«Система логики: умозаключающей и индуктивной»

Существует лишь несколько известных случаев последовательности из очень сложных антецедентов, которые либо не были фактически объяснены из более простых законов, либо не были выведены с большой вероятностью (из установленного существования промежуточных звеньев причинности, еще не понятых) как способные быть так объясненными. Поэтому весьма вероятно, что все последовательности из сложных антецедентов таким образом сводимы и что фундаментальные законы во всех случаях сравнительно просты. Если бы не было других причин, уже упомянутых, для веры в то, что законы организованной природы сводимы к более простым законам, почти достаточной причиной было бы то, что антецеденты в большинстве последовательностей столь очень сложны.

§ 7. В предыдущем обсуждении мы признали два вида эмпирических законов: те, которые известны как законы причинности, но предполагаются сводимыми к более простым законам; и те, которые вообще не известны как законы причинности. Оба эти вида законов согласуются в требовании, которое они предъявляют к объяснению путем дедукции, и согласуются в том, что являются подходящим средством верификации такой дедукции, поскольку они представляют опыт, с которым должен быть сопоставлен результат дедукции. Они согласуются, далее, в том, что до тех пор, пока они не объяснены и не связаны с фундаментальными законами, из которых они проистекают, они не достигли высшей степени достоверности, которой могут быть подвержены законы. Ранее было показано, что законы причинности, которые являются производными и составленными из более простых законов, не только, как подразумевает природа случая, менее общие, но даже менее достоверные, чем более простые законы, из которых они проистекают; не в той же степени им можно доверять как универсально истинным. Однако неполноценность доказательств, которая присуща этому классу законов, ничтожна по сравнению с той, которая присуща единообразностям, вообще не известным как законы причинности. До тех пор, пока они не сведены, мы не можем сказать, от скольких расположений, а также законов, может зависеть их истинность; мы никогда, следовательно, не можем распространять их с какой-либо уверенностью на случаи, в которых мы не убедились путем проверки, что необходимое расположение причин, каким бы оно ни было, существует. Именно к этому классу законов в полной мере относится свойство, которое философы обычно считают характерным для эмпирических законов, — свойство быть непригодными для того, чтобы полагаться на них за пределами пределов времени, места и обстоятельств, в которых были сделаны наблюдения. Это эмпирические законы в более выраженном смысле; и когда я использую этот термин (за исключением случаев, когда контекст явно указывает на обратное), я обычно буду иметь в виду обозначение только тех единообразностей, будь то последовательности или сосуществования, которые не известны как законы причинности.

Глава XVII.

О случайности и ее устранении.

§ 1. Рассматривая, таким образом, как эмпирические законы только те наблюдаемые единообразности, относительно которых вопрос о том, являются ли они законами причинности, должен оставаться нерешенным до тех пор, пока они не могут быть объяснены дедуктивно или пока не будут найдены какие-либо средства применения метода различия к данному случаю, в предыдущей главе было показано, что до тех пор, пока единообразность не может быть выведена одним или другим из этих способов из класса эмпирических законов и переведена либо в класс законов причинности, либо в класс доказанных результатов законов причинности, ее нельзя с уверенностью объявить истинной за пределами локальных и других пределов, в которых она была признана таковой путем фактического наблюдения. Остается рассмотреть, как мы должны убедиться в ее истинности даже в этих пределах; после какого количества опыта обобщение, которое основывается исключительно на методе согласия, может считаться достаточно установленным, даже как эмпирический закон. В предыдущей главе, при рассмотрении методов прямой индукции, мы прямо отложили этот вопрос, и теперь пришло время попытаться решить его.

Мы обнаружили, что метод согласия имеет недостаток, заключающийся в том, что он не доказывает причинность, и поэтому может быть использован только для установления эмпирических законов. Но мы также обнаружили, что, помимо этого недостатка, он страдает характерным несовершенством, стремящимся сделать неопределенными даже те выводы, которые он сам по себе приспособлен доказывать. Это несовершенство возникает из множественности причин. Хотя два или более случаев, в которых было встречено явление a, могут не иметь общего антецедента, кроме A, это не доказывает, что существует какая-либо связь между a и A, поскольку a может иметь много причин и могло быть порождено в этих различных случаях не чем-то общим для этих случаев, а некоторыми из тех элементов в них, которые были различными. Мы, тем не менее, заметили, что по мере умножения случаев, указывающих на A как на антецедент, характерная неопределенность метода уменьшается, и существование закона связи между A и a все ближе приближается к достоверности. Теперь предстоит определить, после какого количества опыта эта достоверность может считаться практически достигнутой, а связь между A и a может быть принята как эмпирический закон.

Этот вопрос может быть иначе сформулирован в более привычных терминах: после скольких и каких случаев можно заключить, что наблюдаемое совпадение между двумя явлениями не является следствием случайности?

Для понимания логики индукции чрезвычайно важно, чтобы мы сформировали отчетливое представление о том, что подразумевается под случайностью и как явления, которые обыденный язык приписывает этой абстракции, производятся на самом деле.

§ 2. О случайности обычно говорят в прямой антитезе к закону; все, что, как предполагается, не может быть приписано какому-либо закону, приписывается случайности. Однако несомненно, что все, что происходит, является результатом какого-либо закона; является следствием причин и могло быть предсказано на основе знания о существовании этих причин и их законов. Если я переворачиваю конкретную карту, это следствие ее места в колоде. Ее место в колоде было следствием того, как карты были перетасованы, или порядка, в котором они были сыграны в последней игре; что, опять же, было следствием предшествующих причин. На каждом этапе, если бы мы обладали точным знанием существующих причин, было бы абстрактно возможно предсказать следствие.

Событие, происходящее по случайности, может быть лучше описано как совпадение, из которого у нас нет оснований выводить единообразность — возникновение явления при определенных обстоятельствах, без того, чтобы у нас были основания на этом основании делать вывод, что оно произойдет снова при этих обстоятельствах. Это, однако, при внимательном рассмотрении подразумевает, что перечисление обстоятельств не является полным. Каков бы ни был факт, поскольку он произошел однажды, мы можем быть уверены, что если бы все те же обстоятельства повторились, он произошел бы снова; и не только если все, но существует некоторая конкретная часть этих обстоятельств, от которой явление неизменно зависит. С большинством из них, однако, оно не связано каким-либо постоянным образом; его соединение с ними называется следствием случайности, чисто случайным. Факты, случайно соединенные, являются отдельно следствиями причин, а следовательно, и законов; но разных причин и причин, не связанных никаким законом.

Неправильно, следовательно, говорить, что какое-либо явление порождается случайностью; но мы можем сказать, что два или более явления соединены случайно, что они сосуществуют или следуют друг за другом только случайно; подразумевая, что они никоим образом не связаны через причинность; что они не являются ни причиной и следствием, ни следствиями одной и той же причины, ни следствиями причин, между которыми существует какой-либо закон сосуществования, ни даже следствиями одного и того же расположения первоначальных причин.

Если бы то же самое случайное совпадение никогда не произошло во второй раз, у нас был бы простой тест для отличия таких совпадений от тех, которые являются результатами закона. Пока явления встречались вместе только один раз, до тех пор, если мы не знали каких-то более общих законов, из которых могло бы проистечь совпадение, мы не могли бы отличить его от случайного; но если бы оно произошло дважды, мы бы знали, что явления, так соединенные, должны быть каким-то образом связаны через свои причины.

[pg 374] Однако такого теста не существует. Совпадение может происходить снова и снова и все же быть лишь случайным. Более того, было бы несовместимо с тем, что мы знаем о порядке природы, сомневаться в том, что каждое случайное совпадение рано или поздно повторится, пока явления, между которыми оно произошло, не перестанут существовать или воспроизводиться. Повторение, следовательно, одного и того же совпадения более одного раза, или даже его частое повторение, не доказывает, что оно является примером какого-либо закона; не доказывает, что оно не является случайным, или, на обычном языке, следствием случайности.

И все же, когда совпадение не может быть выведено из известных законов или доказано экспериментом как само по себе случай причинности, частота его возникновения является единственным доказательством, из которого мы можем сделать вывод, что оно является результатом закона. Не, однако, его абсолютная частота. Вопрос не в том, происходит ли совпадение часто или редко в обычном смысле этих терминов; а в том, происходит ли оно чаще, чем может объяснить случайность; чаще, чем можно было бы рационально ожидать, если бы совпадение было случайным. Мы должны, следовательно, решить, какую степень частоты в совпадении может объяснить случайность; и на это не может быть общего ответа. Мы можем только указать принцип, которым должен определяться ответ; сам ответ будет разным в каждом отдельном случае.

Предположим, что одно из явлений, A, существует всегда, а другое явление, B, только изредка; из этого следует, что каждый случай B будет случаем его совпадения с A, и все же совпадение будет лишь случайным, а не результатом какой-либо связи между ними. Неподвижные звезды постоянно существуют с начала человеческого опыта, и все явления, которые попадали под человеческое наблюдение, в каждом отдельном случае сосуществовали с ними; однако это совпадение, хотя и столь же неизменное, как то, которое существует между любым из этих явлений и его собственной причиной, не доказывает, что звезды являются его причиной, ни того, что они каким-либо образом связаны с ним. Столь же сильный случай совпадения, следовательно, какой только может существовать, и гораздо более сильный с точки зрения простой частоты, чем большинство тех, которые доказывают законы, здесь не доказывает закон; почему? потому что, поскольку звезды существуют всегда, они должны сосуществовать с каждым другим явлением, независимо от того, связаны ли они с ними через причинность или нет. Единообразность, сколь бы велика она ни была, не больше той, которая возникла бы при предположении, что никакой такой связи не существует.

С другой стороны, предположим, что мы исследуем, существует ли какая-либо связь между дождем и каким-либо конкретным ветром. Дождь, как мы знаем, изредка случается при любом ветре; следовательно, связь, если она существует, не может быть актуальным законом; но все же дождь может быть связан с каким-то конкретным ветром через причинность; то есть, хотя они не могут быть всегда следствиями одной и той же причины (ибо в таком случае они регулярно сосуществовали бы), могут существовать некоторые причины, общие для них обоих, так что в той мере, в какой каждое из них порождается этими общими причинами, они будут, согласно законам причинности, сосуществовать. Как же нам установить это? Очевидный ответ: наблюдая, происходит ли дождь при одном ветре чаще, чем при любом другом. Этого, однако, недостаточно; ибо, возможно, этот один ветер дует чаще, чем любой другой; так что то, что он дует чаще в дождливую погоду, не более чем то, что произошло бы, даже если бы он не имел связи с причинами дождя, при условии, что он не был связан с причинами, препятствующими дождю. В Англии западные ветры дуют в течение примерно вдвое большей части года, чем восточные. Если, следовательно, дождь идет только вдвое чаще при западном ветре, чем при восточном, у нас нет оснований делать вывод, что какой-либо закон природы вовлечен в это совпадение. Если дождь идет более чем вдвое чаще, мы можем быть уверены, что какой-то закон вовлечен; либо в природе существует какая-то причина, которая в этом климате стремится породить и дождь, и западный ветер, либо западный ветер сам по себе имеет некоторую тенденцию порождать дождь. Но если дождь идет менее чем вдвое чаще, мы можем сделать прямо противоположный вывод: один из них, вместо того чтобы быть причиной или быть связанным с причинами другого, должен быть связан с причинами, препятствующими ему, или с отсутствием какой-либо причины, которая порождает его; и хотя дождь все еще может идти гораздо чаще при западном ветре, чем при восточном, это было бы настолько далеко от доказательства какой-либо связи между явлениями, что доказанная связь была бы между дождем и восточным ветром, к которому, по простой частоте совпадения, он менее близок.

Здесь, следовательно, два примера: в одном наибольшая возможная частота совпадения, без единого случая к обратному, не доказывает, что существует какой-либо закон; в другом гораздо меньшая частота совпадения, даже когда несовпадение еще более часто, доказывает, что существует закон. В обоих случаях принцип один и тот же. В обоих мы рассматриваем положительную частоту самих явлений и то, какую большую частоту совпадения это должно само по себе вызвать, не предполагая никакой связи между ними, при условии, что нет отвращения; при условии, что ни одно из них не связано с какой-либо причиной, стремящейся сорвать другое. Если мы находим большую частоту совпадения, чем эта, мы заключаем, что существует какая-то связь; если меньшую частоту, что существует какое-то отвращение. В первом случае мы заключаем, что одно из явлений может при некоторых обстоятельствах вызвать другое, или что существует нечто, способное вызвать их оба; во втором — что одно из них, или какая-то причина, которая порождает одно из них, способна противодействовать порождению другого. Мы должны, таким образом, вычесть из наблюдаемой частоты совпадения столько, сколько может быть следствием случайности, то есть простой частоты самих явлений; и если что-то остается, то, что остается, является остаточным фактом, который доказывает существование закона.

Частота явлений может быть установлена только в определенных пределах пространства и времени; завися, как она зависит, от количества и распределения первоначальных естественных агентов, о которых мы ничего не можем знать за пределами границ человеческого наблюдения, поскольку никакой закон, никакая регулярность не могут быть прослежены в нем, позволяя нам выводить неизвестное из известного. Но для настоящей цели это не является недостатком, так как вопрос ограничен теми же пределами, что и данные. Совпадения произошли в определенных местах и временах, и в этих пределах мы можем оценить частоту, с которой такие совпадения были бы порождены случайностью. Если, следовательно, мы находим из наблюдения, что A существует в одном случае из каждых двух, а B в одном случае из каждых трех; тогда, если между ними или между какими-либо их причинами нет ни связи, ни отвращения, случаи, в которых A и B будут существовать оба, то есть будут сосуществовать, будут составлять один случай из каждых шести. Ибо A существует в трех случаях из шести; а B, существуя в одном случае из каждых трех без учета присутствия или отсутствия A, будет существовать в одном случае из тех трех. Таким образом, из общего числа случаев будет два, в которых A существует без B; один случай B без A; два, в которых ни B, ни A не существуют, и один случай из шести, в котором они существуют оба. Если, следовательно, на самом деле они оказываются сосуществующими чаще, чем в одном случае из шести; и, следовательно, A не существует без B так часто, как дважды в трех случаях, ни B без A так часто, как один раз в каждых двух, существует какая-то причина, которая стремится породить соединение между A и B.

[pg 376] Обобщая результат, мы можем сказать, что если A встречается в большей пропорции случаев, где есть B, чем случаев, где нет B, то и B будет встречаться в большей пропорции случаев, где есть A, чем случаев, где нет A; и существует какая-то связь через причинность между A и B. Если бы мы могли подняться к причинам двух явлений, мы бы обнаружили на каком-то этапе, либо близком, либо отдаленном, какую-то причину или причины, общие для обоих; и если бы мы могли установить, что это такое, мы могли бы сформулировать обобщение, которое было бы истинным без ограничения места или времени; но до тех пор, пока мы не можем этого сделать, факт связи между двумя явлениями остается эмпирическим законом.

§ 3. Рассмотрев, каким образом можно определить, является ли данное соединение явлений случайным или результатом какого-либо закона, для завершения теории случайности необходимо, чтобы мы теперь рассмотрели те следствия, которые частично являются результатом случайности, а частично — закона, или, иными словами, в которых следствия случайных соединений причин привычно смешиваются в одном результате со следствиями постоянной причины.

Это случай композиции причин; и его особенность заключается в том, что вместо того, чтобы две или более причины смешивали свои следствия регулярным образом со следствиями друг друга, мы теперь имеем одну постоянную причину, порождающую следствие, которое последовательно модифицируется рядом переменных причин. Так, по мере приближения лета приближение Солнца к вертикальному положению стремится породить постоянное повышение температуры; но с этим следствием постоянной причины смешиваются следствия многих переменных причин: ветров, облаков, испарения, электрических агентов и тому подобного, так что температура любого данного дня зависит частично от этих мимолетных причин и только частично от постоянной причины. Если следствие постоянной причины всегда сопровождается и маскируется следствиями переменных причин, невозможно установить закон постоянной причины обычным образом, отделяя ее от всех других причин и наблюдая ее отдельно. Отсюда возникает необходимость в дополнительном правиле экспериментального исследования.

Когда действие причины A подвержено вмешательству не постоянно со стороны одной и той же причины или причин, а со стороны разных причин в разное время, и когда они столь часты или столь неопределенны, что мы не можем исключить все из них из какого-либо эксперимента, хотя мы можем варьировать их; наш ресурс — попытаться установить, каково следствие всех переменных причин, взятых вместе. Чтобы сделать это, мы делаем столько попыток, сколько возможно, сохраняя A неизменным. Результаты этих различных попыток естественно будут разными, поскольку неопределенные модифицирующие причины различны в каждой; если, следовательно, мы не находим, что эти результаты прогрессивны, а, напротив, колеблются около определенной точки, один эксперимент дает результат немного больше, другой немного меньше, один результат стремится немного больше в одном направлении, другой немного больше в противоположном направлении; в то время как средняя или средняя точка не варьируется, но разные серии экспериментов (взятые в как можно большем разнообразии обстоятельств) дают одно и то же среднее значение, при условии, что они достаточно многочисленны; тогда это среднее или средний результат — это часть в каждом эксперименте, которая обусловлена причиной A, и это следствие, которое было бы получено, если бы A могла действовать в одиночку; переменный остаток — это следствие случайности, то есть причин, сосуществование которых с причиной A было чисто случайным. Тест достаточности индукции в этом случае — когда любое увеличение числа попыток, из которых берется среднее значение, существенно не изменяет среднее значение.

[pg 377] Этот вид устранения, в котором мы устраняем не одну назначаемую причину, а множество плавающих неназначаемых, может быть назван устранением случайности. Мы приводим пример этого, когда повторяем эксперимент, чтобы, взяв среднее значение разных результатов, избавиться от следствий неизбежных ошибок каждого отдельного эксперимента. Когда нет постоянной причины, такой как та, которая породила бы тенденцию к ошибке исключительно в одном направлении, мы оправданы опытом в предположении, что ошибки с одной стороны в определенном числе экспериментов примерно уравновесят ошибки с противоположной стороны. Мы поэтому повторяем эксперимент до тех пор, пока любое изменение, которое производится в среднем значении целого при дальнейшем повторении, не попадает в пределы ошибки, совместимые со степенью точности, требуемой целью, которую мы имеем в виду.

§ 4. В предположении, сделанном до сих пор, предполагалось, что следствие постоянной причины A составляет столь большую и заметную часть общего результата, что его существование никогда не могло быть предметом неопределенности, и целью процесса устранения было только установить, сколько приписывается этой причине; каков его точный закон. Случаи, однако, происходят, в которых следствие постоянной причины столь мало по сравнению с следствием некоторых из изменчивых причин, с которыми она подвержена случайному соединению, что само по себе оно ускользает от внимания, и само существование любого следствия, возникающего из постоянной причины, впервые узнается процессом, который в общем служит только для установления количества этого следствия. Этот случай индукции может быть охарактеризован следующим образом: данное следствие известно как в основном, и не известно как не полностью, определяемое изменчивыми причинами. Если оно полностью так порождено, то если взять совокупность достаточного числа случаев, следствия этих различных причин взаимно уничтожатся. Если, следовательно, мы не находим, что это так, а, напротив, после того, как было сделано такое число попыток, что никакое дальнейшее увеличение не изменяет средний результат, мы находим, что среднее значение — не ноль, а какая-то другая величина, около которой, хотя и малой по сравнению с общим следствием, следствие тем не менее колеблется, и которая является средней точкой в его колебании; мы можем заключить, что это следствие какой-то постоянной причины; которую причину, с помощью некоторых из методов, уже рассмотренных, мы можем надеяться обнаружить. Это может быть названо открытием остаточного явления путем устранения следствий случайности.

Именно таким образом, например, могут быть обнаружены нагруженные кости. Конечно, никакие кости не нагружены так неуклюже, что они должны всегда выбрасывать определенные числа; иначе мошенничество было бы мгновенно обнаружено. Нагрузка, постоянная причина, смешивается с изменчивыми причинами, которые определяют, какой бросок будет выброшен в каждом отдельном случае. Если бы кости не были нагружены, и бросок был оставлен зависеть полностью от изменчивых причин, они в достаточном числе случаев уравновесили бы друг друга, и не было бы преобладающего числа бросков какого-либо одного вида. Если, следовательно, после такого числа попыток, что никакое дальнейшее увеличение их числа не имеет существенного эффекта на среднее значение, мы находим преобладание в пользу конкретного броска; мы можем с уверенностью заключить, что существует какая-то постоянная причина, действующая в пользу этого броска, или, иными словами, что кости нечестные; и точное количество нечестности. Подобным образом то, что называется суточным изменением барометра, которое очень мало по сравнению с изменениями, возникающими из нерегулярных изменений в состоянии атмосферы, было обнаружено путем сравнения средней высоты барометра в разные часы дня. Когда это сравнение было сделано, было обнаружено, что существует небольшая разница, которая в среднем была постоянной, как бы ни варьировались абсолютные величины, и которая, следовательно, должна быть следствием постоянной причины. Эта причина была позже установлена дедуктивно как разрежение воздуха, вызванное повышением температуры по мере продвижения дня.

§ 5. После этих общих замечаний о природе случайности мы готовы рассмотреть, каким образом может быть получена уверенность в том, что соединение между двумя явлениями, которое наблюдалось определенное число раз, не является случайным, а является результатом причинности, и должно быть принято, следовательно, как одна из единообразностей природы, хотя (до тех пор, пока не обосновано a priori) только как эмпирический закон.

Мы предположим самый сильный случай, а именно, что явление B никогда не наблюдалось иначе, как в соединении с A. Даже тогда вероятность того, что они связаны, измеряется не общим числом случаев, в которых они были найдены вместе, а превышением этого числа над числом, обусловленным абсолютной частотой A. Если, например, A существует всегда и поэтому сосуществует со всем, никакое число случаев его сосуществования с B не доказало бы связь; как в нашем примере с неподвижными звездами. Если A является фактом столь обычного возникновения, что можно предположить, что он присутствует в половине всех случаев, которые происходят, и поэтому в половине случаев, в которых происходит B, только пропорциональное превышение над половиной должно считаться доказательством в пользу доказательства связи между A и B.

В дополнение к вопросу: «Каково число совпадений, которое в среднем при множестве попыток можно ожидать от одной лишь случайности?» существует также другой вопрос, а именно: «Какова степень отклонения от этого среднего, при которой возникновение достоверно, от одной лишь случайности, в некотором числе случаев, меньшем, чем требуется для выведения справедливого среднего?» Нужно учитывать не только то, каков общий результат случайностей в долгосрочной перспективе, но и то, каковы крайние пределы отклонения от общего результата, которые можно иногда ожидать как результат некоторого меньшего числа случаев.

Рассмотрение последнего вопроса и любое рассмотрение первого, выходящее за рамки уже данного ему, относятся к тому, что математики называют доктриной случайностей, или, в более претенциозной фразе, теорией вероятностей.

[pg 379]

Глава XVIII.

О вычислении случайностей.

«Вероятность», — говорит Лаплас, — «относится частично к нашему невежеству, частично к нашему знанию. Мы знаем, что среди трех или более событий одно, и только одно, должно произойти; но нет ничего, что заставляло бы нас верить, что какое-либо из них произойдет скорее, чем другие. В этом состоянии нерешительности невозможно для нас высказаться с уверенностью об их возникновении. Однако вероятно, что любое из этих событий, выбранное по желанию, не произойдет; потому что мы воспринимаем несколько случаев, все одинаково возможные, которые исключают его возникновение, и только один, который благоприятствует ему».

«Теория случайностей состоит в сведении всех событий одного рода к определенному числу случаев, одинаково возможных, то есть таких, что мы одинаково нерешительны относительно их существования; и в определении числа этих случаев, которые благоприятны для события, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой вероятности; которая, таким образом, является дробью, имеющей в числителе число случаев, благоприятных для события, а в знаменателе — число всех случаев, которые возможны».

Для вычисления случайностей, таким образом, согласно Лапласу, необходимы две вещи; мы должны знать, что из нескольких событий какое-то одно обязательно произойдет, и не более одного; и мы не должны знать, ни иметь каких-либо оснований ожидать, что это будет одно из этих событий, а не другое. Утверждалось, что это не единственные требования, и что Лаплас упустил в общем теоретическом утверждении необходимую часть основания доктрины случайностей. Чтобы быть в состоянии (было сказано) объявить два события одинаково вероятными, недостаточно того, чтобы мы знали, что одно или другое должно произойти, и не имели оснований предполагать, какое именно. Опыт должен был показать, что два события происходят одинаково часто. Почему, подбрасывая полпенни, мы считаем одинаково вероятным, что выбросим «орел» или «решку»? Потому что мы знаем, что в любом большом числе бросков «орел» и «решка» выпадают примерно одинаково часто; и что чем больше бросков мы делаем, тем более почти равенство совершенно. Мы можем знать это, если хотим, путем фактического эксперимента или ежедневного опыта, который жизнь дает относительно событий того же общего характера, или дедуктивно, из эффекта механических законов на симметричное тело, на которое действуют силы, варьирующиеся неопределенно по количеству и направлению. Мы можем знать это, короче говоря, либо по специфическому опыту, либо на основе доказательств нашего общего знания природы. Но, так или иначе, мы должны знать это, чтобы оправдать нас в назывании двух событий одинаково вероятными; и если бы мы не знали этого, мы действовали бы так же наугад, делая ставки на результат, как и при установлении шансов.

Этот взгляд на предмет был принят в первом издании настоящей работы; но с тех пор я убедился, что теория случайностей, как она понимается Лапласом и математиками в целом, не имеет фундаментальной ошибки, которую я ей приписывал.

Мы должны помнить, что вероятность события — это не качество самого события, а лишь название для степени основания, которое мы или кто-то другой имеем для ожидания его. Вероятность события для одного человека — это вещь, отличная от вероятности того же события для другого, или для того же человека после того, как он приобрел дополнительные доказательства. Вероятность для меня, что человек, о котором я не знаю ничего, кроме его имени, умрет в течение года, полностью меняется от того, что мне в следующую минуту скажут, что он находится в последней стадии чахотки. Однако это не делает никакой разницы в самом событии, ни в каких-либо причинах, от которых оно зависит. Каждое событие само по себе достоверно, а не вероятно; если бы мы знали все, мы бы либо знали положительно, что оно произойдет, либо положительно, что оно не произойдет. Но его вероятность для нас означает степень ожидания его возникновения, которую мы оправданы иметь на основе наших текущих доказательств.

Имея это в виду, я полагаю, необходимо признать, что даже когда у нас нет никаких знаний, которые могли бы направлять наши ожидания, за исключением знания о том, что произойдет нечто одно из определенного числа возможностей, мы все же можем разумно судить, что одно предположение для нас более вероятно, чем другое; и если на кону стоит какой-либо наш интерес, мы лучше всего обеспечим его, действуя в соответствии с этим суждением.

§ 2. Предположим, от нас требуется вынуть шар из ящика, о котором мы знаем лишь то, что в нем содержатся как черные, так и белые шары, и никаких других цветов. Мы знаем, что выбранный нами шар будет либо черным, либо белым; но у нас нет оснований ожидать скорее черного, чем белого, или белого, чем черного. В этом случае, если мы обязаны сделать выбор и поставить что-то на одно или другое предположение, то с точки зрения благоразумия будет совершенно безразлично, на что именно; и мы поступим в точности так, как поступили бы, если бы заранее знали, что в ящике содержится равное количество черных и белых шаров. Но хотя наше поведение было бы таким же, оно не основывалось бы на каком-либо предположении, что шары на самом деле распределены поровну; ибо мы могли бы, напротив, знать из достоверных источников, что в ящике содержится девяносто девять шаров одного цвета и только один другого; тем не менее, если нам не сказали, какой цвет представлен одним шаром, а какой девяносто девятью, извлечение белого и черного шара будет для нас одинаково вероятным. У нас не будет причин ставить что-либо на одно событие скорее, чем на другое; выбор между ними будет делом безразличия; иными словами, это будет равная вероятность.

Но допустим теперь, что вместо двух цветов имеется три — белый, черный и красный; и что мы совершенно не знаем пропорции, в которой они смешаны. У нас тогда не было бы оснований ожидать один цвет больше, чем другой, и, если бы пришлось делать ставку, мы рискнули бы поставить на красный, белый или черный с одинаковым безразличием. Но были бы мы безразличны к тому, ставить ли за или против какого-то одного цвета, как, например, белого? Конечно, нет. Из самого факта, что черный и красный каждый в отдельности одинаково вероятны для нас, как и белый, эти два вместе должны быть вдвое вероятнее. В этом случае мы ожидали бы скорее «не белый», чем «белый», и настолько скорее, что поставили бы два к одному против него. Правда, могло бы оказаться, насколько нам известно, что белых шаров больше, чем черных и красных вместе взятых; и если бы это было так, то наша ставка, если бы мы знали больше, оказалась бы невыгодной. Но точно так же, насколько нам известно, могло бы быть больше красных шаров, чем черных и белых, или больше черных шаров, чем белых и красных, и в таком случае результат дополнительных знаний состоял бы в доказательстве того, что наша ставка была более выгодной, чем мы предполагали. В существующем состоянии наших знаний существует рациональная вероятность два к одному против белого; вероятность, пригодная для того, чтобы стать основой поведения. Ни один разумный человек не стал бы заключать равное пари в пользу белого против черного и красного; хотя против одного только черного или одного только красного он мог бы сделать это без неблагоразумия.

Таким образом, общепринятая теория исчисления шансов представляется состоятельной. Даже когда мы не знаем ничего, кроме числа возможных и взаимно исключающих событий, и совершенно не осведомлены об их сравнительной частоте, у нас могут быть основания, причем численно оцениваемые, для того чтобы действовать скорее на основании одного предположения, чем другого; и в этом заключается смысл вероятности.

§ 3. Принцип, однако, на котором строится это рассуждение, достаточно очевиден. Это очевидный принцип: когда существующие случаи распределены между несколькими видами, невозможно, чтобы каждый из этих видов составлял большинство от целого; напротив, должно существовать большинство против каждого вида, за исключением, самое большее, одного; и если какой-либо вид имеет больше своей доли пропорционально общему числу, то остальные в совокупности должны иметь меньше. Признавая эту аксиому и допуская, что у нас нет оснований выделять какой-либо один вид как более склонный превысить среднюю пропорцию, чем остальные, следует, что мы не можем рационально предполагать это ни о каком из них, что мы сделали бы, если бы поставили в его пользу, получая меньший коэффициент, чем отношение числа других видов. Таким образом, даже в этом крайнем случае исчисления вероятностей, который вовсе не опирается на специальный опыт, логическим основанием процесса является наше знание — такое знание, каким мы в тот момент обладаем — о законах, управляющих частотой возникновения различных случаев; но в данном случае знание ограничено тем, что, будучи универсальным и аксиоматическим, не требует обращения к специфическому опыту или к каким-либо соображениям, вытекающим из особой природы обсуждаемой проблемы.

За исключением, однако, таких случаев, как азартные игры, где сама цель требует незнания вместо знания, я не могу представить себе случая, в котором мы должны были бы довольствоваться такой оценкой шансов — оценкой, основанной на абсолютном минимуме знаний относительно предмета. Очевидно, что в случае с цветными шарами очень слабое основание для предположения, что белых шаров действительно больше, чем шаров любого другого цвета, было бы достаточным, чтобы обесценить все расчеты, сделанные в нашем предыдущем состоянии безразличия. Это поставило бы нас в положение более глубокого знания, в котором вероятности для нас были бы иными, чем прежде; и при оценке этих новых вероятностей нам пришлось бы исходить из совершенно иного набора данных, предоставляемых уже не простым подсчетом возможных предположений, а специфическим знанием фактов. Такие данные мы всегда должны стремиться получить; и во всех исследованиях, если только они не касаются предметов, в равной степени выходящих за пределы наших средств познания и практических нужд, их можно получить, если не хорошими, то, по крайней мере, лучшими, чем никакие.

[pg 382] Очевидно также, что даже когда вероятности выводятся из наблюдения и эксперимента, очень небольшое улучшение данных путем более качественных наблюдений или более полного учета особых обстоятельств случая полезнее, чем самое тщательное применение исчисления к вероятностям, основанным на данных в их предыдущем состоянии неполноценности. Пренебрежение этим очевидным соображением породило неправильное применение исчисления вероятностей, которое сделало его настоящим позором математики. Достаточно сослаться на его применение к достоверности свидетелей и правильности вердиктов присяжных. Что касается первого, здравый смысл подсказал бы, что невозможно вывести общее среднее значение правдивости и других качеств, необходимых для истинных показаний, у всего человечества или любого его класса; и даже если бы это было возможно, использование этого для такой цели подразумевает непонимание использования средних величин, которые действительно служат для защиты тех, чьи интересы поставлены на карту, от ошибочного восприятия общего результата больших масс случаев, но имеют чрезвычайно малую ценность в качестве оснований для ожидания в любом отдельном случае, если только это не один из тех случаев, в которых подавляющее большинство отдельных случаев не сильно отличается от среднего. В случае со свидетелем люди со здравым смыслом сделали бы свои выводы из степени последовательности его показаний, его поведения во время перекрестного допроса и отношения самого дела к его интересам, пристрастиям и умственным способностям, вместо того чтобы применять столь грубый стандарт (даже если бы он поддавался проверке), как отношение между числом истинных и числом ошибочных утверждений, которые он, как предполагается, делает в течение своей жизни.

Далее, по вопросу о присяжных или других трибуналах, некоторые математики исходили из суждения, что мнение любого отдельного судьи или присяжного, по крайней мере в некоторой небольшой степени, скорее может быть правильным, чем ошибочным, и пришли к выводу, что вероятность того, что ряд лиц придет к ошибочному вердикту, уменьшается по мере увеличения их числа; так что если судей сделать достаточно многочисленными, правильность суждения может быть доведена почти до достоверности. Я ничего не говорю о пренебрежении эффектом, производимым на моральное положение судей умножением их числа, фактическим разрушением их индивидуальной ответственности и ослаблением сосредоточенности их умов на предмете. Я отмечаю лишь ошибочность рассуждения от широкого среднего значения к случаям, которые неизбежно сильно отличаются от любого среднего. Может быть правдой, что, если взять все причины вместе, мнение любого из судей чаще будет правильным, чем ошибочным; но аргумент забывает, что во всех случаях, кроме самых простых, во всех случаях, когда действительно имеет большое значение, что представляет собой трибунал, это суждение, вероятно, могло бы быть обращено; кроме того, причина ошибки, будь то сложность дела или какое-то общее предубеждение или умственная немощь, если она воздействовала на одного судью, с чрезвычайной вероятностью повлияла бы на всех остальных таким же образом, или, по крайней мере, на большинство, и тем самым сделала бы неверное решение более вероятным, чем верное, по мере увеличения числа судей.

Это лишь примеры ошибок, часто совершаемых людьми, которые, ознакомившись со сложными формулами, предоставляемыми алгеброй для оценки шансов при предположениях сложного характера, предпочитают использовать эти формулы для вычисления того, каковы вероятности для человека, лишь наполовину осведомленного о деле, вместо того чтобы искать средства стать лучше информированными. Прежде чем применять доктрину шансов к какой-либо научной цели, необходимо заложить фундамент для оценки шансов, овладев максимально достижимым объемом позитивного знания. Требуемое знание — это знание сравнительной частоты, с которой на самом деле происходят различные события. Поэтому для целей настоящей работы допустимо предполагать, что выводы относительно вероятности факта определенного рода основываются на нашем знании пропорции между случаями, в которых происходят факты такого рода, и теми, в которых они не происходят; это знание либо выводится из специфического эксперимента, либо дедуцируется из нашего знания о действующих причинах, которые способствуют возникновению факта, по сравнению с теми, которые способствуют его предотвращению.

Такое исчисление шансов основано на индукции; и чтобы сделать исчисление законным, индукция должна быть обоснованной. Это не менее является индукцией, хотя она и не доказывает, что событие происходит во всех случаях данного описания, а лишь то, что из данного числа таких случаев оно происходит примерно в стольких-то. Дробь, которую математики используют для обозначения вероятности события, есть отношение этих двух чисел; установленная пропорция между числом случаев, в которых событие происходит, и суммой всех случаев, тех, в которых оно происходит, и тех, в которых оно не происходит, взятых вместе. В игре «орел или решка» описание рассматриваемых случаев — это броски, и вероятность выпадения орла равна одной второй, потому что если мы будем бросать достаточно часто, орел будет выпадать примерно один раз на каждые два броска. При бросании игральной кости вероятность выпадения туза равна одной шестой; не просто потому, что существует шесть возможных бросков, из которых туз — один, и потому, что мы не знаем никакой причины, почему один должен выпасть скорее, чем другой — хотя я признал обоснованность этого основания при отсутствии лучшего — но потому, что мы действительно знаем, либо путем рассуждения, либо путем опыта, что в сотне или миллионе бросков туз выпадает примерно в одной шестой части этого числа, или один раз из шести.

§ 4. Я говорю «либо путем рассуждения, либо путем опыта», имея в виду специфический опыт. Но при оценке вероятностей не является безразличным, из какого из этих двух источников мы черпаем нашу уверенность. Вероятность событий, рассчитанная исходя из их простой частоты в прошлом опыте, дает менее надежную основу для практического руководства, чем их вероятность, дедуцированная из столь же точного знания частоты возникновения их причин.

Обобщение о том, что событие происходит в десяти из каждых ста случаев данного описания, является такой же реальной индукцией, как если бы обобщение состояло в том, что оно происходит во всех случаях. Но когда мы приходим к выводу, просто подсчитывая примеры в реальном опыте и сравнивая число случаев, в которых А присутствовало, с числом, в которых оно отсутствовало, доказательство является лишь доказательством метода согласия, а вывод сводится лишь к эмпирическому закону. Мы можем сделать шаг дальше, когда можем восходить к причинам, от которых будет зависеть возникновение А или его невозникновение, и сформировать оценку сравнительной частоты причин, благоприятствующих возникновению, и тех, что неблагоприятны. Это данные более высокого порядка, с помощью которых эмпирический закон, полученный из простого численного сравнения утвердительных и отрицательных примеров, будет либо скорректирован, либо подтвержден, и в любом случае мы получим более точную меру вероятности, чем та, что дается этим численным сравнением. Было справедливо замечено, что в том роде примеров, которыми обычно иллюстрируется доктрина шансов, а именно в примере с шарами в ящике, оценка вероятностей подкрепляется доводами о причинности, более сильными, чем специфический опыт. «В чем причина того, что в ящике, где девять черных шаров и один белый, мы ожидаем вынуть черный шар в девять раз чаще (иными словами, в девять раз чаще, поскольку частота является мерилом интенсивности ожидания), чем белый? Очевидно, потому, что местные условия в девять раз благоприятнее; потому что рука может попасть в девять мест и достать черный шар, в то время как она может попасть только в одно место и найти белый шар; точно по той же причине, по которой мы не ожидаем успеха в поиске друга в толпе, так как условия для того, чтобы мы и он встретились, многочисленны и сложны. Это, конечно, не соблюдалось бы в той же мере, если бы белые шары были меньшего размера, чем черные, и вероятность также не оставалась бы прежней; более крупный шар с гораздо большей вероятностью встретился бы с рукой».

Фактически очевидно, что как только причинность признается универсальным законом, наше ожидание событий может быть рационально обосновано только этим законом. Для человека, который признает, что каждое событие зависит от причин, тот факт, что нечто произошло однажды, является основанием ожидать, что оно произойдет снова, только потому, что это доказывает существование или возможность существования причины, достаточной для его производства. Частота конкретного события, в отрыве от всех предположений относительно его причины, не может породить никакой другой индукции, кроме индукции через простое перечисление; и ненадежные выводы, полученные из этого, вытесняются и исчезают с поля зрения, как только там появляется принцип причинности.

Несмотря, однако, на абстрактное превосходство оценки вероятности, основанной на причинах, фактом является то, что почти во всех случаях, в которых шансы допускают оценку, достаточно точную, чтобы придать их численной оценке какую-либо практическую ценность, численные данные берутся не из знания причин, а из опыта самих событий. Вероятности жизни в разном возрасте или в разных климатических условиях; вероятности выздоровления от конкретной болезни; шансы рождения потомства мужского или женского пола; шансы уничтожения домов или другого имущества огнем; шансы потери корабля в конкретном рейсе — все это выводится из таблиц смертности, отчетов больниц, регистров рождений, кораблекрушений и т. д., то есть из наблюдаемой частоты не причин, а следствий. Причина в том, что во всех этих классах фактов причины либо вообще не поддаются прямому наблюдению, либо не поддаются с требуемой точностью, и у нас нет средств судить об их частоте, кроме как на основе эмпирического закона, предоставляемого частотой следствий. Вывод не менее зависит от одной лишь причинности. Мы рассуждаем от следствия к подобному следствию, проходя через причину. Если актуарий страховой компании делает вывод из своих таблиц, что из ста ныне живущих людей определенного возраста пять в среднем доживут до семидесяти лет, его вывод является законным не по той простой причине, что такова пропорция тех, кто дожил до семидесяти в прошлом, а потому, что факт того, что они дожили, показывает, что такова пропорция, существующая в данном месте и в данное время между причинами, которые продлевают жизнь до семидесяти лет, и теми, которые стремятся привести ее к более раннему завершению.

§ 5. Из предыдущих принципов легко вывести доказательство той теоремы доктрины вероятностей, которая является фундаментом ее применения к исследованиям для установления возникновения данного события или реальности отдельного факта. Признаки или свидетельства, которыми обычно доказывается факт, являются некоторыми из его следствий; и исследование сводится к определению того, какая причина с наибольшей вероятностью произвела данное следствие. Теорема, применимая к таким исследованиям, — это Шестой принцип в «Философском очерке о вероятностях» Лапласа, который описывается им как «фундаментальный принцип той ветви анализа шансов, которая состоит в восхождении от событий к их причинам».

Дано следствие, которое нужно объяснить, и существует несколько причин, которые могли бы его произвести, но о присутствии которых в конкретном случае ничего не известно; вероятность того, что следствие было произведено какой-либо одной из этих причин, относится как априорная вероятность причины, умноженная на вероятность того, что причина, если бы она существовала, произвела бы данное следствие.

Пусть М — следствие, а А, В — две причины, любой из которых оно могло быть произведено. Чтобы найти вероятность того, что оно было произведено одной, а не другой, установите, какая из двух с наибольшей вероятностью существовала и какая из них, если бы она существовала, с наибольшей вероятностью произвела бы следствие М: искомая вероятность есть соединение этих двух вероятностей.

Случай I. Пусть причины будут одинаковы в отношении второго фактора: либо А, либо В, когда они существуют, предполагаются одинаково вероятными (или одинаково достоверными) для производства М; но пусть А само по себе в два раза вероятнее, чем В, чтобы существовать, то есть является в два раза более частым явлением. Тогда в два раза вероятнее, что оно существовало в данном случае и было причиной, которая произвела М.

Ибо, поскольку А существует в природе в два раза чаще, чем В, в любых 300 случаях, в которых существовало одно или другое, А существовало 200 раз, а В — 100. Но либо А, либо В должны были существовать везде, где производится М; следовательно, в 300 случаях, когда производится М, А было производящей причиной 200 раз, В — только 100, то есть в отношении 2 к 1. Таким образом, если причины одинаковы в своей способности производить следствие, вероятность того, какая из них фактически его произвела, находится в отношении их априорных вероятностей.

Случай II. Обращая последнюю гипотезу, предположим, что причины одинаково часты, одинаково вероятны для существования, но не одинаково вероятны, если бы они существовали, для производства М; что из трех раз, когда А встречается, оно производит это следствие дважды, в то время как В из трех раз производит его только один раз. Поскольку две причины одинаково часты в своем возникновении, в каждые шесть раз, когда существует одна или другая, А существует три раза, а В — три раза. А из своих трех раз производит М дважды; В из своих трех раз производит М один раз. Таким образом, всего за шесть раз М производится только трижды; но из этих трех раз оно производится дважды А, и только один раз В. Следовательно, когда априорные вероятности причин равны, шансы того, что следствие было произведено ими, находятся в отношении вероятностей того, что если бы они существовали, они произвели бы следствие.

Случай III. Третий случай, в котором причины неодинаковы в обоих отношениях, решается тем, что было сказано ранее. Ибо, когда величина зависит от двух других величин таким образом, что пока любая из них остается постоянной, она пропорциональна другой, она необходимо должна быть пропорциональна произведению двух величин, так как произведение является единственной функцией двух, которая подчиняется этому закону изменения. Следовательно, вероятность того, что М было произведено любой из причин, относится как априорная вероятность причины, умноженная на вероятность того, что если бы она существовала, она произвела бы М. Что и требовалось доказать.

Или мы можем доказать третий случай так же, как мы доказали первый и второй. Пусть А в два раза чаще, чем В, и пусть они также неодинаково вероятны, когда они существуют, для производства М; пусть А производит его дважды из четырех раз, В — трижды из четырех раз. Априорная вероятность А относится к вероятности В как 2 к 1; вероятности их производства М относятся как 2 к 3; произведение этих отношений есть отношение 4 к 3; и это будет отношение вероятностей того, что А или В было производящей причиной в данном случае. Ибо, поскольку А в два раза чаще, чем В, из двенадцати случаев, в которых существует одно или другое, А существует в 8, а В — в 4. Но из своих восьми случаев А, согласно предположению, производит М только в 4, в то время как В из своих четырех случаев производит М в 3. М, следовательно, производится вообще только в семи из двенадцати случаев; но в четырех из них оно производится А, в трех — В; отсюда вероятности того, что оно было произведено А и В, относятся как 4 к 3 и выражаются дробями 4/7 и 3/7. Что и требовалось доказать.

§ 6. Остается рассмотреть значение доктрины шансов для той специфической проблемы, которая занимала нас в предыдущей главе, а именно: как отличить совпадения, которые являются случайными, от тех, которые являются результатом закона; от тех, в которых факты, сопровождающие или следующие друг за другом, каким-то образом связаны через причинность.

Доктрина шансов предоставляет средства, с помощью которых, если бы мы знали среднее число совпадений, ожидаемых между двумя явлениями, связанными только случайно, мы могли бы определить, как часто любое данное отклонение от этого среднего будет происходить по случайности. Если вероятность любого случайного совпадения, рассматриваемого само по себе, равна 1/m, вероятность того, что то же самое совпадение повторится n раз подряд, равна 1/m^n. Например, при одном броске игральной кости вероятность выпадения туза равна 1/6; вероятность выпадения туза дважды подряд будет 1, деленное на квадрат 6, или 1/36. Ибо туз выпадает при первом броске один раз из шести, или шесть раз из тридцати шести, и из этих шести, при повторном броске кости, туз выпадет только один раз; всего один раз из тридцати шести. Шанс того же выпадения три раза подряд, согласно аналогичному рассуждению, равен 1/6^3 или 1/216; то есть событие произойдет, в среднем, только один раз в двухстах шестнадцати бросках.

Таким образом, у нас есть правило, по которому можно оценить вероятность того, что любой данный ряд совпадений возникает из случайности, при условии, что мы можем правильно измерить вероятность одного совпадения. Если мы можем получить столь же точное выражение для вероятности того, что та же серия совпадений возникает из причинности, нам останется только сравнить числа. Это, однако, редко удается сделать. Посмотрим, какая степень приближения практически может быть достигнута к необходимой точности.

Вопрос подпадает под шестой принцип Лапласа, только что доказанный. Данный факт, то есть серия совпадений, мог возникнуть либо из случайного соединения причин, либо из закона природы. Вероятности, следовательно, того, что факт возник этими двумя способами, относятся как их априорные вероятности, умноженные на вероятности того, что если бы они существовали, они произвели бы следствие. Но конкретная комбинация шансов, если она произошла, или закон природы, если он реален, безусловно произвели бы серию совпадений. Вероятности, следовательно, того, что совпадения произведены двумя рассматриваемыми причинами, относятся как априорные вероятности причин. Одна из них, априорная вероятность комбинации простых шансов, которая произвела бы данный результат, является оцениваемой величиной. Априорная вероятность другого предположения может быть подвержена более или менее точной оценке в зависимости от природы случая.

В некоторых случаях совпадение, если предположить, что оно вообще является результатом причинности, должно быть результатом известной причины; как последовательность тузов, если она не случайна, должна возникать из утяжеления кости. В таких случаях мы можем быть в состоянии сформировать предположение относительно априорной вероятности такого обстоятельства на основе характеров вовлеченных сторон или других подобных свидетельств; но было бы невозможно оценить эту вероятность с какой-либо численной точностью. Однако встречная вероятность, вероятность случайного происхождения совпадения, уменьшаясь так быстро при каждом новом испытании, вскоре достигает стадии, на которой шанс нечестности в кости, как бы мал он ни был сам по себе, должен быть больше, чем шанс случайного совпадения; и на этом основании практическое решение обычно может быть принято без особых колебаний, если есть возможность повторить эксперимент.

Когда, однако, совпадение является таким, которое не может быть объяснено никакой известной причиной, и связь между двумя явлениями, если она произведена причинностью, должна быть результатом какого-то закона природы, до сих пор неизвестного — что является случаем, который мы имели в виду в последней главе, — тогда, хотя вероятность случайного совпадения может поддаваться оценке, вероятность встречного предположения, существования неоткрытого закона природы, явно не поддается даже приблизительной оценке. Чтобы иметь данные, которые потребовал бы такой случай, необходимо было бы знать, какая пропорция всех отдельных последовательностей или сосуществований, происходящих в природе, является результатом закона, а какая пропорция — просто случайные совпадения. Поскольку очевидно, что мы не можем сформировать никакого правдоподобного предположения относительно этой пропорции, тем более оценить ее численно, мы не можем предпринять никакой точной оценки сравнительных вероятностей. Но в чем мы уверены, так это в том, что обнаружение неизвестного закона природы — какой-то ранее не признанной постоянства соединения между явлениями — не является редким событием. Если, следовательно, число случаев, в которых наблюдается совпадение, сверх того, что возникло бы в среднем от простого стечения шансов, таково, что столь большое количество совпадений только от случайности было бы чрезвычайно редким событием; у нас есть основания заключить, что совпадение является эффектом причинности, и может быть принято (с учетом коррекции на основе дальнейшего опыта) как эмпирический закон. Дальше этого, с точки зрения точности, мы пойти не можем; и в большинстве случаев большая точность не требуется для решения любого практического сомнения.