«Система логики: умозаключительная и индуктивная, том II»

Для государственного деятеля, следовательно, обычно достаточно знать, что большинство лиц действуют или подвергаются воздействию определенным образом; поскольку его размышления и его практические мероприятия относятся почти исключительно к случаям, в которых все сообщество или какая-то большая его часть подвергается воздействию сразу, и в которых, следовательно, то, что делается или чувствуется большинством лиц, определяет результат, произведенный телом в целом или на него. Он может вполне успешно обходиться приблизительными обобщениями о человеческой природе, поскольку то, что истинно приблизительно для всех индивидов, истинно абсолютно для всех масс. И даже когда действия отдельных людей играют роль в его дедукциях, как, например, когда он рассуждает о королях или других единоличных правителях, все же, поскольку он предусматривает неопределенную длительность, включающую неопределенную последовательность таких индивидов, он должен в целом как рассуждать, так и действовать так, как если бы то, что истинно для большинства лиц, было истинно для всех.

Два рода соображений, приведенных выше, являются достаточным опровержением популярного заблуждения, что размышления об обществе и правительстве, как основанные на лишь вероятных доказательствах, должны уступать в достоверности и научной точности выводам того, что называется точными науками, и быть менее надежными на практике. Существует достаточно причин, почему моральные науки должны оставаться ниже по крайней мере более совершенных физических: почему законы их более сложных явлений не могут быть расшифрованы столь полно, а явления предсказаны с той же степенью уверенности. Но хотя мы не можем достичь столь многих истин, нет причин, чтобы те, которых мы можем достичь, заслуживали меньшего доверия или имели меньше научного характера. Об этой теме, однако, я буду рассуждать более систематически в заключительной Книге, к какому месту любое дальнейшее ее рассмотрение должно быть отложено.

ГЛАВА XXIV. ОБ ОСТАЛЬНЫХ ЗАКОНАХ ПРИРОДЫ.

§ 1. В Первой Книге мы обнаружили, что все утверждения, которые могут быть переданы языком, выражают одну или несколько из пяти различных вещей: Существование; Порядок в месте; Порядок во времени; Причинность; и Сходство. Из них Причинность, в нашем взгляде на предмет, не будучи фундаментально отличной от Порядка во времени, сводит пять видов возможных утверждений к четырем. Суждения, которые утверждают Порядок во времени, в любом из его двух способов, Сосуществование и Последовательность, составляли до сих пор предмет настоящей Книги. И мы теперь завершили изложение, насколько оно входит в пределы, отведенные этой работе, природы доказательств, на которых покоятся эти суждения, и процессов исследования, посредством которых они устанавливаются и доказываются. Остаются три класса фактов: Существование, Порядок в месте и Сходство; в отношении которых теперь должны быть решены те же вопросы.

Относительно первого из них нужно сказать очень мало. Существование в целом — это предмет не для нашей науки, а для метафизики. Определить, какие вещи могут быть признаны реально существующими, независимо от наших собственных чувственных или иных впечатлений, и в каком значении термин в этом случае предицируется о них, относится к рассмотрению «Вещей в себе», от которых мы на протяжении всей этой работы по возможности держались в стороне. Существование, насколько Логика им озабочена, имеет отношение только к явлениям; к актуальным или возможным состояниям внешнего или внутреннего сознания, в нас самих или других. Чувства чувствительных существ или возможности обладания такими чувствами — единственные вещи, существование которых может быть предметом логической индукции, потому что это единственные вещи, существование которых в индивидуальных случаях может быть предметом опыта.

Правда, мы говорим, что вещь существует, даже когда она отсутствует и поэтому не воспринимается и не может быть воспринята. Но даже тогда ее существование для нас — лишь другое слово для нашего убеждения, что мы восприняли бы ее при определенном допущении; а именно, если бы мы находились в необходимых обстоятельствах времени и места и были наделены необходимой полнотой органов. Моя вера в то, что император Китая существует, — это просто моя вера в то, что если бы я был перенесен в императорский дворец или какую-либо другую местность в Пекине, я бы увидел его. Моя вера в то, что Юлий Цезарь существовал, — это моя вера в то, что я увидел бы его, если бы присутствовал на Фарсальском поле или в сенате в Риме. Когда я верю, что звезды существуют за пределами предельного диапазона моего зрения, даже при помощи самых мощных телескопов, когда-либо изобретенных, моя вера, выраженная философски, заключается в том, что с еще лучшими телескопами, если бы таковые существовали, я мог бы увидеть их, или что они могут быть восприняты существами, менее удаленными от них в пространстве, или чьи способности восприятия превосходят мои.

Существование, следовательно, явления — это лишь другое слово для его восприятия или для выведенной возможности его восприятия. Когда явление находится в пределах диапазона настоящего наблюдения, настоящим наблюдением мы заверяем себя в его существовании; когда оно за пределами этого диапазона и поэтому называется отсутствующим, мы выводим его существование из признаков или доказательств. Но чем могут быть эти доказательства? Другими явлениями; установленными индукцией как связанные с данным явлением, либо путем последовательности, либо сосуществования. Простое существование, следовательно, индивидуального явления, когда оно не воспринимается непосредственно, выводится из какого-либо индуктивного закона последовательности или сосуществования: и, следовательно, не подлежит каким-либо особым индуктивным принципам. Мы доказываем существование вещи, доказывая, что она связана последовательностью или сосуществованием с какой-либо известной вещью.

Что касается общих суждений этого класса, то есть тех, которые утверждают голый факт существования, они имеют особенность, которая делает логическое обращение с ними очень легким делом; это обобщения, которые достаточно доказаны одним случаем. То, что призраки, или единороги, или морские змеи существуют, было бы полностью установлено, если бы можно было положительно удостовериться, что такие вещи были хотя бы раз увидены. То, что однажды произошло, способно произойти снова; единственный вопрос касается условий, при которых это происходит.

Постольку, следовательно, поскольку это касается простого существования, Индуктивная Логика не имеет узлов, которые нужно развязывать. И мы можем перейти к оставшимся двум из великих классов, на которые были разделены факты; Сходство и Порядок в пространстве.

§ 2. Сходство и его противоположность, за исключением случая, когда они принимают названия Равенства и Неравенства, редко рассматриваются как предметы науки; предполагается, что они воспринимаются простым схватыванием; просто направляя наши чувства или направляя наше внимание на два объекта сразу или в непосредственной последовательности. И это одновременное, или фактически одновременное, применение наших способностей к двум вещам, которые должны быть сравнены, обязательно составляет окончательную апелляцию, где бы такое применение ни было практически осуществимо. Но в большинстве случаев оно не осуществимо: объекты не могут быть приведены так близко друг к другу, чтобы чувство их сходства (по крайней мере, полное чувство его) непосредственно возникло в уме. Мы можем только сравнить каждый из них с каким-то третьим объектом, способным быть перенесенным от одного к другому. И кроме того, даже когда объекты могут быть приведены в непосредственное сопоставление, их сходство или различие известно нам лишь несовершенно, если мы не сравнили их тщательно, часть за частью. Пока это не сделано, вещи, в действительности весьма несходные, часто кажутся неразличимо похожими. Две линии очень неравной длины будут казаться примерно равными, когда лежат в разных направлениях; но поместите их параллельно, с их дальними конечностями на одном уровне, и если мы посмотрим на ближние конечности, их неравенство станет делом непосредственного восприятия.

Установить, сходны или различаются два явления и в чем именно, поэтому не всегда так легко, как могло бы показаться на первый взгляд. Когда два явления не могут быть приведены в сопоставление или не так, чтобы наблюдатель был способен сравнить их отдельные части в деталях, он должен использовать косвенные средства рассуждения и общие суждения. Когда мы не можем соединить две прямые линии, чтобы определить, равны ли они, мы делаем это с помощью физической помощи футовой линейки, приложенной сначала к одной, а затем к другой, и логической помощи общего суждения или формулы: «Вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу». Сравнение двух вещей через посредство третьей вещи, когда их прямое сравнение невозможно, является соответствующим научным процессом для установления сходств и различий и составляет сумму всего, чему Логика может научить по этому предмету.

Чрезмерное расширение этого замечания побудило Локка рассматривать само рассуждение как не что иное, как сравнение двух идей через посредство третьей, а знание — как восприятие согласия или несогласия двух идей: доктрины, которые школа Кондильяка слепо приняла без оговорок и различий, с которыми они старательно охранялись их прославленным автором. Там, где, действительно, согласие или несогласие (иначе называемое сходством или несходством) любых двух вещей является самим предметом, который должен быть определен, как это имеет место, в частности, в науках о количестве и протяженности; там процесс, посредством которого решение, если оно не достижимо прямым восприятием, должно быть косвенно искомо, состоит в сравнении этих двух вещей через посредство третьей. Но это далеко не верно для всех исследований. Знание того, что тела падают на землю, — это не восприятие согласия или несогласия, а ряд физических событий, последовательность ощущений. Определения знания и рассуждения Локка требовали ограничения нашим знанием о сходствах и рассуждением о них. Но даже при таком ограничении суждения не являются строго корректными; поскольку сравнение делается не, как он представляет, между идеями двух явлений, а между самими явлениями. Эта ошибка была указана в более ранней части нашего исследования, и мы проследили ее до несовершенной концепции того, что происходит в математике, где очень часто сравнение действительно делается между идеями, без какой-либо апелляции к внешним чувствам; только, однако, потому, что в математике сравнение идей строго эквивалентно сравнению самих явлений. Там, где, как в случае с числами, линиями и фигурами, наша идея объекта является полной картиной объекта, насколько это касается дела; мы можем, конечно, узнать из картины все, что можно было бы узнать из самого объекта простым созерцанием его в тот конкретный момент, когда картина сделана. Никакое простое созерцание пороха никогда не научило бы нас тому, что искра заставит его взорваться, и, следовательно, созерцание идеи пороха тоже не сделало бы этого: но простое созерцание прямой линии показывает, что она не может заключать в себе пространство: соответственно, созерцание идеи ее покажет то же самое. То, что происходит в математике, таким образом, не является аргументом в пользу того, что сравнение происходит только между идеями. Это всегда, косвенно или прямо, сравнение явлений.

В случаях, в которых мы не можем подвергнуть явления проверке прямым осмотром вообще или не таким образом, чтобы это было достаточно точно, но должны судить об их сходстве путем вывода из других сходств или несходств, более доступных наблюдению, мы, конечно, требуем, как и во всех случаях умозаключения, обобщений или формул, применимых к предмету. Мы должны рассуждать от законов природы; от единообразий, которые наблюдаемы в факте сходства или несходства.

§ 3. Из этих законов или единообразий наиболее всеобъемлющими являются те, что поставляются математикой; аксиомы, относящиеся к равенству, неравенству и пропорциональности, и различные теоремы, на них основанные. И это единственные Законы Сходства, которые требуют того, чтобы их рассматривали отдельно, или которые могут быть так рассмотрены. Правда, существуют бесчисленные другие теоремы, которые утверждают сходства между явлениями; как то, что угол отражения света равен углу его падения (равенство есть лишь точное сходство в величине). Опять же, что небесные тела описывают равные площади за равные времена; и что их периоды обращения пропорциональны (другой вид сходства) полуторным степеням их расстояний от центра силы. Эти и подобные суждения утверждают сходства, того же рода, что и те, которые утверждаются в теоремах математики; но различие в том, что суждения математики истинны для всех явлений вообще или, по крайней мере, без различия происхождения; в то время как рассматриваемые истины утверждаются только для специальных явлений, которые возникают определенным образом; и равенства, пропорциональности или другие сходства, которые существуют между такими явлениями, должны обязательно быть либо производными от закона их происхождения — закона причинности, от которого они зависят, — либо идентичными ему. Равенство площадей, описываемых за равные времена планетами, производно от законов причин; и, пока его выведение не было показано, оно было эмпирическим законом. Равенство углов отражения и падения идентично закону причины; ибо причиной является падение луча света на отражающую поверхность, а рассматриваемое равенство — это самый закон, согласно которому эта причина производит свои следствия. Этот класс, следовательно, единообразий сходства между явлениями неотделим, на деле и в мысли, от законов производства этих явлений: и принципы индукции, применимые к ним, суть не что иное, как те, о которых мы рассуждали в предыдущих главах этой Книги.

Иначе обстоит дело с истинами математики. Законы равенства и неравенства между пространствами или между числами не имеют связи с законами причинности. То, что угол отражения равен углу падения, есть утверждение способа действия конкретной причины; но то, что когда две прямые линии пересекают друг друга, противоположные углы равны, истинно для всех таких линий и углов, какой бы причиной они ни были произведены. То, что квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам их расстояний от солнца, есть единообразие, производное от законов причин (или сил), которые производят планетные движения; но то, что квадрат любого числа в четыре раза больше квадрата половины этого числа, истинно независимо от какой-либо причины. Единственные законы сходства, следовательно, которые мы призваны рассматривать независимо от причинности, принадлежат к области математики.

§ 4. То же самое очевидно в отношении единственной оставшейся из наших пяти категорий, Порядка в месте. Порядок в месте следствий причины есть (как и все остальное, принадлежащее к следствиям) следствие законов этой причины. Порядок в месте, или, как мы его назвали, размещение первоначальных причин, есть (как и их сходство) в каждом случае конечный факт, в котором не прослеживаются никакие законы или единообразия. Единственные оставшиеся общие суждения относительно порядка в месте и единственные, которые не имеют ничего общего с причинностью, — это некоторые истины геометрии; законы, посредством которых мы способны, исходя из порядка в месте определенных точек, линий или пространств, вывести порядок в месте других, которые связаны с первыми каким-либо известным способом; совершенно независимо от конкретной природы этих точек, линий или пространств в любом другом отношении, кроме положения или величины, а также независимо от физической причины, из которой в любом конкретном случае они случайно выводят свое происхождение.

Таким образом, оказывается, что математика — единственный отдел науки, в методы которого еще предстоит вникнуть. И тем меньше необходимости, чтобы это исследование занимало нас долго, поскольку мы уже во Второй Книге достигли значительного прогресса в нем. Мы там заметили, что непосредственно индуктивные истины математики немногочисленны; состоя из аксиом вместе с определенными суждениями относительно существования, молчаливо вовлеченными в большинство так называемых определений. И мы дали то, что казалось убедительными причинами для утверждения, что эти первоначальные посылки, из которых выводятся остальные истины науки, являются, вопреки всем видимостям, результатами наблюдения и опыта; основанными, короче говоря, на свидетельстве чувств. То, что вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу, и что две прямые линии, которые однажды пересекли друг друга, продолжают расходиться, являются индуктивными истинами; покоящимися, действительно, подобно закону универсальной причинности, только на индукции per enumerationem simplicem; на факте, что они постоянно воспринимались как истинные и никогда не находились ложными. Но, как мы видели в недавней главе, что это свидетельство в случае закона, столь полностью универсального, как закон причинности, равносильно полнейшему доказательству, так это даже более очевидно верно для общих суждений, к которым мы сейчас обращаемся; потому что, поскольку восприятие их истинности в любом индивидуальном случае требует только простого акта взгляда на объекты в надлежащем положении, в их случае никогда не могло быть (что в течение долгого периода было в случае закона причинности) случаев, которые были бы по видимости, хотя и не в действительности, исключениями из них. Их непогрешимая истинность была признана с самой зари спекуляции; и поскольку их крайняя привычность делала невозможным для ума представить объекты под каким-либо другим законом, они были и до сих пор считаются истинами, признаваемыми по их собственному свидетельству или по инстинкту.

§ 5. Есть нечто, что, по-видимому, требует объяснения в том факте, что огромное множество истин (множество, все еще столь же далекое от исчерпания, как и всегда), включенных в математические науки, может быть извлечено из столь малого числа элементарных законов. Не видишь, на первый взгляд, как это может быть, что может быть место для такого бесконечного разнообразия истинных суждений по предметам, по-видимому, столь ограниченным.

Начнем с науки о числе. Элементарными или конечными истинами этой науки являются общие аксиомы относительно равенства, а именно: «Вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу» и «Равные, добавленные к равным, дают равные суммы» (никаких других аксиом не требуется), вместе с определениями различных чисел. Подобно другим так называемым определениям, они состоят из двух вещей: объяснения имени и утверждения факта, из которых последнее одно может формировать первый принцип или посылку науки. Факт, утверждаемый в определении числа, есть физический факт. Каждое из чисел два, три, четыре и т. д. обозначает физические явления и коннотирует физическое свойство этих явлений. Два, например, обозначает все пары вещей, а двенадцать — все дюжины вещей, коннотируя то, что делает их парами или дюжинами; и то, что делает их таковыми, есть нечто физическое; поскольку нельзя отрицать, что два яблока физически отличимы от трех яблок, две лошади от одной лошади и так далее: что они являются различным видимым и осязаемым явлением. Я не берусь сказать, в чем разница; достаточно того, что есть разница, которую чувства могут распознать. И хотя сто две лошади не так легко отличить от ста трех, как две лошади от трех — хотя в большинстве положений чувства не воспринимают никакой разницы, — все же они могут быть помещены так, что разница станет заметной, иначе мы никогда не отличили бы их и не дали бы им разные имена. Вес, по общему признанию, является физическим свойством вещей; однако малые различия между большими весами столь же незаметны для чувств в большинстве ситуаций, как малые различия между большими числами; и только проявляются путем помещения двух объектов в особое положение — а именно, на противоположные чаши чувствительных весов.

Что же тогда обозначается именем числа? Разумеется, некоторое свойство, присущее совокупности вещей, которые мы называем этим именем; и это свойство есть характерный способ, которым совокупность составляется из частей и может быть на них разделена. Я постараюсь сделать это более понятным с помощью нескольких пояснений.

Когда мы называем совокупность объектов двумя, тремя или четырьмя, они не являются двумя, тремя или четырьмя в абстрактном смысле; это две, три или четыре вещи определенного рода: гальки, лошади, дюймы, фунты веса. То, что обозначает имя числа, — это способ, которым отдельные объекты данного рода должны быть соединены, чтобы произвести эту конкретную совокупность. Если совокупность состоит из гальки и мы называем ее «два», имя подразумевает, что для составления совокупности одна галька должна быть присоединена к одной гальке. Если мы называем ее «три», то одна, одна и одна галька должны быть собраны вместе, чтобы произвести ее, или же одна галька должна быть присоединена к уже существующей совокупности рода, называемого «два». Совокупность, которую мы называем «четыре», имеет еще большее число характерных способов формирования. Можно собрать вместе одну, одну, одну и одну гальку; или объединить две совокупности рода «два»; или добавить одну гальку к совокупности рода «три». Каждое последующее число в возрастающем ряду может быть сформировано путем соединения меньших чисел во все более разнообразных сочетаниях. Даже ограничиваясь двумя частями, число может быть сформировано, и, следовательно, может быть разделено столькими различными способами, сколько существует чисел, меньших, чем оно само; а если мы допустим тройки, четверки и т. д., то еще большим разнообразием. Другие способы прийти к той же совокупности представляют себя не через объединение меньших, а через расчленение больших совокупностей. Так, три гальки могут быть сформированы путем изъятия одной гальки из совокупности в четыре; две гальки — путем равного деления подобной совокупности, и так далее.

Каждое арифметическое суждение, каждое утверждение о результате арифметической операции есть утверждение об одном из способов формирования данного числа. Оно утверждает, что некоторая совокупность могла быть сформирована путем сложения определенных других совокупностей или путем изъятия определенных частей из некоторой совокупности; и что, как следствие, мы могли бы воспроизвести эти совокупности из нее, обратив процесс вспять.

Так, когда мы говорим, что куб 12 равен 1728, мы утверждаем следующее: если, имея достаточное количество гальки или любых других объектов, мы сложим их в определенного рода группы или совокупности, называемые дюжинами, и снова сложим эти дюжины в подобные коллекции, и, наконец, составим двенадцать таких самых больших групп, то сформированная таким образом совокупность будет такой, которую мы называем 1728; а именно той, которая (если взять самый привычный из способов ее формирования) может быть получена путем соединения группы, называемой тысячей галек, группы, называемой семьюстами гальками, группы, называемой двадцатью гальками, и группы, называемой восемью гальками.

Обратное суждение, что кубический корень из 1728 равен 12, утверждает, что эта большая совокупность может быть снова разложена на двенадцать дюжин дюжин галек, из которых она состоит.

Способы формирования любого числа бесчисленны; но когда мы знаем один способ формирования каждого из них, все остальные могут быть определены дедуктивно. Если мы знаем, что a сформировано из b и c, b из a и e, c из d и f и так далее, пока мы не включим все числа выбранной нами шкалы (заботясь о том, чтобы для каждого числа способ формирования был действительно отличным, не возвращая нас снова к прежним числам, а вводя новое число), мы имеем набор суждений, из которых мы можем вывести все другие способы формирования этих чисел друг из друга. Установив цепь индуктивных истин, связывающих все числа шкалы, мы можем определить формирование любого из этих чисел из любого другого, просто перемещаясь от одного к другому вдоль этой цепи. Предположим, что мы знаем только следующие способы формирования: 6 = 4 + 2, 4 = 7 - 3, 7 = 5 + 2, 5 = 9 - 4. Мы могли бы определить, как 6 может быть сформировано из 9. Ибо 6 = 4 + 2 = 7 - 3 + 2 = 5 + 2 - 3 + 2 = 9 - 4 + 2 - 3 + 2. Следовательно, оно может быть сформировано путем вычитания 4 и 3 и прибавления 2 и 2. Если мы знаем, кроме того, что 2 + 2 = 4, мы получаем 6 из 9 более простым способом, просто вычитая 3.

Поэтому достаточно выбрать один из различных способов формирования каждого числа как средство определения всех остальных. А поскольку вещи, которые единообразны, а следовательно, просты, легче всего воспринимаются и удерживаются разумом, существует очевидное преимущество в выборе способа формирования, который был бы одинаковым для всех; в фиксации коннотации имен чисел на одном единообразном принципе. Способ, которым устроена наша существующая числовая номенклатура, обладает этим преимуществом, с дополнительным плюсом, что он удачно передает уму два способа формирования каждого числа. Каждое число рассматривается как сформированное путем прибавления единицы к числу, стоящему непосредственно перед ним по величине, и этот способ формирования передается местом, которое оно занимает в ряду. И каждое также рассматривается как сформированное путем прибавления числа единиц, меньшего десяти, и числа совокупностей, каждая из которых равна одной из последовательных степеней десяти; и этот способ его формирования выражается его произносимым именем и его числовым знаком.

То, что делает арифметику типом дедуктивной науки, — это удачная применимость к ней закона, столь всеобъемлющего, как «Суммы равных равны», или (выражая тот же принцип менее привычным, но более характерным языком), все, что состоит из частей, состоит из частей этих частей. Эта истина, очевидная для чувств во всех случаях, которые могут быть справедливо отнесены к их решению, и столь общая, что она соразмерна самой природе (ибо все допускает исчисление), должна считаться индуктивной истиной, или законом природы, высшего порядка. И каждая арифметическая операция есть применение этого закона или других законов, способных быть выведенными из него. Это наше основание для всех вычислений. Мы верим, что пять и два равны семи, на основании этого индуктивного закона в сочетании с определениями этих чисел. Мы приходим к этому выводу (как знают все, кто помнит, как они впервые этому учились), прибавляя по одной единице за раз: 5 + 1 = 6, следовательно 5 + 1 + 1 = 6 + 1 = 7: и снова 2 = 1 + 1, следовательно 5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7.

§ 6. Сколь бы бесчисленны ни были истинные суждения, которые могут быть сформированы относительно конкретных чисел, из них одних нельзя было бы получить адекватного представления о широте истин, составляющих науку о числе. Такие суждения, о которых мы говорили, являются наименее общими из всех числовых истин. Правда, даже они соразмерны всей природе: свойства числа четыре истинны для всех объектов, которые делимы на четыре равные части, и все объекты либо фактически, либо идеально так делимы. Но суждения, составляющие науку алгебру, истинны не для конкретного числа, а для всех чисел; не для всех вещей при условии их деления определенным образом, а для всех вещей при условии их деления любым способом — при условии, что они вообще обозначены числом.

Поскольку невозможно, чтобы разные числа имели какие-либо из своих способов формирования полностью общими, является своего рода парадоксом утверждение, что все суждения, которые могут быть сделаны относительно чисел, относятся к их способам формирования из других чисел, и все же существуют суждения, которые истинны для всех чисел. Но именно этот парадокс ведет к реальному принципу обобщения относительно свойств чисел. Два разных числа не могут быть сформированы одинаковым образом из одних и тех же чисел; но они могут быть сформированы одинаковым образом из разных чисел; как девять сформировано из трех путем умножения его на самого себя, а шестнадцать сформировано из четырех тем же процессом. Таким образом возникает классификация способов формирования, или, на языке, обычно используемом математиками, классификация функций. Любое число, рассматриваемое как сформированное из любого другого числа, называется функцией от него; и существует столько видов функций, сколько существует способов формирования. Простые функции отнюдь не многочисленны, большинство функций формируется комбинацией нескольких операций, которые образуют простые функции, или путем последовательных повторений какой-либо одной из этих операций. Простые функции любого числа x сводятся ко всем следующим формам: x + a, x - a, ax, x/a, xa, a√x, log x (по основанию a), и те же выражения, варьируемые путем подстановки x вместо a и a вместо x, везде, где такая подстановка изменила бы значение: к чему, возможно, следует добавить sin x и arc (sin = x). Все другие функции от x формируются путем подстановки одной или нескольких простых функций на место x или a и подвергания их тем же элементарным операциям.

Для проведения общих рассуждений по предмету функций нам требуется номенклатура, позволяющая нам выражать любые два числа именами, которые, не уточняя, какие именно это числа, покажут, какой функцией является каждое из них от другого; или, другими словами, сделают очевидным их способ формирования друг из друга. Система общего языка, называемая алгебраической нотацией, делает это. Выражения a и a^2 + 3a обозначают: одно — любое число, другое — число, сформированное из него определенным образом. Выражения a, b, n и (a + b)^n обозначают любые три числа и четвертое, которое сформировано из них определенным способом.

Следующее может быть сформулировано как общая задача алгебраического исчисления: F будучи некоторой функцией от данного числа, найти, какой функцией F будет от любой функции этого числа. Например, двучлен a + b есть функция от своих двух частей a и b, а части, в свою очередь, являются функциями от a + b: теперь (a + b)^n есть некоторая функция от двучлена; какой функцией будет это от a и b, двух частей? Ответ на этот вопрос — бином Ньютона. Формула (a + b)^n = a^n + (n/1)a^(n-1)b + ((n·(n-1))/(1·2))a^(n-2)b^2 + и т. д. показывает, каким образом число, которое сформировано путем умножения a + b на самого себя n раз, может быть сформировано без этого процесса, непосредственно из a, b и n. И к этому роду относятся все теоремы науки о числе. Они утверждают тождество результата различных способов формирования. Они утверждают, что некоторый способ формирования из x и некоторый способ формирования из определенной функции от x производят одно и то же число.

Помимо этих общих теорем или формул, в алгебраическом исчислении остается решение уравнений. Но решение уравнения — это также теорема. Если уравнение есть x^2 + ax = b, то решение этого уравнения, а именно x = -(1/2)a ± √(1/4)a^2 + b, является общим суждением, которое можно рассматривать как ответ на вопрос: если b есть некоторая функция от x и a (а именно x^2 + ax), то какой функцией является x от b и a? Решение уравнений, следовательно, есть лишь разновидность общей задачи, как она сформулирована выше. Задача состоит в том, чтобы, имея функцию, определить, какой функцией она является от некоторой другой функции; а в решении уравнения вопрос состоит в том, чтобы найти, какой функцией от одной из своих собственных функций является само число.

Такова, как описано выше, цель и назначение исчисления. Что касается его процессов, каждый знает, что они просто дедуктивны. Демонстрируя алгебраическую теорему или решая уравнение, мы переходим от данного к искомому путем чистого умозаключения; в котором единственными посылками, введенными помимо исходных гипотез, являются фундаментальные аксиомы, уже упомянутые: что вещи, равные одному и тому же, равны друг другу, и что суммы равных вещей равны. На каждом шаге демонстрации или вычисления мы применяем ту или иную из этих истин или истин, выводимых из них, например, что разности, произведения и т. д. равных чисел равны.

Было бы несоответствием масштабу этой работы и не требовалось бы для ее замысла продолжать анализ истин и процессов алгебры дальше; что также менее необходимо, поскольку эта задача в очень значительной степени была выполнена другими авторами. «Алгебра» Пикока и «Учение о пределах» доктора Уэвелла полны наставлений по этому предмету. Глубокие трактаты поистине философского математика, профессора Де Моргана, должны быть изучены каждым, кто желает постичь доказательства математических истин и смысл более темных процессов исчисления; а размышления Огюста Конта в его «Курсе положительной философии» о философии высших разделов математики входят в число многих ценных даров, которыми философия обязана этому выдающемуся мыслителю.

§ 7. Если крайняя общность и отдаленность законов числа не столько от чувств, сколько от зрительного и осязательного воображения делает некоторым усилием абстракции представление этих законов как в действительности физических истин, полученных путем наблюдения, то та же трудность не существует в отношении законов протяжения. Факты, выражением которых являются эти законы, относятся к роду, особо доступному чувствам и предлагающему исключительно отчетливые образы воображению. То, что геометрия является строго физической наукой, несомненно, было бы признано во все времена, если бы не иллюзии, порожденные двумя обстоятельствами. Одно из них — характерное свойство, уже отмеченное, фактов геометрии, что они могут быть собраны из наших идей или мысленных картин объектов столь же эффективно, как и из самих объектов. Другое — доказательный характер геометрических истин, который одно время предполагался как составляющий радикальное различие между ними и физическими истинами, причем последние, покоясь на лишь вероятных доказательствах, считались существенно неопределенными и неточными. Развитие знания, однако, сделало очевидным, что физическая наука в своих лучше понятых разделах столь же доказательна, как и геометрия. Задача выведения ее деталей из нескольких сравнительно простых принципов оказалась вовсе не той невозможностью, какой она когда-то считалась; и понятие о превосходной достоверности геометрии есть иллюзия, возникающая из древнего предрассудка, который в этой науке принимает идеальные данные, из которых мы рассуждаем, за особый класс реальностей, в то время как соответствующие идеальные данные любой дедуктивной физической науки признаются тем, чем они являются на самом деле, — просто гипотезами.

Каждая теорема в геометрии есть закон внешней природы и могла бы быть установлена путем обобщения на основе наблюдения и эксперимента, которые в данном случае сводятся к сравнению и измерению. Но оказалось практически возможным, и, будучи возможным, желательным, вывести эти истины путем умозаключения из небольшого числа общих законов природы, достоверность и всеобщность которых очевидны даже самому невнимательному наблюдателю и которые составляют первые принципы и конечные посылки науки. Среди этих общих законов должны быть включены те же два, которые мы отметили как конечные принципы науки о числе и которые применимы к любому описанию величины; а именно: суммы равных равны, и вещи, равные одному и тому же, равны друг другу; последнее из которых может быть выражено способом, более внушающим неисчерпаемое множество его следствий, следующими словами: все, что равно любой из ряда равных величин, равно любой другой из них. К этим двум должен быть добавлен в геометрии третий закон равенства, а именно, что линии, поверхности или твердые пространства, которые могут быть так приложены друг к другу, что совпадут, равны. Некоторые авторы утверждали, что этот закон природы есть просто словесное определение; что выражение «равные величины» означает не что иное, как величины, которые могут быть так приложены друг к другу, что совпадут. Но с этим мнением я не могу согласиться. Равенство двух геометрических величин не может фундаментально отличаться по своей природе от равенства двух весов, двух степеней тепла или двух частей длительности, ни к одной из которых это мнимое определение равенства не было бы применимо. Ни одна из этих вещей не может быть так приложена друг к другу, чтобы совпасть, однако мы прекрасно понимаем, что имеем в виду, когда называем их равными. Вещи равны по величине, как вещи равны по весу, когда они ощущаются как в точности сходные в отношении атрибута, в котором мы их сравниваем; и приложение объектов друг к другу в одном случае, подобно уравновешиванию их с помощью весов в другом, есть лишь способ приведения их в положение, в котором наши чувства могут распознать недостатки точного сходства, которые в противном случае ускользнули бы от нашего внимания.

Наряду с этими тремя общими принципами или аксиомами, остальная часть посылок геометрии состоит из так называемых определений, то есть суждений, утверждающих реальное существование различных объектов, в них обозначенных, вместе с одним свойством каждого. В некоторых случаях обычно предполагается более одного свойства, но ни в одном случае не требуется более одного. Предполагается, что в природе существуют такие вещи, как прямые линии, и что любые две из них, исходящие из одной точки, расходятся все дальше и дальше без предела. Это допущение (которое включает и превосходит аксиому Евклида о том, что две прямые линии не могут заключать пространство) столь же необходимо в геометрии и столь же очевидно, покоясь на столь же простом, привычном и всеобщем наблюдении, как и любая из других аксиом. Также предполагается, что прямые линии расходятся друг от друга в разной степени; другими словами, что существуют такие вещи, как углы, и что они способны быть равными или неравными. Предполагается, что существует такая вещь, как круг, и что все его радиусы равны; такие вещи, как эллипсы, и что суммы фокусных расстояний равны для каждой точки эллипса; такие вещи, как параллельные линии, и что эти линии везде равноудалены.

§ 8. Представляет более чем любопытство рассмотреть, какой особенности физических истин, являющихся предметом геометрии, обязано то, что все они могут быть выведены из столь малого числа исходных посылок: почему мы можем исходить только из одного характерного свойства каждого вида явлений и с ним и двумя или тремя общими истинами, относящимися к равенству, можем перемещаться от знака к знаку, пока не получим обширный корпус производных истин, по всему виду крайне непохожих на те элементарные.

Объяснение этого замечательного факта, по-видимому, заключается в следующих обстоятельствах. Во-первых, все вопросы о положении и фигуре могут быть сведены к вопросам о величине. Положение и фигура любого объекта определяются путем определения положения достаточного числа точек в нем; а положение любой точки может быть определено величиной трех прямоугольных координат, то есть перпендикуляров, опущенных из точки на три плоскости под прямыми углами друг к другу, выбранные произвольно. Благодаря этому преобразованию всех вопросов о качестве в вопросы только о количестве, геометрия сводится к единственной задаче измерения величин, то есть установления равенств, которые существуют между ними. Теперь, когда мы учитываем, что согласно одной из общих аксиом любое равенство, будучи установленным, является доказательством стольких же других равенств, сколько существует других вещей, равных любому из двух равных; и что согласно другой из этих аксиом любое установленное равенство является доказательством равенства стольких пар величин, сколько может быть сформировано многочисленными операциями, которые сводятся к прибавлению равных к самим себе или к другим равным; мы перестаем удивляться тому, что по мере того, как наука занимается равенством, она должна предоставлять более обильный запас знаков знаков; и что науки о числе и протяжении, которые занимаются почти исключительно равенством, должны быть самыми дедуктивными из всех наук.

Существуют также два или три основных закона пространства или протяжения, которые необычайно приспособлены для того, чтобы сделать одно положение или величину знаком другой, и тем самым способствовать тому, чтобы сделать науку в значительной степени дедуктивной. Во-первых, величины заключенных пространств, будь то поверхностные или твердые, полностью определяются величинами линий и углов, которые их ограничивают. Во-вторых, длина любой линии, будь то прямая или кривая, измеряется (при заданных некоторых других вещах) углом, который она стягивает, и наоборот. Наконец, угол, который любые две прямые линии образуют друг с другом в недоступной точке, измеряется углами, которые они по отдельности образуют с любой третьей линией, которую мы выберем. С помощью этих общих законов измерение всех линий, углов и пространств вообще могло бы быть выполнено путем измерения одной прямой линии и достаточного числа углов; что и является планом, фактически преследуемым при тригонометрической съемке страны; и удачно, что это практически осуществимо, так как точное измерение длинных прямых линий всегда затруднительно, а часто невозможно, но измерение углов очень легко. Три таких обобщения, как вышеупомянутые, предоставляют такие возможности для косвенного измерения величин (путем снабжения нас известными линиями или углами, которые являются знаками величины неизвестных, и тем самым пространств, которые они заключают), что легко понять, как из нескольких данных мы можем перейти к установлению величины неопределенного множества линий, углов и пространств, которые мы не могли бы легко или вовсе не могли бы измерить никаким более прямым процессом.

§ 9. Таковы те немногие замечания, которые казалось необходимым сделать в этом месте относительно законов природы, являющихся особым предметом наук о числе и протяжении. Огромная роль, которую эти законы играют в придании дедуктивного характера другим отделам физической науки, хорошо известна; и это не удивительно, если учесть, что все причины действуют согласно математическим законам. Эффект всегда зависит от количества агента или является его функцией; и, как правило, также от его положения. Мы не можем, следовательно, рассуждать о причинности, не вводя соображений количества и протяжения на каждом шаге; и если природа явлений допускает получение нами числовых данных достаточной точности, законы количества становятся великим инструментом для вычисления вперед к эффекту или назад к причине. То, что во всех других науках, так же как и в геометрии, вопросы качества почти никогда не независимы от вопросов количества, можно видеть на самых привычных явлениях. Даже когда несколько цветов смешиваются на палитре художника, сравнительное количество каждого полностью определяет цвет смеси.

Этим простым указанием на общие причины, которые делают математические принципы и процессы столь преобладающими в тех дедуктивных науках, которые предоставляют точные числовые данные, я должен в данном случае ограничиться, отсылая читателя, желающего более глубокого знакомства с предметом, к первым двум томам систематического труда Огюста Конта.

В том же труде, и более подробно в третьем томе, также полностью обсуждаются пределы применимости математических принципов к совершенствованию других наук. Такие принципы явно неприменимы там, где причины, от которых зависит любой класс явлений, настолько несовершенно доступны нашему наблюдению, что мы не можем установить путем надлежащей индукции их числовые законы; или где причины настолько многочисленны и перемешаны друг с другом столь сложным образом, что даже при допущении, что их законы известны, вычисление совокупного эффекта превосходит возможности исчисления в его нынешнем или вероятном будущем виде; или, наконец, где сами причины находятся в состоянии постоянного колебания, как в физиологии и, если возможно, еще более в социальной науке. Математические решения физических вопросов становятся постепенно более трудными и несовершенными по мере того, как вопросы освобождаются от своего абстрактного и гипотетического характера и приближаются к степени сложности, фактически существующей в природе; до такой степени, что за пределами астрономических явлений и тех, которые наиболее близко аналогичны им, математическая точность обычно достигается «за счет реальности исследования», в то время как даже в астрономических вопросах, «несмотря на удивительную простоту их математических элементов, наш слабый интеллект становится неспособным эффективно проследить логические комбинации законов, от которых зависят явления, как только мы пытаемся принять во внимание одновременно более двух или трех существенных влияний». Об этом задача трех тел уже не раз приводилась как замечательный пример; полное решение столь сравнительно простого вопроса тщетно испытывало мастерство самых глубоких математиков. Мы можем представить себе, следовательно, насколько химеричной была бы надежда на то, что математические принципы могли бы быть выгодно применены к явлениям, зависящим от взаимного действия бесчисленных мельчайших частиц тел, как явления химии и, еще более, физиологии; и по сходным причинам эти принципы остаются неприменимыми к еще более сложным исследованиям, предметом которых являются явления общества и управления.

Ценность математического обучения как подготовки к этим более трудным исследованиям состоит в применимости не его доктрин, а его метода. Математика навсегда останется самым совершенным типом дедуктивного метода в целом; и приложения математики к дедуктивным отраслям физики предоставляют единственную школу, в которой философы могут эффективно изучить самую трудную и важную часть своего искусства — применение законов более простых явлений для объяснения и предсказания явлений более сложных. Эти основания вполне достаточны для того, чтобы считать математическую подготовку незаменимой базой реального научного образования и рассматривать (согласно изречению, которое старая, но недостоверная традиция приписывает Платону) того, кто является агеометретос, как лишенного одной из самых существенных квалификаций для успешного культивирования высших отраслей философии.

ГЛАВА XXV. ОБ ОСНОВАНИЯХ НЕВЕРИЯ.

§ 1. Метод прихода к общим истинам или общим суждениям, достойным веры, и природа доказательств, на которых они основаны, были обсуждены, насколько позволяли пространство и способности автора, в двадцати четырех предыдущих главах. Но результат исследования доказательств не всегда есть вера или даже воздержание от суждения; иногда это неверие. Философия индукции и экспериментального исследования, следовательно, неполна, если не рассматриваются основания не только веры, но и неверия; и этой теме мы посвятим одну, последнюю главу.

Под неверием здесь не следует понимать простое отсутствие веры. Основание для воздержания от веры есть просто отсутствие или недостаточность доказательств; и, рассматривая, что является достаточным доказательством для поддержки любого данного вывода, мы уже, по смыслу, рассмотрели, какое доказательство не является достаточным для той же цели. Под неверием здесь понимается не состояние ума, в котором мы не формируем никакого мнения относительно предмета, а то, в котором мы полностью убеждены, что некоторое мнение не является истинным; до такой степени, что если бы в пользу этого мнения были представлены доказательства, даже большой кажущейся силы (основанные ли на свидетельстве других или на наших собственных предполагаемых восприятиях), мы бы поверили, что свидетели говорили ложно или что они, или мы сами, если бы были непосредственными воспринимающими, ошибались.

Что такие случаи существуют, вряд ли кто-то станет оспаривать. Утверждения, для которых существует обильное положительное доказательство, часто не принимаются на веру из-за того, что называется их невероятностью или невозможностью. И вопрос для рассмотрения состоит в том, что в данном случае означают эти слова и насколько и в каких обстоятельствах свойства, которые они выражают, являются достаточными основаниями для неверия.

§ 2. Следует заметить, во-первых, что положительное доказательство, представленное в поддержку утверждения, которое тем не менее отвергается по причине невозможности или невероятности, никогда не является таким, которое равносильно полному доказательству. Оно всегда основано на некотором приблизительном обобщении. Факт мог быть утвержден сотней свидетелей; но существует много исключений из всеобщности обобщения, что то, что утверждают сто свидетелей, есть истина. Нам может казаться, что мы сами фактически видели факт: но то, что мы действительно видим то, что думаем, что видим, отнюдь не является всеобщей истиной; наши органы могли быть в болезненном состоянии; или мы могли сделать вывод о чем-то и вообразить, что восприняли это. Доказательство, следовательно, в утвердительном смысле, будучи не более чем приблизительным обобщением, все будет зависеть от того, каково доказательство в отрицательном смысле. Если оно также покоится на приблизительном обобщении, это случай для сравнения вероятностей. Если приблизительные обобщения, ведущие к утвердительному, при сложении вместе менее сильны, или, другими словами, дальше от того, чтобы быть всеобщими, чем приблизительные обобщения, которые поддерживают отрицательную сторону вопроса, суждение называется невероятным и должно быть отвергнуто временно. Если, однако, предполагаемый факт находится в противоречии не с каким-либо числом приблизительных обобщений, а с завершенным обобщением, основанным на строгой индукции, он называется невозможным и должен быть отвергнут полностью.

Этот последний принцип, сколь бы простым и очевидным он ни казался, есть доктрина, которая по случаю попытки применить ее к вопросу о достоверности чудес вызвала столь бурную полемику. Знаменитая доктрина Юма, что ничто не является достоверным, что противоречит опыту или расходится с законами природы, есть просто это самое простое и безобидное суждение, что все, что противоречит полной индукции, невероятно. То, что такая максима, как эта, должна либо считаться опасной ересью, либо приниматься за великую и сокровенную истину, плохо говорит о состоянии философской спекуляции по таким предметам.

Но не подразумевает ли (могут спросить) само изложение этого суждения противоречие? Предполагаемый факт, согласно этой теории, не должен приниматься на веру, если он противоречит полной индукции. Но для полноты индукции существенно, чтобы она не противоречила никакому известному факту. Не является ли тогда petitio principii говорить, что факт должен быть отвергнут, потому что индукция, противопоставленная ему, полна? Как мы можем иметь право объявлять индукцию полной, в то время как факты, поддерживаемые достоверными свидетельствами, представляют себя в оппозиции к ней?

Я отвечаю: мы имеем это право всякий раз, когда научные каноны индукции дают его нам; то есть всякий раз, когда индукция может быть полной. Мы имеем его, например, в случае причинности, в котором был experimentum crucis. Если антецедент A, добавленный к набору антецедентов, во всех других отношениях неизменных, сопровождается эффектом B, которого не существовало ранее, A есть, по крайней мере в этом случае, причина B или неотъемлемая часть его причины; и если A испытан снова со многими совершенно другими наборами антецедентов и B все еще следует, то это полная причина. Если эти наблюдения или эксперименты повторялись так часто и столь многими лицами, что исключают всякое предположение об ошибке у наблюдателя, закон природы установлен; и до тех пор, пока этот закон принимается как таковой, утверждение, что в каком-либо конкретном случае A имело место, а B не последовало, без какой-либо противодействующей причины, должно быть отвергнуто. Такое утверждение не должно приниматься на веру на основании доказательств меньших, чем те, которые достаточны для опровержения закона. Общие истины, что все, что имеет начало, имеет причину, и что когда не существует ничего, кроме тех же причин, следуют те же эффекты, покоятся на сильнейшем индуктивном доказательстве, какое только возможно; суждение, что вещи, утвержденные даже толпой уважаемых свидетелей, истинны, есть лишь приблизительное обобщение; и — даже если мы воображаем, что фактически видели или чувствовали факт, который находится в противоречии с законом — то, что может видеть человеческое существо, есть не более чем набор явлений; из которых реальная природа явления есть лишь вывод, и в этом выводе приблизительные обобщения обычно имеют большую долю. Если, следовательно, мы делаем свой выбор держаться закона, никакое количество доказательств не должно убедить нас в том, что произошло что-то в противоречии с ним. Если, действительно, представленное доказательство таково, что более вероятно, что набор наблюдений и экспериментов, на которых покоится закон, был выполнен неточно или истолкован неправильно, чем то, что рассматриваемое доказательство ложно, мы можем поверить доказательству; но тогда мы должны отказаться от закона. И поскольку закон был принят на основе того, что казалось полной индукцией, он может быть отвергнут только на основе доказательства эквивалентного; а именно как несовместимый не с каким-либо числом приблизительных обобщений, а с каким-то другим и лучше установленным законом природы. Этот крайний случай конфликта между двумя предполагаемыми законами природы, вероятно, никогда фактически не возникал там, где в процессе исследования обоих законов истинные каноны научной индукции держались в поле зрения; но если бы он возник, он должен закончиться полным отвержением одного из предполагаемых законов. Это доказало бы, что должен быть изъян в логическом процессе, посредством которого был установлен один или другой: и если он есть, то предполагаемая общая истина вовсе не является истиной. Мы не можем признать суждение законом природы и в то же время верить в факт, находящийся в реальном противоречии с ним. Мы должны отвергнуть предполагаемый факт или поверить, что мы ошиблись, признав предполагаемый закон.

Но для того чтобы любой предполагаемый факт противоречил закону причинности, утверждение должно состоять не просто в том, что причина существовала, не будучи сопровождаемой эффектом, ибо это было бы не редким явлением; а в том, что это произошло в отсутствие какой-либо адекватной противодействующей причины. Теперь, в случае предполагаемого чуда, утверждение является прямой противоположностью этому. Оно состоит в том, что эффект был побежден не в отсутствие, а вследствие противодействующей причины, а именно прямого вмешательства акта воли некоторого существа, которое имеет власть над природой; и в частности Существа, чья воля, будучи принятой как наделившая все причины силами, посредством которых они производят свои эффекты, может вполне считаться способной противодействовать им. Чудо (как справедливо заметил Браун) не является противоречием закону причины и следствия; это новый эффект, предполагаемый как произведенный введением новой причины. В адекватности этой причины, если она присутствует, не может быть сомнений; и единственная антецедентная невероятность, которая может быть приписана чуду, есть невероятность того, что какая-либо такая причина существовала.