«Философское эссе о вероятностях»

Но если вывод, который проистекает из комбинации свидетельств, был невозможным, одно из них было бы обязательно ложным; но невозможный вывод есть предел необычайных выводов, как ошибка есть предел невероятных выводов; ценность свидетельств, которая становится нулевой в случае невозможного вывода, должна тогда быть очень сильно уменьшена в случае необычайного вывода. Это действительно подтверждается исчислением вероятностей.

Чтобы сделать это понятным, давайте рассмотрим две урны, A и B, из которых первая содержит миллион белых шаров, а вторая — миллион черных шаров. Вытягивают из одной из этих урн шар, который кладут обратно в другую урну, из которой затем вытягивают шар. Два свидетеля, один первого вытягивания, другой второго, подтверждают, что шар, который они видели вытянутым, белый, не указывая урну, из которой он был вытянут. Каждое свидетельство, взятое отдельно, не является невероятным; и легко видеть, что вероятность подтвержденного факта есть сама правдивость свидетеля. Но из комбинации свидетельств следует, что белый шар был извлечен из урны A при первом вытягивании, и что затем, помещенный в урну B, он появился вновь при втором вытягивании, что очень необычайно; ибо эта вторая урна, содержащая тогда один белый шар среди миллиона черных шаров, вероятность вытягивания белого шара составляет 1/1000001. Чтобы определить уменьшение, которое проистекает в вероятности вещи, объявленной двумя свидетелями, мы заметим, что наблюдаемое событие здесь — это утверждение каждым из них, что шар, который он видел извлеченным, белый. Давайте представим 9/10 как вероятность того, что он объявляет правду, что может произойти в настоящем случае, когда свидетель не обманывает и вовсе не ошибается, и когда он обманывает и ошибается в то же время. Можно сформировать четыре следующие гипотезы:

1-я. Первый и второй свидетель говорят правду. Тогда белый шар был сначала вытянут из урны A, и вероятность этого события составляет 1/2, поскольку шар, вытянутый при первом вытягивании, мог быть вытянут либо из одной, либо из другой урны. Следовательно, шар, вытянутый, помещенный в урну B, появился вновь при втором вытягивании; вероятность этого события составляет 1/1000001, вероятность объявленного факта тогда составляет 1/2000002. Умножая ее на произведение вероятностей 9/10 и 9/10, что свидетели говорят правду, мы будем иметь 81/200000200 для вероятности наблюдаемого события в этой первой гипотезе.

2-я. Первый свидетель говорит правду, а второй нет, обманывает ли он и не ошибается, или он не обманывает и ошибается. Тогда белый шар был вытянут из урны A при первом вытягивании, и вероятность этого события составляет 1/2. Затем этот шар, будучи помещен в урну B, черный шар был вытянут из нее: вероятность такого вытягивания составляет 1000000/1000001; мы имеем тогда 1000000/2000002 для вероятности составного события. Умножая ее на произведение двух вероятностей 9/10 и 1/10, что первый свидетель говорит правду, а второй нет, мы будем иметь 9000000/200000200 для вероятности наблюдаемого события во второй гипотезе.

3-я. Первый свидетель не говорит правду, а второй объявляет ее. Тогда черный шар был вытянут из урны B при первом вытягивании, и после того, как он был помещен в урну A, белый шар был вытянут из этой урны. Вероятность первого из этих событий составляет 1/2, а второго — 1000000/1000001; вероятность составного события тогда составляет 1000000/2000002. Умножая ее на произведение вероятностей 1/10 и 9/10, что первый свидетель не говорит правду, а второй объявляет ее, мы будем иметь 9000000/200000200 для вероятности наблюдаемого события, относящегося к этой гипотезе.

4-я. Наконец, ни один из свидетелей не говорит правду. Тогда черный шар был вытянут из урны B при первом вытягивании; затем, будучи помещен в урну A, он появился вновь при втором вытягивании: вероятность этого составного события составляет 1/2000002. Умножая ее на произведение вероятностей 1/10 и 1/10, что каждый свидетель не говорит правду, мы будем иметь 1/200000200 для вероятности наблюдаемого события в этой гипотезе.

Теперь, чтобы получить вероятность вещи, объявленной двумя свидетелями, а именно, что белый шар был вытянут при каждом вытягивании, необходимо разделить вероятность, соответствующую первой гипотезе, на сумму вероятностей, относящихся к четырем гипотезам; и тогда мы имеем для этой вероятности 81/18000082, чрезвычайно малую дробь.

Если два свидетеля подтверждают: первый, что белый шар был вытянут из одной из двух урн A и B; второй, что белый шар был точно так же вытянут из одной из двух урн A' и B', совершенно похожих на первые, вероятность вещи, объявленной двумя свидетелями, будет произведением вероятностей их свидетельств, или 81/100; она будет тогда по меньшей мере в сто восемьдесят тысяч раз больше предыдущей. Видно по этому, насколько в первом случае reappearance (повторное появление) при втором вытягивании белого шара, вытянутого при первом вытягивании, необычайный вывод двух свидетельств уменьшает его ценность.

Мы не придали бы никакой веры свидетельству человека, который стал бы уверять нас, что при подбрасывании сотни игральных костей все они упали на одну и ту же грань. Если бы мы сами были свидетелями этого события, мы поверили бы собственным глазам лишь после тщательного изучения всех обстоятельств и после того, как заручились бы свидетельствами других очевидцев, чтобы быть совершенно уверенными в отсутствии галлюцинации или обмана. Но после такой проверки мы не колеблясь признали бы это, несмотря на крайнюю невероятность; и никто не стал бы, чтобы объяснить это, прибегать к отрицанию законов зрения. Из этого следует заключить, что вероятность постоянства законов природы для нас больше, чем вероятность того, что рассматриваемое событие вовсе не имело места, — вероятность, превышающая вероятность большинства исторических фактов, которые мы считаем бесспорными. По этому можно судить об огромном весе свидетельств, необходимых для признания приостановки естественных законов, и о том, насколько неуместно было бы применять к этому случаю обычные правила критики. Все те, кто, не предлагая такого огромного количества свидетельств, поддерживают это при изложении событий, противоречащих этим законам, скорее уменьшают, чем увеличивают веру, которую они хотят внушить; ибо тогда эти рассказы делают весьма вероятными ошибку или ложь их авторов. Но то, что уменьшает веру образованных людей, часто увеличивает веру необразованных, всегда жадных до чудесного.

Существуют вещи настолько необычайные, что ничто не может уравновесить их невероятность. Но это, под влиянием господствующего мнения, может быть ослаблено до такой степени, что будет казаться уступающим вероятности свидетельств; и когда это мнение меняется, абсурдное утверждение, единодушно принятое в веке, который породил его, предлагает следующим векам лишь новое доказательство крайнего влияния общего мнения на более просвещенные умы. Два великих человека века Людовика XIV — Расин и Паскаль — являются яркими примерами этого. Больно видеть, с какой готовностью Расин, этот замечательный живописец человеческого сердца и самый совершенный поэт, который когда-либо жил, сообщает как о чудесном об исцелении мадемуазель Перье, племянницы Паскаля и приходящей ученицы монастыря Пор-Рояль; больно читать доводы, с помощью которых Паскаль стремится доказать, что это чудо должно быть необходимо религии, чтобы оправдать учение монахов этого аббатства, в то время преследуемых иезуитами. Юная Перье три с половиной года страдала слезной фистулой; она коснулась больного глаза реликвией, которая выдавалась за один из тернов венца Спасителя, и она верила в мгновенное исцеление. Несколько дней спустя врачи и хирурги засвидетельствовали выздоровление и заявили, что природа и лекарства не имели к этому никакого отношения. Это событие, которое произошло в 1656 году, произвело большую сенсацию, и «весь Париж устремился», говорит Расин, «в Пор-Рояль. Толпа увеличивалась изо дня в день, и сам Бог, казалось, находил удовольствие в том, чтобы санкционировать преданность народа количеством чудес, которые совершались в этой церкви». В то время чудеса и колдовство еще не казались невероятными, и никто не колебался приписывать им странности природы, которые нельзя было объяснить иначе.

Такой способ рассмотрения необычайных результатов встречается в самых замечательных трудах века Людовика XIV; даже в «Опыте о человеческом разумении» философа Локка, который говорит, рассуждая о степени согласия: «Хотя общий опыт и обычный ход вещей справедливо имеют огромное влияние на умы людей, заставляя их давать или отказывать в доверии чему-либо, предлагаемому их вере; однако есть один случай, когда странность факта не уменьшает согласия с честным свидетельством о нем. Ибо там, где такие сверхъестественные события соответствуют целям, преследуемым тем, кто имеет власть изменить ход природы, там, при таких обстоятельствах, они могут быть тем более подходящими для того, чтобы вызвать веру, чем более они выходят за рамки обычного наблюдения или противоречат ему». Поскольку истинные принципы вероятности свидетельств были таким образом неправильно поняты философами, которым разум главным образом обязан своим прогрессом, я счел необходимым подробно представить результаты исчисления вероятностей по этому важному предмету.

Здесь естественным образом возникает обсуждение знаменитого аргумента Паскаля, который Крейг, английский математик, представил в геометрической форме. Свидетели заявляют, что они получили от Божества, что, сообразуясь с определенной вещью, человек будет наслаждаться не одной или двумя, а бесконечным множеством счастливых жизней. Как бы ни была мала вероятность доказательств, при условии, что она не бесконечно мала, ясно, что преимущество тех, кто сообразуется с предписанной вещью, бесконечно, поскольку оно является произведением этой вероятности и бесконечного блага; тогда не следует колебаться, чтобы обеспечить себе это преимущество.

Этот аргумент основан на бесконечном числе счастливых жизней, обещанных во имя Божества свидетелями; тогда необходимо предписать им, именно потому, что они преувеличивают свои обещания без всяких границ, следствие, которое противно здравому смыслу. Также исчисление учит нас, что это преувеличение само по себе ослабляет вероятность их свидетельства до такой степени, что делает ее бесконечно малой или равной нулю. Действительно, этот случай подобен случаю свидетеля, который объявил бы о вытягивании самого большого числа из урны, наполненной большим количеством чисел, одно из которых было вытянуто, и который имел бы большой интерес в объявлении о вытягивании этого числа. Уже было показано, насколько этот интерес ослабляет его свидетельство. Оценивая лишь в ½ вероятность того, что если свидетель обманывает, он выберет самое большое число, исчисление дает вероятность его объявления как меньшую, чем дробь, числитель которой есть единица, а знаменатель — единица плюс половина произведения количества чисел на вероятность лжи, рассматриваемую априори или независимо от объявления. Чтобы сравнить этот случай со случаем аргумента Паскаля, достаточно представить числами в урне все возможные количества счастливых жизней, которые число этих чисел делает бесконечным; и заметить, что если свидетели обманывают, они имеют величайший интерес, чтобы аккредитовать свою ложь, в обещании вечности счастья. Выражение вероятности их свидетельства становится тогда бесконечно малым. Умножая его на бесконечное число обещанных счастливых жизней, бесконечность исчезла бы из произведения, которое выражает преимущество, вытекающее из этого обещания, что разрушает аргумент Паскаля.

Рассмотрим теперь вероятность совокупности нескольких свидетельств об установленном факте. Чтобы зафиксировать наши идеи, предположим, что фактом является вытягивание числа из урны, которая содержит сотню их, и из которой было вытянуто одно единственное число. Два свидетеля этого вытягивания объявляют, что было вытянуто число 2, и мы спрашиваем о результирующей вероятности совокупности этих свидетельств. Можно сформировать две гипотезы: свидетели говорят правду; свидетели обманывают. В первой гипотезе вытянуто число 2, и вероятность этого события равна 1/100. Необходимо умножить ее на произведение правдивости свидетелей, правдивости, которую мы предположим равной 9/10 и 7/10: тогда мы получим 63/10000 для вероятности события, наблюдаемого в этой гипотезе. Во второй гипотезе число 2 не вытянуто, и вероятность этого события равна 99/100. Но согласие свидетелей требует тогда, чтобы, пытаясь обмануть, они оба выбрали число 2 из 99 невытянутых чисел: вероятность этого выбора, если свидетели не имеют тайного сговора, есть произведение дроби 1/99 на саму себя; тогда становится необходимым умножить эти две вероятности вместе, и на произведение вероятностей 1/10 и 3/10 того, что свидетели обманывают; таким образом, мы получим 1/330000 для вероятности события, наблюдаемого во второй гипотезе. Теперь мы получим вероятность засвидетельствованного факта или вытягивания числа 2, разделив вероятность, относящуюся к первой гипотезе, на сумму вероятностей, относящихся к двум гипотезам; эта вероятность будет тогда 2079/2080, а вероятность невытягивания этого числа и лжи свидетелей будет 1/2080.

Если бы урна содержала только числа 1 и 2, мы нашли бы таким же образом 21/22 для вероятности вытягивания числа 2, и, следовательно, 1/22 для вероятности лжи свидетелей, вероятность, по крайней мере, в девяносто четыре раза большую, чем предыдущая. По этому видно, насколько вероятность лжи свидетелей уменьшается, когда факт, который они свидетельствуют, менее вероятен сам по себе. Действительно, можно представить, что тогда согласие свидетелей, когда они обманывают, становится более трудным, по крайней мере, когда они не имеют тайного сговора, который мы здесь вовсе не предполагаем.

В предыдущем случае, где урна содержала только два числа, априорная вероятность засвидетельствованного факта равна ½, результирующая вероятность свидетельств есть произведение правдивости свидетелей, деленное на эту сумму, добавленную к произведению соответствующих вероятностей их лжи.

Теперь нам остается рассмотреть влияние времени на вероятность фактов, передаваемых традиционной цепью свидетелей. Ясно, что эта вероятность должна уменьшаться по мере того, как цепь удлиняется. Если факт не имеет вероятности сам по себе, как, например, вытягивание числа из урны, которая содержит бесконечное их множество, то та вероятность, которую он приобретает благодаря свидетельствам, убывает согласно непрерывному произведению правдивости свидетелей. Если факт имеет вероятность сам по себе; если, например, этот факт есть вытягивание числа 2 из урны, которая содержит бесконечное их множество, и из которой достоверно, что вытянули одно число; то, что традиционная цепь добавляет к этой вероятности, убывает, следуя непрерывному произведению, первый множитель которого есть отношение числа чисел в урне минус один к тому же числу, и каждый другой множитель которого есть правдивость каждого свидетеля, уменьшенная на отношение вероятности его лжи к числу чисел в урне минус один; так что предел вероятности факта есть предел этого факта, рассматриваемого априори, или независимо от свидетельств, вероятность, равная единице, деленной на число чисел в урне.

Действие времени ослабляет, таким образом, без конца вероятность исторических фактов, точно так же, как оно изменяет самые долговечные памятники. Можно, действительно, уменьшить его, умножая и сохраняя свидетельства и памятники, которые их поддерживают. Книгопечатание предлагает для этой цели великое средство, к сожалению, неизвестное древним. Несмотря на бесконечные преимущества, которые оно доставляет, физические и моральные революции, которыми поверхность этого земного шара всегда будет взволнована, закончат, в сочетании с неизбежным действием времени, тем, что сделают сомнительными через тысячи лет исторические факты, рассматриваемые сегодня как самые достоверные.

Крейг попытался подвергнуть исчислению постепенное ослабление доказательств христианской религии; предполагая, что мир должен закончиться в эпоху, когда он перестанет быть вероятным, он находит, что это должно произойти через 1454 года после времени, когда он пишет. Но его анализ так же ошибочен, как и его гипотеза о продолжительности Луны причудлива.

ГЛАВА XII. О ВЫБОРАХ И РЕШЕНИЯХ СОБРАНИЙ.

Вероятность решений собрания зависит от большинства голосов, интеллекта и беспристрастности членов, которые его составляют. Так много страстей и частных интересов так часто добавляют свое влияние, что невозможно подвергнуть эту вероятность исчислению. Существуют, однако, некоторые общие результаты, продиктованные простым здравым смыслом и подтвержденные исчислением. Если, например, собрание плохо информировано о предмете, представленном на его решение, если этот предмет требует деликатных соображений, или если истина по этому пункту противоречит установленным предрассудкам, так что было бы пари больше чем один против одного, что каждый избиратель ошибется; тогда решение большинства будет, вероятно, неверным, и страх перед ним будет тем более обоснован, чем многочисленнее собрание. Важно тогда, в общественных делах, чтобы собрания должны были решать предметы, доступные для наибольшего числа; важно для них, чтобы информация была широко распространена и чтобы хорошие труды, основанные на разуме и опыте, просвещали тех, кто призван решать судьбу своих ближних или управлять ими, и предостерегали их против ложных идей и предрассудков невежества. Ученые имели частый случай заметить, что первые концепции часто обманывают и что истина не всегда вероятна.

Трудно понять и определить желание собрания посреди разнообразия мнений его членов. Попытаемся дать некоторые правила в отношении этого дела, рассматривая два самых обычных случая: выборы среди нескольких кандидатов и выбор среди нескольких предложений, относящихся к одному и тому же предмету.

Когда собрание должно выбирать среди нескольких кандидатов, которые представляют себя на одно или на несколько мест одного и того же рода, то, что кажется самым простым, — это чтобы каждый избиратель написал на билете имена всех кандидатов согласно порядку заслуг, который он им приписывает. Предполагая, что он классифицирует их добросовестно, осмотр этих билетов даст результаты выборов таким образом, что кандидатов можно сравнить между собой; так что новые выборы не могут дать ничего большего в этом отношении. Вопрос теперь в том, чтобы заключить порядок предпочтения, который билеты устанавливают среди кандидатов. Представим, что дают каждому избирателю урну, которая содержит бесконечное число шаров, посредством которых он способен оттенить все степени заслуг кандидатов; представим снова, что он вытягивает из своей урны количество шаров, пропорциональное заслугам каждого кандидата, и предположим это число написанным на билете сбоку от имени кандидата. Ясно, что, делая сумму всех чисел, относящихся к каждому кандидату на каждом билете, тот из всех кандидатов, кто будет иметь наибольшую сумму, будет кандидатом, которого собрание предпочитает; и что в общем порядок предпочтения кандидатов будет порядком сумм, относящихся к каждому из них. Но билеты вовсе не отмечают число шаров, которое каждый избиратель дает кандидатам; они указывают исключительно, что первый имеет их больше, чем второй, второй больше, чем третий, и так далее. Предполагая тогда сначала на данном билете определенное число шаров, все комбинации низших чисел, которые выполняют предыдущие условия, одинаково допустимы; и мы получим число шаров, относящихся к каждому кандидату, делая сумму всех чисел, которые каждая комбинация дает ему, и деля ее на целое число комбинаций. Очень простой анализ показывает, что числа, которые должны быть написаны на каждом билете сбоку от последнего имени, от имени перед последним и т. д., пропорциональны членам арифметической прогрессии 1, 2, 3 и т. д. Записывая тогда таким образом на каждом билете члены этой прогрессии и добавляя члены, относящиеся к каждому кандидату на этих билетах, различные суммы укажут по своей величине порядок их предпочтения, который должен быть установлен среди кандидатов. Таков способ выборов, который указывает Теория вероятностей. Без сомнения, было бы лучше, если бы каждый избиратель написал на своем билете имена кандидатов в порядке заслуг, который он им приписывает. Но частные интересы и многие странные соображения о заслугах повлияли бы на этот порядок и поставили бы иногда на последнее место кандидата, наиболее грозного для того, кого предпочитают, что дает слишком большое преимущество кандидатам посредственных заслуг. Также опыт вызвал отказ от этого способа выборов в обществах, которые его приняли.

Выборы абсолютным большинством голосов объединяют с уверенностью не допустить ни одного из кандидатов, которых это большинство отвергает, преимущество выражения чаще всего желания собрания. Он всегда совпадает с предыдущим способом, когда есть только два кандидата. Действительно, он подвергает собрание неудобству делать выборы бесконечными. Но опыт показал, что это неудобство равно нулю, и что общее желание положить конец выборам вскоре объединяет большинство голосов на одном из кандидатов.

Выбор среди нескольких предложений, относящихся к одному и тому же объекту, должен быть подчинен, по-видимому, тем же правилам, что и выборы среди нескольких кандидатов. Но существует между двумя случаями это различие, а именно, что заслуга кандидата не исключает заслугу его конкурентов; но если необходимо выбирать среди предложений, которые противоречивы, истина одного исключает истину других. Посмотрим, как тогда следует рассматривать этот вопрос.

Дадим каждому избирателю урну, которая содержит бесконечное число шаров, и предположим, что он распределяет их по различным предложениям согласно соответствующим вероятностям, которые он им приписывает. Ясно, что общее число шаров, выражающее уверенность, и избиратель, будучи по гипотезе уверенным, что одно из предложений должно быть истинным, он распределит это число в конце концов по предложениям. Задача сводится тогда к этому, а именно, определить комбинации, в которых шары будут распределены таким образом, чтобы их было больше на первом предложении билета, чем на втором, больше на втором, чем на третьем и т. д.; сделать суммы всех чисел шаров, относящихся к каждому предложению в различных комбинациях, и разделить эту сумму на число комбинаций; частные будут числами шаров, которые следует приписать предложениям на определенном билете. Находят анализом, что при переходе от последнего предложения эти частные относятся между собой как следующие величины: первая — единица, деленная на число предложений; вторая — предыдущая величина, увеличенная на единицу, деленная на число предложений минус один; третья — эта вторая величина, увеличенная на единицу, деленная на число предложений минус два, и так далее для других. Запишут тогда на каждом билете эти величины сбоку от соответствующих предложений, и добавляя относительные величины к каждому предложению на различных билетах, суммы укажут по своей величине порядок предпочтения, который собрание дает этим предложениям.

Скажем слово о способе обновления собраний, которые должны меняться в совокупности за определенное число лет. Должно ли обновление производиться в одно время, или выгодно разделить его на эти годы? Согласно последнему методу собрание было бы сформировано под влиянием различных мнений, доминирующих во время его обновления; мнение, которое получило тогда, было бы, вероятно, средним из всех этих мнений. Собрание получило бы таким образом в то время то же преимущество, которое дается ему расширением выборов его членов на все части территории, которую оно представляет. Теперь, если рассмотреть то, чему опыт только слишком ясно научил, а именно, что выборы всегда направляются в наибольшей степени доминирующими мнениями, почувствуют, насколько полезно смягчать эти мнения, одни другими, посредством частичного обновления.

ГЛАВА XIII. О ВЕРОЯТНОСТИ СУДЕБНЫХ РЕШЕНИЙ.

Анализ подтверждает то, чему учит нас простой здравый смысл, а именно: правильность суждений тем более вероятна, чем многочисленнее и просвещеннее судьи. Важно тогда, чтобы апелляционные трибуналы выполняли эти два условия. Трибуналы первой инстанции, находясь в более тесной связи с подсудимыми, предлагают высшему трибуналу преимущество первого суждения, уже вероятного, и с которым последние часто соглашаются, будь то в компромиссе или в отказе от своих претензий. Но если неопределенность дела в судебном процессе и его важность определяют тяжущегося прибегнуть к апелляционному трибуналу, он должен найти в большей вероятности получения справедливого суждения большую безопасность для своего состояния и компенсацию за беспокойство и расходы, которые влечет за собой новая процедура. Это то, что не имело места в институте взаимной апелляции трибуналов округа, институте, тем самым очень вредном для интереса граждан. Было бы, возможно, уместно и сообразуемо с исчислением вероятностей требовать большинства, по крайней мере, в два голоса в апелляционном трибунале, чтобы аннулировать приговор низшего трибунала. Получили бы этот результат, если бы апелляционный трибунал, будучи составленным из четного числа судей, приговор оставался бы в силе в случае равенства голосов.

Я рассмотрю в особенности суждения по уголовным делам.

Чтобы осудить обвиняемого, необходимо, без сомнения, чтобы судьи имели самые сильные доказательства его преступления. Но моральное доказательство никогда не является более чем вероятностью; и опыт только слишком ясно показал ошибки, которым уголовные суждения, даже те, которые кажутся самыми справедливыми, все еще подвержены. Невозможность исправления этих ошибок — самый сильный аргумент философов, которые желали запретить смертную казнь. Мы были бы тогда обязаны воздержаться от суждения, если бы нам необходимо было ожидать математического доказательства. Но суждение требуется опасностью, которая проистекала бы из безнаказанности преступления. Это суждение сводится, если я не ошибаюсь, к решению следующего вопроса: имеет ли доказательство преступления обвиняемого высокую степень вероятности, необходимую для того, чтобы граждане имели меньше оснований сомневаться в ошибках трибуналов, если он невиновен и осужден, чем они имели бы бояться его новых преступлений и преступлений несчастных, которые были бы ободрены примером его безнаказанности, если бы он был виновен и оправдан? Решение этого вопроса зависит от нескольких элементов, очень трудных для установления. Такова степень опасности, которая угрожала бы обществу, если бы преступник, обвиняемый, остался безнаказанным. Иногда эта опасность так велика, что магистрат видит себя вынужденным отказаться от форм, мудро установленных для защиты невиновности. Но то, что делает почти всегда этот вопрос неразрешимым, — это невозможность оценить точно вероятность преступления и зафиксировать ту, которая необходима для осуждения обвиняемого. Каждый судья в этом отношении вынужден полагаться на свое собственное суждение. Он формирует свое мнение, сравнивая различные свидетельства и обстоятельства, которыми сопровождается преступление, с результатами своих размышлений и своего опыта, и в этом отношении долгая привычка допрашивать и судить обвиняемых дает большое преимущество в установлении истины посреди индексов, часто противоречивых.

Предыдущий вопрос зависит снова от заботы, принятой при расследовании преступления; ибо требуют естественно гораздо более сильных доказательств для наложения смертной казни, чем для причинения задержания на несколько месяцев. Это причина для пропорционирования заботы преступлению, большая забота, принятая с неважным делом, неизбежно очищает многих виновных. Закон, который дает судьям власть модерировать заботу в случае смягчающих обстоятельств, тогда сообразуем в то же время с принципами человечности по отношению к виновному и с интересом общества. Произведение вероятности преступления на его тяжесть, будучи мерой опасности, которой оправдание обвиняемого может подвергнуть общество, можно было бы думать, что принятая забота должна зависеть от этой вероятности. Это делается косвенно в трибуналах, где удерживают некоторое время обвиняемого, против которого есть очень сильные доказательства, но недостаточные, чтобы осудить его; в надежде приобрести новый свет, его не помещают немедленно посреди его сограждан, которые не увидели бы его снова без большой тревоги. Но произвольность этой меры и злоупотребление, которое можно сделать из нее, вызвали ее отказ в странах, где придают наибольшую цену индивидуальной свободе.

Теперь какова вероятность того, что решение трибунала, который может осудить только данным большинством, будет справедливым, то есть сказать, сообразующимся с истинным решением вопроса, предложенного выше? Эта важная проблема, хорошо решенная, даст средства сравнивать между собой различные трибуналы. Большинство в один голос в многочисленном трибунале указывает, что дело, о котором идет речь, очень сомнительно; осуждение обвиняемого было бы тогда противно принципам человечности, защитникам невиновности. Единодушие судей дало бы очень сильную вероятность справедливого решения; но воздерживаясь от него, слишком много виновных были бы оправданы. Необходимо тогда либо ограничить число судей, если желают, чтобы они были единодушны, либо увеличить большинство, необходимое для осуждения, когда трибунал становится более многочисленным. Я попытаюсь применить исчисление к этому предмету, будучи убежденным, что оно всегда лучший гид, когда его основывают на данных, которые здравый смысл предлагает нам.

Вероятность того, что мнение каждого судьи справедливо, входит как главный элемент в это вычисление. Если в трибунале из тысячи одного судьи пятьсот один одного мнения, а пятьсот противоположного мнения, очевидно, что вероятность мнения каждого судьи превосходит очень мало ½; ибо предполагая ее очевидно очень большой, один голос разницы был бы невероятным событием. Но если судьи единодушны, это указывает в доказательствах ту степень силы, которая влечет за собой убеждение; вероятность мнения каждого судьи тогда очень близка к единице или уверенности, при условии, что страсти или обычные предрассудки не влияют в то же время на всех судей. Вне этих случаев отношение голосов за или против обвиняемого должно одно определять эту вероятность. Я предполагаю таким образом, что она может варьироваться от ½ до единицы, но что она не может быть ниже ½. Если бы это было не так, решение трибунала было бы так же незначительно, как случай; оно имеет ценность только в той мере, в какой мнение судьи имеет большую тенденцию к истине, чем к ошибке. Таким образом, отношением чисел голосов, благоприятных и противных обвиняемому, я определяю вероятность этого мнения.

Эти данные достаточны, чтобы установить общее выражение вероятности того, что решение трибунала, судящего по известному большинству, справедливо. В трибуналах, где из восьми судей пять голосов были бы необходимы для осуждения обвиняемого, вероятность ошибки, которой следует опасаться в справедливости решения, превзошла бы ¼. Если бы трибунал был сокращен до шести членов, которые могут осудить только большинством в четыре голоса, вероятность ошибки, которой следует опасаться, была бы ниже ¼. Было бы тогда для обвиняемого преимущество в этом сокращении трибунала. В обоих случаях требуемое большинство то же самое и равно двум. Таким образом, большинство остается постоянным, вероятность ошибки увеличивается с числом судей; это обще, каким бы ни было требуемое большинство, при условии, что оно остается тем же. Принимая тогда за правило арифметическое отношение, обвиняемый оказывается в положении все менее и менее выгодном по мере того, как трибунал становится более многочисленным. Можно было бы верить, что в трибунале, где можно было бы требовать большинства в двенадцать голосов, каким бы ни было число судей, голоса меньшинства, нейтрализуя равное число голосов большинства, двенадцать оставшихся голосов представляли бы единодушие жюри из двенадцати членов, требуемое в Англии для осуждения обвиняемого; но можно было бы сильно ошибиться. Здравый смысл показывает, что есть разница между решением трибунала из двухсот двенадцати судей, из которых сто двенадцать осуждают обвиняемого, в то время как сто оправдывают его, и решением трибунала из двенадцати судей, единодушных для осуждения. В первом случае сто голосов, благоприятных обвиняемому, гарантируют думать, что доказательства далеки от достижения степени силы, которая влечет за собой убеждение; во втором случае единодушие судей ведет к вере, что они достигли этой степени. Но простой здравый смысл не достаточен вовсе, чтобы оценить крайнюю разницу вероятности ошибки в двух случаях. Необходимо тогда прибегнуть к исчислению, и находят почти одну пятую для вероятности ошибки в первом случае, и только 1/8192 для этой вероятности во втором случае, вероятность, которая не есть одна тысячная первой. Это подтверждение принципа, что арифметическое отношение неблагоприятно для обвиняемого, когда число судей увеличивается. Напротив, если принимают за правило геометрическое отношение, вероятность ошибки решения уменьшается, когда число судей увеличивается. Например, в трибуналах, которые могут осудить только большинством в две трети голосов, вероятность ошибки, которой следует опасаться, почти одна четвертая, если число судей шесть; она ниже 1/7, если это число увеличено до двенадцати. Таким образом, не следует руководствоваться ни арифметическим отношением, ни геометрическим отношением, если желают, чтобы вероятность ошибки никогда не была выше или ниже данной дроби.

Но какая дробь должна быть определена? Это здесь начинается произвольность, и трибуналы предлагают в этом отношении величайшее разнообразие. В специальных трибуналах, где пяти из восьми голосов достаточно для осуждения обвиняемого, вероятность ошибки, которой следует опасаться в отношении справедливости суждения, есть 65/256, или больше чем ¼. Величина этой дроби ужасна; но то, что должно успокоить нас немного, — это соображение, что наиболее часто судья, который оправдывает обвиняемого, не рассматривает его как невиновного; он провозглашает исключительно, что он не достигнут доказательствами, достаточными для осуждения. Особенно успокаивает жалость, которую природа поместила в сердце человека и которая располагает ум видеть только с неохотой виновного в обвиняемом, представленном на его суждение. Это чувство, более активное у тех, кто не имеет привычки уголовных суждений, компенсирует неудобства, привязанные к неопытности присяжных. В жюри из двенадцати членов, если большинство, требуемое для осуждения, есть восемь из двенадцати голосов, вероятность ошибки, которой следует опасаться, 1093/8192, или немного больше одной восьмой, она почти 1/22, если это большинство состоит из девяти голосов. В случае единодушия вероятность ошибки, которой следует опасаться, есть 1/8192, то есть сказать, больше чем в тысячу раз меньше, чем в наших жюри. Это предполагает, что единодушие проистекает только из доказательств, благоприятных или противных обвиняемому; но мотивы, которые совершенно странны, должны часто конкурировать в производстве его, когда оно навязано жюри как необходимое условие его суждения. Тогда его решения, зависящие от темперамента, характера, привычек присяжных и обстоятельств, в которых они помещены, они иногда противны решениям, которые большинство жюри сделало бы, если бы они слушали только доказательства; это кажется мне большим недостатком этого способа суждения.

Вероятность решения слишком слаба в наших жюри, и я думаю, что для того, чтобы дать достаточную гарантию невиновности, следует требовать по крайней мере большинства в девять голосов из двенадцати.

ГЛАВА XIV. О ТАБЛИЦАХ СМЕРТНОСТИ И О СРЕДНИХ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЯХ ЖИЗНИ, БРАКОВ И АССОЦИАЦИЙ.

Способ подготовки таблиц смертности очень прост. Берут в гражданских регистрах большое число индивидов, чье рождение и смерть указаны. Определяют, сколько из этих индивидов умерло в первый год их возраста, сколько во второй год и так далее. Заключают из этого число индивидов, живущих в начале каждого года, и это число записано в таблице сбоку от того, которое указывает год. Таким образом, пишут сбоку от нуля число рождений; сбоку от года 1 число младенцев, которые достигли одного года; сбоку от года 2 число младенцев, которые достигли двух лет, и так далее для остального. Но так как в первые два года жизни смертность очень велика, необходимо ради большей точности указать в этом первом возрасте число выживших в конце каждого полугодия.

Если мы разделим сумму лет жизни всех индивидов, вписанных в таблицу смертности, на число этих индивидов, мы будем иметь среднюю продолжительность жизни, которая соответствует этой таблице. Для этого мы умножим на полгода число смертей в первый год, число, равное разности чисел индивидов, вписанных сбоку от лет 0 и 1. Их смертность, будучи распределенной по всему году, средняя продолжительность их жизни есть только полгода. Мы умножим на полтора года число смертей во второй год; на два с половиной года число смертей в третий год; и так далее. Сумма этих произведений, деленная на число рождений, будет средней продолжительностью жизни. Легко заключить из этого, что мы получим эту продолжительность, делая сумму чисел, вписанных в таблицу сбоку от каждого года, деля ее на число рождений и вычитая одну половину из частного, год будучи взят как единица. Средняя продолжительность жизни, которая остается, начиная с любого возраста, определена таким же образом, работая над числом индивидов, которые прибыли к этому возрасту, как было только что сделано с числом рождений. Но не в момент рождения средняя продолжительность жизни самая большая; она, когда избежали опасностей младенчества, и она тогда около сорока трех лет. Вероятность прибытия к определенному возрасту, начиная с данного возраста, равна отношению двух чисел индивидов, указанных в таблице в этих двух возрастах.

Точность этих результатов требует, чтобы для формирования таблиц мы использовали очень большое число рождений. Анализ дает тогда очень простые формулы для оценки вероятности того, что числа, указанные в этих таблицах, будут варьироваться от истины только в узких пределах. Мы видим по этим формулам, что интервал пределов уменьшается и что вероятность увеличивается по мере того, как мы принимаем во внимание больше рождений; так что таблицы представляли бы точно истинный закон смертности, если бы число использованных рождений было бесконечным.

Таблица смертности есть тогда таблица вероятности человеческой жизни. Отношение индивидов, вписанных сбоку от каждого года, к числу рождений есть вероятность, что новое рождение достигнет этого года. Как мы оцениваем ценность надежды, делая сумму произведений каждого блага, на которое надеются, на вероятность получения его, так мы можем одинаково оценить среднюю продолжительность жизни, добавляя произведения каждого года на половину суммы вероятностей достижения начала и конца его, что ведет к результату, найденному выше. Но этот способ рассмотрения средней продолжительности жизни имеет преимущество показа, что в стационарной популяции, то есть сказать, такой, что число рождений равно числу смертей, средняя продолжительность жизни есть отношение самой популяции к годовым рождениям; ибо популяция, будучи предположенной стационарной, число индивидов возраста, заключенного между двумя последовательными годами таблицы, равно числу годовых рождений, умноженному на половину суммы вероятностей достижения этих лет; сумма всех этих произведений будет тогда всей популяцией. Теперь легко видеть, что эта сумма, деленная на число годовых рождений, совпадает со средней продолжительностью жизни, как мы только что определили ее.

Легко посредством таблицы смертности сформировать соответствующую таблицу популяции, предположенной стационарной. Для этого мы берем арифметические средние чисел таблицы смертности, соответствующих возрастам ноль и один год, один и два года, два и три года и т. д. Сумма всех этих средних есть вся популяция; она записана сбоку от возраста ноль. Вычитают из этой суммы первое среднее, и остаток есть число индивидов одного года и старше; оно записано сбоку от года 1. Вычитают из этого первого остатка второе среднее; этот второй остаток есть число индивидов двух лет и старше; оно записано сбоку от года 2, и так далее.

Так много переменных причин влияют на смертность, что таблицы, которые представляют ее, должны быть изменены согласно месту и времени. Различные состояния жизни предлагают в этом отношении ощутимые различия, относящиеся к усталости и опасностям, неотделимым от каждого состояния, и о которых необходимо вести счет в вычислениях, основанных на продолжительности жизни. Но эти различия не были достаточно наблюдаемы. Когда-нибудь они будут, и тогда будет известно, какую жертву жизни требует каждая профессия, и воспользуются этим знанием, чтобы уменьшить опасности.

Большая или меньшая салюбритность почвы, ее высота, ее температура, обычаи жителей и операции правительств имеют значительное влияние на смертность. Но всегда необходимо предшествовать исследованию причины наблюдаемых различий тем вероятности, с которой эта причина указана. Таким образом, отношение популяции к годовым рождениям, которое видели поднятым во Франции до двадцати восьми и одной трети, не равно двадцати пяти в древнем герцогстве Милан. Эти отношения, оба установленные на большом числе рождений, не позволяют ставить под вопрос существование среди миланцев особой причины смертности, которую важно для правительства нашей страны исследовать и устранить.

Отношение популяции к рождениям увеличилось бы снова, если бы мы могли уменьшить и устранить некоторые опасные и широко распространенные болезни. Это было счастливо сделано для оспы, сначала инокуляцией этой болезни, затем способом гораздо более выгодным, инокуляцией вакцины, неоценимым открытием Дженнера, который стал тем самым одним из величайших благодетелей человечества.

Оспа имеет это в частности, а именно, что тот же индивид не дважды поражен ею, или по крайней мере такие случаи так редки, что они могут быть абстрагированы от вычисления. Эта болезнь, от которой немногие спасались до открытия вакцины, часто фатальна и вызывает смерть одной седьмой тех, кого она атакует. Иногда она мягкая, и опыт научил, что ей можно придать этот последний характер, инокулируя ее на здоровых лицах, подготовленных для этого правильной диетой и в благоприятный сезон. Тогда отношение индивидов, которые умирают, к инокулированным не есть одна трехсотая. Это большое преимущество инокуляции, присоединенное к тем не изменять внешность и сохранять от тяжких последствий, которые натуральная оспа часто приносит, вызвало, что оно было принято большим числом лиц. Практика была сильно рекомендована, но она была сильно оспариваема, как это почти всегда бывает в вещах, подверженных неудобству. Посреди этого спора Даниил Бернулли предложил подвергнуть исчислению вероятностей влияние инокуляции на среднюю продолжительность жизни. Поскольку точных данных смертности, произведенной оспой в различные возрасты жизни, не хватало, он предположил, что опасность иметь эту болезнь и опасность умереть от нее те же самые в каждом возрасте. Посредством этих предположений он преуспел деликатным анализом в конвертировании обычной таблицы смертности в ту, которая была бы использована, если бы оспа не существовала, или если бы она вызывала смерть только очень малого числа тех, кто поражен, и он заключает из этого, что инокуляция увеличила бы на три года по крайней мере среднюю продолжительность жизни, что казалось ему вне сомнения преимуществом этой операции. Д'Аламбер атаковал анализ Бернулли: сначала в отношении неопределенности его двух гипотез, затем в отношении его недостаточности в этом, что никакое сравнение не было сделано непосредственной опасности, хотя очень малой, умереть от инокуляции, к очень большой, но очень отдаленной опасности поддаться натуральной оспе. Это соображение, которое исчезает, когда рассматривают большое число индивидов, есть по этой причине несущественно для правительств, и преимущества инокуляции для них все еще остаются; но оно имеет большой вес для отца семейства, который должен бояться, инокулируя своих детей, увидеть, что один погибнет, кого он держит самым дорогим, и быть причиной этого. Многие родители были сдержаны этим страхом, который открытие вакцины счастливо рассеяло. Одним из тех тайн, которые природа предлагает нам так часто, вакцина есть превентив оспы так же определенный, как вариолярный вирус, и нет опасности вовсе; она не подвергает никакой болезни и требует только очень мало заботы. Поэтому практика ее распространилась быстро; и чтобы сделать ее универсальной, остается только преодолеть естественную инерцию народа, против которой необходимо бороться постоянно, даже когда это вопрос их самых дорогих интересов.

Самое простое средство вычисления преимущества, которое вымирание болезни произвело бы, состоит в определении наблюдением числа индивидов данного возраста, которые умирают от нее каждый год, и вычитании этого числа из числа смертей в том же возрасте. Отношение разности к общему числу индивидов данного возраста было бы вероятностью умереть в году в этом возрасте, если бы болезнь не существовала. Делая тогда сумму этих вероятностей от рождения до любого данного возраста и вычитая эту сумму из единицы, остаток будет вероятностью жить до этого возраста, соответствующей вымиранию болезни. Серия этих вероятностей будет таблицей смертности, относящейся к этой гипотезе, и мы можем заключить из нее, тем, что предшествует, среднюю продолжительность жизни. Это так, что Дювилар нашел, что увеличение средней продолжительности жизни, обязанное инокуляции вакциной, есть три года по крайней мере. Увеличение столь значительное произвело бы очень большое увеличение в популяции, если бы последняя, по другим причинам, не была сдержана относительным уменьшением средств к существованию.

Это главным образом из-за нехватки средств к существованию, что прогрессивный марш популяции арестован. Во всех видах животных и овощей природа стремится без конца увеличить число индивидов, пока они не на уровне средств к существованию. В человеческой расе моральные причины имеют большое влияние на популяцию. Если легкие расчистки леса могут снабдить обильным питанием новые поколения, уверенность в способности поддержать многочисленную семью поощряет браки и делает их более продуктивными. На той же почве популяция и рождения должны увеличиваться в то же время одновременно в геометрической прогрессии. Но когда расчистки становятся более трудными и более редкими, тогда увеличение популяции уменьшается; она приближается постоянно к переменному состоянию средств к существованию, делая осцилляции около него, точно так же как маятник, чья периодичность замедлена изменением точки подвеса, осциллирует около этой точки в силу своего собственного веса. Трудно оценить максимум увеличения популяции; кажется после наблюдений, что в благоприятных обстоятельствах популяция человеческой расы удваивалась бы каждые пятнадцать лет. Мы оцениваем, что в Северной Америке период этого удвоения есть двадцать два года. В этом состоянии вещей популяция, рождения, браки, смертность, все увеличиваются согласно той же геометрической прогрессии, которой мы имеем постоянное отношение последовательных членов наблюдением годовых рождений в двух эпохах.

Посредством таблицы смертности, представляющей вероятности человеческой жизни, мы можем определить продолжительность браков. Предполагая, чтобы упростить дело, что смертность та же самая для двух полов, мы получим вероятность, что брак просуществует один год, или два, или три и т. д., формируя серию дробей, чей общий знаменатель есть произведение двух чисел таблицы, соответствующих возрастам супругов, и чьи числители есть последовательные произведения чисел, соответствующих этим возрастам, увеличенным на один, на два, на три и т. д. лет. Сумма этих дробей, увеличенная на одну половину, будет средней продолжительностью брака, год будучи взят как единица. Легко распространить то же правило на среднюю продолжительность ассоциации, сформированной из трех или из большего числа индивидов.

ГЛАВА XV. О ПРЕИМУЩЕСТВАХ ИНСТИТУТОВ, КОТОРЫЕ ЗАВИСЯТ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ.

Вспомним здесь то, что было сказано, рассуждая о надежде. Было увидено, что для того, чтобы получить преимущество, которое проистекает из нескольких простых событий, из которых одни производят выгоду, а другие потерю, необходимо добавить произведения вероятности каждого благоприятного события на выгоду, которую оно доставляет, и вычесть из их суммы сумму произведений вероятности каждого неблагоприятного события на потерю, которая привязана к нему. Но каким бы ни было преимущество, выраженное разностью этих сумм, единственное событие, составленное из этих простых событий, не гарантирует против страха испытывать потерю. Представляют, что этот страх должен уменьшиться, когда умножают составное событие. Анализ вероятностей ведет к этой общей теореме.

При повторении выгодного события, простого или сложного, реальная выгода становится все более вероятной и непрерывно возрастает; в гипотезе бесконечного числа повторений она становится достоверной, и при делении ее на это число частное, или средняя выгода от каждого события, представляет собой само математическое ожидание, или преимущество, относящееся к событию. То же самое происходит с проигрышем, который в конечном счете становится достоверным, каким бы малым ни было невыгодное положение события.

Эта теорема о выгодах и проигрышах аналогична тем, которые мы уже привели относительно отношений, указываемых неопределенным повторением событий, простых или сложных; и, подобно им, она доказывает, что закономерность в конечном итоге устанавливается даже в тех вещах, которые наиболее подчинены тому, что мы называем случаем.

Когда событий очень много, анализ дает другое, весьма простое выражение вероятности того, что выгода будет заключена в определенных пределах. Это выражение, которое вновь входит в общий закон вероятности, приведенный выше при обсуждении вероятностей, возникающих в результате неограниченного умножения событий.

Стабильность институтов, основанных на вероятностях, зависит от истинности предыдущей теоремы. Но для того чтобы она могла быть к ним применена, необходимо, чтобы эти институты умножали такие выгодные события ради множества вещей.

На вероятностях человеческой жизни были основаны различные институты, такие как пожизненные ренты и тонтины. Самый общий и самый простой метод расчета выгод и расходов этих институтов состоит в приведении их к текущим суммам. Годовой процент на единицу капитала — это то, что называется процентной ставкой. В конце каждого года сумма приобретает множитель, равный единице плюс процентная ставка; таким образом, она возрастает согласно геометрической прогрессии, знаменателем которой является этот множитель. Поэтому с течением времени она становится огромной. Если, например, процентная ставка составляет 1/20 или пять процентов, капитал почти удваивается за четырнадцать лет, учетверяется за двадцать девять лет, а менее чем за три столетия он становится в два миллиона раз больше.

Столь поразительный рост породил идею использования его для погашения государственного долга. С этой целью формируется амортизационный фонд, в который направляются ежегодные отчисления, используемые для выкупа государственных облигаций и непрерывно увеличиваемые за счет процентов по выкупленным облигациям. Очевидно, что в долгосрочной перспективе этот фонд поглотит значительную часть национального долга. Если, когда потребности государства делают необходимым заем, часть этого займа направляется на увеличение ежегодного амортизационного фонда, колебания государственных облигаций будут меньше; доверие кредиторов и вероятность погашения без потери вложенного капитала при желании будут возрастать, что сделает условия займа менее обременительными. Благоприятный опыт полностью подтвердил эти преимущества. Но верность обязательствам и стабильность, столь необходимые для успеха таких институтов, могут быть гарантированы только правительством, в котором законодательная власть разделена между несколькими независимыми ветвями власти. Доверие, которое внушает необходимое сотрудничество этих властей, удваивает силу государства, и сам суверен выигрывает тогда в законной власти больше, чем теряет во власти произвольной.

Из вышесказанного следует, что текущий капитал, эквивалентный сумме, которая должна быть выплачена только через определенное количество лет, равен этой сумме, умноженной на вероятность того, что она будет выплачена в это время, и деленной на единицу, увеличенную на процентную ставку и возведенную в степень, выраженную числом этих лет.

Легко применить этот принцип к пожизненным рентам на одно или несколько лиц, к сберегательным кассам и к страховым обществам любого рода. Предположим, что предлагается составить таблицу пожизненных рент согласно заданной таблице смертности. Пожизненная рента, выплачиваемая, например, в конце пяти лет и приведенная к текущей сумме, по этому принципу равна произведению двух следующих величин, а именно: ренты, деленной на пятую степень единицы, увеличенной на процентную ставку, и вероятности ее выплаты. Эта вероятность представляет собой обратное отношение числа лиц, записанных в таблице напротив возраста того, кто устанавливает ренту, к числу лиц, записанных напротив этого возраста, увеличенного на пять лет. Составляя затем ряд дробей, знаменателями которых являются произведения числа лиц, указанных в таблице смертности как живущие в возрасте того, кто устанавливает ренту, на последовательные степени единицы, увеличенной на процентную ставку, а числителями — произведения ренты на число лиц, живущих в том же возрасте, увеличенном последовательно на один год, два года и т. д., сумма этих дробей будет составлять сумму, необходимую для пожизненной ренты в этом возрасте.

Предположим, что человек желает посредством пожизненной ренты обеспечить своим наследникам сумму, выплачиваемую в конце года его смерти. Чтобы определить стоимость этой ренты, можно представить, что человек занимает в банке этот капитал пожизненно и помещает его в тот же банк под бессрочный процент. Ясно, что этот же капитал будет причитаться банком его наследникам в конце года его смерти; но он будет выплачивать каждый год только разницу между пожизненным процентом и бессрочным процентом. Таблица пожизненных рент покажет тогда, что именно человек должен ежегодно выплачивать банку, чтобы обеспечить этот капитал после своей смерти.

Морское страхование, страхование от пожаров и бурь, и вообще все институты такого рода рассчитываются по тем же принципам. Купец, имеющий суда в море, желает застраховать их стоимость и стоимость их грузов от опасностей, которым они могут подвергнуться; для этого он передает сумму компании, которая берет на себя ответственность за оценочную стоимость его грузов и судов. Отношение этой стоимости к сумме, которая должна быть уплачена в качестве страхового взноса, зависит от опасностей, которым подвергаются суда, и может быть оценено только на основе многочисленных наблюдений за судьбой судов, вышедших из порта в том же направлении.

Если бы застрахованные лица платили страховой компании только сумму, указанную исчислением вероятностей, эта компания не смогла бы покрыть расходы своего института; необходимо, следовательно, чтобы они платили сумму, значительно превышающую стоимость такого страхования. В чем же тогда их выгода? Именно здесь становится необходимым рассмотрение морального невыгодного положения, связанного с неопределенностью. Понятно, что самая справедливая игра становится, как уже было замечено, невыгодной, потому что игрок обменивает верную ставку на неопределенную выгоду; страхование, посредством которого человек обменивает неопределенное на определенное, должно быть выгодным. Именно это и следует из правила, которое мы дали выше для определения морального ожидания, и с помощью которого можно, кроме того, увидеть, насколько далеко может простираться жертва, которую следует принести страховой компании, сохраняя при этом моральное преимущество. Эта компания может тогда, обеспечивая это преимущество, сама получить большую выгоду, если число застрахованных лиц очень велико — условие, необходимое для ее постоянного существования. Тогда ее выгоды становятся достоверными, а математическое и моральное ожидания совпадают; ибо анализ приводит к этой общей теореме, а именно: если ожиданий очень много, то оба ожидания непрерывно приближаются друг к другу и в конечном итоге совпадают в случае бесконечного числа.

Мы говорили при обсуждении математического и морального ожиданий, что существует моральное преимущество в распределении рисков выгоды, которую ожидают, на несколько ее частей. Так, чтобы отправить сумму денег в отдаленное место, гораздо лучше отправить ее на нескольких судах, чем подвергать риску на одном. Это делается посредством взаимного страхования. Если два лица, каждое из которых имеет одинаковую сумму на двух разных судах, вышедших из одного порта в одном направлении, договариваются поровну делить все деньги, которые могут прибыть, ясно, что этим соглашением каждый из них поровну делит между двумя судами сумму, которую он ожидает. Действительно, этот вид страхования всегда оставляет неопределенность относительно потери, которой можно опасаться. Но эта неопределенность уменьшается по мере увеличения числа страхователей; моральное преимущество возрастает все больше и больше и в конечном итоге совпадает с математическим преимуществом, своим естественным пределом. Это делает ассоциацию взаимного страхования, когда она очень многочисленна, более выгодной для застрахованных, чем страховые компании, которые, пропорционально выгоде, которую они дают, предоставляют моральное преимущество, всегда уступающее математическому преимуществу. Но надзор за их управлением может уравновесить преимущество взаимного страхования. Все эти результаты, как уже было замечено, не зависят от закона, выражающего моральное преимущество.