ИССЛЕДОВАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ

ВКЛЮЧАЯ ОБОБЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ИХ ПРИМЕНЕНИИ К СЛОЖНЫМ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯМ

ДЖОН НЕВИЛЛ КЕЙНС, МАГИСТР ИСКУССТВ, ДОКТОР НАУК, УНИВЕРСИТЕТСКИЙ ЛЕКТОР ПО МОРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ И БЫВШИЙ ЧЛЕН ПЕМБРУК-КОЛЛЕДЖА КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ЧЕТВЕРТОЕ ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Лондон

МАКМИЛЛАН И КО., ЛИМИТЕД

НЬЮ-ЙОРК: ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАКМИЛЛАН»

1906

[Право на перевод и воспроизведение защищено]

Первое издание (формат Crown 8vo) напечатано в 1884 г.

Второе издание (формат Crown 8vo) 1887 г.

Третье издание (формат Demy 8vo) 1894 г.

Четвертое издание (формат Demy 8vo) 1906 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ.

В этом издании многие разделы были переписаны, и добавлено значительное количество нового материала. Ниже приведены некоторые из наиболее важных изменений.

В Части I предложено новое определение «коннотативного имени» в надежде, что это позволит избежать некоторых недоразумений; также была пересмотрена трактовка отрицательных имен.

В Части II проблема экзистенциальной значимости суждений и пропозиций в ее различных аспектах рассматривается гораздо подробнее, чем прежде, и большее значение придается различиям в модальности. Отчасти вследствие этого была изменена трактовка условных и гипотетических пропозиций. Я частично переписал главу об экзистенциальной значимости пропозиций, чтобы ответить на некоторые недавние критические замечания и более ясно изложить свою позицию. В Часть II было внесено множество других незначительных изменений.

Среди изменений в Части III — более систематическое изложение процесса косвенного сведения силлогизмов и введение главы о характеристиках умозаключения.

Добавлено приложение об основных законах мышления; трактовка сложных пропозиций, которая ранее составляла Часть IV книги, теперь помещена в приложение.

Читатель этого издания заметит мою признательность «Логике» Зигварта. Я получил ценную помощь от профессора Дж. С. Маккензи и от моего сына, г-на Дж. М. Кейнса; и я не могу не выразить глубочайшую благодарность г-ну У. Э. Джонсону, который своими критическими замечаниями позволил мне улучшить изложение во многих частях книги, а также избежать некоторых ошибок.

Дж. Н. КЕЙНС.

6, HARVEY ROAD,
  CAMBRIDGE,
   4 September 1906.

vi

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ. 1

1 С некоторыми сокращениями.

Помимо довольно подробного изложения определенных частей того, что можно назвать учебным материалом по формальной логике, на следующих страницах содержится ряд подробно разобранных задач и нерешенных задач, с помощью которых студент может проверить свое владение логическими процессами.

В изложительных частях I, II и III, посвященных соответственно терминам, пропозициям и силлогизмам, в основном соблюдаются традиционные подходы, хотя и с определенными модификациями; например, в систематизации непосредственных умозаключений и в ряде деталей, связанных с силлогизмом. Для иллюстрации диаграммы Эйлера используются в большей степени, чем это принято в английских руководствах.

В Части IV, содержащей обобщение логических процессов в их применении к сложным умозаключениям, сделан своего рода новый шаг. Насколько мне известно, эта часть представляет собой первую систематическую попытку рассмотреть формальные рассуждения самого сложного характера без помощи математических или иных символов операций и без отказа от обычной неэквациональной или предикативной формы пропозиции. Эта попытка в целом увенчалась большим успехом, чем я ожидал; и я полагаю, что сформулированные методы окажутся столь же простыми и эффективными, как символические методы Буля и его последователей. Книга завершается общим и надежным методом решения того, что профессор Джевонс называл обратной задачей и что он сам, по-видимому, считал разрешимым только путем ряда догадок.

Авторы по логике, которым я в основном обязан, — это Де Морган, Джевонс и Венн. Г-ну Венну я обязан в особенности, не только в силу его опубликованных работ, vii особенно его «Символической логики», но и за ценнейшие предложения и критические замечания во время работы над этой книгой. Я рад возможности выразить ему свою благодарность за бескорыстную помощь, которую он мне оказал. Я также в большом долгу перед мисс Мартин из Ньюнхем-колледжа и г-ном Калдекоттом из колледжа Св. Иоанна за критические замечания, которые я нашел чрезвычайно полезными.

CAMBRIDGE,
19 January 1884.

viii

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.

ЭТО издание было тщательно пересмотрено, и многочисленные разделы были почти полностью переписаны.

Помимо введения нескольких кратких вводных разделов, среди наиболее важных изменений можно отметить следующие. В Части I была предпринята попытка разграничить значения трех терминов: коннотация, интенсия, компрехенсия, в надежде, что такое разграничение значений поможет устранить двусмысленность, которая является источником многих текущих споров по вопросу о коннотации. В Части II принято различие между условными и гипотетическими пропозициями, за которое я обязан г-ну У. Э. Джонсону; трактовка экзистенциальной значимости пропозиций была как расширена, так и систематизирована. В Части IV частные пропозиции, которыми в первом издании практически пренебрегали, рассматриваются подробно; и, хотя количество простых упражнений было уменьшено, многие теоретические вопросы получили значительное развитие. По всей книге неотвеченные упражнения теперь отделены от изложительного материала и помещены вместе в конце соответствующих глав. Добавлен указатель.

Я должен поблагодарить нескольких друзей и корреспондентов, среди которых я должен особо упомянуть г-на Генри Лори из Мельбурнского университета и г-на У. Э. Джонсона из Королевского колледжа в Кембридже, за предложения и критические замечания, от которых я получил величайшую помощь. Г-н Джонсон любезно прочитал корректурные листы целиком; и я особенно обязан ему за то великодушие, с которым он предоставил в мое распоряжение не только свое время, но и результаты своей собственной работы по различным вопросам формальной логики.

CAMBRIDGE,
22 June 1887.

ix

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.

ЭТО издание было в значительной степени переписано, и книга снова существенно расширена.

В Части I взаимные отношения между экстенсией и интенсией имен рассматриваются с новой точки зрения, а различие между реальными и вербальными пропозициями трактуется более полно, чем в двух предыдущих изданиях. В Части II больше внимания уделяется таблицам эквивалентных пропозиций, введены некоторые разработки диаграмм Эйлера и Ламберта, более подробно обсуждается интерпретация пропозиций в экстенсии и интенсии, а также дается краткое объяснение природы логических уравнений. Главы об экзистенциальной значимости пропозиций и об условных, гипотетических и дизъюнктивных (или, как я теперь предпочитаю их называть, альтернативных) пропозициях также были расширены, и позиция, которую я занимаю по различным вопросам, поднятым в этих главах, надеюсь, объяснена более ясно. В Частях III и IV абсолютно нового материала меньше, но незначительных изменений много. Добавлено приложение, содержащее краткое изложение доктрины деления.

В предисловии к предыдущим изданиям я был рад возможности признать свою признательность профессору Калдекотту, г-ну У. Э. Джонсону, профессору Генри Лори, д-ру Венну и миссис Уорд. В настоящем издании моя признательность г-ну Джонсону снова очень велика. Многие новые разработки появились благодаря его предложению, и в каждой важной дискуссии в книге мне существенно помогали его критика и советы.

CAMBRIDGE,
25 July 1894.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

INTRODUCTION.
SECTION |  | PAGE
1. | The General Character of Logic | 1
2. | Formal Logic | 1
3. | Logic and Language | 3
4. | Logic and Psychology | 5
5. | The Utility of Logic | 6
PART I.
TERMS.
CHAPTER I.
THE LOGIC OF TERMS.
6. | The Three Parts of Logical Doctrine | 8
7. | Names and Concepts | 10
8. | The Logic of Terms | 11
9. | General and Singular Names | 11
10. | Proper Names | 13
11. | Collective Names | 14
12. | Concrete and Abstract Names | 16
13. | Can Abstract Names be subdivided into General and Singular? | 19
14, 15. | Exercises | 21
CHAPTER II.
EXTENSION AND INTENSION.
16. | The Extension and the Intension of Names | 22
17. | Connotation, Subjective Intension, and Comprehension. | 23
18. | Sigwart’s distinction between Empirical, Metaphysical, and Logical Concepts | 27
|  | xii
19. | Connotation and Etymology | 28
20. | Fixity of Connotation | 28
21. | Extension and Denotation | 29
22. | Dependence of Extension and Intension upon one another | 31
23. | Inverse Variation of Extension and Intension | 35
24. | Connotative Names | 40
25. | Are proper names connotative? | 41
26 to 30. | Exercises | 47
CHAPTER III.
REAL, VERBAL, AND FORMAL PROPOSITIONS.
31. | Real, Verbal, and Formal Propositions | 49
32. | Nature of the Analysis involved in Analytic Propositions | 53
33 to 37. | Exercises | 56
CHAPTER IV.
NEGATIVE NAMES AND RELATIVE NAMES.
38. | Positive and Negative Names | 57
39. | Indefinite Character of Negative Names | 59
40. | Contradictory Terms | 61
41. | Contrary Terms | 62
42. | Relative Names | 63
43 to 45. | Exercises | 65
PART II.
PROPOSITIONS.
CHAPTER I.
IMPORT OF JUDGMENTS AND PROPOSITIONS.
46. | Judgments and Propositions | 66
47. | The Abstract Character of Logic | 68
48. | Nature of the Enquiry into the Import of Propositions | 70
49. | The Objective Reference in Judgments | 74
50. | The Universality of Judgments | 76
51. | The Necessity of Judgments | 77
52. | Exercise | 78
|  | xiii
CHAPTER II.
KINDS OF JUDGMENTS AND PROPOSITIONS.
53. | The Classification of Judgments | 79
54. | Kant’s Classification of Judgments | 81
55. | Simple Judgments and Compound Judgments | 82
56. | The Modality of Judgments | 84
57. | Modality in relation to Simple Judgments | 85
58. | Subjective Distinctions of Modality | 86
59. | Objective Distinctions of Modality | 87
60. | Modality in relation to Compound Judgments | 90
61. | The Quantity and the Quality of Propositions | 91
62. | The traditional Scheme of Propositions | 92
63. | The Distribution of Terms in a Proposition | 95
64. | The Distinction between Subject and Predicate in the traditional Scheme of Propositions | 96
65. | Universal Propositions | 97
66. | Particular Propositions | 100
67. | Singular Propositions | 102
68. | Plurative Propositions and Numerically Definite Propositions | 103
69. | Indefinite Propositions | 105
70. | Multiple Quantification | 105
71. | Infinite or Limitative Propositions | 106
72 to 78. | Exercises | 107
CHAPTER III.
THE OPPOSITION OF PROPOSITIONS.
79. | The Square of Opposition | 109
80. | Contradictory Opposition | 111
81. | Contrary Opposition | 114
82. | The Opposition of Singular Propositions | 115
83. | The Opposition of Modal Propositions | 116
84. | Extension of the Doctrine of Opposition | 117
85. | The Nature of Significant Denial | 119
86 to 95. | Exercises. | 124
|  | xiv
CHAPTER IV.
IMMEDIATE INFERENCES.
96. | The Conversion of Categorical Propositions | 126
97. | Simple Conversion and Conversion per accidens. | 128
98. | Inconvertibility of Particular Negative Propositions | 130
99. | Legitimacy of Conversion | 130
100. | Table of Propositions connecting any two terms | 132
101. | The Obversion of Categorical Propositions | 133
102. | The Contraposition of Categorical Propositions | 134
103. | The Inversion of Categorical Propositions | 137
104. | The Validity of Inversion | 139
105. | Summary of Results | 140
106. | Table of Propositions connecting any two terms and their contradictories | 141
107. | Mutual Relations of the non-equivalent Propositions connecting any two terms and their contradictories | 142
108. | The Elimination of Negative Terms | 144
109. | Other Immediate Inferences | 147
110. | Reduction of immediate inferences to the mediate form | 151
111 to 124. | Exercises | 153
CHAPTER V.
THE DIAGRAMMATIC REPRESENTATION OF PROPOSITIONS.
125. | The use of Diagrams in Logic | 156
126. | Euler’s Diagrams | 157
127. | Lambert’s Diagrams | 163
128. | Dr Venn’s Diagrams | 166
129. | Expression of the possible relations between any two classes by means of the propositional forms A, E, I, O | 168
130. | Euler’s diagrams and the class-relations between S, not-S, P, not-P | 170
131. | Lambert’s diagrams and the class-relations between S, not-S, P, not-P | 174
132 to 134. | Exercises | 176
|  | xv
CHAPTER VI.
PROPOSITIONS IN EXTENSION AND IN INTENSION.
135. | Fourfold Implication of Propositions in Connotation and Denotation | 177
| (1) Subject in denotation, predicate in connotation | 179
| (2) Subject in denotation, predicate in denotation | 181
| (3) Subject in connotation, predicate in connotation | 184
| (4) Subject in connotation, predicate in denotation | 186
136. | The Reading of Propositions in Comprehension | 187
CHAPTER VII.
LOGICAL EQUATIONS AND THE QUANTIFICATION OF THE PREDICATE.
137. | The employment of the symbol of Equality in Logic | 189
138. | Types of Logical Equations | 191
139. | The expression of Propositions as Equations | 194
140. | The eight propositional forms resulting from the explicit Quantification of the Predicate | 195
141. | Sir William Hamilton’s fundamental Postulate of Logic | 195
142. | Advantages claimed for the Quantification of the Predicate | 196
143. | Objections urged against the Quantification of the Predicate | 197
144. | The meaning to be attached to the word some in the eight propositional forms recognised by Sir William Hamilton | 199
145. | The use of some in the sense of some only | 202
146. | The interpretation of the eight Hamiltonian forms of proposition, some being used in its ordinary logical sense | 203
147. | The propositions U and Y | 204
148. | The proposition η | 206
149. | The proposition ω | 206
150. | Sixfold Schedule of Propositions obtained by recognising Y and η, in addition to A, E, I, O | 207
151, 152. | Exercises | 209
CHAPTER VIII.
THE EXISTENTIAL IMPORT OF CATEGORICAL PROPOSITIONS.
153. | Existence and the Universe of Discourse | 210
154. | Formal Logic and the Existential Import of Propositions | 215
155. | The Existential Formulation of Propositions | 218
156. | Various Suppositions concerning the Existential Import of Categorical Propositions | 218
|  | xvi
157. | Reduction of the traditional forms of proposition to the form of Existential Propositions | 221
158. | Immediate Inferences and the Existential Import of Propositions | 223
159. | The Doctrine of Opposition and the Existential Import of Propositions | 227
160. | The Opposition of Modal Propositions considered in connexion with their Existential Import | 231
161. | Jevons’s Criterion of Consistency | 232
162. | The Existential Import of the Propositions included in the Traditional Schedule | 234
163. | The Existential Import of Modal Propositions | 244
164 to 172. | Exercises | 245
CHAPTER IX.
CONDITIONAL AND HYPOTHETICAL PROPOSITIONS.
173. | The distinction between Conditional Propositions and Hypothetical Propositions | 249
174. | The Import of Conditional Propositions | 252
175. | Conditional Propositions and Categorical Propositions | 253
176. | The Opposition of Conditional Propositions | 256
177. | Immediate Inferences from Conditional Propositions | 259
178. | The Import of Hypothetical Propositions | 261
179. | The Opposition of Hypothetical Propositions | 264
180. | Immediate Inferences from Hypothetical Propositions | 268
181. | Hypothetical Propositions and Categorical Propositions | 270
182. | Alleged Reciprocal Character of Conditional and Hypothetical Judgments | 270
183 to 188. | Exercises | 273
CHAPTER X.
DISJUNCTIVE (OR ALTERNATIVE) PROPOSITIONS.
189. | The terms Disjunctive and Alternative as applied to Propositions | 275
190. | Two types of Alternative Propositions | 276
191. | The Import of Disjunctive (Alternative) Propositions | 277
192. | Scheme of Assertoric and Modal Propositions | 282
193. | The Relation of Disjunctive (Alternative) Propositions to Conditionals and Hypotheticals | 282
194 to 196. | Exercises | 284
|  | xvii
PART III.
SYLLOGISMS.
CHAPTER I.
THE RULES OF THE SYLLOGISM.
197. | The Terms of the Syllogism | 285
198. | The Propositions of the Syllogism | 287
199. | The Rules of the Syllogism | 287
200. | Corollaries from the Rules of the Syllogism | 289
201. | Restatement of the Rules of the Syllogism | 291
202. | Dependence of the Rules of the Syllogism upon one another | 291
203. | Statement of the independent Rules of the Syllogism | 293
204. | Proof of the Rule of Quality | 294
205. | Two negative premisses may yield a valid conclusion; but not syllogistically | 295
206. | Other apparent exceptions to the Rules of the Syllogism | 297
207. | Syllogisms with two singular premisses | 298
208. | Charge of incompleteness brought against the ordinary syllogistic conclusion | 300
209. | The connexion between the Dictum de omni et nullo and the ordinary Rules of the Syllogism | 301
210 to 242. | Exercises | 302
CHAPTER II.
THE FIGURES AND MOODS OF THE SYLLOGISM.
243. | Figure and Mood | 309
244. | The Special Rules of the Figures; and the Determination of the Legitimate Moods in each Figure | 309
245. | Weakened Conclusions and Subaltern Moods | 313
246. | Strengthened Syllogisms | 314
247. | The peculiarities and uses of each of the four figures of the syllogism | 315
248 to 255. | Exercises | 317
|  | xviii
CHAPTER III.
THE REDUCTION OF SYLLOGISMS.
256. | The Problem of Reduction | 318
257. | Indirect Reduction | 318
258. | The mnemonic lines Barbara, Celarent, &c. | 319
259. | The direct reduction of Baroco and Bocardo | 323
260. | Extension of the Doctrine of Reduction | 324
261. | Is Reduction an essential part of the Doctrine of the Syllogism? | 325
262. | The Fourth Figure | 328
263. | Indirect Moods | 329
264. | Further discussion of the process of Indirect Reduction | 331
265. | The Antilogism | 332
266. | Equivalence of the Moods of the first three Figures shewn by the Method of Indirect Reduction | 333
267. | The Moods of Figure 4 in their relation to one another | 334
268. | Equivalence of the Special Rules of the First Three Figures | 335
269. | Scheme of the Valid Moods of Figure 1 | 336
270. | Scheme of the Valid Moods of Figure 2 | 336
271. | Scheme of the Valid Moods of Figure 3 | 337
272. | Dictum for Figure 4 | 338
273 to 287. | Exercises | 339
CHAPTER IV.
THE DIAGRAMMATIC REPRESENTATION OF SYLLOGISMS.
288. | Euler’s diagrams and syllogistic reasonings | 341
289. | Lambert’s diagrams and syllogistic reasonings | 344
290. | Dr Venn’s diagrams and syllogistic reasonings | 345
291 to 300. | Exercises | 347
CHAPTER V.
CONDITIONAL AND HYPOTHETICAL SYLLOGISMS.
301. | The Conditional Syllogism, the Hypothetical Syllogism, and the Hypothetico-Categorical Syllogism | 348
302. | Distinctions of Mood and Figure in the case of Conditional and Hypothetical Syllogisms | 349
303. | Fallacies in Hypothetical Syllogisms | 350
304. | The Reduction of Conditional and Hypothetical Syllogisms | 351
|  | xix
305. | The Moods of the Mixed Hypothetical Syllogism | 352
306. | Fallacies in Mixed Hypothetical Syllogisms | 353
307. | The Reduction of Mixed Hypothetical Syllogisms | 354
308. | Is the reasoning contained in the mixed hypothetical syllogism mediate or immediate? | 354
309 to 315. | Exercises | 358
CHAPTER VI.
DISJUNCTIVE SYLLOGISMS.
316. | The Disjunctive Syllogism | 359
317. | The modus ponendo tollens | 361
318. | The Dilemma | 363
319 to 321. | Exercises | 366
CHAPTER VII.
IRREGULAR AND COMPOUND SYLLOGISMS.
322. | The Enthymeme | 367
323. | The Polysyllogism and the Epicheirema | 368
324. | The Sorites | 370
325. | The Special Rules of the Sorites | 372
326. | The possibility of a Sorites in a Figure other than the First | 373
327. | Ultra-total Distribution of the Middle Term | 376
328. | The Quantification of the Predicate and the Syllogism | 378
329. | Table of valid moods resulting from the recognition of Y and η in addition to A, E, I, O | 381
330. | Formal Inferences not reducible to ordinary Syllogisms | 384
331 to 341. | Exercises | 388
CHAPTER VIII.
PROBLEMS ON THE SYLLOGISM.
342. | Bearing of the existential interpretation of propositions upon the validity of syllogistic reasonings | 390
343. | Connexion between the truth and falsity of premisses and conclusion in a valid syllogism | 394
344. | Arguments from the truth of one premiss and the falsity of the other premiss in a valid syllogism, or from the falsity of one premiss to the truth of the conclusion, or from the truth of one premiss to the falsity of the conclusion | 396
345. | Numerical Moods of the Syllogism | 400
346 to 375. | Exercises | 403
|  | xx
CHAPTER IX.
THE CHARACTERISTICS OF INFERENCE.
376. | The Nature of Logical Inference | 413
377. | The Paradox of Inference | 414
378. | The nature of the difference that there must be between premisses and conclusion in an inference | 415
379. | The Direct Import and the Implications of a Proposition | 420
380. | Syllogisms and Immediate Inferences | 423
381. | The charge of petitio principii brought against Syllogistic Reasoning | 424
CHAPTER X.
EXAMPLES OF ARGUMENTS AND FALLACIES.
382 to 408. | Exercises | 431
APPENDIX A.
THE DOCTRINE OF DIVISION.
409. | Logical Division | 441
410. | Physical Division, Metaphysical Division, and Verbal Division | 442
411. | Rules of Logical Division | 443
412. | Division by Dichotomy | 445
413. | The place of the Doctrine of Division in Logic | 446
APPENDIX B.
THE FUNDAMENTAL LAWS OF THOUGHT.
414. | The Three Laws of Thought | 450
415. | The Law of Identity | 451
416. | The Law of Contradiction | 454
417. | The Sophism of “The Liar” | 457
418. | The Law of Excluded Middle | 458
419. | Grounds on which the absolute universality and necessity of the law of excluded middle have been denied | 460
420. | Are the Laws of Thought also Laws of Things? | 463
421. | Mutual Relations of the three Laws of Thought | 464
422. | The Laws of Thought in relation to Immediate Inferences | 464
423. | The Laws of Thought and Formal Mediate Inferences | 466
|  | xxi
APPENDIX C.
 A GENERALISATION OF LOGICAL PROCESSES IN THEIR APPLICATION TO COMPLEX PROPOSITIONS.
CHAPTER I.
THE COMBINATION OF TERMS.
424. | Complex Terms | 468
425. | Order of Combination in Complex Terms | 469
426. | The Opposition of Complex Terms | 470
427. | Duality of Formal Equivalences in the case of Complex Terms | 472
428. | Laws of Distribution | 472
429. | Laws of Tautology | 473
430. | Laws of Development and Reduction | 474
431. | Laws of Absorption | 475
432. | Laws of Exclusion and Inclusion | 475
433. | Summary of Formal Equivalences of Complex Terms | 475
434. | The Conjunctive Combination of Alternative Terms | 478
435 to 439. | Exercises | 477
CHAPTER II.
COMPLEX PROPOSITIONS AND COMPOUND PROPOSITIONS.
440. | Complex Propositions | 478
441. | The Opposition of Complex Propositions | 478
442. | Compound Propositions | 478
443. | The Opposition of Compound Propositions | 480
444. | Formal Equivalences of Compound Propositions | 480
445. | The Simplification of Complex Propositions | 481
446. | The Resolution of Universal Complex Propositions into Equivalent Compound Propositions | 483
447. | The Resolution of Particular Complex Propositions into Equivalent Compound Propositions | 484
448. | The Omission of Terms from Complex Propositions | 485
449. | The Introduction of Terms into Complex Propositions | 485
450. | Interpretation of Anomalous Forms | 486
451 to 453. | Exercises | 487
|  | xxii
CHAPTER III.
IMMEDIATE INFERENCES FROM COMPLEX PROPOSITIONS.
454. | The Obversion of Complex Propositions | 488
455. | The Conversion of Complex Propositions | 489
456. | The Contraposition of Complex Propositions | 490
457. | Summary of the results obtainable by Obversion, Conversion, and Contraposition | 493
458 to 473. | Exercises | 494
CHAPTER IV.
THE COMBINATION OF COMPLEX PROPOSITIONS.
474. | The Problem of combining Complex Propositions | 498
475. | The Conjunctive Combination of Universal Affirmatives | 498
476. | The Conjunctive Combination of Universal Negatives | 499
477. | The Conjunctive Combination of Universals with Particulars of the same Quality | 500
478. | The Conjunctive Combination of Affirmatives with Negatives | 501
479. | The Conjunctive Combination of Particulars with Particulars | 501
480. | The Alternative Combination of Universal Propositions | 502
481. | The Alternative Combination of Particular Propositions | 502
482. | The Alternative Combination of Particulars with Universals | 502
483 to 486. | Exercises | 503
CHAPTER V.
INFERENCES FROM COMBINATIONS OF COMPLEX PROPOSITIONS.
487. | Conditions under which a universal proposition affords information in regard to any given term | 504
488. | Information jointly afforded by a series of universal propositions with regard to any given term | 506
489. | The Problem of Elimination | 508
490. | Elimination from Universal Affirmatives | 509
491. | Elimination from Universal Negatives | 510
492. | Elimination from Particular Affirmatives | 511
493. | Elimination from Particular Negatives | 511
494. | Order of procedure in the process of elimination | 511
495 to 533. | Exercises | 512
|  | xxiii
CHAPTER VI.
THE INVERSE PROBLEM.
534. | Nature of the Inverse Problem | 525
535. | A General Solution of the Inverse Problem | 527
536. | Another Method of Solution of the Inverse Problem | 530
537. | A Third Method of Solution of the Inverse Problem | 531
538. | Mr Johnson’s Notation for the Solution of Logical Problems | 533
539. | The Inverse Problem and Schröder’s Law of Reciprocal Equivalences | 534
540 to 550. | Exercises | 535
INDEX |  | 539

xxiv

СПРАВОЧНЫЙ СПИСОК НАЧАЛЬНЫХ БУКВ, УКАЗЫВАЮЩИХ НА АВТОРСТВО ИЛИ ИСТОЧНИК ВОПРОСОВ И ЗАДАЧ.

B = профессор Дж. И. Бир, Тринити-колледж, Дублин;

C = Кембриджский университет;

J = г-н У. Э. Джонсон, Королевский колледж, Кембридж;

K = д-р Дж. Н. Кейнс, Пембрук-колледж, Кембридж;

L = Лондонский университет;

M = Мельбурнский университет;

N = профессор Дж. С. Николсон, Эдинбургский университет;

O = Оксфордский университет;

O’S = г-н К. А. О’Салливан, Тринити-колледж, Дублин;

R = покойный профессор Г. Крум Робертсон;

RR = г-н Р. А. П. Роджерс, Тринити-колледж, Дублин;

T = д-р Ф. А. Тарлтон, Тринити-колледж, Дублин;

V = д-р Дж. Венн, колледж Гонвилл и Киз, Кембридж;

W = профессор Дж. Уорд, Тринити-колледж, Кембридж.

Примечание. Несколько задач были выбраны из опубликованных работ Буля, Де Моргана, Джевонса, Солли, Венна и Уэйтли, из «Логики Пор-Рояля» и из «Исследований по логике» университета Джонса Хопкинса. В этих случаях источник задачи приводится полностью.

ИССЛЕДОВАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. Общий характер логики. — Логику можно определить как науку, исследующую общие принципы правильного мышления. Ее цель — обсудить характеристики суждений, рассматриваемых не как психологические феномены, а как выражение наших знаний и убеждений; и, в частности, она стремится определить условия, при которых мы оправданно переходим от данных суждений к другим суждениям, вытекающим из них.

Определенная таким образом, логика имеет в виду идеал; она фундаментально касается того, как мы должны мыслить, и лишь косвенно и как средство достижения цели — того, как мы мыслим на самом деле. Соответственно, ее можно описать как нормативную или регулятивную науку. Этот характер она имеет общим с этикой и эстетикой. Эти три области знания — все они основаны на психологии — образуют уникальное трио, которое следует отличать от позитивных наук, с одной стороны, и от практических искусств — с другой. Можно грубо сказать, что они касаются идеала в областях мышления, действия и чувства соответственно. Логика стремится определить общие принципы правильного мышления, этика — общие принципы правильного поведения, эстетика — общие принципы правильного вкуса.

2. Формальная логика. — Что касается сферы логики, один из главных вопросов, обычно поднимаемых, заключается в том, является ли наука формальной или материальной, субъективной или объективной, занимается ли она мыслями или вещами. Обычно говорят, что логика является формальной, поскольку она касается лишь формы мышления, то есть нашего способа мышления независимо от конкретных объектов, о которых мы мыслим; и что она является материальной, поскольку она рассматривает как фундаментальную объективную отнесенность нашего мышления и признает как имеющие существенное значение различия, существующие в самих объектах, о которых мы мыслим.

Логика, безусловно, формальна, или, во всяком случае, нематериальна в том смысле, что она не может гарантировать фактическую объективную или материальную истинность каких-либо конкретных выводов. Более того, любое правильное рассуждение должно соответствовать некоторому определенному типу, или, иными словами, должно быть сводимо к некоторой детерминированной форме; и одна из главных целей логики — путем абстракции обнаружить, каковы различные типы или формы, к которым могут быть сведены все правильные рассуждения.

Но, с другой стороны, существенно, чтобы логика признавала объективную отнесенность в каждом суждении, то есть отнесенность вне состояния ума, которое составляет само суждение: помимо этого, как мы постараемся показать более подробно позже, истинная природа суждения не может быть понята. Более того, логика может исследовать и формулировать некоторые общие условия, которые должны быть удовлетворены, если наши мысли и суждения должны иметь объективную значимость; и наука может признавать и обсуждать некоторые общие предпосылки, относящиеся к внешней природе, которые вовлечены в переход от конкретных фактов наблюдения к общим законам.

Логика в полном объеме имеет, таким образом, как формальную, так и материальную сторону. Можно действительно поставить вопрос, не является ли различие между формой и материей скорее относительным, чем абсолютным. Все науки в некотором смысле формальны, поскольку они в той или иной степени абстрагируются от материи мышления. Так, физика абстрагируется в основном от химических свойств тел, в то время как геометрия абстрагируется также от их физических свойств, рассматривая только их фигуру. Таким образом, мы становимся все более формальными по мере того, как становимся все более общими; и можно сказать, что логика является более абстрактной, более общей, более формальной, чем любая другая наука, за исключением, пожалуй, чистой математики.

Следует добавить, что в рамках самой логики ответ на вопрос, имеют ли две данные пропозиции одну и ту же форму или нет, может зависеть от конкретной системы пропозиций, в связи с которой они рассматриваются. Так, если мы не углубляем наш анализ дальше, чем это принято в обычной формальной логике, две пропозиции: «Каждый угол в полукруге равен прямому углу», «Любые две стороны треугольника вместе больше третьей стороны» — могут считаться идентичными по форме. Каждая из них является универсальной, и каждая является утвердительной; они различаются только по материи. Но выяснится, что в логике отношений, к которой впоследствии будет сделана отсылка, две пропозиции (одна выражающая равенство, а другая — неравенство) могут рассматриваться как различающиеся по форме, а также по материи; и, более того, что различие между ними по форме может быть символически выражено.

Трудность определения отличительной сферы формальной логики par excellence возрастает из-за того факта, что некоторые проблемы, естественно попадающие в область материальной логики — например, индуктивные методы — допускают до определенной степени чисто формальную трактовку.

Невозможно, таким образом, провести жесткую линию и сказать, что определенная детерминированная часть логики является формальной, а остальная — неформальной. Мы должны удовлетвориться утверждением, что когда мы говорим о формальной логике в отличительном смысле, мы имеем в виду наиболее абстрактные части науки, в которых не делается никаких предпосылок, относящихся к внешней природе, и в которых — помимо признания необходимой объективной отнесенности, содержащейся во всех суждениях — происходит абстрагирование от материи мышления. Поскольку они столь абстрактны, проблемы формальной логики в таком понимании обычно допускают символическую трактовку; и именно проблемами, допускающими такую трактовку, мы будем более конкретно заниматься на следующих страницах.

3. Логика и язык. — Некоторые логики в своей трактовке проблем формальной логики стремятся абстрагироваться не только от материи мышления, но и от языка, который является инструментом мышления. Этот метод трактовки не принят на следующих страницах. Чтобы оправдать принятие альтернативного метода, нет необходимости утверждать, что мышление совершенно невозможно без языка. Достаточно того, что все мыслительные процессы любой степени сложности на самом деле осуществляются с помощью языка и что продукты мышления обычно выражаются в языке. То, что язык в этом смысле является универсальным инструментом мышления, не будет отрицаться; и кажется справедливым следствием, что принципы, которыми регулируется правильное мышление, и особенно применение этих принципов к критике продуктов мышления, не могут быть адекватно обсуждены, если не принять во внимание то, как этот инструмент фактически выполняет свои функции.

Язык полон двусмысленностей, и невозможно далеко продвинуться в решении проблем, которыми занимается логика, пока не будет дана точная интерпретация определенным формам слов как представляющим мышление. В обычном дискурсе, чтобы взять простой пример, слово «некоторые» может использоваться или не использоваться в смысле, исключающем «все»; оно может пониматься как означающее «не-все», а также «не-ни одного», или его полное значение может быть принято как «не-ни одного». Логик должен решить, в каком из этих смыслов слово должно пониматься в любой данной схеме пропозициональных форм. Теперь, если бы мышление рассматривалось исключительно само по себе, такой вопрос не мог бы возникнуть; он имеет отношение к выражению мышления в языке. Тот факт, что такие вопросы возникают и не могут не возникать, показывает, что фактически исключить все рассмотрение языка из логики — невозможность. Нередким результатом попытки подняться над простыми соображениями языка является ненужная многословность и догматизм в отношении того, что на самом деле является вербальными вопросами, хотя они и не признаются таковыми.

Метод трактовки логики, здесь отстаиваемый, иногда называют номиналистским, а противоположный метод — концептуалистским. Однако желательно слово или два объяснения, чтобы это использование терминов не оказалось вводящим в заблуждение. Номинализм и концептуализм обычно обозначают определенные доктрины относительно природы общих понятий. Номинализм понимается как включающий утверждение, что общность принадлежит только языку и что в мышлении нет ничего общего. Но так называемая номиналистская трактовка логики не включает этого. Она включает не более чем ясное признание важности языка как инструмента мышления; и это обстоятельство, на котором настаивали сами современные сторонники концептуализма.

Пожалуй, необходимо добавить, что при принятом здесь взгляде логика никоим образом не становится просто отраслью грамматики, и она не перестает занимать место среди ментальных наук. Какова бы ни была помощь, получаемая от языка, остается верным, что правильность формальных рассуждений зависит в конечном счете от законов мышления. Формальная логика, следовательно, все еще касается прежде всего мышления, и лишь во вторую очередь — языка как инструмента мышления.

В нашем последующем обсуждении отношения терминов к концептам и пропозиций к суждениям мы вернемся к рассмотрению вопроса, поднятого в этом разделе.

2 См. разделы 7 и 46.

4. Логика и психология. — Поскольку процессы рассуждения являются ментальными процессами, зависящими от устройства нашего ума, они подпадают под ведение психологии, так же как и логики. Но законы рассуждения рассматриваются с разных точек зрения этими двумя науками. Психология имеет дело с такими законами в смысле единообразий, то есть как законами, в соответствии с которыми люди, как показывает опыт, обычно мыслят и рассуждают. Логика, с другой стороны, имеет дело с законами рассуждения как регулятивными и авторитетными, как предоставляющими критерии, с помощью которых можно различать правильные и неправильные рассуждения, и как определяющими формальные отношения, в которых различные продукты мышления стоят друг к другу.

Рассматривая отношения между логикой и психологией с несколько иной точки зрения, мы замечаем, что в то время как последняя имеет дело с фактическим, первая имеет дело с идеальным. Логика не рассматривает, подобно психологии, все способы, которыми люди фактически приходят к выводам, или все различные способы, которыми через ассоциацию идей или иным образом одно убеждение фактически порождает другое. Она имеет дело с рассуждениями только в отношении их убедительности, и с зависимостью одного суждения от другого только в той мере, в какой это зависимость в отношении доказательства.

Существуют различные другие способы, которыми может быть выражен контраст между двумя науками. Мы можем, например, сказать, что психология имеет дело с мыслительными процессами, логика — с продуктами мышления; или что психология имеет дело с происхождением наших убеждений, логика — с их правильностью.

Логика имеет, таким образом, уникальный характер, присущий только ей, и не является просто отраслью психологии. Психологические и логические дискуссии, несомненно, склонны перекрывать друг друга в определенных точках, в связи, например, с теориями концепции и суждения. На следующих страницах, однако, психологическая сторона логики затрагивается сравнительно мало. Метафизические вопросы, к которым логика имеет тенденцию приводить, также по возможности избегаются.

5. Полезность логики. — Мы видели, что логика имеет в виду идеал и трактует о том, что должно быть. Ее цель, однако, состоит в исследовании общих принципов, и она не выдвигает претензий на то, чтобы быть практическим искусством. Ее полезность, соответственно, не должна измеряться какой-либо прямой помощью, которую она может оказать в достижении конкретных научных истин. Несомненно, процедура во всех науках подчиняется общим принципам, сформулированным логикой; но в деталях взвешивание доказательств часто лучше выполняется суждением эксперта, чем каким-либо формальным или систематическим соблюдением логических правил.

Важно помнить, что в изучении логики наша непосредственная цель — научное исследование общих принципов, признанных авторитетными в отношении продуктов мышления, а не формулирование системы правил и предписаний. Можно сказать, что искусство обращения с конкретными аргументами с целью определения их правильности относится к науке логики так же, как искусство казуистики (то есть искусство решать, что правильно делать в конкретных обстоятельствах) относится к науке этики. Более того, точно так же, как в искусстве казуистики мы встречаем проблемы, которые неуловимы и трудны для решения, потому что в конкретном виде они не могут быть точно подведены под абстрактные формулы этической науки, так и в искусстве обнаружения софизмов мы встречаем аргументы, которые нелегко подвести под абстрактные формулы логической науки. Как было бы ошибкой подчинять этику трактовке казуистических вопросов, так было бы ошибкой формировать науку логики с постоянной отсылкой к конкретным аргументам, которые либо из-за двусмысленности используемых терминов, либо из-за неопределенного значения контекста, в котором они встречаются, ускользают от любой попытки свести их к форме, к которой непосредственно применимы общие принципы.

В чем же тогда состоит полезность логики? В ответ на этот вопрос можно заметить прежде всего, что если логика истинно определяет принципы правильного мышления, то ее изучение ценно просто тем, что оно добавляет к нашим знаниям. Чтобы оправдать изучение логики, достаточно, как заметил Мансел, показать, что то, чему она учит, истинно, и что с ее помощью мы продвигаемся в познании самих себя и наших способностей.

К этому следует добавить (в уточнение того, что было сказано ранее), что, хотя логику не следует рассматривать как искусство достижения истины, она все же обладает полезностью как пропедевтика к другим исследованиям и независимо от того вклада, который она вносит в наши знания. Софистические аргументы, несомненно, обычно могут быть распознаны как таковые острым интеллектом независимо от какого-либо изучения логики; и, как мы видели, не является первичной функцией логики иметь дело с конкретными аргументами. В то же время только с помощью логики мы можем проанализировать рассуждение, точно объяснить, почему софистический аргумент ошибочен, и дать софизму имя. Другими словами, хотя логику не следует отождествлять с критикой конкретных аргументов, такая критика, когда она предпринимается систематически, должна основываться на логике.

Однако больше, чем косвенная ценность логики в ее последующем применении к исследованию конкретных рассуждений, — это ее ценность как общей интеллектуальной дисциплины. Изучение логики культивирует силу абстрактного мышления; и не будет преувеличением сказать, что при тщательном подходе она дает уникальную ментальную тренировку.

ЧАСТЬ I.

ТЕРМИНЫ.

ГЛАВА I.

ЛОГИКА ТЕРМИНОВ.

6. Три части логической доктрины. — Было принято делить логическую доктрину на три части, имеющие дело соответственно с терминами (или концептами), пропозициями (или суждениями) и рассуждениями; и будет удобно принять это расположение в настоящем трактате. В то же время мы можем попутно коснуться некоторых возражений, которые были выдвинуты против этого способа трактовки предмета.

Г-н Бозанкет рассматривает логику в двух частях, а не в трех, не давая отдельного обсуждения имен (или концептов). Его главное основание для принятия этой позиции заключается в том, что «имя или концепт не имеет реальности в живом языке или живом мышлении, кроме как при отнесении к своему месту в пропозиции или суждении» («Основы логики», стр. 87). Он настаивает, что «мы не должны думать о пропозициях как о построенных путем сложения слов или имен, но о словах или именах как о различимых, хотя и не отделимых элементах в пропозициях». В этом аргументе есть несомненная сила, и следует обратить внимание на моменты, поднятые г-ном Бозанкетом, даже если мы не придем к точно такому же выводу.

Логика по существу касается истины и ложности как характеристик мышления, а истина и ложность воплощены в суждениях, и только в суждениях. Следовательно, суждение (или пропозиция как выражение суждения) может рассматриваться как фундаментально логическая единица. Более того, теперь было бы общепризнано, что концепт сам по себе не является полным ментальным состоянием, а реализуется только при возникновении в контексте. Соответственно, имя само по себе не выражает никакого ментального состояния. Если произносится просто имя, оно оставляет нас в состоянии ожидания, за исключением случаев, когда оно является сокращенным выражением пропозиции, как это может быть при ответе на вопрос или когда особые обстоятельства или манера его произнесения связывают его с контекстом, который придает ему предикативную силу.

В то же время в идеальном анализе развитое суждение дает концепт как, во всяком случае, различимый элемент, из которого оно состоит, в то время как пропозиция аналогично дает термин; и для того, чтобы смысл суждений и пропозиций мог быть правильно понят, необходимо некоторое обсуждение концептов и терминов.

Вопрос о надлежащем порядке рассмотрения остается. При рассмотрении этого вопроса нам не нужно беспокоить себя вопросом о том, имеет ли концепт или суждение психологический приоритет, то есть о том, требует ли в первом случае процесс формирования суждений, чтобы концепты были уже сформированы, или, с другой стороны, сам процесс формирования концепций включает формирование суждений, или же оба процесса идут pari passu. Достаточно того, что развитое суждение и пропозиция, как мы имеем с ними дело в логике, дают соответственно концепт и термин как элементы, из которых они состоят.

Мы дадим отдельное обсуждение терминов и приступим к этой части предмета до обсуждения пропозиций. Но при этом мы будем стараться постоянно помнить, что пропозиция является истинной логической единицей и что логический смысл терминов не может быть правильно понят иначе, как в связи с их использованием в пропозициях.

3 В этой связи можно обратить внимание на известное изречение Милля о том, что «имена — это имена вещей, а не наших идей». Вне своего контекста сила этой антитезы может быть легко понята неправильно. Ясно, что каждое имя, которое используется в понятном смысле, должно иметь некоторый ментальный эквивалент, должно вызывать ту или иную идею в нашем уме и поэтому в этом смысле должно быть именем идеи. Однако не в намерении Милля отрицать это. Также, с другой стороны, он не намерен утверждать, что вещи фактически существуют, соответствующие всем именам, которые мы используем. Его изречение на самом деле имеет отношение к предикации. Он имеет в виду, что когда какое-либо имя появляется как субъект пропозиции, утверждение делается не о соответствующей идее, а о чем-то, что отлично как от имени, так и от идеи, хотя оба связаны с ним. Он, по сути, утверждает объективную отнесенность, которая существенна для концепции истины или ложности. Обсуждение, следовательно, можно сказать, является должным образом частью обсуждения смысла пропозиций, а не имен, и оно, безусловно, было бы менее озадачивающим, если бы оно было введено в этой связи. Наша особая цель, однако, при обращении к этому вопросу здесь — не критиковать Милля, а проиллюстрировать трудность обсуждения имен логически отдельно от использования, которое может быть сделано из них для целей предикации.

7. Имена и концепты. — Мы в предыдущем разделе говорили более или менее неразборчиво об именах (или терминах) и о концептах, и это было намеренно. Мы уже выразили наше несогласие с теми, кто исключил бы из логики все рассмотрение языка. Наши суждения не могут иметь определенности и универсальной значимости, если идеи, которые входят в них, не зафиксированы и не определены; и, помимо помощи, которую мы получаем от языка, наши идеи не могут быть таким образом зафиксированы и определены.

Поэтому ошибкой является трактовка концептов в исключение имен. Но, с другой стороны, мы не должны забывать, что логик имеет дело с именами только как представляющими идеи. Его реальная цель — трактовать идеи, хотя он может считать более мудрым делать это не прямо, а косвенно, рассматривая имена, которыми идеи представлены. По этой причине хорошо, по крайней мере время от времени, ссылаться прямо на концепт.

Так называемая концептуалистская школа логиков склонна в своей трактовке первой части логической доктрины обсуждать проблемы заметно психологического характера, как, например, способ формирования концептов и спор между концептуализмом и номинализмом. Помимо, однако, того факта, что концептуалистские логики не проводят столь ясной линии различия, как номиналисты, между логикой и психологией, различие между двумя школами в значительной степени является просто различием фразеологии. Практически одни и те же моменты, например, поднимаются, обсуждаем ли мы экстенсию и интенсию концептов или денотацию и коннотацию имен. В то же время следует сказать, что попытка иметь дело с интенсией концептов при полном исключении любого рассмотрения коннотации имен, по-видимому, ответственна за немалую путаницу.

8. Логика терминов. — Внимание уже было обращено на отношение зависимости, которое существует между логикой терминов и логикой пропозиций. Выяснится, что мы не можем в общем случае полностью определить логические характеристики данного имени без явной отсылки к его использованию как составляющей пропозиции. Мы не можем снова должным образом обсудить или понять смысл так называемых отрицательных имен без отсылки к отрицательным суждениям.

Необходимо добавить, что при работе с различиями между именами логику, который следует хотя бы отчасти традиционным линиям, особенно трудно избежать обсуждения проблем, которые более уместно принадлежат психологии, метафизике или грамматике; и на некоторые из вопросов, которые возникают, едва ли возможно дать полностью удовлетворительный ответ с чисто логической точки зрения. Это замечание относится особенно к различию между абстрактными и конкретными терминами, различию, более того, которое имеет мало дальнейшей логической полезности или значимости. Оно введено на следующих страницах в соответствии с обычаем; но адекватно различать вещи и их атрибуты — это функция метафизики, а не логики. Часть логики терминов (или концептов), которой придается наибольшее значение, — это та, которая касается различия между экстенсией и интенсией.

9. Общие и сингулярные имена. — Общее имя — это имя, которое фактически или потенциально предикативно в одном и том же смысле для каждого из неопределенного числа единиц; сингулярное или индивидуальное имя — это имя, которое понимается в конкретных обстоятельствах, в которых оно используется, для обозначения только одной детерминированной единицы.

Природа и логическая важность этого различия могут быть проиллюстрированы рассмотрением имен как субъектов пропозиций. Общее имя — это имя делимого класса, и предикация возможна в отношении всего класса или его части; сингулярное имя — это имя неделимой единицы. Следовательно, мы можем принять в качестве теста или критерия общего имени возможность добавления к нему «все» или «некоторые» с каким-либо смыслом.

Так, «премьер-министр Англии» — это общее имя, поскольку оно применимо к более чем одному индивиду, и могут быть сделаны утверждения, которые верны для всех премьер-министров Англии или только для некоторых. Имя «Бог» является сингулярным для монотеиста как имя Божества, общим для политеиста или как имя любого объекта поклонения. «Вселенная» является общим в той мере, в какой мы различаем разные виды вселенных, например, материальная вселенная, земная вселенная и т. д.; оно является сингулярным, если мы имеем в виду совокупность всех вещей. «Пространство» является общим, если мы имеем в виду любую часть пространства, сингулярным, если мы имеем в виду пространство в целом. «Вода» является общим. Профессор Бэйн придерживается здесь другого взгляда; он говорит: «Имена материала — земля, камень, соль, ртуть, вода, пламя — являются сингулярными. Они каждое обозначают всю совокупность одного вида материала» («Логика», «Дедукция», стр. 48, 49). Но когда мы предикатируем что-либо об этих терминах, это обычно относится к любой части (или к некоторой конкретной части) рассматриваемого материала, а не ко всей его совокупности, рассматриваемой как один агрегат; так, если мы говорим: «Вода состоит из кислорода и водорода», мы имеем в виду любую и каждую частицу воды, и имя имеет все отличительные характеристики общего имени. Опять же, мы можем отличить эту воду от той воды, и мы можем сказать: «некоторая вода не пригодна для питья»; но слово «некоторые» не может, как мы видели выше, быть прикреплено к действительно сингулярному имени. Аналогично в отношении других рассматриваемых терминов. Также следует заметить, что мы различаем разные виды камня, соли и т. д. 4

4 Термины такого рода, обсуждаемые здесь, называются Джевонсом «субстанциальными терминами». (См. «Принципы науки», 2, § 4.) Их особенность в том, что, хотя они конкретны, вещи, обозначаемые ими, обладают своеобразной однородностью или единообразием структуры; также мы, как правило, не используем неопределенный артикль с ними, как мы делаем с другими общими именами.

Имя должно рассматриваться как общее, если оно потенциально предикативно для более чем одного объекта, хотя на самом деле случается, что оно может быть истинно утверждено только об одном, например, «английский суверен, женатый шесть раз». Действительно сингулярное имя даже потенциально не применимо к более чем одному индивиду; например, «последний из могикан», «старший сын короля Эдуарда Первого». Это может быть выражено иначе, сказав, что действительно сингулярное имя подразумевает в своем значении уникальность соответствующего объекта. Мы можем взять в качестве примеров «summum bonum», «центр тяжести материальной вселенной». Нелегко найти такие имена, кроме случаев, когда уникальность проистекает из какого-либо явного или неявного ограничения во времени или пространстве или из какого-либо отношения к объекту, обозначаемому собственным именем. Даже в таком случае, как «центр тяжести материальной вселенной», представляется необходимым некоторое ограничение во времени, ибо центр тяжести вселенной может быть по-разному расположен в разные периоды.

Любое общее имя может быть преобразовано в сингулярное имя с помощью индивидуализирующего префикса, такого как указательное местоимение (например, «эта книга»), или с помощью использования определенного артикля, который обычно указывает на ограничение до одного детерминированного лица или вещи (например, «Королева», «полярная звезда»). Такое ограничение с помощью определенного артикля иногда может нуждаться в интерпретации контекстом, например, «сад», «река»; в других случаях вводится некоторое ограничение места, времени или обстоятельства, которое недвусмысленно определяет индивидуальную отнесенность, например, «первый человек», «нынешний лорд-канцлер», «автор Потерянного рая».

С другой стороны, пропозиции с сингулярными именами в качестве субъектов иногда могут допускать подразделение на универсальные и частные. Это случай, когда в отношении разных времен или разных условий делается или подразумевается различие в отношении способа существования, фактического или потенциального, объекта, обозначаемого именем: например, «Гомер иногда дремлет», «Нынешний Папа всегда живет в Ватикане», «Эта страна иногда подвержена землетрясениям». 5

5 Сравните разделы 70 и 82.

10. Собственные имена. — Собственное имя — это имя, назначенное как метка для различения индивидуального лица или вещи от других, без подразумевания в своем значении обладания индивидом, о котором идет речь, какими-либо специфическими атрибутами. Такие имена даются объектам, которые обладают интересом в отношении своей индивидуальности и независимо от их специфической природы. По большей части они ограничены лицами и местами; но они также даются домашним животным, а иногда и неодушевленным объектам, к которым привязана ценность привязанности, как, например, детьми к своим куклам. Собственные имена образуют подкласс сингулярных имен, отличаясь от сингулярных имен, примеры которых были даны в предыдущем разделе, тем, что они обозначают индивидуальные объекты, не передавая при этом обязательно никакой информации о конкретных свойствах, принадлежащих этим объектам. 6

6 Собственные имена далее обсуждаются в разделе 25 в связи с коннотацией имен.

Многие собственные имена, например, «Джон», «Виктория», на самом деле присвоены более чем одному индивиду; но они не являются поэтому общими именами, поскольку в каждом конкретном случае их использования, за исключением отмеченного ниже, существует подразумеваемая отнесенность только к одному детерминированному индивиду. Более того, нет никакого подразумевания, что разные индивиды, которые могут случайно называться одним и тем же собственным именем, имеют это имя, присвоенное им из-за свойств, которыми они обладают в общем. 7 Исключение, упомянутое выше, происходит, когда мы говорим о классе, состоящем из тех, кто носит имя, и кто конституирован как отдельный класс только этой общей чертой: например, «Все Виктории почитаемы в своем имени», «Некоторые Джоны не англосаксонского происхождения, а негры». Субъекты таких пропозиций, как эти, однако, должны рассматриваться как эллиптические; записанные более полно, они становятся «все лица, называемые Виктория», «некоторые индивиды, называемые Джон».

7 Профессор Бэйн выявляет это различие в своем определении общего имени: «Общее имя применимо к ряду вещей в силу того, что они подобны или имеют что-то общее».

11. Коллективные имена. — Коллективное имя — это имя, которое применяется к группе подобных вещей, рассматриваемых как составляющие единое целое; например, «полк», «нация», «армия». Неколлективное имя, например, «камень», может также быть именем чего-то, что состоит из ряда точно подобных частей, но это не присутствует таким же образом в уме при использовании имени. 8

8 К коллективному имени, как определено выше, нет отличительного антитетического термина в обычном использовании. Антитеза между коллективным и дистрибутивным использованием имен возникает, как мы увидим, только в связи с предикацией.

Коллективное имя может быть сингулярным или общим. Это имя группы или коллекции вещей, и в той мере, в какой оно способно быть правильно утверждено в одном и том же смысле только об одной такой группе, оно является сингулярным; например, «29-й пехотный полк», «английская нация», «Бодлианская библиотека». Но если оно способно быть правильно утверждено в одном и том же смысле о каждой из нескольких таких групп, оно должно рассматриваться как общее; например, «полк», «нация», «библиотека». 9

9 Д-р Венн указывает, что некоторые собственные имена могут рассматриваться как коллективные, хотя такие имена не являются обычными. «Один пример их представлен в случае географических групп. Например, Сейшелы и Пиренеи являются отчетливо, в их нынешнем использовании, собственными именами, обозначающими соответственно две группы вещей. Они просто обозначают эти группы и не дают нам никакой информации о каких-либо их характеристиках» («Эмпирическая логика», стр. 172).

Некоторые логики подразумевают антитезу между коллективными и общими именами, либо рассматривая коллективы как подкласс сингуляров, либо признавая трехчастное деление на сингулярные, коллективные и общие. Собственно говоря, такой антитезы нет; и обе вышеуказанные альтернативы должны рассматриваться как вводящие в заблуждение, если не фактически ошибочные; ибо, как мы только что видели, класс коллективных имен перекрывает каждый из других классов.

Правильная и действительно важная логическая антитеза — между коллективным и дистрибутивным использованием имен. Коллективное имя, такое как «нация», или любое имя во множественном числе, является именем коллекции или группы подобных вещей. Мы можем рассматривать их как одно целое, и что-то может быть предикатировано о них, что верно для них только как целого; в этом случае имя используется коллективно. С другой стороны, группа может рассматриваться как ряд единиц, и что-то может быть предикатировано о них, что верно для них, взятых индивидуально; в этом случае имя используется дистрибутивно. 10

10 Д-р Венн («Эмпирическая логика», стр. 170) утверждает, что субстанциальные термины всегда используются коллективно, когда они появляются как субъекты общих пропозиций. Если, однако, мы возьмем такую пропозицию, как «Масло легче воды», кажется ясным, что субъект используется не коллективно, а дистрибутивно; ибо утверждение делается о каждой и всякой части масла, тогда как если бы мы использовали термин коллективно, наше утверждение применялось бы только ко всем частям, взятым вместе. То же самое ясно верно и в других случаях; например, в пропозициях: «Вода состоит из кислорода и водорода», «Лед тает, когда температура поднимается выше 32° по Фаренгейту».

Вышеуказанное различие может быть проиллюстрировано пропозициями: «Все углы треугольника равны двум прямым углам», «Все углы треугольника меньше двух прямых углов». В первом случае предикация верна только для углов, взятых вместе, в то время как во втором она верна только для каждого из них, взятого отдельно; в первом случае, следовательно, термин используется коллективно, во втором — дистрибутивно. Сравните снова пропозиции: «Люди заполнили церковь», «Люди все упали на колени». 11

11 Когда в аргументе мы переходим от коллективного к дистрибутивному использованию термина, или наоборот, мы имеем то, что технически называется софизмом деления или композиции, в зависимости от случая. Ниже приведены примеры: Люди, которые посещали Великую церковь Св. Марии, внесли больше, чем те, кто посещал Малую церковь Св. Марии, следовательно, А (который посещал первую) дал больше, чем Б (который посещал вторую); Все углы треугольника меньше двух прямых углов, следовательно, А, Б и В, которые являются всеми углами треугольника, вместе меньше двух прямых углов. Смысл старой загадки «Почему белые овцы едят больше, чем черные?» состоит в неожиданном использовании терминов коллективно вместо дистрибутивно.

12. Конкретные и абстрактные имена. — Различие между конкретными и абстрактными именами, как оно обычно понимается, может быть наиболее кратко выражено следующим образом: конкретное имя — это имя вещи, тогда как абстрактное имя — это имя атрибута. Однако сразу же возникает вопрос о том, что подразумевается под вещью в отличие от атрибута; и единственный ответ, который можно дать, заключается в том, что под вещью мы понимаем все, что рассматривается как обладающее атрибутами. По-видимому, наши определения можно сделать более точными, сказав, что конкретное имя — это имя всего, что рассматривается как обладающее атрибутами, т. е. как субъект атрибутов; в то время как абстрактное имя — это имя всего, что рассматривается как атрибут чего-то другого, т. е. как атрибут субъектов.

12. Это различие иногда выражают, говоря, что абстрактное имя — это имя атрибута, а конкретное имя — это имя субстанции. Если под субстанцией подразумевается лишь то, что обладает атрибутами, то это различие эквивалентно приведенному в тексте; но если, как это обычно бывает, термину придается более полное значение, то деление имен на абстрактные и конкретные перестает быть исчерпывающим. Возьмем такие имена, как «астрономия», «пропозиция», «треугольник»: эти имена, безусловно, не обозначают атрибуты; но, с другой стороны, кажется парадоксальным рассматривать их как имена субстанций. В целом, поэтому, в данной связи лучше избегать термина «субстанция».

17. Это различие в большинстве случаев легко применимо; например, «плоский треугольник» — это имя всех фигур, обладающих атрибутом ограниченности тремя прямыми линиями, и это конкретное имя; «треугольность» — это имя данного отличительного атрибута треугольников, и это абстрактное имя. Аналогично, «человек», «живое существо», «щедрый» — это конкретные имена; «человечность», «жизнь», «щедрость» — соответствующие им абстрактные имена.

13. Следует заметить, что согласно приведенным выше определениям имя не называется абстрактным просто потому, что соответствующая идея является результатом абстракции, т. е. внимания к некоторым качествам вещи или класса вещей при исключении, насколько это возможно, других. В этом смысле все общие имена, такие как «человек», «живое существо» и т. д., были бы абстрактными.

Абстрактные и конкретные имена обычно идут парами, как в приведенных выше примерах. Конкретное общее имя — это имя класса вещей, сгруппированных вместе в силу какого-либо качества или набора качеств, которыми они обладают сообща; имя, данное самим качествам отдельно от индивидов, которым они принадлежат, является соответствующим абстрактным именем. Используя термины «коннотировать» и «денотировать» в их технических значениях, определенных в следующей главе, абстрактное имя денотирует качества, которые коннотируются соответствующим конкретным именем. Это отношение между конкретными и соответствующими им абстрактными именами является единственным моментом в связи с абстрактными и конкретными именами, который имеет реальное логическое значение, и можно заметить, что само по себе оно не порождает несколько бесплодных тонкостей, с которыми склонно ассоциироваться это различие. Ибо, когда даны два имени, которые связаны таким образом, никогда не возникнет трудностей в определении того, какое из них является конкретным, а какое абстрактным по отношению к другому.

14. Таким образом, для каждого общего конкретного имени существует или может быть сконструировано соответствующее абстрактное имя. Но это неверно для собственных имен или других сингулярных имен, рассматриваемых строго как таковые. Мы действительно можем иметь такие абстрактные имена, как «цезаризм» и «бисмаркизм». Однако эти имена денотируют не все дифференцирующие атрибуты Цезаря и Бисмарка соответственно, а лишь некоторые качества, предположительно являющиеся особо характерными для этих индивидов. Формируя вышеуказанные абстрактные имена, мы обобщаем и рассматриваем определенный тип характера и поведения, который, возможно, может быть общим для целого класса. Сравните стр. 45.

Но хотя различие является абсолютным и несомненным, когда имена даны таким образом в парах, применение наших определений отнюдь не всегда легко, когда мы рассматриваем имена сами по себе, а не в этом определенном отношении к другим именам. Мы действительно обнаружим, что если мы примем приведенные выше определения, то деление имен на абстрактные и конкретные не является исключающим в том смысле, что каждое имя может быть раз и навсегда отнесено исключительно к одной или другой из двух категорий.

Мы, во всяком случае, вынуждены прийти к этому, если однажды допустим, что атрибуты сами могут быть субъектами атрибутов, и трудно увидеть, как можно избежать этого допущения. Если, например, мы говорим, что «непунктуальность раздражает», мы приписываем атрибут «быть раздражающим» непунктуальности, которая сама по себе является атрибутом. «Непунктуальность», следовательно, хотя и является прежде всего абстрактным именем, может также использоваться таким образом, что она, согласно нашему определению, становится конкретной.

Аналогично, когда мы учитываем, что атрибут может проявляться в различных формах или в различных степенях, мы должны рассматривать его как нечто, что само может быть модифицировано добавлением дальнейшего атрибута; как, например, когда мы отличаем физическую храбрость от моральной храбрости, или белизну снега от белизны дыма, или когда мы замечаем, что красота алмаза отличается по своим характеристикам от красоты пейзажа.

Следовательно, если приняты обсуждаемые определения, мы приходим к выводу, что, хотя некоторые имена являются конкретными и никогда не бывают ничем иным, кроме как конкретными, имена, которые первоначально сформированы как абстрактные и продолжают использоваться в качестве таковых, склонны также использоваться как конкретные, то есть они являются именами атрибутов, которые сами могут рассматриваться как обладающие атрибутами. Они являются абстрактными именами, если смотреть на них в одном отношении, и конкретными, если смотреть в другом.

15. Использование одного и того же термина как абстрактного, так и конкретного описанным выше образом должно быть отделено от нередкого случая совсем иного рода, когда имя, первоначально абстрактное, меняет свое значение и начинает использоваться в смысле соответствующего конкретного; как, например, когда мы говорим «Божество», подразумевая под этим Бога, а не качества Бога. Сравните Джевонс, «Элементарные уроки логики», стр. 21, 22.

19. Следует признать, что этот результат парадоксален. Как дающий деление имен, которое не является исключающим, он также ненаучен. Существует два способа избежать этой трудности.

Во-первых, мы можем дополнительно модифицировать наши определения и сказать, что абстрактное имя — это имя всего, что может рассматриваться как атрибут чего-то другого (независимо от того, является ли оно само субъектом атрибутов или нет), в то время как конкретное имя — это имя того, что не может рассматриваться как атрибут чего-то другого. Это различие просто и легко применимо, оно соответствует общепринятому употреблению и удовлетворяет условию, что члены деления должны быть взаимно исключающими. Но можно сомневаться, имеет ли оно какую-либо логическую ценность.

Второй способ избежать трудности — отказаться для логических целей от различия между конкретными и абстрактными именами и заменить его различием между конкретным и абстрактным использованием имен. Имя тогда используется в конкретном смысле, когда вещь, называемая этим именем, рассматривается как субъект атрибутов, и в абстрактном смысле, когда вещь, называемая этим именем, рассматривается как атрибут субъектов. Из уже сказанного следует, что некоторые имена могут использоваться только как конкретные, в то время как другие могут использоваться либо как абстрактные, либо как конкретные. Это решение является удовлетворительным с логической точки зрения, поскольку логика занимается не именами как таковыми, а использованием имен в пропозициях. Можно добавить, что как логики мы имеем очень мало дела с абстрактным использованием имен. Рассмотрение значения пропозиций покажет, что когда имя появляется либо как субъект, либо как предикат невербальной пропозиции, его использование всегда является конкретным.

13. Могут ли абстрактные имена подразделяться на общие и сингулярные? — Вопрос о том, могут ли какие-либо абстрактные имена считаться общими, породил много разногласий среди логиков. С одной стороны, утверждается, что все абстрактные имена должны обязательно быть сингулярными, поскольку атрибут, рассматриваемый чисто как таковой и отдельно от своих конкретных проявлений, является единым и неделимым и не может допускать численного различения. С другой стороны, настаивают на том, что некоторые абстрактные имена определенно должны считаться общими, поскольку они являются именами атрибутов, для которых существуют различные виды или подразделения; и в подтверждение этого взгляда указывается, что мы часто пишем абстрактные имена во множественном числе, как когда говорим: «Краснота и желтизна — это цвета», «Терпение и кротость — это добродетели».

16. Это представляет взгляд, принятый Джевонсом. См. «Принципы науки», 2, § 3.

17. Сравните Милль, «Логика», i. 2, § 4.

Решение вопроса действительно зависит от нашего использования термина «абстрактный».

Если мы примем определение, данное в предпоследнем абзаце предыдущего раздела, и включим в абстрактные имена имена атрибутов, которые сами являются субъектами атрибутов, причем эти последние атрибуты, возможно, варьируются в разных случаях, тогда не может быть сомнений, что некоторые абстрактные имена являются общими; ибо они являются именами класса вещей, которые, имея нечто общее, также различимы inter se.

Однако, поскольку вопрос поднимается в отношении абстрактного (в отличие от конкретного) использования имен способом, указанным в последнем абзаце предыдущего раздела, мы приходим к выводу, что только когда имена используются в конкретном смысле, они могут считаться общими. Ибо ясно, что имя атрибута может быть описано как общее только в той мере, в какой атрибут рассматривается как проявляющий характеристики, которые варьируются в разных случаях, то есть только в той мере, в какой он сам является субъектом атрибутов; и когда атрибут рассматривается таким образом, имя используется в конкретном, а не в абстрактном смысле.

Возьмем пропозиции: «Некоторые цвета мучительно яркие», «Все желтые цвета приятны», «Некоторая храбрость является результатом невежества», «Некоторая жестокость является результатом страха», «Всякая жестокость отвратительна». Субъекты этих пропозиций, безусловно, являются общими. Согласно определению, данному в предпоследнем абзаце предыдущего раздела, они также являются абстрактными. Если, однако, вместо различения между абстрактными и конкретными именами per se мы различаем абстрактное и конкретное использование имен, как предложено в последнем абзаце предыдущего раздела, тогда все рассматриваемые термины используются в конкретном, а не в абстрактном смысле.

УПРАЖНЕНИЯ.

14. Обсудите утверждение Милля о том, что «имена — это имена вещей, а не наших идей», с особым вниманием к следующим именам: додо, русалка, химера, зубная боль, ревность, идея. [C.]

15. Обсудите логические характеристики прилагательных. [K.]

ГЛАВА II.

ЭКСТЕНСИЯ И ИНТЕНСИЯ.

16. Экстенсия и интенсия имен. — Каждое конкретное общее имя — это имя реального или воображаемого класса объектов, которые обладают сообща определенными атрибутами; и, следовательно, существуют два аспекта, под которыми оно может рассматриваться. Мы можем рассматривать имя (i) в отношении объектов, которые называются этим именем; или (ii) в отношении качеств, принадлежащих этим объектам. Желательно иметь термины, с помощью которых можно было бы ссылаться на это широкое различие без учета дальнейших уточнений значения; и термины «экстенсия» и «интенсия» будут, соответственно, использоваться для выражения в самом общем виде этих двух аспектов имен.

18. Мы можем также говорить об экстенсии и интенсии концептов. Однако при обсуждении вопросов, касающихся экстенсии и интенсии, важно признать роль языка как инструмента мышления. Поэтому кажется лучше исходить из имен, а не из концептов. Пренебрежение явным рассмотрением имен в этой связи было причиной большой путаницы.

Обычно термины «компрехенсия» и «коннотация» используются как просто синонимичные «интенсии», а «денотация» — как синонимичная «экстенсии». Мы, однако, вскоре сочтем удобным дифференцировать значения этих терминов. Силу терминов «экстенсия» и «интенсия» в самом общем смысле можно было бы, возможно, также выразить парой терминов «аппликация» и «импликация».

Экстенсия имени, таким образом, состоит из объектов, о которых имя может быть предикатировано; его интенсия состоит из свойств, которые могут быть предикатированы о нем. Например, под экстенсией «плоского треугольника» мы подразумеваем определенный класс геометрических фигур, а под его интенсией — определенные качества, принадлежащие таким фигурам. Аналогично, под экстенсией «человека» подразумевается определенный класс материальных объектов, а под его интенсией — качества рациональности, анимальности и т. д., принадлежащие этим объектам.

17. Коннотация, субъективная интенсия и компрехенсия. — Термин «интенсия» использовался в предыдущем разделе для выражения в самом общем виде того аспекта общих имен, под которым мы рассматриваем не объекты, называемые этими именами, а качества, принадлежащие этим объектам. Однако при взятии любого общего имени существуют по крайней мере три различные точки зрения, с которых можно рассматривать качества соответствующего класса; и именно недостатком различения между этими точками зрения можно объяснить многие споры и недопонимания, к которым привела проблема коннотации имен.

(1) Существуют те качества, которые являются существенными для класса в том смысле, что имя подразумевает их в своем определении. Если бы какой-либо из этого набора качеств отсутствовал, имя не было бы применимо; и любая индивидуальная вещь, лишенная их, соответственно не рассматривалась бы как член класса. Принятую здесь точку зрения можно назвать конвенциональной, поскольку мы имеем дело с набором характеристик, которые, как предполагается, были конвенционально согласованы как определяющие применение имени.

(2) Существуют те качества, которые в сознании любого данного индивида ассоциируются с именем таким образом, что они обычно вызываются в идее при использовании имени. Эти качества будут включать признаки, по которым данный индивид обычно распознает или идентифицирует объект как принадлежащий к классу. Они могут не исчерпывать существенных качеств класса в смысле, указанном в предыдущем абзаце, но, с другой стороны, они, вероятно, будут включать некоторые, которые не являются существенными для него. Принятая здесь точка зрения является субъективной и относительной. Даже когда есть согласие относительно фактического значения имени, качества, о которых мы естественно думаем в связи с ним, могут варьироваться как от индивида к индивиду, так и, в случае любого данного индивида, от времени к времени.

Мы можем рассмотреть как особый случай в рамках этого пункта полную группу атрибутов, известных в любое данное время как принадлежащие классу. Все эти атрибуты могут быть вызваны в идее любым лицом, чьи знания о классе полностью актуальны; и эта группа может, следовательно, рассматриваться как составляющая наиболее научную форму интенсии с субъективной точки зрения.

(3) Существует сумма всех качеств, фактически присущих сообща всем членам класса. Они будут включать все качества, включенные в два предыдущих пункта, и обычно многие другие в дополнение. Принятая здесь точка зрения является объективной.

20. Здесь предполагается, в отношении качеств, ментально ассоциированных с именем, что наше знание о классе, насколько оно простирается, является правильным.

21. Когда принимается объективная точка зрения, имеется подразумеваемая отсылка к некоторой конкретной универсуму дискурса, внутри которого, как предполагается, включен класс, денотируемый именем. Сила этого замечания станет яснее на последующем этапе.

Пытаясь дать точное значение «коннотации», мы можем исходить из вышеприведенной классификации. Она предполагает три различных смысла, в которых термин мог бы потенциально использоваться, и, по сути, все три этих смысла были выбраны разными логиками, иногда без какого-либо ясного признания расхождения с использованием других авторов. Желательно, чтобы мы были вполне ясны в своих собственных умах, в каком смысле мы намерены использовать этот термин.

(i) Согласно использованию Милля, которое принято на следующих страницах, конвенциональная точка зрения принимается, когда мы говорим о коннотации имени. С этой точки зрения мы не подразумеваем под коннотацией имени класса все качества, присущие классу сообща; и мы не обязательно подразумеваем те конкретные качества, которые могут быть ментально ассоциированы с именем; но мы подразумеваем именно те качества, из-за обладания которыми любой индивид помещается в класс и называется этим именем. Другими словами, мы включаем в коннотацию имени класса только те атрибуты, на которых основана классификация и при отсутствии любого из которых имя не рассматривалось бы как применимое. Например, хотя все равносторонние треугольники равноугольны, равноугольность с этой точки зрения не включается в коннотацию равностороннего треугольника, поскольку это не свойство, на котором основана классификация треугольников на равносторонние и неравносторонние; хотя все кенгуру могут случайно оказаться австралийскими кенгуру, это не является частью того, что обязательно подразумевается использованием имени, ибо животному, впоследствии найденному во внутренних районах Новой Гвинеи, но в остальном обладающему всеми свойствами кенгуру, имя «кенгуру» не было бы отказано; хотя все жвачные животные парнокопытны, мы не можем рассматривать «парнокопытное» как часть значения «жвачного», и (как отмечает Милль) если бы было обнаружено животное, которое жует жвачку, но имело бы неразделенные ступни, оно, безусловно, все равно называлось бы жвачным.

(ii) Некоторые авторы, которые рассматривают собственные имена как коннотативные, по-видимому, включают в коннотацию имени все те атрибуты, которые имя внушает уму, независимо от того, подразумеваются ли они им на самом деле или нет. И следует заметить в этой связи, что имя может в сознании любого данного индивида быть тесно связано со свойствами, которые даже тот же индивид никоим образом не рассматривал бы как подразумеваемые в значении имени, как, например, «студент Тринити» с синей мантией. Эта интерпретация коннотации, следовательно, должна быть четко отделена от той, что дана в предыдущем абзаце.

Мы можем далее выделить взгляд, по-видимому, принятый некоторыми авторами, согласно которому коннотация имени класса в любое данное время включала бы все свойства, известные в то время как принадлежащие классу.

(iii) Другие авторы используют термин в еще одном смысле и включили бы в коннотацию имени класса все свойства, известные и неизвестные, которыми обладают сообща все члены класса. Так, г-н Э. К. Бенеке пишет: «Точно так же, как слово «человек» денотирует каждое существо или класс существ, обладающих атрибутами человечности, знаем ли мы его или нет, так и слово должным образом коннотирует все свойства, общие для класса, знаем ли мы их или нет. Многие факты, известные физиологам и анатомам о строении человеческого мозга, например, не вовлечены в идею мозга у большинства людей; обладание мозгом, точно так же устроенным, не формирует, следовательно, никакой части их значения слова «человек». И все же, безусловно, это должным образом коннотируется словом... Мы имеем, таким образом, денотацию конкретного имени с одной стороны и его коннотацию с другой, занимающие совершенно аналогичные позиции. Дана коннотация — денотация есть все объекты, которые обладают всеми свойствами, так коннотируемыми. Дана денотация — коннотация есть все свойства, которыми обладают сообща все объекты, так денотируемые» (Mind, 1881, стр. 532). Джевонс использует термин в том же смысле. «Термин, взятый в интенте (коннотации), имеет своим значением всю бесконечную серию качеств и обстоятельств, которыми обладает вещь. Из этих качеств или обстоятельств некоторые могут быть известны и формировать описание или определение значения; бесконечный остаток неизвестен» (Pure Logic, стр. 6).

22. Бэйн, по-видимому, использует термин в промежуточном смысле, включая в коннотацию имени класса не все атрибуты, общие для класса, а все независимые атрибуты, то есть все те, которые не могут быть выведены или логически получены из других.

Отвергая использование термина «коннотация» в любом смысле, кроме первого из вышеупомянутых, мы сочтем удобным иметь отличительные термины, которые можно использовать с другими указанными значениями. Три термина «коннотация», «интенсия» и «компрехенсия» обычно используются почти как синонимы, и, безусловно, будет выигрыш в попытке дифференцировать их значения. «Интенсия», как уже было предложено, может использоваться для обозначения в самом общем виде того, что можно назвать импликационным аспектом имен; сложные термины «конвенциональная интенсия», «субъективная интенсия» и «объективная интенсия» тогда объяснят себя сами. «Коннотация» может использоваться как эквивалент «конвенциональной интенсии»; а «компрехенсия» — как эквивалент «объективной интенсии». «Субъективная интенсия» менее важна с логической точки зрения, и нам не нужно стремиться изобретать единый термин для использования в качестве ее эквивалента.

23. Для любого, кому дано значение имени, но кто ничего не знает об объектах, денотируемых этим именем, субъективная интенсия совпадает с коннотацией. Если бы идеал знания был достигнут, субъективная интенсия совпадала бы с компрехенсией.

27. Конвенциональная интенсия или коннотация будет тогда включать только те атрибуты, которые составляют значение имени; субъективная интенсия будет включать те, которые ментально ассоциируются с ним, независимо от того, обозначаются ли они им на самом деле или нет; объективная интенсия или компрехенсия будет включать все атрибуты, которыми обладают сообща все члены класса, денотируемого именем. Мы могли бы, возможно, говорить более строго о коннотации самого имени, субъективной интенсии понятия, которое является ментальным эквивалентом имени, и компрехенсии класса, который денотируется именем.

24. Следует заметить, что, говоря о коннотации имени, мы можем иметь в виду либо значение, которое имя несет в общепринятом смысле, либо какое-то особое значение, присвоенное ему явным определением для какой-либо научной или иной специфической цели.

25. Различия в значении, указанные в этом разделе, окажутся существенными для ясности взгляда при обсуждении определенных вопросов, к которым мы перейдем немедленно; в частности, вопросов о том, обязательно ли коннотация и денотация варьируются обратно пропорционально, и являются ли собственные имена коннотативными.

18. Различие Зигварта между эмпирическими, метафизическими и логическими концептами. — Зигварт отмечает, что, говоря о концептах, мы должны различать три значения этого слова. Эти три значения «концепта» он описывает следующим образом.

26. Логика, I. стр. 245. Эта и будущие ссылки на Зигварта относятся к английскому переводу его работы, выполненному г-жой Бозанкет.

(1) Под концептом может подразумеваться естественный психологический продукт — общая идея, которая развилась в естественном ходе мышления. Такие идеи различны для разных людей и постоянно находятся в процессе формирования; даже для самого индивида они меняются, так что слово не всегда сохраняет одно и то же значение даже для одного и того же человека. Строго говоря, только фикцией, которая пренебрегает индивидуальными особенностями, мы можем говорить о концептах, соответствующих терминам, используемым в обычном языке.

(2) В отличие от этого эмпирического значения концепт может рассматриваться как идеал; он тогда является целью, к которой мы стремимся в нашем усилии достичь знания, ибо мы ищем найти в нем адекватную копию сущности вещей.

(3) Между этими двумя значениями слова, которые можно назвать эмпирическим и метафизическим, лежит логическое. Оно имеет свое происхождение в логическом требовании определенности и всеобщей значимости в наших суждениях. Все, что требуется, — это чтобы наши идеи были абсолютно фиксированными и определенными, и чтобы все, кто использует одну и ту же систему денотации, имели одни и те же идеи.

Это тройное различие можно с пользой сравнить с тем, что проведено в предыдущем разделе. Зигварт подходит к вопросу с другой точки зрения, но можно заметить, что его три «значения концепта» в широком смысле соответствуют субъективной интенсии, объективной интенсии и конвенциональной интенсии соответственно.

Можно добавить, что различие г-на Бозанкета (Логика, I. стр. 41–46) между объективной отсылкой имени (его логическим значением) и его содержанием для индивидуального ума (психической идеей) в некоторой степени, по-видимому, соответствует различию между коннотацией и субъективной интенсией.

19. Коннотация и этимология. — Коннотацию имени нельзя путать с его этимологией. Имея дело с именами с этимологической или исторической точки зрения, мы рассматриваем обстоятельства, в которых они были впервые введены, и причины их принятия; также последовательные изменения, если таковые были, в их значении, которые произошли впоследствии. При уточнении коннотации, которую следует приписать имени, нам может помочь рассмотрение его этимологии. Но мы должны четко различать эти две вещи; окончательно решая, какую коннотацию присвоить имени для какой-либо конкретной научной цели, мы можем действительно счесть необходимым отойти не только от его первоначального значения, но и от его текущего значения в повседневном дискурсе.

20. Фиксированность коннотации. — Уже было указано, что субъективная интенсия изменчива. Данное имя почти наверняка вызовет в умах разных людей разные идеи; и даже в случае одного и того же человека оно, вероятно, будет делать это в разное время. Может быть поднят вопрос, насколько то же самое верно для коннотации. В предыдущем разделе подразумевалось, что научное использование имени может отличаться от его использования в повседневном дискурсе; и не может быть сомнений, что на самом деле разные люди могут под одним и тем же именем намереваться означать разные вещи, то есть они включили бы разные атрибуты в коннотацию имени. Более того, нередко бывает так, что некоторые из нас могут быть не в состоянии точно сказать, какое значение мы сами придаем словам, которые используем.

В то же время следует провести четкое различие между субъективной интенсией и коннотацией в отношении их изменчивости. Субъективная интенсия обязательно изменчива; она никогда не может быть иной. Коннотация, с другой стороны, изменчива только случайно; и в той мере, в какой существует вариация, язык не достигает своей цели. «Идентичная отсылка», как выражается г-н Бозанкет, «есть корень и сущность системы знаков, которую мы называем языком» (Логика, I. стр. 16). Только благодаря некоторому конвенциональному соглашению, которое сделает язык фиксированным, научные дискуссии могут удовлетворительно проводиться; и не было бы никакой вариации в коннотации имен в случае идеального языка, используемого должным образом. Имея дело с рассуждениями с точки зрения логической доктрины, поэтому не является неразумным допущением предположить, что в любом данном аргументе коннотация используемых имен является фиксированной и определенной; другими словами, что каждое используемое имя либо используется в своем обычном смысле, и это точно определено, либо, если имя используется с особым значением, такое значение соблюдается последовательно и без двусмысленности.

21. Экстенсия и денотация. — Термины «экстенсия» и «денотация» обычно используются как синонимы, но будет некоторое преимущество в проведении определенного различия между ними. Мы обнаружим, что когда имена рассматриваются как субъекты пропозиций, имеется подразумеваемая отсылка к некоторому универсуму дискурса, который может быть более или менее ограниченным. Например, мы естественно понимали бы такие пропозиции, как «все люди смертны», «ни один человек не совершенен», как относящиеся ко всем людям, которые фактически существовали на земле, или существуют сейчас, или будут существовать в будущем, но мы не понимали бы их как относящиеся ко всем вымышленным лицам или всем существам, обладающим существенными характеристиками людей, которых мы способны представить или вообразить. Значение универсума дискурса будет далее проиллюстрировано впоследствии. Единственная причина для введения концепции в этот момент заключается в том, что мы предлагаем использовать термин «денотация» или «объективная экстенсия» вместо термина «экстенсия» просто тогда, когда имеется явное или неявное ограничение объектами, фактически находящимися в некотором ограниченном универсуме. Под субъективной экстенсией общего имени, с другой стороны, мы будем понимать весь диапазон объектов, реальных или воображаемых, к которым имя может быть правильно применено, причем единственным ограничением является логическая мыслимость. Каждое имя, следовательно, которое может быть использовано в понятном смысле, будет иметь положительную субъективную экстенсию, но его денотация в универсуме, который каким-то образом ограничен временем, местом или обстоятельством, может быть равна нулю.

27. Ценность вышеуказанного различия может быть проиллюстрирована ссылкой на расхождение во взглядах, указанное в следующей цитате из г-на Монка, который использует термины «денотация» и «экстенсия» как синонимы: «Это дело случая, будет ли общее имя иметь какую-либо экстенсию (или денотацию) или нет. Единорог, грифон и дракон — это общие имена, потому что они имеют значение, и мы можем предположить другой мир, в котором такие существа существуют; но термины не имеют экстенсии, потому что в этом мире нет таких животных. Некоторые логики говорят об этих терминах как имеющих экстенсию, потому что мы можем предположить индивидов, соответствующих им. Таким образом, каждый общий термин имел бы экстенсию, которая могла бы быть либо реальной, либо воображаемой. Однако удобнее использовать слово «экстенсия» только для реальной экстенсии (прошлой, настоящей или будущей)» (Introduction to Logic, стр. 10). Следует добавить, чтобы предотвратить возможное недопонимание, что под «универсумом дискурса», как он используется в тексте, мы не обязательно подразумеваем материальный универсум; мы можем, например, подразумевать универсум сказочной страны или геральдики, и в таком случае единорог, грифон и дракон могут иметь денотацию (в нашем особом смысле), а также субъективную экстенсию, большую нуля. Каков конкретный универсум отсылки в любой данной пропозиции, обычно будет определяться контекстом. Для логических целей мы можем предположить, что он конвенционально понят и согласован, и что он остается тем же самым на протяжении всего хода любого данного аргумента. Как отмечает д-р Венн: «Мы могли бы включить среди допущений логики, чтобы говорящий и слушающий были в согласии не только относительно значения слов, которые они используют, но также относительно конвенциональных ограничений, в рамках которых они применяют их в обстоятельствах данного случая» (Empirical Logic, стр. 180).

В указанном здесь смысле денотация в определенных отношениях является коррелятом компрехенсии, а не коннотации. Ибо, говоря о денотации, мы, как и в случае с компрехенсией, принимаем объективную точку зрения; и, более того, в случае компрехенсии, как и в случае денотации, имеется молчаливая отсылка к некоторому конкретному универсуму дискурса. Поскольку, однако, денотация, вообще говоря, определяется коннотацией, существует один очень важный аспект, в котором коннотация и денотация все еще являются коррелятами.

22. Зависимость экстенсии и интенсии друг от друга. — Взяв любое имя класса X, предположим сначала, что было достигнуто конвенциональное соглашение использовать его везде, где присутствует определенный выбранный набор свойств P1, P2, ... Pm. Этот набор свойств будет составлять коннотацию X и будет, в отношении данного универсума дискурса, определять денотацию имени, скажем, Q1, Q2, ... Qy; то есть Q1, Q2, ... Qy — это все индивиды, обладающие сообща свойствами P1, P2, ... Pm.

28. Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.

29. В остальной части этого раздела будет предполагаться, что мы повсюду говорим в отношении данного универсума дискурса.

Эти свойства могут не исчерпывать, и почти наверняка не будут исчерпывать, свойства, общие для Q1, Q2, ... Qy. Пусть все общие свойства будут P1, P2, ... Px; они будут включать P1, P2, ... Pm, и по всей вероятности больше, и будут составлять компрехенсию имени класса.

Теперь всегда будет возможно одним или несколькими способами составить из Q1, Q2, ... Qy выборку Q1, Q2, ... Qn, которая будет точно типичной для всего класса; то есть Q1, Q2, ... Qn будут обладать сообща теми атрибутами и только теми атрибутами (а именно, P1, P2, ... Px), которыми обладают сообща Q1, Q2, ... Qy. Q1, Q2, ... Qn можно назвать экземплификацией или экстенсивным определением X. Причина выбора имени «экстенсивное определение» станет ясна через мгновение. Иногда будет удобно соответственно говорить о коннотации имени как о его интенсивном определении.

30. Может случиться так, что будет необходимо заставить Q1, Q2, ... Qn совпадать с Q1, Q2, ... Qy. Но это должно рассматриваться как предельный случай; обычно будет достаточно меньшего числа индивидов.

31. Г-н Джонсон указывает мне, что при следовании этой линии аргументации необходимы определенные ограничения несколько тонкого рода в отношении того, что можно назвать нашим «универсумом атрибутов». «Универсум объектов», что мы подразумеваем под «универсумом дискурса», подразумевает индивидуальность объекта и ограничение диапазона объектов; и если мы хотим разработать всестороннюю взаимность между атрибутами и объектами, мы должны признать в нашем «универсуме атрибутов» ограничения, аналогичные вышеуказанным, а именно: простоту атрибута и ограничение диапазона атрибутов. Под «простотой атрибута» подразумевается, что универсум атрибутов не должен содержать никакого атрибута, который является логической функцией любого другого атрибута или набора атрибутов. Таким образом, если A, B — два атрибута, признанные в нашем универсуме, мы не должны допускать такие атрибуты, как X (= A и B), или Y (= A или B), или Z (= не-A). Мы действительно можем иметь отрицательно определенный атрибут, но он не должен быть формальным противоречием другого или формально вовлекать противоречие другого. Следующий пример покажет необходимость этого ограничения. Пусть P1, P2, P3 будут выбраны как типичные для всего класса P1, P2, P3, P4, P5, P6; и пусть A1 будет атрибутом, присущим только P1, A2 — атрибутом, присущим только P2, и так далее. Тогда, если мы признаем «A1 или A2 или A3» как отдельный атрибут, сразу становится ясно, что P1, P2, P3 больше не будут типичными для всего класса; и тот же результат следует, если «не-A4» признается как отдельный атрибут. Аналогично, без рассматриваемого ограничения любая выборка (меньшая, чем целое) обязательно перестала бы быть типичной для всего класса. В качестве конкретного примера предположим, что мы выбираем из класса «профессионалы» набор примеров, которые не имеют сообща никакого атрибута, кроме тех, которые общи для всего класса. Может оказаться, что наши примеры — это все барристеры или врачи, но никто из них не является солиситором. Теперь, если мы признаем как отдельный атрибут «быть либо барристером, либо врачом», наша выбранная группа тем самым будет иметь дополнительный общий атрибут, не присущий каждому профессионалу. Тот же результат последует, если мы признаем атрибут «не-солиситор». Не много нужно добавить относительно необходимости некоторого ограничения в диапазоне атрибутов, которые признаются. Сам факт того, что мы выбрали определенную группу, действительно составил бы дополнительный атрибут, который сразу же заставил бы выборку не достичь своей цели, если бы это не было исключено как несущественное. Аналогично, такие атрибуты, как положение в пространстве или во времени и т. д., должны в целом рассматриваться как несущественные. Например, я мог бы нарисовать на листе бумаги ряд треугольников, достаточно типичных для всего класса треугольников, но для этого было бы необходимо отвергнуть как несущественное общее свойство, которым они обладали бы, — все они нарисованы на конкретном листе бумаги.

Мы имеем тогда, в отношении X, (1) Коннотация: P1…Pm; (2) Денотация: Q1…Qn…Qy; (3) Компрехенсия: P1…Pm…Px; (4) Экземплификация: Q1…Qn.

Из них либо коннотация, либо экземплификация будет достаточной, чтобы отметить или полностью идентифицировать класс, хотя они не исчерпывают ни всех его общих свойств, ни всех индивидов, содержащихся в нем. Другими словами, начинаем ли мы с коннотации или с экземплификации, денотация и компрехенсия будут одними и теми же.

32. Следует заметить, что коннотация и экземплификация отличаются от компрехенсии и денотации тем, что они являются селективными, в то время как последняя пара является исчерпывающей. При осуществлении нашего выбора нашей целью обычно будет найти минимальный список, который будет достаточен для нашей цели.

33. Для конкретной иллюстрации вышесказанного можно взять термин «металл». С химической точки зрения металл может быть определен как элемент, который может заменить водород в кислоте и таким образом образовать соль. Это, следовательно, коннотация имени. Его денотация состоит из полного списка элементов, выполняющих вышеуказанное условие, известных сейчас химикам, и, возможно, других, еще не открытых. Члены всего класса, сформированного таким образом, однако, обнаруживают обладание другими свойствами сообща, помимо тех, что содержатся в определении имени, например, плавкость, характерный блеск, называемый металлическим, высокая степень непрозрачности и свойство быть хорошими проводниками тепла и электричества. Полный список этих свойств формирует компрехенсию имени. Теперь химик, без сомнения, смог бы из полной денотации металла сделать выборку ограниченного числа металлов, которые были бы точно типичными для всего класса; то есть его выбранный список обладал бы сообща только такими свойствами, которые общи для всего класса. Этот выбранный класс составил бы экземплификацию имени.

33. Необходимо различать известную экстенсию термина и его полную денотацию, точно так же, как мы различаем известную интенсию термина и его полную компрехенсию.

34. Он взял бы металлы, максимально отличающиеся друг от друга, такие как алюминий, сурьма, медь, золото, железо, ртуть, натрий, цинк.

Мы до сих пор предполагали, что (1) коннотация или интенсивное определение сначала были произвольно зафиксированы, и что это последовательно определило (2) денотацию, (3) компрехенсию и — с определенным диапазоном выбора — (4) экземплификацию. Но ясно, что теоретически мы могли бы начать с произвольной фиксации (i) экземплификации или экстенсивного определения; и что это последовательно определило бы (ii) компрехенсию, (iii) денотацию, а затем — опять же с определенным диапазоном выбора — (iv) коннотацию.

35. Обычно говорят, что «из денотации и коннотации термина одно может быть произвольным, оба — нет», и это в широком смысле верно. Однако возможно сделать утверждение несколько более точным. Дано либо интенсивное, либо экстенсивное определение, тогда и денотация, и компрехенсия, в отношении любого назначенного универсума дискурса, абсолютно фиксированы. Но разные интенсивные определения, а также разные экстенсивные определения, могут иногда давать одни и те же результаты; и поэтому возможно, что, при заданном всем остальном, коннотация или экземплификация все еще могут быть в определенных пределах неопределенными. Например, дан класс параллельных прямых, коннотация может быть определена двумя или тремя различными способами; или, дан класс равносторонних равноугольных треугольников, мы можем выбрать в качестве коннотации либо наличие трех равных сторон, либо наличие трех равных углов. Опять же, дана коннотация «металла», без сомнения, было бы возможно выбрать более чем одним способом ограниченное число металлов, не обладающих сообща никакими атрибутами, которыми не обладали бы также остальные члены класса.

34. Интересно с теоретической точки зрения отметить возможность этого второго порядка процедуры; и этот порядок, более того, можно сказать, представляет то, что фактически происходит — во всяком случае в первом приближении — в определенных случаях, как, например, в случае естественных групп в животном, растительном и минеральном царствах. Люди формируют классы из смутно распознаваемых сходств задолго до того, как они способны дать интенсивное определение имени класса, и в таком случае, если их попросят объяснить их использование имени, их ответом будет перечисление типичных примеров класса. Это, без сомнения, обычно делалось бы ненаучным образом, но было бы возможно разработать это научно. Экстенсивное определение имени примет форму: X — это имя класса, типичными для которого являются Q1, Q2, ... Qn. Эта примитивная форма определения может также называться определением по типу.

36. Конечно, не имеется в виду, что, когда мы начинаем с экстенсивного определения, мы классифицируем вещи вместе случайным образом без какого-либо руководящего принципа выбора. Без сомнения, мы будем руководствоваться сходством между объектами, которые мы помещаем в один и тот же класс, и в этом смысле можно сказать, что интенсия всегда имеет приоритет. Но сходство может быть неанализированным, так что мы можем быть гораздо более знакомы с применением имени класса, чем с его импликацией; и даже когда коннотация была присвоена имени, она может экстенсивно контролироваться и постоянно подвергаться модификации именно потому, что мы гораздо больше озабочены тем, чтобы сохранить денотацию фиксированной, чем коннотацию.

В этой связи можно особо рассмотреть названия простых чувств, которые не поддаются анализу. По словам Зигварта, для названий предельных элементов не существует определения; мы должны исходить из того, что каждый вкладывает в них один и тот же смысл. Таким названиям мы, конечно, можем приписать ближайший род, как, например, когда говорим «красный — это цвет», но мы не можем добавить видовое отличие. Однако в этих случаях недостает лишь интенсивного определения, и этот недостаток восполняется посредством экстенсивного определения. Способ, которым мы разъясняем другим наше использование такого термина, как «красный», заключается в указании на различные объекты, вызывающие у нас это чувство. Так, «красный» — это цвет полевых маков, плодов шиповника и боярышника, обычного сургуча, кирпичей, изготовленных из определенных видов глины и т. д. Это не что иное, как экстенсивное определение в том смысле, как оно было определено выше.

Логика, I, стр. 289.

Однако в случае большинства имен, когда предпринимается попытка формального определения, более обычным, а также и более простым является исходить из интенсивного определения, и это в целом соответствует конечному методу науки. Соответственно, для логических целей лучше всего принять именно такой порядок действий, если не сделано явного заявления об обратном.

Стоит заметить, что на практике за интенсивным определением часто следует перечисление типичных примеров, которые, если они хорошо подобраны, сами по себе могут почти соответствовать экстенсивному определению. В этом случае можно сказать, что мы имеем два вида определения, дополняющих друг друга.

23. Обратное изменение объема и содержания. — В общем, по мере увеличения или уменьшения содержания объем соответственно уменьшается или увеличивается, и наоборот. Если, например, к коннотации «животного» добавить «разумное», то денотация уменьшается, поскольку все неразумные животные теперь исключаются, тогда как ранее они были включены. С другой стороны, если денотацию «животного» нужно расширить так, чтобы включить растительное царство, это можно сделать только путем исключения «чувствующего» из коннотации. Отсюда была сформулирована следующая закономерность: «В ряду общих терминов, находящихся друг к другу в отношении подчинения, объем и содержание изменяются обратно пропорционально». Следует ли принимать этот закон? Прежде всего необходимо отметить, что понятие обратного изменения во всяком случае не должно интерпретироваться в каком-либо строгом математическом или числовом смысле. Безусловно, неверно, что всякий раз, когда число атрибутов, включенных в содержание, изменяется каким-либо образом, число индивидов, включенных в объем, будет изменяться в какой-то заданной числовой пропорции. Если, например, к коннотации данного имени добавляются различные отдельные атрибуты, денотация будет затрагиваться в очень разной степени в разных случаях. Так, добавление «проживающий» к коннотации «член Сената Кембриджского университета» сократит его денотацию в гораздо большей степени, чем добавление «непроживающий». Короче говоря, не существует регулярного закона изменения. Следовательно, это утверждение не следует понимать как означающее нечто большее, чем то, что любое увеличение или уменьшение содержания имени будет обязательно сопровождаться некоторым уменьшением или увеличением объема, в зависимости от обстоятельств, и наоборот. Мы обсудим предполагаемый закон в этой форме, рассмотрев, во-первых, коннотацию и денотацию, экземплификацию и охват; и, во-вторых, денотацию и охват.

Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

Как в «Древе Порфирия»: Субстанция, Телесная субстанция (Тело), Одушевленное тело (Живое существо), Чувствующее живое существо (Животное), Разумное животное (Человек). В этом ряду терминов содержание на каждом шаге увеличивается, а объем уменьшается.

Говорили, что, хотя объем термина поддается количественному измерению, то же самое не в равной степени верно для содержания. «Части объема можно сосчитать, но нелепо считать части в содержании. Ибо они не являются внешними друг другу и образуют целое, которое невозможно разделить на единицы иначе, как путем самого произвольного расчленения. И если бы оно было так разделено, все его части варьировались бы по значению, и не было бы оснований ожидать, что десять из них (то есть десять атрибутов) должны иметь вдвое большую величину или значение, чем пять» (Бозанкет, «Логика», I, стр. 59). В этом есть доля истины, и это является решающим аргументом против интерпретации «обратного изменения» в данной связи в каком-либо строгом числовом смысле. Но в то же время не совершается никакой ошибки и не возникает никаких трудностей с интерпретацией, если мы ограничимся тем, что будем говорить просто о расширении или ограничении содержания термина. Нет сомнений в том, что содержание увеличивается, когда мы переходим от животного к человеку или от человека к негру; или, опять же, когда мы переходим от треугольника к равнобедренному треугольнику или от равнобедренного треугольника к прямоугольному равнобедренному треугольнику.

Обсуждение намеренно сделано максимально формальным и точным. Если доктрину обратного изменения невозможно трактовать с точностью, лучше вообще не пытаться ею заниматься.

А. (1) Пусть коннотация считается произвольно фиксированной и используется для определения денотации в некоторой заданной универсуме дискурса. Тогда будет неверно, что коннотация и денотация обязательно будут изменяться обратно пропорционально. Ибо предположим, что коннотация имени, т. е. атрибуты, обозначаемые им, есть a, b, c. Может случиться так, что на самом деле везде, где присутствуют атрибуты a и b, присутствуют также атрибуты c и d. В этом случае, если c исключить из коннотации или добавить к ней d, денотация имени останется незатронутой. У нас есть конкретные примеры этого, если мы предположим, что равноугольность добавлена к коннотации равностороннего треугольника, или «раздвоенное копыто» к коннотации жвачного животного, или «наличие челюстей, открывающихся вверх и вниз» к коннотации позвоночного, или если мы предположим, что «неправильный» исключено из коннотации «неправильного силлогизма с нераспределенной средней». Однако ясно, что если при изменении коннотации происходит какое-либо изменение в денотации, оно обязательно должно быть в противоположном направлении. Некоторые индивиды, обладающие атрибутами a и b, могут не иметь атрибута c или атрибута d; но никакие индивиды, обладающие атрибутами a, b, c или a, b, c, d, не могут не обладать атрибутами a, b или a, b, c. Например, если к коннотации «металл» мы добавим «плавкий», это не изменит денотацию; но если мы добавим «имеющий большой вес», мы исключим калий, натрий и т. д.

Закон изменения денотации в зависимости от коннотации может быть сформулирован следующим образом: если коннотация термина произвольно расширяется или ограничивается, денотация в заданном универсуме дискурса либо останется неизменной, либо изменится в противоположном направлении.

Поскольку здесь делается ссылка на фактическую денотацию термина в некотором заданном универсуме дискурса, вышеупомянутый закон можно назвать частично основанным на материальных, а не чисто формальных соображениях. Поэтому следует добавить, что, хотя изменение коннотации термина не всегда изменяет его фактическую денотацию в заданном универсуме дискурса, оно всегда потенциально влияет на его субъективный объем. Если, например, коннотация термина X есть a, b, c, и мы добавляем d, то (реальный или воображаемый) класс X, которые не являются d, обязательно исключается из субъективного объема термина X, хотя ранее он был в него включен. Следовательно, если коннотация термина произвольно расширяется или ограничивается, субъективный объем будет потенциально ограничен или расширен соответственно. Ср. Джевонс, «Принципы науки», 30, § 13.

(2) Пусть экземплификация считается произвольно фиксированной и используется для определения охвата. Нет необходимости подробно показывать, что будет действовать соответствующий закон изменения охвата в зависимости от экземплификации, а именно: если экземплификация (экстенсивное определение) термина произвольно расширяется или ограничивается, охват в заданном универсуме дискурса либо останется неизменным, либо изменится в противоположном направлении.

Б. Теперь мы можем рассмотреть отношение между охватом и денотацией термина. Пусть P1, P2, … Px будут совокупностью атрибутов, которыми обладает класс X, а Q1, Q2, … Qy — совокупностью объектов, включенных в класс X. Обе эти группы определены объективно, а не произвольно, и отношение между ними является взаимным. P1, P2, … Px — это единственные атрибуты, которыми совместно обладают объекты Q1, Q2, … Qy; а Q1, Q2, … Qy — это единственные объекты, обладающие всеми атрибутами P1, P2, … Px.

Произвольным может быть интенсивное определение (P1, P2, … Pm) или экстенсивное определение (Q1, Q2, … Qn), которое определяет их оба.

Мы не можем предположить какое-либо прямое произвольное изменение ни в охвате, ни в денотации. Мы можем, однако, установить следующий закон обратного изменения, а именно: любое произвольное изменение либо в интенсивном определении, либо в экстенсивном определении, которое приводит к изменению либо денотации, либо охвата, также приведет к изменению другого в противоположном направлении.

Пусть X и Y будут двумя терминами, которые связаны таким образом, что определение (интенсивное или экстенсивное, в зависимости от обстоятельств) Y включает все, что включено в определение X, и сверх того еще кое-что. Мы должны показать, что либо денотации и охваты X и Y будут идентичны, либо, если денотация одного включает больше, чем денотация другого, то его охват будет включать меньше, и наоборот.

(a) Пусть X и Y определяются коннотацией или интенсивным определением. Так, пусть X определяется набором свойств P1…Pm, а Y — набором P1…Pm+1, который включает дополнительное свойство Pm+1. Тогда Pm+1 либо всегда сопровождает P1…Pm, либо нет. Если первое, то никакой объект, включенный в денотацию X, не исключается из денотации Y, так что денотации X и Y одинаковы; и из этого следует, что охваты X и Y также одинаковы. Если второе, то денотация Y меньше денотации X на все те объекты, которые обладают P1…Pm, но не обладают Pm+1. В то же время охват Y включает по меньшей мере Pm+1 в дополнение к свойствам, включенным в охват X.

(b) Пусть X и Y определяются экземплификацией или экстенсивным определением. Так, пусть X определяется набором примеров Q1…Qn, а Y — набором Q1…Qn+1, который включает дополнительный объект Qn+1. Тогда Qn+1 либо обладает всеми свойствами, общими для Q1…Qn, либо нет. Если первое, то никакое свойство, включенное в охват X, не исключается из охвата Y, так что охваты X и Y одинаковы; и из этого следует, что денотации X и Y также одинаковы. Если второе, то охват Y меньше охвата X на все те свойства, которые принадлежат Q1…Qn, но не принадлежат Qn+1. В то же время денотация Y включает по меньшей мере Qn+1 в дополнение к объектам, включенным в денотацию X.

Все случаи теперь рассмотрены, и было показано, что сформулированный выше закон действует универсально. Этот закон и два закона, приведенные на странице 37, должны быть вместе подставлены вместо закона обратного отношения между объемом и содержанием в его обычной форме, если желательна полная точность изложения.

Следует заметить, что при упоминании изменений в охвате или денотации не имеется в виду изменение вещей или наших знаний о них. Предполагается, что изменение всегда берет начало в некотором произвольном изменении интенсивного или экстенсивного определения данного термина или при переходе от рассмотрения одного термина к другому с иным экстенсивным или интенсивным определением. Так, могут быть обнаружены новые вещи, принадлежащие к классу, и охват имени класса может при этом не измениться. Но в этом случае сама денотация не изменилась; изменилось лишь наше знание о ней. Или мы можем обнаружить новые атрибуты, ранее упущенные из виду; в этом случае применимы аналогичные замечания. Опять же, могут появиться новые вещи, которые подпадают под денотацию имени, и все же его охват может остаться неизменным. Или, возможно, новые качества могут быть развиты всем классом. В этих случаях, однако, нет произвольного изменения в применении или импликации имени, а следовательно, нет реального исключения из того, что было изложено выше.

24. Коннотативные имена. — Использование Миллем слова «коннотативный», которое обычно принято в современных работах по логике, таково: «Неконнотативный термин — это тот, который обозначает только субъект или только атрибут. Коннотативный термин — это тот, который обозначает субъект и подразумевает атрибут» («Логика», I, 2, § 5). Согласно этому определению, коннотативное имя должно не только обладать объемом, но и иметь назначенное ему конвенциональное содержание.

Милль считает, что следующие виды имен являются коннотативными в вышеуказанном смысле: — (1) Все конкретные общие имена. (2) Некоторые единичные имена. Например, «город» — это общее имя, и как таковое никто не стал бы отрицать, что оно коннотативно. Теперь, если мы скажем «самый большой город в мире», мы индивидуализировали имя, но оно не перестает от этого быть коннотативным. Собственные имена, однако, согласно Миллю, являются неконнотативными, поскольку они просто обозначают субъект и не подразумевают никаких атрибутов. К этому пункту, который является предметом споров, мы вернемся в следующем разделе. (3) Признавая, что большинство абстрактных имен являются неконнотативными, поскольку они просто обозначают атрибут и не обозначают субъект, Милль утверждает, что некоторые абстрактные имена могут справедливо «считаться коннотативными; ибо сами атрибуты могут иметь приписанные им атрибуты; и слово, которое обозначает атрибуты, может коннотировать атрибут этих атрибутов» («Логика», I, 2, § 5).

Формулировка определения Милля неудачна и, вероятно, ответственна за значительную часть споров, которые сосредоточились вокруг вопроса о том, являются ли определенные классы имен коннотативными или нет.

Все имена, которые мы способны использовать в понятном смысле, должны иметь для нас субъективное содержание. Ибо мы должны знать, к каким объектам или каким видам объектов применимы имена, и мы не можем не ассоциировать некоторые свойства с этими объектами, а следовательно, и с именами.

Более того, все имена, имеющие денотацию в любом данном универсуме дискурса, должны иметь также и охват; ибо никакой объект не может существовать, не обладая свойствами того или иного рода.

Если тогда какое-либо имя может быть правильно описано как неконнотативное, это не может быть в том смысле, что оно не имеет субъективного содержания или охвата. Это по крайней мере затушевывается, когда Милль говорит о неконнотативных именах как не подразумевающих никаких атрибутов; и если нужно избежать недопонимания, его определения должны быть исправлены, чтобы сделать совершенно ясным, что в неконнотативном имени отсутствует только коннотация, а не субъективное содержание или охват.

Коннотативное имя может быть определено как имя, применение которого определяется коннотацией или интенсивным определением, то есть конвенционально назначенным атрибутом или набором атрибутов. Неконнотативное имя — это экземплификативное имя, имя, применение которого определяется экземплификацией или экстенсивным определением в смысле, объясненном в разделе 22; другими словами, это имя, применение которого определяется путем указания или обозначения, посредством описания или иным образом, конкретного индивида (если имя единичное) или типичных индивидов (если имя общее), к которым имя привязано.

Если допустить, что применение любых имен может быть определено последним способом, в отличие от первого, то необходимо допустить, что некоторые имена являются неконнотативными.

25. Являются ли собственные имена коннотативными? — На этот вопрос даются совершенно противоречивые ответы обычными ясными мыслителями как очевидно правильные. В некоторой степени, однако, расхождение является чисто словесным, поскольку термины «коннотация» и «коннотативное имя» используются в разных смыслах.

Необходимо с самого начала остерегаться заблуждения, которое совершенно затушевывает реальный предмет спора. Так, ссылаясь на Милля, Джевонс говорит: «Логики ошибочно утверждали, как мне кажется, что единичные термины лишены значения в содержании, в то время как на самом деле они превосходят все другие термины в этом роде значения» («Принципы науки», 2, § 2, со ссылкой на Милля в сноске). Но Милль четко заявляет, что некоторые единичные имена являются коннотативными, например, «солнце», «первый император Рима» («Логика», I, 2, § 5). Мы, безусловно, можем сузить объем термина до тех пор, пока он не станет индивидуализированным, не разрушая его коннотацию; «нынешний профессор чистой математики в Университетском колледже, Лондон» — это единичный термин — его объем не может быть далее уменьшен — но он, безусловно, коннотативен.

Задавался вопрос, на каком основании «солнце» может рассматриваться как коннотативное, в то время как «Джон» считается неконнотативным; сравните Т. Х. Грин, «Философские труды», ii, стр. 204. Ответ заключается в том, что «солнце» — это общее имя с определенным значением, которое определяет его применение, и что оно не теряет свою коннотацию при индивидуализации с помощью артикля «the»; в то время как «Джон», с другой стороны, — это имя, данное объекту просто как метка для целей будущей ссылки, и без обозначения обладания этим объектом какими-либо конвенционально выбранными атрибутами.

Тогда следует понимать, что только один класс единичных имен, а именно собственные имена, утверждается как неконнотативный; и что под этим не подразумевается ничего иного, кроме того, что их применение не определяется конвенционально назначенным набором атрибутов. Почву можно еще больше расчистить, если мы явно признаем, что, хотя собственные имена не имеют коннотации, они тем не менее имеют как субъективное содержание, так и охват. Индивидуальный объект может быть распознан только через его атрибуты; и собственное имя, когда я понимаю его как метку определенного индивида, несомненно, внушает моему разуму определенные качества. Качества, таким образом внушенные именем, составляют его субъективное содержание. Охват имени будет включать гораздо больше, чем его субъективное содержание, а именно всю совокупность свойств, принадлежащих обозначаемому индивиду.

Трактовка вопроса, принятая в этой работе, подверглась критике на том основании, что она предрешает вопрос, поскольку в разделе 10 собственные имена были фактически определены как неконнотативные. Эта критика, однако, не может быть принята, если только одновременно не утверждается, что определение, данное в разделе 10, дает денотацию, отличную от той, которая обычно понимается как принадлежащая собственным именам.

Собственное имя может обладать внушающей силой даже для тех, кто на самом деле не знаком с человеком или вещью, обозначаемой им. Так, «Уильям Стэнли Джевонс» может внушить любое или все из следующего тому, кто никогда не слышал этого имени раньше: организованное существо, человеческое существо, мужчина, англосакс, имеющий родственника по имени Стэнли, имеющий родителей по имени Джевонс. Но в то же время нельзя сказать, что имя обязательно обозначает что-либо из этого в том смысле, что если бы эти качества отсутствовали, оно было бы применено неправильно. Рассмотрим, например, такое имя, как «Виктория-Ньянца». Некоторые дальнейшие замечания, относящиеся к этому пункту, будут найдены позже в этом разделе.

Обнаружится, что большинство авторов, которые рассматривают собственные имена как обладающие коннотацией, на самом деле имеют в виду под этим либо субъективное содержание, либо охват. Так, Джевонс излагает свой случай следующим образом: «Любое собственное имя, такое как Джон Смит, почти лишено смысла, пока мы не узнаем Джона Смита, о котором идет речь. Правда, имя само по себе коннотирует тот факт, что он тевтонец и мужчина; но как только мы узнаем точного индивида, которого оно обозначает, имя, конечно, подразумевает также своеобразные черты, форму и характер этого индивида. На самом деле, поскольку только по своеобразным качествам, чертам или обстоятельствам вещи мы можем когда-либо распознать ее, ни одно имя не могло бы иметь фиксированного значения, если бы мы не приписывали ему, по крайней мере мысленно, такое определение вида вещи, обозначаемой им, чтобы мы знали, обозначается ли им данная вещь или нет. Если имя Джон Смит не внушает моему разуму качества Джона Смита, как я узнаю его, когда встречу? Ибо он, конечно, не носит свое имя, написанное на челе» («Элементарные уроки логики», стр. 43). Здесь взят неверный критерий коннотации в смысле Милля. Коннотация имени — это не качество или качества, по которым я или кто-либо другой может случайно распознать класс, который оно обозначает. Например, я могу распознать англичанина за границей по покрою его одежды, или француза по его произношению, или проктора по его лентам, или барристера по его парику; но я не имею в виду ничего из этого под этими именами, и они (в смысле Милля) не составляют никакой части коннотации имен. Сравните два таких имени, как «Генри Монтегю Батлер» и «Магистр Тринити-колледжа, Кембридж». В настоящее время они обозначают одного и того же человека; но имена не эквивалентны — одно дано определенному индивиду как метка, чтобы отличить его от других, и не имеет дальнейшего значения; другое дано из-за выполнения определенных функций, по прекращении которых имя перестало бы применяться. Безусловно, здесь есть различие, и такое, которое важно не упустить из виду.

Можно действительно справедливо сказать, что многие, если не большинство, собственных имен означают что-то в том смысле, что они были выбраны в первом случае по особой причине. Например, «Стронг-и-з-арм», «Смит», «Юнгфрау». Но такие имена, даже если в определенном смысле коннотативны при первом присвоении, вскоре перестают быть таковыми, поскольку их последующее применение к лицам или вещам, обозначенным ими, не зависит от сохранения атрибута, в связи с которым они были первоначально даны. Как выразился Милль, имя, однажды данное, не зависит от причины. Другими словами, мы должны тщательно различать коннотацию имени и его историю. Так, человек мог в молодости быть сильным, но мы не должны продолжать называть его сильным в его дряхлости; в то время как имя «Стронг-и-з-арм», однажды данное, не было бы у него отнято. Опять же, имя «Смит» могло в первом случае быть дано потому, что человек занимался определенным ремеслом, но его все равно называли бы тем же именем, если бы он сменил профессию, и его потомков продолжают называть Смит, какими бы ни были их занятия.

Нельзя, однако, сказать, что имя обязательно подразумевает предков с тем же именем. Как замечает д-р Венн, «тот, кто меняет свою фамилию, может грубо обмануть генеалогов, но он не говорит неправду» («Эмпирическая логика», стр. 185).

Утверждалось, что собственные имена должны быть коннотативными, потому что использование собственного имени передает больше информации, чем использование общего имени. «Мало кто, — говорит г-н Бенеке, — будет отрицать, что если я скажу «главным оратором был г-н Гладстон», я даю не меньше, а больше информации, чем если вместо «г-н Гладстон» я скажу либо «член парламента», либо «выдающийся человек», либо «государственный деятель», либо «лидер либералов». Будет признано, что предикат «г-н Гладстон» говорит нам все, что говорят нам все эти другие коннотативные предикаты вместе взятые, и даже больше; и если так, я не вижу, как можно отрицать, что он также коннотирует больше». Ясно, однако, что информация, даваемая, когда вещь называется каким-либо именем, зависит не от коннотации имени, а от его содержания для адресата. Тому, кто знает, что г-н Гладстон был премьер-министром в 1892 году, предоставляется та же информация, независимо от того, упоминается ли оратор как «г-н Гладстон» или как «премьер-министр Великобритании и Ирландии в 1892 году». Но, безусловно, нельзя утверждать, что коннотация этих двух имен идентична.

В докладе о «Коннотации собственных имен», прочитанном перед Аристотелевским обществом.

В критике позиции, что применение собственного имени, такого как «Гладстон», определяется некоторым атрибутом или набором атрибутов, мы можем естественно спросить: каким атрибутом или набором атрибутов? Ответ не может заключаться в том, что коннотация состоит из полной группы атрибутов, которыми обладает обозначенный индивид; ибо абсурдно требовать какого-либо подобного перечисления для того, чтобы определить применение имени. Однако невозможно выбрать некоторые конкретные атрибуты индивида, о котором идет речь, и указать на них как на группу, которая была бы принята в качестве определения имени; и если говорится, что применение имени определяется любым набором атрибутов, который достаточен для идентификации, то дело проиграно. Ибо это равносильно идентификации индивида через описание (то есть практически через экземплификацию), а не через конкретный набор атрибутов, конвенционально прикрепленный к имени как таковому. Истина в том, что никто никогда не предложил бы дать интенсивное определение собственного имени. Все имена, однако, которые являются коннотативными, должны обязательно допускать интенсивное определение.

Г-н Бозанкет приходит к выводу, что «собственное имя имеет коннотацию, но не фиксированную общую коннотацию. Оно привязано к уникальному индивиду и коннотирует все, что может быть вовлечено в его идентичность или является инструментальным в представлении его разуму» («Основы логики», стр. 93). Насколько я могу понять это утверждение, оно сводится к тому, что собственные имена имеют охват и субъективное содержание, но не коннотацию в тех смыслах, в которых я определил эти термины.

Собственные имена, конечно, становятся коннотативными, когда они используются для обозначения определенного типа человека; например, Диоген, Фома, Дон Кихот, Пол Прай, Бенедикт, Сократ. Но при таком использовании такие имена на самом деле перестали быть собственными именами вообще; они приобрели все характеристики общих имен.

Сравните строки Грея —

«Может быть, здесь покоится какой-нибудь деревенский Гэмпден, который с бесстрашной грудью противостоял маленькому тирану своих полей, какой-нибудь немой бесславный Мильтон, какой-нибудь Кромвель, невинный в крови своей страны».

Можно обратить внимание на класс единичных имен, таких как «мисс Смит», «капитан Джонс», «президент Рузвельт», «Люцернское озеро», «Ниагарский водопад», которые можно назвать частично, но только частично коннотативными. Их особенность в том, что они частично состоят из элементов, имеющих общее и постоянное значение, и что, следовательно, некоторое изменение в обозначаемом объекте может сделать их более неприменимыми, как, например, если бы капитан Джонс получил повышение и стал майором; в то же время такая коннотация, которой они обладают, сама по себе недостаточна для полного определения их применения. Можно сказать, что их применение ограничено, но не определено ссылкой на конкретные приписываемые атрибуты. Поэтому они занимают промежуточное положение между коннотативными единичными именами, такими как «первый человек», и строго собственными именами.

Мы можем в этой связи коснуться аргумента Джевонса о том, что такое имя, как «Джон Смит», коннотирует во всяком случае «тевтонец» и «мужчина». Это не совсем так, поскольку «Джон Смит» мог бы быть георгиной, или скаковой лошадью, или негром, или псевдонимом женщины, как в случае с Джордж Элиот. Ни в одном из этих случаев нельзя было бы сказать, что имя применено неправильно, как это было бы, если бы георгину или лошадь назвали человеком, или негра — тевтонцем, или женщину — мужчиной. В то же время нельзя отрицать, что определенные собственные имена на практике настолько ограничены определенными классами объектов, что ощущалась бы некоторая несообразность, если бы они применялись к объектам, принадлежащим к любому другому классу. Например, маловероятно, чтобы родитель намеренно назвал свою дочь «Джон Ричард». Насколько это так, можно сказать, что рассматриваемые имена частично коннотативны таким же образом, как имена, упомянутые в предыдущем абзаце, хотя и в меньшей степени; то есть их применение ограничено, хотя и не определено, ссылкой на специфические атрибуты. Мы имели бы еще более ясный случай подобного рода, если бы право носить определенное имя влекло за собой специфические юридические или социальные привилегии.

Сравните Бозанкет, «Логика», i, стр. 53.

Была занята позиция, что каждое собственное имя является по крайней мере частично коннотативным, поскольку оно обязательно подразумевает индивидуальность и свойство называться рассматриваемым именем. Если мы ссылаемся на что-либо под каким бы то ни было именем, оно во всяком случае должно обладать качеством называться этим именем. Если мы называем человека Джоном, когда он на самом деле проходит под именем Джеймса, мы совершаем ошибку; мы приписываем ему качество, которым он не обладает, — качество проходить под именем Джона. Этот аргумент, хотя и не кажется устанавливающим вывод о том, что собственные имена в какой-либо степени коннотативны, тем не менее привлекает внимание к отличительной особенности собственных имен, которая заслуживает внимания. Денотация коннотативных имен может и обычно меняется со временем; и это верно как для коннотативных единичных имен, так и для общих имен. Но совершенно очевидно, что в случае собственного имени необходимо (в любом данном использовании), чтобы имя последовательно прикреплялось к одному и тому же индивидуальному объекту. Однако одно дело сказать, что идентичность объекта, называемого именем, с тем, которому имя было ранее присвоено, является условием, существенным для правильного использования собственного имени, и другое дело сказать, что это коннотируется собственным именем. Если действительно под коннотацией мы понимаем атрибуты, по причине обладания которыми каким-либо объектом имя применимо к этому объекту, то кажется случаем ὕστερον πρότερον (последовательность наоборот) включать в коннотацию свойство называться этим именем.

УПРАЖНЕНИЯ.

26. Являются ли такие понятия, как «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», идентичными или различными? [К.] [Этот вопрос следует рассматривать в связи с обсуждением в разделах 17 и 18.]

27. Пусть X1, X2, X3, X4 и X5 составляют весь определенный универсум дискурса: также пусть a, b, c, d, e, f исчерпывают свойства X1; a, b, c, d, e, g — свойства X2; b, c, d, f, g — свойства X3; a, b, d, e, f — свойства X4; и a, c, e, f, g — свойства X5. (i) Учитывая, что при этих условиях термин имеет коннотацию a, b, найдите его денотацию и его охват, и определите экземплификацию, которая дала бы тот же результат. (ii) Учитывая, что при тех же условиях термин имеет экземплификацию X4, X5, найдите его охват и его денотацию, и определите коннотацию, которая дала бы тот же результат. [К.]

28. На каких основаниях можно утверждать, что имена могут обладать (a) денотацией без коннотации, (b) коннотацией без денотации? Приведите иллюстрации, показывающие, что денотация термина, коннотация которого известна, должна рассматриваться как относительная к пропозиции, в которой он используется в качестве субъекта, и к контексту, в котором встречается пропозиция. [Дж.]

29. Что вы считаете вопросом, который на самом деле стоит на повестке дня, когда спрашивают, являются ли собственные имена коннотативными? Исследуйте, являются ли следующие имена соответственно коннотативными или неконнотативными: Цезарь, Царь, лорд Биконсфилд, самая высокая гора в Европе, Монблан, Вайсхорн, Гренландия, Претендент, полярная звезда, Гомер, Даниил, пришедший на суд. [К.]

30. Выделите любые особые моменты, которые возникают при обсуждении экстенсиональных и интенсиональных аспектов следующих терминов соответственно: Розоцветные, равносторонний треугольник, цвет, гигант. [С.]

ГЛАВА III.

РЕАЛЬНЫЕ, ВЕРБАЛЬНЫЕ И ФОРМАЛЬНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ.

31. Реальные (синтетические), вербальные (аналитические или синонимические) и формальные пропозиции. — (1) Реальная пропозиция — это та, которая дает информацию о чем-то большем, чем значение или применение термина, составляющего ее субъект; как когда пропозиция предикатирует о коннотативном субъекте некоторый атрибут, не включенный в его коннотацию, или когда коннотативный термин предикатируется о неконнотативном субъекте. Например, «Все тела имеют вес», «Углы любого треугольника в сумме равны двум прямым углам», «Отрицательные пропозиции распределяют свои предикаты», «Вордсворт — великий поэт».

Реальные пропозиции также описываются как синтетические, амплиативные, акцидентальные.

(2) Вербальная пропозиция — это та, которая дает информацию только относительно значения или применения термина, составляющего ее субъект.

Хотя вербальные пропозиции могут быть отличены от реальных пропозиций в соответствии с вышеприведенными определениями, можно утверждать, что каждая вербальная пропозиция подразумевает реальную пропозицию определенного рода, стоящую за ней. Ибо вопрос о том, какое значение придается данному термину в обычном дискурсе или данным индивидом, является вопросом факта, и утверждение относительно него может быть истинным или ложным. Так, «X означает abc» — это вербальная пропозиция; но такие пропозиции, как «Значение, обычно придаваемое термину X, есть abc», «Значение, придаваемое в этой работе термину X, есть abc», «Значение, с которым было бы наиболее удобно использовать термин X, есть abc», являются реальными. Если смотреть с этой точки зрения, различие между вербальными и реальными пропозициями может показаться довольно тонким. Остается, однако, верным, что пропозиция «X означает abc» является вербальной относительно своего субъекта X. Из данного материала мы не можем путем каких-либо манипуляций получить реальную предикацию об X, то есть о вещи, обозначаемой термином X, но только о значении термина X. Реальная вовлеченная пропозиция может, таким образом, быть получена только путем подстановки вместо исходного субъекта другого субъекта.

Следует различать два класса вербальных пропозиций, которые можно назвать соответственно аналитическими и синонимическими. В первых предикат дает частичный или полный анализ коннотации субъекта; например, «Тела протяженны», «Равносторонний треугольник — это треугольник, имеющий три равные стороны», «Отрицательная пропозиция имеет отрицательную связку». Определения включены в это деление вербальных пропозиций; и важность определений настолько велика, что совершенно ошибочно говорить о вербальных пропозициях как во всех случаях тривиальных. В общем, они тривиальны лишь постольку, поскольку их истинная природа неверно понята; когда, например, люди тратят время, делая вид, что доказывают то, что уже было принято в значении, приписанном используемым терминам.

Поскольку мы здесь на самом деле не продвигаемся дальше анализа понятия субъекта, д-р Бэйн описывает вербальную пропозицию как «понятие под видом пропозиции». Отсюда уместность рассмотрения вербальных пропозиций под общим заголовком «Термины».

Под вербальным спором понимается спор, который вращается вокруг значения слов. Д-р Венн замечает, что чисто вербальные споры очень редки, поскольку «различное использование слов почти неизбежно влечет за собой различные убеждения относительно фактов» («Эмпирическая логика», стр. 296). Это верно и важно; действительно, всегда следует помнить, что проблема научного определения — это не просто вопрос слов, а вопрос вещей. В то же время споры, которые являются частично вербальными, чрезвычайно распространены, и также очень часто их истинный характер в этом отношении не осознается. Когда это так, противоречие, скорее всего, будет бесплодным. Вопросы о том, являются ли собственные имена коннотативными и вовлекает ли каждый силлогизм petitio principii, могут быть взяты в качестве примеров. Мы, безусловно, продвигаемся далеко к решению этих вопросов, четко дифференцируя различные значения, которые могут быть приписаны используемым терминам.

Помимо пропозиций, дающих более или менее полный анализ коннотации имен, следующие — которые мы можем называть синонимическими пропозициями — должны быть включены в заголовок вербальных пропозиций: (a) где субъект и предикат являются собственными именами, например, «Туллий — это Цицерон»; (b) где они являются словарными синонимами, например, «Богатство — это достаток», «История — это рассказ», «Милосердие — это любовь». В этих случаях информация дается только относительно применения или значения терминов, которые выступают в качестве субъектов пропозиций.

Аналитические пропозиции также описываются как экспликативные и как эссенциальные. Почти то же самое различие, следовательно, как между вербальными и реальными пропозициями, выражается парами терминов — аналитические и синтетические, экспликативные и амплиативные, эссенциальные и акцидентальные. Эти термины, однако, не охватывают совсем ту же область, что вербальные и реальные, поскольку они оставляют без внимания синонимические пропозиции, которые не могут, например, быть правильно описаны ни как аналитические, ни как синтетические.

Так, Мансел обращает внимание на «класс пропозиций, которые не являются в строгом смысле слова аналитическими, а именно те, в которых предикат является единственным термином, синонимичным субъекту» (Мансел, «Олдрич», стр. 170).

Различие между реальными и вербальными пропозициями, как оно дано выше, предполагает, что использование терминов фиксируется их коннотацией и что эта коннотация детерминирована. Является ли данная пропозиция на самом деле вербальной или реальной, будет зависеть от значения, придаваемого терминам, которые она содержит; и ясно, что логика не может установить никакого правила для определения того, к какой категории должна быть отнесена данная пропозиция. Тем не менее, хотя мы не можем с уверенностью отличить реальную пропозицию по ее форме, можно заметить, что прикрепление знака количества, такого как «все», «каждый», «некоторые» и т. д., к субъекту пропозиции в общем можно рассматривать как указание на то, что, по мнению лица, формулирующего пропозицию, констатируется факт, а не просто объясняется термин. Вербальные пропозиции, с другой стороны, обычно неквантифицированы или неопределенны (см. раздел 69). Например, чтобы дать частично правильное представление о значении такого имени, как «квадрат», мы не должны говорить «все квадраты — это четырехсторонние фигуры» или «каждый квадрат — это четырехсторонняя фигура», но «квадрат — это четырехсторонняя фигура».

Мы можем, однако, адаптировать различие к случаю, в котором использование терминов фиксируется экстенсивным определением. Мы можем сказать, что в то время как пропозиция (выраженная утвердительно и со связкой включения) является интенсивно вербальной, когда коннотация предиката является частью или целым коннотации субъекта, она является экстенсивно вербальной, когда субъект, взятый в объеме, является частью или целым экстенсивного определения предиката. Так, если использование термина «металл» фиксируется экстенсивным определением, то есть перечислением некоторых типичных металлов, из которых мы можем предположить железо одним из них, то вербальной пропозицией является утверждение, что «железо — это металл». Если, однако, олово не включено среди типичных металлов, то реальной пропозицией является утверждение, что «олово — это металл».

Из этого не следует, что различие между вербальными и реальными пропозициями не имеет логического значения. Хотя логик как логик не может в сомнительных случаях определить, к какой категории принадлежит данная пропозиция, он может указать, каковы условия, от которых это зависит, и он может показать, что в любой дискуссии или аргументе никакой прогресс невозможен, пока не будет ясно понято всеми, кто принимает участие, должны ли сформулированные пропозиции интерпретироваться как реальные или просто вербальные. Ссылаясь на аналогичный случай, нельзя сказать, что различие между истинностью и ложностью не имеет логического значения, потому что логик как логик не может определить, является ли данная пропозиция истинной или ложной.

Следует добавить, что мы можем формально отличить полное определение от реальной пропозиции, соединив субъект и предикат словом «означает» вместо слова «есть».

(3) Существуют пропозиции, обычно классифицируемые как вербальные, которые следовало бы скорее поместить в класс сами по себе, а именно те, которые являются истинными, каково бы ни было значение вовлеченных терминов; например, «Все А есть А», «Ни одно А не есть не-А», «Все Z есть либо B, либо не-B», «Если все А есть B, то ни одно не-B не есть А», «Если все А есть B и все B есть C, то все А есть C». Их можно назвать формальными пропозициями, поскольку их истинность определяется их голой формой.

60 Пропозиции, которые по видимости являются чисто тавтологичными, иногда обладают эпиграмматической силой и используются в риторических целях, например: «Человек есть человек» (несмотря ни на что). В таких случаях, однако, обычно присутствует импликация, придающая пропозиции характер реальной пропозиции; так, в приведенном выше примере истинная сила пропозиции заключается в том, что «каждый человек как таковой имеет право на уважение». «В пропозиции “Дети есть дети” термин-субъект означает лишь возрастной признак детства; термин-предикат — другие признаки, которые с ним связаны. Под пропозицией “Война есть война” мы подразумеваем, что как только возникло состояние войны, не стоит удивляться, что проявляются и все последствия, обычно с ней связанные. Таким образом, предикат добавляет новые определения к значению, в котором изначально был взят субъект» (Зигварт, «Логика», I, стр. 86).

Формальные пропозиции — это единственные пропозиции, чья значимость исследуется и гарантируется самой логикой независимо от других источников знания, и многие результаты, достигнутые в формальной логике, могут быть суммированы в таких пропозициях; ибо любое формально значимое рассуждение может быть выражено формальной гипотетической пропозицией, как в двух последних из приведенных выше примеров.

Формальную пропозицию, как она определена здесь, не следует путать с пропозицией, выраженной в символах. Формальная пропозиция, по сути, вовсе не обязательно должна быть выражена в символах. Так, пропозиция «Животное есть животное» является формальной пропозицией; «Все S есть P» — нет. Строго говоря, символическое выражение, такое как «Все S есть P», следует рассматривать скорее как пропозициональную форму, чем как пропозицию per se. Ибо ее саму по себе нельзя назвать ни истинной, ни ложной. В логике нас в значительной степени интересуют отношения между пропозициональными формами, поскольку они включают соответствующие отношения между всеми пропозициями, подпадающими под рассматриваемые формы.

Таким образом, у нас есть три класса пропозиций — формальные, вербальные и реальные, — значимость или незначимость которых определяется соответственно их чистой формой, простым значением или применением входящих в них терминов, а также вопросами факта относительно вещей, обозначаемых этими терминами. 61

61 Реальные пропозиции делятся на истинные и ложные в зависимости от того, точно ли они соответствуют фактам. Под вербальными и формальными пропозициями мы обычно понимаем пропозиции, которые с принятой точки зрения являются значимыми. Пропозиция, которая с любой из этих точек зрения является незначимой, называется противоречием в терминах. Строго говоря, нам следует различать вербальное противоречие в терминах и формальное противоречие в терминах, причем противоречие в первом случае зависит от силы используемых терминов, а во втором — от простой формы пропозиции; например, «Некоторые люди не являются животными», «А есть не-А». Любую чисто формальную ошибку можно назвать сводящейся к формальному противоречию в терминах. Следует добавить, что простой термин, если он сложен, может содержать противоречие в терминах; например, «римский католик» (если отдельные термины интерпретируются буквально), «А не-А».

32. Природа анализа, вовлеченного в аналитические пропозиции. — Путаница нередко вносится в дискуссии, касающиеся аналитических пропозиций, из-за отсутствия согласия относительно природы вовлеченного анализа. Если аналитическая пропозиция отождествляется, как указано выше, с делением вербальной пропозиции, она дает анализ, частичный или полный, коннотации термина-субъекта. Некоторые авторы, однако, по-видимому, имеют в виду анализ субъективной интенции термина-субъекта. В такой интерпретации, конечно, нет ничего абсолютно неверного, если ее последовательно придерживаться, но она делает различие между аналитическими и синтетическими пропозициями логически бесполезным и для всех практических целей ничтожным. «И интенция, и экстенция, — говорит г-н Брэдли, — относительны к нашему знанию. И осознание этой истины губительно для хорошо известного кантовского различения. Суждение не фиксируется как “синтетическое” или “аналитическое”: его характер варьируется в зависимости от знания, которым обладают разные люди в разное время. Если бы значение слова ограничивалось тем атрибутом или группой атрибутов, с которых оно началось, мы могли бы отличить те суждения, которые утверждают внутри целого одну часть его содержания, от тех, которые добавляют элемент извне; и различие, сделанное таким образом, оставалось бы значимым навсегда. Но на практике само значение расширяется посредством синтеза. То, что добавлено сегодня, подразумевается завтра. Мы можем даже сказать, что синтетическое суждение, как только оно сделано, сразу же становится аналитическим». 62

62 «Принципы логики», стр. 172. Профессор Вейч выражается несколько схожим образом. «Логически все суждения являются аналитическими, ибо суждение — это утверждение судящим лицом того, что он знает о предмете, о котором идет речь. Для адресата, реального или воображаемого, суждение может содержать новый предикат — новое знание. Но лицо, выносящее суждение, говорит аналитически, и только аналитически; ибо оно излагает часть того, что, как оно знает, принадлежит предмету, о котором идет речь. Фактически, невозможно, чтобы кто-либо мог судить иначе. Мы должны судить на основе нашего реального или предполагаемого знания о вещи, уже находящейся в уме» («Основы логики», стр. 237).

Если под интенцией понимается субъективная интенция, а под аналитическим суждением — такое, которое анализирует интенцию субъекта, то вышеприведенные утверждения безупречны. Действительно, настолько очевидно верно, что в этом смысле синтетические суждения являются лишь аналитическими суждениями в процессе становления, что подробно останавливаться на самом этом различии было бы лишь пустой тратой времени. Однако вводить в заблуждение отождествление субъективной интенции со значением; 63 и это особенно актуально в данной связи, поскольку с определенной долей правдоподобия можно утверждать, что некоторые синтетические суждения являются лишь аналитическими суждениями в процессе становления, даже когда под аналитическим суждением понимается такое, которое анализирует коннотацию субъекта. Ибо, несомненно, коннотация имен на практике не является неизменно фиксированной. По мере прогресса нашего знания многие наши 55 определения модифицируются, и, следовательно, форма слов, которая является синтетической в один период, может стать аналитической в другой.

63 Сравните следующую критику различения Милля между реальными и вербальными пропозициями: «Если каждая пропозиция является лишь вербальной, которая утверждает что-то о вещи под именем, которое уже предполагает то, что собираются утверждать, тогда каждое утверждение ученого является для него лишь вербальным» (Т. Х. Грин, «Работы», ii, стр. 233). Эта критика, по-видимому, теряет свою силу, если мы помним о различии между коннотацией и субъективной интенцией.

Но, во-первых, очень далеко от истины то, что это универсальное правило, согласно которому вновь открытые свойства класса в конечном итоге включаются в коннотацию или интенсиональное определение имени класса. Д-р Бэйн («Логика», «Дедукция», стр. 69–73), по-видимому, подразумевает обратное; но его доктрина по этому пункту не защитима ни с точки зрения логической целесообразности, ни с точки зрения реальной практики. Что касается логической целесообразности, то общепризнанным принципом определения является то, что мы должны стремиться включить в определение минимальное количество свойств, необходимых для идентификации, а не максимальное, которое возможно включить. 64 А что касается того, что происходит на самом деле, легко найти случаи, когда мы можем с уверенностью сказать, что некоторые общие свойства класса никогда на самом деле не будут включены в определение имени класса; например, равноугольность никогда не будет включена в определение равностороннего треугольника, или наличие раздвоенных копыт — в определение жвачного животного.

64 Если мы включаем в определение имени класса все общие свойства класса, как нам вообще сделать какое-либо универсальное утверждение факта о классе? Учитывая, что свойство P принадлежит всему классу S, тогда по гипотезе P становится частью значения S, и пропозиция «Все S есть P» лишь делает это вербальное утверждение и вовсе не является утверждением какого-либо факта. Мы, следовательно, вовлечены в своего рода порочный круг.

Во-вторых, даже когда вновь открытые свойства вещей в конечном итоге включаются в коннотацию их имен, процесс этот во всяком случае постепенный, и поэтому было бы неверно говорить — в том смысле, в котором мы сейчас используем эти термины, — что синтетическое суждение становится аналитическим в самом процессе своего формирования. С другой стороны, можно разумно предположить, что в любой данной дискуссии значение наших терминов фиксировано, и различие между аналитическими и синтетическими пропозициями тогда становится весьма значимым и важным. Можно добавить, что когда имя меняет свое значение, любая пропозиция, в которой оно встречается, строго говоря, не остается той же самой пропозицией, что и прежде. Мы должны 56 скорее сказать, что та же самая форма слов теперь выражает другую пропозицию. 65

65 Этот момент подчеркивается г-ном Монком в замечательной дискуссии по вышеуказанному вопросу, содержащейся в его «Введении в логику», стр. 130–134.

УПРАЖНЕНИЯ.

33. Укажите, какие из следующих пропозиций вы считаете реальными, а какие — вербальными, приводя свои доводы в каждом случае:

(i) | All proper names are singular;
(ii) | A syllogism contains three and only three terms;
(iii) | Men are vertebrates;
(iv) | All is not gold that glitters;
(v) | The dodo is an extinct bird;
(vi) | Logic is the science of reasoning;
(vii) | Two and two are four;
(viii) | All equilateral triangles are equiangular;
(ix) | Between any two points one, and only one, straight line can be drawn;
(x) | Any two sides of a triangle are together greater than the third side.

[C.]

34. Выясните, являются ли следующие пропозиции реальными или вербальными: (a) Гомер написал «Илиаду», (b) Мильтон написал «Потерянный рай». [C.]

35. Как бы вы охарактеризовали пропозицию, которая формально выводится из конъюнкции вербальной пропозиции с реальной материальной пропозицией? Объясните свою точку зрения с помощью иллюстрации. [J.]

36. Если все x есть y, и некоторые x есть z, и p — это имя тех z, которые являются x; является ли вербальной пропозицией утверждение, что все p есть y? [V.]

37. Возможно ли сделать любой термин субъектом (a) вербальной пропозиции, (b) реальной пропозиции? [J.]

ГЛАВА IV.

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ИМЕНА И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ИМЕНА.

38. Положительные и отрицательные имена. — Пара имен форм A и не-A обычно описывается как положительные и отрицательные соответственно. Истинное значение отрицательного имени не-A, включая вопрос о том, имеет ли оно вообще какое-либо значение, однако, породило много дискуссий.

Строго говоря, ни утверждение, ни отрицание не имеют смысла, кроме как в отношении суждений или пропозиций. Концепт или термин сам по себе не может быть ни утвержден, ни отрицаем. Если я утверждаю, это должно быть суждение или пропозиция, которые я утверждаю; если я отрицаю, это должно быть суждение или пропозиция, которые я отрицаю.

Исходя из этой позиции, Зигварт приходит к выводу, что «в буквальном смысле формула не-A, где A обозначает любую идею, не имеет никакого значения» («Логика», I, стр. 134). Помимо того факта, что простое отсутствие идеи само по себе не является идеей, не-A нельзя интерпретировать как означающее отсутствие A в мышлении; ибо, напротив, оно подразумевает присутствие A в мышлении. Мы не можем, например, думать о «не-белом», не думая о «белом». Также мы не можем интерпретировать не-A как обозначающее «все, что не обязательно сопровождает A в мышлении». Ибо, если это так, A и не-A, как правило, не были бы исключающими или несовместимыми. Например, «квадратный», «твердый» не обязательно сопровождают «белый» в мышлении; но нет никакой оппозиции между этими идеями и идеей «белого». Чтобы интерпретировать не-A как реальное отрицание, мы должны, говорит Зигварт, молчаливо ввести суждение или, скорее, ряд суждений, 58 подразумевая под не-A «все, что не есть A», то есть все, что угодно, из чего A должно быть отрицаемо. «Я должен пересмотреть в мышлении все возможные вещи, чтобы отрицать A в отношении них, и это были бы положительные объекты, обозначаемые не-A. Но даже если бы в этом была какая-то польза, это была бы невыполнимая задача» (стр. 135).

Соглашаясь со многим из того, что говорит Зигварт в этой связи, я не могу полностью принять его вывод. Мы вернемся к этому вопросу с более спорной точки зрения в следующем разделе. Тем временем мы можем указать результат, к которому, по-видимому, действительно ведет нас общий аргумент Зигварта.

Мы должны согласиться с тем, что не-A нельзя рассматривать как представляющее какой-либо независимый концепт; то есть мы не можем сформировать никакой идеи не-A, которая отрицает понятие A. Поэтому верно, что, если брать буквально (то есть как представляющую идею, которая является чистым отрицанием идеи A), формула не-A непостижима. Рассматривая, однако, не-A как эквивалентное «всему, что не есть A», мы можем сказать, что его оправдание и объяснение следует искать прежде всего в отношении к экстенсии имени. Мышление о чем-либо как об A включает его отличие от того, что не есть A. Таким образом, на экстенсивной стороне каждый концепт делит универсум, в отношении которого он мыслится (чем бы он ни был), на два взаимно исключающих подраздела, а именно: часть, о которой может быть предикатировано A, и часть, о которой A не может быть предикатировано. Мы обозначаем их соответственно A и не-A. Хотя можно сказать, что A и не-A интенсионально включают только один концепт, экстенсионально они взаимно исключают друг друга.

Ограничиваясь коннотативными именами, мы можем выразить различие между положительными и отрицательными именами несколько иначе, сказав, что положительное имя подразумевает присутствие в вещах, называемых этим именем, определенного указанного атрибута или набора атрибутов, в то время как отрицательное имя подразумевает отсутствие одного или другого из определенных указанных атрибутов. Отрицательное имя, следовательно, имеет свою денотацию, определяемую косвенно. Класс, обозначаемый положительным именем, определяется положительно, а затем отрицательное имя обозначает то, что осталось.

59 39. Неопределенный характер отрицательных имен. — «Бесконечные» и «неопределенные» — это обозначения, которые применялись к отрицательным именам, когда они интерпретировались таким образом, чтобы не ограничиваться ограниченным универсумом дискурса. Ибо без такого ограничения (явного или неявного) отрицательное имя, например, «не-белое», должно пониматься как обозначающее весь бесконечный или неопределенный класс вещей, о которых «белое» не может быть истинно утверждено, включая такие сущности, как добродетель, сон, время, монолог, Новая Гвинея, семь возрастов человека.

Многие логики утверждают, что никакой значимый термин не может быть действительно бесконечным или неопределенным таким образом. 66 Они говорят, что если термин вроде «не-белое» должен иметь хоть какое-то значение, он должен пониматься как обозначающий не все вещи, кроме белых, а только вещи, которые являются черными, красными, зелеными, желтыми и т. д., то есть все цветные вещи, кроме тех, которые являются белыми. Другими словами, универсум дискурса, который любая пара противоречащих терминов A и не-A исчерпывает между собой, считается обязательно ограниченным ближайшим родом, видом которого является A; как, например, в случае с «белым» и «не-белым» — универсум цвета.

66 Это лежит в основе окончательной трудности Зигварта в отношении отрицательных имен, как указано в предыдущем разделе. Позже он отмечает, что при делении мы оправданы в включении отрицательных характеристик формы не-A в концепт, хотя мы не можем рассматривать само не-A как независимый концепт. Таким образом, мы можем разделить концепт «органическое существо» на «чувствующее» и «не-чувствующее», причем специфическое различие здесь конституируется отсутствием характеристики, которая совместима с остальными характеристиками, но не обязательно связана с ними («Логика», I, стр. 278). Сравните также Лотце, «Логика», § 40.

Несомненно, мы редко или никогда не используем отрицательные имена, кроме как в отношении какого-либо ближайшего рода. Например, говоря о «не-избирателях», мы, вероятно, имеем в виду жителей какого-то города или местности, которых мы подразделяем на тех, у кого есть голоса, и тех, у кого их нет. Подобным образом мы обычно отрицаем «красное» только в отношении вещей, которые являются цветными, «квадратность» — только в отношении вещей, которые имеют какую-то фигуру, и т. д., так что существует неявное ограничение сферы. Можно далее допустить, что пропозиция, содержащая отрицательное имя, интерпретируемое как бесконечное, может иметь мало или вообще не иметь практической ценности. Но из этого не следует, что некоторое ограничение 60 сферы необходимо для того, чтобы отрицательный термин мог иметь значение. Используется аргумент, что совершенно невозможный подвиг — удерживать вместе в одной идее хаотическую массу самых разных вещей. Но ответ на этот аргумент заключается в том, что мы не претендуем на то, чтобы удерживать вместе вещи, обозначаемые отрицательным именем, посредством ссылки на какие-либо положительные элементы, которые они могут иметь общего: они удерживаются вместе просто тем фактом, что им всем не хватает того или иного из определенных элементов. Другими словами, аргумент лишь показывает, что отрицательное имя не имеет соответствующего ему положительного концепта. 67 Можно добавить, что если бы этот аргумент имел силу, он применялся бы также к подразделению рода в отношении присутствия или отсутствия определенного качества. Если мы делим цветные объекты на «красные» и «не-красные», мы можем в равной степени сказать, что мы не можем удерживать вместе цветные объекты, отличные от красных, посредством какого-либо положительного элемента, который они имеют общего: того факта, что они все цветные, очевидно, недостаточно для этой цели.

67 Для хорошего изложения контраргумента сравните миссис Лэдд Франклин в «Mind», январь 1892 г., стр. 130, 1.

Несколько иной аргумент подразумевается Зигвартом, когда он говорит: «Если A = смертный, где найдут место справедливость, добродетель, закон, порядок, расстояние? Они не являются ни смертными существами, ни не-смертными существами, ибо они вообще не являются существами». Ответ кажется ясным. Они являются не-(смертными существами), и поэтому не-A. Как правило, нет нужды явно исключать из вида то, что даже не принадлежит к какому-то более высокому роду. Но факт исключения остается.

Признавая, таким образом, что на практике мы редко, если вообще когда-либо, используем отрицательное имя, кроме как в отношении какого-либо ближайшего рода, мы тем не менее утверждаем, что не-A вполне постижимо, каким бы ни был универсум дискурса и каким бы широким он ни был. Ибо оно обозначает в этом универсуме все, что не обозначается соответствующим положительным именем. Более того, в формальных процессах мы были бы излишне стеснены, если бы нам не разрешалось беспрепятственно переходить от «X не есть A» к «X есть не-A». 68

68 Авторы, придерживающиеся точки зрения, которую мы здесь критикуем, должны последовательно отрицать универсальную значимость процесса непосредственного вывода, называемого обверсией. Так, Лотце, справедливо с его собственной точки зрения, не позволит нам перейти от «дух не есть материя» к «дух есть не-материя»; фактически он полностью отвергает форму суждения «S есть не-P» («Логика», § 40). Некоторые авторы, которые следуют за Лотце в общем вопросе, поднятом здесь, по-видимому, заходят гораздо дальше, чем он, не только не допуская такую пропозицию, как «добродетель не есть не-синяя», но также такую пропозицию, как «добродетель не есть синяя», на том основании, что если мы говорим «добродетель не есть синяя», то нет реальной предикации, поскольку понятие цвета абсолютно чуждо непротяженному и абстрактному концепту, такому как «добродетель». Лотце, однако, прямо проводит различие между двумя формами «S есть не-Q» и «S не есть Q» и говорит нам, что «все, что желательно обеспечить положительным предикатом не-Q, обеспечивается постижимым отрицанием Q» («Логика», § 72; ср. § 40). С более крайней точки зрения неверно говорить, что «добродетель либо синяя, либо она не синяя»; но сам Лотце не отрицает таким образом универсальность закона исключенного третьего.

61 С этой точки зрения можно обратить внимание на разницу в обычном употреблении между такими формами, как «нечестивый», «аморальный», «невежливый», и такими формами, как «не-святой», «не-моральный», «не-вежливый». Последние могут использоваться в отношении любого универсума дискурса, каким бы обширным он ни был. Но не первые; в их случае, несомненно, существует ограничение каким-то универсумом дискурса, который более или менее ограничен в своем диапазоне. Мы можем, например, говорить о столе как о «не-моральном», хотя мы не можем говорить о нем как об «аморальном». Непризнание этого различия может частично отвечать за отрицание того, что какие-либо термины могут быть правильно описаны как бесконечные или неопределенные. 69

69 Следует добавить, что в обычном использовании языка отрицательная приставка не всегда делает термин отрицательным, как определено здесь. Так, как отмечает Милль, «слово “неприятный”, несмотря на свою отрицательную форму, не коннотирует простое отсутствие приятности, а меньшую степень того, что обозначается словом “болезненный”, которое, едва ли нужно говорить, является положительным». С другой стороны, некоторые имена, положительные по форме, могут, в отношении ограниченного универсума дискурса, быть отрицательными по силе; например, «чужой», «иностранный». Другой пример — термин «туранский», как он используется в науке о языке. Этот термин использовался для обозначения групп, лежащих вне арийской и семитской групп, но не отличающихся никакими положительными характеристиками, которыми они обладают совместно.

40. Противоречащие термины. — Положительное имя и соответствующее ему отрицательное называются противоречащими. Мы можем определить противоречащие термины как пару терминов, связанных таким образом, что они исчерпывают весь универсум, к которому делается отсылка, в то время как в этом универсуме нет индивида, о котором оба могут быть утверждены одновременно. Желательно повторить здесь, что противоречие может существовать прежде всего между 62 суждениями или пропозициями только, так что применительно к терминам или идеям понятие противоречия должно интерпретироваться в отношении предикации. A и не-A называются противоречащими, потому что они не могут без противоречия быть предикатированы вместе об одном и том же субъекте. Таким образом, именно в их исключающем характере они называются противоречащими; как исчерпывающие универсум дискурса между собой, их можно было бы скорее назвать дополняющими. 70

70 Д-р Венн («Эмпирическая логика», стр. 191) различает формальные противоречия и материальные противоречия в зависимости от того, очевидно ли отношение, в котором пара терминов стоит друг к другу, из их простой формы. Так, A и не-A являются формальными противоречиями; так же как «человеческое» и «не-человеческое». Материальные противоречия, с другой стороны, не сконструированы «с явной целью указания их взаимного отношения». Никакого формального противоречия, например, не очевидно между «британским» и «иностранным» или между «британским» и «чужим»; и все же «в пределах их соответствующего применения — которое в последнем случае включает только лиц, а в первом случае распространяется на продукты большинства видов — эти две пары терминов довольно хорошо выполняют условия взаимного исключения и коллективного исчерпания».

41. Противные термины. — Два термина обычно называются противными 71 друг другу, когда они обозначают вещи, которые можно рассматривать как стоящие на противоположных концах какой-то определенной шкалы в универсуме, к которому делается отсылка; например, «первый» и «последний», «черный» и «белый», «мудрый» и «глупый», «приятный» и «болезненный». 72 Противные отличаются от противоречащих тем, что они допускают среднее, и поэтому не исчерпывают между собой весь универсум дискурса. Из этого следует, что, хотя два противных не могут быть оба истинными об одной и той же вещи в одно и то же время, они могут быть оба ложными. Так, цвет может быть ни черным, ни 63 белым, а синим; чувство может быть ни приятным, ни болезненным, а безразличным.

71 Де Морган использует термины «противный» и «противоречащий» как эквивалентные, его определение их соответствует тому, что дано в предыдущем разделе.

72 Уже было отмечено, что отрицательная приставка не всегда делает термин действительно отрицательным по силе. Так, «приятный» и «неприятный» не являются противоречащими, ибо они допускают среднее; когда мы говорим, что что-то неприятно, мы подразумеваем нечто большее, чем простое отрицание того, что оно приятно. Следует добавить, что пара терминов такого рода может также не быть противными, как определено выше, поскольку, допуская среднее, они в то же время могут не обозначать крайности. «Неприятный», например, обозначает только то, что является умеренно болезненным: если не подразумевается иронически, было бы неправильным использованием терминов говорить о пытках инквизиции как о просто неприятных. Сравните Карвет Рид, «Логика», стр. 49.

Будет замечено, что не каждый термин имеет противный, как определено выше, ибо вещь, обозначаемая термином, может не быть способной рассматриваться как представляющая крайность в какой-либо определенной шкале. Так, едва ли можно сказать, что «синий» имеет противный в универсуме цвета, или «безразличный» — в универсуме чувства.

Некоторыми авторами термин «противный» используется в более широком смысле, чем выше, причем противность отождествляется с простой несовместимостью (возможно среднее между двумя несовместимыми); таким образом, «синий» и «желтый» в равной степени с «черным» в этом смысле назывались бы противными «белому». 73 Другие авторы используют термин «репугнантный» (отталкивающий) для выражения простого отношения несовместимости; таким образом, «красный», «синий», «желтый» в этом смысле являются репугнантными друг другу. 74

73 Есть много доводов в пользу этого более широкого использования термина «противный». Сравните дискуссию о противных пропозициях в разделе 81.

74 Пока мы ограничены простыми терминами, отношения противности и репугнантности не могут быть выражены формально или в простых символах. Но иначе обстоит дело, когда мы переходим к рассмотрению сложных терминов. Так, в то время как XY и не-X или не-Y являются формальными противоречиями, XY и X не-Y можно назвать формальными репугнантными, а XY и не-X не-Y — формальными противными (в более узком из двух смыслов, указанных выше).

42. Относительные имена. — Имя называется относительным, когда, помимо объекта, который оно обозначает, оно подразумевает в своем значении другой объект, к которому при объяснении его значения должна быть сделана отсылка. Имя этого другого объекта называется коррелятом первого. Неотносительные имена иногда называют абсолютными.

Джевонс считает, что в определенных отношениях все имена являются относительными. «Дело в том, что все должно действительно иметь отношения к чему-то другому: вода — к элементам, из которых она состоит, газ — к углю, из которого он производится, дерево — к почве, в которой оно укоренено» («Элементарные уроки логики», стр. 26). Опять же, по закону относительности сознание возможно только в обстоятельствах изменения. Мы не можем думать о каком-либо объекте, кроме как в отличие от чего-то другого. Каждый термин, следовательно, подразумевает свое отрицание как объект 64 мысли. Возьмем термин «человек». Это двусмысленный термин, и во многих своих значениях он явно относительный — например, в противоположность хозяину, офицеру, жене. Если в каком-то смысле он и абсолютен, то это когда он противопоставляется «не-человеку»; но даже в этом случае можно сказать, что он относителен к «не-человеку». Чтобы избежать этой трудности, Джевонс отмечает: «Логики довольствовались тем, что считали относительными терминами только те, которые подразумевают какой-то особый и поразительный вид отношения, возникающий из положения во времени или пространстве, из связи причины и следствия и т. д.; и именно в этом специальном смысле, следовательно, студент должен использовать это различие».

Более удовлетворительное решение этой трудности можно найти, обратив внимание на различие, уже проведенное между точкой зрения коннотации (которая имеет дело со значением имен) и субъективной и объективной точками зрения соответственно. С субъективной точки зрения все понятия относительны в силу закона относительности, упомянутого выше. Опять же, с объективной точки зрения все вещи, по крайней мере в феноменальном мире, относительны в том смысле, что они не могли бы существовать без существования чего-то другого; например, человек без кислорода или дерево без почвы. Но когда мы говорим, что имя является относительным, мы не имеем в виду, что то, что оно обозначает, не может существовать или быть предметом мысли без того, чтобы что-то другое также существовало или было предметом мысли; мы имеем в виду, что его значение не может быть объяснено без ссылки на что-то другое, которое называется коррелятивным именем, например, «муж», «родитель». Нельзя сказать, что в этом смысле все имена являются относительными.

Факт или факты, составляющие основание обоих коррелятивных имен, называются fundamentum relationis. Например, в случае «партнера» — факт партнерства; в случае «мужа» и «жены» — факты, которые составляют узы брака; в случае «правителя» и «подданного» — контроль, который первый осуществляет над последним.

Иногда отношение, которое каждый коррелят имеет к другому, является тем же самым; например, в случае «партнера», где коррелятивное имя — это то же самое имя снова. Иногда оно не то же самое; например, «отец» и «сын», «рабовладелец» и «раб». 65

Рассмотрение относительных имен не является важным, кроме как в связи с логикой отношений, к которой будет сделана дальнейшая отсылка впоследствии.

УПРАЖНЕНИЯ.

43. Приведите по одному примеру каждого из следующего: (i) собирательное общее имя, (ii) сингулярное абстрактное имя, (iii) коннотативное сингулярное имя, (iv) коннотативное абстрактное имя. Добавьте доводы, оправдывающие ваш пример в каждом случае. [K.]

44. Обсудите логические характеристики следующих имен: «красота», «вина», «миссис Гранди», «бессмертный», «благородство», «раб», «суверен», «Таймс», «истина», «нещедрый». [K.]

[При обсуждении характера любого имени необходимо прежде всего определить, является ли оно унивокальным, то есть используемым только в одном определенном смысле, или эквивокальным (или двусмысленным), то есть используемым в более чем одном смысле. В последнем случае его логические характеристики могут варьироваться в зависимости от смысла, в котором оно используется.]

45. Утверждалось, что доктрина терминов является экстралогической. Обоснуйте или опровергните эту позицию. [J.]

ЧАСТЬ II.

ПРОПОЗИЦИИ.

ГЛАВА I.

ЗНАЧЕНИЕ СУЖДЕНИЙ И ПРОПОЗИЦИЙ.

46. Суждения и пропозиции. — Переходя к следующему разделу нашего предмета, мы сталкиваемся прежде всего с вопросом, который является частично, но не полностью вопросом фразеологии. Будем ли мы говорить о суждении или о пропозиции? Употребление логиков сильно различается. Некоторые рассматривают почти исключительно суждения; другие почти исключительно пропозиции. Будет обнаружено, что по большей части первые — это те, кто склонен подчеркивать психологические или метафизические аспекты логики, в то время как вторые — те, кто более склонен развивать символические или материальные аспекты.

В некоторой степени не имеет большого значения, какая из альтернатив принята демонстративно. Те, кто имеет дело с суждениями с логической точки зрения, должны, если их прижать, признать, что они могут иметь дело с ними только в том виде, в каком они выражены в языке, и все их иллюстрации неизбежно состоят из суждений, выраженных в языке. Но суждение, выраженное в языке, — это именно то, что подразумевается под пропозицией. Следовательно, при рассмотрении суждений невозможно не рассматривать также и пропозиции. 67

С другой стороны, поскольку мы рассматриваем пропозиции в логике, мы рассматриваем их не как грамматические предложения, а как утверждения, как вербальные выражения суждений. Логическая пропозиция — это пропозиция, как она понята; а пропозиция, как она понята, — это суждение. Следовательно, при рассмотрении пропозиций в логике мы неизбежно рассматриваем также и суждения.

В значительной степени, таким образом, проблема действительно сводится к чисто вербальному вопросу. В то же время могут быть приведены доводы и контраргументы в пользу одной альтернативы и в пользу другой.

С одной стороны, говорится, что использование термина «пропозиция» имеет тенденцию путать предложение как грамматическую комбинацию слов с пропозицией как понятой и интеллектуально утвержденной; и утверждается, что при рассмотрении пропозиций логик склонен становиться простым грамматиком.

С другой стороны, высказывается мнение, что логик прежде всего озабочен не процессом суждения, обсуждение которого принадлежит сфере психологии, а суждением как продуктом, и, более того, что он озабочен этим продуктом только в той мере, в какой он принимает фиксированную и определенную форму, чего он не может сделать, пока не получит вербальное выражение; и утверждается, что если мы концентрируем наше внимание на суждениях без явного учета их выражения в языке, наше рассмотрение имеет тенденцию становиться слишком психологическим.

Выше было сказано, что логически мы можем иметь дело с суждениями только в том виде, в каком они выражены в пропозициях; и, несомненно, все суждения могут быть с большим или меньшим усилием так выражены. Но на самом деле мы постоянно судим в некотором смутном роде без той точности, которая необходима даже в свободных способах выражения, и мы обнаруживаем, что выражение наших суждений иногда может потребовать очень значительных усилий. Следует помнить, что логика имеет в виду идеал. Ее цель — определить условия, которым должны соответствовать значимые суждения, и она озабочена характеристиками реальных суждений только в подчинении этой цели. С этой точки зрения особенно важно, чтобы мы имели дело с суждениями в той единственной форме, в которой они могут достичь точности; и это соображение представляется решающим в пользу того, чтобы мы 68 явно рассматривали пропозиции в какой-то части, по крайней мере, логического курса.

Несомненно, при рассмотрении пропозиций нам приходится поднимать определенные вопросы, которые относятся к использованию языка. К сожалению, одна и та же пропозициональная форма может быть понята как выражающая очень разные суждения. Поэтому необходимо, чтобы в любом научном рассмотрении логики мы обсуждали интерпретацию пропозициональных форм, которые мы признаем. Эта проблема сродни проблеме определения, с которой рано или поздно приходится сталкиваться в каждой науке; и, как это также верно для определения, решение в любом конкретном случае в значительной степени носит характер конвенции. Но это не умаляет его важности как способствующего ясности мышления.

Вопрос об интерпретации пропозициональных форм на самом деле является тем, которого нельзя полностью избежать при любом рассмотрении логики; и важно явно признать, что при обсуждении этого вопроса мы имеем дело не с суждениями в чистом виде. Слова подобны математическим символам, и значение данной формы слов не является чем-то присущим ни самим словам, ни мыслям, которые они могут представлять, а зависит от конвенции, установленной теми, кто использует эти слова. В силе данного суждения, однако, не может быть ничего, что зависело бы от конвенции. Это различие не всегда помнят те, кто ограничивает свое внимание главным образом суждениями, и они, следовательно, иногда склонны выражать себя с видимостью догматизма по вопросам, которые на самом деле не допускают догматического рассмотрения.

Но хотя в определенных аспектах логического исследования необходимо иметь дело явно с пропозициями, никогда не следует забывать, что как логики мы озабочены пропозициями только как выражениями суждений; и есть многочисленные случаи, когда мы должны заглянуть за пропозициональные формы и спросить, каковы фундаментальные характеристики суждений, которые они выражают.

47. Абстрактный характер логики. — В предыдущем разделе была сделана отсылка к необходимости для логических целей сделать наши суждения точными. Ибо только если они 69 точны, можно с точностью определить, каковы их логические импликации, рассматриваемые как индивидуально, так и в сочетании друг с другом. Также было отмечено, что мы можем сделать наши суждения точными, только выразив их в пропозициональных формах, интерпретация которых была согласована.

Но это не лишено своих недостатков. Иногда полная сила реального суждения едва ли допускает выражение словами, и даже сила пропозиции, как она понята, может быть найдена не исключительно в словах, из которых она состоит, а может зависеть частично от контекста, в котором она помещена. Следовательно, изолированную пропозицию часто приходится рассматривать в некотором смысле как абстракцию, оставляющую позади себя некоторую часть реального суждения, которое она представляет.

Это, действительно, гораздо менее верно для пропозиций науки, чем для пропозиций повседневной жизни; и чем более полно утверждение независимо от контекста, тем более полно оно может рассматриваться как выполняющее свою цель с научной точки зрения. Тем не менее, абстрактный характер логики должен быть откровенно признан. «Точно так же, как мышление абстрактно в своих сделках с реальностью, так и логика абстрактна в своих сделках с обычным мышлением». 75

75 Хобхаус, «Теория познания», стр. 7.

То, что они в некоторой степени являются абстракциями, верно не только для пропозиций, но и для выводов, как мы имеем дело с ними в логике. Большая часть рассуждений повседневной жизни не допускает выражения в форме определенных посылок и заключений, таких, которые удовлетворили бы канонам логики. Основания, на которых базируются наши заключения, часто настолько сложны, а влияние, которое некоторые из них оказывают на наши убеждения, настолько тонко и деликатно, что они не могут быть полностью изложены. Это будет осознано сразу, если будет предпринята попытка применить правила логики к любому обычному выводу; и объяснение здесь находится, почему иллюстрации, приведенные в логических учебниках, часто кажутся такими искусственными и нереальными.

Следует признать, что абстрактный характер логики в некоторой степени умаляет ее полезность как искусства, хотя степень этого недостатка легко преувеличить. Рассматриваемая как наука, однако, ценность логики остается нетронутой. 70 Другие науки, помимо логики, должны действовать посредством абстракций и разделений, которые не полностью соответствуют сложностям природы; и это часто становится тем более верным, чем выше стадия, которой достигла наука. Ее необходимая абстрактность не мешает логике успешно анализировать характеристики развитого суждения или определять принципы значимого рассуждения. Если бы мы стремились рассматривать логические проблемы без абстракции, мы были бы в опасности разрушить научный характер логики, не достигнув никакого ценного результата даже с чисто утилитарной точки зрения. Мало пользы в критике принятых систем без предоставления какой-либо новой конструктивной системы взамен.

48. Природа исследования значения пропозиций. — Под общим заголовком «значение пропозиций» принято включать проблемы, которые на самом деле очень различаются по характеру. 76

76 Сравните г-на У. Э. Джонсона в «Mind», апрель 1895 г., стр. 242.

(1) Существует, во-первых, фундаментальная проблема или ряд проблем относительно того, каковы существенные характеристики суждений, а следовательно, и пропозиций как выражающих суждения. Обсуждение вопросов такого характера должно основываться непосредственно на психологических или философских соображениях, и в решениях ничего произвольного или конвенционального не может найти места.

Под этим заголовком должны быть включены такие проблемы, как следующие: Содержат ли все суждения отсылку к реальности? В каком смысле, если таковой имеется, все суждения могут претендовать на обладание универсальностью или необходимостью? Какова природа значимого отрицания? Являются ли различия модальности субъективными или объективными?

(2) В интерпретации пропозициональных форм мы имеем исследование совершенно иного характера, исследование, которое относится отчетливо к пропозициям, а не к суждениям, рассматриваемым отдельно от их выражения. Проблема, действительно, заключается в том, чтобы определить, каково точное суждение, которое данная пропозиция должна пониматься как выражающая; и, вследствие неопределенности и двусмысленности обычного языка, решение проблемы включает опциональный или селективный элемент.

71 В качестве простой иллюстрации того рода проблемы, которую мы здесь имеем в виду, мы можем отметить, что в традиционной схеме пропозиций «Все S есть P», «Ни одно S не есть P», «Некоторые S есть P», «Некоторые S не есть P» знаки количества должны быть интерпретированы. Экзистенциальное и модальное значение этих пропозиций также частично является вопросом интерпретации.

В связи с интерпретацией пропозиций должно быть рассмотрено различие между значением и импликацией. То, что мы делаем при интерпретации пропозиций, — это присвоение им значения; и когда значение однажды зафиксировано, импликации определяются в соответствии с логическими принципами.

Разделительную линию между значением и импликацией на практике не всегда легко провести, и некоторые авторы стремятся игнорировать ее, включая в сферу значения все импликации пропозиции. Но это фатальная ошибка. Присвоение значения в определенных пределах произвольно и селективно. Но если элемент a обязательно включает элемент b, тогда, если a было присвоено как часть значения данной пропозициональной формы, не является вопросом значения, подразумевает ли рассматриваемая форма b или нет, и нет ничего произвольного или селективного в решении этого вопроса.

Иногда элементы a и b взаимно включают друг друга. Тогда может быть вопросом интерпретации, будет ли a включено в значение, b таким образом становясь импликацией, или будет ли b включено в значение, a становясь импликацией.

Неспособность признать, что на самом деле является предметом спора в таком случае, иногда заставляла дискуссии принимать неверный оборот. Так, поднимается вопрос, заключается ли значение пропозиции «Все S есть P» в том, что класс S включен в класс P, или в том, что набор атрибутов S неизменно сопровождается набором атрибутов P; и они рассматриваются как антагонистические теории. Если импликации пропозиции рассматриваются как часть ее значения, то можно сказать, что пропозиция означает обе эти вещи. Но если под значением пропозиции мы намереваемся обозначить только ее смысл, то мы можем принять интерпретацию, которая сделает любую из них (но не обе) частью ее значения, или наша интерпретация может быть такой, 72 что пропозиция не означает ни одной из них. Вопрос, поднятый здесь, рассматривается более подробно позже.

(3) Третья проблема, отличная от обеих описанных выше, возникает в связи с выражением суждений в пропозициональной форме.

В обычном дискурсе мы встречаем бесконечное разнообразие форм утверждения. Признать и рассматривать отдельно все эти формы в нашем рассмотрении логических проблем было бы, однако, непрактично. Мы должны, следовательно, в некоторых, по крайней мере, наших дискуссиях, ограничиться определенным количеством выбранных форм; и в таких дискуссиях мы должны предположить, что суждения, с которыми мы имеем дело, изначально выражены в одной или другой или комбинации этих выбранных форм.

Это сведение утверждения к некоторой канонической форме было названо г-ном Джонсоном его формулировкой.

Данное высказывание, поскольку оно включает в себя множество различных отношений, взаимно предполагающих друг друга, может быть сформулировано рядом различных способов; и излишне говорить, что не существует единой схемы формулирования пропозиций, которую мы обязаны принять, исключая другие. Различные схемы полезны для различных целей, и в настоящее время, помимо традиционной четырехчленной схемы, будут рассмотрены несколько других графиков пропозиций (например, эквациональные и экзистенциальные графики). Следует добавить, что данная схема может претендовать на охват лишь части области. Так, традиционная схема (Все S суть P и т. д.) претендует на то, чтобы быть схемой только для категорических суждений и (как это традиционно интерпретируется) только для ассерторических суждений.

Применительно к сведению высказывания к форме, в которой оно принадлежит к данной схеме, заслуживают внимания два момента.

(а) Существует опасность того, что часть силы исходного высказывания может быть утрачена.

В некоторой степени это неизбежно, особенно если исходное высказывание содержит намек или двусмысленность в дополнение к тому, что оно определенно утверждает; и это должно рассматриваться в связи с тем, что уже было сказано об абстрактном характере логики. Если, однако, происходит какая-либо существенная потеря содержания, схема оказывается несостоятельной, поскольку она претендует на то, чтобы быть полной схемой формулирования. Как мы видели, она может не претендовать на то, чтобы быть полной схемой, а лишь формулировать высказывания, подпадающие под определенную категорию, например, ассерторические или категорические высказывания.

Следует добавить, что высказывание, которое не допускает перевода ни в одну из простых форм, включенных в данную схему, все еще может быть выражено конъюнктивной или дизъюнктивной комбинацией таких простых форм. Так, если высказывание «Некоторые S суть P» сделано с акцентом на «некоторые», подразумевающим «не все», то это высказывание не может быть выражено ни в одной из форм традиционной схемы пропозиций, но оно эквивалентно «Некоторые S суть P, и некоторые S не суть P».

(b) При сведении высказывания к форме, в которой оно принадлежит к данной схеме, может быть задействовано то, что необходимо признать выводом. Как, например, если высказывания даны в обычной предикативной форме и должны быть выражены в эквациональной схеме.

Возможно, можно настаивать на том, что это правомерно, просто на том основании, что одним из постулатов логики является то, что нам разрешено подставлять вместо любой данной формы слов техническую форму (а в эквациональной системе это будет уравнение), которая ей эквивалентна. Не имеем ли мы, однако, в действительности порочный круг, если процесс, включающий вывод, должен рассматриваться как постулат логики?

Трудность, поднятая здесь, является серьезной только в том случае, если мы предполагаем, что в логике мы жестко ограничены единственной схемой формулирования; и решение заключается в том, чтобы не ограничиваться какой-либо одной схемой, а признавать несколько и исследовать логические отношения между ними. Тогда мы можем отказаться рассматривать любую замену одного набора слов другим как дологическую, за исключением тех случаев, когда она состоит из чисто словесного преобразования: и наш постулат будет заключаться лишь в том, что мы вольны делать словесные изменения по своему усмотрению; сам по себе он не будет санкционировать какое-либо изменение выводного характера. Для изменения такого рода необходимо обращение к логическим принципам.

Таким образом, в этом разделе мы разграничили три проблемы, любая или все из которых могут быть задействованы в дискуссиях относительно содержания пропозиций. Мы имеем (1) обсуждение сущностной природы суждений и фундаментальных различий между суждениями; (2) интерпретацию пропозициональных форм; (3) обсуждение и сравнение логических графиков или схем пропозиций, составленных с целью выражения суждений в ограниченном числе пропозициональных форм.

Эти проблемы взаимосвязаны и не допускают обсуждения в полной изоляции. Ясно, например, что составление графика пропозиций должно быть дополнено точной интерпретацией различных форм, которые предлагается признать; и как при составлении графика, так и при интерпретации мы будем руководствоваться и контролироваться рассмотрением фундаментальных различий между суждениями.

Однако эти проблемы сами по себе различны; и можно избежать некоторого недопонимания, если мы сможем прояснить, в чем заключается фактическая проблема, которую мы обсуждаем в любой данный момент.

В частности, важно признать, что в формулировании и интерпретации пропозиций присутствует произвольный и селективный элемент, который отсутствует в более фундаментальной проблеме. Системы формулирования и интерпретации, следовательно, если только они понятны и непротиворечивы, вряд ли могут быть осуждены как радикально неверные, хотя они могут быть отвергнуты как неудобные или неподходящие. Однако, когда мы имеем дело с фундаментальным содержанием суждений, поднятые вопросы становятся вопросами абсолютной правоты или неправоты.

Следует добавить, что в настоящем трактате, поскольку он касается логики в ее более формальных аспектах, вопросы интерпретации и формулирования занимают положение относительно большей важности, чем они занимали бы в трактовке науки, более полно развитой с философской стороны.

49. Объективная отнесенность в суждениях. — Суждение может быть сформировано или понято только через возникновение определенных психических событий в умах тех, кто его формирует или понимает; и в этом смысле оно может быть включено в число субъективных состояний. Однако оно отличается от всех других субъективных состояний тем фактом, что оно претендует на истинность.

Эта претензия на истинность подразумевает объективную отнесенность. Ибо чисто субъективное состояние как таковое не является ни истинным, ни ложным; оно является просто событием. Таким образом, различие между истиной и ложью неприменимо к эмоции или волеизъявлению. Эмоция может быть приятной или болезненной; она может быть сильной или слабой; она может побуждать или не побуждать к действию; но мы не можем описать ее как истинную или ложную.

И то же самое относится к суждению, рассматриваемому не более чем как субъективная связь идей. Претензия на истину обязательно включает в себя нечто большее, а именно отнесенность к чему-то внешнему по отношению к психическому событию, вовлеченному в формирование суждения. Каждое суждение подразумевает, следовательно, со стороны судящего ума признание объективной системы реальности того или иного рода. Валидность, на которую претендует суждение, является объективной валидностью.

Слово «объективный» — всегда опасное слово для использования, и здесь может быть дано некоторое дальнейшее объяснение значения, которое следует ему придать. Когда мы говорим, что суждение относится к объективной системе, мы имеем в виду систему, которая существует независимо от самого акта суждения и которая не зависит от мимолетной прихоти человека, формирующего суждение. Объективная система реальности в этом смысле может, однако, включать субъективные состояния, то есть состояния сознания. Корпус психологической доктрины состоит из суждений, относящихся к состояниям ума. Но такие суждения имеют внешнюю отнесенность (то есть внешнюю по отношению к самим суждениям) в такой же мере, как и корпус суждений, относящихся к материальным явлениям. Действительно, изложенная здесь доктрина суждения не противоречит теории субъективного идеализма, которая сводит все явления к состояниям сознания.

Даже когда суждение относится к чисто фиктивным объектам, все еще существует внешняя отнесенность — в данном случае к миру условностей.

Конкретный аспект или часть общей системы реальности, к которой относится любое суждение, иногда может быть удобно назван универсумом дискурса. Пределы, если таковые имеются, которые предполагается наложить на универсум дискурса в любом данном пропозиции, обычно не указываются явно; но они должны считаться имплицитными в суждении, которое пропозиция призвана выразить, и способными быть выраженными самими по себе, если существует какая-либо опасность недопонимания. В то же время справедливо будет добавить, что попытки определить универсум дискурса, вероятно, вызовут метафизические трудности относительно конечной природы реальности. Что является главным с логической точки зрения, так это признание того, что существует отнесенность к некоторой системе реальности, которая должна быть отделена от неконтролируемого хода наших собственных идей. И поскольку различие может быть проведено между различными системами реальности, существует необходимость в допущении, что, когда мы комбинируем суждения или рассматриваем их в их взаимных отношениях, универсум дискурса остается одним и тем же повсюду.

50. Универсальность суждений. — Фундаментальной характеристикой суждений является их объективная отнесенность, их претензия на объективную валидность. Из этого следует, что все суждения претендуют на универсальность, то есть они претендуют на то, чтобы быть признанными истинными не только для данного лица или ограниченного числа лиц, но и для всех; и опять же, не только для данного времени или ограниченного времени, но и на все времена. Другими словами, содержание суждения заключается не просто в выражении некоторой связи идей в моем собственном уме, а в выражении чего-то, что претендует на истинность. И истина не является относительной к индивиду, и она не ограничена соображениями времени, когда она полностью изложена.

Впоследствии нам придется иметь дело с обычным различием между универсальными и партикулярными пропозициями; но будет ясно, что претензия на универсальность, которую мы сейчас рассматриваем, является той, которая должна быть сделана от имени так называемых партикулярных, так же как и от имени так называемых универсальных пропозиций. Суждение «Некоторые люди имеют рост шесть футов» претендует на всеобщее признание точно так же, как и суждение «Все люди смертны».

Некоторые суждения, опять же, содержат явную или неявную отнесенность ко времени. Но это действительно часть суждения. Как только суждение полностью изложено, оно становится независимым от времени. Возможно, можно сказать, что суждение «Франция находится под властью Бурбонов» было истинным два столетия назад, но не является истинным сейчас. Но суждение в том виде, в каком оно есть, без контекста, изложено неполно. То, что Франция находится (или находилась) под властью Бурбонов в 1906 году н.э., является ложным на все времена; то, что Франция находится (или находилась) под властью Бурбонов в 1706 году н.э., является истинным на все времена.

Что касается природы и значения отнесенности ко времени в суждениях, г-н Бозанкет проводит полезное различие между временем предикации и временем в предикации. Под временем предикации понимается время, в которое некоторое мыслящее существо делает суждение; и это никоим образом не влияет на истинность суждения. Но, как отмечает Зигварт, все, что существует как частная вещь, занимает определенное положение во времени. Следовательно, все суждения, относящиеся к частным вещам, включая сингулярные суждения и так называемые нарративные суждения, относятся к некоторому определенному времени, прошлому, настоящему или будущему, по отношению к которому только и валидны сделанные утверждения. Это время в предикации, и отнесенность к нему должна рассматриваться как неотъемлемая часть самого суждения, хотя она не всегда упоминается явно.

Логика, I. стр. 215. Сравните Зигварт, Логика, § 15.

Будет видно, что признание универсальности всех суждений в указанном здесь смысле есть не что иное, как признание в другом аспекте их объективного характера.

51. Необходимость суждений. — Дальнейшей характеристикой, которая приписывалась всем суждениям при рассмотрении их в отношении к судящему уму, является необходимость. Это также связано с претензией на объективную валидность. Когда мы судим, мы не свободны судить, как хотим. Несомненно, контролируя интеллектуальные влияния, которым мы себя подвергаем, мы можем косвенно и в долгосрочной перспективе изменять в определенных пределах наши убеждения. Это вопрос, относящийся к психологии, в который нам сейчас нет нужды углубляться. Но в любой данный момент суждения, которые мы формируем, определяются нашей ментальной историей и обстоятельствами, в которых мы находимся. Мы обязаны судить так, как мы судим; поскольку мы чувствуем, что вопрос является открытым, наше суждение относительно него приостанавливается. Следует признать, что мы нередко делаем утверждения, которые не выдают сомнений, которые мы на самом деле чувствуем относительно обсуждаемого пункта; но такие утверждения не представляют наши реальные суждения. Пропозиции, которые мы произносим, являются выражениями возможных суждений, но не наших суждений.

В любом обсуждении модальности суждений должны быть рассмотрены другие смыслы, в которых термин «необходимый» может быть применен к суждениям. Утверждая здесь необходимость как характеристику всех суждений, мы просто провозглашаем снова в другом аспекте их объективный характер. Просто субъективная последовательность идей в наших умах более или менее находится под нашим собственным контролем. Во всяком случае, мы можем по желанию объединять данные идеи в нашем уме. Но суждение — это нечто большее, чем отношение между идеями. Оно претендует на истинность относительно некоторой системы реальности; и, следовательно, оно определяется не столько нами, сколько для нас знанием, которым мы овладели или думаем, что овладели, об этой системе реальности.

УПРАЖНЕНИЕ.

52. «Что однажды истинно, то всегда истинно». «Что истинно сегодня, может быть ложным завтра». Исследуйте эти утверждения. [L.]

ГЛАВА II.

ВИДЫ СУЖДЕНИЙ И ПРОПОЗИЦИЙ.

53. Классификация суждений. — Логикам свойственно предлагать классификацию суждений или пропозиций. Однако существует так много различий в целях, которые они преследуют при составлении своих классификаций, что очень часто их результаты на самом деле несопоставимы.

(1) Наша цель при классификации пропозиций может, во-первых, состоять в создании рабочей схемы для формулирования суждений. Иллюстрацией этого служит традиционная схема пропозиций (Все S суть P, Ни одно S не суть P и т. д.) или гамильтоновская схема, основанная на квантификации предиката. Классификация такого рода является по существу формальной. Различные пропозициональные формы, которые признаются, должны получать четко определенные интерпретации; и результирующая схема, если она вообще чего-то стоит, будет упорядоченной и компактной. С другой стороны, она вряд ли будет всеобъемлющей или исчерпывающей; ибо многие естественные способы суждения не найдут в ней места, по крайней мере до тех пор, пока они не будут выражены в модифицированной, хотя и максимально эквивалентной форме.

Существует много способов формулирования суждений, каждый из которых имеет свои особые достоинства и с какой-то определенной точки зрения является особенно уместным. Мы должны, однако, отказаться от идеи, что любой из этих способов может доминировать как фундаментальная и по существу подходящая классификация суждений, рассматриваемых с психологической точки зрения.

(2) С психологической точки зрения наше стремление должно состоять в том, чтобы дать скорее то, что можно назвать классификацией суждений по естественной истории. Примитивные типы суждения, которые в логической схеме формулирования вряд ли вообще найдут место, теперь будут рассматриваться как имеющие равную важность с более развитыми и научными типами. Наша цель действительно может состоять (как у г-на Бозанкета) в том, чтобы наметить развитие суждений от самых примитивных типов до тех, которые дают выражение идеалу знания.

В классификации такого рода разделительные линии не так ясны и четко определены, как в схеме, созданной для логического формулирования суждений. Различные типы, кроме того, не выделяются в заметном различии друг от друга, и трудно расположить различные классы в надлежащем подчинении и с полным избеганием перекрестных делений. Лежащий в основе план действительно склонен быть затушеванным деталями, так что все обсуждение имеет тенденцию становиться несколько громоздким.

(3) Классификация пропозиций еще одного рода дана Миллем в последней части его главы об импорте пропозиций. Вывод, к которому он приходит, заключается в том, что каждая пропозиция утверждает или отрицает либо простое существование, либо некоторую последовательность, сосуществование, причинность или сходство. Эта классификация, безусловно, не является формальной; это не схема для логического формулирования суждений. С другой стороны, ее нельзя рассматривать как психологическую классификацию типов суждения, предназначенную для иллюстрации природы и роста мышления. Точка зрения Милля объективна и материальна. В одном месте он описывает свою схему как классификацию фактов, всех вещей, в которые можно верить; и главное использование, которое он впоследствии делает из нее, связано с исследованием методов доказательства, которые уместны в соответствии с природой утверждаемого факта.

На следующих страницах будут рассмотрены различные схемы формулирования суждений. Однако по причинам, уже изложенным, никакая схема такого рода не может рассматриваться как составляющая исчерпывающую классификацию суждений. Традиционная схема, например, смехотворно неудовлетворительна и неполна, если она выдвигается как обеспечивающая такую классификацию.

Мы не будем пытаться дать то, что было названо выше классификацией суждений по естественной истории. Действительно важные различия, вовлеченные в такую классификацию, могут быть подняты независимо, и общий план этой работы состоит в том, чтобы остановиться главным образом на более формальных аспектах логики. Можно добавить, что даже с более широкой точки зрения проблема эволюции мышления вряд ли может рассматриваться как прежде всего логическая проблема.

Опять же, такая классификация, как у Милля, включает материальные соображения, которые выходят за рамки этого трактата.

Не претендуя, однако, на то, чтобы дать какую-либо полную схему классификации, мы постараемся затронуть самые фундаментальные различия, которые могут существовать между суждениями.

54. Классификация суждений Канта. — Кант классифицировал суждения согласно четырем различным принципам (Количество, Качество, Отношение и Модальность), каждый из которых дает три подразделения, а именно:

(1) | Quantity. |   (i)  | Singular | This S is P.
|  |  (ii)  | Particular | Some S is P.
|  | (iii)  | Universal | All S is P.
(2) | Quality. |   (i)  | Affirmative | All S is P.
|  |  (ii)  | Negative | No S is P.
|  | (iii)  | Infinite | All S is not-P.
(3) | Relation. |   (i)  | Categorical | S is P.
|  |  (ii)  | Hypothetical | If S is P then Q is R.
|  | (iii)  | Disjunctive | Either S is P or Q is R.
(4) | Modality. |   (i)  | Problematic | S may be P.
|  |  (ii)  | Assertoric | S is P.
|  | (iii)  | Apodeictic | S must be P.

Это расположение открыто для критики с нескольких точек зрения; и его симметрия, хотя и привлекательна, на самом деле не защитима. В то же время оно имеет большое достоинство, делая заметными то, что действительно является фундаментальными различиями между суждениями.

Первое различие, которое мы рассмотрим, — это различие между простыми и сложными суждениями (заменяющее различие Канта по отношению). Затем мы рассмотрим по очереди различия модальности, количества и качества.

55. Простые суждения и сложные суждения. — Под заголовком отношения Кант дал известное трехчастное деление суждений на категорические, где утверждение или отрицание является абсолютным (S суть P); гипотетические (или условные), где утверждение или отрицание делается при условии (Если A суть B, то S суть P); и дизъюнктивные, где утверждение или отрицание делается с альтернативой (Либо S суть P, либо Q суть R).

Эти три вида суждения, однако, не могут быть должным образом скоординированы как равные друг другу в трехчастном делении. Ибо категорическое суждение появляется как элемент в обоих других, и, следовательно, различие между категорическим, с одной стороны, и гипотетическим и дизъюнктивным, с другой, представляется находящимся на другом уровне, чем различие между двумя последними. Более того, гипотетическое и дизъюнктивное не исчерпывают способов, которыми категорические суждения могут быть объединены, чтобы сформировать дальнейшие суждения. Поэтому лучше начинать не с вышеуказанного трехчастного деления, а с двухчастного, а именно на простые и сложные.

Сложное суждение может быть определено как суждение, в состав которого в качестве элементов входят другие суждения. Существует три основных способа, которыми суждения могут быть объединены, и в каждом случае отрицание валидности комбинации дает дальнейшую форму суждения, так что существует шесть видов сложных суждений, которые следует рассмотреть.

Различие, подразумеваемое здесь, подвергалось критике на том основании, что (а) если так называемые элементы действительно являются суждениями, то их комбинация не дает никакого нового суждения; в то время как (b) если комбинация действительно является независимым суждением, то элементы, на которые она может быть проанализирована, сами по себе не являются суждениями. Будет видно, что (а) предназначено для применения к конъюнктивным синтезам, а (b) к гипотетическим и дизъюнктивным. Мы рассмотрим аргумент по этим пунктам по отдельности.

(1) Мы можем утверждать два или более простых суждения вместе. Таким образом, при условии, что P и Q стоят отдельно для суждений, мы можем утверждать «P и Q».

Считалось, что синтез двух независимых суждений таким образом на самом деле не дает никакого нового суждения, отличного от самих двух суждений. В некотором смысле это верно. Любой, однако, может быть оспорен за то, что он удерживает два суждения вместе на основаниях, которые не имели бы применения к каждому из них, взятому отдельно. Следовательно, удобно рассматривать комбинацию как составляющую отдельное логическое целое, которое требует некоторого рода отдельного рассмотрения; и на этом основании описание «P и Q» как сложного суждения может быть оправдано.

Сравните Зигварт, Логика, i. стр. 214.

Вовлеченный синтез является конъюнктивным. Следовательно, P и Q могут быть названы более отчетливо конъюнктивным суждением. Его отрицание дает «Не оба P и Q», и эта форма является более истинно дизъюнктивной, чем форма (P или Q), к которой это обозначение применяется чаще.

(2) Не обязывая себя утверждением ни P, ни Q, мы можем считать их настолько связанными, что истинность первого влечет за собой истинность второго. Это дает гипотетическое суждение: «Если P, то Q».

Считалось, что рассматривать это как комбинацию суждений и говорить о нем в этом смысле как о сложном суждении — вводит в заблуждение, поскольку P и Q здесь вовсе не являются суждениями, то есть они в данный момент не предназначены как утверждения. Ни P, ни Q не утверждаются как истинные. Что утверждается как истинное, так это определенное отношение между ними.

Сравните Зигварт, Логика, i. стр. 219.

Безусловно, дело обстоит так, что когда я сужу «Если P, то Q», P не обязательно должно быть моим суждением, как и Q; моей целью может быть даже установление ложности P на основании известной ложности Q. Однако, если принять более безличный взгляд, P и Q являются предположениями, то есть возможными суждениями, так что они имеют значение как суждения; и «Если P, то Q» можно справедливо сказать, что оно выражает отношение между суждениями в том смысле, что его сила заключается в том, что принятие P как истинного суждения влечет за собой принятие Q как истинного суждения также. Описание гипотетического суждения как сложного, следовательно, представляется в этом смысле оправданным. Такое суждение, как «Если P, то Q», не может быть интерпретировано иначе, как при предположении, что P и Q, взятые отдельно, имеют значение как суждения.

Как мы получаем сложное суждение, когда объявляем два суждения настолько связанными, что если одно принято, то другое должно быть принято также, так мы получаем сложное суждение, когда отрицаем, что это отношение существует между ними. Таким образом, в дополнение к суждению «Если P, то Q», у нас есть его отрицание, а именно: «Если P, то не обязательно Q». Лучший способ описания этой формы пропозиции будет рассмотрен в последующей главе.

Приводя это как противоречащее «Если P, то Q», мы предполагаем определенную доктрину содержания гипотетического суждения. Вопрос будет более полно обсужден позже.

(3) У нас есть другая форма сложного суждения, когда мы утверждаем, что то или иное из двух данных суждений является истинным. Эта форма суждения, «P или Q», обычно называется дизъюнктивной, хотя «альтернативное» было бы лучшим названием. Уже было указано, что «Не оба P и Q» является более отчетливо дизъюнктивной формой.

Можно отрицать, что «P или Q» является сложным суждением на тех же основаниях, на которых это отрицается для «Если P, то Q». Поскольку, однако, обсуждаемые пункты практически те же, что и раньше, обсуждение не нужно повторять.

Отрицание «P или Q» дает «Ни P, ни Q». Это можно назвать ремотивным суждением, если для него требуется отличительное имя.

Следует добавить, что не все формы пропозиции, которые обычно описываются как гипотетические или дизъюнктивные, на самом деле являются выражениями сложных суждений, как описано выше. Таким образом, формы «Если какое-либо S суть P, то оно суть Q» (Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны). «Каждое S суть либо P, либо Q» (Каждый кровеносный сосуд суть либо вена, либо артерия) не выражают — подобно формам «Если P истинно, то Q истинно» (Если есть праведный Бог, то нечестивые не избегнут своего справедливого наказания), «Либо P, либо Q истинно» (Либо свобода воли — факт, либо чувство долга — иллюзия) — никакого отношения между двумя независимыми суждениями или пропозициями. Этот пункт будет развит впоследствии в различии, которое будет проведено между истинным гипотетическим (Если P истинно, то Q истинно) и условным (Если какое-либо S суть P, то оно суть Q).

56. Модальность суждений. — Очень разные отчеты о модальности суждений или пропозиций даются разными авторами, и проблемы, к которым приводят различия модальности, как правило, нелегки для решения. В то же время такие различия носят фундаментальный характер, и они склонны представляться в замаскированной форме, тем самым затушевывая многие вопросы, которые на первый взгляд кажутся не имеющими никакой связи с модальностью вообще. Недостатком является необходимость иметь дело с такой сложной проблемой почти в начале нашей трактовки суждений, и пространство, находящееся в нашем распоряжении, не позволит нам иметь дело с ней в больших деталях. Более того, вряд ли можно надеяться, что предложенное решение будет принято всеми читателями. Тем не менее, краткое рассмотрение модальных различий на этой стадии поможет сделать некоторые последующие обсуждения более легкими.

Главный обсуждаемый пункт заключается в том, являются ли различия модальности субъективными или объективными. При попытке решить этот вопрос будет удобно иметь дело отдельно с простыми суждениями и сложными суждениями.

57. Модальность в отношении к простым суждениям. — Аристотелевская доктрина модальностей, которая была также схоластической доктриной, дала четырехчастное деление на (а) необходимые, (b) контингентные, (c) возможные и (d) невозможные, в зависимости от того, выражает ли пропозиция (а) то, что является необходимым и неизменным, и что поэтому не может быть иначе; или (b) то, что случается быть в любое данное время, но могло бы быть иначе; или (c) то, чего нет в любое данное время, но может быть в другое время; или (d) то, чего не может быть. Точка зрения, принятая здесь, объективна, а не субъективна; то есть указанные различия зависят от материальных соображений и не относятся к различным степеням убежденности, с которыми принимаются разные пропозиции.

Рассмотрение модальности, как задумано выше, иногда рассматривалось как внелогическое на том основании, что необходимость, контингентность, возможность и невозможность зависят от фактов, с которыми логик как таковой не имеет дела. Но также зависит от фактов, может ли любой данный предикат быть правильно предикатирован утвердительно или отрицательно, универсально или партикулярно, о любом данном субъекте. Различия качества и количества тем не менее могут быть формально выражены, и если различия модальности также могут быть формально выражены, нет исходной причины, почему они не должны быть признаны логиком, даже если он не компетентен определять валидность любого данного модального суждения. Однако, поскольку модальность пропозиции является чем-то, что не допускает формального выражения, так что пропозиции одной и той же формы могут иметь разную модальность, тогда аргумент о том, что доктрина модальностей является внелогической, более заслуживает рассмотрения.

Кантовская доктрина модальности отличается от схоластической доктрины тем, что принятая точка зрения является субъективной, а не объективной, согласно одному из смыслов, в которых Кант использует эти термины. Кант делит суждения согласно модальности на (а) аподиктические суждения — S должно быть P, (b) ассерторические суждения — S суть P, и (c) проблематические суждения — S может быть P; и различия между этими тремя классами стали интерпретироваться как зависящие от характера убежденности, с которой принимаются суждения.

Различие между этими двумя доктринами является фундаментальным; ибо, как выражается Зигварт, утверждение, что суждение возможно или необходимо, — это не то же самое, что утверждение, что возможно или необходимо, чтобы предикат принадлежал субъекту. Первое (которое является кантовской доктриной) относится к субъективной возможности или необходимости суждения; второе (которое является аристотелевской доктриной) относится к объективной возможности или необходимости того, что утверждается в суждении.

Логика, i. стр. 176.

58. Субъективные различия модальности. — Мы должны отвергнуть взгляд, что субъективные различия модальности могут быть проведены в отношении к простым суждениям. Ибо все суждения, как мы видели, обладают характеристикой необходимости, и, следовательно, эта характеристика не может быть сделана отличительным признаком особого класса суждений, аподиктических.

То, что следует в этом разделе, основано главным образом на трактовке предмета Зигвартом (Логика, § 31).

Мы можем коснуться двух способов, которыми предпринимались попытки провести различие, с субъективной точки зрения, между ассерторическими и аподиктическими суждениями.

Ассерторическое суждение рассматривалось как выражающее то, что имеет только субъективную валидность, то есть то, что может быть утверждено как истинное только для лица, формирующего суждение, в то время как аподиктическое суждение выражает то, что имеет универсальную валидность и может быть утверждено как истинное для всех.

Это опять же противоречит общей доктрине суждения, уже изложенной. Мы утверждаем, что каждое суждение претендует на истинность и что истина не может быть относительной к индивиду. Ассерторическое суждение, следовательно, как определено таким образом, вовсе не является истинным суждением, и мы обнаруживаем, что все суждения на самом деле являются аподиктическими.

Другим предложенным основанием различия является различие между непосредственным знанием и знанием, основанным на выводе, причем первое выражается ассерторическим суждением, а второе — аподиктическим.

Нет сомнения, что мы часто говорим, что вещь есть такая-то, когда это вопрос прямого восприятия, в то время как мы говорим, что она должна быть такой-то, когда мы не можем иначе объяснить определенные воспринятые факты. Таким образом, если я был под дождем, я говорю «шел дождь»; если, не наблюдая падения дождя, я замечаю, что дороги и крыши мокрые, я говорю «должно быть, шел дождь».

Очевидно, однако, что это различие совершенно несовместимо с приписыванием какой-либо превосходной достоверности аподиктическому суждению. Ибо то, что мы знаем опосредованно, всегда должно основываться на том, что мы знаем непосредственно; и, поскольку в процессе вывода может быть совершена ошибка, из этого следует, что то, что мы знаем опосредованно, должно иметь меньшую достоверность, чем то, о чем мы имеем непосредственное знание. Соответственно, в обычном дискурсе утверждение, что что-либо должно быть таким-то, обычно понималось бы как выражение определенной степени сомнения.

Мы не можем тогда оправдать признание аподиктического суждения как выражающего более высокую степень достоверности, чем просто ассерторическое.

С другой стороны, так называемое проблематическое суждение, интерпретируемое как выражающее просто неуверенность, не может рассматриваться как само по себе выражающее суждение вообще. Оно может подразумевать суждение относительно валидности аргументов, выдвинутых в поддержку или в опровержение данного тезиса; и оно подразумевает также суждение относительно состояния ума человека, который находится в состоянии неуверенности; но само по себе оно является просто приостановкой суждения.

Проблематическое суждение, как интерпретируется в следующем разделе, делает больше, чем просто выражает неуверенность. Форма пропозиции «S может быть P», несомненно, двусмысленна.

59. Объективные различия модальности. — Нам предстоит рассмотреть, можно ли, принимая во внимание не суждение как субъективный продукт, а объективный факт, выраженный в суждении, провести какое-либо валидное различие между необходимым, актуальным (или контингентным) и возможным; и наш ответ должен быть утвердительным, при условии, что мы готовы допустить концепцию действия закона.

Таким образом, суждение «Планеты движутся по эллиптическим орбитам» является в этом смысле суждением необходимости. Оно выражает нечто, что мы рассматриваем как проявление закона, и оно имеет бесконечно широкое применение. Ибо мы верим, что оно справедливо не только для планет, с которыми мы знакомы, но также и для других планет (если таковые существуют), которые еще не были открыты.

Теперь возьмем суждение «Все короли, правившие во Франции в восемнадцатом веке, носили имя Людовик». Это констатация факта, но явно не выражение какого-либо закона. Пропозиция относится к ограниченному числу индивидов, которым случайно дали одно и то же имя; но мы признаем, что их имена могли быть другими, и что то, что они были королями Франции, не зависело от того, что они носили данное имя. Это тогда мы можем назвать суждением актуальности.

Мы имеем суждение возможности, когда делаем такое утверждение, как «роза из сеянца может быть произведена другого цвета, чем любые розы, с которыми мы в настоящее время знакомы», имея в виду, что нет ничего в присущей природе роз (или в законах, регулирующих производство роз), что делало бы это невозможным.

Мы имеем тогда суждение необходимости (аподиктическое суждение), когда намерение состоит в том, чтобы дать выражение некоторому закону, относящемуся к классу объектов, обозначаемых субъектным термином; мы имеем суждение актуальности (ассерторическое суждение), когда намерение состоит в том, чтобы констатировать факт, в отличие от утверждения или отрицания закона; мы имеем суждение возможности (проблематическое суждение), когда намерение состоит в том, чтобы отрицать действие какого-либо закона, делающего невозможным некоторый комплекс свойств.

Случай пропозиции, которая может рассматриваться как выражающая частный пример действия закона, нуждается в специальном рассмотрении. Допуская, например, что пропозиция «У каждого треугольника сумма углов равна двум прямым» является аподиктической, должны ли мы описывать пропозицию «У этого треугольника сумма углов равна двум прямым» как аподиктическую или как ассерторическую? Правильный ответ, по-видимому, заключается в том, что, будучи просто так сформулированной, пропозиция может быть просто ассерторической; ибо она может делать не более чем выражать факт, который был установлен измерением. Если, однако, пропозиция интерпретируется как означающая «Эта фигура, будучи треугольником, имеет сумму углов, равную двум прямым», тогда она является аподиктической.

Я не буду пытаться дать здесь какой-либо адекватный философский анализ концепции объективной необходимости. Должно быть достаточно сказать, что мы все имеем концепцию действия закона и что для нашей текущей цели валидность этой концепции предполагается.

Что касается этой трактовки модальности, возможно, может быть поднято возражение, что, какова бы ни была их ценность сама по себе, вовлеченные различия не являются такого рода, с которыми имеет дело формальная логика. Это правда, что, в некотором смысле, суждения необходимости являются особой заботой индуктивной, в отличие от формальной, логики. Главная функция индуктивной логики действительно состоит в том, чтобы определить, как аподиктические суждения (как определено выше) должны быть установлены на основе индивидуальных наблюдений; ибо то, что мы подразумеваем под индукцией, — это процесс перехода от частностей к законам, которыми они управляются. Допуская это, однако, существуют также многие проблемы, с которыми логика в ее более формальных аспектах должна иметь дело, при решении которых некоторое признание обсуждаемых различий является желательным, если не существенным.

Но будет сказано, что различия не могут быть применены формально: что, например, при данной пропозиции в голой форме «S суть P» или данной обычной универсальной утвердительной пропозиции «Все S суть P», невозможно определить, помимо материи пропозиции, является ли она аподиктической (в смысле, в котором этот термин используется в этом разделе) или просто ассерторической. Это верно, если мы ограничены традиционной схемой пропозиций. Но следует помнить, что формулирование и интерпретация пропозиций в определенных пределах находятся под нашим собственным контролем и что в нашей власти так интерпретировать пропозициональные формы для логических целей, чтобы выявить различия, которые не прояснены в обычном дискурсе или в традиционной логике. Таким образом, форма «S как таковое суть P» могла бы быть использована для придания формального выражения аподиктическому суждению, при этом «S суть P» интерпретировалось бы как просто ассерторическое.

Другое решение, однако, и такое, которое может быть сделано для получения симметричной схемы, состоит в том, чтобы использовать условную (в отличие от истинной гипотетической) пропозицию и дифференцировать ее от категорической, интерпретируя ее как модальную, в то время как категорическая остается просто ассерторической.

См. раздел 173.

Здесь и в других местах, говоря о пропозиции как о модальной (в отличие от ассерторической), мы имеем в виду пропозицию, которая является либо аподиктической, либо проблематической.

Таким образом, мы имели бы: «Если что-либо суть S, то оно суть P» — аподиктическое; «Все S суть P» — ассерторическое; «Если что-либо суть S, то оно может быть P» — проблематическое.

Будет замечено, что в этой схеме (оставляя в стороне вопрос об экзистенциальной значимости) категорическая пропозиция «Все S суть P» выводима из условной «Если что-либо суть S, то оно суть P», но не наоборот.

Конечно, не утверждается, что предложенная здесь дифференциация принята в обычном использовании рассматриваемых пропозициональных форм; нам, например, придется вскоре указать, что в обычном употреблении категорических суждений универсальное утвердительное часто имеет аподиктическую силу. Мы вернемся к обсуждению предложенной схемы позже.

60. Модальность в отношении к сложным суждениям. — Мы можем теперь рассмотреть применение различий модальности к сложным суждениям, то есть к суждениям, которые выражают отношение, в котором простые суждения стоят одно к другому. Одно дело сказать, что на самом деле два суждения не являются оба истинными; другое дело сказать, что два суждения настолько связаны друг с другом, что они не могут быть оба истинными. Мы можем описать первое утверждение как ассерторическое, второе как аподиктическое. Аподиктическое суждение, задуманное таким образом, выражает отношение основания и следствия; следовательно, обязательство утверждать истинность определенной пропозиции, когда признана истинность некоторой другой пропозиции или комбинации пропозиций. Обязательство может иногда зависеть от помощи некоторых других пропозиций, которые оставлены невыраженными.

В аподиктическом сложном суждении необходимость может (по крайней мере в определенных случаях) быть описана как субъективная. Это так в случае формального гипотетического суждения; как, например, в пропозиции «Если все S суть P, то все не-P суть не-S» или в пропозиции «Если все S суть M и все M суть P, то все S суть P».

В разделе 55 было дано трехчастное деление сложных суждений; рассматриваемое сейчас различие указывает, однако, на более фундаментальное двухчастное деление. С этой точки зрения может быть предложена схема, в которой конъюнктивы (P и Q) и так называемые дизъюнктивы (P или Q) рассматривались бы как ассерторические, в то время как гипотетические (Если P, то Q) рассматривались бы как модальные. Исследование того, насколько это соответствует обычному употреблению рассматриваемых пропозициональных форм, должно быть отложено. Однако, возможно, желательно сразу указать, что, если эта схема принята, некоторые обычно признаваемые логические отношения не являются валидными. Ибо гипотетическое «Если P, то Q» обычно рассматривается как эквивалентное дизъюнктивному «Либо не-P, либо Q», и это как эквивалентное отрицанию конъюнктивного «Оба P и не-Q». Если, однако, конъюнктивное (и, следовательно, его отрицание), а также дизъюнктивное являются просто ассерторическими, в то время как гипотетическое является аподиктическим, ясно, что эта эквивалентность больше не сохраняется. Дизъюнктивное действительно все еще может быть выведено из гипотетического, но не гипотетическое из дизъюнктивного. Этот результат будет рассмотрен далее на более поздней стадии.

До сих пор мы говорили только об аподиктической форме «Если P, то Q». Соответствующая проблематическая форма — «Если P, то, возможно, Q»; например, «Если все S суть P, то все еще возможно, что некоторые P не суть S». Это отрицает обязательство признать, что все P суть S, когда было признано, что все S суть P. Следует заметить, что в любой трактовке модальности аподиктическое и проблематическое вовлекают друг друга, поскольку одна форма всегда требуется для выражения противоречащего другой.

61. Количество и качество пропозиций. — Пропозиции обычно делятся на универсальные и партикулярные, в зависимости от того, делается ли предикация о целом или о части субъекта. Это деление пропозиций, как говорят, происходит согласно их количеству.

Кант добавил третье подразделение, а именно сингулярные; и другие логики добавили четвертое, а именно неопределенные. Под заголовком количества также должны быть рассмотрены так называемые плюративные и численно определенные пропозиции; и должна быть признана возможность множественной квантификации. Может быть также поднят вопрос, не существуют ли некоторые пропозиции, например, гипотетические пропозиции, которые вообще не допускают деления согласно количеству. Обсуждение различных пунктов, указанных здесь, может, однако, быть удобно отложено до тех пор, пока не будет кратко затронута традиционная схема категорических пропозиций, которая основана на дефинитивном делении на универсальные и партикулярные.

Другое первичное деление пропозиций — на утвердительные и отрицательные, в зависимости от того, утверждается или отрицается предикат о субъекте. Это деление пропозиций, как говорят, происходит согласно их качеству.

Здесь, опять же, Кант добавил третье подразделение, а именно бесконечные. Это трехчастное деление и более фундаментальный вопрос об истинном значении логического отрицания также будут отложены до тех пор, пока не будет дано некоторое описание традиционной схемы пропозиций.

62. Традиционная схема пропозиций. — Традиционная схема формулирования пропозиций предназначена прежде всего для категорических, и она основана только на различиях количества и качества, при этом различия модальности не принимаются во внимание. Для целей традиционной схемы может быть дан следующий анализ категорической пропозиции.

Категорическая пропозиция состоит из двух терминов (которые являются соответственно субъектом и предикатом), соединенных связкой и обычно предваряемых знаком количества. Таким образом, она содержит четыре элемента, два из которых — субъект и предикат — составляют ее материю, а оставшиеся два — связка и знак количества — составляют ее форму.

Логический анализ пропозиции должен отличаться от ее грамматического анализа. Грамматически распознаются только два элемента, а именно субъект и предикат. Логически мы далее анализируем грамматический субъект на количество и логический субъект, а грамматический предикат — на связку и логический предикат.

Субъект — это термин, о котором делается утверждение или отрицание. Предикат — это термин, который утверждается или отрицается относительно субъекта.

Когда пропозиции приводятся к одной из форм, признанных в традиционной схеме, субъект предшествует предикату. Однако в обычной речи этот порядок иногда инвертируется ради литературного эффекта, например, в пропозиции: «Сладки плоды несчастья».

Знак количества, присоединенный к субъекту, указывает на степень, в которой затрагиваются индивиды, обозначаемые термином-субъектом. Так, в пропозиции «Всякое S есть P» знаком количества является «всякое», и утверждение понимается как относящееся к каждому без исключения индивиду, обозначаемому термином S.

Связка — это звено связи между субъектом и предикатом, указывающее, утверждается ли последний относительно первого или отрицается.

Различные элементы пропозиции, как они здесь различаются, отнюдь не всегда выражаются раздельно в пропозициях обычной речи; но путем анализа и развертывания их можно сделать явными без какого-либо изменения смысла. Поэтому часто необходимо некоторое грамматическое изменение формы, прежде чем пропозиции можно будет рассматривать в рамках традиционной схемы. Так, в такой пропозиции, как «Все, кто любит добродетель, любят рыбную ловлю», связка не выражена отдельно. Однако пропозицию можно записать так:

sign of quantity | subject | copula |  predicate
All | lovers of virtue | are |  lovers of angling ;

и в этой форме четыре различных элемента становятся отчетливыми. Старые логики различали пропозиции secundi adjacentis и пропозиции tertii adjacentis. В первых связка и предикат не разделены, например: «Человек бежит», «Все, кто любит добродетель, любят рыбную ловлю»; во вторых они разделены, например: «Человек есть бегущий», «Все любители добродетели суть любители рыбной ловли».

Традиционная схема пропозиций получается путем сочетания деления (по количеству) на общие и частные и деления (по качеству) на утвердительные и отрицательные. Это сочетание дает четыре фундаментальные формы пропозиции, а именно: (1) общеутвердительная — «Всякое S есть P» (или «Каждое S есть P», или «Любое S есть P», или «Все S суть P») — обычно обозначается символом A; (2) частноутвердительная — «Некоторые S суть P» (или «Некоторые S есть P») — обычно обозначается символом I; (3) общеотрицательная — «Ни одно S не есть P» (или «Никакие S не суть P») — обычно обозначается символом E; (4) частноотрицательная — «Некоторые S не суть P» (или «Не все S суть P») — обычно обозначается символом O.

Эти символы A, I, E, O взяты из латинских слов affirmo и nego, причем утвердительные символы — это две первые гласные первого слова, а отрицательные символы — две гласные второго.

Помимо этих символов, иногда бывает удобно использовать следующие:

SaP = Всякое S есть P;

SiP = Некоторые S суть P;

SeP = Ни одно S не есть P;

SoP = Некоторые S не суть P.

Эти формы полезны, когда желательно, чтобы символ, используемый для обозначения пропозиции в целом, также указывал, какие символы были выбраны для субъекта и предиката соответственно. Так,

MaP = Всякое M есть P;

PoQ = Некоторые P не суть Q.

Далее, иногда бывает удобно обозначать не-S через S', не-P через P' и так далее. Таким образом, мы будем иметь

S'aP' = Всякое не-S есть не-P;

PiQ' = Некоторые P суть не-Q.

Лучше не записывать общеотрицательную пропозицию в форме «Всякое S не есть P», ибо эта форма двусмысленна и обычно интерпретировалась бы как просто частная, где «не» относится к «всякое», так что мы имеем «Всякое S не есть P» = «Не все S суть P». Таким образом, «Не все то золото, что блестит» предназначено для пропозиции O и эквивалентно «Некоторые вещи, которые блестят, не суть золото».

Аналогичные замечания применимы к форме «Каждое S не есть P».

Традиционная схема формулирования несколько ограничена в своем охвате и с разных точек зрения открыта для критики. Однако она обладает достоинством простоты и получила широкое признание. По этим причинам, как правило, удобно принимать ее в качестве основы для обсуждения, хотя нередко возникает необходимость смотреть за ее пределы.

63. Распределение терминов в пропозиции. — Говорят, что термин распределен, когда речь идет обо всех индивидах, обозначаемых им; говорят, что он не распределен, когда они упоминаются лишь частично, то есть когда дается информация относительно части класса, обозначаемого термином, но мы остаемся в неведении относительно остальной части класса. Из этого определения непосредственно следует, что субъект распределен в общеутвердительной и не распределен в частной пропозиции. Далее можно показать, что предикат распределен в отрицательной и не распределен в утвердительной пропозиции. Так, если я говорю «Всякое S есть P», я отождествляю каждого члена класса S с некоторым членом класса P, и поэтому я подразумеваю, что, по крайней мере, некоторое P есть S, но я не делаю никакого вывода относительно всего P. Остается открытым вопрос, есть ли какое-либо P вне класса S или нет. Аналогично, если я говорю «Некоторые S суть P». Но если я говорю «Ни одно S не есть P», исключая все S из P, я также исключаю все P из S, и поэтому P, так же как и S, распределен. Опять же, если я говорю «Некоторые S не суть P», хотя я делаю утверждение относительно только части S, я исключаю эту часть из всего P, и, следовательно, все P из нее. В этом случае, таким образом, предикат распределен, хотя субъект — нет.

Поскольку «некоторые» используется в значении «некоторые, возможно, все». Если под «некоторыми» мы понимаем «некоторые, но не все», то мы действительно не остаемся в неведении относительно остальной части класса, которая образует субъект нашей пропозиции.

Следовательно, мы можем сказать, что количество пропозиции, насколько это касается ее предиката, определяется ее качеством. Однако вышеуказанные результаты перестают быть верными, если мы эксплицитно квантифицируем предикат, как в доктрине Гамильтона о квантификации предиката. Согласно этой доктрине, предикат утвердительной пропозиции иногда эксплицитно распределен, в то время как предикат отрицательной пропозиции иногда дается нераспределенным. Например, вводятся такие формы, как «Некоторые S суть все P», «Ни одно S не есть некоторые P». Эта доктрина будет обсуждаться в главе 7.

Суммируя наши результаты, мы находим, что A распределяет только свой субъект, I не распределяет ни свой субъект, ни свой предикат, E распределяет как свой субъект, так и свой предикат, O распределяет только свой предикат.

64. Различие между субъектом и предикатом в традиционной схеме пропозиций. — Природу различия, обычно проводимого между субъектом и предикатом пропозиции, можно выразить, сказав, что субъект — это то, о чем что-то утверждается или отрицается, предикат — то, что утверждается или отрицается о субъекте; или мы можем сказать, что субъект — это то, что мы рассматриваем как определяемое или квалифицируемое понятие, в то время как предикат — это то, что мы рассматриваем как определяющее или квалифицирующее понятие.

Отсюда следует, что субъект должен быть дан первым в идее, поскольку мы не можем утверждать предикат, пока у нас нет чего-то, о чем его утверждать. Можно ли, однако, сказать, что поскольку субъект логически стоит на первом месте в порядке мысли, он должен обязательно делать это в порядке изложения, причем субъект всегда предшествует связке, а предикат всегда следует за ней? Другими словами, можем ли мы считать порядок терминов в пропозиции достаточным критерием? Если субъект и предикат являются чистыми синонимами или если пропозиция практически сводится к уравнению, как в доктрине квантификации предиката, трудно увидеть, какой другой критерий может быть принят; или, скорее, можно сказать, что в этих случаях различие между субъектом и предикатом теряет всякое значение. Они ставятся в равное положение, и не остается ничего, чем можно было бы их различить, кроме порядка, в котором они изложены. Этот взгляд указан профессором Бэйнсом в его «Эссе о новой аналитике логических форм». В такой пропозиции, например, как «Велика Диана Ефесская», он назвал бы «великая» субъектом, читая пропозицию как «(Некоторая) великая есть (вся) Диана Ефесская».

Для иллюстраций этого пункта и по общему вопросу, поднятому в этом разделе, сравните: Венн, «Эмпирическая логика», стр. 208–214.

Однако в отношении традиционной схемы пропозиций нельзя сказать, что порядок терминов всегда является достаточным критерием. В только что процитированной пропозиции «Диана Ефесская», как правило, принималась бы за субъект. Какой еще критерий тогда можно привести? В случае пропозиций E и I (пропозиций, как будет показано, которые могут быть просто обращены) мы должны апеллировать к контексту или к вопросу, на который пропозиция является ответом. Если один термин ясно передает информацию относительно другого термина, то он является предикатом. Также будет показано, что для субъекта более обычно читаться в объеме, а для предиката — в содержании. Если эти соображения не являются решающими, то порядок терминов должен быть достаточным. В случае пропозиций A и O (пропозиций, как будет показано, которые не могут быть просто обращены) может быть добавлен дополнительный критерий. Из правил, относящихся к распределению терминов в пропозиции, следует, что в утвердительных пропозициях распределенным термином (если какой-либо термин распределен) является субъект; в то время как в отрицательных пропозициях, если распределен только один термин, это предикат. Сомнительно, чтобы инверсия терминов когда-либо происходила в случае пропозиции O; но в пропозициях A это не редкость. Применяя вышеуказанные соображения к такой пропозиции, как «Творящие чудеса были Апостолы», ясно, что последний термин распределен, в то время как первый — нет; следовательно, последний термин является субъектом. Поскольку сингулярный термин эквивалентен распределенному термину, далее в качестве следствия вытекает, что в утвердительной пропозиции, если один и только один термин является сингулярным, он является субъектом. Это решает такой случай, как «Велика Диана Ефесская».

Субъект часто является существительным, а предикат — прилагательным. Сравните раздел 135.

65. Общие пропозиции. — При обсуждении смысла общей пропозиции «Всякое S есть P» внимание должно быть сначала обращено на определенную двусмысленность, возникающую из того факта, что слово «все» может использоваться либо дистрибутивно, либо собирательно. В пропозиции «Все углы треугольника меньше двух прямых» оно используется дистрибутивно, предикат применяется к каждому без исключения углу треугольника, взятому отдельно. В пропозиции «Все углы треугольника равны двум прямым» оно используется собирательно, предикат применяется ко всем углам, взятым вместе, а не к каждому отдельно. Эта двусмысленность присуща символической форме «Всякое S есть P», но не форме «Все S суть P». Двусмысленности также можно избежать, используя «каждый» вместо «все» в качестве знака количества. В любом случае двусмысленность не носит опасного характера, и можно предположить, что «все» следует интерпретировать дистрибутивно, если контекстом или иным образом не дано указание на обратное.

Остается рассмотреть более важное различие между пропозициями, выраженными в форме «Всякое S есть P». Ибо такие пропозиции могут быть просто ассерторическими или аподиктическими в смысле, приданном этим терминам в разделе 59.

Здесь будет удобно начать с тройного различения.

(1) Пропозиция «Всякое S есть P» может, во-первых, делать предикацию об ограниченном числе конкретных объектов, которые допускают перечисление: например, «Все книги на этой полке — романы», «Все мои сыновья в армии», «Все люди в одиннадцати этого года были в государственных школах». Пропозиция такого рода может быть названа, в частности, перечислительно-общей. Ясно, что такая пропозиция не может претендовать на то, чтобы быть аподиктической.

(2) Пропозиция «Всякое S есть P» может, во-вторых, выражать то, что обычно описывается как эмпирический закон или единообразие: например, «Все львы рыжие», «Все алые цветы без сладкого аромата», «Все фиалки белые или желтые, или имеют оттенок синего». Многие пропозиции, относящиеся к использованию лекарств, к смене определенных видов погоды при определенных появлениях неба и так далее, попадают в этот класс. Пропозиция такого рода выражает единообразие, которое, как было обнаружено, сохраняется в пределах нашего опыта, но которое мы побоялись бы распространить далеко за пределы этого диапазона ни в пространстве, ни во времени. Предикация, которую она делает, не ограничивается определенным числом объектов, которые можно перечислить, но в то же время ее нельзя рассматривать как выражающую необходимую связь между субъектом и предикатом. Такая пропозиция, следовательно, является ассерторической, а не аподиктической.

(3) Пропозиция «Всякое S есть P» может, в-третьих, выражать закон в строгом смысле, то есть единообразие, которое, как мы полагаем, сохраняется универсально и безусловно: например, «Все равносторонние треугольники равноугольны», «Все тела имеют вес», «Весь мышьяк ядовит». Пропозиция такого рода должна рассматриваться как выражающая необходимую связь между субъектом и предикатом, и поэтому она является аподиктической.

Пропозиции, подпадающие под первые две из вышеуказанных категорий, могут быть описаны как эмпирически общие, а те, что подпадают под третью, — как безусловно общие.

Я заимствовал эти термины у Зигварта, «Логика», § 27; но я не могу быть уверен, что мое использование их точно соответствует его. В разделе 27 он, по-видимому, включает в эмпирически общие суждения только те суждения, которые принадлежат к первому из трех классов, различаемых выше. В то же время его описание безусловно общего суждения применяется только к третьему классу: такое суждение, говорит он, выражает необходимую связь между предикатом P и субъектом S; оно означает: «Если что-либо есть S, оно должно также быть P». И из его последующего рассмотрения (в § 96) суждений, принадлежащих ко второму классу, кажется ясным, что он не рассматривает их как безусловно общие.

Лотце («Логика», § 68) указывает на различие, которое мы обсуждаем, терминами «всеобщий» и «общий». Но опять же, кажется, есть некоторая неопределенность относительно того, какой термин он применил бы к суждениям, принадлежащим к нашему второму классу. Во всеобщем суждении, говорит он, мы имеем лишь суммирование того, что оказывается истинным в каждом отдельном случае субъекта; в общем суждении предикация относится ко всему неопределенному классу, включая как исследованные, так и неисследованные случаи. Из этого следовало бы, что всеобщее суждение соответствует только (1), в то время как общее суждение включает как (2), так и (3). Лотце, однако, продолжает: «Всеобщее суждение — это лишь совокупность многих сингулярных суждений, сумма субъектов которых на самом деле заполняет весь объем всеобщего понятия; ... всеобщая пропозиция «Все люди смертны» оставляет открытым вопрос, могли бы они, строго говоря, не жить вечно, и не является ли это просто замечательным сцеплением обстоятельств, различным в каждом отдельном случае, которое в конечном итоге приводит к тому, что никто не остается в живых. Общее суждение, с другой стороны, «Человек смертен», утверждает своей формой, что в характере человечества заложено то, что смертность неотделима от каждого, кто к нему причастен». Приведенная здесь иллюстрация, по-видимому, подразумевает, что суждение может рассматриваться как всеобщее, хотя оно относится к классу объектов, не все из которых могут быть перечислены.

Если это различие рассматривается лишь как различие между различными способами, которыми могут быть получены суждения (например, путем перечисления или эмпирического обобщения, с одной стороны, или путем абстрактного рассуждения или с помощью принципа причинности, с другой стороны), без какого-либо реального различия в содержании, оно становится чисто генетическим и вряд ли может быть сохранено как различие между суждениями, рассматриваемыми сами по себе. Если мы должны сохранить его таким образом, то это должно быть как различие между чисто ассерторическим и аподиктическим в смысле, уже объясненном. Чтобы иметь возможность рассматривать его как формальное различие, мы должны быть далее готовы назначить отличительные формы выражения для двух видов общих суждений соответственно. Лотце, по-видимому, считает, что формы «Всякое S есть P» и «S есть P» достаточно служат этой цели. Но это едва ли подтверждается текущим использованием этих форм. «Все S суть P» могло бы служить для перечислительно-общего, а «S как таковое есть P» — для безусловно общего. Однако эти формы не вписываются ни в какие общепризнанные графики; и наш второй класс общего остался бы в стороне. Другим решением, которое уже было указано в разделе 59, было бы использование категорической формы только для эмпирически общего суждения, приняв условную форму для безусловно общего суждения.

Наиболее важным результатом вышеприведенного обсуждения является то, что пропозиция, обычно выражаемая в форме «Всякое S есть P», может быть либо ассерторической, либо аподиктической. Будет обнаружено, что это различие имеет важное значение для нескольких вопросов, которые будут подняты впоследствии.

66. Частные пропозиции. — При работе с частными пропозициями необходимо придать точное значение знаку количества «некоторые».

В своем обычном использовании слово «некоторые» всегда понимается как исключающее «ни одного», но в его отношении к «все» существует двусмысленность. Ибо иногда оно интерпретируется как исключающее «все», а также «ни одного», в то время как иногда оно не рассматривается как несущее это дальнейшее значение. Слово, следовательно, может быть определено в двух противоречащих смыслах: во-первых, как эквивалентное просто «по крайней мере одному», то есть как чисто противоречащее «ни одному», и, следовательно, охватывающее каждый случай (включая «все»), который несовместим с «ни одним»; во-вторых, как любое количество, промежуточное между «ни одним» и «все», и, следовательно, несущее с собой значение «не все», а также «не ни одного». В обычной речи второе из этих двух значений, вероятно, является более обычным. Однако у логиков при интерпретации традиционной схемы было принято принимать другое значение, так что «Некоторые S суть P» не несовместимо с «Всяким S есть P». Используя слово в этом смысле, если мы хотим выразить «Некоторые, но не все S суть P», мы должны использовать две пропозиции — «Некоторые S суть P», «Некоторые S не суть P». Частная пропозиция, интерпретируемая таким образом, является неопределенной, хотя и с определенным пределом; то есть она неопределенна в той мере, в какой она может применяться к любому числу от одного до всех, но, с другой стороны, она определенна в той мере, в какой она исключает «ни одного». Мы будем впредь интерпретировать «некоторые» в этом неопределенном смысле, если не дано явного указания на обратное.

Мы могли бы действительно пойти дальше и сказать, что в обычной речи «некоторые» обычно означает «значительно меньше, чем все», так что оно становится еще более ограниченным в своем значении. В обычном языке, как замечает Де Морган, «некоторые» обычно означает довольно малую часть целого; большая часть была бы выражена «многими»; а несколько больше половины — «большинством»; в то время как еще большая пропорция была бы «подавляющим большинством» или «почти всеми» («Формальная логика», стр. 58).

Мистер Бозанкет рассматривает частную пропозицию как ненаучную на том основании, что она всегда зависит либо от несовершенного описания, либо от неполного перечисления. Я могу, например, знать, что все S некоторого конкретного описания суть P, но, не заботясь или не утруждая себя их определением, я довольствуюсь тем, что говорю «Некоторые S суть P», например, «Некоторую правду лучше держать при себе». В отличие от этого, у нас есть частная пропозиция неполного перечисления, где нашим основанием для ее утверждения является просто наблюдение отдельных случаев, в которых пропозиция оказывается верной.

«Основы логики», стр. 116, 117.

Подразумевается, что пропозиция такого рода может быть развернута в пропозицию «Всякое S, которое есть A, есть P», то есть «Всякое AS есть P». Мистер Бозанкет приводит в качестве примера: «Некоторые двигатели могут тянуть поезд со скоростью миля в минуту на большое расстояние». «Это не означает определенное число двигателей, хотя, конечно, их определенное число. Это означает определенные двигатели конкретной марки, не указанной в суждении».

Правда, частная пропозиция сама по себе не имеет большого научного значения; и ее неопределенный характер естественно ограничивает ее практическую полезность. Однако кажется едва ли правильным описывать ее как ненаучную, поскольку — как будет показано впоследствии более подробно — ее можно рассматривать как обладающую отличительными функциями. Две такие функции можно различить, хотя они часто переплетаются одна с другой. Во-первых, полезность частной пропозиции часто зависит скорее от того, что она отрицает, чем от того, что она утверждает, и пропозиция, которую она отрицает, не является неопределенной. Одной из главных функций частноутвердительной пропозиции является отрицание общеотрицательной, а частноотрицательной — отрицание общеутвердительной. Во-вторых, отличительной целью частной пропозиции может быть утверждение существования; и это, вероятно, как правило, имеет место с пропозициями, которые описываются как результат неполного описания. Если, например, мы говорим, что «некоторые двигатели могут тянуть поезд со скоростью миля в минуту на большое расстояние», наша цель прежде всего состоит в том, чтобы подтвердить, что существуют такие двигатели; и это не было бы так ясно выражено в общей пропозиции, которой частная, как говорят, является неполным и несовершенным выражением.

Отношение частной пропозиции «Некоторые S суть P» к проблематической пропозиции «S может быть P» будет рассмотрено впоследствии.

67. Сингулярные пропозиции. — Под сингулярной или индивидуальной пропозицией понимается пропозиция, в которой утверждение или отрицание делается только об одном индивидууме: например, «Брут — честный человек»; «Много шума из ничего» — пьеса Шекспира; «Моя лодка на берегу».

Сингулярные пропозиции могут рассматриваться как образующие подкласс общих, поскольку в каждой сингулярной пропозиции утверждение или отрицание относится ко всему субъекту. Более определенно, можно сказать, что сингулярная пропозиция, как правило, встает в один ряд с перечислительно-общей пропозицией.

Отец Кларк утверждает, что сингулярные пропозиции должны быть включены в частные на том основании, что когда предикат утверждается только об одном члене класса, он утверждается только о части класса. «Теперь, если я говорю: «Этот готтентот — большой негодяй», мое утверждение относится к меньшей части готтентотской нации, чем пропозиция «Некоторые готтентоты — большие негодяи». То же самое происходит, даже если субъект является собственным именем. «Лондон — большой город» обязательно должно быть более ограниченной пропозицией, чем «Некоторые города — большие города»; и если последняя должна считаться среди частных, тем более первая» («Логика», стр. 274). Этот взгляд не учитывает, что на самом деле характерным для частной пропозиции является не ее ограниченный характер — поскольку частная пропозиция не несовместима с общей, — а ее неопределенный характер.

Гамильтон различает общие и сингулярные пропозиции, причем предикация в первом случае относится к целому неделимому, а во втором — к единице неделимой. Указанное здесь различие иногда полезно; но его можно с выгодой выразить несколько иначе. Сингулярная пропозиция, как правило, без риска путаницы может быть обозначена одним из символов A или E; и в силлогистических выводах сингулярная пропозиция обычно может рассматриваться как эквивалентная общей пропозиции. Использование независимых символов для сингулярных пропозиций (утвердительных и отрицательных) внесло бы значительную дополнительную сложность в рассмотрение силлогизма; и по этой причине кажется желательным, как правило, включать сингулярные пропозиции в общие. Общие пропозиции, однако, могут быть разделены на общие и сингулярные, и тогда будут термины, с помощью которых можно будет обратить внимание на различие всякий раз, когда это может быть необходимо или полезно.

Существует также определенный класс пропозиций, которые, будучи сингулярными, поскольку они относятся только к одному индивидууму, обладают также неопределенным характером, присущим частной пропозиции: например, «Некий человек имел двух сыновей»; «Присутствовал великий государственный деятель»; «Был убит английский офицер». Имея две такие пропозиции в одном дискурсе, мы не можем, помимо контекста, быть уверены, что в обоих случаях имеется в виду один и тот же индивидуум. Развивая различие, указанное в предыдущем абзаце, немного дальше, мы получаем четырехкратное деление пропозиций: общее определенное, «Всякое S есть P»; общее неопределенное, «Некоторые S суть P»; сингулярное определенное, «Это S есть P»; сингулярное неопределенное, «Некое S есть P». Эта классификация допускает нашу работу с обычным двукратным делением на общее и частное — или, как здесь выражено, определенное и неопределенное — везде, где это адекватно, как в традиционной доктрине силлогизма; в то же время она вводит дальнейшее различие, которое может иметь значение в определенных связях.

68. Плюративные пропозиции и численно определенные пропозиции. — Другие знаки количества, помимо «все» и «некоторые», иногда признаются логиками. Так, пропозиции форм «Большинство S суть P», «Немногие S суть P» называются плюративными пропозициями. «Большинство» может быть интерпретировано как эквивалентное «по крайней мере одному больше половины». «Немногие» имеет отрицательную силу; и «Немногие S суть P» может рассматриваться как эквивалентное «Большинство S не суть P». Формальные логики (за исключением Де Моргана и Гамильтона), как правило, не признавали эти дополнительные знаки количества; и верно, что во многих логических комбинациях их нельзя рассматривать как дающие что-либо большее, чем частные пропозиции, где «Большинство S суть P» сводится к «Некоторые S суть P», а «Немногие S суть P» — к «Некоторые S не суть P». Иногда, однако, мы можем использовать дополнительные знания, данные нам; например, из «Большинство M суть P», «Большинство M суть S» мы можем вывести «Некоторые S суть P», хотя из «Некоторые M суть P», «Некоторые M суть S» мы не можем вывести ничего.

Возможно, с дальнейшим подразумеванием «хотя некоторые S суть P»; таким образом, «немногие S суть P» приводится Кантом в качестве примера экспонируемой пропозиции (то есть пропозиции, которая, хотя и не является сложной по форме, тем не менее может быть разрешена в конъюнкцию двух или более более простых пропозиций, независимых друг от друга), на том основании, что она содержит как утверждение, так и отрицание, хотя одно из них в скрытом виде. Следует добавить, что «несколько» не имеет того же значения, что «немногие», но должно рассматриваться как утвердительное и, в общем, просто эквивалентное «некоторым»; например, «Несколько S суть P» = «Некоторые S суть P». Иногда, однако, это означает «небольшое число», и в этом случае пропозицию, возможно, лучше рассматривать как сингулярную, субъект которой является собирательным. Так, «несколько крестьян успешно защитили цитадель» может быть передано как «небольшой отряд крестьян успешно защитил цитадель», а не «некоторые крестьяне успешно защитили цитадель», поскольку акцент предназначен быть сделан, по крайней мере, в такой же степени на малочисленности их рядов, как и на факте, что они были крестьянами. В то время как пропозиция, интерпретируемая таким образом, является сингулярной, а не общей, она является сингулярной неопределенной, а не сингулярной определенной; ибо какой именно небольшой отряд имеется в виду, остается неопределенным.

Численно определенные пропозиции — это те, в которых предикация делается относительно некоторой определенной пропорции класса; например, «Две трети S суть P». В численно определенных пропозициях может скрываться определенная двусмысленность; например, в вышеуказанной пропозиции имеется ли в виду, что «ровно две трети S, ни больше, ни меньше, суть P», так что нам также неявно дано «одна треть S не суть P», или имеется в виду лишь то, что «по крайней мере две трети S, но, возможно, больше, суть P»? В обычном дискурсе мы, несомненно, имели бы в виду иногда одно, иногда другое. Если мы должны зафиксировать нашу интерпретацию, вероятно, будет лучше принять первую альтернативу на том основании, что если цифры вообще вводятся, мы должны стремиться быть вполне определенными. Некоторые такие слова, как «по крайней мере», могут быть использованы, когда не претендуют на то, чтобы заявить больше, чем минимальную пропорцию S, которые суть P.

Де Морган замечает, что «совершенно определенная частная пропозиция, что касается количества, выражала бы, сколько X существует, сколько Y и сколько из X суть или не суть Y; как в «70 из 100 X находятся среди 200 Y»» («Формальная логика», стр. 58). Он противопоставляет определенную частную пропозицию неопределенной частной пропозиции, которая имеет форму «Некоторые X суть Y». Будет замечено, что определенная частная пропозиция Де Моргана, как она здесь определена, является еще более эксплицитной, чем численно определенная пропозиция, как определена в тексте.

69. Неопределенные пропозиции. — Согласно количеству, пропозиции некоторыми логиками были разделены на (1) общие, (2) частные, (3) сингулярные, (4) неопределенные. Сингулярные пропозиции уже обсуждались.

Под неопределенной пропозицией понимается та, «в которой количество не эксплицитно объявлено одним из обозначающих терминов «все», «каждый», «некоторые», «многие» и т. д.»; например, «S есть P», «Критяне — лжецы». Мы можем, пожалуй, сказать с Гамильтоном, что «необозначенная» было бы лучшим термином для использования. Во всяком случае, так называемая неопределенная пропозиция не является выражением отдельной формы суждения. Это форма пропозиции, которая является несовершенным выражением суждения. По причинам, уже изложенным, частная пропозиция имеет больше прав считаться неопределенным суждением.

Когда пропозиция дана в необозначенной форме, мы обычно можем сказать из нашего знания предмета или из контекста, предназначена ли она быть общей или частной. Вероятно, в большинстве случаев необозначенные пропозиции предназначены для понимания как общие, например, «Кометы подчиняются закону гравитации»; но если мы действительно сомневаемся относительно количества пропозиции, она логически должна рассматриваться как частная.

В «Логике Пор-Рояля» проводится различие между метафизической всеобщностью и моральной всеобщностью. «Мы называем метафизической всеобщностью ту, которая совершенна и без исключений; и моральной всеобщностью ту, которая допускает некоторые исключения, поскольку в моральных вещах достаточно того, что вещи в общем таковы» («Логика Пор-Рояля», перевод профессора Бэйнса, стр. 150). Следующие примеры даны как примеры моральных всеобщностей: «Все женщины любят поговорить»; «Все молодые люди непостоянны»; «Все пожилые люди хвалят прошлые времена». Необозначенные пропозиции почти без исключения могут рассматриваться как всеобщности, либо метафизические, либо моральные. Но кажется ясным, что моральные всеобщности в действительности не имеют законного права называться всеобщностями вообще. Логически их не следует рассматривать как нечто большее, чем частные, или, во всяком случае, плюративные.

70. Множественная квантификация. — Применение предиката к субъекту иногда ограничивается со ссылкой на время или условия, и это может рассматриваться как дающее вторичную квантификацию пропозиции; например, «Все люди иногда несчастны», «В некоторых странах все иностранцы непопулярны». Эта дифференциация может быть проведена дальше, чтобы дать тройную или любую более высокую степень квантификации. Так, мы имеем тройную квантификацию в пропозиции: «Во всех странах все иностранцы иногда непопулярны».

Для дальнейшего развития понятия множественной квантификации см. статьи мистера Джонсона о «Логическом исчислении» в «Mind», 1892.

Таким образом, пропозиция с сингулярным термином в качестве субъекта может, со ссылкой на некоторую вторичную квантификацию, быть классифицирована как общая или частная, в зависимости от обстоятельств; например, «Гладстон всегда красноречив», «Браунинг иногда неясен».

71. Бесконечные или ограничительные пропозиции. — Вместо обычного двукратного деления пропозиций по качеству Кант дал тройное деление, признав класс бесконечных (или ограничительных) суждений, которые не являются ни утвердительными, ни отрицательными. Так, «S есть P» является утвердительной, а «S не есть P» — отрицательной, «S есть не-P» называется бесконечной или ограничительной. Однако трудно оправдать отдельное признание этого третьего класса, берем ли мы чисто формальную точку зрения или принимаем во внимание реальное содержание пропозиций. С формальной точки зрения мы могли бы заменить некоторый другой символ, скажем Q, для не-P, и с этой точки зрения «Некоторые S суть не-P» должны рассматриваться как просто утвердительные. С другой стороны, «Некоторые S суть не-P» эквивалентно по смыслу «Некоторые S не суть P», и (предполагая, что P является положительным термином) эти две пропозиции должны, принимая во внимание их реальное содержание, быть одинаково отрицательными по силе.

Бесконечное суждение, в смысле, в котором термин используется здесь, может быть описано как утвердительная предикация отрицательного. Некоторые авторы, однако, включают в propositiones infinitae те, чей субъект, так же как и те, чей предикат, является отрицательным. Так, отец Кларк определяет propositiones infinitae как пропозиции, в которых «субъект или предикат неопределенны по объему, будучи ограничены только в своем исключении из некоторого определенного класса или идеи: как, «Не продвигаться — значит отступать»» («Логика», стр. 268).

Некоторые авторы идут дальше и, по-видимому, отрицают, что так называемое бесконечное суждение вообще имеет какой-либо смысл. Этот пункт тесно связан с вопросом, который мы уже обсуждали, а именно, имеет ли отрицательный термин «не-P» какой-либо смысл. Если мы признаем отрицательный термин — а мы пытались показать, что мы должны это делать, — тогда пропозиция «S есть не-P» эквивалентна пропозиции «S не есть P», и первая пропозиция, следовательно, должна иметь столько же смысла, сколько последняя.

Вопрос о полезности так называемых бесконечных пропозиций был далее смешан с вопросом о природе значимого отрицания. Но лучше держать эти два вопроса отдельно. Каков бы ни был истинный характер отрицания, он не зависит от использования отрицательных терминов.

УПРАЖНЕНИЯ.

72. Определите качество каждой из следующих пропозиций и распределение их терминов: (a) Несколько выдающихся людей имели невыдающихся сыновей; (b) Немногие очень выдающиеся люди имели очень выдающихся сыновей; (c) Немало выдающихся людей имели выдающихся сыновей. [J.]

73. Исследуйте значение «немногие», «несколько», «большинство», «любой» в следующих пропозициях: «Немногие художники свободны от тщеславия»; «Несколько фактов лучше, чем большое количество риторики»; «Большинство людей эгоистичны»; «Если какие-либо философы были мудры, Сократ и Платон должны быть причислены к ним». [M.]

74. «Все есть либо X, либо Y»; «X и Y коэкстенсивны»; «Только X есть Y»; «Класс X включает класс Y и нечто большее». Выразите каждое из этих утверждений с помощью обычных категорических пропозиций A, I, E, O. [C.]

75. Выразите каждое из следующих утверждений в одной или нескольких формах, признанных в традиционной схеме категорических пропозиций: (i) Никто не может быть богат и счастлив, если он также не умерен и благоразумен, и даже тогда не всегда; (ii) Ни один ребенок никогда не перестает быть хлопотным, если его плохо учат и балуют; (iii) Было бы одинаково ложно утверждать, что только богатые счастливы, или что только они не являются таковыми. [V.]

76. Выразите, насколько можете, каждое из следующих утверждений в форме обычной категорической пропозиции и определите ее качество и распределение ее терминов: (a) Нельзя утверждать, что удовольствие — единственное благо; (b) Торговля страны не всегда страдает, если ее экспорт затруднен иностранными пошлинами; (c) Человек, который проявляет страх, не может считаться виновным; (d) Один или другой из членов комитета должен был разгласить секрет. [C.]

77. Найдите категорические пропозиции, выраженные в терминах случаев Q или не-Q и R или не-R, которые прямо или косвенно подразумеваются каждым из следующих утверждений: (a) Присутствие Q является необходимым, но не достаточным условием для присутствия R; (b) Отсутствие Q является необходимым, но не достаточным условием для присутствия R; (c) Присутствие Q является необходимым, но не достаточным условием для отсутствия R. В каких отношениях, если они есть, категорическая форма не выражает полного значения таких пропозиций, как вышеприведенные? [J.]

78. «Честность цели вполне совместима с грубым невежеством». «Дело могло бы обернуться иначе, чем оно обернулось». «Может быть, что «Гамлет» был написан не актером, известным его современникам как Шекспир». Используйте вышеприведенные пропозиции, чтобы проиллюстрировать свои взгляды относительно модальности пропозиций; и исследуйте отношения между каждой из пропозиций и любой ассерторической пропозицией, которая может быть принята в качестве ее основания или быть частично эквивалентной ей. [C.]

ГЛАВА III.

ОППОЗИЦИЯ ПРОПОЗИЦИЙ.

Эта глава будет в основном посвящена оппозиции категорических пропозиций; и, что касается категорических пропозиций, осложнения, возникающие в связи с их экзистенциальной интерпретацией, пока будут отложены.

79. Квадрат оппозиции. — При работе с темой этой главы будет удобно начать с древнего квадрата оппозиции, который относится исключительно к традиционному графику пропозиций. Однако в конечном итоге будет найдено желательным дать более общие описания того, что следует понимать под терминами «противоречащий», «противный» и т. д., чтобы они могли быть адаптированы к другим графикам пропозиций.

Две пропозиции технически называются оппозиционными друг другу, когда они имеют соответственно один и тот же субъект и предикат, но различаются по количеству или качеству, или и по тому, и по другому.

Это определение, согласно которому оппозиционные пропозиции не обязательно несовместимы друг с другом, дано Олдричем (стр. 53 в издании Мансела). Убервег («Логика», § 97) определяет оппозицию таким образом, чтобы включать только противоречие и противность; и Мансел замечает, что «субальтерны неправильно классифицируются как оппозиционные пропозиции» («Олдрич», стр. 59). Современные логики, однако, обычно принимают определение Олдрича, и это кажется в целом лучшим курсом. Нужен какой-то термин, чтобы обозначить вышеуказанное общее отношение между пропозициями; и хотя можно было бы найти более удобный термин, никакая путаница вряд ли возникнет от использования термина «оппозиция», если студент будет внимателен, чтобы заметить, что он здесь используется в техническом смысле.

Беря пропозиции SaP, SiP, SeP, SoP парами, мы находим, что между ними существует четыре возможных вида отношений.

(1) Пара пропозиций может быть такой, что они не могут быть ни обе истинными, ни обе ложными. Это называется противоречащей оппозицией и существует между SaP и SoP, а также между SeP и SiP.

(2) Они могут быть такими, что, хотя обе не могут быть истинными, обе могут быть ложными. Это называется противной оппозицией. SaP и SeP.

(3) Они могут быть такими, что они не могут быть обе ложными, но могут быть обе истинными. Подпротивная оппозиция. SiP и SoP.

(4) Из данной общей пропозиции следует истинность частной, имеющей то же качество, но не наоборот. Это субальтерная оппозиция, причем общая пропозиция называется субальтернантом, а частная — субальтернатой или субальтерном. SaP и SiP. SeP и SoP.

Этот результат и некоторые другие наши результаты, возможно, потребуют модификации, когда позже будет принята во внимание экзистенциальная интерпретация пропозиций. Но, как указано в примечании в начале главы, все осложнения, возникающие из соображений такого рода, на данный момент отложены в сторону.

Все вышеуказанные отношения отражены в античном логическом квадрате.

Учение об оппозиции можно рассматривать с двух различных точек зрения: во-первых, как отношение между двумя данными суждениями; и, во-вторых, как процесс вывода, посредством которого, если одно суждение дано как истинное или ложное, можно определить истинность или ложность некоторых других суждений. Принимая вторую из этих точек зрения, мы получаем следующую таблицу:— A дано как истинное, E — ложное, I — истинное, O — ложное; E дано как истинное, A — ложное, I — ложное, O — истинное; I дано как истинное, A — неизвестно, E — ложное, O — неизвестно; O дано как истинное, A — ложное, E — неизвестно, I — неизвестно; A дано как ложное, E — неизвестно, I — неизвестно, O — истинное; E дано как ложное, A — неизвестно, I — истинное, O — неизвестно; I дано как ложное, A — ложное, E — истинное, O — истинное; O дано как ложное, A — истинное, E — ложное, I — истинное.

80. Противоречащая оппозиция. — Учение об оппозиции в предыдущем разделе применимо в первую очередь только к четырем видам суждений, обычно признаваемым в логике. Однако мы должны взглянуть на этот вопрос с более широкой точки зрения. В частности, важно, чтобы мы четко понимали природу противоречащей оппозиции, независимо от того, с какой системой суждений мы имеем дело.

Природа значимого отрицания будет подробно рассмотрена в заключительном разделе этой главы. На данном этапе достаточно сказать, что отрицание истинности суждения равносильно утверждению истинности его противоречащего (контрадикторного) суждения, и наоборот. Критерий противоречащей оппозиции заключается в том, что из двух суждений одно должно быть истинным, а другое — ложным; они не могут быть одновременно истинными, но, с другой стороны, между ними невозможна никакая середина. Отношение между двумя противоречащими суждениями взаимно; не имеет значения, какое из них дано как истинное или ложное, мы знаем, что другое соответственно ложно или истинно. Каждое суждение имеет свое противоречащее, которое, однако, может быть более или менее сложным по форме.

Можно заметить, что внимание почти неизбежно привлекается к любой двусмысленности в суждении, когда предпринимается попытка определить его противоречащее. Справедливо было сказано, что мы никогда не сможем полностью понять смысл суждения, пока не узнаем точно, что именно оно отрицает; и действительно, проблема содержания суждений иногда сводится, по крайней мере частично, к вопросу о том, как следует опровергать суждения данной формы.

Природа противоречащей оппозиции может быть проиллюстрирована ссылкой на дискуссию, начатую Джевонсом (Studies in Deductive Logic, стр. 116), относительно точного значения утверждения о том, что суждение — скажем, «Все злаки съедобны» — является ложным. Поставив этот вопрос, Джевонс начинает с ответа, который можно назвать ортодоксальным и который, вопреки тому, что он говорит далее, также следует считать правильным. Когда я утверждаю, что суждение ложно, я имею в виду, что истинно его противоречащее. Данное суждение имеет форму A, а его противоречащим является соответствующее суждение O — «Некоторые злаки несъедобны». Следовательно, когда я говорю, что ложно, будто все злаки съедобны, я имею в виду, что некоторые злаки несъедобны. Джевонс, однако, продолжает: «Но логикам в целом, по-видимому, не приходило в голову исследовать, в какой мере подобные отношения могут быть обнаружены в случае разделительных и других более сложных видов суждений. Возьмем, к примеру, утверждение, что 'все эндогены суть все параллельно-листные растения'. Если это ложно, то что истинно? По-видимому, то, что одно или несколько эндогенов не являются параллельно-листными растениями, или же что одно или несколько параллельно-листных растений не являются эндогенами. Но может также случиться, что ни один эндоген вообще не является параллельно-листным растением. Существует три альтернативы, и простая ложность исходного суждения не показывает, какая из возможных противоречащих альтернатив истинна».

Это утверждение уязвимо для критики в двух отношениях. Во-первых, говоря, что одно или несколько эндогенов не являются параллельно-листными растениями, мы не намереваемся исключить возможность того, что ни один эндоген вообще не является параллельно-листным растением. Символически, «Некоторые S не суть P» не исключает «Ни одно S не есть P». Таким образом, три альтернативы во всяком случае сводятся к двум первым. Но, во-вторых, некорректно говорить о любой из этих альтернатив как о самостоятельном противоречащем исходного суждения. Истинным противоречащим является утверждение истинности той или иной из этих альтернатив. Если исходное суждение ложно, мы, безусловно, знаем, что новое суждение, ограничивающее нас такими альтернативами, истинно, и наоборот.

Суть вопроса можно прояснить, представив рассматриваемое суждение в символической форме. «Все S суть все P» — это сжатое выражение, разложимое на форму: «Все S суть P и все P суть S». Оно имеет только одно противоречащее, а именно: «Либо некоторые S не суть P, либо некоторые P не суть S». Если любая из этих альтернатив верна, то исходное утверждение должно быть полностью ложным; и, с другой стороны, если последнее ложно, то по крайней мере одна из этих альтернатив должна быть истинной. «Некоторые S не суть P» само по себе не является противоречащим для «Все S суть все P». Эти два суждения действительно несовместимы друг с другом, но они оба могут быть ложными.

Противоречащее суждению «Все S суть все P» действительно может быть выражено в другой форме, а именно: «S и P не равнообъемны», но это имеет точно такую же силу, как и противоречащее, приведенное в тексте. Далее мы покажем, что две различные формы противоречащего одного и того же суждения должны обязательно быть эквивалентны друг другу.

Из этого следует, что мы должны отвергнуть дальнейшее утверждение Джевонса о том, что «суждение умеренной сложности имеет почти неограниченное число противоречащих суждений, которые в той или иной степени конфликтуют с исходным. Истинность любого одного или нескольких из этих противоречащих устанавливает ложность исходного, но ложность исходного не устанавливает истинность любого одного или нескольких из его противоречащих». Несомненно, суждение, сложное по форме, может порождать неопределенное число других неэквивалентных суждений, истинность любого из которых несовместима с его собственной. Также будет верно, что его противоречащее может быть выражено более чем в одной форме. Но эти формы будут обязательно эквивалентны друг другу, поскольку невозможно, чтобы суждение имело два или более неэквивалентных противоречащих. Это положение может быть формально доказано следующим образом. Пусть Q и R будут оба противоречащими P. Они будут эквивалентны, если можно показать, что если Q, то R, и если R, то Q. Поскольку P и Q — противоречащие, мы имеем: если Q, то не-P, а поскольку P и R — противоречащие, мы имеем: если не-P, то R. Объединяя эти два суждения, мы получаем вывод: если Q, то R. Аналогично следует: если R, то Q. Следовательно, мы установили желаемый результат.

Следует признать, что логики нередко использовали слово «противоречить» несколько вольно. Например, в «Логике Пор-Рояля» мы находим следующее: «За исключением мудреца (говорили стоики), все люди — истинные глупцы. Это можно опровергнуть (1) утверждением, что мудрец стоиков был таким же глупцом, как и другие люди; (2) утверждением, что существовали другие, помимо их мудреца, которые не были глупцами; (3) утверждением, что мудрец стоиков был глупцом, а другие люди — нет» (стр. 140). Утверждение любого из этих трех суждений, безусловно, делает необходимым отрицание истинности данного суждения, но ни одно из них само по себе не является противоречащим данного суждения. Истинным противоречащим является разделительное суждение: «Либо мудрец стоиков — глупец, либо некоторые другие люди не являются глупцами».

В связи с тем же вопросом Джевонс поднимает еще одну проблему, в отношении которой его взгляд также уязвим для критики. Он говорит: «Но возникает вопрос, нет ли путаницы в идеях при обычном рассмотрении этого древнего учения об оппозиции, и не является ли противоречащим суждению любое суждение, которое влечет за собой ложность исходного, но не является единственным условием этого. Я полагаю, что любое утверждение ложно, если оно сделано без достаточных оснований. Ложно утверждать, что обратная сторона Луны покрыта горами, не потому, что мы можем доказать противоречащее, а потому, что мы знаем, что утверждающий должен был сделать это утверждение без доказательств. Если человек, несведущий в математике, утверждает, что 'все инволюты суть трансцендентные кривые', он делает ложное утверждение, потому что, являются ли они таковыми или нет, он не может этого знать». Однако мы впали бы в безнадежную путаницу, если бы стали считать, что истинность или ложность суждения зависит от знания человека, утверждающего его, так что одно и то же суждение было бы то истинным, то ложным. Далее следует заметить, что, согласно взгляду Джевонса, оба суждения «S есть P» и «S не есть P» были бы ложными для человека, совершенно несведущего в природе S. Это означало бы, что мы не могли бы перейти от ложности суждения к истинности его противоречащего; и такой результат сделал бы невозможным любой прогресс в мышлении.

81. Противная оппозиция. — Пытаясь обобщить отношение между A и E, мы могли бы естественным образом прийти к характеристике противного (контрарного) суждения, сказав, что оно выходит за рамки простого отрицания и выдвигает дальнейшее утверждение, максимально удаленное от исходного; так что, в то время как противоречащее суждение отрицает его полную истинность, противное суждение можно сказать утверждающим его полную ложность. Пара противных суждений, определенных таким образом, может рассматриваться как находящаяся на противоположных концах шкалы, на которой имеется ряд промежуточных позиций.

Однако при таком определении понятие противности не может быть удовлетворительно распространено далеко за пределы частного случая, рассматриваемого в обычном логическом квадрате. Ибо если у нас есть суждение, которое само по себе не может рассматриваться как стоящее на одном конце шкалы, а лишь как занимающее промежуточную позицию, такое суждение не может рассматриваться как образующее пару противных. В качестве иллюстрации можно взять плюративные и численно определенные суждения.

Следовательно, если желательно определить противность так, чтобы концепция была общеприменимой, от идеи двух суждений, стоящих, так сказать, максимально далеко друг от друга, необходимо отказаться, и любые два суждения могут быть описаны как противные, если они несовместимы друг с другом, не исчерпывая при этом всех возможностей. Противные суждения при таком определении должны всегда допускать наличие среднего, но они не всегда могут быть тем, что мы назвали бы диаметральными противоположностями, и любое данное суждение не ограничивается одним противным, а может иметь неопределенное число неэквивалентных противных. В то же время следует заметить, что это определение все еще позволяет идентифицировать A и E как пару противных, причем как единственную пару в традиционной схеме оппозиции.

82. Оппозиция единичных суждений. — Возьмем суждение «Сократ мудр», его противоречащим является «Сократ не мудр»; и до тех пор, пока мы придерживаемся одних и тех же терминов, мы не можем выйти за рамки этого простого отрицания. Таким образом, суждение не имеет формального противного. Эта оппозиция единичных суждений была названа вторичной оппозицией (Мансел, «Олдрич», стр. 56).

112. Это следует считать правильным противоречащим с точки зрения, достигнутой в настоящей главе. Вопрос становится немного сложнее, когда принимается во внимание экзистенциальная интерпретация суждений.

113. Мы можем получить то, что можно назвать материальным противным данного суждения, используя противное предиката вместо его простого противоречащего; например: «Сократ не имеет ни грана здравого смысла». Это называется материальной противностью, потому что она требует введения нового термина, который не мог быть формально получен из данного суждения. Следует добавить, что различие между формальной и материальной противностью может быть применено и в случае общих суждений.

Если, однако, в суждении с единичным субъектом имеется вторичная квантификация, то мы можем получить обычный логический квадрат. Так, если наше исходное суждение — «Сократ всегда (или во всех отношениях) мудр», то оно опровергается утверждением, что «Сократ иногда (или в некоторых отношениях) не мудр», в то время как его противным является «Сократ никогда (или ни в каких отношениях) не мудр», а его субалтерном — «Сократ иногда (или в некоторых отношениях) мудр». Можно сказать, что когда мы таким образом рассматриваем Сократа как обладающего различными характеристиками в разное время или при различных условиях, наш субъект не является строго единичным, поскольку он больше не является неделимым целым. В некотором смысле это верно, и мы, несомненно, могли бы заменить наше суждение другим, имеющим в качестве субъекта «суждения или поступки Сократа». Но не представляется, что это разложение суждения необходимо для его логической обработки.

Возможность неявной вторичной квантификации, хотя такая квантификация явно не указана, является весьма плодотворным источником логических ошибок при использовании суждений с единичными субъектами. Если мы возьмем такие суждения, как «Браунинг неясен», «Эпименид — лжец», «Этот цветок синий», и в качестве их противоречащих дадим «Браунинг не является неясным», «Эпименид не является лжецом», «Этот цветок не синий», скажем ли мы, что исходное суждение или его противоречащее истинно в случае, если Браунинг иногда (но не всегда) неясен, или в случае, если Эпименид иногда (но не часто) говорит правду, или в случае, если цветок частично (но не полностью) синий? В таких примерах, безусловно, существует значительный риск смешения противоречащей и противной оппозиции, и этого можно избежать, если сделать вторичную квантификацию суждений явной с самого начала, записывая их в форме «Браунинг всегда (или иногда) неясен» и т.д. 114 Противоречащее тогда будет соответственно частным или общим.

114. Или мы могли бы свести их к формам: «Все (или некоторые) стихотворения Браунинга неясны», «Все (или некоторые) высказывания Эпименида ложны», «Вся (или часть) поверхность этого цветка синяя».

83. Оппозиция модальных суждений. — До сих пор в этой главе наше внимание ограничивалось ассерторическими суждениями. На данный момент достаточно будет очень краткой ссылки на оппозицию модальных суждений. Основные затронутые моменты будут рассмотрены более подробно позже.

Мы видели, что безусловно общее суждение, выраженное ли в обычной категорической форме «Все S суть P», или как условное «Если что-либо есть S, то оно есть P», утверждает необходимую связь, под которой понимается не просто то, что все S на самом деле являются P, но то, что в их природе заложено быть таковыми. Утверждение, что некоторые S не суть P, несовместимо с этим суждением, но не является его противоречащим, поскольку оба суждения могут быть ложными: все S могут случайно оказаться P, и все же между S и P может не быть закона связи. Рассматриваемое суждение является аподиктическим и будет иметь в качестве противоречащего модальное суждение другого рода, а именно проблематическое суждение; и это может быть записано в форме «S не обязательно есть P» или «Если что-либо есть S, то оно все же не обязательно есть P», в зависимости от того, выражено ли наше исходное суждение как категорическое или как условное.

Аналогично, противоречащим гипотетического суждения «Если P истинно, то Q истинно», если это суждение интерпретируется модально, является «Если P истинно, то Q все же не обязательно истинно».

84. Расширение учения об оппозиции. 115 — Если мы не ограничиваемся обычным логическим квадратом, а рассматриваем любую пару суждений (независимо от того, к какой системе они принадлежат), становится необходимым расширить список формальных отношений, признаваемых в логическом квадрате, а также расширить значение некоторых терминов. Мы можем предложить следующую классификацию:

115. Иллюстрации, приведенные в этом разделе, предполагают знание непосредственных умозаключений. Соответственно, при первом чтении этот раздел можно отложить до тех пор, пока не будет прочитана часть следующей главы.

(1) Два суждения могут быть эквивалентными или равносильными, причем каждое суждение формально выводимо из другого. Следовательно, если одно из суждений истинно, то и другое истинно; и если одно из них ложно, то и другое ложно. Например, как будет показано далее, «Все S суть P» и «Все не-P суть не-S» находятся в этом отношении друг к другу.

(2) и (3) Одно из двух суждений может быть формально выводимо из другого, но не наоборот. Если мы рассматриваем два данных суждения Q и R, это дает два случая: Q может влечь за собой истинность R, но не наоборот; или R может влечь за собой истинность Q, но не наоборот. Обычные субалтерные суждения со своими субалтернантами попадают в этот класс; и будет удобно расширить значение термина «субалтерный», чтобы применить его к любой паре суждений, связанных таким образом, независимо от того, принадлежат ли они к обычному логическому квадрату или нет. Действительно, можно обнаружить, что любая пара простых суждений форм A, E, I, O, которые являются субалтерными в расширенном смысле, эквивалентна некоторой паре, являющейся субалтерной в более ограниченном смысле. 116 Так, «Все S суть P» и «Некоторые P суть S», которые являются субалтерными в расширенном смысле, эквивалентны «Все S суть P» и «Некоторые S суть P». «Все S суть P» и «Некоторые не-S не суть P» — еще одна пара субалтерных. Здесь не так сразу очевидно, в каком направлении следует искать пару эквивалентных суждений, принадлежащих обычному логическому квадрату. Однако «Ни одно не-P не есть S» и «Некоторые не-P не суть S» удовлетворяют требуемым условиям.

116. Это, конечно, не будет справедливо, когда мы применяем термин «субалтерный» к сложным суждениям, например, к паре «Некоторые S не суть P и некоторые P не суть S», «Некоторые S не суть P или некоторые P не суть S».

(4) Суждения могут быть такими, что они оба могут быть истинными одновременно, или оба ложными, или одно истинным, а другое ложным. Например, «Все S суть P» и «Все P суть S». Такие суждения можно назвать независимыми в их отношении друг к другу.

(5) Суждения могут быть такими, что одно или другое из них должно быть истинным, в то время как оба могут быть истинными. Пару суждений, которые связаны таким образом — например, «Некоторые S суть P» и «Некоторые не-S суть P» — можно, путем расширения значения, как в случае с термином «субалтерный», назвать субконтрарными. Можно показать, что любая пара субконтрарных суждений форм A, E, I, O эквивалентна некоторой паре субконтрарных, принадлежащих обычному логическому квадрату; так, вышеуказанная пара эквивалентна «Некоторые P суть S» и «Некоторые P не суть S».

(6) Два суждения могут быть противными друг другу в том смысле, что они не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными. Как и прежде, можно показать, что любая пара противных суждений форм A, E, I, O эквивалентна некоторой паре противных в более обычном смысле. Например, противные «Все S суть P» и «Все не-S суть P» эквивалентны «Ни одно не-P не есть S» и «Все не-P суть S».

(7) Два суждения могут быть противоречащими друг другу согласно определению, данному в разделе 80, то есть они не могут быть ни оба истинными, ни оба ложными. «Все S суть P» и «Некоторые не-P суть S» дают пример вне обычного логического квадрата. Следует заметить, что эти два суждения эквивалентны паре «Все S суть P» и «Некоторые S не суть P».

Таким образом, два суждения могут, в отношении выводимости, совместимости или несовместимости, быть формально (1) эквивалентными, (2) и (3) субалтерными, (4) независимыми, (5) субконтрарными, (6) противными, (7) противоречащими, причем термины «субалтерный» и т. д. используются в самом широком смысле. Какие пары категорических суждений (в которые входят только одни и те же термины или их противоречащие) фактически попадают в эти категории соответственно, будет показано в разделах 106 и 107.

Эти семь возможных отношений между суждениями (взятыми парами) окажутся точно аналогичными семи возможным отношениям между классами (взятыми парами), как это показано в последующей главе (раздел 130).

85. Природа значимого отрицания. — Желательно, прежде чем завершить эту главу, кратко обсудить более фундаментальный вопрос, чем любой из тех, что были подняты до сих пор, а именно: значение и природу отрицания.

Мы наблюдаем, во-первых, что отрицание всегда находит выражение в суждении и что оно всегда предполагает отрицание некоторого другого суждения. Поэтому возникает вопрос, всегда ли отрицание предполагает предшествующее утверждение. На этот вопрос следует ответить отрицательно, если понимать его в том смысле, что для того, чтобы иметь возможность отрицать суждение, мы должны сначала рассматривать его как истинное. Суждение, которое мы отрицаем, может быть высказано или предложено кем-то другим; или оно может прийти нам на ум как одна из нескольких возможных альтернатив; или оно может быть поставлено в форме вопроса.

Однако следует добавить, что если отрицание должно иметь какую-либо ценность как констатация факта, соответствующее утверждение должно быть совместимо со значением используемых терминов. Так, если A коннотирует m, n, p, а B коннотирует не-p, q, r, то отрицание того, что A есть B, не дает никакой реальной информации относительно A. Ибо утверждение, что A есть B, не может быть сделано никем, кто знает, что означают A и B соответственно. Тот же момент можно выразить иначе, сказав, что подобно тому, как утверждение вербального суждения является незначимым, если рассматривать его как реальное утверждение относительно субъекта (а не просто как утверждение относительно значения, которое следует придать термину-субъекту), так и отрицание противоречия в терминах является незначимым с той же точки зрения. Такое отрицание дает лишь то, что является тавтологичным и практически бесполезным.

Например, отрицание того, что «душа — это корабль под полными парусами», является незначимым, если рассматривать его как констатацию факта; ибо такое отрицание не дает никакой информации тому, кто уже знаком со значением вовлеченных терминов.

Природа логического отрицания носит столь фундаментальный и предельный характер, что любая попытка объяснить ее скорее склонна затемнить, нежели прояснить. Ее нельзя выразить проще и яснее, чем через законы противоречия и исключенного третьего: суждение и его противоречащее не могут быть оба истинными; равно как и не могут они быть оба ложными.

Поскольку каждое отрицательное суждение предполагает отрицание некоторого другого суждения, утверждалось, что отрицательное суждение, такое как «S не есть P», является прежде всего суждением относительно положительного суждения «S есть P», а не относительно субъекта S; и, следовательно, отрицательное суждение не является координатным по отношению к положительному суждению, а зависит от него.

117. Сравните: Зигварт, «Логика», I, стр. 121, 2.

Опуская тот факт, что положительное суждение также предполагает отрицание некоторого другого суждения, мы можем заметить, что следует проводить различие между «'S есть P' не истинно» (что является суждением о «S есть P») и «S не есть P» (что является суждением об S). Отрицание, несомненно, представляется уму проще всего в первой из этих двух форм. Но при противоречии данному суждению наш метод обычно состоит в установлении другого суждения, включающего те же термины, которое находится к данному суждению в отношении, выраженном законами противоречия и исключенного третьего; и когда мы противопоставляем суждение «S не есть P» суждению «S есть P», мы приходим к менее прямому способу отрицания, в котором мы снова имеем суждение относительно нашего исходного субъекта.

Пример, взятый здесь, возможно, склонен затемнить суть вопроса, поскольку различие между «'S есть P' не истинно» и «S не есть P» может показаться настолько незначительным, что является несущественным. Однако то, что существует реальное различие, станет ясным, если мы возьмем такие пары суждений, как «'Все S суть P' не истинно» и «Некоторые S не суть P»; «'Все S суть все P' не истинно» и «Либо некоторые S не суть P, либо некоторые P не суть S»; «'Если какой-либо P есть Q, то он есть R' не истинно» и «P мог бы быть Q, не будучи R».

Будет удобно, если в целом мы будем понимать под противоречащим суждения P не его простое отрицание «P не истинно», а суждение Q, включающее те же термины, которое формально связано с P так, что P и Q не могут быть оба истинными или оба ложными.

Зигварт отмечает, что основанием отрицания может быть либо (a) недостаточность, либо (b) оппозиция. 118 Я могу, например, заявить, что определенная вещь не обладает данным атрибутом, либо (a) потому, что мне не удалось обнаружить наличие этого атрибута, либо (b) потому, что я признаю наличие некоторого другого атрибута, который, как я знаю, несовместим с предложенным.

118. «Логика», I, стр. 127.

Это различие можно проиллюстрировать еще одним или двумя примерами. Так, я могу отрицать, что человек ехал на определенном поезде, либо (a) потому, что я обыскал весь поезд непосредственно перед его отправлением и обнаружил, что его там нет, либо (b) потому, что я знаю, что он был в другом месте, когда поезд отправился, — я мог, например, видеть, как он покинул станцию в тот же момент на другом поезде в противоположном направлении. Аналогично, я могу отрицать общее суждение либо (a) потому, что я обнаружил определенные случаи, когда оно не выполняется, либо (b) потому, что я принимаю другое общее суждение, которое несовместимо с ним. Опять же, я могу отрицать, что данный металл, или металл, содержащийся в определенной соли, является медью, (a) на основании недостаточности, а именно, что он не реагирует на определенный тест, или (b) на основании оппозиции, а именно, что я признаю его другим металлом, скажем, цинком.

Основание отрицания всегда включает в себя что-то положительное, например, обыск поезда или обнаружение индивидуальных исключений. Но ясно, что когда мы устанавливаем оппозицию, мы получаем результат, который сам по себе является положительным, чего не происходит, когда мы просто устанавливаем недостаточность. Это может привести к краткому рассмотрению учения о природе значимого отрицания, которое изложено г-ном Бозанкетом.

Г-н Бозанкет утверждает, что голое отрицание само по себе не имеет значения, и он, по-видимому, отрицает, что противоречащее суждения, помимо оснований, на которых оно базируется, передает какую-либо информацию. 119 Для понимания значимого отрицания, говорит он, мы должны смотреть на основания отрицания; или же для противоречащего отрицания мы должны подставить противное отрицание. Как следствие, суждение может, строго и правильно, «быть отрицаемо только другим суждением того же рода; единичное — единичным суждением, родовое — родовым, гипотетическое — гипотетическим»; 120 и, по-видимому, частное — частным, аподиктическое — аподиктическим.

119. «Логика», I, стр. 305.

120. Там же, стр. 383.

Конечно, верно, что каждое отрицание должно иметь какую-то положительную основу, но также необходимо, чтобы суждение отличалось от оснований, на которых оно базируется. Мы не можем сказать, что суждение данного содержания является разным для двух людей, потому что они принимают его на разных основаниях; и если говорят, что это предрешение вопроса, поскольку различие в основании само по себе составляет различие в содержании, ответ заключается в том, что такое учение должно сделать содержание каждого суждения настолько неуловимым и неопределенным, что его анализ станет невозможным.

Взгляд, который отождествляет отрицание суждения с его противным, не только смешивает суждение с его основаниями, но и упускает из виду одно из двух главных оснований отрицания. Когда основанием отрицания является оппозиция, мы, несомненно, можем сказать, что приходим к отрицанию через противное, хотя мы все равно должны придерживаться мнения, что отрицание само по себе является чем-то меньшим, чем противное; но когда основанием отрицания является недостаточность, даже это не может быть допущено. Если, например, я пришел к выводу, что человек не отправился на определенном поезде, потому что я обыскал весь поезд перед его отправлением и не нашел его там; или если я заключаю, что данный металл не является медью, потому что он не удовлетворяет данному тесту; я не получил никакого противного суждения, и все же мое отрицание оправдано.

Это были бы случаи голого отрицания. Я не получил никакого положительного знания о местонахождении рассматриваемого человека, и я не могу идентифицировать данный металл. Но вряд ли можно всерьез утверждать, что отрицание бессмысленно или бесполезно, скажем, для детектива в первом случае или для химика-аналитика во втором.

Конечно, мы редко или никогда не довольствуемся голым отрицанием. Противное, а не противоречащее представляет нашу конечную цель. Но часто бывает так, что, по крайней мере временно, мы не можем выйти за рамки голого отрицания; и мы не должны считать, что мы полностью не смогли добиться прогресса, когда все, чего мы достигли, — это исключение возможной альтернативы или свержение ложной теории. Недавние исследования, например, происхождения рака не привели к положительным результатам; но утверждается, что, разрушая предвзятые идеи по этому вопросу, они расчистили путь для будущего прогресса. Кто-нибудь подтвердит, что это не стоило делать или что время, потраченное на исследования, было потрачено впустую?

Рассматривая вопрос с другой точки зрения, безусловно абсурдно говорить, что мы не можем отрицать общее суждение, если мы не способны подставить на его место другое общее суждение. Время от времени предлагались различные алгебраические формулы как обязательно дающие простое число. Все они были опровергнуты, и никакой верной формулы не было установлено на их месте. Но знание того, что эти формулы ложны, не совсем уместно описывать как невежество.

В другом месте г-н Бозанкет говорит, что простые перечислительные исключения тщетны и не могут затронуть сущность безусловно общих суждений, которым они, по-видимому, противостоят. 121 Он, по-видимому, имеет в виду случаи, когда показана необходимость лишь некоторой модификации исходного суждения. Но даже в этом случае перечислительные исключения опровергли исходное суждение. Несомненно, научный закон, в пользу которого было приведено большое количество доказательств, вероятно, содержит элементы истины, даже если он не совсем верен; и целью ученого, который опровергает закон, будет установление какого-то другого закона на его месте. Но, говорит г-н Бозанкет, даже если первое родовое суждение было чистой ошибкой и путаницей, как это время от времени случалось с суждениями, выдвигаемыми в науке, «едва ли возможно исправить путаницу, кроме как заменив ее истинными положительными концепциями, которые возникают из случаев, опровергших ее». Здесь признается, что исключения действительно опровергают закон, и остальная часть аргументации, безусловно, является примером ignoratio elenchi. Более того, это чистое, и во многих случаях неоправданное, допущение, что случаи, которых достаточно для опровержения ложного закона, также будут достаточны в качестве основы для установления истинного закона на его месте.

121. «Логика», I, стр. 313.

УПРАЖНЕНИЯ.

86. Исследуйте природу оппозиции между каждой парой следующих суждений: — Против предложения голосовали только либералы; Среди тех, кто голосовал против предложения, были некоторые либералы; Неверно, что все те, кто голосовал против предложения, были либералами. [K.]

87. Если бы «некоторые» использовалось в своем обычном разговорном смысле, как пришлось бы модифицировать схему оппозиции между суждениями? [J.]

88. Объясните технические термины «противоречащее» и «противное», применяя их к следующим суждениям: Немногие S суть P; Он был не единственным, кто жульничал; Две трети армии находятся за границей. [V.]

89. Дайте противоречащее для каждого из следующих суждений: — Некоторые, но не все S суть P; Все S суть P и некоторые P не суть R; Либо все S суть P, либо некоторые P не суть R; Где бы ни встречалось свойство A, с ним будет встречаться либо свойство B, либо свойство C, но не оба вместе. [K.]

90. Дайте противоречащее, а также противное для каждого из следующих суждений: Половина кандидатов провалилась; Веллингтон всегда был успешен как в разгроме врага, так и в использовании своей победы; Все люди либо не мошенники, либо не глупцы; Все, кроме него, бежали; Немногие из них честны; Иногда все наши усилия терпят неудачу; Некоторые из наших усилий всегда терпят неудачу. [L.]

91. Дайте противоречащее, а также противное для каждого из следующих суждений: Я уверен, что вы ошибаетесь; Иногда, когда идет дождь, я оказываюсь без зонта; Что бы вы ни сказали, я вам не поверю. [C.]

92. Определите термины «субалтерный», «субконтрарный», «противный», «противоречащий» таким образом, чтобы они были применимы к парам суждений в целом, а не только к тем, которые включены в обычный логический квадрат. Исчерпывают ли вышеуказанные термины формальные отношения (в отношении выводимости, совместимости или несовместимости), которые возможны между парами суждений? Проиллюстрируйте свой ответ, рассмотрев отношение (в отношении выводимости, совместимости или несовместимости) между каждым из следующих суждений и каждым из остальных: S и P совпадают; Некоторые S суть P; Не все S суть P; Либо некоторые S не суть P, либо некоторые P не суть S; Все, что не есть P, есть S. [K.]

93. Дано, что суждения X и Z противоречащие, Y и V противоречащие, а X и Y противные, покажите (не предполагая, что X, Y, V, Z принадлежат к обычной системе суждений), что отношения V к X, Z к Y, V к Z тем самым выводимы. [J.]

94. Докажите формально, что если два суждения эквивалентны, их противоречащие также будут эквивалентны. [K.]

95. Исследуйте доктрину, согласно которой суждение может быть правильно отрицаемо только другим суждением того же типа. Проиллюстрируйте ссылкой на (a) общие суждения, (b) частные суждения, (c) разделительные суждения, (d) аподиктические суждения. [K.]

ГЛАВА IV.

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ. 122

122. В этой главе мы занимаемся в основном традиционной схемой суждений, и, за исключением случаев, когда сделано явное заявление об обратном, мы исходим из предположения, что каждый класс, представленный простым термином, существует в универсуме дискурса, в то же время не исчерпывая этот универсум. Это предположение, по-видимому, было сделано неявно в традиционной трактовке логики.

96. Обращение категорических суждений. — Под обращением в широком смысле понимается изменение положения терминов суждения. 123 Логика, однако, занимается обращением лишь постольку, поскольку истинность нового суждения, полученного в результате этого процесса, является законным выводом из истинности исходного суждения. Например, переход от «Все S суть P» к «Все P суть S» не является законным логическим обращением, поскольку истинность последнего суждения не следует из истинности первого. Другими словами, логическое обращение — это случай непосредственного умозаключения, которое можно определить как вывод суждения из одного другого суждения. 124

123. Убервег («Логика», § 84) определяет обращение таким образом. Сравните также Де Морган, «Формальная логика», стр. 58. В геометрии «все равноугольные треугольники равносторонние» рассматривалось бы как обратное к «все равносторонние треугольники равноугольные». В этом смысле термина «обращение», который является его обычным нетехническим смыслом, мы можем сказать — как мы часто говорим — «Да, такое-то суждение истинно; но обратное ему не истинно».

124. Обсуждая непосредственные умозаключения, мы «прослеживаем содержание высказанного суждения в его отношениях к суждениям, еще не высказанным» (Лотце). Вместо «непосредственных умозаключений» профессор Бэйн предпочитает говорить об «эквивалентных пропозициональных формах». Однако можно обнаружить, что новые суждения, полученные путем непосредственного умозаключения, не всегда эквивалентны исходному суждению, например, при обращении per accidens. Мисс Джонс предлагает термин «эдукция» как синоним для «непосредственного умозаключения» («Общая логика», стр. 79); и она затем проводит различие между эверсиями и трансверсиями, где эверсия — это эдукция из категорической формы в категорическую, или из гипотетической в гипотетическую и т. д., а трансверсия — это эдукция из категорической формы в условную, или из условной в категорическую и т. д. В настоящее время мы будем заниматься только эверсиями.

127. Простейшая форма логического обращения, и та, которая понимается в логике, когда мы говорим об обращении без дальнейших уточнений, может быть определена как процесс непосредственного умозаключения, в котором из данного суждения мы выводим другое, имеющее предикат исходного суждения в качестве субъекта, а его субъект — в качестве предиката. Таким образом, имея суждение, имеющее S в качестве субъекта и P в качестве предиката, наша цель в процессе обращения состоит в том, чтобы получить путем непосредственного умозаключения новое суждение, имеющее P в качестве субъекта и S в качестве предиката. Исходное суждение можно назвать конвертендом, а выведенное суждение — конверсом.

Процесс будет валидным, если соблюдаются два следующих правила: (1) Конверс должен быть того же качества, что и конвертенд (Правило качества); (2) Ни один термин не должен быть распределен в конверсе, если он не был распределен в конвертенде (Правило распределения).

Применяя эти правила к четырем фундаментальным формам суждения, мы получаем следующую таблицу:—

Convertend. | Converse.
All S is P.  A. | Some P is S.  I.
Some S is P.  I. | Some P is S.  I.
No S is P.  E. | No P is S.  E.
Some S is not P.  O. | (None)

На данном этапе желательно кратко обратить внимание на момент, который получит более полное рассмотрение позже в связи с чтением суждений в объеме и содержании, а именно: что, вообще говоря, в любом суждении у нас естественно перед умом находятся объекты, обозначаемые субъектом, но качества, коннотируемые предикатом. Однако в процессе обращения суждения объемная сила предиката становится заметной, и предикату придается значение, подобное значению субъекта. В то же время распределение предиката должно быть сделано явным в мышлении. Именно при переходе от предикативного чтения к чтению по классам (например, от «все люди смертны» к «все люди суть смертные») заключается трудность, иногда обнаруживаемая при правильном обращении суждений. Во всяком случае, нам будет полезно признать, что обращение и другие непосредственные умозаключения обычно включают отдельный ментальный акт вышеуказанного характера.

Из сказанного выше следует, что некоторые суждения поддаются процессу обращения гораздо легче, чем другие. Когда предикат суждения является существительным, для обращения суждения требуется мало усилий или не требуется вовсе; больше усилий необходимо, когда предикат является прилагательным; и еще больше, когда в исходном суждении логический предикат вообще не выражен отдельно, как в суждениях secundi adjacentis. Сравните для целей обращения суждения: «Киты — млекопитающие», «Львы плотоядны», «Своевременный стежок девять бережет». В некоторых случаях, вследствие неуклюжести превращения прилагательных и глагольных предикатов в существительные, обращение суждения представляется очень искусственным продуктом. 125

125. Сравните: Зигварт, «Логика», I, стр. 340.

97. Простое обращение и обращение per accidens. — Можно заметить, что в случае I и E конверс имеет ту же форму, что и исходное суждение; более того, мы не теряем никакой части информации, данной нам конвертендом, и мы можем вернуться к нему путем обратного обращения конверса. Конвертенд и его конверс, соответственно, являются эквивалентными суждениями. Обращение при этих условиях называется простым.

В случае A дело обстоит иначе; мы не можем перейти путем непосредственного умозаключения от «Все S суть P» к «Все P суть S», поскольку P распределен в последнем из этих суждений, но не распределен в первом. Следовательно, хотя мы начинаем с общего суждения, путем обращения мы получаем только частное суждение, 126 и никакими средствами оперирования с конверсом мы не можем восстановить исходное суждение. Конвертенд и его конверс, соответственно, являются неэквивалентными суждениями. Обращение в этом случае называется обращением per accidens, 127 или обращением через ограничение. 128

126. Неспособность распознать или запомнить, что общеутвердительные суждения не являются просто обратимыми, является плодотворным источником логических ошибок.

127. Обращение A, по словам Мансела, называется обращением per accidens, «потому что это не обращение общего per se, а по причине того, что оно содержит частное. Ибо суждение 'Некоторые B суть A' является первично конверсом 'Некоторые A суть B', вторично — 'Все A суть B'» (Мансел, «Олдрич», стр. 61). Профессор Бэйн, по-видимому, отрицает, что это правильное объяснение использования термина («Новая аналитика логических форм», стр. 29); но как бы то ни было, нам, безусловно, не нужно рассматривать конверс A как обязательно полученный через его субалтерн. Можно перейти непосредственно от «Все A суть B» к «Некоторые B суть A» без вмешательства «Некоторые A суть B».

Простое обращение и обращение per accidens также называются соответственно conversio pura и conversio impura. См. Лотце, «Логика», § 79.

Для конкретных иллюстраций процесса обращения мы можем взять следующие пропозиции: «Своевременный стежок девять бережет» (A stitch in time saves nine); «Только храбрые достойны прекрасного» (None but the brave deserve the fair). Первую из них можно записать в форме: «Все своевременные стежки суть вещи, сберегающие девять стежков». Поскольку это пропозиция типа A, она обратима только per accidens, и мы получаем обратное суждение: «Некоторые вещи, сберегающие девять стежков, суть своевременные стежки». Вторую из данных пропозиций можно записать так: «Никто, кто не является храбрым, не достоин прекрасного». Поскольку это пропозиция типа E, она может быть обращена просто, давая: «Никто, достойный прекрасного, не является не храбрым». Наши результаты могут быть выражены в более естественной форме следующим образом: «Один из способов сберечь девять стежков — это сделать своевременный стежок»; «Никто, достойный прекрасного, не может не быть храбрым».

Никогда не должно возникать трудностей при обращении или выполнении других непосредственных умозаключений из любой данной пропозиции, если она уже приведена к традиционной логической форме, ее количество и качество определены, ее субъект, связка и предикат четко разграничены, а ее предикат, как и субъект, рассматривается в объеме. Однако, если этим правилом пренебречь, ошибки почти неизбежны.

98. Необратимость частноотрицательных пропозиций. Из правил обращения, приведенных в разделе 96, непосредственно следует, что «Некоторые S не суть P» не допускает обычного обращения; ибо S, которое не распределено в исходной пропозиции, стало бы предикатом отрицательной пропозиции в обращенной, и, следовательно, было бы распределено. Однако вскоре будет показано, что, хотя мы не можем сделать никакого вывода о P в данном случае, мы можем сделать вывод относительно не-P.

129. Относительно необратимости O см. также разделы 99 и 126.

Джевонс считает, что тот факт, что частноотрицательная пропозиция неспособна к обычному обращению, «составляет изъян в античной логике» («Studies in Deductive Logic», стр. 37). Однако для этой критики нет достаточных оснований. Впоследствии мы обнаружим, что из частноотрицательной пропозиции можно вывести столько же, сколько из частноутвердительной (поскольку последняя, в отличие от первой, не допускает контрапозиции). Никакая логика, символическая или иная, не может фактически получить из данных сведений больше, чем античная логика. Высказывалось предположение, что Джевонс имеет в виду, что необратимость O приводит к отсутствию симметрии и что логики должны специально стремиться к симметрии. С этим последним утверждением мы можем сердечно согласиться. Однако отсутствие симметрии в рассматриваемом нами случае является лишь кажущимся и проистекает из неполного взгляда. Будет обнаружено, что симметрия восстанавливается позже.

¹³⁰ See sections 105, 106.

99. Законность обращения. Аристотель доказывает обращение E косвенно следующим образом: «Ни одно S не есть P», следовательно, «Ни одно P не есть S»; ибо если нет, то «Некоторый индивид P, скажем Q, есть S»; и, следовательно, «Q есть и S, и P»; но это несовместимо с исходной пропозицией.

131. «Методом, называемым ἔκθεσις, т.е. путем демонстрации отдельного примера». См. «Олдрич» Манселя, стр. 61, 2.

Показав, что простое обращение E законно, мы можем доказать, что обращение per accidens пропозиции A также законно. «Все S суть P», следовательно, «Некоторые P суть S»; ибо, если нет, то «Ни одно P не есть S», и, следовательно (путем обращения), «Ни одно S не есть P»; но это несовместимо с исходным допущением. Законность простого обращения I следует аналогичным образом.

Приведенное выше доказательство, по-видимому, не включает в себя ничего, кроме принципов противоречия и исключенного третьего. Само доказательство, однако, не является удовлетворительным; ибо оно практически предполагает обоснованность того самого процесса, который стремится оправдать, то есть оно предполагает эквивалентность пропозиций «S есть Q» и «Q есть S».

Лучшее обоснование процесса обращения может быть получено путем рассмотрения классовых отношений, задействованных в соответствующих пропозициях. Так, беря пропозицию E, самоочевидно, что если один класс полностью исключен из другого класса, то этот второй класс полностью исключен из первого. В случае пропозиции A при размышлении становится ясно, что утверждение «Все S суть P» совместимо с любым из двух отношений классов S и P, а именно: S и P совпадают, или P содержит S и нечто сверх того, и далее, что это единственные два возможных отношения, с которыми оно совместимо. Самоочевидно, что в каждом из этих случаев «Некоторые P суть S»; и, следовательно, вывод путем обращения из пропозиции A оказывается обоснованным. В случае пропозиции O, если мы рассмотрим все отношения классов, в которых она справедлива, мы обнаружим, что ничто не является истинным для P в терминах S во всех из них. Следовательно, O необратима. Необратимость O также может быть установлена путем демонстрации того, что «Некоторые S не суть P» совместимо с каждой из следующих пропозиций: «Все P суть S», «Некоторые P суть S», «Ни одно P не есть S», «Некоторые P не суть S».

132. Невозможно согласиться с профессором Бэном, который хотел бы установить правила обращения с помощью своего рода индуктивного доказательства. Он пишет следующее: «Когда мы внимательно изучаем различные процессы в логике, мы обнаруживаем, что они материальны до самой глубины. Возьмем обращение. Откуда мы знаем, что если ни одно X не есть Y, то ни одно Y не есть X? Путем детального изучения случаев и обнаружения того, что эквивалентность верна. Сколь бы очевидным ни казался вывод на чисто формальном основании, мы не довольствуемся формальным аспектом. Если бы мы это сделали, мы с такой же вероятностью сказали бы, что «Все X суть Y» дает «Все Y суть X»; нас удерживает от этого скачка только изучение случаев» («Логика», «Дедукция», стр. 251). Но никто при размышлении не стал бы утверждать, что простое обращение A самоочевидно законно; ибо, когда нам представляют этот случай, мы немедленно признаем, что противоречащее «Все P суть S» совместимо с «Все S суть P». С другой стороны, никто не может отрицать, что в случае E законность процесса обращения самоочевидна.

133. Сравните раздел 126, где этот и другие подобные выводы проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера.

134. Снова сравните раздел 126.

100. Таблица пропозиций, связывающих любые два термина. Существует — связывающих любые два термина S и P — восемь пропозиций форм A, E, I, O, а именно: четыре с S в качестве субъекта и четыре с P в качестве субъекта. Результаты, к которым мы пришли относительно обращения пропозиций, показывают, что из этих восьми две пропозиции E эквивалентны друг другу, и то же самое верно для двух пропозиций I, причем E и I просто обратимы; а также что это единственные достижимые эквивалентности. Таким образом, у нас есть следующая таблица пропозиций, связывающих любые два термина S и P:

SaP,

PaS,

SeP = PeS,

SiP = PiS,

SoP,

PoS.

Пара пропозиций SaP и PaS независимы (см. раздел 84); то же самое верно для пар SoP и PoS, SaP и PoS, PaS и SoP. Первая пара, взятая вместе, указывает на то, что классы S и P коэкстенсивны, и их можно назвать комплементарными пропозициями. Вторая пара, взятая вместе, указывает на то, что классы S и P не являются ни коэкстенсивными, ни включенными друг в друга; их можно назвать субкомплементарными пропозициями. Третья пара, взятая вместе, указывает на то, что класс S включен в класс P, но не исчерпывает этот класс; их можно назвать контракомплементарными пропозициями. Четвертая пара, взятая вместе, указывает на то, что класс P включен в класс S, но не исчерпывает этот класс; следовательно, они также являются контракомплементарными.

135. Новые технические термины, введенные здесь, были предложены г-ном Джонсоном.

Приведенная выше таблица будет дополнена в разделе 106 таблицей пропозиций, связывающих любые два термина и их противоречащие: S, P, не-S, не-P. Тогда будет обнаружено, что у нас есть симметрия, которой в настоящее время не хватает.

101. Обверсия категорических пропозиций. Обверсия — это процесс непосредственного умозаключения, в котором выведенная пропозиция (или обверс), сохраняя исходный субъект, имеет в качестве предиката противоречащее предикату исходной пропозиции (или обвертенда). Этот процесс законен для пропозиции любой формы, если при этом изменяется качество пропозиции. Выведенная пропозиция, кроме того, во всех случаях эквивалентна исходной пропозиции, так что мы всегда можем вернуться от обверса к обвертенду.

136. Процесс непосредственного умозаключения, обсуждаемый в этом разделе, назывался многими различными именами. Термин «обверсия», который использует профессор Бэн, является наиболее удобным. Другие использовавшиеся названия: «пермутация» (Фаулер), «эквиполлентность» (Юбервег), «инфинитация» (Боуэн), «непосредственное умозаключение через частную концепцию» (Джевонс), «контраверсия» (Де Морган), «контрапозиция» (Сполдинг). Профессор Бэн различает формальную обверсию и материальную обверсию. Под формальной обверсией понимается вид обверсии, обсуждаемый в вышеприведенном разделе, и это единственный вид обверсии, который может быть должным образом признан формальным логиком. Материальная обверсия описывается как процесс совершения «обверсивных выводов, которые оправданы только при рассмотрении материи пропозиции» («Логика», том I, стр. 111); и в качестве примеров приводятся следующие: «Тепло приятно; следовательно, холод неприятен. Война порождает зло; следовательно, мир порождает добро. Знание — это благо; следовательно, невежество — это зло». Очень сомнительно, являются ли это законными выводами, формальными или иными. По-видимому, для их установления требуются совершенно независимые исследования. Помимо этого, однако, ошибочно рассматривать этот процесс как аналогичный формальной обверсии. В последней выведенная пропозиция имеет тот же субъект, что и исходная, в то время как ее качество иное; но ни одно из этих условий не выполняется в приведенных выше примерах. Этот процесс на самом деле больше сродни непосредственному умозаключению, которое будет обсуждаться далее под названием инверсии.

У нас есть следующая таблица:

Obvertend. | Obverse.
All S is P.  A. | No S is not-P.  E
Some S is P.  I. | Some S is not not-P.  O.
No S is P.  E. | All S is not-P.  A.
Some S is not P.  O. | Some S is not-P.  I.

Следует заметить, что обверсия «Все S суть P» зависит от принципа противоречия, который говорит нам, что если что-то есть P, то оно не есть не-P; но что мы возвращаемся от «Ни одно S не есть не-P» к «Все S суть P» по принципу исключенного третьего, который говорит нам, что если что-то не есть не-P, то оно есть P. Остальные выводы путем обверсии также зависят от того или иного из этих двух принципов.

102. Контрапозиция категорических пропозиций. Контрапозицию можно определить как процесс непосредственного умозаключения, в котором из данной пропозиции выводится другая пропозиция, имеющая в качестве субъекта противоречащее исходному предикату. Таким образом, имея пропозицию с S в качестве субъекта и P в качестве предиката, мы стремимся получить путем непосредственного умозаключения новую пропозицию, имеющую не-P в качестве субъекта.

137. Эта форма непосредственного умозаключения некоторыми логиками называется обращением через отрицание; мисс Джонс предлагает название «контраверсия». Более строго мы могли бы говорить об обращении через контрапозицию. Слово «контрапозитив» использовалось Боэцием для противоположности термина (например, не-A), слово «противоречащий» ограничивалось пропозициональными формами; а переход от «Все S суть P» к «Все не-P суть не-S» назывался Conversio per contrapositionem terminorum. В этом употреблении за Боэцием следовали средневековые логики. Сравните Минто, «Логика», стр. 151, 153.

Следует заметить, что в приведенном выше определении остается открытым вопрос, имеет ли контрапозитив пропозиции исходный субъект или противоречащее исходному субъекту в качестве предиката; и каждая пропозиция, допускающая контрапозицию, будет, соответственно, иметь два контрапозитива, каждый из которых является обверсом другого. Например, в случае «Все S суть P» существуют две формы: «Ни одно не-P не есть S» и «Все не-P суть не-S». Для многих целей это различие можно практически игнорировать без риска путаницы. Однако следует заметить, что когда не-S берется в качестве предиката контрапозитива, качество исходной пропозиции сохраняется и достигается большая симметрия. С другой стороны, если мы рассматриваем контрапозицию как составленную из обверсии и обращения способом, указанным в следующем абзаце, форму с S в качестве предиката получить легче. Возможно, лучшее решение (в случаях, когда необходимо отметить различие) — это называть форму с не-S в качестве предиката полным контрапозитивом, а форму с S в качестве предиката — частичным контрапозитивом.

138. Следующее взято из «Олдрича» Манселя, стр. 61: «Обращение через контрапозицию, которое не используется Аристотелем, дано Боэцием в его первой книге «De Syllogismo Categorico». За ним следует Петр Испанский. Следует заметить, что старые логики, следуя Боэцию, утверждают, что при обращении через контрапозицию, как и в других случаях, качество должно оставаться неизменным. Следовательно, обращение «Все A суть B» есть «Все не-B суть не-A», а «Некоторые A не суть B» — «Некоторые не-B не суть не-A». Однако проще обратить A в E, а O в I («Ни одно не-B не есть A», «Некоторые не-B суть A»), как это делают Уоллис и архиепископ Уэйтли; а до Боэция — Апулей и Капелла, которые замечают обращение, но не дают ему названия. Принцип этого обращения можно найти у Аристотеля, Top. II. 8. 1, хотя он не использует его для логических целей».

139. В предыдущих изданиях форма с S в качестве предиката называлась контрапозитивом, а форма с не-S в качестве предиката — обвертированным контрапозитивом.

Для получения полного контрапозитива данной пропозиции можно принять следующее правило: обвертируйте исходную пропозицию, затем обратите полученную таким образом пропозицию, а затем еще раз обвертируйте. Ибо для данной пропозиции с S в качестве субъекта и P в качестве предиката обверсия даст эквивалентную пропозицию с S в качестве субъекта и не-P в качестве предиката; обращение этого сделает не-P субъектом, а S — предикатом; а повторение процесса обверсии даст пропозицию с не-P в качестве субъекта и не-S в качестве предиката.

Применяя это правило, мы получаем следующую таблицу:

Original Proposition | Obverse | Partial Contrapositive | Full Contrapositive
All S is P.  A. | No S is not-P.  E. | No not-P is S.  E. | All not-P is not-S  A.
Some S is P.  I. | Some S is not not-P.  O. | (None.) | (None.)
No S is P.  E. | All S is not-P.  A. | Some not-P is S.  I. | Some not-P is not not-S.  O.
Some S is not P. O. | Some S is not-P.  I. | Some not-P is S.  I. | Some not-P is not not-S.  O.

Следует заметить, что в случае A и O контрапозитив эквивалентен исходной пропозиции, количество остается неизменным, тогда как в случае E мы переходим от универсального к частному. Чтобы подчеркнуть это различие и следуя аналогии с обычным обращением, контрапозиция A и O была названа простой контрапозицией, а контрапозиция E — контрапозицией per accidens.

140. В большинстве учебников определение контрапозиции вообще не дается, и можно отметить, что в попытке обобщить специальные примеры Джевонс в своих «Elementary Lessons in Logic» запутывается в трудностях. Для контрапозитива A он дает «Все не-P суть не-S»; O, говорит он, не имеет контрапозитива (а только обращение через отрицание, «Некоторые не-P суть S»); а для контрапозитива E он дает «Ни одно P не есть S». Невозможно обнаружить какое-либо определение контрапозиции, которое могло бы дать такие результаты. Предполагая, что при контрапозиции качество пропозиции должно оставаться неизменным, как в контрапозитиве A у Джевонса, тогда контрапозитивом как E, так и O является «Некоторые не-P не суть не-S».

141. Сравните Юбервег, «Логика», § 90.

То, что I не имеет контрапозитива, следует из необратимости O. Ибо когда «Некоторые S суть P» обвертируется, она становится частноотрицательной, и обращение этой пропозиции было бы необходимо для того, чтобы сделать возможной контрапозицию исходной пропозиции.

Что касается полезности исследования выводов, которые можно сделать из данных пропозиций с помощью контрапозиции, Де Морган указывает, что признание того, что «Каждое не-P есть не-S» следует из «Каждого S есть P», что бы ни означали S и P, делает ненужными специальные доказательства, которые Евклид дает для некоторых своих теорем.

142. «Syllabus of Logic», стр. 32.

Будет обнаружено, что, если взять первую книгу Евклида, пропозиция 6 может быть получена путем контрапозиции из пропозиции 18, а 19 — из 5 и 18 вместе; или что 5 может быть получена путем контрапозиции из 19, а 18 — из 6 и 19. Подобные отношения существуют между пропозициями 4, 8, 24 и 25; и, опять же, между аксиомой 12 и пропозициями 16, 28 и 29. Другие примеры можно было бы взять из более поздних книг Евклида. В некоторых случаях логические отношения, в которых находятся пропозиции друг к другу, очевидны; в других случаях необходимы некоторые дополнительные шаги.

Из-за своей неприязни к отрицательным терминам Зигварт рассматривает переход от «Все S суть P» к «Ни одно не-P не есть S» как искусственную перверсию. Но он признает ценность вывода от «Если что-то есть S, то оно есть P» к «Если что-то не есть P, то оно не есть S». Это различие кажется немногим более чем словесным. Следует заметить, что мы можем избежать использования отрицательных терминов, не прибегая к условной форме пропозиции: например, «Что бы ни было S, оно есть P», следовательно, «Что бы ни было не-P, оно не есть S»; «Все, что есть S, есть P», следовательно, «Все, что не есть P, не есть S».

103. Инверсия категорических пропозиций. Обсуждая обращение и контрапозицию, мы исследовали, в каких случаях возможно, имея данную пропозицию с S в качестве субъекта и P в качестве предиката, вывести (a) пропозицию с P в качестве субъекта, (b) пропозицию с не-P в качестве субъекта. Теперь мы можем далее исследовать, в каких случаях возможно вывести (c) пропозицию с не-S в качестве субъекта.

Если такую пропозицию вообще можно вывести, она будет получена путем определенной комбинации более элементарных процессов обычного обращения и обверсии. Поэтому мы возьмем каждую из фундаментальных форм пропозиции и посмотрим, что можно вывести (1) сначала обратив ее, а затем попеременно выполняя операции обверсии и обращения; (2) сначала обвертировав ее, а затем попеременно выполняя операции обращения и обверсии. Будет обнаружено, что в каждом случае процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет достигнута частноотрицательная пропозиция, чья очередь быть обращенной.

144. Это может быть получено и напрямую; например, с помощью кругов Эйлера. См. следующую главу.

(1) Результаты попеременного выполнения процессов обращения и обверсии, начиная с первого, следующие: (i) «Все S суть P», следовательно (путем обращения), «Некоторые P суть S», следовательно (путем обверсии), «Некоторые P не суть не-S». Здесь наступает очередь обращения; но поскольку мы имеем дело с пропозицией O, мы не можем продвинуться дальше.

(ii) «Некоторые S суть P», следовательно (путем обращения), «Некоторые P суть S», следовательно (путем обверсии), «Некоторые P не суть не-S»; и снова мы не можем продвинуться дальше.

(iii) «Ни одно S не есть P», следовательно (путем обращения), «Ни одно P не есть S», следовательно (путем обверсии), «Все P суть не-S», следовательно (путем обращения), «Некоторые не-S суть P», следовательно (путем обверсии), «Некоторые не-S не суть не-P». В этом случае любая из пропозиций, выделенных курсивом, является искомым непосредственным умозаключением.

(iv) «Некоторые S не суть P». В этом случае мы не можем даже начать нашу серию операций.

(2) Результаты попеременного выполнения процессов обращения и обверсии, начиная с последнего, следующие: (i) «Все S суть P», следовательно (путем обверсии), «Ни одно S не есть не-P», следовательно (путем обращения), «Ни одно не-P не есть S», следовательно (путем обверсии), «Все не-P суть не-S», следовательно (путем обращения), «Некоторые не-S суть не-P», следовательно (путем обверсии), «Некоторые не-S не суть P». Здесь мы снова получили желаемую форму.

(ii) «Некоторые S суть P», следовательно (путем обверсии), «Некоторые S не суть не-P».

(iii) «Ни одно S не есть P», следовательно (путем обверсии), «Все S суть не-P», следовательно (путем обращения), «Некоторые не-P суть S», следовательно (путем обверсии), «Некоторые не-P не суть не-S».

(iv) «Некоторые S не суть P», следовательно (путем обверсии), «Некоторые S суть не-P», следовательно (путем обращения), «Некоторые не-P суть S», следовательно (путем обверсии), «Некоторые не-P не суть не-S».

Теперь мы можем ответить на вопрос, с которого начали это исследование. Требуемая пропозиция может быть получена только в том случае, если данная пропозиция является универсальной; тогда мы имеем, в зависимости от того, утвердительная она или отрицательная: «Все S суть P», следовательно, «Некоторые не-S не суть P» (= «Некоторые не-S суть не-P»); «Ни одно S не есть P», следовательно, «Некоторые не-S суть P» (= «Некоторые не-S не суть не-P»).

Эта форма непосредственного умозаключения более или менее случайно признавалась различными логиками, не получая никакого отличительного названия. Иногда ее смутно классифицировали как контрапозицию (сравните Джевонс, «Elementary Lessons in Logic», стр. 185, 6), но на самом деле она так же далека от процесса, которому было дано это обозначение, как последний от обычного обращения. Термин «инверсия» был предложен в более раннем издании этой работы и с тех пор был принят некоторыми другими авторами. Инверсию можно определить как процесс непосредственного умозаключения, в котором из данной пропозиции выводится другая пропозиция, имеющая в качестве субъекта противоречащее исходному субъекту. Таким образом, имея пропозицию с S в качестве субъекта и P в качестве предиката, мы получаем путем инверсии новую пропозицию с не-S в качестве субъекта. Исходная пропозиция может называться инвертендом, а выведенная пропозиция — инверсом.

В приведенном выше определении не уточняется, должен ли инверс иметь в качестве предиката P или не-P. Следовательно, были получены две формы (каждая из которых является обверсом другой), как и в случае контрапозиции. Насколько необходимо отмечать различие, мы можем говорить о форме, в которой P является предикатом, как о частичном инверсе, а о той, в которой не-P является предикатом, — как о полном инверсе.

104. Обоснованность инверсии. Следует помнить, что в настоящее время мы работаем исходя из предположения, что каждый класс, представленный простым термином, существует в универсуме дискурса, в то же время не исчерпывая этот универсум; другими словами, мы предполагаем, что S, не-S, P, не-P — все представляют существующие классы. Это предположение, возможно, особенно важно в случае инверсии, и оно связано с определенными трудностями, которые, возможно, уже возникли у читателя. При переходе от «Все S суть P» к ее инверсу «Некоторые не-S не суть P» происходит кажущийся незаконный процесс, который не так легко ни обосновать, ни объяснить. Ибо термин P, который не распределен в посылке, распределен в заключении, и все же, если признается универсальная обоснованность обверсии и обращения, невозможно обнаружить какой-либо изъян в аргументе, с помощью которого достигается заключение. Именно в предположении существования противоречащего исходному предикату можно найти объяснение кажущейся аномалии. Это предположение может быть выражено в форме «Некоторые вещи не суть P». Заключение «Некоторые не-S не суть P» может, соответственно, рассматриваться как основанное на этой посылке в сочетании с явной посылкой «Все S суть P»; и следует заметить, что в дополнительной посылке P распределен.

145. Вопрос об обоснованности инверсии при других предположениях будет рассмотрен в главе 8.

105. Резюме результатов. Результаты, полученные в предыдущих разделах, суммированы в следующей таблице:

|  | A. | E. | I. | O.
i | Original proposition | SaP | SiP | SeP | SoP
ii | Obverse | SePʹ | SoPʹ | SaPʹ | SiPʹ
iii | Converse | PiS | PiS | PeS |
iv | Obverted Converse | PoSʹ | PoSʹ | PaSʹ |
v | Partial Contrapositive¹⁴⁶ | PʹeS |  | PʹiS | PʹiS
vi | Full Contrapositive¹⁴⁶ | PʹaSʹ |  | PʹoSʹ | PʹoSʹ
vii | Partial Inverse¹⁴⁶ | SʹoP |  | SʹiP |
viii | Full Inverse¹⁴⁶ | SʹiPʹ |  | SʹoPʹ |

146. В предыдущих изданиях то, что здесь называется частичным контрапозитивом и полным контрапозитивом соответственно, называлось контрапозитивом и обвертированным контрапозитивом; а то, что здесь называется частичным инверсом и полным инверсом, называлось инверсом и обвертированным инверсом.

Можно отметить, что следующие правила применимы ко всем вышеперечисленным непосредственным умозаключениям: Правило качества. Общее количество отрицаний, допущенных или опущенных в субъекте, предикате или связке, должно быть четным. Правила количества. Если новый субъект есть S, количество может оставаться неизменным; если S', количество должно быть понижено; если P, количество должно быть понижено в A и O; если P', количество должно быть понижено в E и I.

147. Говоря о количестве как о пониженном, имеется в виду, что универсальное дает частное, а частное не дает ничего.

106. Таблица пропозиций, связывающих любые два термина и их противоречащие. Взяв любые два термина и их противоречащие, S, P, не-S, не-P, и комбинируя их в пары, мы получаем тридцать две пропозиции форм A, E, I, O. Однако следующая таблица показывает, что только восемь из этих тридцати двух пропозиций неэквивалентны.

| (i) |  | (ii) |  | (iii) |  | (iv)
Universals
A | SaP | = | SePʹ | = | PʹeS | = | PʹaSʹ
Aʹ | SʹaPʹ | = | SʹeP | = | PeSʹ | = | PaS
E | SaPʹ | = | SeP | = | PeS | = | PaSʹ
Eʹ | SʹaP | = | SʹePʹ | = | PʹeSʹ | = | PʹaS
Particulars
O | SoP | = | SiPʹ | = | PʹiS | = | PʹoSʹ
Oʹ | SʹoPʹ | = | SʹiP | = | PiSʹ | = | PoS
I | SoPʹ | = | SiP | = | PiS | = | PoSʹ
Iʹ | SʹoP | = | SʹiPʹ | = | PʹiSʹ | = | PʹoS

В этой таблице столбцы (i) и (ii) содержат пропозиции, в которых S или S' является субъектом, а столбцы (iii) и (iv) — пропозиции, в которых P или P' является субъектом. В столбцах (i) и (iv) у нас есть формы, которые допускают простую контрапозицию (т.е. A и O), а в столбцах (ii) и (iii) — те, которые допускают простое обращение (т.е. E и I). Противоречащие показаны идентичными местами в универсальных и частных рядах. Мы переходим от столбца (i) к столбцу (ii) путем обверсии; от столбца (ii) к столбцу (iii) путем простого обращения; и от столбца (iii) к столбцу (iv) путем обверсии.

Формы, набранные черным шрифтом, показывают, что мы можем взять в качестве наших восьми неэквивалентных пропозиций четыре пропозиции, связывающие S и P, и аналогичный набор, связывающий не-S и не-P. Чтобы установить их неэквивалентность, мы можем поступить следующим образом: SaP и SeP уже известны как неэквивалентные, и то же самое верно для S'aP' и S'eP'; но никакая универсальная пропозиция не может дать универсальный инверс; следовательно, ни одна из этих четырех пропозиций не эквивалентна никакой другой. Опять же, SiP и SoP уже известны как неэквивалентные, и то же самое верно для S'iP' и S'oP'; но никакая частная пропозиция не имеет никакого инверса; следовательно, ни одна из этих пропозиций не эквивалентна никакой другой. Наконец, никакая универсальная пропозиция не может быть эквивалентна частной пропозиции.

148. Первый набор обозначается A, E, I, O, второй набор может быть обозначен A', E', I', O'.

149. Г-жа Лэдд-Франклин в статье о пропозиции в «Словаре философии и психологии» Болдуина приходит к результату, достигнутому в этом разделе, с другой точки зрения. Г-жа Франклин показывает, что если мы выразим все, что можно сказать, в форме экзистенциальных пропозиций (то есть пропозиций, утверждающих или отрицающих существование), то сразу становится очевидным, что фактическое число различных утверждений, возможных в терминах X и Y и их противоречащих x и y, равно восьми. Ибо комбинации X и Y и их противоречащих суть XY, Xy, xY, xy, и мы можем утверждать, что каждая из этих комбинаций существует или не существует. Следовательно, ясно, что возможны восемь различных утверждений факта и что эти восемь должны оставаться различными, независимо от формы, в которой они могут быть выражены.

Может быть, стоит добавить, что условные и дизъюнктивные формы, так же как и категорические, могут быть включены сюда при условии, что все пропозиции интерпретируются ассерторически. Таким образом, следующие четыре пропозиции, при вышеуказанном понимании, эквивалентны друг другу: «Все X суть Y» (категорическая); «Если что-то есть X, оно есть Y» (условная); «Ничто не есть Xy» (экзистенциальная); «Все есть x или Y» (дизъюнктивная).

107. Взаимные отношения неэквивалентных пропозиций, связывающих любые два термина и их противоречащие. Теперь мы можем исследовать взаимные отношения наших восьми неэквивалентных пропозиций. SaP, SeP, SiP, SoP образуют обычный квадрат оппозиции; так же как и S'aP', S'eP', S'iP', S'oP'. Ссылка на столбцы (iii) и (iv) в таблице покажет далее, что SaP, S'eP', S'iP', SoP эквивалентны другому квадрату оппозиции; и что то же самое верно для S'aP', SeP, SiP, S'oP'. Это оставляет только следующие пары без учета: SaP, S'aP'; SeP, S'eP'; SoP, S'oP'; SiP, S'iP'; SaP, S'oP'; S'aP', SoP; SeP, S'iP'; S'eP', SiP; и будет обнаружено, что в каждом из этих случаев мы имеем независимую пару.

150. Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

SaP и S'aP' (которые эквивалентны SaP, PaS, а также P'aS', S'aP'), взятые вместе, служат для идентификации классов S и P, а также классов S' и P'. Поэтому они являются комплементарными пропозициями в соответствии с определением, данным в разделе 100. Аналогично, SeP и S'eP' (которые эквивалентны SaP', P'aS, а также PaS', S'aP) являются комплементарными; они служат для идентификации классов S и P', а также классов S' и P. Следует заметить, что комплементарная любой универсальной пропозиции может быть получена путем замены субъекта и предиката соответственно их противоречащими. Не редкой ошибкой является молчаливая подстановка комплементарной пропозиции вместо самой пропозиции.

Комплементарное отношение существует только между универсалиями. Частные пропозиции, между которыми существует аналогичное отношение (субъект и предикат одной являются соответственно противоречащими субъекта и предиката другой), окажутся субкомплементарными в соответствии с определением в разделе 100; это отношение существует между SoP и S'oP', а также между SiP и S'iP'. SoP и S'oP' (которые эквивалентны SoP, PoS, а также P'oS', S'oP') указывают на то, что классы S и P не являются ни коэкстенсивными, ни включенными друг в друга, а также что то же самое верно для S' и P'; SiP и S'iP' (которые эквивалентны SoP', P'oS, а также PoS', S'oP) указывают на то же самое относительно S и P', S' и P.

Четыре оставшиеся пары являются контракомплементарными, каждая пара служит совместно для подчинения определенного класса определенному другому классу; или, скорее, поскольку каждое такое подчинение подразумевает дополнительное подчинение, мы можем сказать, что каждая пара подчиняет два класса двум другим классам. Таким образом, SaP и S'oP' (которые эквивалентны SaP, PoS, а также P'aS', S'oP'), взятые вместе, показывают, что класс S содержится в классе P, но не исчерпывает его, а также что класс P' содержится в классе S', но не исчерпывает его; S'aP' и SoP (которые эквивалентны S'aP', P'oS', а также PaS, SoP) дают те же результаты относительно классов S' и P', а также классов P и S; SeP и S'iP' (которые эквивалентны SaP', P'oS, а также PaS', S'oP) относительно S и P', а также P и S'; и S'eP' и SiP (которые эквивалентны S'aP, PoS', а также P'aS, SoP') относительно S' и P, P' и S.

Обозначая комплементарные A и E через A' и E', а субкомплементарные I и O через I' и O', различные отношения между неэквивалентными пропозициями, связывающими любые два термина и их противоречащие, могут быть представлены в следующем октагоне оппозиции:

Каждая из пунктирных линий в приведенном выше заменяет четыре соединительные линии, которые не заполнены; например, пунктирная линия, отмеченная как соединяющая контрарные, указывает на отношение между A и E, A и E', A' и E, A' и E'.

151. За октагон оппозиции в форме, в которой он здесь дан, я обязан г-ну Джонсону.

108. Элиминация отрицательных терминов. Процесс обверсии позволяет нам с помощью отрицательных терминов свести все пропозиции к утвердительной форме; и может возникнуть вопрос, не позволят ли нам различные процессы непосредственного умозаключения и использование, где необходимо, отрицательных пропозиций в равной степени элиминировать отрицательные термины.

152. Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

Конечно, ясно, что с помощью обверсии мы можем избавиться от отрицательного термина, встречающегося в качестве предиката пропозиции. Проблема сложнее, когда отрицательный термин встречается в качестве субъекта, но в этом случае элиминация все еще может быть возможна; например, S'iP = PoS. Мы можем даже быть в состоянии избавиться от двух отрицательных терминов; например, S'aP' = PaS. Однако до тех пор, пока мы ограничены категорическими пропозициями обычного типа, мы не можем элиминировать отрицательный термин (не вводя другой на его место), где такой термин встречается в качестве субъекта либо (a) в универсально-утвердительной или частноотрицательной пропозиции с положительным термином в качестве предиката, либо (b) в универсально-отрицательной или частноутвердительной пропозиции с отрицательным термином в качестве предиката.

Обоснованность вышеприведенных результатов сразу же показывается ссылкой на таблицу эквивалентностей, приведенную в разделе 106. По крайней мере одна пропозиция, в которой нет отрицательного термина, будет найдена в каждой строке эквивалентностей, кроме четвертой и восьмой, которые следующие:

SʹaP | = | SʹePʹ | = | PʹeSʹ | = | PʹaS ;
SʹoP | = | SʹiPʹ | = | PʹiSʹ | = | PʹoS.

В этих случаях мы действительно можем избавиться от S' (как, например, из S'aP), но только путем введения P' (таким образом, S'aP = P'aS); нет способа избавиться от отрицательных терминов полностью. Мы можем здесь вернуться к результатам, полученным в разделах 100 и 106; с двумя терминами было получено шесть неэквивалентных пропозиций, с двумя терминами и их противоречащими — восемь неэквивалентных пропозиций. Основание этого различия теперь прояснено.

Если, однако, нам разрешено расширить нашу схему пропозиций путем признания определенных дополнительных типов, и если мы работаем исходя из предположения, что универсальные пропозиции экзистенциально отрицательны, а частные пропозиции экзистенциально утвердительны, то отрицательные термины всегда могут быть элиминированы. Таким образом, «Ни одно не-S не есть не-P» эквивалентно утверждению «Ничто не есть и не-S, и не-P», и это становится путем обверсии «Все есть либо S, либо P». Опять же, «Некоторые не-S не суть не-P» эквивалентно утверждению «Что-то есть и не-S, и не-P», и это становится путем обверсии «Что-то не есть ни S, ни P», или, как эта пропозиция также может быть записана, «Есть что-то помимо S и P». Элиминация отрицательных терминов теперь была достигнута во всех случаях. Следует заметить далее, что теперь у нас есть восемь неэквивалентных пропозиций, содержащих только S и P, — а именно: «Все S суть P», «Ни одно S не есть P», «Некоторые S суть P», «Некоторые S не суть P», «Все P суть S», «Некоторые P не суть S», «Все есть либо S, либо P», «Есть что-то помимо S и P».

153. Здесь необходимо предвосхитить результаты дискуссии, которая будет на более позднем этапе. См. главу 8.

Следуя этой линии рассмотрения, таблицу эквивалентностей, данную в разделе 106, можно переписать следующим образом [столбцы (ii) и (iii) опущены, а столбцы (v) и (vi) занимают их места]:

(i) |  | (iv) |  | (v) |  | (vi)
SaP | = | PʹaSʹ | = | Nothing is SPʹ | = | Everything is Sʹ or P.
SʹaPʹ | = | PaS | = | Nothing is SʹP | = | Everything is S or Pʹ.
SaPʹ | = | PaSʹ | = | Nothing is SP | = | Everything is Sʹ or Pʹ.
SʹaP | = | PʹaS | = | Nothing is SʹPʹ | = | Everything is S or P.
SoP | = | PʹoSʹ | = | Something is SPʹ | = | There is something besides Sʹ and P.
SʹoPʹ | = | PoS | = | Something is SʹP | = | There is something besides S and Pʹ.
SoPʹ | = | PoSʹ | = | Something is SP | = | There is something besides Sʹ and Pʹ.
SʹoP | = | PʹoS | = | Something is SʹPʹ | = | There is something besides S and P.

Беря пропозиции в двух делениях по четыре набора в каждом, две диагонали слева направо дают пропозиции, содержащие только S и P.

154. Первые четыре пропозиции в столбце (v) могут быть выражены символически SP' = 0 и т.д.; вторые четыре SP' > 0 и т.д.; первые четыре в столбце (vi) S' + P = 1 и т.д.; и вторые четыре S' + P < 1 и т.д.; где 1 = универсум дискурса, а 0 = небытие, т.е. противоречащее универсуму дискурса. Сравните раздел 138.

Схема пропозиций, данная в этом разделе, может быть приведена в интересную связь с тремя фундаментальными законами мышления. Схема основана на признании следующих пропозициональных форм и их противоречащих:

Каждое S есть P;

Каждое не-P есть не-S;

Ничто не есть и S, и не-P;

Все есть либо P, либо не-S; и эти четыре пропозиции оказались эквивалентными друг другу.

155. Сравните г-жу Лэдд-Франклин в «Mind», январь 1890 г., стр. 87.

Если в вышеприведенных пропозициях мы теперь напишем S вместо P, мы получим следующее:

Каждое S есть S;

Каждое не-S есть не-S;

Ничто не есть и S, и не-S;

Все есть либо S, либо не-S.

Но первые две из этих пропозиций выражают закон тождества с положительными и отрицательными терминами соответственно, третья является выражением закона противоречия, а четвертая — закона исключенного третьего. Таким образом, можно сказать, что схема пропозиций, с которой мы имели дело, основана на признании именно тех пропозициональных форм, которые необходимы для выражения фундаментальных законов мышления.

Поскольку было показано, что рассматриваемые пропозициональные формы взаимно эквивалентны друг другу, может возникнуть дальнейший аргумент: если признать обоснованность вовлеченных непосредственных умозаключений, то из этого следует, что фундаментальные законы мышления оказались взаимно выводимыми друг из друга. Но, с другой стороны, можно утверждать, что этот аргумент открыт для обвинения в вовлечении circulus in probando на том основании, что обоснованность самих непосредственных умозаключений требует, чтобы законы мышления были сначала постулированы как предшествующее условие.

109. Прочие непосредственные умозаключения. — Можно кратко коснуться некоторых других общепризнанных форм непосредственного умозаключения.

(1) Непосредственные умозаключения, основанные на логическом квадрате, были рассмотрены в предыдущей главе.

(2) Непосредственное умозаключение посредством изменения отношения — это процесс, при котором мы переходим от категорического суждения к условному или разделительному, либо от условного к разделительному или категорическому, либо от разделительного к категорическому или условному. Например: «Всякое S есть P», следовательно, «Если что-либо есть S, то оно есть P»; «Всякое S есть P или Q», следовательно, «Любое S, которое не есть P, есть Q». К подобным умозаключениям уже делались отсылки, и они будут подробнее рассмотрены далее.

156 Мисс Джонс называет умозаключение такого рода трансверсией. См. примечание 3 на стр. 126.

(3) Непосредственное умозаключение посредством добавления детерминантов — это процесс непосредственного умозаключения, который состоит в ограничении как субъекта, так и предиката исходного суждения с помощью одного и того же детерминанта. Например: «Всякое P есть Q», следовательно, «Всякое AP есть AQ»; «Негр есть живое существо», следовательно, «Страдающий негр есть страдающее живое существо». Формальная правильность этого рассуждения может быть показана следующим образом: AP есть подразделение класса P, а именно та его часть, которая также принадлежит классу A; и, следовательно, все, что истинно для всего P, должно быть истинно для AP; таким образом, при условии, что «Всякое P есть Q», мы можем сделать вывод, что «Всякое AP есть Q»; более того, согласно закону тождества, «Всякое AP есть A»; следовательно, «Всякое AP есть AQ».

157 Однако следует заметить, что правильность этого аргумента требует допущения относительно экзистенциальной значимости суждений, которое отличается от того, которое мы в основном принимали до сих пор. Необходимо предположить, что общие суждения не подразумевают существования своих субъектов. В противном случае это умозаключение не было бы правильным в случае, если ни одно P не есть A. P могло бы существовать, и все P могли бы быть Q, но мы не смогли бы перейти к «AP есть AQ», поскольку это подразумевало бы существование AP, что было бы некорректно. Необходимо кратко обратить внимание на вышесказанное в данном месте, но нашей целью на протяжении всех этих ранних глав было по возможности избегать различных осложнений, возникающих в связи со сложной проблемой экзистенциальной значимости.

Формальная правильность непосредственного умозаключения посредством добавления детерминантов оспаривалась на основании очевидной логической ошибки при переходе от такой посылки, как «слон есть животное», к заключению «маленький слон есть маленькое животное», или от такой посылки, как «игроки в крикет — люди», к заключению «плохие игроки в крикет — плохие люди». В этих случаях, однако, ошибка на самом деле проистекает из двусмысленности языка: добавленный детерминант получает иную интерпретацию, когда он определяет субъект, нежели ту, которую он имеет, когда определяет предикат. О термине сравнения, таком как «маленький», действительно едва ли можно сказать, что он имеет независимую интерпретацию, поскольку его значение всегда относительно какого-то другого термина, с которым он соединен. Таким образом, хотя умозаключение в своей символической форме («P есть Q», следовательно, «AP есть AQ») является совершенно правильным, при его использовании с содержательными терминами особенно необходимо остерегаться логических ошибок. Все, на чем мы должны настаивать, — это чтобы добавленный детерминант получал одну и ту же интерпретацию как в субъекте, так и в предикате. Например, нет никакой ошибки в следующем: «Слон есть животное, следовательно, маленький слон есть животное, которое мало по сравнению со слонами вообще»; «Игроки в крикет — люди, следовательно, плохие игроки в крикет — люди, которые в своем качестве игроков в крикет являются плохими».

(4) Непосредственное умозаключение посредством сложного понятия — это процесс непосредственного умозаключения, который состоит в использовании субъекта и предиката исходного суждения в качестве частей более сложного понятия. Символически мы можем выразить это лишь примерно так: «P есть Q», следовательно, «Все, что находится в определенном отношении к P, находится в том же отношении к Q». Ниже приводится конкретный пример: «Слон есть животное, следовательно, ухо слона есть ухо животного». Систематическое рассмотрение этого вида умозаключения относится к специальной ветви формальной логики, известной как логика отношений, детальное рассмотрение которой выходит за рамки настоящей работы. Однако можно обратить внимание на опасность совершения логической ошибки, если выполнять этот процесс небрежно. Например: «Протестанты — христиане, следовательно, большинство протестантов — большинство христиан»; «Негр — человек, следовательно, лучший из негров — лучший из людей». Первая из этих ошибок сродни ошибке композиции (см. раздел 11), поскольку мы переходим от дистрибутивного использования термина к собирательному.

(5) Непосредственное умозаключение посредством обратного отношения — это процесс непосредственного умозаключения, аналогичный обычному обращению, но принадлежащий к логике отношений. Он состоит в переходе от утверждения об отношении, в котором P находится к Q, к утверждению об отношении, в котором Q, следовательно, находится к P. Два термина переставляются, а слово, выражающее их отношение, заменяется на коррелятивное. Например: «A больше B», следовательно, «B меньше A»; «Александр был сыном Филиппа», следовательно, «Филипп был отцом Александра»; «Свобода синонимична вольности», следовательно, «Вольность синонимична свободе».

Мансел приводит первые два из вышеприведенных примеров как примеры материального следования в отличие от формального следования. «Материальное следование определяется Олдричем как такое, в котором заключение следует из посылок исключительно в силу самих терминов. Это, по сути, означает: из некоторого подразумеваемого суждения или суждений, связывающих термины, посредством добавления которых разум способен свести следование к логической форме... Несостоятельность материального следования имеет место тогда, когда между терминами не существует такой связи, которая позволила бы нам предоставить требуемые посылки; т.е. когда одна или несколько таких предоставленных посылок были бы ложными. Но определение этого момента, очевидно, выходит за рамки компетенции логика. По этой причине материальное следование справедливо исключается из логики... К числу этих материальных, а следовательно, внелогических следований следует отнести те, которые Рид приводит как случаи, для которых логика не предусматривает правил; например: «Александр был сыном Филиппа, следовательно, Филипп был отцом Александра»; «A больше B, следовательно, B меньше A». В обоих этих случаях именно наше материальное знание отношений «отца и сына», «большего и меньшего» позволяет нам сделать умозаключение» (Олдрич, стр. 199).

Различие между тем, что является формальным, и тем, что является материальным, в действительности не так просто или абсолютно, как здесь подразумевается. Обычно признаются формальными только те отношения, которые могут быть выражены с помощью обычной связки «есть» или «не есть»; и есть очень веские причины придерживаться этого основания в большей части наших логических дискуссий. Никакое другое отношение не имеет такого же фундаментального значения или не допускает столь же развитой логической надстройки. Но важно признать, что существуют другие отношения, которые могут оставаться неизменными, в то время как связанные ими вещи варьируются; и везде, где это имеет место, мы можем рассматривать отношение как составляющее форму, а связанные вещи — как материю. Соответственно, с каждым таким отношением мы можем иметь различную формальную систему. Логика отношений имеет дело с такими системами, которые находятся вне обычно признаваемой. Каждое непосредственное умозаключение посредством обратного отношения будет, следовательно, формальным в своей собственной частной системе. Этот момент превосходно изложен мисс Джонс: «Суждение, содержащее относительный термин, предоставляет — помимо обычных непосредственных умозаключений — другие непосредственные умозаключения любому, кто знаком с системой, к которой оно относится. Эти умозаключения не могут быть выведены никем, кроме человека, знающего «систему»; с другой стороны, не требуется никакого знания объектов, к которым идет отсылка, кроме знания их места в системе, и это знание во многих случаях совпадает с обычным интеллектом; рассмотрим, например, отношения величины объектов в пространстве, последовательных частей времени, родственных связей, числа» (General Logic, стр. 34).

158 Сравните раздел 2.

(6) Непосредственное умозаключение посредством модального следования или, как его еще называют, умозаключение посредством изменения модальности, несколько аналогично субальтерному умозаключению. Оно состоит не более чем в ослаблении утверждения в отношении его модальности; и поэтому никогда невозможно вернуться от выведенного суждения к исходному. Таким образом, от истинности аподиктического суждения мы можем перейти к истинности ассерторического, а от него — к истинности проблематического; но не наоборот. С другой стороны, от ложности проблематического суждения мы можем перейти к ложности ассерторического, а от него — к ложности аподиктического; но опять же не наоборот.

159 Сравните Ибервег, «Логика», § 98.

110. Сведение непосредственных умозаключений к опосредованной форме. — Непосредственное умозаключение было определено как выведение суждения из одного другого суждения; опосредованное умозаключение, с другой стороны, есть выведение суждения по меньшей мере из двух других суждений.

160 Студенты, которые еще не имеют технических знаний о силлогизме, могут пропустить этот раздел, пока не прочитают более ранние главы Части III.

Мы можем кратко рассмотреть различные способы установления правильности непосредственных умозаключений с помощью опосредованных умозаключений.

152 (1) Один из древнегреческих логиков, Александр Афродисийский, устанавливает обращение E с помощью силлогизма в Ferio.

| No S is P,
therefore,  | No P is S ;

ибо, если нет, то по закону противоречия, «Некоторое P есть S»; и мы имеем этот силлогизм —

| No S is P,
| Some P is S,
therefore,  | Some P is not P,

reductio ad absurdum.

161 Сравните «Олдрич» Мансела, стр. 62. Обращение A и обращение I могут быть установлены аналогично.

(2) Можно правдоподобно утверждать, что в доказательстве Аристотеля обращения E (приведенном в разделе 99) содержится неявный силлогизм, а именно: Q есть P, Q есть S, следовательно, «Некоторое S есть P».

(3) Контрапозиция A может быть установлена с помощью силлогизма в Camestres следующим образом: —

Given | All S is P, |
 we have also | No not-P is P, | by the law of contradiction,
 therefore,  | No not-P is S.¹⁶² |

162 Аналогично, признавая правильность обверсии, контрапозицию O можно установить с помощью силлогизма в Datisi следующим образом: —

Дано «Некоторое S не есть P», тогда мы имеем

| All S is S, | by the law of identity,
and | Some S is not-P, | by obversion of the given proposition,
therefore, | Some not-P is S.

Будет обнаружено, что при использовании того же метода контрапозиция E получается с помощью силлогизма в Darapti.

(4) Мы могли бы также получить контрапозитив «Всякое S есть P» следующим образом: —

По закону исключенного третьего, «Всякое не-P есть S или не-S», и, по гипотезе, «Всякое S есть P»,

therefore,   | All not-P is P or not-S ;
but, by the law of contradiction, | No not-P is P,
therefore,   | All not-P is not-S.¹⁶³

163 Сравните Джевонс, «Принципы науки», глава 6, § 2; и «Studies in Deductive Logic», стр. 44.

153 (5) Контрапозиция A может быть также установлена косвенно с помощью силлогизма в Darii: —

| All S is P,
therefore,  | No not-P is S ;

ибо, если нет, «Некоторое не-P есть S»; и мы имеем следующий силлогизм —

| All S is P,
| Some not-P is S,
therefore,  | Some not-P is P,

что абсурдно. 164

164 Сравните Де Морган, «Формальная логика», стр. 25. Признавая правильность обверсии, контрапозицию E и контрапозицию O можно установить аналогично.

Все вышеперечисленное интересно как иллюстрация процессов непосредственного умозаключения; но, рассматриваемые как доказательства, они страдают от недостатка выведения менее сложного посредством более сложного.

УПРАЖНЕНИЯ.

111. Приведите все логические противоположности суждения «Некоторые богатые люди добродетельны»; а также обращение контрарного к его противоречащему. Как последнее напрямую связано с данным суждением? Следует ли из того, что предикат суждения распределен, что оно допускает простое обращение? [K.]

112. Укажите на двусмысленности в следующих суждениях и приведите противоречащее и (где возможно) обратное для каждого из них: — (i) Некоторые из кандидатов были успешны; (ii) Не все счастливы, кто кажется таковым; (iii) Вся рыба весила пять фунтов. [K.]

113. Сформулируйте в логической форме и обратите следующие суждения: — (a) Тот насмехается над шрамами, кто никогда не чувствовал раны; (b) Аксиомы самоочевидны; (c) Только туземцы могут переносить климат Африки; (d) Ни один из греков при Фермопилах не спасся; (e) Не все то золото, что блестит. [O.]

114. «Углы при основании равнобедренного треугольника равны». Что можно вывести из этого суждения путем обверсии, обращения и контрапозиции соответственно? [L.]

154 115. Приведите обверс, контрапозитив и инверсию для каждого из следующих суждений: — Только добродетельные по-настоящему благородны; Ни один афинянин не является илотом. [M.]

116. Приведите контрапозитив и (где возможно) инверсию следующих суждений: — (i) Своевременный стежок девять бережет; (ii) Только храбрые достойны прекрасного; (iii) Блаженны миротворцы; (iv) Вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой; (v) Не всякой сказке, которую мы слышим, следует верить. [K.]

117. Если ложно, что «Не только добродетельные счастливы», что мы можем вывести (a) в отношении недобродетельных, (b) в отношении несчастливых? [J.]

118. Запишите противоречащее, а также — где возможно — обратное, контрапозитив и инверсию для каждого из следующих суждений: «Синица в руках лучше, чем журавль в небе»; «Никакие несправедливые поступки не являются целесообразными»; «Не все те святые, кто ходит в церковь». [K.]

119. Приведите контрапозитив и инверсию для каждого из следующих суждений: — «Никогда не терпят неудачи те, кто умирает за великое дело»; «Кого любят боги, тот умирает молодым». Если A есть либо B, либо и C, и D, что мы знаем о том, что не есть D? [K.]

120. Возьмите следующие суждения парами и в отношении каждой пары укажите, являются ли два суждения совместимыми или несовместимыми друг с другом; в первом случае укажите далее, можно ли вывести одно суждение из другого, и, если можно, укажите характер умозаключения; во втором случае укажите, возможно ли, чтобы оба суждения были ложными: — (a) Всякое S есть P; (b) Всякое не-S есть P; (c) Ни одно P не есть S; (d) Некоторое не-P есть S. [K.]

121. Преобразуйте следующие суждения таким образом, чтобы, не теряя своей силы, они все имели один и тот же субъект и один и тот же предикат: — Ни одно не-P не есть S; Всякое P есть не-S; Некоторое P есть S; Некоторое не-P не есть не-S. [K.]

122. Опишите логические отношения, если таковые имеются, между каждым из следующих суждений и каждым из остальных: — (i) Нет неорганических веществ, которые не содержат углерод; 155 (ii) Все органические вещества содержат углерод; (iii) Некоторые вещества, не содержащие углерод, являются органическими; (iv) Некоторые неорганические вещества не содержат углерод. [C.]

123. «Все, кто любит добродетель, любят рыбалку». Расположите следующие суждения в три следующие группы: — (α) те, которые можно вывести из вышеприведенного суждения; (β) те, которые совместимы с ним, но которые нельзя из него вывести; (γ) те, которые несовместимы с ним. (i) Никто из тех, кто не любит добродетель, не любит рыбалку. (ii) Все, кто любит рыбалку, любят добродетель. (iii) Все, кто не любит рыбалку, любят добродетель. (iv) Никто из тех, кто не любит рыбалку, не любит добродетель. (v) Некоторые из тех, кто не любит добродетель, любят рыбалку. (vi) Некоторые из тех, кто не любит добродетель, не любят рыбалку. (vii) Некоторые из тех, кто не любит рыбалку, любят добродетель. (viii) Некоторые из тех, кто не любит рыбалку, не любят добродетель. [K.]

124. Определите логическое отношение между каждой парой следующих суждений: — (1) Все кристаллы — твердые тела. (2) Некоторые твердые тела не являются кристаллами. (3) Некоторые не-кристаллы не являются твердыми телами. (4) Ни один кристалл не является не-твердым телом. (5) Некоторые твердые тела являются кристаллами. (6) Некоторые не-твердые тела не являются кристаллами. (7) Все твердые тела — кристаллы. [L.]

ГЛАВА V.

ДИАГРАММАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ.

125. Использование диаграмм в логике. — При представлении суждений с помощью геометрических диаграмм наша цель состоит не в том, чтобы получить новый набор символов, а в том, чтобы отношение между субъектом и предикатом суждения было продемонстрировано с помощью наглядного представления, значение которого ясно с первого взгляда. Следовательно, первое требование, которому должна удовлетворять любая диаграмматическая схема, состоит в том, чтобы интерпретация диаграмм была интуитивно очевидной, как только будет объяснен принцип, на котором они основаны. 165

165 «Геометрическая схема» Гамильтона, которую он сам описывает как «легкую, простую, сжатую, вседостаточную, последовательную, явную, точную, полную» (Logic, II, стр. 475), не удовлетворяет этому условию. Он представляет утвердительную связку горизонтальной сужающейся линией (), широкая часть которой направлена к субъекту. Отрицание отмечается перпендикулярной линией, пересекающей горизонтальную (). Двоеточие (:), помещенное на любом конце связки, указывает на то, что соответствующий термин распределен; запятая (,) — что он не распределен. Таким образом, для «Всякое S есть P» мы имеем: —horizontal tapering linesame with a bar

S : , P;horizontal line tapering to right

и аналогично для других суждений.

Д-р Венн справедливо замечает, что эта схема является чисто символической и вообще не заслуживает того, чтобы считаться диаграмматической схемой. Очевидно, что в двух концах клина нет ничего, что предполагало бы субъекты и предикаты, или в двоеточии и запятой — что предполагало бы распределенность и нераспределенность» (Symbolic Logic, стр. 432). Схему Гамильтона, безусловно, можно отвергнуть как бесполезную. Схемы Эйлера и Ламберта принадлежат к совершенно иной категории.

Второе существенное требование состоит в том, чтобы диаграммы были адекватными; то есть они должны давать полное, а 157 не частичное, представление отношений, которые они призваны обозначать. Использование Гамильтоном диаграмм Эйлера, как описано в следующем разделе, послужит иллюстрацией неспособности удовлетворить этому требованию.

В-третьих, диаграммы должны быть способны представлять все пропозициональные формы, признанные в расписании суждений, которые подлежат иллюстрации, например, частные, так же как и общие. Однако одна схема диаграмм может быть лучше приспособлена для одной цели, а другая схема — для другой. Будет обнаружено, что диаграммы д-ра Венна, которые будут описаны далее, не совсем так хорошо приспособлены для представления частных суждений, как общих.

Наконец, выгодно, чтобы диаграмматическая схема была как можно менее громоздкой, когда желательно представить два или более суждения в сочетании друг с другом. Это слабое место метода Эйлера. Однако схема диаграмм может выполнять очень полезную функцию, проясняя полную силу отдельных суждений, даже если она не очень хорошо приспособлена для представления комбинированных суждений.

Иногда добавляется еще одно требование, а именно, чтобы каждая пропозициональная форма была представлена одной диаграммой, а не набором альтернативных диаграмм. Это, однако, отнюдь не существенно. Ибо если мы принимаем расписание суждений, некоторые из которых дают лишь неопределенное отношение в отношении объема между вовлеченными терминами, важно, чтобы это было четко выявлено, и набор альтернативных диаграмм может быть особенно полезен для этой цели. Этот момент будет проиллюстрирован со ссылкой на диаграммы Эйлера в следующем разделе. 166

166 Следует иметь в виду, что во всех схемах, описанных в этой главе, термины суждений, которые представлены диаграмматически, берутся в объеме, а не в содержании.

126. Диаграммы Эйлера. — Мы можем начать с хорошо известной схемы диаграмм, которая была впервые изложена швейцарским математиком и логиком Леонардом Эйлером и которая обычно называется его именем. 167

167 Эйлер жил с 1707 по 1783 год. Его диаграмматическая схема приведена в его «Lettres à une Princesse d’Allemagne» (Письма 102–105).

158 Представляя индивидов, включенных в любой класс или обозначенных любым именем, кругом, будет очевидно, что пять следующих диаграмм представляют все возможные отношения между любыми двумя классами: —

Сила различных пропозициональных форм заключается в исключении одной или нескольких из этих возможностей. «Всякое S есть P» ограничивает нас одним из двух α, β; «Некоторое S есть P» — одним из четырех α, β, γ, δ; «Ни одно S не есть P» — ε; «Некоторое S не есть P» — одним из трех γ, δ, ε.

Будет замечено, что существует большая нехватка симметрии в количестве кругов, соответствующих различным пропозициональным формам; также существует кажущееся неравенство в объеме информации, предоставляемой A и E, а также I и O. Мы обнаружим, что эти аномалии исчезают, когда принимаются во внимание отрицательные термины.

Наиболее вводит в заблуждение попытка представить «Всякое S есть P» одной парой кругов, таким образом

или «Некоторое S есть P» одной парой, таким образом

159 ибо в каждом случае суждение на самом деле оставляет нас с другими альтернативами. Этот метод использования диаграмм, однако, был принят довольно многими логиками, которые использовали их, включая сэра Уильяма Гамильтона (Logic, I, стр. 255) и профессора Джевонса (Elementary Lessons in Logic, стр. 72–75); и попытка такого упрощения привела к их использованию в незаслуженно дурной славе. Так, д-р Венн замечает: «Обычная практика, принятая во многих руководствах, апеллировать к этим диаграммам — эйлеровым диаграммам, как их часто называют, — кажется мне очень сомнительной. Старые четыре суждения A, E, I, O не совсем соответствуют пяти диаграммам, и, следовательно, ни один из модусов в силлогизме не может быть в строгом смысле представлен этими диаграммами» (Symbolic Logic, стр. 15, 16; сравните также стр. 424, 425). Эта критика, будучи совершенно обоснованной в отношении использования кругов Эйлера Гамильтоном и Джевонсом, теряет большую часть своей силы, если диаграммы используются с должными предосторожностями. Это правда, что диаграммы становятся несколько громоздкими в отношении силлогизма; но логическая сила суждений и логические отношения между суждениями могут во многих отношениях быть хорошо проиллюстрированы с их помощью. Таким образом, они могут быть использованы: —

(1) Для иллюстрации распределенности предиката в суждении. В случае каждого из четырех фундаментальных суждений мы можем заштриховать часть предиката, относительно которой нам дана информация.

Тогда мы имеем: —

160

Мы видим, что с A и I только часть P в некоторых случаях заштрихована; тогда как с E и O все P в каждом случае заштриховано; и таким образом становится ясно, что отрицательные суждения распределяют, в то время как утвердительные суждения не распределяют свои предикаты.

(2) Для иллюстрации оппозиции суждений. Сравнивая два противоречащих суждения, например, A и O, мы видим, что у них нет общего случая, но что между собой они исчерпывают все возможные случаи. Следовательно, истина о том, что два противоречащих суждения не могут быть истинными вместе, но что одно из них должно быть истинным, доносится до нас в новом аспекте. Опять же, сравнивая два субальтерных суждения, например, A и I, мы замечаем, что первое дает нам всю информацию, предоставляемую вторым, и кое-что еще, поскольку оно еще больше ограничивает возможности. Другие отношения, вовлеченные в доктрину оппозиции, могут быть проиллюстрированы аналогично.

(3) Для иллюстрации обращения суждений. Таким образом, диаграммами становится ясно, почему A допускает только обращение per accidens. «Всякое S есть P» ограничивает нас одним или другим из следующего: —

Что тогда мы знаем о P? В первом случае мы имеем «Всякое P есть S», во втором — «Некоторое P есть S»; и поскольку мы не знаем, какой из двух случаев верен, мы можем только констатировать то, что является общим для них обоих, а именно: «Некоторое P есть S».

Опять же, становится ясно, почему O необратимо. «Некоторое S не есть P» ограничивает нас одним или другим из следующего: —

161 Что тогда мы знаем относительно P? Три случая дают нам соответственно: — (i) «Всякое P есть S»; (ii) «Некоторое P есть S» и «Некоторое P не есть S»; (iii) «Ни одно P не есть S». Но (i) и (iii) несовместимы друг с другом. Следовательно, ничего нельзя утверждать о P, что было бы истинно во всех трех случаях безразлично.

(4) Для иллюстрации более сложных форм непосредственного умозаключения. Взяв, например, суждение «Всякое S есть P», мы можем спросить: что это позволяет нам утверждать о не-P и не-S соответственно? Мы имеем один или другой из этих случаев: —

Что касается не-P, они дают соответственно (i) «Ни одно не-P не есть S»; (ii) «Ни одно не-P не есть S». И таким образом мы получаем контрапозитив данного суждения.

Что касается не-S, мы имеем (i) «Ни одно не-S не есть P», (ii) «Некоторое не-S есть P» и «некоторое не-S не есть P». 168 Следовательно, в любом случае мы можем вывести «Некоторое не-S не есть P».

168 При использовании диаграмм Эйлера предполагается, что S и P оба существуют в универсуме рассуждения, в то время как ни один из них не исчерпывает этот универсум. Это допущение такое же, как то, на котором основывалась наша трактовка непосредственных умозаключений в предыдущей главе.

E, I, O могут быть рассмотрены аналогично.

(5) Для иллюстрации совместной силы пары комплементарных или контра-комплементарных или суб-комплементарных суждений (сравните раздел 100). Таким образом, пара комплементарных суждений, SaP и PaS, взятых вместе, ограничивают нас

Аналогично пара контра-комплементарных суждений, SaP и PoS, ограничивают нас отношением, отмеченным β на стр. 158; а пара контра-комплементарных суждений, SoP и 162 PaS, — к γ; в то время как пара суб-комплементарных суждений, SoP и PoS, дают нам выбор между δ и ε.

Применение диаграмм к силлогистическим рассуждениям будет рассмотрено в последующей главе.

Что касается всего вышеперечисленного, можно сказать, что использование кругов не дает нам ничего, что нельзя было бы легко получить независимо. Это, конечно, правда; но никто, кто имел опыт трудности, которую иногда находят студенты в правильном понимании элементарных принципов формальной логики, и особенно в работе с непосредственными умозаключениями, не будет презирать любые средства иллюстрации старых истин заново и представления их в новом аспекте.

Тот факт, что у нас нет одной пары кругов, соответствующей каждой фундаментальной форме суждения, является фатальным, если мы хотим проиллюстрировать какой-либо сложный ход рассуждения таким образом; но при указании реальной природы информации, предоставляемой самими суждениями, это скорее преимущество, чем что-либо другое, поскольку это показывает, насколько ограниченной в некоторых случаях эта информация на самом деле является. 169

169 Д-р Венн пишет в критике схемы Эйлера: «Четырехкратная схема суждений не очень удобно впишется в пятикратную схему диаграмм... То, что пять диаграмм способны проиллюстрировать, — это фактическое отношение классов, а не наше, возможно, несовершенное знание этого отношения» (Empirical Logic, стр. 229). Ответ на эту критику заключается в том, что, поскольку четырехкратная схема суждений дает лишь несовершенное знание фактического отношения классов, обозначенных терминами, эйлеровы диаграммы особенно ценны в том, чтобы сделать это ясным и недвусмысленным. С помощью пунктирных линий действительно возможно представить каждое суждение одной эйлеровой фигурой; но диаграммы тогда становятся настолько более трудными для интерпретации, что потеря значительно больше, чем выигрыш. Первая и вторая из следующих диаграмм заимствованы у Ибервега (Logic, § 71). В случае O диаграмма Ибервега довольно сложна; и я заменил ее более простой.

В последней из этих диаграмм мы получаем три случая, даваемые суждением O, путем (1) заполнения пунктирной линии слева и вычеркивания другой, (2) заполнения обеих пунктирных линий, (3) заполнения пунктирной линии справа и вычеркивания другой. Эти три случая — соответственно те, что отмечены γ, δ, ε на стр. 158.

163 127. Диаграммы Ламберта. — Схема диаграмм была использована Ламбертом 170, в которой горизонтальные прямые линии занимают место кругов Эйлера. Объем термина представлен горизонтальной прямой линией, и насколько две такие линии перекрываются, указывается, что соответствующие классы совпадают, в то время как насколько они не перекрываются, эти классы показаны как взаимно исключающие. Как абсолютная, так и относительная длина линий, конечно, произвольна и несущественна.

170 Иоганн Генрих Ламберт был немецким философом и математиком, который жил с 1728 по 1777 год. Его «Neues Organon» был опубликован в Лейпциге в 1768 году. Собственная диаграмматическая схема Ламберта несколько отличается от обеих, приведенных в тексте; но она очень близко напоминает ту, в которой части линий являются пунктирными. Модификации в тексте были введены, чтобы устранить определенные трудности, вовлеченные в собственные диаграммы Ламберта. См. примечание 2 на стр. 165.

Мы можем сначала показать, как линии Ламберта могут быть использованы таким образом, чтобы быть точно аналогичными кругам Эйлера. 164 Таким образом, четыре фундаментальных суждения могут быть представлены следующим образом: —

Эти диаграммы занимают меньше места, чем круги Эйлера. Но они также кажутся менее интуитивно ясными и менее наводящими на размышления. Различные случаи тоже менее заметно отличаются друг от друга. Вероятно, что человек был бы в результате более подвержен ошибке при их использовании.

Различные случаи могут, однако, быть объединены с помощью пунктирных линий, чтобы дать лишь одну диаграмму для каждого суждения гораздо более удовлетворительно, чем в схеме Эйлера. Таким образом, «Всякое S есть P» может быть представлено диаграммой

где пунктирная линия указывает на то, что мы не уверены в том, есть ли какое-либо P, которое не есть S. Мы очевидно получаем два случая в зависимости от того, вычеркиваем ли мы точки или заполняем их, и это два случая, ранее показанные как совместимые с суждением A.

Опять же, «Некоторое S есть P» может быть представлено диаграммой

и здесь мы получаем четыре случая, ранее данные для суждения I 165 путем (a) заполнения точек слева и вычеркивания тех, что справа, (b) заполнения всех точек, (c) вычеркивания их всех, (d) заполнения тех, что справа, и вычеркивания тех, что слева.

Две полные схемы диаграмм могут быть построены по этому плану, в одной из которых никакая часть никакой линии S, а в другой никакая часть никакой линии P не является пунктирной. 171 Эти две схемы приведены ниже слева и справа соответственно от самих пропозициональных форм.

171 Важно привести обе эти схемы, так как будет обнаружено, что ни одна из них сама по себе не будет достаточной, когда этот метод используется для иллюстрации силлогизма. По очевидным причинам диаграмма E одинакова в обеих схемах.

Должно быть понятно, что две диаграммы, приведенные выше в случаях A, I и O, являются альтернативными в том смысле, что мы можем выбрать любую, какую пожелаем, чтобы представить наше суждение; но любая представляет его полностью.

Мы обнаружим позже, что для цели иллюстрации силлогистических модусов метод Ламберта гораздо менее громоздкий, чем метод Эйлера. 172 Адаптация диаграмм Ламберта, в которой противоречащие S и P введены так же 166 как сами S и P, будет дана в разделе 131. Эта более разработанная схема будет полезна для иллюстрации различных процессов непосредственного умозаключения.

172 Д-р Венн (Symbolic Logic, стр. 432) замечает: «В целом схема Ламберта кажется мне явно уступающей схеме Эйлера и, как следствие, очень мало использовалась другими логиками». Критика, предложенная в поддержку этого утверждения, направлена главным образом против собственного представления Ламбертом частного утвердительного суждения, а именно:

Эта диаграмма, безусловно, кажется такой же подходящей для O, как и для I; но модификация, введенная в тексте и, по сути, предложенная самим д-ром Венном, не открыта для подобного возражения.

128. Диаграммы д-ра Венна. — В диаграмматической схеме, используемой д-ром Венном (Symbolic Logic, глава 5), диаграмма

сама по себе не представляет никакого суждения, но является каркасом, в который могут быть вписаны суждения. Обозначая не-S через Sʹ, а то, что является и S, и P, через SP и т. д., ясно, что все должно быть содержаться в одном или другом из четырех классов SP, SPʹ, SʹP, SʹPʹ; и вышеприведенная диаграмма показывает четыре отсека (один из которых — тот, что лежит вне обоих кругов), соответствующие этим четырем классам. Каждое общее суждение отрицает существование одного или нескольких таких классов, и поэтому оно может быть диаграмматически представлено путем заштриховывания соответствующего отсека или отсеков. Таким образом, «Всякое S есть P», которое отрицает существование SPʹ, представлено

«Ни одно S не есть P» —

167 С тремя терминами мы имеем три круга и восемь отсеков, таким образом: —

«Всякое S есть P или Q» представлено

«Всякое S есть P и Q» —

Именно в случаях, включающих три или более терминов, преимущество этой схемы перед эйлеровой схемой наиболее очевидно. Диаграммы, однако, не совсем так хорошо приспособлены к случаю частных суждений. Д-р Венн (в Mind, 1883, стр. 599, 600) предполагает, что мы могли бы провести черту через отсек, объявленный сохраненным частным суждением; 173 таким образом, «Некоторое S есть P» было бы представлено проведением черты через отсек SP. Этот план может быть разработан удовлетворительно; но при представлении комбинации суждений таким образом требуется особая осторожность в интерпретации диаграмм. Например, если у нас есть диаграмма для трех терминов S, P, Q и дано «Некоторое S есть P», 168 мы не знаем, что оба отсека SPQ, SPQʹ должны быть сохранены, и в таком случае, как этот, черта, проведенная через отсек SP, находится в некоторой опасности неверной интерпретации.

173 Схема д-ра Венна отличается от схем Эйлера и Ламберта тем, что она не основана на допущении, что наши термины и их противоречащие все представляют существующие классы. Она включает, однако, доктрину, что частные суждения экзистенциально утвердительны, в то время как общие суждения экзистенциально отрицательны.

129. Выражение возможных отношений между любыми двумя классами с помощью пропозициональных форм A, E, I, O. — Любая информация, данная в отношении двух классов, ограничивает возможные отношения между ними до чего-то меньшего, чем пять априорных возможностей, указанных диаграмматически кругами Эйлера, как дано в начале раздела 126. Будет полезно исследовать, как такая информация может во всех случаях быть выражена с помощью пропозициональных форм A, E, I, O.

Пять отношений могут, как и прежде, быть обозначены соответственно α, β, γ, δ, ε. 174 Информация дается, когда возможность одного или нескольких из них отрицается; другими словами, когда мы ограничены одним, двумя, тремя или четырьмя из них. Пусть ограничение до α или β, исключение γ, δ, ε будет обозначено α, β; ограничение до α, β или γ (т.е. исключение δ и ε) — через α, β, γ; и так далее.

174 Таким образом, классы — S и P, α обозначает, что S и P полностью совпадают; β — что P содержит S и еще кое-что помимо этого; β — что S содержит P и еще кое-что помимо этого; δ — что S и P перекрывают друг друга, но что каждый включает что-то, не включенное другим; ε — что S и P не имеют абсолютно ничего общего.

Пытаясь выразить нашу информацию с помощью четырех обычных пропозициональных форм, мы обнаруживаем, что иногда одного суждения будет достаточно для нашей цели; таким образом, α, β выражается через «Всякое S есть P». Иногда нам требуется комбинация суждений; таким образом, α выражается парой комплементарных суждений «Всякое S есть P и всякое P есть S» (поскольку «Всякое S есть P» исключает γ, δ, ε, а «Всякое P есть S» дополнительно исключает β). Некоторые другие случаи более сложны; таким образом, факт, что мы ограничены α или δ, не может быть выражен проще, чем сказав: «Либо всякое S есть P и всякое P есть S, либо же некоторое S есть P, некоторое S не есть P и некоторое P не есть S».

Пусть A = «Всякое S есть P», A1 = «Всякое P есть S» и аналогично для других суждений. Также пусть AA1 = «Всякое S есть P и всякое P есть S» и т. д. Тогда следующее является схемой для всех возможных случаев: — 169

 Limitation to |  denoted by |  Limitation to |  denoted by
α | AA₁ | α, β, γ | A or A₁
β | AO₁ | α, β, δ | A or IO₁
γ | A₁O | α, β, ε | A or E
δ | IOO₁ | α, γ, δ | A₁ or IO
ε | E | α, γ, ε | A₁ or E
α, β | A | α, δ, ε | AA₁ or OO₁
α, γ | A₁ | β, γ, δ | IO or IO₁
α, δ | AA₁ or IOO₁  | β, γ, ε | AO₁ or A₁O or E 
α, ε | AA₁ or E | β, δ, ε | O₁
β, γ | AO₁ or A₁O | γ, δ, ε | O
β, δ | IO₁ | α, β, γ, δ | I
β, ε | AO₁ or E | α, β, γ, ε | A or A₁ or E
γ, δ | IO | α, β, δ, ε | A or O₁
γ, ε | A₁O or E | α, γ, δ, ε | A₁ or O
δ, ε | OO₁ | β, γ, δ, ε | O or O₁

Будет обнаружено, что любые комбинации суждений, отличные от приведенных выше, либо включают противоречия или избыточности, либо не дают никакой информации, потому что все пять отношений, которые априорно возможны, все еще остаются возможными.

Например, AI явно избыточно; AO самопротиворечиво; A или A1O избыточно (поскольку та же информация дается через A или A1); A или O не дает никакой информации (поскольку не исключает никакого возможного случая). Студенту рекомендуется протестировать другие комбинации аналогично. Следует помнить, что I1 = I, а E1 = E.

170 Следует заметить, что если мы читаем первый столбец сверху вниз, а второй — снизу вверх, мы получаем пары противоречащих.

130. Диаграммы Эйлера и классовые отношения между S, не-S, P, не-P. — В диаграммах Эйлера, как они обычно даются, нет явного признания не-S и не-P; но, конечно, понимается, что любая часть универсума, которая лежит вне S, есть не-S, и аналогично для P, и можно подумать, что никакого дальнейшего учета отрицательных терминов не требуется. Дальнейшее рассмотрение, однако, покажет, что это не так; и, предполагая, что S, не-S, P, не-P все представляют существующие классы, мы обнаружим, что возможны семь, а не пять, детерминированных классовых отношений между ними.

Взяв диаграммы, данные в разделе 126, вышеуказанное допущение ясно требует, чтобы в случаях α, β и γ существовала некоторая часть универсума, лежащая вне обоих кругов, поскольку в противном случае либо не-S, либо не-P, либо оба они больше не содержались бы в универсуме. Но в случаях δ и ε все иначе. S, не-S, P, не-P теперь все представлены внутри кругов; и в каждом из этих случаев, следовательно, пара кругов может или не может между собой исчерпывать универсум.

Наши результаты также можно выразить, сказав, что в случаях α, β и γ должно существовать нечто, являющееся одновременно не-S и не-P; тогда как в случаях δ и ε может существовать, а может и не существовать нечто, являющееся одновременно не-S и не-P. Круги Эйлера в их обычном применении, несомненно, несколько склонны приводить нас к игнорированию последней из этих альтернатив. Если бы, действительно, часть универсума всегда находилась вне кругов, то каждое суждение, независимо от того, была ли его форма A, E, I или O, имело бы обратное суждение, причем одно и то же, а именно: «Некоторые не-S суть не-P»; кроме того, каждое суждение, включая I, имело бы контрапозицию. Это ошибочные результаты, против которых мы должны быть настороже при использовании пятичленной схемы Эйлера.

Таким образом, мы обнаруживаем, что явное признание не-S и не-P практически не затрагивает α, β и γ, но заставляет δ и ε подразделяться на два случая каждый, в зависимости от того, существует или нет что-либо, являющееся одновременно не-S и не-P; и пятичленное деление Эйлера, соответственно, должно уступить место семичленному делению.

При диаграммном представлении этих семи отношений весь универсум рассуждения может быть обозначен большим кругом, в который включены обычные диаграммы Эйлера (с некоторыми незначительными необходимыми модификациями). Тогда мы получим следующую схему:—

Может быть полезно повторить эти диаграммы с явным указанием в отношении каждого подраздела универсума, является ли он S или не-S, P или не-P. Схема будет выглядеть следующим образом:—

Мы могли бы также представить универсум рассуждения в виде длинного прямоугольника, разделенного на отсеки, показывающие, какие из четырех возможных комбинаций SP, SP', S'P, S'P' могут быть обнаружены. Этот план даст следующее, что точно соответствует, согласно нумерации, тем, что приведены в тексте:—

(i)  |  | SP | SʹPʹ |

(ii) |  | SP | SʹP | SʹPʹ |

(iii) |  | SP | SPʹ | SʹPʹ |

(iv) |  | SP | SPʹ | SʹP | SʹPʹ |

(v)  |  | SP | SPʹ | SʹP |

(vi) |  | SPʹ | SʹP | SʹPʹ |

(vii) |  | SPʹ | SʹP |

Сравнивая вышеприведенное с пятью обычными диаграммами Эйлера (которые могут быть обозначены α, β и т. д., как в разделе 126), можно увидеть, что (i) соответствует α; (ii) — β; (iii) — γ; (iv) и (v) представляют два случая, теперь даваемые δ; (vi) и (vii) — два случая, даваемые ε.

К нашим семи диаграммам можно прийти и следующим образом: каждая часть универсума должна быть либо S, либо S', а также P или P'; следовательно, взаимно исключающие комбинации SP, SP', S'P, S'P' должны в совокупности исчерпывать универсум. Случай, в котором обнаруживаются все эти комбинации, представлен диаграммой (iv); если отсутствует одна, но только одна, мы очевидно имеем четыре случая, которые представлены соответственно (ii), (iii), (v) и (vi); если обнаруживаются только две, то видно, что мы ограничены случаями, представленными (i) и (vii), иначе мы не выполнили бы условие, что ни S, ни S', ни P, ни P' не должны быть полностью несуществующими; по той же причине универсум не может содержать менее двух из четырех комбинаций. Таким образом, мы имеем семь случаев, представленных диаграммами, и показано, что они исчерпывают возможности.

Четыре традиционных суждения связаны с новой схемой следующим образом: A ограничивает нас (i) или (ii); I — (i), (ii), (iii), (iv) или (v); E — (vi) или (vii); O — (iii), (iv), (v), (vi) или (vii).

Разрабатывая далее вопрос о том, как каждая диаграмма, взятая сама по себе, должна быть выражена в форме суждения, мы получаем следующие результаты: (i) SaP и S'aP'; (ii) SaP и S'oP'; (iii) S'aP' и SoP; (iv) SoP, SoP', S'oP и S'oP'; (v) S'aP и SoP'; (vi) SaP' и S'oP; (vii) SaP' и S'aP.

Можно заметить, что новая схема сама по себе более симметрична, чем схема Эйлера, а также что она лучше справляется с выявлением симметрии четырехчленного расписания суждений. A и E дают по две альтернативы, I и O — по пять каждая; тогда как в схеме Эйлера E дает только одну альтернативу, A — две, O — три, I — четыре, и поэтому могло бы показаться, что E дает более определенную и однозначную информацию, чем A, а O — чем I, что на самом деле не так. Кроме того, задача выражения каждой диаграммы в форме суждения дает более симметричный результат, чем соответствующая задача в случае диаграмм Эйлера.

Мы видели, что аналогичным образом в случае непосредственных умозаключений симметрия может быть достигнута только путем признания отрицательных терминов.

Эту семичленную схему отношений классов следует сравнить с семичленной схемой отношений между суждениями, приведенной в разделе 84.

131. Диаграмма Ламберта и отношения классов между S, не-S, P, не-P. — Ниже приведено компактное диаграммное представление семи возможных отношений классов между S, не-S, P, не-P, основанное на схеме Ламберта.

В этой схеме каждая линия представляет весь универсум рассуждения, и первую линию следует рассматривать в связи с каждой из остальных по очереди. Дальнейшие объяснения будут излишни для студента, который ясно понимает метод Ламберта.

На том же принципе и с помощью пунктирных линий четыре фундаментальные формы суждений могут быть представлены следующим образом:

В каждом случае полная протяженность линии представляет весь универсум рассуждения; любая часть линии, которая является пунктирной, может быть либо S, либо S' (или P, либо P', в зависимости от случая).

Эта последняя схема диаграмм, возможно, более полезна, чем любая другая, для того чтобы с первого взгляда показать, какие непосредственные умозаключения могут быть получены из каждого суждения путем обращения, контрапозиции и инверсии (при допущении, что S, S', P и P' все представляют существующие классы). Таким образом, из первой диаграммы мы можем с первого взгляда прочитать SaP, PiS, P'aS', S'iP'; из второй — SeP, PeS, P'oS', S'oP'; из третьей — SiP и PiS; а из четвертой — SoP и P'oS'. Также с первого взгляда видно, что последние две диаграммы являются неопределенными в отношении P' и S', P и S' соответственно (то есть, I не имеет контрапозиции и инверсии, O не имеет обращения и инверсии).

УПРАЖНЕНИЯ.

132. Проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера (1) отношение между A и E, (2) отношение между I и O, (3) обращение I, (4) контрапозицию O, (5) инверсию E. [K.]

133. A отрицает, что только X суть Y; B отрицает, что только Y суть X. Какие из пяти отношений классов между X и Y (1) они должны согласиться отвергнуть, (2) могут они согласиться принять? [C.]

134. Возьмите все обычные суждения, связывающие любые два термина, объедините их в пары, насколько это возможно без противоречия, и представьте каждую комбинацию диаграмматически. [J.]

ГЛАВА VI.

СУЖДЕНИЯ В ОБЪЕМЕ И В СОДЕРЖАНИИ.

135. Четырехкратная импликация суждений в коннотации и денотации. — Рассматривая вопрос о том, утверждают ли суждения отношение между объектами, или между атрибутами, или между объектами и атрибутами, логики были склонны совершать ошибку исключительности, выбирая одну из данных альтернатив и рассматривая другие как необходимо исключенные этим. Однако из двойного аспекта имен — в объеме и содержании — следует, что различные отношения на самом деле предполагают друг друга, так что все они подразумеваются в любом категорическом суждении, субъект и предикат которого являются общими именами. Если какое-либо из отношений выбрано как составляющее смысл суждения, другие отношения во всяком случае вовлечены как импликации.

В последующем обсуждении мы ограничиваемся традиционной схемой суждений.

Проблема станет более определенной, если мы ограничимся рассмотрением коннотации и денотации в строгом смысле, в отличие от охвата и экспликации, предполагая, что наши термины определены интенсионально. Тогда и субъект, и предикат будут иметь денотацию, определяемую их коннотацией, и, следовательно, наше суждение может рассматриваться с четырех различных точек зрения, которые на самом деле не являются независимыми друг от друга, но служат для того, чтобы выдвинуть на первый план различные аспекты суждения. (1) Субъект может быть прочитан в денотации, а предикат — в коннотации; (2) оба термина могут быть прочитаны в денотации; (3) оба термина могут быть прочитаны в коннотации; (4) субъект может быть прочитан в коннотации, а предикат — в денотации.

С экстенсивными определениями мы могли бы аналогичным образом разработать отношения между терминами суждения в экспликации и охвате; а с интенсиональными или экстенсивными определениями мы могли бы рассмотреть их в денотации и охвате. Обсуждение в тексте, однако, будет ограничено коннотацией и денотацией, за исключением того, что отдельный раздел будет посвящен случаю, в котором и субъект, и предикат читаются в охвате.

В качестве примера мы можем взять суждение «Все люди смертны». В зависимости от нашей точки зрения, это суждение может быть прочитано любым из следующих способов: (1) Объекты, денотируемые термином «человек», обладают атрибутами, коннотируемыми термином «смертный»; (2) Объекты, денотируемые термином «человек», включены в класс объектов, денотируемых термином «смертный»; (3) Атрибуты, коннотируемые термином «человек», сопровождаются атрибутами, коннотируемыми термином «смертный»; (4) Атрибуты, коннотируемые термином «человек», указывают на присутствие объекта, принадлежащего к классу, денотируемому термином «смертный».

Различие, возможно, может быть проведено между четырьмя следующими типами суждений: (a) Все люди смертны; (b) Все люди — смертные; (c) Человек смертен; (d) Человек — смертный. Из них (a) естественно предполагает чтение субъекта в денотации, а предиката в коннотации как смысла, при этом три других чтения являются импликациями; (b) аналогично связано с чтением, пронумерованным (2) выше; (c) — с (3); и (d) — с (4).

Следует особо отметить, что в каждом из этих четырех способов анализа суждения выявляется различное отношение между субъектом и предикатом, причем отношениями являются соответственно (i) обладание, (ii) включение, (iii) сопутствие, (iv) указание.

Можно вполне обоснованно утверждать, что определенный из вышеперечисленных способов рассмотрения суждения является (a) психологически наиболее заметным в уме при предикации; или (b) наиболее фундаментальным в том смысле, что делает явным то отношение, которое в конечном итоге определяет другие отношения; или (c) наиболее удобным для данной цели, например, для решения проблем формальной логики. Нам, однако, не обязательно выбирать один и тот же способ интерпретации в каждом случае. Не было бы, например, ничего противоречивого в том, чтобы считать, что чтение субъекта в денотации, а предиката в коннотации является наиболее правильным с психологической точки зрения; чтение обоих терминов в коннотации — наиболее предельным, поскольку коннотация определяет денотацию, а не наоборот, а чтение обоих терминов в денотации — наиболее пригодным для целей логических манипуляций. Однако сказать, что только одно из четырех чтений может рассматриваться как составляющее смысл суждения, исключая другие, не может не быть ошибочным. Они, по правде говоря, настолько переплетены друг с другом, что трудность может заключаться скорее в оправдании подхода, который проводит различие между ними.

Истинное учение превосходно изложено миссис Лэдд-Франклин в статье в журнале Mind, октябрь 1890 г., стр. 561, 2.

(1) Субъект в денотации, предикат в коннотации. Если мы читаем субъект суждения в денотации, а предикат в коннотации, мы имеем то, что иногда называют предикативным способом интерпретации суждения. Этот способ рассмотрения суждений в подавляющем большинстве случаев наиболее близко соответствует ходу обычного мышления; то есть мы естественно рассматриваем субъект как класс объектов, о которых предицируется определенный атрибут или комплекс атрибутов. Такие суждения, как «Все люди смертны», «Некоторые фиалки белые», «Все алмазы горючи», могут быть взяты в качестве примеров. Д-р Венн очень ясно излагает этот момент применительно к последнему из этих трех суждений: «Если я говорю, что “все алмазы горючи”, я соединяю два коннотативных термина, каждый из которых, следовательно, подразумевает атрибут и денотирует класс; но разве нет широкого различия в отношении заметности, с которой понятие класса представлено в уме в этих двух случаях? Что касается алмаза, мы думаем сразу, или очень быстро, о классе вещей, причем отличительные атрибуты субъекта в основном используются для того, чтобы направить ум к созерцанию объектов, к которым они относятся. Но что касается горючести, сам атрибут является заметной вещью... Горючие вещи, помимо самого алмаза, едва ли, если вообще, попадают в поле созерцания. Само утверждение не заставляет нас задумываться, существуют ли другие горючие вещи, кроме этих» (Empirical Logic, стр. 219).

Хотя, возможно, то, что фактически присутствует в уме, обычно несколько сложнее, чем то, что представлено любым из четырех чтений, взятых отдельно.

Можно отметить два момента, подтверждающих взгляд, что, вообще говоря, предикативный способ интерпретации суждений является психологически наиболее заметным: (a) Наиболее поразительное различие между существительным и атрибутивом (т.е. прилагательным или причастием) с логической точки зрения заключается в том, что в первом денотация обычно более заметна, чем коннотация, даже если она в конечном итоге определяется коннотацией, в то время как во втором коннотация является более заметной, даже если имя должно рассматриваться как имя класса объектов, если оно вообще имеет право называться «именем» в строгом логическом смысле. Соответственно этому мы обнаруживаем, что субъект суждения почти всегда является существительным, тогда как предикат чаще является атрибутивом. (b) Мы всегда квантифицируем денотацию термина, никогда не коннотацию. Говорим ли мы «все люди» или «некоторые люди», комплекс атрибутов, коннотируемых термином «человек», берется в своей совокупности; различие в количестве относится целиком к денотации термина. Соответственно этому мы обнаруживаем, что мы естественно рассматриваем количество суждения как относящееся к его субъекту, а не к его предикату. В следующей главе будет показано, что доктрина квантификации предиката во всяком случае не имеет психологического оправдания.

Существуют, однако, многочисленные исключения из утверждения, что субъект суждения естественно читается в денотации, а предикат в коннотации; например, в классификационных науках. В качестве примеров можно привести следующие суждения: «Все пальмы — эндогены», «Все маргаритки — сложноцветные», «Только твердые тела — кристаллы», «Индусы — арийцы», «Татары — туранцы». В таких случаях большинство из нас естественно думало бы о определенном классе объектов как включенном в другой класс или исключенном из него, а не как обладающем или не обладающем определенными атрибутами; другими словами, как выражается д-р Венн, «ссылка на класс в предикате не менее определенна, чем в субъекте» (Empirical Logic, стр. 220). В случае такого суждения, как «Ни одно растение с супротивными листьями не является орхидеей», положение даже меняется на обратное, то есть именно субъект, а не предикат, мы более естественно прочитали бы в коннотации. Тогда мы можем перейти к другим способам рассмотрения категорического суждения.

(2) Субъект в денотации, предикат в денотации. Если мы читаем и субъект, и предикат суждения в денотации, мы имеем отношение между двумя классами, и поэтому это называется классовым способом интерпретации суждения. Следует особо отметить, что отношение между субъектом и предикатом теперь является отношением включения в или исключения из, а не отношением обладания. Можно сразу признать, что классовый способ интерпретации категорического суждения не является ни самым предельным, ни — вообще говоря — тем, который мы принимаем естественно или спонтанно. Однако он чрезвычайно удобен для манипулятивных целей, и поэтому является способом интерпретации, обычно выбираемым, явно или неявно, формальным логиком. Особое внимание можно обратить на следующие моменты: (a) Когда субъект и предикат читаются в денотации, они однородны. (b) В диаграммной иллюстрации суждений и субъект, и предикат обязательно читаются в денотации, поскольку именно денотацию — а не коннотацию — термина мы представляем с помощью диаграммы. (c) Предикат суждения должен быть прочитан в денотации, чтобы придать смысл вопросу о том, является ли он распределенным или нет. (d) Предикат, как и субъект, должен быть прочитан в денотации, прежде чем станет возможным такой процесс, как обращение. (e) При рассмотрении силлогизма и субъект, и предикат должны быть прочитаны в денотации (или же оба в коннотации), поскольку либо средний термин (первая и четвертая фигуры), либо больший термин (вторая и четвертая фигуры), либо меньший термин (третья и четвертая фигуры) является субъектом в одном из суждений, в которых он встречается, и предикатом в другом.

Классовый способ интерпретации категорических суждений, тем не менее, рассматривается некоторыми авторами как положительно ошибочный. Но аргументы, используемые в поддержку этого взгляда, не выдерживают проверки.

(i) Говорят, что читать и субъект, и предикат в денотации психологически ложно. Действительно, уже было отмечено, что классовый способ интерпретации не является тем, который, как правило, первым приходит нам на ум, когда нам дается суждение; но мы также видели, что существуют исключения из этого, как, например, в суждениях «Все маргаритки — сложноцветные», «Все индусы — арийцы», «Все татары — туранцы». Поэтому явно неправильно описывать рассматриваемое чтение как во всех случаях психологически ложное. На том же основании любое другое чтение было бы в равной степени психологически ложным, ибо то, что непосредственно присутствует в уме при суждении, сильно варьируется в разных случаях. Несомненно, существует много суждений, в отношении которых мы не принимаем спонтанно классовое чтение. Тем не менее, анализ показывает, что в этих суждениях, как и в других, включение в класс или исключение из класса действительно подразумевается наряду с другими вещами, хотя это отношение может быть ни тем, что первым впечатляет нас, ни тем, что является наиболее важным или характерным.

(ii) Спрашивают, что мы подразумеваем под классом, например, под классом птиц, когда говорим «Все совы — птицы». «Это не нечто существующее в пространстве; птицы мира нигде не собраны вместе, чтобы мы могли пойти и выбрать сов из их числа. Классификация — это наша собственная ментальная абстракция, основанная на обладании определенными атрибутами. Класс не является определенным и фиксированным, и мы узнаем, принадлежит ли к нему какой-либо индивид, не просматривая список его членов, а спрашивая, обладает ли он необходимыми атрибутами». В той мере, в какой этот аргумент направлен против чтения предиката в денотации, он в равной степени направлен против чтения субъекта в денотации. По сути, это аргумент, используемый Миллем (Logic, i. 5, § 3), чтобы подвести к своей позиции, что предельная интерпретация категорического суждения требует от нас чтения и субъекта, и предиката в коннотации, поскольку денотация определяется коннотацией. Но если это признать, это не доказывает ошибочность классового чтения суждения; это лишь доказывает, что в классовом чтении анализ смысла суждения не был доведен до той степени, до которой он может быть доведен.

Уэлтон, Logic, стр. 218.

(iii) Утверждается, что когда мы рассматриваем суждение как выражающее включение одного класса в другой, даже тогда предикат лишь по видимости читается в денотации. «С этой точки зрения мы на самом деле утверждаем не P, а “включение в P”, и это, следовательно, истинный предикат. Например, в суждении “Все совы — птицы” реальным предикатом, с этой точки зрения, являются не “птицы”, а “включенные в класс птиц”. Но это включение является атрибутом субъекта, и реальный предикат, следовательно, утверждает атрибут. Бессмысленно говорить “Каждая сова есть класс птиц”, и ложно говорить “Класс сов есть класс птиц”». Этот аргумент просто предрешает вопрос в пользу предикативного способа интерпретации. Он упускает из виду тот факт, что точный вид отношения, выявляемый при анализе суждения, будет варьироваться в зависимости от того, как мы читаем субъект и предикат. Аналогичный аргумент можно было бы использовать и против самого предикативного чтения. Возьмем суждение: «Все люди смертны». Абсурдно говорить, что «Каждый человек есть атрибут смертности», или что «Класс людей есть атрибут смертности».

Уэлтон, Logic, стр. 218.

(iv) Говорят, что классовая интерпретация и S, и P привела бы должным образом к пятичленной, а не четырехчленной схеме суждений, поскольку между любыми двумя классами возможны ровно пять отношений, как показывают диаграммы Эйлера. Это утверждение, однако, имеет силу только при допущении, что мы должны обладать вполне определенным знанием об отношении классов между S и P, прежде чем сможем сделать какое-либо утверждение по этому поводу; и это допущение не является ни оправданным само по себе, ни обязательно вовлеченным в рассматриваемую интерпретацию. Можно добавить, что если бы аналогичный взгляд был принят при выборе предикативного способа интерпретации, мы имели бы трехчленную, а не четырехчленную схему. Ибо тогда количество нашего субъекта во всяком случае должно было бы быть совершенно определенным, и с S и P в качестве субъекта и предиката тремя возможными утверждениями были бы — «Все S есть P», «Некоторые S есть P, а некоторые нет», «Ни одно S не есть P». Поднятый здесь вопрос будет вскоре рассмотрен далее в связи с квантификацией предиката.

(3) Субъект в коннотации, предикат в коннотации. Если мы читаем и субъект, и предикат суждения в коннотации, мы имеем то, что можно назвать коннотативным способом интерпретации суждения. В суждении «Все S есть P» отношение, выраженное между атрибутами, коннотируемыми S, и атрибутами, коннотируемыми P, является отношением сопутствия — «атрибуты, которые составляют коннотацию S, всегда обнаруживаются в сопровождении тех, которые составляют коннотацию P». Аналогично, в случае «Некоторые S есть P» — «атрибуты, которые составляют коннотацию S, иногда обнаруживаются в сопровождении тех, которые составляют коннотацию P»; «Ни одно S не есть P» — «атрибуты, которые составляют коннотацию S, никогда не обнаруживаются вместе с теми, которые составляют коннотацию P»; «Некоторые S не есть P» — «атрибуты, которые составляют коннотацию S, иногда обнаруживаются без сопровождения тех, которые составляют коннотацию P».

Это единственно возможное чтение в коннотации, что касается реальных суждений, если термин «коннотация» используется в строгом смысле, в отличие как от субъективного содержания, так и от охвата. К сожалению, путаница склонна проникать в дискуссии, касающиеся интенсионального представления суждений, просто потому, что не проводится четкого различия между различными точками зрения, которые могут быть приняты, когда термины рассматриваются с интенсиональной стороны. Гамильтон проводил различие между суждениями в объеме и суждениями в содержании, причем отношение между субъектом и предикатом в одном случае прямо противоположно отношению между ними в другом. Таким образом, беря суждение «Все S есть P», мы имеем в объеме «S содержится под P», а в содержании «S охватывает P». С этой точки зрения интенсиональное чтение «Все люди смертны» — это «смертность есть часть человечности» (экстенсивное чтение — «класс “человек” есть часть класса “смертный”»). Это чтение может быть принято, если термин «содержание» используется в объективном смысле, который мы придали «охвату», так что под «человечностью» понимается совокупность атрибутов, общих для всех людей, а под «смертностью» — совокупность атрибутов, общих для всех смертных. К этой точке зрения мы вернемся в следующем разделе. Оставляя ее пока в стороне, ясно, что если под «человечностью» мы понимаем только то, что можно назвать отличительными или существенными атрибутами человека, то для того, чтобы вышеприведенное чтение было правильным, данное суждение должно рассматриваться как аналитическое. Другими словами, если «человечность» означает только те атрибуты, которые включены в коннотацию «человека», то, если смертность включена в человечность, нам останется лишь проанализировать коннотацию имени «человек», чтобы получить наше суждение. Следовательно, с этой точки зрения должно либо утверждаться, что все общеутвердительные суждения являются аналитическими, либо что некоторые общеутвердительные суждения не могут быть прочитаны в содержании. Но очевидно, что первая из этих альтернатив должна быть отвергнута, а вторая практически означает, что рассматриваемое чтение терпит неудачу, насколько это касается общеутвердительных суждений.

Чтение Гамильтона терпит неудачу еще более полно в случае частных и отрицательных суждений. «Атрибуты, составляющие содержания S и P, частично совпадают» явно не эквивалентно «Некоторые S есть P»; например, содержание (в любом смысле) термина «англичанин» имеет нечто общее с содержанием термина «француз», но из этого не следует, что «Некоторые англичане — французы». Опять же, из того факта, что содержание S не имеет ничего общего с содержанием P, мы не можем вывести, что «Ни одно S не есть P»; предположим, например, что S означает «жвачное», а P — «парнокопытное». Сравните Венн, Symbolic Logic, стр. 391–5.

Будет замечено, что при коннотативном чтении мы всегда должны брать атрибуты, которые составляют коннотацию, коллективно. Другими словами, под атрибутами, составляющими коннотацию термина, мы понимаем эти атрибуты, рассматриваемые как целое. Таким образом, «Ни одно S не есть P» не подразумевает, что ни один из атрибутов, коннотируемых S, никогда не сопровождается ни одним из тех, которые коннотируются P. Это очевидно, если мы возьмем такое суждение, как «Ни один кислород не является водородом». Отсюда следует, что когда субъект читается в коннотации, количество суждения должно выступать как отдельный элемент, выражаемый словом «всегда» или «иногда», и не должно интерпретироваться как означающее «все» или «некоторые» из атрибутов, включенных в коннотацию субъекта.

Те, кто отрицает возможность коннотативного способа интерпретации суждений, утверждают, что это вообще не является чтением субъекта в коннотации; говорят, что «всегда» и «иногда» сразу сводят нас к денотации. В ответ на это, конечно, следует признать, что реальные суждения не утверждают никакого отношения между атрибутами независимо от объектов, к которым они принадлежат. Коннотативное чтение подразумевает денотативное, и мы не должны преувеличивать характер различия между ними. Тем не менее, коннотативное чтение представляет смысл суждения в новом аспекте, и во всяком случае существует prima facie различие между рассмотрением одного класса как включенного в другой и рассмотрением одного атрибута как всегда сопровождаемого другим, даже если небольшое размышление может показать, что эти две вещи взаимно предполагают друг друга.

Милль придает большое значение коннотативному способу интерпретации суждений по сравнению с классовым или предикативным способом на том основании, что он продвигает анализ на одну стадию дальше; и это должно быть признано, во всяком случае, поскольку мы считаем, что применение вовлеченных терминов определяется коннотацией, а не экспликацией. Милль, однако, иногда открыт для обвинения в преувеличении различия между различными способами интерпретации. Это очевидно, например, в его отвержении Dictum de omni et nullo в качестве аксиомы силлогизма и принятии Nota notae est nota rei ipsius на ее месте.

(4) Субъект в коннотации, предикат в денотации. Беря суждение «Все S есть P» и читая субъект в коннотации, а предикат в денотации, мы имеем: «Атрибуты, коннотируемые S, являются указанием на присутствие индивида, принадлежащего к классу P». Этот способ интерпретации всегда возможен, но следует признать, что лишь редко смысл суждения естественно представляется нашему уму в этой форме. Существуют, однако, исключительные случаи, в которых это чтение не является неестественным. Суждение «Ни одно растение с супротивными листьями не является орхидеей» уже было приведено в качестве примера. Другой пример дает суждение «Все, что блестит, — не золото». Беря субъект в коннотации, а предикат в денотации, мы имеем: «Атрибут блеска не всегда указывает на присутствие золотого объекта»; и будет обнаружено, что это чтение пословицы служит для того, чтобы выявить ее смысл действительно лучше, чем любое из трех других чтений, которые мы обсуждали.

Стоит заметить здесь в порядке предвосхищения, что при любом взгляде на экзистенциальную интерпретацию суждений, как обсуждается в главе 8, мы все равно будем иметь четырехкратное чтение категорических суждений в коннотации и денотации. Общеотрицательное и частноутвердительное суждения могут быть взяты в качестве примеров, при допущении, что первое интерпретируется как экзистенциально отрицательное, а второе — как экзистенциально утвердительное. Общеотрицательное суждение дает следующее: (1) Нет индивида, принадлежащего к классу S и обладающего атрибутами, коннотируемыми P; (2) Нет индивида, общего для двух классов S и P; (3) Атрибуты, коннотируемые S и P соответственно, никогда не обнаруживаются соединенными; (4) Нет индивида, обладающего атрибутами, коннотируемыми S, и принадлежащего к классу P. Аналогично, частноутвердительное суждение дает: (1) Есть индивиды, принадлежащие к классу S и обладающие атрибутами, коннотируемыми P; (2) Есть индивиды, общие для двух классов S и P; (3) Атрибуты, коннотируемые S и P соответственно, иногда обнаруживаются соединенными; (4) Есть индивиды, обладающие атрибутами, коннотируемыми S, и принадлежащие к классу P. Мы видим, следовательно, что вопрос, обсуждаемый в этом разделе, независим от того, который будет поднят в главе 8; и что по этой причине, если не по какой другой, никакое решение общей проблемы, поднятой в настоящей главе, не может дать полного решения проблемы смысла категорических суждений.

136. Чтение суждений в охвате. — Если, принимая интенсиональную точку зрения, мы рассматриваем охват вместо коннотации, наша проблема состоит в том, чтобы определить, какое отношение подразумевается в любом суждении между охватом субъекта и охватом предиката. Этот вопрос, будучи задан применительно к общеутвердительному суждению «Все S есть P», решение ясно состоит в том, что охват S включает охват P. Интерпретация в охвате, таким образом, прямо противоположна интерпретации в денотации (денотация S включена в денотацию P); и мы могли бы прийти к мысли, что, беря различные формы суждений, мы должны иметь схему в охвате, аналогичную во всем схеме в денотации. Но это не так, по той простой причине, что в наших обычных утверждениях мы не квантифицируем охват дистрибутивно так, как мы делаем это с денотацией; другими словами, охват всегда берется в своей совокупности. Таким образом, читая суждение I в денотации, мы имеем — «классы S и P частично совпадают»; и соответственно этому мы должны были бы иметь — «охваты S и P частично совпадают». Но это явно не то, что мы выражаем суждением «Некоторые S есть P»; ибо частичное совпадение охватов S и P вполне совместимо с «Ни одно S не есть P», то есть классы S и P могут быть взаимно исключающими, и все же некоторые атрибуты могут быть общими для всего S и также для всего P; например, «Ни один студент Пембрука не является также студентом Тринити». Опять же, имея суждение E, мы имеем в денотации — «классы S и P не имеют ничего общего»; но по только что приведенной причине из этого не следует, что «охват S и охват P не имеют ничего общего».

Действительно необходимо подвергнуть I и E обверсии, чтобы получить правильное чтение в охвате. Тогда мы имеем следующую схему, в которой отношение противоречия между A и O и между E и I становится ясно проявленным: «Все S есть P», охват S включает охват P; «Ни одно S не есть P», охват S включает охват не-P; «Некоторые S есть P», охват S не включает охват не-P; «Некоторые S не есть P», охват S не включает охват P.

ГЛАВА VII.

ЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И КВАНТИФИКАЦИЯ ПРЕДИКАТА.

137. Использование символа равенства в логике. — Символ равенства (=) часто используется в логике для выражения тождества двух классов. Например, «Равносторонние треугольники = равноугольные треугольники»; «Экзогены = двудольные»; «Люди = смертные люди».

Однако важно признать, что, заимствуя таким образом символ из математики, мы не сохраняем его значение неизменным, и что так называемое логическое уравнение, следовательно, является чем-то очень отличным от математического уравнения. В математике символ равенства обычно означает числовую или количественную эквивалентность. Но ясно, что мы не намерены выражать простое числовое равенство, когда пишем «равносторонние треугольники = равноугольные треугольники». Что бы ни означало это так называемое уравнение, это, безусловно, нечто большее, чем то, что существует в точности столько же треугольников с тремя равными сторонами, сколько треугольников с тремя равными углами. Далее ясно, что мы не намерены выражать простое сходство. Наш смысл в том, что денотации приравненных терминов абсолютно идентичны; другими словами, что класс объектов, денотируемый термином «равносторонний треугольник», абсолютно идентичен классу объектов, денотируемых термином «равноугольный треугольник». Может, однако, возникнуть возражение, что если к этому сводится наше уравнение, то, поскольку утверждение простого тождества является пустым и бессмысленным, оно, строго говоря, оставляет нас вообще ни с чем; оно не содержит никакого утверждения и не может представлять никакого суждения. Ответ на это возражение состоит в том, что, хотя мы имеем тождество в определенном отношении, ошибочно говорить, что мы имеем простое тождество. Мы имеем тождество денотации в сочетании с разнообразием коннотации, и, следовательно, с разнообразием определения (подразумевая под этим разнообразие в способах, которыми определяется применение двух идентифицированных терминов). Смысл этого станет яснее с помощью одной или двух иллюстраций. Взяв, таким образом, в качестве примеров уже приведенные логические уравнения, мы можем проанализировать их смысл следующим образом. Если из всех треугольников мы выберем те, которые обладают свойством иметь три равные стороны, и если снова из всех треугольников мы выберем те, которые обладают свойством иметь три равные угла, мы обнаружим, что в обоих случаях мы остаемся с точно тем же набором треугольников. Таким образом, каждая сторона нашего уравнения денотирует точно тот же класс объектов, но класс определяется или достигается двумя разными способами. Аналогично, если мы выберем все растения, которые являются экзогенными, и снова все растения, которые являются двудольными, наши результаты будут точно такими же, хотя наш способ их достижения был разным. Еще раз, если мы просто возьмем класс объектов, которые обладают атрибутом человечности, и снова класс, которые обладают как этим атрибутом, так и атрибутом смертности, выбранные объекты будут теми же самыми; ни один не будет исключен нашим вторым методом выбора, хотя учитывается дополнительный атрибут.

Отсюда следует, что содержания (но, конечно, не коннотации) терминов также будут идентичными; это, однако, не может рассматриваться как первичное значение уравнения.

Я практически заимствовал вышеприведенный способ выражения у мисс Джонс, которая описывает утвердительное категорическое суждение как «суждение, которое утверждает тождество применения при разнообразии значения» (General Logic, стр. 20). Смысл мисс Джонс, однако, может немного отличаться от того, который подразумевается в тексте, и я не могу согласиться с ее общим подходом к смыслу категорических суждений, так как она, по-видимому, не допускает, что прежде чем мы сможем рассматривать суждение как утверждающее тождество применения, мы должны неявно, если не явно, квантифицировать предикат.

Поскольку тождество, первично обозначаемое логическим уравнением, является тождеством в отношении денотации, любой уравнительный способ чтения суждений должен рассматриваться как модификация «классового» способа. То, что было сказано выше, однако, прояснит, что здесь, как и везде, денотация рассматривается не в исключение коннотации, а как зависящая от нее; и мы снова видим, как денотативные и коннотативные чтения суждений на самом деле вовлечены друг в друга, хотя одна или другая сторона может быть сделана более заметной в зависимости от принятой точки зрения.

Еще один момент, на который можно обратить внимание, прежде чем мы перейдем к рассмотрению различных типов логических уравнений, заключается в том, что в той мере, в какой суждение рассматривается как выражающее тождество между своими терминами, различие между субъектом и предикатом практически исчезает. Мы видели, что когда мы имеем обычную логическую связку «есть», суждения не всегда могут быть просто обращены, причина в том, что отношение субъекта к предикату не то же самое, что отношение предиката к субъекту. Но когда два термина соединены знаком равенства, они сходно, а не различно относятся друг к другу; другими словами, отношение является симметричным. Такое уравнение, например, как S = P, может быть прочитано как вперед, так и назад без какого-либо изменения смысла. Соответственно, не может быть никакого различия между субъектом и предикатом, кроме простого порядка изложения, и это может рассматриваться как для большинства практических целей несущественное.

138. Типы логических уравнений. — Джевонс (Principles of Science, глава 3) признает три типа логических уравнений, которые он называет соответственно простыми тождествами, частичными тождествами и ограниченными тождествами.

Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

Простые тождества имеют форму S = P; например, «Экзогены = двудольные». Хотя это самый простой случай в уравнительном отношении, информация, даваемая уравнением, требует двух суждений, чтобы она могла быть выражена в обычной предикативной форме. Таким образом, «Все S есть P» и «Все P есть S»; «Все экзогены — двудольные» и «Все двудольные — экзогены». Если, однако, нам разрешено квантифицировать предикат так же, как и субъект, будет достаточно одного суждения. Таким образом, «Все S есть все P», «Все экзогены — все двудольные». Мы вернемся вскоре к рассмотрению этого типа суждения.

Частичные тождества имеют форму S = SP и являются уравнительным выражением обычных общеутвердительных суждений. Если мы возьмем суждение «Все S есть P», ясно, что мы не можем написать его как S = P, поскольку класс P, вместо того чтобы быть коэкстенсивным с классом S, может включать его и многое другое помимо этого. Поскольку, однако, по закону тождества «Все S есть S», из «Все S есть P» следует, что «Все S есть SP». Мы также можем вернуться от последнего из этих суждений к первому. Следовательно, эти два суждения эквивалентны. Но «Все S есть SP» может быть сразу сведено к уравнительной форме S = SP. Ибо это распадается на два суждения «Все S есть SP» и «Все SP есть S», и поскольку второе из них является просто формальным суждением, основанным на законе тождества, уравнение должно обязательно выполняться, если дано «Все S есть SP». Чтобы взять конкретный пример, суждение «Все люди смертны» становится в уравнительной форме «Люди = смертные люди». Аналогично, общеотрицательное суждение SeP может быть выражено в уравнительной форме S = Sp (где p = не-P).

Ограниченные тождества имеют форму VS = VP, что может быть интерпретировано как «В пределах сферы класса V все S есть P и все P есть S», или «S и P, которые являются V, идентичны». Поскольку V представляет определенный класс, существует мало различий между этими ограниченными тождествами и простыми тождествами. Это показано тем фактом, что сам Джевонс приводит «Равносторонние треугольники = равноугольные треугольники» в качестве примера простого тождества, тогда как его надлежащее место в его классификации, по-видимому, должно быть среди ограниченных тождеств, ибо его интерпретация состоит в том, что «в пределах сферы треугольников — все равносторонние суть все равноугольные».

Уравнение VS = VP, однако, используется Булем — а также впоследствии Джевонсом — как уравнительное выражение частного суждения, и если оно действительно может быть достаточным для этого, его признание в качестве отдельного типа оправдано. Если мы возьмем суждение «Некоторые S есть P», мы обнаружим, что утверждается, что классы S и P имеют некоторую общую часть, но не дается никакого указания, с помощью которого эта часть могла бы быть идентифицирована. Буль, соответственно, обозначает ее произвольным символом V. Тогда ясно, что «Все VS есть VP», а также что «Все VP есть VS», и мы имеем вышеприведенное уравнение.

В наши текущие задачи не входит обсуждение систем символической логики; однако можно вкратце отметить, что вышеприведенное представление частного суждения далеко от удовлетворительного. Чтобы обосновать его, необходимо наложить на интерпретацию V ограничения, которые полностью отличают его от других символов классов. Так, уравнение VS = VP согласуется с «Ни одно S не есть P» (и, следовательно, не может быть эквивалентно «Некоторое S есть P») при условии, что ни одно V не является ни S, ни P, ибо в этом случае мы имеем VS = 0 и VP = 0. Таким образом, V должно быть ограничено предшествующим условием, что оно представляет существующий класс, содержащий либо S, либо P, и именно в этом условии, в той же мере, что и в самом уравнении, выражается реальная сила частного суждения.

Ср. Венн, «Символическая логика», стр. 161, 2.

Если частные суждения являются истинными противоречиями общих суждений, то, по-видимому, следует, что в системе, где общие суждения выражаются как равенства, частные должны выражаться как неравенства. Это означало бы введение символов > и <, относящихся к соответствующим математическим символам точно так же, как логический символ равенства относится к математическому символу равенства; иными словами, S > SP означало бы логически нечто большее, чем просто числовое неравенство, оно означало бы, что класс S включает в себя весь класс SP и нечто сверх того. Интерпретированное таким образом, S > SP выражает частноотрицательное суждение: «Некоторое S не есть P». Если мы далее введем символ 0 для выражения небытия, то «Ни одно S не есть P» можно записать как SP = 0, а его противоречие, т. е. «Некоторое S есть P», можно записать как SP > 0. Тогда мы получим следующую схему (где p = не-P):

All S is P | expressed by S = SP or by Sp = 0;
Some S is not P |   ″  ″     S > SP  ″  Sp > 0;
No S is P |   ″  ″     SP = 0  ″   S = Sp ;
Some S is P |   ″  ″     SP > 0  ″  S > Sp.

Аналогично, X > Y выражает два утверждения: «Все Y есть X, но некоторое X не есть Y», точно так же, как X = Y выражает два утверждения: «Все Y есть X и все X есть Y».

Следует заметить, что эта схема основана на допущении, что частные суждения экзистенциально утвердительны, в то время как общие — экзистенциально отрицательны. Это ставит вопрос, который будет подробно рассмотрен в следующей главе. Цель настоящего раздела — лишь проиллюстрировать выражение суждений в форме уравнений, и поэтому использованный символизм был рассмотрен настолько кратко, насколько это казалось совместимым с ясным объяснением его смысла. Любое более детальное рассмотрение потребовало бы обсуждения проблем, относящихся к символической логике.

139. Выражение суждений в виде уравнений. — Существуют редкие случаи, когда суждения естественным образом принимают практически эквациональную форму; например, «Цивилизация и христианство коэкстенсивны». Но, вообще говоря, отношение равенства, подразумеваемое в обычных суждениях, не является тем, что спонтанно или даже легко схватывается умом. Следовательно, как психологическое описание процесса суждения, эквациональная интерпретация может быть отвергнута. Более того, нежелательно, чтобы уравнения вытесняли общепризнанные формы суждений в обычной логической доктрине, ибо такая доктрина не должна отклоняться от форм обычной речи больше, чем это необходимо. Но, с другой стороны, эквациональную трактовку суждений нельзя просто отбросить как ошибочную или неработоспособную. В предыдущем разделе было показано, что, во всяком случае, возможно свести все категорические суждения к форме, в которой они выражают равенства или неравенства; и такое сведение имеет величайшее значение в системах символической логики. Даже для целей обычной логической доктрины исследование того, насколько суждения могут быть выражены в виде уравнений, служит для обеспечения более полного понимания их значения или, во всяком случае, их полной импликации. Поэтому, хотя обычная формальная логика не должна полностью основываться на эквациональном прочтении суждений, она не может позволить себе полностью игнорировать этот способ их рассмотрения.

Мы можем перейти к более подробному рассмотрению специальной эквациональной или полуэквациональной системы — также открытой для особой критики, — с помощью которой Гамильтон и другие стремились произвести революцию в обычной логической доктрине.

140. Восемь форм суждений, вытекающих из эксплицитной квантификации предиката. — Мы видели, что в обычной четырехчленной схеме суждений количество предиката определяется качеством суждения: отрицательные суждения распределяют свои предикаты, в то время как утвердительные — нет. Однако представляется правдоподобным взгляд, что посредством эксплицитной квантификации количество предиката может быть сделано независимым от качества суждения, и сэр Уильям Гамильтон был таким образом приведен к признанию восьми различных форм суждений вместо обычных четырех:

All S is all P, | U.
All S is some P, | A.
Some S is all P, | Y.
Some S is some P, | I.
No S is any P, | E.
No S is some P, | η.
Some S is not any P, | O.
Some S is not some P, | ω.

Символы, приписанные различным суждениям в вышеприведенной схеме, являются теми, что используются архиепископом Томсоном, и они теперь широко приняты, поскольку квантификация предиката признается в современных учебниках.

Сам Томсон, однако, в конечном счете отвергает формы η и ω.

Символы, использованные Гамильтоном, были Afa, Afi, Ifa, Ifi, Ana, Ani, Ina, Ini. Здесь f указывает на утвердительное суждение, n — на отрицательное; a означает, что соответствующий термин распределен, i — что он не распределен.

Для новых форм мы могли бы также использовать символы SuP, SyP, SηP, SωP, согласно принципу, объясненному в разделе 62.

141. Фундаментальный постулат логики сэра Уильяма Гамильтона. — Фундаментальный постулат логики, согласно сэру Уильяму Гамильтону, состоит в том, «чтобы нам было позволено эксплицитно выражать в языке все, что имплицитно содержится в мышлении»; и мы можем вкратце рассмотреть значение, которое следует придать этому постулату, прежде чем переходить к обсуждению его использования в связи с доктриной квантификации предиката.

Придавая естественную интерпретацию фразе «имплицитно содержится в мышлении», постулат на первый взгляд может показаться широким изложением общего принципа, лежащего в основе трактовки логиком формальных выводов. Во всех таких выводах заключение имплицитно содержится в посылках; и поскольку логика должна определять, какие выводы законно следуют из данных посылок, можно сказать, что в этом смысле частью функции логики является эксплицитное выражение в языке того, что имплицитно содержится в мышлении.

Однако из использования этого постулата Гамильтоном и его школой становится ясно, что он не думает об этом, и, более того, что он вообще не намерен ссылаться на дискурсивное мышление. Его смысл скорее в том, что мы должны делать эксплицитным в языке не то, что имплицитно в мышлении, а то, что эксплицитно в мышлении, или, как это можно выразить иначе, что мы должны делать эксплицитным в языке все, что действительно присутствует в мышлении в акте суждения.

Принимая эту интерпретацию, мы можем прийти к выводу, что постулат выражен неясно, но мы не можем не признать его обоснованность. Для логика, очевидно, важно прояснять двусмысленности и эллипсисы языка. По этой причине, среди прочего, желательно избегать сжатых и эллиптических способов выражения. Но поддерживает ли постулат Гамильтона в такой интерпретации доктрину квантификации предиката — это другой вопрос. Этот пункт будет рассмотрен в следующих двух разделах.

142. Преимущества, приписываемые квантификации предиката. — Гамильтон утверждает, что «в мышлении предикат всегда квантифицирован», и поэтому он делает вывод, непосредственно следующий из постулата, обсуждавшегося в предыдущем разделе, что «в логике количество предиката должно быть выражено, по требованию, в языке». «Количество предиката, — говорит д-р Бейнс в авторизованном изложении доктрины Гамильтона, содержащемся в его «Новой аналитике логических форм», — не выражается в обычном языке, потому что обычный язык эллиптичен. Все, что не является действительно необходимым для ясного понимания того, что содержится в мышлении, обычно опускается в выражении. Но мы должны различать цели, преследуемые обычным языком и логикой соответственно. В то время как первый стремится с ясностью показать содержание мышления, вторая стремится с точностью показать форму мышления. Поэтому в логике предикат всегда должен быть квантифицирован». Далее утверждается, что квантификация предиката необходима для понятной предикации. «Предикация есть не что иное, как выражение количественного отношения, в котором понятие находится к индивиду, или два понятия — друг к другу. Если бы это отношение было неопределенным — если бы мы не были уверены, идет ли речь о части, о целом или ни о чем, — никакой предикации быть не могло бы».

Среди практических преимуществ, которые, как утверждается, вытекают из квантификации предиката, называют сведение всех видов обращения суждений к одному, а именно к простому обращению; и упрощение законов силлогизма. Что касается первого из этих пунктов, можно заметить, что если доктрина квантификации предиката принята, различие между субъектом и предикатом сводится лишь к различию в порядке изложения. Каждая форма суждения может без какого-либо изменения смысла читаться как вперед, так и назад, и поэтому каждое суждение, следовательно, может по праву считаться просто обратимым.

Далее утверждается, что новые формы суждений, возникающие в результате квантификации предиката, необходимы для выражения отношений, которые иначе не могут быть выражены столь просто. Так, только U служит для выражения того факта, что два класса коэкстенсивны; и даже ω, как говорят, необходима в логических делениях, поскольку если мы делим (скажем) европейцев на англичан, французов и т. д., это требует от нас мыслить, что некоторые европейцы не есть некоторые европейцы (например, англичане не есть французы).

143. Возражения против квантификации предиката. — Те, кто отвергает доктрину Гамильтона о квантификации предиката, с самого начала отрицают фундаментальную посылку, на которой она основана, а именно, что предикат суждения всегда мыслится как определенное количество. Они идут дальше и отрицают, что он вообще мыслится как количество, то есть как совокупность объектов. Мы уже указали в разделе 135 основания для взгляда, согласно которому, в то время как в подавляющем большинстве случаев субъект суждения в обычном мышлении естественно интерпретируется в денотации, предикат естественно интерпретируется в коннотации. Этот психологический аргумент обоснован против Гамильтона, поскольку он действительно основывает свою доктрину на психологическом соображении; и он кажется неопровержимым.

Милль (в своем «Исследовании Гамильтона», стр. 495-7) излагает этот пункт следующим образом: «Я повторяю призыв, с которым уже обращался к сознанию каждого читателя: когда он судит, что все быки жвачные, обращает ли он внимание хотя бы в малейшей степени на вопрос, есть ли что-то еще, что жвачное? Присутствует ли это соображение в его мыслях вообще, больше, чем любое другое соображение, чуждое непосредственному предмету? Один человек может знать, что существуют другие жвачные животные, другой может думать, что их нет, третий может не иметь никакого мнения на этот счет: но если все они знают, что означает «жвачные», то все они, когда судят, что каждый бык жвачный, имеют в виду в точности одно и то же. Ментальный процесс, который они проходят, насколько это касается одного суждения, в точности идентичен; хотя некоторые из них могут пойти дальше и добавить к нему другие суждения. Тот факт, что суждение «Каждое A есть B» означает лишь «Каждое A есть некоторое B», отнюдь не всегда присутствует в мышлении, и поначалу не без труда схватывается новичком в логике. Требуется определенное усилие мысли, чтобы понять, что, когда мы говорим «Все A суть B», мы лишь отождествляем A с частью класса B. Когда учащемуся впервые говорят, что суждение «Все A суть B» может быть обращено только в форме «Некоторые B суть A», я полагаю, что это поражает его как новая идея; и что истинность этого утверждения не совсем очевидна для него, пока она не подтверждена частным примером, в котором он уже знает, что простое обращение было бы ложным, например: «Все люди суть животные, следовательно, все животные суть люди». Настолько далеко от истины утверждение, что суждение «Все A суть B» спонтанно квантифицируется в мышлении как «Все A есть некоторое B»».

Можно добавить слово в ответ на аргумент о том, что если бы количество предиката было неопределенным — если бы мы не были уверены, идет ли речь о целом, части или ни о чем, — никакой предикации быть не могло бы. Это совершенно верно до тех пор, пока у нас остаются все три эти альтернативы; но мы можем иметь предикацию, которая включает исключение только одной из них, так что в отношении двух других все еще сохраняется неопределенность. Утверждать, что если мы не ограничены определенно одним из трех, то нам остаются все они, — это практически смешивать противоречащую оппозицию с противной.

Дальнейшее возражение, выдвигаемое против доктрины квантификации предиката, состоит в том, что некоторые из квантифицированных форм являются сложными, а не простыми предикациями. Так, «Все S есть все P» — это сжатый способ выражения, который может быть проанализирован на два суждения: «Все S есть P» и «Все P есть S». Аналогично, если мы интерпретируем «некоторые» как исключающее «все» — пункт, к которому мы вскоре вернемся, — «Все S есть некоторые P» является экспонируемым суждением, разложимым на «Все S есть P» и «Некоторое P не есть S». Однако, как правило, использование экспонируемых форм имеет тенденцию затруднять обнаружение ошибки, и это общее соображение с несомненной силой применимо к частному случаю квантификации предиката. Влияние доктрины квантификации на силлогизм будет кратко затронуто впоследствии, и будет обнаружено, что проблема различения между правильными и неправильными модусами становится более сложной и трудной. Действительно, можно усомниться, упрощается ли хоть какая-то логическая проблема, за исключением обращения, введением квантифицированных предикатов.

Даже помимо вышеуказанных возражений, гамильтоновская доктрина квантификации достаточно осуждается отсутствием внутренней согласованности. Ее нефилософский характер в этом отношении будет показан в следующих разделах.

144. Значение, которое следует придать слову «некоторые» в восьми формах суждений, признаваемых сэром Уильямом Гамильтоном. — Профессор Бейнс в своем авторизованном изложении доктрины сэра Уильяма Гамильтона с самого начала хотел бы заставить нас предположить, что мы больше не имеем дело с неопределенным «некоторые» аристотелевской логики, но что это слово теперь должно использоваться в более определенном смысле «некоторые, но не все». Он утверждает, как мы видели, что понятная предикация требует абсолютно определенного отношения в отношении количества между субъектом и предикатом, и что это должно быть ясно выражено в языке. Так, «если объекты, охватываемые субъектом, составляют некоторую часть, но не целое, тех, что охватываются предикатом, мы пишем «Все X есть некоторые P», и аналогично с другими формами».

Но если верно, что мы определенно знаем относительный объем субъекта и предиката, и если «некоторые» используется строго в смысле «некоторые, но не все», у нас было бы всего пять форм суждений вместо восьми, а именно: «Все S есть все P», «Все S есть некоторые P», «Некоторое S есть все P», «Некоторое S есть некоторые P», «Ни одно S не есть какое-либо P».

Используя «некоторые» в указанном здесь смысле, интерпретация суждения «Некоторое S есть некоторые P» не совсем свободна от двусмысленности. Интерпретация, которую я принимаю, состоит в том, чтобы рассматривать его как эквивалентное двум следующим суждениям с неквантифицированными предикатами, а именно: «Некоторое, но не все S есть P» и «Некоторое, но не все P есть S». Тогда оно необходимо подразумевает гамильтоновские суждения «Некоторое S не есть какое-либо P» и «Ни одно S не есть некоторые P».

Мы уже видели (в разделе 126), что единственно возможные отношения между двумя терминами в отношении их объема даются следующими пятью диаграммами:

Они соответствуют соответственно пяти формам суждений, приведенным выше; и ясно, что при взгляде, указанном д-ром Бейнсом, восемь форм избыточны.

А именно U, A, Y, I, E. O и η нельзя интерпретировать как дающие точно определенную информацию; O допускает альтернативу между Y и I, а η — между A и I. Об интерпретации ω см. примечание 2 на стр. 206.

Ср. Венн, «Символическая логика», глава I.

Совершенно сомнительно, осознавали ли сами авторы, принявшие восьмеричную схему, подводные камни, окружающие использование слова «некоторые». Можно было бы процитировать много отрывков, в которых они отчетливо принимают значение «некоторые, но не все». Так, Томсон («Законы мышления», стр. 150) делает U и A несовместимыми. Боуэн («Логика», стр. 169, 170) перешел бы от I к O путем непосредственного умозаключения. Сам Гамильтон согласен с Томсоном и Боуэном по этим пунктам; но он удивительно нерешителен по общему вопросу, поднятому здесь. Он замечает («Логика», II, стр. 282), что «некоторые» «считается определенным «некоторые», когда другой термин определен», т. е. в A и Y, η и O: но «с другой стороны, когда оба термина неопределенны или частны, «некоторые» каждого оставляется полностью неопределенным», т. е. в I и ω. Это очень запутанно, и было бы крайне трудно применять это различие последовательно. Сам Гамильтон, безусловно, не применяет его так. Например, по его взгляду, уже не должно быть так, что две утвердительные посылки требуют утвердительного заключения; или что две отрицательные посылки делают силлогизм недействительным. Таким образом, следующее должно рассматриваться как правильное:

| All P is some M,
| All M is some S,
therefore,  | Some S is not any P.
| No M is any P,
| Some S is not any M,
therefore,  | Some or all S is not any P.

«Такого рода умозаключение, — замечает он, — Гамильтон назвал бы интеграцией, так как его эффект состоит в том, чтобы после определения одной части восстановить целое, выявив оставшуюся часть».

Ср. Вейч, «Основы логики», стр. 307–310 и 367, 8. «Гамильтон ввел бы «некоторые только» в теорию суждений, не отбрасывая, однако, значения «некоторые, по крайней мере». Неверно говорить, что Гамильтон отбросил обычное логическое значение «некоторые». Он просто дополнил его, введя в формы суждений значение «некоторые только»». ««Некоторые», согласно Гамильтону, всегда мыслится как полуопределенное («некоторые только»), где другой термин суждения является общим». Г-н Линдсей, однако, излагая доктрину Гамильтона (Приложение к «Системе логики» Юбервега, стр. 580), говорит более решительно: «Поскольку субъект должен быть равен предикату, расплывчатость в пред-обозначениях должна быть по возможности устранена. «Некоторые» принимается как эквивалентное «некоторые, но не все»». Сполдинг («Логика», стр. 184) определенно выбирает другую альтернативу. Он замечает, что в его собственном трактате «принятой интерпретации «некоторые, по крайней мере» неуклонно придерживаются».

Предвосхищение силлогистической доктрины, которое следует, необходимо для иллюстрации пункта, который мы сейчас обсуждаем.

Такие силлогизмы, однако, не допускаются Гамильтоном и Томсоном; и, с другой стороны, Томсон допускает как правильные некоторые комбинации, которые при вышеуказанной интерпретации не являются правильными. Высший канон категорического силлогизма Гамильтона гласит: «Какое худшее отношение субъекта и предиката существует между любым из двух терминов и общим третьим термином, с которым один, по крайней мере, положительно связан; такое отношение существует между самими двумя терминами» («Логика», II, стр. 357). Это ясно предусматривает, что по крайней мере одна посылка должна быть утвердительной, и что утвердительное заключение должно следовать из двух утвердительных посылок. Томсон («Законы мышления», стр. 165) прямо устанавливает те же правила; и его таблица правильных модусов (приведенная на стр. 188) является (за исключением одной очевидной опечатки) правильной, и правильной только в том случае, если «некоторые» означает «некоторые, возможно, все».

Отрицательное отношение здесь считается «худшим», чем утвердительное, а частное — чем общее.

145. Использование «некоторые» в смысле «некоторые только». — Джевонс, отвечая на вопрос: «Какие результаты последовали бы, если бы мы интерпретировали «Некоторые A суть B» как подразумевающее, что «Некоторые другие A не суть B»?», пишет: «Суждение «Некоторые A суть B» имеет форму I, и согласно таблице оппозиции I истинно, если A истинно; но A есть противоречие O, которое было бы формой «Некоторые другие A не суть B». При таких обстоятельствах A никогда не могло бы быть истинным вообще, потому что его истинность повлекла бы за собой истинность его собственного противоречия, что абсурдно» («Исследования по дедуктивной логике», 151). Однако это не так, что мы обязательно вовлекаем себя в самопротиворечие, если используем «некоторые» в смысле «некоторые только». Что следует отметить, так это то, что если мы используем слово в этом смысле, истинность I больше не следует из истинности A; и что, далеко от того, чтобы это было так, эти два суждения несовместимы друг с другом.

Принимая пять форм суждений: «Все S есть все P», «Все S есть некоторые P», «Некоторое S есть все P», «Некоторое S есть некоторые P», «Ни одно S не есть P», и интерпретируя «некоторые» в смысле «некоторые только», следует заметить, что каждое из них несовместимо с каждым из других, в то время как в то же время ни одно не является противоречием любого другого. Если, например, в этой схеме мы хотим выразить противоречие U, мы можем сделать это только утверждением альтернативы между Y, A, I и E. Ничего из этого, по-видимому, не было замечено гамильтоновскими авторами. Так, Томсон («Законы мышления», стр. 149) дает схему оппозиции, в которой E и I появляются как противоречия, но A и O — как противные.

Один из самых сильных аргументов против использования «некоторые» в смысле «некоторые только» очень хорошо изложен профессором Вейчем, самим учеником сэра Уильяма Гамильтона. «Некоторые только», замечает он, не так фундаментально, как «некоторые, по крайней мере». Первое подразумевает второе; но я могу говорить о «некоторых, по крайней мере», не переходя к более определенной стадии «некоторых только». «Прежде чем я смогу говорить о «некоторых только», не должен ли я сформировать два суждения — одно о том, что «некоторые есть», другое о том, что «другие того же класса не есть»? …… «Некоторые только» таким образом предстали бы как композит двух уже сформированных суждений…… Мне кажется, что мы должны, прежде всего, разработать логические принципы на неопределенном значении «некоторые, по крайней мере»…… «Некоторые только» — это вторичное и производное суждение» («Основы логики», стр. 308).

Если «некоторые» используется в смысле «некоторые только», возникает дальнейшая трудность: как нам выразить любое знание, которым мы можем обладать о части класса, когда мы находимся в неведении относительно остальной части. Предположим, например, что все S, о которых я имел опыт, являются P, я не оправдан в утверждении ни того, что «все S суть P», ни того, что «некоторые S суть P». Единственное решение трудности — сказать, что «все или некоторые S суть P». Сложность, которую это внесло бы, очевидна.

146. Интерпретация восьми гамильтоновских форм суждения, при использовании «некоторые» в его обычном логическом смысле. — Принимая пять возможных отношений между двумя терминами, как проиллюстрировано диаграммами Эйлера, и обозначая их соответственно α, β, γ, δ, ε, как в разделе 126, мы можем записать напротив каждой из форм суждений отношения, которые совместимы с ней, при допущении, что «некоторые» используется в его обычном логическом смысле, то есть как исключающее «ни одного», но не «все»:

U  | α
A  | α, β
Y  | α, γ
I  | α, β, γ, δ
E  | ε
η  | β, δ, ε
O  | γ, δ, ε
ω  | α, β, γ, δ, ε

Соответствующая интерпретация, когда «некоторые» используется в смысле «некоторые только», дана в примечаниях 1 и 2 на стр. 200 и в примечании 2 на стр. 206.

Если бы гамильтоновские авторы попытались проиллюстрировать свою доктрину с помощью диаграмм Эйлера, они, я думаю, либо обнаружили бы, что она неработоспособна, либо довели бы ее до более четкого и последовательного результата.

Тогда мы имеем следующие пары противоречий — A, O; Y, η; I, E. Противоречие U получается путем утверждения альтернативы между η и O.

Без использования квантифицированных предикатов ту же информацию можно выразить следующим образом:

U = SaP, PaS ;

A = SaP ;

Y = PaS ;

I = SiP ;

E = SeP ;

η = PoS ;

O = SoP.

Какая информация, если таковая имеется, дается ω, будет обсуждаться в разделе 149.

147. Суждения U и Y. — Следует признать, что эти суждения встречаются в обычном дискурсе. Мы, возможно, действительно не найдем суждений, которые фактически написаны в форме «Все S есть все P»; но мы имеем U во всех намерениях и целях, когда есть недвусмысленное утверждение, что субъект и предикат суждения коэкстенсивны. Так, все определения практически являются суждениями U; так же как и все утвердительные суждения, в которых и субъект, и предикат являются единичными терминами. Возьмем также такие суждения, как следующие: «Христианство и цивилизация коэкстенсивны»; «Европа, Азия, Африка, Америка и Австралия — это все континенты»; «Те трое, которых я упомянул, — это все, кто когда-либо поднимался на гору по этому маршруту»; «Поваренная соль — это то же самое, что хлорид натрия».

201. Возьмем суждение: «Мистер Гладстон — нынешний премьер-министр». Если кто-то отрицает, что это U, то он должен отрицать, что суждение «Мистер Гладстон — англичанин» есть A. Мы на более ранней стадии обсуждали вопрос о том, насколько единичные суждения могут по праву рассматриваться как составляющие подкласс общих.

202. В этом и следующем примере предикат явно квантифицирован универсально; так что если это не суждения U, они должны быть суждениями Y. Но столь же ясно, что субъект обозначает весь определенный класс, как бы ограничен ни был этот класс.

203. Это все примеры того, что Джевонс назвал бы простыми тождествами в отличие от частичных тождеств. Ср. раздел 138.

Такие суждения, как следующие, иногда известные как исключительные суждения, могут быть приведены в качестве примеров Y: «Только S есть P»; «Только выпускники имеют право на назначение»; «Некоторые пассажиры — единственные выжившие». Эти суждения могут быть интерпретированы как эквивалентные следующим: «Некоторое S есть все P»; «Некоторые выпускники — это все, кто имеет право на назначение»; «Некоторые пассажиры — это все выжившие». Это, действительно, единственный способ трактовки суждений, который позволит нам сохранить исходные субъекты в качестве субъектов, а исходные предикаты — в качестве предикатов.

204. В этих суждениях «некоторые» следует интерпретировать в неопределенном смысле, а не как исключающее «все».

Мы не можем тогда согласиться с профессором Фаулером, что дополнительные формы «не просто необычны, но таковы, что мы никогда их не используем» («Дедуктивная логика», стр. 31). Тем не менее, при трактовке силлогизма и т. д. по традиционным линиям лучше сохранить традиционную схему суждений. Добавление форм U и Y не ведет к упрощению, а наоборот; и их полная сила может быть выражена другими способами. С этой точки зрения, когда мы встречаем суждение U, «Все S есть все P», мы можем разложить его на два суждения A: «Все S есть P» и «Все P есть S», которые, взятые вместе, эквивалентны ему; а когда мы встречаем суждение Y, «Некоторое S есть все P» или «Только S есть P», мы можем заменить его суждением A «Все P есть S», которое оно дает путем обращения.

148. Суждение η. — Это суждение в форме «Ни одно S не есть некоторые P», я думаю, никогда не встречается в обычном употреблении. Мы можем, однако, признать его возможность; и следует отметить, что форма суждения, которую мы встречаем, а именно: «Не только S есть P» или «Не только S есть P», практически является η, при условии, что мы не рассматриваем это суждение как подразумевающее, что какое-либо S определенно есть P.

Архиепископ Томсон замечает, что η «имеет лишь видимость, а не силу отрицания. Истинное, хотя оно и есть, оно не препятствует нам делать другое суждение утвердительного рода из тех же терминов» («Законы мышления», § 79). Это ошибочно; ибо хотя A и η могут быть истинными вместе, U и η не могут, а Y и η являются строго противоречиями. Отношение противоречия, в котором Y и η стоят друг к другу, возможно, проявляется более ясно, если они записаны в формах «Только S есть P», «Не только S есть P» или «Только S есть P», «Не только S есть P». Будет замечено, более того, что η является обратным к O, и наоборот. Если, следовательно, η не имеет силы отрицания, то же самое будет верно и для O. Но это, безусловно, неверно для O.

205. Мы снова интерпретируем «некоторые» как неопределенное. Если оно означает «некоторые, самое большее», то сила отрицания, которой обладает η, возрастает.

149. Суждение ω. — Суждение ω, «Некоторое S не есть некоторые P», не несовместимо ни с одной из других форм суждений, даже с U, «Все S есть все P». Например, допуская, что «все равносторонние треугольники суть все равноугольные треугольники», все же «этот равносторонний треугольник не есть тот равноугольный треугольник», что и есть все, что утверждает ω. «Некоторое S не есть некоторые P», действительно, всегда истинно, за исключением случаев, когда и субъект, и предикат являются именем индивида и одного и того же индивида. Де Морган («Силлабус», стр. 24) отмечает, что его противоречие — это: «S и P единичны и идентичны; есть только одно S, есть только одно P, и S есть P». Можно без колебаний сказать, что суждение ω абсолютно не имеет логического значения.

206. «Некоторые» снова интерпретируется в его обычном логическом смысле. Г-н Джонсон отмечает, что если «некоторые» означает «некоторые, но не все», мы приходим к парадоксальному выводу, что ω эквивалентно U. Мы можем рассматривать утверждение, включающее ссылку на «некоторые, но не все», как утверждение, относящееся к «некоторым, по крайней мере», в сочетании с отрицанием соответствующего утверждения, в котором «все» заменено на «некоторые». В этой интерпретации «Некоторое S не есть некоторые P» утверждает, что «S и P не являются идентично одним», но также отрицает, что «некоторое S не есть какое-либо P» и что «некоторое P не есть какое-либо S»; то есть оно утверждает SaP и PaS.

207. Де Морган в нескольких отрывках критикует с большой остротой гамильтоновскую схему суждений.

208. Профессор Вейч замечает, что в ω «мы утверждаем части, и что они могут быть разделены, или что есть части и части. Если мы отрицаем это утверждение, мы утверждаем, что вещь, о которой идет речь, неделима или является единством…… Мы можем сказать, что есть люди и люди. Мы говорим, как делаем это каждый день, есть политики и политики, есть церковники и церковники, есть проповеди и проповеди. Это лишь скрытые формы «некоторые не есть некоторые»…… «Некоторая вивисекция не есть некоторая вивисекция» — это истинно и важно; ибо одна может быть с анестетиком, другая — без него» («Основы логики», стр. 320, 1). Будет замечено, что суждение «Есть политики и политики» здесь приведено как типичный пример ω. Уместность этого отрицается г-ном Монком. «Опять же, можно ли сказать, что суждение «Есть патриоты и патриоты» адекватно передается как «Некоторые патриоты не есть некоторые патриоты»? Последнее суждение просто утверждает неидентичность: первое призвано подразумевать также определенную степень несходства [т. е. в характеристиках или последствиях патриотизма разных индивидов]. Но два неидентичных объекта могут быть совершенно похожи» («Введение в логику», стр. xiv).

150. Шестичленная схема суждений, полученная путем признания Y и η, в дополнение к A, E, I, O. — Схема суждений, полученная путем добавления Y и η к обычной схеме, представляет некоторые интересные особенности и заслуживает случайного признания и обсуждения. В разделе 100 было показано, что в обычной схеме существует шесть и только шесть независимых суждений, соединяющих любые два термина, а именно: SaP, PaS, SeP (= PeS), SiP (= PiS), PoS, SoP. Если мы запишем второе и предпоследнее из них в формах, в которых S и P являются соответственно субъектом и предикатом, мы получим схему, которую мы сейчас рассматриваем, а именно:

SaP | = | All S is P ;
SyP | = | Only S is P ;
SeP | = | No S is P ;
SiP | = | Some S is P ;
SηP | = | Not only S is P ;
Sop | = | Some S is not P.

209. В этой схеме «некоторые» интерпретируется повсюду в его обычном логическом смысле. U опущено из-за его сложного характера; его включение также разрушило бы симметрию схемы.

210. Не предполагается, что эта шестичленная схема должна вытеснить четырехчленную схему в основном корпусе логической доктрины. Однако важно помнить, что выбор любой схемы более или менее произволен, и что никакая схема не должна устанавливаться как авторитетная в исключение всех других.

Будет замечено, что пара суждений, SyP и SηP, являются противоречиями; так что теперь у нас есть три пары противоречий. Существуют, конечно, другие дополнения к традиционной таблице оппозиции, и некоторые новые отношения потребуют признания, например, между SaP и SyP. Однако с помощью обсуждения, содержащегося в разделе 107, читатель без труда сам выведет требуемый шестиугольник оппозиции.

Что касается непосредственных умозаключений, мы не можем в этой схеме получить какое-либо удовлетворительное превращение ни для Y, ни для η, причиной чего является то, что они имеют квантифицированные предикаты, и что, следовательно, отрицание не может в этих суждениях быть просто присоединено к предикату. Мы имеем, однако, следующую интересную таблицу других непосредственных умозаключений:

|  Converse. |  Contrapositive. |  Inverse.
SaP | = | PyS | = | PʹaSʹ | = | SʹyPʹ
SyP | = | PaS | = | PʹySʹ | = | SʹaPʹ
SeP | = | PeS | = | PʹyS | = | SʹyP
SiP | = | PiS | = | PʹηS | = | SʹηP
SηP | = | PoS | = | PʹηSʹ | = | SʹoPʹ
SoP | = | PηS | = | PʹoSʹ | = | SʹηPʹ

211. Будет замечено, что непрактичность превращения Y и η ведет к некоторому отсутствию симметрии в третьем и четвертом столбцах.

Основные моменты, которые следует здесь отметить: (1) что каждое суждение теперь допускает обращение, противопоставление и инверсию; и (2) что выведенное суждение в каждом случае эквивалентно исходному суждению, так что ни в одном из умозаключений нет потери логической силы. Другими словами, мы получаем в каждом случае простое обратное, простое противопоставление и простую инверсию.

УПРАЖНЕНИЯ.

151. Объясните точно, каким образом O допускает обычное обращение, если принят принцип квантификации предиката, хотя иначе это не так. [K.]

152. Составьте таблицу, соответствующую обычной аристотелевской таблице оппозиции, для шести суждений: A, Y, E, I, η, O (некоторые интерпретируются в смысле «некоторые, по крайней мере»). [K.]

ГЛАВА VIII.

ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНАЯ ЗНАЧИМОСТЬ КАТЕГОРИЧЕСКИХ СУЖДЕНИЙ.

212. Студентам при первом чтении целесообразно пропустить эту главу.

153. Существование и универсум дискурса. — В разделе 49 было показано, что каждое суждение включает объективную отсылку, или — как это можно выразить иначе — отсылку к некоторой системе реальности, отличной от самого акта суждения. Отсылка может быть к полной системе реальности без ограничений, или она может быть к некоторому частному аспекту или части этой системы. Что бы это ни было, мы можем говорить об этом как об универсуме дискурса. Универсум дискурса может быть ограничен различными способами; например, физическими объектами, или психическими событиями, или, опять же, со ссылкой на время или пространство. Но во всех случаях это универсум реальности в том смысле, в каком этот термин использовался в разделе 49. Природа отсылки в суждениях, относящихся к фиктивным объектам, например, к персонажам и событиям в пьесе или романе, может быть рассмотрена особо. Мы можем сказать, что в случае такого рода универсум дискурса состоит из ряда утверждений о лицах и событиях, сделанных определенным автором; и ясно, что такие утверждения имеют объективную реальность, хотя сами лица и события фиктивны. Отсюда следует, что в отношении отсылки к реальности такое суждение, как «Гамлет убил Полония», должно считаться эллиптическим. Ибо отсылка идет не к реальным лицам или к действительному ходу событий в прошлой истории мира, как это бывает, когда мы говорим «Мария Стюарт была обезглавлена», а к ряду описаний, данных Шекспиром в конкретной пьесе. Эти описания, однако, имеют свою собственную реальность, и (при ясном понимании различной природы отсылки) я не более свободен сказать, что Гамлет не убивал Полония (то есть, что Шекспир не описывал Гамлета убивающим Полония), чем сказать, что Мария Стюарт не была обезглавлена.

213. «Универсум дискурса иногда ограничен небольшой частью актуального универсума вещей, а иногда коэкстенсивен с этим универсумом» (Буль, «Законы мышления», стр. 166). О концепции ограниченного универсума дискурса см. также Де Морган, «Силлабус предложенной системы логики», §§ 122, 3, и «Формальная логика», стр. 55; Венн, «Символическая логика», стр. 127, 8; и Джевонс, «Принципы науки», глава 3, § 4.

Суть вышесказанного была выражена словами, что реальность является конечным субъектом каждого суждения. Каждое суждение делает утверждение об определенном универсуме дискурса, и универсум дискурса (каким бы он ни был) имеет некоторое реальное содержание. В этом смысле тогда каждое суждение имеет существующий субъект. Однако может быть поднят дальнейший вопрос, а именно: следует ли — используя слово «субъект» в его обычном логическом значении — интерпретировать все или какие-либо суждения как подразумевающие существование (или возникновение) их субъектов внутри универсума дискурса (или частной части реальности), к которому идет отсылка. Именно этой проблемой и тем, как обычные логические доктрины затрагиваются ее решением, мы будем заниматься в настоящей главе.

214. Ср. Брэдли, «Принципы логики», стр. 41.

В нашем обсуждении экзистенциальной значимости не будет необходимости пытаться определить конечную природу реальности. Вопросы, однако, не совсем легки для решения, и могут возникнуть различные источники недопонимания.

Существует один смысл, в котором существование чего-то, соответствующего используемым терминам, должно быть постулировано во всякой предикации. Ибо для того, чтобы использовать любой термин в понятном смысле, мы должны мысленно придать ему некоторое значение. Следовательно, в уме должно быть что-то, соответствующее каждому термину, который мы используем. Даже в случаях, когда нельзя сказать, что есть какой-либо соответствующий ментальный продукт, должен, во всяком случае, быть какой-то соответствующий ментальный процесс. Это применимо даже к таким терминам, как «круглый квадрат», «нечеловеческий человек» или «корень из минус единицы». Мы, конечно, не способны сформировать образ круглого квадрата или идею нечеловеческого человека, равно как не можем вычислить корень из минус единицы. Но мы придаем значение этим терминам, и поэтому они должны иметь ментальный эквивалент того или иного рода. В случае «круглого квадрата» или «нечеловеческого человека» это не актуальная комбинация в воображении или идее «круглого» с «квадратным» или «нечеловеческого» с «человеком», ибо такие комбинации невозможны. Но это идея комбинации, рассматриваемая как проблема, представленная для решения, и, возможно, включающая безуспешное усилие осуществить комбинацию в мышлении. По-видимому, о существовании такого рода думают некоторые авторы, когда они утверждают, что по необходимости каждое суждение логически подразумевает существование своего субъекта. Но наше значение совсем другое, когда мы говорим о существовании в универсуме дискурса. Природа различия может быть сделана более ясной следующими соображениями.

Будет признано, что что бы еще ни было включено в полную импликацию общего суждения, оно по крайней мере отрицает существование определенного класса объектов. «Ни одно S не есть P» отрицает существование объектов, которые являются и S, и P; «Все S есть P» отрицает существование объектов, которые являются S, не будучи при этом P. В этих суждениях, однако, мы не намерены отрицать существование SP (или SP') как объектов мышления. Например, в суждении «Ни одна роза не является синей» мы не намерены отрицать, что можем сформировать идею синих роз; равно как в суждении «Все жвачные животные являются парнокопытными» мы не намерены отрицать, что жвачные животные без парных копыт могут существовать как объекты мышления. Эти иллюстрации могут помочь нам более ясно понять, что имеется в виду под существованием в универсуме дискурса. Универсум дискурса в случае суждения «Ни одно S не есть P» — это универсум (каким бы он ни был), в котором существование SP отрицается. Универсум дискурса в случае общего утвердительного суждения может быть определен аналогично. Что касается частных суждений, то лучше всего искать интерпретацию через общие суждения, которыми частные противоречатся. Так, универсум дискурса в случае суждения «Некоторое S есть P» может быть определен как универсум (каким бы он ни был), в котором существование SP понималось бы как отрицаемое в соответствующем общеотрицательном суждении. Суждение «Некоторое S не есть P» может быть рассмотрено аналогично.

Вопрос о том, следует ли интерпретировать категорическое суждение как формально подразумевающее, что его термины являются именами существующих вещей, может быть истолкован следующим образом: если дано категорическое суждение с S и P в качестве субъекта и предиката, формально ли подразумевается существование S или P в той сфере (какова бы она ни была), в которой существование SP (или SPʹ) отрицается данным суждением (или его противоречащим)?

Этот вопрос можно выразить несколько иначе. Такое суждение, как «Ни одно S не есть P», отрицает существование определенного комплекса атрибутов, а именно SP. Но за редким исключением, S само по себе означает определенный комплекс атрибутов; то же самое относится и к P. Утверждает ли суждение существование этих последних комплексов в том же смысле, в каком оно отрицает существование первого комплекса?

Невозможно установить общий критерий для определения того, что на самом деле является универсумом рассуждения в каждом конкретном случае. Однако можно сказать, что знание о том, какой универсум имеется в виду, подразумевается при понимании смысла любого данного суждения; случаи, в которых может возникнуть практическое сомнение, являются исключительными. Так, в суждениях «Ни одна роза не является синей», «Все люди смертны», «Все жвачные животные парнокопытные» отсылка явно идет к реальному физическому универсуму; в суждении «Гнев олимпийских богов очень ужасен» — к универсуму греческой мифологии; в суждении «Феи способны принимать различные формы» — к универсуму фольклора; в суждении «Две прямые линии не могут ограничивать пространство» — к универсуму пространственных интуиций.

В то же время следует признать, что споры иногда возникают из-за неосознанного отсутствия согласия между спорящими относительно того, к какому универсуму рассуждения делается отсылка.

Универсум греческой мифологии состоит не из богов, героев, кентавров и т. д., а из описаний таких существ, общепринятых в Древней Греции и переданных нам Гомером и другими авторами. Таким образом, что касается отсылки к реальности, такое суждение, как «Гнев олимпийских богов очень ужасен», является эллиптическим в смысле, который уже был объяснен.

Здесь снова имеет место эллипсис. Универсум фольклора состоит не из фей, эльфов и т. д., а из их описаний, основанных на народных поверьях и условно принимаемых, когда речь идет о таких существах. Конечно, для того, кто действительно верил в существование фей, эллипсиса не было бы, и универсум рассуждения был бы иным.

В отношении экзистенциальной значимости суждений возникают следующие вопросы для рассмотрения: (1) Является ли эта проблема той, которой должна заниматься логика, и в частности формальная логика? (2) Как следует интерпретировать суждения, относящиеся к традиционной схеме, в отношении их экзистенциальных импликаций? (3) Можем ли мы сформулировать схему суждений, которые прямо утверждают или отрицают существование, и как такая схема будет соотноситься с традиционной схемой? (4) Как обычные логические доктрины зависят от ответа, данного на второй из этих вопросов?

Ясно, что первый и четвертый из этих вопросов связаны, поскольку, если четвертый допускает хоть какой-то положительный ответ, то первый тем самым получает утвердительный ответ. Однако, поскольку первый вопрос преграждает путь и, по-видимому, требует ответа до того, как мы продолжим обсуждение, будет целесообразно кратко рассмотреть его в самом начале.

Второй и третий вопросы также тесно связаны между собой.

Между вторым и четвертым вопросами необходимо провести важное различие. Второй вопрос — это вопрос интерпретации, и в определенных пределах ответ на него является делом конвенции. Следовательно, данное решение может быть предпочтительнее по основаниям, которые не оправдывали бы отбрасывание других решений как совершенно ошибочных, хотя их можно считать неудобными или неподходящими. Но ответ на четвертый вопрос не является в такой же мере делом конвенции. На основе любой данной интерпретации пропозициональных форм способ, которым затрагиваются логические доктрины, может допускать только одно правильное решение.

Следует далее заметить, что четвертый вопрос можно рассматривать гипотетически, то есть мы можем проработать следствия интерпретаций, которые мы не намерены принимать; и желательно, чтобы мы проработали такие следствия, прежде чем принимать решение об использовании какой-либо данной интерпретации. Поэтому мы предлагаем рассмотреть четвертый вопрос до обсуждения второго. Третий вопрос удобно рассмотреть после первого.

154. Формальная логика и экзистенциальная значимость суждений. — Итак, в первую очередь нам нужно кратко рассмотреть вопрос о том, является ли проблема экзистенциальной значимости той, которой логика должна заниматься. Можно утверждать, что формальная логика, во всяком случае, по самой своей природе не может заниматься вопросами, относящимися к существованию в какой-либо иной сфере, кроме сферы мышления. Функция формального логика, можно сказать, состоит в том, чтобы различать то, что непротиворечиво, и то, что противоречиво; его дело — различать то, что может и чего не может существовать в мире мысли. Но дальше этого он пойти не может. Любые соображения, касающиеся объективного существования, выходят за рамки формальной логики.

Мы можем ответить на вышеприведенный аргумент, четко определив нашу позицию. Конечно, функция логики не состоит в том, чтобы определять, существуют ли на самом деле определенные классы в каком-либо данном универсуме рассуждения, так же как не является функцией логики определение того, являются ли данные суждения истинными или ложными. Но из этого не следует, что логика, таким образом, не имеет отношения к каким-либо вопросам, касающимся объективного существования. Ибо, точно так же как при истинности определенных суждений логика определяет, какие другие суждения будут в результате также истинными, так и при наличии утверждения или набора утверждений о том, что определенные комбинации существуют или не существуют в данном универсуме рассуждения, она может определить, какие другие утверждения о существовании в том же универсуме рассуждения следуют из них. На самом деле, посылки в любом аргументе неизбежно содержат определенные импликации в отношении существования в конкретном универсуме рассуждения, к которому делается отсылка, и то же самое верно для заключения; поэтому существенно, чтобы логик убедился, что последние импликации четко обоснованы первыми.

Последняя часть этого утверждения, по сути, является лишь повторением первой части с несколько иной точки зрения. Доктрина о том, что заключения, полученные с помощью формальной логики, никогда не могут относиться к чему-то большему, чем просто мыслимое, является весьма вредным заблуждением. Материальная истинность заключения формального рассуждения ограничена лишь материальной истинностью посылок.

Не вдаваясь сейчас в детали, мы можем очень кратко указать один или два экзистенциальных вопроса, которые нельзя полностью исключить из рассмотрения в формальной логике. Универсальные суждения, как мы видели, утверждают несуществование в некоторой сфере реальности; и невозможно выявить их полное содержание, не обратив внимание на этот факт. Далее, суждение «Все S есть P» по крайней мере подразумевает, что если в универсуме рассуждения есть какие-либо S, то должны быть и некоторые P, в то время как оно, по-видимому, не обязательно подразумевает, что если есть какие-либо P, то должны быть некоторые S. Но теперь обратим суждение. Результатом будет «Некоторые P есть S», и это действительно подразумевает, что если есть какие-либо P, то должны быть некоторые S. Как тогда процесс обращения может быть показан как валидный без некоторого допущения, которое послужило бы оправданием этой последней импликации? Аналогично, при переходе от «Все S есть P» к «Некоторые не-S не есть не-P» должно быть по крайней мере допущено, что если S не составляет весь универсум рассуждения, то и P его не составляет. Действительно, совершенно невозможно оправдать процесс инверсии в любом случае, не принимая во внимание экзистенциальную интерпретацию рассматриваемых суждений.

Д-р Вольф это отрицает. Его аргумент, однако, основан главным образом на неверной интерпретации одного конкретного примера. «Давайте, — говорит он, — возьмем конкретный пример. “Некоторые вещи, которых боятся дети, — это призраки”. Подразумевает ли это суждение, что если есть что-то, чего боятся дети, то есть и призраки? Безусловно, можно правомерно сделать такое утверждение, веря в то, что есть вещи, которых боятся дети, и при этом абсолютно не веря в существование призраков. На самом деле вышеприведенное суждение вполне могло бы быть использовано в сочетании с прямым отрицанием существования призраков, чтобы доказать, что, хотя некоторые вещи, которых боятся дети, реальны, они также боятся вещей, которые не существуют, а являются лишь воображаемыми» (Studies in Logic, стр. 144). Любая видимость, которой может обладать этот аргумент, проистекает из двусмысленности слов «вещь» и «реальный». Ясно, что для того, чтобы сделать рассматриваемое суждение понятным, слово «вещи» должно быть интерпретировано как означающее «вещи, реальные или воображаемые». Более того, «воображаемые вещи» имеют свою собственную реальность, хотя это не физическая, материальная реальность. Призраки, следовательно, существуют в универсуме рассуждения, к которому делается отсылка. Объекты, обозначаемые предикатом суждения, на самом деле имеют точно такой же вид существования, как и некоторые из объектов, обозначаемых субъектом. Рассматривая дело с несколько иной точки зрения, ясно, что если под «вещами» в субъекте мы подразумеваем вещи, имеющие материальное существование, то, если призраки не имеют подобного существования, суждение не является истинным.

Принимая во внимание постоянную двусмысленность языка и то, как вербальные формы могут неадекватно представлять суждения, которые они призваны выразить, было бы в любом случае неудовлетворительно позволить вопросу того рода, который мы здесь обсуждаем, быть решенным с помощью одного конкретного примера. Взгляд д-ра Вольфа состоит в том, что «Некоторые S есть P» не подразумевает, что если есть какие-либо S, то есть и некоторые P. Предположим тогда, что есть некоторые S и что нет никаких P. Отсюда следует, что есть S, но ни одно из них не есть P. Что в этих обстоятельствах может означать суждение «Некоторые S есть P», понять трудно.

Поскольку аргумент д-ра Вольфа независим от вышеприведенного конкретного примера, он, по-видимому, зависит от отождествления суждения «Некоторые S есть P» с суждением «S может быть P». Последнее является модальной формой и, несомненно, совместимо с существованием S и несуществованием P. Но я осмелюсь думать, что отождествление этих двух форм полностью противоречит текущему использованию языка. Я вполне готов признать, что если «Все S есть P» интерпретируется как безусловное универсальное суждение, означающее «S как таковое есть P», то его истинным противоречащим является «S может быть P», а не «Некоторые S есть P». Но это именно потому, что я не думаю, что «Некоторые S есть P» понималось бы как выражение лишь абстрактной совместимости S и P. Безусловно, собственный конкретный пример д-ра Вольфа, упомянутый выше, не может выдержать такой интерпретации. Дополнительные замечания о модальностях в связи с экзистенциальной значимостью см. в разделах 160 и 163.

Джевонс замечает, что он не видит, как в дедуктивной логике может возникнуть какой-либо вопрос о существовании, и отмечает, ссылаясь на противоположный взгляд, принятый Де Морганом, что «это один из немногих пунктов, в которых можно заподозрить его в необоснованности» (Studies in Deductive Logic, стр. 141). Однако невозможно придать какой-либо смысл собственному «Критерию непротиворечивости» Джевонса, если он не имеет некоторого отношения к «существованию». «В качестве необходимого закона принимается, что каждый термин должен иметь свое отрицание. Отсюда возникает то, что я предлагаю называть Критерием непротиворечивости, сформулированным следующим образом: любые два или более суждений являются противоречащими тогда и только тогда, когда после всех возможных подстановок они вызывают полное исчезновение любого термина, положительного или отрицательного, из Логического Алфавита» (стр. 181). Что это может означать, кроме того, что, хотя мы можем отрицать существование комбинации AB, мы не можем без противоречия отрицать существование самого A, или не-A, или B, или не-B? Это допущение относительно экзистенциальной импликации суждений проходит через всю эквациональную логику Джевонса. Следующий отрывок, например, взят почти наугад: «Остаются четыре комбинации: ABC, aBC, abC, abc. Но они не стоят на одной логической основе, потому что если бы мы удалили ABC, то не осталось бы такой вещи, как A; и если бы мы удалили abc, то не осталось бы такой вещи, как c. Теперь критерием или условием логической непротиворечивости является то, что каждый отдельный термин и его отрицание должны остаться. Следовательно, должны существовать некоторые вещи, которые описываются ABC, и другие вещи, описываемые abc» (стр. 216).

155. Экзистенциальная формулировка суждений. — Мы можем определить экзистенциальное суждение как такое, которое прямо утверждает или отрицает существование (или наличие) в универсуме рассуждения (или части реальности), к которому делается отсылка. Такие суждения, конечно, встречаются в обычных формах речи: например, «Бог существует», «Идет дождь», «Есть белые зайцы», «Дождь не идет», «Единороги не существуют», «Нет розы без шипов». Иногда утверждение или отрицание существования принимает менее простую форму, но является не менее прямым: например, «Убийство Цезаря — историческое событие», «Д’Артаньян — не вымышленное лицо», «Кентавр — вымысел поэтов», «Большая медная бабочка вымерла».

При формальном выражении экзистенциальных суждений будет удобно использовать некоторые символы, описанные в предыдущей главе. Так, утверждение существования S может быть записано в форме S > 0, а отрицание существования S — в форме S = 0. Тогда у нас будет экзистенциальная схема суждений, если мы сведем наши утверждения к одной или другой из этих форм или к их конъюнктивному или дизъюнктивному сочетанию. Отношение между традиционной схемой и экзистенциальной схемой такого рода будет обсуждаться в разделе, следующем через один.

Здесь можно указать, что, поскольку сам универсум рассуждения предполагается реальным и, следовательно, не может быть полностью лишен содержания, любое отрицание существования также включает в себя утверждение существования. Ибо если мы отрицаем существование S, мы тем самым неявно утверждаем существование не-S, так как по закону исключенного третьего все в универсуме рассуждения должно быть либо S, либо не-S. Отсюда следует, что каждое суждение прямо или косвенно содержит утверждение существования.

В статье в «Словаре философии и психологии» Болдуина г-жа Лэдд-Франклин указывает, что суждение «Все S есть P» эквивалентно суждению «Все есть P или не-S» и, следовательно, необходимо подразумевает существование либо P, либо не-S. Запишем x для не-S и y для P, так что исходное суждение становится «Все, кроме x, есть y»; тогда оно подразумевает, как свой минимальный экзистенциальный смысл, существование либо x, либо y.

156. Различные предположения относительно экзистенциальной значимости категорических суждений. — Можно придерживаться нескольких различных взглядов относительно того, какая импликация в отношении существования, если таковая имеется, содержится в категорических суждениях традиционного типа. Для специального обсуждения можно сформулировать следующие:

Последующие предположения не претендуют на исчерпывающий характер. Мы могли бы, например, рассматривать суждения как подразумевающие существование как их субъектов, так и их предикатов, но не их противоречащих; или мы могли бы рассматривать универсальные суждения как всегда подразумевающие существование их субъектов, а частные — как не обязательно подразумевающие существование их субъектов (см. примечание 3 на стр. 241); или утвердительные — как всегда подразумевающие существование их субъектов, а отрицательные — как не обязательно подразумевающие существование их субъектов. Это последнее предположение представляет собой взгляд Убервега. Еще один взгляд высказывает Льюис Кэрролл, который рассматривает все категорические суждения, за исключением универсально-отрицательных, как подразумевающие существование их субъектов. «В каждом суждении, начинающемся со слов “некоторые” или “все”, утверждается фактическое существование субъекта. Если, например, я говорю “все скряги эгоистичны”, я имею в виду, что скряги действительно существуют. Если бы я хотел избежать этого утверждения и просто сформулировать закон, что скупость обязательно влечет за собой эгоизм, я бы сказал “ни один скряга не является неэгоистичным”, что не утверждает, что какие-либо скряги вообще существуют, а лишь то, что, если бы они существовали, они были бы эгоистичны» (Game of Logic, стр. 19). Однако потребовалось бы слишком много места, чтобы дать отдельное обсуждение предположениям, отличным от упомянутых в тексте.

(1) Можно утверждать, что каждое категорическое суждение следует интерпретировать как подразумевающее существование как объектов, обозначаемых непосредственно вовлеченными терминами, так и объектов, обозначаемых их противоречащими; что, например, «Все S есть P» следует рассматривать как подразумевающее существование S, не-S, P, не-P. Этот взгляд подразумевается в Критерии непротиворечивости Джевонса, упомянутом в примечании на стр. 217. Он также практически принят Де Морганом.

«Под универсумом (суждения) понимается совокупность всех объектов, которые рассматриваются как объекты, о которых может иметь место утверждение или отрицание. Пусть каждое имя, которое принадлежит всему универсуму, будет исключено как ненужное: об этом следует помнить особо. Пусть каждый объект, который не имеет имени X (которых всегда есть некоторое количество), мыслится как поэтому отмеченный именем x, означающим не-X» (Syllabus, стр. 12, 13). Сравните также: Де Морган, Formal Logic, стр. 55.

(2) Можно утверждать, что каждое суждение следует интерпретировать как подразумевающее просто существование его субъекта. Это взгляд Милля (в отношении реальных суждений); ибо он утверждает, что мы не можем дать информацию о несуществующем субъекте. Это, несомненно, тот взгляд, который, по крайней мере при первом рассмотрении предмета, представляется наиболее разумным и простым.

«Акцидентальное или несущественное утверждение действительно подразумевает реальное существование субъекта, потому что в случае несуществующего субъекта суждению нечего утверждать» (Logic, I. 6, § 2).

(3) Можно утверждать, что мы не должны рассматривать суждения как обязательно подразумевающие существование ни их субъектов, ни их предикатов. С этой точки зрения полное содержание «Все S есть P» может быть выражено путем утверждения, что оно отрицает существование чего-либо, что одновременно является S и не-P. Аналогично, «Ни одно S не есть P» не подразумевает существования ни S, ни P, а лишь отрицает существование чего-либо, что является и S, и P. «Некоторые S есть P» (или «не есть P») можно прочитать как «Некоторые S, если есть какие-либо S, есть P» (или «не есть P»). Здесь мы не утверждаем и не отрицаем существование какого-либо класса абсолютно; сумма того, что мы утверждаем, заключается в том, что если существует какое-либо S, то существует также нечто, что является и S, и P (или S и не-P). Таким образом, при этой интерпретации частные суждения имеют гипотетический, а не чисто категорический характер.

Джевонс выдвигает диктум, что «мы не можем сделать никакого утверждения, кроме трюизма, не подразумевая, что определенные комбинации терминов являются противоречивыми и исключенными из мысли» (Principles of Science, 2-е изд., стр. 32). Это верно для универсальных суждений (хотя и выражено несколько небрежно), но, по-видимому, неверно для частных суждений, какой бы взгляд на них ни принимался.

(4) Можно утверждать, что универсальные суждения не следует интерпретировать как подразумевающие существование их субъектов, но что частные суждения следует интерпретировать как таковые. С этой точки зрения «Все S есть P» лишь отрицает существование чего-либо, что является и S, и не-P; «Ни одно S не есть P» отрицает существование чего-либо, что является и S, и P; «Некоторые S есть P» утверждает существование чего-либо, что является и S, и P; «Некоторые S не есть P» утверждает существование чего-либо, что является и S, и не-P. Таким образом, универсальные суждения интерпретируются как имеющие экзистенциально отрицательную силу, в то время как частные имеют утвердительную силу. Будет обнаружено, что эта гипотеза ведет к некоторым парадоксальным результатам, но также будет показано, что она ведет к более удовлетворительной и симметричной трактовке логических проблем, чем это возможно в противном случае.

Д-р Венн отстаивает эту доктрину с особым акцентом на операциях символической логики; но нет причин, по которым она не могла бы быть распространена на обычную формальную логику.

Рассматриваемая гипотеза уже была предварительно принята в схеме логических эквивалентностей, приведенной в разделе 108, а также в символической схеме суждений, приведенной на стр. 193.

157. Сведение традиционных форм суждения к форме экзистенциальных суждений. — Не пытаясь в настоящее время решить вопрос между различными возможными предположениями относительно экзистенциальной значимости традиционных форм суждения, мы можем спросить, как при различных предположениях они могут быть сведены к экзистенциальной форме. Будет предполагаться на протяжении всего изложения, что как традиционные формы, так и экзистенциальные формы интерпретируются ассерторически. В случае каждой из традиционных форм будет достаточно рассмотреть два фундаментальных предположения, а именно: что она подразумевает и что она не подразумевает существование своего субъекта.

Универсально-утвердительное суждение. (1) Если SaP интерпретируется как не несущее в себе никакой экзистенциальной импликации в отношении своих отдельных терминов, оно эквивалентно экзистенциальному суждению SPʹ = 0. Д-р Вольф отрицает это на том основании, что SaP содержит дополнительную импликацию «Если есть какие-либо S, они все должны быть P»; и, следовательно, что, хотя при рассматриваемом предположении SPʹ = 0 является выводом из SaP, оно не эквивалентно ему. Конечно, это очень элементарная истина, что выводы не всегда являются точными эквивалентами своих посылок. Но в вышеприведенном аргументе д-р Вольф, по-видимому, упустил из виду тот факт, что SPʹ = 0, так же как и SaP, содержит импликацию «Если есть какие-либо S, они все суть P». По закону исключенного третьего каждое S (если есть какие-либо S) должно быть P или не-P, и поскольку SPʹ = 0, вышеуказанный вывод ясно следует. SPʹ = 0 на самом деле несет в себе две импликации: «Если S > 0, то P > 0», «Если P > 0, то Sʹ > 0». Их также можно записать в формах: «Либо S = 0, либо P > 0», «Либо Pʹ = 0, либо Sʹ > 0».

Д-р Вольф, возможно, проводит различие между суждением «Если есть какие-либо S, они все должны быть P» и суждением «Если есть какие-либо S, они все суть P», придавая первому аподиктическую, а второму — лишь ассерторическую силу. Но если это так, то первое подразумевается суждением «Все S есть P» только в том случае, если это суждение аподиктическое, а не если оно лишь ассерторическое. Аргумент в этом случае не имеет отношения к делу, насколько это касается моей позиции, поскольку я рассматриваю как эквивалентное SPʹ = 0 только ассерторическое SaP. Д-р Вольф вряд ли может утверждать, что все суждения формы «Все S есть P» являются аподиктическими. Вся его трактовка предмета, с которым мы сейчас имеем дело, по-видимому, верна только в том случае, если она относится к модальной схеме суждений. В то же время он нигде четко не указывает на ограничение такого рода, и многие доктрины, которые он критикует, предназначены теми, кто их принимает, для применения только к ассерторической схеме.

(2) Если SaP интерпретируется как подразумевающее существование S, то оно может быть выражено экзистенциально как S > 0 и SPʹ = 0. Эти экзистенциальные формы несут в себе импликации: P > 0, «Либо Pʹ = 0, либо Sʹ > 0».

Универсально-отрицательное суждение. Принимая те же два предположения, соответствующие экзистенциальные формы будут: (1) SP = 0 (несущее в себе импликации «Либо S = 0, либо Pʹ > 0», «Либо P = 0, либо Sʹ > 0»); (2) S > 0 и SP = 0 (с импликациями Pʹ > 0, «Либо P = 0, либо Sʹ > 0»).

Эти результаты не нуждаются в отдельном обсуждении.

Частно-утвердительное суждение. (1) При предположении, что SiP не несет в себе никакой импликации относительно отдельного существования своих терминов, оно может быть выражено экзистенциально как «Либо S = 0, либо SP > 0». Его также можно было бы записать в форме «Если S > 0, то SP > 0». Однако осложнений, возникающих из-за введения соображений модальности, будет легче избежать, если не использовать гипотетическую форму.

(2) При предположении, что подразумевается существование S, SiP сводится к форме SP > 0.

Частно-отрицательное суждение. Здесь соответствующие результаты: (1) «Либо S = 0, либо SPʹ > 0»; (2) SPʹ > 0.

Мы можем суммировать наши результаты применительно к третьему и четвертому из предположений, сформулированных в предыдущем разделе.

Пусть ни одно суждение не интерпретируется как подразумевающее существование своих отдельных терминов. Тогда в соответствии с традиционной схемой мы имеем следующую экзистенциальную схему:

A,—SPʹ = 0;

E,—SP = 0;

 I,—Either S = 0 or SP > 0;

O,—Either S = 0 or SPʹ > 0.

Это представляет собой то, что можно рассматривать как минимальную экзистенциальную значимость каждого из традиционных суждений (интерпретируемых ассерторически).

Следует помнить, что SPʹ = 0 несет в себе импликации «Либо S = 0, либо P > 0», «Либо Pʹ = 0, либо Sʹ > 0».

Пусть частные суждения интерпретируются как подразумевающие, а универсальные — как не интерпретируемые как подразумевающие существование их субъектов. Тогда мы имеем:

A,—SPʹ = 0;

E,—SP = 0;

 I,—SP > 0;

O,—SPʹ > 0.

158. Непосредственные выводы и экзистенциальная значимость суждений. — Уже было высказано предположение, что прежде чем прийти к какому-либо решению в отношении экзистенциальной значимости суждений, будет хорошо спросить, как определенные логические доктрины затрагиваются различными экзистенциальными допущениями, на которых мы можем основываться. Это обсуждение будет, насколько это возможно, отделено от исследования того, какое из допущений должно нормально приниматься. Последний вопрос носит в высшей степени спорный характер, но логические следствия различных предположений должны быть способны к демонстрации, чтобы не оставлять места для различий во мнениях.

В настоящем разделе мы исследуем, насколько различные гипотезы относительно экзистенциальной значимости суждений влияют на валидность обверсии и конверсии и других непосредственных выводов, основанных на них. В следующем разделе мы рассмотрим выводы, связанные с логическим квадратом.

Мы можем рассмотреть по порядку предположения, сформулированные в разделе 156.

(1) Пусть каждое суждение понимается как подразумевающее существование как своего субъекта, так и своего предиката, а также их противоречащих. Ясно, что при этой гипотезе на валидность конверсии, обверсии, контрапозиции и инверсии не повлияют экзистенциальные соображения. Поскольку термины исходного суждения вместе с их противоречащими в каждом случае идентичны терминам выводимого суждения вместе с их противоречащими, последние никак не могут содержать никакой экзистенциальной импликации, которая уже не содержалась бы в исходном суждении.

Читателю можно напомнить, что при нашей первой проработке этих непосредственных выводов мы предварительно допустили, помимо любой импликации, содержащейся в самих суждениях, что вовлеченные термины, а также их противоречащие представляют существующие классы.

(2) Пусть каждое суждение понимается как подразумевающее просто существование своего субъекта. (a) Валидность обверсии не затрагивается. (b) Конверсия A валидна, а также конверсия I. Если «Все S есть P» и «Некоторые S есть P» прямо подразумевают существование S, то они ясно косвенно подразумевают существование P; и это все, что требуется для того, чтобы их конверсия была легитимной. Конверсия E не валидна; ибо «Ни одно S не есть P» не подразумевает ни прямо, ни косвенно существование P, тогда как его конверс действительно подразумевает это. (c) Контрапозиция E валидна, а также контрапозиция O. «Ни одно S не есть P» и «Некоторые S не есть P» оба подразумевают при нашем настоящем предположении существование S, и поскольку по закону исключенного третьего каждое S есть либо P, либо не-P, отсюда следует, что они косвенно подразумевают существование не-P. Контрапозиция A не валидна; ибо она включает конверсию E, которая, как мы уже видели, не является валидной. (d) Процесс инверсии не валиден; ибо он включает в случае как A, так и E конверсию суждения E. Если наряду с суждением E нам специально дана информация о том, что P существует, или если это подразумевается в каком-то другом суждении, данном нам в то же время, то суждение E, конечно, может быть конвертировано. В соответствующих обстоятельствах контрапозиция и инверсия A и инверсия E могут быть валидными. Или, опять же, имея просто «Ни одно S не есть P», мы можем вывести «Либо P несуществующее, либо ни одно P не есть S»; и аналогично в других случаях.

Или мы могли бы аргументировать прямо, что контрапозиция A не валидна, поскольку «Все S есть P» не подразумевает существование не-P, тогда как его контрапозитив действительно подразумевает это.

Или мы могли бы аргументировать прямо из того факта, что ни «Все S есть P», ни «Ни одно S не есть P» не подразумевают существование не-S.

Например, имея (α) «Ни одно S не есть P», (β) «Все R есть P», мы можем при нашем настоящем предположении конвертировать (α), поскольку (β) косвенно подразумевает существование P; и мы можем контрапозировать (β), поскольку (α) косвенно подразумевает существование не-P. Также будет обнаружено, что, имея эти два суждения вместе, они оба допускают инверсию.

(3) Пусть ни одно суждение не понимается как подразумевающее существование ни своего субъекта, ни своего предиката. Избавившись теперь от импликации существования субъекта или предиката в случае всех суждений, мы могли бы естественно предположить, что ни в каком случае, когда мы делаем непосредственный вывод, нам вообще не нужно беспокоиться о каком-либо вопросе существования. Однако, как уже было указано, этот вывод был бы ошибочным. (a) Процесс обверсии все еще валиден. Возьмем, например, обверсию «Ни одно S не есть P». Обверс «Все S есть не-P» подразумевает, что если есть какое-либо S, то есть и некоторое не-P. Но это необходимо подразумевается в самом суждении «Ни одно S не есть P». Если есть какое-либо S, то оно по закону исключенного третьего есть либо P, либо не-P; следовательно, при условии, что «Ни одно S не есть P», отсюда немедленно следует, что если есть какое-либо S, то есть некоторое не-P. (b) Конверсия E валидна. Поскольку «Ни одно S не есть P» отрицает существование чего-либо, что является и S, и P, оно подразумевает, что если есть какое-либо S, то есть некоторое не-P, и что если есть какое-либо P, то есть некоторое не-S; и это единственные импликации в отношении существования, вовлеченные в его конверс. Конверсия A, однако, не валидна; как и конверсия I. Ибо «Некоторые P есть S» подразумевает, что если есть какое-либо P, то есть также некоторое S; но это не подразумевается ни в «Все S есть P», ни в «Некоторые S есть P». (c) То, что контрапозиция A валидна, следует из того факта, что обверсия A и конверсия E обе валидны. То, что контрапозиция E и контрапозиция O невалидны, следует из того факта, что конверсия A и конверсия I обе невалидны. (d) То, что инверсия невалидна, следует аналогично. Итак, при нашем настоящем предположении валидны следующие: обверсия и контрапозиция A, обверсия I, обверсия и конверсия E, обверсия O; невалидны следующие: конверсия и инверсия A, конверсия I, контрапозиция и инверсия E, контрапозиция O.

Или мы могли бы аргументировать прямо следующим образом: поскольку суждение «Все S есть P» отрицает существование чего-либо, что является и S, и не-P, оно подразумевает, что если есть какое-либо S, то есть некоторое P, и что если есть какое-либо не-P, то есть некоторое не-S; и это единственные импликации в отношении существования, вовлеченные в его контрапозитив.

Д-р Вольф утверждает в противовес выраженному здесь взгляду, что при рассматриваемом предположении все обычные непосредственные выводы остаются валидными. Этот вывод основан на доктрине, что «Некоторые S есть P» не подразумевает, что если есть какое-либо S, то есть также некоторое P. «“Все S есть P” и “Некоторые S есть P”, правда, не подразумевают, что “если есть какое-либо P, то есть также некоторое S”. Но ведь “Некоторые P есть S” не обязательно подразумевает и это. Поэтому не может быть возражения против вывода путем конверсии “Некоторые P есть S” из “Все S есть P” или “Некоторые S есть P”. С оправданием конверсии оправдываются и все остальные предполагаемые нелегитимные выводы, связанные с ней. Мы можем, следовательно, заключить, что допущение того, что ни одна пропозициональная форма как таковая не подразумевает обязательно существование ни своего субъекта, ни своего предиката, никак не влияет на валидность любого из традиционных выводов логики» (Studies in Logic, стр. 147). Я разобрал позицию д-ра Вольфа в примечании на стр. 216; и нет необходимости повторять аргумент здесь. Если придается значение конкретным примерам, я могу предложить в качестве примера для конверсии «Все синие розы синие» (формальное суждение, которое должно рассматриваться как валидное при обсуждаемом экзистенциальном предположении); и в качестве примера для инверсии — «Все человеческие действия предвидятся Божеством». Более того, существуют определенные трудности, связанные с силлогистическими и более сложными рассуждениями, которые требуют краткого отдельного обсуждения, даже когда вопрос конверсии был разрешен.

(4) Пусть частные суждения понимаются как подразумевающие, а универсальные — как не понимаемые как подразумевающие существование их субъектов. (a) Валидность обверсии снова очевидно не затрагивается. (b) Конверсия E валидна, а также конверсия I, но не конверсия A. (c) Контрапозиция A валидна, а также контрапозиция O, но не контрапозиция E. (d) Процесс инверсии не валиден. Эти результаты очевидны; и окончательный итог состоит в том — как можно было ожидать, — что мы можем вывести универсальное суждение из универсального или частное из частного, но не частное из универсального. Важный момент, который следует заметить, заключается в том, что в непосредственных выводах, которые остаются валидными при этом предположении (а именно, обверсия, простая конверсия и простая контрапозиция), нет потери логической силы; в то время как в лучшем случае обратное было бы верно для тех, которые больше не являются валидными (а именно, конверсия per accidens, контрапозиция per accidens и инверсия).

Таким образом, обверсия остается валидной при всех предположениях, которые были специально обсуждены выше. Если, однако, утвердительные суждения интерпретируются как подразумевающие существование их субъектов, в то время как отрицательные не интерпретируются таким образом, то, конечно, мы не можем перейти путем обверсии от E к A или от O к I.

Но из двух суждений «Все S есть P», «Некоторые R есть S» мы можем вывести «Некоторые P есть S»; и аналогично в других случаях.

Однако при допущении, что универсум рассуждения никогда не может быть полностью лишен содержания, «Нечто есть P» может быть выведено из «Все есть P», а «Нечто не есть P» может быть выведено из «Ничто не есть P». Опять же, как показано д-ром Венном (Symbolic Logic, стр. 142–9), три универсальных суждения «Все S есть P», «Ни одно не-S не есть P», «Все не-S есть P» вместе устанавливают частное суждение «Некоторые S есть P». Любой универсум рассуждения содержит à priori четыре класса: (1) SP, (2) S не-P, (3) не-S P, (4) не-S не-P. «Все S есть P» отрицает (2); «Ни одно не-S не есть P» отрицает (3); «Все не-S есть P» отрицает (4). Следовательно, имея эти три суждения, мы можем вывести, что есть некоторое SP, ибо это все, что у нас осталось в универсуме рассуждения. Как уже было указано, допущение, что универсум рассуждения никогда не может быть полностью лишен содержания, является необходимым допущением, поскольку существенным условием значимого суждения является то, что оно относится к реальности. Если универсум рассуждения полностью лишен содержания, мы должны либо не выполнить это условие, либо бессознательно выйти за пределы предполагаемого универсума рассуждения и сослаться на какой-то другой и более широкий, в котором утверждается, что первый не существует.

159. Доктрина оппозиции и экзистенциальная значимость суждений. — Обычная доктрина оппозиции в ее применении к традиционной схеме суждений такова: (a) Истинность «Некоторые S есть P» следует из истинности «Все S есть P», а истинность «Некоторые S не есть P» — из истинности «Ни одно S не есть P» (доктрина субальтернации); (b) «Все S есть P» и «Некоторые S не есть P» не могут быть оба истинными и не могут быть оба ложными; аналогично для «Некоторые S есть P» и «Ни одно S не есть P» (доктрина противоречия); (c) «Все S есть P» и «Ни одно S не есть P» не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными (доктрина контрарности); (d) «Некоторые S есть P» и «Некоторые S не есть P» могут быть оба истинными, но не могут быть оба ложными (доктрина субконтрарности). Теперь мы исследуем, насколько эти различные доктрины остаются в силе при различных предположениях относительно экзистенциальной значимости суждений.

Конечно, доктрина противоречия всегда остается в силе в том смысле, что пара реальных противоречащих не может быть одновременно истинной или одновременно ложной; и аналогично с другими доктринами. Доктрины, которые мы должны рассмотреть, — это не они, а то, являются ли SaP и SoP действительно противоречащими независимо от экзистенциальной интерпретации суждений, являются ли SaP и SeP действительно контрарными и так далее.

Следует добавить, что на протяжении всего обсуждения предполагается, что суждения интерпретируются ассерторически, как это всегда было принято в традиционной схеме. Необходимость этого условия будет время от времени указываться.

(1) Пусть каждое суждение интерпретируется как подразумевающее существование как своего субъекта, так и своего предиката, а также их противоречащих.

Это была бы совсем другая проблема, если бы мы предположили существование S и P независимо от утверждения данного суждения. Неспособность провести различие между этими проблемами, вероятно, ответственна за значительную часть путаницы и недопонимания, возникших в связи с настоящим обсуждением. Но ясно, что одно дело сказать (a) «Все S есть P, и предполагается, что S существует», и другое дело сказать (b) «все S есть P», подразумевая тем самым «S существует и всегда есть P». В случае (a) бессмысленно переходить к допущению, что S не существует; в случае (b), с другой стороны, ничто не мешает нам сделать это допущение, и мы обнаруживаем, что если оно остается в силе, то данное суждение является ложным.

При этом предположении, если либо субъект, либо предикат суждения является именем класса, который не представлен в универсуме рассуждения или который исчерпывает этот универсум, то это суждение является ложным; ибо оно подразумевает то, что несовместимо с фактом. Отсюда следует, что пара противоречащих, как обычно формулируется, а также пара субконтрарных могут быть оба ложными. Например, «Все S есть P» и «Некоторые S не есть P» оба подразумевают существование S в универсуме рассуждения. В случае, когда S не существует в этом универсуме, эти суждения были бы оба ложными.

Если желательна конкретная иллюстрация, мы можем взять суждения «Ни один из ответов на вопрос не проявил оригинальности», «Некоторые из ответов на вопрос проявили оригинальность» и предположить, что каждое из этих суждений включает в качестве части своей импликации фактическое наличие своего субъекта в универсуме рассуждения. Тогда наша позиция состоит в том, что если бы ответов на вопрос не было вовсе, истинность обоих суждений должна быть отрицаема. Факт отсутствия ответов не делает суждения бессмысленными; но он делает их ложными, поскольку их полное содержание, как предполагается, есть соответственно «Были ответы на вопрос, но ни один из них не проявил оригинальности», «Были ответы на вопрос, и некоторые из них проявили оригинальность».

Мы, конечно, не должны говорить, что при нашем настоящем предположении нельзя найти истинные противоречащие; ибо это всегда возможно. Истинным противоречащим «Все S есть P» является «Либо некоторые S не есть P, либо либо S, либо не-S, либо P, либо не-P не существует». Аналогично в других случаях. Обычные доктрины субальтернации и контрарности остаются незатронутыми.

(2) Пусть каждое суждение интерпретируется как подразумевающее существование своего субъекта. По причинам, аналогичным тем, что были изложены выше, обычные доктрины противоречия и субконтрарности снова перестают быть в силе. Истинным противоречащим «Все S есть P» теперь становится «Либо некоторые S не есть P, либо S не существует». Обычные доктрины субальтернации и контрарности снова остаются незатронутыми.

(3) Пусть ни одна пропозиция не интерпретируется как подразумевающая существование своего субъекта или своего предиката. (a) Обычная доктрина субалтернации остается в силе. (b) Обычная доктрина противоречия не остается в силе. Например, «Всякое S есть P» лишь отрицает существование каких-либо S, которые не являются P; «Некоторые S не суть P» лишь утверждает, что если существуют какие-либо S, то некоторые из них не являются P. В том случае, когда S не существует в универсуме рассуждения, мы не можем утверждать ложность ни одной из этих пропозиций. 240 230 (c) Обычная доктрина контрарности не остается в силе. Ибо если в универсальных пропозициях нет импликации существования субъекта, мы фактически не лишены возможности утверждать вместе две пропозиции, которые обычно приводятся как контрарные. «Всякое S есть P» лишь отрицает, что существуют какие-либо S, не являющиеся P, а «Ни одно S не есть P» — что существуют какие-либо SP. Мы можем, следовательно, без противоречия утверждать и «Всякое S есть P», и «Ни одно S не есть P»; но это фактически означает отрицание существования S. 241 (d) Обычная доктрина субконтрарности остается незатронутой.

240 Д-р Вольф («Исследования по логике», стр. 132) отрицает обоснованность этого рассуждения. Он, по-видимому, признает, что экзистенциальные пропозиции SP' = 0 и «Либо S = 0, либо SP' > 0» не являются противоречащими; но он отрицает, что при рассматриваемом допущении SaP и SP' = 0 эквивалентны. Его главный довод в пользу этой точки зрения заключается в том, что SaP несет в себе импликацию «Если существуют какие-либо S, то все они суть P», тогда как SP' = 0 не несет в себе никакой подобной импликации. Эта позиция уже была подвергнута критике в разделе 157. Д-р Вольф отчасти полагается на конкретные примеры, но при этом он усложняет дискуссию, вводя модальные формы выражения. Так, для пропозиции «Некоторые успешные кандидаты не получают стипендии» мы находим в ходе его аргументации подстановку «Если существуют какие-либо успешные кандидаты, то некоторые из них не получают (или не обязательно получают) стипендии», и вставка слов в скобках дает пропозицию, которая, хотя и является выводом из исходной пропозиции, на самом деле не эквивалентна ей, если только сама исходная пропозиция не интерпретируется модально. Позднее д-р Вольф прямо меняет всю проблему, предполагая, что рассматривается модальная схема пропозиций. Так, он продолжает: «То, что SaP и SeP действительно выражают по отдельности, — это необходимость и невозможность того, чтобы S было P»; и для целей противоречия SaP и SeP «SiP и SoP должны означать не более чем S может быть P и S не обязательно должно быть P». Вопрос о том, насколько SaP и SeP должны интерпретироваться модально, обсуждается в другом месте. Все, на что я хотел бы здесь указать, — это то, что это отдельный вопрос от того, который поднят в тексте, а именно вопрос, относящийся к традиционной схеме пропозиций, интерпретируемых ассерторически. Весь вопрос об экзистенциальной значимости действительно является таким, который невозможно обсудить с пользой, пока не будет определен характер рассматриваемой схемы пропозиций. От смешения схем и интерпретаций не может произойти ничего, кроме путаницы. В следующем разделе оппозиция модальностей будет кратко рассмотрена в связи с их экзистенциальной значимостью.

241 Разумеется, при рассматриваемой точке зрения нам не следует продолжать называть эти две пропозиции контрарными.

(4) Пусть партикулярные пропозиции интерпретируются как подразумевающие, а универсальные — как не подразумевающие существование своих субъектов. (a) Обычная доктрина субалтернации не остается в силе. «Некоторые S суть P», например, подразумевает существование S, тогда как это не подразумевается в «Всякое S есть P». (b) Обычная доктрина противоречия остается в силе. «Всякое S есть P» отрицает, что существует какое-либо S, которое есть не-P; «Некоторые S не суть P» утверждает, что существует некоторое S, которое есть не-P. Ясно, что эти пропозиции не могут быть обе истинными; также ясно, что они не могут быть обе ложными. Аналогично для «Ни одно S не есть P» и «Некоторые S суть P». (c) Обычная доктрина контрарности не остается в силе. «Всякое S есть P» и «Ни одно S не есть P» не противоречат друг другу, но сила утверждения их обоих заключается в отрицании того, что существуют какие-либо S. 242 Это следует так же, как и в случае с нашим третьим допущением. 243 231 (d) Обычная доктрина субконтрарности не остается в силе. 244 «Некоторые S суть P» и «Некоторые S не суть P» обе ложны в том случае, когда S не существует в универсуме рассуждения.

242 Если, однако, нам даны «Ни одно S не есть P» и также «Некоторые S суть P», то мы можем сделать вывод, что «Всякое S есть P» ложно. Вторая из этих пропозиций утверждает существование S и, следовательно, разрушает гипотезу, при которой только и можно рассматривать первую и третью как совместимые.

243 Вышеуказанная доктрина была подвергнута критике на том основании, что она практически сводится к утверждению, что ни одна из данных пропозиций не имеет никакого смысла, а каждая является лишь фикцией и видимостью предикации; и был сделан запрос о конкретных примерах. Следующий пример, возможно, будет достаточен для иллюстрации конкретного пункта, о котором идет речь: «Честный мельник имеет золотой палец»; «Ну, я уверен, что ни один мельник, честный или иной, не имеет золотого пальца». Эти две пропозиции имеют форму того, что обычно называют контрарными; но, взятые вместе, они могут вполне естественно интерпретироваться как означающие, что невозможно найти такого человека, как честный мельник. Первая пропозиция, вероятно, действительно предполагалась как дополняемая второй или какой-либо пропозицией, включающей вторую, и, таким образом, несла в себе выводное отрицание существования своего субъекта.

Другой пример содержится в следующей цитате из миссис Лэдд-Франклин: «“Всякое x есть y”, “Ни одно x не есть y” вместе утверждают, что x не есть ни y, ни не-y, а следовательно, что не существует никакого x. Среди логиков принято говорить, что две такие пропозиции несовместимы; но это неверно, они просто вместе несовместимы с существованием x. Когда школьник доказал, что точка пересечения двух линий находится не справа от определенной трансверсали и что она не находится слева от нее, мы не говорим ему, что его пропозиции несовместимы и что одна или другая из них должна быть ложной, но мы позволяем ему сделать естественный вывод, что точки пересечения не существует, или что линии параллельны» (Mind, 1890, стр. 77, прим.).

Д-р Вольф («Исследования по логике», стр. 140), критикуя конкретный пример миссис Лэдд-Франклин, утверждает, что две приведенные ею пропозиции являются субконтрарными (I и O), а не контрарными (A и E). Минутное размышление, однако, покажет, что это не так, поскольку ни одна из пропозиций не является партикулярной. В то же время верно, что требуется небольшая манипуляция, чтобы привести их к формам A и E. Существует также допущение, что «справа» и «слева» исчерпывают возможности и поэтому являются противоречащими терминами. Принимая это допущение, две пропозиции могут быть выражены символически в формах «Ни одно S не есть P», «Ни одно S не есть не-P», и тогда требуется лишь обверсия одной из них, чтобы привести их к формам A и E.

244 Возможно, стоит заметить, что при наличии (b), (d) может быть выведено из (c) или наоборот.

Отношение между противоречащими пропозициями является, безусловно, самым важным отношением, с которым мы имеем дело при рассмотрении оппозиции пропозиций, и будет замечено, что последнее из вышеуказанных допущений — единственное, при котором обычная доктрина противоречия остается в силе.

160. Оппозиция модальных пропозиций, рассматриваемая в связи с их экзистенциальной значимостью. — Пропозиции, обсуждавшиеся в предыдущих разделах, были пропозициями, принадлежащими к традиционной схеме, интерпретируемой ассерторически. Переходя теперь к соответствующей модальной схеме, мы можем кратко рассмотреть, как затрагивается доктрина оппозиции, если вообще затрагивается, при допущении, что пропозиции, включенные в схему, не интерпретируются как подразумевающие существование своих 232 субъектов. Мы обнаруживаем, что при этом допущении «S как таковое есть P» и «S не обязательно должно быть P» являются истинными противоречащими.

«S как таковое есть P» (интерпретируемое как не обязательно подразумевающее существование S) делает больше, чем просто отрицает фактическое наличие конъюнкции «S не-P», оно отрицает возможность такой конъюнкции; и все, что необходимо для противоречия этому, — это утвердить возможность конъюнкции. Это делается пропозицией «S не обязательно должно быть P» (также интерпретируемой как не обязательно подразумевающая существование S). При том же допущении «S как таковое есть P» и «S как таковое есть иное, чем P» являются истинными контрарными.

Здесь, однако, возникает другая проблема. Оставляя в стороне вопрос о какой-либо импликации актуальности, должны ли модальные пропозиции интерпретироваться как содержащие какую-либо импликацию в отношении возможности их антецедентов? И, далее, как наш ответ на этот вопрос влияет на оппозицию модальностей? Рассмотрение этой проблемы может быть отложено до тех пор, пока мы не перейдем к рассмотрению оппозиции условных пропозиций (см. раздел 176).

161. Критерий непротиворечивости Джевонса. — Переходя к прямому обсуждению экзистенциальной значимости категорических пропозиций, мы можем сначала рассмотреть Критерий непротиворечивости, который установлен Джевонсом (вслед за Де Морганом): любые две или более пропозиции являются противоречащими тогда и только тогда, когда после выполнения всех возможных подстановок они вызывают полное исчезновение любого термина, положительного или отрицательного, из Логического алфавита. Критерий сводится к тому, что каждая пропозиция должна пониматься как подразумевающая существование вещей, обозначаемых каждым простым термином, содержащимся в ней, а также вещей, обозначаемых противоречащими этим терминам. Если, например, у нас есть пропозиция «Всякое S есть P», это подразумевает, что среди членов универсума рассуждения можно найти S и P, не-S и не-P. В защиту этой доктрины Джевонс, по-видимому, полагается главным образом на психологический закон относительности, а именно, что мы не можем мыслить вообще, не отделяя то, о чем мы мыслим, от других вещей. Следовательно, если либо термин, либо его противоречащий представляет небытие, этот термин не может быть ни субъектом, ни предикатом в значимой 233 пропозиции. 245 Ясно, однако, что этот психологический аргумент отпадает, как только допускается, что мы можем ограничивать себя ограниченным универсумом рассуждения, или, действительно, если мы ограничиваем себя любым универсумом, менее обширным, чем тот, который охватывает всю область мыслимого. Конечно, чем более ограничен универсум, к которому, как предполагается, относится наша пропозиция, тем легче S или P могут либо исчерпать его, либо отсутствовать в нем; но при очень сложных субъектах и предикатах противоречащий одного или обоих наших терминов может легко исчерпать даже расширенный универсум. Возьмем, например, пропозицию: «Никакого удовлетворительного решения проблемы квадратуры круга никогда не было опубликовано г-ном А.». Здесь субъект не существует; и может также случиться, что г-н А. вообще никогда ничего не публиковал. 246 Далее, если мне не позволено отрицать X, почему мне должно быть позволено отрицать AB? Нет ничего, что мешало бы X представлять класс, образованный путем взятия части, общей для двух других классов. В определенных комбинациях, действительно, может быть удобно подставить X вместо AB или наоборот. По-видимому, тогда то, что является противоречащим, когда мы используем определенный набор символов, может не быть противоречащим, когда мы используем другой набор символов. Этот аргумент имеет особое значение для сложных пропозиций, которые обычно относят к символической логике, но к которым критерий Джевонса предназначен применяться в особенности.

245 Этот пункт изложен несколько предположительно в отрывке из «Принципов науки» Джевонса (глава 6, § 5), где он замечает: «Если бы A было тождественно “B или не-B”, его отрицание “не-A” было бы несуществующим. Этот результат был бы в целом абсурдным, и я вижу много оснований полагать, что со строго логической точки зрения он всегда был бы абсурдным. По всей вероятности, мы должны принять в качестве фундаментальной логической аксиомы, что каждый термин имеет свое отрицание в мышлении. Мы не можем мыслить вообще, не отделяя то, о чем мы мыслим, от других вещей, и эти вещи обязательно образуют отрицательное понятие. Если это так, то из этого следует, что любой термин вида “B или не-B” является столь же самопротиворечивым, как и термин вида “B и не-B”».

246 Другие примеры будут приведены в следующем разделе.

Несомненно, критерий Джевонса иногда является удобным допущением; например, предварительно, при разработке доктрины непосредственных умозаключений по традиционным линиям. Но это допущение, на которое всегда следует прямо ссылаться, когда оно делается; и его не следует рассматривать как имеющее 234 аксиоматическую и обязывающую силу, чтобы делать необходимым основывать на нем всю логику.

162. Экзистенциальная значимость пропозиций, включенных в традиционную схему. — Теперь мы можем перейти к рассмотрению вопроса о том, должны или не должны пропозиции SaP, SeP, SiP, SoP интерпретироваться как подразумевающие существование своих субъектов в универсуме рассуждения, к которому делается отсылка. В этом разделе будет предполагаться, что значимость всех обсуждаемых пропозиций является ассерторической, а не модальной.

Можно кратко упомянуть два источника недопонимания, на которые уже было обращено внимание. (a) Все пропозиции содержат утверждения, относящиеся к некоторой системе реальности; и путем анализа каждая пропозиция может быть приведена к «конечному субъекту», который является реальным, а именно к системе реальности, к которой относится пропозиция. Эта система реальности — то, что мы имеем в виду под универсумом рассуждения; и, как мы видели, универсум рассуждения никогда не может быть полностью лишен содержания. Тогда должно быть понятно, что если мы решаем, что определенные пропозициональные формы не должны интерпретироваться как содержащие в качестве части своей значимости утверждение существования своих субъектов, это вовсе не означает, что пропозиции, попадающие в эти формы, не содержат никакого утверждения, относящегося к реальности. 247 (b) Мы должны отложить в сторону очень краткое решение нашей проблемы, которое, если бы оно было верным, сделало бы ненужным любое дальнейшее обсуждение. Как, можно спросить, мы можем вообще говорить о чем-либо и в то же время исключать это из универсума рассуждения? Этот вопрос предполагает некоторую двусмысленность, которая может быть присуща фразе «универсум рассуждения», но которая вряд ли может оставаться двусмысленностью после уже данных объяснений. Ответ заключается в том, что мы, безусловно, можем думать и говорить о вещи со ссылкой на данный универсум рассуждения, не подразумевая или даже не веря в ее существование в этом универсуме. Предположим, например, что я говорю, что не существует таких вещей, как единороги. Если это утверждение должно быть принято, оно должно интерпретироваться буквально (не эллиптически); и ясно, что универсум рассуждения, к которому делается отсылка, — это материальный 235 универсум. 248 Я говорю тогда об единорогах со ссылкой на материальный универсум, но отрицаю, что такие существа могут быть найдены (или существуют) в нем.

247 Сравните Зигварт, «Логика», i, стр. 97, прим.

248 Едва ли нужно указывать, что идеи единорогов существуют в воображении и что утверждения об единорогах можно встретить в сказках.

Вопрос, который мы должны обсудить, — это вопрос интерпретации пропозициональных форм, 249 и решение поэтому будет в некоторой степени делом конвенции. В нашем решении мы будем руководствоваться отчасти обычным употреблением языка, а отчасти соображениями логического удобства и пригодности.

249 См. раздел 48.

Что касается обычного употребления языка, не может быть сомнений, что мы редко, по сути, делаем предикации о несуществующих субъектах. Ибо такие предикации в целом имели бы мало пользы или интереса для нас. «Практические требования жизни», как замечает д-р Венн, «ограничивают большинство наших дискуссий тем, что существует, а не тем, что могло бы существовать» («Символическая логика», стр. 131). Мы должны, однако, рассмотреть, нет ли исключительных случаев; и если мы сможем найти какие-либо, в которых ясно, что говорящий не обязательно намеревался подразумевать существование субъекта, мы можем сделать вывод, что пропозициональная форма, которую он использует, в популярном употреблении не всегда предназначена для передачи такой импликации.

Универсальные утвердительные. Если универсальная утвердительная пропозиция получена путем исчерпывающего перечисления (например, «Все апостолы были евреями», «Все книги на этой полке переплетены в сафьян»), или если она получена путем эмпирического обобщения, основанного на изучении индивидуальных примеров (например, «Все жвачные животные парнокопытны»), то ясно, что существование субъекта является пресуппозицией утверждения. Мы можем, однако, отметить некоторые другие классы случаев, в которых такая пресуппозиция не является необходимой.

(a) Мы можем утверждать абстрактную связь атрибутов, основанную на соображениях дедуктивного характера или, во всяком случае, не полученную путем прямого обобщения из наблюдаемых примеров субъекта, и существование субъекта тогда не является существенным. Например, «Удар двух идеально упругих 236 тел не приводит к уменьшению кинетической энергии»; «Каждое тело, не вынужденное приложенными силами изменить свое состояние, продолжает находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения».

Можно, пожалуй, сказать, что все пропозиции, попадающие в эту категорию, будут действительно аподиктическими, и что наша нынешняя дискуссия была ограничена ассерторическими пропозициями. В этой критике есть некоторая сила. Однако следует помнить, что ассерторическое SaP может быть выведено из аподиктического SaP, так что если мы можем иметь последнее без какой-либо импликации относительно существования S, мы можем иметь и первое, если только мы не решим дифференцировать их в отношении их экзистенциальной импликации. Примеры, которые мы привели, более того, выражены в обычной ассерторической форме, а не в какой-либо отличительной аподиктической форме, такой как «S как таковое есть P», «В природе S присуще быть P».

(b) Пропозиция SaP может выражать установленное правило, остающееся в силе без того, чтобы возник какой-либо фактический случай его применения. Например, «Все кандидаты, опаздывающие на пять минут, штрафуются на один шиллинг», «Все кандидаты, которые заикаются, освобождаются от чтения вслух», «Все нарушители границ подвергаются судебному преследованию».

Если утверждается, что в таких случаях, как эти, 250 пропозиции должны правильно записываться в условной, а не в категорической форме (например, «Если какой-либо кандидат опаздывает на пять минут, этот кандидат штрафуется на один шиллинг»), ответ заключается в том, что это значит неверно понять пункт, о котором сейчас идет речь, а именно: встречаем ли мы в обычном дискурсе пропозиции, которые являются категорическими по форме и все же гипотетическими, насколько это касается существования их субъектов. Нам, конечно, открыто решение, что для логических целей мы будем интерпретировать категорические пропозиции так, что в таких случаях, как выше, категорическая форма больше не может быть использована. Но в настоящее время мы обсуждаем лишь популярное употребление.

250 Этот аргумент может быть использован со ссылкой на случаи, подпадающие под (a) или (c), так же как со ссылкой на те, что подпадают под (b).

(c) Утверждения относительно возможных будущих событий иногда облекаются в форму SaP. Например, «Кто крадет мой кошелек, крадет мусор», «Те, кто сдает этот экзамен, — счастливые люди». Первая из этих пропозиций не была бы обесценена, если предположить, что мой кошелек никогда не будет украден, а последняя, как замечает д-р Венн, 251 была бы молчаливо дополнена оговоркой «если таковые имеются».

251 «Символическая логика», стр. 132.

(d) Существуют случаи, в которых предполагаемая импликация пропозиции формы «Всякое S есть P» заключается в отрицании того, что существуют какие-либо S; например, «Честный мельник имеет золотой палец», «Все телеги, которые приезжают в Кроуленд, подбиты серебром». 252

252 Обе эти пропозиции естественно интерпретировать как содержащие косвенное отрицание существования их субъектов. «Кроуленд расположен на такой болотистой гнилой почве в Фенсе, что едва ли лошадь, а тем более телега, может приехать туда» (Справочник пословиц Бона, стр. 211). По-видимому, однако, эта пословица теперь потеряла свою силу, поскольку «после осушения, в летнее время, телеги могут ездить туда».

Универсальные отрицательные. Еще легче найти примеры из обычной речи, в которых универсальные отрицательные пропозиции, то есть пропозиции формы «Ни одно S не есть P», не должны рассматриваться как обязательно подразумевающие существование своих субъектов.

(a) Существуют опять же случаи, в которых пропозиция достигается путем процесса абстрактного рассуждения о субъекте, фактическое существование или наличие которого не предполагается; например, «Планета, движущаяся по гиперболической орбите, никогда не может вернуться в любую позицию, которую она однажды занимала». 253

253 Этот пример взят из Диксона, «Эссе о рассуждении», стр. 62.

(b) Значимость пропозиции может заключаться в явном подразумевании, если не определенном утверждении, несуществования субъекта; например, «Никакие призраки не беспокоили меня», «Никакие единороги никогда не были замечены». 254

254 Универсум рассуждения должен здесь приниматься как материальный универсум. Однако относительно этого примера критик пишет: «Но, безусловно, универсум воображения — единственный применимый; ибо давно известно, что единороги не принадлежат к актуальному материальному универсуму». Универсум воображения может потребоваться для того, чтобы поддержать позицию, что субъект пропозиции существует в универсуме рассуждения; но любой человек, делающий это утверждение, конечно, не ссылался бы на мир воображения или универсум геральдики по той простой причине, что в любом из этих случаев пропозиция (которая тогда должна интерпретироваться эллиптически) очевидно не была бы истинной. С другой стороны, мы вполне можем предположить, что утверждение сделано со ссылкой на материальный универсум: «Существуют единороги или нет, во всяком случае, их никогда не видели». Опять же, чтобы взять другой пример подобного рода, где отсылка также идет к феноменальному универсуму, мы вполне можем предположить, что утверждение сделано: «Существуют призраки или нет, во всяком случае, ни один не беспокоил меня». Чтобы избежать недопонимания, важно отличать вышеприведенные примеры от таких (эллиптических) пропозиций, как следующие: «Гнев гомеровских богов очень ужасен», «Феи способны принимать разные формы». В каждом из этих случаев субъект пропозиции (правильно интерпретированный) существует в конкретном универсуме, к которому делается отсылка. См. примечания 2 и 3 на стр. 213.

238 (c) Отрицание конъюнкции ABC может быть выражено в форме «Ни одно AB не есть C» без какого-либо намерения тем самым утверждать конъюнкцию AB; например, «Никакого удовлетворительного решения проблемы квадратуры круга не было опубликовано», «Ни одна женщина-кандидат на теологический трипос не получила образование в Ньюнхэм-колледже», «Ни один продвинутый студент по праву не состоит в списках Тринити-колледжа». 255

255 «В качестве примера возможно несуществующего субъекта отрицательной пропозиции возьмите следующее: “Ни один человек, осужденный за колдовство в правление королевы Анны, не был казнен”» (Венн, «Символическая логика», стр. 132).

Партикулярные. В случае партикулярных пропозиций гораздо менее легко привести примеры, подобные тем, что можно встретить в обычном дискурсе, в которых нет импликации существования субъектов пропозиций. Могут быть исключения, но во всяком случае случаи, в которых в обычной речи мы предикатируем что-либо о несуществующем субъекте, не делая этого универсально, чрезвычайно редки. Главная причина этого, как указывает д-р Венн, заключается в том, что «утверждение, ограниченное “некоторыми” из класса, обычно опирается на наблюдение или свидетельство, а не на рассуждение или воображение, и поэтому почти обязательно постулирует существующие данные, хотя природа этого наблюдения и последующего существования, как уже было замечено, является совершенно открытым вопросом. “Некоторые вьющиеся растения поворачиваются слева направо”, “Некоторые грифоны имеют длинные когти” — оба подразумевают, что мы посмотрели в нужных местах, чтобы убедиться в факте. В одном случае я мог наблюдать в своем собственном саду, а в другом — на гербах или в произведениях поэтов, но согласно соответствующим тестам верификации мы в каждом случае говорим о том, что есть». 239 Если мы посмотрим на вопрос с другой стороны, мы обнаружим, что когда наша первичная цель — утвердить существование класса объектов, наше утверждение очень естественно принимает форму партикулярной пропозиции. Если, например, мы желаем утвердить существование черных лебедей, мы говорим «Некоторые лебеди черные». Экзистенциальная импликация пропозиции такого рода в обычном дискурсе является одной из ее самых фундаментальных характеристик.

256 «Символическая логика», стр. 131. Опять же, в такой пропозиции, как «Некоторые морские змеи не имеют полмили в длину» (имея в виду ваших так называемых морских змей), субъект пропозиции существует в универсуме, к которому делается отсылка, а именно в универсуме, который можно описать как универсум рассказов путешественников. Мы здесь рассматриваем пропозицию как эллиптическую в смысле, который уже был объяснен.

В целом нельзя сказать, что обычаи обычной речи дают решающее решение обсуждаемой проблемы. Было, однако, показано (1) что мы редко или никогда не делаем утверждений о несуществующих субъектах в форме «Некоторые S суть P» или форме «Некоторые S не суть P»; (2) что, хотя также верно, что мы, как правило, не делаем этого в форме «Всякое S есть P» или форме «Ни одно S не есть P», все же существует несколько классов случаев, в которых использование этих последних форм не должно пониматься как обязательно несущее с собой импликацию того, что S существует. Следовательно, мы бы очень мало отошли от обычного употребления, если бы решили интерпретировать партикулярные пропозиции как подразумевающие существование своих субъектов, но универсальные — как не делающие этого (то есть не делающие этого своей голой формой).

Я не считаю, однако, это решение обязательным в силу популярного употребления. Например, любому все еще открыто принять конвенцию, что для логических целей категорическая форма должна использоваться только тогда, когда подразумевается импликация существования субъекта. При такой интерпретации условная или гипотетическая форма должна приниматься всякий раз, когда существование субъекта остается открытым вопросом. Таким образом, если мы сомневаемся в существовании S (или, во всяком случае, не желаем утверждать его существование), мы должны быть осторожны, чтобы сказать: «Если существует какое-либо S, то всякое S есть P», вместо простого «Всякое S есть P»; другими словами, гипотетический характер пропозиции, насколько это касается существования ее субъекта, должен быть сделан явным.

Проблема, таким образом, не решенная одними лишь соображениями популярного употребления, мы должны перейти к исследованию того, как вопрос затрагивается соображениями логического удобства и пригодности. Здесь опять же нет одного решения, которое было бы неизбежным. Причины, однако, могут быть приведены в пользу интерпретации партикулярных пропозиций как подразумевающих, а универсальных — как не подразумевающих существование их 240 субъектов; 257 и это, как мы видели, решение, которое получает некоторое одобрение от популярного употребления.

257 При этой точке зрения всякий раз, когда желательно специально утвердить существование в универсуме рассуждения субъекта универсальной пропозиции, должно быть сделано отдельное утверждение на этот счет. Например, «Существуют S, и все они суть P». Если, с другой стороны, когда-либо желательно утвердить партикулярную пропозицию, не подразумевая существования субъекта, тогда необходимо прибегнуть к гипотетической или условной форме утверждения. Таким образом, если мы не намерены подразумевать существование S, вместо записи «Некоторые S суть P» мы должны записать: «Если существуют какие-либо S, то в некоторых таких случаях они также суть P».

(1) Рассмотрение того, как на обоснованность непосредственных умозаключений влияет экзистенциальная значимость пропозиций, дает причины для принятия этой интерпретации. 258 Самыми важными непосредственными умозаключениями являются простое обращение (т.е. обращение E и I) и простая контрапозиция (т.е. контрапозиция A и O). Если, однако, универсальные пропозиции рассматриваются как подразумевающие существование своих субъектов, то, как показано в разделе 158, ни обращение E, ни контрапозиция A не являются обоснованными, независимо от какого-либо дальнейшего допущения; тогда как если универсальные пропозиции не рассматриваются как подразумевающие существование своих субъектов, то обе эти операции являются законными без оговорок. С другой стороны, обращение I и контрапозиция O являются обоснованными только в том случае, если партикулярные пропозиции действительно подразумевают существование своих субъектов. 259

258 Возражалось, что основывать наш взгляд на экзистенциальной значимости пропозиций на обоснованности или необоснованности непосредственных умозаключений — значит рассуждать по кругу. «Являются ли непосредственные умозаключения обоснованными или нет, — говорят, — должно быть следствием взгляда, принятого на экзистенциальную значимость пропозиции, и поэтому не должно составлять часть основания, на котором базируется этот взгляд». Это возражение включает путаницу между различными точками зрения, с которых может рассматриваться проблема отношения между экзистенциальной значимостью пропозиций и обоснованностью логических операций. В разделе 158 логические следствия различных допущений были разработаны без какой-либо попытки решить между этими допущениями. Наша точка зрения теперь иная; мы исследуем основания, на которых одно из допущений может быть предпочтено другим, и нет причин, почему ранее выведенные следствия не могли бы составлять часть наших данных для решения этого вопроса. Аргумент не содержит ничего, что было бы по своей природе circulus in probando.

259 Таким образом, таблица эквивалентностей, приведенная в разделе 106, является обоснованной при интерпретации, с которой мы сейчас имеем дело. Зависимость таблицы, приведенной в разделе 108, от того же допущения еще более очевидна. Уже было указано, что остальные непосредственные умозаключения, основанные на обращении и обверсии, имеют гораздо меньшее значение; см. стр. 227.

241 Переходя к непосредственным умозаключениям другого рода, ясно, что если универсальные пропозиции формально подразумевают существование своих субъектов, мы не можем законно перейти от «Всякое X есть Y» к «Всякое AX есть Y». 260 Ибо возможно, что могут существовать X, и все же не существовать AX, и в этом случае первая пропозиция может быть истинной, тогда как последняя будет, безусловно, ложной. Опять же, при условии, что A есть X, B есть Y, C есть Z, мы не можем сделать вывод, что ABC есть XYZ. Такие ограничения, как эти, составили бы почти непреодолимое препятствие для прогресса в умозаключении, как только мы имеем дело со сложными пропозициями. 261

260 Будет замечено далее, что при том же допущении мы не можем даже утвердить формальную обоснованность пропозиции «Всякое X есть X». Ибо X могло бы быть несуществующим, и пропозиция тогда была бы ложной.

261 Отсюда миссис Лэдд-Франклин приходит к заключению, что «никакая последовательная логика универсальных пропозиций невозможна, кроме как при конвенции, что они не подразумевают существование своих терминов» (Mind, 1890, стр. 88).

(2) Мы можем далее рассмотреть экзистенциальную значимость пропозиций со ссылкой на доктрину оппозиции. В разделе 159 было показано, что если партикулярные пропозиции интерпретируются как подразумевающие существование своих субъектов, тогда как универсальные не интерпретируются таким образом, то A и O, E и I являются истинными противоречащими; но что это не так ни при одном из других допущений, обсуждавшихся в том же разделе. 262 Не может быть, однако, сомнений, что одной из самых важных функций партикулярных пропозиций является противоречие универсальным пропозициям противоположного качества; и отсюда у нас есть сильный аргумент в пользу взгляда на экзистенциальную значимость пропозиций, который оставит обычную доктрину противоречия незатронутой.

262 A и O, E и I также будут истинными противоречащими, если универсальные пропозиции интерпретируются как подразумевающие существование своих субъектов, тогда как партикулярные не интерпретируются таким образом. Было бы интересно, если бы пространство позволило, детально разработать результаты этого допущения. Если студент сделает это сам, он обнаружит, что это единственное допущение, при котором обычная доктрина оппозиции остается в силе повсюду. Все другие соображения, однако, противятся его принятию. Оно полностью конфликтует с популярным употреблением; оно делает процессы простого обращения и простой контрапозиции незаконными; и, делая универсальные пропозиции двойными суждениями, оно полностью разрушает категорический характер партикулярных. Относительно этого последнего пункта см. стр. 220.

Что касается доктрин субалтернации, контрарности и субконтрарности, наши результаты (а именно, что I не следует из A, или O из E, что A и E могут быть оба истинными, и что I 242 и O могут быть оба ложными) несомненно парадоксальны. Но это возражение гораздо более чем уравновешивается тем фактом, что доктрина противоречия спасена. Ибо по сравнению с отношением между противоречащими, эти другие отношения имеют мало значения. Мы можем специально рассмотреть отношение между A и I. «Некоторые S суть P» теперь не может без оговорок быть выведено из «Всякое S есть P», поскольку первая из этих пропозиций подразумевает существование S, тогда как последняя — нет. Но по сути дела, это умозаключение, которое нам никогда не приходится делать. Если их экзистенциальная значимость одинакова, почему мы должны когда-либо формулировать партикулярную пропозицию, когда соответствующая универсальная к нашим услугам? С другой стороны, взгляд, который мы отстаиваем, дает «Некоторые S суть P» статус относительно «Всякого S есть P», а также относительно «Ни одного S не есть P», который он иначе не мог бы иметь; и аналогично для «Некоторые S не суть P». Наш результат относительно отношения между SaP и SiP был описан как эквивалентный утверждению, «что утверждение частичного знания несет больше реальной информации, чем утверждение полного знания; поскольку если мы обладаем лишь ограниченным знанием и поэтому можем утверждать только SiP, мы тем самым утверждаем существование S; но если у нас достаточно знаний, чтобы говорить обо «всем S» (S остается тем же самым), утверждение этого полного знания немедленно бросает тень сомнения на это существование». Этот способ изложения, однако, вводит в заблуждение, если не является положительно ошибочным. При рассматриваемой точке зрения некорректно говорить просто, что SiP и SaP дают «частичное» и «полное» знание соответственно, ибо SiP, давая меньше знания, чем SaP в одном направлении, дает больше в другом. Другими словами, знание, которое является «полным» относительно SiP, выражается не SaP само по себе, а SaP вместе с утверждением, что существуют такие вещи, как S. 263

263 Позиция, занятая выше относительно субалтернации, очень хорошо выражена миссис Лэдд-Франклин. «Ничто, конечно, теперь не является нелогичным, что было логичным раньше. Это просто вопрос того, какую конвенцию относительно существования терминов мы принимаем, прежде чем допустить теплокровные предложения реальной жизни в железные формы логической манипуляции. Со старой конвенцией (которая никогда не была явно сформулирована) субалтернация выглядела так: “Никакие x не суть y” (и мы тем самым подразумеваем, что существуют x, какими бы ни были x), следовательно, “Некоторые x суть не-y”. С новой конвенцией требование просто в том, что если известно, что существуют x (как известно, конечно, в подавляющем большинстве предложений, которые нам интересно формировать), этот факт должен быть прямо заявлен. Аргумент тогда таков: “Никакие x не суть y”, “Существуют x”, следовательно, “Существуют x, которые суть не-y”».

243 (3) Есть еще один важный момент, который следует отметить, а именно, что интерпретация пропозиций A, E, I, O, рассматриваемая здесь, является единственной интерпретацией, согласно которой каждая из этих пропозиций разрешается в единое категорическое утверждение. Ибо если A и E подразумевают существование своих субъектов, они выражают двойные, а не единичные суждения, будучи эквивалентными соответственно утверждениям: «Существуют S, но не существуют SP'»; «Существуют S, но не существуют SP»; тогда как при интерпретации, предложенной здесь, они просто выражают соответственно единичные суждения: «Не существуют SP'»; «Не существуют SP». С другой стороны, если I и O не подразумевают существование своих субъектов, вместо выражения категорических суждений они выражают несколько сложные гипотетические, будучи эквивалентными соответственно утверждению: «Если существуют какие-либо S, то существуют некоторые SP»; «Если существуют какие-либо S, то существуют некоторые SP'»; тогда как при нашей интерпретации они выражают соответственно категорические суждения: «Существуют SP»; «Существуют SP'». 264

²⁶⁴ Compare sections 156, 157.

В целом существует сильный кумулятивный аргумент в пользу интерпретации партикулярных пропозиций, но не универсальных, как формально подразумевающих существование своих субъектов. 265 Это решение 244 следует рассматривать как отчасти имеющее характер конвенции. Мы приходим, однако, к заключению, что никакое другое решение не может в равной степени хорошо служить основой научного рассмотрения традиционной схемы пропозиций, до тех пор, во всяком случае, пока пропозиции, включенные в схему, рассматриваются как ассерторические, а не модальные.

265 Мы можем кратко обсудить в примечании одно или два возражения против этого взгляда, которые еще не были прямо рассмотрены.

(a) Милль утверждает, что синтетическая пропозиция обязательно подразумевает «реальное существование субъекта, потому что в случае несуществующего субъекта пропозиции нечего утверждать» («Логика», i, 6, § 2). В ответ на это достаточно указать, что несуществующая вещь будет описана как обладающая атрибутами, которые по отдельности являются атрибутами существующих вещей, хотя эта конкретная комбинация их нигде не может быть найдена, и если мы знаем (как мы можем знать), что некоторые из этих атрибутов всегда сопровождаются другими атрибутами, мы можем предикатировать последние о несуществующей вещи, тем самым получая реальную пропозицию, которая не вовлекает актуальное существование своего субъекта. В качестве аргумента ad hominem можно далее указать, что Милль склонен отрицать существование идеальных прямых линий или идеальных кругов. Утверждал бы он поэтому, что мы не можем делать никаких реальных утверждений о таких вещах?

(b) Г-н Уэлтон несколько раз повторяет, что пропозиция, которая относится к несуществующему субъекту, должна быть просто нагромождением слов, предикацией только по видимости. «То, что значение универсальной пропозиции может быть выражено как отрицание, верно, но это не ее первичная значимость. И это отрицание само должно опираться на то, что пропозиция утверждает. Если SaP не подразумевает существование S и не утверждает, что оно обладает P, у нас нет данных для отрицания существования SP'. Ибо если S несуществующее, отрицание того, что оно есть не-P, не может иметь никакого понятного значения» («Логика», стр. 241). Примеры, которые мы уже привели, достаточны, чтобы отбросить это возражение; но, возможно, стоит добавить дальнейший аргумент. Согласно г-ну Уэлтону, пропозиция E подразумевает существование своего субъекта, но не своего предиката. Мы не можем тогда вывести PeS из SeP, потому что у нас нет уверенности в существовании P. Но в соответствии с позицией, занятой г-ном Уэлтоном, мы должны пойти дальше и сказать, что PeS должно быть просто нагромождением слов, если мы не уверены в существовании P. Невозможно, однако, рассматривать PeS как просто бессмысленное нагромождение слов, предикацию только по видимости, когда SeP является значимой и истинной пропозицией. PeS может быть ложной, или это может быть неестественная форма утверждения, но она не может быть бессмысленной, если SeP имеет значение. Возьмем, например, пропозиции: «Ни одна женщина сейчас не вешается за кражу в Англии», «Ни один человек, сейчас вешаемый за кражу в Англии, не является женщиной». Вторая из этих пропозиций ложна, если она принимается как подразумевающая, что в настоящее время существуют лица, которые вешаются за кражу в Англии, но как она может считаться бессмысленной, я не могу понять.

(c) Мисс Джонс утверждает, что если «некоторые» несет в себе импликацию существования при использовании с термином-субъектом, оно должно делать это в равной степени при использовании с термином-предикатом; но предикат пропозиции A, будучи нераспределенным, практически квалифицируется словом «некоторые»; следовательно, если «Некоторые S суть P» подразумевает существование S и, следовательно, P, «Всякое S есть P» должно подразумевать существование P и, следовательно, S. В ответ на этот аргумент можно указать, во-первых, что различие может быть справедливо проведено без всякого риска путаницы между термином, явно квантифицированным словом «некоторые», и термином, который мы можем показать как нераспределенный, но который вообще не квантифицирован явно; и, во-вторых, что позиция, которую мы заняли, основана на рассмотрении значимости пропозиций в целом, а не на силе знаков количества, рассматриваемых в абстракции. Неуместность аргумента будет очевидна, если он будет взят в связи с причинами, которые мы привели для утверждения, что партикулярные пропозиции должны интерпретироваться как подразумевающие существование своих субъектов.

163. Экзистенциальная значимость модальных пропозиций. — Об аподиктических пропозициях можно сказать еще более решительно, чем об ассерторических универсальных, что они не обязательно подразумевают существование своих субъектов. Ибо они утверждают необходимую связь между атрибутами, основание которой часто 245 следует искать в абстрактном рассуждении, а не в конкретном опыте. И то же самое верно в отношении отрицания аподиктических пропозиций. Мы можем на абстрактных основаниях утверждать возможность определенной конкомитантности (или не-конкомитантности) атрибутов, не имея фактического опыта этой конкомитантности (или не-конкомитантности) и не намереваясь подразумевать ее актуальность. Следовательно, мы не должны интерпретировать пропозицию «S может быть P», так же как пропозицию «S должно быть P», как своей голой формой утверждающую существование S.

Было показано, что для того, чтобы пропозиции «Всякое S есть P» и «Некоторые S не суть P» могли быть истинными противоречащими, одна или другая из них должна интерпретироваться как подразумевающая существование S. Из того, что было сказано выше, однако, следует, что то же условие не обязательно должно быть выполнено для того, чтобы «S должно быть P» и «S не обязательно должно быть P» могли быть истинными противоречащими. 266

266 Именно потому, что д-р Вольф отождествляет обычную партикулярную пропозицию с проблематической пропозицией, он приходит к заключению, что SaP и SoP являются истинными противоречащими, хотя ни одна из них не интерпретируется как подразумевающая существование S.

Однако к этому следует добавить, что для того, чтобы эти две пропозиции могли быть истинными противоречащими друг другу, одна или другая из них должна интерпретироваться как предполагающая возможное существование S. Этот ход мысли был предложен в разделе 160 и будет развит далее в разделах 176 и 179.

УПРАЖНЕНИЯ.

164. Частное суждение, с различных точек зрения, отождествлялось (a) с экзистенциальным суждением, (b) с проблематическим суждением, (c) с повествовательным суждением. Прокомментируйте каждое из этих мнений. [C.]

Студент может обнаружить, что написание подробного ответа на этот вопрос поможет прояснить его взгляды относительно частной пропозиции. Здесь не будет дано подробного ответа, но можно обратить внимание на один или два момента. (a) Можно выделить два вида экзистенциальных суждений. (i) Те, которые утверждают существование неопределенно, то есть где-то в универсуме рассуждения; например, «Существуют белые зайцы», «Существует дьявол». (ii) Те, которые утверждают существование применительно к некоторому определенному времени и месту; например, «Идет дождь», «Я голоден». Частное суждение, возможно, можно отождествить с (i), но вряд ли с (ii). (b) Мы можем быть оправданы в утверждении проблематического «S может быть P», когда мы не можем утверждать частное «Некоторые S суть P». Существуют причины для интерпретации последнего суждения экзистенциально в отношении его субъекта, которые не применимы к первому суждению. (c) Повествовательное суждение не обязательно должно иметь неопределенный характер частного суждения. Мы можем, однако, придерживаться мнения, что эти два вида суждений имеют общее в том, что существуют основания для интерпретации обоих экзистенциально в отношении их субъектов.

165. Обсудите отношение между пропозициями «Все S суть P» и «Все не-S суть P».

Это интересный случай, который следует отметить в связи с дискуссией, поднятой в разделах 158 и 159.

Мы имеем

SaP = SePʹ = PʹeS; SʹaP = SʹePʹ = PʹeSʹ = PʹaS.

Данные пропозиции, таким образом, оказываются контрарными. Придерживаясь мнения, что нам не следует вступать в какую-либо дискуссию относительно существования в связи с непосредственным умозаключением, мы должны, полагаю, удовлетвориться этим изложением дела. Однако оно кажется достаточно любопытным, чтобы потребовать дальнейшего исследования и объяснения. Мы можем, как и прежде, принять различные предположения относительно экзистенциальной значимости пропозиций. (1) Если каждая пропозиция предполагает существование как субъекта, так и предиката, а также их противоречащих, то сразу становится ясно, что две пропозиции не могут быть обе истинными одновременно; ибо вместе они отрицают существование не-P. (2) Согласно взгляду, что пропозиции предполагают просто существование своих субъектов, в разделе 158 было показано, что мы не оправданы в переходе от «Все не-S суть P» к «Все не-P суть S», если нам не дано независимо существование не-P. Но будет замечено, что в рассматриваемом нами случае данные пропозиции делают это невозможным. Поскольку «все S суть P» и «все не-S суть P», а все является либо S, либо не-S согласно закону исключенного третьего, из этого следует, что ничто не является не-P. Следовательно, чтобы свести данные пропозиции к такой форме, в которой они выступают как контрарные (и, следовательно, как несовместимые друг с другом), мы должны предположить именно то, что в совокупности они фактически отрицают. (3) и (4). Согласно взгляду, что во всяком случае общие пропозиции не предполагают существования своих субъектов, мы обнаружили в разделе 159, что пропозиции «Ни одно не-P не есть S», «Все не-P суть S» не обязательно несовместимы, ибо они могут выражать тот факт, что P составляет весь универсум рассуждения. Но этот факт как раз и дается нам пропозициями в их исходной форме. Таким образом, при каждой гипотезе полученный результат удовлетворительно обоснован и объяснен.

Следует помнить, что при предположениях (1) и (2) обычная доктрина контрарности остается в силе.

166. «Мальчик в саду». «Кентавр — это создание поэтов». «Квадратный круг — это противоречие». Обсудите вышеприведенные пропозиции как иллюстрирующие различные функции глагола «быть»; или как относящиеся к логической концепции различных универсумов рассуждения или различных видов существования. [C.]

167. Обсудите экзистенциальную значимость единичных пропозиций. «Король Утопии не умер в прошлый вторник». Тщательно исследуйте значение, которое следует придать отрицанию этой пропозиции. [K.]

168. Некоторые логики придерживаются мнения, что из «Все S суть P» мы можем вывести «Некоторые не-S не суть P». Возьмите в качестве иллюстрации: «Все человеческие действия предвидятся Божеством». [C.]

169. Обсудите обоснованность следующего умозаключения: «Все нарушители будут привлечены к ответственности, ни один нарушитель не был привлечен к ответственности, следовательно, нарушителей не было». [C.]

170. В предположении, что частные пропозиции интерпретируются как предполагающие, а общие — как не предполагающие существования своих субъектов в универсуме рассуждения, исследуйте (излагая свои доводы) обоснованность следующих умозаключений: «Все S суть P» и «Некоторые R не суть S», следовательно, «Некоторые не-S не суть P»; «Все S суть P» и «Некоторые R не суть P», следовательно, «Некоторые не-S не суть P»; «Все S суть P» и «Некоторые R суть S», следовательно, ложно, что «Ни одно P не есть S»; «Все S суть P» и «Некоторые R суть P», следовательно, ложно, что «Ни одно P не есть S». [K.]

171. Обсудите формальную обоснованность следующих аргументов: (i) в предположении, что все категорические пропозиции должны интерпретироваться как предполагающие существование своих субъектов в универсуме рассуждения, (ii) в предположении, что никакие категорические пропозиции не должны так интерпретироваться: (a) «Все P суть Q», следовательно, «Все AP суть AQ»; (b) «Все AP суть AQ», следовательно, «Некоторые P суть Q». [K.]

172. Разработайте доктрину оппозиции и доктрину непосредственных умозаключений на гипотезе, что общие пропозиции должны интерпретироваться как предполагающие, а частные — как не предполагающие существования своих субъектов в универсуме рассуждения. [K.]

ГЛАВА IX.

УСЛОВНЫЕ И ГИПОТЕТИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИИ.

173. Различие между условными пропозициями и гипотетическими пропозициями — пропозиции, обычно записываемые в форме «Если A есть B, то C есть D», принадлежат к двум очень разным типам. Ибо они могут быть выражением либо простых суждений, либо сложных суждений (как они различаются в разделе 55).

За различие, указанное в настоящем разделе, я в первую очередь обязан эссе, написанному в 1884 году г-ном У. Э. Джонсоном. Это эссе не было опубликовано в своей первоначальной форме; но его содержание было включено в некоторые статьи г-на Джонсона о логическом исчислении, которые появились в журнале Mind в 1892 году.

Во-первых, «A есть B» и «C есть D» могут быть двумя событиями или двумя комбинациями свойств, относительно которых утверждается, что всякий раз или везде, где происходит первое, будет происходить и второе. Например: «Если импортная пошлина является источником дохода, она не обеспечивает защиту»; «Если ребенок избалован, его родители страдают»; «Если прямая линия, падающая на две другие прямые линии, делает внутренние накрест лежащие углы равными друг другу, то две прямые линии параллельны друг другу»; «Если зажженная спичка поднесена к пороху, произойдет взрыв»; «Где труп, там соберутся орлы». То, что утверждается во всех таких случаях, как эти, — это связь между явлениями; это может быть либо сосуществование атрибутов в общем субъекте, либо отношение во времени или пространстве между определенными событиями. Пропозиции, принадлежащие к этому типу, могут быть названы отличительно условными.

Но, опять же, «A есть B» и «C есть D» могут быть двумя пропозициями независимого значения, отношение между которыми не может быть непосредственно сведено к какому-либо отношению времени или пространства или к утверждению сосуществования атрибутов в общем субъекте. Другими словами, отношение может быть утверждено между истинностью двух суждений как имеющее силу раз и навсегда без различия места, времени или обстоятельств. Например: «Если грешно желать чести, то я самая виновная душа на свете»; «Если терпение — добродетель, то существуют болезненные добродетели»; «Если есть праведный Бог, нечестивые не избегнут своего справедливого наказания»; «Если добродетель непроизвольна, то и порок тоже»; «Если земля неподвижна, солнце движется вокруг земли». Пропозиции, принадлежащие к этому типу, могут быть названы гипотетическими в отличие от условных, или о них можно говорить еще более отличительно как об истинных гипотетических или чистых гипотетических.

Вышеуказанное различие было принято в некоторых недавних трактатах по логике, но следует иметь в виду, что большинство логиков используют термины «условный» и «гипотетический» как синонимы или же проводят между ними различие, отличное от вышеуказанного.

Части условной, а также истинной гипотетической пропозиции называются антецедентом и консеквентом. Таким образом, в пропозиции «Если A есть B, то C есть D» антецедент — «A есть B», консеквент — «C есть D».

Формально невозможно различить условные и гипотетические пропозиции, пока мы придерживаемся выражения «Если A есть B, то C есть D», поскольку это может быть либо то, либо другое. Однако следующие формы являются несомненно условными: «Всякий раз, когда A есть B, C есть D»; «Во всех случаях, когда A есть B, C есть D»; «Если какой-либо P есть Q, то этот P есть R». Форма «Если A истинно, то C истинно» является, с другой стороны, отличительно гипотетической. A и C здесь означают пропозиции или суждения, а не термины, и слова «истинно» введены для того, чтобы сделать это явным. Однако вполне достаточно записать истинную гипотетическую пропозицию в форме «Если A, то C».

Условные пропозиции обычно могут быть сведены к последней из этих трех форм без особых трудностей, и такое сведение иногда полезно. Рассмотрение уже приведенных конкретных примеров, однако, покажет, что для осуществления сведения может потребоваться определенное количество манипуляций. Ниже приведены примеры: «Если какой-либо ребенок избалован, то у этого ребенка будут страдающие родители»; «Если любые две прямые линии таковы, что другая прямая линия, падающая на них, делает внутренние накрест лежащие углы равными друг другу, то эти две прямые линии параллельны друг другу».

Поскольку условная пропозиция обычно содержит отсылку к некоторому совпадению во времени или пространстве, «если» антецедента, как правило, может быть заменено либо на «когда», либо на «где», в зависимости от обстоятельств, без какого-либо изменения значения пропозиции; но того же нельзя сказать в случае истинной гипотетической пропозиции. Это соображение часто будет достаточным, чтобы разрешить любое сомнение, которое может возникнуть в конкретных случаях относительно того, к какому именно типу принадлежит данная пропозиция. Другой и более фундаментальный критерий можно найти в ответе на вопрос, являются ли антецедент и консеквент пропозициями независимого значения, смысл которых не пострадает, если их рассматривать отдельно друг от друга. Если ответ утвердительный, то пропозиция является гипотетической. Таким образом, беря примеры уже приведенных гипотетических пропозиций, мы обнаруживаем, что антецеденты «Грешно желать чести», «Терпение — добродетель», «Добродетель непроизвольна» и консеквенты «Я самая виновная душа на свете», «Существуют болезненные добродетели», «Порок непроизволен» — все сохраняют свое полное значение, будучи отделенными друг от друга. Если, с другой стороны, консеквент обязательно отсылает нас обратно к антецеденту, чтобы быть полностью понятным, то пропозиция является условной. Таким образом, беря отдельно консеквент в первой условной пропозиции, приведенной на странице 249, а именно «она не обеспечивает защиту», мы сразу же задаемся вопросом, что здесь имеется в виду под «она». Ответ — «эта импортная пошлина». Но какая импортная пошлина? Адекватный ответ может быть дан только путем введения в консеквент всего антецедента: «импортная пошлина, которая является источником дохода, не обеспечивает защиту». Теперь мы имеем полную силу нашей исходной условной пропозиции в форме единичного категорического суждения. Будет обнаружено, что если другие условные пропозиции рассматривать таким же образом, они аналогичным образом сводятся к категорическим суждениям формы «Все PQ суть R». Проблема сведения условных и гипотетических пропозиций к категорической форме будет рассмотрена более подробно далее в этой главе, и будет показано, что, хотя такое сведение всегда возможно и, как правило, просто и естественно в случае условных пропозиций, оно вовсе не возможно (с терминами, соответствующими исходному антецеденту и консеквенту) в случае гипотетических пропозиций.

В качестве другого примера мы можем взять условную пропозицию: «Если погода сухая, британские корнеплоды скудны». Здесь на первый взгляд может показаться, что консеквент является пропозицией независимого значения. Пропозиция «Британские корнеплоды скудны», однако, является неполно сформулированным суждением. Ибо она содержит временную отсылку, которую необходимо сделать явной. Условная пропозиция на самом деле означает: «Если в какой-либо год погода сухая, британские корнеплоды в этот год скудны»; и это эквивалентно категорическому суждению: «Любой год, в который погода сухая, — это год, в который британские корнеплоды скудны». Рассматривая условную пропозицию таким образом, мы видим необходимость отсылки обратно к антецеденту, чтобы консеквент мог быть полностью выражен.

Может быть поднят вопрос, следует ли пропозицию формы «Если это P есть Q, то оно есть R» правильно описывать как единичную условную или как гипотетическую. Ответ заключается в том, что пропозиция этой формы обеспечивает своего рода соединение между условной и гипотетической; она выводима из условной пропозиции «Если какой-либо P есть Q, то он есть R»; но сама по себе она является гипотетической. Антецедент и консеквент являются пропозициями независимого значения; и пропозиция в целом не сводима непосредственно (как условная пропозиция «Если какой-либо P есть Q, то он есть P») к категорической форме. Таким образом, пропозиция «Если какой-либо P есть Q, то он есть R» может prima facie быть сведена к форме «Любой P, который есть Q, есть R»; но пропозиция «Если это P есть Q, то оно есть R», безусловно, не может быть отождествлена с единичным категорическим суждением «Это P, которое есть Q, есть R».

174. Значение условных пропозиций. — Иногда считается, что реальная дифференция всех пропозиций формы «Если A есть B, то C есть D» — это «выражение человеческого сомнения». Однако ясно, что нет намерения выражать сомнение относительно отношения между антецедентом и консеквентом; и сомнение, следовательно, должно предполагаться относящимся к фактическому возникновению антецедента. Но, по крайней мере, что касается условных пропозиций, сомнение, которое они могут таким образом подразумевать, должно считаться скорее случайным, чем фундаментальной или дифференцирующей характеристикой, принадлежащей им. «Если» условной пропозиции может, как мы видели, обычно быть заменено на «когда» без изменения значения пропозиции, и в этом случае элемент сомнения не более заметен, чем в категорической пропозиции. С материальной точки зрения условные пропозиции могут или не могут предполагать фактическое возникновение своих антецедентов. Всякий раз, когда связь между антецедентом и консеквентом может быть выведена из природы антецедента независимо от конкретного опыта (и это может быть более обычным случаем), тогда фактическое происшествие антецедента не предполагается; но если наше знание о связи действительно зависит от конкретного опыта (как это иногда может быть), тогда такое фактическое происшествие материально предполагается. Например, утверждение: «Если мы спускаемся в землю, температура повышается почти равномерно на 1° по Фаренгейту на каждые пятьдесят футов спуска почти до мили» — основано на знании, полученном в результате фактических спусков в землю, и помимо такого опыта истинность этого утверждения не была бы известна.

Вопрос первостепенной важности в отношении значения условных пропозиций заключается в том, должны ли такие пропозиции интерпретироваться как модальные или как просто ассерторические. Ограничиваясь в настоящее время общим утверждением, то есть формой «Если какой-либо P есть Q, то он есть R», утверждаем ли мы необходимую связь между тем, что P есть Q, и тем, что оно есть R, или мы просто утверждаем, что так случается, что каждый P, который есть Q, также есть R? Это на самом деле в другой форме различие, уже проведенное между безусловно общими пропозициями и эмпирически общими пропозициями, и наш ответ должен снова заключаться в том, что одна и та же форма слов может выражать то или иное суждение. Нет сомнений, что пропозиция «Если углы при основании треугольника равны друг другу, то этот треугольник равнобедренный» предназначена для интерпретации модально как выражающая необходимую связь, в то время как пропозиция «Если какая-либо книга взята с той полки, она окажется романом» предназначалась бы для интерпретации просто ассерторически.

В обычном дискурсе условные пропозиции, как правило, являются модальными; но это не универсально. Поэтому, если мы не готовы отойти от обычного употребления (а в пользу такого отхода можно многое сказать), мы должны признать как ассерторические условные пропозиции, так и модальные условные пропозиции, и это различие должно учитываться во всем последующем. Мы обнаружим, что практически та же проблема возникает в отношении истинных гипотетических пропозиций, и нам придется рассмотреть ее далее в этой связи.

175. Условные пропозиции и категорические пропозиции. — Мы можем перейти к рассмотрению того, в чем заключается сущностная природа различия между условными пропозициями и категорическими пропозициями, и, в частности, является ли это различие только словесной формой или таким, которое соответствует реальному различию между суждениями.

Если между двумя формами должно быть проведено жизненно важное различие, оно должно быть основано на одном или другом из следующих двух оснований, а именно: либо (i) категорическая пропозиция должна интерпретироваться ассерторически, в то время как условная — модально, либо (ii) категорическая пропозиция должна интерпретироваться как предполагающая существование своего субъекта, в то время как условная — как не предполагающая возникновения своего антецедента.

(i) Можно многое сказать в пользу принятия конвенции, согласно которой категорическая форма интерпретировалась бы ассерторически, а условная форма — модально. Принятие этой конвенции, однако, потребовало бы некоторой модификации форм обычной речи, ибо, как мы уже видели, пропозиция «Все S суть P» в текущем употреблении иногда аподиктична, в то время как пропозиция «Если какой-либо S есть P, то он есть Q» может (хотя, возможно, редко) быть просто ассерторической. Используется ли та или иная форма, на самом деле во многом зависит от лингвистических соображений. Рассмотрим, например, пропозиции: «Все равнобедренные треугольники имеют углы при основании, равные друг другу», «Если углы при основании треугольника равны друг другу, то этот треугольник равнобедренный». Эти пропозиции естественно попадают в категорическую и условную формы соответственно, просто потому, что не существует единого прилагательного (как «равнобедренный»), которое означало бы «имеющий два равных угла». Ясно, однако, что использование одной формы вместо другой не предназначено для того, чтобы подразумевать какое-либо фундаментальное различие в характере утверждаемого отношения. Если любая из пропозиций в своем обычном употреблении является аподиктической, то и другая; если любая из них является просто ассерторической, то и другая.

Следует добавить, что если мы примем рассматриваемую конвенцию, то общее категорическое суждение выводимо из общего условного, но не наоборот; в то время как, с другой стороны, проблематическое условное суждение (которое соответствует частному) выводимо из частного категорического, но не наоборот. Таким образом, «Все PQ суть R» является субалтерным к «Если какой-либо P есть Q, то он есть R», в то время как «Если какой-либо P есть Q, то он может быть R» является субалтерным к «Некоторые PQ суть R».

(ii) Мы можем перейти к рассмотрению того, должны ли категорические и условные пропозиции различаться в отношении их экзистенциальной значимости.

Мы видели в разделе 163, что если категорические пропозиции интерпретируются модально, они не должны рассматриваться как обязательно предполагающие существование своих субъектов; и, безусловно, условные пропозиции, интерпретируемые модально, не должны рассматриваться как обязательно предполагающие возникновение своих антецедентов. Следовательно, если обе пропозициональные формы интерпретируются модально, у нас нет дифференциации в отношении их экзистенциальной значимости.

Далее кажется ясным, что, поскольку речь идет об общих пропозициях, условная пропозиция — даже если она интерпретируется как просто ассерторическая — не должна рассматриваться как обязательно предполагающая фактическое возникновение своего антецедента. Следовательно, зависит ли при ассерторической интерпретации обеих форм экзистенциальная дифференциация этих двух форм от нашей экзистенциальной интерпретации категорической пропозиции.

(a) Если общее категорическое суждение интерпретируется как обязательно предполагающее фактическое существование своего субъекта, то у нас есть заметное различие между двумя формами. «Если какой-либо P есть Q, то он также есть R» не может быть сведено к «Все PQ суть R», поскольку последнее предполагает существование PQ, в то время как первое — нет.

Это взгляд Убервега: «Категорическое суждение, в отличие от гипотетического, всегда включает пресуппозицию существования субъекта» (Логика, § 122).

(b) Если, с другой стороны, общие категорические суждения не интерпретируются как обязательно предполагающие существование своих субъектов, то общие условные и общие категорические пропозиции (обе интерпретируемые ассерторически) могут быть сведены друг к другу. Мы можем сказать безразлично: «Все S суть P» или «Если что-либо есть S, то оно есть P»; «Если когда-либо A есть B, то во всех таких случаях C есть B» или «Все случаи, когда A есть B, являются случаями, когда C есть D».

Частные условные пропозиции, поскольку они являются просто ассерторическими, почти без исключения основаны на конкретном опыте. Следовательно, их можно небезосновательно интерпретировать как предполагающие возникновение своих антецедентов, как, например, в пропозиции: «Иногда, когда Парламент собирается, он открывается Сувереном лично». Экзистенциальная интерпретация категорических суждений, для которой предпочтение было выражено в предыдущей главе, может поэтому быть принята и для условных пропозиций, поскольку они являются просто ассерторическими; и эти две формы становятся взаимозаменяемыми.

В целом, за исключением случаев, когда мы принимаем конвенцию, указанную в (i) выше, нет причин проводить жизненно важное различие между суждениями в зависимости от того, выражены ли они в условной или категорической форме. Многие условные пропозиции обычного дискурса действительно настолько очевидно эквивалентны категорическим, что они вряд ли требуют отдельного рассмотрения. В то же время, как мы видели, некоторые утверждения более естественно попадают в одну форму, а некоторые — в другую. Чем сложнее субъектный термин, тем выше вероятность того, что естественной формой пропозиции будет условная.

Аргументировалось, что, начиная с категорической формы, мы не можем перейти к условной, если субъект пропозиции является простым термином. Основанием этого аргумента является то, что антецедент условной пропозиции требует двух терминов, и что в предполагаемом случае они не предоставляются категорической пропозицией. Таким образом, мисс Джонс (Elements of Logic, стр. 112) берет пример: «Все львы — четвероногие». Не получится, говорит она, свести это к форме «Если какие-либо существа являются львами, они четвероногие», поскольку это предполагает введение нового термина, и, возвращаясь обратно к категорической форме, мы получили бы «Все существа, которые являются львами, являются четвероногими», пропозицию, не эквивалентную нашей исходной пропозиции. Если, однако, «существо» рассматривается как часть коннотации «льва», нет причин отказываться признать, что эти две пропозиции эквивалентны друг другу. Аналогично, в любом конкретном случае, взяв некоторую часть коннотации субъекта нашей категорической пропозиции, мы можем получить дополнительный термин, необходимый для ее сведения к условной форме. Там, где мы имеем дело с чисто символическими выражениями, и это конкретное решение трудности нам недоступно, мы можем прибегнуть к всеобъемлющему термину «что-либо», при этом такая пропозиция, как «Все S суть P», сводится к форме «Если что-либо есть S, то оно есть P».

Примеры, приведенные в начале раздела 173, сводимы к следующим категорическим суждениям: «Импортные пошлины, которые являются источниками дохода, не обеспечивают защиту»; «Все избалованные дети имеют страдающих родителей»; «Все пары прямых линий, которые таковы, что другая прямая линия, падающая на них, делает внутренние накрест лежащие углы равными друг другу, параллельны»; «Все случаи применения зажженной спички к пороху являются случаями взрыва»; «Любое место, где есть труп, — это место, где соберутся орлы».

176. Оппозиция условных пропозиций. — Этот вопрос требует отдельного обсуждения в зависимости от того, интерпретируются ли условные пропозиции (a) ассерторически или (b) модально.

(a) Если условные пропозиции интерпретируются ассерторически, то обычные различия как по качеству, так и по количеству могут быть применены к ним точно так же, как и к категорическим. Мы можем рассматривать качество условной пропозиции как определяемое качеством ее консеквента; таким образом, пропозиция «Если какой-либо P есть Q, то этот P не есть R» может рассматриваться как отрицательная. Что касается количества, условные пропозиции должны рассматриваться как общие или частные, в зависимости от того, утверждается ли, что консеквент сопровождает антецедент во всех или только в некоторых случаях.

Отрицательная сила этой пропозиции была бы более четко выявлена, если бы она была записана в форме «Если какой-либо P есть Q, то не является истинным, что он также есть R». Категорический эквивалент — «Ни одно PQ не есть R».

Мы имеем тогда четыре типа, включенных в обычную четырехчастную схему:—

Если какой-либо P есть Q, то он также есть R; A. Если какой-либо P есть Q, то он не есть R; E. Иногда, если P есть Q, он есть R; I. Иногда, если P есть Q, он не есть R; O.

Эти пропозиции составляют обычный квадрат оппозиции, и если условные пропозиции ассимилируются с категорическими, насколько это касается их экзистенциальной значимости, то оппозиция условных пропозиций при ассерторической интерпретации, по-видимому, не требует отдельного обсуждения. Можно, однако, отметить, что существует большая опасность путаницы противоречащих пропозиций с контрарными в случае условных пропозиций, чем в случае категорических. «Если A есть B, то C не есть D» очень легко может быть представлено как противоречащее «Если A есть B, то C есть D». Но при рассмотрении ясно, что обе эти пропозиции могут быть ложными. Например, два утверждения — «Если Times говорит одно, Westminster Gazette говорит другое»; «Если Times говорит одно, Westminster Gazette говорит то же самое», т.е. не говорит другое — могли бы быть, и на самом деле являются, оба ложными; две газеты иногда согласны, а иногда нет.

Четыре пропозиции точно эквивалентны четырем категорическим: «Все PQ суть R», «Ни одно PQ не есть R», «Некоторые PQ суть R», «Некоторые PQ не суть R».

(b) При модальной интерпретации различие между аподиктическим и проблематическим занимает место различия между общим и частным; и если мы сохраним различие между утвердительным и отрицательным, мы получим четыре следующие пропозиции, соответствующие обычному квадрату оппозиции:

Если какой-либо P есть Q, то этот P должен быть R; Am. Если какой-либо P есть Q, то этот P не может быть R; Em. Если какой-либо P есть Q, то этот P может быть R; Im. Если какой-либо P есть Q, то этот P не обязан быть R; Om.

Будет удобно иметь отличительные символы для обозначения модальных пропозиций, и те, которые мы здесь ввели, послужат для выявления аналогий между модальными и обычными ассерторическими формами.

В вышеприведенной схеме, при соблюдении определенного условия, упомянутого ниже, Am и Om, а также Em и Im являются противоречащими согласно определению, данному в разделе 84; Am и Em являются контрарными; Am и Im, а также Em и Om являются субалтерными; а Im и Om являются субконтрарными.

Упомянутое условие относится к интерпретации пропозиций в отношении предположения возможности их антецедентов. Таким образом, для того чтобы Am и Om (или Em и Im) были истинными противоречащими, необходимо, чтобы аподиктические и проблематические пропозиции интерпретировались по-разному в этом отношении. Если, например, Am интерпретируется как не предполагающая возможности своего антецедента, то ее полное значение состоит в отрицании возможности комбинации P и Q без R. Ее противоречащая пропозиция должна утверждать эту возможность. Om, однако, не сделает этого, если она не интерпретируется как предполагающая возможность комбинации P, Q.

Необходимо обратить внимание на это усложнение, но вряд ли необходимо подробно прорабатывать результаты, которые следуют из различных принципов интерпретации, которые могли бы быть приняты. Если студент сделает это сам, он обнаружит, что результаты в общих чертах соответствуют тем, которые были получены в разделе 159.

В связи с проблемой оппозиции мы можем кратко коснуться отношения между аподиктической пропозицией «Если какой-либо P есть Q, то этот P должен быть R» и ассерторической пропозицией «Некоторые PQ не суть R». Эти пропозиции не являются противоречащими, ибо они обе могут быть ложными. Они не могут, однако, быть обе истинными; и последняя, если она может быть установлена, предоставляет обоснованное основание для отрицания первой. Г-н Бозанкет, по-видимому, не признает этого, а настаивает, в противовес этому, что перечислительное частное суждение не имеет никакой ценности как опровергающее абстрактное общее суждение. «Когда мы сказали, что «Если (т.е. постольку, поскольку) человек добр, он мудр», бессмысленно отвечать, что «Некоторые добрые люди не мудры». Это значит атаковать абстрактный принцип неанализированными примерами. То, что мы должны сказать, чтобы отрицать вышеупомянутое абстрактное суждение, — это нечто вроде: «Если или хотя человек добр, из этого не следует, что он мудр», то есть «Хотя человек добр, он не обязан быть мудрым» (Логика, i. стр. 316). Но, безусловно, если мы обнаруживаем, что некоторые добрые люди не мудры, мы оправданы в том, чтобы сказать, что хотя человек добр, он не обязан быть мудрым. Конечно, обратное неверно. Мы могли бы показать, что мудрость не обязательно сопровождает доброту каким-то иным методом, чем приведение примеров. Но если мы можем привести несомненные примеры, этого вполне достаточно, чтобы опровергнуть аподиктическую условную пропозицию.

177. Непосредственные умозаключения из условных пропозиций. — В условной пропозиции антецедент и консеквент соответствуют соответственно субъекту и предикату категорической пропозиции. Поэтому при обращении старый консеквент должен быть новым антецедентом, а при контрапозиции отрицание старого консеквента должно быть новым антецедентом.

(a) При ассерторической интерпретации аналогия с категорическими пропозициями настолько близка, что нет необходимости рассматривать непосредственные умозаключения из условных пропозиций сколько-нибудь подробно. Одного или двух примеров может быть достаточно. Беря пропозицию A «Если какой-либо P есть Q, то он есть R», мы имеем для ее обращения «Иногда, если P есть R, он также есть Q», а для ее контрапозиции «Если какой-либо P не есть R, то он не есть Q». Беря пропозицию E «Если какой-либо P есть Q, то он не есть R», мы имеем для ее обращения «Если какой-либо P есть R, то он не есть Q», а для ее контрапозиции «Иногда, если P не есть R, он есть Q». Обоснованность этих умозаключений, конечно, затрагивается экзистенциальной интерпретацией пропозиций, точно так же, как в случае категорических. Будет замечено, что в некоторых непосредственных умозаключениях (например, контрапозиция A) условная форма имеет преимущество перед обычной категорической формой, поскольку она позволяет избежать использования отрицательных терминов, против использования которых так сильно возражают Зигварт и некоторые другие логики.

Сравните страницу 136.

(b) Если условные пропозиции интерпретируются модально, то аподиктическая форма занимает место общей, а проблематическая — место частной. На этой основе обращением «Если какой-либо P есть Q, то этот P должен быть R» было бы «Если какой-либо P есть R, то этот P может быть Q», а контрапозицией было бы «Если какой-либо P не есть R, то этот P не может быть Q».

Являются ли эти умозаключения законными? При интерпретации, что модальная пропозиция ничего не предполагает относительно возможности своего антецедента, наш ответ должен быть утвердительным в отношении контрапозиции Am. Полное значение как исходной пропозиции, так и контрапозиции состоит в отрицании возможности комбинации P и Q без R. При той же интерпретации, однако, обращение Am не является обоснованным. Ибо обращение подразумевает, что если PR возможно, то PQ возможно, в то время как возможность PR в сочетании с невозможностью PQ совместима с истинностью исходной пропозиции. Аналогично можно показать, что, хотя обращение Em обоснованно, его контрапозиция необоснованна.

Если бы мы изменили интерпретацию, результаты были бы другими.

Соответствие между результатами, показанными выше, и нашими результатами относительно обращения и контрапозиции ассерторических пропозиций A и E, при интерпретации, что никакая пропозиция не предполагает существования своего субъекта (см. стр. 225), очевидно. Истина заключается в том, что интерпретация модальных пропозиций в отношении возможности их антецедентов порождает проблемы, точно аналогичные тем, которые возникают из интерпретации ассерторических пропозиций в отношении актуальности их субъектов. Нет необходимости подробно прорабатывать различные случаи.

Среди непосредственных умозаключений из условной пропозиции обычно включается ее сведение к категорической форме, насколько это обоснованно. Это случай того, что было названо изменением отношения, означающим тем самым непосредственное умозаключение, в котором мы переходим от данной пропозиции к другой, принадлежащей к другой категории в делении пропозиций по отношению (см. раздел 54). Более удобный термин «трансверсия» используется мисс Джонс для этого процесса.

Насколько условные пропозиции могут быть выведены из категорических и наоборот, зависит от их интерпретации. Если оба типа пропозиций интерпретируются ассерторически или оба модально, и если они интерпретируются одинаково в отношении предположения существования (или возможности) их субъектов (или антецедентов), то обоснованность перехода от одного типа к другому не может быть поставлена под сомнение. Некоторое сомнение может, однако, возникнуть относительно того, имеем ли мы в этом случае умозаключение вообще или просто словесное изменение. Это различие, на которое будет обращено внимание позже.

Если условные пропозиции интерпретируются модально, а категорические — ассерторически, то (помимо любых осложнений, которые могут возникнуть из экзистенциальных импликаций) A может быть выведено из Am или E из Em, но не наоборот. С другой стороны, Im может быть выведено из I, или Om из O, но не наоборот.

Мы имеем другой случай трансверсии, когда мы переходим от условной пропозиции к дизъюнктивной или от дизъюнктивной к условной. Рассмотрение этого случая должно быть отложено до тех пор, пока мы не обсудим дизъюнктивные пропозиции.

178. Значение гипотетических пропозиций. — Чистая гипотетическая пропозиция может быть записана символически в форме «Если A истинно, то C истинно», или более кратко: «Если A, то C», где A и C означают пропозиции независимого значения. Ясно, что эта пропозиция ничего не утверждает относительно истинности или ложности A или C, взятых отдельно. Мы можем действительно сформулировать пропозицию, зная, что C ложно, с явной целью показать, что A также ложно. То, что мы имеем, — это, конечно, суждение не об A или C, взятых отдельно, а об A и C в отношении друг к другу.

Главный вопрос, стоящий в отношении значения гипотетической пропозиции, заключается в том, является ли она просто ассерторической или модальной. Контраст может быть просто выражен вопросом, является ли наше намерение, когда мы говорим «Если A, то C», просто отрицанием актуальности конъюнкции A истинного с C ложным или объявлением этой конъюнкции невозможностью.

Контраст между этими двумя интерпретациями может быть выявлен наиболее четко вопросом о том, как пропозиция «Если A, то C» должна быть опровергнута. Если наше намерение состоит лишь в отрицании актуальности конъюнкции A истинного с C ложным, то противоречащая пропозиция должна утверждать актуальность этой конъюнкции; если наше намерение состоит в отрицании возможности этой конъюнкции, то противоречащая пропозиция будет лишь утверждать ее возможность. Другими словами, при ассерторической интерпретации противоречащей пропозицией будет «A истинно, но C ложно»; при модальной интерпретации это будет «Если A истинно, C может быть ложным».

Мы можем посмотреть на это таким образом. Пусть AC обозначает истинность как A, так и C, ACʹ — истинность A и ложность C, и так далее. Тогда существуют четыре априорные возможности, а именно: AC, ACʹ, AʹC, AʹCʹ, одна или другая из которых должна иметь место, но любая пара из которых взаимно несовместима. Пропозиция «Если A, то C» просто исключает ACʹ и все еще оставляет AC, AʹC, AʹCʹ в качестве возможных альтернатив. Отрицая ее, следовательно, мы должны определенно утверждать ACʹ и исключить три другие альтернативы. Отсюда противоречащая пропозиция, как указано выше.

Необходимо определенное предположение, чтобы этот результат был правильным. Оппозиция гипотетических пропозиций при модальной интерпретации будет обсуждена более подробно в разделе 179.

Гипотетические пропозиции, предназначенные для интерпретации ассерторически, встречаются в обычном дискурсе, но они необычны. По-видимому, существуют два случая: (a) Когда мы знаем, что одна или другая из двух пропозиций истинна, но не знаем (или не помним), какая именно, мы можем выразить наше знание в форме гипотетической пропозиции «Если X не истинно, то Y истинно», и такая гипотетическая пропозиция будет просто ассерторической. Например: «Если цветы, которые я посадил на этой клумбе, не были анютиными глазками, то они были фиалками». Здесь намерение состоит лишь в отрицании актуальности того, что цветы не были ни анютиными глазками, ни фиалками. (b) Мы можем отрицать пропозицию эмфатически с помощью гипотетической пропозиции, в которой рассматриваемая пропозиция объединяется как антецедент с явно ложным консеквентом; и такая гипотетическая пропозиция снова будет просто ассерторической. Например: «Если то, что ты говоришь, истинно, то я голландец»; «Если этот мальчик вернется, я съем свою голову» (см. «Оливер Твист»); «Я буду повешен, если знаю, что ты имеешь в виду». В этих примерах намерение состоит в отрицании актуальности (а не возможности) конъюнкций — «То, что ты говоришь, истинно» и «Я не голландец»; «Тот мальчик вернется» и «Я не съем свою голову»; «Я не повешен» и «Я знаю, что ты имеешь в виду»; и поскольку элементы конъюнкций, напечатанные курсивом, общепризнанно истинны, сила пропозиций состоит в отрицании истинности других элементов, то есть в утверждении: «То, что ты говоришь, не истинно», «Тот мальчик не вернется», «Я не знаю, что ты имеешь в виду». Аналогично мы можем иногда использовать гипотетическую форму выражения как эмфатический способ объявления истинности консеквента (выбирая антецедент, который общепризнанно истинен); например: «Если он не может действовать, по крайней мере он может петь». Здесь снова гипотетическая пропозиция является просто ассерторической.

Нельзя, однако, утверждать, что что-либо из вышеперечисленного является типичными гипотетическими пропозициями; и утверждение, что наша естественная интерпретация гипотетических пропозиций обычно модальна, может быть оправдано на том основании, что мы обычно не считаем необходимым утверждать антецедент, чтобы иметь возможность отрицать гипотетическую пропозицию. Мы видели, что для того, чтобы отрицать ассерторическую гипотетическую пропозицию «Если A, то C», мы должны утверждать A и отрицать C; но мы обычно считали бы достаточным для отрицания, если мы можем показать, что нет никакой необходимой связи между истинностью A и истинностью C, независимо от того, является ли A фактически истинным или нет.

Мы будем, таким образом, в основном согласны с обычным употреблением, если будем интерпретировать гипотетические пропозиции модально, и принятие такой интерпретации также придаст гипотетическим пропозициям более отличительный характер. В дальнейшем гипотетическая форма будет, соответственно, рассматриваться как модальная, за исключением случаев, когда сделано явное заявление об обратном.

282 «Или C истинно, или A не истинно» обычно рассматривается как дизъюнктивный эквивалент гипотетического суждения «Если A истинно, то C истинно». Отношение между этими двумя пропозициями будет подробнее рассмотрено далее. Однако желательно сразу указать, что для сохранения эквивалентности оба суждения должны интерпретироваться либо ассерторически, либо модально. Существует немало доводов в пользу разграничения этих двух форм путем рассмотрения гипотетического суждения как модального, а дизъюнктивного — как чисто ассерторического. Этот метод рассмотрения прямо принят г-ном Макколлом. Он пишет (используя символику a : b для «Если a, то b», a + b для «a или b», aʹ для отрицания a): «Выражение a : b можно прочитать как «a влечет b» или «Если a истинно, то b должно быть истинным». Утверждение a : b влечет aʹ + b. Но можно спросить, не являются ли эти два утверждения действительно эквивалентными; не следует ли нам поэтому писать a : b = aʹ + b? Теперь, если эти два утверждения действительно эквивалентны, их отрицания также будут эквивалентны. Посмотрим, будет ли это так, взяв в качестве конкретных примеров: «Если он упорствует в своей расточительности, он будет разорен»; «Он либо прекратит свою расточительность, либо будет разорен». Отрицание a : b есть (a : b)ʹ, и это отрицание можно прочитать как «Он может упорствовать в своей расточительности, не будучи обязательно разоренным». Отрицание aʹ + b есть abʹ, которое можно прочитать как «Он будет упорствовать в своей расточительности и не будет разорен». Теперь совершенно очевидно, что второе отрицание является гораздо более сильным и позитивным утверждением, чем первое. Первое лишь утверждает возможность комбинации abʹ; второе утверждает достоверность той же комбинации. Поскольку отрицания утверждений a : b и aʹ + b таким образом оказались неэквивалентными, из этого следует, что сами утверждения a : b и aʹ + b не являются эквивалентными, и что, хотя aʹ + b является необходимым следствием a : b, все же a : b не является необходимым следствием aʹ + b» (см. Mind, 1880, с. 50–54; в эту цитату внесено одно-два незначительных словесных изменения).

264 Некоторые авторы, принимающие модальную интерпретацию гипотетических суждений, говорят о консеквенте как о выводе из антецедента. Несомненно, существуют некоторые гипотетические суждения, к которым это описание применимо точно. Так, у нас могут быть гипотетические суждения, которые являются формальными в том смысле, в каком этот термин использовался в разделе 31, где консеквент, например, является непосредственным выводом из антецедента или заключением силлогизма, посылки которого составляют антецедент. Ниже приведены примеры: «Если все равнобедренные треугольники имеют углы при основании, равные друг другу, то никакой треугольник, углы при основании которого неравны, не может быть равнобедренным»; «Если все люди смертны и Папа — человек, то Папа должен быть смертен».

Но чаще консеквент гипотетического суждения не может быть выведен из одного лишь антецедента. Требуется помощь подразумеваемых посылок, которые принимаются как должное, причем посылка, которая выражена явно, возможно, является единственной, в отношении истинности которой допускается какое-либо сомнение. Поэтому лучше говорить о консеквенте как о необходимом следствии антецедента, чем как о выводе из него. Когда мы говорим о C как о выводе из A, возникает предположение, что A дает полное обоснование C, тогда как, когда мы говорим о нем как о необходимом следствии, это предположение, по крайней мере, менее заметно. 283

283 Мисс Джонс (General Logic, с. 45) делит гипотетические суждения на формальные, или самодостаточные, и референциальные гипотетические суждения. В первых «консеквент является выводом из одного лишь антецедента»; во вторых «консеквент выводится не из одного лишь антецедента, а из антецедента, взятого в сочетании с каким-либо другим невыраженным суждением или суждениями».

179. Противопоставление гипотетических суждений. — Рассматривая гипотетические суждения как всегда утверждающие необходимое следствие, можно обоснованно полагать, что они не допускают различий по качеству. Зигварт, соответственно, утверждает, что все гипотетические суждения являются утвердительными. «Переходя к гипотетическим суждениям 265, содержащим отрицания, мы обнаруживаем, что форма «Если A есть, то B не есть» представляет отрицание суждения как необходимое следствие утверждения, тем самым утверждая, что гипотезы A и B несовместимы». 284 Силу этого аргумента следует признать. Однако есть некоторое удобство в различении гипотетических суждений в зависимости от того, ведут ли они в консеквенте к утверждению или отрицанию; и в формальном рассмотрении гипотетических суждений мы сможем лучше сохранить аналогию с категорическими и условными суждениями, если обозначим суждение «Если X истинно, то Y истинно» символом Am, а суждение «Если X истинно, то Y не истинно» — символом Em.

284 Logic, i. с. 226.

Решим ли мы таким образом признавать различия по качеству в случае гипотетических суждений, мы, безусловно, не можем признавать различия по количеству. Антецедент гипотетического суждения — это не событие, которое может повторяться неопределенное число раз, а суждение, которое просто истинно или ложно. Мы уже видели, что одно и то же суждение не может быть иногда истинным, а иногда ложным, поскольку суждения, относящиеся к разным временам, являются разными суждениями. 285

285 Это, как отметил г-н Джонсон, следует рассматривать в связи с признанием суждений как включающих множественную квантификацию. «Так, мы можем указать ряд суждений, включающих одинарную, двойную, тройную… квантификацию, которая может достигать любого порядка множественности: (1) «Все предметы роскоши облагаются налогом»; (2) «В некоторых странах все предметы роскоши облагаются налогом»; (3) «В некоторые периоды истинно, что во всех странах все предметы роскоши облагаются налогом»… в отношении каждого из типов суждений (1), (2), (3)… я утверждаю, что при экспликации в отношении времени или места и т. д. абсурдно говорить о них как об иногда истинных и иногда ложных» (Mind, 1892, с. 30, прим.).

Не занимают ли, однако, различия по модальности место различий по количеству? До этого момента мы практически ограничивали наше внимание аподиктическим гипотетическим суждением «Если A, то C». Это суждение отрицается суждением «Если A истинно, то C все же не обязательно истинно» (то есть «Истинность C не является необходимым следствием истинности A»). Можно ли описать это последнее суждение как проблематическое гипотетическое? Очевидно, что это вообще не гипотетическое суждение, если мы начнем с определения гипотетического суждения как утверждения необходимого следствия. Однако, по-видимому, нет необходимости в таком ограничении. Мы можем определить 266 гипотетическое суждение как суждение, которое, исходя из гипотезы об истинности (или ложности) данного суждения, утверждает (или отрицает), что истинность (или ложность) другого суждения является необходимым следствием этого. Но, принимаем ли мы это определение или нет, не может быть сомнений в том, что суждение «Если A, то, возможно, C» уместно находит место в той же схеме суждений, что и «Если A, то необходимо C». В такой схеме у нас есть четыре формы:

Если A истинно, то C истинно; Am

Если A истинно, то C не истинно; Em

Если A истинно, то C все же может быть истинным; Im

Если A истинно, то C все же не обязательно истинно. Om

Эти четыре суждения соответствуют тем, которые включены в обычный логический квадрат; и если мы начнем с допущения, что A возможно истинно, 286 то между ними сохраняются обычные отношения противопоставления. Am и Om, Em и Im являются парами противоречащих суждений; Am и Em являются противными; Am и Im, Em и Om являются парами подчиненных суждений; Im и Om являются подпротивными.

286 Под этим подразумевается, что мы начинаем с допущения, что A возможно истинно независимо от утверждения любого из рассматриваемых суждений. Читатель должен особо заметить, что это допущение совершенно отличается от допущения, что каждая из форм суждений подразумевает как часть своего содержания, что A возможно истинно; в противном случае результаты, полученные в этом параграфе, могут показаться противоречащими тем, что получены в следующем параграфе.

Если, однако, не предполагается, что A возможно истинно, то проблема более сложна, поскольку характер отношений затрагивается тем, как суждения интерпретируются в отношении возможности их антецедентов. Результаты по существу те же, что и в случае модальных условных суждений (раздел 176), и соответствуют тем, что получены в разделе 159, где обсуждается аналогичная проблема в отношении категорических суждений (интерпретируемых ассерторически). Таким образом, чтобы Am и Om, Em и Im были противоречащими, аподиктические и проблематические суждения должны интерпретироваться по-разному в отношении импликации или неимпликации возможной истинности их антецедентов; в то время как, с другой стороны, чтобы Am и Im, Em и Om были подчиненными, 267 проблематические суждения не должны интерпретироваться как имплицирующие возможную истинность их антецедентов, если только аподиктические суждения не интерпретируются аналогично в этом отношении. Если мы не интерпретируем ни аподиктические, ни проблематические гипотетические суждения как имплицирующие возможную истинность их антецедентов, то противоречащее суждению «Если A, то C» может быть выражено в форме «Возможно A, но не C» (или, как это также может быть сформулировано, «A возможно истинно, и если оно истинно, то C все же не обязательно истинно»).

Заняло бы слишком много места обсуждать подробно все проблемы, которые могут возникнуть в этой связи. Затронутые принципы были достаточно обозначены; и читатель не найдет затруднений в самостоятельной проработке других случаев. Мы можем, однако, кратко коснуться отношения между суждениями «Если A, то C» и «Если A, то не C», показав, в частности, что ни при каком допущении они не являются истинно противоречащими.

Если эти два суждения интерпретируются ассерторически, то они, будучи далеки от того, чтобы быть противоречащими, являются подпротивными. Ибо, предполагая, что A оказывается неистинным, нельзя сказать, что какое-либо из них ложно: утверждение «Если A, то C» лишь исключает ACʹ, а «Если A, то не C» лишь исключает AC; следовательно, остаются две возможности: AʹC или AʹCʹ, ни одна из которых не противоречит ни одному из этих суждений. 287 С другой стороны, суждения не могут быть оба ложными, так как это означало бы истинность обоих ACʹ и AC.

287 Валидность вышеприведенного результата, возможно, будет яснее видна при подстановке вместо гипотетических суждений их (ассерторических) дизъюнктивных эквивалентов, а именно: «Или A не истинно, или C истинно», «Или A не истинно, или C не истинно». В качестве конкретного примера мы можем взять суждения: «Если это перо не с перекрестным пером, оно разъедается чернилами», «Если это перо не с перекрестным пером, оно не разъедается чернилами». Предполагая, что перо оказывается с перекрестным пером, мы не можем считать ни одно из этих суждений ложным. Будет замечено, что их дизъюнктивные эквиваленты таковы: «Это перо либо с перекрестным пером, либо разъедается чернилами», «Это перо либо с перекрестным пером, либо не разъедается чернилами». Возьмем снова суждения: «Если солнце движется вокруг земли, некоторые астрономы ошибаются». «Если солнце движется вокруг земли, все астрономы непогрешимы». Истинность первого из этих суждений не будет отрицаться, и при интерпретации гипотетических суждений, с которой мы здесь имеем дело, второе нельзя назвать ложным. Это можно принять как эмфатический способ отрицания того, что солнце движется вокруг земли.

Возвращаясь к модальной интерпретации суждений, если они интерпретируются как имплицирующие возможную истинность их 268 антецедентов, то они являются противными. Они не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными. Может быть так, что ни истинность, ни ложность C не является необходимым следствием истинности A. 288

288 Утверждалось, что «Если A, то C» должно иметь своим противоречащим «Если A, то не C», поскольку консеквент должен либо следовать, либо не следовать из антецедента. Но сказать, что C не следует из A, очевидно, не то же самое, что сказать, что не-C следует из A.

Более того, если они интерпретируются модально, но не как имплицирующие возможную истинность их антецедентов, суждения могут быть как оба истинными, так и оба ложными. Этот случай реализуется, когда мы устанавливаем невозможность истинности суждения, показывая, что если бы оно было истинным, последовали бы противоречивые результаты.

180. Непосредственные выводы из гипотетических суждений. — Самым важным непосредственным выводом из суждения «Если A, то C» является «Если не-C, то не-A». Этот вывод аналогичен контрапозиции в случае категорических суждений и может без всякого риска путаницы называться тем же именем. Мы можем, соответственно, определить термин «контрапозиция» применительно к гипотетическим суждениям как процесс непосредственного вывода, посредством которого мы получаем новое гипотетическое суждение, имеющее своим антецедентом противоречащее старому консеквенту, а своим консеквентом — противоречащее старому антецеденту. Если мы признаем различия по качеству в гипотетических суждениях, то (в отношении аподиктических гипотетических суждений) этот процесс валиден только в случае утвердительных суждений. Будет замечено, что из контрапозитивного суждения мы можем вернуться к исходному суждению; и из этого следует, что исходное суждение и его контрапозитивное эквивалентны. 289 Ниже приведены примеры: «Если терпение — добродетель, то существуют болезненные добродетели» = «Если нет болезненных добродетелей, то терпение не является добродетелью»; «Если есть праведный Бог, то нечестивые не избегнут своего справедливого наказания» = «Если нечестивые избегают своего справедливого наказания, то нет праведного Бога».

289 Это справедливо независимо от того, принимаем ли мы ассерторическую или модальную интерпретацию. При первой интерпретации содержание обоих суждений «Если A, то C» и «Если не-C, то не-A» заключается в отрицании ACʹ; при второй интерпретации содержание обоих заключается в отрицании возможности конъюнкции ACʹ.

Из отрицательного гипотетического суждения «Если A истинно, то C не истинно» мы можем вывести «Если C истинно, то A не истинно». Это аналогично обращению в случае категорических суждений.

269 Из утвердительного «Если A, то C» мы можем получить путем обращения «Если C, то, возможно, A»; но это только при той интерпретации, что оба суждения имплицируют возможность истинности их антецедентов. 290 Читатель заметит, что переход от «Если A, то C» к «Если C, то A» означал бы совершение ошибки, аналогичной простому обращению категорического A-суждения; и это, пожалуй, самая опасная ошибка, которой следует остерегаться при использовании гипотетических суждений. 291

290 Сравните раздел 158. Различные результаты, полученные в разделе 158, могут быть применены mutatis mutandis к модальным гипотетическим суждениям. Читатель может самостоятельно рассмотреть контрапозицию Em.

291 При ассерторической интерпретации «Если A, то C» лишь отрицает ACʹ, в то время как «Если C, то A» лишь отрицает AʹC, и поэтому ясно, что ни одно из этих суждений не включает другое; при модальной интерпретации результат тот же, ибо истинность C может быть необходимым следствием истинности A, в то время как обратное не имеет места.

Рассмотрение непосредственных выводов позволяет нам с другой точки зрения показать, что «Если A, то C» и «Если A, то не-C» не являются истинно противоречащими. Ибо контрапозитивные суждения «Если A, то не-C», «Если C, то не-A» эквивалентны друг другу; и всякий раз, когда два суждения эквивалентны, их противоречащие также должны быть эквивалентны. Но «Если A, то C» не эквивалентно «Если C, то A».

Если допускаются различия по качеству, то процесс обверсии применим к гипотетическим суждениям. Например, «Если A истинно, то C не истинно» = «Если A истинно, то не-C истинно». Почти всегда естественнее и удобнее брать гипотетические суждения в их утвердительной, а не в отрицательной форме; и поэтому в случае гипотетических суждений большее значение придается процессу контрапозиции, чем процессу обращения.

Если предполагается, что ложность C возможна, то мы можем перейти путем инверсии от «Если A, то C» к «Возможно, что и A, и C не истинны»; или, выражая то же самое иначе, мы можем путем инверсии перейти от «Если A, то C» к «Если ложность C возможна, то ложность и A, и C возможна». 292 Конечно, ошибкой является аргументация от «Если A, то C» к «Если не-A, то не-C».

292 Инверсия Em может быть проработана аналогично. Здесь, как и везде, процесс инверсии, хотя и имеет малое или не имеет практического значения, поднимает проблемы, представляющие значительный теоретический интерес.

Переходя к проблематическим гипотетическим суждениям, мы обнаруживаем, что из суждения «Если A истинно, C может быть истинным» мы получаем путем обращения «Если C истинно, A может быть истинным»; и из суждения «Если A 270 истинно, C не обязательно истинно» мы получаем путем контрапозиции «Если C истинно, A не обязательно истинно». Здесь аналогия с категорическими суждениями снова очень близка.

181. Гипотетические суждения и категорические суждения. — Истинное гипотетическое суждение было определено как суждение, выражающее отношение между двумя другими суждениями независимого содержания, а не между двумя терминами; и из этого следует, что истинное гипотетическое суждение не является, подобно условному, легко сводимым к категорической форме. Насколько мы можем получить эквивалентное категорическое суждение, его субъект и предикат не будут соответствовать антецеденту и консеквенту гипотетического суждения. Таким образом, суждение «Если A, то C» может, в зависимости от нашей интерпретации, быть выражено в одной из следующих форм: «A — это суждение, истинность которого несовместима с ложностью C»; «A — это суждение, из истинности которого необходимо следует истинность C». Будет замечено, что, помимо того факта, что эти суждения не являются обычного категорического типа, 293 предикат ни в одном из них не эквивалентен консеквенту гипотетического суждения. 294 Несомненно, гипотетическое суждение может быть основано на категорическом суждении обычного типа. Но это совсем другое дело, чем говорить, что эти два суждения эквивалентны друг другу.

293 Поскольку они являются сложными, а не простыми суждениями. Выражение сложных суждений в категорической форме неудобно, и лучше оставить гипотетическую и дизъюнктивную формы для таких суждений, а категорическую и условную формы использовать для простых суждений.

294 Среди прочих различий контрапозитивные суждения обоих этих суждений отличаются от контрапозитивного суждения гипотетического. Ибо при любой интерпретации гипотетического суждения его контрапозитивным является «Если C не истинно, то A не истинно», в то время как контрапозитивные вышеуказанных суждений соответственно таковы: «Суждение, истинность которого совместима с ложностью суждения C, не есть суждение A», «Суждение, из которого суждение C не является необходимым следствием, не есть суждение A».

Отношение между гипотетическими и дизъюнктивными суждениями будет обсуждаться в следующей главе.

182. Предполагаемый взаимный характер условных и гипотетических суждений. — Г-н Бозанкет утверждает, что гипотетическое суждение (и под этим обозначением он включил бы как условное, так и то, что мы назвали истинным 271 гипотетическим) «в идеале должно быть взаимным суждением. «Если A есть B, то оно есть C» должно оправдывать вывод «Если A есть C, то оно есть B». Мы, конечно, привыкли иметь дело с гипотетическими суждениями, которые не допускают никакого такого обращения, и правила логики принимают это ограничение… Если на самом деле… AB оказывается вовлекающим AC, в то время как AC не вовлекает AB, то ясно, что релевантным для AC было не собственно AB, а некоторый элемент αβ внутри него… Помимо времени, с одной стороны, и нерелевантных элементов, с другой, я не вижу, как отношение обусловливания отличается от отношения быть обусловленным… Другими словами, если в A нет ничего сверх того, что необходимо для B, то B вовлекает A точно так же, как A вовлекает B. Но если A содержит нерелевантные элементы, то, конечно, отношение становится односторонним… Отношение основания, таким образом, является существенно взаимным, и только потому, что «основания», приводимые в повседневной жизни, обременены нерелевантным материалом или смешаны с причинностью во времени, мы считаем, что гипотетическое суждение по своей природе не является обратимым» (Logic, I, с. 261–3).

Вопрос, поднятый здесь, аналогичен вопросу о возможности множественности причин, который обсуждается в индуктивной логике. Его, возможно, можно описать как более широкий аспект того же вопроса. До тех пор, пока данное следствие имеет множественность оснований, ясно, что гипотетическое суждение, утверждающее его как следствие одного конкретного из этих оснований, не может допускать простого обращения, ибо обращенное суждение было бы справедливо только в том случае, если бы рассматриваемое основание было единственным.

Г-н Бозанкет настаивает, что отношение между основанием и следствием станет взаимным путем исключения из антецедента всех нерелевантных элементов. Следует добавить, что мы можем также обеспечить взаимность путем расширения консеквента так, чтобы то, что следует из антецедента, было выражено полностью. Таким образом, если у нас есть гипотетическое суждение «Если A, то γ», которое не является взаимным, возможно, что A может быть способно к анализу на αβ, а γ — к расширению на γδ, так что любое из гипотетических суждений «Если α, то γ», «Если αβ, то γδ» является взаимным. В первом случае у нас есть более точное утверждение основания, при этом все посторонние 272 элементы исключены; во втором случае у нас есть более полное утверждение следствия. Иногда, кроме того, последняя из этих альтернатив может быть осуществима, в то время как первая — нет.

Это может быть проверено путем обращения к формальному гипотетическому суждению. Суждение «Если все S есть M и все M есть P, то все S есть P» не является взаимным. Мы можем сделать его таковым, расширив консеквент так, чтобы суждение стало «Если все S есть M и все M есть P, то все, что есть либо S, либо M, есть P, а также есть M или не есть S». Но как в этом случае можно было бы исключить нерелевантное из антецедента, трудно увидеть. Наша цель — исключить M из консеквента, и если бы мы заранее исключили его из антецедента, вся сила суждения была бы потеряна. И то же самое верно для неформальных гипотетических суждений, по крайней мере во многих случаях. Примеры взаимных условных суждений могут быть приведены без труда, например, «Если какой-либо треугольник равносторонний, он равноугольный». Такие суждения практически являются U-суждениями. Мы можем также найти примеры чистых гипотетических суждений, которые являются взаимными; но в целом, соглашаясь со многим из того, что г-н Бозанкет говорит по этому предмету, я склонен возразить против его взгляда, что взаимное гипотетическое суждение представляет собой идеал, к которому мы должны всегда стремиться. Мы видели, что есть два возможных способа обеспечения взаимности, осуществимы ли они всегда или нет; но расширение консеквента было бы, вообще говоря, чрезвычайно громоздким и хуже чем бесполезным, в то время как исключение из антецедента всего, что не является абсолютно существенным для реализации консеквента, иногда опустошало бы суждение от всякого практического содержания для данной цели. В отношении случая, когда AB вовлекает AC, в то время как AC не вовлекает AB, г-н Бозанкет сам отмечает возражение: «Но не может ли нерелевантный элемент быть как раз тем элементом, который сделал AB отличным от AC, так что путем абстрагирования от него AB сводится к AC, и суждение превращается в тавтологию, то есть уничтожается?» (с. 261). Этот аргумент, хотя и несколько преувеличен, заслуживает рассмотрения. Момент, на котором я был бы склонен сделать акцент, заключается в том, что при критике суждения мы должны принимать во внимание 273 специальную цель, с которой оно было сформулировано. Наша цель может состоять в том, чтобы связать AC с AB, включая все, что может быть нерелевантным в AB. Рассмотрим аргумент: «Если что-либо есть P, оно есть Q», «Если что-либо есть Q, оно есть R», следовательно, «Если что-либо есть P, оно есть R». Ясно, что если мы сравним заключение со второй посылкой, антецедент заключения содержит нерелевантности, от которых свободен антецедент посылки. Тем не менее заключение может быть для нас величайшей ценности, в то время как посылка сама по себе не имеет никакой ценности. Если бы нашей целью всегда было докопаться до первопринципов, было бы много доводов в пользу взгляда г-на Бозанкета, хотя это все еще могло бы представлять некоторые трудности; но нет причин, по которым мы должны отождествлять условное или гипотетическое суждение с выражением первопринципов.

Следует добавить, что если взгляд г-на Бозанкета верен, мы должны в равной степени сказать, что A-категорическое суждение является несовершенным, и что в категорических суждениях U-суждение является идеалом, к которому мы должны стремиться. В категорических суждениях, однако, мы четко различаем A и U; и поскольку мы придаем значимость взаимному модальному суждению, будь то условное или гипотетическое, мы должны признать его отличительный характер. Мы можем в то же время присвоить ему отличительный символ Um.

УПРАЖНЕНИЯ.

183. Дайте контрапозитивное суждение для следующего: «Если либо ни одно P не есть R, либо ни одно Q не есть R, то ничто, что есть и P, и Q, не есть R». [K.]

184. В доме три человека: Аллен, Браун и Карр, которые могут выходить и входить при условии, что (1) они никогда не выходят все сразу и что (2) Аллен никогда не выходит без Брауна. Может ли Карр когда-нибудь выйти? [Льюис Кэрролл.]

185. Есть два суждения, A и B. Допустим, что если A истинно, то B истинно. (i) Пусть есть другое суждение C, такое, что если C истинно, то если A истинно, B не истинно. (ii) 274 (ii) сводится к следующему: «Если C истинно, то (i) не истинно». Но, ex hypothesi, (i) истинно. Следовательно, C не может быть истинным; ибо допущение C вовлекает абсурд. Исследуйте этот аргумент. [Льюис Кэрролл.]

[Если задача в разделе 184 рассматривается как задача об условных суждениях, это соответствующая задача о гипотетических суждениях.]

186. Предполагая, что дождь никогда не идет в Верхнем Египте, являются ли следующие пары подлинно противоречащими? (a) За выпадением дождя в Верхнем Египте всегда следует землетрясение; за выпадением дождя в Верхнем Египте иногда не следует землетрясение. (b) Если истинно, что в Верхнем Египте шел дождь 1 июля, то также истинно, что в тот же день последовало землетрясение; если истинно, что в Верхнем Египте шел дождь 1 июля, то не истинно, что в тот же день последовало землетрясение. Если вышеуказанные не являются истинно противоречащими, предложите, что следует подставить. [B.]

187. Дайте контрапозитивное и противоречащее суждение для каждого из следующих: (1) Если какая-либо нация процветает при протекционистской системе, ее граждане отвергают все аргументы в пользу свободной торговли; (2) Если какая-либо нация процветает при протекционистской системе, мы должны отвергнуть все аргументы в пользу свободной торговли. [J.]

188. Исследуйте логическое отношение между двумя следующими суждениями; и выясните, логически ли возможно придерживаться (a) того, что оба истинны, (b) того, что оба ложны: (i) Если волевые акты не детерминированы, то наказания не могут быть справедливо наложены; (ii) Если наказания могут быть справедливо наложены, то волевые акты не детерминированы. [J.]

ГЛАВА X.

ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ (ИЛИ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ) СУЖДЕНИЯ.

189. Термины «дизъюнктивный» и «альтернативный» применительно к суждениям. — Суждения формы «Или X, или Y истинно» обычно называются дизъюнктивными. Было указано, однако, что два суждения действительно разъединены, когда отрицается, что они оба истинны, скорее, чем когда утверждается, что одно или другое из них истинно; и термин «альтернативный», как предложено мисс Джонс (Elements of Logic, с. 115), очевидно, уместен для выражения последнего утверждения. Мы должны тогда использовать термины «конъюнктивный», «дизъюнктивный», «альтернативный», «ремотивный» для четырех следующих комбинаций соответственно: «X и Y оба истинны», «X и Y не оба истинны», «Или X, или Y истинно», 295 «Ни X, ни Y не истинны».

295 Некоторые авторы действительно рассматривают суждение «Или X, или Y истинно» как выражающее отношение между X и Y, которое является дизъюнктивным в вышеуказанном смысле, а также альтернативным; но дизъюнктивный характер этого суждения в отношении X и Y, по крайней мере, открыт для спора, в то время как его альтернативный характер бесспорен (см. раздел 191).

Хотя, однако, название «альтернативный» предпочтительнее «дизъюнктивного» для суждения «Или X, или Y истинно», последнее название имеет такую прочную позицию в логической номенклатуре, что кажется нецелесообразным полностью прекращать его использование в старом смысле. Можно далее указать, что альтернатива содержит скрытую дизъюнкцию (а именно, между не-X и не-Y) даже в более строгом смысле; ибо утверждение, что «Или X, или Y истинно», эквивалентно утверждению, что «Не-X и не-Y не оба истинны». Следовательно, хотя я обычно использую термин «альтернативный», я не буду полностью отбрасывать термин «дизъюнктивный» как синонимичный ему.

276 190. Два типа альтернативных суждений. — В случае суждений, которые обычно описываются как просто дизъюнктивные, должно быть проведено различие, аналогичное тому, которое проведено в предыдущей главе между условными и истинно гипотетическими суждениями. Ибо альтернативы могут быть событиями или комбинациями свойств, одно или другое из которых, как утверждается, будет (всегда или иногда) иметь место, например: «Каждый кровеносный сосуд есть либо вена, либо артерия», «Каждая процветающая нация имеет либо обильные природные ресурсы, либо хорошее правительство»; или они могут быть суждениями независимого содержания, истинность или ложность которых не может быть затронута меняющимися условиями времени, пространства или обстоятельств и которые поэтому должны быть просто истинными или ложными, например: «Либо существует будущая жизнь, либо многие жестокости остаются безнаказанными», «Либо не грех желать чести, либо я самая грешная душа из живущих».

Любое суждение, принадлежащее к первому из вышеуказанных типов, может быть приведено к символической форме «Все (или некоторые) S есть либо P, либо Q» и может, следовательно, рассматриваться как обычное категорическое суждение с альтернативным термином в качестве предиката. Обычно и по некоторым причинам удобно отложить обсуждение содержания альтернативных терминов до тех пор, пока не будут рассматриваться суждения этого типа. Такие суждения в противном случае могли бы быть отброшены после очень краткого рассмотрения. 296

296 Следует особо отметить, что хотя суждение «Каждое S есть P или Q» можно сказать, что оно утверждает альтернативу, оно не может быть разрешено в истинную альтернативную комбинацию суждений. Такое разрешение, однако, возможно, если суждение (оставаясь утвердительным и все еще имея альтернативный предикат) является единичным или частным: например, «Это S есть P или Q» = «Это S есть P или это S есть Q»; «Некоторые S есть P или Q» = «Некоторые S есть P или некоторые S есть Q».

Соответственно этому мы можем отметить, что утвердительное категорическое суждение с конъюнктивным предикатом эквивалентно конъюнкции суждений, если оно единичное или универсальное, но не если оно частное. Таким образом, «Это S есть P и Q» = «Это S есть P и это S есть Q»; «Все S есть P и Q» = «Все S есть P и все S есть Q». Из суждения «Некоторые S есть P и Q» мы можем, конечно, вывести «Некоторые S есть P и некоторые S есть Q»; но мы не можем вернуться от этого заключения к посылке, и поэтому они не эквивалентны друг другу.

Можно добавить, что отрицательное категорическое суждение с альтернативным предикатом нельзя сказать, что оно утверждает альтернативу вообще, поскольку отрицать альтернацию — то же самое, что утверждать конъюнкцию. Таким образом, суждение «Ни одно S не есть либо P, либо Q» может быть разрешено только в конъюнктивный синтез суждений, а именно: «Ни одно S не есть P и ни одно S не есть Q».

277 Альтернативные суждения второго типа являются сложными (как определено в разделе 55). Они содержат альтернативную комбинацию суждений независимого содержания: и они имеют в качестве своей типичной символической формы «Или X истинно, или Y истинно», или, короче, «Или X, или Y», где X и Y — символы, представляющие суждения (а не термины). Насколько необходимо дать им отличительное название, они имеют право называться истинными альтернативными суждениями, поскольку они включают истинный альтернативный синтез суждений, а не просто альтернативный синтез терминов.

Будет удобно говорить о P и Q как об альтернатах альтернативного термина «P или Q», а об X и Y — как об альтернатах альтернативного суждения «Или X, или Y».

191. Содержание дизъюнктивных (альтернативных) суждений. — Два основных вопроса, которые возникают в отношении содержания альтернативных суждений, — это (1) должны ли альтернаты таких суждений обязательно рассматриваться как взаимно исключающие, (2) должны ли суждения интерпретироваться как ассерторические или модальные.

(1) Мы спрашиваем тогда, во-первых, должны ли в альтернативном суждении альтернаты интерпретироваться как формально исключающие друг друга; другими словами, подразумевается ли обязательно (или формально) в суждении «Все S есть либо A, либо B», что ни одно S не есть и A, и B, 297 и подразумевается ли обязательно (или формально) в суждении «X истинно или Y истинно», что X и Y не оба истинны. Желательно заметить с самого начала, что вопрос касается интерпретации пропозициональной формы и не возникает, кроме как в связи с выражением суждений в языке. Следовательно, решение будет, по крайней мере частично, делом конвенции.

297 Это альтернативное суждение первого типа, и тот же вопрос возникает при постановке вопроса о том, включает ли термин «A или B» AB в свой объем или исключает его; другими словами, представлен ли объем «A или B» заштрихованной частью первой или второй из следующих диаграмм:

278 Следующие соображения могут помочь сделать этот момент яснее. Пусть X и Y представляют два суждения. Тогда возможны два состояния ума, в которых мы можем находиться в отношении X и Y: (a) мы можем знать, что одно или другое из них истинно и что они не оба истинны; (b) мы можем знать, что одно или другое из них истинно, но можем не знать, являются ли они оба истинными или нет.

Теперь, какая бы интерпретация (исключающая или неисключающая) пропозициональной формы «X или Y» ни была принята, не будет затруднений в выражении альтернативно любого состояния ума. При исключающей интерпретации (a) будет выражено в форме «X или Y», (b) — в форме «XY или XYʹ или XʹY» (Xʹ представляет ложность X, а Yʹ — ложность Y). При неисключающей интерпретации (a) будет выражено в форме «XʹY или XYʹ», (b) — в форме «X или Y». Поэтому не может быть внутреннего основания, основанного на самой природе суждения, почему «X или Y» должно интерпретироваться одним из двух способов с исключением другого.

Поскольку мы имеем дело с вопросом интерпретации определенной формы выражения, мы должны искать решение частично в употреблении обычного языка. Мы спрашиваем поэтому, намереваемся ли мы в обычной речи, чтобы альтернаты в альтернативном суждении обязательно понимались как исключающие друг друга? 298 Очень немногие примеры позволят нам решить это отрицательно. Возьмем, например, суждение: «Он либо использовал плохие учебники, либо его плохо учили». Никто естественно не понял бы это как исключающее возможность комбинации плохого обучения и использования плохих учебников. Или предположим, что в качестве 279 условия приемлемости на какую-то должность установлено, что каждый кандидат должен быть членом либо Оксфордского университета, либо Кембриджского университета, либо Лондонского университета. Счел бы кто-нибудь это подразумевающим неприемлемость лиц, которые случайно оказались членами более чем одного из этих университетов? Джевонс (Pure Logic, с. 68) приводит пример следующего суждения: «Пэр есть либо герцог, либо маркиз, либо граф, либо виконт, либо барон». Мы не считаем это утверждение неверным, потому что многие пэры на самом деле обладают двумя или более титулами. Возьмем снова суждение: «Либо свидетель лжесвидетельствует, либо заключенный виновен». Содержание этого суждения, как оно естественно интерпретировалось бы, заключается в том, что доказательства, представленные свидетелем, достаточны, если они истинны, чтобы установить виновность заключенного; но ясно, что нет никакой импликации, что ложность этого конкретного доказательства была бы достаточна для установления невиновности заключенного.

298 Существует, несомненно, много случаев, в которых на самом деле мы понимаем альтернаты как взаимно исключающие. Но это не является решающим доказательством того, что даже в этих случаях взаимная исключительность предназначена для выражения альтернативным суждением. Ибо, как правило, будет обнаружено, что в таких случаях факт, что альтернаты исключают друг друга, является делом общего знания совершенно независимо от альтернативного суждения; как, например, в суждении «Он был первым или вторым в гонке». Этот момент далее затронут в Части III, Главе 6.

Но можно настаивать, что это не решает окончательно вопрос о лучшем способе интерпретации альтернативных суждений. Допустим, что в обычной речи альтернаты могут быть или не быть взаимно исключающими, тем не менее можно утверждать, что при использовании языка для логических целей мы должны быть более точными и что альтернативное утверждение, соответственно, не должно допускаться как признанное логическое суждение, кроме как при условии, что альтернаты взаимно исключают друг друга.

Мы можем признать, что аргумент от обычного использования речи не является окончательным. Но во всяком случае бремя доказательства лежит на тех, кто выступает за расхождение с использованием повседневного языка; ибо не будет отрицаться, что, при прочих равных условиях, чем меньше логические формы расходятся с формами обычной речи, тем лучше. Более того, сжатые формы выражения не способствуют ясности или даже в конечном счете краткости. 299 280 Ибо там, где наша информация скудна, сжатая форма, вероятно, выражает больше, чем мы намереваемся, и чтобы оставаться в рамках, мы должны указать дополнительные альтернативы. На этом основании, совершенно независимо от соображений обычного использования языка, я поддержал бы неисключающую интерпретацию альтернатив. Принятие исключающей интерпретации, безусловно, сделало бы манипулирование сложными суждениями гораздо более сложным.

299 Очевидно, что дизъюнктивное суждение является более сжатой формой выражения при исключающей, чем при неисключающей интерпретации. Сравните Aldrich Мансела, с. 242, и Prolegomena Logica, с. 288. «Допустим на мгновение противоположный взгляд и позволим, что суждение «Все C есть либо A, либо B» подразумевает как условие своей истинности «Ни одно C не может быть и тем, и другим». Рассмотренное таким образом, оно в действительности является сложным суждением, содержащим два различных утверждения, каждое из которых может быть основанием двух различных процессов рассуждения, управляемых двумя противоположными законами. Безусловно, существенно для всякого ясного мышления, чтобы они были отделены друг от друга, а не смешаны под одной формой путем допущения, что Закон Исключенного Третьего есть то, чем он не является, — комплекс законов Тождества и Противоречия» (Aldrich, с. 242). Можно добавить, что одним парадоксальным результатом исключающей интерпретации альтернатив является то, что «не (либо P, либо Q)» не эквивалентно «ни P, ни Q».

Дальнейший парадоксальный результат указан г-ном Г. Р. Т. Россом в статье о дизъюнктивном суждении в Mind (1903, с. 492), а именно, что при исключающей интерпретации дизъюнктивные суждения «A есть либо B, либо C» и «A есть либо не-B, либо не-C» идентичны по своему содержанию; ибо в каждом случае реальными альтернатами являются «B, но не C» и «C, но не B». Таким образом, чтобы взять иллюстрацию, заимствованную у г-на Росса, два следующих суждения (при рассматриваемой интерпретации) идентичны по своему содержанию: «Любой, кто утверждает, что видел своего собственного призрака, либо не в здравом уме, либо не говорит то, что считает истиной», «Любой, кто утверждает, что видел своего собственного призрака, либо в здравом уме, либо правдив».

Г-н Бозанкет и другие авторы, выступающие за исключительную интерпретацию дизъюнктивных суждений, по-видимому, имеют в виду прежде всего выражение в дизъюнктивной форме логического деления или научной классификации. Я, разумеется, соглашусь с тем, что такое деление или классификация несовершенны, если их члены не являются взаимно исключающими, а также исчерпывающими в совокупности. Это условие должно также соблюдаться, когда мы используем дизъюнктивное суждение в связи с теорией вероятностей. 300 Едва ли, однако, будет предложено ограничить использование дизъюнктивного суждения только этими случаями. У нас часто возникает необходимость формулировать альтернативы независимо от какой-либо научной классификации или расчета вероятностей; и мы не должны рассматривать чистую форму дизъюнктивного суждения как выражающую что-либо такое, что мы не готовы признать универсально присущим его использованию.

300 В этой связи должно быть дополнительно соблюдено условие «равенства» альтернант в определенном смысле.

Разумеется, всегда возможно выразить альтернативное высказывание таким образом, чтобы альтернанты были формально несовместимыми или исключающими. Так, не желая исключать случай, когда A является одновременно B и C, мы можем написать: A есть B или bC; 301 или, желая исключить этот случай: A есть Bc или bC. Но ни в одном из этих примеров мы не можем сказать, что несовместимость альтернант действительно задается альтернативной пропозицией. Это чисто формальное суждение: «Ни одно A не является одновременно B и bC» или «Ни одно A не является одновременно Bc и bC». Однако суждение «Всякое A есть Bc или bC» действительно говорит нам, что ни одно A не является одновременно B и C; и когда из нашего знания о предмете очевидно, что мы имеем дело с альтернантами, которые взаимно исключают друг друга (и, несомненно, это очень частый случай), мы имеем в вышеприведенной форме средство корректного и недвусмысленного выражения этого факта. Там, где неудобно использовать эту форму, мы можем сделать отдельное утверждение о том, что «Ни одно A не является одновременно B и C». Все, что здесь утверждается, состоит в том, что чистую символическую форму «A есть либо B, либо C» не следует интерпретировать как эквивалентную «A есть либо Bc, либо bC».

301 Где b = не-B, а c = не-C. Содержание этого абзаца в некоторой степени является повторением того, что приведено на странице 278.

(2) Мы можем перейти к рассмотрению второго основного вопроса, возникающего в связи со значением дизъюнктивных (альтернативных) суждений, а именно: следует ли интерпретировать такие суждения как модальные или как чисто ассерторические.

В главе 9 утверждалось, что модальную интерпретацию типичного гипотетического суждения «Если A, то C» следует считать более естественной на том основании, что мы обычно не считаем необходимым утверждать истинность A, чтобы опровергнуть суждение, как это было бы необходимо, если бы оно интерпретировалось ассерторически. 302 Аналогичным образом, исследование того, как мы должны естественно опровергать типичные альтернативные суждения «Всякое S есть либо P, либо Q», «Истинно либо X, либо Y», может помочь нам в выборе интерпретации этих суждений.

302 См. страницу 263.

При ассерторической интерпретации противоречащими рассматриваемым суждениям являются: «Некоторое S не есть ни P, ни Q», «Не истинно ни X, ни Y»; при модальной интерпретации это: «S не обязательно должно быть либо P, либо Q», «Возможно, не истинно ни X, ни Y». 282 Нет сомнений, что эта последняя пара суждений, как правило, не рассматривалась бы как адекватная для опровержения пары альтернатив; и на этом основании мы можем считать ассерторическую интерпретацию альтернатив наиболее соответствующей обычному словоупотреблению. Существует также некоторое преимущество в различении гипотетических и альтернативных суждений путем интерпретации первых как модальных, а вторых как ассерторических, за исключением случаев, когда дано четкое указание на обратное. Конечно, не имеется в виду, что модальные альтернативы никогда на самом деле не встречаются или что они не могут получить формального признания; они всегда могут быть выражены в характерных формах: «Всякое S должно быть либо P, либо Q», «Либо X, либо Y обязательно истинно».

192. Схема ассерторических и модальных суждений. — Дифференцируя формы суждений способом, указанным в предыдущих разделах, мы получаем схему, с помощью которой можно дать характерное выражение ассерторическим и модальным суждениям соответственно, независимо от того, являются ли они простыми или сложными.

Таким образом, категорическую форму суждения можно ограничить выражением простых ассерторических суждений; условную форму — простых модальных суждений; дизъюнктивную (альтернативную) 303 форму — сложных ассерторических суждений; а гипотетическую форму — сложных модальных суждений.

303 Мы, конечно, имеем здесь в виду только дизъюнктивные (альтернативные) суждения второго типа, альтернативные суждения первого типа рассматриваются как категорические с альтернативными предикатами. См. раздел 190.

В настоящем трактате я не пытался принять эту схему в ущерб другим интерпретациям различных форм суждений; но я имел ее в виду на протяжении всей работы и предлагаю ее как схему, принятие которой могло бы помочь избежать некоторых двусмысленностей и недопониманий.

193. Отношение дизъюнктивных (альтернативных) суждений к условным и гипотетическим. — Возможно, будет удобно кратко рассмотреть этот вопрос независимо от различий, указанных в предыдущем разделе, при условии, что все эти типы суждений интерпретируются либо ассерторически, либо модально. При таком допущении альтернативные суждения сводимы к условной или истинно гипотетической форме в зависимости от типа, к которому они принадлежат. Так, 283 суждение «Каждый кровеносный сосуд является либо веной, либо артерией» дает условное: «Если какой-либо кровеносный сосуд не является веной, то он является артерией»; истинное сложное альтернативное суждение «Либо существует загробная жизнь, либо многие жестокости остаются безнаказанными» дает истинное гипотетическое: «Если загробной жизни не существует, то многие жестокости остаются безнаказанными».

Можно спросить, не требует ли альтернативное суждение конъюнкции двух условных или гипотетических суждений для полного выражения своего значения. Однако это не так, если исходить из того, что альтернанты не обязательно должны интерпретироваться как исключающие. Правда, даже при таком взгляде альтернативное суждение, такое как «Либо X, либо Y», в первую очередь сводимо к двум гипотетическим, а именно: «Если не-X, то Y» и «Если не-Y, то X». Но они являются контрапозитивами друг друга и, следовательно, взаимно выводимы. Отсюда полный смысл альтернативного суждения выражается с помощью любого из них.

При исключающей интерпретации альтернативное суждение «Либо X, либо Y» дает в первую очередь четыре гипотетических суждения, а именно: «Если X, то не-Y» и «Если Y, то не-X» в дополнение к двум, приведенным выше. Но они, в свою очередь, являются контрапозитивами друг друга. Следовательно, полное значение альтернативного суждения теперь будет выражено конъюнкцией двух гипотетических суждений: «Если X, то не-Y» и «Если не-X, то Y».

Это отрицается г-ном Бозанкетом, который считает, что дизъюнктивное суждение дает позитивное утверждение, не содержащееся ни в одном из гипотетических. «“Этот сигнальный огонь показывает либо красный, либо зеленый”. Здесь у нас есть категорический элемент: “Этот сигнальный огонь показывает какой-то цвет”, и поверх него два гипотетических суждения: “Если он показывает красный, то он не показывает зеленый”, “Если он не показывает красный, то он показывает зеленый”. Вы не можете составить его только из двух гипотетических суждений; они не дают вам утверждения, что “он показывает какой-то цвет”». 304 Но, безусловно, второе из двух гипотетических суждений содержит это следствие столь же ясно и определенно, как и дизъюнктивное. 305

304 Essentials of Logic, стр. 124.

305 Мнение г-на Бозанкета о том, что «дизъюнкция, по-видимому, завершает систему суждений» и что она в некотором смысле возвышается над другими формами суждения, по-видимому, основано на взгляде, что именно с помощью дизъюнктивного суждения мы излагаем систему с ее различными подразделениями. Однако, помимо того факта, что дизъюнктивное суждение не обязательно содержит такое изложение, доктрина г-на Бозанкета, по-видимому, рассматривает классификацию того или иного рода как идеал знания; и это вряд ли можно допустить. Мы не можем, например, считать классификации такой науки, как ботаника, равнозначными по важности выражению законов природы, таких как закон всемирного тяготения. И фундаментальные законы, на которых основаны все науки, не выражаются в форме дизъюнктивных суждений.

284 Возвращаясь к различиям, указанным в предыдущем разделе, едва ли нужно добавлять, что если гипотетическое «Если не-X, то Y» интерпретируется модально, в то время как альтернативное «Либо X, либо Y» интерпретируется ассерторически, то альтернативное может быть выведено из гипотетического, но не наоборот.

УПРАЖНЕНИЯ.

194. Покажите, как альтернативное суждение, в котором альтернанты, как известно, не являются взаимно исключающими (например, «Истинно либо X, либо Y, либо Z»), может быть сведено к форме, в которой они обязательно являются таковыми. Запишите новое суждение в максимально простой форме. [K.]

195. Покажите, почему следующие суждения не являются противоречащими: «Везде, где присутствует A, присутствует B, а также присутствует либо C, либо B»; «В некоторых случаях, когда присутствует A, отсутствует либо B, либо C, либо B». Как каждое из этих суждений должно быть поочередно исправлено, чтобы оно стало истинным противоречием другого? [K.]

196. «Ни одно P не является одновременно Q и R». Сведите это суждение (a) к форме условного суждения, (b) к форме альтернативного суждения. Приведите противоречие исходного суждения, его условного эквивалента и его альтернативного эквивалента; и проверьте свои результаты, выяснив, эквивалентны ли друг другу три полученных противоречия. [K.]

ЧАСТЬ III.

СИЛЛОГИЗМЫ.

ГЛАВА I.

ПРАВИЛА СИЛЛОГИЗМА.

197. Термины силлогизма. — Рассуждение, состоящее из трех суждений традиционной категорической формы и содержащее три и только три термина, называется категорическим силлогизмом.

Из трех терминов, содержащихся в категорическом силлогизме, два появляются в заключении, а также в той или иной посылке, в то время как третий появляется только в посылках. Тот, который выступает в качестве предиката заключения и в одной из посылок, называется большим термином; тот, который выступает в качестве субъекта заключения и в одной из посылок, называется меньшим термином; 306 а тот, который появляется в обеих посылках, но не в заключении (будучи тем термином, через отношения к которому определяется взаимная связь двух других терминов), называется средним термином.

306 Большой и меньший термины иногда также называют крайними терминами силлогизма.

Таким образом, в силлогизме —

| All M is P,
| All S is M,
therefore,  | All S is P ;

S — меньший термин, M — средний термин, а P — большой термин.

286 Эти соответствующие обозначения терминов силлогизма возникли в результате того, что такой силлогизм, как приведенный выше, рассматривался как типичный. За исключением довольно редкого случая, когда термины суждения равнообъемны, вышеуказанный силлогизм может быть представлен следующей диаграммой. Здесь

ясно, что большой термин является самым широким по объему, а меньший — самым узким, в то время как средний занимает промежуточное положение.

Но у нас нет гарантии, что то же самое отношение между терминами силлогизма сохранится, когда одна из посылок является отрицательной или частной. Так, силлогизм — «Ни одно M не есть P, все S есть M, следовательно, ни одно S не есть P» — дает в качестве одного из случаев

где большой термин может быть самым узким по объему, а средний — самым широким. Далее, силлогизм — «Ни одно M не есть P, некоторое S есть M, следовательно, некоторое S не есть P» — дает в качестве одного из случаев

где большой термин может быть самым узким по объему, а меньший — самым широким.

Хотя средний термин не всегда является средним по объему, он всегда является средним в том смысле, что с его помощью два других термина связываются и определяется их взаимное отношение.

287 198. Суждения силлогизма. — Каждый категорический силлогизм состоит из трех суждений. Одно из них является заключением. Посылки называются большей посылкой и меньшей посылкой в зависимости от того, содержат ли они соответственно большой термин или меньший термин.

Thus,  | All M is P | (major premiss),
| All S is M | (minor premiss),
therefore,  | All S is P | (conclusion).

Обычно (как в приведенном выше силлогизме) сначала формулируется большая посылка, а в конце — заключение. Это, однако, не более чем конвенция. Порядок посылок никоим образом не влияет на правильность силлогизма и, по сути, не имеет логического значения, хотя в определенных случаях может иметь некоторое риторическое значение. Джевонс (Principles of Science, 6, § 14) утверждает, что убедительность силлогизма более четко распознается, когда первой формулируется меньшая посылка. Но сомнительно, можно ли установить какое-либо общее правило такого рода. В пользу традиционного порядка следует сказать, что в том, что обычно считается типичным силлогизмом («Все M есть P, все S есть M, следовательно, все S есть P»), существует философское основание для того, чтобы сначала формулировать большую посылку, поскольку эта посылка дает общее правило, частное применение которого позволяет нам сделать меньшая посылка.

199. Правила силлогизма. — Правила категорического силлогизма, как они обычно формулируются, следующие: (1) Каждый силлогизм содержит три и только три термина. (2) Каждый силлогизм состоит из трех и только трех суждений.

Эти два так называемых правила, строго говоря, не являются правилами правильности аргумента. Они просто служат для определения силлогизма как особой формы аргумента. Рассуждение, которое не удовлетворяет этим условиям, может быть формально правильным, но мы не называем его силлогизмом. 307 Четыре правила, которые следуют 288 далее, действительно являются правилами в том смысле, что если, когда мы привели рассуждение к форме силлогизма, они не выполняются, то рассуждение является неправильным. 308

307 Например, «B больше C, A больше B, следовательно, A больше C».

Здесь правильное рассуждение, состоящее из трех суждений. Но оно содержит более трех терминов; ибо предикат второй посылки есть «больше B», в то время как субъект первой посылки есть «B». Поэтому, в том виде, в каком оно есть, это не силлогизм. Являются ли рассуждения такого рода сводимыми к силлогистической форме — это проблема, которая будет обсуждаться впоследствии.

308 Кажущиеся исключения из этих правил будут показаны в разделах 205 и 206 как результат попытки применить их к рассуждениям, которые не были предварительно сведены к силлогистической форме.

(3) Ни один из трех терминов силлогизма не может быть использован двусмысленно; и средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз в посылках.

Это правило часто приводится в форме: «Средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз и не должен быть двусмысленным». Но очевидно, что мы должны остерегаться двусмысленного большого и двусмысленного меньшего терминов, так же как и двусмысленного среднего. Ошибка, возникающая из-за двусмысленности одного из терминов силлогизма, является случаем quaternio terminorum, то есть ошибки четырех терминов.

Необходимость распределения среднего термина может быть проиллюстрирована с помощью диаграмм Эйлера. Дано, например: «Все P есть M» и «Все S есть M», мы можем иметь любой из пяти следующих случаев: —

Здесь все пять отношений, которые априори возможны между S и P, все еще возможны. Следовательно, у нас нет заключения.

Если в силлогизме средний термин не распределен ни в одной из посылок, говорят, что мы имеем ошибку нераспределенного среднего термина.

289 (4) Ни один термин не может быть распределен в заключении, если он не был распределен в одной из посылок.

Нарушение этого правила называется незаконным процессом большого термина или незаконным процессом меньшего термина, в зависимости от случая; или, короче, незаконный большой или незаконный меньший термин.

(5) Из двух отрицательных посылок ничего нельзя вывести.

Это правило, как и правило 3, может быть очень хорошо проиллюстрировано с помощью диаграмм Эйлера.

(6) Если одна посылка отрицательная, заключение должно быть отрицательным; и чтобы доказать отрицательное заключение, одна из посылок должна быть отрицательной. 309

309 Это правило и второе следствие, приведенное в следующем разделе, иногда объединяются в одно правило: Conclusio sequitur partem deteriorem; т.е. заключение следует за худшей или более слабой посылкой как по качеству, так и по количеству, причем отрицательное считается более слабым, чем утвердительное, а частное — чем общее.

200. Следствия из правил силлогизма. — Из правил, приведенных в предыдущем разделе, можно вывести три следствия: — 310

310 Формулировка этих следствий может в некоторых случаях помочь более быстрому обнаружению неправильных силлогизмов.

(i) Из двух частных посылок ничего нельзя вывести. Две частные посылки должны быть либо (α) обе отрицательные, или (β) обе утвердительные, или (γ) одна отрицательная и одна утвердительная. Но в случае (α) никакое заключение не следует согласно правилу 5. В случае (β), поскольку ни один термин не может быть распределен в двух частных утвердительных суждениях, средний термин не может быть распределен, и поэтому согласно правилу 3 никакое заключение не следует. В случае (γ), если возможно какое-либо правильное заключение, оно должно быть отрицательным (правило 6). Следовательно, большой термин будет распределен в заключении; и, следовательно, мы должны иметь два термина, распределенных в посылках, а именно: средний и большой (правила 3, 4). Но частное отрицательное суждение и частное утвердительное суждение вместе распределяют только один термин. Следовательно, никакого заключения получить нельзя.

(ii) Если одна посылка частная, заключение должно быть частным. 290 Мы должны иметь либо (α) две отрицательные посылки, но этот случай отвергается правилом 5; или (β) две утвердительные посылки; или (γ) одна утвердительная и одна отрицательная. В случае (β) посылки, будучи обе утвердительными и одна из них частной, могут распределить между собой только один термин. Это должен быть средний термин согласно правилу 3. Следовательно, меньший термин не распределен в посылках, и заключение должно быть частным согласно правилу 4. В случае (γ) посылки распределят между собой два и только два термина. Это должны быть средний согласно правилу 3 и большой согласно правилу 4 (поскольку у нас есть отрицательная посылка, требующая согласно правилу 6 отрицательного заключения, а следовательно, распределения большого термина в заключении). Опять же, следовательно, меньший термин не может быть распределен в посылках, и заключение должно быть частным согласно правилу 4.

Де Морган (Formal Logic, стр. 14) дает следующее доказательство этого следствия: «Если два суждения P и Q вместе доказывают третье R, то ясно, что P и отрицание R доказывают отрицание Q. Ибо P и Q не могут быть истинными вместе без R. Теперь, если возможно, пусть P (частное) и Q (общее) доказывают R (общее). Тогда P (частное) и отрицание R (частное) доказывают отрицание Q. Но два частных суждения ничего не могут доказать». 311

311 В более поздней главе будет уделено дополнительное внимание общему принципу, на котором основано это доказательство. См. раздел 264.

(iii) Из частной большей и отрицательной меньшей посылок ничего нельзя вывести. Поскольку меньшая посылка отрицательная, большая посылка должна согласно правилу 5 быть утвердительной. Но она также частная, и, следовательно, следует, что большой термин не может быть распределен в ней. Следовательно, согласно правилу 4, он должен быть нераспределенным в заключении, т.е. заключение должно быть утвердительным. Но также, согласно правилу 6, поскольку у нас есть отрицательная посылка, оно должно быть отрицательным. Это противоречие устанавливает следствие, что из данных посылок нельзя сделать никакого заключения.

Следующие мнемонические строки, приписываемые Петру Испанскому, 291 впоследствии папе Иоанну XXI, суммируют правила силлогизма и первые два следствия:

Distribuas medium: nec quartus terminus adsit: Utraque nec praemissa negans, nec particularis: Sectetur partem conclusio deteriorem; Et non distribuat, nisi cum praemissa, negetve.

201. Переформулировка правил силлогизма. — Уже было указано, что первые два из правил, приведенных в разделе 199, следует рассматривать скорее как описание силлогизма, чем как правила его правильности. Опять же, часть правила 3, касающаяся двусмысленности, может рассматриваться как содержащаяся в условии, что должно быть только три термина; ибо, если один из терминов двусмыслен, на самом деле существует четыре термина, а следовательно, нет силлогизма согласно нашему определению силлогизма. Правила, следовательно, могут быть сведены к четырем; и они могут быть переформулированы следующим образом: —

A. Два правила распределения: (1) Средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз в посылках; (2) Ни один термин не может быть распределен в заключении, если он не был распределен в одной из посылок; B. Два правила качества: (3) Из двух отрицательных посылок никакого заключения не следует; (4) Если одна посылка отрицательная, заключение должно быть отрицательным; и чтобы доказать отрицательное заключение, одна из посылок должна быть отрицательной. 312

312 Правила качества можно также сформулировать следующим образом: Чтобы доказать утвердительное заключение, обе посылки должны быть утвердительными; Чтобы доказать отрицательное заключение, одна посылка должна быть утвердительной, а другая отрицательной.

202. Зависимость правил силлогизма друг от друга. — Четыре только что приведенных правила в конечном счете не являются независимыми друг от друга. Можно показать, что нарушение второго, или третьего, или первой части четвертого правила косвенно влечет за собой нарушение первого; или, опять же, что нарушение первого, или третьего, или первой части четвертого правила косвенно влечет за собой нарушение второго.

292 (i) Правило о том, что две отрицательные посылки не дают заключения, может быть выведено из правила о том, что средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз в посылках.

Это показано Де Морганом (Formal Logic, стр. 13). Он берет две общеотрицательные посылки E, E. В какой бы фигуре они ни находились, они могут быть сведены путем обращения к

Ни одно P не есть M, Ни одно S не есть M.

Затем путем превращения они становятся (не теряя своей силы): —

Все P есть не-M, Все S есть не-M;

и мы имеем нераспределенный средний термин. Следовательно, правило 3 представлено как следствие из правила 1. Ибо если какая-либо связь между S и P может быть выведена из первой пары посылок, она должна быть также выводима из второй пары.

Случай, в котором одна из посылок является частной, рассматривается Де Морганом следующим образом: — «Опять же, “Ни одно Y не есть X”, “Некоторые Y не являются Z” могут быть преобразованы в

Всякое X есть (вещь, которая не есть Y), Некоторые (вещи, которые не есть Z) являются Y,

в которых нет среднего термина».

Это неудовлетворительно, поскольку мы часто можем представить правильный силлогизм в такой форме, что кажется, будто существует четыре термина; например, «Все M есть P», «Все S есть M» могут быть сведены к «Все M есть P», «Ни одно S не есть не-M», и теперь нет среднего термина.

Рассматриваемый случай, однако, может быть разрешен утверждением, что если мы не можем вывести ничего из двух отрицательных посылок, обе из которых являются общими, то а fortiori мы не можем из двух отрицательных посылок, одна из которых является частной. 313

313 Этот аргумент остается в силе в рассматриваемом частном случае, даже если мы интерпретируем частные, но не общие суждения как подразумевающие существование их субъектов. Ибо правильность вышеприведенного доказательства того, что два общеотрицательных суждения не дают заключения, остается незатронутой, даже если мы допустим для общих суждений максимум экзистенциальной значимости.

(ii) Правила о том, что из двух отрицательных посылок ничего нельзя вывести и что если одна посылка отрицательная, заключение должно быть отрицательным, взаимно выводимы друг из друга.

Следующее доказательство того, что второе из этих правил выводимо из первого, предложено Де Морганом в его дедукции 293 второго следствия, как приведено в разделе 200. Если два суждения P и Q вместе доказывают третье R, то ясно, что P и отрицание R доказывают отрицание Q. Ибо P и Q не могут быть истинными вместе без R. Теперь, если возможно, пусть P (отрицательное) и Q (утвердительное) доказывают R (утвердительное). Тогда P (отрицательное) и отрицание R (отрицательное) доказывают отрицание Q. Но по гипотезе два отрицательных суждения ничего не доказывают.

Аналогичным образом можно показать, что если мы начнем с предположения второго из правил, то первое выводимо из него.

(iii) Любой силлогизм, прямо включающий незаконный процесс большого или меньшего термина, косвенно включает ошибку нераспределенного среднего термина, и наоборот. 314

314 За эту теорему и ее доказательство я обязан г-ну Джонсону.

Пусть P и Q — посылки, а R — заключение силлогизма, включающего незаконный большой или меньший термин, причем термин X, который не распределен в P, распределен в R. Тогда противоречие R в сочетании с P должно доказывать противоречие Q. Но любой термин, распределенный в суждении, не распределен в его противоречии. X, следовательно, не распределен в противоречии R, и по гипотезе он не распределен в P. Но X является средним термином нового силлогизма, который, следовательно, виновен в ошибке нераспределенного среднего термина. Таким образом показано, что любой силлогизм, прямо включающий ошибку незаконного большого или меньшего термина, косвенно включает ошибку нераспределенного среднего термина.

Придерживаясь аналогичного хода рассуждений, мы могли бы также действовать в противоположном направлении и представить правило, касающееся распределения среднего термина, как следствие из правила, касающегося распределения большого и меньшего терминов.

203. Формулировка независимых правил силлогизма. — Теоремы, установленные в предыдущем разделе, показывают, что первая часть правила 4 (как приведено в разделе 201) является следствием из правила 3, а правило 3, в свою очередь, является следствием из правила 1; также что правила 1 и 2 взаимно вовлекают друг друга, так что любое из них может рассматриваться как следствие из другого. Мы, следовательно, остаемся либо с правилом 1, либо с правилом 2, а также со второй частью правила 4; и независимые правила силлогизма могут быть, соответственно, сформулированы следующим образом: 294 (α) Правило распределения: — Средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз в посылках [или, как альтернатива этому, Ни один термин не может быть распределен в заключении, если он не был распределен в одной из посылок]; (β) Правило качества: — Чтобы доказать отрицательное заключение, одна из посылок должна быть отрицательной. 315

315 При рассмотрении обнаружится, что единственный силлогизм, отвергаемый этим правилом и не отвергаемый прямо или косвенно предыдущим правилом, — это следующий: — «Все P есть M, все M есть S, следовательно, некоторое S не есть P». На техническом языке, объясненном в следующей главе, это AAO в 4-й фигуре. Таким образом, что касается первых трех фигур, мы остаемся с одним правилом, а именно: правилом распределения, которое может быть сформулировано в любой из альтернативных форм, приведенных выше.

Следует четко понимать, что не имеется в виду, что каждый неправильный силлогизм будет прямо нарушать одно из этих двух правил. В качестве прямого теста для обнаружения неправильных силлогизмов мы должны по-прежнему возвращаться к четырем правилам, приведенным в разделе 201. 316 Все, что нам удалось показать, это то, что в конечном счете эти четыре правила не являются независимыми друг от друга.

316 Если, например, для нашего правила распределения мы выберем правило, касающееся распределения среднего термина, то неправильный силлогизм,

| All M is P,
| No S is M,
therefore,  | No S is P,

не включает прямо нарушения ни одного из наших двух независимых правил. Но если этот силлогизм правильный, то должен быть правильным и следующий силлогизм:

| All M is P (original major),
| Some S is P (contradictory of original conclusion),
therefore | Some S is M (contradictory of original minor);

и здесь мы имеем нераспределенный средний термин. Следовательно, правило, касающееся распределения среднего термина, косвенно устанавливает неправильность рассматриваемого силлогизма. Принцип, вовлеченный здесь, тот же самый, на котором, как мы увидим, основан процесс косвенного сведения.

Возьмем, опять же, силлогизм: PaM, SeM, ∴ SaP. Это не прямо нарушает правила, приведенные выше; но читатель обнаружит, что его правильность вовлекает правильность другого силлогизма, в котором происходит прямое нарушение этих правил.

204. Доказательство правила качества. — За следующее очень интересное и остроумное доказательство правила качества (как оно сформулировано в предыдущем разделе) я обязан г-ну Р. А. П. Роджерсу из Тринити-колледжа, Дублин. В этом доказательстве символ fn( ) используется для обозначения формы суждения, причем термины, которые 295 суждение содержит в любом данном случае, вставляются внутри скобок. Так, если fx(P, M) символизирует «Все M есть P», то fx(B, A) будет символизировать «Все A есть B»: или, опять же, если fy(S, M) символизирует «Некоторое S не есть M», то fy(B, A) будет символизировать «Некоторое B не есть A». Будет замечено, что порядок, в котором даны термины, не обязательно соответствует порядку субъекта и предиката.

Пусть f1( ), f2( ), f3( ) будут суждениями, принадлежащими к традиционному расписанию. Тогда «f1(P, M), f2(S, M), ∴ f3(S, P)» будет выражением силлогизма; и, поскольку силлогизм является процессом формального рассуждения, если вышеуказанный силлогизм правилен в любом случае, он будет оставаться в силе, если другие термины будут подставлены вместо S, M, P (или любого из них). Таким образом, подставляя S вместо M и S вместо P, если «f1(P, M), f2(S, M), ∴ f3(S, P)» является правильным силлогизмом, то «f1(S, S), f2(S, S), ∴ f3(S, S)» будет правильным силлогизмом.

Отсюда следует, путем контрапозиции, что если «f1(S, S), f2(S, S), ∴ f3(S, S)» является неправильным силлогизмом, то «f1(P, M), f2(S, M), ∴ f3(S, P)» будет неправильным силлогизмом.

Если возможно, пусть f1( ) и f2( ) будут утвердительными, в то время как f3( ) — отрицательным. Тогда f1(S, S) и f2(S, S) будут формально истинными суждениями, в то время как f3(S, S) является формально ложным. Следовательно, f3(S, S) не может быть правильным выводом из f1(S, S) и f2(S, S); иными словами, «f1(S, S), f2(S, S), ∴ f3(S, S)» должно быть неправильным силлогизмом. Следовательно, «f1(P, M), f2(S, M), ∴ f3(S, P)» не может быть правильным силлогизмом; то есть мы не можем иметь правильный силлогизм, в котором обе посылки утвердительные, а заключение отрицательное.

205. Две отрицательные посылки могут дать правильное заключение; но не силлогистически. — Джевонс отмечает: «Старые правила логики информировали нас, что из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения, но фактом является то, что правило в этой чистой форме не является универсально истинным; и я не знаю, было ли дано какое-либо точное объяснение условий, при которых оно является или не является императивным. Рассмотрим следующий пример: — “Все, что не является металлическим, не способно к сильному магнитному влиянию”, “Углерод не является металлическим”, следовательно, “Углерод не способен к сильному магнитному влиянию”. Здесь у нас есть две отчетливо отрицательные посылки, и все же они дают совершенно 296 правильное отрицательное заключение. Силлогистическое правило фактически фальсифицируется в своем чистом и общем утверждении» (Principles of Science, 4, § 10). 317

317 Лотце (Logic, § 89; Outlines of Logic, §§ 40-42) считает, что две отрицательные посылки делают силлогизм неправильным в 1-й или 2-й фигуре, но не обязательно в 3-й. Пример, на который он опирается, таков: — “Ни одно M не есть P”, “Ни одно M не есть S”, следовательно, “Некоторое не-S не есть P”. Аргумент в тексте может быть применен к этому примеру так же, как и к примеру, приведенному Джевонсом.

Это кажущееся исключение, однако, не является реальным исключением. Рассуждение (которое может быть выражено символически в форме: «Ни одно не-M не есть P», «Ни одно S не есть M», следовательно, «Ни одно S не есть P») безусловно правильное; но если мы рассматриваем посылки как отрицательные, оно имеет четыре термина S, P, M и не-M, и поэтому не является силлогизмом. При сведении его к силлогистической форме меньшая посылка становится путем превращения «Все S есть не-M», утвердительным суждением. 318 Таким образом, не является фактом, что нам удалось найти правильный силлогизм с двумя отрицательными посылками. Иными словами, хотя мы не должны говорить, что из двух отрицательных посылок ничего не следует, остается истинным то, что если силлогизм, регулярно выраженный, имеет две отрицательные посылки, он является неправильным. 319 Не следует считать, что это простая техническая деталь и что пример Джевонса показывает, что правило во всяком случае не имеет практической ценности. Невозможно сформулировать специфические правила вообще, кроме как в отношении некоторой определенной формы рассуждения; и никакое данное правило не порочно ни 297 теоретически, ни для практических целей, потому что оно не применяется вне формы, к которой оно единственно претендует применяться. 320

318 Можно добавить, что именно в этой форме убедительность аргумента легче всего распознать. Конечно, каждое утверждение включает отрицание и наоборот; но можно справедливо сказать, что в примере Джевонса первичная сила меньшей посылки, рассматриваемой в связи с большей посылкой, состоит в том, чтобы утверждать, что углерод принадлежит к классу неметаллических веществ, а не отрицать, что он принадлежит к классу металлических веществ.

319 Под регулярно выраженным силлогизмом мы понимаем рассуждение, состоящее из трех суждений, которые не только содержат между собой три и только три термина, но которые также выражены в традиционных категорических формах. На это необходимо обратить внимание, потому что, если мы введем дополнительные формы суждений того рода, который указан на странице 146, мы можем иметь правильное рассуждение с двумя отрицательными посылками, которое удовлетворяет условию содержания только трех терминов; например,

| No M is P,
| Some M is not S,
therefore,  | There is something besides S and P.

Будет обнаружено, что это рассуждение легко сводимо к правильному силлогизму в Ferison.

320 Случай, аналогичный приведенному Джевонсом, рассматривается в Port Royal Logic (перевод профессора Бэйнса, стр. 211) следующим образом: — «Существует много рассуждений, в которых все суждения кажутся отрицательными и которые, тем не менее, очень хороши, потому что в них есть одно, которое является отрицательным только по видимости, а в действительности утвердительным, как мы уже показали и как мы можем еще более увидеть на этом примере: “То, что не имеет частей, не может погибнуть от растворения своих частей; Душа не имеет частей; следовательно, Душа не может погибнуть от растворения своих частей”. Есть много тех, кто выдвигает такие силлогизмы, чтобы показать, что мы не имеем права безоговорочно поддерживать эту аксиому логики: “Ничего нельзя вывести из чистых отрицаний”; но они не заметили, что по смыслу меньшая посылка этого и других подобных силлогизмов является утвердительной, поскольку средний термин, который является субъектом большей посылки, является в ней атрибутом. Теперь субъект большей посылки — это не то, что имеет части, а то, что не имеет частей, и таким образом смысл меньшей посылки: “Душа есть вещь без частей”, что является суждением, утверждающим отрицательный атрибут». Убервег также, который сам дает ясное объяснение случая, показывает, что он не был упущен из виду старыми логиками; и он считает не невероятным, что доктрина качественной эквиполентности между двумя суждениями (т.е. превращение) возникла из рассмотрения этого самого вопроса (System of Logic, § 106). Сравните, далее, трактовку силлогизма Уэйтли: “Ни один человек не счастлив, кто не защищен; ни один тиран не защищен; следовательно, ни один тиран не счастлив” (Logic, II. 4, § 7).

Истина заключается в том, что с помощью процесса превращения посылки каждого правильного силлогизма могут быть выражены как отрицательные, хотя рассуждение тогда уже не будет технически в форме силлогизма; например, суждения, которые составляют посылки силлогизма в Barbara — «Все M есть P», «Все S есть M», следовательно, «Все S есть P» — могут быть записаны в отрицательной форме, таким образом: «Ни одно M не есть не-P», «Ни одно S не есть не-M», и заключение «Все S есть P» все еще следует.

207. Другие кажущиеся исключения из правил силлогизма. — Любопытно, что логики, которые придавали такое большое значение случаю, рассмотренному в предыдущем разделе, по-видимому, не заметили, что, как только мы допускаем более трех терминов, другие кажущиеся нарушения силлогистических правил могут происходить в том, что является совершенно правильными рассуждениями. Так, посылки «Все P есть M» и «Все S есть M», в которых M не распределен, дают заключение «Некоторое не-S не есть P»; 321 298 и, следовательно, мы могли бы утверждать, что нераспределенный средний термин не делает аргумент неправильным. Опять же, из посылок «Все M есть P», «Все не-M есть S» мы можем вывести «Некоторое S не есть P», 322 хотя, по-видимому, имеет место незаконный процесс большого термина. Нет необходимости после того, что было сказано в предыдущем разделе, приводить примеры правильных рассуждений, в которых у нас есть отрицательная посылка с утвердительным заключением, или две утвердительные посылки с отрицательным заключением, или частная большая посылка с отрицательной меньшей. Любой правильный силлогизм, который является утвердительным во всем, даст первое, а если он имеет частную большую посылку, также последнее из них путем превращения меньшей посылки, а второе — путем превращения заключения. Единственные силлогистические правила, действительно, которые все еще остаются в силе, когда допущено более трех терминов, — это правило, предостерегающее против незаконного меньшего термина, и первые два следствия.

321. Путем контрапозиции обеих посылок это рассуждение сводится к правильной силлогистической форме: Все не-M суть не-P, Все не-M суть не-S, следовательно, Некоторые не-S суть не-P.

322. Путем инверсии первой посылки это рассуждение сводится к правильной силлогистической форме: Некоторые не-M не суть P, Все не-M суть S, следовательно, Некоторые S не суть P. Сравните с разделом 104.

Но, конечно, ни один из приведенных выше примеров на самом деле не опровергает силлогистические правила; ибо эти правила были сформулированы исключительно применительно к рассуждениям определенной формы, а именно к тем, которые содержат три и только три термина. В каждом случае рассуждение неизбежно соответствует правилу, которое оно, по-видимому, нарушает, как только с помощью непосредственных умозаключений устраняется избыточное количество терминов.

207. Силлогизмы с двумя единичными посылками. — Бэйн (Logic, Deduction, стр. 159) утверждает, что очевидный силлогизм с двумя единичными посылками нельзя рассматривать как подлинное силлогистическое или дедуктивное умозаключение; и он иллюстрирует свою точку зрения ссылкой на следующий силлогизм:

| Socrates fought at Delium,
| Socrates was the master of Plato,
therefore,  | The master of Plato fought at Delium.

Аргумент состоит в том, что «суждение “Сократ был учителем Платона и сражался при Делии”, составленное из двух посылок, есть не что иное, как грамматическое сокращение», в то время как переход отсюда к заключению — это просто пропуск того, что было сказано ранее. «Мы никогда не считаем, что совершили реальное умозаключение, шаг вперед, когда повторяем меньше, чем имеем право сказать, или отбрасываем из сложного высказывания какую-то часть, не нужную в данный момент. Такая операция строго остается в рамках эквивалентности или непосредственного умозаключения. Поэтому силлогизм с двумя единичными посылками никоим образом не может рассматриваться как подлинное силлогистическое или дедуктивное умозаключение».

Этот аргумент подводит к некоторым интересным соображениям, но он доказывает слишком много. В следующих силлогизмах посылки могут быть аналогичным образом объединены:

All men are mortal, | ⎱ | All men are mortal and rational ;
All men are rational, | ⎰
therefore, Some rational beings are mortal.
All men are mortal, | ⎱ | All men including kings are mortal ;
All kings are men, | ⎰
therefore, All kings are mortal.³²³

323. Сравните с вышеприведенным следующий силлогизм, который имеет две единичные посылки: Лорд-канцлер получает более высокую зарплату, чем премьер-министр; лорд Гершелл — лорд-канцлер; следовательно, лорд Гершелл получает более высокую зарплату, чем премьер-министр. Эти посылки, по-видимому, были бы объединены Бэйном в единое суждение: «Лорд-канцлер, лорд Гершелл, получает более высокую зарплату, чем премьер-министр».

Разве критика Бэйна не применима к этим силлогизмам в той же мере, что и к силлогизму с двумя единичными посылками? Принятый метод рассмотрения действительно особенно применим к силлогизмам, в которых средний термин является субъектом в обеих посылках. Но мы всегда можем объединить две посылки силлогизма в одно утверждение, и всегда верно, что заключение силлогизма содержит часть, и только часть, информации, содержащейся в двух посылках, взятых вместе; следовательно, мы всегда можем получить результат Бэйна. 324. Другими словами, в заключении каждого силлогизма «мы повторяем меньше, чем имеем право сказать», или, если угодно, «отбрасываем из сложного высказывания какую-то часть, не нужную в данный момент».

324. Можно отметить, что общий метод, принятый Булем в его «Законах мышления» (Laws of Thought), заключается в том, чтобы свести все данные им суждения в одно суждение, а затем исключить ненужные термины. Сравните также методы, используемые в Приложении C настоящей работы.

208. Обвинение в неполноте, выдвинутое против обычного силлогистического заключения. — Это обвинение (рассмотрение которого удачно дополнит дискуссию, содержащуюся в предыдущем разделе) выдвигается Джевонсом (Principles of Science, 4, § 8) против обычного силлогистического заключения. Посылки «Калий плавает на воде», «Калий — металл» дают, по его словам, заключение «Калий-металл есть калий, плавающий на воде». Но «Аристотель сделал бы вывод, что некоторые металлы плавают на воде. Следовательно, заключение Аристотеля просто опускает часть информации, предоставляемой в посылках; оно даже оставляет нас открытыми для интерпретации “некоторых металлов” в более широком смысле, чем мы имеем на то право».

В ответ на это можно заметить: во-первых, что аристотелевское заключение не претендует на то, чтобы суммировать всю информацию, содержащуюся в посылках силлогизма; во-вторых, что «некоторые» здесь должно интерпретироваться просто как «не ни одного», «по крайней мере один». Заключение вышеприведенного силлогизма, возможно, лучше было бы записать как «некоторый металл плавает на воде» или «некоторый металл или металлы и т. д.». Лотце замечает в критике Джевонса: «Вся его процедура — это просто повторение или, в крайнем случае, сложение двух его посылок; таким образом, она просто придерживается данных фактов, и такой процесс никогда не принимался за силлогизм, который всегда означает движение мысли, использующее данное для того, чтобы продвинуться дальше... Смысл силлогизма, как его сформулировал Аристотель, в данном случае заключался бы в том, что наличие плавающего металла калия доказывает, что свойство быть настолько легким несовместимо с характером металла в целом» (Logic, II. 3, примечание). Эта критика, возможно, зашла немного слишком далеко. Едва ли можно назвать справедливым описание заключения Джевонса как простого суммы посылок; ибо оно выявляет отношение между двумя терминами, которое не было непосредственно очевидным в посылках в их первоначальном виде. Тем не менее, нет сомнений, что исключение среднего термина является самой сутью силлогистического рассуждения в обычном понимании.

Можно добавить, в качестве argumentum ad hominem против Джевонса, что его собственное заключение также опускает часть информации, предоставляемой в посылках. Ибо мы не можем вернуться от суждения «Калий-металл есть калий, плавающий на воде» ни к одной из исходных посылок.

209. Связь между Dictum de omni et nullo и обычными правилами силлогизма. — Dictum de omni et nullo был дан Аристотелем как аксиома, на которой основывается все силлогистическое умозаключение. Однако он непосредственно применим только к тем силлогизмам, в которых больший термин является предикатом в большей посылке, а меньший термин — субъектом в меньшей посылке (т. е. к тому, что называется силлогизмами в 1-й фигуре). Правила же силлогизма, напротив, применяются независимо от положения терминов в посылках. Тем не менее, интересно проследить связь между ними. Окажется, что все правила включены в dictum, но некоторые из них — в менее общей форме, вследствие только что указанного различия.

Dictum может быть сформулирован следующим образом: «Все, что утверждается или отрицается о распределенном термине, может быть аналогичным образом утверждено или отрицаемо обо всем, что содержится под ним».

(1) Dictum предусматривает три и только три термина; а именно: (i) определенный термин, который должен быть распределен, (ii) нечто, утверждаемое об этом термине, (iii) нечто, содержащееся под ним. Эти термины являются соответственно средним, большим и меньшим. Мы можем считать, что правило, касающееся двусмысленности терминов, также содержится здесь, поскольку, если какой-либо термин двусмыслен, у нас практически более трех терминов.

(2) Dictum предусматривает три и только три суждения; а именно: (i) суждение, утверждающее что-либо о распределенном термине, (ii) суждение, объявляющее что-либо содержащимся под этим термином, (iii) суждение, делающее исходное утверждение о содержащемся термине. Эти суждения составляют соответственно большую посылку, меньшую посылку и заключение силлогизма.

(3) Dictum предписывает не только то, чтобы средний термин был распределен по крайней мере один раз в посылках, но и более определенно, чтобы он был распределен в большей посылке — «Все, что утверждается о термине распределенном».

325. Это еще одна форма того, что окажется специальным правилом 1-й фигуры, а именно, что большая посылка должна быть общеутвердительной. Сравните раздел 244.

(4) Против незаконного расширения большего термина предусмотрена косвенная защита. Эта ошибка может быть совершена только тогда, когда заключение отрицательное; но слова «аналогичным образом» гласят, что если есть отрицательное заключение, то большая посылка также должна быть отрицательной; и поскольку в любом силлогизме, к которому непосредственно применяется dictum, больший термин является предикатом этой посылки, он будет распределен в своей посылке так же, как и в заключении. Против незаконного расширения меньшего термина предусмотрена защита, поскольку dictum дает нам право делать наше утверждение в заключении только относительно того, что было показано в меньшей посылке как содержащееся под средним термином.

(5) Суждение, объявляющее, что нечто содержится под распределенным термином, обязательно должно быть утвердительным суждением. Dictum, следовательно, предусматривает, что обе посылки не должны быть отрицательными.

326. Он действительно предусматривает, что меньшая посылка должна быть утвердительной, что опять же является одним из специальных правил 1-й фигуры.

(6) Слова «аналогичным образом» четко предусматривают нарушение правила о том, что если одна посылка отрицательная, то заключение должно быть отрицательным, и наоборот.

УПРАЖНЕНИЯ.

327. Следующие упражнения могут быть решены без каких-либо знаний, выходящих за рамки того, что содержится в предыдущей главе, однако при допущении, что если ни одно правило силлогизма, приведенное в разделе 199 или разделе 201, не нарушено, то силлогизм является правильным.

210. Если P является признаком присутствия Q, а R — признаком присутствия S, и если P и R никогда не встречаются вместе, прав ли я, делая вывод, что Q и S иногда существуют отдельно? [V.]

Посылки могут быть сформулированы следующим образом:

Все P суть Q, Все R суть S, Ни одно P не есть R;

и чтобы установить желаемое заключение, мы должны иметь возможность вывести по крайней мере одно из следующего: Некоторые Q не суть S, Некоторые S не суть Q. Но ни одно из этих суждений не может быть выведено; ибо они распределяют соответственно S и Q, и ни один из этих терминов не распределен в данных посылках. Следовательно, на вопрос следует ответить отрицательно.

211. Если известно относительно силлогизма в аристотелевской системе, что средний термин распределен в обеих посылках, что мы можем заключить относительно вывода? [C.]

Если обе посылки утвердительные, они могут между собой распределить только два термина, а по гипотезе средний термин распределен дважды в посылках; следовательно, меньший термин не может быть распределен в посылках, и из этого следует, что заключение должно быть частным. Если одна из посылок отрицательная, в посылках может быть три распределенных термина; однако это должны быть средний термин дважды (по гипотезе) и больший термин (поскольку заключение теперь должно быть отрицательным и, следовательно, будет распределять больший термин); следовательно, меньший термин не может быть распределен в посылках, и из этого опять следует, что заключение должно быть частным. Но либо обе посылки будут утвердительными, либо одна утвердительная, а другая отрицательная; следовательно, в любом случае мы можем сделать вывод, что заключение будет частным.

212. Покажите непосредственно, сколькими способами можно доказать заключения SaP, SeP; укажите те, которые непосредственно соответствуют Dictum de omni et nullo; и покажите эквивалентность между ними и остальными. [W.]

(1) Доказать «Все S суть P». Обе посылки должны быть утвердительными, и обе должны быть общими. S, будучи распределенным в заключении, должен быть распределен в меньшей посылке, которая, следовательно, должна быть «Все S суть M». M, не будучи распределенным в меньшей посылке, должен быть распределен в большей, которая, следовательно, должна быть «Все M суть P». SaP, следовательно, может быть доказано только одним способом, а именно:

| All M is P,
| All S is M,
therefore,  | All S is P ;

и этот силлогизм непосредственно соответствует Dictum. (2) Доказать «Ни одно S не есть P». Обе посылки должны быть общими, и одна должна быть отрицательной, в то время как другая — утвердительной; т. е. одна посылка должна быть E, а другая A. Во-первых, пусть большая будет E, т. е. либо «Ни одно M не есть P», либо «Ни одно P не есть M». В каждом случае меньшая должна быть утвердительной и должна распределять S; следовательно, это будет «Все S суть M». Во-вторых, пусть меньшая будет E, т. е. либо «Ни одно S не есть M», либо «Ни одно M не есть S». В каждом случае большая должна быть утвердительной и должна распределять P; следовательно, это будет «Все P суть M». Тогда мы можем доказать SeP четырьмя способами, таким образом:

 (i) | MeP, |  (ii) | PeM, |  (iii) | PaM, |  (iv) | PaM,
| SaM, |  | SaM, |  | SeM, |  | MeS,
| ⎯⎯ |  | ⎯⎯ |  | ⎯⎯ |  | ⎯⎯
| SeP. |  | SeP. |  | SeP. |  | SeP.

Из них только (i) непосредственно соответствует dictum, и мы должны показать эквивалентность между ним и остальными. Единственная разница между (i) и (ii) заключается в том, что большая посылка одного является простым обращением большей посылки другого; следовательно, они эквивалентны. Аналогично, единственная разница между (iii) и (iv) заключается в том, что меньшая посылка одного является простым обращением меньшей посылки другого; следовательно, они эквивалентны. Наконец, мы можем показать, что (iv) эквивалентно (i) путем транспозиции посылок и обращения заключения.

213. Учитывая, что больший термин распределен в посылках и нераспределен в заключении правильного силлогизма, определите силлогизм. [C.]

Поскольку больший термин нераспределен в заключении, заключение — а следовательно, и обе посылки — должно быть утвердительным. Следовательно, чтобы распределить P, большая посылка должна быть PaM; и чтобы распределить M (который не распределен в большей посылке), меньшая посылка должна быть MaS. Из этого следует, что силлогизм должен быть:

| All P is M,
| All M is S,
therefore,  | Some S is P.

214. Докажите, что если три суждения, включающие три термина (каждый из которых встречается в двух суждениях), вместе несовместимы, то (a) каждый термин распределен по крайней мере один раз, и (b) одно и только одно из суждений является отрицательным. Покажите, что эти правила эквивалентны правилам силлогизма. [J.]

Никакие два из суждений не могут быть формально несовместимы друг с другом, поскольку они не содержат одни и те же термины. Но каждая пара должна быть несовместима с третьим, т. е. противоречие любого из них должно быть выводимо из двух других. Из этого следует, что у нас будет три правильных силлогизма, в которых данные суждения, взятые парами, являются посылками, в то время как противоречие третьего суждения в каждом случае является заключением.

Тогда (a) каждый термин должен быть распределен по крайней мере один раз. Ибо если бы какой-либо из терминов не был распределен по крайней мере один раз, у нас очевидно был бы нераспределенный средний термин в одном из наших силлогизмов; и (поскольку термин, нераспределенный в суждении, распределен в его противоречии) незаконное расширение большего или меньшего термина в двух других. Если, однако, вышеуказанное условие выполнено, ясно, что у нас не может быть ни нераспределенного среднего термина, ни незаконного расширения большего или меньшего термина. Следовательно, правило (a) эквивалентно силлогистическим правилам, касающимся распределения терминов. Опять же, (b) одно из суждений должно быть отрицательным, но не более одного из них может быть отрицательным. Ибо если бы все три были утвердительными, то (поскольку противоречие утвердительного есть отрицательное) мы бы в каждом из наших силлогизмов выводили отрицательное из двух утвердительных; и если бы два были отрицательными, у нас были бы две отрицательные посылки в одном из наших силлогизмов, и (поскольку противоречие отрицательного есть утвердительное) утвердительное заключение с отрицательной посылкой в каждом из остальных. Если, однако, вышеуказанное условие выполнено, ясно, что у нас не может быть ни двух отрицательных посылок, ни двух утвердительных посылок с отрицательным заключением, ни отрицательной посылки с утвердительным заключением. Следовательно, правило (b) эквивалентно силлогистическим правилам, касающимся качества.

328. Каждый силлогизм включает два других, в каждом из которых одна из исходных посылок, объединенная с противоречием заключения, доказывает противоречие другой исходной посылки. Следовательно, три силлогизма, упомянутые в тексте, взаимно включают друг друга. Сравните разделы 264, 265.

215. Объясните, что понимается под силлогизмом; и приведите следующий аргумент в силлогистическую форму: «Мы не имеем права рассматривать теплоту как субстанцию, ибо она может быть преобразована в нечто, что не является теплотой и, безусловно, вообще не является субстанцией, а именно в механическую работу». [N.]

216. Приведите следующий аргумент в силлогистическую форму: — Как может кто-либо утверждать, что боль — это всегда зло, кто признает, что раскаяние включает в себя боль, и все же иногда может быть настоящим благом? [V.]

217. Омом было отмечено, что рассуждение следующего характера встречается в некоторых работах по математике: «Величина, требуемая для решения задачи, должна удовлетворять конкретному уравнению, и так как величина x удовлетворяет этому уравнению, то она, следовательно, является требуемой величиной». Исследуйте логическую правильность этого аргумента. [C.]

218. Получите заключение из двух отрицательных посылок: «Ни одно P не есть M», «Ни одно S не есть M». [K.]

219. Если ложно, что атрибут B когда-либо встречается сосуществующим с A, и не менее ложно, что атрибут C иногда отсутствует у A, можете ли вы утверждать что-либо о B в терминах C? [C.]

220. Приведите примеры (в символах — принимая S, M, P за меньший, средний и больший термины соответственно), в которых, пытаясь вывести общее заключение, когда у нас есть частная посылка, мы совершаем соответственно одну, но только одну из следующих ошибок: (a) нераспределенный средний термин, (b) незаконное расширение большего термина, (c) незаконное расширение меньшего термина. Приведите также пример, в котором, делая ту же попытку, мы не совершаем ни одной из вышеперечисленных ошибок. [K.]

221. Может ли очевидный силлогизм нарушить непосредственно все правила силлогизма сразу? [K.]

222. Можете ли вы привести пример неправильного силлогизма, в котором большая посылка — общеотрицательная, меньшая посылка — утвердительная, а заключение — частноотрицательное? Если нет, то почему? [K.]

223. Покажите, что (i) Если обе посылки силлогизма утвердительные, и одна, но только одна из них общая, они между собой распределят только один термин; (ii) Если обе посылки утвердительные и обе общие, они между собой распределят два термина; (iii) Если одна, но только одна посылка отрицательная, и одна, но только одна посылка общая, они между собой распределят два термина; (iv) Если одна, но только одна посылка отрицательная, и обе посылки общие, они между собой распределят три термина. [K.]

224. Установите, сколько распределенных терминов может быть в посылках силлогизма по сравнению с заключением. [L.]

225. Если меньшая посылка силлогизма отрицательная, что вы знаете о положении терминов в большей посылке? [O’S.]

226. Если больший термин силлогизма является предикатом большей посылки, что вы знаете о меньшей посылке? [L.]

227. Как много вы можете сказать о правильном силлогизме, если знаете: (1) что распределен только средний термин; (2) что распределены только средний и меньший термины; (3) что распределены все три термина? [W.]

228. Что можно определить относительно правильного силлогизма при каждом из следующих условий: (1) что распределен только один термин, и только один раз; (2) что распределен только один термин, и дважды; (3) что распределены только два термина, каждый только один раз; (4) что распределены только два термина, каждый дважды? [L.]

229. Даны два суждения, имеющие общий термин. Если они I и A, покажите, что можно вывести либо отсутствие заключения, либо два; но если I и E, то всегда и только одно. [T.]

230. Выясните из правил силлогизма, каковы правильные формы силлогизма, в которых большая посылка — частноутвердительная. [J.]

231. Учитывая (a) что большая посылка, (b) что меньшая посылка правильного силлогизма — частноотрицательная, определите в каждом случае силлогизм. [K.]

232. Учитывая, что большая посылка правильного силлогизма утвердительная, и что больший термин распределен как в посылках, так и в заключении, в то время как меньший термин нераспределен в обоих, определите силлогизм. [N.]

233. Покажите непосредственно, сколькими способами можно доказать заключения SiP, SoP. [W.]

234. Покажите, что если правило о том, что отрицательное заключение требует отрицательной посылки, исключить из общих правил силлогизма, то единственный неправильный силлогизм, допускаемый этим, таков, что если его заключение ложно, а посылки истинны, то три термина силлогизма должны быть абсолютно коэкстенсивными. [O’S.]

235. Найдите путем прямого применения фундаментальных правил силлогизма, каковы правильные формы силлогизма, в которых ни одна из посылок не является общим суждением, имеющим то же качество, что и заключение. [J.]

236. В каких случаях противоречащие друг другу большие посылки обе дают заключения при объединении с одной и той же меньшей? Как связаны эти заключения? Покажите, что ни в каком случае противоречащие друг другу меньшие посылки не дадут обе заключения при объединении с одной и той же большей. [O’S.]

237. (a) Все справедливые действия похвальны; (b) Никакие несправедливые действия не целесообразны; (c) Некоторые нецелесообразные действия не похвальны; (d) Не все похвальные действия нецелесообразны. Следуют ли (c) и (d) из (a) и (b)? [K.]

238. Приведите следующие аргументы к обычной силлогистической форме: (i) Ни одно M не есть S, Все, что не есть M, есть P, следовательно, Все S суть P; (ii) Не может быть, чтобы ни одно не-S не было P, ибо некоторые M суть P и ни одно M не есть S; (iii) Невозможно, чтобы три суждения «Все M суть P», «Все, что не есть M, не есть S», «Некоторые вещи, которые не суть P, суть S» были все истинны вместе; (iv) Все есть M или P, Ничто не есть одновременно S и M, следовательно, Все S суть P. [K.]

239. Покажите, что следующие силлогизмы нарушают непосредственно или косвенно все правила силлогизма: (1) Все P суть M, Все S суть M, следовательно, Некоторые S не суть P; (2) Все M суть P, Все M суть S, следовательно, Ни одно S не есть P. [K.]

[Так называемые правила о том, что каждый силлогизм содержит три и только три термина, и что каждый силлогизм состоит из трех и только трех суждений, здесь не включены в правила силлогизма.]

240. В круговом аргументе, включающем два правильных силлогизма, Q и U используются как посылки для доказательства R, в то время как R и V используются как посылки для доказательства Q; покажите, что U и V должны быть парой дополнительных суждений, т. е. форм «Все M суть N» и «Все N суть M» соответственно. [J.]

241. Покажите, что если два правильных силлогизма имеют общую посылку, в то время как другие посылки являются противоречащими, оба заключения должны быть частными. [K.]

242. Учитывая посылки правильного силлогизма, исследуйте, в каких случаях (a) возможно, (b) невозможно определить, какой из них является меньшим термином, а какой — большим. [J.]

ГЛАВА II.

ФИГУРЫ И МОДУСЫ СИЛЛОГИЗМА.

243. Фигура и модус. — Под фигурой силлогизма понимается положение терминов в посылках. Обозначая больший, средний и меньший термины буквами P, M, S соответственно и указывая большую посылку первой, мы имеем четыре фигуры силлогизма, как показано в следующей таблице:

 Fig. 1. |  Fig. 2. |  Fig. 3. |  Fig. 4.
M – P | P – M | M – P | P – M
S – M | S – M | M – S | M – S
⎯⎯ | ⎯⎯ | ⎯⎯ | ⎯⎯
S – P | S – P | S – P | S – P

Под модусом силлогизма понимается количество и качество посылок и заключения. Например, AAA — это модус, в котором как посылки, так и заключение являются общеутвердительными; EIO — это модус, в котором большая посылка — общеотрицательная, меньшая — частноутвердительная, а заключение — частноотрицательное. Ясно, что если заданы фигура и модус, то задан и силлогизм.

244. Специальные правила фигур; и определение допустимых модусов в каждой фигуре. 329 — Прежде всего можно показать, что определенные комбинации посылок не способны дать правильное заключение ни в одной фигуре. A priori возможны следующие шестнадцать различных комбинаций посылок, причем большая посылка всегда указывается первой: AA, AI, AE, AO, IA, II, IE, IO, EA, EI, EE, EO, OA, OI, OE, OO. Однако, обращаясь к силлогистическим правилам и следствиям (как они даны в разделах 199, 200), мы обнаруживаем, что EE, 310 EO, OE, OO (являясь комбинациями отрицательных посылок) не дают заключения по правилу 5; что II, IO, OI (являясь комбинациями частных посылок) исключаются следствием i.; и что IE исключается следствием iii., которое говорит нам, что ничего не следует из частной большей и отрицательной меньшей посылки.

329. Принятый здесь метод определения — лишь один из нескольких возможных методов. Другой предлагается, например, в разделах 212, 233.

Тогда у нас остаются следующие восемь возможных комбинаций: AA, AI, AE, AO, IA, EA, EI, OA; и мы можем продолжить исследование, в каких фигурах они дадут заключения. В ходе этого исследования могут быть определены специальные правила различных фигур, которые, будучи взяты вместе с тремя следствиями, установленными в разделе 200, заменяют общие правила распределения. Эти специальные правила, дополненные общими правилами качества и следствиями, 330 позволят проверить правильность различных модусов простым осмотром формы суждений, из которых они состоят.

330. Общие правила качества и следствия могут быть непосредственно применены без ссылки на положение терминов в посылках силлогизма. Это не относится к общим правилам распределения. Цель специальных правил — в случае каждой конкретной фигуры заменить общие правила распределения специальными правилами количества и качества.

Специальные правила 331 и допустимые модусы 1-й фигуры.

331. Как указано в разделе 209, специальные правила 1-й фигуры следуют непосредственно из dictum de omni et nullo.

Положение терминов в 1-й фигуре показано так:

M – P S – M

⎯⎯

S – P

и из общих правил силлогизма можно вывести, что в этой фигуре: (1) Меньшая посылка должна быть утвердительной. Ибо если бы она была отрицательной, большая посылка должна была бы быть утвердительной по правилу 5, а заключение — отрицательным по правилу 6. Больший термин, следовательно, был бы распределен в заключении и нераспределен в своей посылке; и силлогизм был бы неправильным по правилу 4. (2) Большая посылка должна быть общей. Ибо средний термин, будучи нераспределенным в утвердительной меньшей посылке, должен быть распределен в большей посылке.

311. Правило (1) показывает, что AE и AO, а правило (2) — что IA и OA не дают заключений в этой фигуре. Соответственно, у нас остаются только четыре комбинации, а именно: AA, AI, EA, EI. Из правил о том, что частная посылка не может дать общее заключение, а отрицательная посылка — утвердительное заключение, в то время как, наоборот, отрицательное заключение требует отрицательной посылки, далее следует, что AA оправдает либо заключение A, либо I, EA — либо E, либо O, AI — только I, EI — только O. Тогда в 1-й фигуре есть шесть модусов, которые не нарушают ни одного из правил силлогизма, 332 а именно: AAA, AAI, AII, EAE, EAO, EIO.

332. Правило (2) защищает от нераспределенного среднего термина, а правило (1) — от незаконного расширения большего термина. У нас не может быть незаконного расширения меньшего термина, если только у нас нет общего заключения с частной посылкой, и это также было предусмотрено.

Мистер Джонсон отмечает, что для правильного распределения терминов в различных фигурах могут быть установлены следующие симметричные правила; и что эти правила (три в каждой фигуре), взятые вместе с правилами качества, достаточны для обеспечения того, чтобы ни одно силлогистическое правило не было нарушено.

(i) Чтобы избежать нераспределенного среднего термина: в 1-й фигуре — если меньшая посылка утвердительная, большая должна быть общей; в 4-й фигуре — если большая посылка утвердительная, меньшая должна быть общей; в 2-й фигуре — одна посылка должна быть отрицательной; в 3-й фигуре — одна посылка должна быть общей. (Последнее из этих правил, конечно, излишне, если предполагается, что следствия, содержащиеся в разделе 200, даны.)

(ii) Чтобы избежать незаконного расширения большего термина: в 1-й и 3-й фигурах — если заключение отрицательное, большая посылка должна быть отрицательной, а следовательно, меньшая — утвердительной; во 2-й и 4-й фигурах — если заключение отрицательное, большая посылка должна быть общей.

(iii) Чтобы избежать незаконного расширения меньшего термина: в 1-й и 2-й фигурах — если меньшая посылка частная, заключение должно быть частным; в 3-й и 4-й фигурах — если меньшая посылка утвердительная, заключение должно быть частным. (Первое из этих двух правил опять же излишне как специальное правило, если предполагается, что следствия даны.)

Вышеприведенные правила по существу идентичны тем, что даны в тексте.

Фактическая правильность этих модусов может быть установлена путем показа того, что аксиома силлогизма, dictum de omni et nullo, применима к ним; или путем взятия их по отдельности и показа того, что в каждом случае убедительность рассуждения самоочевидна.

Специальные правила и допустимые модусы 2-й фигуры.

Положение терминов во 2-й фигуре показано так:

P – M S – M

⎯⎯

S – P

; 312 и ее специальные правила (которые читателю рекомендуется вывести из общих правил силлогизма самостоятельно) таковы: (1) Одна посылка должна быть отрицательной; (2) Большая посылка должна быть общей.

Применение этих правил опять оставляет шесть модусов, а именно: AEE, AEO, AOO, EAE, EAO, EIO.

Теперь нельзя прибегать непосредственно к dictum de omni et nullo, чтобы положительно показать, что эти модусы допустимы. Однако в каждом случае можно показать, что убедительность рассуждения самоочевидна. Старые логики не принимали этот курс; их метод заключался в том, чтобы показать, что с помощью непосредственных умозаключений каждый модус может быть сведен к такой форме, что dictum действительно применялся к нему. Учение о сведении, вытекающее из принятия этого метода, будет обсуждаться в следующей главе.

Специальные правила и допустимые модусы 3-й фигуры.

Положение терминов в этой фигуре показано так:

M – P M – S

⎯⎯

S – P

; и ее специальные правила таковы: (1) Меньшая посылка должна быть утвердительной; (2) Заключение должно быть частным.

Действуя как прежде, мы получаем шесть правильных модусов, а именно: AAI, AII, EAO, EIO, IAI, OAO.

Специальные правила и допустимые модусы 4-й фигуры.

Положение терминов в этой фигуре показано так:

P – M M – S

⎯⎯

S – P

; и следующие могут быть даны как ее специальные правила: (1) Если большая посылка утвердительная, меньшая должна быть общей; (2) Если любая посылка отрицательная, большая должна быть общей; 313 (3) Если меньшая посылка утвердительная, заключение должно быть частным. 333

333. Специальные правила четвертой фигуры формулируются по-разному. Они даны в вышеприведенной форме в «Логике Пор-Рояля», стр. 202, 203. См. также раздел 255.

Результатом применения этих правил опять являются шесть правильных модусов, а именно: AAI, AEE, AEO, EAO, EIO, IAI.

Наш окончательный вывод тогда состоит в том, что существует 24 правильных модуса, а именно шесть в каждой фигуре.

В 1-й фигуре: AAA, AAI, EAE, EAO, AII, EIO. Во 2-й фигуре: EAE, EAO, AEE, AEO, EIO, AOO. В 3-й фигуре: AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO. В 4-й фигуре: AAI, AEE, AEO, EAO, IAI, EIO.

245. Ослабленные заключения и субальтерные модусы. — Когда из посылок, которые оправдали бы общее заключение, мы довольствуемся выводом частного (как, например, в силлогизме «Все M суть P», «Все S суть M», следовательно, «Некоторые S суть P»), говорят, что мы имеем ослабленное заключение, и силлогизм называют ослабленным силлогизмом или говорят, что он находится в субальтерном модусе (потому что заключение могло быть получено путем субальтерного умозаключения 334 из заключения соответствующего неослабленного модуса).

334. При рассмотрении силлогизма на традиционных началах предполагается, что S, M, P представляют существующие классы. Субальтерное умозаключение, следовательно, является правильным процессом.

В предыдущем разделе было показано, что в каждой фигуре есть шесть модусов, которые не нарушают ни одного из силлогистических правил: так что всего существует 24 различных правильных модуса. Пять из них, однако, имеют ослабленные заключения; и, поскольку мы вряд ли будем удовлетворены частным заключением, когда соответствующее общее может быть получено из тех же посылок, эти модусы не имеют практического значения. Соответственно, когда перечисляются модусы различных фигур (как в мнемонических стихах), они обычно опускаются. Тем не менее, их признание придает теории силлогизма полноту, которой она иначе не могла бы обладать. Существует также симметрия в результате 314 их признания как дающих ровно шесть допустимых модусов в каждой фигуре. 335

335. Было замечено, что 19, будучи простым числом, сразу предполагает неполноту или искусственность в обычном перечислении.

Субальтерные модусы: в 1-й фигуре — AAI, EAO; во 2-й фигуре — EAO, AEO; в 4-й фигуре — AEO.

Очевидно, что в 3-й фигуре не может быть ослабленного заключения, поскольку ни в одном случае невозможно вывести больше, чем частное заключение в этой фигуре.

AAI в 4-й фигуре иногда называют субальтерным модусом. Но это ошибка. С посылками «Все P суть M», «Все M суть S» заключение «Некоторые S суть P» определенно в одном смысле слабее, чем оправдали бы посылки, поскольку можно было бы вывести общее заключение «Все P суть S». Но «Все P суть S» — это не общее суждение, соответствующее «Некоторые S суть P». Субъекты этих двух суждений различны; и мы выводим все, что возможно, относительно S, когда говорим, что некоторые S суть P. Другими словами, рассматриваемый как модус 4-й фигуры, этот модус не является субальтерным. AAI в 4-й фигуре, таким образом, отличается от AAI в 1-й фигуре, и его включение в мнемонические стихи оправдано.

246. Усиленные силлогизмы. — Если в силлогизме то же самое заключение может быть получено, даже если для одной из посылок мы подставим ее субальтерную, силлогизм называют усиленным силлогизмом. Усиленный силлогизм, таким образом, является силлогизмом с излишне усиленной посылкой. 336

336. Сравните Де Морган, Formal Logic, стр. 91, 130. Де Морган называет силлогизм фундаментальным, когда ни одна из его посылок не сильнее, чем необходимо для получения заключения (Formal Logic, стр. 77).

Например, заключение силлогизма —

| All M is P,
| All M is S,
therefore,  | Some S is P,

могло бы быть одинаково получено из посылок «Все M суть P», «Некоторые M суть S»; или из посылок «Некоторые M суть P», «Все M суть S».

Путем проверки мы можем обнаружить, что каждый силлогизм, в котором 315 есть две общие посылки с частным заключением, является усиленным силлогизмом, за единственным исключением AEO в четвертой фигуре. 337

337. Общее доказательство этого положения будет дано в разделе 351.

В полном перечислении есть два усиленных силлогизма в каждой фигуре:

В 1-й фигуре: AAI, EAO; во 2-й фигуре: EAO, AEO; в 3-й фигуре: AAI, EAO; в 4-й фигуре: AAI, EAO.

Можно заметить, что в 1-й и 2-й фигурах силлогизм, имеющий усиленную посылку, может также рассматриваться как силлогизм, имеющий ослабленное заключение, и наоборот; но что в 3-й и 4-й фигурах обратное верно в обоих случаях. Единственный силлогизм с ослабленным заключением в любой из этих фигур — это AEO в 4-й фигуре; и в этом модусе нельзя получить никакого заключения, если любая из посылок заменена своей субальтерной.

Если силлогизмы, содержащие либо усиленную посылку, либо ослабленное заключение, опустить, у нас останется 15 правильных модусов, а именно: 4 в каждой из первых трех фигур и 3 в 4-й фигуре.

247. Особенности и использование каждой из четырех фигур силлогизма. 338 — Фигура 1. В этой фигуре можно доказать заключения всех форм A, E, I, O; и это единственная фигура, в которой можно доказать общеутвердительное заключение. Одно это делает ее, безусловно, самой полезной и важной из силлогистических фигур. Вся дедуктивная наука, целью которой является установление общеутвердительных суждений, стремится работать в AAA в этой фигуре.

338 О характерных особенностях различных фигур см. также разделы с 269 по 271.

Еще один момент, который следует отметить: только в этой фигуре субъект заключения является субъектом в посылках, а предикат заключения — предикатом в посылках; во 2-й фигуре предикат заключения является субъектом в большей посылке; в 3-й фигуре субъект заключения является предикатом в меньшей посылке; а в 4-й фигуре происходит двойная инверсия. 339 Это, несомненно, отчасти объясняет тот факт, что рассуждение, выраженное в 1-й фигуре, так часто кажется более естественным, чем то же самое рассуждение, выраженное в любой другой фигуре. 340

339 Двойная инверсия в 4-й фигуре — одна из причин, приводимых Томсоном для полного отказа от этой фигуры. Сравните раздел 262.

340 Сравните: Solly, Syllabus of Logic, с. 130–132.

Фигура 2. В этой фигуре могут быть доказаны только отрицательные суждения; поэтому она главным образом используется для целей опровержения. Например: «Всякое подлинно естественное стихотворение наивно; те стихотворения Оссиана, которые Макферсон выдавал за найденные, не являются наивными (но сентиментальными); следовательно, они не являются подлинно естественными стихотворениями» (Ueberweg, System of Logic, § 113). Ее называют исключающей фигурой, поскольку с ее помощью мы можем последовательно исключать различные предположения о природе исследуемого объекта, реальный характер которого мы хотим установить (процесс, называемый abscissio infiniti). Например: «Такой-то порядок обладает такими-то свойствами; данное растение не обладает этими свойствами; следовательно, оно не принадлежит к этому порядку». Силлогизм такого рода может быть повторен с рядом различных порядков, пока исследование не будет сужено настолько, что место растения будет легко определено. Уэйтли (Elements of Logic, с. 92) приводит пример из диагностики заболевания.

Фигура 3. В этой фигуре могут быть доказаны только частные суждения. Она часто полезна, когда мы хотим возразить против общего суждения, выдвинутого оппонентом, установив пример, в котором такое общее суждение не выполняется.

Это естественная фигура, когда средний термин является единичным термином, особенно если остальные термины — общие. Уже было показано, что если один и только один термин утвердительного суждения является единичным, то этот термин почти обязательно является субъектом. Например, такое рассуждение, как «Сократ мудр, Сократ — философ, следовательно, некоторые философы мудры», может быть выражено в любой фигуре, кроме 3-й, только с большой неловкостью.

Фигура 4. Эта фигура используется редко, и некоторые логики вообще отказались ее признавать. Мы вернемся к ее обсуждению позже. См. раздел 262.

Ламберт в своем Neues Organon выражает использование различных силлогистических фигур следующим образом: «Первая фигура подходит для открытия или доказательства свойств вещи; 317 вторая — для открытия или доказательства различий между вещами; третья — для открытия или доказательства примеров и исключений; четвертая — для открытия или исключения различных видов рода».

УПРАЖНЕНИЯ.

248. Почему IE является недопустимым, а EI — допустимым модусом в каждой фигуре силлогизма? [L.]

249. Какие модусы являются правильными в первой фигуре и ошибочными во второй, и наоборот? Почему они исключаются в одной фигуре и не исключаются в другой? [O.]

250. (i) Покажите, что O не может стоять в качестве посылки в 1-й фигуре, в качестве большей посылки во 2-й фигуре, в качестве меньшей посылки в 3-й фигуре, в качестве посылки в 4-й фигуре. (ii) Покажите, что невозможно получить заключение в A ни в одной фигуре, кроме первой. Какие логические ошибки были бы допущены, если бы такое заключение имело место в рассуждении в любой другой фигуре? [C.]

251. Два правильных силлогизма в одной и той же фигуре имеют одни и те же больший, средний и меньший термины, а их большие посылки являются субконтрарными; определите — без обращения к мнемоническим стихам — какими должны быть эти силлогизмы. [K.]

252. Докажите с помощью общих рассуждений, что любой модус, правильный как во 2-й, так и в 3-й фигуре, является правильным также в 1-й и в 4-й фигурах. [C.]

253. Покажите, без индивидуального обращения к различным фигурам, что EAO является усиленным силлогизмом в каждой фигуре и что AAI является усиленным силлогизмом всякий раз, когда он правилен. [K.]

254. Покажите с помощью общих рассуждений, что каждый правильный силлогизм, в котором средний термин распределен дважды, содержит усиленную посылку. Следует ли из этого, что он должен иметь также ослабленное заключение? [K.]

255. Покажите, что следующих двух правил было бы достаточно в качестве специальных правил для четвертой фигуры: (i) заключение и большая посылка не могут иметь одну и ту же форму, если только она не является частноутвердительной; (ii) заключение и меньшая посылка не могут иметь одну и ту же форму, если только она не является общеотрицательной. [J.]

ГЛАВА III.

РЕДУКЦИЯ СИЛЛОГИЗМОВ.

256. Проблема редукции. — Под редукцией понимается процесс, посредством которого рассуждение, содержащееся в данном силлогизме, выражается в каком-либо другом модусе или фигуре. Если не оговорено иное, предполагается редукция к 1-й фигуре.

В качестве примера можно взять следующий силлогизм в 3-й фигуре:

| All M is P,
| Some M is S,
therefore,  | Some S is P.

Видно, что путем простого обращения меньшей посылки мы получаем в точности то же самое рассуждение в 1-й фигуре.

Это пример прямой или остенсивной редукции.

257. Косвенная редукция. — Пропозиция устанавливается косвенно, когда ее противоречащая ей пропозиция доказывается как ложная; это достигается, если можно показать, что следствием истинности этой противоречащей пропозиции было бы самопротиворечие.

Метод косвенного доказательства в ряде случаев применяется Евклидом; он может быть использован при редукции силлогизмов от одного модуса к другому. Так, AOO во 2-й фигуре обычно редуцируется таким образом. Аргумент может быть сформулирован следующим образом: — Из посылок —

| All P is M,
| Some S is not M,
it follows that  | Some S is not P ;

ибо если это заключение не является истинным, то по закону исключенного третьего его противоречащая пропозиция (а именно: «Все S суть P») должна быть таковой; и, при условии истинности посылок, все три следующие пропозиции должны быть истинными, а именно:

All P is M,

Some S is not M,

All S is P.

Но, объединяя первую и третью из них, мы получаем силлогизм в 1-й фигуре, а именно:

| All P is M,
| All S is P,
yielding the conclusion  | All S is M.

«Некоторые S не суть M» и «Все S суть M» являются, следовательно, истинными одновременно; но по закону противоречия это абсурдно, так как они являются противоречащими друг другу. Следовательно, было показано, что следствием предположения о ложности «Некоторые S не суть P» является самопротиворечие; и мы можем, соответственно, сделать вывод, что оно истинно.

Заметим, что единственный силлогизм, использованный в приведенном выше аргументе, находится в 1-й фигуре; и процесс, следовательно, можно рассматривать как редукцию рассуждения к 1-й фигуре.

Этот метод редукции называется Reductio ad impossibile, или Reductio per impossibile, 341 или Deductio ad impossibile, или Deductio ad absurdum. Это единственный способ редукции AOO во 2-й фигуре или OAO в 3-й фигуре к 1-й фигуре, если не используются отрицательные термины (как при обверсии и контрапозиции); и он был принят старыми авторами вследствие их возражений против отрицательных терминов.

341 Сравните: Mansel’s Aldrich, с. 88, 89.

Далее в этой главе будет показано, что, систематически применяя метод косвенной редукции, мы можем с большой ясностью выявить связь между различными модусами и фигурами силлогизма.

258. Мнемонические стихи Barbara, Celarent и т. д. — Мнемонические гекзаметрические стихи (о которых Де Морган говорит как о «волшебных словах, которыми на протяжении многих веков обозначались различные модусы, словах, которые, как я полагаю, более полны смысла, чем любые другие, когда-либо созданные») обычно приводятся в следующем виде: 320

Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, secundae: Tertia, Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison, habet: Quarta insuper addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Каждый правильный модус в каждой фигуре, если он не является субалтерным модусом, представлен здесь отдельным словом; а в случае модуса в любой из так называемых несовершенных фигур (т. е. фигур 2, 3, 4) мнемоника дает полную информацию для его редукции к 1-й фигуре, так называемой совершенной фигуре.

Единственными бессмысленными буквами являются b (не начальная), d (не начальная), l, n, r, t; значение остальных букв следующее: —

Гласные указывают на качество и количество пропозиций, из которых состоит силлогизм; и, следовательно, действительно дают сам силлогизм, если известна также фигура. Так, Camenes в 4-й фигуре представляет силлогизм —

| All P is M,
| No M is S,
therefore,  | No S is P.

Начальные буквы в случае фигур 2, 3, 4 показывают, к какому из модусов 1-й фигуры должен быть редуцирован данный модус, а именно к тому, который имеет ту же начальную букву. Буквы B, C, D, F были выбраны для модусов 1-й фигуры как первые четыре согласные в алфавите.

Так, Camestres редуцируется к Celarent: —

| All P is M, | ⟍ ⟋ | No M is S,
| No S is M, | ⟋ ⟍ | All P is M,
therefore,  | No S is P. | therefore,  | No P is S,
|  | therefore,  | No S is P. 342

342 Порядок вывода в этой и других редукциях можно сделать ясным с помощью стрелок, представляющих вывод, следующим образом:

All P is M, | ⟍ ↗ | No M is S,
No S is M, | ⟋ ↘ | All P is M,
|  | ↓
No S is P. | ← | No P is S,

s (в середине слова) указывает на то, что в процессе редукции предшествующая пропозиция должна быть просто обращена. 321 Так, при редукции Camestres к Celarent, как показано выше, меньшая посылка просто обращается.

s (в конце слова) показывает, что заключение нового силлогизма должно быть просто обращено, чтобы можно было получить данное заключение. Это снова проиллюстрировано при редукции Camestres. Конечная s не влияет на заключение самого Camestres, но влияет на заключение Celarent, к которому он редуцируется. 343

343 Эта особенность в значении s и p, когда они являются конечными буквами, иногда упускается из виду. Важно отметить, что заключение первоначально данного силлогизма не является, подобно исходным посылкам, данными, от которых мы отталкиваемся, а результатом, который мы должны получить. Отсюда следует, что заключением, которое нужно преобразовать, если таковое имеется, должно быть заключение силлогизма, полученного путем редукции, а не заключение исходного силлогизма. Это ясно показано в случае с Camestres методом, принятым в последнем примечании для иллюстрации редукции Camestres к Celarent. Редукция Disamis, Bramantip, Camenes, Dimaris к 1-й фигуре может быть проиллюстрирована аналогично.

p (в середине слова) означает, что предшествующая пропозиция должна быть обращена per accidens; как, например, при редукции Darapti к Darii: —

| All M is P, |  | All M is P,
| All M is S, |  | Some S is M,
therefore,  | Some S is P. | therefore,  | Some S is P.

p (в конце слова 344) подразумевает, что заключение, полученное путем редукции, должно быть обращено per accidens. Так, в Bramantip буква p не относится к I-заключению самого модуса; 345 она на самом деле относится к A-заключению силлогизма в Barbara, который получается путем редукции. Так: —

| All P is M, | ⟍ ⟋ | All M is S,
| All M is S, | ⟋ ⟍ | All P is M,
therefore,  | Some S is P. | therefore,  | All P is S,
|  | therefore,  | Some S is P.

344 См. предыдущее примечание.

345 Сравните, однако: Hamilton, Logic, I, с. 264, и Spalding, Logic, с. 230, 1.

m указывает на то, что при редукции посылки должны быть переставлены (metathesis praemissarum); как только что было показано в случае с Bramantip, а также в случае с Camestres.

c означает, что модус должен быть редуцирован косвенно (т. е. путем 322 reductio per impossibile способом, показанным в предыдущем разделе); и положение буквы указывает на то, что в этом процессе косвенной редукции первым шагом является пропуск предшествующей ей посылки, т. е. другая посылка должна быть объединена с противоречащей заключению пропозицией (conversio syllogismi, или ductio per contradictoriam propositionem sive per impossibile). Буква c у некоторых авторов заменяется на k, при этом Baroko и Bokardo даются в качестве мнемоник вместо Baroco и Bocardo.

Следующие строки иногда добавляются к стихам, приведенным выше, чтобы охватить случай субалтерных модусов: —

Quinque Subalterni, totidem Generalibus orti, Nomen habent nullum, nec, si bene colligis, usum. 346

346 Мнемоники были написаны в различных формах. Те, что приведены выше, взяты из Aldrich, и они являются общепринятыми в Англии. Уоллис в своем Institutio Logicae (1687) дает для четвертой фигуры: Balani, Cadere, Digami, Fegano, Fedibo. П. ван Мусхенбрук в своих Institutiones Logicae (1748) дает: Barbari, Calentes, Dibatis, Fespamo, Fresisom. Такое разнообразие форм для модусов 4-й фигуры, несомненно, связано с тем, что признание этой фигуры вообще было совершенно исключительным до сравнительно недавнего времени. Сравните разделы 262, 263.

Согласно Ибервегу (Logic, § 118), мнемоники гласят: —

Barbara, Celarent primae, Darii Ferioque. Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae. Tertia grande sonans recitat Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison. Quartae Sunt Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison.

Ибервег дает Camestros и Calemos для ослабленных модусов Camestres и Calemes. Это, однако, не совсем точно. Мнемоники должны быть Camestrop и Calemop.

Профессор Карвет Рид (Logic, с. 126, 7) предлагает остроумную модификацию стихов, чтобы каждая мнемоника сразу подсказывала фигуру, к которой относится соответствующий модус, одновременно упраздняя все бессмысленные буквы. Он берет l как знак первой фигуры, n — второй, r — третьей и t — четвертой. Строки (которые, по словам профессора Рида, следует сканировать осмотрительно) тогда гласят:

Ballala, Celallel, Dalii, Felioque prioris. Cesane, Camesnes, Fesinon, Banoco secundae. Tertia Darapri, Drisamis, Darisi, Ferapro, Bocaro, Ferisor habet. Quanta insuper addit Bamatip, Cametes, Dimatis, Fesapto, Fesistot.

Профессор Маккензи предполагает, что если этот план будет принят, было бы лучше взять r для первой фигуры (figura recta, прямая фигура), n для второй фигуры (figura negativa), t для третьей фигуры (figura tertia или particularis) и l для четвертой фигуры (figura laeva, левосторонняя фигура). Сравните также: Mrs Ladd Franklin, Studies in Logic, Johns Hopkins University, с. 40.

323 259. Прямая редукция Baroco и Bocardo. — Эти модусы могут быть редуцированы непосредственно к первой фигуре с помощью обверсии и контрапозиции следующим образом. 347

Baroco: —

| All P is M,
| Some S is not M,
therefore,  | Some S is not P,

редуцируется к Ferio путем контрапозиции большей посылки и обверсии меньшей, таким образом: —

| No not-M is P,
| Some S is not-M,
therefore, | Some S is not P.

347 Другой метод состоит в том, чтобы редуцировать Baroco и Bocardo с помощью процесса ἔκθεσις к другим модусам фигур 2 и 3, а оттуда к 1-й фигуре. Ибервег пишет: «Baroco может быть также отнесен к Camestres, когда те (некоторые) S, для которых истинна меньшая посылка, помещаются под специальное понятие и обозначаются через S'. Тогда заключение должно быть универсально верным для S', и, следовательно, частным образом для S. Аристотель называет такую процедуру ἔκθεσις» (Logic, § 113). Что касается Bocardo, «Аристотель отмечает, что этот модус может быть доказан без апагогической процедуры (reductio ad impossibile) путем ἐκθέσθαι или λαμβάνειν той части среднего понятия, которая истинна для большей посылки. Если мы обозначим эту часть через N, то получим посылки: NeP, NaS, из которых следует (в Felapton) SoP; что и требовалось доказать» (§ 115). Процедура, однако, несколько сложнее, чем кажется в приведенных выше утверждениях. В случае Baroco (PaM, SoM, ∴ SoP) пусть S, которые не суть M (которых по гипотезе есть некоторые), будут обозначены через X; тогда мы имеем PaM, XeM, ∴ XeP (Camestres); но XaS, и, следовательно, мы имеем далее XeP, XaS, ∴ SoP (Felapton). В случае Bocardo (MoP, MaS, ∴ SoP) пусть M, которые не суть P (которых по гипотезе есть некоторые), будут обозначены через N; тогда мы имеем MaS, NaM, ∴ NaS (Barbara); и, следовательно, NeP, NaS, ∴ SoP (Felapton). Аргумент в обоих случаях предполагает вопросы, связанные с экзистенциальной значимостью пропозиций; но рассмотрение таких вопросов должно быть пока отложено.

Faksoko было предложено в качестве мнемоники для этого метода редукции, где k обозначает обверсию, так что ks обозначает обверсию, за которой следует обращение (т. е. контрапозицию).

Мнемоника Уэйтли Fakoro (Elements of Logic, с. 97) не указывает на обверсию меньшей посылки (r у него является бессмысленной буквой).

324 Bocardo: —

| Some M is not P,
| All M is S,
therefore,  | Some S is not P,

редуцируется к Darii путем контрапозиции большей посылки и перестановки посылок, таким образом: —

| All M is S,
| Some not-P is M,
therefore,  | Some not-P is S.

«Некоторые не-P суть S» — это, конечно, не наше исходное заключение, но последнее может быть получено из него путем обращения, за которым следует обверсия. Этот метод редукции можно обозначить как Doksamosk (что опять же явно предпочтительнее Dokamo, предложенного Уэйтли, поскольку последнее создавало бы впечатление, будто мы немедленно получаем исходное заключение в Darii).

260. Расширение доктрины редукции. — Доктрина редукции может быть расширена, и можно показать не только то, что любой силлогизм может быть редуцирован к 1-й фигуре, но и то, что он может быть редуцирован к любому данному модусу (не являющемуся субалтерным модусом) этой фигуры. 348 Это положение будет очевидно доказано, если мы сможем показать, что Barbara, Celarent, Darii и Ferio взаимно редуцируемы друг к другу.

³⁴⁸ Compare, further, sections 284, 285.

Barbara может быть редуцирована к Celarent путем обверсии большей посылки, а также нового заключения, полученного таким образом. Так, используя стрелки, как в примечании на странице 320: —

All M is P, | → | No M is not-P,
All S is M, | → | All S is M,
|  | ↓
All S is P. | ← | No S is not-P.

И наоборот, Celarent редуцируема к Barbara; и аналогичным образом, путем обверсии большей посылки и заключения, Darii и Ferio редуцируемы друг к другу.

Теперь будет достаточно, если мы сможем показать, что Barbara и Darii взаимно редуцируемы друг к другу. Очевидно, что единственный возможный метод здесь — косвенный.

Возьмем Barbara: —

| MaP,
| SaM,
| ⎯⎯
∴  | SaP ;

325 ибо, если нет, то мы имеем SoP; и MaP, SaM, SoP должны быть истинными одновременно. Из SoP, сначала совершив обверсию, а затем обращение (и обозначив не-P через P'), мы получаем P'iS, и, объединяя это с SaM, мы имеем следующий силлогизм в Darii: —

| SaM,
| PʹiS,
| ⎯⎯
∴  | PʹiM.

P'iM путем обращения и обверсии становится MoP; и, следовательно, MaP и MoP истинны одновременно; но это невозможно, так как они являются противоречащими друг другу. Следовательно, SoP не может быть истинным, т. е. установлена истинность SaP.

Аналогично, Darii может быть косвенно редуцирован к Barbara. 349

| MaP, | (i)
| SiM, | (ii)
| ⎯⎯ |
∴  | SiP. | (iii)

Противоречащей пропозицией к (iii) является SeP, из которой мы получаем PaS'. Объединяя с (i), мы имеем: —

| PaSʹ, |
| MaP, |
| ⎯⎯ |
∴  | MaSʹ |  in Barbara.

Но из этого заключения мы можем получить SeM, которое является противоречащей пропозицией к (ii).

349 Утверждалось, что эта редукция излишня и что, по всем намерениям и целям, Darii есть Barbara, поскольку «некоторые S» в меньшей посылке являются, и известно, что они являются, теми же «некоторыми», что и в заключении. Сравните раздел 269.

261. Является ли редукция существенной частью доктрины силлогизма? — Согласно первоначальной теории редукции, целью процесса является уверенность в том, что заключение является правильным выводом из посылок. Правильность силлогизма в 1-й фигуре может быть непосредственно проверена путем обращения к dictum de omni et nullo: но этот dictum не имеет прямого применения к силлогизмам в остальных трех фигурах. Так, Уэйтли говорит: «Поскольку именно от dictum de omni et nullo в конечном счете зависит все рассуждение, все аргументы могут быть тем или иным способом приведены к одному из четырех модусов в первой фигуре: и силлогизм в этом случае называется редуцированным» (Elements of Logic, с. 93). Профессор Фаулер излагает ту же позицию несколько более осторожно: «Поскольку мы не приняли никакого канона для 2-й, 3-й и 4-й фигур, у нас пока 326 нет положительного доказательства того, что шесть модусов, остающихся в каждой из этих фигур, являются правильными: мы лишь знаем, что они не нарушают ни одного из силлогистических правил. Но если мы можем редуцировать их, т. е. вернуть их к первой фигуре, показав, что они являются лишь иными формулировками ее модусов, или, другими словами, что в точности те же заключения могут быть получены из эквивалентных посылок в первой фигуре, их правильность будет доказана вне всякого сомнения» (Deductive Logic, с. 97).

Редукция, с другой стороны, рассматривается некоторыми логиками как ненужная и неестественная. Во-первых, она считается ненужной на том основании, что dictum de omni et nullo не претендует на роль высшего закона для всех правильных выводов. 350 В разделах с 270 по 272 будет показано, что для других фигур могут быть сформулированы диктумы, которые можно рассматривать как делающие их независимыми от первой и ставящие их на один уровень с ней. Можно также утверждать, что в любом модусе правильность конкретного силлогизма столь же самоочевидна, как и правильность самого dictum de omni et nullo; и что, следовательно, хотя аксиомы силлогизма полезны как обобщения силлогистического процесса, они излишни для установления правильности любого данного силлогизма. Этот взгляд обозначен Ибервегом.

350 Сравните: Thomson, Laws of Thought, с. 172.

Редукция, во-вторых, считается неестественной, поскольку она часто включает замену неестественной и косвенной предикации естественной и прямой. Фигуры 2 и 3, по крайней мере, имеют свое особое применение, и определенные рассуждения естественным образом попадают в эти фигуры, а не в первую фигуру. 351

351 Сравните цитату из Ламберта (Neues Organon, §§ 230, 231), приведенную сэром У. Гамильтоном (Logic, II, с. 438).

Следующий пример приводится Томсоном (Laws of Thought, с. 174): «Так, когда желательно было показать на примере, что рвение и активность не всегда проистекают из эгоистических побуждений, естественным ходом был бы какой-нибудь такой силлогизм: Апостолы не искали земной награды, Апостолы были ревностны в своей работе; следовательно, 327 некоторые ревностные люди не ищут земной награды». При редукции этого силлогизма к 1-й фигуре мы должны обратить нашу меньшую посылку в «Некоторые ревностные люди были Апостолами», что является неловким и неестественным.

Возьмем снова этот силлогизм: «Каждый разумный человек хочет, чтобы Билль о реформе был принят, я — нет, следовательно, я не разумный человек». Редуцированная обычным способом к Celarent, большая посылка становится: «Ни один человек, желающий принятия Билля о реформе, не есть я», что дает заключение: «Ни один разумный человек не есть я».

Дальнейшие иллюстрации этого момента можно найти, если мы редуцируем к 1-й фигуре силлогизмы с такими посылками, как следующие: — Все орхидеи имеют супротивные листья, Это растение не имеет супротивных листьев; Сократ беден, Сократ мудр.

Приведенные выше аргументы оправдывают положение о том, что редукция не является необходимой частью доктрины силлогизма, насколько это касается установления правильности различных модусов. 352

352 Гамильтон (Logic, I, с. 433) занимает любопытную позицию в отношении доктрины редукции. «Последние три фигуры», — говорит он, — «фактически идентичны первой». Это было признано логиками, отсюда и «утомительные и отвратительные правила их редукции». Но он сам идет дальше и вообще упраздняет эти фигуры как являющиеся лишь «случайными модификациями первой» и «искаженными выражениями сложного психического процесса». Несколько схожую позицию занимает Кант в своем эссе «О ложной тонкости четырех фигур». Аргумент Канта фактически основан на двух следующих положениях: (1) Рассуждения в фигурах 2, 3, 4 требуют, чтобы их имплицитно, если не эксплицитно, редуцировали к 1-й фигуре, чтобы их правильность стала очевидной; например, в Cesare мы должны были скрыто выполнить обращение большей посылки в уме, так как иначе наши посылки не были бы убедительными; (2) Никакие рассуждения никогда не попадают естественным образом ни в один из модусов фигур 2, 3, 4, которые, следовательно, являются лишь бесполезным изобретением логиков. На основаниях, уже указанных, оба эти положения должны рассматриваться как ошибочные. Дальнейшая ошибка, по-видимому, содержится в следующем отрывке из того же эссе Канта: «Нельзя отрицать, что мы можем делать выводы законным образом во всех этих фигурах. Но неоспоримо, что все, кроме первой, определяют заключение только окольным путем и посредством интерполированных выводов, и что в точности то же самое заключение следовало бы из того же среднего термина в первой фигуре путем чистого и несмешанного рассуждения». Последняя часть этого утверждения не может быть оправдана в таком случае, как Baroco.

В то же время никакое рассмотрение силлогизма не может 328 считаться научным или полным, пока не будет показана эквивалентность между модусами в различных фигурах; и для этой цели, а также ввиду ее полезности как логического упражнения, полное рассмотрение проблемы редукции должно быть сохранено. 353

³⁵³ See, further, sections 266, 268.

262. Четвертая фигура. — Фигура 4 как таковая не была признана Аристотелем; и поскольку ее введение приписывается Аверроэсом Галену, о ней часто говорят как о Галеновой фигуре. Она обычно не появляется в работах по логике до начала XVIII века, и даже современными логиками ее использование иногда осуждается. Так, Боуэн (Logic, с. 192) утверждает, что «то, что называется четвертой фигурой, есть только первая с обращенным заключением; то есть мы фактически не рассуждаем в четвертой, а только в первой, а затем, если требуется, обращаем заключение первой». Это описание 4-й фигуры, однако, не может быть принято, поскольку оно не применимо к Fesapo или Fresison. Например, из посылок Fesapo (Ни одно P не есть M и Все M суть S) в 1-й фигуре вообще не может быть получено никакого заключения. 354

354 По большей части критики четвертой фигуры, по-видимому, отождествляют ее целиком с Bramantip. Следующий отрывок из Logic отца Кларка (с. 337) послужит иллюстрацией того презрения, которому иногда подвергается эта бедная фигура: «Должны ли мы сохранить ее? Если мы это сделаем, то как своего рода силлогистического илота, чтобы показать, как низко может пасть силлогизм, когда он пренебрегает законами, на которых основано всякое истинное рассуждение, и чтобы представить его в самой деградировавшей форме, которую он может принять, не будучи положительно порочным. Способен ли он к исправлению? Не к исправлению, а к исчезновению... Там, где те же посылки в первой фигуре доказали бы общеутвердительное суждение, эта слабая карикатура на него довольствуется частным; там, где первая фигура делает свое заключение естественно и в соответствии с формами, в которые инстинктивно облекается человеческая мысль, этот извращенный выкидыш заставляет разум совершать неловкий и неуклюжий процесс, который по праву заслуживает называться «беспорядочным и насильственным»». Собственная ярость отца Кларка, по-видимому, объясняется главным образом тем фактом, что 4-я фигура не была как таковая признана Аристотелем.

Основанием для отказа Томсона является то, что в четвертой фигуре порядок мысли полностью инвертирован: субъект заключения был предикатом в посылках, а предикат — субъектом. «Против этого разум восстает; и мы можем убедиться, что заключение является лишь обратным по отношению к реальному, предложив себе подобные наборы посылок, к 329 которым мы всегда обнаружим, что добавляем заключение, расположенное так, что силлогизм находится в первой фигуре, с второй посылкой на первом месте» (Laws of Thought, с. 178). Что касается первой части этого аргумента, Томсон сам указывает, что то же возражение частично применимо к фигурам 2 и 3. Это, несомненно, помогает объяснить, почему на самом деле рассуждения в 4-й фигуре встречаются нечасто; 355 но это не дает достаточного основания для полного отказа от признания этой фигуры. Вторая часть аргумента Томсона по уже указанной причине является несостоятельной. Заключение, например, Fresison не может быть «обратным по отношению к реальному заключению», поскольку (будучи O-пропозицией) оно не является обратным по отношению к какой-либо другой пропозиции вообще.

355 Причины, по которым 4-я фигура, «с ее посылками, смотрящими в одну сторону, а заключением — в другую», используется редко, подробно изложены Карслейком, Aids to the Study of Logic, I, с. 74, 5.

Действительно, невозможно рассматривать силлогизм научно и полно, не допуская в той или иной форме модусы 4-й фигуры. При априорном разделении фигур в соответствии с положением большего и меньшего терминов в посылках эта фигура обязательно появляется, и она дает заключения, которые не могут быть непосредственно получены из тех же посылок в любой другой фигуре. Она фактически не используется часто, но рассуждения иногда могут не без естественности попадать в нее; например: Ни один из Апостолов не был греком, Некоторые греки достойны всякого уважения, следовательно, Некоторые достойные всякого уважения не являются Апостолами.

263. Косвенные модусы. — Самая ранняя форма, в которой появились мнемонические стихи, была следующей: —

Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Baralipton, Celantes, Dabitis, Fapesmo, Frisesomorum, Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison. 356

356 Впервые опубликованы в Summulae Logicales Петра Испанского, впоследствии папы Иоанна XXI, который умер в 1277 году. Мнемоники встречаются в более ранней неопубликованной работе Уильяма Шайрсвуда, который умер в должности канцлера Линкольна в 1249 году.

Аристотель признавал только три фигуры: первую фигуру, которую он считал типом всех силлогизмов и которую он 330 называл совершенной фигурой, причем dictum de omni et nullo был непосредственно применим только к ней; и вторую и третью фигуры, которые он называл несовершенными фигурами, поскольку было необходимо редуцировать их к первой фигуре, чтобы получить проверку их правильности.

Однако до того, как четвертая фигура была общепризнана как таковая, ее модусы признавались в другой форме, а именно как косвенные модусы первой фигуры; и вышеприведенные мнемоники — Baralipton, Celantes, Dabitis, Fapesmo, Frisesomorum — представляют эти модусы, рассматриваемые таким образом. 357

357 С XIV по XVII век мнемоники, встречающиеся в работах по логике, обычно дают модусы четвертой фигуры в этой форме или же опускают их вовсе. Уоллис (1687) признает их в обеих формах, давая два набора мнемоник.

Концепция косвенных модусов может быть лучше всего объяснена, если начать с определения фигуры, которое не содержит ссылки на различие между большим и меньшим терминами и которое, соответственно, дает только три фигуры вместо четырех, а именно: Фигура 1, в которой средний термин является субъектом в одной из посылок и предикатом в другой; Фигура 2, в которой средний термин является предикатом в обеих посылках; Фигура 3, в которой средний термин является субъектом в обеих посылках. Модусы 1-й фигуры могут затем различаться как прямые или косвенные в зависимости от того, является ли положение терминов в заключении таким же, как их положение в посылках, или обратным. 358 Так, с 331 посылками MaP, SaM мы имеем прямое заключение SaP и косвенное заключение PiS. Это соответственно Barbara и Baralipton. Аналогично, Celantes соответствует Celarent, а Dabitis — Darii. С посылками MeP, SiM мы получаем прямое заключение SoP, но ничего нельзя вывести о P в терминах S. Следовательно, не существует косвенного модуса, соответствующего Ferio. С другой стороны, Fapesmo и Frisesomorum (Fesapo и Fresison четвертой фигуры) не имеют соответствующих прямых модусов.

358 Отсюда следует, что если мы сравним заключение косвенного модуса с заключением соответствующего прямого модуса (там, где такое соответствие существует), мы обнаружим, что термины поменялись местами. Определение Манселом косвенного модуса как «такого, в котором мы выводим не непосредственное заключение, а его обратное» (Aldrich, с. 78), однако, должно быть отвергнуто по той причине, что оно не может быть применено к Fapesmo и Frisesomorum, которые являются косвенными модусами, не имеющими вообще никаких соответствующих правильных прямых модусов. В них нельзя сказать, что мы выводим «обратное непосредственного заключения», ибо нет никакого непосредственного заключения. Мансел обращается с этими двумя модусами очень неловко. «Fapesmo и Frisesomorum», — замечает он, — «имеют отрицательные меньшие посылки и, таким образом, нарушают специальное правило первой фигуры; но это сдерживается уравновешивающим нарушением. Ибо путем простого обращения O мы изменяем распределение терминов так, чтобы избежать незаконного процесса». Но представление о том, что мы можем уравновесить одно нарушение закона совершением второго, не может быть допущено. Истина, конечно, заключается в том, что, во-первых, специальные правила первой фигуры, как они обычно приводятся, не применяются к косвенным модусам; и, во-вторых, заключение O вообще не получается путем обращения.

Очевидно, что это не более чем формальное различие, признаются ли пять рассматриваемых модусов указанным образом или как составляющие отдельную фигуру; но, в целом, последняя альтернатива кажется менее склонной к возникновению путаницы.

Различие между прямыми и косвенными модусами, как оно выражено выше, по очевидным причинам ограничено первой фигурой. Заметим, однако, что в традиционных названиях косвенных модусов первой фигуры меньшая посылка предшествует большей, и если мы попытаемся применить различие между прямыми и косвенными модусами в случае второй и третьей фигур, это может быть сделано только со ссылкой на условный порядок посылок. Так, во второй фигуре, взяв посылки PeM, SaM, мы можем вывести либо SeP, либо PeS, и если мы назовем силлогизм прямым или косвенным в зависимости от того, предшествует ли большая посылка меньшей или наоборот, то PeM, SaM, SeP будет прямым модусом, а PeM, SaM, PeS — косвенным модусом. Первый из этих силлогизмов — Cesare, а второй — Camestres с переставленными посылками. 359 Следовательно, последний немедленно станет прямым модусом просто путем изменения порядка посылок; и искусственность этого различия сразу становится очевидной. Результат окажется схожим и в других случаях, и, следовательно, это различие может быть отвергнуто, насколько это касается фигур 2 и 3.

359 Возьмем, опять же, посылки MaP, MoS. Здесь нет прямого заключения, а только косвенное заключение PoS. Это, однако, просто Bocardo с переставленными посылками.

264. Дальнейшее обсуждение процесса косвенной редукции. — Обсуждение проблемы редукции на предыдущих страницах в основном следовало традиционным линиям. Оно 332, однако, желательно рассматривать процесс косвенной редукции несколько более независимым и систематическим образом. Поступая так, мы обнаружим, что процесс позволяет нам очень ясно и симметрично показать отношения между первыми тремя фигурами, а также отличительные функции этих фигур.

Аргумент, на котором основана косвенная редукция, — это тот, который мы несколько раз использовали (например, при доказательстве второго следствия, заимствованного у Де Моргана в разделе 200, и в некоторых доказательствах, содержащихся в разделе 202), а именно: если X и Y вместе доказывают Z, то X и отрицание Z должны доказывать отрицание Y, и наоборот.

Процесс можно удобно представить как контрапозицию гипотетического суждения. Так, из пропозиции «При заданном X, если Y, то Z» мы можем вывести путем контрапозиции: «При заданном X, если не Z, то не Y»; и мы можем в равной степени вернуться от контрапозитива к исходной пропозиции.

Поскольку противоречащая пропозиция заключения силлогизма может быть объединена с любой из исходных посылок, из этого следует, что каждый обоснованный силлогизм несет с собой обоснованность двух других силлогизмов. Следовательно, все обоснованные силлогизмы должны быть способны быть организованы в наборы из трех, которые взаимно эквивалентны.

Три эквивалентных силлогизма могут быть симметрично выражены следующим образом (где P и Pʹ, Q и Qʹ, R и Rʹ являются соответственно противоречащими):

(i) посылки P и Q; заключение Rʹ; (ii) посылки Q и R; заключение Pʹ; (iii) посылки R и P; заключение Qʹ.

Следует понимать, что порядок посылок в этих силлогизмах не предназначен для указания того, какая из них является большей, а какая — меньшей.

265. Антилогизм. — Каждый из трех только что приведенных эквивалентных силлогизмов дополнительно включает формальную несовместимость трех пропозиций P, Q, R (ср. раздел 214). Три пропозиции, содержащие три и только три термина, которые таким образом формально несовместимы друг с другом, образуют то, что миссис Лэдд-Франклин назвала антилогизмом. Таким образом, силлогизм «MaP, SaM, следовательно, SaP» имеет в качестве эквивалентного антилогизма: «MaP, SaM, SoP — это три пропозиции, которые формально несовместимы друг с другом».

360 См. «Словарь философии» Болдуина, ст. «Символическая логика». В этой статье показано, что все силлогистическое рассуждение может быть сведено к следующему антилогизму с использованием символики раздела 138:

[(AB = 0)(bC = 0)(AC > 0)] = 0.

Пятнадцать модусов, не содержащих ни усиленной посылки, ни ослабленного заключения, могут быть получены из этого антилогизма с помощью обращений и превращений в зависимости от того, что берется в качестве заключения: противоречащее одной или другой из трех несовместимых пропозиций.

266. Эквивалентность модусов первых трех фигур, показанная методом косвенной редукции. — Если один из наших трех эквивалентных силлогизмов относится к одной из первых трех фигур, то можно показать, что два других будут относиться к оставшимся двум из этих фигур.

Таким образом, пусть P, Q, ∴ Rʹ относятся к 1-й фигуре, причем меньшая посылка указана первой. Тогда его можно записать так:

S ⎯ M, M ⎯ P, ∴ (S ⎯ P)ʹ. | (1)

Второй силлогизм принимает вид

M ⎯ P, S ⎯ P, ∴ (S ⎯ M)ʹ; | (2)

а третий есть

S ⎯ P, S ⎯ M, ∴ (M ⎯ P)ʹ. | (3)

Видно, что (2) относится ко 2-й фигуре, а (3) — к 3-й.

Далее, пусть P, Q, ∴ Rʹ относятся ко 2-й фигуре, причем большая посылка указана первой. Тогда для наших трех силлогизмов мы имеем:

P ⎯ M, S ⎯ M, ∴ (S ⎯ P)ʹ; | (1)
S ⎯ M, S ⎯ P, ∴ (P ⎯ M)ʹ; | (2)
S ⎯ P, P ⎯ M, ∴ (S ⎯ M)ʹ. | (3)

Здесь (2) относится к 3-й фигуре, (3) — к 1-й.

Наконец, пусть P, Q, ∴ Rʹ относятся к 3-й фигуре, причем большая посылка указана первой. Мы имеем

M ⎯ P, M ⎯ S, ∴ (S ⎯ P)ʹ; | (1)
M ⎯ S, S ⎯ P, ∴ (M ⎯ P)ʹ; | (2)
S ⎯ P, M ⎯ P, ∴ (M ⎯ S)ʹ. | (3)

Здесь (2) относится к 1-й фигуре, (3) — ко 2-й.

Отсюда мы видим, что, начиная с силлогизма в любой из первых трех фигур (меньшая посылка предшествует большей в 1-й фигуре, но следует за ней во 2-й и 3-й фигурах) и принимая пропозиции в вышеуказанном циклическом порядке, фигуры всегда будут повторяться в циклическом порядке 1, 2, 3.

361 Если бы мы начали с силлогизма в 1-й фигуре, где большая посылка указана первой, то циклический порядок фигур был бы 1, 3, 2, а во 2-й и 3-й фигурах меньшая посылка предшествовала бы большей.

Отсюда следует (как мы уже знаем), что в каждой из первых трех фигур должно быть равное количество правильных силлогизмов и что они могут быть организованы в наборы эквивалентных триад. Эти эквивалентные триады будут выглядеть следующим образом (наборы, содержащие усиленные посылки или ослабленные заключения, заключены в квадратные скобки):

Barbara, Baroco, Bocardo;

[AAI, AEO, Felapton;]

Celarent, Festino, Disamis;

[EAO, EAO, Darapti;]

Darii, Camestres, Ferison;

Ferio, Cesare, Datisi.

Соответствующие антилогизмы: AAO, [AAE,] EAI, [EAA,] AIE, EIA.

362 Положение терминов в этих антилогизмах соответствует положению 1-й фигуры, где большая посылка указана первой.

267. Модусы 4-й фигуры в их отношении друг к другу. — Мы видели, что в эквивалентных триадах силлогизмов, полученных в процессе косвенной редукции, у нас никогда не бывает в одной триаде более одного силлогизма в 1-й, 2-й или 3-й фигуре. Однако 4-я фигура является самодостаточной в том смысле, что если мы начинаем с силлогизма в этой фигуре, то оба других силлогизма также будут в этой же фигуре. Действуя так же, как в предыдущем разделе, мы можем показать это следующим образом, указав большую посылку первой:

P ⎯ M, M ⎯ S, ∴ (S ⎯ P)ʹ; | (1)
M ⎯ S, S ⎯ P, ∴ (P ⎯ M)ʹ; | (2)
S ⎯ P, P ⎯ M, ∴ (M ⎯ S)ʹ. | (3)

363 Окажется, что результат будет точно таким же, если первой указать меньшую посылку.

Отсюда следует, что в 4-й фигуре количество правильных силлогизмов должно быть кратно трем. Это число, как мы знаем, равно шести. Следовательно, существуют две эквивалентные триады; они будут выглядеть следующим образом:

[Bramantip, AEO, Fesapo;] Camenes, Fresison, Dimaris.

Эквивалентные антилогизмы: [AAE,] AEI. Сравнивая этот результат с полученным в предыдущем разделе, мы видим, что единственными правильными антилогистическими комбинациями являются AAO и AEI, с добавлением AAE (в которой одна из трех пропозиций излишне усилена).

364 Этот результат можно было бы вывести из правил, данных в разделе 214.

268. Эквивалентность специальных правил первых трех фигур. — Пусть следующий силлогизм будет правильным силлогизмом в 1-й фигуре:

(minor) |  | S ⎯ M, | (1)
(major) |  | M ⎯ P, | (2)
(conclusion) | ∴ | (S ⎯ P)ʹ. | (3)

Тогда соответствующий правильный силлогизм во 2-й фигуре будет

(major) |  | M ⎯ P, | (2)
(minor) |  | S ⎯ P, | contradictory of (3)
(conclusion) | ∴ | (S ⎯ M)ʹ; | contradictory of (1)

а соответствующий правильный силлогизм в 3-й фигуре будет

(major) |  | S ⎯ P, | contradictory of (3)
(minor) |  | S ⎯ M, | (1)
(conclusion) | ∴ | (M ⎯ P)ʹ. | contradictory of (2)

Специальные правила 1-й фигуры таковы:

minor | affirmative,
major | universal,

то есть (1) должна быть утвердительной, (2) должна быть общеутвердительной.

Во 2-й фигуре (2) является большей посылкой, а противоречащее (1) — заключением. Следовательно, во 2-й фигуре мы должны иметь правила:

major | universal,
conclusion | negative [and hence one premiss negative].

В 3-й фигуре (1) является меньшей посылкой, а противоречащее (2) — заключением. Следовательно, в 3-й фигуре мы должны иметь правила:

minor | affirmative,
conclusion | particular.

Таким образом, показано, что специальные правила 2-й и 3-й фигур выводимы из специальных правил 1-й фигуры. Мы могли бы с таким же успехом начать со специальных правил 2-й или 3-й фигуры и вывести правила для двух других фигур.

365 Полные правила для антилогизмов первых трех фигур, приведенные в конце раздела 266, таковы: (a) первая пропозиция общеутвердительная, (b) вторая пропозиция утвердительная, (c) третья пропозиция противоположна по качеству первой и (если она не усилена) противоположна по количеству второй. Эти правила заменяют все общие правила.

269. Схема правильных модусов 1-й фигуры. — Что касается природы вовлеченного рассуждения, то практически нет различия между Barbara и Darii или между Celarent и Ferio. Ибо в каждом случае, если S — меньший термин, то S, упоминаемые в заключении, являются в точности теми же S, что и упоминаемые в меньшей посылке.

Опять же, единственное различие между Barbara и Celarent или между Darii и Ferio заключается в том, что общее правило, которое меньшая посылка позволяет нам применить к частному случаю, в Barbara и Darii является общим утверждением, тогда как в Celarent и Ferio — общим отрицанием.

Мы можем, следовательно, суммировать все четыре модуса в следующей схеме:

| All B is C (or is not C), | (Rule)
| All (or some) A is B, | (Case)
therefore,  | All (or some) A is C (or is not C). | (Result)

366 Ср. Ч. С. Пирс в «Исследованиях по логике» университета Джонса Хопкинса, стр. 148, и Зигварт, «Логика», I, стр. 354. Зигварт дает следующую формулу:

| If anything is M it is P (or is not P),
| Certain subjects S are M,
therefore,  | They are P (or are not P).

Этот способ изложения правильных модусов 1-й фигуры ясно показывает, как все они включены в dictum de omni et nullo.

270. Схема правильных модусов 2-й фигуры. — Применяя принцип косвенной редукции, мы можем непосредственно получить из схемы, приведенной в предыдущем разделе, следующую схему, суммирующую правильные модусы 2-й фигуры:

| All B is C (or is not C), | (Rule)
| Some (or all) A is not C (or is C), | (Denial of Result)
therefore, | Some (or all) A is not B. | (Denial of Case)

367 Способ Зигварта («Логика», I, стр. 354) заключается в том, что во 2-й фигуре вместо вывода от основания к следствию мы выводим от недействительности следствия к недействительности основания; он дает следующую схему:

| If anything is P it is M (or is not M),
| Certain subjects S are not M (or are M),
therefore,  | They are not P.

Эта схема может быть выражена следующим dictum: «Если определенный атрибут может быть предикативно приписан, утвердительно или отрицательно, каждому члену класса, то любой субъект, о котором он не может быть так предикативно приписан, не принадлежит к этому классу». Это dictum, подобно dictum de omni et nullo, может претендовать на аксиоматичность, и оно относится к правильным силлогизмам 2-й фигуры точно так же, как dictum de omni et nullo относится к правильным силлогизмам 1-й фигуры.

368 Dictum для 2-й фигуры, иногда называемое dictum de diverso, выражено в вышеприведенной форме Манселом («Олдрич», стр. 86). Ламберт дал его в форме: «Если один термин содержится в третьем термине, а другой исключен из него, то они взаимно исключаются». Это выражено, по крайней мере, нестрого, поскольку, по-видимому, оправдывало бы общее заключение, если бы вообще какое-либо заключение, в Festino и Baroco. Бейли («Теория рассуждения», стр. 71) дает следующую пару максим для 2-й фигуры: «Когда весь класс обладает определенным атрибутом, то, что не обладает этим атрибутом, не принадлежит к этому классу. Когда весь класс исключен из обладания атрибутом, то, что обладает этим атрибутом, не принадлежит к этому классу».

369 Ламберт обычно считается автором идеи формулирования dicta, которые были бы непосредственно применимы к фигурам, отличным от первой. Томсон, однако, указывает, что ошибочно полагать, будто Ламберт первым изобрел такие dicta. «Более чем за столетие до этого Кекерманн видел, что каждая фигура имеет свой собственный закон и свое собственное специфическое применение, и сформулировал их так же точно, хотя и менее кратко, чем Ламберт» («Законы мышления», стр. 173, примечание). Отдельные принципы для второй и третьей фигур изложены также в «Логике Пор-Рояля», опубликованной в 1662 году.

271. Схема правильных модусов 3-й фигуры. — Поступая с 3-й фигурой так же, как мы поступили со 2-й, мы получаем следующую схему, суммирующую правильные модусы этой фигуры:

| Some (or all) A is not C (or is C), | (Denial of Result)
| All (or some) A is B, | (Case)
therefore,  | Some B is not C (or is C). | (Denial of Rule)

Эту схему нелегко выразить в одной самоочевидной максиме. Однако для утвердительных и отрицательных модусов 3-й фигуры могут быть сформулированы отдельные dicta аксиоматического характера, а именно: «Если два атрибута могут быть утверждены относительно класса, и по крайней мере один из них — общеутвердительно, то эти два атрибута иногда сопровождают друг друга»; «Если один атрибут может быть утвержден, в то время как другой отрицается относительно класса, причем либо утверждение, либо отрицание является общим, то первый атрибут не всегда сопровождается последним».

370 Ламберт дал следующее dictum de exemplo для 3-й фигуры: «Два термина, которые содержат общую часть, частично согласуются, или, если один содержит часть, которой нет у другого, они частично различаются». Эта максима допускает исключения. Пропозиция «Если один термин содержит часть, которой нет у другого, они частично различаются», примененная к MeP, MaS, по-видимому, оправдывала бы PoS точно так же, как SoP, или же давала бы альтернативу между ними. Мистер Джонсон дает единую формулу для 3-й фигуры, а именно: «Утверждение может быть применено к части класса, если оно применяется полностью [или по крайней мере частично] к набору объектов, которые по крайней мере частично [или полностью] включены в этот класс». Это верно, но, возможно, не очень легко для понимания.

371 Эти dicta (или соответствующие им dicta) иногда называют соответственно dictum de exemplo и dictum de excepto.

272. Dictum для 4-й фигуры. — Следующее dictum, называемое dictum de reciproco, было сформулировано Ламбертом для 4-й фигуры: «Если никакой M не есть B, то никакой B не есть тот или иной M; если C есть (или не есть) тот или иной B, то существуют B, которые суть (или не суть) C». Первая часть этого dictum предназначена для применения к Camenes, а вторая часть — к остальным модусам четвертой фигуры; но применение в обоих случаях вряд ли можно считать самоочевидным. Было сконструировано несколько других аксиом для 4-й фигуры; но, как правило, они представляют собой не более чем простое перечисление правильных модусов этой фигуры, в то же время они менее самоочевидны, чем эти модусы, рассматриваемые индивидуально. Однако следующая аксиома, предложенная мистером Джонсоном, не открыта для такой критики: «Три класса не могут быть связаны таким образом, чтобы первый был полностью включен во второй, второй полностью исключен из третьего, а третий частично или полностью включен в первый». Это dictum утверждает правильность двух антилогизмов; другими словами, оно провозглашает взаимную несовместимость каждой из следующих триад пропозиций: XaY, YeZ, ZiX; XaY, YeZ, ZaX; и окажется, что эти несовместимости дают шесть правильных модусов четвертой фигуры.

372 Ср. раздел 267.

339  

УПРАЖНЕНИЯ.

273. Сведите Barbara к Bocardo, Bocardo к Baroco, Baroco к Barbara. [K.]

274. Сведите Ferio ко 2-й фигуре, Festino к 3-й фигуре, Felapton к 4-й фигуре. [K.]

275. Сведите Camestres к Datisi. Почему Camestres нельзя свести ни прямо, ни косвенно к Felapton? Можно ли свести Felapton к Camestres? [K.]

276. Предполагая, что в первой фигуре большая посылка должна быть общей, а меньшая — утвердительной, покажите методом reductio ad absurdum, что заключение во второй фигуре должно быть отрицательным, а в третьей — частным. [J.]

277. Сформулируйте следующий аргумент в виде силлогизма третьей фигуры и сведите его, как прямо, так и косвенно, к первой: «Некоторые вещи, достойные того, чтобы их знать, не являются непосредственно полезными, ибо каждая истина достойна того, чтобы ее знать, в то время как не каждая истина непосредственно полезна». [M.]

278. Укажите фигуру и модус следующего силлогизма; сведите его к первой фигуре; и исследуйте, есть ли что-то неестественное в аргументе в его нынешнем виде: «Никто из тех, кто бесчестит короля, не может быть истинным патриотом; ибо истинный патриот должен уважать закон, а никто из тех, кто уважает закон, не стал бы бесчестить короля». [J.]

279. «Отвергая четвертую фигуру и субальтерные модусы, мы можем сказать вместе с Аристотелем: A доказывается только в одной фигуре и одном модусе, E — в двух фигурах и трех модусах, I — в двух фигурах и четырех модусах, O — в трех фигурах и шести модусах. По этой причине Аристотель объявляет A самой трудной для установления пропозицией и самой легкой для опровержения; O — наоборот». Обсудите пригодность этих данных для обоснования заключения. [K.]

280. Докажите из общих правил силлогизма, что количество возможных модусов, независимо от различия фигур, равно 11. В 19 модусах мнемонических стихов представлены только 10 из 11 возможных модусов. Найдите недостающий модус и объясните его отсутствие в стихах. [L.]

281. Даны (1) заключение силлогизма в первой фигуре, (2) меньшая посылка силлогизма во второй фигуре, (3) большая посылка силлогизма в третьей фигуре; исследуйте в каждом случае, насколько можно определить качество и количество двух оставшихся пропозиций силлогизма (при условии, что силлогизм не содержит усиленной посылки или ослабленного заключения). Выразите результат, насколько это возможно, в общих терминах для каждой фигуры. [J.]

282. Выясните, в каких из правильных силлогистических модусов комбинация одной посылки с субконтрарной (подпротивоположной) заключению установила бы субконтрарную другой посылки. [L.]

283. Постройте силлогизм в соответствии с каждым из следующих двух dicta: (1) Любой объект, у которого отсутствует свойство, известное как принадлежащее всем членам класса, должен быть исключен из этого класса; (2) Если какие-либо объекты, включенные в класс, не обладают определенным свойством, то это свойство не может быть предикативно приписано всем членам класса. Укажите модус и фигуру каждого аргумента и покажите отношения между вышеуказанными dicta и dictum de omni et nullo. [L.]

284. Покажите, что любой заданный модус может быть непосредственно сведен к любому другому модусу при условии, (1) что последний не содержит ни усиленной посылки, ни ослабленного заключения, и (2) что если заключение первого является общим, то заключение последнего также является общим. [K.]

285. Покажите, что любой заданный модус может быть прямо или косвенно сведен к любому другому модусу при условии, что последний не имеет ни усиленной посылки, ни ослабленного заключения, если только то же самое не верно и для первого. [K.]

286. Исследуйте следующее утверждение Де Моргана: «Существует всего шесть различных силлогизмов. Все остальные создаются из них путем усиления одной из посылок, или обращения одной или обеих посылок, где такое обращение допустимо; или же путем сначала обращения, а затем усиления одной из посылок». [K.]

287. Покажите с помощью процесса косвенной редукции, что специальные правила для 4-й фигуры, данные в разделе 244, взаимно выводимы друг из друга. [RR.]

ГЛАВА IV.

ДИАГРАММАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИЛЛОГИЗМОВ.

288. Применение диаграмм Эйлера к силлогистическим рассуждениям. — Показывая применение диаграмм Эйлера к силлогистическим рассуждениям, мы можем начать с силлогизма в Barbara:

| All M is P,
| All S is M,
therefore,  | All S is P.

Посылки должны быть сначала представлены отдельно с помощью диаграмм. Каждая дает два случая; таким образом:

Чтобы получить заключение, каждый из случаев, полученных из большей посылки, должен быть теперь объединен с каждым из случаев, полученных из меньшей. Это дает четыре комбинации, и все, что верно для S в терминах P во всех из них, является искомым заключением.

373 Эти комбинации дают полное решение проблемы относительно того, какие классовые отношения между S, M и P совместимы с посылками; аналогично и в других случаях. Силлогистическое заключение получается путем исключения M.

342

В каждом случае S либо совпадает с P, либо включено в P; следовательно, из данных посылок можно вывести «Все S суть P».

Далее возьмем силлогизм в Bocardo. Применение диаграмм теперь более сложное. Посылки таковы:

Some M is not P,

All M is S.

Большая посылка дает три случая, а именно:

а меньшая посылка — два случая, а именно:

Взяв их вместе, мы имеем шесть комбинаций, некоторые из которых сами дают более одного случая:

Что касается S и P (M не принимается во внимание), эти девять случаев сводимы к следующим трем:

Следовательно, заключение: «Некоторые S не суть P».

Следует признать, что это очень сложно и что было бы серьезной проблемой, если бы в первом случае нам пришлось прорабатывать все различные модусы таким образом. Тем не менее, для целей иллюстрации эта сложность имеет определенное преимущество. Она показывает, сколько отношений между тремя терминами в отношении объема остается у нас даже при наличии двух данных посылок.

374 Убервег, однако, берет на себя труд установить таким образом правильность правильных модусов в различных фигурах. Томсон («Законы мышления», стр. 189, 190) вводит относительную простоту с помощью пунктирных линий. Его диаграммы, однако, неверны.

289. Применение диаграмматической схемы Ламберта к силлогистическим рассуждениям. — Применительно к силлогизмам линии Ламберта гораздо менее громоздки, чем круги Эйлера. Главное, что следует заметить, — это то, что в общем случае необходимо, чтобы линия, обозначающая средний термин, не была пунктирной на какой-либо части своего протяжения. Это условие может быть удовлетворено путем выбора соответствующей альтернативной формы в случае пропозиций A, I и O, как дано в разделе 127. В качестве примеров мы можем представить Barbara, Baroco, Datisi и Fresison методом Ламберта.

375 Следующее представление Barbara,

иллюстрирует тип ошибки, которая, вероятно, возникнет, если пренебречь вышеуказанной предосторожностью. Если бы это представление было правильным, мы были бы оправданы в выводе «Некоторые P не суть S», так же как и «Все S суть P».

345

290. Применение диаграмматической схемы доктора Венна к силлогистическим рассуждениям. — Силлогизмы в Barbara, Camestres, Datisi и Bocardo могут быть взяты по порядку, чтобы показать, как диаграммы доктора Венна могут быть использованы для иллюстрации силлогистических рассуждений.

Посылки Barbara,

Все M суть P, Все S суть M,

исключают определенные отсеки, как показано на следующей диаграмме:

Это сразу дает заключение «Все S суть P».

Аналогично для Camestres мы имеем следующее:

Для Datisi мы имеем

Bocardo дает

Следует помнить, что эта схема основана на определенной интерпретации пропозиций в отношении их экзистенциальной значимости. Студенту будет полезно попытаться представить с помощью диаграмм доктора Венна модус, содержащий усиленную посылку, например, Darapti.

347 

УПРАЖНЕНИЯ.

291. Представьте Celarent с помощью диаграмм Эйлера. Послужит ли тот же набор диаграмм для любого другого из силлогистических модусов? [K.]

292. Представьте с помощью диаграмм Эйлера модусы Festino, Datisi и Bramantip. [K.]

293. Определите (i) с помощью диаграмм Эйлера, (ii) обычными силлогистическими методами, все, что можно вывести о S и P в терминах друг друга из следующих посылок: Некоторые M суть P, Некоторые M не суть P, Некоторые P не суть M, Некоторые S не суть M, Все M суть S. [K.]

294. Представьте в схеме Ламберта модусы Darii, Cesare, Darapti, Bocardo, Fesapo. [K.]

295. Представьте в диаграмматической схеме доктора Венна модусы Ferio, Cesare, Baroco, Dimaris. [K.]

296. Покажите (i) с помощью диаграмм Эйлера, (ii) с помощью диаграмм доктора Венна, что IE не дает заключения ни в одной фигуре. [K.]

297. Покажите диаграмматически, что никакое заключение не может быть получено из IA в 1-й фигуре, из AA во 2-й фигуре, из AE в 3-й фигуре, из AO в 4-й фигуре. [K.]

298. Определите с помощью диаграмматической схемы Эйлера все отношения, которые априори возможны между тремя классами S, M, P. [K.]

299. Проверьте следующий аргумент (i) по диаграмматической схеме доктора Венна, (ii) обычными силлогистическими методами: «Все храбрые люди хорошо дисциплинированы; никакие патриоты не являются наемниками; но некоторые наемные люди оказались храбрыми, и не все патриоты могут считаться хорошо дисциплинированными; отсюда следует, что некоторые храбрые и хорошо дисциплинированные люди были одновременно наемниками и непатриотами, в то время как другие, бывшие патриотичными и не наемниками, были лишь плохо дисциплинированными трусами». [C.]

300. Даны: Все X суть Y или Z, Все Y суть Z или X, Все Z суть X или Y, Все YZ суть X, Все ZX суть Y, Все XY суть Z; докажите (a) с помощью диаграмматической схемы доктора Венна, (b) без помощи диаграмм, что X, Y, Z коэкстенсивны. [RR.]

ГЛАВА V.

УСЛОВНЫЕ И ГИПОТЕТИЧЕСКИЕ СИЛЛОГИЗМЫ.

301. Условный силлогизм, гипотетический силлогизм и гипотетико-категорический силлогизм. — Формы рассуждения, в которых условные или гипотетические заключения выводятся из двух условных или двух гипотетических посылок, по-видимому, упускаются из виду некоторыми логиками; во всяком случае, они часто не получают четкого признания, а термин «гипотетический силлогизм» ограничивается случаем, в котором только одна посылка является гипотетической.

Могут быть даны следующие определения: (1) Условный силлогизм — это рассуждение, состоящее из двух условных посылок и условного заключения;

e.g.,  | If any A is C, it is D,
| If any A is B, it is C,
therefore,  | If any A is B, it is D.

(2) Гипотетический силлогизм (или, более отчетливо, чистый гипотетический силлогизм) — это рассуждение, состоящее из двух гипотетических посылок и гипотетического заключения;

e.g.,—  | If Q is true, R is true,
| If P is true, Q is true,
therefore,  | If P is true, R is true.

(3) Гипотетико-категорический силлогизм (или, как его еще можно назвать, смешанный гипотетический силлогизм) — это рассуждение, состоящее из трех пропозиций, в которых одна из посылок имеет гипотетическую форму, в то время как другая посылка и заключение являются категорическими;

e.g.,—  | If P is true, Q is true,
| P is true,
therefore,  | Q is true.

376 Чтобы быть совсем точным, следует добавить условие, что посылки и заключение содержат в совокупности три и только три элемента (соответствующие терминам категорического силлогизма).

377 Кажется излишним отдельно обсуждать случай, в котором комбинируются условная посылка и категорическая посылка: например, «Все эгоистичные люди несчастны; если ребенок избалован, он обязательно будет эгоистичным; следовательно, если ребенок избалован, он будет несчастным». Такой силлогизм разрешим в обычный категорический силлогизм путем сведения условной посылки к категорической форме «Все избалованные дети эгоистичны»; или он может быть разрешен в условный силлогизм путем преобразования категорической посылки в соответствующую условную: «Если кто-то эгоистичен, он обязательно будет несчастным». Другой пример: «Если вода соленая, она не закипит при 212°; морская вода соленая; следовательно, морская вода не закипит при 212°». Ср. мистер Ф. Б. Тарбелл в «Mind», 1883, стр. 578. Гипотетико-категорический силлогизм, как определено выше, не может быть так быстро отброшен.

Эта номенклатура, в той части, которая касается различия между гипотетическим и гипотетико-категорическим силлогизмом, принята Сполдингом и Убервегом. Зигварт использует термины «чистый гипотетический силлогизм» и «смешанный гипотетический силлогизм». Некоторые логики (например, Фаулер) дают название «гипотетический силлогизм» всем вышеперечисленным формам рассуждения без различия. Другие (например, Джевонс) определяют гипотетический силлогизм так, чтобы включить только последнюю форму, а остальные вообще не признаются отдельными формами рассуждения. Этот взгляд может быть в некоторой степени оправдан очень близкой аналогией, существующей между силлогизмом с двумя условными или двумя гипотетическими посылками и категорическим силлогизмом: но различие в форме заслуживает по крайней мере краткого обсуждения.

302. Различия модуса и фигуры в случае условных и гипотетических силлогизмов. — В условном и в гипотетическом силлогизме антецедент заключения эквивалентен меньшему термину категорического силлогизма, консеквент заключения — большему термину, а элемент, который вообще не появляется в заключении, — среднему термину. Различия модуса и фигуры могут быть распознаны точно так же, как в случае категорического силлогизма. Таким образом, условный силлогизм, приведенный в предыдущем разделе, относится к Barbara. Примеры других модусов:

Festino,— | Never when E is F, is it the case that C is D,
| Sometimes when A is B, C is D,
therefore,  | Sometimes when A is B, it is not the case that E is F.
Darapti,— | Whenever C is B, E is F,
| Whenever C is D, A is B,
therefore,  | Sometimes when A is B, E is F.
Camenes,— | Whenever E is F, C is D,
| Never when C is D, is it the case that A is B,
therefore,  | Never when A is B, is it the case that E is F.

В этих трех примерах форма, в которой выражены пропозиции, предполагает ассерторическую интерпретацию. При модальной интерпретации, как условных, так и гипотетических, проблематическая пропозиция может рассматриваться как занимающая место частной, и тогда мы снова будем иметь все обычные различия модуса и фигуры. Мы можем проиллюстрировать это на гипотетических:

Darii,— | If Q is true, R is true,
| If P is true, Q may be true,
therefore, | If P is true, R may be true.
Baroco,— | If R is true, Q is true,
| If P is true, Q may be false,
therefore, | If P is true, R may be false.
Disamis,— | If Q is true, R may be true,
| If Q is true, P is true,
therefore, | If P is true, R may be true.³⁷⁸
Camenes,— | If R is true, Q is true,
| If Q is true, P is not true,
therefore, | If P is true, R is not true.

378 Читатель, возможно, будет колебаться, признавая правильность этого рассуждения, хотя он не чувствует затруднений в отношении правильности обычного категорического силлогизма в Disamis. Эта кажущаяся аномалия связана с проблемой экзистенциальной значимости. В разделе 342 будет показано, что правильность Disamis зависит от нашей интерпретации пропозиций в отношении их экзистенциальной значимости, и мы, возможно, не будем рассматривать категорические и гипотетические пропозиции как аналогичные в этом отношении.

303. Ошибки в гипотетических силлогизмах. — На ошибочном предположении, что чистая гипотетическая пропозиция эквивалентна категорической пропозиции, в которой и субъект, и предикат являются единичными терминами и, следовательно, ipso facto распределены, утверждалось, что силлогистические правила, относящиеся к распределению терминов, не применимы к гипотетическим силлогизмам; и что единственные правила, которые необходимо учитывать при проверке таких силлогизмов, — это правила, относящиеся к качеству, а именно: правило, запрещающее две отрицательные посылки, и правило, настаивающее на том, что отрицательная посылка и отрицательное заключение всегда должны встречаться вместе. Но это явно ошибка — рассматривать консеквент гипотетической пропозиции как эквивалентный единичному термину, выступающему в качестве предиката категорической пропозиции. Утвердительная гипотетическая пропозиция не является просто обратимой, и в отношении распределения ее консеквент практически соответствует нераспределенному предикату утвердительной категорической пропозиции, в которой термины являются общими. С другой стороны, отрицательная гипотетическая пропозиция просто обратима; и ее консеквент соответствует распределенному предикату отрицательной категорической пропозиции. Соответственно, мы можем иметь ошибки в гипотетических силлогизмах, соответствующие (1) нераспределенному среднему, (2) незаконному большему, (3) незаконному меньшему. Примеры этих ошибок соответственно: (1) Если R, то Q; Если P, то Q; следовательно, Если P, то R; (2) Если Q, то R; Если P, то не Q; следовательно, Если P, то не R; (3) Если Q, то R; Если Q, то P; следовательно, Если P, то R.

304. Редукция условных и гипотетических силлогизмов. — Условные и гипотетические силлогизмы во 2-й, 3-й и 4-й фигурах могут быть сведены к 1-й фигуре точно так же, как в случае категорических силлогизмов. Таким образом, условный силлогизм в Camenes, приведенный в разделе 302, может быть сведен следующим образом к Celarent:

| Never when C is D, is it the case that A is B,
| Whenever E is F, C is D,
therefore,  | Never when E is F, is it the case that A is B,
therefore,  | Never when A is B, is it the case that E is F.

Согласно обычному правилу, как указано в мнемонике, посылки здесь были транспонированы, а заключение нового силлогизма обращено, чтобы получить исходное заключение.

Аналогично гипотетический силлогизм в Baroco, приведенный в разделе 302, может быть сведен следующим образом к Ferio:

| If Q is false, R is false,
| If P is true, Q may be false,
therefore,  | If P is true, R may be false.

305. Модусы смешанного гипотетического силлогизма. — Обычно различают два модуса смешанного гипотетического силлогизма: modus ponens и modus tollens.

379 Убервег отмечает, что было бы точнее говорить о modus ponens как о modus ponendo ponens, а о modus tollens как о modus tollendo tollens («Логика», стр. 452).

(1) В modus ponens (также называемом конструктивным гипотетическим силлогизмом) категорическая посылка утверждает антецедент гипотетической посылки, тем самым оправдывая в качестве заключения утверждение ее консеквента. Например,

| If P is true then Q is true,
| P is true,
therefore,  | Q is true.

(2) В modus tollens (также называемом деструктивным гипотетическим силлогизмом) категорическая посылка отрицает консеквент гипотетической посылки, тем самым оправдывая в качестве заключения отрицание ее антецедента. Например,

| If P is true then Q is true,
| Q is not true,
therefore,  | P is not true.

Эти модусы соответствуют первой и второй фигурам категорического силлогизма соответственно. Ибо мы видели, что в 1-й фигуре мы переходим от основания к следствию, а во 2-й фигуре — от отрицания следствия к отрицанию основания. Однако в разделе 266 было показано, что каждому силлогизму в 1-й фигуре соответствует не только силлогизм во 2-й фигуре, но и силлогизм в 3-й фигуре; и поэтому может быть задан вопрос, что дает смешанный гипотетический силлогизм, который соответствовал бы 3-й фигуре. Ответ заключается в том, что, занимая место 3-й фигуры, мы имеем рассуждение, которое состоит в опровержении связи основания и следствия путем показа того, что предполагаемое основание верно, но не предполагаемое следствие. Это можно проиллюстрировать, записав два других рассуждения, соответствующих обычному modus ponens. Мы имеем

(1) | If P, Q ; | (a)
| but P ; | (b)
| ∴ Q. | (c)
(2) | If P, Q ; | (a)
| but not Q ; | contradictory of (c)
| ∴ not P. | contradictory of (b)
(3) | P ; | (b)
| but not Q ; | contradictory of (c)
∴ Q is not a necessary consequence of P. | contradictory of (a)

380 Смешанный гипотетический силлогизм может быть сведен к форме чистого гипотетического силлогизма путем записи категорического «P истинно» в форме «Если что-то истинно, то P истинно». Если это сделать, то с другой точки зрения будет видно, что modus ponens может рассматриваться как принадлежащий к 1-й фигуре, а modus tollens — ко 2-й.

Если (1) считается относящимся к 1-й фигуре, то (2) относится ко 2-й фигуре, а (3) — к 3-й. Правда, (3) слишком сильно отходит от обычного типа смешанного гипотетического силлогизма, чтобы оправдать называние его этим именем. Но это форма рассуждения, которая вполне может получить определенное признание.

306. Ошибки в смешанных гипотетических силлогизмах. — Существуют две основные ошибки, которые могут быть совершены при рассуждении из гипотетической большей посылки: (1) Ошибкой является рассматривать утверждение консеквента как оправдывающее утверждение антецедента. Например,

| If P is true then Q is true,
| Q is true,
therefore,  | P is true.

(2) Ошибкой является рассматривать отрицание антецедента как оправдывающее отрицание консеквента. Например,

| If P is true then Q is true,
| P is not true,
therefore,  | Q is not true.

Эти ошибки могут рассматриваться как соответствующие нераспределенному среднему и незаконному большему в случае категорических силлогизмов.

381 Если дано «Если и только если P, то Q», то мы, конечно, можем рассуждать от Q к P или от не-P к не-Q; и, без сомнения, в случае обычных гипотетических пропозиций часто молчаливо подразумевается, что консеквент истинен только в том случае, если истинен антецедент. Однако это должно быть прямо заявлено, если основанный на этом аргумент должен быть формально правильным.

Результаты, достигнутые в этом и предыдущем разделах, могут быть суммированы в следующем каноне для смешанного гипотетического силлогизма: Дана гипотетическая посылка, выраженная утвердительно, тогда утверждение антецедента оправдывает утверждение консеквента; и отрицание консеквента оправдывает отрицание антецедента; но не наоборот ни в одном из случаев.

307. Редукция смешанных гипотетических силлогизмов. — Любой случай modus tollens может быть сведен к modus ponens, и наоборот.

Таким образом,

| If P is true then Q is true,
| Q is not true,
therefore,  | P is not true,

становится, путем контрапозиции гипотетической посылки,

| If Q is not true then P is not true,
| Q is not true,
therefore,  | P is not true ;

и это есть modus ponens.

382 Категорический силлогизм в Camestres может аналогично быть сведен к Celarent без транспонирования посылок. Таким образом, «Все P суть M, Никакие S не суть M, следовательно, Никакие S не суть P» становится, путем контрапозиции большей и превращения меньшей посылки, «Никакие не-M не суть P, Все S суть не-M, следовательно, Никакие S не суть P».

308. Является ли рассуждение, содержащееся в смешанном гипотетическом силлогизме, опосредованным или непосредственным? — Кант, Гамильтон, Бэйн и другие утверждают, что выводы того рода, который мы только что рассматривали, правильно рассматривать не как опосредованные, а как непосредственные выводы.

383 Подобные аргументы с обеих сторон могут быть использованы в случае, когда комбинируются условная посылка и категорическая посылка.

384 «Логика», II, стр. 383. Однако на стр. 378 Гамильтон, по-видимому, придерживается другого взгляда.

Теперь, беря силлогизм —

| If P is true then Q is true,
| but P is true,
therefore,  | Q is true,

заключение, во всяком случае, по-видимому, получается путем комбинации двух посылок, и процесс, кроме того, является процессом исключения, а именно пропозиции «P истинно». Следовательно, бремя доказательства, безусловно, лежит на тех, кто отрицает претензии такого вывода называться опосредованным.

Бэйн («Логика», «Дедукция», стр. 117), по-видимому, утверждает, что так называемый гипотетический силлогизм на самом деле не является опосредованным выводом, потому что это «чистый пример закона непротиворечивости»; другими словами, потому что «заключение подразумевается в том, что уже было сказано». Но разве это не так во всех формальных опосредованных выводах? Нельзя утверждать, что категорический силлогизм — это нечто большее, чем чистый пример закона непротиворечивости; или что заключение в таком силлогизме не подразумевается в том, что уже было сказано. Но, возможно, Бэйн имеет в виду, что заключение подразумевается только в гипотетической посылке. Действительно, он продолжает говорить: «

Далее приводятся аргументы, выдвинутые с той же стороны:— (1) «В так называемом гипотетическом силлогизме нет среднего термина». Ответ заключается в том, что в посылках присутствует элемент, который не появляется в заключении, и что он соответствует среднему термину категорического силлогизма.

Это аргумент Канта. Более правдоподобным был бы аргумент о том, что здесь нет меньшего термина. Однако можно обнаружить, что при сведении смешанного гипотетического силлогизма к форме чистого гипотетического силлогизма необходимо ввести нечто, соответствующее меньшему термину. Сравните примечание 2 на стр. 352.

(2) «В так называемом гипотетическом силлогизме меньший термин и заключение безразлично меняются местами». Это утверждение ошибочно. Если взять правильный силлогизм, приведенный в начале этого раздела, и переставить так называемый меньший термин и заключение, мы получим логическую ошибку.

Этот аргумент принадлежит Гамильтону. Он отмечает, что в гипотетических силлогизмах «одно и то же суждение является попеременно средним термином или заключением» (Logic, ii. p. 379). Д-р Рэй (Deductive Logic, Note C) полагает, что Гамильтон здесь неверно истолкован и что он имел в виду лишь то, что при гипотетической посылке «Если A есть B, то C есть D» отношение между A и B может быть либо другой посылкой (как в modus ponens), либо заключением (как в modus tollens). Д-р Рэй, возможно, прав. Но если это так, Гамильтон выражается неясно. Ибо «A есть B» (посылка modus ponens), безусловно, не является тем же самым суждением, что «A не есть B» (заключение modus tollens). Можно добавить, что аргумент в его новой форме нерелевантен. В категорическом силлогизме мы имеем нечто в точности аналогичное. Ибо при наличии большей посылки «Всякое M есть P» отношение между M и S может быть меньшей посылкой (в этом случае M будет средним термином) или же заключением (в этом случае M будет большим термином). Сравните силлогизмы: «Всякое M есть P», «Всякое S есть M», следовательно, «Всякое S есть P»; «Всякое M есть P», «Ни одно S не есть P», следовательно, «Ни одно S не есть M».

(3) «Большая посылка в так называемом гипотетическом силлогизме состоит из двух суждений, категорическая большая посылка — из двух терминов». Это лишь говорит нам о том, что гипотетический силлогизм по форме не тождественен категорическому силлогизму, но, по-видимому, не имеет отношения к вопросу о том, является ли так называемый гипотетический силлогизм случаем опосредованного или непосредственного умозаключения.

Переходя теперь к другой стороне вопроса, кажется невозможным дать удовлетворительные ответы на следующие аргументы в пользу того, чтобы рассматривать смешанный гипотетический силлогизм как случай опосредованного умозаключения. В любом таком силлогизме две посылки вполне различны, ни одна из них не может быть выведена из другой, но обе необходимы для получения заключения. Далее, если мы сравним с ним умозаключения, которые повсеместно признаются непосредственными умозаключениями из гипотетического суждения, различие между двумя случаями становится очевидным. Из «Если P истинно, то Q истинно» я могу непосредственно вывести «Если Q не истинно, то P не истинно»; но мне также требуется знать, что «Q не истинно», чтобы иметь возможность вывести, что «P не истинно».

И независимо от того, может или не может смешанный гипотетический силлогизм быть фактически сведен к чистой категорической форме, его, по крайней мере, можно показать аналогичным обычному категорическому силлогизму, который признается случаем опосредованного рассуждения. Более того, существуют четкие формы — modus ponens и modus tollens, — которые аналогичны различным формам категорического силлогизма; и логические ошибки в смешанном гипотетическом силлогизме соответствуют определенным ошибкам в категорическом силлогизме.

Аргумент в пользу того, чтобы рассматривать modus tollens — «Если P истинно, то Q истинно, но Q не истинно, следовательно, P не истинно» — как опосредованное умозаключение, еще более убедителен; но, конечно, modus ponens и modus tollens либо принимаются, либо отвергаются вместе.

В разделе 316 будет далее показано, что гипотетический силлогизм и разделительный силлогизм также принимаются или отвергаются вместе.

Профессор Крум Робертсон (Mind, 1877, p. 264) предложил объяснение того, как могла возникнуть эта полемика. Он различает гипотетическое «если» и выводное «если», причем последнее эквивалентно «поскольку», «видя, что», «потому что». Несомненно, с помощью определенного акцентирования слово «если» может быть наделено этой силой. Профессор Робертсон цитирует отрывок из «Клариссы Гарлоу», в котором замечание «Если вы питаете к моей кузине те чувства, о которых говорите, вы должны считать ее достойной стать вашей женой» объясняется говорящим как означающее «Поскольку вы питаете и т. д.». Используя слово в этом смысле, заключение «C есть D» определенно следует непосредственно из простого утверждения «Если A есть B, то C есть D»; или, скорее, само это утверждение подтверждает заключение. Однако, когда слово «если» несет в себе этот выводной подтекст, мы не можем рассматривать суждение, в котором оно встречается, как чисто гипотетическое. Мы имеем скорее сжатый способ выражения, включающий два утверждения в одном; можно даже утверждать, что в единственном суждении, истолкованном таким образом, мы имеем гипотетический силлогизм, выраженный эллиптически.

Сравните Mansel’s Aldrich, p. 103.

  358

УПРАЖНЕНИЯ.

309. Покажите, как modus ponens может быть сведен к modus tollens. [K.]

310. Проверьте следующее: «Если бы все люди были способны к совершенству, некоторые достигли бы его; но так как никто этого не сделал, никто не способен к нему». [V.]

311. Технически проанализируйте следующий аргумент: — Если вам нужна пища, я дам вам денег; но так как вы не хотите работать, вы не можете нуждаться в пище; следовательно, я не дам вам денег. [J.]

312. Покажите, какое заключение можно вывести из посылок: Он всегда остается дома, когда идет дождь, но часто выходит, когда холодно. [J.]

313. Постройте условные и гипотетические силлогизмы в Cesare, Bocardo, Dimaris и сведите их к первой фигуре. [K.]

314. Назовите модус и фигуру следующего и покажите, что любая из них может быть сведена к другой форме:

(1) | If R is true, Q is true,
| If P is true, Q is not true,
therefore,  | If P is true, R is not true ;
(2) | If Y is true, Z is not true,
| If Y is true, X may be true,
therefore,  | If X is true, Z need not be true.

[K.]

315. Пусть X, Y, Z, P, Q, R — шесть суждений. Дано: (1) Если X истинно, P истинно; (2) Если Y истинно, Q истинно; (3) Если Z истинно, R истинно; (4) Из X, Y, Z по крайней мере одно истинно; (5) Из P, Q, R не более одного истинно; докажите силлогистически: (i) Если P истинно, X истинно; (ii) Если Q истинно, Y истинно; (iii) Если R истинно, Z истинно; (iv) Из P, Q, R по крайней мере одно истинно; (v) Из X, Y, Z не более одного истинно. [K.]

ГЛАВА VI.

РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ.

316. Разделительный силлогизм. — Разделительный (или альтернативный) силлогизм можно определить как формальное рассуждение, в котором категорическая посылка сочетается с разделительной (альтернативной) посылкой так, чтобы получить заключение, которое является либо категорическим, либо разделительным (альтернативным) с меньшим числом альтернатив, чем содержится в разделительной посылке.

Определение разделительного силлогизма архиепископом Томсоном — «Аргумент, в котором имеется разделительное суждение» (Laws of Thought, p. 197) — следует считать слишком широким, если, как это обычно бывает, утвердительное суждение с разделительным предикатом считается разделительным. Оно включало бы такой силлогизм, как следующий: «B есть либо C, либо D», «A есть B», следовательно, «A есть либо C, либо D». Аргумент здесь никоим образом не строится на альтернации, содержащейся в большей посылке, и рассуждение можно рассматривать как обычный категорический силлогизм в Barbara, где больший термин является сложным.

Логики, как правило, не давали особого признания аргументам, состоящим из двух разделительных посылок и разделительного заключения; и г-н Уэлтон доходит до того, что замечает: «обе посылки силлогизма не могут быть разделительными, поскольку из двух утверждений, столь неопределенных, как разделительные суждения, ничего нельзя вывести» (Logic, p. 327). Однако ясно, что это ошибочно, если возможен аргумент, состоящий из двух гипотетических посылок и гипотетического заключения, и если гипотетическое суждение можно свести к разделительной форме. В качестве примера мы можем выразить в разделительных суждениях гипотетический силлогизм, приведенный на стр. 348: «Либо Q не истинно, либо R истинно», «Либо P не истинно, либо Q истинно», следовательно, «Либо P не истинно, либо R истинно». Здесь вопросы модальности оставлены в стороне. Однако они ни в коем случае не повлияли бы существенно на аргумент.

Например,

| A is either B or C,
| A is not B,
therefore,  | A is C ;
| Either P or Q or R is true,
| P is not true,
therefore,  | Either Q or R is true.

Категорическая посылка в каждом из вышеуказанных силлогизмов отрицает один из альтернативных членов альтернативной посылки, а заключение утверждает оставшийся альтернативный член или члены. Рассуждения этого типа соответственно описываются как примеры modus tollendo ponens.

Из разрешения разделительных суждений в условные или гипотетические, приведенного в разделе 193, следует (если оставить в стороне вопросы модальности), что сила разделительного суждения как посылки в аргументе эквивалентна либо силе условного, либо силе гипотетического суждения.

Таким образом,

| Either A is B or C is D,
| A is not B,
therefore,  | C is D ;

может быть разрешено в форму

| If A is not B, C is D,
| A is not B,
therefore,  | C is D ;

или в форму

| If C is not D, A is B,
| A is not B,
therefore,  | C is D.

Следствием вышесказанного является то, что те, кто отрицает характер опосредованного рассуждения у смешанного гипотетического силлогизма, должны также отрицать его у разделительного силлогизма, либо же должны отказаться признать разрешение разделительного суждения в одно или несколько гипотетических.

В приведенном выше примере из формы большей посылки не совсем ясно, имеем ли мы дело с истинно гипотетическим или условным суждением. Но в следующих примерах, добавленных для иллюстрации различия, очевидно, что альтернативные суждения эквивалентны истинно гипотетическому и условному суждению соответственно:

| Either all A’s are B’s or all A’s are C’s,
| This A is not B,
therefore,  | All A’s are C’s ;
| All A’s are either B or C,
| This A is not B,
therefore,  | This A is C.³⁹⁰

Когда альтернативная большая посылка эквивалентна не истинно гипотетическому, а условному суждению (как во втором из вышеприведенных примеров), силлогизм может быть сведен к чистой категорической форме (если только категорическая и условная формы суждения каким-то образом не дифференцированы друг от друга). Таким образом,

| Every A which is not B is C,
| This A is an A which is not B,
therefore,  | This A is C.

317. Modus ponendo tollens. — В дополнение к modus tollendo ponens, некоторые логики признают в качестве правильного modus ponendo tollens, в котором категорическая посылка утверждает один из альтернативных членов разделительной посылки, а заключение отрицает другой альтернативный член или члены. Таким образом,

| A is either B or C,
| A is B,
therefore,  | A is not C.

Аргумент здесь исходит из предположения, что альтернативные члены являются взаимоисключающими; но это, согласно интерпретации альтернативных суждений, принятой в разделе 191, не обязательно так. Следовательно, признание или отрицание правильности modus ponendo tollens в его обычной форме зависит от нашей интерпретации альтернативной формы суждения.

Будет замечено, что при интерпретации альтернативных членов как не обязательно исключающих друг друга, modus ponendo tollens в вышеприведенной форме эквивалентен одной из логических ошибок в смешанном гипотетическом силлогизме, упомянутых в разделе 306.

Несомненно, исключительность часто подразумевается и понимается как подразумеваемая. Например: «Он был либо первым, либо вторым в гонке, он был вторым, следовательно, он не был первым». Это рассуждение обычно принимается как правильное. Но его правильность на самом деле зависит не от выраженной большей посылки, а от подразумеваемой посылки: «Никто не может быть одновременно первым и вторым в гонке». Следующее рассуждение фактически столь же правильно, как и приведенное выше: «Он был вторым в гонке, следовательно, он не был первым». Таким образом, альтернативная посылка совершенно несущественна для рассуждения; мы могли бы обойтись и без нее, ибо действительно жизненно важная посылка «Никто не может быть одновременно первым и вторым в гонке» истинна и была бы принята как таковая, совершенно независимо от истинности альтернативного суждения «Он был либо первым, либо вторым». В других случаях взаимная исключительность альтернативных членов может подразумеваться молчаливо, хотя и не очевидна a priori, как в приведенном выше примере. Но ни в коем случае нельзя признать особое значение такого рода, когда мы имеем дело с чисто символическими формами. Если мы утверждаем, что modus ponendo tollens в вышеуказанном виде формально правилен, мы должны быть готовы интерпретировать альтернативные члены как во всех случаях взаимоисключающие.

Если, однако, мы возьмем большую посылку, которая является разделительной не в обычном смысле (в котором разделительное эквивалентно альтернативному), а в более точном смысле, объясненном в разделе 189, тогда мы можем иметь формально правильное рассуждение, которое имеет полное право называться modus ponendo tollens. Таким образом,

| P and Q are not both true ;
| but P is true ;
therefore,  | Q is not true.³⁹²

Это в более строгом смысле разделительный силлогизм, тогда как modus tollendo ponens является альтернативным силлогизмом. Читатель, однако, должен быть осторожен и помнить, что последнее — это то, что обычно подразумевается под разделительным силлогизмом в учебниках по логике.

Следующая таблица ponendo ponens и т. д. в их правильных и неправильных формах может быть полезна:

| Valid | Invalid
Ponendo Ponens | If P then Q, but P, ∴ Q. | If P then Q, but Q, ∴ P.
Tollendo Tollens | If Q then P, but not P, ∴ not Q. | If Q then P, but not Q, ∴ not P.
Tollendo Ponens | Either P or Q, but not P, ∴ Q. | Not both P and Q, but not Q, ∴ P.
Ponendo Tollens | Not both P and Q, but P, ∴ not Q. | Either P or Q, but Q, ∴ not P.

Вышеуказанные правильные формы взаимно сводимы друг к другу, то же самое верно и для неправильных форм.

318. Дилемма. — Правильное место дилеммы среди гипотетических и разделительных аргументов определить трудно, поскольку разными логиками даются противоречивые определения. Следующее определение можно считать, пожалуй, в целом наиболее удовлетворительным: — Дилемма — это формальный аргумент, содержащий посылку, в которой конъюнктивно утверждаются два или более гипотетических суждения, и вторую посылку, в которой антецеденты этих гипотетических суждений альтернативно утверждаются или их консеквенты альтернативно отрицаются. Эти посылки обычно называются соответственно большей и меньшей.

В строгом использовании термина дилемма предполагает только два альтернативных члена в альтернативной посылке; если альтернативных членов больше двух, мы имеем трилемму, или тетралемму, или полилемму, в зависимости от обстоятельств.

Это применение терминов «большая» и «меньшая» несколько произвольно. Дилемматическая сила аргумента действительно становится более очевидной при изложении альтернативной посылки (т. е. так называемой меньшей посылки) первой.

Дилеммы называются конструктивными или деструктивными в зависимости от того, утверждает ли меньшая посылка альтернативно антецеденты или отрицает консеквенты большей посылки.

Можно выделить дальнейшую форму аргумента, в которой альтернация, содержащаяся в так называемой меньшей посылке, утверждается лишь гипотетически, и в которой, следовательно, заключение также является гипотетическим. Например,

| If A is B, E is F ; and if C is D, E is F ;
| If X is Y, either A is B or C is D ;
therefore,  | If X is Y, E is F.

Это можно было бы назвать гипотетической дилеммой. Она допускает разновидности, соответствующие разновидностям обычной дилеммы; но детальное ее рассмотрение не представляется необходимым.

Поскольку отличительной характеристикой дилеммы является то, что меньшая посылка должна быть альтернативной, из этого следует, что гипотетические суждения, в которые может быть разрешена большая посылка конструктивной дилеммы, должны содержать по крайней мере два различных антецедента. Они могут, однако, иметь общий консеквент. Заключение дилеммы будет тогда категорически утверждать этот консеквент и будет соответствовать ему по форме. Сама дилемма в этом случае называется простой. Если, с другой стороны, большая посылка содержит более одного консеквента, заключение будет обязательно альтернативным, и дилемма называется сложной.

Обычно это будет простое категорическое суждение; но см. следующее примечание.

Аналогично, в деструктивной дилемме гипотетические суждения, в которые может быть разрешена большая посылка, должны иметь более одного консеквента, но они могут иметь или не иметь общий антецедент; и дилемма будет соответственно простой или сложной.

Мы имеем тогда четыре формы дилеммы, как следует: (i) Простая конструктивная дилемма.

Если A есть B, то E есть F; и если C есть D, то E есть F; но либо A есть B, либо C есть D; следовательно, E есть F.

(ii) Сложная конструктивная дилемма.

Если A есть B, то E есть F; и если C есть D, то G есть H; но либо A есть B, либо C есть D; следовательно, либо E есть F, либо G есть H.

(iii) Простая деструктивная дилемма.

Если A есть B, то C есть D; и если A есть B, то E есть F; но либо C не есть D, либо E не есть F; следовательно, A не есть B.

(iv) Сложная деструктивная дилемма.

Если A есть B, то E есть F; и если C есть D, то G есть H; но либо E не есть F, либо G не есть H; следовательно, либо A не есть B, либо C не есть D.

Нижеследующее является простой, а не сложной конструктивной дилеммой:

Если A есть B, то E есть F или G есть H; и если C есть D, то E есть F или G есть H; но либо A есть B, либо C есть D; следовательно, либо E есть F, либо G есть H.

Гипотетические суждения, которые здесь составляют большую посылку, имеют общий консеквент; но поскольку он сам является альтернативным, заключение появляется в альтернативной форме. Этот случай аналогичен следующему: «Всякое M есть P или Q», «Всякое S есть M», следовательно, «Всякое S есть P или Q», — где заключение по существу категорического силлогизма также появляется в альтернативной форме. Сравните примечание на стр. 359.

Нижеследующее является простой, а не сложной деструктивной дилеммой:

Если и P, и Q истинны, то X истинно, и при той же гипотезе Y истинно; но либо X, либо Y не истинно; следовательно, либо P, либо Q не истинно.

В случае дилемм, как и в случае смешанных гипотетических силлогизмов, конструктивная форма может быть сведена к деструктивной форме и vice versa. Все, что нужно сделать, это контрапозировать гипотетические суждения, которые составляют большую посылку. Одного примера будет достаточно. Взяв простую конструктивную дилемму, приведенную выше, и контрапозировав большую посылку, мы имеем: —

Если E не есть F, то A не есть B; и если E не есть F, то C не есть D; но либо A есть B, либо C есть D; следовательно, E есть F;

и это дилемма в простой деструктивной форме.

Приведенное выше определение дилеммы практически идентично тому, которое дает Фаулер (Deductive Logic, p. 116). Мансел (Aldrich, p. 108) определяет дилемму как «силлогизм, имеющий условную (гипотетическую) большую посылку с более чем одним антецедентом и разделительную меньшую». Эквивалентные определения даны Уэйтли и Джевонсом. Согласно этому взгляду, в то время как конструктивная дилемма может быть либо простой, либо сложной, деструктивная дилемма всегда должна быть сложной, поскольку в соответствующей простой форме (как в примере, приведенном на стр. 364) в большей посылке есть только один антецедент. Это исключение кажется произвольным и является основанием для отвержения рассматриваемого определения. Уэйтли, действительно, считает, что название «дилемма» обязательно подразумевает два антецедента; но его скорее следует рассматривать как подразумевающее две альтернативы, при выборе любой из которых следует заключение, которое является неприемлемым. Уэйтли далее утверждает, что исключенная форма является просто деструктивным гипотетическим силлогизмом, подобным следующему:

| If A is B, C is D ;
| C is not D ;
therefore,  | A is not B.

Но эти два действительно различаются в точности так, как простая конструктивная дилемма, приведенная на стр. 364, отличается от конструктивного гипотетического силлогизма: —

| If A is B, E is F ;
| A is B ;
therefore,  | E is F.

Кроме того, ясно, что рассматриваемая форма — это не просто деструктивный гипотетический силлогизм, подобный тем, что уже обсуждались, поскольку посылка, которая сочетается с гипотетической посылкой, является не категорической, а альтернативной.

Иногда дается следующее определение: — «Дилемма (или трилемма, или полилемма) — это аргумент, в котором допускается выбор между двумя (или тремя, или более) альтернативами, но показывается, что какая бы альтернатива ни была выбрана, следует одно и то же заключение». Это определение, которое, несомненно, придает смысл выражению «рога дилеммы», включает простую конструктивную дилемму и простую деструктивную дилемму; но оно не допускает, что любая из сложных дилемм правильно так называется, поскольку в каждом случае мы остаемся с тем же числом альтернативных членов в заключении, что и в альтернативной посылке. С другой стороны, оно охватывает формы, которые исключены обоими предыдущими определениями; например, следующее рассуждение — которое скорее следовало бы классифицировать просто как деструктивный гипотетико-категорический силлогизм —

| If A is, either B or C is ;
| but Neither B nor C is ;
therefore,  | A is not.³⁹⁹

Сравните Ueberweg, Logic, § 123.

Джевонс (Elements of Logic, p. 168) отмечает, что «дилемматические аргументы чаще бывают ошибочными, чем нет, потому что редко удается найти примеры, где две альтернативы исчерпывают все возможные случаи, если только одна из них не является простым отрицанием другой». Другими словами, многие дилемматические аргументы содержат посылку, включающую ошибку неполной альтернации. Следует, однако, заметить, что в строгом смысле аргумент сам по себе не должен называться ошибочным только потому, что он содержит ложную посылку.

УПРАЖНЕНИЯ.

319. Что можно вывести из посылок: «Либо A есть B, либо C есть D», «Либо C не есть D, либо E есть F»? Представьте рассуждение (a) в форме гипотетического силлогизма, (b) в форме дилеммы. [K.]

320. Сведите следующий аргумент, состоящий из трех разделительных суждений, к форме обычного категорического силлогизма: «Все есть либо M, либо P», «Все есть либо не S, либо не M», следовательно, «Все есть либо P, либо не S». [K.]

321. Обсудите логическую убедительность фаталистического рассуждения вроде этого: — Если мне суждено утонуть сейчас, нет смысла бороться; если нет, то в этом нет нужды. Но либо мне суждено утонуть сейчас, либо нет; так что мне либо бесполезно, либо нет нужды бороться против этого. [B.]

ГЛАВА VII.

НЕПРАВИЛЬНЫЕ И СЛОЖНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ.

322. Энтимема. — Под энтимемой Аристотель понимал то, что называлось «риторическим силлогизмом» в противоположность аподиктическому, демонстративному, теоретическому силлогизму. Следующее взято из примечаний Мансела к Aldrich (стр. 209–211): «Энтимема определяется Аристотелем как συλλογισμὸς ἐξ εἰκότων ἤ σημείων. Сами εἰκός и σημείων являются суждениями; первые выражают общую вероятность, вторые — факт, который известен как указание, более или менее достоверное, на истинность какого-либо дальнейшего утверждения, будь то единичный факт или общее убеждение. Первое — это суждение почти, хотя и не совсем, универсальное; как “Большинство людей, которые завидуют, ненавидят”: второе — это единичное суждение, которое, однако, не рассматривается как знак, за исключением отношения к какому-либо другому суждению, которое, как предполагается, может быть выведено из него. εἰκός, при использовании в энтимеме, образует большую посылку силлогизма, подобного следующему:

| Most men who envy hate,
| This man envies,
therefore,  | This man (probably) hates.

«Рассуждение логически ошибочно; ибо, поскольку большая посылка не является абсолютно универсальной, средний термин не распределен.

«σημεῖων образует одну посылку силлогизма, который может быть в любой из трех фигур, как в следующих примерах:

Figure 1.  | All ambitious men are liberal,
| Pittacus is ambitious,
therefore,  | Pittacus is liberal. 368
Figure 2.  | All ambitions men are liberal,
| Pittacus is liberal,
therefore,  | Pittacus is ambitious.
Figure 3.  | Pittacus is liberal,
| Pittacus is ambitious,
therefore,  | All ambitious men are liberal.

«Силлогизм только в первой фигуре логически правилен. Во второй имеется нераспределенный средний термин; в третьей — незаконный процесс меньшего термина».

400. По этому предмету студента можно отослать к остальной части примечания, из которого взят вышеприведенный отрывок, и к Hamilton, Discussions, стр. 152–156. Сравните также Karslake, Aids to the Study of Logic, Книга II.

Энтимема в настоящее время обычно определяется как неполно изложенный силлогизм, в котором одна из посылок или заключение подразумеваются, но не выражены. Аргументы повседневной жизни в значительной степени энтимематичны в этом смысле; то же самое можно сказать и об ошибочных аргументах, которые редко излагаются полностью, иначе их недостаточная убедительность была бы распознана быстрее.

401. Это описание энтимемы, по-видимому, первоначально основывалось на ошибочной идее, что название означает удержание одной посылки в уме, ἐν θυμῷ. Так, в «Логике Пор-Рояля» энтимема описывается как «силлогизм, совершенный в уме, но несовершенный в выражении, поскольку какое-либо из суждений опущено как слишком ясное и слишком хорошо известное, и как легко восполняемое умом тех, к кому мы обращаемся» (стр. 229). Что касается истинного происхождения названия «энтимема», см. Mansel’s Aldrich, стр. 218.

Энтимема называется энтимемой первого порядка, когда опущена большая посылка; второго порядка, когда опущена меньшая посылка; и третьего порядка, когда опущено заключение.

Таким образом, «Бальбус алчен, а следовательно, он несчастен» — это энтимема первого порядка; «Все алчные люди несчастны, а следовательно, Бальбус несчастен» — это энтимема второго порядка; «Все алчные люди несчастны, и Бальбус алчен» — это энтимема третьего порядка.

323. Полисиллогизм и эпихейрема. — Цепь силлогизмов, то есть ряд силлогизмов, связанных друг с другом так, что заключение одного становится посылкой другого, называется полисиллогизмом. В полисиллогизме любой отдельный силлогизм, заключение которого становится посылкой последующего, называется просиллогизмом; любой отдельный силлогизм, одной из посылок которого является заключение предыдущего силлогизма, называется эписиллогизмом. Таким образом, —

| All C is B, | ⎫ |  |
| All B is C, | ⎬ |  |  prosyllogism,
therefore,  | All B is D, | ⎭ | ⎫ |
but  | All A is B, |  | ⎬ |  episyllogism.
therefore,  | All A is D, |  | ⎭ |

Один и тот же силлогизм может, конечно, быть и эписиллогизмом, и просиллогизмом, как это было бы в случае с вышеуказанным эписиллогизмом, если бы цепь была продолжена дальше.

Цепь рассуждений называется прогрессивной (или синтетической, или эписиллогистической), когда движение идет от просиллогизма к эписиллогизму. Здесь сначала даются посылки, и мы переходим последовательными шагами умозаключения к конечному заключению, которое они дают. Цепь рассуждений, с другой стороны, называется регрессивной (или аналитической, или просиллогистической), когда движение идет от эписиллогизма к просиллогизму. Здесь сначала дается конечное заключение, и мы возвращаемся последовательными шагами доказательства к посылкам, на которых оно может основываться.

402. Различие, которое следует, обычно применяется только к цепям рассуждений; но читатель заметит, что оно допускает применение и к случаю простого силлогизма.

403. О различии между прогрессивными и регрессивными аргументами см. Ueberweg, Logic, § 124.

Эпихейрема — это полисиллогизм с одним или несколькими просиллогизмами, лишь кратко обозначенными. То есть один или несколько силлогизмов, из которых состоит полисиллогизм, являются энтимематическими. Следующее является примером:

| All B is D, because it is C,
| All A is B,
therefore,  | All A is D.⁴⁰⁴

404. Было проведено различие между простой и двойной эпихейремой в зависимости от того, приводятся ли основания энтимематически в поддержку одной или обеих посылок конечного силлогизма. Пример, приведенный в тексте, является простой эпихейремой; следующее — пример двойной эпихейремы:

| All P is Y, because it is X ;
| All S is P, because all M is P ;
therefore,  | All S is Y.

Эпихейрема иногда определяется так, как если бы она была по существу регрессивной цепью рассуждений. Но это вряд ли верно, если, как это обычно бывает, приводятся примеры, подобные вышеприведенным; ибо ясно, что в этих примерах аргумент является лишь частично регрессивным.

324. Сорит. — Сорит — это полисиллогизм, в котором все заключения опущены, кроме последнего, причем посылки даны в таком порядке, что любые два последовательных суждения содержат общий термин. Обычно признаются две формы сорита, а именно так называемый аристотелевский сорит и гоклениевский сорит. В первом посылка, изложенная первой, содержит субъект заключения, в то время как термин, общий для любых двух последовательных посылок, встречается сначала как предикат, а затем как субъект; во втором посылка, изложенная первой, содержит предикат заключения, в то время как термин, общий для любых двух последовательных посылок, встречается сначала как субъект, а затем как предикат. Ниже приведены примеры:

Aristotelian Sorites,— | All A is B,
| All B is C,
| All C is D,
| All D is E,
therefore,  | All A is E.
Goclenian Sorites,— | All D is E,
| All C is D,
| All B is C,
| All A is B,
therefore,  | All A is E.

Будет обнаружено, что в случае аристотелевского сорита, если аргумент развернут полностью, первая посылка и опущенные заключения появляются как меньшие посылки в последовательных силлогизмах. Таким образом, аристотелевский сорит, приведенный выше, может быть проанализирован на три следующих силлогизма: —

(1)   |  | All B is C,
|  | All A is B,
| therefore,  | All A is C ;
(2)   |  | All C is D,
|  | All A is C,
| therefore,  | All A is D ; 371
(3)   |  | All D is E,
|  | All A is D,
| therefore,  | All A is E.

Здесь посылка, первоначально изложенная первой, является меньшей посылкой (1), заключение (1) является меньшей посылкой (2), заключение (2) — меньшей посылкой (3); и так далее, если бы число суждений, составляющих сорит, было увеличено.

В гоклениевском сорите посылки те же, но их порядок обратный, и результатом этого является то, что посылка, первоначально изложенная первой, и опущенные заключения становятся большими посылками в последовательных силлогизмах. Таким образом, гоклениевский сорит, приведенный выше, может быть проанализирован на три следующих силлогизма: —

(1)   |  | All D is E,
|  | All C is D,
| therefore,  | All C is E ;
(2)   |  | All C is E,
|  | All B is C,
| therefore,  | All B is E ;
(3)   |  | All B is E,
|  | All A is B,
| therefore,  | All A is E.

Здесь посылка, первоначально изложенная первой, является большей посылкой (1), заключение (1) является большей посылкой (2); и так далее.

Так называемый аристотелевский сорит — это тот, которому обычно придается большее значение; но будет замечено, что порядок посылок в гоклениевской форме соответствует обычному порядку посылок в простом силлогизме.

405. Эта форма сорита не должна правильно называться аристотелевской; но она обычно так описывается в учебниках по логике. Название «сорит» не встречается ни в одном логическом трактате Аристотеля, хотя в одном месте он смутно ссылается на форму рассуждения, для выражения которой теперь используется это название. Четкое изложение этой формы рассуждения приписывается стоикам, и она обозначается как сорит Цицероном; но лишь значительно позже это название вошло в общее употребление среди логиков в этом смысле. Форма сорита, называемая гоклениевской, была впервые дана профессором Рудольфом Гоклениусом из Марбурга (1547–1628) в его Isagoge in Organum Aristotelis, 1598. Сравните Hamilton, Logic, I. p. 375; и Ueberweg, Logic, § 125. Можно добавить, что термин «сорит» (который происходит от σωρὸς, куча) использовался древними авторами в другом смысле, а именно для обозначения особого софизма, основанного на трудности, которая иногда встречается при назначении точного предела понятию. «Спрашивалось: был ли лысым человек, у которого было столько-то тысяч волос; вы отвечаете: нет: антагонист продолжает уменьшать и уменьшать число, пока вы либо не признаете, что тот, кто не был лысым с определенным числом волос, становится лысым, когда это количество уменьшается на один волос; либо вы продолжаете отрицать, что он лысый, пока его голова гипотетически не обнажится». Подобная головоломка содержится в вопросе: «В какой день ягненок становится овцой?». Сорит в этом смысле также называется sophisma polyzeteseos или ошибкой непрерывного вопрошания. См. Hamilton, Logic, i. p. 464.

406. Иногда совершается ошибка, когда говорят о гоклениевском сорите как о регрессивной форме аргумента. Однако ясно, что в обеих формах сорита мы непрерывно переходим от посылок к заключениям, а не от заключений к посылкам.

Сорит может, конечно, состоять из условных или гипотетических суждений; и совсем не необычно встретить суждения этих видов, объединенные таким образом. Теоретически сорит мог бы также состоять из альтернативных суждений; но маловероятно, чтобы эта комбинация когда-либо возникла естественным образом.

325. Специальные правила сорита. — Следующие специальные правила могут быть даны для обычного аристотелевского сорита, как определено в предыдущем разделе: — (1) Только одна посылка может быть отрицательной; и если одна отрицательная, она должна быть последней. (2) Только одна посылка может быть частной; и если одна частная, она должна быть первой.

Любой аристотелевский сорит может быть представлен в скелетной форме, при этом количество и качество посылок остаются неопределенными, следующим образом: —

S | M₁
M₁, | M₂
M₂, | M₃
……… | ………
……… | ………
Mn₋₂, | Mn₋₁
Mn₋₁, | Mn
Mn, | P
⎯⎯⎯ | ⎯⎯⎯
S | P

(1) Не может быть более одной отрицательной посылки, ибо если бы она была — поскольку отрицательная посылка в любом силлогизме делает необходимым отрицательное заключение — мы бы при анализе сорита где-то наткнулись на силлогизм, содержащий две отрицательные посылки.

Далее, если одна посылка отрицательная, конечное заключение должно быть отрицательным. Следовательно, P должно быть распределено в конечном заключении. Поэтому оно должно быть распределено в своей посылке, т. е. в последней посылке, которая, соответственно, должна быть отрицательной. Если какая-либо посылка и является отрицательной, то это именно она.

(2) Поскольку было показано, что все посылки, кроме последней, должны быть утвердительными, ясно, что если бы какая-либо, кроме первой, была частной, мы бы где-то совершили ошибку нераспределенного среднего термина.

Специальные правила гоклениевского сорита, как определено в предыдущем разделе, могут быть получены путем перестановки «первой» и «последней» в вышеприведенном.

326. Возможность сорита в фигуре, отличной от первой. — Было замечено, что в нашем анализе как аристотелевского, так и гоклениевского сорита все результирующие силлогизмы находятся в первой фигуре. Такие сориты, соответственно, можно назвать самими находящимися в первой фигуре. Возникает вопрос, возможен ли сорит в какой-либо другой фигуре.

Обычный ответ на этот вопрос заключается в том, что первый или последний силлогизм сорита может быть во второй или третьей фигуре (например, во второй фигуре мы можем иметь «A есть B», «B есть C», «C есть D», «D есть E», «F не есть E», следовательно, «A не есть F»), но что невозможно, чтобы все шаги были в любой из этих фигур. «Каждый, — говорит Милль, — кто понимает законы второй и третьей фигур (или даже общие законы силлогизма), может видеть, что в сорите допустим не более чем один шаг в любой из них, и что это должен быть либо первый, либо последний шаг» (Examination of Hamilton, стр. 514, 5).

407. Сэр Уильям Гамильтон действительно претендует на то, чтобы привести сориты во второй и третьей фигурах, которые, по его словам, были упущены другими логиками (Logic, II. p. 403). Однако оказывается, что под соритом во второй фигуре он подразумевает такое рассуждение: — «Ни одно B не есть A», «Ни одно C не есть A», «Ни одно D не есть A», «Ни одно E не есть A», «Всякое F есть A», следовательно, «Ни одно B, или C, или D, или E не есть F»; а под соритом в третьей фигуре — такое: — «A есть B», «A есть C», «A есть D», «A есть E», «A есть F», следовательно, «Некоторые B, и C, и D, и E есть F». Он сам не приводит эти примеры; но то, что они того рода, который он имеет в виду, можно вывести из его не очень ясного утверждения: «Во второй и третьей фигурах, при отсутствии субординации терминов, единственно возможный сорит — это сорит путем повторения одного и того же среднего термина. В первой фигуре для каждого нового продвижения сорита есть новый средний термин; во второй и третьей — только один средний термин для любого числа крайних. В первой фигуре силлогизм только между каждым вторым термином сорита, промежуточный термин составляет средний термин. В других — каждые два суждения с общим средним термином образуют силлогизм». Но ясно, что в принятом смысле термина это вовсе не сориты. В каждом случае заключение — это просто суммирование заключений ряда силлогизмов, имеющих общую посылку; ни в одном случае нет цепного аргумента. Собственное определение сорита Гамильтона, запутанное, как оно есть, могло бы спасти его от этой ошибки. Он дает такое определение: «Когда, на общем принципе всякого рассуждения — что часть части есть часть целого, — мы не останавливаемся на второй градации или на части высшей части и не заключаем, что это часть целого, а переходим к какой-то бесконечно более отдаленной части, как D, E, F, G, H и т. д., которую, на общем принципе, мы соединяем в заключении с ее самым отдаленным целым, — это сложное рассуждение называется цепным силлогизмом или соритом» (Logic, I. p. 366). В связи с трактовкой Гамильтоном этого вопроса Милль очень справедливо замечает: «Если бы сэр У. Гамильтон нашел у какого-либо другого автора такое злоупотребление логическим языком, в котором он здесь виновен, он бы прямо обвинил его в полном невежестве в логических авторах» (Examination of Hamilton, p. 515).

Эта трактовка вопроса, однако, кажется открытой для опровержения простым методом построения примеров. Возьмем, например, следующий сорит: —

(i)   |  | Some S is not M₁,
|  | All M₂ is M₁,
|  | All M₃ is M₂,
|  | All M₄ is M₃,
|  | All P is M₄,
| therefore,  | Some S is not P.
(ii)   |  | Some M₄ is not P,
|  | All M₄ is M₃,
|  | All M₃ is M₂,
|  | All M₂ is M₁,
|  | All M₁ is S,
| therefore,  | Some S is not P.

Анализируя первый из вышеприведенных и вставляя опущенные заключения в квадратные скобки, мы имеем —

| Some S is not M₁,
| All M₂ is M₁,
[therefore,  | Some S is not M₂,]
| All M₃ is M₂,
[therefore,  | Some S is not M₃,]
| All M₄ is M₃,
[therefore,  | Some S is not M₄,]
| All P is M₄,
therefore,  | Some S is not P.

Это единственное возможное разрешение сорита, если только порядок посылок не переставлен, и будет видно, что все результирующие силлогизмы находятся во второй фигуре и в модусе Baroco. Сорит, соответственно, можно назвать находящимся в том же модусе и фигуре. Он аналогичен аристотелевскому сориту, субъект заключения появляется в посылке, изложенной первой, а опущенные посылки являются меньшими посылками в своих соответствующих силлогизмах.

Соответствующий анализ (ii) дает следующее:—

| Some M₄ is not P,
| All M₄ is M₃,
[therefore,  | Some M₃ is not P,]
| All M₃ is M₂,
[therefore,  | Some M₂ is not P,]
| All M₂ is M₁,
[therefore,  | Some M₁ is not P,]
| All M₁ is S,
therefore,  | Some S is not P.

Все эти силлогизмы относятся к третьей фигуре и модусу Bocardo; сам сорит также можно считать относящимся к этому же модусу и фигуре. Он аналогичен сориту Гокления: предикат заключения появляется в первой из приведенных посылок, а опущенные посылки являются большими посылками в соответствующих силлогизмах.

Следует заметить, что правила, приведенные в предыдущем разделе, не соблюдены ни в одном из вышеуказанных соритов, поскольку данные правила соответствуют специальным правилам первой фигуры и не применимы, если сорит не относится к этой фигуре. Для соритов, возможных во второй, третьей и четвертой фигурах, можно было бы сформулировать другие правила, соответствующие специальным правилам этих фигур в случае простого силлогизма.

Не утверждается, что сориты в фигурах, отличных от первой, часто встречаются в обычном употреблении, однако их построение представляет определенный теоретический интерес.

Примеры, приведенные в тексте, были намеренно выбраны так, чтобы допускать только один вариант анализа, что не было характерно для примеров из первых двух изданий этой работы. Тем не менее исходные примеры были вполне корректными, и пролить дополнительный свет на общий вопрос может краткий ответ на некоторые критические замечания, высказанные в их адрес. Для второй фигуры был приведен следующий пример (опущенные заключения заключены в квадратные скобки), который был назван аналогичным аристотелевскому сориту:—

| All A is B,
| No C is B,
[therefore,  | No A is C],
| All D is C,
[therefore,  | No A is D],
| All E is D,
therefore,  | No A is E.

Прежде всего, было высказано возражение, что приведенная выше форма является гоклениевской, а не аристотелевской, поскольку «субъект каждой посылки после первой является предикатом последующей». Это упускает из виду более фундаментальную характеристику аристотелевского сорита: первая посылка и опущенные заключения являются меньшими посылками в соответствующих силлогизмах. Далее было высказано возражение, что вместо приведенного выше анализа можно использовать следующий:— AaB, CeB, [∴ CeA,] DaC, [∴ DeA], EaD, ∴ AeE. Безусловно, такой анализ возможен, но возражение против него заключается в его неоднородном характере. Первая посылка и первое опущенное заключение являются большими посылками, тогда как последнее опущенное заключение — меньшая посылка. Кроме того, первый силлогизм относится ко второй фигуре, второй — к первой, а третий — к четвертой. Следует признать, что то, что выше было названо неоднородным анализом, в некоторых случаях является единственно возможным, но лучше, где это возможно, использовать более однородный подход. Если первая посылка сорита содержит субъект, а последняя — предикат заключения, то последняя посылка неизбежно является большей посылкой финального силлогизма; отсюда можно вывести правило, что мы можем построить такой сорит однородно, только рассматривая первую посылку и все опущенные заключения как меньшие посылки, а все остальные посылки — как большие посылки в соответствующих силлогизмах. Соответствующее правило можно сформулировать, если первая посылка содержит предикат, а последняя — субъект заключения.

Можно обнаружить, что сорит в четвертой фигуре не может иметь более ограниченного числа посылок. Этот вопрос поднимается в разделе 335.

327. Ультратотальное распределение среднего термина. — Обычное силлогистическое правило, касающееся распределения среднего термина, не предполагает признания иных знаков количества, кроме «все» и «некоторые»; если же признаются другие знаки, правило должно быть изменено. Например, допущение знака «большинство» дает следующее корректное рассуждение, хотя средний термин не распределен ни в одной из посылок:—

| Most M is P,
| Most M is S,
therefore,  | Some S is P.

Интерпретируя «большинство» в значении «более половины», из вышеприведенных посылок ясно следует, что должно существовать некое M, которое является и S, и P. Однако мы не можем сказать, что в какой-либо из посылок термин M распределен.

Чтобы охватить подобные случаи, Гамильтон (Logic, II, стр. 362) предлагает следующую модификацию правила, касающегося распределения среднего термина: «Квантификации среднего термина, взятые вместе, будь то в качестве субъекта или предиката, должны превышать количество этого термина, взятого во всем его объеме»; иными словами, мы должны иметь ультратотальное распределение среднего термина в двух посылках, взятых вместе.

Де Морган (Formal Logic, стр. 127) пишет следующее: «Говорят, что в каждом силлогизме средний термин должен быть универсальным в одной из посылок, чтобы мы могли быть уверены, что утверждение или отрицание в другой посылке может быть сделано относительно некоторых или всех вещей, о которых было сделано утверждение или отрицание в первой. Этот закон, как мы увидим, является лишь частным случаем истины: достаточно, чтобы две посылки вместе утверждали или отрицали нечто относительно более чем всех экземпляров среднего термина. Если есть сто ящиков, в которые нужно положить сто один предмет двух разных видов, не более одного предмета каждого вида в любой ящик, то в какой-то один ящик, если не больше, будут положены два предмета, по одному каждого вида. Согласно общепринятому учению, предмет одного конкретного вида должен быть положен в каждый ящик, а затем один или несколько предметов другого вида — в один или несколько ящиков, прежде чем можно будет утверждать, что один или несколько предметов разных видов находятся вместе». Сам Де Морган подробно разрабатывает этот вопрос в своем рассмотрении численно определенного силлогизма (Formal Logic, стр. 141–170). В качестве примера численно определенного рассуждения можно привести следующее: если 70 процентов M являются P, а 60 процентов являются S, то по крайней мере 30 процентов являются и S, и P. Аргумент можно представить следующим образом: в среднем из 100 M 70 являются P, а 60 являются S; предположим, что 30 M, которые не являются P, являются S, все равно 30 S можно найти в оставшихся 70 M, которые являются P; это и есть искомое заключение. Проблемы такого рода составляют пограничную область между формальной логикой и алгеброй. Некоторые дополнительные примеры будут приведены в главе 8 (раздел 345).

409. Используя другие буквы, это пример, приведенный Миллем (Logic, ii. 2, § 1, примечание) и процитированный Гербертом Спенсером (Principles of Psychology, II, стр. 88). Более общая проблема, частным случаем которой является вышеприведенная, заключается в следующем: дано, что существует n M, и что a M являются S, в то время как b M являются P; определить, каково наименьшее число S, которые также являются P. Ясно, что у нас нет никакого заключения, если a + b > n, т.е. если нет ультратотального распределения среднего термина. Если это условие выполнено, то, предполагая, что (n − b) M, которые являются не-P, все находятся среди MS, останутся некоторые MS, которые являются P, а именно a − (n − b). Следовательно, наименьшее число S, которые также являются P, должно быть a + b − n.

328. Квантификация предиката и силлогизм. — Будет удобно кратко рассмотреть в этой главе применение доктрины квантификации предиката к силлогизму; результат далек от упрощения. Наиболее важные моменты, которые возникают, могут быть выявлены путем рассмотрения корректности следующих силлогизмов: в первой фигуре — UUU, IUη, AYI; во второй фигуре — ηUO, AUA; в третьей фигуре — YAI. В следующем разделе мы будем действовать более систематично, не принимая во внимание U и ω.

410. В связи со своей доктриной квантификации предиката Гамильтон различает фигурный силлогизм и нефигурный силлогизм. В фигурном силлогизме различие между субъектом и предикатом сохраняется, как в тексте. Однако при строгой квантификации предиката от различия между субъектом и предикатом можно отказаться; в таком случае не остается оснований для различения фигур (которое зависит от положения среднего термина как субъекта или предиката в посылках). Это дает то, что Гамильтон называет нефигурным силлогизмом. Например: «Любая застенчивость и любое похвальное не эквивалентны, всякая скромность и некоторое похвальное эквивалентны, следовательно, любая застенчивость и всякая скромность не эквивалентны»; «Все киты и некоторые млекопитающие равны, все киты и некоторые водные животные равны, следовательно, некоторые млекопитающие и некоторые водные животные равны». Отдельный канон для нефигурного силлогизма дан Гамильтоном следующим образом: «Поскольку два понятия либо оба согласуются, либо одно согласуется, а другое нет, с общим третьим понятием, постольку эти понятия согласуются или не согласуются друг с другом».

(1) UUU в первой фигуре корректен:—

| All M is all P,
| All S is all M,
therefore,  | All S is all P.

Следует заметить, что всякий раз, когда одна из посылок является U, заключение может быть получено путем подстановки S или P (в зависимости от случая) вместо M в другой посылке.

Без использования квантифицированных предикатов вышеприведенное рассуждение можно выразить с помощью двух следующих силлогизмов:

| All M is P, |  | All M is S,
| All S is M, |  | All P is M,
therefore,  | All S is P ; | therefore,  | All P is S.

(2) IUη в первой фигуре некорректен, если «некоторые» используется в своем обычном логическом смысле. Посылки: «Некоторое M есть некоторое P» и «Всякое S есть всякое M». Мы можем, следовательно, получить законное заключение, подставив S вместо M в большую посылку. Это дает «Некоторое S есть некоторое P».

Если, однако, «некоторые» здесь используется в значении «некоторые только», то из «Некоторое S есть некоторое P» следует «Никакое S не есть некоторое P», и исходный силлогизм является корректным, хотя отрицательное заключение получено из двух утвердительных посылок.

Этот силлогизм приводится как корректный Томсоном (Laws of Thought, § 103); но, по-видимому, только из-за опечатки вместо IEη. В своей схеме корректных силлогизмов (тридцать шесть в каждой фигуре) Томсон, по-видимому, последовательно интерпретирует «некоторые» в его обычном логическом смысле. Используя это слово в значении «некоторые только», можно было бы признать корректными несколько других силлогизмов, которые он таковыми не считает.

411. Сравните раздел 144.

(3) AYI в первой фигуре, при использовании «некоторые» в его обычном логическом смысле, эквивалентен AAI в третьей фигуре в обычной силлогистической схеме и является корректным. Но он некорректен, если «некоторые» используется в значении «некоторые только», поскольку заключение теперь подразумевает, что S и P частично исключают друг друга, а также частично совпадают, тогда как это не подразумевается посылками. При таком использовании «некоторые» правильное заключение можно выразить только путем указания альтернативы между SuP, SaP, SyP и SiP. Этот случай может послужить иллюстрацией сложностей, в которые мы были бы вовлечены, если бы попытались последовательно использовать «некоторые» в значении «некоторые только».

412. Сравните Monck, Logic, стр. 154.

(4) ηUO во второй фигуре корректен:—

| No P is some M,
| All S is all M,
therefore,  | Some S is not any P.

Без использования квантифицированных предикатов мы можем получить то же заключение в Bocardo, таким образом:—

| Some M is not P,
| All M is S,
therefore,  | Some S is not P.

Следует заметить, что и (3), и (4) являются усиленными силлогизмами.

(5) AUA во второй фигуре выглядит следующим образом:—

| All P is some M,
| All S is all M,
therefore,  | All S is some P.

Здесь у нас нет ни нераспределенного среднего термина, ни незаконного процесса большей или меньшей посылки, ни нарушено какое-либо правило качества, и все же силлогизм некорректен. Применяя приведенное выше правило, что «всякий раз, когда одна из посылок является U, заключение может быть получено путем подстановки S или P (в зависимости от случая) вместо M в другой посылке», мы обнаруживаем, что корректным заключением является «Некоторое S есть всякое P». Более общо, из этого правила подстановки следует, что если одна посылка является U, в то время как в другой посылке средний термин не распределен, то термин, объединенный со средним термином в посылке U, должен быть нераспределенным в заключении. Это представляется единственным дополнительным силлогистическим правилом, необходимым, если мы признаем U-пропозиции в силлогистических рассуждениях.

413. Мы имели бы соответствующий случай, если бы вывели «Никакое S не есть P» из посылок, данных в предыдущем примере.

Всякая опасность ошибки избегается путем разбиения U-пропозиции на две A-пропозиции. В рассматриваемом нами случае имеем:— «Всякое P есть M», «Всякое M есть S»; «Всякое P есть M», «Всякое S есть M». Из первой пары посылок мы получаем заключение «Всякое P есть S»; во второй паре средний термин не распределен, и поэтому никакого заключения вообще не получается.

(6) YAI в третьей фигуре корректен:—

| Some M is all P,
| All M is some S,
therefore,  | Some S is some P.

Заключение, однако, ослаблено, поскольку из данных посылок мы могли бы вывести «Некоторое S есть всякое P». Следует заметить, что когда мы квантифицируем предикат, заключение силлогизма может быть ослаблено как в отношении его предиката, так и в отношении его субъекта. В обычном учении о силлогизме это по очевидным причинам невозможно.

414. Или, сохранив исходное заключение, мы могли бы заменить большую посылку на «Некоторое M есть некоторое P»; следовательно, с другой точки зрения, силлогизм можно рассматривать как усиленный.

Без квантификации предиката вышеприведенное рассуждение можно выразить в Bramantip, таким образом:

| All P is M,
| All M is S,
therefore,  | Some S is P.

Мы могли бы получить полное заключение «Всякое P есть S» в Barbara.

329. Таблица корректных модусов, полученная в результате признания Y и η в дополнение к A, E, I, O. — Если мы примем шестикратное расписание пропозиций, полученное путем добавления «Только S есть P» (Y) и «Не только S есть P» (η) к обычному четырехкратному расписанию, как в разделе 150, то каждая пропозиция будет просто обратимой, и, следовательно, корректный модус в любой фигуре сводим к любой другой фигуре путем простого обращения одной или обеих посылок. Следовательно, если определены корректные модусы какой-либо одной фигуры, модусы остальных фигур могут быть непосредственно выведены из них.

Можно обнаружить, что в каждой фигуре есть двенадцать корректных модусов, которые не являются ни усиленными, ни ослабленными. Этот результат может быть установлен любым из двух следующих альтернативных методов.

I. Мы можем исследовать, какие различные комбинации посылок дадут заключения форм A, Y, E, I, O, η соответственно.

Будет достаточно, как мы уже видели, рассмотреть какую-то одну фигуру. Мы можем, следовательно, взять первую фигуру, так что положение терминов будет:—

M | P
S | M
⎯⎯⎯⎯
S | P

(i) Чтобы доказать SaP, обе посылки должны быть утвердительными; и, чтобы избежать незаконной меньшей посылки, меньшая посылка должна быть SaM. Отсюда следует, что большая посылка должна быть MaP, иначе средний термин был бы нераспределенным. Следовательно, AAA — единственный корректный модус, дающий заключение A.

(ii) Чтобы доказать SyP, обе посылки должны быть утвердительными; и, чтобы избежать незаконной большей посылки, большая посылка должна быть MyP. Отсюда следует, что меньшая посылка должна быть SyM, чтобы избежать нераспределенного среднего термина. Следовательно, YYY — единственный корректный модус, дающий заключение Y.

(iii) Чтобы доказать SeP, большая посылка должна быть (1) MeP, или (2) MyP, или (3) MoP, чтобы избежать незаконной большей посылки. Если (1), меньшая посылка должна быть SaM, иначе были бы либо две отрицательные посылки, либо незаконная меньшая посылка; если (2), она должна быть SeM, иначе был бы нераспределенный средний термин или незаконная меньшая посылка; если (3), она должна быть утвердительной и распределять как S, так и M, что невозможно. Следовательно, EAE и YEE — единственные корректные модусы, дающие заключение E.

(iv) Чтобы доказать SiP, обе посылки должны быть утвердительными, и, поскольку SaM была бы неизбежно усиленной посылкой, меньшая посылка должна быть (1) SiM или (2) SyM. Если (1), большая посылка должна быть MaP, иначе был бы нераспределенный средний термин; если (2), она должна быть MiP, иначе была бы усиленная посылка. Следовательно, AII и IYI — единственные корректные (неусиленные и неослабленные) модусы, дающие заключение I.

(v) Чтобы доказать SoP, большая посылка должна быть (1) MeP, или (2) MyP, или (3) MoP, иначе была бы незаконная большая посылка. Если (1), меньшая посылка должна быть SiM, иначе была бы усиленная посылка; если (2), она должна быть SoM, иначе были бы либо две утвердительные посылки с отрицательным заключением, либо нераспределенный средний термин, либо усиленная посылка; если (3), она должна быть SyM, иначе были бы две отрицательные посылки или нераспределенный средний термин. Следовательно, EIO, YOO, OYO — единственные корректные (неусиленные и неослабленные) модусы, дающие заключение O.

(vi) Чтобы доказать SηP, меньшая посылка должна быть (1) SeM, или (2) SaM, или (3) SηM, иначе была бы незаконная меньшая посылка. Если (1), большая посылка должна быть MiP, иначе была бы усиленная посылка; если (2), большая посылка должна быть MηP, иначе был бы нераспределенный средний термин, или две утвердительные посылки с отрицательным заключением, или усиленная посылка; если (3), большая посылка должна быть MaP, иначе был бы нераспределенный средний термин или две отрицательные посылки. Следовательно, IEη, ηAη, Aηη — единственные корректные (неусиленные и неослабленные) модусы, дающие заключение η.

Путем обращения одной или обеих посылок мы можем сразу вывести из вышеизложенного таблицу корректных (неусиленных и неослабленных) модусов для всех четырех фигур следующим образом:—

Fig. 1. | Fig. 2. | Fig. 3. | Fig. 4.
AAA | YAA | AYA | YYA
YYY | AYY | YAY | AAY
EAE | EAE | EYE | EYE
YEE | AEE | YEE | AEE
AII | YII | AII | YII
IYI | IYI | IAI | IAI
EIO | EIO | EIO | EIO
YOO | AOO | YηO | AηO
OYO | ηYO | OAO | ηAO
IEη | IEη | IEη | IEη
ηAη | OAη | ηYη | OYη
Aηη | Yηη | AOη | YOη

II. Вышеуказанную таблицу можно также получить путем (1) взятия всех комбинаций посылок, которые возможны a priori, (2) установления специальных правил для выбранной фигуры, которые (вместе с правилами качества) позволят нам исключить комбинации посылок, которые являются либо некорректными, либо усиленными, независимо от того, каким будет заключение, (3) назначения корректного неослабленного заключения в оставшихся случаях.

Ниже приведены все возможные комбинации посылок, корректные и некорректные:

AA (b) | YA | IA | EA (b) | OA | ηA(b) (c)
AY | YY (a) | IY (a) | EY | OY (a) | ηY
AI | YI (a) | II (a) | EI | OI (a) | ηI (c)
AE (b) | YE | IE | [EE] (b) | [OE] | [ηE] (b)
AO | YO (a) | IO (a) | [EO] | [OO] (a) | [ηO]
Aη (b) (c) | Yη | Iη (c) | [Eη] (b) | [Oη] | [ηη] (b) (c)

Комбинации в квадратных скобках исключаются правилом, согласно которому из двух отрицательных посылок ничего не следует.

Взяв третью фигуру, в которой средний термин является субъектом в каждой посылке, и помня, что субъект распределен в A, E, η и только в них, в то время как предикат распределен в Y, E, O и только в них, можно получить следующие специальные правила:

(a) Одна посылка должна быть A, E или η, иначе средний термин не был бы распределен ни в одной из посылок;

(b) Одна посылка должна быть Y, I или O, иначе средний термин был бы распределен в обеих посылках, и, следовательно, была бы усиленная посылка;

(c) Если какая-либо посылка отрицательна, одна из посылок должна быть Y, E или O, иначе (поскольку заключение должно быть отрицательным, распределяющим один из своих терминов) был бы незаконный процесс большей или меньшей посылки.

Эти правила исключают комбинации посылок, отмеченные соответственно (a), (b), (c) выше.

Назначая корректное неослабленное заключение в случае каждой из двенадцати оставшихся комбинаций, имеем следующее: AYA, AII, AOη, YAY, YEE, YηO, IAI, IEη, EYE, EIO, OAO, ηYη. Из этого таблица корректных (неусиленных и неослабленных) модусов для всех четырех фигур может быть расширена, как и прежде.

330. Формальные выводы, не сводимые к обычным силлогизмам. — Ниже приведен пример того, что обычно называют аргументом a fortiori:

| B is greater than C,
| A is greater than B,
therefore,  | A is greater than C.

В таком виде он явно не имеет обычной силлогистической формы, поскольку содержит четыре термина; однако иногда предпринимается попытка свести его к обычной силлогистической форме следующим образом:

| B is greater than C,
therefore,  | Whatever is greater than B is greater than C,
but  | A is greater than B,
therefore,  | A is greater than C.

415. Попытки свести непосредственные выводы к силлогистической форме уже рассматривались в разделе 110. В настоящем разделе будут рассмотрены несиллогистические опосредованные выводы.

Вслед за Де Морганом мы можем рассматривать это как простое уклонение или как petitio principii. Принцип аргумента a fortiori действительно предполагается при переходе от «B больше, чем C» к «Все, что больше B, больше C». Можно, конечно, признать, что с помощью вышеуказанной редукции аргумент a fortiori сводится к силлогизму вместе с непосредственным выводом. Но этот непосредственный вывод не является тем, который можно оправдать, пока мы признаем только такие отношения между терминами или классами, которые подразумеваются обычной связкой; и если бы кто-то отказался признать корректность аргумента a fortiori, он отказался бы признать корректность шага, представленного непосредственным выводом.

Следующую попытку разрешения 416 следует рассматривать аналогично:

Все, что больше того, что больше C, больше C, A больше того, что больше C, следовательно, A больше C.

416. Сравните Mansel’s Aldrich, стр. 200.

Во всяком случае, ясно, что это не может быть всем рассуждением, поскольку B больше не появляется в посылках вообще.

Суть вопроса, возможно, наиболее ясно можно обозначить, сказав, что, хотя обычный силлогизм может быть основан на dictum de omni et nullo, аргумент a fortiori нельзя заставить опираться исключительно на эту аксиому. Требуется новый принцип, который должен быть поставлен в один ряд с dictum de omni et nullo, а не в подчинение ему. Этот новый принцип можно выразить в форме: «Все, что больше второй вещи, которая больше третьей вещи, само больше этой третьей вещи».

Мансел (Aldrich, стр. 199, 200) рассматривает аргумент a fortiori как пример материального следствия на том основании, что он зависит от «некоторой подразумеваемой пропозиции или пропозиций, соединяющих термины, добавление которых позволяет разуму свести следствие к логической форме». Он осуществил бы редукцию одним из уже упомянутых способов. Это, однако, предрешает вопрос о том, что силлогистическая форма является единственной логической формой. На самом деле убедительность аргумента a fortiori столь же интуитивно очевидна, как и убедительность силлогизма в Barbara. Почему никакое отношение не должно считаться формальным, если оно не может быть выражено словом «есть»? Касаясь этого случая, Де Морган отмечает, что формальный логик имеет право ограничиваться любой частью своего предмета, какой пожелает; «но он не имеет права, кроме права на ошибку, называть эту часть целым» (Syllabus, стр. 42).

Существует неопределенное количество других аргументов, которые по схожим причинам не могут быть сведены к силлогистической форме. Например: A равно B, B равно C, следовательно, A равно C; X — современник Y, а Y — современник Z, следовательно, X — современник Z; A — брат B, B — брат C, следовательно, A — брат C; A находится справа от B, B находится справа от C, следовательно, A находится справа от C; A в ладу с B, а B в ладу с C, следовательно, A в ладу с C. Все эти аргументы зависят от принципов, которые могут быть поставлены в один ряд с dictum de omni et nullo и которые в равной степени аксиоматичны в тех конкретных системах, к которым они принадлежат.

417. В отношении этого аргумента Де Морган пишет: «Это не пример обычного силлогизма: посылки таковы: “A есть равный B; B есть равный C”. Что касается обычного силлогизма, то то, что “равный B” так же хорошо подходит для аргумента, как и “B”, является материальной случайностью значения слова “равный”. Логики, соответственно, чтобы свести это к обычному силлогизму, формулируют эффект композиции отношения в большей посылке и объявляют, что рассматриваемый случай является примером этой композиции в меньшей посылке. Как в: A есть равный равному (C); всякий равный равному есть равный; следовательно, A есть равный C. Это я рассматриваю как простое уклонение. Среди различных достаточных ответов достаточно одного: люди не мыслят так, как указано выше. Когда A = B, B = C, и это дает A = C, слово “равно” является связкой в мышлении, а не понятием, прикрепленным к предикату. Существуют процессы, которые не являются процессами обычного силлогизма в логической большей посылке выше: но, отбрасывая это, логика есть анализ формы мышления, возможного и актуального, и логик не имеет права объявлять, что иное, чем актуальное, является актуальным» (Syllabus, стр. 31, 2).

Претензии, выдвинутые от имени силлогизма как исключительной формы всех дедуктивных рассуждений, должны, следовательно, быть отвергнуты.

Такие претензии выдвигал, например, Уэйтли. Силлогизм, говорит он, есть «форма, к которой в конечном итоге может быть сведено всякое корректное рассуждение» (Logic, стр. 12). Далее он отмечает: «Аргумент, изложенный таким образом регулярно и в полном объеме, называется силлогизмом; который, следовательно, очевидно, не является особым видом аргумента, а лишь особой формой выражения, в которой может быть изложен каждый аргумент» (Logic, стр. 26).

418. Сравните также Whately, Logic, стр. 24, 5 и 34.

Сполдинг, по-видимому, имеет в виду то же самое, когда говорит: «Вывод, антецедент которого состоит из более чем одной пропозиции, является опосредованным выводом. Простейший случай, тот, в котором антецедентные пропозиции суть две, есть силлогизм. Силлогизм есть норма всех выводов, антецедент которых более сложен; и все такие выводы могут, теми, кто считает это стоящим, быть сведены к ряду силлогизмов» (Logic, стр. 158).

Дж. С. Милль поддерживает эти претензии. «Всякое корректное рассуждение», — отмечает он, — «всякое рассуждение, посредством которого из ранее принятых общих пропозиций выводятся другие, столь же или менее общие пропозиции, может быть представлено в некоторых из вышеуказанных форм», т.е. силлогистических модусов (Logic, II. 2, § 1).

То, что требуется для заполнения логического пробела, созданного признанием того, что силлогизм не является нормой всех корректных формальных выводов, было названо логикой отношений. Функция логики отношений состоит в том, чтобы принимать во внимание отношения в целом, а не «те, которые указываются лишь обычной логической связкой “есть”» (Venn, Symbolic Logic, стр. 400). Направление, которое может принять эта ветвь логики, если она когда-либо будет полностью разработана, указано в следующем отрывке из Де Моргана (Syllabus, стр. 30, 31): «Обратимая связка — это та, в которой связующее отношение существует между двумя именами в обеих направлениях: так, “есть прикреплен к”, “есть соединен дорогой с”, “есть равен” и т.д. являются обратимыми связками. Если “X равен Y”, то “Y равен X” и т.д. Транзитивная связка — это та, в которой связующее отношение соединяет X с Z всякий раз, когда оно соединяет X с Y и Y с Z. Так, “есть прикреплен к” обычно понимается как транзитивная связка: “X прикреплен к Y” и “Y прикреплен к Z” дают “X прикреплен к Z”». Студента можно дополнительно отослать к Venn, Symbolic Logic, стр. 399–404; а также к статьям г-на Джонсона о логическом исчислении в Mind, 1892, особенно стр. 26–28 и 244–250.

419. Сравните страницы 149–151.

420. Обычная формальная логика включена в логику отношений, интерпретируемую в самом широком смысле, но только в более обобщенной форме, чем та, в которой она обычно рассматривается.

УПРАЖНЕНИЯ.

331. Покажите, что если любая из двух данных пропозиций достаточна для развертывания данного энтимема первого или второго порядка в корректный силлогизм, то эти две пропозиции будут эквивалентны друг другу, при условии, что ни одна из них не образует усиленную посылку. [J.]

332. Даны одна посылка и заключение корректного силлогизма; в каких пределах может быть определена другая посылка? Покажите, что проблема столь же определенна, как и та, в которой нам даны обе посылки и нужно найти заключение. В каких случаях она абсолютно определенна? [K.]

333. Постройте корректный сорит, состоящий из пяти пропозиций и имеющий «Некоторое A не есть B» в качестве первой посылки. Укажите модус и фигуру каждого из отдельных силлогизмов, на которые может быть разложен сорит. [K.]

334. Обсудите характер следующих соритов, в каждом случае указывая, насколько возможен более чем один анализ: (i) «Некоторое D есть E», «Всякое D есть C», «Всякое C есть B», «Всякое B есть A», следовательно, «Некоторое A есть E»; (ii) «Некоторое A есть B», «Никакое C не есть B», «Всякое D есть C», «Всякое E есть D», следовательно, «Некоторое A не есть E»; (iii) «Всякое E есть D», «Всякое D есть C», «Всякое C есть B», «Всякое B есть A», следовательно, «Некоторое A есть E»; (iv) «Никакое D не есть E», «Некоторое D есть C», «Всякое C есть B», «Всякое B есть A», следовательно, «Некоторое A не есть E». [K.]

335. Обсудите возможность сорита, который можно проанализировать так, чтобы получить корректные силлогизмы, все из которых относятся к четвертой фигуре. Определите максимальное количество пропозиций, из которых может состоять такой сорит. [K.]

336. Исследуйте корректность следующих модусов: в первой фигуре — UAU, YOO, EYO; во второй фигуре — AAA, AYY, UOω; в третьей фигуре — YEE, OYO, AωO. [C.]

337. Исследуйте, в каких фигурах, если таковые имеются, корректны следующие модусы, отмечая случаи, в которых заключение ослаблено:— AUI; YAY; UOη; IUη; UEO. [L.]

338. Если «некоторые» используется в значении «некоторые, но не все», что можно вывести из пропозиций «Всякое M есть некоторое P», «Всякое M есть некоторое S»? [K.]

339. Придавая «некоторые» его обычное логическое значение, покажите, что в любом силлогизме, выраженном с квантифицированными предикатами, посылка формы U всегда может рассматриваться как усиленная посылка, если только заключение также не имеет формы U. [K.]

340. Возможно ли, чтобы существовали три пропозиции, такие, что каждая из них по очереди выводима из двух других? [V.]

341. Определите специальные правила для фигур 1, 2 и 4, соответствующие специальным правилам для фигуры 3, приведенным в разделе 329. [K.]

ГЛАВА VIII.

ПРОБЛЕМЫ СИЛЛОГИЗМА.

342. Значение экзистенциальной интерпретации пропозиций для корректности силлогистических рассуждений. — Мы можем, как и прежде, принять различные предположения относительно экзистенциальной значимости пропозиций и перейти к рассмотрению того, насколько корректность различных силлогистических модусов затрагивается каждым из них по очереди.

(1) Пусть каждая пропозиция интерпретируется как подразумевающая существование как своего субъекта, так и своего предиката. В этом случае существование большего, среднего и меньшего терминов в каждом случае гарантируется посылками, и поэтому не требуется никаких дополнительных предположений относительно существования для того, чтобы заключение было получено законным образом. Мы можем рассматривать вышеуказанное предположение как то, которое молчаливо делается в обычном учении о силлогизме.

421. Следует заметить, что это не совсем то же самое, что предположение (1) в разделе 156.

422. Если, однако, нам позволено действовать, как в разделе 206 (где из «всякое P есть M», «всякое S есть M» мы вывели «некоторое не-S не есть не-P»), мы должны постулировать существование не только непосредственно вовлеченных терминов, но и их противоречий.

(2) Пусть каждая пропозиция интерпретируется как подразумевающая существование своего субъекта. При таком предположении утвердительная пропозиция обеспечивает существование и своего предиката; но не так отрицательная пропозиция. Отсюда следует, что любой модус будет корректным, если только меньший термин не является в своей посылке предикатом отрицательной пропозиции. Это не может произойти ни в первой, ни во второй фигуре, поскольку в этих фигурах меньший термин всегда является субъектом в своей посылке; ни в третьей фигуре, поскольку в этой фигуре меньшая посылка всегда утвердительна. В четвертой фигуре единственными модусами с отрицательной меньшей посылкой являются Camenes и его ослабленная форма AEO. Наш вывод тогда состоит в том, что при данном предположении каждый обычно признаваемый модус является корректным, за исключением этих двух.

423. Редукция к первой фигуре, по-видимому, затрагивается этим предположением, поскольку оно делает контрапозицию A и обращение E в целом некорректными. Контрапозиция A вовлечена в прямую редукцию Baroco (Faksoko). Процесс, однако, в данном конкретном случае корректен, так как существование не-M дается меньшей посылкой. Обращение E вовлечено в редукцию Cesare, Camestres и Festino из второй фигуры; и Camenes, Fesapo и Fresison из четвертой. Поскольку, однако, одна посылка должна быть утвердительной, существование среднего термина тем самым гарантируется, и, следовательно, простое обращение E во второй фигуре и в большей посылке четвертой становится корректным. Также обращение заключения, полученного в результате редукции Camestres, является законным, поскольку исходный меньший термин является субъектом в своей посылке. Следовательно, Camenes (и его ослабленная форма) являются единственными модусами, чья редукция становится незаконной из-за рассматриваемого предположения. Этот результат согласуется с тем, что достигнуто в тексте.

(3) Пусть ни одна пропозиция не интерпретируется как подразумевающая существование ни своего субъекта, ни своего предиката. Взяв S, M, P в качестве меньшего, среднего и большего терминов соответственно, заключение будет подразумевать, что если есть какое-либо S, то есть некоторое P или не-P (в зависимости от того, утвердительное оно или отрицательное). Подразумевают ли это также посылки? Если да, то силлогизм корректен; в противном случае — нет.

В разделе 212 было показано, что универсальное утвердительное заключение «Всякое S есть P» может быть доказано только с помощью посылок «Всякое M есть P», «Всякое S есть M»; и ясно, что эти посылки сами по себе подразумевают, что если есть какое-либо S, то есть некоторое P. При нашем нынешнем предположении, следовательно, силлогизм корректен, если его заключение является универсально-утвердительным.

Далее, как показано в разделе 212, универсальное отрицательное заключение «Никакое S не есть P» может быть доказано только следующими способами:—

 (i) | No M is P (or No P is M),
| All S is M,
| ⎯⎯⎯⎯
therefore,  | No S is P ;
 (ii) | All P is M,
| No S is M (or No M is S),
| ⎯⎯⎯⎯
therefore,  | No S is P.

В (i) меньшая посылка подразумевает, что если S существует, то M существует, а большая посылка — что если M существует, то не-P существует. В (ii) меньшая посылка подразумевает, что если S существует, то не-M существует, а большая посылка — что если не-M существует, то не-P существует (как показано в разделе 158). Следовательно, силлогизм корректен, если его заключение является универсально-отрицательным.

Далее, пусть заключение будет частным. В первой фигуре импликация заключения в отношении существования содержится в самих посылках, поскольку меньший термин является субъектом утвердительной меньшей посылки, а средний термин — субъектом большей посылки. Во второй фигуре мы можем рассмотреть ослабленные модусы, устраненные тем, что уже было сказано относительно универсальных заключений; ибо при нашем нынешнем предположении субальтернация является корректным процессом. Оставшиеся модусы с частными заключениями в этой фигуре — Festino и Baroco. В первом меньшая посылка подразумевает, что если S существует, то M существует, а большая — что если M существует, то не-P существует; во втором меньшая посылка подразумевает, что если S существует, то не-M существует, а большая — что если не-M существует, то не-P существует.

Все обычно признаваемые модусы, таким образом, первой и второй фигур являются корректными. Но иначе обстоит дело с модусами, дающими частное заключение в третьей и четвертой фигурах, за единственным исключением ослабленной формы Camenes (которая сама по себе является единственным модусом с универсальным заключением в этих фигурах). Поскольку субальтернация является корректным процессом, законность последней следует из законности самого Camenes. Но во всех остальных случаях в третьей и четвертой фигурах меньший термин является предикатом утвердительной меньшей посылки. Его существование, следовательно, не несет с собой никакой дальнейшей импликации существования в посылках. Оно делает это в заключении. Следовательно, все модусы третьей и четвертой фигур, за исключением AEE и AEO в последней фигуре, являются некорректными. Возьмем в качестве примера силлогизм в Darapti:—

| All M is P,
| All M is S,
| ⎯⎯⎯⎯⎯
therefore,  | Some S is P.

Заключение подразумевает, что если S существует, P существует; но в соответствии с посылками S может существовать, в то время как M и P оба не существуют. Импликация, следовательно, содержится в заключении, которая не оправдана посылками.

Следовательно, при предположении, что ни одна пропозиция не подразумевает существование ни своего субъекта, ни своего предиката, все обычно признаваемые модусы первой и второй фигур являются корректными, но ни один из модусов третьей и четвертой фигур, за исключением Camenes и ослабленной формы Camenes. 424

424. Прямое утверждение относительно существования может, однако, сделать отвергнутые модусы законными. Если, например, существование среднего термина прямо дано, то Darapti становится корректным.

(4) Пусть частные пропозиции интерпретируются как подразумевающие, а универсальные — как не подразумевающие существование своих субъектов. Законность модусов с универсальными заключениями может быть установлена, как в предыдущем случае. Рассматривая модусы с частными заключениями, очевидно, что они будут корректными, если меньшая посылка является частной, имея меньший термин в качестве своего субъекта; или если меньшая посылка является частно-утвердительной, независимо от того, является ли меньший термин ее субъектом или предикатом. Disamis, Bocardo и Dimaris также являются корректными, поскольку большая посылка в каждом случае гарантирует существование M, а меньшая подразумевает, что если M существует, то S существует. Вышеизложенное, как будет обнаружено, охватывает все корректные модусы, в которых одна посылка является частной. Остаются только модусы, в которых из двух универсальных мы выводим частную. Ясно, что все эти модусы должны быть некорректными, ибо их заключения будут подразумевать существование меньшего термина, а это не может быть гарантировано посылками. 425

425 Гипотетические заключения (вида «Если S существует, то...» и т. д.), разумеется, по-прежнему будут правомерными.

Таким образом, при допущении, что частные суждения подразумевают существование своих субъектов, а общие — нет, недействительными становятся все ослабленные модусы, а также Darapti, Felapton, Bramantip и Fesapo, 426 каждый из которых содержит усиленную посылку. Короче говоря, любой обычно признаваемый 394 модус при таком допущении является действительным, если только он не содержит либо усиленную посылку, либо ослабленное заключение. 427

426 Можно заметить, что буква p встречается в мнемоническом обозначении каждого из этих модусов, указывая на то, что их сведение к первой фигуре включает обращение per accidens. При рассматриваемом допущении этот процесс недействителен, и здесь мы можем найти подтверждение вышеуказанного результата.

427 Этот результат можно рассматривать как дополнительный аргумент в пользу принятия допущения (4).

343. Связь между истинностью и ложностью посылок и заключения в действительном силлогизме. — Говоря, что силлогизм является действительным, мы подразумеваем, что истинность его заключения вытекает из истинности его посылок; и непосредственным выводом из этого является то, что если заключение ложно, то одна или обе посылки должны быть ложными. Однако обратное неверно ни в том, ни в другом случае. Истинность посылок не вытекает из истинности заключения; равно как и ложность заключения не вытекает из ложности одной или обеих посылок.

Вышеприведенные утверждения, вероятно, были бы приняты как самоочевидные; тем не менее, более удовлетворительным представляется дать их формальное доказательство, и такое доказательство обеспечивается с помощью трех следующих теорем. 428

428 В этом разделе предполагается, что наш перечень пропозиций не включает U. Однако теоремы остаются в силе и для шестичленного перечня, включающего Y и η, так же как и для обычного четырехчленного перечня.

(1) Если дан действительный силлогизм, то ни в каком случае комбинация одной из посылок с заключением не установит другую посылку.

Мы должны показать, что если одна посылка и заключение действительного силлогизма взяты в качестве новой пары посылок, они ни в каком случае не достаточны для установления другой посылки. Если бы это было возможно, то посылка, принятая за истинную, должна была бы быть утвердительной, ибо если бы она была отрицательной, то исходное заключение было бы отрицательным, и, объединив их, мы получили бы две отрицательные посылки, которые не могли бы дать никакого заключения. Кроме того, средний термин должен был бы быть распределен в посылке, принятой за истинную. Это ясно, если он не распределен в другой посылке; а поскольку другая посылка является заключением нового силлогизма, если она распределена там, она должна быть распределена и в посылке, принятой за истинную, иначе мы получили бы незаконный процесс в новом силлогизме. 395 Следовательно, посылка, принятая за истинную, будучи утвердительной и распределяющей средний термин, не может распределять другой термин, который она содержит. 429 Следовательно, этот термин также не может быть распределен в исходном заключении. Но это тот самый термин, который будет средним термином нового силлогизма, и, следовательно, мы получим нераспределенный средний термин. Таким образом, истинность одной посылки и заключения действительного силлогизма не устанавливает истинность другой посылки; и à fortiori истинность заключения сама по себе не может установить истинность обеих посылок. 430

429 Это утверждение, хотя и не является верным для U, верно как для Y, так и для A.

430 Могут быть предложены и другие методы решения, более или менее отличные от вышеприведенного. Несколько похожая проблема обсуждается Солли в «Syllabus of Logic», стр. 123–126, 132–136. Мы показали, что одна посылка и заключение действительного силлогизма никогда не будут достаточны для доказательства другой посылки, но из этого, конечно, не следует, что они никогда не дадут никакого заключения вообще; рассмотрение этого вопроса см. в следующем разделе.

(2) Противоречащие суждения к посылкам действительного силлогизма ни в каком случае не будут достаточны для установления противоречащего суждения к исходному заключению.

Посылки исходного силлогизма должны быть либо (α) обе утвердительными, либо (β) одна утвердительной и одна отрицательной. В случае (α) противоречащие суждения к исходным посылкам будут обе отрицательными; а из двух отрицательных суждений ничего не следует. В случае (β) противоречащие суждения к исходным посылкам будут одна отрицательной и одна утвердительной; и если эта комбинация дает какое-либо заключение, оно будет отрицательным. Но исходное заключение также должно быть отрицательным, и поэтому противоречащее ему суждение будет утвердительным. Следовательно, ни в одном из случаев мы не можем установить противоречащее суждение к исходному заключению. 431

431 Однако возможно, что какое-то заключение может быть получено. См. раздел 359.

(3) Одна посылка и противоречащее суждение к другой посылке действительного силлогизма ни в каком случае не будут достаточны для установления противоречащего суждения к исходному заключению. 432

432 Из этого не следует, что одна посылка и противоречащее суждение к другой посылке действительного силлогизма никогда не дадут никакого заключения вообще. См. следующий раздел.

396 Это непосредственно вытекает из первой из теорем, установленных в этом разделе. Пусть посылками действительного силлогизма будут P и Q, а заключение — R; P и противоречащее суждение к Q не докажут противоречащее суждение к R; ибо если бы они это сделали, то следовало бы, что P и R докажут Q; но было показано, что это не так.

Теперь мы установили с помощью строго формального рассуждения аристотелевское положение о том, что, хотя силлогистически невозможно получить ложное заключение из истинных посылок, вполне возможно получить истинное заключение из ложных посылок. 433 Иными словами, ложность одной или обеих посылок не устанавливает ложность заключения силлогизма. Вторая из вышеприведенных теорем рассматривает случай, в котором обе посылки ложны; третья — случай, в котором ложна только одна из посылок.

433 Гамильтон (Logic, I, стр. 450) считает доктрину «о том, что если заключение силлогизма истинно, посылки могут быть либо истинными, либо ложными, но если заключение ложно, одна или обе посылки должны быть ложными» экстралогической, если не абсолютно ошибочной. Он явно неправ, поскольку рассматриваемая доктрина допускает чисто формальное доказательство.

344. Аргументы из истинности одной посылки и ложности другой посылки в действительном силлогизме, или из ложности одной посылки к истинности заключения, или из истинности одной посылки к ложности заключения. — В этом разделе мы рассмотрим три проблемы, взаимно связанные друг с другом, которые в некотором роде относятся к теоремам, содержащимся в предыдущем разделе. Например, было показано, что одна посылка и противоречащее суждение к другой посылке ни в каком случае не будут достаточны для установления противоречащего суждения к исходному заключению; цель первой из следующих проблем состоит в том, чтобы выяснить, в каких случаях они могут установить хоть какое-то заключение.

(i) Найти пару действительных силлогизмов, имеющих общую посылку, такую, что оставшаяся посылка одного противоречит оставшейся посылке другого. 434

434 Эта проблема была предложена следующим вопросом г-на О'Салливана, который ставит ту же проблему в другой форме: Дано, что одна посылка действительного силлогизма ложна, а другая истинна; определить в общем виде, в каких случаях из этих данных можно сделать заключение.

397 Мы должны найти случаи, в которых P и Q, P и Q' (противоречащее суждение к Q) являются посылками двух действительных силлогизмов. При решении этой и последующих проблем необходимо помнить, что если две пропозиции являются противоречащими, они будут различаться по качеству, а также по распределению своих терминов, так что любой термин, распределенный в одной из них, является нераспределенным в другой, и наоборот. Мы можем, следовательно, предположить, что Q является утвердительным, а Q' — отрицательным. Пусть P содержит термины X и Y, в то время как Q и Q' содержат термины Y и Z, так что Y является средним термином, а X и Z — крайними терминами каждого силлогизма. Поскольку Q' отрицательно, P должно быть утвердительным; и поскольку Y должно быть нераспределенным либо в Q, либо в Q', оно должно быть распределено в P. Следовательно, P = YaX. Q' должно распределять Z: ибо заключение (будучи отрицательным) должно распределять один термин, а X не распределено в P. Отсюда следует, что Z не распределено в Q. Следовательно, Q = YaZ или YiZ или ZiY; Q' = YoZ или YeZ или ZeY. Если проработать различные возможные комбинации, то окажется, что следующими являются силлогизмы, удовлетворяющие условию, что если одна посылка (та, что набрана жирным шрифтом) сохраняется, в то время как другая заменяется на противоречащую ей, заключение все еще может быть получено:— В первой фигуре: AII; В третьей фигуре: AAI, AAI, IAI, AII, EAO, OAO; В четвертой фигуре: IAI, EAO.

(ii) Найти пару действительных силлогизмов, имеющих общее заключение, такую, что посылка в одном противоречит посылке в другом.

Пусть Q и Q' (которые мы можем предположить соответственно утвердительным и отрицательным) будут рассматриваемыми посылками, а P' — заключением; также пусть Q и Q' содержат термины Y и Z, в то время как P' содержит термины X и Z, так что Z является средним термином, а X и Y — крайними терминами каждого силлогизма. Отсюда непосредственно следует, что P' является отрицательным; также что Y 398 должно быть нераспределенным в P', поскольку оно обязательно нераспределено либо в Q, либо в Q'. Следовательно, P' = YoX. Поскольку X распределено в P', оно должно быть также распределено в посылке, которая объединяется с Q'; и поскольку эта посылка должна быть утвердительной, она не может также распределять Z, которое, следовательно, должно быть распределено в Q' (и не распределено в Q). Следовательно, Q = YaZ или YiZ или ZiY; Q' = YoZ или YeZ или ZeY. Если проработать различные возможные комбинации, то окажется, что следующими являются силлогизмы, удовлетворяющие условию, что то же самое заключение может быть получено из другой пары посылок, одна из которых противоречит одной из исходных посылок (а именно, той, что набрана жирным шрифтом):— В первой фигуре: EAO, EIO; Во второй фигуре: EAO, AEO, EIO, AOO; В третьей фигуре: EIO; В четвертой фигуре: AEO, EIO.

(iii) Найти пару действительных силлогизмов, имеющих общую посылку, такую, что заключение одного противоречит заключению другого. 435

435 Эта проблема была предложена следующим вопросом г-на Пантона, который ставит ту же проблему в другой форме: Если заключение подставляется вместо посылки в действительном модусе, исследуйте условия, которые должны быть выполнены для того, чтобы новые посылки были правомерными.

Пусть P будет общей посылкой, Q и Q' (соответственно утвердительным и отрицательным) — противоречащими заключениями; также пусть P содержит термины X и Y, в то время как Q и Q' содержат термины Y и Z, так что X является средним термином, а Y и Z — крайними терминами каждого силлогизма. Поскольку Q утвердительно, P должно быть утвердительным; и поскольку либо Q, либо Q' будет распределять Y, P должно распределять Y. Следовательно, P = YaX. Посылка, которая в сочетании с P доказывает Q, должна быть утвердительной и должна распределять X; следовательно, она не может распределять Z, и Z должно, соответственно, быть нераспределенным в Q (и распределенным в Q'). 399 Следовательно, Q = YaZ или YiZ или ZiY; Q' = YoZ или YeZ или ZeY. Если проработать различные возможные комбинации, то окажется, что следующими являются силлогизмы, удовлетворяющие условию, что противоречащее суждение к заключению может быть получено, хотя одна из посылок (та, что набрана жирным шрифтом) сохраняется:— В первой фигуре: AAA, AAI, EAE, EAO; Во второй фигуре: EAE, EAO, AEE; В четвертой фигуре: AAI, AEE. 436

436 Можно заметить, что каждая из вышеуказанных проблем дает девять случаев. Вместе они охватывают все 24 действительных модуса; но есть три модуса (а именно, EAO в первой и второй фигурах и AAI в третьей фигуре), которые встречаются дважды. 15 неусиленных и неослабленных модусов распределены поровну, а именно: четыре, дающие I-заключения (вместе с OAO), подпадают под (i); шесть, дающие O-заключения (кроме OAO), подпадают под (ii); пять, дающие A- или E-заключения, подпадают под (iii). Все модусы первой фигуры (кроме тех, что с I-посылкой) подпадают под (iii); все модусы второй фигуры (кроме тех, что с E-заключением) подпадают под (ii); все модусы третьей фигуры (кроме того, у которого нет A-посылки) подпадают под (i).

Три набора модусов, разработанные выше, взаимно выводимы друг из друга. Таким образом,

(i) |  | (ii) |  | (iii)
P and Q ∴ R | = | Q and Rʹ ∴ Pʹ | = | Rʹ and P ∴ Qʹ
P and Qʹ ∴ Tʹ | = | Qʹ and T ∴ Pʹ | = | T and P ∴ Q

В этой таблице (i) представляет возможные случаи, в которых при сохранении одной посылки другая посылка может быть заменена на противоречащую ей. Мы можем затем вывести (ii) случаи, в которых при сохранении заключения одна посылка может быть заменена на противоречащую ей; и (iii) случаи, в которых при сохранении одной посылки заключение может быть заменено на противоречащее ему. Мы могли бы, конечно, с таким же успехом начать с (ii) или с (iii) и оттуда вывести два других.

Сравнивая первый силлогизм из (i) со вторым силлогизмом из (iii) и наоборот, мы видим далее, что (i) дает случаи, в которых при сохранении одной посылки заключение может быть заменено на другую посылку; и что (iii) дает случаи, в которых при сохранении одной посылки другая посылка может быть заменена на заключение.

400 Ниже приводится еще один метод формулирования и решения всех трех проблем: Определить, в каких случаях возможно получить две несовместимые тройки пропозиций, каждая тройка содержит три и только три термина и каждая включает пропозицию, которая идентична пропозиции в другой, а также пропозицию, которая является противоречащей пропозиции в другой.

Пусть пропозиции будут P, Q, R' и P, Q', T; и пусть P содержит термины X и Y; Q и Q' — термины Y и Z; R и T — термины Z и X. Предположим, что Q утвердительно, а Q' — отрицательно. Тогда, поскольку одна из каждой тройки пропозиций должна быть отрицательной, и не более одной может быть таковой (как показано в разделе 214), P и T должны быть утвердительными, а R' — отрицательным. Опять же, поскольку каждый из терминов X, Y, Z должен быть распределен по крайней мере один раз в каждой тройке пропозиций (как показано в разделе 214), и поскольку Y должно быть нераспределенным либо в Q, либо в Q', Y должно быть распределено в P. Следовательно, P = YaX. X, будучи нераспределенным в P, должно быть распределено в R' и T. Следовательно, T = XaZ. Z, будучи нераспределенным в T, должно быть распределено в Q', и, следовательно, нераспределено в Q, и распределено в R'. Следовательно, Q = YaZ или YiZ или ZiY; Q' = YoZ или YeZ или ZeY; R' = XeZ или ZeX. Мы имеем тогда следующее решение нашей проблемы:—

YaZ, YaZ or YiZ or ZiY, XeZ or ZeX ;

YaZ, YoZ or YeZ or ZeY, XaZ.

345. Численные модусы силлогизма. 437 — Ниже приведены примеры численных модусов в различных фигурах силлогизма:— 401

  Figure 1.  | (i)  | All M’s are P’s,
|  | At least n S’s are M’s,
therefore, |  | At least n S’s are P’s ;
| (ii)  | Less than n M’s are P’s,
|  | All S’s are M’s,
therefore, |  | Less than n S’s are P’s ;
| (iii)  | Less than n M’s are P’s,
|  | At least n S’s are M’s,
therefore, |  | Some S’s are not P’s ;
  Figure 2.  | (iv)  | All P’s are M’s,
|  | Less than n S’s are M’s,
therefore, |  | Less than n S’s are P’s ;
| (v)  | Less than n P’s are M’s,
|  | All S’s are M’s,
therefore, |  | Less than n S’s are P’s ;
| (vi)  | Less than n P’s are M’s,
|  | At least n S’s are M’s,
therefore, |  | Some S’s are not P’s ;
  Figure 3.  | (vii)  | Less than n M’s are P’s,
|  | At least n M’s are S’s,
therefore, |  | Some S’s are not P’s ;
| (viii)  | All M’s are P’s,
|  | At least n M’s are S’s,
therefore, |  | At least n S’s are P’s ;
| (ix)  | At least n M’s are P’s,
|  | All M’s are S’s,
therefore, |  | At least n S’s are P’s ;
  Figure 4.  | (x)  | At least n P’s are M’s,
|  | All M’s are S’s,
therefore, |  | At least n S’s are P’s ;
| (xi)  | All P’s are M’s,
|  | Less than n M’s are S’s,
therefore, |  | Less than n S’s are P’s ; 402
| (xii)  | Less than n P’s are M’s,
|  | At least n M’s are S’s,
therefore, |  | Some S’s are not P’s.

437 Этот раздел был предложен следующим вопросом г-на Джонсона: «Покажите действительность следующих силлогизмов: (i) Все M суть P, по крайней мере n S суть M, следовательно, по крайней мере n S суть P; (ii) Все P суть M, менее чем n S суть M, следовательно, менее чем n S суть P; (iii) Менее чем n M суть P, по крайней мере n M суть S, следовательно, некоторые S не суть P. Выведите из вышесказанного обычные нечисленные модусы первых трех фигур».

Вышеуказанные модусы могут быть установлены следующим образом:— (i) Из «Все M суть P» следует, что «Всякое S, которое есть M, также есть P», и поскольку «По крайней мере n S суть M», отсюда далее следует, что «По крайней мере n S суть P». Обозначая большую посылку (i) через A, меньшую через B, а заключение через C, мы получаем непосредственно следующие силлогизмы:—

| A, |  |  | Cʹ,
| Cʹ, |  |  | B,
| ⎯ |  |  | ⎯
∴  | Bʹ ; |  | ∴  | Aʹ ;

и они соответственно эквивалентны (iv) и (vii). (v) получается из (iv) путем перестановки посылок и обращения заключения; (ii) из (v) путем обращения большой посылки; (iii) из (vii) путем обращения меньшей посылки; (vi) из (iii) путем обращения большой посылки; (viii) из (i) путем обращения меньшей посылки; (ix) из (viii) путем перестановки посылок и обращения заключения; (x) из (i) путем перестановки посылок и обращения заключения; (xi) из (iv) путем обращения меньшей посылки; (xii) из (vii) путем обращения большой посылки.

Обычные нечисленные модусы различных фигур могут быть выведены из вышеприведенных результатов следующим образом:— Фигура 1. (i) Полагая n = общему числу S, имеем MaP, SaM, ∴ SaP, то есть Barbara; и полагая n = 1, имеем MaP, SiM, ∴ SiP, то есть Darii. (ii) Полагая n = 1, MeP, SaM, ∴ SeP (Celarent). (iii) Полагая n = 1, MeP, SiM, ∴ SoP (Ferio). AAI и EAO следуют à fortiori.

Фигура 2 (iv) Полагая n = общему числу S, PaM, SoM, ∴ SoP (Baroco); полагая n = 1, PaM, SeM, ∴ SeP (Camestres). 403 (v) Полагая n = 1, PeM, SaM, ∴ SeP (Cesare). (vi) Полагая n = 1, PeM, SiM, ∴ SoP (Festino). AEO и EAO следуют à fortiori.

Фигура 3. (vii) Полагая n = общему числу M, MoP, MaS, ∴ SoP (Bocardo); полагая n = 1, MeP, MiS, ∴ SoP (Ferison). (viii) Полагая n = 1, MaP, MiS, ∴ SiP (Datisi). (ix) Полагая n = 1, MiP, MaS, ∴ SiP (Disamis). Darapti и Felapton следуют à fortiori.

Фигура 4. (x) Полагая n = 1, PiM, MaS, ∴ SiP (Dimaris). (xi) Полагая n = 1, PaM, MeS, ∴ SeP (Camenes). (xii) Полагая n = 1, PeM, MiS, ∴ SoP (Fresison). Bramantip, AEO и Fesapo следуют à fortiori.

УПРАЖНЕНИЯ.

346. «Что бы ни обозначали P и Q, мы можем à priori показать, что некоторое P есть Q. Ибо «Все PQ есть Q» согласно закону тождества, и аналогично «Все PQ есть P»; следовательно, по силлогизму в Darapti, «Некоторое P есть Q»». Как бы вы справились с этим парадоксом? [K.]

Решение дается дискуссией, содержащейся в разделе 342; и этот пример, по-видимому, показывает, что вопрос о том, насколько предположения относительно существования вовлечены в силлогистические процессы, не является неуместным или излишним.

347. Какое заключение можно сделать из следующих пропозиций? Члены совета были все либо держателями облигаций, либо акционерами, но не тем и другим вместе; и держатели облигаций, как оказалось, все были в совете. [V.]

Мы можем взять в качестве наших посылок: Ни один член совета не является одновременно держателем облигаций и акционером, Все держатели облигаций являются членами совета; и эти посылки дают заключение (в Celarent): Ни один держатель облигаций не является одновременно держателем облигаций и акционером, то есть Ни один держатель облигаций не является акционером.

348. Для клуба были составлены следующие правила:— (i) Финансовый комитет должен выбираться из числа 404 общего комитета; (ii) Никто не должен быть членом одновременно общего и библиотечного комитетов, если он не состоит также в финансовом комитете; (iii) Ни один член библиотечного комитета не должен состоять в финансовом комитете. Есть ли что-то самопротиворечивое или излишнее в этих правилах? [VENN, Symbolic Logic, стр. 331.]

Пусть F = член финансового комитета, G = член общего комитета, L = член библиотечного комитета. Вышеуказанные правила могут быть выражены символически следующим образом:— (i) Все F суть G; (ii) Если какое-либо L есть G, то это L есть F; (iii) Ни одно L не есть F. Из (ii) и (iii) мы получаем (iv) Ни одно L не есть G. Правила могут поэтому быть записаны в форме: (1) Все F суть G, (2) Ни одно L не есть G, (3) Ни одно L не есть F. Но в этой форме (3) выводимо из (1) и (2). Следовательно, все, что содержится в правилах в их первоначальном изложении, может быть выражено через (1) и (2); то есть правила в их первоначальном изложении были частично излишними, и они могут быть сведены к (1) Финансовый комитет должен выбираться из числа общего комитета; (2) Никто не должен быть членом одновременно общего и библиотечного комитетов. Если (ii) интерпретируется как подразумевающее, что существуют некоторые лица, которые состоят одновременно в общем и библиотечном комитетах, то из этого следует, что (ii) и (iii) несовместимы друг с другом.

349. Дано, что средний термин распределен дважды в посылках силлогизма; определить непосредственно (т. е. без какой-либо ссылки на мнемонические стихи или специальные правила фигур), в каких различных модусах он может находиться. [K.]

Посылки должны быть либо обе утвердительными, либо одна утвердительной и одна отрицательной. В первом случае, обе посылки, будучи утвердительными, могут распределять только свои субъекты. Средний термин должен, следовательно, быть субъектом в каждой из них, и обе должны быть общими. Это ограничивает нас одним силлогизмом,— 405

| All M is P,
| All M is S,
therefore,  | Some S is P.

Во втором случае, одна посылка будучи отрицательной, заключение должно быть отрицательным и будет, следовательно, распределять больший термин. Следовательно, большая посылка должна распределять больший термин, а также (по гипотезе) средний термин. Это условие может быть выполнено только в том случае, если она является одной или другой из следующих:— Ни одно M не есть P или Ни одно P не есть M. Большая посылка будучи отрицательной, меньшая должна быть утвердительной, и для того, чтобы распределить средний термин, должна быть Все M суть S. В этом случае мы получаем два силлогизма, а именно:—

| No M is P,
| All M is S,
therefore,  | Some S is not P ;
| No P is M,
| All M is S,
therefore,  | Some S is not P.

Данное условие ограничивает нас, следовательно, тремя силлогизмами (один утвердительный и два отрицательных); и ссылаясь на мнемонические стихи, мы можем идентифицировать их с Darapti и Felapton в третьей фигуре и Fesapo в четвертой фигуре.

350. Если большая посылка и заключение действительного силлогизма согласуются по количеству, но различаются по качеству, найти модус и фигуру. [T.]

Поскольку мы не можем иметь отрицательную посылку с утвердительным заключением, большая посылка должна быть утвердительной, а заключение — отрицательным. Отсюда непосредственно следует, что для того, чтобы избежать незаконного большего термина, большая посылка должна быть Все P суть M (где M — средний термин, а P — больший термин). Заключение, следовательно, должно быть Ни одно S не есть P (S — меньший термин); и это требует, чтобы для того, чтобы избежать нераспределенного среднего термина и незаконного меньшего термина, меньшая посылка должна быть Ни одно S не есть M или Ни одно M не есть S. Следовательно, силлогизм находится в Camestres или в Camenes.

351. Дан действительный силлогизм с двумя общими посылками и частным заключением, такой, что то же самое заключение не может быть выведено, если вместо любой из посылок подставить ее субалтерн; определить модус и фигуру силлогизма. [K.]

Пусть S, M, P будут соответственно меньшим, средним и большим терминами данного силлогизма. Тогда, поскольку заключение частное, оно должно быть либо Некоторое S есть P, либо Некоторое S не есть P. 406 Во-первых, если возможно, пусть это будет Некоторое S есть P. Единственный термин, который должен быть распределен в посылках, — это M. Но поскольку у нас две общие посылки, два термина должны быть распределены в них как субъекты. 438 Одно из этих распределений должно быть излишним; и отсюда следует, что вместо одной из посылок мы можем подставить ее субалтерн и все равно получить то же самое заключение. Заключение тогда не может быть Некоторое S есть P. Во-вторых, если возможно, пусть заключение будет Некоторое S не есть P. Если субъект меньшей посылки есть S, мы можем ясно подставить ее субалтерн, не затрагивая заключения. Субъект меньшей посылки должен поэтому быть M, которое, таким образом, будет распределено в этой посылке. M не может также быть распределено в большей посылке, иначе ясно, что ее субалтерн мог бы быть подставлен вместо меньшей, и тем не менее было бы выведено то же самое заключение. Большая посылка должна, следовательно, быть утвердительной с M в качестве предиката. Это ограничивает нас силлогизмом—

| All P is M,
| No M is S,
therefore,  | Some S is not P ;

и этот силлогизм, который есть AEO в четвертой фигуре, действительно выполняет данные условия, ибо он становится недействительным, если любая из посылок делается частной. Вышесказанное сводится к общему доказательству положения, изложенного в разделе 246:— Всякий силлогизм, в котором есть две общие посылки с частным заключением, является усиленным силлогизмом, за единственным исключением AEO в четвертой фигуре.

438 Мы здесь включаем случай, в котором средний термин сам по себе распределен дважды.

352. Даны два действительных силлогизма в одной и той же фигуре, в которых больший, средний и меньший термины соответственно одни и те же; показать без ссылки на мнемонические стихи, что если меньшие посылки являются субконтрарными, заключения будут идентичными. [K.]

Меньшая посылка одного из силлогизмов должна быть O, и большая посылка этого силлогизма должна, следовательно, быть A, а заключение — O. Средний и больший термины должны быть распределены в посылках, этот силлогизм определен, а именно:—

| All P is M,
| Some S is not M,
therefore,  | Some S is not P.

407 Поскольку другой силлогизм должен быть в той же фигуре, его меньшая посылка должна быть Некоторое S есть M; большая должна, следовательно, быть общей, и для того, чтобы распределить средний термин, она должна быть отрицательной. Этот силлогизм, следовательно, также определен, а именно:—

| No P is M,
| Some S is M,
therefore,  | Some S is not P.

Заключения двух силлогизмов, таким образом, оказываются идентичными.

353. Выяснить, в каких из действительных силлогизмов комбинация одной посылки с субконтрарным суждением к заключению установила бы субконтрарное суждение к другой посылке. [J.]

В исходном силлогизме (α) пусть X (общее) и Y (частное) доказывают Z (частное), причем меньший, средний и больший термины суть S, M и P соответственно. Тогда мы должны иметь другой силлогизм (β), в котором X и Z1 (субконтрарное суждение к Z) доказывают Y1 (субконтрарное суждение к Y). В β средним термином будет S или P. Ясно, что только один термин может быть распределен в α, если заключение утвердительное, и только два, если заключение отрицательное. Следовательно, S не может быть распределено в α, и отсюда следует, что оно не может быть распределено в посылках β. Средним термином β должен поэтому быть P, и поскольку X должно, следовательно, содержать P, оно должно быть большей посылкой α, а Y — меньшей посылкой. Z должно быть либо SiP, либо SoP. Во-первых, пусть Z = SiP. Тогда ясно, что X = MaP, Z1 = SoP, Y1 = SoM, Y = SiM. Во-вторых, пусть Z = SoP. Тогда Z1 = SiP, X = PaM или MeP или PeM (поскольку оно должно распределять P), Y1 = SiM (если X утвердительно) или SoM (если X отрицательно), Y = SoM или SiM соответственно. Следовательно, мы имеем четыре силлогизма, удовлетворяющих требуемым условиям, следующим образом:—

MaP | MeP | PeM | PaM
SiM | SiM | SiM | SoM
⎯⎯ | ⎯⎯ | ⎯⎯ | ⎯⎯
SiP | SoP | SoP | SoP

Можно заметить, что это все модусы первой и второй фигур, в которых одна посылка является частной.

354. Возможно ли, чтобы существовал действительный силлогизм такой, что при обращении каждой из посылок получается новый силлогизм, дающий заключение, в котором старые больший и меньший термины поменялись местами? Докажите правильность вашего ответа общим рассуждением, и если он утвердительный, 408 определите силлогизм или силлогизмы, выполняющие данные условия. [K.]

Если такой силлогизм возможен, он не может иметь две утвердительные посылки, иначе (поскольку A может быть обращено только per accidens) мы имели бы две частные посылки в новом силлогизме. Следовательно, исходный силлогизм должен иметь одну отрицательную посылку. Это не может быть O, поскольку O необратимо. Следовательно, одна посылка исходного силлогизма должна быть E. Во-первых, пусть это будет большая посылка. Тогда меньшая посылка должна быть утвердительной, и ее обращение (будучи частным утвердительным) не будет распределять ни один из своих терминов. Но это обращение будет большей посылкой нового силлогизма, который также должен иметь отрицательное заключение. Мы получили бы тогда незаконный больший термин в новом силлогизме; и, следовательно, вышеуказанное допущение не даст нам желаемого результата. Во-вторых, пусть меньшая посылка исходного силлогизма будет E. Большая посылка, чтобы распределить старый больший термин, должна быть A, с большим термином в качестве субъекта. Мы получаем тогда следующее, удовлетворяющее данным условиям:—

All P is M,

No M is S, or No S is M,

therefore, No S is P, or Some S is not P ;

то есть у нас действительно есть четыре силлогизма, такие, что при обращении обеих посылок, таким образом,

No S is M, or No M is S,

Some M is P,

мы имеем новый силлогизм, дающий заключение, в котором старые больший и меньший термины поменялись местами, а именно:

Некоторое P не есть S.

Символически:—

| PaM, |  |  |  | SeM, | ⎱
| MeS, | ⎱ |  | or | MeS, | ⎰
or | SeM, | ⎰ |  |  | MiP, |
| ⎯⎯ |  |  |  | ⎯⎯ |
∴  or | SeP SoP | ⎱ ⎰ |  | ∴  | PoS. |

Если требуется сохранить количество исходного заключения, это заключение должно быть SoP, в этом случае у нас есть только два силлогизма, выполняющих данные условия.

355. Показать, что если доля B из класса A больше, чем из класса не-A, то доля 409 A из класса B будет больше, чем из класса не-B. 439 [J.]

439 Эту и следующую проблему нельзя должным образом назвать проблемами силлогизма. Они даны как примеры в численной логике.

Пусть число A обозначается через N(A), число AB — через N(AB) и т. д. Тогда, поскольку «Всякое A есть AB или Ab» (по закону исключенного третьего) и «Ни одно A не есть одновременно AB и Ab» (по закону противоречия), отсюда следует, что

N(A) = N(AB) + N(Ab).

Мы должны показать, что

N(AB) |  | N(Ab)
⎯⎯ | > | ⎯⎯
N(B) |  | N(b)

вытекает из

N(AB) |  | N(aB)
⎯⎯ | > | ⎯⎯ .
N(A) |  | N(a)

Это может быть сделано путем подстановки

N(AB) + N(Ab) вместо N(A) и т. д.

Таким образом,

| N(AB) |  | N(aB)
| ⎯⎯ | > | ⎯⎯ ,
| N(A) |  | N(a)
| N(a) |  | N(A)
∴ | ⎯⎯ | > | ⎯⎯ ,
| N(aB) |  | N(AB)
| N(aB) + N(ab) |  | N(AB) + N(Ab)
∴ | ⎯⎯ | > | ⎯⎯ ,
| N(aB) |  | N(AB)
| N(ab) |  | N(Ab)
∴ | ⎯⎯ | > | ⎯⎯ ,
| N(aB) |  | N(AB)
| N(ab) |  | N(aB)
∴ | ⎯⎯ | > | ⎯⎯ ,
| N(Ab) |  | N(AB)
| N(Ab) + N(ab) |  | N(AB) + N(aB)
∴ | ⎯⎯ | > | ⎯⎯ ,
| N(Ab) |  | N(AB)
| N(b) |  | N(B)
∴ | ⎯⎯ | > | ⎯⎯ ,
| N(Ab) |  | N(AB)
| N(AB) |  | N(Ab)
∴ | ⎯⎯ | > | ⎯⎯ .
| N(B) |  | N(b)

356. Дано число (U) объектов во Вселенной и число объектов в каждом из классов x1, x2, x3, … xn; показать, что наименьшее число объектов в классе (x1x2x3…xn)

= U − N(x1) − N(x2) − N(x3) … − N(xn). 410

где N(x1) означает число вещей, которые не суть x1; N(x2) означает число вещей, которые не суть x2; и т. д. [J.]

Даны N(x1), N(x2) и т. д., число объектов в классе (x1 или x2 … или xn) наибольшее, когда ни один объект не принадлежит ни к одной паре классов x1, x2, …; и в этом случае оно = N(x1) + N(x2) … + N(xn). Следовательно, наименьшее число в противоречащем классе, x1x2x3…xn,

= U − N(x1) − N(x2) … − N(xn).

357. Доказать, что с тремя данными пропозициями (видов A, E, I, O) никогда невозможно построить более одного действительного силлогизма. [K.]

358. При допущении, что ни одна пропозиция не интерпретируется как подразумевающая существование либо своего субъекта, либо своего предиката, найти, в каких случаях сведение силлогизмов к первой фигуре недействительно. [K.]

359. Дан действительный силлогизм; определить условия, при которых противоречащие суждения к посылкам предоставят посылки для другого действительного силлогизма, содержащего те же термины. Как заключения двух силлогизмов будут связаны друг с другом? [K.]

360. Показать, что число нищих, которые являются слепыми мужчинами, равно избытку, если таковой имеется, суммы общего числа слепых лиц, сложенного с общим числом лиц мужского пола, сложенного с числом тех, кто, будучи нищими, не являются ни слепыми, ни мужчинами, над суммой общего числа нищих, сложенного с числом тех, кто, не будучи нищими, являются слепыми, и с числом тех, кто, не будучи нищими, являются мужчинами. [Jevons, Principles of Science.]

361. Показать, что если X и Y — любые две пропозиции, содержащие общий термин, то (a) одна из четырех комбинаций XY, XY', X'Y, X'Y' всегда будет образовывать неусиленные посылки для действительного силлогизма; (b) либо только одна из четырех комбинаций сделает это; или, если две, то силлогизмы, так образованные, будут одного и того же модуса. [RR.]

362. Два аргумента, посылки которых взаимно согласуются, но которые содержат субконтрарные заключения, образованы в одной и той же фигуре с тем же средним термином. Выяснить непосредственно из общих правил силлогизма, что можно узнать относительно модусов и фигуры двух данных аргументов. [J.]

411 363. Некоторые M не суть P, Все S суть все M. Какое заключение вытекает из комбинации этих посылок? Можете ли вы вывести что-либо либо о S в терминах P, либо о P в терминах S из знания того, что обе вышеуказанные пропозиции ложны? [K.]

364. (i) Либо все M суть все P, либо некоторые M не суть P; (ii) Некоторые S не суть M. Что можно вывести (a) о S в терминах P, (b) о P в терминах S из знания того, что оба вышеуказанных утверждения ложны? [K.]

365. (a) «Хороший характер — доказательство хорошей совести, а комбинация этих — доказательство хорошего пищеварения, которое, в свою очередь, всегда производит то или другое». Показать, что это в точности эквивалентно следующему: «Хороший характер — доказательство хорошего пищеварения, а хорошее пищеварение — хорошей совести». (b) Исследовать (с помощью диаграмм или иным образом) следующий аргумент: «Патриотизм и гуманизм должны быть либо несовместимы, либо неразделимы; и хотя семейная привязанность и гуманизм совместимы, однако каждый может существовать без другого; следовательно, семейная привязанность может существовать без патриотизма». Сведите аргумент, если можете, к обычной силлогистической форме; и определите, утверждают ли посылки что-либо большее, чем необходимо для доказательства заключения. [J.]

366. «Все научные лица готовы учиться; все ненаучные лица доверчивы; следовательно, некоторые, кто доверчив, не готовы учиться, и некоторые, кто готов учиться, не доверчивы». Показать, что обычные правила непосредственного и опосредованного вывода оправдывают это рассуждение; но что при избегании таким образом кажущегося незаконного процесса вовлекается определенное допущение. Показать также, что, принимая действительность обверсии и простого обращения, мы имеем аналогичный случай в любом выводе частного из общего. [J.]

367. Недействительный силлогизм второй фигуры с частной посылкой нарушает общие правила силлогизма только в том, что средний термин не распределен. Если частная посылка ложна, а другая истинна, что мы знаем об истинности или ложности заключения? [K.]

368. Установлено, что силлогизм не нарушает ни одного из правил силлогизма, за исключением того, что при двух утвердительных посылках он имеет отрицательное заключение. Определите модус и фигуру этого силлогизма. [К.]

412 369. Даны два правильных силлогизма в одной и той же фигуре, в которых больший, средний и меньший термины соответственно совпадают. Покажите, не обращаясь к мнемоническим стихам, что если меньшие посылки являются противоречащими друг другу, то заключения не будут противоречащими друг другу. [К.]

370. Найдите два силлогизма, не имеющих ни усиленных посылок, ни ослабленных заключений, и имеющих M и N соответственно в качестве своих средних терминов, которые удовлетворяют следующим условиям: (a) их заключения должны быть подпротивными; (b) их посылки должны доказывать, что «некоторое M есть N», и быть совместимыми с тем фактом, что «некоторое M не есть N». [Дж.]

371. Возможно ли существование двух силлогизмов, имеющих общую посылку, таких, что их заключения, будучи объединенными в качестве посылок в новом силлогизме, могут дать общее заключение? Если да, определите, какими должны быть эти два силлогизма. [Н.]

372. Три данные пропозиции образуют посылки и заключение правильного силлогизма, который не является ни усиленным, ни ослабленным. Покажите, что если две из этих пропозиций заменить их контра-комплементарными, аргумент останется правильным при условии, что пропозиция, оставшаяся без изменений, является либо общей посылкой, либо частным заключением. [Дж.]

373. Некоторая пропозиция выступает в качестве меньшей посылки силлогизма второй фигуры, чей больший термин есть X. Та же пропозиция выступает также в качестве большей посылки силлогизма третьей фигуры, чей меньший термин есть Y. Если данные силлогизмы являются формально и содержательно правильными, покажите, как в каждом случае мы можем силлогистически заключить, что «некоторое Y не есть X». [Дж.]

374. Найдите правильные силлогизмы, которые могут быть построены без использования общей посылки того же качества, что и заключение. Покажите, как эти силлогизмы могут быть непосредственно сведены друг к другу; и представьте диаграмматически совокупную информацию, которую они дают, при допущении, что они имеют одни и те же меньший, средний и больший термины соответственно. [Дж.]

375. Выразите точную информацию, содержащуюся в двух пропозициях «Всякое S есть M», «Всякое M есть P», посредством: (1) двух пропозиций, имеющих S и не-S соответственно в качестве субъектов; (2) двух пропозиций, имеющих M и не-M соответственно в качестве субъектов; (3) двух пропозиций, имеющих P и не-P соответственно в качестве субъектов. [К.]

ГЛАВА IX.

ХАРАКТЕРИСТИКИ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.

376. Природа логического умозаключения. Вопрос о природе и характеристиках умозаключения, поскольку его решение зависит от более или менее произвольного значения, которое мы решаем придать термину «умозаключение», является чисто вербальным вопросом. Однако противоречия, к которым привел этот вопрос, зависят не столько от вербальных соображений; и тот факт, что они отчасти зависят от них, скорее увеличил, чем уменьшил трудности, которыми окружена эта проблема.

В целом принято считать, что умозаключение предполагает переход мысли от данного суждения или комбинации суждений к некоторому новому суждению. Однако одного этого недостаточно, чтобы составить умозаключение в логическом смысле. Формирование новых суждений путем бессознательной ассоциации идей является психологическим процессом, который можно было бы подвести под вышеприведенное описание; но это не то, что мы подразумеваем под логическим умозаключением.

(1) Во-первых, существенной характеристикой логического умозаключения является то, что переход мысли должен осознаваться как таковой. Связь между суждением или суждениями, от которых мы исходим, и новым суждением, к которому мы приходим, должна быть такой, которую мы, по крайней мере при рефлексии, явно осознаем.

(2) Но и это само по себе недостаточно. Должно также присутствовать понимание того, что этот переход мысли является правильным; иными словами, должно быть признание того, что принятие первоначально данных суждения или суждений 414 составляет достаточное основание или причину для принятия нового суждения.

Таким образом, в логическом умозаключении я не просто перехожу от P к Q; я осознаю, что делаю это. И я далее понимаю, что при допущении истинности P, истинность Q следует с необходимостью. Короче говоря, для логического умозаключения требуется наличие логического отношения между посылкой или посылками и заключением, а не просто психологического отношения между антецедентами и консеквентами в ходе мыслительного процесса.

Это различие между логическим и психологическим можно кратко проиллюстрировать ссылкой на то, что известно как приобретенные восприятия. Психологи, например, согласны с тем, что наше восприятие расстояния через чувство зрения или чувство слуха не является непосредственным, а приобретается в ходе опыта. Здесь мы имеем случай, когда одно восприятие порождает другое; но нет сознательного перехода от посылок к заключению, и нет ничего, что можно было бы правильно назвать умозаключением. Следовательно, мы должны отвергнуть утверждение Милля о том, что «большая часть того, что кажется наблюдением, на самом деле является умозаключением» (Логика, IV. 1, § 2), поскольку это утверждение основано — как это во многом и есть — на позиции, что большая часть наших восприятий является приобретенной, а не непосредственной. Здесь, как и в связи с некоторыми другими его более важными логическими доктринами, Милль уязвим для обвинения в неспособности различить причину убеждения и его основание или повод.

377. Парадокс умозаключения. Описание логического умозаключения, данное в предыдущем разделе, ведет непосредственно к фундаментальной трудности, которую неизбежно выдвигает на первый план любое обсуждение этого предмета. Мы фактически сталкиваемся с тем, что метко названо «парадоксом умозаключения». С одной стороны, мы должны продвигаться к чему-то новому; заключение умозаключения должно отличаться от посылок и, следовательно, должно выходить за их пределы. С другой стороны, истинность заключения необходимо следует из истинности посылок, и поэтому заключение должно в некотором смысле содержаться в посылках.

Здесь может показаться, что есть противоречие; и этот взгляд 415 имеет тенденцию подтверждаться, когда обнаруживается, что две упомянутые характеристики умозаключения используются разными школами логиков таким образом, что в совокупности они лишают категорию умозаключения какого-либо содержания вообще.

С одной стороны, делая упор на характеристике новизны, мы можем прийти к сомнению в том, можно ли вообще правильно называть формальное умозаключение таковым. Ибо во всяком таком умозаключении заключение неявно содержится в посылках, и, высказывая посылки, мы фактически уже обязались принять заключение. Как же тогда можно сказать, что мы делаем какое-либо продвижение к чему-то действительно новому?

С другой стороны, делая упор на характеристике необходимости, мы можем прийти к сомнению в том, можно ли вообще правильно называть индуктивное умозаключение таковым. Ибо в таком умозаключении ложность заключения не является доказуемо несовместимой с истинностью посылок. Мы можем утверждать, что если посылки истинны, то заключение будет истинным. Но можем ли мы утверждать, что оно должно быть истинным, если мы также не утверждаем, что, утверждая посылки, мы фактически утвердили и заключение? И тогда мы возвращаемся к другому рогу дилеммы.

Это не то место, где следует обсуждать данную трудность с точки зрения индуктивной логики. Мы должны, однако, попытаться найти решение с точки зрения формальной логики.

378. Природа различия, которое должно существовать между посылками и заключением в умозаключении. Чтобы найти решение этой трудности, насколько это касается формального умозаключения, мы должны продолжить наш анализ. Мы сказали, что заключение должно отличаться от посылки или посылок. Но мы еще не спросили, какова должна быть природа этого различия или в чем оно должно состоять; и именно от ответа на этот вопрос зависит все.

Если мы рассмотрим два предложения, мы обнаружим, что они могут отличаться друг от друга с трех различных точек зрения, представляющих три степени различия.

(1) Во-первых, два предложения могут отличаться друг от друга только с вербальной точки зрения; то есть, хотя они и различаются словами, из которых они состоят, они могут иметь одно и то же значение, и то, что одно из них призвано передать 416 уму, может быть в точности тем же, что призвано передать другое. В этом случае, рассматриваемые как пропозиции, а не как простые предложения, их нельзя назвать действительно различными вообще; ибо они не представляют различных суждений.

Это (если взять пример из Джевонса) применимо к двум таким предложениям, как «Виктория есть королева Англии», «Виктория есть английская королева». Это применимо также к утверждению, выраженному на данном языке, и тому же утверждению, переведенному на второй язык, при условии, что возможен абсолютно буквальный перевод.

Действительно, некоторыми авторами утверждалось, что различие в выражении обязательно влечет за собой некоторое различие в мысли. Но это, во всяком случае, по-видимому, не так, когда одно слово заменяется другим, полностью совпадающим с ним как по денотации, так и по коннотации (как полагает говорящий). Когда один сложный термин заменяется другим (например, «английская королева» вместо «королева Англии»), это, несомненно, может повлечь за собой некоторое изменение в порядке мысли; но это не требует какого-либо изменения значения в мысли, рассматриваемой в целом. Опять же, мы, возможно, не должны говорить, что одна и та же пропозиция, выраженная на двух разных языках, имеет абсолютно одинаковый ментальный эквивалент, поскольку осознание самих слов, из которых состоит пропозиция, может составлять часть ее ментального эквивалента. Но, как и прежде, это не меняет значения, которое пропозиция призвана передать.

Следует добавить, что когда мы имеем суждение, выраженное на двух разных языках или в двух разных формах на одном и том же языке, вовлекается (или может быть вовлечено) дальнейшее суждение о том, что два способа выражения эквивалентны. Однако здесь поднимается отдельный вопрос. 440

440 Этот вопрос, я думаю, вовлечен в аргумент, использованный мисс Джонс (в статье в Mind, апрель 1898 г.) в поддержку доктрины о том, что мы имеем умозаключение всякий раз, когда переходим от данной пропозиции к другой, которая вербально отличается от нее; например, от «Виктория есть королева Англии» к «Виктория есть английская королева». Переход от одной из этих пропозиций к другой, по мнению мисс Джонс, является не формальным непосредственным умозаключением, а силлогизмом, в котором должна быть добавлена подразумеваемая посылка: таким образом, «Виктория есть королева Англии», «Королева Англии есть английская королева», следовательно, «Виктория есть английская королева». Может показаться, добавляет мисс Джонс, тщетным или даже пурильским излагать подробно то, что все или почти все знают без подсказок; но могут быть случаи (например, случай ребенка или иностранца, изучающего английский язык), в которых приходится проходить через рассуждение такого рода.

Мне кажется, что здесь имеет место неспособность различить две разные точки зрения. Мы, несомненно, можем сделать умозаключение об эквивалентности значения двух терминов или двух выражений, когда весь аргумент касается значения терминов или силы выражений. Таким образом, чтобы взять (или, скорее, адаптировать) другой пример мисс Джонс, мы можем легко признать, что существует умозаключение, если немец аргументирует, что поскольку слово Valour эквивалентно по значению слову Tapferkeit, а слово Bravery также эквивалентно по значению слову Tapferkeit, следовательно, слова Valour и Bravery эквивалентны по значению. Опять же, ребенок или иностранец может прийти путем умозаключения к эквивалентности таких форм, как «королева Англии» и «английская королева». Но в приведенном выше силлогизме первая посылка и заключение являются утверждениями факта, в то время как вторая посылка является утверждением о способах выражения, смысл которого: «Выражение «королева Англии» эквивалентно выражению «английская королева»». Следовательно, здесь более трех терминов, и у нас нет собственно силлогизма вообще. Насколько в предполагаемом случае есть умозаключение, оно будет чем-то вроде следующего: «Форма слов «королева Англии» эквивалентна по значению форме слов «английская королева»», следовательно, «Суждение, которое выражено в форме «Виктория есть королева Англии», может быть также выражено в форме «Виктория есть английская королева»». Это умозаключение, если оно есть, которое сделал бы иностранец, изучающий язык; и оно сильно отличается от претензии на переход от суждения «Виктория есть королева Англии» к суждению «Виктория есть английская королева».

417 (2) Во-вторых, мы можем иметь различие, которое выходит за рамки простого различия в выражении и составляет различие в субъективном значении, хотя с объективной точки зрения различия может и не быть. В этом случае мы имеем две различные пропозиции, а не просто два разных предложения, и эти пропозиции являются выражениями двух разных суждений.

Это отношение, на мой взгляд, существует между пропозицией и ее контрапозитивом; например, между двенадцатой аксиомой Евклида: «Если прямая линия пересекает две прямые линии так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти прямые линии, будучи продолженными, в конце концов встретятся с той стороны, на которой находятся углы, сумма которых меньше двух прямых углов», и второй частью двадцать девятой пропозиции его первой книги: «Если прямая линия падает на две параллельные прямые линии, она сделает два 418 внутренних угла по одну сторону в сумме равными двум прямым углам». Нельзя сказать, что в таком случае мы имеем какое-либо объективное различие, какое-либо различие в сути утверждаемого факта; но в то же время мы утверждаем, что два суждения, которым дано выражение, не должны рассматриваться как идентичные qua суждения.

К этому различию мы вскоре вернемся с более спорной точки зрения.

(3) В-третьих, наши предложения могут отличаться не только с вербальной и субъективной точек зрения, но и с объективной точки зрения; они могут утверждать различные факты. Как, например, если одно из них утверждает, что весь калий, с которым мы экспериментировали, загорается при бросании в воду, а другое — что кусок калия, с которым мы еще не экспериментировали, сделает то же самое.

Теперь во всех трех этих случаях мы имеем новизну, и вопрос, который нужно решить, заключается в том, какой из трех видов новизны необходим для того, чтобы мы имели умозаключение. Я считаю, что правильный ответ заключается в том, что для умозаключения субъективная новизна необходима и достаточна.

Существует практически всеобщее согласие в том, что для умозаключения требуется нечто большее, чем просто различие в вербальном выражении. 441

441 Мисс Джонс утверждает, что вербального различия достаточно; но это только потому, что она также утверждает, как мы видели, что мы не можем иметь просто вербального различия, то есть различия в выражении без различия в мысли.

Объективная новизна, безусловно, достаточна, но необходима ли она? Это утверждается писателями школы Милля. Это, конечно, может быть просто вопросом определения; то есть умозаключение может быть определено ab initio таким образом, чтобы требовать, чтобы достигнутое заключение выражало некоторый объективный факт, не содержащийся в данных, на которых оно основано. Поскольку вопрос решен таким образом по определению, из этого без споров следует, что контрапозиция, силлогизм и другие формальные умозаключения (так называемые) вообще не должны правильно называться умозаключениями. Но здесь вовлечено нечто гораздо большее, чем просто вопрос определения. Те, кто требует объективной новизны, по-видимому, считают, что без нее мы не можем иметь ничего, кроме простой 419 вербальной новизны. Они упускают из виду, или, во всяком случае, практически отрицают возможность принятия промежуточного курса, при котором мы можем иметь нечто большее, чем вербальная новизна, но нечто меньшее, чем объективная новизна.

Здесь мы имеем одну форму, в которой проявляется основной спорный момент относительно природы умозаключения. Возможно ли, чтобы два суждения были различными qua суждения, хотя с объективной точки зрения одно из них не утверждает ничего, что не было бы также утверждено другим? Или, иначе говоря, могут ли два суждения (или наборы суждений) быть различными как суждения, хотя они не являются логически независимыми, то есть хотя между ними существуют самоочевидные отношения, такие, что истинность одного из них влечет за собой истинность другого?

Я готов признать, что нелегко провести четкую границу, определяющую, где заканчивается простая вербальная новизна и начинается субъективная новизна. Однако, прежде чем пытаться справиться с этой трудностью, я постараюсь показать, что, несомненно, существуют случаи, в которых мы имеем прогресс в мысли, не достигая ничего объективно нового.

Милль, приведя примеры так называемых непосредственных умозаключений, говорит: «Во всех этих случаях нет действительно никакого умозаключения; в заключении нет новой истины, ничего, кроме того, что уже было утверждено в посылках и очевидно для всякого, кто их понимает» (Логика, II. 1, § 2). Теперь, безусловно, верно, что в любом формальном умозаключении заключение неявно содержится в посылках и не утверждает абсолютно нового факта. Но одно дело сказать, что заключение виртуально содержится в определенных посылках, и совсем другое — сказать, что оно очевидно для всякого, кто понимает посылки. Отождествление этих двух позиций является одним из печальных последствий принятия простого обращения в качестве типа всех непосредственных умозаключений и единственного силлогизма в Barbara в качестве типа всех опосредованных формальных умозаключений. Кому-то может быть трудно понять, что «никакое S не есть P», не понимая сразу, что «никакое P не есть S», или понять посылки силлогизма в Barbara, не понимая сразу и заключение. Эти случаи потребуют обсуждения; но сейчас мы больше озабочены тем, чтобы указать 420 на то, что существуют другие формальные умозаключения, против которых нельзя выдвинуть подобное обвинение в очевидности.

Все теоремы геометрии виртуально содержатся в определенных аксиомах и постулатах, и если мы можем исчерпывающе перечислить аксиомы, то в некотором смысле не остается нового геометрического факта, который мы могли бы утверждать. Тем не менее, никто не сказал бы, что вся геометрия сразу очевидна для любого, кто ясно понял аксиомы. Мы, однако, более подробно рассмотрим силлогистическое умозаключение в более позднем разделе. В настоящее время мы в основном ограничимся непосредственными умозаключениями.

Чтобы показать, что заключение непосредственного умозаключения не всегда сразу очевидно для любого, кто ясно понимает данную посылку, можно указать на то, что у Евклида принято давать независимые доказательства контрапозитивов. 442 Например, вторая часть Евклида I. 29 является контрапозитивом аксиомы 12. Но невозможно предположить, что если бы Евклид рассматривал I. 29 как не действительно отличную от аксиомы 12, а просто как повторение этой аксиомы другими словами, он дал бы ее подробное доказательство. Ниже приведены два других довольно простых примера непосредственных умозаключений: «Где отсутствует B, там либо A и C оба присутствуют, либо A и D оба отсутствуют», следовательно, «Где отсутствует C, там либо B присутствует, либо D отсутствует»; «Где присутствует A, там либо B и C оба присутствуют, либо C присутствует без D, либо C присутствует без F, либо H присутствует», следовательно, «Где отсутствует C, мы никогда не находим H отсутствующим, при условии, что A присутствует».

442 См. примечание 4 на стр. 136.

В таких случаях, как эти, а они являются сравнительно простыми в своем роде, нельзя утверждать, что заключение сразу очевидно, когда дана посылка. На самом деле, ошибки нередко совершаются в непосредственных умозаключениях еще более простого и элементарного характера.

379. Прямой смысл и импликации пропозиции. В этот момент может справедливо возникнуть вопрос о том, как мы определяем, какова явная сила данной пропозиции, при условии, что пропозиция ясно понята и полностью усвоена умом. На этот вопрос отнюдь не легко 421 ответить, и трудность, которую он представляет, является источником сомнения, которое иногда возникает, когда мы пытаемся провести границу между непосредственными умозаключениями и простыми вербальными преобразованиями.

Если непосредственные умозаключения возможны, мы должны быть способны различать прямой логический смысл (или значение) пропозиции и ее логические импликации; и должно быть возможно полностью понять значение, не обязательно осознавая при этом все импликации. 443 Мы можем начать с различения: (1) содержания суждения, действительно присутствующего в нашем уме, когда мы высказываем или принимаем пропозицию в обычном дискурсе или при обычном чтении; (2) содержания суждения, которое при рефлексии мы способны рассматривать как составляющее полное логическое значение пропозиции; (3) содержания этого суждения вместе с содержанием других суждений, которые оно логически подразумевает.

443 Сравните раздел 48.

(1) — это психологический продукт, который может быть, и обычно является, логически несовершенным; то есть его нужно расширить, чтобы мы полностью осознали значение пропозиции. Такое расширение нельзя рассматривать как составляющее умозаключение. Ибо при совершении любого умозаключения нашей отправной точкой должна быть пропозиция, рассматриваемая в ее логическом характере. Умозаключение появляется, когда мы переходим от (2) к (3). Однако возникает вопрос о том, насколько далеко должно заходить расширение, если наша цель — остановиться на (2). Иными словами, где заканчивается значение и начинается импликация?

Ранее было отмечено, что при приписывании данным комбинациям слов их логического смысла существует определенный элемент произвольности. Часто существует аналогичный элемент произвольности при формулировании фундаментальных аксиом науки, а также при составлении определений. Так, в геометрии мы не можем обойтись без некоторой специальной аксиомы, касающейся параллельных прямых линий, но у нас есть некоторый выбор относительно того, какой должна быть эта аксиома. Следовательно, то, что является аксиомой в одной системе, может быть теоремой в другой, и vice versa. Аналогично, должно ли Q рассматриваться как часть значения P или как умозаключение из P, может быть относительным к интерпретации 422, принятой для расписания пропозиций, к которому принадлежит P. Некоторые иллюстрации этого момента будут даны в ближайшее время.

Мы привели случаи, в которых кажется ясным, что мы имеем умозаключение, а не просто вербальное преобразование. Но в большинстве этих случаев могут быть вставлены промежуточные шаги; и если это делается в максимально возможной степени, прогресс на каждом шаге может быть настолько незначительным, что может быть совсем нелегко сказать, в чем именно заключается умозаключение.

Затем мы должны перейти к рассмотрению предельных случаев, в которых может быть законное сомнение относительно того, имеем ли мы умозаключение или нет. Одним из таких случаев является обращение. Вопрос о том, существует ли умозаключение при обращении, может быть сам по себе, как выражается г-н Бозанкет, «пунктом малого интереса» (Essentials of Logic, стр. 141). Тем не менее, как предельный случай, его не следует легко отбрасывать, когда мы пытаемся решить, что фундаментально составляет умозаключение.

Мне кажется, что обращение является процессом умозаключения, если мы имеем дело с расписанием пропозиций, в котором принято предикативное прочтение. В таком расписании первичный смысл различных пропозиций включает дифференциацию между субъектом и предикатом, и предикация P к S или отрицание того, что P может быть предикацией к S, — это иное дело, чем предикация S к P или отрицание того, что S может быть предикацией к P. Более того, мы можем понять одно отношение, не обязательно осознавая, влечет ли оно за собой другое или нет. Но в эквациональной системе все иначе. Если утверждается, что два класса идентичны, то это лишь вербальный вопрос, какой из них упомянут первым, и мы не можем считать, что сделали какой-либо прогресс в мысли, когда мы просто меняем порядок, в котором они названы. Из этого следует, что мы должны считать, что имеем умозаключение, когда сводим пропозицию, выраженную предикативно, к эквациональной форме.

В любом расписании контрапозиция (или процесс, аналогичный контрапозиции) представляет себя как умозаключение. В одном случае мы имеем «Всякое S есть P», следовательно, «Все, что не есть P, не есть S»; в другом случае, S = SP, следовательно, P' = P'S'.

Предположим снова, что у нас есть экзистенциальное расписание, и что мы исходим из пропозиции SP' = 0 [Нет ничего, что есть 423 S и в то же время не есть P]. Здесь то, что соответствует обращению, — это переход к «Либо PS > 0, либо S = 0» [Есть нечто, что есть и P, и S, или же S несуществующее]; и то, что соответствует контрапозиции, — это переход к P'S = 0 [Нет ничего, что не есть P и в то же время есть S]. Обращение, но не контрапозиция, теперь представляется как процесс умозаключения. Из этого следует, что существует умозаключение, когда мы переходим к этому расписанию из любого другого, или vice versa.

Дальнейшее следствие, которое можно извлечь из вышеприведенных соображений, заключается в том, что если пропозиции даны случайно, умозаключение может потребоваться в самом начале, чтобы адаптировать их к данному логическому расписанию, хотя, как правило, это не будет необходимо. Этот момент уже был затронут в разделе 48.

380. Силлогизмы и непосредственные умозаключения. В вышеприведенном аргументе мы ограничились в основном рассмотрением непосредственных умозаключений. Тот же вопрос в отношении силлогизма обычно представляется в несколько иной форме, а именно: включает ли каждый силлогизм petitio principii; и мы обсудим его в этой форме в следующем разделе. Тем временем мы можем заметить, что если нет такой вещи, как непосредственное умозаключение в собственном смысле слова, то претензии силлогизма на содержание умозаключения становятся очень трудными для поддержания. Ибо с помощью непосредственных умозаключений посылки силлогизма могут быть объединены в единую пропозицию, и заключение может быть затем получено как непосредственное умозаключение из этой комбинации. 444

444 Сравните раздел 207.

В качестве примера мы можем взять силлогизм в Barbara: 445

| All M is P, | (1)
| All S is M, | (2)
therefore,  | All S is P. |

Из (1),

| Everything is m or P,
therefore,  | Every S is m or P.

Объединяя это с (2), мы имеем

«Всякое S есть M, а также m или P»; (3)

следовательно, «Всякое S есть MP» (поскольку ничто не может быть Mm);

следовательно, «Всякое S есть P».

445 В аргументе, который следует, m = не-M, s = не-S.

424 Все вышеперечисленные шаги являются непосредственными умозаключениями, за исключением комбинации, которая дает (3). Следовательно, если мы считаем, что силлогизм есть умозаключение, в то время как так называемое непосредственное умозаключение таковым не является, мы должны рассматривать все умозаключение как сконцентрированное в простом объединении двух пропозиций в одну пропозицию; и это вряд ли позиция, которую можно принять.

Данный силлогизм можно также свести следующим образом: Из (1) следует, что «Все есть m или P»; (4) и из (2) мы получаем «Все есть s или M». (5) Объединяя (4) и (5), «Все есть (s или M) и (m или P)»; следовательно, «Все есть sm или sP или MP»; следовательно, «Всякое S есть P».

Мы можем попутно отметить, что если элиминация рассматривается как составляющая сущность умозаключения, то в каждом из вышеприведенных разрешений силлогизма все умозаключение сконцентрировано в последнем шаге, и это опять же кажется парадоксальным.

381. Обвинение в Petitio Principii, выдвинутое против силлогистического рассуждения. 446 Возражение против силлогистического рассуждения о том, что оно обязательно включает petitio principii, имеет значительную древность. Так, Секст Эмпирик (около 200 г. н.э.), один из поздних скептиков, стремясь опровергнуть возможность демонстрации, приводил в качестве одного из своих аргументов то, что каждый силлогизм движется по кругу, поскольку большая посылка, от которой зависит доказательство заключения, требует для своего собственного установления полного перечисления случаев, среди которых должно быть включено и само заключение. 447 То же возражение против силлогизма выдвигается многими современными логиками, включая Милля и его последователей. «Должно быть признано, — говорит Милль, — что в каждом силлогизме, рассматриваемом как аргумент для доказательства заключения, есть petitio principii» (Логика, II. 3, § 2).

446 Существует очень хорошее обсуждение этого вопроса в «Эмпирической логике» Венна, глава 15. Читателя также можно отослать к изданию Олдрича Мансела, примечание E, и к «Логике» Лотце, §§ 98–100.

447 Сравните Юбервег, «История философии» (английский перевод, I, стр. 216).

Можно сразу сказать, что правдоподобность аргумента, с помощью которого Милль стремится оправдать эту позицию, зависит 425 во многом от определенной двусмысленности, которая приписывается фразе petitio principii. Когда обвинение в petitio principii выдвигается против рассуждения, имеется ли в виду просто (1) то, что посылки не были бы истинными, если бы заключение также не было истинным, или имеется в виду (2) то, что заключение необходимо для доказательства одной из посылок? Очевидно, одно дело сказать, что посылки определенного рассуждения не могут быть истинными, если заключение не является истинным, и совсем другое — сказать, что мы не можем знать, что посылки истинны, если мы предварительно не знаем, что заключение таково, или сказать, что доказательство посылок требует, чтобы заключение уже было установлено. Только во втором из вышеуказанных смыслов petitio principii может рассматриваться как ошибка; и любой, кто, стремясь доказать, что каждый силлогизм виновен в ошибке petitio principii, лишь показывает, что силлогистическое рассуждение включает petitio principii в другом смысле, сам совершает ошибку ignoratio elenchi.

В своей систематической трактовке ошибок Милль классифицирует petitio principii среди ошибок смешения и цитирует с одобрением определение Уэйтли: это ошибка, «в которой одна из посылок либо явно совпадает по смыслу с заключением, либо фактически доказывается из него, либо является такой, которую лица, к которым вы обращаетесь, вряд ли знают или допустят, кроме как в качестве умозаключения из заключения» (Логика, V. 7, § 2 n.). Эта ошибка была описана как ошибка доказательства, а не ошибка умозаключения; то есть она возникает, когда мы спрашиваем, как должен быть установлен данный тезис, а не когда мы спрашиваем, что следует из данной гипотезы. Мы должны спросить, открыт ли каждый силлогизм для обвинения в petitio principii в этом смысле.

Очевидно, что ответ на вопрос в случае любого конкретного силлогизма зависит от оснований, на которых сами посылки утверждаются; и мы можем начать с привлечения внимания к определенным случаям, в которых справедливость обвинения должна быть признана, при условии, что заключение силлогизма рассматривается как тезис, который нужно доказать.

Один случай — это когда большая посылка является аналитической пропозицией. 448 Ибо если M по определению включает P среди своих 426 свойств, я не оправдан в том, чтобы говорить об S, что оно есть M, если я уже не убедился, что оно есть P. Ниже приведен пример: «Все треугольники имеют три стороны; фигура ABC есть треугольник; следовательно, она имеет три стороны».

448 Этот случай отмечен Лотце, «Логика», § 99.

Второй очевидный случай circulus in probando — это когда мы стремимся установить одну из посылок силлогизма с помощью другого силлогизма, в котором само конечное заключение появляется как посылка. Например: «Все M есть P (ибо все S есть P и все M есть S); и все S есть M; следовательно, все S есть P».

Третий случай, который для нашей непосредственной цели важнее любого из вышеперечисленных, — это когда большая посылка является перечислительной общей пропозицией, суммирующей ряд отдельных случаев, каждый из которых был рассмотрен отдельно. Например: «Все апостолы были евреями; Петр был апостолом; следовательно, Петр был евреем». Общая пропозиция, относящаяся к ограниченному классу, такому как апостолы, обычно устанавливается путем рассмотрения членов по отдельности; и если бы истинность общей пропозиции могла быть установлена только таким образом, то обвинение в том, что силлогистическое рассуждение обязательно включает petitio principii, не допускало бы опровержения. Это, по-видимому, предполагается в аргументе Секста Эмпирика, процитированном выше. Это также предполагается в следующей дилемме, которая была приведена как суммирующая доктрину Милля: «Если все факты большой посылки любого силлогизма были исследованы, силлогизм излишен; и если некоторые из них не были исследованы, это petitio principii. Но либо все были исследованы, либо некоторые не были. Следовательно, силлогизм либо бесполезен, либо ошибочен». Можно также процитировать собственный аргумент Милля: «Мы не можем быть уверены в смертности всех людей, если мы уже не уверены в смертности каждого отдельного человека» (Логика, II. 3, § 2). 449

449 Бэйн (Логика, Дедукция, стр. 208), взяв в качестве примера силлогизм «Все люди смертны, все короли — люди, следовательно, все короли смертны», спрашивает: «Предполагая, что есть какое-либо сомнение относительно заключения, что короли смертны, по какому праву мы провозглашаем в большей посылке, что все люди смертны, включая королей?». Затем он продолжает: «Чтобы сказать «Все люди смертны», мы должны были найти каким-то другим способом, что все короли и все люди смертны. Так что заключение сначала вносит свою долю в большую посылку, а затем забирает ее обратно». Ответ на вызов Бэйна заключается в том, что если мы сомневаемся в том, смертны ли короли, мы можем разрешить наше сомнение, показав, что короли принадлежат к классу, смертность которого признана. Вопрос тогда сводится к тому, возможно ли установить смертность человечества в целом без какого-либо явного рассмотрения частного случая королей.

427 Однако ни на мгновение нельзя допустить, что общие пропозиции допускают доказательство только путем перечисления. Пропозиции, которые допускают такое доказательство, действительно, в общем и целом, имеют малое значение. Силлогизм в основном ценен в умозаключительном плане, когда большая посылка является общей в самом полном и неограниченном смысле, то есть безусловно общей, выражающей общий закон, зависящий от качественных отношений. Истинный характер и ценность такой посылки, хотя обычно записываемой в форме «Всякое S есть P», лучше были бы выявлены использованием одной из форм: «Любое S есть P», «Что угодно, что есть S, есть также P», «Природа S — быть P», «Если что-либо есть S, оно есть P». 450

450 Зигварт утверждает, что для того, чтобы правильно понять ценность силлогизма, мы должны взять в качестве нашего типа условный (или, как он выражается, гипотетический), а не категорический силлогизм. Нам нужно, говорит он, лишь взглянуть на любой математический или физический учебник, чтобы убедиться, что подавляющее большинство пропозиций, которые используются в качестве больших посылок, являются гипотетическими по природе, если не по выражению. «Пропозиции, такие как «два круга, которые пересекаются, не имеют общего центра», гипотетичны по природе; пропозиция утверждает условие, при котором предикат отрицается... То же самое с формулами аналитической механики; эти и другие того же описания являются гипотетическими суждениями, и умозаключения делаются в соответствии с ними путем подстановки определенных значений для общих символов» (Логика, § 55). Зигварт, возможно, придает чрезмерное значение простому вопросу формы. Если наша большая посылка безусловно общая и понимается как таковая, то не влияет на характер рассуждения, принимаем ли мы категорический способ выражения или условный. Причина, по которой Зигварт останавливается на гипотетической силе большой посылки, во многом заключается в тривиальном характере примеров, которые принято приводить для чисто категорического силлогизма.

Нижеследующее можно отметить как типичные случаи, в которых основания для принятия истинности посылок силлогизма совершенно независимы от какого-либо явного знания истинности заключения.

(1) Большая посылка сама по себе может быть принята как аксиоматическая, или она может быть выводима (без помощи заключения) из более фундаментальных принципов, которые приняты как аксиоматические. Действительно, утверждалось, что самоочевидная максима не может быть использована, или, во всяком случае, излишня, в качестве доказательства, потому что любое заключение, которое она могла бы быть использована для установления, было бы само по себе столь же самоочевидным. 451 Рассмотрение обычных 428 геометрических доказательств, однако, сразу покажет, что это не обязательно так, и что с помощью самоочевидных посылок могут быть достигнуты заключения, которые, безусловно, сами по себе не являются самоочевидными.

451 Сравните Бэйли, «Теория рассуждения», стр. 74.

(2) Большая посылка может быть основана на авторитете или может быть принята на основе свидетельства; или она может быть выражением гражданского закона, или приказа, или правила поведения; 452 и ни в одном из этих случаев она не может быть в какой-либо степени основана на заключении.

452 «Мы находим, — говорит Зигварт, — широкое поле для наших умозаключений в применении общих законов, которые имеют свое происхождение в нашей воле и призваны регулировать эту волю. Устанавливая общее правило поведения, наша воля определяет, что должна существовать всеобщая действительная связь между определенными условиями и определенными способами действия. Если мы желаем общего закона, логически необходимо, чтобы мы желали частных действий, предписанных законом, если наша воля должна быть постоянной и последовательной, и действительной для каждого, кто согласен желать общего закона. Все уголовные кодексы, налагая наказание в виде тюремного заключения за кражу, смертной казни за убийство, устанавливают ряд гипотетических суждений, которые устанавливают всеобщую связь между совершением преступления и несением наказания. Эти суждения, более того, могут также рассматриваться как теоретические пропозиции, поскольку они выражают общую обязанность судьи выносить приговор в соответствии с законом» (Логика, I, стр. 337).

(3) Большая посылка может быть несовершенной индукцией, основанной на доказательствах, которые не включают заключение. В качестве примера мы можем взять рассуждение, вовлеченное в проверку природы данного вещества в практической химии. В рассуждении такого рода нашей непосредственной отправной точкой является общее знание свойств химических веществ. Это знание было получено индуктивно, но невозможно, чтобы оно в малейшей степени зависело от какого-либо предшествующего знакомства со свойствами конкретного вещества, которое теперь должно быть исследовано впервые. Или, опять же, мы можем взять астрономические умозаключения, основанные на законе всемирного тяготения. Этот закон является индукцией, основанной на частных наблюдениях, но он подразумевает бесконечное число фактов, которые не составляют часть доказательств, на которых он принят как истинный; и многие из этих фактов в первую очередь доводятся до нашего сведения как умозаключения из закона, а не как данные, ведущие к нему. Если утверждается, что в таких случаях, как эти, большие посылки не могут быть законно установлены независимо от заключений, силлогистически выведенных из них, то 429 правильность несовершенной индукции как процесса достижения знания должна быть отрицаема.

Если бы его попросили ответить на аргумент, содержащийся в предыдущем абзаце, Милль, несомненно, сослался бы на свою доктрину функции большой посылки в силлогизме. Реальное доказательство заключения силлогизма, сказал бы он, находится не в самой большой посылке, а в доказательствах, на которых основана большая посылка: большая посылка — это не более чем меморандум доказательств, из которых заключение могло бы быть непосредственно получено: вмешательство большой посылки часто удобно, но оно не является существенным звеном в переходе от конечных данных к заключению. В ответ можно сказать, что здесь, во всяком случае, имеет место смещение почвы, и что доктрина Милля, даже если она принята, не оправдывает обвинение в том, что каждый силлогизм включает petitio principii; ибо признано, что заключение само по себе не составляет никакой части данных, из которых получена большая посылка. Мы должны, однако, пойти дальше и отвергнуть эту доктрину на том основании, что существуют, во всяком случае, некоторые случаи, в которых общий закон, выраженный большой посылкой, является абсолютно необходимым звеном в аргументе. Так, чтобы взять лишь одну иллюстрацию, существует много следствий закона всемирного тяготения, которые было бы совершенно невозможно вывести непосредственно из доказательств, лежащих за этим законом, без вмешательства самого закона.

Принимая во внимание случаи, подобные приведенным выше, мы должны отвергнуть взгляд, что силлогистическое рассуждение существенно включает petitio principii в смысле circulus in probando. Любая правдоподобность, которой может обладать противоположный взгляд, зависит от некоторого смешения между утверждением, что каждый силлогизм виновен в petitio principii в вышеуказанном смысле, и утверждением, что в каждом силлогизме посылки предполагают заключение в том смысле, что они не могли бы быть истинными, если бы заключение не было истинным.

Последнее утверждение применимо не только к силлогистическому, но и ко всем демонстративным умозаключениям. Вопрос может быть действительно поднят, не применимо ли оно ко всем правильным умозаключениям вообще. Это, фактически, один рог дилеммы, упомянутой в разделе 377.

В любом случае, называть рассуждение содержащим petitio principii на этом основании — значит злоупотреблять языком. Под petitio principii всегда понимается определенная форма логической ошибки. Однако в экспликации того, что изначально было лишь имплицитным, нет ничего, что при любом расширительном толковании языка можно было бы назвать ошибочным. Утверждение о том, что вся дедуктивная наука есть не что иное, как огромное petitio principii, является явным абсурдом. Максимум, что можно сказать, это то, что во всех демонстративных рассуждениях (так называемых) на самом деле нет вывода из посылок, а есть лишь интерпретация посылок. Поскольку это чисто языковой вопрос, достаточно отметить парадоксальные выводы, к которым он ведет; например, что во всей «Геометрии» Евклида нет ничего подобного выводу или доказательству. Поскольку же это не просто языковой вопрос, он сводится к моментам, которые мы уже обсуждали, например, к возможности прогресса в знании, рассматриваемого субъективно, хотя с объективной точки зрения полученные выводы не содержат ничего нового. Нет необходимости повторять обсуждение применительно к силлогизму.

ГЛАВА X.

ПРИМЕРЫ АРГУМЕНТОВ И ЛОГИЧЕСКИХ ОШИБОК.

382. В скольких различных модусах может быть сформулирован аргумент, подразумеваемый в следующем суждении: «Никто не может утверждать, что всякое преследование оправданно, кто признает, что преследование иногда неэффективно»? Как изменится формальная правильность рассуждения, если заменить «утверждать» на «отрицать»? [V.]

383. Никто не может утверждать, что все республики обеспечивают хорошее управление, кто помнит, что хорошее управление несовместимо с распущенной прессой. Какие посылки должны быть добавлены, чтобы выразить вышеприведенное рассуждение в модусах Ferio, Festino и Ferison соответственно? [V.]

384. Запишите следующие аргументы в силлогистической форме и сведите их к первой фигуре: (α) Фолкленд был роялистом и патриотом; следовательно, некоторые роялисты были патриотами. (β) Все, кто наказан, должны нести ответственность за свои действия; следовательно, если некоторые сумасшедшие не несут ответственности за свои действия, они не должны быть наказаны. (γ) Все, кто сдал Little-Go, знают греческий язык; следовательно, А.Б. не мог сдать Little-Go, так как он не знает греческого языка. [K.]

385. «Невозможно утверждать, что только добродетельные счастливы, и в то же время, что эгоизм совместим со счастьем, но несовместим с добродетелью». Сформулируйте вышеприведенный аргумент силлогистически в как можно большем количестве модусов. [J.]

386. Дайте техническое название следующему аргументу: «Оплата по результатам звучит чрезвычайно многообещающе; но оплата по результатам обязательно означает оплату за минимум знаний; оплата за минимум знаний означает обучение с целью достижения минимума знаний; обучение с целью достижения минимума знаний означает плохое обучение». [K.]

387. Из P следует Q; и из R следует S; но Q и S не могут быть истинными одновременно; покажите, что P и R не могут быть истинными одновременно. [Де Морган.]

388. Если (1) ложно, что всякий раз, когда встречается X, с ним встречается Y, и (2) не менее неверно, что X иногда встречается без сопровождения Z, вправе ли вы отрицать, что (3) всякий раз, когда встречается Z, вы можете быть уверены в нахождении Y? И, как бы то ни было, можете ли вы в тех же обстоятельствах судить о чем-либо относительно Y в терминах Z? [R.]

389. Можно ли свести следующие аргументы к силлогистической форме? (1) Солнце — вещь нечувствующая; персы поклоняются солнцу; следовательно, персы поклоняются вещи нечувствующей. (2) Божественный закон повелевает нам почитать королей; Людовик XIV — король; следовательно, Божественный закон повелевает нам почитать Людовика XIV. [Логика Пор-Рояля.]

390. Проанализируйте следующие аргументы; там, где они правильны, сведите их, если можете, к силлогистической форме; а там, где они неправильны, объясните природу логической ошибки: (1) Мы должны верить Писанию; Предание не есть Писание; следовательно, мы не должны верить Преданию. (2) Каждый хороший пастырь готов отдать жизнь за своих овец; ныне мало пастырей в наше время, готовых отдать жизнь за своих овец; следовательно, в наше время мало хороших пастырей. (3) Только те, кто являются друзьями Бога, счастливы; ныне есть богатые люди, которые не являются друзьями Бога; следовательно, есть богатые люди, которые не счастливы. (4) Долг христианина — не хвалить тех, кто совершает преступные действия; ныне те, кто участвует в дуэли, совершают преступное действие; следовательно, долг христианина — не хвалить тех, кто участвует в дуэлях. (5) Евангелие обещает спасение христианам; некоторые нечестивцы — христиане; следовательно, Евангелие обещает спасение нечестивцам. (6) Тот, кто говорит, что вы животное, говорит правду; тот, кто говорит, что вы гусь, говорит, что вы животное; следовательно, тот, кто говорит, что вы гусь, говорит правду. (7) Вы не то, что я; я человек; следовательно, вы не человек. (8) Мы можем быть счастливы в этом мире, только предаваясь нашим страстям или борясь с ними; если мы предаемся им, это несчастное состояние, так как оно постыдно, и мы никогда не могли бы быть им довольны; если мы боремся с ними, это также несчастное состояние, так как нет ничего более болезненного, чем та внутренняя война, которую мы постоянно вынуждены вести с самими собой; следовательно, мы не можем иметь в этой жизни истинного счастья. (9) Либо наша душа погибает вместе с телом, и таким образом, не имея чувств, мы будем неспособны к какому-либо злу; либо, если душа переживает тело, она будет более счастлива, чем была в теле; следовательно, смерти не следует бояться. [Логика Пор-Рояля.]

391. Проанализируйте следующие аргументы: (1) «Кто от Бога, тот слышит слова мои: вы потому не слышите, что вы не от Бога». (2) Вся рыба, которую захватила сеть, была беспорядочной смесью различных видов: те, что были отложены и сохранены как ценные, были рыбой, которую захватила сеть: следовательно, те, что были отложены и сохранены как ценные, были беспорядочной смесью различных видов. (3) Свидетельство — это вид доказательства, который очень часто бывает ложным: доказательство, на основании которого большинство людей верят, что в Египте есть пирамиды, есть свидетельство: следовательно, доказательство, на основании которого большинство людей верят, что в Египте есть пирамиды, очень часто бывает ложным. (4) Если система Пейли должна быть принята, то тот, кто не имеет знаний о будущей жизни, не имеет средств различать добро и зло: ныне тот, кто не имеет средств различать добро и зло, не может совершить греха: следовательно, если система Пейли должна быть принята, то тот, кто не имеет знаний о будущей жизни, не может совершить греха. (5) Если Авраам был оправдан, то это должно было быть либо верой, либо делами: ныне он не был оправдан верой (согласно Иакову), ни делами (согласно Павлу): следовательно, Авраам не был оправдан. (6) Для тех, кто стремится к совершенствованию своего ума прилежным изучением, стимул академических почестей излишен; и он неэффективен для ленивых и тех, кто равнодушен к умственному совершенствованию: следовательно, стимул академических почестей либо излишен, либо неэффективен. (7) Тот, кто наиболее голоден, ест больше всех; тот, кто ест меньше всех, наиболее голоден: следовательно, тот, кто ест меньше всех, ест больше всех. (8) Монополия на бизнес по рафинированию сахара выгодна сахарорафинадчикам: и на торговлю зерном — зернопроизводителям: и на производство шелка — шелкоткачам и т. д.; и таким образом каждый класс людей получает выгоду от некоторых ограничений. Ныне все эти классы людей составляют все общество: следовательно, система ограничений выгодна обществу. [Уэйтли, Логика.]

392. Ниже приведены несколько примеров, на которых читатель может испытать свое умение обнаруживать логические ошибки, определять специфическую форму силлогизмов и восполнять пропущенные посылки энтимем: (1) Только те, кто доволен своей долей в жизни, могут справедливо считаться счастливыми. Но истинно мудрый человек всегда будет довольствоваться своей долей в жизни, и, следовательно, он может справедливо считаться счастливым. (2) Все понятные суждения должны быть либо истинными, либо ложными. Два суждения «Цезарь все еще жив» и «Цезарь мертв» являются понятными суждениями; следовательно, они оба истинны или оба ложны. (3) Многие вещи труднее, чем ничего не делать. Нет ничего труднее, чем ходить на голове. Следовательно, многие вещи труднее, чем ходить на голове. (4) Только виги голосуют за мистера Б. Все, кто голосует за мистера Б., являются домовладельцами с доходом в десять фунтов. Следовательно, только виги являются домовладельцами с доходом в десять фунтов. (5) Если Моисеево описание космогонии строго верно, солнце не было создано до четвертого дня. И если солнце не было создано до четвертого дня, оно не могло быть причиной чередования дня и ночи в течение первых трех дней. Но либо слово «день» используется в Писании в ином смысле, чем тот, в котором оно общепринято сейчас, либо солнце должно было быть причиной чередования дня и ночи в течение первых трех дней. Отсюда следует, что либо Моисеево описание космогонии не строго верно, либо слово «день» используется в Писании в ином смысле, чем тот, в котором оно общепринято сейчас. (6) Страдание — это право на отличное наследство; ибо Бог наказывает каждого сына, которого принимает. (7) Конечно, будет дождь, ибо небо выглядит очень черным. [Солли, Учебник логики.]

393. Проанализируйте следующие аргументы; насколько они правильны, сведите их к силлогистической форме; а там, где они неправильны, объясните природу содержащейся в них логической ошибки: (1) Если вы спорите о предмете, которого не понимаете, вы докажете, что вы глупец; ибо это ошибка, которую всегда совершают глупцы. (2) Неверно, что какие-либо металлы являются соединениями, и некорректно говорить, что каждый металл тяжелый; можно, следовательно, сделать вывод, что некоторые элементы не являются тяжелыми, а также что некоторые тяжелые вещества не являются элементами. (3) Ни один молодой человек не мудр; ибо только опыт может дать мудрость, а опыт приходит только с возрастом. [K.]

394. Проанализируйте технически следующий аргумент: Каждый либо хорошо осведомлен о фактах, либо уже убежден в предмете; никто не может быть одновременно уже убежденным в предмете и восприимчивым к аргументам: отсюда следует, что только те, кто хорошо осведомлен о фактах, восприимчивы к аргументам. [J.]

395. Доктор Джонсон заметил, что «человек, который продал перочинный нож, не обязательно является скобянщиком». Против какой логической ошибки было направлено это замечание? [C.]

396. Проанализируйте следующие аргументы, указав любые содержащиеся в них логические ошибки: (a) Чем правильнее логика, тем вернее вывод будет ошибочным, если посылки ложны. Следовательно, там, где посылки полностью недостоверны, лучший логик — наименее надежный проводник. (b) Распространение образования среди низших слоев сделает их непригодными для их работы: ибо это всегда имело такой эффект на тех из них, кому довелось получить его в прежние времена. (c) Эта брошюра содержит крамольные доктрины. Распространение крамольных доктрин может быть опасным для государства. Следовательно, эта брошюра должна быть запрещена. [C.]

397. Проанализируйте следующие аргументы: (1) Телескоп с окуляром на одной стороне трубы, вероятно, является рефлектором; телескоп лорда Росса — рефлектор; следовательно, телескоп лорда Росса, вероятно, имеет окуляр на одной стороне трубы. (2) Хорошие работники не жалуются на свои инструменты; мои ученики не жалуются на свои инструменты; следовательно, мои ученики, вероятно, хорошие работники. (3) Если, с одной стороны, язычники из-за отсутствия лучших знаний не могут не нарушать Десять заповедей, то они не осуждаются; если, с другой стороны, они осуждаются, то за совершение того, что они хорошо знали как злое и от чего они вполне могли воздержаться; следовательно, что бы с ними ни случилось, справедливость удовлетворена. [K.]

398. Обсудите природу рассуждения, содержащегося или, по-видимому, предполагаемого в следующих предложениях: Невозможно доказать, что преследование оправданно, если вы не можете доказать, что некоторые неэффективные меры оправданны; ибо ни одно преследование никогда не было эффективным. Этот документ может быть подлинным, хотя он не проштампован, ибо некоторые проштампованные документы подлинны. [C.]

399. Сформулируйте следующие аргументы в логической форме и проверьте их правильность: (1) Поэзия должна быть либо истинной, либо ложной: если последняя, она вводит в заблуждение; если первая, она есть замаскированная история и отдает самозванством, пытаясь выдать себя за нечто большее, чем она есть. Некоторые философы поэтому мудро исключили поэзию из идеального государства. (2) Если мы никогда не находим шкур иначе как в качестве покровов животных, мы можем с уверенностью заключить, что животные не могут существовать без шкур. Если цвет не может существовать сам по себе, из этого следует, что и ничто окрашенное не может существовать без цвета. Так, если язык без мысли нереален, то мысль без языка также должна быть таковой. (3) Если бы перемирие было выгодно Франции и Германии, оно было бы согласовано этими державами; но этого не произошло; ясно поэтому, что перемирие не было бы выгодно ни одной из воюющих сторон. (4) Если нам суждено умереть, мы достаточно сильны, чтобы причинить нашей стране утрату: а если жить, то чем меньше людей, тем больше доля чести. [O.]

400. Проанализируйте логически следующие аргументы: (a) Если правдивость никогда не встречается без щепетильности, и если правдивость несовместима с глупостью, из этого следует, что глупость и щепетильность никогда не могут быть связаны. (b) Вы говорите, что нет правила без исключения. Я отвечаю, что в таком случае то, что вы только что сказали, должно иметь исключение, и тем самым доказывает, что вы противоречите сами себе. (c) Знание дает силу; следовательно, поскольку сила желательна, знание желательно. [L.]

401. Проанализируйте следующие аргументы, изложив их в силлогистической форме и указав логические ошибки, если таковые имеются: (a) Некоторые, кто истинно мудры, не образованны; но только добродетельные истинно мудры; образованные, следовательно, не всегда добродетельны. (b) Если бы все обвиняемые были невиновны, некоторые, по крайней мере, были бы оправданы; мы можем сделать вывод, следовательно, что никто не был невиновен, так как никто не был оправдан. (c) Каждое утверждение факта заслуживает веры; многие утверждения, не недостойные веры, утверждаются в манере, которая совсем не сильна; мы можем сделать вывод, следовательно, что некоторые утверждения, не сильно утвержденные, являются утверждениями факта. (d) То, что многие лица, совершающие ошибки, заслуживают порицания, доказывается многочисленными примерами, в которых совершение ошибок проистекает из грубой неосторожности. [M.]

402. Проанализируйте технически следующие аргументы: (1) Те, кто считает, что безумные не должны быть наказаны, должны последовательно признать также, что им не следует угрожать; ибо явно несправедливо наказывать кого-либо, предварительно не пригрозив ему. (2) Если он утверждает, что не крал товары, почему, спрашиваю я, он спрятал их, как никогда не забывает делать ни один вор? (3) Плутовство и глупость всегда идут вместе; поэтому, зная, что он глупец, я не доверял ему. (4) Как вы можете отрицать, что причинение боли оправданно, если наказание иногда оправданно и все же всегда включает боль? (5) Если я отрицаю, что бедность и добродетель несовместимы, а вы отрицаете, что они неразделимы, мы можем, по крайней мере, согласиться, что некоторые бедные добродетельны. [V.]

403. Обнаружите логическую ошибку в следующем аргументе: «Вакуум невозможен, ибо если между двумя телами ничего нет, они должны соприкасаться». [N.]

404. Рассмотрите следующий аргумент: Допуская, что A есть B, доказать, что B есть A. B (как и все остальное) есть либо A, либо не-A. Если B не есть A, то по нашей первой посылке мы имеем силлогизм: A есть B, B не есть A, следовательно, A не есть A, что абсурдно. Отсюда следует, что B есть A. [Профессор Джастроу, в Journal of Education, февраль 1897 г.]

405. Проанализируйте следующий аргумент: Невозможно доказать, что общество может продолжать существовать без конкуренции, если вы не можете также доказать, что отсутствие конкуренции не привело бы к деградации индивидов; ибо общество, члены которого деградируют, не может долго продолжать существовать. [M.]

406. Выразите следующие суждения в их простейшей логической форме; проанализируйте их взаимную согласованность или несогласованность и правильность окончательного вывода: Некоторые из опубликованных взглядов мистера Н. новы, а некоторые истинны; на самом деле, они все либо те, либо другие; и, хотя нельзя утверждать в общем, что взгляд, который не нов, по этой причине обязательно не истинен, все же можно с уверенностью утверждать, что каждый возможный ложный взгляд на этот предмет был предложен кем-то другим до того, как мистер Н. написал: из чего следовало бы, что, хотя может быть или не быть так, что взгляды мистера Н. все новы, несомненно, что они все истинны. [J.]

407. Проанализируйте технически следующие аргументы:

(a)

«Лишь настоящее причиняет боль, И настоящее пройдет».

(b) Всякое законодательное ограничение либо несправедливо, либо излишне; поскольку ради интересов одного человека ограничивать всех остальных членов общества несправедливо, а ограничивать самого человека излишне. (c) Только консерваторы — и не все из них — являются протекционистами; только либералы — и не все из них — являются сторонниками гомруля; но обе партии содержат сторонников женского избирательного права. Следовательно, только юнионисты — и не все из них — являются протекционистами, в то время как сторонники женского избирательного права включают как юнионистов, так и сторонников свободной торговли. (d) Ни от одного школьника нельзя ожидать понимания конституционной истории, и ни от кого, кроме школьников, нельзя ожидать запоминания дат; так что ни от кого нельзя ожидать одновременно запоминания дат и понимания конституционной истории. (e) Быть богатым — не значит быть здоровым; не быть здоровым — значит быть несчастным; следовательно, быть богатым — значит быть несчастным. (f) Все, что желает любой человек, желательно; каждый человек желает собственного счастья; следовательно, счастье каждого человека желательно. [J.]

408. Проанализируйте правильность следующих аргументов: (1) Я знал, что он богемец, ибо он был хорошим музыкантом, а богемцы всегда хорошие музыканты. (2) Задиры всегда трусы, но не всегда лжецы; лжецы, следовательно, не всегда трусы. (3) Если бы все солдаты были англичанами, они бы не все разбежались; но некоторые разбежались; и мы можем, следовательно, сделать вывод, что некоторые из них, по крайней мере, не были англичанами. (4) Только добрые действительно достойны зависти; все истинно мудрые люди добры; следовательно, все истинно мудрые люди достойны зависти. (5) Вы не можете утверждать, что все его действия были добродетельны, ибо вы отрицаете, что они были все похвальны, и вы допускаете, что ничто, что не похвально, не является добродетельным. (6) Поскольку цель поэзии — удовольствие, не может быть непоэтичным то, чем все довольны. (7) Большинство M есть P, большинство S есть M, следовательно, некоторое S есть P. (8) Старый Парр, здоровый, как дикие животные, достиг возраста 152 лет; все люди могли бы быть такими же здоровыми, как дикие животные; следовательно, все люди могли бы достичь возраста 152 лет. (9) Совершенно абсурдно говорить «Я предпочел бы не существовать, чем быть несчастным», ибо тот, кто говорит «Я хочу этого, а не того», выбирает нечто. Несуществование, однако, не есть нечто, а ничто, и невозможно выбирать рационально, когда объектом выбора является ничто. (10) Поскольку качество обладания теплой красной кровью принадлежит всем известным птицам, оно должно быть частью их специфической природы; но неизвестные птицы имеют ту же специфическую природу, что и известные птицы; следовательно, качество обладания теплой красной кровью должно принадлежать неизвестным, так же как и известным птицам, т.е. быть универсальным и существенным свойством вида. [K.]

ПРИЛОЖЕНИЕ A.

ДОКТРИНА ДЕЛЕНИЯ.

409. Логическое деление. Термин «деление», как он технически используется в логике, может быть определен как изложение меньших групп, которые содержатся в объеме данного термина. Он также определяется как разделение рода на составляющие его виды. Эти два определения практически эквивалентны друг другу. Деление следует отличать от изложения отдельных объектов, принадлежащих к виду, что технически описывается как перечисление.

В логическом делении больший класс, который делится, называется totum divisum, а меньшие классы, на которые он делится, — membra dividentia (делящие члены). Под основанием или принципом деления (fundamentum sive principium divisionis) понимается тот атрибут или характеристика totum divisum, на модификациях которого основано деление. Данный класс может, конечно, делиться разными способами в зависимости от конкретного атрибута или атрибутов, чьи вариации выбраны в качестве дифференцирующих его различные виды. Так, принимая во внимание равенство или неравенство сторон, треугольники могут быть разделены на равносторонние, равнобедренные и разносторонние; или, принимая во внимание величину наибольшего угла, на тупоугольные, прямоугольные и остроугольные. Опять же, суждения делимы в соответствии с их истинностью или ложностью, или в соответствии с их количеством, или их качеством, и так далее.

Иногда говорят, что принцип деления должен присутствовать во всех делящих членах, хотя и постоянно варьироваться. С другой стороны, говорят, что при делении мы неизменно пытаемся подумать о каком-то атрибуте, который присущ определенным членам группы, но не другим. Первое из этих утверждений не очень хорошо применяется, когда мы просто делим класс в соответствии с наличием или отсутствием какого-либо атрибута (например, кандидатов на государственную службу на успешных и неуспешных) или когда рассматриваемый атрибут может полностью отсутствовать в некоторых случаях, в то время как присутствовать в разной степени в других случаях. Другими словами, учитывая атрибут, чьи вариации составляют наш принцип деления, мы, возможно, должны признать предельный случай, в котором он полностью отсутствует; так, при делении студентов колледжей в соответствии с их колледжами, мы, возможно, должны признать класс внеколледжных студентов. Второе утверждение всегда верно, когда мы просто противопоставляем любой данный вид всем остальным видам, и оно может считаться адекватным, когда мы имеем деление по противоречащим признакам. В других случаях, однако, оно неадекватно; как, например, когда мы делим кандидатов, успешно сдавших экзамен на государственную службу Индии, в соответствии с провинцией, к которой они приписаны.

410. Физическое деление, метафизическое деление и вербальное деление. Следуя старым логикам, мы можем отличать деление, как оно определено в предыдущем параграфе, то есть логическое деление в строгом смысле, от других смыслов, в которых используется этот термин.

Деление индивидуальной вещи на ее отдельные части называется физическим делением или физическим определением (Уэйтли, Логика, стр. 143) или партицией; как, например, если мы делим часы на корпус, стрелки, циферблат и механизм; или книгу на листы и переплет. Мы имеем, с другой стороны, логическое деление, если мы делим часы на золотые, серебряные и т. д., или на английские, швейцарские, американские и т. д.; или если мы делим книги на фолианты, кварто и т. д. Бэйн (Логика, II, стр. 197) приводит анализ химического соединения как пример логического деления. Это скорее пример физического деления. В логическом делении totum divisum всегда приложимо ко всем индивидам, принадлежащим к каждому из membra dividentia; например, «Все люди — животные», «Все квадраты — прямоугольники». Но это не так в химическом анализе. Мы не можем сказать, что кислород — это вода, или что сера — это купорос, или что натрий — это соль.

Отличным как от логического, так и от физического деления является мысленное деление вещи на ее отдельные качества. Это называется метафизическим делением. Мы имеем пример, когда перечисляем отдельные качества часов: их размер, точность, материал, из которого состоит их корпус, и т. д.; или когда мы указываем размер книги, ее толщину, цвет, материал ее переплета, качество бумаги, из которой состоят ее листы, и так далее. Физическое деление может быть фактически произведено; часы, например, можно разобрать на части. Метафизическое деление, с другой стороны, возможно только мысленно. Следует добавить, что метафизическое деление индивидуальных объектов может быть сделано основой логического деления класса, к которому они принадлежат.

Можно отметить еще один вид деления, а именно деление двусмысленного или эквивокального термина на его несколько значений. Это называется вербальным делением (Кларк, Логика, стр. 331) или различением (Мансел, Олдрич, стр. 37). Например, мы должны различать «watch» в смысле бдения, в смысле стражи и в смысле часов.

411. Правила логического деления. Фундаментальные правила логического деления таковы: (1) члены деления должны быть взаимно исключающими; и (2) в совокупности они должны быть точно соразмерны делящемуся классу. Таким образом, если класс X правильно разделен на XA, XB, XC, должны выполняться следующие суждения, а именно: «Ни один XA не есть B или C», «Ни один XB не есть C или A», «Ни один XC не есть A или B», «Каждый X есть A или B или C».

Обычно добавляются два следующих правила: (3) Каждый отдельный акт деления должен проводиться повсюду на одном и том же основании или принципе; (4) Если деление включает более одного шага, оно должно протекать постепенно и непрерывно от высшего рода к низшему виду, то есть оно не должно переходить внезапно от высокого рода к низкому виду.

Можно возразить, что (1) и (2) не должны в строгом смысле описываться как правила, а скорее как составляющие собой точное изложение того, что подразумевается, когда мы говорим о логическом делении. Однако они становятся правилами в том смысле, что заявленное логическое деление, которое не удовлетворяет любому из них, подразумевает отношения между членами деления, которые на самом деле не выполняются. Правила (3) и (4) имеют другой характер. Они являются правилами в том смысле, что их необходимо соблюдать, если деление должно иметь практическую пользу.

Правило (3) не предназначено для осуждения процессов подразделения и со-деления. Произведя деление на одном принципе, мы можем приступить к подразделению полученных таким образом классов в соответствии с другим принципом, и так далее до бесконечности. Научная классификация всегда будет состоять из иерархии классов, полученных таким образом. Опять же, нет причин, почему один и тот же класс не может для разных целей делиться в соответствии с двумя или более различными принципами, до тех пор, пока они остаются отличными друг от друга, а члены различных результирующих делений не смешиваются вместе.

Говорили, что нарушение правила (1) обязательно влечет за собой нарушение правила (3), поскольку не может быть никакого перекрытия классов, пока деление правильно проводится на основе одного принципа. Это, однако, не всегда верно, если мы не интерпретируем слово «правильно» как подразумевающее, что принимаются меры предосторожности, чтобы избежать любого перекрытия, что, конечно, является предрешением вопроса. Так, если мы делим треугольники на те, которые имеют (a) прямой угол, (b) тупой угол, (c) острый угол, можно сказать, что мы действуем на основе одного принципа, и все же результирующие классы не являются взаимно исключающими. Можно, опять же, утверждать, что классы «равносторонний треугольник», «равнобедренный треугольник», «разносторонний треугольник» (которые являются результатом деления, основанного на одном принципе) не являются взаимно исключающими, поскольку все равносторонние треугольники являются равнобедренными.

На этот аргумент можно ответить только тем, что в первом случае мы не действуем на основе какого-либо ясного принципа, если только мы не производим наше деление на треугольники, чей наибольший угол является соответственно тупым, прямым или острым; и не если, во втором случае, наш принцип — это максимальное число сторон, равных друг другу, так что равнобедренный треугольник определяется как треугольник, имеющий две и только две равные стороны. Любое перекрытие классов тогда в каждом случае предотвращается; но только, можно утверждать, потому что были приняты специальные меры предосторожности для достижения этой цели. При принятии подобных мер предосторожности деление, которое проводится «правильно» на основе одного принципа, будет также исчерпывающим.

Рассматривая вопрос с другой стороны, мы можем отметить, что деление, которое удовлетворяет как правилу (1), так и правилу (2), может тем не менее быть перекрестным делением; ибо может случиться так, что два разных принципа деления дают совпадающие результаты. Например, равнобедренный треугольник определяется как треугольник, имеющий две и только две равные стороны, существует перекрестное деление, но нет перекрытия классов или пропуска какого-либо класса, содержащегося в totum divisum, если мы делим треугольники на разносторонние, равнобедренные и равноугольные; или если мы делим растения на акотиледоны, монокотиледоны и экзогены.

Что касается правила (4), следует заметить, что деление, которое протекает per saltum, обычно будет гораздо менее эффективным, чем то, в котором заполнены промежуточные шаги. Худшее нарушение этого правила происходит, когда деление является разрозненным, то есть когда «один из классов, на которые мы делим, является непосредственным и ближайшим классом, в то время как другие — опосредованными и отдаленными» (Кларк, Логика, стр. 242); как, например, если мы делим животных на беспозвоночных, рыб, амфибий, рептилий, птиц, слонов, лошадей, собак и т. д.

Иногда добавляется еще одно правило деления, а именно, что «ни один из делящих членов не должен быть равен по объему делящемуся целому» (Кларк, Логика, стр. 236). Когда это правило нарушается, деление, как говорят, становится ничтожным, потому что одно из подразделений не содержит членов. С формальной точки зрения, однако, на соблюдении этого правила вряд ли можно настаивать. Нам не нужно рассматривать деление как обязательно подразумевающее фактическое наличие всех его членов в универсуме дискурса; и рассматриваемое правило лишило бы логика права использовать мощный метод деления по противоречащим признакам. Это может быть другим делом, когда мы рассматриваем научную классификацию с материальной точки зрения.

412. Деление дихотомией. Деление дихотомией или, как его иногда называют более отчетливо, дихотомия по противоречию — это деление класса просто со ссылкой на наличие или отсутствие данного атрибута или набора атрибутов; как, например, когда X делится на XA и Xa (где a = не-A). Иллюстрация предоставляется Деревом Порфирия или Рамеанским деревом, в котором Субстанции сначала делятся на Телесные Субстанции (Тела) и Бестелесные Субстанции, Тела затем делятся на Одушевленные Тела (Живые Существа) и Неодушевленные Тела, Живые Существа затем делятся на Чувствующие Живые Существа (Животные) и Нечувствующие Живые Существа, а Животные, в свою очередь, делятся на Разумных Животных (Людей) и Неразумных Животных. На каждом шаге в этой схеме мы действуем, беря противоречащие признаки. Именно в похвалу дихотомическому делению Иеремия Бентам, который здесь цитируется с одобрением Джевонсом (Принципы науки, 30, § 12), говорил о «несравненной красоте Рамеанского дерева». Когда используется этот метод, мы формально обеспечиваем, чтобы члены нашего деления были взаимно исключающими и коллективно исчерпывающими. Ибо, по закону противоречия, «Ни один X не есть и A, и a»; и, по закону исключенного третьего, «Каждый X есть либо A, либо a».

Сполдинг (Логика, стр. 146) и Джевонс (Принципы науки, 30, § 9) указывают, что всякое логически совершенное деление в конечном счете сводимо к дихотомии, обычно с подразумеванием того, что некоторые из подклассов, которые à priori возможны, на самом деле не встречаются в универсуме дискурса. Таким образом, если мы берем класс X и делим его на XA и XB, мы подразумеваем, что в классе X A и B никогда не встречаются ни оба присутствующими, ни оба отсутствующими. Следовательно, деление эквивалентно следующему дихотомическому делению:

Любое другое деление, как бы сложно оно ни было по своему характеру, может быть сведено к дихотомии аналогичным образом. Это интересно и важно, и выявляет ценность дихотомии как метода проверки делений. Однако следует понимать, что, говоря о всяком делении как в конечном счете сводимом к дихотомии, не предполагается, что дихотомия обычно представляет нашу фактическую процедуру при производстве делений. Каждый подкласс обычно достигается непосредственно путем ссылки на некоторую положительную модификацию fundamentum divisionis; и различные подклассы являются координационными друг другу. Рассмотрим, например, деление конических сечений на параболы, гиперболы, эллипсы, окружности и пары прямых линий. Следует добавить, что с материальной точки зрения чистое деление дихотомией имеет мало научной ценности из-за неопределенного характера подклассов, которые определяются отрицательно.

413. Место доктрины деления в логике. Доктрина деления, как она рассматривалась старыми логиками, получает мало признания некоторыми современными авторами по двум очень разным основаниям: (1) Миллем, принимающим материальную точку зрения, она рассматривается как слишком чисто формальная, и поэтому сливается с доктриной научной классификации; (2) некоторыми авторами, принадлежащими к концептуалистской школе, например, Манселом, она отвергается как недостаточно формальная.

(1) Это правда, что правила логического деления ведут нас очень недалеко в практической науке. Они дают определенные условия, которые должны быть соблюдены; но они ни помогают нам в производстве хороших делений, ни предоставляют нам тест, который способен быть формально применен. Оставляя дихотомию в стороне, мы не можем, без помощи материального знания, даже определить, являются ли члены данного деления взаимно исключающими и коллективно исчерпывающими. Когда, однако, мы заведомо выходим за пределы чисто формальных соображений и принимаем материальную точку зрения, тогда доктрина деления должна по праву уступить место доктрине классификации, которая не довольствуется такими правилами, как изложенные выше, но стремится указать принципы, которые должны служить руководством при классификации объектов научно.

Что касается использования терминов «деление» и «классификация», мисс Джонс проводит различие, которое ценно и которого было бы хорошо систематически придерживаться. «Деление и классификация — это одно и то же, рассматриваемое с разных точек зрения; любая таблица, представляющая деление, представляет также классификацию. Деление начинается с единства и дифференцирует его; классификация начинается с множественности и сводит ее к единству, или, по крайней мере, к системе» (Элементы логики, стр. 123).

(2) Остается рассмотреть, насколько любое рассмотрение деления вообще может правильно подпадать под рассмотрение формальной логики. С этой точки зрения деление обычно противопоставляется определению. Последнее из них — используя фразеологию концептуалистских логиков — излагает интенсию понятия; первое излагает его экстенсию. Но интенсия понятия, как говорят, гораздо более присуща ему, чем его экстенсия. Данное понятие — его интенсия обязательно дана; но знание его экстенсии, такое, которое может служить для определения его деления, потребует нового обращения к предмету. «Деление», говорит Мансел, «не есть, подобно определению, ментальный анализ данных материалов: специфическое различие должно быть добавлено к данным атрибутам рода; и чтобы получить этот дополнительный материал, необходимо выйти за пределы акта мысли, искать новые эмпирические данные» (Prolegomena Logica, стр. 192). Например, деление членов Кембриджского университета на тех, кто in statu pupillari, и членов Сената не могло быть получено без чего-то большего, чем просто концепция члена Университета. Более того, если мы не действуем по противоречащим признакам, мы не можем, когда получили наше деление, формально определить, соответствует ли оно нашим правилам или нет.

Вышеприведенная позиция может быть принята, если сделать исключение для деления дихотомией. Мансел, однако, и некоторые другие логики даже не допустят, что деление дихотомией является формальным процессом; и здесь они открываются для критики. Основания, на которых базируется их взгляд, двояки: (i) Недостаточно, чтобы род, который нужно разделить, был дан; принцип деления должен быть дан также. «Даже в случае дихотомии по противоречию принцип деления должен быть дан, как дополнение к атрибутам, охваченным в понятии, прежде чем логик сможет сделать хоть один шаг» (Prolegomena Logica, стр. 207). «Деление A на B и не-B не является строго формальным; ибо делящий атрибут, не будучи частью содержания A, должен быть найден вне простого акта мысли, после того как A было дано» (Мансел, Олдрич, стр. 38). (ii) Мы не можем знать à priori, что оба подкласса, полученные дихотомией, действительно существуют. Как, например, мы можем разделить A на B и не-B, когда, насколько мы знаем, все A может быть B? «Логически деление животного на смертное и бессмертное так же хорошо, как на разумное и неразумное» (Мансел, Олдрич, стр. 38). Оба эти аргумента суммируются в следующей цитате из мистера Монка: «Утверждается, действительно, что Логика позволяет нам разделить всех B на B, которые являются C, и B, которые не являются C... Но Логика не предоставляет нам термин C, и после того, как мы получили этот термин, есть два случая, в которых предложенное деление терпит неудачу, а именно, где все B являются C и где ни одно из них таковым не является. В любом из этих событий класс B остается таким же целым и неразделенным, как и прежде; и произошло ли это или нет, не может быть установлено Логикой. Это деление дихотомией, как его называют, находится так же вне сферы Логики, как и любой другой вид деления» (Логика, стр. 174).

Что касается первого из вышеприведенных аргументов, нет причин, почему принцип деления (A) не должен быть принят как данный, так же как и totum divisum (X). Вопрос в том, можем ли мы тогда формально разделить X на XA и Xa. Тот факт, что A должно быть дано так же, как и X, не предотвращает возможность формального деления дихотомией, не больше, чем тот факт, что вывод силлогизма не содержится в одной посылке, предотвращает силлогизм от того, чтобы быть формальным процессом.

Сила второго аргумента зависит от подразумевания того, что все подклассы, полученные в результате деления, обязательно существуют в универсуме дискурса. Если это подразумевание принято, то дихотомия, конечно, не является формальным процессом; но почему нам нужно предполагать существование всех подклассов, полученных дихотомией? Без такого предположения наше деление может не иметь большой практической пользы, но его формальная правильность останется незатронутой. Нам нужно только прояснить, что мы делим экстенсию термина, а не его денотацию, в том смысле, в котором экстенсия и денотация уже были различены. Это согласуется с общей точкой зрения формальной логики, которая может иметь дело с классами, не рассматривая их существование как обязательно гарантированное в любом назначенном универсуме дискурса. Если нам не позволено применять принцип исключенного третьего в формальной логике и говорить «Каждый X есть A или a», пока мы не узнаем, что на самом деле существуют как XA, так и Xa, мы будем чрезвычайно стеснены и сможем сделать лишь небольшой прогресс, особенно в трактовке сложных выводов. Некоторые схемы символической логики (например, Джевонса) зависят существенно и явно от предшествующей схемы дихотомического деления.

453 См. раздел 21.

Мы можем тогда рассматривать деление дихотомией как формальный процесс, но только при понимании (1) что принцип деления дан так же, как и род, который нужно разделить; (2) что деление не предполагается более чем гипотетическим, насколько касается существования результирующих подклассов в любом назначенном универсуме дискурса.

ПРИЛОЖЕНИЕ B.

ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ЗАКОНА МЫШЛЕНИЯ.

414. Три закона мышления. Так называемые фундаментальные законы мышления (закон тождества, закон противоречия и закон исключенного третьего) должны рассматриваться как основа всякого рассуждения в том смысле, что последовательное мышление и связный аргумент невозможны, если они не принимаются как должное. Функция, которую они таким образом выполняют, однако, скорее отрицательная, чем положительная. Хотя они составляют необходимые постулаты, без которых наше мышление стало бы хаотичным, они сами по себе не продвигают нас на нашем пути. С одной стороны, мы не можем без их поддержки сделать ни шагу в рассуждении; с другой стороны, если бы мы полагались только на их помощь, мышление немедленно остановилось бы.

Это, во всяком случае, взгляд на три закона в изложении, которое следует. Это правда, что многие логики приписывали им функции более положительного характера и — начиная с позиции, что они являются фундаментальными предположениями логики — перешли к рассмотрению их как основы, на которой одной вся логическая доктрина, во всяком случае в ее более формальном аспекте, может быть установлена. Попытка оправдать этот взгляд сделала необходимым вкладывать в законы гораздо больше смысла, чем они могут должным образом содержать, и их интерпретация в результате стала высокосложной и даже запутанной.

В самом начале возникает вопрос, должны ли законы рассматриваться как относящиеся к терминам (или понятиям) или к суждениям. Мой собственный взгляд состоит в том, что во всех трех случаях последнее отношение является более фундаментальным, но что отношение первого рода вовлечено вторично. Это я постараюсь выявить, имея дело с законами индивидуально. Различие — это то, которому значительная важность по праву придается Зигвартом.

Вопрос о взаимных отношениях между тремя законами может быть кратко затронут до того, как мы перейдем к рассмотрению законов по отдельности и в деталях; однако это не тот вопрос, который можно разрешить на более позднем этапе. Основной момент, на который удобно сразу обратить внимание, заключается в том, что полная сила каждого из них может быть выявлена только в связи с другими законами. Законы тождества и противоречия можно рассматривать как позитивное и негативное утверждения одного и того же принципа, а именно недвусмысленности акта суждения; а законы противоречия и исключенного третьего дополняют друг друга, поскольку вместе они выражают природу отрицания. В то же время будет предпринята попытка обосновать независимость законов в том смысле, что они не могут быть выведены один из другого.

415. Закон тождества. Следуя Зигварту, я считаю наиболее удобным интерпретировать этот закон как выражение недвусмысленности акта суждения. Истина — это нечто фиксированное и неизменное. По словам г-на Брэдли: «Раз истинно — всегда истинно, раз ложно — всегда ложно. Истина не только независима от меня, но она не зависит от перемен и случайностей. Никакое изменение в пространстве или времени, никакое возможное различие какого-либо события или контекста не может превратить истину в ложь. Если то, что я говорю, действительно истинно, то оно остается таковым навсегда» (Logic, с. 133). Следовательно, поскольку суждение является выражением истины, содержание суждения фиксировано и неизменно; и только когда наши суждения рассматриваются таким образом, наши мысли и рассуждения могут быть обоснованными. Именно в этом смысле закон тождества является фундаментальным принципом логики (которая есть наука о правильном мышлении и рассуждении); ибо ясно, что если бы нам было позволено — когда нам это удобно — заменить одно суждение другим или если бы содержание данного суждения можно было рассматривать то как одно, то как другое, все мышление стало бы хаотичным, а рассуждение — фикцией. Мы не могли бы быть уверены в обоснованности ни одного шага рассуждения, поскольку по мере совершения шага содержание исходного суждения могло бы измениться, и на этом основании любой мог бы признать исходное суждение и в то же время отрицать вывод, который из него пытались сделать.

Сравните то, что уже было сказано в разделе 50 об универсальности суждений. В частности, следует иметь в виду значение различия, проводимого г-ном Бозанкетом между временем предикации и временем в предикации. Когда мы говорим, что истина, утверждаемая в любом суждении, независима от времени, мы имеем в виду время предикации, и мы предполагаем, что суждение выражено полностью: для того чтобы оно могло быть выражено полностью, время в предикации, если таковое имеется, должно быть сделано явным.

Можно сказать, что в такой интерпретации закон тождества лишь утверждает, что мы не можем одновременно утверждать суждение и отрицать его, и что именно это выражено в законе противоречия. В этом есть смысл, поскольку законы тождества и противоречия можно рассматривать как выражение позитивного и негативного аспектов одного и того же принципа. Как сказал Зигварт, только через отказ от одновременного утверждения и отрицания мы осознаем недвусмысленность акта суждения. В то же время позитивная формулировка принципа в виде закона тождества — в отрыве от его негативной формулировки в виде закона противоречия — является оправданной и полезной.

Недвусмысленность акта суждения может быть выражена несколько иначе (и его позитивный аспект, в отличие от того, что выражено законом противоречия, может быть тем самым прояснен) через утверждение, что повторение суждения не добавляет к его силе и не изменяет ее. На этой основе мы, возможно, можем оправдать ход мысли, который состоит в повторении не полного суждения, а только части его содержания. Другими словами, мы можем таким образом оправдать формальное рассуждение, поскольку оно включает в себя простое исключение; и в большинстве формальных рассуждений исключение присутствует, хотя можно поставить под вопрос, заслуживает ли само по себе простое исключение из одной пропозиции (как при переходе от «Всякое S есть M» к «Всякое S есть P») названия рассуждения.

Милль дает формулировку закона тождества, которую необходимо отличать от вышеприведенной: «Все, что истинно в одной форме слов, истинно в любой другой форме слов, которая передает тот же смысл» (Examination of Sir William Hamilton’s Philosophy, с. 466). Это постулат, который необходимо принять в связи с использованием языка как инструмента мышления. Пока выражаемое суждение остается тем же самым, форма выражения, которую мы ему придаем, несущественна; и, поскольку в логической доктрине мы не можем явно признать более чем ограниченное число различных пропозициональных форм, мы должны требовать права заменять любую непризнанную форму той признанной формой, которая выражает то же самое суждение. Постулат Милля, однако, выходит за рамки закона тождества, рассматриваемого как выражение недвусмысленности акта суждения, и его нельзя считать столь же фундаментальным. Иногда он приводится в качестве обоснования непосредственных умозаключений: к этому пункту мы еще вернемся.

Теперь мы можем обратиться к закону тождества в той форме, в которой он обычно излагается, а именно: «A есть A», «Все есть то, что оно есть». Эта форма открыта для критики, если рассматривать ее как претендующую на предоставление информации об объектах. Однако в другом смысле ее можно понимать как выражение недвусмысленности терминов или понятий, которая подразумевается недвусмысленностью акта суждения. Ибо ясно, что если в любом данном процессе мышления или рассуждения наши термины или понятия не имеют фиксированного значения и отсылки, недвусмысленность акта суждения не может быть реализована. Мы имеем здесь вторичную отсылку к терминам или понятиям, которая содержится во всех законах мышления в дополнение к их первичной отсылке к суждениям.

Поскольку повторение суждения не добавляет к его силе и не изменяет ее, мы можем сказать то же самое о терминах (или понятиях), подразумевая под этим, что отсылать к чему-либо как к «A» и «A» — это то же самое, что отсылать к этому просто как к «A». Это дает фундаментальное уравнение Буля x² = x (которое само допускает двоякую интерпретацию в зависимости от того, обозначает ли x термин или пропозицию).

Причины, по которым нам не следует интерпретировать формулу «A есть A» как выражение суждения относительно объекта A, должны быть рассмотрены. Фундаментальная трудность заключается в том, что это так называемое суждение, если интерпретировать его буквально, вообще немыслимо. Ибо всякое реальное мышление подразумевает различие того или иного рода. Всякий раз, когда мы думаем о чем-либо, это происходит как о чем-то, отличающемся от чего-то другого, или как о чем-то, имеющем общие свойства с другими вещами, или, во всяком случае, как о чем-то, существующем в разное время. Следовательно, ни в каком случае мы не можем мыслить чистое тождество.

Существует два способа избежать этой трудности.

(a) Мы можем сказать, что под тождеством подразумевается не чистое тождество, а точное сходство в каком-либо заданном отношении или отношениях, причем сходство иногда доходит, по крайней мере в том, что касается нашего восприятия, до неразличимости, за исключением свойства занимать разные части пространства (как, например, в случае с рядом булавок или пуль одного изготовления и размера). В этой интерпретации закон тождества можно рассматривать как эквивалентный принципу подстановки сходного Джевонса — «Все, что истинно для вещи, истинно для подобной ей» — или аксиоме, что «вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу». Мэнсел, действительно, прямо приводит эту аксиому как эквивалентную закону тождества.

Однако при размышлении становится ясно, что называть эти принципы законами тождества — значит использовать неверное название, и что, во всяком случае, они не могут быть адекватно выражены голой формулой «A есть A». Также нельзя дать аналогичную интерпретацию законам противоречия и исключенного третьего. Мы должны, следовательно, отвергнуть такую интерпретацию закона тождества, рассматриваемого как один из трех традиционных законов мышления.

(b) Мы можем попытаться обойти трудность, объяснив, что под тождеством мы подразумеваем непрерывное тождество, как когда я говорю: «Эта ручка — та же самая, которой я писал вчера». Здесь уже нет чистого тождества, поскольку есть различие во времени.

Если, принимая эту интерпретацию, мы подразумеваем под законом тождества, что то, что истинно для чего-либо в данное время, истинно для него и в другое время, то мы получаем не самоочевидный закон, а логическую ошибку. Ибо свойства объектов не постоянны. Другими словами, обладание объектом каким-либо данным свойством не является, подобно истинности суждения (выраженного полностью), независимым от времени.

Тогда под законом тождества в такой интерпретации мы должны подразумевать утверждение не какого-либо тождества свойств, а тождества субъекта свойств среди всех изменений, которые могут происходить в самих свойствах. Это можно рассматривать как теорию о природе индивидуальности и непрерывного тождества среди изменений, и она имеет большое значение на своем месте. Но она не может должным образом стоять в ряду традиционных законов мышления, которые составляют фундамент логической доктрины.

416. Закон противоречия. Принцип противоречия лучше всего рассматривать как выражение одного аспекта отношения между противоречащими суждениями, а именно того, что они не могут быть оба истинными. Существенной характеристикой суждения является то, что оно претендует на истинность. Но мы не можем объявить что-либо истинным, не объявив тем самым неявно что-то другое ложным. Всякое утверждение подразумевает отрицание; и мы не можем ясно уловить смысл любого данного суждения, если не понимаем точно, что именно оно отрицает.

Отношение между суждением и его отрицанием делается явным законом противоречия и законом исключенного третьего, первый из которых провозглашает, что два противоречащих суждения не могут быть оба истинными, а второй — что они не могут быть оба ложными.

Ясно, что закон противоречия в такой интерпретации не продвигает нас очень далеко и что он не может выполнить функцию, которую приписал ему Гамильтон, — служить принципом всякого логического отрицания. Он служит, однако, для выражения значимости отрицания и в то же время для изложения (с иной точки зрения, чем та, что принята в законе тождества) фундаментального постулата, который должен быть принят, если наши процессы мышления и рассуждения должны быть обоснованными. Ибо обоснованность мышления и рассуждения требует, чтобы ложные суждения опровергались; и только с помощью закона противоречия такое опровержение возможно. Опровержение требует, чтобы было установлено другое суждение, противоречащее первому; но это было бы бесполезно, если бы два противоречащих суждения могли быть истинными одновременно.

Таким образом, закон противоречия занимает свое место рядом с законом тождества как первый принцип диалектики и рассуждения: не продвигая нас на нашем пути, но служа постулатом, без которого нам было бы невозможно даже начать.

Мы можем перейти к рассмотрению формулы «A не есть не-A», которой обычно выражается закон противоречия. Здесь, как отмечает Зигварт, мы имеем уже не выражение отношения между двумя суждениями, а утверждение, что в данном суждении предикат не должен противоречить субъекту; и поскольку отрицание и противоречие не имеют первичного смысла, кроме как в отношении к суждениям, эта интерпретация принципа противоречия во всяком случае не может считаться столь же фундаментальной, как та, которую мы привели ранее. В то же время ясно, что если бы какое-либо A было не-A, то, понимая под не-A все, что не принадлежит к классу A, мы имели бы два противоречащих суждения, ибо мы могли бы утверждать о чем-то одновременно и то, что оно принадлежит к классу A, и то, что оно не принадлежит к классу A.

Формулу «A не есть не-A» не следует, следовательно, отвергать, если признается ее вторичный характер.

Отношение Милля к закону противоречия содержит кажущуюся непоследовательность. Он начинает с того, что рассматривает его как способ определения отрицания. Это, говорит он, просто тождественное суждение: если отрицание истинно, то утверждение должно быть ложным; ибо отрицание не утверждает ничего, кроме ложности утверждения, и не имеет никакого другого смысла или значения вообще. Однако он продолжает, как в «Логике», так и в «Исследовании философии сэра Уильяма Гамильтона», говорить об этом законе как об обобщении опыта. Он находит его первоначальное основание в том факте, что вера и неверие — это два разных психических состояния, исключающих друг друга, и этот факт мы получаем путем простейшего наблюдения за нашим собственным разумом. Мы наблюдаем, более того, что свет и тьма, звук и тишина, равенство и неравенство, короче говоря, любое положительное явление и его отрицание — это различные явления, резко противопоставленные, и одно всегда отсутствует, когда присутствует другое. Из всех этих фактов закон противоречия, по мнению Милля, является обобщением.

Logic, ii. 7 § 5.

В этом аргументе, по-видимому, задействованы два различных пункта. Что касается отсылки к вере и неверию, мы должны согласиться, что основание закона противоречия следует искать в природе суждения. Существенной характеристикой суждения является то, что оно претендует на истинность, и утверждение истины по самой своей природе подразумевает отрицание. Однако трудно увидеть, где здесь появляется какое-либо обобщение.

Другой пункт, который поднимает Милль, а именно факт, что все наше знание состоит из контрастов, — это обобщение, которое обычно известно как психологический закон относительности. Тот факт, однако, что мы не можем постичь свет иначе как в отличие от тьмы, звук — иначе как в отличие от тишины и т. д., не может рассматриваться как эквивалентный закону противоречия. То, что утверждает этот закон, есть, как выражается сам Милль, то, что «одна и та же пропозиция не может быть одновременно ложной и истинной».

Буль утверждает, что «аксиома метафизиков, которая называется принципом противоречия и которая утверждает, что невозможно, чтобы что-либо обладало качеством и в то же время не обладало им, является следствием фундаментального закона мышления, выражением которого является x² = x». Закон противоречия выражается в системе Буля в форме x(1 − x) = 0, где x может обозначать либо истинность суждения, либо термин; и, конечно, ясно, что x(1 − x) = 0 следует из x² = x. Будет, однако, замечено, что обратное также верно, так что вопрос о том, какой из двух законов является действительно более фундаментальным, остается открытым для обсуждения. Помимо этого, любая попытка вывести закон противоречия из какого-либо другого принципа вообще открыта для фундаментального возражения, что, если закон противоречия не принят в качестве постулата, ни один шаг в рассуждении невозможен: ибо как только нам позволено утверждать суждение и в то же время отрицать его, нам тем более позволено утверждать суждение и отрицать любой вывод, который может быть из него сделан. К вопросу о взаимозависимости законов мышления мы вернемся.

Отрицалось, что закон противоречия является необходимым законом мышления, на том основании, что мы не только часто сталкиваемся с самопротиворечиями, но что иногда люди даже хвастались тем, что придерживаются противоречивых мнений. Если, однако, закон противоречия должен быть отвергнут, необходимо показать не просто то, что мы иногда противоречим себе, а то, что мы делаем это с полной ясностью мысли и что мы не выставляем себя при этом в глупом свете.

Сравните Bain, Logic, Deduction, с. 223.

Сам факт того, что мы придерживаемся противоречивых мнений, ничего не значит, пока самопротиворечие не осознается нами. В таких случаях можно предположить, что та или иная из противоречивых доктрин будет отброшена, как только противоречие между ними станет очевидным. Если истинность обеих все еще поддерживается, вероятно, обнаружится, что существует какая-то оговорка — например, посредством проведения различия между разными видами истины, когда одна доктрина считается истинной буквально, а другая — в каком-то поэтическом или аллегорическом смысле, — благодаря чему последовательность восстанавливается ценой двусмысленности и недостатка ясности. Помимо какого-либо объяснения такого рода, проблема объяснения того, как некоторые из нас, по-видимому, придерживаются противоречивых убеждений, является задачей скорее для психолога, чем для логика. Окончательное объяснение следует искать в путанице мыслей, или недостатке интеллектуальной искренности, или в сочетании этих двух причин. С логической точки зрения оставаться в неразрешенном противоречии — значит выставлять себя в глупом свете и признавать поражение.

417. Софизм «Лжец». Софизм, известный как Ψευδόμενος или «Лжец», некоторыми авторами считался представляющим исключение из универсальной применимости закона противоречия.

Сравните Ueberweg, Logic, с. 245.

«Эпименид, критянин, говорит, что все критяне — лжецы. Следовательно, он сам лжец. Значит, то, что он говорит, не истинно, и критяне не лжецы. Но если так, то его утверждение может быть принято, и они — лжецы. И так далее, ad infinitum».

Решение просто, если мы интерпретируем утверждение Эпименида как означающее лишь то, что критяне обычно говорят неправду. Пусть тогда его утверждение понимается в более строгом смысле, чем этот, а именно как означающее, что критяне всегда и во всем лжецы, что ни одно утверждение, сделанное критянином, никогда ни при каких обстоятельствах не бывает истинным.

Опять же, решение просто, если мы просто предположим, что утверждение ложно. Эпименид здесь говорит неправду, но критяне часто или иногда говорят правду. Мы явно путаем противоречащее с противным, если переходим от позиции, что неверно, будто критяне всегда и во всем лжецы, к позиции, что то, что говорит критянин, должно поэтому быть истинным.

Софизм становится немного более озадачивающим, если мы начнем с допущения, что истинно, будто критяне никогда не говорят правду. Такое допущение не содержит самопротиворечия, и поэтому нет ничего, что мешало бы нам взять его в качестве отправной точки. Раз это так, пусть Эпименид сделает свое утверждение. Поскольку оно истинно, вот критянин, который сказал правду, и, следовательно, оно ложно. Его собственная истинность доказывает его собственную ложность. Но, опять же, поскольку оно истинно, Эпименид не может говорить правду, и, следовательно, оно ложно. Еще раз его собственная истинность доказывает его собственную ложность.

Аргумент можно также представить следующим образом. Допустим, что истинно, будто критяне всегда и во всем лжецы, и тогда пусть Эпименид, критянин, сделает это утверждение. Либо он говорит истину, либо он говорит ложь. Но если он говорит истину, то из этого следует, что он говорит ложь; в то время как, с другой стороны, если он говорит ложь, он лишь предоставляет дополнительное доказательство истинности того, что он говорит.

Проблема, требующая решения, заключается в том, как кажущийся обоснованным аргумент может таким образом привести в качестве своего результата лишь голое противоречие. Объяснение состоит в том, что мы начали с посылок, которые неявно противоречивы, и что наше последующее рассуждение выполнило свою надлежащую функцию, сделав противоречие явным. Нет ничего самопротиворечивого в допущении, что критяне никогда не говорят правду; но, начав с этого допущения, мы не можем без неявного противоречия предположить, что критянин делает это утверждение. Другими словами, две посылки — «критяне всегда и во всем лжецы» и «Эпименид, критянин, сказал это» — не могут быть истинными одновременно.

418. Закон исключенного третьего. Закон исключенного третьего дополняет закон противоречия в объяснении природы отношения между двумя противоречащими суждениями. Закон противоречия говорит нам, что из двух противоречащих суждений одно или другое должно быть ложным, причем истинность одного подразумевает ложность другого; закон исключенного третьего говорит нам, что из двух противоречащих суждений одно или другое должно быть истинным, причем ложность одного подразумевает истинность другого. Только с помощью двух законов в сочетании смысл отрицания может быть выражен полностью.

Зигварт рассматривает закон исключенного третьего как производный принцип, зависящий от принципа противоречия и другого принципа, который он называет принципом двукратного (или двойного) отрицания. Он отмечает, что для полного истолкования природы отрицания мы должны добавить к принципу противоречия дальнейший принцип, согласно которому отрицание отрицания является утвердительным, что отрицать отрицание — значит утверждать тот же предикат о том же субъекте. Этому дальнейшему принципу он дает название двойного отрицания; и, говорит он, только потому, что отрицание отрицания есть само утверждение, нет ничего среднего между утверждением и отрицанием.

Вывод следующий. Пусть X = «A есть B», а X = «A не есть B». Принцип противоречия говорит нам, что из двух суждений X и X одно обязательно ложно. Отсюда следует, что одно обязательно истинно. Ибо если я отрицаю X, то тем самым я поддерживаю X, в то время как если я отрицаю X, то (согласно принципу двойного отрицания) я поддерживаю X. Следовательно, отрицание обоих эквивалентно утверждению обоих, то есть оно влечет за собой противоречие. Отсюда нет среднего суждения между утверждением и отрицанием.

В критике вышеизложенного можно поставить вопрос, оправдывает ли нас голый закон противоречия в явном переходе от отрицания X к утверждению X. Собственная формулировка принципа противоречия у Зигварта гласит, что X и X не могут быть истинными вместе. Это позволяет нам перейти от утверждения X к отрицанию X или от утверждения X к отрицанию X; но не более того. Более того, в подходе Зигварта к этому вопросу, по-видимому, отсутствует симметрия. Он заставляет закон противоречия давать (1) утверждение X есть отрицание X, (2) утверждение X есть отрицание X, (3) отрицание X есть утверждение X; в то время как принцип двойного отрицания дает только (4) отрицание X есть утверждение X.

Все четыре этих отношения требуются для того, чтобы природа противоречия была выражена полностью; но если мы не суммируем все четыре в одном утверждении, кажется лучше выразить (1) и (2) с помощью принципа противоречия, а (3) и (4) — с помощью второго принципа, называем ли мы последний именем принципа исключенного третьего или любым другим именем. Будет замечено, что мы можем выразить (1) и (2) вместе в форме «Неверно, что X и X оба истинны», а (3) и (4) вместе — в форме «Либо X, либо X».

Принцип двойного отрицания Зигварта, таким образом, по-видимому, выражает половину того, что обычно выражается с помощью закона исключенного третьего; и его отдельное признание можно считать излишним. Я согласен с Зигвартом, однако, в том, что закон исключенного третьего делает не более чем помогает раскрыть смысл отрицания.

Нет необходимости занимать место обсуждением отношения формулы «Всякое A есть B или не-B» к принципу исключенного третьего, как описано выше. Эта формула выражает вторичное отношение между так называемыми противоречащими терминами, которое следует из соответствующего, но более фундаментального отношения между противоречащими суждениями.

Для того, что обычно известно как закон исключенного третьего, Джевонс предлагает название «закон двойственности». Он делает это на том основании, что рассматриваемый закон утверждает, что на каждом шагу есть две возможные альтернативы, и поэтому придает всем формулам рассуждения двойственный характер. Закон двойственности занимает важное место в системе формальной логики Джевонса, которая основана на повторном применении принципа дихотомического деления. Можно, однако, поставить вопрос, не должен ли закон двойственности, если он используется таким образом, включать в себя закон противоречия так же, как и закон исключенного третьего. Столь же важно на каждом этапе, чтобы альтернативы были исключающими, как и то, что они являются исчерпывающими.

Principles of Science, 1, § 3.

419. Основания, на которых отрицались абсолютная универсальность и необходимость закона исключенного третьего. Универсальная применимость закона исключенного третьего отрицалась чаще, чем применимость любого из двух ранее обсуждавшихся законов. Отрицание обычно зависит от путаницы между противоречащей оппозицией и противной оппозицией. Говорят, например, что существует среднее между «большим» и «меньшим». Это верно; но закон исключенного третьего не исключает возможности такого среднего. Этот закон не говорит нам, что данная величина должна быть либо больше, либо меньше другой данной величины; он лишь говорит нам, что она должна быть либо больше, либо не больше.

Тесно связан с этим случай, когда наша неспособность (из-за отсутствия необходимых знаний или способности к различению) решить в пользу одной из двух противоречащих альтернатив, как предполагается, дает третью альтернативу; как, например, когда к двум альтернативам «виновен» и «не виновен» добавляется третья альтернатива «не доказано». «Виновен» и «не виновен», рассматриваемые чисто в отношении к предполагаемому преступнику, являются истинными противоречащими, и они не допускают никакого среднего. Но «доказано, что виновен» и «доказано, что не виновен» — это противные, а не противоречащие; и именно здесь появляется третья альтернатива «не доказано».

Некоторая трудность может также возникнуть из-за двусмысленности или неопределенности в использовании языка. Так, возможно, можно сказать, что заключенный может быть ни «виновным», ни «не виновным», а «частично виновным». Под «виновным», однако, мы должны понимать либо «полностью виновный», либо «виновный в какой-либо степени»; и какое бы из этих значений мы ни приняли, трудность разрешается.

Мы можем аналогичным образом подойти к вопросу о том, имело ли место действие, занимающее конечный интервал времени для своего завершения, или нет, когда оно фактически происходит; например, была ли битва выиграна или нет, когда она наполовину завершена, или взошло солнце или нет, когда половина его окружности находится над горизонтом.

Трудности, которые возникают в таких случаях, как эти, — это на самом деле вербальные трудности.

Другие трудности, возникающие из-за неопределенности относительно точного диапазона применения терминов, частично вербальны, а частично зависят от наших несовершенных способностей к различению. Мы, возможно, колеблемся сказать о данном цвете, является ли он «синим» или «зеленым», и поэтому является ли он «синим» или «не синим». Если, однако, с помощью спектра или иным образом мы можем определить совершенно точно, что мы подразумеваем под «синим», трудность устраняется.

Милль замечает, на ином основании, чем любое из вышеперечисленных, что принцип исключенного третьего не является истинным, если не сделать большую оговорку. «Пропозиция должна быть либо истинной, либо ложной, при условии, что предикат является таким, который может быть в каком-либо понятном смысле приписан субъекту. «Абракадабра есть вторая интенция» — ни истинно, ни ложно. Между истинным и ложным есть третья возможность — бессмысленное» (Logic, ii. 7, § 5).

Ответ на это заключается в том, что закон исключенного третьего применяется только к пропозициям, собственно так называемым, то есть к пропозициям, рассматриваемым как вербальные выражения суждений, условие, которое явно не выполняется предложением (ложно называемым пропозицией), которое является бессмысленным. Если мы определим пропозицию как вербальное выражение суждения, то «бессмысленная пропозиция» — просто случайный набор слов, который ничего не передает уму — в действительности является противоречием в терминах.

Под «бессмысленной пропозицией» в вышеприведенном аргументе мы понимали так называемую пропозицию, которая не имеет смысла для человека, который ее произносит, или для кого-либо еще. Для данного индивида утверждение, сделанное кем-то другим, может быть бессмысленным, потому что он не понимает силы используемых терминов; но это никоим образом не влияет на принцип, что утверждение будет, как дело факта, либо истинным, либо ложным.

Хотя, однако, каждое суждение должно быть либо истинным, либо ложным, вполне возможно, что могут быть заданы неподходящие вопросы, правильные ответы на которые будут отрицательными, но будут ощущаться как бесплодные и незначительные, потому что любой, кто понимает смысл используемых терминов, сразу признает, что предикат не может быть в каком-либо понятном смысле приписан субъекту.

Сравните раздел 85.

Является ли добродетель круглой? Этот вопрос ощущается как абсурдный; но он не является бессмысленным. Говоря, что что-либо является круглым, мы подразумеваем, что оно имеет некоторую фигуру и что его фигура является круглой. Если, следовательно, вопрос о круглости поднимается в связи с чем-то, что является нематериальным и, следовательно, вообще не имеет фигуры, ответ должен быть отрицательным.

Сравните Bradley, Principles of Logic, с. 145. Г-н Брэдли задает вопрос: «Когда предикат действительно известен как не являющийся «таким, который может быть в каком-либо понятном смысле приписан субъекту», не является ли это само по себе достаточным основанием для отрицания?»

Этот пункт, возможно, едва ли кажется стоящим того, чтобы его поднимать. Он помогает, однако, объяснить, как Милль приходит к своему отрицанию универсальной применимости закона исключенного третьего. В его критике доктрины ноуменов Гамильтона поднимается вопрос, имеет ли материя сама по себе минимум делимости или она бесконечно делима. Ответ Милля заключается в том, что, хотя здесь мы, по-видимому, имеем противоречащие альтернативы, обе, возможно, должны быть отвергнуты, поскольку делимость, возможно, вообще не является предикабильной для материи самой по себе. Другими словами, пропозиция о том, что материя сама по себе имеет минимум делимости, ни истинна, ни ложна, а бессмысленна.

Следует заметить, однако, что «иметь минимум делимости» и «быть бесконечно делимым» не являются противоречащими, кроме как в сфере делимого. Если принять более широкую точку зрения, противоречащее «иметь минимум делимости» должно быть выражено просто в форме «не иметь минимума делимости», причем последнее включает случай «бесконечной делимости», а также случай «абсолютной неприменимости атрибута делимости».

420. Являются ли законы мышления также законами вещей? Взгляд на законы мышления, принятый на предыдущих страницах, делает вопрос о том, являются ли эти законы также законами вещей, несколько вводящим в заблуждение. Мы описали законы как постулаты, которые являются фундаментальными во всяком обоснованном мышлении и рассуждении, и мы рассматривали их как касающиеся по существу суждений. Наши результаты могут быть очень кратко суммированы следующим образом.

Истина, утверждаемая в любом суждении, когда она выражена полностью, независима от времени и контекста. Соответственно, у нас нет возможности принять суждение на одном этапе аргументации или хода рассуждения и отвергнуть его на другом. Эта недвусмысленность акта суждения провозглашается законом тождества, а также законом противоречия, причем один рассматривает вопрос с позитивной, а другой — с негативной точки зрения. Опять же, всякое суждение включает в себя как утверждение, так и отрицание; и сила любого суждения не постигается нами полностью, пока мы ясно не осознаем, что именно оно отрицает, а также что оно утверждает. Закон противоречия в сочетании с законом исключенного третьего имеет функцию сделать явным то, что мы подразумеваем под отрицанием. Три закона могут быть выражены этими формулами: «Я утверждаю то, что утверждаю, и отрицаю то, что отрицаю»; «Если я делаю какое-либо утверждение, я тем самым отрицаю его противоречащее»; «Если я делаю какое-либо отрицание, я тем самым утверждаю его противоречащее».

Из этого следует, что мы не можем добиться никакого прогресса в материальном знании, кроме как в подчинении этим законам. Но в то же время они не продвигают напрямую наше знание вещей. Они являются отчетливо законами, относящимися к суждениям, а не напрямую к вещам, о которых мы судим.

Без сомнения, когда говорится, что законы мышления являются также законами вещей, законы рассматриваются в том, что мы считали их вторичными формами: «A есть A»; «A не есть не-A»; «Все есть A или не-A». Но даже в этом случае трудно придать им какой-либо смысл, если рассматривать их как реальные пропозиции. Под «A» мы подразумеваем «A», ни больше, ни меньше; и под «не-A» мы подразумеваем «то, что не есть A, но включает все остальное». Законы не претендуют на предоставление какого-либо материального знания, и их обоснованность никоим образом не зависит от материальных условий.

Вопрос, поднятый в этом разделе, по существу уже был рассмотрен более подробно в специальной связи с законом тождества.

421. Взаимные отношения трех законов мышления. Если признается обоснованность обычных процессов непосредственного умозаключения, можно показать, что три закона мышления взаимно вовлекают друг друга.

Начиная с гипотетической пропозиции,

If A is true then C is true |  (i),

мы получаем в качестве ее (истинного) дизъюнктивного эквивалента,

It cannot be that A is true and C is not true |  (ii),

и в качестве ее альтернативного эквивалента,

Either C is true or A is not true | (iii).

Если теперь вместо C мы напишем A, мы получим следующий набор эквивалентных пропозиций:

«Если A истинно, оно истинно»; «Не может быть, чтобы A было одновременно истинным и не истинным»; «A есть либо истинное, либо не истинное»;

и это выражения закона тождества, закона противоречия и закона исключенного третьего соответственно.

Уже было показано в разделе 108, что аналогичный результат достижим, если мы напишем S вместо P в следующей тройке эквивалентных пропозиций:

«Всякое S есть P»; «Ничто не является одновременно S и не-P»; «Все есть P или не-S».

Эти результаты указывают на тесные отношения, существующие между тремя законами. Но ошибкой было бы полагать, что мы можем рассматривать только один из них как фундаментальный, а два других — как выводимые из этого одного. Ибо законы мышления стоят в основании всякого доказательства, и они должны быть постулированы для того, чтобы вышеприведенные эквивалентности могли быть сами показаны как обоснованные.

422. Законы мышления в отношении к непосредственным умозаключениям. Признавая, что законы мышления стоят в основании всякого доказательства, остается дальнейший вопрос, какие умозаключения, если таковые имеются, могут быть показаны как обоснованные только с их помощью.

Гамильтон утверждает, что закон тождества является принципом всякого логического утверждения, закон противоречия — всякого логического отрицания, а закон исключенного третьего — всякой логической дизъюнкции. Под логическим утверждением мы можем здесь понимать утверждение, которое может быть основано на чисто формальных соображениях без отсылки к материи мышления, и мы можем интерпретировать логическое отрицание и логическую дизъюнкцию аналогично. Три закона мышления, соответственно, считаются Гамильтоном оправдывающими то, что мы в другом месте называли формальными пропозициями, в зависимости от того, являются ли они утвердительными, отрицательными или дизъюнктивными соответственно. Деление на утвердительные, отрицательные и дизъюнктивные, однако, носит характер перекрестного деления; и возникает вопрос, куда нам поместить формальные гипотетические суждения, такие как следующие: «Если истинно, что все, что есть S, есть P, то истинно, что все, что не есть P, не есть S»; «Если истинно, что все S есть M и что все M есть P, то истинно, что все S есть P». По-видимому, поскольку они являются утвердительными, их следует отнести к закону тождества; и поскольку принцип любого формального умозаключения вообще может быть выражен в формальной пропозиции, аналогичной по характеру вышеприведенным пропозициям, мы обнаруживаем, что Гамильтон практически излагает доктрину, что в трех законах мышления (если не в одном законе тождества) мы имеем достаточный фундамент, на котором можно базировать все логическое умозаключение.

Эта доктрина может, во-первых, быть кратко рассмотрена с особым вниманием к непосредственным умозаключениям.

Можно согласиться с тем, что процесс обверсии может быть основан исключительно на законах противоречия и исключенного третьего. От «Всякое S есть P» мы переходим к «Ни одно S не есть не-P» по закону противоречия; и от «Ни одно S не есть P» мы переходим к «Всякое S есть не-P» по закону исключенного третьего.

Но это другое дело, когда мы переходим к рассмотрению процессов конверсии и контрапозиции; и будет обнаружено, что попытки базировать эти процессы исключительно на трех законах мышления обычно сводятся либо к голым утверждениям, либо к практическим отрицаниям того, что конверсия и контрапозиция вообще являются процессами умозаключения.

Де Морган отмечает: «Когда какой-либо автор пытается показать, как восприятие конвертируемости «A есть B» дает «B есть A» следует из принципов тождества, различия и исключенного третьего, я смогу судить о процессе; как есть, я обнаруживаю, что другие не выходят за рамки простого утверждения, и что я сам могу обнаружить petitio principii в каждой из моих собственных попыток» (Syllabus of Logic, с. 47).

Тест, который я был бы склонен применить к любой попытке доказательства обоснованности процесса конверсии, состоит в том, чтобы спросить, в чем принцип, задействованный в доказательстве, делает явной неконвертируемость O-пропозиции и нелегитимность простой конверсии A. Ясно, что мы не имеем права предполагать, что любые самоочевидные принципы, которые мы можем призвать на помощь, эквивалентны закону тождества.

Например: «Если один класс полностью или частично содержится во втором, то второй по крайней мере частично содержится в первом; если один класс полностью исключен из второго, то второй полностью исключен из первого».

Следующая попытка обосновать конверсию A и I с помощью закона тождества может быть взята в качестве примера: «Всякая утвердительная пропозиция может рассматриваться как утверждающая, что существуют определенные вещи, которые обладают атрибутами, коннотируемыми как субъектом, так и предикатом — класс SP. Следовательно, принцип тождества оправдывает конверсию утвердительной пропозиции. Ибо если существуют S, которые обладают атрибутом P, принцип тождества делает необходимым, чтобы некоторые из объектов, которые обладают этим атрибутом, были S». Закон тождества упоминается здесь, но мы можем справедливо спросить, в какой форме этот закон действительно появляется. Сводится ли аргумент к чему-то большему, чем то, что в таком анализе обоснованность рассматриваемой конверсии самоочевидна? Не могли бы мы вместо слов «принцип тождества делает необходимым» подставить слова «это самоочевидно»?

Поскольку аргумент претендует на то, чтобы быть чем-то большим, чем это, он содержит petitio principii.

Сравните, далее, обсуждение легитимности конверсии в разделе 99.

Без сомнения, если непосредственные умозаключения — это не более чем вербальные трансформации, то они все могут быть основаны на принципе тождества, как интерпретировал его Милль, а именно на принципе, что все, что истинно в одной форме слов, истинно в любой другой форме слов, имеющей тот же смысл. Но если конверсия (или любая другая форма непосредственного умозаключения) — это нечто большее, чем просто вербальная трансформация, эквивалентность конвертенда и конверса — это как раз то, что мы должны показать; они не являются просто двумя разными формами слов, имеющими один и тот же смысл.

423. Законы мышления и опосредованные умозаключения. Мэнсел выражает взгляд, что силлогистическое рассуждение — и, действительно, всякое формальное рассуждение вообще — может быть основано исключительно на законах тождества, противоречия и исключенного третьего. Принцип тождества, говорит он, непосредственно применим к утвердительным модусам в любой фигуре, а принцип противоречия — к отрицательным. Его доказательство этой позиции состоит в квантификации предикатов пропозиций, составляющих силлогизм, и затем использовании — для утвердительных — аксиомы, что «то, что дано как тождественное целому или части какого-либо понятия, должно быть тождественным целому или части того, что тождественно тому же понятию», и — для отрицательных — аксиомы, что «некоторые или все S, будучи даны как тождественные всем или некоторым M, отличны от каждой части того, что отлично от всех M».

Prolegomena Logica, с. 222.

Эти формулы, однако, отчетливо выходят за рамки законов тождества и противоречия, как они обычно излагаются. Они могут, действительно, рассматриваться как эквивалентные dictum de omni et nullo, адаптированному так, чтобы быть применимым к силлогизмам, состоящим из пропозиций с квантифицированными предикатами; и если предполагается, что dictum — это лишь другая форма изложения законов тождества и противоречия, то вопрос не нуждается в дальнейшем обсуждении. Только в этом случае мы не должны более выражать закон тождества ни в форме «Что истинно, то истинно», ни в форме «A есть A»; ни закон противоречия ни в форме «Если суждение истинно, его противоречащее не истинно», ни в форме «A не есть не-A». Законы, сформулированные таким образом, не могут рассматриваться как адекватные выражения аксиомы, на которой строится силлогистическое рассуждение. Они не выявляют функцию среднего термина, которая является характерной чертой силлогизма, и правила силлогизма не могли бы быть выведены из них.

Конечно, силлогистическое рассуждение, как и всякое другое рассуждение, предполагает законы мышления, и в процессе косвенной редукции, который занимает не последнее место в доктрине силлогизма, эти законы входят явно.

Нет необходимости подробно рассматривать формальные умозаключения, относящиеся к логике отношений, например: «B больше C», «A больше B», следовательно, «A больше C». Здесь нам требуется принцип, что все, что больше чего-либо, что больше третьей вещи, само больше третьей вещи; и было бы еще труднее, чем в случае с dictum de omni et nullo, вывести этот принцип непосредственно из трех законов мышления.

ПРИЛОЖЕНИЕ C.

ОБОБЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ИХ ПРИМЕНЕНИИ К СЛОЖНЫМ ПРОПОЗИЦИЯМ. 465

ГЛАВА I.

КОМБИНАЦИЯ ТЕРМИНОВ.

465 На следующих страницах рассматриваются проблемы, которые обычно относили к области символической логики. Однако они не рассматривают символическую логику напрямую, если понимать этот термин в его обычном смысле, а именно как обозначение той отрасли науки, в которой используются символы операций. Разумеется, в широком смысле вся формальная логика является символической.

424. Сложные термины. — Простой термин можно определить как термин, который не состоит из комбинации других терминов. Мы обозначаем простой термин одной буквой; например, A, P, X. Комбинация простых терминов дает сложный термин; и комбинация может быть либо конъюнктивной, либо альтернативной.

Сложный термин, возникающий в результате конъюнктивной комбинации других терминов, можно назвать конъюнктивным термином, и будет удобно обозначать такой термин простым соположением входящих в него других терминов. 466 Этот вид комбинации иногда называют детерминацией; и мы можем называть элементы, объединенные в конъюнктивном термине, детерминантами этого термина. Таким образом, A и B являются детерминантами конъюнктивного термина AB.

466 Конъюнктивная комбинация терминов в символической логике обычно представляется знаком умножения.

Сложный термин, возникающий в результате альтернативной комбинации других терминов, можно назвать альтернативным термином; и мы можем называть элементы, объединенные в таком термине, альтернатами этого термина. Таким образом, A и B являются альтернатами альтернативного термина «A или B». 467

467 Альтернативная комбинация терминов в символической логике обычно представляется знаком сложения.

469 На следующих страницах, в соответствии с точкой зрения, указанной в разделе 191, альтернаты в альтернативном термине не рассматриваются как обязательно исключающие друг друга (за исключением, конечно, случаев, когда они являются формально противоречащими). Таким образом, если мы говорим о чем-либо как об «A или B», мы не намерены исключать возможность того, что это является и A, и B. Иными словами, «A или B» не исключает AB.

В этом месте необходимо кратко рассмотреть логическое значение слов «и», «или». В предикате пропозиции их значение ясно; они указывают на конъюнктивную и альтернативную комбинацию соответственно; например, «P есть Q и R», «P есть Q или R». Но когда они встречаются в субъекте пропозиции, в каждом случае возникает двусмысленность, на которую необходимо обратить внимание.

Так, было бы выигрышнее в краткости, если бы мы могли записать пропозицию с альтернативным термином в качестве субъекта в форме «P или Q есть R». Однако это последнее выражение естественнее было бы интерпретировать как означающее «P есть R или Q есть R», при этом сила «или» понимается не как дающая единую категорическую пропозицию с альтернативным субъектным термином, а как краткий способ альтернативного соединения двух пропозиций с общим предикатом. Следовательно, когда мы подразумеваем первое, следует принять более определенный способ изложения: «Все, что есть либо P, либо Q, есть R» или «Любая вещь, которая есть либо P, либо Q, есть R».

Существует также двусмысленность в форме «P и Q есть R». Это естественнее было бы интерпретировать не как единую категорическую пропозицию с конъюнктивным субъектным термином (PQ есть R), а как краткий способ конъюнктивного соединения двух пропозиций с общим предикатом, а именно: «P есть R и Q есть R». Поэтому, чтобы однозначно выразить пропозицию с конъюнктивным субъектным термином, будет хорошо либо принять метод простого соположения без какого-либо соединительного слова, как, например, «PQ есть R», либо использовать одну из более громоздких форм: «Все, что есть и P, и Q, есть R» или «Любая вещь, которая есть и P, и Q, есть R». 468

468 Можно заметить, что как в этом случае, так и в случае с «или» мы избавляемся от двусмысленности, помещая слова в предикат придаточного предложения. Г-н Джонсон выражает суть последних трех абзацев в тексте, указывая, что «обычная речь принимает конвенцию: субъекты синтезируются внешне, а предикаты синтезируются внутренне» (Mind, 1892, стр. 239). Другими словами, «и» и «или», встречающиеся в предикате, понимаются как выражающие конъюнктивный или альтернативный термин; но встречающиеся в субъекте, они понимаются как выражающие конъюнктивную или альтернативную пропозицию.

425. Порядок комбинации в сложных терминах. — Порядок 470 комбинации в сложном термине безразличен, будь то комбинация конъюнктивная или альтернативная. 469

469 Это иногда называют законом коммутативности. Сравните: Буль, «Законы мышления», стр. 31, и Джевонс, «Принципы науки», 2, § 8.

Таким образом, AB и BA имеют одно и то же значение. Выходит одно и то же, выбираем ли мы из класса A элементы B или из класса B элементы A.

Опять же, «A или B» и «B или A» имеют одно и то же значение. Безразлично, образуем ли мы класс, добавляя элементы B к элементам A или добавляя элементы A к элементам B.

426. Противопоставление сложных терминов. — Каким бы сложным ни был термин, критерий противоречащего противопоставления, приведенный в разделе 40, должен по-прежнему применяться: «Пара противоречащих терминов связана таким образом, что вместе они исчерпывают всю вселенную, к которой делается отсылка, в то время как в этой вселенной нет индивида, о котором можно было бы одновременно утверждать и то, и другое». В дальнейшем будет удобно обозначать противоречащий любому простому термину соответствующей строчной буквой. Таким образом, вместо «не-A» мы можем писать a, а вместо «не-B» — b.

Теперь все, что не есть AB, должно быть либо a, либо b, в то время как ничто, что есть AB, не может быть ни a, ни b. Следовательно,

⎰ AB, ⎱ a или b,

образуют пару противоречащих. Аналогично,

⎰ A или B, ⎱ ab,

являются парой противоречащих. И то же самое будет справедливо, если A и B обозначают термины, которые сами по себе уже являются сложными (хотя и относительно простыми по сравнению с AB или «A или B»).

Если, таким образом, два термина конъюнктивно объединены в сложный термин (детерминантами которого они будут являться), то противоречащий этому сложному термину находится путем альтернативного объединения противоречащих двух детерминантов. И, наоборот, если два термина альтернативно объединены в сложный термин (альтернатами которого они будут являться), то противоречащий этому сложному термину находится путем конъюнктивного объединения противоречащих двух альтернатов.

В каждом случае мы подставляем вместо соответствующих относительно простых терминов их противоречащие и (в зависимости от обстоятельств) меняем 471 конъюнктивную комбинацию на альтернативную или альтернативную комбинацию на конъюнктивную.

Но какой бы степени сложности ни достиг термин, он будет состоять из ряда конъюнктивных и альтернативных комбинаций; и он может быть последовательно разложен на комбинации пар относительно простых терминов, пока, наконец, не будет показано, что он является результатом комбинации абсолютно простых терминов. Например: «ABC или DE или FG» является результатом альтернативной комбинации «ABC или DE» с FG; «ABC или DE» является результатом альтернативной комбинации ABC с DE; FG является результатом конъюнктивной комбинации F с G; и ABC, DE могут быть разложены аналогично.

Следовательно, последовательное применение вышеуказанного правила для нахождения противоречащего сложного термина, когда мы имеем дело с одной парой детерминантов или альтернатов, приведет к тому, что мы в конечном итоге подставим вместо каждого входящего в него простого термина его противоречащий и изменим характер их комбинации повсюду. 470 Мы можем, таким образом, сформулировать следующее правило для получения противоречащего любого сложного термина: Замените каждый составляющий простой термин его противоречащим и повсюду замените конъюнктивную комбинацию на альтернативную и наоборот. 471 Это правило просто в применении, и оно имеет фундаментальное значение при рассмотрении сложных пропозиций, принятом на следующих страницах.

470 Таким образом, беря термин «ABC или DE или FG» и в первом случае обозначая противоречащий сложного термина чертой, проведенной над ним, мы имеем последовательно:

| ABC or DE or FG
= | ABC (DE or FG)
= | (AB or c) DE . FG
= | (a or b or c) (d or e) (f or g).

471 Сравните: Шрёдер, «Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 18.

Таким образом, противоречащий «A или BC»

есть «a и (b или c)», т.е. «ab или ac»;

и противоречащий «ABC или ABD»

есть (a или b или c) и (a или b или d),

который с помощью правил, которые будут даны в дальнейшем, сводится к форме

a или b или cd.

Два сложных термина могут быть формально несовместимыми или противоречащими, не являясь при этом истинными противоречащими. Это будет иметь место, если они содержат противоречащие детерминанты, не исчерпывая при этом вселенную дискурса. Термины AB и bC дают пример: ничто не может быть одновременно AB и bC (ибо, если бы это было так, нечто было бы одновременно B и не-B), но мы не можем сказать a priori, что все есть либо AB, либо bC (поскольку нечто может быть Abc, которое не есть ни AB, ни bC).

427. Дуальность формальных эквивалентностей в случае сложных терминов. — В следующих разделах будет показано, что некоторые сложные термины формально эквивалентны другим сложным терминам или простым терминам (например, «A или aB» = «A или B», «A или AB» = A); и важно с самого начала заметить, что такие формальные эквивалентности всегда идут парами. Ибо если два термина эквивалентны, то их противоречащие также должны быть эквивалентны; и, следовательно, применяя правило получения противоречащих, данное в предыдущем разделе, мы получаем возможность сформулировать простой закон: каждой формальной эквивалентности соответствует другая формальная эквивалентность, в которой конъюнктивная комбинация повсюду заменена на альтернативную и наоборот. 472 Этот закон может быть более точно установлен следующим образом: формальная эквивалентность, справедливая для любого заданного набора терминов, должна в равной степени быть справедливой для любого другого набора терминов; и, следовательно, все, что справедливо для терминов A, B и т. д., должно быть справедливо для их противоречащих a, b и т. д. Следовательно, имея любую эквивалентность, мы можем сначала заменить каждый простой термин его противоречащим, а затем взять противоречащий каждой стороны эквивалентности. Результатом этого двойного преобразования будет то, что мы получим другую эквивалентность, в которой каждая конъюнктивная комбинация была заменена на альтернативную, и наоборот, в то время как входящие в них символы терминов остались неизменными. Это доказывает то, что требовалось.

472 На это указывает Шрёдер, «Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 3. Две эквивалентности, которые таким образом взаимно выводимы одна из другой, можно назвать взаимными.

Применение вышеуказанного закона будет полностью проиллюстрировано в разделах, которые следуют непосредственно за этим.

428. Законы дистрибутивности. — Чтобы конъюнктивно объединить простой термин с альтернативным термином, мы должны конъюнктивно объединить его с каждым альтернатом альтернативного. 473 «A и (B или C)» 474 обозначает все, что есть A и в то же время либо B, либо C, и, следовательно, эквивалентно «AB или AC». Отсюда следует, что для конъюнктивного объединения двух альтернативных терминов мы должны конъюнктивно объединить каждый альтернат одного с каждым альтернатом другого. Таким образом, 473 «(A или B)(C или D)» обозначает все, что есть либо A, либо B, и в то же время либо C, либо D, и эквивалентно «AC или AD или BC или BD». 475

473 Сравните: Джевонс, «Принципы науки», 5, § 7.

474 В таком случае использование скобок необходимо, чтобы избежать двусмысленности. Так, «A и B или C» могло бы означать «AB или C» или, как выше, «AB или AC».

475 Вводим ли мы алгебраические символы в логику или нет, здесь существует очень близкая аналогия с алгебраическим умножением, которую невозможно скрыть.

Тогда мы имеем

A(B или C) = AB или AC,

и, применяя закон дуальности формальных эквивалентностей, приведенный в предыдущем разделе, мы сразу получаем другую эквивалентность, а именно:

A или BC = (A или B)(A или C). 476

476 Эта эквивалентность могла бы быть установлена и независимо с помощью некоторых эквивалентностей, приведенных в следующих разделах.

Эти две эквивалентности называются Шрёдером законами дистрибутивности. 477 Они имеют величайшее значение при манипулировании сложными терминами и их упрощении.

477 «Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 9, 10.

429. Законы тавтологии. — Для исключения избыточных терминов из сложного термина могут быть установлены следующие правила: (a) Повторение любого заданного детерминанта избыточно. Выбрать из класса A элементы A — это процесс, который оставляет нас там же, где мы начали. Другими словами, то, что есть и A, и A, идентично тому, что есть A. Таким образом, такие термины, как AA, ABB, являются тавтологичными; первый просто обозначает класс A, а второй — класс AB. Отсюда вышеуказанное правило, которое Джевонс называет законом простоты. 478 (b) Повторение любого заданного альтерната избыточно. Сказать, что что-либо есть «A или A», эквивалентно простому утверждению, что это есть A. Следовательно, такие термины, как «A или A», «A или BC или BC», являются тавтологичными; и мы имеем вышеуказанное правило, которое Джевонс называет законом единства. 479

478 См. «Pure Logic», § 42; и «Принципы науки», 2, § 8. Соответствующее уравнение x^2 = x является фундаментальным в системе Буля; см. «Законы мышления», стр. 31.

479 См. «Pure Logic», § 69; и «Принципы науки», 5, § 4.

Из правила, приведенного в разделе 427, будет видно, что закон простоты (AA = A) и закон единства («A или A» = A) являются взаимными; то есть первый выводим из второго и наоборот. Ибо единственное различие между ними состоит в том, что конъюнктивная комбинация в одном заменена на альтернативную комбинацию в другом. 480

480 Читателю может помочь в понимании рассуждений в разделе 427, если мы проработаем этот конкретный случай независимо. Если AA = A, то aa = a, ибо все, что формально справедливо в случае A, должно быть формально справедливо и в случае любого другого термина. Но если два термина эквивалентны, то их противоречащие должны быть эквивалентны. Следовательно, из aa = a следует, что «A или A» = A. И ясно, что мы могли бы аналогично перейти от «A или A» = A к AA = A.

474 430. Законы развития и редукции. — Важные формальные эквивалентности дают законы противоречия и исключенного третьего.

Согласно закону противоречия, термин, содержащий противоречащие детерминанты (например, Bb), не может представлять какой-либо существующий класс. Следовательно, «A или Bb» эквивалентно просто A; другими словами, конъюнктивная комбинация противоречащих может быть безразлично введена или опущена как альтернат.

Опять же, согласно закону исключенного третьего, термин, содержащий противоречащие альтернаты (например, «B или b»), представляет всю вселенную дискурса. Следовательно, A(B или b) эквивалентно просто A; другими словами, альтернативная комбинация противоречащих может быть безразлично введена или опущена как детерминант.

Можно заметить, что вышеуказанные эквивалентности, а именно:

A или Bb = A, A(B или b) = A,

являются взаимными.

Применяя далее законы дистрибутивности, данные в разделе 428, мы имеем следующее:

A = A или Bb = (A или B)(A или b), A = A(B или b) = AB или Ab.

Их можно рассматривать как формулы для развития и редукции терминов. Таким образом, подстановку (A или B)(A или b) вместо A можно назвать развитием термина посредством закона противоречия; а подстановку «AB или Ab» вместо A — развитием термина посредством закона исключенного третьего. В обоих вышеуказанных случаях термин A развивается по отношению к термину B. Аналогично, развивая A по отношению к B и C, мы получили бы (A или B или C)(A или B или c)(A или b или C)(A или b или c), если бы мы использовали закон противоречия, или «ABC или ABc или AbC или Abc», если бы мы использовали закон исключенного третьего. Развитие посредством закона исключенного третьего является более полезным из двух процессов при манипулировании сложными терминами, и можно считать, что именно это имеется в виду, когда говорят о развитии термина без дальнейших уточнений.

И наоборот, процесс перехода от (A или B)(A или b) к A или от «AB или Ab» к A можно назвать 475 редукцией термина посредством закона противоречия или закона исключенного третьего, в зависимости от обстоятельств.

Следуя Джевонсу, мы можем называть альтернативный термин типа «AB или Ab» дуальным термином, а подстановку A вместо «AB или Ab» — редукцией дуального термина. 481

481 «Pure Logic», § 103. Конъюнктивный термин (A или B)(A или b) также можно называть дуальным термином, а его редукцию к A — редукцией дуального термина.

431. Законы поглощения. — Можно показать, что любой альтернат, который является лишь подразделением другого альтерната, может быть безразлично введен или опущен из сложного термина. Таким образом, поскольку AB является подразделением A, термины «A или AB» и A эквивалентны. Это правило (которое Шрёдер называет законом поглощения 482) может быть установлено следующим образом: путем развития A по отношению к B, «A или AB» становится «AB или Ab или AB»; но согласно закону единства это эквивалентно «AB или Ab»; и путем редукции это эквивалентно A.

482 «Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 12. Этот закон поглощения эквивалентен одному из «методов сокращения» Буля («Законы мышления», стр. 130). Сравните также: Джевонс, «Pure Logic», § 70.

Применяя правило, данное в разделе 427, мы получаем второй закон поглощения, а именно: A(A или B) = A, который является взаимным первому закону поглощения: «A или AB» = A.

432. Законы исключения и включения. — Противоречащий любого альтерната в сложном термине может быть безразлично введен или опущен как детерминант любого другого альтерната; то есть термины «A или aB» и «A или B» эквивалентны. Это может быть установлено следующим образом: согласно закону поглощения «A или aB» эквивалентно «A или AB или aB», и путем редукции это дает «A или B». Вышеуказанную эквивалентность можно назвать законом исключения на том основании, что, переходя от «A или B» к «A или aB», мы делаем альтернаты взаимно исключающими.

Взаимная эквивалентность A(a или B) = AB может быть выражена следующим образом: противоречащий любого детерминанта в сложном термине может быть безразлично введен или опущен как альтернат любого другого детерминанта. Эту эквивалентность можно назвать законом включения на том основании, что, переходя от AB к A(a или B), мы делаем детерминанты коллективно включающими всю вселенную дискурса.

433. Резюме формальных эквивалентностей сложных терминов. — Ниже приводится резюме формальных эквивалентностей, содержащихся в пяти предыдущих разделах (те, что заключены в скобки, 476 в каждом случае связаны друг с другом взаимно способом, указанным в разделе 427):—

(1) | A (B or C) = AB or AC, | ⎱ | Laws of Distribution ;
(2) | A or BC = (A or B) (A or C), | ⎰
(3) | AA = A, | ⎱ | Laws of Tautology (Law of Simplicity and Law of Unity) ;
(4) | A or A = A, | ⎰
(5) | A = A or Bb = (A or B) (A or b), | ⎱ | Laws of Development and Reduction ;
(6) | A = A (B or b) = AB or Ab, | ⎰
(7) | A or AB = A, | ⎱ | Laws of Absorption ;
(8) | A (A or B) = A, | ⎰
(9) | A or B = A or aB, | ⎱ | Law of Exclusion and Law of Inclusion.
(10) | AB = A (a or B), | ⎰

434. Конъюнктивная комбинация альтернативных терминов. — Первый закон дистрибутивности дает общее правило для конъюнктивной комбинации альтернатив. Но в целях такой комбинации особое внимание можно обратить (i) на второй закон дистрибутивности, а именно: (A или B)(A или C) = A или BC; и (ii) на эквивалентность (A или B)(AC или D) = AC или AD или BD, которая может быть установлена следующим образом: согласно первому закону дистрибутивности (A или B)(AC или D) эквивалентно «AAC или ABC или AD или BD»; но согласно закону простоты AAC = AC, а согласно закону поглощения «AC или ABC» = AC; следовательно, наш исходный термин эквивалентен «AC или AD или BD», что и требовалось доказать.

Из вышеуказанных эквивалентностей мы получаем два следующих практических правила, которые очень помогают в упрощении процесса конъюнктивного объединения альтернатив: (1) Если две альтернативы, которые должны быть конъюнктивно объединены, имеют общий альтернат, этот альтернат можно сразу записать как один альтернат результата, и нам не нужно проходить форму объединения его с любым из оставшихся альтернатов любой из альтернатив; (2) Если две альтернативы должны быть конъюнктивно объединены и альтернат одной является подразделением альтерната другой, то первый альтернат можно сразу записать как один альтернат результата, и нам не нужно проходить форму объединения его с оставшимися альтернатами другой альтернативы. 483

483 Эти правила эквивалентны второму методу сокращения Буля («Законы мышления», стр. 131).

 477

УПРАЖНЕНИЯ.

435. Упростите следующие термины: (i) AD или acD; (ii) Ad или Ae или aB или aC или aE или bC или bd или bE или be или cd или ce. [K.]

(i) Согласно правилу (1) в разделе 433, «AD или acD» эквивалентно (A или ac)D; и это согласно правилу (9) эквивалентно (A или c)D; что опять же согласно правилу (1) эквивалентно «AD или cD». 484 (ii) Дуальный термин «bE или be» может быть сведен к b, и, следовательно, «Ad или Ae или aB или aC или aE или bC или bd или bE или be или cd или ce» = «Ad или Ae или aB или aC или aE или b или bC или bd или cd или ce». Согласно разделу 433, правилу (7), мы можем теперь опустить все альтернаты, в которых b встречается как детерминант, а согласно правилу (9), B может быть опущен везде, где он встречается как детерминант; соответственно наш термин сводится к «Ad или Ae или a или aC или aE или b или cd или ce». Поскольку a теперь является альтернатом, дальнейшее применение тех же правил оставляет нас с «a или b или cd или ce или d или e»; и это непосредственно сводится к «a или b или d или e».

484 Мы могли бы также поступить следующим образом: AD или acD = AD или AcD или acD [согласно правилу (7)] = AD или cD [согласно правилу (5)].

436. Покажите, что «BC или bD или CD» эквивалентно «BC или bD». [K.]

437. Приведите противоречащие следующих терминов в их простейших формах в виде рядов альтернатов: AB или BC или CD; AB или bC или cD; ABC или aBc; ABcD или Abcde или aBCDe или BCde. [K.]

438. Упростите следующие термины: (1) Ab или aC или BCd или Bc или bD или CD; (2) ACD или Ac или Ad или aB или bCD; (3) aBC или aBe или aCD или aDe или AcD или abD или bcD или aDE или cDE; (4) (A или b)(A или c)(a или B)(a или C)(b или C). [K.]

439. Докажите следующие эквивалентности: (1) AB или AC или BC или aB или abc или C = a или B или C; (2) aBC или aBd или acd или ABd или Acd или abd или aCd или BCd или bcd = aBC или ad или Bd или cd; (3) Pqr или pQs или pq или prs или qrs или pS или qR = p или q. [K.]

ГЛАВА II.

СЛОЖНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ И СОСТАВНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ.

440. Сложные пропозиции. — Сложную пропозицию можно определить как пропозицию, которая имеет сложный термин либо в качестве субъекта, либо в качестве предиката. Обычные различия количества и качества могут быть применены к сложным пропозициям; таким образом, «Все AB есть C или D» — это общеутвердительная сложная пропозиция. «Некоторое AB не есть EF» — это частноотрицательная сложная пропозиция. На следующих страницах пропозиции, написанные в неопределенной форме, будут интерпретироваться как универсальные, так что «AB есть CD» будет пониматься как означающее, что «все AB есть CD». Следует добавить, что при работе со сложными пропозициями мы интерпретируем частные как подразумевающие, а универсальные как не подразумевающие существование их субъектов во вселенной дискурса.

441. Противопоставление сложных пропозиций. — Противопоставление сложных терминов уже было рассмотрено, и противопоставление сложных пропозиций само по себе не представляет особых трудностей. Однако следует помнить, что, поскольку мы интерпретируем частные как подразумевающие существование их субъектов, а универсальные как не делающие этого, мы имеем следующие расхождения с обычным учением о противопоставлении: (1) мы не можем вывести I из A или O из E; (2) A и E не обязательно несовместимы друг с другом; (3) I и O могут быть оба ложными одновременно. Обычное учение о противоречащем противопоставлении остается незатронутым. Ниже приведены примеры противоречащих пропозиций: «Все X есть и A, и B», «Некоторое X не есть и A, и B»; «Некоторое X есть Y и в то же время либо P, либо Q, либо R», «Никакое X не есть Y и в то же время либо P, либо Q, либо R».

442. Составные пропозиции. 485 — Составную пропозицию можно определить как пропозицию, которая состоит из комбинации других пропозиций. Комбинация может быть либо конъюнктивной (т.е. 479 когда две или более пропозиций утверждаются как истинные вместе), либо альтернативной (т.е. когда дается альтернатива между двумя или более пропозициями); например, «Все AB есть C и некоторое P не есть ни Q, ни R» — это составная конъюнктивная пропозиция; «Либо все AB есть C, либо некоторое P не есть ни Q, ни R» — это составная альтернативная пропозиция. Пропозиции, объединенные конъюнктивно, можно называть детерминантами результирующей составной пропозиции; а пропозиции, объединенные альтернативно, можно называть альтернатами результирующей составной пропозиции. В дальнейшем как конъюнктивные, так и альтернативные пропозиции интерпретируются как ассерторические.

485 Сравните раздел 55.

Здесь признаются только два типа составных пропозиций: конъюнктивные и альтернативные. Чисто гипотетические пропозиции являются составными, но (за исключением того, что мы интерпретируем гипотетические и альтернативные пропозиции по-разному в отношении модальности) они эквивалентны альтернативным пропозициям и могут рассматриваться как составляющие один из способов выражения альтернативного синтеза. Таким образом (принимая x и y за символы, представляющие пропозиции, а x̅ и y̅ за их противоречащие), гипотетическая пропозиция «Если x, то y» выражает альтернативу между x̅ и y и, следовательно, эквивалентна альтернативной пропозиции «x̅ или y». Комбинации истинно дизъюнктивного типа (например, «не оба x и y») также могут рассматриваться как способ выражения альтернативного синтеза; таким образом, только что приведенная истинно дизъюнктивная пропозиция эквивалентна альтернативной пропозиции «x̅ или y̅». 486

486 Вышесказанное может показаться подразумевающим, что альтернативный синтез может быть выражен большим числом способов, чем конъюнктивный синтез. Однако это не так. Было показано, что альтернативный синтез может быть выражен гипотетической пропозицией или отрицанием конъюнктивной (то есть истинно дизъюнктивной). Но в соответствии с этим конъюнктивный синтез может быть выражен отрицанием гипотетической или отрицанием альтернативной. Таким образом, представляя отрицание пропозиции чертой, проведенной над ней, мы имеем

xy = x̅ или y̅ = Если x, y̅; xy = x̅ или y̅ = Если x, y̅.

Г-н Джонсон показывает, что любая обычная пропозиция с общим термином в качестве субъекта может рассматриваться как составная пропозиция, возникающая в результате конъюнктивной или альтернативной комбинации сингулярных (молекулярных) пропозиций с общим предикатом, но разными субъектами. Пусть S1, S2, … S∞ представляют ряд различных индивидуальных субъектов; и пусть S представляет совокупный набор индивидов S1, S2, … S∞. Тогда

S1 и S2, и S3 … и S∞ = Каждое S;

S1 или S2, или S3 …… или S∞ = Некоторое S.

480 «Таким образом мы приходим к обычным логическим формам: «Каждое S есть P», «Некоторое S есть P». Первая является сокращением для детерминативного, вторая — для альтернативного синтеза молекулярных пропозиций». 487

487 Mind, 1892, стр. 25. Г-н Джонсон, конечно, признает, что квантифицированный субъектный термин (все S) обычно не является простым перечислением индивидов, сначала воспринятых и названных. Но он указывает, что «как бы ни достигалась ментально совокупность вещей, к которой применяется универсальное имя, пропозициональная сила для целей вывода или синтеза в целом остается той же самой» (стр. 28).

Другими словами, «Каждое S есть P» = «S1 есть P и S2 есть P и S3 есть P … и S∞ есть P»; «Некоторое S есть P» = «S1 есть P или S2 есть P или S3 есть P … или S∞ есть P».

443. Противопоставление составных пропозиций. — Правило получения противоречащего сложного термина, данное в разделе 426, может быть применено также к составным пропозициям. Таким образом, противоречащий составной пропозиции получается путем замены составляющих пропозиций их противоречащими и повсеместного изменения способа их комбинации, то есть замены конъюнктивной комбинации на альтернативную и наоборот. 488 Ниже приведены примеры: «Все A есть B и некоторое P есть Q» имеет своим противоречащим «Либо некоторое A не есть B, либо никакое P не есть Q»; «Либо некоторое A есть и B, и C, либо все B есть либо C, либо и D, и E» имеет своим противоречащим «Никакое A не есть и B, и C, и некоторое B не есть ни C, ни и D, и E».

488 В предыдущем разделе было показано, что слова «все» и «некоторое» являются сокращениями конъюнктивного и альтернативного синтеза соответственно. Следовательно, правило о том, что в обычно признаваемых пропозициональных формах противоречащие различаются как по количеству, так и по качеству, само по себе является лишь частным применением общего закона, изложенного здесь.

Отсюда следует, как и в разделе 427, что в случае составных пропозиций существует дуальность формальных эквивалентностей, причем каждая эквивалентность дает взаимную эквивалентность, в которой конъюнктивная комбинация повсюду заменена на альтернативную комбинацию и наоборот.

444. Формальные эквивалентности составных пропозиций. — Законы, относящиеся к конъюнктивному или альтернативному синтезу пропозиций, практически идентичны законам, относящимся к конъюнктивной или альтернативной комбинации терминов; и, соответственно, мы имеем следующие пропозициональные эквивалентности, соответствующие эквивалентностям терминов, приведенным в разделе 433. Символы здесь обозначают пропозиции, а не термины; и отрицание представлено чертой над отрицаемой пропозицией. 481

(1) | x (y or z) = xy or xz, | ⎱ | Laws of Distribution ;
(2) | x or yz = (x or y) (x or z), | ⎰
(3) | xx = x, | ⎱ | Laws of Tautology (Law of Simplicity and Law of Unity) ;
(4) | x or x = x, | ⎰
(5) | x = x or yy = (x or y) (x or y), | ⎱ | Laws of Development and Reduction ;
(6) | x = x (y or y) = xy or xy, | ⎰
(7) | x or xy = x, | ⎱ | Laws of Absorption ;
(8) | x (x or y) = x | ⎰
(9) | x or y = x or xy, | ⎱ | Law of Exclusion and Law of Inclusion.
(10) | xy = x (x or y),⁴⁸⁹ | ⎰

489 Не утверждается, что все вышеуказанные законы являются окончательными или даже независимыми друг от друга. Синтез пропозиций прекрасно разработан г-ном Джонсоном в его статьях о логическом исчислении (Mind, 1892). Он дает пять независимых законов, которые необходимы и достаточны для пропозиционального синтеза. Эти законы кратко перечислены ниже; для более полного изложения читатель должен быть отослан к собственной трактовке г-на Джонсона. (i) Коммутативный закон: Порядок чистого синтеза безразличен (xy = yx). (ii) Ассоциативный закон: Способ группировки в чистом синтезе безразличен (x(y.z) = (x.y)z). (iii) Закон тавтологии: Простое повторение пропозиции никоим образом не добавляет к ее силе и не изменяет ее (xx = x). (iv) Закон взаимности: Отрицание отрицания пропозиции эквивалентно ее утверждению (x̅̅ = x). «В этот принцип включены так называемые законы противоречия и исключенного третьего, viz., «Если x, то не не-x» и «Если не не-x, то x»». (v) Закон дихотомии: Отрицание любой пропозиции эквивалентно отрицанию ее конъюнкции с любой другой пропозицией вместе с отрицанием ее конъюнкции с противоречащим этой другой пропозиции (x = xy или x̅y̅). «Это дальнейшее расширение закона исключенного третьего при применении к комбинации пропозиций друг с другом. Отрицание того, что x сопряжено с y, объединенное с отрицанием того, что x сопряжено с не-y, эквивалентно отрицанию x абсолютно. Ибо, если x было бы истинным, оно должно было бы быть сопряжено либо с y, либо с не-y. Этот закон, который (надо признать) на первый взгляд выглядит немного сложным, является специальным инструментом логического исчисления. С его помощью мы всегда можем разложить пропозицию на два детерминанта, или, наоборот, мы можем объединить определенные пары детерминантов в единую пропозицию».

445. Упрощение сложных пропозиций. — Термины сложной пропозиции часто могут быть упрощены с помощью правил, приведенных в предыдущей главе, и сила утверждения останется незатронутой. Для дальнейшего упрощения сложных пропозиций могут быть добавлены следующие правила: (1) В универсально отрицательной или частно утвердительной пропозиции любой детерминант субъекта может быть безразлично введен или опущен как детерминант предиката и наоборот.

482 Сказать, что «Никакое AB не есть AC», — это то же самое, что сказать, что «Никакое AB не есть C», или что «Никакое B не есть AC». Ибо сказать, что «Никакое AB не есть AC», — это то же самое, что отрицать, что что-либо есть ABAC; но, как показано в разделе 429, повторение детерминанта A избыточно, и утверждение поэтому может быть сведено к отрицанию того, что что-либо есть ABC. И это может быть в равной степени хорошо выражено словами «Никакое AB не есть C» или «Никакое B не есть AC». 490

490 См. также разделы в следующей главе, относящиеся к обращению пропозиций.

Опять же, «Некоторое AB есть AC» может быть показано как эквивалентное «Некоторое AB есть C» или «Некоторое B есть AC»; ибо оно просто утверждает, что нечто есть ABAC, и доказательство следует, как выше.

(2) В универсально утвердительной или частно отрицательной пропозиции любой детерминант субъекта может быть безразлично введен или опущен как детерминант любого альтерната предиката.

«Все A есть AB» может быть очевидно разложено на две пропозиции: «Все A есть A», «Все A есть B». 491 Но первая из них является просто тождественной пропозицией и не дает никакой информации. «Все A есть AB» поэтому эквивалентно простой пропозиции «Все A есть B». Аналогично, «Все AB есть C или DE» эквивалентно «Все AB есть C или DE».

491 Разложение сложных пропозиций на комбинацию относительно простых будет рассмотрено далее в следующем разделе.

Опять же, «Некоторое A не есть AB» утверждает, что «Некоторое A есть a или b»; 492 но согласно закону противоречия «Никакое A не есть a»; следовательно, «Некоторое A не есть B», и очевидно, что мы можем также вернуться от этой пропозиции к той, с которой начали. Аналогично, «Некоторое AB не есть ни C, ни DE» эквивалентно «Некоторое AB не есть ни C, ни DE».

492 Процесс обверсии будет подробно рассмотрен в главе 3.

(3) В универсально утвердительной или частно отрицательной пропозиции любой альтернат предиката может быть безразлично введен или опущен как альтернат субъекта.

Если «Все A есть B или C», то согласно закону тождества следует, что «Все, что есть A или B, есть B или C»; также очевидно, что мы можем вернуться от этого к исходной пропозиции.

Опять же, если «Некоторое A или B не есть ни B, ни C», то, поскольку согласно закону тождества «Все B есть B», следует, что «Некоторое A не есть ни B, ни C»; и также очевидно, что мы можем вернуться от этого к исходной пропозиции.

(4) В универсально утвердительной или частно отрицательной пропозиции противоречащий любого детерминанта субъекта может быть безразлично введен или опущен как альтернат предиката, и наоборот.

483 Согласно этому правилу, следующие три пропозиции утверждаются как эквивалентные друг другу: «Все AB есть a или C»; «Все B есть a или C»; «Все AB есть C»; а также следующие три: «Некоторое AB не есть ни a, ни C»; «Некоторое B не есть ни a, ни C»; «Некоторое AB не есть C».

Правило следует непосредственно из правила (1) с помощью процесса обверсии (см. главу 3).

(5) В универсально отрицательной или частно утвердительной пропозиции противоречащий любого детерминанта субъекта может быть безразлично введен или опущен как альтернат предиката.

Согласно этому правилу, следующие две пропозиции утверждаются как эквивалентные друг другу: Никакое AB не есть a или C; Никакое AB не есть C; а также следующие две: Некоторое AB есть a или C; Некоторое AB есть C.

Это правило непосредственно вытекает из правила (2) путем обверсии.

(6) В общеотрицательной или частноутвердительной пропозиции противоречащий член любого детерминанта предиката может быть безразлично введен или опущен в качестве альтернатора субъекта.

Это правило вытекает из правила (3) путем обверсии.

446. Разрешение общесложных пропозиций на эквивалентные составные пропозиции. — Мы можем исследовать, насколько сложные пропозиции непосредственно разрешимы на конъюнктивное или альтернативное сочетание относительно простых пропозиций. В этом разделе будут рассмотрены общие пропозиции, а в следующем — частные.

Общеутвердительные. Общеутвердительные сложные пропозиции могут быть непосредственно разрешены на конъюнкцию относительно простых, поскольку в субъекте имеется альтернативное сочетание, а в предикате — конъюнктивное. Таким образом: (1) Все, что есть P или Q, есть R = Все P есть R и все Q есть R; (2) Все P есть QR = Все P есть Q и все P есть R.

Общеотрицательные. Общеотрицательные сложные пропозиции могут быть непосредственно разрешены на конъюнкцию относительно простых, поскольку имеется альтернативное сочетание либо в субъекте, либо в предикате. Таким образом: (3) Ничто, что есть P или Q, не есть R = Никакое P не есть R и никакое Q не есть R; (4) Никакое P не есть Q или R = Никакое P не есть Q и никакое P не есть R.

Поскольку в субъекте общеутвердительных пропозиций имеется конъюнктивное сочетание, а в предикате — альтернативное, или же конъюнктивное сочетание имеется либо в субъекте, либо в предикате общеотрицательных пропозиций, они не могут быть непосредственно разрешены ни на конъюнктивное, ни на альтернативное сочетание более простых пропозиций. Однако можно добавить, что пропозиции, подпадающие под эту последнюю категорию, непосредственно подразумеваются определенными составными альтернативами. Таким образом: (i) Все PQ есть R подразумевается тем, что Все P есть R или все Q есть R; (ii) Все P есть Q или R подразумевается тем, что Все P есть Q или все P есть R; (iii) Никакое PQ не есть R подразумевается тем, что Никакое P не есть R или никакое Q не есть R; (iv) Никакое P не есть QR подразумевается тем, что Никакое P не есть Q или никакое P не есть R.

Впоследствии будет показано, что даже в этих случаях общесложные пропозиции могут быть разрешены на конъюнкцию относительно более простых с помощью определенных непосредственных умозаключений.

447. Разрешение частносложных пропозиций на эквивалентные составные пропозиции. — Частносложные пропозиции не могут быть разрешены на составные конъюнктивные, но при определенных условиях они могут быть непосредственно разрешены на эквивалентные составные альтернативные пропозиции, в которых альтернаторы являются относительно простыми. Это имеет место, поскольку в частноотрицательной пропозиции имеется альтернативное сочетание в субъекте или конъюнктивное сочетание в предикате, либо альтернативное сочетание либо в субъекте, либо в предикате частноутвердительной пропозиции. Таким образом: (1) Некоторое P или Q не есть R = Некоторое P не есть R или некоторое Q не есть R; (2) Некоторое P не есть QR = Некоторое P не есть Q или некоторое P не есть R; (3) Некоторое P или Q есть R = Некоторое P есть R или некоторое Q есть R; (4) Некоторое P есть Q или R = Некоторое P есть Q или некоторое P есть R.

Частносложные пропозиции не могут быть непосредственно разрешены на составные пропозиции (ни конъюнктивные, ни альтернативные), если в пропозиции имеется конъюнктивное сочетание в субъекте или альтернативное сочетание в предикате (в случае отрицательной пропозиции), или если имеется конъюнктивное сочетание либо в субъекте, либо в предикате (в случае утвердительной пропозиции). Однако в этих случаях сложная пропозиция подразумевает составную конъюнктивную пропозицию, хотя мы не можем вернуться от последней к первой. Таким образом: (i) Некоторое PQ не есть R подразумевает Некоторое P не есть R и некоторое Q не есть R; (ii) Некоторое P не есть Q или R подразумевает Некоторое P не есть Q и некоторое P не есть R; (iii) Некоторое PQ есть R подразумевает Некоторое P есть R и некоторое Q есть R; (iv) Некоторое P есть QR подразумевает Некоторое P есть Q и некоторое P есть R.

Следует особо отметить, что, хотя в этих случаях составная пропозиция может быть выведена из сложной, все же они не являются эквивалентными. Например, из «Некоторое P есть Q и некоторое P есть R» не следует, что «Некоторое P есть QR», так как мы не можем быть уверены, что в обоих случаях речь идет об одних и тех же P.

Все результаты этого раздела вытекают из результатов предыдущего раздела путем применения правила противоречия к самим пропозициям и правила контрапозиции к отношениям импликации между ними.

448. Опущение терминов из сложной пропозиции. — Из двух предыдущих разделов мы можем непосредственно получить следующие правила для вывода из данной пропозиции другой пропозиции, в которой опущены некоторые термины, содержащиеся в исходной пропозиции: (1) Любой детерминант может быть опущен из нераспределенного термина; (2) Любой альтернатор может быть опущен из распределенного термина.

Субъект частной или предикат утвердительной пропозиции.

Субъект общей или предикат отрицательной пропозиции.

Например: «Все, что есть A или B, есть CD», следовательно, «Все A есть C»; «Некоторое AB есть CD», следовательно, «Некоторое A есть C»; «Ничто, что есть A или B, не есть C или D», следовательно, «Никакое A не есть C»; «Некоторое AB не есть ни C, ни D», следовательно, «Некоторое A не есть C».

Вышеприведенные правила могут быть также обоснованы независимо, как будет показано в следующем разделе. Результаты, которые они дают, должны отличаться от результатов, полученных в разделе 445. В случаях, обсуждавшихся в том разделе, опущенные термины были избыточными в том смысле, что их опущение оставляло нас с пропозициями, эквивалентными нашим исходным пропозициям; но в вышеприведенных умозаключениях мы не можем вернуться от заключения к посылке. Например, из «Некоторое A есть C» мы не можем вывести, что «Некоторое AB есть C».

449. Введение терминов в сложную пропозицию. — В соответствии с правилами, изложенными в предыдущем разделе, мы имеем также следующие: (1) Любой детерминант может быть введен в распределенный термин; (2) Любой альтернатор может быть введен в нераспределенный термин.

Эти правила, а также правила, приведенные в предыдущем разделе, могут быть установлены с помощью следующих аксиом: То, что истинно для всего (дистрибутивно), истинно для каждой части; То, что истинно для части части, истинно для части большего целого.

Когда мы добавляем детерминант к термину или удаляем альтернатор, мы обычно уменьшаем, и во всяком случае не увеличиваем, объем термина; когда, с другой стороны, мы добавляем альтернатор или удаляем детерминант, мы обычно увеличиваем, и во всяком случае не уменьшаем, его объем. Отсюда следует, что если термин распределен, мы можем добавить детерминант или удалить альтернатор, тогда как если термин нераспределен, мы можем добавить альтернатор или удалить детерминант. Таким образом: «Все A есть CD», следовательно, «Все AB есть C»; «Никакое A не есть C», следовательно, «Никакое AB не есть CD»; «Некоторое AB есть C», следовательно, «Некоторое A есть C или D»; «Некоторое AB не есть ни C, ни D», следовательно, «Некоторое A не есть C».

Из вышеприведенных правил в сочетании с правилами, данными в разделе 445, мы можем получить следующие следствия: (3) В общеутвердительных пропозициях любой детерминант может быть введен в предикат, если он также введен в субъект; и любой альтернатор может быть введен в субъект, если он также введен в предикат. Дано: «Все A есть C», тогда «Все AB есть C» по правилу (1) выше; и из этого мы получаем «Все AB есть BC» по правилу (2) раздела 445. Далее, дано: «Все A есть C», тогда «Все A есть B или C»; и, следовательно, по правилу (3) раздела 445, «Все, что есть A или B, есть B или C». (4) В общеотрицательных пропозициях любой альтернатор может быть введен в субъект или предикат, если его противоречащий член введен в другой термин в качестве детерминанта. Дано: «Никакое A не есть C», тогда «Никакое AB не есть C»; и, следовательно, по правилу (5) раздела 445, «Никакое AB не есть b или C». Далее, дано: «Никакое A не есть C», тогда «Никакое A не есть BC»; и, следовательно, по правилу (6) раздела 445, «Никакое A или b не есть BC».

Ни в одном из умозаключений, рассмотренных в этом разделе, невозможно вернуться от заключения к исходной пропозиции.

450. Интерпретация аномальных форм. — Можно обнаружить, что пропозиции, которые по-видимому содержат противоречие в терминах и, таким образом, прямо противоречат фундаментальным законам мышления — например, «Никакое AB не есть B», «Все Ab есть B» — иногда возникают в результате манипуляций со сложными пропозициями. При интерпретации таких пропозиций необходимо проводить различие между общими и частными, во всяком случае, если частные интерпретируются как подразумевающие существование своих субъектов, а общие — нет.

Можно показать, что общая пропозиция вида «Никакое AB не есть B» или «Все Ab есть B» должна интерпретироваться как подразумевающая несуществование субъекта пропозиции в универсуме рассуждения. Ибо общеотрицательная пропозиция отрицает существование чего-либо, что подпадает как под ее субъект, так и под ее предикат; таким образом, «Никакое AB не есть B» отрицает существование ABB, то есть отрицает существование AB. Далее, общеутвердительная пропозиция отрицает существование чего-либо, что подпадает под ее субъект, не подпадая при этом под ее предикат; таким образом, «Все Ab есть B» отрицает существование чего-либо, что есть Ab и в то же время не-B, то есть b; но Ab есть Ab, а также b, и, следовательно, существование Ab отрицается.

Поскольку существование субъекта считается частью импликации частной пропозиции, вышеприведенная интерпретация очевидно неприменима в случае частных пропозиций. Следовательно, если получена пропозиция вида «Некоторое Ab есть B», мы возвращаемся к альтернативе, что в посылках имеется некоторое противоречие; либо какая-то одна отдельная посылка самопротиворечива, либо посылки несовместимы друг с другом.

УПРАЖНЕНИЯ.

451. Покажите, что если «Никакое A не есть bc или Cd», то «Никакое A не есть bd».

452. Дайте противоречащую пропозицию для каждой из следующих: (1) Цветковые растения являются либо эндогенами, либо экзогенами, но не тем и другим одновременно; (2) Цветковые растения являются сосудистыми и либо эндогенами, либо экзогенами, но не тем и другим одновременно.

453. Упростите следующие пропозиции: (1) Все AB есть BC или be или CD или cE или DE; (2) Ничто, что есть PQ или PR, не есть Pqr или pQs или pq или prs или qrs или pS или qR.

ГЛАВА III.

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ИЗ СЛОЖНЫХ ПРОПОЗИЦИЙ.

454. Обверсия сложных пропозиций. — Доктрина обверсии непосредственно применима к сложным пропозициям; и никакой модификации уже данного определения обверсии не требуется. Из любой данной пропозиции мы можем вывести новую, изменив ее качество и взяв в качестве нового предиката противоречащий член исходного предиката. Полученная таким образом пропозиция называется обверсией исходной пропозиции.

Единственная трудность, связанная с обверсией сложных пропозиций, заключается в нахождении противоречащего члена сложного термина; но простое правило для выполнения этого процесса было дано в разделе 426: — Замените все простые термины их противоречащими членами и повсюду замените альтернативное сочетание конъюнктивным и наоборот.

Применяя это правило к AB или ab, мы получаем (a или b) и (A или B), то есть Aa или Ab или aB или Bb; но поскольку альтернаторы Aa и Bb содержат самопротиворечие, они могут быть опущены по правилу (5) раздела 433. Обверсией, следовательно, «Все X есть AB или ab» является «Никакое X не есть Ab или aB».

В качестве дополнительных примеров мы можем найти обверсию следующих пропозиций: (1) «Все A есть BC или DE»; (2) «Никакое A не есть BcE или BCF»; (3) «Некоторое A не есть ни B, ни bcDEf, ни bcdEF».

(1) «Все A есть BC или DE» дает «Никакое A не есть (b или c) и в то же время (d или e)», или, путем сведения предиката к ряду альтернаторов, «Никакое A не есть bd или be или cd или ce».

(2) «Никакое A не есть BcE или BCF». Здесь противоречащий член предиката есть (b или C или e) и (b или c или f), что дает b или Cc или Cf или ce или ef. Cc может быть опущено по правилу (5) раздела 433; также ef по правилу (7), так как ef есть либо Cef, либо cef. Следовательно, искомая обверсия есть «Все A есть b или Cf или ce».

(3) «Некоторое A не есть ни B, ни bcDEf, ни bcdEF». Обверсия есть «Некоторое A есть b и (B или C или d или e или F) и (B или C или D или e или f)»; и путем применения правил, суммированных в разделе 433, будет обнаружено, что это эквивалентно «Некоторое A есть bC или bDF или bdf или be».

455. Конверсия сложных пропозиций. — Обобщая, мы можем сказать, что имеем процесс конверсии всякий раз, когда из данной пропозиции мы выводим новую, в которой любой термин, фигурировавший в предикате исходной пропозиции, теперь фигурирует в субъекте, или наоборот.

Таким образом, умозаключение от «Никакое A не есть BC» к «Никакое B не есть AC» носит характер конверсии. Процесс может быть просто проанализирован следующим образом: —

«Никакое A не есть и B, и C», следовательно, «Ничто не есть одновременно A, B и C», следовательно, «Никакое B не есть и A, и C».

Рассуждение может быть также разрешено на ряд обычных конверсий: —

«Никакое A не есть BC», следовательно (путем конверсии), «Никакое BC не есть A», то есть «в сфере C никакое B не есть A», следовательно (путем конверсии), «в сфере C никакое A не есть B», то есть «Никакое AC не есть B», следовательно (путем конверсии), «Никакое B не есть AC».

Или это может быть рассмотрено так:

«Никакое A не есть BC», следовательно, по разделу 445, правилу (1), «Никакое AC не есть BC», следовательно, также по разделу 445, правилу (1), «Никакое AC не есть B», следовательно (путем конверсии), «Никакое B не есть AC».

Аналогично можно показать, что из «Некоторое A есть BC» мы можем вывести «Некоторое B есть AC».

Следовательно, мы получаем следующее правило: В общеотрицательной или частноутвердительной пропозиции любой детерминант субъекта может быть перенесен в предикат или наоборот, не влияя на силу утверждения.

Мы только что показали, как из

«Никакое A не есть BC»,

мы можем получить путем конверсии

«Никакое B не есть AC».

Аналогично мы можем вывести

«Никакое C не есть AB», «Никакое AB не есть C», «Никакое AC не есть B», «Никакое BC не есть A».

Пропозиция может быть также записана в форме

«Не существует ABC» или «Ничто не есть одновременно A, B и C».

Последняя из них является особенно полезной формой, к которой следует приводить общеотрицательные пропозиции для целей логических манипуляций.

Таким же образом из «Некоторое A есть BC или BD» мы можем вывести

«Некоторое AB есть C или D», «Некоторое AC или AD есть B», «Некоторое B есть AC или AD», «Некоторое C или D есть AB», «Некоторое BC или BD есть A», «Нечто есть ABC или ABD».

Не существует умозаключения путем конверсии из общеутвердительной или из частноотрицательной пропозиции.

456. Контрапозиция сложных пропозиций. — Согласно нашему первоначальному определению контрапозиции, мы контрапозируем пропозицию, когда выводим из нее новую пропозицию, имеющую противоречащий член старого предиката в качестве своего субъекта. Принимая это определение, контрапозитивом «Все A есть B или C» является «Все bc есть a».

Этот процесс может быть применен к общеутвердительным и частноотрицательным пропозициям. Путем обверсии, конверсии, а затем снова обверсии ясно, что в каждом из этих случаев мы можем получить законный контрапозитив, взяв в качестве нового субъекта противоречащий член старого предиката, а в качестве нового предиката — противоречащий член старого субъекта, при этом пропозиция сохраняет свое исходное качество. Например: «Все A есть BC», следовательно, «Все, что есть b или c, есть a»; «Некоторое A не есть ни B, ни C», следовательно, «Некоторое bc не есть a».

Вышесказанное можно назвать полным контрапозитивом сложной пропозиции. Следует заметить, что любая пропозиция и ее полный контрапозитив эквивалентны друг другу; мы можем вернуться от полного контрапозитива к исходной пропозиции.

Однако при работе со сложными пропозициями удобно придать термину «контрапозиция» расширенное значение. Мы можем сказать, что имеем процесс контрапозиции, когда из данной пропозиции выводим новую, в которой противоречащий член любого термина, фигурировавшего в предикате исходной пропозиции, теперь фигурирует в субъекте, или противоречащий член любого термина, фигурировавшего в субъекте исходной пропозиции, теперь фигурирует в предикате.

Можно выделить три операции, все из которых включены в вышеприведенное определение и все из которых оставляют нас с полным эквивалентом исходной пропозиции, так что потери логической силы не происходит.

(1) Операция получения полного контрапозитива данной пропозиции, как описано и определено выше.

В некоторых случаях мы можем пожелать отбросить часть информации, данной полным контрапозитивом. Так, из «Все A есть BC или E» можно вывести «Все, что есть be или ce, есть a»; но в данном применении нам может быть достаточно знать, что «Все be есть a».

(2) Операция, которую можно описать как обобщение субъекта пропозиции путем добавления одного или нескольких альтернаторов в предикат. Так, из «Все AB есть C» мы можем вывести «Все A есть b или C»; из «Некоторое AB не есть ни C, ни D» мы можем вывести «Некоторое A не есть ни b, ни C, ни D».

Для умозаключений этого типа можно дать следующее общее правило: Любой детерминант может быть отброшен из субъекта общеутвердительной или частноотрицательной пропозиции, если его противоречащий член одновременно добавлен в качестве альтернатора в предикат.

Это правило может быть установлено следующим образом: Дано «Все AB есть C» (или «Некоторое AB не есть C») — и они могут быть взяты, насколько это касается рассматриваемого правила, в качестве типов общеутвердительных и частноотрицательных пропозиций соответственно — мы имеем путем обверсии «Никакое AB не есть c» (или «Некоторое AB есть c»), и отсюда, по правилу конверсии, данному в разделе 455, «Никакое A не есть Bc» (или «Некоторое A есть Bc»); затем, снова обвертируя, мы имеем «Все A есть либо b, либо C» (или «Некоторое A не есть ни b, ни C»), требуемый результат.

Будет замечено, что, как было сказано вначале, эти операции оставляют нас с пропозицией, которая эквивалентна нашей исходной пропозиции. Таким образом, потери логической силы нет.

Путем применения вышеприведенного правила в отношении всех явных детерминантов субъекта любая общеутвердительная пропозиция может быть приведена к форме «Все есть X1 или X2 … или Xn»; и будет обнаружено, что с помощью этого преобразования сложные умозаключения во многих случаях существенно упрощаются.

(3) Операция, которую можно описать как партикуляризацию субъекта пропозиции путем опущения одного или нескольких альтернаторов в предикате. Так, из «Все A есть B или C» мы можем вывести «Все Ab есть C»; из «Некоторое A не есть ни B, ни C» мы можем вывести «Некоторое Ab не есть C».

Для умозаключений этого типа можно дать следующее общее правило: Любой альтернатор может быть отброшен из предиката общеутвердительной или частноотрицательной пропозиции, если его противоречащий член одновременно введен в качестве детерминанта субъекта.

Применение этого правила снова оставляет нас с пропозицией, эквивалентной нашей исходной пропозиции. Следующее правило, которое можно рассматривать как следствие из вышеприведенного правила или к которому можно прийти независимо, не обязательно оставляет нас с эквивалентом: Если новый детерминант введен в субъект общеутвердительной пропозиции (см. раздел 449), каждый альтернатор в предикате, который содержит противоречащий член детерминанта, может быть опущен. Таким образом, из «Все, что есть A или B, есть C или DX или Ex» мы можем вывести «Все, что есть AX или BX, есть C или D».

Применение этого правила может иногда привести к исчезновению всех альтернаторов из предиката; и значение такого результата заключается в том, что теперь мы имеем несуществующий субъект.

Таким образом, дано «Все P есть ABCD или Abcd или aBCd», если мы партикуляризируем субъект, делая его PbC, мы обнаруживаем, что все альтернаторы в предикате исчезают. Интерпретация заключается в том, что класс PbC несуществующий, то есть «Никакое P не есть bC»; заключение, которое, конечно, могло быть получено непосредственно из данной пропозиции.

Это правило является обратным тому, которое дано в предыдущем пункте; и оно вытекает из того факта, что применение того правила оставляет нас с эквивалентной пропозицией.

Следующее может быть взято в качестве типичных примеров различных операций, включенных выше под названием «контрапозиция»: —

All AB is CD or de ;
therefore,  | (1) Anything that is either cD or dE is a or b ;
| (2) All A is b or CD or de ;
| (3) Whatever is ABD or ABE is CD.
Combinations of the second and third operations give
Anything that is Ac or Ad is b or de ;
Anything that is BD or BE is a or CD ;
&c.

Во всех вышеприведенных случаях один или несколько терминов исчезают из субъекта или предиката исходной пропозиции и заменяются их противоречащими членами в предикате или субъекте соответственно. Однако только в полном контрапозитиве каждый термин таким образом транспонируется.

Важность контрапозиции, как мы сейчас имеем с ней дело в связи со сложными пропозициями, заключается в том, что с ее помощью, имея общеутвердительную пропозицию любой сложности, мы можем получить отдельную информацию в отношении любого термина, который фигурирует в субъекте, или в отношении противоречащего члена любого термина, который фигурирует в предикате, или в отношении любой комбинации таких терминов.

Таким образом, дано «Все AB есть C или De», путем процесса, описанного как обобщение субъекта, мы имеем «Все A есть b или C или De», «Все B есть a или C или De», «Все есть a или b или C или De»; партикуляризация субъекта дает «Все ABc есть De», «Все, что есть ABd или ABE, есть C» и т. д.; и путем комбинации этих процессов мы имеем «Все Ac есть b или De» и т. д.

Далее, полный контрапозитив исходной пропозиции есть «Все, что есть cd или cE, есть a или b»; из чего мы имеем «Все c есть a или b или De», «Все, что есть d или E, есть a или b или C» и т. д.

457. Резюме результатов, получаемых путем обверсии, конверсии и контрапозиции. — Ниже приводится резюме результатов, получаемых с помощью процессов, обсуждавшихся в трех предыдущих разделах: (1) Путем обверсии любая пропозиция может быть изменена с утвердительной формы на отрицательную или наоборот. Например, «Все AB есть CD или EF», следовательно, «Никакое AB не есть ce или cf или de или df»; «Некоторое P не есть QR», следовательно, «Некоторое P есть либо q, либо r». (2) Путем конверсии общеотрицательной пропозиции может быть получена отдельная информация в отношении любого термина, который фигурирует либо в субъекте, либо в предикате, или в отношении любой комбинации этих терминов. Например, из «Никакое AB не есть CD или EF» мы можем вывести «Никакое A не есть BCD или BEF», «Никакое C не есть ABD или ABEF», «Никакое BD не есть AC или AEF» и т. д. Также путем конверсии любая общеотрицательная пропозиция может быть сведена к следующему: «Ничто не есть либо X1, либо X2 … либо Xn». Например, вышеприведенная пропозиция эквивалентна следующему: «Ничто не есть либо ABCD, либо ABEF». (3) Путем конверсии частноутвердительной пропозиции может быть получена отдельная информация в отношении любого детерминанта субъекта или предиката, или в отношении любой комбинации таких детерминантов. Например, из «Некоторое AB или AC есть DE или DF» мы можем вывести «Некоторое A есть BDE или BDF или CDE или CDF», «Некоторое D есть ABE или ABF или ACE или ACF», «Некоторое AD есть BE или BF или CE или CF» и т. д. Также путем конверсии любая частноутвердительная пропозиция может быть сведена к форме «Нечто есть либо X1, либо X2 … либо Xn». Например, вышеприведенная пропозиция эквивалентна следующему: «Нечто есть либо ABDE, либо ABDF, либо ACDE, либо ACDF». (4) Путем контрапозиции общеутвердительной пропозиции может быть получена отдельная информация в отношении любого термина, который фигурирует в субъекте, или в отношении противоречащего члена любого термина, который фигурирует в предикате, или в отношении любой комбинации этих терминов. Например, из «Все AB есть CD или EF» мы можем вывести «Все A есть b или CD или EF», «Все c есть a или b или EF», «Все Be есть a или CD», «Все ce есть a или b», «Все Adf есть b» и т. д. Также путем контрапозиции любая общеутвердительная пропозиция может быть сведена к форме «Все есть либо X1, либо X2 … либо Xn». Например, вышеприведенная пропозиция эквивалентна следующему: «Все есть a или b или CD или EF». (5) Путем контрапозиции частноотрицательной пропозиции может быть получена отдельная информация в отношении любого детерминанта субъекта или в отношении противоречащего члена любого альтернатора предиката, или в отношении любой комбинации этих. Например, из «Некоторое AB или AC не есть ни D, ни EF» мы можем вывести «Некоторое A не есть ни bc, ни D, ни EF», «Некоторое d не есть ни a, ни bc, ни EF», «Некоторое Ae или Af не есть ни bc, ни D» и т. д. Также путем контрапозиции любая частноотрицательная пропозиция может быть сведена к форме «Нечто не есть ни X1, ни X2 … ни Xn». Например, вышеприведенная пропозиция эквивалентна следующему: «Нечто не есть ни a, ни bc, ни D, ни EF».

УПРАЖНЕНИЯ.

458. Никакой гражданин не является одновременно избирателем, домовладельцем и жильцом; нет также ни одного гражданина, который не был бы ни тем, ни другим, ни третьим. Каждый гражданин является либо избирателем, но не домовладельцем, либо домовладельцем и не жильцом, либо жильцом без права голоса. Являются ли эти утверждения в точности эквивалентными?

Можно показать, что каждое из этих утверждений является логической обверсией другого. Следовательно, они в точности эквивалентны.

Let | V = voter,   | v = not voter;
| H = householder,   | h = not householder;
| L = lodger, | l = not lodger.

Первое из данных утверждений есть «Никакой гражданин не есть VHL или vhl»; следовательно (путем обверсии), «Каждый гражданин есть либо v, либо h, либо l и также есть либо V, либо H, либо L»; следовательно (комбинируя эти возможности), «Каждый гражданин есть либо Hv, либо Lv, либо Vh, либо Lh, либо Vl, либо Hl». Но (по закону исключенного третьего), «Hv есть либо HLv, либо Hlv»; следовательно, «Hv есть Lv или Hl». Аналогично, «Lh есть Vh или Lv»; и «Vl есть Hl или Vh». Следовательно, «Каждый гражданин есть Vh или Hl или Lv», что является вторым из данных утверждений. Далее, исходя из этого второго утверждения, следует (путем обверсии), что «Никакой гражданин не есть одновременно v или H, h или L, l или V»; следовательно, «Никакой гражданин не есть vh или vL или HL, и в то же время l или V»; следовательно, «Никакой гражданин не есть vhl или VHL», что возвращает нас к первому из данных утверждений.

459. Дано: «Все D, которое есть либо B, либо C, есть A», покажите, что «Все, что есть не-A, есть либо не-B и не-C, либо оно есть не-D».

Этот пример и те, что даны в разделе 466, адаптированы из работы Де Моргана «Syllabus», стр. 42. Они также приведены Джевонсом в «Studies», стр. 241, в связи с его уравнительной логикой. Все они являются простыми упражнениями на контрапозицию. Мы имеем: «Все, что есть BD или CD, есть A»; следовательно, «Все a есть (b или d) и (c или d)»; следовательно, «Все a есть bc или d».

460. Выведите все, что только возможно, путем контрапозиции или иным способом из утверждения: «Все A, которое не есть ни B, ни C, есть X».

Данная пропозиция может быть приведена к форме

«Все есть либо a, либо B, либо C, либо X»;

и она представляется симметричной в отношении терминов a, B, C, X и, следовательно, в отношении терминов A, b, c, x. Мы уверены тогда, что все, что истинно для A, истинно mutatis mutandis для b, c и x, что все, что истинно для Ab, истинно mutatis mutandis для любой пары терминов, и аналогично для комбинаций по три вместе. Мы сразу имеем четыре симметричные пропозиции:

All A is B or C or X ; |   (1)
All b is a or C or X ; |   (2)
All c is a or B or X ; |   (3)
All X is a or B or C. |   (4)

Затем из (1) путем партикуляризации субъекта:

«Все Ab есть C или X»; (i)

с пятью соответствующими пропозициями;

«Все Ac есть B или X»; (ii) «Все Ax есть B или C»; (iii) «Все bc есть a или X»; (iv) «Все bx есть a или C»; (v) «Все cx есть a или B»; (vi)

Путем повторения того же процесса мы имеем

All Abc is X (which is the original proposition over again); | (α)
and corresponding to this: | All Abx is C ; | (β)
| All Acx is B ; | (γ)
| All bcx is a. | (δ)

Будет замечено, что следующими являются пары полных контрапозитивов: — (1) (δ), (2) (γ), (3) (β), (4) (α), (i) (vi), (ii) (v), (iii) (iv).

Дальнейший ряд пропозиций может быть получен путем обверсии всех вышеприведенных; и так как не было потери логической силы ни в одном из примененных процессов, мы имеем в общей сложности тридцать пропозиций, которые эквивалентны друг другу.

461. Если AB есть либо Cd, либо cDe, а также либо eF, либо H, и если то же самое верно для BH, что мы знаем о том, что есть E?

Все, что есть AB или BH, есть (Cd или cDe) и (eF или H); следовательно, «Все, что есть AB или BH, есть CdeF или cDeF или CdH или cDeH»; следовательно, «Все, что есть ABE или BHE, есть CdH»; следовательно, «Все E есть ah или b или CdH».

462. Дано: «A есть BC или BDE или BDF», выведите описания терминов Ace, Acf, ABcD.

В соответствии с уже установленными правилами мы имеем непосредственно: —

Ace есть BDF; Acf есть BDE; ABcD есть E или F.

463. Найдите обверсию каждой из следующих пропозиций: — (1) «Ничто не есть A, B или C»; (2) «Все A есть Bc или bD»; (3) «Никакое Ab не есть CDEf или Cd или cDf или cdE»; (4) «Никакое A не есть BCD или Bcd»; (5) «Некоторое A не есть ни bcd, ни Cd, ни cD».

464. Покажите, что следующие две пропозиции эквивалентны друг другу: — «Никакое A не есть B или CD или CE или EF»; «Все A есть bCde или bcEf или bce».

465. Контрапозируйте пропозицию: «Все A, которое не есть ни B, ни C, есть и X, и Y».

466. Найдите полный контрапозитив каждой из следующих пропозиций: (1) «Все, что есть B или CD или CE, есть A»; (2) «Все, что есть либо B, либо C и в то же время либо D, либо E, есть A»; (3) «Все, что есть A или BC и в то же время либо D, либо EF, есть X»; (4) «Все A есть либо BC, либо BD».

467. Найдите полный контрапозитив каждой из следующих пропозиций: — «Все A есть BCDe или bcDe»; «Некоторое AB не есть ни CD, ни cDE, ни de»; «Все, что есть AB или bC, есть aCd или Acd»; «Где A присутствует вместе с B или C, D присутствует, а C отсутствует, или D и E оба отсутствуют»; «Некоторое ABC или abc не есть ни DEF, ни def».

468. Какую информацию вы можете получить об Af, Be, c, D из пропозиции «Все AB есть CD или EF»?

469. Установите следующее: «Где B отсутствует, либо A и C оба присутствуют, либо A и D оба отсутствуют»; следовательно, «где C отсутствует, либо B присутствует, либо D отсутствует».

470. Установите следующее: «Где A присутствует, либо B и C оба присутствуют, либо C присутствует, а D отсутствует, либо C присутствует, а F отсутствует, либо H присутствует»; следовательно, «где C отсутствует, A не может присутствовать, а H отсутствует».

471. Дано, что «Все, что есть PQ или AP, есть bCD или abdE или aBCdE или Abcd», покажите, что (1) «Все abP есть CD или dE или q»; (2) «Все DP есть bC или aq»; (3) «Все, что есть B или Cd или cD, есть a или p»; (4) «Все B есть C или p или aq»; (5) «Все AB есть p»; (6) «Если ae есть c или d, оно есть p или q»; (7) «Если BP есть c или D или e, оно есть aq».

472. Приведите следующие пропозиции к форме «Все есть либо X1, либо X2 … либо Xn»: — «Все, что есть Ac или ab или aC, есть bdf или deF»; «Ничто, что есть A и в то же время либо B, либо C, не есть D или dE».

473. Покажите, что результаты в разделе 447 вытекают из результатов в разделе 446 по правилам противоречия и контрапозиции.

ГЛАВА IV.

КОМБИНАЦИЯ СЛОЖНЫХ ПРОПОЗИЦИЙ.

474. Проблема комбинирования сложных пропозиций. — Две или более сложных пропозиций, данных в простой комбинации, либо конъюнктивной, либо альтернативной, составляют составную пропозицию. Следовательно, проблема работы с комбинацией сложных пропозиций с целью получения из них единой эквивалентной сложной пропозиции, которая является проблемой, подлежащей рассмотрению в настоящей главе, идентична проблеме перехода от составной пропозиции к эквивалентной сложной пропозиции; и она, следовательно, является обратной проблеме, которая была частично обсуждена в разделах 446, 447. Последняя проблема, а именно проблема перехода от сложной к эквивалентной составной пропозиции, будет далее обсуждаться в главе 6.

475. Конъюнктивная комбинация общеутвердительных пропозиций. — Мы можем здесь выделить два случая в зависимости от того, имеют ли комбинируемые пропозиции один и тот же субъект или нет.

(1) Общеутвердительные пропозиции, имеющие один и тот же субъект.

«Все X есть P1 или P2 … или Pm», «Все X есть Q1 или Q2 … или Qn»,

могут для нашей настоящей цели быть взяты в качестве типов общеутвердительных пропозиций, имеющих один и тот же субъект. Путем конъюнктивного комбинирования их предикатов, таким образом,

«Все X есть (P1 или P2 … или Pm) и также (Q1 или Q2 … или Qn)», то есть «Все X есть P1Q1 или P1Q2 … или P1Qn или P2Q1 или P2Q2 … или P2Qn или … … или PmQ1 или PmQ2 … или PmQn»,

мы можем получить новую пропозицию, которая эквивалентна конъюнктивной комбинации двух исходных пропозиций; она суммирует всю информацию, которую они совместно содержат, и мы можем вернуться от нее к ним.

Почти во всех случаях конъюнктивной комбинации терминов имеются многочисленные возможности упрощения; и после небольшой практики студент обнаружит, что нет необходимости выписывать все альтернаторы нового предиката полностью. Ниже приведены примеры: —

(i) | All X is AB or bce,
| All X is aBC or DE ;
therefore,  | All X is ABDE.

Будет обнаружено, что все остальные комбинации в предикате содержат противоречащие члены.

(ii) | All X is A or Bc or D,
| All X is aB or Bc or Cd ;
therefore,  | All X is ACd or aBD or Bc.
(iii) | Everything is A or bd or cE,
| Everything is AC or aBe or d ;
therefore,  | Everything is AC or Ad or bd or cdE.

(2) Общеутвердительные пропозиции, имеющие разные субъекты.

Дана конъюнктивная комбинация двух общеутвердительных пропозиций с разными субъектами, новая сложная пропозиция может быть получена путем конъюнктивного комбинирования как их субъектов, так и их предикатов. Таким образом, если «Все X есть P1 или P2» и «Все Y есть Q1 или Q2», из этого следует, что «Все XY есть P1Q1 или P1Q2 или P2Q1 или P2Q2». Но в этом случае полученная новая пропозиция не эквивалентна конъюнктивной комбинации исходных пропозиций; и мы не можем вернуться от нее к ним.

Единая сложная пропозиция, которая суммирует всю информацию, содержащуюся в исходных пропозициях, может, однако, быть получена путем предварительного сведения каждой из них к форме «Все есть X1 или X2 … или Xn», а затем конъюнктивного комбинирования их предикатов.

476. Конъюнктивная комбинация общеотрицательных пропозиций. — Здесь снова мы можем выделить два случая в зависимости от того, имеют ли комбинируемые пропозиции один и тот же субъект или нет.

(1) Общеотрицательные пропозиции, имеющие один и тот же субъект

«Никакое X не есть P1 или P2 … или Pm», «Никакое X не есть Q1 или Q2 … или Qn»,

могут для нашей настоящей цели быть взяты в качестве типов общеотрицательных пропозиций, имеющих один и тот же субъект. Даны эти две пропозиции в конъюнктивной комбинации, новая сложная пропозиция может быть получена путем альтернативного комбинирования их предикатов. Таким образом,

«Никакое X не есть P1 или P2 … или Pm или Q1 или Q2 … или Qn».

Эта новая пропозиция эквивалентна двум исходным пропозициям, взятым вместе, так что мы можем вернуться от нее к ним. Процесс комбинирования предикатов снова, вероятно, даст возможности для упрощения. Ниже приведены примеры:

(i) | No X is either aB or aC or aE or bC or bE,
| No X is either Ad or Ae or bd or be or cd or ce ;
| therefore,  No X is either a or b or d or e.⁴⁹⁸
(ii) | Nothing is aBC or aBe or aCD or aDe,
| Nothing is AcD or abD or aDE or bcD or cDE ;
| therefore,  Nothing is aBC or aBe or aD or cD.

Сравните раздел 435.

(2) Общеотрицательные суждения с различными субъектами.

При наличии конъюнктивного сочетания двух общеотрицательных суждений с различными субъектами можно получить новое сложное суждение путем конъюнктивного объединения их субъектов и альтернативного объединения их предикатов. Таким образом, если «Ни одно X не есть P1 или P2» и «Ни одно Y не есть Q1 или Q2», то из этого следует, что «Ни одно XY не есть P1 или P2 или Q1 или Q2». В данном случае выведенное суждение не эквивалентно посылкам; и мы не можем вернуться от него к ним.

Однако единое сложное суждение, суммирующее всю информацию, содержащуюся в исходных суждениях, можно получить, сначала приведя каждое из них к форме «Ничто не есть X1 или X2… или Xn», а затем альтернативно объединив их предикаты.

477. Конъюнктивное сочетание общеутвердительных суждений с частноутвердительными суждениями того же качества. — Здесь мы можем рассмотреть сначала утвердительные, а затем отрицательные суждения.

(1) Утвердительные суждения. Из конъюнктивного сочетания общеутвердительного и частноутвердительного суждений, имеющих один и тот же субъект, можно получить новое частноутвердительное суждение путем конъюнктивного объединения их предикатов. Если «Все X есть P1 или P2» и «Некоторые X есть Q1 или Q2», то из этого следует, что «Некоторые X есть P1Q1 или P1Q2 или P2Q1 или P2Q2». Здесь частная посылка утверждает существование X и либо XQ1, либо XQ2; а общая посылка подразумевает, что если существует X, то существует либо XP1, либо XP2.

Мы можем вернуться от заключения к частной посылке, но не к общей посылке. Следовательно, заключение не эквивалентно двум посылкам, взятым вместе.

501. Новое сложное суждение нельзя непосредственно получить из конъюнктивного сочетания общеутвердительного и частноутвердительного суждений, имеющих различные субъекты. Однако суждения могут быть приведены соответственно к формам «Все есть P1 или P2… или Pm», «Нечто есть Q1 или Q2… или Qn», и тогда их предикаты могут быть конъюнктивно объединены в соответствии с вышеуказанным правилом.

(2) Отрицательные суждения. Из конъюнктивного сочетания общеотрицательного и частноотрицательного суждений, имеющих один и тот же субъект, можно получить новое частноотрицательное суждение путем альтернативного объединения их предикатов. Если «Ни одно X не есть ни P1, ни P2» и «Некоторые X не есть ни Q1, ни Q2», то из этого следует, что «Некоторые X не есть ни P1, ни P2, ни Q1, ни Q2». Обоснованность этого процесса очевидна, поскольку частная посылка утверждает существование X. Посредством обверсии это также может быть представлено как следствие из правила, приведенного выше в отношении утвердительных суждений. Мы снова можем вернуться от заключения к частной посылке, но не к общей посылке.

Что касается конъюнктивного сочетания общеотрицательных и частноотрицательных суждений с различными субъектами, то замечания, сделанные в отношении утвердительных суждений, применяются mutatis mutandis.

478. Конъюнктивное сочетание утвердительных суждений с отрицательными. — Путем предварительной обверсии одного из суждений конъюнктивное сочетание утвердительного суждения с отрицательным может быть приведено к получению нового сложного суждения в соответствии с правилами, данными в предыдущих разделах. Например,

(1) |    All X is A or B,
|    No X is aC,
| therefore, All X is A or Bc ;
(2) |    Everything is P or Q,
|    Nothing is Pq or pR,
| therefore, Nothing is pR or q ;
(3) |    All X is AB or bce,
|    Some X is not either aBC or DE,
| therefore, Some X is ABd or ABe or bce.

479. Конъюнктивное сочетание частных суждений с частными. — Частные суждения не могут быть с какой-либо пользой конъюнктивно объединены с частными суждениями так, чтобы получить новое сложное суждение. Верно, что из «Некоторые X есть P1 или P2» и «Некоторые X есть Q1 или Q2» мы можем перейти к «Некоторые X есть P1 или P2 или Q1 или Q2». Но это лишь ослабление информации, данной любой из посылок в отдельности; и согласно правилу, что «альтернант может быть в любое время введен в нераспределенный термин» (раздел 449), это с таким же успехом могло быть выведено из любой посылки, взятой самой по себе. Далее, из «Некоторые X не есть ни P1, ни P2» и «Некоторые X не есть ни Q1, ни Q2» мы можем перейти к «Некоторые X не есть ни P1Q1, ни P1Q2, ни P2Q1, ни P2Q2». Но здесь вновь применимы аналогичные замечания, поскольку мы уже установили, что «детерминант может быть в любое время введен в распределенный термин».

480. Альтернативное сочетание общих суждений. — Имея ряд общих суждений в качестве альтернантов в сложном альтернативном суждении, мы не можем получить единое эквивалентное сложное суждение. Из сложного суждения «Либо все A есть P1 или P2, либо все A есть Q1 или Q2» мы действительно можем вывести «Все A есть P1 или P2 или Q1 или Q2»; но мы не можем вернуться от этого к исходному суждению.

499. Сравните раздел 446.

481. Альтернативное сочетание частных суждений. — Из эквивалентностей, показанных в разделе 447, следует, что сложное альтернативное суждение, в котором все альтернанты являются частными, может быть приведено к форме единого сложного суждения. Если все альтернанты сложного суждения имеют один и тот же субъект и все являются утвердительными, их предикаты должны быть альтернативно объединены в сложном суждении; если они все имеют один и тот же субъект и все являются отрицательными, их предикаты должны быть конъюнктивно объединены в сложном суждении. Если альтернанты имеют различные субъекты, они все должны быть приведены к форме «Нечто есть…» до того, как их предикаты будут объединены; если они различаются по качеству, необходимо прибегнуть к процессу обверсии. Нет необходимости подробно обсуждать эти различные случаи, но в качестве примеров можно привести следующие:

 (i) | Some X is P or some X is Q = Some X is P or Q ;
 (ii) | Some X is not P or some X is not Q = Some X is not PQ ;
(iii) | Some X is P or some Y is Q = Something is XP or YQ ;
 (iv) | Some X is P or some Y is not Q = Something is XP or Yq.

482. Альтернативное сочетание частных суждений с общими. — Из сложного альтернативного суждения, в котором некоторые альтернанты являются частными, а некоторые — общими, мы можем вывести частное сложное суждение; но в этом случае мы не можем вернуться от сложного суждения к сложному альтернативному суждению. Ниже приведены примеры:

(1) | All A is P or some A is Q, therefore, Something is a or P or Q ;⁵⁰⁰
(2) | All A is P or some B is not Q, therefore, Something is a or Bq or P.

500. Мы не можем вывести «Некоторые A есть P или Q», поскольку это предполагает существование A, тогда как несуществование A совместимо с посылкой.

 503

УПРАЖНЕНИЯ.

483. Приведите суждения «Все P есть Q», «Ни одно Q не есть R» к такой форме, чтобы универсум рассуждения выступал в качестве субъекта каждого из них; а затем объедините суждения в единое сложное суждение. Как ваш результат соотносится с обычным силлогистическим заключением «Ни одно P не есть R»? [K.]

484. Объедините следующие суждения в единое эквивалентное сложное суждение: «Все X есть либо A, либо b»; «Ни одно X не есть ни AC, ни acD, ни CD»; «Все a есть B или x». [K.]

485. Каждый избиратель является одновременно налогоплательщиком и арендатором, или вовсе не является налогоплательщиком; если какой-либо избиратель, платящий налоги, является арендатором, то он внесен в список; ни один избиратель, внесенный в список, не является одновременно налогоплательщиком и арендатором. Исследуйте результаты объединения этих трех утверждений. [V.]

486. Каждое A есть BC, за исключением случаев, когда оно есть D; все, что не есть A, есть D; то, что является одновременно C и D, есть B; и каждое D есть C. Что можно определить из этих посылок относительно содержания нашего универсума рассуждения? [M.]

ГЛАВА V.

ВЫВОДЫ ИЗ КОМБИНАЦИЙ СЛОЖНЫХ СУЖДЕНИЙ.

487. Условия, при которых общее суждение дает информацию относительно любого данного термина. — Проблему, которую необходимо решить для определения этих условий, можно сформулировать следующим образом: дано любое общее суждение и любой термин X; требуется провести различие между случаями, в которых суждение дает информацию относительно этого термина, и теми, в которых оно ее не дает.

Прежде всего, ясно, что если суждение должно давать информацию относительно какого-либо термина, оно должно быть неформальным. Если оно отрицательное, приведем его путем обверсии к утвердительному виду. Тогда его можно записать в форме

«Все, что есть A1A2… или B1B2… или и т. д., есть P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»,

где A1, B1, P1, Q1 и т. д. — все являются простыми терминами. 501

501. Таким образом, и субъект, и предикат состоят из ряда альтернантов, которые сами содержат только простые детерминанты; то есть нет альтернанта вида (A или B)(C или D).

Как показано в разделе 446, это может быть разложено на независимые суждения:—

«Все A1A2… есть P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»; «Все B1B2… есть P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»; и т. д. и т. д. и т. д.;

ни в одном из которых нет альтернации в субъекте.

Эти суждения могут рассматриваться отдельно, и если какое-либо из них дает информацию относительно X, то и исходное суждение дает ее.

Тогда нам нужно рассмотреть суждение вида

«Все A1A2…An есть P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»;

и это суждение путем контрапозиции может быть приведено к форме 505

«Все есть a1 или a2… или an или P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»;

из которого можно вывести

«Все X есть a1 или a2… или an или P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»

Любой альтернант в предикате этого суждения, который содержит x, может быть явно опущен.

Если все альтернанты содержат x, то информация, предоставляемая относительно X, заключается в том, что он несуществующий.

Если остаются некоторые альтернанты, то суждение будет давать информацию относительно X, за исключением случая, когда после максимально возможного упрощения предиката 502 один из альтернантов сам является X, не объединенным ни с каким другим термином, в каковой ситуации ясно, что мы остаемся с чисто формальным суждением.

502. Все избыточные термины опущены, но предикат по-прежнему состоит из ряда альтернантов, которые сами содержат только простые детерминанты.

Теперь один из этих альтернантов будет X в следующих случаях, и только в этих случаях: — Во-первых, если один из альтернантов в предикате исходного суждения, приведенного к утвердительной форме, есть X. Во-вторых, если любой набор альтернантов в предикате исходного суждения, приведенного к утвердительной форме, составляет развитие X, поскольку любое развитие (например, AX или aX, ABX или AbX или aBX или abX) эквивалентно просто X. 503 В-третьих, если один из альтернантов в предикате исходного суждения, приведенного к утвердительной форме, содержит X в сочетании исключительно с некоторым детерминантом, который также является детерминантом субъекта или противоречием некоторого другого альтернанта предиката; поскольку в любом из этих случаев такой альтернант эквивалентен просто X. 504 В-четвертых, если один из детерминантов субъекта есть x; поскольку в этом случае после контрапозиции мы будем иметь X в качестве одного из альтернантов предиката.

503. См. раздел 430.

504. Согласно разделу 445, правило (2), «Все AB есть AX или D» эквивалентно «Все AB есть X или D»; и согласно закону исключения (раздел 432) «A или aX» эквивалентно «A или X».

Вышесказанное можно суммировать в следующем положении: — Любое неформальное общее суждение будет давать информацию относительно любого термина X, если только после приведения его к утвердительной форме (1) один из альтернантов предиката не является X, или (2) любой набор альтернантов в предикате не составляет развитие X, или (3) любой альтернант предиката не содержит 506 X в сочетании исключительно с некоторым детерминантом, который также является детерминантом субъекта или противоречием некоторого другого альтернанта предиката, или (4) x не является детерминантом субъекта.

Если после приведения суждения к утвердительной форме все избыточные термины опущены в соответствии с правилами, данными в главах 1 и 2, то критерий становится более простым: — Любое неформальное общее суждение будет давать информацию относительно любого термина X, если только (после того, как оно приведено к утвердительной форме и его предикат упрощен так, что не содержит избыточных терминов) X сам по себе не является альтернантом предиката или x не является детерминантом субъекта. 505

505. Можно добавить, что каждое общее суждение, если оно не является чисто формальным, будет давать информацию либо относительно X, либо относительно x. Ибо если и X, и x появляются как альтернанты предиката или как детерминанты субъекта общего утвердительного суждения, то суждение будет обязательно формальным.

Если вместо X у нас есть сложный термин XYZ, то никакой детерминант этого термина не должен появляться сам по себе как альтернант предиката, и в субъекте должен быть по крайней мере один альтернант, который не содержит в качестве детерминанта противоречие любого детерминанта этого сложного термина; т. е. никакой альтернант в предикате не должен быть X, Y или Z, или любой их комбинацией, и некоторый альтернант субъекта не должен содержать ни x, ни y, ни z.

Вышеуказанный критерий прост в применении.

488. Информация, совместно предоставляемая рядом общих суждений относительно любого данного термина. — Подавляющее большинство прямых задач 506, включающих сложные суждения, могут быть сведены к общей форме: дано любое количество общих суждений, включающих любое количество терминов; требуется определить всю информацию, которую они совместно предоставляют относительно любого данного термина или комбинации терминов. Если студент обратится к Булю, Джевонсу или Венну, он обнаружит, что эта проблема рассматривается ими как центральная проблема символической логики. 507

506. Обратные задачи будут обсуждаться в следующей главе.

507. «Буль, — говорит Джевонс, — первым поставил проблему логической науки во всей ее полноте: — даны определенные логические посылки или условия; требуется определить описание любого класса объектов при этих условиях. Такова была общая проблема, из которой древняя логика решила лишь несколько изолированных случаев — девятнадцать модусов силлогизма, сорит, дилемму, дизъюнктивный силлогизм и несколько других форм. Буль неопровержимо показал, что с помощью системы математических знаков можно вывести заключения всех этих древних способов рассуждения и неопределенное количество других заключений. Короче говоря, любое заключение, которое можно было вывести из любого набора посылок или условий, какими бы многочисленными и сложными они ни были, могло быть вычислено по его методу» (Philosophical Transactions, 1870). Сравните также «Principles of Science», 6, § 5.

507. Общий метод решения заключается в следующем: — Пусть X — термин, относительно которого требуется получить информацию. Найдите, какую информацию дает каждое суждение отдельно относительно X, получая таким образом новый набор суждений вида «Все X есть P1 или P2… или Pn». Это всегда возможно с помощью правил обверсии и контрапозиции, данных в главе 3. С помощью правила, приведенного в предыдущем разделе, те суждения, которые не дают никакой информации относительно X, могут быть сразу исключены из рассмотрения. Затем пусть полученные таким образом суждения будут объединены способом, указанным в разделе 475. Это даст желаемое решение. Если информация требуется относительно нескольких терминов, будет удобно привести все суждения к форме

«Все есть P1 или P2… или Pn»;

и объединить их сразу, суммируя таким образом в едином суждении всю информацию, данную отдельными суждениями, взятыми вместе. Из этого суждения все, что известно относительно X, может быть немедленно выведено путем опускания каждого альтернанта, содержащего x, все, что известно относительно Y, путем опускания каждого альтернанта, содержащего y, и так далее.

Метод может быть варьирован путем приведения суждений к форме

«Ни одно X не есть Q1 или Q2… или Qn»,

или к форме

«Ничто не есть Q1 или Q2… или Qn»,

затем объединяя их, как в разделе 476, и (если требуется утвердительное решение) наконец обвертируя результат. Будет ли желательным это варьирование, зависит от формы исходных суждений. 508

508. Этот второй метод аналогичен тому, который обычно используется д-ром Венном в его «Symbolic Logic». Оба метода имеют определенное сходство с косвенным методом Джевонса; но ни один из них не идентичен этому методу.

В эквациональной системе символической логики решение относительно любого термина X обычно включает частичное решение и относительно x. При использовании вышеуказанных методов x должен быть найден отдельно. Можно добавить, что полные решения для X и x суммируют между собой всю информацию, данную 508 исходными данными; другими словами, они, взятые вместе, эквивалентны данным посылкам. 509

509. Установив, что «Все X есть P» и что «Все x есть q», мы можем путем контрапозиции привести последнее суждение к форме «Все Q есть X», и тогда может оказаться, что P и Q имеют некоторые общие альтернанты. Эти альтернанты являются терминами, которые (в системе Буля) берутся во всем их объеме в уравнении, дающем X; и полученное таким образом решение тесно аналогично тому, которое дается любой эквациональной системой символической логики.

Следующее можно взять в качестве простого примера первого из вышеуказанных методов. Он адаптирован из Буля («Laws of Thought», стр. 118).

«Дано: 1-е, что везде, где свойства A и B объединены, присутствует также либо свойство C, либо свойство D, но они не присутствуют совместно; 2-е, что везде, где свойства B и C объединены, свойства A и D либо оба присутствуют с ними, либо оба отсутствуют; 3-е, что везде, где свойства A и B оба отсутствуют, свойства C и D также оба отсутствуют; и vice versâ, где свойства C и D оба отсутствуют, A и B также оба отсутствуют. Найдите, что можно вывести из присутствия A относительно присутствия или отсутствия B, C и D».

Посылки можно записать следующим образом: (1) «Все AB есть Cd или cD»; (2) «Все BC есть AD или ad»; (3) «Все ab есть cd»; (4) «Все cd есть ab».

Then, | from (1),  | All A is b or Cd or cD ;
| and from (2),  | All A is b or c or D ;
therefore  | (by combining these), | All A is b or cD ;
(3) gives no information regarding A (see the preceding section);
| but by (4),  | All A is C or D ;
| therefore,  | All A is bC or bD or cD ;
and, since bD is by development either bCD or bcD this becomes
All A is bC or cD.

Это решает поставленную задачу. Переходя также к определению a, мы находим, что (1) не дает никакой информации относительно этого термина; но согласно (2), «Все a есть b или c или d»; и согласно (3), «Все a есть B или cd»; следовательно, «Все a есть Bc или Bd или cd». Далее, согласно (4), «Все a есть b или C или D». Следовательно, «Все a есть BCd или BcD или bcd»; и путем контрапозиции: «Все, что есть Bcd или bC или bD или CD, есть A». 510

510. Принимая во внимание результат, полученный выше относительно A, можно увидеть, что это может быть разложено на «Все, что есть bC или bD, есть A» и «Ничто не есть BCD или Bcd». Эти два суждения, взятые вместе с решением для A, эквивалентны исходным посылкам.

489. Проблема исключения. — Под исключением в логике понимается опущение определенных элементов из суждения или набора 509 суждений с целью более прямого и краткого выражения связи между элементами, которые остаются. Пример этого процесса дает обычный категорический силлогизм, где исключается так называемый средний термин. Таким образом, имея посылки «Все M есть P», «Все S есть M», мы можем вывести «Все S есть MP»; но если мы хотим узнать отношение между S и P независимо от M, мы довольствуемся менее точным, но достаточным утверждением «Все S есть P»; другими словами, мы исключаем M.

Некоторые авторы считали исключение абсолютно необходимым для логического рассуждения. Однако оно не обязательно вовлечено ни в процесс контрапозиции, ни в процесс, обсуждавшийся в предыдущем разделе; и если формальные выводы вообще признаются, то название вывода, безусловно, нельзя отказать этим процессам. Мы должны, следовательно, отказаться рассматривать исключение как сущность рассуждения, хотя оно обычно может быть в нем вовлечено. 511

511. Сравните разделы 207, 208.

490. Исключение из общих утверждений. — Любое общее утвердительное суждение (или, путем объединения, любой набор общих утвердительных суждений), включающее термин X и его противоречие x, может путем контрапозиции быть приведено к форме «Все есть PX или Qx или R», где P, Q, R сами являются простыми или сложными терминами, не включающими X или x; и поскольку согласно правилу, данному в разделе 448, детерминант может быть в любое время опущен из нераспределенного термина, мы можем исключить X (и x) из этого суждения, просто опустив их и приведя суждение к форме «Все есть P или Q или R». 512

512. Мы могли бы также поступить следующим образом: решить для X и для x, как в разделе 488, так что мы будем иметь «Все X есть A», «Все x есть B», где A и B — простые или сложные термины, не включающие ни X, ни x. Тогда, поскольку «Все есть X или x», мы будем иметь «Все есть A или B», и это будет суждение, не содержащее ни X, ни x.

Мы должны, однако, здесь допустить возможность того, что P, Q, R имеют формы «A или a», «Aa». Они эквивалентны соответственно всему универсуму рассуждения и ничему. Таким образом, если P имеет форму «A или a», а Q имеет форму «Aa», наше суждение до исключения более естественно было бы записать как «Все есть X или R»; если Q имеет форму «A или a», а R имеет форму «Aa», оно более естественно было бы записано как «Все есть PX или x». Отсюда следует, что если либо P, либо Q имеет форму «A или a» (то есть если либо P, либо Q эквивалентно всему универсуму рассуждения), суждение, полученное в результате исключения 510, не будет давать никакой реальной информации, поскольку всегда истинно à priori, что «Все есть A или a или и т. д.». Таким образом, мы не можем исключить X из такого суждения, как «Все A есть X или BC».

В качестве примера исключения из общих утверждений можно привести следующее.

Пусть требуется исключить X (вместе с x) из суждений «Все P есть XQ или xR», «Все, что есть X или R, есть p или XQR». Объединяя эти суждения, мы имеем «Все есть XQR или p»; следовательно, путем исключения: «Все есть QR или p», то есть «Все P есть QR». Будет замечено, что P (вместе с p) не может быть исключено из вышеуказанных суждений.

491. Исключение из общих отрицаний. — Любое общее отрицательное суждение (или, путем объединения, любой набор общих отрицательных суждений), содержащее термин X и его противоречие x, может путем обращения быть приведено к форме «Ничто не есть PX или Qx или R», где P, Q, R сами являются простыми или сложными терминами, не включающими ни X, ни x. Здесь мы могли бы, в соответствии с правилом, данным в разделе 448, просто опустить альтернанты PX, Qx, оставив нас с суждением «Ничто не есть R». Это, однако, лишь часть информации, получаемой путем исключения X. Мы также имеем «Ни одно X не есть P» и «Ни одно Q не есть x», то есть «Все Q есть X»; откуда путем силлогизма в Celarent мы можем вывести «Ни одно Q не есть P». Полный результат исключения, следовательно, дается суждением «Ничто не есть PQ или R». 513

513. Сравните эссе миссис Лэдд-Франклин «The Algebra of Logic» («Studies in Logic by Members of the Johns Hopkins University»). Тот же вывод может быть получен путем обверсии из результата, полученного в предыдущем разделе. «Ничто не есть PX или Qx или R» становится путем обверсии «Все есть prX или qrx». Следовательно, путем исключения X: «Все есть pr или qr»; и это суждение становится путем обверсии «Ничто не есть PQ или R».

Другой метод, с помощью которого может быть получен тот же результат, заключается в следующем: путем развития первого альтернанта относительно Q и второго относительно P, «Ничто не есть PX или Qx или R» становится «Ничто не есть PQX или PqX или PQx или pQx или R». Но PQX или PQx сводится к PQ, и при опускании PqX и pQx мы имеем «Ничто не есть PQ или R».

Интересно заметить, что вышеуказанное правило исключения из отрицаний эквивалентно знаменитому правилу Буля для исключения. Чтобы исключить X из уравнения F(X) = 0, он дает формулу F(1)F(0) = 0. Теперь любое уравнение, содержащее X, может быть приведено к форме AX + Bx + C = 0, где A, B, C независимы от X. Применяя правило Буля, мы имеем (A + C)(B + C) = 0, то есть AB + C = 0; и это в точности эквивалентно правилу, данному в тексте.

Ниже приведен пример: пусть требуется исключить X из суждений «Ни одно P не есть Xq или xr», «Ни одно X или R не есть xP или Pq или Pr». 511 Объединяя эти суждения, мы имеем «Ничто не есть XPq или XPr или xP или PqR»; следовательно, путем исключения в соответствии с вышеуказанным правилом: «Ничто не есть Pq или Pr», то есть «Ни одно P не есть q или r».

492. Исключение из частных утверждений. — Любое частное утвердительное суждение, включающее термин X, может путем обращения быть приведено к форме «Нечто есть либо PX, либо Qx, либо R», где P, Q, R независимы от X и x. Мы можем здесь немедленно применить правило, данное в разделе 448, что детерминант может быть в любое время опущен из нераспределенного термина; и результат исключения X, соответственно, есть «Нечто есть либо P, либо Q, либо R». 514

514. Таким образом, правило исключения из частных утверждений практически идентично правилу исключения из общих утверждений.

493. Исключение из частных отрицаний. — Любое частное отрицательное суждение, включающее термин, может путем контрапозиции быть приведено к форме «Нечто не есть либо PX, либо Qx, либо R». Путем развития первого альтернанта относительно Q и второго альтернанта относительно P это суждение становится «Нечто не есть либо PQX, либо PqX, либо PQx, либо pQx, либо R». Но PQX или PQx сводится к PQ, и альтернанты PqX, pQx могут быть опущены согласно правилу, данному в разделе 448. Отсюда мы получаем суждение «Нечто не есть либо PQ, либо R», из которого X было исключено. 515

515. Таким образом, правило исключения из частных отрицаний практически идентично правилу исключения из общих отрицаний. То же правило может быть выведено путем обверсии из результата, полученного в предыдущем разделе. «Нечто не есть либо PX, либо Qx, либо R»; следовательно, «Нечто есть либо prX, либо qrx, либо pqr»; следовательно, «Нечто есть либо pr, либо qr»; следовательно, «Нечто не есть либо PQ, либо R».

494. Порядок процедуры в процессе исключения. — Шрёдер («Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 23) указывает, что сначала исключить, а затем объединить — это не то же самое, что сначала объединить, а затем исключить. Ибо, как правило, если термин X исключается из нескольких изолированных суждений, объединенные результаты дают меньше информации, чем предоставляется путем предварительного объединения данных суждений и последующего осуществления требуемого исключения.

Действительно, существует много случаев, в которых мы не можем исключить вообще, если сначала не объединим данные суждения. Это, конечно, очевидно в силлогизмах; и мы имеем аналогичный случай, если возьмем посылки «Все есть A или X», «Все есть B или x». Мы не можем исключить X из любого из этих суждений, взятого само по себе, поскольку в каждом из них X (или x) появляется как изолированный альтернант. Но путем 512 объединения мы имеем «Все есть Ax или BX»; и это путем исключения X становится «Все есть A или B». 516

516. Работая с отрицаниями, мы получаем тот же результат. Взяв суждения «Ничто не есть ax», «Ничто не есть bX» отдельно, мы не можем исключить X из любого из них. Но объединив их в суждении «Ничто не есть ax или bX», мы можем вывести «Ничто не есть ab».

Существуют другие случаи, в которых исключение из отдельных суждений возможно, но где этот порядок процедуры ведет к ослабленному заключению. Возьмем суждения «Все есть AX или Bx», «Все есть CX или Dx». Сначала исключив X, а затем объединив, мы имеем «Все есть AC или AD или BC или BD». Но сначала объединив, а затем исключив X, наше заключение становится «Все есть AC или BD», что дает больше информации, чем предоставляется предыдущим заключением.

УПРАЖНЕНИЯ.

495. Предположим, что анализ свойств определенного класса веществ привел к следующим общим заключениям, а именно: 1-е, что везде, где свойства A и B объединены, присутствует также либо свойство C, либо свойство D, но они не присутствуют совместно; 2-е, что везде, где свойства B и C объединены, свойства A и D либо оба присутствуют с ними, либо оба отсутствуют; 3-е, что везде, где свойства A и B оба отсутствуют, свойства C и D также оба отсутствуют; и vice versâ, где свойства C и D оба отсутствуют, A и B также оба отсутствуют. Покажите, что везде, где свойство A присутствует, свойства B и C не присутствуют оба одновременно; также что везде, где B отсутствует, в то время как C присутствует, A присутствует.

[Буль, «Laws of Thought», стр. 118–120; сравните также Венн, «Symbolic Logic», стр. 276–278.]

Решение этой задачи уже было дано в разделе 488. Мы можем также поступить следующим образом. Посылки таковы:

«Все AB есть Cd или cD», (i)

«Все BC есть AD или ad», (ii)

«Все ab есть cd», (iii)

«Все cd есть ab». (iv)

513. Согласно (i), «Ни одно AB не есть CD», следовательно, «Ни одно A не есть BCD». (1)

Согласно (ii), «Ни одно BC не есть Ad», следовательно, «Ни одно A не есть BCd». (2)

Объединяя (1) и (2), немедленно следует, что «Ни одно A не есть BC».

Буль также показывает, что «Все bC есть A». Это частичная контрапозиция (iii). Нам до сих пор не требовалось использовать (iv) вообще.

496. Имея те же посылки, что и в предыдущем разделе, докажите, что: — (1) Везде, где найдено свойство C, либо свойство A, либо свойство B будет найдено с ним, но не оба вместе; (2) Если свойство B отсутствует, либо A и C будут совместно присутствовать, либо C будет отсутствовать; (3) Если A и C совместно присутствуют, B будет отсутствовать. [Буль, «Laws of Thought», стр. 129.]

Во-первых, согласно (i), «Все C есть a или b или d»; согласно (ii), «Все C есть a или b или D»; следовательно, «Все C есть a или b».

Также согласно (iii), «Все C есть A или B»; следовательно, «Все C есть Ab или aB». (1) Во-вторых, согласно (iii), «Все b есть A или c», следовательно, согласно разделу 432, «Все b есть AC или c». (2) В-третьих, из (1) немедленно следует, что «Все AC есть b». (3)

Данные посылки могут быть все суммированы в суждении: «Все есть AbC или AbD или aBCd или abcd или BcD». Из этого вышеуказанные частные результаты и другие следуют немедленно.

497. Дано, что «все есть либо Q, либо R», и что «все R есть Q, если только оно не есть не-P», докажите, что «все P есть Q». [K.]

Посылки можно записать следующим образом: (1) «Все r есть Q», (2) «Все PR есть Q». Согласно (1), «Все Pr есть Q», и согласно (2), «Все PR есть Q»; но «Все P есть Pr или PR»; следовательно, «Все P есть Q».

498. Где A присутствует, B и C либо оба присутствуют сразу, либо оба отсутствуют сразу; и где C присутствует, A присутствует. Опишите класс «не-B» при этих условиях. [Джевонс, «Studies», стр. 204.]

Посылки таковы: (1) «Все A есть BC или bc», (2) «Все C есть A». Согласно (1), «Все b есть a или c», и согласно (2), «Все b есть A или c», следовательно, «Все b есть c».

499. О некоторых вещах известно, что (1) где есть качество A, там нет B; (2) где есть B, и только где есть B, там есть C и D. 514 Выведите из этих условий описание класса вещей, в которых A не присутствует, но C присутствует. [Джевонс, «Studies», стр. 200.]

Посылки таковы: (1) «Все A есть b»; (2) «Все B есть CD»; (3) «Все CD есть B». Никакой информации относительно aC не дается (1). Но согласно (2), «Все aC есть b или D»; и согласно (3), «Все aC есть B или d». Следовательно, «Все aC есть BD или bd».

500. Взяв те же посылки, что и в предыдущем разделе, составьте описания классов Ac, ab и cD. [Джевонс, «Studies», стр. 244.]

Согласно (1), «Все есть a или b», и согласно (2), «Все есть b или CD». Следовательно, «Все есть aCD или b»; и согласно (3), «Все есть B или c или d». Следовательно, «Все есть aBCD или bc или bd». Отсюда мы немедленно выводим «Все Ac есть b», «Все ab есть c или d», «Все cD есть b».

501. Существует определенный класс вещей, из которого A выбирает «X, который есть E, и Y, который не есть Z», а B выбирает из остатка «Z, который есть Y, и X, который не есть Y». Затем обнаруживается, что не осталось ничего, кроме класса «Z, который не есть X». Весь этот класс, однако, остался. Что можно определить о классе изначально? [Венн, «Symbolic Logic», стр. 267, 8.]

Главная трудность в этой задаче состоит в точном формулировании посылок. Назовем исходный класс W. Тогда мы имеем

«Все W есть XZ или Yz или YZ или Xy или xZ», то есть «Все W есть X или Y или Z»; (1) «Все xZ есть W»; (2) «Ни одно xZ не есть WXZ или WYz или WYZ или WXy», то есть «Ни одно xZ не есть WYZ». (3)

Теперь мы можем поступить следующим образом: — Согласно (1), «Все W есть X или Y или Z»; и согласно (3), «Все W есть X или y или z». Следовательно, «Все W есть X или Yz или yZ». (2) не дает никакой информации относительно класса W, кроме того, что все, что есть Z, но не X, содержится внутри него.

502. (1) Если нация имеет природные ресурсы и хорошее правительство, она будет процветающей. (2) Если она имеет природные ресурсы без хорошего правительства или хорошее правительство без природных ресурсов, она будет довольной, но не процветающей. (3) Если она не имеет ни природных ресурсов, ни хорошего правительства, она не будет ни довольной, ни процветающей. Покажите, что эти утверждения могут быть сведены к двум суждениям формы U Гамильтона. [O’S]

515. Пусть нация с природными ресурсами обозначается R, нация с хорошим правительством — G, процветающая нация — P, а довольная нация — C. Тогда данные утверждения могут быть выражены следующим образом: — (1) «Все RG есть P»; (2) «Все Rg или rG есть Cp»; (3) «Все rg есть cp». Путем контрапозиции (2) может быть разложено на два суждения: «Все cp есть RG или rg», «Все P есть RG или rg». Но согласно (1) «Ни одно cp не есть RG»; и согласно (3) «Ни одно P не есть rg». Отсюда два суждения, на которые было разложено (2), могут быть приведены к форме: «Все cp есть rg», «Все P есть RG». Три исходных утверждения, соответственно, эквивалентны двум суждениям U: «Все RG есть все P», «Все rg есть все cp».

503. Пусть наблюдение за классом природных продуктов привело к следующим общим результатам. 1-е. В тех из этих продуктов, в которых отсутствуют свойства A и C, найдено свойство E вместе с одним из свойств B и D, но не с обоими. 2-е. Везде, где найдены свойства A и D, в то время как E отсутствует, свойства B и C будут либо оба найдены, либо оба отсутствуют. 3-е. Везде, где свойство A найдено в сочетании либо с B, либо с E, или с обоими, там будет найдено либо свойство C, либо свойство D, но не оба вместе. И наоборот, везде, где свойство C или D найдено в единственном числе, там свойство A будет найдено в сочетании либо с B, либо с E, или с обоими. Покажите, что из этого следует: «В каких бы веществах ни было найдено свойство A, там также будет найдено либо свойство C, либо свойство D, но не оба вместе, или же свойства B, C и E будут все отсутствовать». И наоборот: «Где либо свойство C, либо свойство D найдено в единственном числе, или свойства B, C и D все вместе отсутствуют, там будет найдено свойство A». Покажите также, что «Если свойство A отсутствует, а C присутствует, D присутствует».

[Буль, «Законы мышления», стр. 146–148. Венн, «Символическая логика», стр. 280, 281. «Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 57, 58, 82, 83.]

Посылки следующие:—

1st, | All ac is BdE or bDE ; | (i)  
2nd, | All Ade is BC or bc ; | (ii)  
3rd, | Whatever is AB or AE is Cd or cD ; | (iii)  
| Whatever is Cd or cD is AB or AE. | (iv)  

516 Требуется доказать:—

All A is Cd or cD or bcd ;   | (α)
All Cd is A ; | (β)
All cD is A ; | (γ)
All bcd is A ; | (δ)
All aC is D. | (ε)

Во-первых, согласно (iii), «Всякое A есть Cd или cD или bc». Но согласно (ii), «Всякое Abe есть c или d»; и согласно (iv), «Всякое Abe есть CD или cd»; следовательно, «Всякое Abe есть cd». Отсюда, «Всякое A есть Cd или cD или bcd». (α)

Во-вторых, (β) и (γ) непосредственно следуют из (iv). В-третьих, из (i) мы имеем непосредственно: «Ни одно ac не есть bd»; следовательно (путем обращения), «Ни одно bcd не есть a»; следовательно, «Всякое bcd есть A». (δ)

Наконец, согласно (iv), «Всякое Cd есть A»; следовательно, путем контрапозиции, «Всякое aC есть D». (ε)

Мы можем получить полное решение в той части, которая касается A, следующим образом:

Согласно (ii), 517 «Всякое A есть BC или bc или d или E»; согласно (iii), «Всякое A есть be или Cd или cD»; следовательно, «Всякое A есть Cd или cDE или bcD или bce или bde»; согласно (iv), «Всякое A есть B или E или CD или cd»; следовательно, «Всякое A есть cDE или bcde или BCd или CdE».

Это включает частное решение в отношении A: «Всякое A есть Cd или cD или bcd». Буль ограничивается этим, поскольку он начал с намерения исключить E из своего заключения. Теперь мы можем решить относительно a. (ii) и (iii) не дают никакой информации относительно этого термина. Но согласно (i), «Всякое a есть BdE или bDE или C»; и согласно (iv), «Всякое a есть CD или cd». Следовательно, «Всякое a есть BcdE или CD». И это дает путем контрапозиции: «Все, что есть bc или Cd или cD или ce, есть A».

517 Никакой информации относительно A не дается в (i), поскольку a появляется как детерминант субъекта. См. раздел 487.

504. При тех же посылках, что и в предыдущем разделе, показать, что:— 1-е. Если свойство B присутствует в одном из производных, то либо свойства A, C и D все отсутствуют, либо отсутствует только одно из них. И наоборот, если они все отсутствуют, можно заключить, что свойство B присутствует. 2-е. Если A и C оба присутствуют или оба отсутствуют, D будет отсутствовать, совершенно независимо от присутствия или отсутствия B. [Буль, «Законы мышления», стр. 149.]

Мы можем здесь действовать, объединив все данные посылки 517 способом, указанным в разделе 475. Из полученного таким образом результата непосредственно последуют вышеприведенные выводы, а также те, что содержатся в предыдущем разделе.

Согласно (iii), «Все есть a или be или Cd или cD»; и согласно (iv), «Все есть AB или AE или CD или cd»; следовательно, «Все есть ABCd или ABcD или ACdE или AcDE или aCD или acd или bCDe или bcde»; следовательно, согласно (i), «Все есть ABCd или ABcD или Abcde или ACdE или AcDE или aBcdE или aCD или bCDe»; следовательно, согласно (ii), «Все есть ABCd или Abcde или ACdE или AcDE или aBcdE или aCD». (v)

Следовательно, «Всякое B есть ACd или AcDE или acdE или aCD»; «Всякое acd есть BE»; «Всякое AC есть Bd или dE»; «Всякое ac есть BdE». Исключая E из каждого вышеприведенного, мы получаем результаты, к которым пришел Буль. Исключая как A, так и E из (v), мы имеем

«Все есть BCd или bcd или Cd или cD или Bcd или CD»;

то есть «Все есть C или D или cd», что является тождеством. Это эквивалентно выводу Буля о том, что «между свойствами B, C и D нет независимого отношения» («Законы мышления», стр. 148). Любые дальнейшие результаты, которые могут потребоваться, могут быть получены непосредственно из (v).

505. Дано XY = A, YZ = C, найти XZ в терминах A и C.

[Венн, «Символическая логика», стр. 279, 310–312. «Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 53, 54.]

Посылки могут быть записаны следующим образом:

«Все есть AXY или ax или ay»; (1) «Все есть CYZ или cy или cx». (2)

Согласно (1), «Всякое XZ есть AY или ay», и согласно (2), «Всякое XZ есть CY или cy»; следовательно, «Всякое XZ есть ACY или acy». Отсюда, исключая Y, «Всякое XZ есть AC или ac». Это решает поставленную задачу. Но чтобы получить полное решение, эквивалентное тому, которое было бы получено Булем, можно добавить следующее: решая, как указано выше, относительно x или z и исключая Y, мы имеем «Все, что есть либо x, либо z, есть AcXz или aCxZ или ac». Откуда, путем контрапозиции, «Все, что есть AC или Ax или AZ или CX или Cz, есть XZ». Иными словами, «Все, что есть AC или AZ или CX, есть XZ»; и «Ничто не есть Ax или Cz».

518 506. Показать эквивалентность между тремя следующими системами суждений: (1) «Всякое Ab есть cd»; «Всякое aB есть Ce»; «Всякое D есть E»; (2) «Всякое A есть B или c или D»; «Всякое BE есть A»; «Всякое Be есть Ad или Cd»; «Всякое bD есть aE»; (3) «Все, что есть A или e, есть B или d»; «Всякое a есть bE или bd или BCe»; «Всякое bC есть a»; «Всякое D есть E». [K.]

Путем обверсии первый набор суждений становится: «Ни одно Ab не есть C или D»; «Ни одно aB не есть c или E»; «Ни одно D не есть e»; и эти суждения объединены в утверждении: «Ничто не есть либо AbC, либо AbD, либо aBc, либо aBE, либо De». (1)

Путем обверсии и объединения второго набора суждений мы имеем: «Ничто не есть AbCd или aBE или aBce или BDe или AbD или bDe». (2)

Но AbCd или AbD эквивалентно AbC или AbD; aBE или aBce — aBE или aBc; BDe или bDe — De. Следовательно, (1) и (2) эквивалентны. Далее, путем обверсии и объединения третьего набора суждений мы имеем: «Ничто не есть AbD или bDe или aBc или aBE или abDe или acDe или AbC или De». (3)

Но поскольку bDe, abDe, acDe — все являются подразделениями De, (3) непосредственно сводится к (1).

507. Из посылок (1) «Ни одно Ax не есть cd или cy», (2) «Ни одно BX не есть cde или cey», (3) «Ни одно ab не есть cdx или cEx», (4) «Ни одно A или B или C не есть xy», вывести суждение, не содержащее ни X, ни Y. [«Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 53.]

Согласно (2), «Ни одно X не есть Bcde», и согласно (1) и (3), «Ни одно x не есть Acd или abcd или abcE»; следовательно, согласно разделу 491, «Ни одно Acd или abcd или abcE не есть Bcde»; следовательно, «Ни одно Acd не есть Be». Будет замечено, что, поскольку Y не появляется в посылках, y может быть исключен только путем опускания всех терминов, содержащих его.

508. Члены научного общества делятся на три секции, которые обозначаются A, B, C. Каждый член должен вступить по крайней мере в одну из этих секций при соблюдении следующих условий: (1) любой, кто является членом A, но не B, или B, но не C, или C, но не A, может прочитать лекцию членам, если он уплатил свой взнос, но в противном случае нет; (2) тот, кто является членом A, но не C, или C, но не A, или B, но не A, может продемонстрировать эксперимент членам, если он уплатил свой взнос, но в противном случае нет; но (3) каждый член должен ежегодно либо прочитать лекцию, либо выполнить эксперимент перед другими членами. Найти наименьшее дополнение к этим правилам, которое заставит каждого члена уплатить свой взнос или лишиться членства. [«Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 54.]

Пусть A = член секции A и т. д.; X = тот, кто читает лекцию; 519 Y = тот, кто выполняет эксперимент; Z = тот, кто уплатил свой взнос. Посылки: (1) «Всякое Ab или aC или Bc есть x или Z»; (2) «Всякое Ac или aB или aC есть y или Z»; (3) «Каждый член есть X или Y»; (4) «Каждый член есть A или B или C». Задача состоит в том, чтобы найти, какое наименьшее дополнение к этим правилам приведет к выводу, что «Каждый член есть Z». Согласно (1), «Всякое z есть либо x, либо (a или B) (A или c) (b или C)»; следовательно, «Всякое z есть x или ABC или abc». Аналогично, согласно (2), «Всякое z есть y или AC или abc»; следовательно, «Всякое z есть xy или xAC или ABC или abc». Согласно (3), «Всякое z есть X или Y»; следовательно, «Всякое z есть XABC или Xabc или xYAC или YABC или Yabc». Согласно (4), «Всякое z есть A или B или C»; следовательно, «Всякое z есть XABC или xYAC или YABC»; но «Всякое YABC есть либо XYABC, либо xYABC»; следовательно, «Всякое z есть XABC или xYAC». Следовательно, мы получаем желаемый результат, если добавим к посылкам: «Ни одно z не есть XABC или xYAC». Требуемое правило, таким образом, следующее: «Никто, кто не уплатил свой взнос, не может вступить во все три секции и прочитать лекцию, равно как он не может вступить в A и C и продемонстрировать эксперимент, не прочитав лекцию».

509. Что можно вывести независимо от X и Y из посылок: (1) «Либо некоторое A, которое есть X, не есть Y, либо все D есть и X, и Y»; (2) «Либо некоторое Y есть и B, и X, либо все X есть либо не Y, либо C и не B»? [«Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 85.]

Посылки могут быть записаны следующим образом: (1) «Либо что-то есть AXy, либо все есть XY или d»; (2) «Либо что-то есть BXY, либо все есть x или y или bC». Объединяя эти посылки, как в главе 4, «Либо что-то есть AXy и что-то есть BXY, либо что-то есть AXy и все есть x или y или bC, либо что-то есть BXY и все есть XY или d, либо все есть bCXY или bCd или dx или dy». 518 Следовательно, исключая X и Y (см. разделы 490 и 492), «Либо что-то есть A и что-то есть B, либо что-то есть A, или 520 что-то есть B, или все есть bC или d»; и объединяя первые три альтернатора, как в разделе 481, это становится

«Либо что-то есть A или B, или все есть bC или d».

Этот вывод может быть также выражен в форме

«Если все есть ab, то всякое c есть d».

518 Мы не можем, если хотим получить эквивалентное суждение, выразить первые три из этих альтернаторов в несложной форме. См. разделы 477, 479.

510. Шесть детей, A, B, C, D, E, F, должны соблюдать следующие правила: (1) в понедельник и вторник никакие четверо не могут выходить вместе; (2) в четверг, пятницу и субботу никакие трое не могут оставаться вместе; (3) во вторник, среду и субботу, если B и C вместе, то A, B, E и F должны быть вместе; (4) в понедельник и субботу B не может выйти, если только D или A, C и E не останутся дома. A и B сначала решают, что они будут делать, а C принимает свое решение до D, E и F. Найти (α) когда C должен выйти, (β) когда он должен остаться, и (γ) когда он может делать, что хочет. [«Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 58.]

Пусть A = случай, в котором A выходит, a = тот, в котором он остается, и т. д. Тогда посылки следующие: (1) В понедельник и вторник — «по крайней мере трое должны остаться»; (2) В четверг, пятницу и субботу — «никакие трое не могут оставаться вместе»; (3) Во вторник, среду и субботу — «Каждый случай есть ABEF или abef или Bc или bC»; (4) В понедельник и субботу — «Каждый случай есть ace или b или d». Чтобы решить задачу, мы должны объединить возможности для каждого дня, затем исключить D, E и F и найти, каким образом движения A и B определяют движения C. (i) В понедельник — мы имеем «Каждый случай есть ace или b или d», объединенный с условием, что по крайней мере трое должны остаться. Один альтернатор, следовательно, есть def без дальнейшего условия, и отсюда следует, что мы не можем определить никакого независимого отношения между A, B и C. Следовательно, в понедельник C может делать, что хочет. (ii) Во вторник — мы имеем «Каждый случай есть ABEF или abef или Bc или bC», объединенный с условием, что по крайней мере трое должны остаться. Следовательно, «Каждый случай есть abef или Bc или bC»; 519 и исключая D, E и F, «Каждый случай есть ab или Bc или bC».

519 Два альтернатора Bc и bC могли бы здесь быть сделаны более определенными, таким образом: aBcd или aBce или aBcf или Bcde или Bcdf или Bcef и abCd или abCe или abCf или bCde или bCdf или bCef. Но поскольку мы знаем, что мы собираемся немедленно исключить d, e и f, очевидно, даже без их полной записи, что эти более определенные выражения снова сведутся просто к Bc и bC.

521 Отсюда следует, что во вторник (α) если A выходит, пока B остается, C должен выйти, и (β) если B выходит, C должен остаться. (iii) В среду — «Каждый случай есть ABEF или abef или Bc или bC»; или, исключая D, E и F, «Каждый случай есть AB или ab или Bc или bC». Следовательно, «Всякое Ab есть C» и «Всякое aB есть c». Следовательно, в среду (α) если A выходит, пока B остается, C должен выйти, и (β) если A остается, пока B выходит, C должен остаться. (iv) В четверг и пятницу — единственное условие состоит в том, что никакие трое не могут оставаться вместе. Следовательно, в четверг и пятницу, если A и B оба остаются, C должен выйти. (v) В субботу — «Каждый случай есть ABEF или abef или Bc или bC»; также «Каждый случай есть ace или b или d». Объединяя эти посылки, «Каждый случай есть ABdEF или abef или aBce или Bcd или bC». Но у нас есть дальнейшее условие, что никакие трое не могут оставаться вместе. Следовательно, «Каждый случай есть ABdEF или ABcdEF или AbCDE или AbCDF или AbCEF или bCDEF». Следовательно, исключая D, E и F, «Каждый случай есть AB или bC». Следовательно, в субботу, если B остается, C должен выйти.

511. Дано (1) «Всякое P есть QR», (2) «Всякое p есть qr»; показать, что (3) «Всякое Q есть PR», (4) «Всякое R есть PQ». [K.]

512. Исключить R из суждений «Всякое R есть P или pq», «Всякое q есть Pr или R», «Всякое qR есть P». [K.]

513. Показать эквивалентность между следующими наборами суждений:— (1) «a есть BC»; «b есть AC»; «C есть Ab или aB»; (2) «a есть BC»; «B есть Ac или aC»; «c есть AB»; (3) «A есть Bc или bC»; «b есть AC»; «c есть AB». [K.]

514. Указать при осмотре, с приведением доводов, какие из следующих суждений дают информацию относительно A, aB, b, bCd соответственно: «Всякое Ab есть bCd или c»; «Всякое bd есть A или bC или abc»; «Все, что есть a или B, есть c или D»; «Все, что есть Ab или bc, есть bD или cD или e»; «Все есть A или ab или Bc или Cd». [K.]

515. Определить условия, при которых частное суждение дает информацию относительно любого данного термина. [K.]

516. О некоторых вещах известно, что качество A всегда сопровождается C и D, но никогда B; и далее, что качества C и D никогда не встречаются вместе, кроме как в сочетании с A. Что мы можем заключить о C? [M.]

522 517. Дано, что все, что есть Q, но не S, есть либо и P, и R, либо ни P, ни R, и что ни R, ни S не есть и P, и Q, показать, что ни одно P не есть Q. [K.]

518. Где присутствует C, там присутствуют все A, B и D; где присутствует D, там A, B и C либо все трое присутствуют, либо все трое отсутствуют. Показать, что когда присутствует либо A, либо B, C и D либо оба присутствуют, либо оба отсутствуют. Какая часть данной информации является излишней в том, что касается желаемого вывода? [K.]

519. Дано (i) «Всякое Pqr есть ST»; (ii) «Q и R всегда присутствуют или отсутствуют вместе»; (iii) «Всякое QRS есть PT или pt»; (iv) «Всякое QRs есть Pt»; (v) «Всякое pqrS есть T»; тогда следует, что (1) «Всякое Pq есть rST»; (2) «Всякое Ps есть QRt»; (3) «Всякое pQ есть RSt»; (4) «Всякое pT есть qr»; (5) «Всякое Qs есть PRt»; (6) «Всякое QT есть PRS»; (7) «Всякое qS есть rT»; (8) «Всякое qs есть pr»; (9) «Всякое qt есть prs»; (10) «Всякое sT есть pqr». [K.]

520. Что можно определить о P в терминах Q и R из посылок «Всякое P есть Q или X», «Некоторое P не есть RX»? [K.]

521. Дано, что все честные люди счастливы и что все нечестные люди неразумны; и предполагая, что честный и нечестный, счастливый и несчастный, мудрый и неразумный являются парами логических противоречий; что можно вывести о людях, которые счастливы, несчастны, мудры, неразумны соответственно? [K.]

522. Если нерадивость и бедность неразделимы, а добродетель и страдание несовместимы, и если бережливость есть добродетель, можно ли доказать существование какой-либо связи между страданием и бедностью? Если, более того, все нерадивые люди либо добродетельны, либо не страдают, что из этого следует? [V.]

523. На некотором экзамене все кандидаты, записавшиеся на латынь, были также записаны либо на греческий, либо на французский, либо на немецкий, но не более чем на один из этих языков; все кандидаты, не записавшиеся на немецкий, были записаны по крайней мере на два из других языков; ни один кандидат, записавшийся и на греческий, и на французский, не был записан на немецкий, но все кандидаты, не записавшиеся ни на греческий, ни на французский, были записаны на латынь. Показать, что все кандидаты были записаны на два из четырех языков, но никто не был записан более чем на два. [K.]

524. (1) Где бы ни был дым, там есть также огонь или свет; (2) Где бы ни был свет и дым, там есть также огонь; (3) Нет огня без дыма или света.

523 Учитывая истинность вышеприведенных суждений, что вы можете вывести относительно (i) обстоятельств, где есть дым; (ii) обстоятельств, где нет дыма; (iii) обстоятельств, где нет света? [W.]

525. На некотором складе, когда предлагаемые товары антикварные, они дорогостоящие и в то же время либо красивые, либо гротескные, но не то и другое вместе. Когда они одновременно современные и гротескные, они не являются ни красивыми, ни дорогостоящими. Все, что не является красивым, предлагается по низкой цене, и ничто дешевое не является красивым. Что мы можем утверждать (1) об антикварных и (2) о гротескных товарах? [M.]

526. Показать, что следующие наборы суждений эквивалентны друг другу:— (1) «Всякое a есть b или c»; «Всякое b есть aCd»; «Всякое c есть aB»; «Всякое D есть c». (2) «Всякое A есть BC»; «Всякое b есть aC»; «Всякое C есть ABd или abd». (3) «Всякое A есть B»; «Всякое B есть A или c»; «Всякое c есть aB»; «Всякое D есть c». (4) «Всякое b есть aC»; «Всякое A есть C»; «Всякое C есть d»; «Всякое aC есть b». (5) «Всякое c есть aB»; «Всякое D есть aB»; «Всякое A есть B»; «Всякое aB есть c». (6) «Всякое A есть BC»; «Всякое BC есть A»; «Всякое D есть Bc»; «Всякое b есть C». [K.]

527. Показать, что определенный набор из четырех свойств должен где-то встречаться вместе, если известны следующие факты: «Все, что обладает первым свойством или лишено последнего, обладает двумя другими; и если все, что обладает и первым, и последним, обладает одним или другим, но не обоими из двух других, то нечто, обладающее первыми двумя, должно быть лишено последних двух». [J.]

528. Даны суждения: (i) все материальные блага являются внешними; (ii) никакие внутренние (= не внешние) блага не являются отчуждаемыми; (iii) все отчуждаемые блага являются присваиваемыми; (iv) никакие коллективные блага не являются присваиваемыми или нематериальными (= не материальными); что мы можем вывести о (a) присваиваемых благах, (b) нематериальных благах? [J.]

529. Исключить X и Y из следующих суждений: «Всякое aX есть BcY или bcy»; «Ни одно AX не есть BY»; «Всякое AB есть Y»; «Ни одно ABCD не есть xY». Показать также, что из этих суждений следует, что «Всякое XY есть Ab или aBc». [K.]

530. Дано (1) «Всякое A есть Bc или bC», (2) «Всякое B есть DE или de», (3) «Всякое C есть De»; показать, что (i) «Всякое A есть BcDE или Bcde или bCDe», (ii) «Всякое BcD есть E», (iii) «Всякое abd есть c», (iv) «Всякое cd есть ab или Be», (v) «Всякое bCD есть e». [Джевонс, «Чистая логика», § 160.]

524 531. Дано (1) «Всякое aB есть c или D», (2) «Всякое BE есть DF или cdF», (3) «Всякое C есть aB или BE или D», (4) «Всякое bD есть e или F», (5) «Всякое bf есть a или C или DE», (6) «Всякое bcdE есть Af или aF», (7) «Всякое A есть B или CDEf или cDf или cdE»; показать, что (i) «Всякое A есть B», (ii) «Всякое C есть D», (iii) «Всякое E есть F». [K.]

532. Показать эквивалентность между двумя следующими наборами суждений:

(1) |    All A is BC or BE or CE or D ;
|    All B is ACDE or ACde or cdE ;
|    All C is AB or AE or aD ;
|    All D is ABCE or Ace or aC ;
|    All E is AC or aCB or Bc.
(2) |    All a is BcdE or bcde or bD ;
|    All b is a or ce or dE ;
|    All c is AbDe or abde or BdE ;
|    All d is abce or BcE or Be or bE ;
|    All e is ab or bc or d.

[K.]

533. Дано

 (1) | All bc is DE or Df or hk,
 (2) | All C is aB or DEFG or BFH,
 (3) | All Bcd is eL or hk,
 (4) | All Acf is d,
 (5) | All k is BC or Cd or Cf or H,
 (6) | All ABCDEFG is H or K,
 (7) | All DEFGH is B,
 (8) | All ABl is f or h,
 (9) | All ADFKl is H,
(10) | All ADEFH is B or C or G or L ;

показать, что «Всякое A есть L». [K.]

ГЛАВА VI.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА.

534. Природа обратной задачи. — Под обратной задачей здесь понимается некоторая задача, так названная Джевонсом. Ее природа будет указана следующими выдержками, которые взяты из «Принципов науки» и «Исследований по дедуктивной логике» соответственно.

«В косвенном процессе вывода мы обнаружили, что из определенных суждений мы можем безошибочно определить комбинации терминов, согласующиеся с этими посылками. Индуктивная задача — это как раз обратная. Имея данные комбинации терминов, нам нужно установить суждения, с которыми они согласуются и из которых они могли произойти. Теперь, если читатель рассмотрит следующие комбинации,—

ABC |  | abC
aBC |  | abc,

он, вероятно, сразу вспомнит, что они принадлежат посылкам A = AB, B = BC. Если нет, ему потребуется несколько попыток, прежде чем он найдет правильный ответ, и каждая попытка будет состоять в допущении определенных законов и наблюдении, согласуются ли выведенные результаты с данными. Чтобы проверить легкость, с которой он может решить эту индуктивную задачу, пусть он случайно вычеркнет любую из возможных комбинаций, включающих три термина, и скажет, каким законам подчиняются оставшиеся комбинации. Пусть он скажет, например, какие законы воплощены в комбинациях,—

ABC |  | aBC
Abc |  | abC,

«Трудность становится намного больше, когда в комбинации входит больше терминов. Было бы нелегко указать полные условия, выполненные в комбинациях,—

ACe

aBCe

aBcdE

abCe

abcE.

После некоторых усилий читатель может обнаружить, что основные законы — это C = e и A = Ae; но он вряд ли обнаружит оставшийся закон, а именно, что BD = BDe» («Принципы науки», 1-е изд., том I, стр. 144; 2-е изд., стр. 125).

«Обратная задача всегда является пробной и состоит в изобретении законов и попытке проверить, согласуются ли их результаты с теми, что перед нами» («Исследования по дедуктивной логике», стр. 252).

Задачу предпочтительнее сформулировать следующим образом:— Дано сложное суждение вида

«Все есть P1P2… или Q1Q2… или …»,

найти набор суждений, не включающий никакой альтернативной комбинации терминов, которые вместе были бы эквивалентны ему. 520

520 Задачу можно также сформулировать следующим образом:— Дано общеутвердительное сложное суждение, содержащее альтернативные термины, найти эквивалентное сложное конъюнктивное суждение, все детерминанты которого являются утвердительными и свободными от альтернативных терминов.

Можно заметить, что Джевонс не исключает определенно альтернативные термины в своих решениях обратных задач, хотя он обычно стремится их избегать. Задача, однако, не может быть определена с точностью, если такие термины явно не исключены.

Обратная задача в некотором смысле неопределенна, ибо мы можем найти ряд наборов суждений, не включающих никакой альтернативной комбинации терминов, которые точно эквивалентны по логической силе, и, следовательно, любая обратная задача может допускать ряд решений. Но нет необходимости прибегать к ряду догадок, чтобы решить любую обратную задачу, равно как и метод решения не нужно описывать как полностью пробный. Несколько систематических методов решения, применимых к любой обратной задаче, сформулированы в следующих разделах. Поскольку, однако, возможны более чем одно решение, некоторые из которых проще других, процесс можно рассматривать как более или менее пробный в той мере, в какой мы стремимся получить наиболее удовлетворительное решение.

Следующее может быть принято в качестве нашего критерия простоты. Сравнивая два эквивалентных набора суждений, не включающих никакой 527 альтернативной комбинации терминов, тот набор можно считать более простым, который содержит меньшее число суждений. Если каждый набор содержит одинаковое число суждений, тогда мы можем подсчитать число терминов, участвующих в их субъектах и предикатах вместе взятых, и считать более простым тот, который включает меньше терминов.

535. Общее решение обратной задачи. — Предположим, таким образом, что нам дано сложное суждение, включающее альтернативную комбинацию, и что мы должны найти набор суждений, не включающий альтернативную комбинацию, которые вместе были бы эквивалентны ему.

Данные могут быть записаны в форме

«Все есть P или Q или S или T или и т. д.»,

где P, Q и т. д. сами являются сложными терминами, включающими конъюнктивную, но не альтернативную комбинацию. 521

521 Суждение в своей первоначальной форме может допускать упрощение в соответствии с правилами, изложенными в главе 1. Как правило, будет выгодно прибегнуть к такому упрощению, прежде чем продолжать решение.

Путем контрапозиции один или несколько из этих сложных терминов могут быть перенесены из предиката в субъект, так что мы имеем

«Все, что не есть либо P, либо S, либо и т. д., есть Q или T или и т. д.»

Выбор определенных терминов для транспозиции таким способом является произвольным (и именно здесь становится очевидной неопределенность задачи); но обычно будет найдено лучшим взять два или три, которые имеют как можно больше общих детерминантов.

«Все, что не есть либо P, либо S, либо и т. д., есть Q или T или и т. д.»

будет, когда субъект записан в утвердительной форме, немедленно разрешимо в серию суждений, которые вместе дают всю информацию, первоначально данную. 522 Любые из этих суждений, которые все еще включают альтернативную комбинацию, могут быть обработаны таким же образом, пока не останется никакой альтернативной комбинации.

522 См. раздел 446.

Теперь мы останемся с набором суждений, которые удовлетворят требуемым условиям. Возможность различных упрощений, однако, должна быть рассмотрена. Таким образом, будет необходимо убедиться, что каждое из суждений само выражено в своей простейшей форме; 523 и наблюдать, допускают ли какие-либо два или более суждений простое рекомбинирование. 524 Может также оказаться, что некоторые из суждений могут быть полностью опущены, поскольку они ничего не добавляют к информации, совместно предоставляемой остальными; или что, рассматриваемые в их отношении к оставшимся суждениям, они могут, во всяком случае, быть упрощены путем опускания одного или нескольких терминов, которые они содержат. 525 Когда эти упрощения были доведены до предела, мы будем иметь наше окончательное решение. 526

523 Например, «Всякое AB есть BC» может быть сведено к «Всякое AB есть C».

524 Например, «Всякое ac есть d» и «Всякое Bc есть d» могут быть объединены в «Всякое cD есть Ab».

525 Таким образом, вместо суждений «Всякое AB есть CD» и «Всякое Ab есть C» мы можем подставить суждения «Всякое AB есть D» и «Всякое A есть C».

526 Можно заметить, что не является частью нашей цели получение набора суждений, которые были бы взаимно независимыми. На самом деле, обычно будет обнаружено, что максимальное упрощение включает повторение некоторых элементов информации. Таким образом, в примере, приведенном в предыдущем примечании, суждения «Всякое AB есть CD» и «Всякое Ab есть C» совершенно независимы друг от друга; но суждение «Всякое A есть C» делает излишней часть информации, данной суждением «Всякое AB есть D».

Решение может, если мы пожелаем, быть проверено путем рекомбинирования в единое сложное суждение полученных суждений — операция, с помощью которой мы снова придем к серии альтернаторов, по существу идентичных тем, что были первоначально даны нам. Такая проверка, однако, не является существенной для обоснованности нашего процесса, который, если он был выполнен правильно, не содержит никакого возможного источника ошибки.

Следующие примеры послужат иллюстрацией вышеуказанного метода.

I. Для нашего первого примера мы можем взять один из тех, что выбрал Джевонс в выдержке, процитированной в предыдущем разделе.

Дано суждение: «Все есть либо ABC, либо Abc, либо aBC, либо abC», мы должны найти набор суждений, не включающий альтернативную комбинацию, которые были бы эквивалентны ему. Путем сведения «aBC или abC» к «aC», с последующей контрапозицией, мы имеем: «Все, что не есть ни ABC, ни Abc, есть aC»; следовательно, «Все, что есть a или Bc или bC, есть aC»; и это может быть разрешено в три суждения:—

⎧ | All a is C,
⎨ | Bc is non-existent,
⎩ | All bC is a.

«Bc не существует» сводится к «Всякое B есть C»; и это суждение и «Всякое a есть C» могут быть объединены в «Всякое c есть Ab».

529 Следовательно, мы имеем для нашего решения два суждения:—

⎰ | All c is Ab,
⎱ | All bC is a.

Будет обнаружено, что путем рекомбинирования этих суждений мы восстанавливаем исходное суждение.

II. Мы можем далее взять более сложный пример, содержащийся в той же выдержке из Джевонса.

Данные альтернаторы: ACe, aBCe, aBcdE, abCe, abcE; и путем сведения двойных терминов они становятся aBcdE, abcE, Ce. Следовательно, «Все, что не есть aBcdE или abcE, есть Ce»; и это суждение может быть разрешено в четыре суждения:—

⎧ ⎨ ⎩ | All A is Ce ; | (1)
All BD is Ce ; | (2)
All C is e ; | (3)
All e is C. | (4)

Но поскольку согласно (3) «Всякое C есть e», (1) может быть сведено к «Всякое A есть C»; и это суждение может быть объединено с (4), давая «Всякое c есть aE». Также согласно (3), (2) может быть сведено к «Всякое BD есть C».

Следовательно, наше решение становится

⎧ | All BD is C,
⎨ | All C is e,
⎩ | All c is aE.

Это решение может быть показано как эквивалентное решению, данному самим Джевонсом.

III. Следующая задача взята из Джевонса, «Принципы науки», 2-е изд., стр. 127 (Задача v).

Данные альтернаторы: ABCD, ABCd, ABcd, AbCD, AbcD, aBCD, aBcD, aBcd, abCd.

Путем сведения двойных терминов эти альтернаторы могут быть записаны следующим образом: ABC или ABcd или AbD или aBCD или aBc или abCd.

Следовательно, путем контрапозиции: «Все, что не есть ABC или AbD или aBc, есть ABcd или aBCD или abCd».

Но «Все, что не есть ABC или AbD или aBc» эквивалентно «Все, что есть ABc или aBC или ab или bd». Следовательно, мы имеем для нашего решения следующий набор суждений:

(1)  All ABc is d,     | (2)  All aBC is D,
(3)  All ab is Cd,     | (4)  All bd is a.⁵²⁷

Это эквивалентно решению, данному Джевонсом, «Исследования», стр. 256.

527 Мы сначала получаем «Всякое bd есть aC»; но поскольку согласно (3) «Всякое abd есть C», это может быть сведено к «Всякое bd есть a».

530 IV. Следующий пример также взят из Джевонса, «Принципы науки», 2-е издание, стр. 127 (Задача viii). В своих «Исследованиях», стр. 256, он говорит о решении как о неизвестном. Довольно простое решение может, однако, быть получено путем применения общего правила, сформулированного в этом разделе.

Данные альтернаторы: ABCDE, ABCDe, ABCde, ABcde, AbCDE, AbcdE, Abcde, aBCDe, aBCde, aBcDe, abCDe, abCdE, abcDe, abcdE.

Путем сведения двойных терминов эти альтернаторы могут быть записаны: ABCe или ABcde или Abcd или ACDE или aBCde или abdE или aDe.

Следовательно, путем контрапозиции: «Все, что не есть либо ABCe, либо ABcde, либо Abcd, либо abdE, либо aDe, есть ACDE или aBCde».

Но будет обнаружено, что путем применения обычного правила для получения противоречащего данному термину, «Все, что не есть либо ABCe, либо ABcde, либо Abcd, либо abdE, либо aDe, эквивалентно «Все, что есть AbC или ade или BE или AcD или DE».

Следовательно, наше суждение разрешимо в следующие:

  (i) |  All AbC is DE ;
  (ii) |  All ade is BC ;
 (iii) |  All BE is ACD ;
 (iv) |  AcD is non-existent ;
 (v) |  All DE is AC.

Но согласно (v) «Всякое BE есть AC или d»; следовательно, (iii) может быть сведено к «Всякое BE есть D». Далее согласно (iv), «Всякое DE есть a или C»; следовательно, (v) может быть сведено к «Всякое DE есть A».

Следовательно, мы имеем следующее в качестве нашего окончательного решения:—

(1)  All AbC is DE ;

(2)  All ade is BC ;

(3)  All BE is D ;

(4)  All cD is a ;

(5)  All DE is A.

536. Другой метод решения обратной задачи. — Другой метод решения обратной задачи, предложенный мне д-ром Венном, состоит в том, чтобы записать исходное сложное суждение в отрицательной форме, т.е. обвертировать его, прежде чем разрешать его. Уже было показано, что отрицательное суждение с альтернативным предикатом может быть немедленно разбито на набор более простых суждений.

В некоторых случаях, особенно когда число уничтоженных комбинаций по сравнению с теми, что сохранены, мало, этот план легче в применении, чем тот, что дан в предыдущем разделе.

531 Чтобы проиллюстрировать этот метод, мы можем взять два или три из уже обсужденных примеров.

I. «Все есть ABC или Abc или aBC или abC»; следовательно, путем обверсии: «Ничто не есть AbC или ac или Bc»; и это суждение сразу разрешимо в

⎰ | All Ab is c,
⎱ | All c is Ab.⁵²⁸

528 Эквивалентность между этим и нашим прежним решением непосредственно очевидна. Уравнением это было бы записано Ab = c.

II. «Все есть ACe или aBCe или aBcdE или abCe или abcE»; следовательно, путем обверсии: «Ничто не есть Ac или BcD или CE или ce».

Это суждение может быть последовательно разрешено следующим образом:

⎧ | No c is A or e,
⎨ | No E is C,
⎩ | No BD is c.
⎧ | All c is aE,
⎨ | All E is c,
⎩ | All BD is C.

III. «Все есть ABCD или ABCd или ABcd или AbCD или AbcD или aBCD или aBcD или aBcd или abCd»; следовательно, путем обверсии: «Ничто не есть ABcD или Abd или aBCd или abc или abD»; и это суждение может быть последовательно разрешено следующим образом:

⎧ ⎨ ⎩ | No ABc is D ;
No bd is A ;
No aBC is d ;
No ab is c or D.
⎧ ⎨ ⎩ | All ABc is d ;
All bd is a ;
All aBC is D ;
All ab is Cd.

Довольно интересно обнаружить, что, несмотря на неопределенность задачи, мы получаем независимыми методами один и тот же результат в каждом из вышеуказанных случаев.

537. Третий метод решения обратной задачи. — Нижеследующий является третьим независимым методом решения обратной задачи, и он в некоторых случаях легче в применении, чем любой из двух предыдущих методов.

532 Любое суждение вида

«Все есть ……»

может быть разрешено в два суждения:

⎰ | All A is ……
⎱ | All a is ……

которые, взятые вместе, эквивалентны ему; аналогично «Всякое A есть ……» может быть разрешено в два: «Всякое AB есть ……», «Всякое Ab есть ……», и ясно, что путем взятия пар противоречий таким образом мы можем разрешить любое данное сложное суждение в набор суждений, не содержащих альтернативных терминов. Избыточности должны, конечно, как и прежде, по возможности избегаться.

Чтобы проиллюстрировать этот метод, мы можем снова взять первые три примера, приведенные в разделе 535.

I. «Все есть ABC или Abc или aBC или abC» может быть разрешено последовательно следующим образом:

⎰ | All C is AB or aB or ab ;
⎱ | All c is Ab.
⎰ | All bC is a ;⁵²⁹
⎱ | All c is Ab.

529 Принимая BC в качестве нашего субъекта, мы получаем «Всякое BC есть A или a», и, поскольку это чисто формальная пропозиция, она может быть опущена.

II. «Всё есть ACe или aBCe или aBcdE или abCe или abcE» может быть последовательно разрешено следующим образом:

⎰ | All C is Ae or aBe or abe ;
⎱ | All c is aBdE or abE.
⎧ | All C is e ;
⎨ | All c is aE ;
⎩ | All c is Bd or b.
⎧ | All C is e ;
⎨ | All c is aE ;
⎩ | All Bc is d.

III. «Всё есть ABCD или ABCd или ABcd или AbCD или AbcD или aBCD или aBcD или aBcd или abCd» может быть последовательно разрешено следующим образом:

⎰ | All B is ACD or ACd or Acd or aCD or acD or acd ;
⎱ | All b is ACD or AcD or aCd.

⎰ | All B is AC or aD or cd ;
⎱ | All b is AD or aCd.  533

⎧ ⎨ ⎩ | All BC is A or aD ;
All Bc is aD or d ;
All Ab is D ;
All ab is Cd.
⎧ ⎨ ⎩ | All BCd is A ;
All ABc is d ;
All Ab is D ;
All ab is Cd.

Вышеприведенные решения практически идентичны тем, что были получены в двух предыдущих разделах.

538. Нотация г-на Джонсона для решения логических задач. — В своих статьях о «Логическом исчислении» г-н Джонсон предлагает нотацию, с помощью которой может быть облегчено решение обратных задач. Она заключается в представлении конъюнктивного сочетания посредством горизонтального соположения, а альтернативного сочетания — посредством вертикального соположения. Черта, проведенная горизонтально или вертикально, служит при необходимости в качестве скобки. Таким образом, [изображение] представляет AB или CD; [изображение] представляет (A или C) и (B или D). Эти две формы, конечно, не эквивалентны друг другу. Но если противоречащие члены помещены в пару диагонально противоположных углов, то сочетание остается тем же, как бы мы его ни читали. Таким образом, [изображение] представляет AB или aC; [изображение] представляет (A или C) и (a или B). Но они эквивалентны друг другу; ибо (A или C) и (a или B) эквивалентно AB или aC или BC, и — поскольку BC путем развертывания есть ABC или aBC — это эквивалентно AB или aC. Г-н Джонсон продолжает следующим образом: «Приняв план размещения последовательных буквенных символов в противоположных углах, мы можем решать обратную задачу с удивительной легкостью. Метод решения тесно напоминает третий из методов, принятых д-ром Кейнсом, и именно он навел меня на мой. Поэтому я проиллюстрирую его, взяв три примера д-ра Кейнса, которые являются следующими:—Johnson's notation for AB or CDfor A or CJohnson notationJohnson notation

534 Здесь столбцы или детерминанты могут быть прочитаны следующим образом:—

(C или Ab) и (B или a или c) = (Если c, то Ab) и (Если AC, то B).

Это читается так: (Если c, то aE) и (Если BD, то C) и (Если C, то e).

То есть: (Если ab, то Cd) и (Если bd, то a) и (Если ABD, то C) и (Если BCd, то A). В этой последней задаче мы сначала помещаем B и b напротив; затем для альтернант B мы помещаем C и c напротив, а для альтернант b — A и a. Чтобы получить простейший результат, нам следует стремиться к разделению столбцов на как можно более равные части.

Таким образом объясненная нотация позволяет нам решать любые задачи простым способом. Выражение в своей окончательной форме может быть прочитано одинаково хорошо как по столбцам, так и по строкам, т.е. как детерминативный или как альтернативный синтез. Конечно, точно такой же процесс может быть использован, если мы начнем с детерминативно заданных или смешанных данных» (Mind, 1892, стр. 351).

539. Обратная задача и закон взаимных эквивалентностей Шрёдера. — Обратная задача также может быть решена, хотя и несколько трудоемко, с помощью отношения взаимности между законами дистрибутивности, приведенными в разделе 428, причем это отношение взаимности зависит от закона, согласно которому каждой эквивалентности соответствует другая эквивалентность, в которой конъюнктивное сочетание повсеместно заменено альтернативным сочетанием и наоборот. Таким образом, согласно первому закону дистрибутивности, (A или B) и (C или D) = AC или AD или BC или BD, и отсюда следует соответствующая эквивалентность AB или CD = (A или C) и (A или D) и (B или C) и (B или D). Таким образом, любая обратная задача может быть практически сведена к более знакомой задаче конъюнктивного сочетания ряда альтернативных терминов.

530 Следует заметить, что обратная задача предполагает преобразование логического выражения, состоящего из ряда альтернант, в эквивалентное выражение, состоящее из ряда детерминант. Закон взаимности Шрёдера показывает, что процесс, требуемый для этого преобразования, практически тот же самый, что и тот, посредством которого выражение, состоящее из ряда детерминант, преобразуется в эквивалентное выражение, состоящее из ряда альтернант.

Взяв в качестве примера первую задачу, приведенную в разделе 535, мы можем поступить следующим образом: (A или B или C) и (A или b или c) и (a или B или C) и (a или b или C) = (A или Bc или bC) и (a или C) = AC или aBc или bC. Следовательно, мы имеем соответствующую эквивалентность ABC или Abc или aBC или abC = (A или C) и (a или B или c) и (b или C). Отсюда пропозиция «Всё есть ABC или Abc или aBC или abC» может быть разрешена в три пропозиции: «Всё есть A или C», «Всё есть a или B или c», «Всё есть b или C»; и мы имеем для нашего решения обратной задачи: «Всякое c есть A», «Всякое bC есть a», «Всякое c есть b»; или, объединяя первую и последнюю из этих пропозиций, «Всякое c есть Ab», «Всякое bC есть a».

Аналогично, вторая задача в разделе 535 может быть решена следующим образом:— (A или C или e) (a или B или C или e) (a или B или c или d или E) (a или b или C или e) (a или b или c или E) = aC или bCd или CE или ce. Отсюда соответствующая эквивалентность ACe или aBCe или aBcdE или abCe или abcE = (a или C) (b или C или d) (C или E) (c или e); и мы имеем для нашего решения обратной задачи: «Всякое A есть C», «Всякое BD есть C», «Всякое c есть E», «Всякое C есть e»; или, объединяя первую и третью из этих пропозиций, «Всякое c есть aE», «Всякое BD есть C», «Всякое C есть e».

УПРАЖНЕНИЯ.

540. Найти пропозиции, которые оставляют только следующие сочетания: ABCD, ABcD, AbCd, aBCd, abcd. [Джевонс, Studies, стр. 254.]

Джевонс приводит это как самую трудную из своей серии обратных задач, включающих четыре термина. Она может быть решена следующим образом:— «Всё есть ABCD или ABcD или AbCd или aBCd или abcd»; следовательно, путем контрапозиции и сведения дуальных терминов, «Всё, что не есть ни AbCd, ни aBCd, есть ABD или abcd». Поэтому «Всё, что есть AB или ab или c или D, есть ABD или abcd»; и это разрешимо в четыре следующие пропозиции:

⎧ ⎨ ⎩ | All AB is D,   (1)

All ab is cd,   (2)

All c is ABD or abd,   (3)

All D is AB.   (4)

Поскольку согласно (4) «Всякое D есть AB», а согласно (2) «Всякое ab есть d», (3) может быть сведено к «Всякое c есть D или ab», и, следовательно, к «Всякое cd есть ab». Также согласно (4) «Всякое ab есть d», и отсюда (2) может быть сведено к «Всякое ab есть c».

Наш набор пропозиций может быть, следовательно, выражен следующим образом:—

⎧ ⎨ ⎩ | All AB is D,

All ab is c,

All cd is ab,

All D is AB.⁵³¹

531 Восстанавливая вторую из этих пропозиций к форме «Всякое ab есть cd» и записывая пропозиции в форме уравнений, решение может быть выражено в еще более простой форме, а именно: AB = D, ab = cd.

541. Разрешить пропозицию «Всё есть ABCDeF или ABcDEf или AbCDEF или AbCDeF или AbcDeF или aBCDEf или aBcDEf или abCDeF или abCdeF или abcDef или abcdef» в конъюнкцию относительно простых пропозиций.

[Джевонс, Principles of Science, 2-е изд., стр. 127 (Задача x.)]

Ниже приводится решение:—

(1) All A is D ;

(2) All ABC is e ;

(3) All aF is bCe ;

(4) All Bf is DE ;

(5) All bf is ace ;

(6) All cF is be.

Это несколько менее сложно, чем решение д-ра Джона Хопкинсона, приведенное в книге Джевонса Studies in Deductive Logic, стр. 256, а именно:—

(i)  | All d is ab ;
(ii)  | All b is AF or ae ;
(iii)  | All Af is BcDE ;
(iv)  | All E is Bf or AbCDF ;
(v)  | All Be is ACDF ;
(vi)  | All abc is ef ;
(vii)  | All abef is c.

542. Сколько и какие недизъюнктивные пропозиции эквивалентны утверждению, что «То, что есть либо Ab, либо bC, есть Cd или cD, и наоборот»? [Джевонс, Studies, стр. 246.]

Данное утверждение сразу разрешимо в четыре следующие пропозиции:

| ⎧ ⎨ ⎩ | All Ab is Cd or cD, |  (i)
| All bC is Cd or cD, |  (ii)
| All Cd is Ab or bC, |  (iii)
| All cD is Ab or bC. |  (iv)
(i) may be resolved into | ⎰ | All Abc is D, |  (v)
⎱ | All AbD is c. |  (vi)

Но (vi) выводимо из (ii); и, наблюдая некоторые другие очевидные упрощения, мы получаем непосредственно следующее решение:

(1) All Abc is D ;

(2) All bC is d ;

(3) All Cd is b ;

(4) All cD is Ab.

543. Показать эквивалентность между двумя наборами пропозиций, приведенными в разделе 541. [К.]

544. Найти, какие из следующих пропозиций могут быть опущены без влияния на информацию, данную пропозициями в целом: «Всякое Ab есть cDE»; «Всякое Ac есть bDE»; «Всякое Ad есть BCe»; «Всякое Ae есть BCd»; «Никакое aE не есть B или C»; «Никакое B не есть c»; «Всякое Bd есть ACe»; «Никакое bD не есть C или e»; «Никакое bE не есть Ad или C»; «Всякое C есть B»; «Всякое Cd есть ABe»; «Всякое cD есть bE»; «Всякое cE есть AbD или ab»; «Всякое de есть ABC или abc». [К.]

545. Разрешить каждую из следующих сложных пропозиций в конъюнкцию пропозиций, не содержащих никакого альтернативного сочетания терминов:

(1) «Всё есть ABCD или AbCd или aBcD или abcd»; (2) «Всё есть AbCD или AbCd или Abcd или aBcd или abCD или abCd или abcd»; (3) «Всё есть AbcDE или aBCd или aBCE или aBcd или aBde или abCe или abce или abDe или abde или BcdE или bCDe»; (4) «Всё есть ABCE или ABcd или ABcE или ABde или Abcd или abCE или abcE или abdE или abde или BCde»; (5) «Всё есть ABCDE или ABCdE или ABcDE или ABcDe или ABcde или AbCdE или Abcde или aBCDE или aBCde или abCDE или abcDe»; (6) «Всё есть ABDe или ABDF или AcDe или Acef или aBDe или aBDF или abCD или abCd или abcD или abcd или aCDE или aCDe или aCdE или aCde или acDe или aDEF или aDEf или aDeF или aDef или BcDF или bceF или bcef»; (7) «Всё есть AbdE или Abef или AbF или Acdef или aBDF или abCF или aCdE или ade или bCDe или bCdf или bDEF»; (8) «Всё есть ABCEf или Abe или aBCdf или aBcdE или aBcdeF или abef или bceF». [К.]

546. Выразить следующую пропозицию в как можно меньшем числе пропозиций, в которых не встречается альтернативное сочетание терминов: «Всё есть ABCDe или ABCdE или ABcDe или AbCdE или AbCde или aBCdE или aBcDE или aBcde или aBcdE или abCde или abCdE». [Дж.]

547. Решить четвертую задачу, приведенную в разделе 535, (α) методом, описанным в разделе 536, (β) методом, описанным в разделе 537. [К.]

548. Решить задачу, приведенную в разделе 540, а также четвертую задачу, приведенную в разделе 535, с помощью нотации, описанной в разделе 538. [К.]

549. Решить третью и четвертую задачи, приведенные в разделе 535, методом, описанным в разделе 539. [К.]

550. Показать, что любая универсальная сложная пропозиция может быть разрешена в набор пропозиций, в которых не встречается конъюнктивное сочетание терминов. [К.]

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.

Abscissio infiniti, 316.

Absolute Name, 63.

Absorption, Laws of, 475.

Abstract Names, 16–19; can the distinction between generals and singulars be applied to them, 19–21.

Accidental Proposition, 49.

Acquired Perceptions, 414.

Added Determinants, Immediate Inference by, 148, 9.

Addition, sign of, in symbolic logic, 468 n.

Aequipollence, 133 n.

Affirmative Proposition, 92.

Aldrich, 109 n. ; 322 n.

All, as a sign of quantity, 97–100.

Alternant, 277; 468; 479.

Alternative Combination of Terms, 468, 9; of Propositions, 479.

Альтернативные суждения и пропозиции, 84, 275; два типа, 276, 7; их значимость, 277–82; их сведение к форме условных или гипотетических, 282–4.

Alternative Syllogisms, 359–62.

Alternative Terms, 276; 468.

Ambiguous Middle, 288.

Ambiguous Term, Fallacy of, 288.

Ampliative Proposition, 49.

Analytic Propositions, 50–2; nature of the analysis involved in them, 53–6.

And, its logical signification, 469.

Antecedent, 250.

Antilogism, 332; 334; 335; 336 n.

Apodeictic Judgments and Propositions, 86–91; 98–100. See also Modal Propositions.

Argument à fortiori, 384–6; 467.

Aristotelian doctrine of Modals, 85, 6.

Aristotelian Sorites, 370–3.

Aristotle, 130; 329; 367; 396.

Assertoric Judgments and Propositions, 86–91; scheme of assertoric and modal propositions, 282.

Attributive Term, 180.

Bailey, S., 337 n. ; 427 n.

Бэйн А., об общих и единичных именах, 12, 14 n.; о коннотации, 26 n.; о вербальных пропозициях, 50 n.; об определении, 55, 126 n.; о конверсии, 131 n.; об обверсии, 133 n.; о силлогизмах с двумя единичными посылками, 298, 9; о смешанном гипотетическом силлогизме, 354, 5, 426 n., 442, 457 n.

Barbara, Celarent, &c., 319–22.

Baynes, T. S., 96; 129 n. ; on the quantification of the predicate, 196, 199.

Benecke, E. C., 25; 44.

Bentham, Jeremy, 445.

Boethius, 134 n., 134 n.2.

Буль, «Законы мышления», 192, 210 n., 299 n., 453, 456, 470 n., 473 n., 475 n., 476 n., 506, 508, 510 n., 512, 13, 515, 16.

Бозанкет Б., о частях логики, 8; о логическом значении и психической идее, 28; о языке, 29; о частях в интенсии, 36 n.; о коннотации собственных имен, 45 n., 46 n.; об отсылке к времени в суждениях, 77; его классификация суждений, 80; о частной пропозиции, 101; о природе значимого отрицания, 122–4, 259 n.; о взаимном характере условных и гипотетических, 270–3; о значимости дизъюнктивных, 280, 283; о конверсии, 422, 451 n.

Bowen, F., 133 n. ; 201; 328.

Bradley, F. H., 53, 4; 211 n. ; 451; 462 n.

Categorical Propositions, 82; see also Propositions.

Категорический силлогизм, см. Силлогизм.

Change of Relation, Inference by, 148; 260, 1.

Clarke, R. F., 102 n. ; 106 n. ; 443; 445.

Class mode of interpreting propositions, 181–4. 540

Classification, 447.

Co-division, 443.

Collective Names, 14, 15.

Collective use of names, 15, 16; of the word all, 97, 8.

Combination of Complex Propositions, 498–501

Commutativeness, Law of, 470 n.

Complementary Names, 62.

Complementary Propositions, 132; 143, 4; 161.

Complex Conception, Immediate Inference by, 149.

Complex Constructive Dilemma, 364.

Complex Destructive Dilemma, 364.

Сложные пропозиции, 478; их оппозиция, 478; их упрощение, 481–3; разрешение в эквивалентные составные пропозиции, 483–5; опущение терминов, 485; введение терминов, 485, 6; интерпретация аномальных форм, 486, 7; их обверсия, 488, 9; их конверсия, 489, 90; их контрапозиция, 490–3; их сочетание, 498–502; выводы из их сочетания, 504–8; элиминация из сложных пропозиций, 508–12.

Сложные термины, 468–477; порядок их сочетания, 469, 70; их оппозиция, 470–2; их упрощение, 472–6; сводка формальных эквивалентностей, 476.

Composition, Fallacy of, 16 n.

Составные суждения и пропозиции, 82–4; их модальность, 90, 1, 478–80; их оппозиция, 480; их формальные эквивалентности, 480, 1.

Компрэгенсия (содержание понятия), 26, 7, 30, 31–3; закон вариации с экспликацией, 37; отношение к денотации, 38, 9; чтение пропозиций в компрэгенсии, 187, 8.

Concept, not the logical unit, 9.

Concepts, empirical, metaphysical, and logical, 27, 8.

Concepts and names, 10.

Conceptualist treatment of Logic, 4, 5; 10, 11; 66–8.

Concrete Names, 16–19.

Условные пропозиции, отличаемые от гипотетических пропозиций, 249–52; их значимость, 252–6; их отношение к категорическим, 253–6; их оппозиция, 256–8; непосредственные выводы из них, 259–61; их предполагаемый взаимный характер, 270–3.

Conditional Syllogisms, 348–51.

Conjunctive combination of terms, 468; of propositions, 478, 9.

Conjunctive Judgments and Propositions, 83.

Conjunctive Terms, 468.

Коннотация, 24–7; отличаемая от этимологии, 28; насколько вариативна, 28, 9, 31–3; закон вариации с денотацией, 37.

Connotative mode of interpreting propositions, 184–6.

Connotative Names, 40–7.

Consequent, 250.

Constructive Dilemma, 363, 4.

Constructive Hypothetical Syllogism, 352.

Contingent Judgments, 85.

Continuous Questioning, Fallacy of, 372 n.

Contra-complementary Propositions, 132; 143, 4; 161.

Contradiction, Law of, 147; 454–8; 474.

Contradiction in terms, 53 n.

Contradictory Opposition, 109; 111–14; 119; 121; how affected by the existential import of propositions, 227–32.

Противоречащие пропозиции, см. Противоречащая оппозиция.

Contradictory Terms, 61, 2; 470, 1.

Контрапозиция пропозиций, 134–7; попытки свести контрапозицию к силлогистической форме, 151–3; иллюстрируется диаграммами Эйлера, 161; как затрагивается экзистенциальной значимостью пропозиций, 223–7; условных, 259, 60; гипотетических, 268–70; является ли контрапозиция процессом вывода, 422, 3; сложных пропозиций, 490–3.

Contraposition per accidens, 136.

Контрапозитив, см. Контрапозиция.

Contrary Opposition, 119; 114, 5; 118; how affected by the existential import of propositions, 227–32.

Противные пропозиции, см. Противная оппозиция.

Contrary Terms, 62, 3.

Contraversion, 133 n. ; 134 n.

Conventional Intension, 23; 26, 7.

Converse, 127.

Converse Relation, Immediate Inference by, 149–51.

Конверсия путем контрапозиции, см. Контрапозиция.

Conversion by Limitation, 129.

Conversion by Negation, 134 n.

Конверсия пропозиций, 126–130; легитимность процесса, 130–2; попытки свести конверсию к силлогистической форме, 152; иллюстрируется диаграммами Эйлера, 160, 1; как затрагивается экзистенциальной значимостью пропозиций, 223–7; условных, 259, 60; гипотетических, 268, 9; является ли конверсия процессом вывода, 422, 3; не должна основываться исключительно на трех законах мышления, 465, 6; сложных пропозиций, 489, 90.

Conversion per accidens, 128, 9.

Conversio pura et impura, 129 n.

Conversio Syllogismi, 322.

Convertend, 127.

Convertible Copula, 388.

Copula, 93.

Correlative Name, 63.

Criterion of Consistency, Jevons’s, 217 n. ; 219; 232, 3.

Deductio ad impossibile, or ad absurdum, 319.

Definition by type, 34.

Де Морган А., использование терминов «противный» и «противоречащий», 62 n., 101 n., 104, 104 n.; о конверсии, 126 n., 133 n.; о контрапозиции, 136, 153 n.; о пропозиции ω, 206, 7, 210 n., 217 n.; об экзистенциальной значимости пропозиций, 219, 232; о силлогистических правилах, 290, 292, 314; о мнемонических стихах, 319; о численно определенном силлогизме, 377; об аргументе à fortiori, 385, 6; о логике отношений, 387, 8; о непосредственных выводах и законах мышления, 466, 495.

Denial, Nature of, 119–24.

Denotation, 29–31; 31–3; law of variation with connotation, 37; relation to comprehension, 38, 9.

Destructive Dilemma, 363, 4.

Destructive Hypothetical Syllogism, 352.

Determinant, 468; 479.

Determination, 468.

Development of Terms, 474.

Диаграммы, их использование в логике, 156, 7; Эйлера, 157–62; Ламберта, 163–6; Венна, 166–8; развитие диаграмм Эйлера, 170–4; диаграмм Ламберта, 174–6; применение диаграмм к силлогистическим рассуждениям, 341–6.

Дихотомия, см. Деление посредством дихотомии.

Dicta for the second, third, and fourth figures, 337, 8.

Dictum de diverso, 337 n.

Dictum de excepto, 338 n.

Dictum de exemplo, 337 n., 338 n.

Dictum de omni et nullo and the ordinary rules of the syllogism, 301, 2.

Dictum de reciproco, 338.

Dilemma, 363–6.

Direct reduction, 318; of Baroco and Bocardo, 323, 4.

Disjunctive Judgments and Propositions, 83, 4; 275–84.

Disjunctive Syllogisms, 359–62.

Дизъюнктивные термины, см. Альтернативные термины.

Distinction, 443.

Distribution, Laws of, 472, 3.

Distribution of terms in a proposition, 95, 6; illustrated by Euler’s diagrams, 159, 60.

Distributive use of names, 15, 16; of the word all, 97, 8.

Деление, см. Логическое деление, Метафизическое деление, Деление посредством дихотомии и т.д.

Деление посредством дихотомии, 445; всякое валидное деление сводимо к дихотомии, 445, 6; является ли деление посредством дихотомии формальным процессом, 447–9.

Division, Fallacy of, 16 n.

Dixon, E. T., 237 n.

Double Negation, Principle of, 459.

Duality, Law of, 460.

Duality of Formal Equivalences, 472.

Dual Terms, 475.

Eduction, 127 n.

ἔκθεσις, 130 n. ; 323 n.

Элиминация, вовлеченная в силлогистическое рассуждение, 300; проблема элиминации в логике, 508, 9; правила элиминации, 509–12.

Empirical Concepts, 27, 8.

Empirically Universal Propositions, 99.

Enthymeme, 367, 8.

Enumeration, 441.

Enumerative Universal Propositions, 98.

Epicheirema, 369.

Episyllogism, 369.

Equality, Symbol of, 189–91.

Equations in Logic, 189–91; their types, 191–4;.expression of propositions as equations, 194.

Equipollent Propositions, 117.

Equivalent Propositions, 117; tables of equivalent propositions, 141; 146; 208; 481.

Equivalent Terms, Table of, 476.

Equivocal Term, 65.

Essential Proposition, 50.

Etymology and Connotation, 28.

Euclid, 136; 420; 430.

Диаграммы Эйлера, пятикратная схема, 157–62; семикратная схема, 170–4; их применение к квантификации предиката, 200–4; к силлогистическим рассуждениям, 288, 341–4.

Eversion, 127 n.

Excluded Middle, Law of, 61 n. ; 147; 458–63; 474.

Exclusion, Law of, 475.

Exclusive Figure, 316.

Exclusive Proposition, 205.

Exemplification, 31–5; law of variation with comprehension, 37.

Exemplicative Name, 41.

Existence and the Universe of Discourse, 210–13.

Экзистенциальная значимость пропозиций, природа вовлеченных вопросов, 214; насколько формальная логика ими озабочена, 215–17; различные предположения, 218–20; влияние на непосредственные выводы, 223–7; на доктрину оппозиции, 227–32; экзистенциальная значимость пропозиций, включенных в традиционное расписание, 234–44; модальных пропозиций, 244, 5; условных пропозиций, 255, 6; проблема в связи с гипотетическими, 256, 7; влияние экзистенциальной значимости пропозиций на валидность силлогистических рассуждений, 390–4.

Existential Propositions, 218; their relation to the traditional forms of proposition, 221–3.

Explicative Proposition, 50.

Exponible Proposition, 104 n.

Экстенсия имен и концептов, 22; отличаемая от денотации, 29, 30; как соотносится с интенсией, 31–40; пропозиции в экстенсии и интенсии, 177–88.

Extensive Definition, 31–5.

Extensively Verbal Proposition, 51 n.

Few, as a sign of quantity, 103, 4.

Фигуры силлогизма, 300; их специальные правила, 309–13; их особенности и использования, 315–17; эквивалентность специальных правил первых трех фигур, 335; схемы валидных модусов в фигурах 1, 2 и 3, 336–8; диктумы для фигур 2, 3 и 4, 337, 8; фигуры условного силлогизма, 349, 50; гипотетического силлогизма, 349, 50; гипотетико-категорического силлогизма, 352, 3.

Folk-lore, Universe of, 213 n.

Form of a Proposition, 3; 92; 150, 1.

Form and Matter, 2, 3.

Formal Contradictories, 62 n.

Formal Logic, 1–3.

Formal Obversion, 133 n.

Formal Propositions, 52, 3.

Четвертая фигура, 328, 9; ее модусы, рассматриваемые как косвенные модусы первой фигуры, 329–31; модусы четвертой фигуры, 334, 5; диктум, 338.

Fowler, T., 133 n. ; 205; 325, 6; 349; 365.

Fundamental Syllogism, 314 n.

Fundamentum divisionis, 441.

Fundamentum relationis, 64.

Galenian Figure, 328.

General Names, 11–13.

General Propositions, 103.

Goclenian Sorites, 370–3.

Grammatical Analysis of a Proposition, 92 n.

Greek Mythology, Universe of, 213 n.

Green, T. H., 42 n. ; 54 n.

Ground or reason of a belief, distinguished from cause of a belief, 414.

Гамильтон сэр У., о единичных пропозициях, 102, 3, 104, 105; его схема диаграмм, 156 n.; его использование диаграмм Эйлера, 159; о суждениях в экстенсии и интенсии, 184 n.; его доктрина квантификации предиката, 195 сл.; его фундаментальный постулат логики, 195, 6; об интерпретации «некоторых», 200, 1, 321 n., 326 n.; о доктрине редукции, 327 n.; о смешанном гипотетическом силлогизме, 354–6, 368 n., 371 n.; о фигуре сорита, 373 n.; об ультратотальной дистрибуции среднего термина, 377; о нефигурированном силлогизме, 378 n., 396 n.; о законе противоречия, 455, 462; основывает формальные выводы на трех законах мышления, 464, 5.

Hamiltonian scheme of propositions, 79; 195 ff.

Hobhouse, L. T., 69 n.

Hypothetical Dilemma, 363 n.

Гипотетические суждения и пропозиции, 83, 4; отличаемые от условных пропозиций, 249–52; их значимость, 261–4; их оппозиция, 264–8; непосредственные выводы из них, 268–70; их отношение к категорическим, 270; их предполагаемый взаимный характер, 270–3.

Hypothetical Syllogisms, 348–57.

Hypothetico-Categorical Syllogism, 348, 9; 352–7.

Identity, Law of, 147; 451–4.

Иллицитный мажор и иллицитный минор, 289; вовлекают косвенно нераспределенный средний термин, 298; кажущиеся исключения из правила против иллицитного мажора, 298.

Непосредственные выводы, 126–53; как затрагиваются экзистенциальной значимостью пропозиций, 223–7; из условных пропозиций, 259–61; из гипотетических пропозиций, 268–70; могут ли они быть основаны исключительно на трех законах мышления, 464–6; из сложных пропозиций, 488–494.

Imperfect Figures, 330.

Implication and Meaning, 71, 2; 177; 178 n. ; 421–3.

Import of Propositions, nature of the enquiry, 70–4.

Inclusion, Law of, 475.

Indefinite Name, 59–61.

Indefinite Proposition, 105.

Independent Propositions, 118.

Indesignate Proposition, 105.

Indirect Moods, 329–31.

Indirect Reduction, 318, 9; 331–7.

Individual Name, 11.

Individual Proposition, 102.

Inequality, Symbols of, 193.

Вывод, природа, 413, 4; парадокс, 414, 5; заключение в каком смысле отличается от посылок, 415–20; предельные случаи, 422, 3; является ли конверсия процессом вывода, 422, 3; является ли контрапозиция процессом вывода, 422, 3; является ли силлогизм процессом вывода, 423–30.

Infinitation, 133 n.

Infinite Name, 59–61.

Infinite Proposition, 106, 7.

Integration, 201 n.

Интенсия имен и концептов, 22; конвенциональная, субъективная и объективная, 23–7; как соотносится с экстенсией, 31–40; пропозиции в интенсии и экстенсии, 177–88.

Intensive Definition, 32–5.

Intensively Verbal Proposition, 51 n.

Inverse, 139.

Inverse Problem, 525–535.

Инверсия пропозиций, 137–9; валидность процесса, 139, 40; иллюстрируется диаграммами Эйлера, 161; как затрагивается экзистенциальной значимостью пропозиций, 223–7; гипотетических, 269.

Invertend, 139.

Джевонс У. С., 12 n., 19 n., 20 n.; его использование термина «коннотация», 26, 37 n.; рассматривает собственные имена как коннотативные, 41–3; об относительных именах, 63, 4; о противоречащей оппозиции, 111–14; о конверсии, 130, 133 n.; о контрапозиции, 136 n., 139, 152 n.; его использование диаграмм Эйлера, 159; о типах логических уравнений, 191, 2; об интерпретации «некоторых», 202, 205 n., 210 n.; о вопросах о существовании в логике, 217 n.; его критерий консистентности, 217 n., 219, 232, 3, 220 n.; о значимости дизъюнктивных, 279; о порядке посылок в силлогизме, 287; об отрицательных посылках, 295; об обычном силлогистическом заключении, 300, 349, 365, 366, 416; о делении посредством дихотомии, 445, 6, 449; его принцип подстановки подобных, 453, 4; о законе дуальности, 460, 470 n., 472 n., 473, 475, 495; о системе логики Буля, 506 n., 507 n.; об обратной задаче, 525, 6, 529, 30.

Джонсон У. Э., 31 n.; о значимости пропозиций, 70 n.; о формулировке пропозиций, 72; о множественной квантификации, 106 n., 132 n., 144 n.; о пропозиции ω, 206 n.; о различии между условными и гипотетическими пропозициями, 249 n., 265 n., 293 n.; о специальных правилах силлогистических фигур, 311 n.; о диктумах для третьей и четвертой фигур, 338, 388, 469 n.; об анализе обычных категорических пропозиций, 479, 80; о синтезе пропозиций, 481 n.; его нотация для решения обратных задач, 533, 4.

Джонс мисс Э. Э. К., 126 n., 134 n., 148 n., 151, 190 n.; об экзистенциальной значимости пропозиций, 244 n.; об условных пропозициях, 256 n., 260; о гипотетических пропозициях, 264 n.; об использовании термина «альтернативный», 275; о природе вывода, 416 n., 418 n.; о делении и классификации, 447.

Judgment, the logical unit, 8, 9.

Суждения, как соотносимые с пропозициями, 66–8; их существенные характеристики, 70; их объективная отсылка, 74–6; их универсальность, 76, 7; их отсылка к времени, 76, 7; их необходимость, 77, 8; их классификация, 79–81; их деление согласно отношению, 82; на простые и составные, 82–4; их модальность, 84–91; их количество и качество, 91, 2. См. также Пропозиции.

Judgments of actuality, 88.

Judgments of necessity, 88.

Judgments of possibility, 88.

Кант, его классификация суждений, 81; его доктрина модальности, 86, 91, 2, 104 n., 106; о фигурах силлогизма, 327 n.; о смешанном гипотетическом силлогизме, 354, 5.

Karslake, 329 n. ; 368 n.

Лэдд-Франклин миссис, об отрицательных терминах, 60 n., 142 n., 147 n.; о значимости пропозиций, 179 n.; об экзистенциальной значимости пропозиций, 218 n., 231 n., 241 n., 242 n., 323 n.; об антилогизме, 332, 510 n.

Ламберт Дж. Г., его диаграммная схема, 163–6, 174–6; об использовании различных силлогистических фигур, 316, 7, 326 n.; о диктумах для различных фигур, 337 n., 338; применение его диаграммной схемы к силлогистическим рассуждениям, 344, 5.

Language as the instrument of thought, 3–5.

Законы мышления, 147, 450, 1; закон тождества, 451–4; закон противоречия, 454–8; закон исключенного третьего, 458–63; являются ли законы мышления также законами вещей, 463, 4; их взаимные отношения, 464; насколько они устанавливают непосредственные выводы, 464–6; опосредованные выводы, 466, 7.

Lewis Carroll, Game of Logic, 219 n.

Liar, Sophism of the, 457, 8.

Limitative Proposition, 106.

Limited Identities, 192.

Lindsay, T. M., 201 n.

Логика, определение, 1; формальная и материальная, 1–3; ее связь с языком, 3–5; ее отношение к психологии, 5, 6; ее полезность, 6, 7; ее абстрактный характер, 68–70.

Логическое деление, 441, 2; его правила, 443–5; всякое валидное деление сводимо к дихотомии, 445, 6; место доктрины деления в логике, 446–9; деление и классификация, 447.

Logical Concepts, 27, 8.

Logical Doctrine, its three parts, 8, 9.

Лотце Г., об отрицательных терминах, 59 n., 61 n.; об общих и универсальных суждениях, 99 n., 126 n., 129 n.; об отрицательных посылках, 296 n.; критика Джевонса, 300, 424 n., 425 n.

McColl, H., 263 n.

Mackenzie, J. S., 322 n.

Major Premiss, 287; Mill’s view of its function, 429.

Major Term, 285, 6.

Мансел Г. Л., 51 n.; об оппозиции, 109 n., 115; о конверсии per accidens, 129 n., 130 n.; о контрапозиции, 134 n.; о материальном следствии, 150, 152 n.; о значимости дизъюнктивных, 279 n., 319 n.; о косвенных модусах, 330 n., 337 n., 357 n.; о дилемме, 365, 367, 368 n.; об аргументе à fortiori, 385 n., 386, 424 n., 443; о месте деления в логике, 446–8; о законе тождества, 454; основывает силлогистические выводы на законах мышления, 466, 7.

Material Consequence, 150; 386.

Material Contradictories, 62 n.

Material Contrariety, 115 n.

Material Obversion, 133 n.

Matter of a Proposition, 3; 92; 150, 1.

Meaning and Implication, 71, 2; 177; 178 n. ; 421–3.

Mediate Inference, 151; and the laws of thought, 466, 7.

Membra dividentia, 441.

Metaphysical Concepts, 27, 8.

Metaphysical Division, 412, 3.

Metaphysical Universality, 105 n.

Metathesis praemissarum, 321.

Methods of Abbreviation, Boole’s, 475 n. ; 476 n.

Middle Term, 285, 6; its ultra-total distribution, 376–8.

Милль Дж. С., об именах, 9 n., 20 n.; о коннотации, 24, 5; о коннотативных именах, 40; рассматривает собственные имена как неконнотативные, 41, 2; его различие между реальными и вербальными пропозициями, 54 n.; об отрицательных именах, 61 n.; его классификация пропозиций, 80, 1; о значимости пропозиций, 182, 186 n.; о квантификации предиката, 198; об экзистенциальной значимости пропозиций, 219, 243 n.; о фигуре сорита, 373, 4, 378 n., 387, 414; об непосредственных выводах, 419; его доктрина, что в каждом силлогизме есть petitio principii, 424–30; о делении и классификации, 446; о законе тождества, 452, 466; о законе противоречия, 455, 6; о законе исключенного третьего, 461–3.

Minor Premiss, 287.

Minor Term, 285, 6.

Minto, W., 134 n.

Mixed Hypothetical Syllogism, 348, 9; 352–7.

Мнемоника для валидных модусов силлогизма и их редукции к первой фигуре, 319–22; для прямой редукции Baroco и Bocardo, 323, 4; для косвенных модусов первой фигуры, 329, 30.

Modal Consequence, Immediate Inference by, 151.

Модальные пропозиции, 90 n.; их оппозиция, 116, 7, 231, 2; их экзистенциальная значимость, 244, 5, 258, 266, 7; отличительные символы для них, 258; схема ассерторических и модальных пропозиций, 282. См. также Условные пропозиции и Гипотетические пропозиции.

Modality of Judgments, 84–91.

Modus ponendo ponens, 352 n. ; 362.

Modus ponendo tollens, 361, 2.

Modus ponens, 352.

Modus tollendo ponens, 360; 362.

Modus tollendo tollens, 352 n. ; 362.

Modus tollens, 352; its reduction to the modus ponens, 354.

Monck, W. H. S., 30 n. ; 56 n. ; 207 n. ; 380 n. ; 448.

Модусы силлогизма, 309; какие модусы легитимны в каждой фигуре, 309–13; субалтерные модусы, 313, 14; усиленные модусы, 314, 15; эквивалентность модусов первых трех фигур, 333, 4; модусы фигуры 4, 334, 5; схема валидных модусов фигуры 1, 336; фигуры 2, 336, 7; фигуры 3, 337, 8; модусы условного силлогизма, 349, 50; гипотетического силлогизма, 349, 50; гипотетико-категорического силлогизма, 352, 3; дизъюнктивного силлогизма, 359–62.

Moral Universality, 105 n.

«Большинство» как знак количества, 103, 4; эффект его признания как знака количества на правила силлогизма, 376, 7.

Multiple Quantification, 105, 6; 265 n.

Multiplication, sign of, in symbolic logic, 468 n.

Musschenbroek, P. van, Institutiones Logicae, 322.

Names and Concepts, 10, 11.

Necessary Judgments, 85–91.

Necessity of Judgments, 77, 8.

Negative Premisses, 289; 292, 3; 295–7.

Negative Propositions, 92.

Negative Terms, 57–61; their elimination from propositions, 144–6.

Nominalist treatment of Logic, 4, 5; 10, 11; 66–8.

Numerically definite Propositions, 104.

Numerically definite Syllogism, 377, 8.

Numeerical Moods of the Syllogism, 400–3.

Objective distinctions of Modality, 87–90.

Objective Extension, 30.

Objective Intension, 24; 26, 7.

Objective reference in Judgments, 74–6.

Obverse, 133.

Обверсия пропозиций, 133, 4; как затрагивается экзистенциальной значимостью пропозиций, 223–7; гипотетических пропозиций, 269; сложных пропозиций, 488, 9.

Obvertend, 133.

Octagon of Opposition, 144.

Opposition of Complex Terms, 470–2.

Оппозиция пропозиций, 109–19; иллюстрируется диаграммами Эйлера, 160; как затрагивается экзистенциальной значимостью пропозиций, 227–31; модальных пропозиций, 231, 2; условных пропозиций, 256–8; гипотетических пропозиций, 264–8; сложных пропозиций, 478; составных пропозиций, 480.

Or, its logical signification, 469.

Ostensive Reduction, 318.

Partial Identities, 192.

Particular Propositions, 100–2; their existential import, 238, 9; 245, 6.

Partition, 442.

Peirce, C. S., 336 n.

Perfect Figure, 329, 30.

Permutation, 133 n.

Petitio Principii and the Syllogism, 424–30.

Petrus Hispanus, 290, 1; 329 n.

Physical Definition, 442.

Physical Division, 442, 3.

Plurative Propositions, 103.

Polylemma, 363 n.

Polysyllogism, 368, 9.

Pope John XXI, 291; 329 n.

Porphyry, Tree of, 35 n. ; 445.

Port Royal Logic, 105 n. ; 113 n. ; 297 n. ; 313 n. ; 337 n. ; 368 n. ; 432, 3.

Positive Name, 57.

Postulate of Logic, Hamilton’s, 195, 6.

Predicate of a Proposition, 92; how to be distinguished from the subject, 96, 7.

Predicative Interpretation of Propositions, 179-81.

Principium divisionis, 441.

Privative Conception, Immediate Inference by, 133 n.

Problematic Judgments, 86–91. See also Modal Propositions.

Progressive Argument, 369.

Собственные имена, 13, 14, 15 n.; не имеют соответствующих абстрактов, 17 n.; являются неконнотативными, 41–7; имеют субъективную интенсию и компрэгенсию, 42; могут стать коннотативными при использовании для обозначения определенного типа личности, 45.

Propositio secundi adjacentis, 93; tertii adjacentis, 93.

Propositional forms, 53; their interpretation, 70–2.

Пропозиции, как соотносимые с суждениями, 66–8; их интерпретация, 68, 70–2; проблема их значимости, 70–4; их формулировка, 72, 3; их классификация, 79–81; их деление согласно отношению, 82; их деление на простые и составные, 82–4; их деление согласно модальности, 84–91; их деление согласно количеству, 91, 2; их деление согласно качеству, 92; традиционная схема, 92–95; их оппозиция, 109–19; их взаимные отношения, 117–19, 142–4; соединяющие два термина, 132; соединяющие два термина и их противоречия, 141, 146; их диаграммное представление, 156–76; в экстенсии и в интенсии, 177–88; предикативный способ интерпретации, 179–81; классовый способ интерпретации, 181–4; коннотативный способ интерпретации, 184–6; субъект интерпретируется в коннотации, а предикат в денотации, 186, 7; в компрэгенсии, 187, 8; пропозиции, выраженные как равенства и неравенства, 193, 4; шестикратное расписание, включающее Y и η, 207–9; экзистенциальная значимость пропозиций, 234–45; прямая значимость и импликации пропозиции, 420–3. См. также Сложные пропозиции, Условные пропозиции, Суждения и т.д.

Prosyllogism, 369.

Psychology, its relation to Logic, 5, 6.

Quality of Propositions, 92; 106; of conditional propositions, 257, 8; of hypothetical propositions, 264, 5.

Quantification of the Predicate, 195–209; its application to the syllogism, 378–84.

Количество пропозиций, 91, 2; как затрагивается их качеством, 95 n.; условных пропозиций, 257, 8; гипотетических пропозиций, 265.

Quaternio terminorum, 288.

Ramean Tree, 445.

Ray, P. K., 356 n.

Read, C., 62 n. ; 322 n.

Real Propositions, 49.

Reciprocal Equivalences, Schröder’s Law of, 472; bearing of this law on the inverse problem, 534.

Reductio ad impossibile or per impossibile, 319.

Reduction of Dual Terms, 474, 5.

Редукция силлогизмов, природа процесса, 318; прямая и косвенная редукция, 318, 9; прямая редукция Baroco и Bocardo, 323, 4; расширение доктрины редукции, 324, 5; является ли редукция существенной частью доктрины силлогизма, 325–8; косвенная редукция, 331–7; редукция условных и гипотетических силлогизмов, 351, 2; смешанных гипотетических силлогизмов, 354.

Regressive Argument, 369.

Relation, Division of propositions according to, 82.

Relative Names, 63–5.

Relatives, Logic of, 149–51; 387, 8.

Relativity, Law of, 456.

Remotive Propositions, 84.

Repugnant Terms, 63; 471.

Robertson, G. C., 357.

Rogers, R. A. P., 294.

Ross, G. R. T., 280.

Schröder, Der Operationskreis des Logikkalkuls, 471 n. ; 472 n. ; 473; 475; 511; 534.

Secondary Opposition, 115.

Secondary Quantification, 105; 116.

Self-contradiction, 457.

Sextus Empiricus, 424; 426.

Shyreswood, W., 329 n.

Зигварт, об эмпирических, метафизических и логических концептах, 27, 8; об именах предельных элементов, 34; о кажущихся тавтологичными пропозициях, 52 n.; об отрицательных именах, 57–60; об отсылке к времени в суждениях, 77; о составных суждениях, 82 n., 83 n.; о модальности, 86, 7; об универсальных суждениях, 99 n.; об отрицательных суждениях, 120 n.; об основаниях отрицания, 121, 128 n.; о контрапозиции, 136, 234 n.; о гипотетических, 264, 5; о фигурах 2 и 3 силлогизма, 366 n., 349; о ценности силлогизма, 427 n., 428 n.; о законах мышления, 451; о законе тождества, 461, 2; о законе противоречия, 455; о законе исключенного третьего и законе двойного отрицания, 459, 60.

Simple Constructive Dilemma, 364.

Simple Contraposition, 136.

Simple Conversion, 128. 547

Simple Destructive Dilemma, 364.

Simple Identities, 191.

Simple Judgments and Propositions, 82; their modality, 86–90.

Simple Term, 468.

Simplicity, Law of, 473.

Singular Names, 11–13; may be connotative, 41, 2.

Singular Propositions, 102, 3; their opposition, 115, 16; as premisses in a syllogism, 298, 9.

Solly, Syllabus of Logic, 316 n. ; 395 n. ; 434, 5.

Some, as a sign of quantity, 100, 1; in the doctrine of the quantification of the predicate, 199–204.

Sophisma polyzeteseos, 372 n.

Sorites, 370–6.

Spalding, W., 133 n. ; 201 n. ; 321 n. ; 349; 387; 445.

Spencer, H., 378 n.

Square of Opposition, 110.

Strengthened Syllogism, 314, 15.

Studies in Logic by Members of the Johns Hopkins University, 323 n. ; 510 n. ; 517–20.

Subaltern Moods, 313, 14.

Subaltern Opposition, 110; 117, 18; how affected by the existential import of propositions, 227–31.

Subalternant and Subalternate, Propositions, 110.

Sub-complementary Propositions, 132; 143, 4; 161.

Subcontrary Opposition, 110; 118; how affected by the existential import of propositions, 227–31.

Sub-division, 443.

Subject of a Proposition, 92; how to be distinguished from the predicate, 96, 7.

Subjective distinctions of Modality, 86, 7; 90 n.

Subjective Extension, 30.

Subjective Intension, 23, 4; 26, 7; 29.

Substantial Terms, 12 n. ; 15 n.

Силлогизм, 285; его термины и пропозиции, 285–7; его правила в обычном изложении, 287–9; следствия из правил, 289–91; переформулировка правил, 291; их зависимость друг от друга, 291–3; изложение независимых правил, 293, 4; доказательство правила качества, 294, 5; кажущиеся исключения из правил, 295–8; силлогизмы с двумя единичными посылками, 298, 9; открыто ли обычное силлогистическое заключение для обвинения в неполноте, 300; фигуры и модусы, 309–17; редукция силлогизмов, 318–38; диаграммное представление силлогизмов, 341–6; силлогизмы с квантифицированными предикатами, 378–84; сводимы ли все формальные выводы к обычной силлогистической форме, 384–8; валидность силлогистических рассуждений, насколько затрагивается экзистенциальной значимостью пропозиций, 390–4; истинное заключение, получаемое из ложных посылок, 394–6; численные модусы, 400–3; силлогизмы и непосредственные выводы, 423, 4; силлогистическое рассуждение и обвинение в petitio principii, 424–30. См. также Условный силлогизм, Фигуры силлогизма и т.д.

Symbolic Logic, 189–94; 468 n.

Symbols for Propositions, 93, 4.

Synonymous Proposition, 50.

Synthetic Chain of Reasoning, 369.

Synthetic Proposition, 49.

Tarbell, F. B., 349 n.

Tautology, Laws of, 473.

Terms, Logic of, 11.

Tetralemma, 363 n.

Thomson, W., 195; 201, 2; 203; 206; 315 n. ; 326; 328, 9; 337 n. ; 344 n. ; 359 n. ; 379.

Time of predication and time in predication, 77; 451 n.

Totum divisum, 441.

Traditional Scheme of Propositions, 79; 92–5; 234–44.

Transitive Copula, 388.

Transversion, 127 n. ; 148 n. ; 260.

Trilemma, 363 n.

Twofold Negation, Principle of, 459.

Юбервег П., об оппозиции, 109 n.; о конверсии, 126 n., 133 n., 136 n., 151 n.; о диаграммах Эйлера, 162 n.; об экзистенциальной значимости пропозиций, 219 n., 255 n.; об отрицательных посылках, 297 n., 316; форма, в которой он дает мнемонические стихи, 322 n.; о редукции Baroco и Bocardo, 323 n., 326, 344 n., 349, 352 n., 366 n., 369 n., 371 n., 424 n., 457 n.

Ultra-total distribution of the middle term, 376–8.

Unconditionally Universal Propositions, 99.

Нераспределенный средний термин, ошибка, 288; вовлекает косвенно иллицитный процесс мажора или минора, 293; кажущееся исключение из правила против нераспределенного среднего термина, 297, 8.

Unfigured Syllogism, 378 n.

Unity, Law of, 473. 548

Universal Propositions, 97–100; their existential import, 235–8.

Universality of Judgments, 76, 7.

Universe of Attributes, 31 n.

Universe of Discourse, 29, 30; 75, 6; 210–13; 226 n. ; 234, 5.

Univocal Name, 65.

Veitch, J., 54 n. ; 201 n. ; 203; 207 n.

Венн Дж., 15 n., 30 n., 44 n.; о вербальных спорах, 50 n.; о противоречащих терминах, 62 n., 96 n.; о геометрической схеме Гамильтона, 156 n.; о диаграммах Эйлера, 159, 162 n.; о диаграммах Ламберта, 165 n.; его собственная схема диаграмм, 166–8; о предикативном способе интерпретации пропозиций, 179, 180, 185 n., 193 n., 200 n., 210 n.; об экзистенциальной значимости пропозиций, 220 n.; о выводе частных из универсальных, 226 n., 235, 237, 238; применение его диаграммной схемы к силлогистическим рассуждениям, 345, 6; о логике отношений, 387, 8, 424 n., 506, 507 n., 530.

Verbal Dispute, 50 n.

Verbal Division, 443.

Verbal Propositions, 49–52.

Wallis, Institutio Logicae, 322 n. ; 330.

Weakened Conclusion, 313, 14.

Weakened Syllogism, 313, 14.

Weaker Premiss, 289 n.

Welton, J., 182; 183; 243 n. ; 359 n.

Уэйтли Р., 297 n., 323, 4; о доктрине редукции, 325; о дилемме, 365; утверждает, что всякое валидное рассуждение сводимо к силлогистической форме, 387; его определение petitio principii, 425, 433, 4.

Wolf, A., 216 n. ; 221; 225 n. ; 229 n. ; 231 n.

КЕМБРИДЖ: ОТПЕЧАТАНО ДЖОНОМ КЛЕЕМ, МАГИСТРОМ ИСКУССТВ, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ.

Примечание транскриптора

Этот текст был подготовлен на основе материалов, любезно предоставленных Интернет-архивом. Есть несколько отличий от внешнего вида оригинального текста. В оригинале сноски нумеруются последовательно на каждой странице. Надстрочные номера для них обычно ставятся перед знаками препинания, а не после них. Многоточия часто используются без каких-либо интервалов. В упражнениях разница в размере шрифта между вопросами и примерами ответов не всегда соблюдается. Форматирование аргументов и некоторых доказательств не всегда точно скопировано в этой версии.

Я поместил номера страниц в текст красным цветом. Сноски размещены после абзацев, к которым они относятся. Я вставил гиперссылки для большинства перекрестных ссылок в тексте и несу ответственность за любые ошибки, которые это могло вызвать.

Очень немногие опечатки исправлены и отмечены пунктирным красным подчеркиванием. В одном случае, на странице 530, я предпочел формулировку 3-го издания.