ОРГАНИЗАЦИЯ МЫШЛЕНИЯ

ОРГАНИЗАЦИЯ МЫШЛЕНИЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ И НАУЧНАЯ

А. Н. УАЙТХЕД, д-р естественных наук, член Королевского общества

Член Тринити-колледжа в Кембридже и профессор прикладной математики в Имперском колледже науки и технологии

ЛОНДОН WILLIAMS AND NORGATE 14 HENRIETTA STREET, COVENT GARDEN, W.C.2 1917

Все права на перевод защищены

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дискурсы, включенные в этот том, были представлены в виде докладов по различным поводам, которые должным образом отмечены; единственным исключением является работа «Анатомия некоторых научных идей», которая публикуется впервые. Эти дискурсы делятся на два раздела: первые пять глав посвящены образованию, а оставшиеся три содержат обсуждения определенных вопросов, возникающих в философии науки. Однако общая линия размышлений проходит через всю книгу, и оба раздела влияют друг на друга.

В каждой главе я сохранил отсылку к конкретному случаю ее первого представления и не стремился к словесной согласованности, скрывающей противоречия. Но различные части книги на самом деле были составлены с явной отсылкой друг к другу, чтобы сформировать единое целое.

Я благодарю синдиков Кембриджского университетского издательства за разрешение на переиздание содержания главы V.

Имперский колледж науки и технологии, апрель 1917 г.

TABLE OF CONTENTS

CHAP.    |    PAGE
PREFACE | v
I. THE AIMS OF EDUCATION—A PLEA FOR REFORM (Presidential Address to the Mathematical Association, January, 1916.) | 1

II. TECHNICAL EDUCATION AND ITS RELATION TO
SCIENCE AND LITERATURE
(Presidential Address to the Mathematical Association,
January, 1917.)
29

III. A POLYTECHNIC IN WAR-TIME (Address at the Prize Distribution, Borough Polytechnic Institute, Southwark, February, 1917.) | 58
IV. THE MATHEMATICAL CURRICULUM (Presidential Address to the London Branch of the Mathematical Association, 1912.) | 69

V. THE PRINCIPLES OF MATHEMATICS IN RELATION
TO ELEMENTARY TEACHING
(Paper read in the Educational Section of the International
Congress of Mathematicians, Cambridge,
1912.)
92

VI. THE ORGANISATION OF THOUGHT
(Presidential Address to Section A, British Association,
Newcastle, 1916; also read subsequently before the
Aristotelian Society.)
105

VII. THE ANATOMY OF SOME SCIENTIFIC IDEAS | 134

VIII. SPACE, TIME, AND RELATIVITY
(Paper read to Section A at the Manchester Meeting of
Section A, 1915; also, with the appended Commentary,
read subsequently before the Aristotelian
Society.)
191

ОРГАНИЗАЦИЯ МЫШЛЕНИЯ

ГЛАВА I ЦЕЛИ ОБРАЗОВАНИЯ — ПРИЗЫВ К РЕФОРМАМ

(Presidential Address to the Mathematical Association, January, 1916)

Когда я имел честь стать президентом Математической ассоциации, я не предвидел той необычной ответственности, которую это повлекло за собой. Я намеревался сделать темой президентского обращения рассмотрение какого-либо аспекта тех специальных предметов, на которые были главным образом направлены мои собственные исследования. События заставили меня отказаться от этого намерения. Бесполезно обсуждать абстрактные вопросы посреди доминирующих практических забот. Мы не можем игнорировать нынешний кризис европейской цивилизации. Он затрагивает каждую функцию жизни. В более тяжелой борьбе за существование, которая предстоит нации, все сферы национальных усилий будут пересмотрены для оценки. Сама необходимость экономии ресурсов спровоцирует эту реформацию.

Мы обеспокоены образованием. Эта Ассоциация, столь богатая своим членством из педагогов, с концепцией реформы как самой причиной своего существования, находится среди тех органов, которые должны взять на себя инициативу в руководстве той образовательной реконструкцией, которая по социологическому закону следует за каждой социальной революцией. Нам не нужны невыполнимые идеалы, которые могут быть реализованы только за облаками в

"Some wild, weird clime,

Out of Space, and out of Time."

Нам нужно знать, что возможно сейчас в Англии, нации, осознающей свои высокие достижения и великие неудачи, потрясенной до основания, недоверчивой к старым путям и опасающейся фантастических новинок.

Я наберусь смелости и представлю вам набросок образовательных принципов. То, что я собираюсь сказать, конечно, полностью без ваших полномочий и не обязывает и не предрешает никаких действий Ассоциации. Мы в первую очередь обеспокоены только интеллектуальной стороной образования и, как математики, естественно, стремимся проиллюстрировать детали более конкретно со ссылкой на математику. Этого достаточно, чтобы объяснить намеренные упущения в дальнейшем.

Рассмотрим теперь общее и специальное образование двух типов мальчиков, а именно тех в средних школах, которые в дальнейшей жизни должны сформировать профессиональные и руководящие классы в торговле, промышленности и государственном управлении, и, опять же, тех в младших технических школах, а затем в продвинутых классах продолженного образования, которые собираются сформировать класс квалифицированных ремесленников и мастеров мастерских. Эти две группы составляют образованную силу нации. Мы не должны формировать никаких идеалов, которые включают меньше, чем эти целые классы в свою сферу. То, что я скажу, по фразеологии будет более непосредственно применимо к средним школам, но с несущественными изменениями оно будет в равной степени применимо и к другой группе.

Какова первая заповедь, которой нужно следовать в любой образовательной схеме? Она такова: не преподавайте слишком много предметов. Вторая заповедь такова: то, что вы преподаете, преподавайте тщательно. Дьявол в схоластическом мире принял форму общего образования, состоящего из обрывков большого количества несвязанных предметов; и, с хитростью змея, он укрепился за вступительным экзаменом Лондонского университета, с проволочным заграждением, образованным школьным экзаменом Оксфорда и Кембриджа.

Культура — это активность мысли, восприимчивость к красоте и гуманное чувство. Обрывки информации не имеют к ней никакого отношения. Просто хорошо информированный человек — самый бесполезный зануда на Божьем свете. К чему мы должны стремиться, так это к созданию людей, которые обладают как культурой, так и экспертными знаниями в каком-то специальном направлении. Их экспертные знания дадут им почву, с которой можно начать, а их культура приведет их так глубоко, как философия, и так высоко, как искусство. Мы должны помнить, что ценное интеллектуальное развитие — это саморазвитие, и что оно по большей части происходит в возрасте от шестнадцати до тридцати лет. Что касается обучения, то самая важная часть дается матерями до двенадцати лет. Высказывание, принадлежащее архиепископу Темплу, иллюстрирует мою мысль. Было выражено удивление успехом в дальнейшей жизни человека, который в бытность мальчиком в Регби был несколько невыдающимся. Он ответил: «Важно не то, кем они являются в восемнадцать лет, а то, кем они становятся впоследствии».

Обучая ребенка активности мысли, прежде всего мы должны остерегаться того, что я назову «инертными идеями» — то есть идей, которые просто воспринимаются умом, не будучи использованными, проверенными или включенными в новые комбинации.

В истории образования самым поразительным явлением является то, что учебные заведения, которые в одну эпоху живут брожением гения, в следующем поколении демонстрируют лишь педантизм и рутину. Причина в том, что они перегружены инертными идеями. Образование с инертными идеями не только бесполезно: оно, прежде всего, вредно — Corruptio optimi, pessima. За исключением редких интервалов интеллектуального брожения, образование в прошлом было радикально заражено инертными идеями. Вот почему необразованные умные женщины, которые много видели мир, в среднем возрасте являются самой культурной частью общества. Они были спасены от этого ужасного бремени инертных идей. Каждая интеллектуальная революция, которая когда-либо побуждала человечество к величию, была страстным протестом против инертных идей. Затем, увы, с патетическим невежеством в человеческой психологии, она приступала к какой-то образовательной схеме, чтобы заново связать человечество инертными идеями своего собственного изготовления.

Давайте теперь спросим, как в нашей системе образования мы должны защищаться от этой умственной сухой гнили. Мы возвращаемся к нашим двум образовательным заповедям: «Не преподавайте слишком много предметов» и, опять же, «То, что вы преподаете, преподавайте тщательно».

Результатом преподавания небольших частей большого количества предметов является пассивное восприятие несвязанных идей, не освещенных никакой искрой жизненности. Пусть основные идеи, которые вводятся в образование ребенка, будут немногочисленными и важными, и пусть они будут брошены в каждую возможную комбинацию. Ребенок должен сделать их своими и должен понимать их применение здесь и сейчас в обстоятельствах своей реальной жизни. С самого начала своего образования ребенок должен испытывать радость открытия. Открытие, которое он должен сделать, заключается в том, что общие идеи дают понимание того потока событий, который вливается в его жизнь, который и есть его жизнь. Под пониманием я подразумеваю больше, чем просто логический анализ, хотя это и включено. Я подразумеваю «понимание» в том смысле, в котором оно используется во французской пословице: «Понять все — значит простить все». Педанты насмехаются над образованием, которое полезно. Но если образование не полезно, то что это? Это талант, который нужно спрятать в салфетку? Конечно, образование должно быть полезным, какова бы ни была ваша цель в жизни. Оно было полезно Святому Августину, и оно было полезно Наполеону. Оно полезно, потому что понимание полезно.

Я вскользь прохожу мимо того понимания, которое должно быть дано литературной стороной образования. Это не является специфической функцией этой Ассоциации — рассматривать его. Также я не хочу, чтобы предполагалось, что я высказываюсь о относительных достоинствах классической или современной учебной программы. Я хотел бы только заметить, что понимание, которое нам нужно, — это понимание настойчивого настоящего. Единственная польза знания прошлого — это подготовить нас к настоящему. Никакого более смертельного вреда нельзя причинить молодым умам, чем принижением настоящего. Настоящее содержит все, что есть. Это святая земля; ибо это прошлое, и это будущее. В то же время следует заметить, что эпоха не менее прошла, если она существовала двести лет назад, чем если бы она существовала две тысячи лет назад. Не обманывайтесь педантизмом дат. Эпохи Шекспира и Мольера не менее прошли, чем эпохи Софокла и Вергилия. Общение святых — это великое и вдохновляющее собрание, но у него есть только один возможный зал для встречи, и это — настоящее; и простое течение времени, через которое любая конкретная группа святых должна пройти, чтобы достичь этого места встречи, имеет очень мало значения.

Переходя теперь к научной и логической стороне образования, мы помним, что здесь также идеи, которые не используются, положительно вредны. Под использованием идеи я подразумеваю соотнесение ее с тем потоком, состоящим из чувственных восприятий, чувств, надежд, желаний и умственных действий, соотносящих мысль с мыслью, который формирует нашу жизнь. Я могу представить себе набор существ, которые могли бы укрепить свои души, пассивно просматривая несвязанные идеи. Человечество устроено не так — за исключением, возможно, некоторых редакторов газет.

В научном обучении первое, что нужно сделать с идеей, — это доказать ее. Но позвольте мне на один момент расширить значение «доказать»; я имею в виду — доказать ее ценность. Теперь идея не стоит многого, если предложения, в которых она воплощена, не истинны. Соответственно, существенной частью доказательства идеи является доказательство, либо экспериментальное, либо логическое, истинности предложений. Но не обязательно, чтобы это доказательство истинности составляло первое знакомство с идеей. В конце концов, ее утверждение авторитетом уважаемых учителей является достаточным доказательством для начала. При нашем первом контакте с набором предложений мы начинаем с оценки их важности. Это то, что мы все делаем в дальнейшей жизни. Мы не пытаемся, в строгом смысле, доказать или опровергнуть что-либо, если его важность не делает его достойным этой чести. Эти два процесса доказательства, в узком смысле, и оценки не требуют жесткого разделения во времени. Оба могут проводиться почти одновременно. Но поскольку любой из процессов должен иметь приоритет, это должен быть приоритет оценки через использование.

Более того, мы не должны пытаться использовать предложения в изоляции. Я решительно не имею в виду аккуратный маленький набор экспериментов для иллюстрации Предложения I, а затем доказательство Предложения I, аккуратный маленький набор экспериментов для иллюстрации Предложения II, а затем доказательство Предложения II и так далее до конца книги. Ничто не может быть более скучным. Взаимосвязанные истины используются en bloc, и различные предложения используются в любом порядке и с любым повторением. Выберите несколько важных приложений вашего теоретического предмета; и изучайте их одновременно с систематическим теоретическим изложением. Держите теоретическое изложение кратким и простым, но пусть оно будет строгим и жестким, насколько это возможно. Оно не должно быть слишком длинным, чтобы его можно было легко знать с тщательностью и точностью. Последствия избытка полупереваренных теоретических знаний плачевны. Также теория не должна быть смешана с практикой. Ребенок не должен сомневаться, когда он доказывает, а когда использует. Моя точка зрения заключается в том, что то, что доказано, должно быть использовано, и что то, что используется, должно — насколько это практически возможно — быть доказано. Я далек от утверждения, что доказательство и использование — это одно и то же.

В этой точке моего дискурса я могу наиболее прямо продолжить свой аргумент во внешней форме отступления. Мы только сейчас осознаем, что искусство и наука образования требуют своего собственного гения и изучения; и что этот гений и эта наука — это больше, чем просто знание какой-то отрасли науки или литературы. Эта истина была частично осознана в прошлом поколении; и директора школ, несколько грубо, были склонны заменять знания у своих коллег, требуя боулинга левой рукой и вкуса к футболу. Но культура — это больше, чем крикет, и больше, чем футбол, и больше, чем объем знаний.

Образование — это приобретение искусства использования знаний. Это искусство очень трудно передать. Всякий раз, когда пишется учебник, имеющий реальную образовательную ценность, вы можете быть совершенно уверены, что какой-нибудь рецензент скажет, что по нему будет трудно учить. Конечно, по нему будет трудно учить. Если бы это было легко, книгу следовало бы сжечь; ибо она не может быть образовательной. В образовании, как и везде, широкая дорога, усыпанная первоцветами, ведет в неприятное место. Этот злой путь представлен книгой или набором лекций, которые практически позволят студенту выучить наизусть все вопросы, которые, вероятно, будут заданы на следующем внешнем экзамене. И я могу сказать мимоходом, что никакая образовательная система невозможна, если каждый вопрос, прямо заданный ученику на любом экзамене, не сформулирован или не изменен самим учителем этого ученика по этому предмету. Внешний оценщик может отчитаться об учебной программе или об успеваемости учеников, но ему никогда не следует позволять задавать ученику вопрос, который не был строго проконтролирован самим учителем или, по крайней мере, вдохновлен долгой конференцией с ним. Есть несколько исключений из этого правила, но они являются исключениями и могут быть легко учтены в рамках общего правила.

Мы теперь возвращаемся к моему предыдущему пункту о том, что теоретические идеи всегда должны находить важные приложения в учебной программе ученика. Это нелегкая доктрина для применения, а очень трудная. Она содержит в себе проблему сохранения знаний живыми, предотвращения их превращения в инертные, что является центральной проблемой всего образования.

Лучшая процедура будет зависеть от нескольких факторов, ни один из которых нельзя игнорировать, а именно: гений учителя, интеллектуальный тип учеников, их перспективы в жизни, возможности, предлагаемые непосредственным окружением школы, и связанные с этим факторы такого рода. Именно по этой причине единый внешний экзамен так смертоносен. Мы не осуждаем его, потому что мы чудаки и любим осуждать установленные вещи. Мы не настолько по-детски наивны. Также, конечно, такие экзамены имеют свое применение в проверке лени. Наша причина неприязни очень определенна и очень практична. Он убивает лучшую часть культуры. Когда вы анализируете в свете опыта центральную задачу образования, вы обнаруживаете, что ее успешное выполнение зависит от тонкой настройки многих переменных факторов. Причина в том, что мы имеем дело с человеческими умами, а не с мертвой материей. Пробуждение любопытства, суждения, способности овладевать сложным клубком обстоятельств, использование теории для обеспечения предвидения в особых случаях — все эти способности не могут быть переданы установленным правилом, воплощенным в одном графике экзаменационных предметов.

Я взываю к вам, как к практическим учителям. При хорошей дисциплине всегда возможно вкачать в умы класса определенное количество инертных знаний. Вы берете учебник и заставляете их выучить его. Пока что хорошо. Ребенок тогда знает, как решить квадратное уравнение. Но в чем смысл обучения ребенка решению квадратного уравнения? Существует традиционный ответ на этот вопрос. Он звучит так: разум — это инструмент, вы сначала затачиваете его, а затем используете; приобретение способности решать квадратное уравнение является частью процесса заточки разума. Теперь в этом ответе достаточно правды, чтобы заставить его жить сквозь века. Но при всей своей полуправде он воплощает радикальную ошибку, которая грозит задушить гений современного мира. Я не знаю, кто первым был ответственен за эту аналогию разума с мертвым инструментом. Насколько я знаю, это мог быть один из семи мудрецов Греции или комитет из всех них. Кто бы ни был создателем, нет сомнений в авторитете, который она приобрела благодаря постоянному одобрению, которое она получила от выдающихся лиц. Но каков бы ни был ее вес авторитета, какое бы высокое одобрение она ни могла процитировать, я без колебаний осуждаю ее как одну из самых фатальных, ошибочных и опасных концепций, когда-либо введенных в теорию образования. Разум никогда не бывает пассивным; это постоянная активность, тонкая, восприимчивая, отзывчивая к стимулам. Вы не можете отложить его жизнь, пока не заточите его. Какой бы интерес ни был привязан к вашему предмету, он должен быть вызван здесь и сейчас; какие бы силы вы ни укрепляли в ученике, они должны быть упражнены здесь и сейчас; какие бы возможности умственной жизни ваше преподавание ни должно было передать, они должны быть продемонстрированы здесь и сейчас. Это золотое правило образования, и очень трудное правило для следования.

Трудность заключается именно в этом: постижение общих идей, интеллектуальные привычки ума и приятный интерес к умственным достижениям не могут быть вызваны никакой формой слов, как бы точно они ни были подобраны. Все практические учителя знают, что образование — это терпеливый процесс овладения деталями, минута за минутой, час за часом, день за днем. Нет королевского пути к обучению через воздушный путь блестящих обобщений. Есть пословица о трудности увидеть лес из-за деревьев. Эта трудность — именно тот момент, который я подчеркиваю. Проблема образования состоит в том, чтобы заставить ученика увидеть лес с помощью деревьев.

Решение, к которому я призываю, состоит в том, чтобы искоренить фатальную разобщенность предметов, которая убивает жизненность нашей современной учебной программы. Существует только один предмет для образования, и это Жизнь во всех ее проявлениях. Вместо этого единства мы предлагаем детям — Алгебру, из которой ничего не следует; Геометрию, из которой ничего не следует; Науку, из которой ничего не следует; Историю, из которой ничего не следует; Пару языков, которые никогда не осваиваются; и, наконец, самое унылое из всех, Литературу, представленную пьесами Шекспира, с филологическими заметками и краткими анализами сюжета и характера, которые по существу должны быть заучены наизусть. Можно ли сказать, что такой список представляет Жизнь, как она известна посреди проживания ее? Лучшее, что можно сказать о нем, — это то, что это краткое оглавление, которое божество могло бы просмотреть в своем уме, пока оно думало о создании мира и еще не решило, как его собрать.

Давайте теперь вернемся к квадратным уравнениям. У нас все еще остается без ответа вопрос. Почему детей должны учить их решению? Если квадратные уравнения не вписываются в связанную учебную программу, конечно, нет причин учить чему-либо о них. Более того, насколько обширным должно быть место математики в полной культуре, я немного сомневаюсь, не лежат ли для многих типов мальчиков алгебраические решения квадратных уравнений на специализированной стороне математики. Я могу здесь напомнить вам, что до сих пор я ничего не сказал о психологии или содержании специализации, которая является столь необходимой частью идеального образования. Но все это уклонение от нашего реального вопроса, и я просто заявляю об этом, чтобы избежать недопонимания в моем ответе.

Квадратные уравнения являются частью алгебры, а алгебра — это интеллектуальный инструмент, который был создан для прояснения количественных аспектов мира. От этого никуда не деться. Мир насквозь заражен количеством. Говорить разумно — значит говорить количествами. Бесполезно говорить, что нация большая, — Насколько большая? Бесполезно говорить, что радий дефицитен, — Насколько дефицитен? Вы не можете избежать количества. Вы можете бежать к поэзии и музыке, и количество и число встретят вас в ваших ритмах и октавах. Элегантные умы, которые презирают теорию количества, развиты лишь наполовину. Их скорее стоит пожалеть, чем винить. Обрывки тарабарщины, которым в школьные годы их учили во имя алгебры, заслуживают некоторого презрения.

Этот вопрос о вырождении алгебры в тарабарщину, как в словах, так и на деле, дает патетический пример бесполезности реформирования образовательных графиков без четкого представления об атрибутах, которые вы хотите вызвать в живых умах детей. Несколько лет назад был поднят крик, что школьная алгебра нуждается в реформе, но было общее согласие, что графики все исправят. Поэтому всякие вещи были исключены, а графики введены. Насколько я вижу, без всякой идеи за ними, просто графики. Теперь в каждой экзаменационной работе есть один или два вопроса по графикам. Лично я — восторженный сторонник графиков. Но я задаюсь вопросом, много ли мы до сих пор выиграли. Вы не можете вдохнуть жизнь ни в какой график общего образования, если вам не удастся продемонстрировать его связь с какой-то существенной характеристикой всего интеллектуального или эмоционального восприятия. Это трудное высказывание, но оно верно; и я не вижу, как сделать его легче. Делая эти маленькие формальные изменения, вы побеждены самой природой вещей. Вы противопоставлены слишком умелому противнику, который позаботится о том, чтобы горошина всегда была под другим наперстком.

Реформация должна начаться с другого конца. Во-первых, вы должны принять решение относительно тех количественных аспектов мира, которые достаточно просты, чтобы быть введенными в общее образование; затем должен быть составлен график алгебры, который примерно найдет свое воплощение в этих приложениях. Нам не нужно бояться за наши любимые графики, их будет в изобилии, когда мы однажды начнем рассматривать алгебру как серьезное средство изучения мира. Некоторые из самых простых приложений будут найдены в количествах, которые встречаются в простейшем изучении общества. Кривые истории более яркие и более информативные, чем сухие каталоги имен и дат, которые составляют большую часть этого бесплодного школьного изучения. Какая цель достигается каталогом невыдающихся королей и королев? Том, Дик или Гарри, все они мертвы. Общие воскрешения — это неудачи, и их лучше отложить. Количественный поток сил современного общества способен на очень простое отображение. Тем временем идея переменной, функции, скорости изменения, уравнений и их решения, исключения изучаются как абстрактная наука ради них самих. Конечно, не в тех напыщенных фразах, которыми я здесь на них ссылаюсь, а с тем повторением простых частных случаев, свойственных преподаванию.

Если следовать этому курсу, маршрут от Чосера до Черной смерти, от Черной смерти до современных проблем труда свяжет рассказы средневековых паломников с абстрактной наукой алгебры, оба давая разнообразные аспекты той единственной темы — Жизни. Я знаю, о чем большинство из вас думает в этот момент. Это то, что точный курс, который я набросал, не является тем конкретным, который выбрали бы вы, или даже не видите, как работать. Я вполне согласен. Я не утверждаю, что мог бы сделать это сам. Но ваше возражение — это точная причина, почему общая система внешних экзаменов фатальна для образования. Процесс демонстрации приложений знаний должен для своего успеха существенно зависеть от характера учеников и гения учителя. Конечно, я опустил самые простые приложения, с которыми большинство из нас более знакомы. Я имею в виду количественные стороны наук, таких как механика и физика.

Мою мысль можно проиллюстрировать, более внимательно рассмотрев частный случай этого типа приложения. В моем грубом каталоге видов предметов, которые должны составлять график для алгебры, я упомянул Исключение. Оно было помещено туда не случайно, ибо оно охватывает очень важный корпус мысли.

Во-первых, существует абстрактный процесс алгебраического исключения для подходящих простых случаев. Ученик приобретает твердое понимание этого через процесс, неизбежный в образовании, работы над адекватным количеством примеров. Опять же, существуют графические решения той же проблемы. Затем мы рассматриваем значение во внешнем мире. Мы рассматриваем диаграммы скорости, времени, пространства, ускорения. Мы берем равномерное ускорение; мы исключаем «t» между и исключаем «s» между

Затем мы помним, что постоянное ускорение — это очень частный случай, и мы рассматриваем графические решения или эмпирически заданные вариации v или f. В предпочтении мы используем те эмпирические формулы, которые встречаются в экспериментальной работе ученика. Мы сравниваем сильные и слабые стороны алгебраических и графических решений.

Опять же, в той же связи мы наносим статистику социальных явлений против времени. Затем мы исключаем время между подходящими парами. Мы можем размышлять, насколько мы продемонстрировали реальную причинную связь, или насколько простое временное совпадение. Мы замечаем, что мы могли бы нанести против времени один набор статистики для одной страны и другой набор для другой страны, и таким образом, при подходящем выборе предметов, получили бы графики, которые, безусловно, демонстрировали простое совпадение. Также другие графики демонстрируют очевидные причинные связи. Мы задаемся вопросом, как различить. И так нас увлекают так далеко, как мы хотим.

Но при рассмотрении этого описания я должен попросить вас помнить то, на чем я настаивал выше. Во-первых, один ход мысли не подойдет всем группам детей. Например, я ожидал бы, что дети-ремесленники захотят чего-то более конкретного и, в некотором смысле, более быстрого, чем я здесь изложил. Возможно, я ошибаюсь, но это то, что я предположил бы. Во-вторых, я не созерцаю одну красивую лекцию, стимулирующую раз и навсегда восхищенный класс. Это не тот путь, которым идет образование. Нет; все время ученики усердно работают, решая примеры, рисуя графики и делая эксперименты, пока у них не будет полного понимания всего предмета. Я описываю перемежающиеся объяснения, указания, которые должны быть даны их мыслям. Учеников нужно заставить почувствовать, что они изучают что-то, а не просто исполняют интеллектуальные менуэты.

В этой связи превосходство некоторых из самых последних учебников по элементарной алгебре, исходящих от членов этой Ассоциации, должно создать эпоху в преподавании предмета.

Наконец, если вы учите учеников для какого-то общего экзамена, проблема здравого преподавания значительно усложняется. Вы когда-нибудь замечали зигзагообразную лепнину вокруг нормандской арки? Древняя работа прекрасна, современная работа отвратительна. Причина в том, что современная работа делается по точной мере, древняя работа варьируется в зависимости от идиосинкразии рабочего. Здесь она переполнена, а там она расширена. Теперь суть того, чтобы провести учеников через экзамены, — это придать равный вес всем частям графика. Но человечество по своей природе специализировано. Один человек видит весь предмет, где другой может найти только несколько отдельных примеров. Я знаю, что кажется противоречивым допускать специализацию в учебной программе, специально разработанной для широкой культуры. Без противоречий мир был бы проще и, возможно, скучнее. Но я уверен, что в образовании везде, где вы исключаете специализацию, вы разрушаете жизнь.

Мы теперь подходим к другой великой ветви общего математического образования, а именно к Геометрии. Применяются те же принципы. Теоретическая часть должна быть четкой, жесткой, короткой и важной. Каждое предложение, не абсолютно необходимое для демонстрации основной связи идей, должно быть вырезано, но великие фундаментальные идеи должны быть все там. Никакого упущения концепций, таких как концепции Подобия и Пропорции. Мы должны помнить, что благодаря помощи, оказываемой визуальным присутствием фигуры, Геометрия является полем непревзойденного превосходства для упражнения дедуктивных способностей рассуждения. Затем, конечно, следует Геометрическое рисование с его тренировкой для руки и глаза.

Но, как и Алгебра, Геометрия и Геометрическое рисование должны быть расширены за пределы простого круга геометрических идей. В промышленном районе машинное оборудование и практика мастерских формируют соответствующее расширение. Например, в Лондонских политехникумах это было достигнуто с заметным успехом. Для многих средних школ я предлагаю, чтобы геодезия и карты были естественными приложениями. В частности, мензульная съемка должна привести учеников к яркому постижению непосредственного применения геометрических истин. Простой чертежный аппарат, геодезическая цепь и геодезический компас должны позволить ученикам подняться от съемки и измерения поля до построения карты небольшого района. Лучшее образование можно найти в получении максимальной информации от простейшего аппарата. Предоставление сложного инструментария крайне не рекомендуется. Построение карты небольшого района, рассмотрение его дорог, его контуров, его геологии, его климата, его отношения к другим районам, эффектов на статус его жителей научит больше истории и географии, чем любое знание Перкина Уорбека или Берингова пролива. Я имею в виду не туманную лекцию по предмету, а серьезное исследование, в котором реальные факты определенно установлены с помощью точного теоретического знания. Типичной математической задачей должно быть: Снимите такое-то поле, нарисуйте его план в таком-то масштабе и найдите площадь. Было бы вполне хорошей процедурой передать необходимые геометрические предложения без их доказательств. Затем, одновременно в том же семестре, доказательства предложений были бы выучены, пока проводилась съемка.

К счастью, специализированная сторона образования представляет более легкую проблему, чем обеспечение общей культуры. Для этого есть много причин. Одна из них заключается в том, что многие принципы процедуры, которым нужно следовать, одинаковы в обоих случаях, и нет необходимости повторяться. Другая причина заключается в том, что специализированное обучение происходит — или должно происходить — на более продвинутой стадии курса ученика, и, таким образом, есть более легкий материал для работы. Но, несомненно, главная причина заключается в том, что специализированное изучение обычно является изучением особого интереса для студента. Он изучает его, потому что по какой-то причине хочет знать его. Это меняет все. Общая культура предназначена для воспитания активности ума; специализированный курс использует эту активность. Но не стоит придавать слишком большое значение этим аккуратным антитезам. Как мы уже видели, в общем курсе будут возникать фокусы особого интереса; и аналогично в специальном изучении внешние связи предмета тянут мысль наружу.

Опять же, нет одного курса обучения, который просто дает общую культуру, и другого, который дает специальные знания. Предметы, преследуемые ради общего образования, являются специальными предметами, специально изучаемыми; и, с другой стороны, один из способов поощрения общей умственной активности — это воспитание специальной преданности. Вы не можете разделить бесшовную одежду обучения. Что образование должно передать, так это интимное чувство силы идей, красоты идей и структуры идей, вместе с конкретным корпусом знаний, который имеет особое отношение к жизни существа, обладающего им.

Оценка структуры идей — это та сторона культурного ума, которая может расти только под влиянием специального изучения. Я имею в виду тот взгляд на всю шахматную доску, на влияние одного набора идей на другой. Ничто, кроме специального изучения, не может дать никакой оценки точной формулировке общих идей, их отношениям при формулировке, их службе в понимании жизни. Ум, так дисциплинированный, должен быть как более абстрактным, так и более конкретным. Он был обучен пониманию абстрактной мысли и анализу фактов.

Наконец, должно вырасти самое суровое из всех умственных качеств; я имею в виду чувство стиля. Это эстетическое чувство, основанное на восхищении прямым достижением предвиденной цели, просто и без отходов. Стиль в искусстве, стиль в литературе, стиль в науке, стиль в логике, стиль в практическом исполнении имеют фундаментально одни и те же эстетические качества, а именно достижение и сдержанность. Любовь к предмету в себе и ради себя, где это не сонное удовольствие шагания по умственной палубе, — это любовь к стилю, как он проявляется в этом изучении.

Здесь мы возвращаемся к позиции, с которой начали, — полезности образования. Стиль, в своем лучшем смысле, — это последнее приобретение образованного ума; он также самый полезный. Он пронизывает все существо. Администратор с чувством стиля ненавидит отходы; инженер с чувством стиля экономит свой материал; ремесленник с чувством стиля предпочитает хорошую работу. Стиль — это конечная мораль ума.

Но выше стиля и выше знаний есть нечто, смутная форма, подобная судьбе над греческими богами. Это нечто — Сила. Стиль — это формирование силы, сдерживание силы. Но, в конце концов, сила достижения желаемой цели фундаментальна. Первое дело — добраться туда. Не беспокойтесь о своем стиле, но решите свою проблему, оправдайте пути Бога к человеку, управляйте своей провинцией или делайте все, что еще поставлено перед вами.

Где же тогда помогает стиль? В этом: со стилем цель достигается без побочных проблем, без вызова нежелательных воспалений. Со стилем вы достигаете своей цели и ничего, кроме своей цели. Со стилем эффект вашей деятельности вычислим, и предвидение — последний дар богов людям. Со стилем ваша сила увеличена, ибо ваш ум не отвлекается на нерелевантности, и вы с большей вероятностью достигнете своего объекта. Теперь стиль — это исключительная привилегия эксперта. Кто когда-либо слышал о стиле художника-любителя, о стиле поэта-любителя? Стиль — это всегда продукт специализированного изучения, особый вклад специализации в культуру.

Английское образование на своей нынешней фазе страдает от отсутствия определенной цели и от внешней машины, которая убивает его жизненность. До сих пор в этом обращении я рассматривал цели, которые должны управлять образованием. В этом отношении Англия колеблется между двумя мнениями. Она не решила, производить ли любителей или экспертов. Глубокое изменение в мире, которое произвел девятнадцатый век, заключается в том, что рост знаний дал предвидение. Любитель — это по существу человек с оценкой и огромной универсальностью в освоении данной рутины. Но ему не хватает предвидения, которое приходит от специальных знаний. Цель этого обращения — предложить, как произвести эксперта без потери существенных добродетелей любителя. Машина нашего среднего образования жесткая там, где она должна быть уступчивой, и слабая там, где она должна быть жесткой. Каждая школа обязана под страхом исчезновения обучать своих мальчиков для небольшого набора определенных экзаменов. Ни один директор школы не имеет свободной руки для развития своего общего образования или своих специализированных исследований в соответствии с возможностями своей школы, которые создаются ее персоналом, ее окружением, ее классом мальчиков и ее пожертвованиями. Я предлагаю, что никакая система внешних тестов, которая нацелена в первую очередь на экзаменацию отдельных ученых, не может привести ни к чему, кроме образовательных отходов.

В первую очередь именно школы, а не ученые должны инспектироваться. Каждая школа должна выдавать свои собственные сертификаты об окончании, основанные на ее собственной учебной программе. Стандарты этих школ должны быть отобраны и скорректированы. Но первым требованием для образовательной реформы является школа как единица, с ее одобренной учебной программой, основанной на ее собственных нуждах и развитой ее собственным персоналом. Если мы не сможем этого обеспечить, мы просто упадем из одного формализма в другой, из одной навозной кучи инертных идей в другую.

Утверждая, что школа является истинной образовательной единицей в любой национальной системе для обеспечения эффективности, я представлял альтернативную систему как внешний экзамен отдельного ученика. Но каждая Сцилла сталкивается со своей Харибдой — или, более простым языком, есть канава по обе стороны дороги. Будет одинаково фатально для образования, если мы попадем в руки контролирующего департамента, который находится под впечатлением, что он может разделить все школы на две или три жесткие категории, при этом каждый тип вынужден принять жесткую учебную программу. Когда я говорю, что школа — это образовательная единица, я имею в виду именно то, что говорю, никакой большей единицы, никакой меньшей единицы. Каждая школа должна иметь право на рассмотрение в отношении своих особых обстоятельств. Классификация школ для некоторых целей необходима. Но никакая абсолютно жесткая учебная программа, не измененная ее собственным персоналом, не должна быть допустимой. Точно те же принципы применяются, с соответствующими модификациями, к университетам и техническим колледжам.

Когда рассматриваешь в ее длине и в ее широте важность этого вопроса образования молодых нации, сломленные жизни, побежденные надежды, национальные неудачи, которые являются результатом легкомысленной инерции, с которой к нему относятся, трудно сдержать в себе дикую ярость. В условиях современной жизни гонка абсолютна, гонка, которая не ценит обученный интеллект, обречена. Ни весь ваш героизм, ни весь ваш социальный шарм, ни весь ваш ум, ни все ваши победы на суше или на море не могут отодвинуть палец судьбы. Сегодня мы поддерживаем себя. Завтра наука продвинется еще на один шаг, и не будет апелляции от суждения, которое будет тогда вынесено необразованным.

Мы можем довольствоваться не меньшим, чем старым резюме образовательного идеала, который был текущим в любое время с рассвета нашей цивилизации. Суть образования в том, чтобы оно было религиозным.

Прошу прощения, что такое религиозное образование?

Религиозное образование — это образование, которое внушает долг и благоговение. Долг возникает из нашего потенциального контроля над ходом событий. Где достижимое знание могло изменить исход, невежество имеет вину порока. И основа благоговения — это восприятие того, что настоящее содержит в себе полную сумму существования, назад и вперед, всю амплитуду времени, которая есть вечность.

ГЛАВА II ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ОТНОШЕНИЕ К НАУКЕ И ЛИТЕРАТУРЕ

(Presidential Address to the Mathematical Association, January, 1917)

Предмет этого обращения — Техническое образование. Я хочу исследовать его сущностную природу, а также его отношение к либеральному образованию. Такое исследование может помочь нам осознать условия для успешной работы национальной системы технического обучения. Это также очень жгучий вопрос среди математических учителей; ибо математика включена в большинство технологических курсов.

Теперь непрактично погружаться в такую дискуссию, не сформулировав в наших собственных умах лучший идеал, к которому мы желаем работать, как бы скромно мы ни формулировали наши надежды относительно результата, который в ближайшем будущем, вероятно, будет достигнут.

Люди стесняются идеалов; и соответственно мы находим формулировку идеального состояния человечества, помещенную современным драматургом [1] в уста сумасшедшего священника: «В моих снах это страна, где Государство — это Церковь, а Церковь — это люди: три в одном и один в трех. Это содружество, в котором работа — это игра, а игра — это жизнь: три в одном и один в трех. Это храм, в котором священник — это поклоняющийся, а поклоняющийся — это поклоняемый: три в одном и один в трех. Это божество, в котором вся жизнь человеческая, а все человечество божественное: три в одном и один в трех. Это, короче говоря, мечта сумасшедшего».

Теперь та часть этой речи, на которую я хотел бы обратить внимание, воплощена во фразе: «Это содружество, в котором работа — это игра, а игра — это жизнь». Это идеал технического образования. Это звучит очень мистически, когда мы сталкиваемся с ним с реальными фактами, трудящимися миллионами, уставшими, недовольными, умственно безразличными, а затем работодателями —— Я не предпринимаю социальный анализ, но я увлеку вас за собой, когда признаю, что нынешние факты общества далеки от этого идеала. Более того, мы согласны с тем, что работодатель, который вел свою мастерскую на принципе, что «работа должна быть игрой», был бы разорен за неделю.

Проклятие, которое было наложено на человечество, в басне и в факте, заключается в том, что в поте лица своего оно будет жить. Но разум и моральная интуиция увидели в этом проклятии основу для прогресса. Ранние бенедиктинские монахи радовались своим трудам, потому что они считали себя тем самым сделанными соработниками с Христом.

Лишенная своих теологических атрибутов, существенная идея остается в том, что работа должна быть перелита интеллектуальным и моральным видением и тем самым превращена в радость, торжествующую над своей усталостью и своей болью. Каждый из нас переформулирует эту абстрактную формулировку в более конкретную форму в соответствии со своим личным взглядом. Формулируйте ее как хотите, пока вы не теряете главный пункт в своих деталях. Как бы вы ее ни выразили, она остается единственной реальной надеждой трудящегося человечества; и в руках технических учителей и тех, кто контролирует их сферы деятельности, так сформировать нацию, чтобы ежедневно она могла переходить к своим трудам в духе монахов прошлого.

Немедленная потребность нации — это большой запас квалифицированных рабочих, людей с изобретательским гением и работодателей, бдительных в развитии новых идей.

Есть один — и только один — способ получить эти восхитительные результаты. Это производство рабочих, людей науки и работодателей, которые наслаждаются своей работой. Посмотрите на дело практически в свете нашего знания о среднем человеческом характере. Вероятно ли, что уставший, скучающий рабочий, какими бы искусными ни были его руки, произведет большой выпуск первоклассной работы? Он ограничит свое производство, будет халтурить в своей работе и будет мастером в уклонении от инспекции; он будет медленным в адаптации себя к новым методам; он будет фокусом недовольства, полным непрактичных революционных идей, не контролируемым никаким сочувственным пониманием реального функционирования торговых условий. Если в неспокойные времена, которые могут быть перед нами, вы хотите заметно увеличить шанс какого-то дикого потрясения, введите широко распространенное техническое образование и игнорируйте бенедиктинский идеал. Общество тогда получит то, что заслуживает.

Опять же, изобретательский гений требует приятной умственной активности как условия для своего энергичного упражнения. «Необходимость — мать изобретения» — это глупая пословица. «Необходимость — мать бесполезных уловок» гораздо ближе к истине. Основа роста современного изобретения — это наука, а наука почти полностью является продуктом приятного интеллектуального любопытства.

Третий класс — это работодатели, которые должны быть предприимчивыми. Теперь следует заметить, что именно успешные работодатели являются важными людьми, до которых нужно добраться, люди с деловыми связями по всему миру, люди, которые уже богаты. Без сомнения, всегда будет непрерывный процесс подъема и падения бизнесов. Но бесполезно ожидать процветающей торговли, если в массе успешные деловые дома страдают от атрофии. Теперь, если эти люди воспринимают свои бизнесы просто как безразличные средства для приобретения других несвязанных возможностей жизни, у них нет стимула к бдительности. Они уже делают очень хорошо, сама инерция их нынешних деловых обязательств будет нести их на их время. Они совсем не склонны беспокоить себя сомнительными шансами новых методов. Их реальная душа в другой стороне их жизни. Желание денег произведет твердолобость, а не предприимчивость. Есть гораздо больше надежды для человечества от производителей, которые наслаждаются своей работой, чем от тех, кто продолжает заниматься тягостным бизнесом с целью основания больниц.

Наконец, не может быть никакой перспективы промышленного мира, пока хозяева и люди в массе воспринимают себя как занятых бездушной операцией извлечения денег из публики. Расширенные взгляды на выполненную работу и на оказанную тем самым коммунальную услугу могут быть единственной основой, на которой можно основать сочувственное сотрудничество.

Вывод, который нужно сделать из этой дискуссии, заключается в том, что как для хозяев, так и для людей техническое или технологическое образование, которое должно иметь хоть какой-то шанс удовлетворить практические потребности нации, должно быть задумано в либеральном духе как реальное интеллектуальное просвещение в отношении примененных принципов и оказанных услуг. В таком образовании геометрия и поэзия так же существенны, как токарные станки.

Мифическая фигура Платона может стоять за современным либеральным образованием, как и фигура Святого Бенедикта за техническим образованием. Нам не нужно запутывать себя в квалификациях, необходимых для сбалансированного представления реальных мыслей реальных людей. Они используются здесь как символические фигуры, типичные для антитетических понятий. Мы рассматриваем Платона в свете типа культуры, который он сейчас вдохновляет.

По своей сути либеральное образование — это образование для мысли и для эстетической оценки. Оно продолжается путем передачи знания шедевров мысли, творческой литературы и искусства. Действие, которое оно созерцает, — это команда. Это аристократическое образование, подразумевающее досуг. Этот платонический идеал оказал неистребимые услуги европейской цивилизации. Он поощрял искусство, он воспитывал тот дух бескорыстного любопытства, который является происхождением науки, он поддерживал достоинство разума перед лицом материальной силы, достоинство, которое требует свободы мысли. Платон не беспокоился, подобно Святому Бенедикту, быть соработником со своими рабами; но он должен занять место среди эмансипаторов человечества. Его тип культуры — это особое вдохновение либерального аристократа, класса, от которого Европа получает ту упорядоченную свободу, которой она сейчас обладает. На протяжении веков, от Папы Николая V до школ иезуитов, и от иезуитов до современных директоров английских государственных школ, этот образовательный идеал имел энергичную поддержку духовенства.

Для определенных людей это очень хорошее образование. Оно подходит их типу мышления и обстоятельствам, в которых проходит их жизнь. Но на него претендуют как на нечто большее. Всякое образование оценивалось как адекватное или дефектное в зависимости от того, насколько оно приближается к этому единственному типу.

Суть этого типа заключается в обширном дискурсивном знании лучшей литературы. Идеальный продукт этого типа — человек, знакомый с лучшим из того, что было написано. Он овладеет основными языками, изучит историю взлета и падения наций, поэтическое выражение человеческих чувств, прочтет великие драмы и романы. Он также будет хорошо подготовлен в основных философских учениях и внимательно прочтет тех философов, которые отличаются ясностью стиля.

Очевидно, что, если только не в конце долгой жизни, у него не будет много времени на что-либо другое, если вообще возможно хоть сколько-нибудь приблизиться к выполнению этой программы. Вспоминается расчет из диалога Лукиана о том, что прежде чем человек сможет оправданно практиковать любую из современных этических систем, он должен потратить сто пятьдесят лет на изучение их обоснований.

Такие идеалы не для людей. Под либеральной культурой понимается нечто не столь амбициозное, как полное знакомство с разнообразным литературным выражением цивилизованного человечества от Азии до Европы и от Европы до Америки. Требуется лишь небольшой выбор; но ведь, как нам говорят, это выбор самого лучшего. У меня есть сомнения по поводу выбора, который включает Ксенофонта и опускает Конфуция, но, впрочем, я не читал ни того, ни другого в оригинале. Амбициозная программа либерального образования на самом деле сводится к изучению некоторых фрагментов литературы, включенных в пару важных языков.

Но выражение человеческого духа не ограничивается литературой. Существуют другие искусства и науки. Также образование должно выходить за рамки пассивного восприятия идей других людей. Необходимо укреплять способности к инициативе. К сожалению, инициатива не означает только одно приобретение — существует инициатива в мышлении, инициатива в действии и творческая инициатива в искусстве; и эти три категории требуют множества подразделов.

Область знаний обширна, а индивид столь мимолетен и фрагментарен: классические ученые, естествоиспытатели, директора школ — все они в равной степени невежды.

Существует любопытная иллюзия, что более полная культура была возможна, когда нужно было знать меньше. Конечно, единственным выигрышем было то, что было легче оставаться в неведении относительно своего невежества. Для Платона не могло быть выигрышем то, что он не читал ни Шекспира, ни Ньютона, ни Дарвина. Достижения либерального образования в последнее время не ухудшились. Изменилось то, что его претензии были разоблачены.

Моя мысль заключается в том, что ни один курс обучения не может претендовать на положение идеальной завершенности. И опущенные факторы не являются второстепенными по важности. Настаивание в платоновской культуре на бескорыстной интеллектуальной оценке — это психологическая ошибка. Действие и наша вовлеченность в переход событий среди неизбежной связи причины и следствия фундаментальны. Образование, которое стремится отделить интеллектуальную или эстетическую жизнь от этих фундаментальных фактов, несет в себе упадок цивилизации. По сути, культура должна быть для действия, и ее эффект должен заключаться в том, чтобы избавить труд от ассоциаций с бесцельной работой. Искусство существует для того, чтобы мы могли познать результаты наших чувств как нечто благое. Оно возвышает чувственный мир.

Бескорыстное научное любопытство — это страсть к упорядоченному интеллектуальному видению связи событий. Но цель такого любопытства — соединение действия с мыслью. Это существенное вмешательство действия даже в абстрактную науку часто упускается из виду. Ни один ученый не хочет просто знать. Он приобретает знания, чтобы утолить свою страсть к открытию. Он не открывает, чтобы знать, он знает, чтобы открывать. Удовольствие, которое искусство и наука могут дать труду, — это наслаждение, возникающее от успешно направленного намерения. Кроме того, это то же самое удовольствие, которое получают ученый и художник.

Антитеза между техническим и либеральным образованием ошибочна. Не может быть адекватного технического образования, которое не было бы либеральным, и не может быть либерального образования, которое не было бы техническим: то есть, не может быть образования, которое не давало бы одновременно и технику, и интеллектуальное видение. Проще говоря, образование должно выпускать ученика с чем-то, что он хорошо знает, и чем-то, что он хорошо умеет делать. Этот тесный союз практики и теории помогает и тому, и другому. Интеллект лучше всего работает не в вакууме. Стимуляция творческого импульса требует, особенно в случае с ребенком, быстрого перехода к практике. Геометрия и механика, сопровождаемые практикой в мастерской, обретают ту реальность, без которой математика — лишь пустословие.

Существуют три основных метода, которые требуются в национальной системе образования, а именно: литературная учебная программа, научная учебная программа, техническая учебная программа. Но каждая из этих программ должна включать две другие. Я имею в виду, что каждая форма образования должна давать ученику технику, науку, набор общих идей и эстетическую оценку, и что каждая из этих сторон его подготовки должна быть освещена другими. Нехватка времени, даже для самого способного ученика, делает невозможным полное развитие каждой программы. Всегда должен быть доминирующий акцент. Самая прямая эстетическая подготовка естественно относится к технической программе в тех случаях, когда подготовка необходима для какого-либо искусства или художественного ремесла. Но она имеет большое значение как в литературном, так и в научном образовании.

Образовательный метод литературной программы — это изучение языка, то есть изучение нашего самого привычного метода передачи другим наших состояний ума. Техника, которую следует приобрести, — это техника вербального выражения, наука — это изучение структуры языка и анализ отношений языка к передаваемым состояниям ума. Более того, тонкие отношения языка к чувству и высокое развитие органов чувств, к которым обращаются письменные и устные слова, приводят к тому, что успешное использование языка пробуждает острые эстетические оценки. Наконец, мудрость мира сохраняется в шедеврах лингвистической композиции.

Эта программа имеет достоинство однородности. Все ее различные части скоординированы и работают друг на друга. Нас вряд ли может удивить, что такая программа, будучи однажды широко установленной, претендовала на положение единственного совершенного типа образования. Ее недостаток — чрезмерное подчеркивание важности языка. Действительно, разнообразная важность вербального выражения настолько ошеломляющая, что его трезвая оценка затруднительна. Последние поколения были свидетелями отступления литературы и литературных форм выражения с их позиции уникальной важности в интеллектуальной жизни. Чтобы по-настоящему стать слугой и служителем природы, требуется нечто большее, чем литературные способности.

Научное образование — это прежде всего обучение искусству наблюдения за природными явлениями, а также знанию и дедукции законов, касающихся последовательности таких явлений. Но здесь, как и в случае с либеральным образованием, мы сталкиваемся с ограничениями, налагаемыми нехваткой времени. Существует много типов природных явлений, и каждому типу соответствует наука со своими особыми способами наблюдения и своими особыми типами мышления, используемыми при дедукции законов. Изучение науки в целом в образовании невозможно, все, чего можно достичь, — это изучение двух или трех смежных наук. Отсюда обвинение в узком специализме, выдвигаемое против любого образования, которое является преимущественно научным. Очевидно, что это обвинение часто бывает обоснованным; и стоит рассмотреть, как в рамках научного образования и в пользу такого образования можно избежать этой опасности.

Такая дискуссия требует рассмотрения технического образования. Техническое образование — это в основном обучение искусству использования знаний для производства материальных продуктов. Такое обучение подчеркивает ручные навыки, скоординированные действия руки и глаза, а также суждение при контроле процесса строительства. Но суждение требует знания тех природных процессов, использование которых представляет собой производство. Таким образом, где-то в техническом обучении требуется образование в области научных знаний. Если вы минимизируете научную сторону, вы ограничите ее научными экспертами; если вы максимизируете ее, вы в некоторой степени привьете ее людям, и — что не менее важно — директорам и менеджерам предприятий.

Техническое образование не обязательно связано исключительно с наукой в своей ментальной стороне. Это может быть образование для художника или для учеников художественного ремесла. В таком случае в связи с ним придется развивать эстетическую оценку.

Дурной стороной платоновской культуры было полное пренебрежение техническим образованием как составной частью полного развития идеальных человеческих существ. Это пренебрежение возникло из двух катастрофических антитез, а именно: между разумом и телом, и между мыслью и действием. Я здесь вставлю, исключительно чтобы избежать критики, что я прекрасно осознаю, что греки высоко ценили физическую красоту и физическую активность. Однако у них было то извращенное чувство ценностей, которое является возмездием за рабовладение.

Я выдвигаю в качестве образовательной аксиомы, что в преподавании вы потерпите неудачу, как только забудете, что у ваших учеников есть тела. Это в точности ошибка пост-ренессансной платоновской программы. Но природу нельзя удержать вилами; поэтому в английском образовании, будучи изгнанной из класса, она вернулась с бубенцами в виде всепобеждающего атлетизма.

Связи между интеллектуальной деятельностью и телом, хотя и рассеянные в каждом телесном ощущении, сфокусированы в глазах, ушах, голосе и руках. Существует координация чувств и мысли, а также взаимное влияние между активностью мозга и материальной творческой деятельностью. В этой реакции руки особенно важны. Спорный вопрос, создала ли человеческая рука человеческий мозг, или мозг создал руку. Безусловно, связь тесная и взаимная. Такие глубоко укоренившиеся отношения не атрофируются широко за несколько сотен лет неиспользования в исключительных семьях.

Неиспользование ручного труда является сопутствующей причиной мозговой летаргии аристократии, которая смягчается только спортом, где сопутствующая мозговая активность сведена к минимуму, а ручной труд лишен тонкости. Необходимость постоянного письма и устного изложения является некоторым слабым стимулом для мыслительной способности профессиональных классов. Великие читатели, которые исключают другие виды деятельности, не отличаются тонкостью мозга. Они склонны быть робкими конвенциональными мыслителями. Несомненно, это отчасти связано с тем, что их чрезмерные знания опережают их мыслительные способности; но отчасти это связано с отсутствием мозгового стимула от продуктивной деятельности рук или голоса.

Оценивая важность технического образования, мы должны подняться над исключительной ассоциацией обучения с книжным обучением. Знание из первых рук — это конечная основа интеллектуальной жизни. В значительной степени книжное обучение передает информацию из вторых рук, и как таковое никогда не может подняться до важности непосредственной практики. Наша цель — увидеть непосредственное событие нашей жизни как примеры наших общих идей. То, что ученый мир склонен предлагать, — это один кусок информации из вторых рук, иллюстрирующий идеи, полученные из другого куска информации из вторых рук. Вторичность ученого мира — секрет его посредственности. Он ручной, потому что его никогда не пугали факты. Главная важность влияния Фрэнсиса Бэкона заключается не в какой-либо особой теории индуктивного рассуждения, которую он случайно выразил, а в восстании против информации из вторых рук, лидером которого он был.

Особое достоинство научного образования должно заключаться в том, что оно основывает мысль на наблюдении из первых рук; а соответствующее достоинство технического образования заключается в том, что оно следует нашему глубокому естественному инстинкту переводить мысль в ручной навык, а ручную деятельность — в мысль.

Мы — Математическая ассоциация, и естественно спросить: где наше место? Наше место как раз в этом пункте.

Мысль, которую вызывает наука, — это логическая мысль. Сейчас логика бывает двух видов: логика открытия и логика открытого.

Логика открытия состоит во взвешивании вероятностей, в отбрасывании деталей, считающихся нерелевантными, в угадывании общих правил, согласно которым происходят события, и в проверке гипотез путем разработки подходящих экспериментов. Это индуктивная логика.

Логика открытого — это дедукция специальных событий, которые при определенных обстоятельствах произошли бы в соответствии с предполагаемыми законами природы. Таким образом, когда законы открыты или предполагаются, их использование полностью зависит от дедуктивной логики. Без дедуктивной логики наука была бы совершенно бесполезна. Это просто бесплодная игра — подниматься от частного к общему, если впоследствии мы не можем обратить процесс и спуститься от общего к частному, поднимаясь и спускаясь, как ангелы по лестнице Иакова. Когда Ньютон угадал закон гравитации, он сразу же приступил к расчету притяжения Земли к яблоку на ее поверхности и к Луне. Мы можем мимоходом отметить, что индуктивная логика была бы невозможна без дедуктивной логики. Таким образом, расчеты Ньютона были существенным шагом в его индуктивной проверке великого закона.

Теперь математика — это не что иное, как более сложные части искусства дедуктивного рассуждения, особенно там, где это касается числа, количества и пространства.

В преподавании науки следует преподавать искусство мысли: а именно, искусство формирования ясных концепций, применяемых к опыту из первых рук, искусство угадывания общих истин, которые применимы, искусство проверки догадок и искусство использования общих истин путем рассуждения к более частным случаям некоторой особой важности. Более того, необходима способность к научному изложению, чтобы релевантные вопросы из запутанной массы идей могли быть изложены ясно, с должным акцентом на важных пунктах.

К тому времени, когда наука или небольшая группа наук была преподана таким образом, с должным вниманием к общему искусству мысли, мы прошли долгий путь к исправлению специализма науки. Худшее в научном образовании, основанном, как это неизбежно должно быть, на одной или двух конкретных отраслях науки, заключается в том, что учителя под влиянием системы экзаменов склонны просто пичкать своих учеников узкими результатами этих специальных наук. Существенно, чтобы общность метода постоянно выявлялась и противопоставлялась специальности конкретного применения. Человек, который знает только свою собственную науку как рутину, свойственную этой науке, даже этого не знает. У него нет плодовитости мысли, нет способности быстро схватывать значение чуждых идей. Он ничего не откроет и будет глуп в практических применениях.

Эту демонстрацию общего в частном чрезвычайно трудно осуществить, особенно в случае с младшими учениками. Искусство образования никогда не бывает легким. Преодолеть его трудности, особенно трудности начального образования, — задача, достойная высочайшего гения. Это воспитание человеческих душ.

Математика, если ее хорошо преподавать, должна быть самым мощным инструментом в постепенном внедрении этой общности идеи. Суть математики — постоянно отбрасывать более специальные идеи в пользу более общих идей, и специальные методы в пользу общих методов. Мы выражаем условия специальной задачи в форме уравнения, но это уравнение послужит для сотни других задач, разбросанных по разным наукам. Общее рассуждение — это всегда мощное рассуждение, потому что дедуктивная убедительность является свойством абстрактной формы.

Здесь, опять же, мы должны быть осторожны. Мы разрушим математическое образование, если будем использовать его только для того, чтобы впечатлить общими истинами. Общие идеи — это средство соединения частных результатов. В конце концов, важны конкретные частные случаи. Таким образом, при обращении с математикой в ваших результатах вы не можете быть слишком конкретными, а в ваших методах вы не можете быть слишком общими. Существенный ход рассуждения — обобщить то, что является частным, а затем конкретизировать то, что является общим. Без общности нет рассуждения, без конкретности нет важности.

Конкретность — это сила технического образования. Я хотел бы напомнить вам, что истины, лишенные высочайшей общности, не обязательно являются конкретными фактами. Например, x + y = y + x — это алгебраическая истина, более общая, чем 2 + 2 = 4. Но «дважды два — четыре» — это само по себе весьма общее суждение, лишенное какого-либо элемента конкретности. Чтобы получить конкретное суждение, требуется непосредственная интуиция истины, касающейся конкретных объектов; например, «эти два яблока и те яблоки вместе составляют четыре яблока» — это конкретное суждение, если у вас есть прямое восприятие или непосредственная память об этих яблоках.

Чтобы получить полное осознание истин как применимых, а не как пустых формул, нет альтернативы техническому образованию. Простого пассивного наблюдения недостаточно. Только в творчестве есть яркое понимание свойств объекта, тем самым произведенного. Если вы хотите что-то понять, сделайте это сами — это здравое правило. Ваши способности будут живы, ваши мысли обретут яркость благодаря немедленному переводу в действия. Ваши идеи обретут ту реальность, которая приходит от видения пределов их применения.

В начальном образовании эта доктрина давно применяется на практике. Маленьких детей учат знакомиться с формами и цветами с помощью простых ручных операций вырезания и сортировки. Но как бы хорошо это ни было, это не совсем то, что я имею в виду. Это практический опыт до того, как вы начнете думать, опыт, предшествующий мысли для создания идей, — очень отличная дисциплина. Но техническое образование должно быть гораздо большим, чем это: это творческий опыт, пока вы думаете, опыт, который реализует вашу мысль, опыт, который учит вас координировать действие и мысль, опыт, ведущий вас к ассоциации мысли с предвидением, а предвидения — с достижением. Техническое образование дает теорию и проницательное понимание того, где теория терпит неудачу.

Техническое образование не следует рассматривать как искалеченную альтернативу совершенной платоновской культуре: а именно, как дефектную подготовку, к сожалению, ставшую необходимой из-за стесненных условий жизни. Ни один человек не может достичь ничего, кроме фрагментарных знаний и фрагментарной тренировки своих способностей. Существуют, однако, три основных пути, по которым мы можем двигаться с хорошей надеждой на продвижение к лучшему балансу интеллекта и характера: это путь литературной культуры, путь научной культуры, путь технической культуры. Ни один из этих методов не может быть использован исключительно без серьезной потери интеллектуальной активности и характера. Но простое механическое смешение трех программ даст плохие результаты в виде обрывков информации, никогда не связанных между собой и не используемых. Мы уже отметили как одну из сильных сторон традиционной литературной культуры то, что все ее части скоординированы. Проблема образования состоит в том, чтобы сохранить доминирующий акцент, будь то литературный, научный или технический, и без потери координации привнести в каждый путь образования что-то от двух других.

Чтобы сделать проблему технического образования определенной, сосредоточьте внимание на двух возрастах: один — тринадцать лет, когда заканчивается начальное образование; и другой — семнадцать лет, когда заканчивается техническое образование, насколько оно сжато в рамках школьной программы. Я знаю, что для ремесленников в младших технических школах трехлетний курс был бы более обычным. С другой стороны, для морских офицеров и для руководящих классов в целом можно позволить более длительное время. Мы хотим рассмотреть принципы, которыми должна руководствоваться учебная программа, которая приведет этих детей к семнадцати годам в положение обладания техническим навыком, полезным для общества.

Их техническое ручное обучение должно начинаться в тринадцать лет, составляя скромную долю от остальной их работы, и должно увеличиваться с каждым годом, чтобы в конечном итоге достичь существенной доли. Прежде всего, оно не должно быть слишком специализированным. Мастерская отделка и мастерские уловки, адаптированные к одной конкретной работе, должны преподаваться в коммерческой мастерской и не должны составлять существенную часть школьного курса. Правильно обученный работник освоил бы их в кратчайшие сроки. Во всем образовании главная причина неудачи — застой. Техническое образование обречено, если мы рассматриваем его как систему для ловли детей в раннем возрасте и для придания им одного узкоспециализированного ручного навыка. Нации нужна текучесть рабочей силы, не только с места на место, но и в разумных пределах смежных навыков, от одного специального типа работы к другому специальному типу. Я знаю, что здесь я на зыбкой почве, и я не утверждаю, что людей, пока они специализируются на одном виде работы, следует спазматически переводить на другие виды. Это вопрос организации торговли, к которому педагоги не имеют отношения. Я лишь утверждаю принципы, что подготовка должна быть шире, чем окончательная специализация, и что возникающая способность к адаптации к меняющимся требованиям выгодна работникам, работодателям и нации.

Рассматривая интеллектуальную сторону учебной программы, мы должны руководствоваться принципом координации исследований. В целом, интеллектуальные исследования, наиболее непосредственно связанные с ручным обучением, будут некоторыми отраслями науки. На самом деле будет задействована не одна отрасль; и даже если это не так, невозможно сузить научное исследование до одной тонкой линии мысли. Однако возможно, при условии, что мы не будем слишком далеко заходить в классификации, примерно классифицировать технические занятия в соответствии с доминирующей вовлеченной наукой. Таким образом, мы находим шестикратное деление, а именно: (1) Геометрические техники, (2) Механические техники, (3) Физические техники, (4) Химические техники, (5) Биологические техники, (6) Техники торговли и социального обслуживания.

Под этим делением подразумевается, что помимо вспомогательных наук некоторая конкретная наука требует акцента в подготовке к большинству профессий. Мы можем, например, отнести столярное дело, скобяные изделия и многие художественные ремесла к геометрическим техникам. Аналогично, сельское хозяйство — это биологическая техника. Вероятно, кулинария, если она включает в себя общественное питание, находилась бы посередине между биологическими, физическими и химическими науками, хотя я в этом не уверен.

Науки, связанные с торговлей и социальным обслуживанием, были бы частично алгеброй, включая арифметику и статистику, и частично географией и историей. Но этот раздел несколько неоднороден в своих научных пристрастиях. В любом случае, точный способ классификации технических занятий в отношении науки — это деталь. Существенный момент заключается в том, что при некотором размышлении можно найти научные курсы, которые освещают большинство профессий. Более того, проблема хорошо понятна и была блестяще решена во многих технологических школах и младших технических школах по всей стране.

Переходя от науки к литературе в нашем обзоре интеллектуальных элементов технического образования, мы отмечаем, что многие исследования зависают между ними: например, история и география. Они оба очень важны в образовании, при условии, что это правильная история и правильная география. Также книги, дающие описательные отчеты об общих результатах и ходах мысли в различных науках, попадают в ту же категорию. Такие книги должны быть частично историческими и частично разъясняющими основные идеи, которые в конечном итоге возникли. Недавняя книга проф. Р. А. Грегори «Открытие» и серия «Библиотека домашнего университета» иллюстрируют мою мысль. Их ценность в образовании зависит от их качества как ментальных стимуляторов. Они не должны быть надуты газом о чудесах науки и должны быть информированы широким кругозором.

К сожалению, литературный элемент в образовании редко рассматривался отдельно от грамматического изучения. Историческая причина в том, что когда формировалась современная платоновская программа, латынь и греческий были единственными ключами, которые делали великую литературу доступной. Но нет никакой необходимой связи между литературой и грамматикой. Великий век греческой литературы уже прошел до прибытия грамматиков Александрии. Из всех типов людей, существующих сегодня, классические ученые наиболее далеки от греков времен Перикла.

Простое литературное знание имеет небольшое значение. Единственное, что имеет значение, — это то, как оно известно. Факты, о которых идет речь, — ничто. Литература существует только для того, чтобы выражать и развивать тот воображаемый мир, который является нашей жизнью, царство, которое внутри нас. Отсюда следует, что литературная сторона технического образования должна состоять в усилии заставить учеников наслаждаться литературой. Неважно, что они знают, но наслаждение жизненно важно. Великие английские университеты, под чьим прямым руководством школьники экзаменуются по пьесам Шекспира, к верному уничтожению их наслаждения, должны быть привлечены к ответственности за убийство души.

Теперь есть два вида интеллектуального наслаждения: наслаждение творчеством и наслаждение отдыхом. Они не обязательно разделены. Смена занятия может дать полный прилив счастья, который приходит от совпадения обеих форм удовольствия. Оценка литературы — это действительно творчество. Написанное слово, его музыка и его ассоциации — это только стимулы. Видение, которое они вызывают, — наша собственная работа. Никто, никакой гений, кроме нашего собственного, не может заставить нашу собственную жизнь жить. Но за исключением тех, кто занят литературными профессиями, литература — это также отдых. Она дает упражнение той другой стороне, которую любое занятие должно подавлять в рабочие часы. Искусство также имеет ту же функцию в жизни, что и литература.

Чтобы получить удовольствие от отдыха, не требуется никакой помощи. Удовольствие — это просто перестать делать. Некоторый такой чистый отдых является необходимым условием здоровья. Его опасности печально известны, и к большей части необходимого отдыха природа приложила не наслаждение, а забвение сна. Творческое наслаждение — это результат успешного усилия и требует помощи для своего начала. Такое наслаждение необходимо для высокоскоростной работы и для оригинального достижения.

Ускорять производство с невыспавшимися рабочими — катастрофическая экономическая политика. Временный успех будет за счет нации, которой в течение долгих лет жизни придется содержать изношенных ремесленников — нетрудоспособных. Столь же катастрофично чередование спазмов усилий с периодами чистого отдыха. Такие периоды — время посева дегенерации, если их строго не ограничивать. Нормальным отдыхом должна быть смена деятельности, удовлетворяющая потребности инстинктов. Игры дают такую активность. Их разобщенность подчеркивает отдых, но их избыток оставляет нас пустыми.

Именно здесь литература и искусство должны играть существенную роль в здоровой организованной нации. Их услуги экономическому производству были бы лишь вторыми после услуг сна или пищи. Я сейчас говорю не о подготовке художника, а об использовании искусства как условия здоровой жизни. Это аналогично солнечному свету в физическом мире.

Когда мы однажды избавимся от мысли, что знания должны быть востребованы, нет особой трудности или расходов, связанных с помощью росту художественного наслаждения. Всех школьников можно было бы регулярно отправлять в соседние театры, где подходящие пьесы могли бы субсидироваться. Аналогично для концертов и кинофильмов. Картины более сомнительны в своей популярной привлекательности; но интересные представления сцен или идей, о которых дети читали, вероятно, понравились бы. Самих учеников следует поощрять в художественных усилиях. Прежде всего, следует культивировать искусство чтения вслух. Эссе Роджера де Коверли Аддисона — идеальные примеры читабельной прозы.

Искусство и литература имеют не просто косвенный эффект на основные энергии жизни. Напрямую они дают видение. Мир широко простирается за пределы результатов материального чувства, с тонкостями реакции и с пульсами эмоций. Видение — необходимый предшественник контроля и направления. В состязании рас, которое в своих конечных результатах будет решено в мастерских, а не на поле битвы, победа будет принадлежать тем, кто является хозяевами запасов тренированной нервной энергии, работая в условиях, благоприятных для роста. Одним из таких существенных условий является Искусство.

Если бы было время, есть другие вещи, которые я хотел бы сказать: например, выступить за включение одного иностранного языка во все образование. Из прямого наблюдения я знаю, что это возможно для детей ремесленников. Но достаточно было представлено вам, чтобы сделать ясными принципы, с которыми мы должны предпринимать национальное образование.

В заключение я возвращаюсь к мысли бенедиктинцев, которые спасли для человечества исчезающую цивилизацию древнего мира, связав воедино знание, труд и моральную энергию. Наша опасность — воспринимать практические дела как царство зла, в котором успех возможен только путем вытеснения идеальных целей. Я верю, что такая концепция — заблуждение, прямо опровергнутое практическим опытом. В образовании эта ошибка принимает форму низкого взгляда на техническую подготовку. Наши предки в темные века спасли себя, воплотив высокие идеалы в великих организациях. Наша задача — без рабского подражания смело упражнять наши творческие энергии, помня среди разочарований, что самый холодный час непосредственно предшествует рассвету.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[1] Ср. БЕРНАРД ШОУ: «Другой остров Джона Булла».

ГЛАВА III ПОЛИТЕХНИКУМ В ВОЕННОЕ ВРЕМЯ

Address at the Prize Distribution, Borough Polytechnic Institute, Southwark, 16th February, 1917

Я начну с того, что обращу ваше внимание на некоторые удовлетворительные черты отчета директора о работе Института за прошедший год. Это был год больших трудностей. Некоторые из наших сотрудников служат в войсках, и наши классы были истощены. Но, несмотря на все, мы справились очень хорошо. Во-первых, средний результат на экзаменах был хорошим, удивительно хорошим ввиду нынешних обстоятельств. Совет управляющих придает большое значение поддержанию высокого среднего результата; это лучший единичный тест эффективности. Опять же, наши индивидуальные успехи были заметны. Мы получили — я говорю «мы», потому что мы все едины в нашем удовольствии от этих успехов — мы получили две стипендии L.C.C. по 80 фунтов стерлингов, девятнадцать выставок, в дополнение к первому месту, а также медали, призы и сертификаты. Все это очень удовлетворительно. Это говорит об эффективном преподавании, а также о тяжелой работе и регулярном посещении со стороны студентов. Мы знаем, что поддерживаем стандарт эффективности, который в прошлом был источником гордости для каждого, кто связан с этим Институтом.

Теперь вся эта хорошая работа не происходит сама по себе без чьих-либо усилий. Такая запись требует нашего квалифицированного штата учителей и организаторов. Они очень усердно работали в течение последней сессии в условиях больших трудностей, чтобы создать успешный результат, который мы здесь празднуем. Я кое-что знаю о преподавании. Это очень требовательная работа, и она может быть успешной только при постоянной преданности. Я уверен, что выражаю ваши чувства, и я знаю, что выражаю чувства управляющих, когда очень сердечно благодарю дам и господ из персонала за их услуги в течение последней сессии.

Вручение призов — всегда приятные случаи. Мы пришли сюда, чтобы подумать о наших успехах и поздравить наших студентов. Нет более удовлетворительного собрания управляющих в течение года, чем когда мы встречаемся по этому случаю, и встречаемся с нашими друзьями, и говорим им, как мы довольны успешным результатом их тяжелой работы. Сегодня вечером я вдвойне счастлив, потому что мои коллеги попросили меня быть их представителем в выражении наших добрых пожеланий победителям призов. Вы усердно работали, и вы преуспели, и я уверен, что вы все заслуживаете своих успехов; они — удовольствие не только для вас, но и в ваших домах, и для ваших товарищей и сокурсников.

Успешная работа здесь позволит вам приобрести навыки в ваших профессиях и тем самым лучше зарабатывать на жизнь. Зарабатывание на жизнь в среднем — неплохой тест на услугу, оказанную обществу. Человек, который сделал себя искусным в своей профессии и хорошо преуспел на своем жизненном пути, в целом имеет веские основания полагать, что он гражданин, который принес пользу своей стране. Это злой день для нации, когда она теряет уважение к успеху в промышленности.

Но если вы будете направлять свою жизнь по компасу, который устойчиво указывает на Северный полюс личного успеха, вы упустите свои величайшие шансы в жизни. Мягкий климат — на юге.

Я имею в виду следующее: вы должны принять решение найти лучшую часть своего счастья в добрых полезных отношениях с другими. Нашей амбицией должно быть оставить наш собственный маленький уголок мира немного опрятнее и немного счастливее, чем когда мы вошли в него. Я прекрасно осознаю, что это старая история; но старые истории иногда правдивы, и это самая большая истина во всем мире. Теплые добрые чувства — это счастливые чувства. Удачливые люди — это те, чьи умы наполнены мыслями, в которых они забывают себя и помнят других. Это неправда, что природа — просто сцена борьбы, в которой каждый соревнуется со своим соседом. Те сообщества процветают лучше и живут дольше, которые наполнены духом взаимной помощи.

Будущее страны зависит от вас. Венец вашего успеха — обещание будущей работы, часто непризнанной работы, проделанной в условиях разочарования, но проделанной устойчиво и весело. Именно от вас страна зависит в поддержании и росте тех идеалов, без которых раса увядает. Не отчаивайтесь из-за трудностей, которые кажутся непреодолимыми. Условия жизни, которые формируют нас всех, модифицируются нашей волей, нашей энергией и чистотой наших намерений.

Если мы можем судить об интенсивности чувства по длине памяти, наслаждение от получения приза кусается очень глубоко. Спустя более сорока лет, до того, как многие из ваших родителей родились, или когда их носили в длинных одеждах, я могу вспомнить, как будто это было вчера, случай, когда я получил свой первый приз в школе. Я вижу средневековую классную комнату, директора и моих товарищей. Возможно, некоторые из вас, когда пройдет поколение, вспомнят сцену сегодня вечером — этот Стэнли-гимназиум, напоминающий память мисс Мод Стэнли, которая посвятила нашему благополучию так много своей энергии и своих мыслей — прилегающий Эдрик-холл, связанный с именем мистера Эдрика Бэйли, отца Института; мистера Миллиса и мисс Смит, первого директора и первой леди-суперинтенданта, архитекторов нашего процветания; мистера Леонарда Спайсера, нашего председателя и члена семьи и фирмы, известной во всем мире и уважаемой в той мере, в какой они известны. И причина, почему сегодня вечером мы — небольшое собрание, — еще одна причина, почему это собрание никогда не может ускользнуть из вашей памяти. Мы встречаемся в момент, когда Англия находится в такой же смертельной опасности, как и в любой предыдущий момент своей истории — такая опасность, как когда испанские корабли Армады стояли в Английском канале, или когда Наполеон наблюдал за нашим побережьем через Дуврский пролив. Нынешнюю опасность можно преодолеть только тем же мужеством, которое спасло нашу свободу в те прежние времена.

Поэтому сегодня вечером, вспоминая деятельность различных секций нашего общества, которые формируют этот великий Политехнический институт, наши мысли уходят дальше. Они путешествуют по суше и по морю, пока не приведут перед нашими умами доблестную группу, которую этот Институт отправил на фронт — более 800 наших членов находятся в войсках. То, что наши сражающиеся люди сделали для нас, для мира в целом и для будущего Англии, настолько ошеломляюще, что слова не могут похвалить их достаточно. Я просто скажу вам одну вещь: когда вы читаете о великих делах, совершенных в прошлые времена, о встреченных опасностях, о приключениях, о неустрашимом мужестве, о патриотизме, о самопожертвовании, о страданиях, перенесенных ради благородного дела, каждый из вас может сказать — я тоже знал таких героев; они среди моих соотечественников, они среди моих коллег-работников, они среди моих сокурсников и товарищей, они среди дорогих обитателей моего дома. И для тех, кто пал, нам нужно воздвигнуть памятник, достаточный для передачи будущим векам памяти об их жертве. Для этой цели есть только один мемориал, который может быть достаточным, а именно: дело, ради которого они умерли. Величие Англии, будущее Англии были оставлены ими на наше хранение. Охраняйте его хорошо.

Величие страны — это не что иное, как величие жизней мужчин и женщин, которые ее составляют. Не оглядывайтесь вокруг и не думайте, кто должен быть великими англичанами — будьте великими сами — вы те люди, которые должны достичь этого, вы, кто сидит здесь сегодня вечером. Не может быть никакой замены службы для этой цели. Именно коллективная энергия всего народа потребуется, чтобы создать новую Англию, достойную страданий, которые ради нее были перенесены.

Несколько дней назад я спросил человека, который много лет работал в Египте под началом лорда Китченера, что бы он выбрал в качестве лучшего признака величия лорда Китченера. Он ответил: что бы Китченер ни брался делать, это тем самым становилось важным. Теперь это секрет всего — возьмитесь за свои возможности и сделайте их важными.

Здесь мы в этом Боро-политехникуме. Какую возможность он представляет. Этот Институт — центр для социального общения, центр для отдыха, центр для образования, центр для дискуссий. Мы не пожертвуем ни одной из наших сторон. Они все должны быть частью величия, на которое мы претендуем. Сделайте их все первоклассными.

Рассмотрите сначала социальную и рекреационную стороны. Ради всего святого, не думайте, что вы должны быть скучными, чтобы быть великими. Нет лучшего теста для нации, чем то, как она формирует свои развлечения. Три столетия назад после Армады мы сделали хороший старт в Саутуарке. У Шекспира был здесь свой театр, и он писал свои пьесы, чтобы их играли в этом боро. Он ходил по этим улицам, и если бы вы встретили его в Вестминстере, он, вполне вероятно, сказал бы вам, что идет вниз к «Слону». И даже сейчас представления, данные в «Олд Вик», — одни из лучших в Лондоне для цели видеть его пьесы правильно сыгранными. Что Саутуарк сделал для драмы, она может сделать для других искусств, используя этот Институт как инструмент для своих энергий. Почему бы нам не быть центром для художественного предприятия — я имею в виду для нашего собственного искусства и нашего собственного предприятия, продуманного нами самими и наслаждаемого нами самими и проведенного нами самими? Мы не всегда будем наслаждаться творениями друг друга, но главный момент — делать наши собственные усилия. Конечно, все усилия требуют подготовки и стимула и знания того, что делают другие.

В настоящее время — прерванная на момент войной — великая революция в искусстве живописи прогрессирует по всему миру. Ее центры — Париж, Италия, Лондон и Мюнхен, а ее происхождение — на дальнем востоке, в Китае и Японии. Есть две стороны, как в каждой революции: консерваторы и революционеры. Наши собственные фрески в соседней комнате представляют раннюю стадию движения в Лондоне. Почему бы нам не знать все об этом — получать займы картин, которые иллюстрируют его фазы и его перекрестные течения, и сравнивать их с примерами старого стиля?

Но картины — только одна фаза искусства, и не тот сорт искусства, который мы сами можем производить легче всего. Есть музыка, танцы, декламация, литература, резьба и моделирование, и различные декоративные искусства, такие как вышивка, переплетное дело, кройка и шитье и обивка. Этот список, неполный, как он есть, говорит нам две великие истины — вы не можете отделить искусство и отдых, и вы не можете отделить искусство и бизнес. Список включает пункты, которые мы считаем развлечениями, и пункты, о которых мы думаем как о бизнесе. Мы начали с танцев и закончили обивкой. Сделайте их все красивыми.

Красивые вещи имеют достоинство. Наслаждайтесь ритмом ваших танцев и восхищайтесь красотой вашей вышивки или вашего переплетного дела. В чем бы вы ни делали, имейте идеал совершенства. Любое разделение между искусством и работой — не только ошибка, но и очень плохой бизнес. Наши храбрые союзники, французы, сделали Париж центром искусства мира. Они построили и поддерживают свою большую и прибыльную торговлю декоративными продуктами Франции, главным образом по причине трех качеств, которыми они обладают. Во-первых, они наслаждаются искусством сами и почитают его. Во-вторых, у них огромная сила тяжелой работы. И в-третьих, у каждого француза, и еще больше у каждой француженки, внутри них есть огромный фонд здравого смысла. Тройной секрет — любовь к искусству, трудолюбие и здравый смысл.

Чтобы сделать доступными нашу промышленность и здравый смысл в профессиях, где они нужны, необходима строгая подготовка в школах дизайна и техники. У нас здесь есть такие департаменты. Но вся такая подготовка вас будет неудачей, если вы сами не будете наслаждаться искусством и красотой как естественным отдыхом. Техническая школа подготовки похожа на глубокий, узкий колодец, вырытый с тщательным трудом, чтобы добраться до подземной реки воды, которая течет под поверхностью наших натур. Но ваш колодец будет сухим, если яркое теплое солнце сначала не вытянуло пар из широкого океана, и свободные, ничем не скованные бризы не перенесли облака туда и сюда, пока наконец они не прорвались, как бы случайно, над далекими холмами и не пропитали землю своим ливнем.

То, что я сказал об искусстве, — притча, которая применяется к другим занятиям и другим исследованиям. Это больше, чем притча; это буквальная правда. Любовь к искусству — это любовь к совершенству, это наслаждение триумфом дизайна над бесформенными продуктами случайных сил. Инженер, который стоит своей соли, любит красоту своих машин, показанную в их регулировке частей и в их быстрых, плавных движениях. Он любит также чувство предвидения и проницательности, которое знание может дать ему. Люди говорят, что техника и торговля вытесняют красоту из современного мира. Я не верю в это. Добавляется новая красота, более интеллектуальная красота, обращающаяся к пониманию так же, как к глазу.

Чудо Лондона всегда захватывает ум свежим изумлением. Город обладает парками, дворцами и соборами. Но никакие другие его части не превосходят в чуде его дома бизнеса, его мастерские и его фабрики.

В следующие несколько лет будущее мира будет решено на столетия вперед. Битвы этой войны — только первая часть состязания между расами и между образами жизни, за которые стоят эти расы. Мы верим, что Англия, с ее различными народами и сообществами, разбросанными по островам и континентам за морями, стоит за образы жизни, бесконечно драгоценные: путь человечности, путь свободы, путь самоуправления, путь хорошего порядка, основанного на терпимости и добром чувстве, путь мирной промышленности. Окончательное решение в этой борьбе будет найдено в мастерских мира. Оно лежит в ваших руках. Государственные деятели и императоры будут только регистрировать результаты, которых вы достигли. Вашим оружием будут мастерство, энергия и знание. Вам потребуется здравое понимание ваших собственных прав и здравое понимание прав и трудностей других классов. Величие Англии будет вашим величием, а ее успех — вашим успехом.

Арсенал для войны находится в Вулвиче. Этот Политехнический институт — арсенал для мира, где вы можете найти оружие для завоевания ваших жизней.

ГЛАВА IV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

(Presidential Address to the London Branch of the Mathematical Association, 1912)

Ситуация в отношении образования в настоящее время не может найти параллели, не возвращаясь на несколько столетий назад к распаду средневековых традиций обучения. Тогда, как и сейчас, традиционный интеллектуальный взгляд, несмотря на авторитет, который он справедливо приобрел благодаря своим заметным триумфам, стал слишком узким для интересов человечества. Результатом этого сдвига человеческого интереса было требование параллельного сдвига основы образования, чтобы приспособить учеников к идеям, которые позже в жизни фактически заняли бы их умы. Любое серьезное фундаментальное изменение в интеллектуальном взгляде человеческого общества должно неизбежно сопровождаться образовательной революцией. Оно может быть отложено на поколение из-за корыстных интересов или из-за страстной привязанности некоторых лидеров мысли к циклу идей, в пределах которого они получили свой собственный ментальный стимул в впечатлительном возрасте. Но закон неумолим, что образование, чтобы быть живым и эффективным, должно быть направлено на информирование учеников теми идеями и на создание для них тех способностей, которые позволят им оценить текущую мысль их эпохи.

Не существует такой вещи, как успешная система образования в вакууме, то есть система, которая отделена от непосредственного контакта с существующей интеллектуальной атмосферой. Образование, которое не является современным, разделяет судьбу всех органических вещей, которые хранятся слишком долго.

Но благословенное слово «современный» на самом деле не решает наших трудностей. Что мы имеем в виду, так это релевантность современной мысли, либо в переданных идеях, либо в произведенных навыках. Что-то, найденное только вчера, может на самом деле не быть современным в этом смысле. Оно может принадлежать какой-то ушедшей системе мысли, преобладавшей в предыдущую эпоху, или, что гораздо более вероятно, оно может быть слишком заумным. Когда мы требуем, чтобы образование было релевантным современной мысли, мы имеем в виду мысли, широко распространенные в культурном обществе. Именно этот вопрос непригодности заумных предметов для использования в общем образовании я хочу сделать ключевой нотой моего выступления сегодня днем.

На самом деле это довольно деликатный предмет для нас, математиков. Посторонние склонны обвинять наш предмет в том, что он заумный. Давайте сразу схватим быка за рога и откровенно признаем, что в общем мнении это самый типичный пример заумности. Под этим словом я не имею в виду трудность, а то, что вовлеченные идеи имеют высокоспециализированное применение и редко влияют на мысль.

Эта подверженность заумности — характерное зло, которое склонно разрушать полезность математики в либеральном образовании. Насколько оно цепляется за образовательное использование предмета, настолько мы должны смириться с ужасно низким уровнем математического достижения среди культурных людей в целом. Я никому не уступлю в своем стремлении увеличить образовательный охват математики. Путь к достижению этой цели — не просто слепое требование большего количества математики. Мы должны встретить реальную трудность, которая препятствует ее расширенному использованию.

Является ли этот предмет сложным? Если рассматривать его в целом, то, думаю, да. Securus judicat orbis terrarum — общее суждение человечества — верно.

Предмет в том виде, в каком он существует в умах и книгах изучающих математику, сложен. Он строится путем выведения бесчисленных частных результатов из общих идей, причем каждый результат сложнее предыдущего. В мои задачи сегодня не входит защита математики как предмета для глубокого изучения. Она вполне может постоять за себя сама. Я хочу подчеркнуть, что именно те причины, которые делают эту науку восхитительной для ее приверженцев, являются причинами, препятствующими ее использованию в качестве образовательного инструмента, а именно: безграничное богатство дедукций из взаимодействия общих теорем, их сложность, их кажущаяся отдаленность от идей, с которых начиналось рассуждение, разнообразие методов и их чисто абстрактный характер, приносящий в дар вечную истину.

Конечно, все эти характеристики имеют бесценное значение для студентов; веками они очаровывали самые острые умы. Мое единственное замечание состоит в том, что для всех, кроме весьма избранного круга, они губительны в образовании. Ученики сбиты с толку множеством деталей, не имеющих очевидного отношения ни к великим идеям, ни к обычным мыслям. Расширение подобного обучения в сторону накопления большего количества деталей — последнее, чего можно желать в интересах образования.

Мы приходим к выводу, что математика, если она должна использоваться в общем образовании, должна быть подвергнута строгому процессу отбора и адаптации. Я не имею в виду то, что, конечно, очевидно: сколько бы времени мы ни уделяли предмету, средний ученик не продвинется далеко. Но я имею в виду, что, как бы ни был ограничен прогресс, определенные характеристики предмета, естественные на любой стадии, должны быть строго исключены. Наука в том виде, в каком она преподносится юным ученикам, должна утратить свою сложность. Она должна, на первый взгляд, иметь дело непосредственно и просто с несколькими общими идеями, имеющими далеко идущее значение.

Теперь, в вопросе реформирования математического образования, нынешнее поколение учителей может по праву гордиться своими достижениями. Оно проявило огромную энергию в реформах и сделало больше, чем можно было бы ожидать за столь короткое время. Не всегда осознается, насколько трудна задача изменения устоявшейся учебной программы, защищенной государственными экзаменами.

Но, несмотря на все это, был достигнут большой прогресс, и, выражаясь мягко, старая мертвая традиция была разрушена. Я хочу сегодня указать на руководящую идею, которая должна направлять наши усилия по реконструкции. Я уже подытожил ее в одной фразе: мы должны стремиться к устранению сложности из образовательного использования этого предмета.

Наши учебные курсы должны быть спланированы так, чтобы просто иллюстрировать последовательность идей очевидной важности. Все красивые отступления должны быть строго исключены. Цель, к которой нужно стремиться, состоит в том, чтобы ученик приобрел знакомство с абстрактным мышлением, осознал, как оно применяется к конкретным обстоятельствам, и знал, как применять общие методы к его логическому исследованию. При таком образовательном идеале нет ничего хуже бесцельного накопления теорем в наших учебниках, которые занимают свое место лишь потому, что детей можно заставить их выучить, а экзаменаторы могут составить по ним аккуратные вопросы. Изучаемый материал должен быть очень важным как иллюстрация идей. Примеры — и пусть их будет столько, сколько учителя сочтут нужным — должны быть прямыми иллюстрациями теорем, либо в виде абстрактных частных случаев, либо в виде применения к конкретным явлениям. Здесь стоит заметить, что совершенно бесполезно упрощать учебный материал, если примеры на экзаменах фактически требуют обширных знаний сложных деталей. Существует ошибочное мнение, что задачи проверяют способности и гениальность, а учебный материал — зубрежку. Это не соответствует моему опыту. Только мальчики, специально натасканные для получения стипендий, могут успешно справиться с работой по решению задач. Учебный материал, правильно подобранный, а не просто вырванный из контекста согласно обычному плохому плану, является гораздо лучшим тестом способностей, при условии, что он дополнен прямыми примерами. Но это отступление о пагубном влиянии экзаменов на преподавание.

Основные идеи, лежащие в основе математики, вовсе не сложны. Они абстрактны. Но одна из главных целей включения математики в гуманитарное образование — приучить учеников оперировать абстрактными идеями. Наука составляет первую большую группу абстрактных идей, которые естественным образом приходят на ум в любой точной форме. Для целей образования математика состоит из отношений числа, отношений количества и отношений пространства. Это не общее определение математики, которая, на мой взгляд, является гораздо более общей наукой. Но мы сейчас обсуждаем использование математики в образовании. Эти три группы отношений, касающиеся числа, количества и пространства, взаимосвязаны.

Теперь в образовании мы переходим от частного к общему. Соответственно, детей следует учить использованию этих идей на практике среди простых примеров. Моя мысль такова: целью должно быть не бесцельное накопление специальных математических теорем, а окончательное осознание того, что предыдущие годы работы иллюстрировали те отношения числа, количества и пространства, которые имеют фундаментальное значение. Такая подготовка должна лежать в основе всякого философского мышления. Фактически, элементарная математика, правильно понятая, дала бы именно ту философскую дисциплину, на которую способен обычный ум. Но чего мы должны избегать любой ценой, так это бессмысленного накопления деталей. Сколько угодно примеров; пусть дети работают над ними семестрами или годами. Но эти примеры должны быть прямыми иллюстрациями основных идей. Только так и никак иначе можно избежать фатальной сложности.

Я сейчас говорю не в частности о тех, кто собирается стать профессиональными математиками, или о тех, кому по профессиональным причинам требуются знания определенных математических деталей. Мы рассматриваем гуманитарное образование всех студентов, включая эти две категории. Это общее использование математики должно быть простым изучением нескольких общих истин, хорошо проиллюстрированных практическими примерами. Это изучение должно рассматриваться само по себе и быть полностью отделенным по замыслу от профессионального обучения, упомянутого выше, для которого оно послужило бы отличной подготовкой. Его завершающей стадией должно быть признание общих истин, которые проиллюстрировала проделанная работа. Насколько я могу судить, в настоящее время завершающей стадией является доказательство некоторого свойства окружностей, связанных с треугольниками. Такие свойства чрезвычайно интересны математикам. Но не являются ли они довольно сложными, и каково точное отношение таких теорем к идеалу гуманитарного образования? Цель всех грамматических занятий студента-классика — читать Вергилия и Горация, величайшие мысли величайших людей. Довольны ли мы, выступая за адекватное представление нашей собственной науки в образовании, тем, что целью математической подготовки является знание студентом свойств окружности девяти точек? Спрашиваю вас откровенно, не является ли это скорее «шагом назад»?

Это поколение учителей математики проделало такую напряженную работу по реорганизации математического образования, что нет нужды отчаиваться в его способности разработать учебную программу, которая оставит в умах учеников нечто более благородное, чем «неопределенный случай».

Давайте подумаем, как этот итоговый обзор, завершающий элементарный курс, может быть проведен для более способных учеников. Отчасти, несомненно, он требует общего обзора всей проделанной работы, рассматриваемой без излишних деталей, чтобы подчеркнуть использованные общие идеи и их потенциальную важность при дальнейшем изучении. Также аналитические и геометрические идеи находят непосредственное применение в физической лаборатории, где должен быть пройден курс простой экспериментальной механики. Здесь точка зрения двойственна: физические идеи и математические идеи иллюстрируют друг друга.

Математические идеи необходимы для точной формулировки механических законов. Идея точного закона природы, степень, в которой такие законы фактически подтверждаются нашим опытом, и роль абстрактного мышления в их формулировке становятся тогда практически очевидными для ученика. Вся тема, конечно, требует детальной разработки с полными конкретными иллюстрациями и не предлагается как требующая лишь нескольких сухих абстрактных утверждений.

Однако было бы серьезной ошибкой придавать слишком большое значение самому процессу прямого объяснения предыдущей работы в качестве итогового обзора. Моя мысль заключается в том, что завершающая часть курса должна быть выбрана так, чтобы фактически были выдвинуты на первый план общие идеи, лежащие в основе всей предыдущей математической работы. Это вполне может быть сделано путем кажущегося перехода к новому предмету. Например, идеи количества и идеи числа являются фундаментальными для всякого точного мышления. На предыдущих этапах они не были четко разделены; и детей, вполне справедливо, подталкивают к алгебре без лишних хлопот с количеством. Но более способные из них в конце своей учебной программы получили бы огромную пользу от тщательного рассмотрения тех фундаментальных свойств количества в целом, которые ведут к введению численного измерения. Это тема, которая также имеет то преимущество, что необходимые книги уже под рукой. Пятая книга Евклида считается квалифицированными судьями одним из триумфов греческой математики. Она касается именно этого вопроса. Ничто не может быть более характерным для безнадежно негуманитарного характера традиционного математического образования, чем тот факт, что эта книга всегда опускалась. Она имеет дело с идеями, а потому была предана остракизму. Конечно, требуется тщательный отбор наиболее важных предложений и тщательный пересмотр аргументации. Это также есть в публикациях моего непосредственного предшественника на посту президента, профессора Хилла. Более того, в полном издании Евклида сэра Т. Л. Хита есть полный комментарий, воплощающий большую часть того, что было сказано и подумано по этому поводу. Таким образом, учителям совершенно легко получить общую информацию по этой теме. Вся книга не понадобилась бы, а только те несколько предложений, которые воплощают фундаментальные идеи. Предмет не подходит для отстающих учеников; но, безусловно, его можно было бы сделать интересным для более продвинутого класса. Было бы много возможностей для интересной дискуссии о природе количества и тестах, которые мы должны применять, чтобы установить, когда мы имеем дело с величинами. Работа не была бы оторвана от жизни, а иллюстрировалась бы на каждом этапе ссылками на реальные примеры случаев, где количественный характер отсутствует, или неясен, или сомнителен, или очевиден. Можно было бы рассмотреть температуру, теплоту, электричество, удовольствие и боль, массу и расстояние.

Другая идея, требующая иллюстрации, — это идея функциональности. Функция в анализе является аналогом закона в физической вселенной и кривой в геометрии. Дети изучали отношения функций к кривым с самого начала изучения алгебры, а именно при построении графиков. В последние годы произошла большая реформа в отношении графиков. Но на нынешнем этапе она либо зашла слишком далеко, либо недостаточно далеко. Недостаточно просто нарисовать график. Идея, стоящая за графиком — подобно человеку за ружьем, — необходима для того, чтобы сделать его эффективным. В настоящее время существует некоторая тенденция просто заставлять детей рисовать кривые и на этом оставлять весь вопрос.

Изучая простые алгебраические функции и тригонометрические функции, мы начинаем изучение точного выражения физических законов. Кривые — это еще один способ представления этих законов. Простые фундаментальные законы — такие как закон обратных квадратов и закон прямой зависимости от расстояния — должны быть рассмотрены, а применения простых функций для выражения важных конкретных случаев физических законов — изучены. Я не могу не думать, что итоговый обзор этой темы вполне мог бы принять форму изучения некоторых основных идей дифференциального исчисления, примененных к простым кривым. Нет ничего особенно сложного в концепции скорости изменения; и дифференцирование нескольких степеней x, таких как x2, x3 и т. д., могло бы быть легко осуществлено; возможно, с помощью геометрии можно было бы дифференцировать даже sin x и cos x. Если мы однажды откажемся от нашей пагубной привычки пичкать детей теоремами, которые они не понимают и никогда не будут использовать, у нас будет достаточно времени, чтобы сосредоточить их внимание на действительно важных темах. Мы можем дать им знакомство с концепциями, которые действительно влияют на мышление.

Прежде чем оставить эту тему физических законов и математических функций, следует отметить другие моменты. Тот факт, что точный закон никогда не подтверждается наблюдением с полной точностью, поддается легкому иллюстрированию и предоставлению отличных примеров. Опять же, статистические законы, а именно законы, которые удовлетворяются только в среднем большими числами, могут быть легко изучены и проиллюстрированы. Фактически, небольшое изучение статистических методов и их применения к социальным явлениям дает один из простейших примеров применения алгебраических идей.

Другой способ, которым идеи студентов могут быть обобщены, — это использование истории математики, задуманной не как простое собрание дат и имен людей, а как изложение общего потока мысли, который сделал эти предметы объектами интереса во время их первой разработки. Использование истории математики будет рассмотрено на более позднем этапе наших сегодняшних заседаний. Соответственно, я лишь обращаю на это внимание сейчас, чтобы указать, что, возможно, это именно тот предмет, который лучше всего может достичь результатов, за которые я ратую.

Мы указали две основные темы, а именно общие идеи количества и законов природы, которые должны быть объектом изучения в математической учебной программе гуманитарного образования. Но есть и другая сторона математики, которую нельзя упускать из виду. Это главный инструмент дисциплины в логическом методе.

Итак, что такое логический метод и как можно кого-либо обучить ему?

Логический метод — это нечто большее, чем просто знание правильных типов рассуждений и практика в концентрации ума, необходимой для следования им. Если бы это было только так, это все равно было бы очень важно; ибо человеческий разум развивался в прошлые века не ради рассуждений, а лишь для того, чтобы позволить человечеству с большим искусством охотиться между приемами пищи за новыми запасами еды. Соответственно, немногие люди могут следовать близкому рассуждению без значительной практики.

Требуется нечто большее, чтобы стать хорошим логиком или даже просветить обычных людей знанием того, что составляет сущность этого искусства. Искусство рассуждения состоит в том, чтобы взяться за предмет с правильного конца, ухватиться за те немногие общие идеи, которые освещают все, и настойчиво выстраивать вокруг них все вспомогательные факты. Никто не может быть хорошим логиком, если постоянной практикой он не осознал важность того, чтобы ухватиться за большие идеи и держаться за них, как за спасательный круг. Для такого рода подготовки геометрия, я думаю, лучше, чем алгебра. Область мысли алгебры довольно неясна, тогда как пространство — это очевидная, настойчивая вещь, понятная всем. Затем процесс упрощения, или абстракции, посредством которого все нерелевантные свойства материи, такие как цвет, вкус и вес, отбрасываются, — это образование само по себе. Опять же, определения и предложения, принимаемые без доказательств, иллюстрируют необходимость формирования ясных представлений о фундаментальных фактах предмета и отношениях между ними. Все это относится к простым пролегоменам предмета. Когда мы переходим к его развитию, его превосходство возрастает. Ученик изначально не сталкивается с какой-либо символикой, которая утомляет память своими правилами, какими бы простыми они ни были. Также с самого начала рассуждение, если оно проводится правильно, доминируется четко выраженными идеями, которые направляют каждый этап развития. Соответственно, сущность логического метода получает немедленное подтверждение.

Давайте теперь отложим на мгновение ограничения, вызванные скукой средних учеников и нехваткой времени из-за других предметов, и рассмотрим, что геометрия может предложить в плане гуманитарного образования. Я укажу некоторые этапы предмета, не имея в виду, что они обязательно должны изучаться в этом исключительном порядке. Первый этап — изучение конгруэнтности. Наше восприятие конгруэнтности на практике зависит от наших суждений о неизменности внутренних свойств тел при изменении их внешних обстоятельств. Но как бы она ни возникала, конгруэнтность по сути является корреляцией двух областей пространства, точка за точкой, так что все гомологичные расстояния и все гомологичные углы равны. Следует заметить, что определение равенства длин и углов — это их конгруэнтность, и все тесты на равенство, такие как использование ярдовой меры, являются лишь устройствами для облегчения немедленных суждений о конгруэнтности. Я делаю эти замечания, чтобы предположить, что, помимо рассуждений, связанных с ней, конгруэнтность, как пример более широкой и очень далеко идущей идеи, а также сама по себе, вполне заслуживает внимательного рассмотрения. Предложения, касающиеся ее, проясняют элементарные свойства треугольника, параллелограмма и круга, а также отношения двух плоскостей друг к другу. Очень желательно ограничить доказанные предложения этой части самыми узкими рамками, отчасти путем принятия избыточных аксиоматических предложений, а отчасти путем введения только тех предложений, которые имеют абсолютно фундаментальное значение.

Второй этап — изучение подобия. Это можно свести к трем или четырем фундаментальным предложениям. Подобие — это расширение идеи конгруэнтности и, подобно этой идее, является еще одним примером взаимно однозначного соответствия точек пространств. Любое расширение изучения этого предмета вполне могло бы идти в направлении исследования одного или двух простых свойств подобных и подобно расположенных прямолинейных фигур. Весь предмет получает свое непосредственное применение в планах и картах. Важно, однако, помнить, что тригонометрия — это действительно метод, с помощью которого основные теоремы становятся доступными для использования.

Третий этап — изучение элементов тригонометрии. Это изучение периодичности, вносимой вращением, и свойств, сохраняемых при корреляции подобных фигур. Здесь мы впервые вводим небольшое использование алгебраического анализа, основанного на изучении числа и количества. Важность периодического характера функций требует полной иллюстрации. Простейшие свойства функций — единственные, которые требуются для решения треугольников и последующих применений в геодезии. Богатство формул, часто важных самих по себе, но совершенно бесполезных для этого типа обучения, которые переполняют наши книги, должно быть строго исключено, за исключением тех случаев, когда они могут быть доказаны учениками как прямые примеры учебного материала.

Этот вопрос об исключении формул лучше всего иллюстрируется рассмотрением этого примера тригонометрии, хотя, конечно, я мог попасть в неудачный случай, в котором мое суждение ошибочно. Большая часть образовательного преимущества предмета может быть получена путем ограничения изучения тригонометрией одного угла и исключением формул сложения для синуса и косинуса суммы двух углов. Функции могут быть представлены графически, а решение треугольников осуществлено. Таким образом, аспекты науки как (1) аналитически воплощающие непосредственные результаты некоторых теорем, выведенных из конгруэнтности и подобия, (2) как решение основной проблемы геодезии, (3) как изучение фундаментальных функций, необходимых для выражения периодичности и волнового движения, будут запечатлены в умах учеников как учебным материалом, так и примерами.

Если возникнет желание расширить этот курс, следует добавить формулы сложения. Но следует проявлять большую осторожность, чтобы не специализировать учеников на богатстве формул, которые следуют за ними. Под «исключить» подразумевается, что ученики не должны тратить время или энергию на приобретение каких-либо навыков в их выведении. Учителю может быть интересно проработать несколько таких примеров перед классом. Но такие результаты не входят в число тех, которые учащиеся должны запоминать. Также я бы исключил всю тему описанных и вписанных окружностей как из тригонометрии, так и из предыдущих геометрических курсов. Это все очень красиво, но я не понимаю, какова ее функция в элементарной непрофессиональной учебной программе.

Соответственно, фактический учебный материал предмета сводится к очень управляемым пропорциям. Мне на днях рассказали об американском колледже, где студенты должны знать наизусть девяносто формул или результатов только по тригонометрии. Мы не настолько плохи. Фактически, в тригонометрии мы почти приблизились к идеалу, намеченному здесь, насколько это касается наших элементарных курсов.

Четвертый этап вводит аналитическую геометрию. Изучение графиков в алгебре уже использовало фундаментальные понятия, и все, что теперь требуется, — это строго сокращенный курс по прямой линии, окружности и трем типам конических сечений, определяемых формами их уравнений. В этом месте нужно сделать два замечания. Часто желательно давать нашим ученикам математическую информацию, которую мы не доказываем. Например, в координатной геометрии приведение общего уравнения второй степени, вероятно, выходит за рамки способностей большинства студентов того типа, которых мы рассматриваем. Но это не должно мешать нам объяснять фундаментальное положение коник как исчерпывающих возможные типы таких кривых.

Второе замечание — выступить за полное устранение геометрических коник как отдельного предмета. Естественно, в подходящих случаях анализ аналитической геометрии будет облегчен использованием прямого вывода из какой-либо простой фигуры. Но геометрические коники, как они развиты из определения конического сечения по свойству фокуса и директрисы, страдают от вопиющих дефектов. Это безнадежно сложно. Фундаментальное определение коники, SP = e · PM, обычное в этом предмете на данном этапе, совершенно плохое. Оно очень сложное и не имеет очевидной важности. Почему такие кривые вообще должны изучаться, больше, чем те, которые определяются неопределенным числом других формул? Но когда мы начали изучение декартовых методов, уравнения первой и второй степени — это, естественно, первые вещи, о которых стоит подумать.

В этом идеальном курсе геометрии пятый этап занят элементами проективной геометрии. Общие идеи двойного отношения и проекции здесь фундаментальны. Проекция — это еще более общий пример того взаимно однозначного соответствия, которое мы уже рассматривали в рамках конгруэнтности и подобия. Здесь опять же мы должны избегать опасности быть вовлеченными в сбивающее с толку богатство деталей.

Интеллектуальная идея, которую должна иллюстрировать проективная геометрия, — это важность в рассуждении корреляции всех случаев, которые могут быть доказаны как обладающие общими идентичными свойствами. Сохранение проективных свойств при проекции — это одна важная образовательная идея предмета. Двойное отношение входит только как фундаментальное метрическое свойство, которое сохраняется. Немногие рассмотренные предложения выбраны для иллюстрации двух родственных процессов, которые становятся возможными благодаря этой процедуре. Один из них — доказательство через упрощение. Здесь упрощение психологическое, а не логическое — ибо общий случай логически самый простой. Имеется в виду: доказательство путем рассмотрения случая, который фактически наиболее знаком нам или о котором легче всего думать. Другая процедура — выведение частных случаев из известных общих истин, как только у нас есть средства для обнаружения таких случаев или критерий для их проверки.

Проективное определение конических сечений и идентичность результатов, полученных с кривыми, выведенными из общего уравнения второй степени, поддаются простому изложению, но лежат на границе предмета. Это тот тип темы, по которой можно дать информацию, а доказательства опустить.

Курс геометрии, как он задуман здесь в своем полном идеале — а идеалы никогда не могут быть реализованы — не является длинным. Фактическое количество математических дедукций на каждом этапе в форме учебного материала очень незначительно. Но должно быть дано гораздо больше объяснений, важность каждого предложения должна быть проиллюстрирована примерами, либо решенными, либо предназначенными для решения студентами, выбранными так, чтобы указать области мысли, к которым оно применяется. Благодаря такому курсу студент получил бы анализ ведущих свойств пространства и главных методов, с помощью которых они исследуются.

Изучение элементов математики, задуманное в этом духе, составило бы подготовку в логическом методе вместе с приобретением точных идей, которые лежат в основе научных и философских исследований вселенной. Было бы легко продолжить отличные реформы в математическом обучении, которых это поколение уже достигло, чтобы включить в учебную программу этот более широкий и философский дух? Откровенно говоря, я думаю, что этого результата было бы очень трудно достичь в результате усилий отдельных лиц. По причинам, которые я уже кратко указал, все реформы в образовании очень трудно осуществить. Но постоянное давление объединенных усилий, при условии, что идеал действительно присутствует в умах массы учителей, может сделать многое и в конечном итоге приводит к удивительным модификациям. Постепенно пишутся необходимые книги, еще более постепенно реформируются экзамены, чтобы придать вес менее техническим аспектам предмета, и тогда весь недавний опыт показал, что большинство учителей только рады приветствовать любые практические средства спасения предмета от упрека в том, что он является механической дисциплиной.

ГЛАВА V ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИКИ В ОТНОШЕНИИ К ЭЛЕМЕНТАРНОМУ ПРЕПОДАВАНИЮ

(International Congress of Mathematicians, Cambridge, August, 1912)

Мы имеем дело не с продвинутым обучением нескольких студентов-математиков, а с математическим образованием большинства мальчиков в наших средних школах. Опять же, этих мальчиков нужно разделить на две секции: одна секция состоит из тех, кто желает ограничить свое математическое образование; другая секция состоит из тех, кому потребуется некоторая математическая подготовка для их последующей профессиональной карьеры, либо в форме определенных математических результатов, либо в форме математически тренированных умов.

Я буду называть последнюю из этих двух секций математической секцией, а первую — нематематической секцией. Но я должен повторить, что под математической секцией подразумевается то большое количество мальчиков, которые желают изучать больше, чем минимальное количество математики. Более того, большинство моих замечаний об этих секциях мальчиков применимы также к элементарным классам наших университетских студентов.

Предметом этой статьи является исследование места, которое должно занимать современное исследование принципов математики в образовании обеих этих секций школьников.

Чтобы найти точку опоры, с которой начать исследование, давайте спросим, почему нематематическую секцию следует учить какой-либо математике вообще, помимо самых элементарных основ арифметики. Каковы качества ума, которые математическая подготовка призвана выработать, когда она используется как элемент гуманитарного образования?

Мой ответ, который в равной степени относится к обеим секциям студентов, заключается в том, что существуют две родственные формы умственной дисциплины, которые должны быть приобретены с помощью хорошо разработанного математического курса. Эти две формы, хотя и тесно связаны, совершенно различны.

Первая форма дисциплины по своей сути вовсе не является логической. Это способность ясно схватывать абстрактные идеи и соотносить их с конкретными обстоятельствами. Другими словами, первое использование математики — укрепление способности к абстрактному мышлению. Повторяю, что по своей сути это не имеет ничего общего с логикой, хотя на самом деле логическая дисциплина — лучший метод достижения желаемого эффекта. Приобретается не философская теория абстрактных идей, а привычка и способность использовать их. Есть один и только один способ приобрести привычку и способность использовать что-либо, а именно простой обыденный метод привычного использования. Другого короткого пути нет. Если в образовании мы желаем произвести определенную конфигурацию ума, мы должны изо дня в день и из года в год приучать умы студентов расти в желаемую структурную форму. Таким образом, чтобы научить способности схватывать абстрактные идеи и привычке использовать их, мы должны выбрать группу таких идей, которые важны и о которых также легко думать, потому что они ясны и определенны.

Фундаментальные математические истины, касающиеся геометрии, отношения, количества и числа, удовлетворяют этим условиям, как никакие другие. Отсюда фундаментальное универсальное положение, занимаемое математикой как элементом гуманитарного образования.

Но каковы фундаментальные математические истины, касающиеся геометрии, количества и числа?

В этой точке мы подходим к великому вопросу об отношении между современной наукой о принципах математики и математическим образованием.

Мой ответ на вопрос об этих фундаментальных математических истинах заключается в том, что в каком-либо абсолютном смысле их нет. Не существует уникального небольшого набора независимых примитивных недоказанных предложений, которые являются необходимыми отправными точками всех математических рассуждений по этим предметам. В математическом рассуждении единственными абсолютно необходимыми предпосылками являются те, которые делают возможной логическую дедукцию. Между этими абсолютными логическими истинами и так называемыми фундаментальными истинами, касающимися геометрии, количества и числа, существует целый новый мир математических предметов, касающихся логики предложений, классов и отношений.

Но этот предмет слишком абстрактен, чтобы сформировать элементарную тренировочную площадку в трудном искусстве абстрактного мышления.

Именно по этой причине мы должны пойти на компромисс и начать с таких очевидных общих идей, которые естественным образом приходят на ум всем людям, когда они воспринимают объекты своими чувствами.

В геометрии идеи, разработанные греками и представленные Евклидом, грубо говоря, адаптированы для нашей цели, а именно: идеи объемов, поверхностей, линий, прямолинейности и кривизны, пересечения и конгруэнтности, большего и меньшего, подобия, формы и масштаба. Фактически, мы используем в образовании те общие идеи пространственных свойств, которые должны привычно присутствовать в уме любого, кто собирается наблюдать мир явлений с пониманием.

Таким образом, мы возвращаемся к мнению Платона о том, что для гуманитарного образования геометрия, какой он ее знал, является царицей наук.

В дополнение к геометрии остаются идеи количества, отношения и числа. На практике это означает элементарную алгебру. Здесь заметными идеями являются идеи «любого числа», другими словами, использование привычных x, y, z и зависимости переменных друг от друга, или, иначе, идея функциональности. Все это должно постепенно приобретаться постоянным использованием самых простых функций, которые мы можем придумать: линейных функций, графически представленных прямыми линиями; квадратичных функций, графически представленных параболами; и тех простых неявных функций, графически представленных коническими сечениями. Оттуда, при удаче и желающем учиться классе, мы можем перейти к идеям скоростей роста, все еще ограничиваясь простейшими возможными случаями.

Я хочу здесь подчеркнуто напомнить вам, что как в геометрии, так и в алгебре ясное понимание этих общих идей — это не то, с чего начинает ученик, это цель, к которой он должен прийти. Метод прогрессии — постоянная практика в рассмотрении простейших частных случаев, и цель — не философский анализ, а способность использования.

Но как он должен практиковаться в их использовании? Он не может просто сесть и думать об отношении y = x + 1, он должен использовать его каким-то простым очевидным способом.

Это подводит нас ко второй силе ума, которая должна быть выработана математической подготовкой, а именно к силе логического рассуждения. Здесь опять же важно учить не знанию философии логики, а привычке мыслить логически. Под логикой я имею в виду дедуктивную логику.

Дедуктивная логика — это наука об определенных отношениях, таких как импликация и т. д., между общими идеями. Когда начинается логика, определенные частные индивидуальные вещи изгоняются. Я не могу логически соотнести эту вещь с той вещью, например, эту ручку с той ручкой, кроме как косвенным путем соотнесения некоторой общей идеи, которая применяется к этой ручке, с некоторой общей идеей, которая применяется к той ручке. И индивидуальности двух ручек совершенно не имеют отношения к логическому процессу. Этот процесс полностью касается двух общих идей. Таким образом, практика логики — это определенный способ использования ума при рассмотрении таких идей; и элементарная математическая подготовка фактически есть не что иное, как логическое использование общих идей относительно геометрии и алгебры, которые мы перечислили выше. Поэтому она имеет, как я начал эту статью с утверждения, двойное преимущество. Она делает ум способным к абстрактному мышлению, и она достигает этой цели, тренируя ум в самом важном виде абстрактного мышления, а именно в дедуктивной логике.

Я могу напомнить вам, что можно было бы сделать другие выборы типа абстрактного мышления. Мы могли бы тренировать детей непосредственно созерцать красоту абстрактных моральных идей в надежде сделать их религиозными мистиками. Общая практика образования решила в пользу логики, как она представлена в элементарной математике.

Теперь мы должны ответить на дальнейший вопрос: какова роль логической точности в преподавании математики? Наш общий ответ на подразумеваемый вопрос очевиден: логическая точность — это одна из двух целей преподавания математики, и это единственное оружие, с помощью которого преподавание математики может достичь своей другой цели. Преподавать математику — значит преподавать логическую точность. Учитель математики, который не научил этому, не научил ничему.

Но после того, как этот тезис был сформулирован в такой безоговорочной форме, его значение должно быть тщательно объяснено; ибо в противном случае его реальное отношение к проблеме будет полностью неверно понято.

Логическая точность — это способность, которую нужно приобрести. Это качество ума, которое целью преподавания является привить. Таким образом, привычка читать великую литературу — это цель, к которой стремится литературное образование. Но мы не ожидаем, что ребенок начнет свой первый урок с самостоятельного чтения Шекспира. Мы признаем, что чтение невозможно, пока ученик не выучил алфавит и не может читать по слогам, и тогда мы начинаем с книг в одно слог.

Таким же образом математическое образование должно расти в логической точности. Глупо ожидать такого же тщательного логического анализа в начале подготовки, какой был бы уместен в конце. Это полное искажение моего тезиса — толковать его как означающий, что математическая подготовка должна предполагать у ученика способность к концентрированному логическому мышлению. Мой тезис на самом деле прямо противоположный, а именно: эта способность не может быть предположена, ее нужно приобрести, и математическая подготовка есть не что иное, как процесс ее приобретения. Вся моя основа предположений заключается в том, что эта способность изначально не существует в полностью развитом состоянии. Конечно, как и любая другая способность, которая приобретается, она должна развиваться постепенно.

Различные этапы развития должны направляться суждением и гением учителя. Но что существенно, так это то, что учитель должен ясно держать в уме, что именно эта способность к логически точному рассуждению является всей целью его усилий. Если его ученики в какой-то мере приобрели это, они приобрели все.

Мы еще не полностью рассмотрели эту часть нашего предмета. Логическая точность — это полное осознание шагов аргументации. Но каковы шаги аргументации? Полное изложение всех шагов — слишком сложная и трудная операция, чтобы быть введенной в математическое рассуждение образовательной учебной программы. Такое изложение включает введение абстрактных логических идей, которые очень трудно схватить, потому что так редко возникает необходимость делать их явными в обычном мышлении. Поэтому они не являются подходящим предметным полем для элементарного образования.

Я не думаю, что возможно провести какую-либо теоретическую линию между теми логическими шагами, которые формируют теоретически полное логическое исследование, и теми, которые достаточно полны для большинства практических целей, включая цели образования. Вопрос психологический, который должен быть решен процессом эксперимента. Цель, которую нужно достичь, — получить ту степень логической бдительности, которая позволит ее обладателям обнаруживать ошибки и знать типы здравой логической дедукции. Цели идти дальше отчасти философские, а также отчасти обнажить абстрактные идеи, исследование которых само по себе важно. Но обе эти цели чужды образованию.

Мое мнение заключается в том, что в целом тип логической точности, переданный нам греческими математиками, грубо говоря, — это то, что нам нужно. В геометрии это означает тот тип точности, который мы находим у Евклида. Я не имею в виду, что мы должны использовать его знаменитые «Начала» как учебник, ни то, что здесь и там некоторая сжатость в его способе изложения не является целесообразной. Все это лишь детали. Что я действительно имею в виду, так это то, что тот тип логического перехода, который он сделал явным, мы должны сделать явным, и что тот тип перехода, который он опускает, мы должны опускать.

Я сомневаюсь, однако, целесообразно ли погружать студента в полную строгость евклидовой геометрии без некоторого смягчения. Именно по этой причине современная привычка, по крайней мере в Англии, делать большой упор на начальных этапах на обучение ученика простым конструкциям из численных данных заслуживает похвалы. Это означает, что после небольшого количества рассуждений на евклидовой основе точности ум учащегося освобождается путем выполнения вещей в различных частных случаях и отмечания с помощью грубых измерений, что желаемые результаты действительно достигаются. Важно, однако, чтобы измерения не принимались за доказательства. Их цель — заставить начинающего понять, что абстрактные идеи действительно означают.

Опять же в алгебре обозначения и практическое использование символов должны быть приобретены в простейших случаях, а более теоретическая обработка символики должна быть отложена на подходящий более поздний этап. Моим правилом было бы изначально изучать значение идей через грубую практику простыми способами и уточнять логическую процедуру в подготовке к продвижению к большей общности. Фактически тезис моей статьи может быть сформулирован иначе: цель математического образования — приобрести способности анализа, обобщения и рассуждения. Два процесса анализа и обобщения были в моем предыдущем утверждении объединены как способность схватывать абстрактные идеи.

Но чтобы анализировать и обобщать, мы должны начать с грубого материала идей, которые должны быть проанализированы и обобщены. Соответственно, это позитивная ошибка в образовании — начинать с конечных продуктов этого процесса, а именно идей в их очищенных, проанализированных и обобщенных формах. Мы тем самым пропускаем важную часть подготовки, которая состоит в том, чтобы взять идеи в том виде, в каком они фактически существуют в уме ребенка, и упражнять ребенка в трудном искусстве цивилизовать их и одевать их.

Школьный учитель на самом деле миссионер, дикари — это идеи в уме ребенка; и миссионер уклоняется от своей главной задачи, если он отказывается рисковать своим телом среди каннибалов.

В этой точке я хотел бы обратить ваше внимание на тех учеников, которые формируют математическую секцию. Существует широко распространенная идея, что можно преподавать математику относительно продвинутого типа — например, дифференциальное исчисление — способом, полезным для физиков и инженеров, без какого-либо внимания к ее логике или теории.

Это кажется мне глубокой ошибкой. Это подразумевает, что чисто механическое знание без понимания способов достижения математических результатов полезно в прикладной науке. Оно не имеет никакой пользы. Сами результаты могут быть найдены изложенными в соответствующих карманных книгах и других элементарных справочных работах. Никому при применении результата не нужно беспокоиться о том, почему он верен. Он принимает его и применяет. Что имеет высшую важность в физике и инженерии, так это математически тренированный ум, и такой ум может быть приобретен только надлежащей математической дисциплиной.

Я полностью признаю, что правильный способ начать такой предмет, как дифференциальное исчисление, — это быстро погрузиться в использование обозначений в нескольких абсурдно простых случаях с грубым объяснением идеи скоростей роста. Обозначения, как они известны таким образом, могут затем использоваться лекторами в физических и инженерных лабораториях. Но математическая подготовка прикладных ученых состоит в том, чтобы сделать эти идеи точными, а доказательства — аккуратными.

Я надеюсь, что тезис этой статьи относительно положения логической точности в преподавании математики был сделан ясным. Привычка логической точности с ее необходимой концентрацией мысли на абстрактных идеях не полностью возможна на начальных этапах обучения. Это идеал, к которому должен стремиться учитель. Также логическая точность, в смысле логической эксплицитности, не является абсолютной вещью: это дело большего или меньшего. Соответственно, количество эксплицитности, которое должно быть введено на каждом этапе прогресса, должно зависеть от практического суждения учителя. Наконец, в некотором смысле, просвещенный ум менее эксплицитен; ибо он путешествует быстрее по хорошо запомненному пути и может избавить от хлопот облечения в слова цепочек мыслей, которые очень очевидны для него. Но, с другой стороны, он искупает эту быстроту концентрацией на каждом тонком моменте, где может скрываться ошибка. Привычка логической точности — это инстинкт для тонкой трудности.

ГЛАВА VI ОРГАНИЗАЦИЯ МЫШЛЕНИЯ

(Presidential Address to Section A, British Association, Newcastle, 1916)

Предметом этого обращения является организация мышления, тема, очевидно, способная ко многим разнообразным способам обработки. Я намерен более конкретно дать некоторый отчет о том департаменте логической науки, с которым были связаны некоторые из моих собственных исследований. Но я стремлюсь, если мне удастся это сделать, обработать этот отчет так, чтобы показать отношение с определенными соображениями, которые лежат в основе общей научной деятельности.

Не случайно, что век науки развился в век организации. Организованное мышление — основа организованного действия. Организация — это приспособление разнообразных элементов так, чтобы их взаимные отношения могли демонстрировать некоторое предопределенное качество. Эпическая поэма — это триумф организации, то есть сказать, это триумф в маловероятном случае того, что она является хорошей эпической поэмой. Это успешная организация множества звуков слов, ассоциаций слов, живописных воспоминаний о разнообразных событиях и чувствах, обычно происходящих в жизни, объединенных со специальным повествованием великих событий: целое так расположено, чтобы возбуждать эмоции, которые, как определено Мильтоном, просты, чувственны и страстны. Количество успешных эпических поэм соизмеримо, или, скорее, обратно соизмеримо с очевидной трудностью задачи организации.

Наука — это организация мышления. Но пример эпической поэмы предупреждает нас, что наука — это не любая организация мышления. Это организация определенного типа, который мы постараемся определить.

Наука — это река с двумя источниками, практическим источником и теоретическим источником. Практический источник — это желание направить наши действия на достижение предопределенных целей. Например, британская нация, сражающаяся за справедливость, обращается к науке, которая учит ее важности соединений азота. Теоретический источник — это желание понять. Теперь я собираюсь подчеркнуть важность теории в науке. Но чтобы избежать недопонимания, я самым решительным образом заявляю, что я не считаю один источник в каком-либо смысле более благородным, чем другой, или внутренне более интересным. Я не могу понять, почему более благородно стремиться понять, чем заниматься правильным упорядочиванием своих действий. Оба имеют свои плохие стороны; есть злые цели, направляющие действия, и есть неблагородные любопытства понимания.

Важность, даже на практике, теоретической стороны науки проистекает из того факта, что действие должно быть немедленным и происходит при обстоятельствах, которые чрезмерно сложны. Если мы будем ждать необходимости действия, прежде чем начнем упорядочивать наши идеи, в мирное время мы потеряем нашу торговлю, а в войне мы проиграем битву. Успех на практике зависит от теоретиков, которые, ведомые другими мотивами исследования, были там раньше и по какой-то счастливой случайности наткнулись на релевантные идеи. Под теоретиком я не имею в виду человека, который витает в облаках, но человека, чей мотив для мышления — желание правильно сформулировать правила, согласно которым происходят события. Успешный теоретик должен быть чрезмерно заинтересован в немедленных событиях, иначе он вовсе не склонен правильно сформулировать что-либо о них. Конечно, оба источника науки существуют во всех людях.

Теперь, что это за организация мышления, которую мы называем наукой? Первый аспект современной науки, который поразил вдумчивых наблюдателей, — это ее индуктивный характер. Природа индукции, ее важность и правила индуктивной логики были рассмотрены длинным рядом мыслителей, особенно английских мыслителей: Бэконом, Гершелем, Дж. С. Миллем, Венном, Джевонсом и другими. Я не собираюсь погружаться в анализ процесса индукции. Индукция — это механизм, а не продукт, и именно продукт я хочу рассмотреть. Когда мы поймем продукт, мы будем в более сильной позиции, чтобы улучшить механизм.

Во-первых, есть один момент, который необходимо подчеркнуть. Существует тенденция при анализе научных процессов предполагать данное собрание концептов, применяемых к природе, и воображать, что открытие законов природы состоит в выборе с помощью индуктивной логики одного из определенного набора возможных альтернативных отношений, которые могут существовать между вещами в природе, отвечающими этим очевидным концептам. В некотором смысле это предположение довольно верно, особенно в отношении более ранних стадий науки. Человечество обнаружило себя в обладании определенными концептами относительно природы — например, концептом довольно постоянных материальных тел — и приступило к определению законов, которые соотносили соответствующие перцепты в природе. Но формулировка законов изменила концепты, иногда мягко, добавленной точностью, иногда насильственно. Поначалу этот процесс не был сильно замечен или, по крайней мере, ощущался как процесс, ограниченный узкими рамками, не затрагивающий фундаментальные идеи. На стадии, на которой мы сейчас находимся, формулировка концептов может быть увидена как столь же важная, как формулировка эмпирических законов, соединяющих события во вселенной, как она концептуализирована нами. Например, концепты жизни, наследственности, материального тела, молекулы, атома, электрона, энергии, пространства, времени, количества и числа. Я не догматизирую о лучшем способе привести такие идеи в порядок. Конечно, это будет сделано только теми, кто посвятил себя специальному изучению фактов, о которых идет речь. Успех никогда не бывает абсолютным, и прогресс в правильном направлении — результат медленного, постепенного процесса постоянного сравнения идей с фактами. Критерий успеха заключается в том, что мы должны быть способны сформулировать эмпирические законы, то есть утверждения отношений, соединяющие различные части вселенной, как она концептуализирована таким образом, законы со свойством, что мы можем интерпретировать фактические события наших жизней как наше фрагментарное знание этого концептуализированного взаимосвязанного целого.

Но что такое реальный мир для целей науки? Должна ли наука ждать завершения метафизических дебатов, прежде чем она сможет определить свой собственный предмет? Я полагаю, что у науки есть гораздо более прозаическая отправная точка. Ее задача — открытие отношений, существующих внутри того потока восприятий, ощущений и эмоций, который формирует наш жизненный опыт. Панорама, создаваемая зрением, слухом, вкусом, обонянием, осязанием и более неясными чувственными ощущениями, является единственным полем деятельности. Именно так наука становится мыслительной организацией опыта. Наиболее очевидным аспектом этого поля реального опыта является его беспорядочный характер. Для каждого человека это континуум, фрагментарный и с нечетко дифференцированными элементами. Сравнение чувственного опыта разных людей порождает свои трудности. Я настаиваю на радикально неупорядоченном, плохо согласованном характере полей реального опыта, с которых начинает наука. Постижение этой фундаментальной истины — первый шаг к мудрости при построении философии науки. Этот факт скрыт влиянием языка, сформированного наукой, который навязывает нам точные концепты, как если бы они представляли собой непосредственные результаты опыта. В результате мы воображаем, что имеем непосредственный опыт мира идеально определенных объектов, вовлеченных в идеально определенные события, которые, как нам известно из прямого свидетельства наших чувств, происходят в точные моменты времени, в пространстве, образованном точными точками, без частей и без величины: аккуратный, опрятный, упорядоченный, точный мир, который является целью научного мышления.

Мое утверждение состоит в том, что этот мир — это мир идей, что его внутренние отношения — это отношения между абстрактными концептами и что прояснение точной связи между этим миром и чувствами реального опыта является фундаментальным вопросом научной философии. Вопрос, который я предлагаю вам рассмотреть, таков: как точное мышление применяется к фрагментарным, расплывчатым континуумам опыта? Я не говорю, что оно не применяется: совсем наоборот. Но я хочу знать, как именно оно применяется. Решение, которое я ищу, — это не фраза, какой бы блестящей она ни была, а солидная отрасль науки, построенная с медленным терпением, показывающая в деталях, как осуществляется это соответствие.

Первые великие шаги в организации мышления были обусловлены исключительно практическим источником научной деятельности, без какой-либо примеси теоретического импульса. Их медленное осуществление было причиной, а также следствием постепенной эволюции умеренно рациональных существ. Я имею в виду формирование концептов определенных материальных объектов, определенного течения времени, одновременности, повторяемости, определенного относительного положения и аналогичных фундаментальных идей, в соответствии с которыми поток нашего опыта ментально упорядочивается для удобства обращения: по сути, весь аппарат здравого смысла. Представьте себе какой-нибудь определенный стул. Концепт этого стула — это просто концепт всех взаимосвязанных переживаний, связанных с этим стулом, — а именно, опыта людей, которые его сделали, людей, которые его продали, людей, которые его видели или использовали, человека, который сейчас испытывает комфортное чувство опоры, в сочетании с нашими ожиданиями аналогичного будущего, завершающегося, наконец, другим набором переживаний, когда стул ломается и становится дровами. Формирование такого типа концепта было колоссальной работой, и зоологи и геологи говорят нам, что на это ушли многие десятки миллионов лет. Я вполне могу в это поверить.

Теперь я подчеркну два момента. Во-первых, наука укоренена в том, что я только что назвал всем аппаратом мышления здравого смысла. Это тот данность, с которой она начинает и к которой должна возвращаться. Мы можем поразмышлять, если нас это забавляет, о других существах на других планетах, которые организовали аналогичный опыт в соответствии с совершенно иным концептуальным кодом, — а именно, которые направили свое главное внимание на другие отношения между своими различными переживаниями. Но задача слишком сложна, слишком гигантска, чтобы ее можно было пересмотреть в основных чертах. Вы можете отшлифовать здравый смысл, вы можете противоречить ему в деталях, вы можете удивить его. Но в конечном счете вся ваша задача — удовлетворить его.

Во-вторых, ни здравый смысл, ни наука не могут продолжать свою задачу организации мышления, не отступая в некотором отношении от строгого рассмотрения того, что является актуальным в опыте. Подумайте снова о стуле. Среди переживаний, на которых основан его концепт, я включил наши ожидания его будущей истории. Мне следовало бы пойти дальше и включить наше воображение всех возможных переживаний, которые в обычном языке мы назвали бы восприятиями стула, которые могли бы произойти. Это сложный вопрос, и я не вижу пути к его решению. Но в настоящее время при построении теории пространства и времени кажутся непреодолимыми трудности, если мы отказываемся признать идеальные переживания.

Это имагинативное восприятие переживаний, которые, если бы они произошли, были бы согласованы с нашим реальным опытом, кажется фундаментальным в нашей жизни. Оно не является ни полностью произвольным, ни полностью детерминированным. Это расплывчатый фон, который лишь частично становится определенным благодаря изолированным актам мышления. Рассмотрим, например, наши мысли о невидимой флоре Бразилии.

Идеальные переживания тесно связаны с нашим имагинативным воспроизведением реального опыта других людей, а также с нашим почти неизбежным представлением о себе как о получающих впечатления от внешней сложной реальности вне нас. Возможно, что адекватный анализ каждого источника и каждого типа опыта дает доказательное подтверждение такой реальности и ее природы. Действительно, вряд ли можно сомневаться, что это так. Точное прояснение этого вопроса — проблема метафизики. Один из пунктов, на котором я настаиваю в этом обращении, заключается в том, что основа науки не зависит от принятия каких-либо выводов метафизики; но что и наука, и метафизика начинают с одной и той же данной основы непосредственного опыта и в основном движутся в противоположных направлениях в своих разнообразных задачах.

Например, метафизика исследует, как наши восприятия стула соотносят нас с некоторой истинной реальностью. Наука собирает эти восприятия в определенный класс, добавляет к ним идеальные восприятия аналогичного рода, которые при определенных обстоятельствах были бы получены, и этот единый концепт этого набора восприятий — это все, что нужно науке; если только вы не предпочитаете, чтобы мысль находила свое происхождение в какой-нибудь легенде о тех великих братьях-близнецах, Коке и Булле.

Моя непосредственная задача — исследовать природу структуры науки. Наука по сути логична. Связь между ее концептами — это логическая связь, а основания для ее детальных утверждений — логические основания. Король Иаков сказал: «Нет епископов — нет короля». С большей уверенностью мы можем сказать: «Нет логики — нет науки». Причина инстинктивной неприязни, которую большинство ученых испытывают к признанию этой истины, заключается, я думаю, в бесплодном провале логической теории в течение последних трех или четырех столетий. Мы можем проследить этот провал до поклонения авторитетам, которое в некоторых отношениях усилилось в ученом мире во времена Возрождения. Человечество тогда сменило авторитет, и этот факт временно подействовал как освобождение. Но главный факт, и мы можем найти жалобы на него в самом начале современного движения, заключался в установлении почтительного отношения к любому утверждению, сделанному классическим автором. Ученые стали комментаторами истин, слишком хрупких, чтобы выдержать перевод. Наука, которая колеблется забыть своих основателей, потеряна. Этому колебанию я приписываю бесплодность логики. Другая причина недоверия к логической теории и математике — вера в то, что дедуктивное рассуждение не может дать вам ничего нового. Ваши выводы содержатся в ваших посылках, которые по гипотезе вам известны.

Во-первых, это последнее осуждение логики игнорирует фрагментарный, несвязный характер человеческого знания. Знать одну посылку в понедельник, а другую во вторник бесполезно для вас в среду. Наука — это постоянная запись посылок, дедукций и выводов, проверенная на всем протяжении ее соответствием фактам. Во-вторых, неправда, что, когда мы знаем посылки, мы также знаем выводы. В арифметике, например, человечество — не мальчики-счетчики. Любая теория, доказывающая, что они сведущи в последствиях своих предположений, должна быть неверной. Мы можем представить существ, обладающих такой проницательностью. Но мы не такие существа. Оба этих ответа, я думаю, верны и уместны. Но они неудовлетворительны. Они слишком похожи на дубинки, слишком внешние. Нам нужно что-то более объясняющее ту самую реальную трудность, которую предполагает вопрос. На самом деле истинный ответ заложен в обсуждении нашей главной проблемы отношения логики к естествознанию.

Необходимо будет наметить в общих чертах некоторые релевантные особенности современной логики. Делая это, я постараюсь избежать глубоких общих дискуссий и мелких технических классификаций, которые занимают основную часть традиционной логики. Характерно для науки на ее ранних стадиях — а логика окаменела на такой стадии — быть одновременно амбициозно глубокой в своих целях и тривиальной в обращении с деталями.

Мы можем различить четыре отдела логической теории. По аналогии, которая не так уж далека, я назову эти отделы или секции арифметической секцией, алгебраической секцией, секцией теории общих функций, аналитической секцией. Я не имею в виду, что арифметика возникает в первой секции, алгебра во второй секции и так далее; но названия наводят на мысли о некоторых качествах мышления в каждой секции, которые напоминают аналогичные качества в арифметике, в алгебре, в общей теории математической функции и в математическом анализе свойств конкретных функций.

Первая секция — а именно, арифметическая стадия — имеет дело с отношениями определенных пропозиций друг к другу, точно так же, как арифметика имеет дело с определенными числами. Рассмотрим любую определенную пропозицию; назовем ее «p». Мы полагаем, что всегда есть другая пропозиция, которая является прямым противоречием «p»; назовем ее «не-p». Когда у нас есть две пропозиции, p и q, мы можем сформировать производные пропозиции из них и из их противоречий. Мы можем сказать: «По крайней мере одна из p или q истинна, а возможно, и обе». Назовем эту пропозицию «p или q». Я могу упомянуть в скобках, что один из величайших ныне живущих философов заявил, что такое использование слова «или» — а именно, «p или q» в том смысле, что либо одна, либо обе могут быть истинными, — заставляет его отчаяться в точности выражения. Мы должны встретить его гнев, который для меня непостижим.

Таким образом, мы получили четыре новые пропозиции, а именно: «p или q», «не-p или q», «p или не-q» и «не-p или не-q». Назовем их набором дизъюнктивных производных. Всего пока восемь пропозиций: p, не-p, q, не-q и четыре дизъюнктивные производные. Любая пара из этих восьми пропозиций может быть взята и подставлена вместо p и q в вышеупомянутой обработке. Таким образом, каждая пара дает восемь пропозиций, некоторые из которых могли быть получены ранее. Действуя таким образом, мы приходим к бесконечному набору пропозиций возрастающей сложности, в конечном счете производных от двух исходных пропозиций p или q. Конечно, важны лишь немногие. Аналогично мы можем начать с трех пропозиций p, q, r или с четырех пропозиций p, q, r, s и так далее. Любая из пропозиций этих совокупностей может быть истинной или ложной. У нее нет другой альтернативы. Чем бы она ни была, истиной или ложью, назовем это «истинностным значением» пропозиции.

Первая секция логического исследования заключается в том, чтобы установить, что мы знаем об истинностных значениях этих пропозиций, когда мы знаем истинностные значения некоторых из них. Исследование, насколько оно стоит того, чтобы его проводить, не очень заумно, и лучший способ выражения его результатов — это деталь, которую я сейчас не буду рассматривать. Это исследование образует арифметическую стадию.

Следующая секция логики — это алгебраическая стадия. Разница между арифметикой и алгеброй заключается в том, что в арифметике рассматриваются определенные числа, а в алгебре вводятся символы — а именно буквы, — которые обозначают любые числа. Идея числа также расширяется. Эти буквы, обозначающие любые числа, иногда называют переменными, а иногда параметрами. Их существенная характеристика заключается в том, что они неопределенны, если только алгебраические условия, которым они удовлетворяют, не определяют их неявно. Тогда их иногда называют неизвестными. Алгебраическая формула с буквами — это пустая форма. Она становится определенным арифметическим утверждением, когда вместо букв подставляются определенные числа. Важность алгебры — это дань изучению формы. Рассмотрим теперь следующую пропозицию —

Удельная теплоемкость ртути равна 0,033.

Это определенная пропозиция, которая при определенных ограничениях истинна. Но истинностное значение пропозиции нас не касается непосредственно. Вместо ртути подставим просто букву, которая является именем чего-то неопределенного: мы получим —

Удельная теплоемкость x равна 0,033.

Это не пропозиция; Рассел назвал это пропозициональной функцией. Это логическая аналогия алгебраического выражения. Запишем f(x) для любой пропозициональной функции.

Мы могли бы также обобщить еще дальше и сказать:

Удельная теплоемкость x равна y.

Таким образом, мы получаем другую пропозициональную функцию, F(x, y), от двух аргументов x и y, и так далее для любого количества аргументов.

Теперь рассмотрим f(x). Существует диапазон значений x, для которых f(x) является пропозицией, истинной или ложной. Для значений x вне этого диапазона f(x) вообще не является пропозицией и не является ни истинной, ни ложной. Она может иметь для нас расплывчатые ассоциации, но не имеет единого значения определенного утверждения. Например,

Удельная теплоемкость воды равна 0,033

это пропозиция, которая ложна; и —

Удельная теплоемкость добродетели равна 0,033

это, я полагаю, вообще не пропозиция; так что она не является ни истинной, ни ложной, хотя ее составные части вызывают различные ассоциации в нашем уме. Этот диапазон значений, для которых f(x) имеет смысл, называется «типом» аргумента x.

Но существует также диапазон значений x, для которых f(x) является истинной пропозицией. Это класс тех значений аргумента, которые удовлетворяют f(x). Этот класс может не иметь членов, или, в другой крайности, класс может быть всем типом аргументов.

Таким образом, мы мыслим две общие пропозиции относительно неопределенного числа пропозиций, которые разделяют одну и ту же логическую форму, то есть которые являются значениями одной и той же пропозициональной функции. Одна из этих пропозиций:

f(x) дает истинную пропозицию для каждого значения x соответствующего типа;

другая пропозиция:

Существует значение x, для которого f(x) истинна.

Даны две или более пропозициональные функции f(x) и ϕ(x) с одним и тем же аргументом x, мы формируем производные пропозициональные функции, а именно:

f(x) или ϕ(x), f(x) или не-ϕ(x),

и так далее с противоречиями, получая, как и на арифметической стадии, бесконечную совокупность пропозициональных функций. Также каждая пропозициональная функция дает две общие пропозиции. Теория взаимосвязи между истинностными значениями общих пропозиций, возникающих из любой такой совокупности пропозициональных функций, образует простую и элегантную главу математической логики.

В этой алгебраической секции логики возникает теория типов, как мы уже отмечали. Ею нельзя пренебрегать без внесения ошибки. Ее теория должна быть установлена по крайней мере какой-то надежной гипотезой, даже если она не доходит до философского основания вопроса. Эта часть предмета неясна и трудна и не была окончательно прояснена, хотя блестящая работа Рассела открыла этот предмет.

Последний импульс современной логике пришел от независимого открытия важности логической переменной Фреге и Пеано. Фреге пошел дальше Пеано, но из-за неудачной символики сделал свою работу настолько неясной, что никто полностью не осознал его смысл, кто не открыл его для себя сам. Но движение имеет большую историю, восходящую к Лейбницу и даже к Аристотелю. Среди английских авторов — Де Морган, Буль и сэр Альфред Кемпе; их работа первоклассная.

Третья логическая секция — это стадия теории общих функций. На логическом языке мы совершаем на этой стадии переход от интенсионала к экстенсионалу и исследуем теорию денотации. Возьмем пропозициональную функцию f(x). Существует класс, или диапазон значений для x, члены которого удовлетворяют f(x). Но тот же диапазон может быть классом, члены которого удовлетворяют другой пропозициональной функции ϕ(x). Необходимо исследовать, как обозначить класс способом, который безразличен к различным пропозициональным функциям, удовлетворяемым любым членом этого класса, и только им. Что нужно сделать, так это проанализировать природу пропозиций о классе — а именно тех пропозиций, истинностные значения которых зависят от самого класса, а не от конкретного значения, которым класс обозначен.

Более того, существуют пропозиции о предполагаемых индивидах, обозначенных описательными фразами: например, пропозиции о «нынешнем короле Англии», который существует, и «нынешнем императоре Бразилии», который не существует. Более сложные, но аналогичные вопросы, включающие пропозициональные функции двух переменных, включают понятие «корреляции», точно так же, как функции одного аргумента включают классы. Аналогично функции трех аргументов дают трехсторонние корреляции и так далее. Эта логическая секция — та, которую Рассел сделал исключительно своей благодаря работе, которая всегда должна оставаться фундаментальной. Я назвал это секцией функциональной теории, потому что ее идеи необходимы для построения логических обозначающих функций, которые включают в качестве частного случая обычные математические функции, такие как синус, логарифм и т. д. На каждой из этих трех стадий будет необходимо постепенно вводить соответствующую символику, если мы хотим перейти к четвертой стадии.

Четвертая логическая секция, аналитическая стадия, занимается исследованием свойств специальных логических конструкций, то есть классов и корреляций особого рода. Вся математика включена сюда. Так что секция большая. На самом деле, это математика, ни больше ни меньше, но она включает анализ математических идей, ранее не входивших в сферу этой науки и, по сути, вообще не рассматривавшихся. Сущность этой стадии — конструкция. Именно с помощью подходящих конструкций разрабатывается великий каркас прикладной математики, включающий теории числа, количества, времени и пространства.

Невозможно даже в кратком изложении объяснить, как математика развивается из концептов класса и корреляции, включая многосторонние корреляции, которые установлены в третьей секции. Я могу лишь сослаться на заголовки процесса, который полностью разработан в работе Principia Mathematica г-на Рассела и меня самого. В этом процессе развития есть семь специальных видов корреляций, которые представляют особый интерес. Первый вид включает корреляции «один-ко-многим», «многие-к-одному» и «один-к-одному». Второй вид включает сериальные отношения, то есть корреляции, с помощью которых члены некоторого поля располагаются в сериальном порядке, так что, в смысле, определенном отношением, любой член поля находится либо до, либо после любого другого члена. Третий класс включает индуктивные отношения, то есть корреляции, от которых зависит теория математической индукции. Четвертый класс включает селективные отношения, которые требуются для общей теории арифметических операций и в других местах. Именно в связи с такими отношениями возникает для рассмотрения знаменитая мультипликативная аксиома. Пятый класс включает векторные отношения, из которых возникает теория количества. Шестой класс включает отношения отношений, которые связывают число и количество. Седьмой класс включает трехсторонние и четырехсторонние отношения, которые встречаются в геометрии.

Простое перечисление технических названий, подобных вышеприведенным, не очень проясняет дело, хотя может помочь в понимании разграничений предмета. Пожалуйста, помните, что названия — это технические названия, несомненно, призванные наводить на мысли, но используемые в строго определенных смыслах. Мы много пострадали от критиков, которые считают достаточным критиковать нашу процедуру на скудном основании знания словарных значений таких терминов. Например, корреляция «один-к-одному» зависит от понятия класса только с одним членом, и это понятие определяется без обращения к концепту числа один. Понятие разнообразия — это все, что нужно. Таким образом, класс имеет только один член, если (1) класс значений x, который удовлетворяет пропозициональной функции,Greek letter alpha.

x не является членом ,Greek letter alpha.

не является всем типом релевантных значений x, и если (2) пропозициональная функция,

x и y являются членами , и x отличен от yGreek letter alpha.

ложна, каковы бы ни были значения x и y в релевантном типе.

Аналогичные процедуры очевидно возможны для более высоких конечных кардинальных чисел. Таким образом, шаг за шагом, весь цикл текущих математических идей способен к логическому определению. Процесс детальный и трудоемкий, и, как всякая наука, он не знает царского пути воздушных фраз. Сущность процесса заключается, во-первых, в конструировании понятия в терминах форм пропозиций, то есть в терминах релевантных пропозициональных функций, и, во-вторых, в доказательстве фундаментальных истин, которые справедливы относительно этого понятия, путем обращения к результатам, полученным в алгебраической секции логики.

Будет видно, что в этом процессе весь аппарат специальных неопределимых математических концептов и специальных априорных математических посылок относительно числа, количества и пространства исчез. Математика — это просто аппарат для анализа дедукций, которые могут быть сделаны из любых конкретных посылок, предоставленных здравым смыслом или более утонченным научным наблюдением, поскольку эти дедукции зависят от форм пропозиций. Пропозиции определенных форм постоянно встречаются в мышлении. Наша существующая математика — это анализ дедукций, которые касаются этих форм и в некотором отношении важны, либо из практической пользы, либо из теоретического интереса. Здесь я говорю о науке в том виде, в каком она фактически существует. Теоретическое определение математики должно включать в свою сферу любые дедукции, зависящие от простых форм пропозиций. Но, конечно, никто не захотел бы развивать ту часть математики, которая в каком-либо смысле не является важной.

Это поспешное резюме логических идей наводит на некоторые размышления. Возникает вопрос: сколько существует форм пропозиций? Ответ: бесконечное число. Таким образом, можно разглядеть причину предполагаемой бесплодности логической науки. Аристотель основал эту науку, задумав идею формы пропозиции и задумав дедукцию как происходящую в силу форм. Но он ограничил пропозиции четырьмя формами, ныне называемыми A, I, E, O. До тех пор, пока логики были одержимы этим неудачным ограничением, реальный прогресс был невозможен. Опять же, в своей теории формы и Аристотель, и последующие логики подошли очень близко к теории логической переменной. Но подойти очень близко к истинной теории и постичь ее точное применение — это две очень разные вещи, как учит нас история науки. Все важное было сказано раньше кем-то, кто этого не открыл.

Опять же, одна из причин, почему логические дедукции не очевидны, заключается в том, что логическая форма — это не предмет, который обычно входит в мышление. Дедукция здравого смысла, вероятно, движется слепым инстинктом от конкретной пропозиции к конкретной пропозиции, направляемая некоторой привычной ассоциацией идей. Таким образом, здравый смысл терпит неудачу в присутствии богатства материала.

Более важный вопрос — это отношение индукции, основанной на наблюдении, к дедуктивной логике. Существует традиция оппозиции между сторонниками индукции и дедукции. На мой взгляд, было бы так же разумно, если бы два конца червя ссорились. И наблюдение, и дедукция необходимы для любого знания, которое стоит иметь. Мы не можем прийти к индуктивному закону, не прибегая к пропозициональной функции. Например, возьмем утверждение наблюдаемого факта,

Это тело — ртуть, и его удельная теплоемкость равна 0,033.

Формируется пропозициональная функция,

Либо x не является ртутью, либо его удельная теплоемкость равна 0,033.

Индуктивный закон — это допущение истинности общей пропозиции о том, что вышеуказанная пропозициональная функция истинна для каждого значения x в релевантном типе.

Но возражают, что этот процесс и его последствия настолько просты, что сложная наука здесь неуместна. Точно так же британский моряк знает соленое море, когда плавает по нему. В чем тогда польза сложного химического анализа морской воды? Есть общий ответ: вы не можете знать слишком много о методах, которые вы всегда используете; и есть специальный ответ: логические формы и логические импликации не так уж просты, и вся математика является доказательством этого.

Одна из великих польз изучения логического метода заключается не в области сложной дедукции, а в том, чтобы направлять нас в изучении формирования основных концептов науки. Рассмотрим геометрию, например. Что такое точки, которые составляют пространство? Евклид говорит нам, что они без частей и без величины. Но как понятие точки выводится из чувственных восприятий, с которых начинает наука? Конечно, точки не являются непосредственными результатами чувств. Кое-где мы можем видеть или неприятно чувствовать что-то, напоминающее точку. Но это редкое явление и, конечно, не оправдывает концепцию пространства как состоящего из точек. Наше знание свойств пространства не основано на каких-либо наблюдениях отношений между точками. Оно возникает из опыта отношений между телами. Теперь фундаментальное пространственное отношение между телами заключается в том, что одно тело может быть частью другого. У нас возникает искушение определить отношение «целого и части», сказав, что точки, занимаемые частью, являются некоторыми из точек, занимаемых целым. Но поскольку «целое и часть» более фундаментальны, чем понятие «точки», это определение на самом деле является круговым и порочным.

Мы, соответственно, спрашиваем, можно ли дать какое-либо другое определение «пространственного целого и части». Я думаю, что это можно сделать таким образом, хотя, если я ошибаюсь, это несущественно для моего общего аргумента. Мы пришли к выводу, что протяженное тело есть не что иное, как класс восприятий его всеми его воспринимающими, реальными или идеальными. Конечно, это не любой класс восприятий, а определенный вид класса, который я здесь не определил, кроме как порочным методом, сказав, что они являются восприятиями тела. Теперь восприятия части тела находятся среди восприятий, которые составляют целое тело. Таким образом, два тела a и b являются классами восприятий; и b является частью a, когда класс, который есть b, содержится в классе, который есть a. Из логической формы этого определения непосредственно следует, что если b является частью a, а c является частью b, то c является частью a. Таким образом, отношение «целого к части» транзитивно. Опять же, будет удобно допустить, что тело является частью самого себя. Это просто вопрос того, как вы проводите определение. При таком понимании отношение рефлексивно. Наконец, если a является частью b, а b является частью a, то a и b должны быть идентичны. Эти свойства «целого и части» не являются новыми предположениями, они следуют из логической формы нашего определения.

Одно предположение должно быть сделано, если мы допускаем идеальную бесконечную делимость пространства. А именно, мы предполагаем, что каждый класс восприятий, который является протяженным телом, содержит другие классы восприятий, которые являются протяженными телами, отличными от него самого. Это предположение делает довольно большой запрос к теории идеальных восприятий. Геометрия исчезает, если вы не создадите ее в какой-то форме. Это предположение не является специфическим для моего изложения.

Тогда возможно определить, что мы подразумеваем под точкой. Точка — это класс протяженных объектов, которые, на обычном языке, содержат эту точку. Определение, без предположения идеи точки, довольно сложное, и у меня сейчас нет времени на его изложение.

Преимущество введения точек в геометрию заключается в простоте логического выражения их взаимных отношений. Для науки простота определения имеет небольшое значение, но простота взаимных отношений существенна. Другой пример этого закона — то, как физики и химики растворили простую идею протяженного тела, скажем, стула, которую понимает ребенок, в ошеломляющее понятие сложного танца молекул, атомов, электронов и световых волн. Они тем самым получили понятия с более простыми логическими отношениями.

Пространство, понятое таким образом, является точной формулировкой свойств кажущегося пространства мира здравого смысла опыта. Это не обязательно лучший способ понимания пространства физика. Одно существенное требование заключается в том, что соответствие между миром здравого смысла в его пространстве и миром физиков в его пространстве должно быть определенным и взаимным.

Теперь я прерву изложение функции логики в связи с наукой о природных явлениях. Я стремился показать ее как организующий принцип, анализируя выведение концептов из непосредственных явлений, исследуя структуру общих пропозиций, которые являются предполагаемыми законами природы, устанавливая их отношения друг к другу в отношении взаимных импликаций, дедуцируя явления, которые мы можем ожидать при данных обстоятельствах.

Логика, правильно используемая, не сковывает мышление. Она дает свободу и, прежде всего, смелость. Нелогичное мышление колеблется делать выводы, потому что никогда не знает ни того, что оно означает, ни того, что оно предполагает, ни того, насколько оно доверяет своим собственным предположениям, ни того, каков будет эффект любого изменения предположений. Также ум, не обученный той части конструктивной логики, которая релевантна рассматриваемому предмету, будет невежественен в отношении того, какие выводы следуют из различных видов предположений, и будет соответственно туп в угадывании индуктивных законов. Фундаментальное обучение этой релевантной логике, несомненно, заключается в том, чтобы размышлять с активным умом над известными фактами дела, непосредственно наблюдаемыми. Но там, где возможны сложные дедукции, эта ментальная активность требует для своего полного упражнения прямого изучения абстрактных логических отношений. Это прикладная математика.

Ни логика без наблюдения, ни наблюдение без логики не могут сделать ни шагу в формировании науки. Мы можем представить человечество как вовлеченное в междоусобный конфликт между юностью и старостью. Юность определяется не годами, а творческим импульсом что-то создать. Старые — это те, кто прежде всего желает не совершить ошибку. Логика — это оливковая ветвь от старых к молодым, жезл, который в руках юности обладает магическим свойством создавать науку.

СНОСКИ:

[2] Например, в 1551 году итальянскими схоластами; ср. «История Тридентского собора» Сарпи под этой датой.

ГЛАВА VII АНАТОМИЯ НЕКОТОРЫХ НАУЧНЫХ ИДЕЙ

I. Факт

Характеристика физической науки заключается в том, что она игнорирует все суждения о ценности: например, эстетические или моральные суждения. Она чисто фактична, и именно в этом смысле мы должны интерпретировать звучную фразу: «Человек — слуга и служитель Природы».

Сфера мышления, которая таким образом остается, даже тогда слишком широка для физической науки. Она включала бы онтологию, а именно определение природы того, что истинно существует; другими словами, метафизику. С абстрактной точки зрения это исключение метафизического исследования — жалость. Такое исследование является необходимой критикой ценности науки, чтобы сказать нам, к чему все это сводится. Причины ее тщательного отделения от научного мышления чисто практические; а именно, потому что мы можем договориться о науке — после надлежащих дебатов, — тогда как в отношении метафизики дебаты до сих пор подчеркивали разногласия. Эти характеристики науки и метафизики были неожиданными в ранние дни цивилизованной мысли. Греки думали, что метафизика легче физики, и стремились дедуцировать научные принципы из априорных концепций природы вещей. Они сдерживались в этой катастрофической тенденции своим ярким натурализмом, своим наслаждением непосредственным восприятием. Средневековая Европа разделяла эту тенденцию без сдерживания. Возможно, что какие-то далекие поколения могут прийти к единодушным выводам по онтологическим вопросам, тогда как научный прогресс мог привести к укоренившимся противоположным направлениям мысли, которые нельзя ни примирить, ни отбросить. В такие времена метафизика и физическая наука поменяются своими ролями. Тем временем мы должны принимать дело таким, каким мы его находим.

Но проблема остается. Как человечество может договориться о науке без предварительного определения того, что есть на самом деле? Ответ должен быть найден в анализе фактов, которые формируют поле научной деятельности. Человечество воспринимает и обнаруживает, что думает о своих восприятиях. Именно мысль имеет значение, а не тот элемент восприятия, который не является мыслью. Когда сформировано непосредственное суждение — «Эй, красное!» — не имеет значения, если мы можем вообразить, что при других обстоятельствах — возможно, при лучших обстоятельствах — суждение было бы — «Эй, синее!» — или даже — «Эй, ничего!». По всем намерениям и целям в то время оно было красным. Все остальное — гипотетическая реконструкция. Поле физической науки состоит из этих первичных мыслей и из мыслей об этих мыслях.

Но — чтобы избежать путаницы — выше в приведенном примере первичной перцептивной мысли была введена ложная простота. «Эй, красное!» — на самом деле не является первичной перцептивной мыслью, хотя часто это первая мысль, которая находит вербальное выражение, даже молча в уме. Ничто не находится в изоляции. Восприятие красного — это восприятие красного объекта в его отношениях ко всему содержанию воспринимающего сознания.

Среди наиболее легко анализируемых таких отношений — пространственные отношения. Опять же, красный объект в непосредственном восприятии есть не что иное, как красный объект. Его лучше назвать «объектом красноты». Таким образом, лучшим приближением к непосредственному перцептивному суждению является: «Эй, объект красноты там!». Но, конечно, в этой формулировке опущены другие, более сложные отношения.

Эта тенденция к ложной простоте в научном анализе, к чрезмерной абстракции, к чрезмерному универсализированию универсалий проистекает из более ранней метафизической стадии. Она возникает из неявной веры в то, что мы стремимся квалифицировать реальное соответствующими прилагательными. В соответствии с этой тенденцией мы думаем: «эта реальная вещь красная». Тогда как наша истинная цель — сделать явным наше восприятие кажущегося в терминах его отношений. То, что мы воспринимаем, — это краснота, соотнесенная с другими кажущимися вещами. Наш объект — анализ отношений.

Одна из целей науки — гармония мышления, то есть обеспечение того, чтобы суждения, которые являются логическими противоположностями, не были мыслительными выражениями сознания. Другая цель — расширение такого гармонизированного мышления.

Некоторые мысли возникают непосредственно из чувственного представления и являются частью состояния сознания, которое есть восприятие. Такая мысль: «Объект красноты там». Но в целом мысль не вербальна, а является непосредственным постижением качеств и отношений внутри содержания сознания.

Среди таких мыслей не может быть недостатка гармонии. Ибо непосредственное постижение по своей сути уникально, и невозможно постичь объект одновременно как красный и синий. Впоследствии может быть вынесено суждение, что если бы другие элементы сознания были иными, постижение было бы постижением синего объекта. Тогда — при определенных обстоятельствах — первоначальное постижение будет названо ошибкой. Но при всем этом факт остается фактом: было постижение красного объекта.

Когда мы говорим о чувственном представлении, мы имеем в виду эти первичные мысли, существенно вовлеченные в его восприятие. Но есть мысли о мыслях и мысли, производные от других мыслей. Это вторичные мысли. В этот момент хорошо явно различать актуальное мыслительное выражение, а именно суждение, фактически сделанное, и простую пропозицию, которая является гипотетическим мыслительным выражением, а именно воображаемой возможностью мыслительного выражения. Заметьте, что актуальное полное мыслительное содержание сознания явно не утверждается и не отрицается. Это просто то, что мыслится. Таким образом, думать «дважды два — четыре» отличается от утверждения, что дважды два — четыре. В первом случае пропозиция является мыслительным выражением, во втором случае утверждение пропозиции является мыслительным выражением, а пропозиция была деградирована до простой пропозиции, а именно до гипотетического мыслительного выражения, которое осмысливается.

Иногда проводится различие между фактами и мыслями. Насколько касается физической науки, факты — это мысли, а мысли — это факты. А именно, факты чувственного представления, поскольку они влияют на науку, — это те элементы в непосредственных постижениях, которые являются мыслями. Также актуальные мыслительные выражения, первичные или вторичные, являются материальными фактами, которые интерпретирует наука.

Различие, что факты даны, а мысли свободны, не является абсолютным. Мы можем выбирать и модифицировать наше чувственное представление, так что факты — в более узком смысле непосредственного постижения чувственного представления — до некоторой степени подвержены воле. Опять же, наш поток мыслительного выражения лишь частично модифицируется явной волей. Мы можем выбирать наш физический опыт, и мы обнаруживаем, что думаем; а именно, с одной стороны, есть выбор среди доминирующей необходимости чувств, а с другой стороны, мыслительное содержание сознания (поскольку это касается вторичных мыслей) не полностью конституируется выбором воли.

Таким образом, в целом существует большая первичная область вторичной мысли, так же как и первичных мыслей чувственного представления, которая дана по типу. Это то, как мы думаем о вещах, не полностью из какой-либо абстрактной необходимости, насколько нам известно, а потому, что мы унаследовали этот метод от среды. Это то, как мы обнаруживаем, что думаем, способ, который может быть фундаментально отброшен только огромным усилием, и то лишь на изолированные короткие периоды времени. Это то, что я назвал «всем аппаратом мышления здравого смысла».

Именно этот корпус мысли предполагается в науке. Это скорее способ мышления, чем набор аксиом. Это, по сути, набор концептов, которые здравый смысл нашел полезными при сортировке человеческого опыта. Он модифицируется в деталях, но принимается в целом. Объяснения науки направлены на поиск концепций и пропозиций относительно природы, которые объясняют важность этих понятий здравого смысла. Например, стул — это понятие здравого смысла, молекулы и электроны объясняют наше видение стульев.

Теперь наука стремится гармонизировать наши рефлексивные и производные мысли с первичными мыслями, вовлеченными в непосредственное постижение чувственного представления. Она также стремится к созданию таких производных мыслей, логически связанных вместе. Это научная теория; и гармония, которая должна быть достигнута, — это согласие теории с наблюдением, которое есть постижение чувственного представления.

Таким образом, существует двоякая научная цель: (1) создание теории, которая согласуется с опытом; и (2) объяснение понятий природы здравого смысла, по крайней мере в их основных чертах. Это объяснение состоит в сохранении концептов в научной теории гармонизированного мышления.

Не утверждается, что это то, чего ученые в прошлом намеревались достичь или думали, что могут достичь. Это предлагается как фактический результат научных усилий, насколько эти усилия имели какую-либо меру успеха. Короче говоря, мы здесь обсуждаем естественную историю идей, а не волеизъявления ученых.

II. Объекты

Мы воспринимаем вещи в пространстве. Например, среди таких вещей — собаки, стулья, занавески, капли воды, порывы воздуха, пламя, радуги, звон колоколов, запахи, боли и страдания. Существует научное объяснение происхождения этих восприятий. Это объяснение дается в терминах молекул, атомов, электронов и их взаимных отношений, в частности их пространственных отношений, и волн возмущения этих пространственных отношений, которые распространяются через пространство. Первичные элементы научного объяснения — молекулы и т. д. — не являются вещами, непосредственно воспринимаемыми. Например, мы не воспринимаем волну света; ощущение зрения — это результирующий эффект воздействия миллионов таких волн в течение промежутка времени. Таким образом, объект, непосредственно воспринимаемый, соответствует ряду событий в физическом мире, событий, которые продлены в течение промежутка времени. Также неверно, что воспринимаемый объект всегда соответствует одной и той же группе молекул. Через несколько лет мы узнаем ту же кошку, но мы тем самым соотнесены с другими молекулами.

Опять же, пренебрегая на мгновение научным объяснением, воспринимаемый объект в значительной степени является предположением нашего воображения. Когда мы узнали кошку, мы также узнали, что она рада нас видеть. Но мы просто слышали ее мяуканье, видели, как она выгибает спину, и чувствовали, как она трется о нас. Мы должны, следовательно, различать многие прямые объекты чувств и единственный косвенный объект мысли, которым является кошка.

Таким образом, когда мы говорим, что мы восприняли кошку и поняли ее чувства, мы имеем в виду, что мы услышали чувственный объект звука, что мы увидели чувственный объект зрения, что мы почувствовали чувственный объект осязания и что мы подумали о кошке и вообразили ее чувства.

Чувственные объекты коррелируют временными и пространственными отношениями. Три одновременных чувственных объекта, которые также пространственно совпадают, объединяются мыслью в восприятие одной кошки. Такое объединение чувственных объектов — это инстинктивное непосредственное суждение, в целом без усилия рассуждения. Иногда присутствует только один чувственный объект. Например, мы слышим мяуканье и говорим, что в комнате должна быть кошка. Переход от чувственного объекта к кошке был тогда сделан путем преднамеренного рассуждения. Даже совпадение чувственных объектов может спровоцировать такое самосознательное усилие. Например, в темноте мы чувствуем что-то и слышим мяуканье из того же места и думаем: «Конечно, это кошка». Зрение более смелое; когда мы видим кошку, мы не думаем дальше. Мы идентифицируем зрение с кошкой, тогда как кошка и мяуканье разделены. Но такая непосредственная идентификация объекта зрения и объекта мысли может привести к ошибке; птицы клевали виноград Апеллеса.

Одиночный чувственный объект — это сложная сущность. Объект зрения плитки на очаге может оставаться неизменным, когда мы наблюдаем его при устойчивом свете, оставаясь сами неизменными в положении. Даже тогда он продлен во времени и имеет части в пространстве. Также он несколько произвольно отличается от большего целого, частью которого он является. Но сверкающий свет огня и изменение нашего положения изменяют объект зрения. Мы судим, что объект мысли плитки остается неизменным. Объект зрения угля в огне постепенно модифицируется, хотя в течение коротких интервалов он остается неизменным. Мы судим, что объект мысли угля меняется. Пламя никогда не бывает тем же самым, и его форма лишь смутно различима.

Мы заключаем, что одиночный самоидентичный объект зрения — это уже фантазия мысли. Рассмотрим неизменный объект зрения плитки, пока мы остаемся неподвижными при устойчивом свете. Теперь чувственный объект, воспринятый в одно время, — это объект, отличный от чувственного объекта, увиденного в другое время. Таким образом, вид плитки в полдень отличается от ее вида в 12:30. Но нет такой вещи, как чувственный объект в момент времени. Пока мы смотрим на плитку, минута, или секунда, или десятая доля секунды пролетели: по сути, есть длительность. Есть поток зрения, и мы можем различить его части. Но части также являются потоками, и только в мысли поток разделяется на последовательность элементов. Поток может быть «устойчивым», как в случае с неизменной плиткой зрения, или может быть «турбулентным», как в случае со сверкающим пламенем зрения. В любом случае объект зрения — это какая-то произвольно малая часть потока.

Более того, поток, образующий последовательность визуальных плиток, является лишь различимой частью общего потока чувственного представления.

Итак, в конечном счете мы представляем себе, что каждый из нас переживает полный временной поток (или поток) чувственного представления. Этот поток можно разделить на части. Основаниями для различения служат различия в чувствах — включая в этот термин различия типов чувств, а также различия в качестве и интенсивности внутри одного и того же типа чувств, — а также различия во временных и пространственных отношениях. Кроме того, эти части не являются взаимоисключающими и существуют в безграничном разнообразии.

Временное отношение между частями поднимает вопросы памяти и узнавания — темы, слишком сложные для обсуждения здесь. Необходимо сделать одно замечание. Если признать, как было сказано выше, что мы живем в длительностях, а не в мгновениях, а именно, что настоящее по существу занимает отрезок времени, то различие между памятью и непосредственным представлением не может быть вполне фундаментальным; ибо с нами всегда присутствует угасающее настоящее, становящееся непосредственным прошлым. Эта область нашего сознания не является ни чистой памятью, ни чистым непосредственным представлением. Как бы то ни было, память — это также представление в сознании.

В связи с памятью следует отметить еще один момент. Не существует непосредственно воспринимаемого временного отношения между настоящим событием и прошлым событием. Настоящее событие соотносится только с памятью о прошлом событии. Но память о прошлом событии сама по себе является настоящим элементом сознания. Мы утверждаем принцип, согласно которому непосредственно воспринимаемые отношения могут существовать только между элементами сознания, находящимися в том настоящем, во время которого происходит восприятие. Все остальные отношения между элементами восприятия являются инференциальными конструкциями. Таким образом, становится необходимым объяснить, как временной поток событий устанавливается в мышлении и как кажущийся мир не схлопывается в одно единственное настоящее. Решение этой трудности достигается путем наблюдения, что настоящее само по себе является длительностью и поэтому включает в себя непосредственно воспринимаемые временные отношения между содержащимися в нем событиями. Другими словами, мы ставим настоящее на один уровень с прошлым и будущим в отношении включения в него предшествующих и последующих событий, так что прошлое, настоящее и будущее в этом отношении являются в точности аналогичными идеями. Таким образом, будут существовать два события a и b, оба в одном и том же настоящем, но событие a будет непосредственно восприниматься как предшествующее событию b. Далее время течет, и событие a уходит в прошлое, а в новой настоящей длительности происходят события b и c, причем событие b предшествует событию c; также в той же настоящей длительности присутствует память о временном отношении между a и b. Затем посредством инференциальной конструкции событие a в прошлом предшествует событию c в настоящем. Действуя согласно этому принципу, устанавливаются временные отношения между элементами сознания, находящимися не в одном и том же настоящем. Описанный здесь метод процедуры является первым примером того, что мы назовем Принципом Агрегации. Это один из фундаментальных принципов ментальной конструкции, согласно которому строится наше представление о внешнем физическом мире. Другие примеры будут встречены позже.

Пространственные отношения между частями запутанны и изменчивы, и в целом им не хватает определенной точности. Главный ключ, с помощью которого мы ограничиваем наше внимание такими частями, которые обладают взаимными отношениями, достаточно простыми для рассмотрения нашим интеллектом, — это принцип сходимости к простоте при уменьшении протяженности. Мы назовем его «принципом сходимости». Этот принцип распространяется на всю область чувственного представления.

Первое применение этого принципа относится ко времени. Чем короче отрезок времени, тем проще аспекты чувственного представления, содержащиеся в нем. Запутывающие эффекты изменений уменьшаются и во многих случаях могут быть проигнорированы. Природа ограничила акты мышления, которые стремятся осознать содержание настоящего, отрезками времени, достаточно короткими, чтобы обеспечить эту статическую простоту на большей части потока чувств.

Пространственные отношения упрощаются в рамках приблизительно статического мира чувств короткого времени. Дальнейшее упрощение достигается путем разделения этого статического мира на части с ограниченным пространственным содержанием. Полученные таким образом различные части имеют более простые взаимные пространственные отношения, и здесь снова действует принцип сходимости.

Наконец, последняя простота достигается путем разделения частей, уже ограниченных в пространстве и времени, на дальнейшие части, характеризующиеся однородностью по типу чувства, а также однородностью по качеству и интенсивности чувства. Эти три процесса ограничения дают, в конечном счете, чувственные объекты, о которых упоминалось выше. Таким образом, чувственный объект является результатом активного процесса различения, совершаемого в силу принципа сходимости. Это результат поиска простоты отношений внутри полного потока чувственного представления.

Мыслительные объекты восприятия являются примерами фундаментального закона природы — закона объективной стабильности. Это закон когерентности чувственных объектов. Этот закон стабильности имеет применение ко времени и пространству; также он должен применяться в сочетании с тем другим законом, принципом сходимости к простоте, из которого выводятся чувственные объекты.

Некоторые составные частичные потоки чувственного представления могут быть выделены по следующим характеристикам: (1) временная последовательность чувственных объектов, принадлежащих к одному чувству, вовлеченная в любой такой составной частичный поток, состоит из очень похожих объектов, чьи модификации увеличиваются лишь постепенно, и, таким образом, образует однородный компонентный поток внутри составного потока; (2) пространственные отношения тех чувственных объектов (различных чувств) такого составного потока, которые ограничены любым достаточно коротким временем, идентичны, насколько они определенно постигаются, и, таким образом, эти различные компонентные потоки, каждый из которых однороден, «сцепляются», образуя весь составной частичный поток; (3) существуют другие чувственные представления, возникающие в ассоциации с этим составным частичным потоком, которые могут быть определены правилами, выведенными из аналогичных составных частичных потоков с другими пространственными и временными отношениями, при условии, что аналогия достаточно близка. Назовем их «ассоциированными чувственными представлениями». Частичный поток такого рода, рассматриваемый как целое, здесь называется «первым грубым мыслительным объектом восприятия».

Например, мы смотрим на апельсин в течение полуминуты, берем его в руки, нюхаем, отмечаем его положение в корзине для фруктов, а затем отворачиваемся. Поток чувственного представления апельсина в течение этой полуминуты является первым грубым мыслительным объектом восприятия. Среди ассоциированных чувственных представлений есть представления о корзине для фруктов, которую мы представляем себе поддерживающей апельсин.

Существенным основанием ассоциации чувственных объектов различных типов, воспринимаемых в течение одной короткой длительности, в первый грубый мыслительный объект восприятия является совпадение их пространственных отношений, то есть, в общем, приблизительное совпадение таких отношений, возможно, лишь смутно постигаемых. Таким образом, совпадающие пространственные отношения объединяют чувственные объекты в первый грубый мыслительный объект, а различные пространственные отношения разъединяют чувственные объекты, препятствуя их агрегации в первый грубый мыслительный объект. В отношении некоторых групп чувственных объектов ассоциация может быть непосредственным суждением, лишенным всякого вывода, так что первичное перцептивное мышление есть мышление о первом грубом мыслительном объекте, а отдельные чувственные объекты являются результатом рефлексивного анализа, действующего на память. Например, чувственные объекты зрения и чувственные объекты осязания часто таким образом первично ассоциируются и лишь вторично диссоциируются в мышлении. Но иногда ассоциация колеблющаяся и неопределенная, например, между звуковым объектом мяуканья кошки и зрительным объектом кошки. Таким образом, подытоживая, частичный поток чувственных восприятий сливается в тот первый грубый мыслительный объект восприятия, который является мгновенной кошкой, потому что чувственные восприятия, принадлежащие этому потоку, находятся в одном и том же месте, но в равной степени было бы верно сказать, что они находятся в одном и том же месте, потому что они принадлежат одной и той же мгновенной кошке. Этот анализ полного потока чувственного представления в любой малой настоящей длительности на множество первых грубых мыслительных объектов лишь частично соответствует фактам; по одной из причин, потому что многие чувственные объекты, такие как звук, например, имеют смутные и неопределенные пространственные отношения, например, смутно те пространственные отношения, которые мы ассоциируем с нашими органами чувств, а также смутно те, которые относятся к источнику, из которого (в научном объяснении) они исходят.

Процедура, посредством которой апельсин полуминуты разрабатывается в апельсин в обычном смысле этого термина, включает в дополнение два принципа: агрегации и гипотетического чувственного представления.

Принцип агрегации, как он здесь используется, принимает форму, согласно которой многие различные первые грубые мыслительные объекты восприятия мыслятся как один мыслительный объект восприятия, если многие частичные потоки, образующие эти объекты, достаточно аналогичны, если времена их возникновения различны и если ассоциированные чувственные представления достаточно аналогичны.

Например, оставив апельсин, через пять минут мы возвращаемся. Перед нами предстает новый первый грубый мыслительный объект восприятия, неотличимый от полуминутного апельсина, который мы переживали ранее; он находится в той же корзине для фруктов. Мы агрегируем два представления апельсина в один и тот же апельсин. Посредством таких агрегаций мы получаем «вторые грубые мыслительные объекты восприятия». Но как бы далеко мы ни продвинулись с агрегацией такого типа, апельсин — это нечто большее. Например, что мы имеем в виду, когда говорим: «Апельсин в шкафу, если Том его не съел»?

Мир настоящего факта — это нечто большее, чем поток чувственного представления. Мы обнаруживаем в себе эмоции, волевые акты, воображение, концепции и суждения. Ни один фактор, входящий в сознание, не является сам по себе или даже не может существовать в изоляции. Мы анализируем определенные отношения между чувственным представлением и другими факторами сознания. До сих пор мы принимали во внимание только факторы концепции и суждения. Воображение необходимо для завершения апельсина, а именно воображение гипотетических чувственных представлений. Не имеет смысла спорить о том, должны ли мы иметь такие воображения, или обсуждать, каковы метафизические истины относительно реальности, которым они соответствуют. Мы здесь озабочены только тем фактом, что такие воображения существуют и существенно входят в формирование концепций мыслительных объектов восприятия, которые являются первыми данными науки. Мы мыслим апельсин как постоянную совокупность чувственных представлений, существующих так, как если бы они были актуальным элементом нашего сознания, чем они не являются. Таким образом, апельсин мыслится как находящийся в шкафу со своей формой, запахом, цветом и другими качествами. А именно, мы воображаем гипотетические возможности чувственного представления и мыслим их отсутствие актуальности в нашем сознании как несущественное для их существования в факте. Факт, который существенен для науки, — это наша концепция; его значение в отношении метафизики реальности не имеет научного значения, насколько это касается физической науки.

Апельсин, завершенный таким образом, является мыслительным объектом восприятия.

Следует помнить, что суждения и концепции, возникающие при формировании мыслительных объектов восприятия, в основном являются инстинктивными суждениями и инстинктивными концепциями, а не концепциями и суждениями, сознательно искомыми и сознательно критикуемыми перед принятием. Их принятие облегчается и переплетается с ожиданием будущего, в котором гипотетическое переходит в актуальное, а также с дальнейшим суждением о существовании других сознаний, так что многое, что является гипотетическим для одного сознания, судится как актуальное для других.

Мыслительный объект восприятия — это, по сути, устройство, позволяющее сделать понятными для нашего рефлексивного сознания отношения, которые имеют место внутри полного потока чувственного представления. Относительно полезности этого оружия не может быть никаких сомнений; это скала, на которой воздвигнута вся структура здравого смысла. Но когда мы рассматриваем пределы его применения, свидетельства оказываются запутанными. Большая часть нашего чувственного представления может быть истолкована как восприятие различных устойчивых мыслительных объектов. Но едва ли в какое-либо время чувственные представления могут быть истолкованы полностью таким образом. Зрительные образы легко поддаются такой конструкции, но зрение может быть сбито с толку: например, рассмотрим отражения в зеркалах, кажущиеся изогнутыми палки, наполовину погруженные в воду, радуги, яркие пятна света, которые скрывают объект, от которого они исходят, и многие аналогичные явления. Со звуком сложнее; он имеет тенденцию в значительной степени высвобождаться из любого такого объекта. Например, мы видим колокол, но слышим звук, который исходит от колокола; однако мы также говорим, что слышим колокол. Опять же, зубная боль в значительной степени сама по себе и лишь косвенно является восприятием нерва зуба. Иллюстрации того же эффекта могут быть накоплены для каждого типа ощущения.

Другая трудность возникает из факта изменения. Мыслительный объект мыслится как одна вещь, полностью актуальная в каждый момент. Но с тех пор, как мясо было куплено, оно было приготовлено, трава растет, а затем увядает, уголь горит в огне, пирамиды Египта остаются неизменными веками, но даже пирамиды не полностью неизменны. Трудность изменения просто обходится путем прикрепления технического латинского названия к предполагаемой логической ошибке. Небольшое приготовление оставляет мясо тем же объектом, но два дня в духовке сжигают его дотла. Когда мясо перестает быть? Теперь главное использование мыслительного объекта — это концепция его как одной вещи, здесь и сейчас, которая позже может быть узнана, там и тогда. Эта концепция достаточно хорошо применяется к большинству вещей на короткое время и ко многим вещам на долгое время. Но чувственное представление в целом полностью отказывается терпеть эту концепцию.

Мы подошли к рефлексивной области объяснения, которой является наука.

Большая часть трудности сразу устраняется применением принципа сходимости к простоте. Мы привычно делаем наши мыслительные объекты слишком большими; нам следует мыслить меньшими частями. Например, Сфинкс изменился из-за того, что его нос откололся, но при надлежащем исследовании мы могли бы найти недостающую часть в каком-нибудь частном доме Западной Европы или Северной Америки. Таким образом, любая часть, остальная часть Сфинкса или осколок, восстанавливает свою постоянность. Более того, мы расширяем это объяснение, представляя части настолько малыми, что их можно наблюдать только при самых благоприятных обстоятельствах. Это широкое расширение принципа сходимости в его применении к природе; но это принцип, который в полной мере подтверждается историей точного наблюдения.

Таким образом, изменение в мыслительных объектах восприятия в значительной степени объясняется как распад на меньшие части, которые сами являются мыслительными объектами восприятия. Мыслительные объекты восприятия, которые предполагаются в обычном мышлении цивилизованных существ, почти полностью гипотетичны. Материальная вселенная в значительной степени является концепцией воображения, которая покоится на тонком основании непосредственного чувственного представления. Но тем не менее это факт; ибо это факт, что на самом деле мы воображаем ее. Таким образом, она актуальна в нашем сознании точно так же, как чувственное представление также актуально там. Усилие рефлексивной критики состоит в том, чтобы заставить эти два фактора в нашем сознании согласиться там, где они связаны, а именно, истолковать наше чувственное представление как актуальную реализацию гипотетических мыслительных объектов восприятия.

Массовое использование чисто гипотетических мыслительных объектов восприятия позволяет науке объяснить некоторые из случайных чувственных объектов, которые не могут быть истолкованы как восприятия мыслительного объекта восприятия: например, звуки. Но явления в целом не поддаются объяснению на этих путях, пока не будет сделан дальнейший фундаментальный шаг, который преобразует всю концепцию материальной вселенной. А именно, мыслительный объект восприятия вытесняется мыслительным объектом науки.

Мыслительные объекты науки — это молекулы, атомы и электроны. Особенность этих объектов в том, что они сбросили все качества, которые способны к непосредственному чувственному представлению в сознании. Они известны нам только по их ассоциированным явлениям, а именно, ряды событий, в которых они замешаны, представлены в нашем сознании чувственными представлениями. Таким образом, мыслительные объекты науки мыслятся как причины чувственного представления. Переход от мыслительных объектов восприятия к мыслительным объектам науки пристойно завуалирован сложной теорией относительно первичных и вторичных качеств тел.

Это устройство, посредством которого чувственные представления репрезентируются в мышлении как наше восприятие событий, в которых замешаны мыслительные объекты науки, является фундаментальным средством, с помощью которого формируется мост между текучей смутностью чувств и точным определением мышления. В мышлении пропозиция либо истинна, либо ложна, сущность в точности такова, какова она есть, и отношения между сущностями выразимы (в идее) определенными пропозициями о четко мыслимых сущностях. Чувственное восприятие не знает ничего из этого, кроме как из вежливости. Точность по существу рушится на некотором этапе исследования.

III. Время и пространство

Рекапитуляция. — Отношения времени и отношения пространства имеют место между чувственными объектами восприятия. Эти чувственные объекты различаются как отдельные объекты посредством распознавания либо (1) различий чувственного содержания, либо (2) временных отношений между ними, отличных от одновременности, либо (3) пространственных отношений между ними, отличных от совпадения. Таким образом, чувственные объекты возникают из распознавания контраста внутри полного потока чувственного представления, а именно, из распознавания объектов как связанных терминов, посредством отношений, которые противопоставляют их. Различия чувственного содержания бесконечно сложны в своем разнообразии. Их анализ под рубрикой общих идей — это бесконечная задача физической науки. Временные отношения и пространственные отношения сравнительно просты, и общие идеи, согласно которым должен протекать их анализ, очевидны.

Эта простота времени и пространства, возможно, является причиной, по которой мышление выбирает их в качестве постоянного основания для объективного различения, сваливая различные чувственные объекты, полученные таким образом, в одну кучу, как первый грубый мыслительный объект восприятия, и оттуда, как описано выше, получая мыслительный объект восприятия. Таким образом, мыслительный объект восприятия, мыслимый как находящийся в настоящем короткой длительности, является первым грубым мыслительным объектом восприятия, либо актуальным, либо гипотетическим. Такой мыслительный объект восприятия, ограниченный короткой длительностью, принимает пространственные отношения своих компонентных чувственных объектов внутри той же самой длительности. Соответственно, мыслительные объекты восприятия, мыслимые во всей своей протяженности, имеют друг к другу временные отношения своих полных существований, а внутри любой малой длительности имеют друг к другу пространственные отношения своих компонентных чувственных объектов, которые лежат внутри этой длительности.

Отношения связывают вместе: таким образом, мыслительные объекты восприятия связаны во времени и в пространстве. Генезис объективного анализа чувственного представления — это распознавание чувственных объектов как отдельных терминов во временных и пространственных отношениях: таким образом, мыслительные объекты восприятия разделены временем и пространством.

Целое и часть. — Чувственный объект является частью полного потока представления. Эта концепция бытия частью — лишь констатация отношения чувственного объекта к полному чувственному представлению для этого сознания. Также чувственный объект может быть частью другого чувственного объекта. Он может быть частью двумя способами, а именно, частью во времени и частью в пространстве. Кажется вероятным, что обе эти концепции временной части и пространственной части являются фундаментальными; то есть, являются концепциями, выражающими отношения, которые непосредственно представлены нам, а не концепциями о концепциях. В этом случае никакое дальнейшее определение актуального представления невозможно. Может быть, тогда возможно определить адекватный критерий возникновения такого представления. Например, принимая на момент реалистическую метафизику относительно существования физического мира молекул и электронов, видение стула, происходящее для некоторого определенного лица в некоторое определенное время, по существу неопределимо. Это его видение, хотя каждый из нас догадывается, что оно должно быть необычайно похоже на наше видение при аналогичных обстоятельствах. Но существование определимых молекул и световых волн в определенных определимых отношениях к его телесным органам чувств, при том что его тело также находится в определенном определимом состоянии, формирует адекватный критерий возникновения видения, критерий, который принимается в судах и для физической науки молчаливо подставляется вместо видения.

Связь между отношениями «целое и часть» и «все и некоторые» интимна. Ее можно объяснить следующим образом, насколько это касается непосредственно представленных чувственных объектов. Назовем два чувственных объекта «разделенными», если нет третьего чувственного объекта, который является частью обоих из них. Тогда объект A состоит из двух объектов B и C, если (1) B и C оба являются частями A, (2) B и C разделены, и (3) нет части A, которая была бы отделена как от B, так и от C. В таком случае класс, который состоит из двух объектов B и C, часто подставляется в мышлении вместо чувственного объекта A. Но этот процесс предполагает фундаментальное отношение «целое и часть». Наоборот, объекты B и C могут быть актуальными чувственными объектами, но чувственный объект A, который соответствует классу, может оставаться гипотетическим. Например, круглый мир, на котором мы живем, остается концепцией, не соответствующей ни одному чувственному объекту, представленному в какое-либо время в сознании любого человека.Greek letter alpha.Greek letter alpha.

Возможно, однако, что может быть найден некоторый способ осмысления отношения целого и части между протяженными объектами как отношения «все и некоторые» логических классов. Но в этом случае протяженные объекты, как они здесь мыслятся, не могут быть истинными чувственными объектами, которые присутствуют в сознании. Ибо, как здесь мыслится, часть чувственного объекта — это другой чувственный объект того же типа; и поэтому один чувственный объект не может быть классом других чувственных объектов, точно так же, как чайная ложка не может быть классом других чайных ложек. Обычный способ в мышлении, которым целое и часть сводится к «все и некоторые», — это устройство точек, а именно, часть объекта занимает некоторые из точек, занятых целым объектом. Если кто-либо считает, что в его сознании чувственное представление является представлением точечных объектов, и что протяженный объект — это лишь класс таких точечных объектов, собранных вместе в мышлении, тогда этот обычный метод полностью удовлетворителен. Мы будем исходить из предположения, что эта концепция непосредственно воспринимаемых точечных объектов не имеет отношения к фактам.

В предыдущем обращении «Организация мышления» предлагается другой способ. Но этот метод применим только к мыслительному объекту восприятия и не имеет отношения к первичным чувственным объектам, рассматриваемым здесь. Соответственно, он должен считаться подчиненным устройством для более поздней стадии мышления.

Таким образом, точечный объект во времени и точечный объект в пространстве, и двойной точечный объект как во времени, так и в пространстве, должны мыслиться как интеллектуальные конструкции. Фундаментальным фактом является чувственный объект, протяженный как во времени, так и в пространстве, с фундаментальным отношением целого к части к другим таким объектам, и подчиненный закону сходимости к простоте, по мере того как мы продвигаемся в мышлении через ряд последовательно содержащихся частей.

Отношение целого к части — это временное или пространственное отношение, и поэтому оно является прежде всего отношением, имеющим место между чувственными объектами восприятия, и лишь производно приписывается мыслительным объектам восприятия, компонентами которых они являются. Более общо, пространственные и временные отношения имеют место прежде всего между чувственными объектами восприятия и производно между мыслительными объектами восприятия.

Определение точек. — Генезис точек времени и пространства теперь может быть изучен. Мы должны различать (1) чувственное время и чувственное пространство, и (2) мыслительное время восприятия и мыслительное пространство восприятия.

Чувственное время и чувственное пространство — это актуально наблюдаемые временные отношения и пространственные отношения между чувственными объектами. Чувственное время и чувственное пространство не имеют точек, за исключением, возможно, нескольких редких случаев, достаточных, чтобы предложить логическую идею; также чувственное время и чувственное пространство прерывисты и фрагментарны.

Мыслительное время восприятия и мыслительное пространство восприятия — это временные и пространственные отношения, которые имеют место между мыслительными объектами восприятия. Мыслительное время восприятия и мыслительное пространство восприятия каждое непрерывно. Под «непрерывным» здесь подразумевается, что все мыслительные объекты восприятия имеют друг к другу временное (или пространственное) отношение.

Происхождение точек — это усилие в полной мере воспользоваться принципом сходимости к простоте. Поскольку этот принцип не применяется, точка — это лишь громоздкий способ направления внимания на набор отношений между определенным набором мыслительных объектов восприятия, который набор отношений, хотя и актуален, насколько актуален мыслительный объект, является (при этом предположении) не особо важным. Таким образом, доказанная важность в физической науке концепций точек во времени и точек в пространстве — это дань широкой применимости этого принципа сходимости.

Евклид определяет точку как не имеющую частей и величины. В современном языке точка часто описывается как идеальный предел путем бесконечного продолжения процесса уменьшения объема (или площади). Точки, мыслимые таким образом, часто называют удобными фикциями. Этот язык двусмыслен. Что имеется в виду под фикцией? Если это означает концепцию, которая не соответствует никакому факту, есть некоторая трудность в понимании того, как она может быть полезна в физической науке. Например, фикция красного человека в зеленом пальто, обитающего на Луне, никогда не может быть хоть сколько-нибудь полезна для науки, просто потому что — как мы можем предположить — она не соответствует никакому факту. Называя концепцию точек удобной фикцией, должно подразумеваться, что концепция действительно соответствует некоторым важным фактам. Тогда необходимо, вместо такой смутной аллюзивности, объяснить в точности, каковы факты, которым соответствует концепция.

Нам не сильно помогает объяснение, что точка — это идеальный предел. Что такое предел? Идея предела имеет точное значение в теории рядов и в теории значений функций; но ни одно из этих значений здесь не применимо. Можно заметить, что до того, как обычные математические значения предела получили точное объяснение, идея точки как предела могла рассматриваться как один из других примеров идеи, постигаемой только прямой интуицией. Этот взгляд сейчас для нас не открыт. Таким образом, снова мы сталкиваемся с вопросом: каковы точные свойства, подразумеваемые, когда точка описывается как идеальный предел? Обсуждение, которое следует далее, — это попытка выразить концепцию точки в терминах мыслительных объектов восприятия, связанных вместе отношением целого и части, рассматриваемым либо как временное отношение, либо как пространственное отношение. Если так предпочтительнее, можно считать, что обсуждение направлено на точное прояснение термина «идеальный предел», как он часто используется в этой связи.

Последующие объяснения могут быть сделаны более легкими для следования с помощью небольшого символизма: Пусть aEb означает, что «b является частью a». Нам не нужно решать, говорим ли мы о временных частях или пространственных частях, но какой бы выбор ни предполагался, он должен мыслиться как соблюдаемый на протяжении любого связанного обсуждения. Символ E можно считать начальной буквой «encloses» (включает), поэтому мы читаем «aEb» как «a включает b». Опять же, «поле E» — это набор вещей, которые либо включают, либо включены, т. е. все «a», которые таковы, что можно найти x, так что либо aEx, либо xEa. Член поля E называется «объектом включения».

Теперь мы предполагаем, что это отношение целого к части, которое в будущем мы будем называть «включением», всегда удовлетворяет условиям, в которых отношение E является (1) транзитивным, (2) асимметричным и (3) с доменом, включающим его обратный домен.

Эти четыре условия заслуживают некоторого рассмотрения; только первые два из них воплощают гипотезы, которые жизненно входят в рассуждение.

Условие (1) может быть сформулировано как условие, что aEb и bEc всегда подразумевает aEc. Факт, что можно найти сущность b, такую что aEb и bEc, может мыслиться как отношение между a и c. Естественно писать E2 для этого отношения. Таким образом, условие теперь записывается: Если aE2c, то aEc. Это может быть еще иначе выражено, сказав, что отношение E2 подразумевает, всякий раз, когда оно имеет место, что отношение E также имеет место.

Условие (2) частично является лишь вопросом тривиального определения, а частично — существенным допущением. Асимметричное отношение (E) таково, что aEb и bEa никогда не могут иметь место одновременно. Это свойство распадается на две части: (1) что никакой случай aEb и bEa и «a отлично от b» не может произойти, и (2) что aEa не может произойти. Первая часть — это существенное допущение, вторая часть (насколько мы обеспокоены) сводится к тривиальной конвенции, что мы не будем рассматривать объект как часть самого себя, а ограничим внимание «собственными частями».

Условие (3) означает, что aEb всегда подразумевает, что можно найти c, такое что bEc. Это условие, взятое в сочетании с фактом, что мы рассматриваем только собственные части, является утверждением принципа бесконечной делимости протяженных объектов, как в пространстве, так и во времени.

Неделимая часть будет лишена длительности во времени и протяженности в пространстве и, таким образом, является сущностью существенно иного характера, чем делимая часть. Если мы признаем такие неделимые как единственные истинные чувственные объекты, наша последующая процедура является ненужной разработкой.

Будет обнаружено, что четвертое условие необходимо из-за логических трудностей, связанных с теорией бесконечного числа выборов. Нам не будет необходимо входить далее в этот вопрос, который включает трудные соображения абстрактной логики. Результат таков, что, помимо гипотезы, мы не можем доказать существование множеств, каждое из которых содержит бесконечное число объектов, которые здесь называются точками, как будет объяснено немедленно.

Теперь рассмотрим набор объектов включения, который таков, что (1) из любых двух его членов один включает другой, и (2) нет члена, который был бы включен всеми остальными, и (3) нет объекта включения, не являющегося членом набора, который был бы включен каждым членом набора. Назовем такой набор «сходящимся множеством объектов включения». По мере того как мы проходим вдоль ряда от больших к меньшим членам, очевидно, мы сходимся к идеальной простоте до любой степени приближения, к которой мы хотим продвинуться, и ряд в целом воплощает полный идеал вдоль этого пути приближения. Фактически, повторимся, ряд — это путь приближения.

Теперь мы должны спросить, можно ли ожидать, что принцип сходимости к простоте даст тот же тип простоты для каждого такого сходящегося пути. Ответ, как мы могли ожидать, таков: это зависит от природы свойств, которые должны быть упрощены.

Например, рассмотрим применение ко времени. Теперь время одномерно; поэтому, когда это свойство одномерности было выражено надлежащими условиями, здесь не указанными, сходящееся множество объектов включения должно, рассматриваемое как путь приближения, демонстрировать свойства одного уникального мгновения времени, как обычно мыслится евклидовым определением. Соответственно, какая бы простота ни должна была быть достигнута применением ко времени принципа сходимости к простоте, она должна быть продемонстрирована среди свойств любого такого пути приближения.

Для пространства возникают другие соображения. Благодаря его множественным измерениям мы можем показать, что различные сходящиеся множества объектов включения, указывающие на разные пути приближения, могут демонстрировать сходимость к разным типам простоты, некоторые более сложные, чем другие.

Например, рассмотрим прямоугольную коробку высотой h футов, шириной b футов и толщиной c футов. Теперь сохраним h и b постоянными, и пусть центральная плоскость (высота h, ширина b), перпендикулярная толщине, будет фиксированной, затем заставим c уменьшаться бесконечно. Мы таким образом получаем сходящийся ряд бесконечно большого числа коробок, и нет наименьшей коробки. Таким образом, этот сходящийся ряд демонстрирует путь приближения к типу простоты, выраженному как плоская область высотой h, шириной b и без толщины.

Опять же, сохраняя центральную линию высоты h фиксированной и заставляя b и c уменьшаться бесконечно, ряд сходится к сегменту прямой линии длины h.

Наконец, сохраняя только центральную точку фиксированной и заставляя h, b и c уменьшаться бесконечно, ряд сходится к точке.

Более того, мы не ввели пока никакой концепции, которая предотвратила бы формирование объекта включения из отдельных фрагментов в пространстве. Таким образом, мы можем легко вообразить сходящееся множество, которое сходится к числу точек в пространстве. Например, каждый объект набора мог бы быть сформирован из двух неперекрывающихся сфер радиуса r с центрами A и B. Затем, уменьшая r бесконечно и сохраняя A и B фиксированными, мы имеем сходимость к паре точек A и B.

Остается теперь рассмотреть, как те сходящиеся множества, которые сходятся к одной точке, могут быть дискриминированы от всех других типов таких множеств, просто используя концепции, основанные на отношении включения.

Назовем сходящиеся множества греческими буквами; продвигаясь «вперед» вдоль любого такого множества, будем понимать процесс постоянного перехода от больших к меньшим объектам включения, которые формируют набор.

Будем говорить, что сходящееся множество покрывает сходящееся множество, если каждый член включает некоторые члены. Мы замечаем, что если объект включения x включает любой член (y) из, то каждый член «хвостовой части», найденный путем продвижения вперед вдоль от y, должен быть включен x. Таким образом, если покрывает, каждый член включает каждый член хвостовой части, начиная с наибольшего члена, который включен этим членом.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter beta.Greek letter beta.Greek letter beta.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter beta.Greek letter alpha.

Возможно, чтобы каждое из двух сходящихся множеств покрывало другое. Например, пусть один набор (α) будет набором концентрических сфер, сходящихся к их центру A, а другой набор (β) будет набором концентрических кубов, аналогично расположенных, сходящихся к тому же центру A. Тогда α и β будут каждый покрывать другой.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter alpha.Greek letter beta.

Назовем два сходящихся множества, которые таковы, что каждое покрывает другое, «равными».

Тогда достаточным условием для обеспечения того, что сходящееся множество обладает точечным типом сходимости, является то, если каждое сходящееся множество, покрываемое им, также равно ему, а именно, α — это сходящееся множество с точечным типом сходимости, если «покрывает β» всегда подразумевает, что β покрывает α.Greek letter alpha.Greek letter alpha.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter beta.Greek letter alpha.

Легко увидеть на простых примерах, что другие типы сходимости к поверхностям, линиям или наборам точек не могут обладать этим свойством. Рассмотрим, например, три сходящихся множества коробок в предыдущей иллюстрации, которые сходятся соответственно к центральной плоскости, центральной линии в центральной плоскости и центральной точке в центральной линии. Первый набор покрывает второй и третий наборы, а второй набор покрывает третий набор, но никакие два из наборов не равны.

Более сложный вопрос — определить, является ли условие, здесь указанное как достаточное для обеспечения точечного типа сходимости, также необходимым. Вопрос сводится к тому, насколько мыслительные объекты восприятия обладают точными границами до разработки точных математических концепций пространства. Если они должны мыслиться как обладающие такими точными границами, тогда сходящиеся множества, сходящиеся к точкам на таких границах, должны быть допущены. Процедура, необходимая для спецификации полного точечного условия, становится тогда очень сложной [3] и здесь рассматриваться не будет.

Но такое точное определение, которое вовлечено в концепцию точной пространственной границы, по-видимому, не принадлежит истинному мыслительному объекту восприятия. Приписывание точной границы действительно принадлежит переходной стадии мышления, когда оно переходит от мыслительного объекта восприятия к мыслительному объекту науки. Переход от чувственного объекта, непосредственно представленного, к мыслительному объекту восприятия исторически совершается по колеблющейся неопределенной линии мышления. Определенные стадии, здесь отмеченные, просто служат доказательством того, что логически объяснимый переход возможен.

Мы соответственно предполагаем, что условие, изложенное выше для обеспечения точечной сходимости сходящегося множества объектов включения, является не только достаточным, но и необходимым.

Можно доказать, что если два сходящихся множества объектов включения оба равны третьему сходящемуся множеству, они равны друг другу. Рассмотрим теперь любое точечное сходящееся множество (α). Мы хотим определить «точку», к которой α является путем приближения, способом, который нейтрален между α и всеми сходящимися множествами, которые равны α. Каждый из этих наборов является путем приближения к той же «точке», что и α. Это определение обеспечивается, если мы определим точку как класс, сформированный всеми объектами включения, которые принадлежат либо α, либо любому сходящемуся множеству, которое равно α. Пусть P будет этим классом объектов включения. Тогда любое сходящееся множество (β), которое состоит из объектов включения, полностью выбранных из членов класса P, должно быть путем приближения к той же «точке», что и исходный точечный набор α; а именно, при условии, что мы выбираем достаточно малый объект включения в α, мы всегда можем найти член β, который включает его; и при условии, что мы выбираем достаточно малый объект включения в β, мы всегда можем найти член α, который включает его. Таким образом, P включает только сходящиеся множества точечного типа, и путь приближения, указанный любыми двумя сходящимися множествами, выбранными из P, сходится к идентичным результатам.Greek letter alpha.Greek letter alpha.Greek letter alpha.Greek letter alpha.Greek letter alpha.Greek letter alpha.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter alpha.Greek letter beta.Greek letter beta.

Использование точек. — Единственное использование точек — облегчить применение принципа сходимости к простоте. По этому принципу некоторые простые отношения в соответствующих обстоятельствах становятся истинными, когда рассматриваются объекты, которые достаточно ограничены во времени или в пространстве. Введение точек позволяет этому принципу быть доведенным до его идеального предела. Например, предположим, что g(a, b, c) представляет некоторое утверждение относительно трех объектов включения a, b, c, которое может быть истинным, если объекты достаточно ограничены в протяженности. Пусть A, B, C будут тремя данными точками, тогда мы определяем g(A, B, C) как означающее, что какие бы три объекта включения a, b, c ни были выбраны, такие что a является членом A, b — членом B, а c — членом C, всегда возможно найти три других члена A, B, C, а именно x — член A, y — член B и z — член C, такие что aEx, bEy, cEz и g(x, y, z). Так что, спускаясь достаточно далеко в хвостовые части A, B, C, мы всегда можем обеспечить три объекта x, y, z, для которых g(x, y, z) истинно.

Например, пусть g(A, B, C) означает «A, B, C — три точки в линейном ряду». Это должно быть истолковано как означающее, что какие бы три объекта a, b, c мы ни выбрали, члены A, B, C соответственно, мы всегда можем найти три объекта x, y, z, также члены A, B, C соответственно, и такие что a включает x, b включает y, c включает z, а также такие что x, y, z находятся в линейном ряду.

Иногда необходима двойная сходимость, а именно, сходимость условий, а также сходимость объектов. Например, рассмотрим утверждение: «точки A и B находятся на расстоянии двух футов друг от друга». Теперь точное утверждение «на расстоянии двух футов» не применяется к объектам. Для объектов x и y мы должны подставить утверждение: «расстояние между x и y лежит между пределами (2 ± e) футов». Здесь e — некоторое число, меньшее двух, которое мы выбрали для этого утверждения. Тогда точки A и B находятся на расстоянии двух футов друг от друга; если, однако, мы выберем число e, какие бы объекты включения a и b, члены A и B соответственно, мы ни рассматривали, мы всегда можем найти объекты включения x и y, члены A и B соответственно, такие что a включает x и b включает y, а также такие что расстояние между x и y лежит между пределами (2 ± e) футов. Очевидно, поскольку e может быть выбрано сколь угодно малым, что это утверждение точно выражает условие, что A и B находятся на расстоянии двух футов друг от друга.

Прямые линии и плоскости. — Но проблема интеллектуальной конструкции прямых линий и плоскостей еще недостаточно проанализирована. Мы интерпретировали значение утверждения, что три или более точек коллинеарны, и можем аналогично увидеть, как интерпретировать значение утверждения, что четыре или более точек компланарны, в любом случае выводя точные геометрические утверждения из более смутных утверждений относительно протяженных объектов.

Эта процедура рассматривает только группы конечных чисел точек. Но прямые линии и плоскости мыслятся как содержащие бесконечные числа точек. Это завершение линий и плоскостей получается обновленным применением принципа агрегации, точно так же, как набор первых грубых мыслительных объектов восприятия агрегируется в один полный мыслительный объект восприятия. Таким образом, повторяющиеся суждения о коллинеарности наборов точек в конечном счете, когда выполняются определенные условия переплетения, агрегируются в едином суждении обо всех точках групп как формирующих одно целое коллинеарное объединение. Аналогично для суждений о компланарности. Этот процесс логической агрегации может быть продемонстрирован в его точном логическом анализе. Но здесь нет необходимости переходить к таким деталям. Таким образом, мы мыслим наши точки как отсортированные в плоскости и прямые линии, относительно которых имеют место различные аксиомы геометрии. Эти аксиомы, поскольку они существенно требуют концепции точек, способны быть продемонстрированы как результат более смутных, менее точных суждений относительно отношений протяженных объектов.

Пустое пространство. — Следует заметить, что точки, до сих пор определенные, обязательно включают мыслительные объекты восприятия и лежат внутри пространственной протяженности, занятой такими объектами. Это правда, что такие объекты в значительной степени гипотетичны и что мы можем внести в наши гипотезы достаточно объектов, чтобы завершить наши линии и плоскости. Но каждая такая гипотеза ослабляет связь между нашей научной концепцией природы и актуальными наблюдаемыми фактами, которые вовлечены в актуальные чувственные представления.

Бритва Оккама, Entia non multiplicanda præter necessitatem, не является произвольным правилом, основанным на простой логической элегантности. Также ее применение не ограничивается чисто метафизическими спекуляциями. Я не знаю точной причины ее метафизической обоснованности, но ее научная обоснованность очевидна, а именно: каждое использование гипотетических сущностей уменьшает претензию научного рассуждения на то, чтобы быть необходимым результатом гармонии между мышлением и чувственным представлением. По мере увеличения гипотезы необходимость уменьшается.

Мышление здравого смысла также поддерживает этот отказ мыслить все пространство как существенно зависящее от гипотетических объектов, которые его заполняют. Мы думаем о материальных объектах как заполняющих пространство, но мы спрашиваем, существуют ли какие-либо объекты между Землей и Солнцем, между звездами или за пределами звезд. Для нас пространство есть; единственный вопрос в том, полно оно или нет. Но эта форма вопроса предполагает значение пустого пространства, а именно пространства, не содержащего гипотетических объектов.

Это приводит к более широкому использованию концепции точек, требующему более широкого определения. До сих пор мы мыслили точки как указывающие на отношения включения между объектами. Мы таким образом приходим к тому, что теперь мы назовем «материальными точками». Но идея точек теперь может быть преобразована так, чтобы указывать на возможности внешних отношений, не являющихся отношениями включения. Это осуществляется расширением концепции идеальных точек, уже известных геометрам.

Определим «материальные линии» как полные коллинеарные классы коллинеарных точек. Рассмотрим теперь набор материальных линий, которые содержат определенную материальную точку. Назовем такой набор линий идеальной точкой. Этот набор линий указывает на возможность позиции, которая на самом деле занята той материальной точкой, общей для всех материальных линий. Так что эта идеальная точка — это занятая идеальная точка. Теперь рассмотрим набор из трех материальных линий, таких что любые две компланарны, но не все три, и далее рассмотрим полный набор материальных линий, таких что каждая компланарна с каждой из трех материальных линий, выбранных первыми. Аксиомы, которые имеют место для материальных линий, позволят нам доказать, что любые две линии этого набора компланарны. Тогда весь набор линий, включая три исходные линии, формирует идеальную точку, согласно определению в его полной общности. Такая идеальная точка может быть занята. В этом случае существует материальная точка, общая для всех линий набора, но она может быть незанятой. Тогда идеальная точка просто указывает на возможность пространственных отношений, которая не была реализована. Это точка пустого пространства. Таким образом, идеальные точки, которые могут быть или не быть заняты, — это точки геометрии, рассматриваемой как прикладная наука. Эти точки распределены в прямые линии и плоскости. Но любое дальнейшее обсуждение этого вопроса приведет нас в техническую область аксиом геометрии и их непосредственных следствий. Достаточно было сказано, чтобы показать, как геометрия возникает согласно реляционной теории пространства.

Пространство, понятое таким образом, является мыслительным пространством материального мира.

IV. Силовые поля

Мыслительные объекты науки мыслятся как непосредственно связанные с этим мыслительным пространством. Их пространственные отношения входят в число тех, что указываются точками мыслительного пространства. Их появление в науке было лишь дальнейшим развитием процессов, уже присущих обыденному мышлению.

Отношения внутри полного чувственного представления репрезентировались в мышлении концепцией мыслительных объектов восприятия. Не все чувственное представление могло быть репрезентировано таким образом; кроме того, изменение и исчезновение мыслительных объектов вызывали путаницу в мышлении. Упорядочение этой путаницы было предпринято с помощью концепций постоянной материи с первичными и вторичными качествами. В конечном счете это привело к тому, что вторичные качества стали рассматриваться как восприятие событий, порождаемых объектами, но — в том виде, в каком они воспринимаются — полностью с ними не связанных. Также мыслительные объекты восприятия были заменены молекулами, электронами и эфирными волнами, пока, наконец, воспринимается уже никогда не мыслительный объект науки, а сложные ряды событий, в которые они вовлечены. Если наука права, никто никогда не воспринимал вещь, а только событие. Результат заключается в том, что старый язык философии, который все еще сохраняется во многих кругах, теперь совершенно сбивает с толку, когда его связывают с современными концепциями науки. Философия — то есть старая философия — мыслит вещь как непосредственно воспринимаемую. Согласно научному мышлению, предельная вещь никогда не воспринимается, так как восприятие по существу исходит из ряда событий. Примирить эти две точки зрения невозможно.

Преимущество современной научной концепции состоит в том, что она способна «объяснить» текучие, расплывчатые очертания чувственного представления. Мыслительный объект восприятия теперь мыслится как довольно стабильное состояние движения огромной группы молекул, постоянно меняющееся, но сохраняющее определенную идентичность характеристик. Также объяснимы теперь и случайные чувственные объекты, не данные непосредственно как часть мыслительного объекта восприятия: танцующее отражение света, смутно слышимый звук, запах. Фактически, воспринимаемые события научного мира имеют то же общее определение и отсутствие определения, ту же общую стабильность и отсутствие стабильности, что и чувственные объекты полного чувственного представления или мыслительные объекты восприятия.

Мыслительные объекты науки, а именно молекулы, атомы и электроны, приобрели постоянство. События сводятся к изменениям в конфигурации пространства. Законы, определяющие эти изменения, являются предельными законами природы.

Законы изменения в физической вселенной исходят из предположения, что предшествующие состояния вселенной определяют характер изменения. Таким образом, знание конфигураций и событий вселенной вплоть до любого момента включительно содержало бы достаточные данные, из которых можно определить последовательность событий во всем времени.

Но при прослеживании предшествующих событий обыденное мышление, имеющее дело с миром мыслительных объектов восприятия, привычно предполагает, что большим числом предшествующих событий можно пренебречь как нерелевантными. Рассмотрение причин ограничивается несколькими событиями в течение короткого предшествующего интервала. Наконец, в научном мышлении было принято предположение, что достаточно событий в произвольно малом предшествующем промежутке времени. Таким образом, физические величины и их последовательные дифференциальные коэффициенты любого порядка в данный момент, но с их предельными значениями непосредственно перед этим моментом, согласно этой теории, достаточны для определения состояния вселенной во все моменты времени после этого момента. Предполагаются и более частные законы. Но поиск их направляется этим общим принципом. Также предполагается, что большинство событий в физической вселенной не имеют отношения к порождению какого-либо конкретного эффекта, который, как предполагается, проистекает из относительно немногих предшествующих событий. Эти предположения выросли из опыта человечества. Первый урок жизни состоит в том, чтобы сосредоточить внимание на немногих факторах чувственных представлений и на еще меньшем числе факторов вселенной мыслительных объектов восприятия.

Принцип, которым — сознательно или бессознательно — руководствовалось мышление, состоит в том, что при поиске конкретных причин удаленность во времени и удаленность в пространстве являются свидетельствами сравнительной разобщенности влияния. Крайняя форма этого принципа — отрицание любого действия на расстоянии, будь то во времени или в пространстве. Трудность принятия этого принципа в его грубой форме заключается в том, что, поскольку не существует смежных точек, друг на друга могут воздействовать только совпадающие тела. Я не вижу ответа на эту трудность — а именно: либо тела имеют одно и то же местоположение и, таким образом, совпадают, либо они имеют разные местоположения и, следовательно, находятся на расстоянии и не воздействуют друг на друга.

Эта трудность не обходится гипотезой непрерывно распределенного эфира. По двум причинам: во-первых, непрерывность эфира не устраняет дилемму; и, во-вторых, трудность относится как к времени, так и к пространству, и дилемма доказала бы, что причинность, вызывающая изменение, невозможна, а именно: никакое измененное состояние не могло бы быть результатом предшествующих обстоятельств.

С другой стороны, прямое взаимодействие между двумя телами, разделенными в пространстве, несомненно, противоречит концепции расстояния как подразумевающего физическую разобщенность, а также пространственное отношение. В допущении действия на расстоянии нет логической трудности, как и в случае его отрицания, но оно противоречит устойчивым предположениям того аппарата обыденного мышления, который является главной задачей науки гармонизировать с чувственным представлением, используя лишь минимум модификаций.

Современная наука на самом деле не обеспокоена этим спором. Ее (непризнанные) концепции на самом деле совершенно иные, хотя словесные объяснения сохраняют форму предыдущей эпохи. Суть изменения в концепции заключается в том, что старый мыслительный объект науки мыслился как обладающий простотой, не присущей материальной вселенной в целом. Он был уединен в конечной области пространства, и изменения в его обстоятельствах могли возникать только из сил, которые не составляли существенной части его природы. Эфир был призван к существованию, чтобы объяснить активные отношения между этими пассивными мыслительными объектами. Вся концепция страдает от логических трудностей, отмеченных выше. Также невозможно сформировать ясное представление о том, в каком смысле эфир является объясняющим. Он должен обладать типом активности, в котором отказано исходному мыслительному объекту, а именно: он несет потенциальную энергию, тогда как атом обладал только кинетической энергией, а так называемая потенциальная энергия атома на самом деле принадлежит окружающему эфиру. Истина заключается в том, что эфир на самом деле исключен из аксиомы «никакого действия на расстоянии», и аксиома тем самым лишается всей своей силы.

Современный мыслительный объект науки — еще не признанный явно — обладает сложностью всей материальной вселенной. В физике, как и везде, безнадежная попытка вывести сложность из простоты была молчаливо оставлена. Целью является не простота, а постоянство и регулярность. В некотором смысле регулярность — это своего рода простота. Но это простота стабильных взаимных отношений, а не простота отсутствия типов внутренней структуры или типа отношения. Этот мыслительный объект заполняет все пространство. Это «поле»; то есть это определенное распределение скалярных и векторных величин во всем пространстве, причем эти величины имеют каждое свое значение для каждой точки пространства в каждый момент времени, будучи непрерывно распределенными во всем пространстве и во всем времени, возможно, с некоторыми исключительными разрывами. Различные типы величин, образующие поле, имеют фиксированные отношения друг к другу в каждой точке времени и пространства. Эти отношения являются предельными законами природы.

Например, рассмотрим электрон. Существует скалярное распределение электричества, которое обычно называют электроном. Это скалярное распределение имеет объемную плотность в момент времени t в любой точке (x, y, z). Таким образом, ρ является функцией (x, y, z, t), которая равна нулю везде, кроме ограниченной области. Более того, в любой момент времени t, в качестве существенного дополнения, существует непрерывное пространственное распределение в каждой точке двух векторов (X, Y, Z), что является электрической силой, и (α, β, γ), что является магнитной силой. Наконец, индивидуальность приписывается скалярному электрическому распределению, так что в дополнение к сохранению количества — вовлеченному в предполагаемые законы — также возможно назначить скорости, с которыми движутся различные индивидуальные части распределения. Пусть (u, v, w) будет этой скоростью в (x, y, z, t).Greek letter rho.Greek letter rho.Greek letters alpha, beta and gamma.

Вся эта схема скалярных и векторных величин, а именно ρ, (X, Y, Z), (α, β, γ), (u, v, w), взаимосвязана электромагнитными законами. Из этих законов следует, что электрон, в смысле скалярного распределения ρ, должен мыслиться как в каждый момент распространяющий от себя эманацию, которая движется наружу со скоростью света в вакууме и из которой (X, Y, Z) и (α, β, γ) могут быть вычислены, насколько они обусловлены этим электроном. Таким образом, поле в любой момент времени, обусловленное электроном в целом, зависит от предыдущей истории электрона, причем чем ближе к электрону, тем более недавней является релевантная история. Вся схема такого поля является одним единым мыслительным объектом науки: электрон и его эманации образуют одно существенное целое, а именно один мыслительный объект науки, существенно сложный и существенно заполняющий все пространство. Электрон как таковой, а именно скалярное распределение ρ, является фокусом целого, причем существенным фокусным свойством является то, что поле в любой момент полностью определяется предыдущей историей фокуса и его пространственных отношений на протяжении всего предыдущего времени. Но поле и фокус не являются независимыми концепциями, они существенно коррелируют в одном организованном единстве, а именно: они являются существенно коррелирующими членами в поле одного отношения, в силу которого сущности входят в наши мысли.Greek letter rho.Greek letters alpha, beta and gamma.Greek letter rho.Greek letters alpha, beta and gamma.Greek letter rho.

Поля группы электронов накладываются друг на друга согласно линейному закону агрегации, а именно: чистое сложение для аналогичных скалярных величин и закон параллелограмма для аналогичных векторов. Изменения в движении каждого электрона полностью зависят от результирующего поля в области, которую он занимает. Таким образом, поле можно рассматривать как возможность действия, но возможность, которая представляет собой действительность.

Следует отметить, что здесь включены обе альтернативные точки зрения на причинность. Полное поле внутри любой области пространства зависит от прошлых историй всех электронов, историй, простирающихся назад пропорционально их расстояниям. Также эту зависимость можно мыслить как передачу. Но рассматривая причину, которая вызывает изменения в электроне внутри этой области, это исключительно то поле внутри области, которое совпадает с этим электроном как во времени, так и в пространстве.

Этот процесс осмысления действительности, лежащей в основе возможности, является единообразным процессом, посредством которого в научное мышление вводится регулярность и постоянство, а именно: мы переходим от действительности факта к действительности возможности.

В соответствии с этим принципом пропозиции являются продуктом актуальных мыслительных выражений, мыслительные объекты восприятия — грубых чувственных объектов, гипотетические мыслительные объекты восприятия — актуальных мыслительных объектов восприятия, материальные точки — гипотетических бесконечных рядов гипотетических мыслительных объектов восприятия, идеальные точки — материальных точек, мыслительные объекты науки — мыслительных объектов восприятия, поля электронов — актуальных взаимных реакций актуальных электронов.

Процесс представляет собой поиск постоянства, единообразия и простоты логического отношения. Но он не приводит к простоте внутренней структуры. Каждый предельный мыслительный объект науки сохраняет каждое качество, приписываемое всей научной вселенной, но сохраняет их в форме, характеризующейся постоянством и единообразием.

V. Заключение

Мы начали с исключения суждений о ценности и онтологических суждений. Мы завершаем, вспоминая о них. Суждения о ценности не являются частью ткани физической науки, но они являются частью мотива ее создания. Человечество воздвигло здание науки, потому что сочло это стоящим. Другими словами, мотивы включают бесчисленные суждения о ценности. Опять же, происходил сознательный отбор частей научной области для культивирования, и этот сознательный отбор включает суждения о ценности. Эти ценности могут быть эстетическими, или моральными, или утилитарными, а именно: суждения о красоте структуры, или о долге исследования истины, или об утилитарности в удовлетворении физических потребностей. Но каков бы ни был мотив, без суждений о ценности науки не было бы.

Опять же, онтологические суждения не были исключены по причине отсутствия интереса. Они фактически подразумеваются в каждом акте жизни: в наших привязанностях, в нашем самоограничении и в наших конструктивных усилиях. Они подразумеваются в моральных суждениях. Трудность с ними заключается в отсутствии согласия относительно метода гармонизации грубых суждений обыденного здравого смысла.

Наука не уменьшает потребность в метафизике. Там, где эта потребность наиболее настоятельна, это связано с тем, что выше было названо «действительностью, лежащей в основе возможности». Несколько слов объяснения могут сделать аргумент яснее, хотя они и включают опрометчивый подход к метафизическим высотам, исследовать которые не является целью данной статьи.

Концепция субъекта и объекта в небрежном обсуждении охватывает два различных отношения. Существует отношение всего воспринимающего сознания к части своего собственного содержания, например, отношение воспринимающего сознания к объекту красноты, явленному ему. Существует также отношение воспринимающего сознания к сущности, которая не существует в силу того, что является частью содержания этого сознания. Такое отношение, насколько оно известно воспринимающему сознанию, должно быть выведенным отношением, причем вывод делается из анализа содержания воспринимающего сознания.

Основания для таких выводов должны быть элементами в сознании, непосредственно известными как превосходящие их непосредственную презентацию в сознании. Такими элементами являются универсальные логические истины, моральные и эстетические истины, а также истины, воплощенные в гипотетических пропозициях. Это непосредственные объекты восприятия, которые являются чем-то иным, нежели простые аффекты воспринимающего субъекта. Они обладают свойством быть частями непосредственных презентаций для индивидуальных субъектов и в то же время чем-то большим, чем такие части. Все остальное существование — это выведенное существование.

В этой главе мы более непосредственно заняты истинами, воплощенными в гипотетических пропозициях. Такие истины не следует путать с какой-либо сомнительностью, которая приписывается нашим суждениям о будущем ходе природных явлений. Гипотетическая пропозиция, подобно категорическому суждению, может быть сомнительной или нет. Также, подобно категорическому суждению, она выражает факт. Этот факт двоякий: как презентация в сознании, это просто данное гипотетическое суждение; как выражение категорического факта, оно утверждает отношение, которое лежит за пределами сознания, существующее между сущностями, выведенными таким образом.

Но этот метафизический анализ, каким бы кратким он ни был, вероятно, неверен и в лучшем случае вызовет лишь частичное согласие. Конечно; и это признание подчеркивает именно тот момент, который я хотел высказать. Физическая наука основана на элементах мышления, таких как суждения, регистрирующие актуальные восприятия, и суждения, регистрирующие гипотетические восприятия, которые при определенных обстоятельствах были бы реализованы. Эти элементы образуют согласованное содержание аппарата обыденного мышления. Они требуют метафизического анализа; но они являются одними из данных, с которых начинается метафизика. Метафизика, которая отвергает их, потерпела неудачу, точно так же, как физическая наука потерпела неудачу, когда она неспособна гармонизировать их в своей теории.

Наука лишь делает метафизическую потребность более настоятельной. Сама по себе она мало способствует решению метафизической проблемы напрямую. Но она кое-что вносит, а именно: изложение того факта, что наш опыт чувственных явленных вещей способен быть проанализирован в научную теорию, теорию, конечно, не полную, но дающую всякое обещание бесконечного расширения. Это достижение подчеркивает интимную связь между нашим логическим мышлением и фактами чувственного восприятия. Также особая форма научной теории неизбежно окажет некоторое влияние. В прошлом ложная наука была родителем плохой метафизики. В конце концов, наука воплощает строгое изучение одной части всего свидетельства, из которого метафизики выводят свои заключения.

СНОСКИ:

[3] Ср. Révue de Métaphysique et de Morale, май 1916 г., где этот вопрос рассматривается автором в конце статьи «La théorie relationniste de l'espace».

ГЛАВА VIII ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ

(Статья, прочитанная в Секции А на Манчестерском собрании Британской ассоциации в 1915 году, а позднее перед Аристотелевским обществом)

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ проблемы, касающиеся пространства и времени, рассматривались с позиций, созданных многими различными науками. Цель этой статьи — скромная задача: привести некоторые из этих позиций в отношение друг к другу. Это требует очень беглого рассмотрения каждой точки зрения.

Математические физики разработали свою теорию относительности, чтобы объяснить отрицательные результаты эксперимента Морли-Майкельсона и эксперимента Траутона. Экспериментальные психологи рассмотрели эволюцию пространственных идей из грубых чувственных данных опыта. Метафизики рассматривали величественную единообразность пространства и времени, без начала и без конца, без границ и без исключений в истинах, касающихся их; все эти качества тем более приковывают наше внимание из-за запутанной случайной природы эмпирической вселенной, которая ими обусловлена. Математики изучали аксиомы геометрии и теперь могут вывести все, что считается универсально истинным о пространстве и времени, с помощью строжайшей логики из ограниченного числа предположений.

Эти различные направления мысли развивались с удивительно слабой взаимосвязью. Возможно, так и лучше. Результаты науки никогда не бывают вполне истинными. Благодаря здоровой независимости мышления, возможно, мы иногда избегаем добавления чужих ошибок к своим собственным. Но нет сомнения, что нормальный метод взаимного обогащения мысли заключается в рассмотрении тех же или смежных с нашими проблем в той форме, которую они принимают в других науках.

Здесь я не предлагаю входить в систематическое изучение этих различных глав науки. У меня нет ни знаний, ни времени.

Во-первых, давайте возьмем предельное основание любой теории относительности. Все пространственное измерение идет от материи в пространстве к материи в пространстве. Геометрические сущности пустого пространства никогда не появляются. Единственные геометрические свойства, о которых мы имеем прямое знание, — это свойства тех сдвигающихся, изменчивых явлений, которые мы называем вещами в пространстве. Именно солнце далеко, и мяч круглый, и фонарные столбы находятся в линейном порядке. Откуда бы человечество ни взяло свою идею бесконечного неизменного пространства, можно с уверенностью сказать, что это не непосредственный результат прямого наблюдения.

Существует два антагонистических философских способа признания этого вывода.

Один из них — утверждать, что пространство и время являются условиями для чувственного опыта, что без проекции в пространство и время чувственный опыт не существовал бы. Таким образом, хотя может быть верно сказать, что наше знание пространства и времени дано в опыте, неверно говорить, что оно выведено из опыта в том же смысле, в каком из него выведен Закон всемирного тяготения. Оно не выведено, потому что в акте переживания мы неизбежно осознаем пространство как бесконечное данное целое, а время — как бесконечную единообразную последовательность. Эта философская позиция выражается словами, что пространство и время являются априорными формами чувственности.

Противоположный философский метод решения этого вопроса состоит в утверждении, что наши концепции времени и пространства являются дедукциями из опыта, точно так же, как Закон всемирного тяготения является такой дедукцией. Если мы сформируем точные концепции точек, линий и поверхностей, а также последовательных моментов времени и предположим, что они связаны так, как выражено аксиомами геометрии и аксиомами времени, то мы обнаружим, что создали концепцию, которая со всей точностью, на которую способны наши наблюдения, выражает факты опыта.

Эти две философские позиции каждая призвана объяснить определенную трудность. Априорная теория объясняет абсолютную универсальность, приписываемую законам пространства и времени, универсальность, не приписываемую никакой дедукции из опыта. Эмпирическая теория объясняет выведение пространственно-временных концепций без введения каких-либо иных факторов, кроме тех, которые, как признано, присутствуют при формировании других концепций физической науки.

Но мы еще не закончили с различиями, которые в любом обсуждении пространства или времени должны обязательно приниматься во внимание. Отложим в сторону вышеуказанный вопрос о том, как эти пространственно-временные концепции связаны с опытом — что они собой представляют, когда они сформированы?

Мы можем мыслить точки пространства как самосущие сущности, которые имеют неопределимое отношение занятия их предельной материей (материей, я буду ее называть), которая там находится. Таким образом, сказать, что солнце находится там (где бы оно ни было), — значит подтвердить отношение занятия между набором положительных и отрицательных электронов, которые мы называем солнцем, и определенным набором точек, причем точки имеют существование, существенно независимое от солнца. Это абсолютная теория пространства. Абсолютная теория сейчас не популярна, но на ее стороне очень авторитетные лица — Ньютон, например, — так что относитесь к ней бережно.

Другая теория связана с Лейбницем. Наши пространственные концепции — это концепции отношений между вещами в пространстве. Таким образом, не существует такой сущности, как самосущая точка. Точка — это просто название для некоторой особенности отношений между материей, которая, на обычном языке, называется находящейся в пространстве.

Из относительной теории следует, что точка должна быть определима в терминах отношений между материальными вещами. Насколько мне известно, этот результат теории ускользнул от внимания математиков, которые неизменно принимали точку как предельное исходное основание своих рассуждений. Много лет назад я объяснил некоторые типы способов, которыми мы могли бы достичь такого определения, а совсем недавно добавил некоторые другие. Подобные объяснения применимы и ко времени. Прежде чем теории пространства и времени будут доведены до удовлетворительного завершения на реляционной основе, потребуется провести долгое и тщательное изучение определений точек пространства и моментов времени, и многие способы осуществления этих определений должны быть опробованы и сравнены. Это ненаписанная глава математики, находящаяся примерно в том же состоянии, что и теория параллелей в восемнадцатом веке.

В этой связи я хотел бы обратить внимание на аналогию между временем и пространством. Анализируя наш опыт, мы различаем события, а также различаем вещи, чьи меняющиеся отношения образуют события. Если бы у меня было время, было бы интересно рассмотреть более внимательно эти концепции событий и вещей. Сейчас достаточно указать, что вещи имеют определенные отношения друг к другу, которые мы рассматриваем как отношения между пространственными протяженностями вещей; например, одно пространство может содержать другое, или исключать его, или перекрывать его. Точка в пространстве — это не что иное, как определенный набор отношений между пространственными протяженностями.

Аналогично, существуют определенные отношения между событиями, которые мы выражаем, говоря, что они являются отношениями между временными длительностями этих событий, то есть между временными протяженностями событий. [Длительности двух событий A и B могут: одно предшествовать другому, или частично перекрываться, или одно может содержать другое, что дает в сумме шесть возможностей.] Свойства протяженности события во времени во многом аналогичны протяженности объекта в пространстве. Пространственные протяженности выражаются отношениями между объектами, временные протяженности — отношениями между событиями.

Точка во времени — это набор отношений между временными протяженностями. Нужно совсем немного размышлений, чтобы убедиться, что точка во времени не является непосредственным результатом опыта. Мы живем в длительностях, а не в точках. Но какая общность, помимо простого названия, существует между протяженностью во времени и протяженностью в пространстве? В свете интимной связи между временем и пространством, выявленной современной теорией относительности, этот вопрос приобрел новое значение.

Я не продумал ответ на этот вопрос. Я предполагаю, однако, что время и пространство воплощают те отношения между объектами, от которых зависит наше суждение об их внешности по отношению к нам самим. А именно: местоположение в пространстве и местоположение во времени оба воплощают и, возможно, делают необходимым суждение о внешности. Это предположение очень расплывчато, и я должен оставить его в этой грубой форме.

Различные евклидовы системы измерения

Переходя теперь к математическим исследованиям аксиом геометрии, результат, который наиболее важно помнить, — это большое разделение, которое она обнаруживает между неметрической проективной геометрией и метрической геометрией. Неметрическая проективная геометрия является гораздо более фундаментальной. Начиная с концепций точек, прямых линий и плоскостей (из которых не все три нужно принимать как неопределимые) и с некоторых очень простых неметрических свойств этих сущностей — таких, например, как то, что две точки однозначно определяют прямую линию, — можно построить почти всю геометрию. Можно ввести даже количественные координаты, чтобы облегчить рассуждения. Но упоминание о расстоянии, площади или объеме вводить не нужно. Точки будут иметь порядок на линии, но порядок не подразумевает никакого установленного расстояния.

Когда мы теперь спрашиваем, какие измерения расстояния возможны, мы обнаруживаем, что существуют различные системы измерения, все одинаково возможные. Существует три основных типа системы: любая система одного типа дает евклидову геометрию, любая система другого типа дает гиперболическую (или лобачевскую) геометрию, любая система третьего типа дает эллиптическую геометрию. Также разные существа, или одно и то же существо, если он пожелает, могут считать в разных системах одного типа или в системах разных типов. Рассмотрим пример, который заинтересует нас позже. Два существа, A и B, договариваются использовать одни и те же три пересекающиеся линии в качестве осей x, y, z. Оба они используют систему измерения евклидова типа и (что не обязательно так) соглашаются относительно плоскости на бесконечности. То есть они соглашаются относительно линий, которые параллельны. Тогда при обычном методе прямоугольных декартовых осей они соглашаются, что координаты P — это длины ON, NM, MP. Пока все в гармонии. A фиксирует отрезок OU1 на Ox как единичную длину, а B — отрезок OV1 на Ox. A называет свои координаты (x, y, z), а B называет их (X, Y, Z).

Тогда обнаруживается [поскольку обе системы евклидовы], что, какую бы точку P ни взять, они приступают к урегулированию своих различий и сначала берут x-координаты. Очевидно, они взяли разные единицы длины вдоль Ox. Длину OU1, которую A называет одной единицей, B называет единицами. B меняет свою единицу длины на OU1, от ее первоначальной длины OV1, и получает X = x. Но теперь, поскольку он должен использовать одну и ту же единицу для всех своих измерений, его другие координаты изменяются в том же отношении. Таким образом, теперь мы имеем фундаментальное расхождение, которое теперь очевидно. A и B согласны относительно своих единиц вдоль Ox. Они договорились об этом, взяв вдоль этой оси данный отрезок OU1 как имеющий единичную длину. Но они не могут договориться о том, какой отрезок вдоль Oy равен OU1. A говорит, что это OU2, а B — что это OU2'. Аналогично для длин вдоль OZ.

Результат заключается в том, что сферы A — это эллипсоиды B, таким образом, измерение углов ими безнадежно расходится.

Если, существует один и только один набор общих прямоугольных осей в O, а именно тот, с которого они начали. Если, но, тогда существует однократно бесконечное число общих прямоугольных осей, найденных путем вращения осей вокруг Ox. Это для нас интересный случай. Те же явления воспроизводятся при переносе на любые параллельные оси.This condition means that the three scaling factors are all distinct, each axis is stretched or compressed by a different amount.Since gamma is equal to delta, the scaling along the Y and Z axes are the same.Since beta is different from gamma, the shape is not a perfect shere, but a sheroid.

Корень трудности в том, что измерительный стержень A, который для него является жестким неизменным телом, кажется B меняющимся в длине при повороте в разных направлениях. Аналогично, все измерительные стержни, удовлетворительные для A, нарушают непосредственное суждение B о неизменности и меняются согласно тому же закону. Выхода из трудности нет. Два стержня и совпадают, когда их накладывают друг на друга; удерживается неподвижно, и оба человека согласны, что он не меняется. Но поворачивается. A говорит, что он неизменен, B говорит, что он меняется. Чтобы проверить это, поворачивается, чтобы измерить его, и точно подходит к нему. Но пока A удовлетворен, B заявляет, что изменился точно так же, как и. Тем временем B приобрел два материальных стержня, удовлетворительных для него как неизменные, и A выдвигает точно такие же возражения.Greek letter rho.Greek letter sigma.Greek letter rho.Greek letter sigma.Greek letter rho.Greek letter rho.Greek letter sigma.

Мы скажем, что A и B используют различные евклидовы метрические системы.

Самый необычный факт человеческой жизни заключается в том, что все существа, по-видимому, формируют свои суждения о пространственном количестве согласно одной и той же метрической системе.

Относительность в современной физике

Ввиду того факта, что точки пространства неспособны к непосредственному распознаванию, существует трудность — помимо любого абстрактного вопроса о природе пространства — в решении о движении, которое следует приписать любому телу. Даже если существует такая вещь, как абсолютное положение, на практике невозможно непосредственно решить, изменилось ли абсолютное положение тела. Все пространственное измерение относительно материи.

Законы движения Ньютона в их современном виде обходят эту трудность, утверждая, что каркас осей координат может быть определен их отношениями к материи таким образом, что, если предположить, что эти оси находятся в покое, и все скорости измеряются относительно них, законы выполняются. Тот же прием приходится использовать для времени, а именно: законы выполняются, когда измерение течения времени производится надлежащим отнесением к периодическим событиям. Таким образом, законы утверждают, что каркас и естественные часы, адаптированные для их использования, были успешно найдены.

Но если один каркас подойдет, бесконечное множество других послужит так же хорошо; а именно, не только — как, конечно, имеет место — все те, что находятся в покое относительно первого каркаса, но также все те, которые движутся без относительного вращения с равномерной скоростью относительно первого. Весь этот набор каркасов находится на одном уровне в отношении законов Ньютона. Мы будем называть их динамическими каркасами.

Теперь предположим, что есть два наблюдателя, A и B. Они согласны в своей неметрической проективной геометрии, например, то, что A называет прямой линией, так же называет и B. Они также оба применяют евклидову метрическую систему измерения к этому пространству. Их две метрические системы также согласуются в наличии одной и той же плоскости на бесконечности, то есть линии, которые параллельны для A, также параллельны для B. Более того, они оба успешно применили законы Ньютона к движению материи и согласны в наличии одних и тех же наборов динамических осей. Но каркас (среди этих наборов), который A решает рассматривать как находящийся в покое, отличается от каркаса (среди тех же наборов), который B рассматривает таким образом.

Без изменения своего соответствующего суждения о покое они выбирают свои координатные оси так, чтобы начала (O для A и O' для B) находились в относительном движении вдоль OO', которая является осью x для обоих.

Далее, поскольку OO' является линией симметрии их различных евклидовых систем, мы предполагаем, что две системы измерения согласуются для плоскостей, перпендикулярных OO', т.е. мы предполагаем симметрию вокруг OO'. Тогда если для A в O расстояние OO' равно ξ, отношения в любой момент времени между координатами A (x, y, z) и координатами B (x', y', z') для той же точки P даются

Также, согласно часам A, O' движется вперед с равномерной скоростью v, и мы измеряем время A с момента совпадения O и O'.

Таким образом и

Теперь мы рассматриваем часы B и спрашиваем о самом общем предположении, которое согласуется с тем фактом, что их суждения относительно факта равномерного движения совпадают.

Мы не предполагаем, что события в различных частях пространства, которые A считает одновременными, так же считаются B. Но мы предполагаем, что в любой точке P с координатами (x, y, z) для A существует определенное отношение между временем T B и x, y, z, t.

Положим

Запишем

Теперь предположим, что точка P движется и что (u1, u2, u3) — это ее набор компонент скоростей вдоль осей согласно системе «пространства и часов» A, а (U1, U2, U3) — это ее набор компонент скоростей согласно системе «пространства и часов» B. Тогда путем простого дифференцирования следует после короткой математической дедукции, что

Но мы предположили, что, каково бы ни было направление результирующей скорости (u1, u2, u3), скорости (U1, U2, U3) и (u1, u2, u3) обе равномерны, когда любая из них равномерна.

Следовательно, легко доказывается, что P, Q, R, S не зависят от координат (x, y, z) и от времени t. Другими словами, они постоянны.Greek letter beta.

Следовательно, мы получаем

Но мы предположили, что OO', т.е. Ox, является осью симметрии. Из этого предположения следует, что

Таким образом, мы получаем упрощенные результаты

Здесь мы помним, что (u1, u2, u3) — это скорости любой частицы согласно системе «пространства и часов» наблюдателя А, а (U1, U2, U3) — скорости той же точки согласно системе «пространства и часов» наблюдателя B. Мы получили наиболее общие соотношения, согласующиеся с фактами, что (1) они оба используют евклидовы системы, связанные описанным выше образом, и (2) они согласуются в своих суждениях о равномерности скорости.

Теперь сравним их суждения о величинах скоростей.

Пусть величина скорости P равна V согласно суждению А, и V′ согласно суждению B.

Тогда

Также мы можем положить

где (l, m, n) не имеют отношения к величине V, а зависят просто от направления движения. Фактически (l, m, n) являются «направляющими косинусами» скорости согласно суждению А. Подставляя это в приведенное выше уравнение для V2, мы видим, что

Теперь, подставляя (u1, u2, u3) в уравнения (I) выше, возводя в квадрат, складывая и исключая m2 + n2 с помощью только что найденного соотношения, мы сразу находим

Таким образом видно, что в общем случае соотношение V' к V зависит от направляющего косинуса l. Теперь l — это косинус угла, который направление скорости V образует с OO′, согласно суждению А.

Смысл этого соотношения заключается в том, что если А стреляет из орудий в точке P снарядами с заданной начальной скоростью V согласно своему суждению, B будет считать, что их начальные скорости отличаются друг от друга, за исключением случая пар орудий, одинаково наклоненных к оси OO′. Примеры такого расхождения в суждениях можно наблюдать каждый день, если кто-то посмотрит в окно вагона поезда и забудет, что он едет.

Теперь предположим, что скорость V′ находится в отношении к скорости V, которое не зависит от l. Тогда l должно исчезнуть из приведенной выше формулы. Должны быть выполнены два условия

Одно условие — это

или в более удобной форме

Смысл этого условия заключается в том, что существует одна, и только одна, начальная скорость V (согласно суждению А), а именно начальная скорость, заданная приведенной выше формулой, которая может обладать свойством, при котором B будет судить, что все орудия стреляют в своих различных направлениях с одной общей начальной скоростью.

Теперь предположим, что V имеет это особое значение: то есть, если мы рассматриваем это значение V как известное, мы должны предположить, что задается второй из приведенных выше формул.Greek letter beta.

Другое условие позволяет привести P и S к формам

Таким образом, мы имеем набор формул

Значение, которое мы придаем, является чисто вопросом согласования единиц измерения. Если мы хотим, чтобы А и B были согласны в своих суждениях о величине этой особой начальной скорости, мы полагаем.Greek letter lambda.Greek letter lambda is equal to one.

Тогда мы получаем обычно принимаемые формулы, а именно

Но если мы предпочитаем, чтобы А и B вели расчет (согласно суждению А) в одних и тех же единицах времени, мы полагаем и получаемGreek letter malbda is equal to greek letter lambda.

Но А и B в любом случае находятся в таких безнадежных затруднениях при сравнении своих суждений о времени, что детали использования одних и тех же единиц им не сильно помогают. Соответственно, используются формулы, отмеченные (II). Таким образом, А и B согласны в своих суждениях относительно величины одной особой скорости V, независимо от того, в каком направлении движется обладающий ею объект.

Чтобы достичь этой меры согласия, они должны разойтись в своих суждениях о пространстве и времени. Коренная причина их разногласий — это различие в суждениях о том, какая система осей должна считаться покоящейся для целей измерения скоростей.

Прежде чем обсуждать природу разногласий, выявленных в формуле (II), давайте спросим, почему мы должны навлекать на себя эти трудности, предполагая, что два человека в относительном движении, которые оба (для целей измерения скоростей) полагают, что они находятся в покое, должны соглашаться в своих суждениях относительно этой особой скорости V.

Такое согласие не имеет аналогов ни в одном из наших очевидных суждений, сделанных из вагонов поездов. Конечно, мы можем подождать, пока возникнет непредвиденное обстоятельство, прежде чем обсуждать путаницу, которую оно создает.

Но непредвиденное обстоятельство возникло. Оно возникает, когда мы рассматриваем скорость света. Возможно, я осмелюсь напомнить философскому обществу, что свет движется так быстро, что трудно вообще рассматривать его скорость. Поэтому нас не должно удивлять, что этот особый факт, касающийся его скорости, не является более очевидным.

Теперь, если V — скорость света, то, если v не велико, v/V (и тем более v2/V2) будет совершенно незначительным. Единственная доступная скорость, достаточно большая, чтобы дать v/V заметное значение, — это скорость Земли на ее орбите.

Было проведено много различных экспериментов, и все они сходятся в выводе, что человек, который предполагает, что Земля находится в покое, обнаружит путем измерений, что скорость света одинакова во всех направлениях. Более того, когда тот же человек обращает свое внимание на межзвездные или межпланетные явления и предполагает, что Солнце находится в покое, он снова обнаружит, что скорость света одинакова во всех направлениях. Это хорошо подтвержденные эксперименты, проведенные с большими интервалами времени.

Это именно то непредвиденное обстоятельство, которое рассматривалось выше.

Опять же, скорость света в вакууме недавно приобрела новое значение. Раньше она была одной из других волновых скоростей, таких как скорость звука в воздухе или в воде, или скорость поверхностных волн в воде. Но Клерк Максвелл обнаружил, что все электромагнитные влияния распространяются со скоростью света, и теперь современная физическая наука наполовину подозревает, что электромагнитные влияния — это единственные физические влияния, которые связывают изменения в физическом мире. Соответственно, скорость света становится фундаментальной естественной скоростью, и эксперимент показывает, что наше суждение о ее величине не зависит от нашего выбора системы отсчета в состоянии покоя, пока мы придерживаемся набора динамических осей. Эти эксперименты со светом были подтверждены другими электромагнитными экспериментами, не связанными со светом.

Таким образом, мы приходим к уравнениям (II), где V — скорость света.

Первый вывод, который можно сделать из уравнений (II), заключается в том, что два человека, которые делают разный выбор тел в состоянии покоя, будут расходиться в своих измерительных стержнях описанным выше образом. В этом нет никакой особой трудности. Удивительно лишь то, что все люди так хорошо согласуются в своих суждениях относительно метрических систем. Математический ангел естественно ожидал бы, что воплощенные люди будут находиться в яростном разногласии по этому вопросу.

Но случай со временем иной. Для простоты изложения мы говорим об А в точке O и B в точке O′. Мы помним, что O′ движется относительно O со скоростью v в направлении OO′. Предположим, что А и B смотрят в этом направлении; и они оба измеряют свое время с момента, когда они встретились, когда O′ прошел мимо O. Тогда мы имеем

Теперь предположим, что мы рассматриваем все события во всем пространстве, которые, по мнению А, произошли одновременно в момент времени t. События этого набора, которые произошли где-либо на плоскости, перпендикулярной OO′, на расстоянии x перед O (согласно расчетам А), произошли согласно расчетам B в момент времени T, как указано выше. Давайте сосредоточим наше внимание на том факте, что B не считает все эти события одновременными. Ибо пусть T1 и T2 будут временами B для таких событий на плоскостях x1 и x2. Тогда

Таким образом, если x2 больше x1, T2 меньше T1. Следовательно, B судит, что более отдаленные события перед ним произошли раньше, чем более близкие события перед ним, и наоборот для событий позади. Это нарушение суждения об одновременности является фундаментальным фактом. Очевидно, что измерение временных интервалов — это деталь по сравнению с одновременностью. А может считать проповедь длинной, а B может считать ее короткой, но, по крайней мере, они оба должны согласиться, что она закончилась, когда стрелка часов указала на час. Хуже всего то, что, насколько можно применить какой-либо тест, не существует метода различения между обоснованностью их суждений.

Таким образом, мы сталкиваемся с двумя различными концепциями общего мира: пространственно-временной концепцией А и пространственно-временной концепцией B. Кто прав? Нет смысла ждать ответа. Мы должны последовать примеру мудрого римлянина и перейти к другим вещам.

Таким образом, оценки количества в пространстве и времени, и, в некоторой степени, даже оценки порядка, зависят от индивидуального наблюдателя. Но каковы грубые результаты чувственного опыта, помимо того мира воображаемой реконструкции, который для каждого из нас имеет лучшие основания называться нашим реальным миром? Здесь вступает экспериментальный психолог. Мы не можем от него уйти. Я хотел бы, чтобы мы могли, ибо его ужасно трудно понять. Кроме того, иногда его знание принципов математики довольно слабое, и я иногда подозреваю—— Нет, я не буду говорить, что я иногда думаю: вероятно, он с таким же основанием думает то же самое о нас.

Я, однако, рискну суммировать выводы, которые, как я полагаю, гармонируют с экспериментальными данными, как физическими, так и психологическими, и которые, безусловно, подсказываются материалами для той ненаписанной главы по математической логике, которую я уже рекомендовал вашему вниманию. Концепции пространства, времени и количества поддаются анализу на пучки более простых концепций. В любом данном чувственном опыте не является необходимым или даже обычным, чтобы применялся весь полный пучок таких концепций. Например, концепция внешности может применяться без концепции линейного порядка, а концепция линейного порядка может применяться без концепции линейного расстояния.

Опять же, абстрактная математическая концепция пространственного отношения может смешивать различные концепции, которые применяются к данным восприятиям. Например, линейный порядок в смысле линейной проекции от наблюдателя отличается от линейного порядка в смысле ряда объектов, растянувшихся поперек линии зрения.

Математическая физика предполагает данный мир определенно связанных объектов, а различные пространственно-временные системы являются альтернативными способами выражения этих отношений в виде концепций в форме, которая также применима к непосредственному опыту наблюдателей.

Тем не менее, должен быть один способ выражения отношений между объектами в общем внешнем мире. Альтернативные методы могут возникнуть только как результат альтернативных точек зрения; то есть как результат того, что нечто, добавленное наблюдателем, остается (как бы) во вселенной.

Но такой способ осмысления мира физической науки, как состоящего из гипотетических объектов, оставляет его просто сказкой. Что действительно актуально, так это непосредственные переживания. Задача дедуктивной науки — рассмотреть концепции, которые применяются к этим данным опыта, а затем рассмотреть концепции, относящиеся к этим концепциям, и так далее до любой необходимой степени уточнения. По мере того как наши концепции становятся более абстрактными, их логические отношения становятся более общими и менее подверженными исключениям. С помощью этой логической конструкции мы наконец приходим к концепциям, (i) которые имеют определенные примеры в опыте индивидов, и (ii) чьи логические отношения обладают особой гладкостью. Например, концепции математического времени, математического пространства — это такие гладкие концепции. Никто не живет в «бесконечном данном целом», но в наборе фрагментарных переживаний. Проблема состоит в том, чтобы представить концепции математического пространства и времени как необходимый результат этих фрагментов посредством процесса логического построения. То же самое касается и других физических концепций. Этот процесс строит общий мир концепций из фрагментарных миров опыта. Материальные пирамиды Египта — это концепция, актуальны же фрагментарные переживания народов, которые созерцали их.

Поскольку наука стремится избавиться от гипотез, она не может выйти за рамки этих общих логических конструкций. Для науки, понятой таким образом, рассмотренные выше расходящиеся временные порядки не представляют никакой трудности. Различные временные системы просто регистрируют различные отношения математического конструкта к тем индивидуальным переживаниям (актуальным или гипотетическим), которые могли бы существовать как грубый материал, из которого разрабатывается конструкт.

Но в конце концов должно быть возможно так разработать математический конструкт, чтобы исключить специфическую отсылку к конкретным переживаниям. Каковы бы ни были данные опыта, должно быть нечто, что можно сказать о них в целом, и это нечто — утверждение общих свойств общего мира. Трудно поверить, что при надлежащем обобщении время и пространство не будут найдены среди таких свойств.

Комментарий, добавленный при чтении доклада перед Аристотелевским обществом

Первые шесть страниц доклада состоят из резюме идей, которые должны быть в наших умах при рассмотрении проблем времени и пространства. Идеи в основном философские, и резюме было составлено дилетантом в этой науке; поэтому нет причин приписывать ему какое-либо значение, кроме значения скромного напоминания. В этом резюме есть только два пункта, на которые я хотел бы обратить внимание.

На стр. 192 и 193 встречается—

«Где бы человечество ... бесконечная равномерная последовательность».

Если я правильно понимаю Канта — что, признаю, весьма проблематично, — он утверждает, что в акте опыта мы осознаем пространство и время как ингредиенты, необходимые для возникновения опыта. Я бы предложил — довольно робко — придать этой доктрине другой поворот, который фактически поворачивает ее в противоположном направлении, а именно: что в акте опыта мы воспринимаем целое, образованное связанными дифференцированными частями. Отношения между этими частями обладают определенными характеристиками, а время и пространство являются выражением некоторых характеристик этих отношений. Тогда общность и равномерность, которые приписываются времени и пространству, выражают то, что можно назвать равномерностью текстуры опыта.

Успех человечества — пусть и скромный — в дедукции равномерных законов природы является, насколько это возможно, свидетельством того, что эта равномерность текстуры выходит за рамки тех характеристик данных опыта, которые выражаются как время и пространство. Время и пространство необходимы для опыта в том смысле, что они являются характеристиками нашего опыта; и, конечно, никто не может иметь наш опыт, не сталкиваясь с ними. Я не вижу, чтобы дедукция Канта сводилась к чему-то большему, чем утверждение, что «то, что есть, есть» — верно, но не очень полезно.

Но я признаю, что то, что я назвал «равномерностью текстуры опыта», является самым любопытным и поразительным фактом. Я вполне готов поверить, что это просто иллюзия; и позже в докладе я предполагаю, что эта равномерность не принадлежит непосредственным отношениям грубых данных опыта, а является результатом замены их более утонченными логическими сущностями, такими как отношения между отношениями, или классы отношений, или классы классов отношений. Этим способом можно продемонстрировать — я думаю, — что равномерность, которую необходимо приписать опыту, имеет гораздо более абстрактный, ослабленный характер, чем обычно допускается. Этот процесс возведения равномерного времени и пространства физического мира в статус логических абстракций также имеет преимущество признания другого факта, а именно крайне фрагментарного характера всего непосредственного индивидуального опыта.

Мой тезис в этом отношении заключается в том, что фрагментарные индивидуальные переживания — это все, что мы знаем, и что всякая спекуляция должна начинаться с этих disjecta membra как своего единственного данного. Неверно, что мы непосредственно осознаем гладко текущий мир, который в наших спекуляциях мы должны считать данным. На мой взгляд, создание мира — это первый бессознательный акт спекулятивного мышления; и первая задача самосознательной философии — объяснить, как это было сделано.

Существует примерно два конкурирующих объяснения. Одно — утверждать мир как постулат. Другой путь — получить его как дедукцию, не дедукцию через цепь рассуждений, а дедукцию через цепь определений, которая, по сути, поднимает мышление на более абстрактный уровень, на котором логические идеи более сложны, а их отношения более универсальны. Таким образом, разбитые ограниченные переживания поддерживают тот связанный бесконечный мир, в котором мы живем в своих мыслях. Есть еще три замечания, которые я хотел бы сделать по этому поводу—

(i) Тот факт, что непосредственный опыт способен к этой дедуктивной надстройке, должен означать, что он сам по себе обладает определенной равномерностью текстуры. Так что этот великий факт все еще остается.

(ii) Я не хочу отрицать мир как постулат. Говоря без предубеждения, я не вижу, как в нашем нынешнем элементарном состоянии философского прогресса мы можем обойтись без промежуточных аксиом, которые, по сути, мы привычно предполагаем.

Моя позиция заключается в том, что путем тщательного изучения мы должны исключить такие постулаты из каждой части нашего организованного знания, в которой возможно обойтись без них.

Теперь, физическая наука организует наше знание отношений между результатами наших различных чувств. Я считаю, что в этой области знания такие постулаты, хотя их не следует полностью исключать, могут быть сведены к минимуму описанным мною способом.

У меня нет ни малейшего знания теорий относительно наших эмоций, привязанностей и моральных чувств, и я вполне могу поверить, что при работе с ними требуются дополнительные постулаты. И на практике я признаю, что мы все делаем такие постулаты, некритически.

(iii) Следующие параграфы на стр. 193 и 194 таковы—

«Противоположный философский метод ... физическая наука».

Следует отметить, что в свете того, что только что было сказано, первый из этих параграфов (который, я надеюсь, верно выражает экспериментальный способ подхода к проблеме) действительно затушевывает момент, который я пытался подчеркнуть. Фраза «Если мы сформируем точные концепции точек и т. д.» фатально двусмысленна между методом постулирования сущностей с назначенными отношениями и методом формирования логических конструкций, и, таким образом, достижения точек и т. д. как результата цепи определений.

Переходя теперь к стр. 194-195, мы подходим к следующим параграфам—

«Другая теория ... восемнадцатый век».

Мы снова отмечаем, что реляционная теория пространства с другой точки зрения возвращает нас к идее фундаментальных пространственных сущностей как логических конструктов из отношений между вещами. Разница в том, что этот параграф написан с более развитой точки зрения, поскольку он неявно предполагает вещи в пространстве и концептуализирует пространство как выражение некоторых из их отношений. Объединяя этот параграф с тем, что было раньше, мы видим, что предлагаемая процедура состоит в том, чтобы сначала определить «вещи» в терминах данных опыта, а затем определить пространство в терминах отношений между вещами.

Эта процедура прямо предполагается в следующем коротком параграфе: «В этой связи ... из событий».

Суть оставшихся параграфов этого раздела содержится в параграфе внизу стр. 196: «Точка во времени ... новое значение».

Предложение «Мы живем в длительностях, а не в точках» может быть дополнено добавлением: «Мы живем в пространственных расширениях, а не в пространственных точках».

Следует отметить, что «целое и часть» применительно к расширениям в пространстве или времени должны отличаться от «всего и некоторого» логики, если только мы не признаем точки фундаментальными сущностями. Ибо «пространственное целое и пространственная часть» могут означать «все и некоторые» только в том случае, если они действительно означают «все точки и некоторые точки». Но если расширения и их отношения более фундаментальны, чем точки, эта интерпретация исключается. Я предполагаю, что «пространственное целое и пространственная часть» тесно связаны с фундаментальным отношением между вещами, из которого проистекают наши пространственные идеи.

Отношение пространственного целого к пространственной части имеет много формальных свойств, которые идентичны свойствам «всего и некоторого». Также, когда точки были определены, мы можем заменить его концепцией «всех точек и некоторых точек». Но путаница между этими двумя отношениями фатальна для здравых взглядов на предмет.

Различные евклидовы системы измерения

Следующий раздел посвящен системам измерения, применимым к пространству.

Система измерения — это группа конгруэнтных преобразований пространства в само себя. Рассмотрим твердое тело, занимающее все пространство. Пусть это тело перемещается любым образом так, что частицы тела, которые занимали точки P1, P2, P3 и т. д., теперь занимают точки Q1, Q2, Q3 и т. д. Тогда любая точка P1 в пространстве однозначно связана с соответствующей точкой Q1 в пространстве посредством взаимно однозначного преобразования с определенными характеристиками. С помощью этих преобразований мы можем достичь определения расстояния таким образом, который определенно определяет расстояние между любыми двумя точками, при условии, что мы можем определить, что мы подразумеваем под конгруэнтным преобразованием, не вводя идею расстояния. Если бы мы ввели идею расстояния, мы бы просто сказали, что конгруэнтное преобразование — это такое, которое оставляет все расстояния неизменными, т. е. если P1, P2 преобразуются в Q1, Q2, то расстояние P1P2 равно расстоянию Q1Q2.

Но математикам удалось определить конгруэнтные преобразования без какой-либо отсылки к расстоянию.

Существуют альтернативные группы таких конгруэнтных преобразований, и каждая группа дает различную систему измерения для пространства. Расстояние P1P2 может быть равно расстоянию Q1Q2 для одной системы измерения и не будет равно ему для другой системы измерения. Все эти различные системы измерения находятся на одном уровне, одинаково применимы. Существо с достаточно сильной головой могло бы думать о них всех сразу как о применимых к пространству. Результат, насколько он интересует нас в отношении теории относительности, объясняется на стр. 197-200, заканчиваясь словами «Самый необычайный факт ... та же метрическая система». Это последнее предложение относится к утверждению Пуанкаре о том, что принятая система измерения является чисто «конвенциональной». Я предполагаю, что под «конвенциональной» подразумевается определенная произвольность выбора; и в этом случае я должен выразить полное несогласие. Это правда, что в кругу геометрических идей нет способа отдать предпочтение какой-либо одной системе измерения, и любая из них так же хороша, как и любая другая. Но неверно, что если мы посмотрим на нормальное колесо кареты и на овальную кривую шириной в один фут и длиной в десять футов, мы испытаем какую-либо произвольность суждения при решении, какая из них имеет приблизительно форму круга. Согласно Пуанкаре, выбор между ними как представляющими круг является полностью конвенциональным.

Опять же, мы в равной степени формируем непосредственные суждения о том, является ли тело приблизительно твердым. Мы знаем, что брусчатка твердая, а гармошка не твердая. Это опять же требует определенной системы измерения, выбранной из числа других.

Соответственно, мы заключаем, что (i) каждое существо действительно использует определенную систему измерения, которая остается неизменной, за исключением, возможно, очень малых вариаций, и (ii) системы измерения разных людей согласуются в пределах наших наблюдений. Эти выводы не менее необычны от того, что ни один простой человек никогда не сомневался в них.

Интересно исследовать, каковы именно фундаментальные равномерности опыта, которые делают этот вывод необходимым. Это не так просто, как кажется, поскольку мы должны лишить себя всей помощи научной гипотезы, если наши выводы должны быть доказательными.

Относительность в современной физике

Стр. 201-202, «Благодаря тому факту ... что B так рассматривает».

Фундаментальные формулы для теории относительности — это отношения между различными системами координат, приведенные на стр. 203, и формулы II внизу стр. 207. Общее объяснение одного метода, которым возникают эти формулы, — а именно метода Эйнштейна, — дано на стр. 201-211. А именно, мы ищем условие, чтобы для всех динамических осей скорость света была одинаковой и одинаковой во всех направлениях. Следует отметить, что эксперименты, которые, насколько они идут, подтверждают эти формулы, могут быть объяснены и другим способом, который делает теорию относительности ненужной. Нам нужно только приписать эфиру определенное свойство сжатия в направлении движения, и дело сделано. Поэтому никого не нужно принуждать к принятию довольно странной доктрины относительности, как и любой другой научной генерализации. Старый добрый привычный эфир, который мы все знаем, может в этом случае послужить цели. Подобно тому, как автор гения, если он живет достаточно долго, переживает неизбежное обвинение в аморальности, так и эфир благодаря настойчивости пережил всякую репутацию экстравагантности. Но если мы отделим себя от бойкой фразеологии о нем, научный эфир необычайно похож на примитивное объяснение души как маленького человечка внутри нас, которого иногда можно поймать убегающим в виде бабочки. Как только эфир приходится латать специальными свойствами для объяснения специальных экспериментов, его научное использование проблематично, а философское использование равно нулю.

Философски эфир кажется мне амбициозной попыткой дать полное объяснение физической вселенной, заставив слона стоять на черепахе. Научно он имеет вполне адекватное использование, вуалируя крайне абстрактный характер научных генерализаций под мифом, который позволяет нашему воображению работать более свободно. Я не выступаю за исключение эфира из нашей научной фразеологии, даже если в особых точках нам приходится от него отказываться.

Но ключ к причинам, по которым стоит серьезно рассмотреть доктрину относительности, можно найти на стр. 209, 210: «Опять же, скорость света ... не вовлекающая свет». А именно, мы начали подозревать, что все физические влияния требуют времени для своего распространения в пространстве. Эта генерализация далека от доказательства. Гравитация стоит как лев на пути. Но если это так, то всякая идея непосредственного представления нам аспекта мира таким, какой он есть на самом деле, должна быть обязательно отброшена. То, что мы воспринимаем в любой момент, — это уже древняя история, с безнадежно смешанными датами различных частей.

Мы должны добавить к этому трудность определения того, что находится в покое, а что в движении, и дальнейшую трудность определения определенного равномерного потока времени. Нет смысла обсуждать этот вопрос так, как будто, если бы не глупая экстравагантная доктрина относительности, все было бы просто. Это не так. Вы можете быть совершенно уверены, что когда после длительного изучения вы попытаетесь дать самое простое объяснение серьезной трудности, вас обвинят в экстравагантности. Я не несу ответственности за доктрину относительности и не держусь за нее, но она имеет некоторые претензии на то, чтобы считаться сравнительно простым выходом из научного лабиринта.

Во-первых, мы используем ньютоновские динамические наборы осей и ньютоновские часы, чтобы частично выбраться из трудностей покоя, движения и времени. Они оказались способными к научному определению в пределах нашей экспериментальной точности. Таким образом, единственное, что остается, — это выбор осей в состоянии покоя, что является полностью неопределенной проблемой на принципах Ньютона.

Опять же, насколько мы можем сейчас догадываться, принимая теорию о том, что все метрическое влияние является электромагнитным, все влияния распространяются со скоростью света в вакууме. Эта электромагнитная гипотеза отнюдь не установлена, но она дает самый простой из всех возможных результатов в отношении распространения влияния, который мы поэтому принимаем.

Но какие динамические оси мы принимаем за покоящиеся? Наш практический выбор дает диапазон относительных скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Поэтому, за исключением некоторых уточненных экспериментов, это не имеет значения. Есть две возможности—

(i) Мы можем предположить, что один набор осей находится в покое, а другие будут показывать следы движения по отношению к скорости света; или—

(ii) Что скорость света одинакова во всех направлениях, какие бы динамические оси ни предполагались.

Первое предположение опровергается экспериментом, и поэтому мы вынуждены перейти ко второму предположению; которое немедленно приводит нас ко всей теории относительности.

Но если мы не хотим этой теории, мы должны отвергнуть более раннее предположение о том, что скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях. Мы делаем это, по сути, предполагая эфир и предполагая определенный закон для его модификации. Тогда мы, по сути, принимаем первое предположение настолько, чтобы утверждать, что существуют динамические оси, специально находящиеся в покое, а именно в покое относительно невозмущенного эфира. Тогда предполагаемый закон для модификации эфира так изменяет скорость света, что мы объясняем, почему никакие динамические оси не показывают следов движения.

Я хочу теперь вернуться к пункту, который я сделал несколько минут назад, что то, что мы воспринимаем в любой момент, — это древняя история с безнадежно смешанными датами. В первой части моих комментариев я подчеркнул тот факт, что наши единственные данные о физическом мире — это наши чувственные восприятия. Мы не должны впадать в заблуждение, предполагая, что мы сравниваем данный мир с данными восприятиями его. Физический мир — это в некотором общем смысле термина дедуцированная концепция.

Наша проблема, по сути, состоит в том, чтобы подогнать мир к нашим восприятиям, а не наши восприятия к миру.

ОТПЕЧАТАНО В ВЕЛИКОБРИТАНИИ КОМПАНИЕЙ RICHARD CLAY & SONS, LIMITED, BRUNSWICK ST., STAMFORD ST., S.E., AND BUNGAY, SUFFOLK.

ИЗ СПИСКА WILLIAMS & NORGATE

ДУХОВНОЕ ПАЛОМНИЧЕСТВО. Преподобный Р. Дж. КЭМПБЕЛЛ. (Собственная история религиозной жизни преподобного Р. Дж. Кэмпбелла.) 2-е издание. Demy 8vo. 7с. 6д. нетто.

«Это в высшей степени книга, за которую стоит быть благодарным — простая, прямолинейная, добрая. Ей также не чужда спасительная благодать юмора». — Guardian.

«Мистер Кэмпбелл посвящает главу своей повторной ординации, и следует признать, что его защита этого акта эффективна». — Methodist Times.

ЭДИНБУРГ. Достопочтенный сэр ГЕРБЕРТ МАКСВЕЛЛ, баронет, D.C.L., автор «Жизни герцога Веллингтона», «Шотландских садов» и т. д. Президент Общества антикваров Шотландии, 1910-13 гг., и председатель Королевской комиссии по шотландским историческим памятникам. С цветным фронтисписом и 64 страницами иллюстраций города прошлого и настоящего. Medium 8vo. 10с. 6д. нетто.

История шотландской столицы с древнейших времен до девятнадцатого века.

ДАЛЬНЕЙШИЕ СТРАНИЦЫ МОЕЙ ЖИЗНИ. Преосвященный У. БОЙД КАРПЕНТЕР, K.C.V.O., D.D., D.C.L., бывший епископ Рипона, автор «Некоторых страниц моей жизни», «Свидетельства религиозного опыта» и т. д. С иллюстрациями. Medium 8vo. 10с. 6д. нетто.

Размышления, смешанные с интимными воспоминаниями и реминисценциями о королевских особах и людях, выдающихся во многих сферах.

НЕКОТОРЫЕ СТРАНИЦЫ МОЕЙ ЖИЗНИ. Преосвященный У. БОЙД КАРПЕНТЕР. Новое и более дешевое издание. Large post 8vo. 5с. нетто.

Все, кто слушал его красноречивые проповеди, с восторгом прочтут его размышления о том, что жизнь принесла автору.

РАФАЭЛЬ МЕЛЬДОЛА, почетный D.Sc. (Оксфорд), почетный LL.D. (Сент-Эндрюс), F.R.S., профессор химии в Техническом колледже Сити и Гильдий Лондона. Воспоминания о его достоинствах и работе, написанные теми, кто его знал, вместе с хронологическим списком его публикаций (1868-1915). Под редакцией ДЖЕЙМСА МАРЧАНТА. С предисловием достопочтенного ЛОРДА МОУЛТОНА, K.C.B., F.R.S. С портретом. Crown 8vo. 5с. нетто.

«Книга является одной из самых восхитительных биографий ученых, опубликованных за последние годы». — Chemist and Druggist.

ИЗГОТОВЛЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА. Элементарное исследование источников истории. Дж. У. ДЖЕДУАЙН, LL.B. (Кембридж), Линкольнс-Инн, барристер, автор «Первых двенадцати веков британской истории» и других работ. Crown 8vo. 6с. нетто.

Рассмотрение последовательных фаз исторических исследований; объясняет необходимые процессы, через которые должен пройти весь материал, прежде чем он будет представлен нам как история.

ЛОНДОН: WILLIAMS AND NORGATE

НЕКОТОРЫЕ КНИГИ О РОССИИ И ПОЛЬШЕ

С цветным фронтисписом, 12 фотогравюрами, 28 иллюстрациями в тексте и 8 картами. Demy 8vo. 7с. 6д. нетто (почтовые расходы 6д. дополнительно).

Тысяча лет русской истории

СОНЯ Е. ХОУ.

«Мы можем рекомендовать этот том как отличную, тщательную и хорошо написанную историю великой нации». — Daily Telegraph.

Demy 8vo. Тканевый переплет, 6с. нетто.

Лжедмитрий

Русский роман и трагедия. Описано британскими очевидцами, 1604-1612 гг.

Под редакцией и с предисловием СОНИ Е. ХОУ.

Иллюстрировано репродукциями портретов современников.

«С более чем легким налетом атмосферы, которую Хаклюйт привнес в свой знаменитый том». — Northern Whig.

«Особого интереса в настоящее время». — Oxford Chronicle.

С 16 таблицами и 28 иллюстрациями в тексте. Demy 8vo. 7с. 6д. нетто.

Некоторые русские герои, святые и грешники

Портретная галерея выдающихся фигур русской истории, типичных для своего времени и своей страны.

СОНЯ Е. ХОУ.

«Дает яркое исследование России ... и интересная книга». — Land and Water.

Fcap. 8vo. Тканевый переплет, 1с. 3д. нетто. В цельнокожаном подарочном переплете, 2с. 6д. нетто.

Очерк русской литературы

Достопочтенный МОРИС БЕРИНГ,

Автор «С русскими в Маньчжурии», «Год в России», «Русский народ» и т. д.

∵ Дает ясный и интересный отчет о развитии русской литературы.

Fcap. 8vo. Тканевый переплет, 1с. 3д. нетто. В цельнокожаном переплете, 2с. 6д. нетто.

Польша

У. АЛИСОН ФИЛЛИПС, M.A.,

Профессор современной истории имени Леки в Дублинском университете.

∵ Краткий обзор истории Польши до 1915 года.

ЛОНДОН: WILLIAMS AND NORGATE 14 HENRIETTA STREET, COVENT GARDEN, W.C.

ПРИМЕЧАНИЯ ТРАНСКРИПТОРА

Простые опечатки были исправлены без уведомления; несбалансированные кавычки были исправлены, когда изменение было очевидным, в противном случае оставлены несбалансированными.

Пунктуация, дефисы и написание были приведены к единообразию, когда в оригинальной книге было найдено преобладающее предпочтение; в противном случае они не менялись.