НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ СЕРИЯ ТОМОВ ДЛЯ СОДЕЙСТВИЯ НАУЧНЫМ ИССЛЕДОВАНИЯМ И ПРОГРЕССУ В ОБРАЗОВАНИИ Под редакцией Дж. Маккина Кеттела

ТОМ I — ОСНОВЫ НАУКИ

ПОД ТОЙ ЖЕ РЕДАКЦИЕЙ

НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ. Серия томов для содействия научным исследованиям и прогрессу в образовании.

Том I. Основы науки. Авт. А. Пуанкаре. Содержит авторизованный английский перевод Джорджа Брюса Хэлстеда книг «Наука и гипотеза», «Ценность науки» и «Наука и метод».

Том II. Медицинские исследования и образование. Авт. Ричард Миллс Пирс, Уильям Г. Уэлч, У. Г. Хауэлл, Франклин П. Молл, Льюэллис Ф. Баркер, Чарльз С. Майнот, У. Б. Кэннон, У. Т. Каунсилмен, Теобальд Смит, Г. Н. Стюарт, К. М. Джексон, Э. П. Лайон, Джеймс Б. Херрик, Джон М. Додсон, К. Р. Бардин, У. Офалс, С. Дж. Мельцер, Джеймс Юинг, У. У. Кин, Генри Г. Дональдсон, Кристиан А. Хертер и Генри П. Боудич.

Том III. Управление университетами. Авт. Дж. Маккин Кеттел и другие авторы.

АМЕРИКАНСКИЕ УЧЕНЫЕ. Биографический справочник.

SCIENCE. Еженедельный журнал, посвященный развитию науки. Официальный орган Американской ассоциации содействия развитию науки.

THE POPULAR SCIENCE MONTHLY. Ежемесячный журнал, посвященный распространению научных знаний.

THE AMERICAN NATURALIST. Ежемесячный журнал, посвященный биологическим наукам, с особым вниманием к факторам эволюции.

THE SCIENCE PRESS НЬЮ-ЙОРК ГАРРИСОН, ШТАТ НЬЮ-ЙОРК

ОСНОВЫ НАУКИ

НАУКА И ГИПОТЕЗА ЦЕННОСТЬ НАУКИ НАУКА И МЕТОД

АВТОР А. ПУАНКАРЕ

АВТОРИЗОВАННЫЙ ПЕРЕВОД ДЖОРДЖА БРЮСА ХЭЛСТЕДА

СО СПЕЦИАЛЬНЫМ ПРЕДИСЛОВИЕМ ПУАНКАРЕ И ВВЕДЕНИЕМ ДЖОЗАЙИ РОЙСА, ГАРВАРДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

THE SCIENCE PRESS НЬЮ-ЙОРК И ГАРРИСОН, ШТАТ НЬЮ-ЙОРК 1913

Copyright, 1913
BY The Science Press

ТИПОГРАФИЯ THE NEW ERA PRINTING COMPANY ЛАНКАСТЕР, ШТАТ ПЕНСИЛЬВАНИЯ

CONTENTS

| PAGE
Henri Poincaré | ix
Author's Preface to the Translation | 3
SCIENCE AND HYPOTHESIS
Introduction by Royce | 9
Introduction | 27
Part I. Number and Magnitude
Chapter I.—On the Nature of Mathematical Reasoning | 31
Syllogistic Deduction | 31
Verification and Proof | 32
Elements of Arithmetic | 33
Reasoning by Recurrence | 37
Induction | 40
Mathematical Construction | 41
Chapter II.—Mathematical Magnitude and Experience | 43
Definition of Incommensurables | 44
The Physical Continuum | 46
Creation of the Mathematical Continuum | 46
Measurable Magnitude | 49
Various Remarks (Curves without Tangents) | 50
The Physical Continuum of Several Dimensions | 52
The Mathematical Continuum of Several Dimensions | 53
Part II. Space
Chapter III.—The Non-Euclidean Geometries | 55
The Bolyai-Lobachevski Geometry | 56
Riemann's Geometry | 57
The Surfaces of Constant Curvature | 58
Interpretation of Non-Euclidean Geometries | 59
The Implicit Axioms | 60
The Fourth Geometry | 62
Lie's Theorem | 62
Riemann's Geometries | 63
On the Nature of Axioms | 63
Chapter IV.—Space and Geometry | 66
Geometric Space and Perceptual Space | 66
Visual Space | 67
Tactile Space and Motor Space | 68
Characteristics of Perceptual Space | 69
Change of State and Change of Position | 70
Conditions of Compensation | 72
Solid Bodies and Geometry | 72
Law of Homogeneity | 74
The Non-Euclidean World | 75
The World of Four Dimensions | 78
Conclusions | 79
Chapter V.—Experience and Geometry | 81
Geometry and Astronomy | 81
The Law of Relativity | 83
Bearing of Experiments | 86
Supplement (What is a Point?) | 89
Ancestral Experience | 91
Part III. Force
Chapter VI.—The Classic Mechanics | 92
The Principle of Inertia | 93
The Law of Acceleration | 97
Anthropomorphic Mechanics | 103
The School of the Thread | 104
Chapter VII.—Relative Motion and Absolute Motion | 107
The Principle of Relative Motion | 107
Newton's Argument | 108
Chapter VIII.—Energy and Thermodynamics | 115
Energetics | 115
Thermodynamics | 119
General Conclusions on Part III | 123
Part IV. Nature
Chapter IX.—Hypotheses in Physics | 127
The Rôle of Experiment and Generalization | 127
The Unity of Nature | 130
The Rôle of Hypothesis | 133
Origin of Mathematical Physics | 136
Chapter X.—The Theories of Modern Physics | 140
Meaning of Physical Theories | 140
Physics and Mechanism | 144
Present State of the Science | 148
Chapter XI.—The Calculus of Probabilities | 155
Classification of the Problems of Probability | 158
Probability in Mathematics | 161
Probability in the Physical Sciences | 164
Rouge et noir | 167
The Probability of Causes | 169
The Theory of Errors | 170
Conclusions | 172
Chapter XII.—Optics and Electricity | 174
Fresnel's Theory | 174
Maxwell's Theory | 175
The Mechanical Explanation of Physical Phenomena | 177
Chapter XIII.—Electrodynamics | 184
Ampère's Theory | 184
Closed Currents | 185
Action of a Closed Current on a Portion of Current | 186
Continuous Rotations | 187
Mutual Action of Two Open Currents | 189
Induction | 190
Theory of Helmholtz | 191
Difficulties Raised by these Theories | 193
Maxwell's Theory | 193
Rowland's Experiment | 194
The Theory of Lorentz | 196
THE VALUE OF SCIENCE
Translator's Introduction | 201
Does the Scientist Create Science? | 201
The Mind Dispelling Optical Illusions | 202
Euclid not Necessary | 202
Without Hypotheses, no Science | 203
What Outcome? | 203
Introduction | 205
Part I. The Mathematical Sciences
Chapter I.—Intuition and Logic in Mathematics | 210
Chapter II.—The Measure of Time | 223
Chapter III.—The Notion of Space | 235
Qualitative Geometry | 238
The Physical Continuum of Several Dimensions | 240
The Notion of Point | 244
The Notion of Displacement | 247
Visual Space | 252
Chapter IV.—Space and its Three Dimensions | 256
The Group of Displacements | 256
Identity of Two Points | 259
Tactile Space | 264
Identity of the Different Spaces | 268
Space and Empiricism | 271
Rôle of the Semicircular Canals | 276
Part II. The Physical Sciences
Chapter V.—Analysis and Physics | 279
Chapter VI.—Astronomy | 289
Chapter VII.—The History of Mathematical Physics | 297
The Physics of Central Forces | 297
The Physics of the Principles | 299
Chapter VIII.—The Present Crisis in Physics | 303
The New Crisis | 303
Carnot's Principle | 303
The Principle of Relativity | 305
Newton's Principle | 308
Lavoisier's Principle | 310
Mayer's Principle | 312
Chapter IX.—The Future of Mathematical Physics | 314
The Principles and Experiment | 314
The Rôle of the Analyst | 314
Aberration and Astronomy | 315
Electrons and Spectra | 316
Conventions preceding Experiment | 317
Future Mathematical Physics | 319
Part III. The Objective Value of Science
Chapter X.—Is Science Artificial? | 321
The Philosophy of LeRoy | 321
Science, Rule of Action | 323
The Crude Fact and the Scientific Fact | 325
Nominalism and the Universal Invariant | 333
Chapter XI.—Science and Reality | 340
Contingence and Determinism | 340
Objectivity of Science | 347
The Rotation of the Earth | 353
Science for Its Own Sake | 354
SCIENCE AND METHOD
Introduction | 359
Book I. Science and the Scientist
Chapter I.—The Choice of Facts | 362
Chapter II.—The Future of Mathematics | 369
Chapter III.—Mathematical Creation | 383
Chapter IV.—Chance | 395
Book II. Mathematical Reasoning
Chapter I.—The Relativity of Space | 413
Chapter II.—Mathematical Definitions and Teaching | 430
Chapter III.—Mathematics and Logic | 448
Chapter IV.—The New Logics | 460
Chapter V.—The Latest Efforts of the Logisticians | 472
Book III. The New Mechanics
Chapter I.—Mechanics and Radium | 486
Chapter II.—Mechanics and Optics | 496
Chapter III.—The New Mechanics and Astronomy | 512
Book IV. Astronomic Science
Chapter I.—The Milky Way and the Theory of Gases | 523
Chapter II.—French Geodesy | 535
General Conclusions | 544
Index | 547

АНРИ ПУАНКАРЕ

Сэр Джордж Дарвин, достойный сын бессмертного отца, сказал, говоря о том, чем был Пуанкаре для него и его работ: «Его следует считать руководящим гением — или, могу ли я сказать, моим святым покровителем?»

Анри Пуанкаре родился 29 апреля 1854 года в Нанси, где его отец был высокоуважаемым врачом. Его школьное обучение было прервано войной 1870–1871 годов, чтобы узнавать новости о которой, он научился читать немецкие газеты. Он превосходил других мальчиков своего возраста по всем предметам и в 1873 году с лучшим результатом поступил в Политехническую школу, где, подобно Яношу Бойяи в Марошвашархее, посещал курсы математики, не делая записей и не имея программы. В 1875 году он перешел в Горную школу и 26 марта 1879 года был назначен на должность. Однако 1 августа 1879 года он получил докторскую степень в Парижском университете и 1 декабря 1879 года был назначен преподавателем на факультет наук в Кане, откуда его вскоре вызвали в Парижский университет, где он преподавал с 21 октября 1881 года до своей смерти 17 июля 1912 года. Поэтому ошибочно говорить, что он начинал как инженер. В возрасте тридцати двух лет он стал членом Академии наук, а 5 марта 1908 года был избран членом Французской академии. На 1 июля 1909 года число его работ составляло 436.

Его первая публикация вышла в 1878 году и не была важной. Впоследствии появилось эссе, представленное на конкурс на соискание Гран-при в 1880 году, но оно не победило. Внезапно произошло изменение, яркая вспышка, прорыв в феврале 1881 года, и Пуанкаре называет нам даже минуту, когда это случилось. Садясь в омнибус, «в тот момент, когда я поставил ногу на подножку, мне пришла мысль, причем ничто в моих предыдущих размышлениях, казалось, не предвещало ее, что преобразования, которые я использовал для определения фуксовых функций, тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии». Тем самым открылась новая и необъятная перспектива. Более того, была схвачена волшебная палочка всей его жизненной работы, была потерта лампа Аладдина — неевклидова геометрия, чье волшебство должно было открыть новую теорию нашей Вселенной, чье блестящее изложение было начато в его книге «Наука и гипотеза», которая была переведена на шесть языков и уже разошлась тиражом более 20 000 экземпляров. Неевклидова идея заключается в возможности альтернативных законов природы, что во введении к «Электричеству и оптике» (1901) сформулировано так: «Если, следовательно, явление допускает полное механическое объяснение, оно будет допускать бесконечное множество других, которые будут столь же хорошо объяснять все особенности, выявленные экспериментом».

Система законов природы, столь во многом обязанная Ньютону, является лишь одной из бесконечного числа мыслимых рациональных систем, помогающих нам осваивать и создавать опыт; она commode, удобна; но, возможно, другая может быть значительно более выгодной. Старая концепция «истинного» была пересмотрена. Первое выражение новой идеи встречается на титульном листе чудесной книги Яноша Бойяи «Абсолютная наука о пространстве» во фразе «haud unquam a priori decidenda».

В связи с историей системы Земля — Луна и происхождением двойных звезд, формулируя геометрический критерий устойчивости, Пуанкаре доказал существование ранее неизвестной грушевидной фигуры, с возможностью того, что прогрессирующая деформация этой фигуры при увеличении угловой скорости может привести к распаду вращающегося тела на две отдельные массы. О его трактате «Новые методы небесной механики» сэр Джордж Дарвин говорит: «Вероятно, что в течение полувека он будет тем рудником, из которого более скромные исследователи будут добывать свои материалы». Блестящей была его оценка Пуанкаре при вручении золотой медали Королевского астрономического общества. Трое других, наиболее близких ему по гениальности, связаны с ним медалью Сильвестра Королевского общества, медалью Лобачевского Физико-математического общества Казани и премией Бойяи Венгерской академии наук. Его работу следует причислить к величайшим математическим достижениям человечества.

Суть силы Пуанкаре заключается в изречении, которое Сильвестр часто цитировал мне как слова Гесиода: «Целое меньше своей части».

Он сразу проникает в божественную простоту совершенно общего случая и оттуда спускается, как с Олимпа, к частным конкретным земным деталям.

Сочетание казалось бы чрезвычайно простых аналитических и геометрических концепций дало необходимые общие выводы огромного масштаба, из которых возникла обескураживающая чаща возможных дедукций. И так он оставляет благородное, плодотворное наследие.

Лав говорит: «Его право признано сейчас, и вряд ли будущие поколения пересмотрят суждение, чтобы поставить его в ряд величайших математиков всех времен».

Джордж Брюс Хэлстед.

НАУКА И ГИПОТЕЗА

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРЕВОДУ

Я чрезвычайно благодарен доктору Хэлстеду, который был так любезен, что представил мою книгу американским читателям в ясном и точном переводе.

Всем известно, что этот ученый уже взял на себя труд перевести многие европейские трактаты и тем самым внес мощный вклад в то, чтобы новый континент понял мысли старого.

Некоторые люди любят повторять, что англосаксы мыслят не так, как латиняне или немцы; что у них совершенно иной способ понимания математики или физики; что этот способ кажется им превосходящим все остальные; что они не чувствуют необходимости менять его или даже знать способы других народов.

В этом они, несомненно, ошибались бы, но я не верю, что это правда, или, по крайней мере, что это больше не правда. В течение некоторого времени англичане и американцы посвящают себя гораздо больше, чем прежде, лучшему пониманию того, что думают и говорят на континенте Европы.

Конечно, каждый народ сохранит свой характерный гений, и было бы жаль, если бы было иначе, если предположить, что такое возможно. Если бы англосаксы захотели стать латинянами, они никогда не были бы никем, кроме плохих латинян; точно так же, как французы, пытаясь подражать им, могли бы оказаться лишь довольно посредственными англосаксами.

А затем, англичане и американцы совершили научные завоевания, которые могли совершить только они; они совершат еще больше таких, на которые другие были бы неспособны. Поэтому было бы прискорбно, если бы англосаксов больше не существовало.

Но континенталы, со своей стороны, сделали вещи, которые англичанин не смог бы сделать, так что нет необходимости желать, чтобы весь мир стал англосаксонским.

У каждого свои характерные способности, и эти способности должны быть разнообразными, иначе научный концерт напоминал бы квартет, где каждый хотел бы играть на скрипке.

И все же неплохо, чтобы скрипка знала, что играет виолончель, и наоборот.

Это то, что англичане и американцы понимают все больше и больше; и с этой точки зрения переводы, предпринятые доктором Хэлстедом, наиболее уместны и своевременны.

Рассмотрим сначала то, что касается математических наук. Часто говорят, что англичане культивируют их только ввиду их приложений и даже что они презирают тех, у кого другие цели; что слишком абстрактные спекуляции отталкивают их, как отдающие метафизикой.

Англичане, даже в математике, должны всегда переходить от частного к общему, так что у них никогда не возникло бы идеи входить в математику, как это делают многие немцы, через ворота теории множеств. Они всегда должны, так сказать, держать одну ногу в мире чувств и никогда не сжигать мосты, поддерживающие их связь с реальностью. Таким образом, они должны быть неспособны понять или, по крайней мере, оценить определенные теории, более интересные, чем утилитарные, такие как неевклидовы геометрии. Согласно этому, первые две части этой книги, о числе и пространстве, должны казаться им лишенными всякой субстанции и только сбивать их с толку.

Но это неправда. И прежде всего, являются ли они такими бескомпромиссными реалистами, как говорят? Являются ли они абсолютно невосприимчивыми, я не говорю к метафизике, но, по крайней мере, ко всему метафизическому?

Вспомните имя Беркли, родившегося, несомненно, в Ирландии, но немедленно принятого англичанами, который обозначил естественный и необходимый этап в развитии английской философии.

Разве этого недостаточно, чтобы показать, что они способны совершать восхождения иначе, чем на привязном аэростате?

А если вернуться к Америке, разве не является «Monist», издаваемый в Чикаго, тем журналом, который даже нам кажется смелым и который, тем не менее, находит читателей?

А в математике? Вы думаете, американские геометры заботятся только о приложениях? Отнюдь нет. Та часть науки, которую они культивируют наиболее преданно, — это теория групп подстановок, причем в ее самой абстрактной форме, наиболее далекой от практической.

Более того, доктор Хэлстед ежегодно дает обзор всех работ, касающихся неевклидовой геометрии, и вокруг него есть публика, глубоко заинтересованная в его работе. Он посвятил эту публику в идеи Гильберта и даже написал элементарный трактат по «Рациональной геометрии», основанный на принципах прославленного немецкого ученого.

Внедрить этот принцип в преподавание — это, безусловно, на сей раз сжечь все мосты доверия к чувственной интуиции, и это, признаюсь, смелость, которая кажется мне почти безрассудством.

Американская публика поэтому гораздо лучше подготовлена, чем думали, к исследованию происхождения понятия пространства.

Более того, анализировать это понятие — не значит жертвовать реальностью ради не знаю какого призрака. Геометрический язык — это, в конце концов, только язык. Пространство — это только слово, которое мы приняли за вещь. Каково происхождение этого слова и других слов тоже? Какие вещи они скрывают? Спрашивать об этом позволительно; запрещать это значило бы, напротив, быть обманутым словами; это значило бы поклоняться метафизическому идолу, подобно диким народам, которые простираются перед статуей из дерева, не осмеливаясь взглянуть на то, что внутри.

В изучении природы контраст между англосаксонским духом и латинским духом еще больше.

Латиняне стремятся в общем облечь свою мысль в математическую форму; англичане предпочитают выражать ее через материальное представление.

Оба, несомненно, полагаются только на опыт для познания мира; когда им случается выйти за его пределы, они считают свое предзнание лишь временным и спешат запросить его окончательное подтверждение у самой природы.

Но опыт — это еще не все, и ученый не пассивен; он не ждет, пока истина придет и найдет его, или пока случайная встреча приведет его лицом к лицу с ней. Он должен идти ей навстречу, и именно его мышление должно открыть ему путь, ведущий туда. Для этого нужен инструмент; что ж, именно здесь начинается разница — инструмент, который обычно выбирают латиняне, не тот, который предпочитают англосаксы.

Для латинянина истина может быть выражена только уравнениями; она должна подчиняться законам простым, логичным, симметричным и подходящим для удовлетворения умов, влюбленных в математическую элегантность.

Англосакс, чтобы изобразить явление, сначала будет поглощен созданием модели, и он сделает ее из обычных материалов, таких, какими нам показывают их наши грубые, ничем не подкрепленные чувства. Он также делает гипотезу, он предполагает неявно, что природа в своих тончайших элементах такая же, как в сложных совокупностях, которые одни только доступны нашим чувствам. Он заключает от тела к атому.

Оба, следовательно, делают гипотезы, и это действительно необходимо, поскольку ни один ученый никогда не мог обойтись без них. Существенно никогда не делать их бессознательно.

С этой точки зрения опять же было бы хорошо, чтобы эти два рода физиков знали что-то друг о друге; изучая работу умов, столь непохожих на их собственные, они немедленно признают, что в этой работе было накопление гипотез.

Несомненно, этого будет недостаточно, чтобы заставить их понять, что они, со своей стороны, сделали столько же; каждый видит соринку, не видя бревна; но своими критическими замечаниями они предупредят своих соперников, и можно предположить, что те не преминут оказать им ту же услугу.

Английская процедура часто кажется нам грубой, аналогии, которые они думают, что обнаружили, нам кажутся временами поверхностными; они недостаточно взаимосвязаны, недостаточно точны; они иногда допускают несообразности, противоречия в терминах, которые шокируют геометрический дух и которые применение математического метода немедленно выявило бы. Но чаще всего, с другой стороны, очень удачно, что они не заметили этих противоречий; иначе они отвергли бы свою модель и не смогли бы вывести из нее блестящие результаты, которые они часто заставляли из нее выходить.

А затем эти самые противоречия, когда они в конце концов их замечают, имеют преимущество, показывая им гипотетический характер их концепций, тогда как математический метод своей кажущейся строгостью и негибким курсом часто внушает нам уверенность, которую ничто не оправдывает, и мешает нам смотреть по сторонам.

С другой точки зрения, однако, две концепции очень непохожи, и если нужно сказать все, они очень непохожи из-за общего недостатка.

Англичане хотят создать мир из того, что мы видим. Я имею в виду то, что мы видим невооруженным глазом, а не микроскоп, ни тот еще более тонкий микроскоп — человеческую голову, направляемую научной индукцией.

Латинянин хочет создать его из формул, но эти формулы — все еще квинтэссенция того, что мы видим. Одним словом, оба создали бы неизвестное из известного, и их оправдание в том, что нет способа сделать иначе.

И все же законно ли это, если неизвестное — простое, а известное — сложное?

Не получим ли мы о простом ложное представление, если будем думать о нем как о сложном, или, что еще хуже, если будем стремиться создать его из элементов, которые сами являются соединениями?

Разве не каждое великое достижение совершается именно в тот день, когда кто-то обнаружил под сложной совокупностью, показанной нашими чувствами, нечто гораздо более простое, даже не похожее на нее — как когда Ньютон заменил три закона Кеплера единым законом тяготения, который был чем-то более простым, эквивалентным, но непохожим?

Оправданно задаться вопросом, не находимся ли мы накануне именно такой революции или даже более важной. Материя, кажется, вот-вот потеряет свою массу, свой самый твердый атрибут, и разрешится в электроны. Механика должна тогда уступить место более широкой концепции, которая объяснит ее, но которую она не объяснит.

Так что тщетной была попытка, предпринятая в Англии, сконструировать эфир с помощью материальных моделей, или во Франции — применить к нему законы динамики.

Именно эфир, неизвестное, объясняет материю, известное; материя неспособна объяснить эфир.

Пуанкаре.

ВВЕДЕНИЕ

ПРОФЕССОРА ДЖОЗАЙИ РОЙСА Гарвардский университет

Трактат мастера не нуждается в похвале словами простого ученика. Но поскольку мой друг и бывший сокурсник, переводчик этого тома, присоединился к другому моему коллеге, профессору Кеттелу, с просьбой ко мне взять на себя задачу привлечь внимание моих сокурсников к важности и охвату тома г-на Пуанкаре, я принимаю эту обязанность не как человек, компетентный выносить суждение о книге, а просто как ученик, желающий увеличить число тех среди нас, кто уже интересуется типом исследований, в которые г-н Пуанкаре внес столь значительный вклад.

I

Отрасли исследования, коллективно известные как философия науки, претерпели большие изменения с момента появления «Первых принципов» Герберта Спенсера — тома, который значительная часть широкой публики в этой стране привыкла считать репрезентативным компендиумом всей современной мудрости, относящейся к основам научного знания. Резюме, которое г-н Пуанкаре дает в самом начале своего собственного введения к настоящей работе, где он излагает взгляд, который «поверхностный наблюдатель» имеет на научную истину, предполагает не столько самые характерные теории Спенсера, сколько нечто от духа, в котором многие последователи Спенсера, интерпретируя формулы своего учителя, привыкли представлять положение, которое наука занимает в работе с опытом. Им было хорошо известно, конечно, что опыт является постоянным проводником и неисчерпаемым источником как новых научных результатов, так и нерешенных проблем; но фундаментальные спенсеровские принципы науки, такие как «постоянство силы», «ритм движения» и прочие, рассматривались самим Спенсером как доказуемо объективные, хотя и «относительные» истины, способные быть проверенными раз и навсегда «немыслимостью противоположного» и определенно верные для всей «познаваемой» Вселенной. Таким образом, останавливался ли кто-то на результатах такой математической процедуры, к которой г-н Пуанкаре отсылает в своих вступительных абзацах, или, подобно самому Спенсеру, применял «первые принципы» к областям менее точной науки, эта уверенность в том, что определенная ортодоксия относительно принципов науки установлена навсегда, была характерна для последователей рассматриваемого движения. Опыт, освещенный разумом, казался им предопределившим на все будущие времена некоторые великие теоретические результаты относительно реального устройства «познаваемого» космоса. Кто сомневался в этом, тот сомневался в «вердикте науки».

Некоторые из нас хорошо помнят, как, когда впервые появились «Принципы и теории современной физики» Сталло, это чувство научной ортодоксии было потрясено среди многих наших американских читателей и преподавателей науки. Я сам могу припомнить некоторые весьма авторитетные рецензии на эту работу, в которых автор был более или менее резко раскритикован за свое невежественное самомнение, с которым он говорил там о таких священных достояниях человечества, как фундаментальные концепции физики. Эта самая книга, однако, совсем недавно была переведена на немецкий язык как ценный вклад в некоторые из самых последних усилий по воссозданию современной «философии природы». И что бы ни думали иначе о критических методах Сталло или о его результатах, нет сомнений, что в настоящий момент, если бы его книга появилась впервые, никто не попытался бы дискредитировать работу только из-за ее склонности быть агностической относительно объективной реальности концепций кинетической теории газов или из-за ее призыва к логической перегруппировке фундаментальных концепций теории энергии. Мы больше не способны так легко узнавать еретиков с первого взгляда.

Ибо мы теперь, по-видимому, находимся в таком положении: контроль над природными явлениями, которого люди достигли благодаря наукам, становится с каждым днем все обширнее и детальнее, а в своих деталях — все более уверенным. Явления люди знают и предсказывают лучше, чем когда-либо. Но относительно самых общих и самых фундаментальных теорий науки больше нет никакой заметной научной ортодоксии. Таким образом, по мере того как знание становится тверже и шире, концептуальное построение становится менее жестким. Поле теоретической философии природы — да, поле логики науки — вся эта область сегодня является открытой. Тот, кто будет работать там, должен, конечно, принять вердикт опыта относительно того, что происходит в естественном мире. Настолько он действительно связан. Но он может предпринять без помех со стороны простой традиции задачу попытаться заново свести то, что происходит, к концептуальному единству. Квадраторы круга и изобретатели устройств для вечного двигателя действительно все еще так же нежеланны в научной компании, как они были в дни, когда научная ортодоксия была более жестко определена; но это не потому, что основы геометрии теперь рассматриваются как полностью устоявшиеся, вне споров, и не потому, что «постоянство силы» было окончательно определено так, чтобы сделать «противоположное немыслимым», а доктрина энергии — недосягаемой для новых формулировок. Нет, квадраторы круга и изобретатели устройств для вечного двигателя сегодня дискредитированы не из-за какой-либо неортодоксальности их общей философии природы, а потому, что их взгляды относительно частных фактов и процессов находятся в конфликте с некоторыми столь же частными результатами науки, которые сами допускают весьма различные общие теоретические интерпретации. Определенные свойства иррационального числа π известны в достаточном количестве, чтобы оправдать математика в отказе слушать аргументы квадратора круга; но, несмотря на большие успехи и несмотря на уверенные результаты Дедекинда, Кантора, Вейерштрасса и различных других, общая теория логики чисел, рациональных и иррациональных, все еще представляет несколько важных черт большой неясности; а философия концепций геометрии все еще остается в нескольких весьма заметных отношениях завоеванной территорией, несмотря на работу Гильберта и Пьери, и нашего автора самого. Обычные изобретатели машин вечного двигателя все еще находятся в конфликте с принятыми обобщениями; но никто еще не знает, какой будет окончательная форма теории энергии, и никто не может сказать точно, какое место явления радиоактивных тел займут в этой теории. Алхимики не были бы желанными работниками в современных лабораториях; однако некоторые виды трансформации и эволюции элементов сегодня являются вопросами, которые теория может найти удобным, при случае, рассматривать как более или менее точно определимые возможности; в то время как некоторые недавно наблюдаемые явления имеют тенденцию указывать не на то, что древние надежды алхимиков были хорошо обоснованы, а на то, что конечное устройство материи — нечто более текучее, менее инвариантное, чем предполагала теоретическая ортодоксия недавнего периода. Опять же, относительно основ биологии, теоретическая ортодоксия становится менее возможной, менее определимой, менее мыслимой (даже как надежда) по мере того, как знание продвигается. Когда-то «механизм» и «витализм» были взаимно противоречивыми теориями относительно конечного устройства живых тел. Теперь они, очевидно, становятся все больше «точками зрения», разнообразными, но не обязательно конфликтующими. Насколько вы находите удобным ограничить свое изучение жизненных процессов теми явлениями, которые отличают живую материю от всех других природных объектов, вы можете принять, в современном «прагматическом» смысле, позицию «неовиталиста». Насколько, однако, вы способны сделать упор, с хорошими результатами, на многие способы, которыми жизненные процессы могут быть ассимилированы с теми, что изучаются в физике и химии, вы работаете так, как если бы вы были сторонником «механики». В любом случае ваша частная наука процветает благодаря эмпирическим открытиям, которые вы делаете. И ваши теории, какими бы они ни были, не должны идти вразрез с какими-либо позитивными эмпирическими результатами. Но в остальном научная ортодоксия больше не предопределяет, о чем только и прилично вам думать относительно природы живой субстанции.

Этот выигрыш в свободе теории, приходящий, как он приходит, бок о бок с постоянным увеличением позитивного знания о природе, поддается различным интерпретациям и поднимает различные очевидные вопросы.

II

Одна из самых естественных из этих интерпретаций, один из самых очевидных из этих вопросов, может быть легко сформулирована. Не является ли урок всех этих недавних дискуссий просто тем, что общие теории — просто тщетны, что философия природы — праздная мечта, и что результаты науки соразмерны диапазону фактического эмпирического наблюдения и успешного предсказания? Если это действительно урок, то упадок теоретической ортодоксии в науке — подобно затмению догмы в религии — лишь дальнейший урок в чистом позитивизме, еще одно доказательство того, что человек делает лучше всего, когда ограничивает себя мышлением о том, что может быть найдено в человеческом опыте, и попытками планировать, что можно сделать, чтобы сделать человеческую жизнь более контролируемой и более разумной. То, что мы вольны делать как хотим — является ли это еще серьезным делом? То, что мы вольны думать как хотим — представляет ли это еще какой-либо интерес для того, кто находится в поиске истины? Если определенные общие теории — просто концептуальные конструкции, которые сегодня есть, а завтра брошены в печь, зачем возвеличивать их именем философии? Есть ли у науки место для таких теорий? Зачем быть «неовиталистом», или «эволюционистом», или «атомистом», или «энергетиком»? Почему не сказать прямо: «Такие-то и такие-то явления, так-то и так-то описанные, были наблюдаемы; такие-то и такие-то опыты следует ожидать, поскольку гипотезы, терминами которых мы обязаны их ожидать, были проверены слишком часто, чтобы позволить нам рассматривать согласие с опытом как случайное; так много, значит, с разумной уверенностью мы знаем; все остальное — молчание, или же нечто, подлежащее проверке другим экспериментом»? Почему не ограничить нашу философию науки строго таким советом смирения? Почему не заменить, вместо старой научной ортодоксии, просто признанием невежества и решимостью посвятить себя делу расширения границ фактического эмпирического знания?

Такие комментарии к ситуации, только что охарактеризованной, делаются часто. К сожалению, они, по-видимому, не удовлетворяют ту самую эпоху, чей бунт против ортодоксии традиционной теории, чья неопределенность относительно всех теоретических формулировок и чье огромное богатство эмпирических открытий и быстро продвигающихся специальных исследований, казалось бы, больше всего оправдывали бы эти самые комментарии. Никогда не было лучшей причины, чем сегодня, быть довольным, если бы разумный человек мог быть доволен, чистым позитивизмом. Блестящие триумфы специальных исследований в самых различных областях, постоянное увеличение нашего практического контроля над природой — эти наши позитивные и растущие достояния стоят в разительном контрасте с неудачей научной ортодоксии прежнего периода зафиксировать контуры окончательного кредо о природе познаваемой Вселенной. Почему не «взять наличные и пусть кредит идет»? Зачем преследовать неуловимую теоретическую «унификацию» дальше, когда то, что мы ежедневно получаем от наших наук, — это растущее богатство детальной информации и практического руководства?

Как факт, однако, известный ответ нашей собственной эпохи на эти весьма очевидные комментарии — постоянное умножение новых усилий к большим и объединяющим теориям. Если теоретическая ортодоксия больше не является ясно определимой, теоретическое построение никогда не было более распространенным. История доктрины эволюции, даже в ее самых недавних фазах, когда на теоретических неопределенностях относительно «факторов эволюции» настаивают больше всего, полна иллюстраций этого замечательного союза скептицизма в критической работе с мужеством относительно использования научного воображения. История тех споров относительно теоретической физики, некоторые из главных фаз которых г-н Пуанкаре в своей книге набрасывает рукой мастера, — еще одна иллюстрация сознания времени. Люди имеют свою свободу мысли в этих областях; и они чувствуют необходимость делать постоянное и конструктивное использование этой свободы. И люди, которые больше всего чувствуют эту необходимость, отнюдь не являются в большинстве случаев профессиональными метафизиками — или студентами, которые, подобно мне, должны рассматривать все эти споры среди научных теоретиков извне как ученики. Эти большие теоретические конструкции обязаны, напротив, во многих случаях частным работникам, которые были доведены до свободы философии угнетением опыта и которые усвоили в конфликте с частными проблемами урок, который они теперь преподают в форме общих идей относительно философских аспектов науки.

Почему, тогда, наука действительно нуждается в общих теориях, несмотря на тот факт, что эти теории неизбежно меняются и проходят? Какова услуга философии науки, когда определенно, что философия науки, которая лучше всего подходит к нуждам одного поколения, должна быть вытеснена продвигающимся прозрением следующего поколения? Почему то, что бесконечно растет, а именно знание человеком феноменального порядка природы, должно быть постоянно объединено в умах людей с тем, что определенно должно распасться, а именно теоретической формулировкой частного знания в более или менее полностью объединенных системах доктрины?

Я понимаю том нашего автора в основном как ответ на этот вопрос. Конечно, компактные и многообразные учения, которые содержит этот текст, относятся к великому множеству различных частных вопросов. Студент, интересующийся проблемами философии математики, или теорией вероятностей, или природой и должностью математической физики, или еще другими проблемами, принадлежащими к широкой области, здесь обсуждаемой, может найти то, что он хочет, здесь и там в тексте, даже в случае, если общие вопросы, которые дают тому его единство, значат мало для него, или даже если он отличается от взглядов автора относительно главных вопросов книги. Но в основном этот том должен рассматриваться как то, что указывает его название — критика природы и места гипотезы в работе науки и изучение логических отношений теории и факта. Результат книги — существенное оправдание научной полезности теоретического построения — отказ от догмы, но оправдание прав конструктивного разума.

III

Самый заметный из результатов исследования нашего автора логики научных теорий относится, как я понимаю его работу, к теме, которую нынешнее состояние логического исследования, только что резюмированное, делает особенно важной, но которая до сих пор была очень неадекватно рассмотрена в учебниках индуктивной логики. Полезные гипотезы науки бывают двух видов:

1. Гипотезы, которые ценны именно потому, что они либо проверяемы, либо опровержимы через определенное обращение к тестам, предоставляемым опытом; и

2. Гипотезы, которые, несмотря на тот факт, что опыт предполагает их, ценны несмотря на, или даже благодаря, тому факту, что опыт не может ни подтвердить, ни опровергнуть их. Контраст между этими двумя видами гипотез — видная тема дискуссии нашего автора.

Гипотезы общего типа, которые я здесь поставил первыми в порядке, — те, которые учебники индуктивной логики и те резюме научного метода, которые обычны в курсе элементарных трактатов по физической науке, уже привыкли признавать и характеризовать. Ценность таких гипотез действительно несомненна. Но гипотезы типа, который я здесь назвал на втором месте, гораздо реже признаются в совершенно явном виде как полезные вспомогательные средства в работе частной науки. Обычно либо не удается признать их присутствие в научной работе, либо остаются молчаливыми относительно причин их полезности. Обработка работы науки нашим автором поэтому особенно отмечена тем фактом, что он явно делает видными как существование, так и научную важность гипотез этого второго типа. Они занимают в его дискуссии место, несколько аналогичное каждой из двух различных позиций, занимаемых «категориями» и «формами чувственности», с одной стороны, и «регулятивными принципами разума», с другой стороны, в кантовской теории нашего знания о природе. То есть, эти гипотезы, которые не могут быть ни подтверждены, ни опровергнуты опытом, появляются в изложении г-на Пуанкаре отчасти (как концепция «непрерывной величины») как устройства рассудка, посредством которых мы даем концептуальное единство и невидимую связность определенным типам феноменальных фактов, которые приходят к нам в дискретной форме и в запутанном разнообразии; и отчасти (как большие организующие концепции науки) как принципы относительно структуры мира в его целостности; т. е. как принципы, в свете которых мы пытаемся интерпретировать наш опыт, чтобы дать ему целостность и инклюзивное единство, такое как евклидово пространство, или такое, каким концептуально обладает мир теории энергии. Так рассматриваемая, логическая теория г-на Пуанкаре этого второго класса гипотез предпринимает выполнить, современными средствами и в свете сегодняшних вопросов, часть того, что Кант стремился выполнить в своей теории научного знания с ограниченными средствами, которые были в его распоряжении. Те аспекты науки, которые определены использованием гипотез этого второго вида, появляются в изложении нашего автора как составляющие существенный человеческий способ видения природы, интерпретацию, а не изображение или предсказание объективных фактов природы, приспособление наших концепций вещей к внутренним нуждам нашего интеллекта, а не схватывание вещей, как они есть сами по себе.

Конечно, взгляд г-на Пуанкаре в этой части его работы, очевидно, отличается, тем временем, от взгляда Канта, как это согласуется, в некоторой мере, с духом кантовской эпистемологии. Я не имею в виду поэтому классифицировать нашего автора как кантианца. Для Канта интерпретации, навязанные «формами чувственности» и «категориями рассудка» нашей доктрине о природе, жестко предопределены неизменной «формой» наших интеллектуальных сил. Мы «должны» так видеть факты, каковы бы ни были данные чувства. Это, конечно, не взгляд г-на Пуанкаре. Подобная жесткая предопределенность также ограничивает кантовские «идеи разума» определенным набором принципов, чье руководство курсом наших теоретических исследований действительно только «регулятивное», но является «априорным», и поэтому неизменным. Для г-на Пуанкаре, напротив, все это приспособление наших интерпретаций опыта к нуждам нашего интеллекта — нечто гораздо менее жесткое и неизменное, и постоянно подвержено внушениям опыта. Мы должны, конечно, интерпретировать по-своему; но наш способ сам по себе только относительно детерминирован; он существенно более или менее пластичен; другие интерпретации опыта мыслимы. Те, которые мы используем, — просто те, которые найдены наиболее удобными. Но это удобство — не абсолютная необходимость. Непроверяемые и неопровержимые гипотезы в науке действительно, в общем, незаменимые вспомогательные средства для организации и для руководства нашей интерпретацией опыта. Но именно опыт сам указывает нам, какие линии интерпретации окажутся наиболее удобными. Вместо жесткого списка априорных «форм» Канта мы, следовательно, имеем в изложении г-на Пуанкаре набор конвенций, ни полностью субъективных и произвольных, ни навязанных нам недвусмысленно внешним принуждением опыта. Организация науки, насколько эта организация обязана гипотезам того вида, который здесь в вопросе, таким образом напоминает организацию конституционного правительства — ни абсолютно необходимую, ни определенную отдельно от воли субъектов, ни случайную — свободное, но не капризное установление хорошего порядка, в соответствии с эмпирическими нуждами.

Характерной остается, однако, для нашего автора, как, в его решительно контрастирующем способе, для Канта, мысль, что без принципов, которые на каждой стадии превосходят точное подтверждение через такой опыт, какой тогда доступен, организация опыта невозможна. Рассматривает ли кто-то эти принципы как конвенции или как априорные «формы», они могут поэтому быть описаны как гипотезы, но как гипотезы, которые, лежа в основе наших фактических физических наук, одновременно отсылают к опыту и помогают нам в работе с опытом, и все же ни подтверждены, ни опровергнуты опытами, которые мы имеем или которые мы можем надеяться достичь.

Три частных примера или класса примеров, согласно изложению нашего автора, могут быть использованы как иллюстрации этого общего типа гипотез. Они: (1) Гипотеза существования непрерывных экстенсивных квантов в природе; (2) Принципы геометрии; (3) Принципы механики и общей теории энергии. В случае каждого из этих частных типов гипотез мы сначала склонны, помимо размышления, сказать, что мы находим мир таким или таким, так что, например, мы можем подтвердить тезис, согласно которому природа содержит непрерывные величины; или можем доказать или опровергнуть физическую истину постулатов евклидовой геометрии; или можем подтвердить определенным опытом объективную валидность принципов механики. Более близкое исследование выявляет, согласно нашему автору, некорректность всех таких мнений. Гипотезы этих различных частных типов нужны; и их полезность может быть эмпирически показана. Они в контакте с опытом; и то, что они не просто произвольные конвенции, также проверяемо. Они не априорные необходимости; и мы можем легко представить разумных существ, чей опыт мог бы быть лучше интерпретирован без использования этих гипотез. И все же эти гипотезы не подлежат прямому подтверждению или опровержению опытом. Они стоят тогда в резком контрасте к научным гипотезам другого, и более часто признаваемого, типа, т. е. к гипотезам, которые могут быть проверены определенным обращением к опыту. К этим другим гипотезам наш автор придает, конечно, большое значение. Его обработка их полна живой оценки значимости эмпирического исследования. Но центральная проблема логики науки таким образом становится проблемой отношения между двумя фундаментально различными типами гипотез, т. е. между теми, которые не могут быть верифицированы или опровергнуты через опыт, и теми, которые могут быть эмпирически проверены.

IV

Детальная обработка, которую г-н Пуанкаре дает проблеме, таким образом определенной, должна быть изучена из его текста. Не является частью моей цели излагать, защищать или опровергать какие-либо из его частных заключений относительно этого вопроса. И все же я не могу избежать наблюдения, что, хотя г-н Пуанкаре строго ограничивает свои иллюстрации и свои выражения мнения теми областями науки, в которых, как частный исследователь, он сам наиболее дома, вопросы, которые он таким образом поднимает относительно логики науки, имеют даже более критическую важность и более впечатляющий интерес, когда кто-то применяет методы г-на Пуанкаре к изучению концепций и предпосылок органических и исторических и социальных наук, чем когда кто-то ограничивает свое внимание, как наш автор здесь делает, физическими науками. Принадлежит к провинции введения, подобного настоящему, указать, как бы кратко и неадекватно, что значимость идей нашего автора простирается далеко за пределы охвата, к которому он выбирает ограничить их дискуссию.

Исторические науки, и фактически все те науки, такие как геология, и такие как эволюционные науки в общем, предпринимают теоретические конструкции, которые относятся к прошлому времени. Гипотезы, относящиеся к более или менее отдаленному прошлому, стоят, однако, в положении, которое очень интересно с точки зрения логики науки. Прямо говоря, никакая такая гипотеза не способна к подтверждению или к опровержению, потому что мы не можем вернуться в прошлое, чтобы проверить собственным опытом, что тогда случилось. И все же косвенно такие гипотезы могут вести к предсказаниям грядущего опыта. Последние будут подлежать контролю. Таким образом, уверенность Шлимана, что легенда о Трое имела определенное историческое основание, вела к предсказаниям относительно того, что определенные раскопки выявят. В смысле, несколько отличном от того, который наполнял энтузиастический ум Шлимана, эти предсказания оказались проверяемыми. Результатом стало значительное изменение в отношении историков к легенде о Трое. Геологическое исследование ведет к предсказаниям относительно порядка пластов или курса минеральных жил в районе, относительно ископаемых, которые могут быть обнаружены в данных формациях, и так далее. Эти гипотезы подлежат контролю опыта. Различные теории эволюционной доктрины включают многие гипотезы, способные к подтверждению и к опровержению эмпирическими тестами. И все же, несмотря на весь такой эмпирический контроль, все еще остается верным, что всякий раз, когда наука в основном озабочена отдаленным прошлым, будь эта наука археологией, или геологией, или антропологией, или историей Ветхого Завета, главные теоретические конструкции всегда включают черты, которые никакое обращение к настоящему или к доступному будущему опыту никогда не может определенно проверить. Отсюда подозрение, с которым студенты экспериментальной науки часто рассматривают теоретические конструкции своих собратьев наук, которые имеют дело с прошлым. Происхождение рас людей, самого человека, жизни, видов, планеты; гипотезы антропологов, археологов, студентов «высшей критики» — все это вопросы, которые люди лаборатории часто рассматривают с общим недоверием как принадлежащие вовсе не к домену истинной науки. И все же никто не может сомневаться в важности и неизбежности стремления применить научный метод и к этим областям. Наука нуждается в теориях относительно прошлой истории мира. И никто, кто смотрит ближе в методы этих наук прошлого времени, не может сомневаться, что проверяемые и непроверяемые гипотезы во всех этих областях неизбежно переплетены; так что, в то время как опыт — всегда проводник, отношение исследователя к опыту определено интересами, которые должны быть частично обязаны тому, что я назвал бы этим «внутренним смыслом», тем человеческим интересом к рациональному теоретическому построению, который вдохновляет научное исследование; и теоретические конструкции, которые преобладают в таких науках, — ни беспристрастные отчеты о фактическом устройстве внешней реальности, ни произвольные конструкции фантазии. Эти конструкции фактически напоминают в некоторой мере те, которые г-н Пуанкаре в этой книге проанализировал в случае геометрии. Они — конструкции, сформированные, но не предопределенные в своих деталях, опытом. Мы сообщаем факты; мы позволяем фактам говорить; но мы, как мы исследуем, в популярной фразе, «отвечаем» фактам. Мы интерпретируем, а также сообщаем. Человек не просто создан для науки, но наука создана для человека. Она выражает его глубочайшие интеллектуальные нужды, а также его тщательные наблюдения. Это усилие привести внутренние смыслы в гармонию с внешними верификациями. Она пытается поэтому контролировать, а также подчиняться, мыслить с рациональным единством, а также принимать данные. Ее искусства — те, что направлены к самообладанию, а также к имитации внешней реальности, которую мы находим. Она ищет поэтому дисциплинированную свободу мысли. Дисциплина так же существенна, как свобода; но последняя также имеет свое место. Теории науки — человеческие, а также объективные, внутренне рациональные, а также (когда это возможно) подлежащие внешним тестам.

В области, весьма отличной от исторических наук, а именно в науке наблюдения и эксперимента, которая в то же время является органической наукой, в ходе изучения истории некоторых исследований я пришел к выводу о существовании теоретической концепции, которая оказалась чрезвычайно плодотворной для направления исследований, но которая по видимости в некоторой мере напоминает тип гипотез, о которых говорит г-н Пуанкаре, когда характеризует принципы механики и теории энергии. Я беру на себя смелость обратить здесь внимание на эту концепцию, которая, как мне кажется, иллюстрирует взгляд г-на Пуанкаре на функции гипотезы в научной работе.

Современная наука патология обычно считается ведущей свое начало от ранних исследований Вирхова, чья «Целлюлярная патология» стала результатом очень тщательной и детальной индукции. Сам Вирхов испытывал сильное отвращение к чистым спекуляциям. Он стремился придерживаться наблюдений и избавить медицинскую науку от контроля фантастических теорий, какими были теории натурфилософов. Тем не менее исследования Вирхова уже в 1847 году или даже раньше находились под руководством теоретической предпосылки, которую он сам формулирует следующим образом: «Мы научились признавать, — говорит он, — что болезни не являются автономными организмами, что они не сущности, проникшие в тело, что они не паразиты, пускающие корни в теле, но что они лишь показывают нам ход жизненных процессов при измененных условиях» ('dasz sie nur Ablauf der Lebenserscheinungen unter veränderten Bedingungen darstellen').

Огромное значение этой теоретической предпосылки для всех ранних успехов современных патологических исследований общепризнано экспертами. Я не сомневаюсь в этом мнении. Оно представляется общим местом в истории этой науки. Но в поздние годы жизни Вирхова эта самая предпосылка некоторым его современникам казалась поставленной под сомнение успехами недавней бактериологии. Возник вопрос, не были ли теоретические основы патологии Вирхова отброшены. И действительно, теория паразитарного происхождения огромного числа болезненных состояний была на эмпирической основе общепризнана. Однако до конца своей карьеры Вирхов твердо настаивал на том, что во всем своем существенном значении его собственный фундаментальный принцип остается совершенно нетронутым новыми открытиями. И, по сути, этот взгляд действительно можно было отстаивать. Ибо если болезни оказывались следствием присутствия паразитов, то сами болезни, поскольку они принадлежали пораженному организму, все еще не были паразитами, а были, как и прежде, реакцией организма на измененные условия (veränderte Bedingungen), которые влекло за собой присутствие паразитов. Так что Вирхов вполне мог настаивать на своем. И если упомянутый знаменитый принцип сформулирован с достаточной общностью, он сводится просто к утверждению, что если болезнь влечет за собой изменение в организме и если это изменение вообще подчинено закону, то природа организма и реакция организма на то, что вызывает болезнь, должны быть поняты, если должна быть понята сама болезнь.

Однако именно по этой причине теоретический принцип Вирхова в его наиболее общей форме не мог быть ни подтвержден, ни опровергнут опытом. Он оставался бы эмпирически неопровержимым, насколько я могу судить, даже если бы мы узнали, что дьявол был истинной причиной всех болезней. Ибо сам дьявол тогда просто предопределял бы измененные условия (veränderte Bedingungen), на которые реагировал бы больной организм. Будь то пули или бактерии, яды или сжатый воздух, или дьявол — условия (Bedingungen), на которые реагирует больной организм, постулат, который Вирхов излагает в только что процитированном отрывке, останется неопровержимым, если только этот постулат интерпретировать применительно к случаю. Ибо рассматриваемый принцип просто гласит, что какой бы сущностью ни было то, что воздействует на организм — пуля, яд или дьявол, — болезнь не является этой сущностью, а является результирующим изменением в процессе жизнедеятельности организма.

Я настаиваю, таким образом, что этот принцип Вирхова не является пробным предположением, не является научной гипотезой в узком смысле — способной быть подвергнутой точным эмпирическим проверкам. Напротив, это очень ценная руководящая идея, теоретическая интерпретация явлений, в свете которой должны проводиться наблюдения, — «регулятивный принцип» исследования. Он равносилен решению искать те детальные связи, которые соединяют процессы болезни с нормальным процессом организма. Такой поиск предпринимается для того, чтобы найти истинное единство, чем бы оно ни оказалось, в котором связаны патологические и нормальные процессы. Теперь, без какой-либо подобной руководящей идеи, сама целлюлярная патология никогда не могла бы быть достигнута; потому что эмпирические факты, о которых идет речь, никогда не были бы замечены. Следовательно, этот принцип Вирхова был необходим для роста его науки. И все же это не была проверяемая и не была опровержимая гипотеза. Ценность непроверяемых и неопровержимых гипотез этого типа заключается, таким образом, в том роде эмпирических изысканий, которые они инициируют, вдохновляют, организуют и направляют. В этих изысканиях гипотезы в узком смысле, то есть пробные суждения, которые должны быть подвергнуты определенному эмпирическому контролю, действительно присутствуют повсюду. И использование принципов другого рода заключается целиком в их приложении к опыту. И все же без того, что я только что предложил назвать «руководящими идеями» науки, то есть ее принципами непроверяемого и неопровержимого характера, подсказанными, но не подлежащими окончательной проверке опытом, гипотезам в узком смысле не хватало бы того руководства, которое, как показал г-н Пуанкаре, дают науке более широкие идеи для эмпирического исследования.

V

Я, несомненно, слишком подробно остановился только на одном аспекте разнообразной и хорошо сбалансированной дискуссии нашего автора о проблемах и концепциях научной теории. О гипотезах в узком смысле и о ценности прямого эмпирического контроля он также говорил с авторитетом и оригинальностью, которые присущи его положению. А при рассмотрении основ математики он поднял один или два вопроса огромной философской важности, в которые у меня нет времени, даже если бы я имел право, вдаваться здесь. В частности, говоря о сущности математического рассуждения и о трудной проблеме того, что делает возможными новые результаты в области чистой математики, г-н Пуанкаре защищает тезис относительно роли «доказательства по рекуррентности» — тезис, который действительно спорен, который оспаривался и который я сам был бы склонен, насколько я в настоящее время понимаю этот вопрос, в некоторых отношениях модифицировать, даже принимая дух утверждения нашего автора. И все же не может быть сомнений в важности этого тезиса и в том факте, что он определяет характеристику, которая действительно является фундаментальной в широком спектре математических исследований. Философские проблемы, лежащие в основе рекуррентных доказательств и процессов, как я аргументировал в другом месте, имеют фундаментальнейшее значение.

Это, таким образом, несколько намеков, касающихся значимости дискуссии нашего автора, и несколько причин надеяться, что наши собственные студенты извлекут пользу из чтения этой книги, как это уже сделали студенты других стран.

О личности и жизненном пути нашего автора здесь, в заключение, уместно сказать еще несколько слов, обращенных не к студентам его собственной науки, которым его положение хорошо известно, а к широкому читателю, который может искать руководства на этих страницах.

Жюль Анри Пуанкаре родился в Нанси в 1854 году, сын профессора медицинского факультета в Нанси. Он учился в Политехнической школе и в Горной школе, а позже получил докторскую степень по математике в 1879 году. В 1883 году он начал курсы обучения математике в Политехнической школе; в 1886 году получил профессорскую должность по математической физике на факультете наук в Париже; затем стал членом Академии наук в Париже в 1887 году и посвятил свою жизнь преподаванию и исследованиям в областях чистой математики, математической физики и небесной механики. Его список опубликованных трактатов, относящихся к различным отраслям выбранных им наук, обширен; а его оригинальные мемуары включают несколько важных исследований, которые во многом способствовали преобразованию более чем одной области исследований. Его присутствие на Международном конгрессе искусств и наук в Сент-Луисе было одной из самых заметных черт того замечательного собрания выдающихся иностранных гостей. В Пуанкаре читатель встречает, таким образом, не того, кто является прежде всего кабинетным исследователем общих проблем ради них самих, а оригинального исследователя высочайшего ранга в нескольких различных, хотя и взаимосвязанных, областях современных исследований. Теория функций — весьма сложная область чистой математики — обязана ему достижениями первостепенной важности, например, определением нового типа функций. «Задача трех тел», знаменитая и фундаментальная проблема небесной механики, получила в его исследованиях трактовку, значимость которой была признана высшими авторитетами. Его международная репутация была подтверждена присуждением более чем одной важной премии за его исследования. Его членство в самых выдающихся ученых обществах различных стран широко распространено; его тома, относящиеся к различным отраслям математики и математической физики, используются специалистами во всех частях ученого мира; короче говоря, он, как геометр, как аналитик и как физик-теоретик, является лидером своей эпохи.

Между тем, как участник философской дискуссии об основах и методах науки, г-н Пуанкаре давно был активен. Когда в 1893 году начал выходить замечательный журнал «Revue de Métaphysique et de Morale», г-н Пуанкаре вскоре оказался среди наиболее удовлетворительных авторов этого журнала, чьей задачей было, в частности, привести философию и различные специальные науки (как естественные, так и моральные) к более тесному взаимному пониманию. Дискуссии, собранные в настоящем томе, в значительной степени являются результатом вкладов г-на Пуанкаре в «Revue de Métaphysique et de Morale». Читатель книги г-на Пуанкаре находится, таким образом, в присутствии великого специального исследователя, который является также философом.

НАУКА И ГИПОТЕЗА

ВВЕДЕНИЕ

Для поверхностного наблюдателя научная истина вне возможности сомнения; логика науки непогрешима, и если ученые иногда ошибаются, то только из-за того, что неправильно понимают ее правила.

«Математические истины вытекают из небольшого числа самоочевидных положений путем цепи безупречных рассуждений; они навязывают себя не только нам, но и самой природе. Они сковывают, так сказать, Творца и позволяют ему выбирать лишь между немногими относительно немногими решениями. Нескольких экспериментов тогда будет достаточно, чтобы узнать, какой выбор он сделал. Из каждого эксперимента вытечет множество следствий путем ряда математических дедукций, и таким образом каждый эксперимент откроет нам уголок вселенной».

Вот что является для многих людей в мире, для ученых, получающих свои первые представления о физике, источником научной достоверности. Это то, что они считают ролью экспериментирования и математики. Эту же концепцию сто лет назад разделяли многие ученые, которые мечтали построить мир, взяв как можно меньше из опыта.

При небольшом размышлении было замечено, какое огромное место занимает гипотеза; что математик не может обойтись без нее, тем более экспериментатор. И тогда засомневались, действительно ли все эти построения прочны, и поверили, что дуновение ветра опрокинет их. Быть скептиком таким образом — значит все еще оставаться поверхностным. Сомневаться во всем и верить во всем — два одинаково удобных решения; каждое избавляет нас от мышления.

Вместо того чтобы выносить огульное осуждение, мы должны поэтому тщательно изучить роль гипотезы; мы тогда признаем не только то, что она необходима, но и то, что обычно она законна. Мы также увидим, что существуют различные виды гипотез; что одни проверяемы и, будучи подтвержденными экспериментом, становятся плодотворными истинами; что другие, неспособные ввести нас в заблуждение, могут быть полезны нам для фиксации наших идей; что другие, наконец, являются гипотезами только по видимости и сводятся к замаскированным определениям или конвенциям.

Последние встречаются прежде всего в математике и смежных науках. Именно отсюда эти науки черпают свою строгость; эти конвенции — дело свободной деятельности нашего ума, который в этой области не признает никаких препятствий. Здесь наш ум может утверждать, поскольку он постановляет; но поймем, что, хотя эти постановления навязываются нашей науке, которая без них была бы невозможна, они не навязываются природе. Являются ли они тогда произвольными? Нет, иначе они были бы бесплодны. Опыт оставляет нам свободу выбора, но он направляет нас, помогая нам различить самый легкий путь. Наши постановления поэтому подобны постановлениям принца, абсолютным, но мудрым, который советуется со своим государственным советом.

Некоторых людей поразил этот характер свободной конвенции, узнаваемый в некоторых фундаментальных принципах наук. Они пожелали обобщить сверх меры и в то же время забыли, что свобода — это не вседозволенность. Таким образом, они пришли к тому, что называется номинализмом, и задались вопросом, не является ли ученый жертвой своих собственных определений и не создан ли мир, который он думает, что открывает, просто его собственным капризом. [1] При таких условиях наука была бы достоверной, но лишенной значимости.

Если бы это было так, наука была бы бессильна. Но каждый день мы видим, как она работает на наших глазах. Этого не могло бы быть, если бы она не учила нас ничему о реальности. Все же сами вещи — это не то, чего она может достичь, как думают наивные догматики, а только отношения между вещами. Вне этих отношений нет познаваемой реальности.

Таков вывод, к которому мы придем, но для этого мы должны рассмотреть ряд наук от арифметики и геометрии до механики и экспериментальной физики.

Какова природа математического рассуждения? Является ли оно действительно дедуктивным, как принято считать? Более глубокий анализ показывает нам, что это не так, что оно в известной мере причастно природе индуктивного рассуждения, и именно благодаря этому оно столь плодотворно. Тем не менее оно сохраняет свой характер абсолютной строгости; это первое, что нужно было показать.

Зная теперь лучше один из инструментов, который математика вкладывает в руки исследователя, мы должны были проанализировать другое фундаментальное понятие — понятие математической величины. Находим ли мы его в природе, или мы сами вводим его туда? И, в этом последнем случае, не рискуем ли мы все испортить? Сравнивая грубые данные наших чувств с тем чрезвычайно сложным и тонким понятием, которое математики называют величиной, мы вынуждены признать различие; эта рамка, в которую мы хотим втиснуть все, есть наша собственная конструкция; но мы сделали ее не случайно. Мы сделали ее, так сказать, по мерке, и поэтому мы можем заставить факты соответствовать ей, не меняя того, что является существенным в них.

Другая рамка, которую мы навязываем миру, — это пространство. Откуда берутся первые принципы геометрии? Навязываются ли они нам логикой? Лобачевский доказал, что нет, создав неевклидову геометрию. Раскрывается ли нам пространство нашими чувствами? Опять же нет, ибо пространство, которое могли бы показать нам наши чувства, абсолютно отличается от пространства геометра. Является ли опыт источником геометрии? Более глубокая дискуссия покажет нам, что нет. Мы поэтому заключаем, что первые принципы геометрии — это лишь конвенции; но эти конвенции не произвольны, и если бы их перенесли в другой мир (который я называю неевклидовым миром и пытаюсь вообразить), то мы были бы вынуждены принять другие.

В механике мы пришли бы к аналогичным выводам и увидели бы, что принципы этой науки, хотя и более непосредственно основанные на опыте, все же причастны конвенциональному характеру геометрических постулатов. До сих пор номинализм торжествует; но теперь мы переходим к физическим наукам, собственно так называемым. Здесь сцена меняется; мы встречаем другой сорт гипотез и видим их плодотворность. Без сомнения, на первый взгляд теории кажутся нам хрупкими, и история науки доказывает нам, насколько они эфемерны; все же они не погибают полностью, и от каждой из них что-то остается. Именно это нечто мы должны попытаться распутать, поскольку там и только там находится истинная реальность.

Метод физических наук покоится на индукции, которая заставляет нас ожидать повторения явления, когда воспроизводятся обстоятельства, при которых оно произошло впервые. Если бы все эти обстоятельства можно было воспроизвести сразу, этот принцип можно было бы применять без страха; но этого никогда не произойдет; некоторых из этих обстоятельств всегда будет не хватать. Уверены ли мы абсолютно, что они неважны? Очевидно, нет. Это может быть вероятно, это не может быть строго достоверно. Отсюда важная роль, которую понятие вероятности играет в физических науках. Исчисление вероятностей поэтому не просто развлечение или руководство для игроков в баккару, и мы должны стремиться глубже вникнуть в его основы. В этой главе я смог дать лишь очень неполные результаты, настолько сильно этот смутный инстинкт, позволяющий нам различать вероятность, сопротивляется анализу.

После изучения условий, в которых работает физик, я счел уместным показать его за работой. Для этого я взял примеры из истории оптики и электричества. Мы увидим, откуда возникли идеи Френеля, Максвелла и какие бессознательные гипотезы были сделаны Ампером и другими основателями электродинамики.

ЧАСТЬ I ЧИСЛО И ВЕЛИЧИНА

ГЛАВА I

О природе математического рассуждения

I

Сама возможность науки математики кажется неразрешимым противоречием. Если эта наука дедуктивна только по видимости, откуда она черпает ту совершенную строгость, в которой никто не мечтает сомневаться? Если, напротив, все положения, которые она провозглашает, могут быть выведены одно из другого по правилам формальной логики, почему математика не сводится к огромной тавтологии? Силлогизм не может научить нас ничему существенно новому, и, если все должно исходить из принципа тождества, все должно быть способно быть сведенным к нему. Должны ли мы тогда признать, что формулировки всех тех теорем, которые заполняют так много томов, — это не что иное, как окольные пути сказать, что А есть А?

Без сомнения, мы можем вернуться к аксиомам, которые являются источником всех этих рассуждений. Если мы решим, что их нельзя свести к принципу противоречия, если еще меньше мы видим в них экспериментальные факты, которые не могли бы быть причастны математической необходимости, у нас все же остается ресурс отнести их к синтетическим априорным суждениям. Это не значит решить трудность, а только окрестить ее; и даже если бы природа синтетических суждений не была для нас тайной, противоречие не исчезло бы, оно только отодвинулось бы назад: силлогистическое рассуждение остается неспособным добавить что-либо к данным ему данным: эти данные сводятся к нескольким аксиомам, и мы не нашли бы ничего другого в выводах.

Ни одна теорема не могла бы быть новой, если бы в ее доказательстве не участвовала новая аксиома; рассуждение могло бы дать нам только непосредственно очевидные истины, заимствованные из прямой интуиции; оно было бы лишь промежуточным паразитом, и поэтому не было ли бы у нас веской причины спросить, не служил ли весь силлогистический аппарат исключительно для того, чтобы скрыть наше заимствование?

Противоречие поразит нас тем сильнее, если мы откроем любую книгу по математике; на каждой странице автор будет объявлять о своем намерении обобщить какое-то уже известное положение. Переходит ли математический метод от частного к общему, и если так, то как тогда его можно называть дедуктивным?

Если, наконец, наука о числе была чисто аналитической или могла быть аналитически выведена из небольшого числа синтетических суждений, кажется, что ум, достаточно мощный, мог бы с одного взгляда воспринять все ее истины; более того, мы могли бы даже надеяться, что когда-нибудь кто-то изобретет для их выражения язык, достаточно простой, чтобы они казались самоочевидными обычному интеллекту.

Если мы отказываемся признать эти следствия, должно быть допущено, что математическое рассуждение само по себе обладает своего рода творческой добродетелью и, следовательно, отличается от силлогизма.

Различие должно быть даже глубоким. Мы не найдем, например, ключа к тайне в частом использовании того правила, согласно которому одна и та же единообразная операция, примененная к двум равным числам, даст идентичные результаты.

Все эти способы рассуждения, сводимы ли они к силлогизму в собственном смысле слова или нет, сохраняют аналитический характер и именно благодаря этому бессильны.

II

Дискуссия стара; Лейбниц пытался доказать, что 2 и 2 составляют 4; давайте взглянем на мгновение на его доказательство.

Я предположу, что число 1 определено, а также операция x + 1, которая состоит в прибавлении единицы к данному числу x.

Эти определения, какими бы они ни были, не входят в ход рассуждения.

I define then the numbers 2, 3 and 4 by the equalities

(1) 1 + 1 = 2; (2) 2 + 1 = 3; (3) 3 + 1 = 4.

Таким же образом я определяю операцию x + 2 соотношением:

(4) x + 2 = (x + 1) + 1.

Это предположив, мы имеем

2 + 1 + 1 = 3 + 1 | (Definition 2),
3 + 1 = 4 | (Definition 3),
2 + 2 = (2 + 1) + 1     | (Definition 4),

откуда

2 + 2 = 4 Ч.Т.Д.

Нельзя отрицать, что это рассуждение чисто аналитическое. Но спросите любого математика: «Это не доказательство в собственном смысле слова», — скажет он вам: «это проверка». Мы ограничились сравнением двух чисто конвенциональных определений и установили их тождество; мы не узнали ничего нового. Проверка отличается от истинного доказательства именно тем, что она чисто аналитическая и что она бесплодна. Она бесплодна, потому что вывод — это не что иное, как предпосылки, переведенные на другой язык. Напротив, истинное доказательство плодотворно, потому что вывод здесь в некотором смысле более общий, чем предпосылки.

Равенство 2 + 2 = 4, таким образом, поддается проверке только потому, что оно частное. Каждое частное утверждение в математике всегда может быть проверено таким же образом. Но если бы математику можно было свести к ряду таких проверок, она не была бы наукой. Так, шахматист, например, не создает науку, выигрывая партию. Нет науки вне общего.

Можно даже сказать, что сама цель точных наук — избавить нас от этих прямых проверок.

III

Давайте поэтому увидим геометра за работой и попытаемся уловить его процесс.

Задача не без трудностей; недостаточно открыть работу наугад и проанализировать любое доказательство в ней.

Мы должны сначала исключить геометрию, где вопрос осложняется трудными проблемами, относящимися к роли постулатов, к природе и происхождению понятия пространства. По аналогичным причинам мы не можем обратиться к инфинитезимальному анализу. Мы должны искать математическую мысль там, где она осталась чистой, то есть в арифметике.

Выбор все же необходим; в высших частях теории чисел примитивные математические понятия уже подверглись столь глубокой разработке, что становится трудно их анализировать.

Поэтому именно в начале арифметики мы должны ожидать найти объяснение, которое мы ищем, но случается так, что именно в доказательстве самых элементарных теорем авторы классических трактатов проявили наименьшую точность и строгость. Мы не должны вменять это им в вину; они уступили необходимости; начинающие не подготовлены к настоящей математической строгости; они увидели бы в ней лишь бесполезные и утомительные тонкости; было бы пустой тратой времени пытаться преждевременно сделать их более требовательными; они должны пройти быстро, но не пропуская станций, путь, пройденный медленно основателями науки.

Почему так долгая подготовка необходима, чтобы привыкнуть к этой совершенной строгости, которая, казалось бы, должна естественно запечатлеться во всех хороших умах? Это логическая и психологическая проблема, вполне достойная изучения.

Но мы не будем ее затрагивать; она чужда нашей цели; все, на чем я хочу настаивать, — это то, что, чтобы не упустить нашей цели, мы должны переделать доказательства самых элементарных теорем и придать им не ту грубую форму, в которой они оставлены, чтобы не беспокоить начинающих, а форму, которая удовлетворит искусного геометра.

Определение сложения. — Я предполагаю уже определенной операцию x + 1, которая состоит в прибавлении числа 1 к данному числу x.

Это определение, каким бы оно ни было, не входит в наше последующее рассуждение.

Теперь мы должны определить операцию x + a, которая состоит в прибавлении числа a к данному числу x.

Предполагая, что мы определили операцию

x + (a − 1),

операция x + a будет определена равенством

(1) x + a = [x + (a − 1)] + 1.

Мы будем знать тогда, что такое x + a, когда мы будем знать, что такое x + (a − 1), и так как я предположил, что для начала мы знали, что такое x + 1, мы можем определить последовательно и «по рекуррентности» операции x + 2, x + 3 и т. д.

Это определение заслуживает внимания; оно особого рода, что уже отличает его от чисто логического определения; равенство (1) содержит бесконечность различных определений, каждое из которых имеет смысл только тогда, когда знаешь предыдущее.

Свойства сложения. — Ассоциативность. — Я говорю, что

a + (b + c) = (a + b) + c.

На самом деле теорема верна для c = 1; она тогда записывается

a + (b + 1) = (a + b) + 1,

что, помимо разницы в обозначении, есть не что иное, как равенство (1), которым я только что определил сложение.

Предполагая теорему верной для c = γ, я говорю, что она будет верна для c = γ + 1.

На самом деле, предполагая

(a + b) + γ = a + (b + γ),

отсюда следует, что

[(a + b) + γ] + 1 = [a + (b + γ)] + 1

или по определению (1)

(a + b) + (γ + 1) = a + (b + γ + 1) = a + [b + (γ + 1)],

что показывает, путем ряда чисто аналитических дедукций, что теорема верна для γ + 1.

Будучи верной для c = 1, мы таким образом видим последовательно, что так оно и для c = 2, для c = 3 и т. д.

Коммутативность. — 1º Я говорю, что

a + 1 = 1 + a.

Теорема очевидно верна для a = 1; мы можем проверить чисто аналитическим рассуждением, что если она верна для a = γ, она будет верна для a = γ + 1; ибо тогда

(γ + 1) + 1 = (1 + γ) + 1 = 1 + (γ + 1);

теперь она верна для a = 1, следовательно, она будет верна для a = 2, для a = 3 и т. д., что выражается словами, что сформулированное положение доказано по рекуррентности.

2º Я говорю, что

a + b = b + a.

Теорема только что была доказана для b = 1; можно проверить аналитически, что если она верна для b = β, она будет верна для b = β + 1.

Положение поэтому установлено по рекуррентности.

Определение умножения. — Мы определим умножение равенствами.

(1) a × 1 = a.

(2) a × b = [a × (b − 1)] + a.

Как равенство (1), равенство (2) содержит бесконечность определений; определив a × 1, оно позволяет нам определить последовательно: a × 2, a × 3 и т. д.

Свойства умножения. — Дистрибутивность. — Я говорю, что

(a + b) × c = (a × c) + (b × c).

Мы проверяем аналитически, что равенство верно для c = 1; затем, что если теорема верна для c = γ, она будет верна для c = γ + 1.

Положение, следовательно, доказано по рекуррентности.

Коммутативность. — 1º Я говорю, что

a × 1 = 1 × a.

Теорема очевидна для a = 1.

Мы проверяем аналитически, что если она верна для a = α, она будет верна для a = α + 1.

2º Я говорю, что

a × b = b × a.

Теорема только что была доказана для b = 1. Мы могли бы проверить аналитически, что если она верна для b = β, она будет верна для b = β + 1.

IV

Здесь я останавливаю эту монотонную серию рассуждений. Но эта самая монотонность лучше выявила процедуру, которая единообразна и встречается на каждом шагу.

Эта процедура — доказательство по рекуррентности. Мы сначала устанавливаем теорему для n = 1; затем мы показываем, что если она верна для n − 1, она верна для n, и отсюда заключаем, что она верна для всех целых чисел.

Мы только что видели, как она может быть использована для доказательства правил сложения и умножения, то есть правил алгебраического исчисления; это исчисление — инструмент преобразования, который поддается гораздо большему количеству различных комбинаций, чем простой силлогизм; но это все еще инструмент чисто аналитический и неспособный научить нас чему-то новому. Если бы у математики не было другого инструмента, она была бы немедленно остановлена в своем развитии; но она прибегает вновь к той же процедуре, то есть к рассуждению по рекуррентности, и она способна продолжать свой марш вперед.

Если мы посмотрим внимательно, на каждом шагу мы встречаем снова этот способ рассуждения, либо в простой форме, которую мы только что придали ему, либо в форме более или менее модифицированной.

Вот тогда у нас есть математическое рассуждение par excellence, и мы должны рассмотреть его более внимательно.

V

Существенная характеристика рассуждения по рекуррентности заключается в том, что оно содержит, сгущенными, так сказать, в одной формуле, бесконечность силлогизмов.

Чтобы это было лучше видно, я изложу один за другим эти силлогизмы, которые, если позволите мне это выражение, расположены «каскадом».

Это, конечно, гипотетические силлогизмы.

Теорема верна для числа 1.

Теперь, если она верна для 1, она верна для 2.

Следовательно, она верна для 2.

Теперь, если она верна для 2, она верна для 3.

Следовательно, она верна для 3, и так далее.

Мы видим, что вывод каждого силлогизма служит минором для следующего.

Более того, мажоры всех наших силлогизмов могут быть сведены к одной формуле.

Если теорема верна для n − 1, то она верна и для n.

Мы видим, таким образом, что в рассуждении по рекуррентности мы ограничиваемся тем, что формулируем минор первого силлогизма и общую формулу, которая содержит как частные случаи все мажоры.

Эта бесконечная серия силлогизмов сводится таким образом к фразе из нескольких строк.

Теперь легко понять, почему каждое частное следствие теоремы может, как я объяснил выше, быть проверено чисто аналитическими процедурами.

Если вместо того, чтобы показать, что наша теорема верна для всех чисел, мы хотим показать ее верной только для числа 6, например, нам будет достаточно установить первые 5 силлогизмов нашего каскада; 9 были бы необходимы, если бы мы хотели доказать теорему для числа 10; больше потребовалось бы для большего числа; но, каким бы большим ни было это число, мы всегда закончили бы тем, что достигли бы его, и аналитическая проверка была бы возможна.

И все же, как далеко бы мы ни зашли таким образом, мы никогда не смогли бы подняться до общей теоремы, применимой ко всем числам, которая одна может быть объектом науки. Чтобы достичь этого, потребовалась бы бесконечность силлогизмов; необходимо было бы перепрыгнуть через бездну, которую терпение аналитика, ограниченное ресурсами одной лишь формальной логики, никогда не смогло бы заполнить.

Я спросил вначале, почему нельзя представить себе ум, достаточно мощный, чтобы воспринять с одного взгляда весь корпус математических истин.

Ответ теперь прост; шахматист способен комбинировать четыре хода, пять ходов вперед, но, каким бы необычайным он ни был, он никогда не подготовит более чем конечное их число; если он применит свои способности к арифметике, он не сможет воспринять ее общие истины прямой интуицией; чтобы прийти к самой маленькой теореме, он не может обойтись без помощи рассуждения по рекуррентности, ибо это инструмент, который позволяет нам перейти от конечного к бесконечному.

Этот инструмент всегда полезен, ибо, позволяя нам перепрыгнуть одним махом столько этапов, сколько мы хотим, он избавляет нас от проверок, долгих, утомительных и монотонных, которые быстро стали бы невыполнимыми. Но он становится незаменимым, как только мы нацеливаемся на общую теорему, к которой аналитическая проверка приближала бы нас постоянно, никогда не позволяя нам достичь ее.

В этой области арифметики мы можем считать себя очень далекими от инфинитезимального анализа, и все же, как мы только что видели, идея математической бесконечности уже играет преобладающую роль, и без нее не было бы науки, потому что не было бы ничего общего.

VI

Суждение, на котором покоится рассуждение по рекуррентности, может быть поставлено в другие формы; мы можем сказать, например, что в бесконечной совокупности различных целых чисел всегда есть одно, которое меньше всех остальных.

Мы можем легко перейти от одной формулировки к другой и таким образом получить иллюзию того, что доказали законность рассуждения по рекуррентности. Но мы всегда будем остановлены, мы всегда придем к недоказуемой аксиоме, которая в действительности будет лишь положением, подлежащим доказательству, переведенным на другой язык.

Мы не можем поэтому избежать вывода, что правило рассуждения по рекуррентности несводимо к принципу противоречия.

Также это правило не может прийти к нам из опыта; опыт мог бы научить нас, что правило верно для первых десяти или ста чисел; например, он не может достичь неопределенного ряда чисел, а только части этого ряда, более или менее длинной, но всегда ограниченной.

Теперь, если бы речь шла только об этом, принципа противоречия было бы достаточно; он всегда позволял бы нам развивать столько силлогизмов, сколько мы хотели; только когда речь идет о включении бесконечности их в одну формулу, только перед лицом бесконечного этот принцип терпит неудачу, и там тоже опыт становится бессильным. Это правило, недоступное аналитическому доказательству и опыту, является истинным типом синтетического априорного суждения. С другой стороны, мы не можем думать о том, чтобы видеть в нем конвенцию, как в некоторых постулатах геометрии.

Почему тогда это суждение навязывает себя нам с непреодолимой очевидностью? Это потому, что оно есть лишь утверждение силы ума, который знает себя способным мыслить неопределенное повторение одного и того же акта, когда этот акт однажды возможен. Ум имеет прямую интуицию этой силы, и опыт может лишь дать повод для использования ее и тем самым осознания ее.

Но, скажет кто-то, если сырой опыт не может узаконить рассуждение по рекуррентности, так ли обстоит дело с экспериментом, подкрепленным индукцией? Мы видим последовательно, что теорема верна для числа 1, для числа 2, для числа 3 и так далее; закон очевиден, говорим мы, и он имеет ту же гарантию, что и каждый физический закон, основанный на наблюдениях, число которых очень велико, но ограничено.

Здесь, надо признать, поразительная аналогия с обычными процедурами индукции. Но есть существенное различие. Индукция, примененная к физическим наукам, всегда неопределенна, потому что она покоится на вере во всеобщий порядок вселенной, порядок вне нас. Математическая индукция, то есть доказательство по рекуррентности, напротив, навязывает себя необходимо, потому что она есть лишь утверждение свойства самого ума.

VII

Математики, как я сказал ранее, всегда стремятся обобщить полученные ими положения, и, чтобы не искать другого примера, мы только что доказали равенство:

a + 1 = 1 + a

и впоследствии использовали его для установления равенства

a + b = b + a

которое явно более общее.

Математика может, поэтому, как и другие науки, переходить от частного к общему.

Это факт, который показался бы нам непостижимым в начале этого исследования, но который больше не является для нас загадочным, поскольку мы установили аналогии между доказательством по рекуррентности и обычной индукцией.

Без сомнения, рекуррентное рассуждение в математике и индуктивное рассуждение в физике покоятся на разных основаниях, но их марш параллелен, они продвигаются в одном и том же смысле, то есть от частного к общему.

Давайте рассмотрим этот случай немного внимательнее.

Чтобы доказать равенство

a + 2 = 2 + a

достаточно дважды применить правило

(1) a + 1 = 1 + a

и написать

(2) a + 2 = a + 1 + 1 = 1 + a + 1 = 1 + 1 + a = 2 + a.

Равенство (2), выведенное таким образом чисто аналитическим путем из равенства (1), однако, не является просто частным случаем его; это нечто совсем другое.

Мы не можем поэтому даже сказать, что в действительно аналитической и дедуктивной части математического рассуждения мы переходим от общего к частному в обычном смысле этого слова.

Два члена равенства (2) — это просто комбинации, более сложные, чем два члена равенства (1), и анализ служит лишь для того, чтобы отделить элементы, которые входят в эти комбинации, и изучить их отношения.

Математики действуют поэтому «путем построения», они «конструируют» комбинации все более и более сложные. Возвращаясь затем путем анализа этих комбинаций, этих агрегатов, так сказать, к их примитивным элементам, они воспринимают отношения этих элементов и из них выводят отношения самих агрегатов.

Это чисто аналитическая процедура, но это, однако, не процедура от общего к частному, потому что очевидно, что агрегаты не могут рассматриваться как более частные, чем их элементы.

Большое значение, и справедливо, придавалось этой процедуре «построения», и некоторые пытались увидеть в ней необходимое и достаточное условие для прогресса точных наук.

Необходимое, без сомнения; но достаточное — нет.

Чтобы построение было полезным, а не тщетным трудом для ума, чтобы оно могло служить ступенькой для того, кто хочет подняться, оно должно прежде всего обладать своего рода единством, позволяющим нам видеть в нем нечто помимо соположения его элементов.

Или, точнее, должно быть какое-то преимущество в рассмотрении конструкции, а не самих ее элементов.

Каким может быть это преимущество?

Почему рассуждать о многоугольнике, например, который всегда разложим на треугольники, а не об элементарных треугольниках?

Это потому, что существуют свойства, относящиеся к многоугольникам с любым числом сторон и которые могут быть немедленно применены к любому частному многоугольнику.

Обычно, напротив, только ценой самых длительных усилий их можно было бы найти, изучая непосредственно отношения элементарных треугольников. Знание общей теоремы избавляет нас от этих усилий.

Построение, следовательно, становится интересным только тогда, когда его можно поставить рядом с другими аналогичными построениями, образующими виды одного и того же рода.

Если четырехугольник — это нечто большее, чем соположение двух треугольников, то это потому, что он принадлежит к роду многоугольников.

Более того, нужно уметь доказать свойства рода, не будучи вынужденным устанавливать их последовательно для каждого из видов.

Чтобы достичь этого, мы должны обязательно подняться от частного к общему, восходя на одну или несколько ступеней.

Аналитическая процедура «путем построения» не обязывает нас спускаться, но она оставляет нас на том же уровне.

Мы можем подняться только с помощью математической индукции, которая одна может научить нас чему-то новому. Без помощи этой индукции, отличной в некоторых отношениях от физической индукции, но столь же плодотворной, построение было бы бессильно создать науку.

Заметим, наконец, что эта индукция возможна лишь в том случае, если одна и та же операция может быть повторена бесконечно. Вот почему теория шахмат никогда не сможет стать наукой, ибо различные ходы в одной и той же партии не похожи друг на друга.

ГЛАВА II

Математическая величина и опыт

Чтобы узнать, что математики понимают под континуумом, не следует обращаться к геометрии. Геометр всегда стремится в той или иной мере представить себе фигуры, которые он изучает, но эти представления служат для него лишь инструментами; занимаясь геометрией, он использует пространство так же, как мел; поэтому не стоит придавать слишком большое значение несущественным деталям, которые зачастую не важнее белизны самого мела.

Чистому аналитику нечего бояться этого камня преткновения. Он очистил математическую науку от всех чужеродных элементов и может ответить на наш вопрос: «Что именно представляет собой тот континуум, о котором рассуждают математики?» Многие аналитики, размышлявшие о своем искусстве, уже дали ответ; например, господин Таннери в своем «Введении в теорию функций одной переменной».

Начнем со шкалы целых чисел; между двумя последовательными ступенями вставим одну или несколько промежуточных ступеней, затем между этими новыми ступенями — еще другие, и так далее до бесконечности. Таким образом, мы получим неограниченное число членов; это будут числа, называемые дробными, рациональными или соизмеримыми. Но и этого еще недостаточно; между этими членами, число которых, впрочем, уже бесконечно, необходимо вставить другие, называемые иррациональными или несоизмеримыми. Замечание перед тем, как идти дальше. Континуум, понятый таким образом, есть лишь совокупность индивидуумов, расположенных в определенном порядке, бесконечная по числу, правда, но внешних друг другу. Это не обычное представление, в котором между элементами континуума предполагается некая внутренняя связь, делающая их единым целым, где точка существует не до линии, а линия до точки. От знаменитой формулы «континуум есть единство во множественности» остается только множественность, единство исчезло. Аналитики, тем не менее, правы, определяя свой континуум именно так, ибо они всегда рассуждают именно о нем, как только претендуют на строгость. Но этого достаточно, чтобы дать нам понять, что подлинный математический континуум — это нечто совершенно иное, чем континуум физиков или метафизиков.

Можно также сказать, пожалуй, что математики, довольствующиеся этим определением, обманываются словами, что необходимо точно сказать, что представляет собой каждая из этих промежуточных ступеней, объяснить, как их следует вставлять, и доказать, что это возможно. Но это было бы ошибкой; единственное свойство этих ступеней, которое используется в их рассуждениях, состоит в том, чтобы быть до или после тех или иных ступеней; поэтому только это и должно присутствовать в определении.

Таким образом, то, как следует вставлять промежуточные члены, не должно нас беспокоить; с другой стороны, никто не усомнится в возможности этой операции, если не забывать, что «возможное» на языке геометров просто означает «свободное от противоречий».

Наше определение, однако, еще не завершено, и я вернусь к нему после этого слишком длинного отступления.

Определение несоизмеримых чисел. — Математики берлинской школы, в частности Кронекер, посвятили себя построению этой непрерывной шкалы дробных и иррациональных чисел, не используя никакого иного материала, кроме целого числа. Математический континуум был бы, с этой точки зрения, чистым творением разума, в котором опыт не играет никакой роли.

Поскольку понятие рационального числа представлялось им не вызывающим затруднений, они главным образом стремились определить несоизмеримое число. Но прежде чем привести здесь их определение, я должен сделать замечание, чтобы предупредить удивление, которое оно наверняка вызовет у читателей, не знакомых с обычаями геометров.

Математики изучают не объекты, а отношения между объектами; поэтому замена этих объектов другими для них безразлична, если отношения не меняются. Материя для них не важна, их интересует только форма.

Без этого напоминания было бы трудно понять, почему Дедекинд обозначает именем «несоизмеримое число» простой символ, то есть нечто весьма отличное от обычного представления о величине, которая должна быть измеримой и почти осязаемой.

Посмотрим теперь, каково определение Дедекинда:

Соизмеримые числа могут быть бесконечным множеством способов разделены на два класса так, что любое число первого класса больше любого числа второго класса.

Может случиться, что среди чисел первого класса есть одно, меньшее всех остальных; если, например, мы отнесем к первому классу все числа, большие 2, и саму 2, а ко второму классу — все числа, меньшие 2, то ясно, что 2 будет наименьшим из всех чисел первого класса. Число 2 может быть выбрано в качестве символа этого разбиения.

Может случиться, напротив, что среди чисел второго класса есть одно, большее всех остальных; это имеет место, например, если первый класс включает все числа, большие 2, а второй — все числа, меньшие 2, и саму 2. Здесь снова число 2 может быть выбрано в качестве символа этого разбиения.

Но может столь же хорошо случиться, что ни в первом классе нет числа, меньшего всех остальных, ни во втором классе — числа, большего всех остальных. Предположим, например, что мы поместим в первый класс все соизмеримые числа, квадраты которых больше 2, а во второй — все те, квадраты которых меньше 2. Нет такого числа, квадрат которого был бы в точности равен 2. Очевидно, что в первом классе нет числа, меньшего всех остальных, ибо, как бы близко квадрат числа ни подходил к 2, мы всегда можем найти соизмеримое число, квадрат которого еще ближе к 2.

С точки зрения Дедекинда, несоизмеримое число

√2 или (2)½

есть не что иное, как символ этого особого способа разбиения соизмеримых чисел; и каждому способу разбиения соответствует таким образом число, соизмеримое или нет, которое служит его символом.

Но довольствоваться этим значило бы слишком далеко забыть о происхождении этих символов; остается объяснить, как мы пришли к тому, чтобы приписывать им некое подобие конкретного существования, и, кроме того, не начинается ли трудность уже с самих дробных чисел? Имели бы мы понятие об этих числах, если бы ранее не знали материи, которую мы мыслим как бесконечно делимую, то есть как континуум?

Физический континуум. — Мы спрашиваем себя, не является ли понятие математического континуума просто почерпнутым из опыта. Если бы это было так, то сырые данные опыта, каковыми являются наши ощущения, были бы подвержены измерению. Мы могли бы поддаться искушению поверить, что это действительно так, поскольку в последнее время предпринимались попытки измерить их и даже была сформулирована закономерность, известная как закон Фехнера, согласно которому ощущение пропорционально логарифму раздражителя.

Но если мы внимательнее изучим эксперименты, с помощью которых пытались установить этот закон, мы придем к диаметрально противоположному выводу. Было замечено, например, что вес A в 10 граммов и вес B в 11 граммов вызывают идентичные ощущения, что вес B столь же неотличим от веса C в 12 граммов, но что вес A легко отличим от веса C. Таким образом, сырые результаты опыта могут быть выражены следующими отношениями:

A = B, B = C, A < C,

которые можно рассматривать как формулу физического континуума.

Но здесь возникает невыносимый разлад с принципом противоречия, и необходимость положить этому конец заставила нас изобрести математический континуум.

Мы вынуждены, следовательно, заключить, что это понятие было полностью создано разумом, но что опыт дал к тому повод.

Мы не можем поверить, что две величины, равные третьей, не равны друг другу, и поэтому мы склонны предполагать, что A отличается от B, а B — от C, но что несовершенство наших чувств не позволило нам их различить.

Создание математического континуума. — Первый этап. До сих пор для объяснения фактов было бы достаточно вставить между A и B несколько членов, которые оставались бы дискретными. Что произойдет теперь, если мы прибегнем к какому-либо инструменту, чтобы восполнить слабость наших чувств, если, например, воспользуемся микроскопом? Члены, такие как A и B, ранее неразличимые, теперь кажутся различными; но между A и B, ставшими теперь различимыми, будет вставлен новый член D, который мы не можем отличить ни от A, ни от B. Несмотря на применение самых совершенных методов, сырые результаты нашего опыта всегда будут представлять характеристики физического континуума с присущим ему противоречием.

Мы избежим его, только непрерывно вставляя новые члены между уже различенными членами, и эта операция должна продолжаться бесконечно. Мы могли бы представить себе прекращение этой операции, если бы могли вообразить какой-то инструмент, достаточно мощный, чтобы разложить физический континуум на дискретные элементы, подобно тому как телескоп разрешает Млечный Путь на звезды. Но этого мы вообразить не можем; на самом деле, мы наблюдаем изображение, увеличенное микроскопом, с помощью глаза, и, следовательно, это изображение всегда должно сохранять характеристики зрительного ощущения, а значит, и характеристики физического континуума.

Ничто не отличает длину, наблюдаемую непосредственно, от половины этой длины, увеличенной микроскопом. Целое гомогенно с частью; это новое противоречие, или, вернее, оно было бы таковым, если бы число членов считалось конечным; на самом деле ясно, что часть, содержащая меньше членов, чем целое, не могла бы быть подобна целому.

Противоречие исчезает, когда число членов рассматривается как бесконечное; ничто не мешает, например, считать совокупность целых чисел подобной совокупности четных чисел, которая, однако, является лишь ее частью; и, в самом деле, каждому целому числу соответствует четное число, его удвоенное значение.

Но не только для того, чтобы избежать этого противоречия, содержащегося в эмпирических данных, разум приходит к созданию концепции континуума, образованного неопределенным числом членов.

Все происходит как в последовательности целых чисел. У нас есть способность мыслить, что единица может быть добавлена к совокупности единиц; благодаря опыту мы имеем повод упражнять эту способность и осознаем ее; но с этого момента мы чувствуем, что наша сила не имеет предела и что мы можем считать бесконечно, хотя нам никогда не приходилось считать более чем конечное число объектов.

Точно так же, как только нас привели к тому, чтобы вставлять промежуточные члены между двумя последовательными членами ряда, мы чувствуем, что эта операция может быть продолжена без всякого предела и что нет, так сказать, никакой внутренней причины для остановки.

Для краткости назовем математическим континуумом первого порядка всякую совокупность членов, образованную по тому же закону, что и шкала соизмеримых чисел. Если мы впоследствии вставим новые ступени согласно закону образования несоизмеримых чисел, мы получим то, что назовем континуумом второго порядка.

Второй этап. — До сих пор мы сделали лишь первый шаг; мы объяснили происхождение континуумов первого порядка; но необходимо увидеть, почему даже их недостаточно и почему пришлось изобрести несоизмеримые числа.

Если мы попытаемся вообразить линию, она должна обладать характеристиками физического континуума, то есть мы не сможем представить ее иначе как с некоторой шириной. Две линии тогда предстанут перед нами в виде двух узких полос, и, если мы удовлетворимся этим грубым образом, очевидно, что если две линии пересекаются, у них будет общая часть.

Но чистый геометр делает дальнейшее усилие; не отказываясь полностью от помощи чувств, он пытается достичь концепции линии без ширины, точки без протяженности. Этого он может достичь, лишь рассматривая линию как предел, к которому стремится все сужающаяся полоса, а точку — как предел, к которому стремится все уменьшающаяся площадь. И тогда наши две полосы, какими бы узкими они ни были, всегда будут иметь общую площадь, тем меньшую, чем они уже, и пределом которой будет то, что чистый геометр называет точкой.

Вот почему говорят, что две пересекающиеся линии имеют общую точку, и эта истина кажется интуитивной.

Но это подразумевало бы противоречие, если бы линии мыслились как континуумы первого порядка, то есть если бы на линиях, начерченных геометром, находились только точки, имеющие рациональные числа в качестве координат. Противоречие стало бы очевидным, как только кто-то утвердил бы, например, существование прямых и окружностей.

Ясно, в самом деле, что если бы реальными считались только точки, координаты которых соизмеримы, то окружность, вписанная в квадрат, и диагональ этого квадрата не пересекались бы, поскольку координаты точки пересечения несоизмеримы.

Этого было бы еще недостаточно, потому что таким образом мы получили бы только некоторые несоизмеримые числа, а не все эти числа.

Но представим себе прямую линию, разделенную на два луча. Каждый из этих лучей предстанет нашему воображению как полоса определенной ширины; эти полосы, кроме того, будут накладываться одна на другую, поскольку между ними не должно быть интервала. Общая часть предстанет нам как точка, которая всегда будет оставаться, когда мы попытаемся вообразить наши полосы все более и более узкими, так что мы признаем интуитивной истиной, что если прямая разрезана на два луча, их общая граница есть точка; мы узнаем здесь концепцию Дедекинда, в которой несоизмеримое число рассматривалось как общая граница двух классов рациональных чисел.

Таково происхождение континуума второго порядка, который и есть математический континуум в собственном смысле слова.

Резюме. — В итоге, разум обладает способностью создавать символы, и именно так он сконструировал математический континуум, который есть лишь особая система символов. Его сила ограничена лишь необходимостью избегать всякого противоречия; но разум использует эту способность, только если опыт дает к тому стимул.

В рассматриваемом случае этим стимулом было понятие физического континуума, почерпнутое из грубых данных чувств. Но это понятие ведет к ряду противоречий, от которых необходимо последовательно освобождаться. Так мы вынуждены воображать все более и более сложную систему символов. То, на чем мы останавливаемся, не только свободно от внутреннего противоречия (оно было таковым уже на всех пройденных нами этапах), но и не находится в противоречии с различными так называемыми интуитивными положениями, которые выводятся из более или менее разработанных эмпирических понятий.

Измеримая величина. — Величины, которые мы изучали до сих пор, не являются измеримыми; мы действительно можем сказать, больше ли одна из этих величин другой, но не то, в два или три раза она больше.

До сих пор я рассматривал только порядок, в котором расположены наши члены. Но для большинства приложений этого недостаточно. Мы должны научиться сравнивать интервал, который отделяет любые два члена. Только при этом условии континуум становится измеримой величиной и к нему становятся применимы операции арифметики.

Это можно сделать только с помощью нового и особого соглашения. Мы договоримся, что в том или ином случае интервал, заключенный между членами A и B, равен интервалу, который отделяет C и D. Например, в начале нашей работы мы исходили из шкалы целых чисел и предположили, что между двумя последовательными ступенями вставлено n промежуточных ступеней; так вот, эти новые ступени по соглашению будут считаться равноотстоящими.

Это способ определения сложения двух величин, потому что если интервал AB по определению равен интервалу CD, то интервал AD будет по определению суммой интервалов AB и AC.

Это определение в очень большой мере произвольно. Однако не полностью. Оно подчинено определенным условиям и, например, правилам коммутативности и ассоциативности сложения. Но при условии, что выбранное определение удовлетворяет этим правилам, выбор безразличен, и детализировать его бесполезно.

Различные замечания. — Теперь мы можем обсудить несколько важных вопросов:

1º Исчерпывается ли творческая сила разума созданием математического континуума?

Нет: работы Дюбуа-Реймона демонстрируют это поразительным образом.

Мы знаем, что математики различают бесконечно малые разных порядков и что бесконечно малые второго порядка являются таковыми не только в абсолютном смысле, но и по отношению к бесконечно малым первого порядка. Нетрудно вообразить бесконечно малые дробного или даже иррационального порядка, и таким образом мы снова находим ту шкалу математического континуума, о которой шла речь на предыдущих страницах.

Далее, существуют бесконечно малые, которые бесконечно малы по отношению к бесконечно малым первого порядка и, напротив, бесконечно велики по отношению к бесконечно малым порядка 1 + ε, как бы мала ни была ε. Вот, значит, новые члены, вставленные в наш ряд, и если мне будет позволено вернуться к недавно использованной фразеологии, которая очень удобна, хотя и не освящена обычаем, я скажу, что таким образом был создан своего рода континуум третьего порядка.

Было бы легко пойти дальше, но это было бы праздным занятием; человек лишь воображал бы символы без возможности применения, и никто не подумает этого делать. Континуум третьего порядка, к которому ведет рассмотрение различных порядков бесконечно малых, сам по себе недостаточно полезен, чтобы получить право гражданства, и геометры рассматривают его лишь как простую диковинку. Разум использует свою творческую способность только тогда, когда того требует опыт.

2º Став обладателем концепции математического континуума, застрахован ли человек от противоречий, подобных тем, что породили его?

Нет, и я приведу пример.

Нужно быть очень мудрым, чтобы не считать очевидным, что каждая кривая имеет касательную; и в самом деле, если мы представим эту кривую и прямую как две узкие полосы, мы всегда можем расположить их так, что у них будет общая часть без пересечения. Если мы затем вообразим, что ширина этих двух полос бесконечно уменьшается, эта общая часть всегда будет существовать, и, так сказать, в пределе две линии будут иметь общую точку, не пересекаясь, то есть они будут касательными.

Геометр, который рассуждает таким образом, сознательно или нет, делает лишь то, что мы сделали выше, чтобы доказать, что две пересекающиеся линии имеют общую точку, и его интуиция может показаться столь же законной.

Однако она обманет его. Мы можем доказать, что существуют кривые, не имеющие касательной, если такая кривая определена как аналитический континуум второго порядка.

Без сомнения, какой-то прием, аналогичный тем, что мы обсуждали выше, был бы достаточен для устранения противоречия; но, поскольку это встречается лишь в очень исключительных случаях, на это не обратили дальнейшего внимания.

Вместо того чтобы пытаться примирить интуицию с анализом, мы удовлетворились тем, что пожертвовали одним из двух, и, поскольку анализ должен оставаться безупречным, мы решили вопрос не в пользу интуиции.

Физический континуум нескольких измерений. — Мы обсудили выше физический континуум, как производный от непосредственных данных наших чувств, или, если хотите, от грубых результатов экспериментов Фехнера; я показал, что эти результаты суммируются в противоречивых формулах

A = B, B = C, A < C.

Посмотрим теперь, как это понятие было обобщено и как из него возникла концепция многомерных континуумов.

Рассмотрим любые две совокупности ощущений. Либо мы можем различить их одну от другой, либо не можем, точно так же, как в экспериментах Фехнера вес в 10 граммов можно отличить от веса в 12 граммов, но не от веса в 11 граммов. Это все, что требуется для построения континуума нескольких измерений.

Назовем одну из этих совокупностей ощущений элементом. Это будет нечто аналогичное точке математиков; однако это будет не совсем то же самое. Мы не можем сказать, что наш элемент лишен протяженности, поскольку мы не можем отличить его от соседних элементов, и он, таким образом, окружен своего рода дымкой. Если допустимо астрономическое сравнение, наши «элементы» были бы подобны туманностям, тогда как математические точки были бы подобны звездам.

При этом система элементов образует континуум, если мы можем перейти от любого из них к любому другому посредством ряда последовательных элементов таких, что каждый из них неотличим от предыдущего. Этот линейный ряд относится к линии математика так же, как изолированный элемент относился к точке.

Прежде чем идти дальше, я должен объяснить, что понимается под разрезом. Рассмотрим континуум C и удалим из него некоторые из его элементов, которые на мгновение мы будем считать более не принадлежащими этому континууму. Совокупность удаленных таким образом элементов будет называться разрезом. Может случиться, что благодаря этому разрезу C может быть подразделен на несколько различных континуумов, причем совокупность оставшихся элементов перестает образовывать единый континуум.

Тогда на C будут два элемента, A и B, которые должны рассматриваться как принадлежащие двум различным континуумам, и это будет распознано, потому что будет невозможно найти линейный ряд последовательных элементов C, каждый из которых неотличим от предыдущего, где первый есть A, а последний — B, без того, чтобы один из элементов этого ряда не был неотличим от одного из элементов разреза.

Напротив, может случиться, что сделанный разрез недостаточен для подразделения континуума C. Чтобы классифицировать физические континуумы, мы точно исследуем, какие именно разрезы должны быть сделаны, чтобы их подразделить.

Если физический континуум C может быть подразделен разрезом, сводящимся к конечному числу элементов, все различимых друг от друга (и, следовательно, не образующих ни континуума, ни нескольких континуумов), мы скажем, что C есть одномерный континуум.

Если, напротив, C может быть подразделен только разрезами, которые сами являются континуумами, мы скажем, что C имеет несколько измерений. Если достаточно разрезов, являющихся континуумами одного измерения, мы скажем, что C имеет два измерения; если достаточно разрезов двух измерений, мы скажем, что C имеет три измерения, и так далее.

Так определяется понятие физического континуума нескольких измерений, благодаря этому очень простому факту, что две совокупности ощущений различимы или неразличимы.

Математический континуум нескольких измерений. — Отсюда понятие математического континуума n измерений возникло совершенно естественно путем процесса, очень похожего на тот, который мы обсуждали в начале этой главы. Точка такого континуума, как вы знаете, предстает перед нами как определенная системой n различных величин, называемых ее координатами.

Эти величины не всегда должны быть измеримыми; существует, например, ветвь геометрии, независимая от измерения этих величин, в которой речь идет лишь о том, чтобы знать, например, находится ли на кривой ABC точка B между точками A и C, а не о том, равна ли дуга AB дуге BC или в два раза больше. Это то, что называется анализом ситус (топологией).

Это целый свод доктрин, который привлек внимание величайших геометров и где мы видим, как одна из другой вытекают серии замечательных теорем. Что отличает эти теоремы от теорем обычной геометрии, так это то, что они чисто качественные и что они оставались бы верными, если бы фигуры были скопированы рисовальщиком настолько неумелым, что он грубо исказил бы пропорции и заменил прямые линиями, более или менее изогнутыми.

Благодаря желанию ввести затем меру в только что определенный континуум, этот континуум становится пространством, и рождается геометрия. Но обсуждение этого отложено до второй части.

ЧАСТЬ II ПРОСТРАНСТВО

ГЛАВА III

Неевклидовы геометрии

Всякий вывод предполагает предпосылки; эти предпосылки сами по себе либо самоочевидны и не нуждаются в доказательстве, либо могут быть установлены только путем опоры на другие положения, и поскольку мы не можем таким образом уходить в бесконечность, всякая дедуктивная наука, и в частности геометрия, должна покоиться на определенном числе недоказуемых аксиом. Все трактаты по геометрии начинаются, следовательно, с формулировки этих аксиом. Но среди них следует сделать различие: некоторые, например, «вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу», являются не положениями геометрии, а положениями анализа. Я рассматриваю их как аналитические суждения a priori и не буду ими заниматься.

Но я должен сделать акцент на других аксиомах, которые свойственны геометрии. Большинство трактатов формулируют три из них явно:

1º Через две точки можно провести только одну прямую;

2º Прямая линия есть кратчайший путь из одной точки в другую;

3º Через данную точку не проходит более одной параллельной данной прямой.

Хотя доказательство второй из этих аксиом обычно опускается, его можно было бы вывести из двух других и из тех, гораздо более многочисленных, которые неявно допускаются без формулировки, как я объясню далее.

Долгое время тщетно пытались доказать также третью аксиому, известную как постулат Евклида. Какое огромное усилие было потрачено на эту химерическую надежду, поистине невообразимо. Наконец, в первой четверти девятнадцатого века, почти в одно и то же время, венгр и русский, Бойяи и Лобачевский, неопровержимо установили, что это доказательство невозможно; они почти избавили нас от изобретателей геометрий «sans postulatum»; с тех пор Академия наук получает лишь одну или две новые демонстрации в год.

Вопрос не был исчерпан; вскоре он сделал большой шаг вперед с публикацией знаменитого мемуара Римана под названием: «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Эта работа вдохновила большинство недавних трудов, о которых я буду говорить далее и среди которых уместно упомянуть работы Бельтрами и Гельмгольца.

Геометрия Бойяи-Лобачевского. — Если бы можно было вывести постулат Евклида из других аксиом, очевидно, что, отрицая постулат и допуская другие аксиомы, мы пришли бы к противоречивым следствиям; поэтому было бы невозможно построить на таких предпосылках связную геометрию.

Но это именно то, что сделал Лобачевский.

Он предполагает в самом начале, что: «Через данную точку можно провести две параллели к данной прямой».

И он сохраняет, кроме того, все остальные аксиомы Евклида. Из этих гипотез он выводит ряд теорем, среди которых невозможно найти какое-либо противоречие, и он строит геометрию, чья безупречная логика ни в чем не уступает логике евклидовой геометрии.

Теоремы, конечно, сильно отличаются от тех, к которым мы привыкли, и они не могут не быть поначалу немного обескураживающими.

Так, сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых углов, и разность между этой суммой и двумя прямыми углами пропорциональна площади треугольника.

Невозможно построить фигуру, подобную данной фигуре, но других размеров.

Если мы разделим окружность на n равных частей и проведем касательные в точках деления, эти n касательных образуют многоугольник, если радиус окружности достаточно мал; но если этот радиус достаточно велик, они не встретятся.

Бесполезно умножать эти примеры; положения Лобачевского не имеют отношения к положениям Евклида, но они не менее логически связаны одно с другим.

Геометрия Римана. — Вообразите мир, населенный исключительно существами без толщины (высоты); и предположим, что эти «бесконечно плоские» животные находятся все в одной плоскости и не могут выбраться. Допустим, кроме того, что этот мир достаточно удален от других, чтобы быть свободным от их влияния. Пока мы делаем гипотезы, нам ничего не стоит наделить этих существ разумом и поверить, что они способны создать геометрию. В этом случае они, конечно, припишут пространству только два измерения.

Но предположим теперь, что эти воображаемые животные, оставаясь без толщины, имеют форму сферической, а не плоской фигуры и все находятся на одной сфере без возможности сойти с нее. Какую геометрию они построят? Во-первых, ясно, что они припишут пространству только два измерения; то, что будет играть для них роль прямой линии, будет кратчайшим путем из одной точки в другую на сфере, то есть дугой большого круга; одним словом, их геометрия будет сферической геометрией.

То, что они назовут пространством, будет этой сферой, на которой они должны оставаться и на которой происходят все явления, которые они могут знать. Их пространство будет поэтому неограниченным, поскольку на сфере всегда можно двигаться вперед, никогда не будучи остановленным, и все же оно будет конечным; никогда нельзя найти его конца, но можно совершить по нему кругосветное путешествие.

Так вот, геометрия Римана — это сферическая геометрия, распространенная на три измерения. Чтобы построить ее, немецкому математику пришлось выбросить за борт не только постулат Евклида, но и первую аксиому: «Через две точки может пройти только одна прямая».

На сфере через две данные точки мы можем провести в общем случае только один большой круг (который, как мы только что видели, играл бы роль прямой для наших воображаемых существ); но есть исключение: если две данные точки диаметрально противоположны, через них можно провести бесконечное множество больших кругов.

Точно так же в геометрии Римана (по крайней мере, в одной из ее форм) через две точки будет проходить в общем случае только одна прямая; но есть исключительные случаи, когда через две точки может проходить бесконечное множество прямых.

Существует своего рода оппозиция между геометрией Римана и геометрией Лобачевского.

Так, сумма углов треугольника:

Равна двум прямым углам в геометрии Евклида;

Меньше двух прямых углов в геометрии Лобачевского;

Больше двух прямых углов в геометрии Римана.

Число прямых, проходящих через данную точку, которые могут быть проведены в одной плоскости с данной прямой, но нигде не встречающихся с ней, равно:

Одной в геометрии Евклида;

Нулю в геометрии Римана;

Бесконечности в геометрии Лобачевского.

Добавьте, что пространство Римана конечно, хотя и неограниченно, в смысле, данном выше этим двум словам.

Поверхности постоянной кривизны. — Одно возражение все еще оставалось возможным. Теоремы Лобачевского и Римана не содержат противоречий; но как бы многочисленны ни были следствия, которые эти два геометра вывели из своих гипотез, они должны были остановиться, не исчерпав их, поскольку их число было бы бесконечным; кто может сказать тогда, что если бы они продвинули свои дедукции дальше, они не пришли бы в конечном итоге к какому-то противоречию?

Эта трудность не существует для геометрии Римана, при условии, что она ограничена двумя измерениями; в самом деле, как мы видели, двумерная риманова геометрия не отличается от сферической геометрии, которая является лишь ветвью обычной геометрии и, следовательно, находится вне всякого обсуждения.

Бельтрами, соотнеся таким же образом двумерную геометрию Лобачевского с ветвью обычной геометрии, в равной степени опроверг это возражение в той мере, в какой оно касается этого вопроса.

Вот как он это осуществил. Рассмотрим любую фигуру на поверхности. Представим себе эту фигуру, начерченную на гибком и нерастяжимом холсте, приложенном к этой поверхности таким образом, что когда холст перемещается и деформируется, различные линии этой фигуры могут менять свою форму, не меняя своей длины. В общем случае эта гибкая и нерастяжимая фигура не может быть перемещена, не покидая поверхности; но существуют некоторые частные поверхности, для которых такое движение было бы возможно; это поверхности постоянной кривизны.

Если мы возобновим сравнение, сделанное выше, и вообразим существ без толщины, живущих на одной из этих поверхностей, они будут считать возможным движение фигуры, все линии которой остаются постоянными по длине. Напротив, такое движение показалось бы абсурдным животным без толщины, живущим на поверхности переменной кривизны.

Эти поверхности постоянной кривизны бывают двух сортов: некоторые имеют положительную кривизну и могут быть деформированы так, чтобы быть наложенными на сферу. Геометрия этих поверхностей сводится, следовательно, к сферической геометрии, которая является геометрией Римана.

Другие имеют отрицательную кривизну. Бельтрами показал, что геометрия этих поверхностей есть не что иное, как геометрия Лобачевского. Двумерные геометрии Римана и Лобачевского, таким образом, соотнесены с евклидовой геометрией.

Интерпретация неевклидовых геометрий. — Так исчезает возражение в той мере, в какой оно касается двумерных геометрий.

Было бы легко распространить рассуждения Бельтрами на трехмерные геометрии. Умы, которых не отталкивает пространство четырех измерений, не увидят в этом трудности, но их мало. Поэтому я предпочитаю действовать иначе.

Рассмотрим некоторую плоскость, которую я назову фундаментальной плоскостью, и построим своего рода словарь, сопоставив друг с другом двойную серию терминов, написанных в двух колонках, точно так же, как в обычных словарях соответствуют слова двух языков, значение которых одинаково:

Пространство: Часть пространства, расположенная над фундаментальной плоскостью.

Плоскость: Сфера, пересекающая фундаментальную плоскость ортогонально.

Прямая: Окружность, пересекающая фундаментальную плоскость ортогонально.

Сфера: Сфера.

Окружность: Окружность.

Угол: Угол.

Расстояние между двумя точками: Логарифм двойного отношения этих двух точек и пересечений фундаментальной плоскости с окружностью, проходящей через эти две точки и пересекающей ее ортогонально. И т. д., и т. д.

Теперь возьмем теоремы Лобачевского и переведем их с помощью этого словаря, как мы переводим немецкий текст с помощью немецко-английского словаря. Мы получим таким образом теоремы обычной геометрии. Например, та теорема Лобачевского: «сумма углов треугольника меньше двух прямых углов» переводится так: «Если криволинейный треугольник имеет в качестве сторон дуги окружностей, которые при продолжении пересекали бы фундаментальную плоскость ортогонально, сумма углов этого криволинейного треугольника будет меньше двух прямых углов». Таким образом, как бы далеко ни заходили следствия гипотез Лобачевского, они никогда не приведут к противоречию. В самом деле, если бы две теоремы Лобачевского были противоречивы, то же самое было бы и с переводами этих двух теорем, сделанными с помощью нашего словаря, но эти переводы являются теоремами обычной геометрии, и никто не сомневается, что обычная геометрия свободна от противоречий. Откуда берется эта уверенность и оправдана ли она? Это вопрос, который я не могу здесь рассматривать, потому что он потребовал бы пространных рассуждений, но который очень интересен и, я думаю, не является неразрешимым.

Ничего не остается тогда от выше сформулированного возражения. Это еще не все. Геометрия Лобачевского, восприимчивая к конкретной интерпретации, перестает быть праздным логическим упражнением и способна к приложениям; у меня нет времени говорить здесь об этих приложениях, ни о той помощи, которую Клейн и я получили от них для интегрирования линейных дифференциальных уравнений.

Эта интерпретация, кроме того, не является единственной, и можно было бы построить несколько словарей, аналогичных предыдущему, которые позволили бы нам с помощью простого «перевода» преобразовать теоремы Лобачевского в теоремы обычной геометрии.

Неявные аксиомы. — Являются ли аксиомы, явно сформулированные в наших трактатах, единственными основаниями геометрии? Мы можем убедиться в обратном, заметив, что после того, как они последовательно отбрасываются, все еще остаются некоторые положения, общие для теорий Евклида, Лобачевского и Римана. Эти положения должны покоиться на предпосылках, которые геометры допускают без формулировки. Интересно попытаться выделить их из классических доказательств.

Стюарт Милль утверждал, что каждое определение содержит аксиому, потому что, определяя, человек неявно утверждает существование определяемого объекта. Это заходит слишком далеко; редко в математике дается определение без того, чтобы за ним не следовало доказательство существования определяемого объекта, и когда от этого отказываются, то обычно потому, что читатель может легко восполнить его. Не следует забывать, что слово «существование» не имеет того же смысла, когда оно относится к математической сущности, и когда речь идет о материальном объекте. Математическая сущность существует, если ее определение не подразумевает противоречия, ни в самом себе, ни с уже допущенными положениями.

Но если наблюдение Стюарта Милля нельзя применить ко всем определениям, оно тем не менее справедливо для некоторых из них. Плоскость иногда определяется следующим образом:

Плоскость есть поверхность, такая, что прямая, соединяющая любые две ее точки, целиком лежит на этой поверхности.

Это определение явно скрывает новую аксиому; правда, мы могли бы изменить его, и это было бы предпочтительнее, но тогда нам пришлось бы сформулировать аксиому явно.

Другие определения вызвали бы не менее важные размышления.

Таково, например, определение равенства двух фигур; две фигуры равны, когда они могут быть совмещены; чтобы совместить их, одну нужно перемещать до тех пор, пока она не совпадет с другой; но как ее перемещать? Если бы мы спросили об этом, без сомнения, нам ответили бы, что это нужно делать, не меняя формы и как твердое тело. Порочный круг был бы тогда очевиден.

На самом деле это определение ничего не определяет; оно не имело бы смысла для существа, живущего в мире, где были бы только жидкости. Если оно кажется нам ясным, то это потому, что мы привыкли к свойствам естественных твердых тел, которые не сильно отличаются от свойств идеальных твердых тел, все размеры которых неизменны.

Тем не менее, как бы несовершенно оно ни было, это определение подразумевает аксиому.

Возможность движения твердой фигуры не является самоочевидной истиной, или, по крайней мере, она такова лишь в духе постулата Евклида, а не как аналитическое суждение a priori.

Более того, изучая определения и доказательства геометрии, мы видим, что человек обязан признать без доказательства не только возможность этого движения, но и некоторые его свойства, кроме того.

Это сразу видно из определения прямой линии. Было дано много дефектных определений, но истинное — это то, которое подразумевается во всех доказательствах, где входит прямая линия:

«Может случиться, что движение твердой фигуры таково, что все точки линии, принадлежащей этой фигуре, остаются неподвижными, в то время как все точки, расположенные вне этой линии, движутся. Такая линия будет называться прямой линией». Мы намеренно в этой формулировке отделили определение от аксиомы, которую оно подразумевает.

Многие доказательства, такие как доказательства случаев равенства треугольников, возможности опускания перпендикуляра из точки на прямую, предполагают положения, которые не сформулированы, ибо они требуют допущения, что возможно переместить фигуру определенным образом в пространстве.

Четвертая геометрия. — Среди этих неявных аксиом есть одна, которая, как мне кажется, заслуживает некоторого внимания, потому что, когда она отбрасывается, может быть построена четвертая геометрия, столь же связная, как геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Чтобы доказать, что перпендикуляр всегда может быть воздвигнут в точке A к прямой AB, мы рассматриваем прямую AC, подвижную вокруг точки A и первоначально совпадающую с фиксированной прямой AB; и мы заставляем ее вращаться вокруг точки A до тех пор, пока она не придет в продолжение AB.

Таким образом, предполагаются два положения: во-первых, что такое вращение возможно, и, во-вторых, что оно может быть продолжено до тех пор, пока две прямые не придут в продолжение одна другой.

Если первый пункт допущен, а второй отвергнут, мы приходим к ряду теорем, даже более странных, чем теоремы Лобачевского и Римана, но в равной степени свободных от противоречий.

Я приведу только одну из этих теорем, и не самую необычную: «Реальная прямая может быть перпендикулярна самой себе».

Теорема Ли. — Число аксиом, неявно введенных в классические доказательства, больше, чем необходимо, и было бы интересно свести его к минимуму. Можно сначала спросить, возможно ли это сокращение, не являются ли число необходимых аксиом и число вообразимых геометрий бесконечными.

Теорема Софуса Ли доминирует во всем этом обсуждении. Она может быть сформулирована так:

Предположим, что приняты следующие посылки:

1º Пространство имеет n измерений;

2º Движение жесткой фигуры возможно;

3º Для определения положения этой фигуры в пространстве требуется p условий.

Число геометрий, совместимых с этими посылками, будет ограничено.

Я могу даже добавить, что если n задано, то для p можно указать верхний предел.

Следовательно, если допустить возможность движения, то можно изобрести лишь конечное (и даже довольно небольшое) число трехмерных геометрий.

Геометрии Римана. — Однако этот результат, по-видимому, противоречит Риману, ибо этот ученый конструирует бесконечное множество различных геометрий, и та, которой обычно присваивают его имя, является лишь частным случаем.

Все зависит, говорит он, от того, как определяется длина кривой. Существует же бесконечное множество способов определения этой длины, и каждый из них может стать отправной точкой новой геометрии.

Это совершенно верно, но большинство этих определений несовместимы с движением жесткой фигуры, которое в теореме Ли предполагается возможным. Эти геометрии Римана, во многих отношениях столь интересные, поэтому никогда не могли бы быть ничем иным, кроме как чисто аналитическими, и не поддавались бы доказательствам, аналогичным евклидовым.

О природе аксиом. — Большинство математиков рассматривают геометрию Лобачевского лишь как простую логическую диковинку; некоторые из них, однако, пошли дальше. Поскольку возможны несколько геометрий, то достоверно ли, что наша — истинная? Опыт, несомненно, учит нас, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам; но это происходит потому, что треугольники, с которыми мы имеем дело, слишком малы; разность, согласно Лобачевскому, пропорциональна площади треугольника; не станет ли она, быть может, ощутимой, когда мы будем оперировать с большими треугольниками или когда наши измерения станут более точными? Евклидова геометрия была бы, таким образом, лишь временной геометрией.

Чтобы обсудить это мнение, мы должны прежде всего спросить себя, какова природа геометрических аксиом.

Являются ли они синтетическими суждениями a priori, как говорил Кант?

Тогда они навязывались бы нам с такой силой, что мы не могли бы ни помыслить противоположное суждение, ни построить на нем теоретическое здание. Не существовало бы никакой неевклидовой геометрии.

Чтобы убедиться в этом, возьмем подлинно синтетическое суждение a priori, например, следующее, роль которого мы видели в первой главе:

Если теорема верна для числа 1 и если доказано, что она верна для n + 1 при условии, что она верна для n, то она будет верна для всех положительных целых чисел.

Попробуйте затем уйти от этого и, отрицая данное положение, попытайтесь основать ложную арифметику, аналогичную неевклидовой геометрии, — это невозможно; возникло бы даже искушение с первого взгляда рассматривать эти суждения как аналитические.

Более того, возобновляя нашу фикцию о существах без толщины, мы едва ли можем допустить, что эти существа, если их разум подобен нашему, приняли бы евклидову геометрию, которой противоречил бы весь их опыт.

Следует ли нам поэтому заключить, что аксиомы геометрии — это экспериментальные истины? Но мы не экспериментируем с идеальными прямыми или окружностями; это можно делать только с материальными объектами. На чем же тогда могут основываться эксперименты, которые должны служить фундаментом для геометрии? Ответ прост.

Мы видели выше, что мы постоянно рассуждаем так, как если бы геометрические фигуры вели себя как твердые тела. То, что геометрия заимствовала бы из опыта, были бы, следовательно, свойства этих тел. Свойства света и его прямолинейное распространение также дали начало некоторым положениям геометрии, и в частности положениям проективной геометрии, так что с этой точки зрения возникло бы искушение сказать, что метрическая геометрия — это учение о твердых телах, а проективная — учение о свете.

Но остается трудность, и она непреодолима. Если бы геометрия была экспериментальной наукой, она не была бы точной наукой, она подвергалась бы постоянному пересмотру. Более того, она была бы уже сегодня признана ошибочной, поскольку мы знаем, что не существует строго жесткого твердого тела.

Аксиомы геометрии, следовательно, не являются ни синтетическими суждениями a priori, ни экспериментальными фактами.

Они являются соглашениями; наш выбор среди всех возможных соглашений направляется экспериментальными фактами; но он остается свободным и ограничен лишь необходимостью избегать всякого противоречия. Именно поэтому постулаты могут оставаться строго истинными, даже если экспериментальные законы, определившие их принятие, являются лишь приближенными.

Иными словами, аксиомы геометрии (я не говорю об аксиомах арифметики) — это просто замаскированные определения.

Тогда что нам думать о вопросе: истинна ли евклидова геометрия?

Он не имеет смысла.

С таким же успехом можно спросить, истинна ли метрическая система, а старые меры ложны; истинны ли декартовы координаты, а полярные координаты ложны. Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая; она может быть лишь более удобной.

Так вот, евклидова геометрия есть и останется наиболее удобной:

1º Потому что она самая простая; и это так не только вследствие наших умственных привычек или не знаю какой прямой интуиции, которую мы можем иметь относительно евклидова пространства; она самая простая сама по себе, точно так же как многочлен первой степени проще многочлена второй степени; формулы сферической тригонометрии сложнее формул плоской тригонометрии, и они казались бы таковыми даже аналитику, не знающему их геометрического значения.

2º Потому что она достаточно хорошо согласуется со свойствами естественных твердых тел — тех тел, которые наши руки и глаза сравнивают и с помощью которых мы создаем наши измерительные приборы.

ГЛАВА IV

Пространство и геометрия

Начнем с небольшого парадокса.

Существа с разумом, подобным нашему, и обладающие теми же чувствами, что и мы, но без предварительного воспитания, получили бы от подходящим образом выбранного внешнего мира такие впечатления, что они были бы вынуждены построить геометрию, отличную от евклидовой, и локализовать явления этого внешнего мира в неевклидовом пространстве или даже в пространстве четырех измерений.

Что касается нас, чье воспитание было завершено нашим реальным миром, то если бы нас внезапно перенесли в этот новый мир, мы не испытали бы затруднений в отнесении его явлений к нашему евклидову пространству. И наоборот, если бы эти существа были перенесены в нашу среду, они были бы вынуждены соотносить наши явления с неевклидовым пространством.

Более того, приложив небольшое усилие, мы могли бы сделать то же самое. Человек, который посвятил бы этому свою жизнь, мог бы, возможно, достичь осознания четвертого измерения.

Геометрическое пространство и перцептуальное пространство. — Часто говорят, что образы внешних объектов локализованы в пространстве, даже что они не могут быть сформированы иначе, как при этом условии. Также говорят, что это пространство, которое служит таким образом готовой рамкой для наших ощущений и наших представлений, идентично пространству геометров, свойствами которого оно обладает в полной мере.

Для всех здравомыслящих людей, которые думают так, предыдущее утверждение должно было показаться совершенно необычайным. Но давайте посмотрим, не подвержены ли они иллюзии, которую рассеял бы более глубокий анализ.

Каковы, прежде всего, свойства пространства в собственном смысле слова? Я имею в виду того пространства, которое является объектом геометрии и которое я буду называть геометрическим пространством.

Ниже приведены некоторые из наиболее существенных:

1º Оно непрерывно;

2º Оно бесконечно;

3º Оно имеет три измерения;

4º Оно однородно, то есть все его точки идентичны одна другой;

5º Оно изотропно, то есть все прямые, проходящие через одну и ту же точку, идентичны одна другой.

Сравните его теперь с рамкой наших представлений и наших ощущений, которую я могу назвать перцептуальным пространством.

Визуальное пространство. — Рассмотрим сначала чисто визуальное впечатление, обусловленное образом, сформированным на дне сетчатки.

Беглый анализ показывает нам этот образ как непрерывный, но обладающий лишь двумя измерениями; это уже отличает от геометрического пространства то, что мы можем назвать чистым визуальным пространством.

К тому же этот образ заключен в ограниченную рамку.

Наконец, есть еще одно различие, не менее важное: это чистое визуальное пространство не является однородным. Все точки сетчатки, помимо образов, которые могут там формироваться, не играют одной и той же роли. Желтое пятно никоим образом не может считаться идентичным точке на краю сетчатки. В самом деле, не только тот же объект производит там гораздо более яркие впечатления, но и в любой ограниченной рамке точка, занимающая центр рамки, никогда не будет казаться эквивалентной точке вблизи одного из краев.

Несомненно, более глубокий анализ показал бы нам, что эта непрерывность визуального пространства и его два измерения — лишь иллюзия; это отделило бы его, следовательно, еще больше от геометрического пространства, но мы не будем останавливаться на этом замечании.

Зрение, однако, позволяет нам судить о расстояниях и, следовательно, воспринимать третье измерение. Но каждый знает, что это восприятие третьего измерения сводится к ощущению усилия аккомодации, которое необходимо предпринять, и к ощущению конвергенции, которую необходимо придать обоим глазам, чтобы воспринимать объект отчетливо.

Это мышечные ощущения, совершенно отличные от визуальных ощущений, которые дали нам понятие о первых двух измерениях. Третье измерение, следовательно, не будет казаться нам играющим ту же роль, что и другие два. То, что можно назвать полным визуальным пространством, поэтому не является изотропным пространством.

Оно имеет, это правда, ровно три измерения, что означает, что элементы наших визуальных ощущений (по крайней мере те, которые объединяются для формирования понятия протяженности) будут полностью определены, когда известны три из них; говоря языком математики, они будут функциями трех независимых переменных.

Но рассмотрим дело немного пристальнее. Третье измерение открывается нам двумя различными способами: усилием аккомодации и конвергенцией глаз.

Несомненно, эти два показания всегда согласованы, между ними существует постоянная связь, или, математическими терминами, две переменные, которые измеряют эти два мышечных ощущения, не кажутся нам независимыми; или опять же, чтобы избежать обращения к математическим понятиям, уже довольно утонченным, мы можем вернуться к языку предыдущей главы и сформулировать тот же факт следующим образом: если два ощущения конвергенции, A и B, неразличимы, то два ощущения аккомодации, A' и B', которые соответственно сопровождают их, будут столь же неразличимы.

Но здесь мы имеем, так сказать, экспериментальный факт; a priori ничто не мешает нам предположить обратное, и если обратное имеет место, если эти два мышечных ощущения изменяются независимо друг от друга, нам придется принять во внимание еще одну независимую переменную, и «полное визуальное пространство» предстанет перед нами как физический континуум четырех измерений.

Мы имеем здесь даже, я добавлю, факт внешнего опыта. Ничто не мешает нам предположить, что существо с разумом, подобным нашему, имеющее те же органы чувств, что и мы, может быть помещено в мир, где свет достигал бы его, только пройдя через отражающие среды сложной формы. Два показания, которые служат нам для суждения о расстояниях, перестали бы быть связанными постоянной связью. Существо, которое достигло бы в таком мире воспитания своих чувств, несомненно, приписало бы полному визуальному пространству четыре измерения.

Тактильное пространство и моторное пространство. — «Тактильное пространство» еще сложнее, чем визуальное, и дальше отстоит от геометрического пространства. Излишне повторять для осязания обсуждение, которое я привел для зрения.

Но помимо данных зрения и осязания, существуют другие ощущения, которые способствуют столько же и даже больше, чем они, генезису понятия пространства. Они известны каждому; они сопровождают все наши движения и обычно называются мышечными ощущениями.

Соответствующая рамка составляет то, что можно назвать моторным пространством.

Каждая мышца порождает особое ощущение, способное усиливаться или уменьшаться, так что совокупность наших мышечных ощущений будет зависеть от стольких переменных, сколько у нас мышц. С этой точки зрения моторное пространство имело бы столько измерений, сколько у нас мышц.

Я знаю, скажут, что если мышечные ощущения способствуют формированию понятия пространства, то это потому, что у нас есть чувство направления каждого движения и оно составляет неотъемлемую часть ощущения. Если бы это было так, если бы мышечное ощущение не могло возникнуть иначе, как в сопровождении этого геометрического чувства направления, геометрическое пространство действительно было бы формой, навязанной нашей чувственности.

Но я не воспринимаю ничего подобного, когда анализирую свои ощущения.

Что я действительно вижу, так это то, что ощущения, соответствующие движениям в одном и том же направлении, связаны в моем разуме простой ассоциацией идей. Именно к этой ассоциации сводится то, что мы называем «чувством направления». Это чувство, следовательно, не может быть найдено в одном-единственном ощущении.

Эта ассоциация чрезвычайно сложна, ибо сокращение одной и той же мышцы может соответствовать, в зависимости от положения конечностей, движениям самого разного направления.

К тому же она, очевидно, приобретенная; она, как и все ассоциации идей, является результатом привычки; эта привычка сама по себе является результатом весьма многочисленных опытов; без всякого сомнения, если бы воспитание наших чувств было завершено в иной среде, где мы были бы подвержены иным впечатлениям, возникли бы противоположные привычки и наши мышечные ощущения ассоциировались бы по другим законам.

Характеристики перцептуального пространства. — Таким образом, перцептуальное пространство в своей тройной форме — визуальной, тактильной и моторной — существенно отличается от геометрического пространства.

Оно не является ни однородным, ни изотропным; нельзя даже сказать, что оно имеет три измерения.

Часто говорят, что мы «проецируем» в геометрическое пространство объекты нашего внешнего восприятия; что мы их «локализуем».

Имеет ли это смысл, и если да, то какой?

Означает ли это, что мы представляем себе внешние объекты в геометрическом пространстве?

Наши представления — лишь воспроизведение наших ощущений; они могут, следовательно, быть размещены только в той же рамке, что и эти последние, то есть в перцептуальном пространстве.

Нам так же невозможно представить себе внешние тела в геометрическом пространстве, как художнику — нарисовать на плоском холсте объекты с их тремя измерениями.

Перцептуальное пространство — лишь образ геометрического пространства, образ, измененный по форме своего рода перспективой, и мы можем представлять себе объекты, только подчиняя их законам этой перспективы.

Поэтому мы не представляем себе внешние тела в геометрическом пространстве, но мы рассуждаем об этих телах так, как если бы они были расположены в геометрическом пространстве.

Когда говорят, что мы «локализуем» такой-то объект в такой-то точке пространства, что это значит?

Это просто означает, что мы представляем себе движения, которые необходимо было бы совершить, чтобы достичь этого объекта; и нельзя сказать, что для того, чтобы представить себе эти движения, необходимо проецировать сами движения в пространство и что понятие пространства должно, следовательно, существовать заранее.

Когда я говорю, что мы представляем себе эти движения, я имею в виду лишь то, что мы представляем себе мышечные ощущения, которые сопровождают их и которые не имеют никакого геометрического характера, которые, следовательно, вовсе не предполагают предсуществования понятия пространства.

Изменение состояния и изменение положения. — Но, скажут, если идея геометрического пространства не навязана нашему разуму и если, с другой стороны, ни одно из наших ощущений не может его предоставить, как она могла возникнуть?

Это то, что мы теперь должны исследовать, и это займет некоторое время, но я могу в нескольких словах резюмировать попытку объяснения, которую я собираюсь развить.

Ни одно из наших ощущений, взятое изолированно, не могло привести нас к идее пространства; мы приходим к ней, лишь изучая законы, согласно которым эти ощущения сменяют друг друга.

Мы видим сначала, что наши впечатления подвержены изменениям; но среди изменений, которые мы констатируем, мы вскоре приходим к необходимости провести различие.

В одно время мы говорим, что объекты, вызывающие эти впечатления, изменили состояние, в другое время — что они изменили положение, что они были лишь перемещены.

Меняет ли объект свое состояние или только свое положение, это всегда переводится для нас одинаковым образом: модификацией в совокупности впечатлений.

Как же тогда мы могли прийти к различению между ними? Это легко объяснить. Если произошло только изменение положения, мы можем восстановить первоначальную совокупность впечатлений, совершив движения, которые возвращают нас в положение напротив подвижного объекта в той же относительной ситуации. Мы таким образом исправляем произошедшую модификацию и восстанавливаем исходное состояние обратной модификацией.

Если речь идет о зрении, например, и если объект меняет свое место перед нашим глазом, мы можем «следить за ним глазом» и поддерживать его образ в одной и той же точке сетчатки соответствующими движениями глазного яблока.

Эти движения мы осознаем, потому что они произвольны и потому что они сопровождаются мышечными ощущениями, но это не значит, что мы представляем их себе в геометрическом пространстве.

Так что то, что характеризует изменение положения, что отличает его от изменения состояния, — это то, что оно всегда может быть исправлено таким образом.

Может, следовательно, случиться, что мы переходим от совокупности впечатлений A к совокупности B двумя различными способами:

1º Непроизвольно и не испытывая мышечных ощущений; это происходит, когда именно объект меняет место;

2º Произвольно и с мышечными ощущениями; это происходит, когда объект неподвижен, но мы движемся так, что объект совершает относительное движение по отношению к нам.

Если это так, то переход от совокупности A к совокупности B — это лишь изменение положения.

Из этого следует, что зрение и осязание не могли дать нам понятие пространства без помощи «мышечного чувства».

Не только это понятие не могло быть выведено из одного ощущения или даже из серии ощущений, но, более того, неподвижное существо никогда не могло бы его приобрести, поскольку, будучи не в состоянии исправить своими движениями последствия изменений положения внешних объектов, оно не имело бы никаких оснований отличать их от изменений состояния. Столь же мало оно могло бы приобрести его, если бы его движения не были произвольными или не сопровождались никакими ощущениями.

Условия компенсации. — Как возможна подобная компенсация, такая, что два изменения, в остальном независимые друг от друга, взаимно исправляют друг друга?

Разум, уже знакомый с геометрией, рассуждал бы следующим образом: Очевидно, если должна произойти компенсация, то различные части внешнего объекта, с одной стороны, и различные органы чувств, с другой стороны, должны находиться в одном и том же относительном положении после двойного изменения. И для того чтобы это было так, различные части внешнего объекта должны точно так же сохранить по отношению друг к другу то же относительное положение, и то же самое должно быть верно для различных частей нашего тела по отношению друг к другу.

Иными словами, внешний объект в первом изменении должен быть перемещен как жесткое твердое тело, и то же самое должно быть с целым нашего тела во втором изменении, которое исправляет первое.

При этих условиях компенсация может иметь место.

Но мы, которые пока ничего не знаем о геометрии, поскольку для нас понятие пространства еще не сформировано, мы не можем рассуждать так, мы не можем предвидеть a priori, возможна ли компенсация. Но опыт учит нас, что это иногда случается, и именно с этого экспериментального факта мы начинаем отличать изменения состояния от изменений положения.

Твердые тела и геометрия. — Среди окружающих объектов есть такие, которые часто подвергаются перемещениям, поддающимся исправлению таким образом с помощью коррелятивного движения нашего собственного тела; это твердые тела. Другие объекты, форма которых изменчива, лишь в исключительных случаях подвергаются подобным перемещениям (изменение положения без изменения формы). Когда тело меняет свое место и свою форму, мы больше не можем соответствующими движениями вернуть наши органы чувств в ту же относительную ситуацию по отношению к этому телу; следовательно, мы больше не можем восстановить первоначальную совокупность впечатлений.

Только позже, и как следствие новых опытов, мы учимся разлагать тела переменной формы на более мелкие элементы, такие, что каждый из них перемещается почти в соответствии с теми же законами, что и твердые тела. Таким образом, мы отличаем «деформации» от других изменений состояния; в этих деформациях каждый элемент претерпевает лишь изменение положения, которое может быть исправлено, но модификация, претерпеваемая совокупностью, более глубока и больше не поддается исправлению коррелятивным движением.

Такое понятие уже очень сложно и должно было появиться относительно поздно; более того, оно не могло бы возникнуть, если бы наблюдение твердых тел уже не научило нас отличать изменения положения.

Поэтому, если бы в природе не было твердых тел, не было бы и геометрии.

Другое замечание также заслуживает внимания. Предположим, твердое тело последовательно занимает положения α и β; в своем первом положении оно произведет на нас совокупность впечатлений A, а во втором положении — совокупность впечатлений B. Пусть теперь имеется второе твердое тело, обладающее качествами, совершенно отличными от первого, например, другим цветом. Предположим, оно переходит из положения α, где оно дает нам совокупность впечатлений A', в положение β, где оно дает совокупность впечатлений B'.

В общем случае совокупность A не будет иметь ничего общего с совокупностью A', ни совокупность B с совокупностью B'. Переход от совокупности A к совокупности B и переход от совокупности A' к совокупности B' являются, следовательно, двумя изменениями, которые сами по себе в общем случае не имеют ничего общего.

И все же мы рассматриваем эти два изменения как перемещения и, более того, мы считаем их одним и тем же перемещением. Как это может быть?

Это просто потому, что они оба могут быть исправлены одним и тем же коррелятивным движением нашего тела.

«Коррелятивное движение», следовательно, составляет единственную связь между двумя явлениями, которые в противном случае мы никогда не мечтали бы уподоблять.

С другой стороны, наше тело, благодаря количеству своих сочленений и мышц, может совершать множество различных движений; но не все они способны «исправлять» модификацию внешних объектов; только те будут способны на это, в которых все наше тело, или по крайней мере все те наши органы чувств, которые вступают в игру, перемещаются как целое, то есть без изменения их относительных положений, или на манер твердого тела.

Резюмируем:

1º Мы приходим сначала к различению двух категорий явлений:

Одни, непроизвольные, не сопровождающиеся мышечными ощущениями, приписываются нами внешним объектам; это внешние изменения;

Другие, противоположные по характеру и приписываемые нами движениям нашего собственного тела, — это внутренние изменения;

2º Мы замечаем, что некоторые изменения каждой из этих категорий могут быть исправлены коррелятивным изменением другой категории;

3º Мы отличаем среди внешних изменений те, которые имеют таким образом коррелят в другой категории; их мы называем перемещениями; и точно так же среди внутренних изменений мы отличаем те, которые имеют коррелят в первой категории.

Так определяются, благодаря этой взаимности, особый класс явлений, которые мы называем перемещениями.

Законы этих явлений составляют объект геометрии.

Закон однородности. — Первый из этих законов — закон однородности.

Предположим, что внешним изменением α мы переходим от совокупности впечатлений A к совокупности B, затем что это изменение α исправляется коррелятивным произвольным движением β, так что мы возвращаемся к совокупности A.

Предположим теперь, что другое внешнее изменение α' заставляет нас снова перейти от совокупности A к совокупности B.

Опыт учит нас, что это изменение α' подобно α, поддается исправлению коррелятивным произвольным движением β' и что это движение β' соответствует тем же мышечным ощущениям, что и движение β, которое исправляло α.

Этот факт обычно формулируется словами, что пространство однородно и изотропно.

Можно также сказать, что движение, которое однажды было произведено, может быть повторено второй и третий раз, и так далее, без изменения его свойств.

В первой главе, где мы обсуждали природу математического рассуждения, мы видели важность, которую следует придавать возможности бесконечно повторять одну и ту же операцию.

Именно из этого повторения математическое рассуждение черпает свою силу; именно поэтому, благодаря закону однородности, оно имеет власть над геометрическими фактами.

Для полноты к закону однородности следует добавить множество других аналогичных законов, в детали которых я не хочу вдаваться, но которые математики суммируют одним словом, говоря, что перемещения образуют «группу».

Неевклидов мир. — Если бы геометрическое пространство было рамкой, навязанной каждому из наших представлений, рассматриваемому индивидуально, было бы невозможно представить себе образ, лишенный этой рамки, и мы не могли бы изменить ничего в нашей геометрии.

Но это не так; геометрия — лишь резюме законов, согласно которым эти образы сменяют друг друга. Ничто тогда не мешает нам вообразить серию представлений, подобных во всех точках нашим обычным представлениям, но сменяющих друг друга согласно законам, отличным от тех, к которым мы привыкли.

Мы можем представить себе тогда, что существа, получившие свое воспитание в среде, где эти законы были таким образом нарушены, могли бы иметь геометрию, весьма отличную от нашей.

Предположим, например, мир, заключенный в большую сферу и подчиненный следующим законам:

Температура не является равномерной; она наиболее высока в центре и уменьшается пропорционально расстоянию от центра, опускаясь до абсолютного нуля, когда достигается сфера, в которую заключен этот мир.

Чтобы уточнить еще более точно закон, согласно которому эта температура изменяется: пусть R — радиус ограничивающей сферы; пусть r — расстояние рассматриваемой точки от центра этой сферы. Абсолютная температура будет пропорциональна R² − r².

Я далее предположу, что в этом мире все тела имеют один и тот же коэффициент расширения, так что длина любой линейки пропорциональна ее абсолютной температуре.

Наконец, я предположу, что тело, перенесенное из одной точки в другую с другой температурой, немедленно приходит в тепловое равновесие со своей новой средой.

Ничто в этих гипотезах не является противоречивым или невообразимым.

Подвижный объект будет тогда становиться все меньше и меньше по мере приближения к предельной сфере.

Заметим прежде всего, что, хотя этот мир ограничен с точки зрения нашей обычной геометрии, он будет казаться бесконечным своим обитателям.

В самом деле, когда они пытаются приблизиться к предельной сфере, они остывают и становятся все меньше и меньше. Поэтому шаги, которые они делают, также становятся все меньше и меньше, так что они никогда не могут достичь предельной сферы.

Если для нас геометрия — лишь изучение законов, согласно которым движутся жесткие твердые тела, то для этих воображаемых существ это будет изучение законов движения твердых тел, искаженных различиями температуры, о которых только что говорилось.

Несомненно, в нашем мире естественные твердые тела также претерпевают изменения формы и объема вследствие нагревания или охлаждения. Но мы пренебрегаем этими изменениями при закладке основ геометрии, потому что, помимо того, что они очень незначительны, они нерегулярны и, следовательно, кажутся нам случайными.

В нашем гипотетическом мире это было бы уже не так, и эти изменения следовали бы регулярным и очень простым законам.

Более того, различные твердые части, из которых состояли бы тела его обитателей, претерпевали бы те же изменения формы и объема.

Я сделаю еще одну гипотезу; я предположу, что свет проходит через среды с различным преломлением и такие, что показатель преломления обратно пропорционален R² − r² . Легко видеть, что при этих условиях лучи света были бы не прямолинейными, а круговыми.

Чтобы оправдать то, что предшествует, мне остается показать, что некоторые изменения в положении внешних объектов могут быть исправлены коррелятивными движениями разумных существ, населяющих этот воображаемый мир, и таким образом, чтобы восстановить первоначальную совокупность впечатлений, испытываемых этими разумными существами.

Предположим на самом деле, что объект перемещается, претерпевая деформацию, не как жесткое твердое тело, а как твердое тело, подверженное неравномерным расширениям в точном соответствии с законом температуры, предположенным выше. Позвольте мне для краткости назвать такое движение неевклидовым перемещением.

Если разумное существо окажется поблизости, его впечатления будут модифицированы перемещением объекта, но он может восстановить их, двигаясь подходящим образом. Достаточно, если в конечном итоге совокупность объекта и разумного существа, рассматриваемая как образующая единое тело, претерпела одно из тех частных перемещений, которые я только что назвал неевклидовыми. Это возможно, если предположить, что конечности этих существ расширяются согласно тому же закону, что и другие тела мира, который они населяют.

Хотя с точки зрения нашей обычной геометрии при этом перемещении происходит деформация тел и их различные части больше не находятся в том же относительном положении, тем не менее мы увидим, что впечатления разумного существа снова стали теми же самыми.

В самом деле, хотя взаимные расстояния различных частей могли измениться, части, первоначально находившиеся в контакте, снова находятся в контакте. Следовательно, тактильные впечатления не изменились.

С другой стороны, принимая во внимание гипотезу, сделанную выше относительно преломления и кривизны лучей света, визуальные впечатления также останутся теми же самыми.

Эти воображаемые существа будут, следовательно, подобно нам, вынуждены классифицировать явления, свидетелями которых они являются, и отличать среди них «изменения положения», поддающиеся исправлению коррелятивным произвольным движением.

Если они построят геометрию, это будет не, как наша, изучение движений наших жестких твердых тел; это будет изучение изменений положения, которые они таким образом отличат и которые суть не что иное, как «неевклидовы перемещения»; это будет неевклидова геометрия.

Таким образом, существа, подобные нам, воспитанные в таком мире, не имели бы той же геометрии, что и наша.

Мир четырех измерений. — Мы можем представить себе четырехмерный мир так же хорошо, как и неевклидов.

Чувство зрения, даже с одним глазом, вместе с мышечными ощущениями, относящимися к движениям глазного яблока, было бы достаточным, чтобы научить нас пространству трех измерений.

Образы внешних объектов рисуются на сетчатке, которая является двумерным холстом; они — перспективы.

Но, поскольку глаз и объекты подвижны, мы видим последовательно различные перспективы одного и того же тела, взятые с разных точек зрения.

В то же время мы обнаруживаем, что переход от одной перспективы к другой часто сопровождается мышечными ощущениями.

Если переход от перспективы A к перспективе B и переход от перспективы A' к перспективе B' сопровождаются одними и теми же мышечными ощущениями, мы уподобляем их друг другу как операции той же природы.

Изучая затем законы, согласно которым эти операции комбинируются, мы признаем, что они образуют группу, которая имеет ту же структуру, что и группа движений жестких твердых тел.

Теперь мы видели, что именно из свойств этой группы мы вывели понятие геометрического пространства и понятие трех измерений.

Мы понимаем таким образом, как идея пространства трех измерений могла родиться из зрелища этих перспектив, хотя каждая из них имеет лишь два измерения, поскольку они следуют друг за другом согласно определенным законам.

Что ж, точно так же, как перспектива трехмерной фигуры может быть сделана на плоскости, мы можем сделать перспективу четырехмерной фигуры на картине трех (или двух) измерений. Для геометра это лишь детская игра.

Мы можем даже сделать с одной и той же фигуры несколько перспектив с нескольких разных точек зрения.

Мы можем легко представить себе эти перспективы, поскольку они имеют лишь три измерения.

Представьте, что различные перспективы одного и того же объекта сменяют друг друга и что переход от одной к другой сопровождается мышечными ощущениями.

Мы будем, конечно, рассматривать два из этих переходов как две операции той же природы, когда они связаны с одними и теми же мышечными ощущениями.

Ничто тогда не мешает нам вообразить, что эти операции комбинируются согласно любому закону, который мы выберем, например, так, чтобы образовать группу с той же структурой, что и группа движений жесткого твердого тела четырех измерений.

Здесь нет ничего невообразимого, и все же эти ощущения — именно те, которые почувствовало бы существо, обладающее двумерной сетчаткой, которое могло бы двигаться в пространстве четырех измерений. В этом смысле мы можем сказать, что четвертое измерение вообразимо.

Заключения. — Мы видим, что опыт играет незаменимую роль в генезисе геометрии; но было бы ошибкой отсюда заключать, что геометрия является, даже отчасти, экспериментальной наукой.

Если бы она была экспериментальной, она была бы лишь приближенной и временной. И какое грубое приближение!

Геометрия была бы лишь изучением движений твердых тел; но в действительности она не занимается естественными твердыми телами, ее объектом являются некоторые идеальные твердые тела, абсолютно жесткие, которые суть лишь упрощенный и очень отдаленный образ естественных твердых тел.

Понятие этих идеальных твердых тел извлечено из всех частей нашего разума, и опыт — лишь повод, который побуждает нас извлечь его из них.

Объектом геометрии является изучение частной «группы»; но общее понятие группы предсуществует, по крайней мере потенциально, в нашем разуме. Оно навязано нам не как форма нашего чувства, а как форма нашего рассудка.

Только из всех возможных групп должна быть выбрана та, которая будет, так сказать, эталоном, к которому мы будем относить естественные явления.

Опыт направляет нас в этом выборе, не навязывая его нам; он говорит нам не то, какая геометрия самая истинная, а то, какая самая удобная.

Заметьте, что я смог описать фантастические миры, воображенные выше, не переставая использовать язык обычной геометрии.

И, в самом деле, нам не пришлось бы менять его, если бы нас перенесли туда.

Существа, воспитанные там, несомненно, сочли бы более удобным создать геометрию, отличную от нашей и лучше приспособленную к их впечатлениям. Что касается нас, перед лицом тех же впечатлений, несомненно, мы сочли бы более удобным не менять наши привычки.

ГЛАВА V

Опыт и геометрия

1. Уже на предыдущих страницах я несколько раз пытался показать, что принципы геометрии не являются экспериментальными фактами и что, в частности, постулат Евклида не может быть доказан экспериментально.

Сколь бы решающими ни казались мне уже приведенные доводы, я считаю, что должен подчеркнуть этот пункт, потому что здесь ложная идея глубоко укоренилась во многих умах.

2. Если мы сконструируем материальную окружность, измерим ее радиус и длину окружности и посмотрим, равно ли отношение этих двух длин π, что мы сделаем? Мы проведем эксперимент над свойствами материи, из которой мы сконструировали эту круглую вещь, и той, из которой была сделана использованная мера.

3. Геометрия и астрономия. — Вопрос был также поставлен иначе. Если геометрия Лобачевского истинна, параллакс очень далекой звезды будет конечным; если истинна геометрия Римана, он будет отрицательным. Это результаты, которые кажутся доступными для эксперимента, и были надежды, что астрономические наблюдения могут позволить нам сделать выбор между тремя геометриями.

Но в астрономии «прямая линия» означает просто «путь луча света».

Если, следовательно, были бы найдены отрицательные параллаксы или если было бы продемонстрировано, что все параллаксы превосходят определенный предел, нам были бы открыты два пути; мы могли бы либо отказаться от евклидовой геометрии, либо модифицировать законы оптики и предположить, что свет не распространяется строго по прямой линии.

Излишне добавлять, что весь мир счел бы последнее решение более выгодным.

Евклидова геометрия, следовательно, не имеет ничего, чего стоило бы опасаться от новых экспериментов.

4. Состоятельна ли позиция, что некоторые явления, возможные в евклидовом пространстве, были бы невозможны в неевклидовом пространстве, так что опыт, устанавливая эти явления, прямо противоречил бы неевклидовой гипотезе? Что касается меня, я думаю, что такой вопрос не может быть поставлен. По моему мнению, он в точности эквивалентен следующему, абсурдность которого очевидна для всех глаз: существуют ли длины, выразимые в метрах и сантиметрах, но которые не могут быть измерены в саженях, футах и дюймах, так что опыт, устанавливая существование этих длин, прямо противоречил бы гипотезе о том, что существуют сажени, разделенные на шесть футов?

Рассмотрим вопрос пристальнее. Я предполагаю, что прямая линия обладает в евклидовом пространстве какими-либо двумя свойствами, которые я назову A и B; что в неевклидовом пространстве она все еще обладает свойством A, но больше не имеет свойства B; наконец, я предполагаю, что как в евклидовом, так и в неевклидовом пространстве прямая линия — единственная линия, обладающая свойством A.

Если бы это было так, опыт был бы способен сделать выбор между гипотезой Евклида и гипотезой Лобачевского. Было бы установлено, что определенный конкретный объект, доступный для эксперимента, например, пучок лучей света, обладает свойством A; мы заключили бы, что он прямолинеен, а затем исследовали бы, обладает он или нет свойством B.

Но это не так; не существует свойства, которое, подобно этому свойству A, могло бы быть абсолютным критерием, позволяющим нам распознать прямую линию и отличить ее от любой другой линии.

Скажем ли мы, например: «следующее является таким свойством: прямая линия — это линия, такая, что фигура, частью которой является эта линия, может быть перемещена без изменения взаимных расстояний ее точек и так, что все точки этой линии остаются неподвижными»?

Это, в самом деле, свойство, которое в евклидовом или неевклидовом пространстве принадлежит прямой и принадлежит только ей. Но как мы установим экспериментально, принадлежит ли оно тому или иному конкретному объекту? Необходимо будет измерить расстояния, и как узнать, что какая-либо конкретная величина, которую я измерил своим материальным инструментом, действительно представляет абстрактное расстояние?

Мы лишь отодвинули трудность.

В действительности только что сформулированное свойство не является свойством одной лишь прямой линии, это свойство прямой линии и расстояния. Чтобы оно послужило абсолютным критерием, мы должны были бы быть в состоянии установить не только то, что оно не принадлежит также линии, отличной от прямой, и расстоянию, но в дополнение то, что оно не принадлежит линии, отличной от прямой, и величине, отличной от расстояния. Но это неверно.

Поэтому невозможно вообразить конкретный эксперимент, который может быть интерпретирован в евклидовой системе и не может быть интерпретирован в системе Лобачевского, так что я могу заключить:

Никакой опыт никогда не будет противоречить постулату Евклида; равно как, с другой стороны, никакой опыт никогда не будет противоречить постулату Лобачевского.

5. Но недостаточно того, что евклидова (или неевклидова) геометрия никогда не может быть прямо опровергнута опытом. Не может ли случиться, что она может согласоваться с опытом, лишь нарушая принцип достаточного основания или принцип относительности пространства?

Я объяснюсь: рассмотрим любую материальную систему; нам придется рассматривать, с одной стороны, «состояние» различных тел этой системы (например, их температуру, их электрический потенциал и т. д.), а с другой стороны, их положение в пространстве; и среди данных, которые позволяют нам определить это положение, мы будем, более того, отличать взаимные расстояния этих тел, которые определяют их относительные положения, от условий, которые определяют абсолютное положение системы и ее абсолютную ориентацию в пространстве.

Законы явлений, которые будут происходить в этой системе, будут зависеть от состояния этих тел и их взаимных расстояний; но в силу относительности и пассивности пространства они не будут зависеть от абсолютного положения и ориентации системы.

Иными словами, состояние тел и их взаимные расстояния в любой момент времени будут зависеть исключительно от состояния этих же тел и их взаимных расстояний в начальный момент, но вовсе не будут зависеть от абсолютного начального положения системы или от ее абсолютной начальной ориентации. Это я для краткости буду называть законом относительности.

До сих пор я говорил как евклидов геометр. Как я уже сказал, любой опыт, каков бы он ни был, допускает интерпретацию в рамках евклидовой гипотезы; но он в равной степени допускает ее и в рамках неевклидовой гипотезы. Что ж, мы провели серию экспериментов; мы интерпретировали их в рамках евклидовой гипотезы и признали, что эти эксперименты, интерпретированные таким образом, не нарушают этот «закон относительности».

Теперь мы интерпретируем их в рамках неевклидовой гипотезы: это всегда возможно; только неевклидовы расстояния между нашими различными телами в этой новой интерпретации, как правило, не будут совпадать с евклидовыми расстояниями в первоначальной интерпретации.

Будут ли наши эксперименты, интерпретированные таким новым образом, по-прежнему согласуются с нашим «законом относительности»? И если бы этого согласия не было, не имели бы мы также права сказать, что опыт доказал ложность неевклидовой геометрии?

Легко видеть, что это напрасный страх; на самом деле, чтобы применять закон относительности со всей строгостью, его необходимо применять ко всей Вселенной. Ибо если рассматривать только часть этой Вселенной и если абсолютное положение этой части будет меняться, то расстояния до других тел Вселенной также будут меняться, их влияние на рассматриваемую часть Вселенной, следовательно, будет увеличиваться или уменьшаться, что может изменить законы явлений, происходящих там.

Но если наша система — это вся Вселенная, то опыт бессилен дать информацию о ее абсолютном положении и ориентации в пространстве. Все, что могут сказать нам наши инструменты, какими бы совершенными они ни были, — это состояние различных частей Вселенной и их взаимные расстояния.

Таким образом, наш закон относительности можно сформулировать так:

Показания, которые мы сможем снять с наших инструментов в любой момент времени, будут зависеть только от показаний, которые мы могли бы снять с этих же инструментов в начальный момент.

Такая формулировка не зависит от какой-либо интерпретации экспериментальных фактов. Если закон верен в евклидовой интерпретации, он будет верен и в неевклидовой интерпретации.

Позвольте мне здесь сделать небольшое отступление. Выше я говорил о данных, которые определяют положение различных тел системы; я должен был бы также сказать о тех, которые определяют их скорости; тогда мне пришлось бы различать скорости, с которыми изменяются взаимные расстояния различных тел, и, с другой стороны, скорости поступательного и вращательного движения системы, то есть скорости, с которыми изменяются ее абсолютное положение и ориентация.

Чтобы полностью удовлетворить разум, закон относительности должен быть выражен так:

Состояние тел и их взаимные расстояния в любой момент времени, а также скорости, с которыми эти расстояния изменяются в этот же момент, будут зависеть только от состояния этих тел и их взаимных расстояний в начальный момент, а также от скоростей, с которыми эти расстояния изменяются в этот начальный момент, но они не будут зависеть ни от абсолютного начального положения системы, ни от ее абсолютной ориентации, ни от скоростей, с которыми это абсолютное положение и ориентация изменялись в начальный момент.

К несчастью, закон, сформулированный таким образом, не согласуется с экспериментами, по крайней мере, в том виде, в каком они обычно интерпретируются.

Предположим, человека перенесли на планету, небо которой всегда закрыто густой пеленой облаков, так что он никогда не мог видеть другие звезды; на этой планете он жил бы так, как если бы она была изолирована в пространстве. Тем не менее этот человек мог бы обнаружить, что она вращается, либо измерив ее сжатие (обычно выполняемое с помощью астрономических наблюдений, но осуществимое и чисто геодезическими средствами), либо повторив эксперимент с маятником Фуко. Таким образом, абсолютное вращение этой планеты можно было бы сделать очевидным.

Это факт, который шокирует философа, но который физик вынужден принять.

Мы знаем, что из этого факта Ньютон вывел существование абсолютного пространства; я сам совершенно не в состоянии принять эту точку зрения. Я объясню почему в Части III. В данный момент я не намерен вдаваться в эту трудность.

Поэтому я должен смириться с тем, чтобы при формулировке закона относительности включить скорости всякого рода в число данных, определяющих состояние тел.

Как бы то ни было, эта трудность одинакова как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского; поэтому мне не нужно беспокоиться о ней, и я упомянул о ней лишь попутно.

Важен вывод: эксперимент не может решить спор между Евклидом и Лобачевским.

Подводя итог, как ни посмотри, невозможно обнаружить в геометрическом эмпиризме рациональный смысл.

6. Эксперименты учат нас только отношениям тел друг к другу; ни один из них не касается и не может касаться отношений тел с пространством или взаимных отношений различных частей пространства.

«Да, — отвечаете вы, — одного эксперимента недостаточно, потому что он дает мне только одно уравнение с несколькими неизвестными; но когда я проведу достаточно экспериментов, у меня будет достаточно уравнений, чтобы вычислить все мои неизвестные».

Знание высоты грот-мачты не достаточно для вычисления возраста капитана. Когда вы измерите каждую щепку на корабле, у вас будет много уравнений, но возраст капитана вы не узнаете лучше. Все ваши измерения, касающиеся только щепок, не могут открыть вам ничего, кроме того, что касается этих щепок. Точно так же ваши эксперименты, какими бы многочисленными они ни были, касающиеся только отношений тел друг к другу, не откроют нам ничего о взаимных отношениях различных частей пространства.

7. Скажете ли вы, что если эксперименты касаются тел, то они касаются, по крайней мере, геометрических свойств тел? Но, во-первых, что вы понимаете под геометрическими свойствами тел? Я полагаю, что речь идет об отношениях тел с пространством; следовательно, эти свойства недоступны для экспериментов, которые касаются только отношений тел друг к другу. Одного этого было бы достаточно, чтобы показать, что о таких свойствах не может быть и речи.

Все же давайте начнем с того, что договоримся о смысле фразы: геометрические свойства тел. Когда я говорю, что тело состоит из нескольких частей, я полагаю, что не формулирую при этом геометрическое свойство, и это оставалось бы верным, даже если бы я согласился дать неподобающее название точек самым маленьким частям, которые я рассматриваю.

Когда я говорю, что такая-то часть такого-то тела находится в контакте с такой-то частью другого тела, я формулирую суждение, которое касается взаимных отношений этих двух тел, а не их отношений с пространством.

Полагаю, вы согласитесь со мной, что это не геометрические свойства; по крайней мере, я уверен, вы согласитесь, что эти свойства независимы от всякого знания метрической геометрии.

Исходя из этого, я представляю, что у нас есть твердое тело, образованное восемью тонкими железными стержнями OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH, соединенными в одной из их оконечностей O. Пусть у нас будет второе твердое тело, например, кусок дерева, на котором отмечены три маленькие чернильные точки, которые я назову α, β, γ. Я далее предполагаю установленным, что αβγ может быть приведено в контакт с AGO (я имею в виду α с A, и в то же время β с G и γ с O), затем что мы можем последовательно приводить в контакт αβγ с BGO, CGO, DGO, EGO, FGO, затем с AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, затем αγ последовательно с AB, BC, CD, DE, EF, FA.

Это определения, которые мы можем сделать, не имея заранее никакого представления о форме или метрических свойствах пространства. Они никоим образом не касаются «геометрических свойств тел». И эти определения не были бы возможны, если бы исследуемые тела двигались в соответствии с группой, имеющей ту же структуру, что и группа Лобачевского (я имею в виду в соответствии с теми же законами, что и твердые тела в геометрии Лобачевского). Следовательно, они достаточны, чтобы доказать, что эти тела движутся в соответствии с евклидовой группой, или, по крайней мере, что они не движутся в соответствии с группой Лобачевского.

То, что они совместимы с евклидовой группой, легко видеть. Ибо они могли бы быть сделаны, если бы тело αβγ было жестким телом нашей обычной геометрии, представляющим форму прямоугольного треугольника, и если бы точки ABCDEFGH были вершинами многогранника, образованного двумя правильными шестиугольными пирамидами нашей обычной геометрии, имеющими общее основание ABCDEF и вершинами одну G, а другую H.

Предположим теперь, что вместо предыдущего определения наблюдается, что, как и выше, αβγ может быть последовательно приложено к AGO, BGO, CGO, DGO, EGO, AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, затем что αβ (а уже не αγ) может быть последовательно приложено к AB, BC, CD, DE, EF и FA.

Это определения, которые могли бы быть сделаны, если бы неевклидова геометрия была верна, если бы тела αβγ и OABCDEFGH были жесткими телами, и если бы первое было прямоугольным треугольником, а второе — двойной правильной шестиугольной пирамидой подходящих размеров.

Следовательно, эти новые определения невозможны, если тела движутся в соответствии с евклидовой группой; но они становятся таковыми, если предположить, что тела движутся в соответствии с группой Лобачевского. Они были бы достаточны, следовательно (если бы их сделали), чтобы доказать, что рассматриваемые тела не движутся в соответствии с евклидовой группой.

Таким образом, не делая никакой гипотезы о форме, о природе пространства, об отношениях тел к пространству и не приписывая телам никакого геометрического свойства, я сделал наблюдения, которые позволили мне показать в одном случае, что исследуемые тела движутся в соответствии с группой, структура которой евклидова, а в другом случае, что они движутся в соответствии с группой, структура которой лобачевская.

И нельзя сказать, что первая совокупность определений составила бы эксперимент, доказывающий, что пространство евклидово, а вторая — эксперимент, доказывающий, что пространство неевклидово.

На самом деле можно представить (я говорю представить) тела, движущиеся так, чтобы сделать возможной вторую серию определений. И доказательство этого в том, что первый встречный механик мог бы сконструировать такие тела, если бы захотел взять на себя труд и расходы. Вы, однако, не сделаете из этого вывод, что пространство неевклидово.

Более того, поскольку обычные твердые тела продолжали бы существовать, когда механик сконструировал бы странные тела, о которых я только что говорил, необходимо было бы сделать вывод, что пространство одновременно и евклидово, и неевклидово.

Предположим, например, что у нас есть большая сфера радиуса R и что температура убывает от центра к поверхности этой сферы по закону, о котором я говорил, описывая неевклидов мир.

У нас могли бы быть тела, расширение которых было бы пренебрежимо мало и которые вели бы себя как обычные жесткие тела; и, с другой стороны, тела, сильно расширяющиеся, которые вели бы себя как неевклидовы твердые тела. У нас могли бы быть две двойные пирамиды OABCDEFGH и O'A'B'C'D'E'F'G'H' и два треугольника αβγ и α'β'γ'. Первая двойная пирамида могла бы быть прямолинейной, а вторая — криволинейной; треугольник αβγ мог бы быть сделан из нерасширяемого материала, а другой — из очень расширяемого материала.

Тогда было бы возможно провести первые наблюдения с двойной пирамидой OAH и треугольником αβγ, а вторые — с двойной пирамидой O'A'H' и треугольником α'β'γ'. И тогда эксперимент, казалось бы, доказывал сначала, что евклидова геометрия верна, а затем, что она ложна.

Эксперименты, следовательно, имеют отношение не к пространству, а к телам.

Дополнение

8. Чтобы завершить дело, я должен сказать о весьма тонком вопросе, который потребовал бы долгого развития; я ограничусь здесь кратким изложением того, что я изложил в Revue de Métaphysique et de Morale и в The Monist. Когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, что мы имеем в виду?

Мы видели важность тех «внутренних изменений», которые открываются нам нашими мышечными ощущениями. Они могут служить для характеристики различных положений нашего тела. Возьмем произвольно в качестве начала одно из этих положений A. Когда мы переходим от этого начального положения к любому другому положению B, мы чувствуем серию мышечных ощущений, и эта серия S будет определять B. Заметим, однако, что мы часто будем рассматривать две серии S и S' как определяющие одно и то же положение B (поскольку начальное и конечное положения A и B остаются прежними, промежуточные положения и соответствующие ощущения могут различаться). Как же тогда мы узнаем эквивалентность этих двух серий? Потому что они могут служить для компенсации одного и того же внешнего изменения, или, более общо, потому что, когда речь идет о компенсации внешнего изменения, одна из серий может быть заменена другой. Среди этих серий мы выделили те, которые сами по себе могут компенсировать внешнее изменение, и которые мы назвали «перемещениями». Поскольку мы не можем различить два перемещения, которые слишком близки друг к другу, совокупность этих перемещений представляет характеристики физического континуума; опыт учит нас, что это характеристики физического континуума шести измерений; но мы еще не знаем, сколько измерений имеет само пространство, мы должны сначала решить другой вопрос.

Что такое точка пространства? Каждый думает, что знает, но это иллюзия. То, что мы видим, когда пытаемся представить себе точку пространства, — это черное пятнышко на белой бумаге, кусочек мела на классной доске, всегда объект. Вопрос, следовательно, должен быть понят следующим образом:

Что я имею в виду, когда говорю, что объект B находится в той же точке, которую только что занимал объект A? Или далее, какой критерий позволит мне это понять?

Я имею в виду, что, хотя я не сдвинулся с места (о чем мне говорит мое мышечное чувство), мой указательный палец, который только что касался объекта A, в настоящее время касается объекта B. Я мог бы использовать другие критерии; например, другой палец или чувство зрения. Но первый критерий достаточен; я знаю, что если он отвечает «да», все остальные критерии дадут тот же ответ. Я знаю это из опыта, я не могу знать это a priori. По той же причине я говорю, что осязание не может осуществляться на расстоянии; это еще один способ формулировки того же экспериментального факта. И если, напротив, я говорю, что зрение действует на расстоянии, это означает, что критерий, предоставляемый зрением, может ответить «да», в то время как другие ответят «нет».

И на самом деле, объект, хотя и отодвинутый, может образовать свое изображение в той же точке сетчатки. Зрение отвечает «да», объект остался в той же точке, а осязание отвечает «нет», потому что мой палец, который только что касался объекта, в настоящее время его уже не касается. Если бы опыт показал нам, что один палец может ответить «нет», когда другой говорит «да», мы бы точно так же сказали, что осязание действует на расстоянии.

Короче говоря, для каждого положения моего тела мой указательный палец определяет точку, и именно это, и только это, определяет точку пространства.

Каждому положению соответствует, таким образом, точка; но часто случается, что одна и та же точка соответствует нескольким различным положениям (в этом случае мы говорим, что наш палец не сдвинулся, но остальная часть тела переместилась). Мы различаем, следовательно, среди изменений положения те, при которых палец не сдвигается. Как мы к этому приходим? Это потому, что часто мы замечаем, что при этих изменениях объект, который находится в контакте с пальцем, остается в контакте с ним.

Расположите, следовательно, в одном классе все положения, получаемые друг из друга одним из изменений, которые мы таким образом выделили. Всем положениям класса будет соответствовать одна и та же точка пространства. Следовательно, каждому классу будет соответствовать точка, а каждой точке — класс. Но можно сказать, что то, к чему приходит опыт, — это не точка, это этот класс изменений или, лучше, соответствующий класс мышечных ощущений.

И когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, мы просто имеем в виду, что совокупность этих классов представляется нам с характеристиками физического континуума трех измерений.

Можно было бы поддаться искушению сделать вывод, что именно опыт научил нас, сколько измерений имеет пространство. Но в действительности здесь также наш опыт имеет отношение не к пространству, а к нашему телу и его отношениям с соседними объектами. Более того, они чрезмерно грубы.

В нашем уме заранее существовала скрытая идея определенного числа групп — тех, теорию которых развил Ли. Какую группу мы выберем, чтобы сделать из нее своего рода стандарт, с которым сравнивать природные явления? И, выбрав эту группу, какую из ее подгрупп мы возьмем, чтобы охарактеризовать точку пространства? Опыт направил нас, показав, какой выбор лучше всего адаптируется к свойствам нашего тела. Но его роль ограничена этим.

Наследственный опыт

Часто говорили, что если индивидуальный опыт не мог создать геометрию, то это не относится к наследственному опыту. Но что это значит? Имеется ли в виду, что мы не могли экспериментально доказать постулат Евклида, но что наши предки смогли это сделать? Отнюдь нет. Имеется в виду, что путем естественного отбора наш разум адаптировался к условиям внешнего мира, что он принял геометрию, наиболее выгодную для вида: или, другими словами, наиболее удобную. Это полностью соответствует нашим выводам; геометрия не истинна, она выгодна.

ЧАСТЬ III СИЛА

ГЛАВА VI

Классическая механика

Англичане преподают механику как экспериментальную науку; на континенте она всегда излагается как более или менее дедуктивная и a priori наука. Англичане правы, это само собой разумеется; но как можно было так долго придерживаться другого метода? Почему континентальные ученые, которые стремились сойти с проторенных путей своих предшественников, обычно оказывались не в состоянии полностью освободиться?

С другой стороны, если принципы механики имеют только экспериментальное происхождение, не являются ли они поэтому только приблизительными и временными? Не могут ли новые эксперименты когда-нибудь привести нас к тому, чтобы изменить или даже отказаться от них?

Таковы вопросы, которые естественно напрашиваются, и трудность решения проистекает главным образом из того факта, что в трактатах по механике не проводится четкого различия между тем, что является экспериментом, что — математическим рассуждением, что — конвенцией, что — гипотезой.

Это еще не все:

1º Не существует абсолютного пространства, и мы можем мыслить только относительные движения; однако обычно механические факты формулируются так, как если бы существовало абсолютное пространство, к которому их следует относить.

2º Не существует абсолютного времени; утверждение, что две длительности равны, само по себе не имеет смысла и может приобрести его только по конвенции.

3º У нас нет не только прямой интуиции равенства двух длительностей, но у нас нет даже прямой интуиции одновременности двух событий, происходящих в разных местах: это я объяснил в статье под названием La mesure du temps. [3]

4º Наконец, наша евклидова геометрия сама по себе является лишь своего рода языковой конвенцией; механические факты могли бы быть сформулированы по отношению к неевклидову пространству, которое было бы менее удобным, но столь же законным руководством, как и наше обычное пространство; формулировка стала бы при этом гораздо сложнее, но она осталась бы возможной.

Таким образом, абсолютное пространство, абсолютное время, сама геометрия не являются условиями, которые навязывают себя механике; все эти вещи не более предшествуют механике, чем французский язык логически предшествует истинам, которые выражают на французском языке.

Мы могли бы попытаться сформулировать фундаментальные законы механики на языке, независимом от всех этих конвенций; мы, несомненно, получили бы лучшее представление о том, что представляют собой эти законы сами по себе; это то, что г-н Андраде попытался сделать, по крайней мере частично, в своих Leçons de mécanique physique.

Формулировка этих законов стала бы, конечно, гораздо сложнее, потому что все эти конвенции были разработаны специально для того, чтобы сократить и упростить эту формулировку.

Что касается меня, за исключением того, что касается абсолютного пространства, я буду игнорировать все эти трудности; не то чтобы я не ценил их, далеко не так; но мы достаточно рассмотрели их в первых двух частях книги.

Поэтому я допущу, временно, абсолютное время и евклидову геометрию.

Принцип инерции. — Тело, на которое не действует никакая сила, может двигаться только равномерно по прямой линии.

Является ли это истиной, навязанной a priori разуму? Если бы это было так, как греки могли не признать этого? Как они могли верить, что движение прекращается, когда причина, породившая его, перестает действовать? Или, опять же, что каждое тело, если ничто не препятствует, будет двигаться по кругу, благороднейшему из движений?

Если говорят, что скорость тела не может измениться, если нет причины для ее изменения, нельзя ли с таким же успехом утверждать, что положение этого тела не может измениться или что кривизна его траектории не может измениться, если никакая внешняя причина не вмешивается, чтобы изменить их?

Является ли принцип инерции, который не является истиной a priori, следовательно, экспериментальным фактом? Но экспериментировал ли кто-нибудь когда-нибудь с телами, изъятыми из действия всякой силы? И если да, то как было известно, что эти тела не подвергались действию никакой силы? Пример, обычно приводимый, — это шар, катящийся очень долго по мраморному столу; но почему мы говорим, что он не подвергается действию никакой силы? Потому ли, что он слишком удален от всех других тел, чтобы испытывать какое-либо заметное действие с их стороны? Однако он не дальше от Земли, чем если бы его свободно бросили в воздух; и каждый знает, что в этом случае он испытывал бы влияние тяжести, обусловленное притяжением Земли.

Преподаватели механики обычно быстро проходят мимо примера с шаром; но они добавляют, что принцип инерции проверяется косвенно через свои следствия. Они плохо выражаются; они, очевидно, имеют в виду, что можно проверить различные следствия более общего принципа, частным случаем которого является принцип инерции.

Я предложу для этого общего принципа следующую формулировку:

Ускорение тела зависит только от положения этого тела и соседних тел, а также от их скоростей.

Математики сказали бы, что движения всех материальных молекул Вселенной зависят от дифференциальных уравнений второго порядка.

Чтобы прояснить, что это действительно естественное обобщение закона инерции, я попрошу вас позволить мне немного вымысла. Закон инерции, как я сказал выше, не навязывается нам a priori; другие законы были бы вполне совместимы с принципом достаточного основания. Если тело не подвергается действию никакой силы, вместо предположения, что его скорость не меняется, можно было бы предположить, что не меняется его положение или же его ускорение.

Что ж, представьте на мгновение, что один из этих двух гипотетических законов является законом природы и заменяет наш закон инерции. Каким было бы его естественное обобщение? Минута размышления покажет нам.

В первом случае мы должны предположить, что скорость тела зависит только от его положения и от положения соседних тел; во втором случае — что изменение ускорения тела зависит только от положения этого тела и соседних тел, от их скоростей и от их ускорений.

Или, говоря на языке математики, дифференциальные уравнения движения были бы первого порядка в первом случае и третьего порядка во втором случае.

Давайте немного изменим наш вымысел. Предположим мир, аналогичный нашей солнечной системе, но где по странной случайности орбиты всех планет не имеют эксцентриситета и наклонения. Предположим далее, что массы этих планет слишком малы, чтобы их взаимные возмущения были заметны. Астрономы, населяющие одну из этих планет, не могли бы не прийти к выводу, что орбита звезды может быть только круговой и параллельной определенной плоскости; положение звезды в данный момент времени было бы тогда достаточно для определения ее скорости и всего ее пути. Закон инерции, который они приняли бы, был бы первым из двух гипотетических законов, которые я упомянул.

Представьте теперь, что эту систему однажды пересекает с большой скоростью тело огромной массы, пришедшее из далеких созвездий. Все орбиты были бы глубоко возмущены. Тем не менее наши астрономы не были бы слишком сильно удивлены; они очень хорошо догадались бы, что эта новая звезда была единственной виновницей всех бед. «Но, — сказали бы они, — когда она уйдет, порядок сам собой восстановится; без сомнения, расстояния планет от Солнца не вернутся к тем, что были до катаклизма, но когда возмущающая звезда уйдет, орбиты снова станут круговыми».

Только когда возмущающее тело ушло бы и когда, тем не менее, орбиты, вместо того чтобы снова стать круговыми, стали эллиптическими, эти астрономы осознали бы свою ошибку и необходимость переделать всю свою механику.

Я несколько задержался на этих гипотезах, потому что мне кажется, что можно ясно понять, что такое наш обобщенный закон инерции, только противопоставив его противоположной гипотезе.

Что ж, теперь, был ли этот обобщенный закон инерции проверен экспериментом или может ли он быть проверен? Когда Ньютон писал «Principia», он вполне рассматривал эту истину как экспериментально приобретенную и доказанную. Она была таковой в его глазах не только через антропоморфизм, о котором мы поговорим далее, но и через работу Галилея. Она была таковой даже из самих законов Кеплера; в соответствии с этими законами, фактически, путь планеты полностью определяется ее начальным положением и начальной скоростью; это как раз то, что требует наш обобщенный закон инерции.

Для того чтобы этот принцип был истинным лишь по видимости, для того чтобы иметь повод опасаться, что когда-нибудь придется заменить его одним из аналогичных принципов, которые я только что противопоставил ему, необходимо было бы, чтобы мы были введены в заблуждение какой-то удивительной случайностью, подобной той, которая в вышеприведенном вымысле привела к ошибке наших воображаемых астрономов.

Такая гипотеза слишком маловероятна, чтобы на ней задерживаться. Никто не поверит, что такие совпадения могут произойти; без сомнения, вероятность того, что два эксцентриситета будут оба точно равны нулю, в пределах ошибок наблюдения, не меньше, чем вероятность того, что один будет точно равен 0,1, например, а другой — 0,2, в пределах ошибок наблюдения. Вероятность простого события не меньше, чем вероятность сложного события; и все же, если первое произойдет, мы не согласимся приписать это случайности; мы не должны верить, что природа действовала специально, чтобы обмануть нас. Гипотеза об ошибке такого рода будучи отброшенной, можно, следовательно, признать, что в том, что касается астрономии, наш закон был проверен экспериментом.

Но астрономия — это не вся физика.

Не стоит ли нам опасаться, что когда-нибудь новый эксперимент придет, чтобы фальсифицировать закон в какой-то области физики? Экспериментальный закон всегда подлежит пересмотру; всегда следует ожидать, что он будет заменен более точным законом.

И все же никто всерьез не думает, что закон, о котором мы говорим, когда-нибудь будет оставлен или изменен. Почему? Именно потому, что он никогда не может быть подвергнут решающему испытанию.

Прежде всего, чтобы это испытание было полным, необходимо было бы, чтобы через определенное время все тела во Вселенной вернулись в свои начальные положения с их начальными скоростями. Можно было бы тогда увидеть, возобновят ли они, начиная с этого момента, свои первоначальные пути.

Но это испытание невозможно, оно может быть применено только частично, и, как бы хорошо оно ни было сделано, всегда найдутся тела, которые не вернутся в свои начальные положения; таким образом, каждое отступление от закона легко найдет свое объяснение.

Это еще не все; в астрономии мы видим тела, движения которых мы изучаем, и мы обычно предполагаем, что они не подвергаются действию других невидимых тел. В этих условиях наш закон действительно должен быть либо подтвержден, либо не подтвержден.

Но в физике это не так; если физические явления обусловлены движениями, то это движения молекул, которые мы не видим. Если тогда ускорение одного из тел, которые мы видим, кажется нам зависящим от чего-то другого, помимо положений или скоростей других видимых тел или невидимых молекул, существование которых мы ранее были вынуждены признать, ничто не мешает нам предположить, что это «что-то другое» — это положение или скорость других молекул, присутствие которых мы раньше не подозревали. Закон окажется защищенным.

Позвольте мне на мгновение использовать математический язык, чтобы выразить ту же мысль в другой форме. Предположим, мы наблюдаем n молекул и устанавливаем, что их 3n координат удовлетворяют системе 3n дифференциальных уравнений четвертого порядка (а не второго порядка, как требовал бы закон инерции). Мы знаем, что путем введения 3n вспомогательных переменных систему 3n уравнений четвертого порядка можно свести к системе 6n уравнений второго порядка. Если тогда мы предположим, что эти 3n вспомогательных переменных представляют координаты n невидимых молекул, результат снова оказывается в соответствии с законом инерции.

Подводя итог, этот закон, проверенный экспериментально в некоторых частных случаях, может без колебаний быть распространен на самые общие случаи, поскольку мы знаем, что в этих общих случаях эксперимент уже не способен ни подтвердить, ни опровергнуть его.

Закон ускорения. — Ускорение тела равно силе, действующей на него, деленной на его массу. Может ли этот закон быть проверен экспериментом? Для этого необходимо было бы измерить три величины, которые фигурируют в формулировке: ускорение, силу и массу.

Я предполагаю, что ускорение можно измерить, ибо я опускаю трудность, возникающую из измерения времени. Но как измерить силу или массу? Мы даже не знаем, что они такое.

Что такое масса? Согласно Ньютону, это произведение объема на плотность. Согласно Томсону и Тэту, лучше было бы сказать, что плотность — это частное от деления массы на объем. Что такое сила? Это, отвечает Лагранж, то, что движет или стремится двигать тело. Это, скажет Кирхгоф, произведение массы на ускорение. Но тогда почему бы не сказать, что масса — это частное от деления силы на ускорение?

Эти трудности неразрешимы.

Когда мы говорим, что сила — это причина движения, мы говорим метафизику, и это определение, если бы кто-то удовлетворился им, было бы абсолютно стерильным. Чтобы определение было полезным, оно должно научить нас измерять силу; более того, этого достаточно; вовсе не обязательно, чтобы оно учило нас, что такое сила сама по себе, ни является ли она причиной или следствием движения.

Мы должны, следовательно, сначала определить равенство двух сил. Когда мы скажем, что две силы равны? Это, говорят нам, когда, приложенные к одной и той же массе, они сообщают ей одно и то же ускорение, или когда, будучи направлены прямо одна против другой, они производят равновесие. Это определение — лишь видимость. Силу, приложенную к телу, нельзя отцепить, чтобы прицепить к другому телу, как отцепляют локомотив, чтобы прицепить его к другому поезду. Поэтому невозможно узнать, какое ускорение такая сила, приложенная к такому телу, сообщила бы такому другому телу, если бы она была приложена к нему. Невозможно узнать, как две силы, которые не направлены прямо друг против друга, действовали бы, если бы они были направлены прямо друг против друга.

Именно это определение мы пытаемся материализовать, так сказать, когда измеряем силу динамометром или уравновешиваем ее весом. Две силы F и F', которые для простоты я буду предполагать вертикальными и направленными вверх, приложены соответственно к двум телам C и C'; я подвешиваю одно и то же тяжелое тело P сначала к телу C, затем к телу C'; если в обоих случаях достигается равновесие, я сделаю вывод, что две силы F и F' равны друг другу, поскольку каждая из них равна весу тела P.

Но уверен ли я, что тело P сохранило тот же вес, когда я перенес его с первого тела на второе? Отнюдь нет; я уверен в обратном; я знаю, что интенсивность тяжести меняется от одной точки к другой и что она сильнее, например, на полюсе, чем на экваторе. Без сомнения, разница очень мала, и на практике я не буду принимать ее во внимание; но правильно составленное определение должно обладать математической строгостью; этой строгости не хватает. То, что я говорю о весе, очевидно, применимо к силе упругости динамометра, которую температура и множество обстоятельств могут заставить меняться.

Это еще не все; мы не можем сказать, что вес тела P может быть приложен к телу C и непосредственно уравновесить силу F. К телу C приложено действие A тела P на тело C; тело P подчинено, со своей стороны, с одной стороны, своему весу; с другой стороны, реакции R тела C на P. Наконец, сила F равна силе A, поскольку она уравновешивает ее; сила A равна R в силу принципа равенства действия и противодействия; наконец, сила R равна весу P, поскольку она уравновешивает его. Именно из этих трех равенств мы выводим как следствие равенство F и веса P.

Мы вынуждены, следовательно, в определении равенства двух сил привлекать принцип равенства действия и противодействия; по этой причине этот принцип не должен больше рассматриваться как экспериментальный закон, а как определение.

Для распознавания равенства двух сил здесь мы обладаем двумя правилами: равенство двух сил, которые уравновешиваются; равенство действия и противодействия. Но, как мы видели выше, этих двух правил недостаточно; мы вынуждены прибегнуть к третьему правилу и предположить, что некоторые силы, как, например, вес тела, постоянны по величине и направлению. Но это третье правило, как я сказал, является экспериментальным законом; оно верно лишь приблизительно; это плохое определение.

Мы сведены, следовательно, к определению Кирхгофа: сила равна массе, умноженной на ускорение. Этот «закон Ньютона» в свою очередь перестает рассматриваться как экспериментальный закон, теперь это лишь определение. Но это определение все еще недостаточно, ибо мы не знаем, что такое масса. Оно позволяет нам, несомненно, вычислить отношение двух сил, приложенных к одному и тому же телу в разные моменты времени; оно ничего не говорит нам об отношении двух сил, приложенных к двум разным телам.

Чтобы завершить его, необходимо вернуться снова к третьему закону Ньютона (равенство действия и противодействия), рассматриваемому опять же не как экспериментальный закон, а как определение. Два тела A и B действуют одно на другое; ускорение A, умноженное на массу A, равно действию B на A; точно так же произведение ускорения B на его массу равно реакции A на B. Так как, по определению, действие равно противодействию, массы A и B находятся в обратном отношении к их ускорениям. Здесь мы имеем отношение этих двух масс определенным, и эксперимент должен проверить, что это отношение постоянно.

Это было бы очень хорошо, если бы присутствовали только два тела A и B, удаленные от действия остального мира. Это совсем не так; ускорение A обусловлено не только действием B, но и действием множества других тел C, D, ... Чтобы применить предыдущее правило, необходимо, следовательно, разделить ускорение A на много компонентов и различить, какой из этих компонентов обусловлен действием B.

Это разделение было бы все еще возможно, если бы мы предположили, что действие C на A просто присоединяется к действию B на A, без того чтобы присутствие тела C изменяло действие B на A; или присутствие B изменяло действие C на A; если бы мы предположили, следовательно, что любые два тела притягиваются друг к другу, что их взаимное действие направлено вдоль линии, их соединяющей, и зависит только от расстояния между ними; если, одним словом, мы предположим гипотезу центральных сил.

Вы знаете, что для определения масс небесных тел мы используем совершенно другой принцип. Закон тяготения учит нас, что притяжение двух тел пропорционально их массам; если r — расстояние между ними, m и m' — их массы, k — константа, их притяжение будет kmm'/r2.

То, что мы измеряем тогда, — это не масса, отношение силы к ускорению, а притягивающая масса; это не инерция тела, а его притягивающая сила.

Это косвенная процедура, применение которой теоретически не является обязательным. Вполне могло бы быть, что притяжение было обратно пропорционально квадрату расстояния, не будучи пропорциональным произведению масс, что оно было равно f/r2, но без того, чтобы у нас было f = kmm'.

Если бы это было так, мы могли бы тем не менее, путем наблюдения относительных движений небесных тел, измерить массы этих тел.

Но имеем ли мы право допускать гипотезу центральных сил? Является ли эта гипотеза строго точной? Уверены ли мы, что она никогда не будет опровергнута экспериментом? Кто осмелился бы это утверждать? И если мы должны отказаться от этой гипотезы, все здание, так кропотливо воздвигнутое, рухнет.

У нас больше нет права говорить о компоненте ускорения A, обусловленном действием B. У нас нет средств отличить его от того, который обусловлен действием C или другого тела. Правило для измерения масс становится неприменимым.

Что остается тогда от принципа равенства действия и противодействия? Если гипотеза центральных сил отвергнута, этот принцип должен, очевидно, быть сформулирован так: геометрическая равнодействующая всех сил, приложенных к различным телам системы, изолированной от всякого внешнего действия, будет равна нулю. Или, другими словами, движение центра тяжести этой системы будет прямолинейным и равномерным.

Тут, кажется, у нас есть средство определения массы; положение центра тяжести очевидно зависит от значений, приписываемых массам; необходимо будет распорядиться этими значениями таким образом, чтобы движение центра тяжести могло быть прямолинейным и равномерным; это всегда будет возможно, если третий закон Ньютона верен, и возможно в общем случае только единственным способом.

Но не существует системы, изолированной от всякого внешнего действия; все части Вселенной подвержены в большей или меньшей степени действию всех других частей. Закон движения центра тяжести строго верен, только если он применен ко всей Вселенной.

Но тогда, чтобы получить из него значения масс, необходимо было бы наблюдать движение центра тяжести Вселенной. Абсурдность этого следствия очевидна; мы знаем только относительные движения; движение центра тяжести Вселенной останется для нас вечно неизвестным.

Поэтому ничего не остается, и наши усилия были бесплодны; мы приходим к следующему определению, которое является лишь признанием бессилия: массы — это коэффициенты, которые удобно вводить в расчеты.

Мы могли бы реконструировать всю механику, приписав разные значения всем массам. Эта новая механика не была бы в противоречии ни с опытом, ни с общими принципами динамики (принцип инерции, пропорциональность сил массам и ускорениям, равенство действия и противодействия, прямолинейное и равномерное движение центра тяжести, принцип площадей).

Только уравнения этой новой механики были бы менее простыми. Давайте поймем ясно: это были бы только первые члены, которые были бы менее простыми, то есть те, с которыми опыт нас уже познакомил; возможно, можно было бы изменить массы на малые величины, не делая полные уравнения более или менее простыми.

Герц поднял вопрос о том, являются ли принципы механики строго верными. «По мнению многих физиков, — говорит он, — немыслимо, чтобы самый отдаленный опыт мог когда-либо изменить что-либо в незыблемых принципах механики; и все же то, что исходит из опыта, всегда может быть исправлено опытом». После того, что мы только что сказали, эти опасения покажутся беспочвенными.

Принципы динамики поначалу представлялись нам как экспериментальные истины; но мы были вынуждены использовать их как определения. Именно по определению сила равна произведению массы на ускорение; вот, значит, принцип, который отныне находится вне досягаемости любого дальнейшего эксперимента. Точно так же по определению действие равно противодействию.

Но тогда, скажут нам, эти непроверяемые принципы абсолютно лишены какого-либо значения; опыт не может им противоречить, но они не могут научить нас ничему полезному; тогда какой смысл изучать динамику?

Это поспешное осуждение было бы несправедливым. В природе не существует системы, которая была бы идеально изолирована, идеально ограждена от всякого внешнего воздействия; но существуют системы почти изолированные.

Если наблюдать за такой системой, можно изучать не только относительное движение её различных частей друг относительно друга, но и движение её центра тяжести относительно других частей Вселенной. Мы убеждаемся тогда, что движение этого центра тяжести почти прямолинейно и равномерно, в соответствии с третьим законом Ньютона.

Это экспериментальная истина, но она не может быть опровергнута опытом; в самом деле, чему нас мог бы научить более точный эксперимент? Он научил бы нас тому, что закон был лишь почти верным; но это мы знали и раньше.

Теперь мы можем понять, как опыт смог послужить основой для принципов механики и при этом никогда не сможет им противоречить.

Антропоморфная механика. — «Кирхгоф, — скажут нам, — лишь следовал общей склонности математиков к номинализму; от этого его способности как физика его не спасли. Он хотел получить определение силы и взял для этого первое попавшееся положение; но нам не нужно определение силы: идея силы — примитивная, неразложимая, неопределимая; мы все знаем, что это такое, у нас есть прямая интуиция этого. Эта прямая интуиция исходит из понятия усилия, которое знакомо нам с младенчества».

Но прежде всего, даже если бы эта прямая интуиция открывала нам реальную природу силы как таковой, она была бы недостаточна в качестве фундамента механики; кроме того, она была бы совершенно бесполезна. Важно не знать, что такое сила, а знать, как её измерить.

Все, что не учит нас измерять её, столь же бесполезно для механики, как, например, субъективное понятие тепла и холода для физика, изучающего теплоту. Это субъективное понятие нельзя перевести в числа, поэтому оно бесполезно; ученый, чья кожа была бы абсолютно плохим проводником тепла и который, следовательно, никогда не ощущал бы ни холода, ни тепла, мог бы читать показания термометра так же хорошо, как и любой другой, и этого было бы достаточно для построения всей теории теплоты.

Но это непосредственное понятие усилия бесполезно для нас при измерении силы; ясно, например, что я почувствую больше усталости, поднимая груз в пятьдесят килограммов, чем человек, привыкший носить тяжести.

Но более того: это понятие усилия не учит нас реальной природе силы; оно сводится в конечном счете к воспоминанию о мышечных ощущениях, и вряд ли кто-то будет утверждать, что Солнце испытывает мышечное ощущение, когда оно притягивает Землю.

Все, что здесь можно искать, — это символ, менее точный и менее удобный, чем стрелки, которые используют геометры, но столь же далекий от реальности.

Антропоморфизм сыграл значительную историческую роль в генезисе механики; возможно, он и сейчас порой будет давать символ, который покажется некоторым умам удобным; но он не может служить фундаментом для чего-либо, имеющего подлинно научный или философский характер.

Школа нити. — М. Андраде в своих «Лекциях по физической механике» омолодил антропоморфную механику. Школе механики, к которой принадлежит Кирхгоф, он противопоставляет ту, которую он причудливо называет школой нити.

Эта школа пытается свести все к «рассмотрению некоторых материальных систем пренебрежимо малой массы, рассматриваемых в состоянии натяжения и способных передавать значительные усилия удаленным телам, систем, идеальным типом которых является нить».

Нить, передающая какую-либо силу, слегка удлиняется под действием этой силы; направление нити указывает нам направление силы, величина которой измеряется удлинением нити.

Можно тогда представить себе такой эксперимент. Тело A прикреплено к нити; к другому концу нити приложена любая сила, которая варьируется до тех пор, пока нить не получит удлинение α; отмечается ускорение тела A; A отсоединяется, и к той же нити прикрепляется тело B; та же или другая сила действует снова и варьируется до тех пор, пока нить снова не получит удлинение α; отмечается ускорение тела B. Затем эксперимент повторяется с обоими телами A и B, но так, чтобы нить получила удлинение β. Четыре наблюдаемых ускорения должны быть пропорциональны. Таким образом, мы получаем экспериментальную проверку вышеупомянутого закона ускорения.

Или, что еще лучше, тело подвергается одновременному действию нескольких идентичных нитей с одинаковым натяжением, и экспериментально ищется, какими должны быть ориентации всех этих нитей, чтобы тело оставалось в равновесии. Мы получаем тогда экспериментальную проверку закона сложения сил.

Но, в конце концов, что мы сделали? Мы определили силу, которой подвергается нить, через деформацию, претерпеваемую этой нитью, что вполне разумно; далее мы предположили, что если тело прикреплено к этой нити, то усилие, передаваемое ему нитью, равно действию, которое это тело оказывает на эту нить; в конечном счете, мы использовали принцип равенства действия и противодействия, рассматривая его не как экспериментальную истину, а как само определение силы.

Это определение столь же условно, как и определение Кирхгофа, но гораздо менее общее.

Не все силы передаются нитями (к тому же, чтобы иметь возможность сравнивать их, все они должны были бы передаваться идентичными нитями). Даже если допустить, что Земля прикреплена к Солнцу какой-то невидимой нитью, по крайней мере пришлось бы признать, что у нас нет средств для измерения её удлинения.

Следовательно, в девяти случаях из десяти наше определение было бы ошибочным; ему нельзя было бы приписать никакого смысла, и пришлось бы вернуться к определению Кирхгофа.

Зачем же тогда делать этот крюк? Вы допускаете определенное определение силы, которое имеет смысл только в некоторых частных случаях. В этих случаях вы экспериментально проверяете, что оно приводит к закону ускорения. На основании этого эксперимента вы затем принимаете закон ускорения в качестве определения силы во всех остальных случаях.

Не проще ли было бы рассматривать закон ускорения как определение во всех случаях, а рассматриваемые эксперименты — не как проверки этого закона, а как проверки принципа противодействия или как доказательство того, что деформации упругого тела зависят только от сил, которым это тело подвергается?

И это не говоря уже о том, что условия, при которых ваше определение могло бы быть принято, никогда не выполняются иначе как несовершенно, что нить никогда не бывает лишена массы, что она никогда не бывает свободна от всякой силы, кроме противодействия тел, прикрепленных к её концам.

Идеи Андраде тем не менее очень интересны; если они и не удовлетворяют нашей логической жажде, они позволяют нам лучше понять исторический генезис фундаментальных идей механики. Размышления, которые они вызывают, показывают нам, как человеческий разум поднялся от наивного антропоморфизма к современным научным концепциям.

Мы видим в начале очень частный и, в сущности, довольно грубый эксперимент; в конце — закон, совершенно общий, совершенно точный, уверенность в котором мы рассматриваем как абсолютную. Эту уверенность мы сами даровали ему добровольно, так сказать, рассматривая его как соглашение.

Являются ли закон ускорения и правило сложения сил лишь произвольными соглашениями? Соглашениями — да; произвольными — нет; они были бы таковыми, если бы мы упустили из виду эксперименты, которые побудили создателей науки принять их и которые, какими бы несовершенными они ни были, достаточны для их оправдания. Хорошо, что время от времени наше внимание возвращается к экспериментальному происхождению этих соглашений.

ГЛАВА VII

Относительное движение и абсолютное движение

Принцип относительного движения. — Иногда предпринимались попытки привязать закон ускорения к более общему принципу. Движение любой системы должно подчиняться одним и тем же законам, независимо от того, отнесено ли оно к неподвижным осям или к подвижным осям, совершающим прямолинейное и равномерное движение. Это принцип относительного движения, который навязывается нам по двум причинам: во-первых, его подтверждает самый обычный опыт, а во-вторых, противоположная гипотеза представляется уму странно отталкивающей.

Примем его тогда и рассмотрим тело, подвергающееся действию силы; относительное движение этого тела по отношению к наблюдателю, движущемуся с равномерной скоростью, равной начальной скорости тела, должно быть идентично тому, каким было бы его абсолютное движение, если бы оно начало движение из состояния покоя. Отсюда мы заключаем, что его ускорение не может зависеть от его абсолютной скорости; предпринимались даже попытки вывести из этого доказательство закона ускорения.

Долгое время следы этого доказательства сохранялись в программах экзаменов на степень бакалавра наук. Очевидно, что эта попытка тщетна. Препятствие, которое мешало нам доказать закон ускорения, заключается в том, что у нас не было определения силы; это препятствие сохраняется в полной мере, поскольку использованный принцип не дал нам определения, которого нам не хватало.

Принцип относительного движения тем не менее весьма интересен и заслуживает изучения сам по себе. Попытаемся сначала сформулировать его точным образом.

Мы сказали выше, что ускорения различных тел, составляющих изолированную систему, зависят только от их относительных скоростей и положений, а не от их абсолютных скоростей и положений, при условии, что подвижные оси, к которым отнесено относительное движение, движутся равномерно и прямолинейно. Или, если угодно, их ускорения зависят только от разностей их скоростей и разностей их координат, а не от абсолютных значений этих скоростей и координат.

Если этот принцип верен для относительных ускорений, или, вернее, для разностей ускорений, то, объединив его с законом противодействия, мы выведем отсюда, что он остается верным и для абсолютных ускорений.

Остается тогда посмотреть, как мы можем доказать, что разности ускорений зависят только от разностей скоростей и координат, или, говоря на языке математики, что эти разности координат удовлетворяют дифференциальным уравнениям второго порядка.

Может ли это доказательство быть выведено из экспериментов или из априорных соображений?

Вспоминая то, что мы сказали выше, читатель может ответить сам.

Сформулированный таким образом, принцип относительного движения в самом деле странно напоминает то, что я назвал выше обобщенным принципом инерции; это не совсем одно и то же, поскольку речь идет о разностях координат, а не о самих координатах. Новый принцип учит нас, следовательно, чему-то большему, чем старый, но та же дискуссия применима и привела бы к тем же выводам; нет необходимости возвращаться к ней.

Аргумент Ньютона. — Здесь мы сталкиваемся с очень важным и даже несколько обескураживающим вопросом. Я сказал, что принцип относительного движения был для нас не только результатом эксперимента и что априори любая противоположная гипотеза была бы отталкивающей для ума.

Но тогда почему принцип верен только в том случае, если движение подвижных осей прямолинейно и равномерно? Казалось бы, он должен навязываться нам с той же силой, если это движение является переменным или, по крайней мере, если оно сводится к равномерному вращению. Но в этих двух случаях принцип не верен. Я не буду долго останавливаться на случае, когда движение осей прямолинейно, но не равномерно; парадокс не выдерживает ни малейшего рассмотрения. Если я нахожусь в поезде и если поезд, натолкнувшись на какое-либо препятствие, внезапно останавливается, я буду отброшен на сиденье передо мной, хотя я не подвергался непосредственно никакому воздействию силы. В этом нет ничего таинственного; если я не подвергся действию никакой внешней силы, то сам поезд испытал внешний удар. Не может быть ничего парадоксального в том, что относительное движение двух тел нарушается, когда движение одного или другого изменяется внешней причиной.

Я дольше остановлюсь на случае относительных движений, отнесенных к равномерно вращающимся осям. Если бы небо было всегда покрыто облаками, если бы у нас не было средств наблюдать звезды, мы тем не менее могли бы заключить, что Земля вращается; мы могли бы узнать об этом по её сплюснутости или, опять же, с помощью эксперимента с маятником Фуко.

И все же, имело бы в этом случае какой-либо смысл утверждение, что Земля вращается? Если нет абсолютного пространства, можно ли вращаться, не вращаясь относительно чего-то другого? И, с другой стороны, как мы могли бы принять вывод Ньютона и поверить в абсолютное пространство?

Но недостаточно установить, что все возможные решения одинаково отталкивают нас; мы должны проанализировать в каждом случае причины нашего отвращения, чтобы сделать свой выбор разумно. Поэтому длинная дискуссия, которая следует далее, будет извинена.

Вернемся к нашей фикции: густые облака скрывают звезды от людей, которые не могут их наблюдать и даже не подозревают об их существовании; как эти люди узнают, что Земля вращается?

Еще больше, чем наши предки, несомненно, они будут считать землю, которая их носит, неподвижной и незыблемой; они будут ждать прихода Коперника гораздо дольше. Но в конце концов Коперник пришел бы — как?

Учащиеся механики в этом мире поначалу не столкнулись бы с абсолютным противоречием. В теории относительного движения, помимо реальных сил, встречаются две фиктивные силы, которые называются обычной и сложной центробежной силой. Наши воображаемые ученые могли бы, следовательно, объяснить все, рассматривая эти две силы как реальные, и они не увидели бы в этом никакого противоречия с обобщенным принципом инерции, ибо эти силы зависели бы: одна — от относительных положений различных частей системы, как реальные притяжения, другая — от их относительных скоростей, как реальные силы трения.

Многие трудности, однако, вскоре пробудили бы их внимание; если бы им удалось создать изолированную систему, центр тяжести этой системы не имел бы почти прямолинейной траектории. Они сослались бы, чтобы объяснить этот факт, на центробежные силы, которые они рассматривали бы как реальные и которые они, несомненно, приписали бы взаимным действиям тел. Только они не увидели бы, что эти силы становятся равными нулю на больших расстояниях, то есть по мере того, как изоляция лучше осуществлялась; отнюдь нет; центробежная сила неограниченно возрастает с расстоянием.

Эта трудность показалась бы им уже достаточно большой; и все же она не остановила бы их надолго; они вскоре вообразили бы какую-нибудь очень тонкую среду, аналогичную нашему эфиру, в которую были бы погружены все тела и которая оказывала бы на них отталкивающее действие.

Но это еще не все. Пространство симметрично, и все же законы движения не показали бы никакой симметрии; им пришлось бы различать правое и левое. Было бы замечено, например, что циклоны всегда вращаются в одном направлении, тогда как по причине симметрии эти ветры должны были бы вращаться безразлично в одну или в другую сторону. Если бы наши ученые своим трудом преуспели в том, чтобы сделать свою Вселенную идеально симметричной, эта симметрия не сохранилась бы, хотя не было никакой видимой причины, почему она должна была бы нарушиться в одну сторону, а не в другую.

Они, несомненно, вышли бы из затруднения, они изобрели бы что-то, что было бы не более необычным, чем хрустальные сферы Птолемея, и так продолжалось бы, пока осложнения не накопились бы, до тех пор, пока долгожданный Коперник не смел бы их все одним махом, сказав: гораздо проще предположить, что Земля вращается.

И точно так же, как наш Коперник сказал нам: удобнее предположить, что Земля вращается, так как при этом законы астрономии выразимы на гораздо более простом языке; этот сказал бы: удобнее предположить, что Земля вращается, так как при этом законы механики выразимы на гораздо более простом языке.

Это не исключает утверждения, что абсолютное пространство, то есть та отметка, к которой необходимо было бы отнести Землю, чтобы узнать, движется ли она на самом деле, не имеет объективного существования. Следовательно, это утверждение: «Земля вращается» не имеет смысла, поскольку оно не может быть проверено никаким экспериментом; поскольку такой эксперимент не только не мог бы быть ни осуществлен, ни воображен самым смелым Жюлем Верном, но и не может быть даже задуман без противоречия; или, вернее, эти два предложения: «Земля вращается» и «удобнее предположить, что Земля вращается» имеют один и тот же смысл; в одном нет ничего большего, чем в другом.

Возможно, кто-то не удовлетворится даже этим и найдет уже шокирующим, что среди всех гипотез, или, вернее, всех соглашений, которые мы можем сделать на этот счет, есть одно, более удобное, чем другие.

Но если это было допущено без затруднений, когда речь шла о законах астрономии, почему это должно быть шокирующим в том, что касается механики?

Мы видели, что координаты тел определяются дифференциальными уравнениями второго порядка, и что таковы же разности этих координат. Это то, что мы назвали обобщенным принципом инерции и принципом относительного движения. Если бы расстояния между этими телами определялись таким же образом уравнениями второго порядка, кажется, что ум должен был бы быть полностью удовлетворен. В какой мере ум получает это удовлетворение и почему он не довольствуется им?

Чтобы объяснить это, нам лучше взять простой пример. Я предполагаю систему, аналогичную нашей Солнечной системе, но где нельзя воспринимать неподвижные звезды, чуждые этой системе, так что астрономы могут наблюдать только взаимные расстояния планет и Солнца, а не абсолютные долготы планет. Если мы выведем непосредственно из закона Ньютона дифференциальные уравнения, которые определяют изменение этих расстояний, эти уравнения не будут второго порядка. Я имею в виду, что если, помимо закона Ньютона, знать начальные значения этих расстояний и их производных по времени, этого было бы недостаточно для определения значений этих же расстояний в последующий момент. Не хватало бы еще одного данного, и этим данным могла бы быть, например, то, что астрономы называют постоянной площадей.

Но здесь можно занять две разные точки зрения; мы можем различать два рода постоянных. В глазах физика мир сводится к ряду явлений, зависящих, с одной стороны, исключительно от начальных явлений; с другой стороны, от законов, которые связывают следствия с причинами. Если тогда наблюдение учит нас, что некая величина является постоянной, у нас будет выбор между двумя концепциями.

Либо мы предположим, что существует закон, требующий, чтобы эта величина не менялась, но что случайно, в начале времен, она имела именно это значение, которое она была вынуждена сохранять с тех пор. Эту величину можно было бы тогда назвать случайной постоянной.

Или же мы предположим, напротив, что существует закон природы, который навязывает этой величине такое значение, а не иное.

Мы будем тогда иметь то, что можно назвать существенной постоянной.

Например, в силу законов Ньютона продолжительность обращения Земли должна быть постоянной. Но если это 366 сидерических суток с лишним, а не 300 или 400, то это следствие не знаю какой начальной случайности. Это случайная постоянная. Если, напротив, показатель степени расстояния, который фигурирует в выражении силы притяжения, равен −2, а не −3, то это не случайно, а потому, что закон Ньютона требует этого. Это существенная постоянная.

Я не знаю, является ли такой способ отведения места случайности законным сам по себе и не является ли это различие несколько искусственным; несомненно, по крайней мере, то, что до тех пор, пока у природы будут секреты, это различие будет в применении крайне произвольным и всегда шатким.

Что касается постоянной площадей, мы привыкли рассматривать её как случайную. Уверены ли мы, что наши воображаемые астрономы поступили бы так же? Если бы они могли сравнить две разные солнечные системы, у них возникла бы идея, что эта постоянная может иметь несколько различных значений; но мое предположение в самом начале состояло в том, что их система должна казаться изолированной и что они не должны наблюдать никакой звезды, чуждой ей. В этих условиях они увидели бы только одну-единственную постоянную, которая имела бы одно абсолютно неизменное значение; они были бы, без сомнения, приведены к тому, чтобы рассматривать её как существенную постоянную.

Слово мимоходом, чтобы предупредить возражение: жители этого воображаемого мира не могли бы ни наблюдать, ни определить постоянную площадей так, как мы, поскольку абсолютные долготы ускользают от них; это не помешало бы им быстро заметить некую постоянную, которая естественным образом вошла бы в их уравнения и которая была бы ничем иным, как тем, что мы называем постоянной площадей.

Но тогда посмотрите, что произошло бы. Если постоянная площадей рассматривается как существенная, как зависящая от закона природы, то для вычисления расстояний планет в любой момент будет достаточно знать начальные значения этих расстояний и их первых производных. С этой новой точки зрения расстояния будут определяться дифференциальными уравнениями второго порядка.

Однако был бы ум этих астрономов полностью удовлетворен? Я так не думаю; во-первых, они вскоре заметили бы, что при дифференцировании их уравнений и, таким образом, повышении их порядка эти уравнения становились гораздо проще. И прежде всего их поразила бы трудность, возникающая из-за симметрии. Необходимо было бы предполагать разные законы в зависимости от того, представляет ли совокупность планет фигуру определенного многогранника или симметричного многогранника, и избежать этого следствия можно было бы, только рассматривая постоянную площадей как случайную.

Я взял очень частный пример, поскольку предположил астрономов, которые вовсе не рассматривали земную механику и чей взгляд был ограничен Солнечной системой. Наша Вселенная обширнее их, поскольку у нас есть неподвижные звезды, но все же она тоже ограничена, и поэтому мы могли бы рассуждать о совокупности нашей Вселенной так же, как астрономы о своей Солнечной системе.

Таким образом, мы видим, что в конечном итоге мы были бы приведены к выводу, что уравнения, определяющие расстояния, имеют порядок выше второго. Почему мы должны быть шокированы этим, почему мы находим совершенно естественным, что ряд явлений зависит от начальных значений первых производных этих расстояний, в то время как мы колеблемся признать, что они могут зависеть от начальных значений вторых производных? Это может быть только из-за привычек ума, созданных в нас постоянным изучением обобщенного принципа инерции и его следствий.

Значения расстояний в любой момент зависят от их начальных значений, от значений их первых производных, а также от чего-то еще. Что это за «что-то еще»?

Если мы не хотим признать, что это может быть просто одна из вторых производных, у нас есть только выбор гипотез. Либо можно предположить, как это обычно делается, что это «что-то еще» — абсолютная ориентация Вселенной в пространстве или быстрота, с которой эта ориентация меняется; и это предположение может быть верным; это, безусловно, самое удобное решение для геометрии; оно не самое удовлетворительное для философа, потому что этой ориентации не существует.

Или можно предположить, что это «что-то еще» — положение или скорость какого-то невидимого тела; это было сделано некоторыми лицами, которые даже назвали его телом альфа, хотя мы обречены никогда не знать об этом теле ничего, кроме его имени. Это уловка, полностью аналогичная той, о которой я говорил в конце параграфа, посвященного моим размышлениям о принципе инерции.

Но, в конце концов, трудность искусственна. При условии, что будущие показания наших приборов могут зависеть только от показаний, которые они дали нам или дали бы нам ранее, это все, что необходимо. А насчет этого мы можем быть спокойны.

ГЛАВА VIII

Энергия и термодинамика

Энергетика. — Трудности, присущие классической механике, побудили некоторые умы предпочесть новую систему, которую они называют энергетикой.

Энергетика возникла как результат открытия принципа сохранения энергии. Гельмгольц придал ей окончательную форму.

Она начинается с определения двух величин, которые играют фундаментальную роль в этой теории. Это кинетическая энергия, или живая сила, и потенциальная энергия.

Все изменения, которым могут подвергаться тела в природе, регулируются двумя экспериментальными законами:

1º Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии постоянна. Это принцип сохранения энергии.

2º Если система тел находится в A в момент t0 и в B в момент t1, она всегда переходит из первого состояния во второе таким образом, что среднее значение разности между двумя видами энергии в интервале времени, разделяющем две эпохи t0 и t1, было бы как можно меньше.

Это принцип Гамильтона, который является одной из форм принципа наименьшего действия.

Энергетическая теория имеет следующие преимущества перед классической теорией:

1º Она менее неполна; то есть принцип Гамильтона и принцип сохранения энергии учат нас большему, чем фундаментальные принципы классической теории, и исключают некоторые движения, не реализуемые в природе, которые были бы совместимы с классической теорией:

2º Она избавляет нас от гипотезы атомов, которой было почти невозможно избежать в классической теории.

Но она в свою очередь порождает новые трудности:

Определения двух видов энергии вызвали бы трудности почти столь же большие, как трудности силы и массы в первой системе. Однако их можно преодолеть легче, по крайней мере в простейших случаях.

Предположим изолированную систему, образованную некоторым числом материальных точек; предположим, что эти точки подвергаются действию сил, зависящих только от их относительного положения и их взаимных расстояний и независимых от их скоростей. В силу принципа сохранения энергии должна существовать функция сил.

В этом простом случае формулировка принципа сохранения энергии чрезвычайно проста. Некая величина, доступная эксперименту, должна оставаться постоянной. Эта величина есть сумма двух членов; первый зависит только от положения материальных точек и не зависит от их скоростей; второй пропорционален квадрату этих скоростей. Это разложение может произойти только единственным способом.

Первый из этих членов, который я назову U, будет потенциальной энергией; второй, который я назову T, будет кинетической энергией.

Правда, если T + U — постоянная, то постоянной является и любая функция от T + U,

Φ (T + U).

Но эта функция Φ (T + U) не будет суммой двух членов, один из которых не зависит от скоростей, а другой пропорционален квадрату этих скоростей. Среди функций, которые остаются постоянными, есть только одна, которая обладает этим свойством, а именно T + U (или линейная функция от T + U, что сводится к тому же самому, поскольку эту линейную функцию всегда можно свести к T + U путем изменения единицы измерения и начала отсчета). Это, следовательно, то, что мы будем называть энергией; первый член мы будем называть потенциальной энергией, а второй — кинетической энергией. Определение двух видов энергии может, таким образом, быть проведено без какой-либо двусмысленности.

То же самое и с определением масс. Кинетическая энергия, или живая сила, выражается очень просто с помощью масс и относительных скоростей всех материальных точек по отношению к одной из них. Эти относительные скорости доступны наблюдению, и, когда мы знаем выражение кинетической энергии как функции этих относительных скоростей, коэффициенты этого выражения дадут нам массы.

Таким образом, в этом простом случае фундаментальные идеи могут быть определены без труда. Но трудности вновь появляются в более сложных случаях и, например, если силы, вместо того чтобы зависеть только от расстояний, зависят также от скоростей. Например, Вебер предполагает, что взаимное действие двух электрических молекул зависит не только от их расстояния, но и от их скорости и их ускорения. Если бы материальные точки притягивались друг к другу по аналогичному закону, U зависело бы от скорости и могло бы содержать член, пропорциональный квадрату скорости.

Среди членов, пропорциональных квадратам скоростей, как отличить те, которые происходят от T, или от U? Следовательно, как отличить две части энергии?

Но более того; как определить саму энергию? У нас больше нет никаких оснований принимать в качестве определения T + U, а не любую другую функцию от T + U, когда свойство, которое характеризовало T + U, исчезло, а именно свойство быть суммой двух членов определенной формы.

Но это еще не все; необходимо учитывать не только механическую энергию в собственном смысле слова, но и другие формы энергии: теплоту, химическую энергию, электрическую энергию и т. д. Принцип сохранения энергии должен быть записан:

T + U + Q = const.

где T представляло бы ощутимую кинетическую энергию, U — потенциальную энергию положения, зависящую только от положения тел, Q — внутреннюю молекулярную энергию в тепловой, химической или электрической форме.

Все шло бы хорошо, если бы эти три члена были абсолютно различными, если бы T было пропорционально квадрату скоростей, U — независимо от этих скоростей и от состояния тел, Q — независимо от скоростей и от положений тел и зависело бы только от их внутреннего состояния.

Выражение для энергии могло бы быть разложено только единственным способом на три члена такой формы.

Но это не так; рассмотрим наэлектризованные тела; электростатическая энергия, обусловленная их взаимным действием, будет, очевидно, зависеть от их заряда, то есть от их состояния; но она будет в равной степени зависеть от их положения. Если эти тела находятся в движении, они будут действовать друг на друга электродинамически, и электродинамическая энергия будет зависеть не только от их состояния и их положения, но и от их скоростей.

У нас, следовательно, больше нет никаких средств для разделения членов, которые должны составлять часть T, U и Q, и для разделения трех частей энергии.

Если (T + U + Q) постоянно, то постоянна и любая функция Φ (T + U + Q).

Если бы T + U + Q имело ту особую форму, которую я рассматривал выше, никакой двусмысленности не возникло бы; среди функций Φ (T + U + Q), которые остаются постоянными, была бы только одна этой особой формы, и её я условился бы называть энергией.

Но, как я сказал, это не является строго верным; среди функций, которые остаются постоянными, нет ни одной, которую можно было бы строго привести к этой особой форме; следовательно, как выбрать среди них ту, которую следует называть энергией? У нас больше нет ничего, что могло бы направлять нас в нашем выборе.

У нас остается только одна формулировка принципа сохранения энергии: «Существует нечто, что остается постоянным». В этой форме он, в свою очередь, оказывается вне досягаемости эксперимента и сводится к своего рода тавтологии. Ясно, что если мир управляется законами, то будут существовать величины, которые останутся постоянными. Подобно законам Ньютона и по аналогичной причине, принцип сохранения энергии, основанный на эксперименте, больше не может быть им опровергнут.

Эта дискуссия показывает, что при переходе от классической системы к энергетической был достигнут прогресс; но в то же время она показывает, что этот прогресс недостаточен.

Другое возражение кажется мне еще более серьезным: принцип наименьшего действия применим к обратимым явлениям; но он совсем не удовлетворителен, когда речь идет о необратимых явлениях; попытка Гельмгольца распространить его на этот род явлений не удалась и не могла удаться; в этом отношении все еще предстоит сделать. Сама формулировка принципа наименьшего действия имеет в себе нечто отталкивающее для ума. Чтобы перейти из одной точки в другую, материальная молекула, на которую не действует никакая сила, но которая должна двигаться по поверхности, выберет геодезическую линию, то есть кратчайший путь.

Эта молекула как будто знает точку, куда она должна прийти, предвидит время, которое ей потребуется, чтобы достичь её таким-то и таким-то путем, а затем выбирает наиболее подходящий путь. Формулировка представляет нам молекулу, так сказать, как живое и свободное существо. Очевидно, было бы лучше заменить её формулировкой менее спорной, где, как сказали бы философы, конечные причины не казались бы подмененными действующими причинами.

Термодинамика. [4] — Роль двух фундаментальных принципов термодинамики во всех отраслях естественной философии становится с каждым днем все важнее. Отказавшись от амбициозных теорий сорокалетней давности, которые были обременены молекулярными гипотезами, мы пытаемся сегодня воздвигнуть на одной лишь термодинамике все здание математической физики. Обеспечат ли два принципа Майера и Клаузиуса ему достаточно прочные основы, чтобы оно простояло некоторое время? Никто в этом не сомневается; но откуда берется эта уверенность?

Один выдающийся физик сказал мне однажды по поводу закона ошибок: «Весь мир твердо верит в него, потому что математики воображают, что это факт наблюдения, а наблюдатели — что это теорема математики». Долгое время так было и с принципом сохранения энергии. Сегодня это уже не так; никто не сомневается, что это экспериментальный факт.

Но тогда что дает нам право приписывать самому принципу больше общности и больше точности, чем экспериментам, которые послужили для его доказательства? Это значит спросить, законно ли, как это делается каждый день, обобщать эмпирические данные, и я не возьму на себя смелость обсуждать этот вопрос после того, как столько философов тщетно пытались решить его. Одно несомненно: если бы эта способность была нам отказана, наука не могла бы существовать или, по крайней мере, сведенная к своего рода инвентаризации, к установлению изолированных фактов, она не имела бы для нас никакой ценности, поскольку не могла бы удовлетворить нашу жажду порядка и гармонии и поскольку она была бы в то же время неспособна предвидеть. Поскольку обстоятельства, предшествовавшие любому факту, вероятно, никогда не будут воспроизведены одновременно, первое обобщение уже необходимо, чтобы предвидеть, будет ли этот факт воспроизведен снова после того, как изменится малейшее из этих обстоятельств.

Но любое предложение может быть обобщено бесконечным числом способов. Среди всех возможных обобщений мы должны выбирать, и мы можем выбирать только самое простое. Мы, следовательно, вынуждены действовать так, как если бы простой закон был, при прочих равных условиях, более вероятным, чем сложный закон.

Полвека назад в этом откровенно признавались и провозглашали, что природа любит простоту; с тех пор она слишком часто нас обманывала. Сегодня мы больше не признаем эту склонность и сохраняем лишь столько её, сколько необходимо, чтобы наука не стала невозможной.

Формулируя общий, простой и точный закон на основе экспериментов, относительно немногочисленных и представляющих некоторые расхождения, мы, следовательно, лишь подчинились необходимости, от которой человеческий разум не может освободиться.

Но есть нечто большее, и именно поэтому я останавливаюсь на этом пункте.

Никто не сомневается, что принцип Майера суждено пережить все частные законы, из которых он был получен, точно так же, как закон Ньютона пережил законы Кеплера, из которых он возник и которые являются лишь приближенными, если принять во внимание возмущения.

Почему этот принцип занимает таким образом своего рода привилегированное место среди всех физических законов? Для этого есть много маленьких причин.

Прежде всего, считается, что мы не могли бы отвергнуть его или даже усомниться в его абсолютной строгости, не допустив возможности вечного двигателя; конечно, мы настороже при такой перспективе, и мы считаем себя менее опрометчивыми, утверждая принцип Майера, чем отрицая его.

Это, возможно, не совсем точно; невозможность вечного двигателя подразумевает сохранение энергии только для обратимых явлений.

Внушительная простота принципа Майера также способствует укреплению нашей веры. В законе, выведенном непосредственно из эксперимента, как у Мариотта, эта простота скорее показалась бы нам поводом для недоверия; но здесь это уже не так; мы видим элементы, на первый взгляд разрозненные, располагающиеся в неожиданном порядке и образующие гармоничное целое; и мы отказываемся верить, что непредвиденная гармония может быть простым следствием случайности. Кажется, что наше завоевание тем дороже нам, чем больше усилий оно нам стоило, или что мы тем увереннее в том, что вырвали у природы её истинный секрет, чем ревнивее она скрывала его от нас.

Но это лишь маленькие причины; чтобы установить закон Майера как абсолютный принцип, необходима более глубокая дискуссия. Но если попытаться это сделать, то видно, что этот абсолютный принцип даже нелегко сформулировать.

В каждом частном случае ясно видно, что такое энергия, и можно дать по крайней мере её предварительное определение; но найти для неё общее определение невозможно.

Если мы попытаемся сформулировать принцип во всей его общности и применить его к Вселенной, мы увидим, как он исчезает, так сказать, и ничего не остается, кроме этого: «Существует нечто, что остается постоянным».

Но имеет ли даже это какой-либо смысл? В детерминистской гипотезе состояние Вселенной определяется чрезвычайно большим числом n параметров, которые я назову x1, x2, ... xn. Как только известны значения этих n параметров в любой момент, известны также их производные по времени и, следовательно, можно вычислить значения этих же параметров в предшествующий или последующий момент. Другими словами, эти n параметров удовлетворяют n дифференциальным уравнениям первого порядка.

Эти уравнения допускают n − 1 интегралов, и, следовательно, существуют n − 1 функций от x1, x2, ... xn, которые остаются постоянными. Если тогда мы говорим, что «существует нечто, что остается постоянным», мы лишь произносим тавтологию. Мы были бы даже в затруднении сказать, какой из всех наших интегралов должен сохранить название энергии.

Кроме того, принцип Майера не понимается в этом смысле, когда он применяется к ограниченной системе. Тогда предполагается, что p наших параметров варьируются независимо, так что мы имеем только n − p соотношений, обычно линейных, между нашими n параметрами и их производными.

Чтобы упростить формулировку, предположим, что сумма работы внешних сил равна нулю, так же как и количество теплоты, отданной наружу. Тогда значение нашего принципа будет:

«Существует комбинация этих n − p соотношений, первый член которой является полным дифференциалом»; и тогда, поскольку этот дифференциал обращается в нуль в силу наших n − p соотношений, его интеграл есть постоянная, и этот интеграл называется энергией.

Но как может быть возможно, что существует несколько параметров, чьи вариации независимы? Это может случиться только под влиянием внешних сил (хотя мы предположили для простоты, что алгебраическая сумма эффектов этих сил равна нулю). В самом деле, если бы система была полностью изолирована от всякого внешнего воздействия, значения наших n параметров в данный момент были бы достаточны для определения состояния системы в любой последующий момент, при условии, конечно, что мы сохраняем детерминистскую гипотезу; мы возвращаемся, следовательно, к той же трудности, что и выше.

Если будущее состояние системы не полностью определяется её настоящим состоянием, это потому, что оно зависит, кроме того, от состояния тел, внешних по отношению к системе. Но тогда вероятно ли, что существуют между параметрами xi, которые определяют состояние системы, уравнения, независимые от этого состояния внешних тел? И если в некоторых случаях мы полагаем, что можем найти таковые, не является ли это исключительно следствием нашего невежества и того, что влияние этих тел слишком незначительно, чтобы наш эксперимент мог его обнаружить?

Если система не рассматривается как полностью изолированная, вероятно, что строго точное выражение её внутренней энергии будет зависеть от состояния внешних тел. Опять же, я выше предположил, что сумма внешней работы равна нулю, и если мы попытаемся освободиться от этого довольно искусственного ограничения, формулировка становится еще более трудной.

Чтобы сформулировать принцип Майера в абсолютном смысле, необходимо, следовательно, распространить его на всю Вселенную, и тогда мы оказываемся лицом к лицу с той самой трудностью, которую стремились избежать.

В заключение, используя обычный язык, закон сохранения энергии может иметь только одно значение, а именно то, что существует свойство, общее для всех возможностей; но в детерминистской гипотезе существует только одна возможность, и тогда закон больше не имеет никакого смысла.

В индетерминистской гипотезе, напротив, он имел бы смысл, даже если бы его взяли в абсолютном смысле; он предстал бы как ограничение, наложенное на свободу.

Но это слово напоминает мне, что я отвлекаюсь и вот-вот покину область математики и физики. Поэтому я останавливаю себя и подчеркну из всей этой дискуссии только одно впечатление: закон Майера — это форма, достаточно гибкая, чтобы мы могли вложить в неё почти все, что пожелаем. Этим я не хочу сказать, что он не соответствует никакой объективной реальности, ни что он сводится к простой тавтологии, поскольку в каждом частном случае, и при условии, что не пытаются довести его до абсолюта, он имеет совершенно ясный смысл.

Эта гибкость — причина верить в его постоянство, и так как, с другой стороны, он исчезнет, лишь чтобы раствориться в более высокой гармонии, мы можем работать с уверенностью, опираясь на него, заранее зная, что наш труд не пропадет даром.

Почти все, что я только что сказал, применимо к принципу Клаузиуса. Что отличает его, так это то, что он выражается неравенством. Возможно, скажут, что то же самое со всеми физическими законами, поскольку их точность всегда ограничена ошибками наблюдения. Но они, по крайней мере, претендуют на то, чтобы быть первыми приближениями, и есть надежда заменить их мало-помалу законами все более и более точными. Если, с другой стороны, принцип Клаузиуса сводится к неравенству, это вызвано не несовершенством наших средств наблюдения, а самой природой вопроса.

Общие выводы по третьей части

Таким образом, принципы механики предстают перед нами в двух различных аспектах. С одной стороны, это истины, основанные на опыте и приближенно проверенные в той мере, в какой это касается почти изолированных систем. С другой стороны, это постулаты, применимые ко всей Вселенной в целом и рассматриваемые как строго истинные.

Если эти постулаты обладают общностью и достоверностью, которых недостает экспериментальным истинам, из которых они почерпнуты, то это происходит потому, что в конечном счете они сводятся к простому соглашению, которое мы вправе принять, поскольку заранее уверены, что никакой опыт никогда не сможет ему противоречить.

Это соглашение, однако, не является абсолютно произвольным; оно не проистекает из нашего каприза; мы принимаем его, потому что определенные опыты показали нам, что оно будет удобным.

Так объясняется, как опыт мог создать принципы механики и почему, тем не менее, он не может их опровергнуть.

Сравним это с геометрией: фундаментальные положения геометрии, как, например, постулат Евклида, — это не что иное, как соглашения, и спрашивать, истинны они или ложны, столь же неразумно, как спрашивать, истинна или ложна метрическая система.

Только эти соглашения удобны, и именно определенные опыты научили нас этому.

На первый взгляд, аналогия полная; роль опыта кажется одинаковой. Поэтому возникнет искушение сказать: либо механику следует рассматривать как экспериментальную науку, и тогда то же самое должно быть верно для геометрии; либо, напротив, геометрия — это дедуктивная наука, и тогда то же самое можно сказать о механике.

Такой вывод был бы неправомерным. Опыты, которые привели нас к принятию фундаментальных соглашений геометрии как более удобных, относятся к объектам, не имеющим ничего общего с теми, что изучает геометрия; они относятся к свойствам твердых тел, к прямолинейному распространению света. Это опыты механики, опыты оптики; их ни в коем случае нельзя рассматривать как опыты геометрии. И даже главная причина, по которой наша геометрия кажется нам удобной, заключается в том, что различные части нашего тела, наш глаз, наши конечности обладают свойствами твердых тел. В этом отношении наши фундаментальные опыты являются прежде всего физиологическими опытами, которые относятся не к пространству, являющемуся объектом, который должен изучать геометр, а к его телу, то есть к инструменту, который он должен использовать для этого изучения.

Напротив, фундаментальные соглашения механики и опыты, которые доказывают нам, что они удобны, относятся к точно таким же или аналогичным объектам. Конвенциональные и общие принципы являются естественным и прямым обобщением экспериментальных и частных принципов.

Пусть не говорят, что таким образом я провожу искусственные границы между науками; что если я отделяю барьером геометрию в собственном смысле слова от изучения твердых тел, то я мог бы точно так же воздвигнуть его между экспериментальной механикой и конвенциональной механикой общих принципов. На самом деле, кто не видит, что, разделяя эти две науки, я калечу их обе, и что то, что останется от конвенциональной механики, когда она будет изолирована, будет лишь очень малым и ни в коем случае не может сравниться с тем великолепным сводом доктрин, который называется геометрией?

Теперь понятно, почему преподавание механики должно оставаться экспериментальным.

Только так оно может заставить нас понять генезис науки, а это необходимо для полного понимания самой науки.

К тому же, если мы изучаем механику, то для того, чтобы применять ее; а применять ее мы можем, только если она остается объективной. Но, как мы видели, то, что принципы выигрывают в общности и достоверности, они теряют в объективности. Поэтому мы должны прежде всего рано ознакомиться с объективной стороной принципов, а это можно сделать, только идя от частного к общему, а не наоборот.

Принципы — это соглашения и замаскированные определения. Тем не менее они почерпнуты из экспериментальных законов; эти законы, так сказать, были возведены в ранг принципов, которым наш разум приписывает абсолютную ценность.

Некоторые философы обобщили слишком далеко; они полагали, что принципы — это вся наука, и, следовательно, вся наука является конвенциональной.

Эта парадоксальная доктрина, называемая номинализмом, не выдерживает критики.

Как закон может стать принципом? Он выражал отношение между двумя реальными членами A и B. Но он не был строго истинным, он был лишь приближенным. Мы произвольно вводим промежуточный член C, более или менее фиктивный, и C по определению есть то, что имеет с A в точности то отношение, которое выражено законом.

Тогда наш закон разделяется на абсолютный и строгий принцип, который выражает отношение A к C, и экспериментальный закон, приближенный и подлежащий пересмотру, который выражает отношение C к B. Ясно, что как бы далеко ни заходило это разделение, некоторые законы всегда будут оставаться.

Мы переходим теперь в область законов в собственном смысле слова.

ЧАСТЬ IV ПРИРОДА

ГЛАВА IX

Гипотезы в физике

Роль опыта и обобщения. — Опыт — единственный источник истины. Только он может научить нас чему-то новому; только он может дать нам достоверность. Это два положения, которые не подлежат сомнению.

Но тогда, если опыт — это всё, какое место останется для математической физики? Что делать экспериментальной физике с таким подспорьем, которое кажется бесполезным и, возможно, даже опасным?

И все же математическая физика существует и сослужила несомненную службу. Мы имеем здесь факт, который требует объяснения.

Объяснение заключается в том, что одного наблюдения недостаточно. Мы должны использовать наши наблюдения, а для этого мы должны обобщать. Это то, что люди делали всегда; только поскольку память о прошлых ошибках делала их всё более осторожными, они наблюдали всё больше и больше, а обобщали всё меньше и меньше.

Каждая эпоха высмеивала предыдущую и обвиняла ее в том, что она обобщала слишком быстро и слишком наивно. Декарт жалел ионийцев; Декарт, в свою очередь, вызывает у нас улыбку. Нет сомнения, что наши дети когда-нибудь будут смеяться над нами.

Но не можем ли мы тогда сразу перейти к цели? Не является ли это средством избежать насмешек, которые мы предвидим? Не можем ли мы довольствоваться просто голым опытом?

Нет, это невозможно; это означало бы совершенно неверно понимать истинную природу науки. Ученый должен приводить всё в порядок. Наука строится из фактов, как дом из камней. Но собрание фактов — это не более наука, чем куча камней — дом.

И прежде всего ученый должен предвидеть. Карлейль где-то сказал нечто подобное: «Важны только факты. Иоанн Безземельный проезжал здесь. Вот нечто достойное восхищения. Вот реальность, за которую я отдал бы все теории в мире». Карлейль был соотечественником Бэкона; но Бэкон не сказал бы этого. Это язык историка. Физик скорее сказал бы: «Иоанн Безземельный проезжал здесь; мне до этого нет дела, ибо он никогда больше не проедет этим путем».

Мы все знаем, что есть хорошие опыты и плохие. Последние будут накапливаться напрасно; хотя можно было бы сделать сотню или тысячу, одной работы истинного мастера, например Пастера, будет достаточно, чтобы предать их забвению. Бэкон хорошо понял бы это; именно он придумал фразу Experimentum crucis. Но Карлейль не понял бы этого. Факт есть факт. Ученик прочитал определенное число на своем термометре; он не принял никаких мер предосторожности; неважно, он прочитал его, и если считается только факт, то вот реальность того же ранга, что и странствия короля Иоанна Безземельного. Почему факт, что этот ученик сделал это показание, не представляет интереса, в то время как факт, что искусный физик сделал другое показание, мог бы, напротив, быть очень важным? Потому что из первого показания мы не могли ничего вывести. Что же тогда такое хороший опыт? Это тот, который сообщает нам что-то помимо изолированного факта; это тот, который позволяет нам предвидеть, то есть тот, который позволяет нам обобщать.

Ибо без обобщения предвидение невозможно. Обстоятельства, при которых работали, никогда не воспроизведутся все сразу. Наблюдаемое действие тогда никогда не повторится; единственное, что можно утверждать, это то, что при аналогичных обстоятельствах произойдет аналогичное действие. Чтобы предвидеть, следовательно, необходимо прибегнуть по крайней мере к аналогии, то есть уже тогда к обобщению.

Как бы осторожен ни был человек, всё равно необходимо интерполировать. Опыт дает нам лишь определенное число изолированных точек. Мы должны соединить их непрерывной линией. Это подлинное обобщение. Но мы делаем больше; кривая, которую мы проведем, пройдет между наблюдаемыми точками и вблизи этих точек; она не пройдет через сами эти точки. Таким образом, человек не ограничивается обобщением опытов, но исправляет их; и физик, который попытался бы воздержаться от этих исправлений и действительно довольствоваться голым опытом, был бы вынужден сформулировать некоторые весьма странные законы.

Голых фактов, следовательно, было бы нам недостаточно; и вот почему нам нужна наука упорядоченная, или, скорее, организованная.

Часто говорят, что опыты должны проводиться без предвзятой идеи. Это невозможно. Это не только сделало бы всякий опыт бесплодным, но это было бы попыткой сделать то, что невозможно. Каждый носит в своем уме собственную концепцию мира, от которой он не может так легко избавиться. Мы должны, например, использовать язык; а наш язык состоит только из предвзятых идей и не может быть иным. Только это бессознательные предвзятые идеи, в тысячу раз более опасные, чем другие.

Скажем ли мы, что если мы введем другие, которые мы полностью осознаем, мы только усугубим зло? Я так не думаю. Я полагаю, скорее, что они будут служить противовесами друг другу — я хотел сказать, как противоядия; они в целом будут плохо согласовываться друг с другом — они вступят в конфликт друг с другом и тем самым заставят нас рассматривать вещи под разными аспектами. Этого достаточно, чтобы освободить нас. Уже не раб тот, кто может выбирать себе хозяина.

Таким образом, благодаря обобщению, каждый наблюдаемый факт позволяет нам предвидеть множество других; только мы не должны забывать, что первый из них — единственный достоверный, что все остальные лишь вероятны. Как бы прочно ни казалось нам обоснованным предсказание, мы никогда не можем быть абсолютно уверены, что опыт не опровергнет его, если мы возьмемся его проверять. Вероятность, однако, часто настолько велика, что практически мы можем ею довольствоваться. Гораздо лучше предвидеть даже без уверенности, чем не предвидеть вовсе.

Никогда, следовательно, не следует пренебрегать проверкой, когда представляется возможность. Но всякий опыт долог и труден; работников мало; а количество фактов, которые нам нужно предвидеть, огромно. По сравнению с этой массой количество прямых проверок, которые мы можем сделать, никогда не будет ничем иным, как пренебрежимо малой величиной.

Из того немногого, чего мы можем достичь напрямую, мы должны извлечь наилучшую пользу; очень необходимо получать от каждого опыта наибольшее возможное число предсказаний и с наивысшей возможной степенью вероятности. Проблема, так сказать, состоит в том, чтобы увеличить производительность научной машины.

Сравним науку с библиотекой, которая должна постоянно расти. В распоряжении библиотекаря для закупок имеются лишь недостаточные средства. Он должен приложить усилия, чтобы не растратить их.

Именно экспериментальной физике поручены закупки. Только она, следовательно, может обогатить библиотеку.

Что касается математической физики, ее задача будет состоять в том, чтобы составить каталог. Если каталог составлен хорошо, библиотека не станет богаче, но читателю будет легче пользоваться ее богатствами.

И даже показывая библиотекарю пробелы в его коллекциях, она позволит ему разумно использовать свои средства; что тем более важно, поскольку эти средства совершенно неадекватны.

Такова, следовательно, роль математической физики. Она должна направлять обобщение таким образом, чтобы увеличить то, что я только что назвал производительностью науки. Какими средствами она может прийти к этому и как она может сделать это без опасности — вот что нам остается исследовать.

Единство природы. — Заметим, прежде всего, что каждое обобщение в некоторой мере подразумевает веру в единство и простоту природы. Что касается единства, здесь не может быть никаких трудностей. Если бы различные части Вселенной не были подобны членам одного тела, они не действовали бы друг на друга, они ничего не знали бы друг о друге; и мы, в частности, знали бы только одну из этих частей. Мы не спрашиваем, следовательно, является ли природа единой, а спрашиваем, как она едина.

Что касается второго пункта, то это не такой простой вопрос. Не факт, что природа проста. Можем ли мы без опасности действовать так, как если бы она была таковой?

Было время, когда простота закона Мариотта была аргументом, приводимым в пользу его точности; когда сам Френель, после того как сказал в разговоре с Лапласом, что природа не заботится об аналитических трудностях, почувствовал себя обязанным давать объяснения, чтобы не слишком сильно задеть господствующее мнение.

Сегодня идеи сильно изменились; и всё же те, кто не верит, что законы природы должны быть простыми, часто всё еще вынуждены действовать так, как если бы они были таковыми. Они не могли бы полностью избежать этой необходимости, не сделав невозможным всякое обобщение, а следовательно, и всякую науку.

Ясно, что любой факт может быть обобщен бесконечным числом способов, и это вопрос выбора. Выбор может направляться только соображениями простоты. Возьмем самый обычный случай — случай интерполяции. Мы проводим непрерывную линию, как можно более правильную, между точками, данными наблюдением. Почему мы избегаем точек, образующих углы и слишком резкие повороты? Почему мы не заставляем нашу кривую описывать самые капризные зигзаги? Потому что мы заранее знаем, или верим, что знаем, что выражаемый закон не может быть настолько сложным.

Мы можем вычислить массу Юпитера либо по движениям его спутников, либо по возмущениям больших планет, либо по возмущениям малых планет. Если мы возьмем средние значения определений, полученных этими тремя методами, мы найдем три числа, очень близких друг к другу, но различных. Мы могли бы интерпретировать этот результат, предположив, что коэффициент гравитации не одинаков в трех случаях. Наблюдения, безусловно, были бы представлены гораздо лучше. Почему мы отвергаем эту интерпретацию? Не потому, что она абсурдна, а потому, что она излишне сложна. Мы примем ее только тогда, когда будем вынуждены, а это еще не так.

В итоге, обычно каждый закон считается простым, пока не доказано обратное.

Этот обычай навязывается физикам причинами, которые я только что объяснил. Но как мы оправдаем его в присутствии открытий, которые показывают нам каждый день новые детали, более богатые и более сложные? Как мы даже примирим его с верой в единство природы? Ибо если всё зависит от всего, отношения, в которые входит так много разнообразных факторов, уже не могут быть простыми.

Если мы изучаем историю науки, мы видим, как происходят два, так сказать, обратных явления. Иногда простота скрывается под сложными проявлениями; иногда простота является кажущейся и маскирует чрезвычайно сложные реальности.

Что может быть сложнее запутанных движений планет? Что проще закона Ньютона? Здесь природа, насмехаясь, как говорил Френель, над аналитическими трудностями, использует только простые средства и, комбинируя их, создает не знаю что — нераспутываемый клубок. Здесь именно скрытую простоту необходимо обнаружить.

Примеров обратного предостаточно. В кинетической теории газов имеют дело с молекулами, движущимися с большими скоростями, чьи пути, измененные непрерывными столкновениями, имеют самые капризные формы и пересекают пространство во всех направлениях. Наблюдаемый результат — простой закон Мариотта. Каждый отдельный факт был сложным. Закон больших чисел восстановил простоту в среднем. Здесь простота лишь кажущаяся, и только грубость наших чувств мешает нам воспринимать сложность.

Многие явления подчиняются закону пропорциональности. Но почему? Потому что в этих явлениях есть нечто очень малое. Наблюдаемый простой закон, следовательно, является лишь результатом общего аналитического правила, согласно которому бесконечно малое приращение функции пропорционально приращению переменной. Поскольку в реальности наши приращения не бесконечно малы, а очень малы, закон пропорциональности является лишь приближенным, а простота — лишь кажущейся. То, что я только что сказал, относится к правилу суперпозиции малых движений, использование которого столь плодотворно и которое является основой оптики.

А сам закон Ньютона? Его простота, столь долго не обнаруживаемая, возможно, лишь кажущаяся. Кто знает, не обусловлена ли она каким-то сложным механизмом, ударами какой-то тонкой материи, движимой нерегулярными движениями, и не стала ли она простой только благодаря действию средних величин и больших чисел? В любом случае трудно не предположить, что истинный закон содержит дополнительные члены, которые стали бы ощутимыми на малых расстояниях. Если в астрономии они пренебрежимо малы как модифицирующие закон Ньютона, и если закон таким образом обретает свою простоту, то это было бы только из-за огромности небесных расстояний.

Нет сомнения, если бы наши средства исследования становились всё более проницательными, мы обнаруживали бы простое под сложным, затем сложное под простым, затем снова простое под сложным и так далее, без возможности предвидеть, что будет последним членом.

Мы должны где-то остановиться, и чтобы наука была возможна, мы должны остановиться, когда нашли простоту. Это единственная почва, на которой мы можем воздвигнуть здание наших обобщений. Но поскольку эта простота лишь кажущаяся, будет ли почва достаточно твердой? Это то, что необходимо исследовать.

Для этой цели посмотрим, какую роль в наших обобщениях играет вера в простоту. Мы проверили простой закон во многих частных случаях; мы отказываемся признать, что это совпадение, столь часто повторяющееся, является просто результатом случайности, и заключаем, что закон должен быть истинным в общем случае.

Кеплер замечает, что положения планеты, наблюдаемые Тихо, все лежат на одном эллипсе. Ни на мгновение у него не возникает мысли, что по странной игре случая Тихо никогда не наблюдал небо, кроме как в момент, когда реальная орбита планеты случайно пересекала этот эллипс.

Какая тогда разница, является ли простота реальной или она покрывает сложную реальность? Обусловлена ли она влиянием больших чисел, которое сглаживает индивидуальные различия, или величиной или малостью определенных количеств, которые позволяют нам пренебречь определенными членами, ни в коем случае она не обусловлена случайностью. Эта простота, реальная или кажущаяся, всегда имеет причину. Мы всегда можем, следовательно, следовать одному и тому же ходу рассуждений, и если простой закон был наблюдаем в нескольких частных случаях, мы можем законно предположить, что он будет оставаться истинным в аналогичных случаях. Отказаться делать это означало бы приписать случаю недопустимую роль.

Существует, однако, разница. Если бы простота была реальной и существенной, она сопротивлялась бы возрастающей точности наших средств измерения. Если мы верим, что природа существенно проста, мы должны из простоты, которая является приближенной, вывести простоту, которая является строгой. Это то, что делалось раньше; и это то, что мы больше не имеем права делать.

Простота законов Кеплера, например, лишь кажущаяся. Это не мешает им быть применимыми, очень приблизительно, ко всем системам, аналогичным Солнечной системе; но это мешает им быть строго точными.

Роль гипотезы. — Всякое обобщение есть гипотеза. Гипотеза, следовательно, имеет необходимую роль, которую никто никогда не оспаривал. Только она должна всегда, как можно скорее и как можно чаще, подвергаться проверке. И, конечно, если она не выдерживает этого испытания, она должна быть отброшена без оговорок. Это то, что мы обычно делаем, но иногда с довольно дурным настроением.

Что ж, даже это дурное настроение не оправдано. Физик, который только что отказался от одной из своих гипотез, должен, напротив, быть полон радости; ибо он нашел неожиданную возможность для открытия. Его гипотеза, я полагаю, была принята не без рассмотрения; она учитывала все известные факторы, которые, казалось, могли войти в явление. Если испытание не подтверждает ее, это потому, что есть что-то неожиданное и необычайное; и потому, что будет найдено что-то неизвестное и новое.

Была ли отброшенная гипотеза бесплодной? Далеко от этого, можно сказать, она сослужила больше службы, чем истинная гипотеза. Она не только была поводом для решающего опыта, но без выдвижения гипотезы опыт был бы сделан случайно, так что из него ничего не было бы извлечено. Человек не увидел бы ничего необычайного; только еще один факт был бы внесен в каталог без вывода из него малейшего следствия.

Теперь при каком условии использование гипотезы без опасно?

Твердой решимости подчиниться опыту недостаточно; существуют еще опасные гипотезы; прежде всего те, которые являются неявными и бессознательными. Поскольку мы делаем их, не зная об этом, мы бессильны отказаться от них. Здесь, опять же, услуга, которую может оказать нам математическая физика. Благодаря точности, которая ей свойственна, она заставляет нас формулировать все гипотезы, которые мы сделали бы без нее, но бессознательно.

Заметим, кроме того, что важно не умножать гипотезы сверх меры и делать их только одну за другой. Если мы строим теорию, основанную на ряде гипотез, и если опыт осуждает ее, какую из наших предпосылок необходимо изменить? Это будет невозможно узнать. И наоборот, если опыт удается, будем ли мы верить, что доказали все гипотезы сразу? Будем ли мы верить, что одним уравнением мы определили несколько неизвестных?

Мы должны в равной степени заботиться о том, чтобы различать разные виды гипотез. Есть, во-первых, те, которые совершенно естественны и от которых едва ли можно уйти. Трудно не предположить, что влияние очень удаленных тел вполне пренебрежимо, что малые движения следуют линейному закону, что эффект является непрерывной функцией своей причины. Я скажу то же самое об условиях, налагаемых симметрией. Все эти гипотезы образуют, так сказать, общую основу всех теорий математической физики. Они — последние, от которых следует отказываться.

Существует второй класс гипотез, который я назову нейтральными. В большинстве вопросов аналитик предполагает в начале своих вычислений либо то, что материя непрерывна, либо, напротив, что она образована из атомов. Он мог бы сделать противоположное предположение, не меняя своих результатов. У него было бы только больше хлопот, чтобы получить их; вот и всё. Если, следовательно, опыт подтверждает его выводы, будет ли он думать, что доказал, например, реальное существование атомов?

В оптических теориях вводятся два вектора, один из которых рассматривается как скорость, другой — как вихрь. Здесь опять же нейтральная гипотеза, поскольку те же выводы были бы достигнуты при принятии прямо противоположного. Успех опыта, следовательно, не может доказать, что первый вектор действительно является скоростью; он может доказать только одно: что это вектор. Это единственная гипотеза, которая была действительно введена в предпосылки. Чтобы придать ей тот конкретный вид, который требует слабость нашего ума, необходимо было рассматривать ее либо как скорость, либо как вихрь, точно так же, как необходимо было представить ее буквой, либо x, либо y. Результат, однако, каким бы он ни был, не докажет, что было правильно или неправильно рассматривать ее как скорость, не больше, чем он докажет, что было правильно или неправильно называть ее x, а не y.

Эти нейтральные гипотезы никогда не бывают опасными, если только их характер не понят неверно. Они могут быть полезны либо как устройства для вычислений, либо чтобы помочь нашему пониманию конкретными образами, чтобы зафиксировать наши идеи, как говорится. Нет, следовательно, повода исключать их.

Гипотезы третьего класса — это реальные обобщения. Это те, которые опыт должен подтвердить или опровергнуть. Будучи проверенными или осужденными, они всегда будут плодотворными. Но по причинам, которые я изложил, они будут плодотворными только в том случае, если их не слишком много.

Происхождение математической физики. — Проникнем дальше и изучим более внимательно условия, которые позволили развитие математической физики. Мы замечаем сразу, что усилия ученых всегда были направлены на то, чтобы разрешить сложное явление, непосредственно данное опытом, на очень большое число элементарных явлений.

Это делается тремя различными способами: во-первых, во времени. Вместо того чтобы охватывать во всей полноте прогрессивное развитие явления, цель состоит просто в том, чтобы связать каждый момент с моментом, непосредственно предшествующим ему. Признается, что актуальное состояние мира зависит только от непосредственного прошлого, без прямого влияния, так сказать, памяти о далеком прошлом. Благодаря этому постулату, вместо того чтобы изучать непосредственно всю последовательность явлений, можно ограничиться написанием ее «дифференциального уравнения». Законы Кеплера мы заменяем законом Ньютона.

Затем мы пытаемся проанализировать явление в пространстве. То, что дает нам опыт, — это запутанная масса фактов, представленных на сцене значительного масштаба. Мы должны попытаться обнаружить элементарное явление, которое будет, напротив, локализовано в очень малой области пространства.

Некоторые примеры, возможно, сделают мою мысль более понятной. Если бы мы пожелали изучить во всей сложности распределение температуры в остывающем твердом теле, мы никогда не преуспели бы. Всё становится простым, если мы подумаем, что одна точка твердого тела не может передать свое тепло непосредственно удаленной точке; она передаст свое тепло только точкам в непосредственном соседстве, и постепенно поток тепла может достичь других частей твердого тела. Элементарное явление — это обмен теплом между двумя соприкасающимися точками. Оно строго локализовано и относительно просто, если мы признаем, как это естественно, что на него не влияет температура молекул, расстояние до которых ощутимо.

Я сгибаю стержень. Он примет очень сложную форму, прямое изучение которой было бы невозможно. Но я смогу, однако, атаковать ее, если замечу, что его изгиб является результатом только деформации очень малых элементов стержня, и что деформация каждого из этих элементов зависит только от сил, которые непосредственно приложены к нему, а вовсе не от тех, которые могут действовать на другие элементы.

Во всех этих примерах, которые я мог бы легко умножить, мы признаем, что нет действия на расстоянии, или, по крайней мере, на большом расстоянии. Это гипотеза. Она не всегда верна, как показывает нам закон гравитации. Она должна, следовательно, быть подвергнута проверке. Если она подтверждается, даже приблизительно, она драгоценна, ибо позволит нам делать математическую физику, по крайней мере, последовательными приближениями.

Если она не выдерживает испытания, мы должны искать что-то другое аналогичное; ибо существуют еще другие средства прийти к элементарному явлению. Если несколько тел действуют одновременно, может случиться, что их действия независимы и просто складываются друг с другом, либо как векторы, либо как скаляры. Элементарное явление — это тогда действие изолированного тела. Или, опять же, мы имеем дело с малыми движениями, или, более общо, с малыми вариациями, которые подчиняются хорошо известному закону суперпозиции. Наблюдаемое движение будет тогда разложено на простые движения, например, звук на его гармоники, белый свет на его монохроматические компоненты.

Когда мы обнаружили, в каком направлении целесообразно искать элементарное явление, какими средствами мы можем достичь его?

Прежде всего, часто будет случаться, что для того, чтобы обнаружить его, или, скорее, обнаружить ту его часть, которая полезна нам, не будет необходимости проникать в механизм; закона больших чисел будет достаточно.

Возьмем снова пример распространения тепла. Каждая молекула испускает лучи по направлению к каждой соседней молекуле. По какому закону, нам не нужно знать. Если бы мы сделали какое-либо предположение относительно этого, это была бы нейтральная гипотеза и, следовательно, бесполезная и неспособная к проверке. И, в самом деле, действием средних величин и благодаря симметрии среды все различия сглаживаются, и какую бы гипотезу ни сделали, результат всегда один и тот же.

Такое же обстоятельство представлено в теории электричества и в теории капиллярности. Соседние молекулы притягивают и отталкивают друг друга. Нам не нужно знать, по какому закону; нам достаточно того, что это притяжение ощутимо только на малых расстояниях, и что молекулы очень многочисленны, что среда симметрична, и нам останется только позволить действовать закону больших чисел.

Здесь опять же простота элементарного явления была скрыта под сложностью результирующего наблюдаемого явления; но, в свою очередь, эта простота была лишь кажущейся и скрывала очень сложный механизм.

Лучшим средством прийти к элементарному явлению была бы, очевидно, эксперимент. Мы должны с помощью экспериментальной уловки диссоциировать сложный сноп, который природа предлагает нашим исследованиям, и изучать с осторожностью элементы, насколько возможно изолированные. Например, естественный белый свет был бы разложен на монохроматические света с помощью призмы и на поляризованный свет с помощью поляризатора.

К сожалению, это ни всегда возможно, ни всегда достаточно, и иногда разум должен опережать опыт. Я приведу только один пример, который всегда сильно поражал меня.

Если я разложу белый свет, я смогу изолировать малую часть спектра, но как бы мала она ни была, она сохранит определенную ширину. Точно так же естественные света, называемые монохроматическими, дают нам очень узкую линию, но, однако, не бесконечно узкую. Можно было бы предположить, что, изучая экспериментально свойства этих естественных светов, работая со всё более и более тонкими линиями спектра и переходя наконец к пределу, так сказать, мы преуспели бы в изучении свойств света, строго монохроматического.

Это было бы неточно. Предположим, что два луча исходят из одного источника, что мы поляризуем их сначала в двух перпендикулярных плоскостях, затем возвращаем их в одну и ту же плоскость поляризации и пытаемся заставить их интерферировать. Если бы свет был строго монохроматическим, они интерферировали бы. С нашими светами, которые почти монохроматичны, интерференции не будет, и это независимо от того, насколько узка линия. Чтобы было иначе, она должна была бы быть в несколько миллионов раз уже, чем самые тонкие известные линии.

Здесь, следовательно, переход к пределу обманул бы нас. Разум должен опережать опыт, и если он сделал это с успехом, то это потому, что он позволил направлять себя инстинкту простоты.

Знание элементарного факта позволяет нам поставить проблему в уравнение. Ничего не остается, кроме как вывести из этого путем комбинации сложный факт, который может быть наблюдаем и проверен. Это то, что называется интегрированием, и является делом математика.

Можно спросить, почему в физических науках обобщение так легко принимает математическую форму. Причина теперь легко видна. Это не только потому, что у нас есть численные законы для выражения; это потому, что наблюдаемое явление обусловлено суперпозицией большого числа элементарных явлений, всех одинаковых. Таким образом, вполне естественно вводятся дифференциальные уравнения.

Недостаточно, чтобы каждое элементарное явление подчинялось простым законам; все те, которые должны быть объединены, должны подчиняться одному и тому же закону. Только тогда вмешательство математики может быть полезным; математика учит нас, в самом деле, объединять подобное с подобным. Ее цель — узнать результат комбинации, не нуждаясь в прохождении комбинации по частям. Если мы должны повторить несколько раз одну и ту же операцию, она позволяет нам избежать этого повторения, сообщая нам заранее результат ее посредством своего рода индукции. Я объяснил это выше, в главе о математическом рассуждении.

Но для этого все операции должны быть одинаковыми. В противном случае было бы, очевидно, необходимо смириться с тем, чтобы делать их в реальности одну за другой, и математика стала бы бесполезной.

Именно благодаря приблизительной однородности материи, изучаемой физиками, могла родиться математическая физика.

В естественных науках мы больше не находим этих условий: однородность, относительная независимость удаленных частей, простота элементарного факта; и вот почему натуралисты вынуждены прибегать к другим методам обобщения.

ГЛАВА X

Теории современной физики

Значение физических теорий. — Мирян поражает то, как эфемерны научные теории. После нескольких лет процветания они видят, как их последовательно отбрасывают; они видят, как руины накапливаются на руинах; они предвидят, что теории, модные сегодня, вскоре падут в свою очередь, и поэтому они заключают, что они абсолютно праздны. Это то, что они называют банкротством науки.

Их скептицизм поверхностен; они не отдают себе отчета в цели и роли научных теорий; иначе они поняли бы, что руины всё еще могут быть полезны для чего-то.

Ни одна теория не казалась более солидной, чем теория Френеля, которая приписывала свет движениям эфира. Однако сейчас предпочитают теорию Максвелла. Означает ли это, что работа Френеля была напрасной? Нет, потому что целью Френеля было не выяснить, существует ли на самом деле эфир, состоит ли он или не состоит из атомов, действительно ли эти атомы движутся в том или ином смысле; его целью было предвидеть оптические явления.

Теперь теория Френеля всегда позволяет это, сегодня так же, как и до Максвелла. Дифференциальные уравнения всегда истинны; они всегда могут быть проинтегрированы теми же процедурами, и результаты этого интегрирования всегда сохраняют свою ценность.

И пусть никто не говорит, что таким образом мы сводим физические теории к роли простых практических рецептов; эти уравнения выражают отношения, и если уравнения остаются истинными, то это потому, что эти отношения сохраняют свою реальность. Они учат нас, сейчас, как и тогда, что существует такое-то отношение между чем-то одним и чем-то другим; только это «что-то» мы раньше называли движением; теперь мы называем это электрическим током. Но эти наименования были лишь образами, подставленными вместо реальных объектов, которые природа вечно будет скрывать от нас. Истинные отношения между этими реальными объектами — единственная реальность, которой мы можем достичь, и единственное условие состоит в том, что между этими объектами существуют те же отношения, что и между образами, которыми мы вынуждены заменять их. Если эти отношения известны нам, что за дело, если мы считаем удобным заменить один образ другим.

То, что какое-то периодическое явление (электрическое колебание, например) действительно обусловлено вибрацией какого-то атома, который, действуя как маятник, действительно движется в том или ином смысле, не является ни достоверным, ни интересным. Но то, что между электрическим колебанием, движением маятника и всеми периодическими явлениями существует тесная связь, которая соответствует глубокой реальности; что эта связь, это сходство, или, скорее, этот параллелизм распространяется в деталях; что это следствие более общих принципов, принципа энергии и принципа наименьшего действия; это то, что мы можем утверждать; это истина, которая всегда будет оставаться той же самой под всеми костюмами, в которые мы можем счесть полезным облачить ее.

Было предложено множество теорий дисперсии; первая была несовершенной и содержала лишь малую часть истины. Впоследствии появилась теория Гельмгольца; затем она модифицировалась различными способами, и ее автор сам придумал другую, основанную на принципах Максвелла. Но, что примечательно, все ученые, которые пришли после Гельмгольца, пришли к одним и тем же уравнениям, исходя из точек отправления, с виду очень широко разделенных. Я осмелюсь сказать, что эти теории все истинны одновременно, не только потому, что они заставляют нас предвидеть одни и те же явления, но потому, что они выявляют истинное отношение, отношение поглощения и аномальной дисперсии. Что истинно в предпосылках этих теорий, так это то, что общее для всех авторов; это утверждение того или иного отношения между определенными вещами, которые одни называют одним именем, другие — другим.

Кинетическая теория газов вызвала много возражений, на которые мы едва ли могли бы ответить, если бы претендовали видеть в ней абсолютную истину. Но все эти возражения не помешают тому, что она была полезной, и особенно в раскрытии нам отношения истинного, но до нее глубоко скрытого, отношения газового давления и осмотического давления. В этом смысле, следовательно, можно сказать, что она истинна.

Когда физик находит противоречие между двумя теориями, одинаково дорогими ему, он иногда говорит: «Мы не будем беспокоиться об этом, а будем крепко держать два конца цепи, хотя промежуточные звенья скрыты от нас». Этот аргумент смущенного теолога был бы смешным, если бы было необходимо приписывать физическим теориям смысл, который придают им миряне. В случае противоречия одна из них, по крайней мере, должна тогда рассматриваться как ложная. Уже не то же самое, если в них искать только то, что следует искать. Может быть, они обе выражают истинные отношения, а противоречие — только в образах, которыми мы облекли реальность.

Тем, кто считает, что мы слишком ограничиваем область, доступную ученому, я отвечаю: эти вопросы, которые мы запрещаем вам и о которых вы сожалеете, не только неразрешимы, они иллюзорны и лишены смысла.

Некоторый философ претендует, что вся физика может быть объяснена взаимными ударами атомов. Если он просто имеет в виду, что между физическими явлениями существуют те же отношения, что и между взаимными ударами большого числа шаров, что ж, хорошо, это проверяемо, это, возможно, истинно. Но он имеет в виду нечто большее; и мы думаем, что понимаем это, потому что думаем, что знаем, что такое удар сам по себе; почему? Просто потому, что мы часто видели игры в бильярд. Будем ли мы думать, что Бог, созерцая свою работу, испытывает те же ощущения, что и мы, наблюдая бильярдный матч? Если мы не хотим придавать этот причудливый смысл его утверждению, если мы также не хотим ограниченного смысла, который я только что объяснил, который является здравым смыслом, то он не имеет никакого.

Гипотезы такого рода имеют, следовательно, только метафорический смысл. Ученый не должен запрещать их больше, чем поэт запрещает метафоры; но он должен знать, чего они стоят. Они могут быть полезны, чтобы дать некоторое удовлетворение уму, и они не будут вредными, при условии, что они являются лишь безразличными гипотезами.

Эти соображения объясняют нам, почему некоторые теории, считавшиеся отброшенными и окончательно осужденными опытом, внезапно восстают из пепла и начинают новую жизнь. Это потому, что они выражали истинные отношения; и потому, что они не переставали делать это, когда, по той или иной причине, мы чувствовали необходимость сформулировать те же отношения на другом языке. Так они сохраняли своего рода латентную жизнь.

Едва ли пятнадцать лет назад было ли что-то более смешное, более наивно устаревшее, чем жидкости Кулона? И всё же вот они, вновь появляющиеся под именем электронов. Чем эти постоянно электризованные молекулы отличаются от электрических молекул Кулона? Правда, в электронах электричество поддерживается маленькой, очень маленькой материей; другими словами, они имеют массу (и всё же это сейчас оспаривается); но Кулон не отрицал массу своим жидкостям, или, если он это делал, то только с неохотой. Было бы опрометчиво утверждать, что вера в электроны не потерпит снова затмения; тем не менее, было любопытно отметить это неожиданное воскрешение.

Но самый яркий пример — принцип Карно. Карно установил его, исходя из ложных гипотез; когда увидели, что тепло не является неразрушимым, а может быть преобразовано в работу, его идеи были полностью отброшены; впоследствии Клаузиус вернулся к ним и заставил их окончательно восторжествовать. Теория Карно, в своей примитивной форме, выражала, помимо истинных отношений, другие неточные отношения, обломки устаревших идей; но присутствие последних не меняло реальности остальных. Клаузиусу оставалось только отбросить их, как обрезают мертвые ветви.

Результатом стал второй фундаментальный закон термодинамики. Там всегда были те же отношения; хотя эти отношения уже не существовали, по крайней мере по видимости, между теми же объектами. Этого было достаточно, чтобы принцип сохранил свою ценность. И даже рассуждения Карно не погибли из-за этого; они были применены к материалу, запятнанному ошибкой; но их форма (то есть существенное) осталась правильной.

То, что я только что сказал, освещает в то же время роль общих принципов, таких как принцип наименьшего действия или принцип сохранения энергии.

Эти принципы имеют очень высокую ценность; они были получены в поиске того, что было общего в формулировке многочисленных физических законов; они представляют, следовательно, как бы квинтэссенцию бесчисленных наблюдений.

Однако из их самой общности вытекает следствие, на которое я обратил внимание в главе VIII, а именно, что они больше не могут быть проверены. Поскольку мы не можем дать общее определение энергии, принцип сохранения энергии означает просто, что есть нечто, что остается постоянным. Что ж, какими бы ни были новые понятия, которые будущие опыты дадут нам о мире, мы заранее уверены, что там будет нечто, что останется постоянным и что может быть названо энергией.

Значит ли это, что принцип не имеет смысла и исчезает в тавтологии? Вовсе нет; он означает, что различные вещи, которым мы даем имя энергии, связаны истинным родством; он утверждает реальное отношение между ними. Но тогда, если этот принцип имеет смысл, он может быть ложным; может быть, мы не имеем права расширять бесконечно его применения, и всё же он заранее уверенно будет проверен в строгом смысле термина; как же тогда мы узнаем, когда он достигнет всего расширения, которое может быть законно дано ему? Просто тогда, когда он перестанет быть полезным нам, то есть заставлять нас правильно предвидеть новые явления. Мы будем уверены в таком случае, что утвержденное отношение больше не является реальным; ибо в противном случае оно было бы плодотворным; опыт, не противореча напрямую новому расширению принципа, тем не менее осудит его.

Физика и механизм. — Большинство теоретиков имеют постоянную предрасположенность к объяснениям, заимствованным из механики или динамики. Некоторые были бы удовлетворены, если бы могли объяснить все явления движениями молекул, притягивающих друг друга согласно определенным законам. Другие более требовательны; они подавили бы притяжения на расстоянии; их молекулы должны следовать прямолинейным путям, с которых их можно было бы заставить отклониться только ударами. Другие опять, как Герц, подавляют также силы, но предполагают свои молекулы подчиненными геометрическим связям, аналогичным, например, связям наших рычажных механизмов; они пытаются таким образом свести динамику к своего рода кинематике.

Одним словом, все они согнули бы природу в определенную форму, вне которой их ум не мог бы чувствовать себя удовлетворенным. Будет ли природа достаточно гибкой для этого?

Мы рассмотрим этот вопрос в главе XII по поводу теории Максвелла. Всякий раз, когда принципы энергии и наименьшего действия соблюдаются, мы увидим, что существует не только одно возможное механическое объяснение, но и бесконечное их множество. Благодаря известной теореме Кёнига о кинематических цепях можно показать, что мы можем бесконечным числом способов объяснить всё через связи по методу Герца или же через центральные силы. Без сомнения, можно было бы столь же легко доказать, что всё всегда можно объяснить простыми ударами.

Для этого, конечно, нам не нужно ограничиваться обычной материей, той, что подпадает под наши чувства и чьи движения мы наблюдаем непосредственно. Либо мы предположим, что эта обычная материя состоит из атомов, чьи внутренние движения ускользают от нас, а нашему восприятию доступно лишь перемещение совокупности. Либо же мы вообразим какую-нибудь из тех тонких жидкостей, которые под названием эфира или под другими именами всегда играли столь большую роль в физических теориях.

Часто идут дальше и рассматривают эфир как единственную первородную материю или даже как единственную истинную материю. Более умеренные считают обычную материю сгущенным эфиром, что не является чем-то поразительным; но другие еще больше умаляют ее значение и видят в ней не более чем геометрическое место сингулярностей эфира. Например, то, что мы называем материей, для лорда Кельвина есть лишь геометрическое место точек, где эфир оживлен вихревыми движениями; для Римана это было геометрическое место точек, где эфир постоянно уничтожается; для других, более поздних авторов, Вихерта или Лармора, это геометрическое место точек, где эфир претерпевает своего рода кручение весьма специфического характера. Если предпринята попытка занять одну из этих точек зрения, я спрашиваю себя, по какому праву мы будем распространять на эфир, под предлогом того, что это истинная материя, механические свойства, наблюдаемые в обычной материи, которая является лишь ложной материей.

Древние жидкости — теплород, электричество и т. д. — были оставлены, когда стало ясно, что теплота не является неразрушимой. Но их оставили и по другой причине. Материализуя их, их индивидуальность, так сказать, подчеркивали, между ними открывалась своего рода бездна. Ее нужно было заполнить с приходом более живого чувства единства природы и восприятия тесных связей, которые объединяют все ее части. Старые физики не только создавали излишние сущности, умножая жидкости, но и разрывали реальные связи.

Для теории недостаточно не утверждать ложных отношений, она не должна скрывать истинные отношения.

А существует ли наш эфир на самом деле? Мы знаем происхождение нашей веры в эфир. Если свет достигает нас от далекой звезды, в течение нескольких лет он уже не был на звезде и еще не был на Земле; значит, он должен был находиться где-то и поддерживаться, так сказать, какой-то материальной опорой.

Ту же идею можно выразить в более математической и абстрактной форме. То, что мы устанавливаем, — это изменения, претерпеваемые материальными молекулами; мы видим, например, что наша фотопластинка ощущает последствия явлений, ареной которых раскаленная масса звезды была несколько лет назад. Теперь, в обычной механике состояние изучаемой системы зависит только от ее состояния в непосредственно предшествующий момент; следовательно, система удовлетворяет дифференциальным уравнениям. Напротив, если бы мы не верили в эфир, состояние материальной вселенной зависело бы не только от непосредственно предшествующего состояния, но и от гораздо более старых состояний; система удовлетворяла бы уравнениям в конечных разностях. Именно чтобы избежать этого отступления от общих законов механики, мы изобрели эфир.

Это лишь обязало бы нас заполнить эфиром межпланетную пустоту, но не заставлять его проникать в недра самих материальных сред. Опыт Физо идет дальше. Благодаря интерференции лучей, прошедших через движущиеся воздух или воду, он, по-видимому, показывает нам две различные среды, которые проникают друг в друга и при этом меняются местами по отношению друг к другу.

Нам кажется, что мы касаемся эфира пальцем.

Тем не менее можно представить себе эксперименты, которые заставили бы нас коснуться его еще ближе. Предположим, что принцип Ньютона о равенстве действия и противодействия больше не верен, если применять его только к материи, и что мы это установили. Геометрическая сумма всех сил, приложенных ко всем материальным молекулам, больше не была бы равна нулю. Тогда, если бы мы не хотели менять всю механику, необходимо было бы ввести эфир, чтобы это действие, которое, как казалось, испытывает материя, было уравновешено противодействием материи на что-то другое.

Или, опять же, предположим, что мы обнаружим, что на оптические и электрические явления влияет движение Земли. Мы были бы вынуждены заключить, что эти явления могли бы открыть нам не только относительные движения материальных тел, но и то, что казалось бы их абсолютными движениями. Опять же, потребовался бы эфир, чтобы эти так называемые абсолютные движения были не их перемещениями относительно пустого пространства, а их перемещениями относительно чего-то конкретного.

Придем ли мы когда-нибудь к этому? У меня нет этой надежды, я скоро скажу почему, и все же это не так абсурдно, раз другие ее имели.

Например, если бы теория Лоренца, о которой я подробно расскажу далее в главе XIII, была верна, принцип Ньютона не применялся бы только к материи, и разница была бы недалеко от того, чтобы стать доступной для эксперимента.

С другой стороны, было проведено много исследований влияния движения Земли. Результаты всегда были отрицательными. Но эти эксперименты были предприняты потому, что исход не был известен заранее, и, действительно, согласно господствующим теориям, компенсация была бы лишь приблизительной, и можно было ожидать, что точные методы дадут положительные результаты.

Я считаю, что такая надежда иллюзорна; тем не менее было интересно показать, что успех такого рода открыл бы нам, в некотором роде, новый мир.

А теперь позвольте мне сделать отступление; я должен объяснить, собственно, почему я не верю, вопреки Лоренцу, что более точные наблюдения могут когда-либо выявить что-либо иное, кроме относительных перемещений материальных тел. Были проведены эксперименты, которые должны были обнаружить члены первого порядка; результаты были отрицательными; могло ли это быть случайностью? Никто этого не предполагал; искали общее объяснение, и Лоренц нашел его; он показал, что члены первого порядка должны уничтожать друг друга, но не члены второго порядка. Затем были проведены более точные эксперименты; они также были отрицательными; это тоже не могло быть следствием случайности; требовалось объяснение; оно было найдено; они всегда находятся; в гипотезах никогда нет недостатка.

Но этого недостаточно; кто не чувствует, что это все еще оставляет случаю слишком большую роль? Не было ли бы также случайностью это странное совпадение, которое привело к тому, что определенное обстоятельство подоспело как раз вовремя, чтобы уничтожить члены первого порядка, и что другое обстоятельство, совершенно иное, но столь же своевременное, взяло на себя уничтожение членов второго порядка? Нет, необходимо найти объяснение, одинаковое как для одного, так и для другого, и тогда все ведет нас к мысли, что это объяснение будет одинаково хорошо подходить и для членов высшего порядка, и что взаимное уничтожение этих членов будет строгим и абсолютным.

Современное состояние науки. — В истории развития физики мы различаем две обратные тенденции.

С одной стороны, постоянно обнаруживаются новые связи между объектами, которые, казалось, были обречены навсегда оставаться несвязанными; разрозненные факты перестают быть чуждыми друг другу; они стремятся выстроиться в величественный синтез. Наука движется к единству и простоте.

С другой стороны, наблюдение каждый день открывает нам новые явления; они должны долго ждать своего места, и иногда, чтобы освободить его для них, приходится разрушать уголок здания. В самих известных явлениях, где наши грубые чувства показывали нам однообразие, мы изо дня в день замечаем все более разнообразные детали; то, что мы считали простым, становится сложным, и наука, по-видимому, движется к разнообразию и сложности.

Из этих двух обратных тенденций, которые, кажется, торжествуют по очереди, какая победит? Если первая, то наука возможна; но ничто не доказывает это априори, и вполне можно опасаться, что, совершив тщетные усилия подчинить природу вопреки ей самой нашему идеалу единства, мы, будучи поглощены постоянно растущим потоком наших новых богатств, должны будем отказаться от их классификации, оставить наш идеал и свести науку к регистрации бесчисленных рецептов.

На этот вопрос мы не можем ответить. Все, что мы можем сделать, — это наблюдать науку сегодняшнего дня и сравнивать ее с наукой вчерашнего дня. Из этого рассмотрения мы, несомненно, можем извлечь некоторое ободрение.

Полвека назад надежды были велики. Открытие закона сохранения энергии и ее превращений открыло нам единство силы. Таким образом, оно показало, что явления теплоты могут быть объяснены молекулярными движениями. Какова была природа этих движений, было точно не известно, но никто не сомневался, что скоро станет. Что касается света, задача казалась полностью выполненной. В том, что касается электричества, дела обстояли менее успешно. Электричество только что присоединило к себе магнетизм. Это был значительный шаг к единству и решительный шаг.

Но как электричество в свою очередь должно войти в общее единство, как оно должно быть сведено к универсальному механизму?

Об этом никто не имел представления. Тем не менее возможность этого сведения никем не ставилась под сомнение, была вера. Наконец, что касается молекулярных свойств материальных тел, сведение казалось еще более легким, но все детали оставались туманными. Одним словом, надежды были огромными и воодушевленными, но расплывчатыми. Сегодня что мы видим? Прежде всего, первостепенный прогресс, огромный прогресс. Отношения электричества и света теперь известны; три царства — света, электричества и магнетизма, ранее разделенные, теперь составляют лишь одно; и это присоединение кажется окончательным.

Это завоевание, однако, стоило нам некоторых жертв. Оптические явления подчиняются как частные случаи электрическим явлениям; пока они оставались изолированными, их было легко объяснить движениями, которые считались известными во всех деталях, это было само собой разумеющимся; но теперь объяснение, чтобы быть приемлемым, должно легко поддаваться распространению на всю электрическую область. А это задача, не лишенная трудностей.

Наиболее удовлетворительной теорией, которую мы имеем, является теория Лоренца, которая, как мы увидим в последней главе, объясняет электрические токи движениями маленьких наэлектризованных частиц; это, несомненно, та теория, которая лучше всего объясняет известные факты, та, которая освещает наибольшее число истинных отношений, та, от которой больше всего следов будет найдено в окончательной конструкции. Тем не менее, она все еще имеет серьезный дефект, на который я указал выше; она противоречит закону Ньютона о равенстве действия и противодействия; или, скорее, этот принцип, в глазах Лоренца, не был бы применим только к материи; чтобы он был верен, необходимо было бы принять во внимание действие эфира на материю и противодействие материи на эфир.

Теперь, исходя из того, что мы знаем в настоящее время, кажется вероятным, что дела обстоят не так.

Как бы то ни было, благодаря Лоренцу результаты Физо по оптике движущихся тел, законы нормальной и аномальной дисперсии и поглощения оказываются связанными друг с другом и с другими свойствами эфира узами, которые, вне всякого сомнения, никогда больше не будут разорваны. Посмотрите на легкость, с которой новый эффект Зеемана уже нашел свое место и даже помог классифицировать магнитное вращение Фарадея, которое бросало вызов усилиям Максвелла; эта легкость в изобилии доказывает, что теория Лоренца не является искусственным нагромождением, обреченным на распад. Вероятно, ее придется модифицировать, но не разрушать.

Но у Лоренца не было иной цели, кроме как охватить в одной совокупности всю оптику и электродинамику движущихся тел; он никогда не претендовал на то, чтобы дать им механическое объяснение. Лармор идет дальше; сохраняя теорию Лоренца в существенных чертах, он прививает к ней, так сказать, идеи Мак-Каллага о направлении движений эфира.

Согласно ему, скорость эфира имела бы то же направление и ту же величину, что и магнитная сила. Как бы ни была остроумна эта попытка, дефект теории Лоренца остается и даже усугубляется. С Лоренцем мы не знаем, каковы движения эфира; благодаря этому неведению мы можем предположить их такими, что, компенсируя движения материи, они восстанавливают равенство действия и противодействия. С Лармором мы знаем движения эфира и можем убедиться, что компенсация не происходит.

Если Лармор потерпел неудачу, как мне кажется, означает ли это, что механическое объяснение невозможно? Отнюдь нет: я сказал выше, что когда явление подчиняется двум принципам — энергии и наименьшего действия, — оно допускает бесконечное множество механических объяснений; так обстоит дело, следовательно, и с оптическими и электрическими явлениями.

Но этого недостаточно: чтобы механическое объяснение было хорошим, оно должно быть простым; для выбора его среди всех возможных должны быть другие причины, помимо необходимости сделать выбор. Что ж, у нас пока нет теории, удовлетворяющей этому условию и, следовательно, пригодной для чего-либо. Должны ли мы сетовать на это? Это значило бы забыть, какова искомая цель; это не механизм; истинная, единственная цель — единство.

Мы должны поэтому ограничить наши амбиции; не будем пытаться сформулировать механическое объяснение; будем довольствоваться тем, что покажем, что мы всегда могли бы найти его, если бы захотели. В этом отношении мы преуспели; принцип сохранения энергии получил лишь подтверждения; к нему присоединился второй принцип — принцип наименьшего действия, приведенный к форме, подходящей для физики. Он также всегда подтверждался, по крайней мере в том, что касается обратимых явлений, которые, таким образом, подчиняются уравнениям Лагранжа, то есть самым общим законам механики.

Необратимые явления гораздо более строптивы. И все же они также координируются и стремятся к единству; свет, который осветил их, пришел к нам от принципа Карно. Долгое время термодинамика ограничивалась изучением расширения тел и их изменений состояния. В последнее время она стала смелее и значительно расширила свою область. Мы обязаны ей теорией гальванического элемента и теорией термоэлектрических явлений; во всей физике нет уголка, который она не исследовала бы, и она атаковала саму химию.

Везде царят одни и те же законы; везде, под разнообразием внешних проявлений, вновь обнаруживается принцип Карно; везде также обнаруживается это понятие, столь поразительно абстрактное, энтропии, которое столь же универсально, как понятие энергии, и, кажется, подобно ему, охватывает реальность. Лучистая теплота, казалось, была обречена избежать его; но недавно мы увидели, что она подчиняется тем же законам.

Таким образом, нам открываются свежие аналогии, которые часто можно проследить в деталях; омическое сопротивление напоминает вязкость жидкостей; гистерезис скорее напоминал бы трение твердых тел. Во всех случаях трение представлялось бы типом, которому подражают самые разнообразные необратимые явления, и это родство реально и глубоко.

Для этих явлений также искали механическое объяснение, собственно так называемое. Они едва ли поддавались ему. Чтобы найти его, необходимо было предположить, что необратимость лишь кажущаяся, что элементарные явления обратимы и подчиняются известным законам динамики. Но элементов чрезвычайно много, и они все больше смешиваются, так что нашему грубому взгляду все кажется стремящимся к однообразию, то есть все кажется движущимся вперед в одном и том же направлении без надежды на возврат. Кажущаяся необратимость, таким образом, является лишь следствием закона больших чисел. Но только существо с бесконечно тонкими чувствами, подобное воображаемому демону Максвелла, могло бы распутать этот неразрешимый клубок и повернуть вспять ход вселенной.

Эта концепция, которая примыкает к кинетической теории газов, стоила больших усилий и не была, в целом, плодотворной; но она может стать таковой. Это не место для того, чтобы рассматривать, не ведет ли она к противоречиям и соответствует ли она истинной природе вещей.

Мы отмечаем, однако, оригинальные идеи г-на Гуи о броуновском движении. Согласно этому ученому, это странное движение должно избегать принципа Карно. Частицы, которые оно приводит в колебание, были бы меньше звеньев этого столь сжатого клубка; они были бы поэтому приспособлены к тому, чтобы распутать их и, следовательно, заставить мир идти вспять. Мы почти увидели бы демона Максвелла за работой.

Подводя итог, ранее известные явления все лучше и лучше классифицируются, но новые явления приходят, чтобы потребовать своего места; большинство из них, как эффект Зеемана, сразу же нашли его.

Но у нас есть катодные лучи, рентгеновские лучи, лучи урана и радия. Здесь целый мир, который никто не подозревал. Сколько неожиданных гостей должно быть размещено?

Никто еще не может предвидеть место, которое они займут. Но я не верю, что они разрушат общее единство; я думаю, что они скорее дополнят его. С одной стороны, на самом деле, новые излучения кажутся связанными с явлениями люминесценции; они не только возбуждают флуоресценцию, но иногда зарождаются в тех же условиях, что и она.

Не лишены они и родства с причинами, которые вызывают электрическую искру под действием ультрафиолетового света.

Наконец, и прежде всего, считается, что во всех этих явлениях обнаруживаются истинные ионы, движимые, правда, скоростями, несравненно большими, чем в электролитах.

Все это очень расплывчато, но все это станет более точным.

Фосфоресценция, действие света на искру — это были области довольно изолированные и, следовательно, несколько пренебрегаемые исследователями. Теперь можно надеяться, что будет проложен новый путь, который облегчит их связи с остальной наукой.

Мы не только открываем новые явления, но и в тех, которые, как мы думали, знали, обнаруживаются непредвиденные аспекты. В свободном эфире законы сохраняют свою величественную простоту; но материя, собственно так называемая, кажется все более сложной; все, что о ней говорится, никогда не бывает более чем приблизительным, и в каждый момент наши формулы требуют новых членов.

Тем не менее рамки не сломаны; отношения, которые мы распознали между объектами, которые мы считали простыми, все еще существуют между этими же объектами, когда мы узнаем их сложность, и только это имеет значение. Наши уравнения становятся, правда, все более сложными, чтобы охватить более тесно сложность природы; но ничего не меняется в отношениях, которые позволяют выводить эти уравнения одно из другого. Одним словом, форма этих уравнений сохранилась.

Возьмем, например, законы отражения: Френель установил их с помощью простой и соблазнительной теории, которую эксперимент, казалось, подтверждал. С тех пор более точные исследования доказали, что эта проверка была лишь приблизительной; они показали повсюду следы эллиптической поляризации. Но, благодаря помощи, которую дало нам первое приближение, мы тотчас нашли причину этих аномалий, которой является наличие переходного слоя; и теория Френеля сохранилась в своих существенных чертах.

Но есть размышление, которое мы не можем не сделать: все эти отношения остались бы незамеченными, если бы сначала подозревали сложность объектов, которые они связывают. Давно сказано: если бы у Тихо были инструменты в десять раз точнее, ни Кеплера, ни Ньютона, ни астрономии никогда бы не было. Это несчастье для науки — родиться слишком поздно, когда средства наблюдения стали слишком совершенными. Это сегодня случай с физической химией; ее основатели стеснены в своем общем охвате третьими и четвертыми десятичными знаками; к счастью, они люди крепкой веры.

Чем лучше знаешь свойства материи, тем больше видишь, как царит непрерывность. Со времен работ Эндрюса и Ван-дер-Ваальса мы получаем представление о том, как совершается переход от жидкого к газообразному состоянию и что этот переход не является резким. Точно так же нет разрыва между жидким и твердым состояниями, и в трудах недавнего конгресса можно увидеть, наряду с работой о жесткости жидкостей, мемуар о течении твердых тел.

От этой тенденции, несомненно, простота проигрывает; какое-то явление раньше представлялось несколькими прямыми линиями, теперь эти прямые должны быть соединены кривыми, более или менее сложными. В качестве компенсации единство значительно выигрывает. Эти отсеченные категории успокаивали ум, но они не удовлетворяли его.

Наконец, методы физики вторглись в новую область — область химии; родилась физическая химия. Она еще очень молода, но мы уже видим, что она позволит нам связать такие явления, как электролиз, осмос и движения ионов.

Из этого краткого изложения, что мы заключим?

Все обдумав, мы приблизились к единству; мы не были так быстры, как надеялись пятьдесят лет назад, мы не всегда шли предсказанным путем; но, в конце концов, мы отвоевали столько земли.

ГЛАВА XI

Исчисление вероятностей

Несомненно, будет удивительно найти здесь мысли о исчислении вероятностей. Какое отношение оно имеет к методу физических наук? И все же вопросы, которые я поставлю, не решая их, естественно возникают перед философом, который размышляет о физике. До такой степени, что в двух предыдущих главах я часто был вынужден использовать слова «вероятность» и «случай».

«Предсказанные факты», как я сказал выше, «могут быть только вероятными». «Как бы прочно обоснованным ни казалось нам предсказание, мы никогда не можем быть абсолютно уверены, что эксперимент не докажет его ложность. Но вероятность часто настолько велика, что практически мы можем быть ею удовлетворены». И немного далее я добавил: «Посмотрите, какую роль играет вера в простоту в наших обобщениях. Мы проверили простой закон в большом числе частных случаев; мы отказываемся признать, что это совпадение, столь часто повторяющееся, может быть простым эффектом случая...»

Таким образом, во множестве обстоятельств физик находится в том же положении, что и игрок, который подсчитывает свои шансы. Всякий раз, когда он рассуждает по индукции, он более или менее сознательно требует исчисления вероятностей, и именно поэтому я вынужден сделать отступление и прервать наше изучение метода в физических науках, чтобы рассмотреть немного ближе ценность этого исчисления и то, какого доверия оно заслуживает.

Само название «исчисление вероятностей» — это парадокс. Вероятность, противопоставленная достоверности, — это то, чего мы не знаем, и как мы можем вычислить то, чего не знаем? И все же многие выдающиеся ученые занимались этим исчислением, и нельзя отрицать, что наука извлекла из этого немалую пользу.

Как мы можем объяснить это кажущееся противоречие?

Была ли определена вероятность? Можно ли ее вообще определить? И если нельзя, как мы смеем рассуждать о ней? Определение, скажут, очень простое: вероятность события есть отношение числа случаев, благоприятных для этого события, к общему числу возможных случаев.

Простой пример покажет, насколько неполным является это определение. Я бросаю две кости. Какова вероятность того, что хотя бы одна из двух выпадет шестеркой? Каждая кость может выпасть шестью различными способами; число возможных случаев равно 6 × 6 = 36; число благоприятных случаев равно 11; вероятность равна 11/36.

Это правильное решение. Но не мог ли я так же хорошо сказать: очки, которые выпадают на двух костях, могут образовать 6 × 7/2 = 21 различную комбинацию? Среди этих комбинаций 6 являются благоприятными; вероятность равна 6/21.

Теперь почему первый метод перечисления возможных случаев более легитимен, чем второй? В любом случае, не наше определение говорит нам об этом.

Мы поэтому вынуждены дополнить это определение, сказав: «...к общему числу возможных случаев, при условии, что эти случаи равновероятны». Так что, следовательно, мы сведены к определению вероятного через вероятное.

Как мы можем знать, что два возможных случая равновероятны? Будет ли это по соглашению? Если мы поместим в начале каждой задачи явное соглашение, хорошо и ладно. Нам тогда не останется ничего, кроме как применить правила арифметики и алгебры, и мы завершим наше вычисление, не оставляя места для сомнений в нашем результате. Но если мы хотим сделать малейшее применение этого результата, мы должны доказать, что наше соглашение было легитимным, и мы окажемся перед лицом той самой трудности, которой думали избежать.

Скажут ли, что здравого смысла достаточно, чтобы показать нам, какое соглашение следует принять? Увы! М. Бертран позабавил себя обсуждением следующей простой задачи: «Какова вероятность того, что хорда круга может быть больше стороны вписанного равностороннего треугольника?» Знаменитый геометр последовательно принял два соглашения, которые здравый смысл, казалось, одинаково диктовал, и с одним он нашел 1/2, с другим — 1/3.

Заключение, которое, кажется, следует из всего этого, состоит в том, что исчисление вероятностей — это бесполезная наука, и что смутный инстинкт, который мы можем назвать здравым смыслом и к которому мы привыкли взывать, чтобы узаконить наши соглашения, должен вызывать недоверие.

Но мы также не можем подписаться под этим заключением; мы не можем обойтись без этого смутного инстинкта. Без него наука была бы невозможна, без него мы не могли бы ни открыть закон, ни применить его. Имеем ли мы право, например, формулировать закон Ньютона? Без сомнения, многочисленные наблюдения согласуются с ним; но не является ли это простым эффектом случая? Кроме того, откуда нам знать, будет ли этот закон, верный столько веков, все еще верным в следующем году? На это возражение вы не найдете ничего, что можно было бы ответить, кроме: «Это очень маловероятно».

Но допустим закон. Благодаря ему я считаю себя способным вычислить положение Юпитера через год. Имею ли я право верить в это? Кто может сказать, не пройдет ли гигантская масса с огромной скоростью между нынешним моментом и тем временем вблизи солнечной системы и не произведет ли непредвиденных возмущений? Здесь опять единственный ответ: «Это очень маловероятно».

С этой точки зрения все науки были бы лишь бессознательными применениями исчисления вероятностей. Осудить это исчисление значило бы осудить всю науку целиком.

Я буду слегка останавливаться на научных проблемах, в которых вмешательство исчисления вероятностей более очевидно. На переднем плане среди них — проблема интерполяции, в которой, зная определенное число значений функции, мы пытаемся угадать промежуточные значения.

Я также упомяну: знаменитую теорию ошибок наблюдения, к которой я вернусь позже; кинетическую теорию газов, хорошо известную гипотезу, в которой каждая газовая молекула, как предполагается, описывает чрезвычайно сложную траекторию, но в которой, благодаря эффекту больших чисел, средние явления, единственно наблюдаемые, подчиняются простым законам Мариотта и Гей-Люссака.

Все эти теории основаны на законах больших чисел, и исчисление вероятностей очевидно вовлекло бы их в свою гибель. Правда, они имеют лишь частный интерес и что, за исключением того, что касается интерполяции, это жертвы, с которыми мы могли бы легко смириться.

Но, как я сказал выше, речь шла бы не только об этих частичных жертвах; под вопрос была бы поставлена легитимность всей науки.

Я вполне вижу, что можно было бы сказать: «Мы невежественны, и все же мы должны действовать. Для действия у нас нет времени посвятить себя исследованию, достаточному для того, чтобы развеять наше невежество. Кроме того, такое исследование потребовало бы бесконечного времени. Мы должны поэтому решать, не зная; мы обязаны это делать, наудачу, и мы должны следовать правилам, не вполне веря в них. Что я знаю, так это не то, что такая-то вещь истинна, а то, что лучший путь для меня — действовать так, как если бы она была истинной». Исчисление вероятностей, и, следовательно, сама наука, с этого момента имело бы лишь практическую ценность.

К сожалению, трудность таким образом не исчезает. Игрок хочет сделать ставку; он спрашивает моего совета. Если я дам его ему, я буду использовать исчисление вероятностей, но я не буду гарантировать успех. Это то, что я назову субъективной вероятностью. В этом случае мы могли бы удовлетвориться объяснением, набросок которого я только что дал. Но предположим, что наблюдатель присутствует при игре, что он отмечает все ее ходы и что игра продолжается долгое время. Когда он сделает сводку своей записи, он обнаружит, что события происходили в соответствии с законами исчисления вероятностей. Это то, что я назову объективной вероятностью, и именно это явление нужно объяснить.

Существуют многочисленные страховые компании, которые применяют правила исчисления вероятностей, и они распределяют своим акционерам дивиденды, объективную реальность которых нельзя оспорить. Ссылаться на наше невежество и необходимость действовать недостаточно, чтобы объяснить их.

Таким образом, абсолютный скептицизм недопустим. Мы можем не доверять, но мы не можем осуждать огульно. Дискуссия необходима.

I. Классификация проблем вероятности. — Чтобы классифицировать проблемы, которые возникают по поводу вероятностей, мы можем смотреть на них с многих различных точек зрения, и, во-первых, с точки зрения общности. Я сказал выше, что вероятность — это отношение числа благоприятных случаев к числу возможных случаев. То, что за неимением лучшего термина я называю общностью, будет возрастать с числом возможных случаев. Это число может быть конечным, как, например, если мы возьмем бросок костей, в котором число возможных случаев равно 36. Это первая степень общности.

Но если мы спросим, например, какова вероятность того, что точка внутри круга находится внутри вписанного квадрата, то существует столько же возможных случаев, сколько точек в круге, то есть бесконечность. Это вторая степень общности. Общность можно продвинуть еще дальше. Мы можем спросить о вероятности того, что функция удовлетворит заданному условию. Существует тогда столько же возможных случаев, сколько можно вообразить различных функций. Это третья степень общности, к которой мы восходим, например, когда мы ищем наиболее вероятный закон в соответствии с конечным числом наблюдений.

Мы можем поместить себя в совершенно иную точку зрения. Если бы мы не были невежественны, не было бы никакой вероятности, было бы место только для достоверности. Но наше невежество не может быть абсолютным, ибо тогда не было бы больше никакой вероятности вообще, так как немного света необходимо, чтобы достичь даже этой неопределенной науки. Таким образом, проблемы вероятности могут быть классифицированы в соответствии с большей или меньшей глубиной этого невежества.

В математике даже мы можем ставить себе проблемы вероятности. Какова вероятность того, что пятый десятичный знак логарифма, взятого наугад из таблицы, есть «9»? Нет колебаний в ответе, что эта вероятность равна 1/10; здесь мы обладаем всеми данными проблемы. Мы можем вычислить наш логарифм без обращения к таблице, но мы не хотим давать себе труда. Это первая степень невежества.

В физических науках наше невежество становится больше. Состояние системы в данный момент зависит от двух вещей: ее начального состояния и закона, согласно которому это состояние изменяется. Если мы знаем и этот закон, и это начальное состояние, у нас тогда будет только математическая проблема для решения, и мы возвращаемся к первой степени невежества.

Но часто случается, что мы знаем закон, но не знаем начального состояния. Можно спросить, например, каково нынешнее распределение малых планет? Мы знаем, что с незапамятных времен они подчинялись законам Кеплера, но мы не знаем, каким было их начальное распределение.

В кинетической теории газов мы предполагаем, что газовые молекулы следуют прямолинейным траекториям и подчиняются законам удара упругих тел. Но, так как мы ничего не знаем об их начальных скоростях, мы ничего не знаем об их нынешних скоростях.

Исчисление вероятностей позволяет нам предсказать только средние явления, которые будут результатом комбинации этих скоростей. Это вторая степень невежества.

Наконец, возможно, что неизвестны не только начальные условия, но и сами законы. Мы тогда достигаем третьей степени невежества и в общем случае больше не можем утверждать ничего вообще относительно вероятности явления.

Часто случается, что вместо того, чтобы пытаться угадать событие с помощью более или менее несовершенного знания закона, события могут быть известны, и мы хотим найти закон; или что вместо того, чтобы выводить следствия из причин, мы хотим вывести причины из следствий. Это проблемы, называемые вероятностью причин, наиболее интересные с точки зрения их научных применений.

Я играю в экарте с джентльменом, которого знаю как совершенно честного. Он собирается сдавать. Какова вероятность того, что он сдаст короля? Она равна 1/8. Это проблема вероятности следствий.

Я играю с джентльменом, которого не знаю. Он сдавал десять раз, и он сдал короля шесть раз. Какова вероятность того, что он шулер? Это проблема вероятности причин.

Можно сказать, что это существенная проблема экспериментального метода. Я наблюдал n значений x и соответствующие значения y. Я обнаружил, что отношение последних к первым практически постоянно. Вот событие, какова причина?

Вероятно ли, что существует общий закон, согласно которому y был бы пропорционален x, и что малые расхождения обусловлены ошибками наблюдения? Это тип вопроса, который постоянно задают и который мы бессознательно решаем всякий раз, когда занимаемся научной работой.

Я собираюсь теперь рассмотреть эти различные категории проблем, обсуждая последовательно то, что я назвал выше субъективной и объективной вероятностью.

II. Вероятность в математике. — Невозможность квадратуры круга доказана с 1882 года; но даже до этой даты все геометры считали эту невозможность настолько «вероятной», что Академия наук отвергала без рассмотрения увы! слишком многочисленные мемуары на эту тему, которые некоторые несчастные безумцы присылали каждый год.

Была ли Академия неправа? Очевидно, нет, и она хорошо знала, что, поступая так, она не рискует ни в малейшей степени подавить открытие момента. Академия не могла доказать, что она права; но она очень хорошо знала, что ее инстинкт не ошибается. Если бы вы спросили академиков, они бы ответили: «Мы сравнили вероятность того, что неизвестный ученый нашел то, что так долго тщетно искали, с вероятностью того, что на земле стало на одного безумца больше; вторая кажется нам большей». Это очень хорошие причины, но в них нет ничего математического; они чисто психологические.

И если бы вы настаивали на них дальше, они бы добавили: «Почему вы предполагаете, что конкретное значение трансцендентной функции является алгебраическим числом; и если бы π было корнем алгебраического уравнения, почему вы предполагаете, что этот корень является периодом функции sin 2x, а не то же самое относительно других корней этого же уравнения?» Подводя итог, они бы взвали к принципу достаточного основания в его самой расплывчатой форме.

Но что они могли бы вывести из него? По крайней мере правило поведения для использования своего времени, более полезно потраченного на их обычную работу, чем на чтение лукубрации, которая внушала им законное недоверие. Но то, что я называю выше объективной вероятностью, не имеет ничего общего с этой первой проблемой.

Иначе обстоит дело со второй проблемой.

Рассмотрим первые 10 000 логарифмов, которые мы находим в таблице. Среди этих 10 000 логарифмов я беру один наугад. Какова вероятность того, что его третья десятичная дробь — четное число? Вы не будете колебаться с ответом 1/2; и на самом деле, если вы выберете в таблице третьи десятичные знаки этих 10 000 чисел, вы найдете почти столько же четных цифр, сколько нечетных.

Или, если хотите, давайте запишем 10 000 чисел, соответствующих нашим 10 000 логарифмам, каждое из этих чисел равно +1, если третья десятичная дробь соответствующего логарифма четная, и -1, если нечетная. Затем возьмем среднее арифметическое этих 10 000 чисел.

Я не колеблясь скажу, что среднее этих 10 000 чисел, вероятно, равно 0, и если бы я действительно вычислил его, я бы убедился, что оно чрезвычайно мало.

Но даже эта проверка излишня. Я мог бы строго доказать, что это среднее меньше 0,003. Чтобы доказать этот результат, мне пришлось бы проделать довольно долгое вычисление, для которого здесь нет места и для которого я ограничиваюсь цитированием статьи, опубликованной мной в Revue générale des Sciences, 15 апреля 1899 года. Единственный момент, на который я хочу обратить внимание, следующий: в этом вычислении мне нужно было бы только опереться на два факта, а именно, что первая и вторая производные логарифма остаются в рассматриваемом интервале между определенными пределами.

Отсюда это важное следствие, что свойство верно не только для логарифма, но и для любой непрерывной функции вообще, так как производные каждой непрерывной функции ограничены.

Если я был уверен заранее в результате, это, во-первых, потому, что я часто наблюдал аналогичные факты для других непрерывных функций; и во-вторых, потому, что я проделал в уме, более или менее бессознательным и несовершенным образом, рассуждение, которое привело меня к предыдущим неравенствам, точно так же, как опытный вычислитель перед завершением своего умножения учитывает, к чему оно должно прийти приблизительно.

И кроме того, поскольку то, что я называю своей интуицией, было лишь неполным резюме истинного рассуждения, ясно, почему наблюдение подтвердило мои предсказания и почему объективная вероятность была в согласии с субъективной вероятностью.

В качестве третьего примера я выберу следующую проблему: число u берется наугад, и n — данное очень большое целое число. Каково вероятное значение sin nu? Эта проблема не имеет смысла сама по себе. Чтобы придать его, нужно соглашение. Мы договоримся, что вероятность для числа u лежать между a и a + da равна ϕ(a) da; что она, следовательно, пропорциональна бесконечно малому интервалу da и равна этому, умноженному на функцию ϕ(a), зависящую только от a. Что касается этой функции, я выбираю ее произвольно, но я должен предположить, что она непрерывна. Значение sin nu остается тем же, когда u увеличивается на 2π, я могу без потери общности предположить, что u лежит между 0 и 2π, и я буду таким образом приведен к предположению, что ϕ(a) — периодическая функция, чей период равен 2π.

Искомое вероятное значение легко выражается простым интегралом, и легко показать, что этот интеграл меньше

2πMk ⁄ nk,

Mk — максимальное значение k-й производной ϕ(u). Мы видим тогда, что если k-я производная конечна, наше вероятное значение будет стремиться к 0, когда n неограниченно возрастает, и притом быстрее, чем 1/nk−1.

Вероятное значение sin nu, когда n очень велико, следовательно, равно нулю. Чтобы определить это значение, мне потребовалось соглашение; но результат остается тем же, каким бы ни было это соглашение. Я наложил на себя лишь легкие ограничения, предположив, что функция ϕ(a) непрерывна и периодична, и эти гипотезы настолько естественны, что мы можем спросить себя, как их можно избежать.

Рассмотрение трех предыдущих примеров, столь различных во всех отношениях, уже дало нам возможность увидеть, с одной стороны, роль того, что философы называют принципом достаточного основания, и, с другой стороны, важность того факта, что некоторые свойства общи всем непрерывным функциям. Изучение вероятности в физических науках приведет нас к тому же результату.

III. Вероятность в физических науках. — Мы переходим теперь к проблемам, связанным с тем, что я назвал второй степенью невежества, а именно к тем, в которых мы знаем закон, но не знаем начального состояния системы. Я мог бы умножить примеры, но возьму только один. Каково вероятное нынешнее распределение малых планет на зодиаке?

Мы знаем, что они подчиняются законам Кеплера. Мы можем даже, вовсе не меняя природы проблемы, предположить, что их орбиты все круговые и расположены в одной плоскости, и что мы знаем эту плоскость. С другой стороны, мы находимся в абсолютном неведении относительно того, каким было их начальное распределение. Однако мы не колеблясь утверждаем, что их распределение теперь почти равномерно. Почему?

Пусть b — долгота малой планеты в начальную эпоху, то есть в эпоху ноль. Пусть a — ее среднее движение. Ее долгота в нынешнюю эпоху, то есть в эпоху t, будет at + b. Сказать, что нынешнее распределение равномерно, — значит сказать, что среднее значение синусов и косинусов кратных at + b равно нулю. Почему мы утверждаем это?

Представим каждую малую планету точкой на плоскости, а именно точкой, координаты которой в точности равны a и b. Все эти репрезентативные точки будут содержаться в некоторой области плоскости, но, поскольку их очень много, эта область будет выглядеть усеянной точками. Мы ничего больше не знаем о распределении этих точек.

Что мы делаем, когда хотим применить исчисление вероятностей к такому вопросу? Какова вероятность того, что одна или несколько репрезентативных точек могут быть найдены в определенной части плоскости? В своем неведении мы вынуждены делать произвольную гипотезу. Чтобы объяснить природу этой гипотезы, позвольте мне использовать вместо математической формулы грубый, но конкретный образ. Предположим, что по поверхности нашей плоскости было распределено воображаемое вещество, плотность которого переменна, но меняется непрерывно. Тогда мы договоримся считать, что вероятное число репрезентативных точек, которые можно найти на части плоскости, пропорционально количеству фиктивной материи, находящейся там. Если у нас есть две области плоскости одинакового размера, то вероятности того, что репрезентативная точка одной из наших малых планет будет найдена в той или иной из этих областей, будут относиться друг к другу как средние плотности фиктивной материи в первой и второй областях.

Итак, перед нами два распределения: одно реальное, в котором репрезентативные точки очень многочисленны, расположены очень близко друг к другу, но дискретны, подобно молекулам материи в атомной гипотезе; другое — далекое от реальности, в котором наши репрезентативные точки заменены непрерывной фиктивной материей. Мы знаем, что последнее не может быть реальным, но наше неведение заставляет нас принять его.

Если бы мы снова имели некоторое представление о реальном распределении репрезентативных точек, мы могли бы устроить так, чтобы в области некоторого размера плотность этой воображаемой непрерывной материи была почти пропорциональна числу репрезентативных точек или, если хотите, числу атомов, содержащихся в этой области. Даже это невозможно, и наше неведение настолько велико, что мы вынуждены произвольно выбирать функцию, определяющую плотность нашей воображаемой материи. Только мы будем вынуждены принять гипотезу, от которой нам трудно уйти: мы предположим, что эта функция непрерывна. Как мы увидим, этого достаточно, чтобы позволить нам прийти к заключению.

Каково в момент t вероятное распределение малых планет? Или, скорее, каково вероятное значение синуса долготы в момент t, то есть sin(at + b)? Вначале мы сделали произвольное соглашение, но если мы его примем, это вероятное значение будет полностью определено. Разделим плоскость на элементы поверхности. Рассмотрим значение sin(at + b) в центре каждого из этих элементов; умножим это значение на площадь элемента и на соответствующую плотность воображаемой материи. Затем возьмем сумму по всем элементам плоскости. Эта сумма по определению будет искомым вероятным средним значением, которое, таким образом, будет выражено двойным интегралом. Сначала может показаться, что это среднее значение зависит от выбора функции, определяющей плотность воображаемой материи, и что, поскольку эта функция ϕ произвольна, мы можем, в зависимости от сделанного нами произвольного выбора, получить любое среднее значение. Это не так.

Простой расчет показывает, что наш двойной интеграл очень быстро убывает при увеличении t. Таким образом, я не мог точно сказать, какую гипотезу сделать относительно вероятности того или иного начального распределения; но какую бы гипотезу ни сделали, результат будет тем же, и это избавляет меня от затруднений.

Какова бы ни была функция ϕ, среднее значение стремится к нулю по мере увеличения t, и, поскольку малые планеты, безусловно, совершили очень большое число оборотов, я могу утверждать, что это среднее значение очень мало.

Я могу выбирать ϕ как угодно, за исключением одного ограничения: эта функция должна быть непрерывной; и, по сути, с точки зрения субъективной вероятности выбор разрывной функции был бы неразумным. Например, какая у меня может быть причина предполагать, что начальная долгота может быть ровно 0°, но не может лежать между 0° и 1°?

Но трудность вновь появляется, если мы встанем на точку зрения объективной вероятности, если мы перейдем от нашего воображаемого распределения, в котором фиктивная материя предполагалась непрерывной, к реальному распределению, в котором наши репрезентативные точки образуют, так сказать, дискретные атомы.

Среднее значение sin(at + b) будет представлено довольно просто как

(1/n) Σ sin(at + b),

где n — число малых планет. Вместо двойного интеграла, относящегося к непрерывной функции, мы будем иметь сумму дискретных членов. И все же никто всерьез не усомнится в том, что это среднее значение практически очень мало.

Поскольку наши репрезентативные точки расположены очень близко друг к другу, наша дискретная сумма в общем случае будет очень мало отличаться от интеграла.

Интеграл — это предел, к которому стремится сумма членов при неограниченном увеличении числа этих членов. Если членов очень много, сумма будет очень мало отличаться от своего предела, то есть от интеграла, и то, что я сказал о последнем, будет справедливо и для самой суммы.

Тем не менее, существуют исключения. Если, например, для всех малых планет

b = π/2 − at,

то долгота для всех планет в момент времени t была бы равна π/2, и среднее значение, очевидно, было бы равно единице. Чтобы это произошло, необходимо, чтобы в эпоху 0 малые планеты все лежали на спирали особой формы, с очень близко расположенными витками. Каждый согласится, что такое начальное распределение крайне маловероятно (и, даже если предположить, что оно реализовалось, распределение не было бы равномерным в настоящее время, например, 1 января 1913 года, но стало бы таковым несколько лет спустя).

Почему же тогда мы считаем это начальное распределение маловероятным? Это должно быть объяснено, потому что если бы у нас не было причин отвергать как маловероятную эту абсурдную гипотезу, все рухнуло бы, и мы больше не могли бы делать никаких утверждений о вероятности того или иного текущего распределения.

Еще раз мы призовем принцип достаточного основания, к которому мы всегда должны возвращаться. Мы могли бы допустить, что вначале планеты были распределены почти по прямой линии. Мы могли бы допустить, что они были распределены беспорядочно. Но нам кажется, что нет достаточного основания для того, чтобы неизвестная причина, породившая их, действовала вдоль кривой столь правильной и в то же время столь сложной, которая, по-видимому, была специально выбрана так, чтобы нынешнее распределение не было равномерным.

IV. Красное и черное. — Вопросы, возникающие в азартных играх, таких как рулетка, в основе своей полностью аналогичны тем, которые мы только что рассмотрели. Например, колесо разделено на большое число равных подразделений, попеременно красных и черных. Стрелка вращается с силой, и, сделав большое число оборотов, останавливается перед одним из этих подразделений. Вероятность того, что это деление красное, очевидно, равна 1/2. Стрелка описывает угол θ, включая несколько полных оборотов. Я не знаю, какова вероятность того, что стрелка может быть вращена с силой, такой, что этот угол должен лежать между θ и θ + dθ; но я могу сделать соглашение. Я могу предположить, что эта вероятность равна ϕ(θ)dθ. Что касается функции ϕ(θ), я могу выбрать ее совершенно произвольным образом. Нет ничего, что могло бы направлять меня в моем выборе, но я естественно склоняюсь к тому, чтобы предположить эту функцию непрерывной.

Пусть ε — длина (измеренная по окружности радиуса 1) каждого красного и черного подразделения. Мы должны вычислить интеграл от ϕ(θ)dθ, распространив его, с одной стороны, на все красные деления, а с другой — на все черные деления, и сравнить результаты.

Рассмотрим интервал 2ε, включающий красное деление и следующее за ним черное деление. Пусть M и m — наибольшее и наименьшее значения функции ϕ(θ) в этом интервале. Интеграл, распространенный на красные деления, будет меньше ΣMε; интеграл, распространенный на черные деления, будет больше Σmε; разность, следовательно, будет меньше Σ(M − m)ε. Но если функция θ предполагается непрерывной; если, кроме того, интервал ε очень мал по сравнению с полным углом, описанным стрелкой, разность M − m будет очень мала. Разность двух интегралов, следовательно, будет очень мала, и вероятность будет очень близка к 1/2.

Мы видим, что, ничего не зная о функции θ, я должен действовать так, как если бы вероятность была равна 1/2. Мы понимаем, с другой стороны, почему, если, вставая на объективную точку зрения, я наблюдаю определенное число партий, наблюдение даст мне примерно столько же черных партий, сколько и красных.

Все игроки знают этот объективный закон; но он приводит их к замечательной ошибке, которая часто разоблачалась, но в которую они всегда впадают снова. Когда красное выигрывает, например, шесть раз подряд, они ставят на черное, думая, что играют в верную игру; потому что, говорят они, очень редко красное выигрывает семь раз подряд.

В действительности их вероятность выигрыша остается 1/2. Наблюдение показывает, правда, что серии из семи красных подряд очень редки, но серии из шести красных, за которыми следует черное, столь же редки.

Они заметили редкость серии из семи красных; если они не отметили редкость шести красных и одного черного, то только потому, что такие серии меньше бросаются в глаза.

V. Вероятность причин. — Мы переходим теперь к задачам о вероятности причин, наиболее важным с точки зрения научных приложений. Две звезды, например, очень близки друг к другу на небесной сфере. Является ли эта кажущаяся близость простым эффектом случая? Находятся ли эти звезды, хотя и на почти одном и том же луче зрения, на очень разных расстояниях от Земли и, следовательно, очень далеко друг от друга? Или, возможно, кажущаяся близость соответствует реальной? Это задача о вероятности причин.

Я напомню прежде всего, что в начале всех задач о вероятности эффектов, которые до сих пор занимали нас, нам всегда приходилось делать соглашение, более или менее оправданное. И если в большинстве случаев результат был в известной мере независим от этого соглашения, то это было только из-за определенных гипотез, которые позволяли нам отвергать a priori разрывные функции, например, или определенные абсурдные соглашения.

Мы найдем нечто аналогичное, когда будем иметь дело с вероятностью причин. Эффект может быть произведен причиной A или причиной B. Эффект только что наблюдался. Мы спрашиваем о вероятности того, что он вызван причиной A. Это апостериорная вероятность причины. Но я не мог бы вычислить ее, если бы более или менее оправданное соглашение не подсказало мне заранее, какова априорная вероятность того, что причина A вступит в действие; я имею в виду вероятность этого события для того, кто не наблюдал эффект.

Чтобы лучше объясниться, я вернусь к примеру с игрой в экарте, упомянутому выше. Мой противник сдает в первый раз, и он открывает короля. Какова вероятность того, что он шулер? Формулы, обычно преподаваемые, дают 8/9, результат, очевидно, довольно удивительный. Если мы присмотримся к этому ближе, мы увидим, что расчет сделан так, как если бы, прежде чем сесть за стол, я считал, что есть один шанс из двух, что мой противник не честен. Абсурдная гипотеза, потому что в этом случае я, конечно, не стал бы играть с ним, и это объясняет абсурдность вывода.

Соглашение об априорной вероятности было неоправданным, и именно поэтому расчет апостериорной вероятности привел меня к недопустимому результату. Мы видим важность этого предварительного соглашения. Я даже добавлю, что если бы оно не было сделано, задача об апостериорной вероятности не имела бы смысла. Оно всегда должно быть сделано либо явно, либо неявно.

Перейдем к примеру более научного характера. Я хочу определить экспериментальный закон. Этот закон, когда я его знаю, может быть представлен кривой. Я делаю определенное число изолированных наблюдений; каждое из них будет представлено точкой. Когда я получил эти различные точки, я провожу кривую между ними, стремясь пройти как можно ближе к ним и в то же время сохранить для моей кривой правильную форму, без угловых точек, или слишком акцентированных перегибов, или резкого изменения радиуса кривизны. Эта кривая будет представлять для меня вероятный закон, и я предполагаю не только то, что она подскажет мне значения функции, промежуточные между теми, которые были наблюдаемы, но также и то, что она даст мне наблюдаемые значения более точно, чем прямое наблюдение. Вот почему я заставляю ее проходить вблизи точек, а не через сами точки.

Вот задача о вероятности причин. Эффекты — это измерения, которые я записал; они зависят от комбинации двух причин: истинного закона явления и ошибок наблюдения. Зная эффекты, мы должны искать вероятность того, что явление подчиняется тому или иному закону и что наблюдения были затронуты той или иной ошибкой. Наиболее вероятный закон тогда соответствует проведенной кривой, а наиболее вероятная ошибка наблюдения представлена расстоянием соответствующей точки от этой кривой.

Но задача не имела бы смысла, если бы до какого-либо наблюдения я не составил априорного представления о вероятности того или иного закона и о шансах ошибки, которым я подвержен.

Если мои инструменты хороши (а это я знал до проведения наблюдений), я не позволю моей кривой сильно отклоняться от точек, представляющих грубые измерения. Если они плохи, я могу немного отойти от них, чтобы получить менее извилистую кривую; я пожертвую большим ради регулярности.

Почему же тогда я стремлюсь провести кривую без извилистостей? Это потому, что я считаю априорно закон, представленный непрерывной функцией (или функцией, производные высокого порядка которой малы), более вероятным, чем закон, не удовлетворяющий этим условиям. Без этого убеждения задача, о которой мы говорим, не имела бы смысла; интерполяция была бы невозможна; никакой закон нельзя было бы вывести из конечного числа наблюдений; наука не существовала бы.

Пятьдесят лет назад физики считали, при прочих равных условиях, простой закон более вероятным, чем сложный закон. Они даже ссылались на этот принцип в пользу закона Мариотта против экспериментов Реньо. Сегодня они отказались от этого убеждения; и все же, сколько раз они вынуждены действовать так, как будто они все еще придерживаются его! Как бы то ни было, что остается от этой тенденции, так это вера в непрерывность, и мы только что видели, что если бы эта вера в свою очередь исчезла, экспериментальная наука стала бы невозможной.

VI. Теория ошибок. — Мы таким образом подходим к теории ошибок, которая напрямую связана с проблемой вероятности причин. Здесь снова мы находим эффекты, а именно определенное число расходящихся наблюдений, и мы стремимся угадать причины, которыми являются, с одной стороны, реальное значение измеряемой величины; с другой стороны, ошибка, допущенная в каждом изолированном наблюдении. Необходимо вычислить, какова апостериорно вероятная величина каждой ошибки, и, следовательно, вероятное значение измеряемой величины.

Но, как я только что объяснил, мы не знали бы, как предпринять этот расчет, если бы не допустили априорно, то есть до всякого наблюдения, закон вероятности ошибок. Существует ли закон ошибок?

Закон ошибок, признаваемый всеми вычислителями, — это закон Гаусса, который представлен некоторой трансцендентной кривой, известной под названием «колокол».

Но прежде всего уместно напомнить классическое различие между систематическими и случайными ошибками. Если мы измеряем длину слишком длинным метром, мы всегда будем находить слишком малое число, и будет бесполезно измерять несколько раз; это систематическая ошибка. Если мы измеряем точным метром, мы можем, однако, совершить ошибку; но мы ошибаемся, то слишком много, то слишком мало, и когда мы берем среднее из большого числа измерений, ошибка будет стремиться к уменьшению. Это случайные ошибки.

С самого начала очевидно, что систематические ошибки не могут удовлетворять закону Гаусса; но удовлетворяют ли ему случайные ошибки? Было предпринято большое число доказательств; почти все они — грубые паралогизмы. Тем не менее, мы можем доказать закон Гаусса, исходя из следующих гипотез: допущенная ошибка является результатом большого числа частичных и независимых ошибок; каждая из частичных ошибок очень мала и, кроме того, подчиняется любому закону вероятности, при условии, что вероятность положительной ошибки такая же, как и вероятность равной отрицательной ошибки. Очевидно, что эти условия будут часто, но не всегда выполняться, и мы можем зарезервировать название случайных для ошибок, которые им удовлетворяют.

Мы видим, что метод наименьших квадратов не является законным в каждом случае; в общем, физики относятся к нему с большим недоверием, чем астрономы. Это, несомненно, потому, что последние, помимо систематических ошибок, которым они и физики подвержены в равной степени, должны контролировать чрезвычайно важный источник ошибки, который является полностью случайным; я имею в виду атмосферные волнения. Поэтому очень любопытно слышать, как физик спорит с астрономом о методе наблюдения. Физик, убежденный, что одно хорошее измерение стоит больше, чем много плохих, прежде всего озабочен устранением ценой предосторожностей наименьших систематических ошибок, а астроном говорит ему: «Но так вы можете наблюдать лишь небольшое число звезд; случайные ошибки не исчезнут».

К какому выводу мы должны прийти? Должны ли мы продолжать использовать метод наименьших квадратов? Мы должны различать. Мы устранили все систематические ошибки, которые могли подозревать; мы хорошо знаем, что есть еще другие, но мы не можем их обнаружить; все же необходимо принять решение и принять окончательное значение, которое будет рассматриваться как вероятное значение; и для этого очевидно, что лучше всего сделать — это применить метод Гаусса. Мы только применили практическое правило, относящееся к субъективной вероятности. Больше нечего сказать.

Но мы хотим пойти дальше и утверждать, что не только вероятное значение равно столько-то, но что вероятная ошибка в результате равна столько-то. Это абсолютно незаконно; это было бы верно только в том случае, если бы мы были уверены, что все систематические ошибки устранены, а об этом мы не знаем абсолютно ничего. У нас есть две серии наблюдений; применяя правило наименьших квадратов, мы находим, что вероятная ошибка в первой серии вдвое меньше, чем во второй. Вторая серия может, однако, быть лучше первой, потому что первая, возможно, затронута большой систематической ошибкой. Все, что мы можем сказать, это то, что первая серия, вероятно, лучше второй, поскольку ее случайная ошибка меньше, и у нас нет оснований утверждать, что систематическая ошибка больше для одной из серий, чем для другой, так как наше неведение по этому пункту абсолютно.

VII. Заключения. — В строках, которые предшествуют, я поставил много задач, не решив ни одной из них. И все же я не жалею, что написал их, потому что они, возможно, пригласят читателя поразмышлять над этими деликатными вопросами.

Как бы то ни было, есть определенные пункты, которые кажутся хорошо установленными. Чтобы предпринять любой расчет вероятности, и даже для того, чтобы этот расчет имел какой-либо смысл, необходимо принять в качестве отправной точки гипотезу или соглашение, которое всегда имеет нечто произвольное. В выборе этого соглашения мы можем руководствоваться только принципом достаточного основания. К сожалению, этот принцип очень расплывчат и очень эластичен, и в беглом обзоре, который мы только что сделали, мы видели, как он принимает много различных форм. Форма, под которой мы встречали его чаще всего, — это вера в непрерывность, вера, которую трудно было бы оправдать аподиктическим рассуждением, но без которой вся наука была бы невозможна. Наконец, задачи, к которым исчисление вероятностей может быть применено с пользой, — это те, в которых результат не зависит от гипотезы, сделанной вначале, при условии только, что эта гипотеза удовлетворяет условию непрерывности.

ГЛАВА XII

Оптика и электричество

Теория Френеля. — Лучший пример, который можно выбрать из физики в процессе становления, — это теория света и ее отношения к теории электричества. Благодаря Френелю оптика является наиболее развитой частью физики; так называемая волновая теория образует целое, действительно удовлетворяющее ум. Мы не должны, однако, спрашивать от нее того, что она не может нам дать.

Цель математических теорий — не раскрыть нам истинную природу вещей; это была бы неразумная претензия. Их единственная цель — координировать физические законы, которые открывает нам эксперимент, но которые без помощи математики мы не смогли бы даже сформулировать.

Мало важно, существует ли эфир на самом деле; это дело метафизиков. Существенное для нас то, что все происходит так, как если бы он существовал, и что эта гипотеза удобна для объяснения явлений. В конце концов, есть ли у нас какая-либо другая причина верить в существование материальных объектов? Это тоже лишь удобная гипотеза; только это никогда не перестанет быть таковой, тогда как, несомненно, когда-нибудь эфир будет отброшен как бесполезный. Но даже в тот день законы оптики и уравнения, которые переводят их аналитически, останутся верными, по крайней мере, как первое приближение. Будет всегда полезно, значит, изучать доктрину, которая объединяет все эти уравнения.

Волновая теория опирается на молекулярную гипотезу. Для тех, кто думает, что они таким образом открыли причину под законом, это преимущество. Для других это повод для недоверия. Но это недоверие кажется мне столь же мало оправданным, как и иллюзия первых.

Эти гипотезы играют лишь второстепенную роль. Ими можно было бы пожертвовать. Обычно этого не делают, потому что тогда объяснение потеряло бы в ясности; но это единственная причина.

На самом деле, если бы мы присмотрелись ближе, мы бы увидели, что из молекулярных гипотез заимствованы только две вещи: принцип сохранения энергии и линейная форма уравнений, которая является общим законом малых движений, как и всех малых вариаций.

Это объясняет, почему большинство выводов Френеля остаются неизменными, когда мы принимаем электромагнитную теорию света.

Теория Максвелла. — Максвелл, как мы знаем, связал тесной связью две части физики, до тех пор совершенно чуждые друг другу, — оптику и электричество. Сливаясь таким образом в более обширное целое, в более высокую гармонию, оптика Френеля не перестала быть живой. Ее различные части существуют, и их взаимные отношения все еще те же. Только язык, который мы использовали для их выражения, изменился; и, с другой стороны, Максвелл открыл нам другие отношения, ранее не подозреваемые, между различными частями оптики и областью электричества.

Когда французский читатель впервые открывает книгу Максвелла, чувство беспокойства и часто даже недоверия смешивается поначалу с его восхищением. Только после длительного знакомства и ценой многих усилий это чувство исчезает. Есть даже некоторые выдающиеся умы, которые никогда не теряют его.

Почему идеи английского ученого с таким трудом приживаются среди нас? Это, несомненно, потому, что образование, полученное большинством просвещенных французов, предрасполагает их ценить точность и логику превыше любого другого качества.

Старые теории математической физики давали нам в этом отношении полное удовлетворение. Все наши учителя, от Лапласа до Коши, действовали одним и тем же способом. Исходя из четко сформулированных гипотез, они выводили все их следствия с математической строгостью, а затем сравнивали их с экспериментом. Казалось, их целью было придать каждой ветви физики такую же точность, как небесной механике.

Ум, привыкший восхищаться такими моделями, трудно удовлетворить теорией. Он не только не потерпит малейшего признака противоречия, но и потребует, чтобы различные части были логически связаны друг с другом, а число различных гипотез было сведено к минимуму.

Это не все; у него будут еще другие требования, которые кажутся мне менее разумными. За материей, которой могут достичь наши чувства и о которой говорит нам эксперимент, он пожелает увидеть другую, и в его глазах единственно реальную материю, которая будет иметь только чисто геометрические свойства и чьи атомы будут не чем иным, как математическими точками, подчиняющимися только законам динамики. И все же эти атомы, невидимые и без цвета, он будет стремиться путем бессознательного противоречия представить себе и, следовательно, отождествить как можно ближе с обычной материей.

Только тогда он будет полностью удовлетворен и вообразит, что проник в тайну вселенной. Если это удовлетворение обманчиво, от него тем не менее трудно отказаться.

Таким образом, открывая Максвелла, француз ожидает найти теоретическое целое, столь же логичное и точное, как физическая оптика, основанная на гипотезе эфира; он таким образом готовит себе разочарование, которое я хотел бы избавить читателя, немедленно информируя его о том, что он должен искать у Максвелла и чего он не может там найти.

Максвелл не дает механического объяснения электричества и магнетизма; он ограничивается демонстрацией того, что такое объяснение возможно.

Он показывает также, что оптические явления — это лишь частный случай электромагнитных явлений. Из любой теории электричества можно, следовательно, немедленно вывести теорию света.

Обратное, к сожалению, неверно; из полного объяснения света не всегда легко вывести полное объяснение электрических явлений. Это нелегко, в частности, если мы хотим исходить из теории Френеля. Несомненно, это было бы не невозможно; но тем не менее мы должны спросить, не собираемся ли мы отказаться от замечательных результатов, которые, как мы думали, были окончательно приобретены. Это кажется шагом назад; и многие хорошие умы не желают подчиниться этому.

Когда читатель согласится ограничить свои надежды, он все еще столкнется с другими трудностями. Английский ученый не пытается построить единое здание, окончательное и хорошо упорядоченное; он кажется скорее возводящим большое число временных и независимых конструкций, между которыми связь затруднена, а иногда и невозможна.

Возьмем в качестве примера главу, в которой он объясняет электростатические притяжения давлениями и натяжениями в диэлектрической среде. Эта глава могла бы быть опущена, не делая тем самым остальную часть книги менее ясной или полной; и, с другой стороны, она содержит теорию, полную саму по себе, которую можно было бы понять, не прочитав ни одной строки, которая предшествует или следует за ней. Но она не только независима от остальной работы; ее трудно примирить с фундаментальными идеями книги. Максвелл даже не пытается сделать это примирение; он просто говорит: «Я не смог сделать следующий шаг, а именно, объяснить с помощью механических соображений эти напряжения в диэлектрике».

Этого примера будет достаточно, чтобы сделать мою мысль понятной; я мог бы привести много других. Так, кто заподозрил бы, читая страницы, посвященные магнитному вращательному поляризованному свету, что существует тождество между оптическими и магнитными явлениями?

Не следует тогда льстить себя тем, что можно избежать всякого противоречия; к этому необходимо быть готовым. На самом деле, две противоречивые теории, при условии, что их не смешивают, и если не ищут в них основу вещей, могут обе быть полезными инструментами исследования; и, возможно, чтение Максвелла было бы менее наводящим на размышления, если бы он не открыл перед нами так много новых и расходящихся путей.

Фундаментальная идея, однако, таким образом немного затемнена. Настолько, что в большинстве популяризированных версий это единственный пункт, полностью оставленный в стороне.

Я чувствую тогда, что для того, чтобы лучше подчеркнуть ее важность, я должен объяснить, в чем состоит эта фундаментальная идея. Но для этого необходим короткий экскурс.

Механическое объяснение физических явлений. — В каждом физическом явлении есть определенное число параметров, которых эксперимент достигает напрямую и позволяет нам измерить. Я назову их параметрами q.

Наблюдение затем учит нас законам изменения этих параметров; и эти законы обычно могут быть представлены в форме дифференциальных уравнений, которые связывают параметры q со временем.

Что необходимо сделать, чтобы дать механическую интерпретацию такого явления?

Попытаются объяснить его либо движениями обычной материи, либо движениями одной или нескольких гипотетических жидкостей.

Эти жидкости будут рассматриваться как состоящие из очень большого числа изолированных молекул m.

Когда же мы скажем тогда, что у нас есть полное механическое объяснение явления? Это будет, с одной стороны, когда мы знаем дифференциальные уравнения, удовлетворяемые координатами этих гипотетических молекул m, уравнения, которые, более того, должны соответствовать принципам динамики; и, с другой стороны, когда мы знаем отношения, которые определяют координаты молекул m как функции параметров q, доступных эксперименту.

Эти уравнения, как я сказал, должны соответствовать принципам динамики и, в частности, принципу сохранения энергии и принципу наименьшего действия.

Первый из этих двух принципов учит нас, что полная энергия постоянна и что эта энергия разделена на две части:

1º Кинетическая энергия, или живая сила, которая зависит от масс гипотетических молекул m и их скоростей, и которую я назову T.

2º Потенциальная энергия, которая зависит только от координат этих молекул и которую я назову U. Именно сумма двух энергий T и U является постоянной.

Что теперь говорит нам принцип наименьшего действия? Он говорит нам, что для перехода от начального положения, занимаемого в момент t0, к конечному положению, занимаемому в момент t1, система должна выбрать такой путь, чтобы в интервале времени, который проходит между двумя моментами t0 и t1, среднее значение «действия» (то есть разности между двумя энергиями T и U) было как можно меньше.

Если две функции T и U известны, этого принципа достаточно для определения уравнений движения.

Среди всех возможных способов перехода из одного положения в другое есть, очевидно, один, для которого среднее значение действия меньше, чем для любого другого. Есть, более того, только один; и из этого следует, что принципа наименьшего действия достаточно для определения пройденного пути и, следовательно, уравнений движения.

Таким образом, мы получаем то, что называется уравнениями Лагранжа.

В этих уравнениях независимыми переменными являются координаты гипотетических молекул m; но я теперь предполагаю, что в качестве переменных берутся параметры q, непосредственно доступные эксперименту.

Две части энергии должны тогда быть выражены как функции параметров q и их производных. Они, очевидно, появятся в этой форме экспериментатору. Последний будет естественно пытаться определить потенциальную и кинетическую энергию с помощью величин, которые он может непосредственно наблюдать.

Это допущено, система всегда будет идти из одного положения в другое по пути, такому, что среднее действие будет минимумом.

Мало важно, что T и U теперь выражены с помощью параметров q и их производных; мало важно, что именно с помощью этих параметров мы определяем начальное и конечное положения; принцип наименьшего действия остается всегда верным.

Теперь здесь снова, из всех путей, которые ведут из одного положения в другое, есть один, для которого среднее действие является минимумом, и есть только один. Принципа наименьшего действия достаточно, значит, для определения дифференциальных уравнений, которые определяют изменения параметров q.

Уравнения, полученные таким образом, — это другая форма уравнений Лагранжа.

Чтобы сформировать эти уравнения, нам не нужно знать ни отношений, которые связывают параметры q с координатами гипотетических молекул, ни масс этих молекул, ни выражения U как функции координат этих молекул.

Все, что нам нужно знать, — это выражение U как функции параметров и выражение T как функции параметров q и их производных, то есть выражения кинетической и потенциальной энергии как функций экспериментальных данных.

Тогда у нас будет одно из двух: либо для подходящего выбора функций T и U уравнения Лагранжа, построенные так, как мы только что сказали, будут идентичны дифференциальным уравнениям, выведенным из экспериментов; либо же не будет существовать функций T и U, для которых это согласие имеет место. В последнем случае ясно, что никакое механическое объяснение невозможно.

Необходимым условием для того, чтобы механическое объяснение было возможным, является поэтому то, что мы можем выбрать функции T и U таким образом, чтобы удовлетворить принципу наименьшего действия, который включает в себя принцип сохранения энергии.

Это условие, более того, является достаточным. Предположим, на самом деле, что мы нашли функцию U параметров q, которая представляет одну из частей энергии; что другая часть энергии, которую мы представим через T, является функцией параметров q и их производных, и что она является однородным многочленом второй степени относительно этих производных; и, наконец, что уравнения Лагранжа, сформированные с помощью этих двух функций, T и U, соответствуют данным эксперимента.

Что необходимо для того, чтобы вывести из этого механическое объяснение? Необходимо, чтобы U можно было рассматривать как потенциальную энергию системы, а T — как живую силу той же системы.

Нет никакой трудности относительно U, но может ли T рассматриваться как живая сила материальной системы?

Легко показать, что это всегда возможно, и даже бесконечным числом способов. Я ограничусь ссылкой для более подробной информации на предисловие к моей работе «Électricité et optique».

Таким образом, если принцип наименьшего действия не может быть удовлетворен, никакое механическое объяснение невозможно; если он может быть удовлетворен, существует не только одно, но бесконечное множество, откуда следует, что как только есть одно, есть бесконечное множество других.

Еще одно наблюдение.

Среди величин, которые эксперимент дает нам непосредственно, мы будем рассматривать некоторые как функции координат наших гипотетических молекул; это наши параметры q. Мы будем смотреть на другие как на зависящие не только от координат, но и от скоростей, или, что сводится к тому же, от производных параметров q, или как на комбинации этих параметров и их производных.

И тогда возникает вопрос: среди всех этих величин, измеренных экспериментально, какие мы выберем для представления параметров q? Какие мы предпочтем рассматривать как производные этих параметров? Этот выбор остается произвольным в очень большой степени; но для того, чтобы механическое объяснение было возможным, достаточно, если мы можем сделать выбор таким образом, чтобы согласоваться с принципом наименьшего действия.

И тогда Максвелл спросил себя, может ли он сделать этот выбор и выбор двух энергий T и U таким образом, чтобы электрические явления удовлетворяли этому принципу. Эксперимент показывает нам, что энергия электромагнитного поля разлагается на две части: электростатическую энергию и электродинамическую энергию. Максвелл заметил, что если мы рассматриваем первую как представляющую потенциальную энергию U, вторую — как представляющую кинетическую энергию T; если, более того, электростатические заряды проводников рассматриваются как параметры q, а интенсивности токов — как производные других параметров q; при этих условиях, я говорю, Максвелл заметил, что электрические явления удовлетворяют принципу наименьшего действия. С тех пор он был уверен в возможности механического объяснения.

Если бы он объяснил эту идею в начале своей книги вместо того, чтобы отнести ее к неясной части второго тома, она не ускользнула бы от большинства читателей.

Если, значит, явление допускает полное механическое объяснение, оно будет допускать бесконечное множество других, которые будут давать отчет одинаково хорошо обо всех деталях, выявленных экспериментом.

И это подтверждается историей каждой ветви физики; в оптике, например, Френель считал вибрацию перпендикулярной плоскости поляризации; Нейман рассматривал ее как параллельную этой плоскости. Долго искали «experimentum crucis», который позволил бы нам решить между этими двумя теориями, но он не был найден.

Таким же образом, не покидая области электричества, мы можем убедиться, что теория двух жидкостей и теория одной жидкости обе объясняют одинаково удовлетворительным образом все наблюдаемые законы электростатики.

Все эти факты легко объяснимы благодаря свойствам уравнений Лагранжа, которые я только что напомнил.

Легко теперь понять, в чем заключается фундаментальная идея Максвелла.

Чтобы продемонстрировать возможность механического объяснения электричества, нам не нужно заботиться о поиске этого объяснения самого по себе; нам достаточно знать выражение двух функций T и U, которые являются двумя частями энергии, чтобы сформировать с этими двумя функциями уравнения Лагранжа, а затем сравнить эти уравнения с экспериментальными законами.

Среди всех этих возможных объяснений как сделать выбор, для которого помощь эксперимента нам отказывает? День придет, возможно, когда физики не будут интересоваться этими вопросами, недоступными для позитивных методов, и оставят их метафизикам. Этот день еще не наступил; человек не смиряется так легко с тем, чтобы навсегда оставаться в неведении относительно основы вещей.

Наш выбор может поэтому далее направляться только соображениями, где доля личной оценки очень велика; есть, однако, решения, которые весь мир отвергнет из-за их причудливости, и другие, которые весь мир предпочтет из-за их простоты.

В том, что касается электричества и магнетизма, Максвелл воздерживается от того, чтобы делать какой-либо выбор. Это не потому, что он систематически пренебрегает всем, что недостижимо позитивными методами; время, которое он посвятил кинетической теории газов, достаточно доказывает это. Я добавлю, что если в своей великой работе он не развивает полного объяснения, он ранее пытался дать его в статье в «Philosophical Magazine». Странность и сложность гипотез, которые он был вынужден сделать, привели его впоследствии к тому, чтобы отказаться от этого.

Тот же дух встречается на протяжении всей работы. То, что существенно, то есть то, что должно оставаться общим для всех теорий, сделано заметным; все, что подходило бы только к частной теории, почти всегда обходится молчанием. Таким образом, читатель оказывается в присутствии формы, почти лишенной материи, которую он поначалу склонен принять за мимолетную тень, которую нельзя ухватить. Но усилия, к которым он таким образом приговорен, заставляют его думать, и он заканчивает тем, что понимает, что было часто довольно искусственным в теоретических конструкциях, которыми он ранее только восхищался.

ГЛАВА XIII

Электродинамика

История электродинамики особенно поучительна с нашей точки зрения.

Ампер озаглавил свою бессмертную работу «Théorie des phénomènes électrodynamiques, uniquement fondée sur l'expérience». Он, следовательно, воображал, что не сделал никакой гипотезы, но он сделал их, как мы скоро увидим; только он сделал их, не осознавая этого.

Его преемники, с другой стороны, заметили их, так как их внимание было привлечено слабыми местами в решении Ампера. Они сделали новые гипотезы, в которых на этот раз они были полностью уверены; но сколько раз было необходимо менять их, прежде чем прийти к классической системе сегодняшнего дня, которая, возможно, еще не окончательна; это мы увидим.

I. Теория Ампера. — Когда Ампер изучал экспериментально взаимные действия токов, он оперировал и мог оперировать только с замкнутыми токами.

Это не потому, что он отрицал возможность открытых токов. Если два проводника заряжены положительным и отрицательным электричеством и приведены в сообщение проводом, устанавливается ток, идущий от одного к другому, который продолжается до тех пор, пока два потенциала не станут равными. Согласно идеям времени Ампера, это был открытый ток; было известно, что ток идет от первого проводника ко второму, не было видно, чтобы он возвращался от второго к первому.

Поэтому Ампер рассматривал как открытые токи этого рода, например, токи разряда конденсаторов; но он не мог сделать их объектами своих экспериментов, потому что их длительность слишком коротка.

Другой сорт открытого тока может также быть воображен. Я предполагаю два проводника, A и B, соединенных проводом AMB. Малые проводящие массы в движении сначала приходят в контакт с проводником B, берут от него электрический заряд, оставляют контакт с B и движутся вдоль пути BNA, и, транспортируя с собой свой заряд, приходят в контакт с A и отдают ему свой заряд, который возвращается тогда к B вдоль провода AMB.

Теперь здесь у нас есть в некотором смысле замкнутая цепь, так как электричество описывает замкнутую цепь BNAMB; но две части этого тока очень различны. В проводе AMB электричество перемещается через неподвижный проводник, подобно вольтову току, преодолевая омическое сопротивление и развивая тепло; мы говорим, что оно перемещается путем проводимости. В части BNA электричество переносится движущимся проводником; говорят, что оно перемещается путем конвекции.

Если, таким образом, ток конвекции рассматривать как полностью аналогичный току проводимости, то цепь BNAMB оказывается замкнутой; если же, напротив, ток конвекции не является «истинным током» и, например, не действует на магнит, то остается только ток проводимости AMB, который является разомкнутым.

Например, если мы соединим проводом два полюса машины Хольца, заряженный вращающийся диск перенесет электричество путем конвекции от одного полюса к другому, и оно вернется к первому полюсу путем проводимости через провод.

Однако токи такого рода очень трудно получить со значительной интенсивностью. При средствах, имевшихся в распоряжении Ампера, можно сказать, что это было невозможно.

Подводя итог, Ампер мог допустить существование двух видов разомкнутых токов, но он не мог работать ни с одним из них, поскольку они были недостаточно сильными или их продолжительность была слишком мала.

Поэтому эксперимент мог показать ему только действие замкнутого тока на замкнутый ток или, точнее, действие замкнутого тока на часть тока, поскольку ток можно заставить описывать замкнутую цепь, состоящую из подвижной и неподвижной частей. Тогда становится возможным изучать перемещения подвижной части под действием другого замкнутого тока.

С другой стороны, у Ампера не было средств для изучения действия разомкнутого тока ни на замкнутый ток, ни на другой разомкнутый ток.

1. Случай замкнутых токов. — В случае взаимного действия двух замкнутых токов эксперимент открыл Амперу удивительно простые законы.

Я кратко напомню здесь те из них, которые будут полезны нам в дальнейшем:

1º Если интенсивность токов поддерживается постоянной и если две цепи, претерпев любые деформации и перемещения, в конечном итоге возвращаются в свои исходные положения, то полная работа электродинамических сил будет равна нулю.

Иными словами, существует электродинамический потенциал двух цепей, пропорциональный произведению их интенсивностей и зависящий от формы и относительного расположения цепей; работа электродинамических сил равна изменению этого потенциала.

2º Действие замкнутого соленоида равно нулю.

3º Действие цепи C на другую вольтаическую цепь C´ зависит только от «магнитного поля», создаваемого этой цепью. В каждой точке пространства мы можем фактически определить по величине и направлению некоторую силу, называемую магнитной силой, которая обладает следующими свойствами:

(a) Сила, оказываемая C на магнитный полюс, приложена к этому полюсу и равна магнитной силе, умноженной на магнитную массу этого полюса;

(b) Очень короткая магнитная стрелка стремится принять направление магнитной силы, и пара, к которой она стремится прийти, пропорциональна магнитной силе, магнитному моменту стрелки и синусу угла наклона стрелки;

(c) Если цепь C перемещается, работа электродинамического действия, оказываемого C на C´, будет равна приращению «потока магнитной силы», который проходит через цепь.

2. Действие замкнутого тока на часть тока. — Ампер, не имея возможности создать разомкнутый ток в собственном смысле слова, имел только один способ изучения действия замкнутого тока на часть тока.

Это достигалось путем работы с цепью C, состоящей из двух частей: одной неподвижной, другой подвижной. Подвижной частью был, например, подвижный провод αβ, концы которого α и β могли скользить вдоль неподвижного провода. В одном из положений подвижного провода конец α опирался на точку A неподвижного провода, а конец β — на точку B неподвижного провода. Ток циркулировал от α к β, то есть от A к B вдоль подвижного провода, а затем возвращался от B к A вдоль неподвижного провода. Таким образом, этот ток был замкнутым.

Во втором положении, когда подвижный провод сместился, конец α опирался на другую точку A´ неподвижного провода, а конец β — на другую точку B´ неподвижного провода. Ток циркулировал тогда от α к β, то есть от A´ к B´ вдоль подвижного провода, а затем возвращался от B´ к B, затем от B к A, и, наконец, от A к A´, всегда следуя по неподвижному проводу. Следовательно, ток также был замкнутым.

Если такой ток подвергается действию замкнутого тока C, подвижная часть будет смещаться так, как если бы на нее действовала сила. Ампер предполагает, что кажущаяся сила, которой таким образом подвергается эта подвижная часть AB, представляющая действие C на участок тока αβ, такая же, как если бы αβ был пройден разомкнутым током, останавливающимся в α и β, вместо того чтобы быть пройденным замкнутым током, который после прибытия в β возвращается к α через неподвижную часть цепи.

Эта гипотеза кажется достаточно естественной, и Ампер принял ее бессознательно; тем не менее она не является необходимой, поскольку мы увидим далее, что Гельмгольц ее отверг. Как бы то ни было, она позволила Амперу, хотя он никогда не мог создать разомкнутый ток, сформулировать законы действия замкнутого тока на разомкнутый ток или даже на элемент тока.

Законы просты:

1º Сила, действующая на элемент тока, приложена к этому элементу; она нормальна к элементу и к магнитной силе и пропорциональна той составляющей этой магнитной силы, которая нормальна к элементу.

2º Действие замкнутого соленоида на элемент тока равно нулю.

Но электродинамический потенциал исчез, то есть когда замкнутый ток и разомкнутый ток, интенсивности которых поддерживались постоянными, возвращаются в свои исходные положения, полная работа не равна нулю.

3. Непрерывные вращения. — Среди электродинамических экспериментов наиболее примечательны те, в которых возникают непрерывные вращения и которые иногда называют экспериментами по униполярной индукции. Магнит может вращаться вокруг своей оси; ток проходит сначала через неподвижный провод, входит в магнит через полюс N, например, проходит через половину магнита, выходит через скользящий контакт и снова входит в неподвижный провод.

Тогда магнит начинает вращаться непрерывно, не имея возможности когда-либо достичь равновесия; это эксперимент Фарадея.

Как это возможно? Если бы речь шла о двух цепях неизменной формы, одна из которых C неподвижна, а другая C´ подвижна вокруг оси, то последняя никогда не могла бы совершать непрерывное вращение; на самом деле существует электродинамический потенциал; следовательно, обязательно должно существовать положение равновесия, когда этот потенциал максимален.

Непрерывные вращения возможны, следовательно, только тогда, когда цепь C´ состоит из двух частей: одной неподвижной, другой подвижной вокруг оси, как это имеет место в эксперименте Фарадея. Здесь также удобно провести различие. Переход от неподвижной части к подвижной или наоборот может происходить либо путем простого контакта (одна и та же точка подвижной части постоянно остается в контакте с одной и той же точкой неподвижной части), либо путем скользящего контакта (одна и та же точка подвижной части последовательно входит в контакт с различными точками неподвижной части).

Только во втором случае возможно непрерывное вращение. Вот что тогда происходит: система стремится занять положение равновесия; но, когда она почти достигает этого положения, скользящий контакт приводит подвижную часть в соединение с новой точкой неподвижной части; он меняет соединения, следовательно, меняет условия равновесия, так что положение равновесия, так сказать, ускользает от системы, которая стремится его достичь, и вращение может происходить бесконечно.

Ампер предполагает, что действие цепи на подвижную часть C´ такое же, как если бы неподвижной части C´ не существовало, и, следовательно, как если бы ток, проходящий через подвижную часть, был разомкнутым.

Он заключает поэтому, что действие замкнутого тока на разомкнутый или, наоборот, действие разомкнутого тока на замкнутый может привести к непрерывному вращению.

Но этот вывод зависит от гипотезы, которую я сформулировал и которая, как я сказал выше, не признается Гельмгольцем.

4. Взаимное действие двух разомкнутых токов. — Что касается взаимных действий двух разомкнутых токов, и в частности двух элементов тока, то здесь всякий эксперимент терпит неудачу. Ампер прибегает к гипотезе. Он предполагает:

1º Что взаимное действие двух элементов сводится к силе, действующей вдоль их соединения;

2º Что действие двух замкнутых токов является равнодействующей взаимных действий их различных элементов, которые, кроме того, такие же, как если бы эти элементы были изолированы.

Примечательно то, что здесь Ампер снова делает эти гипотезы бессознательно.

Как бы то ни было, эти две гипотезы вместе с экспериментами над замкнутыми токами достаточны для полного определения закона взаимного действия двух элементов. Но тогда большинство простых законов, с которыми мы сталкивались в случае замкнутых токов, перестают быть верными.

Во-первых, не существует электродинамического потенциала; его не было, как мы видели, и в случае действия замкнутого тока на разомкнутый.

Далее, собственно говоря, не существует магнитной силы.

И, по сути, мы привели выше три различных определения этой силы:

1º По действию на магнитный полюс;

2º По направляющей паре, которая ориентирует магнитную стрелку;

3º По действию на элемент тока.

Но в случае, который нас сейчас занимает, не только эти три определения перестают быть согласованными, но каждое из них потеряло свой смысл, и на самом деле:

1º На магнитный полюс больше не действует просто одна сила, приложенная к этому полюсу. Мы видели, по сути, что сила, обусловленная действием элемента тока на полюс, приложена не к полюсу, а к элементу; ее, кроме того, можно заменить силой, приложенной к полюсу, и парой сил;

2º Пара, действующая на магнитную стрелку, больше не является простой направляющей парой, так как ее момент относительно оси стрелки не равен нулю. Она распадается на направляющую пару, собственно говоря, и дополнительную пару, которая стремится вызвать непрерывное вращение, о котором мы говорили выше;

3º Наконец, сила, действующая на элемент тока, не нормальна к этому элементу.

Иными словами, единство магнитной силы исчезло.

Посмотрим, в чем состоит это единство. Две системы, которые оказывают одинаковое действие на магнитный полюс, будут оказывать также одинаковое действие на бесконечно малую магнитную стрелку или на элемент тока, помещенный в ту же точку пространства, что и этот полюс.

Что ж, это верно, если эти две системы содержат только замкнутые токи; это перестало бы быть верным, если бы эти две системы содержали разомкнутые токи.

Достаточно заметить, например, что если магнитный полюс помещен в A, а элемент в B, причем направление элемента совпадает с продолжением отрезка AB, то этот элемент, который не будет оказывать никакого действия на этот полюс, будет, с другой стороны, оказывать действие либо на магнитную стрелку, помещенную в точку A, либо на элемент тока, помещенный в точку A.

5. Индукция. — Мы знаем, что открытие электродинамической индукции вскоре последовало за бессмертной работой Ампера.

Пока речь идет только о замкнутых токах, трудностей нет, и Гельмгольц даже заметил, что принцип сохранения энергии достаточен для вывода законов индукции из электродинамических законов Ампера. Но всегда при одном условии, как хорошо показал Бертран: что мы делаем, кроме того, некоторое количество гипотез.

Тот же принцип снова позволяет сделать этот вывод в случае разомкнутых токов, хотя, конечно, мы не можем подвергнуть результат проверке экспериментом, поскольку не можем создавать такие токи.

Если мы попытаемся применить этот метод анализа к теории разомкнутых токов Ампера, мы придем к результатам, которые могут нас удивить.

Во-первых, индукцию нельзя вывести из изменения магнитного поля по формуле, хорошо известной ученым и практикам, и, по сути, как мы сказали, собственно говоря, магнитного поля больше не существует.

Но, кроме того, если цепь C подвергается индукции переменной вольтаической системы S, если эта система S перемещается и деформируется любым способом, так что интенсивность токов этой системы изменяется по любому закону, но после этих изменений система в конечном итоге возвращается в свое исходное положение, кажется естественным предположить, что средняя электродвижущая сила, индуцированная в цепи C, равна нулю.

Это верно, если цепь C замкнута и если система S содержит только замкнутые токи. Это перестало бы быть верным, если принять теорию Ампера, если бы существовали разомкнутые токи. Так что индукция не только перестанет быть изменением потока магнитной силы в любом из обычных смыслов этого слова, но ее нельзя будет представить изменением чего бы то ни было.

II. Теория Гельмгольца. — Я остановился на следствиях теории Ампера и его метода объяснения разомкнутых токов.

Трудно не заметить парадоксальный и искусственный характер положений, к которым мы таким образом приходим. Нельзя не подумать: «этого не может быть».

Мы понимаем поэтому, почему Гельмгольц был вынужден искать что-то другое.

Гельмгольц отвергает фундаментальную гипотезу Ампера, а именно, что взаимное действие двух элементов тока сводится к силе вдоль их соединения. Он предполагает, что элемент тока подвергается не одной силе, а силе и паре сил. Именно это послужило причиной знаменитой полемики между Бертраном и Гельмгольцем.

Гельмгольц заменяет гипотезу Ампера следующей: два элемента всегда допускают электродинамический потенциал, зависящий исключительно от их положения и ориентации; и работа сил, которые они оказывают друг на друга, равна изменению этого потенциала. Таким образом, Гельмгольц не может обойтись без гипотезы больше, чем Ампер; но, по крайней мере, он не делает ее, не объявив об этом явно.

В случае замкнутых токов, которые одни доступны эксперименту, обе теории согласуются.

Во всех остальных случаях они расходятся.

Во-первых, вопреки тому, что предполагал Ампер, сила, которая, по-видимому, действует на подвижную часть замкнутого тока, не та же самая, что действовала бы на эту подвижную часть, если бы она была изолирована и составляла разомкнутый ток.

Вернемся к цепи C´, о которой мы говорили выше и которая была образована подвижным проводом αβ, скользящим по неподвижному проводу. В единственном эксперименте, который можно провести, подвижная часть αβ не изолирована, а является частью замкнутой цепи. Когда она переходит из AB в A´B´, полный электродинамический потенциал изменяется по двум причинам:

1º Он претерпевает первое увеличение, потому что потенциал A´B´ по отношению к цепи C не тот же, что потенциал AB;

2º Он получает второе приращение, потому что его нужно увеличить на потенциалы элементов AA´, BB´ по отношению к C.

Именно это двойное приращение представляет собой работу силы, которой, по-видимому, подвергается часть AB.

Если бы, напротив, αβ был изолирован, потенциал претерпел бы только первое увеличение, и это первое приращение одно измеряло бы работу силы, действующей на AB.

Во-вторых, не могло бы быть непрерывного вращения без скользящего контакта, и, по сути, это, как мы видели à propos замкнутых токов, является непосредственным следствием существования электродинамического потенциала.

В эксперименте Фарадея, если магнит неподвижен и если часть тока вне магнита проходит вдоль подвижного провода, эта подвижная часть может совершать непрерывное вращение. Но это не означает, что если бы контакты провода с магнитом были устранены и разомкнутый ток проходил бы вдоль провода, провод все равно совершал бы движение непрерывного вращения.

Я только что сказал, по сути, что на изолированный элемент действует не так, как на подвижный элемент, являющийся частью замкнутой цепи.

Другое отличие: действие замкнутого соленоида на замкнутый ток равно нулю согласно эксперименту и согласно обеим теориям. Его действие на разомкнутый ток было бы равно нулю согласно Амперу; оно не было бы равно нулю согласно Гельмгольцу. Из этого следует важное следствие. Мы привели выше три определения магнитной силы. Третье здесь не имеет смысла, поскольку на элемент тока больше не действует одна сила. Первое также не имеет смысла. Что, по сути, такое магнитный полюс? Это конец бесконечного линейного магнита. Этот магнит можно заменить бесконечным соленоидом. Чтобы определение магнитной силы имело какой-то смысл, необходимо, чтобы действие, оказываемое разомкнутым током на бесконечный соленоид, зависело только от положения конца этого соленоида, то есть чтобы действие на замкнутый соленоид было равно нулю. Но мы только что видели, что это не так.

С другой стороны, ничто не мешает нам принять второе определение, которое основано на измерении направляющей пары, стремящейся ориентировать магнитную стрелку.

Но если оно принято, ни эффекты индукции, ни электродинамические эффекты не будут зависеть исключительно от распределения силовых линий в этом магнитном поле.

III. Трудности, вызванные этими теориями. — Теория Гельмгольца опережает теорию Ампера; необходимо, однако, чтобы все трудности были устранены. И в той, и в другой фраза «магнитное поле» не имеет смысла, или, если мы придадим ей смысл с помощью более или менее искусственной конвенции, обычные законы, столь знакомые всем электрикам, перестают применяться; так, электродвижущая сила, индуцированная в проводе, больше не измеряется числом силовых линий, пересекаемых этим проводом.

И наше отвращение проистекает не только из трудности отказа от закоренелых привычек языка и мышления. Есть нечто большее. Если мы не верим в действие на расстоянии, электродинамические явления должны объясняться модификацией среды. Именно эту модификацию мы называем «магнитным полем». И тогда электродинамические эффекты должны зависеть только от этого поля.

Все эти трудности возникают из гипотезы разомкнутых токов.

IV. Теория Максвелла. — Таковы были трудности, вызванные доминирующими теориями, когда появился Максвелл, который одним росчерком пера заставил их все исчезнуть. По его мнению, по сути, все токи являются замкнутыми токами. Максвелл предполагает, что если в диэлектрике электрическое поле начинает изменяться, этот диэлектрик становится местом особого явления, действующего на гальванометр как ток, и который он называет током смещения.

Если тогда два проводника, несущие противоположные заряды, приводятся в соединение проводом, в этом проводе во время разряда существует разомкнутый ток проводимости; но в то же время в окружающем диэлектрике возникают токи смещения, которые замыкают этот ток проводимости.

Мы знаем, что теория Максвелла приводит к объяснению оптических явлений, которые были бы обусловлены чрезвычайно быстрыми электрическими колебаниями.

В ту эпоху такая концепция была лишь смелой гипотезой, которая не могла быть подтверждена никаким экспериментом.

Спустя двадцать лет идеи Максвелла получили экспериментальное подтверждение. Герцу удалось создать системы электрических колебаний, которые воспроизводят все свойства света и отличаются от него только длиной волны; то есть так же, как фиолетовый отличается от красного. В некоторой мере он совершил синтез света.

Можно было бы сказать, что Герц не продемонстрировал прямо фундаментальную идею Максвелла — действие тока смещения на гальванометр. Это верно в некотором смысле. Что он показал в итоге, так это то, что электромагнитная индукция распространяется не мгновенно, как предполагалось, а со скоростью света.

Но предполагать, что тока смещения нет, а индукция распространяется со скоростью света, или предполагать, что токи смещения производят эффекты индукции, а индукция распространяется мгновенно, — это одно и то же.

Этого нельзя увидеть с первого взгляда, но это доказано анализом, о приведении здесь даже краткого изложения которого я не могу и думать.

V. Эксперимент Роуланда. — Но, как я сказал выше, существуют два вида разомкнутых токов проводимости. Во-первых, это токи разряда конденсатора или любого проводника.

Существуют также случаи, в которых электрические разряды описывают замкнутый контур, перемещаясь путем проводимости в одной части цепи и путем конвекции в другой части.

Для разомкнутых токов первого рода вопрос можно было считать решенным; они замыкались токами смещения.

Для разомкнутых токов второго рода решение казалось еще более простым. Казалось, что если ток и был замкнут, то только самим током конвекции. Для этого достаточно было предположить, что «ток конвекции», то есть заряженный проводник в движении, может действовать на гальванометр.

Но экспериментального подтверждения не хватало. Казалось трудным, по сути, получить достаточную интенсивность, даже максимально увеличивая заряд и скорость проводников. Именно Роуланд, чрезвычайно искусный экспериментатор, первым преодолел эти трудности. Диск получил сильный электростатический заряд и очень большую скорость вращения. Астатическая магнитная система, помещенная рядом с диском, претерпела отклонения.

Эксперимент был проведен Роуландом дважды: один раз в Берлине, другой раз в Балтиморе. Позже он был повторен Химштедтом. Эти физики даже объявили, что им удалось провести количественные измерения.

Фактически, в течение двадцати лет закон Роуланда принимался без возражений всеми физиками. Кроме того, все, казалось, подтверждало его. Искра, безусловно, производит магнитный эффект. Но не кажется ли вероятным, что разряд искрой обусловлен частицами, взятыми с одного из электродов и перенесенными на другой электрод вместе с их зарядом? Не является ли сам спектр искры, в котором мы узнаем линии металла электрода, доказательством этого? Искра тогда была бы настоящим током конвекции.

С другой стороны, также признается, что в электролите электричество переносится ионами в движении. Ток в электролите был бы, следовательно, также током конвекции; теперь он действует на магнитную стрелку.

То же самое для катодных лучей. Крукс приписывал эти лучи очень тонкой материи, заряженной электричеством и движущейся с очень большой скоростью. Он рассматривал их, иными словами, как токи конвекции. Теперь эти катодные лучи отклоняются магнитом. В силу принципа действия и противодействия они должны, в свою очередь, отклонять магнитную стрелку. Правда, Герц считал, что продемонстрировал, что катодные лучи не несут электричества и не действуют на магнитную стрелку. Но Герц ошибался. Прежде всего, Перрену удалось собрать электричество, переносимое этими лучами, электричество, существование которого Герц отрицал; немецкий ученый, по-видимому, был введен в заблуждение эффектами, обусловленными действием рентгеновских лучей, которые еще не были открыты. Впоследствии, и совсем недавно, действие катодных лучей на магнитную стрелку было доказано.

Таким образом, все эти явления, рассматриваемые как токи конвекции, искры, электролитические токи, катодные лучи, действуют одинаковым образом на гальванометр и в соответствии с законом Роуланда.

VI. Теория Лоренца. — Вскоре мы пошли дальше. Согласно теории Лоренца, сами токи проводимости были бы настоящими токами конвекции. Электричество оставалось бы неразрывно связанным с определенными материальными частицами, называемыми электронами. Циркуляция этих электронов через тела создавала бы вольтаические токи. И то, что отличало бы проводники от изоляторов, заключалось бы в том, что через одни могли бы проходить эти электроны, в то время как другие останавливали бы их движение.

Теория Лоренца очень привлекательна. Она дает очень простое объяснение некоторых явлений, которые более ранние теории, даже теория Максвелла в ее первоначальном виде, не могли объяснить удовлетворительным образом; например, аберрация света, частичное увлечение световых волн, магнитная поляризация и эффект Зеемана.

Некоторые возражения все еще оставались. Явления электрической системы, казалось, зависели от абсолютной скорости поступательного движения центра тяжести этой системы, что противоречит идее, которую мы имеем о относительности пространства. При поддержке М. Кремье М. Липпман представил это возражение в поразительной форме. Представьте себе два заряженных проводника с одинаковой скоростью поступательного движения; они относительно неподвижны. Однако, каждый из них будучи эквивалентным току конвекции, они должны были бы притягиваться друг к другу, и, измеряя это притяжение, мы могли бы измерить их абсолютную скорость.

«Нет!» — ответили сторонники Лоренца. — «То, что мы могли бы измерить таким образом, — это не их абсолютная скорость, а их относительная скорость по отношению к эфиру, так что принцип относительности в безопасности».

Что бы ни было в этих последних возражениях, здание электродинамики, по крайней мере в своих общих чертах, казалось окончательно построенным. Все было представлено в самом удовлетворительном виде. Теории Ампера и Гельмгольца, созданные для разомкнутых токов, которых больше не существовало, казалось, больше не имели ничего, кроме чисто исторического интереса, и неразрешимые сложности, к которым приводили эти теории, были почти забыты.

Это спокойствие было недавно нарушено экспериментами М. Кремье, которые на мгновение, казалось, противоречили результату, ранее полученному Роуландом.

Но новые исследования не подтвердили их, и теория Лоренца победоносно выдержала испытание.

История этих вариаций будет не менее поучительной; она научит нас, каким ловушкам подвергается ученый и как он может надеяться избежать их.

ЦЕННОСТЬ НАУКИ

ВВЕДЕНИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

1. Создает ли ученый науку? — Профессор Радош из Будапешта в своем докладе Венгерской академии наук о присуждении Пуанкаре премии Бойяи в десять тысяч крон, говоря о нем как о бесспорно самом мощном исследователе в области математики и математической физики, охарактеризовал его как интуитивного гения, черпающего вдохновение для своих широкомасштабных исследований из неисчерпаемого источника геометрической и физической интуиции, но прорабатывающего это вдохновение в деталях с поразительной логической остротой. С его блестящим творческим гением сочеталась способность к резкому и успешному обобщению, раздвигающему границы мысли в самых разных областях, так что его работы должны быть отнесены к величайшим математическим достижениям всех времен. «Наконец, — говорит Радош, — позвольте мне особо упомянуть его чрезвычайно интересную книгу «Ценность науки», в которой он в некотором роде изложил кредо ученого». Итак, что же это за кредо?

Чувство может действовать как стимул, как нечто наводящее на мысль, но не для того, чтобы пробудить дремлющее изображение или вызвать концепцию архетипической формы, а скорее для того, чтобы пробить час для творчества, призвать к работе скульптора, способного выточить Венеру Милосскую из бесформенной глины. Знание не является даром голого опыта, и оно не сделано исключительно из опыта. Творческая активность ума в математике особенно ясна. Аксиомы геометрии — это конвенции, замаскированные определения или недоказуемые гипотезы, заранее созданные самоактивными животными и человеческими умами. Бертран Рассел говорит о проективной геометрии: «Она ничего не берет из опыта и имеет, подобно арифметике, объектом своего изучения творение чистого интеллекта. Она имеет дело с объектом, свойства которого логически выведены из его определения, а не эмпирически обнаружены из данных». Создает ли тогда ученый науку? Это вопрос, который Пуанкаре здесь препарирует мастерской рукой.

Физиолого-психологическое исследование проблемы пространства должно дать значение слов «геометрический факт», «геометрическая реальность». Пуанкаре здесь подвергает самому успешному анализу, который когда-либо делался, трехмерность нашего пространства.

2. Ум, рассеивающий оптические иллюзии. — Фактическое восприятие пространственных свойств сопровождается движениями, соответствующими его характеру. В случае оптических иллюзий, с так называемыми ложными восприятиями, тесно связаны движения глаз. Но хотя воспринимаемый объект и его окружение остаются постоянными, достаточно мощный ум может, как мы говорим, рассеять эти иллюзии, при этом само восприятие творчески меняется. Фотографии, сделанные с интервалами во время присутствия этих оптических иллюзий, во время изменения, возможно, постепенного и бессознательного, в восприятии, и после того, как эти иллюзии, как говорится, окончательно исчезли, показывают совершенно ясно, что изменения в движениях глаз, соответствующие тем, что внутренне созданы в самом восприятии, происходят последовательно. То, что называется точностью движения, создается тем, что называется правильностью восприятия. Высшее творчество в восприятии является определяющей причиной улучшения, точности в движении. Таким образом, мы видим, как правильное восприятие у индивида помогает создать ту церебральную организацию и точную моторную настройку, от которых, по-видимому, в такой степени зависят его возможность и постоянство. Так называемое правильное восприятие связано с длительным процессом перцептивного образования, мотивированным и инициированным изнутри. Как это может происходить, здесь подробно иллюстрируется нашим автором.

3. Евклид не обязателен. — Геометрия — это конструкция интеллекта, в применении не достоверная, но удобная. Как говорит Шиллер, когда мы видим эти факты так же ясно, как развитие метагеометрии заставило нас их видеть, мы должны, безусловно, признать, что кантовское описание пространства безнадежно и доказуемо устарело. Как говорит Ройс в «Доктрине Канта об основании математики»: «Само использование интуиции, которое Кант считал геометрически идеальным, современный геометр считает научно дефектным, потому что суррогатным. Никакой математической точности без явного доказательства из принятых принципов — таков девиз современного геометра. Но предположим, что рассуждения Евклида очищены от этого сравнительно суррогатного обращения к интуиции. Предположим, что принципы геометрии сделаны совершенно явными в самом начале трактата, как Пьери и Гильберт или профессор Хэлстед или доктор Веблен делает свои принципы явными в своей недавней трактовке геометрии. Тогда, действительно, геометрия становится для современного математика чисто рациональной наукой. Но очень немногие исследователи логики математики в настоящее время могут увидеть какое-либо основание в анализе геометрической истины для того, чтобы рассматривать именно евклидову систему принципов как обладающую какой-либо обнаруживаемой необходимостью». Тем не менее, экологические и, возможно, наследственные премии Евклиду все еще заставляют даже ученого считать Евклида наиболее удобным.

4. Без гипотез нет науки. — Никто никогда не наблюдал равноудаленную линию, но также никто никогда не наблюдал прямую линию. Уриэль Эмерсона

«Высказал свое божественное мнение Против бытия линии. Линии в Природе не найти».

Ясно, что нет, будучи выбросом из человеческого ума. То, что называется «знанием фактов», обычно является лишь субъективным осознанием того, что старые гипотезы все еще достаточно эластичны, чтобы служить в какой-то области; то есть с достаточным количеством сознательных или бессознательных упущений, подтасовок и фальсификаций, более или менее преднамеренных. В настоящей книге мы видим, как самые фундаментальные камни науки, сохранение энергии и неразрушимость материи, бьются о прутья своих клеток, по-видимому, стремясь улететь в эмпиреи, чтобы преследовать некогда божественный постулат о параллельных, вырвавшийся из Евклида и Канта.

5. Какой результат? — Каков теперь определенный, постоянный результат? Какие новые островки поднимают свои перистые пальмы в воздухе в музыкальной области мысли? Над какими поседевшими от времени барьерами поднимаются ароматные потоки этого нового весеннего прилива, благоухающие лесом Трансильвании, где бродят волки, далекой погружающейся рекой Эрдели, горьким Марошем или широкой матушкой Волгой у Казани? Какая победа возвестила о великой ракете, за которую юный Лобачевский, сын вдовы, был брошен в тюрьму? Какое разрывание вековых ментальных оков символизировало то, что юный Бойяи своим дамасским клинком срезал шипы, вбитые в его дверной косяк, и разбросал по дерну тринадцать австрийских кавалерийских офицеров? Эта книга величайшего математика нашего времени дает самый весомый и самый очаровательный ответ.

Джордж Брюс Хэлстед.

ВВЕДЕНИЕ

Поиск истины должен быть целью нашей деятельности; это единственная цель, достойная ее. Несомненно, мы должны сначала направить наши усилия на облегчение человеческих страданий, но зачем? Не страдать — это негативный идеал, более верно достигаемый уничтожением мира. Если мы хотим все больше и больше освобождать человека от материальных забот, то это для того, чтобы он мог использовать полученную свободу в изучении и созерцании истины.

Но иногда истина пугает нас. И, по сути, мы знаем, что она иногда обманчива, что это призрак, никогда не показывающийся ни на мгновение, кроме как для того, чтобы непрестанно бежать, что ее нужно преследовать все дальше и дальше, так и не достигнув. И все же, чтобы работать, нужно остановиться, как сказал какой-то грек, Аристотель или другой. Мы также знаем, как часто жестока истина, и мы задаемся вопросом, не является ли иллюзия более утешительной, да, даже более бодрящей, ибо именно иллюзия дает уверенность. Когда она исчезнет, останется ли надежда и хватит ли у нас мужества достичь цели? Разве не отказался бы идти конь, запряженный в беговую дорожку, если бы его глаза не были завязаны? А затем, чтобы искать истину, необходимо быть независимым, полностью независимым. Если, напротив, мы хотим действовать, быть сильными, мы должны быть едины. Вот почему многие из нас боятся истины; мы считаем ее причиной слабости. И все же истины не следует бояться, ибо только она прекрасна.

Когда я говорю здесь об истине, я, безусловно, имею в виду прежде всего научную истину; но я также имею в виду моральную истину, аспектом которой является то, что мы называем справедливостью. Может показаться, что я злоупотребляю словами, что я объединяю таким образом под одним именем две вещи, не имеющие ничего общего; что научная истина, которая доказана, никоим образом не может быть уподоблена моральной истине, которая чувствуется. И все же я не могу отделить их, и всякий, кто любит одну, не может не любить другую. Чтобы найти одну, так же как и найти другую, необходимо полностью освободить душу от предрассудков и страстей; необходимо достичь абсолютной искренности. Эти два вида истины, будучи обнаруженными, приносят одинаковую радость; каждая при восприятии сияет тем же великолепием, так что мы должны видеть ее или закрыть глаза. Наконец, обе привлекают нас и бегут от нас; они никогда не фиксированы: когда мы думаем, что достигли их, мы обнаруживаем, что нам все еще нужно продвигаться, и тот, кто преследует их, обречен никогда не знать покоя. Нужно добавить, что те, кто боится одной, будут бояться и другой; ибо это те, кто во всем заботится прежде всего о последствиях. Одним словом, я уподобляю две истины, потому что одни и те же причины заставляют нас любить их и потому что одни и те же причины заставляют нас бояться их.

Если мы не должны бояться моральной истины, тем более мы не должны страшиться научной истины. Во-первых, она не может конфликтовать с этикой. Этика и наука имеют свои собственные области, которые соприкасаются, но не проникают друг в друга. Одна показывает нам, к какой цели мы должны стремиться, другая, при заданной цели, учит нас, как ее достичь. Поэтому они никогда не могут конфликтовать, так как никогда не могут встретиться. Не может быть более безнравственной науки, чем может быть научная мораль.

Но если науки боятся, то прежде всего потому, что она не может дать нам счастья. Конечно, не может. Мы можем даже спросить, не страдает ли зверь меньше, чем человек. Но можем ли мы сожалеть о том земном рае, где человек, подобно животному, был поистине бессмертен, не зная, что должен умереть? Когда мы вкусили яблоко, никакое страдание не заставит нас забыть его вкус. Мы всегда возвращаемся к нему. Могло ли быть иначе? Так же хорошо спросить, не будет ли тосковать по свету тот, кто видел, а теперь слеп. Человек, таким образом, не может быть счастлив через науку, но сегодня он может гораздо меньше быть счастлив без нее.

Но если истина — единственная цель, достойная преследования, можем ли мы надеяться достичь ее? В этом вполне можно усомниться. Читатели моей маленькой книги «Наука и гипотеза» уже знают, что я думаю по этому вопросу. Истина, которую нам позволено увидеть, — это не совсем то, что большинство людей называют этим именем. Означает ли это, что наше самое законное, самое императивное стремление является в то же время самым тщетным? Или мы можем, несмотря ни на что, приблизиться к истине с какой-то стороны? Это то, что должно быть исследовано.

Во-первых, какой инструмент есть в нашем распоряжении для этого завоевания? Не является ли человеческий интеллект, более конкретно интеллект ученого, восприимчивым к бесконечным вариациям? Можно было бы написать тома, не исчерпав этой темы; я же на нескольких кратких страницах лишь слегка коснулся ее. Что ум геометра не похож на ум физика или натуралиста, согласился бы весь мир; но математики сами по себе не похожи друг на друга; одни признают только беспощадную логику, другие апеллируют к интуиции и видят в ней единственный источник открытия. И это было бы причиной для недоверия. Могут ли математические теоремы предстать в одном и том же свете перед столь непохожими умами? Истина, которая не одна и та же для всех, — истина ли это? Но присмотревшись к вещам ближе, мы видим, как эти очень разные работники сотрудничают в общем деле, которое не могло бы быть достигнуто без их кооперации. И это уже успокаивает нас.

Далее должны быть исследованы рамки, в которые природа, кажется, заключена и которые называются временем и пространством. В «Науке и гипотезе» я уже показал, насколько относительна их ценность; не природа навязывает их нам, это мы навязываем их природе, потому что находим их удобными. Но я говорил едва ли о чем-то большем, чем пространство, и особенно количественное пространство, так сказать, то есть о математических отношениях, совокупность которых составляет геометрию. Я должен был показать, что то же самое с временем, что и с пространством, и все то же самое с «качественным пространством»; в частности, я должен был исследовать, почему мы приписываем пространству три измерения. Мне можно простить, таким образом, возвращение к этим важным вопросам.

Является ли тогда математический анализ, чьей главной целью является изучение этих пустых рамок, лишь пустой игрой ума? Он может дать физику только удобный язык; не является ли это посредственной услугой, без которой, строго говоря, можно было бы обойтись; и даже не следует ли опасаться, что этот искусственный язык может быть завесой, простертой между реальностью и глазом физика? Далеко от этого; без этого языка большинство интимных аналогий вещей навсегда остались бы нам неизвестны; и мы навсегда остались бы в неведении относительно внутренней гармонии мира, которая, как мы увидим, является единственной истинной объективной реальностью.

Лучшим выражением этой гармонии является закон. Закон — одно из самых недавних завоеваний человеческого ума; все еще есть люди, которые живут в присутствии постоянного чуда и не удивляются ему. Напротив, именно мы должны удивляться регулярности природы. Люди требуют от своих богов доказать свое существование чудесами; но вечное чудо в том, что чудеса не происходят непрестанно. Мир божественен, потому что он — гармония. Если бы им правил каприз, что могло бы доказать нам, что им не правит случай?

Этим завоеванием закона мы обязаны астрономии, и именно это составляет величие науки, а не материальное величие объектов, которые она рассматривает. Было совершенно естественно, таким образом, что небесная механика стала первой моделью математической физики; но с тех пор эта наука развилась; она все еще развивается, даже быстро развивается. И уже необходимо изменить в некоторых пунктах схему, из которой я извлек две главы «Науки и гипотезы». В докладе на выставке в Сент-Луисе я стремился обозреть пройденный путь; результат этого исследования читатель увидит далее.

Прогресс науки, казалось, поставил под угрозу самые устоявшиеся принципы, даже те, которые считались фундаментальными. И все же ничто не показывает, что они не будут спасены; и если это произойдет лишь несовершенно, они все равно будут существовать, даже если они будут изменены. Продвижение науки сравнимо не с изменениями города, где старые здания безжалостно сносятся, чтобы уступить место новым, а с непрерывной эволюцией зоологических типов, которые развиваются непрестанно и в конечном итоге становятся неузнаваемыми для обычного взгляда, но где экспертный глаз всегда находит следы предшествующей работы прошлых столетий. Не следует думать тогда, что старомодные теории были бесплодными и тщетными.

Если бы мы остановились на этом, мы нашли бы на этих страницах некоторые основания для доверия к ценности науки, но гораздо больше — для недоверия к ней; осталось бы впечатление сомнения; теперь необходимо все расставить по своим местам.

Некоторые люди преувеличили роль условности в науке; они дошли даже до утверждения, что закон, что сам научный факт создается ученым. Это слишком далеко заходит в сторону номинализма. Нет, научные законы не являются искусственными созданиями; у нас нет оснований считать их случайными, хотя невозможно доказать обратное.

Существует ли гармония, которую человеческий разум, как ему кажется, обнаруживает в природе, вне этого разума? Нет, вне всякого сомнения, реальность, полностью независимая от сознания, которое ее постигает, видит или чувствует, — это невозможность. Столь внешний мир, даже если бы он существовал, был бы для нас навсегда недоступен. Но то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что является общим для многих мыслящих существ и могло бы быть общим для всех; эта общая часть, как мы увидим, может быть только гармонией, выраженной математическими законами. Именно эта гармония и есть единственная объективная реальность, единственная истина, которую мы можем достичь; и когда я добавляю, что всеобщая гармония мира является источником всей красоты, станет понятно, какую цену мы должны придавать медленному и трудному прогрессу, который мало-помалу позволяет нам познавать ее лучше.

ЧАСТЬ I МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ГЛАВА I

Интуиция и логика в математике

I

Невозможно изучать труды великих математиков, или даже тех, кто менее значителен, не замечая и не различая две противоположные тенденции, или, скорее, два совершенно разных типа ума. Одни прежде всего озабочены логикой; читая их работы, искушаешься поверить, что они продвигались только шаг за шагом, на манер Вобана, который ведет свои траншеи против осажденной крепости, не оставляя ничего на волю случая. Другие руководствуются интуицией и с первого же удара совершают быстрые, но порой ненадежные завоевания, подобно отважным кавалеристам передового отряда.

Метод не навязывается предметом исследования. Хотя о первых часто говорят, что они «аналитики», а других называют «геометрами», это не мешает первым оставаться аналитиками, даже когда они работают над геометрией, в то время как вторые остаются геометрами, даже когда занимаются чистым анализом. Именно сама природа их ума делает их логиками или интуитивистами, и они не могут отбросить ее, когда приступают к новому предмету.

И не образование развило в них одну из двух тенденций и подавило другую. Математиками рождаются, а не становятся, и, кажется, рождаются геометрами или аналитиками. Я хотел бы привести примеры, и их, безусловно, предостаточно; но чтобы подчеркнуть контраст, я начну с крайнего примера, взяв на себя смелость поискать его у двух ныне живущих математиков.

Г-н Мера хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоря обычными словами, что угол всегда можно разделить. Если и есть истина, которую мы, как нам кажется, знаем благодаря прямой интуиции, то это она. Кто может сомневаться в том, что угол всегда можно разделить на любое число равных частей? Г-н Мера смотрит на это иначе; в его глазах это положение вовсе не очевидно, и для его доказательства ему требуется несколько страниц.

С другой стороны, посмотрите на профессора Клейна: он изучает один из самых абстрактных вопросов теории функций — определить, существует ли всегда на данной римановой поверхности функция, допускающая заданные особенности. Что делает знаменитый немецкий геометр? Он заменяет свою риманову поверхность металлической поверхностью, электрическая проводимость которой меняется по определенным законам. Он соединяет две ее точки с двумя полюсами батареи. Ток, говорит он, должен пройти, и распределение этого тока на поверхности определит функцию, особенности которой будут в точности такими, как того требует условие.

Несомненно, профессор Клейн хорошо знает, что дал здесь лишь набросок; тем не менее он не побоялся его опубликовать; и он, вероятно, считает, что находит в нем, если не строгое доказательство, то по крайней мере своего рода моральную уверенность. Логик отверг бы с ужасом такую концепцию, или, вернее, ему не пришлось бы ее отвергать, потому что в его уме она никогда бы не возникла.

Опять же, позвольте мне сравнить двух людей, гордость французской науки, которые недавно покинули нас, но оба давно вошли в бессмертие. Я говорю о г-не Бертране и г-не Эрмите. Они были учениками одной школы в одно и то же время; они получили одинаковое образование, находились под одинаковым влиянием; и все же какая разница! Она проявляется не только в их трудах; она в их преподавании, в их манере говорить, в самом их взгляде. В памяти всех их учеников эти два лица запечатлены бессмертными чертами; для всех, кто имел удовольствие следовать их преподаванию, это воспоминание еще свежо; нам легко его вызвать.

Во время разговора г-н Бертран всегда в движении; то он кажется сражающимся с каким-то внешним врагом, то жестом руки очерчивает фигуры, которые изучает. Очевидно, он видит и стремится изобразить, вот почему он призывает на помощь жест. У г-на Эрмита все как раз наоборот; его глаза, кажется, избегают контакта с миром; не вовне, а внутри ищет он видение истины.

Среди немецких геометров этого столетия два имени прежде всего прославлены — это имена двух ученых, основавших общую теорию функций: Вейерштрасса и Римана. Вейерштрасс сводит все к рассмотрению рядов и их аналитических преобразований; лучше сказать, он сводит анализ к своего рода продолжению арифметики; вы можете пролистать все его книги, не найдя ни одного чертежа. Риман, напротив, сразу призывает на помощь геометрию; каждая из его концепций — это образ, который никто не может забыть, однажды уловив его смысл.

Совсем недавно Ли был интуитивистом; в этом можно было усомниться, читая его книги, но никто не мог бы усомниться после разговора с ним; вы сразу видели, что он мыслит образами. Мадам Ковалевская была логиком.

Среди наших студентов мы замечаем те же различия; одни предпочитают решать свои задачи «аналитически», другие — «геометрически». Первые неспособны «видеть в пространстве», вторые быстро устают от длинных вычислений и приходят в замешательство.

Оба типа ума одинаково необходимы для прогресса науки; как логики, так и интуитивисты достигли великих вещей, которые другие не смогли бы сделать. Кто осмелился бы сказать, что он предпочел бы, чтобы Вейерштрасс никогда не писал или чтобы никогда не было Римана? Анализ и синтез имеют, таким образом, свои законные роли. Но интересно изучить более пристально в истории науки ту часть, которая принадлежит каждому.

II

Странно! Если мы перечитываем работы древних, мы склонны причислить их всех к интуитивистам. И все же природа всегда одна и та же; вряд ли вероятно, что она начала в этом столетии создавать умы, преданные логике. Если бы мы могли погрузиться в поток идей, господствовавших в их время, мы бы признали, что многие из старых геометров были по своей склонности аналитиками. Евклид, например, воздвиг научное сооружение, в котором его современники не могли найти изъяна. В этой обширной конструкции, каждая часть которой, однако, обязана интуицией, мы можем еще сегодня, без особого труда, распознать работу логика.

Изменились не умы, а идеи; интуитивные умы остались прежними; но их читатели потребовали от них больших уступок.

В чем причина этой эволюции? Ее нетрудно найти. Интуиция не может дать нам строгости, и даже уверенности; это признается все больше и больше. Приведем несколько примеров. Мы знаем, что существуют непрерывные функции, не имеющие производных. Ничто не является более шокирующим для интуиции, чем это положение, которое навязывается нам логикой. Наши отцы не преминули бы сказать: «Очевидно, что каждая непрерывная функция имеет производную, так как каждая кривая имеет касательную».

Как может интуиция обмануть нас в этом пункте? Это потому, что, когда мы стремимся представить себе кривую, мы не можем вообразить ее без ширины; точно так же, когда мы представляем себе прямую линию, мы видим ее в форме прямолинейной полосы определенной ширины. Мы хорошо знаем, что эти линии не имеют ширины; мы пытаемся представить их все более узкими и таким образом приблизиться к пределу; так мы и делаем в известной мере, но мы никогда не достигнем этого предела. И тогда ясно, что мы всегда можем представить эти две узкие полосы, одну прямую, другую кривую, в таком положении, чтобы они слегка перекрывали друг друга, не пересекаясь. Мы будем таким образом приведены, если нас не предупредит строгий анализ, к заключению, что кривая всегда имеет касательную.

Я возьму в качестве второго примера принцип Дирихле, на котором покоится так много теорем математической физики; сегодня мы устанавливаем его с помощью рассуждений очень строгих, но очень длинных; прежде же, напротив, мы довольствовались очень кратким доказательством. Некоторый интеграл, зависящий от произвольной функции, никогда не может обратиться в нуль. Отсюда делается вывод, что он должен иметь минимум. Изъян в этом рассуждении поражает нас немедленно, так как мы используем абстрактный термин «функция» и знакомы со всеми особенностями, которые могут представлять функции, когда слово понимается в самом общем смысле.

Но было бы иначе, если бы мы использовали конкретные образы, если бы, например, мы рассматривали эту функцию как электрический потенциал; считалось бы законным утверждать, что электростатическое равновесие может быть достигнуто. Хотя, возможно, физическое сравнение пробудило бы некоторое смутное недоверие. Но если бы позаботились перевести рассуждение на язык геометрии, промежуточный между языком анализа и языком физики, несомненно, это недоверие не возникло бы, и, возможно, можно было бы таким образом даже сегодня все еще обманывать многих непредупрежденных читателей.

Интуиция, следовательно, не дает нам уверенности. Вот почему эволюция должна была произойти; посмотрим теперь, как она произошла.

Не замедлили заметить, что строгость не может быть введена в рассуждения, если сначала не заставить ее войти в определения. По большей части объекты, рассматриваемые математиками, долгое время были плохо определены; предполагалось, что они известны, поскольку представлены посредством чувств или воображения; но имели лишь грубый образ их, а не точную идею, за которую могло бы ухватиться рассуждение. Именно здесь логики должны были прежде всего направить свои усилия.

Так, в случае несоизмеримых чисел. Смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, относящихся к целым числам.

Этим путем трудности, возникающие при переходе к пределу или при рассмотрении бесконечно малых, окончательно устраняются. Сегодня в анализе остались только целые числа или системы, конечные или бесконечные, целых чисел, связанных сетью отношений равенства или неравенства. Математика, как говорят, арифметизирована.

III

Возникает первый вопрос. Закончена ли эта эволюция? Достигли ли мы наконец абсолютной строгости? На каждом этапе эволюции наши отцы также думали, что достигли ее. Если они обманывались, не обманываемся ли мы точно так же?

Мы верим, что в наших рассуждениях мы больше не апеллируем к интуиции; философы скажут нам, что это иллюзия. Чистая логика никогда не могла бы привести нас ни к чему, кроме тавтологий; она не могла бы создать ничего нового; не из нее одной может исходить какая-либо наука. В одном смысле эти философы правы; чтобы создать арифметику, как и геометрию, или любую науку, необходимо нечто иное, чем чистая логика. Для обозначения этого «чего-то иного» у нас нет другого слова, кроме «интуиция». Но сколько разных идей скрыто под этим же словом?

Сравните эти четыре аксиомы: (1) Две величины, равные третьей, равны между собой; (2) если теорема верна для числа 1 и если мы докажем, что она верна для n + 1, если верна для n, то она будет верна для всех целых чисел; (3) если на прямой точка C находится между A и B, а точка D между A и C, то точка D будет между A и B; (4) через данную точку проходит не более одной параллельной к данной прямой.

Все четыре приписываются интуиции, и все же первая является формулировкой одного из правил формальной логики; вторая — это реальное синтетическое суждение a priori, это фундамент строгой математической индукции; третья — это апелляция к воображению; четвертая — замаскированное определение.

Интуиция не обязательно основана на очевидности чувств; чувства вскоре стали бы бессильны; например, мы не можем представить себе хилиагон, и все же мы рассуждаем интуитивно о многоугольниках в целом, которые включают хилиагон как частный случай.

Вы знаете, что Понселе понимал под «принципом непрерывности». Что верно для вещественной величины, говорил Понселе, должно быть верно для мнимой величины; что верно для гиперболы, чьи асимптоты вещественны, должно быть верно для эллипса, чьи асимптоты мнимы. Понселе был одним из самых интуитивных умов этого столетия; он был страстно, почти демонстративно таковым; он рассматривал принцип непрерывности как одну из своих самых смелых концепций, и все же этот принцип не покоился на очевидности чувств. Уподобить гиперболу эллипсу — это скорее противоречило этой очевидности. Это был лишь своего рода преждевременный и инстинктивный процесс обобщения, который, впрочем, я не имею желания защищать.

У нас есть, таким образом, много видов интуиции; во-первых, апелляция к чувствам и воображению; затем, обобщение путем индукции, скопированное, так сказать, с процедур экспериментальных наук; наконец, у нас есть интуиция чистого числа, откуда возникла вторая из только что сформулированных аксиом, которая способна создавать реальное математическое рассуждение. Я показал выше на примерах, что первые два не могут дать нам уверенности; но кто всерьез усомнится в третьем, кто усомнится в арифметике?

Теперь в анализе сегодняшнего дня, когда заботятся о том, чтобы быть строгими, не может быть ничего, кроме силлогизмов или апелляций к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может нас обмануть. Можно сказать, что сегодня достигнута абсолютная строгость.

IV

Философы выдвигают еще одно возражение: «То, что вы выигрываете в строгости, — говорят они, — вы теряете в объективности. Вы можете подняться к своему логическому идеалу, только разорвав связи, которые привязывают вас к реальности. Ваша наука непогрешима, но она может оставаться таковой, лишь заточив себя в башню из слоновой кости и отказавшись от всякой связи с внешним миром. Из этого уединения она должна выйти, когда попытается сделать малейшее применение».

Например, я стремлюсь показать, что некоторое свойство относится к некоторому объекту, концепция которого кажется мне поначалу неопределимой, потому что она интуитивна. Сначала я терплю неудачу или должен довольствоваться приблизительными доказательствами; наконец, я решаю дать своему объекту точное определение, и это позволяет мне установить это свойство безупречным образом.

«И тогда, — говорят философы, — еще остается показать, что объект, который соответствует этому определению, действительно тот же самый, что стал известен вам благодаря интуиции; или же что какой-то реальный и конкретный объект, соответствие которого вашей интуитивной идее вы, как полагаете, сразу узнаете, соответствует вашему новому определению. Только тогда вы могли бы утверждать, что он обладает рассматриваемым свойством. Вы только переместили трудность».

Это не совсем так; трудность не была перемещена, она была разделена. Положение, которое нужно было установить, в действительности состояло из двух разных истин, поначалу не различавшихся. Первая была математической истиной, и теперь она строго установлена. Вторая была экспериментальной истиной. Только опыт может научить нас, что какой-то реальный и конкретный объект соответствует или не соответствует какому-то абстрактному определению. Эта вторая истина не доказана математически, но она и не может быть таковой, не более, чем эмпирические законы физических и естественных наук. Было бы неразумно требовать большего.

Что ж, разве это не большой прогресс — различить то, что долго ошибочно смешивали? Означает ли это, что от этого возражения философов ничего не осталось? Этого я не намерен говорить; становясь строгой, математическая наука приобретает характер настолько искусственный, что поражает каждого; она забывает свои исторические истоки; мы видим, как можно ответить на вопросы, мы больше не видим, как и почему они ставятся.

Это показывает нам, что логики недостаточно; что наука доказательства — это не вся наука и что интуиция должна сохранить свою роль как дополнение, я готов был сказать — как противовес или как антидот логики.

У меня уже был случай настаивать на месте, которое интуиция должна занимать в преподавании математических наук. Без нее молодые умы не могли бы начать понимать математику; они не могли бы научиться любить ее и видели бы в ней только пустую логомахию; прежде всего, без интуиции они никогда не стали бы способны применять математику. Но теперь я хочу прежде всего говорить о роли интуиции в самой науке. Если она полезна студенту, она еще более полезна ученому-творцу.

V

Мы ищем реальность, но что такое реальность? Физиологи говорят нам, что организмы сформированы из клеток; химики добавляют, что сами клетки сформированы из атомов. Означает ли это, что эти атомы или эти клетки составляют реальность, или, скорее, единственную реальность? То, как эти клетки расположены и из чего проистекает единство индивида, — не является ли это также реальностью, гораздо более интересной, чем реальность изолированных элементов, и должен ли натуралист, который никогда не изучал слона иначе как с помощью микроскопа, считать себя достаточно знакомым с этим животным?

Что ж, в математике есть нечто аналогичное этому. Логик разрезает, так сказать, каждое доказательство на очень большое число элементарных операций; когда мы исследовали эти операции одну за другой и убедились, что каждая верна, должны ли мы думать, что уловили реальный смысл доказательства? Поймем ли мы его даже тогда, когда усилием памяти станем способны повторить это доказательство, воспроизведя все эти элементарные операции в том самом порядке, в каком их расположил изобретатель? Очевидно, нет; мы еще не будем обладать всей реальностью; то «не знаю что», которое составляет единство доказательства, полностью ускользнет от нас.

Чистый анализ предоставляет в наше распоряжение множество процедур, непогрешимость которых он гарантирует; он открывает нам тысячу различных путей, на которые мы можем вступить со всей уверенностью; мы уверены, что не встретим там никаких препятствий; но из всех этих путей какой приведет нас наиболее быстро к нашей цели? Кто скажет нам, какой выбрать? Нам нужна способность, которая заставляет нас видеть цель издалека, и интуиция — это и есть такая способность. Она необходима исследователю для выбора своего маршрута; она не менее необходима тому, кто следует по его следам и хочет знать, почему он его выбрал.

Если вы присутствуете при игре в шахматы, для понимания игры будет недостаточно знать правила перемещения фигур. Это позволит вам лишь распознать, что каждый ход был сделан в соответствии с этими правилами, и это знание действительно будет иметь очень малую ценность. И все же именно это сделал бы читатель книги по математике, если бы он был только логиком. Понимать игру — это совсем другое дело; это значит знать, почему игрок передвигает эту фигуру, а не ту другую, которую он мог бы передвинуть, не нарушая правил игры. Это значит воспринимать внутреннюю причину, которая делает из этой серии последовательных ходов своего рода организованное целое. Эта способность еще более необходима самому игроку, то есть изобретателю.

Оставим это сравнение и вернемся к математике. Например, посмотрите, что произошло с идеей непрерывной функции. Поначалу это был лишь чувственный образ, например, непрерывного следа, оставленного мелом на классной доске. Затем она мало-помалу стала более утонченной; вскоре она была использована для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводила, так сказать, все линии исходного образа; это построение закончено, кружала арки, так сказать, были удалены, то грубое представление, которое временно служило опорой и которое было впоследствии бесполезно, было отвергнуто; осталось только само построение, безупречное в глазах логика. И все же, если бы первоначальный образ полностью исчез из нашего воспоминания, как могли бы мы угадать, по какому капризу все эти неравенства были воздвигнуты таким образом одно на другое?

Возможно, вы думаете, что я использую слишком много сравнений; все же простите еще одно. Вы, несомненно, видели те тонкие скопления кремнистых игл, которые образуют скелет некоторых губок. Когда органическое вещество исчезло, остается только хрупкое и изящное кружево. Правда, там нет ничего, кроме кремнезема, но что интересно, так это форма, которую принял этот кремнезем, и мы не могли бы понять ее, если бы не знали живую губку, которая придала ему именно эту форму. Так и старые интуитивные понятия наших отцов, даже когда мы отказались от них, все еще запечатлевают свою форму на логических конструкциях, которые мы поставили на их место.

Этот взгляд на совокупность необходим изобретателю; он столь же необходим всякому, кто желает действительно понять изобретателя. Может ли логика дать его нам? Нет; названия, которые математики дают ей, было бы достаточно, чтобы доказать это. В математике логика называется «анализом», а анализ означает «деление», «расчленение». Она может иметь, следовательно, не иное орудие, кроме скальпеля и микроскопа.

Таким образом, логика и интуиция имеют каждая свою необходимую роль. Каждая незаменима. Логика, которая одна может дать уверенность, есть инструмент доказательства; интуиция — инструмент изобретения.

VI

Но в момент формулирования этого вывода меня охватывают сомнения. Вначале я различал два вида математических умов: одни — логики и аналитики, другие — интуитивисты и геометры. Что ж, аналитики тоже были изобретателями. Имена, которые я только что привел, делают мое настаивание на этом излишним.

Здесь есть противоречие, по крайней мере кажущееся, которое нуждается в объяснении. И во-первых, думаете ли вы, что эти логики всегда переходили от общего к частному, как того, казалось бы, требуют правила формальной логики? Не так могли бы они расширить границы науки; научное завоевание совершается только путем обобщения.

В одной из глав «Науки и гипотезы» у меня был случай изучить природу математического рассуждения, и я показал, как это рассуждение, не переставая быть абсолютно строгим, могло поднять нас от частного к общему с помощью процедуры, которую я назвал «математической индукцией». Именно с помощью этой процедуры аналитики заставляли науку прогрессировать, и если мы рассмотрим саму деталь их доказательств, мы найдем ее там в каждый момент рядом с классическим силлогизмом Аристотеля. Мы, следовательно, видим уже, что аналитики — это не просто творцы силлогизмов на манер схоластов.

К тому же, думаете ли вы, что они всегда маршировали шаг за шагом без видения цели, которой желали достичь? Они должны были угадать путь, ведущий туда, и для этого им нужен был проводник. Этот проводник — прежде всего аналогия. Например, один из методов доказательства, дорогой аналитикам, — это метод, основанный на использовании доминирующих функций. Мы знаем, что он уже послужил для решения множества задач; в чем же состоит тогда роль изобретателя, который желает применить его к новой задаче? Вначале он должен распознать аналогию этого вопроса с теми, которые уже были решены этим методом; затем он должен уловить, в чем этот новый вопрос отличается от других, и отсюда вывести модификации, необходимые для применения к методу.

Но как воспринимают эти аналогии и эти различия? В только что приведенном примере они почти всегда очевидны, но я мог бы найти другие, где они были бы гораздо глубже скрыты; часто для их обнаружения необходима очень необычная проницательность. Аналитики, чтобы не упустить эти скрытые аналогии, то есть чтобы быть изобретателями, должны, без помощи чувств и воображения, иметь прямое чувство того, что составляет единство доказательства, что составляет, так сказать, его душу и сокровенную жизнь.

Когда разговаривали с г-ном Эрмитом, он никогда не вызывал чувственного образа, и все же вы вскоре замечали, что самые абстрактные сущности были для него как живые существа. Он не видел их, но он чувствовал, что они не являются искусственным скоплением и что они имеют какой-то принцип внутреннего единства.

Но, скажут, это все еще интуиция. Должны ли мы заключить, что различие, сделанное вначале, было лишь кажущимся, что существует только один сорт ума и что все математики — интуитивисты, по крайней мере те, кто способен изобретать?

Нет, наше различие соответствует чему-то реальному. Я сказал выше, что существует много видов интуиции. Я сказал, насколько интуиция чистого числа, откуда происходит строгая математическая индукция, отличается от чувственной интуиции, в которую воображение, собственно говоря, является главным вкладчиком.

Является ли бездна, которая их разделяет, менее глубокой, чем казалось поначалу? Могли бы мы признать с небольшим вниманием, что эта чистая интуиция сама не могла бы обойтись без помощи чувств? Это дело психолога и метафизика, и я не буду обсуждать этот вопрос. Но того, что вещь сомнительна, достаточно, чтобы оправдать меня в признании и утверждении существенного различия между двумя видами интуиции; они не имеют одного и того же объекта и, кажется, приводят в действие две разные способности нашей души; можно было бы подумать о двух прожекторах, направленных на два мира, чуждых друг другу.

Именно интуиция чистого числа, интуиция чистых логических форм, освещает и направляет тех, кого мы назвали «аналитиками». Именно она позволяет им не только доказывать, но и изобретать. С ее помощью они воспринимают с первого взгляда общий план логического здания, и притом без того, чтобы чувства, казалось, вмешивались. Отвергая помощь воображения, которое, как мы видели, не всегда непогрешимо, они могут продвигаться без страха обмануться. Счастливы, следовательно, те, кто может обойтись без этой помощи! Мы должны восхищаться ими; но как они редки!

Среди аналитиков будут, следовательно, изобретатели, но их будет мало. Большинство из нас, если бы мы пожелали видеть вдаль только с помощью чистой интуиции, вскоре почувствовали бы себя охваченными головокружением. Наша слабость нуждается в посохе более твердом, и, несмотря на исключения, о которых мы только что говорили, остается верным, что чувственная интуиция в математике — самый обычный инструмент изобретения.

По поводу этих размышлений возникает вопрос, который у меня нет времени ни решить, ни даже сформулировать с теми развитиями, которые он мог бы допустить. Есть ли место для нового различия, для различения среди аналитиков тех, кто прежде всего использует чистую интуицию, и тех, кто прежде всего озабочен формальной логикой?

Г-н Эрмит, например, которого я только что цитировал, не может быть причислен к геометрам, которые используют чувственную интуицию; но он и не логик, собственно говоря. Он не скрывает своего отвращения к чисто дедуктивным процедурам, которые исходят из общего и заканчиваются в частном.

ГЛАВА II

Измерение времени

I

Пока мы не выходим за пределы области сознания, понятие времени относительно ясно. Мы не только без труда отличаем настоящее ощущение от воспоминания о прошлых ощущениях или предвкушения будущих ощущений, но мы прекрасно знаем, что имеем в виду, когда говорим, что из двух сознательных явлений, которые мы помним, одно было предшествующим другому; или что из двух предвидимых сознательных явлений одно будет предшествовать другому.

Когда мы говорим, что два сознательных факта одновременны, мы имеем в виду, что они глубоко взаимопроникают, так что анализ не может разделить их, не изувечив.

Порядок, в котором мы располагаем сознательные явления, не допускает никакой произвольности. Он навязан нам, и в нем мы не можем ничего изменить.

У меня есть только одно замечание. Чтобы совокупность ощущений стала воспоминанием, способным к классификации во времени, она должна перестать быть актуальной, мы должны потерять чувство ее бесконечной сложности, иначе она осталась бы настоящим. Она должна, так сказать, кристаллизоваться вокруг центра ассоциаций идей, который будет своего рода ярлыком. Только когда они таким образом потеряли всякую жизнь, мы можем классифицировать наши воспоминания во времени, как ботаник расставляет засушенные цветы в своем гербарии.

Но эти ярлыки могут быть только конечными по числу. С этой точки зрения психологическое время должно быть прерывным. Откуда берется чувство, что между любыми двумя моментами есть другие? Мы располагаем наши воспоминания во времени, но мы знаем, что остаются пустые отделения. Как могло бы это быть, если бы время не было формой, предсуществующей в наших умах? Как могли бы мы знать, что есть пустые отделения, если бы эти отделения открывались нам только своим содержанием?

II

Но это еще не все; в эту форму мы хотим поместить не только явления нашего собственного сознания, но и те, театром которых являются другие сознания. Но более того, мы хотим поместить туда физические факты, эти «не знаю что», которыми мы населяем пространство и которые никакое сознание не видит непосредственно. Это необходимо, потому что без этого наука не могла бы существовать. Одним словом, психологическое время дано нам и должно создать научное и физическое время. Здесь начинается трудность, или, вернее, трудности, ибо их две.

Подумайте о двух сознаниях, которые подобны двум мирам, непроницаемым один для другого. По какому праву мы стремимся поместить их в одну и ту же форму, измерить их одним и тем же стандартом? Не похоже ли это на то, как если бы кто-то стремился измерить длину граммом или вес метром? И к тому же, почему мы говорим об измерении? Мы знаем, возможно, что какой-то факт предшествует какому-то другому, но не «насколько» он предшествует.

Следовательно, две трудности: (1) Можем ли мы преобразовать психологическое время, которое качественно, в количественное время? (2) Можем ли мы свести к одной и той же мере факты, которые происходят в разных мирах?

III

Первая трудность давно замечена; она была предметом долгих дискуссий, и можно сказать, что вопрос решен. У нас нет прямой интуиции равенства двух интервалов времени. Люди, которые верят, что обладают этой интуицией, являются жертвами иллюзии. Когда я говорю, что с полудня до часа проходит столько же времени, сколько с двух до трех, какой смысл имеет это утверждение?

Малейшее размышление показывает, что само по себе оно не имеет никакого смысла. Оно будет иметь только тот, который я выберу ему придать, посредством определения, которое, безусловно, будет обладать определенной степенью произвольности. Психологи могли бы обойтись без этого определения; физики и астрономы — нет; посмотрим, как они справились.

Чтобы измерить время, они используют маятник и предполагают по определению, что все колебания этого маятника имеют равную продолжительность. Но это лишь первое приближение; температура, сопротивление воздуха, барометрическое давление заставляют ход маятника меняться. Если бы мы могли избежать этих источников ошибки, мы получили бы гораздо более близкое приближение, но это все равно было бы лишь приближение. Новые причины, до сих пор игнорируемые, электрические, магнитные или другие, ввели бы минутные возмущения.

На самом деле лучшие хронометры должны время от времени корректироваться, и коррекции делаются с помощью астрономических наблюдений; принимаются меры, чтобы звездные часы отмечали тот же час, когда та же звезда проходит меридиан. Другими словами, именно звездный день, то есть продолжительность вращения Земли, является постоянной единицей времени. Предполагается, по новому определению, подставленному вместо того, что основано на колебаниях маятника, что два полных вращения Земли вокруг своей оси имеют одну и ту же продолжительность.

Однако астрономы все еще не довольны этим определением. Многие из них думают, что приливы действуют как тормоз на наш земной шар и что вращение Земли становится все медленнее и медленнее. Этим объяснялось бы кажущееся ускорение движения Луны, которая, казалось бы, движется быстрее, чем позволяет теория, потому что наши часы, которыми является Земля, отстают.

IV

Все это неважно, скажет кто-то; несомненно, наши инструменты измерения несовершенны, но достаточно того, что мы можем вообразить совершенный инструмент. Этот идеал не может быть достигнут, но достаточно того, что мы его вообразили и тем самым внесли строгость в определение единицы времени.

Беда в том, что в определении нет строгости. Когда мы используем маятник для измерения времени, какой постулат мы неявно допускаем? Это то, что продолжительность двух идентичных явлений одна и та же; или, если хотите, что одни и те же причины требуют одного и того же времени для производства одних и тех же следствий.

И на первый взгляд это хорошее определение равенства двух продолжительностей. Но будьте осторожны. Невозможно ли, что опыт когда-нибудь опровергнет наш постулат?

Позвольте мне объясниться. Я предполагаю, что в определенном месте мира происходит явление α, вызывающее как следствие по прошествии определенного времени эффект α'. В другом месте мира, очень далеко от первого, происходит явление β, которое вызывает как следствие эффект β'. Явления α и β одновременны, как и эффекты α' и β'.

Позже явление α воспроизводится при примерно тех же условиях, что и раньше, и одновременно явление β также воспроизводится в очень отдаленном месте мира и почти при тех же обстоятельствах. Эффекты α' и β' также имеют место. Предположим, что эффект α' происходит заметно раньше эффекта β'.

Если бы опыт заставил нас стать свидетелями такого зрелища, наш постулат был бы опровергнут. Ибо опыт сказал бы нам, что первая продолжительность αα' равна первой продолжительности ββ', и что вторая продолжительность αα' меньше второй продолжительности ββ'. С другой стороны, наш постулат потребовал бы, чтобы две продолжительности αα' были равны друг другу, как и две продолжительности ββ'. Равенство и неравенство, выведенные из опыта, были бы несовместимы с двумя равенствами, выведенными из постулата.

Теперь можем ли мы утверждать, что гипотезы, которые я только что сделал, абсурдны? Они ни в коей мере не противоречат принципу противоречия. Несомненно, они не могли бы произойти без того, чтобы принцип достаточного основания казался нарушенным. Но чтобы оправдать определение столь фундаментальное, я предпочел бы какую-то другую гарантию.

V

Но это еще не все. В физической реальности одна причина не производит данный эффект, но множество различных причин способствуют его производству, без того чтобы у нас были какие-либо средства различения доли каждой из них.

Физики стремятся сделать это различие; но они делают его лишь приблизительно, и, как бы они ни прогрессировали, они никогда не сделают его иначе как приблизительно. Приблизительно верно, что движение маятника обусловлено исключительно притяжением Земли; но со всей строгостью каждое притяжение, даже Сириуса, действует на маятник.

При этих условиях ясно, что причины, которые произвели определенный эффект, никогда не будут воспроизведены иначе как приблизительно. Тогда мы должны изменить наш постулат и наше определение. Вместо того чтобы говорить: «Одни и те же причины требуют одного и того же времени для производства одних и тех же следствий», мы должны сказать: «Почти идентичные причины требуют почти одного и того же времени для производства почти тех же следствий».

Наше определение, следовательно, является теперь лишь приблизительным. К тому же, как г-н Калинон очень справедливо замечает в недавнем мемуаре:

«Одним из обстоятельств любого явления является скорость вращения Земли; если эта скорость вращения меняется, она составляет при воспроизведении этого явления обстоятельство, которое больше не остается тем же самым. Но предполагать эту скорость вращения постоянной — значит предполагать, что мы знаем, как измерять время».

Наше определение, следовательно, еще не удовлетворительно; оно, безусловно, не то, которое неявно принимают астрономы, о которых я говорил выше, когда они утверждают, что земное вращение замедляется.

Какой смысл, по их мнению, имеет это утверждение? Мы можем понять его, только анализируя доказательства, которые они приводят в пользу своего положения. Они говорят сначала, что трение приливов, производящее тепло, должно уничтожать «живую силу». Они призывают, следовательно, принцип «живой силы», или сохранения энергии.

Они говорят затем, что вековое ускорение Луны, вычисленное согласно закону Ньютона, было бы меньше, чем то, что выведено из наблюдений, если бы не была сделана коррекция, относящаяся к замедлению земного вращения. Они призывают, следовательно, закон Ньютона. Другими словами, они определяют продолжительность следующим образом: время должно быть определено так, чтобы закон Ньютона и закон «живой силы» могли быть проверены. Закон Ньютона — это экспериментальная истина; как таковая, она лишь приблизительна, что показывает, что у нас все еще есть только определение по приближению.

Если теперь предположить, что принят другой способ измерения времени, эксперименты, на которых основан закон Ньютона, тем не менее имели бы тот же смысл. Только формулировка закона была бы иной, потому что он был бы переведен на другой язык; он был бы, очевидно, гораздо менее простым. Так что определение, неявно принятое астрономами, может быть суммировано так: время должно быть определено так, чтобы уравнения механики были как можно более простыми. Другими словами, нет одного способа измерения времени, более истинного, чем другой; тот, который принят обычно, лишь более «удобен». О двух часах у нас нет права сказать, что одни идут верно, другие — неверно; мы можем только сказать, что выгодно сообразовываться с показаниями первых.

Трудность, которая только что занимала нас, была, как я сказал, часто отмечена; среди самых недавних работ, в которых она рассматривается, я могу упомянуть, помимо книжки г-на Калинона, трактат по механике Андраде.

VI

Вторая трудность до настоящего времени привлекала гораздо меньше внимания; тем не менее она совершенно аналогична предыдущей; и даже, логически, я должен был бы говорить о ней первой.

Два психологических явления происходят в двух разных сознаниях; когда я говорю, что они одновременны, что я имею в виду? Когда я говорю, что физическое явление, которое происходит вне всякого сознания, находится до или после психологического явления, что я имею в виду?

В 1572 году Тихо Браге заметил на небе новую звезду. Огромный пожар произошел в каком-то очень далеком небесном теле; но он произошел задолго до этого; по крайней мере двести лет было необходимо, чтобы свет от этой звезды достиг нашей Земли. Этот пожар, следовательно, произошел до открытия Америки. Что ж, когда я говорю это; когда, рассматривая это гигантское явление, у которого, возможно, не было свидетеля, так как спутники этой звезды были, возможно, необитаемы, я говорю, что это явление предшествует формированию визуального образа острова Эспаньола в сознании Христофора Колумба, что я имею в виду?

Небольшого размышления достаточно, чтобы понять, что все эти утверждения сами по себе не имеют смысла. Они могут иметь его только как результат условности.

VII

Мы должны сначала спросить себя, как можно было прийти к идее поместить в одну и ту же рамку так много миров, непроницаемых один для другого. Мы хотели бы представить себе внешний универсум, и только так мы могли бы почувствовать, что понимаем его. Мы знаем, что никогда не сможем достичь этого представления: наша слабость слишком велика. Но по крайней мере мы желаем способности вообразить бесконечный разум, для которого это представление могло бы быть возможным, своего рода великое сознание, которое видело бы все и которое классифицировало бы все «в своем времени», как мы классифицируем, в «нашем времени», то немногое, что видим.

Эта гипотеза действительно груба и неполна, потому что этот высший разум был бы лишь полубогом; бесконечный в одном смысле, он был бы ограничен в другом, так как имел бы лишь несовершенное воспоминание о прошлом; и он не мог бы иметь другого, так как иначе все воспоминания были бы одинаково присутствующими для него и для него не было бы времени. И все же, когда мы говорим о времени, для всего, что происходит вне нас, не принимаем ли мы бессознательно эту гипотезу; не ставим ли мы себя на место этого несовершенного бога; и не ставят ли даже атеисты себя на то место, где был бы бог, если бы он существовал?

То, что я только что сказал, показывает нам, возможно, почему мы пытались поместить все физические явления в одну и ту же рамку. Но это не может сойти за определение одновременности, так как этот гипотетический разум, даже если бы он существовал, был бы для нас непроницаем. Необходимо, следовательно, искать что-то другое.

VIII

Обычные определения, которые подходят для психологического времени, не удовлетворили бы нас более. Два одновременных психологических факта так тесно связаны, что анализ не может разделить их, не изувечив. Так ли это с двумя физическими фактами? Не является ли мое настоящее ближе к моему прошлому вчерашнего дня, чем настоящее Сириуса?

Было также сказано, что два факта должны рассматриваться как одновременные, когда порядок их следования может быть инвертирован по желанию. Очевидно, что это определение не подошло бы для двух физических фактов, которые происходят далеко друг от друга, и что, в том, что касается их, мы больше даже не понимаем, что была бы эта обратимость; к тому же, само следование должно быть сначала определено.

IX

Постараемся же дать отчет в том, что понимается под одновременностью или предшествованием, и для этого проанализируем некоторые примеры.

Я пишу письмо; оно впоследствии прочитано другом, которому я его адресовал. Есть два факта, которые имели своим театром два разных сознания. Написав это письмо, я имел его визуальный образ, и мой друг имел в свою очередь этот же визуальный образ, читая письмо. Хотя эти два факта происходят в непроницаемых мирах, я не колеблюсь рассматривать первый как предшествующий второму, потому что верю, что он является его причиной.

Я слышу гром и заключаю, что произошел электрический разряд; я не колеблюсь считать физическое явление предшествующим слуховому образу, воспринятому в моем сознании, потому что верю, что оно является его причиной.

Итак, вот правило, которому мы следуем и которому единственно можем следовать: когда явление представляется нам причиной другого, мы считаем его предшествующим. Таким образом, именно через понятие причины мы определяем время; но как чаще всего, когда два факта кажутся нам связанными постоянным отношением, мы распознаем, какой из них является причиной, а какой — следствием? Мы предполагаем, что предшествующий факт, антецедент, является причиной другого, консеквента. Значит, именно через понятие времени мы определяем причину. Как же нам избежать этого petitio principii?

Мы говорим теперь post hoc, ergo propter hoc; теперь propter hoc, ergo post hoc; удастся ли нам вырваться из этого порочного круга?

X

Посмотрим не на то, как нам удается вырваться — ибо полностью нам это не удается, — а на то, как мы пытаемся это сделать.

Я совершаю волевой акт A и ощущаю затем чувство D, которое рассматриваю как следствие акта A; с другой стороны, по какой-то причине я заключаю, что это следствие не является непосредственным, но что вне моего сознания произошли два факта B и C, свидетелем которых я не был, и притом таким образом, что B есть следствие A, C есть следствие B, а D — следствие C.

Но почему? Если я полагаю, что у меня есть основания рассматривать четыре факта A, B, C, D как связанные друг с другом причинно-следственной связью, почему я располагаю их в причинном порядке A B C D и в то же время в хронологическом порядке A B C D, а не в каком-либо ином?

Я ясно вижу, что в акте A у меня есть чувство активности, тогда как при получении ощущения D у меня есть чувство пассивности. Вот почему я рассматриваю A как первопричину, а D — как конечное следствие; вот почему я ставлю A в начало цепи, а D — в конец; но почему я ставлю B перед C, а не C перед B?

Если задать этот вопрос, ответ обычно таков: мы знаем, что именно B является причиной C, потому что мы всегда видим, что B происходит раньше C. Эти два явления, когда мы их наблюдаем, происходят в определенном порядке; когда аналогичные явления происходят без свидетелей, нет причин инвертировать этот порядок.

Безусловно, но будьте осторожны: мы никогда не знаем физические явления B и C непосредственно. Мы знаем лишь ощущения B' и C', производимые соответственно B и C. Наше сознание немедленно сообщает нам, что B' предшествует C', и мы предполагаем, что B и C следуют друг за другом в том же порядке.

Это правило кажется на самом деле весьма естественным, и все же нас часто заставляют отступать от него. Мы слышим звук грома лишь спустя несколько секунд после электрического разряда в облаке. Не может ли из двух вспышек молнии, одна из которых далекая, а другая близкая, первая быть предшествующей второй, даже если звук второй доходит до нас раньше, чем звук первой?

XI

Другая трудность: имеем ли мы действительно право говорить о причине явления? Если все части вселенной в некоторой мере взаимосвязаны, то любое явление будет не следствием одной-единственной причины, а результатом бесконечно многочисленных причин; это, как часто говорят, следствие состояния вселенной мгновением ранее. Как сформулировать правила, применимые к столь сложным обстоятельствам? И все же только так эти правила могут быть общими и строгими.

Чтобы не потеряться в этой бесконечной сложности, сделаем более простую гипотезу. Рассмотрим три звезды, например, Солнце, Юпитер и Сатурн; но для большей простоты будем считать их сведенными к материальным точкам и изолированными от остального мира. Положения и скорости трех тел в данный момент достаточны для определения их положений и скоростей в следующий момент, а следовательно, и в любой момент. Их положения в момент t определяют их положения в момент t + h, так же как и их положения в момент t − h.

Более того: положение Юпитера в момент t вместе с положением Сатурна в момент t + a определяет положение Юпитера в любой момент и положение Сатурна в любой момент.

Совокупность положений, занимаемых Юпитером в момент t + e и Сатурном в момент t + a + e, связана с совокупностью положений, занимаемых Юпитером в момент t и Сатурном в момент t + a, законами столь же точными, как закон Ньютона, хотя и более сложными. Тогда почему бы не рассматривать одну из этих совокупностей как причину другой, что привело бы к признанию одновременными момента t для Юпитера и момента t + a для Сатурна?

В ответ могут быть приведены лишь соображения — весьма веские, правда, — удобства и простоты.

XII

Но перейдем к менее искусственным примерам; чтобы понять определение, неявно предполагаемое учеными, понаблюдаем за их работой и поищем правила, с помощью которых они исследуют одновременность.

Я возьму два простых примера: измерение скорости света и определение долготы.

Когда астроном говорит мне, что некое звездное явление, которое открывает ему в данный момент телескоп, произошло, тем не менее, пятьдесят лет назад, я пытаюсь понять, что он имеет в виду, и с этой целью я прежде всего спрошу его, как он это узнал, то есть как он измерил скорость света.

Он начал с предположения, что свет имеет постоянную скорость, и, в частности, что его скорость одинакова во всех направлениях. Это постулат, без которого невозможно было бы предпринять никакое измерение этой скорости. Этот постулат никогда не мог быть проверен непосредственно экспериментом; он мог бы быть опровергнут им, если бы результаты различных измерений не согласовывались. Нам следует считать себя удачливыми, что этого противоречия не произошло и что небольшие расхождения, которые могут возникнуть, легко объяснимы.

Постулат, во всяком случае, напоминающий принцип достаточного основания, был принят всеми; я хочу подчеркнуть, что он дает нам новое правило для исследования одновременности, совершенно отличное от того, которое мы сформулировали выше.

Приняв этот постулат, посмотрим, как была измерена скорость света. Вы знаете, что Рёмер использовал затмения спутников Юпитера и искал, насколько событие отстает от своего предсказания. Но как делается это предсказание? С помощью астрономических законов; например, закона Ньютона.

Нельзя ли было бы объяснить наблюдаемые факты столь же хорошо, если бы мы приписали скорости света значение, немного отличающееся от принятого, и предположили, что закон Ньютона лишь приближенный? Только это привело бы к замене закона Ньютона другим, более сложным. Поэтому для скорости света принимается такое значение, чтобы астрономические законы, совместимые с этим значением, были как можно более простыми. Когда мореплаватели или географы определяют долготу, им приходится решать именно ту задачу, которую мы обсуждаем; они должны, не находясь в Париже, вычислить парижское время. Как они это делают? Они везут хронометр, настроенный на Париж. Качественная проблема одновременности ставится в зависимость от количественной проблемы измерения времени. Мне нет нужды останавливаться на трудностях, связанных с этой последней проблемой, поскольку выше я подробно на них указал.

Или же они наблюдают астрономическое явление, такое как затмение Луны, и предполагают, что это явление воспринимается одновременно из всех точек Земли. Это не совсем верно, поскольку распространение света не мгновенно; если бы требовалась абсолютная точность, пришлось бы внести поправку по сложному правилу.

Или же, наконец, они используют телеграф. Ясно прежде всего, что прием сигнала в Берлине, например, происходит после отправки этого же сигнала из Парижа. Это правило причины и следствия, проанализированное выше. Но насколько после? В общем, длительностью передачи пренебрегают, и два события рассматриваются как одновременные. Но, чтобы быть строгим, все же пришлось бы внести небольшую поправку посредством сложного вычисления; на практике она не вносится, потому что она была бы значительно меньше ошибок наблюдения; ее теоретическая необходимость тем не менее остается с нашей точки зрения, которая является точкой зрения строгого определения. Из этой дискуссии я хочу подчеркнуть две вещи: (1) Применяемые правила чрезвычайно разнообразны. (2) Трудно отделить качественную проблему одновременности от количественной проблемы измерения времени; неважно, используется ли хронометр или необходимо учитывать скорость передачи, как у света, потому что такую скорость невозможно измерить, не измеряя время.

XIII

В заключение: у нас нет прямой интуиции одновременности, как и равенства двух длительностей. Если мы думаем, что обладаем этой интуицией, это иллюзия. Мы заменяем ее с помощью определенных правил, которые применяем почти всегда, не отдавая себе в них отчета.

Но какова природа этих правил? Никакого общего правила, никакого строгого правила; множество маленьких правил, применимых к каждому частному случаю.

Эти правила не навязаны нам, и мы могли бы развлечься, изобретая другие; но их нельзя было бы отбросить, не усложнив значительно формулировку законов физики, механики и астрономии.

Поэтому мы выбираем эти правила не потому, что они истинны, а потому, что они наиболее удобны, и мы можем резюмировать их следующим образом: «Одновременность двух событий, или порядок их следования, равенство двух длительностей должны быть определены так, чтобы формулировка естественных законов была как можно более простой. Иными словами, все эти правила, все эти определения — лишь плод бессознательного оппортунизма».

ГЛАВА III

Понятие пространства

1. Введение

В статьях, которые я до сих пор посвящал пространству, я прежде всего подчеркивал проблемы, поднятые неевклидовой геометрией, почти полностью оставляя в стороне другие вопросы, более трудные для подхода, такие как те, что относятся к числу измерений. Все геометрии, которые я рассматривал, имели, таким образом, общую основу — тот трехмерный континуум, который был одинаков для всех и который дифференцировался лишь фигурами, которые в нем чертили, или когда стремились его измерить.

В этом континууме, первоначально аморфном, мы можем вообразить сеть линий и поверхностей, мы можем затем условиться считать ячейки этой сети равными друг другу, и только после этой конвенции этот континуум, став измеримым, превращается в евклидово или неевклидово пространство. Из этого аморфного континуума может, следовательно, возникнуть безразлично одно или другое из двух пространств, точно так же как на чистом листе бумаги можно начертить безразлично прямую или окружность.

В пространстве мы знаем прямолинейные треугольники, сумма углов которых равна двум прямым углам; но в равной мере мы знаем криволинейные треугольники, сумма углов которых меньше двух прямых углов. Существование одних не более сомнительно, чем других. Дать имя прямых сторонам первых — значит принять евклидову геометрию; дать имя прямых сторонам последних — значит принять неевклидову геометрию. Так что спрашивать, какую геометрию подобает принять, — значит спрашивать, какой линии подобает дать имя прямой?

Очевидно, что опыт не может решить такой вопрос; никто не стал бы просить, например, эксперимент решить, должен ли я называть AB или CD прямой. С другой стороны, я также не могу сказать, что не имею права давать имя прямых сторонам неевклидовых треугольников, потому что они не соответствуют вечной идее прямой, которую я имею интуитивно. Я признаю, конечно, что у меня есть интуитивная идея стороны евклидова треугольника, но у меня есть в равной мере интуитивная идея стороны неевклидова треугольника. Почему я должен иметь право применять имя прямой к первой из этих идей, а не ко второй? В чем этот слог является составной частью этой интуитивной идеи? Очевидно, когда мы говорим, что евклидова прямая есть истинная прямая, а неевклидова прямая не есть истинная прямая, мы просто имеем в виду, что первая интуитивная идея соответствует более примечательному объекту, чем вторая. Но как мы решаем, что этот объект более примечателен? Этот вопрос я исследовал в «Науке и гипотезе».

Именно здесь мы увидели, как вступает опыт. Если евклидова прямая более примечательна, чем неевклидова прямая, то главным образом потому, что она мало отличается от некоторых примечательных природных объектов, от которых неевклидова прямая отличается сильно. Но, скажут, определение неевклидовой прямой искусственно; если мы на мгновение примем его, мы увидим, что две окружности разного радиуса обе получают имя неевклидовых прямых, в то время как из двух окружностей одного радиуса одна может удовлетворять определению, а другая — нет, и тогда, если мы перенесем одну из этих так называемых прямых, не деформируя ее, она перестанет быть прямой. Но по какому праву мы считаем равными эти две фигуры, которые евклидовы геометры называют двумя окружностями с одним радиусом? Потому что, перенеся одну из них без деформации, мы можем заставить ее совпасть с другой. И почему мы говорим, что это перемещение совершается без деформации? Невозможно привести для этого вескую причину. Среди всех мыслимых движений есть такие, о которых евклидовы геометры говорят, что они не сопровождаются деформацией; но есть другие, о которых неевклидовы геометры сказали бы, что они не сопровождаются деформацией. В первых, называемых евклидовыми движениями, евклидовы прямые остаются евклидовыми прямыми, а неевклидовы прямые не остаются неевклидовыми прямыми; в движениях второго рода, или неевклидовых движениях, неевклидовы прямые остаются неевклидовыми прямыми, а евклидовы прямые не остаются евклидовыми прямыми. Таким образом, не было доказано, что называть прямыми стороны неевклидовых треугольников неразумно; было лишь показано, что это было бы неразумно, если бы продолжали называть евклидовы движения движениями без деформации; но в то же время было показано, что было бы столь же неразумно называть прямыми стороны евклидовых треугольников, если бы неевклидовы движения назывались движениями без деформации.

Теперь, когда мы говорим, что евклидовы движения — это истинные движения без деформации, что мы имеем в виду? Мы просто имеем в виду, что они более примечательны, чем другие. И почему они более примечательны? Потому что некоторые примечательные природные тела, твердые тела, совершают движения, почти подобные им.

А затем, когда мы спрашиваем: можно ли вообразить неевклидово пространство? Это означает: можем ли мы вообразить мир, где существовали бы примечательные природные объекты, имеющие почти форму неевклидовых прямых, и примечательные природные тела, часто совершающие движения, почти подобные неевклидовым движениям? Я показал в «Науке и гипотезе», что на этот вопрос мы должны ответить утвердительно.

Часто отмечалось, что если бы все тела во вселенной расширялись одновременно и в одной пропорции, у нас не было бы средств это заметить, поскольку все наши измерительные приборы росли бы одновременно с самими объектами, которые они служат измерять. Мир после этого расширения продолжал бы свой путь, и ничто не известило бы нас о столь значительном событии. Иными словами, два мира, подобные друг другу (понимая слово подобие в смысле Евклида, книга VI), были бы абсолютно неразличимы. Но более того: миры будут неразличимы не только если они равны или подобны, то есть если мы можем перейти от одного к другому, изменив оси координат или изменив масштаб, к которому относятся длины; но они будут по-прежнему неразличимы, если мы можем перейти от одного к другому посредством любого «точечного преобразования». Я объясню свою мысль. Я предполагаю, что каждой точке одного соответствует одна точка другого и только одна, и обратно; и кроме того, что координаты точки являются непрерывными функциями, в остальном совершенно произвольными, соответствующей точки. Я предполагаю, кроме того, что каждому объекту первого мира соответствует во втором объект той же природы, помещенный точно в соответствующей точке. Я предполагаю, наконец, что это соответствие, выполненное в начальный момент, поддерживается бесконечно. У нас не было бы средств отличить эти два мира один от другого. Относительность пространства обычно не понимается в столь широком смысле; однако именно так ее следовало бы понимать.

Если одна из этих вселенных — наш евклидов мир, то, что ее обитатели назовут прямой, будет нашей евклидовой прямой; но то, что обитатели второго мира назовут прямой, будет кривой, которая будет обладать теми же свойствами по отношению к миру, в котором они живут, и по отношению к движениям, которые они назовут движениями без деформации. Их геометрия будет, следовательно, евклидовой геометрией, но их прямая не будет нашей евклидовой прямой. Это будет ее образ при точечном преобразовании, которое переносит из нашего мира в их. Прямые этих людей не будут нашими прямыми, но они будут иметь между собой те же отношения, что наши прямые друг к другу. Именно в этом смысле я говорю, что их геометрия будет нашей. Если же мы все-таки хотим провозгласить, что они заблуждаются, что их прямая не есть истинная прямая, если мы все еще не желаем признать, что такое утверждение не имеет смысла, по крайней мере мы должны признать, что у этих людей нет никаких средств распознать свою ошибку.

2. Качественная геометрия

Все это относительно легко понять, и я уже так часто это повторял, что считаю излишним распространяться далее по этому вопросу. Евклидово пространство не есть форма, навязанная нашей чувственности, поскольку мы можем вообразить неевклидово пространство; но два пространства, евклидово и неевклидово, имеют общую основу — тот аморфный континуум, о котором я говорил в начале. Из этого континуума мы можем получить либо евклидово пространство, либо пространство Лобачевского, точно так же как мы можем, начертив на нем надлежащую градуировку, превратить неградуированный термометр в термометр Фаренгейта или Реомюра.

А затем возникает вопрос: не является ли этот аморфный континуум, который наш анализ позволил сохранить, формой, навязанной нашей чувственности? Если так, мы расширили бы тюрьму, в которую заключена эта чувственность, но это всегда была бы тюрьма.

Этот континуум обладает определенным числом свойств, свободных от всякой идеи измерения. Изучение этих свойств является объектом науки, которая культивировалась многими великими геометрами и, в частности, Риманом и Бетти, и которая получила имя анализа ситус. В этой науке делается абстракция от всякой количественной идеи, и, например, если мы устанавливаем, что на линии точка B находится между точками A и C, мы удовлетворимся этим установлением и не будем беспокоиться о том, чтобы узнать, является ли линия ABC прямой или кривой, ни является ли длина AB равной длине BC, или она вдвое больше.

Теоремы анализа ситус имеют, следовательно, ту особенность, что они оставались бы истинными, если бы фигуры были скопированы неискусным рисовальщиком, который грубо изменил бы все пропорции и заменил прямые линиями, более или менее извилистыми. На математическом языке они не изменяются никаким «точечным преобразованием». Часто говорили, что метрическая геометрия была количественной, тогда как проективная геометрия была чисто качественной. Это не совсем верно. Прямая все еще отличается от других линий свойствами, которые остаются количественными в некоторых отношениях. Настоящая качественная геометрия — это, следовательно, анализ ситус.

Те же вопросы, которые возникали по поводу истин евклидовой геометрии, возникают вновь по поводу теорем анализа ситус. Получаются ли они дедуктивным рассуждением? Являются ли они замаскированными конвенциями? Являются ли они экспериментальными истинами? Являются ли они характеристиками формы, навязанной либо нашей чувственности, либо нашему рассудку?

Я хочу просто заметить, что последние два решения исключают друг друга. Мы не можем допустить одновременно, что невозможно вообразить пространство четырех измерений и что опыт доказывает нам, что пространство имеет три измерения. Экспериментатор задает природе вопрос: это или то? — и он не может задать его, не вообразив два члена альтернативы. Если бы было невозможно вообразить один из этих членов, было бы бесполезно и, кроме того, невозможно консультироваться с опытом. Нет нужды в наблюдении, чтобы знать, что стрелка часов не показывает час 15 на циферблате, потому что мы заранее знаем, что их всего 12, и мы не могли бы посмотреть на отметку 15, чтобы увидеть, находится ли там стрелка, потому что этой отметки не существует.

Заметьте также, что в анализе ситус эмпирики избавлены от одного из самых серьезных возражений, которые могут быть выдвинуты против них, от того, которое делает абсолютно тщетными заранее все их усилия применить свой тезис к истинам евклидовой геометрии. Эти истины строги, а всякое экспериментирование может быть лишь приближенным. В анализе ситус приближенных экспериментов может быть достаточно, чтобы дать строгую теорему, и, например, если видно, что пространство не может иметь ни двух или менее двух измерений, ни четырех или более четырех, мы уверены, что оно имеет ровно три, поскольку оно не могло бы иметь два с половиной или три с половиной.

Из всех теорем анализа ситус самая важная — та, которая выражается в утверждении, что пространство имеет три измерения. Именно ее мы собираемся рассмотреть, и мы поставим вопрос в таких терминах: когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, что мы имеем в виду?

3. Физический континуум нескольких измерений

Я объяснил в «Науке и гипотезе», откуда мы выводим понятие физической непрерывности и как из него возникло понятие математической непрерывности. Случается, что мы способны отличить два впечатления одно от другого, в то время как каждое из них неотличимо от третьего. Так, мы можем легко отличить вес в 12 граммов от веса в 10 граммов, в то время как вес в 11 граммов нельзя было бы отличить ни от того, ни от другого. Такое утверждение, переведенное в символы, может быть записано: A = B, B = C, A < C.

A = B, B = C, A < C.

Это была бы формула физического континуума, как дает его нам грубый опыт, откуда возникает невыносимое противоречие, которое было устранено введением математического континуума. Это шкала, ступени которой (соизмеримые или несоизмеримые числа) бесконечны по числу, но внешни друг другу, вместо того чтобы вторгаться друг в друга, как это делают элементы физического континуума в соответствии с предыдущей формулой.

Физический континуум — это, так сказать, туманность, не разрешенная на звезды; самые совершенные инструменты не могли бы достичь ее разрешения. Безусловно, если бы мы измеряли веса хорошими весами, вместо того чтобы судить о них рукой, мы могли бы отличить вес в 11 граммов от весов в 10 и 12 граммов, и наша формула стала бы: A < B, B < C, A < C.

A < B, B < C, A < C.

Но мы всегда находили бы между A и B и между B и C новые элементы D и E, такие что

A = D, D = B, A < B; B = E, E = C, B < C,

и трудность лишь отступила бы, а туманность всегда оставалась бы неразрешенной; лишь разум может разрешить ее, и математический континуум — это и есть туманность, разрешенная на звезды.

И все же до этого момента мы не ввели понятие числа измерений. Что имеется в виду, когда мы говорим, что математический континуум или физический континуум имеет два или три измерения?

Сначала мы должны ввести понятие разреза, изучая сначала физические континуумы. Мы видели, что характеризует физический континуум. Каждый из элементов этого континуума состоит из многообразия впечатлений; и может случиться либо то, что элемент нельзя отличить от другого элемента того же континуума, если этот новый элемент соответствует многообразию впечатлений, недостаточно отличающихся, либо, напротив, что различение возможно; наконец, может случиться, что два элемента, неотличимые от третьего, могут, тем не менее, быть отличены один от другого.

Это постулировано: если A и B — два различимых элемента континуума C, можно найти серию элементов E1, E2, ..., En, принадлежащих этому же континууму C и таких, что каждый из них неотличим от предыдущего, E1 неотличим от A, а En неотличим от B. Следовательно, мы можем перейти от A к B по непрерывному пути и не покидая C. Если это условие выполнено для любых двух элементов A и B континуума C, мы можем сказать, что этот континуум C — весь в одном куске. Теперь выделим некоторые из элементов C, которые могут либо быть все различимы друг от друга, либо сами образовывать один или несколько континуумов. Совокупность элементов, выбранных таким образом произвольно среди всех элементов C, образует то, что я назову разрезом или разрезами.

Возьмем на C любые два элемента A и B. Либо мы можем также найти серию элементов E1, E2, ..., En, таких: (1) что они все принадлежат C; (2) что каждый из них неотличим от следующего, E1 неотличим от A, а En неотличим от B; (3) и кроме того, что ни один из элементов E не является неотличимым от какого-либо элемента разреза. Либо, напротив, в каждой из серий E1, E2, ..., En, удовлетворяющих первым двум условиям, найдется элемент E, неотличимый от одного из элементов разреза. В первом случае мы можем перейти от A к B по непрерывному пути, не покидая C и не встречая разрезов; во втором случае это невозможно.

Если тогда для любых двух элементов A и B континуума C всегда имеет место первый случай, мы скажем, что C остается весь в одном куске, несмотря на разрезы.

Таким образом, если мы выбираем разрезы определенным образом, в остальном произвольным, может случиться либо то, что континуум остается весь в одном куске, либо то, что он не остается весь в одном куске; в этой последней гипотезе мы тогда скажем, что он разделен разрезами.

Заметим, что все эти определения построены, исходя исключительно из этого очень простого факта: два многообразия впечатлений иногда могут быть различены, иногда — нет. Это постулировано: если для разделения континуума достаточно считать разрезами определенное число элементов, все различимых друг от друга, мы говорим, что этот континуум — одного измерения; если, напротив, для разделения континуума необходимо считать разрезами систему элементов, самих образующих один или несколько континуумов, мы скажем, что этот континуум — нескольких измерений.

Если для разделения континуума C достаточно разрезов, образующих один или несколько континуумов одного измерения, мы скажем, что C — континуум двух измерений; если достаточно разрезов, образующих один или несколько континуумов не более чем двух измерений, мы скажем, что C — континуум трех измерений; и так далее.

Чтобы оправдать это определение, подобает посмотреть, именно ли так геометры вводят понятие трех измерений в начале своих работ. Что же мы видим? Обычно они начинают с определения поверхностей как границ тел или частей пространства, линий как границ поверхностей, точек как границ линий, и они утверждают, что ту же процедуру нельзя продолжать далее.

Это в точности та идея, что дана выше: для разделения пространства необходимы разрезы, называемые поверхностями; для разделения поверхностей необходимы разрезы, называемые линиями; для разделения линий необходимы разрезы, называемые точками; мы не можем идти дальше, точка не может быть разделена, значит, точка — не континуум. Тогда линии, которые могут быть разделены разрезами, не являющимися континуумами, будут континуумами одного измерения; поверхности, которые могут быть разделены непрерывными разрезами одного измерения, будут континуумами двух измерений; наконец, пространство, которое может быть разделено непрерывными разрезами двух измерений, будет континуумом трех измерений.

Таким образом, определение, которое я только что дал, не отличается существенно от обычных определений; я лишь стремился придать ему форму, применимую не к математическому континууму, а к физическому континууму, который один лишь поддается представлению, и все же сохранить всю его точность. Более того, мы видим, что это определение применяется не только к пространству; что во всем, что подпадает под наши чувства, мы находим характеристики физического континуума, которые позволили бы ту же классификацию; что было бы легко найти там примеры континуумов четырех, пяти измерений в смысле предыдущего определения; такие примеры приходят на ум сами собой.

Я объяснил бы наконец, если бы у меня было время, что эта наука, о которой я говорил выше и которой Риман дал имя анализа ситус, учит нас делать различия между континуумами одного и того же числа измерений и что классификация этих континуумов покоится также на рассмотрении разрезов.

Из этого понятия возникло понятие математического континуума нескольких измерений точно так же, как физический континуум одного измерения породил математический континуум одного измерения. Формула

A > C, A = B, B = C,

которая суммировала данные грубого опыта, подразумевала невыносимое противоречие. Чтобы освободиться от него, необходимо было ввести новое понятие, все еще уважая существенные характеристики физического континуума нескольких измерений. Математический континуум одного измерения допускал шкалу, деления которой, бесконечные по числу, соответствовали различным значениям, соизмеримым или нет, одной и той же величины. Чтобы иметь математический континуум n измерений, достаточно будет взять n подобных шкал, деления которых соответствуют различным значениям n независимых величин, называемых координатами. Мы таким образом будем иметь образ физического континуума n измерений, и этот образ будет настолько верным, насколько это возможно после решения не допускать противоречия, о котором я говорил выше.

4. Понятие точки

Кажется теперь, что на вопрос, который мы поставили перед собой в начале, дан ответ. Когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, скажут, мы имеем в виду, что многообразие точек пространства удовлетворяет определению, которое мы только что дали для физического континуума трех измерений. Удовлетвориться этим — значит предположить, что мы знаем, что такое многообразие точек пространства, или даже одна точка пространства.

Но это не так просто, как можно было бы подумать. Каждый верит, что знает, что такое точка, и именно потому, что мы знаем это слишком хорошо, мы думаем, что нет нужды ее определять. Конечно, от нас нельзя требовать умения определить ее, потому что при восхождении от определения к определению должно наступить время, когда мы должны остановиться. Но в какой момент мы должны остановиться?

Мы остановимся сначала, когда достигнем объекта, который подпадает под наши чувства или который мы можем представить себе; определение тогда станет бесполезным; мы не определяем овцу ребенку; мы говорим ему: смотри, овца.

Итак, мы должны спросить себя, возможно ли представить себе точку пространства. Те, кто отвечает «да», не задумываются о том, что они представляют себе в действительности белое пятно, сделанное мелом на доске, или черное пятно, сделанное пером на белой бумаге, и что они могут представить себе лишь объект или, скорее, впечатления, которые этот объект произвел на их чувства.

Когда они пытаются представить себе точку, они представляют впечатления, которые заставили их почувствовать очень маленькие объекты. Излишне добавлять, что два разных объекта, хотя оба очень маленькие, могут производить чрезвычайно разные впечатления, но я не буду останавливаться на этой трудности, которая потребовала бы еще некоторого обсуждения.

Но вопрос не в этом; недостаточно представить одну точку, необходимо представить определенную точку и иметь средства отличить ее от другой точки. И в самом деле, чтобы мы могли применить к континууму правило, которое я изложил выше и с помощью которого можно распознать число его измерений, мы должны полагаться на тот факт, что два элемента этого континуума иногда могут, а иногда не могут быть различены. Необходимо поэтому, чтобы мы в определенных случаях знали, как представить себе конкретный элемент и отличить его от другого элемента.

Вопрос в том, чтобы узнать, является ли точка, которую я представил себе час назад, той же самой, что эта, которую я теперь представляю себе, или это другая точка. Иными словами, как мы узнаем, является ли точка, занимаемая объектом A в момент α, той же самой, что точка, занимаемая объектом B в момент β, или, еще лучше, что это означает?

Я сижу в своей комнате; объект помещен на моем столе; в течение секунды я не двигаюсь, никто не касается объекта. Я склонен сказать, что точка A, которую этот объект занимал в начале этой секунды, идентична точке B, которую он занимает в ее конце. Вовсе нет; от точки A до точки B — 30 километров, потому что объект был увлечен движением Земли. Мы не можем знать, не изменил ли объект, большой он или маленький, свое абсолютное положение в пространстве, и не только мы не можем утверждать это, но это утверждение не имеет смысла и в любом случае не может соответствовать никакому представлению.

Но тогда мы можем спросить себя, изменилось ли относительное положение объекта по отношению к другим объектам или нет, и прежде всего, изменилось ли относительное положение этого объекта по отношению к нашему телу. Если впечатления, которые этот объект производит на нас, не изменились, мы будем склонны судить, что и это относительное положение не изменилось; если они изменились, мы будем судить, что этот объект изменился либо в состоянии, либо в относительном положении. Остается решить, в чем из двух. Я объяснил в «Науке и гипотезе», как мы были приведены к различению изменений положения. Более того, я вернусь к этому далее. Мы приходим к знанию, следовательно, осталось ли относительное положение объекта по отношению к нашему телу тем же самым или нет.

Если теперь мы видим, что два объекта сохранили свое относительное положение по отношению к нашему телу, мы заключаем, что относительное положение этих двух объектов по отношению друг к другу не изменилось; но мы приходим к этому заключению лишь посредством косвенного рассуждения. Единственное, что мы знаем непосредственно, — это относительное положение объектов по отношению к нашему телу. A fortiori, лишь посредством косвенного рассуждения мы думаем, что знаем (и, более того, это убеждение обманчиво), изменилось ли абсолютное положение объекта.

Одним словом, система координатных осей, к которой мы естественно относим все внешние объекты, — это система осей, неизменно связанных с нашим телом и переносимых вместе с нами.

Невозможно представить себе абсолютное пространство; когда я пытаюсь представить себе одновременно объекты и себя в движении в абсолютном пространстве, в действительности я представляю себе самого себя неподвижным и видящим движущимися вокруг меня разные объекты и человека, который является внешним по отношению ко мне, но которого я условился называть мной.

Будет ли решена трудность, если мы договоримся относить все к этим осям, связанным с нашим телом? Будем ли мы знать тогда, что такое точка, определенная таким образом своим относительным положением по отношению к нам самим? Многие ответят «да» и скажут, что они «локализуют» внешние объекты.

Что это означает? Локализовать объект просто означает представить себе движения, которые были бы необходимы, чтобы достичь его. Я объяснюсь. Речь идет не о представлении самих движений в пространстве, а исключительно о представлении себе мышечных ощущений, которые сопровождают эти движения и которые не предполагают предсуществования понятия пространства.

Если мы предположим два разных объекта, которые последовательно занимают одно и то же относительное положение по отношению к нам самим, впечатления, которые эти два объекта производят на нас, будут очень разными; если мы локализуем их в одной и той же точке, это просто потому, что необходимо совершить одни и те же движения, чтобы достичь их; помимо этого, нельзя просто увидеть, что они могли бы иметь общего.

Но, имея объект, мы можем вообразить много разных серий движений, которые в равной мере позволяют нам достичь его. Если тогда мы представляем себе точку, представляя себе серию мышечных ощущений, которые сопровождают движения, позволяющие нам достичь этой точки, будет много способов, совершенно разных, представить себе одну и ту же точку. Если кто-то не удовлетворен этим решением, но желает, например, привнести визуальные ощущения вместе с мышечными, будет еще один или два способа представить себе эту же точку, и трудность лишь увеличится. В любом случае возникает следующий вопрос: почему мы думаем, что все эти представления, столь разные друг от друга, все еще представляют одну и ту же точку?

Другое замечание: я только что сказал, что именно к нашему собственному телу мы естественно относим внешние объекты; что мы носим повсюду с собой систему осей, к которой относим все точки пространства, и что эта система осей кажется неизменно связанной с нашим телом. Следует заметить, что строго мы не могли бы говорить об осях, неизменно связанных с телом, если бы разные части этого тела не были сами неизменно связаны друг с другом. Поскольку это не так, мы должны, прежде чем относить внешние объекты к этим фиктивным осям, предположить наше тело возвращенным в начальное положение.

5. Понятие перемещения

Я показал в «Науке и гипотезе» преобладающую роль, которую играют движения нашего тела в генезисе понятия пространства. Для существа, полностью неподвижного, не было бы ни пространства, ни геометрии; тщетно внешние объекты перемещались бы вокруг него, вариации, которые эти перемещения вносили бы в его впечатления, не приписывались бы этим существом изменениям положения, а простым изменениям состояния; это существо не имело бы средств отличить эти два рода изменений, и это различие, фундаментальное для нас, не имело бы для него смысла.

Движения, которые мы придаем нашим членам, имеют следствием варьирование впечатлений, производимых на наши чувства внешними объектами; другие причины могут также заставлять их варьироваться; но мы приучены различать изменения, производимые нашими собственными движениями, и мы легко различаем их по двум причинам: (1) потому что они волевые; (2) потому что они сопровождаются мышечными ощущениями.

Поэтому мы естественно делим изменения, которым могут подвергаться наши впечатления, на две категории, которым, возможно, я дал неподходящее обозначение: (1) внутренние изменения, которые являются волевыми и сопровождаются мышечными ощущениями; (2) внешние изменения, имеющие противоположные характеристики.

Мы затем наблюдаем, что среди внешних изменений есть такие, которые могут быть исправлены благодаря внутреннему изменению, которое возвращает все к первоначальному состоянию; другие не могут быть исправлены таким образом (именно так, когда внешний объект перемещен, мы можем затем, изменив наше собственное положение, вернуть себя по отношению к этому объекту в то же относительное положение, что и прежде, чтобы восстановить исходную совокупность впечатлений; если этот объект не был перемещен, а изменил свое состояние, это невозможно). Отсюда происходит новое различие среди внешних изменений: те, которые могут быть так исправлены, мы называем изменениями положения; а другие — изменениями состояния.

Подумайте, например, о сфере, у которой одно полушарие синее, а другое красное; она сначала представляет нам синее полушарие, затем она так вращается, что представляет красное полушарие. Теперь подумайте о сферической вазе, содержащей синюю жидкость, которая становится красной вследствие химической реакции. В обоих случаях ощущение красного заменило ощущение синего; наши чувства испытали те же впечатления, которые следовали друг за другом в том же порядке, и все же эти два изменения рассматриваются нами как очень разные; первое — это перемещение, второе — изменение состояния. Почему? Потому что в первом случае мне достаточно обойти сферу, чтобы поместить себя напротив синего полушария и восстановить первоначальное синее ощущение.

Более того; если бы два полушария вместо красного и синего были желтыми и зелеными, как я интерпретировал бы вращение сферы? Раньше красный следовал за синим, теперь зеленый следует за желтым; и все же я говорю, что две сферы претерпели одно и то же вращение, что каждая повернулась вокруг своей оси; все же я не могу сказать, что зеленый относится к желтому, как красный к синему; как же тогда я прихожу к решению, что две сферы претерпели одно и то же перемещение? Очевидно, потому что в одном случае, как и в другом, я способен восстановить первоначальное ощущение, обойдя сферу, совершив те же движения, и я знаю, что совершил те же движения, потому что почувствовал те же мышечные ощущения; чтобы знать это, мне не нужно, следовательно, знать геометрию заранее и представлять себе движения моего тела в геометрическом пространстве.

Другой пример: объект перемещается перед моим глазом; его изображение сначала сформировалось в центре сетчатки; затем оно формируется на краю; старое ощущение было донесено до меня нервным волокном, заканчивающимся в центре сетчатки; новое ощущение донесено до меня другим нервным волокном, начинающимся от края сетчатки; эти два ощущения качественно разные; иначе, как я мог бы отличить их?

Почему же тогда я прихожу к решению, что эти два ощущения, качественно разные, представляют одно и то же изображение, которое было перемещено? Потому что я могу следить за объектом глазом и посредством перемещения глаза, волевого и сопровождаемого мышечными ощущениями, вернуть изображение в центр сетчатки и восстановить первоначальное ощущение.

Я предполагаю, что изображение красного объекта переместилось из центра A к краю B сетчатки, затем изображение синего объекта в свою очередь перемещается из центра A к краю B сетчатки; я решу, что эти два объекта претерпели одно и то же перемещение. Почему? Потому что в обоих случаях я смог бы восстановить первоначальное ощущение, и для этого мне пришлось бы выполнить то же самое движение глаза, а я узнаю, что мой глаз выполнил то же самое движение, потому что я почувствую те же самые мышечные ощущения.

Если бы я не мог двигать глазом, были бы у меня основания предполагать, что ощущение красного в центре сетчатки относится к ощущению красного на краю сетчатки так же, как ощущение синего в центре относится к ощущению синего на краю? У меня было бы только четыре качественно различных ощущения, и если бы меня спросили, связаны ли они указанной пропорцией, вопрос показался бы мне нелепым, точно так же, как если бы меня спросили, существует ли аналогичная пропорция между слуховым, тактильным и обонятельным ощущениями.

Рассмотрим теперь внутренние изменения, то есть те, которые производятся произвольными движениями нашего тела и сопровождаются мышечными изменениями. Они приводят к двум следующим наблюдениям, аналогичным тем, которые мы только что сделали по поводу внешних изменений.

1. Я могу предположить, что мое тело переместилось из одной точки в другую, но при этом сохранило ту же позу; все части тела, следовательно, сохранили или восстановили то же относительное положение, хотя их абсолютное положение в пространстве могло измениться. Я могу предположить, что изменилось не только положение моего тела, но и его поза стала иной, что, например, мои руки, которые раньше были сложены, теперь вытянуты.

Следовательно, я должен различать простые изменения положения без изменения позы и изменения позы. И те, и другие предстали бы передо мной в форме мышечных ощущений. Как же тогда я прихожу к их различению? А так, что первые могут служить для исправления внешнего изменения, а вторые — нет, или, по крайней мере, могут дать лишь несовершенную коррекцию.

Этот факт я собираюсь объяснить так, как объяснил бы его тому, кто уже знает геометрию, но из этого не следует делать вывод, что для проведения этого различия необходимо уже знать геометрию; до изучения геометрии я устанавливаю этот факт (так сказать, экспериментально), не будучи в состоянии его объяснить. Но просто для того, чтобы провести различие между двумя видами изменений, мне не нужно объяснять факт, мне достаточно его установить.

Как бы то ни было, объяснение просто. Предположим, что внешний объект переместился; если мы хотим, чтобы различные части нашего тела восстановили по отношению к этому объекту свое первоначальное относительное положение, необходимо, чтобы эти различные части также восстановили свое первоначальное относительное положение по отношению друг к другу. Только те внутренние изменения, которые удовлетворяют этому последнему условию, будут способны исправить внешнее изменение, вызванное перемещением этого объекта. Если, следовательно, относительное положение моего глаза по отношению к моему пальцу изменилось, я все еще смогу вернуть глаз в его первоначальное относительное положение по отношению к объекту и таким образом восстановить первоначальные зрительные ощущения, но тогда относительное положение пальца по отношению к объекту изменится, и тактильные ощущения не будут восстановлены.

2. Мы устанавливаем также, что одно и то же внешнее изменение может быть исправлено двумя внутренними изменениями, соответствующими различным мышечным ощущениям. Здесь я снова могу установить это, не зная геометрии; и мне не нужно ничего другого; но я приступаю к объяснению этого факта, используя геометрический язык. Чтобы перейти из положения A в положение B, я могу выбрать несколько путей. Первому из этих путей будет соответствовать ряд S мышечных ощущений; второму пути будет соответствовать другой ряд S'' мышечных ощущений, которые, как правило, будут совершенно иными, поскольку будут задействованы другие мышцы.

Как я прихожу к тому, чтобы рассматривать эти два ряда S и S'' как соответствующие одному и тому же перемещению AB? Это потому, что эти два ряда способны исправить одно и то же внешнее изменение. Помимо этого, у них нет ничего общего.

Рассмотрим теперь два внешних изменения: α и β, которыми будут, например, вращение сферы, наполовину синей, наполовину красной, и сферы, наполовину желтой, наполовину зеленой; эти два изменения не имеют ничего общего, так как одно для нас есть переход синего в красный, а другое — переход желтого в зеленый. Рассмотрим, с другой стороны, два ряда внутренних изменений S и S''; подобно другим, они не будут иметь ничего общего. И все же я говорю, что α и β соответствуют одному и тому же перемещению, и что S и S'' также соответствуют одному и тому же перемещению. Почему? Просто потому, что S может исправить как α, так и β, и потому что α может быть исправлено как S'', так и S. И тогда возникает вопрос:

Если я установил, что S исправляет α и β, а S'' исправляет α, уверен ли я, что S'' также исправляет β? Только опыт может научить нас, подтверждается ли этот закон. Если бы он не подтверждался, по крайней мере приблизительно, не было бы никакой геометрии, не было бы никакого пространства, потому что у нас не было бы больше интереса классифицировать внутренние и внешние изменения так, как я только что сделал, и, например, различать изменения состояния от изменений положения.

Интересно посмотреть, какова была роль опыта во всем этом. Он показал мне, что определенный закон приблизительно подтверждается. Он не сказал мне, каково пространство и что оно удовлетворяет рассматриваемому условию. Я знал, на самом деле, еще до всякого опыта, что пространство удовлетворяет этому условию, иначе его бы не было; у меня также нет права говорить, что опыт сказал мне, что геометрия возможна; я прекрасно вижу, что геометрия возможна, поскольку она не содержит противоречий; опыт лишь говорит мне, что геометрия полезна.

6. Зрительное пространство

Хотя двигательные впечатления, как я только что объяснил, имели совершенно преобладающее влияние в генезисе понятия пространства, которое никогда не возникло бы без них, будет нелишним рассмотреть также роль зрительных впечатлений и исследовать, сколько измерений имеет «зрительное пространство», и для этой цели применить к этим впечатлениям определение из § 3.

Возникает первая трудность: рассмотрим ощущение красного цвета, воздействующее на определенную точку сетчатки, и, с другой стороны, ощущение синего цвета, воздействующее на ту же точку сетчатки. Необходимо, чтобы у нас были какие-то средства распознать, что эти два качественно различных ощущения имеют что-то общее. Но, согласно соображениям, изложенным в предыдущем параграфе, мы смогли распознать это только благодаря движениям глаза и наблюдениям, к которым они привели. Если бы глаз был неподвижен или если бы мы не осознавали его движений, мы не смогли бы распознать, что эти два ощущения разного качества имеют что-то общее; мы не смогли бы выделить из них то, что придает им геометрический характер. Зрительные ощущения без мышечных ощущений не имели бы ничего геометрического, так что можно сказать, что чистого зрительного пространства не существует.

Чтобы устранить эту трудность, рассмотрим только ощущения одной природы, например, красные ощущения, отличающиеся друг от друга только точкой сетчатки, на которую они воздействуют. Ясно, что у меня нет причин делать такой произвольный выбор среди всех возможных зрительных ощущений с целью объединения в один класс всех ощущений одного цвета, независимо от того, какая точка сетчатки затронута. Я бы никогда не додумался до этого, если бы раньше не научился, с помощью средств, которые мы только что видели, различать изменения состояния от изменений положения, то есть если бы мой глаз был неподвижен. Два ощущения одного цвета, воздействующие на две разные части сетчатки, показались бы мне качественно различными, точно так же, как два ощущения разного цвета.

Ограничиваясь красными ощущениями, я, таким образом, налагаю на себя искусственное ограничение и систематически пренебрегаю целой стороной вопроса; но только с помощью этого приема я могу анализировать зрительное пространство, не примешивая никаких двигательных ощущений.

Представьте себе линию, начерченную на сетчатке и делящую ее поверхность пополам; и выделите красные ощущения, воздействующие на точку этой линии, или те, которые отличаются от них настолько мало, что их невозможно отличить. Совокупность этих ощущений образует своего рода разрез, который я назову C, и ясно, что этот разрез достаточен для того, чтобы разделить многообразие возможных красных ощущений, и что если я возьму два красных ощущения, воздействующих на две точки, расположенные по ту и другую сторону линии, я не смогу перейти от одного из этих ощущений к другому непрерывным образом, не пройдя в определенный момент через ощущение, принадлежащее разрезу.

Если, следовательно, разрез имеет n измерений, то все многообразие моих красных ощущений, или, если хотите, все зрительное пространство, будет иметь n + 1.

Теперь я выделяю красные ощущения, воздействующие на точку разреза C. Совокупность этих ощущений образует новый разрез C'. Ясно, что он разделит разрез C, всегда придавая слову «разделить» то же самое значение.

Если, следовательно, разрез C' имеет n измерений, то разрез C будет иметь n + 1, а все зрительное пространство — n + 2.

Если бы все красные ощущения, воздействующие на одну и ту же точку сетчатки, рассматривались как идентичные, разрез C', сводящийся к единственному элементу, имел бы 0 измерений, а зрительное пространство имело бы 2.

И все же чаще всего говорят, что глаз дает нам чувство третьего измерения и позволяет в известной мере распознавать расстояние до объектов. Когда мы пытаемся проанализировать это чувство, мы устанавливаем, что оно сводится либо к осознанию конвергенции глаз, либо к усилию аккомодации, которое совершает цилиарная мышца для фокусировки изображения.

Два красных ощущения, воздействующие на одну и ту же точку сетчатки, будут поэтому рассматриваться как идентичные только в том случае, если они сопровождаются одним и тем же ощущением конвергенции, а также одним и тем же ощущением усилия аккомодации, или, по крайней мере, ощущениями конвергенции и аккомодации, настолько мало различающимися, что их невозможно различить.

По этой причине разрез C' сам по себе является континуумом, а разрез C имеет более одного измерения.

Но случается именно так, что опыт учит нас: когда два зрительных ощущения сопровождаются одним и тем же ощущением конвергенции, они также сопровождаются одним и тем же ощущением аккомодации. Если мы затем сформируем новый разрез C'' из всех тех ощущений разреза C', которые сопровождаются определенным ощущением конвергенции, то в соответствии с предыдущим законом они все будут неразличимы и могут рассматриваться как идентичные. Следовательно, C'' не будет континуумом и будет иметь 0 измерений; а так как C'' делит C', из этого будет следовать, что C' имеет одно, C — два, а все зрительное пространство — три измерения.

Но было бы так же, если бы опыт научил нас обратному и если бы определенное ощущение конвергенции не всегда сопровождалось одним и тем же ощущением аккомодации? В этом случае два ощущения, воздействующие на одну и ту же точку сетчатки и сопровождающиеся одним и тем же чувством конвергенции, два ощущения, которые, следовательно, оба принадлежали бы разрезу C'', могли бы тем не менее быть различимы, поскольку они сопровождались бы двумя разными ощущениями аккомодации. Следовательно, C'' был бы в свою очередь континуумом и имел бы одно измерение (по крайней мере); тогда C' имел бы два, C — три, а все зрительное пространство имело бы четыре измерения.

Скажут ли тогда, что именно опыт учит нас тому, что пространство имеет три измерения, поскольку именно исходя из экспериментального закона мы пришли к тому, чтобы приписать ему три? Но мы проделали в этом, так сказать, только эксперимент по физиологии; и так как было бы достаточно надеть на глаза очки соответствующей конструкции, чтобы положить конец согласию между чувствами конвергенции и аккомодации, должны ли мы сказать, что надевание очков достаточно, чтобы пространство стало четырехмерным, и что оптик, который их сконструировал, придал пространству еще одно измерение? Очевидно, нет; все, что мы можем сказать, это то, что опыт научил нас тому, что удобно приписывать пространству три измерения.

Но зрительное пространство — это лишь часть пространства, и даже в самом понятии этого пространства есть нечто искусственное, как я объяснил в начале. Реальное пространство — это моторное пространство, и именно его мы рассмотрим в следующей главе.

ГЛАВА IV

Пространство и его три измерения

1. Группа перемещений

Кратко подытожим полученные результаты. Мы намеревались исследовать, что имеется в виду, когда говорят, что пространство имеет три измерения, и мы сначала спросили, что такое физический континуум и когда можно сказать, что он имеет n измерений. Если мы рассматриваем различные системы впечатлений и сравниваем их друг с другом, мы часто признаем, что две из этих систем впечатлений неразличимы (что обычно выражается словами, что они слишком близки друг к другу и что наши чувства слишком грубы, чтобы мы могли их различить), и мы устанавливаем, кроме того, что две из этих систем иногда могут быть дискриминированы друг от друга, хотя и неразличимы от третьей системы. В этом случае мы говорим, что многообразие этих систем впечатлений образует физический континуум C. И каждая из этих систем называется элементом континуума C.

Сколько измерений имеет этот континуум? Возьмем сначала два элемента A и B континуума C и предположим, что существует ряд Σ элементов, все принадлежащие континууму C, такой, что A и B являются двумя крайними членами этого ряда и что каждый член ряда неразличим от предыдущего. Если такой ряд Σ может быть найден, мы говорим, что A и B соединены друг с другом; и если любые два элемента C соединены друг с другом, мы говорим, что C составляет одно целое.

Теперь возьмем на континууме C определенное число элементов совершенно произвольным образом. Совокупность этих элементов будет называться разрезом. Среди различных рядов Σ, которые соединяют A с B, мы будем различать те, элемент которых неразличим от одного из элементов разреза (мы скажем, что это те, которые «разрезают» разрез), и те, все элементы которых различимы от всех элементов разреза. Если все ряды Σ, которые соединяют A с B, разрезают разрез, мы скажем, что A и B «разделены» разрезом, и что разрез «делит» C. Если мы не можем найти на C два элемента, которые разделены разрезом, мы скажем, что разрез «не делит» C.

После того как эти определения установлены, если континуум C может быть разделен разрезами, которые сами по себе не образуют континуума, этот континуум C имеет только одно измерение; в противном случае он имеет несколько. Если разрез, образующий континуум из 1 измерения, достаточен для того, чтобы разделить C, то C будет иметь 2 измерения; если достаточен разрез, образующий континуум из 2 измерений, то C будет иметь 3 измерения и т. д. Благодаря этим определениям мы всегда можем распознать, сколько измерений имеет любой физический континуум. Остается только найти физический континуум, который, так сказать, эквивалентен пространству, такой, что каждой точке пространства соответствует элемент этого континуума, и что точкам пространства, очень близким друг к другу, соответствуют неразличимые элементы. Тогда пространство будет иметь столько же измерений, сколько этот континуум.

Посредничество этого физического континуума, способного к представлению, необходимо; потому что мы не можем представить себе пространство, и это по множеству причин. Пространство — это математический континуум, оно бесконечно, а мы можем представить себе только физические континуумы и конечные объекты. Различные элементы пространства, которые мы называем точками, все одинаковы, и, чтобы применить наше определение, необходимо, чтобы мы знали, как отличить элементы друг от друга, по крайней мере, если они не слишком близки. Наконец, абсолютное пространство — это бессмыслица, и нам необходимо начать с отнесения пространства к системе осей, неизменно связанных с нашим телом (которое мы всегда должны предполагать возвращенным в исходную позу).

Затем я попытался сформировать с помощью наших зрительных ощущений физический континуум, эквивалентный пространству; это, безусловно, легко, и этот пример особенно подходит для обсуждения числа измерений; это обсуждение позволило нам увидеть, в какой мере позволительно говорить, что «зрительное пространство» имеет три измерения. Только это решение неполно и искусственно. Я объяснил почему, и не на зрительное пространство, а на моторное пространство необходимо направить наши усилия. Я затем напомнил, каково происхождение различия, которое мы проводим между изменениями положения и изменениями состояния. Среди изменений, которые происходят в наших впечатлениях, мы различаем, во-первых, внутренние изменения, произвольные и сопровождающиеся мышечными ощущениями, и внешние изменения, имеющие противоположные характеристики. Мы устанавливаем, что может случиться так, что внешнее изменение может быть «исправлено» внутренним изменением, которое восстанавливает первоначальные ощущения. Внешние изменения, способные быть исправленными внутренним изменением, называются «изменениями положения», те, которые не способны на это, называются «изменениями состояния». Внутренние изменения, способные исправить внешнее изменение, называются «перемещениями всего тела»; другие называются «изменениями позы».

Теперь пусть α и β будут двумя внешними изменениями, α' и β' — двумя внутренними изменениями. Предположим, что α может быть исправлено либо α', либо β', и что α' может исправить либо α, либо β; опыт говорит нам тогда, что β' может аналогичным образом исправить β. В этом случае мы говорим, что α и β соответствуют «одному и тому же» перемещению, а также что α' и β' соответствуют «одному и тому же» перемещению. Это постулировав, мы можем представить себе физический континуум, который мы назовем «континуумом или группой перемещений» и который мы определим следующим образом. Элементами этого континуума будут внутренние изменения, способные исправить внешнее изменение. Два из этих внутренних изменений α' и β' будут рассматриваться как неразличимые: (1) если они таковы естественно, то есть если они слишком близки друг к другу; (2) если α' способен исправить то же самое внешнее изменение, что и третье внутреннее изменение, естественно неразличимое от β'. В этом втором случае они будут, так сказать, неразличимы по соглашению, я имею в виду, по согласию не принимать во внимание обстоятельства, которые могли бы их различить.

Наш континуум теперь полностью определен, так как мы знаем его элементы и установили, при каких условиях они могут рассматриваться как неразличимые. У нас, таким образом, есть все необходимое, чтобы применить наше определение и определить, сколько измерений имеет этот континуум. Мы признаем, что он имеет шесть. Континуум перемещений, следовательно, не эквивалентен пространству, так как число измерений не то же самое; он лишь связан с пространством. Теперь как мы узнаем, что этот континуум перемещений имеет шесть измерений? Мы знаем это «по опыту».

Было бы легко описать эксперименты, с помощью которых мы могли бы прийти к этому результату. Было бы видно, что в этом континууме могут быть сделаны разрезы, которые делят его и которые являются континуумами; что эти разрезы сами могут быть разделены другими разрезами второго порядка, которые также являются континуумами, и что это остановилось бы только после разрезов шестого порядка, которые уже не были бы континуумами. Согласно нашим определениям, это означало бы, что группа перемещений имеет шесть измерений.

Это было бы легко, я сказал, но это было бы довольно долго; и не было бы ли это немного поверхностно? Эта группа перемещений, как мы видели, связана с пространством, и пространство могло бы быть выведено из нее, но она не эквивалентна пространству, так как не имеет того же числа измерений; и когда мы покажем, как может быть сформировано понятие этого континуума и как из него может быть выведено понятие пространства, всегда можно было бы спросить, почему пространство трех измерений гораздо более привычно для нас, чем этот континуум шести измерений, и, следовательно, усомниться, было ли именно этим путем сформировано понятие пространства в человеческом уме.

2. Идентичность двух точек

Что такое точка? Как мы узнаем, идентичны ли две точки пространства или различны? Или, другими словами, когда я говорю: «Объект A занимал в момент α точку, которую объект B занимает в момент β», что это значит?

Такова проблема, которую мы поставили перед собой в предыдущей главе, §4. Как я объяснил, речь идет не о сравнении положений объектов A и B в абсолютном пространстве; вопрос тогда явно не имел бы смысла. Речь идет о сравнении положений этих двух объектов по отношению к осям, неизменно связанным с моим телом, предполагая всегда, что это тело возвращено в ту же позу.

Я предполагаю, что между моментами α и β я не двигал ни своим телом, ни своим глазом, как я знаю из своего мышечного чувства. Я также не двигал ни головой, ни рукой, ни кистью. Я устанавливаю, что в момент α впечатления, которые я приписывал объекту A, передавались мне, некоторые одним из волокон моего зрительного нерва, другие — одним из чувствительных тактильных нервов моего пальца; я устанавливаю, что в момент β другие впечатления, которые я приписываю объекту B, передаются мне, некоторые этим же волокном зрительного нерва, другие — этим же тактильным нервом.

Здесь я должен сделать паузу для объяснения; как мне говорят, что это впечатление, которое я приписываю A, и то, которое я приписываю B, впечатления, которые качественно различны, передаются мне одним и тем же нервом? Должны ли мы предположить, чтобы взять для примера зрительные ощущения, что A производит два одновременных ощущения, чисто световое ощущение a и цветное ощущение a', что B производит таким же образом одновременно световое ощущение b и цветное ощущение b', что если эти различные ощущения передаются мне одним и тем же волокном сетчатки, то a идентично b, но что в общем случае цветные ощущения a' и b', производимые разными телами, различны? В этом случае именно идентичность ощущения a, которое сопровождает a', с ощущением b, которое сопровождает b', говорила бы о том, что все эти ощущения передаются мне одним и тем же волокном.

Как бы то ни было с этой гипотезой, и хотя я склонен предпочесть ей другие, значительно более сложные, несомненно, что нам каким-то образом говорят, что есть что-то общее между этими ощущениями a + a' и b + b', без чего у нас не было бы средств распознать, что объект B занял место объекта A.

Поэтому я не настаиваю далее и напоминаю гипотезу, которую я только что сделал: я предполагаю, что я установил, что впечатления, которые я приписываю B, передаются мне в момент β теми же волокнами, как зрительными, так и тактильными, которые в момент α передали мне впечатления, которые я приписывал A. Если это так, мы не будем колебаться объявить, что точка, занимаемая B в момент β, идентична точке, занимаемой A в момент α.

Я только что сформулировал два условия для идентичности этих точек; одно относится к зрению, другое — к осязанию. Рассмотрим их отдельно. Первое необходимо, но недостаточно. Второе одновременно необходимо и достаточно. Человек, знающий геометрию, мог бы легко объяснить это следующим образом: пусть O — точка сетчатки, где формируется в момент α изображение тела A; пусть M — точка пространства, занимаемая в момент α этим телом A; пусть M' — точка пространства, занимаемая в момент β телом B. Чтобы это тело B сформировало свое изображение в O, не обязательно, чтобы точки M и M' совпадали; поскольку зрение действует на расстоянии, достаточно, чтобы три точки O, M, M' находились на одной прямой. Это условие, что два объекта формируют свое изображение в O, поэтому необходимо, но недостаточно для того, чтобы точки M и M' совпадали. Пусть теперь P — точка, занимаемая моим пальцем и где он остается, так как он не двигается. Поскольку осязание не действует на расстоянии, если тело A касается моего пальца в момент α, это потому, что M и P совпадают; если B касается моего пальца в момент β, это потому, что M' и P совпадают. Следовательно, M и M' совпадают. Таким образом, это условие, что если A касается моего пальца в момент α, B касается его в момент β, является одновременно необходимым и достаточным для того, чтобы M и M' совпадали.

Но мы, которые пока не знаем геометрии, не можем рассуждать так; все, что мы можем сделать, это установить экспериментально, что первое условие, относящееся к зрению, может быть выполнено без второго, которое относится к осязанию, но что второе не может быть выполнено без первого.

Предположим, опыт научил нас обратному, как вполне могло бы быть; эта гипотеза не содержит ничего абсурдного. Предположим, следовательно, что мы экспериментально установили, что условие, относящееся к осязанию, может быть выполнено без выполнения условия зрения и что, напротив, условие зрения не может быть выполнено без выполнения условия осязания. Ясно, что если бы это было так, мы бы заключили, что именно осязание может осуществляться на расстоянии, а зрение не действует на расстоянии.

Но это еще не все; до сих пор я предполагал, что для определения места объекта я использовал только свой глаз и один палец; но я мог бы точно так же использовать другие средства, например, все остальные мои пальцы.

Я предполагаю, что мой первый палец получает в момент α тактильное впечатление, которое я приписываю объекту A. Я совершаю серию движений, соответствующих серии S мышечных ощущений. После этих движений, в момент α', мой второй палец получает тактильное впечатление, которое я приписываю также A. Впоследствии, в момент β, без того, чтобы я сдвинулся, как говорит мне мое мышечное чувство, этот же второй палец передает мне снова тактильное впечатление, которое я приписываю на этот раз объекту B; я затем совершаю серию движений, соответствующих серии S' мышечных ощущений. Я знаю, что эта серия S' является обратной серии S и соответствует противоположным движениям. Я знаю это, потому что многие предыдущие опыты показали мне, что если я совершал последовательно две серии движений, соответствующие S и S', первоначальные впечатления восстанавливались, другими словами, что две серии взаимно компенсируются. Это установив, должен ли я ожидать, что в момент β', когда вторая серия движений закончена, мой первый палец почувствует тактильное впечатление, приписываемое объекту B?

Чтобы ответить на этот вопрос, те, кто уже знает геометрию, рассуждали бы следующим образом: есть шансы, что объект A не сдвинулся между моментами α и α', ни объект B между моментами β и β'; предположим это. В момент α объект A занимал определенную точку M пространства. Теперь в этот момент он касался моего первого пальца, и, «так как осязание не действует на расстоянии», мой первый палец также находился в точке M. Я впоследствии совершил серию S движений и в конце этой серии, в момент α', я установил, что объект A коснулся моего второго пальца. Я отсюда заключаю, что этот второй палец был тогда в M, то есть что движения S имели результатом приведение второго пальца на место первого. В момент β объект B вошел в контакт с моим вторым пальцем: так как я не сдвинулся, этот второй палец остался в M; следовательно, объект B пришел в M; по гипотезе он не двигается до момента β'. Но между моментами β и β' я совершил движения S'; так как эти движения являются обратными движениям S, они должны иметь эффектом приведение первого пальца на место второго. В момент β' этот первый палец будет, следовательно, в M; и так как объект B также в M, этот объект B коснется моего первого пальца. На поставленный вопрос ответ, следовательно, должен быть «да».

Мы, которые еще не знаем геометрии, не можем рассуждать так; но мы устанавливаем, что это ожидание обычно реализуется; и мы всегда можем объяснить исключения, говоря, что объект A переместился между моментами α и α', или объект B между моментами β и β'.

Но не мог ли опыт дать противоположный результат? Был бы этот противоположный результат абсурдным сам по себе? Очевидно, нет. Что мы сделали бы тогда, если бы опыт дал этот противоположный результат? Стала бы вся геометрия таким образом невозможной? Ничуть. Мы бы удовлетворились заключением, «что осязание может действовать на расстоянии».

Когда я говорю: «осязание не действует на расстоянии, но зрение действует на расстоянии», это утверждение имеет только одно значение, которое заключается в следующем: чтобы распознать, занимает ли B в момент β точку, занимаемую A в момент α, я могу использовать множество различных критериев. В одном вмешивается мой глаз, в другом — мой первый палец, в третьем — мой второй палец и т. д. Так вот, достаточно, чтобы критерий, относящийся к одному из моих пальцев, был удовлетворен, чтобы все остальные были удовлетворены, но недостаточно, чтобы был удовлетворен критерий, относящийся к глазу. Это смысл моего утверждения. Я довольствуюсь утверждением экспериментального факта, который обычно подтверждается.

В конце предыдущей главы мы проанализировали зрительное пространство; мы увидели, что для порождения этого пространства необходимо привлечь ретинальные ощущения, ощущение конвергенции и ощущение аккомодации; что если бы эти последние два не всегда были в согласии, зрительное пространство имело бы четыре измерения вместо трех; мы также видели, что если бы мы привлекли только ретинальные ощущения, мы получили бы «простое зрительное пространство» всего двух измерений. С другой стороны, рассмотрим тактильное пространство, ограничиваясь ощущениями одного пальца, то есть, в сумме, совокупностью положений, которые этот палец может занимать. Это тактильное пространство, которое мы проанализируем в следующем разделе и которое, следовательно, я прошу разрешения пока не рассматривать далее, это тактильное пространство, говорю я, имеет три измерения. Почему пространство, собственно так называемое, имеет столько же измерений, сколько тактильное пространство, и больше, чем простое зрительное пространство? Это потому, что осязание не действует на расстоянии, в то время как зрение действует на расстоянии. Эти два утверждения имеют один и тот же смысл, и мы только что видели, какой именно.

Теперь я возвращаюсь к пункту, который я прошел быстро, чтобы не прерывать обсуждение. Как мы узнаем, что впечатления, произведенные на нашу сетчатку A в момент α и B в момент β, передаются одним и тем же ретинальным волокном, хотя эти впечатления качественно различны? Я предложил простую гипотезу, добавив при этом, что другие гипотезы, определенно более сложные, показались бы мне более вероятно истинными. Вот тогда эти гипотезы, о которых я уже сказал слово. Как мы узнаем, что впечатления, произведенные красным объектом A в момент α и синим объектом B в момент β, если эти два объекта были отображены на одну и ту же точку сетчатки, имеют что-то общее? Простая гипотеза, сделанная выше, может быть отвергнута, и мы можем предположить, что эти два впечатления, качественно различные, передаются двумя разными, хотя и смежными нервными волокнами. Какие средства у меня тогда есть, чтобы узнать, что эти волокна смежны? Вероятно, у нас их не было бы, если бы глаз был неподвижен. Именно движения глаза сказали нам, что существует то же отношение между ощущением синего в точке A и ощущением синего в точке B сетчатки, что и между ощущением красного в точке A и ощущением красного в точке B. Они показали нам, на самом деле, что одни и те же движения, соответствующие одним и тем же мышечным ощущениям, переносят нас от первого ко второму или от третьего к четвертому. Я не подчеркиваю эти соображения, которые относятся, как видно, к вопросу о локальных знаках, поднятому Лотце.

3. Тактильное пространство

Таким образом, я знаю, как распознать идентичность двух точек, точки, занимаемой A в момент α, и точки, занимаемой B в момент β, но только «при одном условии», а именно, что я не сдвинулся между моментами α и β. Этого недостаточно для нашей цели. Предположим, следовательно, что я переместился каким-либо образом в интервале между этими двумя моментами, как я узнаю, идентична ли точка, занимаемая A в момент α, точке, занимаемой B в момент β? Я предполагаю, что в момент α объект A был в контакте с моим первым пальцем и что таким же образом, в момент β, объект B касается этого первого пальца; но в то же время мое мышечное чувство сказало мне, что в интервале мое тело переместилось. Я рассмотрел выше две серии мышечных ощущений S и S', и я сказал, что иногда случается, что мы приходим к рассмотрению двух таких серий S и S' как обратных одна другой, потому что мы часто наблюдали, что когда эти две серии следуют одна за другой, наши первоначальные впечатления восстанавливаются.

Если тогда мое мышечное чувство говорит мне, что я переместился между двумя моментами α и β, но так, чтобы почувствовать последовательно две серии мышечных ощущений S и S', которые я считаю обратными, я все равно заключу, точно так же, как если бы я не сдвинулся, что точки, занимаемые A в момент α и B в момент β, идентичны, если я установлю, что мой первый палец касается A в момент α, а B — в момент β.

Это решение еще не полностью удовлетворительно, как будет видно. Посмотрим, на самом деле, сколько измерений оно заставило бы нас приписать пространству. Я хочу сравнить две точки, занимаемые A и B в моменты α и β, или (что сводится к тому же самому, так как я предполагаю, что мой палец касается A в момент α, а B — в момент β) я хочу сравнить две точки, занимаемые моим пальцем в два момента α и β. Единственное средство, которое я использую для этого сравнения, — это серия Σ мышечных ощущений, которые сопровождали движения моего тела между этими двумя моментами. Различные вообразимые серии Σ образуют, очевидно, физический континуум, число измерений которого очень велико. Договоримся, как я сделал, не рассматривать как различные две серии Σ и Σ + S + S', когда S и S' являются обратными одна другой в смысле, данном выше этому слову; несмотря на это соглашение, совокупность различных серий Σ все равно будет образовывать физический континуум, и число измерений будет меньше, но все еще очень велико.

Каждой из этих серий Σ соответствует точка пространства; двум сериям Σ и Σ' соответствуют таким образом две точки M и M'. Средства, которые мы до сих пор использовали, позволяют нам распознать, что M и M' не различны в двух случаях: (1) если Σ идентично Σ'; (2) если Σ' = Σ + S + S', где S и S' являются обратными одна другой. Если во всех остальных случаях мы должны рассматривать M и M' как различные, многообразие точек имело бы столько же измерений, сколько совокупность различных серий Σ, то есть гораздо больше трех.

Для тех, кто уже знает геометрию, следующее объяснение было бы легко понятным. Среди вообразимых серий мышечных ощущений есть те, которые соответствуют сериям движений, где палец не двигается. Я говорю, что если не рассматривать как различные серии Σ и Σ + σ, где серия σ соответствует движениям, при которых палец не двигается, совокупность серий будет составлять континуум трех измерений, но если рассматривать как различные две серии Σ и Σ', если только Σ' = Σ + S + S', где S и S' являются обратными, совокупность серий будет составлять континуум более чем трех измерений.

На самом деле, пусть будет в пространстве поверхность A, на этой поверхности линия B, на этой линии точка M. Пусть C0 будет совокупностью всех серий Σ. Пусть C1 будет совокупностью всех серий Σ таких, что в конце соответствующих движений палец оказывается на поверхности A, а C2 или C3 — совокупностью серий Σ таких, что в конце палец оказывается на B или в M. Ясно, во-первых, что C1 будет составлять разрез, который разделит C0, что C2 будет разрезом, который разделит C1, а C3 — разрезом, который разделит C2. Отсюда следует, в соответствии с нашими определениями, что если C3 является континуумом n измерений, C0 будет физическим континуумом n + 3 измерений.

Следовательно, пусть Σ и Σ' = Σ + σ будут двумя сериями, входящими в состав C3; для обеих, в конце движений, палец оказывается в M; отсюда следует, что в начале и в конце серии σ палец находится в той же точке M. Эта серия σ, следовательно, одна из тех, которые соответствуют движениям, где палец не двигается. Если Σ и Σ + σ не рассматриваются как различные, все серии C3 сливаются в одну; следовательно, C3 будет иметь 0 измерений, а C0 будет иметь 3, как я хотел доказать. Если, напротив, я не рассматриваю Σ и Σ + σ как сливающиеся (если только σ = S + S', где S и S' являются обратными), ясно, что C3 будет содержать большое число серий различных ощущений; потому что, без движения пальца, тело может принимать множество различных поз. Тогда C3 образует континуум, а C0 будет иметь более трех измерений, и это я также хотел доказать.

Мы, которые еще не знаем геометрии, не можем рассуждать таким образом; мы можем только проверять. Но тогда возникает вопрос: как, до изучения геометрии, мы были приведены к тому, чтобы отличать от других эти серии σ, где палец не двигается? Это, на самом деле, только после того, как мы провели это различие, мы могли быть приведены к тому, чтобы рассматривать Σ и Σ + σ как идентичные, и именно при этом условии, как мы только что видели, мы можем прийти к пространству трех измерений.

Мы приведены к различению серий σ, потому что часто случается, что когда мы выполнили движения, соответствующие этим сериям σ мышечных ощущений, тактильные ощущения, которые передаются нам нервом пальца, который мы назвали первым пальцем, сохраняются и не изменяются этими движениями. Опыт один говорит нам об этом, и только он мог бы сказать.

Если мы отличили серию мышечных ощущений S + S', образованную объединением двух обратных серий, это потому, что они сохраняют совокупность наших впечатлений; если теперь мы отличаем серии σ, это потому, что они сохраняют «некоторые» из наших впечатлений. (Когда я говорю, что серия мышечных ощущений S «сохраняет» одно из наших впечатлений A, я имею в виду, что мы устанавливаем, что если мы чувствуем впечатление A, затем мышечные ощущения S, мы «все еще» чувствуем впечатление A «после» этих ощущений S.)

Я сказал выше, что часто случается, что серии σ не изменяют тактильные ощущения, чувствуемые нашим первым пальцем; я сказал «часто», я не сказал «всегда». Это то, что мы выражаем в нашем обычном языке, говоря, что тактильные ощущения не изменились бы, если палец не двигался, «при условии», что «не двигался» и объект A, который был в контакте с этим пальцем. До изучения геометрии мы не могли дать это объяснение; все, что мы могли сделать, это установить, что впечатление часто сохраняется, но не всегда.

Но того, что впечатление часто продолжается, достаточно, чтобы сделать серии σ примечательными для нас, чтобы привести нас к тому, чтобы поместить в один класс серии Σ и Σ + σ, и, следовательно, не рассматривать их как различные. При этих условиях мы видели, что они порождают физический континуум трех измерений.

Вот тогда пространство трех измерений, порожденное моим первым пальцем. Каждый из моих пальцев создаст подобное ему. Остается рассмотреть, как мы приходим к тому, чтобы рассматривать их как идентичные со зрительным пространством, как идентичные с геометрическим пространством.

Но одно размышление перед тем, как идти дальше; согласно вышесказанному, мы знаем точки пространства, или, более общо, конечное положение нашего тела, только по серии мышечных ощущений, открывающих нам движения, которые перенесли нас из определенного начального положения в это конечное положение. Но ясно, что это конечное положение будет зависеть, с одной стороны, от этих движений и, «с другой стороны», от начального положения, из которого мы исходим. Теперь эти движения открываются нам нашими мышечными ощущениями; но ничто не говорит нам о начальном положении; ничто не может отличить его для нас от всех других возможных положений. Это хорошо подчеркивает существенную относительность пространства.

4. Идентичность различных пространств

Мы, следовательно, приведены к сравнению двух континуумов C и C', порожденных, например, один моим первым пальцем D, другой — моим вторым пальцем D'. Эти два физических континуума оба имеют три измерения. Каждому элементу континуума C, или, если хотите, каждой точке первого тактильного пространства, соответствует серия мышечных ощущений Σ, которые переносят меня из определенного начального положения в определенное конечное положение. [8] Более того, той же точке этого первого пространства будут соответствовать Σ и Σ + σ, если σ — серия, о которой мы знаем, что она не заставляет палец D двигаться.

Аналогично тому, как каждому элементу континуума C´ или каждой точке второго тактильного пространства соответствует ряд ощущений Σ´, той же самой точке будут соответствовать Σ´ и Σ´ + σ´, если σ´ — это ряд, который не заставляет палец D´ двигаться.

То, что заставляет нас отличать различные ряды, обозначаемые σ, от тех, что называются σ´, заключается в том, что первые не изменяют тактильных впечатлений, ощущаемых пальцем D, а вторые сохраняют те, что ощущает палец D´.

Теперь посмотрим, что мы устанавливаем: вначале мой палец D´ ощущает ощущение A´; я совершаю движения, которые производят мышечные ощущения S; мой палец D ощущает впечатление A; я совершаю движения, которые производят ряд ощущений σ; мой палец D продолжает ощущать впечатление A, поскольку это характеристическое свойство ряда σ; затем я совершаю движения, которые производят ряд S´ мышечных ощущений, обратный S в смысле, приданном выше этому слову. Тогда я устанавливаю, что мой палец D´ вновь ощущает впечатление A´. (Разумеется, подразумевается, что S было выбрано подходящим образом.)

Это означает, что ряд S + σ + S´, сохраняющий тактильные впечатления пальца D´, является одним из тех рядов, которые я назвал σ´. И наоборот, если взять любой ряд σ´, то S´ + σ´ + S будет одним из рядов, которые мы называем σ.

Таким образом, если S выбрано подходящим образом, S + σ + S´ будет рядом σ´, и, заставляя σ варьироваться всеми возможными способами, мы получим все возможные ряды σ´.

Еще не зная геометрии, мы ограничиваемся проверкой всего этого, но вот как объяснили бы этот факт те, кто знает геометрию. Вначале мой палец D´ находится в точке M, в контакте с объектом a, который заставляет его ощущать впечатление A´. Я совершаю движения, соответствующие ряду S; я сказал, что этот ряд должен быть выбран подходящим образом, я должен сделать этот выбор так, чтобы эти движения перенесли палец D в точку, первоначально занимаемую пальцем D´, то есть в точку M; этот палец D будет, таким образом, в контакте с объектом a, который заставит его ощущать впечатление A.

Затем я совершаю движения, соответствующие ряду σ; при этих движениях, по гипотезе, положение пальца D не меняется, этот палец, следовательно, остается в контакте с объектом a и продолжает ощущать впечатление A. Наконец, я совершаю движения, соответствующие ряду S´. Поскольку S´ является обратным к S, эти движения переносят палец D´ в точку, ранее занимаемую пальцем D, то есть в точку M. Если, как можно предположить, объект a не сдвинулся с места, этот палец D´ будет в контакте с этим объектом и вновь ощутит впечатление A´.... Что и требовалось доказать.

Посмотрим на следствия. Я рассматриваю ряд мышечных ощущений Σ. Этому ряду будет соответствовать точка M первого тактильного пространства. Теперь возьмем снова два ряда S и S´, обратные друг другу, о которых мы только что говорили. Ряду S + Σ + S´ будет соответствовать точка N второго тактильного пространства, поскольку любому ряду мышечных ощущений соответствует, как мы сказали, точка, будь то в первом пространстве или во втором.

Я собираюсь рассматривать две точки N и M, определенные таким образом, как соответствующие друг другу. Что уполномочивает меня так поступать? Чтобы это соответствие было допустимым, необходимо, чтобы если две точки M и M´, соответствующие в первом пространстве двум рядам Σ и Σ´, идентичны, то идентичны и две соответствующие точки второго пространства N и N´, то есть две точки, которые соответствуют двум рядам S + Σ + S´ и S + Σ´ + S´. Теперь мы увидим, что это условие выполняется.

Сначала замечание. Поскольку S и S´ являются обратными друг другу, мы будем иметь S + S´ = 0, и, следовательно, S + S´ + Σ = Σ + S + S´ = Σ, или, опять же, Σ + S + S´ + Σ´ = Σ + Σ´; но из этого не следует, что мы имеем S + Σ + S´ = Σ; потому что, хотя мы использовали знак сложения для представления последовательности наших ощущений, ясно, что порядок этой последовательности не безразличен: мы не можем, следовательно, как при обычном сложении, инвертировать порядок членов; говоря сокращенно, наши операции ассоциативны, но не коммутативны.

Приняв это, для того чтобы Σ и Σ´ соответствовали одной и той же точке M = M´ первого пространства, необходимо и достаточно, чтобы мы имели Σ´ = Σ + σ. Тогда мы будем иметь: S + Σ´ + S´ = S + Σ + σ + S´ = S + Σ + S´ + S + σ + S´.

Но мы только что установили, что S + σ + S´ был одним из рядов σ´. Следовательно, мы будем иметь: S + Σ´ + S´ = S + Σ + S´ + σ´, что означает, что ряды S + Σ´ + S´ и S + Σ + S´ соответствуют одной и той же точке N = N´ второго пространства. Что и требовалось доказать.

Наши два пространства, следовательно, соответствуют друг другу точка в точку; они могут быть «преобразованы» одно в другое; они изоморфны. Как мы приходим к заключению отсюда, что они идентичны?

Рассмотрим два ряда σ и S + σ + S´ = σ´. Я сказал, что часто, но не всегда, ряд σ сохраняет тактильное впечатление A, ощущаемое пальцем D; и аналогично часто случается, но не всегда, что ряд σ´ сохраняет тактильное впечатление A´, ощущаемое пальцем D´. Теперь я устанавливаю, что очень часто (то есть гораздо чаще, чем то, что я только что назвал «часто») случается, что когда ряд σ сохранил впечатление A пальца D, ряд σ´ сохраняет в то же время впечатление A´ пальца D´; и, наоборот, что если первое впечатление изменено, то второе — аналогично. Это случается очень часто, но не всегда.

Мы интерпретируем этот экспериментальный факт, говоря, что неизвестный объект a, который дает впечатление A пальцу D, идентичен неизвестному объекту a´, который дает впечатление A´ пальцу D´. И в самом деле, когда первый объект движется, о чем нам говорит исчезновение впечатления A, второй движется аналогично, поскольку впечатление A´ исчезает аналогично. Когда первый объект остается неподвижным, второй остается неподвижным. Если эти два объекта идентичны, так как первый находится в точке M первого пространства, а второй — в точке N второго пространства, то эти две точки идентичны. Вот как мы приходим к тому, чтобы рассматривать эти два пространства как идентичные; или, лучше сказать, это то, что мы имеем в виду, когда говорим, что они идентичны.

То, что мы только что сказали об идентичности двух тактильных пространств, делает излишним наше обсуждение вопроса об идентичности тактильного пространства и визуального пространства, который мог бы быть рассмотрен таким же образом.

5. Пространство и эмпиризм

Кажется, что я вот-вот приду к выводам, согласующимся с эмпирическими идеями. Я, по сути, стремился выявить роль опыта и проанализировать экспериментальные факты, которые участвуют в генезисе пространства трех измерений. Но какова бы ни была важность этих фактов, есть одна вещь, о которой мы не должны забывать и на которую, кроме того, я не раз обращал внимание. Эти экспериментальные факты часто подтверждаются, но не всегда. Это, очевидно, не означает, что пространство часто имеет три измерения, но не всегда.

Я хорошо знаю, что легко спастись, и если факты не подтверждаются, это будет легко объяснено тем, что внешние объекты переместились. Если опыт удается, мы говорим, что он учит нас пространству; если он не удается, мы обращаемся к внешним объектам, которые обвиняем в том, что они переместились; другими словами, если он не удается, ему дают толчок.

Эти толчки легитимны; я не отказываюсь их признавать; но их достаточно, чтобы сказать нам, что свойства пространства не являются экспериментальными истинами в собственном смысле слова. Если бы мы пожелали проверить другие законы, мы могли бы также преуспеть, дав другие аналогичные толчки. Разве мы не всегда смогли бы оправдать эти толчки теми же причинами? Можно было бы самое большее сказать нам: «Ваши толчки, несомненно, легитимны, но вы ими злоупотребляете; зачем так часто перемещать внешние объекты?»

Подводя итог, опыт не доказывает нам, что пространство имеет три измерения; он лишь доказывает нам, что удобно приписывать ему три, потому что таким образом число толчков сводится к минимуму.

Я добавлю, что опыт приводит нас в контакт только с репрезентативным пространством, которое является физическим континуумом, но никогда с геометрическим пространством, которое является математическим континуумом. В крайнем случае, казалось бы, он говорит нам, что удобно придать геометрическому пространству три измерения, чтобы оно имело столько же, сколько репрезентативное пространство.

Эмпирический вопрос может быть поставлен в другой форме. Невозможно ли мыслить физические явления, например, механические явления, иначе, чем в пространстве трех измерений? Мы имели бы, таким образом, объективное экспериментальное доказательство, так сказать, независимое от нашей физиологии, от наших способов представления.

Но это не так; я не буду здесь обсуждать этот вопрос полностью, я ограничусь напоминанием о поразительном примере, данном нам механикой Герца. Вы знаете, что великий физик не верил в существование сил в собственном смысле слова; он предполагал, что видимые материальные точки подчиняются определенным невидимым связям, которые соединяют их с другими невидимыми точками, и что именно эффект этих невидимых связей мы приписываем силам.

Но это лишь часть его идей. Предположим систему, образованную из n материальных точек, видимых или нет; это даст в общей сложности 3n координат; будем рассматривать их как координаты одной точки в пространстве 3n измерений. Эта единственная точка была бы вынуждена оставаться на поверхности (любого числа измерений < 3n) в силу связей, о которых мы только что говорили; чтобы пройти по этой поверхности из одной точки в другую, она всегда выбирала бы кратчайший путь; это был бы единственный принцип, который суммировал бы всю механику.

Что бы ни думали об этой гипотезе, будем ли мы привлечены ее простотой или оттолкнуты ее искусственным характером, простой факт, что Герц смог ее задумать и рассматривать как более удобную, чем наши привычные гипотезы, достаточен, чтобы доказать, что наши обычные идеи и, в частности, три измерения пространства ни в коем случае не навязаны механике с непреодолимой силой.

6. Разум и пространство

Опыт, следовательно, сыграл только одну роль, он послужил поводом. Но эта роль была тем не менее очень важной; и я счел необходимым придать ей значение. Эта роль была бы бесполезна, если бы существовала априорная форма, навязывающая себя нашей чувствительности, и которой было бы пространство трех измерений.

Существует ли эта форма, или, если хотите, можем ли мы представить себе пространство более чем трех измерений? И прежде всего, что означает этот вопрос? В истинном смысле слова ясно, что мы не можем представить себе пространство четырех, как и пространство трех измерений; мы не можем сначала представить их себе пустыми, и не можем представить себе объект ни в пространстве четырех, ни в пространстве трех измерений: (1) Потому что эти пространства оба бесконечны, и мы не можем представить себе фигуру в пространстве, то есть часть в целом, не представляя целого, а это невозможно, потому что оно бесконечно; (2) потому что эти пространства оба являются математическими континуумами, а мы можем представить себе только физический континуум; (3) потому что эти пространства оба однородны, а рамки, в которые мы заключаем наши ощущения, будучи ограниченными, не могут быть однородными.

Таким образом, поставленный вопрос может быть понят только одним способом; возможно ли вообразить, что, если бы результаты опытов, описанных выше, были иными, мы могли бы быть приведены к тому, чтобы приписать пространству более трех измерений; вообразить, например, что ощущение аккомодации могло бы не находиться постоянно в согласии с ощущением конвергенции глаз; или, действительно, что опыты, о которых мы говорили в § 2 и результат которых мы выражаем словами «что осязание не действует на расстоянии», могли бы привести нас к обратному заключению.

И тогда да, очевидно, что это возможно; с того момента, как воображают опыт, воображают тем самым два противоположных результата, которые он может дать. Это возможно, но это трудно, потому что мы должны преодолеть множество ассоциаций идей, которые являются плодом долгого личного опыта и еще более долгого опыта рода. Являются ли эти ассоциации (или, по крайней мере, те из них, которые мы унаследовали от наших предков), которые составляют эту априорную форму, о которой говорят, что мы имеем чистое созерцание? Тогда я не вижу, почему следовало бы объявлять ее невосприимчивой к анализу и отказывать мне в праве исследовать ее происхождение.

Когда говорят, что наши ощущения «протяженны», можно иметь в виду только одно, а именно то, что они всегда связаны с идеей определенных мышечных ощущений, соответствующих движениям, которые позволяют нам достичь объекта, вызывающего их, которые позволяют нам, другими словами, защититься от него. И именно потому, что эта ассоциация полезна для защиты организма, она так стара в истории вида и кажется нам неразрушимой. Тем не менее, это только ассоциация, и мы можем вообразить, что она может быть разорвана; так что мы можем сказать не то, что ощущение не может войти в сознание, не входя в пространство, а то, что на самом деле оно не входит в сознание, не входя в пространство, что означает, не будучи запутанным в этой ассоциации.

Я также не могу понять, когда говорят, что идея времени логически последует за пространством, поскольку мы можем представить его себе только в форме прямой линии; с таким же успехом можно сказать, что время логически последует за возделыванием прерий, поскольку оно обычно изображается вооруженным косой. То, что нельзя представить себе одновременно различные части времени, само собой разумеется, поскольку существенный характер этих частей заключается именно в том, чтобы не быть одновременными. Это не означает, что мы не имеем интуиции времени. Если уж на то пошло, мы не должны иметь и интуиции пространства, потому что мы также не можем представить его в собственном смысле слова по причинам, которые я упомянул. То, что мы представляем себе под названием прямой, — это грубый образ, который так же плохо напоминает геометрическую прямую, как и само время.

Почему было сказано, что каждая попытка придать четвертое измерение пространству всегда сводит его к одному из других трех? Это легко понять. Рассмотрим наши мышечные ощущения и «ряды», которые они могут образовывать. Вследствие многочисленных опытов идеи этих рядов связаны вместе в очень сложную ткань, наши ряды классифицированы. Позвольте мне для удобства языка выразить свою мысль совершенно грубым и даже неточным способом, сказав, что наши ряды мышечных ощущений классифицированы в три класса, соответствующие трем измерениям пространства. Конечно, эта классификация гораздо сложнее, чем эта, но этого будет достаточно, чтобы сделать мое рассуждение понятным. Если я хочу вообразить четвертое измерение, я предположу другой ряд мышечных ощущений, составляющий часть четвертого класса. Но так как все мои мышечные ощущения уже были классифицированы в одном из трех предсуществующих классов, я могу представить себе только ряд, принадлежащий к одному из этих трех классов, так что мое четвертое измерение сводится к одному из других трех.

Что это доказывает? Вот что: что необходимо было бы сначала разрушить старую классификацию и заменить ее новой, в которой ряды мышечных ощущений были бы распределены на четыре класса. Трудность исчезла бы.

Это иногда представляется в более поразительной форме. Предположим, я заключен в камеру между шестью непроходимыми границами, образованными четырьмя стенами, полом и потолком; мне будет невозможно выйти и вообразить, как я выхожу. Простите, разве вы не можете вообразить, что дверь открывается или что две из этих стен расходятся? Но, конечно, ответите вы, нужно предположить, что эти стены остаются неподвижными. Да, но очевидно, что я имею право двигаться; и тогда стены, которые мы предполагаем абсолютно покоящимися, будут находиться в движении по отношению ко мне. Да, но такое относительное движение не может быть произвольным; когда объекты находятся в покое, их относительное движение по отношению к любым осям есть движение твердого тела; теперь, кажущиеся движения, которые вы воображаете, не соответствуют законам движения твердого тела. Да, но именно опыт научил нас законам движения твердого тела; ничто не помешало бы нам вообразить их иными. Подводя итог, чтобы я вообразил, что выхожу из своей тюрьмы, мне достаточно вообразить, что стены кажутся открывающимися, когда я двигаюсь.

Я полагаю, следовательно, что если под пространством понимается математический континуум трех измерений, будь он в остальном аморфным, то именно разум конструирует его, но он не конструирует его из ничего; ему нужны материалы и модели. Эти материалы, как и эти модели, предсуществуют внутри него. Но нет ни одной модели, которая была бы навязана ему; он имеет выбор; он может выбирать, например, между пространством четырех и пространством трех измерений. Какова же тогда роль опыта? Он дает указания, следуя которым делается выбор.

Другая вещь: откуда пространство получает свой количественный характер? Он происходит от роли, которую ряды мышечных ощущений играют в его генезисе. Это ряды, которые могут повторяться, и именно из их повторения происходит число; именно потому, что они могут повторяться бесконечно, пространство бесконечно. И наконец, мы видели в конце раздела 3, что именно из-за этого пространство относительно. Так что именно повторение придало пространству его существенные характеристики; теперь повторение предполагает время; этого достаточно, чтобы сказать, что время логически предшествует пространству.

7. Роль полукружных каналов

Я до сих пор не говорил о роли определенных органов, которым физиологи с полным основанием приписывают капитальное значение, я имею в виду полукружные каналы. Многочисленные эксперименты достаточно показали, что эти каналы необходимы для нашего чувства ориентации; но физиологи не вполне согласны; были предложены две противоположные теории: теория Маха-Делажа и теория М. де Сиона.

М. де Сион — физиолог, сделавший свое имя прославленным важными открытиями в области иннервации сердца; я не могу, однако, согласиться с его идеями по рассматриваемому вопросу. Не будучи физиологом, я колеблюсь критиковать эксперименты, которые он направил против противоположной теории Маха-Делажа; мне кажется, однако, что они не убедительны, потому что во многих из них общее давление заставляли варьироваться в одном из каналов, тогда как физиологически варьируется разность между давлениями на двух концах канала; в других органы подвергались глубоким поражениям, которые должны изменять их функции.

К тому же это не важно; эксперименты, если бы они были безупречными, могли бы быть убедительными против старой теории. Они не были бы убедительными для новой теории. На самом деле, если я правильно понял теорию, моего объяснения будет достаточно, чтобы понять, что невозможно вообразить эксперимент, подтверждающий ее.

Три пары каналов имели бы единственной функцией говорить нам, что пространство имеет три измерения. Японские мыши имеют только две пары каналов; они верят, по-видимому, что пространство имеет только два измерения, и они проявляют это мнение самым странным образом; они встают в круг и, так упорядоченные, быстро вращаются вокруг. Миноги, имея только одну пару каналов, верят, что пространство имеет только одно измерение, но их проявления менее бурны.

Очевидно, что такая теория недопустима. Органы чувств предназначены сообщать нам об изменениях, которые происходят во внешнем мире. Мы не могли бы понять, почему Творец должен был дать нам органы, предназначенные кричать без конца: «Помни, что пространство имеет три измерения», поскольку число этих трех измерений не подвержено изменениям.

Мы должны, следовательно, вернуться к теории Маха-Делажа. То, что нервы каналов могут нам сказать, — это разность давления на двух концах одного и того же канала, и тем самым: (1) направление вертикали по отношению к трем осям, жестко связанным с головой; (2) три компоненты ускорения поступательного движения центра тяжести головы; (3) центробежные силы, развиваемые вращением головы; (4) ускорение вращательного движения головы.

Из экспериментов М. Делажа следует, что именно это последнее указание является самым важным; несомненно, потому, что нервы менее чувствительны к самой разности давления, чем к резким изменениям этой разности. Первые три указания могут, таким образом, быть отброшены.

Зная ускорение вращательного движения головы в каждый момент, мы выводим из него путем бессознательного интегрирования окончательную ориентацию головы, отнесенную к некоторой начальной ориентации, принятой за начало отсчета. Полукружные каналы способствуют, следовательно, информированию нас о движениях, которые мы совершили, и на том же основании, что и мышечные ощущения. Когда, следовательно, выше мы говорим о ряде S или о ряде Σ, мы должны сказать не то, что это были ряды только мышечных ощущений, а то, что это были ряды одновременно мышечных ощущений и ощущений, обусловленных полукружными каналами. Помимо этого добавления, мы не должны были бы ничего менять в том, что предшествует.

В рядах S и Σ эти ощущения полукружных каналов, очевидно, занимают очень важное место. Однако одни они не были бы достаточны, потому что они могут сказать нам только о движениях головы; они ничего не говорят нам об относительных движениях тела или членов по отношению к голове. И более того, кажется, что они говорят нам только о вращениях головы, а не о поступательных движениях, которые она может совершать.

ЧАСТЬ II ФИЗИЧЕСКИЕ НАУКИ

ГЛАВА V

Анализ и физика

I

Вас, несомненно, часто спрашивали, в чем польза математики и не являются ли эти тонкие конструкции, полностью созданные разумом, искусственными и рожденными нашей прихотью.

Среди тех, кто задает этот вопрос, я должен сделать различие; практичные люди просят у нас только средства зарабатывания денег. Они не заслуживают ответа; скорее было бы уместно спросить их, в чем польза накопления такого богатства и должны ли мы, чтобы получить время на его приобретение, пренебрегать искусством и наукой, которые одни дают нам души, способные наслаждаться им, «и ради жизни жертвовать всеми причинами для жизни».

К тому же, наука, созданная исключительно в расчете на приложения, невозможна; истины плодотворны, только если они связаны вместе. Если мы посвящаем себя исключительно тем истинам, от которых ожидаем немедленного результата, промежуточные звенья отсутствуют, и цепи больше не будет.

Люди, наиболее пренебрежительно относящиеся к теории, получают от нее, сами того не подозревая, свой хлеб насущный; лишенный этой пищи, прогресс быстро прекратился бы, и мы вскоре застыли бы в неподвижности старого Китая.

Но довольно бескомпромиссных практиков! Помимо них, есть те, кто интересуется только природой и кто спрашивает нас, можем ли мы позволить им узнать ее лучше.

Чтобы ответить им, нам достаточно показать им два памятника, уже грубо обтесанных: Небесную механику и Математическую физику.

Они, несомненно, признали бы, что эти структуры стоят тех усилий, которых они нам стоили. Но этого недостаточно. Математика имеет тройную цель. Она должна предоставить инструмент для изучения природы. Но это не все: она имеет философскую цель и, осмелюсь утверждать, эстетическую цель. Она должна помочь философу постичь понятия числа, пространства, времени. И прежде всего, ее адепты находят в ней наслаждения, аналогичные тем, что дают живопись и музыка. Они восхищаются тонкой гармонией чисел и форм; они изумляются, когда новое открытие открывает им неожиданную перспективу; и разве радость, которую они при этом чувствуют, не имеет эстетического характера, даже если чувства не принимают в этом участия? Только привилегированные немногие призваны наслаждаться ею в полной мере, это правда, но разве не так обстоит дело со всеми благороднейшими искусствами?

Вот почему я не колеблясь говорю, что математика заслуживает того, чтобы ее культивировали ради нее самой, и теории, неприменимые к физике, так же, как и другие. Даже если бы физическая цель и эстетическая цель не были объединены, мы не должны были бы жертвовать ни одной из них.

Но более того: эти две цели неразделимы, и лучший способ достижения одной — это стремиться к другой, или, по крайней мере, никогда не упускать ее из виду. Это то, что я собираюсь попытаться продемонстрировать, излагая природу отношений между чистой наукой и ее приложениями.

Математик не должен быть для физика простым поставщиком формул; между ними должно быть более тесное сотрудничество. Математическая физика и чистый анализ — это не просто соседние державы, поддерживающие хорошие добрососедские отношения; они взаимно проникают друг в друга, и их дух один и тот же. Это будет лучше понято, когда я покажу, что физика получает от математики и что математика, в свою очередь, заимствует у физики.

II

Физик не может просить аналитика открыть ему новую истину; последний мог бы самое большее только помочь ему предвидеть ее. Прошло много времени с тех пор, как еще мечтали предвосхитить эксперимент или построить весь мир на определенных преждевременных гипотезах. От всех тех конструкций, в которых еще наивно наслаждались целую вечность, сегодня остались только руины.

Все законы, следовательно, выводятся из опыта; но чтобы сформулировать их, необходим специальный язык; обычный язык слишком беден, он, кроме того, слишком расплывчат, чтобы выразить отношения столь тонкие, столь богатые и столь точные.

Это, следовательно, одна из причин, почему физик не может обойтись без математики; она предоставляет ему единственный язык, на котором он может говорить. И хорошо сделанный язык — не безразличная вещь; не выходя за рамки физики, неизвестный человек, который изобрел слово «теплота», обрек многие поколения на заблуждение. Теплота рассматривалась как субстанция просто потому, что она была обозначена существительным, и считалось, что она неразрушима.

С другой стороны, тот, кто изобрел слово «электричество», имел незаслуженную удачу неявно наделить физику новым законом, законом сохранения электричества, который по чистой случайности оказался точным, по крайней мере до сих пор.

Что ж, продолжая сравнение, писатели, которые украшают язык, которые относятся к нему как к объекту искусства, делают из него в то же время более гибкий инструмент, более приспособленный для передачи оттенков мысли.

Мы понимаем тогда, как аналитик, который преследует чисто эстетическую цель, помогает создать именно этим язык, более пригодный для удовлетворения физика.

Но это не все: закон проистекает из опыта, но не немедленно. Эксперимент индивидуален, закон, выведенный из него, — всеобщ; эксперимент лишь приблизителен, закон точен, или, по крайней мере, претендует на это. Эксперимент делается при условиях всегда сложных, формулировка закона устраняет эти осложнения. Это то, что называется «исправлением систематических ошибок».

Одним словом, чтобы получить закон из опыта, необходимо обобщить; это необходимость, наложенная на самого осмотрительного наблюдателя. Но как обобщать? Всякая частная истина может, очевидно, быть расширена бесконечным числом способов. Среди этих тысяч путей, открывающихся перед нами, необходимо сделать выбор, по крайней мере временный; в этом выборе что должно направлять нас?

Это может быть только аналогия. Но как расплывчато это слово! Первобытный человек знал только грубые аналогии, те, которые поражают чувства, те, что касаются цветов или звуков. Он никогда не мечтал бы уподобить свет лучистой теплоте.

Что научило нас знать истинные, глубокие аналогии, те, которые глаза не видят, но разум угадывает?

Это математический дух, который пренебрегает материей, чтобы цепляться только за чистую форму. Именно он научил нас давать одно и то же имя вещам, различающимся только материалом, называть одним и тем же именем, например, умножение кватернионов и умножение целых чисел.

Если бы кватернионы, о которых я только что говорил, не были так быстро использованы английскими физиками, многие люди, несомненно, видели бы в них только бесполезную причуду, и все же, уча нас уподоблять то, что разделяют внешние виды, они уже сделали бы нас более способными проникать в тайны природы.

Таковы услуги, которые физик должен ожидать от анализа; но чтобы эта наука могла их оказать, она должна культивироваться самым широким образом без немедленного ожидания полезности — математик должен был работать как художник.

Что мы просим от него, так это помочь нам видеть, различать наш путь в лабиринте, который открывается перед нами. Теперь, лучше всего видит тот, кто стоит выше всех. Примеров множество, и я ограничусь самыми поразительными.

Первый покажет нам, как изменение языка достаточно для того, чтобы выявить обобщения, ранее не подозревавшиеся.

Когда закон Ньютона был подставлен вместо закона Кеплера, мы все еще знали только эллиптическое движение. Теперь, что касается этого движения, два закона различаются только формой; мы переходим от одного к другому простым дифференцированием. И все же из закона Ньютона может быть выведено путем немедленного обобщения все эффекты возмущений и вся небесная механика. Если бы, с другой стороны, формулировка Кеплера была сохранена, никто никогда не рассматривал бы орбиты возмущенных планет, те сложные кривые, уравнение которых никто никогда не писал, как естественные обобщения эллипса. Прогресс наблюдений послужил бы только для создания веры в хаос.

Второй пример также заслуживает рассмотрения.

Когда Максвелл начал свою работу, законы электродинамики, принятые до его времени, объясняли все известные факты. Это был не новый эксперимент, который пришел опровергнуть их. Но, взглянув на них под новым углом, Максвелл увидел, что уравнения стали более симметричными, когда был добавлен член, и, кроме того, этот член был слишком мал, чтобы произвести эффекты, заметные старыми методами.

Вы знаете, что априорные взгляды Максвелла ждали двадцать лет экспериментального подтверждения; или, если хотите, Максвелл опередил эксперимент на двадцать лет. Как был получен этот триумф?

Это было потому, что Максвелл был глубоко пропитан чувством математической симметрии; был бы он таким, если бы другие до него не изучали эту симметрию ради ее собственной красоты?

Это было потому, что Максвелл привык «мыслить векторами», и все же именно через теорию мнимых величин (неомонику) векторы были введены в анализ. И те, кто изобрел мнимые величины, едва ли подозревали о преимуществе, которое будет получено от них для изучения реального мира, этого имя, данное им, — доказательство достаточное.

Одним словом, Максвелл был, возможно, не искусным аналитиком, но эта способность была бы для него только бесполезным и обременительным багажом. С другой стороны, он имел в высшей степени интимное чувство математических аналогий. Поэтому именно он сделал хорошую математическую физику.

Пример Максвелла учит нас еще одной вещи.

Как следует обращаться с уравнениями математической физики? Должны ли мы просто выводить все следствия и рассматривать их как неосязаемые реальности? Далеко от этого; чему они должны учить нас прежде всего, так это тому, что может и что должно быть изменено. Именно так мы получаем от них что-то полезное.

Третий пример показывает нам, как мы можем воспринимать математические аналогии между явлениями, которые физически не имеют отношения ни явного, ни реального, так что законы одного из этих явлений помогают нам угадать законы другого.

То самое уравнение, уравнение Лапласа, встречается в теории ньютоновского притяжения, в теории движения жидкостей, в теории электрического потенциала, в теории магнетизма, в теории распространения теплоты и еще во многих других. Каков результат? Эти теории кажутся образами, скопированными один с другого; они взаимно освещают друг друга, заимствуя свой язык друг у друга; спросите электриков, не поздравляют ли они себя с тем, что изобрели фразу «поток силы», подсказанную гидродинамикой и теорией теплоты.

Таким образом, математические аналогии не только могут заставить нас предвидеть физические аналогии, но, кроме того, не перестают быть полезными, когда последние подводят.

Подводя итог, цель математической физики — не только облегчить физику численный расчет определенных констант или интегрирование определенных дифференциальных уравнений. Это, кроме того, это прежде всего, раскрыть ему скрытую гармонию вещей, заставляя его видеть их новым способом.

Из всех частей анализа самые возвышенные, самые чистые, так сказать, будут самыми плодотворными в руках тех, кто знает, как ими пользоваться.

III

Посмотрим теперь, чем анализ обязан физике.

Нужно было бы полностью забыть историю науки, чтобы не помнить, что желание понять природу оказало на развитие математики самое постоянное и самое счастливое влияние.

В первую очередь физик ставит перед нами задачи, решение которых он ожидает от нас. Но, предлагая их нам, он в значительной степени заплатил нам заранее за услугу, которую мы окажем ему, если решим их.

Если мне будет позволено продолжить мое сравнение с изящными искусствами, чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы как художник, который знал, как гармонично сочетать цвета и формы, но которому не хватало моделей. Его творческая сила вскоре была бы исчерпана.

Комбинации, которые могут образовывать числа и символы, — это бесконечное множество. В этом множестве как мы выберем те, которые достойны того, чтобы зафиксировать наше внимание? Позволим ли мы направлять себя исключительно нашей прихотью? Эта прихоть, которая сама по себе, кроме того, вскоре утомилась бы, несомненно, увела бы нас очень далеко, и мы быстро перестали бы понимать друг друга.

Но это только меньшая сторона вопроса. Физика, несомненно, предотвратит наше блуждание, но она также сохранит нас от опасности гораздо более грозной; она предотвратит наше непрестанное хождение по одному и тому же кругу.

История доказывает, что физика не только заставила нас выбирать среди проблем, которые приходили толпой; она навязала нам такие, о которых мы без нее никогда не мечтали бы. Как ни разнообразно воображение человека, природа все еще в тысячу раз богаче. Чтобы следовать за ней, мы должны идти путями, которыми пренебрегали, и эти пути ведут нас часто к вершинам, откуда мы открываем новые страны. Что может быть полезнее!

С математическими символами так же, как с физическими реальностями; именно сравнивая различные аспекты вещей, мы способны постичь их внутреннюю гармонию, которая одна только прекрасна и, следовательно, достойна наших усилий.

Первый пример, который я приведу, настолько стар, что мы склонны забыть его; он, тем не менее, самый важный из всех.

Единственный естественный объект математической мысли — это целое число. Именно внешний мир навязал нам континуум, который мы, несомненно, изобрели, но который он заставил нас изобрести. Без него не было бы инфинитезимального анализа; вся математическая наука свелась бы к арифметике или к теории подстановок.

Напротив, мы посвятили изучению континуума почти все наше время и все наши силы. Кто пожалеет об этом; кто подумает, что это время и эти силы были потрачены впустую? Анализ разворачивает перед нами бесконечные перспективы, которые арифметика никогда не подозревает; он показывает нам с первого взгляда величественный ансамбль, чей строй прост и симметричен; напротив, в теории чисел, где царит непредвиденное, взгляд, так сказать, останавливается на каждом шагу.

Несомненно, скажут, что вне целого числа нет строгости и, следовательно, нет математической истины; что целое число прячется везде и что мы должны стремиться сделать прозрачными экраны, которые скрывают его, даже если для этого мы должны смириться с бесконечными повторениями. Не будем такими пуристами и будем благодарны континууму, который, если все исходит из целого числа, был единственно способен заставить так много происходить из него.

Нужно ли мне также напомнить, что М. Эрмит получил удивительное преимущество от введения непрерывных переменных в теорию чисел? Таким образом, домен самого целого числа сам по себе подвергся вторжению, и это вторжение установило порядок там, где царил беспорядок.

Смотрите, чем мы обязаны континууму и, следовательно, физической природе.

Ряд Фурье — это драгоценный инструмент, которым анализ постоянно пользуется, именно этим средством он смог представить разрывные функции; Фурье изобрел его, чтобы решить проблему физики, относящуюся к распространению теплоты. Если бы эта проблема не возникла естественно, мы никогда не осмелились бы дать разрывности ее права; мы все еще долго рассматривали бы непрерывные функции как единственные истинные функции.

Понятие функции было тем самым значительно расширено и получило от некоторых логиков-аналитиков непредвиденное развитие. Эти аналитики таким образом отправились в регионы, где царит чистейшая абстракция, и ушли как можно дальше от реального мира. И все же именно проблема физики предоставила им повод.

После ряда Фурье другие аналогичные ряды вошли в домен анализа; они вошли через ту же дверь; они были воображены в расчете на приложения.

Теория дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка имеет аналогичную историю. Она была развита главным образом физикой и для физики. Но она может принимать многие формы, потому что такое уравнение не достаточно, чтобы определить неизвестную функцию, необходимо присоединить к нему дополнительные условия, которые называются условиями на границах; откуда многие различные проблемы.

Если бы аналитики предались своим естественным склонностям, они никогда не знали бы ни одной, кроме той, которую мадам Ковалевская рассмотрела в своем знаменитом мемуаре. Но есть множество других, которые они проигнорировали бы. Каждая из теорий физики, теория электричества, теория теплоты, представляет нам эти уравнения под новым аспектом. Можно, следовательно, сказать, что без этих теорий мы не знали бы дифференциальных уравнений в частных производных.

Излишне умножать примеры. Я привел достаточно, чтобы иметь возможность заключить: когда физики просят у нас решения проблемы, это не долг-служба, которую они навязывают нам, это, напротив, мы, кто должен им благодарность.

IV

Но это не все; физика не только дает нам повод решить проблемы; она помогает нам найти средства к этому, и это двумя способами. Она заставляет нас предвидеть решение; она подсказывает нам аргументы.

Я говорил выше об уравнении Лапласа, которое встречается в множестве разнообразных физических теорий. Оно встречается снова в геометрии, в теории конформного отображения и в чистом анализе, в теории мнимых величин.

Таким образом, в изучении функций комплексных переменных аналитик, наряду с геометрическим образом, который является его обычным инструментом, находит много физических образов, которые он может использовать с тем же успехом. Благодаря этим образам он может видеть с первого взгляда то, что чистое дедуктивное рассуждение показало бы ему только последовательно. Он собирает таким образом отдельные элементы решения и своего рода интуицией угадывает, прежде чем быть способным доказать.

Угадать прежде, чем доказать! Нужно ли мне напомнить, что именно так были сделаны все важные открытия? Как много истин, которые физические аналогии позволяют нам представить и которые мы не в состоянии установить строгим рассуждением!

Например, математическая физика вводит большое число разложений в ряды. Никто не сомневается, что эти разложения сходятся; но математическая достоверность отсутствует. Это столько же завоеваний, обеспеченных для исследователей, которые придут после нас.

С другой стороны, физика предоставляет нам не только решения; она предоставляет нам, кроме того, в известной мере, аргументы. Достаточно вспомнить, как Феликс Клейн в вопросе, относящемся к римановым поверхностям, прибегал к свойствам электрических токов.

Это правда, аргументы этого вида не строги в том смысле, который аналитик придает этому слову. И здесь возникает вопрос: как может демонстрация, недостаточно строгая для аналитика, быть достаточной для физика? Кажется, не может быть двух строгостей, что строгость есть или ее нет, и что там, где ее нет, не может быть дедукции.

Этот кажущийся парадокс будет лучше понят, если вспомнить, при каких условиях число применяется к естественным явлениям. Откуда берутся в общем трудности, встречающиеся при поиске строгости? Мы сталкиваемся с ними почти всегда, пытаясь установить, что некоторая величина стремится к некоторому пределу, или что некоторая функция непрерывна, или что она имеет производную.

Величины, которые физик измеряет экспериментально, никогда не известны точно; кроме того, любая функция всегда отличается сколь угодно мало от разрывной функции и в то же время сколь угодно мало от непрерывной функции. Поэтому физик может по своему усмотрению предполагать, что изучаемая функция непрерывна или разрывна, что она имеет или не имеет производную, и делать это, не опасаясь когда-либо встретить противоречие — ни со стороны текущего опыта, ни со стороны любого будущего эксперимента. Мы видим, что благодаря такой свободе он легко справляется с трудностями, которые останавливают математика. Он всегда может рассуждать так, как если бы все функции, встречающиеся в его вычислениях, были целыми многочленами.

Таким образом, набросок, достаточный для физики, — это не то же самое, что дедукция, требуемая анализом. Из этого не следует, что одно не может помочь в поиске другого. Столь многие физические наброски уже были преобразованы в строгие доказательства, что сегодня такое преобразование стало легким. Примеров было бы предостаточно, если бы я не опасался утомить ими читателя.

Надеюсь, я сказал достаточно, чтобы показать, что чистый анализ и математическая физика могут служить друг другу, не принося при этом никаких жертв, и что каждая из этих двух наук должна радоваться всему, что возвышает ее союзницу.

ГЛАВА VI

Астрономия

Правительства и парламенты, должно быть, считают, что астрономия — одна из самых дорогостоящих наук: самый простой инструмент стоит сотни тысяч долларов, самая скромная обсерватория — миллионы; каждое затмение влечет за собой дополнительные ассигнования. И все это ради звезд, которые находятся так далеко, которые совершенно чужды нашим избирательным кампаниям и, по всей вероятности, никогда не примут в них никакого участия. Должно быть, наши политики сохранили остатки идеализма, смутный инстинкт того, что есть величие; право, я думаю, их оклеветали; их следует поощрять и показывать им, что этот инстинкт их не обманывает, что они не являются жертвами этого идеализма.

Мы могли бы, конечно, рассказать им о навигации, важность которой никто не может недооценивать и которая нуждается в астрономии. Но это означало бы подойти к вопросу с его менее значимой стороны.

Астрономия полезна, потому что она возвышает нас над самими собой; она полезна, потому что она величественна; вот что мы должны говорить. Она показывает нам, как мало тело человека и как велик его разум, раз его интеллект может охватить всю эту ослепительную необъятность, где его тело — лишь неясная точка, и наслаждаться ее безмолвной гармонией. Так мы обретаем сознание своей силы, и это то, что не может стоить слишком дорого, поскольку это сознание делает нас могущественнее.

Но прежде всего я хотел бы показать, до какой степени астрономия облегчила работу других наук, более непосредственно полезных, поскольку она дала нам душу, способную постигать природу.

Подумайте, насколько приниженным было бы человечество, если бы под вечно затянутым облаками небом, каким оно должно быть у Юпитера, оно навсегда осталось бы в неведении относительно звезд. Думаете ли вы, что в таком мире мы были бы такими, какие мы есть? Я хорошо знаю, что под этим мрачным сводом мы были бы лишены света солнца, необходимого организмам, подобным тем, что населяют Землю. Но если позволите, мы предположим, что эти облака фосфоресцируют и излучают мягкий и постоянный свет. Раз уж мы строим гипотезы, другая не будет стоить дороже. Что ж! Я повторяю свой вопрос: думаете ли вы, что в таком мире мы были бы такими, какие мы есть?

Звезды посылают нам не только тот видимый и грубый свет, который поражает наши телесные глаза, но от них к нам исходит также свет гораздо более тонкий, который освещает наш разум и последствия которого я попытаюсь вам показать. Вы знаете, каким был человек на Земле несколько тысяч лет назад и каким он стал сегодня. Изолированный посреди природы, где все было для него тайной, напуганный каждым неожиданным проявлением непостижимых сил, он был неспособен видеть в устройстве Вселенной ничего, кроме каприза; он приписывал все явления действию множества маленьких гениев, фантастических и требовательных, и, чтобы воздействовать на мир, он стремился задобрить их средствами, аналогичными тем, что применяются для получения благосклонности министра или депутата. Даже его неудачи не просвещали его, не больше, чем сегодня нищий, получивший отказ, не падает духом до такой степени, чтобы перестать просить.

Сегодня мы больше не просим у природы; мы повелеваем ею, потому что открыли некоторые из ее тайн и будем открывать другие с каждым днем. Мы повелеваем ею во имя законов, которые она не может оспорить, потому что они — ее собственные; эти законы мы не просим ее безумно изменить, мы сами первыми подчиняемся им. Природой можно управлять, только повинуясь ей.

Какое изменение должны были претерпеть наши души, чтобы перейти из одного состояния в другое! Верит ли кто-нибудь, что без уроков звезд, под вечно затянутым облаками небом, которое я только что предположил, они изменились бы так быстро? Была бы возможна эта метаморфоза, или, по крайней мере, не была бы она гораздо медленнее?

И прежде всего, именно астрономия научила нас тому, что существуют законы. Халдеи, которые первыми стали наблюдать за небесами с некоторым вниманием, увидели, что это множество светящихся точек — не беспорядочная толпа, блуждающая наугад, а скорее дисциплинированная армия. Несомненно, правила этой дисциплины ускользали от них, но гармоничное зрелище звездной ночи было достаточным, чтобы дать им впечатление регулярности, а это само по себе уже было великим делом. Кроме того, эти правила были распознаны Гиппархом, Птолемеем, Коперником, Кеплером, один за другим, и, наконец, нет нужды напоминать, что именно Ньютон сформулировал самый древний, самый точный, самый простой и самый общий из всех законов природы.

А затем, наученные этим примером, мы стали лучше видеть наш маленький земной мир и под кажущимся беспорядком также обнаружили гармонию, которую открыло нам изучение небес. Он также регулярен, он также подчиняется неизменным законам, но они более сложны, находятся в кажущемся конфликте друг с другом, и глаз, не обученный другими зрелищами, увидел бы там только хаос и царство случая или каприза. Если бы мы не знали звезд, некоторые смелые умы, возможно, попытались бы предвидеть физические явления; но их неудачи были бы частыми, и они вызвали бы лишь насмешки толпы; разве мы не видим, что даже в наши дни метеорологи иногда ошибаются и что некоторые люди склонны смеяться над ними?

Как часто физики, обескураженные столькими неудачами, впали бы в уныние, если бы у них не было, чтобы поддержать их уверенность, блестящего примера успеха астрономов! Этот успех показал им, что природа подчиняется законам; оставалось только узнать, каким именно законам; для этого им требовалось лишь терпение, и они имели право требовать, чтобы скептики оказали им доверие.

Это еще не все: астрономия не только научила нас тому, что существуют законы, но и тому, что от этих законов нет спасения, что с ними невозможен никакой компромисс. Сколько времени нам потребовалось бы, чтобы понять этот факт, если бы мы знали только земной мир, где каждая элементарная сила всегда казалась бы нам находящейся в конфликте с другими силами? Астрономия научила нас, что законы бесконечно точны, и если те, что мы формулируем, являются приближенными, то это потому, что мы не знаем их достаточно хорошо. Аристотель, самый научный ум античности, все еще отводил место случаю, удаче и, казалось, думал, что законы природы, по крайней мере здесь, внизу, определяют только общие черты явлений. Насколько же постоянно растущая точность астрономических предсказаний способствовала исправлению такой ошибки, которая сделала бы природу непостижимой!

Но не являются ли эти законы локальными, варьирующимися в разных местах, подобно тем, что создают люди; не становится ли то, что является истиной в одном уголке Вселенной, например, на нашем земном шаре или в нашей маленькой Солнечной системе, ошибкой немного дальше? И тогда нельзя ли спросить, не зависят ли законы, зависящие от пространства, также и от времени, не являются ли они простыми привычками, преходящими, следовательно, и эфемерными? И снова именно астрономия отвечает на этот вопрос. Рассмотрим двойные звезды; все они описывают конические сечения; таким образом, насколько хватает телескопа, он не достигает пределов области, которая подчиняется закону Ньютона.

Даже простота этого закона — урок для нас; сколько сложных явлений содержится в двух строках его формулировки; люди, которые не понимают небесную механику, могут составить себе некоторое представление об этом хотя бы по объему трактатов, посвященных этой науке; и тогда можно надеяться, что сложность физических явлений точно так же скрывает от нас некую простую причину, до сих пор неизвестную.

Таким образом, именно астрономия показала нам, каковы общие характеристики законов природы; но среди этих характеристик есть одна, самая тонкая и самая важная из всех, на которой я попрошу разрешения остановиться.

Как понимали порядок Вселенной древние; например, Пифагор, Платон или Аристотель? Это был либо неизменный тип, установленный раз и навсегда, либо идеал, к которому мир стремился приблизиться. Сам Кеплер еще думал так, когда, например, искал, не имеют ли расстояния планет от Солнца какого-либо отношения к пяти правильным многогранникам. Эта идея не содержала ничего абсурдного, но она была бесплодной, поскольку природа устроена не так. Ньютон показал нам, что закон — это лишь необходимая связь между текущим состоянием мира и его непосредственно следующим состоянием. Все остальные законы, открытые с тех пор, — не что иное; в сумме это дифференциальные уравнения; но именно астрономия предоставила для них первую модель, без которой мы, несомненно, долго бы блуждали.

Астрономия также научила нас пренебрегать видимостью. В тот день, когда Коперник доказал, что то, что считалось самым устойчивым, находится в движении, а то, что считалось движущимся, неподвижно, он показал нам, насколько обманчивыми могут быть детские рассуждения, которые проистекают непосредственно из непосредственных данных наших чувств. Правда, его идеи не сразу восторжествовали, но с момента этого триумфа больше нет предрассудка, столь укоренившегося, что мы не могли бы от него избавиться. Как мы можем оценить ценность нового оружия, таким образом обретенного?

Древние думали, что все создано для человека, и эта иллюзия должна быть очень живучей, раз с ней приходится постоянно бороться. Однако необходимо освободиться от нее; иначе человек будет лишь вечным близоруким, неспособным видеть истину. Чтобы постичь природу, нужно уметь выйти из себя, так сказать, и созерцать ее со многих разных точек зрения; иначе мы никогда не узнаем больше, чем одну сторону. Но выйти из себя — это то, чего не может сделать тот, кто все соотносит с самим собой. Кто избавил нас от этой иллюзии? Те, кто показал нам, что Земля — лишь одна из самых маленьких планет Солнечной системы, а сама Солнечная система — лишь незаметная точка в бесконечных пространствах звездной Вселенной.

В то же время астрономия научила нас не бояться больших чисел. Это было необходимо не только для познания небес, но и для познания самой Земли; и это было не так легко, как нам кажется сегодня. Попробуем вернуться назад и представить себе, что подумал бы грек, если бы ему сказали, что красный свет вибрирует четыреста миллионов миллионов раз в секунду. Без сомнения, такое утверждение показалось бы ему чистым безумием, и он никогда не снизошел бы до того, чтобы проверить его. Сегодня гипотеза больше не покажется нам абсурдной только потому, что она обязывает нас воображать объекты гораздо большие или меньшие, чем те, которые способны показать нам наши чувства, и мы больше не понимаем тех сомнений, которые останавливали наших предшественников и мешали им открывать определенные истины просто потому, что они боялись их. Но почему? Потому что мы видели, как небеса расширяются и расширяются без конца; потому что мы знаем, что Солнце находится в 150 миллионах километров от Земли и что расстояния до ближайших звезд еще в сотни тысяч раз больше. Привыкнув к созерцанию бесконечно великого, мы стали способны постигать бесконечно малое. Благодаря полученному образованию наше воображение, подобно глазу орла, который не слепит солнце, может смотреть истине в лицо.

Был ли я неправ, говоря, что именно астрономия сделала нас душой, способной постигать природу; что под вечно затянутым облаками и беззвездным небом сама Земля была бы для нас вечно непостижимой; что мы видели бы там только каприз и беспорядок; и что, не зная мира, мы никогда не смогли бы подчинить его себе? Какая наука могла бы быть более полезной? И, говоря так, я встаю на точку зрения тех, кто ценит только практическое применение. Конечно, эта точка зрения не моя; что касается меня, напротив, если я восхищаюсь завоеваниями промышленности, то прежде всего потому, что если они освобождают нас от материальных забот, то однажды они дадут всем досуг для созерцания природы. Я не говорю: наука полезна, потому что она учит нас строить машины. Я говорю: машины полезны, потому что, работая за нас, они однажды оставят нам больше времени для занятий наукой. Но, в конце концов, стоит заметить, что между этими двумя точками зрения нет антагонизма и что, когда человек преследовал бескорыстную цель, все остальное приложилось к нему.

Огюст Конт где-то сказал, что было бы праздным стремление узнать состав Солнца, поскольку это знание не принесло бы никакой пользы социологии. Как он мог быть столь близорук? Разве мы только что не видели, что именно благодаря астрономии, говоря его языком, человечество перешло от теологического состояния к позитивному? Он нашел этому объяснение, потому что это уже произошло. Но как он не понял, что то, что оставалось сделать, было не менее значительным и не менее прибыльным? Физическая астрономия, которую он, кажется, осуждает, уже начала приносить плоды, и она даст нам гораздо больше, ибо она берет свое начало только со вчерашнего дня.

Сначала была открыта природа Солнца, то, что основатель позитивизма хотел нам отрицать, и там были найдены тела, которые существуют на Земле, но здесь оставались неоткрытыми; например, гелий, этот газ, почти такой же легкий, как водород. Это уже противоречило Конту. Но спектроскопу мы обязаны уроком, ценным совсем в ином смысле; в самых далеких звездах он показывает нам те же вещества. Можно было задаться вопросом, не были ли земные элементы результатом некоего случая, который свел вместе более тонкие атомы, чтобы построить из них более сложное сооружение, которое химики называют атомом; не породили ли в других регионах Вселенной другие случайные встречи совершенно иные сооружения. Теперь мы знаем, что это не так, что законы нашей химии — это общие законы природы и что они ничем не обязаны случаю, который привел к нашему рождению на Земле.

Но, скажут нам, астрономия дала другим наукам все, что могла дать, и теперь, когда небеса предоставили нам инструменты, позволяющие изучать земную природу, они могли бы без опасности навсегда закрыться завесой. После того, что мы только что сказали, есть ли еще необходимость отвечать на это возражение? Можно было бы рассуждать так же во времена Птолемея; тогда люди тоже думали, что знают все, и им еще почти все предстояло узнать.

Звезды — это величественные лаборатории, гигантские тигли, о которых не мог бы мечтать ни один химик. Там царят температуры, невозможные для нас. Их единственный недостаток — быть немного далеко; но телескоп скоро приблизит их к нам, и тогда мы увидим, как там действует материя. Какая удача для физика и химика!

Материя там предстанет перед нами в тысяче различных состояний, от тех разреженных газов, которые, по-видимому, образуют туманности и которые светятся не знаю каким мерцанием таинственного происхождения, вплоть до раскаленных звезд и планет, столь близких и в то же время столь иных.

Возможно даже, звезды когда-нибудь научат нас чему-то о жизни; это кажется безумной мечтой, и я совсем не вижу, как это может быть реализовано; но сто лет назад не показалась ли бы химия звезд таким же безумным сном?

Но ограничивая наши взгляды менее далекими горизонтами, нам все равно останутся обещания менее случайные и все же достаточно соблазнительные. Если прошлое дало нам многое, мы можем быть уверены, что будущее даст нам еще больше.

В итоге, невероятно, насколько полезной для человечества была вера в астрологию. Если Кеплер и Тихо Браге зарабатывали на жизнь, то это потому, что они продавали наивным королям предсказания, основанные на соединениях звезд. Если бы эти принцы не были столь доверчивы, мы, возможно, до сих пор верили бы, что природа подчиняется капризу, и продолжали бы пребывать в невежестве.

ГЛАВА VII

История математической физики

Прошлое и будущее физики. — Каково нынешнее состояние математической физики? Какие проблемы она вынуждена ставить перед собой? Каково ее будущее? Собирается ли ее ориентация измениться?

Будут ли через десять лет цели и методы этой науки казаться нашим непосредственным преемникам в том же свете, что и нам; или, напротив, мы станем свидетелями глубокой трансформации? Таковы вопросы, которые мы вынуждены поднять, приступая сегодня к нашему исследованию.

Если их легко задать, то ответить на них трудно. Если бы мы почувствовали искушение рискнуть предсказанием, мы легко сопротивлялись бы этому искушению, вспомнив все глупости, которые высказали бы самые выдающиеся ученые сто лет назад, если бы кто-то спросил их, какой будет наука девятнадцатого века. Они сочли бы себя смелыми в своих предсказаниях, а после события мы нашли бы их очень робкими. Поэтому не ждите от меня никаких пророчеств.

Но если, подобно всем благоразумным врачам, я избегаю давать прогноз, я все же не могу обойтись без небольшого диагноза; ну да, есть признаки серьезного кризиса, как будто мы можем ожидать приближающейся трансформации. Все же не беспокойтесь слишком сильно: мы уверены, что пациент от этого не умрет, и мы можем даже надеяться, что этот кризис будет целительным, ибо история прошлого, кажется, гарантирует нам это. Этот кризис, по сути, не первый, и чтобы понять его, важно вспомнить те, что ему предшествовали. Простите же краткий исторический очерк.

Физика центральных сил. — Математическая физика, как мы знаем, родилась из небесной механики, которая породила ее в конце восемнадцатого века, в тот момент, когда она сама достигла своего полного развития. В первые годы, особенно, младенец поразительно напоминал свою мать.

Астрономическая Вселенная состоит из масс, очень больших, несомненно, но разделенных интервалами столь огромными, что они кажутся нам лишь материальными точками. Эти точки притягиваются друг к другу обратно пропорционально квадрату расстояния, и это притяжение — единственная сила, которая влияет на их движения. Но если бы наши чувства были достаточно остры, чтобы показать нам все детали тел, которые изучает физик, зрелище, открывшееся таким образом, едва ли отличалось бы от того, которое созерцает астроном. Там мы также увидели бы материальные точки, отделенные друг от друга интервалами, огромными по сравнению с их размерами, и описывающие орбиты согласно регулярным законам. Эти бесконечно малые звезды — атомы. Подобно собственно звездам, они притягивают или отталкивают друг друга, и это притяжение или это отталкивание, следуя прямой линии, которая их соединяет, зависит только от расстояния. Закон, согласно которому эта сила меняется как функция расстояния, возможно, не является законом Ньютона, но это аналогичный закон; вместо показателя −2 у нас, вероятно, другой показатель, и именно из этого изменения показателя возникает все разнообразие физических явлений, разнообразие качеств и ощущений, весь мир, цветной и звучный, который окружает нас; одним словом, вся природа.

Такова примитивная концепция во всей своей чистоте. Остается только искать в различных случаях, какое значение следует придать этому показателю, чтобы объяснить все факты. Именно по этой модели Лаплас, например, построил свою прекрасную теорию капиллярности; он рассматривает ее лишь как частный случай притяжения, или, как он говорит, всемирного тяготения, и никто не удивляется, обнаружив ее посреди одного из пяти томов «Небесной механики». Совсем недавно Брио полагал, что проник в окончательную тайну оптики, доказав, что атомы эфира притягиваются друг к другу в обратном отношении шестой степени расстояния; а сам Максвелл, разве он не говорит где-то, что атомы газов отталкиваются друг от друга в обратном отношении пятой степени расстояния? У нас есть показатель −6 или −5 вместо показателя −2, но это всегда показатель.

Среди теорий этой эпохи одна лишь является исключением — теория Фурье; в ней действительно есть атомы, действующие на расстоянии друг на друга; они взаимно передают тепло, но они не притягиваются, они никогда не сдвигаются с места. С этой точки зрения теория Фурье должна была казаться глазам его современников, глазам самого Фурье, несовершенной и временной.

Эта концепция была не лишена величия; она была соблазнительной, и многие среди нас окончательно не отказались от нее; они знают, что можно достичь конечных элементов вещей, только терпеливо распутывая сложный клубок, который дают нам наши чувства; что необходимо продвигаться шаг за шагом, не пренебрегая ни одним посредником; что наши отцы были неправы, желая пропустить станции; но они верят, что когда придут к этим конечным элементам, там снова обнаружится величественная простота небесной механики.

Эта концепция также не была бесполезной; она оказала нам неоценимую услугу, поскольку способствовала уточнению фундаментального понятия физического закона.

Я объяснюсь; как понимали закон древние? Это была для них внутренняя гармония, статичная, так сказать, и неизменная; или же это было нечто вроде модели, которую природа пыталась имитировать. Для нас закон — это нечто совсем другое; это постоянная связь между явлением сегодняшнего дня и завтрашнего; одним словом, это дифференциальное уравнение.

Вот идеальная форма физического закона; что ж, именно закон Ньютона первым воплотил ее. Если затем акклиматизировали эту форму в физике, то именно копируя, насколько возможно, этот закон Ньютона, то есть имитируя небесную механику. Это, кроме того, идея, которую я пытался выделить в главе VI.

Физика принципов. — Тем не менее, настал день, когда концепция центральных сил больше не казалась достаточной, и это первый из тех кризисов, о которых я только что говорил.

Что было сделано тогда? Попытка проникнуть в детали структуры Вселенной, изолировать части этого огромного механизма, проанализировать одну за другой силы, которые приводят их в движение, была оставлена, и мы довольствовались тем, что взяли в качестве руководства определенные общие принципы, прямая цель которых — избавить нас от этого детального изучения. Как так? Предположим, перед нами любая машина; видны только начальный механизм и конечный механизм, но передача, промежуточный механизм, с помощью которого движение передается от одного к другому, скрыт внутри и ускользает от нашего взора; мы не знаем, осуществляется ли передача с помощью зубчатых колес или ремней, шатунов или других приспособлений. Скажем ли мы, что нам невозможно понять что-либо в этой машине, пока нам не разрешат разобрать ее на части? Вы хорошо знаете, что нет, и что принцип сохранения энергии достаточен, чтобы определить для нас самый интересный момент. Мы легко устанавливаем, что конечное колесо вращается в десять раз медленнее, чем начальное, поскольку эти два колеса видны; мы можем отсюда заключить, что пара, приложенная к одному, будет уравновешена парой в десять раз большей, приложенной к другому. Для этого нет нужды проникать в механизм этого равновесия и знать, как силы компенсируют друг друга внутри машины; достаточно быть уверенным, что эта компенсация не может не произойти.

Что ж, в отношении Вселенной принцип сохранения энергии способен оказать нам ту же услугу. Вселенная — это тоже машина, гораздо более сложная, чем все промышленные, почти все части которой глубоко скрыты от нас; но, наблюдая за движением тех, которые мы можем видеть, мы способны, с помощью этого принципа, сделать выводы, которые остаются верными, каковы бы ни были детали невидимого механизма, который их оживляет.

Принцип сохранения энергии, или принцип Майера, безусловно, самый важный, но он не единственный; есть и другие, из которых мы можем извлечь ту же выгоду. Это:

Принцип Карно, или принцип деградации энергии.

Принцип Ньютона, или принцип равенства действия и противодействия.

Принцип относительности, согласно которому законы физических явлений должны быть одинаковыми для неподвижного наблюдателя и для наблюдателя, движущегося равномерно и прямолинейно; так что у нас нет и не может быть никаких средств определить, движемся ли мы в таком движении или нет.

Принцип сохранения массы, или принцип Лавуазье.

Я добавлю принцип наименьшего действия.

Применения этих пяти или шести общих принципов к различным физическим явлениям достаточно для того, чтобы мы узнали о них все, что могли бы разумно надеяться узнать. Самый примечательный пример этой новой математической физики — вне всякого сомнения, электромагнитная теория света Максвелла.

Мы ничего не знаем о том, что такое эфир, как расположены его молекулы, притягиваются они или отталкиваются; но мы знаем, что эта среда передает одновременно оптические возмущения и электрические возмущения; мы знаем, что эта передача должна происходить в соответствии с общими принципами механики, и этого нам достаточно для установления уравнений электромагнитного поля.

Эти принципы — результаты смело обобщенных экспериментов; но они, кажется, черпают из самой своей общности высокую степень достоверности. На самом деле, чем они общнее, тем чаще представляются возможности проверить их, и верификации, умножаясь, принимая самые разнообразные, самые неожиданные формы, в конце концов не оставляют места для сомнений.

Полезность старой физики. — Такова вторая фаза истории математической физики, и мы еще не вышли из нее. Скажем ли мы, что первая была бесполезной? что в течение пятидесяти лет наука шла неверным путем и что не остается ничего, кроме как забыть столько накопленных усилий, порочную концепцию, заранее обреченную на провал? Ни в коем случае. Думаете ли вы, что вторая фаза могла бы возникнуть без первой? Гипотеза центральных сил содержала все принципы; она включала их как необходимые следствия; она включала как сохранение энергии, так и сохранение масс, и равенство действия и противодействия, и закон наименьшего действия, которые представлялись, правда, не как экспериментальные истины, а как теоремы; формулировка которых имела в то же время нечто более точное и менее общее, чем в их нынешней форме.

Именно математическая физика наших отцов постепенно ознакомила нас с этими различными принципами; которая приучила нас узнавать их под различными одеяниями, в которые они маскируются. Их сравнивали с данными опыта, видели, как необходимо было модифицировать их формулировку, чтобы адаптировать их к этим данным; тем самым они были расширены и консолидированы. Так их стали рассматривать как экспериментальные истины; концепция центральных сил стала тогда бесполезной опорой, или, скорее, помехой, поскольку она заставляла принципы разделять ее гипотетический характер.

Рамки, таким образом, не сломались, потому что они эластичны; но они расширились; наши отцы, которые установили их, трудились не напрасно, и мы узнаем в науке сегодняшнего дня общие черты наброска, который они начертали.

ГЛАВА VIII

Нынешний кризис математической физики

Новый кризис. — Собираемся ли мы сейчас вступить в третий период? Находимся ли мы накануне второго кризиса? Эти принципы, на которых мы построили все, собираются ли они рухнуть в свою очередь? Это уже некоторое время является уместным вопросом.

Когда я говорю так, вы, несомненно, думаете о радии, этом великом революционере настоящего времени, и, на самом деле, я вернусь к нему в свое время; но есть нечто другое. Не только сохранение энергии находится под вопросом; все другие принципы в равной опасности, как мы увидим, рассматривая их последовательно.

Принцип Карно. — Начнем с принципа Карно. Это единственный, который не представляет себя как непосредственное следствие гипотезы центральных сил; более того, он кажется, если не прямо противоречащим этой гипотезе, то, по крайней мере, не примиримым с ней без определенных усилий. Если бы физические явления были обусловлены исключительно движениями атомов, чье взаимное притяжение зависело бы только от расстояния, кажется, что все эти явления должны были бы быть обратимыми; если бы все начальные скорости были обращены, эти атомы, всегда подчиненные тем же силам, должны были бы пройти свои траектории в обратном смысле, точно так же, как Земля описывала бы в ретроградном смысле эту же эллиптическую орбиту, которую она описывает в прямом смысле, если бы начальные условия ее движения были обращены. По этой причине, если физическое явление возможно, обратное явление должно быть столь же возможным, и можно было бы подняться вверх по течению времени. Но в природе это не так, и именно этому учит нас принцип Карно; тепло может переходить от теплого тела к холодному; невозможно впоследствии заставить его совершить обратный путь и восстановить разности температур, которые были стерты. Движение может быть полностью рассеяно и преобразовано в тепло трением; обратное преобразование никогда не может быть совершено иначе как частично.

Мы стремились примирить это кажущееся противоречие. Если мир стремится к однородности, то это не потому, что его конечные части, поначалу непохожие, стремятся стать все менее и менее различными; это потому, что, двигаясь наугад, они в конце концов смешиваются. Для глаза, который мог бы различить все элементы, разнообразие оставалось бы всегда столь же великим; каждое зерно этой пыли сохраняет свою оригинальность и не моделирует себя по своим соседям; но по мере того, как смесь становится все более и более интимной, наши грубые чувства воспринимают только однородность. Вот почему, например, температуры стремятся к уровню, без возможности возврата назад.

Капля вина падает в стакан воды; каков бы ни был закон внутреннего движения жидкости, мы скоро увидим ее окрашенной в равномерный розовый оттенок, и как бы с этого момента ни трясли ее впоследствии, вино и вода не кажутся способными снова разделиться. Здесь у нас тип необратимого физического явления: спрятать зерно ячменя в куче пшеницы — это легко; впоследствии найти его снова и достать — это практически невозможно. Все это Максвелл и Больцман объяснили; но тот, кто видел это наиболее ясно, в книге, которую слишком мало читают, потому что ее немного трудно читать, — это Гиббс в его «Элементарных принципах статистической механики».

Для тех, кто придерживается этой точки зрения, принцип Карно — лишь несовершенный принцип, своего рода уступка немощи наших чувств; это потому, что наши глаза слишком грубы, чтобы мы могли различить элементы смеси; это потому, что наши руки слишком грубы, чтобы мы могли заставить их разделиться; воображаемый демон Максвелла, который способен сортировать молекулы одну за другой, мог бы вполне заставить мир вернуться назад. Может ли он вернуться сам по себе? Это не невозможно; это лишь бесконечно маловероятно. Шансы таковы, что нам пришлось бы долго ждать стечения обстоятельств, которые позволили бы ретроградацию; но рано или поздно они произойдут, спустя годы, число которых потребовало бы миллионов цифр для записи. Эти оговорки, однако, все оставались теоретическими; они не были очень тревожными, и принцип Карно сохранял всю свою практическую ценность. Но здесь сцена меняется. Биолог, вооруженный своим микроскопом, давно заметил в своих препаратах нерегулярные движения маленьких частиц во взвешенном состоянии; это броуновское движение. Он сначала думал, что это жизненное явление, но скоро увидел, что неодушевленные тела танцевали не с меньшим рвением, чем другие; тогда он передал дело физикам. К несчастью, физики долго оставались незаинтересованными в этом вопросе; концентрируют свет, чтобы осветить микроскопический препарат, думали они; со светом идет тепло; отсюда неравенства температуры и в жидкости внутренние токи, которые производят упомянутые движения. М. Гуи пришло в голову присмотреться внимательнее, и он увидел, или подумал, что увидел, что это объяснение несостоятельно, что движения становятся более оживленными, чем меньше частицы, но что они не зависят от способа освещения. Если тогда эти движения никогда не прекращаются, или, скорее, возрождаются без конца, не заимствуя ничего из внешнего источника энергии, во что мы должны верить? Конечно, мы не должны из-за этого отказываться от нашей веры в сохранение энергии, но мы видим перед нашими глазами то движение, преобразованное в тепло трением, то, наоборот, тепло, измененное в движение, и это без потерь, поскольку движение длится вечно. Это противоположность принципа Карно. Если это так, чтобы увидеть мир, возвращающийся назад, нам больше не нужен бесконечно острый глаз демона Максвелла; нашего микроскопа достаточно. Тела слишком большие, те, например, которые составляют десятую долю миллиметра, ударяются со всех сторон движущимися атомами, но они не сдвигаются, потому что эти удары очень многочисленны и закон случая заставляет их компенсировать друг друга; но меньшие частицы получают слишком мало ударов для того, чтобы эта компенсация произошла с уверенностью, и постоянно подвергаются толчкам. И вот уже один из наших принципов в опасности.

Принцип относительности. — Перейдем к принципу относительности; это не только подтверждается ежедневным опытом, это не только необходимое следствие гипотезы центральных сил, но оно неотразимо навязывается нашему здравому смыслу, и все же оно также подвергается нападкам. Рассмотрим два наэлектризованных тела; хотя они кажутся нам в покое, они оба увлекаются движением Земли; электрический заряд в движении, Роуленд научил нас, эквивалентен току; эти два заряженных тела, следовательно, эквивалентны двум параллельным токам одного направления, и эти два тока должны притягиваться друг к другу. Измеряя это притяжение, мы измерим скорость Земли; не ее скорость по отношению к Солнцу или неподвижным звездам, а ее абсолютную скорость.

Я хорошо знаю, что будет сказано: измеряется не ее абсолютная скорость, а ее скорость по отношению к эфиру. Как это неудовлетворительно! Разве не очевидно, что из принципа, понятого таким образом, мы больше не могли бы ничего вывести? Он больше не мог бы сказать нам ничего просто потому, что больше не боялся бы никакого противоречия. Если нам удастся что-либо измерить, мы всегда будем свободны сказать, что это не абсолютная скорость, и если это не скорость по отношению к эфиру, это всегда может быть скорость по отношению к какой-то новой неизвестной жидкости, которой мы могли бы заполнить пространство.

Действительно, эксперимент взял на себя задачу разрушить эту интерпретацию принципа относительности; все попытки измерить скорость Земли по отношению к эфиру привели к отрицательным результатам. На этот раз экспериментальная физика была более верна принципу, чем математическая физика; теоретики, чтобы привести в соответствие свои другие общие взгляды, не пощадили бы его; но эксперимент был упрям в его подтверждении. Средства были разнообразны; наконец, Майкельсон довел точность до ее последних пределов; ничего из этого не вышло. Именно чтобы объяснить это упрямство, математики вынуждены сегодня использовать всю свою изобретательность.

Их задача была нелегкой, и если Лоренц справился с ней, то только путем накопления гипотез.

Самой изобретательной идеей была идея местного времени. Представьте себе двух наблюдателей, которые хотят настроить свои часы с помощью оптических сигналов; они обмениваются сигналами, но так как они знают, что передача света не мгновенна, они осторожны, чтобы скрестить их. Когда станция B воспринимает сигнал от станции A, ее часы не должны показывать тот же час, что и часы станции A в момент отправки сигнала, но этот час, увеличенный на константу, представляющую длительность передачи. Предположим, например, что станция A посылает свой сигнал, когда ее часы показывают час 0, и что станция B воспринимает его, когда ее часы показывают час t. Часы настроены, если замедление, равное t, представляет длительность передачи, и чтобы проверить это, станция B посылает в свою очередь сигнал, когда ее часы показывают 0; тогда станция A должна воспринять его, когда ее часы показывают t. Часы тогда настроены.

И на самом деле они показывают один и тот же час в один и тот же физический момент, но при одном условии, что две станции неподвижны. В противном случае длительность передачи не будет одинаковой в двух направлениях, так как станция A, например, движется вперед навстречу оптическому возмущению, исходящему от B, тогда как станция B бежит перед возмущением, исходящим от A. Часы, настроенные таким образом, не будут, следовательно, показывать истинное время; они будут показывать то, что можно назвать местным временем, так что одни из них будут отставать от других. Это мало важно, так как у нас нет средств заметить это. Все явления, которые происходят в A, например, будут запоздалыми, но все будут одинаково таковыми, и наблюдатель не заметит этого, так как его часы отстают; так что, как требует принцип относительности, у него не будет средств узнать, находится ли он в покое или в абсолютном движении.

К несчастью, этого недостаточно, и необходимы дополнительные гипотезы; необходимо допустить, что тела в движении претерпевают равномерное сжатие в направлении движения. Один из диаметров Земли, например, сокращается на одну двухсотмиллионную часть вследствие движения нашей планеты, в то время как другой диаметр сохраняет свою нормальную длину. Таким образом, последние маленькие различия компенсируются. А затем, есть еще гипотеза о силах. Силы, каково бы ни было их происхождение, гравитация, так же как и упругость, были бы уменьшены в определенной пропорции в мире, движущемся равномерно; или, скорее, это произошло бы для компонент, перпендикулярных трансляции; компоненты параллельные не изменились бы. Вернемся, таким образом, к нашему примеру двух наэлектризованных тел; эти тела отталкиваются друг от друга, но в то же время, если все увлекается в равномерном движении, они эквивалентны двум параллельным токам одного направления, которые притягиваются друг к другу. Это электродинамическое притяжение уменьшает, следовательно, электростатическое отталкивание, и полное отталкивание слабее, чем если бы два тела были в покое. Но так как для измерения этого отталкивания мы должны уравновесить его другой силой, и все эти другие силы уменьшены в той же пропорции, мы ничего не замечаем. Таким образом, все кажется устроенным, но все ли сомнения рассеяны? Что произошло бы, если бы можно было общаться с помощью невидимых сигналов, чья скорость распространения отличалась бы от скорости света? Если бы, после того как мы настроили часы с помощью оптической процедуры, мы захотели проверить настройку с помощью этих новых сигналов, мы заметили бы расхождения, которые сделали бы очевидным общее движение двух станций. И являются ли такие сигналы немыслимыми, если мы допустим вместе с Лапласом, что всемирное тяготение передается в миллион раз быстрее света?

Таким образом, принцип относительности доблестно защищался в последнее время, но сама энергия защиты доказывает, насколько серьезной была атака.

Принцип Ньютона. — Поговорим теперь о принципе Ньютона, о равенстве действия и противодействия. Это тесно связано с предыдущим, и кажется действительно, что падение одного повлекло бы за собой падение другого. Таким образом, мы не должны удивляться, обнаружив здесь те же трудности.

Электрические явления, согласно теории Лоренца, обусловлены перемещениями маленьких заряженных частиц, называемых электронами, погруженных в среду, которую мы называем эфиром. Движения этих электронов производят возмущения в соседнем эфире; эти возмущения распространяются во всех направлениях со скоростью света, и в свою очередь другие электроны, первоначально в покое, заставляются вибрировать, когда возмущение достигает частей эфира, которые касаются их. Электроны, следовательно, действуют друг на друга, но это действие не прямое, оно осуществляется через эфир как посредник. При этих условиях может ли быть компенсация между действием и противодействием, по крайней мере для наблюдателя, который учитывал бы только движения материи, то есть электронов, и который не знал бы о движениях эфира, которые он не мог бы видеть? Очевидно, нет. Даже если бы компенсация была точной, она не могла бы быть одновременной. Возмущение распространяется с конечной скоростью; оно, следовательно, достигает второго электрона только тогда, когда первый уже давно перешел в состояние покоя. Этот второй электрон, следовательно, испытает, после задержки, действие первого, но, безусловно, не будет в этот момент реагировать на него, так как вокруг этого первого электрона уже ничего не сдвигается.

Анализ фактов позволяет нам быть еще более точными. Представьте себе, например, герцевский осциллятор, подобный тем, что используются в беспроводной телеграфии; он посылает энергию во всех направлениях; но мы можем снабдить его параболическим зеркалом, как Герц сделал со своими самыми маленькими осцилляторами, чтобы послать всю произведенную энергию в одном направлении. Что происходит тогда согласно теории? Аппарат отскакивает, как если бы это была пушка, а спроецированная энергия — ядро; и это противоречит принципу Ньютона, так как наш снаряд здесь не имеет массы, это не материя, это энергия. Случай тот же самый, кроме того, с маяком, снабженным отражателем, так как свет — не что иное, как возмущение электромагнитного поля. Этот маяк должен отскакивать, как если бы свет, который он посылает, был снарядом. Какова сила, которая должна произвести этот отскок? Это то, что называется давлением Максвелла-Бартоли. Оно очень мало, и было трудно доказать его существование даже с помощью самых чувствительных радиометров; но достаточно того, что оно существует.

Если вся энергия, исходящая из нашего осциллятора, падает на приемник, он будет действовать так, как если бы получил механический удар, который будет представлять в некотором смысле компенсацию отскока осциллятора; реакция будет равна действию, но она не будет одновременной; приемник будет двигаться дальше, но не в тот момент, когда осциллятор отскакивает. Если энергия распространяется бесконечно, не встречая приемника, компенсация никогда не произойдет.

Скажем ли мы, что пространство, которое отделяет осциллятор от приемника и которое возмущение должно пройти, переходя от одного к другому, не пусто, что оно полно не только эфиром, но и воздухом, или даже в межпланетных пространствах какой-то жидкостью, тонкой, но все же весомой; что эта материя испытывает удар, как приемник в момент, когда энергия достигает ее, и отскакивает в свою очередь, когда возмущение покидает ее? Это спасло бы принцип Ньютона, но это неправда. Если энергия в своей диффузии оставалась всегда привязанной к какому-то материальному субстрату, тогда материя в движении увлекала бы за собой свет, а Физо продемонстрировал, что она ничего подобного не делает, по крайней мере для воздуха. Майкельсон и Морли с тех пор подтвердили это. Можно было бы предположить также, что движения самой материи точно компенсируются движениями эфира; но это привело бы нас к тем же размышлениям, что и раньше. Принцип, понятый таким образом, объяснит все, так как, каковы бы ни были видимые движения, мы всегда могли бы вообразить гипотетические движения, которые компенсируют их. Но если он способен объяснить все, то это потому, что он не позволяет нам предвидеть ничего; он не позволяет нам решить между различными возможными гипотезами, так как он объясняет все заранее. Он, следовательно, становится бесполезным.

А затем предположения, которые необходимо было бы сделать относительно движений эфира, не очень удовлетворительны. Если электрические заряды удваиваются, было бы естественно вообразить, что скорости различных атомов эфира также удваиваются; но для компенсации необходимо, чтобы средняя скорость эфира увеличилась вчетверо.

Вот почему я давно думал, что от этих следствий теории, противоречащих принципу Ньютона, когда-нибудь придется отказаться, и все же недавние эксперименты с движениями электронов, испускаемых радием, скорее, подтверждают их.

Принцип Лавуазье. — Я перехожу к принципу Лавуазье о сохранении массы. Безусловно, это тот принцип, который нельзя затрагивать, не расшатав всю механику. И теперь некоторые полагают, что он кажется нам верным лишь потому, что в механике рассматриваются только умеренные скорости, но что он перестал бы быть верным для тел, движущихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Сейчас полагают, что такие скорости уже реализованы; катодные лучи и лучи радия могут состоять из мельчайших частиц или электронов, которые перемещаются со скоростями, несомненно, меньшими, чем скорость света, но которые могут составлять одну десятую или одну треть от нее.

Эти лучи могут отклоняться как электрическим, так и магнитным полем, и мы можем, сравнивая эти отклонения, измерить одновременно скорость электронов и их массу (или, вернее, отношение их массы к их заряду). Но когда стало ясно, что эти скорости приближаются к скорости света, было решено, что необходима поправка. Эти молекулы, будучи электризованными, не могут перемещаться, не приводя в движение эфир; чтобы привести их в движение, необходимо преодолеть двойную инерцию: инерцию самой молекулы и инерцию эфира. Таким образом, общая или кажущаяся масса, которую мы измеряем, состоит из двух частей: реальной или механической массы молекулы и электродинамической массы, представляющей инерцию эфира.

Расчеты Абрагама и эксперименты Кауфмана показали, что механическая масса, собственно говоря, равна нулю, а масса электронов, или, по крайней мере, отрицательных электронов, имеет исключительно электродинамическое происхождение. Это заставляет нас изменить определение массы; мы больше не можем различать механическую массу и электродинамическую массу, поскольку тогда первая исчезла бы; не существует иной массы, кроме электродинамической инерции. Но в этом случае масса уже не может быть постоянной; она возрастает со скоростью и даже зависит от направления, и тело, обладающее значительной скоростью, будет оказывать не такое же сопротивление силам, стремящимся отклонить его с пути, как силам, стремящимся ускорить или замедлить его движение.

Остается еще один ресурс: предельные элементы тел — это электроны, одни заряжены отрицательно, другие положительно. Отрицательные электроны не имеют массы, это понятно; но положительные электроны, судя по тому немногому, что мы о них знаем, кажутся гораздо больше. Возможно, они имеют, помимо своей электродинамической массы, истинную механическую массу. Реальная масса тела была бы тогда суммой механических масс его положительных электронов, при этом отрицательные электроны не учитываются; масса, определенная таким образом, могла бы оставаться постоянной.

Увы! Этот ресурс также ускользает от нас. Вспомните, что мы говорили о принципе относительности и об усилиях, предпринятых для его спасения. И речь идет не просто о принципе, который нужно спасти, а о несомненных результатах экспериментов Майкельсона.

Что ж, как было показано выше, Лоренц, чтобы объяснить эти результаты, был вынужден предположить, что все силы, независимо от их происхождения, уменьшаются в той же пропорции в среде, совершающей равномерное поступательное движение; этого недостаточно; недостаточно, чтобы это происходило для реальных сил, это должно быть так же и для сил инерции; поэтому необходимо, говорит он, чтобы массы всех частиц подвергались влиянию поступательного движения в той же степени, что и электромагнитные массы электронов.

Таким образом, механические массы должны изменяться в соответствии с теми же законами, что и электродинамические массы; следовательно, они не могут быть постоянными.

Нужно ли мне указывать, что падение принципа Лавуазье влечет за собой падение принципа Ньютона? Последний означает, что центр тяжести изолированной системы движется по прямой линии; но если больше нет постоянной массы, то нет больше и центра тяжести, мы даже не знаем, что это такое. Вот почему я сказал выше, что эксперименты с катодными лучами, по-видимому, оправдывают сомнения Лоренца относительно принципа Ньютона.

Из всех этих результатов, если бы они подтвердились, возникла бы совершенно новая механика, которая прежде всего характеризовалась бы тем фактом, что никакая скорость не могла бы превысить скорость света, подобно тому как никакая температура не может упасть ниже абсолютного нуля.

Ни для наблюдателя, самого совершающего поступательное движение, которое он не подозревает, никакая кажущаяся скорость не могла бы превысить скорость света; и это было бы противоречием, если бы мы не вспомнили, что этот наблюдатель использовал бы не те же часы, что и неподвижный наблюдатель, а часы, отмечающие «местное время».

Итак, мы стоим перед вопросом, который я ограничусь лишь постановкой. Если больше нет никакой массы, что становится с законом Ньютона? Масса имеет два аспекта: она является одновременно коэффициентом инерции и притягивающей массой, входящей множителем в ньютоновское притяжение. Если коэффициент инерции не постоянен, может ли быть постоянной притягивающая масса? Вот в чем вопрос.

Принцип Майера. — По крайней мере, принцип сохранения энергии все еще оставался у нас, и он казался более прочным. Напомнить ли вам, как он в свою очередь был дискредитирован? Это событие наделало больше шума, чем предыдущее, и оно описано во всех мемуарах. С первых слов Беккереля и, прежде всего, когда супруги Кюри открыли радий, стало ясно, что каждое радиоактивное тело является неисчерпаемым источником излучения. Его активность, казалось, сохранялась без изменений на протяжении месяцев и лет. Это само по себе было испытанием для принципов; эти излучения, по сути, были энергией, и из одного и того же кусочка радия она исходила и продолжала исходить вечно. Но эти количества энергии были слишком малы, чтобы их можно было измерить; по крайней мере, так считалось, и мы не были сильно обеспокоены.

Ситуация изменилась, когда Кюри пришла в голову мысль поместить радий в калориметр; тогда стало видно, что количество непрерывно создаваемого тепла весьма значительно.

Предложенных объяснений было множество; но в таком случае нельзя сказать: чем больше, тем лучше. Поскольку ни одно из них не взяло верх над другими, мы не можем быть уверены, что среди них есть верное. Однако с недавних пор одно из этих объяснений, по-видимому, начинает преобладать, и мы можем с полным основанием надеяться, что держим ключ к разгадке тайны.

Сэр У. Рамзай стремился показать, что радий находится в процессе превращения, что он содержит огромный, но не неисчерпаемый запас энергии. Превращение радия, таким образом, производило бы в миллион раз больше тепла, чем все известные превращения; радий исчерпал бы себя за 1250 лет; это совсем недолго, и вы видите, что мы, по крайней мере, уверены в том, что этот вопрос прояснится через несколько сотен лет. А пока наши сомнения остаются.

ГЛАВА IX

Будущее математической физики

Принципы и эксперимент. — Среди стольких руин, что остается стоять? Принцип наименьшего действия до сих пор нетронут, и Лармор, по-видимому, верит, что он долго переживет остальные; в действительности же он еще более расплывчат и более общ.

Перед лицом этого общего краха принципов какую позицию займет математическая физика? И прежде всего, не стоит слишком волноваться, уместно спросить, действительно ли все это правда. Все эти отступления от принципов встречаются только среди бесконечно малых величин; микроскоп необходим, чтобы увидеть броуновское движение; электроны очень легки; радий очень редок, и никогда не бывает больше нескольких миллиграммов его за раз. И тогда можно спросить, не было ли, помимо увиденной бесконечно малой величины, другой невидимой бесконечно малой величины, уравновешивающей первую.

Итак, существует предварительный вопрос, и, как кажется, только эксперимент может его решить. Поэтому нам останется только передать дело экспериментаторам и, в ожидании того, когда они окончательно решат спор, не занимать себя этими тревожными проблемами, а спокойно продолжать нашу работу, как если бы принципы все еще были неоспоримы. Конечно, у нас много дел, не выходя за пределы области, где они могут применяться со всей уверенностью; у нас достаточно, чтобы занять нашу деятельность в этот период сомнений.

Роль аналитика. — А что касается этих сомнений, действительно ли верно, что мы ничего не можем сделать, чтобы избавить от них науку? Нужно сказать, что не только экспериментальная физика породила их; математическая физика внесла свой вклад. Именно экспериментаторы увидели, как радий излучает энергию, но именно теоретики выявили все трудности, связанные с распространением света в движущейся среде; если бы не они, вероятно, мы бы не осознали их. Что ж, если они сделали все возможное, чтобы поставить нас в это затруднительное положение, уместно также, чтобы они помогли нам выбраться из него.

Они должны подвергнуть критическому рассмотрению все эти новые взгляды, которые я только что изложил перед вами, и отказаться от принципов только после того, как предпримут добросовестную попытку спасти их. Что они могут сделать в этом смысле? Это я и попытаюсь объяснить.

Прежде всего, речь идет о попытке получить более удовлетворительную теорию электродинамики движущихся тел. Именно там, как я достаточно показал выше, накапливаются трудности. Бесполезно нагромождать гипотезы, мы не можем удовлетворить всем принципам сразу; до сих пор удавалось защитить одни только при условии жертвования другими; но всякая надежда на получение лучших результатов еще не потеряна. Давайте возьмем теорию Лоренца, повернем ее во всех смыслах, изменим ее мало-помалу, и, возможно, все уладится.

Так, вместо того чтобы предполагать, что движущиеся тела претерпевают сокращение в направлении движения и что это сокращение одинаково, независимо от природы этих тел и сил, которым они иначе подвергаются, не могли бы мы выдвинуть более простую и естественную гипотезу? Мы могли бы вообразить, например, что именно эфир изменяется, когда он находится в относительном движении по отношению к материальной среде, которая его пронизывает, что, когда он таким образом изменен, он больше не передает возмущения с одинаковой скоростью во всех направлениях. Он мог бы передавать быстрее те, которые распространяются параллельно движению среды, будь то в том же или в противоположном направлении, и менее быстро те, которые распространяются перпендикулярно. Волновые поверхности были бы уже не сферами, а эллипсоидами, и мы могли бы обойтись без этого экстраординарного сокращения всех тел.

Я привожу это только в качестве примера, поскольку модификации, которые можно было бы попробовать, были бы, очевидно, подвержены бесконечным вариациям.

Аберрация и астрономия. — Возможно также, что астрономия когда-нибудь предоставит нам данные по этому вопросу; именно она в основном подняла этот вопрос, познакомив нас с явлением аберрации света. Если мы грубо построим теорию аберрации, мы придем к очень любопытному результату. Кажущиеся положения звезд отличаются от их реальных положений из-за движения Земли, и, поскольку это движение переменное, эти кажущиеся положения меняются. Реальное положение мы не можем установить, но мы можем наблюдать изменения кажущегося положения. Наблюдения аберрации показывают нам, следовательно, не движение Земли, а изменения этого движения; они не могут, следовательно, дать нам информацию об абсолютном движении Земли.

По крайней мере, это верно в первом приближении, но случай был бы уже не тем же самым, если бы мы могли оценить тысячные доли секунды. Тогда было бы видно, что амплитуда колебания зависит не только от изменения движения, изменения, которое хорошо известно, поскольку это движение нашего земного шара по его эллиптической орбите, но и от среднего значения этого движения, так что постоянная аберрации была бы не совсем одинаковой для всех звезд, и различия указали бы нам абсолютное движение Земли в пространстве.

Это, таким образом, было бы, в другой форме, крахом принципа относительности. Мы далеки, это правда, от оценки тысячной доли секунды, но, в конце концов, говорят некоторые, полная абсолютная скорость Земли, возможно, гораздо больше, чем ее относительная скорость по отношению к Солнцу. Если бы, например, она составляла 300 километров в секунду вместо 30, этого было бы достаточно, чтобы сделать явление наблюдаемым.

Я считаю, что, рассуждая так, допускают слишком простую теорию аберрации. Майкельсон показал нам, я говорил вам, что физические процедуры бессильны выявить абсолютное движение; я убежден, что то же самое будет верно и для астрономических процедур, как бы далеко ни заходила точность.

Как бы то ни было, данные, которые предоставит нам астрономия в этом отношении, когда-нибудь будут ценны для физика. Тем временем я считаю, что теоретики, вспоминая опыт Майкельсона, могут предвидеть отрицательный результат и что они совершили бы полезную работу, построив теорию аберрации, которая объяснила бы это заранее.

Электроны и спектры. — К этой динамике электронов можно подойти с разных сторон, но среди путей, ведущих к ней, есть один, которым несколько пренебрегли, и все же это один из тех, что обещают нам больше всего сюрпризов. Именно движения электронов создают линии спектров излучения; это доказано эффектом Зеемана; в раскаленном теле то, что вибрирует, чувствительно к магниту, следовательно, электризовано. Это очень важный первый пункт, но никто не пошел дальше. Почему линии спектра распределены в соответствии с регулярным законом? Эти законы были изучены экспериментаторами в мельчайших деталях; они очень точны и сравнительно просты. Первое изучение этих распределений напоминает гармоники, встречающиеся в акустике; но разница велика. Мало того, что числа вибраций не являются последовательными кратными одного числа, мы даже не находим ничего аналогичного корням тех трансцендентных уравнений, к которым нас приводят столь многие задачи математической физики: задача о вибрациях упругого тела любой формы, задача о герцевых колебаниях в генераторе любой формы, задача Фурье для охлаждения твердого тела.

Законы проще, но они совершенно иной природы, и, чтобы привести только одно из этих различий, для гармоник высокого порядка число вибраций стремится к конечному пределу, вместо того чтобы возрастать бесконечно.

Это еще не объяснено, и я считаю, что здесь мы имеем одну из самых важных тайн природы. Японский физик г-н Нагаока недавно предложил объяснение; по его мнению, атомы состоят из большого положительного электрона, окруженного кольцом, образованным большим количеством очень маленьких отрицательных электронов. Таков Сатурн с его кольцами. Это очень интересная попытка, но еще не вполне удовлетворительная; эту попытку следует возобновить. Мы проникнем, так сказать, в самую сокровенную глубину материи. И с той особой точки зрения, которую мы сегодня занимаем, когда мы узнаем, почему вибрации раскаленных тел так отличаются от обычных упругих вибраций, почему электроны не ведут себя как материя, которая нам знакома, мы лучше поймем динамику электронов, и нам будет, возможно, легче примирить ее с принципами.

Конвенции, предшествующие эксперименту. — Предположим теперь, что все эти усилия потерпят неудачу, и, в конце концов, я не верю, что они потерпят, что нужно делать? Нужно ли будет пытаться исправить нарушенные принципы, сделав то, что мы, французы, называем «coup de pouce» (толчком)? Это, очевидно, всегда возможно, и я ничего не беру назад из того, что сказал выше.

Разве вы не писали, могли бы вы сказать, если бы хотели поссориться со мной — разве вы не писали, что принципы, хотя и имеют экспериментальное происхождение, теперь недоступны для эксперимента, потому что они стали конвенциями? И теперь вы только что сказали нам, что самые последние завоевания эксперимента ставят эти принципы под угрозу.

Что ж, раньше я был прав, а сегодня я не неправ. Раньше я был прав, и то, что сейчас происходит, — новое тому доказательство. Возьмем, например, калориметрический эксперимент Кюри с радием. Можно ли примирить его с принципом сохранения энергии? Это пытались сделать многими способами. Но есть среди них один, на который я хотел бы, чтобы вы обратили внимание; это не то объяснение, которое сегодня стремится преобладать, но это одно из тех, что были предложены. Было высказано предположение, что радий был лишь посредником, что он только накапливал излучения неизвестной природы, которые проносились через пространство во всех направлениях, проходя сквозь все тела, кроме радия, не изменяясь при этом прохождении и не оказывая на них никакого действия. Только радий забирал у них немного их энергии, а затем отдавал ее нам в различных формах.

Какое выгодное объяснение, и какое удобное! Во-первых, оно непроверяемо и, следовательно, неопровержимо. Затем, оно послужит для объяснения любого отступления от принципа Майера; оно заранее отвечает не только на возражение Кюри, но и на все возражения, которые могут накопить будущие экспериментаторы. Эта новая и неизвестная энергия послужила бы для всего.

Это именно то, что я сказал, и тем самым нам показано, что наш принцип недоступен для эксперимента.

Но тогда что мы выиграли этим ходом? Принцип нетронут, но с тех пор какая от него польза? Он позволял нам предвидеть, что в таких-то обстоятельствах мы можем рассчитывать на такое-то общее количество энергии; он ограничивал нас; но теперь, когда этот неопределенный запас новой энергии предоставлен в наше распоряжение, мы больше ничем не ограничены; и, как я писал в «Науке и гипотезе», если принцип перестает быть плодотворным, эксперимент, не противореча ему прямо, тем не менее осудит его.

Будущая математическая физика. — Это, следовательно, не то, что нужно было бы сделать; необходимо было бы перестраивать заново. Если бы мы были сведены к этой необходимости, мы могли бы, кроме того, утешиться. Из этого не следовало бы заключать, что наука может ткать только полотно Пенелопы, что она может возводить только эфемерные структуры, которые вскоре вынуждена сносить сверху донизу собственными руками.

Как я сказал, мы уже прошли через подобный кризис. Я показал вам, что во второй математической физике, физике принципов, мы находим следы первой, физики центральных сил; будет точно так же, если мы должны будем узнать третью. Точно так же, как животное, которое линяет, которое разбивает свой слишком узкий панцирь и делает себе новый; под новой оболочкой можно будет узнать существенные черты организма, которые сохранились.

Мы не можем предвидеть, в каком направлении мы собираемся расширяться; возможно, именно кинетическая теория газов собирается подвергнуться развитию и послужить моделью для других. Тогда факты, которые сначала казались нам простыми, впоследствии были бы лишь результатом очень большого числа элементарных фактов, которые только законы случая заставили бы сотрудничать ради общей цели. Физический закон тогда принял бы совершенно новый аспект; он был бы уже не просто дифференциальным уравнением, он принял бы характер статистического закона.

Возможно также, что нам придется построить совершенно новую механику, которую мы лишь успеваем уловить, где, при инерции, возрастающей со скоростью, скорость света стала бы непреодолимым пределом. Обычная механика, более простая, осталась бы первым приближением, поскольку она была бы верна для скоростей, не слишком больших, так что старая динамика все еще находилась бы под новой. Мы не должны были бы сожалеть о том, что верили в принципы, и даже, поскольку скорости, слишком большие для старых формул, всегда были бы только исключительными, самым верным способом на практике было бы все еще действовать так, как если бы мы продолжали верить в них. Они так полезны, что необходимо было бы сохранить для них место. Решиться исключить их вовсе означало бы лишить себя драгоценного оружия. Я спешу сказать в заключение, что мы еще не там, и пока ничто не доказывает, что принципы не выйдут из этой схватки победителями и нетронутыми.

ЧАСТЬ III ОБЪЕКТИВНАЯ ЦЕННОСТЬ НАУКИ

ГЛАВА X

Является ли наука искусственной?

1. Философия г-на ЛеРуа

Есть много причин быть скептиками; должны ли мы довести этот скептицизм до самого конца или остановиться на полпути? Идти до конца — самое заманчивое решение, самое легкое и то, которое многие приняли, отчаявшись спасти что-либо из кораблекрушения.

Среди сочинений, вдохновленных этой тенденцией, уместно поставить в первый ряд работы г-на ЛеРуа. Этот мыслитель не только философ и писатель величайшего достоинства, но он приобрел глубокие знания в точных и физических науках и даже проявил редкие способности к математическому изобретательству. Давайте в нескольких словах подведем итог его доктрине, которая вызвала многочисленные дискуссии.

Наука состоит только из конвенций, и только этому обстоятельству она обязана своей кажущейся достоверностью; факты науки и, a fortiori, ее законы являются искусственным творением ученого; наука, следовательно, не может научить нас ничему об истине; она может служить нам только правилом действия.

Здесь мы узнаем философскую теорию, известную под названием номинализма; не все ложно в этой теории; ее законная область должна быть оставлена ей, но за ее пределы ей не следует позволять выходить.

Это еще не все; доктрина г-на ЛеРуа не только номиналистическая; она имеет, кроме того, другую характеристику, которую она, несомненно, обязана г-ну Бергсону, — она антиинтеллектуалистическая. Согласно г-ну ЛеРуа, интеллект деформирует все, к чему прикасается, и это еще более верно для его необходимого инструмента — «дискурса». Реальность существует только в наших мимолетных и меняющихся впечатлениях, и даже эта реальность, когда ее касаются, исчезает.

И все же г-н ЛеРуа не скептик; если он рассматривает интеллект как неизлечимо бессильный, то только для того, чтобы дать больше простора другим источникам знания, сердцу, например, чувству, инстинкту или вере.

Как бы ни было велико мое уважение к таланту г-на ЛеРуа, какова бы ни была изобретательность этого тезиса, я не могу полностью принять его. Конечно, я согласен по многим пунктам с г-ном ЛеРуа, и он даже цитировал в поддержку своего взгляда различные отрывки из моих сочинений, которые я отнюдь не склонен отвергать. Я считаю себя лишь тем более обязанным объяснить, почему я не могу идти с ним до конца.

Г-н ЛеРуа часто жалуется на то, что его обвиняют в скептицизме. Он не мог не быть им, хотя это обвинение, вероятно, несправедливо. Разве внешние проявления не против него? Номиналист по доктрине, но реалист в душе, он, кажется, избегает абсолютного номинализма только отчаянным актом веры.

Дело в том, что антиинтеллектуалистическая философия, отвергая анализ и «дискурс», тем самым обрекает себя на непередаваемость; это философия по существу внутренняя, или, по крайней мере, передаваемы только ее отрицания; что же удивительного тогда, что для внешнего наблюдателя она принимает форму скептицизма?

В этом заключается слабое место этой философии; если она стремится оставаться верной себе, ее энергия тратится на отрицание и крик энтузиазма. Каждый автор может повторять это отрицание и этот крик, может варьировать их форму, но без добавления чего-либо.

И все же, не было бы логичнее хранить молчание? Посмотрите, вы написали длинные статьи; для этого необходимо было использовать слова. И разве вы не были в этом гораздо более «дискурсивными» и, следовательно, гораздо дальше от жизни и истины, чем животное, которое просто живет, не философствуя? Не было бы это животное истинным философом?

Однако, поскольку ни один художник не создал идеального портрета, должны ли мы сделать вывод, что лучшая живопись — это не писать? Когда зоолог препарирует животное, конечно, он «изменяет его». Да, препарируя его, он обрекает себя на то, чтобы никогда не узнать его полностью; но не препарируя его, он обрек бы себя на то, чтобы никогда ничего не узнать о нем и, следовательно, никогда ничего не увидеть в нем.

Конечно, в человеке есть и другие силы, помимо его интеллекта; никто никогда не был настолько безумен, чтобы отрицать это. Первый встречный заставляет эти слепые силы действовать или позволяет им действовать; философ должен говорить о них; чтобы говорить о них, он должен знать о них то немногое, что можно знать, он должен, следовательно, видеть, как они действуют. Как? Какими глазами, если не своим интеллектом? Сердце, инстинкт могут направлять его, но не делать его бесполезным; они могут направлять взгляд, но не заменять глаз. Можно допустить, что сердце — это работник, а интеллект — только инструмент. И все же это инструмент, без которого нельзя обойтись, если не для действия, то, по крайней мере, для философствования? Поэтому философ, действительно антиинтеллектуалистический, невозможен. Возможно, нам придется высказаться за верховенство действия; всегда именно наш интеллект будет таким образом заключать; отдавая предпочтение действию, он тем самым сохранит превосходство мыслящего тростника. Это также превосходство, которым не стоит пренебрегать.

Простите эти краткие размышления и простите также их краткость, едва затрагивающую вопрос. Процесс интеллектуализма — это не тот предмет, который я хочу рассматривать: я хочу говорить о науке, и о ней нет сомнений; по определению, так сказать, она будет интеллектуалистической или ее не будет вовсе. Именно вопрос в том, будет ли она.

2. Наука, правило действия

Для г-на ЛеРуа наука — это только правило действия. Мы бессильны что-либо знать, и все же мы запущены, мы должны действовать, и на всякий случай мы установили правила. Именно совокупность этих правил и называется наукой.

Именно так люди, желающие развлечения, установили правила игры, как, например, правила трик-трака, которые лучше, чем сама наука, могли бы опираться на доказательство всеобщим согласием. Именно так, не имея возможности выбрать, но будучи вынужденными выбирать, мы подбрасываем монету, орел или решка, чтобы выиграть.

Правило трик-трака действительно является правилом действия, как и наука, но неужели кто-то считает это сравнение справедливым и не видит разницы? Правила игры — это произвольные конвенции, и могла быть принята противоположная конвенция, которая была бы ничуть не хуже. Напротив, наука — это правило действия, которое успешно, по крайней мере в целом, и я добавлю, в то время как противоположное правило не имело бы успеха.

Если я скажу: чтобы получить водород, заставьте кислоту подействовать на цинк, я формулирую правило, которое работает; я мог бы сказать: заставьте дистиллированную воду подействовать на золото; это тоже было бы правилом, только оно не сработало бы. Если, следовательно, научные «рецепты» имеют ценность как правило действия, то это потому, что мы знаем, что они работают, по крайней мере в целом. Но знать это — значит знать что-то, и тогда зачем говорить нам, что мы ничего не можем знать?

Наука предвидит, и именно потому, что она предвидит, она может быть полезной и служить правилом действия. Я хорошо знаю, что ее предвидения часто опровергаются событием; это показывает, что наука несовершенна, и если я добавлю, что она всегда такой останется, я уверен, что это предвидение, которое, по крайней мере, никогда не будет опровергнуто. Всегда ученый ошибается реже, чем пророк, который предсказывал бы наугад. Кроме того, прогресс, хотя и медленный, непрерывен, так что ученые, хотя и все более смелые, все меньше и меньше вводятся в заблуждение. Это немного, но этого достаточно.

Я хорошо знаю, что г-н ЛеРуа где-то сказал, что наука ошибается чаще, чем думают, что кометы иногда играли злые шутки с астрономами, что ученые, которые, по-видимому, являются людьми, не охотно говорят о своих неудачах, и что, если бы они говорили о них, им пришлось бы насчитать больше поражений, чем побед.

В тот день г-н ЛеРуа, очевидно, перегнул палку. Если бы наука не имела успеха, она не могла бы служить правилом действия; откуда бы она взяла свою ценность? Потому что она «прожита», то есть потому, что мы любим ее и верим в нее? У алхимиков были рецепты изготовления золота, они любили их и верили в них, и все же наши рецепты — хорошие, хотя наша вера менее живая, потому что они работают.

От этой дилеммы нет спасения: либо наука не позволяет нам предвидеть, и тогда она бесполезна как правило действия; либо она позволяет нам предвидеть, более или менее несовершенным образом, и тогда она не лишена ценности как средство познания.

Не следует даже говорить, что действие — это цель науки; должны ли мы осуждать изучение звезды Сириус под предлогом, что мы, вероятно, никогда не окажем никакого влияния на эту звезду? В моих глазах, напротив, именно знание является целью, а действие — средством. Если я поздравляю себя с промышленным развитием, то не только потому, что оно дает легкий аргумент сторонникам науки; это прежде всего потому, что оно дает ученому веру в себя, а также потому, что оно предлагает ему огромное поле опыта, где он сталкивается с силами, слишком колоссальными, чтобы с ними можно было играть. Без этого балласта кто знает, не покинул бы он твердую почву, соблазненный миражом какой-нибудь схоластической новизны, или не отчаялся бы, полагая, что создал лишь мечту?

3. Грубый факт и научный факт

Что было наиболее парадоксальным в тезисе г-на ЛеРуа, так это утверждение, что ученый создает факт; это было в то же время его существенным пунктом, и это один из тех, которые обсуждались больше всего.

Возможно, говорит он (я вполне верю, что это была уступка), не ученый создает факт в грубом виде; по крайней мере, именно он создает научный факт.

Это различие между фактом в грубом виде и научным фактом само по себе не кажется мне незаконным. Но я жалуюсь, во-первых, на то, что граница не была проведена ни точно, ни четко; а во-вторых, на то, что автор, по-видимому, предположил, что грубый факт, не будучи научным, находится вне науки.

Наконец, я не могу допустить, что ученый создает без ограничений научный факт, поскольку именно грубый факт навязывает его ему.

Примеры, приведенные г-ном ЛеРуа, сильно удивили меня. Первый взят из понятия атома. Атом, выбранный в качестве примера факта! Признаюсь, что этот выбор настолько смутил меня, что я предпочитаю ничего не говорить об этом. Я, очевидно, неправильно понял мысль автора и не мог бы плодотворно обсудить ее.

Второй случай, взятый в качестве примера, — это случай затмения, где грубое явление — это игра света и тени, но где астроном не может вмешаться, не введя два чужеродных элемента, а именно часы и закон Ньютона.

Наконец, г-н ЛеРуа цитирует вращение Земли; ему ответили: но это не факт, и он ответил: это был факт для Галилея, который утверждал его, как и для инквизитора, который отрицал его. Всегда остается то, что это не факт в том же смысле, что и те, о которых только что говорилось, и что давать им одно и то же имя — значит подвергать себя многим путаницам.

Вот тогда четыре степени:

1º. Темнеет, говорит клоун.

2º. Затмение произошло в девять часов, говорит астроном.

3º. Затмение произошло во время, выводимое из таблиц, построенных согласно закону Ньютона, говорит он снова.

4º. Это результат вращения Земли вокруг Солнца, говорит наконец Галилей.

Где же тогда граница между фактом в грубом виде и научным фактом? Читая г-на ЛеРуа, можно было бы поверить, что она между первой и второй стадией, но кто не видит, что расстояние от второй до третьей больше, а от третьей до четвертой — еще больше.

Позвольте мне привести два примера, которые, возможно, немного прояснят нас.

Я наблюдаю отклонение гальванометра с помощью подвижного зеркала, которое проецирует светящееся изображение или пятно на разделенную шкалу. Грубый факт таков: я вижу, как пятно перемещается по шкале, а научный факт таков: ток проходит в цепи.

Или еще: когда я провожу эксперимент, я должен подвергнуть результат определенным поправкам, потому что я знаю, что должен был совершить ошибки. Эти ошибки бывают двух видов: одни случайные, и их я исправлю, взяв среднее значение; другие систематические, и я смогу исправить их только путем тщательного изучения их причин. Первый полученный результат — это, следовательно, факт в грубом виде, в то время как научный факт — это окончательный результат после завершенных исправлений.

Размышляя над этим последним примером, мы приходим к подразделению нашей второй стадии, и вместо того, чтобы говорить:

2. Затмение произошло в девять часов, мы скажем:

2a. Затмение произошло, когда мои часы показывали девять, и

2b. Мои часы отставали на десять минут, затмение произошло в десять минут десятого.

И это еще не все: первая стадия также должна быть подразделена, и не между этими двумя подразделениями будет наименьшее расстояние; необходимо различать впечатление темноты, испытываемое тем, кто наблюдает затмение, и утверждение: «Темнеет», которое это впечатление вырывает у него. В некотором смысле именно первое является единственным истинным фактом в грубом виде, а второе — уже своего рода научный факт.

Теперь, значит, наша шкала имеет шесть стадий, и даже если нет причин останавливаться на этой цифре, на этом мы остановимся.

Что поражает меня с самого начала, так это следующее. На первой из наших шести стадий факт, еще полностью в грубом виде, является, так сказать, индивидуальным, он полностью отличен от всех других возможных фактов. Со второй стадии он уже не тот же самый. Формулировка факта подошла бы к бесконечности других фактов. Как только вмешивается язык, в моем распоряжении оказывается лишь конечное число терминов для выражения оттенков, число которых бесконечно, которые могли бы охватить мои впечатления. Когда я говорю: «Темнеет», это хорошо выражает впечатления, которые я испытываю, присутствуя при затмении; но даже в темноте можно было бы вообразить множество оттенков, и если бы вместо фактически реализованного произошел немного другой оттенок, я все равно сформулировал бы этот другой факт, сказав: «Темнеет».

Второе замечание: даже на второй стадии формулировка факта может быть только истинной или ложной. Это не так для любого суждения; если это суждение является формулировкой конвенции, нельзя сказать, что эта формулировка истинна в собственном смысле слова, поскольку она не могла бы быть истинной независимо от меня и истинна только потому, что я хочу, чтобы она была таковой.

Когда, например, я говорю, что единица длины — метр, это декрет, который я провозглашаю, это не нечто установленное, что навязывает себя мне. То же самое, как я думаю, я показал в другом месте, когда речь идет, например, о постулате Евклида.

Когда меня спрашивают: «Темнеет ли?», я всегда знаю, должен ли я ответить «да» или «нет». Хотя бесконечность возможных фактов может быть подвержена этой же формулировке, «темнеет», я всегда буду знать, принадлежит ли реализованный факт к тем, которые отвечают этой формулировке, или нет. Факты классифицируются по категориям, и если меня спросят, принадлежит ли факт, который я устанавливаю, к такой-то категории или нет, я не буду колебаться.

Несомненно, эта классификация достаточно произвольна, чтобы оставить большую часть свободе или капризу человека. Одним словом, эта классификация — конвенция. При условии, что эта конвенция дана, если меня спросят: «Истинен ли такой-то факт?», я всегда буду знать, что ответить, и мой ответ будет навязан мне свидетельством моих чувств.

Если поэтому во время затмения спрашивают: «Темнеет ли?», все ответят «да». Несомненно, те, кто говорит на языке, где светлое называлось темным, а темное — светлым, ответили бы «нет». Но какое это имеет значение?

Точно так же в математике, когда я установил определения и постулаты, которые являются конвенциями, теорема отныне может быть только истинной или ложной. Но чтобы ответить на вопрос: «Истинна ли эта теорема?», я буду прибегать уже не к свидетельству моих чувств, а к рассуждению.

Утверждение факта всегда проверяемо, и для проверки мы прибегаем либо к свидетельству наших чувств, либо к памяти об этом свидетельстве. Это, собственно, то, что характеризует факт. Если вы зададите мне вопрос: «Истинен ли такой-то факт?», я начну с того, что попрошу вас, если есть повод, уточнить конвенции, спросив вас, другими словами, на каком языке вы говорили; затем, как только мы договоримся об этом пункте, я опрошу свои чувства и отвечу «да» или «нет». Но это мои чувства ответят, а не вы, когда скажете мне: «Я говорил с вами по-английски или по-французски».

Есть ли что-то, что нужно изменить во всем этом, когда мы переходим к следующим стадиям? Когда я наблюдаю гальванометр, как я только что сказал, если я спрошу невежественного посетителя: «Проходит ли ток?», он смотрит на провод, пытаясь увидеть, как что-то проходит; но если я задам тот же вопрос моему помощнику, который понимает мой язык, он будет знать, что я имею в виду: «Движется ли пятно?», и он посмотрит на шкалу.

Какая тогда разница между утверждением факта в грубом виде и утверждением научного факта? Та же разница, что и между утверждением одного и того же грубого факта на французском и на немецком языках. Научное утверждение — это перевод грубого утверждения на язык, который отличается прежде всего от обычного немецкого или французского тем, что на нем говорит гораздо меньшее число людей.

И все же не будем торопиться. Чтобы измерить ток, я могу использовать очень большое число типов гальванометров или, кроме того, электродинамометр. И тогда, когда я скажу: в этой цепи течет ток в столько-то ампер, это будет означать: если я приспособлю к этой цепи такой-то гальванометр, я увижу, как пятно дойдет до деления a; но это будет означать в равной степени: если я приспособлю к этой цепи такой-то электродинамометр, я увижу, как пятно пойдет к делению b. И это будет означать еще много других вещей, потому что ток может проявляться не только механическими эффектами, но и эффектами химическими, тепловыми, световыми и т. д.

Вот тогда одно и то же утверждение, которое подходит к очень большому числу фактов, абсолютно различных. Почему? Это потому, что я предполагаю закон, согласно которому, всякий раз, когда будет происходить такой-то механический эффект, будет происходить также и такой-то химический эффект. Предыдущие эксперименты, очень многочисленные, никогда не показывали, чтобы этот закон нарушался, и тогда я понял, что могу выразить одним и тем же утверждением два факта, столь неизменно связанных один с другим.

Когда меня спрашивают: «Проходит ли ток?», я могу понять, что это означает: «Произойдет ли такой-то механический эффект?». Но я могу понять также: «Произойдет ли такой-то химический эффект?». Я тогда проверю либо существование механического эффекта, либо химического; это будет безразлично, поскольку в обоих случаях ответ должен быть одинаковым.

А если закон однажды окажется ложным? Если будет замечено, что соответствие двух эффектов, механического и химического, не является постоянным? В тот день необходимо будет изменить научный язык, чтобы освободить его от серьезной двусмысленности.

А после этого? Думают ли, что обычный язык, с помощью которого выражаются факты повседневной жизни, свободен от двусмысленности?

Сделаем ли мы отсюда вывод, что факты повседневной жизни — дело рук грамматиков?

Вы спрашиваете меня: «Есть ли ток?». Я проверяю, существует ли механический эффект, я устанавливаю его и отвечаю: «Да, есть ток». Вы сразу понимаете, что это означает, что механический эффект существует, и что химический эффект, который я не исследовал, существует точно так же. Представьте теперь, допуская невозможность, что закон, который мы считаем истинным, таковым не является, и химический эффект не существует. При этой гипотезе будет два различных факта: один непосредственно наблюдаемый и который истинен, другой выведенный и который ложен. Можно строго сказать, что мы создали второй. Так что ошибка — это часть личного вклада человека в создание научного факта.

Но если мы можем сказать, что рассматриваемый факт ложен, не потому ли это, что он не является свободным и произвольным творением нашего разума, замаскированной конвенцией, в каковом случае он не был бы ни истинным, ни ложным. И в самом деле, он был проверяем; я не сделал проверки, но я мог бы ее сделать. Если я ответил неверно, то потому, что я решил ответить слишком быстро, не спросив природу, которая одна знала секрет.

Когда после эксперимента я исправляю случайные и систематические ошибки, чтобы выявить научный факт, случай тот же самый; научный факт никогда не будет ничем иным, кроме грубого факта, переведенного на другой язык. Когда я скажу: «Сейчас такой-то час», это будет краткий способ сказать: существует такое-то отношение между часом, указанным моими часами, и часом, который они показывали в момент прохождения такой-то звезды и такой-то другой звезды через меридиан. И эта языковая конвенция, раз принятая, когда меня спросят: «Сейчас такой-то час?», от меня не будет зависеть, ответить «да» или «нет».

Перейдем к предпоследнему этапу: затмение произошло в час, указанный в таблицах, выведенных из законов Ньютона. Это все еще языковая конвенция, совершенно ясная для тех, кто знает небесную механику, или просто для тех, у кого есть таблицы, рассчитанные астрономами. Меня спрашивают: произошло ли затмение в предсказанный час? Я смотрю в морской альманах, вижу, что затмение было объявлено на девять часов, и понимаю, что вопрос означает: произошло ли затмение в девять часов? Здесь нам по-прежнему нечего менять в наших выводах. Научный факт — это лишь сырой факт, переведенный на удобный язык.

Правда, на последнем этапе все меняется. Вращается ли Земля? Является ли это проверяемым фактом? Могли ли Галилей и великий инквизитор, чтобы решить этот вопрос, обратиться к свидетельству своих чувств? Напротив, они были согласны относительно явлений, и каков бы ни был накопленный опыт, они оставались бы согласны относительно явлений, так и не договорившись об их интерпретации. Именно поэтому они были вынуждены прибегнуть к столь ненаучным процедурам обсуждения.

Вот почему я думаю, что они не расходились во мнениях относительно факта: мы не имеем права давать одно и то же имя вращению Земли, которое было предметом их дискуссии, и фактам, сырым или научным, которые мы до сих пор рассматривали.

После всего вышесказанного кажется излишним исследовать, находится ли сырой факт вне науки, поскольку не может быть науки без научного факта, как и научного факта без сырого факта, так как первый является лишь переводом второго.

А затем, имеет ли кто-то право говорить, что ученый создает научный факт? Прежде всего, он не создает его из ничего, поскольку делает его из сырого факта. Следовательно, он не делает его свободно и по своему выбору. Каким бы способным ни был работник, его свобода всегда ограничена свойствами сырья, с которым он работает.

В конце концов, что вы имеете в виду, когда говорите об этом свободном создании научного факта и когда берете в качестве примера астронома, который активно вмешивается в явление затмения, принося свои часы? Хотите ли вы сказать: затмение произошло в девять часов; но если бы астроном пожелал, чтобы оно произошло в десять, это зависело бы только от него, ему нужно было лишь перевести свои часы на час вперед?

Но астроном, совершая эту дурную шутку, очевидно, был бы виновен в двусмысленности. Когда он говорит мне: «Затмение произошло в девять», я понимаю, что девять — это час, выведенный из сырого показания маятника с помощью обычного ряда поправок. Если он дал мне только это сырое показание или если он внес поправки, противоречащие обычным правилам, он изменил согласованный язык, не предупредив меня. Если, напротив, он позаботился предупредить меня, мне не на что жаловаться, но тогда это всегда один и тот же факт, выраженный на другом языке.

В итоге, все, что ученый создает в факте, — это язык, на котором он его формулирует. Если он предсказывает факт, он будет использовать этот язык, и для всех, кто может говорить и понимать его, его предсказание свободно от двусмысленности. Более того, раз сделанное, это предсказание очевидно не зависит от него, исполнится оно или нет.

Что же тогда остается от тезиса г-на Ле Руа? Остается следующее: ученый активно вмешивается, выбирая факты, заслуживающие наблюдения. Изолированный факт сам по себе не представляет интереса; он становится интересным, если есть основания полагать, что он может помочь в предсказании других фактов; или, что еще лучше, если, будучи предсказанным, его проверка является подтверждением закона. Кто должен выбирать факты, которые, соответствуя этим условиям, достойны права гражданства в науке? Это свободная деятельность ученого.

И это еще не все. Я сказал, что научный факт — это перевод сырого факта на определенный язык; я должен добавить, что каждый научный факт сформирован из множества сырых фактов. Это достаточно хорошо показывают приведенные выше примеры. Например, для часа затмения мои часы показывали час α в момент затмения; они показывали час β в момент последнего прохождения через меридиан определенной звезды, которую мы берем за начало прямого восхождения; они показывали час γ в момент предыдущего прохождения этой же звезды. Это три различных факта (заметим, что каждый из них сам по себе является результатом двух одновременных сырых фактов; но опустим это). Вместо этого я говорю: затмение произошло в час 24(α−β)/(β−γ), и три факта объединены в один научный факт. Я пришел к выводу, что три показания, α, β, γ, сделанные на моих часах в три разных момента, не представляли интереса и что единственной интересной вещью была комбинация (α−β)/(β−γ) этих трех. В этом выводе и заключается свободная деятельность моего разума.

Но я таким образом исчерпал свою силу; я не могу сделать так, чтобы эта комбинация (α−β)/(β−γ) имела такое значение, а не другое, поскольку я не могу повлиять ни на значение α, ни на значение β, ни на значение γ, которые навязаны мне как сырые факты.

В итоге, факты есть факты, и если случается, что они удовлетворяют предсказанию, это не является следствием нашей свободной деятельности. Нет точной границы между сырым фактом и научным фактом; можно лишь сказать, что такая формулировка факта является более «сырой» или, напротив, «более научной», чем другая.

4. «Номинализм» и «универсальный инвариант»

Если от фактов мы перейдем к законам, ясно, что доля свободной деятельности ученого станет гораздо больше. Но не сделал ли г-н Ле Руа ее слишком большой? Это мы и собираемся рассмотреть.

Вспомним сначала примеры, которые он привел. Когда я говорю: «Фосфор плавится при 44°», я думаю, что формулирую закон; в действительности это просто определение фосфора; если бы кто-то обнаружил тело, которое, обладая всеми остальными свойствами фосфора, не плавилось бы при 44°, мы дали бы ему другое имя, вот и все, и закон остался бы верным.

Точно так же, когда я говорю: «Тяжелые тела, падающие свободно, проходят пространства, пропорциональные квадратам времен», я даю лишь определение свободного падения. Всякий раз, когда условие не будет выполнено, я скажу, что падение не является свободным, так что закон никогда не окажется неверным. Ясно, что если бы законы сводились к этому, они не могли бы служить для предсказания; тогда они были бы ни к чему не пригодны ни как средство познания, ни как принцип действия.

Когда я говорю: «Фосфор плавится при 44°», я имею в виду следующее: все тела, обладающие таким-то свойством (а именно, всеми свойствами фосфора, кроме точки плавления), плавятся при 44°. Понимаемое так, мое утверждение действительно является законом, и этот закон может быть мне полезен, потому что, если я встречу тело, обладающее этими свойствами, я смогу предсказать, что оно будет плавиться при 44°.

Несомненно, закон может оказаться ложным. Тогда мы прочтем в трактатах по химии: «Существует два тела, которые химики долгое время путали под названием фосфора; эти два тела различаются только своими точками плавления». Это, очевидно, был бы не первый случай, когда химики смогли разделить два тела, которые сначала не могли различить; таковы, например, неодим и празеодим, долгое время смешивавшиеся под названием дидимия.

Я не думаю, что химики сильно опасаются, что подобная неудача когда-либо случится с фосфором. И если, предположив невозможное, это должно было бы случиться, два тела, вероятно, не имели бы идентично одинаковой плотности, идентично одинаковой удельной теплоемкости и т. д., так что, тщательно определив, например, плотность, можно было бы все же предвидеть точку плавления.

Впрочем, это неважно; достаточно заметить, что существует закон и что этот закон, истинный или ложный, не сводится к тавтологии.

Скажут ли, что если мы не знаем на Земле тела, которое не плавится при 44°, обладая при этом всеми остальными свойствами фосфора, мы не можем знать, не существует ли оно на других планетах? Несомненно, это можно утверждать, и тогда можно было бы сделать вывод, что рассматриваемый закон, который может служить правилом действия для нас, обитателей Земли, пока не имеет общего значения с точки зрения познания и обязан своим интересом только случаю, поместившему нас на этот земной шар. Это возможно, но если бы это было так, закон был бы бесполезен не потому, что он сводился бы к конвенции, а потому, что он был бы ложным.

То же самое верно и в отношении падения тел. Мне не было бы никакой пользы от того, что я дал имя свободного падения падениям, которые происходят в соответствии с законом Галилея, если бы я не знал, что в другом месте, при таких-то обстоятельствах, падение будет, вероятно, свободным или приблизительно свободным. Это, таким образом, закон, который может быть истинным или ложным, но который не сводится к конвенции.

Предположим, астрономы обнаружат, что звезды не совсем точно подчиняются закону Ньютона. У них будет выбор между двумя позициями: они могут сказать, что гравитация не меняется в точности обратно пропорционально квадрату расстояния, или же они могут сказать, что гравитация — не единственная сила, действующая на звезды, и что существует, кроме того, другой род силы.

Во втором случае закон Ньютона будет рассматриваться как определение гравитации. Это будет номиналистическая позиция. Выбор между двумя позициями свободен и делается из соображений удобства, хотя эти соображения чаще всего настолько сильны, что этой свободы на практике остается мало.

Мы можем разбить это утверждение: (1) Звезды подчиняются закону Ньютона, на два других: (2) гравитация подчиняется закону Ньютона; (3) гравитация — единственная сила, действующая на звезды. В этом случае утверждение (2) является уже не чем иным, как определением, и находится вне проверки экспериментом; но тогда именно на утверждении (3) эта проверка может быть осуществлена. Это действительно необходимо, поскольку результирующее утверждение (1) предсказывает проверяемые сырые факты.

Именно благодаря этим ухищрениям посредством бессознательного номинализма ученые возвели над законами то, что они называют принципами. Когда закон получил достаточное подтверждение из эксперимента, мы можем принять две позиции: либо мы можем оставить этот закон в гуще событий; тогда он останется подверженным непрерывному пересмотру, который, без всякого сомнения, закончится доказательством того, что он является лишь приближенным. Либо мы можем возвести его в принцип, приняв конвенции такие, чтобы утверждение могло быть наверняка истинным. Для этого процедура всегда одна и та же. Первоначальный закон формулировал отношение между двумя сырыми фактами, A и B; между этими двумя сырыми фактами вводится абстрактный посредник C, более или менее фиктивный (такой была в предыдущем примере неосязаемая сущность — гравитация). И тогда мы имеем отношение между A и C, которое мы можем предположить строгим и которое является принципом; и другое между C и B, которое остается законом, подлежащим пересмотру.

Принцип, отныне кристаллизованный, так сказать, больше не подлежит проверке экспериментом. Он не истинен и не ложен, он удобен.

Часто находили большие преимущества в том, чтобы действовать таким образом, но ясно, что если бы все законы были превращены в принципы, от науки ничего бы не осталось. Каждый закон может быть разбит на принцип и закон, но при этом совершенно ясно, что как бы далеко ни зашло это разделение, законы будут оставаться всегда.

У номинализма, следовательно, есть пределы, и это то, что можно было бы не заметить, если бы воспринимать утверждения г-на Ле Руа буквально.

Беглый обзор наук позволит нам лучше понять, каковы эти пределы. Номиналистическая позиция оправдана только тогда, когда она удобна; когда же это так?

Эксперимент учит нас отношениям между телами; это сырой факт; эти отношения чрезвычайно сложны. Вместо того чтобы рассматривать непосредственно отношение тела A и тела B, мы вводим между ними посредника, которым является пространство, и рассматриваем три различных отношения: отношение тела A с фигурой A' пространства, отношение тела B с фигурой B' пространства, отношение двух фигур A' и B' друг к другу. Почему этот обходной путь выгоден? Потому что отношение A и B было сложным, но мало отличалось от отношения A' и B', которое является простым; так что это сложное отношение может быть заменено простым отношением между A' и B' и двумя другими отношениями, которые говорят нам, что различия между A и A', с одной стороны, и между B и B', с другой стороны, очень малы. Например, если A и B — два естественных твердых тела, которые перемещаются с небольшой деформацией, мы рассматриваем две подвижные жесткие фигуры A' и B'. Законы относительного перемещения этих фигур A' и B' будут очень простыми; они будут законами геометрии. И мы впоследствии добавим, что тело A, которое всегда очень мало отличается от A', расширяется от воздействия тепла и изгибается от воздействия упругости. Эти расширения и изгибы, именно потому, что они очень малы, будут для нашего ума относительно легкими для изучения. Только представьте, к каким сложностям языка пришлось бы прибегнуть, если бы мы пожелали охватить в одной формулировке перемещение твердого тела, его расширение и его изгиб?

Отношение между A и B было сырым законом и было разбито; теперь у нас есть два закона, которые выражают отношения A и A', B и B', и принцип, который выражает отношение A' с B'. Именно совокупность этих принципов называется геометрией.

Еще два замечания. У нас есть отношение между двумя телами A и B, которое мы заменили отношением между двумя фигурами A' и B'; но это же отношение между теми же двумя фигурами A' и B' могло бы так же хорошо заменить с выгодой отношение между двумя другими телами A'' и B'', совершенно отличными от A и B. И это многими способами. Если бы принципы геометрии не были изобретены, после изучения отношения A и B пришлось бы начинать ab ovo изучение отношения A'' и B''. Вот почему геометрия так драгоценна. Геометрическое отношение может с выгодой заменить отношение, которое в сыром состоянии следовало бы рассматривать как механическое, оно может заменить другое, которое следовало бы рассматривать как оптическое и т. д.

И все же пусть никто не говорит: «Но это доказывает, что геометрия — экспериментальная наука; отделяя ее принципы от законов, из которых они были извлечены, вы искусственно отделяете ее саму от наук, которые дали ей жизнь». Другие науки также имеют принципы, но это не мешает нам называть их экспериментальными.

Нужно признать, что было бы трудно не сделать это разделение, которое претендуют считать искусственным. Мы знаем роль, которую кинематика твердых тел сыграла в генезисе геометрии; следует ли тогда сказать, что геометрия — это лишь ветвь экспериментальной кинематики? Но законы прямолинейного распространения света также способствовали формированию ее принципов. Должна ли геометрия рассматриваться одновременно как ветвь кинематики и как ветвь оптики? Я напоминаю, кроме того, что наше евклидово пространство, которое является собственным объектом геометрии, было выбрано по соображениям удобства из определенного числа типов, которые существуют в нашем уме и которые называются группами.

Если мы перейдем к механике, мы все еще видим великие принципы, чье происхождение аналогично, и, поскольку их «радиус действия», так сказать, меньше, больше нет оснований отделять их от механики как таковой и рассматривать эту науку как дедуктивную.

В физике, наконец, роль принципов еще более уменьшена. И в самом деле, они вводятся только тогда, когда это выгодно. Теперь они выгодны именно потому, что их мало, поскольку каждый из них очень близко заменяет большое число законов. Поэтому нет интереса умножать их. Кроме того, необходим результат, и для этого нужно закончить тем, чтобы оставить абстракцию и взяться за реальность.

Таковы пределы номинализма, и они узки.

Г-н Ле Руа, однако, настаивал, и он поставил вопрос в другой форме.

Поскольку формулировка наших законов может варьироваться в зависимости от конвенций, которые мы принимаем, поскольку эти конвенции могут изменять даже естественные отношения этих законов, есть ли в многообразии этих законов что-то независимое от этих конвенций и что может, так сказать, играть роль «универсального инварианта»? Например, была введена фикция существ, которые, будучи воспитанными в мире, отличном от нашего, были бы приведены к созданию неевклидовой геометрии. Если бы эти существа были впоследствии внезапно перенесены в наш мир, они наблюдали бы те же законы, что и мы, но они формулировали бы их совершенно иным способом. По правде говоря, между двумя формулировками все же было бы что-то общее, но это потому, что эти существа еще недостаточно отличаются от нас. Можно вообразить существа еще более странные, и общая часть двух систем формулировок будет сокращаться все больше и больше. Будет ли она таким образом сокращаться в сходимости к нулю, или останется неприводимый остаток, который будет тогда искомым универсальным инвариантом?

Вопрос требует точной постановки. Желательно ли, чтобы эта общая часть формулировок была выразима словами? Ясно тогда, что нет слов, общих для всех языков, и мы не можем претендовать на построение не знаю какого универсального инварианта, который был бы понятен и нам, и фиктивным неевклидовым геометрам, о которых я только что говорил; не более чем мы можем построить фразу, которая могла бы быть понятна и немцам, не понимающим французского, и французам, не понимающим немецкого. Но у нас есть фиксированные правила, которые позволяют нам переводить французские формулировки на немецкий и наоборот. Именно для этого были созданы грамматики и словари. Есть также фиксированные правила для перевода евклидова языка на неевклидов, или, если их нет, их можно было бы создать.

И даже если бы не было ни переводчика, ни словаря, если бы немцы и французы, прожив столетия в отдельных мирах, оказались вдруг в контакте, думаете ли вы, что не было бы ничего общего между наукой немецких книг и наукой французских книг? Французы и немцы, безусловно, в конце концов поняли бы друг друга, как американские индейцы в конце концов поняли язык своих завоевателей после прибытия испанцев.

Но, скажут, несомненно, французы были бы способны понять немцев даже без изучения немецкого, но это потому, что между французами и немцами остается что-то общее, поскольку оба они люди. Мы все же достигли бы понимания с нашими гипотетическими неевклидами, хотя они и не люди, потому что они все же сохранили бы что-то человеческое. Но в любом случае необходим минимум человечности.

Это возможно, но я замечу прежде всего, что этой малой человечности, которая осталась бы у неевклидов, хватило бы не только на то, чтобы сделать возможным перевод «немногого» из их языка, но и на то, чтобы сделать возможным перевод «всего» их языка.

Теперь, что должен существовать минимум — это то, что я признаю; предположим, существует не знаю какая жидкость, которая проникает между молекулами нашей материи, не оказывая на нее никакого действия и не будучи подверженной никакому действию, исходящему от нее. Предположим существа, чувствительные к влиянию этой жидкости и нечувствительные к влиянию нашей материи. Ясно, что наука этих существ отличалась бы абсолютно от нашей и что было бы праздным искать «инвариант», общий для этих двух наук. Или опять же, если бы эти существа отвергли нашу логику и не признали, например, принцип противоречия.

Но поистине я считаю неинтересным исследовать такие гипотезы.

А затем, если мы не будем заходить так далеко в причудливости, если мы введем только фиктивных существ, имеющих чувства, аналогичные нашим, и чувствительных к тем же впечатлениям, и, кроме того, допускающих принципы нашей логики, мы тогда сможем заключить, что их язык, как бы он ни отличался от нашего, всегда был бы способен к переводу. Теперь возможность перевода подразумевает существование инварианта. Перевести — это именно высвободить этот инвариант. Таким образом, расшифровать криптограмму — значит искать, что в этом документе остается инвариантным, когда буквы переставлены.

Какова теперь природа этого инварианта, легко понять, и слова нам будет достаточно. Инвариантные законы — это отношения между сырыми фактами, в то время как отношения между «научными фактами» остаются всегда зависимыми от определенных конвенций.

ГЛАВА XI

Наука и реальность

5. Случайность и детерминизм

Я не намерен рассматривать здесь вопрос о случайности законов природы, который очевидно неразрешим и о котором уже так много написано. Я хочу лишь обратить внимание на то, какие различные значения придавались этому слову, «случайность», и как выгодно было бы их различать.

Если мы посмотрим на любой конкретный закон, мы можем быть уверены заранее, что он может быть только приближенным. Он, по сути, выведен из экспериментальных проверок, а эти проверки были и могли быть только приближенными. Мы должны всегда ожидать, что более точные измерения заставят нас добавить новые члены к нашим формулам; это то, что произошло, например, в случае закона Мариотта.

Более того, формулировка любого закона неизбежно неполна. Эта формулировка должна включать перечисление всех антецедентов, в силу которых может произойти данное следствие. Я должен сначала описать все условия эксперимента, который должен быть проведен, и тогда закон был бы сформулирован: если все условия выполнены, явление произойдет.

Но мы будем уверены в том, что не забыли ни одного из этих условий, только когда опишем состояние всей Вселенной в момент t; все части этой Вселенной могут, по сути, оказывать влияние, более или менее значительное, на явление, которое должно произойти в момент t + dt.

Теперь ясно, что такое описание не могло бы быть найдено в формулировке закона; кроме того, если бы оно было сделано, закон стал бы неспособным к применению; если бы требовалось так много условий, было бы очень мало шансов, что они когда-либо будут выполнены все в любой момент.

Тогда, поскольку никогда нельзя быть уверенным в том, что не забыто какое-то существенное условие, нельзя сказать: «Если реализованы такие-то условия, произойдет такое-то явление»; можно лишь сказать: «Если реализованы такие-то условия, вероятно, что такое-то явление произойдет, очень близко к этому».

Возьмем закон гравитации, который является наименее несовершенным из всех известных законов. Он позволяет нам предвидеть движения планет. Когда я использую его, например, для вычисления орбиты Сатурна, я пренебрегаю действием звезд, и, делая это, я уверен, что не обманываю себя, потому что знаю, что эти звезды слишком далеко, чтобы их действие могло быть ощутимым.

Я объявляю, таким образом, с квазиуверенностью, что координаты Сатурна в такой-то час будут заключены между такими-то пределами. Но является ли эта уверенность абсолютной? Не могло ли существовать во Вселенной некоторой гигантской массы, гораздо большей, чем масса всех известных звезд, и чье действие могло бы проявиться на больших расстояниях? Эта масса могла бы быть одушевлена колоссальной скоростью, и, проциркулировав с незапамятных времен на таких расстояниях, что ее влияние оставалось до сих пор неощутимым для нас, она могла бы внезапно пройти рядом с нами. Конечно, она произвела бы в нашей солнечной системе огромные возмущения, которые мы не могли бы предвидеть. Все, что можно сказать, это то, что такое событие совершенно невероятно, и тогда, вместо того чтобы говорить: «Сатурн будет около такой-то точки небес», мы должны ограничиться словами: «Сатурн, вероятно, будет около такой-то точки небес». Хотя эта вероятность может быть практически эквивалентна уверенности, это лишь вероятность.

По всем этим причинам никакой частный закон никогда не будет более чем приближенным и вероятным. Ученые никогда не переставали признавать эту истину; только они верят, правильно или нет, что каждый закон может быть заменен другим, более близким и более вероятным, что этот новый закон сам по себе будет лишь временным, но что то же движение может продолжаться бесконечно, так что наука в своем прогрессе будет обладать законами все более и более вероятными, что приближение в конце концов будет отличаться сколь угодно мало от точности, а вероятность — от уверенности.

Если ученые, которые так думают, правы, можно ли все же сказать, что законы природы случайны, даже если каждый закон, взятый в отдельности, может быть квалифицирован как случайный? Или нужно требовать, прежде чем делать вывод о случайности законов природы, чтобы этот прогресс имел конец, чтобы ученый закончил когда-нибудь тем, что остановится в своем поиске все более и более близкого приближения, и чтобы за определенным пределом он встречал бы в природе только каприз?

В концепции, о которой я только что говорил (и которую я назову научной концепцией), каждый закон — это лишь утверждение несовершенное и временное, но он должен однажды быть заменен другим, высшим законом, которого он является лишь сырым образом. Места, следовательно, не остается для вмешательства свободной воли.

Мне кажется, что кинетическая теория газов даст нам поразительный пример.

Вы знаете, что в этой теории все свойства газов объясняются простой гипотезой; предполагается, что все газообразные молекулы движутся во всех направлениях с большими скоростями и что они следуют прямолинейным путям, которые нарушаются только тогда, когда одна молекула проходит очень близко к стенкам сосуда или другой молекуле. Эффекты, которые наши сырые чувства позволяют нам наблюдать, — это средние эффекты, и в этих средних значениях большие отклонения компенсируются, или, по крайней мере, очень невероятно, что они не компенсируются; так что наблюдаемые явления следуют простым законам, таким как закон Мариотта или Гей-Люссака. Но эта компенсация отклонений лишь вероятна. Молекулы непрерывно меняются местами, и в этих постоянных перемещениях фигуры, которые они образуют, проходят последовательно через все возможные комбинации. По отдельности эти комбинации очень многочисленны; почти все они соответствуют закону Мариотта, только немногие отклоняются от него. Эти тоже произойдут, только пришлось бы ждать их долгое время. Если бы газ наблюдался в течение достаточно долгого времени, его, безусловно, наконец увидели бы отклоняющимся, на очень короткое время, от закона Мариотта. Как долго пришлось бы ждать? Если бы пожелали вычислить вероятное число лет, оказалось бы, что это число настолько велико, что для записи только числа разрядов цифр, используемых в нем, потребовалось бы еще полтора десятка разрядов цифр. Неважно; достаточно того, что это может быть сделано.

Я не хочу обсуждать здесь ценность этой теории. Очевидно, что если она будет принята, закон Мариотта будет с тех пор казаться лишь случайным, поскольку придет день, когда он не будет истинным. И все же, думаете ли вы, что сторонники кинетической теории — противники детерминизма? Отнюдь нет; они самые крайние из механистов. Их молекулы следуют жестким путям, с которых они сходят только под влиянием сил, которые меняются с расстоянием, следуя совершенно определенному закону. В их системе не остается ни малейшего места ни для свободы, ни для эволюционного фактора, собственно говоря, ни для чего бы то ни было, что можно было бы назвать случайностью. Я добавлю, во избежание ошибки, что нет также никакой эволюции самого закона Мариотта; он перестает быть истинным через не знаю сколько столетий; но в конце доли секунды он снова становится истинным, и это на неисчислимое число столетий.

И поскольку я произнес слово «эволюция», давайте устраним еще одну ошибку. Часто говорят: «Кто знает, не эволюционируют ли законы и не обнаружим ли мы однажды, что они не были в каменноугольную эпоху такими, как сегодня?» Что мы должны понимать под этим? То, что мы думаем, что знаем о прошлом состоянии нашего земного шара, мы выводим из его настоящего состояния. И как делается это выведение? Это делается посредством законов, считающихся известными. Закон, будучи отношением между антецедентом и консеквентом, позволяет нам одинаково хорошо выводить консеквент из антецедента, то есть предвидеть будущее, и выводить антецедент из консеквента, то есть заключать от настоящего к прошлому. Астроном, который знает настоящее положение звезд, может из него вывести их будущее положение по закону Ньютона, и это то, что он делает, когда строит эфемериды; и он может одинаково вывести из него их прошлое положение. Расчеты, которые он может таким образом сделать, не могут научить его, что закон Ньютона перестанет быть истинным в будущем, поскольку этот закон является именно его отправной точкой; не более могут они сказать ему, что он не был истинным в прошлом. Все же, что касается будущего, его эфемериды могут быть однажды проверены, и наши потомки, возможно, признают, что они были ложными. Но что касается прошлого, геологического прошлого, у которого не было свидетелей, результаты его вычислений, как и результаты всех спекуляций, где мы стремимся вывести прошлое из настоящего, ускользают по самой своей природе от всякого рода проверки. Так что если бы законы природы не были теми же в каменноугольную эпоху, что и в настоящую эпоху, мы никогда не смогли бы этого узнать, поскольку мы не можем знать ничего об этой эпохе, кроме того, что мы выводим из гипотезы постоянства этих законов.

Возможно, скажут, что эта гипотеза могла бы привести к противоречивым результатам и что мы были бы вынуждены отказаться от нее. Так, что касается происхождения жизни, мы можем заключить, что всегда существовали живые существа, поскольку настоящий мир показывает нам всегда жизнь, возникающую из жизни; и мы можем также заключить, что их не всегда было, поскольку применение существующих законов физики к настоящему состоянию нашего земного шара учит нас, что было время, когда этот шар был настолько теплым, что жизнь на нем была невозможна. Но противоречия такого рода всегда могут быть устранены двумя способами; можно предположить, что актуальные законы природы не совсем такие, как мы предположили; или же можно предположить, что законы природы актуально такие, как мы предположили, но что это не всегда было так.

Очевидно, что актуальные законы никогда не будут достаточно хорошо известны, чтобы мы не могли принять первое из этих двух решений и чтобы мы были вынуждены делать вывод об эволюции естественных законов.

С другой стороны, предположим такую эволюцию; допустим, если хотите, что человечество длится достаточно долго для того, чтобы эта эволюция имела свидетелей. Тот же антецедент произведет, например, различные консеквенты в каменноугольную эпоху и в четвертичную. Это очевидно означает, что антецеденты близко похожи; если бы все обстоятельства были идентичны, каменноугольная эпоха была бы неотличима от четвертичной. Очевидно, это не то, что предполагается. Что остается, так это то, что такой антецедент, сопровождаемый таким побочным обстоятельством, производит такой консеквент; и что тот же антецедент, сопровождаемый таким другим побочным обстоятельством, производит такой другой консеквент. Время не входит в это дело.

Закон, как его сформулировала бы плохо информированная наука, и который утверждал бы, что этот антецедент всегда производит этот консеквент, не принимая во внимание побочные обстоятельства, этот закон, который был лишь приближенным и вероятным, должен быть заменен другим законом, более приближенным и более вероятным, который вводит эти побочные обстоятельства. Мы всегда возвращаемся, следовательно, к тому же процессу, который мы проанализировали выше, и если бы человечество открыло что-то в этом роде, оно не сказало бы, что это законы эволюционировали, а что обстоятельства изменились.

Здесь, следовательно, есть несколько различных смыслов слова «случайность». Г-н Ле Руа сохраняет их все, и он недостаточно различает их, но он вводит новый. Экспериментальные законы лишь приближенны, и если некоторые кажутся нам точными, это потому, что мы искусственно превратили их в то, что я выше назвал принципом. Мы сделали это преобразование свободно, и поскольку каприз, который определил нас сделать это, есть нечто в высшей степени случайное, мы передали эту случайность самому закону. Именно в этом смысле мы имеем право сказать, что детерминизм предполагает свободу, поскольку именно свободно мы становимся детерминистами. Возможно, будет найдено, что это дает большой простор номинализму и что введение этого нового смысла слова «случайность» не поможет многому решить все те вопросы, которые естественно возникают и о которых мы только что говорили.

Я вовсе не желаю исследовать здесь основы принципа индукции; я очень хорошо знаю, что у меня не получилось бы; так же трудно оправдать этот принцип, как и обойтись без него. Я хочу лишь показать, как ученые применяют его и вынуждены применять.

Когда повторяется тот же антецедент, должен точно так же повториться тот же консеквент; такова обычная формулировка. Но сведенный к этим терминам, этот принцип не мог бы принести никакой пользы. Чтобы можно было сказать, что повторился тот же антецедент, необходимо было бы, чтобы обстоятельства все были воспроизведены, поскольку ни одно не является абсолютно безразличным, и чтобы они были точно воспроизведены. И, поскольку этого никогда не случится, принцип не может иметь применения.

Мы должны, следовательно, изменить формулировку и сказать: если антецедент A однажды произвел консеквент B, антецедент A', слегка отличающийся от A, произведет консеквент B', слегка отличающийся от B. Но как мы узнаем, что антецеденты A и A' «слегка отличаются»? Если какое-то из обстоятельств может быть выражено числом, и это число имеет в двух случаях значения очень близкие друг к другу, смысл фразы «слегка отличаются» относительно ясен; принцип тогда означает, что консеквент является непрерывной функцией антецедента. И как практическое правило, мы приходим к этому выводу, что мы имеем право интерполировать. Это, по сути, то, что ученые делают каждый день, и без интерполяции вся наука была бы невозможна.

И все же заметьте одну вещь. Искомый закон может быть представлен кривой. Эксперимент научил нас некоторым точкам этой кривой. В силу принципа, который мы только что сформулировали, мы верим, что эти точки могут быть соединены непрерывным графиком. Мы чертим этот график на глаз. Новые эксперименты дадут нам новые точки кривой. Если эти точки находятся вне графика, начерченного заранее, мы должны будем изменить нашу кривую, но не отказываться от нашего принципа. Через любые точки, как бы многочисленны они ни были, всегда можно провести непрерывную кривую. Несомненно, если эта кривая слишком капризна, мы будем шокированы (и мы даже заподозрим ошибки эксперимента), но принцип не будет напрямую поставлен в вину.

Более того, среди обстоятельств явления есть некоторые, которые мы считаем пренебрежимыми, и мы будем рассматривать A и A' как слегка отличающиеся, если они отличаются только этими побочными обстоятельствами. Например, я установил, что водород соединяется с кислородом под влиянием электрической искры, и я уверен, что эти два газа соединятся снова, хотя долгота Юпитера могла значительно измениться в интервале. Мы предполагаем, например, что состояние далеких тел не может иметь ощутимого влияния на земные явления, и это кажется, по сути, необходимым, но есть случаи, где выбор этих практически безразличных обстоятельств допускает больше произвола или, если хотите, требует больше такта.

Еще одно замечание: принцип индукции был бы неприменим, если бы в природе не существовало большого количества тел, подобных друг другу, или почти подобных, и если бы мы не могли сделать вывод, например, от одного кусочка фосфора к другому кусочку фосфора.

Если мы поразмышляем над этими соображениями, проблема детерминизма и случайности предстанет перед нами в новом свете.

Предположим, мы были бы способны охватить серию всех явлений Вселенной во всей последовательности времени. Мы могли бы рассмотреть то, что можно было бы назвать последовательностями; я имею в виду отношения между антецедентом и консеквентом. Я не хочу говорить о постоянных отношениях или законах, я рассматриваю отдельно (индивидуально, так сказать) различные реализованные последовательности.

Мы тогда признали бы, что среди этих последовательностей нет двух совершенно одинаковых. Но если принцип индукции, как мы его только что сформулировали, истинен, будут те, что почти одинаковы и которые могут быть классифицированы рядом друг с другом. Другими словами, возможно сделать классификацию последовательностей.

Именно к возможности и легитимности такой классификации сводится, в конце концов, детерминизм. Это все, что оставляет от него предыдущий анализ. Возможно, в этой скромной форме он покажется менее ужасающим для моралиста.

Несомненно, скажут, что это значит вернуться окольным путем к выводу г-на Ле Руа, который мгновение назад мы, казалось, отвергли: мы детерминисты добровольно. И в самом деле, всякая классификация предполагает активное вмешательство классификатора. Я согласен, что это может быть поддержано, но мне кажется, что этот окольный путь не был бесполезным и способствовал тому, чтобы немного просветить нас.

6. Объективность науки

Я подхожу к вопросу, поставленному заголовком этой статьи: какова объективная ценность науки? И прежде всего, что мы должны понимать под объективностью?

Что гарантирует объективность мира, в котором мы живем, так это то, что этот мир является общим для нас с другими мыслящими существами. Через коммуникации, которые мы имеем с другими людьми, мы получаем от них готовые рассуждения; мы знаем, что эти рассуждения исходят не от нас, и в то же время мы узнаем в них работу разумных существ, подобных нам самим. И поскольку эти рассуждения, кажется, подходят к миру наших ощущений, мы думаем, что можем сделать вывод, что эти разумные существа видели то же самое, что и мы; так мы знаем, что мы не видели снов.

Таково, следовательно, первое условие объективности; то, что объективно, должно быть общим для многих умов и, следовательно, передаваемым от одного к другому, и поскольку эта передача может произойти только через тот «дискурс», который внушает столько недоверия г-ну Ле Руа, мы даже вынуждены заключить: нет дискурса, нет объективности.

Ощущения других будут для нас миром, вечно закрытым. У нас нет средств проверить, что ощущение, которое я называю красным, — то же самое, что то, которое мой сосед называет красным.

Предположим, что вишня и красный мак производят на меня ощущение A, а на него ощущение B, и что, напротив, лист производит на меня ощущение B, а на него ощущение A. Ясно, что мы никогда ничего не узнаем об этом; поскольку я буду называть красным ощущение A, а зеленым ощущение B, в то время как он будет называть первое зеленым, а второе красным. В компенсацию, что мы сможем установить, так это то, что для него, как и для меня, вишня и красный мак производят одно и то же ощущение, поскольку он дает то же имя ощущениям, которые он чувствует, и я делаю то же самое.

Ощущения, следовательно, непередаваемы, или, скорее, все, что является чистым качеством в них, непередаваемо и навсегда непроницаемо. Но это не так с отношениями между этими ощущениями.

С этой точки зрения все, что объективно, лишено всякого качества и является лишь чистым отношением. Certes, я не зайду так далеко, чтобы сказать, что объективность — это лишь чистое количество (это было бы слишком частным определением природы рассматриваемых отношений), но мы понимаем, как кто-то мог быть увлечен словами о том, что мир — это лишь дифференциальное уравнение.

При должном резерве относительно этого парадоксального утверждения мы должны, тем не менее, признать, что нет ничего объективного, что не было бы передаваемым, и, следовательно, что отношения между ощущениями могут одни иметь объективную ценность.

Возможно, скажут, что эстетическая эмоция, которая обща всему человечеству, является доказательством того, что качества наших ощущений также одинаковы для всех людей и, следовательно, объективны. Но если мы подумаем об этом, мы увидим, что доказательство неполно; что доказано, так это то, что эта эмоция возбуждается у Джона, как и у Джеймса, ощущениями, которым Джеймс и Джон дают одно и то же имя, или соответствующими комбинациями этих ощущений; либо потому, что эта эмоция ассоциируется у Джона с ощущением A, которое Джон называет красным, в то время как параллельно она ассоциируется у Джеймса с ощущением B, которое Джеймс называет красным; или, что лучше, потому что эта эмоция возбуждается не качествами самих ощущений, а гармоничной комбинацией их отношений, бессознательное впечатление от которых мы испытываем.

Такое ощущение прекрасно не потому, что оно обладает таким качеством, а потому, что оно занимает такое место в ткани наших ассоциаций идей, так что оно не может быть возбуждено, не приведя в движение «приемник», который находится на другом конце нити и который соответствует художественной эмоции.

Берем ли мы моральную, эстетическую или научную точку зрения, это всегда одно и то же. Ничто не объективно, кроме того, что идентично для всех; теперь мы можем говорить о такой идентичности, только если сравнение возможно и может быть переведено в «разменную монету», способную к передаче от одного ума к другому. Ничто, следовательно, не будет иметь объективной ценности, кроме того, что передаваемо через «дискурс», то есть понятно.

Но это лишь одна сторона вопроса. Абсолютно беспорядочная совокупность не могла бы иметь объективной ценности, поскольку она была бы непостижимой, но не может ее иметь и хорошо упорядоченная совокупность, если она не соответствует реально испытанным ощущениям. Мне кажется излишним напоминать об этом условии, и я не мечтал бы о нем, если бы в последнее время не утверждалось, что физика — не экспериментальная наука. Хотя это мнение не имеет шансов быть принятым ни физиками, ни философами, хорошо быть предупрежденным, чтобы не позволить себе соскользнуть по склону, который вел бы туда. Два условия, следовательно, должны быть выполнены, и если первое отделяет реальность от сна, второе отличает ее от романа.

Что же такое наука? Как я объяснил в предыдущей статье, это прежде всего классификация, способ объединения фактов, которые внешне кажутся разрозненными, хотя и связаны между собой неким естественным и скрытым родством. Иными словами, наука — это система отношений. Мы только что сказали, что именно в отношениях следует искать объективность; было бы тщетно искать ее в сущностях, рассматриваемых в отрыве друг от друга.

Утверждать, что наука не может иметь объективной ценности, поскольку она учит нас лишь отношениям, — значит рассуждать от обратного, так как именно отношения и только они могут считаться объективными.

Внешние объекты, например, для которых и было придумано слово «объект», являются действительно объектами, а не мимолетными и ускользающими явлениями, потому что они представляют собой не просто группы ощущений, а группы, скрепленные постоянной связью. Именно эта связь, и только она одна, является объектом как таковым, и эта связь есть отношение.

Поэтому, когда мы спрашиваем, какова объективная ценность науки, это не означает: учит ли нас наука истинной природе вещей? Это означает: учит ли она нас истинным отношениям между вещами?

На первый вопрос никто не колеблясь ответит «нет»; но я думаю, что мы можем пойти дальше: наука не только не может научить нас природе вещей, но и ничто не способно научить нас ей, и если бы какой-нибудь бог знал ее, он не нашел бы слов, чтобы ее выразить. Мы не только не можем угадать ответ, но, даже если бы он был нам дан, мы ничего бы в нем не поняли; я даже спрашиваю себя, понимаем ли мы на самом деле сам вопрос.

Поэтому, когда научная теория претендует на то, чтобы объяснить нам, что такое теплота, электричество или жизнь, она заранее обречена; все, что она может нам дать, — это лишь грубый образ. Следовательно, она носит временный и зыбкий характер.

Первый вопрос отпадает, остается второй. Может ли наука научить нас истинным отношениям между вещами? То, что она соединяет, следует ли разъединять, а то, что она разъединяет, — соединять?

Чтобы понять смысл этого нового вопроса, необходимо обратиться к тому, что было сказано выше об условиях объективности. Имеют ли эти отношения объективную ценность? Это означает: одинаковы ли эти отношения для всех? Останутся ли они такими же для тех, кто придет после нас?

Ясно, что они не одинаковы для ученого и невежды. Но это неважно, ибо если невежда не видит их все сразу, ученый может добиться того, чтобы он их увидел, с помощью ряда экспериментов и рассуждений. Существенно то, что существуют точки, по которым все, кто знаком с проведенными экспериментами, могут прийти к согласию.

Вопрос в том, будет ли это согласие долговечным и сохранится ли оно для наших преемников. Можно спросить, будут ли подтверждены наукой завтрашнего дня те объединения, которые делает наука сегодняшнего дня. Чтобы утверждать, что это будет так, мы не можем ссылаться на какие-либо априорные доводы; но это вопрос факта, и наука существует уже достаточно долго, чтобы мы могли выяснить, обратившись к ее истории, выдерживают ли построенные ею здания проверку временем или же они являются лишь эфемерными конструкциями.

Что же мы видим? На первый взгляд кажется, что теории живут лишь один день и что руины громоздятся на руинах. Сегодня теории рождаются, завтра они в моде, послезавтра они становятся классикой, на четвертый день они устаревают, а на пятый — забываются. Но если присмотреться внимательнее, мы увидим, что гибнут именно теории в собственном смысле слова, те, которые претендуют на то, чтобы учить нас, что такое вещи. Но в них есть нечто, что обычно выживает. Если одна из них открыла нам истинное отношение, это отношение окончательно усвоено, и оно будет вновь найдено под новой личиной в других теориях, которые будут последовательно приходить на смену старым.

Возьмем только один пример: теория колебаний эфира учила нас, что свет — это движение; сегодня мода на стороне электромагнитной теории, которая учит нас, что свет — это ток. Мы не рассматриваем, могли бы мы примирить их и сказать, что свет — это ток и что этот ток есть движение. Поскольку в любом случае вероятно, что это движение не было бы идентично тому, которое предполагали сторонники старой теории, мы могли бы счесть себя вправе сказать, что эта старая теория низвергнута. И все же что-то от нее остается, так как между гипотетическими токами, которые предполагает Максвелл, существуют те же отношения, что и между гипотетическими движениями, которые предполагал Френель. Следовательно, есть нечто, что остается, и это нечто — самое существенное. Именно это объясняет, как современные физики без всякого смущения переходят с языка Френеля на язык Максвелла. Несомненно, многие связи, которые считались хорошо установленными, были отброшены, но большинство из них остается, и, по-видимому, должно остаться.

А какова тогда мера их объективности? Что ж, она в точности такая же, как и для нашей веры во внешние объекты. Последние реальны в том смысле, что ощущения, которые они вызывают у нас, представляются нам связанными друг с другом неким неразрушимым цементом, а не случайностью одного дня. Точно так же наука открывает нам между явлениями другие связи, более тонкие, но не менее прочные; это нити настолько тонкие, что они долго оставались незамеченными, но, раз заметив их, уже невозможно их не видеть; поэтому они не менее реальны, чем те, что придают реальность внешним объектам; неважно, что они стали известны позже, поскольку ни одна из них не может погибнуть раньше другой.

Можно сказать, например, что эфир не менее реален, чем любое внешнее тело; сказать, что это тело существует, — значит сказать, что между цветом этого тела, его вкусом, его запахом существует интимная связь, прочная и постоянная; сказать, что эфир существует, — значит сказать, что существует естественное родство между всеми оптическими явлениями, и ни одно из этих двух утверждений не имеет меньшей ценности, чем другое.

А научные синтезы в некотором смысле обладают даже большей реальностью, чем синтезы обыденных чувств, поскольку они охватывают больше членов и стремятся поглотить в себе частные синтезы.

Скажут, что наука — это лишь классификация и что классификация не может быть истинной, а только удобной. Но истинно то, что она удобна, истинно то, что она такова не только для меня, но и для всех людей; истинно то, что она останется удобной для наших потомков; истинно, наконец, то, что это не может быть случайностью.

В итоге, единственная объективная реальность состоит в отношениях вещей, из которых проистекает всеобщая гармония. Несомненно, эти отношения, эта гармония не могли бы быть постигнуты вне разума, который их постигает. Но они тем не менее объективны, потому что они являются, станут или останутся общими для всех мыслящих существ.

Это позволит нам вернуться к вопросу о вращении Земли, что даст нам заодно возможность прояснить сказанное выше на примере.

7. Вращение Земли

«...Поэтому, — говорил я в "Науке и гипотезе", — это утверждение, "Земля вращается", не имеет смысла... или, вернее, эти два предложения: "Земля вращается" и "удобнее предположить, что Земля вращается", имеют один и тот же смысл».

Эти слова породили самые странные толкования. Некоторые сочли, что увидели в них реабилитацию системы Птолемея и, возможно, оправдание осуждения Галилея.

Те, кто внимательно прочитал весь том, однако, не могли обмануться. Эта истина, «Земля вращается», была поставлена на один уровень, например, с постулатом Евклида. Означало ли это ее отвержение? Но лучше сказать так: в том же смысле можно вполне утверждать: эти два предложения, «внешний мир существует» или «удобнее предположить, что он существует», имеют один и тот же смысл. Таким образом, гипотеза о вращении Земли имела бы ту же степень достоверности, что и само существование внешних объектов.

Но после того, что мы только что объяснили в четвертой части, мы можем пойти дальше. Физическая теория, сказали мы, тем более истинна, чем больше истинных отношений она выявляет. В свете этого нового принципа давайте рассмотрим занимающий нас вопрос.

Нет, не существует абсолютного пространства; эти два противоречивых утверждения: «Земля вращается» и «Земля не вращается» — поэтому ни одно из них не является более истинным, чем другое. Утверждать одно, отрицая другое, в кинематическом смысле, означало бы признать существование абсолютного пространства.

Но если одно из них выявляет истинные отношения, которые другое от нас скрывает, мы тем не менее можем считать его физически более истинным, чем другое, поскольку оно обладает более богатым содержанием. Теперь в этом отношении сомнений быть не может.

Взгляните на кажущееся суточное движение звезд и суточное движение других небесных тел, а кроме того, на сплюснутость Земли, вращение маятника Фуко, вращение циклонов, пассаты, да мало ли что еще? Для птолемеевца все эти явления не имеют между собой никакой связи; для коперниканца они порождены одной и той же причиной. Говоря «Земля вращается», я утверждаю, что все эти явления имеют интимную связь, и это истинно, и это остается истинным, хотя не существует и не может существовать абсолютного пространства.

Столько о вращении Земли вокруг своей оси; что скажем мы о ее обращении вокруг Солнца? Здесь снова у нас есть три явления, которые для птолемеевца абсолютно независимы, а для коперниканца сводятся к одному и тому же источнику: это кажущиеся перемещения планет на небесной сфере, аберрация неподвижных звезд, параллакс этих же звезд. Случайно ли, что все планеты допускают неравенство, период которого равен году, и что этот период в точности равен периоду аберрации, а также в точности равен периоду параллакса? Принять систему Птолемея — значит ответить «да»; принять систему Коперника — значит ответить «нет»; это значит утверждать, что между тремя явлениями существует связь, и это также истинно, хотя не существует абсолютного пространства.

В системе Птолемея движения небесных тел не могут быть объяснены действием центральных сил, небесная механика невозможна. Интимные отношения, которые небесная механика открывает нам между всеми небесными явлениями, являются истинными отношениями; утверждать неподвижность Земли — значит отрицать эти отношения, это значит обманывать самих себя.

Истина, за которую страдал Галилей, остается, следовательно, истиной, хотя она имеет не совсем тот же смысл, что для вульгарного сознания, и ее истинный смысл гораздо более тонок, глубок и богат.

8. Наука ради самой науки

Не против г-на Ле Руа я хочу защищать науку ради самой науки; может быть, это то, что он осуждает, но это то, что он культивирует, поскольку он любит и ищет истину и не мог бы без нее жить. Но у меня есть несколько мыслей, которые я хочу высказать.

Мы не можем знать все факты, и необходимо выбирать те, которые достойны того, чтобы быть известными. Согласно Толстому, ученые делают этот выбор наугад, вместо того чтобы делать его, что было бы разумно, с точки зрения практического применения. Напротив, ученые считают, что одни факты интереснее других, потому что они завершают незаконченную гармонию или потому что они позволяют предвидеть большое количество других фактов. Если они ошибаются, если эта иерархия фактов, которую они неявно постулируют, — лишь праздная иллюзия, то не могло бы существовать науки ради самой науки, а следовательно, не могло бы существовать и науки. Что касается меня, я верю, что они правы, и, например, я показал выше, какова высокая ценность астрономических фактов, не потому, что они способны к практическому применению, а потому, что они являются самыми поучительными из всех.

Только благодаря науке и искусству цивилизация имеет ценность. Некоторые удивлялись формуле «наука ради самой науки»; и все же она так же хороша, как «жизнь ради самой жизни», если жизнь — это только страдание; и даже как «счастье ради самого счастья», если мы не верим, что все удовольствия одного качества, если мы не хотим признать, что цель цивилизации — поставлять алкоголь людям, которые любят выпить.

У каждого действия должна быть цель. Мы должны страдать, мы должны работать, мы должны платить за свое место в игре, но это ради того, чтобы видеть; или, по крайней мере, чтобы другие могли однажды увидеть.

Все, что не является мыслью, — чистое ничто; поскольку мы можем мыслить только мысли и все слова, которые мы используем, чтобы говорить о вещах, могут выражать только мысли, сказать, что есть нечто иное, чем мысль, — это, следовательно, утверждение, которое не может иметь смысла.

И все же — странное противоречие для тех, кто верит во время, — геологическая история показывает нам, что жизнь — это лишь короткий эпизод между двумя вечностями смерти и что даже в этом эпизоде сознательная мысль длилась и будет длиться лишь мгновение. Мысль — это лишь проблеск посреди долгой ночи.

Но именно этот проблеск — это все.

НАУКА И МЕТОД

ВВЕДЕНИЕ

Я собрал здесь различные исследования, относящиеся более или менее непосредственно к вопросам научной методологии. Научный метод состоит в наблюдении и экспериментировании; если бы ученый имел в своем распоряжении бесконечное время, ему нужно было бы только сказать: «Смотри и замечай хорошо»; но, поскольку нет времени видеть все, а лучше не видеть, чем видеть неправильно, ему необходимо сделать выбор. Первый вопрос, следовательно, заключается в том, как он должен сделать этот выбор. Этот вопрос встает как перед физиком, так и перед историком; он встает одинаково перед математиком, и принципы, которые должны направлять каждого, не лишены аналогии. Ученый следует им инстинктивно, и можно, размышляя над этими принципами, предсказать будущее математики.

Мы поймем их еще лучше, если понаблюдаем за ученым за работой, и прежде всего необходимо знать психологический механизм изобретения и, в частности, механизм математического творчества. Наблюдение за процессами работы математика особенно поучительно для психолога.

Во всех науках наблюдения необходимо учитывать ошибки, обусловленные несовершенством наших чувств и наших инструментов. К счастью, мы можем предположить, что при определенных условиях эти ошибки частично компенсируют друг друга, так что исчезают в среднем значении; эта компенсация обусловлена случаем. Но что такое случай? Эту идею трудно обосновать или даже определить; и все же то, что я только что сказал об ошибках наблюдения, показывает, что ученый не может пренебрегать ею. Поэтому необходимо дать как можно более точное определение этому понятию, столь незаменимому и в то же время столь неуловимому.

Это общие положения, применимые в сумме ко всем наукам; и, например, механизм математического изобретения не отличается заметно от механизма изобретения в целом. Позже я перехожу к вопросам, относящимся более конкретно к некоторым специальным наукам, и прежде всего к чистой математике.

В главах, посвященных им, мне приходится рассматривать темы несколько более абстрактные. Я должен сначала сказать о понятии пространства; каждый знает, что пространство относительно, или, вернее, каждый так говорит, но многие все еще думают так, как если бы они верили, что оно абсолютно; достаточно, однако, немного поразмыслить, чтобы заметить, каким противоречиям они подвергаются.

Вопросы преподавания имеют свое значение, во-первых, сами по себе, а во-вторых, потому что размышление о лучшем способе проникновения новых идей в девственные умы — это одновременно размышление о том, как эти понятия были приобретены нашими предками, и, следовательно, об их истинном происхождении, то есть, в действительности, об их истинной природе. Почему дети обычно ничего не понимают в определениях, которые удовлетворяют ученых? Почему необходимо давать им другие? Это вопрос, который я ставлю перед собой в следующей главе и решение которого, я думаю, должно навести на полезные размышления философов, занимающихся логикой наук.

С другой стороны, многие геометры полагают, что мы можем свести математику к правилам формальной логики. Были предприняты неслыханные усилия, чтобы сделать это; чтобы достичь этого, некоторые не колеблясь, например, изменили исторический порядок генезиса наших концепций и попытались объяснить конечное через бесконечное. Я полагаю, что мне удалось показать для всех тех, кто подходит к проблеме без предубеждений, что здесь кроется ложная иллюзия. Надеюсь, читатель поймет важность вопроса и простит мне сухость страниц, посвященных ему.

Заключительные главы, относящиеся к механике и астрономии, будут легче для чтения.

Механика, кажется, находится на пороге полной революции. Идеи, которые казались наиболее устоявшимися, подвергаются нападкам со стороны смелых новаторов. Конечно, было бы преждевременно принимать их сторону сразу только потому, что они новаторы.

Но интересно ознакомить с их доктринами, и это то, что я попытался сделать. Насколько возможно, я следовал историческому порядку; ибо новые идеи казались бы слишком удивительными, если бы мы не видели, как они возникли.

Астрономия предлагает нам величественные зрелища и ставит гигантские проблемы. Мы не можем мечтать о том, чтобы применять к ним непосредственно экспериментальный метод; наши лаборатории слишком малы. Но аналогия с явлениями, которые позволяют нам достичь эти лаборатории, может тем не менее направлять астронома. Млечный Путь, например, представляет собой скопление солнц, движения которых кажутся на первый взгляд капризными. Но нельзя ли сравнить это скопление с молекулами газа, свойства которых открыла нам кинетическая теория газов? Именно таким окольным путем метод физика может прийти на помощь астроному.

Наконец, я попытался в нескольких строках дать историю развития французской геодезии; я показал, какими упорными усилиями и часто какими опасностями геодезисты добыли для нас те знания, которые мы имеем о фигуре Земли. Является ли это вопросом метода? Да, без сомнения, эта история учит нас на самом деле, какими предосторожностями необходимо окружить серьезную научную операцию и сколько времени и труда стоит завоевать один новый десятичный знак.

КНИГА I НАУКА И УЧЕНЫЙ

ГЛАВА I

Выбор фактов

Толстой где-то объясняет, почему «наука ради самой науки» в его глазах — абсурдная концепция. Мы не можем знать все факты, поскольку их число практически бесконечно. Необходимо выбирать; тогда мы можем позволить этому выбору зависеть от чистого каприза нашего любопытства; не лучше ли было бы позволить направлять себя пользой, нашими практическими и, прежде всего, нашими моральными потребностями; неужели у нас нет ничего лучше, чем считать количество божьих коровок на нашей планете?

Ясно, что слово «польза» не имеет для него того смысла, который придают ему деловые люди, и вслед за ними большинство наших современников. Его мало заботят промышленные применения, чудеса электричества или автомобилизма, которые он рассматривает скорее как препятствия для морального прогресса; польза для него — только то, что может сделать человека лучше.

Что касается меня, то вряд ли стоит говорить, что я никогда не мог бы довольствоваться ни тем, ни другим идеалом; я не хочу ни той плутократии, алчной и подлой, ни той демократии, добродушной и посредственной, занятой исключительно подставлением другой щеки, где жили бы мудрецы без любопытства, которые, избегая крайностей, не умирали бы от болезней, но наверняка умерли бы от скуки. Но это дело вкуса, и это не то, что я хочу обсуждать.

Вопрос тем не менее остается и должен привлечь наше внимание; если наш выбор может быть определен только капризом или немедленной пользой, не может быть науки ради самой науки, а следовательно, и науки. Но так ли это? То, что выбор должен быть сделан, бесспорно; какой бы ни была наша деятельность, факты идут быстрее нас, и мы не можем их догнать; пока ученый открывает один факт, их происходят миллиарды миллиардов в кубическом миллиметре его тела. Желать включить природу в науку — значит хотеть вложить целое в часть.

Но ученые верят, что существует иерархия фактов и что среди них может быть сделан разумный выбор. Они правы, поскольку иначе не было бы науки, однако наука существует. Стоит только открыть глаза, чтобы увидеть, что завоевания индустрии, которые обогатили столь многих практиков, никогда не увидели бы света, если бы существовали только эти практики и если бы им не предшествовали бескорыстные подвижники, которые умирали в бедности, никогда не думали о пользе, и все же имели руководство, далекое от каприза.

Как говорит Мах, эти подвижники избавили своих преемников от необходимости думать. Те, кто работал бы исключительно ради немедленного применения, ничего бы не оставили после себя, и перед лицом новой потребности все пришлось бы начинать сначала. Но большинство людей не любят думать, и это, возможно, к счастью, когда ими руководит инстинкт, ибо чаще всего, когда они преследуют цель, которая является немедленной и всегда одной и той же, инстинкт ведет их лучше, чем разум вел бы чистый интеллект. Но инстинкт — это рутина, и если бы мысль не оплодотворяла его, он не прогрессировал бы у человека больше, чем у пчелы или муравья. Нужно, значит, думать за тех, кто не любит думать, и, поскольку их много, нужно, чтобы каждая из наших мыслей была как можно чаще полезна, и именно поэтому закон будет тем ценнее, чем он более общий.

Это показывает нам, как мы должны выбирать: самые интересные факты — это те, которые могут служить много раз; это факты, которые имеют шанс повториться. Нам так повезло, что мы родились в мире, где такие есть. Предположим, что вместо 60 химических элементов их было бы 60 миллиардов, что они были бы не одни обычными, другие редкими, а что они были бы равномерно распределены. Тогда каждый раз, когда мы поднимали бы новый камешек, была бы большая вероятность того, что он образован из какого-то неизвестного вещества; все, что мы знали о других камешках, было бы бесполезно для него; перед каждым новым объектом мы были бы как новорожденные младенцы; как и они, мы могли бы только подчиняться нашим капризам или нашим потребностям. Биологи были бы в таком же затруднении, если бы существовали только индивиды, а не виды, и если бы наследственность не делала сыновей похожими на отцов.

В таком мире не было бы науки; возможно, мысль и даже жизнь были бы невозможны, поскольку эволюция не могла бы там развить инстинкты сохранения. К счастью, это не так; как и всякое счастье, к которому мы привыкли, это не ценится по достоинству.

Какие же факты могут повториться? Это прежде всего простые факты. Ясно, что в сложном факте тысяча обстоятельств объединены случаем и что только случай, еще гораздо менее вероятный, мог бы воссоединить их вновь. Но существуют ли простые факты? И если существуют, как их распознать? Какая гарантия, что вещь, которую мы считаем простой, не скрывает ужасную сложность? Все, что мы можем сказать, это то, что мы должны предпочесть факты, которые кажутся простыми, тем, где наш грубый глаз различает непохожие элементы. И тогда одно из двух: либо эта простота реальна, либо элементы настолько интимно перемешаны, что их невозможно различить. В первом случае есть шанс, что мы встретим вновь этот же простой факт, либо во всей его чистоте, либо входящим как элемент в сложное многообразие. Во втором случае эта интимная смесь также имеет больше шансов повториться, чем гетерогенное скопление; случай умеет смешивать, он не умеет распутывать, и чтобы сделать из множества элементов хорошо упорядоченное здание, в котором что-то различимо, оно должно быть сделано специально. Факты, которые кажутся простыми, даже если они таковыми не являются, будут поэтому легче возрождаться случаем. Именно это оправдывает метод, инстинктивно принятый ученым, и что оправдывает его еще лучше, возможно, это то, что часто повторяющиеся факты кажутся нам простыми именно потому, что мы к ним привыкли.

Но где простой факт? Ученые искали его в двух крайностях: в бесконечно большом и в бесконечно малом. Астроном нашел его, потому что расстояния до звезд огромны, настолько велики, что каждая из них кажется лишь точкой, настолько велики, что качественные различия стираются, и потому что точка проще, чем тело, имеющее форму и качества. Физик, с другой стороны, искал элементарное явление, фиктивно разрезая тела на бесконечно малые кубики, потому что условия задачи, которые претерпевают медленное и непрерывное изменение при переходе от одной точки тела к другой, могут рассматриваться как постоянные внутри каждого из этих маленьких кубиков. Точно так же биолог был инстинктивно приведен к тому, чтобы рассматривать клетку как более интересную, чем все животное, и результат показал его мудрость, поскольку клетки, принадлежащие организмам самым разным, более похожи для того, кто может распознать их сходства, чем сами эти организмы. Социолог более смущен; элементы, которыми для него являются люди, слишком непохожи, слишком изменчивы, слишком капризны, одним словом, слишком сложны; кроме того, история никогда не начинается сначала. Как же тогда выбрать интересный факт, который есть тот, что начинается снова? Метод — это именно выбор фактов; нужно, значит, быть занятым прежде всего созданием метода, и многие были придуманы, поскольку ни один не навязывает себя, так что социология — это наука, которая имеет больше всего методов и меньше всего результатов.

Поэтому именно с регулярных фактов следует начинать; но после того, как правило хорошо установлено, после того, как оно вне всякого сомнения, факты, полностью соответствующие ему, вскоре теряют интерес, поскольку они больше не учат нас ничему новому. Тогда важным становится исключение. Мы перестаем искать сходства; мы посвящаем себя прежде всего различиям, и среди различий выбираются прежде всего самые акцентированные, не только потому, что они самые поразительные, но потому, что они будут самыми поучительными. Простой пример сделает мою мысль яснее: предположим, кто-то хочет определить кривую, наблюдая некоторые из ее точек. Практик, который заботится только о немедленной пользе, наблюдал бы только точки, которые могут понадобиться ему для какой-то специальной цели. Эти точки были бы плохо распределены на кривой; они были бы скучены в одних регионах, редки в других, так что невозможно было бы соединить их непрерывной линией, и они были бы непригодны для других применений. Ученый будет действовать иначе; поскольку он хочет изучить кривую ради нее самой, он будет распределять регулярно точки для наблюдения, и когда их будет достаточно, он соединит их регулярной линией, и тогда у него будет вся кривая. Но для этого как он действует? Если он определил крайнюю точку кривой, он не остается возле этой конечности, а идет сначала к другому концу; после двух конечностей самой поучительной точкой будет средняя точка, и так далее.

Поэтому, когда правило установлено, мы должны сначала искать случаи, где это правило имеет наибольший шанс не сработать. Отсюда, среди прочих причин, проистекает интерес астрономических фактов и интерес геологического прошлого; уходя очень далеко в пространстве или очень далеко во времени, мы можем найти наши обычные правила полностью опрокинутыми, и эти великие опрокидывания помогают нам лучше видеть или лучше понимать маленькие изменения, которые могут произойти ближе к нам, в маленьком уголке мира, где мы призваны жить и действовать. Мы лучше узнаем этот уголок, попутешествовав по далеким странам, с которыми мы не имеем ничего общего.

Но к чему мы должны стремиться, так это в меньшей степени к установлению сходств и различий, чем к распознаванию подобий, скрытых под кажущимися расхождениями. Частные правила кажутся поначалу несогласованными, но, присмотревшись, мы видим в общем, что они похожи друг на друга; разные по материи, они похожи по форме, по порядку своих частей. Когда мы смотрим на них с этим предубеждением, мы увидим, как они расширяются и стремятся охватить все. И именно это составляет ценность определенных фактов, которые приходят, чтобы завершить ансамбль и показать, что он является верным образом других известных ансамблей.

Я не буду больше настаивать, но этих нескольких слов достаточно, чтобы показать, что ученый не выбирает наугад факты, которые он наблюдает. Он не считает, как говорит Толстой, божьих коровок, потому что, как бы интересны ни были божьи коровки, их число подвержено капризным изменениям. Он стремится сжать много опыта и много мысли в тонкий том; и именно поэтому маленькая книга по физике содержит так много прошлых опытов и в тысячу раз больше возможных опытов, результат которых известен заранее.

Но мы пока посмотрели только на одну сторону вопроса. Ученый не изучает природу потому, что она полезна; он изучает ее потому, что он наслаждается ею, и он наслаждается ею потому, что она прекрасна. Если бы природа не была прекрасна, она не стоила бы того, чтобы ее знать, и если бы природа не стоила того, чтобы ее знать, жизнь не стоила бы того, чтобы жить. Конечно, я здесь не говорю о той красоте, которая поражает чувства, красоте качеств и внешнего вида; не то чтобы я недооценивал такую красоту, отнюдь нет, но она не имеет ничего общего с наукой; я имею в виду ту более глубокую красоту, которая исходит от гармоничного порядка частей и которую чистый интеллект может постичь. Именно это придает тело, структуру, так сказать, переливающимся явлениям, которые льстят нашим чувствам, и без этой поддержки красота этих мимолетных снов была бы лишь несовершенной, потому что она была бы расплывчатой и всегда ускользающей. Напротив, интеллектуальная красота самодостаточна, и именно ради нее, больше, возможно, чем ради будущего блага человечества, ученый посвящает себя долгим и трудным трудам.

Именно поэтому поиск этой особой красоты, чувство гармонии космоса заставляет нас выбирать факты, наиболее подходящие для того, чтобы внести вклад в эту гармонию, точно так же, как художник выбирает среди черт своей модели те, которые совершенствуют картину и придают ей характер и жизнь. И нам не нужно бояться, что эта инстинктивная и невысказанная предрасположенность отвратит ученого от поиска истины. Можно мечтать о гармоничном мире, но как далеко реальный мир оставит его позади! Величайшие художники, которые когда-либо жили, греки, создали свои небеса; как они убоги рядом с истинными небесами, нашими!

И именно потому, что простота, потому что величие прекрасны, мы предпочтительно ищем простые факты, возвышенные факты, что мы наслаждаемся то следовать величественному курсу звезд, то рассматривать в микроскоп ту поразительную малость, которая также является величием, то искать в геологическом времени следы прошлого, которое притягивает, потому что оно далеко.

Мы видим также, что стремление к прекрасному ведет нас к тому же выбору, что и стремление к полезному. И так получается, что эта экономия мысли, эта экономия усилий, которая является, согласно Маху, постоянной тенденцией науки, является в то же время источником красоты и практическим преимуществом. Здания, которыми мы восхищаемся, — это те, где архитектор умел соразмерить средства с целью, где колонны кажутся несущими весело, без усилий, вес, возложенный на них, как грациозные кариатиды Эрехтейона.

Откуда берется это согласие? Просто ли это то, что вещи, которые кажутся нам красивыми, — это те, которые лучше всего адаптируются к нашему интеллекту, и что, следовательно, они являются в то же время инструментом, который этот интеллект лучше всего умеет использовать? Или здесь есть игра эволюции и естественного отбора? Истребили ли народы, чей идеал наиболее соответствовал их высшему интересу, других и заняли их место? Все преследовали свои идеалы без оглядки на последствия, но в то время как этот поиск вел одних к разрушению, другим он дал империю. Искушение верить в это велико. Если греки восторжествовали над варварами и если Европа, наследница греческой мысли, доминирует в мире, то это потому, что дикари любили яркие цвета и шумные тона барабана, которые занимали только их чувства, в то время как греки любили интеллектуальную красоту, которая скрывается под чувственной красотой, и именно эта интеллектуальная красота делает интеллект уверенным и сильным.

Несомненно, такой триумф ужаснул бы Толстого, и он не хотел бы признать, что он может быть действительно полезен. Но этот бескорыстный поиск истины ради ее собственной красоты также здоров и способен сделать человека лучше. Я хорошо знаю, что бывают ошибки, что мыслитель не всегда черпает оттуда ту безмятежность, которую должен был бы найти, и даже что есть ученые с дурным характером. Должны ли мы поэтому оставить науку и изучать только мораль? Что! Вы думаете, что моралисты сами безупречны, когда они спускаются со своего пьедестала?

ГЛАВА II

Будущее математики

Чтобы предвидеть будущее математики, истинный метод — изучать ее историю и ее нынешнее состояние.

Разве это не является для нас, математиков, своего рода профессиональной процедурой? Мы привыкли экстраполировать, что является средством выведения будущего из прошлого и настоящего, и, поскольку мы хорошо знаем, к чему это сводится, мы не рискуем обмануться относительно диапазона результатов, которые это нам дает.

У нас до сих пор были пророки зла. Они беззаботно повторяют, что все проблемы, поддающиеся решению, уже решены и что не осталось ничего, кроме собирания крох. К счастью, случай прошлого обнадеживает нас. Часто думали, что все проблемы решены или, по крайней мере, составлен инвентарь всех, допускающих решение. А затем смысл слова «решение» расширялся, неразрешимые проблемы становились самыми интересными из всех, и появлялись другие, непредвиденные. Для греков хорошим решением было то, которое использовало только линейку и циркуль; затем оно стало тем, которое получено извлечением корней, затем тем, которое использует только алгебраические или логарифмические функции. Пессимисты, таким образом, оказывались всегда обойденными, всегда вынужденными отступать, так что в настоящее время, я думаю, их больше нет.

Мое намерение, следовательно, не в том, чтобы бороться с ними, так как они мертвы; мы хорошо знаем, что математика будет продолжать развиваться, но вопрос в том, как, в каком направлении? Вы ответите: «во всех направлениях», и это отчасти верно; но если бы это было полностью верно, это было бы немного пугающе. Наши богатства скоро стали бы обременительными, и их накопление произвело бы мешанину, столь же непроницаемую, какой была неизвестная истина для невежды.

Историк, физик, даже, должен сделать выбор среди фактов; голова ученого, которая является лишь уголком вселенной, никогда не могла бы вместить вселенную целиком; так что среди бесчисленных фактов, которые предлагает природа, одни будут пропущены, другие удержаны.

Точно так же, тем более, в математике; геометр не может удерживать вперемешку все факты, представляющиеся ему; тем более, что именно он, почти сказал бы я, его каприз, создает эти факты. Он конструирует совершенно новую комбинацию, соединяя вместе ее элементы; природа в общем не дает ее ему готовой.

Несомненно, иногда случается, что математик берется за проблему, чтобы удовлетворить потребность в физике; что физик или инженер просит его вычислить число для определенного применения. Следует ли сказать, что мы, геометры, должны ограничиться ожиданием приказов и, вместо того чтобы культивировать нашу науку ради собственного удовольствия, пытаться только приспособиться к желаниям наших покровителей? Если математика не имеет другой цели, кроме помощи тем, кто изучает природу, именно от них мы должны ждать приказов. Легитимен ли этот способ смотреть на это? Конечно, нет; если бы мы не культивировали точные науки ради них самих, мы не создали бы математику как инструмент, и в день, когда пришел бы вызов от физика, мы были бы беспомощны.

Не ждут и физики изучения явления, пока какая-то острая потребность материальной жизни не сделала его необходимостью для них; и они правы. Если бы ученые восемнадцатого века пренебрегли электричеством как в их глазах лишь любопытством без практического интереса, мы не имели бы в двадцатом веке ни телеграфии, ни электрохимии, ни электротехники. Физики, вынужденные выбирать, поэтому не руководствуются в своем выборе исключительно пользой. Как же тогда они выбирают между фактами природы? Мы объяснили это в предыдущей главе: факты, которые их интересуют, — это те, которые способны привести к открытию закона, и поэтому они аналогичны многим другим фактам, которые не кажутся нам изолированными, а тесно сгруппированными с другими. Изолированный факт привлекает все взоры, как мирянина, так и ученого. Но что умеет видеть только настоящий физик, так это связь, которая объединяет многие факты, чья аналогия глубока, но скрыта. История с яблоком Ньютона, вероятно, неправда, но она символична; давайте говорить о ней тогда, как если бы она была правдой. Что ж, мы должны верить, что до Ньютона множество людей видели, как падают яблоки; никто не знал, как сделать из этого какой-либо вывод. Факты были бы стерильны, если бы не было умов, способных выбирать среди них, различать те, за которыми что-то скрыто, и распознавать, что скрывается, умов, которые под грубым фактом воспринимают душу факта.

Мы находим точно то же самое в математике. Из разнообразных элементов в нашем распоряжении мы можем получить миллионы различных комбинаций; но одна из этих комбинаций, поскольку она изолирована, абсолютно лишена ценности. Часто мы прикладывали большие усилия, чтобы сконструировать ее, но она не служит никакой цели, если не считать, возможно, задачи в среднем образовании. Совсем иначе будет, когда эта комбинация найдет место в классе аналогичных комбинаций и мы заметим эту аналогию. Мы уже не в присутствии факта, а закона. И в тот день настоящим открывателем будет не рабочий, который терпеливо построил некоторые из этих комбинаций; это будет тот, кто выявит их родство. Первый видел лишь грубый факт, только другой воспринял душу факта. Часто, чтобы зафиксировать это родство, ему достаточно сделать новое слово, и это слово творческое. История науки дает нам толпу примеров, знакомых всем.

Знаменитый венский философ Мах сказал, что роль науки — производить экономию мысли, точно так же, как машины производят экономию усилий. И это очень верно. Дикарь считает на пальцах или нагромождая камешки. Обучая детей таблице умножения, мы избавляем их позже от бесчисленных сборов камешков. Кто-то уже выяснил, с помощью камешков или иначе, что 6 раз 7 — 42, и имел идею отметить результат, и поэтому нам не нужно делать это снова. Он не тратил свое время, даже если считал ради удовольствия: его операция заняла у него только две минуты; это заняло бы в общей сложности два миллиарда, если бы миллиард человек должен был делать это снова после него.

Важность факта, таким образом, измеряется его выходом, то есть количеством мысли, которое он позволяет нам сэкономить.

В физике факты большого выхода — это те, которые входят в очень общий закон, поскольку из него они позволяют нам предвидеть большое количество других, и точно так же в математике. Предположим, я предпринял сложное вычисление и с трудом достиг результата: я не буду вознагражден за свои усилия, если тем самым я не стал способен предвидеть результаты других аналогичных вычислений и направлять их с уверенностью, которая избегает блужданий, к которым нужно быть готовым в первой попытке. С другой стороны, я не потрачу зря свое время, если эти блуждания сами по себе закончатся тем, что откроют мне глубокую аналогию проблемы, только что рассмотренной, с гораздо более обширным классом других проблем; если они покажут мне сразу сходства и различия этих, если, одним словом, они заставят меня воспринять возможность обобщения. Тогда это не новый результат, который я выиграл, это новая сила.

Простой пример, который приходит на ум первым, — это алгебраическая формула, которая дает нам решение типа числовых задач, когда мы наконец заменяем буквы числами. Благодаря ей одно алгебраическое вычисление избавляет нас от мучений постоянно начинать снова новые числовые вычисления. Но это лишь грубый пример; мы все знаем, что есть аналогии, невыразимые формулой, и тем более ценные.

Новый результат ценен, если вообще ценен, когда, объединяя элементы, давно известные, но до сих пор раздельные и кажущиеся чуждыми друг другу, он внезапно вносит порядок туда, где царил беспорядок. Он тогда позволяет нам увидеть с первого взгляда каждый из этих элементов и его место в ансамбле. Этот новый факт не просто ценен сам по себе, но он один придает ценность всем старым фактам, которые он объединяет. Наш ум слаб, как и чувства; он потерялся бы в сложности мира, если бы эта сложность не была гармоничной; как близорукий человек, он видел бы только детали и был бы вынужден забыть каждую из этих деталей перед изучением следующей, поскольку был бы неспособен охватить все. Единственные факты, достойные нашего внимания, — это те, которые вносят порядок в эту сложность и тем самым делают ее доступной.

Математики придают большое значение элегантности своих методов и своих результатов. Это не чистое дилетантство. Что же на самом деле дает нам чувство элегантности в решении, в доказательстве? Это гармония разнообразных частей, их симметрия, их счастливый баланс; одним словом, это все, что вносит порядок, все, что дает единство, что позволяет нам видеть ясно и постигать сразу как ансамбль, так и детали. Но это именно то, что дает великие результаты; на самом деле, чем яснее мы видим этот агрегат и с одного взгляда, тем лучше мы воспринимаем его аналогии с другими соседними объектами, следовательно, тем больше шансов у нас угадать возможные обобщения. Элегантность может вызвать чувство непредвиденного из-за неожиданной встречи объектов, которые мы не привыкли сводить вместе; там снова она плодотворна, поскольку она таким образом открывает нам родство, ранее не распознанное. Она плодотворна, даже когда она проистекает только из контраста между простотой средств и сложностью поставленной проблемы; она заставляет нас тогда думать о причине этого контраста и очень часто заставляет нас видеть, что случай не является причиной; что она должна быть найдена в каком-то неожиданном законе. Одним словом, чувство математической элегантности — это только удовлетворение, обусловленное любой адаптацией решения к потребностям нашего ума, и именно из-за этой самой адаптации это решение может быть для нас инструментом. Следовательно, это эстетическое удовлетворение связано с экономией мысли. Снова сравнение с Эрехтейоном приходит мне на ум, но я не должен использовать его слишком часто.

Именно по той же причине, когда довольно длинное вычисление привело к какому-то простому и поразительному результату, мы не удовлетворены, пока не показали, что мы могли бы предвидеть, если не весь этот результат, то по крайней мере его самые характерные черты. Почему? Что мешает нам довольствоваться вычислением, которое сказало нам, кажется, все, что мы хотели знать? Это потому, что в аналогичных случаях длинное вычисление могло бы больше не помочь, и что это не так с рассуждением, часто полуинтуитивным, которое позволило бы нам предвидеть. Это рассуждение будучи коротким, мы видим с одного взгляда все его части, так что мы немедленно воспринимаем, что должно быть изменено, чтобы адаптировать его ко всем проблемам той же природы, которые могут возникнуть. И тогда оно позволяет нам предвидеть, будет ли решение этих проблем простым, оно показывает нам по крайней мере, стоит ли предпринимать вычисление.

Сказанного достаточно, чтобы показать, насколько тщетно было бы пытаться заменить свободу инициативы математика какой-либо механической процедурой. Чтобы получить результат, имеющий реальную ценность, недостаточно просто выполнять вычисления или иметь машину для приведения вещей в порядок; ценность представляет не просто порядок, а неожиданный порядок. Машина может грызть сырой факт, но душа факта всегда ускользнет от нее.

С середины прошлого века математики все больше стремятся к достижению абсолютной строгости; они правы, и эта тенденция будет все более усиливаться. В математике строгость — это не все, но без нее нет ничего. Доказательство, которое не является строгим, — это ничто. Думаю, никто не станет оспаривать эту истину. Но если понимать ее слишком буквально, пришлось бы сделать вывод, что до 1820 года, например, математики не существовало; это было бы явно преувеличением; геометры того времени интуитивно понимали то, что мы объясняем многословными рассуждениями. Это не значит, что они этого совсем не видели; но они проходили мимо этого слишком быстро, а чтобы увидеть это хорошо, потребовалось бы взять на себя труд это высказать.

Но всегда ли нужно говорить об этом так много раз? Те, кто первыми поставили точность превыше всего, дали нам аргументы, которым мы можем попытаться подражать; но если доказательства будущего будут строиться по этому образцу, математические трактаты станут очень длинными; и если я опасаюсь удлинений, то не только потому, что не одобряю загромождение библиотек, но и потому, что боюсь, как бы при удлинении наши доказательства не утратили то подобие гармонии, полезность которого я только что объяснил.

Экономия мышления — вот к чему мы должны стремиться, поэтому недостаточно просто предоставлять модели для подражания. Необходимо, чтобы наши последователи могли обходиться без этих моделей и, вместо повторения уже сделанного рассуждения, резюмировать его в нескольких словах. И это временами уже достигалось. Например, существовал тип рассуждений, встречавшийся повсюду и везде одинаковый. Они были совершенно точными, но длинными. Затем внезапно была найдена фраза «равномерная сходимость», и эта фраза сделала такие рассуждения излишними; нам больше не нужно было их повторять, поскольку их можно было понять. Те, кто преодолевает трудности, оказывают нам двойную услугу: во-первых, они учат нас при необходимости поступать так же, как они, но, прежде всего, они позволяют нам как можно чаще избегать поступать так, как они, не жертвуя при этом точностью.

Мы только что увидели на одном примере важность слов в математике, но можно было бы привести и многие другие. Трудно поверить, насколько хорошо выбранное слово может экономить мышление, как говорит Мах. Возможно, я уже где-то говорил, что математика — это искусство давать одно и то же имя разным вещам. Важно, чтобы эти вещи, различаясь по содержанию, были схожи по форме, чтобы они могли, так сказать, отливаться в одну и ту же форму. Когда язык выбран удачно, мы с удивлением обнаруживаем, что все доказательства, сделанные для определенного объекта, немедленно применимы ко многим новым объектам; не нужно ничего менять, даже слов, поскольку названия стали одними и теми же.

Хорошо выбранное слово обычно позволяет устранить исключения, которым подвержены правила, сформулированные по-старому; именно поэтому мы создали отрицательные величины, мнимые числа, точки на бесконечности и тому подобное. А исключения, не следует забывать, пагубны, потому что они скрывают законы.

Что ж, это одна из характеристик, по которой мы узнаем факты, дающие великие результаты. Это те факты, которые допускают такие удачные нововведения в языке. Сырой факт часто не представляет большого интереса; мы можем указывать на него много раз, не оказав при этом большой услуги науке. Он обретает ценность лишь тогда, когда более мудрый мыслитель осознает отношение, которое он представляет, и символизирует его словом.

Более того, физики поступают точно так же. Они изобрели слово «энергия», и это слово оказалось поразительно плодотворным, потому что оно также создало закон, устранив исключения, поскольку дало одно и то же имя вещам, различающимся по содержанию, но схожим по форме.

Среди слов, оказавших наиболее благотворное влияние, я бы выделил «группа» и «инвариант». Они позволили нам увидеть сущность многих математических рассуждений; они показали нам, в скольких случаях старые математики рассматривали группы, сами того не зная, и как, считая себя далекими друг от друга, они внезапно оказывались рядом, не зная почему.

Сегодня мы сказали бы, что они имели дело с изоморфными группами. Мы теперь знаем, что в группе содержание малоинтересно, важна только форма, и что, зная группу, мы тем самым знаем все изоморфные группы; и благодаря этим словам «группа» и «изоморфизм», которые конденсируют в нескольких слогах это тонкое правило и быстро делают его знакомым всем умам, переход становится непосредственным и может быть осуществлен с полной экономией усилий мышления. Идея группы, кроме того, примыкает к идее преобразования. Почему мы придаем такую ценность изобретению нового преобразования? Потому что из одной теоремы оно позволяет нам получить десять или двадцать; оно имеет ту же ценность, что и ноль, приписанный справа к целому числу.

Вот что до сих пор определяло направление математического прогресса и столь же определенно будет определять его в будущем. Но этому в равной степени способствует и природа возникающих проблем. Мы не можем забывать, какова должна быть наша цель. На мой взгляд, эта цель двойственна. Наша наука граничит как с философией, так и с физикой, и мы работаем на наших двух соседей; поэтому мы всегда видели и будем видеть математиков, продвигающихся в двух противоположных направлениях.

С одной стороны, математическая наука должна размышлять о самой себе, и это полезно, поскольку размышление о себе — это размышление о человеческом разуме, который ее создал, тем более что это именно то из его творений, для которого он меньше всего заимствовал извне. Вот почему полезны некоторые математические спекуляции, такие как те, что посвящены изучению постулатов, необычных геометрий, своеобразных функций. Чем больше эти спекуляции отклоняются от обычных концепций и, следовательно, от природы и приложений, тем лучше они показывают нам, что может создать человеческий разум, когда он все больше освобождается от тирании внешнего мира, и, следовательно, тем лучше они позволяют нам познать его самого по себе.

Но именно в другую сторону, в сторону природы, мы должны направить основную часть нашей армии. Там мы встречаем физика или инженера, который говорит нам: «Пожалуйста, проинтегрируйте для меня это дифференциальное уравнение; оно может понадобиться мне через неделю для конструкции, которая должна быть закончена к тому времени». «Это уравнение, — отвечаем мы, — не относится ни к одному из интегрируемых типов; вы знаете, их не так много». «Да, я знаю; но тогда какая от вас польза?» Обычно достаточно понять друг друга; инженеру в действительности не нужен интеграл в конечном виде; ему нужно знать общий вид интегральной функции, или он просто хочет получить определенное число, которое можно было бы легко вывести из этого интеграла, если бы он был известен. Обычно он не известен, но число можно вычислить и без него, если мы точно знаем, какое число нужно инженеру и с какой точностью.

Раньше уравнение считалось решенным только тогда, когда его решение было выражено с помощью конечного числа известных функций; но это возможно едва ли один раз из ста. Что мы всегда можем сделать, или, вернее, к чему мы всегда должны стремиться, — это решить проблему, так сказать, качественно; то есть попытаться узнать общую форму кривой, которая представляет неизвестную функцию.

Остается найти количественное решение проблемы; но если неизвестное не может быть определено конечным вычислением, оно всегда может быть представлено сходящимся бесконечным рядом, который позволяет нам его вычислить. Можно ли это считать истинным решением? Нам говорят, что Ньютон прислал Лейбницу анаграмму, почти такую: aaaaabbbeeeeij и т. д. Лейбниц, естественно, ничего из этого не понял; но мы, имеющие ключ, знаем, что эта анаграмма означала в переводе на современные термины: «Я могу интегрировать все дифференциальные уравнения»; и нас подмывает сказать, что Ньютону либо очень повезло, либо у него были странные заблуждения. Он просто хотел сказать, что может сформировать (методом неопределенных коэффициентов) степенной ряд, формально удовлетворяющий предложенному уравнению.

Такое решение сегодня нас бы не удовлетворило, и по двум причинам: потому что сходимость слишком медленная и потому что члены следуют друг за другом, не подчиняясь никакому закону. Напротив, ряд Θ кажется нам не оставляющим желать лучшего, во-первых, потому что он сходится очень быстро (это для практика, который хочет как можно скорее получить число), а во-вторых, потому что мы с первого взгляда видим закон членов (это для удовлетворения эстетической потребности теоретика).

Но тогда больше нет решенных проблем и других, которые не решены; есть только проблемы, решенные в большей или меньшей степени, в зависимости от того, решены ли они рядом, сходящимся более или менее быстро, или подчиняющимся более или менее гармоничному закону. Однако часто случается, что несовершенное решение направляет нас к лучшему. Иногда ряд сходится так медленно, что вычисление невыполнимо, и нам удалось лишь доказать возможность решения проблемы.

И тогда инженер находит это насмешкой, и справедливо, поскольку это не поможет ему завершить свою конструкцию к установленному сроку. Его мало заботит, принесет ли это пользу инженерам двадцать второго века. Но что касается нас, мы думаем иначе, и иногда мы счастливее тем, что сэкономили нашим внукам день работы, чем тем, что сэкономили нашим современникам час.

Иногда на ощупь, эмпирически, так сказать, мы приходим к достаточно сходящейся формуле. «Чего же вы еще хотите?» — говорит инженер. И все же, несмотря на все, мы не удовлетворены; мы хотели бы предвидеть эту сходимость. Почему? Потому что, если бы мы знали, как предвидеть ее однажды, мы знали бы, как предвидеть ее в другой раз. Мы преуспели; это мало что значит в наших глазах, если мы не можем обоснованно ожидать, что сделаем это снова.

По мере развития науки ее полное понимание становится все более трудным; тогда мы стремимся разрезать ее на части и довольствоваться одной из этих частей: одним словом, специализироваться. Если бы мы продолжали двигаться этим путем, это стало бы серьезным препятствием для прогресса науки. Как мы уже говорили, она прогрессирует благодаря неожиданному союзу между своими разнообразными частями. Слишком сильная специализация означала бы запрет на эти сближения. Следует надеяться, что конгрессы, подобные тем, что были в Гейдельберге и Риме, вводя нас в контакт друг с другом, откроют нам перспективы на соседние области и заставят нас сравнивать их с нашими собственными, немного выходить за пределы нашей маленькой деревни; таким образом, они станут лучшим средством от только что упомянутой опасности.

Но я слишком долго задержался на общих положениях; пора перейти к деталям.

Давайте рассмотрим различные специальные науки, которые в совокупности составляют математику; посмотрим, чего каждая из них достигла, к чему она стремится и чего мы можем от нее ожидать. Если предыдущие взгляды верны, мы должны увидеть, что величайшие достижения в прошлом происходили тогда, когда две из этих наук объединялись, когда мы осознавали сходство их формы, несмотря на различие их содержания, когда они моделировались друг на друге так, что каждая могла воспользоваться завоеваниями другой. Мы должны в то же время предвидеть в комбинациях такого же рода прогресс будущего.

Арифметика

Прогресс в арифметике был гораздо медленнее, чем в алгебре и анализе, и легко понять почему. Чувство непрерывности — это драгоценный ориентир, которого не хватает арифметику; каждое целое число отделено от других — оно имеет, так сказать, свою собственную индивидуальность. Каждое из них — своего рода исключение, и именно поэтому общие теоремы в теории чисел встречаются реже; именно поэтому те, что существуют, более скрыты и дольше ускользают от исследователей.

Если арифметика отстает от алгебры и анализа, лучшее, что она может сделать, — это попытаться моделировать себя на этих науках, чтобы воспользоваться их прогрессом. Арифметику поэтому следует взять в качестве ориентира аналогии с алгеброй. Эти аналогии многочисленны, и если во многих случаях они еще не были изучены достаточно пристально, чтобы стать применимыми, они, по крайней мере, давно предвидены, и даже язык двух наук показывает, что они были распознаны. Так, мы говорим о трансцендентных числах и так мы объясняем будущую классификацию этих чисел, уже имея в качестве модели классификацию трансцендентных функций, и все же мы пока не очень хорошо видим, как перейти от одной классификации к другой; но если бы это было увидено, это было бы уже осуществлено и не было бы делом будущего.

Первый пример, который приходит мне на ум, — это теория сравнений, где обнаруживается идеальный параллелизм с теорией алгебраических уравнений. Конечно, мы преуспеем в завершении этого параллелизма, который должен иметь место, например, между теорией алгебраических кривых и теорией сравнений с двумя переменными. И когда будут решены задачи, относящиеся к сравнениям с несколькими переменными, это станет первым шагом к решению многих вопросов неопределенного анализа.

Алгебра

Теория алгебраических уравнений еще долго будет удерживать внимание геометров; многочисленны и очень различны стороны, с которых к ней можно подступиться.

Нам не следует думать, что алгебра закончена, потому что она дает нам правила для формирования всех возможных комбинаций; остается найти интересные комбинации, те, которые удовлетворяют тем или иным условиям. Так сформируется своего рода неопределенный анализ, где неизвестными будут уже не целые числа, а многочлены. На этот раз именно алгебра будет моделировать себя на арифметике, следуя аналогии целого числа с целым многочленом с любыми коэффициентами или с целым многочленом с целыми коэффициентами.

Геометрия

Кажется, что геометрия не может содержать ничего, что не было бы уже включено в алгебру или анализ; что геометрические факты — это лишь алгебраические или аналитические факты, выраженные на другом языке. Можно было бы тогда подумать, что после нашего обзора нам больше нечего будет сказать, относящегося специально к геометрии. Это означало бы не признать важность хорошо построенного языка, не понять, что добавляется к самим вещам методом выражения этих вещей и, следовательно, их группировки.

Во-первых, геометрические соображения заставляют нас ставить перед собой новые задачи; это могут быть, если хотите, аналитические задачи, но такие, которые мы никогда не поставили бы перед собой в связи с анализом. Анализ, однако, выигрывает от них, как он выигрывает от тех, которые ему приходится решать для удовлетворения нужд физики.

Большое преимущество геометрии заключается в том, что в ней чувства могут прийти на помощь мысли и помочь найти путь, которому нужно следовать, и многие умы предпочитают облекать задачи анализа в геометрическую форму. К несчастью, наши чувства не могут унести нас очень далеко, и они покидают нас, когда мы хотим воспарить за пределы классических трех измерений. Означает ли это, что за пределами ограниченной области, в которую они, кажется, хотят нас заточить, мы должны полагаться только на чистый анализ и что вся геометрия более чем трех измерений тщетна и беспредметна? Величайшие мастера предыдущего поколения ответили бы «да»; сегодня мы настолько свыклись с этим понятием, что можем говорить о нем даже в университетском курсе, не вызывая слишком большого удивления.

Но какая от этого польза? Это легко увидеть: во-первых, это дает нам очень удобную терминологию, которая кратко выражает то, что обычный аналитический язык сказал бы многословными фразами. Более того, этот язык заставляет нас называть подобные вещи одним и тем же именем и подчеркивать аналогии, которые он уже никогда не позволит нам забыть. Он позволяет нам, следовательно, все еще находить свой путь в этом пространстве, которое слишком велико для нас и которое мы не можем видеть, всегда вспоминая видимое пространство, которое является лишь его несовершенным образом, несомненно, но которое тем не менее является образом. Здесь снова, как и во всех предыдущих примерах, именно аналогия с простым позволяет нам понять сложное.

Эта геометрия более чем трех измерений — не простая аналитическая геометрия; она не чисто количественная, но и качественная, и именно в этом отношении она становится наиболее интересной. Существует наука, называемая анализ ситус (топология), объектом которой является изучение позиционных отношений различных элементов фигуры, независимо от их размеров. Эта геометрия чисто качественная; ее теоремы остались бы верными, если бы фигуры, вместо того чтобы быть точными, были грубо имитированы ребенком. Мы можем также создать анализ ситус более чем трех измерений. Важность анализа ситус огромна, и ее нельзя переоценить; преимущества, полученные от него Риманом, одним из его главных создателей, было бы достаточно, чтобы доказать это. Мы должны завершить его полное построение в пространствах высших размерностей; тогда у нас будет инструмент, который позволит нам действительно видеть в гиперпространстве и дополнить наши чувства.

Задачи анализа ситус, возможно, не возникли бы, если бы использовался только аналитический язык; или, вернее, я ошибаюсь, они возникли бы наверняка, поскольку их решение существенно для множества вопросов в анализе, но они возникали бы по отдельности, одна за другой, и без возможности для нас осознать их общую связь.

Канторизм

Я говорил выше о нашей потребности постоянно возвращаться к первым принципам нашей науки и о пользе этого для изучения человеческого разума. Эта потребность вдохновила две попытки, которые заняли очень видное место в самых последних анналах математики. Первая — это канторизм, который оказал нашей науке столь выдающуюся услугу. Кантор ввел в науку новый способ рассмотрения математической бесконечности. Одной из характерных черт канторизма является то, что вместо того, чтобы восходить к общему путем построения все более сложных конструкций и определения через построение, он исходит из genus supremum и определяет только, как сказали бы схоласты, per genus proximum et differentiam specificam. Отсюда происходит ужас, который он иногда внушал некоторым умам, например, Эрмиту, чьей любимой идеей было сравнение математических наук с естественными. У большинства из нас эти предрассудки рассеялись, но случилось так, что мы столкнулись с некоторыми парадоксами, некоторыми кажущимися противоречиями, которые привели бы в восторг Зенона Элейского и мегарскую школу. И тогда каждый должен искать средство. Что касается меня, я думаю, и я не единственный, что важно никогда не вводить сущности, не определяемые полностью конечным числом слов. Каким бы ни было принятое лекарство, мы можем обещать себе радость врача, призванного наблюдать прекрасный патологический случай.

Исследование постулатов

С другой стороны, были предприняты усилия перечислить аксиомы и постулаты, более или менее скрытые, которые служат фундаментом для различных теорий математики. Профессор Гильберт получил самые блестящие результаты. Сначала кажется, что эта область была бы очень ограниченной и нечего было бы больше делать, когда инвентаризация была бы закончена, что не могло бы занять много времени. Но когда мы перечислим все, будет много способов классифицировать все; хороший библиотекарь всегда найдет, что делать, и каждая новая классификация будет поучительной для философа.

Здесь я заканчиваю этот обзор, который я и не мечтал сделать полным. Думаю, этих примеров будет достаточно, чтобы показать, с помощью какого механизма математические науки совершали свой прогресс в прошлом и в каком направлении они должны продвигаться в будущем.

ГЛАВА III

Математическое творчество

Генезис математического творчества — это проблема, которая должна живо интересовать психолога. Это деятельность, в которой человеческий разум, по-видимому, меньше всего берет из внешнего мира, в которой он действует или кажется действующим только сам по себе и на самого себя, так что, изучая процедуру геометрического мышления, мы можем надеяться достичь того, что является наиболее существенным в человеческом разуме.

Это давно было оценено, и некоторое время назад журнал под названием «L'enseignement mathématique», редактируемый Лезаном и Фером, начал исследование ментальных привычек и методов работы различных математиков. Я закончил основные контуры этой статьи, когда результаты этого опроса были опубликованы, поэтому я едва ли смог их использовать и ограничусь тем, что большинство свидетелей подтверждают мои выводы; я не говорю «все», ибо когда апеллируют к всеобщему голосованию, единодушия ожидать не приходится.

Первый факт должен нас удивить, или, вернее, удивил бы нас, если бы мы не были к нему так привычны. Как случается, что есть люди, которые не понимают математику? Если математика взывает только к правилам логики, таким, как они приняты всеми нормальными умами; если ее очевидность основана на принципах, общих для всех людей, и которые никто не мог бы отрицать, не будучи сумасшедшим, как получается, что так много людей здесь оказываются невосприимчивыми?

То, что не каждый может изобретать, нисколько не загадочно. То, что не каждый может удержать в памяти однажды выученное доказательство, тоже может сойти. Но то, что не каждый может понять математическое рассуждение, когда оно объяснено, кажется очень удивительным, если задуматься. И все же те, кто может следовать этому рассуждению лишь с трудом, составляют большинство: это неоспоримо, и это, безусловно, не будет опровергнуто опытом учителей средней школы.

И далее: как возможна ошибка в математике? Здравый ум не должен быть виновен в логической ошибке, и все же есть очень тонкие умы, которые не спотыкаются в коротких рассуждениях, встречающихся в обычных делах жизни, и которые неспособны следовать или повторять без ошибок математические доказательства, которые длиннее, но которые, в конце концов, являются лишь накоплением коротких рассуждений, полностью аналогичных тем, что они проделывают так легко. Нужно ли добавлять, что сами математики не непогрешимы?

Ответ кажется мне очевидным. Представьте себе длинную серию силлогизмов, и что заключения первых служат посылками последующих: мы сможем уловить каждый из этих силлогизмов, и не в переходе от посылок к заключению мы рискуем обмануться. Но между моментом, в который мы впервые встречаем суждение как заключение одного силлогизма, и тем, в который мы вновь встречаем его как посылку другого силлогизма, иногда проходит некоторое время, несколько звеньев цепи развернутся; так может случиться, что мы забыли его, или, что хуже, что мы забыли его смысл. Так может случиться, что мы заменим его слегка отличающимся суждением, или что, сохраняя ту же формулировку, мы припишем ему слегка отличающийся смысл, и именно так мы подвергаемся риску ошибки.

Часто математик использует правило. Естественно, он начинает с доказательства этого правила; и в то время, когда это доказательство свежо в его памяти, он прекрасно понимает его смысл и его значение, и он не рискует его изменить. Но впоследствии он доверяет своей памяти и в дальнейшем применяет его только механическим способом; и тогда, если память подводит его, он может применить его совершенно неверно. Так, если взять простой пример, мы иногда делаем ошибки в вычислениях, потому что забыли таблицу умножения.

Согласно этому, особая склонность к математике была бы обусловлена только очень верной памятью или поразительной силой внимания. Это была бы способность, подобная способности игрока в вист, который помнит сыгранные карты; или, поднявшись на ступеньку выше, подобная способности шахматиста, который может визуализировать большое количество комбинаций и удерживать их в своей памяти. Каждый хороший математик должен быть хорошим шахматистом, и наоборот; точно так же он должен быть хорошим вычислителем. Конечно, такое иногда случается; так, Гаусс был одновременно геометром гения и очень ранним и точным вычислителем.

Но есть исключения; или, вернее, я ошибаюсь; я не могу назвать их исключениями, не делая исключения более частыми, чем правило. Гаусс, напротив, был исключением. Что касается меня, должен признаться, я абсолютно неспособен даже складывать без ошибок. Точно так же я был бы плохим шахматистом; я бы заметил, что определенным ходом я подвергаю себя определенной опасности; я бы перебрал в уме несколько других ходов, отвергая их по другим причинам, и затем, наконец, сделал бы ход, рассмотренный первым, забыв тем временем об опасности, которую предвидел.

Одним словом, моя память не плоха, но ее было бы недостаточно, чтобы сделать меня хорошим шахматистом. Почему же тогда она не подводит меня в сложном математическом рассуждении, где большинство шахматистов потерялись бы? Очевидно, потому что она направляется общим ходом рассуждения. Математическое доказательство — это не простое сопоставление силлогизмов, это силлогизмы, расставленные в определенном порядке, и порядок, в котором расставлены эти элементы, гораздо важнее, чем сами элементы. Если у меня есть чувство, интуиция, так сказать, этого порядка, чтобы воспринимать с первого взгляда рассуждение в целом, мне больше не нужно бояться, что я забуду один из элементов, ибо каждый из них займет свое отведенное место в строю, и это без всякого усилия памяти с моей стороны.

Мне кажется тогда, при повторении выученного рассуждения, что я мог бы изобрести его сам. Это часто лишь иллюзия; но даже тогда, даже если я не настолько одарен, чтобы создать его самостоятельно, я сам переизобретаю его, поскольку повторяю его.

Мы знаем, что это чувство, эта интуиция математического порядка, которая заставляет нас прозревать скрытые гармонии и отношения, не может быть присуща каждому. У некоторых не будет ни этого тонкого чувства, которое так трудно определить, ни силы памяти и внимания выше обычного, и тогда они будут абсолютно неспособны понять высшую математику. Таково большинство. У других это чувство будет лишь в слабой степени, но они будут одарены необычной памятью и большой силой внимания. Они выучат наизусть детали одну за другой; они могут понимать математику и иногда делать приложения, но они не могут творить. Другие, наконец, будут обладать в большей или меньшей степени упомянутой особой интуицией, и тогда они не только смогут понимать математику, даже если их память не представляет собой ничего необычного, но они могут стать творцами и пытаться изобретать с большим или меньшим успехом, в зависимости от того, насколько эта интуиция развита в них.

На самом деле, что такое математическое творчество? Оно не состоит в создании новых комбинаций с уже известными математическими сущностями. Любой мог бы это сделать, но комбинации, созданные таким образом, были бы бесконечны по числу, и большинство из них абсолютно не представляли бы интереса. Творить — значит именно не создавать бесполезных комбинаций и создавать те, которые полезны и которые составляют лишь небольшое меньшинство. Изобретение — это проницательность, выбор.

Как сделать этот выбор, я объяснял ранее; математические факты, достойные изучения, — это те, которые благодаря своей аналогии с другими фактами способны привести нас к познанию математического закона, точно так же как экспериментальные факты приводят нас к познанию физического закона. Это те факты, которые открывают нам неожиданное родство между другими фактами, давно известными, но ошибочно считавшимися чуждыми друг другу.

Среди выбранных комбинаций наиболее плодотворными часто будут те, что сформированы из элементов, взятых из областей, которые далеки друг от друга. Не то чтобы я имел в виду, что для изобретения достаточно сведения вместе объектов, насколько возможно разрозненных; большинство комбинаций, созданных таким образом, были бы совершенно бесплодными. Но некоторые из них, очень редкие, являются самыми плодотворными из всех.

Изобретать, я сказал, — значит выбирать; но слово это, возможно, не совсем точно. Оно заставляет думать о покупателе, перед которым выставлено большое количество образцов и который изучает их, один за другим, чтобы сделать выбор. Здесь образцы были бы настолько многочисленны, что целой жизни не хватило бы, чтобы их изучить. Это не реальное положение вещей. Бесплодные комбинации даже не представляются уму изобретателя. Никогда в поле его сознания не появляются комбинации, которые не являются действительно полезными, за исключением некоторых, которые он отвергает, но которые имеют в некоторой степени характеристики полезных комбинаций. Все происходит так, как если бы изобретатель был экзаменатором второй степени, которому нужно было бы опрашивать только тех кандидатов, которые прошли предыдущий экзамен.

Но то, что я до сих пор говорил, — это то, что можно наблюдать или вывести, читая труды геометров, читая вдумчиво.

Пора проникнуть глубже и увидеть, что происходит в самой душе математика. Для этого, я полагаю, я могу сделать лучше всего, вспоминая свои собственные воспоминания. Но я ограничусь тем, что расскажу, как я написал свой первый мемуар о фуксовых функциях. Я прошу прощения у читателя; я собираюсь использовать некоторые технические выражения, но они не должны его пугать, ибо он не обязан их понимать. Я скажу, например, что я нашел доказательство такой-то теоремы при таких-то обстоятельствах. Эта теорема будет иметь варварское имя, незнакомое многим, но это неважно; что интересно для психолога, так это не теорема, а обстоятельства.

В течение пятнадцати дней я стремился доказать, что не может быть никаких функций, подобных тем, которые я с тех пор назвал фуксовыми функциями. Я был тогда очень невежественен; каждый день я садился за свой рабочий стол, оставался час или два, пробовал большое количество комбинаций и не достигал никаких результатов. Однажды вечером, вопреки своему обыкновению, я выпил черного кофе и не мог уснуть. Идеи возникали толпами; я чувствовал, как они сталкиваются, пока пары не сцеплялись, так сказать, образуя стабильную комбинацию. К следующему утру я установил существование класса фуксовых функций, тех, которые происходят из гипергеометрического ряда; мне оставалось только записать результаты, что заняло всего несколько часов.

Затем я захотел представить эти функции как частное двух рядов; эта идея была совершенно сознательной и обдуманной, аналогия с эллиптическими функциями направляла меня. Я спросил себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если бы они существовали, и я без труда преуспел в формировании рядов, которые я назвал тета-фуксовыми.

Как раз в это время я покинул Кан, где тогда жил, чтобы отправиться в геологическую экскурсию под эгидой Политехнической школы. Смена обстановки в путешествии заставила меня забыть о моей математической работе. Достигнув Кутанса, мы сели в омнибус, чтобы ехать куда-то еще. В тот момент, когда я поставил ногу на подножку, мне пришла идея, без того, чтобы что-либо в моих прежних мыслях, казалось, проложило к ней путь, что преобразования, которые я использовал для определения фуксовых функций, идентичны преобразованиям неевклидовой геометрии. Я не проверял эту идею; у меня не было бы времени, так как, заняв свое место в омнибусе, я продолжил уже начатый разговор, но я почувствовал совершенную уверенность. По возвращении в Кан, ради совести, я проверил результат на досуге.

Затем я обратил свое внимание на изучение некоторых арифметических вопросов, по-видимому, без особого успеха и без подозрения о какой-либо связи с моими предыдущими исследованиями. Разочарованный своей неудачей, я отправился провести несколько дней на морском побережье и думал о чем-то другом. Однажды утром, гуляя по утесу, мне пришла идея, с теми же характеристиками краткости, внезапности и немедленной уверенности, что арифметические преобразования неопределенных тернарных квадратичных форм идентичны преобразованиям неевклидовой геометрии.

Вернувшись в Кан, я размышлял над этим результатом и вывел следствия. Пример квадратичных форм показал мне, что существовали фуксовы группы, отличные от тех, которые соответствуют гипергеометрическому ряду; я увидел, что могу применить к ним теорию тета-фуксовых рядов и что, следовательно, существовали фуксовы функции, отличные от тех, что происходят из гипергеометрического ряда, тех, которые я тогда знал. Естественно, я поставил себе задачу сформировать все эти функции. Я предпринял систематическую атаку на них и взял все внешние укрепления, одно за другим. Было одно, однако, которое все еще держалось, падение которого повлекло бы за собой падение всего места. Но все мои усилия лишь поначалу послужили тому, чтобы лучше показать мне трудность, которая, действительно, была чем-то. Вся эта работа была совершенно сознательной.

После этого я уехал в Мон-Валерьен, где должен был проходить военную службу; так что я был занят совсем иначе. Однажды, идя по улице, решение трудности, которая меня останавливала, внезапно явилось мне. Я не пытался углубляться в него немедленно и только после службы снова взялся за этот вопрос. У меня были все элементы, и оставалось только расположить их и соединить вместе. Так я написал свой окончательный мемуар одним махом и без труда.

Я ограничусь этим единственным примером; бесполезно умножать их. В отношении моих других исследований мне пришлось бы сказать аналогичные вещи, и наблюдения других математиков, приведенные в «L'enseignement mathématique», только подтвердили бы их.

Наиболее поразительным поначалу является это появление внезапного озарения, явный признак долгой, бессознательной предварительной работы. Роль этой бессознательной работы в математическом изобретении кажется мне неоспоримой, и следы ее можно было бы найти в других случаях, где она менее очевидна. Часто, когда работаешь над трудным вопросом, при первой атаке ничего хорошего не достигается. Затем берешь отдых, более или менее долгий, и снова садишься за работу. В течение первого получаса, как и прежде, ничего не находится, а затем внезапно решающая идея представляется уму. Можно было бы сказать, что сознательная работа была более плодотворной, потому что она была прервана и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно, что этот отдых был заполнен бессознательной работой и что результат этой работы впоследствии открылся геометру точно так же, как в случаях, которые я привел; только откровение, вместо того чтобы прийти во время прогулки или путешествия, произошло во время периода сознательной работы, но независимо от этой работы, которая играет самое большее роль возбудителя, как если бы она была стрекалом, стимулирующим результаты, уже достигнутые во время отдыха, но остающиеся бессознательными, принять сознательную форму.

Есть еще одно замечание, которое нужно сделать об условиях этой бессознательной работы: она возможна, и, безусловно, она плодотворна только в том случае, если она, с одной стороны, предваряется, а с другой стороны, сопровождается периодом сознательной работы. Эти внезапные вдохновения (и приведенные примеры достаточно доказывают это) никогда не случаются иначе, как после нескольких дней добровольного усилия, которое казалось абсолютно бесплодным и из которого, кажется, ничего хорошего не вышло, где выбранный путь кажется совершенно сбившимся. Эти усилия, значит, не были такими стерильными, как думают; они привели в движение бессознательную машину, и без них она не сдвинулась бы и ничего не произвела бы.

Необходимость второго периода сознательной работы, после вдохновения, еще легче понять. Необходимо придать форму результатам этого вдохновения, вывести из них непосредственные следствия, расположить их, сформулировать доказательства, но прежде всего необходима проверка. Я говорил о чувстве абсолютной уверенности, сопровождающем вдохновение; в приведенных случаях это чувство не было обманщиком, как не является оно обычно. Но не думайте, что это правило без исключения; часто это чувство обманывает нас, не будучи при этом менее ярким, и мы обнаруживаем это только тогда, когда пытаемся осуществить доказательство. Я особенно заметил этот факт в отношении идей, приходящих ко мне утром или вечером в постели, находясь в полугипнагогическом состоянии.

Таковы реалии; теперь о мыслях, которые они нам навязывают. Бессознательное, или, как мы говорим, подсознательное «я» играет важную роль в математическом творчестве; это следует из того, что мы сказали. Но обычно подсознательное «я» рассматривается как чисто автоматическое. Теперь мы видели, что математическая работа — это не просто механическая работа, что она не могла бы быть выполнена машиной, какой бы совершенной она ни была. Это не просто вопрос применения правил, создания как можно большего количества комбинаций согласно определенным фиксированным законам. Комбинации, полученные таким образом, были бы чрезвычайно многочисленны, бесполезны и обременительны. Истинная работа изобретателя состоит в выборе среди этих комбинаций, чтобы устранить бесполезные или, вернее, избежать труда по их созданию, и правила, которые должны направлять этот выбор, чрезвычайно тонкие и деликатные. Почти невозможно сформулировать их точно; они скорее чувствуются, чем формулируются. В этих условиях как представить себе сито, способное применять их механически?

Первая гипотеза теперь представляется сама собой: подсознательное «я» ни в чем не уступает сознательному «я»; оно не чисто автоматическое; оно способно к различению; оно обладает тактом, деликатностью; оно знает, как выбирать, как прозревать. Что я говорю? Оно лучше умеет прозревать, чем сознательное «я», поскольку оно преуспевает там, где последнее потерпело неудачу. Одним словом, не является ли подсознательное «я» высшим по отношению к сознательному «я»? Вы узнаете всю важность этого вопроса. Бутру в недавней лекции показал, как он возник по совершенно другому поводу и какие последствия повлек бы за собой утвердительный ответ. (См. также того же автора, Science et Religion, стр. 313 и сл.)

Навязывается ли нам этот утвердительный ответ фактами, которые я только что привел? Признаюсь, что я, со своей стороны, не хотел бы его принимать. Пересмотрите факты тогда и посмотрите, не совместимы ли они с другим объяснением.

Несомненно, что комбинации, которые представляются уму в своего рода внезапном озарении, после несколько затянувшейся бессознательной работы, являются, как правило, полезными и плодотворными комбинациями, которые кажутся результатом первого впечатления. Следует ли из этого, что подсознательное «я», прозрев благодаря тонкой интуиции, что эти комбинации будут полезны, сформировало только их, или оно, скорее, сформировало многие другие, которые не представляли интереса и остались бессознательными?

При таком втором взгляде на вещи все комбинации формировались бы вследствие автоматизма подсознательного «я», но только интересные прорывались бы в область сознания. И это все еще очень загадочно. Что является причиной того, что среди тысячи продуктов нашей бессознательной деятельности некоторые призваны пересечь порог, в то время как другие остаются внизу? Простая ли это случайность, которая дарует эту привилегию? Очевидно, нет; среди всех стимулов наших чувств, например, только самые интенсивные фиксируют наше внимание, если только оно не было привлечено к ним другими причинами. Более общо, привилегированные бессознательные явления, те, что способны стать сознательными, — это те, которые прямо или косвенно затрагивают наиболее глубоко нашу эмоциональную чувствительность.

Может быть удивительно видеть, что эмоциональная чувствительность призывается à propos математических доказательств, которые, казалось бы, могут интересовать только интеллект. Это означало бы забыть о чувстве математической красоты, гармонии чисел и форм, геометрической элегантности. Это истинное эстетическое чувство, которое знают все настоящие математики, и, безусловно, оно принадлежит к эмоциональной чувствительности.

Теперь, что это за математические сущности, которым мы приписываем этот характер красоты и элегантности и которые способны развивать в нас своего рода эстетическую эмоцию? Это те, чьи элементы гармонично расположены так, что ум без усилий может охватить их совокупность, осознавая при этом детали. Эта гармония — одновременно удовлетворение наших эстетических потребностей и помощь уму, поддерживающая и направляющая; и в то же время, представляя нашим глазам хорошо упорядоченное целое, она заставляет нас предвидеть математический закон. Теперь, как мы сказали выше, единственные математические факты, достойные фиксации нашего внимания и способные быть полезными, — это те, которые могут научить нас математическому закону. Так что мы приходим к следующему выводу: полезные комбинации — это именно самые красивые, я имею в виду те, которые лучше всего способны очаровать эту особую чувствительность, которую знают все математики, но о которой профаны настолько невежественны, что часто склонны улыбаться ей.

Что происходит тогда? Среди огромного количества комбинаций, слепо сформированных подсознательным «я», почти все лишены интереса и полезности; но именно по этой причине они также лишены воздействия на эстетическую чувствительность. Сознание никогда не узнает их; только некоторые из них гармоничны и, следовательно, одновременно полезны и красивы. Они будут способны затронуть эту особую чувствительность геометра, о которой я только что говорил, и которая, будучи однажды возбужденной, привлечет наше внимание к ним и, таким образом, даст им повод стать сознательными.

Это лишь гипотеза, и все же вот наблюдение, которое может подтвердить ее: когда внезапное озарение охватывает ум математика, обычно случается, что оно не обманывает его, но также иногда случается, как я сказал, что оно не выдерживает проверки верификацией; что ж, мы почти всегда замечаем, что эта ложная идея, будь она истинной, удовлетворила бы наше естественное чувство математической элегантности.

Таким образом, именно эта особая эстетическая чувствительность играет роль деликатного сита, о котором я говорил, и это достаточно объясняет, почему тот, кто лишен ее, никогда не будет настоящим творцом.

И все же не все трудности исчезли. Сознательное «я» узко ограничено, а что касается подсознательного «я», мы не знаем его ограничений, и именно поэтому мы не слишком неохотно предполагаем, что оно было способно за короткое время сделать больше различных комбинаций, чем вся жизнь сознательного существа могла бы охватить. И все же эти ограничения существуют. Вероятно ли, что оно способно сформировать все возможные комбинации, число которых напугало бы воображение? Тем не менее это казалось бы необходимым, потому что если оно производит лишь малую часть этих комбинаций и если оно делает их наугад, было бы мало шансов, что «хорошая», та, которую мы должны были бы выбрать, оказалась бы среди них.

Возможно, нам следует искать объяснение в том предварительном периоде сознательной работы, который всегда предшествует всякому плодотворному бессознательному труду. Позвольте мне грубое сравнение. Представьте будущие элементы наших комбинаций как нечто вроде крючковатых атомов Эпикура. Во время полного покоя ума эти атомы неподвижны, они, так сказать, прицеплены к стене; так что этот полный покой может быть неопределенно долгим без того, чтобы атомы встретились, и, следовательно, без какой-либо комбинации между ними.

С другой стороны, во время периода кажущегося покоя и бессознательной работы некоторые из них отрываются от стены и приводятся в движение. Они проносятся во всех направлениях через пространство (я собирался сказать комнату), где они заключены, как это делал бы, например, рой мошек или, если вы предпочитаете более ученое сравнение, как молекулы газа в кинетической теории газов. Тогда их взаимные столкновения могут породить новые комбинации.

Какова роль предварительной сознательной работы? Она, очевидно, заключается в том, чтобы мобилизовать некоторые из этих атомов, отцепить их от стены и привести в движение. Мы думаем, что не сделали ничего хорошего, потому что перемещали эти элементы тысячей разных способов, пытаясь собрать их, и не нашли удовлетворительного агрегата. Но после этого встряхивания, навязанного им нашей волей, эти атомы не возвращаются к своему первобытному покою. Они свободно продолжают свой танец.

Теперь, наша воля не выбирала их наугад; она преследовала совершенно определенную цель. Мобилизованные атомы, следовательно, не какие-либо атомы вообще; это те, от которых мы могли бы разумно ожидать желаемого решения. Затем мобилизованные атомы подвергаются ударам, которые заставляют их вступать в комбинации между собой или с другими атомами в покое, о которые они ударились на своем пути. Снова прошу прощения, мое сравнение очень грубое, но я едва ли знаю, как иначе сделать мою мысль понятной.

Как бы то ни было, единственные комбинации, которые имеют шанс сформироваться, — это те, где по крайней мере один из элементов является одним из тех атомов, что свободно выбраны нашей волей. И очевидно, что именно среди них находится то, что я назвал «удачной комбинацией». Возможно, это способ смягчить парадоксальность исходной гипотезы.

Еще одно наблюдение. Никогда не бывает так, чтобы бессознательная работа давала нам результат сколько-нибудь длинного вычисления «в готовом виде», где нам остается лишь применить фиксированные правила. Можно было бы подумать, что полностью автоматическое подсознательное «я» особенно приспособлено для такого рода работы, которая в некотором смысле является исключительно механической. Казалось бы, размышляя вечером над множителями, можно было бы надеяться найти произведение уже готовым при пробуждении, или же что алгебраическое вычисление, например, проверка, будет выполнено бессознательно. Ничего подобного, как доказывает наблюдение. Все, на что можно надеяться от этих озарений, плодов бессознательной работы, — это отправная точка для таких вычислений. Что касается самих вычислений, то они должны быть выполнены во второй период сознательной работы, тот, который следует за озарением, в котором мы проверяем результаты этого озарения и выводим их следствия. Правила этих вычислений строги и сложны. Они требуют дисциплины, внимания, воли, а значит, и сознания. В подсознательном «я», напротив, царит то, что я назвал бы свободой, если бы мы могли дать это имя простому отсутствию дисциплины и беспорядку, рожденному случаем. Только этот беспорядок сам по себе допускает неожиданные комбинации.

Сделаю последнее замечание: когда выше я приводил некоторые личные наблюдения, я говорил о ночи возбуждения, когда я работал вопреки самому себе. Такие случаи часты, и вовсе не обязательно, чтобы ненормальная мозговая деятельность была вызвана физическим возбудителем, как в том случае, о котором я упоминал. Кажется, что в таких случаях человек присутствует при своей собственной бессознательной работе, ставшей частично ощутимой для перевозбужденного сознания, но при этом не изменившей своей природы. Тогда мы смутно понимаем, что отличает два механизма или, если хотите, методы работы двух «я». И психологические наблюдения, которые я смог таким образом сделать, представляются мне подтверждающими в общих чертах те взгляды, которые я изложил.

Безусловно, они нуждаются в этом, ибо они являются и остаются, несмотря ни на что, весьма гипотетичными: интерес к этим вопросам настолько велик, что я не раскаиваюсь в том, что представил их на суд читателя.

ГЛАВА IV

Случай

I

«Как мы смеем говорить о законах случая? Разве случай не является антитезой всякого закона?» Так говорит Бертран в начале своего «Исчисления вероятностей». Вероятность противопоставляется достоверности; следовательно, это то, чего мы не знаем, и, как следствие, кажется, что это то, что мы не могли бы вычислить. Здесь, по крайней мере по видимости, содержится противоречие, и о нем уже много написано.

И прежде всего, что такое случай? Древние различали явления, по-видимому, подчиняющиеся гармоничным законам, установленным раз и навсегда, и те, которые они приписывали случаю; это были явления непредсказуемые, ибо они не подчинялись никакому закону. В каждой области точные законы не решали всего, они лишь проводили границы, внутри которых мог действовать случай. В этой концепции слово «случай» имело точное и объективное значение; то, что было случаем для одного, было случаем и для другого, и даже для богов.

Но эта концепция сегодня не наша. Мы стали абсолютными детерминистами, и даже те, кто хочет сохранить права человеческой свободы воли, позволяют детерминизму безраздельно царить, по крайней мере, в неорганическом мире. Каждое явление, как бы оно ни было мало, имеет причину; и разум, бесконечно мощный, бесконечно хорошо осведомленный о законах природы, мог бы предвидеть его с начала веков. Если бы такой разум существовал, мы не могли бы играть с ним ни в какие азартные игры; мы всегда бы проигрывали.

На самом деле для него слово «случай» не имело бы никакого значения, или, вернее, не было бы никакого случая. Именно из-за нашей слабости и нашего невежества это слово имеет для нас значение. И даже не выходя за пределы нашего слабого человечества, то, что является случаем для невежды, не является случаем для ученого. Случай — это лишь мера нашего невежества. Случайные явления — это, по определению, те, законы которых мы не знаем.

Но является ли это определение вполне удовлетворительным? Когда первые халдейские пастухи следили глазами за движением звезд, они еще не знали законов астрономии; стали бы они мечтать о том, чтобы сказать, что звезды движутся наугад? Если современный физик изучает новое явление и если он открывает его закон во вторник, сказал бы он в понедельник, что это явление было случайным? Более того, разве мы часто не ссылаемся на то, что Бертран называет законами случая, чтобы предсказать явление? Например, в кинетической теории газов мы получаем известные законы Мариотта и Гей-Люссака с помощью гипотезы о том, что скорости молекул газа изменяются нерегулярно, то есть наугад. Все физики согласятся, что наблюдаемые законы были бы гораздо менее простыми, если бы скорости управлялись каким-либо простым элементарным законом, если бы молекулы были, как мы говорим, «организованными», если бы они подчинялись какой-то дисциплине. Именно благодаря случаю, то есть нашему невежеству, мы можем делать наши выводы; и тогда, если слово «случай» просто синонимично невежеству, что это означает? Должны ли мы поэтому переводить следующим образом?

«Вы просите меня предсказать для вас явления, которые должны произойти. Если бы, к несчастью, я знал законы этих явлений, я мог бы сделать предсказание только путем запутанных вычислений и должен был бы отказаться от попытки ответить вам; но так как мне посчастливилось их не знать, я отвечу вам немедленно. И что самое удивительное, мой ответ будет верным».

Значит, должно быть, случай — это нечто иное, чем имя, которое мы даем нашему невежеству, что среди явлений, причины которых нам неизвестны, мы должны отличать случайные явления, о которых исчисление вероятностей даст предварительную информацию, от тех, которые не являются случайными и о которых мы ничего не можем сказать, пока не определим законы, управляющие ими. Что касается самих случайных явлений, то ясно, что информация, данная нам исчислением вероятностей, не перестанет быть истинной в тот день, когда эти явления станут лучше известны.

Директор компании по страхованию жизни не знает, когда умрет каждый из застрахованных, но он полагается на исчисление вероятностей и закон больших чисел, и он не обманывается, поскольку распределяет дивиденды своим акционерам. Эти дивиденды не исчезли бы, если бы очень проницательный и очень нескромный врач после подписания полисов раскрыл директору шансы на жизнь застрахованных. Этот врач рассеял бы невежество директора, но он не оказал бы никакого влияния на дивиденды, которые, очевидно, не являются результатом этого невежества.

II

Чтобы найти лучшее определение случая, мы должны рассмотреть некоторые факты, которые мы соглашаемся считать случайными и к которым, по-видимому, применимо исчисление вероятностей; затем мы исследуем, каковы их общие характеристики.

Первый пример, который мы выбираем, — это пример неустойчивого равновесия; если конус стоит на своей вершине, мы хорошо знаем, что он упадет, но мы не знаем, в какую сторону; нам кажется, что только случай решит это. Если бы конус был идеально симметричным, если бы его ось была идеально вертикальной, если бы на него не действовала никакая иная сила, кроме гравитации, он бы вовсе не упал. Но малейший дефект симметрии заставит его слегка наклониться в ту или иную сторону, и если он наклонится, пусть даже немного, он упадет целиком в эту сторону. Даже если бы симметрия была идеальной, очень легкое сотрясение, дуновение ветра могли бы заставить его наклониться на несколько секунд дуги; этого будет достаточно, чтобы определить его падение и даже направление его падения, которое будет направлением начального наклона.

Очень слабая причина, которая ускользает от нас, определяет значительный эффект, который мы не можем не видеть, и тогда мы говорим, что этот эффект обусловлен случаем. Если бы мы могли точно знать законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение этой же Вселенной в последующий момент. Но даже когда законы природы не имели бы для нас больше никаких секретов, мы могли бы знать начальную ситуацию только «приблизительно». Если это позволяет нам предвидеть последующую ситуацию «с той же степенью приближения», это все, что нам требуется, мы говорим, что явление предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что незначительные различия в начальных условиях производят очень большие различия в конечных явлениях; небольшая ошибка в первых привела бы к огромной ошибке в последних. Предсказание становится невозможным, и мы имеем случайное явление.

Наш второй пример будет очень похож на первый, и мы возьмем его из метеорологии. Почему метеорологи с таким трудом предсказывают погоду с какой-либо уверенностью? Почему дожди, сами бури кажутся нам приходящими случайно, так что многие находят вполне естественным молиться о дожде или солнце, когда они сочли бы смешным молиться об затмении? Мы видим, что большие возмущения обычно происходят в регионах, где атмосфера находится в неустойчивом равновесии. Метеорологи знают, что это равновесие неустойчиво, что где-то зарождается циклон; но где — они не могут сказать; на одну десятую градуса больше или меньше в любой точке, и циклон разражается здесь, а не там, и распространяет свои разрушения на страны, которые он мог бы пощадить. Это мы могли бы предвидеть, если бы знали эту десятую долю градуса, но наблюдения были недостаточно близкими и недостаточно точными, и по этой причине все кажется делом случая. Здесь мы снова находим тот же контраст между очень слабой причиной, неразличимой для наблюдателя, и важными эффектами, которые иногда являются огромными бедствиями.

Перейдем к другому примеру — распределению малых планет по зодиаку. Их начальные долготы могли быть любыми долготами; но их средние движения были разными, и они вращались так долго, что мы можем сказать, что теперь они распределены «наугад» вдоль зодиака. Очень незначительные начальные различия между их расстояниями от Солнца, или, что то же самое, между их средними движениями, в конечном итоге привели к огромным различиям между их нынешними долготами. Превышение на тысячную долю секунды в ежедневном среднем движении даст, по сути, секунду за три года, градус за десять тысяч лет, целую окружность за три или четыре миллиона лет, и что это по сравнению со временем, прошедшим с тех пор, как малые планеты отделились от туманности Лапласа? Поэтому мы снова видим слабую причину и большой эффект; или, лучше, незначительные различия в причине и большие различия в эффекте.

Игра в рулетку не уводит нас так далеко, как могло бы показаться из предыдущего примера. Предположим, что стрелка вращается на оси над циферблатом, разделенным на сто секторов, попеременно красных и черных. Если она остановится на красном секторе, я выигрываю; если нет, я проигрываю. Очевидно, все зависит от начального импульса, который я придаю стрелке. Стрелка сделает, предположим, десять или двадцать оборотов, но она остановится раньше или позже в зависимости от того, сильнее или слабее я ее толкнул. Достаточно, чтобы импульс изменился всего на тысячную или двухтысячную долю, чтобы стрелка остановилась над черным сектором или над следующим красным. Это различия, которые мышечное чувство не может различить и которые ускользают даже от самых тонких инструментов. Поэтому мне невозможно предвидеть, что сделает стрелка, которую я запустил, и именно поэтому мое сердце бьется, и я жду всего от удачи. Разница в причине незаметна, а разница в эффекте для меня имеет высочайшее значение, поскольку она означает всю мою ставку.

III

Позвольте мне в этой связи высказать мысль, несколько чуждую моей теме. Несколько лет назад один философ сказал, что будущее определяется прошлым, но не прошлое будущим; или, другими словами, из знания настоящего мы могли бы вывести будущее, но не прошлое; потому что, сказал он, причина может иметь только один эффект, в то время как один и тот же эффект может быть произведен несколькими различными причинами. Ясно, что ни один ученый не может подписаться под этим выводом. Законы природы связывают антецедент с консеквентом таким образом, что антецедент так же хорошо определяется консеквентом, как консеквент антецедентом. Но откуда взялась ошибка этого философа? Мы знаем, что в силу принципа Карно физические явления необратимы и мир стремится к единообразию. Когда два тела разной температуры приходят в контакт, более теплое отдает тепло более холодному; поэтому мы можем предвидеть, что температура выровняется. Но однажды выровнявшись, если спросить о предыдущем состоянии, что мы можем ответить? Мы могли бы сказать, что одно было теплым, а другое холодным, но не смогли бы угадать, какое из них раньше было более теплым.

И все же в действительности температуры никогда не достигнут идеального равенства. Разница температур лишь асимптотически стремится к нулю. Наступает момент, когда наши термометры бессильны ее обнаружить. Но если бы у нас были термометры в тысячу, в сто тысяч раз более чувствительные, мы бы признали, что все еще существует небольшая разница и что одно из тел остается немного теплее другого, и так мы могли бы сказать, что именно оно раньше было гораздо более теплым.

Итак, существуют, вопреки тому, что мы обнаружили в предыдущих примерах, большие различия в причине и незначительные различия в эффекте. Фламмарион однажды вообразил наблюдателя, удаляющегося от Земли со скоростью, превышающей скорость света; для него время изменило бы знак. История повернулась бы вспять, и Ватерлоо предшествовало бы Аустерлицу. Что ж, для этого наблюдателя эффекты и причины были бы инвертированы; неустойчивое равновесие больше не было бы исключением. Из-за универсальной необратимости все казалось бы ему выходящим из своего рода хаоса в неустойчивом равновесии. Вся природа казалась бы ему отданной на волю случая.

IV

Теперь перейдем к другим примерам, где мы увидим несколько иные характеристики. Возьмем сначала кинетическую теорию газов. Как мы должны представлять себе сосуд, наполненный газом? Бесчисленные молекулы, движущиеся на высоких скоростях, проносятся через этот сосуд во всех направлениях. В каждое мгновение они ударяются о его стенки или друг о друга, и эти столкновения происходят в самых разнообразных условиях. Что прежде всего поражает нас здесь, так это не малость причин, а их сложность, и все же первый элемент все еще встречается здесь и играет важную роль. Если бы молекула отклонилась вправо или влево от своей траектории на очень малую величину, сравнимую с радиусом действия газовых молекул, она избежала бы столкновения или претерпела бы его в других условиях, и это изменило бы направление ее скорости после удара, возможно, на девяносто градусов или на сто восемьдесят градусов.

И это еще не все; мы только что видели, что необходимо отклонить молекулу перед столкновением лишь на бесконечно малую величину, чтобы произвести ее отклонение после столкновения на конечную величину. Если затем молекула претерпевает два последовательных удара, достаточно будет отклонить ее перед первым на бесконечно малую величину второго порядка, чтобы она отклонилась после первой встречи на бесконечно малую величину первого порядка, а после второго удара — на конечную величину. И молекула претерпит не просто два удара; она претерпит очень большое число ударов в секунду. Так что если первый удар умножил отклонение на очень большое число A, после n ударов оно будет умножено на A в степени n. Оно, следовательно, станет очень большим не только потому, что A велико, то есть потому, что малые причины производят большие эффекты, но потому, что показатель n велик, то есть потому, что удары очень многочисленны, а причины очень сложны.

Возьмем второй пример. Почему капли дождя в ливень кажутся распределенными наугад? Это опять же из-за сложности причин, которые определяют их формирование. Ионы распределены в атмосфере. Долгое время они подвергались воздействию постоянно меняющихся воздушных потоков, они были захвачены очень маленькими вихрями, так что их конечное распределение больше не имеет никакого отношения к их начальному распределению. Внезапно температура падает, пар конденсируется, и каждый из этих ионов становится центром капли дождя. Чтобы узнать, каким будет распределение этих капель и сколько их упадет на каждую мостовую, недостаточно было бы знать начальное положение ионов, необходимо было бы вычислить эффект тысячи маленьких капризных воздушных потоков.

И опять же то же самое, если мы поместим зерна порошка во взвешенное состояние в воде. Сосуд пронизан токами, закон которых мы не знаем, мы знаем только, что он очень сложен. По прошествии определенного времени зерна будут распределены наугад, то есть равномерно, в сосуде; и это происходит именно из-за сложности этих токов. Если бы они подчинялись какому-то простому закону, если бы, например, сосуд вращался и токи циркулировали вокруг оси сосуда, описывая круги, это было бы уже не так, поскольку каждое зерно сохранило бы свою начальную высоту и свое начальное расстояние от оси.

Мы пришли бы к тому же результату, рассматривая смешивание двух жидкостей или двух мелкозернистых порошков. И чтобы взять более грубый пример, это также то, что происходит, когда мы тасуем игральные карты. При каждом движении карты претерпевают перестановку (аналогичную той, что изучается в теории подстановок). Что произойдет? Вероятность конкретной перестановки (например, той, которая переносит на n-е место карту, занимавшую место φ(n) до перестановки) зависит от привычек игрока. Но если этот игрок тасует карты достаточно долго, будет большое число последовательных перестановок, и результирующий конечный порядок будет управляться ничем иным, как случаем; я хочу сказать, что все возможные порядки будут равновероятны. Именно большому числу последовательных перестановок, то есть сложности явления, обязан этот результат.

Последнее слово о теории ошибок. Здесь причины сложны и многочисленны. Каким только ловушкам не подвергается наблюдатель, даже с лучшим инструментом! Он должен приложить усилия, чтобы найти самые большие и избежать их. Именно они порождают систематические ошибки. Но когда он устранил их, допустим, что ему это удалось, остается много мелких, которые, накапливаясь, могут стать опасными. Отсюда происходят случайные ошибки; и мы приписываем их случаю, потому что их причины слишком сложны и слишком многочисленны. Здесь опять же у нас есть только малые причины, но каждая из них произвела бы лишь незначительный эффект; именно благодаря их объединению и их количеству их эффекты становятся грозными.

V

Мы можем принять еще третью точку зрения, менее важную, чем первые две, и на которой я буду меньше настаивать. Когда мы стремимся предвидеть событие и исследуем его антецеденты, мы стараемся вникнуть в предыдущую ситуацию. Это не могло быть сделано для всех частей Вселенной, и мы довольствуемся тем, что знаем, что происходит в окрестности точки, где должно произойти событие, или что, по-видимому, имеет к нему какое-то отношение. Исследование не может быть полным, и мы должны уметь выбирать. Но может случиться так, что мы прошли мимо обстоятельств, которые на первый взгляд казались совершенно чуждыми предвидимому событию, которым никто никогда не мечтал приписать какое-либо влияние и которые, тем не менее, вопреки всем ожиданиям, начинают играть важную роль.

Человек идет по улице по своим делам; кто-то, знающий эти дела, мог бы сказать, почему он вышел в такое время и пошел по такой улице. На крыше работает кровельщик. Подрядчик, нанимающий его, мог в известной мере предвидеть, что он будет делать. Но прохожий едва ли думает о кровельщике, а кровельщик о нем; они кажутся принадлежащими к двум мирам, совершенно чуждым друг другу. И все же кровельщик роняет черепицу, которая убивает человека, и мы без колебаний говорим, что это случай.

Наша слабость запрещает нам рассматривать всю Вселенную и заставляет нас разрезать ее на части. Мы стараемся делать это как можно менее искусственно. И все же время от времени случается, что две из этих частей реагируют друг на друга. Эффекты этого взаимного действия тогда кажутся нам обусловленными случаем.

Является ли это третьим способом понимания случая? Не всегда; на самом деле чаще всего мы возвращаемся к первому или второму. Всякий раз, когда два мира, обычно чуждые друг другу, приходят таким образом к взаимодействию друг с другом, законы этой реакции должны быть очень сложными. С другой стороны, очень незначительного изменения в начальных условиях этих двух миров было бы достаточно, чтобы реакция не произошла. Как мало нужно было для того, чтобы человек прошел секундой позже или кровельщик уронил свою черепицу секундой раньше.

VI

Все, что мы сказали, все еще не объясняет, почему случай подчиняется законам. Достаточно ли того факта, что причины незначительны или сложны, для того чтобы мы предвидели, если не их эффекты «в каждом случае», то по крайней мере то, какими будут их эффекты «в среднем»? Чтобы ответить на этот вопрос, нам лучше вернуться к некоторым из уже упомянутых примеров.

Я начну с примера рулетки. Я сказал, что точка, в которой остановится стрелка, зависит от начального толчка, приданного ей. Какова вероятность того, что этот толчок будет иметь то или иное значение? Я ничего об этом не знаю, но мне трудно не предположить, что эта вероятность представлена непрерывной аналитической функцией. Вероятность того, что толчок заключен между α и α + ε, будет тогда заметно равна вероятности того, что он заключен между α + ε и α + 2ε, при условии, что ε очень мало. Это свойство, общее для всех аналитических функций. Минутные вариации функции пропорциональны минутным вариациям переменной.

Но мы предположили, что чрезвычайно незначительного изменения толчка достаточно, чтобы изменить цвет сектора, над которым стрелка в конечном итоге останавливается. От α до α + ε он красный, от α + ε до α + 2ε он черный; вероятность каждого красного сектора поэтому такая же, как и следующего черного, и, следовательно, общая вероятность красного равна общей вероятности черного.

Данными вопроса является аналитическая функция, представляющая вероятность конкретного начального толчка. Но теорема остается верной, каковы бы ни были эти данные, поскольку она зависит от свойства, общего для всех аналитических функций. Из этого следует, наконец, что нам больше не нужны данные.

То, что мы только что сказали для случая рулетки, применимо также к примеру малых планет. Зодиак можно рассматривать как огромную рулетку, на которую было брошено много маленьких шариков с различными начальными импульсами, изменяющимися согласно какому-то закону. Их нынешнее распределение равномерно и не зависит от этого закона, по той же причине, что и в предыдущем случае. Таким образом, мы видим, почему явления подчиняются законам случая, когда незначительных различий в причинах достаточно, чтобы вызвать большие различия в эффектах. Вероятности этих незначительных различий могут тогда рассматриваться как пропорциональные самим этим различиям, просто потому, что эти различия минутны, а бесконечно малые приращения непрерывной функции пропорциональны приращениям переменной.

Возьмем совершенно другой пример, где вмешивается особенно сложность причин. Предположим, игрок тасует колоду карт. При каждой тасовке он меняет порядок карт, и он может менять их многими способами. Чтобы упростить изложение, рассмотрим только три карты. Карты, которые до тасовки занимали соответственно места 123, могут после тасовки занимать места

123, 231, 312, 321, 132, 213.

Каждая из этих шести гипотез возможна, и они имеют соответственно вероятности:

p1, p2, p3, p4, p5, p6.

Сумма этих шести чисел равна 1; но это все, что мы о них знаем; эти шесть вероятностей зависят, естественно, от привычек игрока, которых мы не знаем.

При второй тасовке и последующих это начнется снова, и при тех же условиях; я имею в виду, что p4, например, всегда представляет вероятность того, что три карты, которые занимали после n-й тасовки и до n+1-й места 123, занимают места 321 после n+1-й тасовки. И это остается верным, каким бы ни было число n, поскольку привычки игрока и его способ тасования остаются прежними.

Но если число тасовок очень велико, карты, которые до первой тасовки занимали места 123, могут после последней тасовки занимать места

123, 231, 312, 321, 132, 213

и вероятность этих шести гипотез будет заметно одинаковой и равной 1/6; и это будет верно, какими бы ни были числа p1...p6, которых мы не знаем. Большое число тасовок, то есть сложность причин, произвело единообразие.

Это применимо без изменений, если карт больше трех, но даже с тремя картами демонстрация была бы сложной; пусть будет достаточно привести ее только для двух карт. Тогда у нас есть только две возможности 12, 21 с вероятностями p1 и p2 = 1 − p1.

Предположим n тасовок и предположим, что я выигрываю один франк, если карты в конечном итоге в исходном порядке, и проигрываю один, если они в конечном итоге инвертированы. Тогда мое математическое ожидание будет (p1 − p2) в степени n.

Разность p1 − p2, безусловно, меньше 1; так что если n очень велико, мое ожидание будет равно нулю; нам не нужно узнавать p1 и p2, чтобы понять, что игра справедлива.

Всегда было бы исключение, если бы одно из чисел p1 и p2 было равно 1, а другое нулю. Тогда это не было бы применимо, потому что наши начальные гипотезы были бы слишком простыми.

То, что мы только что видели, применимо не только к смешиванию карт, но и ко всем смешиваниям, к смешиваниям порошков и жидкостей; и даже к смешиваниям молекул газов в кинетической теории газов.

Возвращаясь к этой теории, предположим на мгновение газ, молекулы которого не могут взаимно сталкиваться, но могут отклоняться, ударяясь о внутренние стенки сосуда, в котором заключен газ. Если форма сосуда достаточно сложна, распределение молекул и распределение скоростей не замедлят стать равномерными. Но это будет не так, если сосуд сферический или если он имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Почему? Потому что в первом случае расстояние от центра до любой траектории останется постоянным; во втором случае это будет абсолютное значение угла каждой траектории с гранями параллелепипеда.

Итак, мы видим, что следует понимать под условиями «слишком простыми»; это те, которые сохраняют что-то, которые оставляют инвариант. Являются ли дифференциальные уравнения задачи слишком простыми для того, чтобы мы могли применить законы случая? Этот вопрос на первый взгляд кажется лишенным точного смысла; теперь мы знаем, что он означает. Они слишком просты, если они сохраняют что-то, если они допускают равномерный интеграл. Если что-то в начальных условиях остается неизменным, ясно, что конечная ситуация больше не может быть независимой от начальной ситуации.

Мы приходим, наконец, к теории ошибок. Мы не знаем, чем обусловлены случайные ошибки, и именно потому, что мы не знаем, мы осознаем, что они подчиняются закону Гаусса. Таков парадокс. Объяснение почти такое же, как в предыдущих случаях. Нам нужно знать только одно: что ошибки очень многочисленны, что они очень незначительны, что каждая может быть как отрицательной, так и положительной. Какова кривая вероятности каждой из них? Мы не знаем; мы только предполагаем, что она симметрична. Мы доказываем затем, что результирующая ошибка будет следовать закону Гаусса, и этот результирующий закон не зависит от частных законов, которых мы не знаем. Здесь опять же простота результата рождается из самой сложности данных.

VII

Но мы еще не закончили с парадоксами. Я только что напомнил вымысел Фламмариона, человека, движущегося быстрее света, для которого время меняет знак. Я сказал, что для него все явления казались бы обусловленными случаем. Это верно с определенной точки зрения, и все же все эти явления в данный момент не были бы распределены в соответствии с законами случая, поскольку распределение было бы таким же, как для нас, которые, видя, как они разворачиваются гармонично и не выходя из первобытного хаоса, не рассматриваем их как управляемые случаем.

Что это значит? Для Люмена, человека Фламмариона, малые причины кажутся производящими большие эффекты; почему дела не идут так, как у нас, когда мы думаем, что видим великие эффекты, обусловленные малыми причинами? Не было бы то же рассуждение применимо в его случае?

Вернемся к аргументу. Когда незначительные различия в причинах производят огромные различия в эффектах, почему эти эффекты распределены согласно законам случая? Предположим, разница в миллиметр в причине производит разницу в километр в эффекте. Если я выигрываю в случае, если эффект соответствует километру с четным номером, моя вероятность выигрыша будет 1/2. Почему? Потому что для этого причина должна соответствовать миллиметру с четным номером. Теперь, по всем признакам, вероятность того, что причина варьируется между определенными пределами, будет пропорциональна расстоянию между этими пределами, при условии, что это расстояние очень мало. Если бы эта гипотеза не была допущена, не было бы никакого способа представить вероятность непрерывной функцией.

Что теперь произойдет, когда великие причины производят малые эффекты? Это случай, когда мы не должны приписывать явление случаю и где, наоборот, Люмен приписал бы его случаю. Разнице в километр в причине соответствовала бы разница в миллиметр в эффекте. Была бы вероятность того, что причина заключена между двумя пределами, отстоящими на n километров, все еще пропорциональна n? У нас нет оснований так полагать, поскольку это расстояние, n километров, велико. Но вероятность того, что эффект лежит между двумя пределами, отстоящими на n миллиметров, будет точно такой же, так что она не будет пропорциональна n, даже если это расстояние, n миллиметров, мало. Поэтому нет способа представить закон вероятности эффектов непрерывной кривой. Эта кривая, поймите, может оставаться непрерывной в «аналитическом» смысле слова; бесконечно малым вариациям абсциссы будут соответствовать бесконечно малые вариации ординаты. Но «практически» она не будет непрерывной, поскольку очень малые вариации ординаты не соответствовали бы очень малым вариациям абсциссы. Стало бы невозможно прочертить кривую обычным карандашом; вот что я имею в виду.

Итак, к чему мы должны прийти? Люмен не имеет права говорить, что вероятность причины (его причины, нашего эффекта) должна быть представлена обязательно непрерывной функцией. Но тогда почему у нас есть это право? Это потому, что это состояние неустойчивого равновесия, которое мы называли начальным, само по себе является лишь конечным результатом долгой предыдущей истории. В ходе этой истории сложные причины работали долгое время: они способствовали созданию смеси элементов и стремились сделать все единообразным, по крайней мере, в пределах небольшой области; они сгладили углы, выровняли холмы и заполнили долины. Каким бы капризным и нерегулярным ни была примитивная кривая, отданная им, они работали так много над тем, чтобы сделать ее регулярной, что в конечном итоге они доставляют нам непрерывную кривую. И именно поэтому мы можем со всей уверенностью предположить ее непрерывность.

У Люмена не было бы тех же причин для такого вывода. Для него сложные причины не казались бы агентами выравнивания и регулярности, а, наоборот, создавали бы только неравенство и дифференциацию. Он увидел бы мир, все более и более разнообразный, выходящий из своего рода примитивного хаоса. Изменения, которые он мог бы наблюдать, были бы для него непредвиденными и невозможными для предвидения. Они казались бы ему обусловленными тем или иным капризом; но этот каприз был бы совсем не похож на наш случай, поскольку он был бы противоположен всякому закону, в то время как наш случай все еще имеет свои законы. Все эти пункты требуют длительных объяснений, которые, возможно, помогли бы лучше понять необратимость Вселенной.

VIII

Мы стремились определить случай, и теперь уместно задать вопрос. Обладает ли случай, определенный таким образом, насколько это возможно, объективностью?

Это можно поставить под сомнение. Я говорил об очень незначительных или очень сложных причинах. Но то, что очень мало для одного, может быть очень большим для другого, и то, что кажется очень сложным одному, может казаться простым другому. Отчасти я уже ответил, сказав точно, в каких случаях дифференциальные уравнения становятся слишком простыми для того, чтобы законы случая оставались применимыми. Но уместно рассмотреть этот вопрос немного ближе, потому что мы можем принять еще другие точки зрения.

Что означает фраза «очень незначительный»? Чтобы понять ее, нам нужно только вернуться к тому, что уже было сказано. Разница очень незначительна, интервал очень мал, когда в пределах этого интервала вероятность остается заметно постоянной. И почему эта вероятность может рассматриваться как постоянная в пределах малого интервала? Это потому, что мы предполагаем, что закон вероятности представлен непрерывной кривой, непрерывной не только в аналитическом смысле, но «практически» непрерывной, как уже объяснялось. Это означает, что она не только не представляет никакого абсолютного разрыва, но что у нее нет ни слишком острых, ни слишком акцентированных выступов или впадин.

И что дает нам право делать эту гипотезу? Мы уже сказали, что это потому, что с начала времен всегда существовали сложные причины, непрестанно действующие одним и тем же образом и заставляющие мир стремиться к единообразию, никогда не имея возможности повернуть вспять. Это причины, которые мало-помалу сгладили выступы и заполнили впадины, и именно поэтому наши кривые вероятности теперь показывают только пологие волны. Через миллиарды миллиардов веков будет сделан еще один шаг к единообразию, и эти волны будут в десять раз более пологими; радиус средней кривизны нашей кривой станет в десять раз больше. И тогда такая длина, которая кажется нам сегодня не очень малой, поскольку на нашей кривой дуга этой длины не может рассматриваться как прямолинейная, должна, наоборот, в ту эпоху называться очень малой, поскольку кривизна станет в десять раз меньше, и дуга этой длины может быть заметно отождествлена с отрезком.

Таким образом, фраза «очень незначительный» остается относительной; но она не относительна к тому или иному человеку, она относительна к актуальному состоянию мира. Она изменит свое значение, когда мир станет более единообразным, когда все вещи смешаются еще больше. Но тогда, несомненно, люди больше не смогут жить и должны будут уступить место другим существам — должен ли я сказать, гораздо меньшим или гораздо большим? Так что наш критерий, оставаясь верным для всех людей, сохраняет объективный смысл.

А с другой стороны, что означает фраза «очень сложный»? Я уже дал одно решение, но есть и другие. Сложные причины, как мы сказали, производят смесь все более и более интимную, но через какое время эта смесь удовлетворит нас? Когда она накопит достаточную сложность? Когда мы достаточно перетасуем карты? Если мы смешаем два порошка, один синий, другой белый, наступает момент, когда оттенок смеси кажется нам равномерным из-за слабости наших чувств; он будет равномерным для дальнозоркого, вынужденного смотреть издалека, прежде чем он станет таковым для близорукого. И когда он станет равномерным для всех глаз, мы все еще могли бы отодвинуть предел с помощью инструментов. Нет шансов для какого-либо человека когда-либо различить бесконечное разнообразие, которое, если кинетическая теория верна, скрывается под равномерным видом газа. И все же, если мы примем идеи Гуи о броуновском движении, не кажется ли микроскоп близким к тому, чтобы показать нам что-то аналогичное?

Этот новый критерий поэтому относителен, как и первый; и если он сохраняет объективный характер, то это потому, что все люди имеют примерно одинаковые чувства, мощность их инструментов ограничена, и, кроме того, они используют их только в исключительных случаях.

IX

То же самое происходит в моральных науках и, в частности, в истории. Историк обязан сделать выбор среди событий эпохи, которую он изучает; он рассказывает только те, которые кажутся ему наиболее важными. Он поэтому довольствуется тем, что излагает наиболее важные события шестнадцатого века, например, как и наиболее примечательные факты семнадцатого века. Если первые достаточны для объяснения вторых, мы говорим, что они соответствуют законам истории. Но если великое событие семнадцатого века имеет своей причиной малый факт шестнадцатого века, о котором не сообщает ни одна история, который все пренебрегли, тогда мы говорим, что это событие обусловлено случаем. Это слово имеет поэтому тот же смысл, что и в физических науках; оно означает, что малые причины произвели большие эффекты.

Самый большой случай — это рождение великого человека. Только случайно происходит встреча двух зародышевых клеток, разного пола, содержащих точно, каждая со своей стороны, таинственные элементы, чья взаимная реакция должна произвести гения. Согласятся, что эти элементы должны быть редкими и что их встреча еще более редка. Как мало нужно было, чтобы отклонить с пути несущий сперматозоид. Достаточно было бы отклонить его на десятую долю миллиметра, и Наполеон не родился бы, и судьбы континента были бы изменены. Никакой пример не может лучше заставить нас понять истинные характеристики случая.

Еще одно слово о парадоксах, вызванных применением исчисления вероятностей к моральным наукам. Было доказано, что ни одна Палата депутатов никогда не обойдется без члена оппозиции, или, по крайней мере, такое событие было бы настолько невероятным, что мы могли бы без страха поставить обратное и поспорить на миллион против су.

Кондорсе стремился вычислить, сколько присяжных потребовалось бы, чтобы сделать судебную ошибку практически невозможной. Если бы мы использовали результаты этого вычисления, мы, безусловно, подверглись бы тем же разочарованиям, что и при ставке, на веру в исчисление, что оппозиция никогда не останется без представителя.

Законы случая не применимы к этим вопросам. Если правосудие не всегда вершится в соответствии с лучшими доводами, оно использует меньше, чем мы думаем, метод Бридуа. Это, возможно, прискорбно, ибо тогда система Кондорсе защитила бы нас от судебных ошибок.

Что это означает? Мы склонны приписывать факты такого рода случаю, потому что их причины неясны; но это не истинный случай. Причины неизвестны нам, это правда, и они даже сложны; но они недостаточно сложны, поскольку они сохраняют что-то. Мы видели, что именно это отличает причины «слишком простые». Когда люди собираются вместе, они больше не решают наугад и независимо друг от друга; они влияют друг на друга. В действие вступают мультиплексные причины. Они беспокоят людей, увлекая их вправо или влево, но есть одна вещь, которую они не могут разрушить, это их привычки стада овец Панурга. И это инвариант.

X

Трудности действительно связаны с применением исчисления вероятностей к точным наукам. Почему десятичные дроби таблицы логарифмов, почему десятичные дроби числа π распределены в соответствии с законами случая? В другом месте я уже изучал этот вопрос в той мере, в какой он касается логарифмов, и там это легко. Ясно, что небольшая разница аргумента даст небольшую разницу логарифма, но большую разницу в шестом десятичном знаке логарифма. Всегда мы находим тот же критерий.

Но что касается числа π, это представляет больше трудностей, и у меня в данный момент нет ничего стоящего, чтобы сказать.

Было бы много других вопросов для решения, если бы я хотел взяться за них до решения того, который я более специально поставил перед собой. Когда мы достигаем простого результата, когда мы находим, например, круглое число, мы говорим, что такой результат не может быть обусловлен случаем, и мы ищем для его объяснения неслучайную причину. И на самом деле существует лишь очень небольшая вероятность того, что среди 10 000 чисел случай даст круглое число; например, число 10 000. Это имеет только один шанс из 10 000. Но существует только один шанс из 10 000 для появления любого другого одного числа; и все же этот результат не удивит нас, и нам не будет трудно приписать его случаю; и это просто потому, что он будет менее поразительным.

Является ли это простой иллюзией с нашей стороны, или есть случаи, когда такой образ мышления легитимен? Мы должны надеяться на это, иначе всякая наука была бы невозможна. Когда мы хотим проверить гипотезу, что мы делаем? Мы не можем проверить все ее следствия, поскольку они были бы бесконечны по числу; мы довольствуемся проверкой некоторых из них, и если мы преуспеваем, мы объявляем гипотезу подтвержденной, потому что такой успех не мог быть обусловлен случаем. И это всегда в основе одно и то же рассуждение.

Я не могу полностью оправдать его здесь, поскольку это заняло бы слишком много времени; но я могу по крайней мере сказать, что мы оказываемся перед лицом двух гипотез: либо простая причина, либо та совокупность сложных причин, которую мы называем случаем. Мы находим естественным предполагать, что первая должна произвести простой результат, и тогда, если мы находим этот простой результат, круглое число, например, нам кажется более вероятным, что он может быть приписан простой причине, которая должна дать его почти наверняка, чем случаю, который мог бы дать его только один раз из 10 000 случаев. Это будет не так, если мы найдем результат, который не является простым; случай, это правда, не даст этого более одного раза из 10 000 случаев; но и у простой причины нет больше шансов произвести его.

КНИГА II МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАССУЖДЕНИЕ

ГЛАВА I

Относительность пространства

I

Невозможно представить себе пустое пространство; все наши усилия вообразить чистое пространство, откуда должны быть исключены меняющиеся образы материальных объектов, могут привести только к представлению, где ярко окрашенные поверхности, например, заменены линиями слабой окраски, и мы не можем дойти до самого конца таким образом, чтобы все не исчезло и не закончилось небытием. Отсюда происходит нередуцируемая относительность пространства.

Кто говорит об абсолютном пространстве, использует бессмысленную фразу. Это истина, давно провозглашенная всеми, кто размышлял над этим вопросом, но которую мы слишком часто склонны забывать.

Я нахожусь в определенной точке Парижа, например, на площади Пантеона, и говорю: я вернусь «сюда» завтра. Если меня спросят: вы имеете в виду, что вернетесь в ту же точку пространства, я буду склонен ответить: да; и все же я буду неправ, поскольку к завтрашнему дню Земля уйдет отсюда, унося с собой площадь Пантеона, которая проделает путь более чем в два миллиона километров. И если бы я попытался говорить точнее, я бы ничего не выиграл, поскольку наш глобус прошел эти два миллиона километров в своем движении по отношению к Солнцу, в то время как Солнце в свою очередь смещается по отношению к Млечному Пути, в то время как сам Млечный Путь, несомненно, находится в движении, без того чтобы мы могли воспринимать его скорость. Так что мы полностью невежественны, и всегда будем таковыми, относительно того, насколько смещается площадь Пантеона за день.

Короче говоря, я хотел сказать: завтра я снова увижу купол и фронтон Пантеона, и если бы Пантеона не существовало, моя фраза была бы бессмысленной, а пространство исчезло бы.

Это одна из самых банальных форм принципа относительности пространства; но существует и другая, на которой особенно настаивал Дельбёф. Предположим, что ночью все размеры Вселенной увеличились в тысячу раз: мир остался бы подобным самому себе, если придать слову «подобие» тот же смысл, что и в VI книге Евклида. Только то, что было длиной в метр, отныне будет измеряться километром, а то, что было длиной в миллиметр, станет метром. Кровать, на которой я лежу, и само мое тело увеличатся в той же пропорции.

Когда я проснусь завтра утром, какое ощущение я испытаю при виде столь поразительной трансформации? Что ж, я не замечу ровным счетом ничего. Самые точные измерения будут неспособны выявить для меня что-либо в этом грандиозном потрясении, поскольку меры, которыми я пользуюсь, изменятся точно в той же пропорции, что и объекты, которые я пытаюсь измерить. В действительности это потрясение существует только для тех, кто рассуждает так, будто пространство абсолютно. Если я на мгновение рассуждал так же, как они, то лишь для того, чтобы лучше показать, что их способ видения содержит противоречие. На самом деле было бы лучше сказать, что, поскольку пространство относительно, ничего не произошло, и именно поэтому мы ничего не заметили.

Имеет ли кто-нибудь право утверждать, что знает расстояние между двумя точками? Нет, поскольку это расстояние могло претерпеть огромные изменения, не будучи нами замеченным, при условии, что другие расстояния изменились в той же пропорции. Мы только что видели, что когда я говорю: «Завтра я буду здесь», это не означает: «Завтра я буду в той же точке пространства, где я нахожусь сегодня», а скорее: «Завтра я буду на том же расстоянии от Пантеона, что и сегодня». И мы видим, что этого утверждения уже недостаточно и что я должен был бы сказать: «Завтра и сегодня мое расстояние от Пантеона будет равно одному и тому же числу, умноженному на мой рост».

Но это еще не все; я предположил, что размеры мира меняются, но что, по крайней мере, мир всегда остается подобным самому себе. Мы могли бы пойти гораздо дальше, и одна из самых удивительных теорий современной физики дает нам для этого повод.

Согласно Лоренцу и Фитцджеральду, все тела, движущиеся вместе с Землей, претерпевают деформацию.

Эта деформация в действительности очень мала, поскольку все размеры, параллельные движению Земли, уменьшаются на стомиллионную долю, в то время как размеры, перпендикулярные этому движению, остаются неизменными. Но неважно, что она мала; того, что она существует, достаточно для вывода, который я собираюсь сделать. К тому же я сказал, что она мала, но в действительности я ничего об этом не знаю; я сам стал жертвой упорной иллюзии, которая заставляет нас верить, что мы постигаем абсолютное пространство; я думал о движении Земли по ее эллиптической орбите вокруг Солнца и принял ее скорость за тридцать километров в секунду. Но ее реальную скорость (я имею в виду на этот раз не абсолютную скорость, которая бессмысленна, а скорость по отношению к эфиру) я не знаю и не имею средств узнать: она, возможно, в 10 или 100 раз больше, и тогда деформация будет в 100 или 10 000 раз сильнее.

Можем ли мы обнаружить эту деформацию? Очевидно, нет; вот куб с ребром в один метр; вследствие перемещения Земли он деформируется: одно из его ребер, параллельное движению, становится меньше, остальные не меняются. Если я захочу убедиться в этом с помощью метровой линейки, я сначала измерю одно из ребер, перпендикулярных движению, и обнаружу, что мой эталонный метр точно соответствует этому ребру; и, по сути, ни одна из этих двух длин не изменилась, так как обе они перпендикулярны движению. Затем я хочу измерить другое ребро, параллельное движению; для этого я перемещаю свой метр и поворачиваю его так, чтобы приложить к ребру. Но метр, изменив ориентацию и став параллельным движению, в свою очередь претерпел деформацию, так что, хотя ребро уже не равно метру, он будет соответствовать ему точно, и я ничего не обнаружу.

Вы спросите тогда, в чем польза гипотезы Лоренца и Фитцджеральда, если ни один эксперимент не позволяет ее проверить? Мое изложение было неполным; я говорил только об измерениях, которые можно произвести с помощью метра; но мы можем также измерить длину по времени, которое требуется свету для ее прохождения, при условии, что мы предположим скорость света постоянной и не зависящей от направления. Лоренц мог бы объяснить эти факты, предположив, что скорость света больше в направлении движения Земли, чем в перпендикулярном направлении. Он предпочел предположить, что скорость одинакова в этих различных направлениях, но тела меньше в одном из них, чем в другом. Если бы волновые поверхности света претерпели те же деформации, что и материальные тела, мы никогда не заметили бы деформацию Лоренца — Фитцджеральда.

В любом случае речь идет не об абсолютной величине, а об измерении этой величины с помощью какого-либо инструмента; этим инструментом может быть метр или путь, пройденный светом; мы измеряем только отношение величины к инструменту; и если это отношение изменяется, у нас нет способа узнать, изменилась ли сама величина или инструмент.

Но я хочу подчеркнуть, что при этой деформации мир не остался подобным самому себе; квадраты превратились в прямоугольники, круги — в эллипсы, сферы — в эллипсоиды. И все же у нас нет способа узнать, является ли эта деформация реальной.

Очевидно, можно было бы пойти гораздо дальше: вместо деформации Лоренца — Фитцджеральда, законы которой особенно просты, мы могли бы вообразить любую деформацию. Тела могли бы деформироваться по любым законам, сколь угодно сложным, мы никогда бы этого не заметили, при условии, что все тела без исключения деформировались бы по одним и тем же законам. Говоря «все тела без исключения», я, конечно, включаю наше собственное тело и световые лучи, исходящие от различных объектов.

Если мы посмотрим на мир в одно из тех зеркал сложной формы, которые причудливо искажают объекты, взаимные отношения различных частей этого мира не изменятся; если, по сути, два реальных объекта соприкасаются, их изображения также кажутся соприкасающимися. Конечно, когда мы смотрим в такое зеркало, мы действительно видим деформацию, но это происходит потому, что реальный мир существует наряду со своим деформированным изображением; и тогда, даже если бы этот реальный мир был скрыт от нас, кое-что не могло бы быть скрыто — мы сами; мы не могли бы перестать видеть или, по крайней мере, чувствовать наше тело и наши конечности, которые не были деформированы и которые продолжают служить нам инструментами измерения.

Но если мы вообразим наше тело деформированным точно так же, как если бы мы видели его в зеркале, эти инструменты измерения в свою очередь подведут нас, и деформацию уже нельзя будет установить.

Рассмотрим таким же образом два мира, являющиеся изображениями друг друга; каждому объекту P мира A соответствует в мире B объект P', его изображение; координаты этого изображения P' являются определенными функциями координат объекта P; более того, эти функции могут быть какими угодно; я лишь предполагаю, что они выбраны раз и навсегда. Между положением P и положением P' существует постоянное отношение; каково это отношение — неважно; достаточно, чтобы оно было постоянным.

Что ж, эти два мира будут неотличимы друг от друга. Я имею в виду, что первый будет для своих обитателей тем же, чем второй является для своих. И так будет до тех пор, пока эти два мира остаются чуждыми друг другу. Предположим, мы жили в мире A, мы построили бы нашу науку и, в частности, нашу геометрию; в это время обитатели мира B построили бы свою науку, и, поскольку их мир является изображением нашего, их геометрия также была бы изображением нашей или, вернее, она была бы такой же. Но если для нас однажды откроется окно в мир B, как мы будем жалеть их: «Бедняги, — скажем мы, — они думают, что создали геометрию, но то, что они так называют, — лишь гротескное изображение нашей; их прямые все искривлены, их круги горбаты, их сферы имеют капризные неровности». И мы никогда не заподозрим, что они говорят то же самое о нас, и никто никогда не узнает, кто прав.

Мы видим, в сколь широком смысле следует понимать относительность пространства; пространство в действительности аморфно, и лишь находящиеся в нем вещи придают ему форму. Что же тогда следует думать о той прямой интуиции, которую мы якобы имеем относительно прямой или расстояния? У нас настолько мало интуиции расстояния как такового, что ночью, как мы уже сказали, расстояние могло бы стать в тысячу раз больше, и мы не смогли бы этого заметить, если бы все остальные расстояния претерпели такое же изменение. И даже за одну ночь мир B мог бы быть подменен миром A, и у нас не было бы способа узнать об этом, и тогда вчерашние прямые линии перестали бы быть прямыми, а мы бы этого даже не заметили.

Одна часть пространства сама по себе и в абсолютном смысле слова не равна другой части пространства; потому что если это так для нас, то это не будет так для обитателей мира B; и они имеют такое же право отвергнуть наше мнение, как мы — осудить их.

Я уже показывал в другом месте, каковы последствия этих фактов с точки зрения того представления, которое мы должны составить о неевклидовой геометрии и других аналогичных геометриях; к этому я не хочу возвращаться, и сегодня я займу несколько иную точку зрения.

II

Если эта интуиция расстояния, направления, прямой линии, если эта прямая интуиция пространства, одним словом, не существует, откуда берется наша вера в то, что она у нас есть? Если это лишь иллюзия, почему эта иллюзия так упорна? Стоит в этом разобраться. Мы сказали, что нет прямой интуиции размера, и мы можем прийти лишь к отношению этой величины к нашим инструментам измерения. Следовательно, мы не смогли бы построить пространство, если бы у нас не было инструмента для его измерения; что ж, этот инструмент, к которому мы все относим, которым пользуемся инстинктивно, — это наше собственное тело. Именно по отношению к нашему телу мы размещаем внешние объекты, и единственные пространственные отношения этих объектов, которые мы можем представить, — это их отношения к нашему телу. Именно наше тело служит нам, так сказать, системой осей координат.

Например, в момент α присутствие объекта A открывается мне чувством зрения; в другой момент, β, присутствие другого объекта, B, открывается мне другим чувством, например, слухом или осязанием. Я сужу, что этот объект B занимает то же место, что и объект A. Что это означает? Во-первых, это не означает, что эти два объекта занимают в два разных момента одну и ту же точку абсолютного пространства, которое, даже если бы оно существовало, ускользало бы от нашего познания, поскольку между моментами α и β Солнечная система переместилась, и мы не можем знать ее смещения. Это означает, что эти два объекта занимают одинаковое относительное положение по отношению к нашему телу.

Но даже это — что это означает? Впечатления, которые пришли к нам от этих объектов, последовали по совершенно разным путям: зрительный нерв для объекта A, слуховой нерв для объекта B. С качественной точки зрения у них нет ничего общего. Представления, которые мы можем составить об этих двух объектах, абсолютно гетерогенны, несводимы одно к другому. Только я знаю, что, чтобы достичь объекта A, мне достаточно определенным образом вытянуть правую руку; даже когда я воздерживаюсь от этого, я представляю себе мышечные ощущения и другие аналогичные ощущения, которые сопровождали бы это вытягивание, и это представление ассоциируется с представлением об объекте A.

Теперь я точно так же знаю, что могу достичь объекта B, вытянув правую руку таким же образом, — вытягивание, сопровождаемое тем же рядом мышечных ощущений. И когда я говорю, что эти два объекта занимают одно и то же место, я не имею в виду ничего большего.

Я также знаю, что мог бы достичь объекта A другим подходящим движением левой руки, и я представляю себе мышечные ощущения, которые сопровождали бы это движение; и этим же движением левой руки, сопровождаемым теми же ощущениями, я точно так же мог бы достичь объекта B.

И это очень важно, поскольку так я могу защитить себя от опасностей, угрожающих мне со стороны объекта A или объекта B. С каждым ударом, который может быть нанесен нам, природа связала одну или несколько защит, позволяющих нам обороняться. Одна и та же защита может отвечать на несколько ударов; так, например, одно и то же движение правой руки позволило бы нам защититься в момент α от объекта A, а в момент β — от объекта B. Точно так же один и тот же удар может быть парирован несколькими способами, и мы сказали, например, что объекта A можно достичь безразлично либо определенным движением правой руки, либо определенным движением левой руки.

Все эти защиты не имеют ничего общего, кроме отражения одного и того же удара, и именно это, и ничто иное, имеется в виду, когда мы говорим, что они являются движениями, заканчивающимися в одной и той же точке пространства. Точно так же эти объекты, о которых мы говорим, что они занимают одну и ту же точку пространства, не имеют ничего общего, кроме того, что одна и та же защита защищает от них.

Или, если хотите, представьте себе бесчисленные телеграфные провода, одни центростремительные, другие центробежные. Центростремительные провода предупреждают нас о несчастных случаях, происходящих снаружи; центробежные провода несут исправление. Соединения установлены так, что когда по центростремительному проводу проходит ток, он воздействует на реле и таким образом запускает ток в одном из центробежных проводов, и все устроено так, что несколько центростремительных проводов могут воздействовать на один и тот же центробежный провод, если одно и то же средство подходит для нескольких бед, и что один центростремительный провод может приводить в действие разные центробежные провода, либо одновременно, либо вместо одного другим, когда одна и та же беда может быть излечена несколькими средствами.

Именно эта сложная система ассоциаций, именно эта таблица распределения, так сказать, и есть вся наша геометрия или, если хотите, все то в нашей геометрии, что является инстинктивным. То, что мы называем нашей интуицией прямой линии или расстояния, — это сознание, которое мы имеем об этих ассоциациях и об их властном характере.

И легко понять, откуда берется сам этот властный характер. Ассоциация будет казаться нам тем более неразрушимой, чем она древнее. Но эти ассоциации по большей части не являются завоеваниями индивида, поскольку их следы видны у новорожденного младенца: это завоевания рода. Естественный отбор должен был совершить эти завоевания тем быстрее, чем они были необходимее.

По этой причине те, о которых мы говорим, должны были быть самыми ранними по времени, поскольку без них защита организма была бы невозможна. С того времени, когда клетки перестали быть просто сопоставленными, но были призваны оказывать взаимную помощь, необходимо было организовать механизм, аналогичный тому, который мы описали, чтобы эта помощь не сбилась с пути, а предотвратила опасность.

Когда лягушка обезглавлена и капля кислоты помещена на точку ее кожи, она пытается стереть кислоту ближайшей лапкой, и, если эта лапка ампутирована, она стирает ее лапкой противоположной стороны. Вот двойная защита, о которой я только что говорил, позволяющая бороться с бедой с помощью второго средства, если первое не срабатывает. И именно эта множественность защит и результирующая координация и есть пространство.

Мы видим, в какие глубины бессознательного мы должны спуститься, чтобы найти первые следы этих пространственных ассоциаций, поскольку задействованы только низшие отделы нервной системы. Почему же тогда удивляться сопротивлению, которое мы оказываем всякой попытке разъединить то, что так долго было соединено? Теперь, именно это сопротивление мы называем очевидностью геометрических истин; эта очевидность — не что иное, как отвращение, которое мы испытываем к тому, чтобы порвать с очень старыми привычками, которые всегда оказывались полезными.

III

Созданное таким образом пространство — это лишь малое пространство, простирающееся не дальше, чем может дотянуться моя рука; вмешательство памяти необходимо, чтобы отодвинуть его границы. Есть точки, которые останутся вне моей досягаемости, какие бы усилия я ни прилагал, чтобы протянуть руку; если бы я был прикован к земле, как, например, гидра, которая может только вытягивать свои щупальца, все эти точки были бы вне пространства, поскольку ощущения, которые мы могли бы испытать от действия расположенных там тел, ассоциировались бы с идеей отсутствия движения, позволяющего нам достичь их, отсутствия подходящей защиты. Эти ощущения не казались бы нам имеющими какой-либо пространственный характер, и мы не стремились бы их локализовать.

Но мы не прикованы к земле, как низшие животные; мы можем, если враг слишком далеко, сначала продвинуться к нему и протянуть руку, когда будем достаточно близко. Это все еще защита, но защита на дальнем расстоянии. С другой стороны, это сложная защита, и в представление, которое мы о ней составляем, входит представление о мышечных ощущениях, вызванных движениями ног, представление о мышечных ощущениях, вызванных конечным движением руки, представление об ощущениях полукружных каналов и т. д. Мы должны, кроме того, представлять себе не комплекс одновременных ощущений, а комплекс последовательных ощущений, следующих друг за другом в определенном порядке, и именно поэтому я только что сказал, что вмешательство памяти необходимо. Заметьте, кроме того, что, чтобы достичь одной и той же точки, я могу подойти ближе к цели, чтобы меньше вытягивать руку. Что еще? Это не одна, это тысяча защит, которые я могу противопоставить одной и той же опасности. Все эти защиты состоят из ощущений, которые могут не иметь ничего общего, и все же мы рассматриваем их как определяющие одну и ту же точку пространства, поскольку они могут отвечать на одну и ту же опасность и все ассоциируются с понятием этой опасности. Именно потенциальность отражения одного и того же удара создает единство этих различных защит, как возможность быть парированным одним и тем же способом создает единство столь различных по виду ударов, которые могут угрожать нам из одной и той же точки пространства. Именно это двойное единство создает индивидуальность каждой точки пространства, и в понятии точки нет ничего другого.

Пространство, рассмотренное ранее, которое можно было бы назвать ограниченным пространством, соотносилось с осями координат, привязанными к моему телу; эти оси были фиксированы, поскольку мое тело не двигалось, а перемещались только мои члены. Каковы оси, к которым мы естественно относим расширенное пространство? То есть новое пространство, которое мы только что определили. Мы определяем точку последовательностью движений, которые нужно совершить, чтобы достичь ее, начиная с определенного начального положения тела. Оси, следовательно, привязаны к этому начальному положению тела.

Но положение, которое я называю начальным, может быть произвольно выбрано среди всех положений, которые мое тело последовательно занимало; если память, более или менее бессознательная, об этих последовательных положениях необходима для генезиса понятия пространства, эта память может уходить более или менее далеко в прошлое. Отсюда в самом определении пространства возникает некоторая неопределенность, и именно эта неопределенность составляет его относительность.

Нет абсолютного пространства, есть только пространство, относительное к определенному начальному положению тела. Для сознательного существа, прикованного к земле, как низшие животные, и, следовательно, знающего только ограниченное пространство, пространство все равно было бы относительным (поскольку оно имело бы отношение к его телу), но это существо не осознавало бы этой относительности, потому что оси отсчета для этого ограниченного пространства были бы неизменными! Несомненно, скала, к которой было бы приковано это существо, не была бы неподвижной, поскольку она увлекалась бы движением нашей планеты; для нас, следовательно, эти оси менялись бы в каждый момент; но для него они были бы неизменными. Мы обладаем способностью относить наше расширенное пространство то к положению A нашего тела, рассматриваемому как начальное, то к положению B, которое оно занимало спустя некоторое время и которое мы вольны в свою очередь рассматривать как начальное; мы совершаем, следовательно, в каждый момент бессознательные преобразования координат. Эта способность отсутствовала бы у нашего воображаемого существа, и, не путешествуя, он считал бы пространство абсолютным. В каждый момент его система осей была бы навязана ему; эта система должна была бы сильно меняться в реальности, но для него она была бы всегда той же самой, поскольку она была бы всегда единственной системой. Совсем иначе обстоит дело с нами, кто в каждый момент имеет много систем, между которыми мы можем выбирать по желанию, при условии, что мы вернемся с помощью памяти более или менее далеко в прошлое.

Это не все; ограниченное пространство не было бы однородным; различные точки этого пространства нельзя было бы рассматривать как эквивалентные, поскольку одних можно было бы достичь только ценой величайших усилий, в то время как другие можно было бы легко достичь. Напротив, наше расширенное пространство кажется нам однородным, и мы говорим, что все его точки эквивалентны. Что это означает?

Если мы начинаем из определенного места A, мы можем из этого положения совершить определенные движения M, характеризующиеся определенным комплексом мышечных ощущений. Но, начиная из другого положения B, мы совершаем движения M', характеризующиеся теми же мышечными ощущениями. Пусть a будет ситуацией определенной точки тела, кончика указательного пальца правой руки, например, в начальном положении A, а b — ситуацией этого же пальца, когда, начиная из этого положения A, мы совершили движения M. Затем пусть a' будет ситуацией этого пальца в положении B, а b' — его ситуацией, когда, начиная из положения B, мы совершили движения M'.

Что ж, я привык говорить, что точки пространства a и b относятся друг к другу так же, как точки a' и b', и это просто означает, что две серии движений M и M' сопровождаются одними и теми же мышечными ощущениями. И поскольку я осознаю, что при переходе от положения A к положению B мое тело осталось способным к тем же движениям, я знаю, что существует точка пространства, относящаяся к точке a' так же, как любая точка b относится к точке a, так что две точки a и a' эквивалентны. Это называется однородностью пространства. И в то же время именно поэтому пространство относительно, поскольку его свойства остаются теми же, независимо от того, относится ли оно к осям A или к осям B. Таким образом, относительность пространства и его однородность — это одно и то же.

Теперь, если я хочу перейти к великому пространству, которое больше не служит только мне, но где я могу разместить Вселенную, я прихожу туда актом воображения. Я воображаю, что почувствовал бы гигант, который мог бы достичь планет за несколько шагов; или, если хотите, что я сам почувствовал бы в присутствии миниатюрного мира, где эти планеты были заменены маленькими шариками, в то время как на одном из этих маленьких шариков двигался лилипут, которого я назвал бы собой. Но этот акт воображения был бы невозможен для меня, если бы я предварительно не построил свое ограниченное пространство и свое расширенное пространство для собственного пользования.

IV

Почему теперь все эти пространства имеют три измерения? Вернемся к «таблице распределения», о которой мы говорили. У нас есть с одной стороны список различных возможных опасностей; обозначим их A1, A2 и т. д.; и, с другой стороны, список различных средств защиты, которые я назову так же: B1, B2 и т. д. У нас есть тогда соединения между контактными штифтами или кнопками первого списка и второго, так что когда, например, оповещатель об опасности A3 функционирует, он приведет или может привести в действие реле, соответствующее защите B4.

Поскольку я говорил выше о центростремительных или центробежных проводах, я боюсь, как бы кто-нибудь не увидел во всем этом не просто сравнение, а описание нервной системы. Такова не моя мысль, и это по нескольким причинам: во-первых, я не позволил бы себе высказывать мнение о структуре нервной системы, которую я не знаю, в то время как те, кто ее изучал, говорят лишь осторожно; во-вторых, потому что, несмотря на мою некомпетентность, я хорошо знаю, что эта схема была бы слишком упрощенной; и, наконец, потому что в моем списке защит некоторые выглядели бы очень сложными, которые могли бы даже, в случае расширенного пространства, как мы видели выше, состоять из многих шагов, за которыми следует движение руки. Речь идет тогда не о физической связи между двумя реальными проводниками, а о психологической ассоциации между двумя сериями ощущений.

Если A1 и A2, например, оба ассоциированы с защитой B1, и если A1 также ассоциирован с защитой B2, то обычно будет случаться, что A2 и B2 также будут сами по себе ассоциированы. Если бы этот фундаментальный закон не был в целом истинным, существовала бы только огромная путаница и не было бы ничего, напоминающего концепцию пространства или геометрию. Как, собственно, мы определили точку пространства? Мы сделали это двумя способами: это, с одной стороны, совокупность оповещателей A, связанных с одной и той же защитой B; это, с другой стороны, совокупность защит B, связанных с одним и тем же оповещателем A. Если бы наш закон не был истинным, мы сказали бы, что A1 и A2 соответствуют одной и той же точке, поскольку они оба связаны с B1; но мы точно так же сказали бы, что они не соответствуют одной и той же точке, поскольку A1 был бы связан с B2, а то же самое не было бы верно для A2. Это было бы противоречием.

Но, с другой стороны, если бы закон был строго и всегда истинным, пространство было бы очень отличным от того, что оно есть. У нас были бы сильно контрастирующие категории, между которыми были бы распределены, с одной стороны, оповещатели A, с другой стороны, защиты B; эти категории были бы чрезмерно многочисленны, но они были бы полностью отделены одна от другой. Пространство состояло бы из точек, очень многочисленных, но дискретных; оно было бы прерывистым. Не было бы причин располагать эти точки в одном порядке, а не в другом, ни, следовательно, приписывать пространству три измерения.

Но это не так; позвольте мне на мгновение возобновить язык тех, кто уже знает геометрию; это вполне уместно, поскольку это язык, лучше всего понятный тем, кому я хочу дать себя понять.

Когда я желаю парировать удар, я стремлюсь достичь точки, откуда исходит этот удар, но достаточно, чтобы я подошел совсем близко. Тогда защита B1 может ответить за A1 и за A2, если точка, соответствующая B1, достаточно близка как к той, что соответствует A1, так и к той, что соответствует A2. Но может случиться, что точка, соответствующая другой защите B2, может быть достаточно близка к точке, соответствующей A1, и недостаточно близка к точке, соответствующей A2; так что защита B2 может ответить за A1, не отвечая за A2. Для того, кто еще не знает геометрии, это переводится просто как отступление от закона, изложенного выше. И тогда все будет происходить так:

Две защиты B1 и B2 будут ассоциированы с одним и тем же предупреждением A1 и с большим количеством предупреждений, которые мы расположим в той же категории, что и A1, и которые мы заставим соответствовать одной и той же точке пространства. Но мы можем найти предупреждения A2, которые будут ассоциированы с B2, не будучи ассоциированными с B1, и которые в качестве компенсации будут ассоциированы с B3, который B3 не был ассоциирован с A1, и так далее, так что мы можем написать серию

B1, A1, B2, A2, B3, A3, B4, A4,

где каждый член ассоциирован со следующим и предыдущим, но не с членами, находящимися на несколько мест дальше.

Излишне добавлять, что каждый из членов этих серий не изолирован, а является частью очень многочисленной категории других предупреждений или других защит, которые имеют те же связи, что и он, и которые могут рассматриваться как принадлежащие к одной и той же точке пространства.

Фундаментальный закон, хотя и допускающий исключения, остается, следовательно, почти всегда истинным. Только вследствие этих исключений эти категории, вместо того чтобы быть полностью отделенными, частично вторгаются одна в другую и взаимно проникают в некоторой мере, так что пространство становится непрерывным.

С другой стороны, порядок, в котором эти категории должны быть расположены, больше не является произвольным, и если мы обратимся к предыдущей серии, мы увидим, что необходимо поставить B2 между A1 и A2 и, следовательно, между B1 и B3, и что мы не могли бы, например, поставить его между B3 и B4.

Существует, следовательно, порядок, в котором естественно располагаются наши категории, соответствующие точкам пространства, и опыт учит нас, что этот порядок представляется в форме таблицы тройного входа, и именно поэтому пространство имеет три измерения.

V

Так что характеристическое свойство пространства, свойство иметь три измерения, — это лишь свойство нашей таблицы распределения, внутреннее свойство человеческого интеллекта, так сказать. Достаточно было бы разрушить некоторые из этих связей, то есть ассоциаций идей, чтобы получить другую таблицу распределения, и этого могло бы быть достаточно для того, чтобы пространство приобрело четвертое измерение.

Некоторые люди будут удивлены таким результатом. Внешний мир, подумают они, должен что-то значить. Если число измерений происходит от того, как мы устроены, могли бы существовать мыслящие существа, живущие в нашем мире, но устроенные иначе, чем мы, и которые верили бы, что пространство имеет больше или меньше трех измерений. Разве не говорил г-н де Сион, что японские мыши, имеющие только две пары полукружных каналов, верят, что пространство двухмерно? И тогда это мыслящее существо, если оно способно построить физику, не создало бы ли оно физику двух или четырех измерений, которая в некотором смысле все равно была бы той же самой, что и наша, поскольку это было бы описание того же мира на другом языке?

Кажется, на самом деле, что можно было бы перевести нашу физику на язык геометрии четырех измерений; попытаться сделать этот перевод означало бы приложить большие усилия ради малой выгоды, и я ограничусь цитированием механики Герца, где мы имеем нечто аналогичное. Однако кажется, что перевод всегда был бы менее простым, чем текст, и что он всегда имел бы вид перевода, что язык трех измерений кажется лучше приспособленным к описанию нашего мира, хотя это описание может быть строго сделано на другом идиоме. Кроме того, наша таблица распределения не была создана случайно. Существует связь между предупреждением A1 и защитой B1, это внутреннее свойство нашего интеллекта; но почему эта связь? Это потому, что защита B1 дает средства эффективно защититься от опасности A1; и это факт, внешний по отношению к нам, это свойство внешнего мира. Наша таблица распределения, следовательно, — это лишь перевод совокупности внешних фактов; если она имеет три измерения, это потому, что она приспособилась к миру, имеющему определенные свойства; и главное из этих свойств — то, что существуют естественные твердые тела, чьи перемещения следуют ощутимо законам, которые мы называем законами движения твердых тел. Если, следовательно, язык трех измерений — это тот, который позволяет нам легче всего описать наш мир, мы не должны удивляться; этот язык скопирован с нашей таблицы распределения; и именно для того, чтобы иметь возможность жить в этом мире, эта таблица была установлена.

Я сказал, что мы могли бы вообразить, живя в нашем мире, мыслящих существ, чья таблица распределения была бы четырехмерной и которые, следовательно, мыслили бы в гиперпространстве. Не уверен, однако, что такие существа, допустив, что они там родились, могли бы там жить и защищаться от тысячи опасностей, которыми они были бы там атакованы.

VI

Несколько замечаний в заключение. Существует поразительный контраст между грубостью этой примитивной геометрии, сводимой к тому, что я называю таблицей распределения, и бесконечной точностью геометрии геометров. И все же она рождена из этого; но не из этого одного; она должна быть оплодотворена способностью, которой мы обладаем, конструировать математические понятия, такие как понятие группы, например; необходимо было искать среди чистых понятий то, которое лучше всего адаптируется к этому грубому пространству, генезис которого я пытался объяснить и которое является общим для нас и высших животных.

Очевидность некоторых геометрических постулатов, мы сказали, — это лишь наше отвращение к отказу от очень старых привычек. Но эти постулаты бесконечно точны, в то время как эти привычки имеют в себе нечто существенно гибкое. Когда мы хотим мыслить, нам нужны постулаты бесконечно точные, поскольку это единственный способ избежать противоречия; но среди всех возможных систем постулатов есть такие, которые мы не любим выбирать, потому что они недостаточно согласуются с нашими привычками; как бы гибкими, как бы эластичными они ни были, у них есть предел эластичности.

Мы видим, что если геометрия — не экспериментальная наука, то это наука, рожденная по поводу опыта; что мы создали пространство, которое она изучает, но адаптируя его к миру, в котором мы живем. Мы выбрали наиболее удобное пространство, но опыт направлял наш выбор; поскольку этот выбор был бессознательным, мы думаем, что он был навязан нам; одни говорят, что опыт навязывает его, другие — что мы рождаемся с нашим пространством, готовым к употреблению; мы видим из предыдущих соображений, что в этих двух мнениях является долей истины, а что — ошибкой.

В этом прогрессивном образовании, результатом которого стало построение пространства, очень трудно определить, что является долей индивида, а что — долей рода. Как далеко мог бы один из нас, перенесенный с рождения в совершенно другой мир, где доминировали бы, например, тела, движущиеся в соответствии с законами движения неевклидовых твердых тел, отказаться от наследственного пространства, чтобы построить пространство совершенно новое?

Доля рода кажется действительно преобладающей; однако если ей мы обязаны грубым пространством, мягким пространством, о котором я говорил, пространством высших животных, то не бессознательному ли опыту индивида мы обязаны бесконечно точным пространством геометра? Это вопрос, который нелегко решить. Однако мы приведем факт, показывающий, что пространство, которое завещали нам наши предки, все еще сохраняет некоторую пластичность. Некоторые охотники учатся стрелять рыбу под водой, хотя изображение этих рыб перевернуто из-за преломления. К тому же они делают это инстинктивно: они, следовательно, научились изменять свой старый инстинкт направления; или, если хотите, заменить ассоциацию A1, B1 другой ассоциацией A1, B2, потому что опыт показал им, что первая не сработает.

ГЛАВА II

Математические определения и преподавание

1. Я должен говорить здесь об общих определениях в математике; по крайней мере, таков заголовок, но будет невозможно ограничиться предметом так строго, как того требовало бы правило единства действия; я не смогу рассмотреть его, не затронув несколько других связанных вопросов, и если таким образом я буду вынужден время от времени ступать на пограничные клумбы справа или слева, я прошу вас простить меня.

Что такое хорошее определение? Для философа или ученого это определение, которое применяется ко всем определенным объектам и только к ним; это то, которое удовлетворяет правилам логики. Но в преподавании это не так; хорошее определение — это то, которое понятно учащимся.

Как случается, что так многие отказываются понимать математику? Разве это не своего рода парадокс? Посмотрите! Наука, апеллирующая только к фундаментальным принципам логики, к принципу противоречия, например, к тому, что является скелетом, так сказать, нашего интеллекта, к тому, от чего мы не можем отказаться, не перестав мыслить, — и есть люди, которые находят ее неясной! И они даже составляют большинство! То, что они неспособны изобретать, еще можно простить, но то, что они не понимают демонстрируемых им доказательств, что они остаются слепыми, когда мы показываем им свет, который кажется нам сверкающим чистым пламенем, — это совершенно поразительно.

И все же нет нужды в большом опыте экзаменов, чтобы знать, что эти слепцы отнюдь не являются исключительными существами. Это проблема, которую нелегко решить, но которая должна привлечь внимание всех тех, кто желает посвятить себя преподаванию.

Что значит понимать? Имеет ли это слово одно и то же значение для всего мира? Понимать доказательство теоремы — значит ли это последовательно изучать каждый составляющий его силлогизм и удостоверяться в его правильности, в его соответствии правилам игры? Точно так же, понимать определение — значит ли это просто признать, что уже знаешь значение всех используемых терминов, и удостовериться, что оно не содержит противоречия?

Для некоторых — да; когда они это сделают, они скажут: «Я понимаю».

Для большинства — нет. Почти все гораздо более требовательны; они хотят знать не только то, правильны ли все силлогизмы доказательства, но и почему они связываются в этом порядке, а не в другом. Поскольку им кажется, что они порождены капризом, а не интеллектом, всегда осознающим цель, которую нужно достичь, они не верят, что понимают.

Несомненно, они сами не вполне осознают, чего жаждут, и не смогли бы сформулировать свое желание, но если они не получают удовлетворения, они смутно чувствуют, что чего-то не хватает. Тогда что происходит? В начале они еще воспринимают доказательства, которые им подставляют под глаза; но поскольку они связаны лишь слишком тонкой нитью с тем, что предшествует, и тем, что следует, они проходят, не оставляя никакого следа в их голове; они быстро забываются; яркие на мгновение, они быстро исчезают в вечной ночи. Когда они продвигаются дальше, они уже не увидят даже этого эфемерного света, поскольку теоремы опираются одна на другую, а те, которые им нужны, забыты; так они становятся неспособными понимать математику.

Это не всегда вина их учителя; часто их ум, которому нужно воспринимать направляющую нить, слишком ленив, чтобы искать и находить ее. Но чтобы прийти им на помощь, мы сначала должны знать, что именно им мешает.

Другие всегда будут спрашивать, в чем польза этого; они не поймут, если не найдут вокруг себя, на практике или в природе, оправдания того или иного математического понятия. Под каждым словом они хотят поместить чувственный образ; определение должно вызывать этот образ, чтобы на каждой стадии доказательства они могли видеть, как он трансформируется и развивается. Только при этом условии они понимают и запоминают. Часто они обманывают себя; они не слушают рассуждение, они смотрят на фигуры; они думают, что поняли, а они только увидели.

2. Сколько различных тенденций! Должны ли мы бороться с ними? Должны ли мы использовать их? И если мы хотим бороться с ними, какую следует предпочесть? Должны ли мы показать тем, кто довольствуется чистой логикой, что они увидели только одну сторону дела? Или нам нужно сказать тем, кто не так легко удовлетворяется, что то, чего они требуют, не является необходимым?

Другими словами, должны ли мы принуждать молодых людей изменять природу их умов? Такая попытка была бы тщетной; мы не обладаем философским камнем, который позволил бы нам превращать одни металлы, доверенные нам, в другие; все, что мы можем сделать, — это работать с ними, адаптируясь к их свойствам.

Многие дети неспособны стать математиками, однако их необходимо учить математике; и сами математики не все отлиты в одну форму. Прочтения их работ достаточно, чтобы различить среди них два типа умов: логики, как Вейерштрасс, например, и интуитивисты, как Риман. Та же разница существует среди наших студентов. Одни предпочитают решать свои задачи «аналитически», как они говорят, другие — «геометрически».

Бесполезно пытаться что-то изменить в этом, да и было бы это желательно? Хорошо, что есть логики и что есть интуитивисты; кто осмелился бы сказать, предпочел бы он, чтобы Вейерштрасс никогда не писал или чтобы никогда не было Римана? Мы должны, следовательно, примириться с разнообразием умов, или, лучше, мы должны радоваться ему.

3. Поскольку слово «понимать» имеет много значений, определения, которые будут лучше всего поняты одними, не будут лучше всего подходить другим. У нас есть те, которые стремятся создать образ, и те, где мы ограничиваемся комбинированием пустых форм, совершенно понятных, но чисто умопостигаемых, которые абстракция лишила всякой материи.

Я не знаю, нужно ли приводить примеры. Приведем их, во всяком случае, и сначала определение дробей даст нам крайний случай. В начальных школах, чтобы определить дробь, разрезают яблоко или пирог; разрезают, конечно, мысленно, а не в реальности, потому что я не предполагаю, что бюджет начального образования позволяет такую расточительность. В Нормальной школе, с другой стороны, или в колледже, говорят: дробь — это комбинация двух целых чисел, разделенных горизонтальной чертой; мы определяем по соглашению операции, которым могут быть подвергнуты эти символы; доказывается, что правила этих операций такие же, как при вычислениях с целыми числами, и мы удостоверяемся, наконец, что умножение дроби, согласно этим правилам, на знаменатель дает числитель. Это все очень хорошо, потому что мы обращаемся к молодым людям, давно знакомым с понятием дробей через разрезание яблок или других объектов, и чей ум, созревший благодаря жесткому математическому образованию, постепенно пришел к желанию чисто логического определения. Но дебютант, которому попытались бы его дать, — как он ошеломлен!

Таковы также определения, найденные в книге, справедливо почитаемой и высоко ценимой, «Основаниях геометрии» Гильберта. Посмотрите, в самом деле, как он начинает: «Мы мыслим три системы вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями». Что это за «вещи»?

Мы не знаем и не должны знать; было бы даже жаль пытаться узнать; все, что мы имеем право знать о них, — это то, что говорят нам предположения; вот, например: «Две различные точки всегда определяют прямую», за чем следует замечание: «вместо «определяют» мы можем сказать, что две точки лежат на прямой, или прямая проходит через эти две точки, или соединяет две точки».

Таким образом, «быть на прямой» просто определяется как синоним «определять прямую». Вот книга, о которой я высокого мнения, но которую я не стал бы рекомендовать школьнику. Впрочем, я мог бы сделать это без опасений: он все равно не прочтет многого. Я привел крайние примеры, и ни один учитель не стал бы заходить так далеко. Но разве, даже не доходя до таких крайностей, он не подвергает себя той же опасности?

Предположим, мы в классе; учитель диктует: окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от внутренней точки, называемой центром. Хороший ученик записывает эту фразу в тетрадь; плохой ученик рисует рожицы; но никто из них не понимает; тогда учитель берет мел и рисует окружность на доске. «А!» — думают ученики, — «почему он сразу не сказал: окружность — это кольцо, мы бы поняли». Несомненно, учитель прав. Определение учеников было бы бесполезным, так как оно не могло бы послужить для доказательства, к тому же оно не привило бы им полезной привычки анализировать свои представления. Но нужно показать им, что они не понимают того, что, как им кажется, они знают, подвести их к осознанию неточности их первоначального представления и вызвать у них самих желание уточнить и прояснить его.

4. Я вернусь к этим примерам; я лишь хотел показать вам две противоположные концепции; они находятся в резком контрасте. Этот контраст объясняет история науки. Если мы прочтем книгу, написанную пятьдесят лет назад, большая часть рассуждений, которые мы там найдем, покажется лишенной строгости. Тогда предполагалось, что непрерывная функция может менять знак, только обращаясь в нуль; сегодня мы это доказываем. Предполагалось, что обычные правила вычисления применимы к несоизмеримым числам; сегодня мы это доказываем. Предполагалось многое другое, что иногда оказывалось ложным.

Мы доверяли интуиции; но интуиция не может дать строгости и даже уверенности; мы видим это все яснее. Она говорит нам, например, что каждая кривая имеет касательную, то есть что каждая непрерывная функция имеет производную, а это ложно. И поскольку мы искали уверенности, нам приходилось все меньше и меньше полагаться на интуицию.

Что сделало необходимым эту эволюцию? Мы довольно быстро поняли, что строгость нельзя установить в рассуждениях, если она не была предварительно заложена в определениях.

Объекты, которыми занимались математики, долгое время были плохо определены; мы думали, что знаем их, потому что представляли их с помощью чувств или воображения; но мы имели о них лишь грубый образ, а не точное понятие, за которое могло бы ухватиться рассуждение. Именно здесь логикам следовало бы приложить свои усилия.

Так, для несоизмеримого числа смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, относящихся к целым числам. Таким образом, наконец исчезли все те трудности, которые пугали наших отцов, когда они размышляли об основах исчисления бесконечно малых. Сегодня в анализе остались только целые числа или конечные или бесконечные системы целых чисел, связанные сплетением равенств и неравенств. Мы говорим, что математика арифметизирована.

5. Но думаете ли вы, что математика достигла абсолютной строгости, не принеся никаких жертв? Вовсе нет; то, что она выиграла в строгости, она потеряла в объективности. Именно отделившись от реальности, она приобрела эту совершенную чистоту. Мы можем свободно перемещаться по всей ее области, прежде изобиловавшей препятствиями, но эти препятствия не исчезли. Они были лишь отодвинуты на границу, и их пришлось бы преодолевать заново, если бы мы захотели выйти за пределы этой границы, чтобы войти в область практического.

У нас было смутное понятие, сформированное из несообразных элементов, одни из которых были априорными, другие — почерпнутыми из более или менее осмысленного опыта; мы думали, что знаем по интуиции его основные свойства. Сегодня мы отбрасываем эмпирические элементы, сохраняя только априорные; одно из свойств служит определением, а все остальные выводятся из него путем строгих рассуждений. Все это очень хорошо, но остается доказать, что это свойство, ставшее определением, присуще реальным объектам, которые были известны нам из опыта и из которых мы почерпнули наше смутное интуитивное понятие. Чтобы доказать это, необходимо было бы обратиться к опыту или совершить усилие интуиции, и если бы мы не смогли этого доказать, наши теоремы были бы совершенно строгими, но совершенно бесполезными.

Логика иногда порождает монстров. В течение полувека мы наблюдаем появление множества причудливых функций, которые, кажется, стараются как можно меньше походить на добропорядочные функции, приносящие хоть какую-то пользу. Больше никакой непрерывности, или, может быть, непрерывность есть, но нет производных и т. д. Более того, с логической точки зрения именно эти странные функции являются наиболее общими, а те, что встречаются без поиска, больше не появляются иначе как в качестве частных случаев. Для них остается лишь очень маленький уголок.

Раньше, когда изобреталась новая функция, это делалось для какой-то практической цели; сегодня их изобретают специально для того, чтобы опровергнуть рассуждения наших отцов, и от них никогда не добьются ничего большего.

Если бы логика была единственным путеводителем учителя, пришлось бы начинать с самых общих функций, то есть с самых причудливых. Именно новичка пришлось бы заставить бороться с этим тератологическим музеем. Если вы этого не делаете, могут сказать логики, вы добьетесь строгости только поэтапно.

6. Да, возможно, но мы не можем так дешево относиться к реальности, и я имею в виду не только реальность чувственного мира, который, впрочем, имеет свою ценность, поскольку именно для борьбы с ним девять десятых ваших студентов просят у вас оружие. Существует реальность более тонкая, которая составляет саму жизнь математических сущностей и которая совсем иная, чем логика.

Наше тело состоит из клеток, а клетки — из атомов; являются ли эти клетки и эти атомы всей реальностью человеческого тела? Разве то, как эти клетки расположены, из чего проистекает единство индивида, не является также реальностью, причем гораздо более интересной?

Стал бы натуралист, который никогда не изучал слона иначе как под микроскопом, считать, что он знает это животное адекватно? То же самое и в математике. Когда логик расчленит каждое доказательство на множество элементарных операций, каждая из которых верна, он все равно не будет обладать всей реальностью; это «не знаю что», составляющее единство доказательства, полностью ускользнет от него.

В зданиях, воздвигнутых нашими учителями, какой смысл восхищаться работой каменщика, если мы не можем понять план архитектора? Но чистая логика не может дать нам этого понимания общего эффекта; за этим мы должны обратиться к интуиции.

Возьмем, к примеру, идею непрерывной функции. Сначала это лишь чувственный образ, след, оставленный мелом на доске. Мало-помалу он уточняется; мы используем его для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводит все черты первоначального образа; когда все сделано, мы убираем центрирование, как после возведения арки; это грубое представление, ставшее бесполезной опорой, исчезло, и осталось только само здание, безупречное в глазах логика. И все же, если бы профессор не напомнил о первоначальном образе, если бы он не восстановил на мгновение центрирование, как мог бы студент догадаться, по какому капризу все эти неравенства были выстроены таким образом одно над другим? Определение было бы логически правильным, но оно не показало бы ему истинной реальности.

7. Итак, мы должны вернуться назад; несомненно, учителю трудно преподавать то, что его самого не вполне удовлетворяет; но удовлетворение учителя — не единственная цель обучения; мы должны прежде всего обратить внимание на то, каков ум ученика и каким мы хотим его видеть.

Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного вкратце повторяет всю историю его предков на протяжении геологического времени. Похоже, то же самое происходит и в развитии ума. Учитель должен заставить ребенка пройти путь, по которому прошли его отцы; более быстро, но не пропуская станций. По этой причине история науки должна быть нашим первым путеводителем.

Наши отцы думали, что знают, что такое дробь, или непрерывность, или площадь кривой поверхности; мы обнаружили, что они этого не знали. Точно так же наши ученики думают, что знают это, когда начинают серьезное изучение математики. Если я без предупреждения скажу им: «Нет, вы этого не знаете; то, что вы думаете, что понимаете, вы не понимаете; я должен доказать вам то, что кажется вам очевидным», и если в доказательстве я буду опираться на посылки, которые им кажутся менее очевидными, чем заключение, что подумают эти несчастные? Они подумают, что математика — это лишь произвольная масса бесполезных тонкостей; либо они возненавидят ее, либо будут играть в нее как в игру и придут к состоянию ума, подобному состоянию греческих софистов.

Позже, напротив, когда ум ученика, освоившийся с математическими рассуждениями, созреет от этого долгого общения, сомнения возникнут сами собой, и тогда ваше доказательство будет принято с радостью. Оно пробудит новые сомнения, и вопросы будут возникать у ребенка последовательно, так же как они возникали последовательно у наших отцов, пока одна лишь совершенная строгость не сможет его удовлетворить. Сомневаться во всем недостаточно, нужно знать, почему сомневаешься.

8. Главная цель математического обучения — развить определенные способности ума, и среди них интуиция — не самая малая по ценности. Именно благодаря ей математический мир остается в контакте с реальным миром, и если чистая математика могла бы обойтись без нее, то всегда необходимо было бы прибегать к ней, чтобы заполнить пропасть, отделяющую символ от реальности. Практику она всегда будет нужна, и на одного чистого геометра должно приходиться сто практиков.

Инженер должен получить полное математическое образование, но для чего оно должно ему служить?

Чтобы видеть различные аспекты вещей и видеть их быстро; у него нет времени охотиться за мышами. Необходимо, чтобы в сложных физических объектах, представленных ему, он быстро распознавал точку, за которую могут ухватиться математические инструменты, которые мы вложили в его руки. Как он мог бы это сделать, если бы мы оставили между инструментами и объектами глубокую пропасть, вырытую логиками?

9. Помимо инженеров, другие ученые, менее многочисленные, в свою очередь должны стать учителями; поэтому они должны дойти до самой сути; глубокое и строгое знание первых принципов для них прежде всего необходимо. Но это не повод не развивать в них интуицию; ибо они получили бы ложное представление о науке, если бы никогда не смотрели на нее только с одной стороны, к тому же они не смогли бы развить в своих студентах качество, которым не обладали сами.

Даже для самого чистого геометра эта способность необходима; логикой доказывают, интуицией изобретают. Уметь критиковать — хорошо, уметь создавать — лучше. Вы умеете распознать, правильна ли комбинация; какое затруднение, если у вас нет искусства выбора среди всех возможных комбинаций. Логика говорит нам, что на таком-то пути мы наверняка не встретим никаких препятствий; она не говорит, какой путь ведет к цели. Для этого необходимо видеть цель издалека, и способность, которая учит нас видеть, — это интуиция. Без нее геометр был бы похож на писателя, который сведущ в грамматике, но не имеет идей. Но как могла бы развиться эта способность, если, как только она проявляется, мы прогоняем ее и запрещаем, если мы учимся ни во что ее не ставить, прежде чем узнаем ее пользу.

И здесь позвольте сделать отступление, чтобы подчеркнуть важность письменных упражнений. Письменным работам, возможно, не уделяется достаточного внимания на некоторых экзаменах, например, в Политехнической школе. Мне говорят, что они закрыли бы дверь перед очень хорошими учениками, которые освоили курс, глубоко понимают его и которые, тем не менее, не способны сделать малейшее применение. Я только что сказал, что слово «понимать» имеет несколько значений: такие студенты понимают только в первом смысле, а мы видели, что этого недостаточно ни для того, чтобы стать инженером, ни для того, чтобы стать геометром. Что ж, раз нужно выбирать, я предпочитаю тех, кто понимает полностью.

10. Но разве искусство здравого рассуждения — не тоже драгоценная вещь, которую профессор математики должен прежде всего культивировать? Я очень стараюсь не забывать об этом. Оно должно занимать наше внимание с самого начала. Я был бы огорчен, увидев, как геометрия вырождается в не знаю какую тахиметрию низкого сорта, и я ни в коем случае не подписываюсь под крайними доктринами некоторых немецких старших учителей. Но есть достаточно случаев, чтобы упражнять учеников в правильном рассуждении в тех частях математики, где неудобства, на которые я указал, не проявляются. Существуют длинные цепочки теорем, где абсолютная логика царила с самого начала и, так сказать, вполне естественно, где первые геометры дали нам модели, которым мы должны постоянно подражать и которыми должны восхищаться.

Именно при изложении первых принципов необходимо избегать излишней тонкости; там это было бы наиболее обескураживающим и, более того, бесполезным. Мы не можем доказать все и не можем определить все; и всегда будет необходимо заимствовать у интуиции; какая разница, будет ли это сделано немного раньше или немного позже, при условии, что, правильно используя посылки, которые она нам предоставила, мы научимся здраво рассуждать.

11. Возможно ли выполнить столько противоречивых условий? Возможно ли это, в частности, когда речь идет о том, чтобы дать определение? Как найти краткое утверждение, удовлетворяющее одновременно бескомпромиссным правилам логики, нашему желанию уловить место нового понятия в совокупности науки, нашей потребности мыслить образами? Обычно его не найти, и именно поэтому недостаточно сформулировать определение; его нужно подготовить и обосновать.

Что это значит? Вы знаете, часто говорили: каждое определение подразумевает допущение, поскольку оно утверждает существование определяемого объекта. Определение тогда будет оправдано, с чисто логической точки зрения, только тогда, когда будет доказано, что оно не содержит противоречий ни в терминах, ни с ранее принятыми истинами.

Но этого недостаточно; определение преподносится нам как конвенция; но большинство умов восстанут, если мы захотим навязать его им как произвольную конвенцию. Они будут удовлетворены только тогда, когда вы ответите на многочисленные вопросы.

Обычно математические определения, как показал г-н Лиар, являются настоящими конструкциями, построенными целиком из более простых понятий. Но почему нужно собирать эти элементы таким образом, когда возможна тысяча других комбинаций?

Это по капризу? Если нет, то почему эта комбинация имела больше прав на существование, чем все остальные? На какую потребность она отвечает? Как было предвидено, что она будет играть важную роль в развитии науки, что она сократит наши рассуждения и наши вычисления? Есть ли в природе какой-то знакомый объект, который является, так сказать, грубым и смутным образом этого?

Это еще не все; если вы ответите на все эти вопросы удовлетворительным образом, мы действительно увидим, что новорожденный имел право быть крещеным; но и выбор имени не является произвольным; необходимо объяснить, какими аналогиями руководствовались, и что если аналогичные имена были даны разным вещам, то эти вещи, по крайней мере, различаются только материалом и сходны по форме; что их свойства аналогичны и, так сказать, параллельны.

Такой ценой мы можем удовлетворить все склонности. Если утверждение достаточно корректно, чтобы понравиться логику, обоснование удовлетворит интуитивиста. Но есть еще лучшая процедура; везде, где это возможно, обоснование должно предшествовать утверждению и подготавливать его; нужно подводить к общему утверждению путем изучения некоторых частных примеров.

Еще одна вещь: каждая из частей формулировки определения имеет целью отличить определяемую вещь от класса других соседних объектов. Определение будет понято только тогда, когда вы покажете не просто определяемый объект, но и соседние объекты, от которых его уместно отличать, когда вы дадите понимание разницы и когда вы прямо добавите: вот почему, формулируя определение, я сказал то или это.

Но пора оставить общие рассуждения и рассмотреть, как несколько абстрактные принципы, которые я изложил, могут быть применены в арифметике, геометрии, анализе и механике.

Арифметика

12. Целое число не подлежит определению; зато обычно определяют операции над целыми числами; я полагаю, что ученики заучивают эти определения наизусть и не придают им никакого значения. На то есть две причины: во-первых, их заставляют учить их слишком рано, когда их ум еще не чувствует в них потребности; во-вторых, эти определения не являются удовлетворительными с логической точки зрения. Хорошее определение сложения не может быть найдено просто потому, что мы должны остановиться и не можем определить все. Не является определением сложения сказать, что оно состоит в прибавлении. Все, что можно сделать, — это начать с определенного числа конкретных примеров и сказать: операция, которую мы выполнили, называется сложением.

Для вычитания все совсем иначе; оно может быть логически определено как операция, обратная сложению; но должны ли мы начинать с этого? Здесь также следует начать с примеров, показать на этих примерах взаимность двух операций; таким образом, определение будет подготовлено и обосновано.

Точно так же и для умножения; возьмите частную задачу; покажите, что ее можно решить, сложив несколько равных чисел; затем покажите, что мы достигаем результата быстрее с помощью умножения, операции, которую ученики уже умеют выполнять механически, и из этого естественным образом выйдет логическое определение.

Деление определяется как операция, обратная умножению; но начните с примера, взятого из знакомого понятия разбиения, и покажите на этом примере, что умножение воспроизводит делимое.

Остаются еще операции над дробями. Единственная трудность — с умножением. Лучше всего сначала изложить теорию пропорций; только из нее может исходить логическое определение; но чтобы сделать приемлемыми определения, встречающиеся в начале этой теории, необходимо подготовить их многочисленными примерами, взятыми из классических задач на тройное правило, стараясь вводить дробные данные.

Также не следует бояться знакомить учеников с понятием пропорции с помощью геометрических образов, либо апеллируя к тому, что они помнят, если они уже изучали геометрию, либо прибегая к прямой интуиции, если они ее не изучали, что, кроме того, подготовит их к ее изучению. Наконец, я добавлю, что после определения умножения дробей необходимо обосновать это определение, показав, что оно коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно, и обратив внимание слушателей на то, что это устанавливается для обоснования определения.

Видно, какую роль во всем этом играют геометрические образы; и эта роль оправдана философией и историей науки. Если бы арифметика осталась свободной от всякой примеси геометрии, она знала бы только целое число; именно чтобы приспособиться к нуждам геометрии, она изобрела все остальное.

Геометрия

В геометрии мы сразу встречаем понятие прямой линии. Можно ли определить прямую линию? Хорошо известное определение — кратчайший путь между двумя точками — меня почти не удовлетворяет. Я начал бы просто с линейки и сначала показал бы ученику, как можно проверить линейку путем вращения; эта проверка — истинное определение прямой линии; прямая линия — это ось вращения. Затем ему следует показать, как проверить линейку путем скольжения, и он получил бы одно из важнейших свойств прямой линии.

Что касается другого свойства — быть кратчайшим путем из одной точки в другую, то это теорема, которая может быть доказана аподиктически, но доказательство слишком деликатно, чтобы найти место в среднем образовании. Будет стоить больше показать, что предварительно проверенная линейка прилегает к натянутой нити. Перед лицом подобных трудностей не нужно бояться умножать допущения, обосновывая их грубыми экспериментами.

Необходимо допустить эти предположения, и если допустить их немного больше, чем строго необходимо, зло не очень велико; главное — научиться здраво рассуждать на основе принятых предположений. Дядюшка Сарсе, который любил повторять, часто говорил, что в театре зритель охотно принимает все постулаты, навязанные ему в начале, но как только занавес поднят, он становится бескомпромиссным в отношении логики. Что ж, в математике точно так же.

Для окружности мы можем начать с циркуля; ученики с первого взгляда узнают начерченную кривую; затем заставьте их заметить, что расстояние между двумя точками инструмента остается постоянным, что одна из этих точек неподвижна, а другая подвижна, и так мы естественным образом придем к логическому определению.

Определение плоскости подразумевает аксиому, и этого не нужно скрывать. Возьмите чертежную доску и покажите, что движущуюся линейку можно постоянно держать в полном контакте с этой плоскостью, сохраняя при этом три степени свободы. Сравните с цилиндром и конусом, поверхностями, на которых приложенная прямая сохраняет только две степени свободы; затем возьмите три чертежные доски; покажите сначала, что они будут скользить, оставаясь приложенными друг к другу, и это с тремя степенями свободы; и, наконец, чтобы отличить плоскость от сферы, покажите, что две из этих досок, которые подходят к третьей, подойдут друг к другу.

Возможно, вы удивлены этим непрестанным использованием движущихся вещей; это не грубая уловка; это гораздо более философски, чем можно было бы подумать на первый взгляд. Что такое геометрия для философа? Это изучение группы. И какой группы? Группы движений твердых тел. Как же определить эту группу, не двигая некоторые твердые тела?

Следует ли нам сохранить классическое определение параллелей и сказать, что параллели — это две компланарные прямые, которые не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали? Нет, так как это определение отрицательное, так как оно не поддается проверке экспериментом и, следовательно, не может рассматриваться как непосредственный дар интуиции. Нет, прежде всего потому, что оно совершенно чуждо понятию группы, рассмотрению движения твердых тел, которое является, как я сказал, истинным источником геометрии. Не лучше ли было бы сначала определить прямолинейное перемещение неизменной фигуры как движение, при котором все точки этой фигуры имеют прямолинейные траектории; показать, что такое перемещение возможно, заставив квадрат скользить по линейке?

Из этого экспериментального установления, принятого в качестве допущения, было бы легко вывести понятие параллели и сам постулат Евклида.

Механика

Мне не нужно возвращаться к определению скорости, или ускорения, или других кинематических понятий; их можно с выгодой связать с понятием производной.

Я буду настаивать, с другой стороны, на динамических понятиях силы и массы.

Меня поражает одно: как далеки молодые люди, получившие среднее образование, от применения к реальному миру механических законов, которым их учили. Дело не только в том, что они не способны на это; они даже не думают об этом. Для них мир науки и мир реальности разделены непроницаемой перегородкой.

Если мы попытаемся проанализировать состояние ума наших учеников, это удивит нас меньше. Что для них реальное определение силы? Не то, которое они декламируют, а то, которое, притаившись в уголке их ума, оттуда направляет его целиком. Вот определение: силы — это стрелки, с помощью которых строят параллелограммы. Эти стрелки — воображаемые вещи, которые не имеют ничего общего с чем-либо существующим в природе. Этого бы не случилось, если бы им показали силы в реальности, прежде чем представлять их стрелками.

Как мы определим силу?

Я думаю, что я уже достаточно показал в другом месте, что нет хорошего логического определения. Есть антропоморфное определение, ощущение мышечного усилия; это действительно слишком грубо, и из него нельзя извлечь ничего полезного.

Вот как нам следует поступить: во-первых, чтобы сделать известным род «сила», мы должны показать одну за другой все виды этого рода; они очень многочисленны и очень различны; это давление жидкостей на внутренние стенки сосудов, в которых они содержатся; натяжение нитей; упругость пружины; гравитация, действующая на все молекулы тела; трение; нормальное взаимное действие и противодействие двух соприкасающихся твердых тел.

Это только качественное определение; необходимо научиться измерять силу. Для этого начните с того, что покажите, что одна сила может быть заменена другой, не нарушая равновесия; мы можем найти первый пример этой замены в весах и двойном взвешивании Борда.

Затем покажите, что вес может быть заменен не только другим весом, но и силой иной природы; например, тормоз Прони позволяет заменить вес трением.

Из всего этого возникает понятие эквивалентности двух сил.

Направление силы должно быть определено. Если сила F эквивалентна другой силе F', приложенной к рассматриваемому телу с помощью натянутой нити, так что F может быть заменена на F' без нарушения равновесия, то точка прикрепления нити будет по определению точкой приложения силы F', а также эквивалентной силы F; направление нити будет направлением силы F', а также эквивалентной силы F.

Отсюда перейдем к сравнению величины сил. Если сила может заменить две другие с тем же направлением, она равна их сумме; покажите, например, что вес в 20 граммов может заменить два веса по 10 граммов.

Достаточно ли этого? Еще нет. Мы теперь знаем, как сравнивать интенсивность двух сил, которые имеют одно и то же направление и одну и ту же точку приложения; мы должны научиться делать это, когда направления различны. Для этого представьте нить, натянутую весом и перекинутую через блок; мы скажем, что тензор двух ветвей нити один и тот же и равен весу натяжения.

Это наше определение позволяет нам сравнивать натяжения двух частей нашей нити и, используя предыдущие определения, сравнивать любые две силы, имеющие то же направление, что и эти две части. Оно должно быть обосновано тем, что натяжение последней части нити остается тем же самым для того же веса тензора, независимо от количества и расположения отклоняющих блоков. Оно должно быть дополнено тем, что это верно только в том случае, если блоки не имеют трения.

Став хозяином этих определений, нужно показать, что точка приложения, направление и интенсивность достаточны для определения силы; что две силы, для которых эти три элемента одни и те же, всегда эквивалентны и всегда могут быть заменены одна другой, будь то в равновесии или в движении, и это независимо от других действующих сил.

Нужно показать, что две пересекающиеся силы всегда могут быть заменены единственной равнодействующей; и что эта равнодействующая остается той же самой, находится ли тело в покое или в движении, и независимо от других приложенных к нему сил.

Наконец, нужно показать, что силы, определенные таким образом, удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.

Именно эксперимент, и только эксперимент, может научить нас всему этому. Достаточно будет сослаться на некоторые обычные эксперименты, которые ученики проводят ежедневно, не подозревая об этом, и провести перед ними несколько экспериментов, простых и хорошо подобранных.

Именно после прохождения всех этих меандров можно представлять силы стрелками, и я даже хотел бы, чтобы в развитии рассуждений время от времени возвращались от символа к реальности. Например, было бы несложно проиллюстрировать параллелограмм сил с помощью аппарата, состоящего из трех нитей, перекинутых через блоки, натянутых весами и находящихся в равновесии при натяжении одной и той же точки.

Зная силу, легко определить массу; на этот раз определение должно быть заимствовано из динамики; нет способа сделать иначе, поскольку цель, которую нужно достичь, — дать понимание различия между массой и весом. Здесь опять же определение должно быть подготовлено экспериментами; существует, по сути, машина, которая, кажется, создана специально для того, чтобы показать, что такое масса, — машина Атвуда; вспомните также законы падения тел, что ускорение силы тяжести одинаково для тяжелых и легких тел и что оно меняется с широтой и т. д.

Теперь, если вы скажете мне, что все методы, которые я превозношу, давно применяются в школах, я буду радоваться этому больше, чем удивляться. Я знаю, что в целом наше математическое преподавание хорошее. Я не хочу, чтобы его перевернули; это меня даже огорчило бы. Я желаю лишь медленных прогрессивных улучшений. Это преподавание не должно подвергаться резким колебаниям под капризным порывом эфемерных мод. В таких бурях его высокая воспитательная ценность вскоре потерпела бы крушение. Хорошая и здравая логика должна продолжать оставаться его основой. Определение через пример всегда необходимо, но оно должно подготавливать путь для логического определения, оно не должно заменять его; оно должно, по крайней мере, сделать его желанным в тех случаях, когда истинное логическое определение может быть с выгодой дано только в продвинутом обучении.

Поймите, что то, что я здесь сказал, не означает отказа от того, что я написал в другом месте. У меня часто была возможность критиковать некоторые определения, которые я превозношу сегодня. Эти критические замечания остаются в силе полностью. Эти определения могут быть только предварительными. Но именно через них мы должны пройти.

ГЛАВА III

Математика и логика

Введение

Может ли математика быть сведена к логике без необходимости апеллировать к принципам, свойственным математике? Существует целая школа, изобилующая пылом и полная веры, стремящаяся доказать это. У них свой особый язык, в котором нет слов, используются только знаки. Этот язык понимают только посвященные, так что обыватели склонны склоняться перед резкими утверждениями адептов. Возможно, не бесполезно рассмотреть эти утверждения несколько пристальнее, чтобы увидеть, оправдывают ли они тот безапелляционный тон, с которым они представлены.

Но чтобы прояснить суть вопроса, необходимо углубиться в некоторые исторические детали и, в частности, вспомнить характер работ Кантора.

Давно уже понятие бесконечности было введено в математику; но эта бесконечность была тем, что философы называют «становлением». Математическая бесконечность была лишь величиной, способной возрастать без всякого предела: это была переменная величина, о которой нельзя было сказать, что она «превзошла» все пределы, а только то, что она «может превзойти» их.

Кантор предпринял попытку ввести в математику «актуальную бесконечность», то есть величину, которая не только способна превзойти все пределы, но которая рассматривается как уже превзошедшая их. Он задавался такими вопросами: больше ли точек в пространстве, чем целых чисел? Больше ли точек в пространстве, чем точек на плоскости? и т. д.

И тогда число целых чисел, число точек пространства и т. д. составляют то, что он называет «трансфинитным кардинальным числом», то есть кардинальное число, большее всех обычных кардинальных чисел. И он занимался сравнением этих трансфинитных кардинальных чисел. Располагая в надлежащем порядке элементы совокупности, содержащей их бесконечность, он также вообразил то, что называет трансфинитными порядковыми числами, на которых я не буду останавливаться.

Многие математики последовали его примеру и поставили ряд вопросов такого рода. Они настолько освоились с трансфинитными числами, что пришли к тому, чтобы сделать теорию конечных чисел зависимой от теории кардинальных чисел Кантора. В их глазах, чтобы преподавать арифметику по-настоящему логично, нужно начать с установления общих свойств трансфинитных кардинальных чисел, затем выделить среди них очень малый класс — класс обычных целых чисел. Благодаря этому обходному пути можно было бы преуспеть в доказательстве всех предложений, относящихся к этому маленькому классу (то есть всей нашей арифметики и нашей алгебры), не используя никакого принципа, чуждого логике. Этот метод явно противоречит всякой здравой психологии; конечно, не так человеческий ум действовал при построении математики; поэтому его авторы, я думаю, не мечтают вводить его в среднее образование. Но является ли это, по крайней мере, логикой, или, лучше сказать, правильно ли это? В этом можно усомниться.

Геометры, которые использовали его, однако, очень многочисленны. Они накопили формулы и подумали, что освободились от того, что не является чистой логикой, написав мемуары, где формулы больше не чередуются с пояснительным дискурсом, как в книгах по обычной математике, но где этот дискурс полностью исчез.

К сожалению, они пришли к противоречивым результатам, к тому, что называют «канторовскими антиномиями», к которым у нас будет повод вернуться. Эти противоречия не обескуражили их, и они попытались изменить свои правила так, чтобы заставить исчезнуть те, которые уже проявились, не будучи при этом уверенными, что не проявятся новые.

Пора вершить суд над этими преувеличениями. Я не надеюсь убедить их; ибо они слишком долго жили в этой атмосфере. К тому же, когда одно из их доказательств опровергнуто, мы наверняка увидим, как оно воскресает с незначительными изменениями, и некоторые из них уже восставали несколько раз из пепла. Такой давно была Лернейская гидра с ее знаменитыми головами, которые всегда отрастали снова. Геркулес справился, так как у его гидры было всего девять голов или одиннадцать; но здесь их слишком много, одни в Англии, другие в Германии, в Италии, во Франции, и ему пришлось бы отказаться от борьбы. Поэтому я взываю только к людям здравого суждения, непредвзятым.

I

В последние годы было опубликовано множество работ по чистой математике и философии математики, пытающихся отделить и изолировать логические элементы математического рассуждения. Эти работы были проанализированы и изложены очень ясно г-ном Кутюра в книге под названием «Принципы математики».

Для г-на Кутюра новые работы, и в частности работы Рассела и Пеано, окончательно разрешили спор, так долго длившийся между Лейбницем и Кантом. Они показали, что не существует синтетических суждений априори (фраза Канта для обозначения суждений, которые нельзя ни доказать аналитически, ни свести к тождествам, ни установить экспериментально), они показали, что математика полностью сводима к логике и что интуиция здесь не играет никакой роли.

Это то, что г-н Кутюра изложил в только что упомянутой работе; это он говорит еще более прямо в своей речи на юбилее Канта, так что я слышал, как мой сосед прошептал: «Я хорошо вижу, что это столетие со дня смерти Канта».

Можем ли мы подписаться под этим окончательным осуждением? Я думаю, нет, и я попытаюсь показать почему.

II

Что поражает нас прежде всего в новой математике, так это ее чисто формальный характер: «Мы мыслим», — говорит Гильберт, — «три рода вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями. Мы договариваемся, что прямая определяется двумя точками, и что вместо того, чтобы говорить, что эта прямая определяется этими двумя точками, мы можем сказать, что она проходит через эти две точки, или что эти две точки расположены на этой прямой». Что это за «вещи», мы не только не знаем, но и не должны стремиться узнать. Нам это не нужно, и тот, кто никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, мог бы заниматься геометрией так же, как мы. Что фраза «проходить через» или фраза «быть расположенным на» может не вызывать у нас никакого образа, первая — просто синоним «быть определенным», а вторая — «определять».

Таким образом, будьте уверены, чтобы доказать теорему, не нужно и даже не выгодно знать, что она означает. Геометра можно было бы заменить «логическим пианино», воображенным Стэнли Джевонсом; или, если хотите, можно было бы вообразить машину, куда допущения подавались бы с одного конца, а теоремы выходили бы с другого, подобно легендарной чикагской машине, где свиньи входят живыми, а выходят превращенными в ветчину и колбасы. Не больше, чем этим машинам, математику нужно знать, что он делает.

Я не ставлю в упрек Гильберту этот формальный характер его геометрии. Это путь, которым он должен был идти, учитывая задачу, которую он перед собой поставил. Он хотел свести к минимуму число фундаментальных допущений геометрии и полностью перечислить их; теперь, в рассуждениях, где наш ум остается активным, в тех, где интуиция все еще играет роль, в живых рассуждениях, так сказать, трудно не ввести допущение или постулат, который проходит незамеченным. Поэтому только после того, как он свел все геометрические рассуждения к форме чисто механической, он мог быть уверен, что выполнил свой замысел и закончил свою работу.

То, что Гильберт сделал для геометрии, другие пытались сделать для арифметики и анализа. Даже если бы они полностью преуспели, были бы кантианцы окончательно приговорены к молчанию? Возможно, нет, ибо, сводя математическое мышление к пустой форме, его, безусловно, калечат.

Даже допуская, что было бы установлено, что все теоремы могут быть выведены процедурами чисто аналитическими, простыми логическими комбинациями конечного числа допущений, и что эти допущения — лишь конвенции; философ все равно имел бы право исследовать истоки этих конвенций, чтобы увидеть, почему они были сочтены предпочтительными перед противоположными конвенциями.

И затем, логическая правильность рассуждений, ведущих от допущений к теоремам, — не единственное, что должно занимать нас. Правила совершенной логики — это вся математика? С таким же успехом можно сказать, что все искусство игры в шахматы сводится к правилам ходов фигур. Среди всех конструкций, которые можно построить из материалов, предоставленных логикой, нужно сделать выбор; истинный геометр делает этот выбор рассудительно, потому что он руководствуется верным инстинктом или неким смутным осознанием не знаю какой более глубокой и более скрытой геометрии, которая одна придает ценность построенному зданию.

Искать истоки этого инстинкта, изучать законы этой глубокой геометрии, чувствуемой, а не сформулированной, было бы также прекрасным занятием для философов, которые не хотят, чтобы логика была всем. Но я не хочу становиться на эту точку зрения, я не хочу рассматривать вопрос таким образом. Упомянутый инстинкт необходим для изобретателя, но на первый взгляд кажется, что мы могли бы обойтись без него, изучая уже созданную науку. Что ж, я хочу исследовать, правда ли, что, раз принципы логики приняты, можно, я не говорю открыть, но доказать все математические истины, не прибегая заново к интуиции.

III

Я однажды сказал «нет» на этот вопрос: [12] должен ли наш ответ быть изменен недавними работами? Мое «нет» было потому, что «принцип полной индукции» казался мне одновременно необходимым математику и несводимым к логике. Формулировка этого принципа такова: «Если свойство истинно для числа 1, и если мы установим, что оно истинно для n + 1 при условии, что оно истинно для n, то оно будет истинно для всех целых чисел». В этом я вижу математическое рассуждение par excellence. Я не хотел сказать, как предполагалось, что все математические рассуждения могут быть сведены к применению этого принципа. Рассматривая эти рассуждения пристально, мы увидели бы там применение многих других аналогичных принципов, обладающих теми же существенными характеристиками. В этой категории принципов принцип полной индукции — лишь самый простой из всех, и именно поэтому я выбрал его в качестве типа.

Текущее название, «принцип полной индукции», не оправдано. Этот способ рассуждения тем не менее является истинной математической индукцией, которая отличается от обычной индукции только своей достоверностью.

IV

Определения и допущения

Существование таких принципов — трудность для бескомпромиссных логиков; как они претендуют выйти из нее? Принцип полной индукции, говорят они, — это не допущение в собственном смысле слова или синтетическое суждение априори; это просто определение целого числа. Это, следовательно, простая конвенция. Чтобы обсудить этот взгляд на вещи, мы должны рассмотреть несколько пристальнее отношения между определениями и допущениями.

Вернемся сначала к статье г-на Кутюра о математических определениях, которая появилась в «L'Enseignement mathématique», журнале, издаваемом Готье-Вилларом и Георгом в Женеве. Мы увидим там различие между прямым определением и определением через постулаты.

«Определение через постулаты», — говорит г-н Кутюра, — «применяется не к одному понятию, а к системе понятий; оно состоит в перечислении фундаментальных отношений, которые объединяют их и которые позволяют нам доказать все их другие свойства; эти отношения — постулаты».

Если предварительно были определены все эти понятия, кроме одного, то последнее будет по определению вещью, которая проверяет эти постулаты. Таким образом, некоторые недоказуемые допущения математики были бы лишь замаскированными определениями. Эта точка зрения часто легитимна; и я сам признал ее в отношении, например, постулата Евклида.

Другие допущения геометрии не достаточны для полного определения расстояния; расстояние тогда будет, по определению, среди всех величин, которые удовлетворяют этим другим допущениям, той, которая такова, что делает постулат Евклида истинным.

Что ж, логики предполагают истинным для принципа полной индукции то, что я допускаю для постулата Евклида; они хотят видеть в нем лишь замаскированное определение.

Но чтобы дать им это право, должны быть выполнены два условия. Стюарт Милль говорит, что каждое определение подразумевает допущение, то, которым утверждается существование определяемого объекта. Согласно этому, это было бы уже не допущение, которое могло бы быть замаскированным определением, это, напротив, было бы определение, которое было бы замаскированным допущением. Стюарт Милль имел в виду слово «существование» в материальном и эмпирическом смысле; он хотел сказать, что, определяя окружность, мы утверждаем, что в природе есть круглые вещи.

В этой форме его мнение недопустимо. Математика независима от существования материальных объектов; в математике слово «существовать» может иметь только одно значение, оно означает «свободный от противоречий». Таким образом исправленная, мысль Стюарта Милля становится точной; определяя вещь, мы утверждаем, что определение не подразумевает никакого противоречия.

Если, следовательно, у нас есть система постулатов, и если мы можем доказать, что эти постулаты не подразумевают никакого противоречия, мы будем иметь право рассматривать их как представляющие определение одного из понятий, входящих в них. Если мы не можем доказать это, оно должно быть принято без доказательства, и это тогда будет допущением; так что, ища определение под постулатом, мы нашли бы допущение под определением.

Обычно, чтобы показать, что определение не содержит противоречий, мы прибегаем к примеру: мы пытаемся создать пример вещи, удовлетворяющей этому определению. Возьмем случай определения через постулаты; мы хотим определить понятие А и говорим, что по определению А — это все, для чего верны определенные постулаты. Если мы можем прямо доказать, что все эти постулаты верны для некоторого объекта B, то определение будет оправдано; объект B будет примером А. Мы будем уверены, что постулаты не противоречивы, поскольку существуют случаи, когда все они верны одновременно.

Но такое прямое доказательство на примере возможно не всегда.

Чтобы установить, что постулаты не содержат противоречий, необходимо рассмотреть все предложения, выводимые из этих постулатов, рассматриваемых как посылки, и показать, что среди этих предложений нет двух противоречащих друг другу. Если число этих предложений конечно, возможна прямая проверка. Этот случай встречается редко и не представляет интереса. Если же число этих предложений бесконечно, такая прямая проверка уже невозможна; приходится прибегать к процедурам, где в общем случае необходимо ссылаться именно на тот принцип полной индукции, который как раз и подлежит доказательству.

Это объяснение одного из условий, которым должны удовлетворять логики, и далее мы увидим, что они его не выполнили.

V

Существует второе условие. Когда мы даем определение, мы делаем это для того, чтобы им пользоваться.

Следовательно, в дальнейшем изложении мы встретим определенное слово; имеем ли мы право утверждать относительно вещи, представленной этим словом, тот постулат, который послужил определением? Да, очевидно, если слово сохранило свое значение, если мы не приписываем ему неявно другой смысл. Но именно это иногда и происходит, и обычно это трудно заметить; необходимо видеть, как это слово входит в нашу речь и не подразумевает ли «ворота», через которые оно вошло, на самом деле определение, отличное от заявленного.

Эта трудность возникает во всех приложениях математики. Математическому понятию было дано определение весьма утонченное и строгое; и для чистой математики всякое сомнение исчезло; но если кто-то желает применить его, например, к физическим наукам, речь идет уже не об этом чистом понятии, а о конкретном объекте, который часто является лишь его грубым образом. Сказать, что этот объект удовлетворяет, по крайней мере приблизительно, определению, — значит констатировать новую истину, которую только опыт может поставить вне сомнения и которая уже не имеет характера условного постулата.

Но даже не выходя за рамки чистой математики, мы сталкиваемся с той же трудностью.

Вы даете тонкое определение чисел; затем, после того как это определение дано, вы о нем больше не думаете; потому что, в действительности, не оно научило вас тому, что такое число; вы давно это знали, и когда слово «число» встречается далее под вашим пером, вы придаете ему тот же смысл, что и первый встречный. Чтобы знать, что это за смысл и является ли он одним и тем же в этой или той фразе, необходимо видеть, как вы были приведены к разговору о числе и к введению этого слова в эти две фразы. Я не буду в данный момент распространяться на этот счет, поскольку у нас будет повод вернуться к этому.

Рассмотрим, таким образом, слово, которому мы дали явное определение А; впоследствии в рассуждении мы используем его так, что это неявно предполагает другое определение B. Возможно, что эти два определения обозначают одну и ту же вещь. Но то, что это так, — новая истина, которую необходимо либо доказать, либо принять как независимое допущение.

Мы увидим далее, что логики выполнили второе условие не лучше, чем первое.

VI

Определений числа очень много, и они очень разные; я воздержусь даже от перечисления имен их авторов. Нас не должно удивлять, что их так много. Если бы одно из них было удовлетворительным, нового бы не давали. Если каждый новый философ, занимающийся этим вопросом, считал, что должен изобрести другое, то это потому, что он не был удовлетворен определениями своих предшественников, а не был он ими удовлетворен, потому что считал, что видит petitio principii (предвосхищение основания).

Читая труды, посвященные этой проблеме, я всегда испытывал глубокое чувство дискомфорта; я всегда ожидал натолкнуться на petitio principii, и когда я не замечал его сразу, я боялся, что пропустил его.

Это происходит потому, что невозможно дать определение, не используя предложение, и трудно составить предложение, не используя числительное, или, по крайней мере, слово «несколько», или, по крайней мере, слово во множественном числе. А затем склон становится скользким, и в каждое мгновение есть риск сорваться в petitio principii.

В дальнейшем я сосредоточу свое внимание только на тех определениях, где petitio principii скрыто наиболее искусно.

VII

Пазиграфия

Символический язык, созданный Пеано, играет очень большую роль в этих новых исследованиях. Он способен принести некоторую пользу, но я думаю, что г-н Кутюра придает ему преувеличенное значение, которое должно удивлять самого Пеано.

Элементами этого языка являются определенные алгебраические знаки, представляющие различные союзы: «если», «и», «или», «следовательно». То, что эти знаки могут быть удобны, возможно; но то, что они призваны произвести революцию во всей философии, — это другое дело. Трудно допустить, что слово «если» приобретает, будучи записанным как C, некую силу, которой оно не имело, будучи записанным как «если». Это изобретение Пеано сначала называлось пазиграфией, то есть искусством написания математического трактата без использования ни одного слова обычного языка. Это название определяло его область весьма точно. Позже его возвели в более высокий сан, присвоив ему титул логистики. Это слово, по-видимому, используется в Военной академии для обозначения искусства интенданта кавалерии, искусства марша и расквартирования войск; но здесь не стоит опасаться путаницы, и сразу видно, что это новое название подразумевает замысел произвести революцию в логике.

Мы можем увидеть новый метод в действии в математической работе Бурали-Форти под названием «Una Questione sui numeri transfiniti» («Вопрос о трансфинитных числах»), опубликованной в XI томе «Rendiconti del circolo matematico di Palermo».

Начну с того, что эта работа очень интересна, и я беру ее здесь в качестве примера именно потому, что она является самой важной из всех написанных на новом языке. Кроме того, непосвященные могут прочитать ее благодаря итальянскому подстрочному переводу.

Важность этой работы заключается в том, что она дала первый пример тех антиномий, которые встречаются при изучении трансфинитных чисел и которые уже несколько лет приводят математиков в отчаяние. Цель этой заметки, говорит Бурали-Форти, состоит в том, чтобы показать, что могут существовать два трансфинитных числа (порядковых), a и b, таких, что a не равно, не больше и не меньше b.

Чтобы успокоить читателя: для понимания последующих рассуждений ему не нужно знать, что такое трансфинитное порядковое число.

Кантор же как раз доказал, что между двумя трансфинитными числами, как и между двумя конечными, не может быть иного отношения, кроме равенства или неравенства в том или ином смысле. Но я хочу говорить здесь не о содержании этой работы; это увело бы меня слишком далеко от темы; я хочу рассмотреть только форму и спросить, дает ли эта форма значительный выигрыш в строгости и компенсирует ли она тем самым усилия, которые она навязывает автору и читателю.

Сначала мы видим, как Бурали-Форти определяет число 1 следующим образом:

определение, в высшей степени подходящее для того, чтобы дать представление о числе 1 людям, которые никогда о нем не слышали.

Я слишком плохо понимаю «пеановский» язык, чтобы осмелиться на критику, но все же боюсь, что это определение содержит petitio principii, учитывая, что я вижу цифру 1 в первой части и «Un» буквами во второй.

Как бы то ни было, Бурали-Форти исходит из этого определения и после короткого вычисления приходит к уравнению:

которое говорит нам, что «Один» — это число.

И раз уж мы заговорили об этих определениях первых чисел, напомним, что г-н Кутюра также определил 0 и 1.

Что такое ноль? Это число элементов пустого класса. А что такое пустой класс? Это тот, который не содержит ни одного элемента.

Определять ноль через «пустой», а «пустой» через «ни одного» — это действительно злоупотребление богатством языка; поэтому г-н Кутюра внес улучшение в свое определение, написав:

что означает: ноль — это число вещей, удовлетворяющих условию, которое никогда не выполняется.

Но поскольку «никогда» означает «ни в каком случае», я не вижу, чтобы прогресс был велик.

Спешу добавить, что определение числа 1, данное г-ном Кутюра, более удовлетворительно.

Один, говорит он по существу, — это число элементов в классе, в котором любые два элемента идентичны.

Оно более удовлетворительно, сказал я, в том смысле, что для определения 1 он не использует слово «один»; в качестве компенсации он использует слово «два». Но боюсь, если спросить, что такое «два», г-ну Кутюра пришлось бы использовать слово «один».

VIII

Но вернемся к работе Бурали-Форти; я сказал, что его выводы находятся в прямом противоречии с выводами Кантора. Однажды ко мне пришел г-н Адамар, и разговор зашел об этой антиномии.

«Рассуждение Бурали-Форти, — сказал я, — разве оно не кажется вам безупречным?» «Нет, напротив, я не нахожу ничего, что можно было бы возразить против рассуждения Кантора. К тому же Бурали-Форти не имел права говорить о совокупности всех порядковых чисел».

«Простите, он имел право, так как он всегда мог положить

Я хотел бы знать, кто мог ему помешать, и можно ли сказать, что вещь не существует, когда мы назвали ее Ω?»

Все было напрасно, я не смог его убедить (что, впрочем, было бы печально, так как он был прав). Было ли это просто потому, что я недостаточно красноречиво говорю на «пеановском»? Возможно; но между нами говоря, я так не думаю.

Таким образом, несмотря на весь этот пазиграфический аппарат, вопрос не был решен. Что это доказывает? Поскольку речь идет лишь о том, чтобы доказать, что 1 — это число, пазиграфии достаточно, но если возникает трудность, если есть антиномия, которую нужно решить, пазиграфия становится бессильной.

ГЛАВА IV

Новая логика

I

Логика Рассела

Чтобы оправдать свои претензии, логика должна была измениться. Мы видели появление новых логик, из которых наиболее интересной является логика Рассела. Кажется, что ему нечего добавить нового к формальной логике, как будто Аристотель достиг в ней дна. Но область, которую Рассел приписывает логике, бесконечно шире, чем область классической логики, и он выдвинул по этому поводу взгляды, которые оригинальны и порой вполне обоснованы.

Во-первых, Рассел подчиняет логику классов логике высказываний, в то время как логика Аристотеля была прежде всего логикой классов и брала за отправную точку отношение субъекта к предикату. Классический силлогизм «Сократ есть человек» и т. д. уступает место гипотетическому силлогизму: «Если А истинно, то B истинно; если B истинно, то C истинно» и т. д. И это, я думаю, самая удачная идея, потому что классический силлогизм легко свести к гипотетическому, тогда как обратное преобразование не лишено трудностей.

И это еще не все. Логика высказываний Рассела — это изучение законов сочетания союзов «если», «и», «или» и отрицания «не».

Добавляя сюда два других союза, «и» и «или», Рассел открывает для логики новую область. Символы «и», «или» следуют тем же законам, что и два знака × и +, то есть коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам. Таким образом, «и» представляет логическое умножение, а «или» — логическое сложение. Это тоже очень интересно.

Рассел приходит к выводу, что любое ложное высказывание влечет за собой все остальные высказывания, истинные или ложные. Г-н Кутюра говорит, что этот вывод поначалу покажется парадоксальным. Однако достаточно было исправить плохой тезис в математике, чтобы признать, насколько прав Рассел. Кандидату часто стоит больших усилий получить первое ложное уравнение; но как только оно получено, для него становится лишь забавой накапливать самые удивительные результаты, некоторые из которых могут оказаться даже истинными.

II

Мы видим, насколько богаче новая логика, чем классическая; символы умножаются и допускают разнообразные комбинации, число которых больше не ограничено. Имеет ли кто-то право давать такое расширение значению слова «логика»? Было бы бесполезно исследовать этот вопрос и искать вместе с Расселом пустой спор о словах. Уступите ему то, что он требует; но не удивляйтесь, если некоторые истины, объявленные несводимыми к логике в старом смысле слова, окажутся теперь сводимыми к логике в новом смысле — чему-то совсем иному.

Было введено большое количество новых понятий, и это не просто комбинации старых. Рассел знает это, и не только в начале первой главы «Логика высказываний», но и в начале второй и третьей, «Логика классов» и «Логика отношений», он вводит новые слова, которые объявляет неопределимыми.

И это не все; он также вводит принципы, которые объявляет недоказуемыми. Но эти недоказуемые принципы — это обращения к интуиции, синтетические суждения a priori. Мы рассматриваем их как интуитивные, когда встречаем их более или менее явно сформулированными в математических трактатах; изменили ли они характер оттого, что значение слова «логика» было расширено и мы теперь находим их в книге под названием «Трактат по логике»? Они не изменили своей природы; они только сменили место.

III

Могли бы эти принципы рассматриваться как замаскированные определения? Тогда необходимо было бы иметь какой-то способ доказать, что они не содержат противоречий. Необходимо было бы установить, что, как бы далеко ни следовать по ряду дедукций, человек никогда не рискует противоречить самому себе.

Мы могли бы попытаться рассуждать следующим образом: мы можем проверить, что операции новой логики, примененные к посылкам, свободным от противоречий, могут дать только следствия, столь же свободные от противоречий. Если, следовательно, после n операций мы не встретили противоречия, мы не встретим его и после n + 1. Таким образом, невозможно, чтобы наступил момент, когда противоречие начинается, что показывает, что мы никогда его не встретим. Имеем ли мы право рассуждать таким образом? Нет, ибо это означало бы использование полной индукции; а помните, мы еще не знаем принципа полной индукции.

Поэтому у нас нет права рассматривать эти допущения как замаскированные определения, и остается лишь один ресурс — допустить новый акт интуиции для каждого из них. Более того, я верю, что такова действительно мысль Рассела и г-на Кутюра.

Таким образом, каждое из девяти неопределимых понятий и двадцати недоказуемых предложений (полагаю, если бы считал я, я бы нашел еще несколько), которые являются фундаментом новой логики, логики в широком смысле, предполагает новый и независимый акт нашей интуиции и (почему бы не сказать это?) подлинное синтетическое суждение a priori. По этому пункту все, кажется, согласны, но то, что утверждает Рассел, и что кажется мне сомнительным, — это то, что после этих обращений к интуиции на этом все закончится; нам не нужно будет делать других, и мы сможем построить всю математику без вмешательства какого-либо нового элемента.

IV

Г-н Кутюра часто повторяет, что эта новая логика совершенно независима от идеи числа. Я не буду забавляться подсчетом того, сколько числительных содержит его изложение, как количественных, так и порядковых, или неопределенных прилагательных, таких как «несколько». Мы можем, однако, привести некоторые примеры:

«Логическое произведение двух или более высказываний есть...»;

«Все высказывания способны принимать только два значения: истина и ложь»;

«Относительное произведение двух отношений есть отношение»;

«Отношение существует между двумя членами» и т. д., и т. д.

Иногда этого неудобства можно было бы избежать, но иногда оно является существенным. Отношение непостижимо без двух членов; невозможно иметь интуицию отношения, не имея в то же время интуиции его двух членов и не замечая, что их два, потому что, если отношение должно быть мыслимым, необходимо, чтобы их было два и только два.

V

Арифметика

Я перехожу к тому, что г-н Кутюра называет порядковой теорией, которая является фундаментом арифметики в собственном смысле слова. Г-н Кутюра начинает с изложения пяти допущений Пеано, которые являются независимыми, как было доказано Пеано и Падоа.

1. Ноль — это целое число.

2. Ноль не является преемником никакого целого числа.

3. Преемник целого числа — это целое число.

К этому следовало бы добавить:

У каждого целого числа есть преемник.

4. Два целых числа равны, если равны их преемники.

Пятое допущение — это принцип полной индукции.

Г-н Кутюра рассматривает эти допущения как замаскированные определения; они составляют определение через постулаты нуля, преемника и целого числа.

Но мы видели, что для того, чтобы определение через постулаты было приемлемым, мы должны быть в состоянии доказать, что оно не содержит противоречий.

Так ли это здесь? Отнюдь нет.

Доказательство не может быть сделано на примере. Мы не можем взять часть целых чисел, например первые три, и доказать, что они удовлетворяют определению.

Если я возьму ряд 0, 1, 2, я вижу, что он удовлетворяет допущениям 1, 2, 4 и 5; но чтобы удовлетворить допущению 3, все еще необходимо, чтобы 3 было целым числом, и, следовательно, чтобы ряд 0, 1, 2, 3 удовлетворял допущениям; мы могли бы доказать, что он удовлетворяет допущениям 1, 2, 4, 5, но допущение 3 требует, кроме того, чтобы 4 было целым числом и чтобы ряд 0, 1, 2, 3, 4 удовлетворял допущениям, и так далее.

Поэтому невозможно доказать допущения для определенных целых чисел, не доказав их для всех; мы должны отказаться от доказательства на примере.

Тогда необходимо взять все следствия наших допущений и посмотреть, не содержат ли они противоречий.

Если бы число этих следствий было конечным, это было бы легко; но их бесконечно много; они составляют всю математику, или, по крайней мере, всю арифметику.

Что же тогда делать? Возможно, строго говоря, мы могли бы повторить рассуждение из пункта III.

Но, как мы сказали, это рассуждение есть полная индукция, и именно принцип полной индукции является тем, обоснование которого и было бы предметом вопроса.

VI

Логика Гильберта

Я перехожу теперь к капитальной работе Гильберта, которую он представил на Конгрессе математиков в Гейдельберге и французский перевод которой, выполненный г-ном Пьером Бутру, появился в «l'Enseignement mathématique», тогда как английский перевод, принадлежащий Хэлстеду, появился в «The Monist». В этой работе, содержащей глубокие мысли, цель автора аналогична цели Рассела, но по многим пунктам он расходится со своим предшественником.

«Но, — говорит он (Monist, стр. 340), — при внимательном рассмотрении мы осознаем, что в обычном изложении законов логики уже используются некоторые фундаментальные понятия арифметики; например, понятие совокупности, отчасти также понятие числа».

«Мы попадаем таким образом в порочный круг, и поэтому, чтобы избежать парадоксов, необходимо частично одновременное развитие законов логики и арифметики».

Мы видели выше, что то, что Гильберт говорит о принципах логики в обычном изложении, применимо также к логике Рассела. Таким образом, для Рассела логика предшествует арифметике; для Гильберта они «одновременны». Мы найдем далее другие различия, еще большие, но мы укажем на них по мере того, как дойдем до них. Я предпочитаю следовать шаг за шагом за развитием мысли Гильберта, цитируя дословно наиболее важные отрывки.

«Возьмем в качестве основы нашего рассмотрения прежде всего мысленную вещь 1 (один)» (стр. 341). Заметьте, что, делая это, мы никоим образом не подразумеваем понятие числа, потому что подразумевается, что 1 здесь — это только символ и что мы вовсе не стремимся узнать его значение. «Взятие этой вещи вместе с самой собой соответственно два, три или более раз...» Ах! На этот раз это уже не то же самое; если мы вводим слова «два», «три» и, прежде всего, «более», «несколько», мы вводим понятие числа; и тогда определение конечного целого числа, которое мы представим сейчас, придет слишком поздно. Наш автор был слишком осмотрителен, чтобы не заметить этого предвосхищения основания. Поэтому в конце своей работы он пытается перейти к подлинному процессу «латания дыр».

Затем Гильберт вводит два простых объекта 1 и = и рассматривает все комбинации этих двух объектов, все комбинации их комбинаций и т. д. Само собой разумеется, что мы должны забыть обычное значение этих двух знаков и не приписывать им никакого.

Впоследствии он разделяет эти комбинации на два класса: класс существующего и класс несуществующего, и до дальнейших распоряжений это разделение является совершенно произвольным. Каждое утвердительное высказывание говорит нам, что определенная комбинация принадлежит к классу существующего; каждое отрицательное высказывание говорит нам, что определенная комбинация принадлежит к классу несуществующего.

VII

Заметьте теперь различие высочайшей важности. Для Рассела любой объект вообще, который он обозначает через x, — это объект абсолютно неопределенный, о котором он ничего не предполагает; для Гильберта это одна из комбинаций, образованных символами 1 и =; он не мог бы представить себе введение чего-либо иного, кроме комбинаций уже определенных объектов. Более того, Гильберт формулирует свою мысль самым четким образом, и я думаю, что должен воспроизвести in extenso его утверждение (стр. 348):

«В допущениях произвольные элементы (как эквивалент понятия «каждый» и «все» в обычной логике) представляют только те мысленные вещи и их комбинации друг с другом, которые на данной стадии заложены как фундаментальные или должны быть вновь определены. Поэтому при выведении следствий из допущений произвольные элементы, которые встречаются в допущениях, могут быть заменены только такими мысленными вещами и их комбинациями».

«Также мы должны должным образом помнить, что через добавление и принятие в качестве фундаментальной новой мысленной вещи предыдущие допущения претерпевают расширение своей значимости и, где необходимо, должны быть подвергнуты изменению в соответствии со смыслом».

Контраст с точкой зрения Рассела полный. Для этого философа мы можем подставить вместо x не только уже известные объекты, но и что угодно.

Рассел верен своей точке зрения, которая является точкой зрения охвата. Он исходит из общей идеи бытия и обогащает ее все больше и больше, ограничивая ее путем добавления новых качеств. Гильберт, напротив, признает возможными существами только комбинации уже известных объектов; так что (рассматривая только одну сторону его мысли) можно было бы сказать, что он принимает точку зрения объема.

VIII

Продолжим изложение идей Гильберта. Он вводит два допущения, которые он формулирует на своем символическом языке, но которые означают, на языке непосвященных, что каждое качество равно самому себе и что каждая операция, выполненная над двумя идентичными величинами, дает идентичные результаты.

Так сформулированные, они очевидны, но представить их так — значит исказить мысль Гильберта. Для него математика должна комбинировать только чистые символы, и настоящий математик должен рассуждать о них без предвзятых мнений относительно их значения. Поэтому его допущения — это для него не то, что они для обычных людей.

Он рассматривает их как представляющие определение через постулаты символа (=), доселе лишенного всякого значения. Но чтобы оправдать это определение, мы должны показать, что эти два допущения не ведут к противоречию. Для этого Гильберт использовал рассуждение из нашего пункта III, не замечая, по-видимому, что он использует полную индукцию.

IX

Конец работы Гильберта совершенно загадочен, и я не буду делать на нем акцент. Противоречия накапливаются; мы чувствуем, что автор смутно осознает petitio principii, который он совершил, и что он тщетно пытается залатать дыры в своем аргументе.

Что это означает? В момент доказательства того, что определение целого числа через допущение полной индукции не содержит противоречий, Гильберт отступает, как отступили Рассел и Кутюра, потому что трудность слишком велика.

X

Геометрия

Геометрия, говорит г-н Кутюра, — это обширный свод доктрин, в который не входит принцип полной индукции. Это верно в известной мере; мы не можем сказать, что он полностью отсутствует, но он входит очень незначительно. Если мы обратимся к «Рациональной геометрии» д-ра Хэлстеда (Нью-Йорк, John Wiley and Sons, 1904), построенной в соответствии с принципами Гильберта, мы увидим, что принцип индукции входит впервые на странице 114 (если я не допустил упущения, что вполне возможно).

Таким образом, геометрия, которая еще несколько лет назад казалась областью, где господство интуиции было неоспоримым, сегодня является царством, где, кажется, торжествуют логики. Ничто не могло бы лучше измерить важность геометрических работ Гильберта и глубокий след, который они оставили в наших концепциях.

Но не обманывайтесь. Что такое, в конце концов, фундаментальная теорема геометрии? Это то, что допущения геометрии не содержат противоречий, и это мы не можем доказать без принципа индукции.

Как Гильберт доказывает этот существенный пункт? Опираясь на анализ, а через него — на арифметику, а через нее — на принцип индукции.

И если когда-нибудь кто-то изобретет другое доказательство, все равно придется опираться на этот принцип, поскольку возможные следствия допущений, о которых необходимо показать, что они не противоречивы, бесконечны по числу.

XI

Заключение

Наш вывод сразу состоит в том, что принцип индукции нельзя рассматривать как замаскированное определение целого числа.

Вот три истины: (1) Принцип полной индукции; (2) Постулат Евклида; (3) физический закон, согласно которому фосфор плавится при 44° (цитируется г-ном Ле Руа).

Говорят, что это три замаскированных определения: первое — целого числа; второе — прямой линии; третье — фосфора.

Я согласен с этим для второго; я не признаю этого для двух других. Я должен объяснить причину этой кажущейся непоследовательности.

Во-первых, мы видели, что определение приемлемо только при условии, что оно не содержит противоречий. Мы показали также, что для первого определения это доказательство невозможно; с другой стороны, мы только что напомнили, что для второго Гильберт дал полное доказательство.

Что касается третьего, очевидно, оно не содержит противоречий. Означает ли это, что определение гарантирует, как и должно, существование определенного объекта? Мы здесь уже не в математических науках, а в физических, и слово «существование» уже не имеет того же значения. Оно больше не означает отсутствие противоречий; оно означает объективное существование.

Вы уже видите первую причину различия, которое я сделал между тремя случаями; есть вторая. В приложениях, которые мы должны сделать из этих трех понятий, представляются ли они нам как определенные этими тремя постулатами?

Возможные приложения принципа индукции бесчисленны; возьмем, например, одно из тех, что мы изложили выше, где пытаются доказать, что совокупность допущений не может привести к противоречию. Для этого мы рассматриваем один из рядов силлогизмов, который мы можем продолжать, исходя из этих допущений как посылок. Когда мы закончили n-й силлогизм, мы видим, что можем сделать еще один, и это n+1-й. Таким образом, число n служит для счета ряда последовательных операций; это число, получаемое последовательными сложениями. Это, следовательно, число, от которого мы можем вернуться к единице последовательными вычитаниями. Очевидно, мы не могли бы этого сделать, если бы у нас было n = n − 1, поскольку тогда при вычитании мы всегда получали бы снова то же самое число. Так что путь, которым мы были приведены к рассмотрению этого числа n, подразумевает определение конечного целого числа, и это определение следующее: конечное целое число — это то, которое может быть получено последовательными сложениями; оно таково, что n не равно n − 1.

Это допущено, что мы делаем? Мы показываем, что если не было противоречия до n-го силлогизма, то не будет его и до n+1-го, и заключаем, что его никогда не будет. Вы говорите: я имею право сделать этот вывод, поскольку целые числа — это по определению те, для которых подобное рассуждение законно. Но это подразумевает другое определение целого числа, которое выглядит так: целое число — это то, над которым мы можем рассуждать по рекурсии. В частном случае это то, о котором мы можем сказать, что если отсутствие противоречия до момента силлогизма, номер которого есть целое число, влечет за собой отсутствие противоречия до момента силлогизма, номер которого есть следующее целое число, то нам не нужно опасаться противоречия ни для одного из силлогизмов, номер которого есть целое число.

Два определения не идентичны; они, несомненно, эквивалентны, но только в силу синтетического суждения a priori; мы не можем перейти от одного к другому чисто логической процедурой. Следовательно, у нас нет права принимать второе, введя целое число путем, который предполагает первое.

С другой стороны, что происходит в отношении прямой линии? Я уже объяснял это так часто, что колеблюсь повторять снова, и ограничусь кратким резюме своей мысли. У нас нет, как в предыдущем случае, двух эквивалентных определений, логически несводимых одно к другому. У нас есть только одно, выразимое словами. Скажут ли, что есть другое, которое мы чувствуем, не будучи в состоянии выразить словами, поскольку у нас есть интуиция прямой линии или поскольку мы представляем себе прямую линию? Прежде всего, мы не можем представить ее себе в геометрическом пространстве, а только в репрезентативном пространстве, и затем мы можем представить себе точно так же объекты, которые обладают другими свойствами прямой линии, кроме свойства удовлетворять постулату Евклида. Эти объекты — «неевклидовы прямые», которые с определенной точки зрения не являются бессмысленными сущностями, а окружностями (истинными окружностями истинного пространства), ортогональными к некоторой сфере. Если среди этих объектов, одинаково способных к представлению, именно первые (евклидовы прямые) мы называем прямыми, а не последние (неевклидовы прямые), то это собственно по определению.

И переходя, наконец, к третьему примеру, определению фосфора, мы видим, что истинным определением было бы: Фосфор — это кусочек материи, который я вижу в вон той колбе.

XII

И раз уж я на эту тему, еще одно слово. О примере с фосфором я сказал: «Это предложение — реальный проверяемый физический закон, потому что оно означает, что все тела, обладающие всеми другими свойствами фосфора, кроме точки плавления, плавятся, как он, при 44°». И мне ответили: «Нет, этот закон не проверяем, потому что если бы было показано, что два тела, похожие на фосфор, плавятся одно при 44°, а другое при 50°, всегда можно было бы сказать, что, несомненно, помимо точки плавления, есть какое-то другое неизвестное свойство, которым они различаются».

Это было не совсем то, что я хотел сказать. Я должен был написать: «Все тела, обладающие такими-то и такими-то свойствами, конечными по числу (а именно, свойствами фосфора, указанными в книгах по химии, за исключением точки плавления), плавятся при 44°».

И чтобы лучше сделать очевидной разницу между случаем прямой и случаем фосфора, еще одно замечание. Прямая имеет в природе много образов, более или менее несовершенных, главными из которых являются световые лучи и ось вращения твердого тела. Предположим, мы обнаружим, что луч света не удовлетворяет постулату Евклида (например, показав, что звезда имеет отрицательный параллакс), что мы будем делать? Заключим ли мы, что прямая, будучи по определению траекторией света, не удовлетворяет постулату, или, с другой стороны, что прямая, по определению удовлетворяющая постулату, — это не луч света?

Безусловно, мы свободны принять то или иное определение и, следовательно, тот или иной вывод; но принять первое было бы глупо, потому что луч света, вероятно, удовлетворяет лишь несовершенно не только постулату Евклида, но и другим свойствам прямой линии, так что если он отклоняется от евклидовой прямой, он отклоняется не меньше от оси вращения твердых тел, которая является другим несовершенным образом прямой линии; в то время как, наконец, он, несомненно, подвержен изменениям, так что такая линия, которая вчера была прямой, перестанет быть прямой завтра, если изменится какое-то физическое обстоятельство.

Предположим теперь, мы обнаружим, что фосфор плавится не при 44°, а при 43,9°. Заключим ли мы, что фосфор, будучи по определению тем, что плавится при 44°, это тело, которое мы называли фосфором, не является истинным фосфором, или, с другой стороны, что фосфор плавится при 43,9°? Здесь опять мы свободны принять то или иное определение и, следовательно, тот или иной вывод; но принять первое было бы глупо, потому что мы не можем менять название вещества каждый раз, когда определяем новый десятичный знак его точки плавления.

XIII

Подводя итог, Рассел и Гильберт каждый предприняли энергичное усилие; каждый из них написал работу, полную оригинальных взглядов, глубоких и часто вполне обоснованных. Эти две работы дают нам много пищи для размышлений, и нам есть чему у них поучиться. Среди их результатов некоторые, даже многие, являются солидными и предназначенными для долгой жизни.

Но сказать, что они окончательно разрешили спор между Кантом и Лейбницем и разрушили кантовскую теорию математики, очевидно, неверно. Я не знаю, верили ли они действительно, что сделали это, но если они так верили, они обманывали себя.

ГЛАВА V

Последние усилия логистиков

I

Логики попытались ответить на предыдущие соображения. Для этого потребовалась трансформация логистики, и Рассел, в частности, изменил по некоторым пунктам свои первоначальные взгляды. Не вдаваясь в детали спора, я хотел бы вернуться к двум вопросам, наиболее важным, на мой взгляд: продемонстрировали ли правила логистики свою плодотворность и непогрешимость? Верно ли, что они дают средства доказать принцип полной индукции без какого-либо обращения к интуиции?

II

Непогрешимость логистики

Что касается вопроса о плодотворности, кажется, у г-на Кутюра наивные иллюзии. Логистика, по его словам, дает изобретению «ходули и крылья», а на следующей странице: «Десять лет назад Пеано опубликовал первое издание своего Formulaire». Как же так, десять лет крыльев — и не взлететь!

Я питаю высочайшее уважение к Пеано, который сделал очень красивые вещи (например, его «кривую, заполняющую пространство», фразу, ныне отброшенную); но в конце концов он не ушел дальше, не поднялся выше и не двигался быстрее, чем большинство бескрылых математиков, и справился бы так же хорошо своими ногами.

Напротив, я вижу в логистике только оковы для изобретателя. Это не помощь в лаконичности — далеко не так, и если двадцать семь уравнений потребовались, чтобы установить, что 1 — это число, сколько понадобилось бы, чтобы доказать реальную теорему? Если мы различаем, вместе с Уайтхедом, индивид x, класс, единственным членом которого является x и который будет называться ιx, затем класс, единственным членом которого является класс, единственным членом которого является x и который будет называться μx, — думаете ли вы, что эти различия, какими бы полезными они ни были, сильно ускоряют наш шаг?

Логистика заставляет нас говорить все то, что обычно оставляют подразумеваемым; она заставляет нас продвигаться шаг за шагом; это, возможно, надежнее, но не быстрее.

Не крылья вы, логистики, даете нам, а помочи. И тогда мы имеем право требовать, чтобы эти помочи предотвращали наше падение. Это будет их единственным оправданием. Когда облигация не приносит большого дохода, она должна, по крайней мере, быть вложением для отца семейства.

Следует ли следовать вашим правилам вслепую? Да, иначе только интуиция могла бы позволить нам различать их; но тогда они должны быть непогрешимы; ибо только в непогрешимую власть можно иметь слепое доверие. Это, следовательно, для вас необходимость. Вы будете непогрешимы, или вовсе не будете.

У вас нет права говорить нам: «Правда, мы совершаем ошибки, но и вы тоже». Для нас ошибиться — это несчастье, очень большое несчастье; для вас это смерть.

Не можете вы также спрашивать: мешает ли непогрешимость арифметики ошибкам в сложении? Правила вычисления непогрешимы, и все же мы видим, как ошибаются те, кто не применяет эти правила; но при проверке их вычисления сразу видно, где они ошиблись. Здесь совсем не тот случай; логики применили свои правила, и они впали в противоречие; и настолько это верно, что они готовятся изменить эти правила и «пожертвовать понятием класса». Зачем менять их, если они были непогрешимы?

«Мы не обязаны, — говорите вы, — решать hic et nunc (здесь и сейчас) все возможные проблемы». О, мы не просим от вас так много. Если бы перед лицом проблемы вы не дали никакого решения, нам нечего было бы сказать; но, напротив, вы даете нам два из них, и притом противоречивых, а следовательно, по крайней мере одно ложное; это и есть провал.

Рассел стремится примирить эти противоречия, что может быть сделано, по его словам, «только путем ограничения или даже принесения в жертву понятия класса». И г-н Кутюра, обнаруживая успех его попытки, добавляет: «Если логики преуспеют там, где другие потерпели неудачу, г-н Пуанкаре вспомнит эту фразу и отдаст честь решения логистике».

Но нет! Логистика существует, у нее есть свой кодекс, который уже выдержал четыре издания; или, скорее, этот кодекс и есть сама логистика. Готовится ли г-н Рассел показать, что по крайней мере одно из двух противоречивых рассуждений нарушило кодекс? Отнюдь нет; он готовится изменить эти законы и отменить определенное их число. Если он преуспеет, я отдам честь этому интуиции Рассела, а не пеановской логистике, которую он разрушит.

III

Свобода противоречия

Я сделал два главных возражения против определения целого числа, принятого в логистике. Что говорит г-н Кутюра на первое из этих возражений?

Что означает слово «существовать» в математике? Это означает, сказал я, быть свободным от противоречий. Это г-н Кутюра оспаривает. «Логическое существование, — говорит он, — это совсем другое дело, нежели отсутствие противоречий. Оно состоит в том, что класс не пуст». Сказать: «a существуют» — значит по определению утверждать, что класс a не пуст.

И, несомненно, утверждать, что класс a не пуст, — значит по определению утверждать, что «a существуют». Но одно из двух утверждений столь же лишено смысла, как и другое, если они оба не означают либо то, что можно увидеть или потрогать a, что является смыслом, который придают им физики или натуралисты, либо то, что можно помыслить a, не будучи втянутым в противоречия, что является смыслом, придаваемым им логиками и математиками.

Для М. Кутюра «не противоречивость доказывает существование, а существование доказывает непротиворечивость». Следовательно, чтобы установить существование класса, необходимо на примере доказать, что существует индивид, принадлежащий к этому классу: «Но, скажут нам, как доказывается существование этого индивида? Разве не должно быть установлено это существование, чтобы можно было вывести существование класса, частью которого он является? Что ж, нет; как бы парадоксально ни выглядело это утверждение, мы никогда не доказываем существование индивида. Индивиды, именно потому, что они являются индивидами, всегда рассматриваются как существующие... Нам никогда не приходится выражать, что индивид существует в абсолютном смысле, а только то, что он существует в классе». М. Кутюра находит свое собственное утверждение парадоксальным, и он, безусловно, будет не единственным. И все же оно должно иметь смысл. Это, несомненно, означает, что существование индивида, одинокого в мире, о котором ничего не утверждается, не может повлечь за собой противоречия; поскольку он совсем один, он, очевидно, никого не смутит. Ну что ж, пусть будет так; мы допустим существование индивида «в абсолютном смысле», но не более того. Остается доказать существование индивида «в классе», и для этого всегда будет необходимо доказать, что утверждение «Такой-то индивид принадлежит к такому-то классу» не является противоречивым ни само по себе, ни по отношению к другим принятым постулатам.

«Тогда, — продолжает М. Кутюра, — произвольно и вводит в заблуждение утверждение, что определение действительно только в том случае, если мы сначала докажем, что оно не противоречиво». Нельзя было бы заявить более гордыми и энергичными словами о свободе противоречия. «В любом случае, onus probandi (бремя доказательства) лежит на тех, кто считает, что эти принципы противоречивы». Постулаты считаются совместимыми до тех пор, пока не доказано обратное, точно так же, как обвиняемый считается невиновным. Излишне добавлять, что я не согласен с этим утверждением. Но, скажете вы, доказательство, которое вы от нас требуете, невозможно, и вы не можете просить нас перепрыгнуть через луну. Прошу прощения; это невозможно для вас, но не для нас, кто признает принцип индукции как синтетическое суждение a priori. И это было бы необходимо для вас, как и для нас.

Чтобы доказать, что система постулатов не содержит противоречий, необходимо применить принцип полной индукции; этот способ рассуждения не только не имеет в себе ничего «странного», но является единственно правильным. Не «маловероятно», что он когда-либо применялся; и нетрудно найти его «примеры и прецеденты». Я привел два таких примера, заимствованных из статьи Гильберта. Он не единственный, кто использовал его, и те, кто этого не сделал, были неправы. В чем я упрекал Гильберта, так это не в том, что он прибег к нему (такой прирожденный математик, как он, не мог не видеть, что доказательство необходимо и что это единственно возможное), а в том, что он прибег к нему, не признавая рассуждения по рекуррентности.

IV

Второе возражение

Я указал на вторую ошибку логистики в статье Гильберта. Сегодня Гильберт отлучен, и М. Кутюра больше не считает его принадлежащим к культу логистики; поэтому он спрашивает, нашел ли я ту же ошибку у ортодоксов. Нет, я не видел ее на страницах, которые читал; я не знаю, нашел ли бы я ее на трехстах страницах, которые они написали, но которые у меня нет желания читать.

Только они должны совершить ее в тот день, когда захотят применить математику. У этой науки не единственная цель — вечное созерцание собственного пупка; она имеет дело с природой, и однажды она коснется ее. Тогда необходимо будет стряхнуть с себя чисто словесные определения и перестать обманывать себя словами.

Возвращаясь к примеру Гильберта: предметом спора всегда является рассуждение по рекуррентности и вопрос о том, не противоречива ли система постулатов. М. Кутюра, несомненно, скажет, что тогда это его не касается, но, возможно, это заинтересует тех, кто не требует, как он, свободы противоречия.

Мы хотим установить, как сказано выше, что мы никогда не встретим противоречия после любого количества дедукций, при условии, что это число конечно. Для этого необходимо применить принцип индукции. Следует ли нам здесь понимать под конечным числом любое число, к которому по определению применяется принцип индукции? Очевидно, нет, иначе мы пришли бы к самым неловким последствиям. Чтобы иметь право устанавливать систему постулатов, мы должны быть уверены, что они не противоречивы. Это истина, признаваемая большинством ученых; я бы написал «всеми» до прочтения последней статьи М. Кутюра. Но что это означает? Означает ли это, что мы должны быть уверены, что не встретим противоречия после конечного числа предложений, причем конечное число по определению является тем, которое обладает всеми свойствами рекуррентного характера, так что если одно из этих свойств нарушается — если, например, мы наталкиваемся на противоречие — мы согласимся сказать, что рассматриваемое число не является конечным? Другими словами, имеем ли мы в виду, что мы должны быть уверены, что не встретим противоречий, при условии согласия остановиться как раз тогда, когда мы собираемся столкнуться с одним из них? Сформулировать такое предложение — значит осудить его.

Таким образом, рассуждение Гильберта не только предполагает принцип индукции, но и исходит из того, что этот принцип дан нам не как простое определение, а как синтетическое суждение a priori.

Подводя итог:

Доказательство необходимо.

Единственное возможное доказательство — это доказательство по рекуррентности.

Оно законно только в том случае, если мы признаем принцип индукции и если мы рассматриваем его не как определение, а как синтетическое суждение.

V

Антиномии Кантора

Теперь перейдем к рассмотрению новой работы Рассела. Эта работа была написана с целью преодоления трудностей, вызванных теми антиномиями Кантора, на которые уже часто ссылались. Кантор думал, что может построить науку о бесконечном; другие пошли по открытому им пути, но вскоре натолкнулись на странные противоречия. Эти антиномии уже многочисленны, но самые известные из них:

1. Антиномия Бурали-Форти;

2. Антиномия Цермело-Кёнига;

3. Антиномия Ришара.

Кантор доказал, что порядковые числа (речь идет о трансфинитных порядковых числах, новом понятии, введенном им) могут быть расположены в линейный ряд; то есть из двух неравных порядковых чисел одно всегда меньше другого. Бурали-Форти доказывает обратное; и, по сути, он говорит, что если бы можно было расположить все порядковые числа в линейный ряд, этот ряд определил бы порядковое число, большее всех остальных; мы могли бы впоследствии добавить 1 и снова получили бы порядковое число, которое было бы еще больше, а это противоречиво.

Мы вернемся позже к антиномии Цермело-Кёнига, которая имеет несколько иной характер. Антиномия Ришара [15] заключается в следующем: Рассмотрим все десятичные числа, определяемые конечным числом слов; эти десятичные числа образуют совокупность E, и легко видеть, что эта совокупность счетна, то есть мы можем пронумеровать различные десятичные числа этой совокупности от 1 до бесконечности. Предположим, что нумерация произведена, и определим число N следующим образом: Если n-я десятичная цифра n-го числа совокупности E равна

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

n-я десятичная цифра N будет:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1

Как мы видим, N не равно n-му числу E, и так как n произвольно, N не принадлежит E, и все же N должно принадлежать этой совокупности, поскольку мы определили его конечным числом слов.

Позже мы увидим, что М. Ришар сам с большой проницательностью дал объяснение своего парадокса и что оно распространяется, mutatis mutandis, на другие подобные парадоксы. Опять же, Рассел приводит еще один довольно забавный парадокс: Какое наименьшее целое число, которое нельзя определить фразой, состоящей менее чем из ста английских слов?

Это число существует; и на самом деле числа, которые можно определить подобной фразой, очевидно, конечны по количеству, поскольку слова английского языка не бесконечны. Следовательно, среди них будет одно, меньшее всех остальных. И, с другой стороны, это число не существует, потому что его определение содержит противоречие. Это число, на самом деле, определяется фразой, выделенной курсивом, которая состоит менее чем из ста английских слов; и по определению это число не должно быть определяемым подобной фразой.

VI

Теория зигзага и теория отсутствия классов

Какова позиция г-на Рассела перед лицом этих противоречий? Проанализировав те, о которых мы только что говорили, и приведя еще другие, придав им форму, напоминающую Эпименида, он без колебаний заключает: «Пропозициональная функция одной переменной не всегда определяет класс». Пропозициональная функция (то есть определение) не всегда определяет класс. «Пропозициональная функция» или «норма» может быть «непредикативной». И это не означает, что эти непредикативные предложения определяют пустой класс, нулевой класс; это не означает, что нет значения x, удовлетворяющего определению и способного быть одним из элементов класса. Элементы существуют, но они не имеют права объединяться в синдикат, чтобы сформировать класс.

Но это только начало, и необходимо знать, как распознать, является ли определение предикативным или нет. Чтобы решить эту проблему, Рассел колеблется между тремя теориями, которые он называет

A. Теория зигзага;

B. Теория ограничения размера;

C. Теория отсутствия классов.

Согласно теории зигзага, «определения (пропозициональные функции) определяют класс, когда они очень просты, и перестают это делать только тогда, когда они сложны и неясны». Кто теперь должен решать, можно ли считать определение достаточно простым, чтобы быть приемлемым? На этот вопрос нет ответа, если это не честное признание полной неспособности: «Правила, которые позволяют нам распознать, являются ли эти определения предикативными, были бы чрезвычайно сложными и не могут быть рекомендованы какой-либо правдоподобной причиной. Это недостаток, который можно было бы исправить большей изобретательностью или использованием различий, еще не указанных. Но до сих пор, в поисках этих правил, я не смог найти никакого другого руководящего принципа, кроме отсутствия противоречия».

Эта теория поэтому остается очень неясной; в этой ночи единственный свет — слово «зигзаг». То, что Рассел называет «зигзагообразностью», несомненно, является той особой характеристикой, которая отличает аргумент Эпименида.

Согласно теории ограничения размера, класс перестал бы иметь право на существование, если бы он был слишком обширным. Возможно, он мог бы быть бесконечным, но не должен быть слишком бесконечным. Но мы всегда снова сталкиваемся с той же трудностью; в какой точный момент он начинает быть слишком бесконечным? Конечно, эта трудность не решена, и Рассел переходит к третьей теории.

В теории отсутствия классов запрещено произносить слово «класс», и это слово должно быть заменено различными перифразами. Какая перемена для логистики, которая говорит только о классах и классах классов! Становится необходимым переделать всю логистику. Представьте, как выглядела бы страница логистики при вычеркивании всех предложений, где идет речь о классе. Там остались бы только несколько разрозненных выживших посреди пустой страницы. Apparent rari nantes in gurgite vasto (редкие пловцы видны в огромной пучине).

Как бы то ни было, мы видим, как Рассел колеблется и каким изменениям он подвергает фундаментальные принципы, которые он до сих пор принимал. Нужны критерии, чтобы решить, является ли определение слишком сложным или слишком обширным, и эти критерии могут быть оправданы только обращением к интуиции.

Именно к теории отсутствия классов Рассел в конечном итоге склоняется. Как бы то ни было, логистику предстоит переделать, и неясно, сколько из нее можно спасти. Излишне добавлять, что рассматриваются только канторизм и логистика; реальная математика, та, которая полезна для чего-то, может продолжать развиваться в соответствии со своими собственными принципами, не беспокоясь о бурях, которые бушуют вне ее, и продолжать шаг за шагом свои обычные завоевания, которые являются окончательными и от которых ей никогда не приходится отказываться.

VII

Истинное решение

Какой выбор мы должны сделать среди этих различных теорий? Мне кажется, что решение содержится в письме М. Ришара, о котором я говорил выше, которое можно найти в Revue générale des sciences от 30 июня 1905 года. Изложив антиномию, которую мы назвали антиномией Ришара, он дает ее объяснение. Вспомните, что уже было сказано об этой антиномии. E — это совокупность всех чисел, определяемых конечным числом слов, без введения понятия самой совокупности E. Иначе определение E содержало бы порочный круг; мы не должны определять E через саму совокупность E.

Теперь мы определили N конечным числом слов, это правда, но с помощью понятия совокупности E. И именно поэтому N не является частью E. В примере, выбранном М. Ришаром, вывод представляется с полной очевидностью, и очевидность покажется еще более сильной при ознакомлении с текстом самого письма. Но то же объяснение справедливо и для других антиномий, что легко проверить. Таким образом, определения, которые следует рассматривать как непредикативные, — это те, которые содержат порочный круг. И предыдущие примеры достаточно показывают, что я под этим подразумеваю. Это ли то, что Рассел называет «зигзагообразностью»? Я задаю вопрос, не отвечая на него.

VIII

Доказательства принципа индукции

Давайте теперь рассмотрим мнимые доказательства принципа индукции и, в частности, доказательства Уайтхеда и Бурали-Форти.

Мы сначала поговорим об Уайтхеде и воспользуемся некоторыми новыми терминами, удачно введенными Расселом в его недавней работе. Назовем рекуррентным классом любой класс, содержащий ноль и содержащий n + 1, если он содержит n. Назовем индуктивным числом любое число, которое является частью всех рекуррентных классов. При каком условии это последнее определение, которое играет существенную роль в доказательстве Уайтхеда, будет «предикативным» и, следовательно, приемлемым?

В соответствии с тем, что было сказано, необходимо понимать под «всеми» рекуррентными классами все те, в определение которых не входит понятие индуктивного числа. Иначе мы снова попадем в порочный круг, который породил антиномии.

Но Уайтхед не принял этой предосторожности. Рассуждение Уайтхеда поэтому ошибочно; оно такое же, которое привело к антиномиям. Оно было незаконным, когда давало ложные результаты; оно остается незаконным, когда случайно приводит к истинному результату.

Определение, содержащее порочный круг, ничего не определяет. Бесполезно говорить: мы уверены, какой бы смысл мы ни придавали нашему определению, ноль по крайней мере принадлежит к классу индуктивных чисел; вопрос не в том, чтобы знать, является ли этот класс пустым, а в том, может ли он быть строго разграничен. «Непредикативный» класс — это не пустой класс, это класс, граница которого неопределенна. Излишне добавлять, что это частное возражение оставляет в силе общие возражения, применимые ко всем доказательствам.

IX

Бурали-Форти дал другое доказательство [16]. Но он вынужден принять два постулата: Во-первых, всегда существует по крайней мере один бесконечный класс. Второй выражается так:

Первый постулат не более очевиден, чем доказываемый принцип. Второй не только не очевиден, но и ложен, как показал Уайтхед; как, впрочем, любой новобранец увидел бы с первого взгляда, если бы аксиома была сформулирована на понятном языке, поскольку она означает, что количество комбинаций, которые можно сформировать из нескольких объектов, меньше, чем количество этих объектов.

X

Допущение Цермело

Знаменитое доказательство Цермело опирается на следующее допущение: В любой совокупности (или в каждой совокупности из некоторого множества совокупностей) мы всегда можем выбрать наугад элемент (даже если это множество совокупностей содержит бесконечность совокупностей). Это допущение применялось тысячу раз, не будучи сформулированным, но, будучи сформулированным, оно вызвало сомнения. Некоторые математики, например М. Борель, решительно отвергают его; другие восхищаются им. Посмотрим, что, согласно его последней статье, думает об этом Рассел. Он не высказывается прямо, но его размышления очень показательны.

И сначала живописный пример: Предположим, у нас столько пар обуви, сколько целых чисел, и так, что мы можем пронумеровать пары от одного до бесконечности, сколько ботинок у нас будет? Будет ли количество ботинок равно количеству пар? Да, если в каждой паре правый ботинок отличим от левого; на самом деле будет достаточно присвоить номер 2n − 1 правому ботинку n-й пары, а номер 2n — левому ботинку n-й пары. Нет, если правый ботинок точно такой же, как левый, потому что подобная операция стала бы невозможной — если только мы не допустим допущение Цермело, поскольку тогда мы могли бы выбрать наугад в каждой паре ботинок, который следует считать правым.

XI

Выводы

Доказательство, действительно основанное на принципах аналитической логики, будет состоять из ряда предложений. Некоторые, служащие посылками, будут тождествами или определениями; другие будут выведены из посылок шаг за шагом. Но хотя связь между каждым предложением и следующим непосредственно очевидна, на первый взгляд не будет видно, как мы переходим от первого к последнему, которое мы можем быть склонны рассматривать как новую истину. Но если мы последовательно заменим различные выражения в нем их определениями и если эта операция будет доведена до конца, насколько это возможно, в конечном итоге останутся только тождества, так что все сведется к огромной тавтологии. Логика поэтому остается бесплодной, если ее не делает плодотворной интуиция.

Это я написал давно; логистика утверждает обратное и думает, что доказала это, фактически доказывая новые истины. С помощью какого механизма? Почему при применении к их рассуждениям процедуры, только что описанной — а именно, замены определенных терминов их определениями — мы не видим, как они растворяются в тождества, как обычные рассуждения? Это потому, что эта процедура к ним неприменима. И почему? Потому что их определения не являются предикативными и представляют собой такого рода скрытый порочный круг, на который я указал выше; непредикативные определения не могут быть подставлены вместо определенных терминов. В этих условиях логистика не бесплодна, она порождает антиномии.

Именно вера в существование актуальной бесконечности породила эти непредикативные определения. Позвольте мне объяснить. В этих определениях фигурирует слово «все», как видно из примеров, приведенных выше. Слово «все» имеет очень точное значение, когда речь идет о конечном числе объектов; чтобы иметь другое значение, когда объекты бесконечны по количеству, потребовалось бы наличие актуальной (данной как завершенная) бесконечности. В противном случае все эти объекты не могли бы быть задуманы как постулированные до их определения, и тогда, если определение понятия N зависит от всех объектов A, оно может быть заражено порочным кругом, если среди объектов A есть такие, которые нельзя определить без вмешательства самого понятия N.

Правила формальной логики просто выражают свойства всех возможных классификаций. Но чтобы они были применимы, необходимо, чтобы эти классификации были неизменными и чтобы у нас не было необходимости изменять их в ходе рассуждения. Если нам нужно классифицировать только конечное число объектов, легко сохранить наши классификации без изменений. Если объекты неопределенны по количеству, то есть если человек постоянно подвергается риску увидеть появление новых и непредвиденных объектов, может случиться так, что появление нового объекта может потребовать изменения классификации, и именно так мы подвергаемся риску антиномий. Актуальной (данной как завершенная) бесконечности не существует. Канторианцы забыли об этом и впали в противоречие. Правда, канторизм был полезен, но это было тогда, когда он применялся к реальной проблеме, термины которой были точно определены, и тогда мы могли продвигаться без страха.

Логистика также забыла об этом, как и канторианцы, и столкнулась с теми же трудностями. Но вопрос в том, чтобы знать, пошли ли они по этому пути случайно или это было для них необходимостью. Для меня вопрос не вызывает сомнений; вера в актуальную бесконечность существенна в логике Рассела. Именно это отличает ее от логики Гильберта. Гильберт принимает точку зрения экстенсиональности, именно для того, чтобы избежать канторовских антиномий. Рассел принимает точку зрения интенсиональности. Следовательно, для него род предшествует виду, а summum genus (высший род) предшествует всему. Это не было бы неудобно, если бы summum genus был конечным; но если он бесконечен, необходимо постулировать бесконечное, то есть рассматривать бесконечное как актуальное (данное как завершенное). И у нас есть не только бесконечные классы; когда мы переходим от рода к виду, ограничивая понятие новыми условиями, эти условия все еще бесконечны по количеству. Потому что они выражают в общем, что рассматриваемый объект представляет такое или иное отношение со всеми объектами бесконечного класса.

Но это древняя история. Рассел осознал опасность и советуется. Он собирается изменить все, и, что легко понять, он готовится не только ввести новые принципы, которые позволят совершать операции, ранее запрещенные, но он готовится запретить операции, которые он ранее считал законными. Не довольствуясь тем, чтобы поклоняться тому, что он сжигал, он собирается сжечь то, чему поклонялся, что более серьезно. Он не добавляет новое крыло к зданию, он подрывает его фундамент.

Старая логистика мертва, настолько, что уже теория зигзага и теория отсутствия классов спорят о преемственности. Чтобы судить о новом, мы будем ждать его прихода.

КНИГА III НОВАЯ МЕХАНИКА

ГЛАВА I

Механика и радий

I

Введение

Общие принципы динамики, которые со времен Ньютона служили фундаментом для физической науки и которые казались незыблемыми, находятся ли они на грани того, чтобы быть отброшенными или, по крайней мере, глубоко измененными? Вот о чем многие люди спрашивают себя уже несколько лет. По их мнению, открытие радия опрокинуло научные догмы, которые мы считали наиболее прочными: с одной стороны, невозможность трансмутации металлов; с другой стороны, фундаментальные постулаты механики.

Возможно, слишком поспешно считать эти новинки окончательно установленными и разбивать наших вчерашних идолов; возможно, было бы уместно, прежде чем принимать чью-либо сторону, дождаться более многочисленных и более убедительных экспериментов. Тем не менее, необходимо уже сегодня знать новые доктрины и аргументы, уже очень весомые, на которых они основываются.

В нескольких словах давайте сначала вспомним, в чем состоят эти принципы:

A. Движение материальной точки, изолированной и отделенной от всякой внешней силы, является прямолинейным и равномерным; это принцип инерции: без силы нет ускорения;

B. Ускорение движущейся точки имеет то же направление, что и равнодействующая всех сил, которым она подвергается; оно равно частному от деления этой равнодействующей на коэффициент, называемый массой движущейся точки.

Масса движущейся точки, определенная таким образом, является константой; она не зависит от скорости, приобретенной этой точкой; она одинакова, независимо от того, направлена ли сила параллельно этой скорости, стремясь только ускорить или замедлить движение точки, или же, наоборот, будучи перпендикулярной этой скорости, она стремится заставить это движение отклониться вправо или влево, то есть искривить траекторию;

C. Все силы, воздействующие на материальную точку, происходят от действия других материальных точек; они зависят только от относительных положений и скоростей этих различных материальных точек.

Объединяя два принципа B и C, мы приходим к принципу относительного движения, в силу которого законы движения системы одинаковы, независимо от того, относим ли мы эту систему к неподвижным осям или к движущимся осям, совершающим прямолинейное и равномерное поступательное движение, так что невозможно отличить абсолютное движение от относительного движения по отношению к таким движущимся осям;

D. Если материальная точка A действует на другую материальную точку B, тело B реагирует на A, и эти два действия представляют собой две равные и прямо противоположные силы. Это принцип равенства действия и противодействия, или, короче, принцип противодействия.

Астрономические наблюдения и самые обычные физические явления, по-видимому, дали этим принципам подтверждение полное, постоянное и очень точное. Это правда, теперь говорят, но это потому, что мы никогда не работали ни с чем, кроме очень малых скоростей; Меркурий, например, самая быстрая из планет, движется едва ли со скоростью 100 километров в секунду. Вела бы себя эта планета так же, если бы она двигалась в тысячу раз быстрее? Мы видим, что пока нет причин для беспокойства; каковы бы ни были успехи автомобилизма, пройдет много времени, прежде чем нам придется отказаться от применения к нашим машинам классических принципов динамики.

Как же тогда мы пришли к тому, чтобы создавать реальные скорости в тысячу раз большие, чем у Меркурия, равные, например, десятой или третьей части скорости света, или приближающиеся еще ближе к этой скорости? Это с помощью катодных лучей и лучей радия.

Мы знаем, что радий испускает три вида лучей, обозначаемых тремя греческими буквами α, β, γ; в дальнейшем, если не будет прямо указано обратное, речь всегда будет идти о β-лучах, которые аналогичны катодным лучам.

После открытия катодных лучей появились две теории. Крукс приписывал явления настоящей молекулярной бомбардировке; Герц — особым колебаниям эфира. Это было возобновление дебатов, которые разделяли физиков столетие назад по поводу света; Крукс принял теорию испускания, отброшенную для света; Герц придерживался волновой теории. Факты, по-видимому, решают в пользу Крукса.

Было признано, во-первых, что катодные лучи несут с собой отрицательный электрический заряд; они отклоняются магнитным полем и электрическим полем; и эти отклонения именно такие, какие эти же поля произвели бы на снаряды, обладающие очень высокой скоростью и сильно заряженные электричеством. Эти два отклонения зависят от двух величин: одна — скорость, другая — отношение электрического заряда снаряда к его массе; мы не можем знать абсолютное значение этой массы, ни значение заряда, а только их отношение; на самом деле, ясно, что если мы удвоим одновременно заряд и массу, не меняя скорости, мы удвоим силу, которая стремится отклонить снаряд, но, поскольку его масса также удвоена, ускорение и наблюдаемое отклонение не изменятся. Наблюдение двух отклонений даст нам, следовательно, два уравнения для определения этих двух неизвестных. Мы находим скорость от 10 000 до 30 000 километров в секунду; что касается отношения заряда к массе, оно очень велико. Мы можем сравнить его с соответствующим отношением для иона водорода в электролизе; тогда мы обнаружим, что катодный снаряд несет примерно в тысячу раз больше электричества, чем несла бы равная масса водорода в электролите.

Чтобы подтвердить эти взгляды, нам нужно прямое измерение этой скорости для сравнения со скоростью, вычисленной таким образом. Старые эксперименты Дж. Дж. Томсона дали результаты, которые были более чем в сто раз меньше; но они были подвержены определенным причинам ошибок. Вопрос был снова поднят Вихертом в установке, где использовались герцевы колебания; были получены результаты, согласующиеся с теорией, по крайней мере по порядку величины; было бы очень интересно повторить эти эксперименты. Как бы то ни было, теория колебаний кажется бессильной объяснить этот комплекс фактов.

Те же расчеты, сделанные применительно к β-лучам радия, дали еще большие скорости: 100 000 или 200 000 километров или даже больше. Эти скорости значительно превосходят все известные нам. Правда, давно известно, что свет проходит 300 000 километров в секунду; но это не перенос материи, в то время как, если мы примем теорию испускания для катодных лучей, будут существовать материальные молекулы, действительно движущиеся с рассматриваемыми скоростями, и уместно исследовать, применимы ли к ним еще обычные законы механики.

II

Масса продольная и масса поперечная

Мы знаем, что электрические токи производят явления индукции, в частности самоиндукции. Когда ток увеличивается, развивается электродвижущая сила самоиндукции, которая стремится противодействовать току; наоборот, когда ток уменьшается, электродвижущая сила самоиндукции стремится поддержать ток. Самоиндукция поэтому противодействует всякому изменению интенсивности тока, точно так же, как в механике инерция тела противодействует всякому изменению его скорости.

Самоиндукция — это настоящая инерция. Все происходит так, как если бы ток не мог установиться, не приведя в движение окружающий эфир, и как если бы инерция этого эфира стремилась, следовательно, сохранить постоянной интенсивность этого тока. Потребовалось бы преодолеть эту инерцию, чтобы установить ток, необходимо было бы преодолеть ее снова, чтобы заставить ток прекратиться.

Катодный луч, который представляет собой дождь снарядов, заряженных отрицательным электричеством, можно уподобить току; несомненно, этот ток отличается, по крайней мере на первый взгляд, от токов обычной проводимости, где материя не движется и где электричество циркулирует через материю. Это ток конвекции, где электричество, прикрепленное к материальному носителю, увлекается движением этого носителя. Но Роуленд доказал, что токи конвекции производят те же магнитные эффекты, что и токи проводимости; они должны производить также те же эффекты индукции. Во-первых, если бы это было не так, был бы нарушен принцип сохранения энергии; кроме того, Кремье и Пендер использовали метод, непосредственно выявляющий эти эффекты индукции.

Если скорость катодного корпускула изменяется, интенсивность соответствующего тока будет также изменяться; и будут развиваться эффекты самоиндукции, которые будут стремиться противодействовать этому изменению. Эти корпускулы должны поэтому обладать двойной инерцией: во-первых, своей собственной инерцией, а затем кажущейся инерцией, обусловленной самоиндукцией, которая производит те же эффекты. Они будут поэтому иметь общую кажущуюся массу, состоящую из их реальной массы и фиктивной массы электромагнитного происхождения. Расчет показывает, что эта фиктивная масса изменяется со скоростью и что сила инерции самоиндукции не одинакова, когда скорость снаряда ускоряется или замедляется, или когда он отклоняется; поэтому то же самое происходит и с силой общей кажущейся инерции.

Общая кажущаяся масса поэтому не одинакова, когда реальная сила, приложенная к корпускулу, параллельна его скорости и стремится ускорить движение, и когда она перпендикулярна этой скорости и стремится заставить направление измениться. Необходимо поэтому различать общую продольную массу от общей поперечной массы. Эти две общие массы зависят, кроме того, от скорости. Это следует из теоретической работы Абрагама.

В измерениях, о которых мы говорим в предыдущем разделе, что мы определяем, измеряя два отклонения? Это скорость, с одной стороны, и, с другой стороны, отношение заряда к общей поперечной массе. Как в этих условиях мы можем выделить в этой общей массе часть реальной массы и часть фиктивной электромагнитной массы? Если бы у нас были только катодные лучи в собственном смысле слова, об этом нельзя было бы и мечтать; но, к счастью, у нас есть лучи радия, которые, как мы видели, заметно быстрее. Эти лучи не все идентичны и ведут себя не одинаково под действием электрического поля и магнитного поля. Установлено, что электрическое отклонение является функцией магнитного отклонения, и мы можем, принимая на чувствительную пластинку лучи радия, которые подверглись действию двух полей, сфотографировать кривую, которая представляет отношение между этими двумя отклонениями. Это то, что сделал Кауфман, выводя из этого отношение между скоростью и отношением заряда к общей кажущейся массе, отношение, которое мы назовем ε.

Можно было бы предположить, что существуют несколько видов лучей, каждый из которых характеризуется фиксированной скоростью, фиксированным зарядом и фиксированной массой. Но эта гипотеза маловероятна; почему, на самом деле, все корпускулы одной и той же массы всегда принимали бы одну и ту же скорость? Естественнее предположить, что заряд, как и реальная масса, одинаковы для всех снарядов и что они различаются только своей скоростью. Если отношение ε является функцией скорости, это не потому, что реальная масса изменяется с этой скоростью; но, поскольку фиктивная электромагнитная масса зависит от этой скорости, общая кажущаяся масса, единственно наблюдаемая, должна зависеть от нее, хотя реальная масса от нее не зависит и может быть постоянной.

Расчеты Абрагама позволяют нам узнать закон, согласно которому фиктивная масса изменяется как функция скорости; эксперимент Кауфмана позволяет нам узнать закон изменения общей массы.

Сравнение этих двух законов позволит нам, следовательно, определить отношение реальной массы к общей массе.

Таков метод, который использовал Кауфман для определения этого отношения. Результат в высшей степени удивителен: реальная масса равна нулю.

Это привело к совершенно неожиданным концепциям. То, что было доказано только для катодных корпускул, было распространено на все тела. То, что мы называем массой, было бы только видимостью; вся инерция была бы электромагнитного происхождения. Но тогда масса больше не была бы постоянной, она увеличивалась бы со скоростью; заметно постоянная для скоростей до 1000 километров в секунду, она затем увеличивалась бы и стала бы бесконечной для скорости света. Поперечная масса больше не была бы равна продольной: они были бы лишь почти равны, если скорость не слишком велика. Принцип B механики больше не был бы истинным.

III

Канальные лучи

На том этапе, на котором мы сейчас находимся, этот вывод мог бы показаться преждевременным. Можно ли применять ко всей материи то, что было доказано только для таких легких корпускул, которые являются лишь эманацией материи и, возможно, не являются настоящей материей? Но прежде чем переходить к этому вопросу, нужно сказать слово о другом виде лучей. Я имею в виду канальные лучи, Kanalstrahlen Гольдштейна.

Катод, вместе с катодными лучами, заряженными отрицательным электричеством, испускает канальные лучи, заряженные положительным электричеством. В общем, эти канальные лучи, не отталкиваясь катодом, ограничены непосредственной близостью этого катода, где они образуют «замшевую подушку», которую не очень легко заметить; но если катод пронизан отверстиями и если он почти полностью блокирует трубку, канальные лучи распространяются позади катода, в направлении, противоположном направлению катодных лучей, и становится возможным их изучать. Именно так удалось показать их положительный заряд и показать, что магнитные и электрические отклонения все еще существуют, как и для катодных лучей, но гораздо слабее.

Радий также испускает лучи, аналогичные канальным лучам, и относительно очень поглощаемые, называемые α-лучами.

Мы можем, как и для катодных лучей, измерить два отклонения и отсюда вывести скорость и отношение ε. Результаты менее постоянны, чем для катодных лучей, но скорость меньше, как и отношение ε; положительные корпускулы менее заряжены, чем отрицательные; или если, что более естественно, мы предположим, что заряды равны и противоположны по знаку, положительные корпускулы гораздо больше. Эти корпускулы, заряженные одни положительно, другие отрицательно, были названы электронами.

IV

Теория Лоренца

Но электроны не просто показывают нам свое существование в этих лучах, где они наделены огромными скоростями. Мы увидим их в совершенно иных ролях, и именно они объясняют основные явления оптики и электричества. Блестящий синтез, который мы сейчас рассмотрим, принадлежит Лоренцу.

Материя сформирована исключительно из электронов, несущих огромные заряды, и если она кажется нам нейтральной, то это потому, что заряды противоположного знака этих электронов компенсируют друг друга. Мы можем представить себе, например, своего рода солнечную систему, сформированную из большого положительного электрона, вокруг которого вращаются многочисленные маленькие планеты, отрицательные электроны, притягиваемые электричеством противоположного имени, которое заряжает центральный электрон. Отрицательные заряды этих планет уравновешивали бы положительный заряд этого солнца, так что алгебраическая сумма всех этих зарядов была бы равна нулю.

Все эти электроны плавают в эфире. Эфир везде идентично один и тот же, и возмущения в нем распространяются по тем же законам, что и свет или герцевы колебания в вакууме. Нет ничего, кроме электронов и эфира. Когда световая волна входит в часть эфира, где электроны многочисленны, эти электроны приходят в движение под влиянием возмущения эфира, и они затем реагируют на эфир. Так объяснялись бы преломление, дисперсия, двойное лучепреломление и поглощение. Точно так же, если по какой-либо причине электрон приводится в движение, он потревожил бы эфир вокруг себя и дал бы начало световым волнам, и это объяснило бы испускание света раскаленными телами.

В некоторых телах, металлах например, у нас были бы неподвижные электроны, между которыми циркулировали бы движущиеся электроны, пользующиеся полной свободой, за исключением того, чтобы выходить из металлического тела и нарушать поверхность, которая отделяет его от внешнего вакуума или от воздуха, или от любого другого неметаллического тела.

Эти подвижные электроны ведут себя тогда внутри металлического тела так же, как, согласно кинетической теории газов, молекулы газа внутри сосуда, где этот газ заключен. Но под влиянием разности потенциалов отрицательные подвижные электроны стремились бы все уйти в одну сторону, а положительные подвижные электроны — в другую. Это то, что производило бы электрические токи, и именно поэтому эти тела были бы проводниками. С другой стороны, скорости наших электронов были бы тем больше, чем выше температура, если мы примем ассимиляцию с кинетической теорией газов. Когда один из этих подвижных электронов встречает поверхность металлического тела, границу которого он не может пересечь, он отражается как бильярдный шар, ударившийся о борт, и его скорость претерпевает внезапное изменение направления. Но когда электрон меняет направление, как мы увидим далее, он становится источником световой волны, и именно поэтому горячие металлы раскалены.

В других телах, диэлектриках и прозрачных телах, подвижные электроны пользуются гораздо меньшей свободой. Они остаются как бы прикрепленными к неподвижным электронам, которые их притягивают. Чем дальше они уходят от них, тем больше становится это притяжение и стремится притянуть их обратно. Они поэтому могут совершать только небольшие экскурсии; они больше не могут циркулировать, а только колебаться около своего среднего положения. Именно поэтому эти тела не были бы проводниками; более того, они чаще всего были бы прозрачными, и они были бы преломляющими, поскольку световые вибрации передавались бы подвижным электронам, восприимчивым к колебаниям, и отсюда возникло бы возмущение.

Я не могу здесь привести детали расчетов; я ограничиваюсь тем, что говорю, что эта теория объясняет все известные факты и предсказала новые, такие как эффект Зеемана.

V

Механические последствия

Мы теперь можем столкнуться с двумя гипотезами:

1º Положительные электроны имеют реальную массу, гораздо большую, чем их фиктивная электромагнитная масса; только отрицательные электроны лишены реальной массы. Мы могли бы даже предположить, что помимо электронов двух знаков существуют нейтральные атомы, которые имеют только свою реальную массу. В этом случае механика не затрагивается; нет необходимости касаться ее законов; реальная масса постоянна; просто движения нарушаются эффектами самоиндукции, как это всегда было известно; более того, эти возмущения почти пренебрежимо малы, за исключением отрицательных электронов, которые, не имея реальной массы, не являются настоящей материей.

2º Но есть другая точка зрения; мы можем предположить, что нет нейтральных атомов и положительные электроны лишены реальной массы так же, как отрицательные электроны. Но тогда, когда реальная масса исчезает, либо слово «масса» больше не будет иметь никакого смысла, либо оно должно обозначать фиктивную электромагнитную массу; в этом случае масса больше не будет постоянной, поперечная масса больше не будет равна продольной, принципы механики будут опрокинуты.

Сначала слово объяснения. Мы сказали, что для одного и того же заряда общая масса положительного электрона гораздо больше, чем отрицательного. И тогда естественно думать, что эта разница объясняется тем, что положительный электрон имеет, помимо своей фиктивной массы, значительную реальную массу; что возвращает нас к первой гипотезе. Но мы можем точно так же предположить, что реальная масса равна нулю для них, как и для других, но что фиктивная масса положительного электрона гораздо больше, поскольку этот электрон гораздо меньше. Я говорю обдуманно: гораздо меньше. И, на самом деле, в этой гипотезе инерция исключительно электромагнитного происхождения; она сводится к инерции эфира; электроны больше не являются ничем сами по себе; они являются исключительно дырами в эфире, вокруг которых движется эфир; чем меньше эти дыры, тем больше будет эфира, тем больше, следовательно, будет инерция эфира.

Как нам сделать выбор между этими двумя гипотезами? Воздействуя на каналовые лучи так же, как Кауфман воздействовал на β-лучи? Это невозможно; скорость этих лучей слишком мала. Должен ли каждый поэтому решать в соответствии со своим темпераментом, консерваторы — в одну сторону, а любители нового — в другую? Возможно, но чтобы полностью понять аргументы новаторов, необходимо принять во внимание другие соображения.

ГЛАВА II

Механика и оптика

I

Аберрация

Вы знаете, в чем состоит явление аберрации, открытое Брэдли. Свет, исходящий от звезды, затрачивает определенное время на прохождение через телескоп; за это время телескоп, увлекаемый движением Земли, смещается. Поэтому, если бы телескоп был направлен в истинном направлении на звезду, изображение сформировалось бы в точке, которую занимает пересечение нитей сетки в тот момент, когда свет достигает объектива; но это пересечение уже не находилось бы в этой же точке, когда свет достиг бы плоскости сетки. Нам пришлось бы наводить телескоп неточно, чтобы совместить изображение с пересечением нитей. Отсюда следует, что астроном будет наводить телескоп не в направлении абсолютной скорости света, то есть не на истинное положение звезды, а именно в направлении относительной скорости света по отношению к Земле, то есть на то, что называется видимым положением звезды.

Скорость света известна; мы могли бы поэтому предположить, что у нас есть средства для вычисления абсолютной скорости Земли. (Я вскоре объясню, почему я использую здесь слово «абсолютная».) Ничего подобного; мы действительно знаем видимое положение звезды, которую наблюдаем, но мы не знаем ее истинного положения; мы знаем скорость света только по величине, а не по направлению.

Если бы, следовательно, абсолютная скорость Земли была прямолинейной и равномерной, мы никогда не заподозрили бы существование явления аберрации; но она переменна; она состоит из двух частей: скорости Солнечной системы, которая является прямолинейной и равномерной, и скорости Земли по отношению к Солнцу, которая является переменной. Если бы существовала только скорость Солнечной системы, то есть постоянная часть, наблюдаемое направление было бы неизменным. Это положение, которое таким образом наблюдалось бы, называется средним видимым положением звезды.

Учитывая теперь одновременно обе части скорости Земли, мы получим фактическое видимое положение, которое описывает маленький эллипс вокруг среднего видимого положения, и именно этот эллипс мы и наблюдаем.

Пренебрегая очень малыми величинами, мы увидим, что размеры этого эллипса зависят только от отношения скорости Земли по отношению к Солнцу к скорости света, так что в расчет входит только относительная скорость Земли по отношению к Солнцу.

Но подождите! Этот результат не точен, он лишь приблизителен; давайте продвинем приближение немного дальше. Размеры эллипса будут тогда зависеть от абсолютной скорости Земли. Сравним большие оси эллипса для разных звезд: у нас будут, по крайней мере теоретически, средства для определения этой абсолютной скорости.

Это было бы, пожалуй, менее шокирующим, чем кажется на первый взгляд; на самом деле речь идет не о скорости по отношению к абсолютному пустому пространству, а о скорости по отношению к эфиру, который по определению принимается за абсолютно неподвижный.

К тому же этот метод чисто теоретический. На самом деле аберрация очень мала; возможные вариации эллипса аберрации еще гораздо меньше, и если мы рассматриваем аберрацию как величину первого порядка, то их следует считать величинами второго порядка: около миллионной доли секунды; они абсолютно неуловимы для наших инструментов. В конце концов мы увидим далее, почему предыдущую теорию следует отвергнуть и почему мы не смогли бы определить эту абсолютную скорость, даже если бы наши инструменты были в десять тысяч раз точнее!

Можно было бы вообразить какие-то другие средства, и, собственно, так и делали. Скорость света в воде не та же, что в воздухе; нельзя ли сравнить два видимых положения звезды, наблюдаемой через телескоп, сначала заполненный воздухом, а затем водой? Результаты оказались отрицательными; видимые законы отражения и преломления не изменяются движением Земли. Это явление допускает два объяснения:

1º Можно предположить, что эфир не находится в покое, а увлекается движущимся телом. Тогда было бы неудивительно, что явления преломления не изменяются движением Земли, поскольку все — призмы, телескопы и эфир — увлекаются вместе в одном и том же поступательном движении. Что касается самой аберрации, то она объяснялась бы своего рода преломлением, происходящим на поверхности раздела между эфиром, покоящимся в межзвездном пространстве, и эфиром, увлекаемым движением Земли. Именно на этой гипотезе (полного увлечения эфира) основана теория Герца по электродинамике движущихся тел.

2º Френель, напротив, предполагает, что эфир находится в абсолютном покое в пустоте, почти в абсолютном покое в воздухе, какова бы ни была скорость этого воздуха, и что он частично увлекается преломляющими средами. Лоренц придал этой теории более удовлетворительную форму. Для него эфир покоится, движутся только электроны; в пустоте, где речь идет только об эфире, в воздухе, где это почти так, увлечение равно нулю или почти равно нулю; в преломляющих средах, где возмущение создается одновременно колебаниями эфира и электронов, приведенных в движение колебаниями эфира, волны частично увлекаются.

Чтобы сделать выбор между двумя гипотезами, у нас есть опыт Физо, сравнивающий путем измерения интерференционных полос скорость света в покоящемся или движущемся воздухе. Эти эксперименты подтвердили гипотезу Френеля о частичном увлечении. Они были повторены с тем же результатом Майкельсоном. Теория Герца, следовательно, должна быть отвергнута.

II

Принцип относительности

Но если эфир не увлекается движением Земли, возможно ли показать с помощью оптических явлений абсолютную скорость Земли, или, скорее, ее скорость по отношению к неподвижному эфиру? Эксперимент ответил отрицательно, и все же экспериментальные процедуры варьировались всеми возможными способами. Какими бы средствами мы ни пользовались, никогда не будет обнаружено ничего, кроме относительных скоростей; я имею в виду скорости определенных материальных тел по отношению к другим материальным телам. В самом деле, если источник света и прибор для наблюдения находятся на Земле и участвуют в ее движении, экспериментальные результаты всегда были одними и теми же, независимо от ориентации прибора по отношению к орбитальному движению Земли. Если астрономическая аберрация и происходит, то это потому, что источник, звезда, находится в движении по отношению к наблюдателю.

Гипотезы, сделанные до сих пор, прекрасно объясняют этот общий результат, если мы пренебрежем очень малыми величинами порядка квадрата аберрации. Объяснение опирается на понятие местного времени, введенное Лоренцем, которое я постараюсь прояснить. Предположим, два наблюдателя, помещенные один в точке A, другой в точке B, желают установить свои часы с помощью оптических сигналов. Они договариваются, что B пошлет сигнал в A, когда его часы покажут определенное время, а A должен установить свои часы на это время в тот момент, когда увидит сигнал. Если бы было сделано только это, возникла бы систематическая ошибка, потому что, поскольку свет затрачивает определенное время t на путь от B до A, часы A отставали бы от часов B на время t. Эта ошибка легко исправляется. Достаточно обменяться сигналами. A, в свою очередь, должен подать сигнал B, и после этой новой корректировки часы B будут отставать от часов A на время t. Тогда будет достаточно взять среднее арифметическое из двух корректировок.

Но этот способ действий предполагает, что свет затрачивает столько же времени на путь от A до B, сколько на обратный путь от B до A. Это верно, если наблюдатели неподвижны; это уже не так, если они увлекаются общим поступательным движением, поскольку тогда A, например, будет двигаться навстречу свету, идущему от B, в то время как B будет удаляться от света, идущего от A. Если, следовательно, наблюдатели увлекаются общим поступательным движением и не подозревают об этом, их корректировка будет дефектной; их часы не будут показывать одно и то же время; каждые из них будут показывать местное время, относящееся к той точке, где они находятся.

У двух наблюдателей не будет способа заметить это, если неподвижный эфир может передавать им только световые сигналы, все с одной и той же скоростью, и если другие сигналы, которые они могли бы послать, передаются средами, увлекаемыми вместе с ними в их поступательном движении. Явление, которое наблюдает каждый из них, произойдет слишком рано или слишком поздно; оно было бы увидено в один и тот же момент, только если бы поступательного движения не существовало; но так как оно будет наблюдаться с помощью часов, которые идут неверно, это не будет замечено, и видимые явления не изменятся.

Из этого следует, что компенсацию легко объяснить до тех пор, пока мы пренебрегаем квадратом аберрации, и долгое время эксперименты не были достаточно точными, чтобы оправдать учет этого факта. Но настал день, когда Майкельсон придумал гораздо более тонкую процедуру: он заставил интерферировать лучи, которые прошли разные пути после отражения от зеркал; каждый из путей составлял примерно метр, а интерференционные полосы позволяли распознать долю тысячной доли миллиметра, так что квадратом аберрации уже нельзя было пренебрегать, и все же результаты оставались отрицательными. Поэтому теорию требовалось дополнить, что и было сделано с помощью гипотезы Лоренца-Фитцджеральда.

Эти два физика предполагают, что все тела, увлекаемые в поступательном движении, претерпевают сокращение в направлении этого движения, в то время как их размеры, перпендикулярные этому движению, остаются неизменными. Это сокращение одинаково для всех тел; более того, оно очень мало, около одной двухсотмиллионной доли для такой скорости, как скорость Земли. К тому же наши измерительные приборы не могли бы обнаружить его, даже если бы они были гораздо точнее; наши измерительные линейки, по сути, претерпевают то же сокращение, что и измеряемые объекты. Если метр точно подходит при приложении к телу, если мы направим тело и, следовательно, метр в направлении движения Земли, он не перестанет точно подходить при другой ориентации, и это несмотря на то, что тело и метр изменились в длине, а также в ориентации, и именно потому, что изменение одинаково как для одного, так и для другого. Но совсем другое дело, если мы измеряем длину не метром, а временем, затрачиваемым светом на прохождение вдоль нее, а это как раз то, что сделал Майкельсон.

Тело, сферическое в покое, примет таким образом форму сплюснутого эллипсоида вращения при движении; но наблюдатель всегда будет считать его сферическим, поскольку он сам претерпел аналогичную деформацию, как и все объекты, служащие точками отсчета. Напротив, поверхности световых волн, оставаясь строго сферическими, будут казаться ему вытянутыми эллипсоидами.

Что же тогда происходит? Предположим, наблюдатель и источник света увлекаются вместе в поступательном движении: волновые поверхности, исходящие из источника, будут сферами, имеющими своими центрами последовательные положения источника; расстояние от этого центра до фактического положения источника будет пропорционально времени, прошедшему после излучения, то есть радиусу сферы. Все эти сферы, следовательно, гомотетичны одна другой по отношению к фактическому положению S источника. Но для нашего наблюдателя из-за сокращения все эти сферы будут казаться вытянутыми эллипсоидами, и все эти эллипсоиды будут, более того, гомотетичны по отношению к точке S; эксцентриситет всех этих эллипсоидов одинаков и зависит исключительно от скорости Земли. Мы выберем закон сокращения так, чтобы точка S находилась в фокусе меридионального сечения эллипсоида.

На этот раз компенсация является строгой, и именно это объясняет эксперимент Майкельсона.

Я сказал выше, что, согласно обычным теориям, наблюдения астрономической аберрации дали бы нам абсолютную скорость Земли, если бы наши инструменты были в тысячу раз точнее. Я должен изменить это утверждение. Да, наблюдаемые углы были бы изменены эффектом этой абсолютной скорости, но градуированные круги, которые мы используем для измерения углов, были бы деформированы поступательным движением: они стали бы эллипсами; отсюда возникла бы ошибка в отношении измеренного угла, и эта вторая ошибка точно скомпенсировала бы первую.

Эта гипотеза Лоренца-Фитцджеральда кажется на первый взгляд очень необычной; все, что мы можем сказать в ее пользу на данный момент, это то, что она является лишь непосредственным переводом экспериментального результата Майкельсона, если мы определяем длины временем, затрачиваемым светом на их прохождение.

Как бы то ни было, невозможно избавиться от впечатления, что принцип относительности является общим законом природы, что никогда не удастся никакими вообразимыми средствами показать какие-либо иные скорости, кроме относительных, и я имею в виду под этим не только скорости тел по отношению к эфиру, но и скорости тел по отношению друг к другу. Слишком много различных экспериментов дали согласующиеся результаты, чтобы мы не почувствовали искушения приписать этому принципу относительности значение, сравнимое, например, со значением принципа эквивалентности. В любом случае, уместно посмотреть, к каким последствиям привел бы нас такой взгляд на вещи, а затем подвергнуть эти последствия контролю эксперимента.

III

Принцип реакции

Посмотрим, во что превращается принцип равенства действия и противодействия в теории Лоренца. Рассмотрим электрон A, который по какой-либо причине начинает двигаться; он создает возмущение в эфире; по прошествии определенного времени это возмущение достигает другого электрона B, который будет выведен из своего положения равновесия. В этих условиях не может быть равенства между действием и противодействием, по крайней мере, если мы не рассматриваем эфир, а только электроны, которые одни лишь наблюдаемы, поскольку наша материя состоит из электронов.

На самом деле именно электрон A потревожил электрон B; даже в случае, если бы электрон B прореагировал на A, эта реакция могла бы быть равна действию, но ни в коем случае не одновременна, поскольку электрон B может начать двигаться только спустя определенное время, необходимое для распространения. Подвергая проблему более точному расчету, мы приходим к следующему результату: предположим, что вибратор Герца помещен в фокус параболического зеркала, к которому он механически прикреплен; этот вибратор излучает электромагнитные волны, и зеркало отражает все эти волны в одном направлении; вибратор, следовательно, будет излучать энергию в определенном направлении. Что ж, расчет показывает, что вибратор отскакивает, как пушка, выстрелившая снарядом. В случае с пушкой отдача является естественным результатом равенства действия и противодействия. Пушка отскакивает, потому что снаряд, на который она воздействовала, реагирует на нее. Но здесь уже не то же самое. То, что было послано, больше не является материальным снарядом: это энергия, а энергия не имеет массы: у нее нет противодействия. И вместо вибратора мы могли бы рассмотреть просто лампу с отражателем, концентрирующим ее лучи в одном направлении.

Правда, если энергия, посланная от вибратора или от лампы, встречает материальный объект, этот объект получает механический толчок, как если бы он был поражен реальным снарядом, и этот толчок будет равен отдаче вибратора и лампы, если по пути не было потеряно никакой энергии и если объект поглощает всю энергию. Поэтому возникает искушение сказать, что компенсация между действием и противодействием все же существует. Но эта компенсация, даже если бы она была полной, всегда запоздалая. Она никогда не происходит, если свет, покинув свой источник, блуждает по межзвездным пространствам, никогда не встречая материального тела; она неполная, если тело, которое он поражает, не является идеально поглощающим.

Являются ли эти механические действия слишком малыми, чтобы их можно было измерить, или они доступны для эксперимента? Эти действия — не что иное, как действия, обусловленные давлением Максвелла-Бартоли; Максвелл предсказал эти давления на основе расчетов, относящихся к электростатике и магнетизму; Бартоли пришел к тому же результату путем термодинамических соображений.

Именно так объясняются хвосты комет. Маленькие частицы отделяются от ядра кометы; они поражаются светом Солнца, который отталкивает их, как если бы это был дождь снарядов, летящих от Солнца. Масса этих частиц настолько мала, что это отталкивание сметает их вопреки ньютоновскому притяжению; поэтому, удаляясь от Солнца, они образуют хвосты.

Прямую экспериментальную проверку получить было нелегко. Первая попытка привела к созданию радиометра. Но этот прибор вращается в обратную сторону, в направлении, противоположном теоретическому, и объяснение его вращения, открытое позже, совершенно иное. Наконец, успех пришел благодаря тому, что, с одной стороны, вакуум был сделан более полным, а с другой — одна из сторон лопастей не была зачернена, и на одну из сторон был направлен пучок световых лучей. Радиометрические эффекты и другие возмущающие причины были устранены рядом тщательных мер предосторожности, и было получено отклонение, которое очень мало, но которое, по-видимому, соответствует теории.

Те же эффекты давления Максвелла-Бартоли предсказываются также теорией Герца, о которой мы говорили ранее, и теорией Лоренца. Но есть разница. Предположим, что энергия, например, в форме света, исходит от светящегося источника к любому телу через прозрачную среду. Давление Максвелла-Бартоли будет действовать не только на источник при отправлении и на освещенное тело при прибытии, но и на вещество прозрачной среды, которую оно пересекает. В тот момент, когда световая волна достигает новой области этой среды, это давление будет толкать вперед распределенное там вещество и будет возвращать его назад, когда волна покидает эту область. Так что отдача источника имеет своим противодействием движение вперед прозрачного вещества, которое находится в контакте с этим источником; чуть позже отдача этого же вещества имеет своим противодействием движение вперед прозрачного вещества, которое лежит немного дальше, и так далее.

Только является ли компенсация совершенной? Равно ли действие давления Максвелла-Бартоли на вещество прозрачной среды его реакции на источник, и независимо от того, что это за вещество? Или это действие тем меньше, чем менее преломляющей и более разреженной является среда, становясь равным нулю в пустоте?

Если мы примем теорию Герца, который рассматривает материю как механически связанную с эфиром, так что эфир может полностью увлекаться материей, то на первый вопрос необходимо было бы ответить «да», а на второй — «нет».

Тогда существовала бы совершенная компенсация, как того требует принцип равенства действия и противодействия, даже в наименее преломляющих средах, даже в воздухе, даже в межпланетной пустоте, где достаточно было бы предположить наличие остатка материи, сколь угодно тонкого. Если, напротив, мы примем теорию Лоренца, компенсация, всегда несовершенная, является незаметной в воздухе и становится равной нулю в пустоте.

Но мы видели выше, что эксперимент Физо не позволяет нам сохранить теорию Герца; необходимо, следовательно, принять теорию Лоренца и, следовательно, отказаться от принципа реакции.

IV

Последствия принципа относительности

Мы видели выше причины, которые побуждают нас рассматривать принцип относительности как общий закон природы. Посмотрим, к каким последствиям привел бы этот принцип, если бы он был окончательно доказан.

Во-первых, он обязывает нас обобщить гипотезу Лоренца и Фитцджеральда о сокращении всех тел в направлении поступательного движения. В частности, мы должны распространить эту гипотезу на сами электроны. Абрахам рассматривал эти электроны как сферические и недеформируемые; нам необходимо будет допустить, что эти электроны, сферические в покое, претерпевают лоренцево сокращение при движении и принимают тогда форму сплюснутых эллипсоидов.

Эта деформация электронов повлияет на их механические свойства. На самом деле я сказал, что смещение этих заряженных электронов является настоящим током конвекции и что их кажущаяся инерция обусловлена самоиндукцией этого тока: исключительно в отношении отрицательных электронов; исключительно или нет, мы пока не знаем, для положительных электронов. Что ж, деформация электронов, деформация, которая зависит от их скорости, изменит распределение электричества на их поверхности, следовательно, интенсивность тока конвекции, который они производят, следовательно, законы, согласно которым самоиндукция этого тока будет изменяться как функция скорости.

Такой ценой компенсация будет совершенной и будет соответствовать требованиям принципа относительности, но только при двух условиях:

1º Чтобы положительные электроны не имели реальной массы, а только фиктивную электромагнитную массу; или, по крайней мере, чтобы их реальная масса, если она существует, не была постоянной и изменялась со скоростью согласно тем же законам, что и их фиктивная масса;

2º Чтобы все силы имели электромагнитное происхождение, или, по крайней мере, чтобы они изменялись со скоростью согласно тем же законам, что и силы электромагнитного происхождения.

Это все еще Лоренц, который совершил этот замечательный синтез; остановимся на мгновение и посмотрим, что из этого следует. Во-первых, больше нет материи, поскольку положительные электроны больше не имеют реальной массы, или, по крайней мере, постоянной реальной массы. Нынешние принципы нашей механики, основанные на постоянстве массы, должны, следовательно, быть изменены. Далее, необходимо искать электромагнитное объяснение всех известных сил, в частности гравитации, или, по крайней мере, закон гравитации должен быть изменен таким образом, чтобы эта сила изменялась со скоростью так же, как электромагнитные силы. Мы вернемся к этому пункту.

Все это кажется на первый взгляд немного искусственным. В частности, эта деформация электронов кажется весьма гипотетической. Но дело можно представить иначе, чтобы избежать помещения этой гипотезы о деформации в основу рассуждений. Рассмотрим электроны как материальные точки и спросим, как их масса должна изменяться как функция скорости, чтобы не противоречить принципу относительности. Или, еще лучше, спросим, каким должно быть их ускорение под влиянием электрического или магнитного поля, чтобы этот принцип не нарушался и чтобы мы вернулись к обычным законам, когда предполагаем скорость очень малой. Мы обнаружим, что изменения этой массы, или этих ускорений, должны быть такими, как если бы электрон претерпевал лоренцеву деформацию.

V

Эксперимент Кауфмана

Перед нами, таким образом, две теории: одна, где электроны недеформируемы, это теория Абрахама; другая, где они претерпевают лоренцеву деформацию. В обоих случаях их масса увеличивается со скоростью, становясь бесконечной, когда эта скорость становится равной скорости света; но закон изменения не один и тот же. Метод, использованный Кауфманом для выявления закона изменения массы, кажется, следовательно, дает нам экспериментальное средство для выбора между двумя теориями.

К несчастью, его первые эксперименты не были достаточно точными для этого; поэтому он решил повторить их с большими предосторожностями, измеряя с большой тщательностью интенсивность полей. В своей новой форме они в пользу теории Абрахама. Тогда принцип относительности не имел бы того строгого значения, которое мы были склонны ему приписывать; больше не было бы оснований считать положительные электроны лишенными реальной массы, подобно отрицательным электронам. Однако, прежде чем окончательно принять этот вывод, необходимо немного поразмыслить. Вопрос настолько важен, что желательно, чтобы эксперимент Кауфмана был повторен другим экспериментатором. К несчастью, этот эксперимент очень деликатен и мог быть успешно выполнен только физиком такой же способности, как Кауфман. Все меры предосторожности были должным образом приняты, и мы едва ли видим, какое возражение можно было бы сделать.

Есть один момент, однако, на который я хочу обратить внимание: это измерение электростатического поля, измерение, от которого все зависит. Это поле создавалось между двумя обкладками конденсатора; и между этими обкладками должен был быть создан чрезвычайно совершенный вакуум, чтобы получить полную изоляцию. Затем измерялась разность потенциалов двух обкладок, и поле получалось делением этой разности на расстояние между обкладками. Это предполагает поле равномерным; так ли это достоверно? Не может ли быть резкого падения потенциала вблизи одной из обкладок, например, отрицательной обкладки? Может существовать разность потенциалов на стыке металла и вакуума, и может быть, что эта разность не одна и та же на положительной и на отрицательной стороне; что заставляет меня так думать, так это эффекты электрического клапана между ртутью и вакуумом. Как бы мала ни была вероятность того, что это так, кажется, что это следует рассмотреть.

VI

Принцип инерции

В новой динамике принцип инерции все еще верен, то есть изолированный электрон будет иметь прямолинейное и равномерное движение. По крайней мере, это обычно предполагается; однако Линдеман выдвинул возражения против этого взгляда; я не хочу принимать участие в этой дискуссии, которую не могу здесь изложить из-за ее слишком сложного характера. В любом случае, небольших модификаций теории было бы достаточно, чтобы защитить ее от возражений Линдемана.

Мы знаем, что тело, погруженное в жидкость, испытывает при движении значительное сопротивление, но это потому, что наши жидкости вязкие; в идеальной жидкости, совершенно свободной от вязкости, тело взбудоражило бы за собой жидкий холм, своего рода след; при отправлении потребовалось бы большое усилие, чтобы привести его в движение, так как потребовалось бы переместить не только само тело, но и жидкость его следа. Но движение, однажды приобретенное, увековечивалось бы без сопротивления, поскольку тело, продвигаясь, просто несло бы с собой возмущение жидкости, без увеличения общей живой силы жидкости. Все происходило бы, следовательно, так, как если бы его инерция увеличилась. Электрон, продвигающийся в эфире, вел бы себя таким же образом: вокруг него эфир был бы взбудоражен, но это возмущение сопровождало бы тело в его движении; так что для наблюдателя, увлекаемого вместе с электроном, электрическое и магнитное поля, сопровождающие этот электрон, казались бы неизменными и изменялись бы только в том случае, если бы изменялась скорость электрона. Потребовалось бы, следовательно, усилие, чтобы привести электрон в движение, так как потребовалось бы создать энергию этих полей; напротив, как только движение приобретено, никакое усилие не потребовалось бы для его поддержания, так как созданная энергия должна была бы только следовать позади электрона как след. Эта энергия, следовательно, могла бы только увеличить инерцию электрона, как возмущение жидкости увеличивает инерцию тела, погруженного в идеальную жидкость. И во всяком случае, отрицательные электроны, по крайней мере, не имеют никакой другой инерции, кроме этой.

В гипотезе Лоренца живая сила, которая является лишь энергией эфира, не пропорциональна v2. Несомненно, если v очень мало, живая сила заметно пропорциональна v2, количество движения заметно пропорционально v, обе массы заметно постоянны и равны друг другу. Но когда скорость стремится к скорости света, живая сила, количество движения и обе массы увеличиваются без всякого предела.

В гипотезе Абрахама выражения немного сложнее; но то, что мы только что сказали, остается верным в существенных чертах.

Так что масса, количество движения, живая сила становятся бесконечными, когда скорость равна скорости света.

Отсюда следует, что ни одно тело не может достичь каким-либо образом скорости, превышающей скорость света. И на самом деле, по мере того как его скорость увеличивается, его масса увеличивается, так что его инерция противопоставляет любому новому увеличению скорости все большее и большее препятствие.

Возникает тогда вопрос: допустим принцип относительности; наблюдатель в движении не имел бы никакого способа заметить свое собственное движение. Если, следовательно, ни одно тело в своем абсолютном движении не может превысить скорость света, но может приближаться к ней настолько, насколько вы пожелаете, то же самое должно быть и в отношении его относительного движения по отношению к нашему наблюдателю. И тогда мы могли бы поддаться искушению рассуждать следующим образом: наблюдатель может достичь скорости 200 000 километров; тело в своем относительном движении по отношению к наблюдателю может достичь той же скорости; его абсолютная скорость будет тогда 400 000 километров, что невозможно, так как это за пределами скорости света. Это только видимость, которая исчезает, когда принимается во внимание то, как Лоренц оценивает местное время.

VII

Волна ускорения

Когда электрон находится в движении, он создает возмущение в окружающем его эфире; если его движение прямолинейное и равномерное, это возмущение сводится к следу, о котором мы говорили в предыдущем разделе. Но это уже не так, если движение криволинейное или переменное. Возмущение может тогда рассматриваться как суперпозиция двух других, которым Ланжевен дал названия волны скорости и волны ускорения. Волна скорости — это лишь та волна, которая происходит при равномерном движении.

Что касается волны ускорения, то это возмущение, совершенно аналогичное световым волнам, которое исходит от электрона в тот момент, когда он претерпевает ускорение, и которое затем распространяется последовательными сферическими волнами со скоростью света. Откуда следует: при прямолинейном и равномерном движении энергия полностью сохраняется; но когда есть ускорение, происходит потеря энергии, которая рассеивается в форме световых волн и уходит в бесконечность через эфир.

Однако эффекты этой волны ускорения, в частности соответствующая потеря энергии, в большинстве случаев пренебрежимо малы, то есть не только в обычной механике и в движениях небесных тел, но даже в радиевых лучах, где скорость очень велика, а ускорение — нет. Мы можем тогда ограничиться применением законов механики, приравняв силу произведению ускорения на массу, эта масса, однако, изменяется со скоростью согласно законам, объясненным выше. Мы тогда говорим, что движение квазистационарное.

Это было бы не так во всех случаях, когда ускорение велико, главными из которых являются следующие:

1º В раскаленных газах некоторые электроны совершают колебательное движение очень высокой частоты; смещения очень малы, скорости конечны, а ускорения очень велики; энергия тогда передается эфиру, и именно поэтому эти газы излучают свет того же периода, что и колебания электрона;

2º Наоборот, когда газ получает свет, эти же электроны приводятся в колебание с сильными ускорениями, и они поглощают свет;

3º В вибраторе Герца электроны, которые циркулируют в металлической массе, претерпевают в момент разряда резкое ускорение и принимают тогда колебательное движение высокой частоты. Отсюда следует, что часть энергии излучается в форме герцевых волн;

4º В раскаленном металле электроны, заключенные в этом металле, движутся с большой скоростью; достигая поверхности металла, которую они не могут преодолеть, они отражаются и таким образом претерпевают значительное ускорение. Именно поэтому металл излучает свет. Детали законов излучения света темными телами прекрасно объясняются этой гипотезой;

5º Наконец, когда катодные лучи ударяют в антикатод, отрицательные электроны, составляющие эти лучи, которые движутся с очень большой скоростью, резко останавливаются. Из-за ускорения, которое они таким образом претерпевают, они производят волны в эфире. Это, по мнению некоторых физиков, является происхождением рентгеновских лучей, которые были бы лишь световыми лучами очень короткой длины волны.

ГЛАВА III

Новая механика и астрономия

I

Гравитация

Масса может быть определена двумя способами:

1º Частным от деления силы на ускорение; это истинное определение массы, которая измеряет инерцию тела.

2º Притяжением, которое тело оказывает на внешнее тело, в силу закона Ньютона. Мы должны, следовательно, различать массовый коэффициент инерции и массовый коэффициент притяжения. Согласно закону Ньютона, существует строгая пропорциональность между этими двумя коэффициентами. Но это доказано только для скоростей, к которым применимы общие принципы динамики. Теперь мы видели, что массовый коэффициент инерции увеличивается со скоростью; должны ли мы сделать вывод, что массовый коэффициент притяжения увеличивается так же со скоростью и остается пропорциональным коэффициенту инерции, или, напротив, что этот коэффициент притяжения остается постоянным? Это вопрос, который у нас нет средств решить.

С другой стороны, если коэффициент притяжения зависит от скорости, поскольку скорости двух тел, которые взаимно притягиваются, в общем случае не одни и те же, как этот коэффициент будет зависеть от этих двух скоростей?

На этот счет мы можем только строить гипотезы, но мы естественно приводимся к исследованию того, какие из этих гипотез были бы совместимы с принципом относительности. Их существует большое количество; единственная, о которой я буду здесь говорить, — это гипотеза Лоренца, которую я кратко изложу.

Рассмотрим сначала электроны в покое. Два электрона одного знака отталкиваются, а два электрона противоположного знака притягиваются; в обычной теории их взаимные действия пропорциональны их электрическим зарядам; если, следовательно, у нас есть четыре электрона, два положительных A и A´ и два отрицательных B и B´, заряды этих четырех будучи одинаковыми по абсолютной величине, отталкивание A для A´ будет на том же расстоянии равно отталкиванию B для B´ и равно также притяжению A для B´ или A´ для B. Если, следовательно, A и B находятся очень близко друг к другу, как и A´ и B´, и мы исследуем действие системы A + B на систему A´ + B´, мы будем иметь два отталкивания и два притяжения, которые точно скомпенсируют друг друга, и результирующее действие будет равно нулю.

Теперь материальные молекулы следует рассматривать как своего рода солнечные системы, где циркулируют электроны, некоторые положительные, некоторые отрицательные, и таким образом, что алгебраическая сумма всех зарядов равна нулю. Материальная молекула, следовательно, полностью аналогична системе A + B, о которой мы говорили, так что полное электрическое действие двух молекул друг на друга должно быть равно нулю.

Но эксперимент показывает нам, что эти молекулы притягиваются друг к другу вследствие ньютоновской гравитации; и тогда мы можем сделать две гипотезы: мы можем предположить, что гравитация не имеет отношения к электростатическим притяжениям, что она обусловлена совершенно другой причиной и является просто чем-то дополнительным; или же мы можем предположить, что притяжения не пропорциональны зарядам и что притяжение, оказываемое зарядом +1 на заряд -1, больше, чем взаимное отталкивание двух зарядов +1 или двух зарядов -1.

Другими словами, электрическое поле, создаваемое положительными электронами, и то, которое создают отрицательные электроны, могли бы накладываться и все же оставаться различными. Положительные электроны были бы более чувствительны к полю, создаваемому отрицательными электронами, чем к полю, создаваемому положительными электронами; обратное было бы верно для отрицательных электронов. Ясно, что эта гипотеза несколько усложняет электростатику, но она возвращает в нее гравитацию. Это была, в сумме, гипотеза Франклина.

Что происходит теперь, если электроны находятся в движении? Положительные электроны вызовут возмущение в эфире и создадут там электрическое и магнитное поле. То же самое будет и для отрицательных электронов. Электроны, как положительные, так и отрицательные, претерпевают тогда механический импульс под действием этих различных полей. В обычной теории электромагнитное поле, обусловленное движением положительных электронов, оказывает на два электрона противоположного знака и одинакового абсолютного заряда равные действия с противоположным знаком. Мы можем тогда без неудобств не различать поле, обусловленное движением положительных электронов, и поле, обусловленное движением отрицательных электронов, и рассматривать только алгебраическую сумму этих двух полей, то есть результирующее поле.

В новой теории, напротив, действие на положительные электроны электромагнитного поля, обусловленного положительными электронами, следует обычным законам; то же самое с действием на отрицательные электроны поля, обусловленного отрицательными электронами. Рассмотрим теперь действие поля, обусловленного положительными электронами на отрицательные электроны (или наоборот); оно все еще будет следовать тем же законам, но с другим коэффициентом. Каждый электрон более чувствителен к полю, созданному электронами противоположного имени, чем к полю, созданному электронами того же имени.

Такова гипотеза Лоренца, которая сводится к гипотезе Франклина для малых скоростей; она будет, следовательно, объяснять для этих малых скоростей закон Ньютона. Более того, поскольку гравитация сводится к силам электродинамического происхождения, общая теория Лоренца будет применима, и, следовательно, принцип относительности не будет нарушен.

Мы видим, что закон Ньютона больше не применим к большим скоростям и что он должен быть изменен для движущихся тел точно так же, как законы электростатики для движущегося электричества.

Мы знаем, что электромагнитные возмущения распространяются со скоростью света. Мы можем, следовательно, поддаться искушению отвергнуть предыдущую теорию, вспомнив, что гравитация распространяется, согласно расчетам Лапласа, по крайней мере в десять миллионов раз быстрее света, и что, следовательно, она не может быть электромагнитного происхождения. Результат Лапласа хорошо известен, но обычно не знают его значения. Лаплас предполагал, что если распространение гравитации не мгновенно, то ее скорость распространения комбинируется со скоростью притягиваемого тела, как это происходит для света в явлении астрономической аберрации, так что эффективная сила направлена не вдоль прямой, соединяющей два тела, а образует с этой прямой малый угол. Это очень специальная гипотеза, не очень хорошо обоснованная и, во всяком случае, совершенно отличная от гипотезы Лоренца. Результат Лапласа ничего не доказывает против теории Лоренца.

II

Сравнение с астрономическими наблюдениями

Могут ли предыдущие теории быть согласованы с астрономическими наблюдениями?

Прежде всего, если мы примем их, энергия планетных движений будет постоянно рассеиваться под действием волны ускорения. Из этого следовало бы, что средние движения звезд постоянно ускорялись бы, как если бы эти звезды двигались в сопротивляющейся среде. Но этот эффект чрезвычайно мал, слишком мал, чтобы быть различимым самыми точными наблюдениями. Ускорение небесных тел относительно мало, так что эффекты волны ускорения пренебрежимо малы, и движение может рассматриваться как квазистационарное. Правда, эффекты волны ускорения постоянно накапливаются, но это накопление само по себе настолько медленно, что потребовались бы тысячи лет наблюдений, чтобы оно стало заметным. Давайте, следовательно, произведем расчет, рассматривая движение как квазистационарное, и это при трех следующих гипотезах:

A. Принять гипотезу Абрахама (электроны недеформируемы) и сохранить закон Ньютона в его обычной форме;

B. Принять гипотезу Лоренца о деформации электронов и сохранить обычный закон Ньютона;

C. Принять гипотезу Лоренца об электронах и изменить закон Ньютона, как мы сделали в предыдущем параграфе, чтобы сделать его совместимым с принципом относительности.

Именно в движении Меркурия эффект будет наиболее заметным, так что эта планета имеет наибольшую скорость. Тиссеран ранее произвел аналогичный расчет, допуская закон Вебера; я напоминаю, что Вебер стремился объяснить одновременно электростатические и электродинамические явления, предполагая, что электроны (чье имя еще не было изобретено) оказывают друг на друга притяжения и отталкивания, направленные вдоль прямой, их соединяющей, и зависящие не только от их расстояний, но и от первых и вторых производных этих расстояний, следовательно, от их скоростей и их ускорений. Этот закон Вебера, достаточно отличный от тех, которые сегодня стремятся преобладать, тем не менее представляет определенную аналогию с ними.

Тиссеран обнаружил, что если ньютоновское притяжение соответствовало закону Вебера, то для перигелия Меркурия возникало вековое изменение в 14´´, того же смысла, что и то, которое наблюдалось и не могло быть объяснено, но меньшее, так как оно составляет 38´´.

Вернемся к гипотезам A, B и C и изучим сначала движение планеты, притягиваемой неподвижным центром. Гипотезы B и C больше не различаются, так как если притягивающая точка неподвижна, поле, которое она создает, является чисто электростатическим полем, где притяжение изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, в соответствии с электростатическим законом Кулона, идентичным закону Ньютона.

Уравнение живой силы остается в силе, принимая для живой силы новое определение; таким же образом уравнение площадей заменяется другим, эквивалентным ему; момент количества движения является константой, но количество движения должно быть определено, как в новой динамике.

Единственным заметным эффектом будет вековое движение перигелия. С теорией Лоренца мы найдем для этого движения половину того, что дал бы закон Вебера; с теорией Абрахама — две пятых.

Если теперь мы предположим два движущихся тела, гравитирующих вокруг их общего центра тяжести, эффекты очень мало отличаются, хотя расчеты могут быть немного сложнее. Движение перигелия Меркурия было бы, следовательно, 7´´ в теории Лоренца и 5´´.6 в теории Абрахама.

Более того, этот эффект пропорционален n^3 a^2, где n — среднее движение звезды, а a — радиус её орбиты. Для планет, в силу закона Кеплера, эффект изменяется обратно пропорционально √a^5; поэтому он незаметен, за исключением Меркурия.

Он также незаметен для Луны, хотя n велико, поскольку a чрезвычайно мало; в сумме, для Венеры он в пять раз меньше, а для Луны — в шестьсот раз меньше, чем для Меркурия. Можно добавить, что для Венеры и Земли движение перигелия (при той же угловой скорости этого движения) было бы гораздо труднее обнаружить астрономическими наблюдениями, поскольку эксцентриситет их орбит гораздо меньше, чем у Меркурия.

Подводя итог, единственным заметным эффектом при астрономических наблюдениях было бы движение перигелия Меркурия в том же направлении, что и наблюдаемое, но до сих пор не объясненное, однако значительно более слабое.

Это нельзя рассматривать как аргумент в пользу новой динамики, поскольку всегда будет необходимо искать другое объяснение для большей части аномалии Меркурия; но еще меньше это можно рассматривать как аргумент против неё.

III

Теория Лесажа

Интересно сравнить эти соображения с теорией, давно предложенной для объяснения всемирного тяготения.

Предположим, что в межпланетном пространстве во всех направлениях с огромными скоростями циркулируют очень разреженные корпускулы. Тело, изолированное в пространстве, по-видимому, не будет испытывать воздействия ударов этих корпускул, поскольку эти удары равномерно распределены во всех направлениях. Но если присутствуют два тела, A и B, то тело B будет играть роль экрана и перехватывать часть корпускул, которые без него ударили бы по A. Тогда удары, получаемые A в направлении, противоположном телу B, больше не будут иметь противодействия или будут скомпенсированы лишь частично, и это подтолкнет A к B.

Такова теория Лесажа; и мы обсудим её, приняв сначала точку зрения обычной механики.

Прежде всего, как должны происходить удары, постулируемые этой теорией: согласно законам абсолютно упругих тел, согласно законам тел, лишенных упругости, или согласно промежуточному закону? Корпускулы Лесажа не могут действовать как абсолютно упругие тела; в противном случае эффект был бы равен нулю, поскольку корпускулы, перехваченные телом B, были бы заменены другими, которые отскочили бы от B, и расчет доказывает, что компенсация была бы идеальной. Значит, необходимо, чтобы удар заставлял корпускулы терять энергию, и эта энергия должна проявляться в форме тепла. Но сколько тепла при этом выделилось бы? Заметим, что притяжение проходит сквозь тела; поэтому необходимо представлять себе Землю, например, не как сплошной экран, а как состоящую из очень большого числа очень маленьких сферических молекул, которые индивидуально играют роль маленьких экранов, но между которыми корпускулы Лесажа могут свободно циркулировать. Таким образом, Земля не только не является сплошным экраном, но даже не является ситом, поскольку пустоты занимают гораздо больше места, чем заполненные части. Чтобы осознать это, вспомним, что Лаплас доказал, что притяжение при прохождении сквозь Землю ослабляется самое большее на одну десятимиллионную часть, и его доказательство вполне удовлетворительно: в самом деле, если бы притяжение поглощалось телом, которое оно проходит, оно перестало бы быть пропорциональным массам; оно было бы относительно слабее для больших тел, чем для малых, поскольку ему пришлось бы преодолевать большую толщину. Притяжение Солнца к Земле было бы, следовательно, относительно слабее, чем притяжение Солнца к Луне, и отсюда в движении Луны возникло бы весьма заметное неравенство. Мы должны были бы поэтому заключить, если примем теорию Лесажа, что общая поверхность сферических молекул, составляющих Землю, составляет самое большее десятимиллионную часть общей поверхности Земли.

Дарвин доказал, что теория Лесажа приводит точно к закону Ньютона только тогда, когда мы постулируем частицы, полностью лишенные упругости. Притяжение, оказываемое Землей на массу 1 на расстоянии 1, будет тогда пропорционально одновременно общей поверхности S сферических молекул, составляющих её, скорости v корпускул и квадратному корню из плотности ρ среды, образованной корпускулами. Выделяемое тепло будет пропорционально S, плотности ρ и кубу скорости v.

Но необходимо учитывать сопротивление, испытываемое телом, движущимся в такой среде; оно, по сути, не может двигаться, не сталкиваясь с определенными ударами и, напротив, не убегая от тех, что приходят с противоположного направления, так что компенсация, реализуемая в состоянии покоя, больше не может существовать. Вычисленное сопротивление пропорционально S, ρ и v; однако мы знаем, что небесные тела движутся так, как будто они не испытывают никакого сопротивления, и точность наблюдений позволяет нам установить предел сопротивления среды.

Поскольку это сопротивление изменяется как Sρv, в то время как притяжение изменяется как S√(ρv), мы видим, что отношение сопротивления к квадрату притяжения обратно пропорционально произведению Sv.

Мы имеем, следовательно, нижний предел произведения Sv. У нас уже есть верхний предел S (из поглощения притяжения телом, которое оно проходит); у нас есть, следовательно, нижний предел скорости v, которая должна быть по крайней мере в 24·10^17 раз больше скорости света.

Отсюда мы можем вывести ρ и количество выделяемого тепла; этого количества было бы достаточно, чтобы повышать температуру на 10^26 градусов в секунду; Земля получала бы за данное время в 10^20 раз больше тепла, чем Солнце излучает за то же время; я говорю не о тепле, которое Солнце посылает на Землю, а о том, которое оно излучает во всех направлениях.

Очевидно, что Земля не могла бы долго выдерживать такой режим.

Мы не пришли бы к менее фантастическим результатам, если бы, вопреки взглядам Дарвина, наделили корпускулы Лесажа упругостью, несовершенной, но не нулевой. По правде говоря, живая сила этих корпускул не была бы полностью преобразована в тепло, но и создаваемое притяжение было бы также меньше, так что только та часть этой живой силы, которая преобразуется в тепло, способствовала бы созданию притяжения, и это свелось бы к тому же самому; разумное использование теоремы о вириале позволило бы нам учесть это.

Теория Лесажа может быть преобразована: отбросим корпускулы и представим себе эфир, пронизываемый во всех направлениях световыми волнами, идущими из всех точек пространства. Когда материальный объект получает световую волну, эта волна оказывает на него механическое действие, обусловленное давлением Максвелла-Бартоли, точно так же, как если бы он получил удар материального снаряда. Рассматриваемые волны могли бы, следовательно, играть роль корпускул Лесажа. Именно это предполагает, например, г-н Томмазина.

Трудности от этого не устраняются; скорость распространения может быть только скоростью света, и мы таким образом приходим для сопротивления среды к недопустимой величине. Кроме того, если свет полностью отражается, эффект равен нулю, точно так же, как в гипотезе об абсолютно упругих корпускулах.

Чтобы существовало притяжение, необходимо, чтобы свет частично поглощался; но тогда происходит выделение тепла. Расчеты не отличаются существенно от тех, что сделаны в обычной теории Лесажа, и результат сохраняет тот же фантастический характер.

С другой стороны, притяжение не поглощается телом, которое оно проходит, или почти не поглощается; этого нельзя сказать о свете, который мы знаем. Свет, который создавал бы ньютоновское притяжение, должен был бы значительно отличаться от обычного света и быть, например, очень коротковолновым. Не говоря уже о том, что если бы наши глаза были чувствительны к этому свету, всё небо казалось бы нам гораздо более ярким, чем Солнце, так что Солнце казалось бы нам выделяющимся на черном фоне, иначе Солнце отталкивало бы нас, вместо того чтобы притягивать. По всем этим причинам свет, который позволил бы объяснить притяжение, был бы гораздо больше похож на рентгеновские лучи, чем на обычный свет.

И кроме того, рентгеновских лучей было бы недостаточно; какими бы проникающими они нам ни казались, они не могли бы пройти сквозь всю Землю; необходимо было бы поэтому вообразить X'-лучи, гораздо более проникающие, чем обычные рентгеновские лучи. Более того, часть энергии этих X'-лучей должна была бы разрушаться, иначе не было бы притяжения. Если вы не хотите, чтобы она превращалась в тепло, что привело бы к огромному выделению тепла, вы должны предположить, что она излучается во всех направлениях в форме вторичных лучей, которые можно было бы назвать X'' и которые должны были бы быть еще более проникающими, иначе они, в свою очередь, нарушили бы явления притяжения.

Таковы сложные гипотезы, к которым мы приходим, когда пытаемся вдохнуть жизнь в теорию Лесажа.

Но всё, что мы сказали, предполагает обычные законы механики.

Станут ли дела лучше, если мы допустим новую динамику? И прежде всего, можем ли мы сохранить принципы относительности? Дадим сначала теории Лесажа её первоначальную форму и предположим, что пространство пронизано материальными корпускулами; если бы эти корпускулы были абсолютно упругими, законы их ударов соответствовали бы этому принципу относительности, но мы знаем, что тогда их эффект был бы равен нулю. Мы должны, следовательно, предположить, что эти корпускулы не упруги, а тогда трудно вообразить закон удара, совместимый с принципом относительности. Кроме того, мы всё равно обнаружили бы выделение значительного тепла и, к тому же, весьма заметное сопротивление среды.

Если мы отбросим эти корпускулы и вернемся к гипотезе о давлении Максвелла-Бартоли, трудности не станут меньше. Именно это попытался сделать сам Лоренц в своем мемуаре для Амстердамской академии наук от 25 апреля 1900 года.

Рассмотрим систему электронов, погруженных в эфир, пронизываемый во всех направлениях световыми волнами; один из этих электронов, пораженный одной из этих волн, начинает вибрировать; его вибрация будет синхронной с вибрацией света; но может возникнуть разность фаз, если электрон поглощает часть падающей энергии. В самом деле, если он поглощает энергию, то это потому, что вибрация эфира побуждает электрон к движению; электрон должен поэтому быть медленнее эфира. Электрон в движении аналогичен конвекционному току; поэтому каждое магнитное поле, в частности то, которое обусловлено самим световым возмущением, должно оказывать механическое действие на этот электрон. Это действие очень слабое; более того, оно меняет знак в течение периода; тем не менее, среднее действие не равно нулю, если существует разность фаз между вибрациями электрона и вибрациями эфира. Среднее действие пропорционально этой разности, следовательно, энергии, поглощенной электроном. Я не могу здесь вдаваться в детали расчетов; достаточно сказать лишь, что конечным результатом является притяжение любых двух электронов, изменяющееся обратно пропорционально квадрату расстояния и пропорциональное энергии, поглощенной двумя электронами.

Следовательно, не может быть притяжения без поглощения света и, следовательно, без выделения тепла, и именно это заставило Лоренца отказаться от этой теории, которая, по сути, не отличается от теории Лесажа-Максвелла-Бартоли. Он был бы еще больше поражен, если бы довел расчет до конца. Он обнаружил бы, что температура Земли должна была бы повышаться на 10^12 градусов в секунду.

IV

Заключения

Я стремился в немногих словах дать как можно более полное представление об этих новых доктринах; я пытался объяснить, как они зародились; иначе у читателя были бы основания испугаться их смелости. Новые теории еще не доказаны; далеко нет; просто они опираются на совокупность вероятностей, достаточно весомых для того, чтобы у нас не было права относиться к ним с пренебрежением.

Новые эксперименты, несомненно, научат нас тому, что мы должны в конечном итоге о них думать. Узловой пункт вопроса заключается в эксперименте Кауфмана и тех, которые могут быть предприняты для его проверки.

В заключение позвольте мне сказать слово предостережения. Предположим, что через несколько лет эти теории пройдут новые испытания и восторжествуют; тогда наше среднее образование подвергнется большой опасности; некоторые профессора, несомненно, захотят уступить место новым теориям.

Новинки так привлекательны, и так трудно не казаться весьма продвинутым! По крайней мере, возникнет желание открыть новые горизонты для учеников и, прежде чем обучать их обычной механике, дать им понять, что она отжила свой век и в лучшем случае годилась для того старого дурака Лапласа. И тогда у них не выработается привычка к обычной механике.

Хорошо ли давать им знать, что она лишь приблизительна? Да; но позже, когда она проникнет до самого их мозга костей, когда они привыкнут мыслить только через неё, когда уже не будет риска, что они разучатся ей, тогда можно, без неудобств, показать им её границы.

Именно с обычной механикой им предстоит жить; только её им когда-либо придется применять. Каков бы ни был прогресс автомобилизма, наши транспортные средства никогда не достигнут скоростей, при которых она была бы неверна. Другая — это лишь роскошь, и о роскоши следует думать только тогда, когда уже нет риска навредить необходимому.

КНИГА IV АСТРОНОМИЧЕСКАЯ НАУКА

ГЛАВА I

Млечный Путь и теория газов

Соображения, которые здесь будут развиты, едва ли еще привлекли внимание астрономов; едва ли можно привести что-либо, кроме остроумной идеи лорда Кельвина, которая открыла новую область исследований, но всё еще ждет своего развития. У меня также нет оригинальных результатов, которыми можно было бы поделиться, и всё, что я могу сделать, — это дать представление о проблемах, которые представлены, но которые до сих пор никто не брался решать. Всем известно, как большое число современных физиков представляют строение газов; газы образованы бесчисленным множеством молекул, которые на высоких скоростях пересекаются и перекрещиваются во всех направлениях. Эти молекулы, вероятно, действуют на расстоянии одна на другую, но это действие очень быстро убывает с расстоянием, так что их траектории остаются заметно прямолинейными; они перестают быть таковыми только тогда, когда две молекулы случайно проходят очень близко друг от друга; в этом случае их взаимное притяжение или отталкивание заставляет их отклоняться вправо или влево. Это то, что иногда называют ударом; но слово «удар» не следует понимать в его обычном смысле; не обязательно, чтобы две молекулы входили в контакт, достаточно, чтобы они приблизились достаточно близко друг к другу, чтобы их взаимные притяжения стали заметными. Законы отклонения, которому они подвергаются, те же, что и при настоящем ударе.

Сначала кажется, что беспорядочные удары этой бесчисленной пыли могут породить лишь неразрешимый хаос, перед которым должен отступить анализ. Но закон больших чисел, этот высший закон случая, приходит нам на помощь; перед лицом полубеспорядка мы должны отчаяться, но в крайнем беспорядке этот статистический закон восстанавливает своего рода средний порядок, в котором разум может обрести опору. Именно изучение этого среднего порядка составляет кинетическую теорию газов; она показывает нам, что скорости молекул равномерно распределены по всем направлениям, что быстрота этих скоростей варьируется от одной молекулы к другой, но что даже это изменение подчиняется закону, называемому законом Максвелла. Этот закон говорит нам, сколько молекул движется с той или иной скоростью. Как только газ отклоняется от этого закона, взаимные удары молекул, изменяя быстроту и направление их скоростей, стремятся быстро вернуть его обратно. Физики стремились, не без успеха, объяснить таким образом экспериментальные свойства газов; например, закон Мариотта.

Рассмотрим теперь Млечный Путь; там мы также видим бесчисленную пыль; только зерна этой пыли — не атомы, это звезды; эти зерна также движутся с высокими скоростями; они действуют на расстоянии одна на другую, но это действие настолько слабо на большом расстоянии, что их траектории прямолинейны; и всё же время от времени двое из них могут приблизиться достаточно близко, чтобы отклониться от своего пути, подобно комете, которая прошла слишком близко от Юпитера. Одним словом, в глазах гиганта, для которого наши солнца были бы тем же, чем для нас наши атомы, Млечный Путь казался бы лишь пузырьком газа.

Такова была ведущая идея лорда Кельвина. Что можно извлечь из этого сравнения? Насколько оно точно? Это то, что мы должны исследовать вместе; но прежде чем прийти к окончательному выводу и не желая предрешать его, мы предвидим, что кинетическая теория газов будет для астронома моделью, которой он не должен следовать слепо, но из которой он может с пользой черпать вдохновение. До настоящего времени небесная механика занималась только Солнечной системой или некоторыми системами двойных звезд. Перед совокупностью, представленной Млечным Путем, или скоплением звезд, или разрешимыми туманностями она отступает, потому что видит в этом лишь хаос. Но Млечный Путь не сложнее газа; статистические методы, основанные на исчислении вероятностей, применимые к газу, применимы и к нему. Прежде всего, важно уловить сходство двух случаев и их различие.

Лорд Кельвин стремился определить таким образом размеры Млечного Пути; для этого мы вынуждены считать звезды, видимые в наши телескопы; но мы не уверены, что за звездами, которые мы видим, нет других, которых мы не видим; так что то, что мы измерили бы таким образом, было бы не размером Млечного Пути, а дальностью действия наших инструментов.

Новая теория предлагает нам другие ресурсы. На самом деле, мы знаем движения ближайших к нам звезд, и мы можем составить представление о быстроте и направлении их скоростей. Если изложенные выше идеи точны, эти скорости должны следовать закону Максвелла, и их среднее значение скажет нам, так сказать, то, что соответствует температуре нашего фиктивного газа. Но эта температура сама зависит от размеров нашего газового пузыря. В самом деле, как будет действовать газовая масса, выпущенная в пустоту, если её элементы притягивают друг друга согласно закону Ньютона? Она примет сферическую форму; более того, из-за гравитации плотность будет выше в центре, давление также будет возрастать от поверхности к центру из-за веса внешних частей, притягиваемых к центру; наконец, температура будет возрастать к центру: температура и давление связаны законом, называемым адиабатическим, как это происходит в последовательных слоях нашей атмосферы. На самой поверхности давление будет равно нулю, и то же самое будет с абсолютной температурой, то есть со скоростью молекул.

Здесь возникает вопрос: я говорил об адиабатическом законе, но этот закон не одинаков для всех газов, поскольку он зависит от отношения их двух удельных теплоемкостей; для воздуха и подобных газов это отношение равно 1,42; но уместно ли сравнивать Млечный Путь с воздухом? Очевидно, нет, его следует рассматривать как одноатомный газ, подобно парам ртути, аргону, гелию, то есть отношение удельных теплоемкостей следует принять равным 1,66. И, в самом деле, одной из наших молекул была бы, например, Солнечная система; но планеты — очень маленькие персонажи, Солнце одно имеет значение, так что наша молекула действительно одноатомна. И даже если мы возьмем двойную звезду, вероятно, действие чужой звезды, которая могла бы приблизиться к ней, стало бы достаточно заметным, чтобы отклонить движение общего поступательного перемещения системы задолго до того, как оно смогло бы нарушить относительные орбиты двух компонентов; двойная звезда, одним словом, действовала бы как неделимый атом.

Как бы то ни было, давление, а следовательно, и температура в центре газовой сферы были бы тем выше, чем больше была бы сфера, поскольку давление возрастает на вес всех наложенных слоев. Мы можем предположить, что находимся почти в центре Млечного Пути, и, наблюдая среднюю собственную скорость звезд, мы узнаем ту, которая соответствует центральной температуре нашей газовой сферы, и определим её радиус.

Мы можем получить представление о результате с помощью следующих соображений: сделаем более простую гипотезу: Млечный Путь сферичен, и в нем массы распределены однородным образом; отсюда следует, что звезды в нем описывают эллипсы, имеющие один и тот же центр. Если мы предположим, что скорость становится равной нулю на поверхности, мы можем вычислить эту скорость в центре с помощью уравнения живых сил. Таким образом, мы находим, что эта скорость пропорциональна радиусу сферы и квадратному корню из её плотности. Если бы масса этой сферы была массой Солнца, а её радиус — радиусом земной орбиты, эта скорость была бы (легко видеть) скоростью Земли на её орбите. Но в случае, который мы предположили, масса Солнца должна была бы быть распределена в сфере радиусом в 1 000 000 раз больше, этот радиус был бы расстоянием до ближайших звезд; плотность, следовательно, в 10^18 раз меньше; теперь, скорости того же порядка, следовательно, необходимо, чтобы радиус был в 10^9 раз больше, то есть в 1000 раз больше расстояния до ближайших звезд, что дало бы около тысячи миллионов звезд в Млечном Пути.

Но вы скажете, что эти гипотезы сильно отличаются от реальности; во-первых, Млечный Путь не сферичен, и мы скоро вернемся к этому пункту, и, опять же, кинетическая теория газов несовместима с гипотезой об однородной сфере. Но при выполнении точного расчета согласно этой теории мы нашли бы результат, несомненно, другой, но того же порядка величины; теперь, в такой задаче данные настолько неопределенны, что порядок величины — единственная цель, к которой следует стремиться.

И здесь возникает первое замечание; результат лорда Кельвина, который я получил снова путем приблизительного расчета, заметно согласуется с оценками, которые наблюдатели сделали с помощью своих телескопов; так что мы должны заключить, что мы очень близки к тому, чтобы пронзить Млечный Путь. Но это позволяет нам ответить на другой вопрос. Есть звезды, которые мы видим, потому что они светят; но не могут ли существовать темные звезды, циркулирующие в межзвездных пространствах, существование которых могло бы долго оставаться неизвестным? Но тогда то, что давал бы нам метод лорда Кельвина, было бы общим числом звезд, включая темные звезды; поскольку его цифра сопоставима с той, которую дает телескоп, это означает, что нет темной материи, или, по крайней мере, не так много, как светящейся материи.

Прежде чем идти дальше, мы должны взглянуть на проблему под другим углом. Является ли Млечный Путь, таким образом, действительно образом газа в собственном смысле слова? Вы знаете, Крукс ввел понятие четвертого состояния материи, где газы, став слишком разреженными, перестают быть настоящими газами и становятся тем, что он называет лучистой материей. Учитывая малую плотность Млечного Пути, является ли он образом газообразной материи или лучистой материи? Рассмотрение того, что называется длиной свободного пробега, даст нам ответ.

Траекторию газовой молекулы можно рассматривать как состоящую из прямолинейных сегментов, соединенных очень маленькими дугами, соответствующими последовательным ударам. Длина каждого из этих сегментов — это то, что называется свободным пробегом; конечно, эта длина не одинакова для всех сегментов и для всех молекул; но мы можем взять среднее значение; это то, что называется средним пробегом. Он тем больше, чем меньше плотность газа. Материя будет лучистой, если средний пробег больше размеров сосуда, в котором заключен газ, так что молекула имеет шанс пройти через весь сосуд, не испытав удара; если дело обстоит наоборот, она газообразна. Из этого следует, что одна и та же жидкость может быть лучистой в маленьком сосуде и газообразной в большом; возможно, поэтому в трубке Крукса необходимо создавать вакуум тем более полный, чем больше трубка.

Как же тогда обстоит дело с Млечным Путем? Это масса газа, плотность которой очень мала, но размеры которой очень велики; есть ли у звезды шансы пересечь её, не испытав удара, то есть не пройдя достаточно близко к другой звезде, чтобы заметно отклониться от своего пути? Что мы подразумеваем под «достаточно близко»? Это поневоле немного произвольно; примем это за расстояние от Солнца до Нептуна, что представляло бы отклонение в дюжину градусов; предположим поэтому, что каждая из наших звезд окружена защитной сферой такого радиуса; могла бы прямая пройти между этими сферами? На среднем расстоянии звезд Млечного Пути радиус этих сфер будет виден под углом около десятой доли секунды; и у нас есть тысяча миллионов звезд. Поместите на небесную сферу тысячу миллионов маленьких кружков радиусом в десятую долю секунды. Каковы шансы, что эти кружки покроют большое число раз небесную сферу? Далеко нет; они покроют лишь её шестнадцатитысячную часть. Так что Млечный Путь — это не образ газообразной материи, а образ лучистой материи Крукса. Тем не менее, поскольку наши предыдущие выводы, к счастью, совсем не точны, нам не нужно заметно их изменять.

Но есть другая трудность: Млечный Путь не сферичен, а мы до сих пор рассуждали так, как будто он таков, поскольку это форма равновесия, которую принял бы газ, изолированный в пространстве. Чтобы исправить положение, существуют скопления звезд, форма которых шарообразна и к которым лучше применилось бы то, что мы до сих пор говорили. Гершель уже пытался объяснить их замечательный вид. Он предполагал, что звезды скоплений распределены равномерно, так что совокупность представляет собой однородную сферу; каждая звезда тогда описывала бы эллипс, и все эти орбиты проходились бы за одно и то же время, так что в конце периода скопление снова приняло бы свою первоначальную конфигурацию, и эта конфигурация была бы устойчивой. К несчастью, скопления не кажутся однородными; мы видим конденсацию в центре, мы наблюдали бы её, даже если бы сфера была однородной, поскольку она толще в центре; но она не была бы такой акцентированной. Мы можем поэтому скорее сравнить скопление с газом в адиабатическом равновесии, который принимает сферическую форму, потому что это фигура равновесия газовой массы.

Но, скажете вы, эти скопления гораздо меньше Млечного Пути, частью которого они даже по вероятности являются, и даже если они более плотные, они скорее представят нечто аналогичное лучистой материи; теперь, газы достигают своего адиабатического равновесия только через бесчисленные удары молекул. Это, возможно, можно было бы приспособить. Предположим, что звезды скопления имеют как раз достаточно энергии, чтобы их скорость стала равной нулю, когда они достигают поверхности; тогда они могут пересечь скопление без удара, но, прибыв на поверхность, они вернутся назад и пересекут его снова; после большого числа пересечений они в конце концов будут отклонены ударом; при этих условиях мы всё еще имели бы материю, которую можно было бы рассматривать как газообразную; если случайно в скоплении были звезды, скорость которых была больше, они давно ушли из него, они покинули его, чтобы никогда не вернуться. По всем этим причинам было бы интересно изучить известные скопления, попытаться объяснить закон плотностей и посмотреть, является ли он адиабатическим законом газов.

Но вернемся к Млечному Пути; он не сферичен и скорее был бы представлен как сплюснутый диск. Ясно тогда, что масса, начинающая движение без скорости с поверхности, достигнет центра с разными скоростями, в зависимости от того, стартует ли она с поверхности в окрестности середины диска или прямо на границе диска; скорость была бы заметно больше в последнем случае. Теперь, до настоящего времени, мы предполагали, что собственные скорости звезд, те, которые мы наблюдаем, должны быть сопоставимы с теми, которых достигли бы подобные массы; это влечет за собой определенную трудность. Мы дали выше значение для размеров Млечного Пути, и мы вывели его из наблюдаемых собственных скоростей, которые того же порядка величины, что и скорость Земли на её орбите; но какой размер мы таким образом измерили? Это толщина? Это радиус диска? Это, несомненно, нечто промежуточное; но что мы можем сказать тогда о самой толщине или о радиусе диска? Данных не хватает, чтобы сделать расчет; я ограничусь тем, что дам проблеск возможности основывать оценку, по крайней мере приблизительную, на более глубоком обсуждении собственных движений.

И тогда мы оказываемся перед лицом двух гипотез: либо звезды Млечного Пути движимы скоростями, по большей части параллельными галактической плоскости, но в остальном распределенными равномерно во всех направлениях, параллельных этой плоскости. Если это так, наблюдение собственных движений должно показать преобладание компонентов, параллельных Млечному Пути; это предстоит определить, потому что я не знаю, проводилось ли когда-либо систематическое обсуждение с этой точки зрения. С другой стороны, такое равновесие могло быть только временным, поскольку из-за ударов молекулы, я имею в виду звезды, в конечном счете приобрели бы заметные скорости в направлении, перпендикулярном Млечному Пути, и закончили бы тем, что отклонились бы от его плоскости, так что система стремилась бы к сферической форме, единственной фигуре равновесия изолированной газовой массы.

Или же вся система движима общим вращением, и по этой причине сплюснута, как Земля, как Юпитер, как все тела, которые вращаются. Только, поскольку сплюснутость значительна, вращение должно быть быстрым; быстрым, несомненно, но нужно понимать, в каком смысле используется это слово. Плотность Млечного Пути в 10^23 раз меньше плотности Солнца; скорость вращения в √10^25 раз меньше, чем у Солнца, для него была бы, следовательно, эквивалентна в том, что касается сплюснутости; скорость в 10^12 раз медленнее, чем у Земли, скажем, тридцатая доля секунды дуги в столетие, была бы очень быстрым вращением, почти слишком быстрым для того, чтобы было возможно устойчивое равновесие.

В этой гипотезе наблюдаемые собственные движения казались бы нам равномерно распределенными, и больше не было бы преобладания компонентов, параллельных галактической плоскости.

Они ничего не скажут нам о самом вращении, поскольку мы принадлежим к вращающейся системе. Если спиральные туманности — это другие Млечные Пути, чуждые нашему, они не увлечены этим вращением, и мы могли бы изучать их собственные движения. Правда, они очень далеко; если туманность имеет размеры Млечного Пути и если её видимый радиус составляет, например, 20'', её расстояние в 10 000 раз больше радиуса Млечного Пути.

Но это не имеет значения, поскольку не о поступательном движении нашей системы мы просим у них информации, а о её вращении. Неподвижные звезды своим кажущимся движением открывают нам суточное вращение Земли, хотя их расстояние огромно. К несчастью, возможное вращение Млечного Пути, как бы быстро оно ни было относительно, очень медленно, если смотреть абсолютно, и, кроме того, наведения на туманности не могут быть очень точными; поэтому потребовались бы тысячи лет наблюдений, чтобы узнать что-либо.

Как бы то ни было, в этой второй гипотезе фигура Млечного Пути была бы фигурой окончательного равновесия.

Я не буду далее обсуждать относительную ценность этих двух гипотез, поскольку есть третья, которая, возможно, более вероятна. Мы знаем, что среди неразрешимых туманностей можно выделить несколько видов: неправильные туманности, подобные туманности Ориона, планетарные и кольцеобразные туманности, спиральные туманности. Спектры первых двух семейств были определены, они прерывисты; эти туманности, следовательно, не образованы звездами; кроме того, их распределение на небесах, кажется, зависит от Млечного Пути; имеют ли они тенденцию удаляться от него или, наоборот, приближаться к нему, они, следовательно, составляют часть системы. С другой стороны, спиральные туманности обычно считаются независимыми от Млечного Пути; предполагается, что они, как и он, образованы множеством звезд, что они, одним словом, другие Млечные Пути, очень далеко от нашего. Недавние исследования Стратонова склоняют нас к тому, чтобы рассматривать сам Млечный Путь как спиральную туманность, и это третья гипотеза, о которой я хочу сказать.

Как мы можем объяснить весьма своеобразные виды, представленные спиральными туманностями, которые слишком регулярны и слишком постоянны, чтобы быть случайными? Прежде всего, достаточно взглянуть на одно из этих изображений, чтобы увидеть, что масса находится во вращении; мы можем даже увидеть, каков смысл вращения; все спиральные радиусы изогнуты в одном и том же направлении; очевидно, что «движущееся крыло» отстает от оси, и это фиксирует направление вращения. Но это не всё; очевидно, что эти туманности нельзя сравнивать с газом в покое, ни даже с газом в относительном равновесии под властью равномерного вращения; их следует сравнивать с газом в постоянном движении, в котором преобладают внутренние токи.

Предположим, например, что вращение центрального ядра быстрое (вы знаете, что я имею в виду под этим словом), слишком быстрое для устойчивого равновесия; тогда на экваторе центробежная сила отбросит его дальше, чем притяжение, и звезды будут стремиться оторваться на экваторе и образуют расходящиеся токи; но при удалении, поскольку их момент вращения остается постоянным, в то время как радиус-вектор увеличивается, их угловая скорость будет уменьшаться, и именно поэтому движущееся крыло кажется отстающим.

С этой точки зрения не было бы реального постоянного движения, центральное ядро постоянно теряло бы материю, которая уходила бы из него, чтобы никогда не вернуться, и постепенно истощалась бы. Но мы можем изменить гипотезу. По мере того как она удаляется, звезда теряет свою скорость и заканчивает тем, что останавливается; в этот момент притяжение снова овладевает ею и ведет её обратно к ядру; так что будут центростремительные токи. Мы должны предположить, что центростремительные токи — это первый ранг, а центробежные токи — второй ранг, если мы примем сравнение с отрядом в бою, выполняющим смену фронта; и, в самом деле, необходимо, чтобы составная центробежная сила была скомпенсирована притяжением, оказываемым центральными слоями роя на крайние слои.

Кроме того, по прошествии определенного времени устанавливается постоянный режим; рой будучи изогнутым, притяжение, оказываемое на ось движущимся крылом, стремится замедлить ось, а притяжение оси на движущееся крыло стремится ускорить продвижение этого крыла, которое больше не увеличивает свое отставание, так что в конечном итоге все радиусы заканчивают тем, что вращаются с равномерной скоростью. Мы можем еще предположить, что вращение ядра быстрее, чем вращение радиусов.

Остается вопрос: почему эти центростремительные и центробежные рои стремятся сконцентрироваться в радиусы вместо того, чтобы рассеиваться немного везде? Почему эти лучи распределяются регулярно? Если рои концентрируются, то это из-за притяжения, оказываемого уже существующими роями на звезды, которые выходят из ядра в их окрестности. После того как неравенство создано, оно стремится акцентировать себя таким образом.

Почему лучи распределяются регулярно? Это менее очевидно. Предположим, что вращения нет, что все звезды находятся в двух плоскостях под прямым углом, таким образом, что их распределение симметрично по отношению к этим двум плоскостям.

По симметрии не было бы причин для их выхода из этих плоскостей, ни для изменения симметрии. Эта конфигурация дала бы нам, следовательно, равновесие, но это было бы неустойчивое равновесие.

Если, напротив, есть вращение, мы найдем аналогичную конфигурацию равновесия с четырьмя изогнутыми лучами, равными друг другу и пересекающимися под углом 90°, и если вращение достаточно быстрое, это равновесие устойчиво.

Я не в состоянии сделать это более точным: достаточно, если вы увидите, что эти спиральные формы, возможно, когда-нибудь будут объяснены только законом гравитации и статистическим соображением, напоминающим таковые из теории газов.

То, что было сказано о внутренних токах, показывает, что интересно систематически обсуждать совокупность собственных движений; это может быть сделано через сто лет, когда будет выпущено второе издание карты небес и сравнено с первым, которое мы сейчас делаем.

Но в заключение я хочу привлечь ваше внимание к вопросу о возрасте Млечного Пути или туманностей. Если то, что мы думаем, что видим, подтвердится, мы можем получить представление об этом. Тот вид статистического равновесия, моделью которого служат газы, устанавливается только вследствие большого числа ударов. Если эти удары редки, это может произойти только после очень долгого времени; если действительно Млечный Путь (или, по крайней мере, скопления, которые в нем содержатся), если туманности достигли этого равновесия, это означает, что они очень стары, и мы будем иметь нижний предел их возраста. Точно так же мы имели бы для него верхний предел; это равновесие не окончательно и не может длиться вечно. Наши спиральные туманности были бы сравнимы с газами, движимыми постоянными движениями; но газы в движении вязкие, и их скорости в конечном итоге изнашиваются. То, что здесь соответствует вязкости (и что зависит от шансов удара молекул), чрезмерно мало, так что нынешний режим может сохраняться в течение чрезвычайно долгого времени, но не вечно, так что наши Млечные Пути не могут жить вечно и не могут стать бесконечно старыми.

И это не всё. Рассмотрим нашу атмосферу: на поверхности должна царить температура, бесконечно малая, и скорость молекул там близка к нулю. Но это вопрос только о средней скорости; вследствие ударов одна из этих молекул может приобрести (редко, это правда) огромную скорость, и тогда она вырвется из атмосферы, и, выйдя, она никогда не вернется; поэтому наша атмосфера истощается таким образом с чрезвычайной медленностью. Млечный Путь также время от времени теряет звезду по тому же механизму, и это также ограничивает его продолжительность.

Что ж, несомненно, что если мы вычислим таким образом возраст Млечного Пути, мы получим огромные цифры. Но здесь возникает трудность. Некоторые физики, полагаясь на другие соображения, считают, что солнца могут иметь лишь эфемерное существование, около пятидесяти миллионов лет; наш минимум был бы гораздо больше этого. Должны ли мы верить, что эволюция Млечного Пути началась, когда материя была еще темной? Но как звезды, составляющие его, достигли все одновременно взрослого возраста, возраста, который так недолго длится? Или они должны достигать его все последовательно, и те, что мы видим, — лишь слабая меньшинство по сравнению с теми, что погасли или которые однажды зажгутся? Но как примирить это с тем, что мы сказали выше об отсутствии значительной доли темной материи? Должны ли мы отказаться от одной из двух гипотез, и от какой? Я ограничиваюсь тем, что указываю на трудность, не претендуя на её решение; я закончу поэтому большим вопросительным знаком.

Однако интересно ставить задачи, даже когда их решение кажется очень далеким.

ГЛАВА II

Французская геодезия

Каждый понимает наш интерес к знанию формы и размеров нашей Земли; но некоторые лица, возможно, удивятся искомой точности. Является ли это бесполезной роскошью? Какая польза от усилий, затраченных таким образом геодезистом?

Если бы этот вопрос был задан конгрессмену, я полагаю, он сказал бы: «Я склонен полагать, что геодезия — одна из самых полезных наук; потому что это одна из тех, что обходятся нам дороже всего». Я попытаюсь дать вам ответ немного более точный.

Великие произведения искусства, как мирного, так и военного времени, не должны предприниматься без долгих исследований, которые избавляют от многих блужданий, просчетов и бесполезных расходов. Эти исследования могут быть основаны только на хорошей карте. Но карта будет лишь ничего не стоящей фантазией, если она построена без опоры на прочный каркас. С таким же успехом можно заставить стоять человеческое тело без скелета.

Теперь этот каркас дан нам геодезическими измерениями; так что без геодезии нет хорошей карты; без хорошей карты нет великих общественных работ.

Этих причин, несомненно, достаточно, чтобы оправдать большие расходы; но это аргументы для практических людей. Не на них следует настаивать здесь; есть другие, более высокие и, всё обдумав, более важные.

Поэтому мы поставим вопрос иначе; может ли геодезия помочь нам лучше узнать природу? Заставляет ли она нас понять её единство и гармонию? В действительности изолированный факт имеет небольшую ценность, и завоевания науки ценны только в том случае, если они готовят новые завоевания.

Если поэтому на земном эллипсоиде был бы обнаружен небольшой горб, это открытие само по себе не представляло бы большого интереса. С другой стороны, оно стало бы ценным, если бы, ища причину этого горба, мы надеялись проникнуть в новые тайны.

Что ж, когда в восемнадцатом веке Мопертюи и Ла Кондамин бросили вызов таким противоположным климатам, это было не только для того, чтобы узнать форму нашей планеты, речь шла о всей мировой системе.

Если Земля была сплюснута, Ньютон торжествовал, а вместе с ним и доктрина гравитации и вся современная небесная механика.

А сегодня, через полтора века после победы ньютонианцев, думаете ли вы, что геодезии больше нечему нас научить?

Мы не знаем, что находится внутри нашего земного шара. Шахты и бурения позволили нам узнать слой толщиной 1 или 2 километра, то есть миллионную часть общей массы; но что находится под ним?

Из всех необычайных путешествий, о которых мечтал Жюль Верн, возможно, путешествие к центру Земли привело нас в наименее исследованные регионы.

Но эти глубоко залегающие породы, до которых мы не можем добраться, издалека оказывают свое притяжение, которое воздействует на маятник и деформирует земной сфероид. Геодезия может поэтому взвесить их издалека, так сказать, и рассказать нам об их распределении. Таким образом, она заставит нас действительно увидеть те таинственные регионы, которые Жюль Верн показал нам только в воображении.

Это не пустая иллюзия. М. Фей, сравнив все измерения, пришел к результату, который вполне может нас удивить. Под океанами, на глубине, находятся породы очень большой плотности; под континентами, напротив, имеются пустые пространства.

Новые наблюдения, возможно, изменят детали этих выводов.

В любом случае наш почтенный декан показал нам, где искать и чему геодезист может научить геолога, желающего познать внутреннее строение Земли, и даже мыслителя, желающего поразмышлять о прошлом и происхождении этой планеты.

А теперь, почему я озаглавил эту главу «Французская геодезия»? Это потому, что в каждой стране эта наука приобрела, пожалуй, более чем все остальные, национальный характер. Легко понять, почему.

Должно быть соперничество. Научное соперничество всегда вежливо, или, по крайней мере, почти всегда; в любом случае оно необходимо, потому что всегда плодотворно. Что ж, в тех предприятиях, которые требуют столь долгих усилий и стольких сотрудников, личность, конечно, вопреки самому себе, отходит на второй план; никто не имеет права сказать: это моя работа. Поэтому соперничество идет не между людьми, а между нациями.

Итак, мы призваны выяснить, какова была роль Франции. Я считаю, что мы вправе гордиться ее вкладом.

В начале XVIII века возникли долгие споры между ньютонианцами, которые считали Землю сплюснутой, как того требует теория тяготения, и Кассини, который, введенный в заблуждение неточными измерениями, полагал наш земной шар вытянутым. Только прямое наблюдение могло решить этот вопрос. Именно наша Академия наук взяла на себя эту задачу, гигантскую для той эпохи.

В то время как Мопертюи и Клеро измеряли градус меридиана за полярным кругом, Бугер и Ла Кондамин отправились к Андам, в регионы, находившиеся тогда под властью Испании, а ныне являющиеся Республикой Эквадор.

Наши посланцы подвергались большим лишениям. Путешествовать было не так легко, как сейчас.

Правда, страна, где действовал Мопертюи, не была пустыней, и он даже пользовался, говорят, среди лапландцев теми сладкими сердечными радостями, которых никогда не знают настоящие арктические путешественники. Это была почти та самая область, куда в наши дни комфортабельные пароходы каждое лето доставляют толпы туристов и молодых англичан. Но в те времена агентства Кука не существовало, и Мопертюи действительно считал, что совершил полярную экспедицию.

Возможно, он был не совсем неправ. Русские и шведы сегодня проводят аналогичные измерения на Шпицбергене, в стране, где есть настоящий ледяной покров. Но у них совсем другие ресурсы, и разница во времени компенсирует разницу в широте.

Имя Мопертюи дошло до нас сильно исцарапанным когтями доктора Акакия; ученый имел несчастье не угодить Вольтеру, который был тогда королем умов. Сначала его превозносили сверх всякой меры; но лести королей следует опасаться так же, как и их немилости, потому что последующие дни бывают ужасны. Вольтер сам знал об этом не понаслышке.

Вольтер называл Мопертюи «мой любезный учитель в мышлении», «маркиз полярного круга», «дорогой сплющиватель мира и Кассини» и даже, высшая лесть, «сэр Исаак Мопертюи»; он писал ему: «Только короля Пруссии я ставлю на один уровень с вами; ему не хватает только быть геометром». Но вскоре сцена меняется, он больше не говорит о том, чтобы обожествлять его, как в былые времена аргонавтов, или призывать с Олимпа совет богов созерцать его труды, но о том, чтобы запереть его в сумасшедший дом. Он говорит уже не о его возвышенном уме, а о его деспотической гордыне, прикрытой очень малым количеством науки и большим количеством абсурда.

Я не хочу рассказывать об этих комико-героических сражениях; но позвольте мне сделать несколько размышлений по поводу двух стихов Вольтера. В своем «Рассуждении об умеренности» (никакой речи об умеренности в похвале и критике) поэт написал:

Вы подтвердили в краях суровых то, что Ньютон прозрел, не выходя из дома.

Эти два стиха (которые заменяют гиперболические похвалы первого периода) весьма несправедливы, и, несомненно, Вольтер был слишком просвещен, чтобы не знать этого.

Тогда ценились только те открытия, которые можно было сделать, не выходя из дома.

Сегодня скорее теорией стали бы пренебрегать.

Это значит не понимать цели науки.

Управляется ли природа капризом или в ней царит гармония? Вот в чем вопрос. Наука прекрасна и достойна того, чтобы ею заниматься, именно тогда, когда она раскрывает нам эту гармонию. Но откуда может прийти к нам это откровение, если не из согласия теории с экспериментом? Искать, существует ли это согласие или оно отсутствует, — вот наша цель. Следовательно, эти два термина, которые мы должны сравнить, одинаково необходимы. Пренебрегать одним ради другого было бы бессмысленно. Изолированная теория была бы пустой, эксперимент был бы слепым; каждый из них был бы бесполезен и не представлял бы интереса.

Мопертюи, следовательно, заслуживает своей доли славы. Конечно, она не сравнится со славой Ньютона, который получил божественную искру, или даже его сотрудника Клеро. И все же ею не стоит пренебрегать, потому что его работа была необходима, и если Франция, опереженная Англией в XVII веке, так хорошо взяла реванш в следующем столетии, то она обязана этим не только гению Клеро, д'Аламберов, Лапласов; она обязана этим также долгому терпению Мопертюи и Ла Кондаминов.

Мы подходим к тому, что можно назвать вторым героическим периодом геодезии. Франция раздираема внутренними противоречиями. Вся Европа вооружена против нее; казалось бы, эти гигантские сражения должны поглотить все ее силы. Отнюдь нет; у нее все еще есть они для служения науке. Люди того времени не отступали ни перед каким предприятием, они были людьми веры.

Деламбру и Мешену было поручено измерить дугу от Дюнкерка до Барселоны. На этот раз не было поездки в Лапландию или Перу; враждебные эскадры закрыли нам пути туда. Но хотя экспедиции менее отдаленные, эпоха настолько неспокойная, что препятствия, даже опасности, столь же велики.

Во Франции Деламбру пришлось бороться с недоброжелательностью подозрительных муниципалитетов. Известно, что шпили, которые видны издалека и по которым можно точно прицелиться, часто служат сигнальными точками для геодезистов. Но в регионе, который пересекал Деламбр, шпилей больше не было. Некий проконсул прошел там и хвастался тем, что снес все шпили, гордо возвышавшиеся над скромными жилищами санкюлотов. Тогда строили пирамиды из досок и покрывали их белой тканью, чтобы сделать их более заметными. Это было совсем другое дело: с белой тканью! Что это за дерзкий человек, который на наших высотах, столь недавно освобожденных, осмелился поднять ненавистный штандарт контрреволюции? Пришлось окаймлять белую ткань синими и красными полосами.

Мешен работал в Испании; трудности были иными, но не меньшими. Испанские крестьяне были враждебны. Там шпилей было в достатке, но обосноваться в них с таинственными и, возможно, дьявольскими инструментами — не было ли это святотатством? Революционеры были союзниками Испании, но союзниками, от которых немного пахло костром.

«Без конца, — пишет Мешен, — они угрожают зарезать нас». К счастью, благодаря увещеваниям священников, пастырским посланиям епископов, эти свирепые испанцы довольствовались угрозами.

Несколько лет спустя Мешен предпринял вторую экспедицию в Испанию: он предложил продлить меридиан от Барселоны до Балеарских островов. Это был первый случай, когда была предпринята попытка провести триангуляцию через большой морской рукав путем наблюдения сигналов, установленных на какой-нибудь высокой горе далекого острова. Предприятие было хорошо задумано и подготовлено; однако оно провалилось.

Французский ученый столкнулся со всеми видами трудностей, на которые он горько жалуется в своей переписке. «Ад, — пишет он, возможно, с некоторым преувеличением, — ад и все бедствия, которые он извергает на землю, бури, война, чума и черные интриги, ополчились против меня!»

Дело в том, что он встретил среди своих сотрудников больше гордого упрямства, чем доброй воли, и что тысяча случайностей задерживала его работу. Чума была ничем, страх перед чумой был гораздо более грозным; все эти острова были настороже против соседних островов и боялись, как бы не получить от них заразу. Мешен получил разрешение на высадку только после долгих недель при условии, что все его бумаги будут обработаны уксусом; это была антисептика того времени.

Разочарованный и больной, он только что попросил об отзыве, когда умер.

Именно Араго и Био выпала честь взяться за незавершенную работу и довести ее до конца.

Благодаря поддержке испанского правительства, покровительству нескольких епископов и, прежде всего, знаменитого предводителя разбойников, операции быстро продвигались вперед. Они были успешно завершены, и Био вернулся во Францию, когда разразилась буря.

Это был момент, когда вся Испания взялась за оружие, чтобы защитить свою независимость от Франции. Почему этот чужестранец взбирался на горы, чтобы подавать сигналы? Очевидно, чтобы призвать французскую армию. Араго смог спастись от толпы, только став пленником. В своей тюрьме единственным его развлечением было чтение в испанских газетах отчета о собственной казни. Газеты того времени иногда сообщали новости преждевременно. У него было, по крайней мере, утешение узнать, что он умер мужественно и как христианин.

Даже тюрьма больше не была безопасной; ему пришлось бежать и добраться до Алжира. Там он сел на алжирское судно, направлявшееся в Марсель. Это судно было захвачено испанским корсаром, и вот Араго снова везут в Испанию и таскают из темницы в темницу, среди паразитов и в самом шокирующем убожестве.

Если бы речь шла только о его подданных и гостях, дей ничего бы не сказал. Но на борту были два льва, подарок африканского суверена Наполеону. Дей пригрозил войной.

Судно и пленники были освобождены. Порт должен был быть достигнут должным образом, так как на борту был астроном; но астронома укачало, и алжирские моряки, желавшие попасть в Марсель, вышли у Бужи. Оттуда Араго отправился в Алжир, пересекая Кабилию пешком среди тысячи опасностей. Он долго был задержан в Африке и ему грозила каторга. Наконец он смог вернуться во Францию; его наблюдения, которые он сохранил и сберег под рубашкой, и, что еще более примечательно, его инструменты прошли невредимыми через эти ужасные приключения. До этого момента Франция не только занимала первое место, но и занимала сцену почти в одиночку.

В последующие годы она не бездействовала, и наша карта генерального штаба является образцовой. Однако новые методы наблюдения и расчета пришли к нам прежде всего из Германии и Англии. Только за последние сорок лет Франция вернула себе свой ранг. Она обязана этим военному ученому, генералу Перье, который успешно выполнил поистине дерзкое предприятие — соединение Испании и Африки. Станции были установлены на четырех вершинах по обе стороны Средиземного моря. Долгие месяцы они ждали спокойной и прозрачной атмосферы. Наконец была видна маленькая нить света, которая преодолела 300 километров над морем. Предприятие увенчалось успехом.

Сегодня задуманы проекты еще более смелые. С горы близ Ниццы будут подаваться сигналы на Корсику, теперь уже не для геодезических определений, а для измерения скорости света. Расстояние составляет всего 200 километров; но луч света должен совершить путь туда и обратно после отражения зеркалом, установленным на Корсике. И он не должен блуждать в пути, ибо должен вернуться точно в точку отправления.

С тех пор активность французской геодезии никогда не ослабевала. У нас больше нет таких удивительных приключений, о которых можно было бы рассказать; но проделанная научная работа огромна. Территория Франции за морем, как и территория метрополии, покрыта треугольниками, измеренными с точностью.

Мы стали все более требовательными, и то, чем восхищались наши отцы, сегодня нас не удовлетворяет. Но по мере того, как мы стремимся к большей точности, трудности значительно возрастают; мы окружены ловушками и должны быть настороже против тысячи непредвиденных причин ошибок. Необходимо, следовательно, создавать инструменты все более совершенные.

Здесь Франция также не позволила себя обойти. Наши приборы для измерения базисов и углов не оставляют желать лучшего, и я могу также упомянуть маятник полковника Деффоржа, который позволяет нам определять силу тяжести с точностью, доселе неизвестной.

Будущее французской геодезии в настоящее время находится в руках Географической службы армии, последовательно возглавляемой генералом Бассо и генералом Берто. Мы не можем достаточно поздравить себя с этим. Для успеха в геодезии научных способностей недостаточно; необходимо быть способным переносить долгие тяготы в любых климатических условиях; начальник должен уметь добиться послушания от своих сотрудников и сделать послушными своих местных помощников. Это военные качества. Кроме того, известно, что в нашей армии наука всегда шла плечом к плечу с мужеством.

Добавлю, что военная организация обеспечивает необходимое единство действий. Было бы труднее примирить соперничающие претензии ученых, ревнивых к своей независимости, заботящихся о том, что они называют своей славой, и которые все же должны работать сообща, будучи разделенными большими расстояниями. Среди геодезистов прежних времен часто возникали дискуссии, некоторые из которых вызывали долгие отголоски. Академия долго звучала спором Бугера и Ла Кондамина. Я не хочу сказать, что солдаты свободны от страстей, но дисциплина налагает молчание на слишком чувствительное самолюбие.

Несколько иностранных правительств обращались к нашим офицерам с просьбой организовать их геодезическую службу: это доказательство того, что научное влияние Франции за рубежом не ослабло.

Наши инженеры-гидрографы также вносят в общее достижение славный вклад. Съемка наших побережий, наших колоний, изучение приливов предлагают им обширную область исследований. Наконец, я могу упомянуть общее нивелирование Франции, которое осуществляется остроумными и точными методами М. Лаллемана.

С такими людьми мы уверены в будущем. Более того, работа для них не закончится; наша колониальная империя открывает перед ними огромные, плохо исследованные пространства. Это еще не все: Международная геодезическая ассоциация признала необходимость нового измерения дуги Кито, определенной в былые времена Ла Кондамином. Именно Франции было поручено это действие; она имела на это полное право, так как наши предки совершили, так сказать, научное завоевание Кордильер. Кроме того, эти права не оспаривались, и наше правительство взялось за их осуществление.

Капитаны Морен и Лакомб завершили первую разведку, и быстрота, с которой они выполнили свою миссию, пересекая самые суровые регионы и взбираясь на самые крутые вершины, достойна всяческой похвалы. Она завоевала восхищение генерала Альфаро, президента Республики Эквадор, который назвал их 'los hombres de hierro', люди из железа.

Затем отправилась окончательная комиссия под командованием подполковника (тогда майора) Буржуа. Полученные результаты оправдали возлагавшиеся надежды. Но наши офицеры столкнулись с непредвиденными трудностями, вызванными климатом. Не раз одному из них приходилось оставаться несколько месяцев на высоте 4000 метров, в облаках и снегу, не видя ничего из сигналов, на которые он должен был нацелиться и которые отказывались открываться. Но благодаря их упорству и мужеству, это привело лишь к задержке и увеличению расходов, без ущерба для точности измерений.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

То, что я стремился объяснить на предыдущих страницах, — это то, как ученый должен направлять себя при выборе среди бесчисленных фактов, предлагаемых его любопытству, поскольку, действительно, естественные ограничения его ума вынуждают его делать выбор, даже если выбор — это всегда жертва. Я изложил это сначала с помощью общих соображений, напоминая, с одной стороны, о природе решаемой проблемы, а с другой — стремясь лучше понять природу человеческого ума, который является главным инструментом решения. Затем я объяснил это на примерах; я не умножал их до бесконечности; мне также пришлось сделать выбор, и я выбрал, естественно, те вопросы, которые изучал больше всего. Другие, несомненно, сделали бы другой выбор; но какая разница, потому что я верю, что они пришли бы к тем же выводам.

Существует иерархия фактов; некоторые не имеют охвата; они не учат нас ничему, кроме самих себя. Ученый, который установил их, не узнал ничего, кроме факта, и не стал более способным предвидеть новые факты. Такие факты, кажется, случаются однажды, но не предназначены для повторения.

Существуют, с другой стороны, факты с большой отдачей; каждый из них учит нас новому закону. И поскольку выбор должен быть сделан, именно им ученый должен посвятить себя.

Несомненно, эта классификация относительна и зависит от слабости нашего ума. Факты с незначительным результатом — это сложные факты, на которые различные обстоятельства могут оказывать заметное влияние, обстоятельства слишком многочисленные и слишком разнообразные, чтобы мы могли различить их все. Но я бы скорее сказал, что это факты, которые мы считаем сложными, поскольку запутанность этих обстоятельств превосходит возможности нашего ума. Несомненно, ум более обширный и тонкий, чем наш, думал бы о них иначе. Но что с того; мы не можем использовать этот высший ум, а только наш собственный.

Факты с большой отдачей — это те, которые мы считаем простыми; может быть, они действительно таковы, потому что на них влияют только небольшое число хорошо определенных обстоятельств, может быть, они приобретают видимость простоты, потому что различные обстоятельства, от которых они зависят, подчиняются законам случая и поэтому приходят к взаимной компенсации. И это то, что происходит чаще всего. И поэтому мы были вынуждены рассмотреть несколько ближе, что такое случай.

Факты, где применяются законы случая, становятся легко доступными для ученого, который был бы обескуражен перед лицом необычайной сложности проблем, где эти законы неприменимы. Мы видели, что эти соображения применимы не только к физическим наукам, но и к математическим наукам. Метод доказательства не одинаков для физика и математика. Но методы изобретения очень похожи. В обоих случаях они состоят в восхождении от факта к закону и в нахождении фактов, способных привести к закону.

Чтобы подчеркнуть этот момент, я показал ум математика в работе, и в трех формах: ум математического изобретателя и творца; ум бессознательного геометра, который среди наших далеких предков или в туманные годы нашего младенчества сконструировал для нас наше инстинктивное понятие пространства; ум подростка, которому учителя среднего образования открывают первые принципы науки, стремясь дать понимание фундаментальных определений. Везде мы видели роль интуиции и духа обобщения, без которых эти три стадии математиков, если я могу так выразиться, были бы сведены к равной импотенции.

И в самом доказательстве логика — это еще не все; истинное математическое рассуждение — это подлинная индукция, во многих отношениях отличная от индукции физики, но действующая подобно ей от частного к общему. Все усилия, которые были предприняты, чтобы изменить этот порядок и свести математическую индукцию к правилам логики, привели только к неудачам, плохо скрытым использованием языка, недоступного для непосвященных. Примеры, которые я взял из физических наук, показали нам очень разные случаи фактов с большой отдачей. Эксперимент Кауфмана с лучами радия революционизирует одновременно механику, оптику и астрономию. Почему? Потому что по мере развития этих наук мы лучше распознали связи, объединяющие их, и тогда мы восприняли некий общий замысел карты универсальной науки. Существуют факты, общие для нескольких наук, которые кажутся общим источником потоков, расходящихся во всех направлениях, и которые сравнимы с тем холмом Сен-Готард, откуда берут начало воды, оплодотворяющие четыре разные долины.

И тогда мы можем делать выбор фактов с большей проницательностью, чем наши предшественники, которые рассматривали эти долины как отдельные и разделенные непреодолимыми барьерами.

Всегда нужно выбирать простые факты, но среди этих простых фактов мы должны предпочесть те, которые расположены на этих своего рода холмах Сен-Готард, о которых я только что говорил.

И когда науки не имеют прямой связи, они все равно взаимно проливают свет друг на друга по аналогии. Когда мы изучали законы, которым подчиняются газы, мы знали, что атаковали факт с большой отдачей; и все же эта отдача все еще оценивалась ниже ее стоимости, поскольку газы являются, с определенной точки зрения, образом Млечного Пути, и те факты, которые казались интересными только для физика, вскоре открыли новые перспективы для астрономии, совершенно неожиданные.

И, наконец, когда геодезист видит, что необходимо сдвинуть свой телескоп на несколько секунд, чтобы увидеть сигнал, который он установил с большими усилиями, это очень маленький факт; но это факт с большой отдачей, не только потому, что это открывает ему существование небольшого выступа на земном шаре, этот маленький горб сам по себе не представлял бы большого интереса, но потому, что этот выступ дает ему информацию о распределении материи внутри земного шара, и через это — о прошлом нашей планеты, о ее будущем, о законах ее развития.

УКАЗАТЕЛЬ

аберрация света, 315, 496 Абрахам, 311, 490-1, 505-7, 509, 515-6 абсолютное движение, 107 ориентация, 83 пространство, 85, 93, 246, 257, 353 ускорение, 94, 98, 486, 509 случайная константа, 112 ошибки, 171, 402 аккомодация глаз, 67-8 действие на расстоянии, 137 сложение, 34 цель математики, 280 алхимики, 11 Альфаро, 543 алгебра, 379 аналогия, 220 анализ, 218-9, 279 анализ ситус, 53, 239, 381 аналитик, 210, 221 наследственный опыт, 91 Андраде, 93, 104, 228 Эндрюс, 153 сумма углов треугольника, 58 англосаксы, 3 антиномии, 449, 457, 477 Араго, 540-1 Аристотель, 205, 292, 460 арифметика, 34, 379, 441, 463 ассоциативность, 35 допущения, 451, 453 астрономия, 81, 289, 315, 512 Атвуд, 446 аксиома, 60, 63, 65, 215 Бэкон, 128 Бартоли, 503 Бассо, 542 красота, 349, 368 Беккерель, 312 Бельтрами, 56, 58 Бергсон, 321 Беркли, 4 Берто, 542 Бертран, 156, 190, 211, 395 Бетти, 239 Био, 540 тела, твердые, 72 Больцман, 304 Бойяи, 56, 201, 203 Борель, 482 Бугер, 537, 542 Буржуа, 543 Бутру, 390, 464 Брэдли, 496 Брио, 298 броуновское движение, 152, 410 Бухерер, 507 Бурали-Форти, 457-9, 477, 481-2 Кан, 387-8 Калинон, 228 каналовые лучи, 491-2 каналы, полукружные, 276 Кантор, 11, 448-9, 457, 459, 477 канторизм, 381, 382, 480, 484 капиллярность, 298 Карлейль, 128 принцип Карно, 143, 151, 300, 303-5, 399 Кассини, 537 катодные лучи, 487-92 клетки, 217 центр тяжести, 103 центральные силы, 297 Халдеи, 290 случай, 395, 408 изменение положения, 70 состояния, 70 химия звезд, 295 кругоквадраты, 11 Клеро, 537-8 Клаузиус, 119, 123, 143 ощущение цвета, 252 теория света, 351 скорость света, 232, 312 Колумб, 228 коммутативность, 35-6 компенсация, 72 полная индукция, 40 Конт, 294 Кондорсе, 411 контингентность, 340 непрерывность, 173 континуум, 43 аморфный, 238 математический, 46 физический, 46, 240 трехмерный, 240 конвенция, 50, 93, 106, 125, 173, 208, 317, 440, 451 сходимость, 67-8 координаты, 244 Коперник, 109, 291, 354 Кулон, 143, 516 Кутюра, 450, 453, 456, 460, 462-3, 467, 472-6 творчество, математическое, 383 кредо, 1 Кремье, 168-9, 490 кризис, 303 Крукс, 195, 488, 527-8 сырой факт, 326, 330 Кюри, 312-3, 318 ток, 186 д'Аламбер, 538 Дарвин, 518-9 Де Сион, 276, 427 Дедекинд, 44-5 Деффорж, 542 определения, 430, 453 деформация, 73, 415 Делаж, 277 Деламбр, 539 Дельбёф, 414 Декарт, 127 детерминизм, 123, 340 словарь, 59 дидимий, 333 дилатация, 76 измерения, 53, 68, 78, 241, 256, 426 направление, 69 Дирихле, 213 дисперсия, 141 смещение, 73, 77, 247, 256 расстояние, 59, 292 дистрибутивность, 36 Дюбуа-Реймон, 50

теория газов, 141 Кирхгоф, 98-9, 103-5 Клейн, 60, 211, 287 знание, 201 Кёниг, 144, 477 Ковалевская, 212, 286 Кронекер, 44 Лакомб, 543 Ла Кондамин, 535, 537-8, 542-3 Лагранж, 98, 151, 179 Лайзан, 383 Лаллеман, 543 Ланжевен, 509 Лаплас, 298, 398, 514-5, 518, 522, 538 уравнение Лапласа, 283, 287 Лармор, 145, 150 принцип Лавуазье, 301, 310, 312 закон, 207, 291, 395 Лейбниц, 32, 450, 471 Ле Руа, 28, 321-6, 332, 335, 337, 347-8, 354, 468 Лесаж, 517-21 Лиар, 440 Ли, 62-3, 212 ощущения света, 252 теория света, 351 скорость света, 232, 312 Линдеман, 508 линия, 203, 243 рычажные механизмы, 144 Липпман, 196 Лобачевский, 29, 56, 60, 62, 83, 86, 203 пространство Лобачевского, 239 местное время, 306-7, 499 логика, 214, 435, 448, 460-2, 464 логистика, 457, 472-4 логисты, 472 Лоренц, 147, 149, 196-7, 306, 308, 311, 315, 415-6, 492, 498-502, 504-9, 512, 514-6, 521 Лотце, 264 удача, 399 Люмен, 407-8 Мак-Калла, 150 Мах, 375 Мах-Делаж, 276 магнетизм, 149 величина, 49 закон Мариотта, 120, 132, 157, 342, 524 масса, 98, 312, 446, 486, 489, 494, 515 математический анализ, 218 континуум, 46 творчество, 383 индукция, 40, 220 физика, 136, 297, 319 математика, 369, 448 материя, 492 Мопертюи, 535, 537-8 Морен, 543 Максвелл, 140, 152, 175, 177, 181, 193, 282-3, 298, 301, 304-5, 351, 503, 524-5 Максвелл-Бартоли, 309, 503-4, 519, 521 Майер, 119, 123, 300, 312, 318 измерение, 49 Мешен, 539-40 механическое объяснение, 177 масса, 312 механика, 92, 444, 486, 496, 512 антропоморфная, 103 небесная, 279 статистическая, 304 Мерай, 211 метафизик, 221 метеорология, 398 мыши, 277 Михельсон, 306, 309, 311, 316, 498, 500-1 Млечный Путь, 523-30 Милль, Стюарт, 60-1, 453-4 Монист, 4, 89, 464 спутники Юпитера, 233 Морли, 309 движение жидкостей, 283 Луны, 28 планет, 341 относительное, 107, 487 без деформации, 236 умножение, 36 мышечные ощущения, 69 Нагаока, 317 природа, 127 навигация, 289 неодим, 333 неомоники, 283 Нейман, 181 Ньютон, 85, 96, 98, 109, 153, 291, 370, 486, 516, 536, 538 аргумент Ньютона, 108, 334, 343 закон, 111, 118, 132, 136, 149, 157, 233, 282, 292, 512, 514-5, 518, 525 принцип, 146, 300, 308-9, 312 теория без классов, 478 номинализм, 28, 125, 321, 333, 335 неевклидова геометрия, 55, 59, 388 язык, 127 пространство, 55, 235, 237 прямая, 236, 470 мир, 75 число, 31 большое, 88 мнимое, 283 несоизмеримое, 44 трансфинитное, 448-9 целое, 44, 469 объективность, 209, 347, 349, 408 оптические иллюзии, 202 оптика, 174, 496 орбита Сатурна, 341 порядок, 385 ориентация, 83 осмотический, 141 Падоа, 463 Пантеон, 414 параллакс, 470 параллели, 56, 443 Парижское время, 233 Парри, 419-22, 427 разбиение, 45 пазиграфия, 456-7 Пастер, 128 Пеано, 450, 456-9, 463, 472 Пендер, 490 маятник, 224 Перье, 541 Перрен, 195 фосфор, 333, 468, 470-1 физический континуум, 46 физика, 127, 140, 144, 279, 297 физика центральных сил, 297 принципов, 299 Пьери, 11, 203 Платон, 292 Пуанкаре, 473 точка, 89, 244 Понселе, 215 постулаты, 382 потенциальная энергия, 116 празеодим, 333 принцип, 125, 299 Карно, 143, 151, 300, 303-5, 399 Клаузиуса, 119, 123, 143 Гамильтона, 115 Лавуазье, 300, 310 Майера, 119, 121, 123, 300, 312, 318 Ньютона, 146, 300, 308-9, 312 действия и противодействия, 300, 487, 502 сохранения энергии, 300 деградации энергии, 300 инерции, 93, 486, 507 наименьшего действия, 118, 300 относительности, 300, 305, 498, 505 Прони, 445 психолог, 383 Птолемей, 110, 291, 353-4 Пифагор, 292 квадратура круга, 161 качественная геометрия, 238 пространство, 207 время, 224 кватернионы, 282 радиометр, 503 радий, 312, 318, 486-7 Радош, 201 Рамзай, 313 рациональная геометрия, 5, 467 реакция, 502 реальность, 217, 340, 349 Реомюр, 238 рекуррентность, 37 Реньо, 170 относительность, 83, 305, 417, 423, 498, 505 Ришар, 477-8, 480-1 Риман, 56, 62, 145, 212, 239, 243, 381, 432 поверхность, 211, 287 Рёмер, 233 Рентген, 511, 520 вращение Земли, 225, 331, 353 рулетка, 403 Роуленд, 194-7, 305, 489 Ройс, 202 Рассел, 201, 450, 460-2, 464-7, 471-4, 477-82, 484-5 Сент-Луисская выставка, 208, 320 Сарсе, 442 Сатурн, 231, 317 Шиллер, 202 Шлиман, 19 наука, 205, 321, 323, 340, 354 Наука и гипотеза, 205-7, 220, 240, 246-7, 319, 353, 452 полукружные каналы, 276 ряды, разложение в, 287 Фурье, 286 Сириус, 226, 229 твердые тела, 72 пространство, 55, 66, 89, 235, 256 абсолютное, 85, 93 аморфное, 417 Бойяи, 56 евклидово, 65 геометрическое, 66 Лобачевского, 239 моторное, 69 неевклидово, 55, 235, 237 четырех измерений, 78 перцептивное, 66, 69 тактильное, 68, 264 визуальное, 67, 252 спектры, 316 спектроскоп, 294 Спенсер, 9 губка, 219 Сент-Луис, 307 я здесь использую слово реальный как синоним объективного; я таким образом следую общему употреблению; возможно, я ошибаюсь, наши сны реальны, но они не объективны. См. Наука и гипотеза, глава I. Основания логики и арифметики, Monist, XV., 338-352. Второе изд., 1907, стр. 86; Франц. изд., 1911, стр. 97. Дж. Б. Х. Revue générale des sciences, 30 июня 1905. В его статье 'Le classi finite', Atti di Torino, том XXXII. В момент сдачи в печать мы узнаем, что М. Бухерер повторил эксперимент, приняв новые меры предосторожности, и что он получил, вопреки Кауфману, результаты, подтверждающие взгляды Лоренца. КОНЕЦ ЭЛЕКТРОННОЙ КНИГИ ПРОЕКТА ГУТЕНБЕРГ «ОСНОВАНИЯ НАУКИ: НАУКА И ГИПОТЕЗА, ЦЕННОСТЬ НАУКИ, НАУКА И МЕТОД» ПОЛНАЯ ЛИЦЕНЗИЯ PROJECT GUTENBERG™ 1.C. Фонд литературного архива проекта Гутенберг («Фонд» или PGLAF) владеет авторским правом на компиляцию коллекции электронных работ проекта Гутенберг. Почти все отдельные работы в коллекции находятся в общественном достоянии в Соединенных Штатах. Если отдельная работа не защищена законом об авторском праве в Соединенных Штатах и вы находитесь в Соединенных Штатах, мы не претендуем на право запрещать вам копировать, распространять, исполнять, отображать или создавать производные работы на основе этой работы, при условии, что все ссылки на проект Гутенберг удалены. Конечно, мы надеемся, что вы поддержите миссию проекта Гутенберг по содействию бесплатному доступу к электронным работам, свободно делясь работами проекта Гутенберг в соответствии с условиями этого соглашения о сохранении имени проекта Гутенберг, связанного с работой. Вы можете легко соблюдать условия этого соглашения, сохраняя эту работу в том же формате с приложенной полной лицензией проекта Гутенберг, когда вы делитесь ею бесплатно с другими. 1.E.1. Следующее предложение с активными ссылками или другим немедленным доступом к полной лицензии проекта Гутенберг должно появляться на видном месте всякий раз, когда осуществляется доступ, отображение, исполнение, просмотр, копирование или распространение любой копии работы проекта Гутенберг (любой работы, на которой появляется фраза «Проект Гутенберг» или с которой связана фраза «Проект Гутенберг»):

481-2 целые числа, 44 Вихерт, 145, 488 рентгеновские лучи, 152, 511, 520 эффект Зеемана, 152, 196, 317, 494 Зенон, 382 Цермело, 477, 482-3 зигзагообразная теория, 478 зодиак, 398, 404

СНОСКИ

[1] См. Ле Руа, 'Science et Philosophie', Revue de Métaphysique et de Morale, 1901.

[2] С теми, которые содержатся в специальных конвенциях, служащих для определения сложения, о которых мы поговорим позже.

[3] Revue de Métaphysique et de Morale, т. VI., стр. 1-13 (январь 1898).

[4] Следующие строки являются частичным воспроизведением предисловия к моей книге 'Thermodynamique'.

[5] Эта глава является частичным воспроизведением предисловий к двум моим работам: 'Théorie mathématique de la lumière' (Париж, Naud, 1889) и 'Électricité et optique' (Париж, Naud, 1901).

[6] Мы добавляем, что U будет зависеть только от параметров q, что T будет зависеть от параметров q и их производных по времени и будет однородным многочленом второй степени относительно этих производных.

[7] Etude sur les diverses grandeurs, Париж, Gauthier-Villars, 1897.

[8] Вместо того чтобы говорить, что мы относим пространство к осям, жестко связанным с нашим телом, возможно, было бы лучше сказать, в соответствии с тем, что предшествует, что мы относим его к осям, жестко связанным с начальным положением нашего тела.

[9] Потому что тела противопоставляли бы возрастающую инерцию причинам, которые стремились бы ускорить их движение; и эта инерция стала бы бесконечной, когда приближались бы к скорости света.

[10] Эти соображения по математической физике заимствованы из моего выступления в Сент-Луисе.

[11] Я здесь использую слово реальный как синоним объективного; я таким образом следую общему употреблению; возможно, я ошибаюсь, наши сны реальны, но они не объективны.

[12] См. 'Наука и гипотеза', глава I.

[13] 'Основания логики и арифметики', Monist, XV., 338-352.

[14] Второе изд., 1907, стр. 86; Франц. изд., 1911, стр. 97. Дж. Б. Х.

[15] Revue générale des sciences, 30 июня 1905.

[16] В его статье 'Le classi finite', Atti di Torino, том XXXII.

[17] В момент сдачи в печать мы узнаем, что М. Бухерер повторил эксперимент, приняв новые меры предосторожности, и что он получил, вопреки Кауфману, результаты, подтверждающие взгляды Лоренца.