Примечание корректора:

Изображение на обложке было создано корректором и является общественным достоянием.

ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ (ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ К ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ)

BY

AUGUSTUS DE MORGAN,

OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE,

PROFESSOR OF MATHEMATICS IN UNIVERSITY COLLEGE, LONDON.

The root of all the mischief in the sciences, is this; that falsely magnifying and admiring the powers of the mind, we seek not its real helps.—Bacon.

LONDON:

PRINTED FOR TAYLOR AND WALTON,

BOOKSELLERS AND PUBLISHERS TO UNIVERSITY COLLEGE.

28 UPPER GOWER STREET.

M.DCCC.XXXIX.

⁂ Данный трактат содержит не более того, что, по опыту автора, крайне необходимо студентам, приступающим к изучению Евклида. В конечном итоге он станет приложением к его «Трактату об арифметике».

Автор ни в коем случае не хотел бы, представляя минимум, необходимый для конкретной цели, дать понять, что он исчерпал предмет для всех целей образования. Он давно сожалеет о пренебрежении логикой — наукой, изучение которой показало бы многим ее противникам, что то пренебрежительное отношение, которое они к ней питают, проистекает из тех навыков вывода, которые лучше всего процветают в ее отсутствие. Он настоятельно рекомендует любому студенту, для которого этот трактат может стать первым знакомством с предметом, изучать его гораздо глубже.

Университетский колледж, 8 января 1839 г.

LONDON:—PRINTED BY JAMES MOYES,

Castle Street, Leicester Square.

ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ.

Под логикой мы здесь понимаем исследование той части рассуждения, которая зависит от способа формирования выводов, а также изучение общих максим и правил построения аргументов, чтобы заключение не содержало никакой неточности, которая не была бы ранее утверждена в посылках. Она не имеет отношения к истинности фактов, мнений или предположений, из которых выводится заключение; она лишь следит за тем, чтобы вывод был безусловно истинным, если истинны посылки. Так, когда мы говорим, что все люди смертны и что все люди — разумные существа, и отсюда делаем вывод, что некоторые разумные существа смертны, логическая истинность этого предложения остается той же самой, независимо от того, истинно или ложно утверждение о том, что люди смертны и разумны. Эта логическая истинность зависит от структуры предложения, а не от конкретных предметов, о которых идет речь. Таким образом,

Instead of, | Write,
All men will die. | Every A is B.
All men are rational beings. | Every A is C.
Therefore some rational beings will die. | Therefore some Cs are Bs.

Второе из них представляет собой то же самое суждение, если рассматривать его логически, что и первое; следствие в обоих случаях фактически содержится в посылках и правильно из них выведено. Являются ли посылки истинными или ложными — это вопрос не логики, а морали, философии, истории или любой другой области знания, к которой относится их предмет: вопрос логики заключается в том, следует ли заключение с необходимостью, если посылки истинны?

Любой акт рассуждения должен главным образом состоять в сопоставлении различных вещей и либо обнаружении, либо припоминании из имеющихся знаний тех моментов, в которых они сходны или различаются друг с другом. Та конкретная часть рассуждения, которая называется выводом, состоит в сопоставлении нескольких различных вещей с одной и той же другой вещью и установлении сходств или различий между этими несколькими вещами посредством тех моментов, в которых они сходны с вещью, с которой все они сравниваются, или отличаются от нее.

Следовательно, должны существовать некоторые суждения, полученные до того, как может быть сделан какой-либо вывод. Все суждения являются либо утверждениями, либо отрицаниями и, таким образом, делятся на утвердительные и отрицательные. Так, «А есть В» и «А не есть В» — это две формы, к которым могут быть сведены все суждения. Для наших текущих целей это наиболее простые формы, хотя часто случается, что требуется много околичностей, чтобы свести суждения к ним. Так, предположим следующее утверждение: «Если он придет завтра, он, вероятно, останется до понедельника»; как свести это к форме «А есть В»? Очевидно, что здесь есть нечто, о чем идет речь, нечто, что говорится об этом, и утвердительная связь между ними. Нечто, если оно произойдет, то есть свершение чего-либо, делает свершение другого чего-либо вероятным; или является одной из вещей, которые делают свершение второго события вероятным.

A | is | B
The happening of his arrival to-morrow | is | an event from which it may be inferred as probable that he will stay till Monday.

Формы языка позволяют варьировать способ утверждения множеством способов; но сведение к предыдущей форме всегда возможно. Так, «так он сказал» — это утверждение, сводимое следующим образом:

What you have just said (or whatever else ‘so’ refers to) | is | the thing which he said.

Заменяя «есть» на «не есть», мы получаем отрицательное суждение; но всегда следует проявлять осторожность, чтобы установить, является ли суждение, которое кажется отрицательным, таковым на самом деле. Главная опасность заключается в том, чтобы не спутать суждение, которое является отрицательным, с другим, которое является утвердительным относительно чего-то, требующего отрицания для своего описания. Так, «он похож на человека, которого не было в комнате» — это утверждение, и его нельзя путать с «он не похож на человека, который был в комнате». Далее, «если он придет завтра, вероятно, он не останется до понедельника» не означает простое отрицание предыдущего суждения, а означает утверждение прямо противоположного суждения. Это,

A | is | B
The happening of his arrival to-morrow, | is | an event from which it may be inferred to be improbable that he will stay till Monday,

тогда как следующее,

The happening of his arrival to-morrow, | is not | an event from which it may be inferred as probable that he will stay till Monday,

было бы выражено так: «Если он придет завтра, это еще не причина, чтобы он оставался до понедельника».

Более того, отрицательные слова «не», «нет» и т. д. имеют два вида значений, которые необходимо тщательно различать. Иногда они отрицают, и ничего более: иногда они используются для утверждения прямо противоположного. В случаях, предлагающих лишь две альтернативы, одна из которых необходима, они сводятся к одному и тому же, поскольку отрицание одной и утверждение другой являются, очевидно, эквивалентными суждениями. Во многих разговорных идиомах отрицание подразумевает утверждение противоположного в случаях, предлагающих не только альтернативы, но и степени альтернатив. Так, на вопрос «Он высокий?» простой ответ «Нет» чаще всего означает, что он является противоположностью высокого или значительно ниже среднего. Но следует помнить, что во всех логических рассуждениях отрицание есть просто отрицание, и ничего более, никогда не подразумевающее утверждение противоположного.

Обычное положение о том, что два отрицания дают утверждение, верно только при допущении, что существуют лишь две возможные вещи, одна из которых отрицается. Допустим, что человек должен быть либо способен, либо неспособен сделать определенную вещь, и тогда «не неспособен» и «способен» — это одно и то же. Но если мы предположим различные степени исполнения и, следовательно, степени способности, то в обычном смысле этих слов будет ложным, что два отрицания дают утверждение. Так, было бы ошибочно сказать: «Джон способен перевести Вергилия, а Томас не неспособен; следовательно, то, что может сделать Джон, может сделать и Томас», ибо очевидно, что посылки означают, что Джон настолько близок к лучшему виду перевода, что можно сделать утверждение о его способности, в то время как Томас значительно ниже Джона, но не настолько близок к абсолютному неумению, чтобы его способность могла быть полностью отрицаема. Обычно обнаруживается, что два отрицания подразумевают утверждение более слабой степени, чем положительное утверждение.

Каждое из суждений «А есть В» и «А не есть В» может быть подразделено на два вида: общее, в которое включен каждый возможный случай; и частное, в котором не имеется в виду утверждать, что утверждение или отрицание является всеобщим. Четыре вида суждений тогда выглядят следующим образом, каждое из которых помечено буквой, которой логики всегда их различали.

A Universal Affirmative | Every A is | B
E Universal Negative | No A is | B
I Particular Affirmative | Some A is | B
O Particular Negative | Some A is not | B

В обычном разговоре утверждение части подразумевает отрицание остального. Так, фраза «некоторые яблоки спелые» всегда призвана означать, что некоторые не являются спелыми. В логическом языке это не так: каждое суждение призвано выразить свою меру утверждения или отрицания, и не более того. Когда мы говорим «некоторое А есть В» или, более грамматически, «некоторые А суть В», мы не подразумеваем, что некоторые не являются таковыми: это может быть, а может и не быть. Далее, слово «некоторые» означает «одно или более, возможно, все». Следующая таблица покажет отношение каждого суждения к остальным.

Every A is B affirms and contains Some A is B and denies | No A is B Some A is not B
No A is B affirms and contains Some A is not B and denies | Every A is B Some A is B

Some A is B does not contradict | Every A is B Some A is not B | but denies No A is B
Some A is not B does not contradict | No A is B Some A is B | but denies Every A is B

Противоречащие суждения — это те, в которых одно отрицает что-либо, что другое утверждает; противные суждения — это те, в которых одно отрицает все, что другое утверждает, или утверждает все, что другое отрицает. Следующая пара является противной.

Every A is B | and | No A is B

а следующие являются противоречащими,

Every A is B | to | Some A is not B
No A is B | to | Some A is B

Противное, следовательно, является полным и тотальным противоречащим; и небольшое размышление покажет, что решающее различие между противными и противоречащими заключается в том, что противные могут быть оба ложными, но из противоречащих одно должно быть истинным, а другое ложным. Мы можем сказать: «Либо P истинно, либо что-то, противоречащее ему, истинно»; но мы не можем сказать: «Либо P истинно, либо все, противоречащее ему, истинно». Очень распространенная ошибка — воображать, что отрицание суждения дает право утверждать противное; тогда как должно быть так, что утверждение суждения дает право отрицать противное. Так, если мы отрицаем, что «всякое А есть В», мы не утверждаем, что «никакое А не есть В», а только что «некоторое А не есть В»; в то время как, если мы утверждаем, что «всякое А есть В», мы отрицаем «никакое А не есть В», а также «некоторое А не есть В».

Но что касается противоречащих, утверждение одного есть отрицание другого, а отрицание одного есть утверждение другого. Так, либо «всякое А есть В», либо «некоторое А не есть В»: утверждение одного есть отрицание другого, и наоборот.

Пусть студент теперь попытается убедиться в следующем. Взяв четыре предыдущих суждения A, E, I, O, пусть простая буква означает утверждение, та же буква в скобках — отрицание, а отсутствие буквы — что нет ни утверждения, ни отрицания.

From A | follow | (E), I, (O) | From (A) | follow | O
From E |  | (A), (I), O | From (E) |  | I
From I |  | (E) | From (I) |  | (A), E, O
From O |  | (A) | From (O) |  | A, (E), I

Их можно суммировать так: утверждение общего суждения и отрицание частного позволяют нам утверждать или отрицать все остальные три; но отрицание общего суждения и утверждение частного оставляют нас неспособными утверждать или отрицать два из остальных.

В таких суждениях, как «всякое А есть В», «некоторое А не есть В» и т. д., А называется субъектом, а В — предикатом, в то время как глагол «есть» или «не есть» называется связкой. Очевидно, что слова суждения указывают, говорится ли о субъекте всеобщим или частичным образом, но этого нельзя сказать о предикате, который поэтому важно исследовать. Логики обычно дают название распределенных субъектов или предикатов тем, о которых говорится всеобщим образом; но поскольку это слово довольно техническое, я скажу, что субъект или предикат входит целиком или частично, в зависимости от того, говорится ли о нем всеобщим или частным образом.

1. В A, или «всякое А есть В», субъект входит целиком, а предикат — только частично. Ибо оно очевидно говорит: «Среди В находятся все А», «всякое А является частью совокупности В, так что все А составляют часть В, целое, возможно». Так, «всякая лошадь есть животное» не говорит обо всех животных, а утверждает, что все лошади составляют часть животных.

2. В E, или «никакое А не есть В», и субъект, и предикат входят целиком. «Никакое А вообще не является ни одним из всех В»; «обыщите всю совокупность В, и каждое В окажется чем-то, что не есть А».

3. В I, или «некоторое А есть В», и субъект, и предикат входят частично. «Некоторые из А находятся среди В или составляют часть (возможно, целое, но это неизвестно из предыдущего) В».

4. В O, или «некоторое А не есть В», субъект входит частично, а предикат — целиком. «Некоторые А не являются ни одним из В; каждое В окажется не являющимся ни одним из определенной части А».

Таким образом, оказывается, что,

В утвердительных суждениях предикат входит частично.

В отрицательных суждениях предикат входит целиком.

В противоречащих суждениях и субъект, и предикат входят по-разному в каждом из них.

Конверсией суждения является то, что получается путем перестановки субъекта и предиката, следующим образом:

The proposition. | Its converse.
A Every A is B | Every B is A
E No A is B | No B is A
I Some A is B | Some B is A
O Some A is not B | Some B is not A

Теперь, фундаментальным и самоочевидным положением является то, что никакое следствие не должно утверждать более широко, чем его посылки; так что, например, утверждение, которое касается только некоторых В, никогда не может привести к результату, который истинен для всех В. Но если суждение утверждает согласие или несогласие, любое другое суждение, которое утверждает то же самое, в той же мере и не более, должно быть законным следствием; или, если угодно, должно сводиться к целому или части исходного утверждения в другой форме. Таким образом, конверсия A не является истинной: ибо в «всякое А есть В» предикат входит частично; в то время как в «всякое В есть А» субъект входит целиком. «Все А составляют часть В, тогда часть В находится среди А, или некоторое В есть А». Следовательно, единственной законной конверсией «всякое А есть В» является «некоторое В есть А». Но в «никакое А не есть В» и субъект, и предикат входят целиком, и «никакое В не есть А» является, по сути, тем же самым суждением, что и «никакое А не есть В». И «некоторое А есть В» также является тем же самым, что и его конверсия «некоторое В есть А»; здесь оба термина входят частично. Но «некоторое А не есть В» не допускает никакой конверсии вообще; оно полностью согласуется со всеми утверждениями о В и А, в которых В является субъектом. Таким образом, ни одна из четырех следующих строк не противоречит сама себе.

Some A is not B and Every | B is A
Some A is not B and No | B is A
Some A is not B and Some | B is A
Some A is not B and Some | B is not A.

Мы находим тогда, включая конверсии, которые не идентичны своим прямым суждениям, шесть различных способов утверждения или отрицания относительно согласия или несогласия, полного или частичного, между А и, скажем, X: мы записываем их, обозначая дополнительные утверждения буквами U и Y.

| Identical. | Identical. |
A Every A is X | E | No A is X | I | Some A is X | O Some A is not X
U Every X is A | No X is A | Some X is A | Y Some X is not A

Теперь мы повторим и расширим таблицу на стр. 8 (A) и т. д., подразумевая, как и прежде, отрицание A и т. д.

From A or (O) | follow | A, | (E), | I | (O) |  |
From E or (I) |  | (A), | E, | (I), | O, | (U), | Y
From I or (E) |  |  | (E) | I |  |  |
From O or (A) |  | (A), |  |  | O |  |
From U or (Y) |  |  | (E) | I, |  | U | (Y)
From Y or (U) |  |  |  |  |  | (U) | Y

Обсудив таким образом основные моменты, связанные с простым утверждением, мы переходим к способу получения третьего утверждения из двух. Каждый такой случай называется силлогизмом, два утверждения, составляющие основу третьего, называются посылками, а само третье — заключением.

Если две вещи согласуются с третьей в какой-либо особенности, они согласуются друг с другом в том же самом; так, если А того же цвета, что и X, и В того же цвета, что и X, то А того же цвета, что и В. Далее, если А отличается от X в какой-либо особенности, в которой В согласуется с X, то А и В различаются в этой особенности. Если А не того же цвета, что и X, а В того же цвета, что и X, то А не того же цвета, что и В. Но если и А, и В отличаются от X в какой-либо особенности, ничего нельзя вывести; они могут либо различаться одинаковым образом и в той же мере, либо нет. Таким образом, если А и В оба отличаются по цвету от X, из этого не следует ни то, что они согласуются, ни то, что они различаются в своих собственных цветах.

Предыдущий параграф содержит существенные части любого вывода, который состоит в сравнении двух вещей с третьей и нахождении из их согласия или различия с этой третьей их согласия или различия друг с другом. Таким образом, «всякое А есть X», «всякое В есть X» позволяет нам сделать вывод, что А и В имеют все те качества, которые необходимы для X. Далее, из «всякое А есть X» и «никакое В не есть X» мы делаем вывод, что А и В различаются друг с другом во всех особенностях, которые существенны для X. Предыдущие формы, однако, хотя они представляют обычное рассуждение лучше, чем обычный силлогизм, к которому мы сейчас переходим, не составляют конечных форм вывода. Простая тождественность или нетождественность — это конечное состояние, к которому может быть сведено любое утверждение; и поэтому мы сначала спросим, из каких тождеств и т. д. могут быть получены другие тождества и т. д.? Далее, поскольку мы называем объекты видами, каждый вид состоит из ряда индивидов, и поскольку наше утверждение может включать все или только часть вида, необходимо далее спрашивать в каждом случае, в какой мере сделанное заключение истинно: для всех или только для части?

Возьмем простое утверждение: «всякий живой человек дышит»; или всякий живой человек есть одна из вещей (как бы они ни различались), которые дышат. Если бы мы заключили всех живых людей в большой треугольник, а все дышащие объекты — в большой круг, то предыдущее утверждение, если оно истинно, потребовало бы, чтобы весь треугольник был заключен в круге. И таким же образом мы можем свести любое утверждение к выражению совпадения, полного или частичного, между двумя фигурами. Так, точка в круге может представлять индивида одного вида, а точка в треугольнике — индивида другого вида: и мы можем выразить, что весь один вид, как утверждается, содержится или не содержится в другом, с помощью таких форм, как: «все △ находятся в ○»; «никакая часть △ не находится в ○».

Любые два утверждения об А и В, каждое из которых выражает согласие или несогласие, полное или частичное, с X или от X, и ведущие к заключению относительно А или В, называются силлогизмом, в котором X называется средним термином. Самый простой силлогизм — следующий:

| Every A is X |  | All the △ is in the ○
| Every X is B |  | All the ○ is in the □
Therefore | Every A is B | Therefore | All the △ is in the □

Чтобы найти все возможные формы силлогизма, мы должны составить таблицу всех элементов, из которых они могут состоять; а именно —

A and X |  | B and X
Every A is X | A | Every B is X
No A is X | E | No B is X
Some A is X | I | Some B is X
Some A is not X | O | Some B is not X
Every X is A | U | Every X is B
Some X is not A | Y | Some X is not B

Или их синонимы,

△ and ○ |  | □ and ○
All the △ is in the ○ | A | All the □ is in the ○
None of the △ is in the ○ | E | None of the □ is in the ○
Some of the △ is in the ○ | I | Some of the □ is in the ○
Some of the △ is not in the ○ | O | Some of the □ is not in the ○
All the ○ is in the △ | U | All the ○ is in the □
Some of the ○ is not in the △ | Y | Some of the ○ is not in the □

Теперь, взяв любое из шести отношений между А и X и объединив его с любым из отношений между В и X, мы получаем шесть пар посылок, и то же число повторяется для каждого другого отношения А и X. У нас тогда есть тридцать шесть форм для рассмотрения: но тридцать из них (а именно все, кроме (A, A), (E, E) и т. д.) наполовину являются повторениями другой половины. Так, «всякое А есть X, никакое В не есть X» и «всякое В есть X, никакое А не есть X» имеют одну и ту же форму и различаются только заменой А на В и В на А. Таким образом, существует только 15 + 6, или 21 различная форма, некоторые из которых дают необходимое заключение, а другие нет. Мы выберем первые из них, классифицируя их по их заключениям; то есть в зависимости от того, является ли вывод формой A, E, I или O.

I. Каким образом можно сделать общеутвердительное заключение; а именно, что одна фигура полностью содержится в другой? Мы можем утверждать это только тогда, когда знаем, что одна фигура полностью содержится в круге, который сам полностью содержится в другой фигуре. Таким образом,

| Every A is X |  | All the △ is in the ○ | A
| Every X is B |  | All the ○ is in the □ | A
∴ | Every A is B | ∴ | All the △ is in the □ | A

это единственный способ, которым можно сделать общеутвердительное заключение.

II. Каким образом можно сделать общеотрицательное заключение; а именно, что одна фигура полностью находится вне другой? Только тогда, когда мы можем утверждать, что одна фигура полностью находится внутри круга, а другая — полностью вне его. Таким образом,

| Every | A is X | All the △ is in the ○ | A
| No | B is X | None of the □ is in the ○ | E
∴ | No | A is B | None of the △ is in the □ | E

это единственный способ, которым можно сделать общеотрицательное заключение.

III. Каким образом можно сделать частноутвердительное заключение; а именно, что часть или все одной фигуры содержится в другой? Только тогда, когда мы можем утверждать, что весь круг является частью одной из фигур и что весь круг или его часть является частью другой фигуры. У нас тогда есть две формы.

| Every | X is A |  | All the ○ is in the △ | A
| Every | X is B |  | All the ○ is in the □ | A
∴ | Some | A is B | ∴ | Some of the △ is in the □ | I
| Every | X is A |  | All the ○ is in the △ | A
| Some | X is B |  | Some of the ○ is in the □ | I
| Some | A is B |  | Some of the △ is in the □ | I

Второе из них содержит все, что строго необходимо для заключения, а первое можно опустить. То, что следует, когда утверждение может быть сделано относительно некоторых, должно следовать, когда то же самое утверждение может быть сделано относительно всех.

IV. Как можно вывести частноотрицательное суждение; а именно, что часть или все одной фигуры не содержится в другой? На первый взгляд казалось бы, что всякий раз, когда мы можем утверждать, что часть или все одной фигуры находится в круге, а часть или все другой фигуры — нет. Самый слабый силлогизм, из которого можно сделать такой вывод, тогда казался бы следующим.

| Some A is X |  | Some of the △ is in the ○
| Some B is not X |  | Some of the □ is not in the ○
∴ | Some B is not A | ∴ | Some of the △ is not in the □

Но здесь, при небольшом размышлении, станет ясно, что заключение истинно лишь постольку, поскольку те А, которые являются X, не могут быть теми В, которые не являются X; но они могут быть другими В, о которых ничего не утверждается, когда мы говорим, что некоторые В не являются X. И дальнейшее размышление сделает очевидным, что к заключению такой формы можно прийти только тогда, когда одна из фигур находится полностью внутри круга, а целое или часть другой — вне его; или же когда целое одной из фигур находится вне круга, а целое или часть другой — внутри; или, наконец, когда круг лежит полностью внутри одной из фигур и не полностью внутри другой. То есть, ниже приведены различные формы, которые допускают частноотрицательное заключение, в которых следует помнить, что частное суждение в посылках всегда может быть заменено на общее, не влияя на заключение. Ибо то, что необходимо следует из «некоторых», следует из «всех».

| Every A is X |  | All the △ is in the ○ | A
| Some B is not X |  | Some of the □ is not in the ○ | O
∴ | Some B is not A |  | Some of the □ is not in the △ | O
| No A Is X |  | None of the △ is in the ○ | E
| Some B is X |  | Some of the □ is in the ○ | I
∴ | Some B is not A |  | Some of the □ is not in the △ | O
| Every X is A |  | All the ○ is in the △ | A
| Some X is not B |  | Some of the ○ is not in the □ | O
∴ | Some A is not B |  | Some of the △ is not in the □ | O

Оказывается, таким образом, что существует всего шесть различных силлогизмов. Все остальные создаются из них путем усиления одной из посылок или конверсии одной или обеих посылок, где такая конверсия допустима; или же путем сначала конверсии, а затем усиления одной из посылок. И следующее расположение покажет, что два из них являются общими, а три других получены из них путем ослабления одной из посылок таким образом, который не разрушает, а только ослабляет заключение.

1. | Every A is X |  | 3. | Every A is X |  |
| Every X is B |  |  | No B is X |  | .........
| Every A is B |  |  | No A Is B |  |
| │ |  |  | │ |  |  |
| │ |  |  |
2. | Some A is X | 4. | Some A is X | 5. | Every A is X | 6. | Every X is A
| Every X is B |  | No B is X |  | Some B is not X |  | Some X is not B
| Some A is B |  | Some A is not B |  | Some B is not A |  | Some A is not B

Мы можем увидеть, как получается, что один из частных силлогизмов не выводится непосредственно, подобно другим, из общего. В предыдущем AEE можно считать производным от AAA путем замены термина, в котором X входит всеобщим образом, на его противный. Если сделать это с другим термином, мы получим

No | A is X | from which universal premises we cannot deduce a universal conclusion, but only Some B is not A.
Every | X is B

Если мы ослабим одну и другую из этих посылок в том виде, в каком они есть, мы получим

Some A is not X |  | No A is X
Every X is B | and | Some X is B
No conclusion |  | Some B is not A

эквивалентно четвертому из предыдущих: но если мы конвертируем первую посылку и поступим таким же образом,

| No X is A |  | Some X is not A
From | Every X is B | we obtain | Every X is B
| Some B is not A |  | Some B is not A

что является законным и совпадает с последним из предыдущего списка, с переставленными А и В.

Прежде чем перейти к показу того, что все обычные формы содержатся в предыдущих, пусть читатель отметит следующие правила, которые могут быть доказаны либо путем их сбора из предыдущих случаев, либо путем независимого рассуждения.

1. Средний термин должен входить всеобщим образом в ту или иную посылку. Если бы это было не так, одна посылка могла бы говорить об одной части среднего термина, а другая — о другой; так что, по сути, среднего термина не было бы. Таким образом, «всякое А есть X, всякое В есть X» не дает заключения: это можно сформулировать так;

All the As make up a part of the Xs

All the Bs make up a part of the Xs

И прежде чем мы сможем узнать, что существует какой-либо общий термин сравнения вообще, мы должны иметь некоторые средства показать, что эти две части являются одними и теми же; или предыдущие посылки сами по себе неубедительны.

2. Ни один термин не должен входить в заключение более общим образом, чем он встречается в посылках; так, если об А говорится частично в посылках, оно должно входить частично в заключение. Это очевидно, поскольку заключение должно утверждать не более того, что подразумевают посылки.

3. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения. Ибо очевидно, что простое утверждение несогласия между каждой из двух вещей и третьей не может быть причиной для вывода о согласии или несогласии между этими двумя вещами. Нетрудно будет свести любой случай, подпадающий под это правило, к нарушению первого правила: так, «никакое А не есть X, никакое В не есть X» дает

Every A is (something which is not X)

Every B is (something which is not X)

в котором средний термин не упоминается всеобщим образом ни в одной из них. Далее, «никакое X не есть А, некоторое X не есть В» может быть конвертировано в

Every A is (a thing which is not X)

Some (thing which is not B) is X

в котором нет среднего термина.

4. Из двух частных посылок нельзя сделать никакого заключения. Это достаточно очевидно, когда нарушается первое или второе правило, как в «некоторое А есть X, некоторое В есть X». Но это не сразу очевидно, когда средний термин входит в одну из посылок всеобщим образом. Следующее рассуждение послужит упражнением в предыдущих результатах. Поскольку обе посылки имеют частную форму, средний термин может входить в одну из них всеобщим образом, только будучи предикатом отрицательного суждения; следовательно (Правило 3), другая посылка должна быть утвердительной, и, будучи частной, ни один из ее терминов не является всеобщим. Следовательно, оба термина, относительно которых должно быть сделано заключение, входят частично, и заключение (Правило 2) может быть только частноутвердительным суждением. Но если одна из посылок отрицательна, заключение должно быть отрицательным (как мы сейчас увидим). Это противоречие показывает, что допущение о том, что частные посылки дают законный результат, недопустимо.

5. Если одна посылка отрицательна, заключение, если оно есть, должно быть отрицательным. Если один термин согласуется со вторым и не согласуется с третьим, нельзя сделать вывод о согласии между вторым и третьим.

6. Если одна посылка частная, заключение должно быть частным. Это не очень очевидно, поскольку средний термин может быть всеобщим образом упомянут в частном суждении, как в «некоторое В не есть X». Но это требует одного отрицательного суждения, откуда (Правило 3) другое должно быть утвердительным. Далее, поскольку заключение должно быть отрицательным (Правило 5), его предикат упоминается всеобщим образом и, следовательно, должен входить всеобщим образом; другой термин А должен тогда входить в общеутвердительное суждение, что противоречит допущению.

В предыдущем наборе силлогизмов мы наблюдаем только одну форму, которая дает A, E или I, но три, которые дают O.

Пусть утверждение называется ослабленным, когда оно сводится от общего к частному, и усиленным в противном случае. Так, «всякое А есть В» называется более сильным, чем «некоторое А есть В».

Каждая форма силлогизма, которая может дать законный результат, является либо одной из предыдущих шести, либо другой, образованной из одной из шести, либо путем замены одного из утверждений на его конверсию, если это допустимо, либо путем усиления одной из посылок без изменения заключения, либо и то, и другое. Таким образом,

Some A is X | may be written | Some X is A
Every X is B | Every X is B
What follows will still follow from | Every X is A
Every X is B

ибо все, что истинно, когда «некоторое X есть А», не менее истинно, когда «всякое X есть А».

Можно было бы также сформировать законный силлогизм путем ослабления заключения, когда оно является общим, поскольку то, что истинно для всех, истинно для некоторых. Так, «всякое А есть X, всякое X есть В», что дает «всякое А есть В», также дает «некоторое А есть В». Но логики всегда считали такие силлогизмы бесполезными, полагая, что лучше делать из любых посылок их самое сильное заключение. В этом они, несомненно, были правы; и единственный вопрос в том, не было ли бы целесообразно сделать посылки как можно более слабыми и не допускать никаких силлогизмов, в которых появлялось больше, чем было абсолютно необходимо для заключения. Если бы такая практика существовала, то

Every X is A, Every X is B, therefore Some A is B

считалось бы сформированным излишним и ненужным избытком утверждения. Минимум утверждения содержался бы в любом из следующих,

Every X is A, Some X is B, therefore Some A is B

Some X is A, Every X is B, therefore Some A is B

В этом трактате силлогизмы были разделены на два класса: во-первых, те, которые доказывают общее заключение; во-вторых, те, которые доказывают частное заключение и которые (все, кроме одного) получены из первых путем ослабления одной из посылок таким образом, чтобы получить законное, но ослабленное заключение. Те из первого класса помещены в первый столбец, а другие — во второй.

| Universal. |  | Particular. |
A | Every A is X |  | Some A is X | I
A | Every X is B | ────── | Every X is B | A
A | Every A is B |  | Some A is B | I
|  |  | Some A is X | I
|  |  | No X is B | E
|  | ┌ |  |
A | Every A is X | │ | Some A is not B | O
E | No X is B | ─────┼ | Every A is X | A
|  | │ |  |
E | No A is B | │ | Some B is not X | O
|  | └ |  |
|  |  | Some B is not A | O
|  |  | Every X is A | A
| ...... |  | Some X is not B | O
|  |  | Some A is not B | O

Во всех работах по логике принято записывать первой ту посылку, которая содержит предикат заключения. Таким образом,

Every X is B |  | Every A is X
Every A is X | would be written, and not | Every X is B
Every A is B |  | Every A is B

Посылки, расположенные таким образом, называются большей и меньшей; предикат заключения называется большим термином, а его субъект — меньшим. Далее, в предыдущем случае мы видим, что различные субъекты идут в порядке X, B; A, X; A, B: и число различных порядков, которые могут появиться, равно четырем, а именно —

XB | BX | XB | BX
AX | AX | XA | XA
AB | AB | AB | AB

которые называются четырьмя фигурами, и каждый вид силлогизма в каждой фигуре называется модусом. Я теперь запишу различные модусы каждой фигуры, буквы которых будут руководством для поиска тех из предыдущего списка, из которых они получены. Co означает, что посылка из предыдущего списка была конвертирована; + означает, что она была усилена; Co + означает, что произошли оба изменения. Таким образом,

A | Every X is B |  | A | Every X is B |
I | Some A is X | becomes | A | Every X is A: | (Co +)
I | Some A is B |  | I | Some A is B |

А Co + сокращает следующее: если некоторое А есть X, то некоторое X есть А (Co); и все, что истинно, когда «некоторое X есть А», истинно, когда «всякое X есть А» (+); следовательно, второе является законным, если первое таково.

First Figure.
A | Every X is B |  |  | A | Every X is B
A | Every A is X |  |  | I | Some A is X
A | Every A is B |  |  | I | Some A is B
E | No X is B |  |  | E | No X is B
A | Every A is X |  |  | I | Some A is X
E | No A is B |  |  | O | Some A is not B
Second Figure.
E | No B is X | (Co) |  | E | No B is X (Co)
A | Every A is X |  |  | I | Some A is X
E | No A is B |  |  | O | Some A is not B
A | Every B is X |  |  | A | Every B is X
E | No A is X | (Co) |  | O | Some A is not X
E | No A is B |  |  | O | Some A is not B
Third Figure.
A | Every X is B |  |  | E | No X is B
A | Every X is A | (Co+) |  | A | Every X is A (Co+)
I | Some A is B |  |  | O | Some A is not B
I | Some X is B | (Co) |  | O | Some X is not B
A | Every X is A |  |  | A | Every X is A
I | Some A is B |  |  | O | Some A is not B
A | Every X is B |  |  | E | No X is B
I | Some X is A | (Co) |  | I | Some X is A (Co)
I | Some A is B |  |  | O | Some A is not B
Fourth Figure.
A | Every B is X | (+) |  | I | Some B is X
A | Every X is A |  |  | A | Every X is A
I | Some A is B |  |  | I | Some B is A
A | Every B is X |  |  | E | No B is X (Co)
E | No X is A |  |  | A | Every X is A (Co+)
E | No A is B |  |  | O | Some A is not B
|  | E | No B is X (Co) |  |
|  | I | Some X is A (Co) |  |
|  | O | Some A is not B |  |

Вышеприведенное — это древний метод деления силлогизмов; но для текущей цели будет достаточно рассмотреть шесть, из которых можно получить остальные. И поскольку некоторые из шести имеют А в предикате заключения, а не В, мы присоединим к ним шесть других силлогизмов, которые находятся путем транспозиции В и А. Полный список силлогизмов с самыми слабыми посылками и самыми сильными заключениями, в которых сравнение А и В получено путем сравнения обоих с X, выглядит следующим образом:

Every A is X | Every B is X | Some A is X | Some B is X
Every X is B | Every X is A | No X is B | No X is A
Every A is B | Every B is A | Some A is not B | Some B is not A
Every A is X | Every B is X | Every A is X | Every B is X
No X is B | No X is A | Some B is not X | Some A is not X
No A is B | No B is A | Some B is not A | Some A is not B
Some A is X | Some B is X | Every X is A | Every X is B
Every X is B | Every X is A | Some X is not B | Some X is not A
Some A is B | Some B is A | Some A is not B | Some B is not A

В списке на стр. 19 не было ничего, кроме повторения форм, каждая из которых допускает вариацию путем перестановки А и В. После того как эта перестановка была сделана и результаты собраны, как указано выше, если мы возьмем каждый случай, в котором В является предикатом или может быть сделано предикатом путем допустимой конверсии, мы получим коллекцию всех возможных самых слабых форм, в которых результат является одним из четырех: «всякое А есть В», «никакое А не есть В», «некоторое А есть В», «некоторое А не есть В»; как следует. Посылки записаны в том порядке, который показался наиболее естественным, без различия на большую или меньшую; и буквы перед ними соответствуют формам нескольких посылок, как на стр. 10.

|  | A | Every A is X |  |
|  | U | Every X is B |  |
|  | A | Every A is B |  |
| I | Some A is X | I | Some B is X |
| U | Every X is B | U | Every X is A |
| I | Some A is B | I | Some A is B |
| A | Every A is X | A | Every B is X |
| E | No B is X | E | No A is X |
| E | No A is B | E | No A is B |
I | Some A is X | A | Every B is X | U | Every X is A
E | No B is X | O | Some A is not X | Y | Some X is not B
O | Some A is not B | O | Some A is not B | O | Some A is not B

Любое утверждение, которое может быть сделано о двух вещах путем сравнения с любой третьей, то есть любой простой вывод, может быть сведено к одной из предыдущих форм. Вообще говоря, одна из посылок опускается как очевидная из заключения; то есть, когда названа одна посылка и заключение, подразумевается та посылка, которая необходима для того, чтобы сделать заключение верным. Так, если я говорю: «Эта раса, должно быть, обладала некоторыми искусствами жизни, ибо они пришли из Азии», очевидно, имеется в виду утверждение, что все расы, пришедшие из Азии, должны были обладать некоторыми искусствами жизни. Предыдущее тогда является силлогизмом, как следует:

‘That race’ is ‘a race of Asiatic origin:’

Every ‘race of Asiatic origin’ is ‘a race which must have possessed some of the arts of life:’

Therefore, That race is a race which must have possessed some of the arts of life.

Человек, делающий предыдущее утверждение, либо подразумевает, до заключения, что все азиатские расы должны были обладать искусствами, либо он говорит бессмыслицу, если утверждает заключение положительно. «А должно быть В, ибо оно есть X» может быть истинным только тогда, когда «всякое X есть В». Это последнее суждение можно назвать подавленной посылкой; и именно в таких подавленных суждениях кроется величайшая опасность ошибки. Именно в таких суждениях люди передают мнения, которые они не хотели бы выражать прямо. Так, честный свидетель, который сказал: «Я всегда считал его респектабельным человеком — он держал свою двуколку», вероятно, не признал бы прямо: «Каждый человек, который держит двуколку, должен быть респектабельным».

Теперь я приведу несколько отдельных иллюстраций того, что предшествует.

«Его слабость характера можно было вывести из его склонности к фаворитам; ибо все слабые принцы имеют этот недостаток». Предыдущее очень хорошо смотрелось бы в истории, и многие пропустили бы его как содержащее очень хороший вывод. Однако, записанное в форме силлогизма, оно выглядит так:

| All weak princes | are prone to favourites
| He | was prone to favourites
Therefore | He | was a weak prince

что явно неверно. (Правило 1.) Автор такого предложения, как предыдущее, мог иметь в виду: «ибо все, кто имеет этот недостаток, являются слабыми принцами»; в этом случае он сделал бы вывод правильно. Каждый должен знать, что существует много ложных выводов, возникающих из-за плохого стиля, который так же вреден для привычек неподготовленного читателя, как если бы ошибки были логическими ошибками в уме автора.

«А меньше В; В меньше С: следовательно, А меньше С». Это на первый взгляд кажется силлогизмом; но, сводя его к обычной форме, мы обнаруживаем, что это:

| A is (a magnitude less than B)
| B is (a magnitude less than C)
Therefore | A is (a magnitude less than C)

что не является силлогизмом, так как нет среднего термина. Как бы очевидно ни было предыдущее, следующее дополнительное суждение должно быть сформировано, прежде чем его можно будет сделать явно логичным. «Если В есть величина, меньшая С, то всякая величина, меньшая В, также меньше С». Таким образом, прежде чем предыдущее можно свести к силлогистической форме, возникает необходимость дедукции из второй посылки и подстановки результата вместо этой посылки. Таким образом,

|  | A is less than B |
| Less than | B is less than C: | following from B is less than C.
Therefore |  | A is less than C |

Но если исследовать дополнительный аргумент — а именно, если В меньше С, то то, что меньше В, меньше С, — обнаружится, что он требует точно таких же повторных соображений; ибо исходный вывод был не чем иным. На самом деле, легко увидеть, как следует, что рассматриваемое суждение включает в себя больше, чем может выразить любой простой силлогизм. Когда мы говорим, что А меньше В, мы говорим, что если бы А было приложено к В, каждая часть А совпала бы с частью В, и остались бы части В. Но когда мы говорим «всякое А есть В», подразумевая посылку обычного силлогизма, мы говорим, что каждый случай А является случаем В, не говоря ничего о том, остались ли еще случаи В после того, как те, которые также являются А, убраны. Если, таким образом, мы хотим написать обычный силлогизм таким образом, чтобы он соответствовал «А меньше В, В меньше С, следовательно, А меньше С», мы должны ввести более определенную меру утверждения, чем та, что была сделана в предыдущих формах. Таким образом,

| Every A is B, and there are Bs which are not As
| Every B is C, and there are Cs which are not Bs
Therefore | Every A is C, and there are Cs which are not As

Или так:

The Bs contain all the As, and more |
The Cs contain all the Bs, and more |
The Cs contain all the As, and more |

Самая техническая форма, однако, такова:

From | Every A is B; [Some B is not A]
| Every B is C; [Some C is not B]
Follows | Every A is C; [Some C is not A]

Этот вид аргумента называется аргументом à fortiori, потому что посылки более чем достаточны для доказательства заключения, и степень заключения тем самым больше, чем указывала бы его простая форма. Таким образом, «А меньше В, В меньше С, следовательно, à fortiori, А меньше С» означает, что степень, в которой А меньше С, должна быть больше той, в которой А меньше В, или В меньше С. В последнем записанном силлогизме любая из посылок в скобках могла быть вычеркнута, не разрушая заключения; которое, однако, было бы ослаблено. В таком виде, следовательно, часть заключения «некоторое С не есть А» следует из него à fortiori.

Аргумент à fortiori может быть определен как общеутвердительный силлогизм, в котором обе посылки показаны как меньшие, чем вся истина, или большие. Так, в «всякое А есть X, всякое X есть В, следовательно, всякое А есть В» мы не подразумеваем с уверенностью, что существует больше X, чем А, или больше В, чем X, так что мы не знаем, что существует больше В, чем А. Но если мы вольны сформулировать силлогизм следующим образом,

All the As make up part (and part only) of the Xs

Every X is B;

то мы уверены, что

All the As make up part (and part only) of the Bs.

Но если мы вольны далее сказать, что

All the As make up part (and part only) of the Xs

All the Xs make up part (and part only) of the Bs

то мы заключаем, что

All the As make up part of part (only) of the Bs

и слова, выделенные курсивом, отмечают то качество заключения, от которого аргумент называется à fortiori.

Большинство силлогизмов, которые дают утвердительное заключение, обычно призваны подразумевать аргументы à fortiori, за исключением только математики. Редко, за исключением точных наук, мы встречаем суждение «всякое А есть В», которое мы не можем немедленно связать с «некоторые В не являются А».

Когда аргумент полностью установлен, за исключением только одного утверждения, так что вывод может быть сделан, как только это одно утверждение установлено, результат излагается в форме, которая носит название гипотетического силлогизма. Слово «гипотеза» означает не что иное, как предположение; и упомянутый вид силлогизма сначала излагает утверждение о том, что следствие будет истинным, если будет выполнено определенное условие, а затем либо утверждает выполнение условия, и отсюда следствие, либо отрицает следствие, и отсюда отрицает выполнение условия. Таким образом, если мы знаем, что

When A is B, it follows that P is Q;

то, как только мы можем установить, что А есть В, мы можем заключить, что P есть Q; или, если мы можем показать, что P не есть Q, мы знаем, что А не есть В. Но если мы обнаружим, что А не есть В, мы не можем ничего вывести; ибо предыдущее не утверждает, что P есть Q только тогда, когда А есть В. И если мы обнаружим, что P есть Q, мы не можем ничего вывести. Этот условный силлогизм может быть преобразован в обычный силлогизм следующим образом. Пусть K будет любым «случаем, в котором А есть В», а Z — «случаем, в котором P есть Q»; тогда предыдущее утверждение сводится к «всякое K есть Z». Пусть L будет частным примером, А которого может быть или не быть В. Если А есть В в обсуждаемом примере, или если А не есть В, мы имеем, в том и другом случае,

| Every | K is Z | Every | K is Z
|  | L is a K |  | L is not a K
Therefore |  | L is a Z |  | No conclusion

Аналогично, в зависимости от того, является ли частный случай (M) Z или нет, мы имеем

Every | K is Z | Every | K is Z
| M is a Z |  | M is not a Z
No conclusion |  | M is not a K

То есть: утверждение гипотезы есть утверждение ее необходимого следствия, а отрицание необходимого следствия есть отрицание гипотезы; но утверждение необходимого следствия не дает права утверждать гипотезу, равно как и отрицание гипотезы не дает права отрицать истинность того, что было бы (если бы гипотеза была истинной) ее необходимым следствием.

Демонстрация бывает двух видов: что проистекает из того, что каждое суждение имеет противоречащее; и из этих двух одно должно быть истинным, а другое — ложным. Мы можем тогда либо доказать истинность суждения, либо ложность его противоречащего. «Истинно, что всякое А есть В» и «ложно, что существуют некоторые А, которые не являются В» — это одно и то же суждение; и доказательство любого из них называется косвенным доказательством другого.

Но как доказать ложность любого суждения, кроме как доказав истинность противоречия? Путем доказательства ложности необходимого следствия суждения. Но это не полный ответ, так как он включает необходимость делать то же самое; или, насколько этот ответ идет, одно суждение нельзя доказать ложным, кроме как доказав ложность другого. Но может случиться, что необходимое следствие может быть получено, которое является очевидно и самоочевидно ложным, и в этом случае никакого дальнейшего доказательства ложности гипотезы не требуется. Так, доказательство, которое Евклид дает того, что все равноугольные треугольники являются равносторонними, имеет следующую структуру, если рассматривать ее логически.

(1.) Если существует равноугольный треугольник, не являющийся равносторонним, следует, что можно найти целое, которое не больше своей части. [1]

1. Это суждение, на доказательство которого уходит почти все доказательство Евклида.

(2.) Ложно, что может существовать какое-либо целое, которое не больше своей части (самоочевидно).

(3.) Следовательно, ложно, что существует какой-либо равноугольный треугольник, который не является равносторонним; или все равноугольные треугольники являются равносторонними.

Когда суждение устанавливается путем доказательства истинности содержащихся в нем положений, демонстрация называется прямой; когда путем доказательства ложности каждого противоречащего суждения, она называется косвенной. Последний вид демонстрации так же логичен, как и первый, но не такого простого вида; откуда желательно использовать первый, когда это возможно.

Использование косвенной демонстрации в «Началах» Евклида почти полностью ограничено теми суждениями, в которых доказываются конверсии простых суждений. Часто случается, что установленное утверждение формы

Every A is B | (1)

может быть легко использовано как средство дедукции,

Every (thing not A) is not B | (2)

которое последнее дает

Every B is A | (3)

Конверсия второго суждения в третье обычно делается путем косвенной демонстрации следующим образом. Если возможно, пусть существует одно В, которое не есть А, (2) будучи истинным. Тогда есть одна вещь, которая не есть А и есть В; но каждая вещь, не являющаяся А, не есть В; следовательно, есть одна вещь, которая есть В и не есть В: что абсурдно. Тогда абсурдно, чтобы существовало одно единственное В, которое не есть А; или всякое В есть А.

Следующее суждение содержит метод, который часто используется.

Гипотеза. — Пусть существует любое число суждений или утверждений — три, например, A, B и C, — свойство которых состоит в том, что одно или другое должно быть истинным, и только одно. Пусть существуют три других суждения, P, Q и R, свойство которых также состоит в том, что одно, и только одно, должно быть истинным. Пусть также связью этих утверждений будет то, что

When A is true, P is true

When B is true, Q is true

When C is true, R is true

Следствие: тогда следует, что

When P is true, A is true

When Q is true, B is true

When R is true, C is true

Ибо, когда P истинно, тогда Q и R должны быть ложными; следовательно, ни B, ни C не могут быть истинными, ибо тогда Q или R были бы истинными. Но либо A, B, или C должно быть истинным, следовательно, A должно быть истинным; или, когда P истинно, A истинно. Подобным образом могут быть доказаны остальные утверждения.

Case 1. If | When P is Q, | A is B
| When P is not Q, | A is not B
It follows that | When A is B, | P is Q
| When A is not B, | P is not Q
Case 2. If | When A is greater than B, | P is greater than Q
When A is equal to B, | P is equal to Q
When A is less than B, | P is less than Q
It follows that | When P is greater than Q, | A is greater than B
When P is equal to Q, | A is equal to B
When P is less than Q, | A is less than B

Мы до сих пор предполагали, что посылки фактически истинны; и в таком случае логическое заключение так же достоверно, как и посылки. Остается сказать несколько слов о случае, в котором посылки вероятно, но не достоверно, истинны.

Вероятность того, что событие вот-вот произойдет, и вероятность того, что аргумент истинен, могут быть связаны так, что обычный метод измерения первого может дать легкий метод выражения второго. Предположим урну или лотерею с большим количеством шаров, черных или белых; тогда, если на один черный шар приходится двенадцать белых, мы говорим, что шансы двенадцать к одному, что будет вытянут белый шар, или что белый шар в двенадцать раз вероятнее черного. Определенное утверждение может находиться в том же состоянии относительно силы вероятности, с которой оно поражает ум: то есть вопросы

Is the assertion true?

Will a white ball be drawn?

могут быть такими, что ответ «наиболее вероятно» выражает одну и ту же степень вероятности в обоих случаях.

Мы ранее объяснили, что логика не имеет ничего общего с истинностью или ложностью утверждений, а только берется, предполагая их истинными, собирать и классифицировать законные методы вывода. Аналогично, в этой части предмета мы не утруждаем себя вопросом: как нам найти вероятность, присущую посылкам? но мы спрашиваем: предполагая (как бы то ни было), что мы нашли вероятность посылок, требуется вероятность заключения. Когда шансы в пользу заключения, скажем, 6 к 1, существует из каждых 7 возможных шансов 6 в пользу заключения и 1 против него. Следовательно, ⁶⁄₇ и ⅐ будут представлять пропорции, за и против, всех возможных случаев, которые существуют.

Таким образом, мы имеем последовательность таких результатов, как в следующей таблице:—

Odds in favour of an event | Probability for | Probability against
1 to 1 | ½ | ½
2 to 1 | ⅔ | ⅓
3 to 1 | ¾ | ¼
3 to 2 | ⅗ | ⅖
4 to 1 | ⅘ | ⅕
4 to 3 | ⁴⁄₇ | ³⁄₇
5 to 1 | ⅚ | ⅙
&c. | &c. | &c.

Пусть вероятность заключения, выведенная из посылок (то есть при допущении, что она никогда не представлялась возможной до того, как был услышан аргумент), называется внутренней вероятностью аргумента. Это находится путем перемножения вероятностей всех утверждений, которые необходимы для аргумента. Так, предположим, что заключение считалось невозможным, пока не был представлен аргумент из одного силлогизма, посылки которого имеют соответственно пять к одному и восемь к одному в свою пользу. Тогда ⅚ × ⁸⁄₉, или ⁴⁰⁄₅₄, есть внутренняя вероятность аргумента, и шансы в его пользу составляют 40 к 14, или 20 к 7.

Но эта внутренняя вероятность не всегда является вероятностью заключения; последняя, конечно, зависит в некоторой степени от вероятности, которую заключение, как предполагалось, имело до того, как был представлен аргумент. Силлогизм с шансами 20 к 7 в его пользу, выдвинутый в пользу заключения, которое заранее было «как повезет», дает гораздо более вероятный результат, чем если бы заключение считалось абсолютно ложным, пока аргумент не вызвал определенную веру в возможность его истинности. Изменение, внесенное в вероятность заключения введением аргумента (или нового аргумента, если некоторые уже предшествовали), находится по следующему правилу.

Из суммы существующей вероятности заключения и внутренней вероятности нового аргумента вычтите их произведение; остаток есть вероятность заключения, усиленного аргументом. Таким образом, a + b − ab есть вероятность истинности заключения после введения аргумента с внутренней вероятностью b, при этом предыдущая вероятность указанного заключения была a.

Таким образом, заключение, которое в настоящее время имеет шанс ⅔ в свою пользу, при усилении аргументом, внутренняя вероятность которого ¾, приобретает вероятность ⅔ + ¾ − ⅔ × ¾ или ⅔ + ¾ − ½, или ¹¹⁄₁₂; или, имея 2 к 1 в свою пользу до этого, оно имеет 11 к 1 в свою пользу после аргумента.

Когда заключение не было ни вероятным, ни маловероятным заранее (или имело вероятность ½), самый короткий способ применения предыдущего правила (в котором a + b − ab становится ½ + ½ b) — это разделить сумму числителя и знаменателя внутренней вероятности аргумента на удвоенный знаменатель. Таким образом, аргумент, внутренняя вероятность которого ¾, дает заключению, на которое ранее не было предвзятости, вероятность ⅞ или 3 + 4 / 2 × 4.

THE END.

LONDON:—PRINTED BY JAMES MOYES,

Castle Street, Leicester Square.

TRANSCRIBER’S NOTES

Молчаливо исправлены очевидные опечатки и варианты написания.

Сохранены архаичные, нестандартные и неопределенные написания, как в оригинале.