О ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНОГО В СОВРЕМЕННОЙ МЫСЛИ

О ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНОГО В СОВРЕМЕННОЙ МЫСЛИ

ДВА ВВОДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯ

АВТОР:

Э. Ф. ДЖОРДЕЙН

ДОКТОР ПАРИЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ВИЦЕ-ДИРЕКТОР СЕНТ-ХЬЮЗ-ХОЛЛА, ОКСФОРД

LONGMANS, GREEN AND CO. 39 PATERNOSTER ROW, ЛОНДОН, НЬЮ-ЙОРК, БОМБЕЙ И КАЛЬКУТТА 1911

Все права защищены

Из двух представленных здесь докладов первый был прочитан в 1905 году на собрании студенток-естественниц в Оксфорде; второй — в 1908 году в Философском обществе этого колледжа. Они публикуются по просьбе читателей, при этом автор приносит извинения за их неполноту. Лекционная форма была сохранена. Я признательна своему брату, г-ну П. Джордейну, за помощь в подготовке первой лекции и за его редактуру текста.

Э. Ф. ДЖОРДЕЙН.

St. Hugh’s Hall, Oxford,
  January, 1911.

CONTENTS

I
PAGE
THE PROBLEM OF THE FINITE AND THE INFINITE | 1
II
PRAGMATISM AND A THEORY OF KNOWLEDGE | 31

I

ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОГО И БЕСКОНЕЧНОГО

Влияние математики на философию и наоборот можно проследить по историческому развитию обеих дисциплин, хотя до последних пятнадцати лет не удавалось дать логическое объяснение связям между ними. Пока, согласно кантовским взглядам, считалось, что математика основана на интуициях времени и пространства, союз философии и математики невозможно было доказать как более тесный, чем союз философии и экспериментальной науки, хотя исторический факт оставался неизменным: философия и математика взаимно стимулировали друг друга и развивались в одни и те же исторические периоды.

Однако математика, как она определяется сейчас, независима от интуиций пространства и времени, а также от аксиом и гипотез. [1] Математика, как она понимается сейчас, основывается, подобно формальной логике, на предпосылках мышления, а не на понятиях пространства и времени. Здесь нет определения числа или пространства, но концепция числа и пространства, [2] которая является более сложной, может быть выведена из них. Все прочие сложные мыслительные процессы могут быть таким же образом сведены к простым элементам предпосылок мышления.

Такая наука могла бы существовать вне условий времени и пространства, какими мы их знаем. Это скорее наука об отношениях, чем просто о числе. Основанная на законах символической логики, она является ценным подспорьем и иллюстрацией для философии; философия, с другой стороны, может наметить пути для реализации конструктивной силы, присущей математике. Цель данной работы — показать, что тесный, хотя и кажущийся случайным, союз философии и математики на протяжении всей истории мысли теперь может быть объяснен, и что проблемы, которыми занимается чистая математика, лежат в основе философской мысли и спекуляций. (Символическая логика развилась, чтобы соответствовать новым требованиям, предъявляемым к ней. Теперь она не сводится к силлогизму, как полагал Аристотель; показано, что предпосылки мышления являются многообразными, а не единичными. [3])

Использование слова «философский» в данном контексте предполагает необходимость дальнейшего определения. Считается, что философия включает по меньшей мере две великие ветви — метафизику и этику. Влияние математики наиболее очевидно на метафизической стороне философии; фактически, группировка математики и метафизики как родственных наук способствует выявлению существенного различия между метафизикой и этикой и — хотя это ни в коем случае не подразумевает разрыв их реальной связи — показывает, где это различие понималось неверно. Ни одна философия не была одинаково сильна в обоих аспектах; они представляют собой разные формы активности человеческого разума; но остается верным, и в силу условий всегда должно быть так, что этическая система вырастает из метафизики, подобно тому как практика следует за предписанием, а поведение подразумевает веру. Новое определение математики не затрагивает эти следствия; оно лишь обозначает границы, в пределах которых философия на метафизической стороне может подчиняться выводам математики или опираться на них.

Что касается исторической связи между метафизикой и математикой, то предмет настолько обширен, что мы предпримем лишь очень краткое обобщение его результатов в отношении развития концепции Конечного и Бесконечного. (Конечно, существует много других сторон этой связи, которые можно было бы изучить.) Общий результат исследования, насколько мы можем судить, заключается в том, что метафизика оказывала вдохновляющее воздействие на математику, а математика определяла и укрепляла концепции метафизики на каждом критическом этапе истории философии. Но там, где метафизика рассматривалась как доказательство науки, где она полагалась в качестве фундамента для точного знания, результаты не соответствовали истине опыта, и качество мысли деградировало. Прогресс зависит от правильного восприятия отношений между науками и частями философии.

Такой прогресс особенно очевиден в ранний греческий период и в Новое время, в то время как длительный период от начала христианской эры до эпохи Возрождения дает примеры неудачной инверсии ролей метафизики и науки и, как следствие, путаницы в мышлении. [4]

Проблемы метафизика, несомненно, в некотором смысле всегда одни и те же; но это в равной степени верно и для проблем любой другой науки. Методы, с помощью которых решаются эти проблемы, и адекватность получаемых решений варьируются от эпохи к эпохе в тесном соответствии с общим развитием науки. Каждая великая метафизическая концепция оказывала влияние на общую историю науки, и в ответ каждое важное движение в науке влияло на развитие метафизики. Метафизик не мог бы, если бы захотел, и не захотел бы, если бы мог, избежать обязанности оценивать значение великих научных теорий своего времени для наших конечных представлений о природе мира в целом. Таким образом, каждое фундаментальное продвижение в науке требует переформулировки и переосмысления старых метафизических проблем в свете новых открытий.

В греческий период математика была единственной отраслью науки, которая была хоть сколько-нибудь развита, и ее развитие совпадало с эпохой философов. Поэтому, когда Платон говорил о науке, он всегда имел в виду математику. И даже позже, когда начали развиваться физические науки, Аристотель поставил математические идеи в тесную связь с метафизическими, утверждая, что они занимают промежуточное положение между идеальным и чувственным. И Платон, и Аристотель ссылались на математические доказательства и иллюстрации философских вопросов и зависели от них. В этот греческий период сформировалась концепция Бесконечности. Доплатоновское представление, воспроизведенное позже в период упадка сократической теории стоиками, заключалось в том, что Бесконечное есть совокупность Конечностей; платоновская и аристотелевская теория, а именно теория наиболее энергичного момента греческой мысли, состояла в том, что Бесконечное есть нечто большее, чем совокупность Конечностей; что оно обладает самоопределяющимся существованием, из которого было выведено Конечное. Существование, как оно известно человеку, рассматривалось как компромисс между Конечным и Бесконечным.

Неоплатонизм полностью отделил Бесконечное от Конечного. В александрийской метафизике, которая представляла собой декадентскую стадию философии и ее отклонение от наук, концепция Бесконечного стала менее ясной и логичной; она разошлась со взглядом, на который повлияла математическая мысль, и стремилась ассимилировать идеи совершенства и универсальности, которые, философски говоря, являются концепциями, отличными от концепции Бесконечности — универсальность относится к общему принципу единства, а совершенство включает в себя моральный идеал. Реальный прогресс был отложен из-за слишком поспешной когерентности идей, которые были проанализированы и поняты лишь частично. Мыслители быстро переходили от исключительного созерцания субъекта к объекту и обратно, [5] причем каждый новый период отрицал весь предыдущий опыт, пока результатом не стало исключение неполно анализируемого Относительного и Конечного из недостаточно постигнутого Абсолюта и Бесконечного.

После начала христианской эры греческая философия скатилась в схоластику и утратила связь с реальностью, а грамматика аристотелевской логики заменила собой жизненную связь идей. Святой Ансельм, правда, пытался найти рациональное доказательство существования Бога и отождествил Его с Бесконечным греческой мысли; но Святой Фома Аквинский увел аргументацию в сторону дискуссии о том, в какой мере форма и материя, рассматриваемые отдельно, разделяют качество Бесконечности. (Он полагал, что форма разделяет, а материя — нет.) Подавляющее чувство тайны в сочетании с преждевременным желанием дать определение без научного анализа подорвало энергию средневековой мысли.

Таким образом, на протяжении всего Средневековья мы видим условия греческого периода в обратном виде: философия в течение второго периода не занята, как в первом, стимулированием усилий чистого разума; скорее, интуиции философии рассматриваются как аксиоматические, и на этих основаниях возводится ложная надстройка знания, чуждая опыту и реальности. Философия, по сути, используется как общая база для науки. Роли философии и математики, правильно, хотя и несовершенно увиденные греками, во втором периоде меняются местами, и результатом становится путаница идей. Понятие Бесконечного, как и в александрийской метафизике, считается включающим в себя совершенство и универсальность и не существует как концепция отдельно от них.

После эпохи Возрождения, когда схоластическая философия вышла из употребления, попытка найти объяснение Космоса, синтез вселенной, была оставлена и заменена картезианской идеей — выводом существования из мышления и ограничением сферы исследования тем, что может быть познано «эго». Новые научные и математические открытия шли в ногу с этим новым анализом и развитием мысли, [6] и более надежная почва в философии была окончательно объединена с работой математического ума. Философский тезис развился от «Бесконечное есть отрицание Конечного» к «Бесконечное предполагает Конечное и не исключает его». Проблема Конечного и Бесконечного стала великой идеей эпохи, произошел возврат к греческому представлению о существовании как о компромиссе между ними, и почти прозвучал намек на грядущее их объяснение. В период упадка картезианской философии, когда она скатилась в пантеизм, существовало лишь смутное представление о Бесконечном, и мы прослеживаем тенденцию отождествлять понятие Бесконечности с понятием Космоса. В средневековой мысли идея Бесконечного смешалась с идеей Совершенного и Универсального; в Новое время попытка дать конкретное выражение понятиям Бесконечности, Совершенства и Универсальности отвела идеи от их отношения к Творцу и применила их к Творению.

Кант, давший новый импульс некоторым частям картезианской идеи, пренебрег как математическими доказательствами, так и поиском метафизического Абсолюта. Избегая этого предмета, он способствовал закреплению смутных описаний Конечного и Бесконечного, не скорректированных математической мыслью, которые были общепринятыми в философии его эпохи и которые развратили философию следующего столетия. Девятнадцатый век не произвел ничего, кроме догадок об истине, которые, возможно, были не так уж далеки от нее и которые нынешний век занят исправлением и обоснованием. Та же расплывчатость поразила как математику (теорию функций), так и философию. Фихте, Шеллинг и Гегель, особенно Гегель, отождествляют метафизический Абсолют с реальностью, бесконечностью и универсальным. Идеи непрерывности и бесконечности не отделяются ими от идей совершенства и универсальности, а также друг от друга, и их природа не понята.

Оставляя в стороне французскую неокритическую школу (Ренувье) и английскую школу (Спенсер) — первые из которых отрицают Бесконечное, действуя тем самым в оппозиции к математическому рассуждению, в то время как вторые увековечивают ошибку Канта, считая Бесконечное, хотя и мыслимым, но непознаваемым (д-р Кэрд указал, что эта позиция нелогична), — мы приходим к моменту в истории, который является более плодотворным по результатам на математической стороне и, несомненно, окажет влияние на метафизику. Ибо благодаря недавним открытиям в Германии и Англии математика теперь в состоянии оказать большую поддержку интуициям философии, чем прежде. До сих пор философы неохотно признавали полную ценность математических концепций Бесконечности, и отчасти справедливо, поскольку понятие не было достаточно проанализировано. Философы, которые никогда не пытались провести этот анализ, были склонны принимать определенные противоречия в своей концепции как присущие самой природе Бесконечности. За последние двадцать пять лет Кантор и Дедекинд прояснили понятие непрерывности, а Рассел придал идее большую точность и применил это рассуждение к философии.

Современные метафизики, по-видимому, делятся на две группы: с одной стороны, те, кто рассматривает в философии ценность теории бытия, а с другой — те, кто главным образом рассматривает ценность теории познания, т.е. эпистемологи. Первая группа, посвящая себя психологии, эволюции и истории, не имеет обязательной веры в Бесконечное. Эпистемологи, чья работа основана на Канте, обсуждают теорию познания и перечисляют условия познания. Их аргументация может не затрагивать, но не исключает понятие Бесконечного. Позиция эпистемолога стала бесконечно более надежной благодаря недавним математическим работам. Позиция психолога остается почти нетронутой. Теперь необходимо более внимательно рассмотреть математические результаты, о которых шла речь.

В общих чертах можно сказать, что математика как дисциплина вела непосредственно от природы предмета к восприятию Бесконечного и к знанию о связи между Бесконечным и Конечным. Простейшая форма, в которой может быть выражена эта идея, сформулирована Святым Августином, который сказал, что числа, рассматриваемые индивидуально, конечны, но рассматриваемые как совокупность — бесконечны. [7] До Святого Августина и после него, на протяжении долгого потока философской мысли, теолог и философ обращались к математике за иллюстрациями бесконечно большого и бесконечно малого, развитыми из конкретных процессов арифметики и геометрии. Периодическая дробь в арифметике, свойства круга и эллипса в геометрии, конуса в конических сечениях и иррационального числа в алгебре — все они затрагивают проблему числа и пространства со стороны Бесконечности.

В высшей математике можно начать с идеи Конечного и прийти к концепции Бесконечного; или обратить процесс и из Бесконечного вывести Конечное. Так, в известной головоломке о делении частей прямой линии путем деления остатка пополам, будет происходить сгущение и слияние точек деления к одному концу линии, причем точки деления будут становиться бесконечно ближе, но шаги никогда не встретятся. Здесь, в центре прямой линии — ограниченной прямой линии — мы сталкиваемся с проблемой Бесконечности.

Далее, из ряда конечных чисел мы можем получить понятие бесконечного ряда. Возьмем два ряда, которые имеют соответствие друг с другом. Если для каждого элемента одного мы можем выбрать элемент другого, и для другого есть элемент для одного, когда в любой точке мы отсекаем его прогресс к бесконечности, происходит следующее:—

Один ряд, если его просуммировать, даст больший численный результат, чем другой, и поэтому может быть назван большим, чем второй. Назовем первый ряд А, а второй В. Теперь представим, что оба ряда, хотя и начинаются в определенной точке, никогда не обрываются на дальнем конце. Тогда до бесконечности ряд В не имеет определенных чисел, которыми обладает ряд А, и как бесконечный ряд он меньше ряда А. Но, с другой стороны, когда ни один из рядов не обрезан, ряд В сохраняет свое соответствие с рядом А. Таким образом, мы получаем определение бесконечного ряда. Оно таково, что часть, будучи меньше целого, все же имеет полное соответствие с целым. Целое больше части, но если отнять часть от целого, то оставшееся соответствует ему в бесконечности, потому что тест суммирования ряда (который дал бы противоположный результат) предполагает ограничение и, следовательно, не может быть применен. Вычитание может происходить в Бесконечности без потерь.

Обращая этот процесс и начиная с теории Бесконечного, мы можем получить некоторое представление об открытии Конечного. Так, Дедекинд и Рассел определяют конечные числа не только обычным способом как те, которые могут быть достигнуты математической индукцией, начиная с 0 и увеличиваясь на 1 на каждом шаге, но также как числа классов, которые не подобны своим частям, полученным путем удаления отдельных членов. Это обращение процесса, примененного только что. Дедекинд также вывел Конечное из Бесконечного с помощью нового процесса. Он постулирует мир мысли, которым каждый из нас обладает, наполненный мыслями и вещами, причем каждой вещи соответствует мысль. Таким образом, в сознании каждого из нас есть два «трансфинитных» ряда; мы не можем сказать, когда закончатся ряды мыслей и вещей; но они имеют число, хотя это бесконечное число. (Число существует везде, где есть соответствие, один к одному, между двумя совокупностями.) Но в этом Gedankenwelt, говорит Дедекинд, есть одна вещь, которой не соответствует никакая мысль: это эго. Каждый человек является частью своего собственного мира мысли, но в его сознании нет мысли о самом себе, точно соответствующей ему, как мысль в его сознании соответствует другому объекту. [8] Из теории Дедекинда следуют два важных результата: во-первых, существование конечного числа один, числа эго, как выведенного из Gedankenwelt двух бесконечных систем; во-вторых, путем объединения всех Gedankenwelts, которые существуют или могут существовать, мы получаем понятие ряда рядов, которое, по-видимому, превосходит Бесконечность, и оно дает нам условия, которые, возможно, собраны в Абсолюте. Теперь аргумент от Конечного к Бесконечному и обратный процесс могут быть использованы в математике (или оба могут быть проигнорированы, как в элементарных методах вычисления, используемых в арифметике). В Hibbert Journal состоялась дискуссия об относительной ценности этих двух методов. Кайзер в статье под названием «Аксиома бесконечности» утверждал, что один метод, метод Дедекинда, должен развиваться исключительно. Рассел ответил ему, заявив, что нет необходимости придерживаться исключительно какого-либо одного. Если Конечное и Бесконечное могут по очереди быть выведены друг из друга, ни одна из концепций не может быть истинно названа аксиомой. Реальная аксиома — это существование, которое включает в себя и то, и другое и которое определяется математиками как то, что не является самопротиворечивым.

Теперь проблема Бесконечности включает также проблему непрерывности; другими словами, проблема числа включает проблему кардинального и ординального числа. Пора перейти к математическому определению числа, которое, как мы обнаружили, как концепция может быть привязано как к Конечному, так и к Бесконечному. Что такое число в математике?

Возьмем любую совокупность вещей — мы называем это агрегатом. Если агрегат соответствует один к одному другому агрегату, говорят, что они оба имеют число, и одно и то же число. Вычтите из идеи агрегата идею качества или вида, а также порядка или расположения, и то, что останется, будет его кардинальным числом. Если вы вычтете качество, но не порядок, результатом будет ординальное число. Это рассуждение применимо как к конечным, так и к бесконечным агрегатам; фактически, можно сказать, что Бесконечное обладает большинством свойств, которые мы приписываем Конечному. Два бесконечных агрегата, например, могут иметь ординальное соответствие, и бесконечные агрегаты подчиняются, подобно конечным, арифметическим процессам.

Математик анализирует еще более тесно отношение между Конечным и Бесконечным следующим образом:—

Он начинает с агрегата, который анализирует на Конечное и Бесконечное, а последнее анализирует на Трансфинитное и Абсолютное. Из этих двух элементов только один до самого последнего времени был предметом математического рассмотрения — тот, который называется Трансфинитным. Именно к трансфинитному подразделению Бесконечного применима идея числа, и которое, следовательно, в некотором смысле неотделимо от Конечного. Бесконечные числа или ряды должны были бы тогда более правильно описываться как Трансфинитные. Но процессы математики на этом не заканчиваются; они доходят до идеи Абсолютного Бесконечного, концепция которого была достигнута в последние годы математической работой. Результаты этой работы теперь могут быть кратко суммированы.

I. Абсолют, по-видимому, имеет такое же отношение к Трансфинитному, как Трансфинитное к Конечному. Если Конечное имеет дело с числами, а Трансфинитное с рядами чисел, то Абсолют имеет дело с рядами рядов. Таким образом, существуют по крайней мере два примера Бесконечного в пределах нашей досягаемости, которые ведут к идее Абсолюта. Один — это класс всех классов суждений; другой — ряд всех миров мысли в смысле Дедекинда.

II. Конечное, Трансфинитное и Абсолютное могут быть далее определены таким образом. Не существует наибольшего конечного числа, но существует наименьшее трансфинитное число, которое было названо Алеф 0 и которое может быть доказано как большее, чем любое возможное конечное число, как бы велико оно ни было, потому что если бы существовало последнее число, оно должно было бы быть меньше суммы всего ряда. Существуют бесконечные ряды Алефов или бесконечных чисел, которые столь же различны друг от друга по идее, как 1 от 0, и которые не могут быть выведены друг из друга математическим процессом, как 1 не может быть выведена из 0, но могут быть достигнуты таким же образом путем индукции. За пределами Трансфинитного мы не можем обнаружить в Абсолюте идею наименьшего или наибольшего.

III. Отношение кардинального и ординального числа также проливает некоторый свет на Конечное, Трансфинитное и Абсолютное. В Конечном кардиналы и ординалы параллельны друг другу; в Трансфинитном они поразительно расходятся; в Абсолюте мы не можем проследить никакой связи между кардиналами и ординалами, т.е. возможно иметь ординальный ряд, которому не может соответствовать никакое кардинальное число или тип. [9]

IV. Если арифметические процессы применяются к Конечному, Трансфинитному или Абсолютному, мы получаем интересные результаты. Мы знаем эффект сложения, умножения и возведения в степень на Конечное. Первые два процесса были применены к Алефам; последний был сформулирован, но математические результаты еще не приведены к удовлетворительному завершению. В широком смысле мы можем сказать, что возведение Алефа в степень может заставить его превзойти Конечное и Трансфинитное и раствориться в Абсолюте. Таким образом, все математические процессы, которые находят свою цель в Абсолюте, нашли бы там свое уничтожение. Никакая конечная математическая концепция не была бы к нему применима.

Теперь концепция этого Абсолютного Бесконечного, символом которого, возможно, является совокупность всех ординальных чисел, [10] была подвергнута критике. Некоторые математики [11] считают, что оно существует, но не имеет числа. Оно открывается логическим процессом, но сопротивляется анализу и применению к нему понятия числа. Все математические концепции находят в нем свою цель и завершение. Важность этой теории, ее практическая важность, заключается в гораздо более простых математических формулах, которые могут быть получены теперь, когда показано, что логический процесс распространяется от Конечного к Абсолютному Бесконечному (подобно тому, как труд суммирования ряда арифметически путем записи и сложения сокращается применением алгебраических принципов, которые зависят от большего знания). Ее философская важность велика: Абсолют здесь, как и везде, является целью человеческой мысли и есть имя математика для высшей силы, доступной человеческому разуму.

Было бы очень интересно обсудить вероятное отношение Паскаля или Гегеля к этим математическим концепциям, если бы они были о них осведомлены. Возьмем головоломку Паскаля о Конечном и Бесконечном. Он думал, что если Конечное может быть вычтено из Бесконечного, то Бесконечное тем самым потеряет часть своего качества бесконечности. Как иначе это предстало бы перед ним, если бы он осознал, что из агрегатного бесконечного кардинала можно вычесть либо конечные, либо трансфинитные члены: если трансфинитные члены, получается много разных ответов, дающих разные степени трансфинитности: если вычитаются только конечные члены, Бесконечное остается в своей целостности.

Как, опять же, Гегель радовался бы определению мысли и существования, которое перебросило бы мост через логическую пропасть в его системе! Гегель утверждал, что мысль и существование едины. Ему возражают многие философы, которые спрашивают, где тот tertium quid, который делает возможным переход от одного к другому или предикацию их существенного единства? Но математик определяет существование как нечто, что не является самопротиворечивым. Мысль, таким образом, для него есть форма существования, ибо мысль не является самопротиворечивой; но эти два, мысль и существование, не обязательно совпадают. [12] Следовательно, сказать, что непротиворечивость является фундаментальным условием истинного мышления, — это все равно что сказать, что она является фундаментальной характеристикой реального существования, и он отождествляет мысль с реальностью.

Д-р Кэрд отмечает, что светская совесть мыслит Бесконечное как противоположное Конечному; религиозная совесть рассматривает Бесконечное как реальное, предполагаемое иллюзорным Конечным. Где лежит истина? Математика не допускает необходимости принимать один взгляд в ущерб другому.

Метафизика, стоящая особняком, дает результаты, которые могут быть опровергнуты, но не могут быть доказаны. Математика, стоящая особняком, дает результаты, которые поддаются доказательству. Обе основаны на логике и опираются на предпосылки мышления. Вместе они являются полем для лучших сил человеческого разума: метафизика поставляет прозрение, интуицию, воображение; математика предлагает несомненное доказательство и переводит идеальное в актуальное.

Но элемент в философской мысли, который, используя психологический метод, склоняется к обсуждению теории бытия, а не теории познания, и, таким образом, к реализации этической системы, а не к метафизическому открытию, противится принятию этих выводов. Остается, следовательно, рассмотреть критику, предложенную психологической школой в отношении того, что они называют математизацией философии; и будет обнаружено, что атака касается как основания союза, так и его результатов.

Типичным представителем этой школы является Муазан, который в Revue Philosophique за январь 1905 года атаковал то, что он считал характеристикой современной философии, а также ее пороком. Будет замечено, что в самом начале он меняет роли философии и математики, как мы их понимали. Философия, говорит он, должна ожидать вдохновения от математики, но должна избегать ее метода. Далее он связывает современное движение с теориями Лейбница, который стремился заменить элементарные формы разума и вычисления общими формулами. Эти короткие пути, которые кажутся математику освобождающими разум от бремени, препятствующего ему использовать свою полную активность, кажутся психологу ведущими к механическому методу, в котором мыслитель осознает только посылки и результаты, и в котором математическая концепция стремится заменить реальную идею. Затем он атакует новое определение математики как науки об отношениях, утверждая, что она все еще содержит понятия пространства. [13]

Наконец, он переходит к реальному вопросу и вступает в сравнение метафизической и математической проблем. Он берет в качестве своего предмета аргумент от известного к неизвестному. Декарт говорил, что аргументация должна вести от известного к неизвестному, от простого к сложному, и определял первое как то, что может быть познано без помощи второго. Этот логический порядок рассуждения приписывался математике, но считался неприменимым к философии. Математика в своем недавнем развитии, посредством аргумента от Конечного к Бесконечному и обратно, исходит из двух положений, ни одно из которых нельзя назвать аксиоматическим, поскольку каждое из них по очереди может быть доказано из другого, но в ходе аргументации от любого из них математика использует логический процесс. Реальная аксиома, как было показано, — это аксиома существования или бытия. Метафизический аргумент имеет тот же корень — корень существования, — но метафизическая проблема имеет дело с парадоксами, с вопросами, которые иногда определяются как имеющие два ответа, каждый из которых одинаково верен, а иногда как не дающие никакого ответа вообще. Метод тезиса, антитезиса и синтеза в гегелевской логике применяется к их решению.

Математическая и метафизическая проблемы, таким образом, не являются проблемами одного и того же рода, решаемыми одним и тем же методом; концепция математического Абсолюта также не достигается тем же путем, что и концепция метафизического Абсолюта. Мы даже не в состоянии сказать, насколько они соответствуют друг другу, за исключением их абсолютности. [14] Но утверждение современного математика и эпистемологической школы философии заключается не в тождестве методов и результатов в двух науках. Это аксиома существования, от которой они обе зависят: закон мышления, по которому развиваются все методы, и, прежде всего, коррелятивная ценность каждой науки по отношению к другой, что позволяет нам, развивая наше знание с точки зрения двух наук, распознать нечто от величия Абсолютного принципа, к которому они обе стремятся и в котором заключается их бытие.

СНОСКИ:

[1] Конечно, если мы охватываем в нашем обзоре только элементарную геометрическую и алгебраическую науку, легко показать, что они действительно требуют как аксиом, так и интуиций. Возьмем, например, Евклид I. i., где при построении необходимо использовать интуицию для утверждения, что дуги действительно пересекают друг друга. Нет логической уверенности, что это так; фактически, в некоторых других условиях, например, в условиях других пространственных измерений, они могли бы и не пересекаться.

[2] Это, конечно, не пространство опыта. Логика и математика имеют дело с логическими следствиями мысли. См. Б. Рассел (Hibbert Journal, 1904, стр. 809-12), который показал, что во всей чистой математике утверждаются только следствия, а не посылка или вывод, как математики привыкли полагать ранее.

[3] Де Морган, Пирс, Шрёдер и Б. Рассел разработали логику отношений, а также силлогистику.

[4] См. Тейлор, «Основы метафизики», стр. 13.

[5] См. д-р Кэрд, «Эволюция теологии у греческих философов».

[6] Так, Галилей, Ньютон, Гюйгенс были философами в науке. Декарт, Паскаль, Лейбниц были как математиками, так и философами.

[7] См. Святой Августин, «О граде Божьем», книга XII, гл. xix: «Ибо каждое число ограничено своими собственными свойствами, так что ни одно из них не может быть равно любому другому. Поэтому они различны и несходны между собой, и каждое из них конечно, а все вместе они бесконечны».

[8] См. Р. Дедекинд, «Что такое числа и для чего они служат?», 1893.

[9] Два трансфинитных многообразия могут находиться в ординальном соответствии друг с другом.

[10] См. Г. Кантор, «К учению о трансфинитном», 1890.

[11] напр., г-н П. Джордейн, Philosophical Magazine, 1904.

[12] На тот же результат намекает г-н Тейлор. Тейлор, «Основы метафизики», стр. 22.

[13] Линейный порядок, 1, 2, 3 и т. д. Круговой. A CD B, A CD B... Последний, правда, включает в себя идею разделения. Но эта идея может быть развита из идей включения и исключения, которые относятся к фундаментальным законам мышления.

[14] Абсолют, согласно одному современному метафизику, есть «сознательная жизнь, которая охватывает всю совокупность бытия, сразу и в совершенном систематическом единстве, как содержание своего опыта». — Тейлор, «Основы метафизики», стр. 60.

II

ПРАГМАТИЗМ И ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ

Вопрос, стоящий перед нами, — это отношение прагматизма к совокупности знаний.

(a) Один из спорных вопросов между идеалистом [15] и прагматистом касается того, как каждый из них определяет знание и оценивает его конечную цель. Оба говорят, что знание относительно, но одна школа утверждает, что человеческий разум медленно и кропотливо раскрывает или обнаруживает то, что Гёте называет «живой ризой Божества», т. е. мир природы, и обретает наследие научной истины, которая все больше соответствует предмету его веры; другая же утверждает, что мы живем в саморазвивающейся вселенной, в которой в течение долгих веков могут быть созданы новые небеса и новая земля, не предусмотренные и не подразумеваемые в нынешних условиях. Иными словами, идеалист находит Божественное в человеческой жизни; он находит в своем собственном маленьком уголке вселенной микрокосм и символ Бесконечного: прагматист же считает, что нет ничего, что не было бы результатом человеческого действия, и низводит Божественный элемент до результата индивидуальной человеческой деятельности. Компромисс между этими двумя идеями в новом и интересном ключе был недавно предложен Бергсоном. Христианское учение об имманентности и трансцендентности также объединяет их.

Теперь рост совокупности знаний, по-видимому, зависит от сопоставления успешной разработки гипотез с расхождениями с теорией, которые время от времени появляются. Взятые вместе, доказательства и расхождения указывают на свидетельство более крупного закона. Это логика Гегеля, и принцип, в той мере, в какой он здесь подразумевается, не отрицается в наше время, ибо никто не желает основывать логику на изучении расхождений как таковых. Даже У. Джеймс говорит: «Как только вы встаете на точку зрения любого высшего синтеза, вы точно видите, как он, в некотором роде, включает в себя противоположности» [16]. На самом деле, без понятия единства понятие расхождения не могло бы существовать: должен быть фон, на котором проявляются различия. Предельное единство символизируется в идеалистическом учении об Абсолюте.

Абсолют идеалистической мысли, однако, теперь мыслится не (как хотел бы заставить нас поверить прагматист) как абстрактное единство, а как единство, включающее социальную связь, а следовательно, и отношения, которые можно описать как личностные, если помнить, что Личность Абсолюта превосходит наше представление о человеческой личности. К такой концепции термина «Абсолют», новому прочтению теории Единого и Многого, пришли Брэдли и Ройс методами логики и без какой-либо отсылки к догме. Это было удобно выражено Тейлором. Аргумент вкратце состоит в том, что предельная Реальность должна быть Единой, Множественной и Личностной.

«Ибо наш вывод о том, что простая истина не может быть тем же самым, что и предельная реальность, был сам основан на принципе, что только гармоничная индивидуальность является окончательно реальной, и это тот самый принцип, который использует сам интеллект, когда судит одну мыслительную конструкцию как относительно более высокую или более истинную, чем другую» [17].

И далее:—

«Если мы говорим о бытии как об обществе, то мы должны быть осторожны, чтобы помнить, что индивидуальное единство общества является таким же реальным фактом опыта, как и индивидуальное единство членов, которые его составляют, и что, когда мы называем Абсолют обществом, а не «Я», мы делаем это без какого-либо намерения подвергать сомнению его полное духовное единство как индивидуального опыта» [18].

В современной мысли было заявлено, что Абсолют есть Единое, Многое, Реальное и Личностное или Социальное, и к этим терминам его квалификации приходили последовательно.

Слова У. Джеймса звучат пусто, когда он пытается отделить такую концепцию от реальности, венцом и всеобъемлющим символом, типом и сущностью которой она является. «Я лично, — говорит он, — отказываюсь от Абсолюта. Я нахожу, что он запутывает меня в метафизических парадоксах, которые неприемлемы». Он допускает, что может существовать Бог, хотя и ограниченный в силе и благости, «один помощник среди других, primus inter pares посреди всех творцов судьбы великого мира». В такой системе, как отметил Г. Джонс, «ни во вселенной, ни в Боге нет принципа, который мог бы вдохновлять или направлять, или каким-либо образом привести к желаемому улучшению. Процесс не направляется никакой целью. Вселенная начинается как совокупность случайностей, плюралистическая, прерывистая, иррациональная и сама по себе не может стать иной. Внутри нет ничего актуального, что могло бы изменить ее характер... Бог сам конечен, беспомощен в осуществлении этого великого изменения, часть, и не более того, вселенной, разбитой на фрагменты».

Другая форма, и весьма ученая, аргумента против существования Абсолюта была изложена Бэксом в «Корнях реальности». Он, по-видимому, пришел к выводу, что telos, цель человеческой мысли, — это не Абсолют, предполагающий какое-либо понятие неизменности, а то, что его можно мыслить как «движущийся синтез». Он утверждает, что все, что мы осознаем во вселенной, видится на фоне, который сам движется, и осознаваемо или различимо только в том случае, если оно смещается относительно чего-то относительно неподвижного позади него. Поэтому он заключает, что по аналогии Абсолюта не существует, поскольку то, что мы воспринимаем, всегда подразумевает нечто, на фоне чего мы это воспринимаем; таким образом, нет цели, с помощью которой и в которой дух человека может найти покой. Согласно его теории, мы никогда не смогли бы претендовать на достижение концепции Абсолюта, хотя он признает прогрессивный характер человеческой мысли и возрастающий охват, ясность и глубину человеческого разума. Истинный ответ на этот аргумент заключается в том, что он доказывает в точности то, что намеревается опровергнуть. Поскольку признается, что только постоянное или относительно постоянное может порождать феномены изменения, то появление цели мысли как движущегося синтеза предполагает Абсолют как основополагающую реальность [19].

Если бы мы в действительности были способны полностью постичь источник всей жизни и фон всего опыта, мы могли бы сказать, что он не существует для нас как Абсолют, но тот факт, что все, что мы воспринимаем, постулирует бесконечный ряд позади себя, несет в себе доказательство Абсолютной Бесконечности. (К этому выводу подводит математическая идея ряда всех конечных и трансфинитных ординальных чисел.) Часть этого аргумента уже была предложена в «Основах знания» Ормонда и в такой мере использовалась г-ном Иллингвортом в «Учении о Троице» [20].

«С более глубокой метафизической точки зрения именно концепция эволюции сама должна подчиниться определению знания, ибо будет обнаружено, что в той мере, в какой становится эпистемологически необходимым обосновать относительные процессы в Абсолютном опыте, в той же мере станет необходимым также связать эволюционный аспект самого мира с основополагающей реальностью, которая стабильна и включает в себя поток изменений лишь как превосходящая и объемлющая его» [21].

Дальнейший ответ на то, что любое суждение, даже прагматистское «суждение о ценности», подразумевает Абсолют, был изложен в его Оксфордских лекциях [22] профессором Г. Джонсом.

(b) Следующий момент, который мы хотели бы разработать, — это отношение факта к закону. Прагматист отрицает научный закон, а также логику, и обращается к фактам. Из этого отрицания нельзя сделать никакого вывода, кроме как с помощью самой логики. Если бы он последовательно отрицал логику, его позиция была бы неуязвима для логики, но он использует метод, который отрицает, и поэтому открыт для атаки. По вопросу о законах науки прагматист справедливо указывает, что между фактом и законом нет фактической непрерывности. Но законы — это концепты, результат ментальной деятельности; они сами подчиняются законам логики. «Они были средствами, а вы делаете их целями», — жалуется прагматист. Это именно то, что делает сама природа. Она совершенствует средства, такие как средства поддержания жизни, а затем они становятся целями. Язык, опять же, сначала является средством, а затем становится целью. Так и любая наука меняет свой характер для наблюдателя. Закон, тоже, хотя он обобщает факты, является пределом абсолютного обобщения. Таким образом, он стоит посередине между абстракцией и фактом. Прагматист, однако, противопоставляет закону то, что он называет новым фактом — то, что скорее следовало бы назвать гипотезой. Он утверждает, что в каждом событии, действии, эксперименте есть грань, невидимая и не признанная нами; что в каждый момент, следовательно, неизвестное, неожиданное может обрести форму и голос и опровергнуть все наши тщательные и обоснованные выводы. «Почему солнце должно взойти завтра, потому что оно взошло сегодня и вчера?» — спрашивает прагматист. «Мы делаем огромное допущение, — говорит он, — утверждая единообразие Природы и принцип причинности». Идеалист отвечает, что прагматист делает большее допущение, сомневаясь в истинности принципов, которые, хотя и относительны, а не абсолютны, все же работают на практике, чем идеалист в своем акте веры. На самом деле, акт веры рационален, а также естествен; именно акт сомнения в данном случае обусловлен простой схоластической уловкой. Именно идеалист, а не прагматист, апеллирует к истинности фактов. Каждый день, когда солнце продолжает восходить, застает идеалиста в лучшем философском положении, а прагматиста — в худшем, за исключением допущения, что связь между человеком и внешним миром является ложным воображением. Давайте подчеркнем: именно прагматист придирается к логике, а идеалист апеллирует к фактам.

(c) Теперь существуют определенные факты и определенные дедукции из фактов, хорошо известные математикам, которые мы хотели бы процитировать здесь как имеющие отношение к теории Абсолюта, потому что они имеют дело с аспектами Бесконечности и отмечают связь между миром, каким мы его знаем, и концептами философа. Все они имеют поддержку науки и предоставляют философу-идеалисту примеры, которые поддерживают его теории и укрепляют его позицию перед лицом атаки прагматистов. Они имеют отношение к теории Бесконечности, как показано в:—

I. Бесконечный регресс.

II. Бесконечные ряды.

III. Измерения в пространстве и времени.

Прежде чем приступить к ним, мы должны повторить, что вопрос о числе и ряде в математике не зависит от допущений пространства и времени. Как наука, математика могла бы существовать вне их: порядок не обязательно является пространственным или временным. Наши выводы, следовательно, не могут быть атакованы на том основании, что они основаны на евклидовых концепциях пространства: они основаны на законах логики.

I. Бесконечный регресс

Юм и, позже, Кант утверждали, что согласно принципу ассоциации, когда мы думаем об одном качестве вещи, другие естественным образом приходят на ум, и таким образом мы привыкаем приписывать понятию вещи определенную группу качеств. И это правда, что мы воспринимаем вещь целиком, включая в понятие о ней все качества, которые, как мы знаем, ей принадлежат.

Теперь опыт, согласно Лейбницу, дает нам пример единства, которое охватывает множество деталей. Таким образом, вещь есть одна субстанция, воплощающая индивидуальный опыт, и ее качества принадлежат ей в том же смысле, в каком составляющие опыта принадлежат единому опыту. Эти качества находятся в отношении. (Прагматист отрицает существование отношений как части высшего единства [23].) Но они являются не только отношением, поскольку отношение всегда подразумевает нечто большее, чем оно само. Возьмем пример числа. Числа никогда не могли бы быть сосчитаны, если бы не было вещей для счета. Теперь предположим, что каждое качество можно было бы проанализировать в новое отношение, мы все равно не избавились бы от качества. На каждом этапе остается качество в отношении, и это продолжается до Бесконечности. Такое постоянное подразделение, возможно, является результатом того, что наш конечный опыт схватывает факты разрозненным образом. Когда мы анализируем закон в его действии, мы всегда, кажется, приходим к этому Бесконечному регрессу. Теперь упреком метафизике, высказанным прагматистом, было то, что в научном факте нет соответствия этому пути в Бесконечность.

У. Джеймс утверждает: «Но на самом деле природа не делает яйца, делая сначала половину яйца, затем четверть, затем восьмую и т. д., и складывая их вместе. Она либо делает целое яйцо сразу, либо вообще никакого, и так со всеми другими ее единицами. Только в сфере изменения, следовательно, где одна фаза вещи должна возникнуть прежде, чем может возникнуть другая фаза, парадокс Зенона создает проблемы. И он создает проблемы тогда только в том случае, если последовательные шаги изменения бесконечно делимы» [24].

Сфера изменения, однако, ответил бы кто-то, включает всю природу, и наука в своих открытиях действует на гипотезе, что эти шаги изменения могут быть бесконечно делимы. Ройс твердо придерживался того, что любая последовательная попытка сделать упорядоченное расположение членов бесконечного целого должна привести к Бесконечному регрессу. И он далее показывает связь с тем фактом, что бесконечный ряд может быть адекватно представлен частью самого себя.

В Бойлевской лекции, прочитанной в Оксфорде в 1908 году о свойствах радия, выявились два факта, которые показывают, что Бесконечный регресс теперь признан в науке.

Во-первых, что в области эксперимента мы узнаем о группах элементов, родственных радию, которые, по-видимому, по количеству индивидов в своих группах следуют простой арифметической прогрессии.

Во-вторых, что радиоактивные элементы теряют активность с определенной скоростью, которая всегда представляет собой точную пропорцию массы, которая остается. Огромная дезинтегрирующая сила ослабевает в точной связи с проходящим временем, так что чем меньше кусочек, тем меньше относительная потеря массы. Здесь, следовательно, Бесконечный регресс. В мире фактов, как и в мире идей, мы имеем дело с аспектами Бесконечности [25].

II. Бесконечные ряды

Существуют другие аспекты Бесконечности, которые мы можем постичь, изучая ряды, и которые в концепции рядов рядов придают силу и смысл философской концепции Абсолюта.

Проф. К. Кайзер развивает эту мысль и показывает (в двух недавних статьях, январь и апрель 1909 года, в Hibbert Journal), что определенные теологические догматы, такие как учение о Троице, и определенные атрибуты Божественного Существа, такие как Всеведение и Вездесущность, вполне постижимы человеческим разумом, если рассматривать их без парализующих ограничений Конечности. Он показывает, что в наших математических формулах, которые имеют дело с бесконечными рядами, мы имеем точную копию того, что для обывательского, нематематического ума кажется парадоксами Афанасьевского символа веры. Он сначала показывает, что в математической аналогии точки зрения о Бесконечном Существе, даже если они частично противоречивы, могут быть все истинными, если принять во внимание Его Бесконечность [26].

Далее он показывает, что определенные допущения, такие как «целое больше своей части», неприменимы к Бесконечному Существу. Концепция Троицы в Единстве, в которой «никто не является первым или последним, никто не больше или меньше другого, но все три лица со-вечны вместе и со-равны», рационально постижима математиком, который знаком с теорией многообразий [27].

Мы имеем, показывает он, три бесконечных многообразия:—

E четных целых чисел.

O нечетных чисел.

F дробей, имеющих целые числа в качестве своих членов.

Никакие два из них не имеют ни одного общего элемента, однако все три вместе составляют одно многообразие M, которое в точности равно по богатству элементов каждому из своих бесконечных компонентов.

Опять же, существует кажущееся противоречие между Всеведением Бога и свободой человека. Антитеза исчезает, если мы осознаем, что с точки зрения Бесконечностей достоинство и сила Всеведения остаются прежними, даже если какая-то часть опыта еще не вовлечена в сферу Всеведения [28].

Здесь мы имеем настоящее, мыслимое как движущаяся плоскость, отделяющая неизвестное от известного. «Прошлое» можно назвать известным, хотя его содержание меняется каждое мгновение. Это реальный ответ на крик У. Джеймса о том, что он мог бы принять Абсолют, если бы у него был хотя бы фрагмент «иного». Может существовать это «иное», и все же Абсолют остается Абсолютом.

Учение о Вездесущности следует из аргумента Континуума (который является совокупностью всех действительных чисел). Таким образом, число точек в пространстве бесконечного измерения не больше, чем число точек в любой части пространства, как оно известно нам. Целое воплощено в каждой части, потому что каждой части, в каком бы малом атоме она ни была, соответствует точка в универсальном целом, и число точек в пространстве бесконечных измерений равно числу точек на прямой линии, как бы мала она ни была.

И это верно не только для точек, но и для сил. «Вселенная динамична, заряжена повсюду бесчисленными видами движения. Каждая точка, однако, любой движущейся вещи — иона газа, вибрирующего волокна мозга — представлена соответствующей точкой в S (маленьком типичном атоме), и так внутри крошечной сферы — действительно, в каждой комнате, как бы мала она ни была — вся динамика вселенной изображена полностью и со-осуществляется движением точек и трансформацией конфигураций точек. Там в миниатюре происходит сразу бесчисленная игра и взаимодействие всякого рода движения, малого и большого, простого и сложного, дрожащий танец молекулы, волна и колебание универсального эфира» [29].

III. Измерения в пространстве

Существует другой аргумент, относящийся к теориям времени и пространства, который сильно влияет на концепцию вездесущности. Это аргумент многих измерений, названный Кайзером «сияющей концепцией гиперпространства», которая еще поколение назад рассматривалась даже математиками — самыми предприимчивыми из людей — как бесцельная и тщетная, но которая тем временем продвинулась так быстро к командной позиции, что даже следующее утверждение Пуанкаре в его недавнем обращении перед Международным математическим конгрессом в Риме о «Будущем математики» находится в пределах консерватизма: «Мы сегодня настолько знакомы с этим понятием, что можем говорить о нем, даже в университетском курсе, не вызывая слишком большого удивления». Факт в том, что доктрина уже существует в обширной и быстро растущей литературе, процветает на всех научных языках мира и в своих основных принципах стала для математики такой же ортодоксальной, как таблица умножения.

Текущее положение теории вкратце таково: если бы не существовало четвертого измерения, мы не могли бы осознавать третье как таковое, и так далее. Смотрим ли мы тогда на трехмерный мир и осознаем его как таковой, потому что мы ментально способны мыслить измерения за его пределами? Наш мир чувственно содержит одномерные и двухмерные факты — первые, такие как временной ряд, для которого достаточно одного числа, чтобы зафиксировать точку, и вторые, такие как плоскость, где положение может быть зафиксировано двумя числами. Содержит ли наш мир факты других измерений?

«Все частицы воздуха являются четырехмерными по величине, когда в дополнение к их положению в пространстве мы также рассматриваем переменные плотности, которые они принимают, как они выражаются разными высотами барометра в разных частях атмосферы. Аналогично, все мыслимые сферы в пространстве являются четырехмерными величинами, ибо их центры образуют трехмерное точечное множество, и вокруг каждого центра — одномерная совокупность сфер, радиусы которых могут быть выражены любой числовой величиной от нуля до бесконечности. Далее, если мы представим измерительную палку неизменной длины, принимающую каждое мыслимое положение в пространстве, полученные таким образом положения составят пятимерную совокупность. Ибо, во-первых, одна из конечностей измерительной палки может быть представлена принимающей положение в каждой точке пространства, и это определяет для одной конечности палки трехмерную совокупность положений, и, во-вторых, как мы видели выше, из каждого такого положения этой конечности исходит двухмерная совокупность направлений, и, представляя измерительную палку расположенной вдоль в каждом из этих направлений, мы получим все мыслимые положения, которые может принять вторая конечность, и, следовательно, измерения должны быть 3 + 2 или 5...» и т. д., и т. д. [30]

Математики давно решают задачи в седьмом и восьмом измерениях. Они сказали нам, что нельзя завязать узел во втором измерении, потому что нет верха или низа, и нити не пересекутся — ни в четвертом, потому что узел вытянется в новом направлении и не будет держаться. Но только недавно было осознано, что четвертое и другие измерения могут быть реальным фактом в мире вокруг нас. Конечно, с точки зрения точки есть только три измерения, которые можно знать, но для линии в том же пространстве их пять, для поверхности, вероятно, шесть. Наш интеллект в настоящее время не выходит за пределы точки; но если бы мы могли мыслить пространство с точки зрения твердого тела, миры за мирами предстали бы перед нашим взором.

О четвертом измерении мы можем обнаружить некоторые факты по аналогии. Мы можем сосчитать ребра его типичной фигуры и применить мысль к определению некоторых его условий. Но более интересным предметом исследования является изучение света, проливаемого теорией четырех измерений на определение определенных атомов в химии, которые, как известно, являются отдельными элементами, но могли бы быть определены фактически только в другом измерении [31].

«В химии молекулы сложного тела, как говорят, состоят из атомов элементов, которые содержатся в теле, и они предполагаются расположенными на определенных расстояниях друг от друга и удерживаемыми в своих относительных положениях определенными силами. Сначала центры атомов мыслились лежащими в одной и той же плоскости. Но Вислиценус был приведен исследованиями паралактической кислоты к объяснению различий изомерных молекул с одними и теми же структурными формулами разными положениями атомов в пространстве. На самом деле, четыре точки всегда могут быть так расположены в пространстве, что каждые две из них могут иметь любое расстояние друг от друга; и изменение одного из шести расстояний не обязательно влечет за собой изменение любого другого.

«Но предположим, наша молекула состоит из пяти атомов? Четыре из них могут быть так расположены, что расстояние между любыми двумя из них может быть сделано каким угодно. Но уже невозможно дать пятому атому положение такое, чтобы каждое из четырех расстояний, на которые он отделен от других атомов, могло быть каким угодно. Напротив, четвертое расстояние зависит от трех оставшихся расстояний, ибо пространство опыта имеет только три измерения. Если, следовательно, у меня есть молекула, которая состоит из пяти атомов, я не могу изменить расстояние между двумя из них, не изменив по крайней мере какое-то второе расстояние. Но если мы представим центры атомов расположенными в четырехмерном пространстве, это может быть сделано; все десять расстояний, которые могут быть мыслимы существующими между пятью точками, будут тогда независимы друг от друга. Чтобы достичь того же результата в случае шести атомов, мы должны предположить пятимерное пространство, и так далее» [32].

Здесь мы видим, что если химия как наука обязана учитывать все свои факты, ученый сталкивается с проблемой измерений, которая на самом деле является проблемой Бесконечности, примененной не, как в других процитированных случаях, к числу, а к пространству.

И есть причина, которая объясняет, почему та же проблема имеет тенденцию появляться этими разными способами. И время, и пространство могут быть наиболее правильно мыслимы как ряды: первое известно нам как обладающее одним направлением, хотя, возможно, включающее больше, а второе — тремя, хотя, возможно, включающее больше. Время — это не вещь и не условие, но это способ, которым мы способны постичь отношения действий друг к другу. Допущение прагматиста, что другая дата в истории — это новое условие, которое могло бы повлиять на химический эксперимент, бессмысленно, если только он не намеревается сказать, что в другую дату преобладали новые условия.

Общий вывод недавней мысли состоит, таким образом, в том, чтобы установить позицию идеалиста более прочно с помощью апелляции к математическому аргументу. Этот аргумент усиливается нахождением в настоящее время некоторой поддержки в научном факте и эксперименте. Идеалист, следовательно, апеллирует к факту, и его позиция в конечном счете покоится на истине, которая имеет свои аспекты соответствия с научным экспериментом и с логическим или математическим доказательством.

СНОСКИ:

[15] Это слово используется здесь в самом общем и всеобъемлющем смысле как относящееся ко всем мыслителям, которые принимают реальность отношений как часть высшего Единства.

[16] «Плюралистическая вселенная», стр. 99.

[17] Тейлор, «Основы метафизики», стр. 312.

[18] Там же, стр. 350.

[19] Последовательность того, что разъединено, не является изменением. Изменение — это последовательность внутри идентичности: если не внутри идентичности, нет изменения, только анализ и перегруппировка. Чем ближе наше знание о нас самих или о чем-либо другом, тем больше мы видим, что изменение есть выражение во времени идентичности.

[20] Иллингворт, «Учение о Троице», стр. 6.

[21] Ормонд, «Основы знания», стр. 19.

[22] 1908-10.

[23] Джеймс, «Плюралистическая вселенная», стр. 80.

[24] «Плюралистическая вселенная», стр. 230.

[25] См. А. Т. Кэмерон, «Радиохимия», стр. 17: «Кривые иллюстрируют два дальнейших момента. Они приближаются к постоянному значению к концу месяца, но видно, что они достигают окончательного значения только в бесконечное время. Это свойство присуще всем таким кривым; оно иллюстрирует тот факт, что жизнь радиоактивного элемента бесконечна». В той же книге (стр. 31) объясняется, что «бесконечность — это только относительный термин; в этой связи он означает только более долгое время, чем мы можем измерить».

[26] Его теология не так хороша, как его математика; он, кажется, думает, что в Символе веры мы утверждаем нашу веру в Непостижимое, в смысле того, что «не способно быть схвачено умом», вместо того, что «не стеснено ограничениями». Слово — immensus, лучше всего переводится как бесконечный.

[27] Hibbert Journal, 1909, стр. 626-28.

[28] Hibbert Journal, 1909, стр. 629.

[29] Hibbert Journal, 1909, стр. 632.

[30] Шуберт, «Математические эссе и развлечения», стр. 70, 71.

[31] См. Вант-Гофф, «Химия в пространстве» и Шуберт, «Математические эссе и развлечения», стр. 88-89.

[32] Шуберт, «Математические эссе и развлечения», стр. 88-89. См. также Мах, «Сохранение энергии» (пер. Open Court Publishing Co.).

Отпечатано Ballantyne, Hanson & Co. Эдинбург и Лондон

Примечание транскрибера:

Сноски были перенумерованы последовательно и перенесены в конец главы. Слова могут иметь непоследовательное написание через дефис в тексте. Одно слово с опечаткой было исправлено.