ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ.

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ;

ПЕРЕВЕДЕНО ИЗ «КУРСА ПОЗИТИВНОЙ ФИЛОСОФИИ» ОГЮСТА КОНТА,

У. М. ДЖИЛЛЕСПИ, ПРОФЕССОРОМ ГРАЖДАНСКОГО СТРОИТЕЛЬСТВА И АДЪЮНКТ-ПРОФЕССОРОМ МАТЕМАТИКИ В ЮНИОН-КОЛЛЕДЖЕ.

NEW YORK:
HARPER & BROTHERS, PUBLISHERS,
82 CLIFF STREET
1851.

Зарегистрировано в соответствии с Актом Конгресса в тысяча восемьсот пятьдесят первом году издательством Harper & Brothers в канцелярии окружного суда Южного округа Нью-Йорка.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Удовольствие и польза, полученные переводчиком от великого труда, представленного здесь, побудили его предложить его вниманию своих коллег-преподавателей и студентов математики в более доступной форме, чем та, в которой он до сих пор появлялся. Потребность в исчерпывающей карте обширной области математической науки — взгляде с высоты птичьего полета на ее главные особенности, а также на истинное положение и взаимосвязи всех ее частей — ощущается каждым вдумчивым студентом. Он подобен посетителю великого города, который не получает верного представления о его размерах и расположении, пока не увидит его с какой-нибудь господствующей высоты. Панорамный вид на весь район, представляющий одним взглядом все части в надлежащей координации, с четко показанными самыми темными уголками, бесценен как для путешественника, так и для студента. Именно это было наиболее совершенно достигнуто для математической науки автором, чей труд здесь представлен.

Ясность и глубина, всесторонность и точность, возможно, никогда не были столь замечательно объединены, как у Огюста Конта. Он рассматривает свой предмет с высоты, которая придает каждой части сложного целого ее истинное положение и значение, в то время как его телескопический взгляд не упускает ни одной необходимой детали и не только сам проникает в суть дела, но и превращает его непрозрачность в такой прозрачный кристалл, что другие глаза могут видеть в нем так же глубоко, как и его собственные.

Любому математику, который прочтет этот том, не потребуется иного оправдания высокого мнения, выраженного здесь; но другие могут оценить следующие одобрения известных авторитетов. Милль в своей «Логике» называет работу г-на Конта «безусловно величайшей из всех, созданных до сих пор по философии наук», и добавляет: «из этого замечательного труда одной из самых замечательных частей является та, в которой, можно истинно сказать, он создал философию высшей математики». Морелл в своей «Спекулятивной философии Европы» говорит: «Классификация наук в целом и их регулярный порядок развития, несомненно, являются шедевром научного мышления, столь же простого, сколь и всеобъемлющего»; а Льюис в своей «Биографической истории философии» называет Конта «Бэконом девятнадцатого века» и говорит: «Я без колебаний записываю свое убеждение, что это величайший труд нашего века».

Полный труд г-на Конта — его «Курс позитивной философии» — занимает шесть больших томов формата октаво, по шестьсот или семьсот страниц каждый, причем две трети первого тома составляют чисто математическую часть. Огромный объем «Курса» является вероятной причиной немногочисленности тех, кому известен даже этот его раздел. Поэтому переводчик считает представление его в нынешнем виде весьма полезным вкладом в математический прогресс в этой стране. Всесторонность стиля автора — охватывающего все возможные формы идеи в одном бриареевском предложении, вооруженном со всех сторон против оставления какой-либо лазейки для ошибки или забывчивости — временами граничит с громоздкостью и формальностью. Переводчик поэтому иногда брал на себя смелость разбивать или сокращать длинное предложение и опускать несколько пассажей, не являющихся абсолютно необходимыми или относящихся к специфической «позитивной философии» автора; но в целом он стремился к добросовестной верности оригиналу. Часто было трудно сохранить его тонкие оттенки и едва уловимые различия в значении и в то же время заменить специфически подходящие французские идиомы соответствующими английскими. Попытка, однако, была сделана всегда, хотя, когда лучший путь был хоть сколько-нибудь сомнительным, язык оригинала соблюдался как можно ближе, а когда это было необходимо, плавность и изящество без колебаний приносились в жертву более высоким атрибутам ясности и точности.

Некоторые формы выражения могут показаться читателю необычными, но они были сохранены, потому что они были характерны не просто для языка оригинала, а для его духа. Когда великий мыслитель облек свои концепции в фразы, которые являются своеобразными даже на его собственном языке, тот, кто берется переводить его, обязан верно сохранить такие формы речи, насколько это практически возможно; и это было сделано здесь в отношении таких особенностей выражения, которые принадлежат автору не как иностранцу, а как личности — не потому, что он пишет по-французски, а потому, что он — Огюст Конт.

Молодому студенту математики не следует пытаться прочитать весь этот том сразу, но следует изучать каждую его часть в связи с текущим предметом своего специального изучения: первую главу первой книги, например, во время изучения алгебры; первую главу второй книги, когда он достигнет некоторого прогресса в геометрии; и так далее с остальными. Пассажи, которые непонятны при первом чтении, прояснятся при втором; и по мере того, как его собственные занятия будут охватывать большую часть области математики, он будет все яснее видеть их отношения друг к другу и к тем, к которым ему предстоит перейти. Для этой цели ему настоятельно рекомендуется достичь совершенного знакомства с «Аналитическим оглавлением», которое намечает весь предмет, главные деления которого также указаны в Табличном обзоре, расположенном напротив титульного листа. Соответствующие заголовки будут найдены в основном тексте работы, причем главные деления набраны капителью, а подразделения — курсивом. За эти детали ответственность несет только переводчик.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

    Страница

ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКЕ 17

Объект математики 18

Измерение величин 18

Трудности 19

Общий метод 20

Иллюстрации 21

1. Падающие тела 21

2. Недоступные расстояния 23

3. Астрономические факты 24

Истинное определение математики 25

Наука, а не искусство 25

Ее два фундаментальных деления 26

Их различные объекты 27

Их различная природа 29

Конкретная математика 31

Геометрия и механика 32

Абстрактная математика 33

Исчисление, или анализ 33

Объем ее области 35

Ее универсальность 36

Ее ограничения 37

КНИГА I. АНАЛИЗ.

ГЛАВА I.

    Страница

ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 45

Истинная идея уравнения 46

Деление функций на абстрактные и конкретные 47

Перечисление абстрактных функций 50

Деления исчисления 53

Исчисление значений, или арифметика 57

Ее объем 57

Ее истинная природа 59

Исчисление функций 61

Два способа получения уравнений 61

1. По отношениям между данными величинами 61

2. По отношениям между вспомогательными величинами 64

Соответствующие деления исчисления функций 67

ГЛАВА II.

ОБЫКНОВЕННЫЙ АНАЛИЗ; ИЛИ, АЛГЕБРА. 69

Ее объект 69

Классификация уравнений 70

Алгебраические уравнения 71

Их классификация 71

Алгебраическое решение уравнений 72

Его пределы 72

Общее решение 72

Что мы знаем в алгебре 74

Численное решение уравнений 75

Его ограниченная полезность 76

Различные деления двух систем 78

Теория уравнений 79

Метод неопределенных коэффициентов 80

Мнимые величины 81

Отрицательные величины 81

Принцип однородности 84

ГЛАВА III.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЙ АНАЛИЗ: его различные концепции 88

Предварительные замечания 88

Его ранняя история 89

Метод Лейбница 91

Бесконечно малые элементы 91

Примеры:

1. Касательные 93

2. Выпрямление дуги 94

3. Квадратура кривой 95

4. Скорость при переменном движении 95

5. Распределение тепла 96

Общность формул 97

Обоснование метода 98

Иллюстрация касательными 102

Метод Ньютона 103

Метод пределов 103

Примеры:

1. Касательные 104

2. Выпрямления 105

Флюксии и флюенты 106

Метод Лагранжа 108

Производные функции 108

Расширение обыкновенного анализа 108

Пример: Касательные 109

Фундаментальная тождественность трех методов 110

Их сравнительная ценность 113

Метод Лейбница 113

Метод Ньютона 115

Метод Лагранжа 117

ГЛАВА IV.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 120

Его два фундаментальных деления 120

Их отношения друг к другу 121

1. Использование дифференциального исчисления как подготовительного к интегральному 123

2. Применение только дифференциального исчисления 125

3. Применение только интегрального исчисления 125

Три класса вопросов, отсюда вытекающих 126

Дифференциальное исчисление 127

Два случая: явные и неявные функции 127

Два подслучая: одна переменная или несколько 129

Два других случая: функции раздельные или комбинированные 130

Сведение всего к дифференцированию десяти элементарных функций 131

Преобразование производных функций для новых переменных 132

Различные порядки дифференцирования 133

Аналитические приложения 133

Интегральное исчисление 135

Его фундаментальное деление: явные и неявные функции 135

Подразделения: одна переменная или несколько 136

Исчисление частных разностей 137

Другое подразделение: различные порядки дифференцирования 138

Другое эквивалентное различие 140

Квадратуры 142

Интегрирование трансцендентных функций 143

Интегрирование по частям 143

Интегрирование алгебраических функций 143

Особые решения 144

Определенные интегралы 146

Перспективы интегрального исчисления 148

ГЛАВА V.

ИСЧИСЛЕНИЕ ВАРИАЦИЙ 151

Задачи, порождающие его 151

Обыкновенные вопросы о максимумах и минимумах 151

Новый класс вопросов 152

Тело наименьшего сопротивления; брахистохрона; изопериметры 153

Аналитическая природа этих вопросов 154

Методы старых геометров 155

Метод Лагранжа 156

Два класса вопросов 157

1. Абсолютные максимумы и минимумы 157

Уравнения пределов 159

Более общее соображение 159

2. Относительные максимумы и минимумы 160

Другие приложения метода вариаций 162

Его отношения к обыкновенному исчислению 163

ГЛАВА VI.

ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 167

Его общий характер 167

Его истинная природа 168

Общая теория рядов 170

Его тождественность с этим исчислением 172

Периодические или разрывные функции 173

Приложения этого исчисления 173

Ряды 173

Интерполяция 173

Приближенное выпрямление и т. д. 174

КНИГА II. ГЕОМЕТРИЯ.

ГЛАВА I.

ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА ГЕОМЕТРИЮ 179

Истинная природа геометрии 179

Две фундаментальные идеи 181

1. Идея пространства 181

2. Различные виды протяженности 182

Конечный объект геометрии 184

Природа геометрического измерения 185

О поверхностях и объемах 185

О кривых линиях 187

О прямых линиях 189

Бесконечный объем ее области 190

Бесконечность линий 190

Бесконечность поверхностей 191

Бесконечность объемов 192

Аналитическое изобретение кривых и т. д. 193

Расширение первоначального определения 193

Свойства линий и поверхностей 195

Необходимость их изучения 195

1. Чтобы найти наиболее подходящее свойство 195

2. Чтобы перейти от конкретного к абстрактному 197

Иллюстрации:

Орбиты планет 198

Фигура Земли 199

Два общих метода геометрии 202

Их фундаментальное различие 203

1°. Различные вопросы в отношении одной и той же фигуры 204

2°. Похожие вопросы в отношении различных фигур 204

Геометрия древних 204

Геометрия современных 206

Превосходство современной 207

Древняя — основа современной 209

ГЛАВА II.

ДРЕВНЯЯ ИЛИ СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 212

Ее надлежащий объем 212

Линии; многоугольники; многогранники 212

Не должна быть ограничена далее 213

Ненадлежащее применение анализа 214

Попытки доказательств аксиом 216

Геометрия прямой линии 217

Графические решения 218

Начертательная геометрия 220

Алгебраические решения 224

Тригонометрия 225

Два метода введения углов 226

1. Дугами 226

2. Тригонометрическими линиями 226

Преимущества последних 226

Ее деление тригонометрических вопросов 227

1. Отношения между углами и тригонометрическими линиями 228

2. Отношения между тригонометрическими линиями и сторонами 228

Увеличение тригонометрических линий 228

Изучение отношений между ними 230

ГЛАВА III.

СОВРЕМЕННАЯ ИЛИ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 232

Аналитическое представление фигур 232

Сведение фигуры к положению 233

Определение положения точки 234

Плоские кривые 237

Выражение линий уравнениями 237

Выражение уравнений линиями 238

Любое изменение в линии меняет уравнение 240

Каждое «определение» линии есть уравнение 241

Выбор координат 245

Две различные точки зрения 245

1. Представление линий уравнениями 246

2. Представление уравнений линиями 246

Превосходство прямолинейной системы 248

Преимущества перпендикулярных осей 249

Поверхности 251

Определение точки в пространстве 251

Выражение поверхностей уравнениями 253

Выражение уравнений поверхностями 253

Кривые в пространстве 255

Несовершенства аналитической геометрии 258

Относительно геометрии 258

Относительно анализа 258

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ.

ВВЕДЕНИЕ.

ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ.

Хотя математическая наука является самой древней и самой совершенной из всех, тем не менее общее представление, которое мы должны составить о ней, еще не было четко определено. Ее определение и ее главные деления оставались до сих пор расплывчатыми и неопределенными. Действительно, само название во множественном числе — «Математика», которым мы обычно обозначаем ее, уже одно было бы достаточным, чтобы указать на отсутствие единства в общем представлении о ней.

По правде говоря, лишь к началу прошлого века различные фундаментальные концепции, составляющие эту великую науку, были каждая из них достаточно развиты, чтобы позволить истинному духу целого проявиться с ясностью. С той эпохи внимание геометров было слишком исключительно поглощено специальным совершенствованием различных ветвей и применением, которое они сделали из них к важнейшим законам вселенной, чтобы позволить им уделить должное внимание общей системе науки.

Но в настоящее время прогресс специальных отделов уже не столь быстр, чтобы препятствовать созерцанию целого. Наука математика теперь достаточно развита, как сама по себе, так и в отношении своего наиболее существенного применения, чтобы прийти к тому состоянию последовательности, в котором мы должны стремиться расположить ее различные части в единую систему, чтобы подготовиться к новым достижениям. Мы можем даже заметить, что последние важные улучшения науки прямо проложили путь для этой важной философской операции, придав ее главным частям характер единства, которого ранее не существовало.

Чтобы составить верное представление об объекте математической науки, мы можем начать с неопределенного и бессмысленного определения ее, обычно даваемого, называя ее «наукой о величинах» или, что более определенно, «наукой, имеющей своим объектом измерение величин». Посмотрим, как мы можем подняться от этого грубого наброска (который удивительно лишен точности и глубины, хотя, в сущности, верен) к подлинному определению, достойному важности, объема и трудности науки.

ОБЪЕКТ МАТЕМАТИКИ.

Измерение величин. Вопрос об измерении величины самой по себе не представляет уму никакой другой идеи, кроме идеи простого прямого сравнения этой величины с другой подобной величиной, предполагаемой известной, которую он берет за единицу сравнения среди всех других того же рода. Согласно этому определению, тогда, наука математика — обширная и глубокая, как она справедливо считается — вместо того чтобы быть огромным сцеплением длительных умственных трудов, которые предлагают неисчерпаемое занятие нашей интеллектуальной деятельности, казалась бы состоящей из простой серии механических процессов для получения непосредственно отношений величин, подлежащих измерению, к тем, посредством которых мы желаем измерить их, с помощью операций, подобных наложению линий, как это практикуется плотником с его линейкой.

Ошибка этого определения состоит в представлении как прямого объекта, который почти всегда, напротив, очень косвенный. Прямое измерение величины, путем наложения или любого подобного процесса, чаще всего является операцией, совершенно невозможной для нас; так что если бы у нас не было других средств для определения величин, кроме прямых сравнений, мы были бы вынуждены отказаться от знания большинства тех, которые интересуют нас.

Трудности. Сила этого общего наблюдения будет понята, если мы ограничимся рассмотрением специально частного случая, который очевидно предлагает наибольшую легкость — измерения одной прямой линии другой. Это сравнение, которое, безусловно, является самым простым, которое мы можем себе представить, тем не менее почти никогда не может быть осуществлено непосредственно. Размышляя обо всей совокупности условий, необходимых для того, чтобы сделать линию восприимчивой к прямому измерению, мы видим, что чаще всего они не могут быть все выполнены одновременно. Первое и самое ощутимое из этих условий — возможность пройти по линии от одного ее конца до другого, чтобы приложить единицу измерения ко всей ее длине — очевидно исключает сразу большую часть расстояний, которые интересуют нас больше всего; во-первых, все расстояния между небесными телами или от любого из них до Земли; а затем, также, даже большую часть земных расстояний, которые так часто недоступны. Но даже если это первое условие окажется выполненным, все равно необходимо, чтобы длина была ни слишком большой, ни слишком малой, что сделало бы прямое измерение одинаково невозможным. Линия должна также быть подходящим образом расположена; ибо пусть это будет та, которую мы могли бы измерить с величайшей легкостью, если бы она была горизонтальной, но представьте ее повернутой вертикально, и становится невозможным измерить ее.

Трудности, которые мы указали в отношении измерения линий, существуют в гораздо большей степени при измерении поверхностей, объемов, скоростей, времен, сил и т. д. Именно этот факт делает необходимым формирование математической науки, как мы сейчас увидим; ибо человеческий разум был вынужден отказаться, почти во всех случаях, от прямого измерения величин и искать способы определить их косвенно, и именно так он был приведен к созданию математики.

Общий метод. Общий метод, который постоянно применяется и очевидно является единственным мыслимым для установления величин, не допускающих прямого измерения, состоит в соединении их с другими, которые восприимчивы к определению непосредственно, и посредством которых мы преуспеваем в открытии первых через отношения, существующие между ними двумя. Таков точный объект математической науки, рассматриваемой как целое. Чтобы сформировать достаточно расширенное представление о ней, мы должны учесть, что это косвенное определение величин может быть косвенным в очень разных степенях. В большом числе случаев, которые часто являются наиболее важными, величины, посредством которых должны быть определены главные искомые величины, не могут сами быть измерены непосредственно и должны, следовательно, в свою очередь, стать предметом подобного вопроса, и так далее; так что во многих случаях человеческий разум вынужден устанавливать длинную серию промежуточных звеньев между системой неизвестных величин, которые являются конечными объектами его исследований, и системой величин, восприимчивых к прямому измерению, посредством которых мы в конечном итоге определяем первые, с которыми поначалу они, кажется, не имеют никакой связи.

Иллюстрации. Некоторые примеры прояснят все, что может показаться слишком абстрактным в предыдущих общностях.

1. Падающие тела. Рассмотрим, во-первых, природное явление, очень простое, действительно, но которое тем не менее может дать повод для математического вопроса, реально существующего и восприимчивого к фактическим приложениям — явление вертикального падения тяжелых тел.

Ум, наиболее непривычный к математическим концепциям, наблюдая это явление, воспринимает сразу, что две величины, которые оно представляет — а именно, высота, с которой упало тело, и время его падения — обязательно связаны друг с другом, так как они изменяются вместе и одновременно остаются фиксированными; или, на языке геометров, что они являются «функциями» друг друга. Явление, рассматриваемое под этой точкой зрения, дает повод тогда к математическому вопросу, который состоит в подстановке вместо прямого измерения одной из этих двух величин, когда оно невозможно, измерения другой. Именно так, например, мы можем определить косвенно глубину пропасти, просто измеряя время, которое тяжелое тело заняло бы при падении на ее дно, и с помощью подходящих процедур эта недоступная глубина будет известна с такой же точностью, как если бы это была горизонтальная линия, помещенная в наиболее благоприятные обстоятельства для легкого и точного измерения. В других случаях именно высоту, с которой упало тело, будет легко установить, в то время как время падения не могло бы наблюдаться непосредственно; тогда то же самое явление дало бы повод к обратному вопросу, а именно, определить время по высоте; как, например, если бы мы хотели установить, какова была бы продолжительность вертикального падения тела, падающего с Луны на Землю.

В этом примере математический вопрос очень прост, по крайней мере, когда мы не обращаем внимания на изменение интенсивности гравитации или сопротивление жидкости, через которую тело проходит при своем падении. Но, чтобы расширить вопрос, нам нужно только рассмотреть то же самое явление в его величайшей общности, предполагая падение наклонным и принимая во внимание все главные обстоятельства. Тогда, вместо того чтобы предлагать просто две переменные величины, связанные друг с другом отношением, легким для прослеживания, явление представит гораздо большее число; а именно, пространство, пройденное в вертикальном или горизонтальном направлении; время, затраченное на его прохождение; скорость тела в каждой точке его пути; даже интенсивность и направление его первоначального импульса, которые также могут рассматриваться как переменные; и, наконец, в некоторых случаях (чтобы принять все во внимание), сопротивление среды и интенсивность гравитации. Все эти различные величины будут связаны друг с другом таким образом, что каждая в свою очередь может быть косвенно определена посредством других; и это представит столько же различных математических вопросов, сколько может быть сосуществующих величин в рассматриваемом явлении. Такое очень незначительное изменение физических условий задачи может вызвать (как в вышеприведенном примере) математическое исследование, поначалу очень элементарное, к тому, чтобы быть поставленным сразу в ряд самых трудных вопросов, чье полное и строгое решение превосходит пока что предельные возможности человеческого интеллекта.

2. Недоступные расстояния. Возьмем второй пример из геометрических явлений. Пусть будет предложено определить расстояние, которое не восприимчиво к прямому измерению; оно будет в общем случае мыслиться как составляющая часть фигуры или определенной системы линий, выбранной таким образом, чтобы все остальные ее части могли наблюдаться непосредственно; так, в случае, который является самым простым и к которому все остальные могут быть в конечном итоге сведены, предлагаемое расстояние будет рассматриваться как принадлежащее треугольнику, в котором мы можем определить непосредственно либо другую сторону и два угла, либо две стороны и один угол. С этого момента знание желаемого расстояния, вместо того чтобы быть полученным непосредственно, будет результатом математического вычисления, которое будет состоять в выведении его из наблюдаемых элементов посредством отношения, которое связывает его с ними. Это вычисление будет становиться последовательно все более и более сложным, если части, которые мы предположили известными, не могут сами быть определены (как это чаще всего бывает) иначе, как косвенным образом, с помощью новых вспомогательных систем, число которых в великих операциях такого рода в конечном итоге становится очень значительным. Расстояние будучи однажды определенным, знание его будет часто достаточным для получения новых величин, которые станут предметом новых математических вопросов. Так, когда мы знаем, на каком расстоянии расположен какой-либо объект, простое наблюдение его видимого диаметра очевидно позволит нам определить косвенно его реальные размеры, как бы недоступен он ни был, и, посредством серии аналогичных исследований, его поверхность, его объем, даже его вес и ряд других свойств, знание которых казалось запрещенным для нас.

3. Астрономические факты. Именно такими вычислениями человек смог установить не только расстояния от планет до Земли и, следовательно, друг от друга, но и их фактическую величину, их истинную фигуру, вплоть до неровностей их поверхности; и, что казалось еще более полностью скрытым от нас, их соответствующие массы, их средние плотности, главные обстоятельства падения тяжелых тел на поверхность каждой из них и т. д.

Силой математических теорий все эти различные результаты и многие другие, относящиеся к различным классам математических явлений, не потребовали иных прямых измерений, кроме измерений очень малого числа прямых линий, подходящим образом выбранных, и большего числа углов. Мы можем даже сказать, с совершенной истиной, чтобы указать в двух словах общий диапазон науки, что если бы мы не боялись умножать вычисления без необходимости и если бы нам не приходилось, как следствие, резервировать их для определения величин, которые не могли быть измерены непосредственно, определение всех величин, восприимчивых к точной оценке, которые могут предложить нам различные порядки явлений, могло бы быть в конечном итоге сведено к прямому измерению одной прямой линии и подходящего числа углов.

ИСТИННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ.

Мы теперь способны определить математическую науку с точностью, назначив ей в качестве объекта косвенное измерение величин и сказав, что она постоянно предлагает определять одни величины из других посредством точных отношений, существующих между ними.

Эта формулировка, вместо того чтобы давать идею только искусства, как делают все обычные определения, характеризует немедленно истинную науку и показывает ее сразу состоящей из огромной цепи интеллектуальных операций, которые могут очевидно стать очень сложными из-за серии промежуточных звеньев, которые необходимо будет установить между неизвестными величинами и теми, которые допускают прямое измерение; из-за числа переменных, сосуществующих в предлагаемом вопросе; и из-за природы отношений между всеми этими различными величинами, предоставленными рассматриваемыми явлениями. Согласно такому определению, дух математики состоит в том, чтобы всегда рассматривать все величины, которые может представить любое явление, как связанные и переплетенные друг с другом, с целью выведения их друг из друга. Теперь очевидно нет явления, которое не могло бы дать повод к соображениям такого рода; откуда проистекает естественно неопределенный объем и даже строгая логическая универсальность математической науки. Мы постараемся далее ограничить как можно точнее ее реальное расширение.

Предыдущие объяснения устанавливают ясно уместность названия, используемого для обозначения науки, которую мы рассматриваем. Это наименование, которое приобрело сегодня столь определенное значение, само по себе означает просто науку в целом. Такое обозначение, строго точное для греков, у которых не было другой реальной науки, могло быть сохранено современными лишь для того, чтобы указать на математику как на науку, превыше всех других — науку наук.

Действительно, каждая истинная наука имеет своим объектом определение одних явлений посредством других, в соответствии с отношениями, которые существуют между ними. Каждая наука состоит в координации фактов; если бы различные наблюдения были полностью изолированы, не было бы никакой науки. Мы можем даже сказать, в общих чертах, что наука существенно предназначена для того, чтобы обходиться, насколько это позволяют различные явления, без всякого прямого наблюдения, позволяя нам выводить из наименьшего возможного числа непосредственных данных наибольшее возможное число результатов. Разве это не реальное использование, будь то в спекуляции или в действии, законов, которые мы преуспеваем в открытии среди природных явлений? Математическая наука, с этой точки зрения, просто доводит до высочайшей возможной степени тот же род исследований, которые преследуются, в степенях более или менее низших, каждой реальной наукой в своей соответствующей сфере.

ЕЕ ДВА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ДЕЛЕНИЯ.

Мы до сих пор рассматривали математическую науку только как целое, не обращая никакого внимания на ее деления. Мы должны теперь, чтобы завершить этот общий взгляд и сформировать верное представление о философском характере науки, рассмотреть ее фундаментальное деление. Вторичные деления будут рассмотрены в следующих главах.

Это главное деление, которое мы собираемся исследовать, может быть истинно рациональным и производным от реальной природы предмета только в той мере, в какой оно спонтанно представляется нам при выполнении точного анализа полного математического вопроса. Мы поэтому, определив выше, каков общий объект математических трудов, теперь охарактеризуем с точностью главные различные порядки исследований, из которых они постоянно состоят.

Их различные объекты. Полное решение каждого математического вопроса делится необходимо на две части, по своей природе существенно различные и с отношениями неизменно определенными. Мы видели, что каждое математическое исследование имеет своим объектом определение неизвестных величин в соответствии с отношениями между ними и известными величинами. Теперь для этого объекта очевидно необходимо, во-первых, установить с точностью отношения, которые существуют между величинами, которые мы рассматриваем. Эта первая ветвь исследований составляет то, что я называю конкретной частью решения. Когда она закончена, вопрос меняется; он теперь сведен к чистому вопросу чисел, состоящему просто в определении неизвестных чисел, когда мы знаем, какие точные отношения связывают их с известными числами. Эта вторая ветвь исследований — то, что я называю абстрактной частью решения. Отсюда следует фундаментальное деление общей математической науки на две великие науки — АБСТРАКТНУЮ МАТЕМАТИКУ и КОНКРЕТНУЮ МАТЕМАТИКУ.

Этот анализ может быть замечен в каждом полном математическом вопросе, как бы прост или сложен он ни был. Одного примера будет достаточно, чтобы сделать его понятным.

Взяв снова явление вертикального падения тяжелого тела и рассматривая простейший случай, мы видим, что для того, чтобы преуспеть в определении посредством друг друга высоты, с которой упало тело, и продолжительности его падения, мы должны начать с открытия точного отношения этих двух величин, или, чтобы использовать язык геометров, уравнения, которое существует между ними. Пока это первое исследование не завершено, каждая попытка определить численно значение одной из этих двух величин из другой была бы очевидно преждевременной, ибо она не имела бы основы. Недостаточно знать смутно, что они зависят друг от друга — что каждый сразу воспринимает, — но необходимо определить, в чем состоит эта зависимость. Это исследование может быть очень трудным и, фактически, в данном случае составляет несравненно большую часть проблемы. Истинный научный дух настолько современен, что никто, возможно, до Галилея никогда не замечал увеличения скорости, которое тело испытывает при своем падении: обстоятельство, которое исключает гипотезу, к которой наш ум (всегда непроизвольно склонный предполагать в каждом явлении наиболее простые функции, без всякого иного мотива, кроме ее большей легкости в их осмыслении) был бы естественно приведен, что высота была пропорциональна времени. Одним словом, это первое исследование завершилось открытием закона Галилея.

Когда эта конкретная часть завершена, исследование становится делом совсем другой природы. Зная, что пространства, пройденные телом в каждую последовательную секунду его падения, увеличиваются как ряд нечетных чисел, мы имеем тогда проблему чисто числовую и абстрактную; вывести высоту из времени или время из высоты; и это состоит в нахождении того, что первая из этих двух величин, согласно закону, который был установлен, является известным кратным второй степени другой; из чего, наконец, мы должны вычислить значение одной, когда дано значение другой.

В этом примере конкретный вопрос труднее, чем абстрактный. Обратное было бы случаем, если бы мы рассматривали то же самое явление в его величайшей общности, как я сделал выше для другого объекта. В зависимости от обстоятельств, иногда первая, иногда вторая из этих двух частей будет составлять главную трудность всего вопроса; ибо математический закон явления может быть очень простым, но очень трудным для получения, или он может быть легким для открытия, но очень сложным; так что две великие секции математической науки, когда мы сравниваем их как целые, должны рассматриваться как точно эквивалентные по объему и по трудности, а также по важности, как мы покажем далее, рассматривая каждую из них отдельно.

Их различная природа. Эти две части, существенно различные по своему объекту, как мы только что видели, не менее таковы в отношении природы исследований, из которых они состоят.

Первую следует называть конкретной, так как она очевидно зависит от характера рассматриваемых явлений и должна обязательно варьироваться, когда мы исследуем новые явления; в то время как вторая полностью независима от природы рассматриваемых объектов и занимается только числовыми отношениями, которые они представляют, по какой причине она должна называться абстрактной. Одни и те же отношения могут существовать в большом числе различных явлений, которые, несмотря на их крайнее разнообразие, будут рассматриваться геометром как предлагающие аналитический вопрос, восприимчивый, когда он изучен сам по себе, к тому, чтобы быть решенным раз и навсегда. Так, например, тот же закон, который существует между пространством и временем вертикального падения тела в вакууме, находится снова во многих других явлениях, которые не предлагают никакой аналогии с первым ни с друг другом; ибо он выражает отношение между поверхностью сферического тела и длиной его диаметра; он определяет, подобным образом, уменьшение интенсивности света или тепла в отношении к расстоянию освещаемых или нагреваемых объектов и т. д. Абстрактная часть, общая для этих различных математических вопросов, будучи рассмотренной в отношении одного из них, будет таким образом рассмотрена для всех; в то время как конкретная часть должна будет обязательно быть снова взята для каждого вопроса отдельно, без того, чтобы решение любого из них могло дать какую-либо прямую помощь, в этой связи, для решения остальных.

Абстрактная часть математики, таким образом, общая по своей природе; конкретная часть — специальная.

Чтобы представить это сравнение под новой точкой зрения, мы можем сказать, что конкретная математика имеет философский характер, который является существенно экспериментальным, физическим, феноменальным; в то время как характер абстрактной математики — чисто логический, рациональный. Конкретная часть каждого математического вопроса обязательно основана на рассмотрении внешнего мира и никогда не могла бы быть решена простой серией интеллектуальных комбинаций. Абстрактная часть, напротив, когда она была очень полно отделена, может состоять только из серии логических дедукций, более или менее продолжительных; ибо если мы однажды нашли уравнения явления, определение величин, в них рассматриваемых, посредством друг друга, есть дело только рассуждения, каковы бы ни были трудности. Оно принадлежит одному лишь пониманию — выводить из этих уравнений результаты, которые очевидно содержатся в них, хотя, возможно, в очень запутанном виде, без того, чтобы был повод консультироваться заново с внешним миром; рассмотрение которого, став с тех пор чуждым предмету, должно быть даже тщательно отложено в сторону, чтобы свести труд к его истинной специфической трудности. Абстрактная часть математики есть тогда чисто инструментальная и является лишь огромным и восхитительным расширением естественной логики до определенного класса дедукций. С другой стороны, геометрия и механика, которые, как мы увидим сейчас, составляют конкретную часть, должны рассматриваться как реальные естественные науки, основанные на наблюдении, как и все остальные, хотя крайняя простота их явлений допускает бесконечно большую степень систематизации, что иногда вызывало неверное понимание экспериментального характера их первых принципов.

Мы видим, по этому краткому общему сравнению, насколько естественно и глубоко наше фундаментальное деление математической науки.

Мы должны теперь ограничить, как можно точнее в этом первом наброске, каждую из этих двух великих секций.

КОНКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА.

Конкретная математика, имея своим объектом открытие уравнений явлений, казалось бы поначалу, что она должна состоять из стольких же различных наук, сколько мы находим действительно различных категорий среди природных явлений. Но мы еще очень далеки от того, чтобы открыть математические законы во всех видах явлений; мы увидим даже, сейчас, что большая часть будет очень вероятно всегда скрываться от наших исследований. В реальности, в нынешнем состоянии человеческого разума, существуют непосредственно только два великих общих класса явлений, чьи уравнения мы постоянно знаем; это, во-первых, геометрические и, во-вторых, механические явления. Таким образом, тогда, конкретная часть математики состоит из Геометрии и Рациональной механики.

Это, безусловно, достаточно для придания ему полного характера логической универсальности, если рассматривать все явления с самой высокой точки зрения натурфилософии. В самом деле, если бы все части вселенной мыслились как неподвижные, мы бы, очевидно, имели для наблюдения только геометрические явления, поскольку всё свелось бы к отношениям формы, величины и положения; затем, принимая во внимание происходящие в ней движения, нам пришлось бы рассматривать и механические явления. Таким образом, вселенная со статической точки зрения представляет только геометрические явления, а с динамической — только механические. Следовательно, геометрия и механика составляют две фундаментальные естественные науки в том смысле, что все природные эффекты можно мыслить как простые необходимые результаты либо законов протяжения, либо законов движения.

Но хотя эта концепция всегда логически возможна, трудность заключается в том, чтобы конкретизировать её с необходимой точностью и точно следовать ей в каждом из общих случаев, предлагаемых нам изучением природы; то есть эффективно свести каждый основной вопрос натурфилософии для определённого порядка явлений к вопросу геометрии или механики, к которому, как можно рационально предположить, он должен быть приведён. Это преобразование, требующее значительного прогресса, достигнутого ранее в изучении каждого класса явлений, до сих пор было реально осуществлено только для явлений астрономии и для части явлений, рассматриваемых земной физикой в собственном смысле слова. Именно так астрономия, акустика, оптика и т. д. в конечном итоге стали приложениями математической науки к определённым порядкам наблюдений. Но поскольку эти приложения по своей природе не являются строго ограниченными, смешение их с самой наукой означало бы приписать ей расплывчатую и неопределённую область; именно это и происходит при обычном делении математики на «чистую» и «прикладную», столь ошибочном во многих других отношениях.

АБСТРАКТНАЯ МАТЕМАТИКА.

Природа абстрактной математики (общее деление которой будет рассмотрено в следующей главе) определена ясно и точно. Она состоит из того, что называется исчислением, если брать это слово в самом широком смысле, охватывающем всё: от простейших численных операций до самых возвышенных комбинаций трансцендентного анализа. Исчисление имеет своим особым предметом решение всех вопросов, относящихся к числам. Его отправной точкой постоянно и необходимо является знание точных отношений, т. е. уравнений, между различными величинами, рассматриваемыми одновременно; это, напротив, является конечной точкой конкретной математики. Как бы сложны или косвенны ни были эти отношения, конечная цель исчисления всегда состоит в том, чтобы получить из них значения неизвестных величин посредством известных. Эта наука, хотя и более близкая к совершенству, чем любая другая, на самом деле ещё мало продвинулась, поэтому данная цель редко достигается вполне удовлетворительным образом.

Таким образом, математический анализ является истинной рациональной основой всей системы наших актуальных знаний. Он составляет первую и самую совершенную из всех фундаментальных наук. Идеи, которыми он занимается, являются самыми универсальными, самыми абстрактными и самыми простыми из всех, которые мы можем себе представить.

Эта своеобразная природа математического анализа позволяет нам легко объяснить, почему при правильном применении он является столь мощным инструментом не только для придания большей точности нашим реальным знаниям, что самоочевидно, но особенно для установления бесконечно более совершенной координации в изучении явлений, допускающих такое применение; ибо, поскольку наши концепции были настолько обобщены и упрощены, что один аналитический вопрос, решённый абстрактно, содержит в себе неявное решение большого числа разнообразных физических вопросов, человеческий разум должен неизбежно приобрести благодаря этому большую лёгкость в восприятии отношений между явлениями, которые поначалу казались совершенно отличными друг от друга. Мы, таким образом, естественным образом видим, как через посредство анализа возникают самые частые и самые неожиданные сближения между проблемами, которые сначала не обнаруживали никакой видимой связи, и которые мы часто в конце концов начинаем рассматривать как идентичные. Могли бы мы, например, без помощи анализа заметить хоть малейшее сходство между определением направления кривой в каждой из её точек и определением скорости, приобретаемой телом в каждый момент его переменного движения? И всё же эти вопросы, как бы они ни различались, в глазах геометра составляют лишь один.

Высокое относительное совершенство математического анализа столь же легко заметно. Это совершенство обусловлено не природой знаков, используемых в качестве инструментов рассуждения, какими бы исключительно краткими и общими они ни были, как полагали некоторые. В действительности все великие аналитические идеи были сформированы без какой-либо существенной помощи алгебраических знаков, за исключением их использования для проработки после того, как разум их уже постиг. Высшее совершенство науки исчисления обусловлено главным образом крайней простотой идей, которые она рассматривает, какими бы знаками они ни выражались; поэтому нет ни малейшей надежды с помощью какого-либо искусственного научного языка усовершенствовать до той же степени теории, которые относятся к более сложным предметам и которые по своей природе неизбежно обречены на большую или меньшую логическую неполноценность.

ОБЪЕМ ЕГО ОБЛАСТИ.

Наше исследование философского характера математической науки осталось бы неполным, если бы, рассмотрев её предмет и состав, мы не изучили реальный объём её области.

Её универсальность. Для этого необходимо прежде всего осознать, что с чисто логической точки зрения эта наука сама по себе является необходимо и строго универсальной; ибо нет такого вопроса, который нельзя было бы в конечном итоге представить как состоящий в определении одних величин через другие посредством определённых отношений и, следовательно, как допускающий сведение в конечном анализе к простому вопросу о числах. Действительно, во всех наших исследованиях, по какому бы предмету они ни проводились, наша цель состоит в том, чтобы прийти к числам, к величинам, хотя часто весьма несовершенным образом и с помощью весьма неопределённых методов. Так, взяв пример из класса предметов, наименее доступных математике, — явлений живых тел, даже если рассматривать их (взяв самый сложный случай) в состоянии болезни, — разве не очевидно, что все вопросы терапии можно рассматривать как состоящие в определении количеств различных агентов, которые воздействуют на организм и которые должны воздействовать на него, чтобы привести его в нормальное состояние, допуская для некоторых из этих количеств в определённых случаях значения, равные нулю, отрицательные или даже противоречивые?

Фундаментальная идея Декарта об отношении конкретного к абстрактному в математике доказала, вопреки поверхностному различению метафизики, что все идеи качества могут быть сведены к идеям количества. Эта концепция, установленная сначала её бессмертным автором только в отношении геометрических явлений, с тех пор была эффективно распространена на механические явления, а в наши дни — на явления теплоты. В результате этого постепенного обобщения теперь нет геометров, которые не рассматривали бы её в чисто теоретическом смысле как способную быть применённой ко всем нашим реальным идеям любого рода, так что каждое явление логически может быть представлено уравнением; точно так же, как кривая или движение, за исключением трудности его обнаружения, а затем решения, которые могут быть, и зачастую являются, выше величайших способностей человеческого разума.

Её ограничения. Как бы важно ни было понять строгую универсальность математической науки с логической точки зрения, не менее необходимо рассмотреть теперь великие реальные ограничения, которые из-за слабости нашего интеллекта в значительной степени сужают её актуальную область по мере того, как явления, становясь специальными, становятся сложными.

Любой вопрос можно мыслить как допускающий сведение к чистому вопросу о числах; но трудность осуществления такого преобразования возрастает настолько сильно с усложнением явлений натурфилософии, что вскоре становится непреодолимой.

Это легко увидеть, если учесть, что для включения вопроса в область математического анализа мы должны сначала обнаружить точные отношения, существующие между величинами, которые встречаются в исследуемом явлении, поскольку установление этих уравнений является необходимой отправной точкой всех аналитических трудов. Это, очевидно, должно быть тем труднее, чем более специальными, а следовательно, и более сложными являются явления, с которыми мы имеем дело. Таким образом, мы обнаружим, что только в неорганической физике, в лучшем случае, мы можем справедливо надеяться когда-либо достичь столь высокой степени научного совершенства.

Первое условие, необходимое для того, чтобы явления могли допускать математические законы, поддающиеся обнаружению, очевидно, состоит в том, чтобы их различные величины допускали выражение фиксированными числами. Мы вскоре обнаруживаем, что в этом отношении вся органическая физика, а вероятно, и самые сложные части неорганической физики, по своей природе неизбежно недоступны нашему математическому анализу из-за крайней численной изменчивости соответствующих явлений. Любая точная идея фиксированных чисел действительно неуместна в явлениях живых тел, когда мы хотим использовать её иначе, чем как средство для облегчения внимания, и когда мы придаём какое-либо значение точным отношениям приписанных значений.

Мы не должны, однако, из-за этого перестать мыслить все явления как неизбежно подчинённые математическим законам, о которых мы обречены не знать лишь из-за слишком большой сложности самих явлений. Самые сложные явления живых тел, несомненно, по своей особой природе ничем не отличаются от простейших явлений неорганической материи. Если бы можно было строго изолировать каждую из простых причин, которые способствуют возникновению единичного физиологического явления, всё заставляет нас верить, что она проявила бы себя в определённых обстоятельствах наделённой своего рода влиянием и количеством действия, столь же точно фиксированными, как мы видим это во всемирном тяготении, подлинном типе фундаментальных законов природы.

Существует вторая причина, по которой мы не можем подчинить сложные явления господству математического анализа. Даже если бы мы могли установить математический закон, который управляет каждым агентом, взятым отдельно, сочетание столь большого числа условий сделало бы соответствующую математическую задачу настолько превосходящей наши слабые средства, что вопрос в большинстве случаев остался бы неспособным к решению.

Чтобы оценить эту трудность, давайте рассмотрим, насколько сложными становятся математические вопросы, даже те, что относятся к простейшим явлениям неорганических тел, когда мы желаем достаточно сблизить абстрактное и конкретное состояние, принимая во внимание все основные условия, которые могут оказать реальное влияние на производимый эффект. Мы знаем, например, что очень простое явление истечения жидкости через данное отверстие только в силу её тяжести до сих пор не имеет полного математического решения, когда мы принимаем во внимание все существенные обстоятельства. То же самое происходит даже с ещё более простым движением твёрдого снаряда в сопротивляющейся среде.

Почему математический анализ смог приспособиться с таким удивительным успехом к глубочайшему изучению небесных явлений? Потому что они, вопреки популярным представлениям, гораздо проще любых других. Самая сложная проблема, которую они представляют, — проблема модификации, производимой в движениях двух тел, стремящихся друг к другу в силу их тяготения, влиянием третьего тела, действующего на них обоих таким же образом, — гораздо менее сложна, чем самая простая земная проблема. И тем не менее даже она представляет трудности столь великие, что мы до сих пор обладаем лишь её приближёнными решениями. Легко даже увидеть, что высокое совершенство, до которого солнечная астрономия смогла подняться благодаря применению математической науки, кроме того, существенно обязано тому, что мы умело воспользовались всеми частными и, так сказать, случайными благоприятными условиями, представленными исключительно благоприятным строением нашей планетной системы. Планет, которые её составляют, совсем немного, и их массы в целом очень неравны и гораздо меньше массы Солнца; они, кроме того, очень удалены друг от друга; они имеют почти сферические формы; их орбиты почти круговые и лишь слегка наклонены друг к другу, и так далее. Из всех этих обстоятельств следует, что возмущения в целом незначительны и что для их вычисления обычно достаточно принять во внимание в связи с действием Солнца на каждую конкретную планету влияние только одной другой планеты, способной по своему размеру и близости вызвать заметные расстройства.

Если бы, однако, вместо такого положения вещей наша солнечная система состояла из большего числа планет, сконцентрированных в меньшем пространстве и почти равных по массе; если бы их орбиты имели очень разные наклонения и значительные эксцентриситеты; если бы эти тела имели более сложную форму, такую как очень эксцентричные эллипсоиды, — несомненно, что, предполагая существование того же закона тяготения, мы до сих пор не преуспели бы в подчинении изучения небесных явлений нашему математическому анализу, и, вероятно, мы даже не смогли бы распутать нынешний основной закон.

Эти гипотетические условия оказались бы в точности реализованными в высшей степени в химических явлениях, если бы мы попытались вычислить их с помощью теории всеобщего тяготения.

Правильно взвесив предыдущие соображения, читатель, я думаю, убедится, что, сводя будущее расширение великих приложений математического анализа, которые действительно возможны, к области, охватываемой различными отделами неорганической физики, я скорее преувеличил, чем сократил объём его актуальной области. Как важно было сделать очевидной строгую логическую универсальность математической науки, так же важно было указать условия, которые ограничивают для нас её реальное расширение, чтобы не способствовать уводу человеческого разума с истинного научного направления в изучении самых сложных явлений химерическим поиском невозможного совершенства.

Таким образом, представив существенный предмет и основной состав математической науки, а также её общие отношения со всем корпусом натурфилософии, мы теперь должны перейти к специальному рассмотрению великих наук, из которых она состоит.

Примечание. Анализ и геометрия — это две великие главы, в рамках которых предмет будет рассмотрен далее. К ним г-н Конт добавляет рациональную механику; но поскольку она не входит в обычное представление о математике и поскольку её обсуждение имело бы лишь ограниченную пользу и интерес, она не включена в настоящий перевод.

КНИГА I.

АНАЛИЗ.

КНИГА I.

АНАЛИЗ.

ГЛАВА I.

ОБЩИЙ ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

В историческом развитии математической науки со времён Декарта успехи её абстрактной части всегда определялись успехами её конкретной части; но тем не менее необходимо, чтобы постичь науку истинно логическим образом, рассмотреть исчисление во всех его основных ветвях, прежде чем переходить к философскому изучению геометрии и механики. Его аналитические теории, более простые и более общие, чем теории конкретной математики, сами по себе существенно независимы от последних; в то время как эти, напротив, по своей природе постоянно нуждаются в первых, без помощи которых они могли бы достичь едва ли какого-либо прогресса. Хотя основные концепции анализа сохраняют в настоящее время некоторые весьма заметные следы своего геометрического или механического происхождения, они теперь, однако, в основном освобождены от этого примитивного характера, который больше не проявляется, за исключением некоторых второстепенных моментов; так что возможно (особенно после трудов Лагранжа) представить их в догматическом изложении, чисто абстрактным методом, в единой и непрерывной системе. Именно это будет предпринято в настоящей и пяти последующих главах, ограничивая наши исследования самыми общими соображениями по каждой основной ветви науки исчисления.

Поскольку определённой целью наших исследований в конкретной математике является обнаружение уравнений, выражающих математические законы рассматриваемого явления, и эти уравнения составляют истинную отправную точку исчисления, целью которого является получение из них определения одних величин посредством других, я считаю необходимым, прежде чем идти дальше, углубиться более, чем это было принято, в эту фундаментальную идею уравнения, постоянный предмет, будь то цель или начало, всех математических трудов. Помимо преимущества более определённого ограничения истинной области анализа, из этого будет следовать важный вывод о проведении более точной линии демаркации между конкретной и абстрактной частью математики, что завершит общее изложение фундаментального деления, установленного во вводной главе.

ИСТИННАЯ ИДЕЯ УРАВНЕНИЯ.

Мы обычно формируем слишком расплывчатое представление о том, что такое уравнение, когда даём это название любому виду отношения равенства между любыми двумя функциями величин, которые мы рассматриваем. Ибо, хотя каждое уравнение, очевидно, является отношением равенства, далеко не верно, что, взаимно, каждое отношение равенства является подлинным уравнением того вида, к которому по своей природе применимы методы анализа.

Этот недостаток точности в логическом рассмотрении идеи, столь фундаментальной в математике, влечёт за собой серьёзное неудобство, делая почти невозможным объяснение в общих чертах великой и фундаментальной трудности, которую мы находим в установлении отношения между конкретным и абстрактным, и которая столь заметно выделяется в каждом великом математическом вопросе, взятом отдельно. Если бы значение слова «уравнение» было действительно столь широким, как мы привыкли полагать в нашем определении, неясно, в чём могла бы состоять в действительности, в общем, великая трудность в установлении уравнений любой проблемы; ибо всё, таким образом, казалось бы, сводилось к простому вопросу формы, который никогда не должен был бы требовать больших интеллектуальных усилий, видя, что мы едва ли можем представить себе какое-либо точное отношение, которое не было бы непосредственно определённым отношением равенства или которое не могло бы быть легко приведено к нему с помощью некоторых очень простых преобразований.

Таким образом, когда мы допускаем любой вид функций в определение уравнений, мы вовсе не учитываем крайнюю трудность, которую почти всегда испытываем при составлении уравнения для проблемы, и которая так часто может быть сравнима с усилиями, требуемыми аналитической проработкой уравнения, когда оно уже получено. Одним словом, обычная абстрактная и общая идея уравнения вовсе не соответствует реальному значению, которое геометры придают этому выражению в актуальном развитии науки. Здесь, следовательно, логическая ошибка, дефект корреляции, который очень важно исправить.

Деление функций на абстрактные и конкретные. Чтобы преуспеть в этом, я начинаю с различения двух видов функций: абстрактных, или аналитических, функций и конкретных функций. Только первые могут входить в подлинные уравнения. Мы можем, следовательно, отныне определять каждое уравнение точным и достаточно глубоким образом как отношение равенства между двумя абстрактными функциями рассматриваемых величин. Чтобы не возвращаться снова к этому фундаментальному определению, я должен добавить здесь, в качестве необходимого дополнения, без которого идея не была бы достаточно общей, что эти абстрактные функции могут относиться не только к величинам, которые проблема представляет сама по себе, но также ко всем другим вспомогательным величинам, которые связаны с ней и которые мы часто сможем вводить просто как математический приём с единственной целью облегчения обнаружения уравнений явлений. Я здесь суммарно предвосхищаю результат общего обсуждения высочайшей важности, которое будет найдено в конце этой главы. Теперь мы вернёмся к существенному различению функций как абстрактных и конкретных.

Это различие может быть установлено двумя способами, существенно различными, но дополняющими друг друга: априори и апостериорно; то есть путём характеристики общим образом своеобразной природы каждого вида функций, а затем путём фактического перечисления всех абстрактных функций, известных в настоящее время, по крайней мере в том, что касается элементов, из которых они состоят.

Априори функции, которые я называю абстрактными, — это те, которые выражают способ зависимости между величинами, который можно мыслить только между числами, без необходимости указывать какое-либо явление, в котором он реализуется. Я называю, с другой стороны, конкретными функциями те, для которых выраженный способ зависимости не может быть определён или осмыслен иначе, как путём указания определённого случая физики, геометрии, механики и т. д., в котором он реально существует.

Большинство функций в своём происхождении, даже те, которые в настоящее время являются наиболее чисто абстрактными, начинались как конкретные; так что легко сделать понятным предыдущее различие, цитируя только последовательные различные точки зрения, под которыми, по мере формирования науки, геометры рассматривали простейшие аналитические функции. Я укажу, например, степени, которые в целом стали абстрактными функциями только после трудов Виета и Декарта. Функции x2, x3, которые в нашем нынешнем анализе так хорошо мыслятся как просто абстрактные, были для геометров древности совершенно конкретными функциями, выражающими отношение поверхности квадрата или объёма куба к длине их стороны. Они имели в их глазах такой характер столь исключительно, что только с помощью геометрических определений они обнаружили элементарные алгебраические свойства этих функций, относящиеся к разложению переменной на две части, свойства, которые были в ту эпоху лишь реальными теоремами геометрии, к которым числовое значение было привязано лишь долгое время спустя.

У меня будет повод процитировать сейчас, по другой причине, новый пример, очень подходящий для того, чтобы сделать очевидным фундаментальное различие, которое я только что представил; это пример круговых функций, как прямых, так и обратных, которые в настоящее время всё ещё иногда являются конкретными, иногда абстрактными, в зависимости от точки зрения, под которой они рассматриваются.

Апостериорно, после того как был установлен общий характер, делающий функцию абстрактной или конкретной, вопрос о том, является ли определённая функция подлинно абстрактной и, следовательно, способной входить в истинные аналитические уравнения, становится простым вопросом факта, поскольку мы собираемся перечислить все функции этого вида.

Перечисление абстрактных функций. На первый взгляд это перечисление кажется невозможным, так как число различных аналитических функций бесконечно. Но когда мы делим их на простые и составные, трудность исчезает; ибо, хотя число различных функций, рассматриваемых в математическом анализе, действительно бесконечно, они, напротив, даже в наши дни состоят из очень малого числа элементарных функций, которые могут быть легко назначены и которые, очевидно, достаточны для определения абстрактного или конкретного характера любой данной функции; которая будет того или иного характера в зависимости от того, будет ли она состоять исключительно из этих простых абстрактных функций или будет включать другие.

Мы, очевидно, должны рассматривать для этой цели только функции одной переменной, поскольку те, что относятся к нескольким независимым переменным, постоянно по своей природе являются более или менее составными.

Пусть x — независимая переменная, y — коррелятивная переменная, которая зависит от неё. Различные простые способы абстрактной зависимости, которые мы можем теперь мыслить между y и x, выражаются десятью следующими элементарными формулами, в которых каждая функция сопряжена со своей обратной, то есть с той, которая была бы получена из прямой функции путём отнесения x к y, вместо отнесения y к x.

| FUNCTION. | ITS NAME.
1st couple | 1° y = a + x | Sum.
2° y = a - x | Difference.
2d couple | 1° y = ax | Product.
2° y = a/x | Quotient.
3d couple | 1° y = x^a | Power.
2° y = [aroot]x | Root.
4th couple | 1° y = a^x | Exponential.
2° y = [log a]x | Logarithmic.
5th couple | 1° y = sin. x | Direct Circular.
2° y = arc(sin. = x). | Inverse Circular.[3]

Таковы элементы, очень немногие по числу, которые непосредственно составляют все абстрактные функции, известные в настоящее время. Немногие, как они есть, они, очевидно, достаточны для того, чтобы дать начало бесконечному числу аналитических комбинаций.

Никакое рациональное соображение строго не ограничивает априори предыдущую таблицу, которая является лишь актуальным выражением нынешнего состояния науки. Наши аналитические элементы в настоящее время более многочисленны, чем они были для Декарта и даже для Ньютона и Лейбница: прошёл всего век с тех пор, как последние две пары были введены в анализ трудами Иоганна Бернулли и Эйлера. Несомненно, новые будут допущены в будущем; но, как я покажу ближе к концу этой главы, мы не можем надеяться, что они когда-либо будут сильно умножены, так как их реальное увеличение порождает очень большие трудности.

Мы можем теперь сформировать определённую и в то же время достаточно широкую идею о том, что геометры понимают под подлинным уравнением. Это объяснение особенно подходит для того, чтобы дать нам понять, насколько трудно должно быть реально установить уравнения явлений, поскольку мы эффективно преуспели в этом только тогда, когда смогли осмыслить математические законы этих явлений с помощью функций, полностью состоящих только из математических элементов, которые я только что перечислил. Ясно, в самом деле, что только тогда проблема становится подлинно абстрактной и сводится к чистому вопросу о числах, поскольку эти функции являются единственными простыми отношениями, которые мы можем мыслить между числами, рассматриваемыми сами по себе. До этого периода решения, каковы бы ни были внешние проявления, вопрос остаётся по существу конкретным и не входит в область исчисления. Теперь фундаментальная трудность этого перехода от конкретного к абстрактному в целом состоит особенно в недостаточности этого очень малого числа аналитических элементов, которыми мы обладаем и с помощью которых, тем не менее, несмотря на малое реальное разнообразие, которое они нам предлагают, мы должны преуспеть в представлении всех точных отношений, которые все различные природные явления могут нам проявить. Учитывая бесконечное разнообразие, которое должно неизбежно существовать в этом отношении во внешнем мире, мы легко понимаем, насколько ниже истинной трудности должны часто оказываться наши концепции, особенно если мы добавим, что, поскольку эти элементы нашего анализа были в первую очередь предоставлены нам математическим рассмотрением простейших явлений, у нас априори нет рациональной гарантии их необходимой пригодности для представления математического закона любого другого класса явлений. Я объясню сейчас общий приём, столь глубоко остроумный, с помощью которого человеческий разум преуспел в уменьшении в значительной степени этой фундаментальной трудности, которая представлена отношением конкретного к абстрактному в математике, без того, однако, чтобы было необходимо умножать число этих аналитических элементов.

ДВЕ ОСНОВНЫЕ ДИВИЗИИ ИСЧИСЛЕНИЯ.

Предыдущие объяснения определяют с точностью истинный предмет и реальную область абстрактной математики. Я должен теперь перейти к рассмотрению её основных делений, ибо до сих пор мы рассматривали исчисление как целое.

Первое прямое соображение, которое следует представить о составе науки исчисления, состоит в том, чтобы разделить её, в первую очередь, на две основные ветви, которым, за неимением более подходящих наименований, я дам названия алгебраического исчисления, или алгебры, и арифметического исчисления, или арифметики; но с предостережением принимать эти два выражения в их наиболее широком логическом значении, вместо гораздо более ограниченного смысла, который обычно к ним привязывается.

Полное решение каждого вопроса исчисления, от самого элементарного до самого трансцендентного, неизбежно состоит из двух последовательных частей, природа которых существенно различна. В первой целью является преобразование предложенных уравнений так, чтобы сделать очевидным способ, которым неизвестные величины формируются из известных: это то, что составляет алгебраический вопрос. Во второй нашей целью является нахождение значений полученных таким образом формул; то есть определение непосредственно значений искомых чисел, которые уже представлены определёнными явными функциями данных чисел: это арифметический вопрос. Очевидно, что в каждом решении, которое является подлинно рациональным, он неизбежно следует за алгебраическим вопросом, дополнением которого он является, поскольку очевидно необходимо знать способ генерации искомых чисел перед определением их актуальных значений для каждого конкретного случая. Таким образом, место остановки алгебраической части решения становится отправной точкой арифметической части.

Мы видим таким образом, что алгебраическое исчисление и арифметическое исчисление существенно различаются по своему предмету. Они различаются не менее и по точке зрения, под которой они рассматривают величины; которые рассматриваются в первом в отношении их отношений, а во втором — в отношении их значений. Истинный дух исчисления в целом требует, чтобы это различие поддерживалось с самой строгой точностью, а линия демаркации между двумя периодами решения была сделана столь ясной и отчётливой, насколько это позволяет предложенный вопрос. Внимательное соблюдение этого предписания, которым слишком пренебрегают, может быть большой помощью в каждом конкретном вопросе, направляя усилия нашего разума в любой момент решения к реальной соответствующей трудности. По правде говоря, несовершенство науки исчисления обязывает нас очень часто (как будет объяснено в следующей главе) смешивать алгебраические и арифметические соображения при решении одного и того же вопроса. Но как бы невозможно ни было чётко разделить две части работы, всё же предыдущие указания всегда позволят нам избежать их смешения.

Пытаясь суммировать как можно более кратко только что установленное различие, мы видим, что алгебра может быть определена в общем как имеющая своей целью решение уравнений; принимая это выражение в его полном логическом значении, которое означает преобразование неявных функций в эквивалентные явные. Точно так же арифметика может быть определена как предназначенная для определения значений функций. Отныне, следовательно, мы будем кратко говорить, что алгебра — это исчисление функций, а арифметика — исчисление значений.

Мы можем теперь осознать, насколько недостаточны и даже ошибочны обычные определения. Чаще всего преувеличенное значение, приписываемое знакам, привело к различению двух фундаментальных ветвей науки исчисления по способу обозначения в каждой из них предметов обсуждения, идея, которая очевидно абсурдна в принципе и ложна по факту. Даже знаменитое определение, данное Ньютоном, характеризующее алгебру как универсальную арифметику, даёт, безусловно, очень ложное представление о природе алгебры и о природе арифметики.

Установив таким образом фундаментальное деление исчисления на две основные ветви, я должен теперь сравнить в общих чертах объём, важность и трудность этих двух видов исчисления, чтобы в дальнейшем рассматривать только исчисление функций, которое будет основным предметом нашего изучения.

ИСЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ, ИЛИ АРИФМЕТИКА.

Её объём. Исчисление значений, или арифметика, на первый взгляд, казалось бы, представляет область столь же обширную, как и область алгебры, поскольку, казалось бы, оно допускает столько же различных вопросов, сколько мы можем мыслить различных алгебраических формул, значения которых должны быть определены. Но очень простое размышление покажет разницу. Деля функции на простые и составные, очевидно, что когда мы знаем, как определить значение простых функций, рассмотрение составных функций больше не будет представлять никакой трудности. С алгебраической точки зрения составная функция играет очень отличную роль от роли элементарных функций, из которых она состоит, и из этого, действительно, происходят все основные трудности анализа. Но совсем иначе обстоит дело с арифметическим исчислением. Таким образом, число подлинно различных арифметических операций — это только то, которое определяется числом элементарных абстрактных функций, очень ограниченный список которых был приведён выше. Определение значений этих десяти функций неизбежно даёт значение всех функций, бесконечных по числу, которые рассматриваются во всей математической аналитике, по крайней мере в том виде, в каком она существует в настоящее время. Не может быть новых арифметических операций без создания подлинно новых аналитических элементов, число которых всегда должно быть чрезвычайно малым. Область арифметики, следовательно, по своей природе чрезвычайно ограничена, в то время как область алгебры строго неопределённа.

Важно, однако, заметить, что область исчисления значений в действительности гораздо обширнее, чем её обычно представляют; ибо несколько вопросов, подлинно арифметических, поскольку они состоят из определений значений, обычно не классифицируются как таковые, потому что мы привыкли рассматривать их только как случайные в середине корпуса аналитических исследований более или менее высокого уровня, причём слишком высокое мнение, обычно формируемое о влиянии знаков, снова является основной причиной этого смешения идей. Таким образом, не только построение таблицы логарифмов, но и вычисление тригонометрических таблиц являются истинными арифметическими операциями высшего рода. Мы можем также привести в качестве относящихся к тому же классу, хотя и в очень отличном и более высоком порядке, все методы, с помощью которых мы определяем непосредственно значение любой функции для каждой конкретной системы значений, приписанных величинам, от которых она зависит, когда мы не можем выразить в общих чертах явную форму этой функции. С этой точки зрения численное решение вопросов, которые мы не можем решить алгебраически, и даже вычисление «определённых интегралов», общие интегралы которых мы не знаем, действительно составляют часть, вопреки всем внешним проявлениям, области арифметики, в которую мы должны неизбежно включить всё, что имеет своей целью определение значений функций. Соображения, относящиеся к этому предмету, в самом деле, постоянно однородны, каковы бы ни были определения, о которых идёт речь, и всегда очень отличны от подлинно алгебраических соображений.

Чтобы завершить верную идею о реальном объёме исчисления значений, мы должны включить в него также ту часть общей науки исчисления, которая теперь носит название теории чисел и которая ещё так мало продвинулась. Эта ветвь, очень обширная по своей природе, но важность которой в общей системе науки не очень велика, имеет своей целью обнаружение свойств, присущих различным числам в силу их значений, и независимых от какой-либо конкретной системы нумерации. Она формирует, следовательно, своего рода трансцендентную арифметику; и к ней действительно применилось бы определение, предложенное Ньютоном для алгебры.

Вся область арифметики, следовательно, гораздо обширнее, чем обычно предполагается; но это исчисление значений всё равно никогда не будет более чем точкой, так сказать, в сравнении с исчислением функций, из которого существенно состоит математическая наука. Эта сравнительная оценка будет ещё более очевидна из некоторых соображений, которые я должен теперь указать относительно истинной природы арифметических вопросов в целом, когда они рассматриваются более глубоко.

Её истинная природа. Пытаясь определить с точностью, в чём собственно состоят определения значений, мы легко признаём, что они суть не что иное, как подлинные преобразования функций, подлежащих оценке; преобразования, которые, несмотря на их специальную цель, тем не менее существенно того же характера, что и все те, которым учит анализ. С этой точки зрения исчисление значений могло бы быть просто осмыслено как приложение и частное применение исчисления функций, так что арифметика исчезла бы, так сказать, как отдельная секция во всём корпусе абстрактной математики.

Чтобы досконально понять это соображение, мы должны заметить, что, когда мы предлагаем определить значение неизвестного числа, способ формирования которого дан, оно, самим объявлением арифметического вопроса, уже определено и выражено под определённой формой; и что, определяя его значение, мы только ставим его выражение под другую определённую форму, к которой мы привыкли относить точное понятие каждого конкретного числа, заставляя его вновь войти в регулярную систему нумерации. Определение значений состоит так полностью из простого преобразования, что когда первоначальное выражение числа оказывается уже согласованным с регулярной системой нумерации, больше нет никакого определения значения, собственно говоря, или, скорее, вопрос отвечен самим вопросом. Пусть вопрос будет сложить два числа один и двадцать, мы отвечаем на него, просто повторяя объявление вопроса, и тем не менее мы думаем, что определили значение суммы. Это означает, что в данном случае первое выражение функции не имело нужды быть преобразованным, в то время как это было бы не так при сложении двадцати трёх и четырнадцати, ибо тогда сумма не была бы немедленно выражена образом, согласованным с рангом, который она занимает в фиксированной и общей шкале нумерации.

Чтобы суммировать как можно более исчерпывающе предыдущие взгляды, мы можем сказать, что определить значение числа есть не что иное, как постановка его первоначального выражения под форму

a + bz + cz2 + dz3 + ez4 . . . . . + pzm,

z будучи в общем равным 10, а коэффициенты a, b, c, d и т. д. будучи подчинёнными условиям быть целыми числами, меньшими z; способными становиться равными нулю; но никогда не отрицательными. Каждый арифметический вопрос может быть, таким образом, поставлен как состоящий в постановке под такую форму любой абстрактной функции вообще различных величин, которые предполагаются уже имеющими подобную форму. Мы могли бы тогда видеть в различных операциях арифметики только простые частные случаи определённых алгебраических преобразований, за исключением специальных трудностей, относящихся к условиям, касающимся природы коэффициентов.

Ясно следует, что абстрактная математика существенно состоит из исчисления функций, которое уже было признано её самой важной, самой обширной и самой трудной частью. Оно отныне будет исключительным предметом наших аналитических исследований. Я поэтому больше не буду задерживаться на исчислении значений, а перейду немедленно к рассмотрению фундаментального деления исчисления функций.

ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ИЛИ АЛГЕБРА.

Принцип его фундаментального деления. Мы определили в начале этой главы, в чём собственно состоит трудность, которую мы испытываем при постановке математических вопросов в уравнения. Это существенно из-за недостаточности очень малого числа аналитических элементов, которыми мы обладаем, что отношение конкретного к абстрактному обычно так трудно установить. Давайте попытаемся теперь оценить философским образом общий процесс, с помощью которого человеческий разум преуспел в столь большом числе важных случаев в преодолении этого фундаментального препятствия к установлению уравнений.

1. Путём создания новых функций. Рассматривая этот важный вопрос с самой общей точки зрения, мы приходим сразу к концепции одного средства облегчения установления уравнений явлений. Поскольку основное препятствие в этом деле исходит от слишком малого числа наших аналитических элементов, весь вопрос, казалось бы, сводился к созданию новых. Но это средство, хотя и естественное, в действительности иллюзорно; и хотя оно могло бы быть полезным, оно, безусловно, недостаточно.

В самом деле, создание элементарной абстрактной функции, которая была бы подлинно новой, представляет само по себе величайшие трудности. Есть даже нечто противоречивое в такой идее; ибо новый аналитический элемент, очевидно, не выполнил бы своих существенных и соответствующих условий, если бы мы не могли немедленно определить его значение. Теперь, с другой стороны, как нам определить значение новой функции, которая является подлинно простой, то есть которая не сформирована комбинацией уже известных? Это кажется почти невозможным. Введение в анализ другой элементарной абстрактной функции, или, скорее, другой пары функций (ибо каждая всегда сопровождалась бы своей обратной), предполагает, следовательно, по необходимости, одновременное создание новой арифметической операции, что, безусловно, очень трудно.

Если мы попытаемся получить представление о средствах, которые человеческий разум использует для изобретения новых аналитических элементов, путём рассмотрения процедур, с помощью которых он фактически постиг те, которыми мы уже обладаем, наши наблюдения оставляют нас в этом отношении в полной неопределённости, ибо приёмы, которые он уже использовал для этой цели, очевидно, исчерпаны. Чтобы убедиться в этом, давайте рассмотрим последнюю пару простых функций, которая была введена в анализ и при формировании которой мы присутствовали, так сказать, а именно четвёртую пару; ибо, как я объяснил, пятая пара не даёт строго подлинно новых аналитических элементов. Функция ax и, следовательно, её обратная были сформированы путём осмысления под новой точкой зрения функции, которая была давно известна, а именно степеней — когда идея о них стала достаточно обобщённой. Рассмотрение степени относительно изменения её показателя, вместо изменения её основания, было достаточным, чтобы дать начало подлинно новой простой функции, изменение которой следовало затем совершенно иным путём. Но этот приём, столь же простой, сколь и остроумный, не может дать ничего большего; ибо, переворачивая таким же образом все наши нынешние аналитические элементы, мы приходим только к тому, что заставляем их возвращаться друг в друга.

У нас, следовательно, нет идеи о том, как мы могли бы приступить к созданию новых элементарных абстрактных функций, которые должным образом удовлетворяли бы всем необходимым условиям. Это не значит, однако, что мы в настоящее время достигли эффективного предела, установленного в этом отношении границами нашего интеллекта. Даже несомненно, что последние специальные улучшения в математическом анализе способствовали расширению наших ресурсов в этом отношении, введя в область исчисления определённые интегралы, которые в некоторых отношениях заменяют новые простые функции, хотя они далеки от выполнения всех необходимых условий, что предотвратило меня от включения их в таблицу истинных аналитических элементов. Но в целом я считаю несомненным, что число этих элементов не может увеличиваться иначе, как с крайней медленностью. Поэтому не из этих источников человеческий разум черпал свои самые мощные средства облегчения, насколько это возможно, установления уравнений.

2. Путём концепции уравнений между определёнными вспомогательными величинами. Этот первый метод будучи отложен, остаётся, очевидно, только один другой: это, видя невозможность нахождения непосредственно уравнений между рассматриваемыми величинами, искать соответствующие им между другими вспомогательными величинами, связанными с первыми согласно определённому закону, и от отношения между которыми мы можем вернуться к тому, что между первоначальными величинами. Такова, в сущности, исключительно плодотворная концепция, которую человеческий разум преуспел в установлении и которая составляет его самый удивительный инструмент для математического объяснения природных явлений; анализ, называемый трансцендентным.

Как общий философский принцип, вспомогательные величины, которые вводятся вместо первоначальных величин или одновременно с ними, чтобы облегчить установление уравнений, могли бы быть выведены согласно любому закону вообще из непосредственных элементов вопроса. Эта концепция имеет, таким образом, гораздо более обширный охват, чем тот, который обычно приписывался ей даже самыми глубокими геометрами. Чрезвычайно важно для нас рассматривать её во всём её логическом объёме, ибо, возможно, установив общий способ выведения, отличный от того, к которому мы до сих пор ограничивались (хотя он, очевидно, очень далёк от того, чтобы быть единственным возможным), мы однажды преуспеем в существенном совершенствовании математического анализа в целом и, следовательно, в установлении более мощных средств исследования законов природы, чем наши нынешние процессы, которые, несомненно, восприимчивы к тому, чтобы стать исчерпанными.

Но, рассматривая лишь нынешнее состояние науки, единственные вспомогательные величины, обычно вводимые вместо первоначальных величин в трансцендентном анализе, — это то, что называется: 1) бесконечно малые элементы, дифференциалы (различных порядков) этих величин, если мы рассматриваем этот анализ по методу Лейбница; или 2) флюксии, пределы отношений одновременных приращений первоначальных величин, сравниваемых друг с другом, или, короче, первые и последние отношения этих приращений, если мы принимаем концепцию Ньютона; или 3) производные, собственно называемые, этих величин, то есть коэффициенты различных членов их соответствующих приращений, согласно концепции Лагранжа.

Эти три основных метода рассмотрения нашего современного трансцендентального анализа, как и все другие, менее четко охарактеризованные методы, которые предлагались последовательно, по своей природе обязательно тождественны как в вычислениях, так и в приложениях, что будет объяснено в общем виде в третьей главе. Что касается их относительной ценности, то мы увидим там, что концепция Лейбница до сих пор на практике обладает неоспоримым превосходством, но ее логический характер чрезвычайно порочен; в то время как концепция Лагранжа, восхитительная своей простотой, логическим совершенством и философским единством, которое она установила в математическом анализе (до того разделенном на два почти полностью независимых мира), все еще представляет серьезные неудобства в приложениях, замедляя прогресс мысли. Концепция Ньютона занимает почти промежуточное положение в этих различных отношениях, будучи менее быстрой, но более рациональной, чем концепция Лейбница; менее философской, но более применимой, чем концепция Лагранжа.

Здесь не место объяснять преимущества введения такого рода вспомогательных величин вместо примитивных. Этому предмету посвящена третья глава. В настоящее время я ограничусь рассмотрением этой концепции в самом общем виде, чтобы вывести из нее фундаментальное деление исчисления функций на две существенно различные системы, зависимость между которыми для полного решения любого математического вопроса является неизменно определенной.

В этой связи и в логическом порядке идей трансцендентальный анализ представляется обязательно первым, поскольку его общая цель — облегчить составление уравнений, операция, которая, очевидно, должна предшествовать разрешению этих уравнений, что является объектом обычного анализа. Но хотя чрезвычайно важно именно так понимать истинные отношения этих двух систем анализа, тем не менее, в соответствии с установившейся практикой, уместно изучать трансцендентальный анализ после обычного анализа; ибо, хотя первый, по сути, сам по себе логически независим от последнего или, по крайней мере, может быть существенно отделен от него, ясно, что, поскольку его использование при решении вопросов всегда в большей или меньшей степени требует завершения с помощью обычного анализа, мы были бы вынуждены оставить вопросы нерешенными, если бы последний не был изучен ранее.

Соответствующие разделы исчисления функций. Из предыдущих соображений следует, что исчисление функций, или алгебра (в самом широком смысле этого слова), состоит из двух различных фундаментальных ветвей, одна из которых имеет своей непосредственной целью разрешение уравнений, когда они установлены непосредственно между самими рассматриваемыми величинами; а другая, исходя из уравнений (как правило, гораздо более простых для составления) между величинами, косвенно связанными с величинами задачи, имеет своим особым и постоянным назначением выведение с помощью неизменных аналитических методов соответствующих уравнений между прямыми величинами, которые мы рассматриваем; это переводит вопрос в область предыдущего исчисления.

Первое исчисление чаще всего носит название обычного анализа или алгебры в собственном смысле слова. Второе составляет то, что называется трансцендентальным анализом, который обозначался различными терминами: исчисление бесконечно малых, исчисление флюксий и флюент, исчисление исчезающих величин, дифференциальное и интегральное исчисление и т. д., в зависимости от точки зрения, с которой оно было задумано.

Чтобы устранить всякое постороннее соображение, я предложу назвать его исчислением косвенных функций, дав обычному анализу название исчисления прямых функций. Эти выражения, которые я формирую, по сути, путем обобщения и резюмирования идей Лагранжа, просто призваны с точностью указать истинный общий характер, присущий каждой из этих двух форм анализа.

Установив фундаментальное деление математического анализа, я должен теперь рассмотреть отдельно каждую из его двух частей, начиная с исчисления прямых функций и оставляя более широкие разработки для различных ветвей исчисления косвенных функций.

ГЛАВА II.

ОБЫЧНЫЙ АНАЛИЗ, ИЛИ АЛГЕБРА.

Исчисление прямых функций, или алгебра, является (как было показано в конце предыдущей главы) вполне достаточным для решения математических вопросов, когда они настолько просты, что мы можем непосредственно составить уравнения между самими рассматриваемыми величинами, без необходимости вводить вместо них или вместе с ними какую-либо систему вспомогательных величин, производных от первых. Правда, в большинстве важных случаев его использование требует, чтобы ему предшествовало и подготавливало его использование исчисления косвенных функций, которое предназначено для облегчения составления уравнений. Но хотя алгебра в этом случае выполняет лишь второстепенную роль, она тем не менее играет необходимую роль в полном решении вопроса, так что исчисление прямых функций должно оставаться по своей природе фундаментальной основой всего математического анализа. Поэтому мы должны, прежде чем идти дальше, рассмотреть в общем виде логический состав этого исчисления и ту степень развития, которой оно достигло в настоящее время.

Его объект. Поскольку конечной целью этого исчисления является разрешение (в собственном смысле слова) уравнений, то есть открытие того, каким образом неизвестные величины формируются из известных величин в соответствии с уравнениями, существующими между ними, оно естественным образом представляет столько различных отделов, сколько мы можем представить себе действительно различных классов уравнений. Его надлежащий объем, следовательно, строго неопределенен, так как число аналитических функций, способных входить в уравнения, само по себе совершенно безгранично, хотя они и состоят лишь из очень малого числа примитивных элементов.

Классификация уравнений. Рациональная классификация уравнений должна, очевидно, определяться природой аналитических элементов, из которых состоят их члены; любая другая классификация была бы по существу произвольной. Соответственно, аналитики начинают с разделения уравнений с одной или несколькими переменными на два основных класса, в зависимости от того, содержат ли они функции только первых трех пар (см. таблицу в главе I, стр. 51) или включают также экспоненциальные или круговые функции. Названия алгебраических функций и трансцендентальных функций, обычно даваемые этим двум основным группам аналитических элементов, несомненно, очень неуместны. Но повсеместно установленное деление между соответствующими уравнениями от этого не становится менее реальным в том смысле, что разрешение уравнений, содержащих функции, называемые трансцендентальными, неизбежно представляет больше трудностей, чем разрешение уравнений, называемых алгебраическими. Отсюда изучение первых до сих пор чрезвычайно несовершенно, так что часто разрешение даже самых простых из них нам еще неизвестно, а наши аналитические методы почти исключительно относятся к разработке последних.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

Рассматривая теперь только эти алгебраические уравнения, мы должны, во-первых, заметить, что, хотя они часто могут содержать иррациональные функции неизвестных величин, так же как и рациональные функции, мы всегда можем с помощью более или менее простых преобразований свести первый случай ко второму, так что именно последним аналитикам приходилось заниматься исключительно для разрешения всех видов алгебраических уравнений.

Их классификация. В младенчестве алгебры эти уравнения классифицировались по числу их членов. Но эта классификация была явно ошибочной, поскольку она разделяла случаи, которые были действительно похожи, и объединяла другие, которые не имели ничего общего, кроме этой неважной характеристики. Она была сохранена только для двучленных уравнений, которые, по сути, способны быть разрешены способом, свойственным только им.

Классификация уравнений по тому, что называется их степенями, с другой стороны, является в высшей степени естественной, ибо это различие строго определяет большую или меньшую трудность их разрешения. Эта градация очевидна в случаях всех уравнений, которые могут быть разрешены; но она может быть указана в общем виде независимо от факта разрешения. Нам нужно лишь учесть, что наиболее общее уравнение каждой степени неизбежно охватывает все уравнения различных низших степеней, как это должна делать и формула, определяющая неизвестную величину. Следовательно, как бы мы ни преуменьшали трудность, присущую рассматриваемой степени, поскольку она неизбежно усложняется при выполнении трудностями, представленными всеми предыдущими степенями, разрешение действительно предлагает все больше и больше препятствий по мере повышения степени уравнения.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

Его пределы. Разрешение алгебраических уравнений нам пока известно только для четырех первых степеней, таков рост трудности, отмеченный выше. В этом отношении алгебра не сделала значительного прогресса со времен работ Декарта и итальянских аналитиков XVI века, хотя за последние два столетия вряд ли нашелся хоть один геометр, который не занимался бы попытками продвинуть разрешение уравнений. Общее уравнение пятой степени до сих пор сопротивлялось всем атакам.

Постоянно возрастающая сложность, которую неизбежно должны представлять формулы для разрешения уравнений по мере увеличения степени (трудность использования формулы четвертой степени делает ее почти неприменимой), заставила аналитиков по молчаливому согласию отказаться от продолжения таких исследований, хотя они далеки от того, чтобы считать невозможным получение разрешения уравнений пятой степени и некоторых других более высоких степеней.

Общее решение. Единственным вопросом такого рода, который был бы действительно очень важен, по крайней мере в своих логических отношениях, было бы общее разрешение алгебраических уравнений любой степени. Теперь, чем больше мы размышляем над этим предметом, тем больше мы склоняемся к мысли вместе с Лагранжем, что он действительно превосходит возможности нашего интеллекта. Мы должны, кроме того, заметить, что формула, которая выражала бы корень уравнения m-й степени, неизбежно включала бы радикалы m-го порядка (или функции эквивалентной множественности) из-за m определений, которые она должна допускать. Поскольку мы видели, кроме того, что эта формула должна также охватывать, как частный случай, ту формулу, которая соответствует каждой низшей степени, из этого следует, что она неизбежно содержала бы также радикалы следующей низшей степени, следующей за ней и т. д., так что, даже если бы ее можно было обнаружить, она почти всегда представляла бы слишком большую сложность, чтобы ее можно было полезно использовать, если только мы не смогли бы упростить ее, сохранив при этом всю ее общность, путем введения нового класса аналитических элементов, о которых мы еще не имеем представления. У нас есть, таким образом, основания полагать, что, еще не достигнув здесь пределов, наложенных слабым охватом нашего интеллекта, мы недолго будем их достигать, если активно и серьезно продолжим эту серию исследований.

Кроме того, важно заметить, что, даже если предположить, что мы получили разрешение алгебраических уравнений любой степени, мы все равно рассмотрели бы лишь очень малую часть алгебры в собственном смысле слова, то есть исчисления прямых функций, включая разрешение всех уравнений, которые могут быть образованы известными аналитическими функциями.

Наконец, мы должны помнить, что в силу неоспоримого закона человеческой природы наши средства для осмысления новых вопросов гораздо мощнее, чем наши ресурсы для их разрешения, или, другими словами, человеческий разум гораздо более склонен спрашивать, чем рассуждать, поэтому мы неизбежно всегда будем оставаться ниже уровня трудности, до какой бы степени развития ни дошел наш интеллектуальный труд. Таким образом, даже если бы мы когда-нибудь открыли полное разрешение всех аналитических уравнений, известных в настоящее время, как бы химерично ни было это предположение, нет сомнений, что, прежде чем достичь этой цели, и, вероятно, даже как вспомогательное средство, мы уже преодолели бы трудность (гораздо меньшую, хотя все еще очень большую) осмысления новых аналитических элементов, введение которых породило бы классы уравнений, о которых мы в настоящее время совершенно не подозреваем; так что подобное несовершенство в алгебраической науке постоянно воспроизводилось бы, несмотря на реальный и очень важный рост абсолютной массы наших знаний.

Что мы знаем в алгебре. В нынешнем состоянии алгебры полное разрешение уравнений первых четырех степеней, любых двучленных уравнений, некоторых частных уравнений более высоких степеней и очень малого числа экспоненциальных, логарифмических или круговых уравнений составляют фундаментальные методы, которые представлены исчислением прямых функций для решения математических задач. Но, какими бы ограниченными ни были эти элементы, геометрам тем не менее удалось рассмотреть поистине восхитительным образом очень большое число важных вопросов, как мы увидим в ходе этого тома. Общие улучшения, внесенные в течение столетия в общую систему математического анализа, имели своей главной целью сделать неизмеримо полезными те немногие знания, которые у нас есть, вместо того чтобы стремиться их увеличить. Этот результат был достигнут настолько полно, что чаще всего это исчисление не имеет реального участия в полном решении вопроса, за исключением его самых простых частей; тех, которые относятся к уравнениям двух первых степеней с одной или несколькими переменными.

ЧИСЛЕННОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

Крайнее несовершенство алгебры в отношении разрешения уравнений заставило аналитиков заняться новым классом вопросов, истинный характер которых следует здесь отметить. Они занялись заполнением огромного пробела в разрешении алгебраических уравнений более высоких степеней тем, что они назвали численным разрешением уравнений. Не будучи в состоянии получить в общем виде формулу, которая выражает, какой явной функцией данных величин является неизвестная, они стремились (в отсутствие этого вида разрешения, единственно действительно алгебраического) определить, независимо от этой формулы, по крайней мере значение каждой неизвестной величины для различных обозначенных систем частных значений, приписываемых данным величинам. Благодаря последовательным трудам аналитиков эта неполная и нелегитимная операция, представляющая собой тесное смешение действительно алгебраических вопросов с другими, чисто арифметическими, стала возможной во всех случаях для уравнений любой степени и даже любой формы. Методы для этого, которыми мы сейчас обладаем, достаточно общи, хотя вычисления, к которым они приводят, часто настолько сложны, что их выполнение почти невозможно. Нам не остается ничего другого в этой части алгебры, кроме как упростить методы настолько, чтобы сделать их регулярно применимыми, что мы можем надеяться осуществить в будущем. В этом состоянии исчисления прямых функций мы стремимся при его применении так располагать предложенные вопросы, чтобы в конечном итоге требовалось только это численное разрешение уравнений.

Его ограниченная полезность. Ценный, как и такой ресурс в отсутствие истинного решения, важно не заблуждаться относительно истинного характера этих методов, которые аналитики справедливо рассматривают как очень несовершенную алгебру. На самом деле мы далеки от того, чтобы всегда иметь возможность свести наши математические вопросы к тому, чтобы в конечном итоге они зависели только от численного разрешения уравнений; это можно сделать только для вопросов совершенно изолированных или действительно окончательных, то есть для наименьшего числа. Большинство вопросов, по сути, являются лишь подготовительными и предназначены служить необходимым приготовлением для решения других вопросов. Теперь, для такой цели, очевидно, что важно обнаружить не фактическое значение неизвестной величины, а формулу, которая показывает, как она выводится из других рассматриваемых величин. Это происходит, например, в очень обширном классе случаев, всякий раз, когда определенный вопрос включает одновременно несколько неизвестных величин. Мы должны тогда, прежде всего, разделить их. При надлежащем использовании простого и общего метода, так удачно изобретенного аналитиками, который состоит в сведении всех других неизвестных величин к одной из них, трудность всегда исчезала бы, если бы мы знали, как получить алгебраическое разрешение рассматриваемых уравнений, в то время как численное решение было бы тогда совершенно бесполезным. Только из-за незнания алгебраического разрешения уравнений с одной неизвестной величиной мы вынуждены рассматривать исключение как отдельный вопрос, который составляет одну из величайших специальных трудностей обычной алгебры. Трудоемкие, как и методы, с помощью которых мы преодолеваем эту трудность, они даже не применимы в совершенно общем виде к исключению одной неизвестной величины между двумя уравнениями любой формы.

В самых простых вопросах, и когда нам действительно нужно разрешить только одно уравнение с одной неизвестной величиной, это численное разрешение тем не менее является очень несовершенным методом, даже когда оно строго достаточно. Оно представляет, по сути, то серьезное неудобство, что обязывает нас повторять всю серию операций при малейшем изменении, которое может произойти в одной из рассматриваемых величин, хотя их отношения друг к другу остаются неизменными; вычисления, сделанные для одного случая, не позволяют нам обойтись без каких-либо вычислений, которые относятся к случаю, очень мало отличающемуся. Это происходит из-за нашей неспособности абстрагировать и рассматривать отдельно ту чисто алгебраическую часть вопроса, которая является общей для всех случаев, возникающих из простого изменения данных чисел.

Согласно предыдущим соображениям, исчисление прямых функций, рассматриваемое в его нынешнем состоянии, делится на две очень различные ветви, в зависимости от того, является ли его предметом алгебраическое разрешение уравнений или их численное разрешение. Первый отдел, единственный действительно удовлетворительный, к сожалению, очень ограничен и, вероятно, всегда таким останется; второй, слишком часто недостаточный, имеет, по крайней мере, преимущество гораздо большей общности. Необходимость четкого различения этих двух частей очевидна из-за существенно различной цели, предлагаемой в каждой из них, и, следовательно, особой точки зрения, под которой величины в них рассматриваются.

Различные разделы двух методов разрешения. Если, кроме того, мы рассмотрим эти части применительно к различным методам, из которых состоит каждая, мы найдем в их логическом распределении совершенно иное расположение. На самом деле первая часть должна быть разделена в соответствии с природой уравнений, которые мы способны разрешить, и независимо от всякого соображения, относящегося к значениям неизвестных величин. Во второй части, напротив, методы естественным образом различаются не по степеням уравнений, поскольку они применимы к уравнениям любой степени; они различаются по численному характеру значений неизвестных величин; ибо при вычислении этих чисел непосредственно, без выведения их из общих формул, очевидно, будут использоваться разные средства, когда числа не могут иметь свои значения, определенные иначе, чем рядом приближений, всегда неполных, или когда они могут быть получены с полной точностью. Это различие несоизмеримых и соизмеримых корней, которые требуют совершенно разных принципов для их определения, как бы важно оно ни было в численном разрешении уравнений, совершенно незначительно в алгебраическом разрешении, в котором рациональная или иррациональная природа получаемых чисел является лишь случайностью вычисления, которая не может оказать никакого влияния на используемые методы; это, одним словом, простое арифметическое соображение. То же самое можно сказать, хотя и в меньшей степени, о делении самих соизмеримых корней на целые и дробные. В конце концов, дело обстоит так же, в еще большей степени, с самой общей классификацией корней как реальных и мнимых. Все эти различные соображения, которые являются преобладающими в отношении численного разрешения уравнений и которые не имеют никакого значения в их алгебраическом разрешении, делают все более и более ощутимой существенно различную природу этих двух основных частей алгебры.

ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ.

Эти два отдела, которые составляют непосредственный объект исчисления прямых функций, подчинены третьему, чисто умозрительному, из которого оба они заимствуют свои самые мощные ресурсы и который был очень точно обозначен общим названием теории уравнений, хотя он пока относится только к алгебраическим уравнениям. Численное разрешение уравнений из-за своей общности имеет особую потребность в этом рациональном фундаменте.

Эта последняя и важная ветвь алгебры естественным образом делится на два порядка вопросов, а именно: те, которые относятся к составлению уравнений, и те, которые касаются их преобразования; последние имеют своей целью изменение корней уравнения без их знания в соответствии с любым заданным законом, при условии, что этот закон является единообразным по отношению ко всем частям.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ.

Чтобы завершить это быстрое общее перечисление различных существенных частей исчисления прямых функций, я должен, наконец, прямо упомянуть одну из самых плодотворных и важных теорий собственно алгебры, относящуюся к преобразованию функций в ряды с помощью того, что называется методом неопределенных коэффициентов. Этот метод, столь в высшей степени аналитический и который должен рассматриваться как одно из самых замечательных открытий Декарта, несомненно, потерял часть своего значения после изобретения и развития исчисления бесконечно малых, место которого он мог бы так удачно занять в некоторых частных отношениях. Но возрастающее расширение трансцендентального анализа, хотя и сделало этот метод гораздо менее необходимым, с другой стороны, умножило его приложения и расширило его ресурсы; так что благодаря полезному сочетанию между двумя теориями, которое было наконец осуществлено, использование метода неопределенных коэффициентов стало в настоящее время гораздо более обширным, чем оно было даже до формирования исчисления косвенных функций.

Набросав таким образом общие контуры собственно алгебры, я должен теперь предложить некоторые соображения по нескольким ведущим пунктам в исчислении прямых функций, наши идеи о которых могут быть с выгодой прояснены философским исследованием.

МНИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Трудности, связанные с несколькими особыми символами, к которым иногда приводят алгебраические вычисления, и особенно с выражениями, называемыми мнимыми, были, я думаю, сильно преувеличены из-за чисто метафизических соображений, которые были навязаны им вместо того, чтобы рассматривать эти ненормальные результаты с их истинной точки зрения как простые аналитические факты. Рассматривая их таким образом, мы легко видим, что, поскольку дух математического анализа состоит в рассмотрении величин только в отношении их связей и без всякого учета их определенного значения, аналитики обязаны допускать безразлично всякий вид выражения, который может быть порожден алгебраическими комбинациями. Запрет даже одного выражения из-за его кажущейся сингулярности разрушил бы общность их концепций. Общее смущение по этому поводу кажется мне происходящим по существу из бессознательного смешения идеи функции и идеи значения, или, что то же самое, между алгебраической и арифметической точками зрения. Тщательное исследование показало бы, что математический анализ гораздо более ясен по своей природе, чем даже математики обычно предполагают.

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Что касается отрицательных величин, которые породили так много неуместных дискуссий, столь же иррациональных, сколь и бесполезных, мы должны различать их абстрактное значение и их конкретную интерпретацию, которые почти всегда смешивались до настоящего времени. С первой точки зрения теория отрицательных величин может быть установлена полным образом с помощью одного алгебраического соображения. Необходимость допускать такие выражения та же, что и для мнимых величин, как указано выше; и их использование в качестве аналитического приема, чтобы сделать формулы более всеобъемлющими, является механизмом вычисления, который не может действительно породить никакой серьезной трудности. Мы можем, следовательно, рассматривать абстрактную теорию отрицательных величин как не оставляющую желать ничего существенного; она не представляет препятствий, кроме тех, что неуместно введены софистическими соображениями.

Однако совсем не так обстоит дело с их конкретной теорией. Она состоит по существу в том восхитительном свойстве знаков + и -, представлять аналитически противоположности направлений, которым подвержены некоторые величины. Эта общая теорема об отношении конкретного к абстрактному в математике является одним из самых прекрасных открытий, которыми мы обязаны гению Декарта, получившему его как простой результат правильно направленного философского наблюдения. С тех пор большое число геометров стремились установить непосредственно ее общее доказательство, но до сих пор их усилия были иллюзорными. Их тщетные метафизические соображения и неоднородные смешения абстрактного и конкретного настолько запутали предмет, что становится необходимым здесь четко сформулировать общий факт. Он состоит в следующем: если в любом уравнении, выражающем отношение определенных величин, которые подвержены противоположности направлений, одна или несколько из этих величин начинают отсчитываться в направлении, противоположном тому, которое принадлежало им при первом установлении уравнения, не будет необходимости непосредственно составлять новое уравнение для этого второго состояния явлений; будет достаточно изменить в первом уравнении знак каждой из величин, которые изменили свое направление; и уравнение, таким образом измененное, всегда будет строго совпадать с тем, к которому мы пришли бы, начав заново исследовать для этого нового случая аналитический закон явления. Общая теорема состоит в этом постоянном и необходимом совпадении. Теперь, до сих пор никто не преуспел в том, чтобы непосредственно доказать это; мы убедились в этом только с помощью большого числа геометрических и механических проверок, которые, правда, достаточно умножены и, особенно, достаточно разнообразны, чтобы предотвратить у любого ясного ума возникновение малейшего сомнения в точности и общности этого существенного свойства, но которые, с философской точки зрения, вовсе не избавляют от исследования столь важного объяснения. Крайняя степень теоремы должна заставить нас понять как фундаментальные трудности этого исследования, так и высокую полезность для совершенствования математической науки, которая принадлежала бы общей концепции этой великой истины. Это несовершенство теории, однако, не помешало геометрам сделать самое широкое и самое важное использование этого свойства во всех частях конкретной математики.

Из вышеприведенной общей формулировки факта, независимо от какого-либо доказательства, следует, что свойство, о котором мы говорим, никогда не должно применяться к величинам, направления которых постоянно варьируются, не порождая простого противопоставления направления; в этом случае знак, которым обязательно наделен каждый результат вычисления, не поддается никакой конкретной интерпретации, и попытки, иногда предпринимаемые для установления таковой, являются ошибочными. Это обстоятельство встречается, среди прочих случаев, в случае радиус-вектора в геометрии и расходящихся сил в механике.

ПРИНЦИП ОДНОРОДНОСТИ.

Вторая общая теорема об отношении конкретного к абстрактному — это та, которая обычно обозначается под названием принципа однородности. Она, несомненно, гораздо менее важна в своих приложениях, чем предыдущая, но она особенно заслуживает нашего внимания как имеющая по своей природе еще большую степень охвата, поскольку она применима ко всем явлениям без различия, и из-за реальной полезности, которую она часто имеет для проверки их аналитических законов. Я могу, кроме того, продемонстрировать прямое и общее доказательство ее, которое кажется мне очень простым. Оно основано на этом единственном наблюдении, которое самоочевидно, что точность всякого отношения между любыми конкретными величинами, какими бы они ни были, не зависит от значения единиц, к которым они отнесены с целью выражения их в числах. Например, отношение, которое существует между тремя сторонами прямоугольного треугольника, одно и то же, измеряются ли они ярдами, или милями, или дюймами.

Из этого общего соображения следует, что каждое уравнение, которое выражает аналитический закон любого явления, должно обладать этим свойством — никоим образом не изменяться, когда все величины, которые находятся в нем, подвергаются одновременно изменению, соответствующему тому, которое испытали бы их соответствующие единицы. Теперь это изменение, очевидно, состоит в том, что все величины каждого сорта становятся сразу в m раз меньше, если единица, которая соответствует им, становится в m раз больше, или наоборот. Таким образом, каждое уравнение, которое представляет любое конкретное отношение, какое бы оно ни было, должно обладать этой характеристикой — оставаться тем же самым, когда мы делаем в m раз больше все величины, которые оно содержит и которые выражают величины, между которыми существует отношение; исключая всегда числа, которые обозначают просто взаимные отношения этих различных величин и которые поэтому остаются неизменными во время изменения единиц. Именно это свойство составляет закон однородности в его самом широком значении, то есть из каких бы аналитических функций ни состояли уравнения.

Но чаще всего мы рассматриваем только те случаи, в которых функции являются такими, как называются алгебраическими, и к которым применима идея степени. В этом случае мы можем придать больше точности общему предложению, определив аналитический характер, который должен быть обязательно представлен уравнением, чтобы это свойство могло быть проверено. Легко видеть тогда, что при модификации, только что объясненной, все члены первой степени, какой бы ни была их форма, рациональная или иррациональная, целая или дробная, станут в m раз больше; все члены второй степени — в m2 раз; члены третьей — в m3 раз и т. д. Таким образом, члены одной и той же степени, как бы ни был различен их состав, варьируясь одинаковым образом, а члены разных степеней варьируясь в неравной пропорции, какое бы сходство ни было в их составе, будет необходимо, чтобы предотвратить нарушение уравнения, чтобы все члены, которые оно содержит, были одной и той же степени. Именно в этом по существу состоит обычная теорема однородности, и именно из этого обстоятельства общий закон получил свое название, которое, однако, перестает быть точно подходящим для всех других функций.

Чтобы рассмотреть этот предмет во всем его объеме, важно заметить существенное условие, на которое необходимо обращать внимание при применении этого свойства, когда явление, выраженное уравнением, представляет величины разных природ. Так может случиться, что соответствующие единицы совершенно независимы друг от друга, и тогда теорема однородности будет справедлива либо по отношению ко всем соответствующим классам величин, либо по отношению только к одной или нескольким из них. Но в других случаях будет случаться, что разные единицы будут иметь фиксированные отношения друг к другу, определяемые природой вопроса; тогда будет необходимо обращать внимание на эту субординацию единиц при проверке однородности, которая не будет существовать больше в чисто алгебраическом смысле, и точная форма которой будет варьироваться в зависимости от природы явлений. Так, например, чтобы зафиксировать наши идеи, когда в аналитическом выражении геометрических явлений мы рассматриваем одновременно линии, площади и объемы, будет необходимо заметить, что три соответствующие единицы неизбежно так связаны друг с другом, что, согласно субординации, обычно установленной в этом отношении, когда первая становится в m раз больше, вторая становится в m2 раз, а третья — в m3 раз. Именно с такой модификацией однородность будет существовать в уравнениях, в которых, если они алгебраические, нам придется оценивать степень каждого члена путем удвоения показателей факторов, которые соответствуют площадям, и утроения показателей факторов, относящихся к объемам.

Таковы основные общие соображения, относящиеся к исчислению прямых функций. Мы должны теперь перейти к философскому рассмотрению исчисления косвенных функций, гораздо более превосходящая важность и объем которого требуют более полного развития.

ГЛАВА III.

ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЕГО РАССМОТРЕНИЯ.

Мы определили во второй главе философский характер трансцендентального анализа, каким бы образом он ни был задуман, рассматривая только общую природу его фактического назначения как части математической науки. Этот анализ был представлен геометрами с нескольких точек зрения, действительно различных, хотя и обязательно эквивалентных, и ведущих всегда к тождественным результатам. Они могут быть сведены к трем основным: Лейбница, Ньютона и Лагранжа, из которых все остальные являются лишь вторичными модификациями. В нынешнем состоянии науки каждая из этих трех общих концепций предлагает существенные преимущества, которые принадлежат исключительно ей, без того, чтобы нам удалось до сих пор построить единый метод, объединяющий все эти различные характерные качества. Это сочетание, вероятно, будет осуществлено в будущем каким-либо методом, основанным на концепции Лагранжа; когда эта важная философская работа будет завершена, изучение других концепций будет иметь лишь исторический интерес; но до тех пор наука должна рассматриваться как находящаяся лишь в предварительном состоянии, которое требует одновременного рассмотрения всех различных способов рассмотрения этого исчисления. Как бы нелогичной ни казалась эта множественность концепций одного тождественного предмета, все же без них всех мы могли бы составить лишь очень недостаточное представление об этом анализе, как в нем самом, так и, особенно, в отношении его приложений. Это отсутствие системы в самой важной части математического анализа не покажется странным, если мы рассмотрим, с одной стороны, его огромный объем и его превосходящую трудность, а с другой — его недавнее формирование.

ЕГО РАННЯЯ ИСТОРИЯ.

Если бы нам пришлось проследить здесь систематическую историю последовательного формирования трансцендентального анализа, необходимо было бы предварительно тщательно отличить от исчисления косвенных функций в собственном смысле слова первоначальную идею метода бесконечно малых, которая может быть задумана сама по себе, независимо от какого-либо исчисления. Мы увидели бы, что первое зерно этой идеи находится в процедуре, постоянно используемой греческими геометрами под названием метода исчерпывания, как средства перехода от свойств прямых линий к свойствам кривых, и состоящей по существу в подстановке для кривой вспомогательного рассмотрения вписанного или описанного многоугольника, с помощью которого они восходили к самой кривой, принимая надлежащим образом пределы примитивных отношений. Как бы неоспорима ни была эта филиация идей, было бы приданием ей сильно преувеличенного значения видеть в этом методе исчерпывания реальный эквивалент наших современных методов, как это делали некоторые геометры; ибо у древних не было логических и общих средств для определения этих пределов, и это обычно было величайшей трудностью вопроса; так что их решения не были подчинены абстрактным и неизменным правилам, единообразное применение которых приводило бы с уверенностью к искомому знанию; что, напротив, является главной характеристикой нашего трансцендентального анализа. Одним словом, оставалась еще задача обобщения концепций, используемых древними, и, особенно, рассматривая ее чисто абстрактным образом, сведения ее к полной системе вычисления, что для них было невозможно.

Первая идея, которая была произведена в этом новом направлении, восходит к великому геометру Ферма, которого Лагранж справедливо представил как заложившего основы прямого формирования трансцендентального анализа своим методом для определения максимумов и минимумов и для нахождения касательных, который состоял по существу во введении вспомогательного рассмотрения коррелятивных приращений предложенных переменных, приращений, впоследствии подавляемых как равные нулю, когда уравнения подвергались некоторым подходящим преобразованиям. Но хотя Ферма был первым, кто задумал этот анализ чисто абстрактным образом, он был еще далек от того, чтобы быть регулярно сформированным в общее и отдельное исчисление, имеющее свое собственное обозначение и, особенно, освобожденное от излишнего рассмотрения членов, которые в анализе Ферма в конечном итоге не принимались в расчет, после того как тем не менее сильно усложнили все операции своим присутствием. Это то, что Лейбниц так удачно выполнил полвека спустя, после некоторых промежуточных модификаций идей Ферма, введенных Валлисом и еще более Барроу; и он таким образом стал истинным творцом трансцендентального анализа, каким мы его сейчас используем. Это восхитительное открытие было настолько зрелым (как и все великие концепции человеческого интеллекта в момент их проявления), что Ньютон со своей стороны пришел в то же время или немного раньше к методу, точно эквивалентному, рассматривая этот анализ под очень другой точкой зрения, которая, хотя и более логична сама по себе, действительно менее приспособлена для придания общему фундаментальному методу всей той широты и легкости, которые были приданы ему идеями Лейбница. Наконец, Лагранж, отбросив неоднородные соображения, которые направляли Лейбница и Ньютона, преуспел в сведении трансцендентального анализа в его величайшем совершенстве к чисто алгебраической системе, которой не хватает только большей способности для ее практических приложений.

После этого краткого взгляда на общую историю трансцендентального анализа мы перейдем к догматическому изложению трех основных концепций, чтобы оценить точно их характерные свойства и показать необходимую идентичность методов, которые отсюда выводятся. Начнем с концепции Лейбница.

МЕТОД ЛЕЙБНИЦА.

Бесконечно малые элементы. Это состоит во введении в исчисление, с целью облегчения установления уравнений, бесконечно малых элементов, из которых, как считается, состоят все величины, отношения между которыми ищутся. Эти элементы или дифференциалы будут иметь определенные отношения друг к другу, которые постоянно и обязательно более просты и легки для обнаружения, чем отношения примитивных величин, и с помощью которых мы будем способны (с помощью специального исчисления, имеющего своей особой целью исключение этих вспомогательных бесконечно малых) вернуться к желаемым уравнениям, которые было бы чаще всего невозможно получить непосредственно. Этот косвенный анализ может иметь разные степени косвенности; ибо, когда существует слишком большая трудность в формировании немедленно уравнения между дифференциалами рассматриваемых величин, придется сделать второе применение того же общего приема, и эти дифференциалы рассматривать, в свою очередь, как новые примитивные величины, и искать отношение между их бесконечно малыми элементами (которые, по отношению к конечным объектам вопроса, будут вторыми дифференциалами), и так далее; то же преобразование допускает повторение любое число раз, при условии окончательного исключения постоянно возрастающего числа бесконечно малых величин, введенных в качестве вспомогательных.

Человек, еще не знакомый с этими соображениями, не воспринимает сразу, как использование этих вспомогательных величин может облегчить открытие аналитических законов явлений; ибо бесконечно малые приращения предложенных величин, будучи того же вида, что и они, казалось бы, что их отношения не должны быть получены с большей легкостью, поскольку большая или меньшая ценность величины не может, по сути, оказать никакого влияния на исследование, которое обязательно независимо по своей природе от всякой идеи ценности. Но легко, тем не менее, объяснить очень ясно и в совершенно общем виде, насколько вопрос должен быть упрощен таким приемом. Для этой цели необходимо начать с различения разных порядков бесконечно малых величин, очень точное представление о которых может быть получено путем рассмотрения их как являющихся либо последовательными степенями одной и той же примитивной бесконечно малой величины, либо как величин, которые могут рассматриваться как имеющие конечные отношения с этими степенями; так что, чтобы взять пример, вторые, третьи и т. д. дифференциалы любой переменной классифицируются как бесконечно малые величины второго порядка, третьего и т. д., потому что легко обнаружить в них конечные кратные вторых, третьих и т. д. степеней некоторого первого дифференциала. Эти предварительные идеи будучи установлены, дух исчисления бесконечно малых состоит в постоянном пренебрежении бесконечно малыми величинами в сравнении с конечными величинами и вообще бесконечно малыми величинами любого порядка в сравнении со всеми величинами низшего порядка. Сразу становится очевидно, насколько такая свобода должна облегчать формирование уравнений между дифференциалами величин, поскольку вместо этих дифференциалов мы можем подставить такие другие элементы, какие мы можем выбрать и которые будут более простыми для рассмотрения, только заботясь о соблюдении этого единственного условия, что новые элементы отличаются от предыдущих только величинами, бесконечно малыми в сравнении с ними. Именно так будет возможно в геометрии рассматривать кривые линии как состоящие из бесконечности прямолинейных элементов, кривые поверхности как сформированные из плоских элементов, а в механике — переменные движения как бесконечную серию равномерных движений, следующих друг за другом через бесконечно малые интервалы времени.

Примеры. Учитывая важность этой восхитительной концепции, я думаю, что должен здесь завершить иллюстрацию ее фундаментального характера кратким указанием некоторых ведущих примеров.

1. Касательные. Пусть требуется определить для каждой точки плоской кривой, уравнение которой дано, направление ее касательной; вопрос, общее решение которого было первоначальным объектом изобретателей трансцендентального анализа. Мы будем рассматривать касательную как секущую, соединяющую две точки, бесконечно близкие друг к другу; и тогда, обозначая через dy и dx бесконечно малые разности координат этих двух точек, элементарные принципы геометрии немедленно дадут уравнение t = dy/dx для тригонометрической касательной угла, который образуется с осью абсцисс желаемой касательной, это будучи самым простым способом фиксации ее положения в системе прямолинейных координат. Это уравнение, общее для всех кривых, будучи установлено, вопрос сводится к простой аналитической задаче, которая будет состоять в исключении бесконечно малых dx и dy, которые были введены как вспомогательные, путем определения в каждом частном случае, с помощью уравнения предложенной кривой, отношения dy к dx, что будет постоянно делаться единообразными и очень простыми методами.

2. Выпрямление дуги. Во-вторых, предположим, что мы хотим знать длину дуги любой кривой, рассматриваемую как функцию координат ее конечностей. Было бы невозможно установить непосредственно уравнение между этой дугой s и этими координатами, в то время как легко найти соответствующее отношение между дифференциалами этих различных величин. Самые простые теоремы элементарной геометрии, по сути, дадут сразу, рассматривая бесконечно малую дугу ds как прямую линию, уравнения

ds2 = dy2 + dx2, или ds2 = dx2 + dy2 + dz2,

в зависимости от того, является ли кривая одинарной или двойной кривизны. В любом случае вопрос теперь полностью находится в области анализа, который путем исключения дифференциалов (что является особым объектом исчисления косвенных функций) перенесет нас от этого отношения к тому, которое существует между самими конечными величинами, находящимися под исследованием.

3. Квадратура кривой. То же самое было бы с квадратурой криволинейных площадей. Если кривая плоская и отнесена к прямолинейным координатам, мы будем представлять себе площадь A, заключенную между этой кривой, осью абсцисс и двумя крайними координатами, увеличивающейся на бесконечно малую величину dA в результате соответствующего приращения абсциссы. Отношение между этими двумя дифференциалами может быть немедленно получено с величайшей легкостью путем подстановки вместо криволинейного элемента предложенной площади прямоугольника, образованного крайней ординатой и элементом абсциссы, от которого он, очевидно, отличается только бесконечно малой величиной второго порядка. Это сразу даст, какой бы ни была кривая, очень простое дифференциальное уравнение

dA = ydx,

из которого, когда кривая определена, исчисление косвенных функций покажет, как вывести конечное уравнение, которое является непосредственным объектом задачи.

4. Скорость при переменном движении. Точно так же в динамике, когда мы желаем знать выражение для скорости, приобретаемой в каждый момент телом, на которое воздействует движение, изменяющееся согласно любому закону, мы будем рассматривать движение как равномерное в течение бесконечно малого элемента времени t, и мы таким образом немедленно сформируем дифференциальное уравнение de = vdt, в котором v обозначает скорость, приобретенную, когда тело прошло пространство e; и оттуда будет легко вывести с помощью простых и неизменных аналитических процедур формулу, которая дала бы скорость в каждом частном движении в соответствии с соответствующим отношением между временем и пространством; или, наоборот, каким было бы это отношение, если бы способ изменения скорости предполагался известным, будь то по отношению к пространству или ко времени.

5. Распределение тепла. Наконец, чтобы указать на другой род вопросов, именно с помощью подобных шагов мы способны в изучении термологических явлений, согласно удачной концепции г-на Фурье, сформировать весьма простым способом общее дифференциальное уравнение, выражающее переменное распределение тепла в любом теле, подверженном любому воздействию, посредством единственного и легко получаемого соотношения, которое представляет равномерное распределение тепла в прямоугольном параллелепипеде, рассматривая (геометрически) любое другое тело как разложенное на бесконечно малые элементы подобной формы, а (термологически) поток тепла как постоянный в течение бесконечно малого промежутка времени. Впредь все вопросы, которые могут быть представлены абстрактной термологией, будут сведены, как в геометрии и механике, к простым трудностям анализа, которые всегда будут состоять в исключении дифференциалов, введенных в качестве вспомогательных средств для облегчения составления уравнений.

Примеров столь различной природы более чем достаточно, чтобы дать ясное общее представление об огромном охвате фундаментальной концепции трансцендентного анализа, сформированной Лейбницем, которая, несомненно, представляет собой самую возвышенную мысль, до которой до сих пор дошел человеческий разум.

Очевидно, что эта концепция была необходима для завершения фундамента математической науки, позволяя нам установить в широком и плодотворном ключе отношение конкретного к абстрактному. В этом отношении ее следует рассматривать как необходимое дополнение к великой фундаментальной идее Декарта об общем аналитическом представлении природных явлений: идее, которая не начинала достойно оцениваться и надлежащим образом использоваться до формирования инфинитезимального анализа, без которого она не могла бы дать, даже в геометрии, очень важных результатов.

Общность формул. Помимо удивительной легкости, которую дает трансцендентный анализ для исследования математических законов всех явлений, вторым фундаментальным и неотъемлемым свойством, возможно, столь же важным, как и первое, является чрезвычайная общность дифференциальных формул, которые выражают в одном уравнении каждое определенное явление, как бы ни варьировались предметы, в отношении которых оно рассматривается. Таким образом, мы видим в предыдущих примерах, что одно дифференциальное уравнение дает касательные ко всем кривым, другое — их спрямления, третье — их квадратуры; и точно так же одна неизменная формула выражает математический закон всякого переменного движения; и, наконец, одно уравнение постоянно представляет распределение тепла в любом теле и для любого случая. Эта общность, которая столь чрезвычайно примечательна и которая для геометров является основой самых возвышенных соображений, есть счастливое и необходимое следствие самого духа трансцендентного анализа, особенно в концепции Лейбница. Таким образом, инфинитезимальный анализ не только предоставил общий метод для косвенного формирования уравнений, которые было бы невозможно обнаружить прямым способом, но он также позволил нам рассматривать для математического изучения природных явлений новый порядок более общих законов, которые, тем не менее, представляют ясное и точное значение для каждого ума, привыкшего к их интерпретации. В силу этого второго характерного свойства вся система огромной науки, такой как геометрия или механика, была сведена к небольшому числу аналитических формул, из которых человеческий разум может вывести, по верным и неизменным правилам, решение всех частных задач.

Демонстрация метода. Для завершения общего изложения концепции Лейбница остается рассмотреть демонстрацию логической процедуры, к которой она ведет, и это, к сожалению, самая несовершенная часть этого прекрасного метода.

В начале инфинитезимального анализа самые знаменитые геометры справедливо придавали большее значение расширению бессмертного открытия Лейбница и умножению его приложений, чем строгому установлению логических основ его операций. Они долгое время довольствовались тем, что отвечали на возражения второстепенных геометров неожиданным решением самых трудных задач; несомненно, будучи убежденными, что в математической науке, гораздо больше, чем в любой другой, можно смело приветствовать новые методы, даже когда их рациональное объяснение несовершенно, при условии, что они плодотворны в результатах, поскольку ее гораздо более легкие и многочисленные проверки не позволили бы никакой ошибке долго оставаться необнаруженной. Но такое положение вещей не могло долго существовать, и необходимо было вернуться к самым основам анализа Лейбница, чтобы доказать, совершенно общим образом, строгую точность процедур, используемых в этом методе, несмотря на кажущиеся нарушения обычных правил рассуждения, которые он допускал.

Лейбниц, побуждаемый к ответу, представил совершенно ошибочное объяснение, говоря, что он рассматривает бесконечно малые величины как несравнимые и что он пренебрегает ими в сравнении с конечными величинами, «как песчинками в сравнении с морем»: взгляд, который полностью изменил бы природу его анализа, сведя его к простому приближенному исчислению, которое с этой точки зрения было бы радикально порочным, поскольку было бы невозможно предвидеть, в общем, до какой степени последовательные операции могли бы увеличить эти первые ошибки, которые, таким образом, очевидно, могли бы достичь любого размера. Лейбниц, следовательно, не видел, за исключением весьма смутного образа, истинных логических основ анализа, который он создал. Его первые преемники ограничивались поначалу проверкой его точности, показывая соответствие его результатов в частных приложениях тем, что были получены с помощью обычной алгебры или геометрии древних; воспроизводя, согласно древним методам, насколько они могли, решения некоторых задач после того, как они были однажды получены с помощью нового метода, который один был способен обнаружить их в первую очередь.

Когда этот великий вопрос рассматривался более общим образом, геометры, вместо того чтобы прямо атаковать трудность, предпочитали каким-то образом обойти ее, как это сделали, например, Эйлер и Д'Аламбер, демонстрируя необходимое и постоянное соответствие концепции Лейбница, рассматриваемой во всех ее приложениях, с другими фундаментальными концепциями трансцендентного анализа, особенно с концепцией Ньютона, точность которой была свободна от каких-либо возражений. Такая общая проверка, несомненно, строго достаточна, чтобы рассеять любую неопределенность относительно законного использования анализа Лейбница. Но инфинитезимальный метод настолько важен — он все еще предлагает почти во всех своих приложениях такое практическое превосходство над другими общими концепциями, которые последовательно предлагались, — что существовало бы реальное несовершенство в философском характере науки, если бы она не могла оправдать себя и нуждалась в том, чтобы быть логически обоснованной на соображениях иного порядка, которые тогда перестали бы использоваться.

Было, следовательно, действительно важно установить прямо и общим образом необходимую рациональность инфинитезимального метода. После различных попыток, более или менее несовершенных, выдающийся геометр Карно представил наконец истинное прямое логическое объяснение метода Лейбница, показав, что он основан на принципе необходимой компенсации ошибок, что является, по сути, точным и светлым проявлением того, что Лейбниц смутно и неясно ощущал. Карно таким образом оказал науке существенную услугу, хотя, как мы увидим ближе к концу этой главы, все эти логические леса инфинитезимального метода, собственно говоря, весьма вероятно, способны лишь на временное существование, поскольку они радикально порочны по своей природе. Тем не менее, мы не должны упускать из виду общую систему рассуждений, предложенную Карно, чтобы прямо узаконить анализ Лейбница. Вот ее суть:

При установлении дифференциального уравнения явления мы подставляем вместо непосредственных элементов различных рассматриваемых величин другие более простые бесконечно малые, которые отличаются от них бесконечно мало по сравнению с ними; и эта подстановка составляет главный прием метода Лейбница, который без него не обладал бы реальной легкостью для формирования уравнений. Карно рассматривает такую гипотезу как действительно производящую ошибку в полученном таким образом уравнении, и которую по этой причине он называет несовершенной; только ясно, что эта ошибка должна быть бесконечно малой. Теперь, с другой стороны, все аналитические операции, будь то дифференцирование или интегрирование, которые выполняются над этими дифференциальными уравнениями, чтобы поднять их до конечных уравнений путем исключения всех бесконечно малых, которые были введены в качестве вспомогательных, производят так же постоянно, по своей природе, как легко видеть, другие аналогичные ошибки, так что происходит точная компенсация, и окончательные уравнения, по словам Карно, становятся совершенными. Карно рассматривает как верный и неизменный признак фактического установления этой необходимой компенсации полное исключение различных бесконечно малых величин, что всегда, по сути, является конечной целью всех операций трансцендентного анализа; ибо если мы не совершили других нарушений общих правил рассуждения, кроме тех, которые таким образом требуются самой природой инфинитезимального метода, то бесконечно малые ошибки, таким образом произведенные, не могли породить иных, кроме бесконечно малых ошибок во всех уравнениях, и отношения являются необходимо строго точными, как только они существуют между одними лишь конечными величинами, поскольку единственные ошибки, возможные тогда, должны быть конечными, в то время как никакие такие не могли войти. Все это общее рассуждение основано на концепции бесконечно малых величин, рассматриваемых как бесконечно убывающие, в то время как те, из которых они производятся, рассматриваются как фиксированные.

Иллюстрация на касательных. Итак, чтобы проиллюстрировать это абстрактное изложение одним примером, вернемся к вопросу о касательных, который легче всего проанализировать полностью. Мы будем рассматривать уравнение t = dy/dx, полученное выше, как затронутое бесконечно малой ошибкой, поскольку оно было бы совершенно строгим только для секущей. Теперь завершим решение, ища, согласно уравнению каждой кривой, отношение между дифференциалами координат. Если мы предположим, что это уравнение есть y = ax^2, мы очевидно будем иметь

dy = 2axdx + adx^2.

В этой формуле нам придется пренебречь членом dx^2 как бесконечно малой величиной второго порядка. Тогда комбинация двух несовершенных уравнений

t = dy/dx, dy = 2ax(dx),

будучи достаточной для полного исключения бесконечно малых, конечный результат, t = 2ax, будет обязательно строго правильным, вследствие эффекта точной компенсации двух совершенных ошибок; поскольку, по своей конечной природе, он не может быть затронут бесконечно малой ошибкой, и это, тем не менее, единственная, которую он мог бы иметь, согласно духу операций, которые были выполнены.

Было бы легко воспроизвести единообразным образом то же рассуждение применительно ко всем другим общим приложениям анализа Лейбница.

Эта остроумная теория, несомненно, более тонка, чем солидна, если мы исследуем ее более глубоко; но она действительно не имеет другого радикального логического изъяна, кроме того, что присущ самому инфинитезимальному методу, которого она является, как мне кажется, естественным развитием и общим объяснением, так что она должна быть принята до тех пор, пока будет считаться уместным использовать этот метод напрямую.

Я перехожу теперь к общему изложению двух других фундаментальных концепций трансцендентного анализа, ограничиваясь в каждой ее главной идеей, поскольку философский характер анализа был достаточно определен выше при рассмотрении концепции Лейбница, на которой я специально остановился, потому что она допускает возможность быть наиболее легко понятой в целом и наиболее быстро описанной.

МЕТОД НЬЮТОНА.

Ньютон последовательно представлял свой собственный метод осмысления трансцендентного анализа в нескольких различных формах. Тот, который в настоящее время является наиболее общепринятым, был обозначен Ньютоном иногда под названием Метод первых и последних отношений, иногда под названием Метод пределов.

Метод пределов. Общий дух трансцендентного анализа с этой точки зрения состоит во введении в качестве вспомогательных средств, вместо примитивных величин или одновременно с ними, чтобы облегчить установление уравнений, пределов отношений одновременных приращений этих величин; или, другими словами, окончательных отношений этих приращений; пределов или окончательных отношений, которые, как можно легко показать, имеют определенное и конечное значение. Специальное исчисление, которое является эквивалентом инфинитезимального исчисления, затем используется для перехода от уравнений между этими пределами к соответствующим уравнениям между самими примитивными величинами.

Сила, которая дается таким анализом для выражения с большей легкостью математических законов явлений, зависит в общем от того, что, поскольку исчисление применяется не к самим приращениям предложенных величин, а к пределам отношений этих приращений, мы всегда можем подставить вместо каждого приращения любую другую величину, более легкую для рассмотрения, при условии, что их окончательное отношение есть отношение равенства, или, другими словами, что предел их отношения есть единица. Ясно, действительно, что исчисление пределов ни в коем случае не было бы затронуто этой подстановкой. Исходя из этого принципа, мы находим почти эквивалент удобств, предлагаемых анализом Лейбница, которые тогда просто осмысливаются с другой точки зрения. Таким образом, кривые будут рассматриваться как пределы ряда прямолинейных многоугольников, переменные движения как пределы совокупности равномерных движений постоянно уменьшающихся длительностей и так далее.

Примеры. 1. Касательные. Предположим, например, что мы хотим определить направление касательной к кривой; мы будем рассматривать ее как предел, к которому стремилась бы секущая, которая должна вращаться вокруг данной точки так, чтобы ее вторая точка пересечения бесконечно приближалась к первой. Представляя разности координат двух точек через Δy и Δx, мы имели бы в каждый момент, для тригонометрической касательной угла, который секущая образует с осью абсцисс,

t = Δy/Δx;

из чего, беря пределы, мы получим, относительно самой касательной, эту общую формулу трансцендентного анализа,

t = L(Δy/Δx),

характеристика L используется для обозначения предела. Исчисление косвенных функций покажет, как вывести из этой формулы в каждом частном случае, когда дано уравнение кривой, отношение между t и x путем исключения вспомогательных величин, которые были введены. Если мы предположим, для завершения решения, что уравнение предложенной кривой есть y = ax^2, мы очевидно будем иметь

Δy = 2axΔx + a(Δx)^2,

из чего мы получим

Δy/Δx = 2ax + aΔx.

Теперь ясно, что предел, к которому стремится второе число по мере того, как Δx уменьшается, есть 2ax. Мы, следовательно, найдем этим методом t = 2ax, как мы получили его для того же случая методом Лейбница.

2. Спрямления. Точно так же, когда желательно спрямление кривой, мы должны подставить вместо приращения дуги s хорду этого приращения, которая очевидно имеет такую связь с ней, что предел их отношения есть единица; и тогда мы находим (следуя в остальном тому же плану, что и с методом Лейбница) это общее уравнение спрямлений:

(L Δs/Δx)^2 = 1 + (L Δy/Δx)^2, или (L Δs/Δx)^2 = 1 + (L Δy/Δx)^2 + (L Δz/Δx)^2,

в зависимости от того, является ли кривая плоской или двоякой кривизны. Теперь будет необходимо для каждой частной кривой перейти от этого уравнения к уравнению между дугой и абсциссой, что зависит от трансцендентного исчисления, собственно говоря.

Мы могли бы рассмотреть с той же легкостью, методом пределов, все другие общие вопросы, решение которых уже было указано согласно инфинитезимальному методу.

Такова, в сущности, концепция, которую Ньютон сформировал для трансцендентного анализа, или, точнее, та, которую Маклорен и Д'Аламбер представили как наиболее рациональную основу этого анализа, стремясь зафиксировать и упорядочить идеи Ньютона по этому предмету.

Флюксии и флюенты. Другая отдельная форма, под которой Ньютон представил этот же метод, должна быть здесь отмечена и заслуживает особого внимания, как своей остроумной ясностью в некоторых случаях, так и тем, что она предоставила обозначение, наиболее подходящее для такого способа рассмотрения трансцендентного анализа, и, кроме того, как бывшая до недавнего времени специальной формой исчисления косвенных функций, обычно принятой английскими геометрами. Я имею в виду исчисление флюксий и флюент, основанное на общей идее скоростей.

Чтобы облегчить осмысление фундаментальной идеи, рассмотрим каждую кривую как порожденную точкой, которой придано движение, изменяющееся по любому закону. Различные величины, которые может представлять кривая, абсцисса, ордината, дуга, площадь и т. д., будут рассматриваться как одновременно производимые последовательными степенями во время этого движения. Скорость, с которой каждая из них была описана, будет называться флюксией этой величины, которая будет обратно названа ее флюентой. Впредь трансцендентный анализ будет состоять, согласно этой концепции, в формировании непосредственно уравнений между флюксиями предложенных величин, чтобы вывести из них, с помощью специального исчисления, уравнения между самими флюентами. То, что было сказано относительно кривых, может, кроме того, очевидно быть применено к любым величинам, рассматриваемым, с помощью подходящих образов, как произведенные движением.

Легко понять общую и необходимую идентичность этого метода с методом пределов, осложненным чуждой идеей движения. Фактически, возобновляя случай кривой, если мы предположим, как мы очевидно всегда можем, что движение описывающей точки является равномерным в определенном направлении, например, абсциссы, тогда флюксия абсциссы будет постоянной, как элемент времени; для всех других порожденных величин движение не может быть осмыслено как равномерное, кроме как на бесконечно малое время. Теперь, скорость будучи в общем, согласно ее механической концепции, отношением каждого пространства ко времени, затраченному на его прохождение, и это время будучи здесь пропорциональным приращению абсциссы, из этого следует, что флюксии ординаты, дуги, площади и т. д. на самом деле не являются ничем иным (отбрасывая промежуточное рассмотрение времени), как окончательными отношениями приращений этих различных величин к приращению абсциссы. Этот метод флюксий и флюент есть, следовательно, в действительности лишь способ представления, посредством сравнения, заимствованного из механики, метода первых и последних отношений, который один может быть сведен к исчислению. Он очевидно, следовательно, предлагает те же общие преимущества в различных главных приложениях трансцендентного анализа, без необходимости представлять специальные доказательства этого.

МЕТОД ЛАГРАНЖА.

Производные функции. Концепция Лагранжа, в своей удивительной простоте, состоит в представлении трансцендентного анализа как великого алгебраического приема, с помощью которого, чтобы облегчить установление уравнений, мы вводим, вместо примитивных функций или одновременно с ними, их производные функции; то есть, согласно определению Лагранжа, коэффициент первого члена приращения каждой функции, расположенного по возрастающим степеням приращения ее переменной. Специальное исчисление косвенных функций имеет своей постоянной целью, здесь, так же как и в концепциях Лейбница и Ньютона, исключить эти производные, которые были таким образом использованы в качестве вспомогательных, чтобы вывести из их отношений соответствующие уравнения между примитивными величинами.

Расширение обычного анализа. Трансцендентный анализ есть, следовательно, не что иное, как простое, хотя и весьма значительное расширение обычного анализа. Геометры давно привыкли вводить в аналитические исследования, вместо самих величин, которые они хотели изучить, их различные степени, или их логарифмы, или их синусы и т. д., чтобы упростить уравнения и даже получить их более легко. Это последовательное дифференцирование есть прием той же природы, только большего охвата, и обеспечивающий, следовательно, гораздо более важные ресурсы для этой общей цели.

Но, хотя мы можем легко осмыслить, априори, что вспомогательное рассмотрение этих производных может облегчить установление уравнений, нелегко объяснить, почему это должно необходимо следовать из этого способа дифференцирования, а не из какой-либо другой трансформации. Таково слабое место великой идеи Лагранжа. Точные преимущества этого анализа не могут пока быть схвачены абстрактным образом, а только показаны путем рассмотрения отдельно каждого главного вопроса, так что проверка часто бывает чрезвычайно трудоемкой.

Пример. Касательные. Этот способ осмысления трансцендентного анализа может быть лучше всего проиллюстрирован его применением к самой простой из вышерассмотренных задач — задаче о касательных.

Вместо того чтобы осмысливать касательную как продолжение бесконечно малого элемента кривой, согласно понятию Лейбница, или как предел секущих, согласно идеям Ньютона, Лагранж рассматривает ее, согласно ее простому геометрическому характеру, аналогичному определениям древних, как прямую линию такую, что никакая другая прямая линия не может пройти через точку контакта между ней и кривой. Затем, чтобы определить ее направление, мы должны искать общее выражение ее расстояния от кривой, измеренного в любом направлении, например, в направлении ординаты, и распорядиться произвольной постоянной, относящейся к наклону прямой линии, которая обязательно войдет в это выражение, таким образом, чтобы уменьшить это разделение насколько возможно. Теперь это расстояние, будучи очевидно равным разности двух ординат кривой и прямой линии, которые соответствуют одной и той же новой абсциссе x + h, будет представлено формулой

(f'(x) - t)h + qh^2 + rh^3 + и т. д.,

в которой t обозначает, как выше, неизвестную тригонометрическую касательную угла, который искомая линия образует с осью абсцисс, а f'(x) — производную функцию ординаты f(x). При этом понимании легко видеть, что, распорядившись t так, чтобы сделать первый член предыдущей формулы равным нулю, мы сделаем интервал между двумя линиями наименьшим возможным, так что любая другая линия, для которой t не имело бы значения, таким образом определенного, обязательно отклонялась бы дальше от предложенной кривой. Мы имеем, следовательно, для направления искомой касательной общее выражение t = f'(x), результат, точно эквивалентный тем, что предоставлены инфинитезимальным методом и методом пределов. Нам еще предстоит найти f'(x) в каждой частной кривой, что есть простая задача анализа, совершенно идентичная тем, которые представлены на этой стадии операций другими методами.

После этих соображений о главных общих концепциях нам не нужно останавливаться на рассмотрении некоторых других предложенных теорий, таких как «Исчисление исчезающих величин» Эйлера, которые на самом деле являются модификациями — более или менее важными и, кроме того, больше не используемыми — предыдущих методов.

Мне теперь предстоит установить сравнение и оценку этих трех фундаментальных методов. Их совершенное и необходимое соответствие должно быть сначала доказано общим образом.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ИДЕНТИЧНОСТЬ ТРЕХ МЕТОДОВ.

Во-первых, из вышесказанного очевидно, рассматривая эти три метода по их фактическому назначению, независимо от их предварительных идей, что все они состоят в одном и том же общем логическом приеме, который был охарактеризован в первой главе; а именно, введение определенной системы вспомогательных величин, имеющих единообразные отношения к тем, которые являются специальными объектами исследования, и подставленных вместо них специально для облегчения аналитического выражения математических законов явлений, хотя они в конечном итоге должны быть исключены с помощью специального исчисления. Это то, что определило меня регулярно определять трансцендентный анализ как исчисление косвенных функций, чтобы отметить его истинный философский характер, в то же время избегая любого обсуждения о наилучшем способе его осмысления и применения. Общий эффект этого анализа, независимо от используемого метода, состоит, следовательно, в том, чтобы привести каждый математический вопрос гораздо быстрее во власть исчисления и, таким образом, значительно уменьшить серьезную трудность, которая обычно представляется переходом от конкретного к абстрактному. Какой бы прогресс мы ни делали, мы никогда не можем надеяться, что исчисление когда-либо сможет охватить каждый вопрос естественной философии, геометрический, или механический, или термологический и т. д., немедленно при его рождении, что очевидно повлекло бы за собой противоречие. Каждая задача будет постоянно требовать выполнения определенной предварительной работы, в которой исчисление не может оказать никакой помощи и которая по своей природе не может быть подчинена абстрактным и неизменным правилам; это то, что имеет своей специальной целью установление уравнений, которые образуют необходимую отправную точку всех аналитических исследований. Но эта предварительная работа была замечательно упрощена созданием трансцендентного анализа, который таким образом ускорил момент, когда решение допускает единообразное и точное применение общих и абстрактных методов; сводя в каждом случае эту специальную работу к исследованию уравнений между вспомогательными величинами; из которых исчисление затем ведет к уравнениям, непосредственно относящимся к предложенным величинам, которые до этой замечательной концепции необходимо было устанавливать прямо и отдельно. Будут ли эти косвенные уравнения дифференциальными уравнениями, согласно идее Лейбница, или уравнениями пределов, сообразно концепции Ньютона, или, наконец, производными уравнениями, согласно теории Лагранжа, общий порядок действий очевидно всегда один и тот же.

Но совпадение этих трех главных методов не ограничивается общим эффектом, который они производят; оно существует, кроме того, в самом способе его достижения. Фактически, не только все три рассматривают вместо примитивных величин некоторые вспомогательные, но, более того, величины, таким образом введенные как вспомогательные, являются точно идентичными в трех методах, которые, следовательно, различаются только способом их рассмотрения. Это может быть легко показано путем взятия в качестве общего термина сравнения любой из трех концепций, особенно концепции Лагранжа, которая наиболее подходит для того, чтобы служить типом, как наиболее свободная от посторонних соображений. Разве не очевидно, по самому определению производных функций, что они не являются ничем иным, как тем, что Лейбниц называет дифференциальными коэффициентами, или отношениями дифференциала каждой функции к дифференциалу соответствующей переменной, поскольку при определении первого дифференциала мы будем обязаны, по самой природе инфинитезимального метода, ограничиться взятием только того члена приращения функции, который содержит первую степень бесконечно малого приращения переменной? Точно так же, не является ли производная функция, по своей природе, точно так же необходимым пределом, к которому стремится отношение между приращением примитивной функции и приращением ее переменной, по мере того как последнее бесконечно уменьшается, поскольку оно очевидно выражает то, чем становится это отношение, когда мы предполагаем приращение переменной равным нулю? То, что обозначено через dy/dx в методе Лейбница; то, что должно быть отмечено как L(Δy/Δx) в методе Ньютона; и то, что Лагранж обозначил через f'(x), есть постоянно одна и та же функция, увиденная с трех разных точек зрения, соображения Лейбница и Ньютона, собственно говоря, состоящие в том, чтобы сделать известными два общих необходимых свойства производной функции. Трансцендентный анализ, рассматриваемый абстрактно и в своем принципе, есть, следовательно, всегда один и тот же, какая бы концепция ни была принята, и процедуры исчисления косвенных функций являются необходимо идентичными в этих различных методах, которые точно так же должны, для любого приложения, приводить постоянно к строго единообразным результатам.

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ЦЕННОСТЬ ТРЕХ МЕТОДОВ.

Если теперь мы попытаемся оценить сравнительную ценность этих трех эквивалентных концепций, мы найдем в каждой преимущества и неудобства, которые присущи ей и которые все еще мешают геометрам ограничиваться какой-либо одной из них, рассматриваемой как окончательная.

Концепция Лейбница. Концепция Лейбница представляет бесспорно, во всех своих приложениях, весьма заметное превосходство, ведя гораздо более быстрым способом и с гораздо меньшим умственным усилием к формированию уравнений между вспомогательными величинами. Именно ее использованию мы обязаны высокой степенью совершенства, которая была приобретена всеми общими теориями геометрии и механики. Каковы бы ни были различные спекулятивные мнения геометров относительно инфинитезимального метода, с абстрактной точки зрения, все молчаливо соглашаются использовать его по предпочтению, как только им приходится решать новый вопрос, чтобы не усложнять необходимую трудность этим чисто искусственным препятствием, происходящим от неуместного упрямства в принятии менее быстрого курса. Сам Лагранж, после того как перестроил трансцендентный анализ на новых основаниях, воздал (с той благородной откровенностью, которая так хорошо подходила его гению) поразительную и решительную дань уважения характерным свойствам концепции Лейбница, следуя ей исключительно во всей системе своей «Аналитической механики». Такой факт делает любые комментарии ненужными.

Но когда мы рассматриваем концепцию Лейбница саму по себе и в ее логических отношениях, мы не можем избежать признания, вместе с Лагранжем, что она радикально порочна в том, что, принимая ее собственные выражения, понятие бесконечно малых величин есть ложная идея, о которой на самом деле невозможно получить ясное представление, как бы мы ни обманывали себя в этом деле. Даже если мы примем остроумную идею компенсации ошибок, как объяснено выше, это влечет за собой радикальное неудобство быть обязанным различать в математике два класса рассуждений: те, которые являются совершенно строгими, и те, в которых мы намеренно совершаем ошибки, которые впоследствии должны быть компенсированы. Концепция, которая ведет к таким странным последствиям, несомненно, весьма неудовлетворительна с логической точки зрения.

Сказать, как делают некоторые геометры, что возможно в каждом случае свести инфинитезимальный метод к методу пределов, логический характер которого безупречен, означало бы очевидно обойти трудность, а не устранить ее; кроме того, такая трансформация почти полностью лишает концепцию Лейбница ее существенных преимуществ легкости и быстроты.

Наконец, даже не принимая во внимание предыдущие важные соображения, инфинитезимальный метод не менее очевидно представлял бы по своей природе весьма серьезный дефект нарушения единства абстрактной математики путем создания трансцендентного анализа, основанного на принципах, столь отличных от тех, которые образуют основу обычного анализа. Это разделение анализа на два мира, почти полностью независимых друг от друга, стремится препятствовать формированию поистине общих аналитических концепций. Чтобы полностью оценить последствия этого, нам пришлось бы вернуться к состоянию науки до того, как Лагранж установил общую и полную гармонию между этими двумя великими разделами.

Концепция Ньютона. Переходя теперь к концепции Ньютона, очевидно, что по своей природе она не подвержена фундаментальным логическим возражениям, которые вызываются методом Лейбница. Понятие пределов, фактически, замечательно своей простотой и точностью. В трансцендентном анализе, представленном таким образом, уравнения рассматриваются как точные с самого их происхождения, и общие правила рассуждения соблюдаются так же постоянно, как в обычном анализе. Но, с другой стороны, он очень далек от того, чтобы предлагать такие мощные ресурсы для решения задач, как инфинитезимальный метод. Обязательство, которое он налагает — никогда не рассматривать приращения величин отдельно и сами по себе, и даже не в их отношениях, а только в пределах этих отношений, — значительно замедляет операции ума при формировании вспомогательных уравнений. Мы можем даже сказать, что он сильно затрудняет чисто аналитические трансформации. Таким образом, трансцендентный анализ, рассматриваемый отдельно от своих приложений, далек от того, чтобы представлять в этом методе тот охват и ту общность, которые были запечатлены на нем концепцией Лейбница. Очень трудно, например, распространить теорию Ньютона на функции нескольких независимых переменных. Но особенно в отношении своих приложений относительная неполноценность этой теории наиболее сильно выражена.

Некоторые континентальные геометры, принимая метод Ньютона как более логическую основу трансцендентного анализа, частично замаскировали эту неполноценность серьезной непоследовательностью, которая состоит в применении к этому методу обозначения, изобретенного Лейбницем для инфинитезимального метода, и которое на самом деле подходит только ему одному. Обозначая через dy/dx то, что логически должно было бы, в теории пределов, обозначаться через L(Δy/Δx), и распространяя на все другие аналитические концепции это смещение знаков, они намеревались, несомненно, объединить специальные преимущества двух методов; но, в действительности, они только преуспели в том, что вызвали порочную путаницу между ними, знакомство с которой препятствует формированию ясных и точных идей о любом из них. Было бы, конечно, странно, рассматривая это использование само по себе, что, посредством одних лишь знаков, могло бы быть возможным осуществить подлинную комбинацию между двумя столь различными теориями, как рассматриваемые.

Наконец, метод пределов представляет также, хотя и в меньшей степени, большее неудобство, которое я отметил выше в отношении инфинитезимального метода, — установление полного разделения между обычным и трансцендентным анализом; ибо идея пределов, хотя ясная и строгая, тем не менее сама по себе, как заметил Лагранж, есть чуждая идея, от которой аналитические теории не должны быть зависимы.

Концепция Лагранжа. Это совершенное единство анализа и этот чисто абстрактный характер его фундаментальных понятий найдены в высшей степени в концепции Лагранжа, и найдены там одни; она есть, по этой причине, самая рациональная и самая философская из всех. Тщательно удаляя всякое гетерогенное соображение, Лагранж свел трансцендентный анализ к его истинному специфическому характеру — представлению весьма обширного класса аналитических трансформаций, которые облегчают в замечательной степени выражение условий различных задач. В то же время этот анализ таким образом необходимо представлен как простое расширение обычного анализа; это только высшая алгебра. Все различные части абстрактной математики, ранее столь несвязные, с того момента допустили возможность быть осмысленными как образующие единую систему.

К несчастью, эта концепция, которая обладает такими фундаментальными свойствами, независимо от ее столь простого и столь ясного обозначения, и которая, несомненно, предназначена стать окончательной теорией трансцендентного анализа из-за своего высокого философского превосходства над всеми другими предложенными методами, представляет в своем нынешнем состоянии слишком много трудностей в своих приложениях по сравнению с концепцией Ньютона, и еще более с концепцией Лейбница, чтобы быть пока исключительно принятой. Сам Лагранж преуспел только с большим трудом в том, чтобы заново открыть своим методом главные результаты, уже полученные инфинитезимальным методом для решения общих вопросов геометрии и механики; мы можем судить по этому, какие препятствия были бы найдены при рассмотрении тем же способом вопросов, которые были поистине новыми и важными. Правда, Лагранж по нескольким случаям показал, что трудности вызывают у людей гения высшие усилия, способные вести к величайшим результатам. Именно так, пытаясь адаптировать свой метод к исследованию кривизны линий, что казалось столь далеким от допущения его применения, он пришел к той прекрасной теории контактов, которая так сильно усовершенствовала эту важную часть геометрии. Но, несмотря на такие счастливые исключения, концепция Лагранжа тем не менее осталась, в целом, существенно непригодной для приложений.

Окончательный результат общего сравнения, который я слишком кратко набросал, состоит, следовательно, как уже предполагалось, в том, что для того, чтобы действительно понять трансцендентный анализ, мы должны не только рассматривать его в его принципах согласно трем фундаментальным концепциям Лейбница, Ньютона и Лагранжа, но должны, кроме того, приучить себя выполнять почти безразлично, согласно этим трем главным методам, и особенно согласно первому и последнему, решение всех важных вопросов, будь то чистого исчисления косвенных функций или его приложений. Это курс, который я не мог бы слишком сильно рекомендовать всем тем, кто желает судить философски об этом замечательном творении человеческого разума, а также тем, кто желает научиться использовать этот мощный инструмент с успехом и с легкостью. Во всех других частях математической науки рассмотрение различных методов для одного класса вопросов может быть полезным, даже независимо от его исторического интереса, но оно не является необходимым; здесь, напротив, оно строго необходимо.

Определив с точностью в этой главе философский характер исчисления косвенных функций согласно главным фундаментальным концепциям, которые оно допускает, нам предстоит далее рассмотреть в следующей главе логическое деление и общий состав этого исчисления.

ГЛАВА IV.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ЕГО ДВА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РАЗДЕЛА.

Исчисление косвенных функций, в соответствии с соображениями, объясненными в предыдущей главе, необходимо делится на две части (или, точнее, разлагается на два различных исчисления, совершенно отличных, хотя и тесно связанных по своей природе), в зависимости от того, предлагается ли найти отношения между вспомогательными величинами (введение которых составляет общий дух этого исчисления) посредством отношений между соответствующими примитивными величинами; или, наоборот, попытаться обнаружить эти прямые уравнения посредством косвенных уравнений, первоначально установленных. Такова, фактически, постоянно двойная цель трансцендентного анализа.

Эти две системы получили различные названия в зависимости от точки зрения, под которой этот анализ рассматривался. Инфинитезимальный метод, собственно говоря, будучи наиболее общепринятым по причинам, которые были даны, почти все геометры используют привычно наименования Дифференциального исчисления и Интегрального исчисления, установленные Лейбницем, и которые являются, фактически, весьма рациональными следствиями его концепции. Ньютон, в соответствии со своим методом, назвал первое Исчислением флюксий, а второе — Исчислением флюент, выражения, которые обычно использовались в Англии. Наконец, следуя в высшей степени философской теории, основанной Лагранжем, одно называлось бы Исчислением производных функций, а другое — Исчислением примитивных функций. Я продолжу использовать термины Лейбница как более удобные для формирования вторичных выражений, хотя я должен, в соответствии с предложениями, сделанными в предыдущей главе, использовать одновременно все различные концепции, приближаясь насколько возможно к концепции Лагранжа.

ИХ ОТНОШЕНИЯ ДРУГ К ДРУГУ.

Дифференциальное исчисление является очевидно логической основой интегрального исчисления; ибо мы не знаем и не можем знать, как интегрировать напрямую любые другие дифференциальные выражения, кроме тех, что произведены дифференцированием десяти простых функций, которые составляют общие элементы нашего анализа. Искусство интегрирования состоит, следовательно, по существу в том, чтобы привести все другие случаи, насколько это возможно, к тому, чтобы в конечном итоге зависеть только от этого небольшого числа фундаментальных интегрирований.

При рассмотрении всего корпуса трансцендентного анализа, как я охарактеризовал его в предыдущей главе, не сразу очевидно, в чем может состоять специфическая полезность дифференциального исчисления, независимо от этого необходимого отношения с интегральным исчислением, которое кажется, как если бы оно должно было быть само по себе единственным непосредственно необходимым. Фактически, исключение бесконечно малых или производных, введенных как вспомогательные для облегчения установления уравнений, составляя, как мы видели, конечную и неизменную цель исчисления косвенных функций, естественно думать, что исчисление, которое учит, как вывести из уравнений между этими вспомогательными величинами те, что существуют между самими примитивными величинами, должно строго быть достаточным для общих нужд трансцендентного анализа, без того чтобы мы воспринимали с первого взгляда, какую специальную и постоянную часть решение обратного вопроса может иметь в таком анализе. Было бы реальной ошибкой, хотя и обычной, приписать дифференциальному исчислению, чтобы объяснить его специфическое, прямое и необходимое влияние, назначение формирования дифференциальных уравнений, из которых интегральное исчисление затем позволяет нам прийти к конечным уравнениям; ибо примитивное формирование дифференциальных уравнений не есть и не может быть, собственно говоря, объектом какого-либо исчисления, поскольку, напротив, оно образует по своей природе необходимую отправную точку любого исчисления вообще. Как, в частности, могло бы дифференциальное исчисление, которое само по себе сводится к обучению средствам дифференцирования различных уравнений, быть общим порядком действий для их установления? То, что в каждом приложении трансцендентного анализа действительно облегчает формирование уравнений, есть инфинитезимальный метод, а не инфинитезимальное исчисление, которое совершенно отлично от него, хотя оно является его необходимым дополнением. Такое соображение дало бы, следовательно, ложную идею о специальном назначении, которое характеризует дифференциальное исчисление в общей системе трансцендентного анализа.

Но мы должны были бы, тем не менее, весьма несовершенно осмыслить реальную специфическую важность этой первой ветви исчисления косвенных функций, если бы мы видели в ней только простую предварительную работу, не имеющую другой общей и существенной цели, кроме как подготовить необходимые основы для интегрального исчисления. Поскольку идеи по этому предмету обычно смутны, я думаю, что я должен здесь объяснить в кратком виде это важное отношение, как я его вижу, и показать, что в каждом приложении трансцендентного анализа первичная, прямая и необходимая часть постоянно отводится дифференциальному исчислению.

1. Использование дифференциального исчисления как подготовительного к интегральному. При формировании дифференциальных уравнений любого явления вообще, очень редко мы ограничиваемся введением дифференциально только тех величин, отношения которых ищутся. Наложить это условие означало бы бесполезно уменьшить ресурсы, представленные трансцендентным анализом для выражения математических законов явлений. Чаще всего мы вводим в примитивные уравнения, через их дифференциалы, другие величины, отношения которых уже известны или предполагаются таковыми, и без рассмотрения которых было бы часто невозможно установить уравнения. Так, например, в общей задаче спрямления кривых, дифференциальное уравнение,

ds^2 = dy^2 + dx^2, или ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2,

установлено не только между желаемой функцией s и независимой переменной x, к которой она отнесена, но в то же время были введены в качестве необходимых посредников дифференциалы одной или двух других функций, y и z, которые находятся среди данных задачи; было бы невозможно сформировать прямо уравнение между ds и dx, которое было бы, кроме того, специфичным для каждой рассматриваемой кривой. То же самое для большинства вопросов. Теперь в этих случаях очевидно, что дифференциальное уравнение не является непосредственно подходящим для интегрирования. Предварительно необходимо, чтобы дифференциалы функций, предполагаемых известными, которые были использованы как посредники, были полностью исключены, чтобы уравнения могли быть получены между дифференциалами функций, которые одни только ищутся, и дифференциалами действительно независимых переменных, после чего вопрос зависит только от интегрального исчисления. Теперь это подготовительное исключение некоторых дифференциалов, чтобы свести бесконечно малые к наименьшему возможному числу, относится просто к дифференциальному исчислению; ибо оно должно очевидно быть сделано путем определения, посредством уравнений между функциями, предполагаемыми известными, взятыми как посредники, отношений их дифференциалов, что есть просто вопрос дифференцирования. Так, например, в случае спрямлений, будет сначала необходимо вычислить dy, или dy и dz, дифференцируя уравнение или уравнения каждой предложенной кривой; после исключения этих выражений общая дифференциальная формула, выше сформулированная, будет тогда содержать только ds и dx; дойдя до этой точки, исключение бесконечно малых может быть завершено только интегральным исчислением.

Такова, следовательно, общая задача, необходимо возлагаемая на дифференциальное исчисление при полном решении вопросов, требующих применения трансцендентного анализа: по возможности исключить бесконечно малые величины, то есть в каждом случае привести исходные дифференциальные уравнения к такому виду, чтобы они содержали только дифференциалы действительно независимых переменных и искомых функций, устраняя путем исключения дифференциалы всех других известных функций, которые могли быть приняты в качестве промежуточных в момент составления дифференциальных уравнений рассматриваемой задачи.

2. Применение одного лишь дифференциального исчисления. В некоторых вопросах, которые, хотя и немногочисленны, тем не менее, как мы увидим далее, имеют огромное значение, искомые величины входят в исходные дифференциальные уравнения непосредственно, а не через свои дифференциалы; такие уравнения содержат дифференциально лишь различные известные функции, используемые в качестве промежуточных, согласно предыдущему объяснению. Эти случаи являются наиболее благоприятными из всех, ибо очевидно, что дифференциальное исчисление тогда полностью достаточно для исключения бесконечно малых величин без необходимости прибегать к какому-либо интегрированию. Это происходит, например, в задаче о касательных в геометрии, в задаче о скоростях в механике и т. д.

3. Применение одного лишь интегрального исчисления. Наконец, некоторые другие вопросы, число которых также очень мало, но важность которых не менее велика, представляют собой второй исключительный случай, по своей природе являющийся прямой противоположностью предыдущего. Это те случаи, в которых дифференциальные уравнения оказываются непосредственно готовыми к интегрированию, поскольку они содержат при своем первоначальном образовании только бесконечно малые величины, относящиеся к искомым функциям или к действительно независимым переменным, без необходимости вводить дифференциально другие функции в качестве промежуточных. Если в этих новых случаях мы введем последние функции, то, поскольку по гипотезе они будут входить непосредственно, а не через свои дифференциалы, обычная алгебра будет достаточна для их исключения и сведения вопроса к зависимости только от интегрального исчисления. Дифференциальное исчисление тогда не будет играть особой роли в полном решении задачи, которая будет целиком зависеть от интегрального исчисления. Общая задача о квадратурах представляет собой важный пример этого, ибо дифференциальное уравнение dA = ydx станет непосредственно пригодным для интегрирования, как только мы исключим с помощью уравнения предложенной кривой промежуточную функцию y, которая не входит в него дифференциально. Те же обстоятельства имеют место в задаче о кубатурах и в некоторых других, столь же важных.

Три класса возникающих отсюда вопросов. Как общий результат предыдущих соображений, необходимо разделить на три класса математические вопросы, требующие использования трансцендентного анализа: первый класс включает задачи, поддающиеся полному решению исключительно с помощью дифференциального исчисления, без какой-либо необходимости в интегральном исчислении; второй — те, которые, напротив, полностью зависят от интегрального исчисления, без участия дифференциального исчисления в их решении; наконец, в третьем и наиболее обширном классе, который представляет собой нормальный случай, в то время как два других являются лишь исключительными, дифференциальное и интегральное исчисления играют каждое в свою очередь особую и необходимую роль в полном решении задачи, причем первое подвергает исходные дифференциальные уравнения подготовке, необходимой для применения второго. Таковы в точности их общие соотношения, о которых обычно складываются слишком неопределенные и неточные представления.

Теперь давайте проведем общий обзор логического состава каждого исчисления, начиная с дифференциального.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

В изложении трансцендентного анализа принято смешивать чисто аналитическую часть (которая сводится к рассмотрению абстрактных принципов дифференцирования и интегрирования) с изучением его различных основных приложений, особенно тех, что касаются геометрии. Это смешение идей, являющееся следствием фактического способа развития науки, представляет с догматической точки зрения серьезные неудобства, поскольку затрудняет правильное понимание как анализа, так и геометрии. Имея в виду рассмотреть здесь наиболее рациональную координацию, насколько это возможно, я включу в следующий очерк только исчисление косвенных функций в собственном смысле слова, оставив для той части этого тома, которая относится к философскому изучению конкретной математики, общее рассмотрение его великих геометрических и механических приложений.

Два случая: явные и неявные функции. Фундаментальное разделение дифференциального исчисления, или общего предмета дифференцирования, состоит в различении двух случаев в зависимости от того, являются ли аналитические функции, подлежащие дифференцированию, явными или неявными; отсюда вытекают две части, обычно обозначаемые как дифференцирование формул и дифференцирование уравнений. Легко понять a priori важность этой классификации. В самом деле, такое различие было бы иллюзорным, если бы обычный анализ был совершенен, то есть если бы мы умели решать все уравнения алгебраически, ибо тогда можно было бы сделать любую неявную функцию явной; и, дифференцируя ее в таком состоянии, вторая часть дифференциального исчисления была бы непосредственно включена в первую, не вызывая никаких новых трудностей. Но поскольку алгебраическое решение уравнений, как мы видели, все еще находится почти в зачаточном состоянии и пока невозможно для большинства случаев, ясно, что дело обстоит иначе, так как нам приходится, собственно говоря, дифференцировать функцию, не зная ее, хотя она и определена. Дифференцирование неявных функций представляет собой, таким образом, по своей природе вопрос, действительно отличный от того, который представляют явные функции, и неизбежно более сложный. Очевидно, что мы должны начать с дифференцирования формул и свести дифференцирование уравнений к этому первичному случаю с помощью определенных неизменных аналитических соображений, о которых здесь не нужно упоминать.

Эти два общих случая дифференцирования также различны с другой точки зрения, столь же необходимой и слишком важной, чтобы оставить ее без внимания. Соотношение, получаемое между дифференциалами, постоянно является более косвенным по сравнению с соотношением конечных величин при дифференцировании неявных функций, чем при дифференцировании явных функций. Мы знаем, фактически, из соображений, представленных Лагранжем об общем образовании дифференциальных уравнений, что, с одной стороны, одно и то же исходное уравнение может порождать большее или меньшее число производных уравнений самых разных форм, хотя по сути эквивалентных, в зависимости от того, какая из произвольных постоянных исключается, чего не происходит при дифференцировании явных формул; и что, с другой стороны, неограниченная система различных исходных уравнений, соответствующих одному и тому же производному уравнению, представляет гораздо более глубокое аналитическое разнообразие, чем система различных функций, которые допускают один и тот же явный дифференциал и различаются между собой лишь постоянным членом. Неявные функции должны поэтому рассматриваться как в действительности еще более измененные дифференцированием, чем явные функции. Мы снова встретимся с этим соображением применительно к интегральному исчислению, где оно приобретает преобладающее значение.

Два подслучая: одна переменная или несколько переменных. Каждая из двух фундаментальных частей дифференциального исчисления подразделяется на две весьма различные теории в зависимости от того, требуется ли нам дифференцировать функции одной переменной или функции нескольких независимых переменных. Этот второй случай по своей природе вполне отличен от первого и, очевидно, представляет больше сложностей, даже если рассматривать только явные функции, а тем более неявные. В остальном один из этих случаев выводится из другого общим образом с помощью неизменного и очень простого принципа, который состоит в том, чтобы рассматривать полный дифференциал функции, порожденный одновременными приращениями различных независимых переменных, которые она содержит, как сумму частных дифференциалов, которые были бы порождены отдельным приращением каждой переменной по очереди, если бы все остальные были постоянными. Кроме того, необходимо тщательно отметить в связи с этим предметом новую идею, вводимую различием функций на функции одной переменной и нескольких; это рассмотрение различных специальных производных функций, относящихся к каждой переменной отдельно, число которых возрастает все больше и больше по мере того, как порядок производной становится выше, а также когда переменных становится больше. Из этого следует, что дифференциальные соотношения, относящиеся к функциям нескольких переменных, по своей природе являются гораздо более косвенными и, особенно, гораздо более неопределенными, чем те, что относятся к функциям одной переменной. Это наиболее заметно в случае неявных функций, в которых вместо простых произвольных постоянных, которые исключение заставляет исчезнуть при формировании надлежащих дифференциальных уравнений для функций одной переменной, исключаются произвольные функции предложенных переменных; откуда должны возникать особые трудности, когда эти уравнения доходят до интегрирования.

Наконец, чтобы завершить этот краткий обзор различных существенных частей дифференциального исчисления в собственном смысле слова, я должен добавить, что при дифференцировании неявных функций, будь то одной переменной или нескольких, необходимо сделать еще одно различие: случай, когда требуется дифференцировать одновременно различные функции такого рода, объединенные в определенных исходных уравнениях, и случай, когда все эти функции разделены.

Функции, очевидно, на самом деле еще более неявны в первом случае, чем во втором, если учесть, что то же самое несовершенство обычного анализа, которое запрещает нам преобразовывать любую неявную функцию в эквивалентную явную функцию, точно так же делает нас неспособными разделить функции, которые входят одновременно в любую систему уравнений. Тогда необходимо дифференцировать не только не умея решать исходные уравнения, но даже не будучи в состоянии произвести надлежащие исключения между ними, что создает новую трудность.

Сведение всего к дифференцированию десяти элементарных функций. Таковы, следовательно, естественная связь и логическое распределение различных основных теорий, составляющих общую систему дифференцирования. Поскольку дифференцирование неявных функций выводится из дифференцирования явных функций с помощью одного постоянного принципа, а дифференцирование функций нескольких переменных сводится другим фиксированным принципом к дифференцированию функций одной переменной, все дифференциальное исчисление в конечном итоге оказывается основанным на дифференцировании явных функций с одной переменной, единственном, которое когда-либо выполняется непосредственно. Теперь легко понять, что эта первая теория, необходимая основа всей системы, состоит просто в дифференцировании десяти простых функций, которые являются единообразными элементами всех наших аналитических комбинаций и список которых был приведен в первой главе на странице 51; ибо дифференцирование сложных функций, очевидно, выводится непосредственным и необходимым образом из дифференцирования простых функций, которые их составляют. Таким образом, именно к знанию этих десяти фундаментальных дифференциалов и к знанию двух только что упомянутых общих принципов, которые сводят к ним все другие возможные случаи, собственно и сводится вся система дифференцирования. Мы видим, благодаря сочетанию этих различных соображений, насколько проста и совершенна вся система дифференциального исчисления. Оно, безусловно, представляет собой, в своих логических отношениях, самое интересное зрелище, которое математический анализ может представить нашему пониманию.

Преобразование производных функций для новых переменных. Общий очерк, который я только что кратко набросал, тем не менее имел бы существенный недостаток, если бы я здесь отчетливо не указал на последнюю теорию, которая по своей природе составляет необходимое дополнение системы дифференцирования. Это та теория, целью которой является постоянное преобразование производных функций как результат определенных изменений независимых переменных, откуда вытекает возможность отнесения к новым переменным всех общих дифференциальных формул, первоначально установленных для других. Этот вопрос теперь решен самым полным и самым простым образом, как и все те, из которых состоит дифференциальное исчисление. Легко представить себе общую важность, которую он должен иметь в любом из приложений трансцендентного анализа, фундаментальные ресурсы которого он может считаться увеличивающим, позволяя нам выбирать (чтобы сформировать дифференциальные уравнения, в первую очередь, с большей легкостью) ту систему независимых переменных, которая может показаться наиболее выгодной, хотя она и не должна быть окончательно сохранена. Именно так, например, большинство основных вопросов геометрии решаются гораздо легче путем отнесения линий и поверхностей к прямолинейным координатам, и мы, тем не менее, можем иметь случай выразить эти линии и т. д. аналитически с помощью полярных координат или любым другим способом. Мы тогда сможем начать дифференциальное решение задачи, используя прямолинейную систему, но только как промежуточный шаг, от которого, с помощью общей теории, о которой здесь идет речь, мы можем перейти к окончательной системе, которую иногда нельзя было бы рассмотреть непосредственно.

Различные порядки дифференцирования. В логической классификации дифференциального исчисления, которая была только что дана, некоторые могут быть склонны предположить серьезное упущение, поскольку я не подразделил каждую из его четырех существенных частей согласно другому общему соображению, которое кажется на первый взгляд очень важным, а именно: высшего или низшего порядка дифференцирования. Но легко понять, что это различие не имеет реального влияния в дифференциальном исчислении, поскольку оно не порождает никакой новой трудности. Если бы, действительно, дифференциальное исчисление не было строго полным, то есть если бы мы не умели дифференцировать по желанию любую функцию, дифференцирование до второго или высшего порядка каждой определенной функции могло бы порождать особые трудности. Но совершенная универсальность дифференциального исчисления ясно дает нам уверенность в возможности дифференцировать до любого порядка любые известные функции, причем вопрос сводится к постоянно повторяющемуся дифференцированию первого порядка. Это различие, неважное для дифференциального исчисления, приобретает, однако, очень большое значение в интегральном исчислении из-за крайней несовершенности последнего.

Аналитические приложения. Наконец, хотя это не место для рассмотрения различных приложений дифференциального исчисления, все же можно сделать исключение для тех, которые состоят в решении вопросов, являющихся чисто аналитическими, которые, действительно, должны логически рассматриваться в продолжение системы дифференцирования из-за очевидной однородности вовлеченных соображений. Эти вопросы могут быть сведены к трем существенным.

Во-первых, разложение в ряды функций одной или нескольких переменных, или, более общо, преобразование функций, что составляет самое красивое и самое важное приложение дифференциального исчисления к общему анализу и что включает, помимо фундаментального ряда, открытого Тейлором, замечательные ряды, открытые Маклореном, Иоганном Бернулли, Лагранжем и т. д.:

Во-вторых, общая теория максимумов и минимумов значений для любых функций, одной или нескольких переменных; одна из самых интересных проблем, которые может представить анализ, как бы элементарной она теперь ни стала, и к полному решению которой естественно применяется дифференциальное исчисление:

В-третьих, общее определение истинного значения функций, которые представляются в неопределенном виде для определенных гипотез, сделанных относительно значений соответствующих переменных; что является наименее обширным и наименее важным из трех.

Первый вопрос, безусловно, является главным со всех точек зрения; он также наиболее восприимчив к получению нового расширения в будущем, особенно путем более широкого, чем это делалось до сих пор, понимания использования дифференциального исчисления при преобразовании функций, по поводу чего Лагранж оставил некоторые ценные указания.

Рассмотрев таким образом кратко, хотя, возможно, и слишком сжато, главные пункты дифференциального исчисления, я теперь перехожу к столь же быстрому изложению систематического очерка интегрального исчисления в собственном смысле слова, то есть абстрактного предмета интегрирования.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Его фундаментальное разделение. Фундаментальное разделение интегрального исчисления основано на том же принципе, что и дифференциального исчисления, при различении интегрирования явных дифференциальных формул и интегрирования неявных дифференциалов или дифференциальных уравнений. Разделение этих двух случаев является даже гораздо более глубоким в отношении интегрирования, чем в отношении дифференцирования. В дифференциальном исчислении, фактически, это различие основывается, как мы видели, только на крайнем несовершенстве обычного анализа. Но, с другой стороны, легко видеть, что, даже если бы все уравнения могли быть алгебраически решены, дифференциальные уравнения тем не менее представляли бы собой случай интегрирования, вполне отличный от того, который представляют явные дифференциальные формулы; ибо, ограничиваясь для простоты первым порядком и одной функцией y одной переменной x, если мы предположим, что любое дифференциальное уравнение между x, y и dy/dx решено относительно dy/dx, выражение производной функции тогда обычно оказывается содержащим саму исходную функцию, которая является объектом исследования, вопрос интегрирования совсем не изменит своей природы, и решение в действительности не сделает никакого иного прогресса, кроме того, что сведет предложенное дифференциальное уравнение к первой степени относительно производной функции, что само по себе мало важно. Дифференциал тогда не был бы определен менее неявно, чем прежде, в отношении интегрирования, которое продолжало бы представлять по существу ту же характерную трудность. Алгебраическое решение уравнений не могло бы сделать рассматриваемый нами случай подпадающим под простое интегрирование явных дифференциалов, за исключением особых случаев, в которых предложенное дифференциальное уравнение не содержало бы саму исходную функцию, что, следовательно, позволило бы нам, решив его, найти dy/dx в терминах только x и, таким образом, свести вопрос к классу квадратур. Еще большие трудности, очевидно, обнаружились бы в дифференциальных уравнениях высших порядков или содержащих одновременно различные функции нескольких независимых переменных.

Интегрирование дифференциальных уравнений, следовательно, неизбежно сложнее, чем интегрирование явных дифференциалов, разработкой которых было создано интегральное исчисление и от которых другие были сделаны зависимыми, насколько это было возможно. Все различные аналитические методы, которые были предложены для интегрирования дифференциальных уравнений, будь то разделение переменных, метод множителей и т. д., фактически имеют своей целью свести эти интегрирования к интегрированию дифференциальных формул, единственному, которое по своей природе может быть предпринято непосредственно. К сожалению, при всей несовершенности этой необходимой основы всего интегрального исчисления, искусство сведения к нему интегрирования дифференциальных уравнений развито еще меньше.

Подразделения: одна переменная или несколько. Каждая из этих двух фундаментальных ветвей интегрального исчисления затем подразделяется на две другие (как в дифференциальном исчислении и по точно аналогичным причинам) в зависимости от того, рассматриваем ли мы функции с одной переменной или функции с несколькими независимыми переменными.

Это различие, как и предыдущее, еще более важно для интегрирования, чем для дифференцирования. Это особенно заметно в отношении дифференциальных уравнений. Действительно, те из них, которые зависят от нескольких независимых переменных, могут, очевидно, представлять эту характерную и гораздо более серьезную трудность, что искомая функция может быть дифференциально определена простым соотношением между ее различными специальными производными относительно различных переменных, взятых отдельно. Отсюда вытекает самая трудная, а также самая обширная ветвь интегрального исчисления, которая обычно называется интегральным исчислением частных производных, созданная Д'Аламбером и в которой, согласно справедливой оценке Лагранжа, геометры должны были видеть действительно новое исчисление, философский характер которого еще не был определен с достаточной точностью. Очень поразительное различие между этим случаем и случаем уравнений с одной независимой переменной состоит, как уже было замечено, в произвольных функциях, которые занимают место простых произвольных постоянных, чтобы придать соответствующим интегралам всю надлежащую общность.

Едва ли нужно говорить, что эта высшая ветвь трансцендентного анализа все еще находится полностью в зачаточном состоянии, поскольку даже в самом простом случае, в случае уравнения первого порядка между частными производными одной функции с двумя независимыми переменными, мы еще не полностью способны свести интегрирование к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование функций нескольких переменных продвинуто гораздо дальше в случае (бесконечно более простом, действительно), в котором оно имеет дело только с явными дифференциальными формулами. Мы можем тогда, фактически, когда эти формулы выполняют необходимые условия интегрируемости, всегда свести их интегрирование к квадратурам.

Другие подразделения: различные порядки дифференцирования. Новое общее различие, применимое как подразделение к интегрированию явных или неявных дифференциалов, с одной переменной или несколькими, выводится из высшего или низшего порядка дифференциалов: различие, которое, как мы выше заметили, не порождает никакого особого вопроса в дифференциальном исчислении.

Относительно явных дифференциалов, будь то одной переменной или нескольких, необходимость различения их различных порядков относится только к крайней несовершенности интегрального исчисления. Фактически, если бы мы могли всегда интегрировать любую дифференциальную формулу первого порядка, интегрирование формулы второго порядка или любого другого, очевидно, не составляло бы нового вопроса, поскольку, интегрируя ее сначала в первой степени, мы пришли бы к дифференциальному выражению непосредственно предшествующего порядка, из которого, с помощью подходящего ряда аналогичных интегрирований, мы были бы уверены в конечном итоге прийти к исходной функции, конечному объекту этих операций. Но те скудные знания, которыми мы обладаем об интегрировании даже первого порядка, вызывают совсем другое положение дел, так что высший порядок дифференциалов порождает новые трудности; ибо, имея дифференциальные формулы любого порядка выше первого, может случиться, что мы сможем интегрировать их либо один раз, либо несколько раз подряд, и что мы все еще будем не в состоянии вернуться к исходным функциям, если эти предварительные труды породили для дифференциалов низшего порядка выражения, интегралы которых не известны. Это обстоятельство должно происходить тем чаще (число известных интегралов все еще очень мало), видя, что эти последовательные интегралы являются обычно очень отличными функциями от производных, которые их породили.

В отношении неявных дифференциалов различие порядков еще более важно; ибо, помимо предыдущей причины, влияние которой очевидно аналогично в этом случае и даже больше, легко заметить, что высший порядок дифференциальных уравнений неизбежно порождает вопросы новой природы. Фактически, даже если бы мы могли интегрировать каждое уравнение первого порядка, относящееся к одной функции, этого было бы недостаточно для получения окончательного интеграла уравнения любого порядка, поскольку не каждое дифференциальное уравнение сводимо к уравнению непосредственно низшего порядка. Так, например, если нам дано любое соотношение между x, y, dx/dy и d2y/dx2 для определения функции y переменной x, мы не сможем вывести из него сразу, после выполнения первого интегрирования, соответствующее дифференциальное соотношение между x, y и dy/dx, из которого, путем второго интегрирования, мы могли бы подняться к исходным уравнениям. Это не обязательно происходило бы, по крайней мере без введения новых вспомогательных функций, если бы предложенное уравнение второго порядка не содержало искомую функцию y вместе с ее производными. Как общий принцип, дифференциальные уравнения должны будут рассматриваться как представляющие случаи, которые являются все более неявными по мере того, как они являются более высокого порядка, и которые не могут быть сведены к зависимости друг от друга иначе, как с помощью специальных методов, исследование которых, следовательно, образует новый класс вопросов, относительно которых мы пока почти ничего не знаем, даже для функций одной переменной. [10]

Другое эквивалентное различие. Более того, когда мы исследуем более глубоко это различие различных порядков дифференциальных уравнений, мы находим, что оно всегда может быть сведено к конечному общему различию относительно дифференциальных уравнений, которое остается заметить. Дифференциальные уравнения с одной или несколькими независимыми переменными могут содержать просто одну функцию, или (в случае, очевидно, более сложном и более неявном, который соответствует дифференцированию одновременных неявных функций) нам, возможно, придется определять в то же время несколько функций из дифференциальных уравнений, в которых они находятся объединенными вместе с их различными производными. Ясно, что такое состояние вопроса неизбежно представляет новую особую трудность — трудность разделения различных искомых функций путем формирования для каждой из них, из предложенных дифференциальных уравнений, изолированного дифференциального уравнения, которое не содержит другие функции или их производные. Эта предварительная работа, которая аналогична исключению в алгебре, очевидно, необходима перед попыткой любого прямого интегрирования, поскольку мы не можем взяться в общем (за исключением специальных ухищрений, которые очень редко применимы) определять непосредственно несколько различных функций сразу.

Теперь легко установить точное и необходимое совпадение этого нового различия с предыдущим относительно порядка дифференциальных уравнений. Мы знаем, фактически, что общий метод изолирования функций в одновременных дифференциальных уравнениях состоит по существу в формировании дифференциальных уравнений отдельно в отношении каждой функции и порядка, равного сумме всех порядков различных предложенных уравнений. Это преобразование всегда может быть осуществлено. С другой стороны, каждое дифференциальное уравнение любого порядка в отношении одной функции могло бы, очевидно, всегда быть сведено к первому порядку путем введения подходящего числа вспомогательных дифференциальных уравнений, содержащих в то же время различные предыдущие производные, рассматриваемые как новые функции, подлежащие определению. Этот метод, действительно, иногда фактически применялся с успехом, хотя он и не является естественным.

Вот, следовательно, два обязательно эквивалентных порядка условий в общей теории дифференциальных уравнений: одновременность большего или меньшего числа функций и высший или низший порядок дифференцирования одной функции. Увеличивая порядок дифференциальных уравнений, мы можем изолировать все функции; и, искусственно умножая число функций, мы можем свести все уравнения к первому порядку. Существует, следовательно, в обоих случаях только одна и та же трудность с двух разных точек зрения. Но как бы мы ее ни представляли, эта новая трудность не менее реальна и не менее составляет по своей природе заметное разделение между интегрированием уравнений первого порядка и интегрированием уравнений высшего порядка. Я предпочитаю указывать различие в этой последней форме как более простой, более общей и более логичной.

Квадратуры. Из различных соображений, которые были указаны относительно логической зависимости различных основных частей интегрального исчисления, мы видим, что интегрирование явных дифференциальных формул первого порядка и одной переменной является необходимой основой всех других интегрирований, которые нам никогда не удается осуществить, кроме как сводя их к этому элементарному случаю, очевидно, единственному, который по своей природе способен быть обработан непосредственно. Это простое фундаментальное интегрирование часто обозначается удобным выражением квадратуры, видя, что каждый интеграл такого рода, S f(x) dx, может, фактически, рассматриваться как представляющий площадь кривой, уравнение которой в прямолинейных координатах было бы y = f(x). Такой класс вопросов соответствует в дифференциальном исчислении элементарному случаю дифференцирования явных функций одной переменной. Но интегральный вопрос по своей природе очень иначе сложен и, особенно, гораздо более обширен, чем дифференциальный вопрос. Последний, фактически, неизбежно сводится, как мы видели, к дифференцированию десяти простых функций, элементы всех которых рассматриваются в анализе. С другой стороны, интегрирование сложных функций не обязательно вытекает из интегрирования простых функций, каждая комбинация которых может представлять особые трудности в отношении интегрального исчисления. Отсюда вытекает естественно неопределенная обширность и столь разнообразная сложность вопроса о квадратурах, о котором, несмотря на все усилия аналитиков, мы все еще обладаем так мало полными знаниями.

Разлагая этот вопрос, как это естественно, согласно различным формам, которые могут быть приняты производной функцией, мы различаем случай алгебраических функций и случай трансцендентных функций.

Интегрирование трансцендентных функций. Истинно аналитическое интегрирование трансцендентных функций пока еще очень мало продвинуто, будь то для экспоненциальных, или для логарифмических, или для круговых функций. Лишь очень небольшое число случаев этих трех различных видов было до сих пор обработано, и те выбраны из числа самых простых; и все же необходимые вычисления в большинстве случаев чрезвычайно трудоемки. Обстоятельство, которое мы должны особенно отметить в его философской связи, состоит в том, что различные процедуры квадратуры не имеют отношения к какому-либо общему взгляду на интегрирование и состоят из простых ухищрений, очень несвязных друг с другом и очень многочисленных из-за очень ограниченного охвата каждого.

Одно из этих ухищрений, однако, должно быть здесь отмечено, которое, не будучи в действительности методом интегрирования, тем не менее замечательно своей общностью; это процедура, изобретенная Иоганном Бернулли и известная под названием интегрирования по частям, с помощью которой каждый интеграл может быть сведен к другому, который иногда оказывается более легким для получения. Это остроумное соотношение заслуживает быть отмеченным по другой причине, как подсказавшее первую идею того преобразования интегралов, еще неизвестного, которое в последнее время получило большее расширение и которому М. Фурье особенно нашел столь новое и важное применение в аналитических вопросах, порожденных теорией тепла.

Интегрирование алгебраических функций. Что касается интегрирования алгебраических функций, оно продвинуто дальше. Однако мы почти ничего не знаем в отношении иррациональных функций, интегралы которых были получены только в чрезвычайно ограниченных случаях, и особенно путем приведения их к рациональным. Интегрирование рациональных функций является, таким образом, до сих пор единственной теорией интегрального исчисления, которая допускала обработку в истинно полном виде; с логической точки зрения она образует, следовательно, его самую удовлетворительную часть, но, возможно, также и наименее важную. Даже существенно отметить, чтобы иметь верное представление о крайней несовершенности интегрального исчисления, что этот случай, ограниченный как он есть, не решен полностью, за исключением того, что собственно касается интегрирования, рассматриваемого абстрактным образом; ибо при исполнении теория находит свой прогресс чаще всего совершенно остановленным, независимо от сложности вычислений, несовершенством обычного анализа, видя, что он делает интегрирование в конечном итоге зависимым от алгебраического решения уравнений, что сильно ограничивает его использование.

Чтобы охватить общим образом дух различных процедур, которые используются в квадратурах, мы должны заметить, что по своей природе они могут быть первоначально основаны только на дифференцировании десяти простых функций. Результаты этого, рассмотренные наоборот, устанавливают столько же прямых теорем интегрального исчисления, единственных, которые могут быть непосредственно известны. Все искусство интегрирования впоследствии состоит, как было сказано в начале этой главы, в сведении всех других квадратур, насколько это возможно, к этому небольшому числу элементарных, что, к несчастью, мы в большинстве случаев не в состоянии осуществить.

Особые решения. В этом систематическом перечислении различных существенных частей интегрального исчисления, рассматриваемых в их логических отношениях, я намеренно пренебрег (чтобы не разорвать цепь последовательности) рассмотрением очень важной теории, которая образует неявно часть общей теории интегрирования дифференциальных уравнений, но которую я должен здесь отметить отдельно, как находящуюся, так сказать, вне интегрального исчисления и являющуюся тем не менее величайшего интереса, как по своему логическому совершенству, так и по обширности своих приложений. Я имею в виду то, что называется особыми решениями дифференциальных уравнений, называемыми иногда, но неправильно, частными решениями, которые были предметом очень замечательных исследований Эйлера и Лапласа и из которых Лагранж особенно представил такую красивую и простую общую теорию. Клеро, который первым имел случай заметить их существование, увидел в них парадокс интегрального исчисления, поскольку эти решения имеют особенность удовлетворять дифференциальным уравнениям, не будучи включенными в соответствующие общие интегралы. Лагранж с тех пор объяснил этот парадокс самым остроумным и самым удовлетворительным образом, показав, как такие решения всегда выводятся из общего интеграла путем варьирования произвольных постоянных. Он был также первым, кто должным образом оценил важность этой теории, и не без основания он посвятил ей столь полное развитие в своем «Исчислении функций». С логической точки зрения эта теория заслуживает всего нашего внимания характером совершенной общности, который она допускает, поскольку Лагранж дал неизменные и очень простые процедуры для нахождения особого решения любого дифференциального уравнения, которое восприимчиво к нему; и, что не менее замечательно, эти процедуры не требуют интегрирования, состоя только из дифференцирований, и поэтому всегда применимы. Дифференцирование, таким образом, стало, благодаря счастливому ухищрению, средством компенсации, в определенных обстоятельствах, несовершенства интегрального исчисления. Действительно, некоторые задачи особенно требуют по своей природе знания этих особых решений; таковы, например, в геометрии все вопросы, в которых кривая должна быть определена из любого свойства ее касательной или ее соприкасающейся окружности. Во всех случаях такого рода, после выражения этого свойства дифференциальным уравнением, именно особое уравнение в своих аналитических отношениях будет составлять самый важный объект исследования, поскольку оно одно будет представлять искомую кривую; общий интеграл, который с тех пор становится ненужным знать, обозначает только систему касательных или соприкасающихся окружностей этой кривой. Мы можем отсюда легко понять всю важность этой теории, которая кажется мне еще не достаточно оцененной большинством геометров.

Определенные интегралы. Наконец, чтобы завершить наш обзор обширной коллекции аналитических исследований, из которых состоит интегральное исчисление в собственном смысле слова, остается упомянуть одну теорию, очень важную во всех приложениях трансцендентного анализа, которую мне пришлось оставить вне системы, как не будущую действительно предназначенной для подлинного интегрирования и предлагающую, напротив, восполнить место знания истинно аналитических интегралов, которые наиболее общеизвестно неизвестны. Я имею в виду определение определенных интегралов.

Выражение, всегда возможное, интегралов в бесконечные ряды может сначала рассматриваться как счастливое общее средство компенсации крайнего несовершенства интегрального исчисления. Но использование таких рядов из-за их сложности и трудности открытия закона их членов обычно имеет лишь умеренную полезность с алгебраической точки зрения, хотя иногда из них были выведены очень существенные соотношения. Именно с арифметической точки зрения эта процедура приобретает большое значение как средство вычисления того, что называется определенными интегралами, то есть значений искомых функций для определенных значений соответствующих переменных.

Исследование такого рода в точности соответствует в трансцендентном анализе численному решению уравнений в обычном анализе. Будучи в общем не в состоянии получить подлинный интеграл — называемый по противопоставлению общим или неопределенным интегралом; то есть функцию, которая, будучи продифференцированной, породила предложенную дифференциальную формулу, — аналитики были вынуждены заняться определением по крайней мере, не зная этой функции, частных численных значений, которые она приняла бы при назначении определенных обозначенных значений переменным. Это, очевидно, решение арифметического вопроса без предварительного решения соответствующего алгебраического, который наиболее общеизвестно является самым важным. Такой анализ является, следовательно, по своей природе столь же несовершенным, каким мы видели численное решение уравнений. Он представляет, подобно последнему, порочное смешение арифметических и алгебраических соображений, откуда возникают аналогичные неудобства как с чисто логической точки зрения, так и в приложениях. Нам не нужно здесь повторять соображения, предложенные в нашей третьей главе. Но будет понято, что, будучи почти всегда не в состоянии получить истинные интегралы, высшей важности является возможность получить это решение, неполное и неизбежно недостаточное, как оно есть. Теперь это было счастливо достигнуто в наши дни для всех случаев, определение значения определенных интегралов было сведено к совершенно общим методам, которые не оставляют ничего желать, в большом числе случаев, кроме меньшей сложности в вычислениях, объект, к которому в настоящее время направлены все специальные преобразования аналитиков. Рассматривая теперь этот род трансцендентной арифметики как совершенный, трудность в приложениях по существу сводится к тому, чтобы сделать предложенное исследование зависимым, в конечном итоге, от простого определения определенных интегралов, что, очевидно, не всегда может быть возможным, какое бы аналитическое искусство ни было использовано при осуществлении такого преобразования.

Перспективы интегрального исчисления. Из соображений, указанных в этой главе, мы видим, что, в то время как дифференциальное исчисление составляет по своей природе ограниченную и совершенную систему, к которой не остается добавить ничего существенного, интегральное исчисление, или простая система интегрирования, представляет неизбежно неисчерпаемое поле для деятельности человеческого разума, независимо от неопределенных приложений, к которым трансцендентный анализ очевидно восприимчив. Общий аргумент, с помощью которого я пытался во второй главе сделать очевидной невозможность когда-либо открыть алгебраическое решение уравнений любой степени и формы, несомненно, имеет бесконечно больше силы в отношении поиска единого метода интегрирования, неизменно применимого ко всем случаям. «Это, — говорит Лагранж, — одна из тех проблем, общего решения которой мы не можем надеяться получить». Чем больше мы размышляем над этим предметом, тем больше мы будем убеждены, что такое исследование совершенно химерично, как находящееся далеко выше слабого охвата нашего интеллекта; хотя труды геометров должны, безусловно, увеличить в будущем объем наших знаний относительно интегрирования и, таким образом, создать методы большей общности. Трансцендентный анализ все еще слишком близок к своему происхождению — особенно слишком мало времени прошло с тех пор, как он был задуман в истинно рациональном виде, — чтобы мы теперь могли иметь правильное представление о том, чем он станет в будущем. Но, каковы бы ни были наши законные надежды, не будем забывать рассматривать прежде всего пределы, которые наложены нашей интеллектуальной конституцией и которые, хотя и не восприимчивы к точному определению, имеют тем не менее неоспоримую реальность.

Я склонен думать, что, когда геометры исчерпают самые важные приложения нашего нынешнего трансцендентного анализа, вместо того чтобы стремиться придать ему, как теперь задуманному, химерическое совершенство, они скорее создадут новые ресурсы путем изменения способа вывода вспомогательных величин, введенных для облегчения установления уравнений, и формирование которых могло бы следовать бесконечности других законов, помимо очень простого соотношения, которое было выбрано, согласно концепции, предложенной в первой главе. Ресурсы такого рода кажутся мне восприимчивыми к гораздо большей плодовитости, чем те, которые состояли бы просто в продвижении дальше нашего нынешнего исчисления косвенных функций. Это предложение, которое я представляю геометрам, обратившим свои мысли к общей философии анализа.

Наконец, хотя в кратком изложении, которое было объектом этой главы, мне пришлось показать состояние крайней несовершенности, которое все еще принадлежит интегральному исчислению, студент имел бы ложное представление об общих ресурсах трансцендентного анализа, если бы он придал этому соображению слишком большое значение. С ним, действительно, так же, как с обычным анализом, в котором очень малое количество фундаментальных знаний относительно решения уравнений было использовано с огромной степенью полезности. Мало продвинутыми, как геометры действительно являются пока в науке интегрирований, они тем не менее получили из своих скудных абстрактных концепций решение множества вопросов первой важности в геометрии, в механике, в термологии и т. д. Философское объяснение этого двойного общего факта вытекает из неизбежно преобладающей важности и охвата абстрактных отраслей знания, наименьшая из которых естественно оказывается соответствующей толпе конкретных исследований, причем человек не имеет иного ресурса для последовательного расширения своих интеллектуальных средств, кроме как в рассмотрении идей все более абстрактных и все еще положительных.

Чтобы закончить полное изложение философского характера трансцендентного анализа, остается рассмотреть последнюю концепцию, с помощью которой бессмертный Лагранж сделал этот анализ еще более приспособленным для облегчения установления уравнений в самых трудных задачах, путем рассмотрения класса уравнений еще более косвенных, чем обычные дифференциальные уравнения. Это исчисление, или, скорее, метод вариаций; общая оценка которого будет нашим следующим предметом.

ГЛАВА V.

ИСЧИСЛЕНИЕ ВАРИАЦИЙ.

Чтобы охватить с большей легкостью философский характер метода вариаций, будет хорошо начать с рассмотрения в кратком виде особой природы задач, общее решение которых сделало необходимым формирование этого гипертрансцендентного анализа. Он все еще слишком близок к своему происхождению, и его приложения были слишком немногочисленны, чтобы позволить нам получить достаточно ясное общее представление о нем из чисто абстрактного изложения его фундаментальной теории.

ЗАДАЧИ, ПОРОЖДАЮЩИЕ ЕГО.

Математические вопросы, которые дали рождение исчислению вариаций, состоят в общем в исследовании максимумов и минимумов определенных неопределенных интегральных формул, которые выражают аналитический закон того или иного явления геометрии или механики, рассматриваемого независимо от любого конкретного предмета. Геометры долгое время обозначали все вопросы такого характера общим названием изопериметрических задач, которое, однако, действительно подходит только к наименьшему числу из них.

Обычные вопросы максимумов и минимумов. В обычной теории максимумов и минимумов предлагается обнаружить, относительно данной функции одной или нескольких переменных, какие частные значения должны быть назначены этим переменным, чтобы соответствующее значение предложенной функции было максимумом или минимумом по отношению к тем значениям, которые непосредственно предшествуют и следуют за ним; то есть, собственно говоря, мы ищем узнать, в какой момент функция перестает возрастать и начинает убывать, или наоборот. Дифференциальное исчисление совершенно достаточно, как мы знаем, для общего решения этого класса вопросов, показывая, что значения различных переменных, которые подходят либо для максимума, либо для минимума, должны всегда сводить к нулю различные первые производные данной функции, взятые отдельно относительно каждой независимой переменной, и указывая, кроме того, подходящую характеристику для различения максимума от минимума; состоящую, в случае функции одной переменной, например, в том, что производная функция второго порядка принимает отрицательное значение для максимума и положительное значение для минимума. Таковы хорошо известные фундаментальные условия, относящиеся к наибольшему числу случаев.

Новый класс вопросов. Построение этой общей теории неизбежно уничтожило главный интерес, который вопросы такого рода имели для геометров, они почти немедленно поднялись к рассмотрению нового порядка задач, одновременно гораздо более важных и гораздо большей трудности — задач об изопериметрах. Это, следовательно, уже не значения переменных, принадлежащие максимуму или минимуму данной функции, которые требуется определить. Это форма самой функции, которую требуется обнаружить из условия максимума или минимума определенного интеграла, лишь указанного, который зависит от этой функции.

Тело наименьшего сопротивления. Самый старый вопрос такого рода — это вопрос о теле наименьшего сопротивления, рассмотренный Ньютоном во второй книге «Начал», в которой он определяет, какой должна быть меридианная кривая тела вращения, чтобы сопротивление, испытываемое этим телом в направлении его оси, было наименьшим возможным. Но путь, пройденный Ньютоном, из-за природы его специального метода трансцендентного анализа, не имел характера достаточно простого, достаточно общего и, особенно, достаточно аналитического, чтобы привлечь геометров к этому новому порядку задач. Чтобы осуществить это, требовалось применение бесконечно малого метода; и это было сделано в 1695 году Иоганном Бернулли при предложении знаменитой задачи о брахистохроне.

Эта задача, которая впоследствии подсказала такой длинный ряд аналогичных вопросов, состоит в определении кривой, по которой тяжелое тело должно следовать, чтобы спуститься из одной точки в другую в кратчайшее возможное время. Ограничивая условия простым падением в вакууме, единственным случаем, который сначала рассматривался, легко найти, что искомая кривая должна быть перевернутой циклоидой с горизонтальным основанием и с началом в высшей точке. Но вопрос может стать необычайно сложным, либо принимая во внимание сопротивление среды, либо изменение интенсивности гравитации.

Изопериметры. Хотя этот новый класс задач был в первую очередь предоставлен механикой, именно в геометрии основные исследования такого характера были впоследствии сделаны. Так, было предложено обнаружить, какая среди всех кривых того же контура, проведенных между двумя данными точками, является той, чья площадь есть максимум или минимум, откуда пришло название задачи об изопериметрах; или требовалось, чтобы максимум или минимум принадлежал поверхности, произведенной вращением искомой кривой вокруг оси, или соответствующему объему; в других случаях это была вертикальная высота центра тяжести неизвестной кривой, или поверхности, и объема, который она могла бы породить, которая должна была стать максимумом или минимумом и т. д. Наконец, эти задачи были варьированы и усложнены почти до бесконечности Бернулли, Тейлором и особенно Эйлером, прежде чем Лагранж свел их решение к абстрактному и совершенно общему методу, открытие которого положило конец энтузиазму геометров к такому порядку исследований. Это не место для прослеживания истории этого предмета. Я только перечислил некоторые из самых простых основных вопросов, чтобы сделать очевидным первоначальный общий объект метода вариаций.

Аналитическая природа этих задач. Мы видим, что все эти задачи, рассматриваемые с аналитической точки зрения, по своей природе состоят в определении того, какой вид должна иметь некая неизвестная функция одной или нескольких переменных, чтобы тот или иной интеграл, зависящий от этой функции, имел в заданных пределах значение, являющееся максимумом или минимумом по отношению ко всем тем значениям, которые он принял бы, если бы искомая функция имела любой другой вид.

Так, например, в задаче о брахистохроне хорошо известно, что если y = f(z), x = π(z) — прямолинейные уравнения искомой кривой, при условии, что оси x и y горизонтальны, а ось z вертикальна, то время падения тяжелого тела по этой кривой от точки, ордината которой равна z1, до точки, ордината которой равна z2, выражается в общем виде определенным интегралом

∫_{z_{2}}^{z_{1}}√(1 + (f'(z))^{2} + (π'(z))^{2} / (2gz)) dz.

Следовательно, необходимо найти, какими должны быть две неизвестные функции f и π, чтобы этот интеграл был минимумом.

Точно так же вопрос о том, какая кривая среди всех плоских изопериметрических кривых охватывает наибольшую площадь, равносилен предложению найти среди всех функций f(x), которые могут придать определенное постоянное значение интегралу

∫ dx √(1 + (f'(x))^{2}),

ту, которая делает интеграл ∫ f(x)dx, взятый в тех же пределах, максимумом. Очевидно, что так обстоит дело и в других вопросах этого класса.

Методы старых геометров. В решениях, которые геометры до Лагранжа давали для этих задач, они, по сути, предлагали свести их к обычной теории максимумов и минимумов. Но средства, применявшиеся для осуществления этого преобразования, состояли из особых простых приемов, свойственных каждому отдельному случаю, открытие которых не допускало неизменных и достоверных правил, так что каждый действительно новый вопрос постоянно воспроизводил аналогичные трудности, а ранее полученные решения не приносили существенной помощи, за исключением дисциплинирования и тренировки ума. Одним словом, эта область математики представляла тогда то необходимое несовершенство, которое всегда существует, когда общая часть всех вопросов одного класса еще не была четко осознана для того, чтобы рассматриваться абстрактным и, следовательно, общим образом.

МЕТОД ЛАГРАНЖА.

Лагранж, стремясь свести все различные задачи об изопериметрах к общему анализу, организованному в отдельное исчисление, был приведен к мысли о новом виде дифференцирования, к которому он применил характеристику δ, зарезервировав характеристику d для обычных дифференциалов. Эти дифференциалы нового вида, которые он обозначил названием вариации, состоят из бесконечно малых приращений, которые получают интегралы не в силу аналогичных приращений соответствующих переменных, как в обычном трансцендентном анализе, а в силу предположения, что форма функции, стоящей под знаком интеграла, претерпевает бесконечно малое изменение. Это различие легко представить применительно к кривым, у которых мы видим, что ордината или любая другая переменная кривой допускает два рода дифференциалов, очевидно весьма различных, в зависимости от того, переходим ли мы от одной точки к другой, бесконечно близкой к ней на той же кривой, или к соответствующей точке бесконечно близкой кривой, полученной в результате определенной модификации первой кривой. Более того, ясно, что относительные вариации различных величин, связанных друг с другом любыми законами, вычисляются, за исключением характеристики, почти точно так же, как и дифференциалы. Наконец, из общего понятия вариаций таким же образом выводятся фундаментальные принципы алгоритма, свойственного этому методу, состоящие просто в очевидно допустимой свободе переставлять по желанию характеристики, специально предназначенные для вариаций, до или после тех, которые соответствуют обычным дифференциалам.

После того как эта абстрактная концепция была сформирована, Лагранж смог легко и самым общим образом свести все задачи об изопериметрах к простой обычной теории максимумов и минимумов. Чтобы получить ясное представление об этом великом и удачном преобразовании, мы должны предварительно рассмотреть существенное различие, возникающее в различных вопросах об изопериметрах.

Два класса вопросов. Эти исследования, по сути, должны быть разделены на два общих класса, в зависимости от того, являются ли искомые максимумы и минимумы абсолютными или относительными, если использовать сокращенные выражения геометров.

Вопросы первого класса. Первый случай — это тот, в котором неопределенные определенные интегралы, максимум или минимум которых ищется, не подчинены по природе задачи никакому условию; как это происходит, например, в задаче о брахистохроне, в которой выбор должен быть сделан среди всех мыслимых кривых. Второй случай имеет место, когда, напротив, переменные интегралы могут изменяться только согласно определенным условиям, которые обычно состоят в том, что другие определенные интегралы (которые зависят таким же образом от искомых функций) всегда сохраняют одно и то же заданное значение; как, например, во всех геометрических вопросах, относящихся к реальным изопериметрическим фигурам, и в которых по природе задачи интеграл, относящийся к длине кривой или к площади поверхности, должен оставаться постоянным во время варьирования того интеграла, который является объектом предлагаемого исследования.

Исчисление вариаций дает непосредственно общее решение вопросов первого класса; ибо из обычной теории максимумов и минимумов очевидно следует, что искомое соотношение должно сводить к нулю вариацию предлагаемого интеграла по отношению к каждой независимой переменной; что дает условие, общее как для максимума, так и для минимума: и, в качестве характеристики для различения одного от другого, вариация второго порядка того же интеграла должна быть отрицательной для максимума и положительной для минимума. Так, например, в задаче о брахистохроне мы будем иметь, чтобы определить природу искомой кривой, уравнение условия

δ∫_{z_{2}}^{z_{1}}√([1 + (f'(z))^{2} + (π'(z))^{2}] / (2gz)) dz = 0,

которое, будучи разложено на два по отношению к двум неизвестным функциям f и π, которые независимы друг от друга, полностью выразит аналитическое определение искомой кривой. Единственная трудность, свойственная этому новому анализу, состоит в исключении характеристики δ, для чего исчисление вариаций предоставляет неизменные и полные правила, основанные, в общем, на методе «интегрирования по частям», из которого Лагранж извлек таким образом огромную выгоду. Постоянная цель этой первой аналитической разработки (которую здесь не место рассматривать подробно) состоит в том, чтобы прийти к реальным дифференциальным уравнениям, что всегда возможно; и тем самым вопрос переходит в область обычного трансцендентного анализа, который предоставляет решение, по крайней мере в той мере, чтобы свести его к чистой алгебре, если интегрирование может быть выполнено. Общая цель метода вариаций состоит в осуществлении этого преобразования, для чего Лагранж установил правила, которые просты, неизменны и гарантируют успех.

Уравнения пределов. Среди величайших особых преимуществ метода вариаций по сравнению с предыдущими изолированными решениями изопериметрических задач является важное рассмотрение того, что Лагранж называет уравнениями пределов, которые до него полностью игнорировались, хотя без них большая часть частных решений оставалась неизбежно неполной. Когда пределы предлагаемых интегралов должны быть зафиксированы, их вариации равны нулю, и нет необходимости их учитывать. Но это уже не так, когда эти пределы, вместо того чтобы быть строго неизменными, подчинены лишь определенным условиям; как, например, если две точки, между которыми должна быть проведена искомая кривая, не фиксированы и должны лишь оставаться на заданных линиях или поверхностях. Тогда необходимо обратить внимание на вариацию их координат и установить между ними соотношения, соответствующие уравнениям этих линий или этих поверхностей.

Более общее рассмотрение. Это существенное рассмотрение является лишь окончательным дополнением к более общему и более важному рассмотрению, относящемуся к вариациям различных независимых переменных. Если эти переменные действительно независимы друг от друга, как когда мы сравниваем между собой все мыслимые кривые, которые могут быть проведены между двумя точками, то то же самое будет и с их вариациями, и, следовательно, члены, относящиеся к каждой из этих вариаций, должны будут отдельно равняться нулю в общем уравнении, которое выражает максимум или минимум. Но если, напротив, мы предполагаем, что переменные подчинены каким-либо фиксированным условиям, необходимо будет принять во внимание результирующее соотношение между их вариациями, так что число уравнений, на которые затем разлагается это общее уравнение, всегда равно только числу переменных, которые остаются действительно независимыми. Именно так, например, вместо того чтобы искать кратчайший путь между любыми двумя точками, выбирая его среди всех возможных, можно предложить найти только то, какой является кратчайшим среди всех тех, которые могут быть выбраны на любой заданной поверхности; вопрос, общее решение которого, безусловно, составляет одно из самых красивых приложений метода вариаций.

Вопросы второго класса. Задачи, в которых рассматриваются такие модифицирующие условия, по своей природе очень близки ко второму общему классу приложений метода вариаций, охарактеризованному выше как состоящему в исследовании относительных максимумов и минимумов. Однако между этими двумя случаями существует существенное различие: в последнем модификация выражается интегралом, который зависит от искомой функции, в то время как в другом она обозначается конечным уравнением, которое дано непосредственно. Отсюда очевидно, что исследование относительных максимумов и минимумов постоянно и неизбежно сложнее, чем исследование абсолютных максимумов и минимумов. К счастью, очень важная общая теория, открытая гением великого Эйлера до изобретения исчисления вариаций, дает единообразное и очень простое средство сделать один из этих двух классов вопросов зависимым от другого. Оно состоит в том, что если мы добавим к интегралу, который должен быть максимумом или минимумом, постоянное и неопределенное кратное того, который по природе задачи должен оставаться постоянным, то будет достаточно найти, согласно общему методу Лагранжа, указанному выше, абсолютный максимум или минимум всего этого выражения. Действительно, можно легко понять, что часть полной вариации, которая произошла бы от последнего интеграла, должна быть равна нулю (из-за постоянного характера последнего), так же как и часть, обусловленная первым интегралом, которая исчезает в силу состояния максимума или минимума. Эти два условия, очевидно, объединяются, чтобы произвести в этом отношении эффекты, в точности подобные.

Таков набросок общего способа, которым метод вариаций применяется ко всем различным вопросам, составляющим то, что называется теорией изопериметров. Несомненно, в этом кратком изложении было замечено, как много в этом новом анализе было использовано второе фундаментальное свойство трансцендентного анализа, отмеченное в третьей главе, а именно: общность бесконечно малых выражений для представления одного и того же геометрического или механического явления, в каком бы теле оно ни рассматривалось. Действительно, на этой общности по своей природе основаны все решения, обязанные методу вариаций. Если бы одна формула не могла выразить длину или площадь любой кривой; если бы другая фиксированная формула не могла обозначить время падения тяжелого тела, по какой бы линии оно ни спускалось и т. д., как можно было бы разрешить вопросы, которые неизбежно требуют по своей природе одновременного рассмотрения всех случаев, которые могут быть определены в каждом явлении различными субъектами, которые его демонстрируют.

Другие приложения этого метода. Несмотря на чрезвычайную важность теории изопериметров, и хотя метод вариаций поначалу не имел иной цели, кроме логического и общего решения этого порядка задач, мы все же имели бы лишь неполное представление об этом прекрасном анализе, если бы ограничили его назначение только этим. На самом деле абстрактная концепция двух различных видов дифференцирования очевидно применима не только к случаям, для которых она была создана, но и ко всем тем, которые представляют по какой-либо причине два различных способа заставить одни и те же величины варьироваться. Именно так сам Лагранж сделал в своей «Аналитической механике» обширное и важное приложение своего исчисления вариаций, используя его для различения двух видов изменений, которые естественным образом представлены вопросами рациональной механики для различных рассматриваемых точек, в зависимости от того, сравниваем ли мы последовательные положения, занимаемые в силу своего движения одной и той же точкой каждого тела в два последовательных момента, или переходим от одной точки тела к другой в тот же самый момент. Одно из этих сравнений порождает обычные дифференциалы; другое дает начало вариациям, которые там, как и везде, являются лишь дифференциалами, взятыми под новым углом зрения. Такова общая трактовка, в которой мы должны понимать исчисление вариаций, чтобы должным образом оценить важность этого замечательного логического инструмента, самого мощного из тех, что человеческий разум создал до сих пор.

Поскольку метод вариаций является лишь огромным расширением общего трансцендентного анализа, мне нет нужды специально доказывать, что он может рассматриваться с различных фундаментальных точек зрения, которые допускает исчисление косвенных функций, рассматриваемое в целом. Лагранж изобрел исчисление вариаций в соответствии с бесконечно малой концепцией и, действительно, задолго до того, как он предпринял общую реконструкцию трансцендентного анализа. Когда он осуществил это важное преобразование, он легко показал, как оно может быть применено и к исчислению вариаций, которое он изложил со всей надлежащей разработкой в соответствии со своей теорией производных функций. Но чем труднее для понимания использование метода вариаций из-за более высокой степени абстракции рассматриваемых идей, тем более необходимо при его применении экономить усилия ума, принимая наиболее прямую и быструю аналитическую концепцию, а именно концепцию Лейбница. Соответственно, сам Лагранж постоянно предпочитал ее в важном использовании, которое он сделал из исчисления вариаций в своей «Аналитической механике». На самом деле среди геометров нет ни малейшего колебания в этом отношении.

ЕГО ОТНОШЕНИЯ К ОБЫЧНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ.

Чтобы сделать как можно более ясным философский характер исчисления вариаций, я думаю, что должен в заключение кратко указать на соображение, которое кажется мне важным и с помощью которого я могу приблизить его к обычному трансцендентному анализу в большей степени, чем это сделал Лагранж.

В предыдущей главе мы отметили формирование исчисления частных разностей, созданного Д'Аламбером, как введение в трансцендентный анализ новой элементарной идеи: понятия двух видов приращений, различных и независимых друг от друга, которые функция двух переменных может получить в силу изменения каждой переменной отдельно. Именно так вертикальная ордината поверхности или любая другая величина, которая к ней относится, варьируется двумя способами, которые совершенно различны и которые могут следовать самым разным законам, в зависимости от того, увеличиваем ли мы ту или иную из двух горизонтальных координат. Теперь такое соображение кажется мне очень близким по своей природе к тому, которое служит общим основанием метода вариаций. Последний, действительно, в действительности сделал не что иное, как перенес на сами независимые переменные особую концепцию, которая уже была принята для функций этих переменных; модификация, которая значительно расширила его использование. Поэтому я думаю, что, что касается только фундаментальных концепций, мы можем считать исчисление, созданное Д'Аламбером, установившим естественный и необходимый переход между обычным бесконечно малым исчислением и исчислением вариаций; такое выведение которого, по-видимому, приспособлено для того, чтобы сделать общее понятие более ясным и простым.

Согласно различным соображениям, указанным в этой главе, метод вариаций представляет собой высшую степень совершенства, которой анализ косвенных функций еще достиг. В своем первоначальном состоянии этот последний анализ представлял собой мощное общее средство облегчения математического изучения природных явлений путем введения для выражения их законов рассмотрения вспомогательных величин, выбранных таким образом, что их отношения неизбежно более просты и более легки для получения, чем отношения прямых величин. Но формирование этих дифференциальных уравнений не предполагало допуска каких-либо общих и абстрактных правил. Теперь анализ вариаций, рассматриваемый с самой философской точки зрения, может рассматриваться как по своей природе предназначенный для того, чтобы сделать доступным для исчисления фактическое установление дифференциальных уравнений; ибо в большом числе важных и трудных вопросов таков общий эффект варьированных уравнений, которые, будучи еще более косвенными, чем простые дифференциальные уравнения по отношению к специальным объектам исследования, также гораздо легче формируются, и из которых мы можем затем, с помощью неизменных и полных аналитических методов, целью которых является исключение нового порядка введенных вспомогательных бесконечно малых величин, вывести те обычные дифференциальные уравнения, которые часто было бы невозможно установить напрямую. Метод вариаций составляет, таким образом, самую возвышенную часть той обширной системы математического анализа, которая, исходя из самых простых элементов алгебры, организует путем непрерывной последовательности идей общие методы, все более и более мощные для изучения натурфилософии, и которая в целом представляет собой самый несравненно внушительный и недвусмысленный памятник мощи человеческого интеллекта.

Мы должны, однако, также признать, что концепции, которые обычно рассматриваются в методе вариаций, будучи по своей природе более косвенными, более общими и, особенно, более абстрактными, чем все остальные, использование такого метода требует неизбежно и непрерывно высочайшей известной степени интеллектуального усилия, чтобы никогда не упускать из виду точный объект исследования, следуя рассуждениям, которые предлагают уму такие ненадежные места для отдыха и в которых знаки почти не приносят никакой помощи. Мы должны, несомненно, в значительной степени приписать этой трудности то малое реальное использование, которое геометры, за исключением Лагранжа, до сих пор сделали из такой замечательной концепции.

ГЛАВА VI.

ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ.

Различные фундаментальные соображения, указанные в пяти предыдущих главах, составляют, в действительности, все существенные основы полного изложения математического анализа, рассматриваемого с философской точки зрения. Тем не менее, чтобы не пренебречь ни одной действительно важной общей концепцией, относящейся к этому анализу, я думаю, что должен здесь очень кратко объяснить истинный характер рода исчисления, который очень обширен и который, хотя в основе своей он действительно принадлежит к обычному анализу, все же рассматривается как имеющий существенно отличную природу. Я имею в виду исчисление конечных разностей, которое будет специальным предметом этой главы.

Его общий характер. Это исчисление, созданное Тейлором в его знаменитом труде под названием Methodus Incrementorum, состоит по существу в рассмотрении конечных приращений, которые функции получают как следствие аналогичных приращений со стороны соответствующих переменных. Эти приращения или разности, которые принимают характеристику Δ, чтобы отличить их от дифференциалов, или бесконечно малых приращений, могут в свою очередь рассматриваться как новые функции и стать предметом второго аналогичного рассмотрения, и так далее; из чего вытекает понятие разностей различных последовательных порядков, аналогичных, по крайней мере по внешнему виду, последовательным порядкам дифференциалов. Такое исчисление очевидно представляет, подобно исчислению косвенных функций, два общих класса вопросов:

1°. Определить последовательные разности всех различных аналитических функций одной или нескольких переменных как результат определенного способа увеличения независимых переменных, которые обычно предполагаются возрастающими в арифметической прогрессии.

2°. Взаимно, исходить из этих разностей или, более общо, из любых уравнений, установленных между ними, и вернуться к самим примитивным функциям или к их соответствующим отношениям.

Отсюда следует разложение этого исчисления на два различных, которым обычно дают названия прямого и обратного исчисления конечных разностей, причем последнее иногда называют также интегральным исчислением конечных разностей. Каждое из них также, очевидно, допускало бы логическое распределение, подобное тому, которое дано в четвертой главе для дифференциального и интегрального исчисления.

Его истинная природа. Нет сомнения, что Тейлор думал, что с помощью такой концепции он основал исчисление совершенно новой природы, абсолютно отличное от обычного анализа и более общее, чем исчисление Лейбница, хотя и опирающееся на аналогичное рассмотрение. Именно так почти все геометры рассматривали анализ Тейлора; но Лагранж с его обычной глубиной ясно понял, что эти свойства принадлежат гораздо больше формам и обозначениям, используемым Тейлором, чем самой сути его теории. На самом деле то, что составляет особый характер анализа Лейбница и делает его действительно отличным и превосходным исчислением, — это обстоятельство, что производные функции в общем совершенно иной природы, чем примитивные функции, так что они могут привести к более простым и более легко формируемым отношениям: откуда вытекают замечательные фундаментальные свойства трансцендентного анализа, которые уже были объяснены. Но это не так с разностями, рассматриваемыми Тейлором; ибо эти разности по своей природе являются функциями, существенно похожими на те, которые их породили, обстоятельство, которое делает их непригодными для облегчения установления уравнений и препятствует их приведению к более общим отношениям. Каждое уравнение конечных разностей является, по сути, уравнением, непосредственно относящимся к самим величинам, чьи последовательные состояния сравниваются. Леса новых знаков, которые создают иллюзию относительно истинного характера этих уравнений, маскируют его, однако, очень несовершенным образом, поскольку его всегда можно было бы легко сделать очевидным, заменив разности эквивалентными комбинациями примитивных величин, для которых они на самом деле являются лишь сокращенными обозначениями. Таким образом, исчисление Тейлора никогда не предлагало и никогда не сможет предложить в каком-либо вопросе геометрии или механики ту мощную общую помощь, которая, как мы видели, неизбежно вытекает из анализа Лейбница. Лагранж, более того, очень ясно доказал, что мнимая аналогия, наблюдаемая между исчислением разностей и бесконечно малым исчислением, была радикально порочной в том смысле, что формулы, принадлежащие первому исчислению, никогда не могут предоставить в качестве частных случаев те, которые принадлежат последнему, природа которого существенно отлична.

Из этих соображений я прихожу к мысли, что исчисление конечных разностей в целом неправильно классифицируется как трансцендентный анализ в собственном смысле слова, то есть как исчисление косвенных функций. Я считаю его, напротив, в соответствии с взглядами Лагранжа, лишь очень обширной и очень важной ветвью обычного анализа, то есть того, что я назвал исчислением прямых функций, поскольку уравнения, которые оно рассматривает, всегда, несмотря на обозначения, являются простыми прямыми уравнениями.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЯДОВ.

Чтобы подытожить как можно кратче предыдущее объяснение, исчисление Тейлора следует рассматривать как постоянно имеющее своей истинной целью общую теорию рядов, самые простые случаи которых были рассмотрены только до этого прославленного геометра. Я должен был бы, собственно, упомянуть эту важную теорию при рассмотрении во второй главе собственно алгебры, обширной ветвью которой она является. Но чтобы избежать двойной ссылки на нее, я предпочел заметить ее только при рассмотрении исчисления конечных разностей, которое, сведенное к своему самому простому общему выражению, является не чем иным, как полным логическим изучением вопросов, относящихся к рядам.

Каждый ряд, или последовательность чисел, выведенных друг из друга согласно любому постоянному закону, неизбежно порождает эти два фундаментальных вопроса:

1°. Предполагая закон ряда известным, найти выражение для его общего члена, чтобы иметь возможность немедленно вычислить любой член, не будучи обязанным последовательно формировать все предыдущие члены.

2°. В тех же обстоятельствах определить сумму любого числа членов ряда посредством их мест, чтобы ее можно было узнать без необходимости постоянно складывать эти члены вместе.

Поскольку эти два фундаментальных вопроса считаются решенными, можно предложить, взаимно, найти закон ряда из формы его общего члена или выражения суммы. Каждая из этих различных задач имеет тем больше объема и трудности, чем большее число различных законов можно представить для ряда, в зависимости от числа предыдущих членов, от которых каждый член непосредственно зависит, и в зависимости от функции, которая выражает эту зависимость. Мы можем даже рассматривать ряды с несколькими переменными индексами, как это сделал Лаплас в своей «Аналитической теории вероятностей» с помощью анализа, которому он дал название теории производящих функций, хотя это на самом деле лишь новая и высшая ветвь исчисления конечных разностей или общей теории рядов.

Эти общие взгляды, которые я указал, дают лишь несовершенное представление о поистине бесконечном объеме и разнообразии вопросов, к которым геометры поднялись с помощью этого единственного рассмотрения рядов, столь простого на вид и столь ограниченного в своем происхождении. Оно неизбежно представляет столько же различных случаев, сколько алгебраическое решение уравнений, рассматриваемое во всем его объеме; и оно по своей природе гораздо сложнее, настолько, действительно, что оно всегда нуждается в последнем, чтобы привести его к полному решению. Мы можем, следовательно, предвидеть, каково должно быть все еще его крайнее несовершенство, несмотря на последовательные труды нескольких геометров первого порядка. Мы, действительно, не обладаем еще полным и логическим решением никаких, кроме самых простых вопросов этого рода.

Его тождество с этим исчислением. Теперь легко понять необходимое и совершенное тождество, которое уже было объявлено, между исчислением конечных разностей и теорией рядов, рассматриваемой во всех ее аспектах. На самом деле каждое дифференцирование по манере Тейлора очевидно сводится к нахождению закона формирования ряда с одним или с несколькими переменными индексами из выражения его общего члена; точно так же каждое аналогичное интегрирование может рассматриваться как имеющее своей целью суммирование ряда, общий член которого был бы выражен предложенной разностью. С этой точки зрения различные задачи исчисления разностей, прямые или обратные, решенные Тейлором и его преемниками, действительно имеют очень большую ценность, как рассматривающие важные вопросы, относящиеся к рядам. Но очень сомнительно, дают ли форма и обозначение, введенные Тейлором, действительно какое-либо существенное облегчение в решении вопросов такого рода. Было бы, возможно, более выгодно для большинства случаев и, безусловно, более логично заменить разности самими членами, определенные комбинации которых они представляют. Поскольку исчисление Тейлора не опирается на действительно отличную фундаментальную идею и не имеет ничего свойственного ему, кроме системы знаков, никогда не могло быть действительно никакого важного преимущества в рассмотрении его как отделенного от обычного анализа, ветвью которого оно в действительности является. Это рассмотрение разностей, в большинстве случаев бесполезное, даже если оно не вызывает осложнений, кажется мне сохраняющим характер эпохи, в которой, поскольку аналитические идеи не были достаточно знакомы геометрам, они естественным образом были приведены к предпочтению специальных форм, подходящих для простых численных сравнений.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ИЛИ РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.

Как бы то ни было, я не должен заканчивать эту общую оценку исчисления конечных разностей, не заметив новой концепции, которой оно дало начало и которая с тех пор приобрела большое значение. Это рассмотрение тех периодических или разрывных функций, которые сохраняют одно и то же значение для бесконечного ряда значений соответствующих переменных, подчиненных определенному закону, и которые должны быть неизбежно добавлены к интегралам уравнений конечных разностей, чтобы сделать их достаточно общими, как простые произвольные константы добавляются ко всем квадратурам, чтобы завершить их общность. Эта идея, первоначально введенная Эйлером, с тех пор была предметом обширного исследования М. Фурье, который сделал новые и важные приложения ее в своей математической теории тепла.

ПРИЛОЖЕНИЯ ЭТОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Ряды. Среди основных общих приложений, которые были сделаны из исчисления конечных разностей, было бы уместно поставить в первый ряд, как самые обширные и самые важные, решение вопросов, относящихся к рядам; если, как было показано, общая теория рядов не должна рассматриваться как составляющая по своей природе фактическое основание исчисления Тейлора.

Интерполяции. Этот большой класс задач будучи затем отложен в сторону, самым существенным из истинных приложений анализа Тейлора является, несомненно, до сих пор общий метод интерполяций, столь часто и столь полезно используемый в исследовании эмпирических законов природных явлений. Вопрос состоит, как хорошо известно, в интеркалировании между определенными заданными числами других промежуточных чисел, подчиненных тому же закону, который, как мы предполагаем, существует между первыми. Мы можем в изобилии проверить в этом главном приложении исчисления Тейлора, насколько действительно чуждым и часто неудобным является рассмотрение разностей по отношению к вопросам, которые зависят от этого анализа. Действительно, Лагранж заменил формулы интерполяции, выведенные из обычного алгоритма исчисления конечных разностей, гораздо более простыми общими формулами, которые теперь почти всегда предпочитаются и которые были найдены непосредственно, без использования понятия разностей, которое только усложняет вопрос.

Приближенное спрямление и т. д. Последний важный класс приложений исчисления конечных разностей, который заслуживает того, чтобы быть отличенным от предыдущего, состоит в исключительно полезном использовании его в геометрии для определения путем приближения длины и площади любой кривой, и таким же образом кубатуры тела любой формы. Эта процедура (которая может, кроме того, рассматриваться абстрактно как зависящая от того же аналитического исследования, что и вопрос интерполяции) часто предлагает ценное дополнение к чисто логическим геометрическим методам, которые часто приводят к интегрированиям, которые мы еще не знаем, как выполнить, или к вычислениям очень сложного исполнения.

Таковы различные основные соображения, которые следует заметить в отношении исчисления конечных разностей. Это исследование завершает предложенный философский очерк абстрактной математики.

Конкретная математика теперь будет предметом аналогичной работы. В ней мы будем особенно посвящать себя изучению того, как было возможно (предполагая, что общая наука исчисления совершенна), с помощью неизменных процедур, свести к чистым вопросам анализа все задачи, которые могут быть представлены геометрией и механикой, и тем самым придать этим двум фундаментальным основам натурфилософии степень точности и, особенно, единства; одним словом, характер высокого совершенства, который мог быть сообщен им только таким путем.

КНИГА II.

ГЕОМЕТРИЯ.

КНИГА II.

ГЕОМЕТРИЯ.

ГЛАВА I.

ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА ГЕОМЕТРИЮ.

Ее истинная природа. После общего изложения философского характера конкретной математики по сравнению с характером абстрактной математики, данного во вводной главе, здесь не нужно специально показывать, что геометрия должна рассматриваться как истинная естественная наука, только гораздо более простая и, следовательно, гораздо более совершенная, чем любая другая. Это необходимое совершенство геометрии, полученное по существу применением математического анализа, который она столь выдающимся образом допускает, склонно порождать ошибочные взгляды на реальную природу этой фундаментальной науки, которую большинство умов в настоящее время считает чисто логической наукой, совершенно независимой от наблюдения. Тем не менее, для любого, кто внимательно изучает характер геометрических рассуждений, даже в нынешнем состоянии абстрактной геометрии, очевидно, что, хотя факты, которые в ней рассматриваются, гораздо теснее связаны, чем те, которые относятся к любой другой науке, все же всегда существует в отношении каждого тела, изучаемого геометрами, определенное число примитивных явлений, которые, поскольку они не установлены никаким рассуждением, должны основываться только на наблюдении и которые формируют необходимую основу всех дедукций.

Научное превосходство геометрии проистекает из того, что явления, которые она рассматривает, являются неизбежно самыми универсальными и самыми простыми из всех. Не только все тела природы могут порождать геометрические исследования, так же как и механические, но, более того, геометрические явления существовали бы, даже если бы все части вселенной рассматривались как неподвижные. Геометрия тогда по своей природе более общая, чем механика. В то же время ее явления более просты, ибо они очевидно независимы от механических явлений, в то время как последние всегда осложнены первыми. Те же отношения справедливы при сравнении геометрии с абстрактной термологией.

По этим причинам в нашей классификации мы сделали геометрию первой частью конкретной математики; той частью, изучение которой, в дополнение к ее собственной важности, служит незаменимой основой для всего остального.

Прежде чем рассматривать непосредственно философское изучение различных порядков исследований, которые составляют нашу нынешнюю геометрию, мы должны получить ясное и точное представление об общем назначении этой науки, рассматриваемой во всех ее аспектах. Таков объект этой главы.

Определение. Геометрия обычно определяется очень расплывчатым и совершенно неправильным образом как наука о протяженности. Улучшением этого было бы сказать, что геометрия имеет своим объектом измерение протяженности; но такое объяснение было бы очень недостаточным, хотя в основе своей правильным, и было бы далеко от того, чтобы дать какое-либо представление об истинном общем характере геометрической науки.

Чтобы сделать это, я думаю, что должен сначала объяснить две фундаментальные идеи, которые, будучи очень простыми сами по себе, были необычайно затемнены использованием метафизических соображений.

Идея пространства. Первая — это идея пространства. Эта концепция по существу состоит просто в том, что вместо рассмотрения протяженности в самих телах мы рассматриваем ее в неопределенной среде, которую мы считаем содержащей все тела вселенной. Это понятие естественным образом подсказывается нам наблюдением, когда мы думаем о впечатлении, которое тело оставило бы в жидкости, в которую оно было помещено. Ясно, на самом деле, что в отношении своих геометрических отношений такое впечатление может быть заменено самим телом, не изменяя рассуждений относительно него. Что касается физической природы этого неопределенного пространства, мы спонтанно приводимся к тому, чтобы представлять его себе как совершенно аналогичное реальной среде, в которой мы живем; так что если бы эта среда была жидкой, а не газообразной, наше геометрическое пространство, несомненно, мыслилось бы также жидким. Это обстоятельство, более того, является лишь очень второстепенным, так как существенная цель такой концепции состоит лишь в том, чтобы заставить нас рассматривать протяженность отдельно от тел, которые проявляют ее нам. Мы можем легко понять заранее важность этого фундаментального образа, поскольку он позволяет нам изучать геометрические явления сами по себе, делая абстракцию от всех других явлений, которые постоянно сопровождают их в реальных телах, не оказывая, однако, никакого влияния на них. Регулярное установление этой общей абстракции должно рассматриваться как первый шаг, который был сделан в рациональном изучении геометрии, что было бы невозможно, если бы было необходимо рассматривать вместе с формой и величиной тел все их другие физические свойства. Использование такой гипотезы, которая, возможно, является самой древней философской концепцией, созданной человеческим разумом, стало теперь настолько привычным для нас, что нам трудно точно оценить ее важность, пытаясь оценить последствия, которые возникли бы из ее подавления.

Различные виды протяженности. Вторая предварительная геометрическая концепция, которую мы должны рассмотреть, — это концепция различных видов протяженности, обозначаемых словами объем, поверхность, линия и даже точка, и обычное объяснение которых столь неудовлетворительно.

Хотя очевидно невозможно представить себе какую-либо протяженность, абсолютно лишенную любого из трех фундаментальных измерений, не менее неоспоримо, что во многих случаях, даже непосредственной полезности, геометрические вопросы зависят только от двух измерений, рассматриваемых отдельно от третьего, или от одного измерения, рассматриваемого отдельно от двух других. Опять же, независимо от этого прямого мотива, изучение протяженности с одним измерением, а затем с двумя, ясно представляется как незаменимое предварительное условие для облегчения изучения полных тел с тремя измерениями, непосредственная теория которых была бы слишком сложной. Таковы два общих мотива, которые обязывают геометров рассматривать отдельно протяженность в отношении одного или двух измерений, а также относительно всех трех вместе.

Общие понятия поверхности и линии были сформированы человеческим разумом для того, чтобы он мог думать постоянным образом о протяженности в двух направлениях или только в одном. Гиперболические выражения, обычно используемые геометрами для определения этих понятий, склонны передавать ложные идеи о них; но, рассматриваемые сами по себе, они не имеют иной цели, кроме как позволить нам рассуждать с легкостью относительно этих двух видов протяженности, делая полную абстракцию от того, что не должно приниматься во внимание. Теперь для этого достаточно представить измерение, которое мы хотим исключить, становящимся постепенно все меньше и меньше, при этом два других остаются прежними, пока оно не достигнет такой степени тонкости, что уже не может фиксировать внимание. Именно так мы естественным образом приобретаем реальную идею поверхности и, путем второй аналогичной операции, идею линии, повторяя для ширины то, что мы сначала сделали для толщины. Наконец, если мы снова повторим ту же операцию, мы придем к идее точки, или протяженности, рассматриваемой только в отношении ее места, делая абстракцию от всякой величины, и предназначенной, следовательно, для определения положений.

Поверхности, очевидно, имеют, более того, общее свойство точно ограничивать объемы; и таким же образом линии, в свою очередь, ограничивают поверхности и ограничены точками. Но это соображение, которому часто придается слишком большое значение, является лишь вторичным.

Поверхности и линии, таким образом, в действительности всегда мыслятся с тремя измерениями; было бы, на самом деле, невозможно представить себе поверхность иначе, как в виде чрезвычайно тонкой пластины, а линию иначе, как в виде бесконечно тонкой нити. Даже ясно, что степень тонкости, приписываемая каждым индивидом измерениям, от которых он хочет сделать абстракцию, не является постоянно идентичной, ибо она должна зависеть от степени тонкости его привычных геометрических наблюдений. Это отсутствие единообразия, кроме того, не имеет реальных неудобств, поскольку достаточно, чтобы идеи поверхности и линии удовлетворяли существенному условию своего назначения, чтобы каждый представлял себе измерения, которыми следует пренебречь, как меньшие, чем все те, величину которых его повседневный опыт дает ему повод оценить.

Мы видим отсюда, как лишены всякого смысла фантастические дискуссии метафизиков об основаниях геометрии. Следует также заметить, что эти первоначальные идеи обычно представляются геометрами нефилософским образом, поскольку, например, они объясняют понятия различных видов протяженности в порядке, абсолютно обратном их естественной зависимости, что часто порождает самые серьезные неудобства в элементарном обучении.

ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ ГЕОМЕТРИИ.

Эти прелиминарии будучи установлены, мы можем перейти непосредственно к общему определению геометрии, продолжая мыслить эту науку как имеющую своей окончательной целью измерение протяженности.

В этом вопросе необходимо углубиться в тщательное объяснение, основанное на различении трех видов протяженности, поскольку понятие измерения не является в точности тем же самым в отношении поверхностей и объемов, что и в отношении линий.

Природа геометрического измерения. Если мы возьмем слово измерение в его прямом и общем математическом значении, которое означает просто определение значения отношений между любыми однородными величинами, мы должны считать в геометрии, что измерение поверхностей и объемов, в отличие от измерения линий, никогда не мыслится, даже в самых простых и самых благоприятных случаях, как осуществляемое напрямую. Сравнение двух линий рассматривается как прямое; сравнение двух поверхностей или двух объемов, напротив, всегда косвенное. Таким образом, мы мыслим, что две линии могут быть наложены друг на друга; но наложение двух поверхностей или, тем более, двух объемов очевидно невозможно в большинстве случаев; и даже когда оно становится строго осуществимым, такое сравнение никогда не бывает ни удобным, ни точным. Тогда очень необходимо объяснить, в чем собственно состоит истинно геометрическое измерение поверхности или объема.

Измерение поверхностей и объемов. Для этого мы должны учитывать, что, какой бы ни была форма тела, всегда существует определенное число линий, более или менее легких для назначения, длина которых достаточна, чтобы точно определить величину его поверхности или его объема. Геометрия, рассматривая эти линии как единственно поддающиеся непосредственному измерению, предлагает вывести из простого их определения отношение поверхности или искомого объема к единице поверхности или к единице объема. Таким образом, общая цель геометрии в отношении поверхностей и объемов состоит собственно в том, чтобы свести все сравнения поверхностей или объемов к простым сравнениям линий.

Помимо очень большой легкости, которую такое преобразование очевидно предлагает для измерения объемов и поверхностей, из него проистекает, если рассматривать его более расширенным и более научным образом, общая возможность сведения к вопросам линий всех вопросов, относящихся к объемам и поверхностям, рассматриваемым в отношении их величины. Таково часто самое важное использование геометрических выражений, которые определяют поверхности и объемы в функциях соответствующих линий.

Правда, иногда используются прямые сравнения между поверхностями или между объемами; но такие измерения не рассматриваются как геометрические, а только как дополнение, иногда необходимое, хотя и слишком редко применимое, к недостаточности или трудности истинно рациональных методов. Именно так мы часто определяем объем тела, а в некоторых случаях и его поверхность, с помощью его веса. Точно так же в других случаях, когда мы можем заменить предлагаемый объем эквивалентным жидким объемом, мы устанавливаем непосредственно сравнение двух объемов, пользуясь свойством, присущим жидким массам, принимать любую желаемую форму. Но все средства такого рода являются чисто механическими, и рациональная геометрия неизбежно отвергает их.

Чтобы сделать более ощутимой разницу между этими способами определения и истинными геометрическими измерениями, я приведу один очень примечательный пример: способ, которым Галилей определил отношение обычной циклоиды к отношению производящей окружности. Геометрия его времени была еще недостаточной для рационального решения такой задачи. Галилей задумал идею открытия этого отношения путем прямого эксперимента. Взвесив как можно точнее две пластины из одного и того же материала и равной толщины, одна из которых имела форму круга, а другая — созданной циклоиды, он нашел вес последней всегда втрое превышающим вес первой; откуда он сделал вывод, что площадь циклоиды втрое больше площади производящей окружности, результат, согласующийся с истинным решением, впоследствии полученным Паскалем и Валлисом. Такой успех очевидно зависит от чрезвычайной простоты искомого отношения; и мы можем понять необходимую недостаточность таких уловок, даже когда они фактически осуществимы.

Из вышеизложенного нам становится ясна природа той части геометрии, которая относится к объемам, и той, которая относится к поверхностям. Однако характер геометрии линий не столь очевиден, поскольку для упрощения изложения мы рассматривали измерение линий как осуществляемое непосредственно. Следовательно, в отношении них требуется дополнительное пояснение.

Измерение кривых линий. Для этой цели достаточно провести различие между прямой линией и кривыми линиями, причем измерение первой рассматривается как прямое, а измерение остальных — всегда как косвенное. Хотя наложение иногда строго применимо к кривым линиям, тем не менее очевидно, что подлинно рациональная геометрия должна обязательно отвергать его, поскольку оно не допускает никакой точности, даже когда это возможно. Таким образом, общая цель геометрии линий состоит в том, чтобы в каждом случае свести измерение кривых линий к измерению прямых линий; и, следовательно, в самом широком смысле — свести к простым задачам о прямых линиях все вопросы, касающиеся величины любых кривых. Чтобы понять возможность такого преобразования, мы должны заметить, что в каждой кривой всегда существуют определенные прямые линии, длины которых должно быть достаточно для определения длины кривой. Так, в круге очевидно, что из длины радиуса мы должны быть способны вывести длину окружности; точно так же длина эллипса зависит от длины его двух осей; длина циклоиды — от диаметра производящего круга и т. д.; и если вместо рассмотрения всей кривой целиком мы потребуем, более общо, длину какой-либо дуги, то будет достаточно добавить к различным прямолинейным параметрам, определяющим всю кривую, хорду предложенной дуги или координаты ее концов. Обнаружение отношения, существующего между длиной кривой линии и длиной подобных ей прямых линий, является общей задачей той части геометрии, которая относится к изучению линий.

Соединяя это соображение с теми, что были ранее предложены в отношении объемов и поверхностей, мы можем сформировать очень ясное представление о науке геометрии, задуманной во всех ее частях, назначив ей в качестве общей цели окончательное сведение сравнений всех видов протяженности — объемов, поверхностей или линий — к простым сравнениям прямых линий, которые единственные рассматриваются как способные быть выполненными непосредственно и которые, в самом деле, не могли бы быть сведены к каким-либо другим, более легким для осуществления. Такая концепция в то же время ясно указывает на истинный характер геометрии и кажется подходящей для того, чтобы с первого взгляда показать ее полезность и совершенство.

Измерение прямых линий. Чтобы завершить это фундаментальное объяснение, мне еще предстоит показать, как в геометрии может существовать особый раздел, относящийся к прямой линии, что на первый взгляд кажется несовместимым с принципом, согласно которому измерение этого класса линий всегда должно рассматриваться как прямое.

Это действительно так по сравнению с измерением кривых линий и всех других объектов, рассматриваемых геометрией. Но очевидно, что оценка прямой линии не может рассматриваться как прямая, за исключением тех случаев, когда к ней может быть приложена линейная единица. Однако это часто представляет непреодолимые трудности, как я имел случай показать по другому поводу во вводной главе. Мы должны, следовательно, сделать измерение предложенной прямой линии зависимым от других аналогичных измерений, которые могут быть выполнены непосредственно. Таким образом, неизбежно существует первичная отдельная ветвь геометрии, посвященная исключительно прямой линии; ее цель — определять одни прямые линии через другие посредством отношений, принадлежащих фигурам, возникающим из их сочетания. Эта предварительная часть геометрии, которая почти незаметна при рассмотрении всей науки в целом, тем не менее восприимчива к большому развитию. Она, очевидно, имеет особое значение, поскольку все другие геометрические измерения сводятся к измерениям прямых линий, и если бы их нельзя было определить, решение любого вопроса осталось бы незавершенным.

Таковы, следовательно, различные фундаментальные части рациональной геометрии, расположенные в соответствии с их естественной зависимостью: геометрия линий рассматривается первой, начиная с прямой линии; затем геометрия поверхностей и, наконец, геометрия тел.

БЕСКОНЕЧНАЯ ПРОТЯЖЕННОСТЬ ЕЕ ОБЛАСТИ.

Определив с точностью общую и конечную цель геометрических исследований, науку теперь необходимо рассмотреть в отношении области, охватываемой каждым из трех ее фундаментальных разделов.

Рассматриваемая таким образом, геометрия по своей природе очевидно восприимчива к расширению, которое является строго бесконечным; ибо измерение линий, поверхностей или объемов неизбежно представляет столько же различных вопросов, сколько мы можем вообразить различных фигур, подлежащих точным определениям; и число их, очевидно, бесконечно.

Геометры поначалу ограничивались рассмотрением наиболее простых фигур, которые непосредственно предоставлялись им природой или выводились из этих примитивных элементов посредством наименее сложных комбинаций. Но после Декарта они осознали, что для построения науки наиболее философским образом необходимо применить ее ко всем мыслимым фигурам. Эта абстрактная геометрия будет тогда неизбежно включать в качестве частных случаев все различные реальные фигуры, которые может представить внешний мир. Таким образом, фундаментальным принципом в подлинно рациональной геометрии является рассмотрение, насколько это возможно, всех фигур, которые могут быть строго осмыслены.

Самого поверхностного изучения достаточно, чтобы убедить нас в том, что эти фигуры представляют собой бесконечное разнообразие.

Бесконечность линий. Что касается кривых линий, рассматривая их как порожденные движением точки, подчиняющимся определенному закону, ясно, что мы будем иметь, в общем, столько же различных кривых, сколько мы можем вообразить различных законов для этого движения, которые могут быть определены бесконечностью различных условий; хотя иногда случайно может случиться, что новые способы порождения дают кривые, которые уже были получены. Так, среди плоских кривых, если точка движется так, чтобы оставаться постоянно на одном и том же расстоянии от фиксированной точки, она породит круг; если постоянной остается сумма или разность ее расстояний от двух фиксированных точек, описываемая кривая будет эллипсом или гиперболой; если их произведение, мы получим совершенно иную кривую; если точка удаляется одинаково от фиксированной точки и от фиксированной прямой, она опишет параболу; если она вращается по кругу в то же время, когда этот круг катится вдоль прямой линии, мы получим циклоиду; если она движется вдоль прямой линии, в то время как эта линия, закрепленная одним из своих концов, вращается каким угодно образом, результатом будут то, что в общих чертах называют спиралями, которые сами по себе очевидно представляют столько же совершенно различных кривых, сколько мы можем предположить различных отношений между этими двумя движениями поступательного и вращательного и т. д. Каждая из этих различных кривых может затем дать новые, благодаря различным общим конструкциям, которые придумали геометры и которые порождают эвольвенты, эпициклоиды, каустики и т. д. Наконец, существует еще большее разнообразие среди кривых двоякой кривизны.

Бесконечность поверхностей. Что касается поверхностей, то фигуры здесь неизбежно еще более различны, если рассматривать их как порожденные движением линий. Действительно, фигура может варьироваться не только при рассмотрении, как в случае с кривыми, различных бесконечно многочисленных законов, которым может быть подчинено движение производящей линии, но также и при допущении, что сама эта линия может менять свою природу; обстоятельство, не имеющее аналогов в кривых, поскольку точки, которые их описывают, не могут иметь никакой отличной фигуры. Таким образом, два класса весьма различных условий могут вызывать изменение фигур поверхностей, в то время как для линий существует только одно. Бесполезно приводить примеры этого двояко бесконечного множества поверхностей. Достаточно было бы рассмотреть крайнее разнообразие одной лишь группы поверхностей, которые могут быть порождены прямой линией и которые включают в себя все семейство цилиндрических поверхностей, конических поверхностей, наиболее общий класс развертывающихся поверхностей и т. д.

Бесконечность объемов. Что касается объемов, то здесь нет повода для какого-либо особого рассмотрения, поскольку они отличаются друг от друга только поверхностями, которые их ограничивают.

Чтобы завершить этот очерк, следует добавить, что сами поверхности предоставляют новое общее средство для осмысления новых кривых, поскольку любая кривая может рассматриваться как результат пересечения двух поверхностей. Именно таким образом, в самом деле, были получены первые линии, которые мы можем считать действительно изобретенными геометрами, поскольку природа непосредственно дала прямую линию и круг. Мы знаем, что эллипс, парабола и гипербола — единственные кривые, полностью изученные древними, — в своем происхождении мыслились только как результат пересечения конуса с круговым основанием плоскостью в различных положениях. Очевидно, что при комбинированном использовании этих различных общих средств для образования линий и поверхностей мы могли бы получить строго бесконечный ряд различных форм, исходя лишь из очень небольшого числа фигур, непосредственно предоставленных наблюдением.

Аналитическое изобретение кривых и т. д. Наконец, все различные прямые средства для изобретения фигур едва ли имеют какое-либо дальнейшее значение, поскольку рациональная геометрия приняла свой окончательный характер в руках Декарта. Действительно, как мы увидим более полно в главе III, изобретение фигур теперь сведено к изобретению уравнений, так что нет ничего проще, чем вообразить новые линии и новые поверхности, изменяя по желанию функции, введенные в уравнения. Эта простая абстрактная процедура в этом отношении бесконечно более плодотворна, чем все прямые ресурсы геометрии, развитые самым мощным воображением, которое посвятило бы себя исключительно этому порядку концепций. Она также объясняет самым общим и самым поразительным образом неизбежно бесконечное разнообразие геометрических форм, которое, таким образом, соответствует разнообразию аналитических функций. Наконец, она показывает не менее ясно, что различные формы поверхностей должны быть еще более многочисленными, чем формы линий, поскольку линии представляются аналитически уравнениями с двумя переменными, в то время как поверхности порождают уравнения с тремя переменными, которые неизбежно представляют большее разнообразие.

Предыдущих соображений достаточно, чтобы ясно показать строго бесконечную протяженность каждого из трех общих разделов геометрии.

РАСШИРЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Чтобы завершить формирование точного и достаточно расширенного представления о природе геометрических исследований, теперь необходимо вернуться к данному выше общему определению, чтобы представить его под новой точкой зрения, без которой полная наука была бы осмыслена лишь очень несовершенно.

Когда мы назначаем объектом геометрии измерение всех видов линий, поверхностей и объемов, то есть, как было объяснено, сведение всех геометрических сравнений к простым сравнениям прямых линий, мы, очевидно, имеем преимущество указания общей цели, очень точной и очень легкой для понимания. Но если мы отбросим всякое определение и исследуем фактический состав науки геометрии, мы поначалу будем склонны рассматривать предыдущее определение как слишком узкое; ибо несомненно, что большая часть исследований, составляющих нашу нынешнюю геометрию, вовсе не кажется имеющей своей целью измерение протяженности. Несмотря на это фундаментальное возражение, я буду настаивать на сохранении этого определения; ибо, в самом деле, если вместо того, чтобы ограничиваться рассмотрением различных вопросов геометрии изолированно, мы попытаемся охватить ведущие вопросы, по сравнению с которыми все остальные, какими бы важными они ни были, должны рассматриваться лишь как второстепенные, мы в конечном итоге признаем, что измерение линий, поверхностей и объемов является неизменным объектом, иногда прямым, хотя чаще всего косвенным, всех геометрических трудов.

Поскольку это общее положение является фундаментальным, так как только оно может придать нашему определению всю его ценность, необходимо углубиться в некоторые разработки по этому предмету.

СВОЙСТВА ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Когда мы внимательно изучаем геометрические исследования, которые, по-видимому, не относятся к измерению протяженности, мы обнаруживаем, что они состоят по существу в изучении различных свойств каждой линии или каждой поверхности; то есть в знании различных способов порождения или, по крайней мере, определения, присущих каждой рассматриваемой фигуре. Теперь мы можем легко установить самым общим образом необходимую связь такого изучения с вопросом измерения, для которого наиболее полное знание свойств каждой формы является обязательным предварительным условием. Это подтверждается двумя соображениями, одинаково фундаментальными, хотя и совершенно различными по своей природе.

Необходимость их изучения: 1. Найти наиболее подходящее свойство. Первое, чисто научное, состоит в замечании, что если бы мы не знали никакого другого характеристического свойства каждой линии или поверхности, кроме того, согласно которому геометры впервые осмыслили ее, в большинстве случаев было бы невозможно добиться решения вопросов, относящихся к ее измерению. В самом деле, легко понять, что различные определения, которые допускает каждая фигура, не все одинаково подходят для такой цели и что они даже представляют собой наиболее полное противопоставление в этом отношении. Кроме того, поскольку первоначальное определение каждой фигуры, очевидно, не было выбрано с учетом этого условия, ясно, что мы не должны ожидать, в общем, найти его наиболее подходящим; откуда вытекает необходимость открытия других, то есть изучения, насколько это возможно, свойств предложенной фигуры. Предположим, например, что круг определяется как «кривая, которая при том же контуре содержит наибольшую площадь». Это, безусловно, очень характерное свойство, но мы, очевидно, столкнулись бы с непреодолимыми трудностями, пытаясь вывести из такой отправной точки решение фундаментальных вопросов, относящихся к спрямлению или квадратуре этой кривой. Заранее ясно, что свойство иметь все свои точки на одинаковом расстоянии от фиксированной точки должно, очевидно, быть гораздо лучше приспособлено к исследованиям такого рода, даже если оно не является в точности наиболее подходящим. Точно так же смог бы Архимед когда-либо открыть квадратуру параболы, если бы он не знал никакого другого свойства этой кривой, кроме того, что она была сечением конуса с круговым основанием плоскостью, параллельной его образующей? Чисто умозрительные труды предшествующих геометров по преобразованию этого первого определения были, очевидно, необходимыми предварительными условиями для прямого решения такого вопроса. То же самое верно, в еще большей степени, в отношении поверхностей. Чтобы составить верное представление об этом, нам нужно лишь сравнить, в вопросе кубатуры или квадратуры, обычное определение сферы с тем, безусловно, не менее характерным, которое состояло бы в рассмотрении сферического тела как того, которое при той же площади содержит наибольший объем.

Не нужно больше примеров, чтобы показать необходимость знания, насколько это возможно, всех свойств каждой линии или каждой поверхности, чтобы облегчить исследование спрямлений, квадратур и кубатур, которые составляют конечную цель геометрии. Мы можем даже сказать, что основная трудность вопросов такого рода состоит в использовании в каждом случае того свойства, которое наилучшим образом приспособлено к природе предложенной задачи. Таким образом, продолжая указывать для большей точности измерение протяженности как общее назначение геометрии, это первое соображение, которое проникает в самую суть предмета, ясно показывает необходимость включения в него изучения, насколько это возможно тщательного, различных способов порождения или определений, принадлежащих одной и той же форме.

2. Перейти от конкретного к абстрактному. Второе соображение, по меньшей мере равной важности, состоит в том, что такое изучение является обязательным для рациональной организации отношения абстрактного к конкретному в геометрии.

Поскольку наука геометрия должна рассматривать все мыслимые фигуры, допускающие точное определение, из этого неизбежно следует, как мы заметили, что вопросы, относящиеся к любым фигурам, представленным природой, всегда неявно включены в эту абстрактную геометрию, предполагаемую достигшей своего совершенства. Но когда необходимо фактически перейти к конкретной геометрии, мы постоянно сталкиваемся с фундаментальной трудностью: знать, к какому из различных абстрактных типов мы должны отнести, с достаточным приближением, реальные линии или поверхности, которые мы должны изучать. Именно для установления такого отношения особенно необходимо знать как можно большее число свойств каждой фигуры, рассматриваемой в геометрии.

В самом деле, если бы мы всегда ограничивались единственным примитивным определением линии или поверхности, предполагая даже, что мы могли бы тогда измерить ее (что, согласно первому порядку соображений, было бы вообще невозможно), это знание оставалось бы почти неизбежно бесплодным в применении, поскольку мы обычно не знали бы, как распознать эту фигуру в природе, когда она там представлялась; чтобы обеспечить это, необходимо было бы, чтобы единственная характеристика, согласно которой геометры осмыслили ее, была именно той, которую внешние обстоятельства позволили бы проверить: совпадение, которое было бы чисто случайным и на которое мы не могли бы рассчитывать, хотя оно иногда и могло бы иметь место. Таким образом, только умножая, насколько возможно, характеристические свойства каждой абстрактной фигуры, мы можем быть заранее уверены в том, что распознаем ее в конкретном состоянии и, таким образом, извлечем пользу из всех наших рациональных трудов, проверяя в каждом случае определение, которое поддается непосредственному доказательству. Это определение почти всегда является единственным в данных обстоятельствах и, с другой стороны, варьируется для одной и той же фигуры при различных обстоятельствах; двойная причина для его предварительного определения.

Иллюстрация: Орбиты планет. Геометрия небес предоставляет нам очень памятный пример в этом деле, хорошо подходящий для того, чтобы показать общую необходимость такого изучения. Мы знаем, что эллипс был открыт Кеплером как кривая, которую планеты описывают вокруг Солнца, а спутники — вокруг своих планет. Могло ли бы это фундаментальное открытие, которое воссоздало астрономию, когда-либо стать возможным, если бы геометры всегда ограничивались осмыслением эллипса только как косого сечения кругового конуса плоскостью? Никакое такое определение, очевидно, не допускало бы такой проверки. Наиболее общее свойство эллипса — то, что сумма расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек является постоянной величиной, — несомненно, гораздо более восприимчиво по своей природе к тому, чтобы вызвать распознавание кривой в этом случае, но все же не является непосредственно подходящим. Единственная характеристика, которая здесь может быть немедленно проверена, — это та, которая выводится из отношения, существующего в эллипсе между длиной фокусных расстояний и их направлением; единственное отношение, которое допускает астрономическую интерпретацию, выражая закон, связывающий расстояние от планеты до Солнца со временем, прошедшим с начала ее обращения. Таким образом, было необходимо, чтобы чисто умозрительные труды греческих геометров о свойствах конических сечений предварительно представили их порождение под множеством различных точек зрения, прежде чем Кеплер смог таким образом перейти от абстрактного к конкретному, выбрав среди всех этих различных характеристик ту, которая могла быть наиболее легко доказана для планетных орбит.

Иллюстрация: Фигура Земли. Другой пример того же порядка, но относящийся к поверхностям, встречается при рассмотрении важного вопроса о фигуре Земли. Если бы мы никогда не знали никакого другого свойства сферы, кроме ее примитивного характера иметь все свои точки на одинаковом расстоянии от внутренней точки, как мы смогли бы когда-либо обнаружить, что поверхность Земли сферическая? Для этого необходимо было предварительно вывести из этого определения сферы некоторые свойства, способные быть проверенными наблюдениями, сделанными только на поверхности, такие как постоянное отношение, существующее между длиной пути, пройденного в направлении любого меридиана сферы по направлению к полюсу, и угловой высотой этого полюса над горизонтом в каждой точке. Другой пример, но включающий гораздо более длинный ряд предварительных спекуляций, — это последующее доказательство того, что Земля не является строго сферической, но что ее форма — это эллипсоид вращения.

После таких примеров было бы излишне приводить какие-либо другие, которые любой другой может легко умножить. Все они доказывают, что без очень обширного знания различных свойств каждой фигуры отношение абстрактного к конкретному в геометрии было бы чисто случайным и что наука, следовательно, лишилась бы одного из своих самых существенных оснований.

Таковы, следовательно, два общих соображения, которые полностью демонстрируют необходимость введения в геометрию большого числа исследований, не имеющих измерение протяженности своей прямой целью; в то время как мы продолжаем, однако, осмысливать такое измерение как конечное назначение всей геометрической науки. Таким образом, мы можем сохранить философские преимущества ясности и точности этого определения и все же включить в него, очень логичным, хотя и косвенным образом, все известные геометрические исследования, рассматривая те из них, которые не кажутся относящимися к измерению протяженности, как предназначенные либо для подготовки к решению конечных вопросов, либо для того, чтобы сделать возможным применение полученных решений.

Признав таким образом в качестве общего принципа тесную и необходимую связь изучения свойств линий и поверхностей с теми исследованиями, которые составляют конечную цель геометрии, очевидно, что геометры в ходе своих трудов ни в коем случае не должны ограничивать себя тем, чтобы всегда держать такую связь в поле зрения. Зная раз и навсегда, как важно варьировать как можно больше способ осмысления каждой фигуры, они должны продолжать это изучение, не задумываясь о том, какая немедленная польза может быть от того или иного особого свойства для спрямлений, квадратур и кубатур. Они бесполезно сковывали бы свои исследования, придавая пустяковое значение постоянному установлению этой координации.

Это общее изложение общей цели геометрии тем более необходимо, что по самой природе предмета это изучение различных свойств каждой линии и каждой поверхности неизбежно составляет подавляющую часть всего корпуса геометрических исследований. Действительно, вопросы, непосредственно относящиеся к спрямлениям, квадратурам и кубатурам, очевидно, сами по себе очень немногочисленны для каждой рассматриваемой фигуры. С другой стороны, изучение свойств той же фигуры представляет неограниченное поле для деятельности человеческого разума, в котором он всегда может надеяться сделать новые открытия. Так, хотя геометры занимались в течение двадцати столетий, несомненно, с большей или меньшей активностью, но без какого-либо реального перерыва, изучением конических сечений, они далеки от того, чтобы считать этот столь простой предмет исчерпанным; и несомненно, в самом деле, что, продолжая посвящать себя ему, они не преминули бы найти еще неизвестные свойства этих различных кривых. Если труды такого рода значительно замедлились за последнее столетие, то не потому, что они завершены, а только, как будет объяснено далее, потому, что философская революция в геометрии, осуществленная Декартом, значительно уменьшила важность таких исследований.

Из предыдущих соображений следует, что поле геометрии является не только неизбежно бесконечным из-за разнообразия фигур, подлежащих рассмотрению, но также и в силу разнообразия точек зрения, под которыми может рассматриваться одна и та же фигура. Эта последняя концепция, в самом деле, является той, которая дает самое широкое и самое полное представление обо всем корпусе геометрических исследований. Мы видим, что исследования такого рода состоят по существу, для каждой линии или для каждой поверхности, в связывании всех геометрических явлений, которые она может представить, с единственным фундаментальным явлением, рассматриваемым как примитивное определение.

ДВА ОБЩИХ МЕТОДА ГЕОМЕТРИИ.

Объяснив теперь общим и в то же время точным образом конечную цель геометрии и показав, как наука, определенная таким образом, охватывает очень обширный класс исследований, которые поначалу не казались обязательно принадлежащими к ней, остается рассмотреть метод, которому следует следовать для формирования этой науки. Эта дискуссия необходима для завершения этого первого очерка философского характера геометрии. Я ограничусь здесь указанием наиболее общего соображения по этому вопросу, развивая и суммируя эту важную фундаментальную идею в следующих главах.

Геометрические вопросы могут рассматриваться согласно двум методам, настолько различным, что из них возникают два рода геометрии, так сказать, философский характер которых, как мне кажется, еще не был должным образом понят. Выражения синтетическая геометрия и аналитическая геометрия, обычно используемые для их обозначения, дают о них очень ложное представление. Я бы гораздо больше предпочел чисто исторические наименования геометрия древних и геометрия новых, которые имеют, по крайней мере, то преимущество, что не позволяют неправильно понять их истинный характер. Но я предлагаю впредь использовать регулярные выражения специальная геометрия и общая геометрия, которые кажутся мне подходящими для того, чтобы с точностью охарактеризовать подлинную природу этих двух методов.

Их фундаментальное различие. Фундаментальное различие между тем, как мы осмысливаем геометрию со времен Декарта, и тем, как геометры древности рассматривали геометрические вопросы, заключается не в использовании исчисления (или алгебры), как принято считать. С одной стороны, несомненно, что использование исчисления не было полностью неизвестно древним геометрам, поскольку они имели обыкновение делать постоянные и очень обширные применения теории пропорций, которая была для них, как средство дедукции, своего рода реальным, хотя и очень несовершенным и, особенно, чрезвычайно ограниченным эквивалентом нашей нынешней алгебры. Исчисление может даже использоваться гораздо более полным образом, чем они его использовали, чтобы получить определенные геометрические решения, которые все еще будут сохранять весь существенный характер древней геометрии; это очень часто случается в отношении тех задач геометрии двух или трех измерений, которые обычно обозначаются под названием определенных. С другой стороны, сколь бы важным ни было влияние исчисления в нашей современной геометрии, различные решения, полученные без алгебры, могут иногда проявлять специфический характер, который отличает ее от древней геометрии, хотя анализ, как правило, необходим. Я приведу в качестве примера метод Роберваля для касательных, природа которого по существу современна и который, однако, ведет в определенных случаях к полным решениям без какой-либо помощи исчисления. Таким образом, не инструмент дедукции является главным различием между двумя путями, которые человеческий разум может избрать в геометрии.

Реальное фундаментальное различие, до сих пор несовершенно понятое, кажется мне состоящим в самой природе рассматриваемых вопросов. По правде говоря, геометрия, рассматриваемая как целое и предполагаемая достигшей полного совершенства, должна, с одной стороны, охватывать все мыслимые фигуры, а с другой — открывать все свойства каждой фигуры. Она допускает, исходя из этого двойного соображения, рассмотрение согласно двум существенно различным планам: либо 1°, группируя вместе все вопросы, какими бы разными они ни были, которые относятся к одной и той же фигуре, и изолируя те, что относятся к различным телам, какая бы аналогия между ними ни существовала; либо 2°, напротив, объединяя под одной точкой зрения все подобные исследования, к каким бы различным фигурам они ни относились, и разделяя вопросы, относящиеся к действительно различным свойствам одного и того же тела. Одним словом, весь корпус геометрии может быть существенно организован либо со ссылкой на изучаемые тела, либо на рассматриваемые явления. Первый план, который является наиболее естественным, был планом древних; второй, бесконечно более рациональный, — это план новых со времен Декарта.

Геометрия древних. Действительно, главная характеристика древней геометрии состоит в том, что они изучали одну за другой различные линии и различные поверхности, не переходя к исследованию новой фигуры, пока не считали, что исчерпали все интересное в уже известных фигурах. При таком способе действия, когда они приступали к изучению новой кривой, весь труд, затраченный на предыдущие, не мог предложить непосредственно никакой существенной помощи, иначе как через геометрическую практику, к которой он приучил ум. Каким бы ни было реальное сходство вопросов, предложенных для двух различных фигур, полное знание, приобретенное для одной, никак не могло избавить от необходимости начинать все исследование заново для другой. Таким образом, прогресс ума никогда не был обеспечен; так что они не могли быть уверены заранее в получении какого-либо решения, каким бы аналогичным ни был предложенный вопрос вопросам, которые уже были решены. Так, например, определение касательных к трем коническим сечениям не давало никакой рациональной помощи для проведения касательной к любой другой новой кривой, такой как конхоида, циссоида и т. д. Одним словом, геометрия древних была, согласно предложенному выше выражению, по существу специальной.

Геометрия новых. В системе новых геометрия, напротив, является в высшей степени общей, то есть относящейся к любым фигурам вообще. Легко понять, во-первых, что все геометрические выражения, представляющие какой-либо интерес, могут быть предложены со ссылкой на все мыслимые фигуры. Это видно непосредственно в фундаментальных задачах — спрямлениях, квадратурах и кубатурах, — которые составляют, как было показано, конечную цель геометрии. Но это замечание не менее неоспоримо даже для исследований, которые относятся к различным свойствам линий и поверхностей и из которых наиболее существенные, такие как вопрос о касательных или касательных плоскостях, теория кривизн и т. д., очевидно, общи для всех фигур вообще. Те немногие исследования, которые действительно присущи конкретным фигурам, имеют лишь чрезвычайно второстепенное значение. При этом современная геометрия состоит по существу в абстрагировании, чтобы рассматривать ее саму по себе, совершенно общим образом, каждого вопроса, относящегося к одному и тому же геометрическому явлению, в каких бы телах он ни рассматривался. Применение универсальных теорий, построенных таким образом, к специальному определению явления, которое рассматривается в каждом конкретном теле, теперь рассматривается лишь как подчиненный труд, выполняемый согласно неизменным правилам, успех которого обеспечен заранее. Этот труд, одним словом, того же характера, что и числовой расчет аналитической формулы. В нем не может быть другой заслуги, кроме представления в каждом случае решения, которое неизбежно предоставляется общим методом, со всей простотой и элегантностью, которые может допустить рассматриваемая линия или поверхность. Но реальное значение придается только осмыслению и полному решению нового вопроса, относящегося к любой фигуре вообще. Только труды такого рода рассматриваются как производящие какой-либо реальный прогресс в науке. Внимание геометров, таким образом освобожденное от исследования особенностей различных фигур и полностью направленное на общие вопросы, смогло благодаря этому подняться до рассмотрения новых геометрических концепций, которые, будучи применены к кривым, изученным древними, привели к открытию важных свойств, которые они ранее даже не подозревали. Такова геометрия со времени радикальной революции, произведенной Декартом в общей системе науки.

Превосходство современной геометрии. Одно лишь указание фундаментального характера каждой из двух геометрий, несомненно, достаточно, чтобы сделать очевидным огромное необходимое превосходство современной геометрии. Мы можем даже сказать, что до великой концепции Декарта рациональная геометрия не была по-настоящему конституирована на окончательных основаниях, ни в своих абстрактных, ни в своих конкретных отношениях. В самом деле, что касается науки, рассматриваемой умозрительно, ясно, что при продолжении бесконечного следования курсом древних, как это делали новые до Декарта и даже некоторое время спустя, добавляя некоторые новые кривые к небольшому числу тех, которые они изучили, прогресс, достигнутый таким образом, каким бы быстрым он ни был, все равно оказался бы после долгого ряда веков очень незначительным по сравнению с общей системой геометрии, учитывая бесконечное разнообразие форм, которые все еще оставались бы неизученными. Напротив, при каждом вопросе, решенном согласно методу новых, число геометрических задач, подлежащих решению, уменьшается раз и навсегда на столько же в отношении всех возможных тел. Другое соображение состоит в том, что из их полного отсутствия общих методов следовало, что древние геометры во всех своих исследованиях были полностью предоставлены самим себе, никогда не имея уверенности в получении, рано или поздно, какого-либо решения вообще. Хотя это несовершенство науки было в высшей степени подходящим для того, чтобы вызвать всю их восхитительную проницательность, оно неизбежно делало их прогресс чрезвычайно медленным; мы можем составить некоторое представление об этом по значительному времени, которое они затратили на изучение конических сечений. Современная геометрия, делая прогресс нашего ума уверенным, позволяет нам, напротив, максимально использовать силы нашего интеллекта, которые древние часто были вынуждены тратить на очень неважные вопросы.

Не менее важное различие между двумя системами проявляется, когда мы приходим к рассмотрению геометрии с конкретной точки зрения. Действительно, мы уже заметили, что отношение абстрактного к конкретному в геометрии может быть основано на рациональных основаниях только в той мере, в какой исследования направлены непосредственно на все мыслимые фигуры. При изучении линий, только одну за другой, каким бы ни было число, всегда неизбежно очень малое, тех, которые мы рассмотрели, применение таких теорий к фигурам, реально существующим в природе, никогда не будет иметь иного, кроме как по существу случайного характера, поскольку нет ничего, что гарантировало бы нам, что эти фигуры могут быть действительно подведены под абстрактные типы, рассматриваемые геометрами.

Так, например, в счастливом отношении, установленном между спекуляциями греческих геометров о конических сечениях и определением истинных планетных орбит, безусловно, есть нечто случайное. При продолжении геометрических исследований по тому же плану не было веских причин надеяться на подобные совпадения; и было бы возможно, в этих специальных исследованиях, что исследования геометров были бы направлены на абстрактные фигуры, совершенно неспособные к какому-либо применению, в то время как они пренебрегали другими, возможно, восприимчивыми к важному и немедленному применению. Ясно, по крайней мере, что ничто положительно не гарантировало необходимую применимость геометрических спекуляций. Совсем другое дело в современной геометрии. Из того единственного обстоятельства, что в ней мы действуем посредством общих вопросов, относящихся к любым фигурам вообще, мы заранее имеем очевидную уверенность в том, что фигуры, реально существующие во внешнем мире, ни в коем случае не могли бы ускользнуть от соответствующей теории, если геометрическое явление, которое она рассматривает, проявляется в них.

Из этих различных соображений мы видим, что древняя система геометрии носит по существу характер младенчества науки, которая не начала становиться полностью рациональной до философской революции, произведенной Декартом. Но очевидно, с другой стороны, что геометрия не могла быть поначалу осмыслена иначе, как в этой специальной манере. Общая геометрия не была бы возможна, и ее необходимость даже не могла бы быть ощущена, если бы долгий ряд специальных трудов над наиболее простыми фигурами не предоставил предварительно оснований для концепции Декарта и не сделал бы очевидной невозможность бесконечного упорствования в примитивной геометрической философии.

Древнее — основа современного. Из этого последнего соображения мы должны сделать вывод, что, хотя геометрию, которую я назвал общей, теперь следует рассматривать как единственную истинную догматическую геометрию и ту, на которой мы будем главным образом ограничиваться, поскольку другая не имеет больше почти никакого интереса, кроме исторического, тем не менее невозможно полностью обойтись без специальной геометрии в рациональном изложении науки. Нам, несомненно, не нужно заимствовать непосредственно из древней геометрии все результаты, которые она предоставила; но по самой природе предмета неизбежно невозможно полностью обойтись без древнего метода, который всегда будет служить предварительной основой науки, догматически, так же как и исторически. Причину этого легко понять. В самом деле, общая геометрия, будучи по существу основанной, как мы вскоре установим, на использовании исчисления при преобразовании геометрических соображений в аналитические, такой способ действия не мог овладеть предметом немедленно в его истоках. Мы знаем, что применение математического анализа по своей природе никогда не может начать какую-либо науку вообще, поскольку очевидно, что он не может быть использован до тех пор, пока наука не была уже достаточно культивирована, чтобы установить в отношении рассматриваемых явлений некоторые уравнения, которые могут служить отправными точками для аналитических операций. Эти фундаментальные уравнения, будучи однажды обнаруженными, позволят нам вывести из них множество следствий, которые ранее было бы невозможно даже заподозрить; он усовершенствует науку в огромной степени, как в отношении общности ее концепций, так и в отношении полной координации, установленной между ними. Но один лишь математический анализ никогда не мог бы быть достаточным для формирования оснований какой-либо естественной науки, даже для того, чтобы продемонстрировать их заново, когда они были однажды установлены. Ничто не может заменить прямое изучение предмета, доведенное до точки открытия точных отношений.

Мы таким образом видим, что геометрия древних всегда будет иметь по своей природе первичную часть, абсолютно необходимую и более или менее обширную, в полной системе геометрического знания. Она формирует строго обязательное введение в общую геометрию. Но именно этим она должна ограничиваться в полностью догматическом изложении. Я буду рассматривать, следовательно, непосредственно в следующей главе эту специальную или предварительную геометрию, ограниченную в точности ее необходимыми пределами, чтобы впредь заниматься только философским исследованием общей или окончательной геометрии, единственной, которая является подлинно рациональной и которая в настоящее время по существу составляет науку.

ГЛАВА II.

ДРЕВНЯЯ ИЛИ СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Поскольку геометрический метод древних неизбежно составляет предварительный отдел в догматической системе геометрии, предназначенный для предоставления общей геометрии обязательных оснований, теперь уместно начать с определения того, в чем строго состоит эта предварительная функция специальной геометрии, таким образом сведенной к самым узким возможным пределам.

ЕЕ НАДЛЕЖАЩАЯ ПРОТЯЖЕННОСТЬ.

Линии; многоугольники; многогранники. Рассматривая ее под этой точкой зрения, легко признать, что мы могли бы ограничить ее изучением только прямой линии в том, что касается геометрии линий; квадратурой прямолинейных плоских областей; и, наконец, кубатурой тел, ограниченных плоскими гранями. Элементарные предложения, относящиеся к этим трем фундаментальным вопросам, формируют, в самом деле, необходимую отправную точку всех геометрических исследований; они одни не могут быть получены иначе, как путем прямого изучения предмета; в то время как, напротив, полная теория всех других фигур, даже теория круга и поверхностей и объемов, которые с ним связаны, может в наши дни быть полностью включена в область общей или аналитической геометрии; эти примитивные элементы сразу предоставляют уравнения, которые достаточны для того, чтобы позволить применение исчисления к геометрическим вопросам, что было бы невозможно без этого предварительного условия.

Из этого соображения следует, что в обычной практике мы придаем элементарной геометрии больше протяженности, чем было бы строго необходимо для нее; поскольку, помимо прямой линии, многоугольников и многогранников, мы также включаем в нее круг и «круглые» тела; изучение которых могло бы, однако, быть столь же чисто аналитическим, как, например, изучение конических сечений. Нерефлексивное почитание древности способствует поддержанию этого дефекта в методе; но лучшая причина, которая может быть приведена для этого, — это серьезное неудобство для обычного обучения, которое заключалось бы в откладывании на столь отдаленную эпоху математического образования решения нескольких существенных вопросов, которые восприимчивы к прямому и постоянному применению для большого числа важных целей. В самом деле, чтобы действовать наиболее рациональным образом, мы должны были бы использовать интегральное исчисление при получении интересных результатов, относящихся к длине или площади круга, или к квадратуре сферы и т. д., которые были определены древними из чрезвычайно простых соображений. Это неудобство имело бы мало значения в отношении лиц, предназначенных для изучения всей математической науки, и преимущество действия в совершенно логическом порядке имело бы гораздо большую сравнительную ценность. Но поскольку обратный случай является более частым, теории, столь существенные, неизбежно были сохранены в элементарной геометрии. Возможно, конические сечения, циклоида и т. д. могли бы быть выгодно добавлены в таких случаях.

Не подлежит дальнейшему ограничению. Хотя эта предварительная часть геометрии, которая не может быть основана на применении исчисления, сведена по своей природе к очень ограниченному ряду фундаментальных исследований, относящихся к прямой линии, многоугольным областям и многогранникам, несомненно, с другой стороны, что мы не можем ограничить ее больше; хотя, по истинному злоупотреблению духом анализа, недавно была предпринята попытка представить установление главных теорем элементарной геометрии под алгебраической точкой зрения. Так, некоторые претендовали на то, чтобы продемонстрировать посредством простых абстрактных соображений математического анализа постоянное отношение, которое существует между тремя углами прямолинейного треугольника, фундаментальное предложение теории подобных треугольников, теорию параллелепипедов и т. д.; одним словом, именно те геометрические предложения, которые не могут быть получены иначе, как путем прямого изучения предмета, без того, чтобы исчисление было способно иметь в этом какую-либо часть. Такие аберрации являются нерефлексивными преувеличениями той естественной и философской тенденции, которая ведет нас к расширению все дальше и дальше влияния анализа в математических исследованиях. В механике мнимые аналитические доказательства параллелограмма сил имеют аналогичный характер.

Порочность такого способа действия вытекает из принципов, представленных ранее. Мы уже, в самом деле, признали, что, поскольку исчисление не является и не может быть ничем иным, кроме как средством дедукции, это указывало бы на радикально ложную идею о нем, если бы мы пожелали использовать его при установлении элементарных оснований какой-либо науки вообще; ибо на чем покоились бы аналитические рассуждения в такой операции? Труд такого рода, очень далекий от реального совершенствования философского характера науки, представлял бы собой возврат к метафизическому веку, представляя реальные факты как простые логические абстракции.

Когда мы рассматриваем сами по себе эти мнимые аналитические доказательства фундаментальных предложений элементарной геометрии, мы легко проверяем их необходимую бессмысленность. Все они основаны на порочном способе осмысления принципа однородности, истинная общая идея которого была объяснена во второй главе предыдущей книги. Эти доказательства предполагают, что этот принцип не позволяет нам допустить сосуществование в одном и том же уравнении чисел, полученных посредством различных конкретных сравнений, что очевидно ложно и противоречит постоянной практике геометров. Таким образом, легко признать, что, используя закон однородности в этой произвольной и нелегитимной интерпретации, мы могли бы преуспеть в «доказательстве» с такой же кажущейся строгостью предложений, абсурдность которых очевидна с первого взгляда. Внимательно изучая, например, процедуру, с помощью которой была предпринята попытка доказать аналитически, что сумма трех углов любого прямолинейного треугольника постоянно равна двум прямым углам, мы видим, что она основана на этом предварительном принципе: если два треугольника имеют два своих угла соответственно равными, третий угол одного будет неизбежно равен третьему углу другого. Этот первый пункт будучи принят, предложенное отношение немедленно выводится из него очень точным и простым образом. Теперь аналитическое соображение, посредством которого была предпринята попытка установить это предыдущее предложение, таково, что, если бы оно могло быть верным, мы могли бы строго вывести из него, воспроизводя его обратно, этот явный абсурд, что двух сторон треугольника достаточно, без какого-либо угла, для полного определения третьей стороны. Мы можем сделать аналогичные замечания по всем доказательствам такого рода, софизмы которых будут таким образом проверены совершенно очевидным образом.

Чем больше у нас оснований рассматривать здесь геометрию как в наши дни по существу аналитическую, тем более необходимо было остерегаться этого злоупотребляющего преувеличения математического анализа, согласно которому всякое геометрическое наблюдение было бы излишним, устанавливая на чистых алгебраических абстракциях самые основания этой естественной науки.

Попытки доказательств аксиом и т. д. Другой признак того, что геометры слишком упустили из виду характер естественной науки, который неизбежно присущ геометрии, проявляется в их тщетных попытках, так долго предпринимавшихся, доказать строго, не с помощью исчисления, а посредством определенных конструкций, несколько фундаментальных предложений элементарной геометрии. Что бы ни было предпринято, будет очевидно невозможно избежать иногда обращения к простому и прямому наблюдению в геометрии как средству установления различных результатов. В то время как в этой науке явления, которые рассматриваются, в силу их крайней простоты гораздо более тесно связаны друг с другом, чем те, что относятся к любой другой физической науке, некоторые все же должны быть найдены, которые не могут быть выведены и которые, напротив, служат отправными точками. Можно допустить, что величайшее логическое совершенство науки состоит в сведении их к наименьшему возможному числу, но было бы абсурдно претендовать на то, чтобы заставить их полностью исчезнуть. Я признаю, более того, что я нахожу меньше реальных неудобств в расширении, немного сверх того, что было бы строго необходимо, числа этих геометрических понятий, установленных таким образом прямым наблюдением, при условии, что они достаточно просты, чем в превращении их в предметы сложных и косвенных доказательств, даже когда эти доказательства могут быть логически безупречными.

Поскольку истинное догматическое назначение геометрии древних, сведенное к ее минимально необходимым разработкам, было охарактеризовано настолько точно, насколько это возможно, уместно кратко рассмотреть каждую из основных частей, из которых она должна состоять. Я полагаю, что здесь могу ограничиться рассмотрением первой и наиболее обширной из этих частей, объектом которой является изучение прямой линии; две другие секции, а именно квадратура многоугольников и кубатура многогранников, в силу своей ограниченности не могут дать повода для каких-либо философских соображений, отличных от тех, что были указаны в предыдущей главе относительно измерения площадей и объемов в целом.

ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ.

Конечный вопрос, который мы всегда имеем в виду при изучении прямой линии, состоит в определении посредством друг друга различных элементов любой прямолинейной фигуры; это позволяет нам всегда косвенно знать длину и положение прямой линии, в каких бы обстоятельствах она ни находилась. Эта фундаментальная задача допускает два общих решения, природа которых совершенно различна: одно графическое, другое алгебраическое. Первое, хотя и весьма несовершенное, должно рассматриваться в первую очередь, поскольку оно спонтанно выводится из прямого изучения предмета; второе, гораздо более совершенное в наиболее важных отношениях, может быть изучено только после него, так как оно основано на предварительном знании первого.

ГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.

Графическое решение состоит в произвольном построении предложенной фигуры либо с теми же размерами, либо, что чаще, с размерами, измененными в любом отношении. Первый способ следует лишь упомянуть как наиболее простой и тот, который первым приходит на ум, ибо он, очевидно, по своей природе почти полностью непригоден для применения. Второй, напротив, может быть применен весьма широко и полезно. Мы до сих пор продолжаем широко и постоянно использовать его не только для точного изображения форм тел и их относительного положения, но даже для фактического определения геометрических величин, когда нам не требуется высокая точность. Древние, вследствие несовершенства своих геометрических знаний, использовали эту процедуру гораздо более широко, поскольку долгое время она была единственной, которую они могли применять даже в самых важных точных определениях. Так, например, Аристарх Самосский оценивал относительное расстояние от Солнца и от Луны до Земли, производя измерения на треугольнике, построенном как можно точнее, чтобы он был подобен прямоугольному треугольнику, образованному тремя телами в тот момент, когда Луна находится в квадратуре, и когда, следовательно, наблюдения угла у Земли было бы достаточно для определения треугольника. Сам Архимед, хотя он первым ввел в геометрию расчетные определения, несколько раз использовал подобные средства. Формирование тригонометрии не привело к полному отказу от этого метода, хотя и значительно уменьшило его использование; греки и арабы продолжали применять его для множества исследований, в которых мы сейчас считаем использование исчисления незаменимым.

Это точное воспроизведение любой фигуры в другом масштабе не может представлять большой теоретической трудности, когда все части предложенной фигуры лежат в одной плоскости. Но если мы предположим, как это чаще всего бывает, что они расположены в разных плоскостях, то мы увидим, как возникает новый порядок геометрических соображений. Искусственная фигура, которая постоянно является плоской, в этом случае не может быть совершенно точным изображением реальной фигуры, поэтому необходимо предварительно с точностью зафиксировать способ представления, что порождает различные системы проекций.

Тогда остается определить, по каким законам геометрические явления соответствуют друг другу в двух фигурах. Это соображение порождает новую серию геометрических исследований, конечная цель которых состоит в том, чтобы обнаружить, как мы можем заменить пространственные конструкции плоскими. Древним приходилось решать несколько элементарных вопросов такого рода для различных случаев, в которых мы сейчас используем сферическую тригонометрию, главным образом для различных задач, относящихся к небесной сфере. Таков был объект их аналемм и других плоских фигур, которые долгое время заменяли исчисление. Мы видим из этого, что древние действительно знали элементы того, что мы сейчас называем начертательной геометрией, хотя они и не представляли ее в отчетливом и общем виде.

Я считаю уместным кратко указать здесь истинный философский характер этой «начертательной геометрии», хотя, будучи по существу наукой прикладной, она не должна быть включена в надлежащую область данной работы.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Все вопросы геометрии трех измерений неизбежно порождают при рассмотрении их графического решения общую трудность, которая им свойственна: замену различных пространственных конструкций, необходимых для их прямого решения и которые почти всегда невозможно выполнить, простыми эквивалентными плоскими конструкциями, с помощью которых мы в конечном итоге получаем те же результаты. Без этого необходимого преобразования любое решение такого рода было бы, очевидно, неполным и практически неприменимым, хотя теоретически пространственные конструкции обычно предпочтительнее как более прямые. Именно для того, чтобы предоставить общие средства для постоянного осуществления такого преобразования, была создана начертательная геометрия, сформированная в отчетливую и однородную систему прославленным Монжем. Он изобрел, во-первых, единообразный метод представления тел фигурами, начерченными на одной плоскости, с помощью проекций на две различные плоскости, обычно перпендикулярные друг другу, одна из которых, как предполагается, вращается вокруг их общего пересечения, чтобы совпасть с другой; в этой системе, или в любой другой, эквивалентной ей, достаточно рассматривать точки и линии как определяемые их проекциями, а поверхности — как определяемые проекциями их образующих линий. После этого Монж, анализируя с глубокой проницательностью различные частные работы такого рода, которые ранее выполнялись с помощью множества несогласованных процедур, а также рассматривая в общем и прямом виде, в чем должны состоять вопросы такого рода, обнаружил, что их всегда можно свести к очень небольшому числу неизменных абстрактных задач, которые могут быть решены отдельно, раз и навсегда, с помощью единообразных операций, относящихся по существу одни к контактам, а другие к пересечениям поверхностей. Поскольку были сформированы простые и полностью общие методы графического решения этих двух порядков задач, все геометрические вопросы, которые могут возникнуть в любом из различных искусств строительства — камнерезном деле, столярном деле, перспективе, гномонике, фортификации и т. д. — могут отныне рассматриваться как простые частные случаи единой теории, неизменное применение которой всегда будет обязательно приводить к точному решению, что может быть облегчено на практике путем использования особых обстоятельств каждого случая.

Это важное творение заслуживает в значительной степени привлечь внимание тех философов, которые рассматривают все, что человеческий род уже совершил, как первый шаг, и пока единственный действительно завершенный, к тому общему обновлению человеческих трудов, которое должно придать всем нашим искусствам характер точности и рациональности, столь необходимый для их будущего прогресса. Такая революция должна, по сути, неизбежно начаться с того класса промышленных работ, который существенно связан с той наукой, которая является самой простой, самой совершенной и самой древней. Она не может не распространиться в будущем, хотя и с меньшей легкостью, на все другие практические операции. Действительно, сам Монж, который понимал истинную философию искусств лучше, чем кто-либо другой, пытался наметить соответствующую систему для механических искусств.

Насколько бы существенной ни была концепция начертательной геометрии, очень важно не обманываться относительно ее истинного назначения, как это делали те, кто в пылу ее первого открытия видел в ней средство расширения общей и абстрактной области рациональной геометрии. Результат никоим образом не оправдал этих ошибочных надежд. И, действительно, разве не очевидно, что начертательная геометрия не имеет особой ценности, кроме как в качестве прикладной науки и как формирование истинной специальной теории геометрических искусств? Рассматриваемая в своих абстрактных отношениях, она не могла ввести никакого действительно отличного порядка геометрических спекуляций. Мы не должны забывать, что для того, чтобы геометрический вопрос попал в особую область начертательной геометрии, он должен был быть предварительно решен спекулятивной геометрией, решения которой затем, как мы видели, всегда нуждаются в подготовке к практике таким образом, чтобы заменить пространственные конструкции плоскими; подстановка, которая действительно составляет единственную характерную функцию начертательной геометрии.

Однако уместно заметить здесь, что в отношении интеллектуального образования изучение начертательной геометрии обладает важной философской особенностью, совершенно независимой от ее высокой промышленной полезности. Это преимущество, которое она столь выдающимся образом предлагает — приучая ум рассматривать очень сложные геометрические комбинации в пространстве и точно следовать их постоянному соответствию с фигурами, которые фактически начерчены, — тем самым упражняя до предела, самым верным и точным образом, ту важную способность человеческого ума, которая правильно называется «воображением» и которая состоит, в своем элементарном и позитивном понимании, в представлении себе, ясно и легко, обширной и изменчивой совокупности идеальных объектов, как если бы они действительно были перед нами.

Наконец, чтобы завершить указание общего характера начертательной геометрии путем определения ее логического характера, мы должны заметить, что, хотя она принадлежит к геометрии древних по характеру своих решений, с другой стороны, она приближается к геометрии современников по природе вопросов, которые ее составляют. Эти вопросы, по сути, в высшей степени примечательны той общностью, которая, как мы видели в предыдущей главе, составляет истинный фундаментальный характер современной геометрии; ибо используемые методы всегда задумываются как применимые к любым фигурам, причем особенность каждой имеет лишь чисто второстепенное влияние. Решения начертательной геометрии, таким образом, являются графическими, как и большинство решений древних, и в то же время общими, как решения современников.

После этого важного отступления мы продолжим философское исследование специальной геометрии, всегда рассматриваемой как сведенная к ее минимально возможному развитию, в качестве необходимого введения в общую геометрию. Мы уже достаточно рассмотрели графическое решение фундаментальной задачи, относящейся к прямой линии — то есть определение различных элементов любой прямолинейной фигуры посредством друг друга — и теперь должны рассмотреть особым образом алгебраическое решение.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.

Этот вид решения, на очевидном превосходстве которого здесь нет нужды останавливаться, принадлежит по самой природе вопроса к системе древней геометрии, хотя логический метод, который при этом используется, заставляет его обычно, но очень неправильно, отделять от нее. У нас есть таким образом возможность проверить в очень важном отношении то, что было установлено в общем виде в предыдущей главе: что современная геометрия существенно отличается от древней не использованием исчисления. Древние, по сути, являются истинными изобретателями нынешней тригонометрии, как сферической, так и прямолинейной; она была лишь гораздо менее совершенной в их руках из-за крайней неразвитости их алгебраических знаний. Таким образом, именно в этой главе, а не, как могло бы показаться на первый взгляд, в тех, которые мы впоследствии посвятим философскому исследованию общей геометрии, уместно рассмотреть характер этой важной предварительной теории, которая обычно, хотя и неправильно, включается в то, что называется аналитической геометрией, но которая на самом деле является лишь дополнением элементарной геометрии в собственном смысле слова.

Поскольку все прямолинейные фигуры могут быть разложены на треугольники, очевидно, достаточно знать, как определять различные элементы треугольника посредством друг друга, что сводит полигонометрию к простой тригонометрии.

ТРИГОНОМЕТРИЯ.

Трудность алгебраического решения такого вопроса, как вышеуказанный, состоит, по существу, в формировании между углами и сторонами треугольника трех различных уравнений; которые, будучи однажды полученными, очевидно, сведут все тригонометрические задачи к простым вопросам анализа.

Как вводить углы. Рассматривая установление этих уравнений в самом общем виде, мы немедленно встречаемся с фундаментальным различием в отношении способа введения углов в расчет, в зависимости от того, вводятся ли они непосредственно, сами по себе или через пропорциональные им дуги окружности, или косвенно, через хорды этих дуг, которые поэтому называются их тригонометрическими линиями. Из этих двух систем тригонометрии вторая по необходимости была единственной, принятой изначально, как единственно осуществимая, поскольку состояние геометрии позволяло довольно легко находить точные соотношения между сторонами треугольников и тригонометрическими линиями, представляющими углы, в то время как в ту эпоху было бы абсолютно невозможно установить уравнения между сторонами и самими углами.

Преимущества введения тригонометрических линий. В настоящее время, поскольку решение может быть получено любой из систем безразлично, этот мотив для предпочтения больше не существует; но геометры тем не менее продолжают по выбору следовать системе, первоначально принятой по необходимости; ибо та же причина, которая позволяла получать эти тригонометрические уравнения с гораздо большей легкостью, должна, подобным образом, как это еще легче понять априори, делать эти уравнения гораздо более простыми, поскольку они тогда существуют только между прямыми линиями, вместо того чтобы устанавливаться между прямыми линиями и дугами окружностей. Такое соображение имеет тем большее значение, что вопрос касается формул, которые являются в высшей степени элементарными и предназначены для постоянного использования во всех частях математической науки, а также во всех ее различных приложениях.

Однако можно возразить, что когда угол задан, он, в действительности, всегда задан сам по себе, а не через свои тригонометрические линии; и что когда он неизвестен, именно его угловая величина должна быть определена, а не величина какой-либо из его тригонометрических линий. Кажется, согласно этому, что такие линии являются лишь бесполезными посредниками между сторонами и углами, которые должны быть в конечном итоге исключены, и введение которых не кажется способным упростить предложенное исследование. Действительно важно объяснить с большей общностью и точностью, чем это принято, великую реальную полезность такого способа действий.

Разделение тригонометрии на две части. Оно состоит в том, что введение этих вспомогательных величин разделяет весь вопрос тригонометрии на два других, существенно различных, один из которых имеет целью переход от углов к их тригонометрическим линиям, или наоборот, а другой предлагает определять стороны треугольников через тригонометрические линии их углов, или наоборот. Теперь первый из этих двух фундаментальных вопросов, очевидно, по своей природе допускает возможность быть полностью обработанным и сведенным к числовым таблицам раз и навсегда, при рассмотрении всех возможных углов, поскольку он зависит только от этих углов, а вовсе не от конкретных треугольников, в которые они могут входить в каждом случае; в то время как решение второго вопроса должно обязательно возобновляться, по крайней мере в своих арифметических отношениях, для каждого нового треугольника, который необходимо решить. Это причина, по которой первая часть полной работы, которая была бы именно самой трудоемкой, больше не принимается в расчет, будучи всегда выполненной заранее; в то время как, если бы такое разложение не было произведено, мы бы, очевидно, оказались перед необходимостью возобновлять весь расчет в каждом частном случае. Таково существенное свойство нынешней тригонометрической системы, которая, по сути, действительно не представляла бы никакого реального преимущества, если бы было необходимо постоянно вычислять тригонометрическую линию каждого рассматриваемого угла, или наоборот; введенное промежуточное звено было бы тогда более обременительным, чем удобным.

Чтобы ясно понять истинную природу этой концепции, будет полезно сравнить ее с еще более важной, предназначенной для производства аналогичного эффекта либо в своих алгебраических, либо, что еще важнее, в своих арифметических отношениях — с восхитительной теорией логарифмов. Рассматривая философским образом влияние этой теории, мы видим, по сути, что ее общий результат состоит в разложении всех мыслимых арифметических операций на две различные части. Первая и самая сложная из них может быть выполнена заранее раз и навсегда (поскольку она зависит только от рассматриваемых чисел, а вовсе не от бесконечно различных комбинаций, в которые они могут входить) и состоит в рассмотрении всех чисел как назначаемых степеней постоянного числа. Вторая часть вычисления, которая по необходимости должна возобновляться для каждой новой формулы, значение которой должно быть определено, с этого момента сводится к выполнению над этими показателями коррелятивных операций, которые бесконечно проще. Я ограничиваюсь здесь лишь указанием на это сходство, которое каждый может развить для себя.

Мы должны, кроме того, отметить, как свойство (второстепенное в наши дни, но всеважное в своем происхождении) принятой тригонометрической системы, весьма примечательное обстоятельство, что определение углов через их тригонометрические линии, или наоборот, допускает арифметическое решение (единственное, которое прямо необходимо для специального назначения тригонометрии) без предварительного решения соответствующего алгебраического вопроса. Несомненно, именно такой особенности древние были обязаны возможностью познания тригонометрии. Исследование, задуманное таким образом, было тем более легким, поскольку таблицы хорд (которые древние естественно принимали за тригонометрические линии) были ранее построены для совершенно другой цели, в ходе работ Архимеда по спрямлению окружности, из чего следовало фактическое определение определенного ряда хорд; так что когда Гиппарх впоследствии изобрел тригонометрию, он мог ограничиться завершением этой операции подходящими интерполяциями; что ясно показывает связь идей в этом вопросе.

Увеличение таких тригонометрических линий. Чтобы завершить этот философский очерк тригонометрии, уместно теперь заметить, что расширение тех же соображений, которые ведут нас к замене углов или дуг окружностей прямыми линиями с целью упрощения наших уравнений, должно также вести нас к одновременному использованию нескольких тригонометрических линий вместо того, чтобы ограничиваться только одной (как это делали древние), с тем чтобы усовершенствовать эту систему, выбирая ту, которая будет алгебраически наиболее удобной в каждом случае. С этой точки зрения ясно, что количество этих линий само по себе никоим образом не ограничено; при условии, что они определяются дугой и что они определяют ее, каков бы ни был закон, согласно которому они из нее выводятся, они пригодны для замены ее в уравнениях. Арабы, а впоследствии и современники, ограничиваясь самыми простыми конструкциями, довели до четырех или пяти число прямых тригонометрических линий, которое могло бы быть расширено гораздо дальше.

Но вместо того чтобы прибегать к геометрическим построениям, которые в конечном итоге стали бы очень сложными, мы с величайшей легкостью задумываем столько новых тригонометрических линий, сколько могут потребовать аналитические преобразования, с помощью замечательного приема, который обычно не понимается в достаточно общем виде. Он состоит не в прямом умножении тригонометрических линий, соответствующих каждой рассматриваемой дуге, а во введении новых, рассматривая эту дугу как косвенно определяемую всеми линиями, относящимися к дуге, которая является очень простой функцией первой. Так, например, чтобы вычислить угол с большей легкостью, мы определим вместо его синуса синус его половины, или его удвоения и т. д. Такое создание косвенных тригонометрических линий, очевидно, гораздо более плодотворно, чем все прямые геометрические методы получения новых. Мы можем, соответственно, сказать, что число тригонометрических линий, фактически используемых в настоящее время геометрами, в действительности неограниченно, поскольку в каждое мгновение, так сказать, преобразования анализа могут привести нас к его увеличению методом, который я только что указал. Специальные названия, однако, были даны только тем из этих косвенных линий, которые относятся к дополнению примитивной дуги, остальные не встречаются достаточно часто, чтобы сделать такие наименования необходимыми; обстоятельство, которое вызвало общее заблуждение относительно истинного объема системы тригонометрии.

Изучение их взаимных отношений. Эта множественность тригонометрических линий, очевидно, порождает третий фундаментальный вопрос в тригонометрии — изучение отношений, существующих между этими различными линиями; поскольку без такого знания мы не могли бы использовать для наших аналитических потребностей это разнообразие вспомогательных величин, которые, однако, не имеют иного назначения. Ясно, кроме того, из только что указанного соображения, что эта существенная часть тригонометрии, хотя и просто подготовительная, по своей природе восприимчива к неопределенному расширению, когда мы рассматриваем ее во всей ее общности, в то время как две другие ограничены строго определенными пределами.

Излишне добавлять, что эти три основные части тригонометрии должны изучаться в порядке, прямо обратном тому, в котором мы видели их необходимое выведение из общей природы предмета; ибо третья, очевидно, независима от двух других, а вторая — от той, которая была представлена первой — решения треугольников в собственном смысле слова — которая по этой причине должна рассматриваться в последнюю очередь; что сделало тем более важным рассмотрение их естественной последовательности и логических отношений друг к другу.

Бесполезно рассматривать здесь отдельно сферическую тригонометрию, которая не может дать повода для какого-либо специального философского соображения; поскольку, сколь бы существенной она ни была по важности и множественности своего использования, она может рассматриваться в настоящее время только как простое приложение прямолинейной тригонометрии, которая непосредственно предоставляет ее фундаментальные уравнения, заменяя сферический треугольник соответствующим трехгранным углом.

Это краткое изложение философии тригонометрии было приведено здесь для того, чтобы сделать очевидными на важном примере ту строгую зависимость и те последовательные разветвления, которые представлены, казалось бы, самыми простыми вопросами элементарной геометрии.

Рассмотрев таким образом особый характер специальной геометрии, сведенной к ее единственному догматическому назначению — снабжению общей геометрии необходимой предварительной базой, — мы должны теперь уделить все наше внимание истинной науке геометрии, рассматриваемой как целое, наиболее рациональным образом. Для этой цели необходимо тщательно изучить великую оригинальную идею Декарта, на которой она полностью основана. Это будет объектом следующей главы.

ГЛАВА III.

СОВРЕМЕННАЯ ИЛИ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Поскольку общая (или аналитическая) геометрия полностью основана на преобразовании геометрических соображений в эквивалентные аналитические соображения, мы должны начать с прямого и тщательного изучения прекрасной концепции, с помощью которой Декарт установил единообразным образом постоянную возможность такой корреляции. Помимо ее собственной чрезвычайной важности как средства значительного совершенствования геометрической науки, или, скорее, установления всей ее на рациональных основах, философское изучение этой восхитительной концепции должно иметь тем больший интерес в наших глазах, что она с совершенной ясностью характеризует общий метод, который должен быть использован при организации отношений абстрактного к конкретному в математике, посредством аналитического представления природных явлений. Нет концепции во всей философии математики, которая больше заслуживала бы привлечения всего нашего внимания.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИГУР.

Чтобы преуспеть в выражении всех мыслимых геометрических явлений простыми аналитическими отношениями, мы должны, очевидно, в первую очередь установить общий метод аналитического представления самих предметов, в которых эти явления обнаруживаются, то есть линий или поверхностей, подлежащих рассмотрению. Предмет, таким образом, привычно рассматриваемый с чисто аналитической точки зрения, показывает нам, как с этого момента возможно мыслить таким же образом различные акциденции, которым он подвержен.

Чтобы организовать представление геометрических фигур с помощью аналитических уравнений, мы должны предварительно преодолеть фундаментальную трудность: сведение общих элементов различных концепций геометрии к чисто числовым идеям; одним словом, замену в геометрии чистых соображений количества всеми соображениями качества.

Сведение фигуры к положению. Для этой цели давайте сначала заметим, что все геометрические идеи обязательно относятся к этим трем универсальным категориям: величине, фигуре и положению рассматриваемых протяженностей. Что касается первой, то здесь, очевидно, нет никакой трудности; она сразу входит в идеи чисел. Что касается второй, то следует заметить, что она всегда допускает сведение к третьей. Ибо фигура тела, очевидно, является результатом взаимного положения различных точек, из которых оно состоит, так что идея положения обязательно включает в себя идею фигуры, и каждое обстоятельство фигуры может быть переведено обстоятельством положения. Именно таким образом, по сути, действовал человеческий ум, чтобы прийти к аналитическому представлению геометрических фигур, их концепция относится непосредственно только к положениям. Вся элементарная трудность тогда правильно сводится к сведению идей ситуации к идеям величины. Таково прямое назначение предварительной концепции, на которой Декарт установил общую систему аналитической геометрии.

Его философская работа в этом отношении состояла просто в полной генерализации элементарной операции, которую мы можем рассматривать как естественную для человеческого ума, поскольку она выполняется спонтанно, так сказать, во всех умах, даже самых необразованных. Так, когда нам нужно указать положение объекта, не указывая на него прямо, метод, который мы всегда принимаем, и, очевидно, единственный, который может быть использован, состоит в отнесении этого объекта к другим, которые известны, путем назначения величины различных геометрических элементов, посредством которых мы мыслим его связанным с известными объектами. Эти элементы составляют то, что Декарт, а вслед за ним и все геометры, назвали координатами каждой рассматриваемой точки. Их обязательно две, если заранее известно, в какой плоскости расположена точка; и три, если она может быть найдена безразлично в любой области пространства. Столько различных конструкций, сколько можно вообразить для определения положения точки, будь то на плоскости или в пространстве, столько же различных систем координат можно мыслить; они, следовательно, могут быть умножены до бесконечности. Но, какая бы система ни была принята, мы всегда будем сводить идеи ситуации к простым идеям величины, так что мы будем рассматривать изменение положения точки как вызванное простыми числовыми вариациями значений ее координат.

Определение положения точки. Рассматривая сначала только наименее сложный случай, случай плоской геометрии, именно таким образом мы обычно определяем положение точки на плоскости по ее расстояниям от двух фиксированных прямых линий, рассматриваемых как известные, которые называются осями и которые обычно предполагаются перпендикулярными друг другу. Эта система наиболее часто принимается из-за ее простоты; но геометры используют иногда бесконечное множество других. Так, положение точки на плоскости может быть определено: 1) по ее расстояниям от двух фиксированных точек; или 2) по ее расстоянию от одной фиксированной точки и направлению этого расстояния, оцениваемому по большему или меньшему углу, который оно образует с фиксированной прямой линией, что составляет систему того, что называется полярными координатами, наиболее часто используемую после первой упомянутой системы; или 3) по углам, которые прямые линии, проведенные из переменной точки к двум фиксированным точкам, образуют с прямой линией, соединяющей последние; или 4) по расстояниям от этой точки до фиксированной прямой линии и фиксированной точки и т. д. Одним словом, нет такой геометрической фигуры, из которой нельзя было бы вывести определенную систему координат, более или менее пригодную для использования.

Общее наблюдение, которое важно сделать в этой связи, состоит в том, что каждая система координат эквивалентна определению точки в плоской геометрии пересечением двух линий, каждая из которых подчинена определенным фиксированным условиям определения; одно из этих условий остается переменным, иногда одно, иногда другое, в зависимости от рассматриваемой системы. Мы действительно не могли бы мыслить никакого другого средства построения точки, кроме как отметить ее встречей двух линий. Так, в самой распространенной системе, системе прямолинейных координат в собственном смысле слова, точка определяется пересечением двух прямых линий, каждая из которых остается постоянно параллельной фиксированной оси на большем или меньшем расстоянии от нее; в полярной системе положение точки отмечается встречей окружности переменного радиуса и фиксированного центра с подвижной прямой линией, вынужденной вращаться вокруг этого центра: в других системах искомая точка могла бы быть обозначена пересечением двух окружностей или любых других двух линий и т. д. Одним словом, назначить значение одной из координат точки в любой системе — это всегда обязательно эквивалентно определению некоторой линии, на которой эта точка должна быть расположена. Геометры древности уже сделали это существенное замечание, которое послужило базой их метода геометрических мест, который они столь удачно использовали для направления своих исследований при решении определенных задач, рассматривая отдельно влияние каждого из двух условий, которыми определялась каждая точка, составляющая объект, прямой или косвенный, предложенного вопроса. Именно общая систематизация этого метода была непосредственным мотивом работ Декарта, которые привели его к созданию аналитической геометрии.

После того как была ясно установлена эта предварительная концепция — с помощью которой идеи положения, а следовательно, имплицитно, все элементарные геометрические концепции могут быть сведены к простым числовым соображениям, — легко сформировать прямое представление во всей ее общности великой оригинальной идеи Декарта относительно аналитического представления геометрических фигур: именно это составляет специальный объект данной главы. Я продолжу рассматривать сначала, для большей легкости, только геометрию двух измерений, которая одна рассматривалась Декартом; и впоследствии рассмотрю отдельно, с той же точки зрения, теорию поверхностей и кривых двоякой кривизны.

ПЛОСКИЕ КРИВЫ.

Выражение линий уравнениями. В соответствии со способом аналитического выражения положения точки на плоскости можно легко установить, что каким бы свойством ни определялась любая линия, это определение всегда допускает замену соответствующим уравнением между двумя переменными координатами точки, которая описывает эту линию; уравнение, которое будет отныне аналитическим представлением предложенной линии, каждое явление которой будет переведено определенной алгебраической модификацией ее уравнения. Так, если мы предположим, что точка движется по плоскости, не имея своего курса, определенного каким-либо образом, мы, очевидно, должны будем рассматривать ее координаты, к какой бы системе они ни принадлежали, как две переменные, совершенно независимые друг от друга. Но если, напротив, эта точка вынуждена описывать определенную линию, мы будем обязательно вынуждены мыслить, что ее координаты во всех положениях, которые она может принимать, сохраняют определенное постоянное и точное отношение друг к другу, которое, следовательно, может быть выражено подходящим уравнением; которое станет очень ясным и очень строгим аналитическим определением рассматриваемой линии, поскольку оно будет выражать алгебраическое свойство, принадлежащее исключительно координатам всех точек этой линии. Действительно, ясно, что когда точка не подчинена никакому условию, ее ситуация не определена, кроме как при задании сразу двух ее координат, независимо друг от друга; в то время как, когда точка должна оставаться на определенной линии, одной координаты достаточно для полного фиксирования ее положения. Вторая координата тогда является определенной функцией первой; или, другими словами, между ними должно существовать определенное уравнение природы, соответствующей природе линии, на которой точка вынуждена оставаться. Одним словом, каждая из координат точки, требующая ее расположения на определенной линии, заставляет нас взаимно мыслить, что условие со стороны точки принадлежать линии, определенной каким-либо образом, эквивалентно назначению значения одной из двух координат; которая оказывается в этом случае полностью зависимой от другой. Аналитическое отношение, которое выражает эту зависимость, может быть более или менее трудным для обнаружения, но оно, очевидно, всегда должно мыслиться существующим, даже в тех случаях, в которых наши нынешние средства могут быть недостаточны для того, чтобы сделать его известным. Именно этим простым соображением мы можем доказать совершенно общим образом — независимо от частных проверок, на которых эта фундаментальная концепция обычно устанавливается для каждого специального определения линии — необходимость аналитического представления линий уравнениями.

Выражение уравнений через линии. Возвращаясь к тем же размышлениям в обратном направлении, мы могли бы с такой же легкостью показать геометрическую необходимость представления каждого уравнения с двумя переменными в определенной системе координат некоторой линией; для которой такое соотношение, при отсутствии любого другого известного свойства, служило бы весьма характерным определением, научное назначение которого состояло бы в том, чтобы непосредственно сосредоточить внимание на общем ходе решений уравнения, что таким образом было бы отмечено наиболее ярким и простым способом. Это графическое изображение уравнений является одним из важнейших фундаментальных преимуществ аналитической геометрии, которая благодаря этому в высшей степени повлияла на общее совершенствование самого анализа; не только путем назначения чисто абстрактным исследованиям четко определенного объекта и неисчерпаемого поприща, но и, в еще более прямой связи, путем предоставления нового философского средства для аналитического размышления, которое не могло быть заменено никаким другим. В самом деле, чисто алгебраическое обсуждение уравнения, несомненно, позволяет узнать его решения наиболее точным образом, но при рассмотрении их только по одному, так что таким путем невозможно получить их общий обзор, кроме как в качестве конечного результата длинного и трудоемкого ряда численных сравнений. С другой стороны, геометрическое место точек уравнения, будучи предназначенным лишь для того, чтобы отчетливо и с совершенной ясностью представить итог всех этих сравнений, позволяет рассматривать его непосредственно, не обращая никакого внимания на детали, которые его породили. Тем самым оно может подсказать нашему уму общие аналитические взгляды, к которым мы пришли бы с большим трудом иным способом из-за отсутствия средства для ясной характеристики их объекта. Очевидно, например, что простое наблюдение логарифмической кривой или кривой y = sin x заставляет нас воспринимать общий характер изменений логарифмов по отношению к их числам или синусов по отношению к их дугам гораздо отчетливее, чем это могло бы сделать самое внимательное изучение таблицы логарифмов или натуральных синусов. Хорошо известно, что этот метод в настоящее время стал совершенно элементарным и что он применяется всякий раз, когда желательно получить ясное представление об общем характере закона, господствующего в ряде точных наблюдений любого рода.

Любое изменение линии вызывает изменение уравнения. Возвращаясь к представлению линий уравнениями, что является нашей главной целью, мы видим, что это представление по своей природе настолько точно, что линия не могла бы претерпеть никакого изменения, сколь угодно малого, не вызвав соответствующего изменения в уравнении. Эта совершенная точность даже порождает зачастую особые трудности; ибо поскольку в нашей системе аналитической геометрии простые перемещения линий влияют на уравнения так же, как и их реальные изменения по величине или форме, мы были бы склонны смешивать их друг с другом в наших аналитических выражениях, если бы геометры не открыли остроумный метод, предназначенный специально для того, чтобы всегда их различать. Этот метод основан на том принципе, что, хотя невозможно аналитически по желанию изменить положение линии относительно осей координат, мы можем любым способом изменить положение самих осей, что, очевидно, сводится к тому же самому; затем, с помощью весьма простой общей формулы, посредством которой производится это преобразование осей, становится легко обнаружить, являются ли два различных уравнения аналитическими выражениями только одной и той же линии, расположенной по-разному, или же они относятся к действительно различным геометрическим местам точек; поскольку в первом случае одно из них перейдет в другое путем соответствующего изменения осей или других констант используемой системы координат. Более того, по этому поводу следует заметить, что общие неудобства такого рода кажутся абсолютно неизбежными в аналитической геометрии; ибо, поскольку идеи положения являются, как мы видели, единственными геометрическими идеями, непосредственно сводимыми к численным соображениям, а концепции фигуры не могут быть таким образом сведены, иначе как через видение в них отношений положения, анализ не может избежать смешения, поначалу, явлений фигуры с простыми явлениями положения, которые одни лишь непосредственно выражаются уравнениями.

Каждое определение линии есть уравнение. Чтобы завершить философское объяснение фундаментальной концепции, служащей основой аналитической геометрии, я думаю, что должен здесь указать на новое общее соображение, которое кажется мне особенно хорошо приспособленным для того, чтобы представить в наиболее ясном свете это необходимое представление линий уравнениями с двумя переменными. Оно состоит в том, что не только, как мы показали, каждая определенная линия должна обязательно порождать определенное уравнение между двумя координатами любой из своих точек, но, более того, каждое определение линии может рассматриваться как уже само по себе являющееся уравнением этой линии в подходящей системе координат.

Легко установить этот принцип, сначала сделав предварительное логическое различие в отношении различных видов определений. Строго обязательным условием всякого определения является различение определяемого объекта от всех остальных путем приписывания ему свойства, которое принадлежит исключительно ему. Но эта цель может быть в общем достигнута двумя весьма различными способами: либо определением, которое является просто характеристическим, то есть указывающим на свойство, которое, хотя и является действительно исключительным, не раскрывает способ порождения объекта; либо определением, которое является действительно объяснительным, то есть характеризующим объект свойством, выражающим один из способов его порождения. Например, рассматривая окружность как линию, которая при том же контуре содержит наибольшую площадь, мы имеем, очевидно, определение первого рода; в то время как, выбирая свойство, состоящее в том, что все ее точки одинаково удалены от фиксированной точки, мы имеем определение второго рода. Кроме того, очевидно, как общий принцип, что даже когда какой-либо объект известен поначалу только по характеристическому определению, мы должны, тем не менее, рассматривать его как восприимчивый к объяснительным определениям, которые дальнейшее изучение объекта неизбежно привело бы нас к открытию.

При таком допущении ясно, что сделанное выше общее замечание, представляющее каждое определение линии как обязательно являющееся уравнением этой линии в некоторой системе координат, не может применяться к определениям, которые являются просто характеристическими; оно должно пониматься только в отношении определений, которые являются действительно объяснительными. Но при рассмотрении только этого класса принцип легко доказать. В самом деле, очевидно невозможно определить порождение линии, не указав определенного соотношения между двумя простыми движениями трансляции или вращения, на которые будет разложено движение точки, описывающей ее в каждый момент времени. Теперь, если мы сформируем наиболее общую концепцию того, что составляет систему координат, и допустим все возможные системы, ясно, что такое соотношение будет не чем иным, как уравнением предложенной линии в системе координат, природа которой соответствует природе рассматриваемого способа порождения. Так, например, обычное определение окружности может быть очевидно рассмотрено как непосредственно являющееся полярным уравнением этой кривой, если принять центр окружности за полюс. Точно так же элементарное определение эллипса или гиперболы — как кривой, порождаемой точкой, которая движется таким образом, что сумма или разность ее расстояний от двух фиксированных точек остается постоянной — дает сразу, для той или иной кривой, уравнение y + x = c, если принять за систему координат ту, в которой положение точки определялось бы ее расстояниями от двух фиксированных точек, и выбрать в качестве этих полюсов два данных фокуса. Подобным же образом обычное определение любой циклоиды дало бы непосредственно для этой кривой уравнение y = mx; приняв в качестве координат каждой точки дугу, которую она отмечает на окружности неизменного радиуса, измеряя от точки касания этой окружности с фиксированной линией, и прямолинейное расстояние от этой точки касания до некоторого начала координат, взятого на этой прямой линии. Мы можем произвести аналогичные и столь же легкие проверки в отношении обычных определений спиралей, эпициклоид и т. д. Мы будем постоянно находить, что существует некоторая система координат, в которой мы непосредственно получаем весьма простое уравнение предложенной линии, просто записав алгебраически условие, налагаемое рассматриваемым способом порождения.

Помимо своего прямого значения как средства сделать совершенно очевидным необходимое представление каждой линии уравнением, предыдущее соображение, как мне кажется, обладает подлинной научной полезностью, характеризуя с точностью главную общую трудность, возникающую при фактическом установлении этих уравнений, и, следовательно, предоставляя интересное указание относительно курса, которому следует следовать в исследованиях такого рода, которые по своей природе не могли бы допускать полных и неизменных правил. В самом деле, поскольку любое определение линии, по крайней мере среди тех, которые указывают способ порождения, дает непосредственно уравнение этой линии в некоторой системе координат, или, скорее, само по себе составляет это уравнение, из этого следует, что трудность, которую мы часто испытываем при обнаружении уравнения кривой с помощью некоторых ее характерных свойств, трудность, которая иногда бывает очень велика, должна происходить по существу только из обычно налагаемого условия выражения этой кривой аналитически с помощью назначенной системы координат, вместо того чтобы безразлично допускать все возможные системы. Эти различные системы не могут рассматриваться в аналитической геометрии как все одинаково подходящие; по разным причинам, наиболее важные из которых будут обсуждаться далее, геометры считают, что кривые должны почти всегда относиться, насколько это возможно, к прямолинейным координатам, собственно так называемым. Теперь мы видим из вышеизложенного, что во многих случаях эти частные координаты не будут теми, относительно которых уравнение кривой окажется непосредственно установленным предложенным определением. Главная трудность, представляемая формированием уравнения линии, действительно состоит, таким образом, в общем, в некотором преобразовании координат. Несомненно, верно, что это соображение не подчиняет установление этих уравнений действительно полной общей методике, успех которой всегда был бы обеспечен; что, исходя из самой природы предмета, очевидно химерично: но такой взгляд может пролить много полезного света на курс, который надлежит принять, чтобы прийти к предложенной цели. Таким образом, после того как было в первую очередь сформировано подготовительное уравнение, которое спонтанно выводится из определения, которое мы рассматриваем, необходимо будет, чтобы получить уравнение, принадлежащее системе координат, которая должна быть окончательно допущена, попытаться выразить в функции этих последних координат те, которые естественно соответствуют данному способу порождения. Именно относительно этой последней работы очевидно невозможно дать неизменные и точные предписания. Мы можем только сказать, что мы будем иметь тем больше ресурсов в этом деле, чем больше мы будем знать подлинную аналитическую геометрию, то есть чем больше мы будем знать алгебраическое выражение большего числа различных алгебраических явлений.

ВЫБОР КООРДИНАТ.

Чтобы завершить философское изложение концепции, служащей основой аналитической геометрии, мне еще предстоит отметить соображения, относящиеся к выбору системы координат, которая в общем является наиболее подходящей. Они дадут рациональное объяснение предпочтения, единодушно отдаваемого обычной прямолинейной системе; предпочтения, которое до сих пор было скорее следствием эмпирического чувства превосходства этой системы, чем точным результатом прямого и тщательного анализа.

Две различные точки зрения. Чтобы ясно решить вопрос между всеми различными системами координат, необходимо тщательно различать две общие точки зрения, обратные друг другу, которые принадлежат аналитической геометрии; а именно, отношение алгебры к геометрии, основанное на представлении линий уравнениями; и, взаимно, отношение геометрии к алгебре, основанное на представлении уравнений линиями.

Очевидно, что в каждом исследовании общей геометрии эти две фундаментальные точки зрения неизбежно всегда оказываются объединенными, поскольку нам всегда приходится переходить попеременно, и, так сказать, через незаметные интервалы, от геометрических к аналитическим соображениям и от аналитических к геометрическим соображениям. Но необходимость временно разделить их здесь от этого не становится менее реальной; ибо ответ на вопрос о методе, который мы рассматриваем, на самом деле, как мы увидим сейчас, очень далек от того, чтобы быть одинаковым в обоих этих отношениях, так что без этого различения мы не могли бы сформировать о нем никакого ясного представления.

1. Представление линий уравнениями. С первой точки зрения — представления линий уравнениями — единственной причиной, которая могла бы побудить нас предпочесть одну систему координат другой, была бы большая простота уравнения каждой линии и большая легкость прихода к нему. Теперь легко видеть, что не существует и нельзя ожидать существования какой-либо системы координат, заслуживающей в этом отношении постоянного предпочтения перед всеми остальными. В самом деле, мы выше заметили, что для каждого предложенного геометрического определения мы можем представить себе систему координат, в которой уравнение линии получается сразу и неизбежно оказывается также очень простым; и эта система, более того, неизбежно варьируется в зависимости от природы рассматриваемого характерного свойства. Прямолинейная система, следовательно, не могла бы постоянно быть наиболее выгодной для этой цели, хотя она часто может быть очень благоприятной; вероятно, нет такой системы, которая в некоторых частных случаях не должна была бы быть предпочтена ей, так же как и любой другой.

2. Представление уравнений линиями. Однако это отнюдь не так со второй точки зрения. Мы можем, действительно, легко установить в качестве общего принципа, что обычная прямолинейная система должна обязательно быть лучше приспособлена, чем любая другая, к представлению уравнений соответствующими геометрическими местами точек; то есть, что это представление постоянно является более простым и более точным в ней, чем в любой другой.

Рассмотрим для этой цели, что, поскольку каждая система координат состоит в определении точки пересечением двух линий, система, приспособленная для предоставления наиболее подходящих геометрических мест точек, должна быть той, в которой эти две линии являются простейшими из возможных; соображение, которое ограничивает наш выбор прямолинейной системой. По правде говоря, существует, очевидно, бесконечное число систем, которые заслуживают этого названия, то есть которые используют только прямые линии для определения точек, помимо обычной системы, которая назначает расстояния от двух фиксированных линий в качестве координат; такой, например, была бы та, в которой координатами каждой точки были бы два угла, которые прямые линии, идущие от этой точки к двум фиксированным точкам, образуют с прямой линией, соединяющей эти последние точки: так что это первое соображение не является строго достаточным для объяснения предпочтения, единодушно отдаваемого обычной системе. Но при более тщательном изучении природы каждой системы координат мы также замечаем, что каждая из двух линий, встреча которых определяет рассматриваемую точку, должна обязательно предлагать в каждый момент, среди своих различных условий определения, единственное переменное условие, которое порождает соответствующую координату, при этом все остальное является фиксированным и составляющим оси системы, принимая этот термин в его наиболее расширенном математическом значении. Изменчивость необходима для того, чтобы мы могли рассмотреть все возможные положения; а фиксированность не менее необходима для того, чтобы существовали средства сравнения. Таким образом, во всех прямолинейных системах каждая из двух прямых линий будет подчинена фиксированному условию, а ордината будет результатом переменного условия.

Превосходство прямолинейных координат. Из этих соображений очевидно, как общий принцип, что наиболее благоприятной системой для построения геометрических мест точек будет обязательно та, в которой переменное условие каждой прямой линии будет простейшим из возможных; при этом фиксированное условие остается свободным для того, чтобы быть сделанным сложным, если это необходимо для достижения этой цели. Теперь, из всех возможных способов определения двух подвижных прямых линий, наиболее легким для геометрического прослеживания является, безусловно, тот, в котором, при неизменном направлении каждой прямой линии, она лишь приближается или удаляется, более или менее, к постоянной оси или от нее. Было бы, например, очевидно труднее представить себе ясно изменения места точки, которая определяется пересечением двух прямых линий, каждая из которых вращается вокруг фиксированной точки, образуя больший или меньший угол с некоторой осью, как в системе координат, упомянутой ранее. Таково истинное общее объяснение фундаментального свойства, которым обладает обычная прямолинейная система, состоящего в том, что она лучше приспособлена, чем любая другая, к геометрическому представлению уравнений, поскольку это та система, в которой легче всего представить изменение места точки, происходящее от изменения значения ее координат. Чтобы ясно почувствовать всю силу этого соображения, было бы достаточно тщательно сравнить эту систему с полярной системой, в которой этот геометрический образ, столь простой и столь легкий для прослеживания, двух прямых линий, движущихся параллельно, каждая из них, своей соответствующей оси, заменяется сложной картиной бесконечного ряда концентрических окружностей, пересекаемых прямой линией, вынужденной вращаться вокруг фиксированной точки. Более того, легко заранее представить, какое огромное значение для аналитической геометрии должно иметь свойство, столь глубоко элементарное, которое по этой причине должно повторяться в каждый момент и приобретать прогрессивно возрастающее значение во всех работах такого рода.

Перпендикулярность осей. Продолжая далее соображение, которое демонстрирует превосходство обычной системы координат над любой другой в отношении представления уравнений, мы можем также заметить полезность для этой цели обычного использования принятия двух осей перпендикулярными друг другу, всякий раз, когда это возможно, а не под каким-либо другим наклоном. Что касается представления линий уравнениями, это второстепенное обстоятельство не является более универсально правильным, чем, как мы видели, общая природа системы; поскольку, в зависимости от конкретного случая, любой другой наклон осей может заслужить наше предпочтение в этом отношении. Но, с обратной точки зрения, легко видеть, что прямоугольные оси постоянно позволяют нам представлять уравнения более простым и даже более точным образом; ибо, при косоугольных осях, пространство, разделенное ими на области, которые уже не обладают совершенной идентичностью, приводит к тому, что если геометрическое место точек уравнения распространяется на все эти области сразу, то будут представлены, просто по причине этого неравенства углов, различия фигуры, которые не соответствуют никакому аналитическому разнообразию и будут неизбежно искажать строгую точность представления, смешиваясь с надлежащими результатами алгебраических сравнений. Например, уравнение вида x^m + y^m = c, которое по своей совершенной симметрии должно было бы, очевидно, дать кривую, состоящую из четырех идентичных четвертей, будет представлено, напротив, если мы возьмем не прямоугольные оси, геометрическим местом точек, четыре части которого будут неравными. Ясно, что единственным средством избежать всех неудобств такого рода является предположение, что угол двух осей является прямым углом.

Предыдущее обсуждение ясно показывает, что, хотя обычная система прямолинейных координат не имеет постоянного превосходства над всеми остальными в одной из двух фундаментальных точек зрения, которые постоянно объединены в аналитической геометрии, все же, поскольку, с другой стороны, она не является постоянно худшей, ее необходимая и абсолютная большая приспособленность к представлению уравнений должна заставлять ее в общем получать предпочтение; хотя может, очевидно, случиться, в некоторых частных случаях, что необходимость упрощения уравнений и получения их более легким путем может определить геометров принять менее совершенную систему. Прямолинейная система является, следовательно, той, с помощью которой обычно строятся самые существенные теории общей геометрии, предназначенные для аналитического выражения наиболее важных геометрических явлений. Когда считается необходимым выбрать какую-либо другую, полярная система почти всегда является той, на которой останавливаются, так как эта система имеет природу, достаточно противоположную природе прямолинейной системы, чтобы заставить уравнения, которые слишком сложны по отношению к последней, стать, в общем, достаточно простыми по отношению к другой. Полярные координаты, более того, часто имеют преимущество допущения более прямого и естественного конкретного значения; как это имеет место в механике, для геометрических вопросов, к которым приводит теория кругового движения, и почти во всех случаях небесной геометрии.

Чтобы упростить изложение, мы до сих пор рассматривали фундаментальную концепцию аналитической геометрии только в отношении плоских кривых, общее изучение которых было единственным объектом великого философского обновления, произведенного Декартом. Чтобы завершить это важное объяснение, мы должны теперь кратко показать, как эта элементарная идея была расширена Клеро, около столетия спустя, на общее изучение поверхностей и кривых двоякой кривизны. Соображения, которые уже были приведены, позволят мне ограничиться по этому предмету быстрым рассмотрением того, что строго специфично для этого нового случая.

ПОВЕРХНОСТИ.

Определение точки в пространстве. Полное аналитическое определение точки в пространстве очевидно требует назначения значений трех координат; как, например, в системе, которая обычно принята и которая соответствует прямолинейной системе плоской геометрии, расстояния от точки до трех фиксированных плоскостей, обычно перпендикулярных друг другу; что представляет точку как пересечение трех плоскостей, направление которых неизменно. Мы могли бы также использовать расстояния от подвижной точки до трех фиксированных точек, что определило бы ее пересечением трех сфер с общим центром. Подобным же образом положение точки было бы определено заданием ее расстояния от фиксированной точки и направления этого расстояния с помощью двух углов, которые эта прямая линия образует с двумя неизменными осями; это полярная система геометрии трех измерений; точка тогда строится пересечением сферы, имеющей фиксированный центр, с двумя прямыми конусами с круговыми основаниями, оси и общая вершина которых не меняются. Одним словом, существует, очевидно, в этом случае, по крайней мере, такое же бесконечное разнообразие среди различных возможных систем координат, которое мы уже наблюдали в геометрии двух измерений. В общем, мы должны представлять точку как всегда определяемую пересечением любых трех поверхностей, как это было в прежнем случае пересечением двух линий: каждая из этих трех поверхностей имеет, подобным же образом, все свои условия определения постоянными, за исключением одного, которое порождает соответствующие координаты, чье специфическое геометрическое влияние состоит, таким образом, в том, чтобы принудить точку быть расположенной на этой поверхности.

При таком допущении ясно, что если три координаты точки полностью независимы друг от друга, эта точка может принимать последовательно все возможные положения в пространстве. Но если точка принуждена оставаться на некоторой поверхности, определенной любым способом, тогда двух координат очевидно достаточно для определения ее положения в каждый момент, поскольку предложенная поверхность займет место условия, налагаемого третьей координатой. Мы должны тогда, в этом случае, с аналитической точки зрения, обязательно представлять эту последнюю координату как определенную функцию двух других, причем последние остаются совершенно независимыми друг от друга. Таким образом, будет существовать некоторое уравнение между тремя переменными координатами, которое будет постоянным и которое будет единственным, чтобы соответствовать точной степени неопределенности в положении точки.

Выражение поверхностей уравнениями. Это уравнение, более или менее легкое для обнаружения, но всегда возможное, будет аналитическим определением предложенной поверхности, поскольку оно должно быть проверено для всех точек этой поверхности и только для них. Если поверхность претерпевает какое-либо изменение, даже простое изменение места, уравнение должно претерпеть более или менее серьезную соответствующую модификацию. Одним словом, все геометрические явления, относящиеся к поверхностям, допустят возможность быть переведенными определенными эквивалентными аналитическими условиями, подходящими для уравнений трех переменных; и в установлении и интерпретации этой общей и необходимой гармонии будет по существу состоять наука аналитической геометрии трех измерений.

Выражение уравнений поверхностями. Рассматривая затем эту фундаментальную концепцию с обратной точки зрения, мы видим таким же образом, что каждое уравнение трех переменных может, в общем, быть представлено геометрически определенной поверхностью, примитивно определенной самим характерным свойством, что координаты всех ее точек всегда сохраняют взаимное отношение, сформулированное в этом уравнении. Это геометрическое место точек будет очевидно меняться, для того же уравнения, в зависимости от системы координат, которая может служить для построения этого представления. Принимая, например, прямолинейную систему, ясно, что в уравнении между тремя переменными x, y, z каждое частное значение, приписанное z, даст уравнение между x и y, геометрическим местом точек которого будет некоторая линия, расположенная в плоскости, параллельной плоскости x и y, и на расстоянии от этой последней, равном значению z; так что полное геометрическое место точек представится как состоящее из бесконечного ряда линий, наложенных друг на друга в ряде параллельных плоскостей (за исключением прерываний, которые могут существовать), и будет, следовательно, формировать подлинную поверхность. То же самое было бы при рассмотрении любой другой системы координат, хотя геометрическое построение уравнения становится более трудным для прослеживания.

Такова элементарная концепция, дополнение первоначальной идеи Декарта, на которой основана общая геометрия относительно поверхностей. Было бы бесполезно брать здесь непосредственно другие соображения, которые были выше указаны в отношении линий и которые любой может легко распространить на поверхности; чтобы показать ли, что каждое определение поверхности любым способом порождения является действительно прямым уравнением этой поверхности в некоторой системе координат, или чтобы определить среди всех различных систем возможных координат ту, которая в общем является наиболее удобной. Я добавлю только по этому последнему пункту, что необходимое превосходство обычной прямолинейной системы в отношении представления уравнений очевидно еще более заметно в аналитической геометрии трех измерений, чем в геометрии двух, из-за несравненно большей геометрической сложности, которая возникла бы из выбора любой другой системы. Это может быть проверено наиболее ярким образом путем рассмотрения полярной системы в частности, которая является наиболее используемой после обычной прямолинейной системы, как для поверхностей, так и для плоских кривых, и по тем же причинам.

Чтобы завершить общее изложение фундаментальной концепции, относящейся к аналитическому изучению поверхностей, следует провести философское исследование последнего улучшения высочайшей важности, которое Монж ввел в самые элементы этой теории, для классификации поверхностей на естественные семейства, установленные в соответствии со способом порождения и выраженные алгебраически общими дифференциальными уравнениями или конечными уравнениями, содержащими произвольные функции.

КРИВЫЕ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ.

Рассмотрим теперь последнюю элементарную точку зрения аналитической геометрии трех измерений; ту, которая относится к алгебраическому представлению кривых, рассматриваемых в пространстве, наиболее общим образом. Продолжая следовать принципу, который постоянно использовался, а именно принципу степени неопределенности геометрического места точек, соответствующей степени независимости переменных, очевидно, как общий принцип, что когда требуется, чтобы точка была расположена на некоторой определенной кривой, одной координаты достаточно для полного определения ее положения пересечением этой кривой с поверхностью, которая является результатом этой координаты. Таким образом, в этом случае две другие координаты точки должны представляться как функции, обязательно определенные и отличные от первой. Из этого следует, что каждая линия, рассматриваемая в пространстве, представляется тогда аналитически уже не одним уравнением, а системой двух уравнений между тремя координатами любой из своих точек. Ясно, действительно, с другой точки зрения, что поскольку каждое из этих уравнений, рассматриваемое отдельно, выражает некоторую поверхность, их комбинация представляет предложенную линию как пересечение двух определенных поверхностей. Таков наиболее общий способ представления алгебраического представления линии в аналитической геометрии трех измерений. Эта концепция обычно рассматривается слишком ограниченным образом, когда мы ограничиваемся рассмотрением линии как определяемой системой ее двух проекций на две из координатных плоскостей; системой, характеризуемой аналитически этой особенностью, что каждое из двух уравнений линии тогда содержит только две из трех координат, вместо того чтобы одновременно включать три переменные. Это соображение, которое состоит в рассмотрении линии как пересечения двух цилиндрических поверхностей, параллельных двум из трех осей координат, помимо неудобства ограничения обычной прямолинейной системой, имеет недостаток, если мы строго ограничиваемся им, введения бесполезных трудностей в аналитическое представление линий, поскольку комбинация этих двух цилиндров очевидно не всегда была бы наиболее подходящей для формирования уравнений линии. Таким образом, рассматривая это фундаментальное понятие во всей его общности, необходимо будет в каждом случае выбирать из бесконечного числа пар поверхностей, пересечение которых могло бы произвести предложенную кривую, ту, которая лучше всего поддастся установлению уравнений, как будучи составленной из наиболее известных поверхностей. Таким образом, если задача состоит в том, чтобы выразить аналитически окружность в пространстве, будет очевидно предпочтительнее рассматривать ее как пересечение сферы и плоскости, нежели чем происходящую из любой другой комбинации поверхностей, которые могли бы равно ее произвести.

По правде говоря, этот способ представления линий уравнениями в аналитической геометрии трех измерений порождает по своей природе необходимое неудобство, а именно некоторое аналитическое смешение, состоящее в том, что одна и та же линия может быть таким образом выражена, при той же системе координат, бесконечным числом различных пар уравнений, по причине бесконечного числа пар поверхностей, которые могут ее образовать; обстоятельство, которое может вызвать некоторые трудности в распознавании этой линии под всеми алгебраическими маскировками, которые она допускает. Но существует весьма простой метод для того, чтобы это неудобство исчезло; он состоит в отказе от удобств, которые возникают из этого разнообразия геометрических построений. Достаточно, в самом деле, какой бы ни была аналитическая система, примитивно установленная для некоторой линии, уметь вывести из нее систему, соответствующую единственной паре поверхностей, равномерно порожденных; как, например, системе двух цилиндрических поверхностей, которые проектируют предложенную линию на две из координатных плоскостей; поверхностей, которые будут очевидно всегда идентичны, каким бы образом линия ни была получена, и которые не будут меняться, кроме как когда сама эта линия изменится. Теперь, выбирая эту фиксированную систему, которая является фактически наиболее простой, мы будем в общем способны вывести из примитивных уравнений те, которые соответствуют им в этом специальном построении, преобразуя их путем двух последовательных исключений в два уравнения, каждое из которых содержит только две из переменных координат и тем самым соответствует двум поверхностям проекции. Таково действительно главное назначение этого рода геометрической комбинации, которая таким образом предлагает нам неизменное и верное средство распознавания идентичности линий, несмотря на разнообразие их уравнений, которое иногда бывает очень велико.

НЕСОВЕРШЕНСТВА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Рассмотрев теперь фундаментальную концепцию аналитической геометрии под ее главными элементарными аспектами, надлежит, чтобы сделать очерк полным, заметить здесь общие несовершенства, еще представляемые этой концепцией в отношении как геометрии, так и анализа.

Относительно геометрии мы должны заметить, что уравнения пока приспособлены представлять только целые геометрические места точек, а вовсе не определенные части этих мест. Однако было бы необходимо, в некоторых обстоятельствах, уметь выразить аналитически часть линии или поверхности, или даже разрывную линию или поверхность, состоящую из ряда сечений, принадлежащих различным геометрическим фигурам, таких как контур многоугольника или поверхность многогранника. Термология, особенно, часто порождает такие соображения, к которым наша нынешняя аналитическая геометрия неизбежно неприменима. Работы г-на Фурье о разрывных функциях, однако, начали заполнять этот большой пробел и тем самым ввели новое и существенное улучшение в фундаментальную концепцию Декарта. Но этот способ представления гетерогенных или частичных фигур, будучи основанным на использовании тригонометрических рядов, идущих по синусам бесконечного ряда кратных дуг, или на использовании некоторых определенных интегралов, эквивалентных этим рядам, общий интеграл которых неизвестен, представляет пока слишком много сложности, чтобы допустить возможность быть немедленно введенным в систему аналитической геометрии.

Относительно анализа мы должны начать с наблюдения, что наша неспособность представить себе геометрическое представление уравнений, содержащих четыре, пять или более переменных, аналогичное тем представлениям, которые допускают все уравнения двух или трех переменных, не должна рассматриваться как несовершенство нашей системы аналитической геометрии, ибо оно очевидно принадлежит самой природе предмета. Поскольку анализ неизбежно более общий, чем геометрия, так как он относится ко всем возможным явлениям, было бы очень нефилософски желать всегда находить среди одних лишь геометрических явлений конкретное представление всех законов, которые анализ может выразить.

Существует, однако, другое несовершенство меньшей важности, которое должно действительно рассматриваться как происходящее из способа, которым мы представляем себе аналитическую геометрию. Оно состоит в очевидной неполноте нашего нынешнего представления уравнений двух или трех переменных линиями или поверхностями, поскольку при построении геометрического места точек мы обращаем внимание только на реальные решения уравнений, вовсе не замечая никаких мнимых решений. Общий ход этих последних должен, однако, по своей природе быть столь же восприимчивым, как и ход других, к геометрическому представлению. Из этого упущения следует, что графическая картина уравнения постоянно несовершенна, а иногда даже настолько, что нет никакого геометрического представления вообще, когда уравнение допускает только мнимые решения. Но даже в этом последнем случае мы очевидно должны быть способны различать уравнения, столь различные сами по себе, как эти, например,

x^2 + y^2 + 1 = 0, x^6 + y^4 + 1 = 0, y^2 + e^x = 0.

Мы знаем, более того, что это главное несовершенство часто влечет за собой, в аналитической геометрии двух или трех измерений, ряд вторичных неудобств, возникающих из нескольких аналитических модификаций, не соответствующих никаким геометрическим явлениям.

Наше философское изложение фундаментальной концепции аналитической геометрии показывает нам ясно, что эта наука состоит по существу в определении того, каково общее аналитическое выражение того или иного геометрического явления, принадлежащего линиям или поверхностям; и, взаимно, в обнаружении геометрической интерпретации того или иного аналитического соображения. Детальное рассмотрение наиболее важных общих вопросов показало бы нам, как геометры преуспели в фактическом установлении этой прекрасной гармонии и в запечатлении тем самым на геометрической науке, рассматриваемой как целое, ее нынешнего в высшей степени совершенного характера рациональности и простоты.

Примечание. — Автор посвящает две следующие главы своего курса более детальному рассмотрению аналитической геометрии двух и трех измерений; но его последующая публикация отдельной работы по этой ветви математики была сочтена делающей ненужным воспроизведение этих двух глав в настоящем томе.

КОНЕЦ.

СНОСКИ:

[1] Исследование математических явлений законов теплоты бароном Фурье привело к установлению совершенно прямым образом термологических уравнений. Это великое открытие стремится возвысить наши философские надежды относительно будущих расширений законных применений математического анализа и делает уместным, по мнению автора, рассматривать термологию как третью главную ветвь конкретной математики.

[2] Переводчик счел себя вправе использовать это весьма удобное слово (для которого в нашем языке нет точного эквивалента) как английское, в его наиболее расширенном смысле, несмотря на то, что оно часто популярно смешивается с его дифференциальным и интегральным отделом.

[3] С целью увеличения насколько возможно ресурсов и объема (ныне столь недостаточного) математического анализа, геометры причисляют эту последнюю пару функций к аналитическим элементам. Хотя эта запись строго законна, важно заметить, что круговые функции не находятся в точно таком же положении, как другие абстрактные элементарные функции. Существует это весьма существенное различие, что функции четырех первых пар являются одновременно простыми и абстрактными, в то время как круговые функции, которые могут проявлять каждый характер последовательно, в зависимости от точки зрения, под которой они рассматриваются, и способа, которым они используются, никогда не представляют эти два свойства одновременно.

Некоторые другие конкретные функции могут быть полезно введены в число аналитических элементов при выполнении определенных условий. Так, например, работы г-на Лежандра и г-на Якоби об эллиптических функциях действительно расширили поле анализа; и то же самое верно для некоторых определенных интегралов, полученных г-ном Фурье в теории теплоты.

[4] Предположим, например, что вопрос дает следующее уравнение между неизвестной величиной x и двумя известными величинами, a и b,

x^3 + 3ax = 2b,

как это имеет место в задаче трисекции угла. Мы видим сразу, что зависимость между x, с одной стороны, и ab, с другой, полностью определена; но пока уравнение сохраняет свою примитивную форму, мы вовсе не воспринимаем, каким образом неизвестная величина выводится из данных. Это должно быть обнаружено, однако, прежде чем мы сможем думать об определении ее значения. Таков объект алгебраической части решения. Когда путем ряда преобразований, которые последовательно сделали это выведение все более и более очевидным, мы пришли к представлению предложенного уравнения в форме

x = ∛(b + √(b^2 + a^3)) + ∛(b - √(b^2 + a^3)),

работа алгебры закончена; и даже если бы мы не могли выполнить арифметические операции, указанные этой формулой, мы тем не менее получили бы знание весьма реальное и часто весьма важное. Работа арифметики теперь будет состоять в том, чтобы взять эту формулу за свою отправную точку и найти число x, когда значения чисел a и b даны.

[5] Я счел, что должен специально заметить это определение, потому что оно служит основой мнения, которое многие интеллигентные лица, не знакомые с математической наукой, формируют о ее абстрактной части, не учитывая, что во время этого определения математический анализ не был достаточно развит, чтобы позволить общий характер каждой из его главных частей должным образом постичь, что объясняет, почему Ньютон мог в то время предложить определение, которое в настоящее время он бы, безусловно, отверг.

[6] Это менее строго верно в английской системе нумерации, чем во французской, поскольку «двадцать один» является нашим более обычным способом выражения этого числа.

[7] Сколь простым ни может казаться, например, уравнение

a^x + b^x = c^x,

мы еще не знаем, как его решить, что может дать некоторое представление о крайнем несовершенстве этой части алгебры.

[8] Та же ошибка была впоследствии совершена, в младенчестве исчисления бесконечно малых, в отношении интегрирования дифференциальных уравнений.

[9] Фундаментальный принцип, на котором покоится теория уравнений и который столь часто применяется во всем математическом анализе — разложение алгебраических, рациональных и целых функций любой степени на множители первой степени — никогда не применяется иначе как для функций одной переменной, без того чтобы кто-либо исследовал, следует ли его распространять на функции нескольких переменных. Общая невозможность такого разложения продемонстрирована автором детально, но более подобает специальному трактату.

[10] Единственный важный случай этого класса, который до сих пор был полностью рассмотрен, — это общее интегрирование линейных уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами. Даже этот случай в конечном счете зависит от алгебраического решения уравнений степени, равной порядку дифференцирования.

[11] Лейбниц уже рассматривал сравнение одной кривой с другой, бесконечно близкой к ней, называя это «Differentiatio de curva in curvam». Но это сравнение не имело аналогии с концепцией Лагранжа, так как кривые Лейбница были охвачены в одном и том же общем уравнении, из которого они выводились простым изменением произвольной константы.

[12] Я предлагаю в дальнейшем развить это новое соображение в специальной работе по исчислению вариаций, предназначенной представить этот гипертрансцендентный анализ в новой точке зрения, которую я считаю приспособленной для расширения его общего диапазона.

[13] Лакруа справедливо критиковал выражение «твердое тело», обычно используемое геометрами для обозначения объема. Несомненно, в самом деле, что когда мы хотим рассмотреть отдельно некоторую часть неопределенного пространства, мыслимую как газообразная, мы мысленно отверждаем ее внешнюю оболочку, так что линия и поверхность являются привычно, для нашего ума, столь же твердыми, как объем. Можно также заметить, что наиболее обычно, чтобы тела могли проникать друг в друга с большей легкостью, мы вынуждены воображать внутренность объемов полой, что делает еще более чувствительной неуместность слова «твердое тело».

back