ПРИМЕЧАНИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Изображение на обложке создано переводчиком и является общественным достоянием.

Очевидные опечатки и пунктуационные ошибки были исправлены после тщательного сопоставления с другими фрагментами текста и обращения к внешним источникам.

Более подробную информацию можно найти в конце книги.

ОСНОВАНИЯ

ГЕОМЕТРИИ.

Лондон: К. Дж. КЛЕЙ И СЫНОВЬЯ,

ИЗДАТЕЛЬСТВО КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, АВЕНЮ МАРИЯ ЛЕЙН.

Глазго: 263, АРГАЙЛ-СТРИТ.

Лейпциг: Ф. А. БРОКГАУЗ. Нью-Йорк: ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАКМИЛЛАН». Бомбей: ДЖОРДЖ БЕЛЛ И СЫНОВЬЯ.

ЭССЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ

АВТОР:

БЕРТРАН А. У. РАССЕЛ, магистр искусств.

ЧЛЕН ТРИНИТИ-КОЛЛЕДЖА, КЕМБРИДЖ.

КЕМБРИДЖ:

В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ.

1897

[Все права защищены.]

Кембридж: ОТПЕЧАТАНО Дж. И К. Ф. КЛЕЕМ, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Настоящая работа основана на диссертации, представленной на экзамене на получение стипендии Тринити-колледжа в Кембридже в 1895 году. Раздел B третьей главы представляет собой в основном перепечатку, с некоторыми существенными изменениями, статьи из журнала «Mind» (новая серия, № 17). Содержание книги было изложено в форме лекций в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе и в колледже Брин-Мор в Пенсильвании.

Моя главная благодарность — профессору Клейну. На протяжении всей первой главы его «Лекции по неевклидовой геометрии» служили мне бесценным руководством; я принял от него деление метагеометрии на три периода и обнаружил, что моя историческая работа была значительно облегчена его ссылками на предыдущих авторов. В логике я больше всего почерпнул у мистера Брэдли, а вслед за ним — у Зигварта и доктора Бозанкета. По ряду важных вопросов я получил полезные предложения из «Принципов психологии» профессора Джеймса.

Я выражаю благодарность мистеру Дж. Ф. Стауту и мистеру А. Н. Уайтхеду за любезное прочтение моих корректур и помощь в виде многих полезных замечаний. Мистеру Уайтхеду я также обязан неоценимой поддержкой в виде постоянной критики и предложений на протяжении всего процесса написания, особенно в том, что касается философского значения проективной геометрии.

Хазлмир.

Май, 1897 г.

ПОСВЯЩАЕТСЯ

ДЖОНУ МАКТАГАРТУ ЭЛЛИСУ МАКТАГАРТУ

ЧЬИМ БЕСЕДАМ И ДРУЖБЕ ОБЯЗАНА

СВОИМ СУЩЕСТВОВАНИЕМ ЭТА КНИГА.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

INTRODUCTION.
OUR PROBLEM DEFINED BY ITS RELATIONS TO LOGIC,
PSYCHOLOGY AND MATHEMATICS.
PAGE
1.The problem first received a modern form through Kant, who connected the à priori with the subjective1
2.A mental state is subjective, for Psychology, when its immediate cause does not lie in the outer world2
3.A piece of knowledge is à priori, for Epistemology, when without it knowledge would be impossible2
4.The subjective and the à priori belong respectively to Psychology and to Epistemology. The latter alone will be investigated in this essay3
5.My test of the à priori will be purely logical: what knowledge is necessary for experience?3
6.But since the necessary is hypothetical, we must include, in the à priori, the ground of necessity4
7.This may be the essential postulate of our science, or the element, in the subject-matter, which is necessary to experience;4
8.Which, however, are both at bottom the same ground5
9.Forecast of the work5
 
CHAPTER I.
A SHORT HISTORY OF METAGEOMETRY.

10.Metageometry began by rejecting the axiom of parallels7
11.Its history may be divided into three periods: the synthetic, the metrical and the projective7
12.The first period was inaugurated by Gauss,10

13.Whose suggestions were developed independently by Lobatchewsky10
14.And Bolyai11
15.The purpose of all three was to show that the axiom of parallels could not be deduced from the others, since its denial did not lead to contradictions12
16.The second period had a more philosophical aim, and was inspired chiefly by Gauss and Herbart13
17.The first work of this period, that of Riemann, invented two new conceptions:14
18.The first, that of a manifold, is a class-conception, containing space as a species,14
19.And defined as such that its determinations form a collection of magnitudes15
20.The second, the measure of curvature of a manifold, grew out of curvature in curves and surfaces16
21.By means of Gauss's analytical formula for the curvature of surfaces,19
22.Which enables us to define a constant measure of curvature of a three-dimensional space without reference to a fourth dimension20
23.The main result of Riemann's mathematical work was to show that, if magnitudes are independent of place, the measure of curvature of space must be constant21
24.Helmholtz, who was more of a philosopher than a mathematician,22
25.Gave a new but incorrect formulation of the essential axioms,23
26.And deduced the quadratic formula for the infinitesimal arc, which Riemann had assumed24
27.Beltrami gave Lobatchewsky's planimetry a Euclidean interpretation,25
28.Which is analogous to Cayley's theory of distance;26
29.And dealt with n-dimensional spaces of constant negative curvature27
30.The third period abandons the metrical methods of the second, and extrudes the notion of spatial quantity27
31.Cayley reduced metrical properties to projective properties, relative to a certain conic or quadric, the Absolute;28
32.And Klein showed that the Euclidean or non-Euclidean systems result, according to the nature of the Absolute;29
33.Hence Euclidean space appeared to give rise to all the kinds of Geometry, and the question, which is true, appeared reduced to one of convention30
34.But this view is due to a confusion as to the nature of the coordinates employed30

35.Projective coordinates have been regarded as dependent on distance, and thus really metrical31
36.But this is not the case, since anharmonic ratio can be projectively defined32
37.Projective coordinates, being purely descriptive, can give no information as to metrical properties, and the reduction of metrical to projective properties is purely technical33
38.The true connection of Cayley's measure of distance with non-Euclidean Geometry is that suggested by Beltrami's Saggio, and worked out by Sir R. Ball,36
39.Which provides a Euclidean equivalent for every non-Euclidean proposition, and so removes the possibility of contradictions in Metageometry38
40.Klein's elliptic Geometry has not been proved to have a corresponding variety of space39
41.The geometrical use of imaginaries, of which Cayley demanded a philosophical discussion,41
42.Has a merely technical validity,42
43.And is capable of giving geometrical results only when it begins and ends with real points and figures45
44.We have now seen that projective Geometry is logically prior to metrical Geometry, but cannot supersede it46
45.Sophus Lie has applied projective methods to Helmholtz's formulation of the axioms, and has shown the axiom of Monodromy to be superfluous46
46.Metageometry has gradually grown independent of philosophy, but has grown continually more interesting to philosophy50
47.Metrical Geometry has three indispensable axioms,50
48.Which we shall find to be not results, but conditions, of measurement,51
49.And which are nearly equivalent to the three axioms of projective Geometry52
50.Both sets of axioms are necessitated, not by facts, but by logic52
 
CHAPTER II.
CRITICAL ACCOUNT OF SOME PREVIOUS PHILOSOPHICAL THEORIES OF GEOMETRY.

51.A criticism of representative modern theories need not begin before Kant54
52.Kant's doctrine must be taken, in an argument about Geometry, on its purely logical side55

53.Kant contends that since Geometry is apodeictic, space must be à priori and subjective, while since space is à priori and subjective, Geometry must be apodeictic55
54.Metageometry has upset the first line of argument, not the second56
55.The second may be attacked by criticizing either the distinction of synthetic and analytic judgments, or the first two arguments of the metaphysical deduction of space57
56.Modern Logic regards every judgment as both synthetic and analytic,57
57.But leaves the à priori, as that which is presupposed in the possibility of experience59
58.Kant's first two arguments as to space suffice to prove some form of externality, but not necessarily Euclidean space, a necessary condition of experience60
59.Among the successors of Kant, Herbart alone advanced the theory of Geometry, by influencing Riemann62
60.Riemann regarded space as a particular kind of manifold, i.e. wholly quantitatively63
61.He therefore unduly neglected the qualitative adjectives of space64
62.His philosophy rests on a vicious disjunction65
63.His definition of a manifold is obscure,66
64.And his definition of measurement applies only to space67
65.Though mathematically invaluable, his view of space as a manifold is philosophically misleading69
66.Helmholtz attacked Kant both on the mathematical and on the psychological side;70
67.But his criterion of apriority is changeable and often invalid;71
68.His proof that non-Euclidean spaces are imaginable is inconclusive;72
69.And his assertion of the dependence of measurement on rigid bodies, which may be taken in three senses,74
70.Is wholly false if it means that the axiom of Congruence actually asserts the existence of rigid bodies,75
71.Is untrue if it means that the necessary reference of geometrical propositions to matter renders pure Geometry empirical,76
72.And is inadequate to his conclusion if it means, what is true, that actual measurement involves approximately rigid bodies78
73.Geometry deals with an abstract matter, whose physical properties are disregarded; and Physics must presuppose Geometry80
74.Erdmann accepted the conclusions of Riemann and Helmholtz,81

75.And regarded the axioms as necessarily successive steps in classifying space as a species of manifold82
76.His deduction involves four fallacious assumptions, namely:82
77.That conceptions must be abstracted from a series of instances;83
78.That all definition is classification;83
79.That conceptions of magnitude can be applied to space as a whole;84
80.And that if conceptions of magnitude could be so applied, all the adjectives of space would result from their application86
81.Erdmann regards Geometry alone as incapable of deciding on the truth of the axiom of Congruence,86
82.Which he affirms to be empirically proved by Mechanics.88
83.The variety and inadequacy of Erdmann's tests of apriority89
84.Invalidate his final conclusions on the theory of Geometry90
85.Lotze has discussed two questions in the theory of Geometry:93
86.(1) He regards the possibility of non-Euclidean spaces as suggested by the subjectivity of space,93
87.And rejects it owing to a mathematical misunderstanding,96
88.Having missed the most important sense of their possibility,96
89.Which is that they fulfil the logical conditions to which any form of externality must conform97
90.(2) He attacks the mathematical procedure of Metageometry98
91.The attack begins with a question-begging definition of parallels99
92.Lotze maintains that all apparent departures from Euclid could be physically explained, a view which really makes Euclid empirical99
93.His criticism of Helmholtz's analogies rests wholly on mathematical mistakes101
94.His proof that space must have three dimensions rests on neglect of different orders of infinity104
95.He attacks non-Euclidean spaces on the mistaken ground that they are not homogeneous107
96.Lotze's objections fall under four heads108
97.Two other semi-philosophical objections may be urged,109
98.One of which, the absence of similarity, has been made the basis of attack by Delbœuf,110
99.But does not form a valid ground of objection111
100.Recent French speculation on the foundations of Geometry has suggested few new views112
101.All homogeneous spaces are à priori possible, and the decision between them is empirical114
 
CHAPTER III.
Section A. the axioms of projective geometry.

102.Projective Geometry does not deal with magnitude, and applies to all spaces alike117
103.It will be found wholly à priori117
104.Its axioms have not yet been formulated philosophically118
105.Coordinates, in projective Geometry, are not spatial magnitudes, but convenient names for points118
106.The possibility of distinguishing various points is an axiom119
107.The qualitative relations between points, dealt with by projective Geometry, are presupposed by the quantitative treatment119
108.The only qualitative relation between two points is the straight line, and all straight lines are qualitatively similar120
109.Hence follows, by extension, the principle of projective transformation121
110.By which figures qualitatively indistinguishable from a given figure are obtained122
111.Anharmonic ratio may and must be descriptively defined122
112.The quadrilateral construction is essential to the projective definition of points,123
113.And can be projectively defined,124
114.By the general principle of projective transformation126
115.The principle of duality is the mathematical form of a philosophical circle,127
116.Which is an inevitable consequence of the relativity of space, and makes any definition of the point contradictory128
117.We define the point as that which is spatial, but contains no space, whence other definitions follow128
118.What is meant by qualitative equivalence in Geometry?129
119.Two pairs of points on one straight line, or two pairs of straight lines through one point, are qualitatively equivalent129
120.This explains why four collinear points are needed, to give an intrinsic relation by which the fourth can be descriptively defined when the first three are given130
121.Any two projectively related figures are qualitatively equivalent, i.e. differ in no non-quantitative conceptual property131
122.Three axioms are used by projective Geometry,132

123.And are required for qualitative spatial comparison,132
124.Which involves the homogeneity, relativity and passivity of space133
125.The conception of a form of externality,134
126.Being a creature of the intellect, can be dealt with by pure mathematics134
127.The resulting doctrine of extension will be, for the moment, hypothetical135
128.But is rendered assertorical by the necessity, for experience, of some form of externality136
129.Any such form must be relational136
130.And homogeneous137
131.And the relations constituting it must appear infinitely divisible137
132.It must have a finite integral number of dimensions,139
133.Owing to its passivity and homogeneity140
134.And to the systematic unity of the world140
135.A one-dimensional form alone would not suffice for experience141
136.Since its elements would be immovably fixed in a series142
137.Two positions have a relation independent of other positions,143
138.Since positions are wholly defined by mutually independent relations143
139.Hence projective Geometry is wholly à priori,146
140.Though metrical Geometry contains an empirical element146
Section B. the axioms of metrical geometry.

141.Metrical Geometry is distinct from projective, but has the same fundamental postulate147
142.It introduces the new idea of motion, and has three à priori axioms148
I. The Axiom of Free Mobility.

143.Measurement requires a criterion of spatial equality149
144.Which is given by superposition, and involves the axiom of Free Mobility150
145.The denial of this axiom involves an action of empty space on things151
146.There is a mathematically possible alternative to the axiom,152
147.Which, however, is logically and philosophically untenable153
148.Though Free Mobility is à priori, actual measurement is empirical154

149.Some objections remain to be answered, concerning—154
150.(1) The comparison of volumes and of Kant's symmetrical objects154
151.(2) The measurement of time, where congruence is impossible156
152.(3) The immediate perception of spatial magnitude; and157
153.(4) The Geometry of non-congruent surfaces158
154.Free Mobility includes Helmholtz's Monodromy159
155.Free Mobility involves the relativity of space159
156.From which, reciprocally, it can be deduced160
157.Our axiom is therefore à priori in a double sense160
II. The Axiom of Dimensions.

158.Space must have a finite integral number of dimensions161
159.But the restriction to three is empirical162
160.The general axiom follows from the relativity of position162
161.The limitation to three dimensions, unlike most empirical knowledge, is accurate and certain163
III. The Axiom of Distance.

162.The axiom of distance corresponds, here, to that of the straight line in projective Geometry164
163.The possibility of spatial measurement involves a magnitude uniquely determined by two points,164
164.Since two points must have some relation, and the passivity of space proves this to be independent of external reference165
165.There can be only one such relation166
166.This must be measured by a curve joining the two points,166
167.And the curve must be uniquely determined by the two points167
168.Spherical Geometry contains an exception to this axiom,168
169.Which, however, is not quite equivalent to Euclid's168
170.The exception is due to the fact that two points, in spherical space, may have an external relation unaltered by motion,169
171.Which, however, being a relation of linear magnitude, presupposes the possibility of linear magnitude170
172.A relation between two points must be a line joining them170
173.Conversely, the existence of a unique line between two points can be deduced from the nature of a form of externality,171
174.And necessarily leads to distance, when quantity is applied to it172

175.Hence the axiom of distance, also, is à priori in a double sense172
176.No metrical coordinate system can be set up without the straight line174
177.No axioms besides the above three are necessary to metrical Geometry175
178.But these three are necessary to the direct measurement of any continuum176
179.Two philosophical questions remain for a final chapter177
 
CHAPTER IV.
PHILOSOPHICAL CONSEQUENCES.

180.What is the relation to experience of a form of externality in general?178
181.This form is the class-conception, containing every possible intuition of externality; and some such intuition is necessary to experience178
182.What relation does this view bear to Kant's?179
183.It is less psychological, since it does not discuss whether space is given in sensation,180
184.And maintains that not only space, but any form of externality which renders experience possible, must be given in sense-perception181
185.Externality should mean, not externality to the Self, but the mutual externality of presented things181
186.Would this be unknowable without a given form of externality?182
187.Bradley has proved that space and time preclude the existence of mere particulars,182
188.And that knowledge requires the This to be neither simple nor self-subsistent183
189.To prove that experience requires a form of externality, I assume that all knowledge requires the recognition of identity in difference184
190.Such recognition involves time184
191.And some other form giving simultaneous diversity185
192.The above argument has not deduced sense-perception from the categories, but has shown the former, unless it contains a certain element, to be unintelligible to the latter186
193.How to account for the realization of this element, is a question for metaphysics187

194.What are we to do with the contradictions in space?188
195.Three contradictions will be discussed in what follows188
196.(1) The antinomy of the Point proves the relativity of space,189
197.And shows that Geometry must have some reference to matter,190
198.By which means it is made to refer to spatial order, not to empty space191
199.The causal properties of matter are irrelevant to Geometry, which must regard it as composed of unextended atoms, by which points are replaced191
200.(2) The circle in defining straight lines and planes is overcome by the same reference to matter192
201.(3) The antinomy that space is relational and yet more than relational,193
202.Seems to depend on the confusion of empty space with spatial order193
203.Kant regarded empty space as the subject-matter of Geometry,194
204.But the arguments of the Aesthetic are inconclusive on this point,195
205.And are upset by the mathematical antinomies, which prove that spatial order should be the subject-matter of Geometry196
206.The apparent thinghood of space is a psychological illusion, due to the fact that spatial relations are immediately given196
207.The apparent divisibility of spatial relations is either an illusion, arising out of empty space, or the expression of the possibility of quantitatively different spatial relations197
208.Externality is not a relation, but an aspect of relations. Spatial order, owing to its reference to matter, is a real relation198
209.Conclusion199

ВВЕДЕНИЕ. НАША ПРОБЛЕМА, ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЧЕРЕЗ ЕЕ ОТНОШЕНИЯ К ЛОГИКЕ, ПСИХОЛОГИИ И МАТЕМАТИКЕ.

1. Геометрия на протяжении XVII и XVIII веков оставалась в войне против эмпиризма неприступной крепостью идеалистов. Те, кто придерживался мнения — как это было принято на континенте, — что о реальном мире возможно достоверное знание, независимое от опыта, должны были лишь указать на геометрию: никто, кроме безумца, говорили они, не усомнится в ее значимости, и никто, кроме глупца, не станет отрицать ее объективную отнесенность. Поэтому перед английскими эмпириками в этом вопросе стояла довольно сложная задача: либо им приходилось игнорировать проблему, либо, если они, подобно Юму и Миллю, решались на штурм, их вынуждали к парадоксальному, на первый взгляд, утверждению, что геометрия в своей основе не обладает достоверностью иного рода, нежели механика, — они утверждали, что лишь постоянное присутствие пространственных впечатлений делает наш опыт истинности аксиом настолько обширным, что он кажется абсолютной достоверностью.

Здесь, однако, как и во многих других случаях, беспощадная логика вынуждала этих философов, хотят они того или нет, вступать в явное противоречие со здравым смыслом их времени. Лишь благодаря Канту, создателю современной эпистемологии, геометрическая проблема получила современную форму. Он свел вопрос к следующим гипотетическим положениям: если геометрия обладает аподиктической достоверностью, то ее материя, т. е. пространство, должна быть априорной и как таковая должна быть чисто субъективной; и наоборот, если пространство чисто субъективно, геометрия должна обладать аподиктической достоверностью. Последнее гипотетическое положение имеет для Канта больший вес, более того, оно неразрывно связано со всей его эпистемологией; тем не менее, я думаю, оно обладает гораздо меньшей силой, чем первое. Примем, однако, на мгновение кантовскую формулировку и постараемся придать точность терминам «априорный» и «субъективный».

2. Одной из больших трудностей на протяжении всей этой дискуссии является крайне изменчивое использование, которое находят этим словам, а также слову «эмпирический», разные авторы. Для Канта, который вовсе не был психологом, «априорный» и «субъективный» были почти взаимозаменяемыми терминами [1]; в современном словоупотреблении, в целом, существует тенденция ограничивать слово «субъективный» психологией, оставляя «априорный» для эпистемологии. Если мы примем эту дифференциацию, мы можем установить, в соответствии с проблемами этих двух наук, следующие предварительные определения: «априорный» применяется к любому знанию, которое, хотя, возможно, и вызвано опытом, логически предполагается в опыте; «субъективный» применяется к любому психическому состоянию, непосредственная причина которого лежит не во внешнем мире, а в пределах субъекта. Последнее определение, конечно, сформулировано исключительно для психологии: с точки зрения физической науки все психические состояния субъективны. Но для науки, материей которой, строго говоря, являются только психические состояния, нам требуется, если мы хотим использовать это слово с какой-либо целью, некоторое различие между психическими состояниями как признак более специфической субъективности у тех, к которым применяется этот термин.

Теперь единственные психические состояния, непосредственные причины которых лежат во внешнем мире, — это ощущения. Чистое ощущение, конечно, является невозможной абстракцией — мы никогда не бываем полностью пассивны под действием внешнего стимула, — но для целей психологии эта абстракция полезна. Все, что не является ощущением, мы в психологии будем называть субъективным. Именно в одном лишь ощущении мы непосредственно затронуты внешним миром, и только здесь он дает нам прямую информацию о себе.

3. Рассмотрим теперь эпистемологический вопрос о том, какой род знания можно назвать априорным. Здесь мы не имеем дела — во всяком случае, в первую очередь — с причиной или генезисом знания; мы принимаем знание как данность, подлежащую анализу и классификации. Такой анализ выявит в знании формальный и материальный элементы. Формальный элемент будет состоять из постулатов, которые необходимы для того, чтобы знание вообще стало возможным, и из всего, что может быть выведено из этих постулатов; материальный элемент, с другой стороны, будет состоять из всего, что приходит, чтобы заполнить форму, заданную формальными постулатами, — всего, что является случайным или зависимым от опыта, всего, что могло бы быть иным, не делая знание невозможным. Мы будем называть формальный элемент априорным, а материальный — эмпирическим.

4. Какова же связь между субъективным и априорным? Это связь, очевидно — если она вообще существует, — внешняя, т. е. не выводимая непосредственно из природы того или другого, а доказуемая — если ее можно доказать — только путем общего взгляда на условия обоих. Вопрос о том, какое знание является априорным, должен, согласно приведенному выше определению, зависеть от логического анализа знания, посредством которого могут быть выявлены условия возможного опыта; но вопрос о том, какие элементы когнитивного состояния являются субъективными, должен исследоваться чистой психологией, которая должна определить, что в наших восприятиях принадлежит ощущению, а что является работой мышления или ассоциации. Поскольку, таким образом, эти два вопроса принадлежат к разным наукам и могут быть решены независимо, не будет ли разумно проводить эти два исследования раздельно? Постановление о том, что априорное всегда должно быть субъективным, кажется опасным, если мы вспомним, что такой взгляд отдает наши результаты относительно априорного на милость эмпирической психологии. Насколько серьезна эта опасность, достаточно показывает дискуссия о кантовском чистом созерцании.

5. Поэтому на протяжении настоящего эссе я буду использовать слово «априорный» без какого-либо психологического подтекста. Моим критерием априорности будет чисто логический: был бы опыт невозможен, если бы определенная аксиома или постулат были отвергнуты? Или, в более узком смысле, который дает априорность только в рамках конкретной науки: был бы опыт относительно предмета этой науки невозможен без определенной аксиомы или постулата? Мои результаты, следовательно, также будут чисто логическими. Если психология объявляет, что некоторые вещи, которые я объявил априорными, не являются субъективными, тогда, при отсутствии ошибки в деталях моих доказательств, связь априорного и субъективного, в той мере, в какой это касается данных вещей, должна быть отброшена. Соответственно, на протяжении этого эссе не будет обсуждения отношения априорного к субъективному — отношения, которое не может определить, какие части знания являются априорными, а скорее зависит от этого определения и в любом случае относится скорее к метафизике, чем к эпистемологии.

6. Поскольку я рискнул использовать слово «априорный» в несколько нетрадиционном смысле, я приведу несколько пояснительных замечаний общего характера.

Априорное, по крайней мере со времен Канта, обычно означало необходимый или аподиктический элемент в знании. Но современная логика показала, что необходимые суждения всегда, по крайней мере в одном аспекте, являются гипотетическими. Может существовать, и обычно существует, импликация того, что связь, о которой высказывается необходимость, имеет некоторое существование, но все же необходимость всегда указывает за пределы самой себя на основание необходимости и утверждает это основание, а не саму актуальную связь. Как отмечает Брэдли, суждение «мышьяк ядовит» остается истинным, даже если он никого не отравляет. Если, следовательно, априорное в знании — это прежде всего необходимое, то оно должно быть необходимым при некоторой гипотезе, и основание необходимости должно быть включено как априорное. Но основание необходимости является, насколько может показать рассматриваемая необходимая связь, простым фактом, просто категорическим суждением. Следовательно, одна лишь необходимость является недостаточным критерием априорности.

Чтобы дополнить этот критерий, мы должны предоставить гипотезу или основание, на котором только и держится необходимость, и это основание будет варьироваться от одной науки к другой, и даже, по мере прогресса знания, в одной и той же науке в разное время. Ибо по мере того, как знание становится более развитым и артикулированным, воспринимается все больше необходимых связей, а чисто категорические истины, хотя они и остаются фундаментом аподиктических суждений, уменьшаются в относительном количестве. Тем не менее, в достаточно развитой науке, такой как геометрия, мы можем, я думаю, довольно полно предоставить соответствующее основание и установить, в пределах изолированной науки, различие между необходимым и просто ассерторическим.

7. Существует два основания, я думаю, на которых необходимость может быть найдена внутри любой науки. Их можно (очень грубо) различить как основание, которое Кант ищет в «Пролегоменах», и то, которое он ищет в «Критике чистого разума». Мы можем начать с существования нашей науки как факта и проанализировать рассуждения, используемые с целью обнаружения фундаментального постулата, от которого зависит ее логическая возможность; в этом случае постулат и все, что следует только из него, будут априорными. Или мы можем принять существование предмета нашей науки как нашу фактическую базу и дедуктивно вывести все принципы, которые мы можем, из сущностной природы этого предмета. В этом последнем случае, однако, не вся эмпирическая природа предмета, как она раскрывается последующими исследованиями нашей науки, формирует наше основание; ибо если бы это было так, вся наука была бы, конечно, априорной. Скорее, это тот элемент в предмете, который делает возможной ту область опыта, с которой имеет дело рассматриваемая наука [2]. Важность этого различия станет более ясной по мере нашего продвижения [3].

8. Эти два основания необходимости в конечном анализе совпадают. Методы исследования в этих двух случаях сильно различаются, но результаты не могут различаться. Ибо в первом случае, путем анализа науки, мы обнаруживаем постулат, на котором только и возможны ее рассуждения. Теперь, если рассуждение в науке невозможно без некоторого постулата, этот постулат должен быть существенным для опыта предмета науки, и таким образом мы получаем второе основание. Тем не менее, эти два метода полезны как дополняющие друг друга, и первый, как начинающийся с актуальной науки, является самым безопасным и легким методом исследования, хотя второй кажется более убедительным для изложения.

Ход моего аргумента, следовательно, будет следующим: в первой главе, в качестве предварительного условия для логического анализа геометрии, я дам краткую историю возникновения и развития неевклидовых систем. Вторая глава подготовит почву для конструктивной теории геометрии путем критики некоторых предыдущих философских взглядов; в этой главе я постараюсь показать такие взгляды как частично истинные, частично ложные и, таким образом, установить путем предварительной полемики истинность тех частей моей собственной теории, которые можно найти у прежних авторов. Большая часть этой теории, однако, не может быть так представлена, поскольку вся область проективной геометрии, насколько мне известно, до сих пор была неизвестна философам. Переходя в третьей главе от критики к конструкции, я сначала рассмотрю проективную геометрию. Она, как я буду утверждать, необходимо истинна для любой формы внешности и, поскольку некоторая такая форма необходима для опыта, является полностью априорной. В метрической геометрии, однако, которую я рассмотрю далее, аксиомы разделятся на два класса: (1) Те, что общи для евклидовых и неевклидовых пространств. Они окажутся, с одной стороны, существенными для возможности измерения в любом континууме, а с другой стороны, необходимыми свойствами любой формы внешности с более чем одним измерением. Поэтому они будут объявлены априорными. (2) Те аксиомы, которые отличают евклидовы пространства от неевклидовых. Они будут рассматриваться как полностью эмпирические. Аксиома о том, что число измерений равно трем, однако, хотя и является эмпирической, будет объявлена, поскольку малые ошибки здесь невозможны, точно и достоверно истинной для нашего актуального мира; в то время как две оставшиеся аксиомы, определяющие значение пространственной константы, будут рассматриваться как известные лишь приблизительно и достоверные только в пределах ошибок наблюдения [4]. Четвертая глава, наконец, попытается доказать то, что было принято в главе III, а именно, что некоторая форма внешности необходима для опыта, и завершится демонстрацией логической невозможности, если знание такой формы должно быть очищено от противоречий, полностью абстрагировать это знание от всякой отсылки к материи, содержащейся в форме.

Я надеюсь, что этим обсуждением я затронул все основные пункты, касающиеся оснований геометрии.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[1] Ср. Эрдман, «Аксиомы геометрии», стр. 111: «Для Канта априорность и исключительная субъективность, безусловно, являются взаимозаменяемыми понятиями».

[2] Я использую здесь «опыт» в самом широком смысле, в том смысле, в котором это слово используется Брэдли.

[3] Там, где рассматриваемая область опыта существенна для всего опыта, результирующая априорность может рассматриваться как абсолютная; там, где она необходима только для некоторой специальной науки, — как относительная к этой науке.

[4] Я не привел описания этих эмпирических доказательств, так как они, по-видимому, составляют весь корпус физической науки. Все в физической науке, от закона тяготения до строительства мостов, от спектроскопа до искусства навигации, было бы глубоко изменено любой значительной неточностью в гипотезе о том, что наше актуальное пространство является евклидовым. Наблюдаемая истинность физической науки, следовательно, представляет собой подавляющее эмпирическое доказательство того, что эта гипотеза очень приблизительно верна, даже если не является строго истинной.

ГЛАВА I. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ МЕТАГЕОМЕТРИИ.

10. Когда нападают на давно установившуюся систему, обычно случается так, что атака начинается только в одной точке, где слабость установленной доктрины особенно очевидна. Но критика, будучи однажды приглашенной, склонна распространяться гораздо дальше, чем того пожелали бы поначалу даже самые смелые.

«Сначала отсечь разжижение, что придет последним,

Как не ловкий удар Фихте по самому Богу?»

Так было и с геометрией. Разжижением евклидовой ортодоксии является аксиома параллельных, и именно с отказа признать эту аксиому без доказательства началась метагеометрия. Первое усилие в этом направлении, предпринятое Лежандром [5], было вдохновлено надеждой вывести эту аксиому из других — надеждой, которая, как мы теперь знаем, была обречена на неизбежный провал. Параллельные определяются Лежандром как линии в одной плоскости, такие, что если третья линия пересекает их, она делает сумму внутренних и противоположных углов равной двум прямым. Он без труда доказывает, что такие линии не встретятся, но не в состоянии доказать, что непараллельные линии в плоскости должны встретиться. Аналогично он может доказать, что сумма углов треугольника не может превышать двух прямых, и что если хотя бы один треугольник имеет сумму, равную двум прямым, то все треугольники имеют ту же сумму; но он не в состоянии доказать существование этого одного треугольника.

11. Таким образом, попытка Лежандра провалилась; но одна лишь неудача ничего не могла доказать. Более смелый метод, предложенный Гауссом, был осуществлен Лобачевским и Бойяи [6]. Если аксиома параллельных логически выводима из других, то, отрицая ее и сохраняя остальные, мы придем к противоречиям. Эти три математика, соответственно, атаковали проблему косвенно: они отрицали аксиому параллельных и все же получили логически непротиворечивую геометрию. Они сделали вывод, что аксиома логически независима от других и существенна для евклидовой системы. Их работы, будучи вдохновлены этим мотивом, могут быть выделены как формирующие первый период в развитии метагеометрии.

Второй период, открытый Риманом, имел гораздо более глубокое значение: он был в значительной степени философским по своим целям и конструктивным по своим методам. Он стремился ни много ни мало к логическому анализу всех существенных аксиом геометрии и рассматривал пространство как частный случай более общего понятия многообразия. Опираясь на методы аналитической метрической геометрии, он установил две неевклидовы системы: первую — систему Лобачевского, вторую — в которой аксиома прямой линии в форме Евклида также была отвергнута — новую разновидность, по аналогии называемую сферической. Ведущим понятием в этом периоде является мера кривизны, термин, изобретенный Гауссом, но примененный им только к поверхностям. Гаусс показал, что свободная подвижность на поверхностях возможна только тогда, когда мера кривизны постоянна; Риман и Гельмгольц распространили это положение на n измерений и сделали его фундаментальным свойством пространства.

В третьем периоде, который начинается с Кэли, философский мотив, двигавший первыми пионерами, менее заметен и заменяется более техническим и математическим духом. Этот период главным образом отличается от второго, с математической точки зрения, своим методом, который является проективным, а не метрическим. Ведущим математическим понятием здесь является Абсолют (Grundgebild), фигура, по отношению к которой все метрические свойства становятся проективными. Работа Кэли, которая была очень краткой и привлекла мало внимания, была усовершенствована и разработана Ф. Клейном и благодаря ему получила всеобщее признание. Клейн добавил к двум уже известным видам неевклидовой геометрии третий, который он называет эллиптическим; этот третий вид тесно напоминает сферическую геометрию Гельмгольца, но отличается важным различием, состоящим в том, что в нем две прямые линии пересекаются только в одной точке [7]. Отличительным признаком пространств, представленных обоими, является то, что, подобно поверхности сферы, они конечны, но безграничны. Сведение метрических свойств к проективным, как будет доказано далее, имеет лишь техническое значение; в то же время проективная геометрия способна иметь дело непосредственно с теми чисто описательными или качественными свойствами пространства, которые общи как для Евклида, так и для метагеометрии. Третий период, следовательно, имеет большое философское значение, в то время как его метод обладает, математически, гораздо большей красотой и единством, чем метод второго; он способен рассматривать все виды пространства сразу, так что каждое символическое суждение является, в соответствии со значением, придаваемым символам, суждением в той геометрии, которую мы выберем. Это имеет преимущество доказательства того, что дальнейшие исследования не могут привести к противоречиям в неевклидовых системах, если они в то же время не выявляют противоречий в геометрии Евклида. Эти системы, следовательно, логически столь же надежны, как и система самого Евклида.

После этого краткого очерка характеристик трех периодов я перейду к более подробному изложению. Моей целью будет избегать, насколько это возможно, всей технической математики и выделить только те фундаментальные моменты в математическом развитии, которые кажутся имеющими логическое или философское значение.

Первый период.

12. Основоположник всей системы, Гаусс, по-видимому, не представил, что касается строго неевклидовой геометрии, ни в одной из своих опубликованных до сих пор работ ничего, кроме результатов; его доказательства остаются нам неизвестными. Тем не менее, он был первым, кто исследовал последствия отрицания аксиомы параллельных [8], и в своих письмах он сообщал об этих последствиях некоторым своим друзьям, среди которых был Вольфганг Бойяи. Первое упоминание об этом предмете в его письмах встречается, когда ему было всего 18 лет; четыре года спустя, в 1799 году, в письме к В. Бойяи он формулирует важную теорему о том, что в гиперболической геометрии существует максимум площади треугольника. Из более поздних работ следует, что он разработал систему почти, если не совсем, столь же полную, как системы Лобачевского и Бойяи [9].

Важно помнить, однако, что работа Гаусса о кривизне, которая была опубликована, заложила фундамент для всего метода второго периода и была предпринята, согласно Риману и Гельмгольцу [10], с целью (неопубликованного) исследования оснований геометрии. Его работа в этом направлении будет, благодаря своему методу, лучше рассмотрена в рамках второго периода, но интересно наблюдать, что он стоял, подобно многим пионерам, во главе двух тенденций, которые впоследствии разошлись.

13. Лобачевский, профессор Казанского университета, впервые опубликовал свои результаты на родном русском языке в трудах этого ученого общества за 1829–1830 годы. Из-за этой двойной неясности языка и места они привлекли мало внимания, пока он не перевел их на французский [11] и немецкий [12] языки: даже тогда они, по-видимому, не получили должного внимания, пока в 1868 году Бельтрами не обнаружил статью в журнале Крелле и не сделал ее темой блестящей интерпретации.

Во введении к своей небольшой немецкой книге Лобачевский сетует на слабый интерес, проявленный к его трудам соотечественниками, и на невнимание математиков, со времен неудачной попытки Лежандра, к трудностям в теории параллельных. Основная часть работы начинается с формулировки нескольких важных предложений, которые справедливы как в предложенной системе, так и у Евклида: из них некоторые в любом случае независимы от аксиомы параллельных, в то время как другие становятся таковыми путем замены слова «параллельный» фразой «не пересекающиеся, как бы далеко они ни были продолжены». Затем следует определение, намеренно сформулированное так, чтобы противоречить Евклиду: по отношению к данной прямой линии все остальные в той же плоскости могут быть разделены на два класса: те, которые пересекают данную прямую, и те, которые ее не пересекают; линия, являющаяся пределом между двумя классами, называется параллельной данной прямой линии. Отсюда следует, что из любой внешней точки можно провести две параллели, по одной в каждом направлении. Из этой отправной точки, с помощью евклидового синтетического метода, выводится ряд предложений; наиболее важным из них является то, что в треугольнике сумма углов всегда меньше или всегда равна двум прямым, в то время как в последнем случае вся система становится ортодоксальной. Также доказывается определенная аналогия со сферической геометрией — значение и степень которой проявятся позже, — состоящая, грубо говоря, в замене гиперболических функций круговыми.

14. Очень похожа система Яноша Бойяи, настолько похожа, действительно, что независимость двух работ, хотя и является хорошо подтвержденным фактом, кажется почти невероятной. Янош Бойяи впервые опубликовал свои результаты в 1832 году в приложении к работе своего отца Вольфганга под названием: «Appendix, scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica». Гаусс, ставший его близким другом в колледже и остававшийся им всю жизнь, был, как мы видели, вдохновителем Вольфганга Бойяи и имел обыкновение говорить, что последний был единственным человеком, который оценил его философские спекуляции об аксиомах геометрии; тем не менее, Вольфганг, по-видимому, оставил своему сыну Яношу детальную разработку гиперболической системы. Работы обоих Бойяи очень редки, и их метод и результаты известны мне только через переводы Фришауфа и Халстеда [13]. Как по методу, так и по результатам система очень похожа на систему Лобачевского, так что ни одна из них не требует нашего внимания здесь. Только начальные постулаты, которые более эксплицитны, чем у Лобачевского, требуют краткого внимания. Введение Фришауфа, имеющее философский и ньютоновский дух, начинается с утверждения, что геометрия имеет дело с абсолютным (пустым) пространством, полученным путем абстрагирования от тел в нем, что две фигуры называются конгруэнтными, когда они различаются только положением, и что аксиома конгруэнтности незаменима во всяком определении пространственных величин. Конгруэнтность должна относиться к геометрическим телам, не обладающим никакими свойствами обычных тел, кроме непроницаемости (Эрдман, «Аксиомы геометрии», стр. 26). Прямая линия определяется как определяемая двумя своими точками [14], а плоскость — как определяемая тремя. Эти предпосылки, с небольшим исключением относительно прямой линии, мы в дальнейшем найдем существенными для каждой геометрии. Я обратил на них внимание, так как часто предполагается, что неевклиды отрицают аксиому конгруэнтности, что здесь и в других местах никогда не имеет места. Акцент, сделанный на этой аксиоме Бойяи, вероятно, обусловлен влиянием Гаусса, чья работа о кривизне поверхностей заложила фундамент для использования конгруэнтности Гельмгольцем.

15. Важно помнить, что на протяжении периода, который мы только что рассмотрели, цель гиперболической геометрии является косвенной: не истинность последней, а логическая независимость аксиомы параллельных от остальных является направляющим мотивом работы. Если, отрицая аксиому параллельных при сохранении остальных, мы можем получить систему, свободную от логических противоречий, то из этого следует, что аксиома параллельных не может быть имплицитно содержащейся в других. Если это так, попытки обойтись без аксиомы, подобные попытке Лежандра, не могут быть успешными; Евклид должен стоять или пасть вместе с подозреваемой аксиомой. Конечно, оставалась возможность того, что при дальнейшем развитии в этих системах могли быть выявлены скрытые противоречия. Эта возможность, однако, была устранена более прямой и конструктивной работой второго периода, к которой мы теперь должны обратить наше внимание.

Второй период.

16. Работа Лобачевского и Бойяи оставалась почти четверть века без последствий — действительно, исследования Римана и Гельмгольца, когда они появились, по-видимому, были вдохновлены не этими людьми, а скорее Гауссом [15] и Гербартом. Мы находим, соответственно, очень большое различие, как в цели, так и в методе, между первым периодом и вторым. Первый, начавшись с критики одного пункта в системе Евклида, сохранил его синтетический метод, в то время как отбросил одну из его аксиом. Второй, напротив, будучи ведомым скорее философским, чем математическим духом, стремился классифицировать понятие пространства как вид более общего понятия: он трактовал пространство алгебраически, и свойства, которые он приписывал пространству, были выражены в терминах не интуиции, а алгебры. Целью Римана и Гельмгольца было показать, путем демонстрации логически возможных альтернатив, эмпирическую природу принятых аксиом. Для этой цели они концептуализировали пространство как частный случай многообразия и показали, что различные отношения величин (Massverhältnisse) математически возможны в протяженном многообразии. Их философия, которая кажется мне не всегда безупречной, будет обсуждаться в главе II; здесь, хотя важно помнить о философском мотиве Римана и Гельмгольца, мы ограничим наше внимание математической стороной их работы. Делая это, хотя мы, боюсь, несколько исказим систему их мыслей, мы обеспечим более тесное единство предмета и более компактное изложение чисто математического развития. Но есть, на мой взгляд, дальнейшая причина для отделения их философии от их математики. В то время как их философской целью было доказать, что все аксиомы геометрии являются эмпирическими и что иное содержание нашего опыта могло бы изменить их все, непреднамеренным результатом их математической работы было, если я не ошибаюсь, предоставление материала для априорного доказательства определенных аксиом. Эти аксиомы, хотя они считали их ненужными, всегда вводились в их математических работах до закладки оснований неевклидовых систем. Я буду утверждать в главе III, что это сохранение было логически неизбежным и не было вызвано лишь, как они полагали, желанием соответствия с опытом. Если я прав в этом, существует расхождение между Риманом и Гельмгольцем — философами, и Риманом и Гельмгольцем — математиками. Это расхождение делает тем более желательным проследить математическое развитие отдельно от сопутствующей философии.

17. Эпохальная работа Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» [16] была написана и прочитана в узком кругу в 1854 году; однако из-за некоторых изменений, которые он желал в ней сделать, она оставалась неопубликованной до 1867 года, когда была издана его душеприказчиками. Двумя фундаментальными понятиями, на изобретении которых зиждется историческая важность этой диссертации, являются понятие многообразия и понятие меры кривизны многообразия. Первое понятие служит главным образом философской цели и предназначено, в основном, для того, чтобы представить пространство как пример более общего понятия. Об этом аспекте многообразия я скажу много в главе II; его математический аспект, который один касается нас здесь, менее сложен и менее богат противоречиями. Последнее понятие также служит двойной цели, но его математическое использование является более заметным. Мы рассмотрим эти два понятия последовательно.

18. (1) Понятие многообразия [17]. Общая цель диссертации Римана — представить аксиомы как последовательные шаги в классификации вида «пространство». Аксиомы геометрии, подобно признакам схоластического определения, предстают как последовательные определения родовых понятий, заканчивающиеся евклидовым пространством. Мы имеем, таким образом, с аналитической точки зрения, настолько логичную и точную формулировку, насколько можно желать, — формулировку, в которой, благодаря ее классификационному характеру, мы уверены в отсутствии чего-либо излишнего или избыточного и получаем аксиомы эксплицитно в наиболее желательной форме, а именно как прилагательные к понятию пространства. В то же время жаль, что Риман, в соответствии с метрической предвзятостью своего времени, рассматривал пространство прежде всего как величину [18], или совокупность величин, в которой главная проблема состоит в приписывании количеств различным элементам или точкам, без учета качественной природы приписываемых количеств. Таким образом, возникает значительная неясность относительно всей природы величины [19]. Этот взгляд на геометрию лежит в основе определения многообразия как общего понятия, частным случаем которого является пространство. Это определение, которое не очень ясно, может быть передано следующим образом.

19. Понятия величины, согласно Риману, возможны только там, где у нас есть общее понятие, способное к различным определениям (Bestimmungsweisen). Различные определения такого понятия вместе образуют многообразие, которое является непрерывным или дискретным, в зависимости от того, является ли переход от одного определения к другому непрерывным или дискретным. Отдельные части многообразия, или кванты, могут быть сравнены путем счета, когда они дискретны, и путем измерения, когда они непрерывны. «Измерение состоит в наложении величин, подлежащих сравнению. Если этого нет, величины могут быть сравнены только тогда, когда одна является частью другой, и тогда может быть решено только «больше» или «меньше», а не «насколько»» (стр. 256). Мы таким образом приходим к общему понятию многообразия нескольких измерений, из которых пространство и цвета упоминаются как частные случаи. Отсутствию этого понятия Риман приписывает «неясность», которая «длилась от Евклида до Лежандра» (стр. 254). И Риман, безусловно, преуспел, с алгебраической точки зрения, в том, чтобы показать, гораздо яснее, чем любой из его предшественников, аксиомы, которые отличают пространственное количество от других количеств, с которыми имеет дело математика. Но приняв с самого начала, что пространство можно рассматривать как количество, он был приведен к постановке проблемы как: «Какого рода величиной является пространство?» — а не: «Чем должно быть пространство, чтобы мы могли вообще рассматривать его как величину?». Он также не осознает — действительно, в его время немногие осознавали, — что возможна сложная геометрия, которая вообще не имеет дело с пространством как с количеством. Его определение пространства как вида многообразия, следовательно, хотя для аналитических целей оно наиболее удовлетворительно определяет природу пространственных величин, оставляет неясным истинное основание этой природы, которое лежит в природе пространства как системы отношений и предшествует возможности рассматривать его как систему величин вообще.

Но продолжим математическое развитие идей Римана. Мы видели, что он объявил измерение состоящим в наложении величин, подлежащих сравнению. Но для того, чтобы это было возможным средством определения величин, продолжает он, эти величины должны быть независимы от их положения в многообразии (стр. 259). Это может происходить, говорит он, несколькими способами, в качестве простейшего из которых он предполагает, что длины линий независимы от их положения. Было бы интересно узнать, какие еще способы возможны: со своей стороны, я не могу вообразить никакой другой гипотезы, при которой величина была бы независима от места. Откладывая это в сторону, однако, проблема, благодаря тому факту, что измерение состоит в наложении, становится идентичной определению наиболее общего многообразия, в котором величины независимы от места. Это приводит нас к другому фундаментальному понятию Римана, которое кажется мне даже более плодотворным, чем понятие многообразия.

20. (2) Мера кривизны. Это понятие принадлежит Гауссу, но было применено им только к поверхностям; новизна в диссертации Римана заключалась в его распространении на многообразие n измерений. Это распространение, однако, выражено довольно кратко и неясно и было еще более затемнено попытками Гельмгольца популярного изложения. Термин «кривизна» также вводит в заблуждение, так что эта фраза была источником большего недопонимания, даже среди математиков, чем любая другая в пангеометрии. Часто забывают, несмотря на прямое утверждение Гельмгольца [20], что «мера кривизны» n-мерного многообразия является чисто аналитическим выражением, которое имеет лишь символическое сродство с обычной кривизной. Применительно к трехмерному пространству импликация четырехмерного «плоского» пространства полностью вводит в заблуждение; поэтому я обычно буду использовать вместо этого термин «пространственная константа» [21]. Тем не менее, поскольку понятие исторически выросло из понятия кривизны, я дам очень краткое изложение исторического развития теорий кривизны.

Подобно тому, как понятие длины было первоначально выведено из прямой линии и распространено на другие кривые путем деления их на бесконечно малые прямые линии, так и понятие кривизны было выведено из круга и распространено на другие кривые путем деления их на бесконечно малые дуги окружности. Кривизну можно рассматривать, первоначально, как меру того, насколько кривая отклоняется от прямой линии; в круге, который подобен повсюду, эта величина очевидно постоянна и измеряется величиной, обратной радиусу. Но во всех других кривых величина кривизны варьируется от точки к точке, так что ее нельзя измерить без бесконечно малых величин. Мера, которая сразу приходит на ум, — это кривизна круга, наиболее близко совпадающего с кривой в рассматриваемой точке. Поскольку круг определяется тремя точками, этот круг будет проходить через три последовательные точки кривой. Мы таким образом определили кривизну любой кривой, плоской или извилистой; ибо, поскольку любые три точки лежат в плоскости, такой круг всегда может быть описан.

Если мы теперь перейдем к поверхности, то, что нам нужно, — это, по аналогии, мера ее отклонения от плоскости. Кривизна, как определено выше, стала неопределенной, ибо через любую точку поверхности мы можем провести бесконечное число дуг, которые, как правило, не будут иметь одинаковую кривизну. Проведем тогда все геодезические, соединяющие рассматриваемую точку с соседними точками поверхности во всех направлениях. Поскольку эти дуги образуют однократно бесконечное многообразие, среди них будет, если они не имеют одинаковую кривизну, одна дуга максимальной и одна дуга минимальной кривизны [22]. Произведение этих максимальной и минимальной кривизн называется мерой кривизны поверхности в рассматриваемой точке. Чтобы проиллюстрировать несколькими простыми примерами: на сфере кривизны всех таких линий равны величине, обратной радиусу сферы, следовательно, мера кривизны везде равна квадрату величины, обратной радиусу сферы. На любой поверхности, такой как конус или цилиндр, на которой можно провести прямые линии, они не имеют кривизны, так что мера кривизны везде равна нулю — это случай, в частности, плоскости. В общем, однако, мера кривизны поверхности варьируется от точки к точке.

Гаусс, изобретатель этого понятия [23], доказал, что для того, чтобы две поверхности могли быть развертываемыми друг на друга — т. е. могли быть такими, что одну можно согнуть в форму другой без растяжения или разрыва, — необходимо, чтобы две поверхности имели равные меры кривизны в соответствующих точках. Когда это имеет место, каждая фигура, возможная на одной, в общем случае возможна и на другой, и обе имеют практически одну и ту же геометрию [24]. Как следствие, отсюда следует, что необходимым условием для свободной подвижности фигур на любой поверхности является постоянство меры кривизны [25]. Это условие было доказано как достаточное, так и необходимое Миндингом [26].

21. До сих пор все шло гладко — мы имели дело с чисто геометрическими идеями чисто геометрическим образом, — но мы еще не нашли никакого смысла меры кривизны, в котором она может быть распространена на пространство, тем более на n-мерное многообразие. Для этой цели мы должны исследовать метод Гаусса, который позволяет нам определить меру кривизны поверхности в любой точке как внутреннее свойство, совершенно независимое от какой-либо отсылки к третьему измерению.

Метод определения меры кривизны изнутри, вкратце, таков: если любая точка на поверхности определяется двумя координатами u, v, то малые дуги поверхности задаются формулой

ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2,

где E, F, G являются, в общем случае, функциями u, v [27]. Из этой формулы одной, без отсылки к какому-либо пространству вне поверхности, мы можем определить меру кривизны в точке u, v как функцию E, F, G и их дифференциалов по u и v. Таким образом, мы можем рассматривать меру кривизны поверхности как внутреннее свойство, и вышеприведенное геометрическое определение, которое включало отсылку к третьему измерению, может быть отброшено. Но в этом пункте необходима осторожность. В главе III (§ 176) будет показано, что логически невозможно установить точную систему координат, в которой координаты представляют пространственные величины, без аксиомы свободной подвижности, и эта аксиома, как мы только что видели, справедлива на поверхностях только тогда, когда мера кривизны постоянна. Следовательно, наше определение меры кривизны будет действительно свободным от отсылки к третьему измерению только тогда, когда мы имеем дело с поверхностью постоянной меры кривизны — пункт, который Риман полностью упускает из виду. Эта осторожность, однако, применима только в пространстве, и если мы принимаем систему координат как предполагаемую в понятии многообразия, мы можем пренебречь этой осторожностью вовсе — помня при этом, что возможность системы координат в пространстве включает аксиомы, подлежащие исследованию позже. Мы можем таким образом видеть, как можно найти смысл, без отсылки к какому-либо высшему измерению, для постоянной меры кривизны трехмерного пространства или для любой меры кривизны n-мерного многообразия в целом.

22. Такой смысл предоставляется диссертацией Римана, к которой, после этого долгого отступления, мы можем теперь вернуться. Мы можем определить непрерывное многообразие как любой континуум элементов, такой, что отдельный элемент определяется n непрерывно изменяющимися величинами. Это определение на самом деле не включает пространство, ибо координаты в пространстве не определяют точку, а лишь ее отношения к началу координат, которое само по себе произвольно. Оно включает, однако, аналитическое понятие пространства, с которым имеет дело Риман, и может, следовательно, быть допущено на данный момент. Риман затем предполагает, что разность — или расстояние, как его можно свободно называть — между любыми двумя элементами сравнима, в отношении величины, с разностью между любыми другими двумя. Он предполагает далее, что, как доказал Гельмгольц, разность ds между двумя последовательными элементами может быть выражена как квадратный корень из квадратичной функции разностей координат: т. е.

ds^2 = Σ_{1}^{n} Σ_{1}^{n} a_{ik} dx_i dx_k,

где коэффициенты a_{ik} являются, в общем случае, функциями координат x_1, x_2, ... x_n. [28] Вопрос заключается в следующем: как нам получить определение меры кривизны из этой формулы? Прежде всего, примечательно, что подобно тому, как на поверхности мы обнаружили бесконечное число радиусов кривизны в точке, так и в многообразии трех или более измерений мы должны найти бесконечное число мер кривизны в точке — по одной для каждого двумерного многообразия, проходящего через эту точку и содержащегося в более высоком многообразии. Поэтому первое, что нам нужно сделать, — это определить такие двумерные многообразия. Они должны состоять, как мы видели на примере поверхности, из однократно бесконечного ряда геодезических, проходящих через данную точку. Но геодезическая полностью определяется одной точкой и своим направлением в этой точке, либо одной точкой и следующей за ней точкой. Следовательно, геодезическая, проходящая через рассматриваемую точку, определяется отношениями приращений координат dx_1, dx_2, ... dx_n. Предположим, у нас есть две такие геодезические, в которых i-е приращения равны соответственно d'x_i и d''x_i. Тогда все геодезические, заданные

dx_i = λ' d'x_i + λ'' d''x_i

образуют однократно бесконечный ряд, поскольку они содержат один параметр, а именно λ' : λ''. Таким образом, такой ряд геодезических должен образовывать двумерное многообразие с мерой кривизны в обычном гауссовом смысле. Эта мера кривизны может быть определена из приведенной выше формулы для элементарной дуги с помощью упомянутой выше общей формулы Гаусса. Таким образом, мы получаем бесконечное число мер кривизны в точке, но из n(n – 1)/2 из них можно вывести остальные (Riemann, Gesammelte Werke, стр. 262). Когда все меры кривизны в точке постоянны и равны всем мерам кривизны в любой другой точке, мы получаем то, что Риман называет многообразием постоянной кривизны. В таком многообразии возможна свободная подвижность, и положения внутренне не отличаются друг от друга. Если a — мера кривизны, то формула для дуги в этом случае принимает вид

ds^2 = Σ dx^2 / (1 + a/4 Σ x^2)^2.

Только в этом случае, как я отмечал выше, термин «мера кривизны» может быть должным образом применен к пространству без отсылки к более высокому измерению, поскольку свободная подвижность логически необходима для существования количественной или метрической геометрии.

23. Математический результат диссертации Римана можно резюмировать следующим образом. Допуская возможность применения величины к пространству, т. е. определения его элементов и фигур с помощью алгебраических величин, следует, что пространство можно подвести под понятие многообразия как системы количественно определяемых элементов. Однако из-за своеобразной природы пространственного измерения количественное определение пространства требует, чтобы величины были независимы от места — поскольку это не так, наши измерения будут неизбежно неточными. Если мы теперь примем в качестве количественного отношения расстояния между двумя элементами квадратный корень из квадратичной функции координат — формула, впоследствии доказанная Гельмгольцем и Ли, — то из того, что величины должны быть независимы от места, следует, что пространство должно в пределах наблюдений иметь постоянную меру кривизны или, другими словами, быть однородным во всех своих частях. В бесконечно малом, говорит Риман (стр. 267), наблюдение не могло обнаружить отклонение от постоянства меры кривизны; но он не делает попытки показать, как геометрия могла бы оставаться возможной при таких обстоятельствах, и единственная геометрия, которую он построил, полностью основана на свободной подвижности. Я попытаюсь доказать в главе III, что любая метрическая геометрия, которая попыталась бы обойтись без этой аксиомы, была бы логически невозможна. В настоящее время я лишь укажу, что Риман, несмотря на свое желание доказать, что можно обойтись без всех аксиом, тем не менее в своей математической работе сохранил три фундаментальные аксиомы, а именно: свободную подвижность, конечное целое число измерений и аксиому о том, что две точки имеют уникальное отношение, а именно расстояние. Как мы увидим далее, они сохраняются в реальной математической работе всеми метрическими метагеометрами, даже когда они полагают, подобно Риману и Гельмгольцу, что никакие аксиомы философски не являются обязательными.

24. Гельмгольц, исторически ближайший последователь Римана, руководствовался схожей эмпирической философией и независимо пришел к очень похожему методу формулирования аксиом. Хотя Гельмгольц не публиковал ничего по этому вопросу до смерти Римана, к тому времени он только что ознакомился с диссертацией Римана (которая была опубликована посмертно) и разработал свои результаты, насколько они были тогда завершены, в полной независимости как от Римана, так и от Лобачевского. Гельмгольц — самый читаемый из всех авторов по метагеометрии, и его труды почти в одиночку представляют философам современную математическую точку зрения на этот предмет. Но его значение в этой области гораздо больше как философа, чем как математика; почти единственный его оригинальный математический результат в отношении геометрии — это доказательство формулы Римана для бесконечно малой дуги, и даже это доказательство было далеко не строгим, пока Ли не реформировал его своим методом непрерывных групп. Поэтому в этой главе нас должны занять только два его сочинения, а именно две статьи в Wissenschaftliche Abhandlungen, том II, озаглавленные соответственно «Ueber die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie», 1866 (стр. 610 и сл.) и «Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zum Grunde liegen», 1868 (стр. 618 и сл.).

25. В первой из них, которая носит преимущественно философский характер, Гельмгольц дает намеки на свою тогда еще не завершенную математическую работу, но в основном ограничивается изложением результатов. Он объявляет, что докажет квадратичную формулу Римана для бесконечно малой дуги; но для этой цели, говорит он, мы должны начать с конгруэнтности, поскольку без нее пространственное измерение невозможно. Тем не менее он утверждает, что конгруэнтность подтверждается опытом. Как мы могли бы без помощи измерения обнаружить отклонения от конгруэнтности — это вопрос, который он оставляет без обсуждения. Затем он формулирует четыре аксиомы, которые он считает существенными для геометрии, следующим образом:

(1) Относительно непрерывности и измерений. В пространстве n измерений точка однозначно определяется измерением n непрерывных переменных (координат).

(2) Относительно существования подвижных твердых тел. Между 2n координатами любой пары точек твердого тела существует уравнение, которое является одинаковым для всех конгруэнтных пар точек. Рассматривая достаточное количество пар точек, мы получаем больше уравнений, чем неизвестных величин: это дает нам метод определения вида этих уравнений, чтобы сделать возможным их выполнение для всех них.

(3) Относительно свободной подвижности. Каждая точка может свободно и непрерывно переходить из одного положения в другое. Из (2) и (3) следует, что если две системы A и B могут быть приведены в конгруэнтность в каком-либо одном положении, это также возможно в любом другом положении.

(4) Относительно независимости вращения в твердых телах (монодромия). Если (n – 1) точек тела остаются неподвижными, так что каждая другая точка может описывать только определенную кривую, то эта кривая является замкнутой.

Эти аксиомы, говорит Гельмгольц, достаточны для того, чтобы вместе с аксиомой о трех измерениях дать евклидову и неевклидовы системы как единственные альтернативы. То, что они достаточны математически, нельзя отрицать, но они кажутся в некоторых отношениях избыточными. Во-первых, нет необходимости применять аксиому конгруэнтности к реальным твердым телам — об этом я подробно говорил в главе II. [29] Далее, свободная подвижность, в отличие от конгруэнтности, едва ли нуждается в специальной формулировке: какой барьер могло бы предложить пустое пространство для движения точки? Эта аксиома подразумевается в однородности пространства, что является тем же самым, что и аксиома конгруэнтности. Монодромия также подвергалась суровой критике; не только очевидно, что она могла быть включена в конгруэнтность, но даже с чисто аналитической точки зрения Софус Ли доказал, что она излишня [30]. Таким образом, аксиома конгруэнтности, правильно сформулированная, включает третью и четвертую аксиомы Гельмгольца и часть его второй аксиомы. Все четыре, или, вернее, столько, сколько из них относится к геометрии, являются следствиями, как мы увидим далее, одного фундаментального принципа относительности положения.

26. Вторая статья, которая является преимущественно математической, содержит обещанное доказательство формулы дуги, что является наиболее важным вкладом Гельмгольца в геометрию. Риман принял эту формулу как простейшую из ряда альтернатив: Гельмгольц доказал, что она является необходимым следствием его аксиом. Настоящая работа начинается с краткого повторения первой, включая изложение аксиом, к которым в конце статьи добавлены еще две: (5) пространство имеет три измерения и (6) пространство бесконечно. В тексте, как и в первой статье, предполагается, что мера кривизны не может быть отрицательной и, следовательно, бесконечное пространство должно быть евклидовым. Эта ошибка в обеих статьях исправлена в примечаниях, добавленных после появления статьи Бельтрами об отрицательной кривизне. Это пример слегка непрофессионального характера математической работы Гельмгольца по данному предмету, что вызывает у Клейна следующие замечания [31]: «Гельмгольц не математик по профессии, а физик и физиолог... Из этого нематематического качества Гельмгольца естественно следует, что он не относится к математической части своей работы с той тщательностью, которой потребовали бы от математика по специальности (von Fach)». Он сам говорит нам, что именно физиологическое изучение зрения привело его к вопросу об аксиомах, и именно как физик он делает так, чтобы его аксиомы относились к реальным твердым телам. Соответственно, мы находим ошибки в его математике, такие как аксиома монодромии и предположение, что мера кривизны должна быть положительной. Тем не менее доказательство формулы дуги Римана чрезвычайно способное и в целом было подтверждено более тщательными исследованиями Ли.

27. Другие сочинения Гельмгольца по геометрии почти полностью философские и будут подробно обсуждаться в главе II. В настоящее время мы можем перейти к единственному другому важному автору второго периода — Бельтрами. Поскольку его работа чисто математическая и содержит мало спорных моментов, она, несмотря на свою огромную важность, не должна задерживать нас надолго.

«Saggio di Interpretazione della Geometria non-Euclidea» [32], который в основном ограничен двумя измерениями, интерпретирует результаты Лобачевского характерным методом второго периода. Он показывает, путем развития работ Гаусса и Миндинга [33], что все положения планиметрии, которые изложил Лобачевский, справедливы в рамках обычного евклидова пространства на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Странно, как отмечает Клейн [34], что эта интерпретация, которая была известна Риману и, возможно, даже Гауссу, так долго оставалась без явного изложения. Это тем более странно, что «Géométrie Imaginaire» Лобачевского появилась в журнале Крелле, том XVII [35], а статья Миндинга, из которой эта интерпретация следует непосредственно, появилась в журнале Крелле, том XIX. Миндинг показал, что геометрию поверхностей постоянной отрицательной кривизны, в частности в отношении геодезических треугольников, можно вывести из геометрии сферы, придав радиусу чисто мнимое значение ia [36]. Этот результат, как мы видели, был также получен Лобачевским для его геометрии, и все же потребовалось тридцать лет, чтобы эта связь стала общеизвестной.

28. В «Saggio» Бельтрами прямые линии, конечно, заменены геодезическими; его координаты получены через поточное соответствие с вспомогательной плоскостью, в которой прямые линии соответствуют геодезическим на поверхности. Таким образом, геодезические имеют линейные уравнения и всегда однозначно определяются двумя точками. Расстояния на поверхности, однако, не равны расстояниям на плоскости; таким образом, хотя поверхность бесконечна, соответствующая часть плоскости содержится внутри определенного конечного круга. Расстояние между двумя точками на поверхности является определенной функцией координат, а не обычной функцией элементарной геометрии. Эти отношения плоскости и поверхности важны в связи с теорией расстояния Кэли, которую мы должны рассмотреть далее. Если бы мы определили расстояние на плоскости как ту функцию координат, которая дает соответствующее расстояние на поверхности, мы получили бы то, что Клейн называет «плоскостью с гиперболической системой измерения (Massbestimmung)», в которой была бы справедлива теория расстояния Кэли. Очевидно, однако, что обычное понятие расстояния было заранее предположено при создании системы координат, так что мы не получаем альтернативных геометрий на одной и той же плоскости. Значение этих замечаний проявится более полно, когда мы перейдем к рассмотрению Кэли и Клейна.

29. Ценность «Saggio» Бельтрами в его собственных глазах заключается в понятном евклидовом смысле, который он придает планиметрии Лобачевского: соответствующая система стереометрии, поскольку она не имеет смысла для евклидова пространства, едва упоминается в этой работе. Однако во второй статье [37], почти одновременной с первой, он переходит к рассмотрению общей теории n-мерных многообразий постоянной отрицательной кривизны. Эта статья находится под сильным влиянием диссертации Римана; она начинается с формулы для линейного элемента и доказывает из этого, во-первых, что конгруэнтность справедлива для таких пространств, и, во-вторых, что они имеют, согласно определению Римана, постоянную отрицательную меру кривизны. (Поучительно наблюдать, что как в этом, так и в предыдущем эссе большое внимание уделяется необходимости аксиомы конгруэнтности.)

Эта работа имеет меньший философский интерес, чем предыдущая, поскольку она делает не больше, чем повторяет в общей форме результаты, которые «Saggio» получил для двух измерений — результаты, которые при расширении до n измерений опускаются до уровня простых математических конструкций. Тем не менее статья важна как восстановление отрицательной кривизны, которая была упущена из виду Гельмгольцем, и как аналитическая трактовка результатов Лобачевского — трактовка, которая вместе с «Saggio» наконец вернула им известность, которую они заслуживали.

Третий период.

30. Третий период радикально отличается как своими методами и целями, так и лежащими в его основе философскими идеями от периода, который он заменил. В то время как во втором периоде все вращалось вокруг измерения с его аппаратом конгруэнтности, свободной подвижности, твердых тел и прочего, все это полностью исчезает в третьем периоде, который, качаясь в противоположную крайность, рассматривает количество как совершенно нерелевантную категорию в геометрии и обходится без конгруэнтности и метода наложения. Идеи этого периода, к сожалению, не нашли такого философского выразителя, как Риман или Гельмгольц, а были изложены только техническими математиками. Более того, изменение фундаментальных идей, которое является огромным, не привело к столь же большому изменению в фактической процедуре; ибо хотя пространственное количество больше не является частью проективной геометрии, количество все еще используется, и у нас все еще есть уравнения, алгебраические преобразования и так далее. Это склонно вызывать путаницу, особенно в уме студента, который не осознает, что используемые величины, поскольку положения действительно проективны, являются лишь именами для точек, а не, как в метрической геометрии, реальными пространственными величинами.

Тем не менее фундаментальное различие между этим периодом и предыдущим должно сразу поразить любого. В то время как Риман и Гельмгольц имели дело с метрическими идеями и брали за свои основы меру кривизны и формулу для линейного элемента — обе чисто метрические, — новый метод воздвигнут на формулах преобразования координат, необходимых для выражения данной коллинеации. Он начинает с сведения всех так называемых метрических понятий — расстояния, угла и т. д. — к проективным формам и получает из этого сведения методологическое единство и простоту, которые были невозможны ранее. Это сведение, однако, зависит, за исключением случаев, когда пространственная константа отрицательна, от мнимых фигур — в Евклиде, от круговых точек на бесконечности; более того, оно чисто символическое и аналитическое и должно рассматриваться как философски нерелевантное. Поскольку вопрос о значении этого сведения имеет фундаментальное значение для нашей теории геометрии, а Кэли в своем президентском обращении к Британской ассоциации в 1883 году официально призвал философов обсудить использование мнимых величин, от которых оно зависит, я рассмотрю этот вопрос довольно подробно. Но сначала давайте посмотрим, как математически осуществляется это сведение.

31. Мы обнаружим на протяжении этого периода, что почти каждое важное положение, хотя и вводит в заблуждение при своем очевидном истолковании, тем не менее при правильном истолковании имеет широкое философское значение. Так обстоит дело с работой Кэли, пионера проективного метода.

Проективная формула для углов в евклидовой геометрии была впервые получена Лагерром в 1853 году. Эта формула, однако, имела совершенно евклидов характер, и Кэли оставалось обобщить ее так, чтобы включить как углы, так и расстояния в евклидовых и неевклидовых системах одинаково [38].

Кэли до самого конца был стойким сторонником евклидова пространства, хотя он полагал, что неевклидовы геометрии могут быть применены в рамках евклидова пространства путем изменения определения расстояния [39]. Таким образом, несмотря на свою евклидову ортодоксальность, он предоставил сторонникам возможности неевклидовых пространств одно из их самых мощных орудий. В своих «Sixth Memoir upon Quantics» (1859) он поставил перед собой задачу «установления понятия расстояния на чисто дескриптивных принципах». Он показал, что при обычном понятии расстояния оно может быть сделано проективным путем отсылки к круговым точкам и линии на бесконечности, и что то же самое верно для углов [40]. Не довольствуясь этим, он предложил новое определение расстояния как арксинуса или арккосинуса определенной функции координат; с этим определением свойства, обычно называемые метрическими, становятся проективными свойствами, имеющими отношение к определенному коническому сечению, называемому Кэли Абсолютом. (Круговые точки аналитически являются вырожденным коническим сечением, так что обычная геометрия образует частный случай вышеизложенного.) Он доказывает, что когда Абсолют является мнимым коническим сечением, геометрия, полученная таким образом для двух измерений, является сферической геометрией. Соответствие с Лобачевским в случае, когда Абсолют является реальным, не проработано: действительно, повсюду нет свидетельств знакомства с неевклидовыми системами. Важность мемуара для Кэли заключается целиком в его доказательстве того, что метрическая геометрия — это лишь ветвь дескриптивной геометрии.

32. Связь теории расстояния Кэли с метагеометрией была впервые указана Клейном [41]. Клейн подробно показал, что если Абсолют реален, мы получаем систему Лобачевского (гиперболическую); если он мнимый, мы получаем либо сферическую геометрию, либо новую систему, аналогичную системе Гельмгольца, называемую Клейном эллиптической; если Абсолют является мнимой парой точек, мы получаем параболическую геометрию, и если, в частности, пара точек является круговыми точками, мы получаем обычного Евклида. В эллиптической геометрии две прямые линии в одной плоскости пересекаются только в одной точке, а не в двух, как в системе Гельмгольца. Различие между двумя видами геометрии трудно, и оно будет обсуждаться позже.

33. Поскольку все эти системы получены из евклидовой плоскости простым изменением определения расстояния, Кэли и Клейн склонны рассматривать весь вопрос не как вопрос о природе пространства, а как вопрос об определении расстояния. Поскольку это определение, по их мнению, совершенно произвольно, философская проблема исчезает — евклидово пространство остается в бесспорном владении, и единственная оставшаяся проблема — это проблема конвенции и математического удобства [42]. Этот взгляд был решительно выражен Пуанкаре: «Что следует думать, — говорит он, — об этом вопросе: истинна ли евклидова геометрия? Вопрос лишен смысла». Геометрические аксиомы, согласно ему, являются лишь конвенциями: это «определения в маскировке [43]». Таким образом, Клейн винит Бельтрами за то, что тот рассматривал свою вспомогательную плоскость лишь как вспомогательную, и замечает, что если бы он знал мемуар Кэли, он увидел бы, что связь между плоскостью и псевдосферой гораздо более тесная, чем он предполагал [44]. Взгляд, который полностью удаляет проблему с арены философии, требует, очевидно, полного обсуждения. К этому обсуждению мы теперь и перейдем.

34. Рассматриваемый взгляд возник, по-видимому, из естественной путаницы относительно природы используемых координат. Те, кто придерживается этого взгляда, не осознали, я полагаю, в достаточной мере, что их координаты — это не пространственные величины, как в метрической геометрии, а лишь условные знаки, с помощью которых можно отчетливо обозначить различные точки. Поэтому нет никаких оснований, пока у нас еще нет метрической геометрии, считать одну функцию координат лучшим выражением расстояния, чем другую, до тех пор, пока сохраняется фундаментальное уравнение сложения [45]. Следовательно, если наши координаты считаются адекватными для всей геометрии, возникает неопределенность в выражении расстояния, которую можно избежать только с помощью конвенции. Но проективные координаты — как будет утверждать наш аргумент, — хотя и вполне адекватны для всех проективных свойств и полностью свободны от каких-либо метрических предпосылок, неадекватны для выражения метрических свойств именно потому, что у них нет метрической предпосылки. Таким образом, там, где речь идет о метрических свойствах, Бельтрами остается оправданным по сравнению с Клейном; сведение метрических свойств к проективным является лишь кажущимся, хотя независимость последних от метрической геометрии вполне реальна.

35. Но что такое проективные координаты и как они вводятся? Этот вопрос не был затронут в мемуаре Кэли, и поэтому казалось, что использование координат для определения расстояния содержит логическую ошибку. Ибо координаты во всех предыдущих системах выводились из расстояния; использовать любую существующую систему координат при определении расстояния означало, следовательно, впасть в порочный круг. Кэли упоминает эту трудность в примечании, где он, однако, лишь замечает, что он рассматривал свои координаты как числа, произвольно присвоенные по какой-то системе, не исследованной далее, различным точкам. Эта трудность была подробно рассмотрена сэром Р. Боллом (Theory of the Content, Trans. R. I. A. 1889), который настаивает, что если значения наших координат уже включают обычную меру расстояния, то дать новое определение, сохраняя обычные координаты, означает впасть в противоречие. Он говорит (op. cit. стр. 1): «При изучении неевклидовой геометрии я часто чувствовал трудность, которую, как я знаю, разделяли и другие. В этой теории кажется, что мы пытаемся заменить наше обычное понятие расстояния между двумя точками логарифмом определенного ангармонического отношения [46]. Но само это отношение включает понятие расстояния, измеренного обычным способом. Как же тогда мы можем заменить наше старое понятие расстояния неевклидовым понятием, если само определение последнего включает первое?»

36. Это возражение справедливо, мы должны признать, до тех пор, пока ангармоническое отношение определяется обычным метрическим способом. Оно было бы справедливо, например, против любой попытки основать новое определение расстояния на изложении ангармонического отношения Кремоной [47], в котором оно предстает как метрическое свойство, не измененное проективным преобразованием. Если нужно избежать логической ошибки, на самом деле, следует избегать всякой отсылки к пространственной величине любого рода; ибо всякая пространственная величина, как будет показано далее [48], логически зависит от фундаментальной величины расстояния. Ангармоническое отношение и координаты должны быть одинаково определены чисто дескриптивными свойствами, если использование, которое впоследствии из них делается, должно быть свободно от метрических предпосылок и, следовательно, от возражений сэра Р. Болла.

Такое определение было удовлетворительно дано Клейном [49], который апеллирует для этой цели к четырехугольной конструкции фон Штаудта [50]. С помощью этой конструкции, которую я воспроизвел в общих чертах в главе III, разделе A, § 112 и сл., мы получаем чисто дескриптивное определение гармонического и ангармонического отношения, и, имея пару точек, мы можем получить гармонически сопряженную точку к любой третьей точке на той же прямой. На этой конструкции основано введение проективных координат. Начиная с любых трех точек на прямой, мы присваиваем им произвольно числа 0, 1, ∞. Затем мы находим гармонически сопряженную точку к первой относительно 1, ∞ и присваиваем ей число 2. Цель присвоения этого числа, а не какого-либо другого, состоит в том, чтобы получить значение –1 для ангармонического отношения четырех чисел, соответствующих четырем точкам [51]. Затем мы находим гармонически сопряженную точку к точке 1 относительно 2, ∞ и присваиваем ей число 3; и так далее. Клейн показал, что с помощью этой конструкции мы можем получить любое количество точек и можем построить точку, соответствующую любому заданному числу, дробному или отрицательному. Более того, когда два набора из четырех точек имеют одно и то же ангармоническое отношение, определенное дескриптивно [52], соответствующие числа также имеют одно и то же ангармоническое отношение. Вводя такую числовую систему на двух прямых или на трех, мы получаем координаты любой точки на плоскости или в пространстве. С помощью этой конструкции, которая имеет фундаментальное значение для проективной геометрии, логическая ошибка, на которой сэр Р. Болл основывает свою критику, удовлетворительно избегается. Наши координаты вводятся чисто дескриптивным методом и не включают никаких предпосылок относительно измерения расстояния.

37. С этой системой координат, следовательно, определять расстояние как определенную функцию координат не означает совершать порочный круг. Но из этого вовсе не следует, что определение расстояния произвольно. Всякая отсылка к расстоянию до сих пор исключалась, чтобы избежать метрических идей; но когда вводится расстояние, метрические идеи неизбежно появляются вновь, и мы должны помнить, что наши координаты не дают информации, primâ facie, ни об одной из этих метрических идей. Мы можем, конечно, если захотим, продолжать исключать расстояние в обычном смысле как величину конечной прямой линии и определять слово «расстояние» как угодно. Но понятие, которое до сих пор обозначалось этим словом, тогда потребует нового имени, и единственным результатом будет путаница между кажущимся значением наших положений для тех, кто сохраняет ассоциации, принадлежащие старому смыслу слова, и реальным значением, вытекающим из нового смысла, в котором используется это слово.

Эта путаница, я полагаю, действительно произошла в случае тех, кто рассматривает вопрос между Евклидом и метагеометрией как вопрос об определении расстояния. Расстояние — это количественное отношение и как таковое предполагает тождество качества. Но проективная геометрия имеет дело только с качеством — по какой причине она называется дескриптивной — и не может различить две фигуры, которые качественно одинаковы. Теперь значение качественного сходства в геометрии — это возможность взаимного преобразования посредством коллинеации [53]. Любые две пары точек на одной и той же прямой, следовательно, качественно одинаковы; их единственное качественное отношение — это прямая линия, которую обе пары имеют общую; и именно качественное тождество отношений двух пар позволяет разности их отношений быть исчерпывающе рассмотренной с помощью количества как разности расстояний. Но там, где количество исключено, любые две пары точек на одной прямой кажутся одинаковыми, и даже любые два набора из трех: ибо любые три точки на прямой могут быть проективно преобразованы в любые другие три. Только с четырьмя точками на линии мы приобретаем проективное свойство, отличающее их от других наборов из четырех, и это свойство — ангармоническое отношение, определенное дескриптивно. Проективный геометр, следовательно, не видит причин давать имя отношению между двумя точками, поскольку это отношение есть нечто большее, чем неограниченная прямая линия, на которой они лежат; и когда он вводит понятие расстояния, он определяет его единственным способом, который позволяют ему проективные принципы, как отношение между четырьмя точками. Поскольку он тем не менее хочет, чтобы слово дало ему возможность различать разные пары точек, он соглашается взять две из четырех точек как фиксированные. Таким образом, единственные переменные в расстоянии — это две оставшиеся точки, и расстояние, следовательно, предстает как функция двух переменных, а именно координат двух переменных точек. Когда мы далее определили нашу функцию так, чтобы расстояние могло быть аддитивным, мы получаем функцию со многими свойствами расстояния в обычном смысле. Эту функцию, следовательно, проективный геометр рассматривает как единственно правильное определение расстояния.

Мы можем видеть, на самом деле, из того, как были введены наши проективные координаты, что некоторая функция этих координат должна выражать расстояние в обычном смысле. Ибо они были введены последовательно, так что по мере нашего продвижения от нулевой точки к точке бесконечности наши координаты постоянно росли. Каждой точке соответствовала определенная координата: расстоянию между двумя переменными точками, следовательно, как функции, зависящей от других переменных, должна соответствовать некоторая определенная функция координат, поскольку они сами являются функциями своих точек. Обсуждаемая выше функция, следовательно, должна определенно включать расстояние в обычном смысле.

Но произвольный и условный характер расстояния, как утверждают Пуанкаре и Клейн, проистекает из того факта, что две фиксированные точки, необходимые для определения нашего расстояния в проективном смысле, могут быть произвольно выбраны, и хотя, когда наш выбор сделан, любые две точки имеют определенное расстояние, все же, в зависимости от того, как мы делаем этот выбор, расстояние станет другой функцией двух переменных точек. Неопределенность, таким образом введенная, неизбежна на проективных принципах; но должны ли мы заключать из этого, что она действительно неизбежна? Не должны ли мы скорее заключить, что проективная геометрия не может адекватно иметь дело с расстоянием? Если A, B, C — три разные точки на линии, должно быть некоторое различие между отношением A к B и A к C, ибо в противном случае, из-за качественного тождества всех точек, B и C нельзя было бы различить. Но такое различие включает отношение между A и B, которое независимо от других точек на линии; ибо если у нас нет такого отношения, другие точки нельзя различить как разные. Прежде чем мы сможем различить две фиксированные точки, с которых начинается проективное определение, мы должны уже предположить некоторое отношение между любыми двумя точками на нашей линии, в котором они независимы от других точек; и это отношение — расстояние в обычном смысле [54]. Когда мы измерили это количественное отношение обычными методами метрической геометрии, мы можем перейти к решению того, какие базовые точки должны быть выбраны на нашей линии, чтобы проективная функция, обсуждавшаяся выше, могла иметь то же значение, что и обычное расстояние. Но выбор этих базовых точек, когда мы обсуждаем расстояние в обычном смысле, не является произвольным, и их введение — лишь технический прием. Расстояние в обычном смысле остается отношением между двумя точками, а не между четырьмя; и именно неспособность осознать, что проективный смысл отличается от обычного смысла и не может его заменить, породила взгляды Клейна и Пуанкаре. Вопрос не в конвенции, а в несводимых метрических свойствах пространства. Резюмируя: количества, как они используются в проективной геометрии, не означают пространственные величины, а являются условными символами для чисто качественных пространственных отношений. Но расстояние, quâ количество, предполагает тождество качества как условие количественного сравнения. Расстояние в обычном смысле — это, короче говоря, то количественное отношение между двумя точками на линии, с помощью которого можно определить их отличие от других точек. Проективное определение, однако, будучи неспособным отличить совокупность менее чем из четырех точек от любой другой на той же прямой, заставляет расстояние зависеть от двух других точек, помимо тех, чье отношение оно определяет. Таким образом, не остается имени для расстояния в обычном смысле, и многие проективные геометры, упразднив имя, верят, что упразднена и сама вещь, и склонны отрицать, что две точки вообще имеют уникальное отношение. Эта путаница в проективной геометрии показывает важность имени и должна заставить нас остерегаться позволять новым значениям заслонять одно из фундаментальных свойств пространства.

38. Остается обсудить способ, которым неевклидовы геометрии вытекают из проективного определения расстояния, а также истинную интерпретацию, которую следует дать этому взгляду на метагеометрию. Следует заметить, что проективные методы, которые следуют за Кэли, имеют дело повсюду с евклидовой плоскостью, на которой они вводят различные меры расстояния. Отсюда возникает в любой интерпретации этих методов кажущееся подчинение неевклидовых пространств, как если бы они были менее самодостаточными, чем евклидово. Это подчинение не предполагается в дальнейшем; напротив, корреляция с евклидовым пространством рассматривается как ценная, во-первых, потому что евклидово пространство изучалось дольше и более знакомо, но во-вторых, потому что эта корреляция доказывает, при правильной интерпретации, что другие пространства самодостаточны. Мы можем ограничиться главным образом при обсуждении этой интерпретации расстояниями, измеренными вдоль одной прямой линии. Но мы должны быть осторожны, чтобы помнить, что метрическое определение расстояния — которое, согласно защищаемому здесь взгляду, является единственно адекватным определением — одинаково в евклидовых и неевклидовых пространствах; аргументировать в его пользу — значит, следовательно, не аргументировать в пользу Евклида.

Проективная схема координат состоит из ряда чисел, каждое из которых представляет определенное ангармоническое отношение и обозначает одну и только одну точку, и которые равномерно возрастают с расстоянием от фиксированного начала, пока не становятся бесконечными при достижении определенной точки. Теперь Кэли показал, что в евклидовой геометрии расстояние может быть выражено как предел логарифма ангармонического отношения двух точек и (совпадающих) точек на бесконечности на их прямой линии; в то время как если бы мы предположили, что точки на бесконечности различны, мы получили бы формулу для расстояния в гиперболической или сферической геометрии, в зависимости от того, были ли эти точки реальными или мнимыми. Отсюда следует, что с проективным определением расстояния мы получим точно формулы гиперболической, параболической или сферической геометрии, в зависимости от того, выберем ли мы точку, которой присвоено значение +∞, на конечном, бесконечном или мнимом расстоянии (в обычном смысле) от точки, которой мы присваиваем значение 0. Наша прямая линия остается все это время обычной евклидовой прямой линией. Но мы видели, что проективное определение расстояния соответствует истинному определению только тогда, когда две фиксированные точки, к которым оно относится, выбраны подходящим образом. Теперь обычное значение расстояния требуется в неевклидовых геометриях так же, как и в евклидовых — действительно, только в метрических свойствах эти геометрии и различаются. Следовательно, наша евклидова прямая линия, хотя она может служить для иллюстрации других геометрий, кроме евклидовой, может быть правильно рассмотрена только Евклидом. Там, где мы даем иное определение расстояния, чем у Евклида, мы все еще находимся в области чисто проективных свойств и не получаем никакой информации относительно метрических свойств нашей прямой линии. Но важность для метагеометрии этой новой интерпретации заключается в том факте, что, независимо установив метрические формулы неевклидовых пространств, мы обнаруживаем, как в «Saggio» Бельтрами, что эти пространства могут быть связаны гомографическим соответствием с точками евклидова пространства; и что это может быть осуществлено таким образом, чтобы дать для расстояния между двумя точками нашего неевклидова пространства гиперболическую или сферическую меру расстояния для соответствующих точек евклидова пространства.

39. В целом, тогда, модификация взгляда сэра Р. Болла, которая практически является обобщенным изложением метода Бельтрами, представляется наиболее приемлемой. Он воображает то, что вместе с Грассманом он называет содержанием, т. е. совершенно общее трехмерное многообразие, а затем соотносит его элементы один за другим с точками в евклидовом пространстве. Таким образом, каждый элемент содержания приобретает в качестве своих координат обычные евклидовы координаты соответствующей точки в евклидовом пространстве. С помощью этой корреляции наши вычисления, хотя они относятся к содержанию, проводятся, как в «Saggio» Бельтрами, в обычном евклидовом пространстве. Таким образом, путаница исчезает, но вместе с ней исчезает и предполагаемая евклидова интерпретация. Содержание сэра Р. Болла, если оно вообще должно быть пространством, должно быть пространством, радикально отличающимся от евклидова [55]; говорить, как это делает Клейн, об обычных плоскостях с гиперболическими или эллиптическими мерами расстояния — значит либо впасть в противоречие, либо отказаться от какого-либо метрического значения расстояния. Вместо обычных плоскостей мы имеем поверхности, подобные поверхностям Бельтрами, постоянной меры кривизны; вместо евклидова пространства мы имеем гиперболическое или сферическое пространство. В то же время остается верным, что мы можем методом Клейна придать евклидов смысл любому символическому положению в неевклидовой геометрии. Ибо, подставляя вместо расстояния упомянутый выше логарифм, мы получаем из неевклидова результата результат, который следует из обычных евклидовых аксиом. Это соответствие устраняет раз и навсегда возможность скрытого противоречия в метагеометрии, поскольку положению в одной соответствует одно и только одно положение в другой, и противоречивые результаты в одной системе, следовательно, соответствовали бы противоречивым результатам в другой. Следовательно, метагеометрия не может привести к противоречиям, если только евклидова геометрия в тот же момент не приводит к соответствующим противоречиям. Таким образом, евклидова плоскость с гиперболической или эллиптической мерой расстояния, хотя и является либо противоречивой, либо неметрической как независимое понятие, имеет в качестве помощи при интерпретации неевклидовых результатов очень высокую степень полезности.

40. Нам еще предстоит обсудить третий вид неевклидовой геометрии Клейна, который он называет эллиптическим. Различие между ней и сферической геометрией трудно уловить, но его можно проиллюстрировать более простым примером. Плоскость, как все знают, может быть обернута без растяжения вокруг цилиндра, и прямые линии на плоскости становятся при этой операции геодезическими на цилиндре. Геометрии плоскости и цилиндра, следовательно, имеют много общего. Но поскольку образующая окружность цилиндра, которая является одной из его геодезических, конечна, только часть плоскости используется при обертывании ее один раз вокруг цилиндра. Следовательно, если мы попытаемся установить поточное соответствие между плоскостью и цилиндром, мы обнаружим бесконечный ряд точек на плоскости для одной точки на цилиндре. Так случается, что геодезические, хотя на плоскости они имеют только одну общую точку, могут на цилиндре иметь бесконечное число пересечений. Несколько похоже на это отношение между сферической и эллиптической геометриями. Любой одной точке в эллиптическом пространстве соответствуют две точки в сферическом пространстве. Таким образом, геодезические, которые в сферическом пространстве могут иметь две общие точки, никогда не могут в эллиптическом пространстве иметь более одного пересечения.

Но метод Клейна может доказать только то, что эллиптическая геометрия справедлива для обычной евклидовой плоскости с эллиптической мерой расстояния. Клейн приложил большие усилия, чтобы подчеркнуть различие между сферической и эллиптической геометриями [56], но не сразу очевидно, что последняя, как отличная от первой, является справедливой.

Во-первых, эллиптическая геометрия Клейна, которая возникает как одна из альтернативных метрических систем на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве, сама по себе не достаточна, если приведенное выше обсуждение было верным, чтобы доказать возможность эллиптического пространства, т. е. пространства, имеющего поточное соответствие с евклидовым пространством и имеющего в качестве обычного расстояния между двумя своими точками эллиптическое определение расстояния между соответствующими точками евклидова пространства. Чтобы доказать эту возможность, мы должны принять прямой метод Ньюкома (Crelle's Journal, Vol. 83). Теперь, во-первых, Ньюком не доказал, что его постулаты самосогласованы; он лишь не смог доказать, что они противоречивы [57]. Это оставило бы эллиптическое пространство в том же положении, в котором Лобачевский и Бойяи оставили гиперболическое пространство. Но далее, кажется, на первый взгляд, в двухмерном эллиптическом пространстве существует положительное противоречие. Чтобы объяснить это, однако, потребуется некоторое описание особенностей эллиптической плоскости.

Эллиптическая плоскость, рассматриваемая как фигура в трехмерном эллиптическом пространстве, является тем, что называется двойной поверхностью [58], т. е., как говорит Ньюком (loc. cit. стр. 298): «Две стороны полной плоскости не являются различными, как в евклидовой поверхности... Если... существо отправится на расстояние 2D, оно, вернувшись, обнаружит себя на противоположной поверхности той, с которой оно начало, и должно будет повторить свое путешествие, чтобы вернуться в исходное положение, не покидая поверхности». Теперь, если мы вообразим двухмерное эллиптическое пространство, различие между сторонами плоскости становится бессмысленным, поскольку оно приобретает значимость только через отсылку к третьему измерению. Тем не менее, некоторое такое различие было бы навязано нам. Предположим, например, что мы взяли маленький круг, снабженный стрелкой, как на рисунке, и переместили этот круг один раз вокруг вселенной. Тогда направление стрелки было бы обращено. Мы были бы таким образом вынуждены либо рассматривать новое положение как отличное от прежнего, что превращает нашу плоскость в сферическую плоскость, либо приписать обращение стрелки действию движения, которое возвращает наш круг в исходное место. Следует заметить, что ничего меньшего, чем движение вокруг вселенной, не было бы достаточно, чтобы обратить направление стрелки. Это обращение кажется действием пустого пространства, которое заставило бы нас рассматривать точки, которые с трехмерной точки зрения совпадают, хотя и противоположны, как действительно различные, и тем самым свести эллиптическую плоскость к сферической. Но движение, а не пространство, действительно вызывает изменение, и эллиптическая плоскость, следовательно, не доказана как невозможная. Вопрос, однако, не имеет большого философского значения.

41. В связи со сведением метрической геометрии к проективной у нас есть еще одна тема для обсуждения. Это геометрическое использование мнимых величин, с помощью которого, за исключением случая гиперболического пространства, осуществляется сведение. Я уже утверждал на других основаниях, что это сведение, несмотря на его огромную техническую важность и несмотря на полную логическую свободу проективной геометрии от метрических идей, является чисто техническим и философски не является обоснованным. Тот же вывод появится, если мы примем вызов Кэли на Британской ассоциации в его президентском обращении 1883 года.

В этом обращении профессор Кэли посвятил большую часть своего времени неевклидовым системам. Неевклидовы пространства, заявил он, казались ему ошибочными à priori [59]; но неевклидовы геометрии, здесь, как и в его математических работах, принимались как вытекающие из изменения в определении расстояния. Этот взгляд уже обсуждался, и поэтому его не нужно критиковать здесь далее. О чем я хочу поговорить, так это о вопросе, с которого сам Кэли начал свое обращение, а именно о геометрическом использовании и значении мнимых величин. Из того, как он говорил об этом вопросе, становится обязательным рассмотреть его довольно подробно. Ибо он сказал (стр. 8–9):

«... Понятие, которое является действительно фундаментальным (и я не могу достаточно сильно подчеркнуть это утверждение), лежащим в основе и пронизывающим всё понятие современной математического анализа и геометрии, [есть] понятие мнимой величины в анализе и мнимого пространства (или пространства как locus in quo мнимых точек и фигур) в геометрии: я использую в каждом случае слово «мнимый» как включающее в себя и «реальное».... Скажем, даже если вывод будет состоять в том, что это понятие принадлежит лишь технической математике или относится к несуществующим объектам, в отношении которых никакая наука невозможна, всё же мне кажется, что (как предмет философской дискуссии) это понятие не должно быть так проигнорировано; по крайней мере, следует показать, что существует право игнорировать его».

42. Это право я и намерен теперь продемонстрировать. Но из опасения, что нематематики могут упустить суть замечания Кэли (которое иногда ошибочно принимали за относящееся к неевклидовым пространствам), я, пожалуй, с самого начала объясню, что этот вопрос радикально отличается от значимости или смысла метагеометрии и связан с ними лишь косвенно. Мнимая величина — это величина, содержащая √–1: её наиболее общая форма есть a + √–1b, где a и b — вещественные числа; Кэли использует слово «мнимый» так, чтобы оно включало и вещественные числа, для того чтобы охватить частный случай, когда b = 0. В дальнейшем будет удобно исключить это более широкое значение и предположить, что b не равно нулю. Мнимая точка — это точка, координаты которой содержат √–1, т. е. координаты которой являются мнимыми величинами. Мнимая кривая — это кривая, точки которой мнимы, или, в некоторых специальных случаях, кривая, уравнение которой содержит мнимые коэффициенты. Математические тонкости, к которым приводит это понятие, здесь обсуждать нет необходимости; читатель, интересующийся ими, найдёт превосходное элементарное изложение их геометрического применения в книге Клейна «Nicht-Euklid», II, стр. 38–46. Но для наших текущих целей мы можем ограничиться мнимыми точками. Если окажется, что они имеют лишь техническое значение и лишены какого-либо философского смысла, то же самое будет справедливо для любой совокупности мнимых точек, т. е. для любой мнимой кривой или поверхности.

То, что понятие мнимых точек имеет огромное значение в геометрии, увидит каждый, кто задумается над тем, что круговые точки являются мнимыми и что сведение метрической геометрии к проективной, являющееся одним из величайших достижений Кэли, зависит от этих точек. Однако адекватно обсудить их философский смысл мне трудно, поскольку я не знаком с какой-либо удовлетворительной философией мнимых величин в чистой алгебре. Поэтому я приму наиболее благоприятную гипотезу и предположу, что против этого использования нельзя успешно выдвинуть никаких возражений. Даже при такой гипотезе, я думаю, нельзя обосновать существование мнимых точек в геометрии.

Прежде всего, мы должны исключить из рассматриваемых мнимых точек те, координаты которых являются мнимыми только в определённых специальных системах координат. Например, если одной из координат точки является касательная из неё к сфере, то эта координата будет мнимой для любой точки внутри сферы, и всё же сама точка является вполне реальной. Следовательно, точку следует называть мнимой только тогда, когда, какую бы реальную систему координат мы ни приняли, одна или несколько величин, выражающих эти координаты, остаются мнимыми. Для этой цели математически достаточно предположить, что наши координаты — декартовы: точка, декартовы координаты которой мнимы, является истинно мнимой точкой в вышеуказанном смысле.

Чтобы обсудить значение такой точки, необходимо кратко рассмотреть фундаментальную природу соответствия между точкой и её координатами. Предполагая, что элементарная геометрия доказала — что, как мне кажется, она доказывает удовлетворительно, — что пространственные отношения поддаются количественному измерению, тогда данная точка будет иметь, при подходящей системе координат в пространстве n измерений, n количественных отношений к фиксированной пространственной фигуре, образующей оси координат, и эти n количественных отношений будут, при определённых оговорках, уникальными, т. е. никакая другая точка не будет иметь те же самые приписанные ей величины. (При многих возможных системах координат это последнее условие не выполняется: но именно по этой причине они неудобны и используются только в специальных задачах.) Таким образом, при заданной системе координат и заданном наборе величин эти величины, если они вообще определяют точку, определяют её однозначно. Но путём естественного расширения метода вышеуказанная оговорка отбрасывается, и предполагается, что каждому набору величин должна соответствовать некоторая точка. Для этого предположения, как мне кажется, нет ни малейшего доказательства. С таким же успехом почтальон мог бы предположить, что, поскольку каждый дом на улице однозначно определяется своим номером, то должен существовать дом для каждого вообразимого номера. Мы должны, по сути, знать, что данный набор величин может быть координатами некоторой точки в пространстве, прежде чем будет правомерно придавать этим величинам какое-либо пространственное значение: и это знание, очевидно, не может быть получено только из операций с координатами, под угрозой порочного круга. Мы должны, возвращаясь к вышеприведённой аналогии, знать количество домов на Пикадилли, прежде чем узнаем, имеет ли данный номер соответствующий дом или нет; и одна лишь арифметика, как бы тонко она ни использовалась, никогда не даст нам этой информации.

Таким образом, важным является не различие между вещественными и мнимыми величинами, а различие между величинами, которым соответствуют точки, и величинами, которым точки не соответствуют. Мы можем условно договориться обозначать вещественные точки мнимыми координатами, как в гауссовом методе обозначения точкой, чьи обычные координаты суть a, b, с помощью единой величины (a + √–1b). Но это не затрагивает смысла Кэли. Кэли имеет в виду, что в математике весьма полезно рассматривать как точки, реально существующие в пространстве, предполагаемые пространственные корреляты величин, которые при используемой системе координат не имеют коррелятов в повседневном пространстве; и что эта полезность, как полагают многие математики, указывает на обоснованность столь плодотворного допущения. Чтобы зафиксировать наши идеи, рассмотрим декартовы оси в трёхмерном евклидовом пространстве. Тогда при осмотре оказывается, что точка может быть расположена на любом расстоянии вправо или влево от любой из трёх координатных плоскостей; принимая это расстояние за координату, следовательно, оказывается, что вещественные точки соответствуют всем величинам от -∞ до +∞. То же самое верно и для двух других координат; и поскольку элементарная геометрия доказывает их взаимную независимость, мы знаем, что одной и только одной вещественной точке соответствуют любые три вещественные величины. Но мы также знаем из применённого исчерпывающего метода, что всё пространство покрывается диапазоном этих трёх переменных величин: новый набор величин, следовательно, такой, какой вводится использованием мнимых чисел, не обладает пространственным коррелятом и может предполагаться обладающим таковым только в силу удобной фикции.

43. Тот факт, что фикция удобна, однако, может быть истолкован как указание на то, что это нечто большее, чем фикция. Но это предположение, я думаю, можно легко опровергнуть. Ибо все плодотворные применения мнимых чисел в геометрии — это те, которые начинаются и заканчиваются вещественными величинами, а мнимые числа используют только для промежуточных шагов. Теперь во всех таких случаях мы имеем реальную пространственную интерпретацию в начале и в конце нашего аргумента, где только пространственная интерпретация и важна: в промежуточных звеньях мы имеем дело чисто алгебраическим образом с чисто алгебраическими величинами и можем выполнять любые операции, которые алгебраически допустимы. Если величины, которыми мы заканчиваем, способны к пространственной интерпретации, тогда, и только тогда, наш результат может рассматриваться как геометрический. Использовать геометрический язык в любом другом случае — лишь удобная помощь воображению. Говорить, например, о проективных свойствах, которые относятся к круговым точкам, — это просто memoria technica для чисто алгебраических свойств; круговые точки нельзя найти в пространстве, а только во вспомогательных величинах, с помощью которых преобразуются геометрические уравнения. То, что из геометрической интерпретации мнимых чисел не возникает противоречий, неудивительно: ибо они интерпретируются исключительно по правилам алгебры, которые мы можем признать справедливыми в их применении к мнимым числам. Восприятие пространства полностью отсутствует, алгебра царит безраздельно, и никакая непоследовательность возникнуть не может. Везде, где мы хоть на мгновение позволяем вторгнуться нашим обычным пространственным представлениям, возникают грубейшие нелепости — каждый может видеть, что круг, будучи замкнутой кривой, не может уйти в бесконечность. Метафизик, который изобрёл бы что-то столь нелепое, как круговые точки, был бы осмеян. Но математик может украсть лошадь безнаказанно.

Наконец, следовательно, только знание пространства, а не знание алгебры, может заверить нас в том, что любой заданный набор величин будет иметь пространственный коррелят, и при отсутствии такого коррелята операции с этими величинами не имеют геометрического значения. Это случай с мнимыми числами в смысле Кэли, и их использование в геометрии, сколь бы велики ни были его технические преимущества и сколь бы строгой ни была его техническая обоснованность, полностью лишено философской важности.

44. Мы теперь, я думаю, обсудили большинство вопросов, касающихся сферы действия и обоснованности проективного метода. Мы увидели, что он независим от всех метрических предпосылок и что его использование координат не предполагает допущения, что пространственные величины измеряются или выражаются ими. Мы увидели, что он способен справляться, только своими собственными методами, с вопросом о качественном сходстве геометрических фигур, который логически предшествует любому сравнению по количеству, поскольку количество предполагает качественное сходство. Мы видели также, что, насколько простирается его законное использование, он в равной степени применим ко всем однородным пространствам и что его критерий независимо возможного пространства — определение прямой линии двумя точками [60] — не подлежит тем оговоркам и ограничениям, которые относятся, как мы видели в случае с цилиндром, к метрическому критерию постоянной кривизны. Но мы также видели, что, когда проективная геометрия пытается справиться с пространственной величиной и подчинить себе расстояние и измерение углов, её успех, хотя технически обоснованный и важный, философски является лишь кажущимся успехом. Метрическая геометрия, следовательно, если количество вообще должно применяться к пространству, остаётся отдельной, хотя и логически последующей ветвью математики.

45. Остаётся сказать несколько слов о Софусе Ли. Как математика, как изобретателя нового и чрезвычайно мощного метода анализа, его нельзя перехвалить. Геометрия — лишь один из многочисленных предметов, к которым применима его теория непрерывных групп, но её применение к геометрии произвело революцию в методе и сделало возможным, в таких задачах, как задачи Гельмгольца, подход бесконечно более точный и исчерпывающий, чем любой, который был возможен ранее.

Общее определение группы следующее: если у нас есть любое число независимых переменных x1, x2... xn и любая серия преобразований их в новые переменные — преобразования определяются уравнениями заданных форм с параметрами, варьирующимися от одного преобразования к другому, — то серия преобразований образует группу, если последовательное применение любых двух из них эквивалентно одному члену исходной серии преобразований. Группа является непрерывной, когда мы можем перейти, посредством бесконечно малых градаций внутри группы, от любого одного из преобразований к любому другому.

Теперь, в геометрии, результат двух последовательных движений или коллинеаций фигуры всегда может быть получен одним движением или коллинеацией, и любое движение или коллинеация может быть построено из серии бесконечно малых движений или коллинеаций. Более того, аналитическое выражение любого из них есть некоторое преобразование координат всех точек фигуры [61]. Следовательно, преобразования, определяющие движение или коллинеацию, таковы, что образуют непрерывную группу. Но вопрос о проективной эквивалентности двух фигур, к которому сводится вся проективная геометрия, всегда должен решаться посредством коллинеации; а вопрос о равенстве двух фигур, к которому сводится вся метрическая геометрия, всегда должен решаться движением, вызывающим наложение; следовательно, весь предмет геометрии может рассматриваться как теория непрерывных групп, которые определяют все возможные коллинеации и движения.

Теперь Софус Ли развил, весьма подробно, чисто аналитическую теорию групп; у него, следовательно, благодаря этому методу формулировки задачи, есть очень мощное оружие, готовое к атаке. В двух статьях «Об основаниях геометрии [62]», предпринятых по настоятельной просьбе Клейна, он берёт посылки, которые грубо соответствуют посылкам Гельмгольца, опуская монодромию, и применяет теорию групп к дедукции их следствий [63]. Работа Гельмгольца, говорит он, едва ли может рассматриваться как доказывающая свои выводы, и действительно, более глубокий анализ теории групп выявляет несколько возможностей, неизвестных Гельмгольцу. Тем не менее, как первопроходец, лишённый аппарата Ли, Гельмгольц заслуживает, я думаю, большей похвалы, чем Ли готов ему дать [64].

Метод Ли является совершенно исчерпывающим; опуская посылку монодромии, остальные показывают, что тело имеет шесть степеней свободы, т. е. что группа, дающая все возможные движения тела, будет иметь шесть независимых членов; если мы зафиксируем одну точку, число независимых членов сокращается до трёх. Затем он, исходя из своей общей теории, перечисляет все группы, которые удовлетворяют этому условию. Чтобы такая группа давала возможные движения, необходимо, согласно второй аксиоме Гельмгольца, чтобы она оставляла инвариантной некоторую функцию координат любых двух точек. Это исключает несколько из ранее перечисленных групп, каждую из которых он обсуждает по очереди. Таким образом, он приходит к следующим результатам:

I. В двух измерениях, если свободная подвижность должна соблюдаться универсально, не существует групп, удовлетворяющих первым трём аксиомам Гельмгольца, кроме тех, которые дают обычные евклидовы и неевклидовы движения; но если она должна соблюдаться только в пределах определённой области, существует также возможная группа, в которой кривая, описываемая любой точкой при вращении, не является замкнутой, а представляет собой равноугольную спираль. Чтобы исключить эту возможность, требуется аксиома монодромии Гельмгольца.

II. В трёх измерениях результаты ещё больше противоречат Гельмгольцу. Предполагая свободную подвижность только в пределах определённой области, мы должны различать два случая: Либо свободная подвижность соблюдается в пределах этой области абсолютно без исключений, т. е. когда одна точка зафиксирована, любая другая точка внутри области может свободно перемещаться по поверхности: в этом случае аксиома монодромии излишня, и первых трёх аксиом достаточно, чтобы определить нашу группу как группу евклидовых и неевклидовых движений. Либо свободная подвижность в пределах указанной области соблюдается только для каждой точки общего положения, в то время как точки определённой линии, когда одна точка зафиксирована, способны двигаться только по этой линии, а не по поверхности: когда это так, возможны другие группы, и они могут быть исключены только четвёртой аксиомой Гельмгольца.

Изложив теперь чисто математические результаты исследований Ли, мы можем вернуться к философским соображениям, которыми в основном была мотивирована работа Гельмгольца. Становится очевидным, что не только исключения внутри определённой области, но и ограничение определённой областью аксиомы свободной подвижности философски совершенно невозможны и немыслимы. Как может определённая линия или определённая поверхность образовывать непреодолимый барьер в пространстве или обладать какой-либо подвижностью, отличной по роду от подвижности всех других линий или поверхностей? Это понятие в философии не может быть допущено ни на мгновение, поскольку оно разрушает ту самую фундаментальную из всех аксиом — однородность пространства. Мы не только можем, следовательно, но и должны принимать аксиому свободной подвижности Гельмгольца в её самом строгом смысле; аксиома монодромии, таким образом, становится математически, так же как и философски, излишней. Это, с философской точки зрения, самый важный из результатов Ли.

46. Я подошёл к концу своей истории метагеометрии. Моей целью не было дать исчерпывающий отчёт даже о важных работах по этому предмету — в третьем периоде, особенно, имена Пуанкаре, Паша, Кремоны, Веронезе и других, кого можно было бы упомянуть, устыдили бы меня, если бы у меня была такая цель. Но я попытался изложить, насколько мог ясно, принципы, действующие в различные периоды, мотивы и результаты последовательных теорий. Мы видели, как философский мотив, поначалу преобладающий, постепенно вытеснялся чисто математическим и техническим духом большинства недавних геометров. Поначалу дискредитация трансцендентальной эстетики казалась метагеометрам столь же важной, как и продвижение их науки; но из работ Кэли, Клейна или Ли ни один читатель не смог бы заключить, что Кант когда-либо жил. Мы также видели, однако, что по мере того, как интерес к философии угасал, интерес к философии возрастал: по мере того как математические результаты освобождались от философских споров, они постепенно принимали стабильную форму, от которой дальнейшее развитие, мы можем разумно надеяться, примет форму роста, а не трансформации. Такое же постепенное развитие из философии, я полагаю, можно было бы проследить в младенчестве большинства отраслей математики; когда философские мотивы перестают действовать, это, как правило, знак того, что стадия неопределённости в отношении посылок пройдена, так что будущее принадлежит полностью математической технике. Когда эта стабильная стадия достигнута, пришло время философии заимствовать у науки, принимая её окончательные посылки как навязанные реальной необходимостью факта или логики.

47. Теперь, обсуждая системы метагеометрии, мы обнаружили два вида, радикально отличных и подчинённых разным аксиомам. Исторически более ранний вид, который имеет дело с метрическими идеями, обсуждает, прежде всего, условия свободной подвижности, которая существенна для всякого измерения пространства. Он находит аналитическое выражение этих условий в существовании пространственной константы, или постоянной меры кривизны, что эквивалентно однородности пространства. Это его первая аксиома.

Его вторая аксиома гласит, что пространство имеет конечное целое число измерений, т. е. в метрических терминах, что положение точки относительно любой другой фигуры в пространстве однозначно определяется конечным числом пространственных величин, называемых координатами.

Третью аксиому метрической геометрии можно назвать, чтобы отличить её от соответствующей проективной аксиомы, аксиомой расстояния. Существует одно отношение, гласит она, между любыми двумя точками, которое может быть сохранено неизменным при комбинированном движении обеих точек и которое при любом движении системы как одного твёрдого тела всегда остаётся неизменным. Это отношение мы называем расстоянием.

Вышеприведённое изложение трёх существенных аксиом метрической геометрии взято у Гельмгольца в редакции Ли. Собственное изложение аксиом Ли, как процитировано выше, было слишком сильно подвержено влиянию проективных методов, чтобы дать исторически верную передачу духа второго периода; изложение Гельмгольца, с другой стороны, требует, как показал Ли, весьма значительных модификаций. Вышеуказанный компромисс может, следовательно, я надеюсь, быть принят как принимающий исправления Ли при сохранении духа Гельмгольца.

48. Но метрическая геометрия, хотя она исторически более ранняя, логически является последующей по отношению к проективной геометрии. Ибо проективная геометрия имеет дело непосредственно с тем качественным сходством, которое суждение количественного сравнения требует в качестве своей основы. Теперь вышеуказанные три аксиомы метрической геометрии, как мы увидим в главе III, раздел B, не предполагают измерения, а являются, напротив, условиями, предполагаемыми измерением. Без этих аксиом, которые общи для всех трёх пространств, измерение было бы невозможно; с ними, как я буду утверждать, измерение способно, хотя и только эмпирически, приблизительно решить, какое из трёх пространств справедливо для нашего актуального мира. Но если эти три аксиомы сами выражают не результаты, а условия измерения, не должны ли они быть эквивалентны утверждению того качественного сходства, от которого зависит количественное сравнение? И если так, не должны ли мы ожидать найти те же аксиомы, хотя, возможно, в другой форме, в проективной геометрии?

49. Это ожидание не будет обмануто. Вышеуказанные три аксиомы, как мы увидим далее, все до единой философски эквивалентны однородности пространства, а это, в свою очередь, эквивалентно аксиомам проективной геометрии. Аксиомы проективной геометрии, по сути, могут быть грубо сформулированы так:

I. Пространство непрерывно и бесконечно делимо; нуль протяжённости, возникающий в результате бесконечного деления, называется точкой. Все точки качественно подобны и различаются лишь тем фактом, что они лежат вне друг друга.

II. Любые две точки определяют уникальную фигуру, прямую линию; две прямые линии, подобно двум точкам, качественно подобны и различаются лишь тем фактом, что они взаимно внешни.

III. Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют уникальную фигуру, плоскость, а четыре точки, не лежащие в одной плоскости, определяют фигуру трёх измерений. Этот процесс может, насколько можно видеть à priori, быть продолжен, никоим образом не мешая возможности проективной геометрии, до пяти или до n точек. Но проективная геометрия требует, в качестве аксиомы, чтобы процесс остановился на некотором положительном целом числе точек, после чего любая новая точка содержится в фигуре, определённой уже данными. Если процесс останавливается на (n + 1) точках, говорят, что наше пространство имеет n измерений.

Эти три аксиомы, как будет видно, являются эквивалентами трёх аксиом метрической геометрии [65], выраженными без ссылки на количество. Мы найдём, что они выводимы, как и прежде, из однородности пространства или, ещё более общо, из возможности переживания внешности. Поэтому они предстанут как à priori, как существенные для существования любой геометрии и для опыта внешнего мира как такового.

50. То, что в этих аксиомах заключена некоторая логическая необходимость, можно, я думаю, вывести как вероятное, исходя из одного лишь их исторического развития. Ибо системы метагеометрии, как правило, не создавались как более вероятные для соответствия фактам, чем система Евклида; за исключением, например, Цёлльнера, я не знаю никого, кто рассматривал бы четвёртое измерение как необходимое для объяснения явлений. Что касается пространственной константы, опять же, хотя малая пространственная константа рассматривается как эмпирически возможная, она обычно не рассматривается как вероятная; а конечные пространственные константы, с которыми метагеометрия в равной степени имеет дело, обычно не считаются даже возможными в качестве объяснений эмпирического факта [66]. Таким образом, мотив был повсюду не фактологическим, а логическим. Не даёт ли это сильного презумптивного основания полагать, что те аксиомы, которые сохраняются, сохраняются потому, что они логически незаменимы? Если это так, аксиомы, общие для Евклида и метагеометрии, будут à priori, в то время как те, что свойственны Евклиду, будут эмпирическими. После критики некоторых различных теорий геометрии я перейду в главах III и IV к доказательству и следствиям этого тезиса, которые составят остаток настоящей работы.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[5] V. Mémoires de l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France, T. XII. 1833, для полного изложения его результатов, со ссылками на прежние труды.

[6] Этот более смелый метод, по-видимому, был предложен почти столетием ранее итальянцем Саккери. Его работа, которая, по-видимому, оставалась совершенно неизвестной до тех пор, пока Бельтрами не переоткрыл её в 1889 году, называется «Euclides ab omni naevo vindicatus, etc.» Mediolani, 1733. (См. Веронезе, Grundzüge der Geometrie, немецкий перевод, Лейпциг, 1894, стр. 636.) Его результаты включали сферическое, а также гиперболическое пространство; но они настолько встревожили его, что он посвятил последнюю половину своей книги их опровержению.

[7] Первое изложение эллиптической геометрии Клейном как результата проективной теории расстояния Кэли появилось в двух статьях под названием «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, I, II», Math. Annalen 4, 6 (1871–2). Впоследствии она была независимо открыта Ньюкомбом в статье под названием «Elementary Theorems relating to the geometry of a space of three dimensions, and of uniform positive curvature in the fourth dimension», Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik, Vol. 83 (1877). Обзор математических споров относительно эллиптической геометрии см. в книге Клейна «Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie», Гёттинген 1893, I, стр. 284 сл. Библиография соответствующей литературы до 1878 года была дана Халстедом в American Journal of Mathematics, Vols. 1, 2.

[8] Веронезе (op. cit. стр. 638) отрицает приоритет Гаусса в изобретении неевклидовой системы, хотя и признаёт его первым, кто стал рассматривать аксиому параллельных как недоказуемую. Его основания для этого утверждения кажутся едва ли адекватными: о доказательствах против него см. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 171–174.

[9] V. Briefwechsel mit Schumacher, Bd. II. стр. 268.

[10] f. Helmholtz, Wiss. Abh. II. стр. 611.

[11] Crelle's Journal, 1837.

[12] Theorie der Parallellinien, Берлин, 1840. Переиздано, Берлин, 1887. Переведено Халстедом, Остин, Техас, США. 4-е издание, 1892.

[13] Frischauf, Absolute Geometrie, nach Johann Bolyai, Лейпциг, 1872. Halsted, The Science Absolute of Space, перевод с латыни, 4-е издание, Остин, Техас, США, 1896.

[14] Как отмечает Веронезе, и Лобачевский, и Бойяи исходят скорее из пары точек, чем из расстояния. См. Frischauf, Absolute Geometrie, Anhang.

[15] Сравните Stallo, Concepts of Modern Physics, стр. 248.

[16] Gesammelte Werke, стр. 255–268.

[17] Об истории этого слова см. Stallo, Concepts of Modern Physics, стр. 258. Оно использовалось Кантом и было адаптировано Гербартом почти к тому же значению, которое оно имеет у Римана. Гербарт, однако, также использует слово Reihenform для выражения похожей идеи. См. Psychologie als Wissenschaft, I, § 100 и II, § 139, где также предложена аналогия Римана с цветами.

[18] Сравните Erdmann's «Grössenbegriff vom Raum».

[19] Сравните Веронезе, op. cit. стр. 642: «Riemann ist in seiner Definition des Begriffs Grösse dunkel». См. также всю последующую критику Веронезе.

[20] Vorträge und Reden, Vol. II. стр. 18.

[21] Cf. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 160.

[22] Поскольку мы рассматриваем кривизну в точке, нас интересуют только первые бесконечно малые элементы геодезических, начинающихся из такой точки.

[23] Disquisitiones generales circa superficies curvas, Werke, Bd. IV. SS. 219–258, 1827.

[24] Тем не менее, геометрии различных поверхностей равной кривизны подвержены важным различиям. Например, цилиндр — это поверхность нулевой кривизны, но поскольку его линии кривизны в одном направлении конечны, его геометрия совпадает с геометрией плоскости только для длин, меньших окружности его образующего круга (см. Веронезе, op. cit. стр. 644). Две геодезические на цилиндре могут встретиться во многих точках. Для поверхностей нулевой кривизны, на которых это невозможно, тождество с плоскостью может быть допущено. В противном случае тождество распространяется только на свойства фигур, не превышающих определённого размера.

[25] Ибо мы можем рассматривать две разные части одной и той же поверхности как соответствующие части разных поверхностей; вышеприведённое положение тогда показывает, что фигура может быть воспроизведена в одной части, когда она была начерчена в другой, если меры кривизны соответствуют в обеих частях.

[26] Crelle, Vols, XIX., XX., 1839–40.

[27] В этой формуле u, v могут быть длинами линий или углами между линиями, проведёнными на поверхности, и, таким образом, не имеющими необходимой связи с третьим измерением.

[28] В дальнейшем я изложил скорее экспозицию Римана Клейном, чем собственный отчёт Римана. Первая гораздо яснее и полнее и существенно ни в чём не отличается. V. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 206 сл.

[29] См. §§ 69–73.

[30] Grundlagen der Geometrie, I. и II., Leipziger Berichte, 1890; v. конец настоящей главы, § 45.

[31] Nicht-Euklid, I, стр. 258–9.

[32] Giornale di Matematiche, Vol. VI., 1868. Переведено на французский Дж. Хуэлем в «Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure», Vol. VI. 1869.

[33] Crelle's Journal, Vols. XIX. XX., 1839–40.

[34] Nicht-Euklid, I, стр. 190.

[35] Эта статья более тригонометрична и аналитична, чем немецкая книга, и поэтому делает вышеуказанную интерпретацию особенно очевидной.

[36] Такие поверхности отнюдь не являются особенно отдалёнными. Одна из них, например, образована вращением обычной трактрисы

x = a sin φ, y = a (log tan φ/2 + cos φ).

[37] «Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costanta», Annali di Matematica, II. Vol. 2, 1868–9. Также переведено Дж. Хуэлем, loc. cit.

[38] См. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 47 сл., и приведённые там ссылки.

[39] См. цитату ниже из его выступления на Британской ассоциации.

[40] Сравните вступительное предложение, принадлежащее Кэли, из Higher Plane Curves Сэлмона.

[41] V. Nicht-Euklid, I, главы I. и II.

[42] См. стр. 9 выступления Кэли на Brit. Ass. 1883. Также цитата из Клейна в Axiome der Geometrie Эрдмана, стр. 124, примечание.

[43] Nature, Vol. XLV. стр. 407.

[44] Nicht-Euklid, I, стр. 200.

[45] Т. е. уравнение AB + BC = AC для трёх точек на одной прямой.

[46] Формула, подставленная Клейном вместо обратного синуса или косинуса Кэли. Обе эквивалентны, но формула Клейна математически гораздо удобнее.

[47] Elements of Projective Geometry, второе издание, Оксфорд, 1893, глава IX.

[48] Глава III. Раздел B.

[49] См. Nicht-Euklid, I, стр. 338 сл.

[50] См. его Geometrie der Lage, § 8, Harmonische Gebilde.

[51] Ангармоническое отношение четырёх чисел, p, q, r, s, определяется как

(p - q).(r - s) / (p - r).(q - s).

[52] Т. е. как преобразуемые друг в друга посредством коллинеации. См. главу III. Раздел A, § 110.

[53] См. главу III. Раздел A.

[54] Из этого следует, что сведение метрических свойств к проективным, даже когда, как в гиперболической геометрии, Абсолют реален, является лишь кажущимся и имеет лишь техническую обоснованность.

[55] Сэр Р. Болл не рассматривает своё неевклидово содержание как возможное пространство (v. op. cit. стр. 151). В этом важном пункте я не согласен с его интерпретацией, полагая такое содержание пространством, столь же возможным à priori, как и пространство Евклида, и, возможно, фактически истинным в пределах погрешности, обусловленной ошибками наблюдения.

[56] См. Nicht-Euklid, I, стр. 97 сл. и стр. 292 сл.

[57] Ньюкомб говорит (loc. cit. стр. 293): «Система, изложенная здесь, основана на следующих трёх постулатах.

«1. Я предполагаю, что пространство трижды протяжённо, безгранично, не обладает свойствами, зависящими от положения или направления, и обладает такой плоскостностью в своих мельчайших частях, что как постулаты евклидовой геометрии, так и наши общие представления об отношениях частей пространства истинны для каждой бесконечно малой области в пространстве.

«2. Я предполагаю, что это пространство обладает такой кривизной, что прямая линия всегда возвращается в саму себя по прошествии конечного и реального расстояния 2D, не теряя ни на какой части своего пути той симметрии по отношению к пространству со всех сторон от неё, которая составляет фундаментальное свойство нашего представления о ней.

«3. Я предполагаю, что если две прямые линии исходят из одной точки, образуя бесконечно малый угол a друг с другом, их расстояние друг от друга на расстоянии r от точки пересечения будет дано уравнением

s = 2aD/π sin(rπ/2D).

Прямая линия, таким образом, имеет это общее с евклидовой прямой свойство, что две такие линии пересекаются только в одной точке. Может быть, число точек, в которых две такие линии могут пересекаться, допускает определение из законов кривизны, но, будучи не в состоянии определить его таким образом, я принимаю в качестве постулата фундаментальное свойство евклидовой прямой».

Ясно, что при отсутствии упомянутого определения возможность эллиптического пространства не установлена. Может быть возможным, например, доказать, что в пространстве, где существует максимум расстояния, должно быть бесконечное число прямых линий, соединяющих две точки максимального расстояния. В этом случае эллиптическое пространство стало бы невозможным.

[58] Для разъяснения этого термина см. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 99 сл.

[59] Cf. стр. 9 Отчёта: «Мой собственный взгляд состоит в том, что двенадцатая аксиома Евклида в форме Плэйфэра не нуждается в доказательстве, а является частью нашего понятия пространства, физического пространства нашего опыта, которое является представлением, лежащим в основе всего внешнего опыта».

[60] Исключение из этой аксиомы в сферическом пространстве предполагает метрическую геометрию и не разрушает обоснованность аксиомы для проективной геометрии. См. главу III. Раздел B, § 171.

[61] Математики школы Ли имеют привычку, поначалу несколько сбивающую с толку, говорить о движениях пространства вместо движений тел, как будто пространство в целом могло двигаться. Всё, что имеется в виду, конечно, это эквивалентное движение координатных осей, т. е. изменение осей в обычном элементарном смысле.

[62] «Ueber die Grundlagen der Geometrie», Leipziger Berichte, 1890. Задача этих двух статей на самом деле метрическая, поскольку она касается не коллинеаций в целом, а движений. Задача, однако, решается проективным методом, причём движения рассматриваются как коллинеации, которые оставляют Абсолют неизменным. Казалось невозможным, следовательно, обсуждать работу Ли, пока не было дано некоторое описание проективного метода.

[63] Посылки Ли, если быть точным, следующие:

Пусть

x1 = f(x, y, z, a1, a2...) x2 = φ(x, y, z, a1, a2...) x3 = ψ(x, y, z, a1, a2...)

дают бесконечное семейство реальных преобразований пространства, относительно которых мы делаем следующие гипотезы:

A. Функции f, φ, ψ являются аналитическими функциями

x, y, z, a1, a2....

B. Две точки x1y1z1, x2y2z2 обладают инвариантом, т. е.

Ω(x1, y1, z1, x2, y2, z2) = Ω(x1′, y1′, z1′, x2′, y2′, z2′)

где x1′..., x2′... — преобразованные координаты двух точек.

C. Свободная подвижность: т. е. любая точка может быть перемещена в любое другое положение; когда одна точка зафиксирована, любая другая точка общего положения может занять ∞2 положений; когда две точки зафиксированы, любая другая точка общего положения может занять ∞1 положений; когда три, никакое движение невозможно — эти ограничения являются результатами уравнений, данных инвариантом Ω.

[64] По этому пункту cf. Клейн, Höhere Geometrie, Гёттинген, 1893, II. стр. 225–244, особенно стр. 230–1.

[65] Аксиома II. метрической триады соответствует аксиоме III. проективной, и наоборот.

[66] Cf. Гельмгольц, Wiss. Abh. Vol. II. стр. 640, примечание: «Die Bearbeiter der Nicht-Euklidischen Geometrie (haben) deren objective Wahrheit nie behauptet».

ГЛАВА II. КРИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРЕДЫДУЩИХ ФИЛОСОФСКИХ ТЕОРИЙ ГЕОМЕТРИИ.

51. Мы теперь проследили математическое развитие теории геометрических аксиом, от первого восстания против Евклида до наших дней. Мы можем надеяться, следовательно, иметь в своём распоряжении технические знания, требуемые для философии этого предмета. Важность геометрии в теориях познания, которые возникали в прошлом, едва ли можно преувеличить. У Декарта мы находим, что вся теория метода доминируется аналитической геометрией, плодотворностью которой он справедливо гордился. У Спинозы огромное влияние геометрии слишком очевидно, чтобы требовать комментариев. Среди математиков вера Ньютона в абсолютное пространство долгое время была верховной и до сих пор ответственна за текущую формулировку законов движения. Против этой веры, с одной стороны, и против теории пространства Лейбница, с другой, а не, как указал Кэрд [67], против эмпиризма Юма, было направлено то краеугольное положение критической философии — кантовское учение о пространстве. Таким образом, геометрия была повсюду первостепенно важной в теории познания.

Но в критике репрезентативных современных теорий геометрии, которая задумана не как история предмета, а как введение в воззрения автора и их защита, не будет необходимости обсуждать какую-либо более древнюю теорию, чем теория Канта. Воззрения Канта на этот предмет, истинные или ложные, настолько доминировали в последующей мысли, что, принимались они или отвергались, они казались одинаково мощными в формировании мнений и манеры изложения почти всех позднейших авторов.

Кант.

52. Не в моих целях в этой главе добавлять к объёмной литературе кантовской критики, а только обсудить влияние метагеометрии на аргумент трансцендентальной эстетики и аспект, под которым этот аргумент должен рассматриваться в дискуссии о геометрии [68]. По этому пункту, как мне кажется, широко распространено несколько недоразумений, как среди друзей, так и среди врагов, и эти недоразумения я постараюсь, если смогу, устранить.

Прежде всего, что означает учение Канта для геометрии? Очевидно, не тот аспект учения, который подвергался нападкам со стороны психологов, «кантовская мастерская», как называет её Джеймс, — во всяком случае, если это можно чётко отделить от логического аспекта. Вопрос о том, дано ли пространство в ощущении или же, как утверждал Кант, оно дано интуицией, которой не соответствует никакой внешний материал, может на данный момент быть проигнорирован. Если бы мы действительно придерживались взгляда, который, кажется, грубо суммирует позицию «Критики», взгляда, что всё достоверное знание есть самопознание, тогда мы были бы обязаны, если бы решили, что геометрия аподиктична, прийти к взгляду, что пространство субъективно. Но даже тогда психологический вопрос мог бы возникнуть только после того, как был решён эпистемологический вопрос, и поэтому не мог бы быть принят во внимание в нашем первом исследовании. Вопрос перед нами — это именно вопрос о том, является ли геометрия аподиктичной и в какой степени, и на данный момент мы должны только исследовать этот вопрос, без страха перед психологическими последствиями.

53. Теперь по этому вопросу, как и почти по всем вопросам в «Эстетике» или «Аналитике», аргументация Канта носит двойственный характер. С одной стороны, говорит он, известно, что геометрия обладает аподиктической достоверностью: следовательно, пространство должно быть априорным и субъективным. С другой стороны, из оснований, независимых от геометрии, следует, что пространство субъективно и априорно; следовательно, геометрия должна обладать аподиктической достоверностью. Эти два аргумента нечетко разграничены в «Эстетике», но, полагаю, небольшой анализ позволит их распутать. Так, в первом издании первые два аргумента выводят априорность пространства из негеометрических оснований; третий аргумент выводит аподиктическую достоверность геометрии и, наоборот, утверждает, что никакой другой взгляд не может объяснить эту достоверность [69]; последние два аргумента лишь утверждают, что пространство есть созерцание, а не понятие. Во втором издании двойной аргумент более ясен: априорность пространства доказывается независимо от геометрии в метафизическом истолковании и выводится из достоверности геометрии как единственно возможное объяснение последней в трансцендентальном истолковании. В «Пролегоменах» используется только последний аргумент, но в «Критике» применяются оба.

54. Теперь, я думаю, следует признать, что метагеометрия разрушила законность аргумента от геометрии к пространству; мы больше не можем утверждать на чисто геометрических основаниях аподиктическую достоверность Евклида. Но если только метагеометрия не сделала большего — если она не доказала то, что, как я полагаю, она одна доказать не может, а именно, что Евклид не обладает аподиктической достоверностью, — тогда другая линия аргументации Канта сохраняет ту силу, которую она могла иметь. Фактическое пространство, которое мы знаем, можно сказать, по общему признанию евклидово, и доказано, безо всякой отсылки к геометрии, что оно априорно; следовательно, Евклид обладает аподиктической достоверностью, а неевклидова геометрия осуждена. На это нельзя ответить, настаивая вместе с метагеометрами на том, что неевклидовы системы логически непротиворечивы; ибо Кант тщательно аргументирует, что геометрическое рассуждение в силу нашего созерцания пространства является синтетическим и не может, хотя и будучи априорным, поддерживаться одним лишь принципом противоречия [70]. Если только неевклиды не смогут доказать то, что им, безусловно, не удалось доказать до настоящего времени, а именно, что мы можем сформировать созерцание неевклидовых пространств, позиция Канта не может быть опрокинута одной лишь метагеометрией, но должна быть атакована, если она должна быть успешно атакована, со своей чисто философской стороны.

55. Для такой атаки открыты два пути: либо мы можем опровергнуть первые два аргумента «Эстетики», либо мы можем подвергнуть критике с точки зрения общей логики кантовское учение о синтетических априорных суждениях и их связи с субъективностью. Обе эти атаки, я полагаю, могли бы быть проведены с некоторым успехом; но если мы хотим опровергнуть аподиктическую достоверность геометрии, то необходим один из них, и оба, я полагаю, окажутся лишь частично успешными. Моей целью будет доказать при обсуждении этих двух линий атаки: (1) что различие между синтетическими и аналитическими суждениями несостоятельно и, далее, что принцип противоречия может дать плодотворные результаты только при допущении, что опыт в целом или, в частной науке, некоторая особая область опыта должна быть формально возможной; (2) что первые два аргумента Трансцендентальной эстетики достаточны для доказательства не евклидова пространства, а некоторой формы внешности — которая может быть сенсационной или созерцательной, но не просто концептуальной — необходимой предпосылки опыта внешнего мира. В третьей и четвертой главах я буду утверждать, как результат этих выводов, что те аксиомы, которые общи для Евклида и метагеометрии, совпадают с теми свойствами любой формы внешности, которые выводимы посредством принципа противоречия из возможности опыта внешнего мира. Эти свойства, таким образом, можно назвать, хотя и не совсем в кантовском смысле, априорными свойствами пространства, и в отношении них, я думаю, можно поддерживать модифицированную кантовскую позицию. Но вопрос о субъективной или объективной природе пространства может быть полностью оставлен без внимания в ходе этой дискуссии, которая выиграет от того, что будет иметь дело исключительно с логическими, в противоположность психологическим, точками зрения.

56. (1) Логическая позиция Канта. Учение о синтетических и аналитических суждениях — во всяком случае, если оно принимается как краеугольный камень эпистемологии — было настолько полностью отвергнуто большинством современных логиков [71], что оно потребовало бы здесь мало внимания, если бы не тот факт, что восторженный французский кантианец М. Ренувье недавно апеллировал к нему с полной уверенностью именно по вопросу геометрии [72]. И следует признать вместе с М. Ренувье, что если бы такие суждения существовали в кантовском смысле, неевклидова геометрия, которая не апеллирует к созерцанию, не могла бы ничего возразить против них. Утверждение М. Ренувье, следовательно, заставляет нас кратко пересмотреть аргументы против учения Канта и кратко обсудить, какой логический канон должен заменить его.

Каждое суждение — так утверждает современная логика — является одновременно синтетическим и аналитическим; оно объединяет части в целое и анализирует целое на части [73]. Если это так, то различие анализа и синтеза, какова бы ни была его важность в чистой логике, не может иметь никакой ценности в эпистемологии. Но такое учение, следует заметить, оставляет полный простор для принципа противоречия: этот критерий, поскольку все суждения, по крайней мере в одном аспекте, являются аналитическими, применим ко всем суждениям в равной степени. С другой стороны, целое, которое анализируется, должно предполагаться уже данным, прежде чем части могут быть взаимно противоречивыми: ибо только через связь в данном целом две части или предикаты могут быть несовместимыми. Таким образом, принцип противоречия остается бесплодным, пока у нас уже нет некоторых суждений и даже некоторых выводов: ибо части могут рассматриваться в некоторой степени как вывод из целого или наоборот. Как только арка знания построена, части поддерживают друг друга, и принцип противоречия является замковым камнем: но пока арка не построена, замковый камень остается подвешенным, неподдерживаемым и не поддерживающим, в пустом воздухе. Иными словами, существующее знание может быть проанализировано, но знание, которое должно было бы завоевывать каждый дюйм пути против критического скептицизма, никогда не могло бы начаться и никогда не могло бы достичь того кругового состояния, в котором оно только и может стоять.

Но учение Канта, если оно верно, призвано сдерживать критический скептицизм даже там, где он мог бы быть эффективным. Некоторые фундаментальные положения, говорит он, не выводимы из логики, т.е. их противоречия не являются самопротиворечивыми; они объединяют субъект и предикат, которые не могут быть показаны как имеющие какую-либо связь чисто логическим путем, и все же эти суждения обладают аподиктической достоверностью. Но относительно таких суждений Кант обычно старается не полагаться на простое субъективное убеждение в том, что они неоспоримы: он доказывает со всей предосторожностью, что без них опыт был бы невозможен. Опыт состоит в комбинации терминов, которые формальная логика оставляет в стороне, и предполагает, следовательно, определенные суждения, посредством которых создается каркас для сведения таких терминов вместе. Без этих суждений — так утверждает Кант — всякий синтез и всякий опыт были бы невозможны. Если, следовательно, детали кантовского рассуждения верны, его результаты могут быть получены посредством принципа противоречия плюс возможности опыта, так же как и посредством его различения синтетических и аналитических суждений.

Логика в наши дни присваивает себе одновременно более широкую и более узкую сферу, чем та, которую допускал для нее Кант. Более широкую, потому что она верит в свою способность осуждать любой ложный принцип или постулат; более узкую, потому что она верит, что ее закон противоречия без данного целого или данной гипотезы бессилен, и что два термина сами по себе, хотя они могут быть различными, не могут быть противоречивыми, а приобретают это отношение только через комбинацию в целом, о котором что-то известно, или через связь с постулатом, который по какой-то причине должен быть сохранен. Таким образом, ни одно суждение само по себе не является ни аналитическим, ни синтетическим, ибо отделение суждения от его контекста лишает его жизненности и делает его не вполне суждением вообще. Но в своем надлежащем контексте оно не является ни чисто синтетическим, ни чисто аналитическим; ибо, будучи дальнейшим определением данного целого и, таким образом, в этой мере аналитическим, оно также включает в себя возникновение новых отношений внутри этого целого и в этой мере является синтетическим.

57. Мы можем, однако, сохранить различие, грубо соответствующее кантовскому априорному и апостериорному, хотя и менее жесткое и более подверженное изменениям в зависимости от степени организации знания. Кант обычно стремился доказать, как отмечалось выше, что его синтетические априорные положения были необходимыми предпосылками опыта; теперь, хотя мы не можем сохранить термин «синтетический», мы можем сохранить термин «априорный» для тех допущений или тех постулатов, из которых только и следует возможность опыта. Все, что может быть выведено из этих постулатов без помощи материи опыта, будет, конечно, также априорным. С точки зрения общей логики, законы мышления и категории, вместе с необходимыми условиями их применимости, будут единственно априорными; но с точки зрения любой специальной науки мы можем назвать априорным все, что делает возможным опыт, который составляет предмет нашей науки. В геометрии, если конкретизировать, мы можем назвать априорным все, что делает возможным опыт внешности как таковой.

Следует заметить, что это использование термина является одновременно более рационалистическим и менее точным, чем у Канта. Кант, по-видимому, полагал, что он непосредственно осознает путем инспекции, что некоторое знание является аподиктическим, и его предмет, следовательно, априорным: но он не всегда выводил его априорность из какого-либо дальнейшего принципа. Здесь, однако, должно быть показано, прежде чем признать априорность, что ложность рассматриваемого суждения не была бы вызвана простым изменением в материи опыта, а только изменением, которое сделало бы некоторую область опыта формально невозможной, т.е. недоступной для наших методов познания. Вышеуказанное использование также менее точно, ибо оно варьируется в зависимости от специализации опыта, который мы предполагаем возможным, и с каждым прогрессом знания воспринимается некоторая новая связь, два ранее изолированных суждения приводятся в логическое отношение, и априорное может, таким образом, в любой момент расширить свою сферу, поскольку обнаруживается, что из фундаментальных постулатов можно вывести больше.

58. (2) Аргументы Канта в пользу априорности пространства. Обсудив теперь логический канон, который следует использовать в отношении априорного, мы можем перейти к проверке аргументов Канта в отношении пространства. Аргумент от геометрии, как отмечалось выше, опровергается метагеометрией, по крайней мере в той мере, в какой это касается тех свойств, которые принадлежат Евклиду, но не неевклидовым пространствам; что касается общих свойств обоих видов пространства, мы не можем решить вопрос об их априорности, пока не обсудим последствия их отрицания, что будет сделано в главе III. Что касается двух аргументов, которые доказывают, что пространство есть созерцание, а не понятие, они потребовали бы много обсуждений в специальной критике Канта, но здесь их можно пропустить с очевидным комментарием, что бесконечное однородное евклидово пространство есть понятие, а не созерцание — понятие, изобретенное для объяснения созерцания, это правда, но все же чистое понятие [74]. И именно с этим чистым понятием во всех дискуссиях о геометрии следует иметь дело в первую очередь; к созерцанию нужно обращаться только там, где оно проливает свет на функции или природу понятия. Второй аргумент Канта, что мы можем представить пустое пространство, хотя и не отсутствие пространства, ложен, если он означает пространство без материи где-либо, и нерелевантен, если он просто означает пространство между материями, рассматриваемое как пустое [75]. Единственный важный аргумент, таким образом, — это первый аргумент. Но я должен настаивать с самого начала, что наша проблема чисто логическая и что все психологические импликации должны быть исключены в максимально возможной степени. Более того, как будет доказано в главе IV, надлежащая функция пространства состоит в различении между различными представленными вещами, а не между «Я» и объектом ощущения или восприятия. Аргумент тогда становится следующим: сознание мира взаимно внешних вещей требует в представлениях когнитивного, но не выводного элемента, ведущего к различению представленных объектов. Этот элемент должен быть невыводным, ибо из любого числа или комбинации представлений, которые сами по себе не требовали разнообразия в своих объектах, я никогда не мог бы прийти к выводу о взаимной внешности их объектов. Кант говорит: «Для того чтобы ощущения могли быть приписаны чему-то внешнему по отношению ко мне... и точно так же для того, чтобы я мог представить их как находящиеся вне и рядом друг с другом... представление пространства должно быть уже налицо». Но это заходит несколько слишком далеко: во-первых, вопрос должен касаться только взаимной внешности представленных вещей, а не их внешности по отношению к «Я» [76]; и во-вторых, вещи будут казаться взаимно внешними, если у меня есть представление любой формы внешности, будь то евклидова или неевклидова. Что бы ни было верно относительно психологического охвата этого аргумента — чья значимость здесь нерелевантна — логический охват распространяется не на евклидово пространство, а только на любую форму внешности, которая могла бы существовать интуитивно и позволить знание, у существ с нашими законами мышления, о мире разнообразных, но взаимосвязанных вещей.

Более того, внешность, чтобы сделать охват аргумента полностью логическим, не должна оставаться с сенсационным или интуитивным значением, хотя она должна предполагаться данной в ощущении или созерцании. Она должна означать в этом аргументе факт инаковости [77], факт бытия отличным от какой-либо другой вещи: она должна включать различие между различными вещами и должна быть тем элементом в когнитивном состоянии, который ведет нас к различению составных частей в его объекте. Столько, таким образом, по-видимому, следует из аргумента Канта: что опыт разнообразных, но взаимосвязанных вещей требует в качестве необходимой предпосылки некоторый сенсационный или интуитивный элемент в восприятии, посредством которого мы приводимся к приписыванию сложности объектам восприятия [78]; что этот элемент в своей изоляции может быть назван формой внешности; и что те свойства этой формы, если таковые будут найдены, которые могут быть выведены из ее простой функции делания возможным опыта взаимосвязанной разнообразности, должны рассматриваться как априорные. Каковы эти свойства и как различные линии аргументации, предложенные здесь, сходятся к единому результату, мы увидим в главах III и IV.

59. У философов, последовавших за Кантом, метафизика по большей части настолько преобладала над эпистемологией, что мало что было добавлено к теории геометрии. То, что было добавлено, пришло косвенно от одного философа, который противостоял чисто онтологическим спекуляциям своего времени, а именно Гербарта. Фактические взгляды Гербарта на геометрию, которые можно найти главным образом в первом разделе его «Синехологии», не представляют большой ценности и не принесли больших плодов в развитии предмета. Но его психологическая теория пространства, его построение протяженности из рядов точек, его сравнение пространства с рядом тонов и цветов, его общее предпочтение дискретного перед непрерывным и, наконец, его вера в большую важность классификации пространства с другими формами рядов (Reihenformen [79]) дали начало многим эпохальным спекуляциям Римана и поощрили попытку объяснить природу пространства только через его аналитический и количественный аспект [80]. Через свое влияние на Римана он приобрел косвенно большое значение в геометрической философии. К диссертации Римана, которую мы уже обсудили в ее математическом аспекте, мы должны теперь вернуться, рассматривая на этот раз только ее философские взгляды.

Риман.

60. Цель диссертации Римана, как мы видели в главе I, состояла в том, чтобы определить пространство как вид многообразия, т.е. как особый род совокупности величин. Таким образом, с самого начала предполагалось, что пространственные фигуры могут рассматриваться как величины, и аксиомы, которые возникли соответственно, определяли только особое место этих фигур среди многих алгебраически возможных разновидностей величин. Результирующая формулировка аксиом — хотя с математической точки зрения метрической геометрии она была почти полностью похвальной — должна, с точки зрения философии, рассматриваться, по моему мнению, как petitio principii. Ибо когда мы пришли к рассмотрению пространственных фигур как величин, мы уже прошли самую трудную часть пути. Аксиомы метрической геометрии — а именно метрическая геометрия исключительно рассматривается в эссе Римана — окажутся в главе III делимыми на два класса. Из них первый класс — который содержит аксиомы, общие для Евклида и метагеометрии, единственные аксиомы, серьезно обсуждаемые Риманом, — не являются результатами измерения или какой-либо концепции величины, но являются условиями, которые должны быть выполнены, прежде чем измерение станет возможным. Только второй класс — те, которые выражают различие между евклидовыми и неевклидовыми пространствами — может быть выведен как результат измерения или концепций величины. Что касается первого класса, напротив, мы увидим, что относительность положения — посредством которой пространство отличается от всех других известных многообразий, кроме времени, — логически ведет к необходимости трех наиболее отличительных аксиом геометрии, и все же эта относительность не может быть названа выводом из концепций величины. В аналитической геометрии, благодаря тому факту, что системы координат начинаются с точек и, следовательно, выстраивают линии и поверхности, легко предположить, что точки могут быть даны независимо от линий и друг от друга, и таким образом относительность положения упускается из виду. Ошибка, таким образом подсказанная математикой, вероятно, была усилена теорией пространства Гербарта, которая, благодаря своему серийному характеру, как мы видели, казалась ему облегчающей построение из последовательных точек, и которой Риман выражает свою признательность как в своей диссертации, так и в других местах. Та же ошибка повторяется у Гельмгольца, у которого она, вероятно, целиком обусловлена методами аналитической геометрии. Поразительный факт, что во всех трудах этих двух людей нет, насколько мне известно, ни одного упоминания об относительности положения, того свойства пространства, из которого, как покажет наша следующая глава, можно извлечь богатейший карьер следствий. Это не результат какой-либо концепции величины, но следует из природы нашего созерцания пространства; однако никто, конечно, не мог бы назвать это эмпирическим, поскольку это связано с самой возможностью локализации вещей «там» в противоположность «здесь».

61. Действительно, мы можем видеть из чисто логического рассмотрения суждения о количестве, что манера Римана подходить к проблеме никогда не сможет законными методами достичь философски здравой формулировки аксиом. Ибо количество есть результат сравнения двух качественно подобных объектов, и суждение о количестве полностью пренебрегает качественным аспектом сравниваемых объектов. Следовательно, знание существенных свойств пространства никогда не может быть получено из суждений о количестве, которые пренебрегают этими свойствами, в то время как они все же предполагают их. С таким же успехом можно надеяться узнать природу человека по переписи населения. Более того, суждение о количестве есть результат сравнения и поэтому предполагает возможность сравнения. Чтобы знать, возможно ли сравнение или какими средствами оно возможно, мы должны знать качества сравниваемых вещей и среды, в которой осуществляется сравнение; в то время как чтобы знать, что количественное сравнение возможно, мы должны знать, что существует качественная идентичность между сравниваемыми вещами, что опять-таки предполагает предварительное качественное знание. Когда пространственные фигуры были однажды сведены к количеству, их качество уже было проигнорировано как известное и подобное качеству других фигур. Надеяться, следовательно, на качества пространства, исходя из сравнения его выражения как чистого количества с другими чистыми количествами, есть ошибка, естественная для аналитического геометра, но ошибка, тем не менее, из которой нет возврата к качественному базису пространственного количества.

62. Мы должны полностью не согласиться, следовательно, с дизъюнкцией, которая лежит в основе философии пространства Римана. Либо аксиомы должны быть следствиями общих концепций величины, думает он, либо они могут быть доказаны только опытом (стр. 255). Все, что может быть выведено из общих концепций величины, можем возразить мы, не может быть априорным предикатом пространства: ибо все необходимые предикаты пространства предполагаются в любом суждении о пространственном количестве и не могут, следовательно, быть следствиями такого суждения. Дизъюнкция Римана, соответственно, поскольку одна из ее альтернатив очевидно невозможна, на самом деле предвосхищает основание. При формулировании аксиом метрической геометрии наш вопрос должен быть таким: какие аксиомы, т.е. какие предикаты пространства, должны быть предположены, чтобы количественное сравнение частей пространства было вообще возможным? И только когда мы определили эти условия, которые априорно необходимы для любой количественной науки о пространстве, возникает второй вопрос: какие выводы мы можем сделать относительно пространства из наблюдаемых результатов этой количественной науки, т.е. этого измерения пространственных фигур? Сами условия измерения, хотя и не являясь результатами какой-либо концепции величины, будут априорными, если можно показать, что без них опыт внешности был бы невозможен.

После этого первоначального протеста против общей философской позиции Римана давайте перейдем к детальному изучению его использования понятия многообразия.

63. Во-первых, существует, если я не ошибаюсь, значительная неясность в определении многообразия, почти дословное изложение которого было дано в главе I. Что имеется в виду, для начала, под общей концепцией, способной к различным определениям? Разве это свойство не принадлежит всем концепциям? Оно дает, конечно, базис для счета, но если должно возникнуть непрерывное количество, мы должны, безусловно, иметь некоторую менее дискретную формулировку. Оно могло бы дать базис, например, для различения точек в проективной геометрии, но проективная геометрия не имеет ничего общего с количеством. Что-то более текучее и гибкое, чем концепция, можно было бы подумать, необходимо в качестве базиса континуумов. Затем, опять же, что имеется в виду под квантумом многообразия? В пространстве ответ очевиден: имеется в виду кусок объема. Но как насчет другого непрерывного многообразия Римана — цвета? Означает ли квантум цвета одну линию в спектре или полосу конечной толщины? В любом случае, каковы величины, подлежащие сравнению? И как наложение необходимо или даже возможно? Цвет фиксируется своим положением в спектре: две линии в одном и том же спектре не могут быть наложены, а две линии в разных спектрах не обязательно должны быть — их положений в соответствующих спектрах достаточно, или даже, грубо говоря, их непосредственного чувственного качества. Факт в том, что Риман с самого начала имел в виду пространство, и многие свойства, которые он провозглашает принадлежащими всем многообразиям, принадлежат, по сути, только пространству. Далеко не ясно, что представляют собой величины, которые делают возможными различные определения. Измеряют ли эти величины элементы многообразия или отношения между элементами? Это, безусловно, очень фундаментальный момент, но это тот, которого Риман никогда не касается. В первом случае наложение, о котором он говорит, становится ненужным, поскольку величина присуща рассматриваемому элементу. Нам не требуется наложение для измерения величин, соответствующих разным тонам или цветам; они могут быть обнаружены анализом отдельных тонов или цветов. С пространством, с другой стороны, если мы ищем элементы, мы не можем найти никаких, кроме точек, и никакой анализ точки не обнаружит величин, присущих ей — такие величины являются фикцией координатной геометрии. Величины, с которыми имеет дело пространство, как мы увидим в главе III, являются отношениями между точками, и именно по этой причине наложение существенно для измерения пространства. Нет присущего качества в отдельной точке, как есть в отдельном цвете, посредством которого она могла бы быть количественно отличима от другой. Таким образом, концепция многообразия, как она определена Риманом, либо не включает цвета, либо не предполагает наложение как единственное средство измерения. Из этой дилеммы нет выхода.

64. Но если «измерение состоит в наложении сравниваемых величин» (стр. 256), не следует ли из этого немедленно, что измерение логически возможно только там, где такое наложение оставляет величины неизменными? И следовательно, что измерение, как определено выше, включает в качестве априорного условия то, что величины неизменны при движении? Это следствие не делается Риманом; действительно, он переходит немедленно (стр. 256–7) к рассмотрению того, что он называет общей частью учения о величине (Grössenlehre), независимой от измерения. Но как возможно какое-либо учение о величине, в котором величины не могут быть измерены? Причина путаницы в том, что определение измерения Римана применимо ни к одному многообразию, кроме пространства, поскольку оно зависит от примечательного свойства, что то, что мы измеряем в геометрии, — это не точки, а отношения между точками, и последние, хотя и не первые, могут, конечно, быть неизменными при движении. Давайте попробуем, в качестве иллюстрации, применить определение измерения Римана к цветам. Мы должны помнить, что движение при работе с многообразием цветов означает — не движение в пространстве, а — движение в самом многообразии цветов. Теперь, поскольку каждая точка многообразия цветов полностью определяется тремя величинами, которые даны фактически и не могут быть произвольно выбраны, ясно, что измерение путем наложения — включающее, как оно делает, движение и, следовательно, изменение в этих определяющих величинах — совершенно исключено. Наложение одного цвета на другой как средство измерения — это чистая бессмыслица. И все же измерение возможно в многообразии цветов посредством закона смешения Гельмгольца (Mischungsgesetz); но измерение касается каждого отдельного элемента, а не отношений между элементами, и, таким образом, радикально отличается от измерения пространства [81]. Элементы не являются, как точки в пространстве, качественно подобными и различаемыми простым фактом их взаимной внешности. Что мы имеем в цветах, так это три фундаментальных качественно различных элемента, из определенных пропорций которых мы можем построить все остальные элементы многообразия — каждый из результирующих элементов имеет ту же комбинацию качественного разнообразия и сходства, что и три исходных элемента. Но в пространстве что мы могли бы сделать из такой процедуры? Даны три точки, как нам объединить их в определенных пропорциях? Фраза бессмысленна. Если кто-то сделает очевидное возражение, что мы должны объединять линии, а не точки, мой ответ столь же очевиден. Для начала, линии не являются элементами. Метафизически пространство не имеет элементов, будучи, как покажет продолжение, просто отношениями между непространственными элементами. Математически этот факт проявляется в самопротиворечивом понятии точки, или нулевой величины в пространстве, как предела в наших тщетных поисках пространственных элементов. Но даже если мы позволим линии сойти за пространственный элемент, что дает нам комбинация трех линий в определенных пропорциях? Она дает нам просто координаты точки. Здесь опять мы видим большую разницу между многообразиями цветов и пространства. В цветах комбинация величин дает новую величину того же рода; в пространстве она определяет не величину вообще, а претендующий на роль элемент иного рода, чем определяющие величины. В многообразии тонов мы нашли бы еще другие условия. Здесь ни одна из измеряющих величин не может исчезнуть без того, чтобы тон тоже не исчез, и все три настолько связаны вместе в едином результирующем ощущении, что ни одна не может существовать без конечного количества других. Они все качественно различны как друг от друга, так и от любого возможного тона, будучи его составляющими, как масса и скорость являются составляющими импульса. Все эти различные условия требуют исследования, прежде чем многообразие может быть полностью определено; и пока мы не провели такое исследование детально, мы не можем высказаться относительно априорной или эмпирической природы законов многообразия. Что касается пространства, я попытался провести такое исследование в третьей и четвертой главах этого эссе.

65. Я не хочу, однако, отрицать большую ценность концепции пространства как многообразия. Напротив, эта концепция, кажется, стала существенной для любого рассмотрения вопроса. Я только хочу настаивать на том, что чисто алгебраическое рассмотрение любого многообразия, каким бы важным оно ни было для вывода свежих следствий из известных посылок, имеет тенденцию скорее скрывать, чем прояснять базис самих посылок, и поэтому вводит в заблуждение в философском исследовании. Для математики, где количество царит безраздельно, концепция Римана доказала свою обильную плодотворность; для философии, напротив, где количество скорее выступает как плащ, скрывающий качества, которые оно абстрагирует, концепция кажется мне более продуктивной для ошибок и путаницы, чем для здравого учения.

Мы таким образом возвращаемся к точке, с которой начали, а именно к ложности исходной дизъюнкции Римана и, как следствие, к ошибке в его доказательстве эмпирической природы аксиом. Его философия в основном испорчена, на мой взгляд, этой ошибкой и некритическим допущением, что метрическая система координат может быть установлена независимо от каких-либо аксиом относительно измерения пространства [82]. Риман не заметил того, что я попытался доказать в следующей главе: что, если бы пространство не имело строго постоянной меры кривизны, геометрия стала бы невозможной; также что отсутствие постоянной меры кривизны влечет абсолютное положение, что есть абсурд. Отсюда он приходит к выводу, что все геометрические аксиомы эмпиричны и могут не соблюдаться в бесконечно малом, где наблюдение невозможно. Так он говорит (стр. 267): «Теперь эмпирические концепции, на которых основаны пространственные измерения, концепции твердого тела и светового луча, по-видимому, теряют свою значимость в бесконечно малом: поэтому вполне мыслимо, что отношения пространственных величин в бесконечно малом не соответствуют предпосылкам геометрии, и это, фактически, должно было бы быть допущено, как только это позволило бы нам объяснить явления проще». С этим выводом я должен полностью не согласиться. В очень больших пространствах могло бы быть отклонение от Евклида; ибо они зависят от аксиомы параллельных, которая не содержится в аксиоме свободной подвижности; но в бесконечно малом отклонения от Евклида могли бы быть обусловлены только отсутствием свободной подвижности, что, как я надеюсь, покажет моя третья глава, раз и навсегда невозможно.

Гельмгольц.

66. Гельмгольц, подобно Риману, был важен как в математике, так и в философии геометрии. С математической точки зрения его работа уже была рассмотрена в главе I; рассмотрение его философии, которое должно занять нас здесь, будет более серьезной задачей. Подобно Риману, он стремился доказать, что все аксиомы эмпиричны, и подобно Риману, он основывал свое доказательство главным образом на метагеометрии. У него был, однако, дополнительный ресурс в физиологии чувств, который впервые привел его к отрицанию Трансцендентальной эстетики и позволил ему атаковать Канта как с психологической, так и с математической стороны [83].

Основные темы для критики Гельмгольца — три: во-первых, его критерий априорного; во-вторых, его дискуссия с Ландом относительно «представимости» неевклидовых пространств; в-третьих — и это, безусловно, самая важная из трех — его теория зависимости геометрии от механики. Давайте обсудим эти три пункта последовательно.

67. Критерий априорности Гельмгольца трудно обнаружить, так как он, насколько мне известно, никогда не дает его точной формулировки. Из его дискуссии о физической и трансцендентальной геометрии [84], однако, следовало бы, что он рассматривает как эмпирическое все, что применяется к эмпирической материи. Ибо он там утверждает, что даже если бы пространство было априорной формой, все же любая геометрия, которая стремилась бы к применению в физике, была бы, поскольку фактические места тел не известны априорно, необходимо эмпирической [85]. Кажется более вероятным, что он рассматривает это как возможный критерий, так как он принят в нескольких местах его учеником Эрдманом [86], и столь странный тест вряд ли мог быть принят философом, если бы он не нашел его у своего учителя. Я назвал это странным тестом, потому что мне кажется, что он полностью игнорирует работу критической философии. Ибо если есть одна вещь, которая, можно было бы надеяться, была сделана достаточно ясной «Критикой» Канта, то это именно то, что знание, которое является априорным, будучи само по себе условием возможного опыта, применяется — и, по мнению Канта, применяется только — к эмпирической материи. Гельмгольц и Эрдман, следовательно, устанавливая этот тест без обсуждения, просто игнорируют существование Канта и возможность трансцендентального аргумента. Гельмгольц всегда предполагает, что эмпирическое знание должно быть полностью эмпирическим, что не может быть никаких априорных условий рассматриваемого опыта, что опыт всегда будет возможен и может дать любой результат. Так, обсуждая «физическую» геометрию, он предполагает, что возможность эмпирического измерения не включает никаких априорных аксиом и что никакой априорный элемент не может содержаться в процессе. Это допущение, как мы увидим в главе III, совершенно неоправданно: определенные свойства пространства, фактически, вовлечены в возможность измерения материи. Несмотря на тот факт, следовательно, что мы применяем измерение к эмпирической материи и что наши результаты, следовательно, эмпиричны, вполне может быть априорный элемент в измерении, который предполагается в его возможности. Такой критерий, следовательно, должен объявить все эмпирическим, но сам должен быть объявлен бесполезным.

Другой и лучший критерий, это правда, также может быть найден у Гельмгольца и также был принят Эрдманом. Все, что могло бы, при другом опыте, стать другим — так утверждает этот критерий — должно само зависеть от опыта и, следовательно, быть эмпирическим. Этот критерий кажется совершенно здравым, но использование его Гельмгольцем обычно испорчено тем, что он пренебрегает доказательством возможности рассматриваемого другого опыта. Он говорит, например, что если бы наш опыт показывал нам только тела, которые меняли свои формы при движении, мы не пришли бы к аксиоме конгруэнтности, которую он провозглашает, соответственно, эмпирической. Но я попытаюсь доказать в главе III, что без аксиомы конгруэнтности опыт пространственной величины был бы невозможен. Если мое доказательство верно, из этого следует, что никакой опыт никогда не может выявить пространственные величины, которые противоречат этой аксиоме — возможность, которую Гельмгольц нигде не обсуждает, устанавливая свой гипотетический опыт. Таким образом, этот второй критерий, хотя и совершенно здравый, требует всегда сопровождающего трансцендентального аргумента относительно условий возможного опыта. Но это сопровождение редко можно найти у Гельмгольца.

68. Один из немногих случаев, в которых Гельмгольц пытался дать такое сопровождение, встречается в связи с нашим вторым пунктом, представимостью неевклидовых пространств. Аргумент по этому пункту был вызван кантовскими оппонентами Гельмгольца, которые утверждали, что чисто логическая возможность этих пространств нерелевантна, поскольку базисом геометрии была не логика, а созерцание. Аксиомы, говорили они, являются синтетическими положениями, и их противоположности, следовательно, не являются самопротиворечивыми; они тем не менее являются аподиктическими положениями, поскольку никакое другое созерцание, кроме евклидова, для нас невозможно [87]. Я уже критиковал эту линию аргументации в начале настоящей главы. Критика Гельмгольца, однако, была иной: допуская внутреннюю непротиворечивость аргумента, он отрицал одну из его посылок. Мы можем представить неевклидовы пространства, сказал он, хотя их непривычность делает это трудным. Из этого взгляда следовало, конечно, что аргумент Канта, даже если бы он был формально верным, не мог доказать априорность евклидова пространства в частности, а только того общего пространства, которое включало Евклида и не-Евклида в равной степени [88].

Хотя я согласен с Гельмгольцем в том, что различие между евклидовыми и неевклидовыми пространствами эмпирично, я не могу считать его аргумент о «представимости» последних очень удачным. Значимость любого доказательства должна зависеть, очевидно, от определения представимости. Определение, которое Гельмгольц дает в своем ответе Ланду, следующее: представимость требует «die vollständige Vorstellbarkeit derjenigen Sinneseindrücke, welche das betreffende Object in uns nach den bekannten Gesetzen unserer Sinnesorgane unter allen denkbaren Bedingungen der Beobachtung erregen, und wodurch es sich von anderen ähnlichen Objecten unterscheiden würde» (Wiss. Abh. II. стр. 644). Это определение не очень ясно из-за двусмысленности слова «Vorstellbarkeit». Следующее определение кажется менее двусмысленным: «Wenn die Reihe der Sinneseindrücke vollständig und eindeutig angegeben werden kann, muss man m. E. die Sache für anschaulich vorstellbar erklären» (Vorträge und Reden, II. стр. 234). Это проясняет, что также видно из его манеры доказательства, что он рассматривает как представимые вещи, которые могут быть описаны в концептуальных терминах. Такое, как отмечает Ланд (Mind, Vol. II. стр. 45), «не является смыслом, требуемым для аргументации в данном случае». Что критика Ланда справедлива, показывает доказательство Гельмгольца для неевклидовых пространств, ибо оно состоит только в аналогии с объемом внутри сферы, которая математически получена так: мы берем символы, представляющие величины в «псевдосферическом» (гиперболическом) пространстве, и придаем им новое евклидово значение; таким образом, все наши символические положения становятся способными к двум интерпретациям, одной для псевдосферического пространства и одной для объема внутри сферы. Однако достаточно очевидно, что эта процедура, хотя она позволяет нам описать наше новое пространство, не позволяет нам представить его в смысле вызова образов того, как вещи выглядели бы в нем. Мы действительно извлекаем из этой аналогии не больше знания, чем человек, рожденный слепым, может извлечь относительно света из аналогии с теплом. Диктум «Nihil est in intellectu quod non fuerit ante in sensu» был бы, несомненно, истинным, если бы вместо «интеллекта» мы подставили «воображение»; тщетно, следовательно, если наше фактическое пространство евклидово, надеяться на способность воображения неевклидова пространства. То, что Гельмгольц мог бы, я верю, с полной истиной возразить Ланду, — это то, что образ, который мы фактически имеем о пространстве, недостаточно точен, чтобы исключить в фактическом пространстве, которое мы знаем, всякую возможность небольшого отклонения от евклидова типа. Но в утверждении, что мы не можем представить, хотя можем мыслить и описать пространство, отличное от того, которое мы фактически имеем, Ланд, по моему мнению, несомненно прав. Для чистого кантианца, который утверждает вместе с Ландом, что ни одна из аксиом не может быть доказана, этот вопрос имеет большое значение. Но если, как я утверждал, некоторые из аксиом восприимчивы к трансцендентальному доказательству, в то время как другие могут быть верифицированы эмпирически, вопрос освобождается от психологических импликаций, и представимость или непредставимость метагеометрических пространств становится неважной.

69. Мы подходим теперь к третьему и самому важному вопросу, отношению геометрии к механике. Есть три смысла, в которых может быть принято обращение Гельмгольца к твердым телам: первый, я думаю, — это смысл, в котором он первоначально намеревался его использовать; второй, кажется, — это смысл, который он принял в своей защите против Ланда; в то время как третий признается Ландом и будет признан в следующей аргументации. Эти три смысла следующие:

(1) Может быть утверждено, что фактическое значение аксиомы свободной подвижности заключается в утверждении эмпирических твердых тел и что эти два положения эквивалентны друг другу. Это, безусловно, ложно.

(2) Аксиома свободной подвижности, можно сказать, логически отличима от утверждения твердых тел и может даже не быть эмпирической; но она бесплодна, даже для чистой геометрии, без помощи мер, которые сами должны быть эмпирическими твердыми телами. Этот смысл более правдоподобен, чем первый, но я верю, что мы можем показать, что в этом смысле также положение ложно.

(3) Для чистой геометрии и абстрактного изучения пространства, можно сказать, свободная подвижность, как она применяется к абстрактной геометрической материи, дает достаточную возможность количественного сравнения; но в момент, когда мы расширяем наши результаты до смешанной математики и применяем их к эмпирически данной материи, мы требуем также, в качестве мер, эмпирически данные твердые тела или тела, по крайней мере, чьи отклонения от жесткости эмпирически известны. В этом смысле, я признаю, положение верно [89].

Обсуждая эти три значения, я не буду ограничиваться строго текстом Гельмгольца или Ланда: если бы я попытался это сделать, я столкнулся бы с трудностью, что ни один из них не определяет априорное и что каждый слишком склонен, по моему мнению, проверять его психологическими критериями. Я, следовательно, возьму три значения по очереди, не делая упора на их историческую адекватность взглядам Ланда или Гельмгольца.

70. (1) Конгруэнтность может быть принята в значении — как Гельмгольц, безусловно, хотел бы — что мы находим фактические тела в нашем механическом опыте, сохраняющие свои формы с приблизительным постоянством, и что мы выводим из этого опыта однородность пространства. Этот взгляд, по моему мнению, радикально неверно понимает природу измерения и аксиом, вовлеченных в него. Ибо что имеется в виду под нежесткостью тела? Мы имеем в виду просто, что оно изменило свою форму. Но это включает возможность сравнения с его прежней формой, иными словами, измерения. Чтобы, следовательно, мог возникнуть какой-либо вопрос о жесткости или нежесткости, измерение пространственных величин должно быть уже возможным. Из этого следует, что измерение не может, без порочного круга, быть само выведено из опыта твердых тел. Геометрическое измерение, фактически, есть сравнение пространственных величин, и такое сравнение включает, как будет доказано подробно в главе III, однородность пространства. Это, следовательно, логическая предпосылка всякого опыта твердых тел и не может быть результатом такого опыта. Без однородности пространства само понятие жесткости или нежесткости не могло бы существовать, поскольку они означают, соответственно, постоянство или непостоянство пространственной величины в кусках материи, и оба, следовательно, предполагают возможность пространственного измерения. Из однородности пространства мы узнаем, что тело, когда оно движется, не будет менять свою форму без какой-либо физической причины; что оно фактически не меняет свою форму, никогда не утверждается и, действительно, известно как ложное. Как только измерение возможно, фактические изменения формы могут быть оценены, и их эмпирические причины могут быть найдены. Но если бы пространство не было однородным, измерение было бы невозможным, постоянная форма была бы бессмысленной фразой, и жесткость никогда не могла бы быть испытана. Конгруэнтность утверждает, короче говоря, что тело может, насколько касается просто пространства, двигаться без изменения формы; жесткость утверждает, что оно фактически так движется — очень разное положение, включающее очевидно, как свой логический prius, первое геометрическое положение.

Этот аргумент может быть суммирован следующей дизъюнкцией: если тела меняют свои формы при движении — а в некоторой степени, поскольку ни одно тело не является идеально твердым, они все должны делать это — тогда должен произойти один из двух случаев. Либо изменения формы, по мере того как тела движутся с места на место, не следуют никакому геометрическому закону, не являются, например, функциями величины или направления движения; в этом случае закон причинности требует, чтобы они не были эффектами изменения места, а некоторого одновременного негеометрического изменения, такого как температура. Либо изменения регулярны, и форма S становится в новом положении p, Sf(p). В этом случае закон сопутствующих изменений ведет нас к приписыванию изменения формы простому движению, и форма, таким образом, становится функцией абсолютного положения. Но это абсурд, ибо положение означает просто отношение или набор отношений; невозможно, следовательно, чтобы простое положение было способно вызвать изменения в теле. Положение — это один термин в отношении, а не вещь сама по себе; оно не может, следовательно, действовать на вещь или существовать само по себе, отдельно от других терминов отношения. Таким образом, взгляд Гельмгольца, что конгруэнтность зависит от существования твердых тел, должен, поскольку он включает абсолютное положение, быть осужден как логическая ошибка. Конгруэнтность, фактически, как я докажу более полно в главе III, есть априорный вывод из относительности положения.

71. (2) Приведенный выше аргумент, как мне кажется, удовлетворительно отвечает на утверждение Гельмгольца в той точной форме, которую он придал ему изначально. Мы должны согласиться с тем, что аксиома конгруэнтности логически отличается от существования твердых тел. Тем не менее, в геометрии логически подразумевается некое обращение к материи, однако является ли это обращение эмпирическим или же оно указывает на априорный элемент в динамике — это уже дальнейший вопрос.

Обращение к материи обусловлено однородностью пустого пространства. До тех пор, пока мы не принимаем во внимание материю, одно положение совершенно неотличимо от другого, и наука об отношениях положений невозможна. Действительно, прежде чем пространственные отношения вообще могут возникнуть, однородность пустого пространства должна быть нарушена, и это разрушение должно быть произведено материей. Чистая страница бесполезна для геометра, пока он не нарушит ее однородность линиями, проведенными чернилами или карандашом. Короче говоря, никакие пространственные фигуры немыслимы без обращения к материи, которая не является чисто пространственной. Далее, если конгруэнтность когда-либо должна быть использована, необходимо движение: но чисто геометрическая точка, определяемая исключительно своими пространственными атрибутами, не может двигаться без противоречия в терминах. Следовательно, то, что движется, должно быть материей. Таким образом, чтобы движение могло служить критерием равенства, мы должны иметь некую материю, о которой известно, что она остается неизменной на протяжении всего движения, то есть мы должны иметь некие твердые тела. И трудность заключается в том, что эти тела должны не только не претерпевать изменений, обусловленных исключительно природой пространства, но, кроме того, должны оставаться неизменными при изменении их отношения к другим телам. И здесь мы имеем требование, которое уже не может быть выполнено априорно: требование, которое, как мы знаем, в строгом смысле неверно. Ибо силы, действующие на тело, зависят от его пространственных отношений к другим телам, а изменяющиеся силы могут приводить к изменению конфигурации. Следовательно, по-видимому, фактическое измерение должно быть чисто эмпирическим и зависеть от степени жесткости, достигаемой в процессе измерения в телах, с которыми мы имеем дело.

Этот вывод, как я полагаю, справедлив для всех фактических измерений. Но я должен настаивать на том, что возможность такой эмпирической и приближенной жесткости зависит от априорного закона, согласно которому простое движение, помимо действия другой материи, не может вызвать изменение формы. Ибо без этого закона действие другой материи было бы невозможно обнаружить; законы движения были бы абсурдны, а физика была бы невозможна. Рассмотрим, например, второй закон: как мы могли бы измерить изменение движения, если бы само движение вызывало изменение в наших мерах? Или рассмотрим закон тяготения: как мы могли бы установить закон обратных квадратов, если бы не были способны, независимо от динамики, измерять расстояния? Вся наука динамика, короче говоря, фундаментально зависит от геометрии, и если бы не независимая возможность измерения пространственных величин, ни одна из величин динамики не могла бы быть измерена. Время, сила и масса измеряются с помощью пространственных коррелятов: эти корреляты даются для времени — первым законом, для силы и массы — вторым и третьим. Таким образом, верно, что эмпирический элемент неизбежно присутствует во всех фактических измерениях, поскольку мы можем лишь эмпирически знать, что данный кусок материи сохраняет свою форму на протяжении необходимого изменения динамических отношений к другой материи, вовлеченной в движение; но также верно и то, что для геометрии — которая рассматривает материю просто как обеспечивающую необходимый разрыв в однородности пространства и необходимый член для пространственных отношений, а не как носитель сил, изменяющих конфигурацию других материальных систем, — для геометрии, которая имеет дело с этой абстрактной и чисто кинематической материей, жесткость является априорной, поскольку единственные изменения, которые она признает, — а именно изменения простого положения, — не способны повлиять на формы воображаемых и абстрактных тел, с которыми она имеет дело. Используя схоластическое различие, мы можем сказать, что материя есть causa essendi пространства, но геометрия есть causa cognoscendi физики. Без геометрии, независимой от физики, сама физика, которая неизбежно предполагает результаты геометрии, никогда не могла бы возникнуть; но когда геометрия используется в физике, она теряет часть своей априорной достоверности и приобретает эмпирический и приближенный характер, свойственный всем описаниям фактических явлений.

72. (3) Этот аргумент подводит нас к различению Ландом физической и геометрической жесткости. Это различие может быть выражено — и, я думаю, лучше выражено — путем различения концепций материи, свойственных соответственно динамике и геометрии. В динамике мы имеем дело с материей как субъектом и причиной движения, как подверженной воздействию силы и как оказывающей ее. Поэтому мы имеем дело с изменениями пространственной конфигурации, которым подвержены материальные системы: описание и объяснение этих изменений является надлежащим предметом всей динамики. Но для того чтобы такая наука могла существовать, очевидно, необходимо, чтобы пространственная конфигурация была уже измеримой. Если бы это было не так, движение, ускорение и сила оставались бы совершенно неопределенными. Следовательно, геометрия должна уже существовать до того, как станет возможной динамика: делать геометрию зависимой в своей возможности от законов движения или любых их следствий — это грубое ὕστερον πρότερον. Тем не менее, как мы видели, некий вид материи существенен для геометрии. Но эта геометрическая материя является более абстрактной и совершенно иной материей, чем материя динамики. Чтобы изучать пространство само по себе, мы сводим свойства материи к самому минимуму: мы полностью избегаем категории причинности, столь существенной для динамики, и не сохраняем в нашей материи ничего, кроме ее пространственных прилагательных. Тот вид жесткости, который приписывается этой абстрактной материи — вид, достаточный для теории нашей науки, хотя и не для ее применения к объектам повседневной жизни, — является чисто геометрическим и утверждает не более чем следующее: поскольку наша материя, ex hypothesi, лишена причинных свойств, в простом пустом пространстве не остается ничего, что было бы способно изменить конфигурацию какой-либо геометрической системы. Изменение абсолютного положения, утверждает она, есть ничто; следовательно, единственное реальное изменение, вовлеченное в движение, есть изменение отношения к другой материи; но такая другая материя, для целей нашей науки, рассматривается как лишенная причинных сил; следовательно, никакое изменение не может произойти в конфигурации нашей системы вследствие простого эффекта движения через пустое пространство. Необходимость такого принципа может быть показана простым reductio ad absurdum следующим образом. Поступательное движение Вселенной как целого с постоянным направлением и скоростью динамически пренебрежимо; фактически, философски это вообще не движение, ибо оно не предполагает изменения в состоянии или взаимных отношениях вещей во Вселенной. Но если бы наша геометрическая жесткость была отвергнута, изменение параметра пространства могло бы вызвать изменение форм всех тел вследствие простого изменения абсолютного положения, что очевидно абсурдно.

Чтобы сделать совершенно ясной функцию твердых тел в геометрии, предположим жидкого геометра в жидком мире. Мы не можем предположить жидкость совершенно однородной и недифференцированной, во-первых, потому что такая жидкость была бы неотличима от пустого пространства, во-вторых, потому что тело нашего геометра — если только он не является бесплотным духом — само по себе будет представлять для него дифференциацию. Мы можем, следовательно, предположить

"тусклые лучи,

Которые среди потоков

Сплетают сеть цветного света",

и мы можем предположить, что эта сеть создает повод для размышлений нашего геометра. Тогда он сможет вообразить сеть, в которой линии являются прямыми, или круговыми, или параболическими, или любой другой формы, и он сможет сделать вывод, что такая сеть, если ее можно сплести в одной части жидкости, может быть сплетена и в другой. Это составит достаточное основание для его дедукций. Суперпозиция, с которой он имеет дело, — поскольку предметом геометрии является не фактическое равенство, а лишь формальные условия равенства, — является чисто идеальной и не затрагивается невозможностью затвердевания какой-либо реальной сети. Но чтобы применить свою геометрию к требованиям жизни, ему потребовался бы некий стандарт сравнения между реальными сетями, и здесь, правда, ему потребовалось бы либо твердое тело, либо знание условий, при которых возникают подобные сети. Более того, эти условия, будучи неизбежно эмпирическими, вряд ли могли бы быть известны помимо предшествующего измерения. Следовательно, для прикладной, хотя и не для чистой геометрии, по крайней мере одно твердое тело кажется существенным.

73. Полезность для динамики нашей абстрактной геометрической материи достаточно очевидна. Ибо, имея с ее помощью возможность определять конфигурации материальных систем в любой части пространства и зная, что изменения конфигурации не обусловлены простым изменением места, мы можем приписать эти изменения действию другой материи и, таким образом, установить понятие силы, что было бы невозможно, если бы изменение формы могло быть обусловлено пустым пространством.

Таким образом, в заключение: геометрия требует, если она должна быть практически возможной, некоторого тела или тел, которые либо являются твердыми (в динамическом смысле), либо, как известно, претерпевают некоторые определенные изменения формы согласно некоторому определенному закону. (Эти изменения, мы можем предположить, известны из законов физики, которые были экспериментально установлены и которые повсюду предполагают истинность геометрии.) Одно или несколько таких тел необходимы для прикладной геометрии — но только в том смысле, в каком линейки и циркули необходимы. Они необходимы так же, как при проведении топографической съемки был необходим сложный аппарат для измерения базисной линии на Солсберийской равнине. Но для теории геометрии достаточно геометрической жесткости, а геометрическая жесткость означает лишь то, что форма, возможная в одной части пространства, возможна в любой другой. Эмпирический элемент на практике, возникающий из чисто эмпирической природы физической жесткости, сравним с эмпирическими неточностями, возникающими из невозможности найти прямые линии или круги в мире, — что никто, кроме Милля, не рассматривал как делающее саму геометрию эмпирической или неточной. Но заставлять геометрию ждать совершенства физики — значит делать физику, которая во всем зависит от геометрии, навсегда невозможной. С таким же успехом мы могли бы отложить образование чисел до тех пор, пока не пересчитаем дома на Пикадилли.

Эрдман.

74. В связи с Риманом и Гельмгольцем естественно рассмотреть философскую работу Эрдмана об их теориях. Это, безусловно, самая важная книга по данному предмету, появившаяся с философской стороны, и, несмотря на тот факт, что, подобно всей теории Римана и Гельмгольца, она неприменима к проективной геометрии, она все же заслуживает самого полного обсуждения.

Эрдман во всем согласен с выводами Римана и Гельмгольца, за исключением нескольких моментов второстепенной важности; и его взгляды, как и следовало ожидать из этого согласия, являются ультраэмпирическими. Действительно, его логика кажется — хотя я говорю это с колебанием — несовместимой с какой-либо системой, кроме системы Милля: для него, по-видимому, нет различия между общим и всеобщим, и, следовательно, нет понятия, не воплощенного в ряде примеров. Такая теория логики, на мой взгляд, порочит большую часть его работы, как она порочила философию Римана. Эта общая критика найдет обильное подтверждение в ходе нашего изложения взглядов Эрдмана.

75. После общего введения и краткой истории развития метагеометрии Эрдман переходит во второй главе к обсуждению того, что представляют собой аксиомы евклидовой геометрии. Арифметические аксиомы, как их называют, он оставляет в стороне, поскольку они применяются к величине вообще; то, что нам нужно здесь, говорит он, — это определение пространства, для которого релевантны только геометрические аксиомы. Но определение пространства, говорит он, следуя за Риманом, требует рода, видом которого должно быть пространство, и это, поскольку наше пространство психологически уникально, может быть предоставлено только аналитической математикой (стр. 36). Теперь пространственные формы, с которыми имеет дело геометрия, являются величинами, и концепции величины повсеместно применяются в геометрии. Но до Римана только частные определения пространства могли быть представлены как величины, и, таким образом, желаемое определение было невозможно получить. Теперь, однако, мы можем подвести пространство как целое под общее понятие величины и, таким образом, получить, помимо пространственной интуиции и пространственной концепции, третью форму, а именно концепцию пространства как величины (Grössenbegriff vom Raum, стр. 38–39). Определение этого даст нам полную, но не избыточную систему аксиом, которую нельзя было получить путем преобразования общей интуиции пространства в пространственную концепцию из-за отсутствия множества примеров (стр. 40).

76. Прежде чем рассматривать последующий метод определения, давайте поразмышляем о теориях, вовлеченных в приведенное выше описание концепции пространства как величины. Во-первых, предполагается, что концепции не могут быть сформированы, если у нас нет ряда отдельных объектов, из которых можно абстрагировать общее свойство, — иными словами, что всеобщее всегда есть общее. Во-вторых, предполагается, что всякое определение есть классификация под родом. В-третьих, концепция величины, если я не ошибаюсь, фундаментально неправильно понимается, когда предполагается применимой к пространству как целому. Но в-четвертых, даже если бы такая концепция существовала, она не могла бы дать ни одного из существенных свойств пространства. Давайте рассмотрим эти четыре пункта последовательно.

77. Что касается первого пункта, следует заметить, что люди, безусловно, имели некоторое представление о пространстве до того, как Риман изобрел понятие многообразия, и что это представление было, безусловно, чем-то иным, нежели общие качества всех точек, линий или фигур в пространстве. Во-вторых, взгляд Эрдмана сделал бы невозможным постижение Бога, если только человек не был политеистом, или Вселенной — если только, подобно Лейбницу, он не воображал ряд возможных миров, противопоставленных Богу, и ни один из них, следовательно, не был истинной Вселенной, — или, чтобы привести пример, который скорее привлечет эмпирика, необходимо уникального центра масс материальной Вселенной. Любое всеобщее, короче говоря, которое является связью или единством между вещами, а не просто общим свойством среди независимых объектов, становится невозможным при взгляде Эрдмана. Мы не можем, следовательно, если только не примем философию Милля целиком, рассматривать концепцию пространства как требующую ряда примеров, из которых можно абстрагировать. Но даже если бы мы так ее рассматривали, многообразия Римана оставили бы нас без ресурсов. Ибо евклидово пространство все еще представляется уникальным в конце его ряда определений. У нас есть примеры многообразий, но не примеры евклидова пространства. Таким образом, если бы теория концепций Эрдмана была верна, он все равно остался бы в тщетном поиске концепции евклидова пространства.

78. Второй пункт, взгляд, что всякое определение есть классификация, тесно связан с первым, и оба они вместе погружают нас в глубины схоластической формальной логики. Те же примеры вещей, которые не могли, по мнению Эрдмана, быть постигнуты, могут теперь быть приведены как вещи, которые не могут быть определены. Все, что было сказано выше, применимо и здесь, и поэтому этот пункт не нуждается в дальнейшем обсуждении.

79. Что касается третьего пункта, невозможности применения концепций величины к пространству как целому, потребуется более длинный аргумент, ибо мы имеем дело здесь со всем вопросом о логической природе суждений о величине. Как у нас раньше было слишком много сравнения для наших нужд, так теперь у нас его слишком мало. Я постараюсь объяснить этот пункт, который имеет большое значение и лежит, я думаю, в основе большинства философских заблуждений школы Римана.

Суждение о величине всегда есть суждение сравнения, и, более того, сравнение никогда не касается качества, а только количества. Качество в суждении о величине предполагается идентичным в объекте, чья величина констатируется, и в единице, с которой он сравнивается. Но качество, за исключением чистого числа и чистого количества, с которыми имеет дело исчисление, всегда присутствует и частично поглощается количеством, частично остается нетронутым суждением о величине. Как говорит Бозанкет (Logic, Vol. I, стр. 124): «Количественное сравнение не является prima facie координатным с качественным, а скорее занимает его место как эффект сравнения над качеством, которое, поскольку оно сравнимо, становится количеством, а поскольку оно несравнимо, обеспечивает различие частей, существенных для количественного целого» (курсив в оригинале). Таким образом, если мы должны рассматривать пространство как величину, мы должны быть в состоянии привести все те ряды примеров, о которых говорит Эрдман и которые для концепции пространства казались нерелевантными. Но остается доказать, что сравнение, которое мы можем установить между различными пространствами, способно к выражению в количественной форме. Скорее, казалось бы, что различие качества таково, что исключает количественное сравнение между различными пространствами, а следовательно, также исключает все суждения о величине относительно пространства как целого. Здесь исключение могло бы показаться требуемым неевклидовыми пространствами, чьи пространственные константы дают определенную величину, присущую пространству как целому, и поэтому, можно подумать, характеризующую пространство как величину. Но это ошибка. Ибо пространственная константа в таких пространствах есть предельная единица, фиксированный член во всяком количественном сравнении; она сама, следовательно, лишена количества, поскольку нет независимо данной величины, с которой ее можно было бы сравнить. Неевклидов мир, в котором пространственная константа и все линии и фигуры были бы внезапно умножены в постоянном отношении, был бы полностью неизменен; линии, измеренные относительно пространственной константы, имели бы ту же величину, что и раньше, а сама пространственная константа, не имея внешнего стандарта сравнения, была бы лишена количества и, следовательно, не подвержена изменению количества. Такое расширение неевклидова мира, иными словами, бессмысленно; и это доказывает, насколько неприменимо понятие количества к пространству как целому.

Можно было бы возразить, что это доказывает лишь отсутствие количественного различия между различными пространствами с положительной пространственной константой или между пространствами с отрицательной пространственной константой: количественное различие, можно было бы сказать, сохраняется между пространствами с положительной кривизной в целом и пространствами с отрицательной кривизной в целом, или между обоими вместе и евклидовым пространством. Это я полностью отрицаю. В трех видах пространства нет качественно подобной единицы, посредством которой могло бы быть осуществлено количественное сравнение. Прямые линии одного пространства не могут быть помещены в другое: две прямые линии в одном пространстве, произведение которых есть обратная величина меры кривизны, не имеют соответствующих кривых в другом пространстве, и меры кривизны, следовательно, не могут быть количественно сравнены друг с другом. То, что одну можно рассматривать как положительную, а другую как отрицательную, я признаю, но их значения неопределенны, а единицы в двух случаях качественно различны. Долг в 300 фунтов стерлингов может быть представлен как актив в -300 фунтов стерлингов, а высота Эйфелевой башни составляет +300 метров; но из этого не следует, что они количественно сравнимы. Так и с пространственными константами: пространственная константа сама является единицей для величин в своем собственном пространстве и качественно отличается от пространственной константы другого вида пространства.

Далее, переходя к более философскому аргументу, два различных пространства не могут сосуществовать в одном и том же мире: мы можем быть не в состоянии решить между альтернативами дизъюнкции, но они остаются, тем не менее, абсолютно несовместимыми альтернативами. Следовательно, мы не можем получить то сосуществование двух пространств, которое существенно для сравнения. Факт, по-видимому, состоит в том, что Эрдман, в своем восхищении Риманом и Гельмгольцем, поддался их математической предвзятости и предположил, как математики естественно склонны предполагать, что количество везде и всегда применимо и адекватно и может иметь дело с чем-то большим, чем простое сравнение вещей, чьи качества уже известны как подобные.

80. Это наводит на четвертый и последний из вышеуказанных пунктов, что качества пространства, даже если бы пространство можно было успешно рассматривать как величину, должны были бы быть полностью опущены при таком способе его рассмотрения, и что, следовательно, ни одно из его важных или существенных свойств не вытекало бы из такого обращения. Ибо рассматривать пространство как величину означает, как мы видели, сравнение с чем-то качественно подобным и абстрагирование от подобных качеств. В некоторой степени и с помощью некоторых сомнительных аргументов такое сравнение устанавливается Риманом и Эрдманом; но когда они установили его, они забывают обо всех общих качествах, от которых зависит его возможность. Но это именно фундаментальные свойства пространства, и те, из которых, как я постараюсь доказать в главе III, аксиомы, общие для Евклида и метагеометрии, следуют априорно. Таковы опасности количественной предвзятости.

81. После этого протеста против исходных предположений в дедукции пространства Эрдманом давайте вернемся к рассмотрению того, каким образом эта дедукция осуществляется. Здесь будет меньше оснований для критики, так как дедукция, учитывая ее предпосылки, я думаю, настолько хороша, насколько такая дедукция может быть. Определить пространство как величину, говорит он, давайте начнем с двух его наиболее очевидных свойств: непрерывности и трех измерений. Тона и цвета дают другие примеры многообразия с этими двумя свойствами, но отличаются от пространства тем, что их измерения не являются однородными и взаимозаменяемыми. Чтобы обозначить это различие, Эрдман вводит полезную пару терминов: в общем случае он называет многообразие n-определенным (n-bestimmt); в случае, когда, как в пространстве, измерения однородны, он называет многообразие n-протяженным (n-ausgedehnt). Многообразия последнего рода он называет протяженностями (Ausgedehntheiten). То, что различие между двумя видами является различием качества, а не количества, он, по-видимому, не осознает; он также упускает из виду тот факт, что во втором виде, по самому его определению, аксиома конгруэнтности должна выполняться из-за качественного сходства различных частей. Несмотря на этот факт, он определяет пространство как протяженность, а затем рассматривает конгруэнтность как эмпирическую и как, возможно, ложную в бесконечно малом. Это тем более странно, что он фактически доказывает (стр. 50), что измерение невозможно в протяженности, если части не независимы от своего места и не могут быть перенесены без изменений в качестве мер. Несмотря на это, он немедленно переходит к обсуждению того, является ли мера кривизны постоянной или переменной, не исследуя, как в последнем случае могла бы существовать геометрия. Мы не можем знать, говорит он, из геометрической суперпозиции, что геометрические тела независимы от места, ибо если бы их измерения изменялись при движении согласно какому-либо фиксированному закону, два тела, которые могли быть совмещены в одном месте, могли бы быть совмещены в любом другом. То, что такая гипотеза вовлекает абсолютное положение и отрицает качественное сходство частей пространства, которое он объявляет (стр. 171) принципом своей теории геометрии, нигде не осознается. Но что более важно, его представление о том, что величина есть нечто абсолютное, независимое от сравнения, помешало ему увидеть, что такая гипотеза бессмысленна. Он сам говорит, что даже при этой гипотезе геометрическое тело может быть определено как такое, чьи точки сохраняют постоянные расстояния друг от друга, ибо, поскольку у нас нет абсолютной меры, измерение не могло бы открыть нам изменение абсолютной величины (стр. 60). Но не является ли это reductio ad absurdum? Ибо величина есть ничто помимо сравнения, и сравнение здесь может быть осуществлено только суперпозицией; если, следовательно, как при вышеуказанной гипотезе, суперпозиция всегда дает один и тот же результат, каким бы движением она ни осуществлялась, нет смысла говорить о величинах как о более не равных при разделении: абсолютная величина есть абсурд, а величина, возникающая из сравнения, не отличается от той, которая возникла бы, если бы измерения тел были неизменны при движении. Следовательно, поскольку величина понятна только как результат сравнения, измерения тел являются неизменными при движении, и предложенная гипотеза бессмысленна. Об этом предмете я скажу больше в главе III.

82. Эта гипотеза, однако, введена не ради нее самой, а лишь для того, чтобы ввести гельмгольцевский deus ex machina — механику. Ибо механика доказывает — так уверенно продолжает Эрдман, — что жесткость должна выполняться не только в отношении отношений, в вышеуказанном ограниченном геометрическом смысле, но и в отношении абсолютных величин (стр. 62). Следовательно, мы получаем наконец истинную конгруэнтность, эмпирическую, как эмпирична механика, и невозможную для доказательства помимо механики. Я уже критиковал взгляд Гельмгольца на зависимость геометрии от механики и не должен здесь говорить об этом подробно. Жаль, что Эрдман никоим образом не уточнил процедуру, с помощью которой механика решает геометрические альтернативы, — действительно, он, по-видимому, полагается на ipse dixit Гельмгольца. Как, если бы геометрия была совершенно неспособна обнаружить изменение в измерениях предложенного рода, законы движения, которые повсюду зависят от геометрии, могли бы обнаружить его, если бы оно существовало, я совершенно не в состоянии понять. Равномерное движение по прямой линии, например, предполагает геометрическое измерение; если это измерение ошибочно, то, что механика воображает как равномерное движение, на самом деле таковым не является, но механика никогда не сможет обнаружить это несоответствие. Если бы законы движения рассматривались как априорные, геометрия, возможно, могла бы быть подкреплена ими; но до тех пор, пока они эмпиричны, они предполагают геометрическое измерение и поэтому не могут обусловливать или затрагивать его.

Вывод Эрдмана во второй главе состоит в том, что конгруэнтность вероятна, но не может быть верифицирована в бесконечно малом; что ее истинность предполагает фактическое существование твердых тел (хотя, кстати, мы знаем, что они, строго говоря, не существуют), что твердые тела свободно подвижны и не изменяют свой размер при вращении (монодромия Гельмгольца); что аксиома трех измерений достоверна, поскольку малые ошибки невозможны; и что остальные аксиомы Евклида — аксиомы прямой линии и параллельных — приблизительно, если не точно, верны для нашего фактического пространства (стр. 78, 83). Он не обсуждает, как конгруэнтность, при вышеуказанном взгляде, совместима с атомной теорией или даже с наблюдаемыми деформациями приблизительно твердых тел; или как, если пространство, как он предполагает, однородно, твердые тела могут не быть свободно подвижными через пространство. Аксиомы все свалены в кучу как эмпирические, и оказывается, в следующих главах, что Эрдман рассматривает их эмпирическую природу как достаточно доказанную их применимостью к эмпирическому материалу (ср. стр. 159, 165) — странный критерий, который доказал бы тот же вывод с равной легкостью для арифметики и законов мышления.

83. Третью главу, о философских следствиях метагеометрии, не нужно обсуждать подробно, поскольку она имеет дело скорее с пространством, чем с геометрией. В то же время стоит кратко рассмотреть критерий априорности Эрдмана. По этому предмету очень трудно обнаружить его смысл, поскольку он, по-видимому, меняется в зависимости от темы, которую он обсуждает. Так, в одно время (стр. 147) он отвергает самым решительным образом кантовскую связь априорного и субъективного, и все же в другое время (стр. 96) он рассматривает всякое представление внешних вещей как частично априорное, частично эмпирическое, просто потому, что такое представление обусловлено взаимодействием между нами и вещами и, следовательно, частично обусловлено субъективной активностью, частично обусловлено внешними объектами. Следовательно, говорит он, различие не между различными представлениями, а между различными аспектами одного и того же представления. Это, по-видимому, возвращает нас полностью к кантовскому психологическому критерию субъективности, с дополнительным недостатком, что это делает различие, подобно различию аналитического и синтетического, эпистемологически бесполезным. И все же он никогда не колеблется объявлять всякое знание по очереди эмпирическим. Факт, по-видимому, состоит в том, что там, где он хочет более логического критерия, он принимает модификацию критерия Гельмгольца для ощущений. Если пространство есть априорная форма, говорит он, никакой опыт не мог бы изменить его (стр. 108); но метагеометрия доказала, что это не так, поскольку мы можем интуитивно постичь восприятия, которые дало бы нам неевклидово пространство (стр. 115). Я критиковал этот аргумент при обсуждении Гельмгольца; в настоящее время мы имеем дело с критерием априорности Эрдмана. Критерий субъективности — хотя он, безусловно, использует его при обсуждении априорности пространства и торжественно решает с его помощью, что пространство является одновременно априорным и эмпирическим, поскольку изменение либо в нас, либо во внешнем мире могло бы изменить его (стр. 97), — по-видимому, как и несколько других его тестов, является его промахом: критерий, который он намерен использовать, — это критерий Гельмгольца. Этот критерий, я думаю, с небольшим изменением формулировки, мог бы быть принят; мне он кажется необходимым, но не достаточным условием. Априорное, мы можем сказать, есть не только то, что никакой опыт не может изменить, но и то, без чего опыт стал бы невозможным. Именно упущение обсуждения условий, которые делают геометрический (и механический) опыт возможным, на мой взгляд, порочит эмпирические выводы Гельмгольца и Эрдмана. Почему определенные условия должны быть необходимы для опыта — по причине ли конституции разума или по какой-то другой причине — это дальнейший вопрос, который вводит отношение априорного к субъективному. Но при обсуждении вопроса о том, какое знание является априорным, в противоположность вопросу о дальнейших следствиях априорности, хорошо придерживаться чисто логического критерия и тем самым сохранить нашу независимость от психологических споров. Факт, если это факт, что мир мог бы быть таким, чтобы бросить вызов нашим попыткам познать его, не обесценит, при вышеуказанном критерии, вывод о том, что определенные элементы в знании являются априорными; ибо, выполнены они или нет, они остаются необходимыми условиями для существования любого знания вообще.

84. С этой предосторожностью относительно значения априорности мы обнаружим, я думаю, что выводы последней главы Эрдмана о принципах теории геометрии в значительной степени обесценены разнообразием и неадекватностью его тестов априорного. Он начинает с утверждения, в соответствии с количественной предвзятостью, отмеченной выше, что вопрос о природе геометрических аксиом полностью аналогичен соответствующему вопросу об основаниях чистой математики (стр. 138). Это, я думаю, радикальная ошибка: ибо функция аксиом, по-видимому, состоит в том, чтобы установить ту качественную основу, на которой, как мы видели, должно покоиться всякое качественное сравнение. Но в чистой математике эта качественная основа нерелевантна, ибо мы имеем дело там с чистым количеством, т.е. с просто количественным результатом количественного сравнения, везде, где это возможно, независимо от качеств, лежащих в основе сравнения. Геометрия, как настаивает Грассман, не должна быть классифицирована вместе с чистой математикой, ибо она имеет дело с материей, которая дана интеллекту, а не создана им. Аксиомы дают средства, с помощью которых эта материя становится доступной для количества, и не могут, следовательно, быть сами выведены из чисто количественных соображений.

Оставляя этот пункт в стороне, однако, давайте вернемся к Эрдману. Он различает внутри пространства форму и материю: форма должна содержать свойства, общие для всех протяженностей, материя — свойства, которые отличают пространство от других протяженностей. Это различие, говорит он, чисто логическое и не соответствует кантовскому: материя и форма, для Эрдмана, одинаково эмпиричны. Аксиомы и определения геометрии, говорит он, имеют дело исключительно с материей пространства. Кажется жаль, сделав это различие, использовать его так мало: через несколько страниц оно отбрасывается, и никаких эпистемологических следствий из него не извлекается. Причина, я думаю, в том, что Эрдман не осознал, как много можно вывести из его определения протяженности как многообразия, в котором измерения однородны и взаимозаменяемы. Ибо это свойство достаточно для доказательства полной однородности протяженности, а следовательно — из отсутствия качественных различий между элементами — относительности положения и аксиомы конгруэнтности. Эта дедукция будет сделана подробно в продолжении; в настоящее время я должен лишь заметить, что каждая протяженность, при таком взгляде, обладает всеми свойствами (кроме трех измерений), общими для евклидова и неевклидовых пространств. Аксиомы, которые выражают эти свойства, следовательно, применяются к форме пространства и следуют из одной лишь однородности, которую Эрдман допускает (стр. 171) как принцип любой теории пространства. Вышеуказанное различие формы и материи, следовательно, соответствует, когда его полные следствия выведены, различию между аксиомами, которые следуют из однородности пространства, и теми, которые не следуют. Поскольку, следовательно, однородность эквивалентна относительности положения, а относительность положения есть сама сущность формы внешности, казалось бы, что его различие формы и материи может быть также сделано коэкстенсивным с различием априорного и эмпирического в геометрии. Об этом предмете я скажу больше в главе III.

В остальной части главы Эрдман настаивает на том, что прямая линия и т.д., хотя и не абстрагированы из опыта, который нигде не представляет прямых линий, должны все же, как применимые к общепризнанно эмпирическим наукам, быть эмпирическими (стр. 159) — критерий, который он, по-видимому, применяет только тогда, когда все другие основания для эмпирического мнения терпят неудачу, и который, очевидно, никогда не может отказаться выполнять свою работу, поскольку все элементы знания восприимчивы к применению на некотором эмпирическом материале. Он также определяет прямую линию (стр. 155) как линию постоянной кривизны ноль, как будто кривизна могла быть измерена независимо от прямой линии. Даже арифметические аксиомы объявлены эмпирическими (стр. 165), поскольку в мире, где вещи были бы все безнадежно отличны друг от друга, эти аксиомы не могли бы быть применены. После этого напоминания о Милле мы не удивлены, несколько страниц спустя (стр. 172), смутному призыву к «английским логикам» как доказавшим, что геометрия является индуктивной наукой. Тем не менее, Эрдман объявляет, почти на последней странице своей книги (стр. 173), что геометрия отличается от всех других наук однородностью своего материала: принцип, ни одно применение которого не встречается во всей его книге, и который, как мы увидим в главе III, прямо противоречит философским теориям, отстаиваемым на всех его предыдущих страницах.

В целом, следовательно, нельзя сказать, что Эрдман сделал много для укрепления философской позиции Римана и Гельмгольца. Я критиковал его подробно, потому что его книга имеет вид большой тщательности и потому что она, несомненно, является лучшей защитой из существующих той позиции, которую она занимает. Теперь нам предстоит выполнить противоположную задачу: защитить метагеометрию, с ее математической стороны, от нападок Лотце и других и отстоять для нее ту меру философской важности — гораздо меньшую, правда, чем надежды Эрдмана, — которой она, по-видимому, действительно обладает.

Лотце.

85. Аргумент Лотце относительно геометрии — который следует за метафизическим аргументом об онтологической природе пространства и предполагает результаты этого аргумента — состоит из двух частей: первая обсуждает различные значения, логически приписываемые (стр. 233–247) предложению о том, что возможны другие пространства, кроме евклидова, а вторая критикует, в деталях, процедуру метагеометрии. Первый из этих вопросов очень важен и требует значительной осторожности относительно логического значения суждения о возможности. Хотя обсуждение Лотце превосходно во многих отношениях, я не могу убедить себя, что он нашел единственный истинный смысл, в котором возможны неевклидовы пространства. Я постараюсь обосновать это утверждение на следующих страницах.

86. Лотце открывает несколько поразительным утверждением, которое, хотя философски достойно того, чтобы быть истинным, по-видимому, исторически не подтверждается. Евклидова геометрия была главным образом поколеблена, говорит он, кантовским понятием исключительной субъективности пространства — если пространство есть только наша частная форма интуиции, для которой не существует аналога в объективном мире, то другие существа могут иметь другие пространства, не предполагая никакого различия в мире, который они упорядочивают в этих пространствах (стр. 233). Это, безусловно, кажется законной дедукцией из субъективности пространства, которая, будучи далекой от установления всеобщей значимости Евклида, устанавливает его значимость только после эмпирического исследования природы пространства, как оно интуитивно постигается Томом, Диком или Гарри. Но на самом деле те, кто сделал больше всего для продвижения неевклидовой геометрии — за исключением Римана, который был учеником Гербарта, — обычно наследовали от Ньютона наивный реализм относительно абсолютного пространства. Я мог бы привести пример отрывка, процитированного из Бойяи в главе I, или Клиффорда, который, по-видимому, думал, что мы фактически видим изображения вещей на сетчатке, или, опять же, веру Гельмгольца в зависимость геометрии от поведения твердых тел. Эта вера привела к взгляду, что геометрия, подобно физике, есть экспериментальная наука, в которой объективная истина может быть достигнута, это правда, но только эмпирическими методами. Однако основание Лотце для неуверенности относительно Евклида является философски приемлемым основанием, и будет поучительно наблюдать различные возможности, которые возникают из него.

Если пространство есть только субъективная форма — так Лотце открывает свой аргумент, — другие существа могут иметь другую форму. Если это соответствует другому миру, различие, говорит он, неинтересно: ибо только наш мир релевантен для любого метафизического обсуждения. Но если это другое пространство соответствует тому же миру, который мы знаем под евклидовой формой, тогда, по его мнению, мы получаем вопрос подлинного философского интереса. И здесь он различает два случая: либо отношения между вещами, которые представлены этим гипотетическим существам под формой некоторого другого пространства, являются отношениями, которые не появляются нам, или, во всяком случае, не появляются пространственными; либо они являются теми же отношениями, которые появляются нам как фигуры в евклидовом пространстве (стр. 235). Первая возможность была бы проиллюстрирована, говорит он, существами, для которых тоновые или цветовые многообразия казались протяженными; но мы не можем, по его мнению, вообразить многообразие, такое как требуется для этого случая, имеющим свои измерения однородными и сравнимыми inter se, и поэтому содержания различных представлений, составляющих такое многообразие, не могли бы быть объединены в единое содержание, содержащее их все. Но возможность такой комбинации есть сущность чего-либо, стоящего того, чтобы называться пространством: следовательно, первая из вышеуказанных возможностей немотивирована и неинтересна. Вывод Лотце по этому пункту, я думаю, неоспорим, но я сомневаюсь, что его аргумент очень убедителен. Однако, поскольку эта возможность не имеет связи с той, которую созерцают неевклиды, не стоит обсуждать ее далее.

Вторая возможность также, думает Лотце, не является возможностью метагеометрии, но в действительности она ближе к ней, чем любая из других обсуждаемых возможностей. Если бы неевклид был в то же время сторонником субъективности пространства, он должен был бы быть приверженцем этого взгляда. Давайте посмотрим точнее, что это за взгляд. В книге II, главе I, Лотце принял аргумент Трансцендентальной эстетики, но отверг аргумент математических антиномий: он решил, что пространство есть, как верил Кант, субъективное, но обладает тем не менее тем, что Кант ему отказывал, — объективным аналогом. Отношение представленного пространства к его объективному аналогу, как оно мыслится Лотце, довольно трудно понять. Оно кажется едва ли напоминающим отношение ощущения к его объекту — например, света к эфирным вибрациям, — ибо если бы это было так, пространство не было бы в каком-либо особом смысле субъективным. Оно кажется скорее напоминающим отношение воспринимаемого телесного движения к состоянию ума лица, желающего движения. Как бы то ни было, объективный аналог пространства предполагается состоящим из некоторых непосредственных взаимодействий монад, которые испытывают взаимодействия как модификации своих внутренних состояний. Такие взаимодействия, ясно, не формируют предмет геометрии, которая имеет дело только с нашими результирующими восприятиями пространственных фигур. Теперь, если конструкция пространства Лотце верна, кажется, безусловно, нет причин, почему эти результирующие восприятия не могли бы, для одного и того же взаимодействия между монадами, быть очень разными у существ, иначе конституированных, чем мы сами. Но если бы они были разными, говорит Лотце, они должны были бы быть совершенно разными — настолько разными, например, как интервал между двумя нотами отличается от прямой линии. Возможность эта, следовательно, по его мнению, есть та, о которой мы не можем знать ничего, и та, которая должна оставаться всегда лишь пустой идеей. Это кажется мне заходящим слишком далеко: ибо каков бы ни был объективный аналог, любой аргумент, который дает нам информацию о нем, должен, будучи обращенным, дать нам информацию о любой возможной форме интуиции, в которой этот аналог представлен. Аргумент, который Лотце использовал в своей прежней главе, например, выводя из относительности положения чисто реляционную природу объективного аналога, позволяет нам, наоборот, сделать вывод из этой реляционной природы о полной относительности положения в любой возможной пространственной интуиции — если только, конечно, она не имела совершенно обманчивого отношения к тем взаимодействиям монад, которые формируют ее объективный аналог. Но полная относительность положения, как я постараюсь установить в главе III, достаточна для доказательства того, что наша геометрия должна быть евклидовой, эллиптической, сферической или псевдосферической. Мы имеем, следовательно, казалось бы, очень значительное знание, по теории пространства Лотце, о том, каким образом то, что кажется нам пространством, должно казаться любым существам с нашими законами мышления. Мы не можем знать, это правда, какая психологическая теория пространственного восприятия применялась бы к таким существам: они могли бы иметь чувство, отличное от любого из наших, и они могли бы не иметь чувства, в каком-либо смысле напоминающего наше, но все же их геометрия имела бы точки сходства с нашей, как геометрия слепых совпадает с геометрией видящих. Если пространство имеет какой-либо объективный аналог вообще, короче говоря, и если какой-либо вывод возможен, как Лотце считает его таковым, из пространства к его аналогу, тогда обратный аргумент также возможен, хотя он может дать некоторые только из качеств евклидова пространства, поскольку некоторые только из этих качеств могут быть найдены имеющими необходимый аналог в аналоге.

87. Допуская, следовательно, в смысле Лотце, субъективность пространства, вышеуказанная возможность не кажется такой пустой, как он воображает. Он обсуждает ее кратко, однако, чтобы перейти к тому, что он рассматривает как реальное значение метагеометрии. В этом он виновен в математической ошибке, которая вызывает много нерелевантных рассуждений. Ибо он верит, что метагеометрия конструирует свои пространства из прямых линий и углов во всех отношениях подобных евклидовым, откуда он извлекает легкую победу в доказательстве того, что эти элементы могут привести только к одному пространству. В этом он был введен в заблуждение фразеологией неевклидов, а также отделением Евклидом определений и аксиом. Ибо факт состоит, конечно, в том, что прямые линии полностью определены только тогда, когда мы добавляем к формальному определению аксиомы прямой линии и параллельных. Внутри евклидова пространства определения Евклида достаточно, чтобы отличить прямую линию от всех других кривых; две упомянутые аксиомы затем поглощаются в определение пространства. Но помимо ограничения евклидовым пространством, определение должно быть дополнено двумя аксиомами, чтобы полностью определить евклидову прямую линию. Таким образом, Лотце неправильно понял значение неевклидовых конструкций и просто упустил суть, аргументируя так, как он это делает. Возможность, созерцаемая неевклидом, если бы она подпадала под какой-либо из случаев Лотце, подпадала бы под второй случай, обсуждавшийся выше.

88. Но значение метагеометрии действительно, я думаю, отличается от всего, воображаемого Лотце; и поскольку немногие писатели кажутся ясными по этому пункту, я войду несколько полно в то, что я считаю ее целью.

Во-первых, есть некоторые писатели — особенно Клиффорд, — которые, будучи наивными реалистами относительно пространства, считают, что наше свидетельство совершенно недостаточно, пока что, чтобы решить относительно его природы в бесконечном или в бесконечно малом (ср. Essays, Vol. I, стр. 320): эти писатели не обеспокоены какой-либо возможностью существ, отличных от нас самих, но просто повседневным пространством, которое мы знаем, которое они исследуют в духе химика, обсуждающего, является ли водород металлом, или астронома, обсуждающего небулярную гипотезу.

Но это меньшинство: большинство, более осторожные, допускают, что наше пространство, насколько простирается наблюдение, является евклидовым, и если не точно евклидовым, должно быть лишь слегка сферическим или псевдосферическим. Здесь опять же это пространство повседневной жизни, которое находится под обсуждением, и здесь далее обсуждение, я думаю, независимо от любого философского предположения относительно природы нашей пространственной интуиции. Ибо даже если это чисто субъективно, перевод интуиции в концепцию может быть осуществлен только приблизительно, в пределах ошибок наблюдения, свойственных самоанализу; и пока интуиция пространства не стала концепцией, мы не получаем научной геометрии. Аподиктическая достоверность аксиомы параллельных сжимается до немотивированного субъективного убеждения и исчезает совсем у тех, кто питает неевклидовы сомнения. Чтобы подкрепить евклидову веру, разум должен теперь быть приведен на помощь интуиции; но разум, к сожалению, оставляет нас, и мы оставлены на милость приближенных наблюдений звездных треугольников — скудная поддержка, действительно, для заветной религии нашего детства.

89. Но возможность неточности, столь незначительной, что наши самые точные инструменты и самые далекие параллаксы не обнаруживают ее следов, тревожила бы умы не больше, чем аналогичная вероятность неточности в законе всемирного тяготения, если бы не философская значимость даже малейшей возможности в этой сфере. И именно философское значение метагеометрии, как мне кажется, составляет ее подлинную важность. Даже если бы, как мы предположим на мгновение, наблюдение установило вне всякого сомнения, что наше пространство можно с уверенностью считать евклидовым, метагеометрия все равно продемонстрировала бы философскую возможность, и уже на этом основании она могла бы претендовать, я полагаю, почти на все то внимание, которого она заслуживает в настоящее время.

Но что это за возможность? Вещь возможна, согласно Брэдли (Logic, с. 187), когда она вытекает из определенного числа условий, некоторые из которых, как известно, реализованы. Условия же, которым должна соответствовать форма внешности, чтобы быть утвержденной, таковы: во-первых, разумеется, чтобы она была воспринята или законно выведена из чего-то воспринятого; но во-вторых, чтобы она соответствовала определенным логическим условиям, подробно изложенным в главе III, которые можно свести к относительности положения. То, что сделала метагеометрия в любом случае, — это предложила доказательство того, что второе из этих условий выполняется неевклидовыми пространствами. Евклид утверждается, следовательно, только на основании непосредственного опыта, и его истинность, как не опосредованная логической необходимостью, является лишь ассерторической или, если угодно, эмпирической. Это, как мне кажется, наиболее важный смысл, в котором возможны неевклидовы пространства. Короче говоря, они являются шагом в философском аргументе, а не в исследовании фактов: они проливают свет на природу оснований для Евклида, а не на фактическую конфигурацию пространства [102]. Это значение метагеометрии отрицается Лотце на том основании, что неевклидова логика ошибочна, — основание, которое он пытается обосновать с большими подробностями на многих страницах, — и мы перейдем к рассмотрению того, с каким успехом.

90. Атака Лотце на метагеометрию — хотя она и остается, насколько мне известно, лучшей из существующих враждебных критических работ, и хотя ее аргументы стали частью обычного арсенала евклидовых философов — содержит, если я не ошибаюсь, несколько недоразумений, вызванных недостаточными математическими знаниями в этой области. Поскольку эти недоразумения широко распространились среди философов и их нелегко устранить иначе, как критику, который с некоторым вниманием вник в неевклидову геометрию, представляется желательным обсудить критические замечания Лотце пункт за пунктом.

91. Математическая критика начинается (§ 131) с несколько предрешающего определение параллельных прямых. Две прямые aα и bβ, согласно этому определению, параллельны, когда — при условии, что a и b являются произвольными точками на двух линиях — если aα = bβ, то ab = αβ, где α и β — две другие точки на соответствующих прямых. Это определение, которое содержит аксиому и определение Евклида, объединенные в очень удобной и привлекательной форме, конечно, полностью подходит для евклидовой геометрии и немедленно приводит ко всем евклидовым предложениям о параллельных. Но, пожалуй, честнее следовать курсом Евклида; когда аксиома таким образом скрыта в определении, кажется, поскольку определения считаются произвольными, что трудность преодолена, тогда как в действительности возможность параллельных, как определено выше, включает в себя сам спорный момент, а именно оспариваемую аксиому о параллельных. Ибо то, что утверждает эта аксиома, есть просто существование линий, соответствующих определению Лотце. Дедукция основных положений о параллельных, которой Лотце сопровождает свое определение, конечно, является очень простым процессом — процессом, однако, в котором первый шаг предрешает вопрос.

92. Следующий аргумент в пользу априорности евклидовой геометрии имеет, как ни странно, прямо противоположную направленность, хотя он очень любим противниками метагеометрии. Измерения звездных треугольников и все подобные попытки эмпирического определения пространственной константы, согласно Лотце, не достигают цели; ибо любое наблюдаемое отклонение от двух прямых углов или любой конечный годовой параллакс для далеких звезд были бы приписаны какому-то новому виду рефракции или, как в случае с аберрацией, какой-то другой физической причине, но никогда не геометрической природе пространства. Это сильный аргумент в пользу эмпирической значимости Евклида, но как аргумент в пользу аподиктической достоверности ортодоксальной системы он имеет противоположную тенденцию. Ибо наблюдения такого рода должны были бы быть обусловлены доселе неизвестными отклонениями световых лучей звезд от евклидовой прямолинейности. Такое отклонение в определенных случаях могло бы быть объяснено конечной пространственной константой, но оно также, вероятно, могло бы быть объяснено изменением в оптике, например, приписыванием эфиру свойств преломления. Такие свойства могли бы существовать только в том случае, если бы эфир был переменной плотности, если бы (скажем) он был плотнее в окрестностях любого из небесных тел. Но такое допущение, я полагаю, разрушило бы полезность эфира для физики; поэтому небольшое изменение в нашей геометрии, настолько незначительное, чтобы заметно не влиять на расстояния в пределах Солнечной системы, вероятно, в конечном счете, если бы такие ошибки когда-либо были обнаружены, было бы более простым объяснением, чем любое, которое могла бы предложить физика. Но не в этом суть моего утверждения. Суть в том, что если физическое объяснение, как полагает Лотце, возможно в вышеуказанном случае, то должно быть верно и обратное: должно быть возможно объяснить нынешние явления, предположив эфир преломляющим, а пространство — неевклидовым. От этого вывода нет спасения. Если любое мыслимое поведение световых лучей может быть объяснено в рамках Евклида физическими причинами, то должно быть также возможно, путем подходящего выбора гипотетических физических причин, объяснить фактические явления как принадлежащие неевклидову пространству. Такая гипотеза была бы справедливо отвергнута наукой в настоящее время из-за ее ненужной сложности. Тем не менее, для философии она оставалась бы возможностью, с которой нужно считаться, и выбор мог бы быть решен только на эмпирических основаниях простоты. Можно вполне усомниться в том, что в известном нам мире явления можно было бы приписать отчетливо неевклидову пространству, но этот вывод неизбежно следует из утверждения, что никакие явления не могли бы заставить нас предположить такое пространство. Аргумент Лотце, следовательно, если его довести до конца, опровергает его собственную точку зрения и ставит евклидово пространство как эмпирическое объяснение явлений на один уровень со светоносным эфиром [103].

93. Лотце переходит теперь (§ 132) к подробной критике Гельмгольца, которого он считает типичным представителем метагеометрии. Возможно, что во время написания своей работы Гельмгольц действительно занимал эту позицию; но прискорбно, что в умах философов он продолжает занимать ее до сих пор, после весьма существенных достижений, вызванных проективным подходом к предмету. Также прискорбно, что его несколько небрежные попытки популяризировать математические результаты так часто подвергались критике без должного внимания к его более техническим и солидным вкладам. Так, его романы о Флатландии и Сфероландии — в лучшем случае лишь сказочные аналогии сомнительной ценности — подвергались нападкам так, как будто они составляли существенную черту метагеометрии.

Но перейдем к частностям: Лотце охотно допускает, что жители Флатландии создали бы планиметрию, какой мы ее знаем, но отказывается признать, что жители Сфероландии могли бы, не выводя третьего измерения, создать двумерную сферическую геометрию, свободную от противоречий. Я попытаюсь дать свободное изложение аргумента Лотце по этому пункту.

Предположим, говорит он, произвольно зафиксированные северный и южный полюса, N и S, и экватор EW. Предположим, существо B, способное к впечатлениям только от вещей на поверхности сферы, движется по меридиану NBS. Пусть B начнет с некоторой точки a и, наконец, описав большой круг, вернется в ту же точку a. Если a известно только по качеству впечатления, которое оно производит на B, B может вообразить, что он достиг не той же самой точки a, а другой подобной точки a', имеющей отношение к a, подобное отношению октавы в пении: он мог бы даже вообще не упорядочивать свои впечатления пространственно. Чтобы это произошло, нам требуется дополнительное предположение, что каждое различие в вышеупомянутых ощущениях (как он описывает меридиан) может быть представлено как пространственное расстояние между двумя местами. Даже теперь B может думать, что он описывает евклидову прямую линию, содержащую подобные точки через определенные интервалы. Допуская, однако, что он осознает тождественность a со своей начальной позицией, ему теперь будет казаться, что, двигаясь по прямой линии, он вернулся в точку, с которой начал, ибо его движение не может, без третьего измерения, казаться ему иным, чем прямолинейным.

До этого момента оснований для возражений, кажется, мало, за исключением, пожалуй, идеи прямой линии с периодическими подобными точками — если бы B был столь же философски настроен, как мы обычно предполагаем в этих дискуссиях, он, вероятно, возразил бы против такой интерпретации своего опыта на том основании, что она рассматривает пустое пространство как нечто независимое от объектов в нем. Стоит также отметить, что B не нужно было бы описывать весь круг, чтобы внезапно обнаружить, что он снова дома со своими старыми друзьями. Точных измерений малых треугольников было бы достаточно, чтобы определить его пространственную константу и показать ему длину большого круга (или прямой линии, как он бы ее назвал). Мы должны также признать, что столь гипотетическое существо, как B, могло бы вообще не сформировать пространственной интуиции, но поскольку он введен исключительно для целей аналогии, удобно предоставить ему все возможные квалификации для его роли. Но эти пункты не затрагивают ядра аргумента, которое заключается в утверждении, что такая прямая линия, возвращающаяся в саму себя через конечное время, показалась бы B «невыносимым противоречием» и, таким образом, вынудила бы его, для логических, хотя и не для сенсорных целей, к допущению третьего измерения. Это утверждение кажется мне совершенно необоснованным: вся метагеометрия является солидным массивом доказательств против него. Аргумент Гельмгольца, следует помнить, является лишь аналогией, и противоречие существовало бы только для евклидианца. Полная трехмерная геометрия, как мы видели в главе I, была развита на допущении, что прямые линии имеют конечную длину. Постоянное значение меры кривизны, как показало наше обсуждение Римана, не предполагает ни ссылки на четвертое измерение, ни какого-либо рода внутреннего противоречия. Этот факт опровергает утверждение Лотце, которое проистекает исключительно из неспособности освободить свое воображение от евклидовых идей.

Затем Лотце нападает на Гельмгольца за утверждение, что B ничего не знал бы о параллельных линиях — параллельных прямых, как показывает контекст, имел он в виду [104]. Лотце, однако, понимает его, по-видимому, как означающего просто кривые постоянного расстояния от данной прямой линии, которые являются частью обычного арсенала метагеометрии. Параллели широты, в географическом смысле, не казались бы B — за исключением экватора — прямыми линиями, а кругами. Большие круги он называл бы прямыми, и этот факт, по-видимому, ввел Лотце в заблуждение, заставив думать, что все круги следует рассматривать как прямые линии. Параллели широты, следовательно, хотя B мог бы называть их параллелями, не опровергли бы утверждение Гельмгольца, которое относится только к прямым линиям.

Аргумент о том, что такие малые круги были бы параллельными, который мы только что опровергли, является лишь предисловием к другому доказательству того, что B потребовалось бы третье измерение. Назовем две из этих параллелей широты ln и ls и пусть они будут равноудалены от экватора, одна в северном, другая в южном полушарии. Последовательные касательные плоскости вдоль этих параллелей сходятся в одном случае к северу, в другом — к югу. Либо B мог бы осознать их различие, говорит Лотце, либо не мог бы. В первом случае, который он считает более вероятным, он легко доказывает, что B вывел бы третье измерение. Но эта альтернатива, я думаю, совершенно недопустима. Касательные плоскости, как и евклидовы плоскости в целом, не имели бы смысла для B; если только, конечно, он не был бы метагеометром, которым, при всей его метафизической и математической тонкости, аргумент предполагает его не быть — и против такого предположения Лотце, безусловно, последний человек, который имеет право возражать. Попытка Лотце доказать, что это правильная альтернатива, основывается, если я правильно его понимаю, на чистой ошибке в обычной сферической геометрии. B заметил бы, говорит он, что меридианы образуют меньшие углы с его путем к более близкому, чем к более далекому полюсу — на самом деле они были бы просто перпендикулярны его пути в обоих направлениях. Что Лотце имеет в виду, возможно, так это то, что все меридианы встретились бы раньше в одном направлении, чем в другом, и это, конечно, верно. Но полюса, в которых меридианы встречаются, казались бы B центрами соответствующих параллелей, в то время как сами параллели казались бы кругами. Теперь я в затруднении понять, какая трудность возникла бы у B при предположении, что два разных круга имеют разные центры [105]. Мы должны, следовательно, принять первую альтернативу, что B не имел бы никакого знания о том, в каком направлении сходятся касательные плоскости. Здесь Лотце пытается, если я не неправильно его понял, доказать reductio ad absurdum: B подумал бы, говорит он, что он описывает два пути, полностью совпадающих по направлению, и тогда он мог бы рассматривать оба пути как круги в плоскости. Можно заметить, что направление, примененное к кругу в целом, бессмысленно; действительно, направление во всей метагеометрии может означать, даже при применении к прямым линиям, только направление к точке. Говорить о двух линиях, которые не встречаются, как имеющих одно и то же направление, — это тайное введение аксиомы о параллельных. Помимо этого, я не могу представить себе никакого возражения со стороны B против такого взгляда — следовало бы сказать «должен», а не «мог бы». Вся аргументация, следовательно, если ее неясность не ввела меня в заблуждение, должна быть признана бесплодной и неубедительной.

94. После этого предварительного обсуждения Сфероландии Лотце переходит к вопросу о четвертом измерении, а оттуда к сферическому и псевдосферическому пространству. Как и прежде, он, по-видимому, знает только более небрежные и популярные высказывания Гельмгольца и Римана и не взял на себя труд понять даже основы математической метагеометрии. Из-за этого пренебрежения многое из того, что он говорит, становится совершенно бесполезным. Начнем с того, что он рассматривает в качестве цели сказки Гельмгольца предположение о возможном четвертом измерении, тогда как реальная цель была прямо противоположной — сделать понятным чисто трехмерное неевклидово пространство. Гельмгольц ввел Флатландию только потому, что ее отношение к Сфероландии аналогично отношению нашего к сферическому пространству [106]. Но Лотце говорит: жители Флатландии не нашли бы затруднений в третьем измерении, поскольку оно никоим образом не противоречило бы их собственной геометрии, в то время как люди в Сфероландии, из-за противоречий в их двумерной системе, уже были бы приведены к нему. На последнее утверждение я уже пытался ответить; первое звучит странно, учитывая попытку, несколькими страницами позже, доказать à priori, что все формы интуиции, каким-либо образом аналогичные пространству, должны иметь три измерения. Нельзя не заподозрить, что жители Флатландии, с двумя измерениями вместо трех, предприняли бы аналогичную попытку. Но вернемся к аргументу Лотце: ни одна аналогия не может быть использована, говорит он, чтобы доказать, что мы должны, возможно, установить четвертое измерение, поскольку для нас не существует никаких противоречий или иных необъяснимых явлений. Единственные люди, насколько мне известно, которые использовали эту аналогию, — это доктор Эббот и несколько спиритуалистов — первые в шутку, вторые — чтобы объяснить некоторые явления, более просто объяснимые, возможно, Маскелайном и Куком. Но хотя вывод Лотце в этом вопросе верен и с ним мог бы согласиться Гельмгольц, его аргументы, на мой взгляд, неуместны и неубедительны. Есть такая разница, говорит он, между нами и жителями Сфероландии: последние были логически вынуждены к новому измерению и нашли его возможным; мы не вынуждены к нему и находим его в нашем пространстве невозможным. Я же утверждал, что, напротив, ничто не заставило бы жителей Сфероландии предполагать третье измерение, в то время как они нашли бы его невозможным точно так же, как мы находим четвертое невозможным — не логически, то есть, а только как представимую конструкцию в данном пространстве.

После несколько неуклюжей шутки о социалистических китах в четырехмерном море фурьеристской eau sucrée, Лотце переходит к логическому доказательству того, что каждая форма интуиции, которая охватывает всю систему упорядоченных отношений сосуществующего многообразия, должна иметь три измерения. Можно было бы возразить на à priori основаниях против любой такой попытки: то, что принадлежит чистой интуиции, едва ли, можно было бы подумать, может быть определено à priori рассуждением [107]. Я не буду, однако, развивать этот аргумент здесь, а попытаюсь указать, насколько позволит его неясность, конкретную ошибку рассматриваемого доказательства.

Аргумент Лотце заключается в следующем. В этой дискуссии, хотя наша терминология неизбежно взята из пространства, мы на самом деле имеем дело с гораздо более общим понятием. Мы предполагаем, чтобы сохранить однородность измерений, что различие (расстояние) между любыми двумя элементами (точками) нашего многообразия — заимствуя слово Римана — того же рода, что и различие между любыми другими двумя элементами, и соизмеримо с ним. Возьмем ряд элементов на последовательных расстояниях x таких, что расстояние между любыми двумя есть сумма расстояний между промежуточными элементами. Такой ряд соответствует прямой линии, которая берется как ось x. Тогда ряд OY называется перпендикулярным к оси x OX, когда расстояния любого элемента y на OY от +mx и -mx равны. Согласно нашей гипотезе, эти расстояния сравнимы с x и y и качественно подобны им. Пока OY определяется только отношением к OX, он концептуально уникален. Но теперь предположим, что то же отношение, что и между OX и OY, возможно между OY и новым рядом OZ; тогда мы получаем третий ряд OZ, перпендикулярный к OY, и снова концептуально уникальный, пока он определяется только отношением к OY. Мы могли бы продолжить таким же образом к четвертой линии OU, перпендикулярной к OZ. Но необходимо для наших целей, чтобы OZ был перпендикулярен к OX, а также к OY. Без этого условия OZ мог бы простираться в другой мир и не иметь соответствующего отношения к OX — это возможность, исключенная только нашими неизбежными пространственными образами. В этой точке наступает crux аргумента. Тот OZ, говорит Лотце, который, помимо перпендикулярности к OY, также перпендикулярен к OX, должен быть среди ряда OY, ибо они были определены только перпендикулярностью к OX. Следовательно, заключает он, может существовать даже третье измерение только в том случае, если OZ совпадает с одним, и — как только OX считается фиксированным — только с одним из многих членов ряда OY.

В этом аргументе трудно — по крайней мере, мне — увидеть хоть какую-то силу. Единственный способ, которым я могу объяснить его, — это предположить, что Лотце пренебрег возможностью любых, кроме простых бесконечностей. При такой интерпретации аргумент можно было бы сформулировать так: существует бесконечный ряд непрерывно изменяющихся OY; к общему свойству этих мы добавляем другое свойство, которое разделит их общее число на бесконечность. Оставшийся OZ, следовательно, должен быть однозначно определен. Тот же вид аргумента, однако, доказал бы, что две поверхности могут пересекаться только в одной точке, и бесчисленное множество других абсурдов. Дело в том, что бесконечности могут быть разных порядков. Например, число точек на линии может быть принято как простая бесконечность, так же как и число линий в плоскости через любую точку; следовательно, путем умножения, число точек в плоскости есть двойная бесконечность, ∞2, и если мы разделим это число на простую бесконечность, у нас все равно останется бесконечное число. Таким образом, аргумент Лотце предполагает то, что он должен доказать, а именно, что число линий, перпендикулярных данной линии через любую точку, есть простая бесконечность, что эквивалентно аксиоме трех измерений. Весь отрывок настолько неясен, что его смысл мог ускользнуть от меня. Очевидно à priori, однако, как я указал в начале, что любое доказательство аксиомы должно быть ошибочным где-то, и вышеприведенная интерпретация аргумента — единственная, которую я смог найти.

95. Остальная часть главы посвящена атаке на сферическое и псевдосферическое пространство на том основании, что они мешают однородности трех измерений и подобию всех частей пространства. Это просто ложь. Такие пространства, как поверхность сферы, одинаковы повсюду. Лотце показывает здесь и в других местах, что он не взял на себя труд выяснить, что такое метагеометрия на самом деле. Я сам придерживаюсь мнения, и пытался доказать в этом эссе, что конгруэнтность является à priori аксиомой, без которой геометрия была бы невозможна; но желание поддержать эту аксиому, как должен был знать Лотце, является тем самым мотивом, который побудил метагеометрию ограничиться пространствами постоянной меры кривизны. Мы видим здесь важность различения между Гельмгольцем-философом и Гельмгольцем-математиком. Хотя философ хотел обойтись без конгруэнтности, математик, как мы видели в главе I, сохранил и решительно подчеркнул ее. Чуть позже Лотце показывает, опять же, как он был введен в заблуждение неудачной аналогией Сфероландии. Сферическую поверхность, говорит он, он может понять; но как нам перейти от этого к сферическому пространству? Либо эта поверхность является всем нашим пространством, как в Сфероландии, либо она порождает пространство постепенно растущим радиусом. Такие концентрические сферы, как торжествующе указывает Лотце, конечно, порождают евклидово пространство. Его дизъюнкция, однако, совершенно и полностью ложна и никогда не могла быть предложена кем-либо, имеющим хотя бы поверхностное знание метагеометрии. Этот пункт менее проработан, чем предыдущий, который во всей своей наготе переформулирован в последнем предложении главы: «Я не могу убедить себя, что можно было бы, без элементов однородного пространства, даже сформировать или определить представление о неоднородных пространствах или о таких, которые имели переменные меры кривизны». Как будто такие пространства когда-либо устанавливались неевклидовой математикой!

В заключение Лотце выражает надежду, что философия в этом вопросе не позволит математике навязать себе что-либо. Я должен, напротив, радоваться, что математика не позволила философии навязать себе что-либо, а свободно развила важную и самосогласованную систему, которая заслуживает, за свой тонкий анализ логических и фактических элементов, благодарности всех, кто ищет философию пространства.

96. Возражения против неевклидовой геометрии, которые только что были обсуждены, подпадают под четыре заголовка:

I. Неевклидовы пространства не являются однородными; метагеометрия поэтому чрезмерно овеществляет пространство.

II. Они включают ссылку на четвертое измерение.

III. Они не могут быть установлены без неявной ссылки на евклидово пространство или на евклидову прямую линию, от которых они поэтому зависят.

IV. Они самопротиворечивы в одном или нескольких отношениях.

Читателю, который последовал за мной в признании этих четырех возражений ошибочными, не составит труда справиться с любым другим критиком метагеометрии, поскольку это единственные математические аргументы, насколько мне известно, когда-либо выдвигавшиеся против неевклидианцев [108]. Логическая обоснованность метагеометрии и математическая возможность трехмерных неевклидовых пространств будут, следовательно, рассматриваться на протяжении остальной части работы как достаточно установленные.

97. Два других возражения могут, действительно, быть выдвинуты против метагеометрии, но они имеют скорее философское, чем строго математическое значение. Первое из них, которое было сделано Дельбёфом базой операций, в равной степени применимо ко всем неевклидовым пространствам. Второе, которое, насколько мне известно, не часто использовалось, но все же кажется мне заслуживающим внимания, направлено непосредственно только против пространств положительной кривизны; но если бы оно могло дискредитировать их, оно могло бы поставить под сомнение метод, с помощью которого все они получены. Эти два возражения таковы:

I. Пространство должно быть таким, чтобы допускать подобие, т.е. увеличение или уменьшение в постоянном отношении всех линий в фигуре без изменения углов; тогда как в неевклидовой геометрии линии, как и углы, имеют абсолютную величину.

II. Пространство должно быть бесконечным, тогда как сферические и эллиптические пространства конечны.

Я обсужу первое возражение в связи со статьями Дельбёфа, упомянутыми выше. Второе, которое, насколько мне известно, не широко использовалось в критике, лучше отложить до главы III.

Дельбёф.

98. Четыре статьи г-на Дельбёфа в Revue Philosophique содержат много материала, который уже был рассмотрен в критике Лотце, и много такого, что не имеет отношения к нашей нынешней цели. Единственный пункт, который я хочу обсудить здесь, — это вопрос об абсолютной величине, как ее называют, — вопрос, то есть, о том, может ли возможность подобных, но неравных геометрических фигур быть известна à priori [109].

При обсуждении этого вопроса важно, для начала, четко различать смысл, в котором абсолютная величина требуется в неевклидовой геометрии, от другого смысла, в котором было бы абсурдно рассматривать любую величину как абсолютную. Суждения о величине могут быть результатом только сравнения, и если бы метагеометрия требовала величин, которые могли бы быть определены без сравнения, она, безусловно, заслуживала бы осуждения. Но этого не требуется. Все, что мы требуем, — это чтобы было невозможно, пока остальная часть пространства не затронута, изменить величину любой фигуры по сравнению с другими фигурами, оставляя относительные внутренние величины ее частей неизменными. Эта конструкция, которая возможна в Евклиде, невозможна в метагеометрии. Мы должны обсудить, делает ли такая невозможность неевклидовы пространства логически ошибочными.

Позиция г-на Дельбёфа по этой аксиоме — которую он называет постулатом однородности [110] — заключается в том, что вся геометрия должна предполагать ее, и что метагеометрия, следовательно, хотя и логически здравая, логически вторична по отношению к Евклиду и может делать свои конструкции только в евклидовом «однородном» пространстве (Rev. Phil. Vol. XXXVII, с. 380–1). Он, тем не менее, по-видимому, думает, что однородность (в его смысле) познается из опыта, хотя по этому пункту он не очень ясен. (См. Vol. XXXVIII, с. 129.) Никакого à priori доказательства, во всяком случае, в его статьях не предлагается. Как результат опыта, каждый признал бы, что подобие, как известно, возможно в пределах наблюдений; но тот факт, что эта возможность распространяется на топографические карты, которые имеют дело со сферической поверхностью, должен заставить нас остерегаться вывода из таких данных о достоверности Евклида для больших пространств. Более того, если однородность эмпирична, метагеометрия, которая обходится без нее, не обязательно находится в логической зависимости от Евклида, поскольку однородность и изогенность логически разделимы. Я буду исходить, следовательно, как из единственного утверждения, которое может быть интересным для нашего аргумента, из того, что однородность рассматривается как à priori и как логически существенная для геометрии.

99. Теперь мы видели, обсуждая взгляды Эрдмана на суждение о количестве, что в неевклидовом пространстве, как и в евклидовом, изменение всех пространственных величин в одном и том же отношении не было бы изменением вовсе; отношения всех величин к пространственной константе были бы неизменны, и пространственная константа, как конечный стандарт сравнения, не может, в каком-либо понятном смысле, считаться имеющей какую-либо конкретную величину. Абсолютные величины метагеометрии, следовательно, абсолютны только по отношению к любой другой конкретной величине, а не по отношению к другим величинам в целом. Если бы это было не так, сравнительная природа суждения о величине была бы опровергнута, и метрическая метагеометрия стала бы абсурдной. Но как есть, различие от Евклида состоит только в том, что в метагеометрии у нас есть, тогда как в Евклиде нет, стандарт сравнения, вовлеченный в природу нашего пространства в целом, который мы называем пространственной константой. Мы должны обсудить, предполагает ли утверждение такого стандарта чрезмерное овеществление пространства.

Я не верю, что это так. Ибо чрезмерное овеществление пространства возникло бы только в том случае, если бы мы больше не могли рассматривать положение как полностью относительное и как геометрически определимое только через отклонение от других положений. Но относительность положения, как мы в изобилии видели, сохраняется всеми пространствами постоянной кривизны — во всех них положения могут быть определены геометрически только отношениями к новым положениям [111]. Этот ряд определений может привести к бесконечному регрессу, но он может также, как в сферическом пространстве, образовать порочный круг и вернуться снова к положению, с которого он начал. Никакое овеществление пространства, никакое независимое существование простых отношений, кажется, не вовлечено в такую процедуру. Вся метагеометрия, короче говоря, является доказательством того, что относительность положения совместима с абсолютной величиной в единственном смысле, требуемом неевклидовыми пространствами. Мы должны заключить, следовательно, что нет ничего несовместимого в отрицании однородности (в смысле Дельбёфа) ни с реляционной природой пространства, ни со сравнительной природой величины. Это последнее à priori возражение против метагеометрии, следовательно, не может быть поддержано, и вопрос должен быть решен только на эмпирических основаниях.

100. Основания геометрии были предметом многих недавних спекуляций во Франции, и это, кажется, требует некоторого внимания. Но несмотря на блестящую работу, которую французы проделали по смежному вопросу о числе и непрерывной величине, я не могу убедить себя, что они преуспели в значительном продвижении предмета геометрической философии. Главными авторами были, с математической стороны, Калинон и Пуанкаре, с философской — Ренувье и Дельбёф; как посредник между математикой и философией — Лешала.

Калинон в интересной статье о геометрической неопределенности вселенной утверждает, что любая геометрия может быть применена к реальному миру посредством подходящей гипотезы о ходе световых лучей. Ибо только земля известна нам иначе, чем через оптику, а земля — это бесконечно малая часть вселенной. Эта линия аргументации уже обсуждалась в связи с Лотце, но Калинон добавляет новое предположение, что пространственная константа может, возможно, меняться со временем. Это предполагало бы причинную связь между пространством и другими вещами, что кажется едва ли мыслимым и что, если рассматривать его как возможное, должно, безусловно, разрушить геометрию, поскольку геометрия повсюду зависит от нерелевантности причинности [112]. Более того, во всех операциях измерения тратится некоторое время; если бы мы не знали, что пространство неизменно на протяжении всей операции, трудно понять, как наши результаты могли бы быть достоверными и как, следовательно, можно было бы обнаружить изменение параметра. Те же трудности возникли бы, по сути, как те, которые проистекают из предположения, что пространство не однородно.

Пуанкаре утверждает, что вопрос о том, следует ли принять Евклида или метагеометрию, является вопросом удобства и конвенции, а не истины; аксиомы — это определения в маскировке, и выбор между определениями произволен. Этот взгляд обсуждался в главе I в связи с теорией расстояния Кэли, от которой он зависит.

Лешала — философский ученик Калинона. Он рационалист докантовского типа, но верующий в обоснованность метагеометрии. Он полагает, что геометрия может обойтись без всех чисто пространственных постулатов и работать только с аксиомами величины [113], которые, по его мнению, чисто аналитичны. Принцип противоречия для него — единственный и единственный критерий истины; мы строим длинные цепи рассуждений от наших предпосылок, чтобы увидеть, возникнут ли противоречия. Можно было бы возразить, что этот взгляд, хотя он спасает общую геометрию от того, чтобы быть логически эмпирической, оставляет ее лишь эмпирически логической; это, по сути, должна быть судьба любого знания à priori, если бы критерий г-на Лешала был единственным критерием истины. Однако он заключает, что общая геометрия аподиктична, в то время как пространство нашего реального мира, как и все другие явления, контингентно.

Дельбёф критикует неевклидово пространство с ультрареалистической точки зрения: он полагает, что реальное пространство не является ни однородным, ни изогенным, но что мыслимое пространство, как абстрагированное от реального пространства, обладает обоими этими свойствами. Он не предлагает никакого оправдания для своего реального пространства, которое, кажется, поддерживается в духе наивного реализма, и не показывает, как он приобрел свое глубокое знание его конституции [114]. Его аргументы против метагеометрии, поскольку они не являются повторениями Лотце, были обсуждены выше.

Ренувье, наконец, — чистый кантианец, самого ортодоксального типа. Его взгляды на важность для геометрии различия между синтетическими и аналитическими суждениями обсуждались в связи с Кантом в начале настоящей главы [115].

101. Прежде чем начать конструктивный аргумент следующей главы, давайте попытаемся кратко суммировать теории, которые полемически отстаивались на протяжении всей критики, которую мы только что завершили. Мы согласились принять, вместе с Кантом, необходимость для любого возможного опыта в качестве теста à priori, но мы отказались, на данный момент, обсуждать связь à priori с субъективным, рассматривая чисто логический тест как достаточный для нашей непосредственной цели. Мы также отказались придавать значение различению аналитического и синтетического, поскольку оно, казалось, применялось не к разным суждениям, а только к разным аспектам любого суждения.

Затем мы обсудили попытку Римана идентифицировать эмпирический элемент в геометрии с элементом, не выводимым из идей величины, и мы решили, что эта идентификация была вызвана путаницей относительно природы величины. Ибо суждения о величине, сказали мы, требуют всегда некоторой качественной основы, которая не выразима количественно.

Критикуя Гельмгольца, мы решили, что механика логически предполагает геометрию, хотя пространство предполагает материю; но что материя, которую предполагает пространство и к которой косвенно относится геометрия, является более абстрактной материей, чем материя механики, материей, лишенной силы и причинных атрибутов и обладающей только чисто пространственными атрибутами, требуемыми для возможности пространственных фигур. Но мы признали, что геометрия, при применении к смешанной математике или к повседневной жизни, требует большего, чем это, требует, по сути, некоторого средства обнаружения в более конкретной материи механики либо жесткого тела, либо тела, чье отклонение от жесткости следует некоторому эмпирически обнаруживаемому закону. Фактическое измерение, следовательно, мы согласились рассматривать как эмпирическое.

Наши выводы относительно эмпиризма Римана и Гельмгольца были подкреплены критикой Эрдмана. Затем у нас была противоположная задача — защитить метагеометрию от Лотце. Здесь мы увидели, что есть два смысла, в которых возможна метагеометрия. Первый касается нашего реального пространства и утверждает, что оно может иметь очень малую пространственную константу; второй касается философских теорий пространства и утверждает чисто логическую возможность, которая оставляет решение за опытом. Мы видели также, что математические замечания Лотце возникли из недостаточного знания предмета и все могли быть опровергнуты лучшим знакомством с метагеометрией.

Наконец, мы обсудили вопрос об абсолютной величине и не нашли в нем логического препятствия для неевклидовых пространств. Наш вывод, следовательно, поскольку мы пока имеем право на вывод, заключается в том, что все пространства с пространственной константой à priori оправданы и что решение между ними должно быть делом опыта. Пространства же без пространственной константы, с другой стороны, пространства, то есть, которые не являются однородными повсюду, мы нашли логически несостоятельными и невозможными для познания, а потому подлежащими осуждению à priori. Конструктивное доказательство этого тезиса составит аргумент следующей главы.

СНОСКИ:

[67] The Critical Philosophy of Kant, Vol. I. p. 287.

[68] Для обсуждения Канта с менее чисто математической точки зрения см. гл. IV.

[69] Ср. Commentar Вайхингера, II. с. 202, 265. Также с. 336 сл.

[70] Например, второе издание, с. 39: «So werden auch alle geometrischen Grundsätze, z. B. dass in einem Triangel zwei Seiten zusammen grösser sind als die dritte, niemals aus allgemeinen Begriffen von Linie und Triangel, sondern aus der Anschauung, und zwar à priori mit apodiktischer Gewissheit abgeleitet».

[71] Ср. Logic Брэдли, кн. III. ч. I. гл. VI.; Logic Бозанкета, кн. I. гл. I. с. 97–103.

[72] Philosophie de la Règle et du Compas, Année Philosophique, II. с. 1–66.

[73] Я изложил это учение догматически, так как доказательство потребовало бы целого трактата по логике. Я принимаю доказательства, предложенные Брэдли и Бозанкетом, к которым отсылается читатель.

[74] Для дальнейшего обсуждения этого пункта см. гл. III и IV.

[75] См. гл. IV для обсуждения этого аргумента.

[76] См. гл. IV, § 185.

[77] Здесь имеется в виду инаковость субстанции, а не атрибута; инаковость, которую, возможно, можно назвать реальной в противоположность логическому разнообразию.

[78] Это положение будет подробно аргументировано в гл. IV.

[79] См. Psychologie als Wissenschaft, I. раздел III. гл. VII.; II. раздел I. гл. III. и раздел II. гл. III. Сравните также Synechologie, раздел I. гл. II. и III.

[80] О влиянии Гербарта на Римана сравните Эрдман, Die Axiome der Geometrie, с. 30.

[81] Я не имею в виду, что измерение цветов осуществляется без ссылки на их отношения, поскольку всякое измерение есть по существу сравнение. Но в цветах сравниваются элементы, тогда как в пространстве — отношения между элементами.

[82] Для обсуждения этого пункта см. гл. III. сек. B, § 176.

[83] Работы Гельмгольца по геометрической философии включают, в дополнение к статьям, процитированным в гл. I, следующие статьи: «Ursprung und Sinn der geometrischen Axiome, gegen Land», Wiss. Abh. Vol. II. с. 640, 1878. (Также Mind, Vol. III: ответ Ланду в Mind, Vol. II.) «Ursprung und Bedeutung der geometrischen Axiome», 1870, Vorträge und Reden, Vol. II. с. 1. (Также Mind, Vol. I.) Два приложения к «Die Thatsachen in der Wahrnehmung» под названием: II. «Der Raum kann transcendental sein, ohne dass es die Axiome sind»; и III. «Die Anwendbarkeit der Axiome auf die physische Welt», 1878, Vorträge und Reden, Vol. II. с. 256 сл.

Два последних упомянутых приложения являются популяризациями и расширениями статьи в Mind, Vol. III. Самой широко читаемой, хотя, на мой взгляд, и наименее ценной из всех работ Гельмгольца по геометрии, является статья в Mind, Vol. I. Она содержит знаменитые и часто неправильно понимаемые аналогии Флатландии и Сфероландии, которые будут обсуждены и, насколько возможно, защищены в ответе на атаку Лотце на метагеометрию — атаку, основанную, по-видимому, почти полностью на этой одной популярной статье. Настоящая дискуссия, следовательно, может быть ограничена почти полностью Mind, Vol. III и философскими частями двух работ, процитированных в гл. I, т.е. статьями в Wiss. Abh. Vol. II. с. 610–660. Его другие работы популярны и важны только из-за большой аудитории, к которой они обращаются.

[84] В ответе Ланду, Mind, Vol. III. и Wiss. Abh. II. с. 640.

[85] См. также Die Thatsachen in der Wahrnehmung, Zusatz II., Der Raum kann transcendental sein, ohne dass es die Axiome sind. Vorträge und Reden, Vol. II.

[86] См. ниже, критику Эрдмана, § 84.

[87] См. проф. Ланд в Mind, Vol. II.

[88] См. заключительный абзац статьи Гельмгольца в Mind, Vol. III.

[89] Ср. Веронезе, Grundzüge der Geometrie (немецкий перевод), с. ix. Также с. xxxiv, 304 и примечание II. с. 692–4.

[90] См. гл. IV. § 197 сл.

[91] Ср. мнение Бойяи, процитированное Эрдманом, Axiome, с. 26; ср. также там же, с. 60.

[92] Die Axiome der Geometrie: Eine philosophische Untersuchung der Riemann-Helmholtz'schen Raumtheorie, Лейпциг, 1877.

[93] О влиянии Милля ср. Сталло, Concepts of Modern Physics, с. 216.

[94] Этот взгляд, по-видимому, происходит через Римана от Гербарта. См. Psych. als Wiss. изд. Харт. Vol. V. с. 262.

[95] Та же несводимость пространства к простой величине доказывается с помощью кантовских рук и сферических треугольников, в которых различие сохраняется вопреки полной количественной эквивалентности.

[96] См. §§ 146–7.

[97] «Любая попытка сохранить учение Канта об априорности как о субъективном факторе познания, абсолютно независимом от всякого опыта, является поэтому заранее безнадежной».

[98] Ausdehnungslehre von 1844, 2-е изд., стр. xxii, xxiii.

[99] См. § 129 и сл.

[100] Metaphysik, книга II, глава II. Мои ссылки даны на оригинал.

[101] См. Lectures and Essays, том I, стр. 261.

[102] О значении геометрической возможности см. Veronese, Grundzüge der Geometrie (немецкий перевод), стр. xi–xiii.

[103] Сравните Calinon, «Sur l'Indétermination géométrique de l'Univers», Revue Philosophique, 1893, том XXXVI, стр. 595–607.

[104] Vorträge und Reden, том II, стр. 9: «Параллельных линий обитатели сферы вовсе не знали бы. Они утверждали бы, что любые две прямые линии, будучи надлежащим образом продолжены, должны в конечном счете пересекаться не в одной, а в двух точках». (Курсив мой.) Опущение слова «прямые» в таких фразах является частой небрежностью математиков.

[105] Мне было высказано предположение, что Лотце рассматривает меридианы как спроецированные на плоскость, подобно тому как это делается на карте. Если это так, то здесь имеет место явно неправомерное введение третьего измерения.

[106] Это доказывается замечанием Гельмгольца в конце подробной попытки сделать сферические и псевдосферические пространства представимыми (там же, стр. 28): «Иначе обстоит дело с тремя измерениями пространства. Поскольку все наши средства чувственного созерцания распространяются только на пространство трех измерений, а четвертое измерение было бы не просто видоизменением уже существующего, но чем-то совершенно новым, мы уже в силу нашей телесной организации находимся в абсолютной невозможности представить себе способ созерцания четвертого измерения».

[107] Ср. Grassmann, Ausdehnungslehre von 1844, 2-е изд., стр. xxiii.

[108] См. особенно Stallo, Concepts of Modern Physics, International Science Series, том XLII, главы XIII и XIV; Renouvier, «Philosophie de la règle et du compas», Année Philosophique, II; Delbœuf, «L'ancienne et les nouvelles géométries», Revue Philosophique, тома XXXVI–XXXIX.

[109] М. Дельбёф заслуживает признания за то, что еще в 1860 году в своих «Prolégomènes Philosophiques de la Géométrie» обосновал Евклида с помощью этой аксиомы — безусловно, на первый взгляд, более удачного основания, чем аксиома о параллельных.

[110] Это значение гомогенности не следует смешивать со смыслом, в котором я использовал это слово. В смысле Дельбёфа оно означает, что фигуры могут быть подобными, даже если они разных размеров; в моем смысле оно означает, что фигуры могут быть подобными, даже если они находятся в разных местах. Это свойство пространства Дельбёф называет изогенностью.

[111] Полное доказательство этого положения см. в главе III.

[112] См. главу III, особенно § 133.

[113] Критику этого взгляда см. в вышеприведенных дискуссиях о Римане и Эрдмане.

[114] Ср. Couturat, «De l'Infini Mathématique», Париж, Félix Alcan, 1896, стр. 544.

[115] Ниже приводится список наиболее важных недавних французских философских работ по геометрии, насколько они мне известны.

Andrade: «Les bases expérimentales de la géométrie euclidienne»; Rev. Phil. 1890, II, и 1891, I.

Bonnel: «Les hypothèses dans la géométrie»; Gauthier-Villars, 1897.

L'Abbé de Broglie: «La géométrie non-euclidienne», две статьи; Annales de Phil. Chrét. 1890.

Calinon: «Les espaces géométriques»; Rev. Phil. 1889, I, и 1891, II. «Sur l'indétermination géométrique de l'univers»; там же, 1893, II.

Couturat: «L'Année Philosophique de F. Pillon», Rev. de Mét. et de Morale, янв. 1893. «Note sur la géométrie non-euclidienne et la relativité de l'espace»; там же, май 1893. «Études sur l'espace et le temps», там же, сент. 1896.

Delbœuf: «L'ancienne et les nouvelles géométries», четыре статьи; Rev. Phil. 1893–5.

Lechalas: «La géométrie générale»; Crit. Phil. 1889. «La géométrie générale et les jugements synthétiques à priori» и «Les bases expérimentales de la géométrie»; Rev. Phil. 1890, II. «M. Delbœuf et Le problème des mondes semblables»; там же, 1894, I. «Note sur la géométrie non-euclidienne et le principe de similitude»; Rev. de Mét. et de Morale, март 1893. «La courbure et la distance en géométrie générale»; там же, март 1896. «La géométrie générale et l'intuition»; Annales de Phil. Chrét., 1890. «Etude sur l'espace et le temps»; Париж, Alcan, 1896.

Liard: «Des définitions géométriques et des définitions empiriques», 2-е изд.; Париж, Alcan, 1888.

Mansion: «Premiers principes de la métagéométrie»; две статьи в Rev. Néo-Scholastique, 1896. Опубликовано отдельно, Gauthier-Villars, 1896.

Milhaud: «La géométrie non-euclidienne et la théorie de la connaissance»; Rev. Phil. 1888, I.

Poincaré: «Non-Euclidian Geometry»; Nature, том XLV, 1891–2. «L'espace et la géométrie»; Rev. de Mét. et de Morale, нояб. 1895. «Réponse à quelques critiques», там же, янв. 1897.

Renouvier: «Philosophie de la règle et du compas»; Crit. Phil., 1889, и L'Année Phil., II me année, 1891.

Sorel: «Sur la géométrie non-euclidienne»; Rev. Phil., 1891, I.

Tannery: «Théorie de la connaissance mathématique»; Rev. Phil., 1894, II.

ГЛАВА III.

Раздел А. АКСИОМЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

102. Собственно проективная геометрия, как мы видели в главе I, не использует понятие величины и, следовательно, не требует тех аксиом, которые в системах второго, или метрического, периода были необходимы исключительно для того, чтобы сделать возможным применение величины к пространству. Но мы также видели, что сведение Кэли метрических свойств к проективным было чисто техническим и философски нерелевантным. Теперь же именно в метрических свойствах — за исключением аксиомы о прямой линии, которая, однако, сама предполагает метрические свойства [116] — неевклидовы и евклидовы пространства различаются. Свойства, рассматриваемые проективной геометрией, следовательно, постольку, поскольку они получены без использования мнимых величин, являются свойствами, общими для всех пространств. Наконец, различия, которые проявляются между геометриями различных пространств одной и той же кривизны — например, между геометрией плоскости и цилиндра — являются различиями в проективных свойствах [117]. Таким образом, необходимость, возникающая в метрической геометрии в дополнительных уточнениях, помимо условий постоянной кривизны, исчезает, когда наше общее пространство определяется чисто проективными свойствами.

103. У нас есть веские основания ожидать, что аксиомы проективной геометрии будут самым простым и наиболее полным выражением необходимых условий любого геометрического рассуждения: и это ожидание, я надеюсь, не будет обмануто. Проективная геометрия, поскольку она имеет дело только со свойствами, общими для всех пространств, окажется, если я не ошибаюсь, полностью априорной, не заимствующей ничего из опыта и имеющей, подобно арифметике, своим объектом порождение чистого интеллекта. Если это так, то это та ветвь чистой математики, которую Грассман в своей Ausdehnungslehre 1844 года считал возможной и пытался, в блестящей неудаче, построить без какого-либо обращения к пространству созерцания.

104. Но, к сожалению, задача открытия аксиом проективной геометрии далеко не проста. У них до сих пор не нашлось своего Римана или Гельмгольца, чтобы сформулировать их философски. Многие геометры построили системы, которые они намеревались сделать — и которые при достаточной осторожности в интерпретации действительно являются — свободными от метрических предпосылок. Но эти предпосылки настолько укоренены во всех самых элементах геометрии, что задача их устранения требует перестройки всего геометрического здания. Так, Евклид, например, с самого начала имеет дело с пространственным равенством — он использует круг, который обязательно определяется посредством равенства, и основывает все свои последующие предложения на конгруэнтности треугольников, как это обсуждается в книге I [118]. Поэтому, прежде чем мы сможем использовать любое элементарное предложение Евклида, даже если оно выражает проективное свойство, мы должны доказать, что рассматриваемое свойство может быть выведено проективными методами. Это, как правило, не было сделано проективными геометрами, которые слишком часто предполагали, например, что четырехугольное построение — с помощью которого, как мы видели в главе I, они вводят проективные координаты — или ангармоническое отношение, которое prima facie является метрическим, могут быть удовлетворительно установлены на их принципах. Оба этих предположения, однако, могут быть оправданы, и мы можем, следовательно, признать, что претензии проективной геометрии на логическую независимость от измерения или конгруэнтности являются обоснованными. Посмотрим же, как она действует.

105. Прежде всего, важно осознать, что когда в проективной геометрии используются координаты, это не координаты в обычном метрическом смысле, т. е. не численные меры определенных пространственных величин. Напротив, это набор чисел, произвольно, но систематически присвоенных различным точкам, подобно номерам домов на улице, и служащих, с философской точки зрения, лишь удобными обозначениями для точек, которые исследование желает различить. Если бы не краткость алфавита, их, по сути, можно было бы, как у Евклида, заменить буквами. То, как они вводятся и что они означают, обсуждалось в главе I. Здесь нам остается лишь повторить предостережение, пренебрежение которым привело ко многим недоразумениям.

106. Различие между различными точками, таким образом, является не результатом, а условием проективной системы координат. Система координат — это совершенно внешний и лишь удобный набор меток, который никоим образом не затрагивает сущность проективной геометрии. То, с чего мы должны начать в этой области, — это возможность различения различных точек друг от друга. Это можно обозначить, вслед за Веронезе, как первую аксиому геометрии [119]. Как мы должны определять точку и как мы отличаем ее от других точек, в данный момент не имеет значения; ибо здесь мы хотим лишь обнаружить природу проективной геометрии и тот вид свойств, которые она использует и доказывает. Как и с каким обоснованием она их использует и доказывает, мы обсудим позже.

107. Теперь очевидно, что простое собрание точек, различаемых одна от другой, не может основать геометрию: мы должны иметь некоторое представление о том, каким образом точки взаимосвязаны, чтобы иметь адекватный предмет для обсуждения. Но поскольку все идеи количества исключены, отношения точек не могут быть отношениями расстояния в обычном смысле, и даже, в смысле обычной геометрии, ангармоническими отношениями, ибо ангармонические отношения обычно определяются как отношения четырех расстояний или четырех синусов и, таким образом, являются количественными. Но поскольку всякое количественное сравнение предполагает тождество качества, мы можем ожидать, что найдем в проективной геометрии качественные субстраты метрической надстройки.

И это, как мы увидим, действительно так. У нас нет расстояния, но у нас есть прямая линия; у нас нет количественного ангармонического отношения, но у нас есть свойство любых четырех точек на прямой быть точками пересечения с лучами заданного пучка. И на этой основе мы можем построить качественную науку об абстрактной внешности, которая и есть проективная геометрия. Как это происходит, я теперь приступлю к показу.

108. Всякое геометрическое рассуждение в конечном счете является круговым: если мы начинаем с допущения точек, они могут быть определены только линиями или плоскостями, которые их связывают; и если мы начинаем с допущения линий или плоскостей, они могут быть определены только точками, через которые они проходят. Это неизбежный круг, основание необходимости которого проявится по мере нашего продвижения. Поэтому несколько произвольно начинать либо с точек, либо с линий, что математически иллюстрирует в высшей степени проективный принцип двойственности; тем не менее, мы выберем, вслед за большинством геометров, начать с точек [120]. Мы предполагаем, следовательно, в качестве нашего данного набор дискретных точек, на данный момент без учета их взаимосвязей. Но поскольку связи существенны для любого рассуждения о них как о системе, мы вводим, для начала, аксиому прямой линии. Любые две из наших точек, говорим мы, лежат на линии, которую эти две точки полностью определяют. Эта линия, будучи определенной двумя точками, может рассматриваться как отношение двух точек или как прилагательное системы, образованной ими обеими вместе. Это единственное чисто качественное прилагательное — как будет доказано позже — системы из двух точек. Теперь проективная геометрия может принимать во внимание только качественные прилагательные и может различать разные точки только по их отношениям к другим точкам, поскольку все точки per se качественно подобны. Отсюда следует, что для проективной геометрии, когда даны только две точки, они качественно неотличимы от любых двух других точек на той же прямой линии, поскольку любые две такие другие точки имеют то же качественное отношение. Взаимно, поскольку одна прямая линия есть фигура, определяемая любыми двумя из своих точек, и все точки качественно подобны, из этого следует, что все прямые линии качественно подобны. Мы можем, следовательно, рассматривать точку как определенную двумя прямыми линиями, которые встречаются в ней, и точка, с этой точки зрения, становится единственным качественным отношением между двумя прямыми линиями. Следовательно, если дана только точка, две прямые линии качественно неотличимы от любой другой пары, проходящей через эту точку.

109. Расширение этих двух взаимных принципов составляет сущность всех проективных преобразований и, по сути, всей проективной геометрии. Фундаментальные операции, посредством которых фигуры проективно преобразуются, называются проецированием и сечением. Различные формы проецирования и сечения определены в «Проективной геометрии» Кремоны, глава I, из которой я привожу следующее описание.

«Проецировать из фиксированной точки S (центра проецирования) фигуру (ABCD... abcd...), состоящую из точек и прямых линий, — значит построить прямые линии или проецирующие лучи SA, SB, SC, SD, ... и плоскости (проецирующие плоскости) Sa, Sb, Sc, Sd, ... Таким образом, мы получаем новую фигуру, состоящую из прямых линий и плоскостей, которые все проходят через центр S.

«Пересекать фиксированной плоскостью σ (трансверсальной плоскостью) фигуру (αβγδ... abcd...), состоящую из плоскостей и прямых линий, — значит построить прямые линии или следы σα, σβ, σγ... и точки или следы σa, σb, σc... [121] Таким образом, мы получаем новую фигуру, состоящую из прямых линий и точек, лежащих в плоскости σ.

«Проецировать из фиксированной прямой линии s (оси) фигуру ABCD, состоящую из точек, — значит построить плоскости sA, sB, sC... Фигура, полученная таким образом, состоит из плоскостей, которые все проходят через ось s.

«Пересекать фиксированной прямой линией s (трансверсалью) фигуру αβγδ..., состоящую из плоскостей, — значит построить точки sα, sβ, sγ... Таким образом получается новая фигура, состоящая из точек, все из которых лежат на фиксированной трансверсали s.

«Если фигура состоит из прямых линий a, b, c..., которые все проходят через фиксированную точку или центр S, ее можно проецировать из прямой линии или оси s, проходящей через S; результатом является фигура, состоящая из плоскостей sa, sb, sc...

«Если фигура состоит из прямых линий a, b, c..., все лежащие в фиксированной плоскости, ее можно пересечь прямой линией (трансверсалью) s, лежащей в той же плоскости; фигура, которая получается, образована точками sa, sb, sc...»

110. Последовательное применение к любой фигуре двух взаимных операций проецирования и сечения рассматривается как создание фигуры, проективно неотличимой от первой, при условии только, что измерения исходной фигуры были такими же, как у результирующей фигуры, что, например, если вторая операция есть сечение плоскостью, исходная фигура должна была быть плоской фигурой. Фигуры, полученные из данной фигуры только путем проецирования или сечения, связаны с этой фигурой принципом двойственности, о котором нам придется говорить позже.

Я попытаюсь показать в дальнейшем, во-первых, в каком смысле фигуры, полученные друг из друга путем проективного преобразования, качественно подобны; во-вторых, какие аксиомы, или прилагательные пространства, вовлечены в принцип проективного преобразования; и в-третьих, что эти прилагательные должны принадлежать любой форме внешности с более чем одним измерением и являются, следовательно, априорными свойствами любого возможного пространства.

Ради простоты я в целом ограничусь двумя измерениями. Поступая так, я не внесу никакого важного различия в принципе и значительно упрощу вовлеченную математику.

111. Двумя математически фундаментальными вещами в проективной геометрии являются ангармоническое отношение и четырехугольное построение. Все остальное математически следует из этих двух. Что же понимается в проективной геометрии под ангармоническим отношением?

Если мы исходим из ангармонического отношения, как оно обычно определяется, мы сталкиваемся с трудностью его количественной природы [122]. Но среди свойств, выведенных из этого определения, многие, если не большинство, являются чисто качественными. Самым фундаментальным из них является то, что если через любые четыре точки на прямой линии мы проведем четыре прямые линии, которые встречаются в одной точке, и если мы затем проведем новую прямую линию, пересекающую эти четыре, то четыре новые точки пересечения будут иметь то же ангармоническое отношение, что и четыре точки, с которых мы начали. Таким образом, в фигуре abcd, a′b′c′d′, a″b″c″d″ все имеют одно и то же ангармоническое отношение. Взаимное отношение справедливо для ангармонического отношения четырех прямых линий. Здесь у нас есть, очевидно, требуемая основа для качественного определения. Определение должно быть следующим:

Два набора из четырех точек каждый определяются как имеющие одно и то же ангармоническое отношение, когда (1) каждый набор из четырех лежит на одной прямой линии, и (2) соответствующие точки разных наборов лежат попарно на четырех прямых линиях, проходящих через одну точку, или когда оба набора имеют это отношение к любому третьему набору [123]. И взаимно: два набора из четырех прямых линий определяются как имеющие одно и то же ангармоническое отношение, когда (1) каждый набор из четырех проходит через одну точку, и (2) соответствующие линии разных наборов проходят, попарно, через четыре точки на одной прямой линии, или когда оба набора имеют это отношение к любому третьему набору.

Два набора точек или линий, которые имеют одно и то же ангармоническое отношение, рассматриваются проективной геометрией как эквивалентные: эта качественная эквивалентность заменяет количественное равенство метрической геометрии и, очевидно, включена, по своему определению, в вышеприведенное описание проективных преобразований в целом.

112. Нам далее предстоит рассмотреть четырехугольное построение [124]. Оно имеет двойную цель: во-первых, определить важный частный случай, известный как гармонический ряд; и во-вторых, предоставить однозначный и исчерпывающий метод присвоения различных чисел различным точкам. Этот последний метод, опять же, имеет двойную цель: во-первых, цель дать удобный символизм для описания и различения различных точек и, таким образом, предоставить средство для введения анализа; и во-вторых, присвоить эти числа так, чтобы, если бы они имели обычное метрическое значение, как расстояния от некоторой точки на пронумерованной прямой линии, они давали бы –1 как ангармоническое отношение гармонического ряда, и чтобы, если четыре точки имеют то же ангармоническое отношение, что и четыре другие, то же самое имели бы и соответствующие числа. Эта последняя цель обусловлена чисто техническими мотивами: она позволяет избежать путаницы с нашими предвзятыми мнениями, которая возникла бы из любого другого значения для гармонического ряда; она позволяет нам, когда желательны метрические интерпретации проективных результатов, делать эти интерпретации без утомительных численных преобразований, и она позволяет нам выполнять проективные преобразования алгебраическими методами. В то же время, со строго проективной точки зрения, как отмечалось выше, введенные числа имеют чисто условное значение; и пока мы не перейдем к метрической геометрии, нельзя привести никаких причин для присвоения значения –1 гармоническому ряду. С этим предварительным замечанием, давайте посмотрим, в чем состоит четырехугольное построение.

113. Гармонический ряд в элементарной геометрии — это ряд, ангармоническое отношение которого равно –1, или ряд, в котором три сегмента, образованные четырьмя точками, находятся в гармонической прогрессии, или, опять же, ряд, в котором отношение двух внутренних сегментов равно отношению двух внешних сегментов. Если a, b, c, d — четыре точки, легко видеть, что эти определения эквивалентны друг другу: они дают соответственно:

ab
bc

/

ad
dc
 = – 1 ,   

1
ab
 –

1
ac
 =

1
ac
 –

1
ad
 ,    and  

ab
bc
 =

ad
cd

.

Но поскольку все они количественные, их нельзя использовать для нашей текущей цели. Также недоступны никакие определения, включающие деление линий или углов пополам. Мы должны иметь определение, которое полностью осуществляется с помощью прямых линий и точек, без измерения расстояний или углов. Теперь из вышеприведенных определений гармонического ряда мы видим, что a, b, c, d имеют то же ангармоническое отношение, что и c, b, a, d. Это дает нам свойство, которое нам требуется для нашего определения. Ибо оно показывает, что в гармоническом ряду мы можем найти проективное преобразование, которое поменяет местами a и c. Это необходимое и достаточное условие для гармонического ряда, и четырехугольное построение является общим методом для его осуществления.

Даны любые три точки A, B, D на одной прямой линии, четырехугольное построение находит точку C, гармоническую к A относительно B, D, следующим методом: Возьмите любую точку O вне прямой линии ABD и соедините ее с B и D. Через A проведите любую прямую линию, пересекающую OD, OB в P и Q. Соедините DQ, BP и пусть они пересекаются в R. Соедините OR и пусть OR встретит ABD в C. Тогда C — требуемая точка.

Чтобы доказать это, пусть DRQ встретит OA в T, и проведем AR, встречающую OD в S. Тогда проективное преобразование A, B, C, D из R на OD дает точки S, P, O, D, которые, будучи спроецированы из A на DQ, дают R, Q, T, D. Но они, опять же, будучи спроецированы из O на ABD, дают C, B, A, D. Следовательно, A, B, C, D могут быть проективно преобразованы в C, B, A, D и, следовательно, образуют гармонический ряд. С этого момента доказательство того, что построение является уникальным и общим, следует просто [125].

Введение чисел с помощью этого построения не представляет никаких трудностей в принципе — за исключением, конечно, тех, которые всегда сопровождают применение числа к континуумам — и может быть удовлетворительно изучено в «Nicht-Euklid» Клейна (I, стр. 337 и сл.). Принцип его заключается в том, чтобы присвоить числа 0, 1, ∞ точкам A, B, D и, следовательно, число 2 точке C, чтобы разности AB, AC, AD были в гармонической прогрессии. Принимая B, C, D как новую триаду, соответствующую A, B, D, мы находим точку, гармоническую к B относительно C, D, и присваиваем ей число 3, и так далее. Таким образом, мы можем получить любое количество точек, и мы уверены, что не получим ни одного числа и ни одной точки дважды, так что наши координаты обладают существенным свойством уникального соответствия с точками, которые они обозначают, и vice versa.

114. Важным моментом в вышеприведенном построении, однако, и причиной, по которой я воспроизвел его в деталях, является то, что оно осуществляется полностью с помощью общих принципов преобразования, сформулированных выше. С этого этапа и далее все осуществляется с помощью двух фундаментальных идей, которые мы только что обсудили, и все, следовательно, зависит от нашего общего принципа проективной эквивалентности. Этот принцип, что касается двух измерений, может быть сформулирован проще, чем в отрывке, процитированном из Кремоны. Он начинается, в двух измерениях, со следующих определений:

Проецировать точки A, B, C, D... из центра O — значит построить прямые линии OA, OB, OC, OD...

Пересекать ряд прямых линий a, b, c, d... трансверсалью s — значит построить точки sa, sb, sc, sd... [126]

Последовательное применение этих двух операций, при условии, что исходная фигура состояла из точек на одной прямой линии или из прямых линий, проходящих через одну точку, дает фигуру, проективно неотличимую от прежней фигуры; и следовательно, по расширению, если любые точки на одной прямой линии в исходной фигуре лежат на одной прямой линии в производной фигуре, и взаимно для прямых линий, проходящих через точки, то две операции дали проективно подобные фигуры. Этот общий принцип может рассматриваться как состоящий из двух частей, в зависимости от порядка операций: если мы начинаем с проецирования и заканчиваем сечением, мы преобразуем фигуру точек в другую фигуру точек; при обратном порядке мы преобразуем фигуру линий в другую фигуру линий.

115. Прежде чем мы сможем прояснить смысл нашего принципа, мы должны иметь некоторое представление о нашем определении точек и прямых линий. Но это определение в проективной геометрии не может быть дано без некоторого обсуждения принципа двойственности, математической формы философского круга, вовлеченного в геометрические определения.

Ограничиваясь на данный момент двумя измерениями, принцип утверждает, грубо говоря, что любая теорема, имеющая дело с линиями, проходящими через точку, и точками на линии, остается истинной, если эти два термина, где бы они ни встречались, поменять местами. Таким образом: две точки лежат на одной прямой линии, которую они полностью определяют; и две прямые линии встречаются в одной точке, которую они полностью определяют. Четыре точки пересечения трансверсали с четырьмя линиями, проходящими через точку, имеют ангармоническое отношение, независимое от конкретной трансверсали; и четыре линии, соединяющие четыре точки на одной прямой линии с пятой точкой, имеют ангармоническое отношение, независимое от этой пятой точки. Так же и наш общий принцип проективного преобразования имеет две стороны: одну, в которой точки движутся вдоль фиксированных линий, и одну, в которой линии поворачиваются вокруг фиксированных точек.

Эта двойственность предполагает, что любое определение точек должно осуществляться с помощью прямой линии, а любое определение прямой линии должно осуществляться с помощью точек. Когда мы принимаем во внимание третье измерение, это правда, двойственность уже не так проста; теперь мы должны учитывать также плоскость, но это лишь вводит круг из трех терминов, который едва ли предпочтительнее круга из двух терминов. Теперь мы говорим: три точки, или линия и точка, определяют плоскость: но, наоборот, три плоскости, или линия и плоскость, определяют точку. Мы можем рассматривать прямую линию как отношение между двумя ее точками, но мы можем также рассматривать точку как отношение между двумя прямыми линиями, проходящими через нее. Мы можем рассматривать плоскость как отношение между тремя точками, или между точкой и линией, но мы можем также рассматривать точку как отношение между тремя плоскостями, или между линией и плоскостью, которые встречаются в ней.

116. Как нам выйти за пределы этого круга? Дело в том, что в чистой геометрии мы не можем выйти за его пределы. Ибо пространство, как мы увидим более полно далее, есть не что иное, как отношения; если, следовательно, мы берем любую геометрическую фигуру и ищем термины, между которыми она является отношением, мы вынуждены в геометрии искать эти термины внутри пространства, поскольку нам больше негде их искать, но мы обречены, поскольку все чисто пространственное есть лишь отношение, обнаружить, что наши термины тают, как только мы пытаемся их ухватить.

Таким образом, относительность пространства, будучи сущностью принципа двойственности, в то же время делает невозможным выражение этого принципа, или любого другого принципа чистой геометрии, таким образом, который был бы свободен от противоречий. Тем не менее, если мы хотим хоть сколько-нибудь продвинуться в нашем анализе геометрического рассуждения и в наших определениях линий и точек, мы должны на время игнорировать это противоречие; мы должны рассуждать так, как если бы его не существовало, чтобы освободить нашу науку от любых противоречий, которые не являются неизбежными.

117. В соответствии с этой процедурой, давайте определим наши точки как термины пространственных отношений, рассматривая все, что не является точкой, как отношение между точками. Чем, с этой точки зрения, должны быть наши точки? Очевидно, если протяженность есть лишь относительность, они должны рассматриваться как не содержащие никакой протяженности; но если они должны предоставлять термины для пространственных отношений, например, для прямых линий, эти отношения должны представлять их как термины фигур, которые они связывают. Другими словами, поскольку то, что действительно может быть принято, без противоречия, как термин пространственного отношения, является непротяженным, мы должны принять, как термин, который будет использоваться в геометрии, где мы не можем выйти за пределы пространства, наименьшую пространственную вещь, с которой геометрия может иметь дело, вещь, которая, хотя и находится в пространстве, не содержит никакого пространства; и эту вещь мы определяем как точку [127].

Пренебрегая, таким образом, фундаментальным противоречием в этом определении, остальные наши определения следуют без труда. Прямая линия — это отношение между двумя точками, а плоскость — это отношение между тремя. Эти определения будут аргументированы и защищены подробно в разделе B этой главы [128], где мы можем обсудить в то же время альтернативные метрические определения; для нашей текущей цели достаточно заметить, что проективная геометрия с самого начала рассматривает прямую линию как определенную двумя точками, а плоскость — как определенную тремя, из чего следует, если мы принимаем точки как возможные термины для пространственных отношений, что прямая линия и плоскость могут рассматриваться как отношения между двумя и тремя точками соответственно. Если мы согласимся на этих определениях, мы можем перейти к обсуждению фундаментального принципа проективной геометрии и к анализу аксиом, вовлеченных в его истинность.

118. Проективная геометрия, как мы видели, не имеет дела с количеством и, следовательно, не признает различия там, где различие является чисто количественным. Теперь количественное сравнение зависит от признанного тождества качества; признание качественного тождества, следовательно, логически предшествует количеству и предполагается каждым суждением о количестве. Следовательно, все фигуры, чьи различия могут быть исчерпывающе описаны количеством, т. е. чистым измерением, должны иметь тождество качества, и это должно быть распознаваемо без обращения к количеству. Из этого следует, что, определяя слово «качество» в геометрических вопросах, мы обнаружим, какие наборы фигур являются проективно неразличимыми. Если наше определение верно, оно должно дать общий проективный принцип, с которого мы начали.

119. Мы договорились рассматривать точки как термины пространственных отношений, и мы договорились, что различные точки могут быть различимы. Но мы отложили обсуждение условий, при которых это различие может быть осуществлено. Это обсуждение даст нам определение качества и доказательство нашего общего проективного принципа.

Точки, для начала, были определены как не что иное, как термины для пространственных отношений. Они, следовательно, не имеют внутренних свойств; но различаются исключительно посредством своих отношений. Теперь отношение между двумя точками, сказали мы, есть прямая линия, на которой они лежат. Это дает то тождество качества для всех пар точек на одной прямой линии, которое требуется как нашим проективным принципом, так и метрической геометрией. (Ибо только там, где есть тождество качества, количество может быть должным образом применено.) Если даны только две точки, они не могут, без использования количества, быть отличены от любых двух других точек на той же прямой линии; ибо качественное отношение между любыми двумя такими точками такое же, как для исходной пары, и только различием отношения точки могут быть отличены друг от друга.

Но, наоборот, одна прямая линия есть не что иное, как отношение между двумя ее точками, и все точки качественно подобны. Следовательно, не может быть ничего, что отличало бы одну прямую линию от другой, кроме точек, через которые она проходит, и они отличаются от других точек только тем фактом, что она проходит через них. Таким образом, мы получаем взаимное преобразование: если нам дана только одна точка, любая пара прямых линий, проходящих через эту точку, качественно неотличима от любой другой. Это, опять же, является, с одной стороны, основой второй части нашего общего проективного принципа, а с другой стороны — условием применения количества, при измерении углов, к отклонению двух пересекающихся прямых линий.

120. Мы можем теперь увидеть причину того, что до сих пор могло казаться несколько произвольным фактом, а именно, необходимости четырех коллинеарных точек для ангармонического отношения. Возвращаясь к четырехугольному построению и последующему введению числа, мы видим, что ангармоническое отношение есть внутреннее проективное отношение четырех коллинеарных точек или конкурирующих прямых линий, такое, что при заданных трех терминах и отношении четвертый термин может быть однозначно определен проективными методами. Теперь рассмотрим сначала пару точек. Поскольку все прямые линии проективно эквивалентны, отношение между одной парой точек точно эквивалентно отношению между другой парой. При заданной только одной точке, следовательно, никакое проективное отношение к любой второй точке не может быть назначено, которое каким-либо образом ограничивало бы наш выбор второй точки. При заданных двух точках, однако, существует такое отношение — третья точка может быть дана коллинеарной с первыми двумя. Это ограничивает ее положение одной прямой линией, но поскольку две точки не определяют ничего, кроме одной прямой линии, третья точка не может быть далее ограничена. Таким образом, мы видим, почему никакое внутреннее проективное отношение не может быть найдено между тремя точками, которое позволило бы нам, исходя из двух, однозначно определить третью. С тремя заданными коллинеарными точками, однако, у нас дано больше, чем просто прямая линия, и четырехугольное построение позволяет нам однозначно определить любое количество новых коллинеарных точек. Это показывает, почему ангармоническое отношение должно быть отношением между четырьмя точками, а не между тремя.

121. Мы можем теперь доказать, я думаю, что две фигуры, которые проективно связаны, качественно подобны. Давайте начнем с коллекции точек на прямой линии. Пока они рассматриваются без ссылки на другие точки или фигуры, они все качественно подобны. Они могут быть различимы непосредственным созерцанием, но когда мы пытаемся, без количества, различить их концептуально, мы находим задачу невозможной, поскольку единственное качественное отношение любых двух из них, прямая линия, является тем же самым для любых других двух. Но теперь давайте выберем, наугад, некоторую точку вне прямой линии. Точки нашей линии теперь приобретают новые прилагательные, а именно их отношения к новой точке, т. е. прямые линии, соединяющие их с этой новой точкой. Но эти прямые линии, взаимно, одни определяют нашу внешнюю точку, и все прямые линии качественно подобны. Если мы возьмем некоторую другую внешнюю точку, следовательно, и соединим ее с теми же точками нашей исходной прямой линии, мы получим фигуру, в которой, пока количество исключено, нет концептуального различия от прежней фигуры. Непосредственное созерцание может различить две фигуры, но качественное различение не может этого сделать. Таким образом, мы получаем проективное преобразование четырех линий в четыре другие линии, как дающее фигуру, качественно неотличимую от исходной фигуры. Подобный аргумент применим к другим проективным преобразованиям. Таким образом, единственная причина, внутри проективной геометрии, не рассматривать проективные фигуры как фактически идентичные, есть интуитивное восприятие различия положения. Это фундаментально и должно быть принято как datum. Оно предполагается в различении различных точек и составляет саму жизнь геометрии. Это, по сути, сущность понятия формы внешности, которое понятие составляет предмет проективной геометрии.

122. Мы можем теперь подвести итоги нашего анализа проективной геометрии и сформулировать аксиомы, на которых основано ее рассуждение. Нам тогда придется доказать, что эти аксиомы необходимы для любой формы внешности, с чем мы перейдем от простого анализа к трансцендентальному аргументу.

Аксиомы, которые были приняты в вышеприведенном анализе и которые, по-видимому, достаточны для основания проективной геометрии, могут быть грубо сформулированы следующим образом:

I. Мы можем различать различные части пространства, но все части качественно подобны и различаются только непосредственным фактом того, что они лежат вне друг друга.

II. Пространство непрерывно и бесконечно делимо; результат бесконечного деления, ноль протяженности, называется точкой [129].

III. Любые две точки определяют уникальную фигуру, называемую прямой линией, любые три в общем определяют уникальную фигуру, плоскость. Любые четыре определяют соответствующую фигуру трех измерений, и, насколько можно судить по противоположному, то же самое может быть верно для любого количества точек. Но этот процесс заканчивается, рано или поздно, с некоторым количеством точек, которые определяют все пространство. Ибо если бы это было не так, никакое количество отношений точки к коллекции заданных точек никогда не могло бы определить ее отношение к новым точкам, и геометрия стала бы невозможной [130].

Это изложение аксиом не претендует на исключительную точность: другие изложения, столь же обоснованные, могли бы быть легко сделаны. Ибо все эти аксиомы, как мы увидим далее, философски взаимозависимы и могут, следовательно, быть сформулированы многими способами. Вышеприведенное изложение, однако, включает, если я не ошибаюсь, все существенное для проективной геометрии и все необходимое для доказательства принципа проективного преобразования. Прежде чем обсуждать априорность этих аксиом, давайте еще раз кратко резюмируем цели, которых они призваны достичь.

123. С исключительно математической точки зрения, как мы видели, проективная геометрия обсуждает только то, какие фигуры могут быть получены друг из друга путем проективных преобразований, т. е. путем операций проецирования и сечения. Эти операции, во всех своих формах, предполагают точку, прямую линию и плоскость [131], чья необходимость для проективной геометрии, с чисто математической точки зрения, таким образом, самоочевидна с самого начала. Но философски проективная геометрия имеет, как мы видели, более широкую цель. Эта более широкая цель, которая придает исследованию проективно эквивалентных фигур его главное значение, состоит в определении качественного пространственного подобия, в определении, то есть, всех фигур, которые, когда дана любая одна фигура, могут быть отличены от данной фигуры, пока количество исключено, только тем фактом, что они внешни по отношению к ней.

124. Теперь, когда мы рассматриваем, что вовлечено в такую абсолютную качественную эквивалентность, мы находим сразу, как ее самое очевидное необходимое условие, совершенную гомогенность пространства. Ибо предполагается, что фигура может быть полностью определена своими внутренними отношениями, и что внешние отношения, которые составляют ее положение, хотя они достаточны для того, чтобы отличить ее от других фигур, никоим образом не влияют на ее внутренние свойства, которые рассматриваются как качественно идентичные свойствам фигур с совершенно другими внешними отношениями. Если бы это было не так, что-либо аналогичное проективному преобразованию было бы невозможно. Ибо такое преобразование всегда изменяет положение, т. е. внешние отношения фигуры, и не могло бы, следовательно, если бы фигуры зависели от своих отношений к другим фигурам или к пустому пространству, быть изучено без ссылки на другие фигуры или на абсолютное положение исходной фигуры. Нам требуется для нашего принципа, короче говоря, то, что можно назвать взаимной пассивностью и взаимной независимостью двух частей или фигур пространства.

Эта пассивность и эта независимость включают гомогенность пространства, или ее эквивалент, относительность положения. Ибо если внутренние свойства фигуры одни и те же, каковы бы ни были ее внешние отношения, из этого следует, что все части пространства качественно подобны, поскольку изменение внешнего отношения есть изменение в части пространства, занимаемой фигурой. Из этого следует также, что всякое положение относительно и экстринсично, т. е. что положение точки, или часть пространства, занимаемая фигурой, не является и не оказывает никакого влияния на какое-либо внутреннее свойство точки или фигуры, но является исключительно отношением к другим точкам или фигурам в пространстве и остается без влияния, кроме случаев, когда такие отношения рассматриваются.

125. Таким образом, однородность пространства и относительность положения являются предпосылками качественного пространственного сравнения, с которым имеет дело проективная геометрия. Последняя, как мы видели, также лежит в основе принципа двойственности. Однако эти свойства, как я теперь постараюсь доказать, с необходимостью присущи любой форме внешности и, следовательно, являются априорными свойствами всех возможных пространств. Чтобы доказать это, однако, мы должны сначала определить понятие формы внешности в целом.

Заметим, прежде всего, что различие между евклидовой и неевклидовой геометриями, столь важное в метрических исследованиях, исчезает в собственно проективной геометрии. Это позволяет предположить, что проективная геометрия, хотя первоначально она была создана как наука о евклидовом пространстве, а впоследствии и о неевклидовых пространствах, на самом деле имеет дело с более широкой концепцией, которая включает в себя обе и пренебрегает атрибутами, в которых они различаются. Эту концепцию я буду называть формой внешности.

126. В глубоком философском введении к своему сочинению «Ausdehnungslehre» (Учение о протяженности) 1844 года Грассман предположил, что геометрия, хотя ее ошибочно считают чистой, на самом деле является разделом прикладной математики, поскольку она имеет дело с предметом, который не создан интеллектом, подобно числу, а дан ему, и поэтому не подчиняется исключительно его законам. Но, как он утверждал, должно быть возможно построить раздел чистой математики, то есть науку, в которой наш объект был бы целиком порождением интеллекта, но которая при этом занималась бы, как и геометрия, протяженностью — однако протяженностью мыслимой, а не эмпирически воспринимаемой в ощущении или интуиции.

С этой точки зрения спор между кантианцами и антикантианцами становится совершенно неуместным, поскольку различие между чистой и смешанной математикой заключается не в различии между субъективным и объективным, а между чисто интеллектуальным, с одной стороны, и всем остальным — с другой. Кант же с большой настойчивостью утверждал, что пространство — это не интеллектуальная конструкция, а субъективная интуиция. Следовательно, согласно различению Грассмана, геометрия относится к смешанной математике как с точки зрения Канта, так и с точки зрения его оппонентов. И различие Грассмана, как я утверждаю, является более важным для эпистемологии и именно его следует принять при разграничении априорного и эмпирического. Ибо то, что является лишь интуитивным, может меняться, не нарушая законов мышления и не делая познание формально невозможным: но то, что является чисто интеллектуальным, не может измениться, если только не изменятся сами законы мышления, что привело бы к одновременному краху всего нашего знания. Поэтому я буду следовать различению Грассмана при построении априорной и чисто концептуальной формы внешности.

127. Чистое учение о протяженности, построенное Грассманом, не нуждается в обсуждении — оно содержало много эмпирического материала и было философски несостоятельным. Но его принципы, я полагаю, позволят нам доказать, что проективная геометрия в абстрактной интерпретации является той наукой, которую он предвидел, и имеет дело с материей, которая может быть сконструирована чистым интеллектом. Если это так, то следует заметить, что проективная геометрия на данный момент является чисто гипотетической. Всякая необходимая истина, как показал Брэдли, является гипотетической и prima facie утверждает лишь основание, на котором покоится необходимая связь посылок и заключения. Если мы конструируем лишь концепцию внешности и тем самым оставляем наше фактически данное пространство, результат нашего построения, пока мы не вернемся к чему-то фактически данному, остается без экзистенциального значения — если существует воспринимаемая внешность, утверждает оно, то должна существовать форма внешности с такими-то и такими-то свойствами. Что воспринимаемая внешность должна существовать, доказывает, как я полагаю, первый аргумент Канта о пространстве для тех, кто допускает опыт мира разнообразных, но взаимосвязанных вещей. Но это вопрос, который относится к следующей главе.

Наша задача здесь состоит не в том, чтобы обсуждать, существует ли форма внешности, а в том, должна ли такая форма, если она существует, обладать свойствами, воплощенными в аксиомах проективной геометрии. Итак, прежде всего, что мы подразумеваем под такой формой?

128. В любом мире, в котором восприятие представляет нам различные вещи, с различенным и дифференцированным содержанием, должен существовать в восприятии по крайней мере один «принцип дифференциации», то есть элемент, посредством которого представленные вещи различаются как различные. Этот элемент, взятый в изоляции и абстрагированный от содержания, которое он дифференцирует, мы можем назвать формой внешности. То, что он должен, будучи взятым в изоляции, представать как форма, а не как простое многообразие материального содержания, является, я думаю, довольно очевидным. Ибо многообразие материального содержания нельзя изучать в отрыве от этого материального содержания; напротив, мы хотим изучить здесь саму возможность такого многообразия, которая образует остаток, как я попытаюсь доказать далее, когда мы абстрагируемся от любого чувственного восприятия от всего, что характерно для его конкретной материи. Эта возможность, следовательно, этот принцип чистого многообразия, и есть наша форма внешности. Насколько необходимо предполагать такую форму, как нечто отличное от взаимосвязанных вещей, я рассмотрю позже. В настоящее время, поскольку пространство, как оно рассматривается в геометрии, безусловно, является формой такого рода, нам остается лишь спросить: какими свойствами должна необходимо обладать такая форма при изучении ее в абстракции?

129. Во-первых, внешность — это по существу относительная концепция: ничто не может быть внешним по отношению к самому себе. Быть внешним по отношению к чему-то — значит быть чем-то другим, имеющим некоторое отношение к этой вещи. Следовательно, когда мы абстрагируем форму внешности от всего материального содержания и изучаем ее в изоляции, положение будет с необходимостью представляться чисто относительным — положение не может обладать никаким внутренним качеством, ибо наша форма состоит из чистой внешности, а внешность не содержит ни тени, ни следа внутреннего качества. Таким образом, мы получаем наш фундаментальный постулат — относительность положения, или, как можно выразиться, полное отсутствие в нашей форме какого-либо следа предметности.

Тот же аргумент можно сформулировать следующим образом: если мы абстрагируем концепцию внешности и попытаемся иметь дело с ней per se, очевидно, что мы должны получить объект, лишенный как элементов, так и целостности. Ибо мы абстрагировались от разнообразной материи, которая наполняла нашу форму, в то время как любой элемент или любое целое сохранили бы некоторые качества материи. Фактически, как элемент, так и целое должны были бы быть вещью, не являющейся внешней по отношению к самой себе, и, таким образом, содержали бы нечто, не являющееся чистой внешностью. Отсюда возникает бесконечная делимость с противоречивым понятием точки при поиске элементов и безграничная протяженность с противоречием бесконечного регресса или порочного круга при поиске завершенного целого. Таким образом, опять же, наша форма не содержит ни элементов, ни целостности, а только бесконечные отношения — члены этих отношений исключаются нашей абстракцией от материи, которая наполняет нашу форму.

130. Подобным образом мы можем вывести однородность нашей формы. Многообразие содержания, которое было возможно только внутри формы внешности, было абстрагировано, оставив лишь чистую возможность многообразия, сам принцип дифференциации, сам по себе единообразный и недифференцированный. Ибо если многообразие предполагает такую форму, то сама форма не может быть разнообразной или дифференцированной, если только она не содержится в новой форме.

Или мы можем вывести то же свойство из относительности положения. Ибо любое качество в одном положении, по которому оно выделялось бы из другого, было бы неизбежно более или менее внутренним и противоречило бы чистой относительности. Следовательно, все положения качественно одинаковы, т.е. форма однородна повсюду.

131. Из того, что было сказано об однородности и относительности, вытекает одно из самых странных свойств формы внешности. Это свойство заключается в том, что отношение внешности между любыми двумя вещами бесконечно делимо и может, следовательно, рассматриваться как состоящее из бесконечного числа предполагаемых элементов нашей формы или, опять же, как сумма двух отношений внешности. Говорить о делении или сложении отношений может показаться абсурдным — это действительно обнаруживает неуместность слова «отношение» в данной связи. Однако трудно найти выражение, которое было бы менее неуместным. По-видимому, внешность — это не столько отношение, сколько чистая относительность или чистая возможность отношения. На эту тему я подробно остановлюсь в главе IV. В данном пункте важно лишь осознать то, что будет предполагать последующий аргумент: отношение — если мы можем его так назвать — внешности между двумя или более вещами должно, поскольку наша форма однородна, быть способным к непрерывному изменению и должно, поскольку наша бесконечно делимая форма состоит из таких отношений, быть способным к бесконечному делению. Но результат бесконечного деления определяется как элемент нашей формы. (Наша форма не имеет элементов, но мы должны вообразить элементы, чтобы рассуждать о ней, как будет более полно показано в главе IV.) Отсюда следует, что каждое отношение внешности может рассматриваться для научных целей как бесконечное множество элементов, хотя философски значимы только отношения, а элементы являются противоречивым результатом гипостазирования формы внешности. Этот способ рассмотрения отношений внешности важен для понимания смысла таких идей, как три или четыре коллинеарные точки.

Поскольку этот пункт сложен и важен, я повторю с несколько большей детализацией объяснение того, каким образом прямые линии и плоскости начинают рассматриваться как совокупности точек. Со строго проективной точки зрения, хотя все другие фигуры являются лишь собранием любого требуемого числа точек, линий или плоскостей, заданных некоторым проективным построением, сами прямые линии и плоскости даны интегрально и не должны рассматриваться как делимые или состоящие из частей. Сказать, что точка лежит на прямой линии, означает для собственно проективной геометрии, что прямая линия есть отношение между этой и некоторой другой точкой. Здесь рассматриваемые точки, если наше утверждение должно быть освобождено от противоречий, должны рассматриваться, если я могу использовать такое выражение, как реальные точки — т.е. как непротяженные материальные центры. Прямые линии и плоскости тогда являются отношениями между этими материальными атомами. Однако это отношения, которые могут претерпевать метрическое изменение, оставаясь проективно неизменными. Когда проективное отношение между двумя точками A и B такое же, как между двумя точками A и C, в то время как метрическое отношение (расстояние) различно, говорят, что три точки A, B, C коллинеарны. Теперь метрический способ рассмотрения пространственных фигур требует, чтобы они были гипостазированы и более не рассматривались как простые отношения. Ибо когда мы рассматриваем величину как протяженную, т.е. как делимую на части, мы неизбежно рассматриваем ее как нечто большее, чем простое отношение или прилагательное, поскольку никакое простое отношение или прилагательное не может быть разделено. Поэтому для количественного рассмотрения пространственные отношения должны быть гипостазированы. Когда это сделано, мы получаем, как видели выше, однородную и бесконечно делимую форму внешности. Мы обнаруживаем теперь, что расстояние, например, может непрерывно изменяться без изменения прямой линии, на которой оно измеряется. Таким образом, мы получаем на рассматриваемой прямой линии непрерывный ряд точек, который, поскольку он непрерывен, мы рассматриваем как составляющий нашу прямую линию. Именно исключительно из гипостазирования отношений, которое требует метрическая геометрия, возникает взгляд на прямые линии и плоскости как на состоящие из точек, и именно из этого гипостазирования проистекают трудности метрической геометрии.

132. Следующий шаг в определении формы внешности получается из идеи измерений. Положения, как мы видели, определяются исключительно их отношениями к другим положениям. Но чтобы такое определение было возможным, должно быть достаточно конечного числа отношений, поскольку бесконечные числа философски недопустимы. Положение должно быть определимо, следовательно, если познание нашей формы вообще возможно, некоторым конечным целым числом отношений к другим положениям. Каждое отношение, необходимое для определения, мы называем измерением. Отсюда мы получаем положение: любая форма внешности должна иметь конечное целое число измерений.

133. Вышеприведенный аргумент, могут возразить, упустил одну возможность. Он использовал трансцендентальный аргумент, может утверждать оппонент, не доказав в достаточной мере, что знание о внешности должно быть возможно без ссылки на материи, внешние друг другу. Определение положения может быть невозможным, пока мы пренебрегаем материей, которая наполняет форму, но может стать возможным, когда эта материя принимается во внимание. Такое возражение, я думаю, можно успешно встретить ссылкой на пассивность и однородность нашей формы. Ибо любая зависимость определения положения от конкретной материи, наполняющей это положение, вовлекала бы некоторого рода взаимодействие между материей и ее положением, некоторое влияние разнообразного содержания на однородную форму. Но поскольку форма полностью лишена предметности, совершенно пассивна и совершенно лишена различий между своими частями, любое такое влияние немыслимо. Влияние на положение должно было бы изменить его каким-то образом, но как оно могло бы быть изменено? Оно не имеет качеств, кроме тех, которые делают его тем положением, которым оно является, в отличие от других положений; следовательно, оно не может измениться, не став другим положением. Но такое изменение противоречит закону тождества. Следовательно, изменилось не положение, а содержание, которое переместилось в форме. Таким образом, должно быть возможно, если знание о нашей форме вообще может быть получено, получить это знание в логической независимости от конкретной материи, которая ее наполняет. Вышеприведенный аргумент, следовательно, при допущении возможности знания в рассматриваемой области, показывает необходимость конечного целого числа измерений.

134. Повторим наш первоначальный аргумент в свете этого разъяснения. Положение полностью определено тогда и только тогда, когда известны достаточные отношения, позволяющие нам определить его отношение к любому новому известному положению. Только посредством отношений внутри формы внешности, как мы только что видели, и никогда посредством отношений, которые включают ссылку на конкретную материю, наполняющую форму, может быть осуществлено такое определение. Но возможность такого определения следует из закона исключенного третьего, когда этот закон интерпретируется так, как его интерпретирует Бозанкет, а именно, что «реальность... есть система взаимно детерминированных частей». Ибо это подразумевает, что при заданных отношениях части A к другим частям B, C... достаточная полнота таких отношений проливает свет на отношения B к C и т.д. Если бы это было не так, части A, B, C... не могли бы считаться образующими такую систему; ибо в такой системе определить A — значит определить в то же время все остальные члены, а дать прилагательное A — значит дать прилагательное B и C. Но отношения между положениями являются, когда мы восстанавливаем материю, из которой были абстрагированы положения, отношениями между вещами, занимающими эти положения, и эти отношения, как мы видели, могут изучаться без ссылки на конкретную природу, в других отношениях, связанных вещей. Отсюда следует, что когда мы применяем общий принцип системного единства к этим отношениям в частности, мы находим, что эти отношения зависят друг от друга, поскольку они не зависят для своего определения ни от чего другого. Это дает аксиому измерений в вышеприведенной общей форме как результат, на нашем абстрактном геометрическом уровне, относительности положения и закона исключенного третьего.

135. Прежде чем идти дальше, необходимо обсудить важный частный случай, когда форма внешности имеет только одно измерение. Из двух таких форм, данных в опыте, одна, а именно время, представляет собой пример этого частного случая. Но можно показать, я думаю, что функция, состоящая в возможности опыта, которую мы требуем от таких форм, не могла бы быть выполнена одной лишь одномерной формой. Ибо в одномерной форме различные содержания могут быть расположены в ряд и не могут без взаимопроникновения изменить порядок содержаний в ряду. Но взаимопроникновение невозможно, поскольку форма внешности есть лишь выражение многообразия среди вещей, из чего следует, что вещи не могут занимать одно и то же положение в форме, если нет другой формы, посредством которой их можно было бы дифференцировать. Ибо без внешности нет многообразия. Таким образом, два тела могут занимать одно и то же пространство, но только в разное время: две вещи могут существовать одновременно, но только в разных местах. Форма одного измерения, следовательно, не могла бы сама по себе допустить то изменение отношений внешности, посредством которого только и может быть приведено в сознание разнообразный мир взаимосвязанных вещей. В одномерном пространстве, например, можно было бы воспринимать только один объект, который должен представать как точка, или максимум два объекта, один впереди и один позади. Таким образом, два или более измерений представляются существенным условием всего, что стоит называть опытом взаимосвязанных вещей.

136. На этот аргумент могут возразить, что его обоснованность зависит от предположения, что изменение отношения внешности должно быть непрерывным. Как выдвинуть, так и встретить это возражение способом, который не подразумевал бы время, представляется почти невозможным. Ибо мы не можем говорить об изменении, будь оно непрерывным или дискретным, не воображая время. Давайте поэтому допустим, что время известно, и обсудим, является ли временное изменение в любой другой форме внешности обязательно непрерывным. Мы должны ответить, я думаю, что непрерывность необходима. Изменение отношения в нашей невременной форме можно безопасно описать как движение, и закон причинности — поскольку мы уже предположили время — может быть применен к этому движению. Тогда следует, что дискретное движение вовлекало бы конечное следствие от бесконечно малой причины, ибо причина, действующая только в течение момента времени, была бы бесконечно малой. Оно вовлекает также обоснованность в момент времени, тогда как то, что обосновано в любой форме внешности, есть не бесконечно малый и противоречивый элемент, возникающий из бесконечного деления, как мы уже видели, а конечное отношение, которое математика анализирует на исчезающие элементы. Следовательно, изменение должно быть непрерывным, и возможность серийного расположения остается в силе.

В одномерной форме, отличной от времени, тот же аргумент должен оставаться в силе. Ибо нечто аналогичное причинности было бы необходимо для опыта, и относительность формы все еще неизбежно сохранялась бы. Следовательно, поскольку были предположены только эти два свойства времени, вышеприведенное утверждение оставалось бы справедливым для любой второй формы, чьи отношения были бы коррелированы с отношениями первой, как того требовал бы аналог причинности.

137. Следующий шаг в аргументации, который предполагает два или более измерений, касается общих аналогов прямых линий и плоскостей, т.е. фигур — которые могут рассматриваться либо как отношения между положениями, либо как ряды положений, — однозначно определяемых двумя или тремя положениями. Если этот шаг может быть успешно сделан, наше выведение вышеуказанных проективных аксиом будет завершено, и дескриптивная геометрия будет установлена как абстрактное априорное учение о формах внешности.

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим, какова природа отношений, посредством которых определяются положения. Мы уже видели, что наша форма чисто реляционна и бесконечно делима, и что положения (точки) являются противоречивым результатом поиска чего-то иного, чем отношения. Что мы действительно подразумеваем, следовательно, под отношениями, определяющими положение, — это, когда мы отменяем нашу предыдущую абстракцию, отношения внешности, посредством которых некоторая вещь соотносится с другими вещами. Но как, когда мы остаемся в абстрактной форме, должны представать такие отношения?

138. Мы должны доказать, что два положения должны иметь отношение, независимое от любой ссылки на другие положения. Чтобы доказать это, вернемся к тому, что было сказано в связи с измерениями относительно пассивности и однородности нашей формы. Поскольку положения определяются только отношениями, должны существовать отношения внутри формы между положениями. Но если существуют такие отношения, должно существовать отношение, которое является внутренним для двух положений. Ибо предполагать обратное — значит приписывать взаимодействие или причинную связь некоторого рода между этими двумя положениями и другими положениями — предположение, которое делает абсурдным идеальная однородность нашей формы, поскольку все положения качественно схожи и не могут быть изменены, не теряя своей идентичности. Мы можем сформулировать этот аргумент так: поскольку положения определяются только их отношениями, такое определение никогда не могло бы начаться, если бы оно не начиналось с отношения только между двумя положениями. Ибо предположим, что необходимы три положения A, B, C, которые порождают отношение abc между тремя. Тогда не осталось бы средств для определения различных пар BC, CA, AB, поскольку единственным отношением, определяющим их, было бы отношение, общее для всех трех пар. Ничего не было бы достигнуто в этом случае ссылкой на новые точки, ибо из однородности и пассивности формы следует, что эти новые точки не могли бы повлиять на внутренние отношения нашей триады, которые, если они вообще могут дать определенность, должны дать ее без помощи внешней ссылки. Два положения должны, следовательно, если определение возможно, иметь некоторое отношение, которое они сами по себе достаточны определить. Точно такой же аргумент применим к трем положениям или к четырем; аргумент теряет свою силу только тогда, когда мы исчерпали измерения рассматриваемой формы. Таким образом, в трех измерениях пять положений не имеют нового отношения, не выводимого из уже известных, ибо по определению измерений все вовлеченные отношения могут быть выведены из отношений четвертой точки к первым трем вместе с отношениями пятой к первым трем.

Мы можем придать аргументу более конкретную и, возможно, более убедительную форму, рассматривая материю, расположенную в нашей форме. Если две вещи взаимно внешни, они должны, поскольку принадлежат к одному миру, иметь некоторое отношение внешности; следовательно, существует отношение внешности между двумя вещами. Но поскольку наша форма однородна, то же отношение внешности может существовать в других частях формы, т.е. в то время как две рассматриваемые вещи изменяют свои отношения внешности к другим вещам. Отношение внешности между двумя вещами, следовательно, независимо от других вещей. Следовательно, когда мы возвращаемся к абстрактному языку формы, два положения имеют отношение, определяемое только этими двумя положениями и независимое от других положений.

Точно такой же аргумент применим к отношениям трех положений, и в каждом случае отношение должно представать в форме не как простое умозаключение из положений, которые оно связывает. Ибо отношения, как мы видели, фактически составляют форму внешности и не являются простыми умозаключениями из терминов, которые нигде не могут быть найдены в форме.

Подводя итог: поскольку положение относительно, два положения должны иметь некоторое отношение друг к другу; и поскольку наша форма внешности однородна, это отношение может сохраняться неизменным, пока два положения изменяют свои отношения к другим положениям. Следовательно, их отношение является внутренним и независимым от других положений. Поскольку форма есть лишь комплекс отношений, рассматриваемое отношение должно, если форма чувственна или интуитивна, быть само по себе чувственным или интуитивным, а не простым умозаключением. В этом случае уникальное отношение должно быть уникальной фигурой — в пространственных терминах, прямой линией, соединяющей две точки.

139. На этом наше выведение проективной геометрии из априорных концептуальных свойств формы внешности завершено. То, что такая форма, если рассматривать ее как независимую вещь, противоречива, было в изобилии очевидно на протяжении всего обсуждения. Но наука о форме была основана на противоположном способе ее рассмотрения: мы на протяжении всего времени считали ее лишь комплексом отношений и выводили ее свойства исключительно из этого взгляда на нее. Многие трудности при применении такого априорного выведения к интуитивному пространству и при объяснении как логических необходимостей свойств, которые предстают как чувственные или интуитивные данные, должны быть отложены до главы IV. В настоящее время я хочу указать, что проективная геометрия полностью априорна; что она имеет дело с объектом, свойства которого логически выведены из его определения, а не эмпирически обнаружены из данных; что ее определение, опять же, основано на возможности переживания многообразия в отношении, или множественности в единстве; и что вся наша наука, следовательно, логически подразумевается в возможности такого опыта и выводима из нее.

140. В метрической геометрии, напротив, мы обнаружим совсем другой результат. Хотя геометрические условия, которые делают возможным пространственное измерение, окажутся идентичными, за исключением небольших различий в форме изложения, априорным аксиомам, обсуждавшимся выше, все же само измерение — которое имеет дело с фактически данным пространством, а не с тем чисто интеллектуальным построением, которое мы только что обсуждали — дает результаты, которые могут быть известны только эмпирически и приблизительно и не могут быть выведены никакой необходимостью мышления. Евклидово и неевклидовы пространства дают различные результаты, которые априорно возможны; аксиомы, специфичные для Евклида — которые, собственно, являются не аксиомами, а эмпирическими результатами измерения — определяют в пределах ошибок наблюдения, какая из этих априорных возможностей реализована в нашем актуальном пространстве. Таким образом, измерение имеет дело на всем протяжении с эмпирически данной материей, а не с порождением интеллекта, и его априорные элементы являются лишь условиями, предполагаемыми в возможности измерения. Каковы эти условия, мы увидим во втором разделе этой главы.

Раздел B. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

141. Мы рассмотрели аксиомы проективной геометрии и увидели, что они являются априорными выводами из того факта, что мы можем переживать внешность, т.е. сосуществующую множественность различных, но взаимосвязанных вещей. Но проективная геометрия, несмотря на свои претензии, не является всей наукой о пространстве, что достаточно доказывается тем фактом, что она не может различать евклидово и неевклидовы пространства. Для этой цели требуется пространственное измерение: метрическая геометрия с ее количественными тестами может одна осуществить это различение. Для всякого применения геометрии к физике также требуется измерение; закон тяготения, например, требует определения актуальных расстояний. Короче говоря, для многих целей проективная геометрия совершенно недостаточна: так, она неспособна различать различные виды конических сечений, хотя их различение имеет фундаментальное значение во многих областях знания.

Метрическая геометрия, таким образом, является необходимой частью науки о пространстве, частью, не включенной в дескриптивную геометрию. Ее априорный элемент, тем не менее, поскольку он является пространственным, а не арифметическим, тот же, что и постулат проективной геометрии, а именно однородность пространства или его эквивалент — относительность положения. Мы можем видеть, фактически, что априорный элемент в обоих, вероятно, один и тот же. Ибо априорное в метрической геометрии будет тем, что предполагается в возможности пространственного измерения, т.е. количественного пространственного сравнения. Но такое сравнение предполагает просто известное тождество качества, определение которого является в точности проблемой проективной геометрии. Следовательно, условия возможности измерения, поскольку они не являются арифметическими, будут в точности такими же, как и для проективной геометрии.

142. Метрическая геометрия, следовательно, хотя и отлична от проективной геометрии, не является независимой от нее, но предполагает ее и возникает из ее сочетания с посторонней идеей количества. Тем не менее математическая форма аксиом в метрической геометрии несколько отличается от их формы в проективной геометрии. Однородность пространства заменяется ее эквивалентом — аксиомой свободной подвижности. Аксиома прямой линии заменяется аксиомой расстояния: две точки определяют уникальную величину, расстояние, которое остается неизменным при любом движении двух точек как единой фигуры. Эта аксиома, действительно, будет обнаружена вовлекающей аксиому прямой линии — такая величина не могла бы существовать, если бы две точки не определяли уникальную кривую, — но ее математическая форма изменена. Другим важным изменением является крах принципа двойственности: количество может быть применено к прямой линии, поскольку она делима на подобные части, но не может быть применено к неделимой точке. Мы получаем таким образом причину, которой недоставало в дескриптивной геометрии, для предпочтения точек как пространственных элементов прямым линиям или плоскостям. Наконец, с количеством вводится совершенно новая идея, а именно идея движения. Не то чтобы мы изучали движение или чтобы какие-либо из наших результатов имели отношение к движению, но они не могут, хотя в проективной геометрии могли, быть получены без по крайней мере идеального движения наших фигур через пространство.

Давайте теперь подробно рассмотрим предпосылки пространственного измерения. Мы найдем три аксиомы, без которых такое измерение было бы невозможно, но с которыми оно адекватно для того, чтобы решить, эмпирически и приблизительно, евклидову или неевклидову природу нашего актуального пространства. Мы найдем далее, что эти три аксиомы могут быть выведены из концепции формы внешности и не обязаны ничем свидетельству интуиции. Они, следовательно, подобно их эквивалентам — аксиомам проективной геометрии — являются априорными и выводимыми из условий пространственного опыта. Этот опыт, соответственно, никогда не может опровергнуть их, поскольку само его существование предполагает их.

I. Аксиома свободной подвижности.

143. Метрическая геометрия, для начала, может быть определена как наука, которая имеет дело со сравнением и отношениями пространственных величин. Концепция величины, следовательно, необходима с самого начала. Некоторые из аксиом Евклида, соответственно, были классифицированы как арифметические и предполагались не имеющими ничего общего с пространством. Таковы аксиомы, что равные, прибавленные к равным или вычтенные из равных, дают равные, и что вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу. Эти аксиомы, говорят, являются чисто арифметическими и не приписывают, подобно другим, прилагательное пространству. Что касается их использования в арифметике, это, конечно, верно. Но если арифметическая аксиома должна быть применена к пространственным величинам, она должна иметь некоторое пространственное значение, и таким образом даже этот класс не является в геометрии просто арифметическим. К счастью, геометрический элемент один и тот же во всех аксиомах этого класса — мы можем видеть сразу, фактически, что он не может сводиться к чему-то большему, чем определение пространственной величины. Опять же, поскольку пространство, с которым имеет дело геометрия, бесконечно делимо, определение пространственной величины сводится к определению пространственного равенства, ибо, как только мы имеем последнее, мы можем сравнить две пространственные величины, разделив каждую на число равных единиц и подсчитав число таких единиц в каждой. Отношение числа единиц есть, конечно, отношение двух величин.

144. Нам требуется, таким образом, с самого начала некоторый критерий пространственного равенства: без такого критерия метрическая геометрия стала бы совершенно невозможной. Может показаться на первый взгляд, что это не обязательно должно быть аксиомой, а может быть просто определением. Отчасти это верно, но не полностью. Часть, которая является просто определением, дана в восьмой аксиоме Евклида: «Величины, которые точно совпадают, равны». Но это дает достаточный критерий только тогда, когда величины, подлежащие сравнению, уже занимают одно и то же положение. Когда, как это будет нормально, две пространственные величины внешни друг другу — как, действительно, должно быть, если они различны, а не целое и часть — две величины могут быть заставлены совпасть только движением одной или обеих из них. Чтобы, следовательно, наше определение пространственной величины могло дать однозначные результаты, совпадение при наложении, если оно когда-либо может произойти, должно происходить всегда, какой бы путь ни был выбран для его достижения. Следовательно, если простое движение могло бы изменять формы, наш критерий равенства разрушился бы. Отсюда следует, что применение концепции величины к фигурам в пространстве вовлекает следующую аксиому: пространственные величины могут быть перемещены с места на место без искажения; или, как можно выразиться, формы никоим образом не зависят от абсолютного положения в пространстве.

Вышеприведенная аксиома есть аксиома свободной подвижности. Я предлагаю доказать (1) что отрицание этой аксиомы вовлекало бы логические и философские абсурды, так что она должна быть классифицирована как полностью априорная; (2) что метрическая геометрия, если бы она отказалась от этой аксиомы, была бы неспособна без логического абсурда установить понятие пространственной величины вообще. Заключение будет состоять в том, что аксиома не может быть доказана или опровергнута опытом, но является априорным условием метрической геометрии. Поскольку я буду, таким образом, поддерживать позицию, которая была многократно оспорена, особенно Гельмгольцем и Эрдманом, я должен буду вдаваться в аргументы довольно подробно.

145. A. Философский аргумент. Отрицание аксиомы вовлекает абсолютное положение и действие самого пространства, per se, на вещи. Ибо аксиома не утверждает, что реальные тела, как эмпирический факт, никогда не меняют свою форму каким-либо образом во время их перехода с места на место: напротив, мы знаем, что такие изменения происходят, иногда в очень заметной степени, и всегда в некоторой мере. Но такие изменения приписываются не изменению места как такового, а физическим причинам: изменениям температуры, давления и т.д. С чем наша аксиома должна иметь дело, это не актуальные материальные тела, а геометрические фигуры, и она утверждает, что фигура, которая возможна в любом одном положении в пространстве, возможна в каждом другом. Ее смысл станет яснее при ссылке на случай, где она не выполняется, скажем, пространство, образованное поверхностью яйца. Здесь треугольник, начерченный около экватора, не может быть перемещен без искажения к полюсу, так как он более не соответствовал бы большей кривизне нового положения: треугольник, начерченный около полюса, не может быть пригнан к более плоскому концу и так далее. Таким образом, метод наложения, который использует Евклид в Книге I, Предложении IV, становится невозможным; фигуры не могут быть свободно перемещаемы, действительно, задав любую фигуру, мы можем определить некоторый ряд возможных положений для нее на яйце, вне которых это становится невозможным. Что я утверждаю, это, следовательно, что существует философский абсурд в предположении пространства в целом быть такой природы. На яйце мы имеем отмеченные точки, такие как два конца; пространство, образованное его поверхностью, не является однородным, и если вещи перемещаются в нем, оно должно само по себе оказывать искажающее влияние на них, совершенно независимо от физических причин; если бы оно не оказывало такого влияния, вещи не могли бы быть перемещены. Таким образом, такое пространство не было бы однородным, но имело бы отмеченные точки, ссылаясь на которые тела имели бы абсолютное положение, совершенно независимо от любых других тел. Пространство более не было бы пассивным, но оказывало бы определенное влияние на вещи, и мы должны были бы приспособиться к понятию отмеченных точек в пустом пространстве; эти точки были бы отмечены не телами, которые занимали их, а их влияниями на любые тела, которые могли бы время от времени занимать их. Это отсутствие однородности и пассивности является, однако, абсурдным; пространство должно, поскольку оно является формой внешности, допускать только относительное, а не абсолютное положение и должно быть полностью однородным повсюду. Предполагать иное — значит придать ему предметность, которой никакая форма внешности не может обладать. Мы должны, следовательно, на чисто философских основаниях признать, что геометрическая фигура, которая возможна где угодно, возможна везде, что и есть аксиома свободной подвижности.

146. B. Геометрический аргумент. Посмотрим далее, какого рода геометрию мы могли бы построить без этой аксиомы. Конечный стандарт сравнения пространственных величин должен, как мы видели при введении аксиомы, быть равенством при наложении; но должны ли мы из этого равенства выводить равенство при разделении? Эрдманом было высказано мнение, что для более непосредственных целей геометрии это было бы ненужным. Мы могли бы построить новую геометрию, думает он, в которой размеры варьировались бы с движением по любому определенному закону. Такой взгляд, как я покажу ниже, вовлекает логическую ошибку относительно природы величины. Но прежде чем указать на это, давайте обсудим геометрические следствия предположения его истинности. Предположим, длина бесконечно малой дуги в некотором стандартном положении была ds; тогда в любом другом положении p ее длина была бы ds.f(p), где форма функции f(p) должна предполагаться известной. Но как мы должны определить положение p? Для этой цели нам требуются координаты p, т.е. некоторое измерение расстояния от начала координат. Но расстояние от начала координат могло бы быть измерено только если мы предположили наш закон f(p) для измерения его. Ибо предположим, начало координат есть O, и Op есть прямая линия, чья длина требуется. Если у нас есть измерительный стержень, с которым мы путешествуем вдоль линии и измеряем последовательные бесконечно малые дуги, измерительный стержень будет изменять свой размер по мере нашего движения, так что дуга, которая кажется по мере равной ds, будет на самом деле f(s).ds, где s есть ранее пройденное расстояние. Если, с другой стороны, мы перемещаем нашу линию Op медленно через начало координат и измеряем каждый кусок по мере его прохождения, наша мера, это правда, не изменится, но теперь у нас нет средств обнаружить закон, по которому любой элемент изменил свою длину при приходе к началу координат. Следовательно, пока мы не предположим нашу функцию f(p), у нас нет средств определить p, ибо мы только что видели, что расстояния от начала координат могут быть оценены только посредством закона f(p). Отсюда следует, что опыт не может ни доказать, ни опровергнуть постоянство форм во время движения, поскольку, если бы формы не были постоянны, мы должны были бы предположить закон их вариации до того, как измерение стало бы возможным, и поэтому измерение не могло бы само по себе раскрыть эту вариацию нам.

Тем не менее, такой произвольно предположенный закон действительно, на первый взгляд, дает математически возможную геометрию. Фундаментальное предложение, что две величины, которые могут быть наложены в любом одном положении, могут быть наложены в любом другом, все еще остается в силе. Ибо две бесконечно малые дуги, чьи длины в стандартном положении суть ds1 и ds2, имели бы в любом другом положении p длины f(p).ds1 и f(p).ds2, так что их отношение было бы неизменным. Из этого постоянства отношения, как мы знаем через Римана и Гельмгольца, следует вышеприведенное предложение. Следовательно, все, что требует геометрия, как кажется, в качестве основы для измерения, есть аксиома, что изменение форм во время движения следует определенному известному закону, такому как тот, что был предположен выше.

147. Существует, однако, в таком взгляде, как я заметил выше, логическая ошибка относительно природы величины. Эта ошибка уже была указана при обсуждении Эрдмана и нуждается лишь в кратком повторении здесь. Суждение о величине есть по существу суждение сравнения: в неизмеренном количестве — сравнение относительно простого «больше или меньше», но в измеренной величине — сравнение относительно точного «сколько раз». Говорить о различиях величины, следовательно, в случае, где сравнение не может обнаружить их, логически абсурдно. Теперь в случае, рассматриваемом выше, две величины, которые кажутся равными в одном положении, кажутся равными также при сравнении в другом положении. Нет смысла, следовательно, предполагать две величины неравными при разделении, ни предполагать, следовательно, что они изменили свои величины при движении. Эта бессмысленность нашей гипотезы есть логическое основание математической неопределенности относительно закона вариации. Поскольку, следовательно, нет средств сравнения двух пространственных фигур относительно величины, кроме наложения, единственно логически возможная аксиома, если пространственная величина должна быть самосогласованной, есть аксиома свободной подвижности в форме, данной выше.

148. Хотя эта аксиома априорна, ее применение к измерению актуальных тел, как мы обнаружили при обсуждении взглядов Гельмгольца, всегда вовлекает эмпирический элемент. Наша аксиома, следовательно, только поставляет априорное условие для выполнения операции, которая в конкретном является эмпирической — точно так же, как арифметика поставляет априорное условие для переписи. Поскольку эта тема была обсуждена подробно в главе II, я не буду говорить больше о ней здесь.

149. Остаются, однако, несколько возражений и трудностей, которые нужно обсудить. Во-первых, как мы получаем равенство в телах и в случаях Канта с правой и левой руками или с право- и левосторонними винтами, где актуальное наложение невозможно? Во-вторых, как мы можем принять конгруэнтность как единственно возможную основу пространственного измерения, когда мы имеем перед собой случай времени, где никакая вещь, подобная конгруэнтности, немыслима? В-третьих, можно было бы настаивать, что мы можем немедленно оценить пространственное равенство глазом с большей или меньшей точностью и таким образом иметь меру, независимую от конгруэнтности. В-четвертых, как возможна метрическая геометрия на неконгруэнтных поверхностях, если конгруэнтность есть основа пространственного измерения? Я буду обсуждать эти возражения последовательно.

150. (1) Как мы измеряем равенство тел? Они могли бы быть приведены к актуальной конгруэнтности только если бы мы имели четвертое измерение, в котором действовать, и из того, что я сказал ранее об абсолютной необходимости этого теста, могло бы показаться, что мы были бы оставлены здесь в полном неведении. Евклид молчит на этот счет, и во всех работах по геометрии принимается как самоочевидное, что два куба с равной стороной равны. Это предположение предполагает, что мы не в таком плохом положении, как были бы без конгруэнтности, как теста равенства в одном или двух измерениях; ибо теперь мы можем по крайней мере быть уверены, что два куба имеют все свои стороны и все свои грани равными. Два таких куба различаются, следовательно, никаким чувственным пространственным качеством, кроме положения, ибо объем, в этом случае во всяком случае, не есть чувственное качество. Они, следовательно, насколько такие качества касаются, неразличимы. Если бы их места были переставлены, мы могли бы знать изменение по их цвету или по некоторому другому негеометрическому свойству; но насколько любое свойство, о котором геометрия может иметь познание, касается, все казалось бы как прежде. Предполагать различие объема, следовательно, значило бы приписать влияние простому положению, что мы видели недопустимым при обсуждении свободной подвижности. Кроме положения, они геометрически неразличимы, и мы можем призвать на помощь тождество неразличимых, чтобы установить их согласие в одном оставшемся геометрическом свойстве объема. Это может показаться довольно странным принципом для использования в математике, и для геометрии их равенство, возможно, лучше всего рассматривать как определение; но если мы требуем философского основания для этого определения, оно, я верю, может быть найдено только в тождестве неразличимых. Мы можем без ошибки сделать наше определение трехмерного равенства покоящимся на двумерной конгруэнтности. Ибо поскольку прямое сравнение относительно объема невозможно, мы свободны определить два объема как равные, когда все их различные линии, поверхности, углы и телесные углы конгруэнтны, поскольку не остается в таком случае никакой измеримой разницы между фигурами, составляющими два объема. Конечно, как только мы установили этот один случай равенства объемов, остальная часть теории следует; как явствует из обычного метода интегрирования объемов, путем деления их на малые кубы.

Таким образом, конгруэнтность помогает установить трехмерное равенство, хотя она не может прямо доказать такое равенство; и тот же философский принцип однородности пространства, посредством которого была доказана конгруэнтность, приходит нам на помощь здесь. Но как насчет правосторонних и левосторонних винтов? Здесь мы более не можем применить тождество неразличимых, ибо эти два очень хорошо различимы. Но как с телами, так и здесь, свободная подвижность может помочь нам много. Она может позволить нам посредством обычного измерения показать, что внутренние отношения обоих винтов одни и те же и что различие лежит только в их отношении к другим вещам в пространстве. Зная эти внутренние отношения, мы можем вычислить посредством геометрии, которую свободная подвижность сделала возможной, все геометрические свойства этих винтов — радиус, шаг и т.д. — и можем показать их быть по отдельности равными в обоих. Но это все, что мы требуем. Опосредованное сравнение возможно, хотя непосредственное сравнение нет. Оба могут, например, быть сравнены с цилиндром, на который оба подошли бы, и таким образом их равенство может быть доказано. Точно такое же доказательство остается в силе, конечно, для других случаев, правых и левых рук, сферических треугольников и т.д. В целом, эти случаи подтверждают мой аргумент; ибо они показывают, как Кант намеревался их показать, существенную относительность пространства.

151. (2) Что касается времени, то здесь никакая конгруэнтность немыслима, ибо для осуществления конгруэнтности всегда требуется — как мы видели на примере твердых тел — на одно измерение больше, чем принадлежит сравниваемым величинам. Никакой день нельзя привести во временное совпадение с другим днем, чтобы показать, что они в точности покрывают друг друга; поэтому мы вынуждены прибегнуть к произвольному допущению, что некоторое движение или совокупность движений, данные нам в опыте, являются равномерными. К счастью, у нас есть большой набор движений, которые все приблизительно согласуются между собой: колебание маятника, вращение и обращение Земли и планет и т. д. Они не согласуются в точности, но они приводят нас к законам движения, с помощью которых мы можем, на основе нашей произвольной гипотезы, оценить их небольшие отклонения от равномерности; точно так же, как допущение свободной подвижности позволило нам измерить отклонения реальных тел от жесткости. Но здесь, как и там, математически открыта другая возможность, которую можно исключить лишь в силу ее философской абсурдности; мы могли бы предположить, что вышеупомянутый набор приблизительно согласующихся движений имеет скорости, которые изменяются приблизительно как некоторая произвольно принятая функция времени, скажем f(t), измеренная от некоторого произвольного начала. Такое допущение по-прежнему сохраняло бы их синхронность в прежней степени и дало бы столь же возможную, хотя и более сложную систему механики; вместо первого закона движения мы имели бы следующий: частица сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного движения со скоростью, изменяющейся как f(t), за исключением тех случаев, когда она вынуждена изменить это состояние под действием внешних сил. Такая гипотеза математически возможна, но, подобно аналогичной гипотезе для пространства, она логически исключается сравнительной природой суждения о количестве, а философски — тем фактом, что она предполагает абсолютное время как определяющий агент в изменении, тогда как время философски никогда не может быть ничем иным, кроме пассивной формы, абстрагированной от изменения. Я ввел эту параллель со временем не как непосредственно относящуюся к аргументу, а как более простой случай, который может послужить иллюстрацией моих рассуждений в более сложном случае пространства. Ибо поскольку время в математике одномерно, математические трудности здесь проще, чем в геометрии; и хотя ничто в точности не соответствует конгруэнтности, здесь существует очень похожее сочетание математической и философской необходимости, дающее, в конечном счете, вполне определенную аксиому в качестве основы измерения времени, соответствующую конгруэнтности как основе измерения пространства.

152. (3) Случай измерения времени наводит на третье из вышеупомянутых возражений против абсолютной необходимости аксиомы свободной подвижности. Психофизика показала, что мы обладаем приблизительной способностью, посредством того, что можно назвать чувством длительности, непосредственно оценивать равные короткие промежутки времени. Это устанавливает грубую меру, независимую от любого предполагаемого равномерного движения, и в пространстве, можно сказать, мы также обладаем подобной способностью непосредственного сравнения. Мы можем видеть при непосредственном осмотре, что деления на линейке не являются грубо неточными; и поэтому, можно сказать, мы обладаем и мерой, независимой от конгруэнтности, и могли бы обнаружить опытным путем любое грубое отклонение от свободной подвижности. Против этого взгляда, однако, с самого начала существует фундаментальное психологическое возражение. Утверждалось, что все наше сравнение пространственных величин осуществляется посредством идеального наложения. Так, Джеймс говорит («Психология», том II, стр. 152): «Даже там, где мы лишь чувствуем, что одно деление смутно больше или меньше другого, разум должен быстро переходить от него к другому делению и получать непосредственный чувственный шок “большего”», и «поскольку деления чувственного пространства должны быть точно измерены друг относительно друга, объективные формы, занимающие одно деление, должны быть прямо или косвенно наложены на другое».

Даже если мы отбросим это фундаментальное возражение, другие все же останутся. Прежде всего, такие суждения о равенстве являются лишь весьма грубыми приближениями и не могут быть применены к линиям длиннее определенного размера, хотя бы по той причине, что такие линии трудно видеть одновременно. Таким образом, этот метод может дать нам некоторую уверенность лишь в нашем непосредственном окружении и никоим образом не может оправдать операции, необходимые для составления карт и т. д., и тем более для измерения астрономических расстояний. Они могли бы лишь позволить нам сказать, что одни линии длиннее других, но они оставили бы геометрию в положении не лучшем, чем положение гедонистического исчисления, в котором мы зависим от чисто субъективной меры. На самом деле, такой метод признается настолько неточным, что линейка является столь же необходимой в повседневной жизни, как и в науке. Кроме того, никто не доверял бы таким непосредственным суждениям, если бы не тот факт, что более строгий критерий конгруэнтности до некоторой степени подтверждает их; если бы мы не могли применить этот критерий, у нас не было бы оснований доверять им даже в той мере, в какой мы это делаем. Таким образом, у нас здесь нет реального выхода из нашей абсолютной зависимости от аксиомы свободной подвижности.

153. (4) Одно последнее пояснительное замечание необходимо, прежде чем наше доказательство этой аксиомы можно будет считать полным. Мы говорили выше о геометрии на яйце, где свободная подвижность не соблюдается. Что, могут спросить меня, есть в полностью неконгруэнтной геометрии такого, что делает ее более невозможной, чем эта геометрия на яйце? Ответ очевиден. Геометрия неконгруэнтных поверхностей возможна только при использовании бесконечно малых величин, а в бесконечно малом все поверхности становятся плоскими. Фундаментальная формула, формула длины бесконечно малой дуги, получается только при допущении, что такая дуга может рассматриваться как прямая линия и что евклидова планиметрия может быть применена в непосредственной окрестности любой точки. Если бы у нас не было нашей евклидовой меры, которую можно перемещать без искажений, у нас не было бы метода сравнения малых дуг в разных местах, и геометрия неконгруэнтных поверхностей потерпела бы крах. Таким образом, аксиома свободной подвижности в отношении трехмерного пространства необходимо подразумевается и предполагается в геометрии неконгруэнтных поверхностей; возможность последней, следовательно, является зависимой и производной возможностью и не может служить аргументом против априорной необходимости конгруэнтности как критерия равенства.

154. Следует заметить, что аксиома свободной подвижности в том виде, как я ее сформулировал, включает также аксиому, которой Гельмгольц дает название монодромии. Она утверждает, что тело не изменяет своих размеров в результате полного оборота на четыре прямых угла, а занимает в конце то же положение, что и в начале. Предполагаемая математическая необходимость выделения этого свойства пространства в отдельную аксиому была опровергнута Софусом Ли (см. гл. I, § 45); философски это, очевидно, частный случай свободной подвижности, и, действительно, особенно очевидный случай, ибо трансляция действительно вносит некоторое изменение в тело, а именно изменение положения, но вращение на четыре прямых угла можно считать совершенным любое количество раз без появления этого в результате, и абсурдность приписывания пространству способности заставлять тела расти в процессе этого очевидна; все, что было сказано выше о конгруэнтности в целом, применимо с еще большей очевидностью к этому частному случаю.

155. Аксиома свободной подвижности предполагает, если она истинна, однородность пространства или полную относительность положения. Ибо если любая форма, возможная в одной части пространства, всегда возможна и в другой, то из этого следует, что все части пространства качественно сходны и, следовательно, не могут быть различимы никаким внутренним свойством. Отсюда положения в пространстве, если наша аксиома верна, должны быть полностью определены внешними отношениями, т. е. положение не является внутренним, а является чисто относительным свойством вещей в пространстве. Короче говоря, если бы существовало нечто вроде абсолютного положения, метрическая геометрия была бы невозможна. Эта относительность положения является фундаментальным постулатом всей геометрии, к которому ведет каждая из необходимых метрических аксиом и из которого, наоборот, каждая из этих аксиом может быть выведена.

156. Это обратное выведение в отношении свободной подвижности не очень сложно и следует из аргументации раздела А, которую я кратко повторю. Во-первых, внешность — это существенно относительное понятие: ничто не может быть внешним по отношению к самому себе. Быть внешним по отношению к чему-то — значит быть иным, имеющим некоторое отношение к этой вещи. Следовательно, когда мы абстрагируем форму внешности от всякого материального содержания и изучаем ее в изоляции, положение будет с необходимостью казаться чисто относительным — оно не может иметь никакого внутреннего качества, ибо наша форма состоит из чистой внешности, а внешность не содержит ни тени, ни следа внутреннего качества. Отсюда мы выводим наш фундаментальный постулат — относительность положения. Из этого следует однородность нашей формы, ибо любое качество в одном положении, которое выделяло бы это положение среди других, было бы по необходимости более или менее внутренним и противоречило бы чистой относительности. Наконец, свободная подвижность следует из однородности, ибо наша форма не была бы однородной, если бы она не допускала в каждой части формы или системы отношений, которые она допускает в любой другой части. Свободная подвижность, следовательно, является необходимым свойством всякой возможной формы внешности.

157. Суммируя только что завершенную аргументацию, мы можем представить ее, в результате двух предыдущих параграфов, в виде завершенного круга. Исходя из условий пространственного измерения, мы обнаружили, что сравнение, необходимое для измерения, может быть осуществлено только путем наложения. Но мы обнаружили далее, что результат такого сравнения будет однозначным только в том случае, если пространственные величины и формы не изменяются при движении в пространстве, иными словами, если формы не зависят от абсолютного положения в пространстве. Но эта аксиома может быть истинной только в том случае, если пространство однородно, а положение лишь относительно. Наоборот, если предположить, что положение лишь относительно, то изменение величины при движении — поскольку оно предполагает утверждение абсолютного положения — невозможно, и наш критерий пространственного равенства, следовательно, адекватен. Но положение в любой форме внешности должно быть чисто относительным, поскольку внешность не может быть внутренним свойством чего-либо. Наша аксиома, следовательно, является априорной в двойном смысле. Она предполагается во всяком пространственном измерении и является необходимым свойством любой формы внешности. Подобная двойная априорность, как мы увидим, проявляется и в других наших необходимых аксиомах.

II. Аксиома размерностей.

158. Мы видели при обсуждении аксиомы свободной подвижности, что всякое положение относительно, то есть положение существует только в силу отношений. Отсюда следует, что если положения вообще могут быть определены, они должны быть однозначно и исчерпывающе определены некоторым конечным числом таких отношений. Если геометрия возможна, то должно быть так, что после того, как задано достаточное количество отношений для однозначного определения точки, ее отношения к любой новой известной точке могут быть выведены из уже заданных отношений. Следовательно, мы получаем в качестве априорного условия геометрии, логически необходимого для ее существования, аксиому о том, что пространство должно иметь конечное целое число измерений. Ибо каждое отношение, требуемое для определения точки, составляет измерение, а дробная часть отношения бессмысленна. Число требуемых отношений должно быть конечным, поскольку бесконечное число измерений было бы практически невозможно определить. Если мы вспомним нашу аксиому свободной подвижности, а также то, что пространство есть континуум, мы можем сформулировать нашу аксиому для метрической геометрии в виде, данном Гельмгольцем (см. гл. I, § 25): «В пространстве n измерений положение каждой точки однозначно определяется измерением n непрерывных независимых переменных (координат)».

159. Столь многое, следовательно, априорно необходимо для метрической геометрии. Ограничение числа измерений тремя, напротив, представляется целиком делом опыта. Это ограничение не может быть логически необходимым, ибо как только мы сформулировали какую-либо аналитическую систему, оно кажется совершенно произвольным. Почему, вынуждены мы спросить, мы не можем добавить четвертую координату к нашим x, y, z или придать геометрический смысл x4? В этой более частной форме мы склонны рассматривать аксиому размерностей, подобно числу жителей города, как чисто статистический факт, не обладающий большей необходимостью, чем такие факты.

Геометрия дает внутреннее свидетельство истинности моего разделения аксиомы размерностей на априорную и эмпирическую части. Ибо в то время как расширение числа измерений до четырех или до n ничего не меняет в планиметрии и стереометрии, а лишь добавляет новую ветвь, которая никоим образом не мешает старой, во всех геометриях предполагается некоторое определенное число измерений, и невозможно представить себе геометрию, которая была бы свободна от этого допущения.

160. Давайте, поскольку этот момент кажется довольно интересным, повторим наше доказательство априорности этой аксиомы с несколько иной точки зрения. Мы начнем на этот раз с наиболее абстрактного понятия пространства, такого, какое мы находим в диссертации Римана или в протяженностях Эрдмана. Мы имеем здесь упорядоченное многообразие, бесконечно делимое и допускающее свободную подвижность. Свободная подвижность предполагает, как мы видели, способность непрерывно переходить от любой одной точки к любой другой по любому пути, который может показаться нам приятным; она также предполагает, что на таком пути не происходит никаких изменений, кроме изменений простого положения, т. е. положения не отличаются друг от друга каким-либо качественным образом. (Это отсутствие качественного различия является отличительным признаком пространства в противоположность другим многообразиям, таким как системы цветов и тонов: в них каждый элемент имеет определенную качественную сенсорную ценность, тогда как в пространстве сенсорная ценность положения целиком зависит от его пространственного отношения к нашему собственному телу и, таким образом, не является внутренней, а относительной.) Из отсутствия качественных различий между положениями логически следует, что положения существуют только в силу других положений; одно положение отличается от другого просто потому, что их два, а не из-за чего-то внутреннего в каждом из них. Положение, таким образом, определяется просто и исключительно отношением к другим положениям. Любое положение, следовательно, полностью определено тогда и только тогда, когда задано достаточно таких отношений, чтобы позволить нам определить его отношение к любой новой точке, причем эта новая точка определяется тем же числом отношений. Теперь, для того чтобы такое определение было вообще возможно, должно быть достаточно конечного числа отношений. Но каждое такое отношение составляет измерение. Следовательно, если геометрия возможна, априорно необходимо, чтобы пространство имело конечное целое число измерений.

161. Ограничение числа измерений тремя, как мы видели, является эмпирическим; тем не менее, оно не подвержено неточности и неопределенности, которые обычно присущи эмпирическому знанию. Ибо альтернативы, которые логика оставляет чувственному восприятию, дискретны — если измерений не три, то их должно быть два, четыре или какое-то другое число, — так что о малых ошибках не может быть и речи. Отсюда окончательная достоверность аксиомы трех измерений, хотя и отчасти обусловленная опытом, находится в совершенно ином порядке, чем, скажем, закон тяготения. В последнем случае могла бы существовать и оставаться незамеченной небольшая неточность; в первом случае ошибка должна была бы быть настолько значительной, что ее было бы совершенно невозможно не заметить. Отсюда следует, что достоверность всей нашей аксиомы о том, что число измерений равно трем, почти так же велика, как и достоверность априорного элемента, поскольку этот элемент оставляет чувственному восприятию определенную дизъюнкцию дискретных возможностей.

III. Аксиома расстояния.

162. Мы уже видели при обсуждении проективной геометрии, что две точки должны определять уникальную кривую — прямую линию. В метрической геометрии соответствующая аксиома состоит в том, что две точки должны определять уникальную пространственную величину — расстояние. Я намерен доказать в дальнейшем: (1) что если бы расстояние как величина, полностью определяемая двумя точками, не существовало, пространственная величина не была бы измеримой; (2) что расстояние может быть определено двумя точками только в том случае, если в пространстве существует реальная кривая, определяемая этими двумя точками; (3) что существование такой кривой может быть выведено из понятия формы внешности, и (4) что применение количества к такой кривой необходимо приводит к определенной величине, а именно к расстоянию, однозначно определяемому любыми двумя точками, которые определяют эту кривую. Вывод будет состоять в том, если эти положения удастся успешно обосновать, что аксиома расстояния является априорной в том же двойном смысле, что и аксиома свободной подвижности, т. е. она предполагается в возможности измерения и необходимо истинна для любой возможной формы внешности.

163. (1) Возможность пространственного измерения позволяет нам сделать вывод о существовании величины, однозначно определяемой любыми двумя точками. Доказательство этого зависит от аксиомы свободной подвижности или ее эквивалента — однородности пространства. Мы видели, что они вовлечены в возможность пространственного измерения; поэтому мы можем использовать их в любой аргументации относительно условий этой возможности.

Теперь, прежде всего, две точки должны, если геометрия возможна, иметь некоторое отношение друг к другу, ибо мы видели, что такие отношения одни составляют положение или локализацию. Но если две точки имеют отношение друг к другу, это должно быть внутреннее отношение. Ибо из аксиомы свободной подвижности следует, что две точки, образующие фигуру, конгруэнтную данной паре, могут быть построены в любой части пространства. Если бы это было невозможно, мы видели, что метрическая геометрия не могла бы существовать. Но обе фигуры можно рассматривать как состоящие из двух точек и их отношения; следовательно, если две фигуры конгруэнтны, из этого следует, что отношение количественно одинаково для обеих фигур, поскольку конгруэнтность является критерием пространственного равенства. Следовательно, две точки имеют количественное отношение, которое таково, что они могут перемещаться по всему пространству в комбинированном движении, никоим образом не изменяя этого отношения. Но в таком общем движении любое внешнее отношение двух точек, любое отношение, включающее другие точки или фигуры в пространстве, должно быть изменено. Следовательно, отношение между двумя точками, будучи неизменным, должно быть внутренним отношением, отношением, не включающим никакой другой точки или фигуры в пространстве; и это внутреннее отношение мы называем расстоянием.

164. Можно было бы возразить против вышеприведенного аргумента, что он содержит petitio principii. Ибо было принято, что две точки и их отношение образуют фигуру, которой могут быть конгруэнтны другие фигуры. Теперь, если две точки не имеют внутреннего отношения, казалось бы, они не могут образовать такую фигуру. Аргумент, следовательно, по-видимому, предполагает то, что он должен был доказать. Почему, могут спросить, не должны ли требоваться три точки, прежде чем мы получим какое-либо отношение, которое свободная подвижность позволяет нам построить заново в других частях пространства?

Ответ на это, как и на соответствующий вопрос в первом разделе этой главы, заключается, я думаю, в пассивности пространства или взаимной независимости его частей. Ибо из этой независимости следует, что любая фигура или любое собрание точек может обсуждаться без ссылки на другие фигуры или точки. Этот принцип является основой бесконечной делимости, использования количества в геометрии и всей возможности изоляции конкретных фигур для обсуждения. Отсюда следует, что две точки не могут зависеть в своем отношении от каких-либо других точек или фигур, ибо если бы они зависели от них, нам пришлось бы предположить некоторое действие таких точек или фигур на рассматриваемые две точки, что противоречило бы взаимной независимости различных положений. Проиллюстрируем примером: отношение двух данных точек не зависит от других точек прямой линии, на которой лежат данные точки. Ибо только через их отношение, т. е. через прямую линию, которую они определяют, другие точки прямой линии могут быть известны как имеющие какую-либо особую связь с данной парой.

165. Но почему, могут спросить, должно быть только одно такое отношение между двумя точками? Почему не несколько? Ответ на это кроется в том факте, что точки целиком состоят из отношений и не имеют никакой собственной внутренней природы. Точка определяется своими отношениями к другим точкам, и когда отношения, необходимые для определения, уже заданы, никакие новые отношения к точкам, использованным при определении, невозможны, поскольку определенная точка не имеет качеств, из которых могли бы проистекать такие отношения. Теперь одно отношение к любой одной другой точке так же хорошо подходит для определения, как и большее их число, поскольку, сколько бы их у нас ни было, все они оставались бы неизменными при комбинированном движении обеих точек. Следовательно, может быть только одно отношение, определяемое любыми двумя точками.

166. (2) Мы таким образом установили наше первое положение — две точки имеют одно и только одно отношение, однозначно определяемое этими двумя точками. Это отношение мы называем их расстоянием. Остается рассмотреть условия измерения расстояния, т. е. насколько уникальное значение расстояния предполагает кривую, однозначно определяемую двумя точками.

Во-первых, некоторая кривая, соединяющая две точки, вовлечена в вышеупомянутое понятие комбинированного движения двух точек или двух других точек, образующих фигуру, конгруэнтную первым двум. Ибо без некоторой такой кривой две пары точек не могут быть признаны конгруэнтными, и у нас не может быть никакого критерия, с помощью которого можно было бы обнаружить, когда пара точек движется как единая фигура. Расстояние, следовательно, должно измеряться некоторой линией, которая соединяет две точки. Но должна ли это быть линия, которую две точки полностью определяют?

167. Мы привыкли к определению прямой линии как кратчайшего расстояния между двумя точками, что подразумевает, что расстояние могло бы с равным успехом измеряться кривыми линиями. Это следствие, я считаю, ложно по следующим причинам. Когда мы говорим о длине кривой, мы можем придать смысл нашим словам, только предполагая кривую разделенной на бесконечно малые прямолинейные дуги, сумма которых дает длину эквивалентной прямой линии; таким образом, если мы не предполагаем заранее прямую линию, у нас нет способа сравнить длины различных кривых, и поэтому мы никогда не сможем обнаружить применимость нашего определения. Можно было бы подумать, возможно, что какая-то другая линия, скажем круг, могла бы быть использована в качестве основы измерения. Но чтобы оценить таким образом длину любой кривой, отличной от круга, нам пришлось бы разделить кривую на бесконечно малые дуги окружности. Теперь две последовательные точки не определяют круг, так что дуга из двух точек имела бы неопределенную длину. Это правда, что если мы исключим бесконечно малые радиусы для измерительных кругов, длины бесконечно малых дуг были бы определенными, даже если бы круги варьировались, но это только потому, что все малые дуги окружности, проходящие через две последовательные точки, совпадают с прямой линией, проходящей через эти две точки. Таким образом, даже с помощью произвольного ограничения конечным радиусом все, что происходит, — это то, что мы возвращаемся к прямой линии. Если, чтобы поправить дело, мы возьмем три последовательные точки нашей кривой и будем исчислять расстояние по дуге круга кривизны, понятие расстояния теряет свое фундаментальное свойство быть отношением между двумя точками. Ибо две последовательные точки дуги тогда не могли бы иметь никакого соответствующего расстояния между ними — потребовались бы три точки, прежде чем понятие расстояния стало бы применимым. Таким образом, круг не является возможной основой для измерения, и подобные возражения, конечно, с большей силой применимы к любой другой кривой. Вся эта аргументация призвана показать в деталях логическую невозможность измерения расстояния любой кривой, не полностью определенной двумя точками, расстояние между которыми требуется найти. Если бы в вышесказанном мы приняли расстояние как измеряемое кругами заданного радиуса, мы ввели бы в его определение отношение к другим точкам, помимо тех двух, расстояние между которыми должно быть измерено, что, как мы видели, является логической ошибкой. Более того, откуда нам знать, что все круги имеют равные радиусы, пока у нас нет независимой меры расстояния?

168. Прямая линия, следовательно, не есть кратчайшее расстояние, а есть просто расстояние между двумя точками — до сих пор этот вывод оставался твердым. Но предположим, у нас есть две или более кривых, проходящих через две точки, и что все эти кривые конгруэнтны inter se. Мы тогда сказали бы, в соответствии с определением пространственного равенства, что длины всех этих кривых равны. Теперь могло бы случиться, что, хотя ни одна из кривых не была однозначно определена двумя конечными точками, общая длина всех кривых была таковой. В этом случае, что помешало бы нам назвать эту общую длину расстоянием, хотя никакая уникальная фигура в пространстве ей не соответствовала? Это случай, рассматриваемый сферической геометрией, где, как на сфере, антиподы могут быть соединены бесконечным числом геодезических, каждая из которых имеет равную длину. Предполагаемая трудность, следовательно, не является чисто воображаемой, а является той, с которой современная геометрия заставляет нас столкнуться. Я, следовательно, обсужу ее довольно подробно.

169. Прежде всего, я должен указать, что моя аксиома не совсем эквивалентна аксиоме Евклида. Аксиома Евклида гласит, что две прямые линии не могут заключать пространство, т. е. не могут иметь более одной общей точки. Теперь, если каждые две точки без исключения определяют уникальную прямую линию, из этого, конечно, следует, что две разные прямые линии могут иметь только одну общую точку — до сих пор две аксиомы эквивалентны. Но может случиться, как в сферическом пространстве, что две точки в общем случае определяют уникальную прямую линию, но не делают этого, когда они находятся друг к другу в особом отношении антиподов. В такой системе каждая пара прямых линий в одной плоскости встречается в двух точках, которые являются антиподами друг друга; но две точки в общем случае все еще определяют уникальную прямую линию. Мы все еще способны, следовательно, получать расстояния из уникальных прямых линий, за исключением предельных случаев; и в таких случаях мы можем взять любую точку, промежуточную между двумя антиподами, соединить ее той же прямой линией с обоими антиподами и измерить ее расстояние от этих антиподов обычным способом. Сумма этих расстояний тогда дает уникальное значение для расстояния между антиподами.

Таким образом, даже в сферическом пространстве нам очень помогает аксиома прямой линии; все линейное измерение осуществляется ею, и исключительные случаи могут быть обработаны с ее помощью обычными методами для пределов. Сферическое пространство, следовательно, не так враждебно, как оно поначалу казалось, априорной необходимости этой аксиомы. Тем не менее мы до сих пор не атаковали ядро возражения, которое предполагало сферическое пространство. К этой атаке мы теперь обязаны приступить.

170. Напомним, что в нашем априорном доказательстве того, что две точки должны иметь одно определенное отношение, мы считали невозможным для этих двух точек иметь по отношению к остальному пространству какое-либо отношение, которое не изменялось бы при движении. Теперь в сферическом пространстве, в частном случае, когда две точки являются антиподами, они имеют отношение к остальному пространству, не изменяющееся при движении, — а именно отношение, состоящее в том, что их расстояние равно половине окружности вселенной. В нашей прежней дискуссии мы предполагали, что любое отношение к внешнему пространству должно быть отношением положения, а отношение положения должно изменяться при движении. Но с конечным пространством, в котором мы имеем абсолютную величину, становится возможным другое отношение, а именно отношение величины. Антиподальные точки, соответственно, подобно совпадающим точкам, больше не определяют уникальную прямую линию. И поучительно заметить, что в результате этого возникает двусмысленность в выражении для расстояния, подобная обычной двусмысленности в угловом измерении. Если 1/k^2 — пространственная константа, а d — одно значение расстояния между двумя точками, то 2πkn ± d, где n — любое целое число, является столь же хорошим значением. Расстояние, короче говоря, есть периодическая функция, подобная углу. Таким образом, такое положение дел скорее подтверждает, чем разрушает мое утверждение, что расстояние зависит от кривой, однозначно определяемой двумя точками. Ибо как только мы отказываемся от этого уникального определения, мы видим, как двусмысленности проникают в наше выражение для расстояния. Расстояние все еще имеет набор дискретных значений, соответствующих тому факту, что при заданной одной точке прямая линия однозначно определена для всех других точек, кроме одной — антиподальной точки. Заманчиво пойти дальше и сказать: если бы через каждую пару точек проходило бесконечное число кривых, используемых при измерении расстояния, расстояние могло бы для той же пары точек принимать не только дискретный ряд, но и бесконечный непрерывный ряд значений.

171. Это, однако, лишь спекуляция. Я перехожу теперь к pièce de résistance моей аргументации. Двусмысленность в сферическом пространстве возникла, как мы видели, из отношения величины к остальному пространству — такое отношение не изменяется при движении двух точек и, следовательно, выпадает из нашей вводной аргументации. Но что это за отношение величины? Просто отношение расстояния между двумя точками к расстоянию, заданному в природе рассматриваемого пространства. Из этого следует, что такое отношение предполагает меру расстояния и, следовательно, не должно рассматриваться в любой аргументации, которая имеет дело с априорными требованиями для возможности определенных расстояний.

172. Я теперь показал, надеюсь, убедительно, что сферическое пространство не дает возражений против априорности моей аксиомы. Любые две точки имеют одно отношение, их расстояние, которое независимо от остального пространства, и это отношение требует в качестве своей меры кривую, однозначно определяемую этими двумя точками. Я мог бы взять быка за рога и сказать: две точки не могут иметь никакого отношения, кроме того, которое задается линиями, соединяющими их, и поэтому, если они имеют отношение, независимое от остального пространства, должна существовать одна линия, соединяющая их, которую они полностью определяют. Так, Джеймс говорит:

«Точно так же, как в области количества отношение между двумя числами есть другое число, так и в области пространства отношения суть факты того же порядка, что и факты, которые они связывают... Когда мы говорим об отношении направления двух точек друг к другу, мы имеем в виду просто ощущение линии, которая соединяет две точки вместе. Линия есть отношение... Отношение положения между верхней и нижней точками вертикальной линии есть эта линия, и ничего больше».

Если бы я был готов использовать эту доктрину в начале, я мог бы избежать всякой дискуссии. Уникальное отношение между двумя точками должно в этом случае включать уникальную линию между ними. Но казалось лучше избежать доктрины, не принятой повсеместно, тем более что я подходил к вопросу с логической, а не с психологической стороны. Однако после устранения возражений интересно найти это подтверждение вышеупомянутой теории с такой иной точки зрения. Действительно, я верю, что доктрина Джеймса могла бы быть доказана как логическая необходимость, а также как психологический факт. Ибо что за вещь может быть пространственным отношением между двумя различными точками? Это должно быть нечто пространственное, и это должно, поскольку точки целиком состоят из своих отношений, быть нечто по крайней мере столь же реальное и осязаемое, как точки, которые оно связывает. По-видимому, нет ничего, что могло бы удовлетворить этим требованиям, кроме линии, соединяющей их. Следовательно, еще раз, уникальное отношение должно включать уникальную линию. То есть линейная величина логически невозможна, если пространство не допускает кривых, однозначно определяемых любыми двумя своими точками.

173. (3) Но далее, существование кривых, однозначно определяемых двумя точками, может быть выведено из природы любой формы внешности. Ибо мы видели при обсуждении свободной подвижности, что эта аксиома вместе с однородностью и относительностью положения может быть так выведена, и мы видели в начале нашего обсуждения расстояния, что существование уникального отношения между двумя точками может быть выведено из однородности пространства. Поскольку положение относительно, мы можем сказать, любые две точки должны иметь некоторое отношение друг к другу: поскольку наша форма внешности однородна, это отношение может сохраняться неизменным, пока две точки движутся в форме, т. е. изменяют свои отношения к другим точкам; следовательно, их отношение друг к другу есть внутреннее отношение, независимое от их отношений к другим точкам. Но поскольку наша форма есть лишь комплекс отношений, отношение внешности должно проявляться в форме с той же очевидностью, что и все остальное в форме; таким образом, если форма интуитивна или сенсорна, отношение должно быть непосредственно представлено, а не быть лишь выводом. Следовательно, внутреннее отношение между двумя точками должно быть уникальной фигурой в нашей форме, т. е. в пространственных терминах, прямой линией, соединяющей две точки.

174. (4) Наконец, мы должны доказать, что существование такой кривой необходимо приводит, когда количество применяется к отношению между двумя точками, к уникальной величине, которую эти две точки полностью определяют. С этим мы вернемся к расстоянию, с которого начали, и завершим круг нашей аргументации.

Мы видели в разделе А § 119, что фигура, образованная двумя точками, проективно неотличима от фигуры, образованной любыми двумя другими точками на той же прямой линии; фигура в обоих случаях есть, с проективной точки зрения, просто прямая линия, на которой лежат две точки. Различие отношения в двух случаях не является качественным, поскольку проективная геометрия не может иметь с ним дело; тем не менее, существует некоторое различие отношения. Например, если одну точку держать неподвижной, а другая движется, очевидно, происходит некоторое изменение отношения. Это изменение, поскольку все части прямой линии качественно одинаковы, должно быть изменением количества. Если две точки, следовательно, определяют уникальную фигуру, должно существовать для различия между различными другими точками этой фигуры уникальное количественное отношение между двумя определяющими точками, и поэтому, поскольку эти точки произвольны, между только двумя точками. Это отношение есть расстояние, с которого наша аргументация началась и к которому она, по крайней мере, возвращается.

175. Подытожим: если точки определяются просто отношениями к другим точкам, т. е. если всякое положение относительно, каждая точка должна иметь к каждой другой точке одно и только одно отношение, независимое от остального пространства. Это отношение есть расстояние между двумя точками. Теперь отношение между двумя точками может быть определено только линией, соединяющей их, — более того, можно утверждать, что отношение может быть только линией, соединяющей их. Следовательно, уникальное отношение включает уникальную линию, т. е. линию, определяемую любыми двумя своими точками. Только в пространстве, которое допускает такую линию, линейная величина является логически возможным понятием. Но как только мы установили возможность в общем случае проведения таких линий и, следовательно, измерения линейных величин, мы можем обнаружить, что определенная величина имеет особое отношение к строению пространства. Прямая линия может оказаться конечной длины, и в этом случае ее длина даст определенную особую величину — пространственную константу. Две антиподальные точки, то есть точки, которые делят пополам всю прямую линию, будут тогда иметь отношение величины, которое, хотя и не изменяется при движении, становится особенным из-за определенного постоянного отношения к остальному пространству. Эта особенность предполагает меру линейной величины в общем случае и не может, следовательно, опровергнуть априорность аксиомы прямой линии. Но она разрушает для точек, имеющих особое антиподальное отношение друг к другу, аргумент, который доказывал, что отношение между двумя точками не может, поскольку оно не изменялось при движении, иметь отношение к остальному пространству. Таким образом, понятно, что для таких особых точек аксиома нарушается и между ними возможно бесконечное число прямых линий; но если бы мы не начали с предположения об общей справедливости аксиомы, мы никогда не смогли бы достичь положения, в котором антиподальные точки могли бы быть известны как особенные, или, действительно, положения, которое позволило бы нам дать какое-либо количественное определение вообще конкретных точек.

Расстояние и прямая линия как отношения, однозначно определяемые двумя точками, являются, таким образом, априорно необходимыми для метрической геометрии. Но далее, они суть свойства, которые должны принадлежать любой форме внешности. Поскольку их необходимость для геометрии была выведена из однородности и относительности положения, а поскольку они являются необходимыми свойствами любой формы внешности, та же аргументация доказывает оба вывода. Мы таким образом получаем, как и в случае свободной подвижности, двойную априорность: аксиома расстояния и ее следствие, аксиома прямой линии, с одной стороны, предполагаются в возможности пространственной величины и не могут, следовательно, быть опровергнуты никаким опытом, вытекающим из измерения пространства; в то время как они являются следствиями, с другой стороны, необходимых свойств любой формы внешности, которая должна сделать возможным опыт внешнего мира.

176. В связи с прямой линией будет удобно обсудить условия метрической системы координат. Проективная система координат, как мы видели, стремится лишь к удобной номенклатуре для различных точек и может быть установлена без введения понятия пространственного количества. Но метрическая система координат делает гораздо больше. Она определяет каждую точку количественно, посредством ее количественных пространственных отношений к некоторой координатной фигуре. Только когда система координат является таким образом метрической, т. е. когда каждая координата представляет некоторую пространственную величину, которая сама по себе есть отношение определяемой точки к некоторой другой точке или фигуре, операции с координатами могут привести к метрическому результату. Когда, как в проективной геометрии, координаты не являются пространственными величинами, никакое преобразование не может дать метрического результата. Я хочу доказать здесь, что метрическая система координат необходимо включает прямую линию и не может без логической ошибки быть установлена на какой-либо другой основе. Проективная система координат, как мы видели, целиком основана на прямой линии; но метрическая система важнее, поскольку ее величины воплощают реальную информацию о пространственных величинах, чего в проективной геометрии нет.

Во-первых, метрические координаты точки составляют ее полное количественное определение; теперь точка может быть определена, как мы видели, только своими отношениями к другим точкам, и эти отношения могут быть определены только с помощью прямой линии. Следовательно, любая метрическая система координат должна включать прямую линию как основу своих определений точек.

Этот априорный аргумент, однако, хотя я верю, что он вполне обоснован, вряд ли убедит кого-либо, убежденного в обратном. Давайте, следовательно, рассмотрим метрические системы координат в деталях и покажем в каждом случае их зависимость от прямой линии.

Мы уже видели, что понятие расстояния невозможно без прямой линии. Мы не можем, следовательно, определить наши координаты ни одним из обычных способов, как расстояния от трех плоскостей, линий, точек, сфер или чего бы то ни было еще. Полярные координаты невозможны, поскольку — отвлекаясь от прямолинейности радиус-вектора — длина радиус-вектора становится бессмысленной. Треугольные координаты включают не только углы, которые должны в пределе быть прямолинейными, но и прямые линии или, во всяком случае, некоторые хорошо определенные кривые. Теперь кривые могут быть метрически определены только двумя способами: либо отношением к прямой линии, как, например, кривизной в любой точке, либо чисто аналитическими уравнениями, которые предполагают понятную систему метрических координат. Какие методы остаются для присвоения этих произвольных значений различным точкам? Более того, как нам получить какую-либо оценку разности — чтобы избежать более специального понятия расстояния — между двумя точками? Само понятие точки стало иллюзорным. Когда у нас есть система координат, мы можем определить точку тремя ее координатами; в отсутствие такой системы мы можем определить понятие точки в общем случае как пересечение трех поверхностей или двух кривых. Здесь мы берем поверхности и кривые как понятия, которые интуиция делает ясными, но если мы хотим, чтобы они дали нам точное числовое определение конкретных точек, мы должны уточнить вид используемой поверхности или кривой. Теперь это, как мы видели, возможно только тогда, когда мы предполагаем заранее либо прямую линию, либо систему координат. Из этого следует, что каждая система координат предполагает прямую линию и логически невозможна без нее.

177. Вышеупомянутые три аксиомы, как мы видели, априорно необходимы для метрической геометрии. Никакие другие не могут быть необходимыми, поскольку метрические системы, логически столь же неуязвимые, как евклидова, и имеющие дело с пространствами столь же однородными и столь же реляционными, были построены метагеометрами без помощи каких-либо других аксиом. Остальные аксиомы евклидовой геометрии — аксиома параллельных, аксиома о том, что число измерений равно трем, и евклидова форма аксиомы прямой линии (две прямые линии не могут заключать пространство) — не являются существенными для возможности метрической геометрии, т. е. не выводимы из того факта, что наука о пространственных величинах возможна. Их скорее следует рассматривать как эмпирические законы, полученные, подобно эмпирическим законам других наук, путем фактического исследования данного предмета — в данном случае, воспринимаемого пространства.

178. Суммируя отличительную аргументацию этого раздела, мы можем придать ей более общую форму и обсудить условия измерения в любом непрерывном многообразии, т. е. качества, необходимые многообразию для того, чтобы величины в нем могли быть определимы не только как «больше» или «меньше», но и как точное «сколько».

Измерение, можно сказать, есть применение числа к континуумам или, если угодно, преобразование простого количества в число единиц. Используя «количество» для обозначения неопределенного «больше» или «меньше», а «величину» — для обозначения точного числа единиц, проблему измерения можно определить как преобразование количества в величину.

Теперь число, прежде всего, есть целое, состоящее из меньших единиц, причем все эти единицы качественно одинаковы. Для того чтобы непрерывное количество могло быть выражено как число, оно должно, с одной стороны, быть само по себе целым, а с другой стороны, быть делимым на качественно сходные части. В аспекте целого количество является интенсивным; в аспекте совокупности частей оно является экстенсивным. Чисто интенсивное количество, следовательно, не является исчислимым — чисто экстенсивное количество, если бы такое можно было вообразить, вообще не было бы единым количеством, поскольку оно должно было бы состоять из полностью несинтезированных частностей. Измеримое количество, следовательно, есть целое, делимое на сходные части. Но непрерывное количество, если оно вообще делимо, должно быть бесконечно делимым. Ибо в противном случае точки, в которых оно могло бы быть разделено, образовали бы естественные барьеры и тем самым разрушили бы его непрерывность. Но далее, недостаточно того, чтобы существовала возможность деления на взаимно внешние части; хотя части, чтобы быть воспринимаемыми как части, должны быть взаимно внешними, они должны также, чтобы быть познаваемыми как равные части, быть способными преодолеть свою взаимную внешность. Для этого, как мы видели, нам требуется наложение, которое включает свободную подвижность и однородность — отсутствие свободной подвижности во времени, где все другие требования измерения выполнены, делает прямое измерение времени невозможным. Следовательно, бесконечная делимость, свободная подвижность и однородность необходимы для возможности измерения в любом непрерывном многообразии, и они, как мы видели, эквивалентны нашим трем аксиомам. Эти аксиомы необходимы, следовательно, не только для пространственного измерения, но и для всякого измерения. Единственное многообразие, данное в опыте, в котором эти условия удовлетворены, есть пространство. Все остальное точное измерение — как можно было бы доказать, я верю, для каждого отдельного случая — осуществляется, как мы видели в случае времени, путем сведения к пространственному корреляту. Это объясняет первостепенную важность для точной науки механистического взгляда на природу, который сводит все явления к движениям во времени и пространстве. Ибо число есть из всех понятий самое легкое для оперирования, и наука ищет везде возможность применить его, но находит эту возможность только посредством пространственных эквивалентов явлений.

179. Мы теперь видели, в чем состоит априорный элемент геометрии. Этот априорный элемент может быть определен как аксиомы, общие для евклидова и неевклидовых пространств, как аксиомы, выводимые из понятия формы внешности, или — в метрической геометрии — как аксиомы, требуемые для возможности измерения. Остается обсудить в заключительной главе некоторые вопросы более общего философского характера, в которых нам придется покинуть твердую почву математики и вступить в спекуляции, которые я выдвигаю очень предварительно и с малой верой в их окончательную обоснованность. Главными вопросами для этой заключительной главы будут два: (1) Как возможна такая априорная и чисто логическая необходимость применительно к фактически данному предмету, как пространство? (2) Как мы можем устранить противоречия, которые преследовали нас в этой главе, возникающие из относительности, бесконечной делимости и безграничного протяжения пространства? Эти два вопроса навязываются нам настоящей главой, но поскольку они открывают некоторые из фундаментальных проблем философии, было бы опрометчиво ожидать окончательного или вполне удовлетворительного ответа. Можно надеяться на несколько намеков и предположений, но полное решение могло бы быть получено только из полной философии, перспективы которой слишком слабы, чтобы поощрять уверенное состояние ума.

СНОСКИ:

[116] См. ниже, «Аксиома расстояния», в разд. B этой главы.

[117] Так, на цилиндре две геодезические, например образующая и винтовая линия, могут иметь любое число точек пересечения — это весьма существенное отличие от плоскости.

[118] Ср. Кремона, «Проективная геометрия» (Clarendon Press, 2-е изд., 1893), с. 50: «Большинство положений в «Началах» Евклида являются метрическими, и нелегко найти среди них пример чисто дескриптивной теоремы».

[119] Там же, с. 226.

[120] Некоторые основания для этого выбора станут ясны, когда мы перейдем к метрической геометрии.

[121] Прямая σa обозначает прямую, общую для плоскостей σ и a, точка σa обозначает точку, общую для плоскости σ и прямой a, и аналогично для остальных обозначений.

[122] Кремона (там же, гл. IX, с. 50) определяет ангармоническое отношение как метрическое свойство, которое не меняется при проекции. Однако это разрушает логическую независимость проективной геометрии, которая может быть сохранена только при чисто дескриптивном определении.

[123] Не существует соответствующего свойства трех точек на прямой, поскольку они могут быть проективно преобразованы в любые другие три точки на той же прямой. См. § 120.

[124] Согласно «Геометрии положения» (Geometrie der Lage) фон Штаудта.

[125] См. Кремона, там же, глава VIII.

[126] Соответствующие определения для двумерного многообразия прямых, проходящих через точку, следуют из принципа двойственности.

[127] Важно отметить, что данное определение точки вводит метрические идеи. Мы видели, что без метрических идей ничто, по-видимому, не дает точке преимущества перед прямой или, по сути, не отличает ее концептуально от прямой. Поэтому обращение к количеству неизбежно при определении точки, если это определение должно быть геометрическим. Неметрическое определение должно было бы быть также негеометрическим. См. гл. IV, §§ 196–199.

[128] §§ 163–175.

[129] Относительно этой аксиомы, однако, ср. § 131.

[130] Доказательство этого положения см. в гл. III, разд. B, «Аксиома размерности».

[131] Прямая и плоскость во всех дискуссиях об общей геометрии не обязательно являются евклидовыми. Это просто фигуры, определяемые, в общем случае, двумя и тремя точками соответственно; соответствуют ли они аксиоме о параллельных и евклидовой форме аксиомы о прямой, в общем определении не рассматривается.

[132] То, что проективная геометрия должна иметь экзистенциальное значение, я попытаюсь доказать в главе IV.

[133] «Логика», книга I, глава II.

[134] Ср. «Логика» Брэдли, с. 63. Будет видно, что смысл, в котором я говорил о пространстве как о принципе дифференциации, не является смыслом «принципа индивидуации», против которого возражает Брэдли.

[135] Гл. IV, §§ 186–191.

[136] Гл. IV, § 201 и сл.

[137] Важно, однако, заметить, что такой способ рассмотрения пространственных отношений является метрическим; с проективной точки зрения отношение между двумя точками — это вся неограниченная прямая, на которой они лежат, и ее не нужно рассматривать как делимую на части или как состоящую из точек.

[138] §§ 207, 208. Cf. Hegel, Naturphilosophie, § 254.

[139] См. гл. IV, §§ 196–199.

[140] См. готовящуюся к печати статью автора «Отношения числа и количества» в журнале Mind, июль 1897 г.

[141] «Логика», том II, гл. VII, с. 211.

[142] Повсюду имеется в виду реальное, в противоположность логическому, различие. Различные аспекты могут сосуществовать в вещи в одно время и в одном месте, но две различные реальные вещи не могут сосуществовать таким образом.

[143] О недостаточности одного лишь времени см. главу IV, § 191.

[144] Геометрически аксиома плоскости состоит не в том, что три точки вообще определяют фигуру, что следует из аксиомы о прямой, а в том, что прямая, соединяющая две произвольные точки плоскости, целиком лежит в этой плоскости. Эта аксиома требует проективного метода построения плоскости, т. е. нахождения всех триад точек, которые определяют ту же проективную фигуру, что и данная триада. Требуемое построение будет получено, если мы сможем найти любую проективную фигуру, определяемую тремя точками, и любой проективный метод достижения других точек, которые определяют ту же фигуру.

Пусть O, P, Q — три точки, проективное отношение которых требуется найти. Тогда нам даны три прямые PQ, QO, OP. Метрически отношение между этими точками складывается из площади, а также величины сторон и углов треугольника OPQ, подобно тому как отношение между двумя точками есть расстояние. Но проективно фигура остается неизменной, когда P и Q перемещаются вдоль OP и OQ, или когда OP и OQ поворачиваются вокруг O таким образом, что по-прежнему пересекают PQ. Это результат общего принципа проективной эквивалентности, сформулированного выше (§§ 108, 109). Следовательно, проективное отношение между O, P, Q такое же, как между O, p, q или O, P′, Q′; то есть p, q и P′, Q′ лежат в плоскости OPQ. Таким образом, можно получить любое число точек на плоскости, и, повторяя построение с новыми триадами, можно достичь любой точки плоскости. Мы должны доказать, что когда плоскость построена таким образом, прямая, соединяющая любые две точки плоскости, целиком лежит в этой плоскости.

Из способа построения очевидно, что любая точка PQ, OP, OQ, OP′ или OQ′ лежит в плоскости. Если мы сможем доказать, что любая точка pq лежит в плоскости, мы докажем все необходимое, поскольку pq может быть преобразована путем последовательных повторений того же построения в любую прямую, соединяющую две точки плоскости. Но мы видели, что одна и та же плоскость определяется O, p, q и O, P, Q. Прямые PQ, pq имеют, следовательно, одно и то же отношение к плоскости. Но PQ целиком лежит в плоскости; следовательно, pq также целиком лежит в плоскости. Таким образом, наша аксиома доказана.

[145] Подробное доказательство было приведено выше, гл. I, 3-й период. Следует заметить, что любое обращение к бесконечно удаленным элементам включает метрические идеи.

[146] Ср. разд. A, §§ 115–117.

[147] Ср. Эрдман, там же, с. 138.

[148] Ср. Эрдман, там же, с. 164.

[149] Строго говоря, этот метод применим только там, где две величины соизмеримы. Но если мы принимаем бесконечную делимость жестко, единицы теоретически могут быть взяты настолько малыми, чтобы получить любую требуемую степень приближения. Трудность заключается в универсальной проблеме применения к континуумам по существу дискретной концепции числа.

[150] Ср. Эрдман, там же, с. 50.

[151] Также называется аксиомой конгруэнтности. Я принял конгруэнтность как определение пространственного равенства посредством наложения и поэтому обычно буду называть эту аксиому «Свободной подвижностью».

[152] О том, в каком смысле эти фигуры следует рассматривать как материальные, см. критику Гельмгольца, глава II, §§ 69 и сл.

[153] Там же, с. 60.

[154] Взгляд Гельмгольца и Эрдмана, что механического опыта здесь достаточно, хотя геометрический опыт нас подводит, обсуждался выше, глава II, §§ 73, 82.

[155] Глава II, § 81.

[156] Глава II, § 72.

[157] Ср. Дельбёф, «L'ancienne et les nouvelles géométries», II, Rev. Phil. 1894, том xxxvii, с. 354.

[158] «Пролегомены», § 13. См. «Commentar» Файхингера, II, с. 518–532, особенно с. 521–522. Вышеизложенное было всей целью Канта в 1768 году, но лишь частью его цели в «Пролегоменах», где также должно было быть доказано интуитивное свойство пространства.

[159] По вопросу измерения времени ср. «Логику» Бозанкета, том I, с. 178–183. Поскольку время в вышеприведенном изложении измеряется движением, его измерение предполагает измерение пространственных величин.

[160] Ср. Штумпф, «Ursprung der Raumvorstellung», с. 68.

[161] Как и другая аксиома Гельмгольца: что возможность наложения не зависит от пути, пройденного для его осуществления.

[162] Ср. §§ 129, 130.

[163] Это выведение практически такое же, как в разд. A, но я изложил его здесь с более специальной отсылкой к пространству и метрической геометрии.

[164] Вопрос: «Отношения к чему?» — это вопрос, содержащий много трудностей. Он будет затронут позже в этой главе и, насколько возможно, решен в четвертой главе. В настоящее время, несмотря на явный порочный круг, я буду рассматривать отношения как отношения к другим положениям.

[165] Wiss. Abh. том II, с. 614.

[166] Ср. Грассман, «Ausdehnungslehre von 1844», 2-е изд., с. XXIII.

[167] Дельбёф, правда, говорит о геометриях с m/n измерениями, но не дает ссылки (Rev. Phil. T. xxxvi, с. 450).

[168] При критике Эрдмана, как мы помним, мы видели, что свободная подвижность является необходимым свойством его протяженностей, хотя он не рассматривает ее как таковую.

[169] Ср. Риман, «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen), Gesammelte Werke, с. 266; также Эрдман, там же, с. 154.

[170] Это подлежит, в сферическом пространстве, модификации, указанной ниже при рассмотрении исключения из аксиомы о прямой. См. §§ 168–171.

[171] Говоря о расстоянии одновременно как о величине и как о внутреннем отношении, я стремлюсь предостеречь от кажущейся непоследовательности. Я говорил о суждении о количестве повсюду как о суждении сравнения; как же тогда количество может быть внутренним? Ответ заключается в том, что, хотя измерение и суждение о количестве выражают результат сравнения, члены сравнения должны существовать до сравнения; в данном случае члены, сравниваемые при измерении расстояний, т. е. при сравнении их inter se, являются внутренними отношениями между точками. Таким образом, хотя измерение расстояния включает отсылку к другим расстояниям и его выражение как величины требует такой отсылки, его существование не зависит от какой-либо внешней отсылки, а исключительно от двух точек, расстояние между которыми оно представляет.

[172] См. конец аргумента о свободной подвижности, § 155 и сл.

[173] В приложении к работе Фришауфа «Абсолютная геометрия по Яношу Бойяи» (Absolute Geometrie nach Johann Bolyai) есть ряд определений, начинающихся со сферы как геометрического места конгруэнтных пар точек, когда одна точка пары фиксирована, и, следовательно, получающих окружность и прямую. Из вышесказанного следует, что сфера, определенная таким образом, уже включает кривую между точками пары точек, посредством которой различные пары точек могут быть признаны конгруэнтными; и по мере нашего продвижения станет ясно, что эта кривая должна быть прямой линией. Определение Фришауфа посредством сферы, таким образом, содержит порочный круг, поскольку сфера предполагает прямую как критерий конгруэнтных пар точек.

[174] Равно как и в любом аргументе, который, подобно аргументам проективной геометрии, вообще избегает понятия величины или расстояния. Отсюда следует, что положения проективной геометрии без оговорок применимы к сферическому пространству, поскольку исключение из аксиомы о прямой возникает только на метрической почве.

[175] «Психология», том II, с. 149–150.

[176] Этот шаг в аргументации был изложен очень кратко, поскольку он является лишь повторением соответствующего аргумента в разд. A и включен здесь только ради логической полноты. См. § 137 и сл.

[177] Ср. Аннекен, «Essai critique sur l'hypothèse des atomes», Париж, 1895, passim.

ГЛАВА IV. ФИЛОСОФСКИЕ ПОСЛЕДСТВИЯ.

180. В настоящей главе мы должны обсудить два вопроса, которые, хотя едва ли являются геометрическими, имеют фундаментальное значение для теории геометрии, изложенной выше. Первый из этих вопросов таков: какое отношение может иметь чисто логическое и дедуктивное доказательство, подобное доказательству из природы формы внешности, к опытному предмету, такому как пространство? Вы всего лишь создали общую концепцию, могут мне сказать, содержащую пространство как частный вид, и затем показали то, что должно было быть очевидным с самого начала, а именно, что эта общая концепция содержит некоторые атрибуты пространства. Но какое основание это дает для рассмотрения этих атрибутов как à priori? Концепция «млекопитающее» имеет некоторые атрибуты лошади; но являются ли эти атрибуты поэтому à priori предикатами лошади? Ответ на это очевидное возражение настолько сложен и включает так много общей философии, что я приберег его для заключительной главы, чтобы не прерывать аргументацию по специально геометрическим темам.

181. Я уже указал в общих чертах основание для рассмотрения свойств любой формы внешности как à priori. Это основание является трансцендентальным, т. е. оно заключается в условиях, необходимых для возможности опыта. Форма внешности, подобно римановым многообразиям, есть общая концепция класса, включающая время, а также евклидовы и неевклидовы пространства. Она, однако, мотивирована не так, как многообразия, количественным сходством с пространством, а тем фактом, что она выполняет, если имеет более одного измерения, все те функции, которые в нашем реальном мире выполняются пространством. Но форма внешности, чтобы достичь этого, должна быть не просто концепцией, а актуально переживаемой интуицией. Следовательно, концепция такой формы есть общая концепция, содержащая под собой всякую логически возможную интуицию, которая может выполнять функцию, актуально выполняемую пространством. А эта функция состоит в том, чтобы сделать возможным опыт разнообразных, но взаимосвязанных вещей. Некоторая форма в чувственном восприятии, концепция которой включена в нашу форму внешности, является, таким образом, à priori необходимой для опыта разнообразия в отношении, и без опыта этого, как показывает современная логика, у нас вообще не было бы никакого опыта. Это все еще оставляет нетронутым отношение à priori к субъективному: форма внешности необходима для опыта, но ее не следует по этой причине объявлять чисто субъективной. Конечно, необходимость для опыта может возникнуть только из природы познающего ума; но из этого не следует, что необходимые условия могли бы быть выполнены, если бы объективный мир не обладал определенными свойствами. Основание необходимости, можно с уверенностью сказать, исходит от ума; но из этого вовсе не следует, что истинность того, что необходимо, зависит только от устройства ума. Там, где это не так, наш вывод, когда знание было объявлено à priori, может быть только таким: вследствие устройства ума опыт будет невозможен, если мир не примет определенные предикаты.

Таков в общих чертах аргумент первой половины этой главы, и таково оправдание для рассмотрения как à priori тех аксиом геометрии, которые были выведены выше из концепции формы внешности. Ибо эти аксиомы, и только они, являются необходимо истинными для любого мира, в котором возможен опыт.

182 [178]. Предложенный взгляд, очевидно, имеет много общего с взглядом «Трансцендентальной эстетики». Действительно, все это, я полагаю, может быть получено путем определенного ограничения и интерпретации классических аргументов Канта. Но поскольку он отличается во многих важных пунктах от выводов, к которым стремился Кант, и поскольку согласие может легко показаться большим, чем оно есть на самом деле, я начну с краткого сравнения и постараюсь, ссылаясь на авторитетную критику, обосновать правомерность моего расхождения с ним.

183. Во-первых, психологический элемент гораздо значительнее в тезисе Канта, чем в моем. Я буду утверждать, правда, что форма внешности, если она должна выполнять свою работу, не должна быть просто концепцией или просто выводом, а должна быть данным элементом в чувственном восприятии — не, конечно, изначально данным в изоляции, но обнаруживаемым путем анализа при внимании к объекту чувственного восприятия [179]. Но Кант утверждал не только то, что этот элемент дан, но и то, что он субъективен. Пространство для него, с одной стороны, не является концептуальным, но, с другой стороны, не является сенсорным. Оно для него не составляет части данных чувств, а добавляется субъективной интуицией, которую он считает не только логически, но и психологически предшествующей объектам в пространстве [180].

Эта часть аргумента Канта для нас совершенно нерелевантна. Дана ли форма внешности в чувстве или в чистой интуиции, для нас неважно, поскольку мы пренебрегаем вопросом о связи à priori и субъективного; в то время как временная приоритетность пространства по отношению к объектам в нем в целом признана нерелевантной для эпистемологии и часто рассматривалась как не составляющая части тезиса Канта [181]. Если мы называем интуитивным все, что дано в чувственном восприятии, то мы можем утверждать, что форма внешности должна быть интуитивной; но является ли она чистой интуицией в кантовском смысле или нет, для нас нерелевантно, как и ее приоритетность по отношению к объектам в ней.

То, что несенсорная природа пространства не является существенной частью логического учения Канта, видно из анализа его аргументации. Во введении он сделал чисто логическое различие материи и формы, но придал этому различению в самый момент его предложения психологический подтекст. Он делает это утверждением, что форма, в которой упорядочена материя ощущений, сама не может быть сенсорной. Из этого допущения, конечно, следует, что пространство не может быть сенсорным. Но допущение совершенно не подкреплено аргументами, будучи изложенным, по-видимому, как самоочевидная аксиома; оно было подвергнуто суровой критике Штумпфом [182] и другими [183] и было описано Файхингером как фатальное petitio principii [184]; оно нерелевантно для логического аргумента, когда этот аргумент отделен, как мы его отделили, от всякой связи с психологической субъективностью; и, наконец, оно оставляет нас во власти психологических теорий пространства, которые в последнее время кажутся малоблагоприятными для чистого кантовского учения.

184. Мы имеем право, следовательно, в эпистемологическом исследовании пренебречь психологическим учением Канта — во всяком случае, в той мере, в какой оно отличает пространственную интуицию от ощущения — и сосредоточиться только на логическом аспекте. Та часть его психологического учения, которая утверждает, что пространство не является просто концепцией, при определенных ограничениях достаточно очевидна применительно к актуальному пространству; но для нас она должна быть преобразована в гораздо более сложный тезис, а именно: никакая форма внешности, которая делает возможным опыт разнообразия в отношении, не может быть просто концептуальной. Этот вопрос, к которому мы должны вернуться позже, больше не является психологическим, а целиком принадлежит эпистемологии.

185. Что же тогда остается ядром, для наших целей, первого аргумента Канта в пользу априорности пространства? Его аргумент в той форме, в которой он его представил, касается эксцентрической проекции ощущений. Чтобы я мог отнести ощущения, говорит он, к чему-то вне меня, я уже должен иметь субъективную форму пространства в уме. В таком виде, как указывает Файхингер (Commentar, II, с. 69, 165), аргумент опирается на petitio principii, ибо только если ощущения необходимо не-пространственны, их проекция требует субъективной формы пространства. Но, далее, касается ли логическая априорность пространства внешности вещей по отношению к нам самим?

Пространство, по-видимому, выполняет две функции: с одной стороны, оно открывает вещи посредством эксцентрической проекции ощущений как внешние по отношению к «Я», в то время как, с другой стороны, оно открывает одновременно представленные вещи как взаимно внешние. Эти две функции, хотя их часто рассматривают как координатные и почти эквивалентные [185], кажутся мне весьма различными. Прежде чем мы обсудим априорность пространства, мы должны, я думаю, тщательно различить эти две функции и решить, о какой из них мы будем спорить.

Теперь внешность по отношению к «Я», по-видимому, должна неизбежно поднять весь вопрос о природе и границах Эго, и, более того, она не может быть выведена из пространственного представления, если мы не придадим «Я» определенного положения в пространстве. Но вещи приобретают положение в пространстве только тогда, когда они могут появиться в чувственном восприятии; мы вынуждены, следовательно, если принимаем этот взгляд на функцию пространства, рассматривать «Я» как феномен, представленный чувственному восприятию. Но это сводит внешность по отношению к «Я» к внешности по отношению к телу. Тело, однако, есть представленный объект, как и любой другой, и внешность объектов по отношению к нему, следовательно, есть частный случай взаимной внешности представленных вещей. Следовательно, мы не можем рассматривать пространство как дающее, во всяком случае первично, внешность по отношению к «Я», а только взаимную внешность вещей, представленных чувственному восприятию [186].

186. Это, следовательно, тот вид внешности, который мы должны ожидать от пространства, и наш вопрос должен быть таким: было бы существование разнообразных, но взаимосвязанных вещей непознаваемым, если бы в чувственном восприятии не было некоторой формы внешности? Это решающий вопрос, от которого зависит априорность нашей формы, а следовательно, и необходимых аксиом геометрии.

187. Обратный аргумент моему, аргумент от пространственно-временного элемента в восприятии к миру взаимосвязанных, но разнообразных вещей, подробно развит в «Логике» Брэдли. Он кратко изложен в следующем предложении (с. 44, примечание): «Если пространство и время непрерывны, и если всякое явление должно занимать некоторое время или пространство — а нетрудно поддержать оба этих тезиса, — мы можем сразу перейти к заключению: не существует никакого простого единичного. Каждое явление будет существовать в более чем одном времени или пространстве; и по отношению к этому разнообразию оно само будет универсалией [187]». Важность этого факта становится ясной, когда мы учитываем, что если бы существовало какое-либо просто единичное, то всякое суждение и вывод относительно этого единичного были бы невозможны, поскольку все суждение и вывод необходимо оперируют посредством универсалий. Но вся реальность сконструирована из «Это» непосредственного представления, из которого неизбежно проистекают суждение и вывод. Однако из-за непрерывности и относительности пространства и времени ни одно «Это» не может рассматриваться ни как простое, ни как самосущее. Каждое «Это», с одной стороны, может быть проанализировано на «Это»-вещи, а с другой стороны, обнаруживается как необходимо связанное с другими вещами вне пределов данного объекта чувственного восприятия. Эта функция пространства и времени предполагается в следующем утверждении из «Логики» Бозанкета (том I, с. 77–78): «Реальность дана мне в настоящем чувственном восприятии и в непосредственном чувстве моего собственного чувствующего существования, которое идет вместе с ним. Реальный мир как определенная организованная система есть для меня расширение этого настоящего ощущения и чувства себя посредством суждения, и сущность суждения состоит в том, чтобы осуществлять и поддерживать такое расширение... Субъект в каждом суждении восприятия есть некоторое данное место или точка в чувственном контакте с воспринимающим «Я». Но, поскольку вся реальность непрерывна, субъект не есть просто это данное место или точка».

188. Это учение Брэдли и Бозанкета является обратным эпистемологическому учению, которое я должен отстаивать. Благодаря непрерывности и относительности пространства и времени, говорят они, мы способны сконструировать систематический мир посредством суждения и вывода из того фрагментарного и все же необходимо сложного существования, которое дано в чувственном восприятии. Мое утверждение, наоборот, состоит в том, что, поскольку все знание необходимо выводится путем расширения «Это» чувственного восприятия и поскольку такое расширение возможно только в том случае, если «Это» обладает тем фрагментарным и все же сложным характером, который придается формой внешности, следовательно, некоторая форма внешности, данная вместе с «Это», существенна для всякого знания и, таким образом, логически à priori. Аргумент Брэдли, если он верен, уже доказывает это утверждение; ибо, хотя, с одной стороны, он не использует никаких свойств пространства и времени, кроме тех, которые принадлежат каждой форме внешности, он доказывает, с другой стороны, что суждение и вывод требуют, чтобы «Это» не было ни единичным, ни самосущим. Но я попытаюсь, поскольку этот пункт имеет фундаментальное значение, воспроизвести доказательство в форме, более подходящей, чем у Брэдли, для эпистемологического вопроса.

189. Сущность моего утверждения заключается в том, что если опыт должен быть возможен, то каждое сенсорное «Это» должно, при внимании к нему, обнаруживаться, с одной стороны, разложимым на «Это»-вещи, а с другой стороны, зависимым в отношении некоторых своих предикатов от внешней отсылки. Второй из этих тезисов следует из первого, ибо если мы возьмем одно из «Это», содержащихся в первом «Это», мы получим новое «Это», необходимо связанное с другими «Это», которые составляют исходное «Это». Я могу, следовательно, ограничиться первым положением, которое утверждает, что объект восприятия должен содержать разнообразие не только концептуального содержания, но и существования, и что это может быть познано только в том случае, если чувственное восприятие содержит в качестве элемента некоторую форму внешности.

Моя посылка в этом аргументе состоит в том, что всякое знание включает признание разнообразия в отношении, или, если мы предпочитаем, тождества в различии. Эту посылку я принимаю из логики как результат анализа суждения и вывода. Чтобы доказать такую посылку, потребовался бы трактат по логике; я должен поэтому отослать читателя к работам Брэдли и Бозанкета по этому предмету. Из моей посылки сразу следует, что знание было бы невозможно, если бы объект внимания не мог быть сложным, т. е. не был бы просто единичным. Мог ли бы ментальный объект — т. е. в этой связи объект познания — быть сложным, если бы объект непосредственного восприятия был всегда простым?

190. Мы могли бы быть склонны на первый взгляд ответить на этот вопрос утвердительно. Но несколько трудностей, я думаю, предотвратили бы такой ответ. Во-первых, знание должно начинаться с восприятия. Следовательно, либо мы не могли бы иметь никакого знания, кроме нашего настоящего восприятия, либо мы должны быть способны противопоставлять и сравнивать его с каким-то другим восприятием. Теперь в первом случае, поскольку настоящее восприятие, по гипотезе, есть просто единичное, знание о нем невозможно, согласно нашей посылке. Но во втором случае другое восприятие, с которым мы сравниваем наше первое, должно было произойти в какое-то другое время, и со временем мы сразу получаем форму внешности. Но что более важно, наше настоящее восприятие больше не является просто единичным. Ибо способность сравнивать его с другим восприятием включает точку тождества между ними и, таким образом, делает оба сложными. Более того, время должно быть непрерывным, и настоящее, как указывает Брэдли, не есть просто точка времени [188]. Таким образом, наше настоящее восприятие содержит сложность, вовлеченную в длительность на протяжении «специозного настоящего»: его простое единичное существование и его простота утрачены. Его самосущность также утрачена, ибо за пределами «специозного настоящего» лежат прошлое и будущее, к которым наше настоящее восприятие, таким образом, неизбежно нас отсылает. Время, по крайней мере, поэтому существенно для того тождества в различии, которое постулирует всякое знание.

191. Но мы не вывели из всего этого никакого основания для утверждения множественности реальных вещей или формы внешности более чем одного измерения, которая, как мы видели, была необходима для истинности двух из трех наших аксиом. Это подводит нас к вопросу: достаточно ли нам одного времени как формы внешности для возможности знания?

На этот вопрос мы должны, я думаю, ответить отрицательно. С одним лишь временем, как мы видели, наш представленный объект должен быть сложным, но его сложность должна, если я могу использовать такую фразу, быть чисто предикативной. Без второй формы внешности только одна вещь может быть дана в один момент [189], и эта одна вещь, следовательно, должна составлять весь наш мир. Объект прошлого восприятия должен — поскольку наша одна вещь не имеет ничего внешнего по отношению к ней, чем она могла бы быть создана или уничтожена — рассматриваться как та же самая вещь в другом состоянии. Сложность, следовательно, будет лежать только в изменяющихся состояниях нашей одной вещи — она будет предикативной, а не субстанциальной. Более того, у нас есть следующая дилемма: либо эта одна вещь должна быть нами самими, либо самосознание никогда не могло бы возникнуть. Но главная трудность такого мира заключалась бы в изменениях вещи. Что могло бы вызвать эти изменения, поскольку мы не знали бы ничего внешнего по отношению к нашей вещи? Это было бы похоже на лейбницевскую монаду, без какого-либо Бога вне ее, чтобы заранее упорядочить ее изменения. Причинность в таком мире не могла бы быть применена, и изменение было бы совершенно необъяснимым.

Следовательно, нам требуется также возможность разнообразия одновременно существующих вещей, а не просто последовательных предикатов; и это, как мы видели, не может быть дано одним лишь временем, а только формой внешности для одновременных частей одного представления. Мы никогда, иными словами, не могли бы вывести существование разнообразных, но взаимосвязанных вещей, если бы объект чувственного восприятия не мог обладать субстанциальной сложностью, а для такой сложности нам требуется форма внешности, отличная от времени. Такая форма, более того, как было показано в главе III, разд. A (§ 135), может выполнять свои функции только в том случае, если она имеет более одного измерения. В нашем реальном мире эта форма дана пространством; в любом мире, познаваемом существами с нашими законами мышления, некоторая такая форма, как мы теперь увидели, должна быть дана в чувственном восприятии.

Этот аргумент можно кратко суммировать, приняв доктрину Брэдли о том, что всякое знание получается путем вывода из «Это» чувственного восприятия. Ибо, если это так, то «Это» — чтобы вывод, зависящий от тождества в различии, был вообще возможен — само должно быть сложным и при анализе должно обнаруживать прилагательные, имеющие отношение за пределами самого себя. Но это, как было показано выше, может произойти только посредством формы внешности. Это устанавливает априорные аксиомы геометрии как необходимо имеющие экзистенциальное значение и значимость в любом умопостигаемом мире.

192. Вышеприведенный аргумент, надеюсь, объяснил, почему я считаю возможным вывести из простого понятия, подобного понятию формы внешности, логическую априорность определенных аксиом относительно воспринимаемого пространства. Кантовский аргумент — который был верен, если наши рассуждения были здравыми, в утверждении, что реальное многообразие в нашем действительном мире может быть познано только с помощью пространства — ошибался лишь в той мере, в какой простирается его чисто логический охват, упуская из виду возможность других форм внешности, которые могли бы, если бы они существовали, выполнять ту же задачу с равной эффективностью. Таким образом, поскольку пространство отличается от этих других концепций возможных интуитивных форм, оно является лишь эмпирическим фактом, в то время как, поскольку его свойства являются теми, которыми должны обладать все такие формы, оно априорно необходимо для возможности опыта.

Я не могу, однако, надеяться, что у читателя не останется трудностей при таком выведении из абстрактных концепций свойств фактического данного в чувственном восприятии. Рассмотрим, например, такое свойство, как непроницаемость. Предположить две вещи одновременно в одном и том же положении в форме внешности — значит допустить логическое противоречие; но можем ли мы сказать то же самое о действительном пространстве и времени? Не является ли невозможность здесь делом опыта, а не логики? Нет, если вышеприведенный аргумент был здравым, отвечаю я. Ибо в этом случае мы выводим реальное многообразие, т.е. существование различных вещей, только из различия положения в пространстве или времени. Отсюда следует, что предполагать две вещи в одной и той же точке пространства и времени — все еще логическое противоречие: не потому, что мы сконструировали данные чувств из логики, а потому, что логика зависит, в отношении своего применения, от природы этих данных. Этот пример иллюстрирует то, что я стремлюсь прояснить: мой аргумент не пытался сконструировать живое богатство чувственного восприятия из «бескровных категорий», а лишь указать на то, что, если бы чувственное восприятие не содержало определенного элемента, эти категории были бы бессильны справиться с ним.

193. Как нам объяснить счастливую реализацию этих требований — посредством ли предустановленной гармонии, дарвиновской адаптации к нашей среде, субъективности ли необходимого элемента в чувственном восприятии или фундаментального тождества и единства между нами и остальной реальностью — это дальнейший вопрос, относящийся скорее к метафизике, чем к нашему нынешнему ходу рассуждений. Априорное, как мы говорили на протяжении всего текста, — это то, что необходимо для возможности опыта, и в этом у нас есть чисто логический критерий, дающий результаты, которые могут доказать или опровергнуть только логика и эпистемология. То, что субъективно в опыте, напротив, является прежде всего вопросом для психологии и должно решаться исключительно на психологических основаниях. Когда на эти два вопроса будут даны отдельные ответы, но не раньше, мы сможем выстраивать теории относительно связи априорного и субъективного; позволить таким теориям влиять на наше решение по любому из двух предыдущих вопросов, безусловно, чревато путаницей и препятствует четкому различению фундаментально различных точек зрения.

194. Я перехожу теперь ко второму вопросу, с которым должна иметь дело эта глава, а именно: что нам делать с противоречиями, которые навязывали себя в главе III всякий раз, когда мы подходили к пункту, казавшемуся фундаментальным? Я рассмотрю этот вопрос кратко, так как мне мало что можно добавить к ответам, с которыми мы все знакомы. Мне остается лишь доказать, во-первых, что противоречия неизбежны и поэтому не составляют возражения против моего аргумента; во-вторых, что первый шаг к их устранению состоит в восстановлении понятия материи как того, что в данных чувственного восприятия локализовано и взаимосвязано в пространстве.

195. Противоречия в пространстве — древняя тема, столь же древняя, на самом деле, как опровержение движения Зеноном. Они, грубо говоря, бывают двух видов, хотя эти два вида нельзя резко разделить. Существуют противоречия, присущие понятию континуума, и противоречия, проистекающие из того факта, что пространство, хотя оно должно, чтобы быть познаваемым, быть чистой относительностью, должно также, по-видимому, поскольку оно непосредственно переживается, быть чем-то большим, чем просто отношения. Первый класс противоречий чаще встречался в этом эссе и, я думаю, является более определенным и более важным для нашей нынешней цели. Я сомневаюсь, однако, действительно ли эти два класса различны; ибо любой континуум, в котором элементы, я полагаю, не являются данными, а представляют собой интеллектуальные конструкции, возникающие в результате анализа, может быть показан как обладающий тем же реляционным, и все же не полностью реляционным характером, который принадлежит пространству.

Три следующих противоречия, которые я буду обсуждать последовательно, кажутся мне наиболее заметными в теории геометрии.

(1) Хотя части пространства интуитивно различаются, никакая концепция не является адекватной для их дифференциации. Отсюда возникает тщетный поиск элементов, с помощью которых можно было бы осуществить дифференциацию, и целого, компонентами которого должны быть части пространства. Таким образом, мы получаем точку, или нулевую протяженность, как пространственный элемент, и бесконечный регресс или порочный круг в поиске целого.

(2) Поскольку все положения относительны, положения могут быть определены только через их отношения, т.е. через прямые линии или плоскости, проходящие через них; но прямые линии и плоскости, будучи все качественно подобными, могут быть определены только через положения, которые они связывают. Следовательно, мы снова получаем порочный круг.

(3) Пространственные фигуры должны рассматриваться как отношения. Но отношение необходимо неделимо, в то время как пространственные фигуры необходимо делимы ad infinitum.

196. (1) Точки. Антиномия точки — которая возникает везде, где дан континуум и в нем должны быть найдены элементы — является фундаментальной для геометрии. Она была дана, возможно, непреднамеренно, Веронезе в качестве первой аксиомы в форме: «Существуют различные точки. Все точки идентичны» (op. cit. стр. 226). Мы видели при обсуждении проективной геометрии, что прямые линии и плоскости должны рассматриваться, с одной стороны, как отношения между точками, а с другой стороны, как состоящие из точек [190]. Мы видели также при рассмотрении измерения, как пространство должно рассматриваться как бесконечно делимое и в то же время как простая относительность. Но то, что делимо и состоит из частей, как пространство, должно в конечном итоге, путем продолженного анализа, привести к простой и неанализируемой части как единице дифференциации. Ибо все, что может быть разделено и имеет части, обладает некоторой вещностью и должно, следовательно, содержать две предельные единицы: целое, а именно, и наименьший элемент, обладающий вещностью. Но в пространстве это, как известно, не так. После гипостазирования пространства, к чему вынуждена геометрия, разум настоятельно требует элементов и настаивает на их наличии, возможны они или нет. Свидетельством этого требования являются все геометрические приложения исчисления бесконечно малых [191]. Но какие элементы мы таким образом получаем? Анализ, будучи не в состоянии найти какую-либо более раннюю остановку, находит свои элементы в точках, то есть в нулевых квантах пространства. Такая концепция является явным противоречием, терпимым лишь в силу своей необходимости и привычности. Точка должна быть пространственной, иначе она не выполняла бы функцию пространственного элемента; но опять же она не должна содержать пространства, ибо любая конечная протяженность способна к дальнейшему анализу. Точки никогда не могут быть даны в интуиции, которая не имеет дела с бесконечно малым: они являются чисто концептуальной конструкцией, возникающей из потребности в терминах, между которыми могут существовать пространственные отношения. Если пространство — это нечто большее, чем относительность, пространственные отношения должны включать пространственные релаты; но никакие релаты не появляются, пока мы не проанализируем наши пространственные данные до нуля. Противоречивое понятие точки как вещи в пространстве без пространственной величины — единственный результат нашего поиска пространственных релат. Это reductio ad absurdum, безусловно, само по себе достаточно, чтобы доказать существенную относительность пространства.

197. Таким образом, геометрия вынуждена, поскольку она желает рассматривать пространство как независимое, гипостазировать свои абстракции и, следовательно, изобретать самопротиворечивое понятие в качестве пространственного элемента. Подобная нелепость проявляется, еще более очевидно, в понятии целого пространства. Антиномию можно, следовательно, сформулировать так: пространство, как мы видели на протяжении всего текста, должно, если знание о нем возможно, быть простой относительностью; но оно должно также, если возможно независимое знание о нем, к которому стремится геометрия, быть чем-то большим, чем просто относительность, поскольку оно делимо и имеет части. Но мы видели в гл. III, раздел А (§ 133), что знание формы внешности должно быть логически независимым от конкретной материи, заполняющей эту форму. Как же тогда нам выбраться из этой дилеммы?

Единственный способ, я думаю, состоит не в том, чтобы сделать геометрию зависимой от физики, что, как мы видели, ошибочно [192], а в том, чтобы придать каждому геометрическому предложению определенное отношение к материи вообще. И в этом пункте необходимо сделать важное различие. Мы до сих пор говорили о пространстве как о реляционном, а о пространственных фигурах как об отношениях. Но пространство, по-видимому, является скорее относительностью, чем отношениями — само по себе не являясь отношением, оно дает голую возможность отношений между разнообразными вещами [193]. Применительно к пространственной фигуре, которая может возникнуть только путем дифференциации пространства и, следовательно, путем введения некоторой дифференцирующей материи, слово «отношение», возможно, менее вводит в заблуждение, чем любое другое; применительно к пустому недифференцированному пространству оно, по-видимому, отнюдь не является точным описанием.

Но голая возможность не может существовать или быть дана в чувственном восприятии! Что же тогда становится с аргументами первой части этой главы? Я отвечаю: не пустое пространство, а пространственные фигуры открывает чувственное восприятие, и пространственные фигуры, как мы только что видели, предполагают дифференциацию пространства и, следовательно, отсылку к материи, которая находится в пространстве. Именно с пространственными фигурами, а не с пустым пространством, имеет дело геометрия. Обсуждаемая выше антиномия возникает тогда — так кажется — из попытки иметь дело с пустым пространством, а не с пространственными фигурами и материей, к которой они необходимо отсылают.

198. Посмотрим, сможем ли мы с помощью этого изменения преодолеть антиномию точки. Пространственные фигуры, скажем мы теперь, суть отношения между материей, которая дифференцирует пустое пространство. Их делимость, которая, казалось, противоречила их реляционному характеру, может быть объяснена двумя способами: во-первых, как относящаяся к фигурам, рассматриваемым как части пустого пространства, которое само по себе не является отношением; во-вторых, как обозначающая возможность непрерывного изменения в отношении, выраженном пространственной фигурой. Эти два способа, по сути, одни и те же; ибо пустое пространство есть возможность отношений, и фигура, рассматриваемая в связи с пустым пространством, становится таким образом возможным отношением, с которым другие возможные отношения могут быть противопоставлены или сравнены. Но второй способ рассмотрения делимости лучше, поскольку он вводит отсылку к материи, которая дифференцирует пустое пространство, без чего пространственные фигуры, а следовательно, и геометрия, не могли бы существовать. Именно пустое пространство, следовательно — так мы должны заключить — порождает рассматриваемую антиномию; ибо пустое пространство есть голая возможность отношений, недифференцированная и однородная, и, таким образом, полностью лишенная частей или вещности. Говорить о частях возможности — бессмыслица; части и дифференциации возникают только через отсылку к материи, которая дифференцирована в пространстве.

199. Но какую природу мы должны приписать этой материи, которая должна быть вовлечена во все геометрические предложения? При критике Гельмгольца (гл. II, § 73), можно вспомнить, мы решили, что геометрия относится к особому и абстрактному виду материи, которая не рассматривается как обладающая какими-либо причинными качествами, как оказывающая или подвергающаяся действию сил. И это та материя, я думаю, которая нам нужна для нужд момента. Не то чтобы мы утверждали, конечно, что действительная материя может быть лишена свойств, с которыми имеет дело физика, но что мы абстрагируемся от этих свойств как нерелевантных для геометрии. Все, что нам нужно для нашей непосредственной цели, — это субъект того многообразия, которое делает возможным пространство, или термины для тех отношений, которыми пустое пространство, если пространство вообще должно изучаться, должно быть дифференцировано. Но как должна рассматриваться материя, которая должна выполнять эту функцию?

Пустое пространство, сказали мы, есть возможность многообразия в отношении, но пространственные фигуры, с которыми необходимо имеет дело геометрия, суть действительные отношения, ставшие возможными благодаря пустому пространству. Наша материя, следовательно, должна поставлять термины для этих отношений. Она должна быть дифференцирована, поскольку такая дифференциация, как мы видели, есть особая работа пространства. Мы должны найти, следовательно, в нашей материи ту единицу дифференциации, или атом [194], которую в пространстве мы не могли найти. Этот атом должен быть простым, т.е. он должен содержать никакого реального многообразия; он должен быть «Это», не разложимым на «Это-вещи». Будучи простым, он не может содержать отношений внутри себя, и, следовательно, поскольку пространственные фигуры суть лишь отношения, он не может появиться как пространственная фигура; ибо каждая пространственная фигура включает некоторое многообразие материи. Но наш атом должен иметь пространственные отношения с другими атомами, поскольку поставка терминов для этих отношений — его единственная функция. Он также способен иметь эти отношения, поскольку он дифференцирован от других атомов. Следовательно, мы получаем непротяженный термин для пространственных отношений, именно того вида, который нам требуется. Пока мы искали этот термин без отсылки к чему-либо, кроме пространства, самопротиворечивое понятие точки было единственным результатом нашего поиска; но теперь, когда мы допускаем отсылку к материи, дифференцированной пространством, мы сразу находим термин, который был нужен, а именно: непространственный простой элемент с пространственными отношениями к другим элементам. Для геометрии такой термин будет выглядеть, благодаря своим пространственным отношениям, как точка; но противоречие точки, как мы теперь видим, есть результат лишь чрезмерной абстракции, с которой имеет дело геометрия.

200. (2) Круг в определении прямых линий и плоскостей. Эта трудность не должна долго задерживать нас, поскольку мы уже, с помощью материального атома, прорвались через относительность, которая вызвала наш круг. Прямые линии в чисто геометрической процедуре определяются только точками, а точки — только прямыми линиями. Но точки теперь заменены материальными атомами: двойственность точек и линий, следовательно, исчезла, и прямая линия может быть определена как пространственное отношение между двумя непротяженными атомами. Эти атомы имеют пространственные прилагательные, производные от их отношений к другим атомам; но они не имеют внутренних пространственных прилагательных, таких, которые могли бы принадлежать им, если бы они имели протяженность или фигуру. Таким образом, прямые линии и плоскости являются истинными пространственными единицами, а точки возникают только из попытки найти внутри пространства те термины для пространственных отношений, которые существуют только в более чем пространственной материи. Прямые линии, плоскости и объемы суть пространственные отношения между двумя, тремя или четырьмя непротяженными атомами, а точки — лишь удобная геометрическая фикция, которой заменяются возможные атомы. Ибо, поскольку пространство, как мы видели, есть возможность, геометрия имеет дело не с фактически реализованными пространственными отношениями, а со всей схемой возможных отношений.

201. (3) Пространство является одновременно реляционным и чем-то большим, чем реляционным. Мы уже коснулись вопроса о том, насколько пространство является чем-то иным, чем отношения, но поскольку этот вопрос совершенно фундаментален, поскольку «отношение» — двусмысленное и опасное слово, поскольку я постоянно использовал относительность пространства, не пытаясь определить отношение, будет необходимо обсудить эту антиномию подробно.

202. Теперь для этого обсуждения важно четко различать пустое пространство и пространственные фигуры. Пустое пространство как форма внешности — это не актуальные отношения, а возможность отношений: если мы приписываем ему экзистенциальное значение как основанию в реальности всего многообразия в отношении, мы сразу получаем пространство как нечто, само по себе не являющееся отношениями, хотя и дающее возможность всех отношений. В этом смысле пространство следует отличать от пространственного порядка. Пространственный порядок, можно сказать, предполагает пространство как то, в чем этот порядок возможен. Так, Штумпф говорит [195]: «Нет порядка или отношения без позитивного абсолютного содержания, лежащего в его основе и делающего возможным упорядочивание чего-либо таким образом. Почему и как иначе мы должны были бы отличать один порядок от другого?... Чтобы отличить различные порядки друг от друга, мы должны везде признать особое абсолютное содержание, по отношению к которому происходит порядок. И поэтому пространство тоже — не просто порядок, а именно то, посредством чего пространственный порядок, рядоположенность (Nebeneinander), отличает себя от остального».

Не можем ли мы тогда разрешить антиномию очень просто, сославшись на эту двусмысленность пространства? Брэдли утверждает (Appearance and Reality, стр. 36–7), что, с одной стороны, пространство имеет части и поэтому не является просто отношениями, в то время как, с другой стороны, когда мы пытаемся сказать, что это за части, мы обнаруживаем, что они, в конечном счете, являются просто отношениями. Но нельзя ли пространство, которое имеет части, рассматривать как пустое пространство, абсолютное лежащее в основе содержание Штумпфа, которое не является просто отношениями, в то время как части, поскольку они оказываются просто отношениями, — это те отношения, которые составляют пространственный порядок, а не пустое пространство? Если это можно утверждать, антиномия больше не существует.

Но такое объяснение, хотя я верю, что это первый шаг к решению, само, боюсь, потребует почти столько же объяснений, сколько и первоначальная трудность. Ибо связь пустого пространства с пространственным порядком сама по себе является вопросом, полным трудностей, на который можно ответить только после большого труда.

203. Рассмотрим, что такое это пустое пространство. (Я говорю о «пустом» пространстве, не обязательно подразумевая отсутствие материи, а лишь для обозначения пространства, которое не является просто порядком материальных вещей.) Штумпф рассматривает его как данное в чувстве; Кант, в последних двух аргументах своей метафизической дедукции, утверждает, что это интуиция, а не концепт, и она должна быть познана до того, как станет возможным пространственный порядок. Я хочу утверждать, напротив, что оно полностью концептуально; что пространство дано только как пространственный порядок; что пространственные отношения, будучи данными, предстают как нечто большее, чем просто отношения, и поэтому становятся гипостазированными; что при гипостазировании вся их совокупность рассматривается как содержащаяся в пустом пространстве; но что это пустое пространство само по себе, если оно означает нечто большее, чем логическую возможность пространственных отношений, является ненужным и самопротиворечивым допущением. Начнем с рассмотрения аргументов Канта по этому пункту.

Лейбниц утверждал, что пространство — это только отношения, в то время как Ньютон настаивал на объективной реальности абсолютного пространства. Кант выбрал средний путь: он утверждал абсолютное пространство, но рассматривал его как чисто субъективное. Утверждение абсолютного пространства является объектом его второго аргумента; ибо если бы пространство было просто отношениями между вещами, оно неизбежно исчезло бы с исчезновением вещей в нем; но это второй аргумент отрицает [196]. Теперь пространственный порядок, очевидно, исчезает с материей, но абсолютное или пустое пространство может предполагаться остающимся. Именно об этом, следовательно, спорит Кант, и именно это он утверждает как чистую интуицию, необходимо предполагаемую пространственным порядком [197].

204. Но можем ли мы согласиться в рассмотрении пустого пространства, «бесконечного данного целого», как действительно данного? Не должны ли мы, вопреки аргументу Канта, рассматривать его как полностью концептуальное? Оно не требуется, во-первых, аргументом первой половины этой главы, который требовал только, чтобы каждое «Это» чувственного восприятия было разложимо на «Это-вещи», и, таким образом, включало только порядок среди «Это-вещей», а не что-либо данное изначально без отсылки к ним вообще. Во-вторых, два аргумента Канта [198], призванные доказать, что пустое пространство не является концептуальным, неадекватны своей цели. Аргумент о том, что части пространства содержатся не под ним, а в нем, доказывает, конечно, что пространство не является общей концепцией, частными случаями которой являются пространственные фигуры; но из этого отнюдь не следует, что пустое пространство не является концепцией. Пустое пространство недифференцировано и однородно; части пространства, или пространственные фигуры, возникают только путем отсылки к некоторой дифференцирующей материи и, таким образом, принадлежат скорее пространственному порядку, чем пустому пространству. Если пустое пространство является предусловием пространственного порядка, мы не можем ожидать, что оно будет связано с пространственными отношениями как род с видом. Но пустое пространство может тем не менее быть универсальной концепцией; оно может быть связано с пространственным порядком как государство с гражданами. Это не примеры государства, но они содержатся в нем; они также, в некотором смысле, предполагают его, ибо человек может стать гражданином, только будучи связанным с другими гражданами в государстве [199].

Уникальность пространства, опять же, вряд ли кажется веским аргументом в пользу его интуитивной природы; рассматривать его как аргумент означает, по сути, что все концепции абстрагируются из ряда примеров — взгляд, который был подвергнут критике в главе II (§ 77) и не нуждается в дальнейшем обсуждении здесь [200]. Нет, следовательно, оснований в двух аргументах Канта для интуитивной природы пустого пространства, которые можно было бы поддержать против критики.

205. Еще одно основание для осуждения пустого пространства можно найти в математических антиномиях. Ибо это не решение, как отмечает Лотце (Metaphysik, кн. II, гл. I, § 106), рассматривать пустое пространство как чисто субъективное: противоречия в необходимой субъективной интуиции представляют собой столь же большую трудность, как и в чем-либо другом. Но эти антиномии возникают только в связи с пустым пространством, а не с пространственным порядком как совокупностью отношений. Ибо только когда пространство рассматривается как обладающее некоторой вещностью, можно требовать целого или истинного элемента. Это мы уже видели в связи с точкой. Когда пространство рассматривается, насколько это обоснованно, только как пространственный порядок, безграничная протяженность и бесконечная делимость исчезают. То, что делится, — это не пространственные отношения, а материя; и если материя, как мы видели, что требует геометрия, состоит из непротяженных атомов с пространственными отношениями, нет причин рассматривать материю ни как бесконечно делимую, ни как состоящую из атомов конечной протяженности.

206. Но откуда возникает, с этой точки зрения, парадокс, что мы не можем не рассматривать пространство как имеющее большую или меньшую вещность и как делимое ad infinitum? Это должно быть объяснено, я думаю, как психологическая иллюзия, неизбежно возникающая из того факта, что пространственные отношения представлены непосредственно. Они, таким образом, имеют особое психическое качество, как непосредственные переживания, по которому они могут быть отличены от временных отношений или любого другого порядка, в котором могут быть расположены вещи. Для Штумпфа, чья проблема психологическая, такое психическое качество составляло бы абсолютное лежащее в основе содержание и полностью оправдало бы его тезис; для нас, однако, чья проблема эпистемологическая, это не сделало бы этого, но оставило бы значение пространственного элемента в чувственном восприятии свободным от какого-либо имплицирования абсолютного или пустого пространства [201]. Не можем ли мы тогда отказаться от пустого пространства и сказать: пространственный порядок состоит из ощущаемых отношений и как ощущаемый имеет, для психологии, существование, не полностью разложимое на отношения, и неизбежно кажущееся чем-то большим, чем просто отношения. Но когда мы исследуем информацию о пространстве, которую мы получаем из чувственного восприятия, мы обнаруживаем, что погружаемся в противоречия, как только позволяем этой информации состоять из чего-то большего, чем отношения. Это оставляет пространственный порядок в одиночестве на поле и сводит пустое пространство к простому имени для логической возможности пространственных отношений.

207. Кажущаяся делимость отношений, которые составляют пространственный порядок, тогда может быть объяснена двумя способами, хотя они в основе своей эквивалентны. Мы можем взять отношение как рассматриваемое в связи с пустым пространством, и в этом случае оно становится чем-то большим, чем отношение; но будучи ложно гипостазированным, оно предстает как сложная вещь, необходимо состоящая из элементов, которые, однако, нигде не появляются, пока мы не проанализируем псевдовещь до нуля и не придем к точке. В этом смысле делимость пространственных отношений есть неизбежная иллюзия. Или, опять же, мы можем взять отношение в связи с материальными атомами, которые оно связывает. В этом случае могут быть воображены другие атомы, иначе локализованные другими пространственными отношениями. Если они локализованы на прямой линии, соединяющей два из исходных атомов, эта прямая линия кажется разделенной ими. Но исходное отношение не разделено на самом деле: произошло лишь то, что два или более эквивалентных отношения заменили его, как два составных отношения отца и сына могут заменить эквивалентное отношение деда и внука. Эти два способа рассмотрения кажущейся делимости эквивалентны: ибо пустое пространство, поскольку оно не является иллюзией, есть имя для совокупности возможных пространственных отношений. Рассматривать фигуру в пустом пространстве как разделенную, следовательно, означает, если это вообще что-то означает, рассматривать два или более других возможных отношения как подставленные вместо нее, что дает второй способ рассмотрения вопроса.

Та же отсылка к материи, с помощью которой была решена антиномия точки, решает также антиномию относительно реляционной природы пространства. Пространство, если оно должно быть освобождено от противоречий, должно рассматриваться исключительно как пространственный порядок, как отношения между непротяженными материальными атомами. Пустое пространство, которое возникает, в силу неизбежной иллюзии, из пространственного элемента в чувственном восприятии, может рассматриваться, если мы хотим сохранить его, как голый принцип относительности, голая логическая возможность отношений между разнообразными вещами. В этом смысле пустое пространство полностью концептуально; только пространственный порядок непосредственно переживается.

208. Но в каком смысле пространственный порядок состоит из отношений? Мы до сих пор говорили о внешности как об отношении, и в некотором смысле такой способ говорить оправдан. Внешность, когда она предицируется чему-либо, является прилагательным этой вещи и подразумевает отсылку к некоторой другой вещи. В этой мере, следовательно, внешность аналогична другим отношениям; и только в этой мере, в наших предыдущих аргументах, она рассматривалась как отношение. Но когда мы принимаем во внимание дальнейшие качества отношений, внешность начинает представать не столько как отношение, сколько скорее как необходимый аспект или элемент в каждом отношении. И это подтверждается необходимостью, для существования отношений, некоторой данной формы внешности.

Каждое отношение, можно сказать, включает многообразие между связанными терминами, но также некоторое единство. Простое многообразие не дает основания для того взаимодействия и той взаимозависимости, которые требует отношение. Простое единство оставляет термины идентичными и, таким образом, разрушает отсылку одного к другому, требуемую для отношения. Простая внешность, взятая в абстракции, дает только элемент многообразия, требуемый для отношения, и, таким образом, является более абстрактной, чем любое актуальное отношение. Но простое многообразие не дает того неделимого целого, из которого должно состоять любое актуальное отношение, и, таким образом, при рассмотрении абстрактно, не подлежит ограничениям обычных отношений.

Но с простым многообразием мы, кажется, вернулись к пустому пространству и отказались от пространственного порядка. Простое многообразие, безусловно, либо полно, либо несуществующе; степени многообразия или количественная мера его — бессмыслица. Мы не можем, следовательно, свести пространственный порядок к простому многообразию. Две вещи, если они занимают разные положения в пространстве, необходимо разнообразны, но столь же необходимо являются чем-то большим; иначе пространственный порядок становится бессмысленным.

Пустое пространство, следовательно, в вышеуказанном смысле возможности пространственных отношений, содержит только один аспект отношения, а именно аспект многообразия; но пространственный порядок, благодаря своей отсылке к материи, становится более конкретным и содержит также элемент единства, возникающий из связи различных материальных атомов. Пространственный порядок, следовательно, состоит из отношений в обычном смысле; его чисто пространственный элемент, однако — если можно сделать такое различие — элемент, то есть, который может быть абстрагирован от материи и рассматриваться как составляющий пустое пространство, является лишь одним аспектом отношения, но аспектом, который в конкретном должен быть неразрывно связан с другим аспектом. Здесь, еще раз, мы видим основание противоречий в пустом пространстве и причину, почему пространственный порядок свободен от этих противоречий.

Заключение.

209. Мы завершили наш обзор оснований геометрии. Будет хорошо, прежде чем мы расстанемся с предметом, кратко рассмотреть и резюмировать результаты, которых мы достигли.

В первой главе мы наблюдали развитие отрасли математики, предназначенной поначалу лишь для установления логической независимости евклидовой аксиомы о параллельных и возможности самосогласованной геометрии, которая обходится без нее. Мы обнаружили, что дальнейшее развитие предмета было на некоторое время запутано в философских спорах; показав одну аксиому излишней, геометры второго периода надеялись доказать тот же вывод для всех остальных, но не смогли построить ни одной системы, свободной от трех фундаментальных аксиом. Будучи заняты аналитической и метрической геометрией, они склонны были рассматривать алгебру как априорную, но полагали, что те свойства пространственных величин, которые не были выводимы из законов алгебры, должны быть эмпирическими. Во всем этом они стремились в равной степени дискредитировать Канта и продвинуть математику. Но с третьим периодом интерес к философии уменьшается, оппозиция Евклиду становится менее заметной, и, что самое важное, измерение больше не рассматривается как фундаментальное, и пространство рассматривается скорее дескриптивными, чем количественными методами. Тем не менее, три аксиомы, по существу те же, что были сохранены во втором периоде, все еще сохраняются всеми геометрами.

Во второй главе мы попытались, путем критики некоторых геометрических философий, подготовить почву для конструктивной теории геометрии. Мы видели, что Кант, применяя аргумент Трансцендентальной эстетики к пространству, зашел слишком далеко, поскольку его логический охват простирался только на некоторую форму внешности вообще. Мы видели, что Риман, Гельмгольц и Эрдман, введенные в заблуждение количественным уклоном, упустили из виду качественный субстрат, требуемый всеми суждениями о количестве, и, таким образом, ошиблись в направлении, в котором следует искать необходимые аксиомы геометрии. Мы отвергли также взгляд Гельмгольца, что геометрия зависит от физики, потому что обнаружили, что физика должна предполагать знание геометрии, прежде чем она может стать возможной. Но мы допустили в геометрии отсылку к материи — не, однако, к материи, как она эмпирически известна в физике, а к более абстрактной материи, чья единственная функция — появляться в пространстве и поставлять термины для пространственных отношений. Мы допустили, однако, помимо этого, что все актуальное измерение должно осуществляться посредством актуальной материи и является лишь эмпирически возможным, через эмпирическое знание приблизительно жестких тел. Критикуя Лотце, мы увидели, что наиболее важный смысл, в котором возможны неевклидовы пространства, — это философский смысл, а именно, что они не осуждаются никаким априорным аргументом относительно необходимости пространства для опыта и что, следовательно, если они не утверждаются, это должно быть по одним лишь эмпирическим основаниям. Критику Лотце в адрес математической процедуры метагеометрии мы сочли полностью обусловленной незнанием предмета.

Переходя в третьей главе к конструктивной теории геометрии, мы увидели, что проективная геометрия, которая не имеет отсылки к количеству, необходимо истинна для любой формы внешности. Ее три аксиомы — однородность, размерности и прямая линия — были все выведены из концепции формы внешности и, поскольку некоторая такая форма необходима для опыта, были все объявлены априорными. В метрической геометрии, напротив, мы обнаружили эмпирический элемент, возникающий из альтернатив евклидова и неевклидова пространства. Три априорные аксиомы, общие для этих пространств и необходимые условия возможности измерения, все еще оставались; это были аксиома свободной подвижности, аксиома о том, что пространство имеет конечное целое число измерений, и аксиома расстояния. За исключением новой идеи движения, они были найдены эквивалентными проективной триаде и, таким образом, необходимо истинными для любой формы внешности. Но остальные аксиомы Евклида — аксиома о трех измерениях, аксиома о том, что две прямые линии никогда не могут заключить пространство, и аксиома о параллельных — рассматривались как эмпирические законы, производные от исследования и измерения нашего действительного пространства, и истинные только, насколько это касается последних двух, в пределах, установленных ошибками наблюдения.

В настоящей главе мы завершили наше доказательство априорности проективных и эквивалентных метрических аксиом, показав необходимость для опыта некоторой формы внешности, данной ощущением или интуицией, а не просто выведенной из других данных. Без этого, сказали мы, знание разнообразных, но взаимосвязанных вещей, краеугольный камень всего опыта, было бы невозможно. Наконец, мы обсудили противоречия, возникающие из относительности и непрерывности пространства, и попытались преодолеть их путем отсылки к материи. Эта материя, обнаружили мы, должна состоять из непротяженных атомов, локализованных их пространственными отношениями и появляющихся в геометрии как точки. Но непространственные прилагательные материи, мы утверждали, нерелевантны для геометрии, и ее причинные свойства могут быть оставлены без внимания. Чтобы иметь дело с новыми противоречиями, вовлеченными в такое понятие материи, потребовался бы новый трактат, ведущий нас через кинематику в области динамики и физики. Но обсудить специальные трудности пространства — это все, что возможно в эссе об основаниях геометрии.

СНОСКИ:

[178] Сравните со следующими параграфами замечательное обсуждение в книге г-на Хобхауса «Теория познания» (Methuen 1896), часть I, глава II.

[179] Я говорю о чувственном восприятии вместо ощущения, чтобы не предрешать вопрос о сенсационной природе пространства.

[180] См. Commentar Файхингера, II, стр. 86–7, 168–171.

[181] См. Кэрд, «Критическая философия Канта», том I, стр. 287.

[182] Ursprung der Raumvorstellung, стр. 12–30.

[183] См. ссылки в Commentar Файхингера, II, стр. 76 сл.

[184] Commentar, II, стр. 71 сл.

[185] Например, у Кэрда, op. cit. том I, стр. 286.

[186] Я не желаю, однако, отрицать, что пространство существенно в последующем различении Я и не-Я.

[187] См. также Книгу I, гл. II passim; особенно стр. 51 сл. и стр. 70–1.

[188] Логика, стр. 51 сл.

[189] Ибо «Это» при такой гипотезе имеет чисто временную сложность и не разложимо на сосуществующие «Это-вещи».

[190] Глава III, раздел А, (§ 131).

[191] Ср. Аннекен, Essai critique sur l'hypothèse des atomes, Париж 1895, гл. I, раздел III; особенно стр. 43.

[192] См. главу II, § 69 сл.

[193] См. третью антиномию ниже, § 201 сл.

[194] Этот атом, конечно, не следует путать с атомом химии.

[195] Ursprung der Raumvorstellung, стр. 15.

[196] См. Commentar Файхингера, II, стр. 189–190.

[197] См. ibid. стр. 224 сл. о противоречиях Канта по этому пункту.

[198] Четвертый и пятый в первом издании, третий и четвертый во втором.

[199] Ср. Commentar Файхингера, II, стр. 218.

[200] Ср. Commentar Файхингера, II, стр. 207.

[201] Ср. Джеймс, «Психология», том II, стр. 148 сл.

Кембридж:

ОТПЕЧАТАНО ДЖ. И К. Ф. КЛЕЕМ,

В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ.

ПРИМЕЧАНИЕ ТРАНСКРИПТОРА

Очевидные опечатки и ошибки пунктуации были исправлены после тщательного сравнения с другими вхождениями в тексте и консультации с внешними источниками.

Знак минус представлен символом n-тире «–». Диапазоны дат и чисел также используют n-тире «–».

За исключением изменений, отмеченных ниже, все орфографические ошибки в тексте, а также непоследовательное или архаичное использование были сохранены. Например, co-exist, coexist; every-day, everyday; connexion; assertorial; apodeictic; premisses.

§ 82, «so Erdmannn confidently» заменено на «so Erdmann confidently». Сноска [157] к § 150, «Delboeuf» заменено на «Delbœuf» для последовательности. § 152, «one subdivison must» заменено на «one sub-division must». Сноска [167] к § 159, «Delboeuf» заменено на «Delbœuf» для последовательности. § 204, «and homogenous;» заменено на «and homogeneous;».

 The Project Gutenberg eBook of An Essay on the Foundations of Geometry, by Bertrand A. W. Russell.