115. Ибо, чтобы назвать тело движущимся, требуется, во-первых, чтобы оно изменило свое расстояние или положение по отношению к какому-либо другому телу; и во-вторых, чтобы сила, вызывающая это изменение, была приложена к нему. Если что-либо из этого отсутствует, я не думаю, что, согласно здравому смыслу человечества или правильности языка, тело можно назвать находящимся в движении. Я действительно допускаю, что мы можем думать, что тело, которое мы видим меняющим свое расстояние от другого, движется, хотя к нему не приложена никакая сила (в каком смысле может быть кажущееся движение), но тогда это потому, что сила, вызывающая изменение расстояния, воображается нами как приложенная или запечатленная на том теле, которое, как мы думаем, движется; что действительно показывает, что мы способны ошибочно принять вещь за движущуюся, когда это не так, и это все.
116. ЛЮБАЯ ИДЕЯ ЧИСТОГО ПРОСТРАНСТВА ОТНОСИТЕЛЬНА. — Из сказанного следует, что философское рассмотрение движения не предполагает бытия абсолютного Пространства, отличного от того, которое воспринимается чувствами и связанными телами; что оно не может существовать без ума, ясно из тех же принципов, которые доказывают то же самое для всех других объектов чувств. И, возможно, если мы будем исследовать внимательно, мы обнаружим, что мы не можем даже создать идею чистого Пространства, исключая всякое тело. Это, должен признаться, кажется невозможным, как будучи самой абстрактной идеей. Когда я возбуждаю движение в какой-то части своего тела, если оно свободно или без сопротивления, я говорю, что есть Пространство; но если я нахожу сопротивление, тогда я говорю, что есть Тело; и в той пропорции, в какой сопротивление движению меньше или больше, я говорю, что пространство более или менее чистое. Так что, когда я говорю о чистом или пустом пространстве, не следует предполагать, что слово «пространство» означает идею, отличную от тела и движения или мыслимую без них, — хотя, действительно, мы склонны думать, что каждое имя существительное означает отдельную идею, которая может быть отделена от всех других; что вызвало бесконечные ошибки. Когда поэтому, предполагая, что весь мир аннигилирован, кроме моего собственного тела, я говорю, что все еще остается чистое Пространство, этим не подразумевается ничего иного, кроме того, что я мыслю возможным для конечностей моего тела двигаться со всех сторон без малейшего сопротивления, но если бы и оно было аннигилировано, тогда не могло бы быть никакого движения, и, следовательно, никакого Пространства. Некоторые, возможно, могут подумать, что чувство зрения дает им идею чистого пространства; но из того, что мы показали в другом месте, ясно, что идеи пространства и расстояния не получаются этим чувством. См. Эссе о Зрении.
117. То, что здесь изложено, по-видимому, кладет конец всем тем спорам и трудностям, которые возникли среди ученых относительно природы чистого Пространства. Но главное преимущество, вытекающее из этого, заключается в том, что мы избавлены от той опасной дилеммы, к которой, как воображают, сведены многие, кто направлял свои мысли на этот предмет, а именно: думать либо о том, что Реальное Пространство есть Бог, либо о том, что существует нечто помимо Бога, что вечно, несотворенно, бесконечно, неделимо, неизменно. И то, и другое может справедливо считаться пагубными и абсурдными понятиями. Несомненно, немало теологов, а также философов большого веса, из трудности, которую они находили в представлении пределов или аннигиляции пространства, заключили, что оно должно быть божественным. И некоторые в последнее время поставили своей целью показать, что непередаваемые атрибуты Бога согласуются с ним. Каковое учение, сколь бы недостойным оно ни казалось Божественной Природе, все же я не вижу, как мы можем избавиться от него, пока придерживаемся принятых мнений.
118. ОШИБКИ, ПРОИСТЕКАЮЩИЕ ИЗ ДОКТРИН АБСТРАКЦИИ И ВНЕШНЕГО МАТЕРИАЛЬНОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ, ВЛИЯЮТ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАССУЖДЕНИЯ. — До сих пор речь шла о натурфилософии: теперь мы переходим к исследованию другой великой отрасли умозрительного знания, а именно математики. Хотя математика и славится ясностью и достоверностью своих доказательств, которые вряд ли где-либо еще можно найти, тем не менее нельзя полагать, что она полностью свободна от ошибок, если в ее принципах скрывается некая тайная ошибка, общая для приверженцев этих наук и остальной части человечества. Математики, хотя и выводят свои теоремы из весьма убедительных оснований, все же ограничивают свои первые принципы рассмотрением количества: они не восходят к исследованию тех трансцендентных максим, которые влияют на все частные науки, каждая часть которых, включая математику, вследствие этого причастна к ошибкам, содержащимся в них. Мы не отрицаем, что принципы, установленные математиками, истинны, а их способ вывода из этих принципов ясен и неоспорим; но мы утверждаем, что могут существовать определенные ошибочные максимы, имеющие более широкую сферу действия, чем предмет математики, и по этой причине прямо не упоминаемые, хотя и молчаливо предполагаемые на протяжении всего развития этой науки; и что пагубные последствия этих тайных, неисследованных ошибок распространяются на все ее отрасли. Говоря прямо, мы подозреваем, что математики, как и другие люди, подвержены ошибкам, возникающим из доктрины абстрактных общих идей и существования объектов вне ума.
119. Считалось, что предметом арифметики являются абстрактные идеи числа; понимание свойств и взаимных отношений которых считается немаловажной частью умозрительного знания. Мнение о чистой и интеллектуальной природе чисел в абстракции сделало их предметом уважения тех философов, которые, по-видимому, стремились к необычайной тонкости и возвышенности мысли. Это придало цену самым пустяковым числовым спекуляциям, которые на практике бесполезны, а служат лишь для развлечения; и поэтому настолько заразило умы некоторых, что они стали грезить о великих тайнах, заключенных в числах, и пытались объяснять с их помощью природные явления. Но если мы исследуем наши собственные мысли и примем во внимание то, что было сказано ранее, мы, возможно, будем невысокого мнения об этих высоких полетах и абстракциях и станем рассматривать все исследования чисел лишь как difficiles nugae (трудные пустяки), поскольку они не служат практике и не способствуют пользе жизни.
120. Единство в абстракции мы уже рассматривали в § 13, из чего и из того, что было сказано во Введении, ясно следует, что никакой такой идеи не существует. Но поскольку число определяется как «совокупность единиц», мы можем заключить, что если не существует такой вещи, как единство или единица в абстракции, то нет и идей числа в абстракции, обозначаемых числовыми именами и цифрами. Следовательно, теории в арифметике, если они абстрагированы от имен и цифр, а также от всякого применения и практики, равно как и от конкретных исчисляемых вещей, не могут иметь своим предметом ровным счетом ничего; отсюда мы видим, насколько наука о числах всецело подчинена практике и насколько сухой и пустяковой она становится, когда рассматривается как предмет чистого умозрения.
121. Однако, поскольку могут найтись те, кто, обманутые показным блеском открытия абстрактных истин, тратят свое время на арифметические теоремы и задачи, не имеющие никакого применения, будет нелишним, если мы более полно рассмотрим и разоблачим тщетность этих претензий; и это станет ясно, если мы взглянем на арифметику в ее младенчестве и понаблюдаем, что именно изначально побудило людей к изучению этой науки и к какой цели они ее направляли. Естественно думать, что поначалу люди для облегчения памяти и помощи в вычислениях пользовались счетными жетонами или записывали отдельные черточки, точки или тому подобное, каждая из которых обозначала единицу, т. е. некую одну вещь любого рода, которую им нужно было сосчитать. Впоследствии они открыли более краткие способы, позволяющие одному знаку заменять несколько черточек или точек. И, наконец, в употребление вошла нотация арабов или индийцев, в которой путем повторения нескольких знаков или цифр и изменения значения каждой цифры в зависимости от занимаемого ею места все числа могут быть выражены наиболее удобно; что, по-видимому, было сделано по подражанию языку, так что между нотацией с помощью цифр и имен наблюдается точная аналогия: девять простых цифр соответствуют девяти первым числовым именам, а разряды в первой соответствуют наименованиям во втором. И в соответствии с этими условиями простого и позиционного значения цифр были разработаны методы нахождения по заданным цифрам или знакам частей того, какие цифры и как расположенные должны обозначать целое, или наоборот. А найдя искомые цифры, при соблюдении повсюду одного и того же правила или аналогии, легко прочитать их в словах; и таким образом число становится полностью известным. Ибо тогда число любых конкретных вещей считается известным, когда мы знаем имена или цифры (с их надлежащим расположением), которые согласно установленной аналогии принадлежат им. Ибо, зная эти знаки, мы можем с помощью арифметических операций узнать знаки любой части конкретных сумм, ими обозначаемых; и, таким образом, вычисляя с помощью знаков (из-за связи, установленной между ними и отдельными множествами вещей, из которых одна берется за единицу), мы можем правильно суммировать, делить и соотносить сами вещи, которые намереваемся сосчитать.
122. В арифметике, следовательно, мы рассматриваем не вещи, а знаки, которые, тем не менее, рассматриваются не ради них самих, а потому, что они направляют нас, как действовать в отношении вещей и как правильно ими распоряжаться. Теперь, в соответствии с тем, что мы ранее заметили о словах в целом (Введение, § 19), здесь также происходит так, что абстрактные идеи считаются обозначаемыми числовыми именами или знаками, в то время как они не вызывают в нашем уме идей конкретных вещей. Я не буду в настоящее время вдаваться в более подробную диссертацию на эту тему, а лишь замечу, что из сказанного очевидно: те вещи, которые выдаются за абстрактные истины и теоремы о числах, в действительности не имеют дела ни с каким объектом, отличным от конкретных числовых вещей, за исключением только имен и знаков, которые изначально стали рассматриваться не по какой иной причине, кроме того, что они являются знаками или способны удобно представлять любые конкретные вещи, которые людям нужно было вычислить. Откуда следует, что изучать их ради них самих было бы столь же разумно и полезно, как если бы человек, пренебрегая истинным использованием или первоначальным намерением и вспомогательной ролью языка, тратил свое время на неуместную критику слов или на чисто словесные рассуждения и споры.
123. От чисел мы переходим к разговору о протяженности, которая, рассматриваемая как относительная, является объектом геометрии. Бесконечная делимость конечной протяженности, хотя и не изложена прямо ни как аксиома, ни как теорема в началах этой науки, тем не менее повсюду в ней предполагается и считается имеющей столь неразрывную и существенную связь с принципами и доказательствами в геометрии, что математики никогда не ставят ее под сомнение и не вызывают ни малейшего вопроса о ней. И поскольку это понятие является источником, из которого проистекают все те забавные геометрические парадоксы, которые находятся в прямом противоречии со здравым смыслом человечества и принимаются с такой неохотой умом, еще не развращенным ученостью, так оно является главной причиной всей той тонкой и крайней изощренности, которая делает изучение математики столь трудным и утомительным. Следовательно, если мы сможем показать, что никакая конечная протяженность не содержит бесчисленного множества частей или не является бесконечно делимой, то из этого следует, что мы сразу очистим науку геометрии от большого числа трудностей и противоречий, которые всегда считались позором для человеческого разума, и вместе с тем сделаем ее постижение делом, требующим гораздо меньше времени и усилий, чем это было до сих пор.
124. Всякая конкретная конечная протяженность, которая может быть объектом нашей мысли, есть идея, существующая только в уме, и, следовательно, каждая ее часть должна быть воспринята. Если поэтому я не могу воспринять бесчисленное множество частей в какой-либо конечной протяженности, которую я рассматриваю, то несомненно, что они в ней не содержатся; но очевидно, что я не могу различить бесчисленное множество частей в какой-либо конкретной линии, поверхности или теле, которые я либо воспринимаю чувством, либо представляю себе в своем уме: поэтому я заключаю, что они в ней не содержатся. Ничто не может быть для меня более ясным, чем то, что протяженности, которые я имею в виду, суть не что иное, как мои собственные идеи; и не менее ясно, что я не могу разложить ни одну из своих идей на бесконечное число других идей, то есть что они не являются бесконечно делимыми. Если под конечной протяженностью подразумевается нечто отличное от конечной идеи, я заявляю, что не знаю, что это такое, и поэтому не могу ничего утверждать или отрицать о ней. Но если термины «протяженность», «части» и т. д. понимаются в каком-либо мыслимом смысле, то есть как идеи, то сказать, что конечное количество или протяженность состоит из бесконечного числа частей, есть столь явное противоречие, что каждый с первого взгляда признает это; и невозможно, чтобы это когда-либо получило согласие любого разумного существа, которое не было приведено к этому мягкими и медленными ступенями, подобно обращенному язычнику к вере в пресуществление. Древние и укоренившиеся предрассудки часто переходят в принципы; и те положения, которые однажды приобретают силу и авторитет принципа, считаются не подлежащими никакому исследованию, как и все, что из них выводится. И нет такой нелепости, которую этим способом ум человека не был бы готов проглотить.
125. Тот, чей разум одержим доктриной абстрактных общих идей, может быть убежден, что (что бы ни думали об идеях чувства) протяженность в абстракции бесконечно делима. А тот, кто считает, что объекты чувства существуют вне ума, возможно, в силу этого будет склонен признать, что линия длиной всего в дюйм может содержать бесчисленное множество частей — реально существующих, хотя и слишком малых, чтобы их можно было различить. Эти ошибки привиты как в умах геометров, так и других людей, и имеют одинаковое влияние на их рассуждения; и было бы нетрудно показать, как аргументы из геометрии, используемые для поддержки бесконечной делимости протяженности, основаны на них. В настоящее время мы лишь заметим в общем, откуда математики столь привязаны к этой доктрине и столь упорны в ней.
126. В другом месте было замечено, что теоремы и доказательства в геометрии имеют дело с универсальными идеями (Введение, § 15); где объясняется, в каком смысле это следует понимать, а именно: конкретные линии и фигуры, включенные в чертеж, предполагаются представляющими бесчисленное множество других различных размеров; или, другими словами, геометр рассматривает их, абстрагируясь от их величины, — что не означает, что он формирует абстрактную идею, а лишь то, что его не заботит, какова конкретная величина, большая или малая, но он рассматривает это как вещь, безразличную для доказательства. Отсюда следует, что о линии на схеме длиной всего в дюйм нужно говорить так, как будто она содержит десять тысяч частей, поскольку она рассматривается не сама по себе, а как универсальная; и она универсальна только в своем значении, посредством которого она представляет бесчисленное множество линий, больших, чем она сама, в которых можно различить десять тысяч частей или более, хотя в ней самой может быть не более дюйма. Таким образом, свойства обозначаемых линий (посредством весьма обычной фигуры речи) переносятся на знак, и оттуда, по ошибке, считаются принадлежащими ему, рассматриваемому в его собственной природе.
127. Поскольку нет такого числа частей, которое было бы столь велико, чтобы не могло существовать линии, содержащей больше, говорят, что дюймовая линия содержит частей больше, чем любое назначаемое число; что верно не для дюйма, взятого абсолютно, а только для вещей, им обозначаемых. Но люди, не удерживая это различие в своих мыслях, впадают в убеждение, что маленькая конкретная линия, описанная на бумаге, содержит в себе бесчисленные части. Не существует такой вещи, как десятитысячная часть дюйма; но она существует для мили или диаметра земли, которые могут быть обозначены этим дюймом. Поэтому, когда я черчу треугольник на бумаге и беру одну сторону длиной не более дюйма, например, в качестве радиуса, я рассматриваю ее как разделенную на 10 000 или 100 000 частей или более; ибо, хотя десятитысячная часть этой линии, рассматриваемая сама по себе, есть ничто, и, следовательно, ею можно пренебречь без ошибки или неудобства, однако эти описанные линии, будучи лишь знаками, обозначающими большие количества, для которых десятитысячная часть может быть весьма значительной, следует, что во избежание заметных ошибок на практике радиус должен быть взят в 10 000 частей или более.
128. ЛИНИИ, КОТОРЫЕ БЕСКОНЕЧНО ДЕЛИМЫ. — Из сказанного ясна причина, почему для того, чтобы любая теорема стала универсальной в своем применении, необходимо, чтобы мы говорили о линиях, описанных на бумаге, так, как будто они содержат части, которых в действительности они не содержат. Делая это, если мы тщательно исследуем вопрос, мы, возможно, обнаружим, что не можем представить сам дюйм как состоящий из тысячи частей или делимый на них, а только какую-то другую линию, которая гораздо больше дюйма и представлена им; и что, когда мы говорим, что линия бесконечно делима, мы должны иметь в виду линию, которая бесконечно велика. То, что мы здесь заметили, по-видимому, является главной причиной, почему предположение о бесконечной делимости конечной протяженности считалось необходимым в геометрии.
129. Различные нелепости и противоречия, вытекающие из этого ложного принципа, можно было бы, казалось, счесть за доказательства против него. Но, не знаю по какой логике, считается, что доказательства a posteriori не должны допускаться против положений, относящихся к бесконечности, как будто даже для бесконечного ума невозможно примирить противоречия; или как если бы что-либо абсурдное и противное могло иметь необходимую связь с истиной или вытекать из нее. Но всякий, кто рассмотрит слабость этой претензии, подумает, что она была придумана специально для того, чтобы потакать лени ума, который скорее согласится на индифферентный скептицизм, чем будет трудиться над тщательным исследованием тех принципов, которые он всегда принимал за истинные. И нет такой нелепости, которую этим способом ум человека не был бы готов проглотить.