PRINCIPIA MATHEMATICA

ИЗДАТЕЛЬСТВО КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Лондон
: FETTER LANE, E.C.
К. Ф. КЛЕЙ,
УПРАВЛЯЮЩИЙ

Эдинбург
: 100, PRINCES STREET
Берлин
: A. ASHER AND CO.
Лейпциг
: F. A. BROCKHAUS
Нью-Йорк
: G. P. PUTNAM'S SONS
Бомбей и Калькутта
:
MACMILLAN AND CO.,
LTD.

Все права защищены

PRINCIPIA MATHEMATICA

АВТОРЫ:

АЛЬФРЕД НОРТ УАЙТХЕД, доктор естественных наук, член Королевского общества

Член и бывший лектор Тринити-колледжа, Кембридж

И

БЕРТРАН РАССЕЛ, магистр искусств, член Королевского общества

Лектор и бывший член Тринити-колледжа, Кембридж

ТОМ II

Кембридж
в Издательстве университета
1912

Кембридж
:
ОТПЕЧАТАНО ДЖОНОМ КЛЕЕМ,
магистром искусств
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ УНИВЕРСИТЕТА

СОДЕРЖАНИЕ ТОМА II

   
   PAGE

PREFATORY STATEMENT OF SYMBOLIC CONVENTIONS
ix

PART III. CARDINAL ARITHMETIC.

Summary of Part III
3

SECTION A. DEFINITION AND LOGICAL PROPERTIES OF CARDINAL NUMBERS
4

*100. Definition and elementary properties of cardinal numbers
13

*101. On 0 and 1 and 2
19

*102. On cardinal numbers of assigned types
24

*103. Homogeneous cardinals
36

*104. Ascending cardinals
42

*105. Descending cardinals
52

*106. Cardinals of relational types
60

SECTION B. ADDITION, MULTIPLICATION AND EXPONENTIATION
66

*110. The arithmetical sum of two classes and of two cardinals
75

*111. Double similarity
88

*112. The arithmetical sum of a class of classes
97

*113. On the arithmetical product of two classes or of two cardinals
105

*114. The arithmetical product of a class of classes
124

*115. Multiplicative classes and arithmetical classes
135

*116. Exponentiation
143

*117. Greater and less
171

General note on cardinal correlators
185

SECTION C. FINITE AND INFINITE
187

*118. Arithmetical substitution and uniform formal numbers
193

*119. Subtraction
201

*120. Inductive cardinals
207

*121. Intervals
233

*122. Progressions
253

*123.
268

*124. Reflexive classes and cardinals
278

*125. The axiom of infinity
289

*126. On typically indefinite inductive cardinals
293

PART IV. RELATION-ARITHMETIC.

Summary of Part IV
301

SECTION A. ORDINAL SIMILARITY AND RELATION-NUMBERS
303

*150. Internal transformation of a relation
306

*151. Ordinal similarity
319

*152. Definition and elementary properties of relation-numbers
330

*153. The relation-numbers , and
334

*154. Relation-numbers of assigned types
339

*155. Homogeneous relation-numbers
344

SECTION B. ADDITION OF RELATIONS, AND THE PRODUCT OF TWO RELATIONS
347

*160. The sum of two relations
351

*161. Addition of a term to a relation
357

*162. The sum of the relations of a field
362

*163. Relations of mutually exclusive relations
369

*164. Double likeness
376

*165. Relations of relations of couples
386

*166. The product of two relations
396

SECTION C. THE PRINCIPLE OF FIRST DIFFERENCES, AND THE MULTIPLICATION
AND EXPONENTIATION OF RELATIONS
403

*170. On the relation of first differences among the sub-classes of a
given class
411

*171. The principle of first differences (continued)
423

*172. The product of the relations of a field
428

*173. The product of the relations of a field (continued)
443

*174. The associative law of relational multiplication
447

*176. Exponentiation
458

*177. Propositions connecting with products and powers
471

SECTION D. ARITHMETIC OF RELATION-NUMBERS
473

*180. The sum of two relation-numbers
477

*181. On the addition of unity to a relation-number
482

*182. On separated relations
487

*183. The sum of the relation-numbers of a field
496

*184. The product of two relation-numbers
501

*185. The product of the relation-numbers of a field
505

*186. Powers of relation-numbers
507

PART V. SERIES.

Summary of Part V.
513

SECTION A. GENERAL THEORY OF SERIES
516

*200. Relations contained in diversity
518

*201. Transitive relations
525

*202. Connected relations
533

*204. Elementary properties of series
547

*205. Maximum and minimum points
559

*206. Sequent points
577

*207. Limits
594

*208. The correlation of series
605

SECTION B. ON SECTIONS, SEGMENTS, STRETCHES, AND DERIVATIVES
612

*210. On series of classes generated by the relation of inclusion
615

*211. On sections and segments
624

*212. The series of segments
651

*213. Sectional relations
668

*214. Dedekindian relations
684

*215. Stretches
691

*216. Derivatives
700

*217. On segments of sums and converses
710

SECTION C. ON CONVERGENCE, AND THE LIMITS OF FUNCTIONS
715

*230. On convergents
720

*231. Limiting sections and ultimate oscillation of a function
727

*232. On the oscillation of a function as the argument approaches a
given limit
737

*233. On the limits of functions
745

*234. Continuity of functions
753

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОПЕЧАТКИ К ТОМУ I.

стр. 5, строка 20, удалить "." стр. 34, строка 20, вместо " " читать "." стр. 36, строка 7 и строка 10, вместо " " читать "." стр. 44, строка 17, вместо " " читать "." стр. 112, в *2·52, вместо " " читать "." стр. 129, в *5·11, вместо ссылки на " " читать ссылку на "." стр. 129, в *5·12, вместо ссылки на " " читать ссылку на "*2·51." стр. 144, *10·23 должно быть "." стр. 157, строка 11, вместо "*10" читать "*9." стр. 184, последняя строка доказательства *14·111, вместо второго " " читать "." стр. 228, в *23·81, вместо " " читать "." стр. 242, в *25·37, вместо " " читать "." стр. 242, в *25·412, вместо " " читать "." стр. 253, 2-я и 4-я строки доказательства *31·16, вместо "*21·35" читать "*23·35." стр. 259, в примечании к *32·35, вместо "*32·2" читать "*32·3." стр. 263, в *33·16, 4-я строка доказательства, вместо "*20·34" читать "*22·34." стр. 265, в *33·26, 2-я строка доказательства, вместо "*21·34" читать "*23·34." стр. 275, в *34·6, 4-я строка доказательства, вместо первого " " читать "." стр. 289, 1-я строка, вместо " " читать "." стр. 322, в *40·18, формулировка, вместо " " читать "." стр. 329, в *40·69, доказательство, вместо " " читать " " (3 раза). стр. 387, в *55·224, 1-я строка доказательства, вместо " " читать " " (дважды). стр. 388, в *55·281, вместо третьего " " читать "." стр. 410, в *60·53, последняя строка доказательства, вместо " " читать "." стр. 453, в *71·25, доказательство, 1-я строка, вместо " " читать "." 2-я строка, вместо " " читать "." 3-я строка, вместо " " читать "." 6-я строка, вместо " " читать " " и вместо " " читать "." 7-я строка, вместо " " читать "." стр. 465, в *72·16, доказательство, 1-я строка, вместо последнего " " читать "." стр. 483, в *73·44, доказательство, 1-я строка, вместо второго " " читать "." стр. 485, в *73·511, вместо " " читать "." стр. 522, в *81·23, формулировка и 2-я строка доказательства, вместо " " читать "." стр. 592, в *91·33, доказательство, 1-я строка, вместо " " читать "." стр. 614, в *93·36, доказательство, вместо " " читать " " повсеместно. стр. 628, в *95·21, доказательство, строка 6, вместо " " читать "."

ОПЕЧАТКИ К ТОМУ II

стр. 82, предпоследняя строка, вместо " " и " " читать " " и "." стр. 101, *112·23, формулировка, во втором случае, где встречаются две точки, читать одну точку. стр. 573, *205·7, формулировка, вместо " " читать "."

ПРЕДИСЛОВИЕ К СИМВОЛИЧЕСКИМ
УСЛОВНЫМ ОБОЗНАЧЕНИЯМ

ЦЕЛЬ следующих замечаний состоит в том, чтобы собрать воедино в рамках одного обсуждения различные пояснения, необходимые при применении теории типов к кардинальной арифметике. Удобно собрать эти замечания, поскольку в противном случае их разбросанность по различным номерам Части III затрудняет понимание их совокупного эффекта. Но хотя мы поместили эти замечания в начале, их следует читать одновременно с текстом Части III, по крайней мере с той частью текста, которая состоит из пояснений к определениям. Ранняя часть того, что следует ниже, является лишь резюме предыдущих пояснений; только в более поздних частях осуществляется применение к кардинальной арифметике.

I.
Общие замечания о типах.

В наших предложениях задействованы три различных вида типической двусмысленности, касающиеся:

(1) функциональной иерархии,

(2) пропозициональной иерархии,

(3) экстенсиональной иерархии.

Значимость этих аспектов должна рассматриваться отдельно.

Мы часто говорим так, как будто тип, представленный малыми латинскими буквами, не состоит из функций. Однако это совместимо со всем, что мы должны сказать, что он может состоять из функций. Далее следует отметить, что при заданном числе индивидов в наших аксиомах нет ничего, что показывало бы, сколько существует предикативных функций индивидов, т.е. их число не является функцией от числа индивидов: мы знаем только, что их число , где " " обозначает класс индивидов.

На практике мы движемся вдоль экстенсиональной иерархии после начальных номеров книги. Если мы начали с индивидов, то результатом этого является полное исключение функций из нашей иерархии; если мы начали с функций заданного типа, то все функции других типов исключаются. Таким образом, новая экстенсиональная иерархия, полностью исключающая любую другую, начинается с каждого типа функций. Когда мы говорим просто об "экстенсиональной иерархии", мы имеем в виду ту, которая начинается с индивидов.

Следует отметить, что когда мы имеем утверждение пропозициональной функции, скажем " ", то должно быть некоторого определенного типа, т.е. мы утверждаем лишь то, что истинно, что бы ни было в рамках одного типа. Таким образом, например, " " не утверждает большего, чем то, что это утверждение справедливо для любого из заданного типа. Верно, что символически то же самое утверждение справедливо и в других типах, но другие типы не могут быть включены под один знак утверждения, поскольку ни одна переменная не может выйти за пределы своего типа.

Процесс придания типам переменных двусмысленности начинается в *9, где мы делаем первый шаг в отношении пропозициональной иерархии. До *9 нашими переменными являются элементарные предложения. Они таковы, что не содержат кажущихся переменных. Следовательно, единственные функции, которые встречаются, — это матрицы, и они встречаются только через свои значения. Предположение, задействованное при переходе от Раздела A к Разделу B (Часть I), заключается в том, что, имея " ", где есть элементарное предложение, мы можем подставить вместо " ", где есть любая матрица. Таким образом, вместо " ", которое содержало одну переменную заданного типа, мы имеем " ", которое содержит несколько переменных нескольких типов (возможно любое конечное число переменных и типов). Это предположение включает в себя некоторые довольно сложные моменты. Следует помнить, что никакое значение не содержит в качестве составляющей, и поэтому не является составляющей даже если является значением . Таким образом, мы переходим выше от утверждения, не содержащего функцию в качестве составляющей, к утверждению, содержащему одну или несколько функций в качестве составляющих. Утверждение " " касается любого элементарного предложения, тогда как " " касается любого из определенного набора элементарных предложений, а именно любого из тех, которые являются значениями . Различные типы функций дают различные способы выделения элементарных предложений.

Приняв или доказав " ", где элементарно и, следовательно, не предполагает никакой двусмысленности типа, мы таким образом утверждаем , где типы аргументов и их количество совершенно произвольны, за исключением того, что они должны принадлежать к функциональной иерархии, включающей индивидов. (Предположение о том, что предложения являются неполными символами, исключает возможность того, что аргументами для являются предложения.) Примечательным моментом является то, что мы таким образом получаем утверждение, в котором может быть любое конечное число переменных и переменные имеют неограниченную типическую двусмысленность, исходя из утверждения, содержащего одну переменную совершенно определенного типа. Все это предполагается до того, как мы приступим к пропозициональной иерархии.

Следует отметить, что все элементарные предложения являются значениями предикативных функций одного индивида, т.е. , где есть индивид. Таким образом, нам не нужно предполагать, что элементарные предложения образуют тип; мы можем заменить на " " в " ". Таким образом, предложения как переменные полностью исчезают.

При расширении утверждений, касающихся элементарных предложений, чтобы формально применить их к предложениям первого порядка, мы должны заново принять примитивное предложение *1·11 (*1·1 никогда не используется), т.е. имея " " и " ", мы имеем " ", что практически является *9·12. Это было утверждено в *1·11 для любого случая, в котором и являются элементарными предложениями. Здесь уже существовала двусмысленность типа, обусловленная тем фактом, что x не обязательно должен быть индивидом, а может быть функцией любого порядка. Например, мы могли бы использовать *1·11 для перехода от , где заменяет из *1·11, а , заменяют и . Таким образом, *1·11, даже до своего расширения в *9, уже формулирует новое примитивное предложение для каждого нового рассматриваемого типа функций. Новизна в *9 заключается в том, что мы позволяем и содержать одну кажущуюся переменную. Она может быть любого функционального типа (включая Indiv); таким образом, мы получаем еще один набор символически идентичных примитивных предложений. Переходя, как указано в конце *9, к более чем одной кажущейся переменной, мы вводим новую порцию примитивных предложений с каждой дополнительной кажущейся переменной.

Аналогичные замечания применимы и к другим примитивным предложениям *9.

То, что делает вышеуказанный процесс законным, заключается в том, что ничто в трактовке функций порядка не предполагает функций более высокого порядка. Мы можем иметь дело с каждым новым типом функций по мере его возникновения, не принимая во внимание тот факт, что существуют более поздние типы. Из символической аналогии мы "видим", что процесс может повторяться бесконечно. Эта возможность основывается на двух вещах:

(1) Новая интерпретация наших констант— , , !, ( )., ( ).—на каждом новом этапе;

(2) Новое предположение, символически неизменное, примитивных предложений, которые мы сочли достаточными на более раннем этапе — возможность избежать символического изменения обусловлена новой интерпретацией наших констант.

Вышеуказанные замечания применимы как к аксиоме сводимости, так и к другим нашим примитивным предложениям. Если на каком-либо этапе мы хотим иметь дело с классом, определенным функцией 30 000-го типа, нам придется повторять наши аргументы и предположения 30 000 раз. Но все еще нет необходимости говорить об иерархии в целом или предполагать, что утверждения могут быть сделаны обо "всех типах".

Теперь мы переходим к экстенсиональной иерархии. Она начинается с какой-то одной точки в функциональной иерархии. Мы обычно предполагаем, что она начинается с индивидов, но любая другая отправная точка столь же законна. С какого бы типа функций (включая ) мы ни начали, все более высокие типы функций исключаются из экстенсиональной иерархии, а также все более низкие типы (если таковые имеются). Здесь возникают некоторые сложности. Предположим, мы начинаем с . Тогда, если есть любая предикативная функция индивидов, . Но тождество между функцией и классом не обладает обычными свойствами тождества; на самом деле, хотя каждая функция тождественна некоторому классу, и наоборот, число функций, вероятно, больше, чем число классов. Это связано с тем фактом, что мы можем иметь , не имея .

В экстенсиональной иерархии мы доказываем расширение от классов к классам классов и так далее, без новых примитивных предложений (*20, *21). Задействованные примитивные предложения — это те, которые касаются функциональной иерархии.

Из всех этих различных способов расширения мы "видим", что все, что может быть доказано для более низких типов, будь то функциональных или экстенсиональных, может быть также доказано для более высоких типов [1]. Следовательно, мы предполагаем, что нет необходимости знать типы наших переменных, хотя они всегда должны быть ограничены каким-то одним определенным типом.

Теперь, хотя все, что может быть доказано для более низких типов, может быть доказано для более высоких типов, обратное неверно. В Том I встречаются только два предложения, которые могут быть доказаны для более высоких, но не для более низких типов. Это и . Они могут быть доказаны для любого типа, кроме типа индивидов. Следует отметить, что мы не утверждаем, что все, что истинно для более низких типов, истинно для более высоких типов, а только то, что все, что может быть доказано для более низких типов, может быть доказано для более высоких типов. Если, например, , то это предложение ложно для любого более высокого типа; но это предложение, , является тем, которое не может быть доказано логически; на самом деле, оно устанавливается только переписью, а не логикой. Таким образом, среди предложений, которые могут быть доказаны логикой, есть некоторые, которые могут быть доказаны только для более высоких типов, но нет таких, которые могут быть доказаны только для более низких типов.

Предложения, которые могут быть доказаны в одних типах, но не в других, все являются или зависят от теорем существования для кардинальных чисел. Мы можем доказать . Совершенно аналогичные замечания применимы и к функциональной иерархии. В обоих случаях возможность доказательства этих предложений зависит от аксиомы сводимости и определения тождества. Предположим, существует только один индивид, . Тогда , — это две разные функции, которые, согласно аксиоме сводимости, эквивалентны двум разным предикативным функциям. Следовательно, существуют по крайней мере две предикативные функции от , и по крайней мере два класса , . Этот аргумент не работает ни для классов, ни для функций, если мы либо отрицаем аксиому сводимости, либо предполагаем, что могут существовать два разных индивида, которые согласуются во всех своих предикатах, т.е. что определение тождества вводит в заблуждение.

Утверждение, что то, что может быть доказано для более низких типов, может быть доказано для более высоких типов, требует определенных ограничений, или, скорее, более точной формулировки. Принимая в качестве примитивной идеи, положим . Затем рассмотрим предложение . Мы можем доказать . Таким образом, может быть доказано в самом низком типе, в котором оно значимо, и опровергнуто в любом другом. Сложность, однако, устраняется, если Indiv заменить на переменную , а на . Тогда мы имеем , и это справедливо независимо от того, каким может быть тип . Таким образом, чтобы наш принцип о более низких и более высоких типах был верным, необходимо, чтобы любое отношение, которое может существовать между двумя типами, встречающимися в предложении, сохранялось; другими словами, когда один постоянный тип определяется через другой (как и ), определение должно быть восстановлено до того, как тип будет изменен, так что когда один тип изменяется, изменяется и другой. С этой оговоркой наш принцип о более высоких и более низких типах остается в силе.

С вышеуказанной оговоркой истинность нашего утверждения очевидна. Ибо мы показали, что те же самые примитивные предложения, символически, которые справедливы для самого низкого типа, задействованного в наших рассуждениях, справедливы также и для последующих типов; и поэтому все наши доказательства могут быть повторены символически без изменений.

Важность этого заключается в том факте, что, доказав предложение для самого низкого значимого типа, мы "видим", что оно справедливо в любом другом назначенном значимом типе. Следовательно, каждое предложение, которое доказано без упоминания какого-либо типа, должно рассматриваться как доказанное для самого низкого значимого типа и расширенное по аналогии на любой другой значимый тип.

Совершенно аналогичными соображениями мы "видим", что предложение, которое может быть доказано для некоторого типа, отличного от самого низкого значимого типа, должно быть справедливо для любого типа в прямом происхождении от него. Например, предположим, что мы можем доказать предложение (такое как ) для типа (где ); тогда, просто написав вместо , мы имеем предложение, которое доказано относительно , а именно , и здесь, согласно тому, что было сказано ранее, может быть заменено любым более высоким типом.

Таким образом, имея типически двусмысленное отношение , такое что, если есть тип, есть тип ( или есть такое отношение), мы "видим", что если мы можем доказать , мы можем также доказать , где есть любой тип, и состоит из типически двусмысленных символов. Аналогично, если мы можем доказать , мы можем доказать , где есть любой тип. Но мы не можем в общем случае доказать или , и они могут быть на самом деле неверными. Например, мы имеем .

Таким образом, более общо, когда предложение, содержащее несколько двусмысленностей, может быть доказано для типов , , ..., но не для более низких типов, оно должно рассматриваться как функция от , и тогда оно становится истинным для любого типа; то есть, имея , мы также будем иметь , где есть любой тип. Таким образом, все доказуемые предложения в первую очередь касаются , и при таком выражении остаются истинными, если любой другой тип подставлен вместо .

Когда предложение, содержащее типически двусмысленные символы, может быть доказано как истинное в самом низком значимом типе, и мы можем "видеть", что символически то же самое доказательство справедливо в любом другом назначенном типе, мы говорим, что предложение обладает "постоянной истинностью". (Мы можем также сказать, нестрого, что оно "истинно во всех типах".) Когда предложение, содержащее типически двусмысленные символы, может быть доказано как ложное в самом низком значимом типе, и мы можем "видеть", что оно ложно в любом другом назначенном типе, мы говорим, что оно обладает "постоянной ложностью". Любое другое предложение, содержащее типически двусмысленные символы, называется "флуктуирующим" или обладающим "флуктуирующим истинностным значением", в противоположность "постоянному истинностному значению", которое принадлежит предложениям, обладающим либо постоянной истинностью, либо постоянной ложностью.

В дальнейшем двусмысленности, касающиеся пропозициональной иерархии, будут игнорироваться, поскольку они никогда не приводят к флуктуирующим предложениям. Таким образом, дизъюнкция, отрицание и их производные не получат явного типического определения, а только такое типическое определение, которое вытекает из назначения типов других задействованных типически двусмысленных символов.

Удобно называть символическую форму пропозициональной функции просто "символической формой". Таким образом, если символическая форма содержит символы двусмысленного типа, она представляет различные пропозициональные функции в зависимости от того, как настроены типы ее двусмысленных символов. Настройка, конечно, всегда ограничена необходимостью сохранения смысла. Очевидно, что идеи "постоянного истинностного значения" и "флуктуирующего истинностного значения" в действительности применимы к символическим формам, а не к предложениям или пропозициональным функциям. Двусмысленность типа может существовать только в процессе определения смысла. Когда смысл был присвоен символической форме и тем самым получена пропозициональная функция, всякая двусмысленность типа исчезает.

Утверждать "символическую форму" — значит утверждать каждую из пропозициональных функций, возникающих для набора возможных типических определений, которые где-то перечисляются. Мы, по сути, перечислили очень ограниченное число типов, начиная с типа индивидов, и мы "видим", что этот процесс может быть бесконечно продолжен по аналогии. Форма всегда утверждается постольку, поскольку перечисление достигло цели; и этого достаточно для всех целей, поскольку по существу невозможно использовать тип, который не был достигнут путем последовательного перечисления от более низких типов.

Единственные трудности, которые возникают в кардинальной арифметике в связи с двусмысленностями типа символов, — это те, которые входят через использование символа , или символа , который есть . Ибо может случиться так, что класс в одном типе не имеет подобного ему класса в каком-то более низком типе (ср. *102·72 ·73). Все ошибочные рассуждения в кардинальной или ординальной арифметике в связи с типами, помимо тех, что обусловлены простым отсутствием смысла в символах, обусловлены этим фактом — другими словами, тем фактом, что в одних типах истинно, а в других типах может быть не истинно. Ошибка состоит в пренебрежении этой последней возможностью невыполнения для ограниченного числа типов, то есть в принятии "флуктуирующей" формы так, как если бы она обладала "постоянным" истинностным значением.

Флуктуирующая форма, однако, часто обладает тем, что здесь называется "стабильным" истинностным значением, которое столь же важно, как и постоянное истинностное значение других форм. Например, предвосхищая наши определения элементарной арифметики, рассмотрим . Не существует абстрактного логического доказательства того, что существуют два индивида; поэтому предположим, что 2 и 3 относятся к классам индивидов, но 5 относится к классам достаточно высокого типа, тогда с этими определениями нельзя доказать. Но обладает стабильным истинностным значением, поскольку его всегда можно доказать, когда все типы достаточно высоки. В этом случае тот факт, что наша эмпирическая перепись индивидов (по крайней мере, "относительных" индивидов обычной жизни) опередила возможности логического доказательства, делает флуктуацию истинностного значения формы совершенно неважной.

Чтобы сделать эту идею точной, необходимо иметь конвенцию относительно порядка, в котором назначаются типы символов в символической форме. Правило, которое мы принимаем, состоит в том, что типы реальных переменных должны быть назначены первыми, а затем типы константных символов. Типы кажущихся переменных, если таковые имеются, будут тогда полностью определены.

Символическая форма обладает стабильным истинностным значением, если после любого назначения типов реальным переменным могут быть назначены типы константным символам так, чтобы истинностное значение полученного таким образом предложения было таким же, как истинностное значение любого предложения, полученного путем его модификации назначением более высоких типов некоторым или всем константным символам. Это истинностное значение является стабильным истинностным значением.

II.
Формальные числа.

Конвенции, которые мы приведем ниже относительно назначения типов, практически ограничивают нашу интерпретацию флуктуирующих символических форм типами, в которых формы обладают своим стабильным истинностным значением. Предположение о том, что эти истинностные значения стабильны, никогда не входит в рассуждение. Но мы судим об истинностном значении как о стабильном, когда любой метод повышения типов константных символов на один шаг оставляет его неизменным.

На практике флуктуация истинностных значений входит в наше рассмотрение только через ограниченное число символов, называемых "формальными числами".

Формальные числа могут быть "константными" или "функциональными".

Константное формальное число — это любой константный символ, для которого существует константа такая, что, в каком бы типе ни был определен константный символ, он в этом типе тождественен . Другими словами, если есть константный символ, то есть формальное число при условии, что "истина" является постоянным истинностным значением для некоторой константы .

Функциональные формальные числа определяются перечислением; они суть , где в каждом формальном числе символы , , , встречающиеся в нем, называются аргументами функциональной формы, даже когда они являются сложными символами. Аргументом является , а аргументами являются и , а аргументами являются 1 и 2.

Таким образом, среди константных формальных чисел находятся . Ссылки, подтверждающие это утверждение, суть
*101·11 ·21 ·32. *123·36. *110·42. *113·23. *116·23.

Среди функциональных формальных чисел находятся . Будет замечено, что, например, является как константным, так и функциональным формальным числом, так что эти два класса не являются взаимоисключающими. На самом деле они обладают неопределенным числом общих членов.

Все формальные числа, за исключением и , являются членами без какой-либо гипотезы [ср. *100·41 ·01. *110·42. *112·101. *113·23. *114·1. *116·23, примечание к *119·12, и *120·411].

Функциональное формальное число состоит из двух частей, а именно: его аргумента или аргументов и константной "формы". Аргумент функционального формального числа может быть сложным символом и может быть константным или переменным. Таким образом, есть аргумент , и ( , и ( ; также есть аргумент ( . Константная форма образована другими символами, которые являются константами. Два вхождения функциональных формальных чисел являются вхождениями одного и того же формального числа только в том случае, если аргументы, а также константные формы идентичны в символике. Таким образом, два вхождения являются вхождениями одного и того же формального числа, даже если они определены как находящиеся в разных типах; но и являются разными формальными числами. Также и являются разными формальными числами, потому что их "формы" различны, хотя аргументы и 1 одинаковы и (в одном и том же типе) обозначаемая сущность одна и та же. Таким образом, различие между формальными числами зависит от символики, а не от обозначаемой сущности, и при их рассмотрении следует принимать во внимание символическую аналогию, а не денотацию. Например, два разных вхождения одного и того же формального числа не будут обозначать одну и ту же сущность, если в двух вхождениях двусмысленность типа определена по-разному.

Функциональные формальные числа делятся на три набора: (i) первичный набор, состоящий из форм , , , (ii) аргументальный набор, состоящий только из , (iii) арифметический набор, состоящий из , , , и .

Функциональное формальное число имеет не более двух аргументов. Но аргумент функционального формального числа может сам быть функциональным формальным числом и, соответственно, будет обладать одним или двумя аргументами, которые, в свою очередь, могут быть функциональными формальными числами, и так далее. Весь набор аргументов и аргументов аргументов, полученный таким образом, называется набором компонентов исходного формального числа. Таким образом, , , , и являются компонентами ( ; а , и являются компонентами ; а , и являются компонентами . Два аргумента ( суть и , а аргументы суть и , а аргументы суть и .

Сложение, умножение, возведение в степень и вычитание будут называться арифметическими операциями; и в , , , , и каждый будет, как говорят, подвергнут этим соответствующим операциям. Арифметические компоненты арифметического формального числа (т.е. принадлежащего к арифметическому набору) состоят из тех его компонентов, которые не выступают в качестве компонентов компонента, не принадлежащего к арифметическому набору. Таким образом, , , , являются арифметическими компонентами ; а и являются арифметическими компонентами , но не является таковым; а и являются арифметическими компонентами , но не является таковым; а и являются арифметическими компонентами , но и и являются компонентами и поэтому не являются арифметическими компонентами . Только арифметические формальные числа обладают арифметическими компонентами.

Формальное число арифметического набора, не имеющее компонентов, которые являются формальными числами аргументального набора, называется чистым арифметическим формальным числом. Например, и являются чистыми, но и не являются чистыми.

При рассмотрении формального числа задействовано много типов. Например, в есть тип и ; в есть тип , тип и тип ; и так далее для более сложных формальных чисел. Тип формального числа в целом в любом вхождении называется его актуальным типом. Это тип сущности, которую оно тогда представляет.

Другие типы, задействованные в формальном числе в любом вхождении, называются его подчиненными типами.

Актуальные типы не указаны в символике для различных формальных чисел, как указано выше. Они могут быть указаны относительно типа переменной путем написания , , ( , ( , ( , с помощью нотации *65. Даже когда актуальный тип сложного формального числа, такого как , установлен — так, например, что мы имеем — смысл символа не полностью определен, ибо тип остается двусмысленным. Однако из

*100·511. *110·23. *113·26. ·62,
следует, что подчиненные типы не имеют значения для величины формального числа, пока компоненты не являются нулевыми.

Поэтому мы можем сделать формальное число определенным, как только его актуальный тип станет определенным, обеспечив, чтобы его компоненты не были нулевыми. Это делается с помощью конвенции II T (ниже) в сочетании с определениями
*110·03 ·04. *113·04 ·05. *116·03 ·04.
Когда подчиненные типы настроены в соответствии с этими определениями и конвенциями, они будут называться нормально настроенными.

Но чтобы сформулировать эту конвенцию, нам требуется определение того, что здесь называется адекватностью актуального типа формального числа. Общая идея адекватности достаточно проста, а именно: при заданных подчиненных типах , актуальный тип должен быть достаточно высоким, чтобы позволить нам логически доказать , когда такое доказательство возможно для типов, которые не слишком низки. Например, все типы, кроме самого низкого, для которого оно имеет смысл, являются адекватными для константного формального числа 2. Однако довольно трудно точно сформулировать значение адекватности способом, приспособленным ко всем формальным числам. К счастью, определение самого низкого типа, который соответствует этой общей идее адекватности, не важно для наших целей. Будет достаточно определить как адекватные некоторые типы, которые, безусловно, обладают рассматриваемым свойством.

Метод определения, который мы принимаем, состоит в замене формального числа на другое , так связанное с , что при одном и том же актуальном типе для обоих мы можем доказать , всякий раз, когда не равно в всех типах. Если функционально, нам нужно рассмотреть только его аргумент или его два аргумента, и мы можем отбросить из рассмотрения другие компоненты; затем мы заменяем эти аргументы другими так, чтобы имел требуемое свойство. Таким образом:

(i) Актуальные типы , , , и адекватны, когда мы можем логически доказать

(ii) Актуальные типы , , , и адекватны, когда мы можем логически доказать

Будет замечено, что , , и являются наибольшими классами того же типа, что и , , и соответственно, и что и являются наибольшими кардинальными числами того же типа, что и и соответственно. Эти определения справедливы, даже когда любой из , , , является сложным символом.

Оставшиеся формальные числа, которые не являются функциональными, должны, безусловно, быть константными. Трудность, которая здесь возникает, заключается в том, что если есть такое формальное число и встречается в его символике, у нас нет логического метода решения вопроса об истинности или ложности в любом типе. Но мы заменяем на , которое является наибольшим существующим кардиналом того же типа, что и в этом вхождении. Таким образом:

(iii) Если есть формальное число, которое не является функциональным, адекватный актуальный тип для есть тот, для которого мы можем логически доказать , где производно от путем замены любого вхождения в на . Соответственно, если не встречается в , адекватный тип — это любой актуальный тип, для которого мы можем логически доказать .

В случае членов первичной и аргументальной групп мы подставили соответствующего типа вместо каждой переменной. Когда актуальный тип адекватен, мы имеем

В случае членов арифметической группы (за исключением случая , мы подставили вместо каждого аргумента наибольшее кардинальное число, которое может быть получено в типе этого аргумента, а именно для соответствующего типа. Соответственно, мы уверены (за исключением случая , что для всех других значений аргументов, которые являются существующими кардинальными числами, формальное число не является нулевым.

Будет замечено, что нормальная настройка касается только подчиненных типов. Например, *110·03 обеспечивает, что в актуальный тип является адекватным, и *110·23 показывает, что любой адекватный актуальный тип подойдет. Но ничего не говорится об актуальном типе . Мы делаем следующее определение: Когда подчиненные типы формального числа нормально настроены, а актуальный тип адекватен, типы формального числа называются арифметически настроенными.

Мы замечаем, что для первичного набора арифметическая настройка типов означает то же самое, что и адекватная настройка актуального типа. Также, если аргументы формального числа арифметического набора являются простыми символами, обе идеи сводятся к одному и тому же.

В случае переменных формальных чисел первичного набора из *117·22 ·32 следует, что когда их типы арифметически настроены, они не равны для любых значений их переменных.

Также в случае тех переменных формальных чисел, которые относятся к чистому арифметическому набору (исключая ), из *100·4 ·52 ·42. *113·23. *116·23 следует, что, работая от конечных компонентов, достигнутых последовательным анализом вверх, для всех значений таких конечных компонентов, которые являются членами , они могут быть сведены к случаю формальных чисел первичной группы; и что, следовательно, они не равны , когда их типы арифметически настроены. Например, в , , , , являются этими конечными компонентами; пусть они будут существующими кардинальными числами. Следовательно, когда типы арифметически настроены, актуальный тип является адекватным и есть существующий кардинал; мы можем поэтому подставить вместо него. По тому же рассуждению мы можем подставить вместо , и снова вместо .

Определенная стандартная арифметическая настройка типов для любого формального числа всегда может быть найдена путем приведения каждого использования , будь то явного или скрытого в или в каком-то другом символе, к гомогенности. Доказательства, которые применимы к любой арифметической настройке типов, начинаются с рассмотрения этого стандартного типа, а затем с использованием *104·21. *106·21 ·211 ·212 ·213 расширение делается до соседних более высоких классических и реляционных типов. Мы затем "видим", что по аналогии символики это расширение всегда может быть формально доказано на каждом этапе, так что мы имеем дело со стабильным истинностным значением. Для некоторых константных формальных чисел может быть найден более низкий экзистенциальный тип, чем тот, который указан этим методом.

III.
Классификация вхождений формальных чисел.

Символическая форма любого из видов [ср. *117·01 ·04 ·05 ·06] называется арифметическим неравенством.

Эти формы возникают только тогда, когда мы сравниваем кардинальные числа в отношении отношения "больше, чем" или "меньше, чем". Может показаться естественным включить уравнения в эти арифметические неравенства. Их использование, однако, даже между кардинальными числами, не является столь исключительно арифметическим, и удобно рассматривать их отдельно под другим заголовком во время наших предварительных исследований.

В арифметических неравенствах, как написано выше, и , или любые символы, заменяющие и , называются противоположными сторонами неравенства, и любая из или называется стороной неравенства.

Символические формы видов и , где либо или есть формальное число, будут называться уравнениями и неравенствами соответственно; и и называются противоположными сторонами уравнения или неравенства, и любая из них просто называется стороной уравнения или неравенства.

Когда мы достигаем исключительно арифметической точки зрения, будет удобно объединить уравнения, неравенства и арифметические неравенства в один вид символической формы. Их разделение здесь сделано ради исследований исключений, обусловленных невыполнением теорем существования в низких типах. Нет необходимости рассматривать арифметические неравенства в этой связи.

Способы, которыми символ может встретиться в символической форме, называются следующим образом:

Вхождение в называется аргументальным вхождением,

Вхождение в качестве аргумента арифметического формального числа (которое может быть компонентом другого формального числа) или в качестве одной стороны арифметического неравенства называется арифметическим вхождением,

Вхождение в качестве одной стороны уравнения называется уравнительным вхождением,

Вхождение в " " называется атрибутивным вхождением,

Любое другое вхождение называется логическим вхождением, так же как и .

Очевидно, что пара противоположных сторон уравнения или неравенства должна быть одного типа. Более того, если есть формальное число, и *20·18 применяется так, чтобы дать , уравнительное вхождение должно быть того же типа, что и его вхождение в ), иначе вывод ошибочен. Соответственно, подстановка в арифметические формулы может быть предпринята только тогда, когда конвенции относительно отношений двусмысленных типов обеспечивают это тождество. Этот вопрос рассматривается позже в этом предисловии, и результат появляется в тексте как *118·01.

В этом месте будут полезны некоторые примеры; на них также будут ссылаться впоследствии в связи с конвенциями, ограничивающими двусмысленности типа.

*100·35.

Здесь формальными числами являются и , каждое из которых имеет три вхождения. Первое вхождение является логическим, второе — уравнительным, а третье — атрибутивным.

*100·42 (в доказательстве).

Здесь и являются единственными формальными числами, и все их вхождения являются уравнительными.

*100·44 (в доказательстве).

Здесь и являются единственными формальными числами; первое вхождение является логическим, второе — уравнительным; оба вхождения являются уравнительными.

*100·511.

Здесь формальными числами являются и . Первое вхождение является логическим, второе — аргументальным, третье — уравнительным; единственное вхождение является уравнительным.

*100·521.

Здесь и являются единственными формальными числами; имеет два вхождения, первое — логическое, второе — аргументальное; имеет одно вхождение, которое является уравнительным.

*101·28 (в доказательстве).

Здесь формальными числами являются 1 и . Первое вхождение 1 является аргументальным, второе — атрибутивным; вхождение является атрибутивным.

*101·38.

Здесь формальными числами являются 0, 1 и 2, и все их вхождения являются логическими.

*110·54.

Здесь формальными числами являются . Вхождение ) и вхождение ( оба являются уравнительными, и они должны быть одного типа, поскольку они являются противоположными сторонами одного и того же уравнения. Вхождения других формальных чисел являются арифметическими компонентами более сложного арифметического формального числа и поэтому являются арифметическими.

*116·63.

Формальными числами являются , , , и ( . Каждое формальное число встречается только один раз. Вхождения и являются арифметическими, а вхождения двух других являются уравнительными.

*117·108.

Формальными числами являются и , каждое с тремя вхождениями. Первые два вхождения каждого формального числа являются арифметическими, последнее вхождение каждого является уравнительным.

*120·53 (в доказательстве).

Здесь формальными числами являются , , , , . Каждое формальное число имеет одно вхождение. Вхождения , и являются уравнительными, а вхождения и являются арифметическими.

*120·53 (в доказательстве).

Здесь формальными числами являются , , , , . Первое вхождение является уравнительным, второе вхождение — логическим; первые два вхождения являются уравнительными, третье вхождение является арифметическим; единственное вхождение является арифметическим; единственные вхождения и являются уравнительными.

IV.
Конвенции и .

Два вхождения формального числа с одним и тем же актуальным типом называются связанными друг с другом.

Выбор типов для формальных чисел, когда они не сделаны определенными через переменные с помощью нотации *65, ограничен следующими конвенциями, которые позволяют нам в значительной степени обойтись без сложности, создаваемой определением типов.

. Все логические вхождения одного и того же формального числа находятся в одном и том же типе; аргументальные вхождения связаны с логическими и атрибутивными вхождениями; и, если нет аргументальных вхождений, уравнительные вхождения связаны с логическими вхождениями.

Это правило применяется только, насколько позволяет смысл, к тем типам, которые остаются двусмысленными после назначения типов реальным переменным.

Будет замечено, что если нет аргументальных или логических вхождений формального числа, то никак не применяется к назначению типов вхождениям в форме этого формального числа.

Идентификация типов в аргументальных и атрибутивных вхождениях с помощью необходима для обеспечения использования эквивалентности , где есть формальное число. Без этой конвенции это применение *37·1 было бы ошибочным. Единственный из наших примеров, к которому применяется эта часть конвенции, — это *101·28 (доказательство), где она обеспечивает, что два вхождения 1 находятся в одном и том же типе. Однако это актуально для символики в доказательстве *100·521.

На практике обнаружится, что данная конвенция соотносит типы вхождений таким же образом, как это естественным образом сделал бы любой, кто вовсе не задумывался бы о конвенции. Чтобы увидеть, как работает эта конвенция, мы разберем примеры, которые уже были приведены выше.

В *100·35 *100·35 указывает, что логические и эквациональные вхождения *100·35 должны быть одного типа, и аналогично для *100·35. Кроме того, «смысл» обеспечивает, чтобы эквациональные типы *100·35 и *100·35 были одинаковыми. Таким образом, эти четыре вхождения находятся в одном типе, который не имеет необходимой связи с типами атрибутивных вхождений *100·35 и *100·35. Следовательно, используя обозначение из *65·04 для обеспечения типической определенности, *100·35 должно означать

Типы этих атрибутивных вхождений определяются необходимостью «смысла».

В *100·42 (доказательство), поскольку все вхождения формальных чисел являются эквациональными, *100·42 не создает ограничения типов.

В *100·44 (доказательство) *100·44 обеспечивает, чтобы два вхождения *100·44 были одного типа. Мы также замечаем, что первое вхождение *100·44 на самом деле является (ср. *65·04) *100·44, поскольку встречается «*100·44», и, таким образом, «смысл» требует этого отношения типов, а второе вхождение *100·44 находится в типе вхождений *100·44.

В *100·511 *100·511 указывает, что логические и аргументальные вхождения должны иметь один и тот же тип. В *100·521 *100·521 указывает, что два вхождения *100·521 должны иметь один и тот же тип. В *101·28 оба вхождения 1 должны быть одного типа. В *101·38 *101·38 указывает, что все вхождения 2 должны иметь один и тот же тип.

Данная конвенция никоим образом не ограничивает типы в *110·54, ни в *116·63, ни в *117·108.

В первом примере из *120·53 (в доказательстве) конвенция *120·53 не имеет применения.

Во втором примере из *120·53 (в доказательстве) конвенция *120·53 указывает, что два вхождения *120·53 должны быть одного типа; а необходимость «смысла» обеспечивает, чтобы первое вхождение *120·53 также находилось в этом типе. Та же необходимость обеспечивает, чтобы *120·53 находилось в том же типе, что и *120·53; она также обеспечивает, чтобы в «*120·53» первое вхождение *120·53 и вхождение *120·53 имели общий тип, который в остальном ничем не ограничен; кроме того, ничего не было решено относительно типов *120·53 и *120·53 в *120·53.

Теперь мы переходим к конвенциям, воплощающим результат арифметических идей. Термин «арифметический» здесь используется для обозначения исследований, в которых интерес заключается в сравнении формальных чисел в отношении равенства или неравенства, исключая исключительные случаи — когда бы эти случаи ни были исключительными, — обусловленные отсутствием существования в низких типах. Последовательная арифметическая точка зрения, которую мы принимаем позже в исследовании отношений и количеств, а также в этом томе в *117 и *126 и некоторых более ранних предложениях, отбросила бы как неинтересное любое исследование точных способов, которыми отсутствие теорем существования относится к истинности предложений, тем самым концентрируя внимание исключительно на устойчивых истинностных значениях. Однако логическое исследование имеет свой собственный внутренний интерес среди принципов предмета. Очевидно, однако, что оно должно быть ограничено рассмотрением теорем, представляющих чисто логический интерес. На практике это исключение неинтересных случаев отсутствия арифметических теорем, даже среди логических исследований первой части этого тома, достигается путем обеспечения того, чтобы все арифметические вхождения формальных чисел имели свои актуальные типы адекватными.

Что касается формальных чисел первичной группы, т.е. *158, *158, *158, арифметическая корректировка типов формально обеспечивается в символике определениями *110·03·04 для сложения, *113·04·05 для умножения, *116·03·04 для возведения в степень, *117·02·03 для арифметических неравенств и *119·02·03 для вычитания.

Мы избавляемся от символической разработки, которая возникла бы из расширения аналогичных определений на другие формальные числа, с помощью следующей конвенции:

*160. Всякий раз, когда встречается формальное число *160, так что если бы оно было заменено на *160, актуальный тип *160 по определению должен был бы быть адекватным, тогда актуальный тип *160 также должен быть адекватным.

Например, в *161, если *161 заменить на *161, то согласно *110·04 актуальный тип *161 является адекватным. Следовательно, согласно *161, актуальный тип *161 должен быть адекватным: соответственно, пока *161 и *161 являются простыми переменными и членами *161, мы всегда можем предположить *161 для типа вхождения *161.

Важно заметить, что пока аргумент аргументального формального числа или аргументы арифметического формального числа скорректированы арифметически, точные выбранные типы не имеют значения. Это следует для аргументальных формальных чисел из *102·862·87·88, для сложения из *110·25, для умножения из *113·26, для возведения в степень из *116·26, для вычитания из *119·61·62. Таким образом (помня также о *100·511), в любом определенном типе формальное число имеет одно определенное значение при условии, что любое подчиненное формальное число, которое встречается в его символике, определено экзистенциально. Конвенция *162 предписывает нам всегда брать это определенное значение для любого чисто арифметического формального числа.

Конвенция *163 не определяет полностью значение арифметического формального числа, которое не является чистым. Например, *163 является чисто арифметическим формальным числом, когда *163, *163, *163 определены по типу; и конвенция *163 предписывает, чтобы тип *163 был адекватным. Но *163 является арифметическим формальным числом, которое не является чистым, и конвенция *163 предписывает, чтобы тип области *163 был адекватным, но не влияет на тип *163. Таким образом, легко видеть, что *163 обеспечивает адекватность актуальных типов всех арифметических компонентов любых арифметических формальных чисел, которые встречаются, но не влияет на актуальный тип формального числа, которое встречается как аргумент аргументального формального числа. Но в этом случае конвенция *163 свяжет актуальный тип этого вхождения аргумента с любым логическим или атрибутивным вхождением того же формального числа. Например, если *163 и *163 встречаются в одной и той же форме, то эти два вхождения *163 должны иметь один и тот же актуальный тип. На практике аргументальные формальные числа полезны как компоненты арифметических формальных чисел именно для того, чтобы избежать автоматической корректировки типов, предписываемой *163.

Значение *164 лучше всего объясняется на примерах. Среди наших предыдущих примеров нам нужно рассмотреть только те, в которых встречаются арифметические формальные числа.

В *110·54 конвенция или определения предписывают нам определять типы *165 и *165 адекватно при формировании *165, а также определять *165 и *165 адекватно при формировании *165. Конвенция не применяется к типам *165 и *165. Эти типы должны быть идентичными, чтобы обеспечить смысл.

В *116·63 конвенция предписывает нам адекватно скорректировать типы *166 и *166; она не влияет на типы *166 и *166, которые должны быть идентичными для обеспечения смысла. Если мы заменим *166, *166, *166 на формальные числа, например, на 2, *166 и 1, мы получим «*166». Конвенция теперь предписывает, что 1 должно быть определено адекватно. Так случается, что любой тип является для него адекватным, поскольку *166 может быть доказано в любом типе. Тогда адекватными типами для *166 и *166 являются типы, для которых мы можем доказать *166 и *166. Таким образом, если *166 — это тип *166 в обоих случаях, адекватный тип для *166 — это *166, а для *166 — это *166.

В *117·108 мы находим арифметические вхождения в арифметических неравенствах. Таким образом, *167 предписывает нам брать первые два вхождения *167 и первые два вхождения *167 с адекватными актуальными типами. Тип *167 и *167 в *167 не затрагивается этим. Очевидно, что конвенции *167, *167 недостаточно для обеспечения истинности этого предложения в такой символической записи. Существенно, чтобы в уравнении тип был адекватно скорректирован для обоих формальных чисел. Фактически здесь используется общая арифметическая конвенция, согласно которой типы как эквациональных, так и арифметических вхождений корректируются арифметически.

V. Некоторые важные принципы.

Принцип арифметической подстановки. В *120·53 применение *169 требует рассмотрения всего вопроса об арифметической подстановке. Рассмотрим первый из двух примеров. Мы имеем

Очевидно, что если мы не можем перейти с практической непосредственностью от «*170» к «*170» согласно *20·18, то арифметика становится практически невозможной из-за теории типов. Но трудность возникает из применения *170. Предположим, мы сначала назначаем типы наших реальных переменных. Тогда типы *170, *170, *170, *170 могут быть назначены произвольно, и между ними нет необходимой связи, возникающей из сохранения смысла. Таким образом, *170 может находиться в типе, который не является адекватным типом для *170. Предположим, что это так. Но эквациональное использование *170 находится в том же типе, что и *170, а согласно арифметическому использованию *170 в *170 находится в адекватном типе. Таким образом, на первый взгляд, рассуждение, апеллирующее к *20·18, с помощью которого была оправдана подстановка, является ошибочным; ибо два вхождения *170 на самом деле означают разные вещи.

Чтобы обобщить наше решение этой трудности, удобно определить термин «арифметическое уравнение». Арифметическое уравнение — это уравнение между чисто арифметическими формальными числами, чьи актуальные типы определены адекватно. Тогда очевидно, что из «*171», где *171 и *171 являются формальными числами, а *171 встречается арифметически в *171, мы не можем вывести *171, если только уравнение *171 не является арифметическим. Ибо в противном случае *171 в уравнении не может быть отождествлено с *171 в *171.

Когда мы имеем «*172», где *172 — формальное число, а *172 — число в определенном типе, и хотим перейти к «*172» или «*172» и хотим перейти к «*172», причем вхождение *172 в *172 является арифметическим, тип *172 может не быть адекватным типом для *172. Соответственно, *172 в «*172» не может быть отождествлено с *172 в *172. Тип *172 в уравнении должен быть освобожден от зависимости от типа *172. Соответственно, переход является законным только тогда, когда мы можем написать вместо этого, где в обоих случаях уравнение является арифметическим. Ибо теперь все символы подчиняются одним и тем же правилам.

Если эта модификация может быть сделана без изменения истинностного значения утверждаемых предложений, подстановка является законной, в противном случае — нет.

Очевидно, что в вышеприведенном наш непосредственный переход осуществляется к или от *174. Но легко видеть, что, поскольку вхождение *174 является арифметическим, мы всегда имеем *174. Чтобы доказать это, нам нужно лишь доказать

Доказательство первого из этих предложений выглядит следующим образом:

В вышеприведенном доказательстве шаг к (3) является законным, поскольку согласно гипотезе *176 является определением *176 в адекватном типе.

Аналогичные доказательства справедливы для других предложений с использованием *113·204, *116·204, *117·12 и *103·13.

Мы должны также рассмотреть обстоятельства, при которых мы можем перейти от «*178» к «*178», где последнее уравнение является арифметическим. Другими словами, используя *65·01, нам требуется гипотеза, необходимая для

Мы имеем

Теперь в (4) вхождения *180 и *180, которые находятся в одном типе, могут быть выбраны так, чтобы находиться в любом типе, который нам нравится. Следовательно, мы выводим

Следовательно, *181 является необходимым условием. Теперь, поскольку *181 может находиться в любом типе, мы также можем выбрать его в любом экзистенциальном типе для *181. Таким образом, с *181, применяемым к арифметическому вхождению *181 в *181, мы имеем, где *181 — формальное число, а *181 — число в определенном типе,

В последнем предложении согласно *182 уравнение *182 является арифметическим. Эти уравнения суммируются в *118·01.

Эти три фундаментальные теоремы воплощают принцип арифметической подстановки. Гипотеза *183 на самом деле слабее, чем предполагается в обычной жизни, где обычное молчаливое допущение — это *183. Фактически, если *183, то *183 обязательно ложно.

Принцип отождествления типов. Предположим, мы доказали «*184» и «*184», где *184 — формальное число, чье вхождение в «*184» находится в совершенно двусмысленном типе, а *184 — то же самое формальное число, чей тип соотносится с типом *184 согласно *65·01. Тогда, поскольку тип *184 в «*184» является двусмысленным, мы можем написать «*184» и отсюда вывести «*184».

Принцип заключается в следующем: совершенно неопределенный тип в утверждаемой символической форме может быть отождествлен с любым типом, двусмысленным или иным, в любой другой утверждаемой символической форме или в той же самой символической форме.

Например, в *100·42 (доказательство), рассмотренном выше, поскольку встречается *186, первые вхождения *186 и *186 одного типа, так же как и их вторые вхождения в *186. Но два типа не определены нашими конвенциями как имеющие какую-либо необходимую связь. Фактически тип *186 в *186 совершенно произволен. Соответственно, он может быть отождествлен с другим типом, и таким образом вывод к следующей строке, а именно к «*186», является оправданным.

В случае арифметических уравнений важно заметить, что мы имеем *187. Следовательно, если *187 и *187 являются формальными числами, *187. Таким образом, если мы имеем «*187» и «*187», мы можем вывести из первого предложения «*187», и из этого и последнего предложения мы выводим «*187», так что общий принцип отождествления может быть использован, когда *187 в первом предложении является арифметическим уравнением.

Например, в примере, приведенном выше, *100·44 (доказательство), а именно уравнение *188 является арифметическим. Соответственно, мы оправданы в утверждении пропозициональной функции, где *188 в «*188» все время предполагалось необходимостью смысла. Таким образом, следует вывод,

Это доказательство теряет смысл, когда *189 рассматривается как переменная, обязательно имеющая один и тот же тип повсюду. Ибо тогда предложение сводится к

Но если *190 является формальным числом, обязательно являющимся членом *190, предложение на самом деле является

С этим предположением мы имели бы в первой строке доказательства *191, хотя с «*191» как единой переменной строка формально верна в том виде, в каком она стоит в тексте.

Распознавание частных случаев. Важно заметить условия, при которых *192 может быть распознано как частный случай *192, где *192 — реальная переменная, а *192 — формальное число. Во-первых, очевидно, мы должны подставить *192 вместо *192, где бы оно ни встречалось в *192, и таким образом получить *192. Затем мы можем обнаружить, что путем применения наших конвенций мы можем заменить это на *192. Например, мы имеем

*100·42.

Теперь подставим *194 вместо *194, мы получим

Теперь согласно *195, даже когда *195 является формальным числом, идентичность типов двух вхождений *195 одинаково обеспечена в

Таким образом, это частный случай *100·42. Такие выводы могут быть сделаны в общем виде без какого-либо явного формального утверждения.

Двусмысленность *197. Из типической двусмысленности *197 следует (ср. *100·02 и *103·02), что *197 также является типически двусмысленным. Следовательно, «*197» согласно нашим методам интерпретации не требует, чтобы *197 и *197 были одного типа. Мы всегда будем интерпретировать «*197» как означающее «*197» и, следовательно, как не обязательно отождествляющее типы *197 и *197. Аналогично для *197, *197 и *197. Например

*110·402.

Здесь *199 и *199 не обязательно должны быть одного типа. Опять же

*110·41.

Здесь отождествление типов *201 и *201 требует гипотезы «*201».

VI. Конвенции *202 и *202.

Общая арифметическая конвенция. Конвенции *203 и *203 применяются всегда, но следующая конвенция поначалу не используется. Эта конвенция ограничивает остаточную двусмысленность типа путем устранения исключительных случаев в низких типах, обусловленных отсутствием теорем существования. Конвенция будет цитироваться как *203.

*204. Все уравнения, включающие чисто арифметические формальные числа, должны быть арифметическими.

Мы видели, что из арифметического уравнения можно вывести аналогичное уравнение в любом другом типе. Таким образом, с *205 все уравнения между формальными числами определены по типу так, что их истинность в «любом типе» выводима. Таким образом, в немногих ранних предложениях, где вводится *205, этот факт отмечается утверждением, что уравнения верны «в любом типе». Эти предложения — *103·16, *110·71·72.

Эффект применения *206 к другим предложениям в *100 заключается в том, чтобы сделать некоторые из гипотез (обычно логические формы, утверждающие существование) ненужными, но также существенно ограничить область действия предложений. Возьмем, например,

*100·35.

Если мы применим *208 к этому, мы можем написать

Ибо эквациональные вхождения *209 и *209 должны согласно *209 и *209 иметь адекватные актуальные типы. Но если *209 — малый класс в высоком типе, адекватным актуальным типом для *209 будет высокий тип, тогда как *209 может быть верным в низком типе. Таким образом, с *209, ради простоты, мы отказываемся от формулировки минимума гипотез, необходимых для наших предложений. Формулировка ни одного другого предложения в *100 не затрагивается.

Формулировка ни одного предложения в *101 не затрагивается *210, хотя это чрезмерно ограничило бы область действия *101·34. В *110 *210 чрезмерно ограничило бы область действия таких предложений, как
*110·22·23·24·25·251·252·3·31·32·331·34·35·351·44·51·54
и многих других, не изменяя их формулировок. В *110 нет предложения, формулировку которого это изменило бы. *212 уже применяется к *110·71·72; если *212 удалить из этих предложений, то *212 должно быть добавлено как гипотеза к обоим из них. Эффект *212 на *113 и *116 полностью аналогичен эффекту на *110; ни в одном из этих двух номеров нет предложения, к которому *212 применялось бы в тексте.

Что касается *117, *213 применяется повсюду, так что все предложения имеют форму, подходящую для последующих исследований, в которых интерес является чисто арифметическим. Однако важно проанализировать эффект AT на формулировки ради логических исследований, особенно в связи с *120. Во-первых, *213 может затрагивать только предложения, в которых встречаются уравнения или неравенства, и среди таких предложений оно не затрагивает формулировки тех, в которых обе стороны уравнений не являются формальными числами, так что уравнения не являются арифметическими после применения AT. Эти предложения — *117·104·14·24·241·243·31·551. Эти предложения, которые характеризуются наличием одной буквы на одной стороне любого вовлеченного уравнения, могут быть распознаны с первого взгляда. Предложения, включающие арифметические уравнения, чьи формулировки не изменяются удалением *213, — это *117·21·54·592. Предложения, включающие неравенства, чьи формулировки не изменяются удалением *213, — это *117·26·27. Наконец, единственные предложения *117, чьи формулировки изменяются удалением *213, — это *117·108·211·23·25.

В *118 и *119 *214 не используется.

В *120, который посвящен тем свойствам индуктивных кардинальных чисел, которые представляют логический интерес, *215 никогда не используется. Ни одно из предложений *117·108·211·23·25·3 не цитируется в нем, за исключением *117·25 в доказательстве *120·435 для использования, где *215 не является релевантным. Применение AT к *120 упростило бы гипотезы *120·31·41·451·53·55 и ограничило бы области действия предложений.

Требуется еще одна конвенция, которую мы назовем «*216», в определенных предложениях, где гипотеза подразумевает, что существуют типы, в которых существует каждое индуктивное кардинальное число, т.е. в которых *216 не является индуктивным классом. Среди таких гипотез — *216, *216, *216 (или типически определенные формы этих гипотез) или *216 или *216. Когда встречаются такие гипотезы, мы будем предполагать, что *216 индуктивно, всякий раз, когда значимость позволяет, должно быть определено в типе, в котором существует каждое индуктивное кардинальное число, т.е. в котором выполняется аксиома бесконечности (ср. *120·03·04). Формулировка этой конвенции выглядит следующим образом:

*217. Когда гипотеза предложения подразумевает, что существует тип, в котором существует каждое индуктивное кардинальное число, каждое вхождение «*217» в этом предложении должно быть взято (если условия значимости позволяют) в достаточно высоком типе, чтобы обеспечить существование каждого индуктивного кардинального числа.

Следует заметить, что эта конвенция была бы ненужной, если бы мы ограничились одной экстенсиональной иерархией, ибо в любой такой иерархии *218 все типы являются индуктивными или все являются неиндуктивными, так что если каждое индуктивное кардинальное число существует в одном типе в иерархии, то же самое верно для любого другого типа в иерархии. Но когда мы больше не ограничиваемся одной экстенсиональной иерархией, этот результат может не последовать. Например, может оказаться, что число индивидов индуктивно, но число предикативных функций индивидов не является индуктивным; во всяком случае, нельзя привести логической причины против этой возможности, которая может быть отвергнута только на эмпирических основаниях, если вообще может быть отвергнута.

То, как используется эта конвенция, может быть проиллюстрировано доказательством *122·33. Во второй строке этого доказательства мы показываем, что гипотеза подразумевает *219. Будет видно, что эти определения не достаточны для определения типа *219. Следовательно, в (1) *219 слева может не быть того же типа, что и *219 справа. Теперь использование *122·473, которое встречается в следующей строке доказательства *122·33, требует, чтобы *219 слева и *219 справа были одного типа. Это требует, чтобы *219 не было взято в типе, в котором мы имеем *219. Следовательно, чтобы применить *120·473, мы должны выбрать тип, в котором существуют все индуктивные кардинальные числа. Поскольку «*219» встречается в гипотезе, мы знаем, что все индуктивные кардинальные числа существуют в типе *219. Но нет необходимости ограничиваться типом *219, поскольку любой другой тип, в котором существуют все индуктивные кардинальные числа, одинаково обеспечит справедливость доказательства. Таким образом, конвенция *219 обеспечивает требуемое ограничение и не более того.

Конвенция *220 часто релевантна, когда «*220» без какого-либо типического определения встречается в гипотезе. Всякий раз, когда это так, если «*220» встречается в предложении таким образом, что его тип остается неопределенным, насколько это касается условий значимости, оно должно быть взято в типе, в котором существуют все его члены.

VII. Окончательное рабочее правило в арифметике.

Теперь (всякий раз, когда используется *222 вместе с *222, когда это необходимо) возможно окончательно отбросить всякое рассмотрение типов в связи с индуктивными числами. Ибо, объединяя *126·121, *126·122 и *120·4232·4622, мы видим, что всегда возможно взять тип достаточно высоким, чтобы никакое определенно установленное индуктивное число не было нулевым (*222), и чтобы все индуктивные рассуждения могли происходить внутри этого типа. Более того, мы уже видели, что арифметические операции не зависят от типов компонентов, пока они являются экзистенциальными. Таким образом, насколько это касается обычной арифметики конечных чисел, все конвенции (включая AT) и необходимость гипотез относительно существования индуктивных чисел окончательно заменяются следующим единственным правилом:

Правило неопределенных чисел. Тип, назначенный любому символу, который представляет индуктивное число, таков, что символ не равен *223.

Мы делаем определение

*126·01.

Везде, где используется этот символ «*226» для класса «неопределенных индуктивных кардинальных чисел», вышеуказанное правило соблюдается. Другими словами, «*226» всегда может быть заменено на «*226», где *226 является гомогенным или возрастающим кардинальным числом, а *226 является соответствующей константой или переменной, в зависимости от случая. В последнем случае символическая форма, такая как *226, может быть заменена на

Более того, согласно *120·4622 следует, что с этим правилом результат проведения индукции в одном типе, а затем преобразования в другой тип, такой же, как результат проведения индукции в последнем типе. Таким образом, например, нет никакого преимущества в различении *227 и *227; ибо *227, *227, *227, *227, *227, *227 и *227 и так далее.

Следовательно, всякое различение типов неопределенных индуктивных чисел может быть отброшено; и типы являются совершенно неопределенными и нерелевантными.

СНОСКИ:

[1] Но ср. следующую страницу для более точной формулировки этого принципа.

ЧАСТЬ III. КАРДИНАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА.

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТИ III.

В этой части мы будем заниматься, во-первых, определением и общими логическими свойствами кардинальных чисел (Раздел A); затем операциями сложения, умножения и возведения в степень, определения и формальные законы которых не требуют никакого ограничения конечными числами (Раздел B); затем теорией конечного и бесконечного, которая становится несколько сложной из-за того факта, что существуют два разных смысла «конечного», которые не могут (насколько известно) быть отождествлены без предположения мультипликативной аксиомы. Теория конечного и бесконечного будет возобновлена в связи с рядами в Части V, Раздел E.

Именно в этой части теория типов впервые становится практически релевантной. Обнаружится, что противоречия относительно максимального кардинального числа решаются этой теорией. Поэтому мы посвятили наш первый раздел в этой части (за исключением двух номеров, дающих самые элементарные свойства кардинальных чисел в общем, а также 0, 1 и 2 соответственно) применению типов к кардинальным числам. Каждое кардинальное число типически двусмысленно, и мы придаем типическую определенность с помощью обозначений *63, *64 и *65. Именно там, где речь идет о теоремах существования, теория типов является существенной. Главная важность предложений настоящей части заключается не только, как и во всей книге, в гипотезах, необходимых для обеспечения выводов, но также в типической двусмысленности, которая может быть допущена для символов в соответствии с истинностью предложений во всех случаях, тем самым включенных.

РАЗДЕЛ A. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Оглавление Раздела A.

Кардинальное число класса *237, которое мы будем обозначать «*237», определяется как класс всех классов, подобных *237, т.е. как *237. Это определение принадлежит Фреге и было впервые опубликовано в его «Grundlagen der Arithmetik» [2]; его символическое выражение и использование можно найти в его «Grundgesetze der Arithmetik» [3]. Главные достоинства этого определения: (1) формальные свойства, которые мы ожидаем от кардинальных чисел, следуют из него; (2) если мы не примем это определение или какое-то более сложное и практически эквивалентное определение, необходимо рассматривать кардинальное число класса как неопределяемое. Следовательно, вышеуказанное определение позволяет избежать бесполезного неопределяемого понятия с сопутствующими ему примитивными предложениями.

Будет замечено, что если *238 — любой объект, 1 не является кардинальным числом *238, но является кардинальным числом *238. Это предотвращает путаницу, которая в противном случае может возникнуть при работе с классами. Предположим, у нас есть класс *238, состоящий из многих членов; мы говорим, тем не менее, что это один класс. Таким образом, кажется, что он одновременно один и многие. Но на самом деле именно *238 — это многие, а *238 — это один. Что касается нуля, аналогичный момент еще яснее. Предположим, мы говорим «нет королей Франции». Это эквивалентно «класс королей Франции не имеет членов» или, на нашем языке, «класс королей Франции является членом класса 0». Очевидно, что мы не можем сказать «король Франции является членом класса 0», потому что нет короля Франции. Таким образом, в случае 0 и 1, как более очевидно во всех других случаях, кардинальное число относится к классу, а не к членам класса.

Для целей формального определения мы подвергаем формулу *239 некоторому упрощению. Будет видно, что согласно этой формуле «*239» является отношением, а именно отношением кардинального числа к любому классу, числом которого оно является. Так, например, 1 имеет к *239 отношение *239; так же имеет 2 к *239, при условии *239. Отношение *239 — это, фактически, отношение *239; ибо *239. Следовательно, для формальных целей определения мы полагаем

Класс кардинальных чисел — это класс объектов, которые являются кардинальными числами чего-либо, т.е. объектов, которые для некоторого *240 равны *240. Мы называем класс кардинальных чисел *240; таким образом, мы имеем

Для целей формального определения мы заменяем это более простой формулой

В настоящем разделе мы будем заниматься тем, что можно назвать чисто логическими свойствами кардинальных чисел, а именно теми, которые не зависят от арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, а также от различения конечного и бесконечного [4]. Главный момент, с которым нужно иметь дело, как в отношении важности, так и трудности, — это отношение кардинального числа в одном типе к тому же или ассоциированному кардинальному числу в другом типе. Когда символ двусмысленен в отношении типа, мы будем называть его типически двусмысленным; когда, либо всегда, либо в данном контексте, он однозначен в отношении типа, мы будем называть его типически определенным. Теперь символ «*242» типически двусмыслен; единственное ограничение на его тип состоит в том, что его область и область значений должны состоять из классов. Когда мы имеем *242, *242 и *242 не обязательно должны быть одного типа, фактически, в любом типе классов существуют классы, подобные некоторым классам любого другого типа классов. Например, мы имеем *242, к каким бы типам *242 и *242 ни принадлежали. Эта двусмысленность «*242» проистекает из двусмысленности *242, которая, в свою очередь, проистекает из двусмысленности 1. Мы обозначаем (ср. *65·01) через «*242» все единичные классы, которые того же типа, что и *242. Тогда (согласно определению *70·01) *242 будет классом тех взаимно однозначных отношений, чья область того же типа, что и *242, а область значений того же типа, что и *242. Таким образом, «*242» типически определено, как только заданы *242 и *242. Предположим теперь, вместо того чтобы иметь просто *242, мы имеем *242; тогда мы знаем не только, что *242, но также что *242 принадлежит к тому же типу, что и *242, а *242 принадлежит к тому же типу, что и *242. Когда двусмысленный символ «*242» делается типически определенным путем определения его области как имеющей тот же тип, что и *242, и его области значений как имеющей тот же тип, что и *242, мы пишем его «*242», потому что обычно, в соответствии с *65·1, если *242 — типически двусмысленное отношение, мы пишем *242 для типически определенного отношения, которое получается, когда область *242 должна состоять из членов того же типа, что и *242, а область значений должна состоять из членов того же типа, что и *242. Таким образом, мы имеем *242. Здесь все типически определено, если заданы *242 и *242 (или их типы).

Переходя теперь к отношению «*243», будет видно, что оно разделяет типическую двусмысленность «*243». Чтобы сделать его типически определенным, мы должны вывести его из типически определенного «*243». Пока ничего не добавлено для придания типической определенности, «*243» будет означать все классы, принадлежащие какому-то одному (неуказанному) типу и подобные *243. Если *243 является членом типа, к которому должны принадлежать эти классы, то *243 содержится в типе *243. Для этого случая удобно ввести следующие два обозначения, уже определенные в *65. Когда типически двусмысленное отношение *243 должно быть сделано типически определенным только в отношении своей области, путем решения, что каждый член области должен быть содержащимся в типе *243, мы пишем «*243» вместо *243. Когда мы далее хотим определить *243 как имеющее членов области значений, содержащихся в типе *243, мы пишем «*243» вместо *243; и когда мы хотим, чтобы члены области значений были членами типа *243, мы пишем «*243» вместо *243. Таким образом, *243 (ср. *65·2), и в частности, поскольку *243, *243. Таким образом, «*243» значимо только тогда, когда *243 того же типа, что и *243, и тогда оно означает «классы того же типа, что и *243, и подобные *243 (который того же типа, что и *243)».

«*244» будет означать «классы того же типа, что и *244, и подобные *244». Как только типы *244 и *244 известны, это типически определенный символ, будучи фактически равным *244. Следовательно, пока мы хотим рассматривать только «*244», типическая определенность обеспечивается написанием «*244» вместо «*244».

Когда мы переходим к рассмотрению *245, «*245» больше не является достаточным определением, хотя оно достаточно для определения типа. Предположим, мы положим *245, мы имеем также, в силу определений в *65, *245. Таким образом, *245 определено по типу, но является ли область *245 отношением, чья область значений двусмысленна по типу; и окажется, что существуют некоторые предложения о *245, истинность или ложность которых зависит от определения, выбранного для области значений *245. Следовательно, если мы хотим иметь символ, который является полностью определенным, мы должны написать «*245».

Этот момент важен в связи с противоречиями относительно максимального кардинального числа. Следующие замечания проиллюстрируют это далее.

Кантор показал, что если *247 — любой класс, никакой класс, содержащийся в *247, не подобен *247. Следовательно, в частности, если *247 — тип, никакой класс, содержащийся в *247, не подобен *247, который является следующим типом выше *247. Следовательно, если *247, где *247 — любой класс, мы имеем

Теперь (ср. *63) мы полагаем *248 и мы имеем *248. Таким образом, мы находим *248. То есть, никакой класс того же типа, что и *248, не имеет столько членов, сколько имеет *248. Следовательно, также *248 и «*248» значимо только тогда, когда *248; следовательно

Теперь обозначение «*249» будет применяться с равным правом к *249 или к *249; но мы только что видели, что в первом случае мы будем иметь *249, а во втором мы будем иметь *249. Следовательно, «*249» не имеет достаточной определенности, чтобы предотвратить практически важные различия между различными определениями, на которые оно способно.

Обратная процедура дает аналогичные результаты. Пусть *250 — класс классов; тогда *250 более низкого типа, чем *250. Рассмотрим *250. В соответствии с *63 мы пишем *250 для типа, содержащего *250, т.е. для *250. Тогда наибольшее число в классе *250 будет *250; но ни это, ни какой-либо меньший член класса не будет равен *250, потому что, как и прежде, *250. Следовательно, *250, который является членом *250, не является членом *250; но *250 и *250 имеют равное право называться *250. Следовательно, опять же «*250» — это символ, недостаточно определенный для многих наших целей.

Решение парадокса относительно максимального кардинального числа очевидно в свете того, что было сказано. Этот парадокс заключается в следующем: из теоремы Кантора следует, что не существует максимального кардинального числа, так как для всех значений *251, *251. Но на первый взгляд кажется, что класс, который содержит все, должен быть величайшим возможным классом и поэтому должен содержать величайшее возможное число членов. Мы видели, однако, что класс *251 всегда должен содержаться внутри какого-то одного типа; следовательно, все, что доказано, — это то, что существуют большие классы в следующем типе, который является типом *251. Поскольку всегда существует следующий более высокий тип, мы, таким образом, имеем максимальное кардинальное число в каждом типе, не имея при этом никакого абсолютно максимального кардинального числа. Максимальное кардинальное число в типе *251 — это *251. Но если мы возьмем соответствующее кардинальное число в следующем типе, т.е. *251, это не так велико, как *251, и поэтому не является максимальным кардинальным числом своего типа. Это дает полное решение парадокса.

Для большинства целей то, что мы хотим знать, чтобы иметь достаточное количество типической определенности, — это не абсолютные типы *252 и *252, как выше, а просто то, что мы можем назвать их относительными типами. Так, например, *252 и *252 могут быть одного типа; в этом случае *252 и *252 соответственно равны *252 и *252. Мы будем называть кардинальные числа, которые для некоторого *252 являются членами класса *252, гомогенными кардинальными числами, потому что «*252», из которого они получены, является гомогенным отношением. Мы будем обозначать гомогенное кардинальное число *252 через «*252», и мы будем обозначать класс гомогенных кардинальных чисел (в неуказанном типе) через «*252»; таким образом, мы полагаем *252. Почти все свойства *252 одинаковы в разных типах. Когда требуется дальнейшая типическая определенность, она может быть обеспечена написанием *252, *252 вместо *252, *252. Ибо хотя *252 и *252 не были полностью определенными, *252 и *252 полностью определены. Помимо факта нахождения в разных типах, единственное свойство, в котором *252 и *252 различаются, когда *252 и *252 разных типов, — это величина кардинальных чисел, принадлежащих им. Так, предположим, вся вселенная состояла (как утверждают монисты) из единственного индивида. Назовем тип этого индивида «*252». Тогда *252 будет состоять из 0 и 1, т.е. *252. Но в следующем более высоком типе будет два члена, а именно *252 и *252. Таким образом, члены *252 — это *252, *252, *252; и так далее. (Величайшее кардинальное число в любом, кроме самого низкого, типе всегда является степенью 2.)

Максимум *253 — это *253; но помимо этой разницы максимума и ее последствий, *253 и *253 не различаются никакими важными свойствами. Следовательно, для большинства целей *253 и *253 имеют столько типической определенности, сколько необходимо.

Среди кардинальных чисел, которые не являются гомогенными, мы рассмотрим три вида. Первый из них мы назовем возрастающими кардинальными числами. Кардинальное число *254 называется возрастающим кардинальным числом, если тип *254 — это *254 или *254 или *254 и т.д. Мы пишем *254 для *254, *254 для *254 и так далее. Мы полагаем *254. Мы тогда имеем, очевидно, *254. Мы также имеем (согласно тому, что было сказано ранее) *254. Члены *254 будут всеми кардинальными числами, которые превышают *254, но не превышают *254.

Вернемся в качестве иллюстрации к нашей предыдущей гипотезе вселенной, состоящей из единственного индивида. Тогда *255 будет состоять из тех классов *255, которые подобны «*255», но следующего более высокого типа. Это *255 и *255. В нашем случае мы имели *255. Это ведет к *255 или, вводя типическую определенность, *255. Мы имеем тогда *255. Также *255. И в предполагаемом случае *255 — это максимум *255, но *255. Следовательно, *255. Обобщая, мы видим, что *255 состоит из тех же чисел, что и *255, каждое из которых повышено на одну степень в типе. Аналогичные предложения верны для *255, *255 и т.д.

Часто полезно иметь обозначение для того, что мы можем назвать «тем же кардинальным числом в другом типе». Предположим, *256 — типически определенное кардинальное число; тогда мы будем обозначать через *256 то же самое кардинальное число в следующем типе, т.е. *256. Заметим, что если *256 — кардинальное число, *256; и является ли *256 типически определенным кардинальным числом или нет, *256 — это кардинальное число в определенном типе. Если *256 типически определено, то *256 полностью определено; если *256 типически двусмысленно, *256 имеет тот же вид неопределенности, что и *256. Самый важный случай — когда *256 типически определено и *256 имеет назначенное отношение типа к *256. Мы тогда полагаем, как замечено выше, *256. Если *256 — это *256, *256 — это *256, а *256 — это *256 и так далее. *256 будет состоять из всех чисел, которые имеют форму *256 для некоторого *256, который является членом *256; т.е. *256.

Второй вид негомогенных кардинальных чисел, который следует рассмотреть, называется классом «убывающих кардинальных чисел». Это такие, которые переходят в более низкий тип; т.е. *257 — убывающее кардинальное число, если *257 более низкого типа, чем *257. Мы полагаем

Мы имеем, очевидно, *258.

Следовательно, *259.

Также *260, откуда *260, откуда *260.

Поскольку также *261, мы находим *261, это предложение не требует никакой дальнейшей типической определенности, так как оно верно, как бы такая определенность ни была введена, помня, что такая определенность обязательно вводится так, чтобы обеспечить значимость. Далее, в силу того факта, что никакой класс, содержащийся в *261, не подобен *261, мы имеем *261. Следовательно, *261.

Мы можем доказать точно таким же образом *262, и этот результат может быть очевидно распространен на все убывающие кардинальные числа.

Третий вид негомогенных кардинальных чисел, который следует рассмотреть, можно назвать «реляционными кардинальными числами». Это те, которые применимы к классам отношений, имеющим данное отношение типа к данному классу. Рассмотрим, например, *263. (Мы возьмем это как определение произведения чисел членов *263.) Предположим теперь, что *263 состоит из единственного члена: мы хотим иметь возможность сказать *263. Мы имеем в этом случае, если *263, *263, и мы знаем, что *263. Но если мы положим просто *263, наше предложение, хотя и не ошибочное, требует осторожности в интерпретации. Точно так же, как мы положили *263, мы хотим обозначение, придающее типическую определенность предложению *263. Это обеспечивается следующим образом.

Используя обозначение *64, положим *264. Тогда мы имеем, например, *264. Следовательно, *264, где *264.

Аналогично *265.

Таким образом, вышеуказанные определения дают нам то, что требуется.

Чтобы завершить наше обозначение для типов, нам нужно иметь возможность выразить тип области или области значений *267, или любого отношения, чья область и область значений имеют соответственно данные отношения типа к области и области значений *267. Таким образом, мы могли бы положить *267 («b» здесь появляется как «d», написанное наоборот)

Это обозначение позволило бы нам иметь дело с убывающими реляционными кардинальными числами. Но оно не требуется в настоящей работе и поэтому не введено среди пронумерованных предложений.

Когда типически двусмысленный символ, такой как «*269» или «*269», встречается более одного раза в данном контексте, не следует предполагать, если только это не требуется условиями значимости, что он должен получить одно и то же типическое определение в каждом случае. Таким образом, например, мы будем писать «*269», хотя, если *269 и *269 разных типов, два символа «*269» должны получить разные типические определения.

Формулы, которые типически двусмысленны или лишь частично определены по типу, не должны допускаться, если только каждая значимая интерпретация не является истинной. Так, например, мы можем допустить *270, потому что здесь «*270» должно означать «*270», так что единственная оставшаяся двусмысленность касается типа *270, и формула верна, к какому бы типу ни принадлежал *270, при условии, что «*270» значимо, т.е. при условии, что *270 — это класс. Но мы не должны из «*270» позволять себе выводить *270. Ибо здесь условия значимости больше не требуют, чтобы «*270» означало «*270»: оно могло бы с таким же успехом означать «*270». И, как мы видели, если *270 более низкого типа, чем *270, и *270 достаточно велико для своего типа, мы можем иметь *270, так что «*270» недопустимо без оговорок. Тем не менее, как мы увидим в *100, существует определенное количество предложений, которые можно сделать о полностью двусмысленном *270 или *270.

СНОСКИ:

[2] Бреслау, 1884. Ср. особенно стр. 79, 80.

[3] Йена, том I, 1893; том II, 1903. Ср. том I, §§ 40-42, стр. 57, 58. Основания в пользу этого определения будут подробно изложены в «Принципах математики», часть II.

[4] Определения арифметических операций, а также конечного и бесконечного, на самом деле столь же чисто логичны, как и то, что им предшествует; однако если мы хотим где-то провести границу между логикой и арифметикой, то арифметические операции кажутся естественной точкой, с которой следует начинать арифметику.

*100. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Резюме к *100.

В этом параграфе мы будем рассматривать только такие непосредственные следствия определения кардинальных чисел, которые не требуют типической определенности, выходящей за рамки того, что могут дать присущие им условия значимости. Здесь мы вводим фундаментальные определения:

*100·01.

*100·02.

Определение «» требуется главным образом ради дескриптивной функции. Мы имеем

*100·1.

Это может быть сформулировано в различных эквивалентных формах, которые приведены в начале этого параграфа (*100·1 — ·16). После нескольких предложений о как отношении, мы переходим к элементарным свойствам. Мы имеем

*100·3.

*100·31.

*100·321.

*100·33.

Далее мы переходим к элементарным свойствам. Мы имеем

*100·4.

*100·42.

*100·45.

*100·51.

Заметим, что когда у нас есть такая гипотеза, как «», то, хотя может быть любого типа, оно должно быть некоторого типа; следовательно, не может иметь типической двусмысленности, которая присуща. Если мы положим, то это будет справедливо только в типе; но «» — это типически двусмысленный символ, который будет представлять в любом типе «то же самое» число, что и. Таким образом, «» — это уравнение, применимое ко всем возможным типическим определениям «» и «».

*100·52.

Гипотеза излишня, но мы не можем доказать это до более позднего этапа (*102).

Мы завершаем параграф некоторыми предложениями (*100·6 — ·64), утверждающими, что различные классы (такие как), которые, как уже было доказано, подобны, имеют элементы.

*100·01.

*100·02.

*100·1.

*100·11.

*100·12.

*100·13.

Док.

*100·14.

*100·15.

Док.

*100·16.

Док.

*100·2.

*100·21.

Док.

*100·22.

*100·3.

Заметим, что ошибочно выводить, по причинам, объясненным во введении к настоящему разделу.

*100·31.

*100·32.

*100·321.

Док.

Заметим, что не всегда истинно. У нас могло бы возникнуть искушение доказать это следующим образом:

Но использование *10·1 здесь законно только тогда, когда рассматриваемое «» является однородным отношением. Если, — убывающие кардинальные числа, мы можем иметь, не имея.

*100·33.

Док.

Заметим, что мы не всегда имеем

Ибо если рассматриваемое есть убывающее, а и достаточно велики, то и могут оба быть. Например, мы имеем

Но, так что

Таким образом, «» не всегда истинно, когда оно значимо.

*100·34.

*100·35.

Док.

Таким образом, единственный случай, в котором импликации в *100·321, ·33, ·34 не могут быть превращены в эквивалентности, — это случай, в котором и оба являются.

*100·36.

*100·4.

*100·41.

*100·42.

Док.

*100·43.

*100·44.

Док.

*100·45.

*100·5.

Док.

*100·51.

Док.

*100·511.

Здесь последнее «» может быть другого типа, нежели остальные: предложение справедливо независимо от того, как определен его тип.

Док.

*100·52.

Это предложение остается верным и тогда, когда, но доказательство более сложное, поскольку оно зависит от доказательства того, что каждый нуль-класс классов является, что, в свою очередь, зависит от доказательства того, что не подобен ни, ни какому-либо классу, содержащемуся в.

*100·521.

Док.

*100·53.

Док.

*100·6.

*100·61.

*100·62.

*100·621.

*100·63.

*100·631.

*100·64.

Док.

*101. О 0, 1 И 2.

Резюме к *101.

В настоящем параграфе мы должны показать, что 0, 1 и 2, как они были определены ранее, являются кардинальными числами в смысле, определенном в *100, и добавить несколько элементарных предложений к тем, что уже были даны относительно них. Мы доказываем (*101·12 — ·241), что 0 и 1 не являются нуль-классами, что нельзя доказать с помощью наших аксиом для любого другого кардинального числа, за исключением (в случае конечных кардинальных чисел) случаев, когда тип указан как достаточно высокий. Таким образом, мы доказываем (*101·42 — ·43), что и существуют; это следует из и. Мы доказываем (*101·22 — ·34), что 0, 1 и 2 отличны друг от друга. Мы доказываем (*101·15 — ·28), что и, но мы не можем доказать, если не предположим существование по крайней мере двух индивидов или не определим первую 2 в «» как 2 некоторого типа, отличного от, где «» означает тип индивидов.

Следует заметить, что, поскольку 0, 1 и 2 типически двусмысленны, их свойства аналогичны свойствам «» скорее, чем свойствам, где.

*100·511.

но мы не будем иметь, если только рассматриваемое «» не является однородным, поскольку в других случаях символы не выражают значимого предложения. Но в *100·511 мы можем подставить 0, 1 или 2, и предложение останется значимым и истинным. Фактически мы имеем (*101·1 — ·2 — ·31), где 0, 1 и 2 имеют двусмысленность, соответствующую двусмысленности «».

*101·1.

*101·11.

*101·12.

*101·13.

*101·14.

Док.

*101·15.

Док.

*101·16.

Док.

*101·17.

Док.

*101·2.

*101·21.

*101·22.

Док.

*101·23.

Док.

*101·24.

Док.

*101·241.

*101·25.

Док.

*101·26.

Док.

*101·27.

Док.

*101·28.

Док.

*101·29.

Док.

*101·3.

Док.

*101·301.

При сравнении *101·31 с *101·1, ·2, ·3 следует заметить, что и оба являются классами, тогда как в *101·1, ·2, ·3 не было никакого типического ограничения, кроме того, что налагалось условиями значимости.

*101·31.

Док.

*101·32.

*101·33.

*101·34.

Док.

*101·35.

*101·36.

Док.

*101·37.

*101·38.

Док.

*101·4.

Док.

Когда мы рассматриваем самый низкий тип, встречающийся в контексте, наших посылок недостаточно, чтобы доказать. Для любого другого типа это может быть доказано. Таким образом, и дают требуемый результат для классов и отношений соответственно.

*101·41.

Док.

*101·42.

Док.

*101·43.

*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ НАЗНАЧЕННЫХ ТИПОВ.

Резюме к *102.

В этом параграфе мы будем рассматривать типически определенное отношение «», т.е. мы будем рассматривать отношение к классу, который дан как имеющий тот же тип, что и, класса тех классов, которые подобны и имеют тот же тип, что и. Мы затем положим, и класс всех таких чисел как для данных и мы будем называть, так что

Обозначения, введенные здесь для придания типической определенности «» и «», являются теми, что определены в *65 для любого типически двусмысленного отношения.

Согласно *63·01·02, если есть типически двусмысленный символ, мы имеем

Таким образом. Если мы применим определения к 1, «» бессмысленно, если только не является классом; поэтому мы пишем греческую букву вместо, и мы имеем

Если, мы будем иметь. Следовательно

Обратная импликация также верна, так что

Таким образом, состоит из всех единичных классов, чьи единственные элементы либо являются, либо не являются элементами, т.е. для которых «» значимо.

В «» гипотеза делает явным условие значимости; таким образом, «» всегда истинно, когда оно значимо, и всегда значимо, когда. О толковании отрицательных утверждений относительно типов см. примечание в конце этого параграфа.

Следует отметить, что все константные отношения, введенные в этой работе, являются типически двусмысленными. Рассмотрим, например, и т.д. Все они имеют в большей или меньшей степени типическую двусмысленность, хотя все они обладают тем, что мы назовем относительной типической определенностью, т.е. когда тип релята задан, тип референта также задан. (Что касается, неверно, что, наоборот, когда задан тип референта, тип релята также задан.) Но «» и «» не имеют даже относительной определенности. Когда задан тип релята, тип референта не становится более определенным, чем был; единственные ограничения состоят в том, что релят для «» или «» должен быть классом, что референт для «» должен быть классом, и что референт для «» должен быть классом классов. Когда отношение имеет относительную определенность, достаточно зафиксировать тип релята; и если далее, так что приводит к дескриптивной функции, «» имеет полную типическую определенность, как только задан тип. Теперь константные отношения, введенные до сих пор, за исключением «» и «», были все взаимно-однозначными отношениями и использовались почти исключительно в форме дескриптивных функций. Следовательно, не требовалось специального обозначения для придания типической определенности, поскольку «» в этих обстоятельствах имеет типическую определенность, как только назначено. Но при рассмотрении «» и «», которые не имеют даже относительной определенности, становится необходимым явное средство придания типической определенности. Следует, однако, заметить, что «» имеет типическую определенность, когда известно, как только область «» имеет типическую определенность, поскольку должно принадлежать к обратной области. Именно ради этого и подобных случаев мы ввели два определения в *65, которые придают типическую определенность только области.

В силу определений в *65, если есть типически двусмысленное отношение, а есть референт, становится; если, далее, есть релят, становится. Если есть референт для, мы имеем, и. Таким образом, имеет элемент типа, непосредственно следующего за типом, т.е. типа. Таким образом, как было доказано в *65. Следовательно, в частности

Именно по этой причине стоит ввести определение.

Мы имеем, в силу вышесказанного, как будет доказано в *102·46,

Что касается «», которое должно интерпретироваться согласно *65·04, необходима некоторая осторожность. Это будет означать некое одно из тех типически различных отношений, называемых «», которые имеют свои области, состоящие из членов того же типа, что и. Но это не будет означать логическую сумму всех таких отношений, потому что эти отношения имеют разные типы в зависимости от того, различаются ли их обратные области по типу, и поэтому их логическая сумма бессмысленна. Так, например, если тип ниже или равен типу, мы будем иметь, откуда, если «» имеет свою обратную область, состоящую из членов того же типа, что и. Но если имеет более высокий тип, чем, мы найдем. Таким образом, «» неопределенно таким образом, что это создает практическую разницу.

Точно такие же замечания применимы к. Мы имеем, таким образом, «» разделяет двусмысленность «». Вопрос о том, зависит ли, от решения этой двусмысленности. Трудность заключается в том, что «» означает область любого одного определения «», которое имеет свою область, состоящую из объектов типа; но это область только одного такого определения «», потому что разные определения имеют разные типы и поэтому не могут быть взяты вместе, даже когда их области все одного типа. Вследствие этой двусмысленности «» — это символ, которого, как правило, лучше избегать, и «» не часто бывает полезен, за исключением случаев дескриптивной функции, когда релят обеспечивает необходимую типическую определенность.

Особенность «» заключается в том, что оно типически определенно, и все же способно иметь разные значения: оно не является полностью определенным, будучи определенным как область отношения, чья обратная область типически двусмысленна. В результате мы не можем с выгодой сделать «» наполовину определенным, как это делает «», а должны сделать его полностью определенным, как мы это делаем, принимая. Для этого мы принимаем обозначение. Мы не можем принять обозначение, потому что это противоречило бы *65·11, ни, потому что это противоречило бы *65·01, ни, по той же причине. Но не имеет ранее определенного значения. Мы можем, если хотим, рассматривать «» как. Тогда требуемое значение «» получилось бы из *65·04. Но поскольку «», определенное таким образом, не требуется, проще рассматривать «» как единый символ. Поэтому мы полагаем

*102·01.

Настоящий параграф начинается с различных предложений (*102·2 — ·27) о типически определенном отношении подобия, т.е.. Затем у нас есть набор предложений (*102·3 — ·46) о «». Это значимо только если и одного типа; тогда оно обозначает класс тех классов, которые подобны и имеют тот же тип, что и. Затем у нас есть набор предложений (*102·5 — ·64) о, т.е. о кардинальных числах, состоящих из классов того же типа, что и, которые подобны классам того же типа, что и. Далее мы доказываем (*102·71 — ·75), что никакой подкласс α не подобен, и поэтому (подставляя вместо) никакой класс того же типа, что и, не подобен, и поэтому

*102*74.

Это доказывает, что является кардинальным числом, что является предложением, постоянно требуемым. Остальные предложения *102 касаются, где есть типически определенное кардинальное число.

Наиболее полезные предложения в этом параграфе (помимо *102·74) — это

*102·3.

*102·46.

*102·5.

*102·6.

*102·72.

Это используется при доказательстве, что является предложением, из которого Кантор вывел, что не существует наибольшего кардинального числа. (Если, то, и таким образом происходит повышение типа.)

*102·84.

*102·85.

*102·01.

*102·11.

Здесь, если есть реальная переменная, условия значимости требуют. Но если есть типически двусмысленная константа, такая как или или, является типически определенной константой. Именно для таких случаев полезны предложения, подобные вышеприведенным.

Док.

*102·13.

*102·2.

*102·21.

*102·22.

102·23.

*102·24.

Док.

*102·25.

*102·26.

Док.

*102·27.

*102·3.

Док.

*102·31.

Док.

*102·32.

Док.

*102·34.

*102·35.

*102·36.

Это предложение истинно всякий раз, когда оно значимо, и значимо всякий раз, когда. Когда принадлежит какому-то другому типу, вышеприведенное предложение не является значимым.

*102·361.

*102·37.

Док.

*102·4.

*102·41.

*102·42.

*102·43.

Этот вывод законен, потому что, когда задано, «» типически определенно. Вывод из «» (которое истинно) к «» не является верным, потому что «» может быть справедливо только для некоторых из возможных определений двусмысленности «».

*102·44.

Док.

*102·45.

Док.

*102·46.

*102·5.

При использовании предложений, таких как предложения *100, в которых мы имеем типически двусмысленное «» или «», может быть добавлена любая значимая типическая определенность, поскольку, когда утверждается типически двусмысленное предложение, это включает утверждение каждого возможного предложения, вытекающего из определения двусмысленности.

*102·501.

*102·51.

Док.

*102·52.

*102·53.

Док.

*102·54.

*102·541.

Док.

*102·55.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что если каждый класс того же типа, что и, подобен некоторому классу того же типа, что и, то, при заданном классе того же типа, что и, существует класс того же типа, что и, такой, что классы, подобные и имеющие тот же тип, что и, являются теми же самыми, что и классы, подобные и имеющие тот же тип, что и; и наоборот, при заданном любом классе того же типа, что и, и подобном некоторому классу того же типа, что и, существует класс того же типа, что и, такой, что классы, подобные и имеющие тот же тип, что и, являются теми же самыми, что и классы, подобные и имеющие тот же тип, что и. Мы можем выразить это, сказав, что если кардинальные числа, которые идут от типа к типу, никогда не являются нуль-классами, то те, которые идут от типа к типу, за исключением (если одно из них), являются теми же самыми, что и те, которые начинаются и заканчиваются внутри типа. Последние — это то, что мы называем «однородными» кардинальными числами. Таким образом, наше предложение является шагом к сведению общего изучения кардинальных чисел к изучению однородных кардинальных чисел.

*102·6.

Док.

*102·61.

Док.

*102·62.

Док.

*102·63.

Док.

*102·64.

Следующие предложения являются частью доказательства Кантора того, что не существует наибольшего кардинального числа. Они вставлены здесь, чтобы позволить нам доказать, что является кардинальным числом, а именно тем, что мы называем «убывающим» кардинальным числом, т.е. таким, чье соответствующее «» идет от более высокого к более низкому типу.

*102·71.

Док.

*102·72.

Док.

*102·73.

Док.

Это предложение доказывает, что никакой класс того же типа, что и, не подобен. Теперь есть наибольший класс своего типа; таким образом, существуют классы типа, непосредственно следующего за типом, которые слишком велики, чтобы быть подобными любому классу типа. Таким образом (как будет явно доказано позже), максимальное кардинальное число в одном типе меньше, чем в следующем более высоком типе. Предложение Кантора о том, что не существует максимального кардинального числа, справедливо только тогда, когда нам позволено подниматься к постоянно более высоким типам: в каждом типе существует максимум для этого типа, а именно число элементов типа.

*102·74.

Док.

*102·75.

Док.

*102·8.

Док.

*102·81.

Док.

*102·82.

*102·83.

Док.

*102·84.

Док.

*102·85.

*102·86.

Док.

*102·861.

Док.

*102·862.

Док.

*102·863.

Док.

*102·87.

*102·88.

Док.

Примечание об отрицательных утверждениях относительно типов. Утверждения, такие как «» или «», всегда ложны, когда они значимы. Следовательно, когда объект принадлежит к одному типу, нет значимого способа выразить то, что мы имеем в виду, когда говорим, что он не принадлежит к какому-то другому типу. Причина в том, что, когда, например, и говорят, что они различны, утверждение значимо только если оно интерпретируется как относящееся к символам, т.е. как означающее отрицание того, что два символа обозначают один и тот же класс. Мы не можем утверждать, что они обозначают разные классы, поскольку «» не является значимым, но мы можем отрицать, что они обозначают один и тот же класс. Благодаря этой особенности предложения, имеющие дело с типами, приобретают свою важность во многом благодаря тому факту, что их можно интерпретировать как имеющие дело с символами, а не непосредственно с объектами, обозначаемыми символами. Другая причина важности типически определенных предложений заключается в том, что, когда они являются импликациями, гипотезу которых можно утверждать, их можно использовать для вывода, т.е. для утверждения заключения. Там, где в импликациях встречаются типически двусмысленные символы, напротив, условия значимости могут быть разными для гипотезы и заключения, так что могут возникнуть ошибки из-за использования таких импликаций при выводе. Например, является ошибкой выводить «» из (истинных) предложений «» и «». (Истинность первого из этих двух требует, чтобы «» получало одно и то же типическое определение в обоих своих вхождениях.) По этим двум причинам гипотетические утверждения относительно типов часто полезны, несмотря на тот факт, что их гипотезы всегда истинны, когда они значимы.

*103. ОДНОРОДНЫЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме к *103.

В этом параграфе мы будем рассматривать кардинальные числа, порожденные однородным отношением подобия. «Однородное» кардинальное число означает все классы, подобные некоторому классу и имеющие тот же тип, что и. «Однородное кардинальное число» будет определено как; мы будем обозначать его через «». Тогда класс однородных кардинальных чисел — это класс всех таких кардинальных чисел, как «», т.е. это; мы будем обозначать его через «». Символ «» типически определен, как только назначено; «», напротив, типически двусмысленно: оно должно быть, но в остальном его тип может варьироваться бесконечно. Однородные кардинальные числа, однако, имеют много свойств, которые не требуют, чтобы двусмысленность «» была определена, и мало таких, которые требуют этого. Они важны также как простейший вид кардинальных чисел и как вид, к которому обычно можно свести другие виды.

Главное преимущество однородных кардинальных чисел заключается в том, что они никогда не являются нуль-классами (*103·13 — ·22). Это позволяет нам с их помощью избежать явного исключения исключительных случаев; таким образом, на протяжении всего раздела B мы будем использовать однородные кардинальные числа при определении арифметических операций: арифметическая сумма и, например, будет определена с помощью и, чтобы исключить такое определение типической двусмысленности и, которое сделало бы любое из них нуль-классом. Правда, не только однородные кардинальные числа, но и возрастающие кардинальные числа (ср. *104) никогда не являются нуль-классами. Но однородные кардинальные числа — это гораздо более простой вид кардинальных чисел, которые никогда не являются нуль-классами, и поэтому они наиболее удобны.

Тот факт, что ни одно однородное кардинальное число не является нуль-классом, выводится из

*103·12.

Другими важными предложениями в этом параграфе являются следующие:

*103·2.

*103·26.

Вышеприведенное предложение используется постоянно.

*103·27.

Таким образом, сказать, что есть однородное кардинальное число, эквивалентно тому, чтобы сказать, что есть кардинальное число, элементом которого является.

*103·301.

*103·34.

*103·4.

*103·41.

*103·01.

*103·02.

*103·1.

*103·11.

*103·12.

*103·13.

Это законный вывод из *103·12, потому что, когда задано, типически определенно.

*103·14.

Док.

*103·15.

Док.

*103·16.

В этом предложении уравнение «» должно предполагаться верным в любом типе, для которого оно значимо. В противном случае мы могли бы найти тип, для которого, не имея.

Док.

*103·2.

*103·21.

При приведении предложения, такого как *100·2, которое касается «» полностью неопределенного по типу, к нашему «» может быть добавлена любая степень типической определенности, поскольку утвержденное предложение, содержащее двусмысленное «», является законным только в том случае, если оно истинно для любого возможного определения двусмысленности.

*103·22.

*103·23.

*103·24.

*103·25.

*103·26.

Док.

*103·27.

Док.

*103·28.

Док.

*103·3.

Док.

*103·301.

Заметим, что хотя «» не определено, «» абсолютно определено, как только назначено.

Док.

*103·31.

Док.

*103·32.

Док.

В вышеприведенном предложении «» может быть опущено, и мы можем написать (ср. *103·33 ниже)

Ибо полностью произвольно, так что любое возможное определение делает вышеприведенное предложение истинным. Мы можем продвинуться на шаг дальше и написать (*103·34 ниже)

Но хотя мы также имеем, при условии, что «» справа подходящим образом определено, мы не имеем этого всегда. Например, если «» определено как, а «» как, то.

*103·33.

Док.

*103·34.

Док.

Таким образом, каждое кардинальное число, кроме, является однородным кардинальным числом в соответствующем типе. Заметим, что хотя, конечно, каждое однородное кардинальное число является кардинальным числом, все же «» не следует утверждать, потому что возможно определить двусмысленность «» таким образом, чтобы сделать это ложным. Следовательно, мы не получаем.

*103·35.

Гипотеза этого предложения выполняется, как станет ясно позже, если тип находится в том, что мы можем назвать прямым восхождением от типа, т.е. если его можно достичь из конечным числом шагов, каждый из которых переводит нас из типа либо в, либо в. Таким образом, в таком случае кардинальные числа (кроме), которые идут от к, являются теми же самыми, что и те, которые начинаются и заканчиваются внутри. Также станет ясно, что в таком случае всегда является элементом. Если два кардинальных числа, которые не равны, должны всегда быть одно больше, а другое меньше, то есть условие для. В этом случае мы будем иметь. Но не существует известного доказательства того, что из двух разных кардинальных чисел одно должно быть больше, кроме как путем предположения мультипликативной аксиомы и доказательства отсюда (с помощью теоремы Цермело), что каждый класс может быть вполне упорядочен (ср. *258).

*103·4.

Док.

*103·41.

Док.

*103·42.

Док.

*103·43.

Док.

*103·44.

Док.

*103.5.

Док.

*103·51.

Док.

0 и 1 — единственные кардинальные числа, для которых вышеприведенное свойство может быть доказано универсально с нашими предположениями. Если (как возможно, насколько позволяют наши предположения) самый низкий тип является единичным классом, мы будем иметь в этом типе (хотя ни в каком другом), так что в этом типе.

*104. ВОЗРАСТАЮЩИЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме к *104.

В этом параграфе мы должны рассмотреть кардинальные числа, производные от отношения подобия, которое идет от типа к типу, или к типу. Предложения, которые должны быть доказаны, могут быть расширены простым повторением доказательств до, и т.д. Это расширение должно, однако, делаться заново в каждом случае; мы не можем доказать, что это можно сделать в общем виде, потому что математическая индукция не может быть применена к ряду

Возрастающие кардинальные числа, хотя и менее важны, чем однородные кардинальные числа, все же имеют значительную важность в арифметике, потому что и определены как кардинальные числа классов более высоких типов, чем типы и, и то же самое относится к произведению кардинальных чисел элементов класса классов. В этих случаях, однако, нам также нужны кардинальные числа реляционных типов, которые будут рассмотрены в *106.

В этом параграфе мы должны иметь дело с тремя различными наборами понятий, а именно

*104·01.

*104·02.

*104·03.

с аналогичными определениями и т.д. Таким образом, состоит из всех классов, подобных, но следующего более высокого типа, т.е. это кардинальное число в типе, непосредственно следующем за типом; есть класс всех таких кардинальных чисел, как, и является типически двусмысленным символом, хотя типически определено, когда задано; (если есть кардинальное число, которое не является нуль-классом) — это «то же самое» кардинальное число в следующем более высоком типе, так что, например, если 1 определено как состоящее из единичных классов индивидов, будет 1 определено как состоящее из единичных классов классов индивидов. (Когда не является существующим кардинальным числом, неважно.)

Ниже приведены наиболее полезные предложения в настоящем параграфе:

*104·12.

*104·2.

*104·21.

*104·24.

*104·25.

*104·26.

*104·265.

*104·27.

*104·35.

*104·43.

*104·01.

Это определяет кардинальное число в следующем типе выше типа; таким образом, состоит из всех классов, подобных и имеющих следующий тип выше типа.

*104·011.

Аналогичные определения следует предполагать для и т.д.

*104·02.

, как и, типически двусмысленно; но типически определено.

*104·021.

Аналогичные определения следует предполагать для и т.д.

*104·03.

Здесь, если есть кардинальное число, есть то же самое кардинальное число в следующем более высоком типе. Например, если есть пары индивидов, есть пары классов индивидов.

*104·031.

Аналогичные определения следует предполагать для и т.д.

*104·1.

*104·101.

*104·102.

*104·11.

*104·111.

*104·112.

*104·12.

Док.

*104·121.

Док.

*104·122.

*104·123.

*104·13.

*104·14.

*104·141.

Когда гипотеза «» опущена, это предложение все еще истинно, но с отличием. Например, положим. Тогда. Таким образом. Но мы все еще имеем. Таким образом, но не является тем же самым кардинальным числом, что и в более высоком типе, т.е. существуют классы, чье кардинальное число в одном типе есть, но чье кардинальное число в следующем более высоком типе не есть.

*104·142.

*104·15.

*104·2.

Док.

*104·201.

Док.

*104·21.

Из этого предложения следует, что возрастающие кардинальные числа никогда не являются нуль-классами. Доказательство должно быть сделано отдельно для каждого вида возрастающего кардинального числа, т.е., и т.д.

*104·211.

*104·23.

Док.

*104·231.

Док.

*104·232.

*104·24.

*104·25.

Это предложение справедливо для каждого возможного определения типических двусмысленностей, т.е. для каждого мы имеем

*104·251.

*104·252.

*104·26.

Док.

*104·261.

Док.

*104·262.

Док.

*104·263.

Док.

*104·264.

Док.

*104·265.

*104·27.

*104·28.

*104·29.

Док.

*104·3.

Док.

*104·31.

*104·311.

*104·32.

Док.

*104·33.

Док.

*104·34.

Док.

*104·35.

*104·36.

Док.

*104·37.

Док.

Следующие предложения касаются доказательства того, что для любых двух кардинальных чисел и одного и того же типа мы можем найти два взаимно исключающих класса, один из которых имеет членов, а другой — членов. Доказательство требует, чтобы мы повысили типы и на одну ступень выше того, в котором они были первоначально даны, т. е. чтобы мы превратили и в и . Так, например, предположим, что общее число индивидов во вселенной конечно (предположение, которое согласуется с нашими примитивными предложениями), и предположим, что — это число. Тогда, если , класс из индивидов будет существующим подклассом единственного класса, который состоит из индивидов, и, следовательно, мы будем иметь

Но если мы рассмотрим классы классов и классы, мы всегда сможем найти и такие, что

Существование таких и важно в связи с арифметическими операциями и поэтому доказывается здесь.

*104·4.

Док.

*104·41

Док.

Это предложение доказывает желаемые выводы при условии, что , и состоит по крайней мере из трех членов. Следующие предложения рассматривают случаи, в которых эта гипотеза не подтверждается.

*104·411.

Док.

*104·412.

Док.

*104·413.

Док.

*104·42.

*104·43.

Док.

Вышеприведенное предложение дает желаемый результат. Следующие предложения переформулируют этот результат в других видах.

*104·44.

*104·45.

*104·46.

*105. УБЫВАЮЩИЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме *105.

В этом параграфе мы рассматриваем кардинальные числа, порожденные отношением схожести, которое идет от более высокого типа к более низкому, т. е. для любого класса классов мы рассматриваем в типе членов (который мы назовем ) или в некотором более низком типе. Так, например, мы будем иметь , где «» означает «классы, схожие с , но следующего более низкого типа». Аналогично и так далее. Мы будем иметь в общем случае и так далее. Главное различие между возрастающими и убывающими кардинальными числами состоит в том, что является одним из последних, но не одним из первых. В остальном предложения настоящего параграфа по большей части аналогичны соответствующим предложениям *104.

По аналогии с определениями в *104 мы полагаем с аналогичными определениями для и .

Ни на одно предложение настоящего параграфа в дальнейшем не делается ссылок, и читатель, не интересующийся данным предметом, может поэтому опустить его без ущерба для последующего изложения. Основные доказанные предложения следующие:

*105·25.

*105·251.

*105·26.

Таким образом, или в любом данном типе отличается от в этом типе только добавлением .

*105·3.

*105·322.

*105·34.

*105·35.

*105·38.

*105·01.

Мы могли бы написать , что было бы эквивалентно вышесказанному. Но мы выбираем вышеприведенную форму ради единообразия. Если есть какой-либо суффикс, мы полагаем, при условии, что было определено, , и если есть какой-либо индекс, для которого было определено, мы полагаем

Таким образом, ради единообразия лучше в вышеприведенном определении *105·01 писать «» вместо «».

*105·011.

*105·02.

*105·021.

*105·03.

*105·031.

*105·1.

*105·101.

*105·11.

*105·111.

*105·12.

*105·121.

*105·13.

*105·131.

*105·14.

Док.

*105·141.

*105·142.

*105·143.

*105·15.

*105·151.

*105·16.

*105·161.

В дальнейшем предложения, касающиеся или , имеют доказательства, точно аналогичные доказательствам соответствующих предложений, касающихся или .

*105·2.

Док.

*105·201.

*105·21.

*105·211.

*105·22.

*105·221.

*105·23.

*105·231.

*105·24.

*105·241.

*105·25.

*105·251.

*105·252.

Док.

*105·26.

Док.

*105·261.

*105·27.

*105·271.

*105·28.

*105·281.

*105·29.

*105·3.

Док.

*105·301.

*105·31.

*105·311.

*105·312.

*105·313.

*105·314.

*105·315.

*105·316.

Док.

*105·317.

*105·32.

Док.

*105·321.

*105·322.

*105·323.

*105·324.

*105·325.

*105·326.

Док.

*105·327.

*105·33.

Док.

*105·331.

*105·34.

*105·341.

*105·342.

Док.

*105·343.

*105·344.

Док.

*105·345.

*105·35.

Док.

*105·351.

*105·352.

*105·353.

*105·354.

*105·355.

*105·356.

*105·357.

*105·36.

Док.

*105·361.

Док.

*105·362.

*105·37.

*105·371.

Док.

*105·372.

*105·38.

Док.

*105·4.

Док.

*105·41.

*105·42.

*105·43.

Док.

*105·44.

Док.

*106. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА РЕЛЯЦИОННЫХ ТИПОВ.

Резюме *106.

В этом параграфе мы должны рассмотреть кардинальные числа, членами которых являются классы отношений, имеющих данное отношение типа к некоторому данному классу. Например, мы имеем , и имеет данное отношение типа к , когда задано. Таким образом, нам нужно обозначение для и всех связанных идей. В этом параграфе мы будем иметь дело только с отношениями, в которых референт и релатум имеют отношение, с точки зрения типа, которое может быть выражено обозначениями *63, т. е., грубо говоря, когда для подходящих значений , , , наши отношения содержатся в

Таким образом, если было определено, мы положим с аналогичными определениями для , и .

Наиболее важным случаем является случай . Для этого случая мы имеем

*106·1.

Таким образом, будет числом класса отношений, поля которых имеют тот же тип, что и , при условии, что этот класс отношений схож с . Например, число таких членов, как , где , будет .

Мы имеем

*106·21.

*106·22.

*106·23.

*106·32.

*106·4·41·411.

*106·53.

откуда следует, что

*106·54.

Предложения этого параграфа, за исключением *106·21, никогда больше не упоминаются (за исключением *154·25·251·262, которые сами никогда больше не используются), но они имеют несколько большую важность, чем предложения *105, благодаря тому факту, что арифметические операции определяются посредством классов отношений, т. е. сумма двух кардинальных чисел (например) определяется как кардинальное число некоторого класса отношений (ср. *110).

*106·01

*106·011.

*106·012.

*106·02.

*106·021.

*106·03.

*106·04.

*106·041.

*106·1.

*106·101.

Аналогичные предложения справедливы для любого другого двойного индекса, для которого было определено.

*106·11.

Аналогичные предложения справедливы для любого другого двойного суффикса, для которого было определено.

*106·12.

*106·121.

Аналогичные предложения справедливы для любого другого индекса и суффикса, для которых или были определены.

*106·13.

Аналогичные предложения справедливы для и т. д.

*106·14.

*106·141.

Аналогичные предложения справедливы для , , и т. д.

*106·2

Док.

*106·201.

*106·202.

*106·203.

*106·204.

*106·21.

*106·211.

*106·212.

*106·213.

*106·22.

Док.

Доказательство требует, в дополнение к *106·12, его аналога для . Такие аналоги будут предполагаться по мере необходимости.

*106·221.

*106·222.

*106·223.

Другие предложения того же рода, что и выше, могут быть доказаны путем наблюдения, что если и — индексы, для которых и были определены, мы имеем , доказательство чего является прямым и простым. Следовательно, поскольку мы всегда имеем , мы также всегда имеем . Мы имеем аналогичным образом . Но мы не всегда имеем

*106·23.

Док.

*106·231.

*106·24.

*106·241.

Аналоги вышеприведенных предложений для других индексов или суффиксов доказываются аналогично.

*106·25.

*106·251.

*106·31.

*106·311.

*106·312.

Док.

*106·32.

Док.

*106·4.

Док.

*106·401.

Док.

*106·402.

Док.

*106·41.

Док.

*106·411.

*106·43.

Док.

*106·44.

Следующие предложения аналогичны *102·71 и сл., и к ним применимы аналогичные замечания.

*106·5.

Док.

*106·51.

Док.

*106·52.

Док.

*106·53.

*106·54.

Док.

*106·55.

РАЗДЕЛ B. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.

Резюме Раздела B.

В настоящем разделе мы должны рассмотреть арифметические операции применительно к кардинальным числам, а также отношение «больше» и «меньше» между кардинальными числами. Таким образом, темы, которые будут рассматриваться в этом разделе, являются первыми, которые можно должным образом отнести к арифметике.

Изложение сложения, умножения и возведения в степень, которое будет дано далее, продиктовано стремлением обеспечить наибольшую возможную общность. Во-первых, все, что будет сказано в общем об арифметических операциях, должно в равной степени применяться к конечным и бесконечным классам или кардинальным числам. Во-вторых, мы желаем таких определений, которые позволили бы числу слагаемых в сумме или множителей в произведении быть бесконечным. В-третьих, мы хотим иметь возможность складывать или умножать два числа, которые не обязательно принадлежат к одному и тому же типу. В-четвертых, мы хотим, чтобы наши определения были такими, чтобы сумма кардинальных чисел двух или более классов зависела только от кардинальных чисел этих классов и была одинаковой как тогда, когда классы перекрываются, так и тогда, когда они взаимно исключают друг друга; с аналогичными условиями для произведения. Стремление получить определения, удовлетворяющие всем этим условиям, приводит к несколько более сложным определениям, чем потребовалось бы в противном случае; но в конечном итоге результат оказывается проще, чем если бы мы начали с более простых определений, поскольку мы избегаем досадных исключений.

Вышеприведенные замечания станут яснее через их применение. Начнем со случая арифметического сложения двух классов.

Если и — взаимно исключающие классы, сумма их кардинальных чисел будет кардинальным числом . Но для того чтобы и были взаимно исключающими, они не должны иметь общих членов, и это значимо только тогда, когда они одного типа. Следовательно, для двух совершенно общих классов и нам требуется найти два класса, которые являются взаимно исключающими и соответственно схожи с и ; если эти два класса называются и , то будет суммой кардинальных чисел и . Мы отмечаем, что и указывают соответственно на 'ы того же типа, что и и , и, соответственно, мы принимаем в качестве и два класса ; эти два класса всегда одного типа, всегда взаимно исключающие и всегда схожи с и соответственно. Следовательно, мы определяем

Сумма кардинальных чисел и будет тогда кардинальным числом ; следовательно, мы можем назвать арифметической суммой классов двух классов, в отличие от , которая является логической суммой. Следует отметить, что , в отличие от , не требует, чтобы и были одного типа. Также не идентично , но когда , также является , хотя и в другом типе. Таким образом, закон тавтологии не применим к арифметической сумме классов двух классов.

Если и — два кардинальных числа заданных типов, мы обозначаем их арифметическую сумму через . (Поскольку в нашей работе встречается много видов арифметического сложения и поскольку для наших целей существенно различать их, мы осуществляем это различие с помощью суффиксов к знаку сложения. Конечно, только при рассмотрении принципов нужны эти различные символы: мы не хотим предполагать, что они должны быть приняты в обычной математике.) Теперь, если должно обладать свойствами, которые мы обычно связываем с суммой двух кардинальных чисел, оно должно быть типически двусмысленным и должно быть кардинальным числом любого класса, который может быть разделен на две взаимно исключающие части, имеющие членов и членов соответственно. Следовательно, мы приходим к следующему определению:

В этом определении следует отметить различные моменты. Во-первых, оно не требует, чтобы и были одного типа; значимо всякий раз, когда и — классы классов. Таким образом, для значимости не обязательно, чтобы и были кардинальными числами, хотя если они не оба являются кардинальными числами, . Если они оба являются кардинальными числами, мы находим

Таким образом, в этом случае .

Следовательно, если ни , ни не являются нулевыми, и если имеет членов, а имеет членов, является членом .

Следовательно, когда и — однородные кардинальные числа (т. е. когда они являются кардинальными числами, отличными от ), их сумма есть число арифметической суммы классов любых двух классов, имеющих членов и членов соответственно.

Необходимо несколько слов, чтобы объяснить, почему в определении мы ставим , а не . Причина в следующем. Предположим, что либо , либо , скажем , равно . Тогда, согласно *102·73, , если находится в соответствующем типе. Следовательно, если бы мы поставили , где двусмысленности типа, вовлеченные в и , могут быть определены как угодно, мы имели бы . Мы также имели бы и так далее. Таким образом, не имело бы определенного значения, т. е. оно не просто имело бы типическую двусмысленность, которую оно должно иметь, но оно не имело бы определенного значения даже тогда, когда его тип был назначен. Таким образом, такое определение было бы непригодным. По вышеуказанным причинам мы ставим в определении и получаем типическую двусмысленность, которую мы желаем, посредством типической двусмысленности «» в «». Для правильного символизма всегда существенно, чтобы значения типически двусмысленных символов были уникальными, как только их тип назначен. Область этих определений и соответствующих определений для умножения и возведения в степень (*113·04·05, *116·03·04) расширяется по соглашению преамбулы.

Вышеприведенное определение предназначено для случая, в котором и типически определены. Но мы должны иметь возможность говорить о «», и это должно быть определенным кардинальным числом, а именно . Если мы просто напишем вместо в определении , мы найдем . Но это не всегда будет иметь определенное значение, когда тип назначен. Чтобы взять простой случай, напишем для и для . Тогда , откуда мы легко получаем . Если мы определим двусмысленность как , мы найдем во всех типах; но если мы определим двусмысленность как , мы имеем , и это существует в типе , если не в более низких типах. Следовательно, значение зависит от определения двусмысленности . Очевидно, что мы хотим, чтобы наше определение давало во всех типах; но для того, чтобы гарантировать, что это будет выполняться даже тогда, когда для некоторых значений , , мы должны ввести два новых определения, а именно . Это определение должно применяться, когда «» и «» встречаются без какого-либо определения типа. С другой стороны, если у нас есть и , мы применяем определение . Мы обнаружим, что всякий раз, когда и оба существуют, . Таким образом, вышеприведенное определение требуется только для того, чтобы исключить значения или , для которых либо , либо равно .

Коммутативный и ассоциативный законы арифметического сложения легко выводятся из определения . Мы будем иметь , потому что каждое = . Аналогичное, хотя и несколько более длинное доказательство показывает, что

Вышеприведенное определение позволяет нам перейти к сумме любого конечного числа классов и позволяет одному классу повторяться в суммировании. Но оно не позволяет нам определить сумму бесконечного числа классов. Для этого нам нужно новое определение. Поскольку бесконечное число классов не может быть задано перечислением, а только интенсионально, нам придется взять класс классов и определить арифметическую сумму членов . Таким образом, теперь классы, которые являются слагаемыми, должны быть все одного типа (поскольку они все являются членами ), и ни один класс не может встречаться более одного раза, поскольку каждый член учитывается только один раз. (Чтобы иметь дело с повторением, мы должны перейти к умножению, которое будет объяснено в ближайшее время.) Таким образом, устраняя ограничение на конечное число слагаемых, мы вводим некоторые другие ограничения. Это причина, которая делает целесообразным введение вышеприведенного определения в дополнение к определению, которое сейчас будет дано.

Если — класс классов, сумма кардинальных чисел членов будет очевидно получена путем построения класса взаимно исключающих классов, члены которых имеют взаимно однозначное отношение к членам соответствующих членов . Предположим, , — два различных члена , и предположим, что — член как , так и . Тогда мы хотим посчитать дважды: один раз как член , и один раз как член . Самый простой способ сделать это — сформировать порядковые пары и , которые не идентичны, за исключением случаев, когда и идентичны. Таким образом, если мы возьмем все такие порядковые пары, т. е. если мы возьмем класс для каждого , который является членом , мы получим класс взаимно исключающих классов, а именно классы вида , где , каждый из них схож с соответствующим членом . Следовательно, логическая сумма этого класса классов, т. е. , имеет требуемое число членов. Теперь, согласно *85·601, . Следовательно, класс, логическую сумму которого мы берем, есть . Следовательно, мы полагаем . может быть названа арифметической суммой , в отличие от , которая является логической суммой. Таким образом, относится к как отношение, аналогичное тому, которое относится к .

Мы полагаем далее

Таким образом, есть сумма чисел членов .

Следует заметить, что в общем случае не является функцией . Ибо, если два члена имеют одно и то же кардинальное число, это будет учтено только один раз в , тогда как в оно учитывается дважды.

Мы обнаружим, что при условии , . Таким образом, там, где речь идет о конечном числе слагаемых, два определения сложения согласуются, за исключением того, что первое позволяет одному классу учитываться несколько раз, тогда как второе — нет.

При работе с умножением наша процедура тесно аналогична процедуре для сложения. Мы сначала определяем арифметическое произведение классов двух классов и , которое является некоторым классом, кардинальное число которого есть произведение кардинальных чисел и . Мы пишем для арифметического произведения классов и и определяем его как класс всех порядковых пар, референт которых является членом , а релатум — членом , т. е. как . Согласно *40·7, этот класс есть . Следовательно, мы полагаем . Класс схож с , и каждый его член схож с ; следовательно, если и , состоит из классов, имеющих по членов каждый. Класс также важен в связи с возведением в степень.

Произведение двух кардинальных чисел определяется следующим образом: . Что касается типов, это определение требует аналогичных замечаний тем, которые были сделаны относительно . Также, как и прежде, нам нужны определения и , откуда мы получаем . С помощью этих определений мы можем определить произведение любого конечного числа кардинальных чисел; но для того, чтобы определить произведения, которые имеют бесконечное число множителей, нам нужно новое определение.

Если — класс классов, мы берем в качестве его арифметического произведения. В простых случаях легко увидеть оправдание этого решения. Например, пусть состоит из трех классов , , , и пусть члены , ; те из , , ; те из , , . Тогда члены есть с четырьмя дополнительными, полученными путем подстановки вместо в вышеприведенном. Таким образом, . В общем, однако, существование сомнительно из-за сомнения в справедливости мультипликативной аксиомы. (Мы вернемся к этому пункту в ближайшее время.) Следовательно, нет доказательства того, что произведение бесконечного числа множителей не может быть нулем, если только один из множителей не равен нулю.

Когда — класс взаимно исключающих классов, схож с . Из-за своего более низкого типа часто более удобен, чем . Следовательно, мы полагаем или (что сводится к тому же самому) . Для произведения кардинальных чисел членов мы полагаем . Как и в случае , в общем случае не является функцией . Мы будем иметь . Таким образом, для произведений конечного числа различных множителей два определения умножения согласуются.

Остается определить возведение в степень. Поскольку это не коммутативная операция, она существенно включает порядок между основанием и показателем; следовательно, мы не получаем определения возведения в степень класса , аналогичного или , а только определение , которое может быть расширено до любого конечного числа возведений в степень. Мы полагаем , где имеет значение, объясненное выше, вытекающее из *38·03. Будет замечено, что если и , есть класс взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов; следовательно, может быть подходящим образом использовано для определения . Следовательно, мы полагаем , и по тем же причинам, что и прежде, мы полагаем

Вышеприведенное определение возведения в степень дает то же значение , что и результат определения Кантора посредством «Belegungen». Класс канторовских «Belegungen» есть , и легко доказать, что он схож с .

Обычные формальные свойства возведения в степень вытекают без особых трудностей из вышеприведенных определений.

Вышеприведенное определение возведения в степень сформулировано так, чтобы сделать предложения о возведении в степень независимыми от мультипликативной аксиомы, за исключением случаев, когда возведение в степень должно быть связано с умножением, т. е. когда должно быть показано, что произведение множителей, каждый из которых есть , равно . Это предложение не может быть доказано в общем виде без мультипликативной аксиомы. Аналогично, в теории умножения предложение о том, что сумма 'ов равна , требует мультипликативной аксиомы (как и предложение о том, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю). В остальном теория умножения продолжается без необходимости использования мультипликативной аксиомы.

Чтобы взять сначала связь сложения и умножения: эта связь, в той форме, в которой мы естественно предполагаем, что она должна выполняться, утверждается в предложении: . Мы возьмем первое из них как более простое. Оно утверждает, что сумма 'ов есть . Это может быть доказано, когда конечно, независимо от того, конечно или нет; но когда бесконечно, это не может быть доказано без мультипликативной аксиомы. Это можно увидеть следующим образом. Мы знаем, что . Таким образом, (A) выше будет результатом, если мы сможем доказать , поскольку мы положим для , и используем (B).

Поскольку , , мы имеем . Предположим . Пусть , , ... будут членами , и пусть , , ... будут членами , которые коррелированы с , , ... посредством , т. е. . Мы имеем, поскольку , , . Таким образом , т. е. . Если и конечны, мы можем произвольно выбрать корреляцию для и , другую для и , и так далее; тогда ... коррелирует и , и, следовательно, . Но когда и бесконечны, этот метод непрактичен. В этом случае мы действуем следующим образом.

Согласно *73·01, .

Таким образом, «» будет означать все перестановки класса в самого себя; «» означает все перестановки в , т. е. все 'ы, чья область есть , а область обращения есть . Очевидно, что . В случае и выше мы знаем, что , когда ; таким образом , где «» означает «соответствие». Таким образом, есть класс всех соответствий и ; есть класс всех таких классов соответствий. Если мы извлечем один член из каждого из этих классов соответствий, мы получим класс отношений, сумма которых есть коррелятор и ; т. е. . Таким образом, желаемый результат следует всякий раз, когда . Теперь мы имеем .

Следовательно , откуда, согласно тому, что было сказано ранее,

Рассмотрение ведет аналогично к предложению . Доказательство тесно аналогично доказательству для связи сложения и умножения.

Будет видно, что в вышеприведенном использовании мультипликативной аксиомы у нас есть два класса классов и , относительно которых мы предполагаем , т. е. мы предполагаем, что и — схожие классы схожих классов. Слегка измененная гипотеза относительно и позволит нам получить многие результаты без мультипликативной аксиомы, которые в противном случае, как можно было бы ожидать, потребовали бы этой аксиомы. Это осуществляется следующим образом.

Положим , где «» — это одиночный символ, представляющий отношение.

Когда это отношение выполняется между и , мы будем говорить, что и имеют «двойную схожесть». В этом случае коррелирует и , в то время как коррелирует и , так что если — член , , т. е. , является его коррелятом в . Мы будем тогда иметь

Также мы имеем . Наоборот, , откуда . Следовательно, мультипликативная аксиома требуется только для того, чтобы перейти от к . Именно этот факт и вытекающая из него возможность уменьшения использования мультипликативной аксиомы привели нас к использованию «» в настоящем разделе.

Мы рассматриваем также в этом разделе отношение «больше» и «меньше» между кардинальными числами. Мы говорим, что , когда есть часть , которая схожа с , но никакая часть не схожа с . Основным предложением в этом предмете является теорема Шрёдера-Бернштейна, т. е. . Это непосредственное следствие *73·88. Нельзя показать без предположения мультипликативной аксиомы, что из любых двух кардинальных чисел одно должно быть больше другого, т. е. . Если мы предположим мультипликативную аксиому, это вытекает из доказательства Цермело о том, что при этом предположении каждый класс может быть вполне упорядочен, вместе с доказательством Кантора о том, что из любых двух вполне упорядоченных рядов, которые не схожи, один должен быть схож с частью другого. Но эти предложения не могут быть доказаны до гораздо более поздней стадии (*258).

*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ И ДВУХ КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Резюме *110.

В этом параграфе мы начинаем с определения:

*110·01.

называется «арифметической суммой классов» и . Определение сформулировано так, чтобы дать два взаимно исключающих класса, соответственно схожих с и , так что число членов в логической сумме этих двух классов есть арифметическая сумма чисел членов в и соответственно. значимо всякий раз, когда и — классы, какими бы ни были их типы.

С помощью мы определяем арифметическую сумму двух кардинальных чисел следующим образом:

*110·02.

Это определяет «арифметическую сумму двух кардинальных чисел». (Для значимости не обязательно, чтобы и были кардинальными числами, а только чтобы они были классами классов. Если, однако, какое-либо из них не является кардинальным числом, .) Будет замечено, что когда и типически определены, таковы же и в вышеприведенном определении; но типически двусмысленно из-за двусмысленности «». Следовательно, также типически двусмысленно.

Будет показано, что всегда является кардинальным числом, и что если . Следовательно, всякий раз, когда и — кардинальные числа, отличные от , является существующим кардинальным числом в некоторых типах, хотя оно может быть в других.

В этом параграфе требуются еще два определения, а именно:

*110·03.

*110·04.

Эти определения необходимы для того, чтобы применить определение к случаю, в котором и заменены типически двусмысленными символами и . Это не делает никакой разницы для значения , как определены двусмысленности и , до тех пор, пока они определены способом, который гарантирует ; но если есть типы, в которых либо , либо равно , мы получаем во всех типах, если мы определяем двусмысленности так, что или . Именно для того, чтобы исключить такие определения двусмысленности, требуются вышеприведенные определения. Также в связи с этими определениями и соответствующими определениями *113·04·05 и *116·03·04 и *117·02·03, следует отметить соглашение преамбулы.

Предложения настоящего параграфа начинаются со свойств . Мы показываем (*110·11·12), что состоит из двух взаимно исключающих частей, которые соответственно схожи с и ; мы показываем (*110·14), что если и взаимно исключают друг друга, схож с , и (*110·15), что если и соответственно схожи с и , то схож с . Мы показываем (*110·16), что состоит из всех классов, которые могут быть разделены на две взаимно исключающие части, которые соответственно схожи с и .

Затем мы переходим (*110·2—·252) к рассмотрению . Здесь и типически определены, и определение *110·02 применяется к любым типически определенным символам, таким как или . Мы доказываем (*110·21), что если и — кардинальные числа, их сумма состоит из всех классов, схожих с некоторым классом вида , где ; мы доказываем (*110·22), что сумма и есть , и (*110·25), что если и — кардинальные числа, их сумма равна сумме «тех же» кардинальных чисел в любых других типах, в которых они не равны нулю, т. е.

*110·25.

Затем мы (*110·3—·351) рассматриваем , к которому мы применяем определения *110·03·04. Мы имеем

*110·3. откуда другие свойства следуют из предыдущих предложений.

Затем мы имеем (*110·4—·44) различные предложения о типе и его существовании и родственных вопросах. Основными из них являются

*110·4.

*110·42.

Это предложение не требует гипотезы, потому что, если и не оба являются кардинальными числами, , и есть кардинальное число, согласно *102·74.

Наш следующий набор предложений (*110·5—·57) касается перестановочного и ассоциативного законов, которые являются *110·51 и *110·56 соответственно.

Затем мы (*110·6—·643) рассматриваем сложение 0 или 1, доказывая (*110·61), что кардинальное число не меняется при сложении 0, и (*110·643), что .

*110·01.

*110·02.

*110·03.

*110·04.

Эти определения расширяются преамбулой.

*110·1.

*110·101.

Док.

*110·11.

Док.

*110·12.

*110·11·12 дают оправдание для использования в определении арифметического сложения, поскольку они показывают, что состоит из двух взаимно исключающих частей, которые соответственно схожи с и .

*110·13.

Док.

*110·14.

Таким образом, всякий раз, когда и взаимно исключают друг друга, их логическая сумма может заменить их арифметическую сумму при определении суммы их кардинальных чисел.

*110·15.

Док.

*110·151.

Док.

*110·152.

Док.

*110·16.

*110·17.

Док.

Таким образом, когда и одного типа, существует по крайней мере в типе, следующем за типом и . Мы не можем доказать, что оно существует в типе и . Например, предположим, что самый низкий тип содержал только один член; тогда, если был этим одним членом, не существовало бы в типе, к которому принадлежит , но существовало бы в следующем типе, т. е. не было бы двух индивидов, но были бы два класса, а именно и , так что .

*110·18.

Док.

*110·2.

*110·201.

*110·202.

Док.

*110·21.

*110·211.

Док.

*110·212.

Док.

*110·22.

Док.

*110·221.

Док.

*110·23.

Таким образом, это не зависит от и , пока и существуют в типах и соответственно.

*110·231.

*110·24.

Док.

*110·25.

Док.

*110·251.

Док.

*110·252.

Аналогичное доказательство применимо к , и т. д., а также к любым таким производным кардинальным числам, существование которых следует из существования и . Предложение не выполняется в общем случае для , и других убывающих производных кардинальных чисел, поскольку они могут быть пустыми, когда и существуют.

Следующее предложение (*110·3) используется чаще, чем любое другое в этом параграфе, за исключением *110·4.

*110·3.

*110·31.

Следующее предложение часто используется.

*110·32.

*110·33.

Вышеприведенное предложение используется в *110·63. Мы могли бы использовать его для определения арифметического сложения, но этот метод был бы менее удобным, чем метод, принятый в данном параграфе, как из-за больших трудностей при работе с типами, так и из-за того, что существование (в типах, в которых оно существует) менее очевидно при вышеуказанном определении, чем при определениях, данных в *110·01, ·02, ·03, ·04.

*110·331.

Док.

*110·34.

*110·35.

*110·351.

Аналогичные предложения будут справедливы в общем случае для возрастающих кардинальных чисел.

Следующее предложение (*110·4) является наиболее часто используемым из предложений в этом параграфе. Оно полезно как в приведенной форме, так и в форме, получаемой путем транспозиции, в которой оно показывает, что , если только и не являются существующими кардинальными числами. Оно главным образом полезно для избежания необходимости гипотезы в таких предложениях, как коммутативный и ассоциативный законы.

*110·4.

Следующие предложения, вплоть до *110·411 включительно, касаются типов. В дальнейшем на них ссылок нет.

*110·401.

Док.

*110·402.

Док.

*110·403.

*110·404.

*110·41.

Док.

*110·411.

Следует заметить, что следующее предложение (*110·42) не требует никакой гипотезы. Это обусловлено *110·4 и *102·74.

*110·42.

Док.

*110·43.

*110·44.

Док.

Вышеприведенное предложение зависит от того факта, что типически двусмысленно, даже когда и типически определены. Оно используется в теории индуктивных кардинальных чисел (*120·32, ·41, ·424).

Следующие предложения касаются коммутативного и ассоциативного законов для арифметического сложения кардинальных чисел.

*110·5.

Док.

*110·501.

*110·51.

Для истинности вышеприведенного предложения не требуется, чтобы и были кардинальными числами. Если хотя бы одно из них не является кардинальным числом, то и оба равны .

Следующие предложения ведут к ассоциативному закону (*110·56).

*110·52.

Док.

*110·521.

*110·53.

*110·531.

*110·54.

Док.

*110·541.

Док.

*110·55.

*110·551.

*110·56.

Док.

Это ассоциативный закон для арифметического сложения. Можно видеть, что, подобно коммутативному закону, он не требует, чтобы , , были кардинальными числами.

*110·561.

*110·57.

Следующие предложения, касающиеся сложения 0 или 1, часто используются при работе с индуктивными кардинальными числами (*120).

*110·6.

Док.

Когда является типически определенным кардинальным числом, есть то же самое кардинальное число, представленное как типически двусмысленное; когда является типически двусмысленным кардинальным числом, , есть . Вместо вышеприведенного предложения мы могли бы написать ; это было бы истинно всякий раз, когда двусмысленность была определена так, чтобы сделать его значимым. Но вышеприведенная форма дает больше информации.

*110·61.

Док.

В этом предложении типически двусмысленно; следовательно, мы избегаем необходимости ставить справа, как нам пришлось бы сделать, если бы было типически определенным. Мы можем вывести *110·61 из *110·6 следующим образом:

В этом доказательстве мы должны пройти через , чтобы избежать возможности типического определения , которое сделало бы . По той же причине мы не можем поставить " "; ибо если первое определено типом, в котором , а второе нет, это равенство становится ложным.

*110·62.

Док.

*110·63.

Док.

Вышеприведенное предложение широко используется в теории конечного и бесконечного, как кардинального, так и ординального. Оно связывает математическую индукцию для индуктивных кардинальных чисел с математической индукцией для индуктивных классов (ср. *120).

*110·631.

Док.

Предложение , которое на первый взгляд может показаться доказуемым, будет истинным повсеместно только в том случае, если общее число объектов в любом одном типе не является конечным. Ибо предположим, что есть тип, и . Тогда, если есть конечный класс, . Следовательно, . Следовательно, во всех типах. Но будет существовать во всех типах выше типа . Если, с другой стороны, число сущностей в бесконечно, мы будем иметь . Следовательно, в этом случае вышеприведенное предложение будет истинным повсеместно.

*110·632.

Док.

*110·64.

*110·641.

*110·642.

*110·643.

Док.

Вышеприведенное предложение иногда полезно. Оно используется по крайней мере трижды, в *113·66 и *120·123, ·472.

*110·7, ·71 требуются для доказательства *110·72, а *110·72 используется в *117·3, которое является фундаментальным предложением в теории большего и меньшего.

*110·7.

Док.

*110·71.

Док.

Вышеприведенное доказательство зависит от того факта, что " " и " " типически двусмысленны, и поэтому, когда утверждается, что они равны, это должно выполняться в любом типе, и, следовательно, в частности, в том типе, для которого мы имеем , т.е. для . Вот почему использование *100·3 является правомерным.

*110·72.

Док.

*111. ДВОЙНАЯ СХОЖЕСТЬ.

Резюме *111.

Арифметические свойства класса, поскольку они не требуют или не предполагают, что он является классом классов, одинаковы для любого схожего класса. Но класс классов обладает многими арифметическими свойствами, которые он не разделяет со всеми схожими классами классов. Например, если есть класс классов, число членов есть арифметическое свойство , но очевидно, что оно не определяется числом членов , а требует также знания чисел членов членов . Например, пусть состоит из двух членов и , и пусть состоит из и . Тогда ; но чтобы иметь возможность вывести , нам требуется , и или или какие-либо другие подобные дополнительные данные. Отношение "двойной схожести", определяемое в настоящем параграфе, является отношением между классами классов, которое, когда оно выполняется между и , гарантирует, что все арифметические свойства и одинаковы, например, мы имеем (в частности) и . Это отношение мы обозначаем через ",", которое следует читать как один символ. Оно определяется следующим образом: мы определяем сначала класс "двойных корреляторов" и , который мы обозначаем через "," и определение которого есть

*111·01.

так что

Затем мы определяем "," как означающее, что не пусто, т.е. что существует по крайней мере один двойной коррелятор и .

Чтобы проиллюстрировать природу двойного коррелятора, предположим, что состоит из двух классов и , и что состоит из , , , в то время как состоит из , , . Аналогично пусть состоит из и , в то время как состоит из , и состоит из , , . Теперь пусть коррелирует каждый с имеющим те же два суффикса. Тогда есть взаимно-однозначное соответствие, и его обратная область есть . Более того (который есть ) = , и , так что . Таким образом, есть двойной коррелятор согласно определению.

Существенной характеристикой двойного коррелятора является то, что (1) есть коррелятор и , (2) есть коррелятор и . Если мы напишем вместо , то если , мы имеем ; более того, есть коррелятор и . Таким образом, и являются схожими классами схожих классов. Однако они не только это, ибо мы не только знаем, что схож с , но мы знаем конкретный коррелятор и , а именно . Это существенно для использования двойной схожести, как станет ясно вскоре.

Рассмотрим отношение между и , которое состоит в том, что они являются схожими классами схожих классов. Это означает, что существует коррелятор и такой, что, если , схож с . То есть мы должны рассмотреть гипотезу или, как это может быть более кратко выражено, . Предположим . Если мы попытаемся доказать (скажем), что схож с , мы обнаружим, что вынуждены предположить мультипликативную аксиому, если только и не являются конечными. Эта необходимость возникает следующим образом. Положим , где " " означает "соответствие". Тогда мы знаем, что всякий раз, когда , не пусто. Далее, легко доказать, что если и являются классами взаимно исключающих классов, и если мы можем выбрать один репрезентативный член для каждого значения , которое является членом , то реляционная сумма всех этих репрезентативных корреляций дает нам коррелятор и . То есть мы имеем

Но чтобы вывести отсюда , нам нужно , т.е. нам нужно иметь возможность выбрать конкретный коррелятор для каждой пары схожих классов и . Это, однако, не может быть сделано в общем случае без предположения мультипликативной аксиомы. Отсюда следует, что мы не должны определять два класса как имеющие двойную схожесть, когда , но должны дать определение, которое позволяет нам указать конкретный коррелятор для каждой пары схожих классов. Это достигается вышеприведенным определением двойных корреляторов, где наш дан как имеющий форму , где . Если мультипликативная аксиома принята, но в общем случае нет, мы имеем (*111·5)

В настоящем параграфе мы начнем с различных свойств двойных корреляторов. Мы доказываем (*111·11), что есть двойной коррелятор и тогда и только тогда, когда есть коррелятор и , и есть коррелятор и . Мы доказываем (*111·112), что в той же гипотезе . Мы доказываем (*111·13), что есть двойной коррелятор с самим собой; что (*111·131) если есть двойной коррелятор и , то есть двойной коррелятор и ; что (*111·132) если , являются двойными корреляторами с и с соответственно, то есть двойной коррелятор с . Отсюда следует (*111·45, ·451, ·452), что двойная схожесть является рефлексивной, симметричной и транзитивной.

Затем мы переходим (*111·2 — ·34) к рассмотрению , где предполагается, что есть коррелятор и , и что схож с , если . Мы доказываем

*111·32.

Таким образом, в предполагаемом случае есть двойной коррелятор и . Таким образом

*111·322.

Затем мы переходим (*111·4 — ·47) к различным предложениям о "," и, наконец, (*111·5, ·51, ·53) формулируем три предложения, которые предполагают мультипликативную аксиому, а именно

*111·5. Если , , то .

*111·51. В том же случае , т.е. если и являются схожими классами взаимно исключающих схожих классов, их суммы схожи.

*111·53. В том же случае, если , , . Следовательно, мультипликативная аксиома подразумевает, что два класса взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов, имеют одинаковое число членов в своей сумме.

*111·01.

*111·02.

*111·03.

*111·1.

*111·11.

Док.

*111·111.

Док.

*111·112.

Два следующих предложения являются полезными леммами для случая, когда заменяется (как это часто бывает) на .

*111·12.

Док.

*111·121.

Док.

*111·13.

Док.

*111·131.

Док.

*111·132.

Док.

*111·14.

Док.

*111·15.

Док.

*111·16.

Док.

*111·18.

Док.

Класс важен, являясь классом канторовских "Belegungen", используемых им для определения возведения в степень; мы имеем, фактически, . Таким образом, вышеприведенное предложение показывает, что меньше или равно ; и поскольку, всякий раз, когда оно не равно нулю, , оно меньше или равно .

Следующие предложения ведут к *111·32, ·33, ·34:

*111·2.

*111·201.

*111·202.

*111·21.

*111·211.

*111·22.

Док.

*111·221.

Док.

*111·23.

Док.

*111·24.

Док.

*111·25.

*111·3.

Док.

*111·31.

Док.

*111·311.

*111·313.

Док.

*111·32.

Док.

*111·321.

*111·322.

*111·33.

Док.

*111·34.

Док.

Следующие предложения касаются элементарных свойств ",". Будет видно, что они тесно аналогичны свойствам ",".

*111·4.

*111·401.

Док.

*111·402.

*111·43.

*111·44.

*111·45.

*111·451.

*111·452.

*111·46.

*111·47.

Док.

*111·5.

*111·51.

*111·52.

Док.

*111·53.

*112. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА КЛАССА КЛАССОВ.

Резюме *112.

В этом параграфе мы возвращаемся к арифметическим операциям. Определение сложения в *110 было применимо только к конечному числу слагаемых, поскольку слагаемые должны были быть перечислены. В настоящем параграфе мы определяем арифметическую сумму класса классов, так что слагаемые даны как члены класса и не требуют перечисления. Следовательно, определение в этом параграфе применимо как к бесконечному числу слагаемых, так и к конечному.

Если есть класс взаимно исключающих классов, число будет суммой чисел членов ; т.е. если мы напишем " " для суммы чисел членов , . Но когда члены не являются взаимно исключающими, член , который является членом двух членов (скажем и ) , должен быть посчитан дважды при получении арифметической суммы , тогда как в логической сумме он считается только один раз. Таким образом, нам нужна конструкция, которая дублировала бы , принимая его сначала как член , а затем как член . Это достигается, если мы заменим сначала на , а затем на . Фактически, имеет тот вид арифметических свойств, которые мы намереваемся обеспечить, когда говорим о " рассматриваемом как член " — фраза, которая, как она есть, не служит нашей цели, ибо есть просто , как бы мы ни решили его рассматривать. Таким образом, мы заменяем на и на и так далее; т.е. (используя *85·5), мы заменяем на и на и так далее. Эти новые классы схожи с и и так далее, и являются взаимно исключающими. Следовательно, их логическая сумма имеет число членов, которое требуется для арифметической суммы членов . Таким образом, мы полагаем

Что касается второго из этих определений, следует заметить, что не является функцией , если только никакие два члена не являются схожими; ибо не может содержать одно и то же число дважды. По той же причине, если есть класс кардинальных чисел, и мы определяем ",", мы не получаем того, что требуется для арифметического сложения, поскольку наше определение не позволит нам иметь дело с суммами, в которых есть повторяющиеся числа. Мы могли бы, если бы это стоило того, определить "," следующим образом: возьмем класс классов , состоящий из одного класса, имеющего каждое число, которое является членом , т.е. пусть будет выборкой из ; тогда будет иметь требуемое число членов. т.е. мы могли бы положить . Но поскольку это определение доступно только для сумм, в которых ни одно число не повторяется, не стоит его вводить.

В этом параграфе мы доказываем, среди прочих, следующие предложения.

*112·15.

Это расширение *110·32.

*112·17.

Главный момент в вышеприведенном предложении заключается в том, что оно не требует , .

*112·2 — ·24 касаются использования мультипликативной аксиомы и предложений *111, в которых она появляется как гипотеза. Мы имеем

*112·22.

откуда мы выводим предложение

*112·24.

Т.е. предполагая мультипликативную аксиому, два класса, каждый из которых состоит из классов по членов каждый, имеют одинаковое число членов в своей сумме. Это число естественно было бы определено как умноженное на , но из-за необходимости мультипликативной аксиомы в этом предложении мы выбрали другое определение умножения (*113), которое не зависит от мультипликативной аксиомы. Читатель должен заметить, что схожесть двух классов, каждый из которых состоит из взаимно исключающих множеств по членов, не может быть доказана в общем случае без мультипликативной аксиомы.

Оставшиеся предложения этого параграфа дают свойства в частных случаях. Мы доказываем, что (*112·3), что (*112·321), что (*112·34), которое связывает определение сложения в этом параграфе с определением в *110. Наконец, мы доказываем общий ассоциативный закон для сложения в следующих двух формах:

*112·41.

*112·43.

*112·01.

*112·02.

*112·1.

*112·101.

*112·102.

Док.

*112·103.

*112·11.

*112·12.

*112·13.

*112·14.

Док.

*112·15.

*112·151.

Док.

Следующее предложение является леммой для *112·153, которая требуется для *112·16. *112·16, в свою очередь, используется в *112·17, которое является фундаментальным предложением в теории сложения.

*112·152.

Док.

В следующем предложении мы имеем двойной коррелятор такого рода, который часто встречается в кардинальной арифметике, а именно с ограниченной обратной областью, где есть заданный двойной коррелятор (или одиночный коррелятор, в других случаях). Как следует из предложений, используемых в вышеприведенном доказательстве *112·152, если есть коррелятор, чья обратная область включает и имеет в качестве члена, . Таким образом, есть операция, которая при воздействии на подходящие отношения индивидов к классам (включая селекторы) превращает индивидов в их корреляты, а классы — в классы коррелятов их членов. Вот почему это полезное отношение.

*112·153.

Док.

*112·16.

*112·17.

Док.

*112·18.

Док.

*112·2.

Док.

*112·21.

*112·22.

*112·23.

Док.

*112·231.

Док.

*112·24.

Док.

*112·3.

*112·301.

Док.

*112·302.

Док.

Таким образом, если есть член класса классов, это не влияет на значение их арифметической суммы.

*112·303.

Док.

*112·304.

Док.

*112·31.

Док.

*112·311.

Док.

*112·32.

Док.

*112·321.

*112·33.

*112·331.

*112·34.

Док.

Это предложение устанавливает согласованность двух определений сложения, а именно в *110 и в *112. Будет видно, что определение *112 неприменимо к сложению класса с самим собой, если это должно дать удвоение класса, вместо того чтобы (как логическое сложение) просто воспроизвести класс. Отсюда необходимость условия в вышеприведенном предложении.

*112·341.

Док.

*112·35.

Док.

Аналогичные предложения могут быть очевидно доказаны для любого конечного числа слагаемых.

*112·4.

Док.

*112·41.

Док.

*112·42.

Док.

*112·43.

Док.

Вышеприведенное является ассоциативным законом для арифметического сложения.

*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Резюме *113.

В этом параграфе мы даем определение умножения, которое может быть расширено на любое конечное число множителей, но не на бесконечное число множителей. Мы определяем сначала арифметическое произведение классов двух классов и , а затем произведение двух кардинальных чисел и как число членов в произведении и , когда имеет членов, а имеет членов. В *114 мы дадим определение умножения, которое не ограничено конечным числом множителей. Преимущества определения, которое будет дано в этом параграфе, заключаются в том, что оно не требует, чтобы множители были одного типа, и что оно позволяет нам умножать класс на самого себя, не (как в логическом сложении и умножении) просто воспроизводя рассматриваемый класс. Недостатком определения в этом параграфе является невозможность расширения его на бесконечное число множителей.

Арифметическое произведение классов двух классов и , которое мы обозначаем через [5], есть класс всех ординальных пар, которые берут свой референт из , а свой релятум из , т.е. это класс всех таких отношений, как , где и . Для заданного , класс пар, который мы получаем, есть , который схож с ; и число таких классов для варьирующегося есть . Таким образом, мы имеем классов пар, и есть логическая сумма этих классов пар. Класс таких классов, как , где , снова важен в связи с возведением в степень; мы имеем , откуда класс таких классов, когда варьируется среди 'ов, есть , и , что мы принимаем как определение .

Мы представляем арифметическое произведение и через . Это, так же как и , определяется через точно так же, как в *110 сумма была определена через .

Настоящий параграф содержит много предложений, которые принадлежат теории скорее , чем (специально) ; и многие предложения являются скорее логическими, чем арифметическими по своей природе, т.е. они могли бы быть даны в *55. Однако границу провести так трудно, что казалось лучше рассматривать одновременно все предложения о или о его сумме, которая есть . Таким образом, в настоящем параграфе ранние предложения, вплоть до *113·118, имеют дело главным образом с логическими свойствами и ; следующие предложения, вплоть до *113·13, имеют дело главным образом с арифметическими свойствами ; предложения *113·14 — ·191 касаются главным образом арифметических свойств ; *113·2 — ·27 имеют дело с более простыми свойствами ; *113·3 — ·34 дают предложения, включающие мультипликативную аксиому и демонстрирующие связь (при условии этой аксиомы) сложения и умножения; *113·4 — ·491 касаются различных форм дистрибутивного закона; *113·5 — *113·541 имеют дело с ассоциативным законом умножения, а оставшиеся предложения имеют дело с умножением на 0, 1 или 2.

Наиболее важными предложениями в настоящем параграфе являются следующие:

*113·101.

Это просто воплощает определение .

*113·105.

Это предложение особенно полезно при работе с возведением в степень (*116).

*113·114.

Именно в силу этого предложения произведение конечного числа множителей обращается в нуль только тогда, когда один из его множителей обращается в нуль.

*113·118.

Это предложение главным образом полезно в аналогичной теории ординальных произведений (*165, *166), где оно позволяет нам применить *74·773. Если только , мы имеем , и если только (*113·116).

*113·12.

Т.е. если только не пусто, состоит из взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов.

*113·127.

Это важное предложение, поскольку оно дает двойной коррелятор с всякий раз, когда даны простые корреляторы с и с . Оно немедленно ведет к

*113·13.

Это предложение является фундаментальным в теории умножения, поскольку оно показывает, что число членов зависит только от чисел членов и . Оно также является фундаментальным в теории возведения в степень, как станет ясно в *116.

*113·141.

Это источник коммутативного закона умножения (*113·27).

*113·146.

Это связывает нашу настоящую теорию умножения с теорией выборок.

Далее мы переходим к предложениям, касающимся . Мы имеем

*113·204.

Использование этого предложения, подобно использованию *110·4, предназначено для избежания тривиальных исключений.

*113·23.

*113·25.

Это предложение позволяет нам выводить предложения о произведениях кардинальных чисел из предложений о произведениях классов и поэтому постоянно используется.

*113·27.

Это коммутативный закон кардинального умножения.

Главным предложением, использующим мультипликативную аксиому, является

*113·31.

Т.е. предполагая мультипликативную аксиому, сумма чисел членов в классах по членов есть . Если бы мы приняли эту сумму как определение , почти все предложения об умножении потребовали бы мультипликативной аксиомы. Преимущество состоит в том, что, имея и , мы можем построить двойной коррелятор с , не используя мультипликативную аксиому. Это доказано в *113·127 (упомянутом выше).

Дистрибутивный закон, который рассматривается далее, имеет различные формы. Мы имеем, для начала,

*113·4.

откуда, используя также коммутативный закон, мы легко выводим

*113·43.

Но дистрибутивный закон также выполняется, когда вместо перечисленных слагаемых , или , , слагаемые даны как члены класса , который может быть бесконечным. Мы имеем

*113·48.

откуда, используя определения *112, мы находим

*113·491.

Это расширение дистрибутивного закона на случай, когда число слагаемых может быть бесконечным.

Ассоциативный закон

*113·54.

доказывается без каких-либо трудностей.

Мы доказываем далее, что тогда и только тогда, когда или , , будучи существующими кардинальными числами (*113·602); что кардинальное число не изменяется, когда оно умножается на 1 (*113·62, ·621); что (*113·66) и что (*113·671).

*113·02.

*113·03.

*113·04.

*113·05.

В отношении типов *113·03, ·04, ·05 требуют аналогичных замечаний тем, что были сделаны в *110 для сложения.

*113·1.

*113·101.

*113·102.

Док.

*113·103.

*113·104.

*113·105.

Док.

*113·106.

*113·107.

*113·11.

Док.

*113·111.

*113·112.

Док.

*113·113.

*113·114.

*113·115.

Док.

*113·116.

*113·117.

*113·118.

*113·12.

*113·121.

*113·122.

*113·123.

*113·124.

Док.

*113·125.

*113·126.

Док.

*113·127.

*113·128.

*113·13.

*113·14.

*113·141.

*113·142.

Док.

*113·143.

Док.

*113·144.

Док.

Примечание к *113·144. В силу *113·143 и *55·61 мы имеем

На более позднем этапе (в *150) мы положим

Таким образом, мы будем иметь, предвосхищая это обозначение,

Следовательно, мы имеем

*113·145.

*113·146.

*113·147.

Док.

Преимущество этого предложения в том, что оно представляет коррелятор и как функцию .

*113·148.

Док.

*113·15.

Док.

*113·151.

*113·152.

Док.

Следующее предложение имеет смысл только тогда, когда и — классы отношений. Оно используется в арифметике отношений (*172·34).

*113·153.

Док.

*113·16.

Док.

*113·17.

Док.

*113·171.

Док.

Заметим, что гипотеза имеет смысл только тогда, когда и принадлежат к одному и тому же типу.

*113·172.

Док.

*113·18.

Док.

*113·181.

Док.

*113·182.

*113·183.

Док.

*113·19.

Док.

*113·191.

Док.

*113·2.

*113·201.

*113·202.

Док.

*113·203.

*113·204.

*113·205.

*113·21.

*113·22.

Док.

*113·221.

*113·222.

Док.

*113·23.

Док.

*113·24.

*113·25.

Это предложение составляет часть обоснования наших определений. Очевидно, что такие определения следует, по возможности, выбирать так, чтобы они приводили к этому предложению.

*113·251.

*113·26.

Док.

*113·261.

Здесь «» включает все возрастающие производные от . Мы докажем результат только для и , поскольку для других случаев он доказывается точно так же. или или и т. д. подойдут одинаково хорошо; т. е. нет необходимости брать ту же производную от , что и от .

Док.

Как видно из приведенного выше доказательства, если и — любые производные от и , то вышеуказанное предложение верно при условии, что мы имеем

Таким образом, оно верно для всех возрастающих производных, но не всегда для убывающих производных.

*113·27.

Док.

Заметим, что это предложение не ограничивается случаем, когда и являются кардинальными числами. Когда одно из них или оба не являются кардинальными числами,

*113·3.

Док.

*113·31.

*113·32.

*113·33.

*113·34.

Приведенные выше предложения показывают связь сложения и умножения.

Следующие предложения касаются различных форм дистрибутивного закона.

*113·4.

Док.

*113·401.

*113·41.

Док.

*113·42.

*113·421.

*113·43.

Док.

Следующие предложения касаются различных форм дистрибутивного закона, когда слагаемые не перечисляются, а задаются как члены класса.

Первое из них (*113·44) дает дистрибутивный закон относительно арифметического умножения классов и логического сложения классов.

*113·44.

Док.

*113·45.

Док.

*113·46.

Док.

*113·47.

Это дистрибутивный закон для арифметического умножения и арифметического сложения того вида, который определен в *112.

*113·48.

Док.

*113·49.

Док.

*113·491.

Следующие предложения касаются ассоциативного закона для арифметического умножения.

*113·5.

Док.

*113·51.

Док.

*113·511.

*113·52.

*113·53.

Док.

*113·531.

*113·54.

Док.

*113·541.

*113·6.

Док.

*113·601.

Док.

*113·602.

Док.

Следующие предложения касаются умножения на единичный класс или на 1 или 2.

*113·61.

Док.

*113·611.

*113·612.

*113·62.

Док.

*113·621.

Док.

Заметим, что если есть типически определенное кардинальное число, то есть «то же самое» кардинальное число, представленное как типически двусмысленное; в то время как если типически двусмысленно, то в каждом типе.

*113·63.

Док.

*113·64.

Док.

*113·65.

Док.

*113·66.

Док.

*113·67.

Док.

*113·671.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[5] Мы определяем это как , а не как , ради определенных аналогий с произведениями в арифметике отношений. Ср. *166.

*114. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КЛАССА КЛАССОВ.

Сводка *114.

Вид умножения, определенный в *113, не может быть распространен на бесконечное число множителей. Поэтому, как и в случае со сложением, мы вводим другое определение, определяя произведение чисел класса классов, которое может быть применено к бесконечному числу множителей. Мы определяем произведение чисел членов как ; таким образом, мы полагаем

Следует заметить, что не является функцией от , потому что, если два члена имеют одно и то же число, это будет учтено только один раз в , но будет учтено дважды в .

Очень легко увидеть, что в случае, если конечно, будет тем, что мы обычно считали бы произведением чисел членов . Ибо предположим (например), где . Тогда

Таким образом, если является членом , то детерминировано, когда заданы , , , где , , — референты к , , . Независимо от того, перекрываются , , или нет, выбор любого одного из , , полностью не зависит от выбора двух других, и поэтому общее число возможных выборов, очевидно, является произведением чисел , , . Таким образом, наше определение не будет противоречить тому, что обычно понимается под произведением.

Предложения этого номера менее многочисленны и менее важны, чем предложения *113. Мы сначала рассмотрим произведения с одним множителем и произведения, в которых один множитель равен нулю (*114·2 — ·27). Затем мы рассмотрим (*114·3 — ·36) отношения между определенным здесь видом умножения и видом, определенным в *113. Затем у нас есть несколько предложений (*114·4 — *114·43), показывающих, что единичные множители не влияют на значение произведения. Затем мы доказываем (*114·5 — ·52), что значение произведения одинаково для двух классов, имеющих двойную схожесть, а затем (*114·53 — ·571) мы приводим расширения этого результата, которые зависят от мультипликативной аксиомы. Наконец, мы приводим некоторые новые формы ассоциативного закона умножения.

Среди наиболее важных предложений в этом номере следующие:

*114·21.

Т. е. произведение одного множителя равно этому множителю.

*114·23.

Т. е. произведение обращается в нуль, если один из его множителей равен нулю. Обратное требует мультипликативной аксиомы, как видно из предложения

*114·26.

Т. е. мультипликативная аксиома эквивалентна предположению, что произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю.

*114·301.

откуда

*114·31.

что является формой ассоциативного закона, и

*114·35.

что связывает два вида умножения.

*114·41.

Т. е. единичные множители не влияют на значение произведения.

*114·51.

Это предложение дает коррелятор и как функцию двойного коррелятора и , и, таким образом, приводит к

*114·52.

Следовательно, из предложений *111 мы выводим

*114·571.

Т. е. при условии мультипликативной аксиомы, если и каждый состоят из классов по членов каждый, их произведения равны.

Далее у нас есть различные формы ассоциативного закона, начиная с

*114·6.

что является непосредственным следствием *85·44. Другая форма — это

*114·632.

Относительно того, в каком смысле это является формой ассоциативного закона, см. замечания после *114·6.

*114·01.

*114·1.

*114·11.

*114·12.

*114·2.

Таким образом, произведение без множителей равно 1. Это источник , как мы увидим позже.

*114·21.

*114·22.

*114·23.

Таким образом, арифметическое произведение равно нулю, если любой из его множителей равен нулю. Чтобы доказать обратное, мы должны предположить мультипликативную аксиому, которая, по сути, эквивалентна предложению, что арифметическое произведение равно нулю только тогда, когда по крайней мере один из его множителей равен нулю.

*114·24.

Док.

*114·25.

Док.

Заметим, что .

*114·26.

*114·261.

*114·27.

*114·3.

Док.

*114·301.

Док.

*114·31.

Вышеприведенное является одной из форм ассоциативного закона умножения.

*114·311.

*114·32.

Док.

*114·33.

*114·34.

*114·35.

*114·36.

*114·4.

*114·41.

*114·42.

Док.

*114·43.

*114·5.

Док.

*114·501.

Док.

*114·51.

*114·52.

*114·53.

*114·54.

Условие , , которое задействовано в гипотезе *114·54 (через , ), не является необходимым. Следующие предложения позволяют нам его устранить. Мы сначала доказываем , а затем используем *114·54, чтобы перейти от к . Оттуда мы приходим к .

*114·56.

*114·561.

*114·562.

Док.

*114·57.

Док.

*114·571.

*114·6.

Это наиболее общая форма ассоциативного закона для арифметического умножения.

В связи с тем, что у нас есть два вида умножения, а именно и , у нас есть четыре формы ассоциативного закона умножения, а именно:

(1) *114·6, выше,

(2) *113·54, т. е. ,

(3) *114·31, т. е. ,

(4) форма ассоциативного закона, которая еще не была доказана, которая может быть объяснена следующим образом.

Предположим, у нас есть ряд пар классов, например , , , .... Предположим, мы формируем произведения , , , ... и перемножаем все эти произведения вместе. Мы хотим доказать, что (при подходящей гипотезе) результат подобен произведению всех и всех , взятых вместе как один класс; т. е. если мы назовем класс произведений , , , ..., а класс, членами которого являются , , , ..., , , , ..., то мы хотим доказать . Чтобы выразить это предложение в символах, пусть будет коррелятором и , так что . (Суффикс не будет использоваться далее, поскольку он подразумевает, что число и конечно или счетно.) Тогда наш класс произведений вида — это , где — класс всех ; и произведение этого класса произведений есть . С другой стороны, класс всех и — это , и произведение этого класса есть . Таким образом, то, что мы должны доказать (при подходящей гипотезе), есть . Требуемая гипотеза — это

Однако меньшей гипотезы достаточно для предложения, которое в силу *114·301 тесно связано с вышеуказанным, а именно . Для этого достаточной гипотезой является . Таким образом, например, мы можем написать вместо , и мы находим

Теперь мы докажем вышеприведенные предложения. То, что следует далее, вплоть до *114·621, состоит из лемм.

Для удобства мы пишем вместо в ходе этих лемм; это обозначение введено в гипотезах лемм.

*114·601.

Док.

*114·602.

Док.

Как и в *114·601, мы доказываем

*114·603.

Док.

*114·604.

Отношение , определенное здесь, является коррелятором, необходимым для доказательства

Помимо того, что доказано в настоящем предложении, нам придется доказать

Доказательство настоящего предложения выглядит следующим образом.

Док.

*114·605.

Док.

Следующие предложения необходимы для доказательства того, что при той же гипотезе .

*114·61.

Док.

*114·611.

Док.

*114·612.

Док.

*114·613.

Док.

*114·614.

Док.

*114·62.

*114·621.

Гипотеза не является необходимой, поскольку, когда ,

оба являются . Это доказано в *114·63.

*114·63.

Док.

Вышеприведенное является одним из двух вариантов ассоциативного закона для и .

*114·631.

*114·632.

Это второй вариант ассоциативного закона для и .

*114·64.

Док.

В вышеприведенном предложении гипотеза должна быть такой, чтобы давать . Различные другие формы гипотез обеспечат этот результат и дадут другие формы вышеприведенного предложения. Эта тема рассматривается в *74, выше.

*114·65.

*115. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ КЛАССЫ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ.

Сводка *115.

Всякий раз, когда есть класс взаимно исключающих классов, подобен ; следовательно

Теперь того же типа, что и ; и когда есть класс взаимно исключающих классов, состоит из всех классов, образованных путем выбора одного представителя из каждого члена . Часто случается, что с легче иметь дело, чем с ; поэтому, когда это возможно (т. е. когда ), удобно использовать , а не , в качестве стандартного члена . Поэтому мы полагаем

Мы будем называть «мультипликативным классом» .

Ассоциативный закон, требует не только , но и . Сочетание этих двух гипотез дает полностью несвязный класс классов классов, т. е. класс классов классов, который может быть получен путем деления заданного класса на взаимно исключающие части, а затем деления каждой из этих частей на взаимно исключающие части. Например, возьмем квадрат (класс точек) и разделим его горизонтальными линиями, а затем разделим каждый из полученных прямоугольников вертикальными линиями; тогда полученные ряды маленьких прямоугольников образуют такой класс, где каждый ряд прямоугольников является одним членом класса. Такой класс мы называем «арифметическим» классом и обозначаем «».

Настоящий номер касается свойств мультипликативных классов и арифметических классов. Некоторые из этих свойств будут полезны при работе с возведением в степень.

Настоящий номер начинается с различных предложений, касающихся , которые являются лишь повторениями предыдущих предложений *83, *84, *85 или *113. Таким образом, у нас есть

*115·141. ,

*115·142. ,

*115·143. ,

*115·16. ,

и различные другие свойства.

Затем мы переходим к рассмотрению . Мы доказываем

*115·22.

и *115·23 дает аналогичное предложение, заменяя «» на .

После еще нескольких предложений о , мы переходим к ассоциативному закону для (*115·34), т. е.

(Это предложение, *115·34, также утверждает, что при той же гипотезе . Следовательно, у нас есть

*115·35.

У нас также есть

*115·42.

*115·44.

Далее нам нужно доказать, что если два класса классов имеют двойную схожесть, то ее имеют и их мультипликативные классы. Доказательство простое, поскольку двойной коррелятор такой же, как и для исходных классов, т. е.

*115·502.

откуда

*115·51.

Номер заканчивается некоторыми предложениями, которые вытекают из *114·64·65 и аналогичны им. Одно из них используется в следующем номере при доказательстве , а именно,

*115·6.

Тема этого номера будет полезна при работе с возведением в степень, так как мы определим с помощью , где и .

*115·01.

*115·02.

*115·1.

*115·101.

*115·11.

Благодаря этому предложению можно рассматривать без какой-либо ссылки на , всякий раз, когда .

*115·12.

Именно это предложение делает обозначение подходящим для мультипликативного класса.

*115·13.

*115·131.

*115·14.

*115·141.

*115·142.

*115·143.

*115·144.

*115·145.

*115·15.

*115·151.

*115·152.

*115·153.

*115·154.

*115·16.

Следующее предложение используется в теории вполне упорядоченных рядов (*250·5).

*115·17.

Док.

*115·18.

*115·2.

*115·21.

*115·211.

Док.

*115·22.

Док.

Заметим, что, хотя «» следует из , обратная импликация не выполняется. Если бы существовали два разных класса и , имеющих одну и ту же сумму, мы могли бы иметь , т. е. , не имея , несмотря на «». В доказательствах можно меньше использовать «», чем «». Если или , то последнее подразумевает .

*115·23.

Док.

*115·24.

*115·25.

*115·26.

В вышеприведенном предложении не требуется гипотеза , так как оно верно всегда. Оно включено здесь просто для удобства ссылки.

*115·27.

Теперь мы должны доказать ассоциативный закон для «», т. е.

В силу *115·12 нам остается только доказать (при гипотезе) , что, согласно *85·44, будет следовать из , что, согласно *114·52, будет следовать из

Теперь

Таким образом, коррелятором, который даст наше предложение, будет . Нам остается только доказать, что это , и остальное следует.

*115·3.

Док.

*115·31.

Док.

*115·32.

*115·33.

*115·34.

Это предложение дает ассоциативный закон для «».

Следующее предложение воплощает последние три предложения.

*115·35.

В связи с и остаются два предложения, представляющие достаточный интерес, чтобы заслужить доказательство, а именно и

Из них первое выводится из второго, в то время как второе доказывается с помощью *114·51, подставляя вместо , которое появляется в этом предложении, и вместо того, которое в этом предложении.

*115·4.

Док.

*115·41.

*115·42.

Док.

*115·43.

Док.

*115·44.

Следующее предложение является леммой для *115·46.

*115·45.

Док.

*115·46.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при работе с произведениями в арифметике отношений (*174·42).

*115·5.

*115·501.

*115·502.

Док.

*115·51.

Вышеприведенные предложения показывают, в каких отношениях удобнее, чем . Мы не можем иметь , потому что есть класс отношений, а не класс классов; и коррелятор и отнюдь не является такой простой функцией коррелятора и , как , который коррелирует и в силу *115·502.

Следующие предложения являются продолжением тех, что даны в *114·601 и сл.

*115·6.

Док.

*115·601.

Док.

*115·602.

*115·61.

*115·62.

*115·63.

*116. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.

Сводка *116.

В этом номере мы определяем «», означающее « в степени », где и — классы, как . Теперь состоит из всех способов выбора по одному из членов , т. е. из классов , где . Таким образом, чтобы получить член , возьмем набор пар , где всегда является , и есть только один для данного , и есть каждый член в последовательности. Таким образом, для каждого члена у нас есть возможных референтов; следовательно, ясно, что число возможных наборов пар состоит из множителей, каждый из которых равен , и поэтому подходит для определения .

Определения и производятся из определения точно так же, как определения и , или и , были получены соответственно из и .

Главная трудность в этом номере заключается в доказательстве трех формальных законов возведения в степень, а именно . Доказательства второго и третьего из них, в частности, требуют различных лемм; но здесь нет никакой трудности, кроме сложности рассматриваемых классов и отношений.

Определение сформулировано так, чтобы минимизировать необходимость в мультипликативной аксиоме (см. примечание к *113·31 во введении к *113). У нас есть

*116·36.

то есть, предполагая мультипликативную аксиому, произведение множителей, каждый из которых равен , есть (предполагая, что и — кардинальные числа, которые не равны нулю).

Если бы мы определили как произведение множителей, каждый из которых равен , нам потребовалась бы мультипликативная аксиома почти для всех предложений о , но, взяв конкретный класс , мы избегаем мультипликативной аксиомы, за исключением нескольких предложений. Среди этих немногих — вышеприведенное предложение, связывающее возведение в степень с умножением.

Кантор определил с помощью класса «Belegungen», т. е. класса , который (*116·12) = . Согласно *85·53 и *113·103, этот класс равен (как доказано в *116·13), откуда, поскольку , следует (*116·15), что класс «Belegungen» подобен . Следовательно, наше определение дает то же значение , что и у Кантора.

Предложения настоящего номера начинаются с различных простых свойств . Его существование следует из

*116·152.

откуда (*116·16) , и

*116·18.

У нас есть

*116·19.

в силу *113·13 и *115·51. *116·192 показывает, что если коррелирует с , а коррелирует с , то является двойным коррелятором с .

Затем мы переходим к набору предложений о , которые аналогичны *113·2 и сл. о . У нас есть

*116·203.

*116·25.

и различные другие менее полезные предложения.

Затем у нас есть различные предложения о 0, 1 и 2. Мы доказываем

*116·301.

*116·311.

*116·321.

(Заметим, что — то же кардинальное число, что и , но представленное как типически двусмысленное.)

*116·331.

*116·34.

(Это предложение не требует, чтобы было кардинальным числом.)

После уже процитированного предложения (*116·36) о связи возведения в степень и умножения мы переходим к набору предложений о случае, когда ряд классов заданы как подобные (посредством назначаемых корреляций) данному классу. В *116·411 мы доказываем, что если есть класс взаимно исключающих классов, каждый из которых подобен данному классу , и если, когда , есть коррелятор и , и есть сумма , то . Это дальнейшая связь умножения и возведения в степень. (О смысле этого и последующих предложений см. объяснение перед *116·4.) В *116·43 гипотеза несколько изменена. У нас все еще есть набор классов, которые все подобны , но коррелятор для данного класса задан не как , а как , где есть член класса , который подобен . Тогда . Мы предполагаем, что есть взаимно однозначное соответствие, и что если и имеют перекрывающиеся области, то . Таким образом, есть класс взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов, в то время как имеет членов. Тогда в *116·43 доказано, что . Это предложение и другое (*116·45), которое следует из него, полезны при доказательстве формальных законов возведения в степень. Доказательство их занимает следующие предложения с *116·5 по *116·68. У нас есть

*116·52.

*116·55.

*116·63.

Расширением первого из них является

*116·661.

Здесь число членов не обязательно должно быть конечным. Смысл предложения заключается в следующем: пусть , , , ... будут членами ; сформируем , , , ... и возьмем произведение чисел всех их; тогда полученное число будет таким же, как если бы мы сначала взяли сумму чисел всех членов , получив таким образом (скажем) число , и возвели в степень .

Расширение *116·55 дано в *116·68, где мы доказываем

Нет аналогичного расширения *116·63.

Затем мы доказываем предложение Кантора (которое очень полезно)

*116·72.

Т. е. число комбинаций из вещей по любому числу за раз равно . (Заметим, что не обязательно должно быть конечным.) Остальная часть номера касается следствий этого предложения.

*116·01.

*116·02.

*116·03.

*116·04.

*116·1.

*116·11.

Док.

*116·12.

Док.

*116·13.

Док.

— это класс взаимно однозначных отношений, чья область обратных значений есть , а область значений содержится в . Это то, что Кантор называет «Belegungsmenge», и используется им как определение возведения в степень. В силу *116·15 его определение дает те же результаты, что и наше.

*116·131.

Док.

*116·14.

*116·15.

*116·151 — это лемма для *116·152.

*116·151.

Док.

*116·152.

Док.

*116·16.

Док.

Вышеприведенные предложения полезны при установлении теорем существования, как видно из следующих предложений.

*116·17.

*116·171.

Док.

*116·172.

Док.

*116·18.

*116·181.

Док.

*116·182.

*116·183.

Док.

*116·19.

Док.

*116·191.

*116·192.

*116·194.

Док.

Следующие предложения (вплоть до *116·27 включительно) являются аналогами предложений с той же десятичной частью в *113.

*116·2.

*116·201.

*116·202.

*116·203.

*116·204.

*116·205.

*116·21.

*116·22.

*116·221.

*116·222.

*116·23.

*116·24.

*116·25.

*116·251.

*116·26.

Это предложение показывает, что мы можем повышать или понижать типы и как нам угодно, не влияя на значение , при условии, что и , или, скорее, и , существуют в новых типах.

*116·261.

Здесь «и т. д.» охватывает любую производную от или , существование которой следует из существования или .

*116·27.

*116·271.

*116·3.

Док.

*116·301.

*116·31.

Док.

*116·311.

Док.

*116·32.

Док.

*116·321.

Не было бы ошибкой написать «» вместо «» в вышеприведенном предложении. Ибо если «» типически определено так, что , то . Таким образом, в силу *116·321, истинно всякий раз, когда оно значимо. Но вышеприведенная форма дает больше информации, поскольку она сохраняет типическую двусмысленность и .

*116·33.

Док.

*116·311.

Док.

*116·34.

Док.

*116·35.

Док.

*116·351.

*116·352.

*116·353.

Док.

*116·36.

Док.

В вышеприведенном предложении «» является достаточной гипотезой относительно , поскольку «» подразумевается . Но существенно, так как если , и (при условии , откуда .

Вышеприведенное предложение связывает возведение в степень с умножением.

*116·361.

Док.

Следующие предложения, иллюстрирующие некоторые обобщения отношений строк и столбцов, могут стать яснее благодаря прилагаемому рисунку, на котором для простоты все рассматриваемые классы считаются конечными.

Пусть будет множеством классов, состоящим из четырех строк по пять точек на рисунке, каждая из которых дана как схожая с заданным классом , представленным верхней строкой из пяти точек на рисунке, а именно строкой, заключенной в овал. Мы предполагаем, что задано актуальное коррелирующее отношение, коррелирующее каждый член с . Пусть будет классом этих отношений, и предположим, что состоит из одного коррелятора для каждого члена из , и что . Таким образом, и . Положим . Тогда, если , соотносит с каждым членом столбца под , т. е. состоит из четырех точек, находящихся вертикально под ; предполагая, что возможно в данных обстоятельствах, каждая точка помещена под своим коррелятом в . Таким образом, представляет столбцы, в то время как представляет строки.

Мы доказываем в *116·41, что , класс строк, имеет двойную схожесть с , или, что сводится к тому же, с . Отсюда следует, что , который является всем классом точек, схож с или , и что , который является произведением чисел столбцов, равен или . Коррелятор, который используется для доказательства этих предложений, есть , где, если есть член , а есть член , соотносит с .

Аналогично, коррелируя с , называя коррелятор , мы имеем , т. е. , откуда . Отсюда , т. е. класс строк, имеет двойную схожесть с или , откуда произведение чисел строк есть или .

Наконец, мы берем класс , схожий с или (иллюстрированный на рисунке столбцом точек, заключенных в овал), и, называя коррелятором и , мы заменяем на и на . Таким образом, мы находим, что если соотносит с классом отношений, чьи области взаимно исключительны, и которые каждая коррелирует свои области с заданным классом , то имеет двойную схожесть с , откуда те же результаты, что и прежде, с вместо или .

Следующие предложения полезны при связывании умножения с возведением в степень и при доказательстве формальных законов возведения в степень.

*116·4·401 являются леммами для *116·41.

*116·4.

Док.

*116·401.

Док.

*116·41.

Док.

Следующее предложение является лишь другой формой *116·41.

*116·411.

Док.

*116·412·413 являются леммами для *116·414.

*116·412.

*116·413.

*116·414.

*116·42.

*116·422.

Док.

*116·43.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в *116·534·61.

*116·44.

Док.

*116·45.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в *116·676.

Теперь нам предстоит доказать три формальных закона возведения в степень, а именно: из них первый является непосредственным следствием дистрибутивного закона, в то время как второй и третий вытекают из форм ассоциативного закона умножения.

*116·5.

Док.

В последней строке вышеприведенного доказательства требуется *73·43, поскольку не было доказано, что два вовлеченных «» относятся к одному и тому же типу. На самом деле они относятся к одному и тому же типу, но доказывать это нет необходимости.

*116·51.

Док.

*116·52.

Док.

Следующие предложения являются леммами для . Основные предыдущие предложения, используемые в доказательстве, — это *115·6 и *116·43. Доказательство протекает следующим образом. Это, используя *115·6 и подставляя , вместо и того же предложения, схоже с . Теперь, согласно *113·65, подставляя , . Теперь мы применяем *116·43, принимая за того же предложения, или, скорее, принимая . Таким образом, мы находим . Отсюда следует наше предложение.

*116·529.

В *150 это обозначение будет введено как постоянное определение. В настоящее время мы вводим его только для того, чтобы избежать , что неудобно.

*116·53.

Док.

Гипотеза не является необходимой в вышеприведенном предложении; но доказательство проще с этой гипотезой, а предложение без гипотезы нам не нужно.

*116·531.

Док.

*116·532.

Док.

*116·533.

Док.

*116·534.

Док.

*116·535.

Гипотеза не является необходимой, как мы сейчас докажем.

*116·54.

Док.

При получении (5) мы используем *73·43, а также *113·611, поскольку вовлечены «» разных типов.

*116·55.

Док.

Этим завершается доказательство второго из формальных законов возведения в степень. Следующие предложения являются леммами для третьего из этих законов, а именно

*116·6.

Док.

*116·601.

*116·602.

Док.

*116·603.

*116·604.

Док.

*116·605.

Док.

*116·606.

Док.

*116·607.

*116·61.

*116·611.

*116·62.

Док.

*116·63.

Док.

Этим завершается доказательство третьего из формальных законов возведения в степень.

*116·64.

*116·651.

Док.

*116·652.

Следующие предложения являются леммами для *116·661, которое является расширением *116·52.

*116·653.

Док.

*116·654.

Док.

*116·655.

Это предложение является расширением *116·5.

Гипотеза не является необходимой в вышеприведенном предложении, как мы сейчас докажем.

*116·656.

Док.

*116·657.

*116·658.

Док.

*116·659.

Док.

*116·66.

Док.

*116·661.

Это предложение является расширением *116·52.

Следующие предложения касаются доказательства *116·68, которое является расширением *116·54, где и того же предложения заменены членами класса .

*116·67.

Док.

*116·671.

Док.

*116·672.

Док.

*116·673.

Док.

*116·674.

Док.

*116·675.

Док.

*116·676.

Док.

*116·68.

Док.

Вышеприведенное предложение является расширением *116·54·55.

Следующие предложения являются леммами для

Предложение и его доказательство принадлежат Кантору.

*116·7.

Док.

В этом и последующих предложениях класс вводится исключительно как известный класс, состоящий из двух членов. Любой другой класс из двух членов подойдет так же хорошо.

*116·71.

Док.

*116·711.

Док.

*116·712.

Док.

*116·713.

Док.

*116.714.

Док.

*116·715.

Док.

*116·72.

Док.

*116·8.

Док.

*116·81.

Док.

*116·82.

*116·83.

*116·9.

*116·901.

*116·91.

*116·92.

*117. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ.

Резюме *117.

Кардинальное число называется большим другого кардинального числа , когда существует класс , который имеет членов и имеет часть, которая имеет членов, в то время как не существует класса , который имеет членов и имеет часть, которая имеет членов. Отношение «больше, чем» транзитивно и асимметрично; и по теореме Шрёдера-Бернштейна, если больше или равно , и больше или равно , то . Но мы не можем доказать, что из любых двух кардинальных чисел одно должно быть больше другого, если не предположим мультипликативную аксиому. Доказательство тогда следует из теоремы Цермело о том, что при этом предположении каждый класс может быть вполне упорядочен. Этот предмет будет рассмотрен на более позднем этапе.

Форма определений устроена так, чтобы допускать неравенство двух кардинальных чисел в разных типах. Соответствующие соображения те же, что и для определений сложения, умножения и возведения в степень.

Наше определение «» есть

*117·01.

Мы также определяем «» как означающее «», а «» как означающее «», по причинам, объясненным в *110. Тогда легко следует, что если , и должны быть гомогенными кардинальными числами (это часть *117·15); что если и — гомогенные кардинальные числа, и , то же самое верно, если мы подставим и вместо одного или обоих и (*117·16); что

*117·13.

и что

*117·14.

Мы не можем определить «» как «», потому что «» слишком ограничивает и , требуя, чтобы они были одного типа, и слишком мало ограничивает их, не требуя, чтобы они оба были существующими кардинальными числами. Чтобы избежать обоих этих неудобств, мы полагаем

*117·05.

Использование этого определения в основном осуществляется через предложения

*117·108.

*117·24.

В *117·2 мы повторяем теорему Шрёдера-Бернштейна (*73·88), которая требуется в большинстве оставшихся предложений этого номера. Она сразу приводит к предложениям

*117·22.

(которое практически заменяет определение «»)

*117·221.

*117·222.

*117·23.

Это последнее предложение можно назвать теоремой Шрёдера-Бернштейна с таким же основанием, как и *73·88; они почти не различаются.

Если мы теперь вернемся к определению , или к *117·13, и применим *117·22, мы увидим (*117·26), что «» можно удобно рассматривать как утверждение ; на самом деле, лучшие идеи для работы — это и его обратное , которое для практических целей мы считаем определенным через *117·22, и из которого мы выводим и . Отношение будет произведением на отрицание его обратного; это верно для и (*117·281), а также для и .

*117·3·31 составляют важное использование *110·72, а именно доказательство того, что одно существующее кардинальное число больше другого или равно ему, когда первое может быть получено путем добавления к второму (где то, что добавляется, должно быть кардинальным числом). То есть мы имеем

*117·3.

*117·31.

*117·4—·471 касаются доказательства того, что и транзитивны, что асимметрично (*117·42), и родственных предложений.

Наш следующий набор предложений касается 0, 1 и 2. Мы доказываем, что гомогенное кардинальное число — это все, что больше или равно 0 (*117·501); что гомогенное кардинальное число, отличное от 0, — это все, что больше 0 (*117·511); что гомогенное кардинальное число, отличное от 0, — это все, что больше или равно 1 (*117·531); и что гомогенное кардинальное число, отличное от 0 и 1, — это все, что больше 1 (*117·55), и все, что больше или равно 2 (*117·551).

Затем мы доказываем набор предложений, касающихся , которые не имеют аналогов для , за исключением случаев, когда рассматриваемые кардинальные числа конечны. Так, например, мы доказываем

*117·561.

Если мы подставим вместо , это больше не будет верно. Так, например, положим , , (ср. *123); тогда , но . Подобные замечания применимы к аналогичным предложениям (*117·571·581·591) об умножении и возведении в степень.

Мы доказываем далее, что сумма больше или равна любому из своих слагаемых (*117·6); что произведение, ни один из множителей которого не обращается в нуль, больше или равно любому из своих множителей (*117·62); что, предполагая, что и — существующие кардинальные числа, если они не равны ни 0, ни 1, их произведение больше или равно их сумме (*117·631), и если не равно ни 0, ни 1, то (*117·652).

Последнее важное предложение в этом номере — теорема Кантора

*117·661.

которая следует непосредственно из *102·72 и *116·72.

Предложения этого номера широко используются в следующем разделе, посвященном конечному и бесконечному.

*117·01.

*117·02.

*117·03.

*117·04.

*117·05.

*117·06.

Аналоги *117·02·03 должны применяться также к *117·04·05·06.

*117·1.

*117·101.

*117·102.

*117·103.

*117·104.

*117·105.

*117·106.

*117·107.

Док.

*117·108.

*117·11.

Док.

*117·12.

Док.

*117·121.

Док.

Вышеприведенное доказательство приведено кратко, поскольку оно следует по тем же линиям, что и *117·12. При применении *10·55, того же предложения заменяется на , а заменяется на

*117·13.

Док.

*117·14.

*117·15.

Док.

Преимущество этого предложения в том, что оно выражает «» через и только, без вспомогательных и определения.

*117·16.

*117·2.

Это предложение (которое является теоремой Шрёдера-Бернштейна) является фундаментальным в теории большего и меньшего.

*117·21.

*117·211.

Док.

*117·22.

Док.

*117·221.

*117·222.

*117·23.

*117·24.

Док.

*117·241.

*117·242.

*117·243.

*117·244.

*117·25.

Док.

*117·26.

Док.

*117·27.

*117·28.

*117·2.

*117·29.

*117·291.

*117·3.

Док.

*117·31.

Док.

*117·32.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что если кардинальное число существует в данном типе, то существуют и все меньшие кардинальные числа.

*117·4.

Док.

*117·41.

*117·42.

Док.

*117·43.

*117·44.

*117·45.

Док.

*117·46.

*117·47.

*117·471.

*117·5.

Док.

*117·501.

*117·51.

Док.

*117·511.

*117·52.

Док.

*117·53.

Док.

*117·531.

Док.

*117·54.

Док.

*117·55.

Док.

*117·551.

Док.

*117·56.

Док.

*117·561.

Доказательство *117·561 следует из *117·56 таким же образом, как доказательство *117·31 следует из *117·3. В остальной части этого номера мы будем опускать доказательства такого рода.

*117·57.

Док.

*117·571.

*117·58.

Док.

*117·581.

Два следующих предложения являются леммами для *117·59.

*117·582.

Док.

*117·583.

Док.

*117·59.

Док.

Гипотеза существенна в вышеприведенном предложении, ибо в то время как , так что .

*117·591.

*117·592.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в *120·53.

*117·6.

Док.

*117·61.

*117·62.

Док.

*117·63.

Док.

*117·631.

Два следующих предложения являются леммами для *117·64.

*117·632.

Док.

*117·633.

Док.

*117·64.

Док.

*117·651.

Док.

*117·652.

*117·66.

Док.

*117·661.

Вышеприведенное предложение важно.

*117·67.

Док.

*117·68.

Док.

*117·681.

*117·682.

Док.

*117·683.

*117·684.

Вышеприведенное предложение используется в *120·765.

ОБЩЕЕ ЗАМЕЧАНИЕ О КАРДИНАЛЬНЫХ КОРРЕЛЯТОРАХ.

Корреляторы, установленные на различных этапах в Разделе B, представляют определенные аналогии друг другу, и они или другие, очень похожие на них, окажутся корреляторами, необходимыми в арифметике отношений (Часть IV). Поэтому мы здесь соберем вместе наиболее важные предложения, доказанные до сих пор о корреляторах.

Когда нам приходится иметь дело с корреляторами двух разных функций одного класса, как, например, и , коррелятор обычно есть или или , с подходящим ограничением на обратную область. Иногда это или . Так, например, класс , с помощью которого определяется (*112), имеет двойную схожесть с , если (*112·14); в этом случае двойной коррелятор есть с ограниченной обратной областью, т. е. . В случае и коррелятор есть , т. е. . В случае и коррелятор есть , т. е. также коррелирует с (*85·61) и с (*85·53), и с (*85·27·42), если .

Коррелятор с есть (*116·131).

Другой вид корреляторов возникает, когда нам дан коррелятор и , и мы хотим построить коррелятор для некоторых связанных классов и , где нам даны корреляторы с и с , и мы хотим построить коррелятор с , где есть некоторая двойная описательная функция в смысле *38. В этом случае коррелятор обычно будет иметь форму (с ограниченной обратной областью). Иногда и будут идентичны; иногда будет . Такие корреляторы всегда зависят от

*55·61.

вместе с предложениями *74·77 и след., дающими случаи, в которых является взаимно однозначным отношением. Из *55·61 следует, что если и — корреляторы, чьи обратные области включают область и обратную область соответственно отношения , то будет отношением, имеющим место между и всякий раз, когда имеет место между и . Примерами таких корреляторов, как , являются

*112·153.

*113·127.

*113·65.

*114·51.

*116·192.

Исключительно простой коррелятор дается

*115·502.

Другой исключительно простой случай — это

*73·63.

С помощью вышеприведенных корреляторов можно вычислить большинство необходимых корреляторов. Таким образом, будет видно, что *116·192 в вышеприведенном списке является непосредственным следствием *113·127 и *115·502, поскольку

Для развития предмета почти всегда необходимо не просто доказать, что два класса схожи, но фактически построить коррелятор этих двух классов. Это в равной степени относится к арифметике отношений, в которой аналогичные корреляторы используются для доказательства порядковой схожести.

РАЗДЕЛ C. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ.

Резюме Раздела C.

Различие конечного и бесконечного не требуется, как следует из Раздела B, для определения арифметических операций или для доказательства их формальных законов. Существует, однако, много важных аспектов, в которых конечные кардинальные числа и классы различаются соответственно с бесконечными кардинальными числами и классами, и эти различия должны быть теперь исследованы.

Существует два разных способа, которыми мы можем определить конечное и бесконечное, и эти два способа не могут (насколько известно в настоящее время) быть показаны эквивалентными, кроме как при допущении мультипликативной аксиомы. Поскольку нет веских причин считать, что один из этих способов дает более точно, чем другой, то, что обычно подразумевается под словами «конечное» и «бесконечное», мы, чтобы избежать путаницы, дадим другие названия, чем эти, каждому из двух способов деления классов и кардинальных чисел. Деление, осуществленное первым методом определения, мы назовем делением на индуктивные и неиндуктивные; то, которое осуществлено вторым методом, мы назовем делением на нерефлексивные и рефлексивные.

Деление на индуктивные и неиндуктивные, которое рассматривается в *120, определяется следующим образом. Индуктивное кардинальное число — это число, которое может быть достигнуто из 0 последовательными добавлениями 1; то есть индуктивное кардинальное число — это число, которое имеет к 0 отношение , где (согласно *38·02) есть отношение к , а подстрочная звездочка имеет значение, определенное в *90. Следовательно, мы полагаем. Применяя определение *90, это дает. Это предложение можно рассматривать как утверждение, что индуктивное кардинальное число — это число, которое подчиняется математической индукции, начиная с 0, т. е. это число, которое обладает каждым свойством, которым обладает 0 и числа, полученные путем добавления 1 к числам, обладающим этим свойством. В элементарной математике принято рассматривать математическую индукцию, как она применяется к ряду натуральных чисел, как принцип, а не как определение, но согласно вышеприведенной процедуре она становится определением, а не принципом. Эта процедура неизбежна, как только осознается, что существуют кардинальные числа, которые не подчиняются математической индукции, начиная с 0. (Это верно только при допущении, что общее число объектов в любом одном типе не является одним из индуктивных кардинальных чисел. Это допущение в несколько иной форме вводится ниже как «аксиома бесконечности».) Таким образом, например, и . Следовательно, если — любое индуктивное кардинальное число, . Но мы знаем, что , первое из трансфинитных кардинальных чисел Кантора [6], удовлетворяет . Таким образом, математическая индукция, начиная с 0, не может быть обоснованно применена для доказательства свойств . Отсюда следует, что индуктивные кардинальные числа, как определено выше, являются лишь некоторыми среди кардинальных чисел; и не представляется, что существует какой-либо способ определить их, кроме как те, которые подчиняются математической индукции, начиная с 0. Отсюда следует, что математическая индукция — это не принцип, который нужно либо доказывать, либо принимать как аксиому, а лишь характеристика, определяющая определенный класс кардинальных чисел, а именно класс индуктивных кардинальных чисел.

По силлогизму в Barbara очевидно, что 0 является индуктивным кардинальным числом; следовательно, по определению 1 является индуктивным кардинальным числом, и, следовательно, 2, 3, ... являются индуктивными кардинальными числами. Таким образом, любое заданное кардинальное число в ряду натуральных чисел может быть показано как индуктивное кардинальное число. Обычные элементарные свойства индуктивных кардинальных чисел, такие как единственность вычитания и деления, легко доказываются математической индукцией.

Мы определяем индуктивный класс как класс, число членов которого является индуктивным кардинальным числом. Проще говоря, мы полагаем. Тогда легко показать, что индуктивный класс — это класс, который может быть достигнут из путем последовательных добавлений отдельных членов. То есть, если мы положим

Таким образом, мы имеем. Мы могли бы с таким же успехом начать с определения индуктивных классов и перейти к определению индуктивных кардинальных чисел как кардинальных чисел индуктивных классов; в этом случае мы использовали бы вышеприведенное отношение для определения индуктивных классов.

Некоторые из свойств, которыми, как мы ожидаем, должны обладать индуктивные кардинальные числа, такие, например, как , могут быть доказаны только при допущении, что ни одно индуктивное кардинальное число не является нулевым, т. е. что . Это сводится к допущению, что в любом фиксированном типе может быть найден класс, имеющий любое заданное индуктивное число членов. Если бы это было ложно, должно было бы существовать некоторое определенное число в ряду натуральных чисел, которое давало бы общее число объектов рассматриваемого типа. Таким образом, предположим, что во вселенной существует ровно n индивидов, и не более, где n — индуктивное кардинальное число. Тогда мы имели бы классов, классов классов и так далее. В этом случае в типе индивидов мы имели бы , и т. д. Следовательно, мы имели бы . В типе классов мы получили бы аналогичные результаты для и так далее. Ясно (хотя это и недоказуемо, кроме как в каждом конкретном случае), что если допущение не выполняется в каком-либо одном типе, оно не выполняется в любом другом типе в той же иерархии, и если оно выполняется в каком-либо одном, оно выполняется в любом другом; ибо если n — общее число индивидов, то если — индуктивное кардинальное число, общее число любого другого типа является индуктивным кардинальным числом, в то время как если не является индуктивным кардинальным числом, то и общее число любого другого типа тоже. Следовательно, допущение либо истинно в любом типе, либо ложно в любом типе в одной иерархии. Мы назовем его «аксиомой бесконечности», полагая. Это допущение, подобно мультипликативной аксиоме, будет приводиться как гипотеза всякий раз, когда оно уместно. Кажется ясным, что в логике нет ничего, что требовало бы его истинности или ложности, и что в него можно законно верить или не верить только на эмпирических основаниях. Когда мы хотим использовать типически определенную форму аксиомы, мы будем использовать определение, которое утверждает, что если — любое индуктивное кардинальное число, то существует по крайней мере членов того же типа, что и .

Важно отметить, что, хотя аксиому бесконечности (насколько представляется) нельзя доказать априори, мы можем доказать, что любое заданное индуктивное кардинальное число существует в достаточно высоком типе. Ибо если общее число индивидов есть , числа объектов в последующих типах суть , и т. д., и эти числа растут сверх любого заданного индуктивного кардинального числа. Однако из-за того факта, что мы не можем сложить бесконечное число классов, типы которых возрастают без предела, мы не можем отсюда показать, что существует тип, в котором существует каждое индуктивное кардинальное число, хотя мы можем показать для каждого индуктивного кардинального числа, что существует тип, в котором оно существует. Т. е. если — любое индуктивное кардинальное число, должен существовать тип для такой, что истинно; но не обязательно должен существовать тип для такой, что если — любое индуктивное кардинальное число, истинно.

Аксиома бесконечности достаточна для доказательства существования в соответствующих типах , , , ... , ... [7]. Она не достаточна, насколько нам известно, для доказательства существования или любого Алефа с большим индексом, чем , потому что существования , , ... доказываются в последовательно возрастающих типах, и нельзя найти смысла для типа, порядок которого бесконечен.

Другое определение конечного и бесконечного имеет меньшее значение на практике, чем определение через индукцию. Оно рассматривается в *124. Согласно этому определению, мы называем класс рефлексивным, когда он содержит собственную часть, схожую с самим собой, т. е. мы полагаем или, что сводится к тому же, . Мы называем кардинальное число рефлексивным, когда оно является гомогенным кардинальным числом рефлексивного класса, т. е. мы полагаем . Легко показать, что . Мы находим, что индуктивные классы и кардинальные числа являются нерефлексивными, а рефлексивные классы и кардинальные числа — неиндуктивными. Мы находим также, что рефлексивные кардинальные числа — это те, которые равны или больше , в то время как индуктивные кардинальные числа — это те, которые меньше . Предполагая мультипликативную аксиому, мы можем показать, что каждое кардинальное число равно, больше или меньше , откуда следует, что каждое кардинальное число является либо рефлексивным, либо индуктивным, тем самым отождествляя два определения конечного и бесконечного. Но пока мы воздерживаемся от предположения либо мультипликативной аксиомы, либо какой-либо специальной аксиомы ad hoc, остается возможным (насколько известно в настоящее время), что могут существовать кардинальные числа, ни большие, ни равные, ни меньшие . Такие кардинальные числа, если они существуют, не являются ни индуктивными, ни рефлексивными: они бесконечны, если мы определяем бесконечность через отрицание индукции, но конечны, если мы определяем бесконечность через рефлексивность. Возможно, что дальнейшее исследование либо докажет, либо опровергнет существование таких кардинальных чисел; в настоящее время их существование должно оставаться открытым вопросом, за исключением тех, кто считает мультипликативную аксиому самоочевидной истиной.

В *121 мы будем рассматривать интервалы в дискретном ряду; т. е. в ряду, порожденном взаимно однозначным отношением между последовательными членами. Если есть порождающее отношение такого ряда, а и — два члена ряда, из которых есть более поздний, члены, которые лежат между и , суть члены, для которых мы имеем , где имеет значение, определенное в *91. Следовательно, мы полагаем, где «» означает «-интервал между и ». Нам нужны также символы для интервала вместе с одной или обеими его конечными точками. Для них мы полагаем [8]. Таким образом, например, если и — индуктивные кардинальные числа, а есть отношение к , и , будут числа, большие и меньшие , в то время как будут эти числа вместе с , будут эти числа вместе с , а будут эти числа вместе с обоими и . С помощью интервалов мы определяем класс отношений (где — любое индуктивное кардинальное число), где «» означает, что мы можем перейти от к за шагов. Чтобы подогнать случай, в котором и идентичны, и гарантировать, что никакое отношение, такое как , не будет иметь места между членами, которые не принадлежат оба полю , мы полагаем. Тогда, при условии , , и если далее , то , и т. д. Если есть транзитивное сериальное отношение, есть отношение «непосредственно предшествующий», которое имеет большое значение во вполне упорядоченных рядах. В этом случае . Если есть транзитивное сериальное отношение, порождающее конечный ряд или прогрессию, или ряд типа отрицательных и положительных целых чисел в порядке величины, мы имеем

В *121 мы будем рассматривать только случай, когда , и, как правило, мы будем иметь дополнительную гипотезу . Тогда мы можем доказать, что интервал между и всегда является индуктивным классом (он будет пустым, если только ); это предложение полезно при его применении к числовым рядам и к прогрессиям в целом.

Когда , класс таких отношений, как (где есть индуктивное кардинальное число), тождественен , классу степеней (ср. *91 и след.). Эта идентификация (которая в общем случае без вышеуказанной гипотезы не имеет места) приводит ко многим полезным предложениям. В *91 и след. мы рассматривали степени отношения без использования чисел, т.е. не определяя -ю степень . Когда степени суть класс таких отношений, как , мы, конечно, можем принять за -ю степень . Общее определение -й степени (где есть индуктивное кардинальное число) будет дано позже, в *301; мы будем обозначать его через , включая тем самым уже определенное обозначение .

В *122 мы будем иметь дело с прогрессиями, т.е. с рядами типа ряда натуральных чисел. В этом параграфе мы будем рассматривать такие ряды, которые порождаются взаимно-однозначными отношениями; на более позднем этапе (*263) они будут рассмотрены как порождаемые транзитивными отношениями. Мы определяем прогрессию как взаимно-однозначное отношение, область определения которого есть потомство его первого члена, т.е. . Согласно этому определению, должен существовать первый член ; будет , т.е. , которое содержится в , т.е. в ; поскольку , каждый член области значений имеет преемника, так что ряд не имеет конца; поскольку , каждый член ряда может быть достигнут из начала последовательными шагами. Этих характеристик достаточно для определения прогрессий.

В *123 мы переходим к определению и обсуждению , наименьшего из рефлексивных кардинальных чисел. Это кардинальное число любого класса, члены которого могут быть упорядочены в прогрессию; следовательно, это класс областей определения прогрессий, т.е. мы можем положить . С этим определением, помня, что есть кардинальное число, мы можем доказать, что есть кардинальное число; но чтобы доказать, что есть существующее кардинальное число, нам нужна аксиома бесконечности. Теорема существования для тогда выводится из индуктивных кардинальных чисел, которые, если ни одно из них не является пустым, образуют прогрессию, будучи упорядоченными по величине. Следует заметить, что эта теорема существования относится к более высокому типу, чем тот, для которого предполагается аксиома бесконечности. Чтобы получить теорему существования для того же типа, нам нужна также мультипликативная аксиома.

После параграфа о рефлексивных классах и кардинальных числах (*124) и параграфа об аксиоме бесконечности (*125), раздел заканчивается параграфом (*126) о «типически неопределенных индуктивных кардинальных числах». Постоянные индуктивные кардинальные числа — это типически двусмысленные символы 0, 1, 2, ...; таким образом, мы хотим определить класс индуктивных кардинальных чисел таким образом, чтобы переменный член класса был типически двусмысленным. Это невозможно без ущерба для строгости, но в *126 показано, как минимизировать этот ущерб и как избежать возникающих логических опасностей. Переменная, значения которой типически двусмысленны, называется «типически неопределенной».

Доказательство того, что все индуктивные кардинальные числа существуют, часто выводилось из *120·57 (ниже). Но согласно теории типов, это доказательство недействительно, поскольку «» в *120·57 обязательно имеет более высокий тип, чем «».

СНОСКИ:

[6] Определение см. в *123·01 и на стр. 192 настоящего резюме.

[7] Определения , , и т.д. см. в *265.

[8] Эти символы предложены по аналогии с теми, что даны в «Formulaire» Пеано, том IV, стр. 116. (Algèbre, § 46.)

*118. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА И УНИФОРМНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме *118.

Возникает трудность в отношении подстановки в арифметике. Ибо если есть формальное число и его вхождение в есть арифметическое, то под следует всегда понимать в экзистенциальном типе. Следовательно, мы можем подставить реальную переменную вместо только при гипотезе , и мы можем подставить другое формальное число вместо только при условии, что уравнение , которое оправдывает подстановку, является арифметическим, т.е. при условии, что в этом уравнении тип таков, что .

Результат состоит в том, что применение *20·18 склонно приводить к ошибкам из-за различных значений, которые формальное число может иметь в разных вхождениях. До сих пор мы рассматривали каждый случай подробно, например, примечание к *110·61 и доказательство *110·56.

Условие для безопасного применения *20·18 дано в *118·01, а именно

*118·01.

Этот вопрос более полно обсуждается в предисловии к настоящему тому. Первая ссылка на *118·01 находится в *120·222. Другой способ избежать трудности — работать с формальными числами, которые вместе со всеми своими компонентами принадлежат к одному и тому же типу. Это ведет к рассмотрению униформных формальных чисел, что, за исключением *118·01, занимает остальную часть параграфа.

Доминантный тип формального числа, используемого в любом контексте, есть тип самого формального числа в этом контексте, а подчиненные типы формального числа — это доминантные типы его компонентных формальных чисел.

Когда доминантные типы некоторых формальных чисел не указаны явно с помощью явного обозначения (ср. *65), правила, согласно которым доминантные типы, оставленные таким образом двусмысленными, должны быть соотнесены, насколько они соотнесены, включая правила, регулирующие отношение подчиненных типов, если они оставлены двусмысленными, к доминантным типам, даны конвенциями , и предисловия к настоящему тому.

Теперь мы должны рассмотреть важный частный случай, который возникает, когда типы явно указаны с помощью *65·01·03. Формальное число, чьи подчиненные типы совпадают с его доминантным типом, называется униформным; и если некоторые из его подчиненных типов совпадают с его доминантным типом, оно называется частично униформным. Формальное число может быть только частично униформным, или, по крайней мере, обозначенным так, чтобы быть обязательно частично униформным, когда доминантный тип и те подчиненные типы, которые идентичны ему, явно указаны с помощью *65·01·03. Ибо в противном случае применяются конвенции , и, возможно, также ; и они не обеспечивают униформность, и, возможно, в некоторых контекстах могут быть несовместимы с ней.

Здравый смысл при рассмотрении арифметики обычно игнорирует возможность того, что формальное число представляет . Другими словами, он всегда применяет конвенции и . Но также, из-за игнорирования типов, он предполагает, что все формальные числа являются униформными. Предположение, которое действительно существенно для этого рассуждения здравого смысла, насколько это касается формы его арифметических выводов, — это предположение, что ни один из числовых символов не представляет . Это предположение обеспечивается здесь, когда типы не указаны явно, с помощью и . Теперь мы должны рассмотреть влияние на арифметические операции другого предположения, что формальные числа являются униформными или частично униформными. Никаких трудностей, возникающих из-за какого-либо изменения конвенции для символики, нет, поскольку, как сказано выше, частичная или полная униформность обеспечивается явным указанием типа. Соответственно, конвенции продолжают, как всегда, применяться, когда типы формальных чисел оставлены двусмысленными.

Конвенция не будет применяться ни в *118, ни в *119, ни в *120: в *118 этот факт совершенно неважен, поскольку доминантные типы уравнительных вхождений всегда указаны, так что не возникает случая, когда она могла бы применяться.

Помимо своего внутреннего интереса и значения для подстановки, арифметика униформных формальных чисел необходима для *120, где исследуются фундаментальные арифметические свойства индуктивных чисел.

Предложения этого параграфа доказываются с использованием результатов *117. Основой рассуждения является

*118·13.

В *118·2·3·4 указано значение символики для доминантных типов, а именно

*118·2.

*118·3.

*118·4.

Важные предложения, к которым в конечном итоге приходят для сложения, суть

*118·23.

*118·24.

*118·241.

*118·25.

Важные предложения для умножения суть

*118·33.

*118·34.

*118·341.

*118·35.

*118·351.

Важные предложения для возведения в степень суть

*118·43.

*118·44.

*118·441.

*118·45.

*118·451.

*118·46.

*118·461.

с двумя аналогичными предложениями *118·462·463,

*118·47.

*118·471.

с двумя аналогичными предложениями *118·472·473.

Таким образом видно, что, за исключением некоторых исключительных случаев, связанных с 0 и 1, во всех арифметических операциях униформные или частично униформные формальные числа могут заменить те, которые построены в соответствии с конвенцией .

*118·01.

Что касается символики, то это предложение с исключением из гипотезы является транскриптом *20·18. Но если или (не исключая обоих) является формальным числом, необходимо в случае, если вхождение в является арифметическим. Фактически это предложение воплощает три фундаментальных предложения Принципа арифметической подстановки, к которым пришли в Предварительных пояснениях о типах. Его необходимость возникает из конвенции , которая объясняется там.

*118·11.

Док.

*118·12.

*118·13.

*118·2.

*118·201.

*118·21.

Док.

Здесь ссылка относится к конвенции , объясненной в предисловии.

*118·22.

Док.

*118·23.

Док.

*118·24.

Док.

*118·241.

*118·25.

Док.

*118·3.

*118·301.

*118·31.

Док.

*118·311.

*118·32.

Док.

*118·33.

*118·34.

Док.

*118·341.

*118·35.

*118·351.

*118·352.

*118·4.

*118·401.

*118·402.

Док.

*118·41.

Док.

*118·411.

*118·42.

*118·421.

*118·43.

*118·44.

*118·441.

*118·45.

Док.

*118·451.

Док.

*118·46.

*118·461.

Док.

*118·462.

*118·463.

*118·47.

*118·471.

Док.

*118·472.

*118·473.

*119. ВЫЧИТАНИЕ.

Резюме *119.

Обработка вычитания следует тем же общим линиям, что и сложение, и упрощается результатами в *110. Трудность возникает из того факта, что вычитание (в любом обычном смысле этого термина) не всегда возможно; а также из того факта, что результат, когда он возможен, не всегда является кардинальным числом.

Мы полагаем

*119·01.

Таким образом, когда вычитание (в обычном смысле термина) невозможно,

Вопрос экзистенциальной корректировки типов рассматривается в предисловии в сочетании со следующими определениями:

*119·02.

*119·03.

Затем мы переходим к выводу элементарных свойств, выводимых из этих определений.

*119·11.

*119·12

*119·14.

*119·25.

*119·26.

Следующая группа предложений касается некоторых простых результатов вычитания.

*119·32.

*119·34.

*119·35.

Затем рассматриваются ассоциативные законы.

*119·44.

*119·45.

Затем рассматривается вопрос о типах:

*119·52.

Трудность возникает из того факта, что если и суть два полных типа, членами которых являются классы, мы не можем доказать, что либо , либо .

*119·54.

Затем мы получаем

*119·541.

Наконец, мы показываем, что любая экзистенциальная корректировка типов будет достаточной для компонентов:

*119·61.

*119·62.

Также *119·25·26 теперь расширены до

*119·64.

Единственные применения предложений этого параграфа связаны с индуктивными кардинальными числами (ср. *120).

*119·01.

Здесь суффикс к знаку вычитания введен, чтобы показать, что мы имеем дело с кардинальным вычитанием. Будет обнаружено, что не является , за исключением гипотез для и .

*119·02.

*119·03.

*119·04.

Заметьте, что вхождение формального числа на месте или в есть арифметическое вхождение, и, соответственно, к нему применяется .

*119·1.

*119·101.

*119·102.

*119·103.

*119·11.

*119·12.

Док.

Таким образом, есть , когда есть .

*119·13.

Док.

*119·14.

*119·21.

Обозначение определено в *65·01.

Док.

*119·22.

Док.

*119·23.

Док.

*119·24.

*119·25.

Док.

*119·26.

Док.

*119·27.

О расширении этой теоремы см. *119·64.

*119·31.

Док.

Предпоследний шаг в доказательстве использует принцип, объясненный в предисловии, что, поскольку в предыдущей строке уравнение имеет стороны, тип которых не определен конвенциями и , для них может быть выбран любой удобный тип. Тип, выбранный в этой строке, таков, что , и ссылки указывают на существование по крайней мере одного такого типа.

*119·32.

*119·33.

Док.

*119·34.

*119·35.

Док.

*119·41.

Док.

*119·42.

Док.

Заметьте, что если есть бесконечный класс, из того, что , не следует, что . Это будет доказано, однако, когда есть индуктивный класс (ср. *120·41).

*119·43.

Док.

*119·44.

Док.

*119·45.

*119·51.

Док.

*119·52.

Трудность в отношении типов, которая возникает из того факта, что и не были доказаны как идентичные, не существует, когда есть «индуктивное число»; ср. *120·413.

*119·53.

*119·531.

Док.

*119·532.

Док.

*119·54.

*119·541.

*119·61.

Док.

*119·62.

Док.

*119·63.

Док.

*119·64.

Док.

*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме *120.

Индуктивные кардинальные числа — это те, которые подчиняются математической индукции, начиная с 0, т.е. на языке Части II, Раздела E, они являются потомством 0 по отношению к отношению к , или, на более популярном языке, это те, которые могут быть достигнуты из 0 последовательными прибавлениями 1. В прежние времена предполагалось, что это все кардинальные числа, а математическая индукция рассматривалась как своего рода самоочевидная аксиома. Теперь мы знаем, что только некоторые кардинальные числа подчиняются математической индукции, начиная с 0. Именно эти кардинальные числа и должны быть рассмотрены в этом параграфе. Они охватывают 0, 1, 2, ... и, как правило, все те кардинальные числа, которые обычно называются конечными, все те, которые могут быть выражены в обычной арабской системе счисления, и никакие другие. Предложения, которые должны быть доказаны относительно них в этом параграфе, являются элементарными и знакомыми; интерес заключается целиком в определении и методе доказательства, а не в самих предложениях.

Положим

Поскольку имеет обязательно свою область определения и область значений одного и того же типа, важно быть осторожным при отметке отношений типа. Соответственно, мы также полагаем

Мы начинаем с применения предложений *90. Таким образом, мы имеем

*120·11.

*120·12.

*120·121.

*120·13.

*120·15.

*120·151.

*120·152.

Затем мы переходим к выводу элементарных свойств индуктивных классов , полагая

Мы имеем

*120·21.

*120·211.

(У нас здесь нет эквивалентности, потому что, насколько мы знаем, могло бы быть возможным определить двусмысленность так, чтобы , даже когда . Это не будет возможным, однако, если предполагается аксиома бесконечности.)

*120·212·213.

*120·214.

У нас есть набор предложений, применяющих индукцию к классам напрямую, а не через посредство кардинальных чисел. Таким образом, мы имеем

*120·251.

*120·26.

Затем мы формулируем аксиому бесконечности и доказываем (*120·33), что она эквивалентна предположению, что если есть индуктивное кардинальное число, . Чтобы доказать это, мы сначала доказываем различные предложения о , среди прочих следующие:

*120·311.

*120·322.

Затем мы переходим к рассмотрению вычитания (*120·41 — ·418), которое дает кардинальное число только тогда, когда вычитаемое есть индуктивное кардинальное число. Мы имеем

*120·41.

Мы могли бы обоснованно положить вместо , поскольку будет истинным всякий раз, когда оно значимо.

Мы имеем

*120·411.

*120·4111.

Следовательно, мы приходим к условиям, необходимым для обычной точки зрения на вычитание; а именно,

*120·412.

Также из *120·4111 мы выводим

*120·414.

И из *120·411 ·119·34 мы находим

*120·416.

Затем мы доказываем, что никакая собственная часть индуктивного класса не подобна целому (*120·426), т.е. что индуктивные классы являются нерефлексивными, и различные связанные предложения, например,

*120·423.

*120·4232.

*120·428.

*120·429.

Последние два из вышеуказанных предложений не имеют места в общем случае, когда есть кардинальное число, которое не является индуктивным.

Затем мы доказываем, что если есть существующее индуктивное кардинальное число, то любое существующее кардинальное число больше, равно или меньше (*120·441); что если , суть индуктивные кардинальные числа, то таковым является и (*120·45 ·4501), и если есть индуктивное кардинальное число, отличное от , то таковыми являются и (*120·452). Затем у нас есть некоторые предложения, касающиеся математической индукции, начинающейся с 1 или 2, например,

*120·4622.

*120·47.

Из *120·452 мы выводим

*120·48.

так что любое число, меньшее индуктивного числа, является индуктивным. Следовательно

*120·481.

что является предложением, постоянно используемым, и

*120·491.

Затем мы доказываем, что если , суть индуктивные кардинальные числа, то и суть либо индуктивные кардинальные числа, либо (*120·5 ·120·52), в то время как, наоборот, если или есть существующее индуктивное кардинальное число, то и суть таковыми же, с исключениями для 0 и 1 (*120·512 ·56 ·561). Следовательно, мы выводим единственность деления и извлечения корней (*120·51 ·53 ·55), пока речь идет об индуктивных числах.

Затем у нас есть набор предложений об аксиоме бесконечности и мультипликативной аксиоме. Мы доказываем (*120·61), что если существует какое-либо существующее кардинальное число, которое не является индуктивным, то аксиома бесконечности истинна. Из *83·9·904 мы выводим индукцией, что если есть индуктивный класс, для которого не является числом, то существует (*120·62), откуда следует, что либо мультипликативная аксиома, либо аксиома бесконечности должны быть истинными (*120·64).

Наконец, у нас есть набор предложений об индуктивных классах. Мы доказываем

*120·71.

*120·74.

*120·75.

с аналогичными предложениями (включающими, однако, гипотезу относительно ) по предмету .

Предложения настоящего параграфа существенны для обычной арифметики конечных чисел. В настоящей работе, однако, они не используются много после настоящего раздела, пока мы не дойдем до Части V, Раздела E, где мы имеем дело с порядковой теорией конечного и бесконечного.

*120·01.

Заметьте, что в силу наших общих конвенций для дескриптивных функций двух аргументов (*38), . То есть есть отношение кардинального числа к его непосредственному предшественнику. Это число, записанное в обычной математической нотации как +1 в ряду положительных и отрицательных целых чисел, точно так же, как его конверс есть число -1. (Следует заметить, что если есть любое кардинальное число, + не тождественно , поскольку + есть отношение, в то время как есть класс классов.)

*120·011.

Все члены принадлежат к тому же типу, что и , так что, если есть любой член , «» значимо.

*120·02.

*120·021.

В силу этих определений индуктивный класс — это тот, чье кардинальное число есть индуктивное кардинальное число.

*120·03.

«», подобно «», есть арифметическая гипотеза, которую некоторые сочтут самоочевидной, но которую мы предпочитаем сохранить как гипотезу и приводить в этой форме всякий раз, когда она уместна. Подобно «», она утверждает теорему существования. В вышеуказанной форме она утверждает, что если есть любое индуктивное кардинальное число, то существует по крайней мере один класс (рассматриваемого типа), который имеет членов. Эквивалентным предположением было бы то, что если есть любой индуктивный класс, то существуют объекты, которые не являются членами . Ибо в этом случае, если есть такой объект, . Следовательно, по индукции, каждое индуктивное кардинальное число должно существовать. Другим эквивалентным предположением было бы то, что (класс всех объектов рассматриваемого типа) не является индуктивным классом. Предположение, что существует в рассматриваемом типе, является, как мы увидим, более сильным предположением, чем вышеуказанное, если только мы не предполагаем мультипликативную аксиому.

Если аксиома бесконечности истинна, индуктивные кардинальные числа все различны одно от другого, т.е. , где и суть индуктивные кардинальные числа, не равно , если только . Но если аксиома бесконечности ложна, то в любом заданном типе все кардинальные числа после определенного являются . (За исключением самого низкого типа, последнее существующее кардинальное число должно быть степенью 2.) То есть, если (скажем) 8 было самым большим существующим кардинальным числом в рассматриваемом типе, мы имели бы в этом типе , и то же самое относилось бы к 10, 11, .... Эту возможность необходимо учитывать в том, что следует далее.

Чтобы придать типическую определенность аксиоме бесконечности, мы пишем

*120·04.

Тогда «» утверждает, что если есть любое индуктивное кардинальное число, то существуют по крайней мере объектов того же типа, что и .

*120·1.

*120·101.

Правая сторона вышеуказанной эквивалентности дает обычную формулу для математической индукции. Заметьте, что условия значимости требуют, чтобы было взято в том же типе, что и . Этот факт особенно уместен в доказательстве *120·15.

Символ «» имеет двусмысленный тип, не обязательно один и тот же в разных вхождениях; также, согласно конвенции, объясненной в предисловии как действующей для и , «» не будет подразумевать, что и имеют один и тот же тип. Соответственно, чтобы избежать ошибки в связи с *120·1 ·101, требуется типическая определенность, как в трех следующих предложениях.

*120·102.

*120·103.

*120·11.

*120·12.

*120·121.

С помощью этого предложения и *120·12 любое заданное кардинальное число в ряду натуральных чисел может быть показано как индуктивное кардинальное число; таким образом, например, чтобы показать, что 27 есть индуктивное кардинальное число, нам придется использовать *120·121 двадцать семь раз подряд.

*120·122.

*120·123.

*120·124.

Док.

*120·13.

Док.

Вышеуказанное предложение часто удобно для индуктивных доказательств.

*120·14.

Док.

Это предложение не показывает, что каждое индуктивное кардинальное число является существующим кардинальным числом; чтобы получить это, нам требуется аксиома бесконечности.

*120·15.

т.е. кардинальное число, которое не является пустым и является индуктивным в любом одном типе, также является индуктивным в любом другом типе.

Док.

*120·151.

Док.

*120·152.

Док.

Следующие предложения, дающие альтернативные формы для определения индуктивных классов, вставлены для того, чтобы показать, что теория индуктивных классов могла бы рассматриваться менее арифметическим образом, чем мы приняли.

*120·2.

*120·201.

Док.

*120·21.

Док.

Заметьте, что «» не доказано выше. Доказательство сталкивается с трудностью, что мы можем иметь ; чтобы установить наше предложение в этом случае, мы должны показать, что если , то каждый класс есть индуктивный класс. Мы можем, однако, доказать следующую импликацию.

*120·211.

Док.

*120·212.

*120·213.

*120·214.

Следующие предложения являются леммами для *120·24.

*120·22.

Док.

*120·221.

Док.

*120·222.

Док.

Доказательство этого предложения могло бы также идти путем использования униформных формальных чисел, применяя *118·241.

*120·23.

Док.

*120·24.

Док.

Это предложение могло бы быть использовано для определения индуктивных классов. Оно дает форму математической индукции, применимую к классам, а не к числам. Фактически оно утверждает, что индуктивный класс — это тот, который может быть сформирован путем добавления членов по одному, начиная с . Это сделано более явным в *120·25. Вместо , в вышеуказанных предложениях, так же как и в тех, что следуют, мы можем ясно подставить

*120·25.

*120·251.

*120*26.

*120·261.

*120·27.

Док.

Это предложение также следует непосредственно из *12·21·15.

*120·3.

*120·301.

*120·31.

Док.

*120·311.

*120·32.

Док.

*120·321.

Док.

*120·322.

*120·33.

*120·41.

Док.

Вышеуказанное предложение устанавливает (с естественными ограничениями) единственность (внутри каждого типа) вычитания (понимаемого как в *120·412), когда вычитаемое есть индуктивное кардинальное число. (Когда вычитаемое есть неиндуктивное кардинальное число, вычитание перестает давать уникальный результат.) Следовательно, мы приходим к следующим расширениям *118 для случая индуктивных кардинальных чисел:

*120·411.

Док.

*120·4111.

Док.

*120·412.

Док.

*120·413.

Док.

*120·414.

*120·415.

*120·416.

*120·417.

*120·418.

*120·42.

Док.

*120·422.

Док.

*120·423.

Док.

*120·4231.

Док.

*120·4232.

*120·424.

Док.

*120·425.

Док.

*120·426.

Док.

*120·427.

Вышеуказанное предложение показывает, что никакой рефлексивный класс не является индуктивным.

*120·428.

Док.

*120·429.

Док.

Следующее определение, в котором «» означает «», определяет «вид» кардинального числа как все кардинальные числа, которые меньше, равны или больше . Мы не можем доказать, если только не предположим мультипликативную аксиому, что все кардинальные числа принадлежат к виду , за исключением случая, когда есть индуктивное кардинальное число. Во всех других случаях могут, насколько известно в настоящее время, существовать другие кардинальные числа, которые не являются ни больше, ни меньше .

*120·43.

*120·431.

*120·432.

*120·433.

*120·434.

*120·435.

*120·436.

*120·437.

*120·438.

Док.

*120·44.

Док.

*120·441.

*120·442.

Док.

*120·45.

Док.

*120·4501.

Док.

Следующее предложение является леммой в доказательстве *120·452.

*120·451.

Док.

Это предложение могло бы быть расширено до большей общности в отношении типов; но его единственное использование — в качестве леммы.

*120·452.

Док.

В предпоследней строке вышеуказанного доказательства мы подставляем вместо функции *120·11 функцию

Следующие предложения требуются главным образом как ведущие к *120·4621 ·4622 ·47, которые полезны при доказательстве предложений, касающихся всех индуктивных кардинальных чисел, отличных от нуля.

*120·46.

Док.

*120·461.

Док.

*120·462.

*120·4621.

Док.

*120·4622.

Док.

Именно от этого предложения зависит несущественность типов при рассмотрении кардинальных чисел индуктивного типа.

*120·463.

*120·47.

Таким образом, математическая индукция, начинающаяся с 1, будет применима ко всем кардинальным числам индуктивного типа, за исключением 0. Аналогичные предложения могут быть доказаны подобным образом для 2, 3, ....

*120·471.

Док.

*120·472.

Док.

*120·473.

Док.

*120·48.

Таким образом, каждое кардинальное число, которое не больше любого кардинального числа индуктивного типа, является кардинальным числом индуктивного типа.

*120·481.

Таким образом, если можно найти какой-либо класс индуктивного типа, содержащий данный класс, то данный класс также является классом индуктивного типа.

*120·49.

Док.

Таким образом, каждое кардинальное число неиндуктивного типа (за исключением ) больше любого кардинального числа индуктивного типа (за исключением ).

*120·491.

Док.

*120·492.

В силу *120·491 класс , который не является классом индуктивного типа, содержит подклассы, имеющие 0, 1, 2, 3, ... членов. Если мы возьмем последовательные классы подклассов , то они будут взаимно исключающими, и все они существуют при условии, что не является кардинальным числом индуктивного типа, т.е. при условии, что выполняется аксиома бесконечности. Таким образом, если выполняется аксиома бесконечности, мы получаем классы подклассов, содержащиеся в любом классе неиндуктивного типа. Отсюда следует, как мы увидим позже, что если есть класс неиндуктивного типа, то есть рефлексивный класс. Это, по-видимому, наиболее близкий возможный подход к отождествлению двух определений конечного и бесконечного, когда мультипликативная аксиома не предполагается. Когда мультипликативная аксиома предполагается наряду с аксиомой бесконечности, мы выбираем один класс из , один из и так далее; затем, формируя логическую сумму всех этих классов, мы получаем членов, которые являются элементами . Отсюда следует, что есть рефлексивный класс; ибо, как мы увидим позже, рефлексивный класс — это класс, который содержит подклассы членов. Таким образом, с помощью мультипликативной аксиомы два определения конечного и бесконечного могут быть отождествлены.

*120·493.

Док.

*120·5.

Док.

Ограничение, подразумеваемое в гипотезе вышеприведенного предложения, не является необходимым, если мы предположим, что аксиома бесконечности должна нарушаться в любом одном типе, если она нарушается в любом другом, т.е. где и — любые два объекта любых двух типов. Доказательство этого предложения потребовало бы допущений относительно взаимосвязи различных типов, которые не были сделаны в наших предыдущих доказательствах.

*120·51.

Это предложение устанавливает единственность деления среди кардинальных чисел индуктивного типа.

Док.

Если , в вышеприведенном являются типически двусмысленными символами, такими как , то мы имеем ; ибо в этом случае . Также, если и одного типа, мы имеем в силу *103·43. Следовательно, «» может быть с истинностью подставлено вместо «» в вышеприведенном предложении, поскольку результат истинен всякий раз, когда он значим. Но в этой форме предложение дает меньше информации, так как оно ничего не говорит о том, что происходит, когда и не одного типа.

*120·511.

Док.

*120·512.

Док.

*120·513.

Это предложение не выполняется, когда есть кардинальное число неиндуктивного типа.

*120·52.

Док.

*120·53.

Док.

Если , , — типически двусмысленные символы, мы имеем в заключении вышеприведенного предложения вместо . Также, если и одного типа, ; таким образом, всякий раз, когда «» значимо.

*120·54.

Для доказательства, которое здесь приведено кратко, сравните *117·58.

Док.

*120·541.

*120·542.

*120·55.

Док.

*120·56.

Док.

*120·561.

Док.

*120·57.

Здесь «» обязательно находится в более высоком типе, чем «», потому что оно применяется к классу, членом которого является .

Док.

*120·6.

Док.

*120·61.

Док.

*120·611.

Док.

*120·62.

Док.

Вышеприведенное предложение может быть также выведено из *120·611 с помощью *62·231.

*120·63.

В силу этого предложения мультипликативная аксиома не требуется при работе с конечным числом множителей, даже когда некоторые или все множители сами являются бесконечными.

*120·64.

Док.

Таким образом, из наших двух арифметических аксиом, мультипликативной аксиомы и аксиомы бесконечности, по крайней мере одна должна быть истинной.

*120·7.

*120·71.

Док.

Вышеприведенное предложение часто используется.

*120·72.

Док.

*120·721.

Док.

*120·73.

*120·731.

*120·74.

Док.

*120·741.

Док.

*120·75.

Док.

*120·76.

Док.

Следующие предложения направлены на установление обратного к *120·76 при условии подходящей гипотезы. Окончательный результат приведен в *120·77.

*120·761.

Док.

*120·762.

Док.

*120·764.

*120·765.

*120·766.

Док.

*120·767.

*120·77.

*121. ИНТЕРВАЛЫ.

Резюме *121.

Настоящий номер посвящен классу членов между и относительно некоторого отношения , т.е. тем членам, которые лежат на пути от к , на котором любые два последовательных члена имеют отношение . Такой путь можно назвать -путем, и если , шаг от к можно назвать -шагом. Для того чтобы существовал -путь от к , необходимо и достаточно, чтобы мы имели . Когда это условие выполняется, в общем случае будет много -путей от к . Но если , или если , то самое большее один путь ведет от к . Это следует из предложений *96. В силу этих предложений, если , то на всем пути от к , и этот путь образует открытый ряд. Две другие возможности с — это (предполагая )

В первом случае существует циклический путь от к , и существуют два пути от к : один состоит из той части цикла, которая необходима для достижения , другой состоит из этой части вместе со всем циклом, необходимым для перемещения от обратно к . Таким образом, класс членов, которые могут быть достигнуты в некотором путешествии от к , есть весь класс потомков , т.е. класс , который является циклом, составляющим путь от к .

Во втором случае потомки образуют , и находится в круговой части . Здесь, как и прежде, существуют два пути от к , из которых первый останавливается, как только достигает , в то время как второй продолжает движение по кругу, пока снова не придет к . Таким образом, здесь опять все потомки лежат на некотором пути между и .

Интервал между и определяется как класс членов, лежащих на некотором пути от к . Будет четыре вида интервала, в зависимости от того, включаем мы или не включаем конечные точки как таковые. Мы обозначаем вид, включающий обе конечные точки, через , исключающий обе — через , а два других соответственно через

Определения таковы

Если является либо один-ко-многим, либо многим-к-одному, оно будет один-к-одному на всем интервале , за исключением самое большее одной исключительной точки, а именно соединения хвоста и круга . Если или , интервал между и не может быть -образным, а должен быть либо открытым, либо циклическим; в любом случае на всем , без исключений; ибо если , на всем интервале, потому что интервал содержится в , и если , потому что интервал содержится в . Таким образом, на протяжении этого номера мы будем постоянно иметь гипотезу ; если , предполагается, что интервал пройден от к , в то время как если , предполагается, что он пройден от к . В любом случае интервал между и должен быть классом индуктивного типа. Это доказано в *121·47. Если, однако, является сериальным (ср. *204) и, таким образом, ни многим-к-одному, ни один-ко-многим, интервал между и есть отрезок ряда между и , с конечными точками или без них в соответствии с выбранным определением, и не обязательно должен быть классом индуктивного типа.

Если интервал между и (оба включены) имеет членов, мы говорим, что . Таким образом, если существует только один путь от к , «» означает, что требуется шагов, чтобы добраться от к . Предполагая , если мы также имеем (т.е. если ни одно из семейств не является циклическим), то если и , мы будем иметь . На этой основе строится индуктивная теория , и показано, что класс таких отношений, как для различных индуктивных значений , есть то же самое, что , класс степеней , включая (*121·5). Определение таково

Весь класс таких отношений, как для различных индуктивных значений , называется , т.е. мы полагаем

Если существует, и если , то потомки , пока мы не достигнем члена, для которого , могут быть однозначно описаны как 2-й, 3-й, ...-й, ... члены потомства , причем само является 1-м членом. Корреляция, осуществленная таким образом с кардинальными числами индуктивного типа, является логической сущностью процесса счета; последнее кардинальное число, использованное в корреляции, есть кардинальное число посчитанных членов. Мы будем называть эти члены , , ... , ..., определяя следующим образом:

Это обозначение не противоречит , как определено в *65.01. Там должен быть класс, если есть кардинальное число, здесь должно быть кардинальное число, а — отношение.

Следовательно, всякий раз, когда существует, число членов от начала до (оба включены) есть . Это факт, на который опирается счет. Если есть многим-к-одному, и содержится в разнообразии, и есть любое кардинальное число индуктивного типа, отличное от 0, то существует тогда и только тогда, когда имеет по крайней мере членов; т.е., грубо говоря, существует всякий раз, когда можно было бы ожидать его существования. В этом случае все потомство содержится в ряду , , ... , ... (*121·62). Если потомство является классом индуктивного типа, этот ряд останавливается; если нет, он образует прогрессию (ср. *122).

Предложения настоящего номера очень полезны не только в этом разделе, но и в порядковой теории конечного и бесконечного, а также в частях книги, следующих за этой теорией.

После некоторых предложений, которые просто повторяют определения и дают непосредственные следствия, мы переходим (*121·3 и сл.) к теории .

*121·302.

*121·305.

*121·31.

Когда есть транзитивное сериальное отношение, мы будем иметь .

*121·321.

*121·333.

*121·35·351·352.

Аналогичный результат справедлив для , которое = в тех же обстоятельствах.

Далее мы переходим к доказательству того, что интервал (при аналогичной гипотезе) всегда является классом индуктивного типа. Это занимает *121·4—·47, будучи суммированным в предложении

*121·47.

Это важное предложение. Оно ведет к

*121·481.

с аналогичным предложением, если .

Следующий набор предложений (*121·5—·52) касается . Предполагая , мы доказываем, что и (*121·5); что если не пусто, (*121·501); что (*121·52) и (*121·502); и что и т.д. (*121·51).

Наш следующий набор предложений касается (*121·6—·638). Мы имеем

*121·601.

*121·602.

*121·634.

Наконец, у нас есть три предложения (*121·7—*121·72) о , из которых наиболее полезным является

*121·7.

*121·01.

*121·011.

*121·012.

*121·013.

*121·02.

*121·03.

*121·031.

*121·04.

*121·1.

*121·101.

*121·102.

*121·103.

*121·11.

*121·12.

*121·121.

*121·13.

*121*131.

*121·14.

*121·141.

*121·142.

*121·143.

*121·2.

*121·201.

*121·202.

*121*21.

Док.

*121·22.

*121·23.

*121·231.

*121·24.

Док.

*121·241.

*121·242.

*121*25.

*121·251.

*121·252.

*121·253.

*121·254.

*121·254 часто используется в теории рядов.

*121·26.

Док.

*121·27.

Док.

*121·271.

*121·272.

Док.

*121·273.

Док.

*121·3.

Док.

*121·301.

Док.

*121·302.

*121·303.

Док.

*121·304.

Док.

*121·305.

Док.

*121·306.

Док.

*121·307.

*121·308.

*121·31.

*121·32.

Док.

Если не является кардинальным числом, или если , .

*121·321.

Док.

*121·322.

*121·323.

*121·324.

Док.

*121·325.

Док.

*121·326.

*121·327.

Док.

*121·33 и ·331 являются леммами для *121·332, которое является очень полезным предложением.

*121·33.

Док.

Из вышеприведенного предложения следует, что

Это не следует, если , потому что всегда будет истинно, если , и поэтому (когда ) если .

*121·331.

Док.

*121·332.

*121·333.

*121·34.

Док.

*121·341.

*121·342.

*121·35.

Док.

*121·351.

*121·352.

*121·36.

Док.

*121·361.

*121·37.

Док.

*121·371.

*121·372.

*121·373.

*121·374.

Доказательства этих предложений аналогичны доказательству *121·37.

*121·38.

*121·381.

*121·382.

*121·383.

*121·384.

*121·39.

Док.

Следующая серия предложений касается доказательства *121·47, т.е. Доказательство для следует из доказательства для с помощью *121·143. Ограничиваясь, таким образом, , мы действуем следующим образом.

Мы доказываем сначала, что, начиная с z и двигаясь назад, каждый новый шаг добавляет только один член (который может не быть отличным от всех своих предшественников); т.е. мы имеем . Отсюда следует по индукции, что если есть класс индуктивного типа, то и есть класс индуктивного типа. Таким образом, нам нужно только доказать, что есть класс индуктивного типа. Здесь мы должны различать два случая, в зависимости от того, или . В первом случае мы имеем , откуда есть класс индуктивного типа, и поэтому таковым является и .

Но во втором случае, когда , дело обстоит сложнее. В этом случае является членом цикла, причем цикл есть . Мы должны доказать, что этот цикл должен быть классом индуктивного типа. Учитывая , будет членом этого цикла, если , и может находиться в конце хвоста , если . (Ср. *96.)

Согласно *96·453, мы знаем, что есть , когда ограничено . Следовательно, в , имеет уникального предшественника, скажем . Предположим . Мы затем воображаем барьер, помещенный между и , т.е. мы строим отношение , которое должно выполняться между любыми двумя последовательными членами , за исключением и . Полагая , мы имеем . Тогда отношение порождает открытый ряд, состоящий из всех членов ; т.е. мы имеем . Следовательно, согласно нашему предыдущему случаю, поскольку есть класс индуктивного типа, таковым является и .

Если , то согласно *96·33 цикл сводится к единственному члену , и поэтому все еще является классом индуктивного типа.

Следовательно, , а значит, и , всегда является классом индуктивного типа, когда , что и требовалось доказать.

*121·4.

Док.

*121·41.

Док.

В силу этого предложения нам нужно только доказать . Это очевидно, когда , ибо тогда либо , либо . Но когда , это сложнее.

*121·42.

Док.

*121·43.

Док.

*121·431.

Док.

*121·432.

Док.

*121·433.

Док.

*121·434.

Док.

*121·44.

Док.

*121·441.

*121·45.

*121·46.

*121·47.

*121·48.

Док.

*121·481.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в доказательстве *122·35, которое является важным предложением в теории прогрессий.

Следующие предложения касаются отождествления таких отношений, как со степенями в смысле *91.

*121·5.

Док.

*121·501.

Док.

*121·502.

Док.

*121·51.

Док.

*121·52.

Мы на более позднем этапе (*301) дадим общее определение . Когда это определение будет введено, мы сможем доказать, при гипотезе *121·51, Определение отложено из-за различных осложнений, которые затрудняют общее определение . Главная трудность возникает, когда . Таким образом, предположим, что у нас есть ; мы также будем иметь , , и т.д. Следовательно, если у нас есть , мы имеем . Опять же, предположим, что этот случай исключен, но предположим . Тогда мы будем иметь . Таким образом, общее определение должно быть сложным, за исключением случаев, когда .

Следующие предложения касаются ряда отношений и ряда членов . Отношение выполняется между двумя членами (грубо говоря), когда требуется шагов, чтобы добраться от первого ко второму; член есть -й член, начиная с , который, когда он существует, есть . Для того чтобы существовал, необходимо, чтобы существовал, и чтобы существовал только один член в области , такой, что интервал от до (оба включены) состоит из членов. Когда это имеет место для всех кардинальных чисел индуктивного типа от 1 до , мы можем сказать, что порождает ряд, начинающийся с и имеющий по крайней мере членов, каждый из которых коррелирует с одним из кардинальных чисел в интервале от 1 до , оба включены; т.е. ряд имеет -й член, всякий раз, когда . Если это выполняется для всех индуктивных значений , семейство есть прогрессия [9]. (Будет замечено, что все такие члены, как , принадлежат семейству , которое не обязательно должно составлять всю область .)

*121·6.

Док.

*121·601.

Док.

*121·602.

Док.

*121·61.

Док.

*121·62.

Док.

*121·63.

Док.

*121·631.

Док.

*121·632·633 требуются для доказательства *121·634.

*121·632.

Док.

*121·633.

*121·634.

*121·635.

Док.

*121·636.

Док.

*121·637.

Док.

*121·638.

Док.

*121*64.

Док.

*121·641.

*121·65.

Док.

*121·66.

Док.

Следующее предложение используется в *122·38·381.

*121·7.

Док.

*121·71.

Док.

*121·72.

СНОСКИ:

[9] Ср. *122, ниже.

*122. ПРОГРЕССИИ.

Резюме *122.

Под «прогрессией» мы понимаем ряд, который подобен ряду кардинальных чисел индуктивного типа в порядке возрастания величины (предполагая, что все кардинальные числа индуктивного типа существуют), т.е. ряд, члены которого могут быть названы , где каждый член ряда коррелирует с некоторым кардинальным числом индуктивного типа, и каждое кардинальное число индуктивного типа коррелирует с некоторым членом ряда. Такие ряды принадлежат отношенческому числу (ср. *152 и *263), которое Кантор называет . Их порождающее отношение может быть принято как транзитивное отношение «раньше» и «позже», или как отношение один-к-одному непосредственного предшественника к непосредственному преемнику. Мы зарезервируем обозначение для транзитивных порождающих отношений прогрессий; в настоящее время мы имеем дело с отношениями один-к-одному, которые порождают прогрессии. Класс этих отношений мы будем называть «».

Неудобно определять прогрессию как ряд, который порядково подобен ряду кардинальных чисел индуктивного типа, как потому, что это определение применимо только в том случае, если мы предполагаем аксиому бесконечности, так и потому, что мы в любом случае должны показать, что (предполагая аксиому бесконечности) ряд кардинальных чисел индуктивного типа обладает определенными свойствами, которые могут быть использованы для получения прямого определения прогрессий. Существование прогрессий, однако, достижимо только с помощью аксиомы бесконечности, и тогда легче всего получается из того факта, что кардинальные числа индуктивного типа образуют прогрессию. Мы не будем рассматривать теорему существования до следующего номера (*123).

Начиная с этого номера, используется соглашение Предисловного заявления, когда это уместно.

Характеристики порождающего отношения прогрессии, которые мы используем в определении, следующие:

(1) есть отношение один-к-одному;

(2) существует первый член, т.е. ;

(3) вся область содержится в потомстве первого члена, т.е. . (Если бы это не удалось, состояло бы из двух или более различных семейств, из которых, поскольку мы имеем , все, кроме одного, должны были бы быть циклическими семействами.)

(4) каждый член области имеет преемника, т.е. ряд бесконечен. Это обеспечивается , или (что эквивалентно) .

Эти четыре свойства достаточны для определения отношений один-к-одному, порождающих прогрессии. Будет замечено, что (2), (3) и (4) все обеспечиваются

Это обеспечивает , согласно *14·21; это обеспечивает , согласно *37·25 и *90·163; следовательно, согласно *33·181, , и поэтому

Следовательно, наше определение прогрессий таково

Вместо того чтобы указывать в определении, что должно быть отношением один-к-одному, достаточно положить , что вместе с подразумевает , и может быть подставлено вместо без изменения силы определения (*122·17).

В настоящем номере мы докажем, среди прочих предложений, что каждый существующий класс, содержащийся в прогрессии, имеет первый член (*122·23), т.е. что прогрессии являются вполне упорядоченными рядами; что в прогрессии (*122·16), что делает предложения *121 доступными; что если есть любое кардинальное число индуктивного типа, отличное от 0, существует (*122·33), т.е. ряд имеет -й член; что любой класс, содержащийся в и имеющий последний член, является классом индуктивного типа (*122·43), и что любой класс, содержащийся в и не имеющий последнего члена, сам является областью прогрессии (*122·45), так что каждый класс, содержащийся в , является либо индуктивным, либо областью прогрессии (*122·46); что если есть многим-к-одному, и член его области, и если потомки не имеют последнего члена и никто из них не является потомком самого себя, то упорядочивает этих потомков в прогрессию (*122·51); и что то же самое справедливо, если есть один-к-одному и (*122·52); и что если и принадлежит одному из поколений , но не одному из поколений , то упорядочивает все семейство в прогрессию (*122·54).

Следующие общие наблюдения о семействах отношений один-к-одному могут послужить для прояснения значения предложений этого раздела.

Учитывая любое отношение , мы называем , т.е. семейство . Если есть один-к-одному, это семейство может быть четырех различных видов. (1) Это может быть замкнутый ряд, подобный углам многоугольника. Это происходит, если . В этом случае семейство образует класс индуктивного типа. (2) Это может быть открытый ряд с началом и концом; это происходит, если

В этом случае также семейство образует класс индуктивного типа. (3) Это может быть открытый ряд с началом и без конца, или с концом и без начала. Это происходит, если или если . В этом случае ряд имеет тип или , и является неиндуктивным и рефлексивным. (4) Ряд может быть открытым и не иметь ни начала, ни конца. Это происходит, если . В этом случае мы получаем ряд, чье отношенческое число есть сумма (в смысле *180) и , что опять же является неиндуктивным и рефлексивным. Во всех четырех случаях, если и будут любыми двумя членами семейства , интервал между и является классом индуктивного типа.

Если является членом , или если семейство содержит член , случаи (1) и (4) исключаются, так как ряд имеет начало. В этом случае число предшественников любого члена является индуктивным числом. Будет замечено, что каждое семейство либо полностью содержится в , либо полностью содержится в ; семейства видов (2) и (3) (исключая, в (2), те, которые имеют конец, но не имеют начала) содержатся в , в то время как семейства видов (1) и (4), а также те из (2), которые имеют конец, но не имеют начала, содержатся в ; семейства, содержащие член , содержатся в , в то время как все остальные содержатся в .

Таким образом, отношение один-к-одному в общем случае порождает ряд полностью несвязных рядов, некоторые замкнутые, другие открытые, с началом или концом или без них. Условие того, что все ряды должны быть открытыми, есть .

Случай -образного семейства, рассмотренный в *96, не может возникнуть, когда , ибо в -образном семействе член в соединении хвоста и круга имеет двух предшественников, одного в хвосте и одного в круге, так что рассматриваемое отношение не является . Отсюда следует, что, когда , если есть семейство, содержащее член , (ср. *96·23).

Когда существует, существует только одно семейство, которое имеет начало. В этом случае, игнорируя другие семейства (если таковые имеются), мы называем члены семейства соответственно , , , .... Если семейство имеет членов, где есть кардинальное число индуктивного типа, его последним членом будет . Если, с другой стороны, число членов семейства не является кардинальным числом индуктивного типа, оно должно быть ; в этом случае семейство образует прогрессию, членами которой являются , , , ..., , ..., где всегда существует, когда есть кардинальное число индуктивного типа.

В дополнение к уже упомянутым предложениям, важны следующие:

*122·21.

(Ср. примечание к *122·21, ниже.)

*122·34.

*122·341.

В силу этих двух предложений члены прогрессии суть , где встречается каждое кардинальное число индуктивного типа. Это тот же факт, который обычно предполагается, когда члены представлены как

*122·35.

*122·36.

*122·37.

*122·38.

Т.е. число членов до любой заданной точки прогрессии является индуктивным.

*122·01.

*122·1.

*122·11.

Док.

Заметьте, что, согласно соглашениям относительно дескриптивных символов, включает существование , тогда как не включает, поскольку, если не существует, мы имеем , и поэтому будет удовлетворять эквивалентности, т.е. будет удовлетворять эквивалентности, хотя у него нет первого члена. Это причина, по которой явно появляется в *122·11, хотя в *122·1 оно было только неявным.

*122·12.

*122·14.

Док.

*122·141.

Док.

*122·142.

*122·143.

*122·15.

Док.

*122·151.

*122·152.

*122·16.

Это предложение позволяет нам применять к прогрессиям все предложения *121, в которых мы имеем в качестве гипотезы

*122·17.

Док.

Чтобы проиллюстрировать это предложение, рассмотрим его применение к кардинальным числам индуктивного типа, расположенным в порядке возрастания величины; т.е. возьмем в качестве значения отношение

Мы тогда имеем ; также

Мы имеем также , так что .

Опять же , откуда , т.е.

Но мы не получаем или , если у нас нет , что является аксиомой бесконечности. Если это условие не выполняется, мы достигаем, наконец, кардинального числа индуктивного типа, которое = , и мы имеем , так что имеет двух непосредственных предшественников, а именно самого себя и последнее существующее кардинальное число. Потомство 0 в этом случае есть , в котором круг сузился до единственного члена, а именно .

Таким образом, нам нужна аксиома бесконечности, чтобы доказать

*122·2.

*122·21.

Это предложение, вместе с *122·16 и *91·56, показывает, что если , имеет три свойства, которыми определяются транзитивные сериальные отношения (ср. *204), а именно: оно (1) транзитивно, (2) содержится в разнообразии, (3) связно, т.е. такое, что оно соотносит любые два различных члена своей области. Мы на более позднем этапе определим порядковое число как класс таких отношений, как , где .

*122·22.

Док.

*122·23.

Док.

Это предложение показывает, что каждый существующий класс, содержащийся в прогрессии, имеет первый член, т.е. что прогрессия является вполне упорядоченным рядом (ср. *250).

*122·231.

Док.

*122·24.

Док.

За исключением случаев, когда , не сведется к единственному члену. Фактически, если , , т.е. состоит из первых членов прогрессии.

*122·25.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что то, что мы можем назвать «арифметической прогрессией» в прогрессии, является прогрессией, т.е. если, начиная с любого члена прогрессии, мы берем каждый второй член, или каждый третий член, или каждый -й член, мы все равно имеем прогрессию.

*122·26.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что если существующий класс, содержащийся в прогрессии, не имеет максимума, то за любым заданным членом прогрессии следуют члены этого класса.

Следующее предложение гласит, что если класс имеет члены, принадлежащие прогрессии, и существуют члены прогрессии, которые не предшествуют ни одному члену этого класса, то в прогрессии существует последний член этого класса.

*122·27.

Док.

*122·28.

Док.

*122·3.

*122·31.

Док.

*122·32.

Док.

*122·33.

Док.

*122·34.

*122·341.

Док.

В силу *122·34·341 все члены прогрессии встречаются в ряду x, f'x, ... , f^n'x, ... , и каждое индуктивное кардинальное число, за исключением 0, используется при формировании этого ряда.

*122·35.

Док.

*122·36.

Док.

*122·37.

Док.

*122·38.

*122·381.

Следующая серия предложений посвящена доказательству того, что любой класс, содержащийся в прогрессии, является индуктивным, если он имеет последний член, и является прогрессией, если он не имеет последнего члена. В последнем случае предполагается, что он упорядочен так же, как и в исходной прогрессии. Некоторое усложнение необходимо для определения его взаимно однозначного порождающего отношения. Если f — порождающее отношение исходной прогрессии, мы переходим сначала к f_α, затем к (f_α)|_κ, где κ — рассматриваемый класс; это дает нам транзитивное порождающее отношение для κ. Называя это отношение R, мы затем переходим к R_*, т.е. к отношению последовательных членов ряда, порожденного R. Это отношение оказывается взаимно однозначным и упорядочивает κ в прогрессию; следовательно, наше предложение доказано. Причина необходимости этого обходного пути заключается в том, что последовательные члены κ могут не быть последовательными членами исходной прогрессии.

*122·41.

Док.

*122·42.

Док.

*122·43.

Таким образом, каждый класс, который содержится в прогрессии и имеет последний член, является индуктивным. Далее нам нужно доказать, что это осуществляется в следующих предложениях.

*122·44.

Примечание. Гипотеза здесь выходит за рамки того, что необходимо для заключения, но является гипотезой, требуемой для *122·45, для которой настоящее и последующие предложения являются леммами.

Док.

*122·441.

Док.

*122·442.

При доказательстве *122·443 ниже мы предполагаем κ ∈ Prog и рассматриваем максимум κ, который, как показано, существует и равен y, откуда y ∈ κ.

Док.

*122·443.

Док.

*122·444.

Док.

*122·45.

Это предложение показывает, что любой ряд, извлеченный из прогрессии и не имеющий последнего члена, является прогрессией.

*122·46.

Это предложение показывает, что любое число, меньшее, чем количество членов в прогрессии, является индуктивным. Этот результат будет развит в следующем номере (*123).

*122·47.

Док.

*122·48.

Док.

*122·49.

Следующие предложения касаются обстоятельств, при которых потомство или семейство члена образует прогрессию.

*122·51.

Здесь R_*(x) имеет значение, определенное в *96.

Док.

Следующее предложение (*122·52) используется в *123·191, *261·4 и *264·22.

*122·52.

Док.

Оставшиеся предложения (*122·53·54·55) в дальнейшем не используются.

*122·53.

Док.

*122·54.

Док.

*122·55.

Док.

*123.

Резюме *123.

В этом номере мы рассматриваем арифметические свойства ℵ₀, наименьшего из трансфинитных кардинальных чисел Кантора. Кантор определяет ℵ₀ как кардинальное число любого класса, который может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с индуктивными кардинальными числами. Это определение предполагает, что ℵ₀ существует, когда n является индуктивным кардинальным числом; иными словами, оно предполагает аксиому бесконечности; ибо без нее индуктивные кардинальные числа образовали бы конечный ряд с последним членом, а именно с ℵ₀. По этой причине, среди прочих, мы не делаем подобие индуктивным кардинальным числам нашим определением ℵ₀. Мы определяем ℵ₀ как класс тех классов, которые могут быть упорядочены в прогрессии, т.е. как ℵ₀ = Cls ∩ Prog. Затем мы должны доказать, что ℵ₀, определенное таким образом, является кардинальным числом, и что если оно не пусто, то оно является числом индуктивных чисел.

Для удобства мы на данный момент полагаем R_n для отношения κ к n, когда n является индуктивным кардинальным числом. Затем мы легко доказываем

*123·21·23.

Единственное, что еще требуется для доказательства ℵ₀ = ℵ₀, это ℵ₀ = ℵ₀, т.е.

Согласно *120·311, это верно, если ℵ₀ = ℵ₀, что верно, если верно ℵ₀ = ℵ₀. Следовательно

*123·25·26.

откуда, согласно *123·36,

*123·27.

Опять же, из *122·34·341 очевидно, что если κ является прогрессией, κ всегда может быть поставлено в отношение R к индуктивным кардинальным числам (*123·3), поскольку κ состоит из членов x, f'x, ... , f^n'x, ... , и все индуктивные кардинальные числа используются при приведении κ к этому виду. Следовательно

*123·31.

откуда также

*123·311.

Остается доказать, что любой класс, подобный индуктивным кардинальным числам, является ℵ₀; это может быть доказано только при допущении аксиомы бесконечности. Мы доказываем сначала (*120·32), что если κ является прогрессией, а R — взаимно однозначное отношение, обратная область которого есть κ, то R'κ является прогрессией, область которой есть κ. Следовательно

*123·321.

Из этого и *123·31, *123·311 мы получаем

*123·322.

Следовательно, согласно нашим предыдущим результатам

*123·34.

Также мы имеем, согласно *120·322 выше, ℵ₀ = ℵ₀, откуда, поскольку ℵ₀ = ℵ₀, мы получаем наконец

*123·36.

Что касается существования ℵ₀ в различных типах, если ℵ₀ = ℵ₀ верно, т.е. если для любого индуктивного кардинального числа n существуют классы, имеющие n членов и состоящие из членов того же типа, что и n, то ℵ₀ = ℵ₀. Таким образом

*123·37.

Арифметические свойства ℵ₀ в отношении сложения, умножения и возведения в степень индуктивным кардинальным числом легко доказываются. Мы имеем

*123·41.

*123·421.

*123·422.

*123·52.

*123·53.

Все эти предложения хорошо известны.

Ранние предложения настоящего номера по большей части являются непосредственными следствиями предложений, доказанных в *122.

*123·01.

*123·02.

*123·1.

*123·101.

*123·11.

*123·12.

*123·13.

Док.

*123·14.

*123·15.

*123·16.

*123·17.

Док.

*123·18.

*123·19.

*123·191.

*123·192.

Док.

*123·2.

*123·21.

Док.

*123·22.

*123·23.

Док.

*123·24.

Док.

*123·25.

*123·26.

*123·27.

*123·3.

Док.

*123·31.

*123·311.

Здесь не предполагается, что κ и λ одного типа.

*123·312.

Док.

*123·313.

Док.

*123·32.

*123·321.

*123·322.

Док.

*123·323.

*123·33.

*123·34.

*123·35.

*123·36.

*123·361.

*123·37.

Док.

*123·39.

Док.

*123·4.

*123·401.

Док.

*123·41.

*123·411.

*123·42.

Заметьте, что κ_1 — это нечетные члены, а κ_2 — четные члены κ.

Док.

*123·421.

Док.

*123·422.

Док.

*123·43.

Док.

*123·44.

Док.

*123·45.

*123·46.

Док.

*123·47.

Док.

Следующие предложения посвящены доказательству ℵ₀ = ℵ₀. Приведенное доказательство в общих чертах принадлежит Кантору. Оно состоит в том, чтобы показать, что отношение R, определенное в гипотезе *123·5, является прогрессией.

*123·5.

Док.

*123·501.

Док.

*123·502.

Док.

*123·503.

Док.

*123·504.

*123·51.

*123·52.

*123·53.

*123·7.

Док.

*124. РЕФЛЕКСИВНЫЕ КЛАССЫ И КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме *124.

В этом номере мы должны перейти ко второму определению бесконечности, упомянутому во введении к этому разделу. Класс, который является бесконечным согласно этому определению, мы предлагаем называть рефлексивным классом, поскольку класс такого рода способен к рефлексии в часть самого себя. Класс называется рефлексивным, когда существует взаимно однозначное отношение, которое соотносит класс с собственной частью самого себя. (Собственная часть — это часть, не являющаяся целым.) Рефлексивное кардинальное число — это гомогенное кардинальное число рефлексивного класса.

Мы легко доказываем, что рефлексивные классы не являются индуктивными (*124·271), что рефлексивные кардинальные числа таковы, что они больше или равны ℵ₀ (*124·23), и таковы, что они не меняются при прибавлении 1 (за исключением ℵ₀) (*124·25). Доказать, что классы, которые не являются индуктивными, должны быть рефлексивными, до сих пор не удавалось без допущения мультипликативной аксиомы. Однако нам не нужно принимать эту аксиому в общем виде, а только применительно к произведениям факторов. При этом допущении результат следует из серии предложений, объясненных ниже. Таким образом, если произведение факторов, ни один из которых не равен нулю, никогда не равно нулю, то два определения конечного и бесконечного совпадают (*124·56).

Мы будем называть кардинальное число μ «мультипликативным кардинальным числом», если произведение μ факторов, ни один из которых не равен нулю, никогда не равно нулю. Таким образом, все индуктивные кардинальные числа являются мультипликативными кардинальными числами; и допущение, необходимое для отождествления двух определений конечного и бесконечного, состоит в том, что ℵ₀ должно быть мультипликативным кардинальным числом.

Для рефлексивного класса мы используем обозначение «Refl», а для рефлексивного кардинального числа мы используем «Refl_num». Мы определяем рефлексивное кардинальное число как гомогенное кардинальное число рефлексивного класса, т.е. мы полагаем Refl_num = Cls_hom ∩ Refl. Единственный эффект этого состоит в исключении ℵ₀ из рефлексивных кардинальных чисел, что удобно. Затем нам нужно (по аналогии с *110·03, *110·04) определение того, что имеется в виду, когда неоднозначный символ, такой как Refl_num, называется рефлексивным, и поэтому мы полагаем

Для класса мультипликативных кардинальных чисел мы используем обозначение «Mult». Таким образом, мы полагаем Mult = Cls_hom ∩ Mult_num, откуда следует, что если μ ∈ Mult, произведение μ факторов, ни один из которых не равен нулю, никогда не будет равно нулю.

Мы начинаем в этом номере с более очевидных свойств Refl, доказывая, что Refl — это класс, который содержит подклассы из ℵ₀ членов (*124·15), что это класс, число которого не меняется, когда удаляется один член (*124·17), и что он остается рефлексивным, если из него удаляется любой индуктивный класс (*124·182).

Затем мы приводим соответствующие предложения, касающиеся Refl_num (*124·23·25·252), доказывая, в дополнение к уже упомянутым предложениям, что рефлексивное кардинальное число больше любого индуктивного кардинального числа (*124·26), и что класс, который не является ни индуктивным, ни рефлексивным (если таковые существуют), — это класс, который не содержит и не содержится ни в какой прогрессии (*124·34). О таких классах см. замечания в конце этого номера.

Затем (*124·4·41) мы приводим предложение, просто воплощающее определение Mult, и показываем, что все индуктивные кардинальные числа являются мультипликативными, что непосредственно следует из *120·62.

Следующая серия предложений (*124·51 и сл.) посвящена доказательству того, что если μ является мультипликативным кардинальным числом, то два определения конечного и бесконечного совпадают. Доказательство, которое несколько сложно, протекает следующим образом.

Начнем с того, что мы знаем, что если κ — класс, который не является индуктивным, он содержит классы, имеющие n членов, если n — любое индуктивное кардинальное число. Таким образом, мы имеем κ_n ∈ Cls_n ∩ Sub'κ. Классы классов Cls_n ∩ Sub'κ, Cls_1 ∩ Sub'κ, ... , Cls_n ∩ Sub'κ, ... таким образом образуют прогрессию, которая содержится в Cls_hom ∩ Sub'κ. Следовательно (*124·511) Cls_hom ∩ Sub'κ ∈ Prog. До сих пор мультипликативная аксиома не требуется.

Вышеупомянутая прогрессия классов классов есть Cls_n ∩ Sub'κ. Если R — селективное отношение для этого класса классов, R'Cls_n ∩ Sub'κ является прогрессией, содержащейся в κ. Следовательно

*124·513.

откуда

*124·514.

Чтобы доказать следующий шаг, а именно κ ∈ Refl, мы начинаем заново. Мы имеем, по гипотезе, прогрессию, область которой содержится в κ; следовательно, κ ∈ Refl. Таким образом, будет достаточно доказать κ ∈ Refl, где условия значимости требуют, чтобы κ состоял из классов.

Для этой цели мы доказываем, что ни один член κ не может быть последним, у которого есть новые члены, не встречавшиеся ранее. Доказательство продолжается тем, что если бы это было не так, κ был бы индуктивным классом, и поэтому, согласно *120·75, κ был бы индуктивным классом. Следовательно (*124·534) члены κ, которые вводят новые члены, образуют ℵ₀, согласно *123·19; и, следовательно, так же поступают классы новых членов, которые они вводят (*124·535). Следовательно (*124·536) выборка из этих классов новых членов, которая является подклассом κ, также является ℵ₀, и поэтому (*124·54) существует прогрессия, содержащаяся в κ, если существует рассматриваемая выборка. Это завершает доказательство.

В силу *124·511 и *120·74 мы имеем, без мультипликативной аксиомы, κ ∈ Refl ⊃ κ ∈ Inf.

*124·6.

Следовательно, если бы можно было показать, что κ не может быть рефлексивным, если только κ не является рефлексивным, двойное применение этого позволило бы нам, посредством *124·6, отождествить два определения конечного без мультипликативной аксиомы.

*124·01.

Эквивалентным определением было бы

*124·02.

*124·021.

*124·03.

*124·1.

*124·11.

*124·12.

*124·13.

*124·14.

Док.

*124·141.

Док.

*124·15.

Док.

*124·151.

*124·16.

Док.

*124·17.

Док.

*124·18.

*124·181.

Док.

*124·182.

*124·2.

*124·21.

*124·23.

Док.

*124·231.

*124·232.

*124·24.

Док.

*124·25.

*124·251.

*124·252.

Док.

*124·253.

Док.

*124·26.

Док.

*124·27.

*124·271.

Док.

*124·28.

Док.

*124·29.

Док.

*124·3.

*124·31.

В силу вышеприведенного предложения, если существуют какие-либо числа, которые не являются ни индуктивными, ни рефлексивными, они таковы, что они не больше, не меньше и не равны ℵ₀. (Существование ℵ₀ в подходящем типе может быть выведено из существования чисел, которые не являются ни индуктивными, ни рефлексивными; ср. *124·6.) Два дополнительных предложения (*124·33·34) приведены ниже о неиндуктивных нерефлексивных классах и кардинальных числах. Тема возобновляется в замечаниях в конце номера.

*124·33.

*124·34.

Док.

*124·4.

*124·41.

Следующие предложения дают доказательство *124·56, которое отождествляет два определения конечного, при допущении, что ℵ₀ является мультипликативным кардинальным числом. (Однако *124·513 используется только при доказательстве *124·514, а *124·514 не используется в доказательстве. Оно сохраняется как отмечающее этап в аргументации, хотя фактические предложения, впоследствии используемые, — это не оно, а леммы, которые ведут к нему.)

*124·51.

здесь R имеет значение, определенное в *123·02.

Док.

*124·511.

*124·512.

Док.

*124·513.

*124·514.

Следующие предложения посвящены доказательству того, что если μ является мультипликативным кардинальным числом, то класс, такой как κ в *124·512, должен быть таким, что прогрессия содержится в κ. Характеристики κ, которые используются в доказательстве, — это κ ∈ Cls_hom. Поскольку κ ∈ Cls_hom, мы имеем κ ∈ Cls_hom. Следовательно, гипотеза, с которой связана следующая серия предложений, — это κ ∈ Cls_hom, но более ранние предложения не нуждаются в полной гипотезе.

В том, что следует, заметьте, что если κ_α — класс тех членов, которые встречаются в κ_α и никогда не встречались ранее ни в одном более раннем члене κ. Мы доказываем, что при нашей гипотезе члены κ, для которых этот класс новых членов не пуст, образуют класс, который не имеет последнего члена, и поэтому образуют прогрессию.

*124·52.

Док.

*124·521.

Док.

*124·53.

*124·531.

Док.

*124·532.

*124·533.

Док.

*124·534.

Док.

*124·535.

*124·536.

Док.

*124·54.

Док.

*124·541.

Док.

*124·55.

Док.

*124·56.

Док.

Вышеприведенное предложение отождествляет два определения конечного при гипотезе ℵ₀ ∈ Mult.

*124·57.

*124·58.

Док.

Вышеприведенное предложение дает другую гипотезу, которая позволила бы нам отождествить два определения конечного, если бы ее можно было доказать, а именно ℵ₀ ∈ Mult или, что сводится к тому же, ℵ₀ ∈ Mult.

*124·6.

Док.

*124·61.

Док.

Следующие свойства кардинальных чисел, которые не являются ни индуктивными, ни рефлексивными (предполагая, что таковые существуют), легко доказываются. Давайте положим Med = Card - (Induct ∪ Refl_num)

где «Med» означает «промежуточный». Тогда Med ⊂ Card. Следовательно, промежуточные кардинальные числа не имеют максимума или минимума. откуда μ ∈ Med ⊃ μ+1 ∈ Med, поскольку мы имеем либо μ ∈ Induct, либо μ ∈ Refl_num.

*125. АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ.

Резюме *125.

Настоящий номер касается лишь приведения нескольких эквивалентных форм аксиомы бесконечности и родственного допущения существования ℵ₀.

В силу *125·24·25 ниже, если аксиома бесконечности выполняется в каком-либо одном типе, то она выполняется в любом другом типе, который может быть получен из этого, или из любого типа, из которого может быть получен этот. Следовательно, если мы предположим, как кажется естественным, что все экстенсиональные типы получены из первого типа, а именно типа индивидов, то аксиома бесконечности в любом таком типе эквивалентна допущению, что число индивидов не является индуктивным.

Мы рассматриваем в этом номере сначала эквивалентные формы ℵ₀ ∈ Exists, затем эквивалентные формы ℵ₀ ∈ Exists, затем эквивалентные формы ℵ₀ ∈ Exists или ℵ₀ ∈ Exists. Когда «ℵ₀» или «ℵ₀» встречается в этом номере без типического определения, он и все другие типически неоднозначные символы должны быть взяты в самых низких логически возможных типах или с теми же относительными типами, как если бы это было сделано. На предложения этого номера часто не ссылаются в дальнейшем, но они собраны здесь из-за их внутреннего интереса.

*125·1.

*125·11.

*125·12.

Док.

*125·13.

*125·14.

Док.

*125·15.

Док.

*125·16.

Док.

*125·2.

*125·21.

Док.

*125·22.

*125·23.

*125·24.

Док.

*125·25.

*125·3.

Док.

*125·31.

*125·32.

Док.

*125·33.

Док.

*125·34.

Док.

*125·35.

Док.

*125·36.

Док.

*126. О ТИПИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНДУКТИВНЫХ КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ.

Рекапитуляция соглашений и резюме *126.

Мы подошли к этапу, когда можем принять точку зрения обычной арифметики и в будущем при арифметических операциях с кардинальными числами игнорировать различия типов. Чтобы понять, как это происходит, необходимо кратко вспомнить ход мысли некоторых предыдущих номеров и соглашения, на которых основан символизм.

Символизм *102, хотя и совершенно точен в отношении типических связей различных символов, на самом деле слишком сложен для использования, за исключением случаев абсолютной необходимости. Лучше использовать типически неоднозначные символы ℵ₀ и n, в сочетании с некоторыми простыми правилами интерпретации символизма, чтобы обеспечить, чтобы различные вхождения одних и тех же символов находились в своих надлежащих отношениях типа. Это курс, которому следуют в *100, *101 и в каждом номере, начиная с *110.

Важные символы, которые включают явное или неявное использование ℵ₀ или n, называются «формальными числами», и необходимо только применять к ним правила интерпретации.

Постоянное формальное число — это любой символ, представляющий типически неоднозначную константу, такой что существует константа n, такая что, как бы ни определялись неоднозначности типа, первая константа идентична n. Переменные формальные числа определяются перечислением. Они делятся на три набора: первичный набор, аргументальный набор и арифметический набор.

Первичный набор состоит из ℵ₀, n, m, где n — переменная любого типа, а m — переменная любого типа. Также ℵ₀ и n могут сами быть сложными символами, которые каким-то образом включают переменные.

Аргументальный набор имеет только один член n, где n — переменная любого типа. В своем качестве формального числа n интересен только тогда, когда n является ℵ₀; тогда n дает соответствующее ℵ₀ в другом типе, при условии, что n не является ℵ₀. Также n может быть сложным символом, который каким-то образом включает переменную, например, n+1 является формальным числом аргументального набора: n называется аргументом n+1.

Арифметический набор состоит из n+m, n×m, n^m, n-m. Эти формальные числа интересны только тогда, когда n и m также являются членами ℵ₀. Также n и m могут быть сложными символами, при условии, что по крайней мере один из них включает переменную. Например, n+1 является формальным числом, и n×m тоже.

Первичный, аргументальный и арифметический наборы формальных чисел получены из соответствующих наборов переменных формальных чисел путем добавления к ним постоянных формальных чисел, полученных путем подстановки констант вместо переменных, встречающихся в выражениях для членов рассматриваемого переменного набора.

В формальных числах арифметического набора, как написано выше, n и m называются первыми компонентами. Таким образом, каждое формальное число этого набора имеет два первых компонента. Первые компоненты (если таковые имеются) первых компонентов также называются компонентами исходного формального числа, и так далее; так что компоненты компонентов являются компонентами исходного символа.

Формальное число арифметического набора, компоненты которого являются формальными числами, либо постоянными, либо переменными, но не принадлежащими к аргументальному набору, называется чистым арифметическим формальным числом. Это те формальные числа, которые важно в арифметике обезопасить от принятия значения 0 из-за низкого типа.

Логическое исследование *100 и *101, где используются типически неоднозначные формальные числа, непосредственно связано с исследованием предпосылок, необходимых для обеспечения различных предложений от колеблющихся истинностных значений из-за вторжения нулевых значений среди кардинальных чисел. Соглашение, необходимое для избежания определений типа, которые мы никогда не хотим рассматривать, заключается в следующем, где используемые термины полностью объяснены в предисловии:

Аргументальные вхождения привязаны к логическим и атрибутивным вхождениям; и, если нет аргументальных вхождений, эквациональные вхождения привязаны к логическим вхождениям. Это правило применяется только в той мере, в какой позволяет смысл после назначения типов реальным переменным.

В *110, *113, *116, *119 мы рассматриваем арифметические операции сложения, умножения, возведения в степень и вычитания. Также в *117 мы рассматриваем сравнение кардинальных чисел в отношении отношения больше и меньше.

Нет интереса усложнять наши теоремы, допуская случаи, когда чистое арифметическое формальное число, компоненты которого неоднозначны по типу, становится равным 0 из-за низкого типа одного из его компонентов. Также в теории большего и меньшего возможность нулевых значений в низких типах не имеет реального интереса. Соответственно, они исключаются из любого рассмотрения определениями

*110·03·04, *113·04·05, *116·03·116·04, *117·02·03,
насколько это касается членов первичного набора формальных чисел; и для других формальных чисел следующим соглашением:

Всякий раз, когда встречается формальное число n, так что, если бы оно было заменено на 0, доминирующий тип n по определению должен был бы быть адекватным, то доминирующий тип n также должен быть адекватным.

Когда n является чистым арифметическим формальным числом, это соглашение обеспечивает, что тип каждого компонента является адекватным.

Но в арифметике мы также хотим избежать вторжения нулевых значений в рассмотрение уравнений, насколько это избегание может быть достигнуто использованием высоких типов. Соответственно, когда мы имеем дело с чисто арифметической точки зрения, мы добавляем также следующее определение и соглашение (см. ниже).

Определение. Арифметическое уравнение — это уравнение между чистыми арифметическими формальными числами, доминирующие типы которых определены адекватно.

Все уравнения, включающие чистые арифметические формальные числа, должны быть арифметическими.

Это соглашение используется в *117 и в некоторых более ранних предложениях, которые отмечены в предисловии.

Его эффект заключается в том, чтобы сделать формулировку гипотез часто ненужной. Примеры его применения к номерам, где оно не используется в символизме, также рассматриваются в предисловии.

В случае индуктивных чисел мы не можем логически доказать, помимо *126·12, что существует один тип, который является адекватным для всех формальных чисел 0, 1, 2, 3 и т.д. Но мы можем доказать, что для любого конкретного индуктивного числа, скажем 521, существует тип, для которого 521 не равно 0. Соответственно, для данной символической формы, в которой символизм обязательно имеет только конечную сложность, когда типы переменных, которые по гипотезе представляют индуктивные классы или индуктивные числа, не равные 0, были установлены, всегда возможно зафиксировать тип, который будет адекватным для всех чистых арифметических формальных чисел, произведенных символизмом формы, а также в то же время (и здесь вступают в силу специфические свойства индуктивных чисел) выбрать исходные типы переменных так, чтобы любая из переменных могла принимать значение любого назначенного постоянного индуктивного числа, скажем 521, не будучи нулевой.

Результат состоит в том, что мы можем предположить, что символы, представляющие индуктивные числа, никогда не являются нулевыми, и тем самым получить стабильные истинностные значения предложений о них.

Соответственно, мы действуем следующим образом: мы полагаем

*126·01.

Мы принимаем правило, что когда появляется n, соглашение *126·01 всегда применяется. Результат состоит в том, что когда формальное число является индуктивным, нам никогда не нужно думать о его типе, и соответственно все соглашения исчезают из ума, насколько это касается чисто арифметических неопределенных индуктивных кардинальных чисел. Мы заменяем все другие соглашения единственным: если было доказано или принято, что формальное число представляет индуктивное кардинальное число, типы упорядочены так, что это формальное число не равно 0. Доказательства предложений в этом номере состоят в значительной степени из получения определенного типа, в котором достигается этот результат.

Важными предложениями являются

*126·12.

*126·121.

*126·13·14·15.

*126·141.

*126·151.

Также *126·4·42·43 дают фундаментальные предложения для вычитания, деления и «обратного возведения в степень»; и *126·5·51·52·53 фундаментальные предложения для отношений больше и меньше.

*126·01.

Всякий раз, когда используется символ n, соблюдается Правило неопределенных чисел, так что все рассмотрение различий в типе среди индуктивных кардинальных чисел может быть отложено (ср. Предисловие, а также Резюме этого номера).

*126·011.

*126·1.

Док.

*126·101.

*126·11.

*126·12.

Док.

*126·121.

Это предложение, взятое в связи с *120·4232, воплощает соглашение, названное Правилом неопределенных чисел, и его обоснование. Соглашение состоит в том, что 1, 2, 3, ... всегда в будущем должны использоваться в экзистенциальных типах. Иными словами, всякий раз, когда используется любое конкретное индуктивное число, оно определяется в типе, в котором оно не равно 0. Обоснование состоит в том, что согласно *126·11·12 такой тип всегда может быть найден для каждого конкретного индуктивного числа.

Соглашение также применяется к арифметическим формальным числам в *126·13·14·15.

Для всех арифметических и эквациональных вхождений это соглашение является результатом *126·11, *126·12 и *126·121.

*126·13.

*126·14.

*126·141.

*126·15.

*126·151.

*126·23.

Док.

*126·31.

Заметьте, что спецификация типа n опущена в соответствии с соглашением. Ссылка на *126·12 показывает, что всегда возможно применить соглашение.

*126·32.

*126·33.

*126·4.

*126·41.

*126·42.

*126·43.

*126·5.

Док.

*126·51.

Доказательство продолжается как в *126·5.

*126·52.

*126·53.

ЧАСТЬ IV. ОТНОШЕНЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА.

СВОДКА ЧАСТИ IV.

Предметом рассмотрения в этой части является общий вид арифметики, частным применением которой служит порядковая арифметика. Форма арифметики, рассматриваемая в этой части, применима ко всем отношениям, хотя ее главное значение относится к таким отношениям, которые порождают ряды. Аналогия с кардинальной арифметикой очень близка, и читатель обнаружит, что понимание последующего материала значительно облегчается, если держать эту аналогию в уме.

Основные положения отношенческой арифметики состоят в следующем. Мы сначала определяем отношение между отношениями, которое мы будем называть порядковой схожестью или подобием и которое играет для отношений ту же роль, что схожесть для классов. Подобие между P и Q состоит в том факте, что области P и Q могут быть соотнесены взаимно-однозначным отношением таким образом, что если любые два члена находятся в отношении P, то их корреляты находятся в отношении Q, и наоборот. Если P и Q порождают ряды, мы можем выразить это, сказав, что P и Q подобны, если их области могут быть соотнесены без изменения порядка. Определив подобие, мы следующим шагом определяем отношенческое число отношения P как класс отношений, которые подобны P, точно так же, как кардинальное число класса есть класс классов, которые схожи с ним. Затем мы переходим к сложению. Порядковая сумма двух отношений P и Q определяется как отношение, которое имеет место между x и y, когда x и y находятся в отношении P или в отношении Q, или когда x является членом области P, а y — членом области Q. Если P и Q порождают ряды, будет видно, что это определяет сумму P и Q как ряд, возникающий в результате добавления Q-ряда после конца P-ряда. Таким образом, сумма не является коммутативной. Сумма отношенческих чисел P и Q есть, конечно, отношенческое число их суммы, при условии, что P и Q не имеют общих членов.

Порядковое произведение двух отношений P и Q есть отношение между двумя парами (x, z) и (x', z'), когда x, x' принадлежат области P, а z, z' принадлежат области Q, и либо xPx', либо x=x' и zQz'. Так, например, если область P состоит из x, x', x'', а область Q состоит из z, z', то отношение P×Q будет иметь место от любого более раннего к любому более позднему члену следующего ряда: (x, z), (x, z'), (x', z), (x', z'), (x'', z), (x'', z'). Ясно, что, обозначая порядковое произведение P и Q через P×Q, мы имеем P×Q = P×Q, где второе «×», стоящее между классами, имеет значение, определенное в *113·01.

Бесконечные порядковые суммы и произведения также будут определены, но определения несколько сложны.

Арифметика, которая вытекает из вышеприведенных определений, удовлетворяет всем тем формальным законам, которые удовлетворяются в порядковой арифметике, когда она не ограничивается конечными ординалами; то есть отношенческие числа удовлетворяют ассоциативному закону для сложения и умножения [10], они удовлетворяют дистрибутивному закону в форме P×(Q+R) = P×Q + P×R (где + и × являются теми, что подходят для отношенческих чисел), и они удовлетворяют экспоненциальным законам P^(Q+R) = P^Q × P^R, (P×Q)^R = P^R × Q^R, P^(Q×R) = (P^Q)^R. Они в общем случае не удовлетворяют коммутативному закону ни при сложении, ни при умножении, и не удовлетворяют дистрибутивному закону в форме (Q+R)×P = Q×P + R×P, ни экспоненциальному закону P^(Q×R) = (P^Q)^R. Но в частном случае, когда рассматриваемые отношения являются конечными сериальными отношениями, соответствующие отношенческие числа удовлетворяют этим дополнительным формальным законам; следовательно, арифметика конечных ординалов точно аналогична арифметике индуктивных кардинальных чисел (ср. Часть V, Раздел E).

Если рассматриваемые отношения ограничены вполне упорядоченными отношениями, отношенческая арифметика становится порядковой арифметикой, как она была развита Кантором; но многие предложения Кантора, как мы увидим в этой части, не требуют ограничения вполне упорядоченными отношениями.

СНОСКИ:

[10] Для ассоциативного закона умножения требуется гипотеза относительно вида рассматриваемого отношения. Ср. *174·241 ·25.

РАЗДЕЛ A. ПОРЯДКОВАЯ СХОЖЕСТЬ И ОТНОШЕНЧЕСКИЕ ЧИСЛА.

Сводка Раздела A.

Два ряда, порожденные отношениями P и Q соответственно, называются порядково схожими, когда их члены могут быть соотнесены в том виде, в каком они есть, без изменения порядка. На прилагаемом рисунке отношение S соотносит члены P и Q таким образом, что если xPy, то x'Qy', где x' = S'x и y' = S'y. Очевидно, что путь от x' к y' (где x'Qy') может в таком случае быть пройден путем перехода сначала к x, затем к y, и затем обратно к y', так что Q = S;P, т.е. P = S;Q;S. Следовательно, сказать, что P и Q порядково схожи, равносильно тому, чтобы сказать, что существует взаимно-однозначное отношение S, которое имеет P в качестве своей области, а Q в качестве своей обратной области и дает P = S;Q;S. В этом случае мы называем S коррелятором P и Q.

Мы обозначаем отношение порядковой схожести через «sm_ord», что является сокращением от «similar ordinally» (порядково схожи). Таким образом, P sm_ord Q ≡ (∃S).S ∈ 1→1 . D'S = P . C'S = Q . P = S;Q;S.

Будет обнаружено, что отношение sm_ord играет ту же роль по отношению к P в отношенческой арифметике, что и sm по отношению к α в кардинальной арифметике. Поэтому желательно иметь более простое обозначение для sm_ord. Мы полагаем P sm_ord Q ≡ P Q. Мы обнаружим, что точка с запятой, определенная таким образом, обладает тем же видом свойств в отношенческой арифметике, что и две перевернутые запятые в кардинальной арифметике. Соответственно обозначению α = sm'β, мы полагаем P = sm_ord'Q. Мы будем, таким образом, иметь P sm_ord Q ≡ P = sm_ord'Q. Окажется, что sm_ord имеет порядковые свойства, аналогичные кардинальным свойствам sm. Так, например, где S выступает как кардинальный коррелятор, S будет выступать как порядковый коррелятор (в каждом случае с соответствующим образом ограниченной обратной областью).

Элементарные свойства sm_ord будут рассмотрены в *150. Затем, в *151, мы сможем изучить порядковую схожесть, приняв в качестве нашего определения порядкового коррелятора S ∈ P sm_ord Q ≡ S ∈ 1→1 . D'S = P . C'S = Q . P = S;Q;S и определяя два отношения как порядково схожие, когда они имеют по крайней мере один порядковый коррелятор, т.е. полагая (по аналогии с *73) P sm_ord Q ≡ (∃S).S ∈ P sm_ord Q.

Нет необходимости ограничивать понятие порядковой схожести (или подобия, как мы также будем его называть) сериальными отношениями. Когда два отношения имеют порядковую схожесть, их внутренние структуры аналогичны, и поэтому они имеют много общих свойств. Всякий раз, когда доказана схожесть между двумя классами α и β, тогда, если P дано как область некоторого отношения, а S — как соотносящее отношение, то S;P;S' подобно P и имеет β в качестве своей области. Следовательно, схожие классы являются областями подобных отношений. Однако не следует полагать, что подобные отношения коэкстенсивны с отношениями, чьи области схожи. Это не выполняется, даже если мы ограничиваемся сериальными отношениями, за исключением частного случая конечных сериальных отношений.

Определение отношенческих чисел (*152) следующее: отношенческое число P, которое мы называем ord'P, есть класс отношений, которые порядково схожи с P; а класс отношенческих чисел, который мы обозначаем через NO, есть класс всех классов вида ord'P. Элементарные свойства отношенческих чисел, рассматриваемые в *152, тесно аналогичны свойствам кардинальных чисел, рассматриваемым в *100.

После нескольких предложений об ординале 0 и ординале 2, которые мы называем 0_ord и 2_ord (*153), мы переходим к рассмотрению отношенческих чисел различных типов. Будет замечено, что «sm_ord», подобно «sm», является отношением, которое двусмысленно относительно типа как своей области, так и своей обратной области. Таким образом, «P sm_ord Q» имеет однозначное значение только тогда, когда определены типы P и Q. P и Q могут быть или не быть одного и того же типа; единственное ограничение на тип каждого из них состоит в том, что оба должны быть «однородными» отношениями, т.е. отношениями, чьи область и обратная область одного и того же типа. Это ограничение вытекает из того факта, что S;Q;S' встречается в определении «P sm_ord Q», а отношение не имеет области, если оно не является однородным; следовательно, Q должно быть однородным, и поэтому, каково бы ни было S, S;Q;S' должно быть однородным, т.е. P должно быть однородным. Таким образом, например, такие отношения, как P, где D'P ≠ C'P, не являются порядково схожими ни с самими собой, ни с чем-либо еще. Всякий раз, когда «P sm_ord Q» значимо для подходящего S, мы имеем P sm_ord Q; но если P не является однородным, «P sm_ord Q» никогда не является значимым. Следовательно, на протяжении всей теории порядковой схожести отношения, о которых утверждается или отрицается порядковая схожесть, должны быть однородными. Корреляторы, напротив, не обязаны быть однородными.

Благодаря однородности наших отношений типы отношенческих чисел рассматриваются гораздо легче, чем это было бы в противном случае; ибо тип однородного отношения определяется типом одного класса, а именно его области, тогда как тип отношения в общем случае зависит от типов двух классов, а именно его области и его обратной области. Поскольку, когда речь идет о подобии, тип области определяет тип отношения, предложения, касающиеся отношений между различными типическими определениями данного отношенческого числа, по большей части точно аналогичны предложениям для кардинальных чисел и выводимы из них. Фактически, отношение, порядково схожее с P, существует в типе τ тогда и только тогда, когда класс, схожий с D'P, существует в типе τ, т.е. (∃Q).Q ∈ ord'P . Q ∈ τ ≡ (∃α).α ∈ sm'D'P . α ∈ τ. Половина этого предложения следует из того факта, что если Q подобно P, то D'Q схоже с D'P. Другая половина следует из факта, упомянутого выше, что если α ∈ sm'D'P и Q подобно P, то существует отношение, подобное P и имеющее α в качестве своей области. Теперь, если Q принадлежит типу τ, любое отношение, имеющее α в качестве своей области, содержится в τ. Следовательно, в предполагаемом случае существует отношение, подобное P и содержащееся в τ. Но отношения, содержащиеся в τ, составляют ord'P ∩ τ. Следовательно, существует отношение, которое подобно P и является членом ord'P ∩ τ, откуда и вытекает наше предложение. С помощью этого предложения и предложений *102—6 свойства отношенческих чисел в отношении типов следуют легко. Соглашения NO, ord'P и т.д. применяются к отношенческим числам так же, как к кардинальным числам; они должны применяться таким же образом, как в аналогичных предложениях Части III, Раздела A.

*150. ВНУТРЕННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *150.

В этом параграфе мы вводим два обозначения, которые имеют применения в отношении отношений, тесно аналогичные применениям S'α и S''α в отношении классов. Эти два обозначения определяются следующим образом: S;P = S;P;S' и P;S = S';P;S. Затем мы имеем S;P;S' = S;(P;S').

S;P является лишь альтернативой S;P;S', точно так же, как S''α является альтернативой S;α. Также S;P;S' = S;P;S', в силу *38·01 и *43·01.

Применения S;P встречаются главным образом, когда S является взаимно-однозначным отношением и D'S = D'P. Этот случай проиллюстрирован на рисунке во введении к этому разделу. Здесь, если S соотносит x и x', S;P соотносит x' и y'. Таким образом, учитывая класс α, схожий с D'P, если S — соотносящее отношение, S;P имеет α в качестве своей области и обладает во многих отношениях свойствами, аналогичными свойствам P.

S;P;S' важен для многих частных значений S. Например, пусть P будет отношением между отношениями; тогда S;P;S' будет соответствующим отношением областей этих отношений. Если P будет любым отношением, S;P будет соответствующим отношением между упорядоченными парами, из которых P является релятумом; т.е. если xPy, то (S'x) (S;P) (S'y) будет иметь место между S'x и S'y. Если P — отношение между классами, и мы имеем αPβ, то отношение (S''α) (S;P;S') (S''β) будет иметь место между S''α и S''β. Короче говоря, всякий раз, когда S является взаимно-однозначным отношением и, следовательно, порождает дескриптивную функцию, тогда S;P;S' есть отношение, которое имеет место между S'x и S'y всякий раз, когда xPy имеет место между x и y.

Мы вводим одно другое новое обозначение в этом параграфе, соответствующее S'y в *38. Это обозначение определяется так: P;S = P;S. Цель этого обозначения состоит в том, чтобы позволить нам перейти к P;S и другим подобным обозначениям; или, иначе говоря, позволить нам рассматривать P как функцию от y, а не от x. Возьмем, например, случай P;S. Мы можем пожелать рассмотреть различные отношения P, Q, где мы должны иметь (скажем) Q = S;P;S'. Чтобы выразить отношение Q к P, возникающее из S, нам нужно вышеуказанное обозначение. С его помощью мы имеем Q = S;P;S'. Таким образом, S;P;S' есть отношение между x' и y' соответствующее отношению P между x и y. S;P;S' играет ту же роль в отношенческой арифметике, что и S''α в кардинальной арифметике.

Обозначения этого параграфа способны к эпизодическим применениям в кардинальной арифметике [11], но их главная полезность — в отношенческой арифметике, в которой они фундаментальны.

Чтобы минимизировать использование скобок, мы полагаем S;P;S' = S;P;S'.

Как непосредственный результат определения S;P;S' мы имеем S;P;S' = S;P;S'.

*150·11.

Мы имеем также S;P;S' = S;P;S'.

*150·12.

*150·13.

Это предложение, которое является аналогом S'(P'x) = (S;P)'(S'x) (*37·33), используется очень часто. Мы имеем также S;P;S' = S;P;S'.

*150·3.

*150·42.

Оставшиеся предложения этого параграфа (за немногими исключениями) могут быть классифицированы следующим образом:

(1) Предложения, касающиеся области, обратной области и поля S;P;S' (*150·2—·23). Ввиду того факта, что главные применения этого предмета относятся к случаям, где P и Q являются сериальными, поле S;P;S' более важно, чем его область или обратная область. Таким образом, главные предложения здесь суть:

*150·22.

*150·23.

Гипотеза D'P ⊂ D'S проверяется почти во всех применениях S;P;S'. Когда она не проверяется, часть P, не содержащаяся в D'S, не имеет отношения к значению S;P;S'. Гипотеза D'P ⊂ D'S очень часто проверяется на практике, так как она проверяется, когда S является коррелятором P и Q.

(2) Предложения, касающиеся отношений с ограниченными областями, обратными областями или полями (*150·32—·38). В широком смысле, ограничение на поле S;P;S' эквивалентно ограничению на обратную область S;P;S', и оба эквивалентны соответствующему ограничению на поле P, при условии D'S = D'P. Ограничения, которые встречаются на практике, — это ограничения на обратную область S;P;S' с последующими ограничениями на поля P и Q.

Главные предложения по этому предмету суть:

*150·32.

*150·35.

(Это следует из *150·32 и *35·71.)

*150·36.

*150·37.

(3) Предложения о S;P;S', когда S является взаимно-однозначным или однозначно-взаимным (*150·4—·56). Мы имеем:

*150·4.

Это предложение используется постоянно. Лишь немногим менее полезно:

*150·41.

Оставшиеся предложения этого набора — главным образом применения *150·4·41 к частным случаям.

(4) Несколько предложений о S;P;S' (*150·6—·62). Это непосредственные следствия определения.

(5) Набор предложений о парах и связанных с ними вопросах (*150·7—·75). Главное из них:

*150·71.

Это предложение очень часто используется в отношенческой арифметике. Полезно также:

*150·73.

(6) Далее у нас есть четыре предложения (*150·8—·83) о S;P;S', когда S является степенью P. Они относятся к предложениям *92; они полезны в порядковой теории конечного и бесконечного. Мы имеем:

*150·82·83.

Отсюда следует, что в предполагаемой гипотезе, если S является коррелятором P и Q, он также является коррелятором P^n и Q^n.

(7) Предложения, касающиеся отношения S;P;S' (*150·14—·171 и *150·9—·94). Они имеют применения, аналогичные применениям предложений, касающихся S''α. Наиболее важные:

*150·14.

(Это следует непосредственно из *150·13, выше.)

*150·141.

(Это следует непосредственно из определения.)

*150·16.

Это предложение аналогично S'(P'x) = (S;P)'(S'x) (*40·38), т.е. S;P;S' = S;P;S', как оказывается при подстановке P и Q вместо α и β в этом варианте *40·38.

Оставшиеся предложения в основном имеют характер лемм, которые будут использованы по одному или два раза каждое в отношенческой арифметике.

*150·01.

*150·02.

*150·03.

Здесь, как и в *38, «R» означает любой знак, который при помещении между двумя буквами определяет дескриптивную функцию аргументов, представленных этими буквами. Так, например, «R» может представлять любое из следующего:

Два следующих определения служат исключительно для избежания скобок.

*150·04.

*150·05.

*150·1.

*150·11.

*150·12.

*150·13.

Док.

*150·131.

Док.

Заметьте, что мы не имеем S;P;S' = S;P;S'.

*150·14.

Док.

Это предложение является отношенческим аналогом *37·34.

*150·141.

*150·15.

*150·151.

Следующее предложение используется в теории двойной порядковой схожести (*164·13).

*150·152.

Док.

*150·153.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при работе с отношениями отношений пар (*165·23).

*150·16.

Следующее предложение является леммой для *150·171.

*150·17.

Док.

*150·171.

Док.

Вышеприведенное предложение требуется в теории двойной порядковой схожести. Оно используется при доказательстве *164·141, которое используется в *164·18, являющемся фундаментальным предложением в теории двойной порядковой схожести.

Следующие предложения об области, обратной области и поле S;P;S' часто используются, особенно *150·202, *150·22, *150·23. *150·201 почти никогда не используется, но вставлено для того, чтобы общий случай не остался без рассмотрения.

*150·2.

*150·201.

Док.

*150·202.

Док.

*150·203.

*150·21.

*150·211.

*150·22.

На практике, когда используется S;P;S', мы почти всегда имеем D'P ⊂ D'S. Ибо использование S;P;S' состоит в получении отношения, аналогичного P и имеющего другое поле; теперь S;P;S' аналогично P, ибо часть P, которая лежит вне D'S, не затрагивается S. Следовательно, если у нас есть, для начала, отношение P, чье поле не содержится в D'S, мы обычно найдем выгодным ограничить поле до D'S и рассматривать преобразованное отношение скорее как S;P;S', чем как P. Таким образом, гипотеза D'P ⊂ D'S будет проверена почти во всех полезных применениях понятия S;P;S'.

*150·23.

*150·24.

Док.

*150·25.

*150·3.

*150·301.

*150·31.

Следующие предложения часто полезны, когда нам приходится иметь дело с корреляторами вида S;P;S', что случается часто.

*150·32.

*150·33.

*150·34.

*150·35.

Док.

Вышеприведенное предложение, которое является аналогом *37·69, часто используется в отношенческой арифметике.

Следующее предложение часто используется после того, как мы достигаем теории вполне упорядоченных рядов, но не до того (за исключением *150·37).

*150·36.

Док.

*150·361.

*150·37.

Док.

Вышеприведенное предложение не используется, пока мы не достигнем теории рядов.

*150·38.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при работе с корреляцией рядов (*208·2).

*150·4.

Это предложение фундаментально в теории S;P;S', потому что в большинстве применений этого понятия S является однозначным. Предложение утверждает, что когда S является однозначным, S;P;S' есть отношение между коррелятами членов, связанных P. Таким образом, если P — отношение жены к мужу, а S — отношение брата к брату, S;P;S' — отношение между женами братьев. Если P — отношение между отношениями, S;P;S' будет соответствующим отношением их полей; и так далее.

*150·41.

*150·42.

Следующие предложения, вплоть до *150·56, являются, за исключением *150·52—·535, все иллюстрациями *150·4·41.

*150·5.

*150·51.

*150·511.

*150·512.

*150·52.

S;P;S' — это отношение, которое играет большую роль в отношенческой арифметике.

*150·53.

*150·531.

*150·532.

*150·534.

*150·535.

*150·54.

*150·541.

*150·55.

*150·56.

*150·6.

*150·601.

*150·61.

*150·62.

Отношения вида S;P;S' часто полезны в отношенческой арифметике, особенно в частном случае S;P;S', который занимает место, занимаемое S''α в кардинальной арифметике. Отношения вида S;P;S' будут рассмотрены в *165.

Следующие предложения главным образом касаются корреляций пар. Они очень полезны в отношенческой арифметике. *150·71, в частности, фундаментально.

*150·7.

*150·71.

*150·72.

*150·73.

*150·74.

*150·75.

Док.

Четыре следующих предложения относятся к предмету *92, но не могли быть даны в этом параграфе из-за того, что они включают обозначения *150. Они требуются для доказательства того, что если S является коррелятором P и Q, он также является коррелятором P^n и Q^n (*151·45), и для одного из фундаментальных предложений в порядковой теории прогрессий (*263·17).

*150·8.

Док.

*150·81.

Док.

*150·82.

Док.

*150·83.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *150·94 включительно, возобновляют предмет отношения S;P;S', который уже был рассмотрен в *150·14—·171.

*150·9.

Док.

Следующие предложения ведут к *150·931, *150·94, которые используются в теории двойной порядковой схожести (*164·3, *164·21).

*150·91.

Док.

*150·92.

Док.

*150·921.

*150·93.

*150·931.

Док.

*150·932.

*150·933.

*150·94.

Док.

Вышеприведенное предложение — аналог *74·61, которое (с несколькими тривиальными преобразованиями) может быть записано как S''α = S''α.

При получении порядковых аналогов таких предложений S''α будет заменено на S;P;S', а две перевернутые запятые будут заменены точкой с запятой; класс классов α будет заменен, в большинстве своих вхождений, отношением отношений P, но иногда будет заменен на P.

Вышеприведенное предложение (*150·94) используется при доказательстве того, что обратное к двойному коррелятору P и Q является двойным коррелятором P и Q (*164·21). Соответствующее кардинальное предложение (*111·131) использует *74·6, которое практически то же самое предложение, что *74·61, являющееся аналогом *150·94.

*150·95.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории «первых разностей» (*170·41).

*150·96.

Док.

*150·961.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории порядкового возведения в степень (*176·21).

FOOTNOTES:

[11] Например, в *116·53 и последующих предложениях, где обозначение S;P;S' было введено временным определением.

*151. ПОРЯДКОВАЯ СХОЖЕСТЬ.

Сводка *151.

В этом параграфе мы даем определение порядковой схожести и различные эквивалентные формы; мы доказываем, что порядковая схожесть рефлексивна (*151·13), симметрична (*151·14) и транзитивна (*151·15), и мы даем некоторые частные случаи порядковой схожести (*151·6 и сл.). Предложения в этом параграфе следует сравнить с предложениями в *73, которым они аналогичны.

Класс порядковых корреляторов P и Q записывается как P sm_ord Q, где «sm_ord» означает «similar ordinally» (порядково схожи). Мы полагаем P sm_ord Q = {S : S ∈ 1→1 . D'S = P . C'S = Q . P = S;Q;S}.

(Мы могли бы с равным успехом положить P sm_ord Q = {S : S ∈ 1→1 . D'S = P . C'S = Q . Q = S;P;S'}, что является эквивалентной, но более сжатой формой определения.) Мы затем определяем «P порядково схоже с Q» как означающее, что существует по крайней мере один порядковый коррелятор P и Q, т.е. P sm_ord Q ≡ (∃S).S ∈ P sm_ord Q.

Мы обнаружим, что если P и Q порождают вполне упорядоченные ряды, они имеют по крайней мере один коррелятор (*250·6), но это не выполняется в общем случае для других рядов.

После приведения элементарных свойств порядковой схожести у нас есть три важных предложения о ее связи с кардинальной схожестью, а именно: (*151·18) если P схоже с Q, то поле P схоже с полем Q (обратное не выполняется в общем случае, но выполняется, если P и Q — конечные сериальные отношения); (*151·19) если P схоже с Q, существует отношение, подобное P и имеющее α в качестве своего поля, и наоборот; (*151·191) S является порядковым коррелятором P и Q тогда и только тогда, когда он является кардинальным коррелятором D'P и D'Q и P = S;Q;S.

Затем у нас есть набор предложений о корреляторах вида S;P;S' (*151·2—·243). Большинство корреляторов, с которыми мы будем иметь дело, имеют этот вид. Наиболее полезное предложение здесь:

*151·22.

Полезное следствие этого предложения:

*151·231.

Это следствие полезно, потому что гипотеза D'P ⊂ D'S удовлетворяется большинством отношений, которые встречаются как корреляторы.

Далее у нас есть ряд предложений о выводимости P sm_ord Q или P sm_ord Q из P sm_ord Q или P sm_ord Q, и связанные с этим вопросы (*151·25—·29).

Мы имеем:

*151·25.

*151·26.

*151·29.

*151·29 никогда не используется, но вставлено, чтобы показать, что наше определение «порядковой схожести» согласуется с тем, что обычно понимается под этим термином. Если P и Q рассматриваются как сериальные, так что «xPy» означает «x предшествует y в P-ряду», а «x'Qy'» означает «x' предшествует y' в Q-ряду», то наше предложение утверждает, что два ряда порядково схожи, когда их члены могут быть так соотнесены, что предшественники в любом из них соотнесены с предшественниками в другом, а преемники — с преемниками, т.е. когда два ряда могут быть соотнесены без изменения порядка.

Далее у нас есть (*151·31—·52) набор разнообразных предложений, из которых наиболее полезные:

*151·401.

*151·5.

*151·401 будет полезно в таких случаях, как следующий: пусть P и Q будут отношениями между отношениями, тогда P' и Q' будут соответствующими отношениями их областей. Предположим P sm_ord Q, P' sm_ord Q'. Тогда, по *151·401, если S является коррелятором P и Q, S' является коррелятором P' и Q'.

*151·5 показывает, что если S является коррелятором P и Q, он соотносит D'P с D'Q, C'P с C'Q, D'P с D'Q и C'P с C'Q.

Наш следующий набор предложений (*151·53—·59) касается корреляции степеней P и Q и родственных вопросов. Мы показываем (*151·55), что коррелятор P и Q также является коррелятором P^n и Q^n, и поэтому если P и Q подобны, то подобны и P^n и Q^n (*151·56); мы показываем также (*151·59), что если P и Q подобны, то подобны и P^n и Q^n. Эти предложения используются в теории прогрессий (*263·17).

Оставшиеся предложения (от *151·6 до конца) касаются применений к частным случаям. Наиболее полезные из них:

*151·61.

которое показывает, как повысить тип отношения, не меняя его отношенческого числа;

*151·64.

*151·65.

Мы доказываем также, что все члены ord'P (т.е. все отношения вида S;P;S', где S ∈ 1→1) подобны (*151·63), и что все отношения вида P;S;P' подобны (*151·631).

*151·01.

*151·02.

*151·1.

*151·11.

*151·12.

*151·121.

*151·13.

*151·131.

Док.

*151·14.

*151·141.

Док.

*151·15.

*151·16.

*151·161.

*151·162.

*151·17.

*151·18.

Док.

*151·19.

Док.

*151·191.

Док.

*151·2.

Док.

*151·21.

*151·22.

Док.

*151·23.

Вышеприведенное предложение (*151·23) очень полезно. Оно является аналогом *73·15. (Следует заметить, что во всех предложениях, касающихся подобия, P sm_ord Q играет ту же роль, что sm играет в предложениях, касающихся схожести.) С помощью *151·23 мы можем установить подобие во всех тех многочисленных случаях, в которых отношение, которое обычно не является взаимно-однозначным, становится взаимно-однозначным при ограничении определенной обратной областью, как, например, если нам приходится иметь дело с P, где P ∈ 1→1, или с P, где P ∈ 1→1. Так, например, по вышеприведенному предложению, если P — любое отношение, чье поле есть α, где α ∈ 1→1, то S;P;S' будет порядково схожим отношением, чье поле есть β.

*151·231.

*151·232.

*151·24.

*151·241.

*151·242.

*151·243.

*151·25.

Док.

*151·251.

*151·252.

*151·253.

*151·254.

Док.

Это предложение — аналог *72·54. «P sm_ord Q» означает «P sm_ord Q», а не «P sm_ord Q».

*151·26.

Док.

*151·261.

*151·262.

*151·263.

*151·264.

Док.

*151·27.

*151·271.

*151·28.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что порядковая схожесть, как мы ее определили, обладает свойствами, которые обычно ассоциируются с термином «порядковая схожесть», а именно, что P и Q порядково схожи, когда их поля могут быть так соотнесены, что два члена, имеющие отношение P, всегда соотнесены с двумя членами, имеющими отношение Q, и наоборот.

Гипотеза D'P ⊂ D'S избыточна в *151·28; это показано в следующем предложении.

*151·281.

Док.

*151·29.

*151·31.

Док.

*151·32.

*151·33.

Док.

*151·4.

Док.

*151·401.

Док.

*151·41.

Это предложение — аналог *73·63.

Следующее предложение часто используется как в отношенческой арифметике, так и в теории рядов.

*151·5.

Док.

*151·51.

Док.

*151·52.

*151·53.

Док.

*151·54.

Док.

*151·55.

*151·56.

*151·56 используется в *263·17.

Два следующих предложения — леммы для *151·59, которое используется в *263·17.

*151·57.

Док.

*151·58.

Док.

*151·59.

Оставшиеся предложения этого параграфа состоят из применений к частным случаям.

*151·6.

Это предложение значимо только тогда, когда P является отношением между отношениями.

*151·61.

*151·62.

*151·63.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что все порядковые пары (т.е. все члены ord'(x↓y)) порядково схожи. Следующее предложение показывает то же самое для пар, чей референт и релятум идентичны.

*151·631.

Док.

*151·64.

Следующее предложение часто используется в отношенческой арифметике.

*151·65.

*152. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Сводка *152.

Отношенческое число P, которое мы обозначаем через ord'P, определяется как класс отношений, которые порядково схожи с P, т.е. ord'P = {Q : Q sm_ord P}. Следовательно, наше определение есть ord'P = sm_ord''{P}. Класс отношенческих чисел состоит из всех таких классов, как ord'P, т.е. NO = {ord'P : P ∈ Rel}. Эти два определения аналогичны определениям *100, просто заменяя «sm» на «sm_ord». Они оправданы аналогичными соображениями и приводят к аналогичным результатам. За исключением *152·7, *152·71, *152·72, предложения этого параграфа являются аналогами предложений *100 и не требуют замечаний, кроме тех, что во введении к *100 (mutatis mutandis).

*152·7, *152·71, *152·72 дают отношения между отношенческими числами и кардинальными числами. *152·7, которое постоянно используется, утверждает, что кардинальное число D'P состоит из полей отношенческого числа P, т.е. классы, схожие с D'P, являются полями отношений, схожих с P; в символах, sm''D'P = D''ord'P.

*152·7.

Отсюда следует, что поля отношенческого числа образуют кардинальное число, т.е. sm''D'P ∈ NC.

*152·71.

Отсюда также следует, что кардинальные числа, отличные от 0, состоят из классов вида D'P, где P — отношенческое число, отличное от 0_ord, т.е. NC - {0} = {sm''D'P : P ∈ NO - {0_ord}}.

*152·72.

В *154·9 мы покажем, как устранить ограничение числами, отличными от , придя таким образом к

*152·01.

*152·02.

*152·1.

*152·11.

*152·2.

*152·21.

*152·22.

*152·3.

*152·31.

*152·32.

*152·321.

*152·33.

Док.

*152·35.

Док.

В приведенном выше предложении следует сделать те же замечания относительно типов, что и в случае *100·35. Если в некотором типе и оба являются нулевыми, то в этом типе мы имеем , но мы не обязаны иметь . Так, например, мы обнаружим, что в типе , Но мы не имеем

*152·4.

Заметим, что «», подобно «», является формальным числом и может быть подвергнуто конвенциям , , .

*152·41.

*152·42.

*152·43.

*152·44.

*152·45.

*152·5.

*152·51.

Док.

*152·52.

Ограничение, содержащееся в , как мы увидим позже, не является необходимым, поскольку в любом заданном типе.

*152·53.

Док.

*152·54.

*152·6.

*152·62.

*152·63.

Полезность *152·6, ·62, ·63 заключается в том, что они позволяют нам повысить тип отношенческого числа до любой требуемой степени. Так, дает отношение, полем которого является класс следующего типа выше, чем у , т.е. типа ; в то время как дает отношение, полем которого является , которое имеет тип . Если , или, более общо, если , то это тип . Таким образом, если мы положим , мы имеем . Таким образом, есть отношение, поле которого состоит из членов того же типа, что и .

Следующие предложения об отношениях кардинальных чисел и отношенческих чисел очень важны.

*152·7.

Док.

*152·71.

*152·72.

Док.

Мы покажем в *154·9, что исключение в *152·72 является излишним.

*153. ОТНОШЕНЧЕСКИЕ ЧИСЛА , И .

Резюме *153.

Отношенческие числа и уже были определены (в *56), хотя в настоящем параграфе остается показать, что они являются отношенческими числами. Они представляют собой порядковые числа 0 и 2 соответственно, т.е. они являются порядковыми числами вполне упорядоченных рядов, не имеющих членов, и рядов из двух членов соответственно. Но не существует способа ввести порядковое число 1, которое было бы аналогично кардинальному числу 1 столь же полно, как и аналогичны 0 и 2. Единственными отношениями, полями которых являются единичные классы, являются отношения вида . Поэтому мы полагаем

*153·01.

Приведенное выше определение дает максимально близкое приближение к порядковому числу 1. определенное таким образом, является отношенческим числом и представляет собой отношенческое число, соответствующее 1 в том смысле, что оно является отношенческим числом всех таких отношений, поле которых состоит из одного члена. Но не является тем, что называется «порядковым числом», поскольку этот термин ограничен в употреблении отношенческими числами вполне упорядоченных рядов, а не является сериальным отношением. Для сериального отношения существенно быть содержащимся в отношении различия; и если по определению мы включаем в ряды, мы вводим больше исключений, чем избегаем. Более того, не обладает тем видом свойств, которыми мы хотим, чтобы обладало 1; например, не есть .

Мы не используем , потому что на более позднем этапе мы определим как класс тех рядов , поля которых имеют членов, так что , в то время как и имеют значения и , как определено ранее. Ввиду этого общего определения , мы выбираем другой символ для отношенческого числа 1, и имеет то достоинство, что оно максимально похоже на .

Чтобы проиллюстрировать, забегая вперед, то, как отличается от собственных порядковых чисел, мы можем указать, что если к прибавляется , мы не получаем . Мы определим как класс рядов, состоящих из трех членов, т.е. класс отношений вида , где . Мы определим сумму двух порядковых чисел как порядковое число суммы двух отношений, имеющих эти порядковые числа (ср. *180), и окажется, что если и — отношения, поля которых не имеют общих членов, то имеет отношенческое число, которое является суммой таковых для и . Предположим теперь и , где . Тогда Это не является членом , из-за дополнительного члена . Таким образом, добавление одного члена к ряду не дает того же числа, которое получается в результате добавления к . Следовательно, добавление 1 к порядковому числу должно рассматриваться отдельно [12].

Мы доказываем в этом параграфе, что (*153·11), что (*153·24; заметим, что мы должны взять пару классов (или отношений), чтобы быть уверенными в существовании двух различных объектов рассматриваемого класса), и что ) (*153·32). Мы доказываем (*153·18), (*153·212) и (*153·36). Мы также имеем (не доказано) и (*153·301). Но мы не имеем ; например, если , но . Мы имеем (*153·12) и (*153·34), но из наших примитивных предложений мы не можем вывести , если не поднимемся выше низшего типа отношений. Этот случай в точности аналогичен случаю (ср. *101); мы имеем

*153·26·262.

Но если, как утверждают монисты, существует только один индивид, мы не будем иметь в типе отношений индивидов к индивидам. Наши примитивные предложения не достаточны, чтобы опровергнуть это предположение.

*153·01.

*153·1.

*153·101.

Док.

*153·11.

*153·111.

*153·12.

*153·13.

*153·14.

Док.

*153·15.

Док.

*153·16.

Док.

*153·17.

*153·18.

Док.

*153·2.

*153·201.

*153·202.

*153·203.

Док.

*153·21.

*153·211.

*153·212.

*153·22.

*153·23.

Это предложение иллюстрирует причины, по которым не следует полагать . Мы хотим, чтобы индуктивные порядковые числа, подобно индуктивным кардинальным числам, образовывали ряд в порядке возрастания величины; но, как иллюстрирует вышеприведенное предложение, отношенческое число таких отношений, как , не находится в том же ряду, что и и . Вышеприведенное предложение следует сопоставить с *51·411.

*153·24.

*153·25.

*153·251.

Док.

*153·26.

*153·261.

*153·262.

*153·27.

*153·28.

Док.

*153·281.

Вышеприведенное предложение используется в теории рядов (*204·48).

*153·3.

*153·301.

*153·31.

Док.

*153·311.

Док.

*153·32.

*153·33.

*153·34.

Док.

*153·341.

*153·35.

Док.

*153·36.

Док.

СНОСКИ:

[12] Ср. *161 и *181, где этот момент разъяснен более полно.

*154. ОТНОШЕНЧЕСКИЕ ЧИСЛА ЗАДАННЫХ ТИПОВ.

Резюме *154.

Этот параграф дает предложения, аналогичные предложениям *102. В соответствии с нашими общими обозначениями для типической определенности, «» означает «класс отношений, подобных и того же типа, что и », «» означает «отношение к отношению типа , принадлежащему классу отношений, подобных ему и типа ». По специальному определению, «» должно означать все типически определенные отношенческие числа вида «», т.е. все отношенческие числа, порожденные отношением , т.е. область .

Теоремы существования в этой области могут быть доказаны с помощью *154·14, которая утверждает, что отношения, подобные , существуют в типе тогда и только тогда, когда классы, подобные , существуют в типе . В силу этого предложения теоремы существования нашей текущей темы выводимы из таковых для кардинальных чисел. В символах это предложение есть

*154·14.

Отсюда, согласно *102·73, мы выводим

*154·242.

откуда, согласно *152·72,

*154·9.

Оставшиеся предложения являются главным образом аналогами таковых в *102. Очень немногие из них впоследствии упоминаются.

*154·01.

*154·1.

Док.

*154·11.

Док.

*154·12.

Док.

*154·121.

Док.

*154·13.

Док.

*154·14.

В силу *154·14 и предложений *102, *103, *104, *105, *106 мы видим, что все однородные или возрастающие отношенческие числа существуют, в то время как является членом каждого убывающего типа отношенческих чисел. Помня, что рассматриваемые отношения должны быть однородными, мы видим, что существуют два вида шагов, с помощью которых их типы могут быть повышены, а именно: (1) от к отношениям типа , т.е. от к отношениям типа , или ; (2) от к отношениям типа , т.е. от к отношениям типа , или , если . Таким образом, повторения двух шагов от к и от к , где , позволят нам, не меняя отношенческого числа, повышать его тип неопределенно. Будет замечено, что в соответствии с нашими общими определениями для относительных типов, тип есть , а тип (где ) есть .

*154·2.

*154·201.

*154·202.

*154·203.

Когда принадлежит любому другому типу, кроме , бессмысленно.

*154·21.

*154·22.

Док.

*154·23.

Док.

*154·24.

*154·241.

*154·242.

Док.

*154·25.

*154·251.

Док.

*154·26.

*154·261.

*154·262.

Следующие предложения касаются двух частных преобразований от к и от к , которые полезны при повышении типа отношенческого числа.

*154·31.

Док.

*154·311.

*154·32.

Док.

*154·321.

*154·322.

*154·33.

Док.

*154·331.

*154·4.

Док.

*154·401.

Оставшиеся предложения этого параграфа (за исключением *154·9) являются аналогами тех, чьи номера имеют ту же десятичную часть в *102. Они приведены здесь без доказательства, поскольку доказательства пошагово аналогичны доказательствам соответствующих предложений в *102.

*154·41.

*154·42.

*154·43.

*154·46.

*154·52.

*154·53.

*154·55.

*154·64.

*154·641.

*154·8.

*154·81.

*154·82.

*154·83.

*154·84.

*154·85.

*154·86.

*154·861.

*154·87.

*154·88.

*154·9.

Док.

*155. ОДНОРОДНЫЕ ОТНОШЕНЧЕСКИЕ ЧИСЛА.

Резюме *155.

Отношенческое число называется однородным, когда оно порождается однородным отношением подобия, т.е. когда оно состоит из всех отношений, которые подобны данному отношению и того же типа, что и . Для однородного отношенческого числа мы пишем «»; таким образом . Когда задано, типически определено. Мы всегда имеем , следовательно . Обратно, если типически определенное отношенческое число не является нулевым, оно является однородным отношенческим числом; фактически, если является его членом, то оно есть . Таким образом, однородные отношенческие числа — это все отношенческие числа, кроме .

Однородные отношенческие числа играют ту же роль в арифметике отношений, что и однородные кардинальные числа в кардинальной арифметике. Предложения этого параграфа (за исключением *155·6, ·61) являются аналогами таковых с той же десятичной частью в *103. Их доказательства в точности аналогичны доказательствам их аналогов в *103 и поэтому опущены.

Следующие предложения являются наиболее полезными в этом параграфе.

*155·11.

Это просто воплощает определение.

*155·12.

откуда

*155·13.

*155·16.

Это предложение используется в теории вполне упорядоченных рядов (*253 и *255). Оно требует, чтобы уравнение «» в правой части было подчинено конвенции . В противном случае типические неоднозначности могли бы быть определены так, чтобы дать , что не подразумевало бы .

*155·2.

Это просто воплощает определение .

*155·22.

*155·26.

*155·27.

*155·34.

*155·4.

*155·5.

*155·6.

Это последнее предложение связывает однородные отношенческие числа с однородными кардинальными числами.

*155·01.

*155·02.

*155·11.

*155·12.

*155·13.

*155·14.

*155·15.

*155·16.

*155·2.

*155·21.

*155·22.

*155·23.

*155·24.

*155·25.

*155*26.

*155*27.

*155·28.

*155·3.

*155·301.

*155·31.

*155·32.

*155·33.

*155·34.

*155·35.

*155·4.

*155·41.

*155·42.

*155·43.

*155·44.

*155·5.

*155·51.

*155·52.

Следующие предложения не имеют аналога в *103.

*155·6.

Док.

*155·61.

Относительно возрастающих и убывающих отношенческих чисел предложения, аналогичные предложениям *104, *105 и *106, могли бы быть доказаны с помощью доказательств, аналогичных тем, что даны в этих параграфах. Однако вряд ли необходимо добавлять что-либо к уже доказанным предложениям, а именно *154·24, ·241, ·242, ·25, ·251 об убывающих отношенческих числах, *154·26, ·261, ·262, ·31, ·311, ·32, ·321, ·322, ·33, ·331 о возрастающих отношенческих числах и *155·23, ·34, дающим отношения неоднородных к однородным отношенческим числам. Возрастающие отношенческие числа все существуют, и те, которые начинаются с типа , где бы они ни заканчивались [13], являются корреспондентами [14] однородных отношенческих чисел типа и являются лишь некоторыми из однородных отношенческих чисел типа, в котором они заканчиваются. Убывающие отношенческие числа состоят из вместе с однородными отношенческими числами типа, в котором они заканчиваются: они являются корреспондентами лишь некоторых из типа, в котором они начинаются, или, скорее, является общим корреспондентом всех тех отношенческих чисел в начальном типе, которые не являются корреспондентами никакого однородного отношенческого числа в конечном типе. Эти свойства в точности такие же, как и в случае кардинальных чисел, что можно было предвидеть по *154·14.

СНОСКИ:

[13] Мы говорим, что начинается с типа и заканчивается в типе .

[14] Мы называем два типически определенных отношенческих числа корреспондентами, когда они различаются только типической детерминацией, т.е. и являются корреспондентами.

РАЗДЕЛ B. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме Раздела B.

В настоящем разделе мы должны рассмотреть вид сложения отношений, который требуется в порядковой арифметике. В кардинальной арифметике, если есть класс взаимно исключающих классов, имеет свойства, требуемые от их суммы, и поэтому нам не требуется новый вид логического сложения перед тем, как иметь дело с арифметическим сложением. Но в порядковой арифметике это не так. Предположим, что и — порождающие отношения двух рядов, и мы хотим добавить -ряд в конце -ряда. Тогда мы хотим, чтобы каждый член -ряда предшествовал каждому члену -ряда; таким образом, не является порождающим отношением нового ряда, поскольку не дает никакого отношения между членами -ряда и членами -ряда. Отношение, которое нам нужно, есть , поскольку это заставляет каждый член -ряда предшествовать каждому члену -ряда. Следовательно, мы полагаем . Будет видно, что в общем случае отличается от .

Если и не имеют общих членов, сумма отношенческих чисел и есть отношенческое число (ср. *180).

Добавление одного члена к ряду требует нового определения и не может рассматриваться как частный случай сложения двух отношений. Можно было бы подумать, что, подобно тому как дает результат добавления одного члена к классу , так и дало бы результат добавления одного члена к ряду . Но это не так, поскольку, когда мы добавляем член к ряду, мы не хотим, чтобы этот член предшествовал самому себе, тогда как есть отношение, которое имеет к самому себе. Что нам нужно, так это отношение, которое каждый член имеет к , но которое не имеет к самому себе; таким образом, мы берем в качестве нашего отношения и полагаем . Это определение определяет порождающее отношение ряда, полученного путем добавления в конце -ряда; аналогично для добавления в начале мы полагаем . Если не является членом , отношенческое число есть сумма отношенческого числа и порядкового числа 1, которое мы представляем через . (Порядковое число 1 не имеет значения само по себе, а только как слагаемое.)

Сумма ряда рядов определяется так же, как была определена сумма двух рядов. Пусть будет сериальным отношением, поле которого состоит из сериальных отношений. Тогда сумма всех рядов, порожденных членами , когда эти ряды взяты в порядке, порожденном , должна быть отношением, которое имеет место между и всякий раз, когда либо (1) и оба принадлежат полю одного из рядов, и предшествует в этом ряду, или (2) принадлежит полю более раннего ряда, чем тот, к которому принадлежит . В первом случае мы имеем , т.е. . Во втором случае мы имеем , т.е. , т.е. . Следовательно, порождающее отношение суммы всех рядов есть . Следовательно, мы полагаем . Отношение обладает всеми свойствами, которые мы ожидали бы от суммы ряда рядов.

Если ряд должен получиться в результате сложения ряда рядов, необходимо, чтобы ни один из двух рядов не имел никаких общих членов. Ибо если мы имеем , мы также будем иметь .

Следовательно, вместо ряда мы будем иметь циклы; ибо для ряда существенно, чтобы никакой член не предшествовал самому себе. (То, что кажется рядами, в которых есть повторение, всегда является результатом взаимно-однозначного соответствия с рядами, в которых нет повторения, так что член может быть подсчитан один раз как коррелят одного члена, и снова как коррелят более позднего члена.) По этой причине, как и по многим другим, важно рассматривать отношения между взаимно исключающими отношениями, т.е. между отношениями, поля которых не имеют общих членов. Мы полагаем . Тогда имеет почти такую же полезность в арифметике отношений, как в кардинальной арифметике. Мы имеем , что аналогично предложению (*84·14) . Будет обнаружено, что в арифметике отношений отношение часто появляется там, где в аналогичном предложении кардинальной арифметики появляется .

Аналогичным «» является отношение двойной порядковой схожести. Оно имеет место между двумя отношениями и , когда они являются порядково подобными отношениями между порядково подобными отношениями с известными корреляторами, т.е. когда, если есть порядковый коррелятор и , так что , то если есть член , и есть соответствующий член , так что , мы будем иметь , и сможем указать член . Но как и в кардинальных числах, так и здесь мы должны сформулировать наше определение двойной порядковой схожести таким образом, чтобы минимизировать использование мультипликативной аксиомы. Поэтому мы принимаем в качестве нашего определения следующее: и называются имеющими двойную порядковую схожесть, когда существует взаимно-однозначное отношение , которое имеет в качестве своей обратной области и таково, что . Отношение , которое обладает этими свойствами, называется двойным коррелятором и , т.е. мы полагаем , определение, которое, как будет замечено, тесно аналогично определению в *111. Два отношения имеют двойную схожесть, когда они имеют двойной коррелятор, т.е. есть двойной коррелятор и , когда есть коррелятор и , и есть коррелятор и . Это могло бы быть принято в качестве определения двойного коррелятора, поскольку оно эквивалентно вышеприведенному определению.

Если мы предположим мультипликативную аксиому, мы можем доказать, что двойная схожесть имеет место между подобными отношениями взаимно исключающих подобных отношений, т.е. между двумя отношениями взаимно исключающих отношений и , которые имеют коррелятор такой, что, если , то и всегда подобны. В этом случае . Таким образом, если мы предположим мультипликативную аксиому, мы имеем, если , , . В частном случае, в котором поля и состоят из вполне упорядоченных отношений (т.е. отношений, порождающих вполне упорядоченные ряды), эта эквивалентность может быть доказана без использования мультипликативной аксиомы, потому что два подобных вполне упорядоченных отношения имеют только один коррелятор, так что трудность выбора среди корреляторов не возникает.

Двойные порядковые корреляторы имеют такое же значение при доказательстве формальных законов арифметики отношений, какое двойные кардинальные корреляторы имеют в кардинальной арифметике. Построение двойных корреляторов в различных случаях составляет большую часть арифметики отношений.

При определении порядкового произведения двух отношенческих чисел и при определении возведения в степень мы используем отношение, которое обладает свойствами, аналогичными свойствам . Это отношение есть , структура которого такова: Пусть , будут двумя членами, имеющими отношение ; тогда сформируем два отношения , . Отношение имеет место между двумя парами и всякий раз, когда ; таким образом, оно упорядочивает пары, чьи референты являются членами , а чьи реляты являются , в порядке, подобном . Отношения и являются (согласно *150·03) теми же, что и и . Таким образом, упорядочивает такие отношения, как в порядке, подобном . Таким образом, подобно , и каждый член его поля подобен . Таким образом, отношенческое число есть , и каждый член его поля имеет отношенческое число . Более того, , как легко видеть, является отношением взаимно исключающих отношений. Следовательно, оно подходит для определения произведения и , и мы полагаем . В следующем разделе, после того как мы определим произведение отношения отношений, мы будем использовать то же отношение для определения возведения в степень, полагая . Эти два определения следует сравнить с таковыми в *113 и *116.

В силу определения , отношение имеет место между членами, которые либо имеют одно из отношений вида , либо принадлежат соответственно полям двух отношений , , где . Таким образом, отношение имеет место между и всякий раз, когда и , а также между и всякий раз, когда . Таким образом, если, для иллюстрации, и порождают конечные ряды, так что их поля суть , то поле будет состоять из пар , и их порядок, как упорядочено , есть тот, в котором они написаны выше. Таким образом, вышеуказанные пары в вышеуказанном порядке составляют ряд , и очевидно, что этот ряд имеет членов.

Когда множители произведения не перечисляются, а даются как поле отношения, требуется новое определение умножения. Это определение, которое имеет преимущество применимости к бесконечным произведениям, будет рассмотрено в следующем разделе.

*160. СУММА ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *160.

В этом параграфе мы вводим определение , которое было объяснено во введении к этому разделу. Хотя предложения этого и других параграфов в этой Части не требуют, чтобы и были таковы, чтобы порождать ряды, читателю будет удобно представить их таковыми, поскольку важные приложения идей этой Части относятся к рядам. Таким образом, мы можем рассматривать сумму и как отношение, которое имеет место между и , когда либо предшествует в -ряде, либо предшествует в -ряде, либо принадлежит -ряду, а принадлежит -ряду.

Наиболее важными предложениями этого параграфа являются:

*160·14.

*160·21.

*160·22.

*160·31.

который является ассоциативным законом, и

*160·4.

который является дистрибутивным законом для логического и арифметического сложения;

*160·44.

который также является своего рода дистрибутивным законом;

*160·47.

откуда

*160·48.

откуда следует, что если и взаимно исключающие, отношенческое число их суммы зависит только от отношенческих чисел и ;

*160·5.

*160·52.

*160·01.

*160·1.

*160·11.

*160·111.

*160·12.

*160·13.

*160·14.

Док.

Вышеприведенное предложение постоянно используется. Следующие предложения (*160·15—·161) не используются, но вставлены, чтобы показать, что имеет тот вид структуры, который мы ожидали бы от суммы.

*160·15.

Док.

*160·151.

*160·16.

*160·161.

*160·2.

*160·21.

*160·22.

*160·3.

Док.

*160·31.

Док.

*160·32.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

*160·33.

*160*34.

*160·35.

*160·4.

Док.

*160·401.

Вышеприведенные два предложения формулируют дистрибутивный закон для логического и арифметического сложения. Три следующих предложения дают обобщенную форму этого закона, когда заменяет ; эти предложения впоследствии не используются, но вставлены ради их внутреннего интереса.

*160·41.

Док.

*160·411.

*160·412.

Док.

Следующие предложения подводят к *160·44, которое часто используется.

*160·42.

Док.

*160·421.

*160·43.

Док.

*160·44.

Док.

*160·45.

Док.

*160·451.

Док.

*160·452.

Док.

*160·46.

Док.

*160·47.

Док.

*160·48.

*160·5.

Док.

*160·51.

Док.

Вышеприведенное предложение полезно при доказательстве того, что, если , транзитивно, когда и транзитивны (ср. *201·4).

*160·52.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при работе с рядом сегментов ряда (*213·561).

*161. ДОБАВЛЕНИЕ ЧЛЕНА К ОТНОШЕНИЮ.

Резюме *161.

Добавление члена имеет две формы, в зависимости от того, происходит ли оно в начале или в конце поля рассматриваемого отношения. Если мы добавим сначала , а затем в конце, результат будет таким же, как если бы мы добавили (*161·22); если в начале, то таким же, как если бы мы добавили (*161·221). Предложения настоящего параграфа все очевидны и не представляют никаких трудностей. Как объяснено во введении к этому разделу, мы полагаем . Большинство предложений этого параграфа требуют гипотезы , потому что если , (*161·2, ·201). Это связано с тем фактом, что не существует порядкового числа 1. Помимо уже упомянутых предложений, главными предложениями этого параграфа являются следующие (мы опускаем предложения о , когда они являются просто аналогами предложений о ):

*161·12.

*161·14.

*161·15.

*161·211.

*161·31.

*161·4.

*161·01.

*161·02.

*161·1.

*161·101.

*161·11.

*161·111.

*161·12.

*161·13.

Док.

*161·131.

*161·14.

Гипотеза необходима в этом предложении, поскольку без нее мы имеем .

*161·141.

*161·15.

*161·16.

Вышеприведенное предложение используется в теории связных отношений (*202·412).

*161·161.

Два следующих предложения часто используются.

*161·2.

*161·201.

*161·21.

Док.

Заметим, что есть отношение, которое упорядочивает и , и в порядке , , .

*161·211.

*161·212.

*161·213.

Эти определения служат лишь для избежания скобок.

*161·22.

Док.

*161·221.

*161·23.

Док.

*161·231.

*161·232.

Док.

*161·24.

Док.

*161·25.

Док.

*161·26.

Док.

Следующие предложения подводят к *161·33.

*161·3.

Док.

*161·301.

*161·31.

Док.

*161·32.

Док.

*161·321.

*161·33.

Вышеприведенное предложение оправдывает добавление 1 или вычитание 1 в порядковой арифметике.

Следующее предложение (*161·4) часто используется.

*161·4.

Док.

*161·41.

*161·42.

*161·43.

*162. СУММА ОТНОШЕНИЙ ПОЛЯ.

Сводка *162.

Форма суммирования, определенная в *160, не может быть распространена на бесконечное число слагаемых, поскольку она предполагает явное упоминание всех слагаемых. В настоящем параграфе мы рассмотрим форму суммирования, которая не подлежит этому ограничению. Следует заметить, что, поскольку реляционное суммирование не является перестановочным, мы не можем определить сумму класса отношений, так как это не определило бы порядок, в котором должно производиться суммирование. Наши отношения должны быть заданы как поле некоторого отношения, которое их упорядочивает; таким образом, сумма выступает не как сумма класса, а как сумма отношения, а именно отношения, полем которого являются суммируемые отношения. В случае двух отношений P и Q сумма P+Q, как она определена в настоящем параграфе, будет равна P;Q; аналогично для трех отношений сумма P+Q+R будет равна P;Q;R и так далее для любого конечного числа слагаемых.

Как объяснялось во введении к этому разделу, если P — отношение между отношениями, мы полагаем

Удобно предположить, что P является сериальным и что каждый член поля P также является сериальным. Тогда P;Q выполняется между x и y, если либо (1) существует ряд в поле P, в котором x предшествует y, либо (2) x принадлежит ряду, который является более ранним в P-ряде, чем ряд, к которому принадлежит y. Ниже приведены основные предложения этого параграфа:

*162·22·23.

*162·26.

*162·3.

*162·31.

*162·34.

*162·35.

Это аналог *40·38. (Ср. примечание к *162·35 ниже.)

*162·4.

*162·42.

*162·43.

Следует заметить, что порядковые аналоги предложений о классах классов часто включают замену Σ (а не ℵ) на ℵ. Примерами служат процитированные выше *162·34 и *162·35.

*162·01.

*162·1.

*162·11.

*162·12.

*162·13.

*162·14.

*162·2.

Док.

*162·21.

Док.

*162·211.

*162·212.

Док.

*162·213.

Вышеуказанное предложение используется в *163·22.

Два следующих предложения используются очень часто.

*162·22.

Док.

*162·23.

*162·26.

Док.

*162·27.

*162·3.

Док.

Это предложение устанавливает связь между двумя видами арифметического сложения отношений.

*162·31.

Док.

Следующие предложения подводят к *162·34.

*162·32.

Док.

*162·33.

Док.

*162·331.

Док.

*162·332.

Док.

*162·34.

Это ассоциативный закон для арифметических сумм отношений.

Следующие предложения подводят к *162·35.

*162·341.

Док.

*162·342.

Док.

*162·343.

Док.

*162·35.

Док.

Это предложение важно, поскольку оно позволяет нам сделать вывод (при подходящей гипотезе), что если P всегда подобно Q, когда xRy, то арифметическая сумма всех таких отношений, как P, подобна сумме Q, являясь, по сути, ΣP. Иными словами, если всякий раз, когда xRy, S является коррелятором P и Q, то ΣS является коррелятором ΣP и ΣQ. Это предложение аналогично по своему использованию предложению, которое является *40·38. В общем, при получении реляционных аналогов кардинальных предложений Σ заменяется на ℵ, ℵ на ℵ, а ℵ на ℵ. Когда эти подстановки производятся в *40·38, получается *162·35, за исключением его гипотезы.

Если мы рассматриваем P;Q как своего рода произведение P и Q, то *162·35 становится дистрибутивным законом. Ибо он утверждает, что если мы умножим каждый член P на Q, а затем просуммируем полученные произведения, мы получим то же самое отношение, как если бы мы сначала просуммировали P, а затем умножили на Q. Следующее применение *162·35 к сумме двух отношений делает его дистрибутивный характер более очевидным.

*162·36.

Док.

Это предложение может быть распространено на любое конечное число слагаемых.

*162·37.

Док.

*162·371.

*162·372.

*162·4.

Док.

*162·41.

Док.

*162·42.

Док.

*162·43.

Док.

*162·431.

Заметьте, что в *162·43 и *162·431 P и Q должны быть разных типов, фактически P должен быть того типа, к которому принадлежат члены Q. *162·43 и *162·431 часто полезны.

*162.44.

Док.

*162·45.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *174·162.

*163. ОТНОШЕНИЯ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *163.

В настоящем параграфе мы должны определить взаимно исключающие отношения и привести некоторые их свойства. Взаимно исключающие отношения играют в реляционной арифметике почти ту же роль, что и взаимно исключающие классы в кардинальной арифметике. Prima facie, существуют различные способы, которыми мы могли бы их определить. Мы могли бы определить P как отношение взаимно исключающих отношений, когда ℵ или когда ℵ, или несколькими другими способами. Но на самом деле наиболее полезным свойством для выбора является то, что любые два члена поля имеют взаимно исключающие поля, т.е.

Основные приложения предметов, изучаемых в этой части, относятся к рядам, а в рядах всегда важны поля отношений. Мы хотим, например, определить отношения взаимно исключающих отношений таким образом, чтобы, если P — сериальное отношение и каждый член P — сериальное отношение, то ΣP было бы сериальным отношением. Для этой цели необходимо, чтобы P было включено в разнообразие, что требует, чтобы P было включено в разнообразие, т.е. чтобы ℵ. Если P — сериальное отношение, как мы предполагаем, это эквивалентно ℵ.

Далее, мы хотим определить отношения взаимно исключающих отношений таким образом, чтобы, если P и Q — два таких отношения, и P и Q имеют двойную схожесть (ср. *164), то ΣP было бы подобно ΣQ; т.е. если нам дан коррелятор S отношений P и Q, и для каждого P' и Q', которые S коррелирует, нам снова дан коррелятор, то ΣP должно быть подобно ΣQ. То есть, если S — класс отношений, которые коррелируют пары отношений P' и Q', где P'SQ', мы хотим, чтобы ΣS было коррелятором ΣP и ΣQ. Теперь это требует, чтобы S было взаимно однозначным отношением, что требует ℵ. Это обеспечивается ℵ, но, за исключением специальных классов отношений, это не обеспечивается ℵ, поскольку могут существовать два отношения P' и Q', которые оба принадлежат полю S, но ни одно из которых не имеет отношения S к другому. Опять же, аналогия с кардинальной арифметикой нарушается во многих точках, если, когда P — отношение взаимно исключающих отношений, ΣP не является классом взаимно исключающих классов. Но это не обеспечивается ни одним из других возможных определений, которые мы рассматривали. Существуют дальнейшие причины, связанные с арифметическим произведением отношения отношений, для выбора в качестве определения ℵ.

С технической точки зрения свойства ℵ зависят главным образом от того факта, что ℵ, когда P — такой класс (*84·14); аналогично свойства ℵ зависят от ℵ, что требует нашего определения и эквивалентно ему (*163·12). Таким образом, мы получаем возможность использовать предложения *81 о выборках из многозначных отношений, что в противном случае было бы невозможно.

Следует заметить, что ℵ не эквивалентно ℵ, хотя и подразумевает это. Обратная импликация не будет выполняться, если P содержит два различных отношения с одним и тем же полем. Например, возьмем отношение P, поле которого состоит из четырех отношений P1, P2, P3, P4, и предположим ℵ. Тогда ℵ, и ℵ. Но если только ℵ и ℵ, мы не будем иметь ℵ.

Свойство, посредством которого мы определяем отношения взаимно исключающих отношений, — это свойство, которое зависит только от поля, так что мы могли бы с таким же успехом положить ℵ. Но для наших целей это было бы менее удобно, чем определение ℵ.

Таким образом, мы полагаем ℵ.

*163·01.

Мы имеем ℵ.

*163·11.

*163·12.

*163·17.

Любое из вышеперечисленных могло быть использовано для определения ℵ. Важны следующие предложения.

*163·3.

Это аналог *84·53.

*163·4·41.

*163·441.

*163·451.

*163·01.

*163·1.

*163·11.

*163·12.

Для многих целей это предложение дает наиболее полезный эквивалент ℵ.

Вместо вышеприведенного доказательства мы можем использовать *74·62, которое дает нам результат в силу *33·5.

*163·13.

*163·14.

*163·15.

Док.

*163·16.

*163·17.

*163·2.

*163·21.

Док.

Это предложение важно в связи с умножением отношений, ибо мы определим как произведение отношения P (поле которого состоит из отношений) отношение, поле которого есть ℵ. Таким образом, согласно вышеуказанному предложению, всякий раз, когда P является ℵ, поле его произведения есть произведение (в кардинальном смысле) полей его поля, точно так же, как поле его суммы есть (согласно *162·22) сумма полей его поля.

*163·22.

Док.

*163·3.

Док.

*163·31.

*163·311.

Док.

*163·32.

*163·33.

*163·331.

*163·4.

Док.

*163·41.

Док.

*163·42.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *251·22.

*163·43.

Док.

*163·431.

*163·44.

Док.

*163·441.

Вышеуказанное предложение используется в *173·26.

*163·442.

Док.

*163·45.

Док.

*163·451.

Вышеуказанное предложение используется в *173·25.

*163·452.

*163·46.

*163·461.

*163·462.

*164. ДВОЙНАЯ СХОЖЕСТЬ.

Сводка *164.

Предмет этого параграфа имеет большое значение во всей реляционной арифметике и ее приложениях. Двойная схожесть, или двойная порядковая схожесть, — это отношение, которое должно выполняться между P и Q, когда (1) P и Q подобны, (2) коррелированные члены полей P и Q подобны, с конкретным заданным коррелятором в каждом случае. (В общем случае необходимо иметь заданный коррелятор в каждом случае, чтобы избежать необходимости в мультипликативной аксиоме для выбора между корреляторами.) Это определение может быть несколько упрощено, если начать с отношения, коррелирующего P и Q. Если S — такой коррелятор, так что P S Q, мы хотим, чтобы S было таким, что оно не только коррелирует все P со всем Q, но также коррелирует каждый член P с соответствующим членом Q, т.е. таким, что, если P' — любой член P, то P' S Q' — соответствующий член Q. Это требует ℵ, т.е. записывая P' S Q' вместо P' S Q, это требует ℵ. Когда P и Q — ℵ, мы имеем ℵ согласно *162·35. Следовательно, двойная схожесть будет существовать, если существует отношение S такое, что ℵ.

Отношение S, выполняющее это условие, будет называться двойным коррелятором P и Q. Таким образом, два отношения P и Q имеют двойную схожесть, когда существует двойной коррелятор P и Q, т.е. когда ℵ. Двойной коррелятор P и Q — это отношение S, которое является коррелятором P и Q и таково, что ℵ является коррелятором P' и Q'.

Будет видно, что это определение имеет обычную аналогию с соответствующим определением в кардинальных числах (*111·01). Две перевернутые запятые кардинального определения заменены точкой с запятой, а ℵ заменено на ℵ, и ℵ заменено на ℵ или ℵ. Предложения настоящего параграфа состоят в значительной степени из аналогов предложений *111 в соответствии с вышеуказанными подстановками.

Если бы не трудность выбора между корреляторами, мы могли бы определить два отношения как имеющие двойную схожесть, когда они являются подобными отношениями подобных отношений, т.е. когда, если P и Q — два отношения, они имеют коррелятор S такой, что, если P' S Q', то P' подобно Q'. В этом случае ℵ. Таким образом, мы должны рассмотреть отношения класса ℵ к классу двойных корреляторов, и мы должны рассмотреть отношение отношения «ℵ» к отношению двойной схожести. Предложения, которые должны быть доказаны по этому предмету в настоящем параграфе, аналогичны предложениям *111. Но на более позднем этапе (*251·61) мы покажем, что если поле P состоит целиком из отношений, которые порождают вполне упорядоченные ряды, то использование мультипликативной аксиомы перестает быть необходимым при отождествлении двойной схожести с отношением ℵ, причина в том, что два вполне упорядоченных ряда никогда не могут быть коррелированы более чем одним способом.

Наши определения таковы:

*164·01.

*164·02.

Основные предложения этого параграфа:

*164·15.

откуда

*164*151.

*164*18.

Это обычно наиболее удобное предложение, когда необходимо доказать двойную корреляцию.

*164·201·211·221. Двойная схожесть рефлексивна, симметрична и транзитивна.

*164·31.

(Ср. примечание к *164·31 ниже.)

Затем у нас есть набор предложений (*164·4 до конца) об отождествлении ℵ с двойной схожестью посредством мультипликативной аксиомы. Мы имеем

*164·43.

То есть, при условии, что P и Q — подобные отношения подобных взаимно исключающих отношений, если мы можем выбрать один коррелятор для каждой пары коррелированных членов P и Q, то сумма таких выбранных корреляторов является двойным коррелятором P и Q. Следовательно, замечая, что если S — двойной коррелятор P и Q, то ℵ (*164·15·16), мы приходим к

*164·45.

Из *164·43 мы также выводим

*164·46.

*164·48.

Т.е., по сути, предполагая мультипликативную аксиому, если два ряда (P и Q) могут быть каждый разделены на ℵ множеств из ℵ членов (ℵ, ℵ — отношенческие числа), то два ряда порядково подобны, и ℵ множеств в одном случае имеют двойную схожесть с ℵ множествами в другом. (Здесь мы написали ℵ, ℵ вместо ℵ и ℵ из формулировки.)

Именно посредством вышеуказанных предложений связываются порядковое сложение и умножение, как это будет показано в *166.

*164·01.

*164·02.

*164·1.

*164·11.

*164·12.

*164·13.

*164·131.

Док.

*164·14.

Два следующих предложения требуются для доказательства *164·18.

*164·141.

*164·142.

*164·143.

Док.

*164·15.

Док.

*164·151.

*164·16.

Док.

*164·17.

Это предложение утверждает, что когда P и Q имеют двойную схожесть, существует коррелятор P и Q, который связывает подобные с подобными отношениями; т.е. если S — коррелятор, то, если P' S Q', P' и Q' порядково подобны. Обратное этому предложению, а именно, что если P и Q имеют коррелятор, который связывает порядково подобные отношения, то P и Q имеют двойную схожесть, может быть доказано, если предположить мультипликативную аксиому, но не иначе, за исключением специальных случаев, таких как случай вполне упорядоченных рядов.

Следующее предложение используется часто, благодаря тому факту, что в случаях, с которыми мы имеем дело, двойные корреляторы обычно имеют форму ℵ, где ℵ — некоторое отношение, для которого мы имеем ℵ.

*164·18.

Док.

*164·181.

Док.

Следующие предложения касаются доказательства того, что двойная схожесть рефлексивна, симметрична и транзитивна.

*164·2.

Док.

*164·201.

*164·21.

Док.

*164·211.

*164·22.

Док.

*164·221.

*164·23.

Док.

*164·3.

Док.

*164·301.

*164·31.

Док.

Это предложение имеет то достоинство, что сводит порядковый элемент в двойной схожести к минимуму. Доказательство ℵ — это кардинальная проблема, и то, что должно быть добавлено для порядковых целей, — это просто ℵ.

*164·32.

В этом предложении различные ℵ не обязательно должны быть одного типа. Следовательно, «ℵ» не является непосредственным следствием *164·201.

Док.

*164·33.

Док.

*164·34.

Следующие предложения касаются показа того, что, если P и Q — подобные отношения, и коррелятор P и Q содержится в схожести (т.е. коррелирует отношения, которые имеют отношение схожести), при условии, что для каждой пары отношений, связанных коррелятором P и Q, дан коррелятор, то логическая сумма таких корреляторов является двойным коррелятором P и Q, при условии, что P и Q являются отношениями взаимно исключающих отношений. То есть, предполагая S коррелятором P и Q, и предполагая, что всякий раз, когда P' S Q', пусть будет возможно выбрать один коррелятор из класса корреляторов ℵ для каждого P', который принадлежит полю P. То есть, предположим, что возможно сделать выборку из класса классов корреляторов. Если S' — такая выборка, то ℵ будет двойным коррелятором P и Q, если ℵ, ℵ.

Следующие предложения, вплоть до *164·421, являются леммами для *164·43.

*164·4.

Док.

*164·41.

Док.

*164·411.

Док.

*164·412.

*164·413.

Док.

*164·414.

*164·42.

*164·421.

Следующее предложение, помимо использования при доказательстве всех последующих предложений этого параграфа (за исключением *164·432 и *164·433, которые являются лишь леммами для *164·44), используется в *251·6, в теории порядковых чисел.

*164·43.

Док.

*164·431.

*164·432.

Док.

*164·433.

Все остальные предложения параграфа важны.

*164·44.

*164·45.

*164·46.

*164·47.

Док.

*164·48.

*165. ОТНОШЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ ПАР.

Сводка *165.

В настоящем параграфе мы приведем различные предложения, касающиеся отношения ℵ, которое имеет те же применения в реляционной арифметике, что и ℵ в кардинальной арифметике. Предложения этого параграфа будут использованы в следующем параграфе для установления свойств арифметического произведения двух отношений P и Q, которое определяется как ℵ. Опять же, в связи с возведением в степень предложения настоящего параграфа будут полезны, поскольку после того, как произведение отношения отношений было определено (*172), мы определим возведение в степень посредством определения ℵ. Также будут иметь место случайные использования предложений этого параграфа во всей теории рядов. Отношение ℵ важно, потому что его структура полностью известна. Это ℵ, которое состоит из ℵ отношений, каждое из которых подобно P (*165·27); и если ℵ, мы можем построить двойной коррелятор P и Q, не прибегая к мультипликативной аксиоме. Фактически мы имеем

*165·362.

Это предложение следует сравнить с *113·127. В силу *164·31, вместе с различными предложениями *165 и *166, окажется, что *165·362 включает *113·127 как часть того, что оно утверждает.

В настоящем параграфе мы начинаем с набора предложений о полях. Мы имеем

*165·12.

*165·13.

откуда

*165·14.

которое связывает теорию ℵ с теорией ℵ (*113 и *116). Следовательно

*165·16.

В *166 мы определим ℵ как ℵ; таким образом, вышесказанное станет

Далее у нас есть набор предложений, касающихся ℵ как отношения, и обстоятельств, при которых мы можем вывести ℵ или ℵ из данных о ℵ и ℵ. Мы имеем

*165·21.

*165·211.

*165·22.

Затем у нас есть различные предложения, касающиеся ℵ, главными из которых являются

*165·241.

*165·242.

Далее у нас есть четыре предложения, которые постоянно используются, доказывая, что ℵ состоит из ℵ отношений, каждое из которых подобно P. Эти предложения таковы:

*165·25.

*165·251.

*165·26.

*165·27.

С *165·3 по *165·372 мы занимаемся построением двойного коррелятора P и Q, когда нам даны простые корреляторы P с P' и Q с Q'. Результат (*165·362) уже был дан. Следовательно, мы имеем

*165·37.

и согласно *164·48 и *165·27 мы имеем

*165·38.

Следовательно, предложения, касающиеся ряда ℵ рядов, каждый из которых содержит ℵ членов (где ℵ и ℵ — отношенческие числа), которые в общем случае требуют мультипликативной аксиомы, могут быть выведены, при условии принятия этой аксиомы, из предложений (не требующих аксиомы), касающихся ℵ, где ℵ и ℵ. Таким образом, использование ℵ позволяет нам минимизировать использование мультипликативной аксиомы.

*165·01.

*165·1.

*165·11.

*165·12.

*165·13.

*165·131.

*165·14.

*165·15.

*165·16.

*165·161.

Док.

*165·162.

Док.

*165·17.

Док.

*165·18.

*165·181.

*165·182.

*165·19.

*165·2.

*165·201.

Док.

*165·202.

*165·203.

*165·204.

Док.

*165·205.

*165·206.

*165·21.

Док.

*165·211.

*165·212.

Док.

*165·22.

Док.

*165·221.

Док.

*165·222.

*165·223.

Док.

*165·23.

Док.

*165·231.

*165·232.

Док.

*165·233.

*165·24.

Док.

*165·241.

*165·242.

Док.

*165·243.

Док.

*165·244.

Док.

*165·245.

*165·25.

*165·251.

*165·26.

*165·27.

Следующие предложения касаются доказательства того, что, если S — коррелятор P и Q, а S' — коррелятор P' и Q', то ℵ (с ограниченной областью обращения) является двойным коррелятором P и Q.

Это предложение требуется впоследствии при установлении схожестей.

*165·3.

Док.

*165·301.

Док.

*165·302.

Док.

*165·31.

Док.

*165·311.

*165·32.

Док.

*165·321.

*165·33.

Док.

*165·331.

*165·34.

Док.

*165·341.

*165·35.

Док.

*165·351.

Док.

*165·352.

Док.

*165·36.

Док.

*165·361.

Доказательство продолжается как в *165·36.

*165·362.

Вышеуказанные три предложения очень полезны в реляционной арифметике.

*165·37.

*165·38.

Док.

*166. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *166.

Произведение P×Q определяется как ℵ. Это отношение, которое имеет своим полем все пары, которые могут быть сформированы путем выбора референта в P и релатума в Q. Эти пары упорядочены ℵ по следующему принципу: если релатум одной пары имеет отношение Q к релатуму другой, мы ставим одну перед другой, и если релатумы двух пар равны, в то время как референт одной имеет отношение P к референту другой, мы ставим одну перед другой. Таким образом, продвигаясь от любого члена x в поле P, мы сначала держим x фиксированным и изменяем y в более поздние члены насколько возможно; затем мы изменяем x в более поздний член, возвращаем y к началу, и так далее. Таким образом, с заданным x мы получаем ряд, который подобен Q, и этот ряд полностью следует за или полностью предшествует ряду с референтом x', где x' следует или предшествует x.

Предложения этого параграфа по большей части являются непосредственными следствиями предложений *165. Наиболее важные из них:

*166·12.

*166·13.

Отсюда следует, что порядковое произведение конечного числа множителей обращается в нуль тогда и только тогда, когда один из его множителей обращается в нуль.

*166·16.

*166·23.

Это предложение показывает, что отношенческое число произведения зависит только от отношенческих чисел его множителей.

*166·24.

Это предложение связывает сложение и умножение (ср. примечание к *166·24 ниже).

*166·42.

Это ассоциативный закон. Дистрибутивный закон имеет две формы:

*166·44.

*166·45.

Мы не имеем в общем случае (ср. примечание перед *166·44 ниже)

Мы также имеем дистрибутивный закон для сложения одного члена, т.е.

*166·53.

*166·531.

Здесь снова закон не выполняется в общем случае для P×(Q+R) или (P+Q)×R.

*166·01.

*166·1.

*166·11.

*166·111.

*166·112.

*166·113.

*166·12.

*166·13.

*166·14.

*166·15.

*166·16.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в порядковой теории прогрессий (*263·62·65).

*166·2.

*166·21.

*166·22.

Это предложение дает коррелятор для произведения, когда даны корреляторы для множителей.

*166·23.

Это предложение позволяет нам использовать ℵ для определения произведения отношенческих чисел P и Q, ибо оно показывает, что отношенческое число P×Q определено, когда даны отношенческие числа P и Q. Поэтому мы (в разделе D этой части) определим произведение двух отношенческих чисел ℵ и ℵ как отношенческое число P×Q, когда ℵ и ℵ.

*166·24.

Это предложение демонстрирует связь сложения и умножения. Если мы положим ℵ и ℵ, то ℵ в вышеуказанном предложении есть сумма ℵ отношений, каждое из которых есть ℵ. В силу вышеуказанного предложения следует, что (если предположить мультипликативную аксиому) ℵ. Иными словами, предполагая мультипликативную аксиому, сумма ℵ рядов (или других отношений), каждый из которых имеет ℵ членов, имеет ℵ членов.

*166·3.

Аналогичное предложение ℵ верно в общем случае только если ℵ.

*166·31.

*166·311.

*166·312.

Следующие предложения являются леммами для ассоциативного закона (*166·42).

*166·4.

Док.

*166·401.

*166·41.

Док.

*166·42.

Это ассоциативный закон для вида умножения, рассматриваемого в этом параграфе.

*166·421.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

Два следующих предложения дают дистрибутивный закон. В реляционной арифметике это в общем случае верно только в одной из двух своих форм, т.е. мы имеем P×(Q+R) = P×Q + P×R. Последнее верно для конечных рядов, но не для бесконечных рядов или (за исключением исключительных случаев) для отношений, которые не являются сериальными.

*166·44.

Док.

*166·45.

Док.

Следующие предложения (*166·46 — *166·472) демонстрируют нарушение дистрибутивного закона в форме (P+Q)×R = P×R + Q×R и дают некоторые результаты для специальных случаев. Они не упоминаются нигде, кроме этого параграфа.

*166·46.

*166·461.

*166·462.

Док.

*166·463.

*166·464.

Док.

*166·47.

*166·471.

*166·472.

Док.

Следующие предложения касаются дистрибутивного закона для сложения одного члена к отношению. Этот закон, в той форме, в которой он выполняется, дан в *166·53 и *166·531 (помня ℵ). *166·54 и *166·541 демонстрируют нарушение другой формы.

*166·5.

Док.

*166·51.

*166·511.

*166·52.

*166·521.

*166·53.

Док.

*166·531.

*166·54.

Док.

*166·541.

РАЗДЕЛ C. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, А ТАКЖЕ УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка раздела C.

В настоящем разделе мы должны рассмотреть различные формы принципа, который имеет величайшую полезность в арифметике отношений. Этот принцип можно назвать «принципом первых разностей». Он был разъяснен и использован Хаусдорфом в блестящих статьях [15]. Полученные там с его помощью результаты дают некоторое представление о его важности в арифметике отношений. Однако он имеет и другие применения, помимо тех, что связаны с умножением и возведением в степень отношенческих чисел, как, например, при упорядочении сегментов и отрезков в ряду или любого другого множества классов, содержащихся в поле данного отношения. В настоящем разделе, после первых двух номеров, мы будем заниматься его арифметическими применениями, но другие применения встретятся позже.

Принцип первых разностей имеет различные формы, которые, хотя и являются аналогичными, не могут в общем случае быть сведены к одному общему роду. Простейшей из них является отношение, посредством которого упорядочиваются подклассы. Оно определяется следующим образом. Если и оба содержатся в , мы говорим, что , если существуют члены, принадлежащие , но не принадлежащие , такие, что никакие члены, принадлежащие и не принадлежащие , не предшествуют им; т. е. если после удаления членов (если таковые имеются), общих для и , остаются члены в , которые не следуют ни за одним из членов, оставшихся в , т. е. если . Таким образом, определение имеет вид . Будет видно, что это отношение имеет место, если . Таким образом, оно имеет место между любым существующим членом и , а также между и любым членом , отличным от самого . Когда является сериальным отношением (что является важным случаем для всех отношений в этом разделе), транзитивно и асимметрично, но не обязательно связно, т. е. могут существовать два члена его поля, ни один из которых не имеет отношения к другому. Это происходит всякий раз, когда не является вполне упорядоченным; но когда вполне упорядочен, связно и, следовательно, порождает ряд.

Чтобы проиллюстрировать порядок, порождаемый в простом случае, рассмотрим ряд из трех членов , , . Давайте на мгновение запишем для отношения и аналогично мы запишем для и так далее. Тогда, предполагая , . В этом ряду класс, содержащий , всегда является более ранним, чем тот, который не содержит ; и из двух классов, из которых оба или ни один не содержат , тот, который содержит , является более ранним, чем тот, который не содержит ; и из двух классов, из которых оба или ни один не содержат , и оба или ни один не содержат , тот, который содержит , является более ранним, чем тот, который не содержит . Таким образом, наше отношение может быть порождено следующим образом: Начнем с , что есть . Добавим перед этими членами то, что получается в результате добавления к каждому; тогда мы имеем , что есть . Теперь добавим в начале то, что получается в результате добавления к каждому из вышеуказанных четырех классов, и мы получим . Таким образом, в общем случае, если . Таким образом, добавляя один член к , мы удваиваем число членов в .

Опять же, если и — два отношения, которые не имеют общих членов в своих полях, мы будем иметь , в то время как, наоборот, . Следовательно, , так что .

Эти предложения иллюстрируют связь с умножением.

Помимо , нам часто требуется (хотя и не в этой части) отношение, которое является конверсом . Это отношение мы называем , так что . Оно начинается с и заканчивается на .

Таким образом, мы будем иметь, например, . Здесь, если мы начнем с , что есть , ряд растет путем добавления членов в конце: мы добавляем к каждому члену и помещаем полученные члены после и ; затем мы добавляем к каждому из четырех членов, которые у нас уже есть, и добавляем полученные члены в конце; и так мы можем продолжать бесконечно.

Отношение с ограниченным полем упорядочивает сегменты P в порядке возрастания величины; если класс сегментов есть , порождает то, что можно назвать естественным порядком среди сегментов (ср. *212).

Вариант дает отношение (*171), которое должно иметь место между двумя членами , из , когда первый член , который не принадлежит обоим, принадлежит , т. е. «первая разность» принадлежит . Это отношение подразумевает и совпадает с ним, если вполне упорядочен; но когда не вполне упорядочен, может иметь место между двумя классами, которые не имеют первой точки различия, например (если «меньше, чем» среди рациональных чисел), если состоит из рациональных чисел между 0 и 1 (оба исключены) и из рациональных чисел между 1 и 2 (оба исключены). Определение имеет вид

Отношение обладает интересным свойством: его отношенческое число находится путем возведения в степень (ср. *177). Поскольку полем является , эта теорема является порядковым аналогом (*116·72).

Несколько более сложная форма отношения первых разностей возникает, когда мы имеем ряд рядов. Предположим, для начала, что есть сериальное отношение, поле которого состоит из взаимно исключающих сериальных отношений.

Таким образом, на прилагаемом рисунке каждый ряд представляет собой ряд, причем порождающими отношениями этих рядов являются , ... , ... Но сами ряды образуют ряд, который можно рассматривать как порожденный отношением , поле которого состоит из отношений , ... , ... (Можно было бы считать более естественным взять , , ... в качестве поля ; но это привело бы к путанице в случае, когда два или более рядов имеют одно и то же поле.) Предположим, теперь мы хотим найти отношение, которое упорядочит мультипликативный класс полей , , ..., т. е. класс . В случае, проиллюстрированном на рисунке, в котором порождает вполне упорядоченный ряд, и все члены являются сериальными, и , мы могли бы использовать ; это отношение, с полем, ограниченным до , даст нам тогда то, что мы хотим. Это отношение будет, в предполагаемом случае, ставить выбранный класс перед другим выбранным классом , если там, где они впервые различаются, выбирает более ранний член, чем . Но если ряд не является вполне упорядоченным — если он (скажем) типа (ср. *263) — может не быть первого члена поля , где и различаются. Это произойдет, например, если состоит из всех первых членов, а из всех вторых членов. Наше упорядочивающее отношение может быть определено так, чтобы ставить перед в этом случае также, но если оно определено таким образом, ассоциативный закон умножения выполняется только в том случае, если вполне упорядочен. По этой причине мы определяем наше упорядочивающее отношение так, что в таком случае не стоит ни перед, ни после . Опять же, если не является , член выбранного класса может встретиться дважды, один раз как представитель , и один раз как представитель , если и имеют общие члены. Мы хотим различить эти два вхождения. Следовательно, мы действуем следующим образом: Если и — два выбранных класса , пусть существует один или более членов , в которых -представитель предшествует -представителю, и которые таковы, что среди всех более ранних [16] членов , -представитель идентичен -представителю.

Но дальнейшая модификация желательна для того, чтобы рассмотреть случай, в котором два или более членов имеют одно и то же поле. Предположим, например, нам пришлось иметь дело с рядом, состоящим из всех рядов, которые могут быть сформированы из данного набора членов: в этом случае нам пришлось бы различать вхождения любого данного члена не по полю, а по порождающему отношению. Это требует, чтобы мы сделали -выбор из , а не -выбор из . Следовательно, мы берем два члена , скажем и , и мы упорядочиваем их или их домены по следующему принципу: Мы ставим перед (или перед ), если существует отношение в поле такое, что -представитель , т. е. , имеет отношение к -представителю , и такое, что, если есть любой более ранний член , то идентичен . То есть, предшествует , если

Отношение между и , определенное таким образом, обладает свойствами, требуемыми для арифметического произведения; следовательно, мы полагаем

Это отношение является порядковым аналогом . Порядковым аналогом является соответствующее отношение доменов и , т. е. ; следовательно, мы полагаем

В случае, если есть , мы имеем . Но когда не является , и в общем случае не являются порядково схожими. Мы можем, однако, всегда сделать , заменив члены , и т. д. (где ) на , и т. д. Таким образом, если встречается дважды в , один раз как член , и один раз как член , два вхождения заставляют соответствовать и соответственно, и таким образом мы получаем новое отношение, которое является .

Если каждый член имеет первый член, будет первым членом , и будет первым членом . Если, далее, существует последний член , т. е. если , и если этот последний член имеет второй член, второй член получается путем взятия этого второго члена в качестве представителя , и оставления всех других представителей неизменными. В любом случае, если существует, самые ранние преемники любого члена — это те, которые получены только путем варьирования представителя в . Таким образом, если существует, те члены , которые имеют данный набор представителей во всех членах , образуют последовательный отрезок ряда, и этот отрезок подобен . Если имеет непосредственного предшественника, отрезки, полученные путем варьирования только представителя в этом предшественнике, снова являются последовательными и образуют ряд, подобный указанному предшественнику; и так далее. Это делает понятным, почему обладает свойствами произведения.

Как и в случае с кардинальными числами, определение возведения в степень выводится из определения умножения. Мы полагаем . Это важное отношение, которое заслуживает рассмотрения отдельно от того факта, что оно полезно в связи с возведением в степень. Будет обнаружено, что

Это форма принципа первых разностей, которая является подходящей, когда задействованы два отношения, вместо только одного, как в . Принцип в этом случае заключается в следующем: Пусть , — любые два один-многие отношения, которые соотносят часть (или целое) с целым . То есть, каждое из двух отношений назначает представителя в каждому члену , но разные члены могут иметь одного и того же представителя. Тогда при прохождении вдоль ряда , должен, рано или поздно, встретиться член , чей -представитель является более ранним, чем его -представитель, и члены, которые приходят раньше, чем в , все должны иметь свои -представители идентичными своим -представителям.

Отношение может быть подвергнуто различным ограничениям, которые дают важные результаты. Эта тема была рассмотрена Хаусдорфом. Например, если (где ), и имеет порядковый тип, который Кантор называет , т. е. тип прогрессий (порожденных транзитивными отношениями), то если есть любой член , всегда либо , либо . Если мы наложим условие, что должно быть за исключением конечного числа значений , результирующий ряд имеет тип рациональных чисел в порядке величины, т. е. тип, называемый . Если мы наложим условие, что должно быть бесконечное число значений , для которых , результирующий ряд является континуумом, т. е. он имеет порядковый тип, называемый ; в этом случае содержащийся «рациональный» ряд состоит из тех 'ов, для которых существует только конечное число 'ов, имеющих . Если мы не наложим никаких ограничений, имеет тип, представленный вещественными числами, когда десятичные дроби, заканчивающиеся повторяющейся 9, считаются отдельно от завершающихся десятичных дробей, имеющих то же значение.

Мы можем обобщить , вместо того чтобы ограничивать его. Для начала мы можем позволить нашим и иметь только часть в качестве их конверсного домена и удалить предположение, что существует первый член , для которого и различаются; это приводит к отношению . Далее, мы можем отбросить ограничение на один-многие отношения. Будет замечено, что если , мы имеем . Таким образом, мы можем рассмотреть отношение . Это отношение имеет в качестве своего поля все отношения, содержащиеся в . Мы можем, если хотим, отбросить даже это ограничение и рассмотреть . Это представляет собой наиболее общую форму принципа первых разностей, примененную к паре отношений и . В порядковой арифметике, однако, достаточно общо для тех применений, которые мы хотим сделать из него.

Формальные законы, насколько они верны, могут быть доказаны без чрезмерных трудностей. Мы имеем , которое связывает два вида умножения; , которое является одной формой ассоциативного закона, другой формой которого является также . Мы имеем , который является ассоциативным законом для «». Мы имеем . Но мы не имеем в общем случае , что, очевидно, потребовало бы коммутативного закона для умножения и, следовательно, не выполняется в общем случае, несмотря на тот факт, что его кардинальный аналог всегда выполняется.

Что касается связи с кардинальными числами, мы имеем , и мы уже имели . Более того, корреляторы, посредством которых устанавливается схожесть в кардинальных числах, как правило, достаточны для установления подобия в аналогичных случаях в арифметике отношений. Таким образом, мы имеем , которые все тесно аналогичны предложениям, которые были доказаны в кардинальных числах.

Применения предложений этого раздела почти полностью относятся к рядам, и удобно представлять наши отношения сериальными. Но гипотеза о том, что они являются сериальными, не является необходимой для истинности любого из предложений настоящего раздела, и примечательным фактом является то, что так много формальных законов порядковой арифметики выполняются для отношений в целом.

Следует заметить, что не всегда является рядом, когда является рядом и все отношения в поле являются рядами. Ряд (ср. *204) — это отношение , которое (1) содержится в разнообразии, (2) транзитивно, (3) связно, т. е. такое, что каждый член поля P имеет отношение P или отношение к каждому другому члену поля. Именно третье условие может не выполняться для , и которое, фактически, не выполняется всякий раз, когда не является вполне упорядоченным. Таким образом, предположим, для простоты, что имеет тип , который мы назовем регрессией, т. е. конверс прогрессии (ср. *263); и предположим, что поле состоит полностью из пар. Возьмем выбор , который выбирает первый член каждой нечетной пары, и второй член каждой четной пары; и возьмем другой выбор , который выбирает второй член каждой нечетной пары, и первый член каждой четной пары. Ни один из этих двух выборов не имеет отношения к другому, ибо какой бы член мы ни выбрали, если есть выбор, который выбирает первый член , существует более ранний член (а именно, непосредственный предшественник ), в котором выбирает первый член, в то время как выбирает второй. Следовательно, не существует такого , как требуется для ; и аналогичный аргумент справедлив против . В таком случае порождает ряд различных рядов, и путем соответствующих ограничений поля один из этих рядов может быть извлечен. Точно такие же замечания применимы к .

СНОСКИ:

[15] "Untersuchungen über Ordnungstypen," Berichte der mathematisch-physischen Klasse der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, февр. 1906 и февр. 1907. Ср. также его "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen," Math. Annalen, 65 (1908).

[16] Здесь говорится, что раньше, чем , если имеет отношение к и не идентичен .

*170. ОБ ОТНОШЕНИИ ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ СРЕДИ ПОДКЛАССОВ ДАННОГО КЛАССА.

Сводка *170.

Определение, которое будет дано в этом номере отношения первых разностей среди подклассов данного класса, отнюдь не является единственно возможным, на самом деле другое определение будет рассмотрено в *171. В настоящем номере определение, которое мы выбираем, таково: говорится, что предшествует согласно этому определению, когда имеет по крайней мере один член, который не принадлежит ни , ни следует за каким-либо членом, принадлежащим и не принадлежащим ( и будучи оба подклассами ). Другими словами, если мы рассмотрим два класса и , существуют члены , которые не предшествуют никаким членам . Образно говоря, мы можем представить отношение следующим образом (предполагается, что является сериальным): и каждый выбирает члены из , и эти члены имеют порядок, приданный ; мы предполагаем, что более ранние члены, выбранные и , возможно, одни и те же, но рано или поздно, если , мы должны прийти к членам, которые принадлежат одному, но не другому. Мы предполагаем, что самые ранние члены такого рода принадлежат , а не ; в этом случае имеет отношение к . То есть, там, где и начинают различаться, это члены , к которым мы приходим, а не члены . Мы не предполагаем, что существует первый член, который принадлежит и не принадлежит , так как это ввело бы нежелательные ограничения в случае, если не вполне упорядочен.

Несколько предложений настоящего номера будут использованы в следующем номере, который имеет дело с несколько иной формой отношения первых разностей, но за этим исключением предложения этого номера не будут упоминаться снова, пока мы не дойдем до рядов. Их главное применение встречается в разделе о компактных рядах, рациональных рядах и непрерывных рядах (Часть V, Раздел F), особенно в *274 и *276, которые соответственно устанавливают существование рациональных рядов (предполагая аксиому бесконечности) и тот факт, что кардинальное число членов в непрерывном ряду такое же, как число классов, содержащихся в поле прогрессии, т. е. . Определения и несколько более простых предложений также используются в связи с рядом сегментов ряда, поскольку, как объяснено выше, сегменты ряда упорядочены в ряду, порожденном .

Предложения этого номера, которые будут использованы при работе с рядами, являются следующими:

*170·1.

*170·101.

*170·102.

(Эти предложения просто воплощают определения.)

*170·11.

Эта форма часто более удобна, чем *170·1.

*170·16.

Т. е. каждый подкласс имеет отношение к каждой собственной части самого себя.

*170·17.

*170·2.

Это предложение имеет дело со случаем, когда существует определенный первый член y, который принадлежит и не принадлежит , и чьи предшественники все принадлежат обоим или ни одному.

*170·23.

Это предложение полезно в случае, если вполне упорядочен, поскольку тогда должен иметь минимум, если он существует ( и предполагаются подклассами ).

*170·31.

Это следует из *170·16, как и следующее предложение:

*170·32.

*170·35.

*170·38.

*170·6.

Помимо вышеуказанных, следует отметить следующие предложения:

*170·36.

*170·37.

*170.44.

*170·64.

Это предложение показывает, что каждый член, добавленный к , удваивает число членов в ; следовательно, неудивительно, что (когда вполне упорядочен) имеет степень для своего отношенческого числа (ср. *177).

*170.67.

откуда

*170·69.

*170·01.

*170·02.

*170·1.

*170·101.

*170·102.

Таким образом, означает, грубо говоря, что длится дольше, чем , так же как означает, что начинается раньше. Таким образом, если есть отношение более раннего и более позднего во времени, и и — времена, когда и соответственно встают с постели, «» будет означать, что встает раньше, чем , а «» будет означать, что ложится спать позже, чем .

*170·103.

Док.

*170·11.

*170·12.

*170*121.

*170*13.

Док.

*170·14.

*170·141.

*170·15.

Док.

*170·16.

Док.

*170·161.

Док.

*170·17.

Док.

Для того чтобы был сериальным, нам нужно далее, чтобы он был транзитивным и связным. транзитивен, если транзитивен и связен. Но может все еще не быть связным: в его поле может быть много различных семейств, хотя все они должны начинаться с и заканчиваться на . Например, если есть регрессия, класс, который берет каждый нечетный член, не имеет ни одного из отношений , к классу, который берет каждый четный член. Для того чтобы был сериальным, мы требуем, чтобы был не только сериальным, но и вполне упорядоченным, т. е. чтобы каждый существующий подкласс имел первый член. Когда сериален, но не вполне упорядочен, однако, будет порождать различные ряды, содержащиеся в нем, путем наложения соответствующих ограничений на поле.

*170·2.

*170·21.

Док.

*170·22.

Док.

*170·23.

Док.

*170·3.

*170·31.

*170·32.

*170·33.

Док.

*170·34.

Док.

*170·35.

*170·36.

Док.

*170·37.

*170·371.

*170·38.

Следующие предложения ведут к *170·44.

*170·4.

Док.

*170·41.

*170·42.

Док.

*170·43.

Док.

*170·44.

*170·5.

Док.

*170·51.

Док.

*170·52.

Док.

*170·6.

*170·601.

*170·61.

Это и следующие предложения являются леммами для

Док.

*170·62.

Док.

*170·63.

Док.

*170·64.

Док.

Следующие предложения являются леммами для *170·67, т. е. , которое само ведет к *170·69, т. е.

*170·65.

Док.

*170·651.

Док.

*170·652.

Док.

*170·653.

Док.

*170·66.

Док.

*170·67.

Док.

*170·68.

Док.

*170·69.

*171. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ (продолжение).

Сводка *171.

В этом номере мы рассмотрим более ограниченную форму принципа первых разностей, которая применима, когда существует определенный первый член одного класса, не принадлежащий другому классу. В этом случае, если есть первый различающийся член, часть , которая предшествует , должна быть такой же, как часть , которая предшествует . Если принадлежит и не принадлежит , мы ставим перед ; в обратном случае мы ставим перед . В случае , сам не должен считаться среди своих собственных предшественников; таким образом, предшественники должны быть . Следовательно, рассматриваемое отношение будет иметь место между двумя подклассами ( и ) , когда существует такой , что или, что сводится к тому же (благодаря ), . Это отношение между и мы обозначаем через «», где «» означает «разность».

Таким образом, наше определение имеет вид

По аналогии с , мы полагаем также

Когда вполне упорядочен, и совпадают соответственно с и . Их свойства тесно аналогичны свойствам и . Таким образом, например, следующие предложения остаются верными, когда подставляется вместо :
*170·17 ·35 ·36 ·37 ·38 ·44 ·5 ·51 ·52 ·64 ·67 ·68 ·69.

Единственные новые предложения, которые следует отметить в этом номере, это

*171·2.

*171·21.

и следующие формулы, предлагающие индуктивную идентификацию и в случаях, к которым применима такая индукция:

*171·7.

*171·71.

Эти предложения, однако, заменяются (на более позднем этапе) доказательством того, что и совпадают, если вполне упорядочен (*251·37).

Главное свойство заключается в том, что его отношенческое число равно в степени . Это будет доказано в *177 и *186·4

*171·01.

*171·02.

*171·1.

*171·101.

*171·102.

*171*11.

*171·12.

*171·13.

*171·14.

Док.

*171·15.

Док.

*171·16.

Док.

*171·17.

Док.

*171·18.

Док.

*171·19.

Док.

*171·2.

Док.

*171·21.

Док.

*171·22.

*171·4.

*171·41.

*171·42.

*171·43.

*171·44.

*171·5.

Док.

*171·51.

Док.

*171·52.

*171·64.

Доказательство проходит те же стадии, что и доказательство *170·64.

*171·67.

*171·68.

*171·69.

*171·7.

*171·71.

*172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ПОЛЯ.

Сводка *172.

В этом номере мы должны рассмотреть форму произведения, которая применима к любому отношению отношений, независимо от того, являются ли они взаимно исключающими или нет. Если бы наше отношение было , мы могли бы взять и упорядочить выбранные классы из по первым разностям. Это дало бы нам отношение, поле которого было бы . Но если какие-либо два поля перекрываются, этот метод терпит неудачу. Мы могли бы заменить на и упорядочить члены по первым разностям; но этот метод не даст того, что мы хотим, если два или более членов имеют одно и то же поле. Чтобы избежать какой-либо путаницы из-за повторения, мы должны, если и , рассмотреть в связи с , а не просто с . То есть, отношения в поле произведения должны быть такими, которые касаются упорядоченной пары , а не просто . Самый простой способ осуществления этого — рассмотреть . Член , скажем , — это отношение, которое выбирает представителя из поля каждого , который является членом ; то есть, всякий раз, когда , . Поскольку мы имеем , а не , два отношения могут иметь одно и то же поле, и все же мы можем различить вхождение данного члена как представителя одного от его вхождения как представителя другого. Таким образом, никакая степень перекрытия не вызовет путаницы.

Отношения, которые составляют , должны быть упорядочены по первым разностям, но чтобы различить разные вхождения данного члена, мы должны придать немного другую форму принципу первых разностей, чем та, что использовалась в *170 или *171. Новая форма принципа заключается в следующем: Рассмотрим два отношения и , которые являются членами . Пусть будет членом , в котором выбирает представителя, который предшествует представителю , т. е. в котором ; и пусть все более ранние отношения, чем , т. е. все отношения такие, что и , имеют . Тогда мы говорим, что предшествует . Этот принцип может быть также сформулирован следующим образом: Мы можем разделить члены на четыре класса, не являющихся в общем случае взаимно исключающими, а именно:

(1) те, в которых , т. е. в которых -представитель предшествует -представителю;

(2) те, в которых ;

(3) те, в которых ;

(4) те, в которых не встречается ни одно из вышеуказанных трех отношений и .

Тогда мы скажем, что предшествует , если существует член класса (1), чьи предшественники все принадлежат классу (3).

В случае, если все члены являются сериальными, четвертый из вышеуказанных классов является пустым, а остальные три являются взаимно исключающими. Если, далее, вполне упорядочен, любые два различных члена должны быть такими, что один предшествует другому в вышеопределенном порядке. Таким образом, в этом случае произведение ряда рядов является рядом (ср. *251).

Определение произведения имеет вид . Из-за сложности этого определения доказательства предложений настоящего номера могут быть длинными.

Могут быть приняты различные другие определения для , но мы сочли вышеуказанное определение в целом наилучшим.

Мы могли бы, например, отбросить условие в определении; тогда мы могли бы записать наше определение в более простой форме: , которое, с нашим определением, доступно только тогда, когда . Но если мы примем это упрощение, мы больше не имеем , что является очень полезным предложением, требуемым в доказательствах *183·13, *185·21 и других важных предложений.

С другой стороны, мы могли бы построить наше определение по аналогии с , а не, как выше, по аналогии с . Определение тогда было бы:

Это определение не предполагает, что существует первое отношение, для которого -представитель предшествует -представителю. Таким образом, можно было бы подумать, что оно дало бы лучшие результаты в случаях, где не вполне упорядочен. Но на самом деле это не так. Если не вполне упорядочен, может случиться так, что каждый , для которого , предшествует одному, для которого , и наоборот; в этом случае мы не будем иметь ни , ни . Таким образом, наше предложенное новое определение не гарантирует, что будет рядом всякий раз, когда и все члены являются рядами, и поэтому не имеет существенного преимущества перед более простым определением, которое мы приняли, и имеет недостаток большей сложности.

В настоящем номере мы сначала доказываем, что (*172·13) и что (*172·14), так что произведение является пустым, если любой из его множителей является пустым. Затем мы переходим к предложениям о , и т. д. Мы имеем

*172·162.

*172·17.

Отсюда мы выводим предложения о существовании . Мы имеем

*172·181.

Таким образом, предполагая мультипликативную аксиому, произведение, которое имеет множители, ни один из которых не является пустым, не является пустым.

Затем мы рассматриваем и , где . Мы имеем

*172·2.

которое является полезным предложением, и

*172·23.

которое связывает два определения умножения, показывая, что они приводят к эквивалентным результатам для любого конечного числа множителей, т. е. всякий раз, когда определение *166 применимо.

Затем мы рассматриваем и , доказывая

*172·32.

с аналогичным предложением для (*172·321), и

*172·35.

которое является формой ассоциативного закона, использующей оба вида умножения. Вид, который использует только , будет доказан в *174.

Далее у нас есть доказательство (с его непосредственными следствиями), что если и имеют двойное подобие, . Мы доказываем

*172·43.

Это предложение следует сравнить с *114·51, которое является его кардинальным аналогом. Будет видно, что коррелятор отличается только заменой на . Из *172·43 мы получаем

*172·44.

откуда

*172·45.

Другие предложения о будут даны в *174.

*172·01.

*172·1.

*172·11.

Док.

*172·12.

Док.

*172·13.

Док.

*172·14.

Док.

*172·141.

Следующие предложения касаются , и т. д. *172·15 ·151 ·16 ·161 являются леммами для *172·162 ·17.

*172·15.

Док.

*172·151.

*172·16.

Док.

*172·161.

Док.

Следующее предложение важно. Оно показывает, что если состоит из рядов, если какой-либо член не имеет первого члена, не имеет первого члена, но если каждый член имеет первый член, выбор всех этих первых членов является первым членом .

*172·162.

Док.

Следующее предложение часто используется.

*172·17.

Док.

*172·171.

*172·18.

*172·181.

Док.

*172·182.

*172·19.

Заметьте, что мы не можем перейти к , потому что бессмысленно, из-за того факта, что поле состоит из неоднородных отношений.

*172·191.

Док.

*172·192.

Док.

Следующее предложение иногда полезно. (Оно используется в *173·22. *182·2. *185·21.)

*172·2.

Док.

Следующие предложения касаются природы связи между и . Связь такова, как можно было бы желать, за исключением случаев, когда , в каком случае, как показано выше, подобен , и поэтому не подобен .

*172·21.

Док.

*172·22.

Док.

*172·23.

Следующие предложения являются леммами для *172·32.

*172·3.

Док.

*172·31.

Док.

*172·32.

Док.

*172·321.

Следующее предложение является леммой для *172·34, которое требуется при доказательстве *172·35 (а также *176·4).

*172·33.

Док.

*172·34.

Док.

*172·35.

Вышеуказанное предложение важно, являясь формой ассоциативного закона.

Следующие предложения являются расширениями *172·23. Очевидно, что они могут быть расширены до любого конечного числа множителей.

*172·36.

Док.

*172·361.

*172·37.

Док.

Следующие предложения касаются построения коррелятора между и , когда нам дан двойной коррелятор между и . Если двойной коррелятор есть или , то коррелятор между и есть

*172·4.

Док.

*172·401.

Док.

*172·402.

Док.

*172·403.

Док.

*172·404.

Док.

*172·41.

Док.

Следующее предложение важно, поскольку оно дает требуемый коррелятор между и .

*172·42.

Док.

Следующее предложение является леммой для *172·43.

*172·421.

Док.

*172·43.

*172·44.

*172·45.

Следующее предложение показывает, что если два отношения имеют одну и ту же область определения и если их части, содержащиеся в дивергенции, одинаковы, то они имеют одно и то же произведение. Таким образом, например, в силу *91·541.

*172·5.

Док.

Следующее предложение используется в *182·42.

*172·51.

*172·52.

Док.

Таким образом, мы всегда будем иметь , если только не существуют члены , которые не имеют никакого референта, кроме самих себя.

*173. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (продолжение).

Сводка *173.

В этом параграфе мы рассмотрим отношение между областями определений отношений, связанных посредством , т.е. мы рассмотрим . Это отношение имеет к отношение, аналогичное тому, которое имеет к . Мы обозначим его через «». Когда , подобно , и часто более удобно, чем . Когда , упорядочивает мультипликативный класс посредством первых различий, понимая под первыми различиями то, что самый ранний член , для которого имеет -член раньше, чем -член в -ряде.

Свойства всех вытекают непосредственно из свойств , и не представляют никакой сложности. Наиболее важными из них являются:

*173·14.

Т.е. если не пусто и никакие два члена не имеют одну и ту же область определения, то область определения есть произведение областей определений . Заметим, что если .

*173·16.

*173·2.

*173·22.

*173·23.

*173·3.

*173·31.

*173·01.

*173·1.

*173·11.

*173·12.

*173·121.

*173·13.

*173·14.

Док.

*173·15.

*173·151.

*173·16.

Док.

*173·161.

*173·17.

Док.

*173·2.

*173·21.

*173·22.

Док.

*173·23.

Док.

*173·24.

Док.

*173·25.

Док.

*173·26.

Док.

*173·27.

Док.

Следующее предложение дает коррелятор между и , когда нам дан двойной коррелятор между и .

*173·3.

Док.

*173·31.

*173·32.

Док.

*173·33.

Вышеприведенное предложение используется при доказательстве ассоциативного закона для «» (*174·401).

*174. АССОЦИАТИВНЫЙ ЗАКОН ОТНОШЕНЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ.

Сводка *174.

В настоящем параграфе мы должны доказать ассоциативный закон для и для , т.е. мы должны доказать (при подходящей гипотезе) и .

Первое из них требует и либо , либо ; второе требует не только этого, но также . Когда и являются отношениями взаимно исключающих отношений, мы называем арифметическим отношением, которое мы обозначаем через «». Арифметические отношения служат точно аналогичным целям, что и арифметические классы в кардинальной арифметике.

Доказательство ассоциативного закона для состоит в том, чтобы показать, что при подходящей гипотезе (с ограниченной областью значений) является коррелятором между и (*174·221·23). Чтобы доказать это, мы сначала доказываем

*174·17.

и

*174·19.

Это дает то, что мы можем назвать кардинальной частью доказательства, т.е. это показывает, что является кардинальным коррелятором областей определений и . Затем мы доказываем, что если и принадлежат области определения , они имеют отношение , когда реляционные суммы их областей определений имеют отношение . Здесь, в дополнение к гипотезе , мы требуем, чтобы, если какое-либо отношение имеет отношение к самому себе, то не должно иметь более одного члена. Таким образом, мы имеем

*174·215.

Гипотеза подтверждается, если (*174·216); таким образом, для большинства целей удобнее подставить более простую гипотезу вместо . Мы, однако, будем иметь случай использовать гипотезу в *182·42·43·431, где наше есть отношение, область определения которого состоит целиком из отношений вида , области определений которых всегда являются единичными классами, так что наше удовлетворяет вышеуказанной гипотезе, даже если не содержится в .

Доказательство *174·215 (выше) осуществляется путем предварительного доказательства

*174·2.

Из *174·17·19·215 мы выводим

*174·221.

откуда мы получаем более удобное предложение

*174·23.

Таким образом, если гипотеза *174·221 или *174·23 выполняется, ассоциативный закон выполняется для (*174·241·25).

Чтобы доказать ассоциативный закон для , т.е. , мы замечаем, что, поскольку (*174·23), мы имеем (*174·41). Также , согласно *115·46. Следовательно, ассоциативный закон следует (*174·43). Будет замечено, что в этом случае коррелятор есть просто s с ограниченной областью значений (*174·42).

Как и в случае с , «» является более сильной гипотезой, чем нам действительно нужно: то, что нам нужно, есть .

*174·01.

*174·12.

Док.

*174·13.

*174·16.

Док.

*174·161.

Док.

*174·162.

Док.

*174·17.

Док.

*174·18.

Док.

*174·19.

Док.

*174·191.

Док.

*174·2.

Док.

*174·21.

Док.

*174·211.

Док.

*174·212.

*174·213.

Док.

*174·214.

Док.

*174·215.

Док.

*174·216.

Док.

*174·22.

*174·221.

Док.

*174·23.

*174·231.

Док.

*174·24.

*174·241.

*174·25.

Это предложение дает ассоциативный закон для . Остается доказать ассоциативный закон для .

Следующие предложения касаются различных свойств «арифметических» отношений, вплоть до *174·4, где начинается доказательство ассоциативного закона для .

*174·3.

*174·31.

*174·311.

*174·32.

*174·321.

*174·322.

Док.

*174·33.

Док.

*174·34.

Док.

*174·35.

Док.

*174·36.

Док.

*174·361.

Док.

*174·362.

Док.

*174·363.

Док.

*174·4.

Док.

*174·401.

Док.

*174·41.

*174·42.

Док.

*174·43.

Это ассоциативный закон для .

*174·44.

*174·45.

Док.

*174·46.

*174·461.

*174·462.

Два следующих предложения просто суммируют предыдущие результаты.

*174·47.

*174·48.

*176. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.

Сводка *176.

Определение возведения в степень сформулировано по аналогии с определением в кардинальных числах, т.е. мы полагаем . Мы полагаем также, что часто является более удобной формой,

Отношение имеет своей областью определения (если не ) класс «Belegungen» Кантора, т.е. класс . Оно упорядочивает их посредством формы принципа первых различий, а именно следующим образом: предположим, что и являются двумя членами , и предположим, что в существует член , для которого -представитель предшествует -представителю , т.е. для которого , и предположим далее, что все члены в , которые раньше, чем , т.е. для которых , имеют своего -представителя и своего -представителя идентичными; в этом случае мы говорим, что имеет к отношение . Это может быть сформулировано следующим образом, при условии, что мы предполагаем, что и являются рядами: пусть и будут двумя однозначными функциями, чьи возможные аргументы суть все члены , в то время как их значения суть некоторые или все члены . Тогда мы говорим, что имеет к отношение , если первый аргумент, для которого две функции не имеют одинакового значения, дает более раннее значение для , чем для .

Так, например, пусть будет рядом , , , , , и пусть будет рядом , , , . Тогда и должны быть такими, что или определено тогда и только тогда, когда есть или или или , и значение или есть или или или или . Тогда если и , предшествует ; если , и , предшествует ; и так далее. Таким образом, в этом случае первый член ряда, порожденного , есть тот, для которого , когда имеет любое из значений , , , . Таким образом, первый член ряда есть , т.е. . Следующий член будет . Следующий есть , и так далее. Это делает очевидным, что наш ряд имеет структуру, требуемую от ряда, который должен представлять -ю степень .

Два отношения и порядково схожи, поскольку является взаимно однозначным, когда его область определения ограничена . Это следует из *116·131 вместе с

Если есть коррелятор между и , и есть коррелятор между и , то и , с их ограниченными областями значений, являются соответственно корреляторами между и и между и . Это показывает, что отношенческое число зависит только от тех, что у и , что, конечно, существенно, если должно давать определение возведения в степень.

Если предполагается мультипликативная аксиома, то если есть отношение, которое подобно , и чья область определения состоит из отношений, которые подобны , и , произведение есть подобно . То есть, если мы положим , так что состоит из членов, каждый из которых имеет членов, произведение имеет членов. Это дает связь умножения с возведением в степень.

Существуют два формальных закона возведения в степень, которые справедливы для отношенческих чисел, а именно: Они оба нуждаются в гипотезе: первый нуждается в , в то время как второй нуждается в , поскольку он доказывается посредством ассоциативного закона (*174·43).

Первый из вышеуказанных формальных законов может быть обобщен путем подстановки вместо и взятия произведения различных степеней , где , , ..., и произведения берутся в порядке, определяемом . Результирующее обобщение есть

Доказательство этого предложения вытекает непосредственно из *174·43 и *162·35.

Доказательство второго из формальных законов более трудно. Мы замечаем, для начала, что

Предполагая подходящие гипотезы, это, согласно *162·35, которое подобно , согласно *174·43. Но . Таким образом, наш результат последует, если мы сможем доказать . Теперь один член области определения будет

Это подобно , потому что . Следовательно, есть ряд членов, каждый из которых подобен , и весь ряд таких членов подобен . Если бы мы предположили мультипликативную аксиому, этого было бы достаточно, чтобы доказать результат. Но возможно получить наш результат без предположения мультипликативной аксиомы.

Для этой цели мы действуем следующим образом. Коррелятор есть , согласно *165·361 и *172·3. Назовем это . Тогда . Это, с помощью двух или трех лемм, достаточно, чтобы доказать, что , откуда результат следует.

Основными предложениями настоящего параграфа являются следующие:

*176·1.

*176·11.

Эти предложения просто воплощают определения.

*176·14.

*176·151.

Будет замечено, что в отношенческой арифметике , тогда как в кардинальной арифметике . Различие обусловлено тем фактом, что не существует порядкового числа 1 (ср. *153).

*176·181.

*176·182.

*176·19.

*176·2.

*176·21. С той же гипотезой коррелирует и .

*176·22.

*176·24.

Это предложение связывает умножение и возведение в степень.

*176·31.

*176·311·32·321. Подобные предложения для ,

*176·34.

Мы переходим далее к формальным законам. Мы имеем

*176·42.

*176·44.

Это расширение *176·42.

*176·57.

*176·01.

*176·02.

*176·1.

*176·11.

*176·12.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в *176·19. Оно имеет то достоинство, что дает прямую формулу для , вместо той, которая идет через .

*176·13.

*176·131.

Благодаря этому предложению, предложения, констатирующие аналогии между порядковыми и кардинальными степенями, по большей части требуют гипотезы или ее эквивалента, поскольку порядковая степень, чей показатель равен нулю, сама есть ноль, тогда как кардинальная степень, чей показатель равен нулю, есть 1.

*176·132.

*176·133.

*176·14.

Док.

*176·15.

Док.

*176·151.

*176·16.

*176·18.

Док.

*176·181.

*176·182.

*176·19.

Док.

Вышеприведенное предложение часто полезно, поскольку оно дает прямую формулу для , а не ту, которая проходит через или .

*176·2.

Док.

*176·21.

Док.

*176·22.

*176·23.

Док.

*176·24.

*176·3.

Док.

*176·31.

Док.

*176·311.

*176·32.

Док.

*176·321.

*176·33.

*176·34.

Док.

*176·341.

*176·35.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории конечных порядковых чисел (*261·64).

Следующие предложения касаются доказательства (при подходящей гипотезе) и его расширения

*176·4.

Док.

*176·41.

*176·42.

Док.

*176·43.

Док.

*176·44.

Следующие предложения являются леммами для

*176·5.

Док.

*176·501.

Док.

*176·502.

Док.

*176·503.

Док.

*176·51.

Док.

*176·52.

Док.

*176·53.

Док.

*176·54.

Док.

*176·541.

Док.

*176·55.

Док.

*176·56.

Док.

*176·57.

Док.

Это завершает доказательство второго формального закона возведения в степень.

*177. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ С ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ И СТЕПЕНЯМИ.

Сводка *177.

Основным предложением по этому предмету является

*177·13.

которое является аналогом *116·72, или, скорее, ведет к аналогу *116·72, как только были определены степени отношенческих чисел; ибо тогда оно становится . Другое предложение является расширением *171·69, а именно

*177·22.

где мы полагаем .

Остальные предложения этого параграфа являются леммами для вышеуказанных двух.

*177·13 показывает, например, что все классы конечных целых чисел могут быть упорядочены в ряд, отношенческое число которого есть , где есть отношенческое число ряда конечных целых чисел. не есть отношенческое число континуума, но тесно связано с ним.

*177·1.

В упомянутых предложениях *116 и появляются вместо и , но никакое свойство и не используется в доказательстве, кроме .

*177·11.

Док.

*177·12.

*177·13.

*177·2.

*177·21.

Доказательство протекает так, как протекает доказательство *174·24. Если , мы будем иметь, если ,

Отсюда мы легко получаем , откуда , откуда результат следует легко.

*177·22.

РАЗДЕЛ D. АРИФМЕТИКА ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Сводка Раздела D.

В настоящем разделе мы будем заниматься арифметическими операциями над отношенческими числами. Их чисто логические свойства были рассмотрены в Разделе A; в настоящем разделе должны быть установлены их арифметические свойства. Эти свойства вытекают непосредственно из арифметических свойств отношений, которые были установлены в Разделах B и C. Предметы, рассматриваемые в настоящем разделе, аналогичны тем, что рассматривались в Разделе B Части III, за исключением тех, чьи аналоги уже обсуждались в Разделах B и C Части IV. Аналогия достаточно близка, чтобы часто делать ненужным приведение доказательств, поскольку они часто пошагово аналогичны доказательствам соответствующих предложений в Части III, Разделе B.

Двумя главными требованиями при определении арифметических операций с отношенческими числами являются (1) должный учет типов, (2) построение того, что можно назвать разделенными отношениями, т.е. отношений взаимно исключающих отношений, производных от данных отношений и порядково схожих с ними. Каждый из этих пунктов требует некоторых предварительных объяснений.

Сумма двух отношенческих чисел , будет обозначаться через «», чтобы отличить этот вид сложения от (арифметического сложения классов) и (сложения кардинальных чисел). При определении мы должны принять во внимание следующие соображения.

Предположим, что и являются двумя отношениями, которые одного типа и имеют взаимно исключающие области определений. Тогда, очевидно, мы захотим сформулировать наше определение суммы двух отношенческих чисел таким образом, чтобы сумма и была . Но если и не одного типа, то бессмысленно; и если и перекрываются, может быть слишком малым, чтобы иметь в качестве своего отношенческого числа сумму отношенческих чисел и . Обе эти трудности могут быть преодолены путем наблюдения, что, если и , мы должны сделать такие определения, чтобы иметь . Следовательно, при определении суммы отношенческих чисел и мы можем заменить и любыми двумя отношениями и , которые соответственно подобны и . Поэтому то, что нам требуется для нашего определения, — это найти два отношения и , которые (1) соответственно подобны и , (2) одного типа, (3) имеют взаимно исключающие области определений. Все эти три требования удовлетворяются, если мы положим . Мы затем определяем как означающее , и мы определяем сумму отношенческих чисел и как отношенческое число . Эта процедура в точности аналогична процедуре *110; фактически, мы имеем

При определении суммы отношенческих чисел области определения мы не должны рассматривать типы, потому что члены области определения обязательно все одного типа. Но мы должны рассмотреть вопрос о перекрытии. Если член встречается как в , так и в , где , мы хотим метод подсчета x дважды при формировании арифметической суммы. Таким образом, не может быть взято как сумма отношенческих чисел членов , если только . Предположим, например, у нас есть три ряда . Каждый из них имеет три члена; и мы хотим, чтобы сумма их отношенческих чисел была отношенческим числом ряда из девяти членов. Но если мы положим и если мы далее положим , так что помещает вышеуказанные три ряда в вышеуказанном порядке, мы имеем , что не является рядом и не имеет отношенческого числа, которое мы требуем как сумму отношенческих чисел , , .

То, что требуется, — это метод различения различных вхождений и и . По этой причине, когда встречается как член области определения , мы заменяем его на ; когда как член области определения , на ; и когда как член области определения , на . Таким образом, ряд заменяется на ; заменяется на ; и заменяется на . Сумма этих трех рядов тогда имеет отношенческое число, которое требуется как сумма отношенческих чисел , , .

Вышеуказанный процесс символизируется следующим образом. Порождающее отношение ряда есть ; таким образом, три отношения, сумма которых должна быть взята, суть , , , т.е. используя обозначение *182, согласно которому мы полагаем , наши три отношения суть , , . Но порождающее отношение ряда есть , поскольку . Таким образом, есть отношение, требуемое для определения суммы отношенческих чисел членов области определения ; т.е. мы полагаем . Мы назовем разделенным отношением, соответствующим . конструируется, как выше, путем замены каждого члена , где , на ; так что если принадлежит как , так и , он дублируется путем преобразования один раз в , и еще раз в .

Для обработки произведений нам не требуется , потому что было определено так, чтобы осуществить требуемое разделение. Мы могли бы, однако, посредством использования , обойтись без как фундаментального понятия, и удовлетвориться ; ибо мы имеем . Таким образом, мы могли бы взять в качестве фундаментального понятия и определить посредством него.

Сложение единицы к отношенческому числу должно рассматриваться отдельно от сложения двух отношенческих чисел, по тем же причинам, которые делают необходимым рассмотрение и отдельно от . Не существует порядкового числа 1, но мы можем определить сложение одного к отношенческому числу. Если и , мы должны иметь , где мы пишем «» для единицы как добавки. Мы не пишем «», потому что мы, на более поздней стадии, дадим общее определение , в силу которого, если есть индуктивное кардинальное число, будет соответствующим порядковым числом. Это определение влечет , и поэтому мы используем другой символ «» для 1 как добавки. Символ определен только в своих использованиях и не имеет значения, кроме как в использовании, которое было специально определено.

Мы определяем произведение как отношенческое число , когда и . Произведение, так определенное, подчиняется ассоциативному закону и подчиняется дистрибутивному закону в форме , но не, в общем, в форме . Последняя форма выполняется, когда , , суть конечные порядковые числа, как мы докажем на более поздней стадии (*262). Коммутативный закон также не выполняется в общем для порядкового сложения и умножения, но выполняется, когда дело касается конечных порядковых чисел.

Произведение чисел членов , в порядке, порожденном , определяется как , и обозначается через . Будет видно, что не есть функция , поскольку значение произведения зависит от порядка множителей; оно также не есть функция , если только никакие два члена не имеют одно и то же отношенческое число. Свойства вытекают из *172 и *174.

« в -й степени» обозначается через «» и определяется как отношенческое число , где и . Его свойства вытекают из предложений *176 и *177.

*180. СУММА ДВУХ ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Сводка *180.

Чтобы определить сумму двух отношенческих чисел, мы действуем (как в *110) для построения отношения, отношенческое число которого должно быть требуемой суммой. Для этой цели мы полагаем . Это определение имеет следующие достоинства: (1) каковы бы ни были типы и , есть того же типа, что и ; (2) как бы области определений и ни перекрывались, и даже если , области определений и взаимно исключающие; (3) эти два отношения соответственно подобны и . Следовательно, очевидно, что, не накладывая никакого ограничения на и , мы можем взять отношенческое число в качестве определения суммы отношенческих чисел и . Следовательно, мы полагаем . Из этого определения следует, что есть нуль, если только и не являются гомогенными отношенческими числами, но что если они являются гомогенными отношенческими числами и , то есть отношенческое число .

Чтобы иметь возможность иметь дело с типически двусмысленными отношенческими числами, мы полагаем, как в *110,

Основными предложениями настоящего параграфа являются

*180·111.

*180·3.

*180·31.

Это предложение существенно, поскольку иначе не было бы функцией и , но зависело бы от конкретных и .

*180·32.

*180·4.

*180·42.

*180·56.

который есть ассоциативный закон.

*180·61.

*180·71.

Это предложение дает связь порядкового и кардинального сложения. Следует заметить, что, в силу *154·9, и суть кардинальные числа, когда и суть отношенческие числа.

*180·01.

*180·02.

*180·03.

*180·031.

О цели определений *180·03·031 см. замечания к соответствующим определениям в *110 и Предисловии.

*180·1.

*180·101.

*180·11.

*180·111.

Док.

*180·12.

*180·13.

Док.

*180·14.

*180·15.

Док.

*180·151.

Док.

*180·152.

*180·16.

*180·2.

*180·201.

*180·202.

Док.

В следующих предложениях доказательства опущены, поскольку они в точности аналогичны доказательствам предложений в *110, чьи номера имеют ту же десятичную часть.

*180·21.

*180·211.

*180·212.

*180·22.

*180·24.

*180·3.

*180·31.

*180·32.

*180·4.

*180·42.

*180·43.

*180·53.

Док.

*180·531.

*180·54.

*180·541.

*180·55.

*180·551.

*180·56.

*180·561.

*180·57.

*180·6.

Заметьте, что есть уравнение, зависящее от специфических свойств . Мы не имеем в общем , если только и не являются конечными порядковыми числами.

*180·61.

*180·62.

*180·64.

*180·642.

Заметьте, что , которое будет определено в *181, есть , а не .

Следующие предложения, будучи связанными с отношениями отношенческих чисел и кардинальных чисел, не имеют аналогов в *110.

*180·7.

Док.

*180·71.

Док.

*181. О СЛОЖЕНИИ ЕДИНИЦЫ К ОТНОШЕНЧЕСКОМУ ЧИСЛУ.

Сводка *181.

Отношенческое число , согласно нашим определениям, не имеет значения в изоляции, потому что наши определения сформулированы с прицелом на ряды, а ряд не может состоять из одного члена. Но мы можем добавить один член к ряду; следовательно, требуется как добавка. Чтобы получить наши определения в наиболее управляемой форме, мы сначала конструируем отношение, которое мы называем , которое таково, что, когда бы ни существовало, имеет на один член больше в своей области определения, чем ; отношенческое число этого отношения затем определяется как . Мы добавляем также определение , которое является чисто формальным и служит для минимизации исключений из ассоциативного закона сложения.

Определения тесно аналогичны определениям *180. Мы полагаем с аналогичным определением для . и могут быть любых относительных типов, и мы всегда имеем . Мы полагаем с аналогичным определением для . Мы также вводим определения, аналогичные *180·03·031.

Основными предложениями этого параграфа являются

*181·3.

*181·31.

*181·32.

*181·33.

*181·4.

*181·42.

Следующие предложения формально являются формами ассоциативного закона, но они нуждаются в отдельном доказательстве из-за специфики .

*181·54.

*181·56.

*181·58.

*181·59.

Гипотезы в вышеприведенных предложениях являются существенными.

*181·6.

*181·62.

Эти предложения устанавливают связь с кардинальными числами.

*181·01.

*181·011.

*181·02.

*181·021.

*181·03.

*181·031.

*181·04.

Предложения, касающиеся [выражение], опускаются в дальнейшем изложении, поскольку они доказываются точно так же, как доказываются аналогичные предложения, касающиеся [выражение].

*181·1.

*181·11.

Док.

*181·12.

*181·13.

Док.

*181·2.

*181·21.

*181·22.

Док.

*181·24.

*181·3.

*181·31.

*181·32.

*181·33.

Вышеприведенное предложение используется в *253·23·571.

*181·4.

*181·42.

Док.

*181·43.

Следующие предложения касаются ассоциативного закона, когда [выражение] является одним из слагаемых.

*181·53.

Док.

*181·54.

Док.

*181·55.

*181·56.

Док.

Последняя строка в вышеприведенном доказательстве, в которой используется *24·1, является правомерной, поскольку [выражение] и [выражение] могут быть любого типа, и поэтому тот факт, что [выражение], достаточен для установления [выражение] в требуемом смысле.

*181·561.

Это определение принимает соглашение, противоположное обычно принятому. Однако удобно иметь [выражение], [выражение], а также иметь как можно больше сходства между результатами добавления [выражение] в начале и в конце отношения. Оба соображения приводят к принятию вышеуказанного соглашения. (Ср. *181·57·571 ниже.)

*181·57.

*181·571.

*181·58.

Доказательство протекает так же, как доказательство *181·54.

*181·59.

Вышеприведенные предложения показывают, что, за исключением случаев, когда одно из слагаемых равно нулю, ассоциативный закон выполняется для [выражение] точно так же, как если бы оно было отношенческим числом.

Следующие предложения касаются отношений к кардинальному сложению.

*181·6.

Док.

*181·61.

*181·62.

Док.

*182 О РАЗДЕЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЯХ.

Резюме *182.

В этом параграфе мы должны рассмотреть, в качестве предварительного этапа к сложению отношенческих чисел поля, свойства отношения [выражение], которое определяется следующим образом. Если [выражение] является любой функцией двух аргументов в смысле *38, мы полагаем [выражение]. Таким образом [выражение], т.е. [выражение]. Следовательно, [выражение] есть отношение [выражение] к [выражение], когда [выражение]. Таким образом, символ [выражение] значим только тогда, когда [выражение] является отношением отношений; когда это так, [выражение] есть отношение, которое получается, когда для каждого [выражение], являющегося членом [выражение], каждый член [выражение] заменяется на [выражение]. Результатом является [выражение], чьи арифметические свойства служат для определения арифметических свойств суммы отношенческих чисел членов [выражение] следующего параграфа, мы положим [выражение]. Позже мы положим [выражение] и найдем [выражение]. Таким образом, мы могли бы обойтись без [выражение] как фундаментального понятия, используя вместо него [выражение] и полагая [выражение]. Но этот путь в целом менее удобен, чем тот, который принят в *172 и *173.

Обозначение [выражение] таким образом требуется в связи с порядковым сложением, где оно почти незаменимо. Оно имеет, кроме того, некоторые второстепенные применения. Цель этого обозначения — позволить нам представить как функцию от [выражение] выражение вида [выражение], где [выражение] — любая дескриптивная двойная функция, существующая для всех возможных пар аргументов. Так, например, [выражение] является функцией от [выражение], но введенные до сих пор обозначения не позволяют нам представить его в форме [выражение]. Следовательно, если мы хотим (скажем) иметь дело с классом [выражение], мы не можем записать его в форме [выражение], если не введем новое обозначение. Мы полагаем [выражение], откуда [выражение]. Мы вводим это обозначение в общем виде для всех дескриптивных двойных функций, существующих для всех возможных пар аргументов. Таким образом, «[выражение]» в этом параграфе соответствует «[выражение]» в *38.

В настоящем параграфе мы начнем с нескольких предложений, иллюстрирующих возможные применения обозначения [выражение]. Так, например, если [выражение] — класс отношений, у нас до сих пор не было простого обозначения для выражения класса их квадратов. Но поскольку [выражение], класс квадратов [выражение] есть [выражение]. Однако это обозначение введено главным образом для того, чтобы применяться к [выражение] и [выражение]. Поэтому мы почти сразу переходим к предложениям о [выражение], и особенно о [выражение]. Мы имеем

*182·16·162.

*182·2.

*182·21.

Далее мы доказываем (*182·27), что если [выражение], то [выражение] имеет двойную схожесть с [выражение], причем двойным коррелятором является [выражение] с его обратной областью, ограниченной [выражение] (*182·26). Затем мы доказываем (*182·33), что если [выражение] является двойным коррелятором [выражение] с [выражение], то [выражение] (с его обратной областью, ограниченной) является двойным коррелятором [выражение] и [выражение], откуда мы выводим

*182·34.

Затем мы переходим к доказательству

*182·42.

Доказательство этого состоит в следующем: в силу *182·21 и ассоциативного закона для [выражение] мы имеем [выражение]. Теперь [выражение] (*182·413) и [выражение] (*172·51).

Отсюда следует наше предложение. Следовательно, мы приходим к

*182·44.

Наконец, у нас есть несколько предложений, показывающих, как обозначение [выражение] может быть применено в кардинальных числах. Затем оно применяется к [выражение], вместо того чтобы, как выше, применяться к [выражение]. Мы имеем (*182·5·51·52) [выражение]. Таким образом, обозначение настоящего параграфа могло бы быть использовано при работе с кардинальным сложением (*112) вместо обозначения [выражение]. Общее обозначение [выражение] было, однако, необходимо для других целей (ср. *85) и от него нельзя было отказаться.

В *183 мы положим [выражение] и по *182·52 мы имеем [выражение]. Будет видно, что эти формулы обладают обычным видом аналогии.

*182·01.

*182·02.

*182·021.

*182·022.

*182·023.

*182·03.

Таким образом, если [выражение] — класс отношений, класс их квадратов есть [выражение].

*182·031.

*182·032.

*182·033.

*182·04.

Заметьте, что в [выражение] мы сначала берем [выражение], а затем ставим над ним циркумфлекс. Если бы мы сначала взяли [выражение], мы не смогли бы затем поместить под ним две запятые, поскольку [выражение] — это отношение, а не двойная дескриптивная функция, а две запятые могут быть значимо помещены только под двойной дескриптивной функцией.

*182·05.

Отношение, ради которого главным образом введено вышеуказанное обозначение, есть [выражение], где [выражение] — отношение отношений. Если [выражение] связывает [выражение] и [выражение], то [выражение] связывает [выражение] и [выражение]. Это утверждается в следующем предложении:

*182·1.

*182·11.

*182·12.

*182·13.

*182·14.

Док.

*182·15.

Док.

*182·16.

*182·161.

Док.

*182·162.

*182·17.

Док.

*182·18.

Док.

*182·19.

Док.

*182·2.

*182·21.

Следующие предложения подводят к *182·26·27.

*182·22.

*182·23.

*182·24.

*182·25.

Док.

*182·26.

Док.

*182·27.

Следующие предложения подводят к *182·33·34.

*182·3.

Док.

*182·31.

Док.

*182·32.

Док.

*182·33.

Док.

*182·34.

Обратное вышеприведенному предложению ложно. Например, если [выражение], мы будем иметь [выражение] согласно *182·16·27, но мы не будем иметь [выражение], если только [выражение], как следует из *182·16 и *164·23.

*182·411·412 являются леммами для *182·413. Все следующие предложения подводят к *182·42, которое ведет к *182·44.

*182·411.

Док.

*182·412.

Док.

*182·413.

*182·414.

Док.

*182·415.

Док.

Цель вышеприведенного предложения — позволить нам применить *174·221·231 к [выражение], как это делается в *182·42·43·431 ниже.

*182·42.

Док.

*182·43.

Док.

*182·431.

*182·44.

*182·45.

Следующие предложения касаются кардинальных чисел. Они показывают, как выразить предложения и определения *112 в обозначениях этого параграфа, и тем самым иллюстрируют аналогию кардинального и порядкового сложения.

*182·5.

*182·51.

*182·52.

*182·53.

Док.

*182·54.

*183. СУММА ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ПОЛЯ.

Резюме *183.

В этом параграфе мы должны определить и рассмотреть сумму отношенческих чисел членов [выражение], где [выражение] — отношение отношений. Поскольку отношенческие суммы не коммутативны, мы не можем определить сумму отношенческих чисел членов класса отношений [выражение]: необходимо, чтобы [выражение] было задано как поле отношения [выражение], где [выражение] определяет порядок, в котором должно осуществляться суммирование.

Чтобы избежать повторений, мы заменяем [выражение] на [выражение], так что если [выражение] является членом [выражение], [выражение] заменяется на [выражение], т.е. [выражение] на [выражение]. Это отношение подобно [выражение], и его поле не имеет общих членов с полем [выражение], если только [выражение]. Следовательно, мы приходим к следующему определению:

*183·01.

Это определение аналогично *112·01, как следует из *182·52, и предложения настоящего параграфа аналогичны некоторым предложениям *112.

Мы имеем не только

*183·11.

но также

*183·15.

что является предложением с более слабой гипотезой, чем гипотеза *183·11 (ср. примечание к *182·34).

Важными предложениями в этом параграфе являются

*183·13.

*183·2.

Т.е. сумма равна нулю только тогда, когда нет слагаемого, кроме (в крайнем случае) нуля. (Ср. *162·4·45.)

*183·25.

*183-26.

Это предложение связывает сложение и умножение.

*183·31.

Это предложение связывает два вида сложения. Мы имеем также

*183·33.

Ассоциативный закон сложения в очень общей форме есть

*183·43.

Наконец, связь порядкового и кардинального сложения дается

*183·5.

*183·01.

*183·1.

*183·11.

Док.

*183·12.

*183·13.

*183·14.

Док.

*183·15.

*183·2.

Док.

*183·22.

Док.

*183·23.

*183·231.

Док.

*183·24.

Док.

*183·25.

Док.

*183·26.

Док.

*183·3.

*183·301.

*183·302.

Док.

*183·31.

Док.

*183·32.

Док.

*183·33.

Док.

*183·331.

*183·42.

Док.

*183·43.

Это форма ассоциативного закона сложения.

Док.

*183·5.

Док.

*184. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Резюме *184.

Предложения этого параграфа по большей части аналогичны тем предложениям *113, которые касаются [выражение]. Те из *113, которые касаются [выражение], имеют свои аналоги в *166. Мы полагаем

*184·01.

*184·02.

*184·03.

Мы доказываем, что [выражение] равно нулю только тогда, когда один из его множителей равен нулю (*184·16); мы доказываем ассоциативный закон (*184·31) и дистрибутивный закон в формах

*184·33.

*184·35.

и мы доказываем [выражение] (*184·4). Также мы расширяем дистрибутивный закон на случай, когда одно из слагаемых есть [выражение], т.е. мы доказываем

*184·41.

*184·42.

и связь кардинального и порядкового умножения дается

*184·5.

*184·01.

*184·02.

*184·03.

*184·1.

Доказательства следующих предложений опущены, поскольку они аналогичны доказательствам соответствующих предложений *113.

*184·11.

*184·111.

*184·12.

*184·13.

*184·14.

*184·15.

*184·16.

*184·2.

*184·21.

Док.

*184·3.

Док.

*184·31.

Док.

*184·32.

*184·33.

Док.

*184·34.

Док.

*184·35.

Доказательство протекает так же, как в *184·31.

*184·4.

Док.

*184·41.

Док.

*184·42.

*184·5.

Док.

*185. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ПОЛЯ.

Резюме *185.

Тема этого параграфа аналогична части темы *114. Рассматриваемые предложения являются непосредственными следствиями ранее доказанных свойств [выражение] и не представляют никакой трудности.

*185·01.

*185·1.

*185·11.

*185·12.

*185·2.

*185·21.

*185·22.

*185·23.

*185·25.

*185·27.

*185·28.

*185·29.

*185·31.

*185·32.

*185·321.

*185·35.

*185·4.

*185·41.

Следующее предложение дает связь между порядковым и кардинальным умножением.

*185·5.

Док.

*186. СТЕПЕНИ ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Резюме *186.

Для «[выражение] в [выражение]-й степени», когда речь идет о порядковых степенях, мы используем обозначение «[выражение]». Мы не можем использовать «[выражение]» или «[выражение]», поскольку они уже использовались для кардинальных чисел и классов (*116). Поэтому мы добавляем суффикс [выражение] к «[выражение]», чтобы показать, что мы имеем дело с отношенческими степенями. Мы полагаем

Следующие предложения являются основными предложениями этого параграфа:

*186·2.

Мы не имеем [выражение], поскольку не существует порядкового числа 1.

*186·21.

*186·22.

*186·23.

*186·14.

*186·15.

*186·31.

которое связывает возведение в степень с умножением.

*186·4. (ср. *177)

*186·5.

которое связывает порядковое и кардинальное возведение в степень.

*186·01.

*186·02.

*186·03.

*186·1.

*186·11.

*186·111.

*186·12.

*186·13.

*186·14.

Док.

*186·15.

Док.

*186·2.

*186·21.

Док.

*186·22.

Док.

*186·23.

*186·3.

*186·31.

*186·4.

*186·5.

Док.

ЧАСТЬ V. РЯДЫ.

РЕЗЮМЕ ЧАСТИ V.

Отношение [выражение] называется сериальным, или порождающим ряд, когда оно обладает тремя различными свойствами, а именно: (1) содержанием в разнообразии, (2) транзитивностью, (3) связностью, т.е. свойством, состоящим в том, что отношение или его обратное выполняется между любыми двумя различными членами его поля. Таким образом, [выражение] является сериальным отношением, если (1) [выражение], (2) [выражение], (3) [выражение]. Третья характеристика, связность, может быть записана короче, т.е. [выражение], используя обозначение *97; и это, в силу *97·23, эквивалентно [выражение].

В силу *50·47, первые две характеристики эквивалентны [выражение]. Когда [выражение], мы говорим, что [выражение] является «асимметричным». Таким образом, сериальные отношения — это такие, которые являются асимметричными, транзитивными и связными.

Можно было бы подумать, что сериальное отношение не обязательно должно быть содержащимся в разнообразии, поскольку мы обычно говорим о рядах, в которых есть повторения, т.е. в которых более ранний член тождественен более позднему члену. Так, например, [выражение] называли бы рядом букв, хотя буквы [выражение] и [выражение] повторяются. Но во всех таких случаях есть некоторое средство (в вышеуказанном случае — положение в пространстве), с помощью которого одно вхождение данного члена отличается от другого вхождения, и это, как будет обнаружено, означает, что существует некоторый другой ряд (в вышеуказанном случае — ряд положений на линии), свободный от повторений, с которым наш псевдоряд имеет одно-многозначную корреляцию. Таким образом, в вышеприведенном примере у нас есть ряд из девяти положений, которые мы можем назвать [выражение], образующих истинный ряд без повторений; у нас есть одно-многозначное отношение, отношение «занимания» этих положений, с помощью которого мы различаем вхождения [выражение], причем первое вхождение есть [выражение] как коррелят 1, второе есть [выражение] как коррелят 4. Все ряды, в которых есть повторения (которые мы можем назвать псевдорядами), таким образом, получаются путем корреляции с истинными рядами, т.е. с рядами, в которых нет повторений. То есть псевдоряд имеет в качестве своего порождающего отношения отношение вида [выражение], где [выражение] — сериальное отношение, а [выражение] — одно-многозначное отношение, чья обратная область содержит поле [выражение]. Таким образом, то, что мы можем назвать самосущими рядами, должно быть рядами без повторений, т.е. рядами, чьи порождающие отношения содержатся в разнообразии.

Для наших целей нет смысла отличать ряд от его порождающего отношения. Ряд не является классом, поскольку он имеет определенный порядок, в то время как класс не имеет порядка, но способен иметь много порядков (если только он не содержит только один член или ни одного). Порождающее отношение определяет порядок, а также класс упорядочиваемых членов, поскольку этот класс является полем порождающего отношения. Следовательно, порождающее отношение полностью определяет ряд и может, для всех математических целей, считаться самим рядом.

Когда [выражение] транзитивно, мы имеем [выражение]. Следовательно, все предложения Части II, Раздела E становятся значительно упрощенными при применении к рядам.

Также, поскольку поле связного отношения состоит из одного семейства, ряд имеет один первый член или ни одного, и один последний член или ни одного.

В случае сериального отношения [выражение] отношение [выражение] (определенное в *121·02) становится [выражение], т.е. отношением «непосредственно предшествующий». В дискретном ряду члены в общем случае непосредственно предшествуют другим членам. Компактный ряд, напротив, определяется как такой, в котором между любыми двумя членами есть члены: в таком ряду [выражение].

Очень часто случается, что мы хотим рассмотреть отношения различных рядов, которые все содержатся в каком-то одном ряду; например, мы можем захотеть рассмотреть различные ряды вещественных чисел, все расположенные в порядке возрастания величины. В таком случае, если [выражение] — ряд, в котором содержатся все остальные, а [выражение], [выражение], [выражение]... — поля содержащихся рядов, сами содержащиеся ряды суть [выражение], [выражение], [выражение].... Таким образом, когда ряды заданы как содержащиеся в данном ряду, они полностью определяются своими полями.

В дальнейшем Раздел A рассматривает элементарные свойства рядов, включая максимальные и минимальные точки, последующие точки и пределы.

Раздел B будет иметь дело с теорией сегментов и родственными темами; в этом разделе мы определим «дедекиндовы» ряды и докажем важное предложение о том, что ряд сегментов ряда всегда является дедекиндовым, т.е. что каждый класс сегментов имеет либо максимум, либо предел.

Раздел C, который стоит вне основных разработок книги, касается сходимости и пределов функций и определения непрерывной функции. Его цель — показать, как эти понятия могут быть выражены, и многие их свойства установлены, гораздо более общим способом, чем это обычно делается, и без предположения, что аргументы или значения рассматриваемых функций являются либо числовыми, либо численно измеримыми.

Раздел D будет иметь дело с «вполне упорядоченными» рядами, т.е. рядами, в которых каждый класс, содержащий члены поля, имеет первый член. Свойства вполне упорядоченных рядов многочисленны и важны; большинство из них зависит от того факта, что при работе с вполне упорядоченными рядами возможна расширенная разновидность математической индукции. Термин «порядковое число» ограничивается по употреблению отношенческим числом вполне упорядоченного ряда; порядковые числа также будут рассмотрены в нашем четвертом разделе.

Раздел E будет иметь дело с конечным и бесконечным. Мы покажем, что различие между «индуктивным» и «нерефлексивным» не возникает во вполне упорядоченных рядах.

Раздел F будет иметь дело с «компактными» рядами, т.е. рядами, в которых между любыми двумя членами есть член, т.е. в которых [выражение]. В частности, мы рассмотрим «рациональные» ряды (т.е. ряды, подобные ряду рациональных чисел в порядке возрастания величины) и непрерывные ряды (т.е. ряды, подобные ряду вещественных чисел в порядке возрастания величины). Наше рассмотрение этой темы будет тесно следовать Кантору.

РАЗДЕЛ A. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЯДОВ.

Резюме Раздела A.

В настоящем разделе мы будем заниматься свойствами, общими для всех рядов. Такие свойства по большей части очень просты и не представляют никаких трудностей. Многие свойства рядов не требуют всех трех характеристик, которыми определяются сериальные отношения, а только одного или двух из этих свойств: поэтому мы начинаем с параграфов, в которых, хотя доказанные свойства и получают свою главную важность от их применимости к рядам, гипотезы состоят лишь в том, что рассматриваемые отношения обладают одним или двумя свойствами сериальных отношений. Оттуда мы переходим к наиболее элементарным свойствам, присущим рядам, и далее к теории минимальных и максимальных членов классов, содержащихся в ряду, и к преемникам и пределам классов. Затем мы переходим к корреляции ряда с частью самого себя. Пройденный путь знаком, и встречающиеся трудности меньше, чем в большинстве предыдущих разделов.

Будет замечено, что там, где речь идет о рядах, если [выражение] — существующий класс, содержащийся в [выражение], [выражение] коррелятивно [выражение] (которое есть [выражение]): [выражение] — это «предшественники некоторых [выражение]», а [выражение] — это «преемники всех [выражение]». Если [выражение] — существующий класс, содержащийся в [выражение], то весь [выражение], за исключением последнего члена [выражение] (если таковой имеется), принадлежит к тому или иному из классов [выражение], [выражение], из которых первый полностью предшествует второму. Деление [выражение] на эти два класса — это дедекиндово «сечение», определяемое [выражение]. Но когда только часть [выражение] содержится в [выражение], мы должны заменить [выражение] на [выражение], поскольку если [выражение] имеет какой-либо член, не принадлежащий [выражение]. Опять же, если [выражение], мы имеем [выражение]. Но то, что нам нужно, — это дополнение к [выражение], которое в этом случае является пустым. Следовательно, мы должны заменить [выражение] на [выражение]: это [выражение], когда [выражение], т.е. когда [выражение]. В любом другом случае оно равно [выражение]. Если [выражение] содержится в [выражение] и не является пустым, [выражение]. Таким образом, дедекиндово «сечение», определяемое классом [выражение], независимо от того, содержится ли этот класс целиком или частично в [выражение], всегда представляет собой два класса [выражение].

На протяжении всех элементарных предложений этого раздела мы старались избегать более сильных гипотез, чем требуется: мы не предполагали, что [выражение] является сериальным, если наш вывод следовал бы (например) из гипотезы, что [выражение] транзитивно и связно. Будет обнаружено, что многие свойства рядов зависят от того факта, что если [выражение], [выражение] — два различных члена ряда [выражение], то [выражение] (*204·3). Здесь импликация [выражение] требует, чтобы [выражение] было асимметричным, т.е. чтобы мы имели [выражение] или [выражение]. Импликация [выражение] требует, чтобы [выражение] было связным. Таким образом, требуемая гипотеза состоит не в том, что [выражение] должно быть сериальным, а в том, что [выражение] должно быть связным и асимметричным (*202·5).

Опять же, рассмотрим предложение о том, что если [выражение] — ряд, [выражение]. Это отношение — очень полезное отношение «непосредственно предшествующий»; таким образом, вышеприведенное предложение важно, как и дальнейшее предложение о том, что если [выражение] — ряд, [выражение] — одно-однозначное отношение. Будет помниться, что (по *121) «[выражение]» означает, что [выражение] состоит из двух членов. В *121·304·305 было показано, что если [выражение] содержится в разнообразии, «[выражение]» подразумевает «[выражение]» и эквивалентно утверждению, что [выражение] и [выражение] составляют весь интервал [выражение] и не являются тождественными. Также по *121·254, [выражение]. Очевидно, что если [выражение] содержится в разнообразии и [выражение], мы не можем иметь [выражение], поскольку в интервале [выражение] нет члена, отличного от [выражение] и [выражение], и мы не можем иметь [выражение] или [выражение]. Следовательно, если [выражение], мы имеем [выражение]. Следовательно, согласно тому, что было сказано выше (*121·305), если [выражение], мы будем иметь [выражение]. С другой стороны, если [выражение] транзитивно, мы имеем [выражение] (*201·61). Объединяя эти два факта и помня, что если [выражение] транзитивно, [выражение] (*201·18), мы находим, что если [выражение] транзитивно и содержится в разнообразии. Мы находим далее (*202·7), что если [выражение] связно, [выражение] одно-однозначно. Следовательно, нам нужна полная гипотеза о том, что [выражение] — ряд, чтобы доказать, что [выражение] одно-однозначно (*204·7). Это хороший пример того, как различные отдельные характеристики, составляющие определение ряда, релевантны при доказательстве свойств рядов.

*200. ОТНОШЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕСЯ В РАЗНООБРАЗИИ.

Резюме *200.

Некоторые из предложений этого параграфа являются повторениями или непосредственными следствиями предыдущих предложений, особенно тех предложений *50, которые имеют дело с разнообразием. Но мы здесь главным образом заняты предложениями, которые будут полезны в теории рядов; это приводит нас к введению предложений о [выражение] и о вопросах, связанных с отношенческой арифметикой и другими темами. Будет видно, что «[выражение]» (т.е. «[выражение] асимметрично») является важной гипотезой, как и [выражение], примеры использования которой у нас уже были в *96 и *121.

Следующие предложения являются одними из самых полезных в этом параграфе:

*200·12.

Это предложение, которое делает невозможным определение порядкового числа 1, которое занимало бы свое место среди отношенческих чисел, применимых к рядам.

*200·35.

Это следствие *200·12.

*200·36.

*200·361.

Т.е. если [выражение], никакой член не предшествует самому себе или любому из своих предшественников, и никакой член не следует за самим собой или любым из своих преемников.

*200·38.

*200·39.

Затем у нас есть коллекция предложений, касающихся отношенческой арифметики.

*200·211.

Т.е. свойство содержания в разнообразии инвариантно для преобразований схожести;

*200·4.

*200·41.

и другие подобные предложения.

Затем у нас есть набор предложений, касающихся [выражение] и [выражение]. Наиболее важными являются

*200·5.

*200·52.

*200·53.

Т.е. если [выражение] асимметрично, члены, которые предшествуют части [выражение], не следуют за всем [выражение], и наоборот.

*200·11.

*200·12.

Док.

*200·2.

Док.

*200·21.

Док.

*200·211.

Свойства отношений очень часто являются общими для всех отношений, которые подобны данному отношению, и это особенно относится к тем видам свойств, которыми мы больше всего заняты. Вышеприведенное предложение является иллюстрацией этого факта: оно показывает, что свойство содержания в разнообразии инвариантно для преобразований схожести.

*200·22.

Док.

Мы имеем, без необходимости типической определенности, [выражение], оба из которых являются непосредственными следствиями *200·211. Обратные импликации, однако, не выполняются, если [выражение] взято в типе, в котором [выражение].

*200·3.

*200·31.

*200·32.

*200·33.

*200·34.

*200·35.

Док.

*200·36.

*200·361.

Док.

*200·37.

Док.

*200·38.

*200·381.

Док.

*200·39.

Док.

*200·391.

Док.

Вышеприведенное предложение полезно в теории сегментов.

Следующие предложения касаются идей отношенческой арифметики. Аналогичные предложения будут доказаны для транзитивности и связности в *201 и *202, откуда аналогичные предложения, касающиеся рядов, будут выведены в *204.

*200·4.

Док.

Это предложение является частью доказательства того, что сумма двух взаимно исключающих рядов есть ряд.

*200·41.

*200·42.

Док.

Следующие предложения (*200·421·422·423) являются леммами для *204·53.

*200·421.

Док.

*200·422.

Док.

*200·423.

Док.

*200·43.

Док.

Следующие предложения, за исключением *200·52, касаются [выражение] и [выражение], т.е. класса членов, предшествующих (или следующих за) всему [выражение].

*200·5.

Док.

*200·51.

Док.

*200·52.

Док.

Это предложение часто используется в теории вполне упорядоченных рядов.

*200·53.

Док.

Вышеприведенное предложение часто используется. Если [выражение] — существующий класс, содержащийся в [выражение], [выражение] и [выражение] — две части дедекиндова «сечения», определяемого [выражение] (исключая максимум [выражение], если таковой имеется). Вышеприведенное предложение показывает, что эти две части взаимно исключают друг друга.

*200·54.

Док.

Это предложение является леммой, цель которой — избежать необходимости введения гипотезы или в доказательствах, в которых она не является действительно необходимой. Первое использование этого предложения встречается в *206·551.

*201. ТРАНЗИТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *201.

Существует две основные разновидности транзитивных отношений, а именно те, которые являются симметричными, и те, которые являются асимметричными. Транзитивные симметричные отношения обладают формальными свойствами равенства: примеры таких отношений встречались выше, например, тождество, схожесть и подобие. Однако предложения настоящего раздела скорее являются такими, которые будут полезны в связи с транзитивными асимметричными отношениями, поскольку они предназначены для применения к рядам.

Мы обозначаем класс транзитивных отношений через «»; таким образом, многие предложения этого раздела аналогичны предложениям, номера которых имеют ту же десятичную часть в *200. Таковы: если транзитивно, то таково и его обратное (*201·11), и таково любое отношение, которое подобно P (*201·211); и транзитивны (*201·3·31); если транзитивно, то таково и (*201·33). Предложения *201·4—·42, которые имеют дело с идеями отношенческой арифметики, также аналогичны *200·4—·42.

Однако большинство других предложений этого раздела не имеют аналогов в *200. Среди наиболее важных из них — следующие:

*201·14.

*201·15.

*201·18.

Это предложение очень важно, поскольку оно обеспечивает огромное упрощение при использовании всех предложений, включающих или, когда эти предложения должны быть применены к транзитивным отношениям. Благодаря вышеуказанному предложению отпадает, когда речь идет о транзитивных отношениях. С другой стороны, остается полезным: если , «» будет означать «предшествует или является », что, если порождает ряд, членами которого являются и , эквивалентно «не следует за ».

У нас есть ряд предложений (*201·5—·56) о и . Основные из них:

*201·5.

*201·501.

Эти два предложения выражают тот факт, что предшественник предшественника является предшественником.

*201·52.

Таким образом, если состоит из вместе с предшественниками его членов.

*201·521.

*201·55.

Далее у нас есть набор важных предложений о и . Основные из них:

*201·63.

*201·65.

Об этих двух предложениях см. примечания, приложенные к ним ниже.

*201·01.

*201·1.

*201·11.

Док.

*201·12.

В силу этого предложения, содержание в отношении различия эквивалентно (когда речь идет о транзитивных отношениях) асимметрии. В общем случае это не так для отношений, которые не являются транзитивными; так, например, само отношение различия содержится в отношении различия, но является симметричным.

*201·13.

Док.

*201·14.

Док.

Следующие предложения (*201·15—·19) касаются и .

*201·15.

*201·16.

Это предложение важно, поскольку часто случается, что ряд задается как определенный взаимно-однозначным отношением , как, например, в *122, и в таких случаях является сериальным отношением в нашем текущем смысле. Согласно вышеуказанному предложению, всегда транзитивно; согласно *96·421, связано, когда ограничено потомством данного члена, при условии ; согласно *96·23, если и , содержится в отношении различия на всем протяжении потомства . Таким образом, если — взаимно-однозначное отношение, ограниченное любым семейством, имеющим начало, будет сериальным отношением.

*201·17.

Док.

*201·18.

Док.

Это предложение важно, поскольку оно упрощает все предложения, касающиеся и , в случае, если транзитивно. Следующее предложение является примером этого упрощения.

*201·19.

Следующие предложения (*201·2—·22) касаются доказательства того, что транзитивность не затрагивается преобразованиями подобия и, следовательно, принадлежит каждому члену отношенческого числа или ни одному из них.

*201·2.

Док.

*201·201.

*201·21.

Док.

*201·211.

Это показывает, что транзитивность — это свойство, которое не меняется при преобразованиях подобия. Следовательно,

*201·212.

*201·22.

*201·3.

Док.

*201·31.

Док.

Если не , . Отношение, квадрат которого есть , является транзитивным, поскольку содержится в каждом отношении.

*201·32.

Док.

*201·33.

Док.

Следующие предложения (*201·4—·42) касаются идей отношенческой арифметики.

*201·4.

Док.

*201·401.

Док.

*201·41.

Док.

*201·411.

*201·42.

Док.

Следующие предложения (*201·5—·56) касаются и , т.е. предшественников некоторой части класса и предшественников всего класса.

*201·5.

*201·501.

*201·51.

Док.

*201·52.

*201·521.

*201·53.

*201·54.

*201·55.

Док.

Следующее предложение является леммой, которая используется в *205·192 и *206·24.

*201·56.

Док.

Следующие предложения, до конца раздела, касаются отношения , определенного в *121. Мы можем рассматривать как означающее «непосредственно предшествует». *201·6·61·62 являются леммами для *201·63.

*201·6.

Док.

*201·61.

Док.

*201·26.

*201·63.

Вышеуказанное предложение имеет фундаментальное значение. Отношение (определенное в *121) играет большую роль в теории рядов. Это отношение «непосредственного предшествования». Его область определения состоит из тех членов, которые имеют непосредственных преемников; его область значений — из тех, которые имеют непосредственных предшественников. Во вполне упорядоченных рядах , в то время как состоит из всех членов (кроме первого), которые не принадлежат первой производной (ср. *216). В любом ряду состоит из всех членов, которые являются пределами возрастающих рядов, а состоит из всех членов, которые являются пределами убывающих рядов.

*201·64.

Док.

*201·65.

Когда является рядом, — это условие того, что он является компактным рядом, т.е. таким, в котором между любыми двумя членами есть другие. В силу *201·65 это условие эквивалентно , что означает, что ни один член не имеет непосредственного предшественника.

Следующее предложение впервые используется в *253·521.

*201·66.

Док.

*201·661.

Док.

Вышеуказанное предложение является леммой для следующего.

*201·662.

Это предложение впервые используется в *253·521.

*202. СВЯЗНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *202.

Отношение называется связным, когда либо оно само, либо его обратное выполняется между любыми двумя различными членами его поля, т.е. когда, если , , мы имеем . Таким образом, поле связного отношения состоит из одного семейства, если только отношение не является пустым, и в этом случае у него нет семейств. И наоборот, отношение, которое имеет одно семейство или ни одного, является связным. Связность необходима, в дополнение к транзитивности и асимметрии, для того чтобы отношение могло порождать единый ряд. Если — класс транзитивных или асимметричных отношений, то транзитивно или асимметрично; но если — класс связных отношений, то в общем случае не является связным. Следовательно, если — класс рядов, то не является одним рядом, а является множеством отдельных рядов. Это одна из причин, почему арифметическая сумма отношения отношений определяется не как , а как (ср. *162), поскольку последнее, но не первое в общем случае, является связным, когда и все члены являются связными (*202·42).

Когда связно, если — любой класс, содержащийся в , мы имеем , и существует не более одного члена , не принадлежащего ни , ни . Этот член , если он существует, является максимумом . Если, далее, (т.е. если асимметрично), . Таким образом, когда и связно, и асимметрично, и являются дополнениями друг друга, и вместе они составляют дедекиндово сечение, определяемое тем, что — это все члены, которые не следуют за всем , а — это все члены, которые следуют за всем .

Более общо, если — любой класс, не обязательно содержащийся в , тогда, когда связно, мы имеем , и когда асимметрично, мы имеем . Таким образом, когда оба условия выполнены, мы имеем (*202·503)

Вышеуказанные включения и вытекающее из них равенство будут постоянно требоваться в дальнейшем. Деление на две взаимно исключающие части — это дедекиндово «сечение», определяемое классом . Если , две части становятся, как упоминалось выше, . Если, далее, не пусто, они становятся . Если содержится в и содержит всех своих собственных предшественников, они становятся . В этой упрощенной форме дедекиндовы «сечения» будут рассмотрены позже (*211).

Мы принимаем в качестве нашего определения

Некоторые из предложений настоящего раздела являются аналогами предложений в *200 и *201. Таковы: если связно, то таково и (*202·11); если связно, то таково и любое подобное отношение (*202·211); и связны (*202·3·31); если связно, то таково и (*202·33); а также различные предложения, связанные с отношенческой арифметикой (*202·4—·42). Однако большинство предложений этого раздела имеют дело со свойствами, присущими связности. Среди наиболее важных из них:

*202·101.

*202·103.

Это лишь альтернативные формы определения.

*202·13.

*202·5.

*202·501.

*202·503.

*202·505.

*202·52.

*202·524.

*202·55.

В силу этого предложения (и других), если является рядом, а — класс (не единичный класс), содержащийся в , то — это порождающее отношение ряда, состоящего из класса в том порядке, который он имеет в ряду .

*202·7.

Это предложение следует рассматривать в связи с *201·63. Вместе они показывают, что когда является рядом, — взаимно-однозначное отношение.

*202·01.

Определение см. в *97·01.

*202·1.

*202·101.

*202·102.

*202·103.

*202·104.

*202·11.

*202·12.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *202·181 включительно (за исключением *202·16·161), касаются и . Часто случается, что они связны, когда не является таковым, например, если — отношение среди индуктивных кардинальных чисел.

*202·13.

Док.

*202·131.

*202·132.

*202·133.

Док.

*202·134.

*202·135.

Док.

*202·136.

*202·137.

*202·138.

*202·14.

*202·141.

*202·15.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в порядковой теории конечного и бесконечного (*260·4).

*202·16.

Док.

*202·161.

Док.

*202·162.

Док.

*202·17.

Док.

*202·171.

*202·172.

*202·18.

Док.

*202·181.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в порядковой теории конечного и бесконечного (*261·2).

Следующее предложение является леммой для *202·211, которая показывает, что если отношение связно, то таковы и все подобные отношения.

*202·21.

Док.

Доказательства трех следующих предложений проводятся подобно доказательствам аналогичных предложений в *200 и *201.

*202·211.

*202·212.

*202·22.

*202·3.

Док.

*202·31.

Док.

*202·33.

Док.

Следующие предложения (*202·4—·42) касаются приложений отношенческой арифметики.

*202·4.

Док.

Вышеуказанное предложение иллюстрирует причины определения , как это было сделано в *160. Когда и связны, в общем случае не является связным: именно дополнительный член обеспечивает связность.

*202·401.

Док.

*202·41.

Док.

*202·411.

*202·412.

Док.

*202·42.

Док.

*202·5.

Док.

Следующие предложения (*202·501-·51) касаются отношений и . Они важны, и *202·501·503·505 будут часто использоваться.

*202·501.

Док.

*202·502.

Док.

*202·503.

Док.

*202·504

Док.

*202·505.

Док.

*202·51.

Док.

Следующие предложения (*202·511—·524) касаются . *202·52 показывает, что если , не может иметь более одного первого члена или более одного последнего члена, и *202·523 показывает, что это все еще верно, если только связно. *202·511 показывает, что если — связное отношение, которое имеет первый член, тогда, если — любой класс, существуют предшественники всего , когда и только когда является таким предшественником, и когда и только когда . *202·524 показывает, что если связно и имеет первый член, состоит из преемников первого члена. Эти предложения часто используются.

*202·511.

Док.

*202·52.

Док.

*202·521.

Док.

*202·522.

*202·523.

*202·524.

Док.

Следующие предложения (*202·53—·55) касаются отношений с ограниченными полями. Такие отношения постоянно используются в теории рядов.

*202·53.

Док.

Это предложение важно в рядах. Если и — сериальные отношения, и , они удовлетворяют вышеуказанной гипотезе; следовательно, если — ряд, содержащийся в данном ряду , — это просто с ограниченным полем. Таким образом, ряды, содержащиеся в данном ряду, полностью определяются своими полями.

*202·54.

Док.

Вышеуказанное предложение часто используется. *202·55, которое является непосредственным следствием *202·54, используется постоянно.

Следующее предложение используется в *232·14.

*202·541.

Док.

*202·55.

*202·56.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *212·652.

*202·6.

Док.

Следующее предложение является леммой для *202·62, которое само по себе является леммой для *204·52.

*202·61.

Док.

*202·611.

*202·62.

Док.

Три следующих предложения (*202·7—·72) касаются . Из них *202·7 важно: оно показывает, что если связно, ни один член не может иметь более одного непосредственного предшественника или преемника. *202·72 используется в *204·71, которое является важным предложением.

*202·7.

Док.

*202·71.

Док.

*202·72.

*202·8.

Док.

*202·81.

Док.

Вышеуказанное предложение показывает, что если связно и любой класс выбран из , тогда упорядочивает в порядке, который подобен тому, в котором упорядочивает корреляты .

*204. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА РЯДОВ.

Сводка *204.

В этом разделе мы даем определение и несколько более простых свойств рядов. Большинство предложений этого раздела вытекают непосредственно из предложений *200, *201 и *202. Наше определение:

У нас есть

*204·16.

любое из которых могло быть принято в качестве определения.

После нескольких предложений, дающих другие возможные формы определения ряда, мы переходим к набору предложений, которые следуют непосредственно из предложений *200, *201 и *202. Таковы

*204·2.

*204·21.

*204·24.

*204·25.

Еще одно важное предложение о парах:

*204·272.

так что пары — это единственные ряды, имеющие единичные классы в качестве своих областей определения или областей значений.

Затем мы переходим к набору предложений о . У нас есть

*204·33.

Также, если — взаимно-однозначное отношение и (*204·34·35).

Затем у нас есть несколько предложений (*204·4—·44) об отношениях с ограниченными полями. Наиболее важные из них:

*204·4.

*204·41.

Это предложение важно, поскольку оно показывает, что любой ряд, содержащийся в данном ряду, полностью определяется, когда задано его поле.

Далее у нас есть ряд предложений (*204·45—·59), применяющих отношенческую арифметику к рядам. Первый набор из них (*204·45—·483) касается доказательства того, что если в ряду сделано «сечение», ряд является суммой двух частей, на которые сечение его делит, где сумма берется в смысле *160 или *161, в зависимости от того, состоит ли одна часть сечения из одного члена или нет. Большинство этих предложений не требуют полной гипотезы о том, что является рядом, а только некоторой ее части. Так, например, у нас есть

*204·46.

с аналогичным предложением для и (*204·461).

Далее мы доказываем, что если и — взаимно исключающие ряды, их сумма является рядом, и наоборот (*204·5); что если — ряд, к которому не принадлежит , и являются рядами, и наоборот (*204·51); что если — ряд взаимно исключающих рядов, его сумма является рядом (*204·52); что если и — ряды, то таково и (*204·55); что если — ряд рядов, содержится в отношении различия и является транзитивным (*204·561), в то время как если также вполне упорядочен, т.е. таков, что каждый существующий подкласс имеет первый член, тогда является рядом (*204·57); и что если и — ряды, и вполне упорядочен, тогда и являются рядами (*204·59). Эти предложения существенны для порядковой арифметики, но к ним не будут возвращаться до тех пор, пока мы не достигнем этого этапа (Разделы D и E этой Части).

Далее у нас есть коллекция предложений (*204·6—·65) о для различных значений , и, наконец, три предложения о . Два из них часто используются, а именно

*204·7.

*204·71.

*204·01.

*204·1.

*204·11.

*204·12.

*204·121.

*204·13.

Док.

*204·14.

*204·15.

Док.

*204·151.

*204·16.

У нас также есть . Ибо, согласно *200·37, поскольку , следует, что

Отношение, такое как , где , удовлетворяет , но не . С другой стороны, удовлетворяет , но не .

*204·2.

*204·21.

*204·22.

*204·23.

*204·24.

*204·25.

*204·26.

Три следующих предложения имеют дело с парами. Пары часто требуют особого обращения в силу того факта, что если — пара, , так что , тогда как в любом другом случае, если — ряд, . Следовательно, часто требуются следующие предложения.

*204·27.

Док.

*204·271.

Док.

*204·272.

*204·3.

*204·32.

Док.

*204·33.

Док.

Три следующих предложения требуют только , но необходимы для применения к рядам, и поэтому удобны в форме, приведенной здесь.

*204·331.

*204·34.

*204·35.

Это предложение показывает, что ряд сегментов, которые имеют верхние пределы, подобен исходному ряду, ибо сегмент, чей верхний предел есть , — это , и ряд таких сегментов — это .

Следующие предложения (*204·4—·44) касаются отношений с ограниченными полями.

*204·4.

*204·41.

В силу вышеуказанных двух предложений, ряды, содержащиеся в данном ряду, — это отношения, возникающие в результате ограничения поля; процесс ограничения поля — это просто процесс выбора части исходного ряда без изменения порядка.

*204·42.

*204·421.

*204·43.

Док.

*204·44.

Следующие предложения (*204·45—*204·483) касаются деления ряда на две части, одна из которых полностью предшествует другой. Случай, когда одна из частей состоит из одного члена, требует особого обращения, как и случай, когда обе части состоят из одного члена, т.е. когда ряд является парой.

*204·45.

Док.

*204·46.

Док.

*204·461.

*204·462.

*204·463.

Док.

*204·47.

Док.

*204·48.

Док.

*204·481.

*204·482.

Док.

*204·483.

Следующие предложения касаются применения отношенческой арифметики к рядам.

*204·5.

*204·51.

*204·52.

Док.

*204·53.

Док.

*204·54.

Док.

*204·55.

Док.

*204·551.

Док.

*204·56.

Док.

*204·561.

Док.

Для того чтобы доказать, что связно, нам требуется дополнительная гипотеза, а именно, что вполне упорядочен, т.е. что каждый класс, содержащийся в и не являющийся пустым, имеет первый член.

*204·562.

Док.

*204·57.

*204·58.

Док.

*204·581.

*204·59.

Док.

Два следующих предложения являются леммами для *204·62.

*204·6.

Док.

*204·61.

Док.

*204·62.

Док.

*204·63.

Док.

*204·64.

Док.

Следующее предложение используется в *234·101.

*204·65.

Док.

*204·7.

Об этом предложении см. замечания, предшествующие *201·6.

*204·71.

*204·72.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *274·23.

*205. МАКСИМАЛЬНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ.

Сводка *205.

Минимальные точки класса относительно отношения — это те члены , которые принадлежат полю , но по отношению к которым ни один член не имеет отношения ; то есть это те члены , которые принадлежат , но не имеют предшественников в . Аналогично, максимальные точки — это те члены , которые принадлежат , но не имеют преемников в . Оба эти понятия уже были определены в *93, но там они использовались только для специальной цели изучения порождений. Их главная полезность — в связи с рядами, и именно в этой связи мы теперь будем их рассматривать. Многие свойства максимумов и минимумов в рядах не требуют всей гипотезы «», а только «». Это верно, в частности, для фундаментального свойства максимумов и минимумов в рядах, а именно того, что каждый класс имеет не более одного максимума и одного минимума. Минимум класса, если он существует, является первым членом класса, а максимум, если он существует, — последним членом. Максимумы относительно — это минимумы относительно ; следовательно, свойства максимумов вытекают непосредственно из соответствующих свойств минимумов и будут изложены без доказательств в дальнейшем.

Будет видно, что максимумы и минимумы зависят только от : часть (если таковая имеется), которая не содержится в , не имеет значения.

В соответствии с определениями *93, класс минимумов обозначается через , где определение таково: . Таким образом, — это отношение, содержащееся в . Когда связно, мы имеем , т.е. (согласно *71·12) . Отсюда следует, что если — множество классов, которые все имеют минимумы, — это селективное отношение для , т.е. . Благодаря этому факту существование селекций иногда может быть доказано при работе с рядами (особенно с вполне упорядоченными рядами) в случаях, когда такое доказательство было бы невозможно, если бы не было задано сериальное упорядочивание.

Определение выбрано так, чтобы исключить из ту часть , которая не содержится в , и сделать , т.е. , при условии . По этим двум причинам мы должны отвергнуть два более простых определения, которые в противном случае могли бы показаться предпочтительными. Одно из них дало бы , которое могло бы быть получено путем подстановки . Это согласуется с нашим определением всякий раз, когда , но не в противном случае, поскольку оно включает в любую часть , не содержащуюся в . Следовательно, это требует гипотезы во многих предложениях, которые с нашим определением не требуют этой гипотезы, и, в частности, в предложении , так что вместо того, чтобы иметь (как с нашим определением) , мы имели бы только . По этим причинам данное определение менее удобно, чем то, которое мы приняли.

Другое определение, которое напрашивается, — это то, которое даст . Если бы это определение было принято, мы могли бы вообще обойтись без специального обозначения, используя вместо . Однако это определение имеет тот недостаток, что если и , так что мы имеем . Это требует добавления гипотезы (как в *204·45 выше, например) в случаях, когда с нашим определением такая гипотеза не требуется. Если мы возьмем вместо в качестве класса минимальных точек, мы обеспечим , когда и , но не когда . Таким образом, у нас все еще есть исключения, против которых нужно предусмотреть меры, которые не возникают с определением, которое мы приняли.

Первые несколько предложений этого раздела уже были доказаны в *93, но повторяются здесь для удобства ссылки.

Предложения этого раздела многочисленны и часто используются. Среди элементарных свойств и , с которых начинается раздел, следует отметить следующие:

*205·12.

*205·123.

*205·14.

*205·15.

*205·16.

*205·18.

*205·19.

*205·194.

Благодаря этому предложению мы иногда можем обойтись без гипотезы в предложениях о минимумах, которые в противном случае требовали бы этой гипотезы.

*205·197.

Наш следующий набор предложений (*205·2—·27) вводит гипотезу о том, что связно, или транзитивно и связно. Основные из них:

*205·21.

Т.е. если минимум существует, он предшествует любому другому члену .

*205·22.

Т.е. члены, которые идут после некоторой части , — это те, которые идут после его минимума (когда минимум существует).

*205·25.

Далее у нас есть фундаментальное предложение:

*205·3.

откуда

*205·31.

что ведет к

*205·33.

Это предложение полезно в теории вполне упорядоченных рядов. Заметьте, что «» означает, что состоит из классов, которые имеют минимумы.

Далее у нас есть набор предложений (*205·4—·44), имеющих дело с отношениями к и ; затем у нас есть предложения об отношениях минимумов двух разных классов, из которых наиболее полезным является

*205·55.

Далее у нас есть различные предложения о , из которых главное:

*205·65.

Т.е. предшественники всего класса, содержащегося в , — это предшественники его минимума (если он у него есть).

Полезное предложение:

*205·68.

Т.е. если — наследственный класс, его минимумы относительно такие же, как его минимумы относительно .

Далее мы доказываем, что если имеет максимум, то таково и (*205·7), и что если , только единичный класс может иметь свой максимум, идентичный своему минимуму (*205·73).

*205·8—·85 касаются отношенческой арифметики. Главное предложение здесь —

*205·8.

Т. е. в любой корреляции минимумы коррелятов класса являются коррелятами минимумов.

Мы завершаем двумя предложениями об отношениях с ограниченными полями. Более полезным из них является

*205·9.

*205·1.

*205·101.

*205·102.

*205·11.

*205·111.

*205·12.

*205·121.

*205·122.

*205·123.

*205·13.

*205·131.

*205·14.

*205·141.

*205·15.

*205·151.

*205·16.

*205·161.

*205·17.

Док.

*205·18.

Док.

*205·181.

Док.

*205·182.

Док.

*205·183.

Док.

*205·19.

Док.

*205·191.

*205·192.

Док.

*205·193.

*205·194.

Док.

*205·195.

*205·196.

Док.

*205·197.

*205·2.

Док.

В оставшейся части настоящего номера, когда предложение доказано для P, мы не будем приводить соответствующее предложение для P̃, если только оно не является особо важным. Когда предложения, касающиеся P̃, потребуются для ссылки в дальнейшем, мы будем ссылаться на соответствующие предложения для P, в случае если не существует ссылки для P̃.

*205·21.

*205·211.

Док.

*205·22.

*205·23.

Док.

*205·24.

*205·241.

*205·25.

Док.

Следующее предложение используется в теории вполне упорядоченных рядов (*250·2).

*205·251.

*205·252.

*205·253.

*205·254.

*205·255.

Док.

*205·256.

*205·26.

Док.

*205·261.

Док.

*205·262.

Док.

*205·27.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *250·7.

*205·3.

Док.

Вышеуказанное предложение имеет большое значение в теории максимумов и минимумов.

*205·31.

*205·32.

*205·33.

Док.

*205·34.

Следующее предложение используется в *260·17.

*205·35.

Док.

*205·36.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *230·53.

*205·37.

Следующее предложение используется в *257·21.

*205·38.

Док.

*205·381.

Док.

Три следующих предложения подводят к *205·42, которое используется в *261·26.

*205·4.

Док.

*205·401.

Док.

Следующее предложение, помимо того что оно требуется для *205·41, используется в *250·151.

*205·41.

Док.

*205·42.

Док.

Следующее предложение подводит к *205·44.

*205·43.

Док.

*205·44.

Следующие предложения рассматривают обстоятельства, при которых минимум одного класса идентичен минимуму другого или предшествует ему.

*205·5.

Док.

*205·501.

Док.

*205·51.

Док.

*205·52.

Док.

*205·53.

Док.

*205·54.

*205·55.

Док.

*205·56.

Док.

*205·561.

*205·6.

*205·601.

*205·61.

*205·62.

*205·63.

*205·64.

Док.

*205·65.

Док.

*205·66.

*205·67.

Док.

*205·68.

Док.

*205·681.

*205·7.

Док.

*205·71.

Док.

*205·72.

*205·73.

Док.

*205·731.

*205·732.

Док.

Следующие предложения подводят к *205·75, которое показывает, что минимум класса принадлежит P, если только часть класса, содержащаяся в P, не является Λ.

*205·74.

Док.

*205·741.

Док.

*205·742.

Док.

*205·75.

Заметьте, что P ∩ α ⊂ P ∩ β в общем случае не эквивалентно P ∩ α ⊂ P ∩ β, поскольку последнее подразумевает P ∩ α ⊂ P ∩ β, тогда как первое — нет.

Следующее предложение важно.

*205·8.

Док.

*205·81.

Док.

*205·82.

Два следующих предложения используются в *251·13.

*205·83.

Док.

*205·831.

Док.

Два следующих предложения используются в *251·14.

*205·832.

Док.

*205·833.

Док.

Следующее предложение используется в *251·25.

*205·84.

Док.

*205·841.

Док.

Следующее предложение используется в *251·2.

*205·85.

Док.

*205·9.

*205·91.

Док.

*206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ.

Резюме *206.

«Секвентом» класса α является минимум членов, которые идут после всего класса α; то есть мы полагаем P`α = min (P“ (CʻP - α)). Таким образом, секвенты α — это его непосредственные преемники. Если α имеет максимум, секвенты являются непосредственными преемниками максимума; но если α не имеет максимума, не будет ни одного члена P, за которым непосредственно следует секвент α; в этом случае, если α имеет единственный секвент, секвент является «верхним пределом» α. Всякий раз, когда P связно, а следовательно, всякий раз, когда P является рядом, каждый класс имеет один секвент или ни одного по отношению к P, согласно *205·3.

Будет видно, что секвенты α такие же, как секвенты α ∩ CʻP, и, следовательно, P`α зависит только от α ∩ CʻP: если α имеет члены, не принадлежащие CʻP, они не имеют значения.

Для непосредственных предшественников класса α мы полагаем P̃`α = min (P̃“ (CʻP - α)). Мы имеем P̃`α = P`α, так что предложения о P̃`α следуют из предложений о P`α путем простой замены P на P̃; поэтому они не будут приведены в дальнейшем.

Среди элементарных свойств P`α, с которых начинается этот номер, наиболее важными являются следующие:

*206·13.

Это лишь воплощает определение.

*206·131.

*206·134.

*206·14.

Таким образом, если α имеет первый член, это секвент пустого класса или любого другого класса, который не имеет общих членов с α.

*206·16.

Это непосредственно следует из *205·3. Это ведет к

*206·161.

Таким образом, если P — связное отношение, ни один класс не имеет более одного секвента. В общем случае это не так для отношений, которые не являются связными, даже там, где идея секвентов вполне естественно применима. Возьмем, например, отношение потомка к предку, и пусть α будет классом монархов Англии. Тогда P`α будут такими родителями монархов, которые сами не были монархами.

*206·171.

Это предложение утверждает, что y является секвентом α, если весь класс α предшествует y, но каждый член, который предшествует y, либо принадлежит α, либо предшествует некоторому члену α. Когда P — ряд и α не имеет максимума, мы имеем P`α = y, т. е. секвент α, если он существует, — это член, чьи предшественники идентичны предшественникам членов α. Это случай предела (ср. *207).

Далее у нас есть набор предложений (*206·211—·28), касающихся P`α и P̃`α. Когда P транзитивно и связно, а α — существующий класс, содержащийся в CʻP и имеющий секвент, мы будем иметь P`α = y. То есть предшественники секвента — это члены α и предшественники членов, в то время как секвент и его преемники — это преемники всего класса α. Различные части этого утверждения требуют различных частей гипотезы. Таким образом, мы имеем

*206·211.

*206·213.

*206·22.

*206·23.

Если P транзитивно, значение P`α не меняется, если мы добавим к α любой набор членов, содержащихся в P“α (*206·24); таким образом, в частности, P`α = P`(α ∪ P“α) (*206·25). Таким образом, мы можем заполнить любые пробелы в α и взять весь ряд до конца α, не меняя секвент.

Далее у нас есть набор предложений (*206·3 — *206·38) о секвенте P`α, т. е. сегмента, определенного y. Если P — ряд, P`α — это максимум α, если α имеет максимум, секвент α, если α имеет секвент, но не имеет максимума, и несуществующий, если α не имеет ни максимума, ни секвента (*206·35·331·36).

Наш следующий набор предложений (*206·4 — ·52) касается секвентов единичных классов, особенно {x}, и классов вида P“{x}.

*206·4.

*206·42.

откуда следуют три предложения:

*206·43.

*206·45.

*206·46.

Из вышеуказанных предложений следует, что, когда P — ряд, любой член x ряда P является секвентом класса его предшественников, x является секвентом P“{x}, если любой из них существует, и секвент класса, который имеет максимум, является непосредственным преемником (если таковой имеется) максимума, т. е.

*206·5.

Затем у нас есть набор предложений (*206·53 — ·57) о секвенте P“{x}, т. е. секвенте предшественников всего класса α. Эти предложения особенно полезны в связи с «дедекиндовыми» рядами, т. е. рядами, в которых каждый класс имеет либо максимум, либо секвент (*214). Все эти предложения требуют полной гипотезы о том, что P — ряд. В этом случае P`α = min (P“α), т. е. секвент (если он существует) предшественников всего класса α — это минимум (если он существует) α. Более того, по определению максимум α, если он существует, — это прецедент P`α. Следовательно, α имеет либо минимум, либо прецедент, если α имеет либо секвент, либо максимум (*206·54). Более того, секвент и максимум α являются соответственно (если они существуют) секвентом и максимумом предшественников всех преемников всего класса α (*206·551). Следовательно, мы приходим к выводу, что предположение о том, что каждый класс вида P“{x} имеет либо максимум, либо секвент, эквивалентно как предположению о том, что каждый класс имеет либо максимум, либо секвент (*206·56), так и предположению о том, что каждый класс имеет либо минимум, либо прецедент (*206·55). Отсюда следует, что эти два последних предположения эквивалентны (*206·57), т. е. что ряд является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его конверс является дедекиндовым (*214·14).

Далее мы рассматриваем (*206·6 — *206·63) корреляции, показывая, что если два отношения коррелированы, секвенты коррелятов любого класса являются коррелятами секвентов, т. е.

*206·61.

Мы завершаем набором предложений (*206·7 — ·732), показывающих, что секвент класса не меняется, если мы удалим из класса любой член, кроме его максимума (*206·72); что если класс имеет члены в P, и имеет как прецедент, так и секвент, прецедент имеет отношение P к секвенту (*206·73), и что прецедент не идентичен секвенту (*206·732). Эти предложения носят характер лемм, использование которых в основном относится к теории отрезков (*215).

*206·01.

*206·02.

*206·1.

*206·101.

Мы не будем формулировать никаких других предложений о P̃`α (если только не будет особой причины), поскольку вышеуказанное предложение позволяет вывести их непосредственно из соответствующих предложений о P`α.

*206·11.

Заметьте, что когда α не пусто, α ∩ CʻP = α, так что множитель α ∩ CʻP справа излишен; но когда α ∩ CʻP = Λ, мы имеем P`α = P`Λ, так что множитель α ∩ CʻP становится значимым. Благодаря этому множителю секвенты α — это P`α, так что если P`α существует, P`α — это секвент α.

*206·12.

*206·13.

*206·131.

*206·132.

*206·133.

*206·134.

Док.

Эта формула для P`α обычно более удобна, чем *206·13·132.

*206·14.

Док.

*206·141.

Док.

*206·142.

*206·143.

*206·144.

*206·15.

*206·16.

*206·161.

Таким образом, в ряду или в любом связном отношении ни один класс не имеет более одного секвента.

*206·17.

Док.

Следующие предложения дают упрощенные формулы для P`α в различных частных случаях.

*206·171.

Док.

*206·172.

*206·173.

*206·174.

Док.

Предложения *206·173·174 рассматривают пределы. Когда класс α не имеет максимума, т. е. когда P“α ∩ α = Λ, его секвент (если он существует) называется его пределом. Согласно вышеуказанным предложениям, предел — это член y такой, что весь класс α предшествует y, но каждый предшественник y предшествует некоторому члену α (*206·173); это также член, чьи предшественники идентичны предшественникам членов α (*206·174). Тема пределов будет явно рассмотрена в *207.

*206·18.

*206·181.

*206·2.

Док.

*206·21.

*206·211.

Док.

*206·212.

Док.

*206·213.

Док.

*206·22.

*206·23.

Док.

*206·24.

Док.

*206·25.

*206·26.

Док.

*206·27.

Док.

*206·28.

Док.

*206·3.

*206·31.

*206·32.

Док.

В гипотезе *206·32 мы имеем как P ∈ Trans, так и P ∈ Conn. Пока P не содержится в Diversity, оба они необходимы. Например, предположим, что мы берем P = I. Тогда P транзитивно и связно, но не содержится в Diversity. Мы имеем P`{x} = x. Также P̃`{x} = x. Таким образом, в этом случае P`{x} существует, но P̃`{x} не существует. Когда P — ряд, т. е. когда P содержится в Diversity, помимо того, что P транзитивно и связно, существование P`α влечет существование P̃`α, и поэтому гипотеза P ∈ Conn, которая появляется в *206·32, становится ненужной.

*206·33.

Док.

*206·331.

*206·34.

Док.

*206·35.

Док.

*206·36.

Док.

Условие P ∈ Dedekind является определением того, что можно назвать «дедекиндовыми» рядами, т. е. рядами, в которых, когда любое деление поля на две части производится таким образом, что первая часть полностью предшествует второй, тогда либо первая часть имеет последний член, либо вторая часть имеет первый член. (Когда эти альтернативы также являются взаимоисключающими, ряд имеет «дедекиндову непрерывность».) Если α — любой класс, P“α — это сегмент P, определенный α. В силу вышеуказанного предложения, каждый сегмент дедекиндова ряда имеет секвент. Секвент класса, не имеющего максимума, — это то, что обычно называют пределом. Таким образом, в ряду, имеющем дедекиндову непрерывность (в котором сегменты никогда не имеют максимумов), каждый сегмент имеет предел.

*206·37.

Док.

*206·38.

Док.

*206·4.

Док.

*206·401.

*206·41.

*206·42.

Док.

*206·43.

*206·44.

*206·45.

*206·451.

Док.

*206·46.

Док.

*206·47.

Док.

*206·48.

Док.

*206·5.

Док.

*206·51.

Док.

*206·52.

Док.

*206·53.

Док.

*206·531.

Док.

*206·54.

Док.

*206·55.

*206·551.

Док.

*206·56.

Док.

*206·57.

Это предложение важно, поскольку оно показывает, что когда серийное отношение удовлетворяет аксиоме Дедекинда, то же делает и его конверс. Таким образом, если все классы, которые не имеют максимума, имеют верхний предел, то все классы, которые не имеют минимума, имеют нижний предел, и наоборот.

*206·6.

Док.

*206·61.

Док.

*206·62.

*206·63.

*206·7.

Док.

*206·71.

Док.

*206·72.

Док.

*206·73.

Док.

*206·731.

Док.

Заметьте, что «P`α = P`β» — это не то же самое предложение, что «P`α = P`β». Первое подразумевает α ∩ CʻP = β ∩ CʻP, тогда как второе — нет, в силу соглашений относительно дескриптивных символов, объясненных в *14.

*206·732.

Док.

*207. ПРЕДЕЛЫ.

Резюме *207.

Член y называется «верхним пределом» α в P, если α не имеет максимума и y является секвентом α. В этом случае y непосредственно следует за классом α, хотя нет ни одного члена α, за которым y непосредственно следует. Секвенты, которые являются пределами, имеют особое значение, и удобно иметь для них специальное обозначение. Мы пишем «lim_P α» для верхнего предела α; или, если это удобнее, «lim_P (α)». (Это удобнее, когда α заменено выражением, состоящим из нескольких букв, или буквой с суффиксом.) Нижним пределом α будет непосредственный предшественник α, когда α не имеет минимума; это мы обозначаем через «lim_P̃ α».

Следующие предложения о пределах по большей части непосредственно следуют из предложений *206 о секвентах.

Наше определение сформулировано так, что пределом пустого класса является первый член нашего ряда (если таковой имеется). Это отступление от обычного использования удобно для того, чтобы всякий раз, когда наш ряд содержит любую предельную точку в обычном смысле, ряд предельных точек мог существовать, т. е. чтобы lim_P (CʻP) мог существовать всякий раз, когда существуют существующие части CʻP, имеющие верхние пределы. Ряд lim_P (CʻP) — это «первая производная» P. Определение предела — это lim_P α = P`α.

Помимо предела, нам требуется для многих целей единое обозначение для «предела или максимума». Это мы обозначаем через «lim_P α», полагая lim_P α = P`α ∪ max_P α. Аналогично для нижнего предела или минимума мы используем «lim_P̃ α», полагая lim_P̃ α = P̃`α ∪ min_P α. Мы имеем lim_P̃ α = lim_P̃ α (*207·101) и lim_P̃ α = lim_P̃ α (*207·401). Следовательно, нет необходимости доказывать предложения, касающиеся нижних пределов, поскольку они непосредственно следуют из предложений, касающихся верхних пределов.

В силу нашего определения предела, y является пределом α, если y является секвентом α и α не имеет максимума (*207·1). Таким образом, если α имеет максимум, оно не имеет предела (*207·11), но если оно не имеет максимума, класс его пределов — это класс его секвентов (*207·12). Таким образом, существование класса пределов эквивалентно существованию класса секвентов в сочетании с несуществованием класса максимумов, т. е.

*207·13.

*207·2 — ·232 состоят из различных формул для lim_P α. Мы имеем

*207·2.

Т. е. весь класс α предшествует y, но любой предшественник y предшествует некоторому члену α.

*207·231.

Т. е. предел α, если он существует, — это член y, чьи предшественники идентичны предшественникам некоторой части α.

Мы также имеем

*207·232.

Это предложение следует сравнить с *205·54, которое (слегка переписанное) есть

Из них обоих мы приходим к

*207·51.

которое служит для иллюстрации полезности «lim_P α».

Мы имеем

*207·24.

Т. е. если P связно, класс не может иметь более одного предела; также

*207·25.

Т. е. любые члены, за которыми есть некоторые члены α, могут быть добавлены к α, не меняя предел.

Далее у нас есть набор предложений (*207·251 — ·27), доказывающих, что если класс имеет предел, любой отдельный член класса может быть удален без изменения предела (*207·261), и что в любом случае, при условии, что класс не является единичным, его минимум (если таковой имеется) может быть удален без изменения предела (*207·27). Затем мы доказываем (*207·291), что если P — ряд и α — класс, который имеет предел, предшественники предела — это класс α.

Затем у нас есть набор предложений (*207·3 — ·36) о пределе P“{x} и родственных вопросах. Если x не имеет непосредственного предшественника, предел P“{x} — это x, и наоборот (*207·32·33). Следовательно

*207·35.

Т. е. предельные точки P — это те, которые не имеют непосредственных предшественников.

Далее мы обращаем наше внимание на «lim_P α». Это снова один-многие, при условии, что P связно (*207·41). Мы имеем по определению

*207·42.

*207·43.

*207·44.

*207·45.

Также мы имеем

*207·46.

которое является очень полезным предложением, как и *207·51 (приведенное выше).

Полезным предложением при работе с классами классов, содержащимися в ряду, является

*207·54.

Т. е. если каждый член α имеет предел, предел или максимум (если таковой имеется) пределов — это предел или максимум, и фактически предел, класса ∪α.

Далее у нас есть набор предложений (*207·6 — ·66) о корреляциях, доказывающих, что предел, или lim_P, коррелятов — это коррелят предела или lim_P, т. е.

*207·6.

*207·64.

Последние три предложения (*207·7 — ·72) являются леммами для использования в теории отрезков (*215·5·51).

*207·01.

*207·02.

*207·03.

*207·04.

*207·1.

*207·101.

Мы не будем приводить дальнейшие предложения о нижних пределах, если только не будет особой причины, поскольку все они следуют из предложений о верхних пределах посредством *207·101.

*207·11.

*207·12.

*207·121.

*207·13.

*207·14.

Вышеуказанное предложение важно, потому что P ∈ Dedekind — это характеристика «дедекиндовых» рядов, т. е. таких, которые удовлетворяют аксиоме Дедекинда.

*207·15.

*207·16.

*207·17.

*207·18.

Док.

*207·2.

*207·21.

Док.

*207·22.

Это очень часто наиболее удобная форма для lim_P α. Она утверждает, что предел α — это член y такой, что весь класс α полностью предшествует y, но каждый предшественник y предшествует некоторому члену α.

*207·23.

Док.

*207·231.

*207·232.

*207·24.

Док.

*207·25.

Док.

*207·251.

Док.

*207·26.

*207·261.

*207·262.

*207·263.

*207·27.

Док.

*207·28.

*207·281.

*207·282.

*207·29.

Док.

*207·291.

Док.

*207·3.

Док.

*207·31.

Док.

*207·32.

*207·33.

*207·34.

Док.

*207·35.

Док.

*207·36.

Док.

В силу этого предложения все пределы являются пределами классов вида P“{x}. В этом отношении пределы (в общем) отличаются от сегментов. Если мы назовем P“α сегмент, определенный α, в общем случае будут существовать сегменты не вида P“{x}. Однако это будут сегменты, которые не имеют секвентов, а следовательно, не имеют пределов; таким образом, их существование не вводит пределы, не выводимые из классов вида P“{x}.

*207·4.

*207·401.

*207·41.

*207·42.

*207·43.

*207·44.

*207·45.

*207·46.

Док.

*207·47.

Док.

*207·48.

*207·481.

*207·482.

Док.

*207·5.

*207·51.

*207·52.

*207·521.

Док.

*207·53.

Док.

*207·54.

Док.

*207·55.

*207·6.

Док.

*207·61.

*207·62.

*207·63.

Док.

*207·64.

*207·65.

*207·66.

*207·7.

Док.

*207·71.

*207·72.

*208. КОРРЕЛЯЦИЯ РЯДОВ.

Резюме *208.

Предложения этого номера в основном важны из-за их следствий в теории вполне упорядоченных рядов (*250 и сл.) и в теории векторных семейств (*330 и сл.). Когда два вполне упорядоченных ряда порядково схожи, они имеют только один коррелятор; и вполне упорядоченный ряд не является порядково схожим ни с одним из своих сегментов. Из этих двух предложений первое является непосредственным следствием *208·41, а второе — непосредственным следствием *208·47.

Предложения, касающиеся корреляторов двух отношений P и Q, получаются из предложений, касающихся корреляторов P с самим собой, посредством того факта, что если S, T — два коррелятора P и Q, то S̃ ∘ T — коррелятор P с самим собой. Опять же, корреляторы P с самим собой рассматриваются в этом номере как частный случай корреляторов P с частями самого себя. Последнее — это понятие, которое окажется важным по другим причинам, нежели те, по которым оно используется в нашем текущем контексте. Если P связно и S коррелирует P с частью самого себя (так что S ∈ 1 → 1 и S“CʻP ⊂ CʻP), P будет содержать члены трех видов: (1) те, для которых S`x = x, (2) те, для которых S`x P x, (3) те, для которых x P S`x. Наши предложения следуют из несуществования (при определенных обстоятельствах) максимумов или минимумов классов (2) и (3).

Следующее определение определяет «корреляции P с частями (или со всем) самого себя». Буквы «» означают «порядковую корреляцию». Для кардинальной корреляции, если возникнет необходимость, мы должны использовать «», т.е. мы должны положить так, чтобы . В настоящее время мы занимаемся соответствующим порядковым понятием; таким образом, нам требуется Это обеспечивается полаганием

Будет замечено, что если есть то, что мы назвали «нерефлексивным» классом (ср. *124), , и . Когда нерефлексивен, то же самое верно для ; и когда рефлексивен, также рефлексивен в том смысле, что он содержит собственные части, подобные самому себе, хотя если вполне упорядочен, такие собственные части не могут быть сегментами , но должны простираться до конца .

Класс корреляторов со всем самим собой, т.е. , является подклассом , и является особенно важным. Этот класс сильно отличается по своим свойствам от соответствующего кардинального класса. Если имеет более одного элемента, класс (который является «перестановками» в обычном элементарном смысле) всегда имеет более одного элемента. Но класс (который состоит из таких перестановок , которые оставляют порядок неизменным) будет состоять из единственного члена , если только не содержит классов, которые не имеют ни минимума, ни максимума, в каковых случаях будет много корреляторов со самим собой. В качестве простого примера возьмем ряд отрицательных и положительных целых чисел в их естественном порядке. Тогда, если есть любое из этих целых чисел, есть коррелятор всего ряда с самим собой. Если мы возьмем только положительные целые числа, уже не является коррелятором всего ряда с самим собой, поскольку все целые числа, меньшие , опущены из коррелята.

Первое важное использование предложений этого номера находится в начале теории вполне упорядоченных рядов (*250). Используемые там предложения суть

*208·41.

Т.е. если связен и асимметричен, и каждый существующий подкласс имеет либо минимум, либо максимум, и не может иметь более одного коррелятора.

*208·42.

*208·43.

Т.е. если каждый существующий подкласс имеет минимум, коррелятор с частью самого себя никогда не может перемещать члены назад. Таким образом, например, чтобы взять простой пример, бесконечный ряд, состоящий из некоторых натуральных чисел в порядке возрастания, не может иметь свой -й член меньшим, чем .

*208·45.

Т.е. если связен и каждый существующий подкласс имеет как максимум, так и минимум, никакая собственная часть не является порядково схожей с . Это предложение важно в теории конечных рядов и конечных ординальных чисел.

*208·46.

Т.е. если каждый существующий подкласс имеет минимум, часть , которая порядково схожа с , должна доходить до конца , т.е. не должна полностью предшествовать никакому члену .

*208·47.

Это является непосредственным следствием *208·46.

Доказательство вышеприведенных предложений сводится просто к показу того, что если и , то , так что не является самым ранним членом, для которого , поскольку есть более ранний член, для которого верно то же самое. Следовательно, не может иметь минимума; и аналогично не может иметь максимума (*208·14). До сих пор нам не требуется никакой гипотезы относительно . Предполагая теперь , мы аналогично показываем, что если коррелирует всё с самим собой, не может иметь максимума, а не может иметь минимума.

Предложения о корреляторах с следуют из вышеприведенных путем взятия двух корреляторов и и применения вышеприведенных предложений к , который является коррелятором всего с самим собой.

*208·01.

*208·1.

Док.

*208·11.

Док.

*208·111.

*208·12.

*208·13.

Док.

*208·131.

*208·14.

Док.

Таким образом, доказательство того, что не имеет минимума, а не имеет максимума, не требует никакой гипотезы относительно . Доказательство того, что не имеет максимума, а не имеет минимума, требует гипотезы . Это доказательство следует из следующих предложений.

*208·2.

Док.

*208·21.

Док.

*208·211.

*208·22.

Док.

Заметьте, что в силу *208·111 вышеприведенная гипотеза дает , так что . Следовательно, мы приходим к *208·3.

*208·3.

Док.

*208·31.

*208·32.

*208·4.

Док.

*208·41.

Вышеприведенное предложение имеет большое значение в теории вполне упорядоченных рядов.

*208·42.

*208·43.

*208·431.

*208·44.

Док.

В силу этого предложения, если есть конечный ряд, никакая собственная часть не является порядково схожей с . (Позже будет показано, что конечный ряд — это такой, в котором каждый существующий содержащийся класс имеет как максимум, так и минимум.) Следующее предложение дает более явную форму вышеприведенного результата.

*208·45.

Док.

Следующие предложения полезны в теории сегментов вполне упорядоченных рядов, поскольку они показывают, что вполне упорядоченный ряд никогда не является порядково схожим ни с одним из своих сегментов.

*208·46.

Док.

*208·461.

*208·47.

Док.

РАЗДЕЛ B. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ОТРЕЗКАХ И ПРОИЗВОДНЫХ.

В этом разделе нашей главной темой будут сечения и сегменты. Эта тема займет *211, *212 и *213, а *210 будет состоять из предложений, главная польза которых заключается в их применении к сегментам. В *214 мы рассмотрим дедекиндовы ряды, которые тесно связаны с сегментами, благодаря тому факту, что одним из главных предложений в этом предмете является то, что ряд сегментов ряда является дедекиндовым. В *215 мы рассмотрим «отрезки», которые состоят из любой последовательной части ряда и образованы произведением верхнего и нижнего сечения. Наконец, в *216 мы рассмотрим производную ряда или класса , содержащегося в ряде: первая есть ряд предельных точек ряда, т.е. , последняя есть класс пределов существующих подклассов , т.е. .

Класс называется сечением , когда он содержится в и содержит все предшественники своих членов, т.е. есть сечение , если . Таким образом, сечение состоит из всего поля до определенной точки. Оно может состоять из всех предшественников , т.е. оно может быть формы ; или, опять же, оно может состоять из них вместе с , в каковом случае оно имеет форму ; или, опять же, оно может быть не определимо посредством единственного секвента или максимума, а быть формы , где есть класс без предела или максимума. Класс сечений обозначается . Сечение будет называться «верхним сечением» .

Идея сегмента немного менее общая, чем идея сечения. Мы определяем сегмент как любой класс формы , т.е. как любой член . При условии, что транзитивно, сегменты содержатся среди сечений. Но даже в ряде сечения, как правило, не содержатся среди сегментов: если есть ряд, и если есть член , который не имеет непосредственного преемника, будет сечением, но не сегментом.

Если сегмент имеет максимум, он должен также иметь секвент. Сегменты, которые не имеют максимума, образуют особенно важный класс сегментов: это классы такие, что ; они образуют класс .

Свойства сечений и сегментов, рассматриваемых как классы классов, многочисленны и разнообразны: они рассматриваются в *211. В *212 мы переходим к рассмотрению рядов сечений и сегментов. Эти ряды суть и (ср. *170). Ряд таких сегментов, которые не имеют максимума, есть . Мы полагаем Тогда оказывается, что так что нет необходимости вводить специальное обозначение для ряда сечений.

Всякий раз, когда связен и транзитивен, оказывается эквивалентным логическому включению в сочетании с разнообразием (с полем, ограниченным ). То есть (*212·23), Отсюда следует (*212·24), что У нас также есть (*211·6·17) Отсюда легко следует, что всякий раз, когда связен, есть ряд. Аналогично будет рядом, если транзитивен и связен.

Факт связности, который требуется для того, чтобы или был рядом, следует из Чтобы иметь дело с такими случаями в общем виде, мы изучаем в предварительном номере (*210) следствия, которые можно вывести из гипотезы Мы находим, что при этой гипотезе, полагая если (*210·13), и таким образом в тех же обстоятельствах есть ряд (*210·14).

Интересный момент относительно таких рядов — это их поведение в отношении пределов. Предполагая, что не является единичным классом (чтобы обеспечить , если есть любой подкласс , логическое произведение является минимумом , если оно является членом (*210·21), и нижним пределом , если оно является членом , но не (*210·23). Аналогично есть максимум , если оно является членом (*210·211), и верхний предел , если оно не является членом , но является членом (*210·231). Таким образом, если таков, что всякий раз, когда , мы имеем , отсюда следует, что каждый подкласс имеет либо максимум, либо предел, т.е. ряд является дедекиндовым. Теперь каждый из трех классов , , проверяет это условие, т.е. сумма любого подкласса любого из этих классов принадлежит рассматриваемому классу (*211·63·64·65). (Это верно без какой-либо гипотезы относительно .) Следовательно, мы приходим к результату, что (т.е. ряд сечений) является дедекиндовым рядом всякий раз, когда связен и не пуст (*214·32), в то время как (т.е. ряд сегментов) является дедекиндовым рядом всякий раз, когда транзитивен, связен и не пуст (*214·33), а (ряд сегментов, не имеющих максимума) является дедекиндовым рядом всякий раз, когда он существует и связен (*214·34). Эти предложения важны и являются источником большой части полезности сечений и сегментов.

Для многих целей, особенно в ординальной арифметике, необходимо рассматривать сечения не как классы, а как ряды. То есть, если есть член , мы хотим иметь дело с , а не с . Ряд всех таких членов можно было бы предположить как . Но здесь необходимо ограничение из-за того факта, что если существует, и оба являются сечениями, и и оба являются , так что будет отношением, которое будет иметь к самому себе. Чтобы избежать этого, мы сначала исключаем из рассматриваемых сечений и, таким образом, полагаем Тогда есть ряд сегментов, рассматриваемых как ряды. При условии, что есть ряд, отношение выполняется между любыми двумя членами и его поля тогда и только тогда, когда . Предмет рассматривается в *213; польза предложений этого номера не проявится, пока мы не дойдем до ординальной арифметики.

Предмет дедекиндовых отношений рассматривается далее (*214). Мы определяем дедекиндово отношение как такое, что каждый класс имеет либо максимум, либо секвент. Дедекиндов ряд должен иметь первый и последний член, поскольку первый член должен быть секвентом , а последний должен быть максимумом поля. Дедекиндов ряд может быть дискретным или компактным (т.е. таким, что между любыми двумя есть член, т.е. таким, что ), или частично тем и частично другим. Конечный ряд должен быть дедекиндовым: вполне упорядоченный ряд является дедекиндовым, если он имеет последний член. Но главная важность дедекиндова свойства заключается в связи с компактными рядами. Говорят, что компактный дедекиндов ряд обладает «дедекиндовой непрерывностью»; такие ряды имеют много важных свойств. Они являются более широким классом, чем ряды, обладающие канторовской непрерывностью; последние будут рассмотрены в Разделе F этой Части.

*210. О РЯДАХ КЛАССОВ, ПОРОЖДЕННЫХ ОТНОШЕНИЕМ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Резюме *210.

В теории рядов часто случается, что нам приходится иметь дело с классом классов таким, что из любых двух один содержится в другом. Т.е. если есть класс классов, мы имеем

Примеры этого дают различные классы сечений, которые будут рассмотрены в *211. Когда удовлетворяет вышеуказанному условию, классы, составляющие , могут быть упорядочены в ряд отношением включения (в сочетании с неравенством), т.е. отношением или, что сводится к тому же, Если есть любое отношение такое, что , вышеуказанное отношение включения равно (Определение см. в *170.) Таким образом, при вышеуказанных обстоятельствах есть ряд, чем бы ни был .

Важность таких отношений включения как генераторов рядов заключается в связи с существованием максимумов и минимумов или пределов. Если мы положим где удовлетворяет вышеуказанному условию, то если и если , есть максимум или верхний предел относительно , в зависимости от того, является ли членом или нет. Аналогично если , есть минимум или нижний предел , в зависимости от того, является ли членом или нет. Следовательно, если таков, что сумма любого подкласса является членом , каждый подкласс имеет либо максимум, либо верхний предел; и если произведение каждого подкласса является членом , каждый подкласс имеет либо минимум или нижний предел.

Для того чтобы каждый подкласс имел минимум или нижний предел, достаточно, чтобы сумма каждого подкласса была членом . Ибо, если есть любой подкласс , рассмотрим те члены , которые содержатся в , т.е. Если , сумма этих классов = , и является нижним пределом или минимумом . Но если , то каждый член , который не содержится в , также не содержится в , и поэтому не содержится в некотором члене . Следовательно, есть нижний предел .

Именно благодаря этим предложениям сегменты рядов имеют такое большое значение в связи с пределами.

Гипотеза о том, что если , является членом , обычно не будет подтверждаться в случае, когда , поскольку в этом случае . Но все желаемые результаты могут быть получены из гипотезы, что если , . Эта гипотеза эквивалентна другой, за исключением случая , в котором она требует , что гораздо чаще подтверждается, чем , которое требовалось другой гипотезой.

Основными предложениями этого номера являются следующие:

*210·1.

*210·11.

*210·12.

*210·13.

*210·2.

*210·21.

*210·211 дает аналогичное предложение для и . Мы не будем здесь упоминать такие аналоги, если только по какой-либо особой причине.

*210·23.

*210·232.

*210·251.

*210·252.

*210·254.

*210·26.

*210·28.

Таким образом, если есть класс из не менее чем двух классов такой, что из любых двух его членов один должен содержаться в другом, и если есть отношение , ограниченное членами , то есть ряд (*210·12), в котором, при условии, что суммы подклассов всегда являются членами , каждый класс имеет либо максимум, либо верхний предел, и каждый класс имеет либо минимум, либо нижний предел (*210·28).

Читатель заметит, что если , любой конечный подкласс должен содержать свою собственную сумму и произведение в качестве членов. Например, если у нас есть два класса и , если , то и ; если у нас есть три класса , , , и , то и ; и так далее. Таким образом, гипотеза требуется только для того, чтобы позволить нам иметь дело с бесконечными подклассами .

*210·1.

Док.

*210·11.

Док.

*210·12.

Док.

*210·121.

Док.

*210·122.

Док.

*210·123.

Док.

*210·124.

*210·13.

Док.

Таким образом, при гипотезе *210·1 не зависит от , пока . Также мы имеем

*210·14.

*210·15.

*210·16.

Док.

*210·17.

Док.

*210·2.

Док.

Заметьте, что есть либо или , в зависимости от того, является ли членом или нет.

*210·201.

*210·202.

*210·203.

*210·21.

*210·211.

*210·22.

*210·221.

*210·222.

*210·223.

*210·23.

Док.

*210·231.

В силу *210·21·23, каждый класс, который содержится в и чье произведение является членом , имеет либо минимум, либо нижний предел; и в силу *210·211·231, каждый класс, который содержится в и чья сумма является членом , имеет либо максимум, либо верхний предел.

*210·232.

*210·233.

*210·24.

*210·241.

*210·242.

*210·25.

Док.

*210·251.

*210·252.

Док.

Это предложение более полезно, чем *210·25, потому что его гипотеза подтверждается гораздо чаще. Для того чтобы гипотеза *210·25 была подтверждена, мы должны иметь , поскольку ; следовательно, мы должны также иметь . Но гипотеза *210·252 требует только, насколько касается , чтобы мы имели .

*210·253.

*210·254.

*210·26.

Док.

*210·261.

*210·262.

Док.

То же самое замечание относится к этому предложению, что и к *210·252.

*210·27.

Док.

*210·271.

*210·272.

*210·28.

Док.

*210·281.

*210·282.

Таким образом, когда выполняется любая из гипотез *210·281·282, ряд является дедекиндовым как вверх, так и вниз.

*210·29.

*210·291.

*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ.

Резюме *211.

Теория способов разделения ряда на два класса, один из которых полностью предшествует другому и которые вместе составляют весь ряд, имеет фундаментальное значение. Когда задан один из пары таких классов, другой является остатком ряда; поэтому мы можем для большинства целей ограничить наше внимание тем из двух классов, который идет первым в сериальном порядке. Любой класс, который может быть первым в такой паре, мы будем называть сечением нашего ряда. Если есть ряд, мы будем обозначать класс его сечений через «». Если есть сечение , мы будем называть (который является вторым классом нашей пары) дополнением . Класс дополнений сечений есть , который идентичен (*211·75).

Для того чтобы класс мог быть сечением , необходимо и достаточно, чтобы он содержался в и содержал все свои собственные предшественники; таким образом, мы полагаем У нас также есть, согласно *90·23,

Среди сечений особенно важный класс состоит из классов, которые составлены из всех предшественников некоторого класса, т.е. классов формы , т.е. классов, которые являются членами . Всякий раз, когда транзитивно, ; следовательно, есть сечение согласно вышеприведенному определению. Когда есть ряд, дополнение (когда существует и содержится в ) есть

Члены называются сегментами ряда, порожденного P. В ряде, в котором каждый подкласс имеет максимум или секвент, (*211·38), т.е. предшественники класса всегда являются предшественниками единственного члена, а именно максимума класса, если он существует, или секвента, если максимум не существует. Но если есть классы, которые не имеют ни максимума, ни секвента, предшественники таких классов не являются коэкстенсивными с предшественниками какого-либо единственного члена. Таким образом, в общем, ряд сегментов будет больше, чем исходный ряд. Например, если наш исходный ряд имеет тип ряда рациональных чисел в порядке возрастания, ряд сегментов имеет тип ряда вещественных чисел, т.е. тип континуума.

Среди сегментов особенно важный класс состоит из тех, которые не имеют максимума. В этом случае, если есть такой сегмент, мы имеем ; и поскольку (при условии, что транзитивно) мы также имеем, для всех сегментов, , сегменты, не имеющие максимума, — это те, для которых , т.е. они являются классом . В компактных рядах все сегменты принадлежат этому последнему классу, но в общем только те сегменты принадлежат ему, которые соответствуют «Häufungsstelle». Во всех случаях, в которых существование предела не известно, сегмент выполняет функции предела; то есть в тех местах в ряде, где можно было бы ожидать предел, у нас есть сегмент, не имеющий предела или максимума, который занимает то же место в ряде сегментов, которое было бы занято пределом в исходном ряде, если бы предел существовал. Сегменты, не имеющие предела или максимума, являются предельными точками в ряде сегментов, и каждый класс сегментов, который не имеет максимума в ряде сегментов, имеет предел в этом ряде.

Таким образом, у нас есть три класса, с которыми нужно иметь дело, а именно Из них второй содержится в первом, когда транзитивно (*211·15), а третий содержится в первом и втором (*211·14). Второй состоит из тех членов первого, которые имеют либо секвент, либо не имеют максимума (*211·32); третий состоит из тех членов первого, которые не имеют максимума (*211·41). Если каждый член третьего класса имеет предел, т.е. если то каждый класс имеет либо секвент, либо максимум, т.е. ряд является дедекиндовым; и обратное также верно (*211·47).

Когда связен, из любых двух сечений одно должно содержаться в другом (*211·6). Более того, если содержится в любом из трех классов , , , то является членом этого класса (*211·63·64·65). Следовательно, предложения *210 становятся доступными. Именно так доказывается существование пределов в рядах сегментов или сечений: максимум или верхний предел любого класса , состоящего из сегментов или сечений, есть , а минимум или нижний предел есть сумма сегментов, которые содержатся в каждом .

Мы начинаем в этом номере с элементарных свойств . Сечения суть сегменты (*211·13) и сечения (*211·17). Мы имеем

*211·26.

Затем мы переходим к элементарным свойствам сегментов, т.е. (*211·3 — ·38). Мы имеем

*211·3.

*211·301.

*211·302.

*211·351.

Затем мы переходим к элементарным свойствам сегментов, не имеющих максимума, т.е. (*211·4 — ·47). Мы имеем

*211·42.

*211·44.

*211·451.

Наш следующий набор предложений (*211·5 — ·553) касается компактных рядов, т.е. гипотезы . Мы имеем

*211·51.

*211·551.

Т.е. ряд является компактным тогда и только тогда, когда ни один класс не имеет одновременно максимума и секвента.

Далее мы переходим к применению предложений *210 (*211·56 — ·692). Эти предложения исходят из

*211·56.

(Здесь «» может быть подставлено в гипотезу: ср. *211·561.) Предложения этого набора, которые очень важны, уже были упомянуты.

Наш следующий набор предложений (*211·7 — ·762) касается дополнений сечений и сегментов. Некоторые из этих предложений уже были упомянуты; другие важные суть:

*211·7.

*211·703.

*211·726.

*211·727.

*211·728.

Оставшиеся предложения в основном заняты отношенческой арифметикой. Самое важное из них есть

*211·82.

То есть, учитывая любой ряд, содержащийся в , если что-то может быть добавлено, чтобы превратить его в , его поле является сечением , и наоборот.

*211·01.

*211·1.

*211·11.

*211·12.

Док.

*211·13.

Док.

В силу вышеприведенного предложения свойства могут быть выведены из свойств или путем подстановки вместо .

*211·131.

Док.

*211·132.

Док.

*211·133.

Док.

*211·14.

Док.

*211·15.

Док.

*211·16.

Док.

*211·17.

Следующие предложения полезны при работе с секциональными отношениями, т.е. отношениями формы , где . Единичные сечения часто требуют особого обращения из-за того факта, что для них мы не имеем .

*211·18.

Док.

*211·181.

Док.

*211·182.

*211·2.

Док.

*211·21.

Док.

*211·22.

Док.

*211·23.

Док.

*211·24.

Док.

*211·26.

Док.

*211·27.

Док.

*211·271.

Док.

*211·272.

Док.

*211·28.

Док.

*211·281.

Док.

*211·282.

*211·283.

Док.

Следующие предложения касаются . Это следует сравнить с двумя другими классами, а именно и . Члены , которые не принадлежат , — это те, которые имеют максимум, но не имеют секвента, т.е. (если есть ряд), те классы, которые состоят из члена вместе со всеми его предшественниками, где x не имеет непосредственного преемника. В рядах, в которых каждый член, кроме последнего, имеет непосредственного преемника, будет единственным членом , если ряд имеет последний член; если ряд не имеет последнего члена, .

Члены , которые не являются членами , — это те, которые не имеют секвента, т.е. те, которые не имеют верхнего предела (ибо член , который не имеет секвента, также не имеет максимума). Это члены , соответствующие «пробелу», т.е. дедекиндову сечению, в котором ни более ранние члены не имеют максимума, ни более поздние члены не имеют минимума. Следовательно, в дедекиндовом ряде ; и наоборот, если , ряд является дедекиндовым. Эти свойства доказываются в следующих предложениях.

*211·3.

*211·301.

*211·302.

Док.

*211·31.

*211·311.

*211·312.

Док.

*211·313.

Док.

*211·314.

Док.

Вышеприведенное предложение и два следующих предложения позволяют нам в определенных случаях доказывать предложения, касающиеся отношений и , не предполагая, что транзитивно. Пример использования этих предложений встречается в *211·754, где гипотеза предполагает . Если бы мы использовали *211·31 и его следствия вместо *211·314 и его следствий, гипотеза *211·754 должна была бы предполагать .

*211·315.

Док.

*211·316.

*211·317.

Док.

*211·32.

*211·321.

*211·33.

Док.

*211·34.

Док.

*211·35.

Док.

*211·351.

Док.

*211·36.

Док.

*211·361.

Док.

*211·371.

*211·372.

Док.

*211·38.

Док.

Следующие предложения касаются , т.е. тех сечений , которые не имеют максимума. Если компактен (т.е. если ), . Если также является дедекиндовым рядом, . Это признак дедекиндовой непрерывности, поскольку он утверждает, что если не имеет максимума, существует , для которого , и это верхний предел не имеет максимума, так что ряд является компактным.

*211·4.

Док.

*211·41.

Док.

*211·411.

Док.

*211·42.

Док.

*211·43.

Док.

*211·431.

*211·44.

*211·45.

Док.

*211·451.

Док.

*211·452.

*211·46.

Док.

*211·47.

Док.

Следующие предложения касаются некоторых следствий гипотезы . Эта гипотеза важна, потому что она является определяющей характеристикой компактных рядов.

*211·5.

Док.

*211·51.

Таким образом, в компактных рядах нет различия между двумя видами сегментов.

*211·52.

Док.

*211·53.

Док.

Условие является дедекиндовым определением непрерывности. В силу вышеприведенного предложения это эквивалентно в ряде компактности в сочетании с аксиомой Дедекинда, а именно

*211·54.

Док.

*211·541.

Док.

*211·55.

*211·551.

*211·552.

*211·553.

Следующие предложения касаются показа того, что , и все проверяют гипотезы *210, если взять их в качестве того номера.

*211·56.

Док.

*211·561.

*211·562.

*211·6.

*211·61.

*211·62.

В гипотезе *211·61 необходимо, чтобы был транзитивным, а также связным. Возьмем, например, Тогда связен, но не транзитивен; также мы имеем Следовательно . Таким образом, связности недостаточно в гипотезе *211·61.

*211·63.

Док.

Это предложение показывает, что проверяет гипотезу *210·251, за исключением , которое требует .

*211·631.

Док.

*211·632.

Док.

*211·633.

Это предложение показывает, что проверяет гипотезу *210·252, за исключением , которое требует .

*211·64.

Док.

*211·65.

Док.

*211·66.

Док.

*211·661.

Док.

Следующие предложения суммируют вышеприведенные результаты в отношении гипотез *210. Отношение с полем, ограниченным сечениями или сегментами, которое встречается в следующих предложениях, важно и будет подробно рассмотрено в следующем номере.

*211·67.

*211·671.

*211·68.

*211·681.

*211·69.

*211·691.

*211·692.

Следующие предложения касаются отношений сечений и сегментов к сечениям и сегментам . Когда , , и наоборот. Также, если связен, максимум (если есть) есть прецедент относительно (т.е. секвент относительно ), и секвент (если есть) есть минимум относительно (т.е. максимум относительно ) . Следовательно, отношения, которые нужно доказать, следуют легко.

*211·7

Док.

*211·701.

Док.

*211·702.

*211·703.

*211·71.

Док.

Если есть сечение , мы будем называть дополнением к . Согласно вышеприведенному предложению, если есть сечение , имеющее максимум, то его дополнение является сечением , которое является элементом .

*211·711.

*211·712.

Док.

*211·713.

Док.

*211·714.

Док.

Вышеуказанной гипотезы недостаточно для обеспечения , как можно видеть, подставив . Тогда мы имеем . Таким образом, . Можно заметить, что , так что бесполезно добавлять к гипотезе *211·714. Достаточным дополнением является , что доказывается в следующем предложении.

*211·715.

Док.

*211·72.

*211·721.

Док.

*211·722.

Док.

Мы всегда имеем, если , . Обратное включение не всегда имеет место, как видно (при записи вместо ) из примечания к *211·714. Чтобы обеспечить обратную импликацию, достаточно предположить или или .

*211·723.

Док.

*211·724.

Док.

*211·725.

*211·726.

Док.

*211·727.

*211·728.

Док.

*211·729.

*211·73.

Док.

*211·74.

Док.

Следующие предложения суммируют наши предыдущие результаты.

*211·75.

*211·751.

Док.

В вышеприведенном предложении «» необходимо для того, чтобы могло содержаться в , а «» необходимо для того, чтобы «» могло имплицировать «». Следовательно, полная гипотеза «» становится необходимой.

*211·752.

Док.

*211·753.

*211·754.

Док.

*211·755.

*211·756.

*211·757.

*211·76.

Док.

*211·761.

*211·762.

Док.

*211·8.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в *232·352 и *234·242.

Следующие предложения подводят к *211·82, которое используется в *213·4. *211·83, ·841, ·9 также используются в *213.

*211·81.

Док.

*211·811.

Док.

*211·812.

Док.

*211·82.

*211·83.

Док.

*211·84.

Док.

*211·841.

*211·9.

Док.

*212. РЯД СЕГМЕНТОВ.

Резюме *212.

Ряд сегментов или сечений ряда может быть упорядочен отношением включения, согласно способу, рассмотренному в *210. Поскольку, как было показано в *211, сечения и сегменты обладают свойствами, приписанными в гипотезе *210, результирующие ряды таковы, что каждый класс имеет либо максимум, либо следующий элемент, и либо минимум, либо предшествующий элемент; т.е. ряды сегментов или сечений являются дедекиндовыми. Большинство свойств ряда сечений и ряда сегментов, не имеющих максимума, требуют лишь того, чтобы исходное отношение было связным. Свойства ряда сегментов в целом требуют также, чтобы исходное отношение было транзитивным.

Мы обозначаем ряд сегментов через , полагая

Тогда мы имеем, в силу *210·13 и *211·61,

*212·23.

Подобным же образом, для ряда сегментов, которые не имеют максимума, мы полагаем и мы имеем

*212·22.

Нам не нужно специальное обозначение для ряда сечений, поскольку, в силу *211·13, это или . Таким образом, согласно *212·23,

*212·24.

Мы начинаем номер с различных предложений о полях и т. д. этих отношений, а также об условиях их существования. Мы имеем

*212·132.

*212·133.

*212·14.

*212·152.

*212·17.

*212·172.

Из следующего набора предложений (*212·2—·25) несколько уже были упомянуты. Важным предложением является

*212·25.

ибо это показывает, что ряд сегментов содержит ряд, схожий с .

Далее мы переходим к применению предложений *210 к ряду сечений и сегментов. Мы показываем, что если , и являются рядами (*212·3), и что если также транзитивно, то является рядом (*212·31). Мы имеем

*212·322.

*212·34.

так что каждый класс сечений имеет как верхнюю грань или максимум, так и нижнюю грань или минимум (*212·35).

Затем мы доказываем аналогичные предложения для и , за исключением того, что вместо *212·34 мы имеем

*212·431.

*212·53.

Причина отличия от *212·34 заключается в том, что произведение существующего класса сегментов может не быть сегментом. Предположим, например, что сегменты — это все те, которые содержат данный член , где не имеет непосредственного преемника; тогда их логическое произведение есть , которое является сечением, но не сегментом.

Далее мы имеем (*212·6—·667) ряд предложений о гранях и максимумах подклассов в ряде . Интерес этой темы заключается в ее отношении к иррациональным числам. Если есть класс, содержащийся в и не имеющий грани или максимума, то содержится в и имеет грань в . Мы можем назвать эту грань иррациональным сегментом. В нет иррационального члена, потому что в нет грани для ; но грань в для может быть названа иррациональной, потому что она не соответствует никакому члену в . Следует заметить, что (как будет доказано в Разделе F), если схож с рядом рациональных чисел, то схож с рядом действительных чисел.

Наиболее полезными предложениями в этой теме являются:

*212·6.

*212·601.

*212·602.

*212·61.

*212·632.

*212·661.

Это показывает, что каждая грань в ряде сегментов является гранью класса того, что мы можем назвать рациональными сегментами (т.е. сегментов вида ), а именно, она является гранью .

*212·667.

Это показывает, что сегменты (отличные от ), которые являются гранями классов сегментов, суть сегменты (отличные от ), которые не имеют максимума в .

Номер заканчивается набором предложений (*212·7—·72) об отношениях сечений и сегментов двух коррелированных рядов. Если есть коррелятор с , то (с ограниченной областью значений его конверсии) есть коррелятор с , с и с (*212·71, ·711, ·712). Следовательно,

*212·72.

Это предложение используется в следующем номере, а также в *271.

*212·01.

*212·02.

*212·1.

*212·11.

Док.

*212·12.

Таким образом, имеет ту же связь с , что и с . Когда транзитивно, также имеет ту же связь с , что и с . Следующее предложение делает эти факты более явными.

*212·121.

Док.

*212·122.

*212·123.

*212·13.

*212·131.

Док.

*212·132.

Док.

*212·133.

Док.

*212·134.

*212·14.

Док.

*212·141.

Док.

*212·142.

Док.

*212·15.

*212·151.

Обратная импликация в этом случае не имеет места. Для существования необходимо, чтобы содержало классы, не имеющие максимума.

*212·152.

*212·153.

Док.

*212·154.

Док.

*212·155.

*212·156.

Док.

*212·16.

Док.

*212·161.

Док.

*212·162.

Док.

*212·17.

Док.

*212·171.

*212·172.

*212·173.

*212·18.

Док.

*212·181.

Вышеприведенное предложение используется в *252·43.

*212·2.

*212·21.

*212·22.

*212·23.

*212·24.

*212·25.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *212·55, состоят из применений предложений *210, где в этом номере заменяется на , или , а заменяется на , т.е. на , или . Последующие предложения важны, поскольку использование сегментов, особенно в связи с непрерывностью, в значительной степени зависит от них.

*212·3.

*212·31.

*212·32.

Мы пишем , вместо того чтобы ставить под строкой, потому что, когда нам приходится иметь дело с выражением, не состоящим из одной буквы, неудобно записывать его как суффикс, особенно когда оно само содержит суффикс, как в данном случае.

*212·321.

*212·322.

*212·33.

Док.

*212·331.

Док.

*212·34.

*212·35.

*212·36.

Док.

*212·4.

*212·401.

*212·402.

*212·41.

*212·411.

*212·42.

Случаи, рассмотренные в *212·411 и *212·42, не являются взаимоисключающими, поскольку если , мы имеем .

*212·421.

Док.

*212·43.

Таким образом, в отношении нижнего конца класса, выбранного из , мы должны различать три случая: (1) если , есть минимум; (2) если , есть нижняя грань; (3) если , есть нижняя грань.

*212·431.

Док.

*212·44.

*212·45.

Док.

Доказательства следующих предложений в точности аналогичны доказательствам соответствующих предложений о .

*212·5.

*212·501.

*212·502.

*212·51.

*212·511.

*212·52.

Это предложение включает *212·511, поскольку, если , мы имеем

*212·53.

Доказательство проводится так же, как в *212·431.

*212·54.

*212·55.

Следующие предложения касаются отношений максимумов, граней и следующих элементов в и соответственно. Ряд , который порядково схож с , содержится в ; и если имеет максимум или грань в , то максимум или грань в в есть или . Таким образом, ряд (а именно ) который обладает теми же порядковыми свойствами, что и , может быть помещен в некоторый дедекиндов ряд (а именно ) таким образом, что классы, имеющие грани в , суть те, чьи корреляты имеют грани, являющиеся членами , в то время как те, чьи корреляты имеют грани, не являющиеся членами , суть те, которые не имеют ни максимума, ни грани в . Эти отношения важны во многих связях. Например, если имеет тип рациональных чисел, то имеет тип действительных чисел: соответствует иррациональным числам, а классы, содержащиеся в , но имеющие грань, не принадлежащую , соответствуют рядам рациональных чисел, имеющим иррациональную грань. В исходном ряде нет иррациональных граней; но если есть класс в и не имеющий грани, то имеет иррациональную грань в .

*212·6.

Док.

*212·601.

*212·602.

Док.

*212·61.

*212·62.

Док.

*212·621.

Док.

*212·63.

*212·631.

Док.

*212·632.

Док.

*212·633.

Док.

*212·65.

Док.

*212·651.

Док.

*212·652.

Док.

*212·653.

Док.

*212·66.

Док.

*212·661.

Док.

*212·662.

*212·663.

Док.

*212·664.

Док.

*212·665.

Док.

*212·666.

Док.

*212·667.

*212·7.

Док.

*212·701.

*212·702.

*212·71.

Док.

*212·711.

*212·712.

*212·72.

*213. СЕКЦИОННЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *213.

Если есть сечение , называется секционным отношением ; а если есть сегмент , называется сегментальным отношением . Если серийно, секционные отношения могут быть расположены в ряд по отношению включения (*213·153). То есть, если мы назовем ряд секционных отношений , мы определим так, чтобы обеспечить, что если серийно, . Естественным определением было бы . Но это имеет тот недостаток, что если , . Таким образом, не имплицирует ; и когда серийно, не является серийным, потому что . Чтобы избежать этого неудобства, мы ограничиваемся сечениями, которые не являются пустыми, полагая . С вышеприведенным определением мы имеем (*213·151, ·152), если , и .

Отношение очень полезно при работе с вполне упорядоченными рядами; в этом случае мы имеем (как будет показано позже) . Будет видно, что если , всякий раз, когда существует, (*213·158); и всякий раз, когда существует, (*213·155).

Мы имеем, если , . Следовательно (*213·246, ·242).

Если серийно, секционные отношения суть все отношения такие, что при добавлении к ним чего-либо они становятся , т.е. они суть . Следовательно, их отношенческие числа суть те, которые могут быть сделаны равными числу путем добавления. Этот факт важен в связи с теорией большего и меньшего среди отношенческих чисел.

Предложения этого номера усложняются необходимостью учитывать возможность того, что сечение является единичным классом. Это требует множества предложений, которые являются лишь леммами; но в конце концов сложности по большей части исчезают.

Мы начинаем с предложений о поле и т. д. . Мы имеем

*213·141.

*213·142.

*213·16.

*213·161.

*213·162.

Затем мы доказываем:

*213·17.

Если конечно, из вышесказанного следует, что не схоже с ; но если бесконечно, имеет начало и вполне упорядочено, мы находим

*213·172.

Затем мы имеем набор предложений (*213·2—·25), главным образом касающихся сечений , где . Помимо уже упомянутых, важны следующие:

*213·24.

*213·243.

*213·25.

Наш следующий набор (*213·3—·32) касается и . Мы имеем

*213·3.

*213·32.

Затем мы имеем три предложения (*213·4, ·41, ·42), показывающие, что секционное отношение есть то, которое становится путем добавления. Мы переходим к набору предложений (*213·5—·58) о , и , ведущих к

*213·57.

*213·58.

*213·01.

*213·1.

*213·11.

*213·12.

Док.

*213·121.

Док.

*213·122.

*213·123.

*213·124.

*213·125.

Док.

Гипотеза в вышеприведенном предложении ограничивает больше, чем необходимо для истинности заключения. Что нам действительно требуется, это , т.е. . Это верно, если либо (1) поле не состоит из одного семейства, либо (2) существует член , который не имеет отношения к самому себе. Таким образом, единственный исключенный случай — это случай одного циклического семейства. Гипотеза может быть подставлена вместо в большинстве последующих предложений этого номера, в которых встречается в гипотезе. Мы, однако, предпочли гипотезу , так как она дает более непосредственное применение к случаю , который является тем случаем, в котором предложения настоящего номера важны.

*213·126.

Док.

*213·13.

Док.

*213·131.

*213·132.

*213·133.

*213·134.

*213·14.

*213·141.

*213·142.

*213·143.

*213·144.

*213·145.

*213·146.

Док.

*213·15.

Док.

*213·151.

Док.

*213·152.

*213·153.

*213·154.

*213·155.

Док.

*213·156.

*213·157.

*213·158.

Док.

*213·16.

Док.

*213·161.

Док.

*213·162.

Док.

*213·163.

Док.

*213·164.

*213·17.

Док.

*213·171.

Док.

*213·172.

*213·18.

Док.

*213·2.

Док.

*213·21.

Док.

*213·22.

*213·23.

*213·24.

Док.

*213·241.

Док.

*213·242.

Док.

*213·243.

Док.

*213·244.

Док.

*213·245.

Док.

*213·246.

*213·247.

*213·25.

Док.

*213·251.

Док.

*213·3.

Док.

*213·301.

*213·302.

Док.

*213·31.

Док.

*213·32.

*213·4.

Док.

*213·41.

*213·42.

*213·5.

Док.

*213·51.

Док.

*213·52.

Док.

*213·53.

Док.

*213·531.

Док.

*213·54.

Док.

*213·541.

Док.

*213·55.

Док.

Как в *213·54,

*213·56.

*213·561.

Док.

*213·57.

Док.

*213·58.

Док.

*214. ДЕДЕКИНДОВЫ ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *214.

Мы называем отношение «дедекиндовым», когда оно таково, что каждый класс имеет либо максимум, либо следующий элемент по отношению к нему. Как правило, гипотеза о том, что отношение является дедекиндовым, важна только в случае серийных отношений. Дедекиндовы ряды имеют значительную важность, особенно в связи с гранями.

Когда транзитивно, гипотеза о том, что дедекиндово, эквивалентна гипотезе о том, что каждое сечение имеет максимум или следующий элемент (*214·13); она также эквивалентна предположению, что каждый сегмент имеет максимум или следующий элемент (*214·131), т.е. предположению, что каждый сегмент , который не имеет максимума, имеет грань, т.е. . Когда является рядом, гипотеза о том, что оно дедекиндово, эквивалентна гипотезе о том, что каждый сегмент имеет следующий элемент (*214·15), т.е. гипотезе о том, что класс сегментов есть класс (*214·151). Если дедекиндов ряд, то и , и наоборот (*214·14). Всякий раз, когда связно и не пусто, есть дедекиндов ряд (*214·32), и также , если оно существует (*214·34); всякий раз, когда транзитивно, связно и не пусто, есть дедекиндов ряд (*214·33). Все эти предложения были фактически уже доказаны: почти единственное новое в настоящем номере — это определение, которое есть

*214·4—·43 дают свойства рядов, которые обладают дедекиндовой непрерывностью. Мы имеем

*214·4.

*214·41.

Т.е. в ряде дедекиндова непрерывность эквивалентна предположению, что классы, имеющие максимум, суть те же, что и классы, не имеющие следующего элемента.

*214·42.

Это предложение важно при работе с дедекиндовыми «сечениями».

*214·43.

*214·5 показывает, что дедекиндово отношение имеет начало и конец; следующие предложения касаются , когда дедекиндово.

*214·6 показывает, что отношение, которое схоже с дедекиндовым отношением, является дедекиндовым.

Мы называем отношение «полудедекиндовым», если оно становится дедекиндовым путем добавления одного члена в конце; определение есть

*214·02.

*214·01.

*214·02.

*214·1.

*214·101.

*21·411.

*214·12.

*214·13.

*214·131.

*214·132.

*214·14.

*214·141.

*214·15.

*214·151.

*214·2.

*214·21.

*214·22.

*214·23.

Док.

*214·24.

*214·241.

*214·3.

*214·31.

*214·32.

*214·33.

*214·34.

*214·4.

*214·41.

*214·42.

Док.

*214·43.

Док.

Следующие предложения уже не являются просто переформулировками предыдущих результатов.

*214·5.

Док.

*214·51.

Док.

*214·52.

*214·53.

Док.

*214·531.

Док.

*214·532.

Док.

*214·54.

Док.

*214·6.

Док.

*214·7.

*214·71.

*214·72.

*214·73.

Доказательство следующего предложения приведено в несколько сжатой форме, поскольку, если бы оно было приведено с обычной полнотой, оно потребовало бы различных лемм, не требующихся в других местах.

*214·74.

Док.

*214·75.

*215. ОТРЕЗКИ.

Резюме *215.

Отрезок ряда — это любой кусок, взятый из него и не имеющий никаких разрывов; то есть это класс, содержащийся в ряде и содержащий все члены, которые находятся между любыми двумя его членами. Таким образом, он определяется как

Мы обозначаем класс отрезков через «», где «» означает «отрезок» или «Strecke». Отрезок, который не имеет предшественников, есть сечение ; тот, который не имеет преемников, есть сечение . Свойства отрезков главным образом важны в связи с компактными рядами. В дискретных рядах отрезки — это то же самое, что интервалы.

Если транзитивно, отрезки суть произведения сечений и сечений , т.е. верхних и нижних сечений (*215·16). Если связно, и есть нижнее сечение, верхнее сечение, то если эти два имеют общий отрезок , мы имеем . Несколько более общая форма этого предложения есть

*215·165.

Особенно важный случай — когда и имеют только один общий член. В этом случае мы имеем

*215·166.

Когда имеет более одного члена, если существуют верхняя грань или максимум и нижняя грань или минимум , то последний предшествует первому (*215·52); если и не имеют общей части, но вместе исчерпывают поле , мы имеем либо , либо , предполагая (*215·54). Следовательно, если не имеет непосредственного преемника, оно должно быть тождественно . Таким образом, мы имеем

*215·543.

Вышеприведенные предложения будут полезны в Разделе C (*231 и *233).

*215·01.

*215·1.

*215·11.

*215·13.

*215·14.

Док.

*215·15.

Док.

*215·16.

*215·161.

Док.

*215·162.

Док.

*215·163.

Док.

*215·164.

Док.

*215·165.

Док.

*215·166.

Док.

*215·17.

Док.

*215·18.

Док.

*215·19.

Док.

*215·2.

Док.

*215·21.

Док.

*215·22.

Док.

*215·23.

Док.

*215·24.

Док.

*215·25.

Док.

*215·3.

Док.

*215·31.

Док.

*215·32.

Док.

*215·33.

*215·4.

Док.

*215·41.

Док.

*215·42.

*215·5.

*215·51.

*215·52.

Док.

*215·53.

Док.

*215·54.

Док.

*215·541.

*215·542.

*215·543.

*216. ПРОИЗВОДНЫЕ.

Сводка *216.

Если α — какой-либо класс, а P — какой-либо ряд, то производная (или первая производная) α относительно P есть класс пределов существующих подклассов α, т. е. α_P' = δ'(α ↓ P). То есть член x принадлежит производной α относительно P, если существует множество β членов, которое содержится как в α, так и в P, и имеет x своим пределом. Производная α относительно P будет обозначаться через α_P'.

В общем случае будут существовать члены α, не содержащиеся в α_P', и члены α_P', не содержащиеся в α. Говорят, что α плотен в P, если все его члены, кроме первого (если таковой имеется), принадлежат α_P', то есть если все его члены, кроме первого, являются пределами существующих классов, содержащихся в α. Говорят, что α замкнут в P, если каждый существующий подкласс α, не имеющий максимума, имеет предел, который принадлежит α, т. е. если каждый существующий подкласс α имеет предел или максимум, и производная α относительно P содержится в α. Если α является одновременно плотным и замкнутым, он называется совершенным. В этом случае все его члены являются пределами классов, выбранных из α, и каждый класс, выбранный из α, имеет предел или максимум в α.

Вторая производная α относительно P есть (α_P')_P', т. е. α_P'', и так далее. (Производные бесконечного порядка не могут быть рассмотрены до более позднего этапа.) Если P — сериальный ряд, то вторая производная α относительно P всегда содержится в первой (*216·14).

Если P — дедекиндов ряд, то α замкнут всякий раз, когда α_P' ⊆ α. Чтобы обеспечить дедекиндов ряд, иногда удобно заменить P порядково схожим рядом Q, который содержится в дедековом ряде R. Тогда α_P' заменяется на α_Q', и α замкнут, если производная α относительно Q содержится в α. Отношение производной α в P к производной α в Q было рассмотрено в *212·6 и последующих предложениях. Эта тема возобновляется ниже (*216·5 и сл.).

Производная ряда P будет определена как ряд его предельных точек и обозначена через P'. Таким образом, мы полагаем P' = δ'P.

Если P — ряд, производная класса α состоит из тех членов P, которые таковы, что члены α существуют в каждом интервале, заканчивающемся в x, т. е. α_P' = δ'(α ↓ P).

*216·13.

Мы имеем α_P' ⊆ P.

*216·2.

*216·3.

*216·32.

Мы доказываем (*216·4 — ·412), что свойства α относительно P, касающиеся плотности, замкнутости или совершенности, принадлежат α' относительно P', если P' является коррелятором P с P'.

Далее мы рассматриваем отношение α в P к α' в P' (*216·5 — ·56). Суть этих предложений заключается в том, что P' является дедекиндовым, так что класс замкнут в P', если он содержит свою первую производную. (Обычно класс определяют как замкнутый, если он содержит свою первую производную; но это включает молчаливое предположение, что ряд P' является дедекиндовым. Если P' — ряд вещественных чисел, это предположение, конечно, подтверждается.) Мы доказываем (*216·52), что производная α в P' есть α_P'', т. е. α_P'' — это класс сегментов, определяемых такими существующими подклассами α, которые не имеют максимума; мы показываем, что α_P'' является плотным, замкнутым или совершенным в P' в зависимости от того, является ли α плотным, замкнутым или совершенным в P (*216·53 ·54 ·56), и что α_P'' и α_P''' замкнуты, если α_P'' содержит свою первую производную (*216·54).

Мы заканчиваем различными предложениями о α_P'' (*216·6 — ·621), главным из которых является α_P'' ⊆ α_P'.

*216·611.

Эта тема будет возобновлена в связи с вполне упорядоченными рядами в *264.

*216·01.

*216·02.

*216·03.

*216·04.

*216·05.

*216·1.

*216·101.

Док.

*216·11.

Док.

*216·111.

*216·12.

*216·13.

Док.

*216·14.

Док.

*216·15.

*216·16.

Док.

*216·2.

Док.

*216·21.

*216·22.

*216·23.

Док.

*216·3.

*216·31.

Док.

*216·32.

*216·33.

Док.

*216·34.

*216·35.

Док.

*216·36.

*216·37.

*216·371.

*216·38.

Док.

*216·381.

*216·382.

*216·4.

Док.

*216·401.

Док.

*216·41.

Док.

*216·411.

Док.

*216·412.

*216·5.

Док.

*216·51.

Док.

*216·52.

Док.

*216·521.

Док.

*216·53.

Док.

*216·54.

Док.

*216·55.

Док.

*216·56.

*216·6.

*216·601.

Док.

*216·602.

Док.

*216·603.

Док.

*216·61.

*216·611.

Док.

*216·612.

Док.

*216·62.

Док.

*216·621.

*217. О СЕГМЕНТАХ СУММ И ОБРАТНЫХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *217.

Цель настоящего номера — доказать *217·43, что требуется в теории вещественных чисел (Часть VI, Раздел A), где P — ряд положительных отношений, включая ноль, Q — ряд отрицательных отношений в порядке от нуля до - α (оба исключены), 0 — вещественное число ноль, а P' и Q' — два различных ряда, любой из которых может быть взят как ряд отрицательных и положительных вещественных чисел. В силу *217·43 эти два ряда порядково схожи.

*217·1.

*217·11.

*217·12.

*217·13.

*217·14.

*217·15.

*217·16.

Док.

*217·17.

*217·18.

Док.

*217·2.

Док.

*217·21.

Док.

*217·22.

Док.

*217·23.

Док.

*217·24.

*217·25.

*217·3.

*217·301.

Док.

*217·31.

Док.

*217·32.

Док.

*217·33.

Док.

*217·34.

Док.

*217·35.

Док.

*217·36.

Док.

*217·37.

*217·38.

*217·4.

*217·41.

*217·411.

*217·42.

*217·43.

РАЗДЕЛ C. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ.

Цель этого раздела — выразить в общей форме определения сходимости, пределов функций, непрерывности функций и родственных понятий, а также привести такие элементарные следствия из этих определений, которые могут показаться иллюстративными.

В определениях, обычно приводимых в трактатах по анализу, предполагается, что как аргументы, так и значения функции являются числами какого-либо рода, обычно вещественными числами, а пределы берутся относительно порядка величины. Однако в определениях нет ничего существенного, что требовало бы столь узкой гипотезы. Существенно то, что аргументы должны быть заданы как принадлежащие некоторому ряду, и что значения также должны быть заданы как принадлежащие некоторому ряду, который не обязательно должен быть тем же самым рядом, к которому принадлежат аргументы. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что все возможные аргументы нашей функции, или, по крайней мере, все аргументы, которые мы рассматриваем, принадлежат полю некоторого отношения P, которое в случаях, когда наши определения полезны, будет сериальным отношением; аналогично мы предполагаем, что значения нашей функции, по крайней мере для аргументов, принадлежащих P, принадлежат полю отношения Q, которое во всех важных случаях будет сериальным отношением. Саму функцию мы представляем отношением значения к аргументу; то есть отношение y к x должно быть f, так что, если функция f однозначна, y = f'x. (Если функция не однозначна, y — любой член f''x.) Таким образом, мы можем говорить о f как о функции, P как об аргументном ряде и Q как о ряде значений.

Приведем иллюстрацию: предположим, что нам задано множество вещественных чисел a_1, a_2, ..., a_n, ..., где n может быть любым конечным целым числом. Здесь a_n является функцией от n; аргументный ряд — это ряд конечных целых чисел в порядке возрастания величины, ряд значений — это ряд вещественных чисел (или любая часть этого ряда, которая содержит все значения a_1, a_2, ..., a_n, ...). Функция f — это отношение a_n к n, так что a_n = f'n. В этом случае, называя P аргументным рядом, а Q — рядом значений (как это будет делаться во всем этом разделе), мы имеем P = N_c, Q = R, и f = ряд a_1, a_2, ..., a_n, .... Ряд, который упорядочивает a_1, a_2, ..., a_n, ... в порядке их собственных величин, а не в порядке величины их индексов, есть P' или Q'. Это не будет равно f, если только функция не является такой, которая постоянно возрастает, т. е. такой, для которой n < m влечет f'n < f'm.

В общем случае предложения настоящего раздела важны только тогда, когда P и Q являются рядами. Если наши утверждения не должны быть тривиальными, мы должны иметь D'f ⊆ P и C'f ⊆ Q, т. е. должны существовать аргументы в P, которые приводят к значениям в Q. Также обычно будет случаться, что функция однозначна, т. е. что f ∈ 1 → 1. Но вышеуказанные условия, хотя и необходимые для важности наших предложений, в общем случае гораздо уже, чем гипотезы, необходимые для истинности наших предложений.

Настоящий раздел является полностью самодостаточным, то есть на его предложения в дальнейшем не ссылаются. Мы в этом разделе довели предмет настолько далеко, насколько это казалось подходящим для настоящей работы; его дальнейшее развитие относится к трактатам по анализу.

Мы начинаем (*230) с общего понятия, которое вовлечено в понятие сходимости. Мы будем говорить, что значения функции сходятся (или, проще, что сама функция сходится) в класс α, если для достаточно поздних аргументов значения всегда принадлежат классу α, т. е. если существует член x такой, что если x' ∈ P и x P x', то f'x' ∈ α, или, чтобы избежать предположения, что f однозначна, f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α. Таким образом, значения функции сходятся в класс α, если ε! ι ε! {x ∈ P ∧ f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α}. Если член x таков, что, начиная с x, все значения принадлежат α, мы пишем f ∈ P_conv_α (где "conv" означает "сходящийся"), т. е. мы полагаем f ∈ P_conv_α = ε! {x ∈ P ∧ f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α}. Когда существует такой x, т. е. когда функция сходится в класс α, мы пишем "f ∈ P_conv_α", т. е. мы полагаем f ∈ P_conv_α = ε! {f ∈ P_conv_α}. "f ∈ P_conv_α" можно читать как "f является P-сходящимся в α". Это означает, что для аргументов, достаточно поздних в P-ряду, значение функции всегда является членом α. Так, например, если P = N_c, и α = ι'0, и если f'n = 1/n, то f ∈ N_c_conv_ι'0.

Далее мы рассматриваем (*231) предельные сечения и предельные осцилляции функций. Для этой цели мы действуем следующим образом. Если f ∈ P_conv_α, то α — это сечение P-ряда такое, что для достаточно поздних аргументов значения функции должны принадлежать α. Следовательно, если мы возьмем все возможные значения α, для которых f ∈ P_conv_α, и возьмем логическое произведение всех результирующих сечений α, мы получим сечение, содержащее все "предельные" значения функции; более того, это очевидно наименьшее сечение, обладающее этим свойством, потому что, если мы возьмем любое сечение β, которое содержит все "предельные" значения, мы имеем f ∈ P_conv_β, и β ∈ α_P, и поэтому рассматриваемое логическое произведение содержится в β. Рассматриваемое логическое произведение есть α_P_lim = Π{α ∈ α_P ∧ f ∈ P_conv_α}. Чтобы избежать тривиальных исключений, которые возникают, когда ε! α_P_lim, мы определяем "предельное сечение" как α_P_lim = Π{α ∈ α_P ∧ f ∈ P_conv_α}. Это "предельное сечение" мы обозначаем через lim_P_f, где буквы "lim" означают "сечение". Таким образом, мы полагаем lim_P_f = Π{α ∈ α_P ∧ f ∈ P_conv_α}.

lim_P_f — это класс тех членов y ряда Q, которые таковы, что, задан любой аргумент, как бы поздно он ни был, существуют аргументы столь же поздние или более поздние, для которых значение функции не меньше y. Подобным образом, lim_P_f_upper, который мы назовем "предельным верхним сечением", состоит из тех членов y ряда Q, которые таковы, что, задан любой аргумент, как бы поздно он ни был, существуют аргументы столь же поздние или более поздние, для которых значение функции не больше y. Таким образом, произведение lim_P_f и lim_P_f_upper есть наименьший отрезок, который содержит все "предельные" значения функции, т. е. это отрезок, состоящий из тех членов y, которые таковы, что, какой бы поздний аргумент мы ни взяли, существуют аргументы столь же поздние или более поздние, для которых значение функции не больше y, а также аргументы, для которых оно не меньше y. Таким образом, произведение lim_P_f и lim_P_f_upper представляет то, что мы можем назвать "предельной осцилляцией" функции. Мы обозначим ее через osc_P_f, полагая osc_P_f = lim_P_f ∩ lim_P_f_upper. Мы можем выразить osc_P_f в форме, не включающей lim_P_f, а именно (*231·12) osc_P_f = Π{x ∈ P ∧ α_P_lim_f_x}.

Эта формула для osc_P_f может быть разъяснена следующими соображениями. Если x — любой член P, то α_P_lim_f_x состоит из всех аргументов от x и далее. Следовательно, f''{x' ∈ P ∧ x P x'} т. е. α_P_lim_f_x, состоит из всех значений функции для аргументов от x и далее. Следовательно, α_P_lim_f_x состоит из всех членов Q-ряда, которые равны или превзойдены значениями функции для аргументов, равных или более поздних, чем x. Теперь, если член y принадлежит классу α_P_lim_f_x для каждого аргумента x, это член такой, что, как бы далеко вверх по аргументному ряду P мы ни продвинулись, мы все равно найдем значения, столь же большие, как y, или больше, чем y. Когда это так, мы можем сказать, что y является P-устойчивым. В этом случае y может рассматриваться как не больший, чем "предельные" значения функции. Теперь класс рассматриваемых аргументов есть P. Следовательно, класс P-устойчивых членов есть Π{x ∈ P ∧ α_P_lim_f_x}, где множитель ι'(Λ_P) может быть добавлен, чтобы приспособить формулу к тривиальному случаю, когда Λ_P ∈ P (единственный случай, в котором множитель ι'(Λ_P) имеет значение). Таким образом, класс P-устойчивых членов есть предельное сечение. Аналогично, P-устойчивые члены — это предельное верхнее сечение. Это члены, которые не меньше "предельных" значений функции. Таким образом, произведение lim_P_f ∩ lim_P_f_upper — это члены, которые не больше всех предельных значений и не меньше; следовательно, это класс предельных значений, который может быть уместно назван "предельной осцилляцией".

Будет видно, что osc_P_f, будучи произведением верхнего и нижнего сечения, само является отрезком: мы можем назвать его (альтернативно) "предельным отрезком". Он состоит из всех членов y Q-ряда таких, что функция, как бы велик мы ни делали аргумент, не становится и не остается меньше y, и не становится и не остается больше y. Если osc_P_f состоит из одного члена, этот член является пределом функции по мере того, как аргумент движется вверх по ряду P. (Это, конечно, в общем случае отличается от предела значений функции, рассматриваемых просто как класс членов Q, т. е. это отличается от lim_Q_f.) Если osc_P_f не состоит из одного члена или ни одного, у нас будет два предела для рассмотрения, а именно нижний предел и верхний предел, которые дают две границы предельных значений функции. Когда класс osc_P_f пуст, функция может рассматриваться как имеющая определенный предел: в этом случае lim_P_f и lim_P_f_upper являются двумя частями "иррационального" дедекиндова сечения, т. е. сечения, в котором первая часть не имеет максимума, а вторая — минимума. Таким образом, Λ_Q ∈ osc_P_f — это условие для определенного предела функции по мере того, как аргумент растет бесконечно.

Вышеприведенное дает обобщение предела функции, когда аргумент может быть любым членом P. Чтобы получить пределы для других классов аргументов, необходимо, как правило, ограничить поле P классом рассматриваемых аргументов, т. е. заменить P на P ↓ α (ср. *232). Однако, чтобы избежать досадных и тривиальных исключений, возникающих, когда Λ_P ∈ P, удобнее заменить P на P ↓ α. Таким образом, сечение Q, определяемое классом аргументов α, есть lim_(P ↓ α)_f. Мы полагаем lim_(P ↓ α)_f = Π{x ∈ α ∧ α_P_lim_f_x}. Это определение полезно, потому что мы очень часто хотим иметь возможность представить предельное сечение, определяемое α, как функцию от α. Сечение lim_(P ↓ α)_f таково, что, если y является любым его членом, и x — любой аргумент, принадлежащий α, в α есть аргумент, равный или более поздний, чем x, для которого функция f имеет значение, равное или более позднее, чем y. Таким образом, lim_(P ↓ α)_f таков, что функция в конечном итоге не становится меньше y по мере того, как аргумент возрастает в классе α. Предел или максимум таких членов, как lim_(P ↓ α)_f, есть предел или максимум предельных значений функции по мере того, как аргумент приближается к вершине α. Класс предельных значений есть osc_(P ↓ α)_f. Если функция имеет определенный предел по мере того, как аргумент возрастает в α, класс предельных значений не должен содержать более одного члена.

Наш следующий номер (*233) имеет дело с пределом функции для данного аргумента. Предел или максимум класса предельных значений не обязательно является значением для предела f'x. Однако будет обнаружено, что при подходящей гипотезе предельное сечение lim_(P ↓ α)_f зависит только от α, и если α не имеет максимума, оно зависит только от α. Таким образом, если α и β оба имеют один и тот же предел, они определяют одно и то же предельное сечение. Следовательно, если x — предел α, предельное сечение f в x есть lim_(P ↓ α)_f. Верхний предел этого есть верхний предел предельных значений по мере того, как аргумент приближается к x снизу. Мы полагаем lim_(P ↓ α)_f = lim_(P ↓ α)_f. У нас есть, таким образом, четыре предела функции по мере того, как аргумент приближается к x, а именно lim_(P ↓ α)_f, lim_(P ↓ α)_f_upper, lim_(P ↓ α)_f_upper, lim_(P ↓ α)_f. Если f — непрерывная функция, эти четыре равны f'x; но в общем случае они отличаются друг от друга и от f'x. Тема непрерывности функций рассматривается в *234. Когда α = P ↓ ε!{x' ∈ P ∧ x' P x}, каждый из них является пределом функции для аргумента x, ибо приближается снизу. Следует заметить, что если f определена для множества аргументов, которые плотны в P, т. е. если D'f ∈ δ'P, то lim_(P ↓ α)_f и lim_(P ↓ α)_f_upper определены для всех аргументов в P.

*230. О СХОДЯЩИХСЯ.

Сводка *230.

В настоящем номере мы должны рассмотреть понятие функции, сходящейся в заданный класс, или, как мы можем выразиться, понятие того, что значение функции "в конечном итоге" принадлежит заданному классу. Если f — рассматриваемая функция, α — заданный класс, а P — ряд, к которому принадлежат аргументы, мы говорим, что "f является P-сходящимся в α", если существует аргумент x такой, что для всех аргументов от x и далее (в P-порядке) значение функции является членом α. То есть f является P-сходящимся в α, если ε!{x ∈ P ∧ f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α}. Член x, который обладает этим свойством, как говорят, принадлежит классу P_conv_α. Таким образом, f является P-сходящимся в α, если класс P_conv_α не пуст. Следовательно, мы имеем следующую пару определений:

Во всех случаях, которые имеют какое-либо значение, f будет однозначной функцией (т. е. одно-многозначным отношением), P будет рядом, а α будет классом, не имеющим максимума в P. Ибо, если α имеет максимум в P, то классы, в которые f сходится, — это просто те, к которым принадлежит значение для этого максимума. Следующие предложения, хотя и важны только при вышеуказанных обстоятельствах, в общем случае верны при гораздо более широких гипотезах.

Возможно обобщить понятие сходимости еще дальше, чтобы применить его к любому свойству, которое принадлежит f, когда оно ограничено достаточно поздними аргументами. Для этой цели мы должны рассмотреть f ∈ P_conv_α, где f должно быть ограничено членами, более поздними или равными некоторому члену x. Если при этих обстоятельствах f''{x' ∈ P ∧ x P x'} всегда принадлежит классу α, мы можем сказать, что f в конечном итоге становится α. Мы можем полагать f ∈ P_conv_α = ε!{x ∈ P ∧ f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α}.

Это общее понятие, частным случаем которого является f ∈ P_conv_α; на самом деле, f ∈ P_conv_α придется использовать, когда предельные свойства функции, с которыми мы имеем дело, не являются свойствами ее значений; но когда они являются свойствами ее значений, f ∈ P_conv_α позволяет нам иметь с ними дело легче, чем f ∈ P_conv_α.

В этом номере мы доказываем, среди прочих, следующие предложения:

*230·171.

*230·211.

*230·253.

*230·4.

*230·42.

*230·53.

В силу этого предложения случай, когда α имеет максимум, неинтересен, и чтобы получить интересные интерпретации наших предложений, необходимо предположить, что α не имеет максимума. Аналогично, когда в более поздних номерах мы рассматриваем lim_P_f, мы получим интересные результаты только тогда, когда это не имеет максимума, что требует, чтобы P был компактным рядом, а α был плотным в P. Эти предположения, однако, обычно не требуются для истинности наших предложений.

*230·01.

*230·02.

*230·1.

*230·11.

*230·12.

Док.

*230·13.

Док.

*230·131.

*230·14.

Док.

*230·141.

*230·142.

*230·15.

*230·151.

*230·152.

*230·16.

Док.

*230·161.

*230·17.

Док.

*230·171.

Док.

*230·21.

*230·211.

*230·22.

*230·221.

*230·23.

Док.

*230·231.

*230·24.

*230·25.

Док.

*230·251.

Док.

*230·252.

*230·253.

*230·31.

Док.

*230·311.

Док.

*230·32.

Док.

*230·321.

Док.

*230·4.

Док.

*230·41.

Док.

*230·42.

Док.

*230·421.

*230·51.

Док.

*230·511.

Док.

*230·512.

Док.

*230·513.

Док.

*230·514.

Док.

*230·52.

Док.

*230·53.

Док.

*230·54.

Док.

*231. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ОСЦИЛЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ.

Сводка *231.

В настоящем номере мы имеем дело с предельным сечением, определяемым в ряде Q, к которому принадлежат значения функции f, по мере того как аргументы функции возрастают в аргументном ряде P. То есть мы имеем дело с сечением, состоящим из тех членов y ряда Q, которые таковы, что, как бы велик ни становился аргумент f, существуют значения, по крайней мере столь же большие, как y. Такие члены, как y, можно назвать P-устойчивыми; y является P-устойчивым, если функция в конечном итоге не становится и не остается меньше y в Q-ряду. Класс устойчивых членов называется предельным сечением. Предельное сечение lim_P_f может быть определено следующим образом. Если α — любой класс, в который f является P-сходящимся, то сечение α таково, что значения функции в конечном итоге содержатся в нем. Произведение таких членов, как α, есть наименьшее сечение, обладающее этим свойством. Следовательно, если β будет любым членом этого сечения, то в конечном итоге (т. е. для аргументов, достаточно далеко продвинувшихся вдоль ряда P) значения функции f не остаются устойчиво меньше β в Q-ряду. Таким образом, произведение таких членов, как α, есть предельное сечение, и мы можем поэтому полагать lim_P_f = Π{α ∈ α_P ∧ f ∈ P_conv_α}, где буквы "lim" призваны навести на мысль о "сечении". (Множитель ι'(Λ_Q) справа излишен, за исключением случаев, когда Λ_Q ∈ α, т. е. когда α = Q.)

Мы будем называть предельное сечение lim_P_f, т. е. lim_P_f, "предельным верхним сечением". Будет видно, что если y является членом lim_P_f_upper, то функция в конечном итоге не становится и не остается, насколько это касается некоторых ее аргументов, больше y, то есть, как бы велик мы ни делали аргумент, мы все равно находим значения, не большие y. Следовательно, если y принадлежит как lim_P_f, так и lim_P_f_upper, мы находим значения, не меньшие y, и значения, не большие y, как бы велик мы ни делали аргумент. Этот класс, osc_P_f, может поэтому рассматриваться как класс предельных значений функции. Мы будем называть его "предельной осцилляцией" функции, поскольку, по мере того как аргумент приближается к P, значение функции в конечном итоге осциллирует в этом отрезке Q, и никакой меньший отрезок не обладает тем же свойством. Мы будем обозначать этот класс через "osc_P_f", где "osc" призвана навести на мысль об "осцилляции". osc_P_f — это отрезок в Q, потому что он является произведением двух сечений. Следовательно, мы также будем называть его "предельным отрезком". Когда функция имеет определенный предел по мере того, как аргумент приближается к P, предельный отрезок не должен содержать более одного члена.

Пределы функций для аргументов x в середине P, которые будут рассмотрены позже, выводятся из пределов, рассмотренных в настоящем номере, путем ограничения поля P предшественниками x.

В этом номере мы доказываем, среди прочих, следующие предложения:

*231·103.

*231·12.

*231·13.

*231·141.

*231·191.

*231·192.

*231·193.

Это предложение часто используется в настоящем разделе.

При всех обычных обстоятельствах мы будем иметь lim_P_f ⊆ lim_P_f_upper, так что если верхнее и нижнее предельные сечения не имеют более одного общего члена (т. е. если osc_P_f ∈ 0 ∪ 1), они определяют дедекиндово сечение в Q. Следующие предложения касаются этого факта:

*231·202.

*231·21.

*231·22.

Заметьте, что "f ∈ P_conv_α" — это гипотеза о том, что для аргументов, принадлежащих P, значения принадлежат α.

*231·24.

*231·01.

*231·02.

*231·1.

*231·101.

*231·102.

*231·103.

*231·11.

*231·111.

*231·112.

Док.

*231·113.

Если f — однозначная функция (т. е. одно-многозначное отношение), и если мы пишем f'x для f''ι'x, и y для ι'y, мы имеем y ∈ lim_P_f = Π{x ∈ P ∧ ε!{x' ∈ P ∧ x P x' ∧ y Q f'x'}}. То есть y принадлежит lim_P_f, если для любого аргумента x в P мы можем найти аргумент x', больший или равный x, для которого значение f'x' больше или равно y.

*231·12.

Это обычно наиболее удобная формула для lim_P_f.

*231·121.

Док.

*231·13.

*231·131.

*231·132.

Док.

*231·133.

*231·134.

*231·14.

*231·141.

Док.

*231·142.

Док.

*231·143.

*231·144.

*231·15.

Док.

*231·151.

*231·152.

Гипотеза f ∈ P_conv_α подтверждается не только когда α = Q, но и при определенных более общих гипотезах. Две такие гипотезы, а именно f ∈ P_conv_α, рассматриваются в следующих предложениях.

*231·153.

Док.

*231·154.

Док.

*231·155.

Док.

*231·156.

Док.

*231·16.

*231·161.

*231·17.

Док.

*231·171.

*231·18.

Док.

*231·181.

Док.

*231·182.

Док.

*231·19.

Док.

*231·191.

*231·192.

*231·193.

Это предложение имеет фундаментальное значение.

*231·2.

Док.

Это предложение является фундаментальным в теории предельных сегментов.

*231·201.

*231·202.

Док.

*231·21.

Док.

*231·22.

*231·23.

Док.

*231·24.

Док.

*231·25.

*231·251.

*231·252.

*231·4.

Док.

*231·41.

Док.

*232. ОБ ОСЦИЛЛЯЦИИ ФУНКЦИИ ПО МЕРЕ ТОГО, КАК АРГУМЕНТ ПРИБЛИЖАЕТСЯ К ЗАДАННОМУ ПРЕДЕЛУ.

Сводка *232.

В предыдущем номере мы рассматривали предельную осцилляцию функции, когда аргумент растет без ограничения. Если в предложениях последнего номера мы ограничим поле P рядом P ↓ α, где α ∈ P, предельная осцилляция становится предельной осцилляцией по мере того, как аргумент приближается к α снизу. Если предельная осцилляция состоит из одного члена, это предел функции по мере того, как аргумент приближается к α снизу. Если вместо ограничения аргумента рядом P ↓ α мы ограничим его любым другим классом β, пределом которого является α, мы, при очень обычной гипотезе, получим то же значение для предельной осцилляции, как если бы мы ограничили его рядом P ↓ α. И более общо, при аналогичной гипотезе, если β и γ — два класса аргументов, которые определяют одно и то же сечение (т. е. такие, что P ↓ β = P ↓ γ), то, независимо от того, имеет ли это сечение предел, предельные сечения и предельная осцилляция одинаковы для f ↓ β, как они есть для f ↓ γ. Следовательно, мы приходим к рассмотрению сначала результата ограничения поля P не рядом P ↓ α, а любым классом β. Чтобы не исключать явно случай, в котором β ∈ P, мы имеем дело с P ↓ β, а не с P ↓ β. Следовательно, мы приходим к следующим определениям:

*232·01.

*232·02.

Большинство предложений настоящего номера являются непосредственными следствиями соответствующих предложений в *231. Наиболее важное применение предложений настоящего номера — к случаю, где β имеет форму P ↓ α, α — член P. Мы можем в этом случае взять вместо P ↓ α любой другой класс аргументов γ (например, прогрессию аргументов x_1, x_2, ..., x_n, ...), имеющий α своим пределом, не изменяя предельных сечений или предельной осцилляции. Следовательно, предел функции для данного аргумента (если он существует) может быть определен путем выбора любого подмножества аргументов, имеющих данный аргумент своим пределом (ср. *233·142 ниже).

Из определения lim_(P ↓ β)_f мы получаем непосредственно lim_(P ↓ β)_f = Π{x ∈ β ∧ α_P_lim_f_x}.

*232·11.

Мы доказываем, что lim_(P ↓ β)_f ⊆ lim_(P ↓ β)_f_upper (*232·131), и что если osc_(P ↓ β)_f ∈ 0 ∪ 1, то два предельных сечения и предельная осцилляция все равны osc_(P ↓ β)_f (*232·15). Также мы имеем lim_(P ↓ β)_f = Π{x ∈ β ∧ α_P_lim_f_x}.

*232·14.

Таким образом, замена P ↓ β на P ↓ β в наших определениях имеет эффект делания их применимыми к единичным классам и возможности заменить гипотезу f ∈ P_conv_α на f ∈ P_conv_α. Но когда P транзитивно и связно (и, следовательно, когда P является рядом), замена P ↓ β на P ↓ β в определениях не имеет значения, если только β не является единичным классом. Этот случай тривиален, так как единственный интерес наших определений — когда β не имеет максимума в P.

Из *231·22 мы получаем lim_(P ↓ β)_f ⊆ lim_(P ↓ β)_f_upper.

*232·22.

Далее у нас есть набор предложений, касающихся обнаружения обстоятельств, при которых два класса β и γ, которые определяют одно и то же сечение в P (и, следовательно, имеют один и тот же предел, если таковой имеется), дают одни и те же значения для двух предельных сечений. Для этой цели необходимо только обнаружить обстоятельства, при которых мы можем заменить P ↓ β на P ↓ γ. Когда это может быть сделано, предельная осцилляция функции по мере того, как аргумент приближается к пределу β, может быть определена путем взятия любого множества аргументов, имеющих этот предел. Мы имеем lim_(P ↓ β)_f = lim_(P ↓ γ)_f.

*232·301.

*232·32.

Таким образом, если функция имеет предел по мере того, как аргумент приближается к пределу β, она также имеет предел по мере того, как аргумент приближается к пределу γ.

*232·33.

откуда lim_(P ↓ β)_f = lim_(P ↓ γ)_f.

*232·34.

Мы имеем также lim_(P ↓ β)_f = lim_(P ↓ γ)_f.

*232·341.

Следовательно, мы приходим к выводу, что если P — ряд, и lim_(P ↓ β)_f — предел функции для класса β, если lim_(P ↓ β)_f является членом Q, это его максимум (*232·352), тогда как если lim_(P ↓ β)_f не является членом Q, это его секвент (*232·356), предполагая P ↓ β ∈ δ'P, что, как мы видели (*233·22), обычно имеет место, и предполагая также β ∈ δ'P. С другой стороны, если β не имеет максимума, lim_(P ↓ β)_f — минимум Q; и если β имеет максимум, отличный от α, это есть f'(α) (*232·357 ·358). Этот последний случай невозможен, если только β не имеет непосредственного предшественника. Следовательно, мы приходим к следующему предложению:

*232·38.

Применяя это к ряду, имеющему дедекиндову непрерывность, мы знаем, что lim_(P ↓ β)_f ∈ Q, и что lim_(P ↓ β)_f и lim_(P ↓ β)_f_upper всегда существуют. Следовательно

*232·39.

То есть, если ряд значений Q имеет дедекиндову непрерывность и содержит все значения для аргументов в β, то при условии, что функция имеет определенный предел для класса β, это есть его предел также для класса γ; то есть любая совокупность аргументов, имеющая тот же предел или максимум, что и данное сечение, даст тот же предел для функции.

*232·01.

*232·02.

*232·1.

*232·101.

*232·11.

Док.

*232·12.

*232·121.

Док.

*232·13.

*232·131.

Из вышеприведенных предложений следует, что значения , , и зависят только от ; таким образом, если не содержится в , часть, не содержащаяся в , не имеет значения.

*232·14.

*232·15.

*232·151.

*232·2.

Док.

*232·21.

*232·22.

*232·23.

Док.

*232·24.

Док.

*232·3.

Док.

*232·301.

Док.

*232·31.

Док.

*232·32.

*232·33.

Док.

*232·34.

*232·341.

*232·35.

*232·351.

Док.

*232·352.

*232·353.

Док.

*232·354.

*232·355.

Док.

*232·356.

*232·357.

Док.

*232·358.

Док.

*232·36.

*232·361.

Док.

*232·37.

*232·38.

*232·39.

Док.

*232·5.

*232·51.

*232·511.

*232·52.

*232·53.

Док.

*233. О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ.

Резюме *233.

Существует четыре предела функции по мере приближения аргумента к некоторому члену в аргументном ряду, а именно: верхний и нижний пределы предельного колебания для приближений соответственно снизу и сверху. Если предельное колебание для приближений к снизу сводится к единственному члену, т.е. если , то этот единственный член является пределом функции для приближений к снизу. Если этот единственный член также является предельным колебанием для приближений сверху, мы можем называть его просто пределом функции для аргумента . Это значение (если оно существует) может быть или не быть равным значению для аргумента . Характерным свойством непрерывных функций является то, что предел существует для каждого аргумента и всегда равен значению для этого аргумента. Непрерывные функции будут рассматриваться в *234.

Верхний предел или максимум предельного колебания по мере приближения аргумента к есть верхний предел или максимум предельного сечения. Следовательно, если мы положим , то четырьмя пределами функции по мере приближения аргумента к будут . Будет видно, что есть функция от . Может случиться так, что если мы подставим вместо , функция будет иметь определенный предел по мере возрастания аргумента в , хотя не имеет предела или максимума. Так, если, например, состоит из ряда рациональных чисел, а — из ряда вещественных чисел, если есть класс рациональных чисел, не имеющий рационального предела, мы можем рассматривать предел функции (если он существует) по мере возрастания аргумента в как значение функции для иррационального предела . Таким образом, мы можем расширить область определения функции. Чтобы иметь возможность рассматривать случаи, в которых не имеет предела, мы полагаем . Если есть дедекиндов ряд, всегда существует. Если мы возьмем в качестве любого сегмента , мы, таким образом, получим новую функцию, производную от , но имеющую в качестве своих аргументов сегменты вместо членов . Таким образом, если у имелись рациональные числа в качестве аргументов, эта новая функция будет иметь вещественные числа в качестве своих аргументов. (Вещественные числа можно рассматривать как сегменты ряда рациональных чисел.)

Функция является частным случаем вышеизложенного; таким образом, мы принимаем в качестве нашего определения или, что то же самое,

Важными являются следующие предложения этого номера:

*233·15.

*233·16.

*233·2 — ·25 являются применениями наиболее важных предложений *232·34 — ·39, показывающими обстоятельства, при которых предел функции для класса совпадает с пределом для класса .

*233·4 и последующие предложения применяют более ранние предложения из *233 к случаю, где заменяется на , и, следовательно, заменяется на . Мы имеем

*233·43.

*233·433.

*233·45.

Т.е. в ряду, обладающем дедекиндовой непрерывностью, необходимым и достаточным условием того, чтобы два предела функции по мере приближения аргумента к снизу были равны, является то, чтобы предельное колебание не имело более одного члена.

Далее у нас есть ряд предложений (*233·5 — ·53) о возможности замены на класс , имеющий в качестве своего предела, без изменения пределов функции. Мы должны начать с

*233·5.

в силу *207·291. Отсюда, согласно более ранним предложениям этого номера,

*233·512.

откуда мы получаем

*233·514.

Таким образом, если , — ряды, и есть предел функции для аргумента ( — член, не имеющий непосредственного преемника или предшественника), то есть предел функции для любого класса аргументов, пределом которого является . Следовательно, мы приходим к предложению

*233·53.

Таким образом, если обладает дедекиндовой непрерывностью, и есть класс аргументов, имеющий предел, и если предельное колебание по мере приближения аргумента к этому пределу имеет не более одного члена, то предел функции для класса существует и равен пределу функции для аргумента .

*233·01.

*233·02.

*233·1.

*233·101.

*233·102.

*233·103.

*233·11.

*233·111.

*233·12.

Док.

*233·13.

*233·14.

*233·141.

*233·142.

Док.

*233·15.

*233·16.

Док.

*233·17.

Док.

*233·171.

Док.

*233·172.

Док.

*233·173.

*233·174.

Док.

*233·2.

*233·21.

*233·22.

Док.

*233·23.

*233·24.

*233·241.

*233·25.

*233·4.

*233·401.

*233·402.

*233·41.

Док.

*233·42.

*233·421.

Док.

*233·422.

*233·423.

*233·424.

*233·425.

*233·426.

*233·43.

*233·431.

*233·432.

*233·433.

*233·434.

*233·435.

*233·44.

*233·45.

*233·5.

*233·501.

Док.

*233·51.

*233·511.

*233·512.

*233·513.

*233·514.

*233·515.

*233·516.

*233·52.

*233·53.

*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.

Резюме *234.

В настоящем номере мы занимаемся определением и анализом непрерывности функций. Следующее определение непрерывности дано Дини [17]:

«Мы называем ее [функцию] непрерывной для , или в точке , в которой она имеет значение , если для каждого положительного числа , отличного от 0, но сколь угодно малого, существует положительное число , отличное от 0, такое, что для всех значений , которые численно меньше , разность численно меньше . Иными словами, непрерывна в точке , где она имеет значение , если предел ее значений справа и слева от одинаков и равен ...»

Согласно второй форме вышеприведенного определения, функция от предыдущих номеров должна называться непрерывной в точке , если . Первая форма определения также может быть сформулирована так, чтобы быть свободной от какой-либо ссылки на число, и выводимой из идей, рассмотренных в предыдущих номерах настоящего раздела. Для этой цели вместо «положительного числа » мы берем интервал, в котором содержится , скажем . Аналогично, «значения , которые численно меньше » заменяются аргументами в определенном интервале, содержащем .

Согласно *233·423, если пределы функции по мере приближения аргумента к должны быть все равны, не должен быть максимумом или минимумом . Поэтому мы берем интервал, содержащий , как интервал, в который не включены конечные точки, скажем . Таким образом, наше определение становится

Нам требуется далее, что молчаливо предполагается в определении Дини, чтобы был членом , который не имеет непосредственного предшественника или преемника, т.е.

Чтобы легче работать с вышеприведенным определением, мы анализируем его в произведение четырех факторов, которые касаются соответственно и , и , и , и . Во-первых, очевидно, что (A) есть произведение и фактора, полученного путем подстановки вместо в (). Если , и , () есть произведение и фактора, полученного путем записи вместо и вместо в (); и в силу , () становится , т.е. если транзитивно,

Следовательно, функция непрерывна для аргумента a, если a удовлетворяет () и трем другим гипотезам, возникающим в результате замены на , или на , или и на и . Если мы подставим вместо , и вместо , () становится

Следовательно, непрерывность можно изучать, изучая гипотезу (), и заменяя на и на .

Гипотеза () интересна сама по себе. Мы полагаем . Таким образом, «» означает, что есть член ряда значений такой, что если есть любой более поздний член, функция в конечном счете становится меньше . Если мы положим далее , то, если есть член , функция в конечном счете становится меньше любого более позднего члена и больше любого более раннего члена. Следовательно, есть предел функции по мере того, как аргумент неограниченно возрастает. Следовательно, если мы подставим вместо , и если , есть предел функции по мере приближения аргумента к a снизу, т.е. (Это доказано в *234·462.) Следовательно, подставляя вместо , функция непрерывна снизу в точке , если и непрерывна сверху, если . Эти результаты и различные другие, связанные с ними, доказаны ниже. Эквивалентность двух определений Дини доказана в *234·63. Будет замечено, что практически ничто в теории непрерывных функций не требует использования чисел.

Мы используем символ «» для класса аргументов, для которых предел функции для приближений к a снизу равен . Таким образом, в силу того, что было сказано выше, мы можем положить . Тогда функция непрерывна в точке , если a принадлежит двум классам и . Следовательно, мы полагаем . Функция непрерывна относительно и , если она непрерывна для всех аргументов в . Таким образом, мы полагаем

Наши предложения в этом номере начинаются со свойств и . Мы имеем

*234·103.

Таким образом, гипотеза позволяет нам использовать предложения предыдущих номеров, имеющие гипотезу .

Идентификация наших определений с обычными определениями непрерывности функций осуществляется с помощью предложения

*234·12.

У нас есть коллекция предложений, касающихся отношений к и . — это верхнее сечение (*234·131); — это дополнение , т.е. без его максимума (если таковой имеется). Это выражено в следующем предложении:

*234·174.

Таким образом, мы приходим к

*234·182.

Таким образом, содержится в (*234·201) и, следовательно, имеет не более двух членов (*234·202). Если имеет один член, это единственный член (*234·203). Если имеет два члена, они имеют отношение (*234·242); следовательно, если есть компактный ряд, и не является пустым, его единственный член является и , и (*234·25), в то время как, наоборот, если и равны, каждый из них является единственным членом (*234·251).

Теперь мы применяем вышеприведенные результаты к пределам функции по мере того, как ее аргумент приближается к пределу класса . Это делается, как и прежде, путем подстановки вместо . Мы приходим к предложению (*234·33), что если обладает дедекиндовой непрерывностью, и не является пустым, его единственный член является и , и , т.е. есть предел функции по мере возрастания аргумента в .

Затем мы берем для конкретное значение , так что мы начинаем заниматься тем, что происходит, когда аргумент приближается к a снизу. Для сравнения нашего определения непрерывности с такими определениями, как приведенное выше определение Дини, у нас есть

*234·41.

Т.е. если не является ни первым, ни последним членом -ряда, принадлежит к тогда и только тогда, когда, учитывая любой интервал , сколь угодно малый, в котором содержится , существует аргумент , более ранний, чем , такой, что значение функции для всех аргументов, более ранних, чем a, но не более ранних, чем , лежит в интервале .

Мы выводим из предыдущих предложений, что при обычной гипотезе относительно , если есть дедекиндов ряд, и если есть ряд, и есть единичный класс, его единственный член является и , и , т.е. есть предел функции для приближений к снизу (*234·43). Следующее предложение суммирует наши результаты:

*234·45.

Таким образом, в компактном ряду является необходимым и достаточным условием существования определенного предела функции по мере приближения аргумента к снизу.

Не предполагая , если есть член , и если не имеет непосредственного предшественника или преемника, так что в окрестности ряд компактен, мы все еще имеем (*234·462).

Далее мы рассматриваем . По определению мы имеем

*234·5.

Таким образом, есть аргумент, для которого функция имеет единственное значение, которое не имеет непосредственного предшественника или преемника в , и которое, в силу *234·462, является пределом функции по мере приближения аргумента к снизу (*234·52). Случаи, когда или требуют особого внимания; исключая эти случаи, мы приходим к

*234·51.

Это предложение аналогично *234·41.

Мы доказываем (*234·562), что если , — ряды, и есть любой класс аргументов, для которых все значения принадлежат , и если имеет предел, в котором функция непрерывна снизу, то предел функции, по мере возрастания аргумента в , есть значение функции в пределе .

Далее мы рассматриваем , которое определяется как . Мы показываем, что если есть ряд, поле которого содержит , и транзитивно, и связно, и не является ни , ни , то если принадлежит к классу , есть предел функции для аргумента для приближений либо к снизу, либо сверху (*234·62). Если компактен, обратное также верно (*234·63). Наше определение точки непрерывности, таким образом, идентифицировано со второй формой определения Дини, процитированной выше. Оно идентифицировано с первой формой следующим предложением: В обстоятельствах *234·62, если , мы имеем (*234·64), т.е. есть точка непрерывности тогда и только тогда, когда значение для аргумента является членом -ряда, не имеющим непосредственного предшественника или преемника, и если содержится в интервале , то, как бы мал ни был этот интервал, можно найти два аргумента , такие, что a лежит между ними, и значения для всех аргументов от до (включительно) лежат в интервале .

Мы заканчиваем несколькими предложениями о непрерывных функциях. Последнее из них (*234·73) гласит, что если есть компактный ряд, и транзитивно и связно, то непрерывно относительно и тогда и только тогда, когда оно имеет аргументы в , и для всех таких аргументов мы имеем , т.е. значение для каждого аргумента есть предел для этого аргумента для приближений либо сверху, либо снизу.

*234·01.

*234·02.

*234·03.

*234·04.

*234·05.

*234·1.

*234·101.

Док.

*234·102.

Док.

*234·103.

Док.

*234·104.

Док.

*234·105.

Док.

Когда , вышеприведенное предложение не обязательно верно: оно может не выполняться, если .

Следует заметить, что и являются функциями от , так что они остаются неизменными, когда подставляется вместо . Следовательно, гипотеза столь же эффективна в отношении них, как и гипотеза . Это утверждается в следующем предложении.

*234·106.

*234·107.

Док.

*234·11.

*234·111.

Док.

*234·12.

Док.

*234·121.

*234·122.

*234·13.

Док.

*234·131.

Док.

*234·14.

Док.

*234·141.

*234·142.

Док.

*234·15.

Док.

*234·16.

*234·161.

Док.

*234·162.

Док.

*234·17.

Док.

*234·171.

Док.

*234·172.

Док.

*234·173.

*234·174.

Док.

*234·175.

*234·18.

Док.

В силу этого предложения и являются дополнительными сечениями , т.е. они образуют дедекиндово сечение в .

*234·181.

Док.

*234·182.

Док.

*234·183.

*234·2.

Док.

*234·201.

*234·202.

*234·203.

*234·204.

*234·21.

Док.

*234·23.

Док.

*234·24.

Док.

*234·241.

Док.

*234·242.

Док.

*234·243.

Док.

*234·244.

Док.

*234·25.

*234·251.

Док.

*234·26.

*234·27.

Док.

*234·271.

*234·272.

Оставшиеся предложения настоящего номера по большей части являются непосредственными следствиями уже доказанных. Чтобы получить из уже доказанных предложений предложения, касающиеся предела функции по мере приближения аргумента к пределу некоторого класса аргументов , нам нужно только подставить вместо . Чтобы получить предел функции по мере приближения аргумента к данному члену , мы берем вместо .

*234·3.

*234·301.

*234·31.

*234·311.

*234·312.

*234·32.

*234·321.

*234·322.

*234·329.

*234·33.

*234·331.

*234·34.

*234·35.

*234·351.

*234·352.

*234·4.

*234·41.

*234·42.

*234·421.

*234·422.

*234·43.

*234·439.

*234·44.

*234·441.

*234·45.

*234·46.

*234·461.

*234·462.

*234·5.

*234·51.

Док.

*234·52.

*234·521.

*234·522.

Док.

*234·53.

Док.

*234·54.

Док.

*234·55.

*234·56.

Док.

*234·561.

*234·562.

То есть, если есть любой класс аргументов, имеющий предел, в котором функция непрерывна, то предел функции, по мере приближения аргумента к пределу множества аргументов, есть значение функции для этого предела.

*234·6.

*234·61.

Док.

*234·62.

*234·63.

*234·64.

*234·7.

*234·71.

Док.

*234·72.

*234·73.

Док.

СНОСКИ:

[17] Theorie der Functionen einer veränderlichen reellen Grösse, гл. IV, § 30, стр. 50.

КЕМБРИДЖ: ОТПЕЧАТАНО ДЖОНОМ КЛЕЕМ, МАГИСТРОМ ИСКУССТВ, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ

ПРИМЕЧАНИЯ ТРАНСКРИПТОРА

Все пункты из списка опечаток, из всех трех томов, были добавлены и исправлены соответствующим образом.

Авторское обозначение как *102·72·73 является сокращением для *102·72 и *102·73 соответственно.

Леммы *113·01 (страница 302): *120·450 (страница 209); *122·436 (страница 268), *122·473 и *126·122 (страница xxxiii); *124·62 (страница 279); *151·45 (страница 315); *165·372 (страница 387), хотя они и упоминались авторами, не были описаны в соответствующих разделах.

Начиная с раздела C, авторы используют строчную букву «a» в качестве предела, а греческую букву в качестве класса.

Альтернативные тексты для иллюстраций в этой книге были созданы постпроцессором.