«Философское эссе о вероятностях»

Правило, которое мы только что дали для заключения условных уравнений, нормальных уравнений, сводится к тому, чтобы сделать минимумом сумму квадратов ошибок наблюдений; ибо каждое условное уравнение становится точным при подстановке в него наблюдения плюс его ошибка; и если мы извлечем из него выражение этой ошибки, легко увидеть, что условие минимума суммы квадратов этих выражений дает рассматриваемое правило. Это правило тем точнее, чем многочисленнее наблюдения; но даже в том случае, когда их число мало, кажется естественным использовать то же правило, которое во всех случаях предлагает простой способ получения без ощупывания поправок, которые мы стремимся определить. Оно служит далее для сравнения точности различных астрономических таблиц одной и той же звезды. Эти таблицы всегда могут быть предположены как приведенные к одной и той же форме, и тогда они отличаются лишь эпохами, средними движениями и коэффициентами аргументов; ибо если одна из них содержит коэффициент, который не встречается в других, ясно, что это сводится к предположению нуля в них в качестве коэффициента этого аргумента. Если теперь мы исправим эти таблицы совокупностью хороших наблюдений, они будут удовлетворять условию, что сумма квадратов ошибок должна быть минимумом; таблицы, которые по сравнению со значительным числом наблюдений ближе всего подходят к этому условию, заслуживают тогда предпочтения.

Именно в астрономии метод, объясненный выше, может быть использован с преимуществом. Астрономические таблицы обязаны поистине поразительной точностью, которой они достигли, точности наблюдений и теорий, а также использованию условных уравнений, которые заставляют содействовать большое число отличных наблюдений в исправлении одного и того же элемента. Но остается определить вероятность ошибок, которые эта поправка все еще оставляет опасаться; и метод, который я только что объяснил, позволяет нам распознать вероятность этих ошибок. Чтобы дать некоторые интересные его применения, я воспользовался огромной работой, которую г-н Бувар только что закончил по движениям Юпитера и Сатурна, из которых он сформировал очень точные таблицы. Он обсудил с величайшей тщательностью противостояния и квадратуры этих двух планет, наблюдавшиеся Брэдли и астрономами, которые следовали за ним вплоть до последних лет; он заключил поправки элементов их движения и их масс по сравнению с массой солнца, принятой за единицу. Его вычисления дают ему массу Сатурна, равную 3512-й части массы солнца. Применяя к ним мои формулы вероятности, я нахожу, что это пари 11 000 к одному, что ошибка этого результата не составляет 1/100 его значения, или то, что составляет почти то же самое — что после столетия новых наблюдений, добавленных к предыдущим и исследованных таким же образом, новый результат не будет отличаться на 1/100 от результата г-на Бувара. Этот мудрый астроном находит также массу Юпитера, равную 1071-й части солнца; и мой метод вероятности дает пари 1 000 000 к одному, что этот результат не ошибочен на 1/100.

Этот метод может быть использован снова с успехом в геодезических операциях. Мы определяем длину большой дуги на поверхности земли посредством триангуляции, которая зависит от базы, измеренной с точностью. Но какая бы точность ни была привнесена в измерение углов, неизбежные ошибки могут, накапливаясь, вызвать значительное отклонение значения дуги, заключенного из большого числа треугольников, от истины. Мы распознаем это значение, таким образом, лишь несовершенно, если вероятность того, что его ошибка заключена в заданных пределах, не может быть назначена. Ошибка геодезического результата есть функция ошибок углов каждого треугольника. Я дал в цитируемой работе общие формулы для получения вероятности значений одной или нескольких линейных функций большого числа частных ошибок, закон вероятности которых мы знаем; мы можем тогда посредством этих формул определить вероятность того, что ошибка геодезического результата содержится в назначенных пределах, каков бы ни был закон вероятности частных ошибок. Кроме того, более необходимо сделать себя независимыми от закона, поскольку самые простые законы сами по себе всегда бесконечно менее вероятны, видя бесконечное число тех, которые могут существовать в природе. Но неизвестный закон частных ошибок вводит в формулы неопределенность, которая не позволяет свести их к числам, если мы не способны исключить ее. Мы видели, что в астрономических вопросах, где каждое наблюдение предоставляет условное уравнение для получения элементов, мы исключаем эту неопределенность посредством суммы квадратов остатков, когда наиболее вероятные значения элементов были подставлены в каждое уравнение. Геодезические вопросы, не предлагая подобных уравнений, требуют поиска другого средства исключения. Величина, на которую сумма углов каждого наблюдаемого треугольника превышает два прямых угла плюс сферический избыток, предоставляет это средство. Таким образом, мы заменяем суммой квадратов этих величин сумму квадратов остатков условных уравнений; и мы можем назначить в числах вероятность того, что ошибка конечного результата ряда геодезических операций не превысит заданную величину. Но каков наиболее выгодный способ распределения между тремя углами каждого треугольника наблюдаемой суммы их ошибок? Анализ вероятностей делает очевидным, что каждый угол должен быть уменьшен на треть этой суммы, при условии, что вес геодезического результата будет наибольшим возможным, что делает ту же ошибку менее вероятной. Существует тогда большое преимущество в наблюдении трех углов каждого треугольника и их исправлении, как мы только что сказали. Простой здравый смысл указывает на это преимущество; но только исчисление вероятностей способно оценить его и сделать очевидным, что посредством этой поправки оно становится наибольшим возможным.

Чтобы убедиться в точности значения большой дуги, которая опирается на базу, измеренную на одном из ее концов, измеряют вторую базу к другому концу; и заключают из одной из этих баз длину другой. Если эта длина очень мало варьируется от наблюдения, есть все основания полагать, что цепь треугольников, которая соединяет эти базы, весьма близка к точной, а также значение большой дуги, которое из нее следует. Исправляют, таким образом, это значение, модифицируя углы треугольников таким образом, чтобы база была вычислена согласно измеренным базам. Но это может быть сделано бесконечным числом способов, среди которых предпочтителен тот, геодезический результат которого имеет наибольший вес, поскольку та же ошибка становится менее вероятной. Анализ вероятностей дает формулы для получения непосредственно наиболее выгодной поправки, которая следует из измерений нескольких баз и законов вероятности, которые делает умножение баз — законы, которые становятся очень быстро убывающими из-за этой множественности.

Обычно ошибки результатов, выведенных из большого числа наблюдений, являются линейными функциями частных ошибок каждого наблюдения. Коэффициенты этих функций зависят от природы задачи и от процесса, которому следовали для получения результатов. Наиболее выгодный процесс — это, очевидно, тот, в котором та же ошибка в результатах менее вероятна, чем согласно любому другому процессу. Применение исчисления вероятностей к натуральной философии состоит, таким образом, в аналитическом определении вероятности значений этих функций и в выборе их неопределенных коэффициентов таким образом, чтобы закон этой вероятности был наиболее быстро убывающим. Исключая, таким образом, из формул посредством данных вопроса множитель, который вводится почти всегда неизвестным законом вероятности частных ошибок, мы можем быть способны оценить численно вероятность того, что ошибки результатов не превышают заданную величину. Мы будем иметь таким образом все, что можно желать, касающееся результатов, выведенных из большого числа наблюдений.

Очень приближенные результаты могут быть получены другими соображениями. Предположим, например, что у кого-то есть тысяча одно наблюдение одной и той же величины; арифметическое среднее всех этих наблюдений есть результат, данный наиболее выгодным методом. Но можно было бы выбрать результат согласно условию, что сумма отклонений от каждого частного значения, все взятые положительно, должна быть минимумом. Кажется действительно естественным рассматривать как очень приближенный результат, который удовлетворяет этому условию. Легко увидеть, что если расположить значения, данные наблюдениями, согласно порядку величины, значение, которое займет среднее, выполнит предыдущее условие, и исчисление делает очевидным, что в случае бесконечного числа наблюдений оно совпало бы с истиной; но результат, данный наиболее выгодным методом, все же предпочтительнее.

Мы видим из того, что предшествует, что теория вероятностей не оставляет ничего произвольного в способе распределения ошибок наблюдений; она дает для этого распределения наиболее выгодные формулы, которые уменьшают насколько возможно ошибки, которых следует опасаться в результатах.

Рассмотрение вероятностей может служить для различения малых нерегулярностей небесных движений, окутанных ошибками наблюдений, и для возвращения к причине аномалий, наблюдаемых в этих движениях.

Сравнивая все наблюдения, именно Тихо Браге распознал необходимость применения к луне уравнения времени, отличного от того, которое было применено к солнцу и планетам. Именно совокупность большого числа наблюдений заставила Майера распознать, что коэффициент неравенства прецессии должен быть немного уменьшен для луны. Но поскольку это уменьшение, хотя и подтвержденное и даже увеличенное Мейсоном, не казалось вытекающим из всемирного тяготения, большинство астрономов пренебрегают им в своих вычислениях. Подчинив исчислению вероятностей значительное число лунных наблюдений, выбранных для этой цели и которые г-н Бувар согласился исследовать по моей просьбе, оно показалось мне указанным с такой сильной вероятностью, что я полагал, что причина его должна быть исследована. Я вскоре увидел, что это может быть только эллиптичность земного сфероида, пренебрегаемая до того времени в теории лунного движения как способная производить лишь незаметные члены. Я заключил, что эти члены становятся заметными посредством последовательных интегрирований дифференциальных уравнений. Я определил тогда эти члены посредством особого анализа и обнаружил сначала неравенство лунного движения по широте, которое пропорционально синусу долготы луны, чего ни один астроном ранее не подозревал. Я распознал тогда посредством этого неравенства, что другое существует в лунном движении по долготе, которое производит уменьшение, наблюдаемое Майером в уравнении прецессии, применимом к луне. Величина этого уменьшения и коэффициент предыдущего неравенства по широте весьма подходят для фиксации сплюснутости земли. Сообщив мои исследования г-ну Бургу, который был занят в то время совершенствованием таблиц луны посредством сравнения всех хороших наблюдений, я попросил его определить с особой тщательностью эти две величины. По весьма замечательному согласию значения, которые он нашел, дают земле ту же сплюснутость, 1/305, которая мало отличается от средней, выведенной из измерений градусов меридиана и маятника; но те, рассматриваемые с точки зрения влияния ошибок наблюдений и возмущающих причин в этих измерениях, не показались мне точно определенными этими лунными неравенствами.

Именно опять-таки посредством рассмотрения вероятностей я распознал причину векового уравнения луны. Современные наблюдения этой звезды, сравненные с древними затмениями, указали астрономам на ускорение в лунном движении; но геометры, и в частности Лагранж, тщетно искавшие в возмущениях, которые это движение испытывало, члены, от которых зависит это ускорение, отвергают его. Внимательное изучение древних и современных наблюдений и промежуточных затмений, наблюдаемых арабами, убедило меня, что оно указано с большой вероятностью. Я взялся тогда опять с этой точки зрения за лунную теорию и распознал, что вековое уравнение луны обусловлено действием солнца на этот спутник, соединенным с вековым изменением эксцентриситета земной орбиты; это привело меня к открытию вековых уравнений движений узлов и перигеев лунной орбиты, каковые уравнения не были даже подозреваемы астрономами. Весьма замечательное согласие этой теории со всеми древними и современными наблюдениями привело ее к очень высокой степени очевидности.

Исчисление вероятностей привело меня подобным образом к причине великих нерегулярностей Юпитера и Сатурна. Сравнивая современные наблюдения с древними, Галлей нашел ускорение в движении Юпитера и замедление в движении Сатурна. Чтобы примирить наблюдения, он свел движения к двум вековым уравнениям противоположных знаков, возрастающим как квадраты времен, прошедших с 1700 года. Эйлер и Лагранж подвергли анализу изменения, которые взаимное притяжение этих двух планет должно производить в этих движениях. Они нашли при этом вековые уравнения; но их результаты были столь различны, что один из двух по крайней мере должен быть ошибочным. Я решил тогда взяться опять за эту важную проблему небесной механики и распознал инвариантность средних планетных движений, что аннулировало вековые уравнения, введенные Галлеем в таблицы Юпитера и Сатурна. Таким образом, остаются, чтобы объяснить великую нерегулярность этих планет, только притяжения комет, к которым многие астрономы эффективно прибегали, или существование нерегулярности в течение долгого периода, произведенной в движениях двух планет их взаимным действием и затронутой противоположными знаками для каждой из них. Теорема, которую я нашел в отношении неравенств такого рода, сделала это неравенство весьма вероятным. Согласно этой теореме, если движение Юпитера ускоряется, движение Сатурна замедляется, что уже соответствовало тому, что Галлей заметил; более того, ускорение Юпитера, вытекающее из той же теоремы, относится к замедлению Сатурна весьма близко в отношении вековых уравнений, предложенных Галлеем. Рассматривая средние движения Юпитера и Сатурна, я был способен легко распознать, что два раза движение Юпитера отличается лишь на очень малую величину от пяти раз движения Сатурна. Период нерегулярности, которая имела бы в качестве аргумента эту разницу, был бы около девяти столетий. Действительно, ее коэффициент был бы порядка кубов эксцентриситетов орбит; но я знал, что в силу последовательных интегрирований она приобретала в качестве делителя квадрат очень малого множителя времени в аргументе этого неравенства, который способен дать ей большое значение; существование этого неравенства показалось мне тогда весьма вероятным. Следующее наблюдение увеличило тогда его вероятность. Предполагая его аргумент равным нулю к эпохе наблюдений Тихо Браге, я увидел, что Галлей должен был найти посредством сравнения современных с древними наблюдениями изменения, которые он указал; в то время как сравнение современных наблюдений между собой должно предлагать противоположные изменения, подобные тем, которые Ламберт заключил из этого сравнения. Я не колебался тогда вовсе предпринять этот долгий и утомительный расчет, необходимый, чтобы убедиться в этом неравенстве. Оно было полностью подтверждено результатом этого расчета, который, более того, заставил меня распознать большое число других неравенств, совокупность которых склонила таблицы Юпитера и Сатурна к точности тех же наблюдений.

Именно опять-таки посредством исчисления вероятностей я распознал замечательный закон средних движений трех первых спутников Юпитера, согласно которому средняя долгота первого минус три раза долгота второго плюс два раза долгота третьего строго равна полуокружности. Приближение, с которым средние движения этих звезд удовлетворяют этому закону с момента их открытия, указывает на его существование с чрезвычайной вероятностью. Я искал тогда причину его в их взаимном действии. Тщательное изучение этого действия убедило меня, что было достаточно, если в начале отношения их средних движений приближались к этому закону в определенных пределах, потому что их взаимное действие установило и поддерживало его строго. Таким образом, эти три тела будут уравновешивать друг друга вечно в пространстве согласно предыдущему закону, если только странные причины, такие как кометы, не изменят внезапно их движения вокруг Юпитера.

Соответственно, видно, как необходимо быть внимательным к указаниям природы, когда они являются результатом большого числа наблюдений, хотя в других отношениях они могут быть необъяснимы известными средствами. Чрезвычайная трудность проблем, относящихся к системе мира, вынудила геометров прибегнуть к приближению, которое всегда оставляет место для опасения, что пренебрегаемые величины могут иметь заметное влияние. Когда они были предупреждены об этом влиянии наблюдениями, они прибегали к своему анализу; исправляя его, они всегда находили причину наблюдаемых аномалий; они определяли законы и часто они предвосхищали наблюдения, обнаруживая неравенства, которые они еще не указывали. Таким образом, можно сказать, что природа сама содействовала аналитическому совершенствованию теорий, основанных на принципе всемирного тяготения; и это, на мой взгляд, одно из самых сильных доказательств истины этого восхитительного принципа.

В случаях, которые я только что рассмотрел, аналитическое решение вопроса изменило вероятность причин в достоверность. Но чаще всего это решение невозможно, и остается только увеличивать все более эту вероятность. Посреди многочисленных и неисчислимых модификаций, которые действие причин получает тогда от странных обстоятельств, эти причины сохраняют всегда с наблюдаемыми эффектами надлежащие отношения, чтобы сделать их распознаваемыми и верифицировать их существование. Определяя эти отношения и сравнивая их с большим числом наблюдений, если обнаруживается, что они постоянно удовлетворяют им, вероятность причин может возрасти до точки, равной вероятности фактов, в отношении которых нет сомнений. Исследование этих отношений причин к их эффектам не менее полезно в натуральной философии, чем прямое решение проблем, будь то для верификации реальности этих причин или для определения законов из их эффектов; поскольку оно может быть использовано в большом числе вопросов, прямое решение которых невозможно, оно заменяет его наиболее выгодным образом. Я обсужу здесь применение, которое я сделал из него к одному из самых интересных явлений природы, приливу и отливу моря.

Плиний дал описание этого явления, примечательное своей точностью, и из него видно, что древние наблюдали, что приливы каждого месяца бывают наибольшими вблизи сизигий и наименьшими вблизи квадратур; что они выше в перигеях, чем в апогеях Луны, и выше в равноденствия, чем в солнцестояния. Они заключили из этого, что данное явление обусловлено воздействием Солнца и Луны на море. В предисловии к своей работе «De Stella Martis» Кеплер допускает существование тенденции вод моря к Луне; но, не зная закона этой тенденции, он смог дать по этому поводу лишь вероятное представление. Ньютон превратил вероятность этой идеи в достоверность, связав ее со своим великим принципом всемирного тяготения. Он дал точное выражение сил притяжения, которые вызывали прилив и отлив моря; и для определения эффектов он предположил, что море в каждый момент принимает положение равновесия, соответствующее этим силам. Таким образом он объяснил основные явления приливов; но из этой теории следовало, что в наших портах два прилива одного и того же дня были бы очень неравными, если бы Солнце и Луна имели большое склонение. В Бресте, например, вечерний прилив в сизигии солнцестояний был бы примерно в восемь раз больше утреннего прилива, что, безусловно, противоречит наблюдениям, доказывающим, что эти два прилива почти равны. Этот результат ньютоновской теории мог быть связан с предположением, что море в каждый момент находится в положении равновесия, — предположением, которое вовсе не является допустимым. Но исследование истинной фигуры моря представляет большие трудности. Опираясь на открытия, которые геометры только что сделали в теории движения жидкостей и в исчислении конечных разностей, я предпринял это исследование и вывел дифференциальные уравнения движения моря, предположив, что оно покрывает всю Землю. Приблизившись таким образом к природе, я получил удовлетворение, увидев, что мои результаты приближаются к наблюдениям, особенно в отношении небольшой разницы, существующей в наших портах между двумя приливами сизигий солнцестояний одного и того же дня. Я обнаружил, что они были бы равны, если бы море повсюду имело одинаковую глубину; я обнаружил далее, что, придавая этой глубине удобные значения, можно было увеличить высоту приливов в порту в соответствии с наблюдениями. Но эти исследования, несмотря на их общность, вовсе не удовлетворили большим различиям, которые даже соседние порты представляют в этом отношении и которые доказывают влияние местных обстоятельств. Невозможность узнать эти обстоятельства, нерегулярность бассейна морей и невозможность интегрирования соответствующих уравнений в частных производных вынудили меня восполнить этот недостаток методом, который я указал выше. Затем я попытался определить наибольшие возможные отношения между силами, которые воздействуют на все молекулы моря, и их эффектами, наблюдаемыми в наших портах. Для этого я воспользовался следующим принципом, который может быть применен ко многим другим явлениям.

«Состояние системы тел, в которой первоначальные условия движения исчезли из-за сопротивлений, встречаемых этим движением, является периодическим, как и силы, которые его оживляют».

Соединив этот принцип с принципом сосуществования очень малых колебаний, я нашел выражение высоты приливов, произвольные величины которого содержат влияние местных обстоятельств каждого порта и сведены к наименьшему возможному числу; необходимо лишь сравнить его с большим количеством наблюдений.

По приглашению Академии наук в начале прошлого века в Бресте были проведены наблюдения за приливами, которые продолжались в течение шести лет подряд. Положение этого порта очень благоприятно для такого рода наблюдений; он сообщается с морем через канал, который впадает в обширный рейд, в глубине которого и был построен порт. Нерегулярности моря распространяются таким образом лишь в малой степени в порт, точно так же, как колебания, которые нерегулярное движение судна производит в барометре, уменьшаются благодаря сужению, сделанному в трубке этого инструмента. Более того, поскольку приливы в Бресте значительны, случайные вариации, вызванные ветрами, лишь слабы; точно так же мы замечаем в наблюдениях этих приливов, как бы мало мы их ни умножали, большую регулярность, которая побудила меня предложить правительству заказать в этом порту новую серию наблюдений приливов, продолженную в течение периода движения узлов лунной орбиты. Это было сделано. Наблюдения начались 1 июня 1806 года; и с этого времени они проводились каждый день без перерыва. Я обязан неутомимому усердию г-на Бувара всем, что касается астрономии, и огромными расчетами, которых потребовало сравнение моего анализа с наблюдениями. Было использовано около шести тысяч наблюдений, сделанных в течение 1807 года и пятнадцати последующих лет. Из этого сравнения следует, что мои формулы представляют с замечательной точностью все разновидности приливов, относящиеся к удалению Луны от Солнца, к склонению этих светил, к их расстояниям от Земли и к законам изменения при максимуме и минимуме каждого из этих элементов. Из этого согласия вытекает вероятность того, что прилив и отлив моря обусловлены притяжением Солнца и Луны, настолько приближающаяся к достоверности, что она не должна оставлять места для разумных сомнений. Она превращается в достоверность, когда мы учитываем, что это притяжение выводится из закона всемирного тяготения, доказанного всеми небесными явлениями.

Воздействие Луны на море более чем вдвое превышает воздействие Солнца. Ньютон и его преемники при развитии этого действия обращали внимание только на члены, деленные на куб расстояния от Луны до Земли, полагая, что эффекты, обусловленные последующими членами, должны быть незначительными. Но исчисление вероятностей проясняет нам, что малейшие эффекты регулярных причин могут проявиться в результатах большого числа наблюдений, расположенных в порядке, наиболее подходящем для их выявления. Это исчисление снова определяет их вероятность и то, до какой степени необходимо умножать наблюдения, чтобы сделать ее очень большой. Применяя его к многочисленным наблюдениям, обсужденным г-ном Буваром, я признал, что в Бресте воздействие Луны на море больше в полнолуния, чем в новолуния, и больше, когда Луна находится в южном склонении, чем когда она в северном, — явления, которые могут быть результатом только членов лунного воздействия, деленных на четвертую степень расстояния от Луны до Земли.

Чтобы достичь океана, воздействие Солнца и Луны проходит через атмосферу, которая, следовательно, должна ощущать его влияние и подвергаться движениям, подобным движениям моря.

Эти движения производят в барометре периодические колебания. Анализ прояснил мне, что они незначительны в наших климатических условиях. Но поскольку местные обстоятельства значительно увеличивают приливы в наших портах, я снова задался вопросом, не сделали ли подобные обстоятельства ощутимыми эти колебания барометра. Для этого я воспользовался метеорологическими наблюдениями, которые проводились каждый день в течение многих лет в Королевской обсерватории. Высота барометра и термометра наблюдается там в девять часов утра, в полдень, в три часа дня и в одиннадцать часов вечера. Г-н Бувар действительно пожелал рассмотреть наблюдения восьми лет, прошедших с 1 октября 1815 года по 1 октября 1823 года, по регистрам. Располагая наблюдения в порядке, наиболее подходящем для выявления лунного атмосферного прилива в Париже, я нахожу лишь одну восемнадцатую миллиметра для величины соответствующего колебания барометра. Именно это особенно заставило нас почувствовать необходимость в методе определения вероятности результата, и без этого метода приходится выдавать за законы природы результаты нерегулярных причин, что часто случалось в метеорологии. Этот метод, примененный к предыдущему результату, показывает его неопределенность, несмотря на большое количество использованных наблюдений, которые необходимо было бы увеличить в десять раз, чтобы получить достаточно вероятный результат.

Принцип, который служит основой для моей теории приливов, может быть распространен на все эффекты случая, к которым присоединяются переменные причины согласно регулярным законам. Действие этих причин производит в средних результатах большого числа эффектов разновидности, которые следуют тем же законам и которые можно распознать с помощью анализа вероятностей. По мере того как эти эффекты умножаются, эти разновидности проявляются с постоянно возрастающей вероятностью, которая приближалась бы к достоверности, если бы число эффектов результатов стало бесконечным. Эта теорема аналогична той, которую я уже развил относительно действия постоянных причин. Всякий раз, следовательно, когда причина, чей прогресс регулярен, может оказывать влияние на род событий, мы можем попытаться обнаружить ее влияние, умножая наблюдения и располагая их в порядке, наиболее подходящем для его выявления. Когда это влияние, по-видимому, проявляется, анализ вероятностей определяет вероятность его существования и его интенсивности; так, изменение температуры от дня к ночи, изменяющее давление атмосферы и, следовательно, высоту барометра, заставляет думать, что умноженные наблюдения этих высот должны показать влияние солнечного тепла. Действительно, давно было признано на экваторе, где это влияние, по-видимому, является наибольшим, небольшое суточное изменение высоты барометра, максимум которого приходится примерно на девять часов утра, а минимум — примерно на три часа дня. Второй максимум приходится примерно на одиннадцать часов вечера, а второй минимум — примерно на четыре часа утра. Ночные колебания меньше дневных, величина которых составляет около двух миллиметров. Непостоянство нашего климата не лишило этой вариации наших наблюдателей, хотя она может быть менее ощутимой, чем в тропиках. Г-н Рамон распознал и определил ее в Клермоне, главном городе округа Пюи-де-Дом, с помощью серии точных наблюдений, сделанных в течение нескольких лет; он даже обнаружил, что она меньше в зимние месяцы, чем в другие месяцы. Многочисленные наблюдения, которые я обсудил, чтобы оценить влияние притяжений Солнца и Луны на барометрические высоты в Париже, послужили мне для определения их суточного изменения. Сравнивая высоты в девять часов утра с высотами тех же дней в три часа дня, это изменение проявляется с такой очевидностью, что его среднее значение каждый месяц было постоянно положительным для каждого из семидесяти двух месяцев с 1 января 1817 года по 1 января 1823 года; его среднее значение за эти семьдесят два месяца составило почти 0,8 миллиметра, что немного меньше, чем в Клермоне, и намного меньше, чем на экваторе. Я признал, что средний результат суточных изменений барометра с 9 часов утра до 3 часов дня составил всего 0,5428 миллиметра в три месяца ноября, декабря, января и что он поднялся до 1,0563 миллиметра в три последующих месяца, что совпадает с наблюдениями г-на Рамона. Другие месяцы не предлагают ничего подобного.

Чтобы применить к этим явлениям исчисление вероятностей, я начал с определения закона вероятности аномалий суточного изменения, обусловленных случаем. Применив его затем к наблюдениям этого явления, я обнаружил, что это пари более чем 300 000 против одного, что его произвела регулярная причина. Я не стремлюсь определить эту причину; я довольствуюсь констатацией ее существования. Период суточного изменения, регулируемый солнечными сутками, очевидно указывает на то, что это изменение обусловлено действием Солнца. Крайняя малость притягательного действия Солнца на атмосферу доказана малостью эффектов, обусловленных объединенными притяжениями Солнца и Луны. Значит, именно действием своего тепла Солнце производит суточное изменение барометра; но невозможно подвергнуть исчислению эффекты его действия на высоту барометра и на ветры. Суточное изменение магнитной стрелки, безусловно, является результатом действия Солнца. Но действует ли это светило здесь, как и при суточном изменении барометра, своим теплом или своим влиянием на электричество и на магнетизм, или, наконец, соединением этих влияний? Длинная серия наблюдений, сделанных в разных странах, позволит нам это понять.

Одним из самых замечательных явлений системы мира является то, что все движения вращения и обращения планет и спутников происходят в направлении вращения Солнца и примерно в той же плоскости его экватора. Столь замечательное явление не является эффектом случая: оно указывает на общую причину, которая определила все его движения. Чтобы получить вероятность, с которой эта причина указана, мы заметим, что планетная система, какой мы ее знаем сегодня, состоит из одиннадцати планет и по меньшей мере восемнадцати спутников, если мы припишем, вслед за Гершелем, шесть спутников планете Уран. Были распознаны движения вращения Солнца, шести планет, Луны, спутников Юпитера, кольца Сатурна и одного из его спутников. Эти движения образуют вместе с движениями обращения совокупность сорока трех движений, направленных в одну и ту же сторону; но с помощью анализа вероятностей обнаруживается, что это пари более чем 4 000 000 000 000 против одного, что это расположение не является результатом случая; это образует вероятность, действительно превосходящую вероятность исторических событий, в отношении которых не существует никаких сомнений. Мы должны, следовательно, верить по крайней мере с равной уверенностью, что первоначальная причина направила планетные движения, особенно если мы учтем, что наклон наибольшего числа этих движений к солнечному экватору очень мал.

Другим столь же замечательным явлением солнечной системы является малая степень эксцентриситета орбит планет и спутников, в то время как орбиты комет очень вытянуты, причем орбиты системы не предлагают никаких промежуточных оттенков между большим и малым эксцентриситетом. Мы снова вынуждены признать здесь эффект регулярной причины; случай, безусловно, не придал почти круговую форму орбитам всех планет и их спутников; значит, причина, которая определила движения этих тел, сделала их почти круговыми. Необходимо, опять же, чтобы большие эксцентриситеты орбит комет были результатом существования этой причины, не повлияв на направление их движений; ибо обнаружено, что существует почти столько же ретроградных комет, сколько и прямых, и что средний наклон всех их орбит к эклиптике очень близок к половине прямого угла, как это и должно быть, если бы тела были брошены наудачу.

Какова бы ни была природа рассматриваемой причины, поскольку она произвела или направила движение планет, необходимо, чтобы она охватила все тела и учла все расстояния, которые их разделяют; это могла быть только жидкость огромного протяжения. Поэтому, чтобы придать им в одну и ту же сторону почти круговое движение вокруг Солнца, необходимо, чтобы эта жидкость окружала это светило как атмосфера. Рассмотрение планетных движений приводит нас, следовательно, к мысли, что в силу чрезмерного тепла атмосфера Солнца была первоначально распространена за пределы орбит всех планет и что она постепенно сократилась до своих нынешних пределов.

В первоначальном состоянии, в котором мы представляем себе Солнце, оно напоминало туманности, которые телескоп показывает нам состоящими из ядра, более или менее блестящего, окруженного туманностью, которая, конденсируясь на поверхности, должна превратить его когда-нибудь в звезду. Если представить себе по аналогии все звезды, сформированные таким образом, можно вообразить их предшествующее состояние туманности, самой по себе предшествуемой другими звездами, в которых туманная материя была все более и более диффузной, а ядро было все менее и менее светящимся и плотным. Возвращаясь, следовательно, как можно дальше назад, можно было бы прийти к туманности настолько диффузной, что едва можно было бы заподозрить ее существование.

Таково действительно первое состояние туманностей, которые Гершель наблюдал с особым вниманием с помощью своих мощных телескопов и в которых он проследил прогресс конденсации, не в одной-единственной, эти стадии не становятся для нас ощутимыми иначе как через столетия, а в их совокупности, примерно так же, как можно в обширном лесу проследить рост деревьев по особям разных возрастов, которые содержит лес. Он наблюдал с самого начала туманную материю, разбросанную в разных массах в различных частях небес, которые она занимает в большом объеме. Он видел в некоторых из этих масс эту материю слегка конденсированной вокруг одной или нескольких слабо светящихся туманностей. В других туманностях эти ядра сияют, более того, пропорционально туманности, которая их окружает. Атмосферы каждого ядра, становясь разделенными последующей конденсацией, приводят к многократным туманностям, образованным блестящими ядрами, очень близкими и окруженными каждое атмосферой; иногда туманная материя, конденсируясь равномерным образом, производила туманности, которые называются планетарными. Наконец, большая степень конденсации превращает все эти туманности в звезды. Туманности, классифицированные согласно этому философскому взгляду, указывают с чрезвычайной вероятностью на их будущее превращение в звезды и на предшествующее состояние туманности существующих звезд. Следующие соображения приходят на помощь доказательствам, извлеченным из этих аналогий.

Долгое время особое расположение определенных звезд, видимых невооруженным глазом, поражало внимание философских наблюдателей. Митчел уже заметил, насколько невероятно, чтобы звезды Плеяд, например, были ограничены в узком пространстве, которое их содержит, только случайностями, и он заключил из этого, что эта группа звезд и подобные группы, которые представляет нам небо, являются результатами первоначальной причины или общего закона природы. Эти группы являются необходимым результатом конденсации туманностей в нескольких ядрах; очевидно, что туманная материя, непрерывно притягиваемая различными ядрами, должна со временем образовать группу звезд, равную группе Плеяд. Конденсация туманностей в двух ядрах образует подобным образом очень близкие звезды, вращающиеся одна вокруг другой, равные тем, чьи соответствующие движения Гершель уже рассматривал. Таковы, далее, 61-я Лебедя и следующая за ней, в которых Бессель только что распознал особые движения, настолько значительные и настолько мало отличающиеся, что близость этих звезд друг к другу и их движение вокруг общего центра тяжести не должны оставлять сомнений. Таким образом, спускаются постепенно от конденсации туманной материи к рассмотрению Солнца, окруженного некогда обширной атмосферой, рассмотрению, к которому возвращаются, как было видно, путем исследования явлений солнечной системы. Столь замечательный случай придает существованию этого предшествующего состояния Солнца вероятность, сильно приближающуюся к достоверности.

Но как солнечная атмосфера определила движения вращения и обращения планет и спутников? Если бы эти тела глубоко проникли в атмосферу, ее сопротивление заставило бы их упасть на Солнце; тогда приходишь к мысли с большой вероятностью, что планеты были сформированы на последовательных пределах солнечной атмосферы, которая, сокращаясь от холода, должна была оставить в плоскости своего экватора зоны паров, которые взаимное притяжение их молекул превратило в различные сфероиды. Спутники были подобным образом сформированы атмосферами их соответствующих планет.

Я подробно развил в своем «Изложении системы мира» эту гипотезу, которая, как мне кажется, удовлетворяет всем явлениям, которые представляет нам эта система. Я ограничусь здесь рассмотрением того, что угловая скорость вращения Солнца и планет, ускоряемая последовательной конденсацией их атмосфер на их поверхностях, должна превосходить угловую скорость обращения ближайших тел, которые вращаются вокруг них. Наблюдение действительно подтвердило это в отношении планет и спутников, и даже в отношении кольца Сатурна, продолжительность обращения которого составляет 0,438 суток, в то время как продолжительность вращения Сатурна составляет 0,427 суток.

В этой гипотезе кометы являются чуждыми планетной системе. Связывая их формирование с формированием туманностей, их можно рассматривать как маленькие туманности с ядрами, блуждающие от системы к солнечной системе и сформированные конденсацией туманной материи, разбросанной в таком большом изобилии во Вселенной. Кометы были бы таким образом, по отношению к нашей системе, как аэролиты по отношению к Земле, для которой они казались бы чуждыми. Когда эти светила становятся видимыми для нас, они предлагают настолько совершенное сходство с туманностями, что их часто путают с ними; и только по их движению или по знанию всех туманностей, ограниченных той частью небес, где они появляются, нам удается их различить. Это предположение объясняет счастливым образом большое расширение, которое принимают головы и хвосты комет по мере того, как они приближаются к Солнцу, и крайнюю разреженность этих хвостов, которые, несмотря на свою огромную глубину, вовсе не ослабляют заметно свет звезд, на которые мы смотрим сквозь них.

Когда маленькие туманности попадают в ту часть пространства, где притяжение Солнца является преобладающим и которую мы назовем сферой активности этого светила, оно заставляет их описывать эллиптические или гиперболические орбиты. Но их скорость, будучи одинаково возможной во всех направлениях, они должны двигаться безразлично во всех смыслах и при всех наклонах эклиптики, что соответствует тому, что наблюдалось.

Большой эксцентриситет кометных орбит вытекает опять же из предыдущей гипотезы. Действительно, если эти орбиты эллиптические, они очень вытянуты, поскольку их большие оси по меньшей мере равны радиусу сферы активности Солнца. Но эти орбиты могут быть гиперболическими; и если оси этих гипербол не очень велики по отношению к среднему расстоянию от Солнца до Земли, движение комет, которые их описывают, будет казаться заметно гиперболическим. Однако из ста комет, элементы которых у нас уже есть, ни одна не показалась определенно движущейся по гиперболе; необходимо, следовательно, чтобы шансы, которые дают заметную гиперболу, были чрезвычайно редкими по отношению к противоположным шансам.

Кометы настолько малы, что для того, чтобы стать видимыми, их перигелийное расстояние должно быть незначительным. До настоящего времени это расстояние превышало лишь дважды диаметр земной орбиты, и чаще всего оно было ниже радиуса этой орбиты. Задумывается, что для того, чтобы приблизиться так близко к Солнцу, их скорость в момент входа в его сферу активности должна иметь величину и направление, ограниченные узкими пределами. Определяя с помощью анализа вероятностей отношение шансов, которые в этих пределах дают заметную гиперболу, к шансам, которые дают орбиту, которую можно спутать с параболой, я обнаружил, что это пари по меньшей мере 6000 против одного, что туманность, которая проникает в активность Солнца таким образом, чтобы быть наблюдаемой, опишет либо очень вытянутый эллипс, либо гиперболу. По величине своей оси последняя будет заметно спутана с параболой в той части, которая наблюдается; значит, неудивительно, что до этого времени гиперболические движения не были распознаны.

Притяжение планет и, возможно, далее, сопротивление эфирных центров должны были изменить многие кометные орбиты в эллипсы, большая ось которых меньше радиуса сферы активности Солнца, что увеличивает шансы эллиптических орбит. Мы можем верить, что это изменение произошло с кометой 1759 года и с кометой, продолжительность которой составляет всего двенадцатьсот дней и которая будет появляться без конца в этом коротком интервале, если только испарение, которое она встречает при каждом своем возвращении к перигелию, не закончит тем, что сделает ее невидимой.

Мы можем далее, с помощью анализа вероятностей, проверить существование или влияние определенных причин, действие которых, как полагают, существует на организованных существах. Из всех инструментов, которые мы можем использовать, чтобы распознать незаметные агенты природы, самыми чувствительными являются нервы, особенно когда особые причины увеличивают их чувствительность. Именно с их помощью было обнаружено слабое электричество, которое развивает контакт двух гетерогенных металлов; это открыло обширное поле для исследований физиков и химиков. Сингулярные явления, которые возникают из-за крайней чувствительности нервов у некоторых индивидуумов, породили различные мнения о существовании нового агента, который был назван животным магнетизмом, о действии на обычный магнетизм и о влиянии Солнца и Луны при некоторых нервных заболеваниях, и, наконец, о впечатлениях, которые заставляют чувствовать близость металлов или проточной воды. Естественно думать, что действие этих причин очень слабое и что оно может быть легко нарушено случайными обстоятельствами; поэтому, поскольку в некоторых случаях оно вовсе не проявляется, его существование не следует отрицать. Мы настолько далеки от того, чтобы распознать все агенты природы и их различные способы действия, что было бы нефилософски отрицать явления только потому, что они необъяснимы в нынешнем состоянии наших знаний. Но мы должны изучать их с вниманием тем более скрупулезным, чем более трудным кажется их допустить; и именно здесь исчисление вероятностей становится незаменимым при определении того, до какой именно точки необходимо умножать наблюдения или опыты, чтобы получить в пользу агентов, которые они указывают, вероятность, превосходящую причины, которые могут быть получены в другом месте для того, чтобы их не допускать.

Исчисление вероятностей может сделать ощутимыми преимущества и неудобства методов, применяемых в спекулятивных науках. Так, чтобы распознать лучшее из методов лечения, используемых при исцелении болезни, достаточно испытать каждое из них на равном количестве пациентов, сделав все условия точно одинаковыми; превосходство наиболее выгодного лечения будет проявляться все больше и больше по мере того, как число будет увеличиваться; и исчисление сделает очевидной соответствующую вероятность его преимущества и отношение, согласно которому оно превосходит другие.

ГЛАВА X. ПРИМЕНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К МОРАЛЬНЫМ НАУКАМ.

Мы только что видели преимущества анализа вероятностей в исследовании законов природных явлений, причины которых неизвестны или настолько сложны, что их результаты не могут быть подвергнуты исчислению. Это случай почти всех предметов моральных наук. Так много непредвиденных причин, либо скрытых, либо неощутимых, влияют на человеческие институты, что невозможно судить a priori о результатах. Серия событий, которые приносит время, развивает эти результаты и указывает средства исправления тех, которые являются вредными. Мудрые законы часто были сделаны в этом отношении; но поскольку мы пренебрегли сохранением мотивов, многие были отменены как бесполезные, и тот факт, что досадные опыты заставили вновь почувствовать потребность, должен был восстановить их.

Очень важно вести в каждой отрасли государственного управления точный реестр результатов, которые произвели различные использованные средства и которые являются столь многими опытами, сделанными в большом масштабе правительствами. Давайте применим к политическим и моральным наукам метод, основанный на наблюдении и на исчислении, метод, который так хорошо послужил нам в естественных науках. Давайте не будем оказывать ни в малейшей степени бесполезное и часто опасное сопротивление неизбежным эффектам прогресса знаний; но давайте изменять лишь с крайней осмотрительностью наши институты и обычаи, к которым мы уже так долго приспосабливались. Мы должны хорошо знать по опыту прошлого трудности, которые они представляют; но мы невежественны в отношении степени зол, которые их изменение может произвести. В этом невежестве теория вероятности направляет нас избегать всякого изменения; особенно необходимо избегать внезапных изменений, которые в моральном мире, так же как и в физическом мире, никогда не действуют без большой потери жизненной силы.

Уже исчисление вероятностей было применено с успехом к нескольким предметам моральных наук. Я представлю здесь основные результаты.

ГЛАВА XI. О ВЕРОЯТНОСТЯХ СВИДЕТЕЛЬСТВ.

Большинство наших мнений основано на вероятности доказательств, поэтому действительно важно подвергнуть ее исчислению. Вещи, это правда, часто становятся невозможными из-за трудности оценки правдивости свидетелей и из-за большого числа обстоятельств, которые сопровождают деяния, которые они подтверждают; но можно в нескольких случаях разрешить задачи, которые имеют много аналогии с вопросами, которые предложены и чьи решения могут рассматриваться как подходящие приближения, чтобы направлять и защищать нас от ошибок и опасностей ложных рассуждений, которым мы подвержены. Приближение такого рода, когда оно хорошо сделано, всегда предпочтительнее самых благовидных рассуждений. Давайте попробуем тогда дать некоторые общие правила для его получения.

Одиночный номер был вытянут из урны, которая содержит тысячу их. Свидетель этого вытягивания объявляет, что вытянут номер 79; спрашивают вероятность вытягивания этого номера. Давайте предположим, что опыт дал знать, что этот свидетель обманывает один раз из десяти, так что вероятность его свидетельства составляет 9/10. Здесь наблюдаемое событие — это свидетель, свидетельствующий, что номер 79 вытянут. Это событие может произойти из двух следующих гипотез, а именно: что свидетель говорит правду или что он обманывает. Следуя принципу, который был изложен о вероятности причин, извлеченных из наблюдаемых событий, необходимо сначала определить a priori вероятность события в каждой гипотезе. В первой вероятность того, что свидетель объявит номер 79, есть сама вероятность вытягивания этого номера, то есть 1/1000. Необходимо умножить ее на вероятность 9/10 правдивости свидетеля; мы будем иметь тогда 9/10000 для вероятности наблюдаемого события в этой гипотезе. Если свидетель обманывает, номер 79 не вытянут, и вероятность этого случая составляет 999/1000. Но чтобы объявить о вытягивании этого номера, свидетель должен выбрать его среди 999 номеров, не вытянутых; и так как предполагается, что он не имеет никакого мотива предпочтения для одних, а не для других, вероятность того, что он выберет номер 79, составляет 1/999; умножая, следовательно, эту вероятность на предыдущую, мы будем иметь 1/1000 для вероятности того, что свидетель объявит номер 79 во второй гипотезе. Необходимо опять же умножить эту вероятность на 1/10 самой гипотезы, что дает 1/10000 для вероятности события, относящегося к этой гипотезе. Теперь, если мы сформируем дробь, числитель которой есть вероятность, относящаяся к первой гипотезе, а знаменатель которой есть сумма вероятностей, относящихся к двум гипотезам, мы будем иметь, по шестому принципу, вероятность первой гипотезы, и эта вероятность будет 9/10; то есть сама правдивость свидетеля. Это также вероятность вытягивания номера 79. Вероятность лжи свидетеля и неудачи вытягивания этого номера составляет 1/10.

Если свидетель, желая обмануть, имеет некоторый интерес в выборе номера 79 среди номеров, не вытянутых, — если он судит, например, что, поставив на этот номер значительную ставку, объявление о его вытягивании увеличит его кредит, вероятность того, что он выберет этот номер, будет уже не как сначала 1/999, она будет тогда 1/2, 1/3 и т. д., согласно интересу, который он будет иметь в объявлении о его вытягивании. Предполагая ее равной 1/9, необходимо будет умножить на эту дробь вероятность 999/1000, чтобы получить в гипотезе лжи вероятность наблюдаемого события, которую необходимо еще умножить на 1/10, что дает 111/10000 для вероятности события во второй гипотезе. Тогда вероятность первой гипотезы, или вытягивания номера 79, уменьшается согласно предыдущему правилу до 9/120. Она тогда очень сильно уменьшена из-за рассмотрения интереса, который свидетель может иметь в объявлении о вытягивании номера 79. По правде, этот же интерес увеличивает вероятность 9/10, что свидетель скажет правду, если номер 79 вытянут. Но эта вероятность не может превышать единицу или 10/10; таким образом, вероятность вытягивания номера 79 не превзойдет 10/121. Здравый смысл говорит нам, что этот интерес должен внушать недоверие, но исчисление оценивает влияние его.

Вероятность a priori номера, объявленного свидетелем, есть единица, деленная на число номеров в урне; она изменена в силу доказательства на саму правдивость свидетеля; она может тогда быть уменьшена доказательством. Если, например, урна содержит только два номера, что дает 1/2 для вероятности a priori вытягивания номера 1, и если правдивость свидетеля, который объявляет его, составляет 4/10, это вытягивание становится менее вероятным. Действительно, очевидно, поскольку свидетель имеет тогда больше склонности к лжи, чем к правде, что его свидетельство должно уменьшить вероятность факта, подтвержденного каждый раз, когда эта вероятность равна или превосходит 1/2. Но если есть три номера в урне, вероятность a priori вытягивания номера 1 увеличена утверждением свидетеля, чья правдивость превосходит 1/3.

Предположим теперь, что урна содержит 999 черных шаров и один белый шар, и что один шар, будучи вытянут, свидетель вытягивания объявляет, что этот шар белый. Вероятность наблюдаемого события, определенная a priori в первой гипотезе, будет здесь, как и в предыдущем вопросе, равна 9/10000. Но в гипотезе, где свидетель обманывает, белый шар не вытянут, и вероятность этого случая составляет 999/1000. Необходимо умножить ее на вероятность 1/10 лжи, что дает 999/10000 для вероятности наблюдаемого события, относящегося ко второй гипотезе. Эта вероятность была только 1/10000 в предыдущем вопросе; эта большая разница проистекает из того, что черный шар, будучи вытянут, свидетель, который желает обмануть, не имеет никакого выбора среди 999 шаров, не вытянутых, чтобы объявить о вытягивании белого шара. Теперь, если сформировать две дроби, числители которых — вероятности, относящиеся к каждой гипотезе, а общий знаменатель — сумма этих вероятностей, мы будем иметь 9/1008 для вероятности первой гипотезы и вытягивания белого шара, и 999/1008 для вероятности второй гипотезы и вытягивания черного шара. Эта последняя вероятность сильно приближается к достоверности; она приближалась бы к ней гораздо ближе и стала бы 999999/1000008, если бы урна содержала миллион шаров, из которых один был белым, вытягивание белого шара становилось тогда гораздо более необычайным. Мы видим таким образом, как вероятность лжи увеличивается по мере того, как деяние становится более необычайным.

Мы предполагали до этого времени, что свидетель вовсе не ошибался; но если допустить, однако, шанс его ошибки, необычайный инцидент становится более невероятным. Тогда вместо двух гипотез мы будем иметь четыре следующие, а именно: гипотеза свидетеля, не обманывающего и вовсе не ошибающегося; гипотеза свидетеля, вовсе не обманывающего и ошибающегося; гипотеза свидетеля, обманывающего и вовсе не ошибающегося; наконец, гипотеза свидетеля, обманывающего и ошибающегося. Определяя a priori в каждой из этих гипотез вероятность наблюдаемого события, мы находим по шестому принципу вероятность того, что подтвержденный факт ложен, равную дроби, числитель которой есть число черных шаров в урне, умноженное на сумму вероятностей того, что свидетель вовсе не обманывает и ошибается, или что он обманывает и не ошибается, а знаменатель которой есть этот числитель, увеличенный на сумму вероятностей того, что свидетель вовсе не обманывает и вовсе не ошибается, или что он обманывает и ошибается в то же время. Мы видим по этому, что если число черных шаров в урне очень велико, что делает вытягивание белого шара необычайным, вероятность того, что подтвержденный факт не является истинным, приближается наиболее близко к достоверности.

Применяя этот вывод ко всем необычайным деяниям, из него следует, что вероятность ошибки или лжи свидетеля становится тем больше, чем необычайнее подтвержденный факт. Некоторые авторы выдвинули противоположное на том основании, что вид необычайного факта, будучи совершенно похожим на вид обычного факта, те же мотивы должны вести нас к тому, чтобы дать свидетелю то же доверие, когда он утверждает тот или другой из этих фактов. Простой здравый смысл отвергает такое странное утверждение; но исчисление вероятностей, подтверждая выводы здравого смысла, оценивает большую невероятность свидетельств в отношении необычайных фактов.

Эти авторы настаивают и предполагают двух свидетелей, одинаково достойных доверия, из которых первый подтверждает, что он видел индивидуума мертвым пятнадцать дней назад, которого второй свидетель утверждает, что видел вчера полным жизни. Тот или другой из этих фактов не предлагает никакой невероятности. Резервация индивидуума является результатом их комбинации; но свидетельства не приводят нас вовсе прямо к этому результату, хотя доверие, которое причитается этим свидетельствам, не должно быть уменьшено фактом, что результат их комбинации является необычайным.