет ли доказательство преступления обвиняемого высокую степень вероятности, необходимую для того, чтобы граждане имели меньше оснований сомневаться в ошибках трибуналов, если он невиновен и осужден, чем они имели бы бояться его новых преступлений и преступлений несчастных, которые были бы ободрены примером его безнаказанности, если бы он был виновен и оправдан? Решение этого вопроса зависит от нескольких элементов, очень трудных для установления. Такова степень опасности, которая угрожала бы обществу, если бы преступник, обвиняемый, остался безнаказанным. Иногда эта опасность так велика, что магистрат видит себя вынужденным отказаться от форм, мудро установленных для защиты невиновности. Но то, что делает почти всегда этот вопрос неразрешимым, — это невозможность оценить точно вероятность преступления и зафиксировать ту, которая необходима для осуждения обвиняемого. Каждый судья в этом отношении вынужден полагаться на свое собственное суждение. Он формирует свое мнение, сравнивая различные свидетельства и обстоятельства, которыми сопровождается преступление, с результатами своих размышлений и своего опыта, и в этом отношении долгая привычка допрашивать и судить обвиняемых дает большое преимущество в установлении истины посреди индексов, часто противоречивых.

Предыдущий вопрос зависит снова от заботы, принятой при расследовании преступления; ибо требуют естественно гораздо более сильных доказательств для наложения смертной казни, чем для причинения задержания на несколько месяцев. Это причина для пропорционирования заботы преступлению, большая забота, принятая с неважным делом, неизбежно очищает многих виновных. Закон, который дает судьям власть модерировать заботу в случае смягчающих обстоятельств, тогда сообразуем в то же время с принципами человечности по отношению к виновному и с интересом общества. Произведение вероятности преступления на его тяжесть, будучи мерой опасности, которой оправдание обвиняемого может подвергнуть общество, можно было бы думать, что принятая забота должна зависеть от этой вероятности. Это делается косвенно в трибуналах, где удерживают некоторое время обвиняемого, против которого есть очень сильные доказательства, но недостаточные, чтобы осудить его; в надежде приобрести новый свет, его не помещают немедленно посреди его сограждан, которые не увидели бы его снова без большой тревоги. Но произвольность этой меры и злоупотребление, которое можно сделать из нее, вызвали ее отказ в странах, где придают наибольшую цену индивидуальной свободе.

Теперь какова вероятность того, что решение трибунала, который может осудить только данным большинством, будет справедливым, то есть сказать, сообразующимся с истинным решением вопроса, предложенного выше? Эта важная проблема, хорошо решенная, даст средства сравнивать между собой различные трибуналы. Большинство в один голос в многочисленном трибунале указывает, что дело, о котором идет речь, очень сомнительно; осуждение обвиняемого было бы тогда противно принципам человечности, защитникам невиновности. Единодушие судей дало бы очень сильную вероятность справедливого решения; но воздерживаясь от него, слишком много виновных были бы оправданы. Необходимо тогда либо ограничить число судей, если желают, чтобы они были единодушны, либо увеличить большинство, необходимое для осуждения, когда трибунал становится более многочисленным. Я попытаюсь применить исчисление к этому предмету, будучи убежденным, что оно всегда лучший гид, когда его основывают на данных, которые здравый смысл предлагает нам.

Вероятность того, что мнение каждого судьи справедливо, входит как главный элемент в это вычисление. Если в трибунале из тысячи одного судьи пятьсот один одного мнения, а пятьсот противоположного мнения, очевидно, что вероятность мнения каждого судьи превосходит очень мало ½; ибо предполагая ее очевидно очень большой, один голос разницы был бы невероятным событием. Но если судьи единодушны, это указывает в доказательствах ту степень силы, которая влечет за собой убеждение; вероятность мнения каждого судьи тогда очень близка к единице или уверенности, при условии, что страсти или обычные предрассудки не влияют в то же время на всех судей. Вне этих случаев отношение голосов за или против обвиняемого должно одно определять эту вероятность. Я предполагаю таким образом, что она может варьироваться от ½ до единицы, но что она не может быть ниже ½. Если бы это было не так, решение трибунала было бы так же незначительно, как случай; оно имеет ценность только в той мере, в какой мнение судьи имеет большую тенденцию к истине, чем к ошибке. Таким образом, отношением чисел голосов, благоприятных и противных обвиняемому, я определяю вероятность этого мнения.

Эти данные достаточны, чтобы установить общее выражение вероятности того, что решение трибунала, судящего по известному большинству, справедливо. В трибуналах, где из восьми судей пять голосов были бы необходимы для осуждения обвиняемого, вероятность ошибки, которой следует опасаться в справедливости решения, превзошла бы ¼. Если бы трибунал был сокращен до шести членов, которые могут осудить только большинством в четыре голоса, вероятность ошибки, которой следует опасаться, была бы ниже ¼. Было бы тогда для обвиняемого преимущество в этом сокращении трибунала. В обоих случаях требуемое большинство то же самое и равно двум. Таким образом, большинство остается постоянным, вероятность ошибки увеличивается с числом судей; это обще, каким бы ни было требуемое большинство, при условии, что оно остается тем же. Принимая тогда за правило арифметическое отношение, обвиняемый оказывается в положении все менее и менее выгодном по мере того, как трибунал становится более многочисленным. Можно было бы верить, что в трибунале, где можно было бы требовать большинства в двенадцать голосов, каким бы ни было число судей, голоса меньшинства, нейтрализуя равное число голосов большинства, двенадцать оставшихся голосов представляли бы единодушие жюри из двенадцати членов, требуемое в Англии для осуждения обвиняемого; но можно было бы сильно ошибиться. Здравый смысл показывает, что есть разница между решением трибунала из двухсот двенадцати судей, из которых сто двенадцать осуждают обвиняемого, в то время как сто оправдывают его, и решением трибунала из двенадцати судей, единодушных для осуждения. В первом случае сто голосов, благоприятных обвиняемому, гарантируют думать, что доказательства далеки от достижения степени силы, которая влечет за собой убеждение; во втором случае единодушие судей ведет к вере, что они достигли этой степени. Но простой здравый смысл не достаточен вовсе, чтобы оценить крайнюю разницу вероятности ошибки в двух случаях. Необходимо тогда прибегнуть к исчислению, и находят почти одну пятую для вероятности ошибки в первом случае, и только 1/8192 для этой вероятности во втором случае, вероятность, которая не есть одна тысячная первой. Это подтверждение принципа, что арифметическое отношение неблагоприятно для обвиняемого, когда число судей увеличивается. Напротив, если принимают за правило геометрическое отношение, вероятность ошибки решения уменьшается, когда число судей увеличивается. Например, в трибуналах, которые могут осудить только большинством в две трети голосов, вероятность ошибки, которой следует опасаться, почти одна четвертая, если число судей шесть; она ниже 1/7, если это число увеличено до двенадцати. Таким образом, не следует руководствоваться ни арифметическим отношением, ни геометрическим отношением, если желают, чтобы вероятность ошибки никогда не была выше или ниже данной дроби.

Но какая дробь должна быть определена? Это здесь начинается произвольность, и трибуналы предлагают в этом отношении величайшее разнообразие. В специальных трибуналах, где пяти из восьми голосов достаточно для осуждения обвиняемого, вероятность ошибки, которой следует опасаться в отношении справедливости суждения, есть 65/256, или больше чем ¼. Величина этой дроби ужасна; но то, что должно успокоить нас немного, — это соображение, что наиболее часто судья, который оправдывает обвиняемого, не рассматривает его как невиновного; он провозглашает исключительно, что он не достигнут доказательствами, достаточными для осуждения. Особенно успокаивает жалость, которую природа поместила в сердце человека и которая располагает ум видеть только с неохотой виновного в обвиняемом, представленном на его суждение. Это чувство, более активное у тех, кто не имеет привычки уголовных суждений, компенсирует неудобства, привязанные к неопытности присяжных. В жюри из двенадцати членов, если большинство, требуемое для осуждения, есть восемь из двенадцати голосов, вероятность ошибки, которой следует опасаться, 1093/8192, или немного больше одной восьмой, она почти 1/22, если это большинство состоит из девяти голосов. В случае единодушия вероятность ошибки, которой следует опасаться, есть 1/8192, то есть сказать, больше чем в тысячу раз меньше, чем в наших жюри. Это предполагает, что единодушие проистекает только из доказательств, благоприятных или противных обвиняемому; но мотивы, которые совершенно странны, должны часто конкурировать в производстве его, когда оно навязано жюри как необходимое условие его суждения. Тогда его решения, зависящие от темперамента, характера, привычек присяжных и обстоятельств, в которых они помещены, они иногда противны решениям, которые большинство жюри сделало бы, если бы они слушали только доказательства; это кажется мне большим недостатком этого способа суждения.

Вероятность решения слишком слаба в наших жюри, и я думаю, что для того, чтобы дать достаточную гарантию невиновности, следует требовать по крайней мере большинства в девять голосов из двенадцати.

ГЛАВА XIV. О ТАБЛИЦАХ СМЕРТНОСТИ И О СРЕДНИХ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЯХ ЖИЗНИ, БРАКОВ И АССОЦИАЦИЙ.

Способ подготовки таблиц смертности очень прост. Берут в гражданских регистрах большое число индивидов, чье рождение и смерть указаны. Определяют, сколько из этих индивидов умерло в первый год их возраста, сколько во второй год и так далее. Заключают из этого число индивидов, живущих в начале каждого года, и это число записано в таблице сбоку от того, которое указывает год. Таким образом, пишут сбоку от нуля число рождений; сбоку от года 1 число младенцев, которые достигли одного года; сбоку от года 2 число младенцев, которые достигли двух лет, и так далее для остального. Но так как в первые два года жизни смертность очень велика, необходимо ради большей точности указать в этом первом возрасте число выживших в конце каждого полугодия.

Если мы разделим сумму лет жизни всех индивидов, вписанных в таблицу смертности, на число этих индивидов, мы будем иметь среднюю продолжительность жизни, которая соответствует этой таблице. Для этого мы умножим на полгода число смертей в первый год, число, равное разности чисел индивидов, вписанных сбоку от лет 0 и 1. Их смертность, будучи распределенной по всему году, средняя продолжительность их жизни есть только полгода. Мы умножим на полтора года число смертей во второй год; на два с половиной года число смертей в третий год; и так далее. Сумма этих произведений, деленная на число рождений, будет средней продолжительностью жизни. Легко заключить из этого, что мы получим эту продолжительность, делая сумму чисел, вписанных в таблицу сбоку от каждого года, деля ее на число рождений и вычитая одну половину из частного, год будучи взят как единица. Средняя продолжительность жизни, которая остается, начиная с любого возраста, определена таким же образом, работая над числом индивидов, которые прибыли к этому возрасту, как было только что сделано с числом рождений. Но не в момент рождения средняя продолжительность жизни самая большая; она, когда избежали опасностей младенчества, и она тогда около сорока трех лет. Вероятность прибытия к определенному возрасту, начиная с данного возраста, равна отношению двух чисел индивидов, указанных в таблице в этих двух возрастах.

Точность этих результатов требует, чтобы для формирования таблиц мы использовали очень большое число рождений. Анализ дает тогда очень простые формулы для оценки вероятности того, что числа, указанные в этих таблицах, будут варьироваться от истины только в узких пределах. Мы видим по этим формулам, что интервал пределов уменьшается и что вероятность увеличивается по мере того, как мы принимаем во внимание больше рождений; так что таблицы представляли бы точно истинный закон смертности, если бы число использованных рождений было бесконечным.

Таблица смертности есть тогда таблица вероятности человеческой жизни. Отношение индивидов, вписанных сбоку от каждого года, к числу рождений есть вероятность, что новое рождение достигнет этого года. Как мы оцениваем ценность надежды, делая сумму произведений каждого блага, на которое надеются, на вероятность получения его, так мы можем одинаково оценить среднюю продолжительность жизни, добавляя произведения каждого года на половину суммы вероятностей достижения начала и конца его, что ведет к результату, найденному выше. Но этот способ рассмотрения средней продолжительности жизни имеет преимущество показа, что в стационарной популяции, то есть сказать, такой, что число рождений равно числу смертей, средняя продолжительность жизни есть отношение самой популяции к годовым рождениям; ибо популяция, будучи предположенной стационарной, число индивидов возраста, заключенного между двумя последовательными годами таблицы, равно числу годовых рождений, умноженному на половину суммы вероятностей достижения этих лет; сумма всех этих произведений будет тогда всей популяцией. Теперь легко видеть, что эта сумма, деленная на число годовых рождений, совпадает со средней продолжительностью жизни, как мы только что определили ее.

Легко посредством таблицы смертности сформировать соответствующую таблицу популяции, предположенной стационарной. Для этого мы берем арифметические средние чисел таблицы смертности, соответствующих возрастам ноль и один год, один и два года, два и три года и т. д. Сумма всех этих средних есть вся популяция; она записана сбоку от возраста ноль. Вычитают из этой суммы первое среднее, и остаток есть число индивидов одного года и старше; оно записано сбоку от года 1. Вычитают из этого первого остатка второе среднее; этот второй остаток есть число индивидов двух лет и старше; оно записано сбоку от года 2, и так далее.

Так много переменных причин влияют на смертность, что таблицы, которые представляют ее, должны быть изменены согласно месту и времени. Различные состояния жизни предлагают в этом отношении ощутимые различия, относящиеся к усталости и опасностям, неотделимым от каждого состояния, и о которых необходимо вести счет в вычислениях, основанных на продолжительности жизни. Но эти различия не были достаточно наблюдаемы. Когда-нибудь они будут, и тогда будет известно, какую жертву жизни требует каждая профессия, и воспользуются этим знанием, чтобы уменьшить опасности.

Большая или меньшая салюбритность почвы, ее высота, ее температура, обычаи жителей и операции правительств имеют значительное влияние на смертность. Но всегда необходимо предшествовать исследованию причины наблюдаемых различий тем вероятности, с которой эта причина указана. Таким образом, отношение популяции к годовым рождениям, которое видели поднятым во Франции до двадцати восьми и одной трети, не равно двадцати пяти в древнем герцогстве Милан. Эти отношения, оба установленные на большом числе рождений, не позволяют ставить под вопрос существование среди миланцев особой причины смертности, которую важно для правительства нашей страны исследовать и устранить.

Отношение популяции к рождениям увеличилось бы снова, если бы мы могли уменьшить и устранить некоторые опасные и широко распространенные болезни. Это было счастливо сделано для оспы, сначала инокуляцией этой болезни, затем способом гораздо более выгодным, инокуляцией вакцины, неоценимым открытием Дженнера, который стал тем самым одним из величайших благодетелей человечества.

Оспа имеет это в частности, а именно, что тот же индивид не дважды поражен ею, или по крайней мере такие случаи так редки, что они могут быть абстрагированы от вычисления. Эта болезнь, от которой немногие спасались до открытия вакцины, часто фатальна и вызывает смерть одной седьмой тех, кого она атакует. Иногда она мягкая, и опыт научил, что ей можно придать этот последний характер, инокулируя ее на здоровых лицах, подготовленных для этого правильной диетой и в благоприятный сезон. Тогда отношение индивидов, которые умирают, к инокулированным не есть одна трехсотая. Это большое преимущество инокуляции, присоединенное к тем не изменять внешность и сохранять от тяжких последствий, которые натуральная оспа часто приносит, вызвало, что оно было принято большим числом лиц. Практика была сильно рекомендована, но она была сильно оспариваема, как это почти всегда бывает в вещах, подверженных неудобству. Посреди этого спора Даниил Бернулли предложил подвергнуть исчислению вероятностей влияние инокуляции на среднюю продолжительность жизни. Поскольку точных данных смертности, произведенной оспой в различные возрасты жизни, не хватало, он предположил, что опасность иметь эту болезнь и опасность умереть от нее те же самые в каждом возрасте. Посредством этих предположений он преуспел деликатным анализом в конвертировании обычной таблицы смертности в ту, которая была бы использована, если бы оспа не существовала, или если бы она вызывала смерть только очень малого числа тех, кто поражен, и он заключает из этого, что инокуляция увеличила бы на три года по крайней мере среднюю продолжительность жизни, что казалось ему вне сомнения преимуществом этой операции. Д'Аламбер атаковал анализ Бернулли: сначала в отношении неопределенности его двух гипотез, затем в отношении его недостаточности в этом, что никакое сравнение не было сделано непосредственной опасности, хотя очень малой, умереть от инокуляции, к очень большой, но очень отдаленной опасности поддаться натуральной оспе. Это соображение, которое исчезает, когда рассматривают большое число индивидов, есть по этой причине несущественно для правительств, и преимущества инокуляции для них все еще остаются; но оно имеет большой вес для отца семейства, который должен бояться, инокулируя своих детей, увидеть, что один погибнет, кого он держит самым дорогим, и быть причиной этого. Многие родители были сдержаны этим страхом, который открытие вакцины счастливо рассеяло. Одним из тех тайн, которые природа предлагает нам так часто, вакцина есть превентив оспы так же определенный, как вариолярный вирус, и нет опасности вовсе; она не подвергает никакой болезни и требует только очень мало заботы. Поэтому практика ее распространилась быстро; и чтобы сделать ее универсальной, остается только преодолеть естественную инерцию народа, против которой необходимо бороться постоянно, даже когда это вопрос их самых дорогих интересов.

Самое простое средство вычисления преимущества, которое вымирание болезни произвело бы, состоит в определении наблюдением числа индивидов данного возраста, которые умирают от нее каждый год, и вычитании этого числа из числа смертей в том же возрасте. Отношение разности к общему числу индивидов данного возраста было бы вероятностью умереть в году в этом возрасте, если бы болезнь не существовала. Делая тогда сумму этих вероятностей от рождения до любого данного возраста и вычитая эту сумму из единицы, остаток будет вероятностью жить до этого возраста, соответствующей вымиранию болезни. Серия этих вероятностей будет таблицей смертности, относящейся к этой гипотезе, и мы можем заключить из нее, тем, что предшествует, среднюю продолжительность жизни. Это так, что Дювилар нашел, что увеличение средней продолжительности жизни, обязанное инокуляции вакциной, есть три года по крайней мере. Увеличение столь значительное произвело бы очень большое увеличение в популяции, если бы последняя, по другим причинам, не была сдержана относительным уменьшением средств к существованию.

Это главным образом из-за нехватки средств к существованию, что прогрессивный марш популяции арестован. Во всех видах животных и овощей природа стремится без конца увеличить число индивидов, пока они не на уровне средств к существованию. В человеческой расе моральные причины имеют большое влияние на популяцию. Если легкие расчистки леса могут снабдить обильным питанием новые поколения, уверенность в способности поддержать многочисленную семью поощряет браки и делает их более продуктивными. На той же почве популяция и рождения должны увеличиваться в то же время одновременно в геометрической прогрессии. Но когда расчистки становятся более трудными и более редкими, тогда увеличение популяции уменьшается; она приближается постоянно к переменному состоянию средств к существованию, делая осцилляции около него, точно так же как маятник, чья периодичность замедлена изменением точки подвеса, осциллирует около этой точки в силу своего собственного веса. Трудно оценить максимум увеличения популяции; кажется после наблюдений, что в благоприятных обстоятельствах популяция человеческой расы удваивалась бы каждые пятнадцать лет. Мы оцениваем, что в Северной Америке период этого удвоения есть двадцать два года. В этом состоянии вещей популяция, рождения, браки, смертность, все увеличиваются согласно той же геометрической прогрессии, которой мы имеем постоянное отношение последовательных членов наблюдением годовых рождений в двух эпохах.

Посредством таблицы смертности, представляющей вероятности человеческой жизни, мы можем определить продолжительность браков. Предполагая, чтобы упростить дело, что смертность та же самая для двух полов, мы получим вероятность, что брак просуществует один год, или два, или три и т. д., формируя серию дробей, чей общий знаменатель есть произведение двух чисел таблицы, соответствующих возрастам супругов, и чьи числители есть последовательные произведения чисел, соответствующих этим возрастам, увеличенным на один, на два, на три и т. д. лет. Сумма этих дробей, увеличенная на одну половину, будет средней продолжительностью брака, год будучи взят как единица. Легко распространить то же правило на среднюю продолжительность ассоциации, сформированной из трех или из большего числа индивидов.

ГЛАВА XV. О ПРЕИМУЩЕСТВАХ ИНСТИТУТОВ, КОТОРЫЕ ЗАВИСЯТ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ.

Вспомним здесь то, что было сказано, рассуждая о надежде. Было увидено, что для того, чтобы получить преимущество, которое проистекает из нескольких простых событий, из которых одни производят выгоду, а другие потерю, необходимо добавить произведения вероятности каждого благоприятного события на выгоду, которую оно доставляет, и вычесть из их суммы сумму произведений вероятности каждого неблагоприятного события на потерю, которая привязана к нему. Но каким бы ни было преимущество, выраженное разностью этих сумм, единственное событие, составленное из этих простых событий, не гарантирует против страха испытывать потерю. Представляют, что этот страх должен уменьшиться, когда умножают составное событие. Анализ вероятностей ведет к этой общей теореме.

При повторении выгодного события, простого или сложного, реальная выгода становится все более вероятной и непрерывно возрастает; в гипотезе бесконечного числа повторений она становится достоверной, и при делении ее на это число частное, или средняя выгода от каждого события, представляет собой само математическое ожидание, или преимущество, относящееся к событию. То же самое происходит с проигрышем, который в конечном счете становится достоверным, каким бы малым ни было невыгодное положение события.

Эта теорема о выгодах и проигрышах аналогична тем, которые мы уже привели относительно отношений, указываемых неопределенным повторением событий, простых или сложных; и, подобно им, она доказывает, что закономерность в конечном итоге устанавливается даже в тех вещах, которые наиболее подчинены тому, что мы называем случаем.

Когда событий очень много, анализ дает другое, весьма простое выражение вероятности того, что выгода будет заключена в определенных пределах. Это выражение, которое вновь входит в общий закон вероятности, приведенный выше при обсуждении вероятностей, возникающих в результате неограниченного умножения событий.

Стабильность институтов, основанных на вероятностях, зависит от истинности предыдущей теоремы. Но для того чтобы она могла быть к ним применена, необходимо, чтобы эти институты умножали такие выгодные события ради множества вещей.

На вероятностях человеческой жизни были основаны различные институты, такие как пожизненные ренты и тонтины. Самый общий и самый простой метод расчета выгод и расходов этих институтов состоит в приведении их к текущим суммам. Годовой процент на единицу капитала — это то, что называется процентной ставкой. В конце каждого года сумма приобретает множитель, равный единице плюс процентная ставка; таким образом, она возрастает согласно геометрической прогрессии, знаменателем которой является этот множитель. Поэтому с течением времени она становится огромной. Если, например, процентная ставка составляет 1/20 или пять процентов, капитал почти удваивается за четырнадцать лет, учетверяется за двадцать девять лет, а менее чем за три столетия он становится в два миллиона раз больше.

Столь поразительный рост породил идею использования его для погашения государственного долга. С этой целью формируется амортизационный фонд, в который направляются ежегодные отчисления, используемые для выкупа государственных облигаций и непрерывно увеличиваемые за счет процентов по выкупленным облигациям. Очевидно, что в долгосрочной перспективе этот фонд поглотит значительную часть национального долга. Если, когда потребности государства делают необходимым заем, часть этого займа направляется на увеличение ежегодного амортизационного фонда, колебания государственных облигаций будут меньше; доверие кредиторов и вероятность погашения без потери вложенного капитала при желании будут возрастать, что сделает условия займа менее обременительными. Благоприятный опыт полностью подтвердил эти преимущества. Но верность обязательствам и стабильность, столь необходимые для успеха таких институтов, могут быть гарантированы только правительством, в котором законодательная власть разделена между несколькими независимыми ветвями власти. Доверие, которое внушает необходимое сотрудничество этих властей, удваивает силу государства, и сам суверен выигрывает тогда в законной власти больше, чем теряет во власти произвольной.

Из вышесказанного следует, что текущий капитал, эквивалентный сумме, которая должна быть выплачена только через определенное количество лет, равен этой сумме, умноженной на вероятность того, что она будет выплачена в это время, и деленной на единицу, увеличенную на процентную ставку и возведенную в степень, выраженную числом этих лет.

Легко применить этот принцип к пожизненным рентам на одно или несколько лиц, к сберегательным кассам и к страховым обществам любого рода. Предположим, что предлагается составить таблицу пожизненных рент согласно заданной таблице смертности. Пожизненная рента, выплачиваемая, например, в конце пяти лет и приведенная к текущей сумме, по этому принципу равна произведению двух следующих величин, а именно: ренты, деленной на пятую степень единицы, увеличенной на процентную ставку, и вероятности ее выплаты. Эта вероятность представляет собой обратное отношение числа лиц, записанных в таблице напротив возраста того, кто устанавливает ренту, к числу лиц, записанных напротив этого возраста, увеличенного на пять лет. Составляя затем ряд дробей, знаменателями которых являются произведения числа лиц, указанных в таблице смертности как живущие в возрасте того, кто устанавливает ренту, на последовательные степени единицы, увеличенной на процентную ставку, а числителями — произведения ренты на число лиц, живущих в том же возрасте, увеличенном последовательно на один год, два года и т. д., сумма этих дробей будет составлять сумму, необходимую для пожизненной ренты в этом возрасте.

Предположим, что человек желает посредством пожизненной ренты обеспечить своим наследникам сумму, выплачиваемую в конце года его смерти. Чтобы определить стоимость этой ренты, можно представить, что человек занимает в банке этот капитал пожизненно и помещает его в тот же банк под бессрочный процент. Ясно, что этот же капитал будет причитаться банком его наследникам в конце года его смерти; но он будет выплачивать каждый год только разницу между пожизненным процентом и бессрочным процентом. Таблица пожизненных рент покажет тогда, что именно человек должен ежегодно выплачивать банку, чтобы обеспечить этот капитал после своей смерти.

Морское страхование, страхование от пожаров и бурь, и вообще все институты такого рода рассчитываются по тем же принципам. Купец, имеющий суда в море, желает застраховать их стоимость и стоимость их грузов от опасностей, которым они могут подвергнуться; для этого он передает сумму компании, которая берет на себя ответственность за оценочную стоимость его грузов и судов. Отношение этой стоимости к сумме, которая должна быть уплачена в качестве страхового взноса, зависит от опасностей, которым подвергаются суда, и может быть оценено только на основе многочисленных наблюдений за судьбой судов, вышедших из порта в том же направлении.

Если бы застрахованные лица платили страховой компании только сумму, указанную исчислением вероятностей, эта компания не смогла бы покрыть расходы своего института; необходимо, следовательно, чтобы они платили сумму, значительно превышающую стоимость такого страхования. В чем же тогда их выгода? Именно здесь становится необходимым рассмотрение морального невыгодного положения, связанного с неопределенностью. Понятно, что самая справедливая игра становится, как уже было замечено, невыгодной, потому что игрок обменивает верную ставку на неопределенную выгоду; страхование, посредством которого человек обменивает неопределенное на определенное, должно быть выгодным. Именно это и следует из правила, которое мы дали выше для определения морального ожидания, и с помощью которого можно, кроме того, увидеть, насколько далеко может простираться жертва, которую следует принести страховой компании, сохраняя при этом моральное преимущество. Эта компания может тогда, обеспечивая это преимущество, сама получить большую выгоду, если число застрахованных лиц очень велико — условие, необходимое для ее постоянного существования. Тогда ее выгоды становятся достоверными, а математическое и моральное ожидания совпадают; ибо анализ приводит к этой общей теореме, а именно: если ожиданий очень много, то оба ожидания непрерывно приближаются друг к другу и в конечном итоге совпадают в случае бесконечного числа.

Мы говорили при обсуждении математического и морального ожиданий, что существует моральное преимущество в распределении рисков выгоды, которую ожидают, на несколько ее частей. Так, чтобы отправить сумму денег в отдаленное место, гораздо лучше отправить ее на нескольких судах, чем подвергать риску на одном. Это делается посредством взаимного страхования. Если два лица, каждое из которых имеет одинаковую сумму на двух разных судах, вышедших из одного порта в одном направлении, договариваются поровну делить все деньги, которые могут прибыть, ясно, что этим соглашением каждый из них поровну делит между двумя судами сумму, которую он ожидает. Действительно, этот вид страхования всегда оставляет неопределенность относительно потери, которой можно опасаться. Но эта неопределенность уменьшается по мере увеличения числа страхователей; моральное преимущество возрастает все больше и больше и в конечном итоге совпадает с математическим преимуществом, своим естественным пределом. Это делает ассоциацию взаимного страхования, когда она очень многочисленна, более выгодной для застрахованных, чем страховые компании, которые, пропорционально выгоде, которую они дают, предоставляют моральное преимущество, всегда уступающее математическому преимуществу. Но надзор за их управлением может уравновесить преимущество взаимного страхования. Все эти результаты, как уже было замечено, не зависят от закона, выражающего моральное преимущество.

Можно рассматривать свободный народ как великую ассоциацию, члены которой взаимно обеспечивают свою собственность, пропорционально неся расходы по этой гарантии. Конфедерация нескольких народов дала бы им преимущества, аналогичные тем, которыми пользуется каждый индивид в обществе. Конгресс их представителей обсуждал бы объекты общей для всех полезности, и, без сомнения, система мер, весов и денег, предложенная французскими учеными, была бы принята на этом конгрессе как одна из вещей, наиболее полезных для торговых отношений.

Среди институтов, основанных на вероятностях человеческой жизни, лучшими являются те, в которых посредством небольшой жертвы своим доходом человек обеспечивает свое существование и существование своей семьи на время, когда следует опасаться неспособности удовлетворить их потребности. Насколько азартные игры аморальны, настолько эти институты выгодны для нравов, поощряя самые сильные склонности нашей природы. Правительство должно поэтому поощрять их и уважать в превратностях общественной судьбы; поскольку надежды, которые они представляют, устремлены в далекое будущее, они могут процветать только тогда, когда защищены от всякого беспокойства в течение своего существования. Это преимущество, которое обеспечивает им институт представительного правительства.

Скажем слово о займах. Ясно, что для того чтобы занимать бессрочно, необходимо каждый год выплачивать произведение капитала на процентную ставку. Но можно пожелать погасить этот основной капитал равными платежами, производимыми в течение определенного количества лет, платежами, которые называются аннуитетами и стоимость которых получается таким образом. Каждый аннуитет, чтобы быть приведенным к текущему моменту, должен быть разделен на степень единицы, увеличенной на процентную ставку, равную числу лет, через которые этот аннуитет должен быть выплачен. Формируя затем геометрическую прогрессию, первым членом которой является аннуитет, деленный на единицу, увеличенную на процентную ставку, а последним членом — этот аннуитет, деленный на ту же величину, возведенную в степень, равную числу лет, в течение которых должен был производиться платеж, сумма этой прогрессии будет эквивалентна заемному капиталу, что определит стоимость аннуитета. Амортизационный фонд по сути является лишь средством преобразования бессрочной ренты в аннуитеты, с той лишь разницей, что в случае займа посредством аннуитетов процент предполагается постоянным, тогда как процент на средства, приобретенные амортизационным фондом, является переменным. Если бы он был одинаковым в обоих случаях, аннуитет, соответствующий приобретенным средствам, формировался бы из этих средств, и из этого аннуитета государство ежегодно вносит вклад в амортизационный фонд.

Если желают сделать пожизненный заем, будет замечено, что таблицы пожизненных рент дают капитал, необходимый для установления пожизненной ренты в любом возрасте; простая пропорция даст ренту, которую следует платить индивиду, у которого заимствован капитал. На основе этих принципов могут быть рассчитаны все возможные виды займов.

Принципы, которые мы только что изложили относительно выгод и потерь институтов, могут служить для определения среднего результата любого числа уже сделанных наблюдений, когда желают учесть отклонения результатов, соответствующих различным наблюдениям. Обозначим через x поправку наименьшего результата, а через x, увеличенное последовательно на q, q', q'' и т. д., поправки следующих результатов. Назовем e, e', e'' и т. д. ошибки наблюдений, закон вероятности которых мы предположим известным. Поскольку каждое наблюдение является функцией результата, легко видеть, что при допущении, что поправка x этого результата очень мала, ошибка e первого наблюдения будет равна произведению x на определенный коэффициент. Аналогично, ошибка e' второго наблюдения будет произведением суммы q плюс x на определенный коэффициент, и так далее. Вероятность ошибки e, будучи заданной известной функцией, будет выражена той же функцией от первого из предыдущих произведений. Вероятность e' будет выражена той же функцией от второго из этих произведений, и так далее для остальных. Вероятность одновременного существования ошибок e, e', e'' и т. д. будет тогда пропорциональна произведению этих различных функций, произведению, которое будет функцией от x. При этом, если представить кривую, абсциссой которой является x, а соответствующей ординатой — это произведение, эта кривая будет представлять вероятность различных значений x, пределы которых будут определяться пределами ошибок e, e', e'' и т. д. Теперь обозначим через X абсциссу, которую необходимо выбрать; X, уменьшенное на x, будет ошибкой, которая была бы совершена, если бы абсцисса x была истинной поправкой. Эта ошибка, умноженная на вероятность x или на соответствующую ординату кривой, будет произведением потери на ее вероятность, рассматривая, как и следует, эту ошибку как потерю, связанную с выбором X. Умножая это произведение на дифференциал x, интеграл, взятый от первой крайности кривой до X, будет невыгодным положением X, возникающим из значений x, меньших X. Для значений x, больших X, x минус X было бы ошибкой X, если бы x был истинной поправкой; интеграл произведения x на соответствующую ординату кривой и на дифференциал x будет тогда невыгодным положением X, возникающим из значений x, больших X, причем этот интеграл берется от x, равного X, до последней крайности кривой. Добавляя это невыгодное положение к предыдущему, сумма будет невыгодным положением, связанным с выбором X. Этот выбор должен быть определен условием, чтобы это невыгодное положение было минимумом; и очень простой расчет показывает, что для этого X должен быть абсциссой, ордината которой делит кривую на две равные части, так что таким образом вероятно, что истинное значение x не попадает ни на ту, ни на другую сторону от X.

Знаменитые геометры выбрали для X наиболее вероятное значение x и, следовательно, то, которое соответствует наибольшей ординате кривой; но предыдущее значение представляется мне очевидно тем, которое указывает теория вероятности.

ГЛАВА XVI. ОБ ИЛЛЮЗИЯХ ПРИ ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Разум имеет свои иллюзии, как и чувство зрения; и подобно тому, как чувство осязания исправляет последнее, размышление и расчет исправляют первое. Вероятность, основанная на повседневном опыте или преувеличенная страхом и надеждой, поражает нас больше, чем высшая вероятность, но она является лишь простым результатом исчисления. Так, мы не боимся ради небольших преимуществ подвергать свою жизнь опасностям, гораздо менее невероятным, чем выигрыш квинта в лотерее Франции; и все же никто не пожелал бы обеспечить себе те же преимущества с уверенностью в потере жизни, если бы этот квинт выпал.

Наши страсти, наши предрассудки и господствующие мнения, преувеличивая благоприятные для них вероятности и преуменьшая противоположные вероятности, являются обильными источниками опасных иллюзий.

Настоящие беды и причина, их породившая, воздействуют на нас гораздо сильнее, чем воспоминание о бедах, вызванных противоположной причиной; они мешают нам справедливо оценить неудобства тех и других, а также вероятность надлежащих средств для защиты от них. Именно это приводит попеременно к деспотизму и к анархии народы, которые вырваны из состояния покоя, в которое они никогда не возвращаются иначе, как после долгих и жестоких потрясений.

Это яркое впечатление, которое мы получаем от присутствия событий и которое едва позволяет нам заметить противоположные события, наблюдаемые другими, является главной причиной ошибки, против которой невозможно достаточно предостеречься.

Именно в азартных играх множество иллюзий поддерживают надежду и сохраняют ее против неблагоприятных шансов. Большинство тех, кто играет в лотереи, не знают, сколько шансов в их пользу, сколько против них. Они видят только возможность при небольшой ставке выиграть значительную сумму, и проекты, которые порождает их воображение, преувеличивают в их глазах вероятность ее получения; бедняк особенно, возбужденный желанием лучшей участи, рискует в игре своим необходимым, цепляясь за самые неблагоприятные комбинации, которые обещают ему большую выгоду. Все были бы, без сомнения, удивлены огромным числом проигранных ставок, если бы могли узнать о них; но, напротив, заботятся о том, чтобы придать выигрышам большую огласку, что становится новой причиной возбуждения для этой печальной игры.

Когда номер в лотерее Франции долго не выпадает, толпа стремится покрыть его ставками. Они судят, что, поскольку номер долго не выпадал, он должен при следующем тираже выпасть в предпочтение другим. Столь распространенная ошибка представляется мне основанной на иллюзии, посредством которой невольно возвращаются к началу событий. Например, очень невероятно, что в игре в орлянку выпадет орел десять раз подряд. Эта невероятность, которая действительно поражает нас, когда это случилось девять раз, заставляет нас верить, что при десятом броске выпадет решка. Но прошлое, указывая в монете на большую склонность к орлу, чем к решке, делает первое из событий более вероятным, чем второе; оно увеличивает, как мы видели, вероятность выпадения орла при следующем броске. Подобная иллюзия убеждает многих людей, что можно наверняка выиграть в лотерею, ставя каждый раз на один и тот же номер, пока он не выпадет, ставку, произведение которой превосходит сумму всех ставок. Но даже если бы подобные спекуляции не останавливались часто невозможностью их поддерживать, они не уменьшили бы математическую невыгодность спекулянтов и увеличили бы их моральную невыгодность, поскольку при каждом тираже они рисковали бы очень большой частью своего состояния.

Я видел людей, страстно желавших иметь сына, которые могли узнать только с тревогой о рождениях мальчиков в месяц, когда они ожидали стать отцами. Воображая, что отношение этих рождений к рождениям девочек должно быть одинаковым в конце каждого месяца, они судили, что уже родившиеся мальчики сделают более вероятными рождения в дальнейшем девочек. Так, извлечение белого шара из урны, которая содержит ограниченное число белых и черных шаров, увеличивает вероятность извлечения черного шара при следующем извлечении. Но это перестает происходить, когда число шаров в урне неограниченно, как нужно предполагать, чтобы сравнить этот случай со случаем рождений. Если в течение месяца родилось гораздо больше мальчиков, чем девочек, можно было бы заподозрить, что ко времени их зачатия общая причина благоприятствовала мужскому зачатию, что сделало бы более вероятным рождение в дальнейшем мальчика. Случайные события природы не совсем сравнимы с извлечением номеров лотереи, в которой все номера перемешиваются при каждом тираже таким образом, чтобы сделать шансы их выпадения совершенно равными. Частота одного из этих событий, кажется, указывает на причину, слегка благоприятствующую ему, что увеличивает вероятность его следующего возвращения, и его повторение, продленное на долгое время, такое как длинная серия дождливых дней, может развить неизвестные причины для его изменения; так что при каждом ожидаемом событии мы не возвращаемся, как при каждом тираже лотереи, к тому же состоянию нерешительности относительно того, что должно произойти. Но по мере того, как наблюдение за этими событиями умножается, сравнение их результатов с результатами лотерей становится более точным.

Иллюзией, противоположной предыдущим, является поиск в прошлых тиражах лотереи Франции номеров, выпадавших чаще всего, чтобы сформировать комбинации, на которые думают поставить ставку с выгодой. Но когда рассматривается способ, которым происходит перемешивание номеров в этой лотерее, прошлое не должно иметь никакого влияния на будущее. Очень частые выпадения номера — это лишь аномалии случая; я подверг несколько из них расчету и постоянно находил, что они включены в пределы, которые допущение равной возможности выпадения всех номеров позволяет нам признать без невероятности.

В длинной серии событий одного и того же рода единичные шансы случая должны иногда предлагать исключительные полосы удачи или неудачи, которые большинство игроков не преминет приписать своего рода фатализму. Часто случается в играх, которые зависят одновременно от случая и от компетентности игроков, что тот, кто проигрывает, встревоженный своим проигрышем, стремится исправить его рискованными бросками, которых он избежал бы в другой ситуации; таким образом, он усугубляет свою собственную неудачу и продлевает ее продолжительность. Именно тогда становится необходимой осторожность и важно убедить себя, что моральное невыгодное положение, связанное с неблагоприятными шансами, увеличивается самой неудачей.

Мнение, что человек долгое время был помещен в центр вселенной, считая себя особым объектом забот природы, побуждает каждого индивида сделать себя центром более или менее обширной сферы и верить, что случай имеет предпочтение к нему. Поддерживаемые этой верой, игроки часто рискуют значительными суммами в играх, когда знают, что шансы неблагоприятны. В поведении жизни подобное мнение может иногда иметь преимущества; но чаще всего оно ведет к катастрофическим предприятиям. Здесь, как и везде, иллюзии опасны, и одна лишь истина обычно полезна.

Одним из великих преимуществ исчисления вероятностей является обучение нас недоверию к первым мнениям. Поскольку мы признаем, что они часто обманывают, когда могут быть подвергнуты исчислению, мы должны заключить, что в других делах доверие следует оказывать только после крайней осмотрительности. Докажем это на примере.

Урна содержит четыре шара, черных и белых, но которые не все одного цвета. Один из этих шаров был извлечен, цвет которого белый, и который был положен обратно в урну, чтобы снова приступить к подобным извлечениям. Требуется вероятность извлечения только черных шаров в четырех следующих извлечениях.

Если бы белых и черных было равное число, эта вероятность была бы четвертой степенью вероятности ½ извлечения черного шара при каждом извлечении; она была бы тогда 1/16. Но извлечение белого шара при первом извлечении указывает на превосходство в числе белых шаров в урне; ибо если предположить в урне три белых шара и один черный, вероятность извлечения белого шара равна ¾; она равна 2/4, если предположить два белых шара и два черных; наконец, она сводится к ¼, если предположить три черных шара и один белый. Следуя принципу вероятности причин, извлеченных из событий, вероятности этих трех предположений относятся между собой как величины ¾, 2/4, ¼; они, следовательно, равны 3/6, 2/6, 1/6. Это, таким образом, пари 5 против 1, что число черных шаров меньше или, самое большее, равно числу белых. Кажется тогда, что после извлечения белого шара при первом извлечении вероятность извлечения последовательно четырех черных шаров должна быть меньше, чем в случае равенства цветов, или меньше, чем одна шестнадцатая. Однако это не так, и очень простым расчетом найдено, что эта вероятность больше, чем одна четырнадцатая. Действительно, это была бы четвертая степень ¼, 2/4 и ¾ в первом, втором и третьем из предыдущих предположений относительно цветов шаров в урне. Умножая соответственно каждую степень на вероятность соответствующего предположения, или на 3/6, 2/6 и 1/6, сумма произведений будет вероятностью извлечения последовательно четырех черных шаров. Имеем таким образом для этой вероятности 29/384, дробь, большую, чем 1/14. Этот парадокс объясняется рассмотрением того, что указание на превосходство белых шаров над черными при первом извлечении вовсе не исключает превосходства черных шаров над белыми, превосходства, которое исключает предположение о равенстве цветов. Но это превосходство, хотя и мало вероятное, должно сделать вероятность извлечения последовательно данного числа черных шаров большей, чем в этом предположении, если число значительно; и только что видели, что это начинается, когда данное число равно четырем. Рассмотрим снова урну, которая содержит несколько белых и черных шаров. Предположим сначала, что есть только один белый шар и один черный. Это тогда равное пари, что белый шар будет извлечен в одном извлечении. Но кажется для равенства пари, что тот, кто ставит на извлечение белого шара, должен иметь два извлечения, если урна содержит два черных и один белый, три извлечения, если она содержит три черных и один белый, и так далее; предполагается, что после каждого извлечения извлеченный шар кладется обратно в урну.

Мы легко убеждаемся, что эта первая идея ошибочна. Действительно, в случае двух черных и одного белого шара вероятность извлечения двух черных в двух извлечениях есть вторая степень 2/3 или 4/9; но эта вероятность, добавленная к вероятности извлечения белого шара в двух извлечениях, есть достоверность или единица, так как достоверно, что два черных шара или по крайней мере один белый шар должны быть извлечены; вероятность в этом последнем случае есть тогда 5/9, дробь, большая, чем ½. Было бы все еще большее преимущество в пари на извлечение одного белого шара в пяти бросках, когда урна содержит пять черных и один белый шар; это пари даже выгодно в четырех извлечениях; оно возвращается тогда к пари на выпадение шести в четырех бросках с одной игральной костью.

Шевалье де Мере, который вызвал изобретение исчисления вероятностей, побудив своего друга Паскаля, великого геометра, заняться им, сказал ему, «что он нашел ошибку в числах по этому отношению. Если мы беремся сделать шесть с одной костью, есть преимущество в том, чтобы взяться за это в четырех бросках, как 671 к 625. Если мы беремся сделать две шестерки с двумя костями, есть невыгодность в том, чтобы взяться за это в 24 бросках. По крайней мере 24 относится к 36, числу граней двух костей, как 4 относится к 6, числу граней одной кости». «Это был», — писал Паскаль Ферма, — «его великий скандал, который заставил его смело сказать, что предложения не постоянны и что арифметика сошла с ума.... У него очень хороший ум, но он не геометр, что является, как вы знаете, большим недостатком». Шевалье де Мере, обманутый ложной аналогией, думал, что в случае равенства пари число бросков должно увеличиваться пропорционально числу всех шансов возможных, что не точно, но что приближается к точности по мере того, как это число становится больше.

Пытались объяснить превосходство рождений мальчиков над рождениями девочек общим желанием отцов иметь сына, который увековечил бы имя. Так, воображая урну, наполненную бесконечностью белых и черных шаров в равном числе, и предполагая большое число лиц, каждое из которых извлекает шар из этой урны и продолжает с намерением остановиться, когда он извлечет белый шар, полагали, что это намерение должно сделать число извлеченных белых шаров превосходящим число черных. Действительно, это намерение дает обязательно после всех извлечений число белых шаров, равное числу лиц, и возможно, что эти извлечения никогда не привели бы к черному шару. Но легко видеть, что это первое понятие — лишь иллюзия; ибо если представить, что в первом извлечении все лица извлекают сразу шар из урны, очевидно, что их намерение не может иметь никакого влияния на цвет шаров, которые должны появиться при этом извлечении. Его единственным эффектом будет исключение из второго извлечения лиц, которые извлекли белый шар при первом. Также очевидно, что намерение лиц, которые примут участие в новом извлечении, не будет иметь никакого влияния на цвет шаров, которые будут извлечены, и что то же самое будет при следующих извлечениях. Это намерение не будет иметь влияния тогда на цвет шаров, извлеченных в совокупности извлечений; оно, однако, заставит больше или меньше лиц участвовать в каждом извлечении. Отношение извлеченных белых шаров к черным будет отличаться таким образом очень мало от единицы. Отсюда следует, что число лиц предполагается очень большим, если наблюдение дает между извлеченными цветами отношение, которое отличается ощутимо от единицы, очень вероятно, что та же разница находится между единицей и отношением белых шаров к черным, содержащимся в урне.

Я отношу снова к иллюзиям применение, которое Лейбниц и Даниил Бернулли сделали из исчисления вероятностей к суммированию рядов. Если привести дробь, числителем которой является единица, а знаменателем — единица плюс переменная, в ряд, предписанный отношением к степеням этой переменной, легко видеть, что при допущении переменной равной единице дробь становится ½, а ряд становится плюс один, минус один, плюс один, минус один и т. д. При сложении первых двух членов, вторых двух и так далее, ряд преобразуется в другой, каждый член которого есть ноль. Гранди, итальянский иезуит, заключил из этого возможность творения; потому что ряд, будучи всегда ½, он видел эту дробь, возникающую из бесконечности нулей или из ничего. Именно так Лейбниц верил, что видел образ творения в своей двоичной арифметике, где он использовал только два знака, единицу и ноль. Он воображал, поскольку Бог может быть представлен единицей, а ничто — нулем, что Верховное Существо извлекло из ничего все существа, как единица с нулем выражает все числа в этой системе арифметики. Эта идея была столь приятна Лейбницу, что он сообщил ее иезуиту Гримальди, президенту трибунала математики в Китае, в надежде, что эта эмблема творения обратит в христианство императора там, который особенно любил науки. Я сообщаю этот инцидент только для того, чтобы показать, до какой степени предрассудки младенчества могут ввести в заблуждение величайших людей.

Лейбниц, всегда ведомый своеобразной и очень свободной метафизикой, считал, что ряд плюс один, минус один, плюс один и т. д. становится единицей или нулем в зависимости от того, останавливаются ли на числе членов нечетном или четном; и так как в бесконечности нет причины предпочесть четное число нечетному, следует, следуя правилам вероятности, взять половину результатов, относящихся к этим двум видам чисел, которые есть ноль и единица, что дает ½ для значения ряда. Даниил Бернулли с тех пор расширил это рассуждение на суммирование рядов, сформированных из периодических членов. Но все эти ряды не имеют значений, собственно говоря; они получают их только в случае, когда их члены умножены на последовательные степени переменной, меньшей единицы. Тогда эти ряды всегда сходящиеся, как бы мало ни предполагали разницу переменной от единицы; и легко продемонстрировать, что значения, назначенные Бернулли, в силу правила вероятностей, являются теми же значениями порождающей дроби ряда, когда предполагают в этих дробях переменную равной единице. Эти значения являются снова пределами, к которым ряды приближаются все больше и больше, по мере того как переменная приближается к единице. Но когда переменная точно равна единице, ряды перестают быть сходящимися; они имеют значения только до тех пор, пока их останавливают. Замечательное отношение этого применения исчисления вероятностей с пределами значений периодических рядов предполагает, что члены этих рядов умножены на все последовательные степени переменной. Но этот ряд может возникнуть из развития бесконечности различных дробей, в которых этого не происходило. Так, ряд плюс один, минус один, плюс один и т. д. может возникнуть из развития дроби, числителем которой является единица плюс переменная, а знаменателем — этот числитель, увеличенный на квадрат переменной. Предполагая переменную равной единице, это развитие меняется в предложенный ряд, и порождающая дробь становится равной 2/3; правила вероятностей дали бы тогда ложный результат, что доказывает, как опасно было бы использовать подобные рассуждения, особенно в математических науках, которые должны быть особенно отличены строгостью своих операций.

Нас естественным образом подталкивает к убеждению то, что порядок, в котором мы видим обновление вещей на Земле, существовал всегда и будет продолжаться вечно. Действительно, если бы нынешнее состояние Вселенной было в точности подобно предшествующему состоянию, которое его породило, оно, в свою очередь, породило бы подобное состояние; последовательность этих состояний была бы тогда вечной. Применяя анализ к закону всемирного тяготения, я обнаружил, что движение вращения и обращения планет и спутников, а также положение орбит и их экваторов подвержены лишь периодическим неравенствам. Сравнивая теорию векового уравнения Луны с древними затмениями, я нашел, что со времен Гиппарха продолжительность суток не изменилась и на сотую долю секунды, а средняя температура Земли не уменьшилась и на сотую долю градуса. Таким образом, стабильность существующего порядка представляется установленной одновременно теорией и наблюдениями. Но этот порядок подвержен влиянию различных причин, которые обнаруживаются внимательным изучением и которые невозможно подчинить исчислению.

Действия океана, атмосферы и метеоров, землетрясения и извержения вулканов постоянно взбудораживают поверхность Земли и в конечном итоге должны приводить к значительным изменениям. Температура климата, объем атмосферы и пропорция составляющих ее газов могут варьироваться в незначительной степени. Поскольку инструменты и средства, пригодные для определения этих вариаций, являются новыми, наблюдение до сих пор не могло дать нам ничего определенного в этом отношении. Но вряд ли вероятно, что причины, которые поглощают и обновляют газы, составляющие воздух, поддерживают в точности свои соответствующие пропорции. Длинная череда столетий покажет изменения, которые испытывают все эти элементы, столь существенные для сохранения организованных существ. Хотя исторические памятники не восходят к очень глубокой древности, они тем не менее предлагают нам достаточно значительные изменения, произошедшие в результате медленного и непрерывного действия природных агентов. Исследуя недра Земли, обнаруживают многочисленные остатки прежней природы, совершенно отличные от нынешней. Более того, если вся Земля вначале была жидкой, как все, по-видимому, указывает, можно представить, что при переходе от этого состояния к тому, которое она имеет сейчас, ее поверхность должна была претерпеть колоссальные изменения. Сами небеса, несмотря на порядок своих движений, не являются неизменными. Сопротивление света и других эфирных жидкостей, а также притяжение звезд должны по прошествии большого числа столетий значительно изменить планетарные движения. Вариации, уже наблюдаемые в звездах и в форме туманностей, дают нам предчувствие тех, которые время разовьет в системе этих великих тел. Можно представить последовательные состояния Вселенной в виде кривой, абсциссой которой было бы время, а ординатами — различные состояния. Едва зная один элемент этой кривой, мы далеки от того, чтобы иметь возможность вернуться к ее истокам; и если, чтобы удовлетворить воображение, всегда беспокойное из-за нашего незнания причин интересующих его явлений, кто-то решается на некоторые предположения, мудро будет представлять их лишь с крайней осторожностью.

В оценке вероятностей существует своего рода иллюзии, которые, завися особенно от законов интеллектуальной организации, требуют для защиты от них глубокого изучения этих законов. Желание проникнуть в будущее и сопоставление некоторых примечательных событий с предсказаниями астрологов, прорицателей и предсказателей, с предчувствиями и снами, с числами и днями, считающимися счастливыми или несчастливыми, породили множество предрассудков, до сих пор очень распространенных. Люди не задумываются о большом количестве несовпадений, которые не произвели никакого впечатления или неизвестны. Однако необходимо быть знакомым с ними, чтобы оценить вероятность причин, которым приписываются совпадения. Это знание, несомненно, подтвердило бы то, что говорит нам разум в отношении этих предрассудков. Так, философ древности, которому в храме показывают, чтобы возвеличить силу почитаемого там бога, обетные дары всех тех, кто после призыва к нему был спасен от кораблекрушения, представляет случай, согласующийся с исчислением вероятностей, замечая, что он не видит начертанными имена тех, кто, несмотря на это призывание, погиб. Цицерон опроверг все эти предрассудки с большим разумом и красноречием в своем «Трактате о дивинации», который он заканчивает отрывком, который я процитирую; ибо любят находить вновь среди древних громы разума, которые, рассеяв своим светом все предрассудки, станут единственным фундаментом человеческих институтов.

«Необходимо, — говорит римский оратор, — отвергнуть дивинацию по снам и все подобные предрассудки. Распространенное суеверие подчинило большинство умов и завладело слабостью людей. Именно это мы изложили в наших книгах о природе богов и особенно в этой работе, будучи убеждены, что окажем услугу другим и самим себе, если преуспеем в разрушении суеверия. Однако (и я особенно желаю, чтобы в этом отношении моя мысль была хорошо понята), разрушая суеверие, я далек от желания нарушить религию. Мудрость предписывает нам поддерживать институты и церемонии наших предков, касающиеся культа богов. Более того, красота Вселенной и порядок небесных вещей заставляют нас признать некую высшую природу, которая должна быть замечена и восхищена человеческим родом. Но насколько подобает распространять религию, которая соединена с познанием природы, настолько необходимо работать над искоренением суеверия, ибо оно мучает, докучает и преследует человека постоянно и во всех местах. Если кто-то консультируется с прорицателем или предсказателем, если кто-то приносит в жертву животное, если кто-то наблюдает за полетом птицы, если кто-то встречает халдея или гаруспика, если сверкает молния, если гремит гром, если ударяет молния, наконец, если рождается или проявляется своего рода чудо, вещи, одна из которых часто должна случаться, тогда суеверие доминирует и не оставляет покоя. Сам сон, это прибежище смертных в их бедах и трудах, становится благодаря ему новым источником беспокойства и страха».

Все эти предрассудки и ужасы, которые они внушают, связаны с физиологическими причинами, которые иногда продолжают сильно действовать после того, как разум избавил нас от них. Но повторение действий, противоречащих этим предрассудкам, всегда может их разрушить.

ГЛАВА XVII. О РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ К ДОСТОВЕРНОСТИ.

Индукция, аналогия, гипотезы, основанные на фактах и постоянно исправляемые новыми наблюдениями, счастливый такт, данный природой и укрепленный многочисленными сравнениями его указаний с опытом, — таковы основные средства для достижения истины.

Если рассматривать ряд объектов одной природы, то среди них и в их изменениях можно заметить отношения, которые проявляются все больше и больше по мере того, как ряд удлиняется, и которые, постоянно расширяясь и обобщаясь, приводят наконец к принципу, из которого они были выведены. Но эти отношения окутаны столькими странными обстоятельствами, что требуется большая проницательность, чтобы распутать их и вернуться к этому принципу: именно в этом состоит истинный гений наук. Анализ и натурфилософия обязаны своими важнейшими открытиями этому плодотворному средству, которое называется индукцией. Ньютон был обязан ей своей теоремой о биноме и принципом всемирного тяготения. Трудно оценить вероятность результатов индукции, которая основана на том, что простейшие отношения являются наиболее распространенными; это подтверждается в формулах анализа и встречается вновь в природных явлениях, в кристаллизации и в химических соединениях. Эта простота отношений не покажется удивительной, если мы учтем, что все эффекты природы являются лишь математическими результатами небольшого числа неизменных законов.

Однако индукция, ведя к открытию общих принципов наук, не достаточна для их абсолютного установления. Всегда необходимо подтверждать их демонстрациями или решающими опытами; ибо история наук показывает нам, что индукция иногда приводила к неточным результатам. Я процитирую, например, теорему Ферма относительно простых чисел. Этот великий геометр, глубоко размышлявший над этой теоремой, искал формулу, которая, содержа только простые числа, давала бы непосредственно простое число, большее любого другого назначаемого числа. Индукция привела его к мысли, что два, возведенное в степень, которая сама является степенью двойки, образует с единицей простое число. Так, два в квадрате плюс один образует простое число пять; два во второй степени двойки, или шестнадцать, образует с единицей простое число семнадцать. Он обнаружил, что это остается верным для восьмой и шестнадцатой степени двойки, увеличенной на единицу; и эта индукция, основанная на нескольких арифметических соображениях, заставила его рассматривать этот результат как общий. Однако он признавал, что не доказал его. Действительно, Эйлер признал, что это неверно для тридцать второй степени двойки, которая, будучи увеличенной на единицу, дает 4 294 967 297, число, делимое на 641.

Мы судим по индукции, что если различные события, например, движения, появляются постоянно и долгое время связаны простым отношением, они будут продолжать подчиняться ему; и мы заключаем из этого, согласно теории вероятностей, что это отношение обусловлено не случайностью, а регулярной причиной. Так, равенство движений вращения и обращения Луны; равенство движений узлов орбиты и лунного экватора, и совпадение этих узлов; сингулярное отношение движений первых трех спутников Юпитера, согласно которому средняя долгота первого спутника минус три долготы второго плюс две долготы третьего равна двум прямым углам; равенство интервала приливов интервалу прохождения Луны через меридиан; возвращение наибольших приливов с сизигиями, а наименьших — с квадратурами; все эти вещи, которые сохраняются с тех пор, как были впервые замечены, указывают с чрезвычайной вероятностью на существование постоянных причин, которые геометры с успехом сумели связать с законом всемирного тяготения, и знание которых делает достоверной неизменность этих отношений.

Канцлер Бэкон, красноречивый пропагандист истинного философского метода, сделал очень странное злоупотребление индукцией, чтобы доказать неподвижность Земли. Он рассуждает так в «Novum Organum», своей лучшей работе: «Движение звезд с востока на запад увеличивается в быстроте пропорционально их удаленности от Земли. Это движение самое быстрое у звезд; оно немного замедляется у Сатурна, еще немного у Юпитера и так далее до Луны и самых высоких комет. Оно все еще заметно в атмосфере, особенно между тропиками, из-за больших кругов, которые описывают там молекулы воздуха; наконец, оно почти незаметно у океана; значит, оно равно нулю для Земли». Но эта индукция доказывает лишь то, что Сатурн и звезды, которые ниже его, имеют свои собственные движения, противоположные реальному или кажущемуся движению, которое охватывает всю небесную сферу с востока на запад, и что эти движения кажутся более медленными у более удаленных звезд, что соответствует законам оптики. Бэкон должен был быть поражен невообразимой быстротой, которую требуют звезды, чтобы совершить свое суточное обращение, если Земля неподвижна, и чрезвычайной простотой, с которой ее вращение объясняет, как тела, столь удаленные друг от друга, как звезды, Солнце, планеты и Луна, все кажутся подчиненными этому обращению. Что касается океана и атмосферы, он не должен сравнивать их движение с движением звезд, которые отделены от Земли; но поскольку воздух и море являются частью земного шара, они должны участвовать в его движении или в его покое. Удивительно, что Бэкон, увлеченный своим гением к великим перспективам, не был покорен величественной идеей, которую предлагает Коперниканская система Вселенной. Он мог бы, однако, найти в пользу этой системы сильные аналогии в открытиях Галилея, которые были продолжены им. Он дал для поиска истины предписание, но не пример. Но настаивая со всей силой разума и красноречия на необходимости отказа от незначительных тонкостей школы, чтобы посвятить себя наблюдениям и опытам, и указывая истинный метод восхождения к общим причинам явлений, этот великий философ способствовал огромным шагам, которые сделал человеческий разум в великом веке, в котором он завершил свою карьеру.

Аналогия основана на вероятности того, что подобные вещи имеют причины того же рода и производят те же эффекты. Эта вероятность возрастает по мере того, как сходство становится более совершенным. Так, мы судим без сомнения, что существа, снабженные одними и теми же органами, делающие одни и те же вещи, испытывают одни и те же ощущения и движимы одними и теми же желаниями. Вероятность того, что животные, которые похожи на нас, имеют ощущения, аналогичные нашим, хотя и немного уступает той, которая относится к индивидам нашего вида, все же чрезвычайно велика; и потребовалось все влияние религиозных предрассудков, чтобы заставить нас думать вместе с некоторыми философами, что животные — это просто автоматы. Вероятность существования чувства уменьшается в той же пропорции, в какой уменьшается сходство органов с нашими, но она всегда очень велика, даже у насекомых. Видя, как особи одного и того же вида выполняют очень сложные вещи в точности одинаковым образом из поколения в поколение, не научившись им, приходишь к убеждению, что они действуют посредством своего рода сродства, аналогичного тому, которое сближает молекулы кристаллов, но которое, вместе с ощущением, присущим всей животной организации, производит, с регулярностью химических соединений, комбинации, которые гораздо более своеобразны; можно было бы, возможно, назвать это смешение избирательных сродств и ощущений животным сродством. Хотя существует большое сходство между организацией растений и животных, мне не кажется достаточным распространить на овощи чувство ощущения; но ничто не уполномочивает нас отрицать его у них.

Поскольку Солнце порождает, благодаря благотворному действию своего света и тепла, животных и растения, которые покрывают Землю, мы судим по аналогии, что оно производит подобные эффекты на других планетах; ибо неестественно думать, что причина, активность которой мы видим развитой столькими способами, должна быть бесплодной на такой большой планете, как Юпитер, который, подобно земному шару, имеет свои дни, свои ночи и свои годы, и на котором наблюдения указывают на изменения, предполагающие очень активные силы. Однако это было бы слишком большим расширением аналогии, чтобы заключать из нее о сходстве обитателей планет и Земли. Человек, созданный для температуры, которой он наслаждается, и для элемента, которым он дышит, не смог бы, по всей видимости, жить на других планетах. Но не должно ли быть бесконечности организаций, относительных к различным конституциям глобусов этой Вселенной? Если единственная разница элементов и климатов создает такое разнообразие в земных произведениях, насколько большей должна быть разница среди таковых различных планет и их спутников! Самое активное воображение не может составить об этом никакого представления; но их существование очень вероятно.

Нас подталкивает сильная аналогия рассматривать звезды как множество солнц, наделенных, подобно нашему, силой притяжения, пропорциональной массе и обратно пропорциональной квадрату расстояний; ибо эта сила, будучи доказанной для всех тел солнечной системы и для их мельчайших молекул, по-видимому, принадлежит всей материи. Уже движения малых звезд, которые были названы двойными из-за того, что они бинарны, по-видимому, указывают на это; столетие точных наблюдений самое большее, подтвердив их движения обращения друг вокруг друга, поставит вне сомнения их взаимные притяжения.

Аналогия, которая ведет нас к тому, чтобы сделать каждую звезду центром планетарной системы, гораздо менее сильна, чем предыдущая; но она приобретает вероятность благодаря гипотезе, которая была предложена относительно формирования звезд и Солнца; ибо в этой гипотезе каждая звезда, будучи, подобно Солнцу, примитивно окруженной обширной атмосферой, естественно приписать этой атмосфере те же эффекты, что и солнечной атмосфере, и предположить, что она произвела, конденсируясь, планеты и спутники.

Большое количество открытий в науках обязано аналогии. Я процитирую как одно из самых примечательных открытие атмосферного электричества, к которому пришли по аналогии электрических явлений с эффектами грома.

Самый верный метод, который может направлять нас в поиске истины, состоит в восхождении путем индукции от явлений к законам и от законов к силам. Законы — это отношения, которые связывают частные явления вместе: когда они показали общий принцип сил, из которых они выведены, его проверяют либо прямыми опытами, когда это возможно, либо исследованием, согласуется ли он с известными явлениями; и если путем строгого анализа мы видим, что они исходят из этого принципа, даже в своих мелких деталях, и если, более того, они весьма разнообразны и очень многочисленны, тогда наука приобретает высшую степень достоверности и совершенства, которой она способна достичь. Такой стала астрономия благодаря открытию всемирного тяготения. История наук показывает, что медленный и трудоемкий путь индукции не всегда был путем изобретателей. Воображение, нетерпеливое дойти до причин, находит удовольствие в создании гипотез, и часто оно изменяет факты, чтобы приспособить их к своей работе; тогда гипотезы опасны. Но когда их рассматривают лишь как средство связи явлений для открытия законов; когда, отказываясь приписывать им реальность, их постоянно исправляют новыми наблюдениями, они способны привести к истинным причинам или, по крайней мере, поставить нас в положение заключать из наблюдаемых явлений те, которые должны произвести данные обстоятельства.

Если бы мы испытали все гипотезы, которые могут быть сформированы относительно причины явлений, мы пришли бы путем процесса исключения к истинной. Это средство применялось с успехом; иногда мы приходили к нескольким гипотезам, которые объясняют одинаково хорошо все известные факты и среди которых ученые разделены, пока решающие наблюдения не сделали известной истинную. Тогда интересно для истории человеческого разума вернуться к этим гипотезам, увидеть, как они преуспевают в объяснении большого количества фактов, и исследовать изменения, которые они должны претерпеть, чтобы согласиться с историей природы. Именно так система Птолемея, которая является лишь реализацией небесных явлений, трансформируется в гипотезу движения планет вокруг Солнца, делая равными и параллельными солнечной орбите круги и эпициклы, которые он заставляет описывать ежегодно, и величину которых он оставляет неопределенной. Достаточно тогда, чтобы изменить эту гипотезу в истинную систему мира, перенести кажущееся движение Солнца в смысле, противоположном Земле.

Почти всегда невозможно подчинить исчислению вероятность результатов, полученных этими различными средствами; это верно также для исторических фактов. Но совокупность объясненных явлений или свидетельств иногда такова, что, не будучи в состоянии оценить вероятность, мы не можем разумно позволить себе какие-либо сомнения в отношении них. В других случаях благоразумно допускать их лишь с большой осторожностью.

ГЛАВА XVIII. ИСТОРИЧЕСКОЕ ЗАМЕЧАНИЕ КАСАТЕЛЬНО ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Давно были определены в простейших играх отношения шансов, которые благоприятны или неблагоприятны для игроков; ставки и пари регулировались согласно этим отношениям. Но никто до Паскаля и Ферма не давал принципов и методов для подчинения этого предмета исчислению, и никто не решал довольно сложные вопросы такого рода. Именно к этим двум великим геометрам мы должны отнести первые элементы науки о вероятностях, открытие которой можно причислить к примечательным вещам, прославившим семнадцатый век — век, который сделал величайшую честь человеческому разуму. Основная проблема, которую они решили разными методами, состоит, как мы видели, в справедливом распределении ставки между игроками, которые предполагаются одинаково искусными и которые соглашаются остановить игру до того, как она закончена, при условии игры, что для выигрыша игры нужно набрать данное число очков, различное для каждого из игроков. Ясно, что распределение должно быть сделано пропорционально соответствующим вероятностям игроков на выигрыш этой игры, причем вероятности зависят от чисел очков, которых еще не хватает. Метод Паскаля очень остроумен и в основе своей является лишь уравнением в частных разностях этой проблемы, примененным при определении последовательных вероятностей игроков, переходя от наименьших чисел к следующим. Этот метод ограничен случаем двух игроков; метод Ферма, основанный на комбинациях, применяется к любому числу игроков. Паскаль полагал сначала, что он, подобно его собственному, ограничен двумя игроками; это вызвало между ними дискуссию, по завершении которой Паскаль признал общность метода Ферма.

Гюйгенс объединил различные проблемы, которые уже были решены, и добавил новые в небольшом трактате, первом, который появился по этому предмету и который имеет заглавие «De Ratiociniis in ludo aleæ». Несколько геометров занимались этим предметом с тех пор: Хадде, великий пенсионарий, Витт в Голландии и Галлей в Англии применили исчисление к вероятностям человеческой жизни, и Галлей опубликовал в этой области первую таблицу смертности. Около того же времени Якоб Бернулли предложил геометрам различные проблемы вероятности, решения которых он впоследствии дал. Наконец, он составил свою прекрасную работу под названием «Ars conjectandi», которая появилась через семь лет после его смерти, последовавшей в 1706 году. Наука о вероятностях более глубоко исследована в этой работе, чем в работе Гюйгенса. Автор дает общую теорию комбинаций и рядов и применяет ее к нескольким трудным вопросам, касающимся случайностей. Эта работа до сих пор примечательна благодаря справедливости и остроте взгляда, применению формулы бинома в такого рода вопросах и доказательству этой теоремы, а именно, что при умножении до бесконечности наблюдений и опытов отношение событий различных природ приближается к отношению их соответствующих вероятностей в пределах, интервал которых становится все более узким по мере того, как они умножаются, и становится меньше любого назначаемого количества. Эта теорема очень полезна для получения путем наблюдений законов и причин явлений. Бернулли придает, с основанием, большое значение своему доказательству, над которым, как говорят, он размышлял двадцать лет.

В интервале от смерти Якоба Бернулли до публикации его работы Монмор и Муавр выпустили два трактата об исчислении вероятностей. Трактат Монмора имеет заглавие «Essai sur les Jeux de hasard»; он содержит многочисленные применения этого исчисления к различным играм. Автор добавил во втором издании некоторые письма, в которых Николай Бернулли дает остроумные решения нескольких трудных проблем. Трактат Муавра, более поздний, чем трактат Монмора, появился сначала в «Philosophical Transactions» 1711 года. Затем автор опубликовал его отдельно, и он улучшал его последовательно в трех изданиях. Эта работа в основном основана на формуле бинома, и проблемы, которые она содержит, имеют, подобно их решениям, великую общность. Но ее отличительной чертой является теория рекуррентных рядов и их использование в этом предмете. Эта теория представляет собой интегрирование линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами, которое Муавр совершил очень удачным образом.

В своей работе Муавр вновь взялся за теорию Якоба Бернулли относительно вероятности результатов, определенных большим числом наблюдений. Он не довольствуется тем, что показывает, как Бернулли, что отношение событий, которые должны произойти, приближается без конца к отношению их соответствующих вероятностей; но он дает, кроме того, элегантное и простое выражение вероятности того, что разность этих двух отношений содержится в данных пределах. Для этой цели он определяет отношение наибольшего члена разложения очень высокой степени бинома к сумме всех его членов и гиперболический логарифм избытка этого члена над членами, прилежащими к нему.

Наибольший член будучи тогда произведением значительного числа факторов, его числовое исчисление становится непрактичным. Чтобы получить его путем сходящегося приближения, Муавр использует теорему Стирлинга относительно среднего члена бинома, возведенного в высокую степень, примечательную теорему, особенно в том, что она вводит квадратный корень из отношения окружности к радиусу в выражение, которое, по-видимому, должно быть нерелевантным к этому трансцендентному числу. Более того, Муавр был сильно поражен этим результатом, который Стирлинг вывел из выражения окружности в бесконечных произведениях; Валлис пришел к этому выражению путем сингулярного анализа, который содержит зародыш очень любопытной и полезной теории определенных интегралов.

Многие ученые, среди которых следует назвать Депарсье, Керссебума, Варгентина, Дюпре де Сен-Мора, Симпсона, Зюссмильха, Мессена, Моэ, Прайса, Бейли и Дювийяра, собрали большое количество точных данных относительно населения, рождений, браков и смертности. Они дали формулы и таблицы, относящиеся к пожизненным рентам, тондинам, страхованиям и т. д. Но в этом кратком замечании я могу лишь указать на эти полезные работы, чтобы придерживаться оригинальных идей. Из этого числа особого упоминания заслуживают математические и моральные ожидания и остроумный принцип, который Даниил Бернулли дал для подчинения последних анализу. Таково же счастливое применение, которое он сделал из исчисления вероятностей к инокуляции. Следует особенно включить в число этих оригинальных идей прямое рассмотрение возможности событий, выведенных из наблюдаемых событий. Якоб Бернулли и Муавр предполагали эти возможности известными, и они искали вероятность того, что результат будущих опытов будет все более точно представлять их. Байес в «Philosophical Transactions» 1763 года искал непосредственно вероятность того, что возможности, указанные прошлыми опытами, заключены в данных пределах; и он пришел к этому утонченным и очень остроумным образом, хотя и немного запутанным. Этот предмет связан с теорией вероятности причин и будущих событий, заключенных из наблюдаемых событий. Несколько лет спустя я изложил принципы этой теории с замечанием о влиянии неравенств, которые могут существовать среди шансов, предполагаемых равными. Хотя неизвестно, какие из простых событий эти неравенства благоприятствуют, тем не менее это незнание само часто увеличивает вероятность сложных событий.

Обобщая анализ и проблемы, касающиеся вероятностей, я пришел к исчислению частных конечных разностей, которое Лагранж с тех пор трактовал очень простым методом, элегантные применения которого он использовал в этом роде проблем. Теория производящих функций, которую я опубликовал примерно в то же время, включает эти предметы среди тех, которые она охватывает, и приспособлена сама по себе и с величайшей общностью к самым трудным вопросам вероятности. Она определяет вновь, путем очень сходящихся приближений, значения функций, составленных из большого числа членов и факторов; и, показывая, что квадратный корень из отношения окружности к радиусу входит наиболее часто в эти значения, она показывает, что бесконечность других трансцендентных величин может быть введена.

Свидетельства, голоса и решения избирательных и совещательных собраний, а также суждения трибуналов были подчинены также исчислению вероятностей. Столько страстей, различных интересов и обстоятельств усложняют вопросы, относящиеся к предметам, что они почти всегда неразрешимы. Но решение очень простых проблем, которые имеют большое сходство с ними, может часто пролить на трудные и важные вопросы большой свет, который достоверность исчисления делает всегда предпочтительным самым спекулятивным рассуждениям.

Одно из самых интересных применений исчисления вероятностей касается средних значений, которые должны быть выбраны среди результатов наблюдений. Многие геометры изучали этот предмет, и Лагранж опубликовал в «Mémoires de Turin» прекрасный метод для определения этих средних значений, когда закон ошибок наблюдений известен. Я дал для той же цели метод, основанный на сингулярной уловке, которая может быть применена с выгодой в других вопросах анализа; и это, позволяя бесконечное расширение во всем ходе долгого вычисления функций, которые должны быть ограничены природой проблемы, указывает модификации, которые каждый член окончательного результата должен получить в силу этих ограничений. Уже было замечено, что каждое наблюдение доставляет условное уравнение первой степени, которое всегда может быть расположено таким образом, чтобы все его члены были в первой части, вторая будучи нулем. Использование этих уравнений является одной из главных причин большой точности наших астрономических таблиц, потому что огромное число отличных наблюдений было таким образом заставлено содействовать в определении их элементов. Когда есть только один элемент, который должен быть определен, Котс предписал, чтобы условные уравнения были подготовлены таким образом, чтобы коэффициент неизвестного элемента был положительным в каждом из них; и чтобы все эти уравнения были сложены, чтобы сформировать нормальное уравнение, откуда выводится значение этого элемента. Правило Котса соблюдалось всеми вычислителями, но поскольку он не смог определить несколько элементов, не было фиксированного правила для комбинирования условных уравнений таким образом, чтобы получить необходимые нормальные уравнения; но выбирали для каждого элемента наблюдения, наиболее подходящие для его определения. Именно чтобы избежать этих блужданий, Лежандр и Гаусс решили сложить квадраты первых частей условных уравнений и сделать сумму минимумом, варьируя каждый неизвестный элемент; этим средством получается непосредственно столько нормальных уравнений, сколько есть элементов. Но заслуживают ли значения, определенные этими уравнениями, предпочтения перед всеми теми, которые могут быть получены другими средствами? На этот вопрос исчисление вероятностей одно было способно ответить. Я применил его тогда к этому предмету и получил путем деликатного анализа правило, которое включает предыдущий метод и которое добавляет к преимуществу давать регулярным процессом желаемые элементы то, что получает их с величайшим проявлением очевидности из совокупности наблюдений и определяет значения, которые оставляют опасаться лишь наименьших возможных ошибок.

Однако мы имеем лишь несовершенное знание результатов, полученных до тех пор, пока закон ошибок, которым они подвержены, неизвестен; мы должны быть в состоянии назначить вероятность того, что эти ошибки содержатся в данных пределах, что сводится к определению того, что я назвал весом результата. Анализ ведет к общим и простым формулам для этой цели. Я применил этот анализ к результатам геодезических наблюдений. Общая проблема состоит в определении вероятностей того, что значения одной или нескольких линейных функций ошибок очень большого числа наблюдений содержатся в любых пределах.

Закон возможности ошибок наблюдений вводит в выражения этих вероятностей константу, значение которой, по-видимому, требует знания этого закона, который почти всегда неизвестен. К счастью, эта константа может быть определена из наблюдений.

В исследовании астрономических элементов она дается суммой квадратов разностей между каждым наблюдением и вычисленным. Ошибки, одинаково вероятные, будучи пропорциональными квадратному корню из этой суммы, можно путем сравнения этих квадратов оценить относительную точность различных таблиц одной и той же звезды. В геодезических операциях эти квадраты заменяются квадратами ошибок наблюдаемых сумм трех углов каждого треугольника. Сравнение квадратов этих ошибок позволит нам судить об относительной точности инструментов, которыми были измерены углы. Этим сравнением видно преимущество повторяющего круга над инструментами, которые он заменил в геодезии.

Часто существует в наблюдениях много источников ошибок: так, положения звезд, определяемые с помощью меридианного телескопа и круга, оба подвержены ошибкам, закон вероятности которых не следует предполагать одинаковым, элементы, которые выводятся из этих положений, затронуты этими ошибками. Условные уравнения, которые составляются для получения этих элементов, содержат ошибки каждого инструмента, и они имеют различные коэффициенты. Самая выгодная система факторов, на которые эти уравнения должны быть умножены соответственно, чтобы получить путем объединения произведений столько нормальных уравнений, сколько есть элементов, которые должны быть определены, больше не является системой коэффициентов элементов в каждом условном уравнении. Анализ, который я использовал, ведет легко, каким бы ни было число источников ошибки, к системе факторов, которая дает самые выгодные результаты, или те, в которых та же ошибка менее вероятна, чем в любой другой системе. Тот же анализ определяет законы вероятности ошибок этих результатов. Эти формулы содержат столько неизвестных констант, сколько есть источников ошибки, и они зависят от законов вероятности этих ошибок. Было замечено, что в случае единственного источника эта константа может быть определена путем формирования суммы квадратов остатков каждого условного уравнения, когда значения, найденные для этих элементов, были подставлены. Подобный процесс обычно дает значения этих констант, каким бы ни было их число, что завершает применение исчисления вероятностей к результатам наблюдений.

Я должен сделать здесь важное замечание. Небольшая неопределенность, которую наблюдения, когда они не многочисленны, оставляют в отношении значений констант, о которых я только что говорил, делает немного неопределенными вероятности, определенные анализом. Но почти всегда достаточно знать, если вероятность того, что ошибки полученных результатов заключены в узких пределах, приближается близко к единице; и когда это не так, достаточно знать, до какой точки наблюдения должны быть умножены, чтобы получить вероятность такую, что не остается никакого разумного сомнения в отношении правильности результатов. Аналитические формулы вероятностей удовлетворяют идеально этому требованию; и в этой связи они могут рассматриваться как необходимое дополнение наук, основанных на совокупности наблюдений, подверженных ошибке. Они также незаменимы при решении большого числа проблем в естественных и моральных науках. Регулярные причины явлений наиболее часто либо неизвестны, либо слишком сложны, чтобы быть подчиненными исчислению; опять же, их действие часто нарушается случайными и нерегулярными причинами; но их отпечаток всегда остается в событиях, произведенных всеми этими причинами, и он ведет к модификациям, которые только длинная серия наблюдений может определить. Анализ вероятностей развивает эти модификации; он назначает вероятность их причин и указывает средства постоянного увеличения этой вероятности. Так, посреди нерегулярных причин, которые нарушают атмосферу, периодические изменения солнечного тепла, от дня к ночи и от зимы к лету, производят в давлении этой великой массы жидкости и в соответствующей высоте барометра суточные и годовые колебания; и многочисленные барометрические наблюдения обнаружили первые с вероятностью, по крайней мере равной вероятности фактов, которые мы считаем достоверными. Так это опять же, что серия исторических событий показывает нам постоянное действие великих принципов этики посреди страстей и различных интересов, которые нарушают общества всяким образом. Примечательно, что наука, которая началась с рассмотрения игр случая, должна быть возведена в ранг самых важных предметов человеческого знания.

Я собрал все эти методы в своей «Théorie analytique des Probabilités», в которой я предложил изложить наиболее общим образом принципы и анализ исчисления вероятностей, также решения самых интересных и самых трудных проблем, которые представляет исчисление.

В этом эссе видно, что теория вероятностей в основе своей является лишь здравым смыслом, сведенным к исчислению; она заставляет нас оценить с точностью то, что точные умы чувствуют своего рода инстинктом, не будучи в состоянии зачастую дать этому причину. Она не оставляет произвола в выборе мнений и сторон, которые должны быть приняты; и ее использованием всегда может быть определен самый выгодный выбор. Тем самым она дополняет самым счастливым образом невежество и слабость человеческого разума. Если мы рассмотрим аналитические методы, которым эта теория дала рождение; истинность принципов, которые служат основой; тонкую и деликатную логику, которую требует их использование в решении проблем; учреждения общественной пользы, которые покоятся на ней; расширение, которое она получила и которое она может еще получить своим применением к самым важным вопросам натурфилософии и моральной науки; если мы рассмотрим опять же, что даже в вещах, которые не могут быть подчинены исчислению, она дает самые верные намеки, которые могут направлять нас в наших суждениях, и что она учит нас избегать иллюзий, которые зачастую сбивают нас с толку, тогда мы увидим, что нет науки, более достойной наших размышлений, и что никакой более полезной нельзя было бы включить в систему общественного образования.