«Система логики: умозаключающей и индуктивной (Том 1)»

§ 3. Но хотя д-р Уэвелл и не поколебал учение Стюарта относительно гипотетического характера той части первых принципов геометрии, которые включены в так называемые определения, он, как я полагаю, имеет большое преимущество перед Стюартом в другом важном пункте теории геометрических рассуждений: в необходимости признания среди этих первых принципов аксиом наряду с определениями. Некоторые из аксиом Евклида могли бы, без сомнения, быть представлены в форме определений или могли бы быть выведены путем рассуждения из положений, подобных тем, что так называются. Так, если вместо аксиомы «Величины, которые могут быть совмещены, равны» мы введем определение «Равные величины — это те, которые могут быть приложены друг к другу так, чтобы совпасть», то три последующие аксиомы (Величины, равные одной и той же, равны между собой; Если к равным прибавляются равные, суммы равны; Если от равных отнимаются равные, остатки равны) могут быть доказаны путем воображаемого наложения, подобного тому, с помощью которого доказывается четвертое предложение первой книги Евклида. Но хотя эти и некоторые другие могут быть вычеркнуты из списка первых принципов, поскольку, не требуя доказательства, они восприимчивы к нему, в списке аксиом найдутся две или три фундаментальные истины, не поддающиеся доказательству: среди которых следует считать положение о том, что две прямые линии не могут заключать пространство (или его эквивалент: Прямые линии, совпадающие в двух точках, совпадают полностью), и некоторое свойство параллельных линий, отличное от того, которое составляет их определение: наиболее подходящим, пожалуй, является то, которое выбрал профессор Плейфэр: «Две прямые линии, пересекающие друг друга, не могут обе быть параллельны третьей прямой линии».

[pg 257] Аксиомы, как те, которые недоказуемы, так и те, которые допускают доказательство, отличаются от того другого класса фундаментальных принципов, которые включены в определения, тем, что они истинны без какой-либо примеси гипотезы. То, что вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой, столь же верно для линий и фигур в природе, как было бы верно для воображаемых, принятых в определениях. В этом отношении, однако, математика находится лишь на одном уровне с большинством других наук. Почти во всех науках есть некоторые общие положения, которые точно истинны, в то время как большая часть является лишь более или менее отдаленными приближениями к истине. Так, в механике первый закон движения (продолжение движения, однажды сообщенного, пока оно не будет остановлено или замедлено какой-либо сопротивляющейся силой) истинно без оговорок или ошибок. Вращение Земли за двадцать четыре часа, той же продолжительности, что и в наше время, продолжается со времени первых точных наблюдений без увеличения или уменьшения на одну секунду за весь этот период. Это индукции, которые не требуют фикции, чтобы быть принятыми как точно истинные: но наряду с ними существуют другие, как, например, положения относительно фигуры Земли, которые являются лишь приближениями к истине; и чтобы использовать их для дальнейшего продвижения нашего знания, мы должны притвориться, что они точно истинны, хотя они на самом деле нуждаются в чем-то, чтобы быть таковыми.

§ 4. Остается спросить, каково основание нашей веры в аксиомы — в чем заключается доказательство, на котором они покоятся? Я отвечаю: они являются экспериментальными истинами; обобщениями из наблюдений. Положение «Две прямые линии не могут заключать пространство» — или, другими словами, «Две прямые линии, которые однажды встретились, не встречаются снова, а продолжают расходиться» — есть индукция из свидетельств наших чувств.

Это мнение идет вразрез с давно укоренившимся и весьма сильным научным предрассудком, и, вероятно, нет ни одного положения, высказанного в этой работе, для которого ожидался бы более неблагоприятный прием. Однако это не новое мнение; и даже если бы это было так, оно заслуживало бы того, чтобы его судили не по его новизне, а по силе аргументов, которыми оно может быть подкреплено. Я считаю большой удачей, что столь выдающийся поборник противоположного мнения, как д-р Уэвелл, недавно нашел повод для самой тщательной разработки всей теории аксиом, пытаясь построить философию математических и физических наук на основе учения, против которого я сейчас выступаю. Всякий, кто стремится к тому, чтобы дискуссия дошла до самой сути предмета, должен радоваться, видя, что противоположная сторона вопроса представлена достойно. Если то, что сказано д-ром Уэвеллом в поддержку мнения, которое он сделал фундаментом систематического труда, может быть показано как неубедительное, то будет сделано достаточно, не прибегая к дальнейшим поискам более сильных аргументов и более могущественного противника.

Нет необходимости доказывать, что истины, которые мы называем аксиомами, первоначально подсказываются наблюдением и что мы никогда не узнали бы, что две прямые линии не могут заключать пространство, если бы никогда не видели прямой линии: это признается д-ром Уэвеллом и всеми, кто в последнее время придерживается его взгляда на предмет. Но они утверждают, что не опыт доказывает аксиому, а ее истинность воспринимается априори, самой конституцией ума, с первого момента, когда смысл положения постигается; и без какой-либо необходимости проверять ее повторными испытаниями, как это требуется в случае истин, действительно установленных наблюдением.

Они не могут, однако, не признать, что истинность аксиомы «Две прямые линии не могут заключать пространство», даже если она очевидна независимо от опыта, также очевидна из опыта. Нуждается ли аксиома в подтверждении или нет, она получает его почти в каждое мгновение нашей жизни; поскольку мы не можем смотреть на любые две пересекающиеся прямые линии, не видя, что от этой точки они продолжают расходиться все больше и больше. Экспериментальное доказательство обрушивается на нас в таком бесконечном изобилии и без единого случая, в котором можно было бы даже заподозрить исключение из правила, что у нас вскоре появилось бы более сильное основание верить в аксиому, даже как в экспериментальную истину, чем у нас есть почти для любой из общих истин, которые мы, как признано, познаем из свидетельств наших чувств. Независимо от априорного доказательства, мы, безусловно, верили бы в нее с интенсивностью убеждения, гораздо большей, чем та, которую мы придаем любой обычной физической истине: и это в таком возрасте, который гораздо раньше того, с которого мы датируем почти любую часть нашего приобретенного знания, и слишком рано, чтобы допустить сохранение нами каких-либо воспоминаний об истории наших интеллектуальных операций в тот период. Где же тогда необходимость предполагать, что наше признание этих истин имеет иное происхождение, нежели остальное наше знание, когда его существование полностью объясняется предположением, что его происхождение то же самое? когда причины, вызывающие веру во всех других случаях, существуют в данном случае и в степени силы, настолько превосходящей то, что существует в других случаях, насколько интенсивность самой веры выше? Бремя доказательства лежит на сторонниках противоположного мнения: им предстоит указать на какой-либо факт, несовместимый с предположением, что эта часть нашего знания о природе происходит из тех же источников, что и любая другая часть.

Это, например, они смогли бы сделать, если бы могли доказать хронологически, что мы имели это убеждение (по крайней мере практически) так рано в младенчестве, что оно предшествовало тем впечатлениям на чувства, на которых, согласно другой теории, основывается убеждение. Это, однако, не может быть доказано: этот момент слишком далек, чтобы быть в пределах досягаемости памяти, и слишком неясен для внешнего наблюдения. Сторонники априорной теории вынуждены прибегать к другим аргументам. Они сводятся к двум, которые я постараюсь изложить как можно яснее и убедительнее.

§ 5. Во-первых, говорится, что если бы наше согласие с положением о том, что две прямые линии не могут заключать пространство, было получено из чувств, мы могли бы убедиться в его истинности только путем фактического испытания, то есть путем видения или осязания прямых линий; тогда как на самом деле оно видится истинным простым размышлением о них. То, что камень, брошенный в воду, идет ко дну, может быть воспринято нашими чувствами, но простое размышление о камне, брошенном в воду, никогда не привело бы нас к такому выводу: не так, однако, с аксиомами, относящимися к прямым линиям: если бы меня заставили представить, что такое прямая линия, не видя ее, я бы сразу признал, что две такие линии не могут заключать пространство. Интуиция — это «воображаемое смотрение»; но опыт должен быть реальным смотрением: если мы видим, что свойство прямых линий истинно, просто воображая, что смотрим на них, основанием нашей веры не могут быть чувства или опыт; это должно быть что-то ментальное.

К этому аргументу можно было бы добавить в случае данной конкретной аксиомы (ибо утверждение было бы неверным для всех аксиом), что доказательство ее путем фактического зрительного осмотра не только ненужно, но и недостижимо. Что говорит аксиома? Что две прямые линии не могут заключать пространство; что после того, как они однажды пересеклись, если их продолжить до бесконечности, они не встречаются, а продолжают расходиться друг от друга. Как это можно доказать в любом отдельном случае путем фактического наблюдения? Мы можем следовать за линиями на любое расстояние, какое пожелаем; но мы не можем следовать за ними до бесконечности: насколько могут свидетельствовать наши чувства, они могут, сразу за самой дальней точкой, до которой мы их проследили, начать сближаться и в конце концов встретиться. Если бы, следовательно, у нас не было другого доказательства невозможности, кроме того, что дает наблюдение, у нас вообще не было бы оснований верить в аксиому.

[pg 261] На эти аргументы, которые, я надеюсь, нельзя обвинить в преуменьшении, будет, как я полагаю, найден удовлетворительный ответ, если мы обратим внимание на одно из характерных свойств геометрических форм — их способность быть запечатленными в воображении с отчетливостью, равной реальности: другими словами, точное сходство наших идей о форме с ощущениями, которые их вызывают. Это, во-первых, позволяет нам создавать (по крайней мере с небольшой практикой) ментальные картины всех возможных комбинаций линий и углов, которые напоминают реальности ничуть не хуже, чем любые, которые мы могли бы сделать на бумаге; и, во-вторых, делает эти картины столь же пригодными объектами для геометрического экспериментирования, как и сами реальности; поскольку картины, если они достаточно точны, конечно, демонстрируют все свойства, которые проявились бы в реальностях в один данный момент и при простом осмотре: а в геометрии мы имеем дело только с такими свойствами, а не с тем, что картины не могли бы продемонстрировать, — взаимным действием тел друг на друга. Основания геометрии были бы, следовательно, заложены в прямом опыте, даже если бы эксперименты (которые в данном случае состоят лишь в внимательном созерцании) практиковались исключительно над тем, что мы называем нашими идеями, то есть над диаграммами в наших умах, а не над внешними объектами. Ибо во всех системах экспериментирования мы берем некоторые объекты, чтобы они служили представителями всех, которые их напоминают; и в данном случае условия, которые квалифицируют реальный объект как представителя своего класса, полностью выполняются объектом, существующим только в нашей фантазии. Не отрицая, следовательно, возможности убедиться в том, что две прямые линии не могут заключать пространство, просто думая о прямых линиях, не глядя на них фактически, я утверждаю, что мы верим в эту истину не на основании одной лишь воображаемой интуиции, а потому, что знаем, что воображаемые линии точно напоминают реальные, и что мы можем делать выводы от них к реальным с такой же уверенностью, с какой могли бы делать выводы от одной реальной линии к другой. Вывод, следовательно, все еще является индукцией из наблюдения. И мы не были бы уполномочены подменять наблюдение образа в нашем уме наблюдением реальности, если бы не узнали из долгого опыта, что свойства реальности верно представлены в образе; точно так же, как мы были бы научно оправданы в описании животного, которого никогда не видели, по сделанному с него дагеротипу; но не раньше, чем мы узнали бы из богатого опыта, что наблюдение такой картины в точности эквивалентно наблюдению оригинала.

Эти соображения также снимают возражение, возникающее из невозможности зрительно проследить линии в их продолжении до бесконечности, ибо хотя, чтобы фактически увидеть, что две данные линии никогда не встречаются, необходимо было бы следовать за ними до бесконечности; однако, не делая этого, мы можем знать, что если они когда-либо встретятся или если, разойдясь друг от друга, они снова начнут сближаться, это должно произойти не на бесконечном, а на конечном расстоянии. Предполагая, следовательно, что дело обстоит именно так, мы можем перенестись туда в воображении и создать ментальный образ того вида, который одна или обе линии должны представлять в этой точке, на который мы можем положиться как на в точности подобный реальности. Теперь, фиксируем ли мы наше созерцание на этой воображаемой картине или вспоминаем обобщения, которые нам приходилось делать из прежнего зрительного наблюдения, мы узнаем из свидетельств опыта, что линия, которая после расхождения с другой прямой линией начинает приближаться к ней, производит на наши чувства впечатление, которое мы описываем выражением «изогнутая линия», а не выражением «прямая линия».

[pg 263] § 6. Первый из двух аргументов в поддержку теории о том, что аксиомы являются априорными истинами, был, я думаю, достаточно опровергнут; я перехожу ко второму, на который обычно полагаются больше всего. Аксиомы (утверждается) мыслятся нами не только как истинные, но и как универсально и необходимо истинные. Но опыт никак не может придать какому-либо положению этот характер. Я мог видеть снег сто раз и мог видеть, что он белый, но это не может дать мне полной уверенности даже в том, что весь снег белый; тем более в том, что снег должен быть белым. «Сколько бы примеров истинности положения мы ни наблюдали, ничто не может нас уверить в том, что следующий случай не будет исключением из правила. Если строго верно, что каждое известное до сих пор жвачное животное имеет раздвоенные копыта, мы все еще не можем быть уверены, что в будущем не будет обнаружено существо, которое обладает первым из этих атрибутов, не имея второго... Опыт всегда должен состоять из ограниченного числа наблюдений; и, какими бы многочисленными они ни были, они ничего не могут показать относительно бесконечного числа случаев, в которых эксперимент не был проведен». Кроме того, аксиомы не только универсальны, они также необходимы. Но «опыт не может предложить ни малейшего основания для необходимости положения. Он может наблюдать и записывать то, что произошло; но он не может найти ни в каком случае, ни в каком накоплении случаев никакой причины для того, что должно произойти. Он может видеть объекты рядом друг с другом; но он не может видеть причины, почему они должны быть рядом друг с другом. Он находит, что определенные события происходят в последовательности; но последовательность не дает в своем возникновении никакой причины для своей повторяемости. Он созерцает внешние объекты; но он не может обнаружить никакой внутренней связи, которая неразрывно соединяет будущее с прошлым, возможное с реальным. Познать положение из опыта и увидеть, что оно необходимо истинно, — это два совершенно разных процесса мышления». И д-р Уэвелл добавляет: «Если кто-либо не понимает ясно этого различия необходимых и случайных истин, он не сможет следовать за нами в наших исследованиях оснований человеческого знания; и, действительно, успешно преследовать любую спекуляцию на эту тему».

В следующем отрывке нам говорят, в чем заключается различие, непризнание которого влечет за собой это осуждение. «Необходимые истины — это те, в которых мы не только узнаем, что положение истинно, но и видим, что оно должно быть истинным; в которых отрицание истины не только ложно, но и невозможно; в которых мы не можем, даже усилием воображения или в предположении, представить обратное тому, что утверждается. Что существуют такие истины, нельзя сомневаться. Мы можем взять, например, все отношения чисел. Три и два, сложенные вместе, составляют пять. Мы не можем представить, чтобы было иначе. Мы не можем никаким причудливым образом вообразить, чтобы три и два составляли семь».

[pg 265] Хотя д-р Уэвелл естественно и правильно использовал множество фраз, чтобы сделать свою мысль более убедительной, он, полагаю, согласится, что все они эквивалентны; и что то, что он подразумевает под необходимой истиной, было бы достаточно определено как положение, отрицание которого не только ложно, но и немыслимо. Я не в состоянии найти ни в одном из его выражений, как их ни поворачивай, смысла сверх этого, и я не верю, что он стал бы утверждать, что они означают что-то большее.

Это, следовательно, утвержденный принцип: что положения, отрицание которых немыслимо, или, другими словами, которые мы не можем представить себе как ложные, должны покоиться на доказательствах более высокого и убедительного описания, чем любые, которые может дать опыт. И нам предстоит рассмотреть, есть ли какие-либо основания для этого утверждения.

Теперь я не могу не удивляться тому, что такой большой упор делается на обстоятельство немыслимости, когда есть столь богатый опыт, показывающий, что наша способность или неспособность представить себе вещь имеет очень мало общего с возможностью самой вещи; но на самом деле является в значительной степени делом случая и зависит от прошлой истории и привычек нашего собственного ума. Нет более общепризнанного факта в человеческой природе, чем крайняя трудность, ощущаемая поначалу в представлении чего-либо как возможного, что противоречит давно установившемуся и привычному опыту; или даже старым привычным способам мышления. И эта трудность является необходимым результатом фундаментальных законов человеческого ума. Когда мы часто видели и думали о двух вещах вместе и никогда ни в одном случае не видели и не думали о них отдельно, по первичному закону ассоциации возникает растущая трудность, которая в конце концов может стать непреодолимой, в представлении этих двух вещей порознь. Это наиболее заметно у необразованных людей, которые в целом совершенно неспособны разделить любые две идеи, которые однажды прочно ассоциировались в их умах; и если люди с развитым интеллектом имеют какое-то преимущество в этом пункте, то только потому, что, видя, слыша и читая больше и будучи более привычными к упражнению своего воображения, они испытали свои ощущения и мысли в более разнообразных комбинациях и были предохранены от формирования многих из этих неразрывных ассоциаций. Но это преимущество неизбежно имеет свои пределы. Самый упражненный интеллект не свободен от универсальных законов нашей способности представления. Если повседневная привычка представляет кому-либо в течение долгого периода два факта в комбинации, и если он не побуждается в течение этого периода ни случаем, ни своими добровольными ментальными операциями думать о них порознь, он, вероятно, со временем станет неспособен сделать это даже при самом сильном усилии; и предположение, что два факта могут быть разделены в природе, в конце концов предстанет перед его умом со всеми признаками немыслимого феномена. Существуют замечательные примеры этого в истории науки: примеры, в которых самые просвещенные люди отвергали как невозможное, потому что немыслимое, вещи, которые их потомки, благодаря более ранней практике и более долгому упорству в попытках, находили вполне легкими для представления и которые теперь все знают как истинные. Было время, когда люди самого развитого интеллекта, наиболее свободные от власти ранних предрассудков, не могли поверить в существование антиподов; были неспособны представить, вопреки старой ассоциации, силу гравитации, действующую вверх, а не вниз. Картезианцы долго отвергали ньютоновское учение о тяготении всех тел друг к другу, веря общему положению, обратное которому казалось им немыслимым — положению, что тело не может действовать там, где его нет. Весь громоздкий механизм воображаемых вихрей, принятый без малейшей частицы доказательств, казался этим философам более рациональным способом объяснения небесных движений, чем тот, который включал то, что казалось им столь великой нелепостью. И они, без сомнения, находили столь же невозможным представить, что тело должно действовать на Землю на расстоянии Солнца или Луны, как мы находим невозможным представить конец пространства или времени, или две прямые линии, заключающие пространство. Сам Ньютон не был способен реализовать эту концепцию, иначе у нас не было бы его гипотезы о тонком эфире, оккультной причине гравитации; и его труды доказывают, что, хотя он считал конкретную природу промежуточного агента предметом догадок, необходимость некоторого такого агента казалась ему несомненной. Казалось бы, даже сейчас большинство ученых не полностью преодолели эту самую трудность; ибо хотя они наконец научились представлять Солнце, притягивающее Землю без какой-либо промежуточной жидкости, они все еще не могут представить Солнце, освещающее Землю без какой-либо такой среды.

Если, следовательно, для человеческого ума, даже в состоянии высокой культуры, так естественно быть неспособным представить и на этом основании верить в невозможность того, что впоследствии не только оказывается мыслимым, но и доказывается как истинное; что удивительного, если в случаях, когда ассоциация еще старше, более подтверждена и более привычна, и в которых никогда не происходит ничего, чтобы поколебать наше убеждение или даже подсказать нам какую-либо концепцию, противоречащую ассоциации, приобретенная неспособность должна продолжаться и приниматься за естественную неспособность? Это правда, наш опыт разнообразия в природе позволяет нам, в определенных пределах, представлять другие разновидности, аналогичные им. Мы можем представить падение Солнца или Луны; ибо хотя мы никогда не видели, как они падают, и, возможно, никогда не воображали их падающими, мы видели так много других падающих вещей, что у нас есть бесчисленные привычные аналогии, помогающие этой концепции; которую, в конце концов, нам, вероятно, было бы трудно сформировать, если бы мы не были хорошо приучены видеть, как Солнце и Луна движутся (или кажутся движущимися), так что от нас требуется лишь представить небольшое изменение в направлении движения, обстоятельство, привычное для нашего опыта. Но когда опыт не дает модели, на которой можно сформировать новую концепцию, как возможно нам сформировать ее? Как, например, мы можем вообразить конец пространства или времени? Мы никогда не видели ни одного объекта без чего-то за его пределами, ни испытывали ни одного чувства без чего-то, следующего за ним. Когда, следовательно, мы пытаемся представить последнюю точку пространства, у нас неотвратимо возникает идея о других точках за ее пределами. Когда мы пытаемся вообразить последнее мгновение времени, мы не можем не представить другое мгновение после него. И нет никакой необходимости предполагать, как это делает современная школа метафизиков, особый фундаментальный закон ума для объяснения чувства бесконечности, присущего нашим концепциям пространства и времени; эта кажущаяся бесконечность достаточно объясняется более простыми и общепризнанными законами.

Теперь, в случае геометрической аксиомы, такой, например, как то, что две прямые линии не могут заключать пространство, — истины, которая засвидетельствована нам нашими самыми ранними впечатлениями о внешнем мире, — как возможно (независимо от того, являются ли эти внешние впечатления основанием нашей веры или нет), чтобы обратное этому положению могло быть для нас чем-то иным, кроме как немыслимым? Какая у нас есть аналогия, какой подобный порядок фактов в любой другой области нашего опыта, чтобы облегчить нам концепцию двух прямых линий, заключающих пространство? И даже это еще не все. Я уже обращал внимание на специфическое свойство наших впечатлений о форме, что идеи или ментальные образы точно напоминают свои прототипы и адекватно представляют их для целей научного наблюдения. Из этого, а также из интуитивного характера наблюдения, которое в данном случае сводится к простому осмотру, мы не можем даже вызвать в нашем воображении две прямые линии, чтобы попытаться представить их заключающими пространство, не повторяя тем самым научный эксперимент, который устанавливает обратное. Будет ли действительно утверждаться, что немыслимость вещи в таких обстоятельствах доказывает что-либо против экспериментального происхождения убеждения? Не ясно ли, что каким бы способом ни возникла наша вера в это положение, невозможность нашего представления его отрицания должна, при любой гипотезе, быть одной и той же? Поскольку, следовательно, д-р Уэвелл призывает тех, кто испытывает трудности в признании различия, проводимого им между необходимыми и случайными истинами, изучать геометрию — условие, которое, могу заверить его, я добросовестно выполнил, — я, в свою очередь, с такой же уверенностью призываю тех, кто согласен с ним, изучать элементарные законы ассоциации; будучи убежденным, что ничего больше не требуется, кроме умеренного знакомства с этими законами, чтобы развеять иллюзию, которая приписывает особую необходимость нашим самым ранним индукциям из опыта и измеряет возможность вещей самих по себе человеческой способностью их представлять.

Надеюсь, мне простят добавление, что д-р Уэвелл сам как подтвердил своим свидетельством эффект привычной ассоциации в придании экспериментальной истине вида необходимой, так и предоставил поразительный пример этого замечательного закона в своем собственном лице. В своей «Философии индуктивных наук» он постоянно утверждает, что положения, которые не только не являются самоочевидными, но которые, как мы знаем, были открыты постепенно и благодаря великим усилиям гения и терпения, после того как были установлены, казались настолько самоочевидными, что, если бы не историческое доказательство, было бы невозможно представить, что они не были признаны с самого начала всеми лицами в здравом состоянии их способностей. «Мы теперь презираем тех, кто в коперниканском споре не мог представить кажущееся движение Солнца в гелиоцентрической гипотезе; или тех, кто в противовес Галилею думал, что равномерная сила может быть той, которая порождает скорость, пропорциональную пространству; или тех, кто считал, что есть что-то абсурдное в учении Ньютона о различной преломляемости разноцветных лучей; или тех, кто воображал, что когда элементы соединяются, их чувственные качества должны проявляться в соединении; или тех, кто неохотно отказывался от деления овощей на травы, кустарники и деревья. Мы не можем не думать, что люди должны были быть удивительно тупыми в понимании, чтобы находить трудность в признании того, что для нас так ясно и просто. У нас есть скрытое убеждение, что мы на их месте были бы мудрее и прозорливее; что мы заняли бы правильную сторону и сразу дали бы свое согласие истине. Однако в действительности такое убеждение — лишь заблуждение. Люди, которые в таких случаях, как вышеупомянутые, были на проигравшей стороне, в большинстве случаев были очень далеки от того, чтобы быть людьми более предвзятыми, или глупыми, или ограниченными, чем большая часть человечества сейчас; и дело, за которое они боролись, было далеко не явно плохим, пока оно не было решено исходом войны... Столь полной была победа истины в большинстве этих случаев, что в настоящее время мы едва можем представить, что борьба была необходимой. Сама суть этих триумфов в том, что они заставляют нас рассматривать взгляды, которые мы отвергаем, не только как ложные, но и как немыслимые».

Это последнее положение — именно то, за что я выступаю; и я не прошу большего, чтобы опровергнуть всю теорию его автора о природе доказательств аксиом. Ибо что это за теория? Что истинность аксиом не могла быть познана из опыта, потому что их ложность немыслима. Но д-р Уэвелл сам говорит, что мы постоянно побуждаемся естественным прогрессом мысли рассматривать как немыслимое то, что наши предки не только представляли, но и во что верили, более того (он мог бы добавить), были неспособны представить обратное. Он не может намереваться оправдать этот способ мышления: он не может иметь в виду, что мы можем быть правы, рассматривая как немыслимое то, что другие представляли, и как самоочевидное то, что другим вовсе не казалось очевидным. После столь полного признания того, что немыслимость — вещь случайная, не присущая самому феномену, а зависящая от ментальной истории человека, который пытается ее представить, как он может когда-либо призывать нас отвергнуть положение как невозможное на основании одной лишь его немыслимости? Однако он не только делает это, но и непреднамеренно предоставил некоторые из самых замечательных примеров, которые можно привести, той самой иллюзии, которую он сам так ясно указал. Я выбираю в качестве образцов его замечания о доказательствах трех законов движения и атомной теории.

Что касается законов движения, д-р Уэвелл говорит: «Никто не может сомневаться, что исторически эти законы были собраны из опыта. Что дело обстоит именно так, не является предметом догадок. Мы знаем время, людей, обстоятельства, относящиеся к каждому шагу каждого открытия». После этого свидетельства приводить доказательства факта было бы излишним. И эти законы были отнюдь не интуитивно очевидны, более того, некоторые из них первоначально были парадоксами. Первый закон был особенно таковым. Что тело, однажды приведенное в движение, будет вечно продолжать двигаться в том же направлении с неизменной скоростью, если на него не подействует какая-то новая сила, — это положение, в которое человечество долгое время с величайшим трудом верило. Оно противостояло кажущемуся опыту самого привычного рода, который учил, что природа движения — постепенно ослабевать и в конце концов прекращаться самой по себе. Однако, когда противоположное учение было прочно установлено, математики, как замечает д-р Уэвелл, быстро начали верить, что законы, столь противоречащие первым впечатлениям и которые, даже после получения полного доказательства, требовали поколений, чтобы стать привычными для умов научного мира, находились под «доказуемой необходимостью, принуждающей их быть такими, какие они есть, и никакими другими»; и он сам, хотя и не осмеливаясь «абсолютно провозгласить», что все эти законы «могут быть строго прослежены до абсолютной необходимости в природе вещей», действительно думает таким образом о только что упомянутом законе; о котором он говорит: «Хотя открытие первого закона движения было сделано, исторически говоря, посредством эксперимента, мы теперь достигли точки зрения, с которой видим, что он мог быть достоверно известен как истинный, независимо от опыта». Может ли быть более поразительная иллюстрация, чем та, что здесь представлена, эффекта ассоциации, который мы описали? Философы на протяжении поколений испытывают необычайную трудность в соединении определенных идей; им наконец удается сделать это; и после достаточного повторения процесса они сначала воображают естественную связь между идеями, затем испытывают растущую трудность, которая в конце концов, при продолжении того же прогресса, становится невозможностью их разделения друг от друга. Если таков прогресс экспериментального убеждения, дата которого — вчерашний день и которое находится в оппозиции к первым впечатлениям, как должно обстоять дело с теми, которые соответствуют впечатлениям, привычным с самой зари интеллекта, и в убедительности которых, с самых ранних записей человеческой мысли, ни один скептик не высказал даже мгновенного сомнения?

Другой пример, который я приведу, — поистине удивительный, и его можно назвать reductio ad absurdum теории немыслимости. Говоря о законах химического состава, д-р Уэвелл говорит: «Что они никогда не могли быть ясно поняты и, следовательно, никогда прочно установлены без трудоемких и точных экспериментов, это верно; но все же мы можем осмелиться сказать, что, будучи однажды познанными, они обладают доказательством, выходящим за рамки простого эксперимента. Ибо как, на самом деле, можем мы представить комбинации иначе, чем как определенные по виду и качеству? Если бы мы предположили каждый элемент готовым соединяться с любым другим безразлично и безразлично в любом количестве, мы имели бы мир, в котором все было бы путаницей и неопределенностью. Не было бы фиксированных видов тел; соли, камни и руды приближались бы друг к другу и переходили бы друг в друга с незаметными степенями. Вместо этого мы знаем, что мир состоит из тел, различимых друг от друга определенными различиями, способных быть классифицированными и названными, и о которых могут быть высказаны общие положения. И поскольку мы не можем представить мир, в котором это было бы не так, казалось бы, что мы не можем представить состояние вещей, в котором законы комбинации элементов не были бы того определенного и измеренного вида, который мы выше утверждали».

То, что философ такого авторитета, как д-р Уэвелл, всерьез утверждает, что мы не можем представить мир, в котором простые элементы соединялись бы в иных, чем определенные, пропорциях; что силой размышления над научной истиной, первооткрыватель которой был еще жив, он сделал ассоциацию в своем собственном уме между идеей комбинации и идеей постоянных пропорций настолько привычной и интимной, что стал неспособен представить один факт без другого; является столь ярким примером ментального закона, за который я выступаю, что еще одно слово в иллюстрацию должно быть излишним.

[pg 277]

ГЛАВА VI. ПРОДОЛЖЕНИЕ ТОЙ ЖЕ ТЕМЫ.

§ 1. В исследовании, которое составило предмет последней главы, о природе доказательств тех дедуктивных наук, которые обычно представляются как системы необходимой истины, мы пришли к следующим выводам. Результаты этих наук действительно необходимы в смысле необходимости следования из определенных первых принципов, обычно называемых аксиомами и определениями; в смысле того, что они достоверно истинны, если таковы эти аксиомы и определения. Но их претензия на характер необходимости в каком-либо смысле сверх этого, как подразумевающая доказательство, независимое от наблюдения и опыта и превосходящее их, должна зависеть от предварительного установления такой претензии в пользу самих определений и аксиом. Что касается аксиом, мы обнаружили, что, рассматриваемые как экспериментальные истины, они покоятся на сверхдостаточных и очевидных доказательствах. Мы спрашивали, необходимо ли, поскольку дело обстоит именно так, предполагать какое-либо иное доказательство этих истин, кроме экспериментального, какое-либо иное происхождение нашей веры в них, кроме экспериментального. Мы решили, что бремя доказательства лежит на тех, кто поддерживает утвердительный ответ, и мы рассмотрели довольно подробно те аргументы, которые они представили. Поскольку исследование привело к отклонению этих аргументов, мы сочли себя вправе заключить, что аксиомы — это лишь класс, высший класс, индукций из опыта; самые простые и легкие случаи обобщения из фактов, предоставленных нам нашими чувствами или нашим внутренним сознанием.

В то время как аксиомы демонстративных наук таким образом оказались экспериментальными истинами, определения, как их неправильно называют в этих науках, оказались нами обобщениями из опыта, которые даже, строго говоря, не являются истинами; будучи положениями, в которых, утверждая о некотором виде объекта какое-то свойство или свойства, которые наблюдение показывает принадлежащими ему, мы в то же время отрицаем, что он обладает какими-либо другими свойствами, хотя на самом деле другие свойства в каждом индивидуальном случае сопровождают, а почти во всех случаях модифицируют свойство, таким образом исключительно предикатируемое. Отрицание, следовательно, есть лишь фикция или предположение, сделанное с целью исключения рассмотрения тех модифицирующих обстоятельств, когда их влияние слишком ничтожно, чтобы стоить рассмотрения, или откладывания его, когда оно важно, на более удобный момент.

Из этих соображений следовало бы, что дедуктивные или демонстративные науки — все без исключения — являются индуктивными науками; что их доказательство — это доказательство опыта; но что они также, в силу специфического характера одной незаменимой части общих формул, согласно которым делаются их индукции, являются гипотетическими науками. Их выводы истинны только при определенных предположениях, которые являются или должны быть приближениями к истине, но редко, если вообще когда-либо, точно истинны; и именно этому гипотетическому характеру следует приписать специфическую достоверность, которая считается присущей демонстрации.

То, что мы сейчас утверждали, однако, не может быть принято как универсально истинное для дедуктивных или демонстративных наук, пока не будет верифицировано путем применения к самой замечательной из всех этих наук — науке о числах; теории исчисления; арифметике и алгебре. Труднее поверить в учения этой науки, чем любой другой, либо в то, что они не являются априорными истинами, а экспериментальными истинами, либо в то, что их специфическая достоверность обязана тому, что они не абсолютные, а лишь условные истины. Это, следовательно, случай, который заслуживает отдельного рассмотрения; и тем более потому, что по этому предмету мы имеем двойной набор учений, с которыми приходится бороться; учение априорных философов с одной стороны, и с другой — теорию, наиболее противоположную их, которая одно время была очень широко принята и все еще далека от того, чтобы быть полностью опровергнутой среди метафизиков.

§ 2. Эта теория пытается решить трудность, по-видимому, присущую данному случаю, представляя положения науки о числах как чисто словесные, а ее процессы — как простые трансформации языка, подстановки одного выражения другим. Положение «Два и один равны трем», согласно этим авторам, не есть истина, не есть утверждение реально существующего факта, а определение слова «три»; утверждение, что человечество договорилось использовать имя «три» как знак, в точности эквивалентный «двум и одному»; называть первым именем все, что называется другой, более неуклюжей фразой. Согласно этому учению, самый длинный процесс в алгебре — лишь последовательность изменений в терминологии, посредством которых эквивалентные выражения подставляются одно другим; серия переводов одного и того же факта с одного языка на другой; хотя как после такой серии переводов сам факт выходит измененным (как когда мы доказываем новую геометрическую теорему с помощью алгебры), они не объяснили; и это трудность, которая фатальна для их теории.

Следует признать, что в процессах арифметики и алгебры есть особенности, которые делают рассматриваемую теорию весьма правдоподобной и не без оснований сделали эти науки оплотом номинализма. Учение о том, что мы можем открывать факты, обнаруживать скрытые процессы природы посредством искусной манипуляции языком, настолько противоречит здравому смыслу, что человек должен был сделать некоторые успехи в философии, чтобы поверить в него; люди бросаются к столь парадоксальному убеждению, чтобы избежать, как они думают, какой-то еще большей трудности, которую вульгарные не видят. Что заставило многих поверить, что рассуждение — это чисто словесный процесс, так это то, что никакая другая теория не казалась совместимой с природой науки о числах. Ибо мы не несем с собой никаких идей, когда используем символы арифметики или алгебры. В геометрическом доказательстве у нас есть ментальная диаграмма, если не на бумаге; AB, AC присутствуют в нашем воображении как линии, пересекающие другие линии, образующие угол друг с другом, и тому подобное; но не так a и b. Они могут представлять линии или любые другие величины, но об этих величинах никогда не думают; ничего не реализуется в нашем воображении, кроме a и b. Идеи, которые они в конкретном случае представляют, изгоняются из ума во время каждой промежуточной части процесса, между началом, когда посылки переводятся из вещей в знаки, и концом, когда вывод переводится обратно из знаков в вещи. Ничего, следовательно, не находясь в уме рассуждающего, кроме символов, что может казаться более недопустимым, чем утверждать, что процесс рассуждения имеет дело с чем-то большим? Мы, кажется, пришли к одному из «прерогативных примеров» Бэкона; experimentum crucis о природе самого рассуждения.

Тем не менее, при рассмотрении окажется, что этот, казалось бы, столь решающий пример вовсе не является примером; что в каждом шаге арифметического или алгебраического вычисления есть реальная индукция, реальный вывод фактов из фактов; и что то, что маскирует индукцию, — это просто ее всеобъемлющий характер и, как следствие, крайняя общность языка. Все числа должны быть числами чего-то: нет таких вещей, как числа в абстракции. Десять должно означать десять тел, или десять звуков, или десять ударов пульса. Но хотя числа должны быть числами чего-то, они могут быть числами чего угодно. Положения, следовательно, касающиеся чисел, имеют замечательную особенность: они являются положениями, касающимися всех вещей вообще; всех объектов, всех существований любого рода, известных нашему опыту. Все вещи обладают количеством; состоят из частей, которые могут быть пронумерованы; и в этом качестве обладают всеми свойствами, которые называются свойствами чисел. То, что половина четырех есть два, должно быть истинно, что бы ни представляло слово «четыре», будь то четыре человека, четыре мили или четыре фунта веса. Нам нужно лишь представить вещь, разделенную на четыре равные части (а все вещи могут быть представлены как так разделенные), чтобы быть в состоянии высказать о ней каждое свойство числа четыре, то есть каждое арифметическое положение, в котором число четыре стоит на одной стороне уравнения. Алгебра расширяет обобщение еще дальше: каждое число представляет это конкретное число всех вещей без различия, но каждый алгебраический символ делает больше, он представляет все числа без различия. Как только мы представляем вещь разделенной на равные части, не зная, на какое число частей, мы можем назвать ее a или x и применить к ней, без опасности ошибки, каждую алгебраическую формулу в книгах. Положение 2(a + b) = 2a + 2b есть истина, соразмерная всей природе. Поскольку, следовательно, алгебраические истины истинны для всех вещей вообще, а не, как истины геометрии, истинны только для линий или только для углов, неудивительно, что символы не должны возбуждать в наших умах идеи каких-либо вещей в частности. Когда мы доказываем сорок седьмое предложение Евклида, не обязательно, чтобы слова вызывали в нас образ всех прямоугольных треугольников, а только какого-то одного прямоугольного треугольника: так и в алгебре нам не нужно под символом a представлять себе все вещи вообще, а только какую-то одну вещь; почему бы тогда не саму букву? Простые написанные знаки a, b, x, y, z служат представителями вещей вообще так же хорошо, как любая более сложная и, по-видимому, более конкретная концепция. Что мы осознаем их, однако, в их качестве вещей, а не просто знаков, очевидно из того факта, что весь наш процесс рассуждения осуществляется путем предикации о них свойств вещей. При решении алгебраического уравнения по каким правилам мы действуем? Применяя на каждом шаге к a, b и x положение, что равные, прибавленные к равным, дают равные; что равные, отнятые от равных, оставляют равные; и другие положения, основанные на этих двух. Это не свойства языка или знаков как таковых, а величин, что равносильно тому, чтобы сказать — всех вещей. Выводы, следовательно, которые последовательно делаются, являются выводами, касающимися вещей, а не символов; хотя, поскольку любые вещи вообще подойдут, нет необходимости вообще сохранять идею вещи отчетливой, и, следовательно, процессу мышления может быть в этом случае позволено без опасности делать то, что все процессы мышления, когда они выполнялись часто, будут делать, если им позволить, а именно — стать полностью механическими. Отсюда общий язык алгебры начинает использоваться привычно, не возбуждая идей, как и любой другой общий язык склонен делать из-за простой привычки, хотя ни в каком другом случае, кроме этого, это не может быть сделано с полной безопасностью. Но когда мы оглядываемся назад, чтобы увидеть, откуда проистекает доказательная сила процесса, мы обнаруживаем, что на каждом отдельном шаге, если мы не предполагаем, что думаем и говорим о вещах, а не о простых символах, доказательство терпит неудачу.

Существует еще одно обстоятельство, которое в еще большей степени, чем только что упомянутое, придает правдоподобие представлению о том, что суждения арифметики и алгебры являются чисто словесными. Оно заключается в том, что при рассмотрении их как суждений о вещах все они выглядят как тождественные суждения. Утверждение «Два и один равны трем», рассматриваемое как утверждение об объектах, например: «Два камешка и один камешек равны трем камешкам», — утверждает не равенство между двумя совокупностями камешков, а абсолютную тождественность. Оно утверждает, что если мы добавим один камешек к двум камешкам, то эти самые камешки и составят три. Таким образом, поскольку объекты остаются одними и теми же, а простое утверждение «объекты суть они сами» является бессодержательным, кажется вполне естественным рассматривать суждение «Два и один равны трем» как утверждающее лишь тождество значения между двумя именами.

Это, однако, при всей своей кажущейся правдоподобности, не выдерживает проверки. Выражение «два камешка и один камешек» и выражение «три камешка» действительно обозначают одну и ту же совокупность объектов, но они отнюдь не обозначают один и тот же физический факт. Это имена одних и тех же объектов, но взятых в двух разных состояниях: хотя они денотируют одни и те же вещи, их коннотация различна. Три камешка в двух отдельных кучках и три камешка в одной кучке производят на наши чувства разное впечатление; и утверждение, что одни и те же камешки путем изменения места и расположения могут быть приведены к тому или иному набору ощущений, хотя и является весьма привычным суждением, не есть суждение тождественное. Это истина, познанная нами из раннего и постоянного опыта: индуктивная истина; и такие истины составляют фундамент науки о числе. Фундаментальные истины этой науки покоятся на свидетельстве чувств; они доказываются путем демонстрации нашим глазам и пальцам того, что любое заданное число объектов, например десять шаров, может путем разделения и перегруппировки продемонстрировать нашим чувствам все различные наборы чисел, сумма которых равна десяти. Все усовершенствованные методы обучения детей арифметике основаны на знании этого факта. Все, кто желает вести за собой ум ребенка при изучении арифметики, все, кто желает обучать числам, а не просто цифрам, теперь обучают этому через свидетельство чувств, описанным нами способом.

Мы можем, если угодно, назвать суждение «Три — это два и один» определением числа три и утверждать, что арифметика, как утверждалось относительно геометрии, есть наука, основанная на определениях. Но это определения в геометрическом, а не в логическом смысле; они утверждают не только значение термина, но вместе с ним и наблюдаемый факт. Суждение «Круг — это фигура, ограниченная линией, все точки которой равноудалены от точки внутри нее» называется определением круга; но суждение, из которого следует так много выводов и которое действительно является первым принципом в геометрии, состоит в том, что фигуры, соответствующие этому описанию, существуют. И таким образом мы можем назвать «Три — это два и один» определением трех; но вычисления, которые зависят от этого суждения, следуют не из самого определения, а из арифметической теоремы, подразумеваемой в нем, а именно: что существуют совокупности объектов, которые, воздействуя на чувства таким образом [Символ: три круга, два над одним], могут быть разделены на две части, таким образом [Символ: два круга, пробел и третий круг]. При признании этого суждения мы называем все такие совокупности тройками, после чего формулировка вышеупомянутого физического факта послужит также определением слова «три».

Таким образом, наука о числе не является исключением из вывода, к которому мы пришли ранее, а именно: что процессы даже дедуктивных наук являются всецело индуктивными и что их первые принципы суть обобщения, полученные из опыта. Остается исследовать, сходна ли эта наука с геометрией в том дальнейшем обстоятельстве, что некоторые из ее индукций не являются в точности истинными; и что та особая достоверность, которая ей приписывается и из-за которой ее суждения называются необходимыми истинами, является фиктивной и гипотетической, будучи истинной лишь в том смысле, что эти суждения с необходимостью следуют из гипотезы об истинности посылок, которые, как признается, являются лишь приближениями к истине.

§ 3. Индукции арифметики бывают двух видов: во-первых, те, которые мы только что разъяснили, такие как «Один и один — два», «Два и один — три» и т. д., которые можно назвать определениями различных чисел в несобственном или геометрическом смысле слова «определение»; и, во-вторых, следующие две аксиомы: суммы равных равны, разности равных равны. Этих двух достаточно; ибо соответствующие суждения относительно неравных могут быть доказаны из них путем reductio ad absurdum.

Эти аксиомы, а также так называемые определения, являются, как уже было показано, результатами индукции; они истинны для всех объектов без исключения и, как может показаться, в точности истинны, без гипотетического допущения безусловной истинности там, где существует лишь приближение к ней. Следовательно, естественно сделать вывод, что заключения в точности истинны, и наука о числе является исключением из других демонстративных наук в том, что абсолютная достоверность, которая может быть приписана ее доказательствам, независима от всякой гипотезы.

Однако при более точном исследовании обнаружится, что даже в этом случае в рациональном умозаключении присутствует один гипотетический элемент. Во всех суждениях, касающихся чисел, подразумевается условие, без которого ни одно из них не было бы истинным; и это условие есть допущение, которое может быть ложным. Условие состоит в том, что 1 = 1; что все числа суть числа одних и тех же или равных единиц. Пусть это будет сомнительным, и ни одно из суждений арифметики не окажется истинным. Как мы можем знать, что один фунт и один фунт составляют два фунта, если один из фунтов может быть тройским, а другой — торговым? Они могут не составить двух фунтов ни того, ни другого, ни какого-либо веса. Как мы можем знать, что сорок лошадиных сил всегда равны самим себе, если мы не допустим, что все лошади обладают равной силой? Несомненно, что 1 всегда равно по числу 1; и там, где существенным является лишь число объектов или частей объекта, без предположения их эквивалентности в каком-либо ином отношении, выводы арифметики, поскольку они касаются только этого, истинны без примеси гипотезы. Существует несколько таких случаев; например, исследование численности населения любой страны. Для этого исследования безразлично, взрослые это люди или дети, сильные или слабые, высокие или низкие; единственное, что нам нужно установить, — это их число. Но всякий раз, когда из равенства или неравенства чисел необходимо вывести равенство или неравенство в каком-либо ином отношении, арифметика, применяемая к таким исследованиям, становится такой же гипотетической наукой, как геометрия. Необходимо допустить, что все единицы равны в этом ином отношении; а это практически никогда не бывает истинным, ибо один реальный фунт веса не в точности равен другому, как и длина одной мили не равна другой; более точные весы или более точные измерительные приборы всегда обнаружили бы некоторое различие.

Таким образом, то, что обычно называют математической достоверностью, которая включает в себя двойственное понятие безусловной истинности и совершенной точности, не является атрибутом всех математических истин, а лишь тех, которые относятся к чистому числу, в отличие от количества в более широком смысле; и только до тех пор, пока мы воздерживаемся от предположения, что числа являются точным показателем реальных количеств. Достоверность, обычно приписываемая выводам геометрии и даже механики, есть не что иное, как достоверность вывода. Мы можем иметь полную уверенность в частных результатах при частных допущениях, но мы не можем иметь такой же уверенности в том, что эти допущения в точности истинны, равно как и в том, что они включают все данные, которые могут оказать влияние на результат в любом данном случае.

[pg 286] § 4. По-видимому, метод всех дедуктивных наук является гипотетическим. Они действуют путем прослеживания последствий определенных допущений, оставляя для отдельного рассмотрения вопрос о том, истинны ли эти допущения или нет, и если не в точности истинны, то являются ли они достаточно близким приближением к истине. Причина очевидна. Поскольку только в вопросах чистого числа допущения в точности истинны, и даже там лишь до тех пор, пока на них не основываются никакие иные, кроме чисто числовых, выводы, то во всех остальных случаях дедуктивного исследования частью задачи должно быть определение того, насколько допущениям не хватает точности в рассматриваемом случае. Это, как правило, вопрос наблюдения, который должен повторяться в каждом новом случае; или, если он должен решаться путем аргументации, а не наблюдения, он может потребовать в каждом отдельном случае различных доказательств и представлять любую степень трудности, от низшей до высшей. Но другая часть процесса — а именно определение того, что еще можно заключить, если мы обнаружим, и в той мере, в какой мы обнаружим, что допущения истинны, — может быть выполнена раз и навсегда, а результаты могут быть готовы к использованию по мере возникновения случаев. Таким образом, мы делаем заранее все, что можно сделать, и оставляем как можно меньше работы для выполнения, когда возникают случаи, требующие решения. Это исследование выводов, которые могут быть сделаны из допущений, и составляет в собственном смысле демонстративную науку.

Конечно, столь же осуществимо прийти к новым выводам из допущенных фактов, как и из наблюдаемых фактов; из фиктивных индукций, как и из реальных. Дедукция, как мы видели, состоит из ряда выводов в такой форме: a есть признак b, b — признак c, c — признак d, следовательно, a есть признак d, причем последнее может быть истиной, недоступной прямому наблюдению. Подобным же образом допустимо сказать: предположим, что a было бы признаком b, b — признаком c, а c — признаком d, тогда a было бы признаком d, каковой последний вывод не приходил в голову тем, кто формулировал посылки. Система суждений, столь же сложная, как геометрия, могла бы быть дедуцирована из ложных допущений; как это делали Птолемей, Декарт и другие в своих попытках синтетически объяснить явления солнечной системы, исходя из предположения, что видимые движения небесных тел являются реальными движениями или производятся каким-то образом, более или менее отличным от истинного. Иногда то же самое делается сознательно с целью показать ложность допущения; это называется reductio ad absurdum. В таких случаях рассуждение таково: a есть признак b, а b — признак c; теперь, если бы c было также признаком d, a было бы признаком d; но известно, что d есть признак отсутствия a; следовательно, a было бы признаком собственного отсутствия, что есть противоречие; следовательно, c не есть признак d.

§ 5. Некоторые авторы даже придерживались мнения, что всякое рациональное умозаключение в конечном счете покоится на reductio ad absurdum; поскольку способ принудить к согласию с ним в случае неясности состоял бы в том, чтобы показать, что если отрицать заключение, то мы должны отрицать по крайней мере одну из посылок, что, поскольку все они предполагаются истинными, было бы противоречием. И в соответствии с этим многие полагали, что особая природа доказательства рационального умозаключения заключается в невозможности допустить посылки и отвергнуть заключение без противоречия в терминах. Эта теория, однако, недопустима как объяснение оснований, на которых покоится само рациональное умозаключение. Если кто-либо отрицает заключение, несмотря на признание посылок, он не вовлекается ни в какое прямое и явное противоречие, пока его не принудят отрицать какую-либо посылку; а к этому его можно принудить только путем reductio ad absurdum, то есть посредством другого рационального умозаключения: теперь, если он отрицает значимость самого процесса рассуждения, его нельзя принудить согласиться со вторым силлогизмом больше, чем с первым. Таким образом, в действительности никто никогда не принуждается к противоречию в терминах: его можно принудить только к противоречию (или, скорее, нарушению) фундаментальной максимы рационального умозаключения, а именно: что все, что имеет признак, имеет то, признаком чего он является; или (в случае общих суждений) что все, что является признаком чего-либо, является признаком всего того, признаком чего является эта вещь. Ибо в случае любого правильного аргумента, как только он облечен в силлогистическую форму, становится очевидным без помощи какого-либо другого силлогизма, что тот, кто, признавая посылки, не делает вывода, не сообразуется с вышеуказанной аксиомой.

Не придавая преувеличенного значения проведенному разграничению, я думаю, что оно позволяет нам охарактеризовать более точно, чем это обычно делается, природу демонстративного доказательства и логической необходимости. Необходимым является то, отказ в согласии с чем означал бы нарушение вышеуказанной аксиомы. А поскольку аксиома может быть нарушена только путем согласия с посылками и отвержения законного вывода из них, ничто не является необходимым, кроме связи между заключением и посылками; доказательством каковой доктрины и представляется вся эта и предыдущая главы.

Мы продвинулись в теории дедукции настолько, насколько можем продвинуться на нынешней стадии нашего исследования. Любое дальнейшее проникновение в предмет требует, чтобы был заложен фундамент философской теории самой индукции; в этой теории дедукция, как способ индукции, чем мы ее теперь и показали, спонтанно займет принадлежащее ей место и получит свою долю того света, который может быть пролит на великую интеллектуальную операцию, важной частью которой она является.

Поэтому мы здесь завершаем Вторую книгу. Теория индукции в самом широком смысле этого термина составит предмет Третьей.