«Эссе об основаниях геометрии»

ПРИМЕЧАНИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Изображение на обложке создано переводчиком и является общественным достоянием.

Очевидные опечатки и пунктуационные ошибки были исправлены после тщательного сопоставления с другими фрагментами текста и обращения к внешним источникам.

Более подробную информацию можно найти в конце книги.

ОСНОВАНИЯ

ГЕОМЕТРИИ.

Лондон: К. Дж. КЛЕЙ И СЫНОВЬЯ,

ИЗДАТЕЛЬСТВО КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, АВЕНЮ МАРИЯ ЛЕЙН.

Глазго: 263, АРГАЙЛ-СТРИТ.

Лейпциг: Ф. А. БРОКГАУЗ. Нью-Йорк: ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАКМИЛЛАН». Бомбей: ДЖОРДЖ БЕЛЛ И СЫНОВЬЯ.

ЭССЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ

АВТОР:

БЕРТРАН А. У. РАССЕЛ, магистр искусств.

ЧЛЕН ТРИНИТИ-КОЛЛЕДЖА, КЕМБРИДЖ.

КЕМБРИДЖ:

В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ.

1897

[Все права защищены.]

Кембридж: ОТПЕЧАТАНО Дж. И К. Ф. КЛЕЕМ, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Настоящая работа основана на диссертации, представленной на экзамене на получение стипендии Тринити-колледжа в Кембридже в 1895 году. Раздел B третьей главы представляет собой в основном перепечатку, с некоторыми существенными изменениями, статьи из журнала «Mind» (новая серия, № 17). Содержание книги было изложено в форме лекций в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе и в колледже Брин-Мор в Пенсильвании.

Моя главная благодарность — профессору Клейну. На протяжении всей первой главы его «Лекции по неевклидовой геометрии» служили мне бесценным руководством; я принял от него деление метагеометрии на три периода и обнаружил, что моя историческая работа была значительно облегчена его ссылками на предыдущих авторов. В логике я больше всего почерпнул у мистера Брэдли, а вслед за ним — у Зигварта и доктора Бозанкета. По ряду важных вопросов я получил полезные предложения из «Принципов психологии» профессора Джеймса.

Я выражаю благодарность мистеру Дж. Ф. Стауту и мистеру А. Н. Уайтхеду за любезное прочтение моих корректур и помощь в виде многих полезных замечаний. Мистеру Уайтхеду я также обязан неоценимой поддержкой в виде постоянной критики и предложений на протяжении всего процесса написания, особенно в том, что касается философского значения проективной геометрии.

Хазлмир.

Май, 1897 г.

ПОСВЯЩАЕТСЯ

ДЖОНУ МАКТАГАРТУ ЭЛЛИСУ МАКТАГАРТУ

ЧЬИМ БЕСЕДАМ И ДРУЖБЕ ОБЯЗАНА

СВОИМ СУЩЕСТВОВАНИЕМ ЭТА КНИГА.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

INTRODUCTION. OUR PROBLEM DEFINED BY ITS RELATIONS TO LOGIC, PSYCHOLOGY AND MATHEMATICS. PAGE 1.The problem first received a modern form through Kant, who connected the à priori with the subjective1 2.A mental state is subjective, for Psychology, when its immediate cause does not lie in the outer world2 3.A piece of knowledge is à priori, for Epistemology, when without it knowledge would be impossible2 4.The subjective and the à priori belong respectively to Psychology and to Epistemology. The latter alone will be investigated in this essay3 5.My test of the à priori will be purely logical: what knowledge is necessary for experience?3 6.But since the necessary is hypothetical, we must include, in the à priori, the ground of necessity4 7.This may be the essential postulate of our science, or the element, in the subject-matter, which is necessary to experience;4 8.Which, however, are both at bottom the same ground5 9.Forecast of the work5 CHAPTER I. A SHORT HISTORY OF METAGEOMETRY.

10.Metageometry began by rejecting the axiom of parallels7 11.Its history may be divided into three periods: the synthetic, the metrical and the projective7 12.The first period was inaugurated by Gauss,10

13.Whose suggestions were developed independently by Lobatchewsky10 14.And Bolyai11 15.The purpose of all three was to show that the axiom of parallels could not be deduced from the others, since its denial did not lead to contradictions12 16.The second period had a more philosophical aim, and was inspired chiefly by Gauss and Herbart13 17.The first work of this period, that of Riemann, invented two new conceptions:14 18.The first, that of a manifold, is a class-conception, containing space as a species,14 19.And defined as such that its determinations form a collection of magnitudes15 20.The second, the measure of curvature of a manifold, grew out of curvature in curves and surfaces16 21.By means of Gauss's analytical formula for the curvature of surfaces,19 22.Which enables us to define a constant measure of curvature of a three-dimensional space without reference to a fourth dimension20 23.The main result of Riemann's mathematical work was to show that, if magnitudes are independent of place, the measure of curvature of space must be constant21 24.Helmholtz, who was more of a philosopher than a mathematician,22 25.Gave a new but incorrect formulation of the essential axioms,23 26.And deduced the quadratic formula for the infinitesimal arc, which Riemann had assumed24 27.Beltrami gave Lobatchewsky's planimetry a Euclidean interpretation,25 28.Which is analogous to Cayley's theory of distance;26 29.And dealt with n-dimensional spaces of constant negative curvature27 30.The third period abandons the metrical methods of the second, and extrudes the notion of spatial quantity27 31.Cayley reduced metrical properties to projective properties, relative to a certain conic or quadric, the Absolute;28 32.And Klein showed that the Euclidean or non-Euclidean systems result, according to the nature of the Absolute;29 33.Hence Euclidean space appeared to give rise to all the kinds of Geometry, and the question, which is true, appeared reduced to one of convention30 34.But this view is due to a confusion as to the nature of the coordinates employed30

35.Projective coordinates have been regarded as dependent on distance, and thus really metrical31 36.But this is not the case, since anharmonic ratio can be projectively defined32 37.Projective coordinates, being purely descriptive, can give no information as to metrical properties, and the reduction of metrical to projective properties is purely technical33 38.The true connection of Cayley's measure of distance with non-Euclidean Geometry is that suggested by Beltrami's Saggio, and worked out by Sir R. Ball,36 39.Which provides a Euclidean equivalent for every non-Euclidean proposition, and so removes the possibility of contradictions in Metageometry38 40.Klein's elliptic Geometry has not been proved to have a corresponding variety of space39 41.The geometrical use of imaginaries, of which Cayley demanded a philosophical discussion,41 42.Has a merely technical validity,42 43.And is capable of giving geometrical results only when it begins and ends with real points and figures45 44.We have now seen that projective Geometry is logically prior to metrical Geometry, but cannot supersede it46 45.Sophus Lie has applied projective methods to Helmholtz's formulation of the axioms, and has shown the axiom of Monodromy to be superfluous46 46.Metageometry has gradually grown independent of philosophy, but has grown continually more interesting to philosophy50 47.Metrical Geometry has three indispensable axioms,50 48.Which we shall find to be not results, but conditions, of measurement,51 49.And which are nearly equivalent to the three axioms of projective Geometry52 50.Both sets of axioms are necessitated, not by facts, but by logic52 CHAPTER II. CRITICAL ACCOUNT OF SOME PREVIOUS PHILOSOPHICAL THEORIES OF GEOMETRY.

51.A criticism of representative modern theories need not begin before Kant54 52.Kant's doctrine must be taken, in an argument about Geometry, on its purely logical side55

53.Kant contends that since Geometry is apodeictic, space must be à priori and subjective, while since space is à priori and subjective, Geometry must be apodeictic55 54.Metageometry has upset the first line of argument, not the second56 55.The second may be attacked by criticizing either the distinction of synthetic and analytic judgments, or the first two arguments of the metaphysical deduction of space57 56.Modern Logic regards every judgment as both synthetic and analytic,57 57.But leaves the à priori, as that which is presupposed in the possibility of experience59 58.Kant's first two arguments as to space suffice to prove some form of externality, but not necessarily Euclidean space, a necessary condition of experience60 59.Among the successors of Kant, Herbart alone advanced the theory of Geometry, by influencing Riemann62 60.Riemann regarded space as a particular kind of manifold, i.e. wholly quantitatively63 61.He therefore unduly neglected the qualitative adjectives of space64 62.His philosophy rests on a vicious disjunction65 63.His definition of a manifold is obscure,66 64.And his definition of measurement applies only to space67 65.Though mathematically invaluable, his view of space as a manifold is philosophically misleading69 66.Helmholtz attacked Kant both on the mathematical and on the psychological side;70 67.But his criterion of apriority is changeable and often invalid;71 68.His proof that non-Euclidean spaces are imaginable is inconclusive;72 69.And his assertion of the dependence of measurement on rigid bodies, which may be taken in three senses,74 70.Is wholly false if it means that the axiom of Congruence actually asserts the existence of rigid bodies,75 71.Is untrue if it means that the necessary reference of geometrical propositions to matter renders pure Geometry empirical,76 72.And is inadequate to his conclusion if it means, what is true, that actual measurement involves approximately rigid bodies78 73.Geometry deals with an abstract matter, whose physical properties are disregarded; and Physics must presuppose Geometry80 74.Erdmann accepted the conclusions of Riemann and Helmholtz,81

75.And regarded the axioms as necessarily successive steps in classifying space as a species of manifold82 76.His deduction involves four fallacious assumptions, namely:82 77.That conceptions must be abstracted from a series of instances;83 78.That all definition is classification;83 79.That conceptions of magnitude can be applied to space as a whole;84 80.And that if conceptions of magnitude could be so applied, all the adjectives of space would result from their application86 81.Erdmann regards Geometry alone as incapable of deciding on the truth of the axiom of Congruence,86 82.Which he affirms to be empirically proved by Mechanics.88 83.The variety and inadequacy of Erdmann's tests of apriority89 84.Invalidate his final conclusions on the theory of Geometry90 85.Lotze has discussed two questions in the theory of Geometry:93 86.(1) He regards the possibility of non-Euclidean spaces as suggested by the subjectivity of space,93 87.And rejects it owing to a mathematical misunderstanding,96 88.Having missed the most important sense of their possibility,96 89.Which is that they fulfil the logical conditions to which any form of externality must conform97 90.(2) He attacks the mathematical procedure of Metageometry98 91.The attack begins with a question-begging definition of parallels99 92.Lotze maintains that all apparent departures from Euclid could be physically explained, a view which really makes Euclid empirical99 93.His criticism of Helmholtz's analogies rests wholly on mathematical mistakes101 94.His proof that space must have three dimensions rests on neglect of different orders of infinity104 95.He attacks non-Euclidean spaces on the mistaken ground that they are not homogeneous107 96.Lotze's objections fall under four heads108 97.Two other semi-philosophical objections may be urged,109 98.One of which, the absence of similarity, has been made the basis of attack by Delbœuf,110 99.But does not form a valid ground of objection111 100.Recent French speculation on the foundations of Geometry has suggested few new views112 101.All homogeneous spaces are à priori possible, and the decision between them is empirical114 CHAPTER III. Section A. the axioms of projective geometry.

102.Projective Geometry does not deal with magnitude, and applies to all spaces alike117 103.It will be found wholly à priori117 104.Its axioms have not yet been formulated philosophically118 105.Coordinates, in projective Geometry, are not spatial magnitudes, but convenient names for points118 106.The possibility of distinguishing various points is an axiom119 107.The qualitative relations between points, dealt with by projective Geometry, are presupposed by the quantitative treatment119 108.The only qualitative relation between two points is the straight line, and all straight lines are qualitatively similar120 109.Hence follows, by extension, the principle of projective transformation121 110.By which figures qualitatively indistinguishable from a given figure are obtained122 111.Anharmonic ratio may and must be descriptively defined122 112.The quadrilateral construction is essential to the projective definition of points,123 113.And can be projectively defined,124 114.By the general principle of projective transformation126 115.The principle of duality is the mathematical form of a philosophical circle,127 116.Which is an inevitable consequence of the relativity of space, and makes any definition of the point contradictory128 117.We define the point as that which is spatial, but contains no space, whence other definitions follow128 118.What is meant by qualitative equivalence in Geometry?129 119.Two pairs of points on one straight line, or two pairs of straight lines through one point, are qualitatively equivalent129 120.This explains why four collinear points are needed, to give an intrinsic relation by which the fourth can be descriptively defined when the first three are given130 121.Any two projectively related figures are qualitatively equivalent, i.e. differ in no non-quantitative conceptual property131 122.Three axioms are used by projective Geometry,132

123.And are required for qualitative spatial comparison,132 124.Which involves the homogeneity, relativity and passivity of space133 125.The conception of a form of externality,134 126.Being a creature of the intellect, can be dealt with by pure mathematics134 127.The resulting doctrine of extension will be, for the moment, hypothetical135 128.But is rendered assertorical by the necessity, for experience, of some form of externality136 129.Any such form must be relational136 130.And homogeneous137 131.And the relations constituting it must appear infinitely divisible137 132.It must have a finite integral number of dimensions,139 133.Owing to its passivity and homogeneity140 134.And to the systematic unity of the world140 135.A one-dimensional form alone would not suffice for experience141 136.Since its elements would be immovably fixed in a series142 137.Two positions have a relation independent of other positions,143 138.Since positions are wholly defined by mutually independent relations143 139.Hence projective Geometry is wholly à priori,146 140.Though metrical Geometry contains an empirical element146 Section B. the axioms of metrical geometry.

141.Metrical Geometry is distinct from projective, but has the same fundamental postulate147 142.It introduces the new idea of motion, and has three à priori axioms148 I. The Axiom of Free Mobility.

143.Measurement requires a criterion of spatial equality149 144.Which is given by superposition, and involves the axiom of Free Mobility150 145.The denial of this axiom involves an action of empty space on things151 146.There is a mathematically possible alternative to the axiom,152 147.Which, however, is logically and philosophically untenable153 148.Though Free Mobility is à priori, actual measurement is empirical154

149.Some objections remain to be answered, concerning—154 150.(1) The comparison of volumes and of Kant's symmetrical objects154 151.(2) The measurement of time, where congruence is impossible156 152.(3) The immediate perception of spatial magnitude; and157 153.(4) The Geometry of non-congruent surfaces158 154.Free Mobility includes Helmholtz's Monodromy159 155.Free Mobility involves the relativity of space159 156.From which, reciprocally, it can be deduced160 157.Our axiom is therefore à priori in a double sense160 II. The Axiom of Dimensions.

158.Space must have a finite integral number of dimensions161 159.But the restriction to three is empirical162 160.The general axiom follows from the relativity of position162 161.The limitation to three dimensions, unlike most empirical knowledge, is accurate and certain163 III. The Axiom of Distance.

162.The axiom of distance corresponds, here, to that of the straight line in projective Geometry164 163.The possibility of spatial measurement involves a magnitude uniquely determined by two points,164 164.Since two points must have some relation, and the passivity of space proves this to be independent of external reference165 165.There can be only one such relation166 166.This must be measured by a curve joining the two points,166 167.And the curve must be uniquely determined by the two points167 168.Spherical Geometry contains an exception to this axiom,168 169.Which, however, is not quite equivalent to Euclid's168 170.The exception is due to the fact that two points, in spherical space, may have an external relation unaltered by motion,169 171.Which, however, being a relation of linear magnitude, presupposes the possibility of linear magnitude170 172.A relation between two points must be a line joining them170 173.Conversely, the existence of a unique line between two points can be deduced from the nature of a form of externality,171 174.And necessarily leads to distance, when quantity is applied to it172

175.Hence the axiom of distance, also, is à priori in a double sense172 176.No metrical coordinate system can be set up without the straight line174 177.No axioms besides the above three are necessary to metrical Geometry175 178.But these three are necessary to the direct measurement of any continuum176 179.Two philosophical questions remain for a final chapter177 CHAPTER IV. PHILOSOPHICAL CONSEQUENCES.

180.What is the relation to experience of a form of externality in general?178 181.This form is the class-conception, containing every possible intuition of externality; and some such intuition is necessary to experience178 182.What relation does this view bear to Kant's?179 183.It is less psychological, since it does not discuss whether space is given in sensation,180 184.And maintains that not only space, but any form of externality which renders experience possible, must be given in sense-perception181 185.Externality should mean, not externality to the Self, but the mutual externality of presented things181 186.Would this be unknowable without a given form of externality?182 187.Bradley has proved that space and time preclude the existence of mere particulars,182 188.And that knowledge requires the This to be neither simple nor self-subsistent183 189.To prove that experience requires a form of externality, I assume that all knowledge requires the recognition of identity in difference184 190.Such recognition involves time184 191.And some other form giving simultaneous diversity185 192.The above argument has not deduced sense-perception from the categories, but has shown the former, unless it contains a certain element, to be unintelligible to the latter186 193.How to account for the realization of this element, is a question for metaphysics187

194.What are we to do with the contradictions in space?188 195.Three contradictions will be discussed in what follows188 196.(1) The antinomy of the Point proves the relativity of space,189 197.And shows that Geometry must have some reference to matter,190 198.By which means it is made to refer to spatial order, not to empty space191 199.The causal properties of matter are irrelevant to Geometry, which must regard it as composed of unextended atoms, by which points are replaced191 200.(2) The circle in defining straight lines and planes is overcome by the same reference to matter192 201.(3) The antinomy that space is relational and yet more than relational,193 202.Seems to depend on the confusion of empty space with spatial order193 203.Kant regarded empty space as the subject-matter of Geometry,194 204.But the arguments of the Aesthetic are inconclusive on this point,195 205.And are upset by the mathematical antinomies, which prove that spatial order should be the subject-matter of Geometry196 206.The apparent thinghood of space is a psychological illusion, due to the fact that spatial relations are immediately given196 207.The apparent divisibility of spatial relations is either an illusion, arising out of empty space, or the expression of the possibility of quantitatively different spatial relations197 208.Externality is not a relation, but an aspect of relations. Spatial order, owing to its reference to matter, is a real relation198 209.Conclusion199

ВВЕДЕНИЕ. НАША ПРОБЛЕМА, ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЧЕРЕЗ ЕЕ ОТНОШЕНИЯ К ЛОГИКЕ, ПСИХОЛОГИИ И МАТЕМАТИКЕ.

1. Геометрия на протяжении XVII и XVIII веков оставалась в войне против эмпиризма неприступной крепостью идеалистов. Те, кто придерживался мнения — как это было принято на континенте, — что о реальном мире возможно достоверное знание, независимое от опыта, должны были лишь указать на геометрию: никто, кроме безумца, говорили они, не усомнится в ее значимости, и никто, кроме глупца, не станет отрицать ее объективную отнесенность. Поэтому перед английскими эмпириками в этом вопросе стояла довольно сложная задача: либо им приходилось игнорировать проблему, либо, если они, подобно Юму и Миллю, решались на штурм, их вынуждали к парадоксальному, на первый взгляд, утверждению, что геометрия в своей основе не обладает достоверностью иного рода, нежели механика, — они утверждали, что лишь постоянное присутствие пространственных впечатлений делает наш опыт истинности аксиом настолько обширным, что он кажется абсолютной достоверностью.

Здесь, однако, как и во многих других случаях, беспощадная логика вынуждала этих философов, хотят они того или нет, вступать в явное противоречие со здравым смыслом их времени. Лишь благодаря Канту, создателю современной эпистемологии, геометрическая проблема получила современную форму. Он свел вопрос к следующим гипотетическим положениям: если геометрия обладает аподиктической достоверностью, то ее материя, т. е. пространство, должна быть априорной и как таковая должна быть чисто субъективной; и наоборот, если пространство чисто субъективно, геометрия должна обладать аподиктической достоверностью. Последнее гипотетическое положение имеет для Канта больший вес, более того, оно неразрывно связано со всей его эпистемологией; тем не менее, я думаю, оно обладает гораздо меньшей силой, чем первое. Примем, однако, на мгновение кантовскую формулировку и постараемся придать точность терминам «априорный» и «субъективный».

2. Одной из больших трудностей на протяжении всей этой дискуссии является крайне изменчивое использование, которое находят этим словам, а также слову «эмпирический», разные авторы. Для Канта, который вовсе не был психологом, «априорный» и «субъективный» были почти взаимозаменяемыми терминами [1]; в современном словоупотреблении, в целом, существует тенденция ограничивать слово «субъективный» психологией, оставляя «априорный» для эпистемологии. Если мы примем эту дифференциацию, мы можем установить, в соответствии с проблемами этих двух наук, следующие предварительные определения: «априорный» применяется к любому знанию, которое, хотя, возможно, и вызвано опытом, логически предполагается в опыте; «субъективный» применяется к любому психическому состоянию, непосредственная причина которого лежит не во внешнем мире, а в пределах субъекта. Последнее определение, конечно, сформулировано исключительно для психологии: с точки зрения физической науки все психические состояния субъективны. Но для науки, материей которой, строго говоря, являются только психические состояния, нам требуется, если мы хотим использовать это слово с какой-либо целью, некоторое различие между психическими состояниями как признак более специфической субъективности у тех, к которым применяется этот термин.

Теперь единственные психические состояния, непосредственные причины которых лежат во внешнем мире, — это ощущения. Чистое ощущение, конечно, является невозможной абстракцией — мы никогда не бываем полностью пассивны под действием внешнего стимула, — но для целей психологии эта абстракция полезна. Все, что не является ощущением, мы в психологии будем называть субъективным. Именно в одном лишь ощущении мы непосредственно затронуты внешним миром, и только здесь он дает нам прямую информацию о себе.

3. Рассмотрим теперь эпистемологический вопрос о том, какой род знания можно назвать априорным. Здесь мы не имеем дела — во всяком случае, в первую очередь — с причиной или генезисом знания; мы принимаем знание как данность, подлежащую анализу и классификации. Такой анализ выявит в знании формальный и материальный элементы. Формальный элемент будет состоять из постулатов, которые необходимы для того, чтобы знание вообще стало возможным, и из всего, что может быть выведено из этих постулатов; материальный элемент, с другой стороны, будет состоять из всего, что приходит, чтобы заполнить форму, заданную формальными постулатами, — всего, что является случайным или зависимым от опыта, всего, что могло бы быть иным, не делая знание невозможным. Мы будем называть формальный элемент априорным, а материальный — эмпирическим.

4. Какова же связь между субъективным и априорным? Это связь, очевидно — если она вообще существует, — внешняя, т. е. не выводимая непосредственно из природы того или другого, а доказуемая — если ее можно доказать — только путем общего взгляда на условия обоих. Вопрос о том, какое знание является априорным, должен, согласно приведенному выше определению, зависеть от логического анализа знания, посредством которого могут быть выявлены условия возможного опыта; но вопрос о том, какие элементы когнитивного состояния являются субъективными, должен исследоваться чистой психологией, которая должна определить, что в наших восприятиях принадлежит ощущению, а что является работой мышления или ассоциации. Поскольку, таким образом, эти два вопроса принадлежат к разным наукам и могут быть решены независимо, не будет ли разумно проводить эти два исследования раздельно? Постановление о том, что априорное всегда должно быть субъективным, кажется опасным, если мы вспомним, что такой взгляд отдает наши результаты относительно априорного на милость эмпирической психологии. Насколько серьезна эта опасность, достаточно показывает дискуссия о кантовском чистом созерцании.

5. Поэтому на протяжении настоящего эссе я буду использовать слово «априорный» без какого-либо психологического подтекста. Моим критерием априорности будет чисто логический: был бы опыт невозможен, если бы определенная аксиома или постулат были отвергнуты? Или, в более узком смысле, который дает априорность только в рамках конкретной науки: был бы опыт относительно предмета этой науки невозможен без определенной аксиомы или постулата? Мои результаты, следовательно, также будут чисто логическими. Если психология объявляет, что некоторые вещи, которые я объявил априорными, не являются субъективными, тогда, при отсутствии ошибки в деталях моих доказательств, связь априорного и субъективного, в той мере, в какой это касается данных вещей, должна быть отброшена. Соответственно, на протяжении этого эссе не будет обсуждения отношения априорного к субъективному — отношения, которое не может определить, какие части знания являются априорными, а скорее зависит от этого определения и в любом случае относится скорее к метафизике, чем к эпистемологии.

6. Поскольку я рискнул использовать слово «априорный» в несколько нетрадиционном смысле, я приведу несколько пояснительных замечаний общего характера.

Априорное, по крайней мере со времен Канта, обычно означало необходимый или аподиктический элемент в знании. Но современная логика показала, что необходимые суждения всегда, по крайней мере в одном аспекте, являются гипотетическими. Может существовать, и обычно существует, импликация того, что связь, о которой высказывается необходимость, имеет некоторое существование, но все же необходимость всегда указывает за пределы самой себя на основание необходимости и утверждает это основание, а не саму актуальную связь. Как отмечает Брэдли, суждение «мышьяк ядовит» остается истинным, даже если он никого не отравляет. Если, следовательно, априорное в знании — это прежде всего необходимое, то оно должно быть необходимым при некоторой гипотезе, и основание необходимости должно быть включено как априорное. Но основание необходимости является, насколько может показать рассматриваемая необходимая связь, простым фактом, просто категорическим суждением. Следовательно, одна лишь необходимость является недостаточным критерием априорности.

Чтобы дополнить этот критерий, мы должны предоставить гипотезу или основание, на котором только и держится необходимость, и это основание будет варьироваться от одной науки к другой, и даже, по мере прогресса знания, в одной и той же науке в разное время. Ибо по мере того, как знание становится более развитым и артикулированным, воспринимается все больше необходимых связей, а чисто категорические истины, хотя они и остаются фундаментом аподиктических суждений, уменьшаются в относительном количестве. Тем не менее, в достаточно развитой науке, такой как геометрия, мы можем, я думаю, довольно полно предоставить соответствующее основание и установить, в пределах изолированной науки, различие между необходимым и просто ассерторическим.

7. Существует два основания, я думаю, на которых необходимость может быть найдена внутри любой науки. Их можно (очень грубо) различить как основание, которое Кант ищет в «Пролегоменах», и то, которое он ищет в «Критике чистого разума». Мы можем начать с существования нашей науки как факта и проанализировать рассуждения, используемые с целью обнаружения фундаментального постулата, от которого зависит ее логическая возможность; в этом случае постулат и все, что следует только из него, будут априорными. Или мы можем принять существование предмета нашей науки как нашу фактическую базу и дедуктивно вывести все принципы, которые мы можем, из сущностной природы этого предмета. В этом последнем случае, однако, не вся эмпирическая природа предмета, как она раскрывается последующими исследованиями нашей науки, формирует наше основание; ибо если бы это было так, вся наука была бы, конечно, априорной. Скорее, это тот элемент в предмете, который делает возможной ту область опыта, с которой имеет дело рассматриваемая наука [2]. Важность этого различия станет более ясной по мере нашего продвижения [3].

8. Эти два основания необходимости в конечном анализе совпадают. Методы исследования в этих двух случаях сильно различаются, но результаты не могут различаться. Ибо в первом случае, путем анализа науки, мы обнаруживаем постулат, на котором только и возможны ее рассуждения. Теперь, если рассуждение в науке невозможно без некоторого постулата, этот постулат должен быть существенным для опыта предмета науки, и таким образом мы получаем второе основание. Тем не менее, эти два метода полезны как дополняющие друг друга, и первый, как начинающийся с актуальной науки, является самым безопасным и легким методом исследования, хотя второй кажется более убедительным для изложения.

Ход моего аргумента, следовательно, будет следующим: в первой главе, в качестве предварительного условия для логического анализа геометрии, я дам краткую историю возникновения и развития неевклидовых систем. Вторая глава подготовит почву для конструктивной теории геометрии путем критики некоторых предыдущих философских взглядов; в этой главе я постараюсь показать такие взгляды как частично истинные, частично ложные и, таким образом, установить путем предварительной полемики истинность тех частей моей собственной теории, которые можно найти у прежних авторов. Большая часть этой теории, однако, не может быть так представлена, поскольку вся область проективной геометрии, насколько мне известно, до сих пор была неизвестна философам. Переходя в третьей главе от критики к конструкции, я сначала рассмотрю проективную геометрию. Она, как я буду утверждать, необходимо истинна для любой формы внешности и, поскольку некоторая такая форма необходима для опыта, является полностью априорной. В метрической геометрии, однако, которую я рассмотрю далее, аксиомы разделятся на два класса: (1) Те, что общи для евклидовых и неевклидовых пространств. Они окажутся, с одной стороны, существенными для возможности измерения в любом континууме, а с другой стороны, необходимыми свойствами любой формы внешности с более чем одним измерением. Поэтому они будут объявлены априорными. (2) Те аксиомы, которые отличают евклидовы пространства от неевклидовых. Они будут рассматриваться как полностью эмпирические. Аксиома о том, что число измерений равно трем, однако, хотя и является эмпирической, будет объявлена, поскольку малые ошибки здесь невозможны, точно и достоверно истинной для нашего актуального мира; в то время как две оставшиеся аксиомы, определяющие значение пространственной константы, будут рассматриваться как известные лишь приблизительно и достоверные только в пределах ошибок наблюдения [4]. Четвертая глава, наконец, попытается доказать то, что было принято в главе III, а именно, что некоторая форма внешности необходима для опыта, и завершится демонстрацией логической невозможности, если знание такой формы должно быть очищено от противоречий, полностью абстрагировать это знание от всякой отсылки к материи, содержащейся в форме.

Я надеюсь, что этим обсуждением я затронул все основные пункты, касающиеся оснований геометрии.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[1] Ср. Эрдман, «Аксиомы геометрии», стр. 111: «Для Канта априорность и исключительная субъективность, безусловно, являются взаимозаменяемыми понятиями».

[2] Я использую здесь «опыт» в самом широком смысле, в том смысле, в котором это слово используется Брэдли.

[3] Там, где рассматриваемая область опыта существенна для всего опыта, результирующая априорность может рассматриваться как абсолютная; там, где она необходима только для некоторой специальной науки, — как относительная к этой науке.

[4] Я не привел описания этих эмпирических доказательств, так как они, по-видимому, составляют весь корпус физической науки. Все в физической науке, от закона тяготения до строительства мостов, от спектроскопа до искусства навигации, было бы глубоко изменено любой значительной неточностью в гипотезе о том, что наше актуальное пространство является евклидовым. Наблюдаемая истинность физической науки, следовательно, представляет собой подавляющее эмпирическое доказательство того, что эта гипотеза очень приблизительно верна, даже если не является строго истинной.

ГЛАВА I. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ МЕТАГЕОМЕТРИИ.

10. Когда нападают на давно установившуюся систему, обычно случается так, что атака начинается только в одной точке, где слабость установленной доктрины особенно очевидна. Но критика, будучи однажды приглашенной, склонна распространяться гораздо дальше, чем того пожелали бы поначалу даже самые смелые.

«Сначала отсечь разжижение, что придет последним,

Как не ловкий удар Фихте по самому Богу?»

Так было и с геометрией. Разжижением евклидовой ортодоксии является аксиома параллельных, и именно с отказа признать эту аксиому без доказательства началась метагеометрия. Первое усилие в этом направлении, предпринятое Лежандром [5], было вдохновлено надеждой вывести эту аксиому из других — надеждой, которая, как мы теперь знаем, была обречена на неизбежный провал. Параллельные определяются Лежандром как линии в одной плоскости, такие, что если третья линия пересекает их, она делает сумму внутренних и противоположных углов равной двум прямым. Он без труда доказывает, что такие линии не встретятся, но не в состоянии доказать, что непараллельные линии в плоскости должны встретиться. Аналогично он может доказать, что сумма углов треугольника не может превышать двух прямых, и что если хотя бы один треугольник имеет сумму, равную двум прямым, то все треугольники имеют ту же сумму; но он не в состоянии доказать существование этого одного треугольника.

11. Таким образом, попытка Лежандра провалилась; но одна лишь неудача ничего не могла доказать. Более смелый метод, предложенный Гауссом, был осуществлен Лобачевским и Бойяи [6]. Если аксиома параллельных логически выводима из других, то, отрицая ее и сохраняя остальные, мы придем к противоречиям. Эти три математика, соответственно, атаковали проблему косвенно: они отрицали аксиому параллельных и все же получили логически непротиворечивую геометрию. Они сделали вывод, что аксиома логически независима от других и существенна для евклидовой системы. Их работы, будучи вдохновлены этим мотивом, могут быть выделены как формирующие первый период в развитии метагеометрии.

Второй период, открытый Риманом, имел гораздо более глубокое значение: он был в значительной степени философским по своим целям и конструктивным по своим методам. Он стремился ни много ни мало к логическому анализу всех существенных аксиом геометрии и рассматривал пространство как частный случай более общего понятия многообразия. Опираясь на методы аналитической метрической геометрии, он установил две неевклидовы системы: первую — систему Лобачевского, вторую — в которой аксиома прямой линии в форме Евклида также была отвергнута — новую разновидность, по аналогии называемую сферической. Ведущим понятием в этом периоде является мера кривизны, термин, изобретенный Гауссом, но примененный им только к поверхностям. Гаусс показал, что свободная подвижность на поверхностях возможна только тогда, когда мера кривизны постоянна; Риман и Гельмгольц распространили это положение на n измерений и сделали его фундаментальным свойством пространства.

В третьем периоде, который начинается с Кэли, философский мотив, двигавший первыми пионерами, менее заметен и заменяется более техническим и математическим духом. Этот период главным образом отличается от второго, с математической точки зрения, своим методом, который является проективным, а не метрическим. Ведущим математическим понятием здесь является Абсолют (Grundgebild), фигура, по отношению к которой все метрические свойства становятся проективными. Работа Кэли, которая была очень краткой и привлекла мало внимания, была усовершенствована и разработана Ф. Клейном и благодаря ему получила всеобщее признание. Клейн добавил к двум уже известным видам неевклидовой геометрии третий, который он называет эллиптическим; этот третий вид тесно напоминает сферическую геометрию Гельмгольца, но отличается важным различием, состоящим в том, что в нем две прямые линии пересекаются только в одной точке [7]. Отличительным признаком пространств, представленных обоими, является то, что, подобно поверхности сферы, они конечны, но безграничны. Сведение метрических свойств к проективным, как будет доказано далее, имеет лишь техническое значение; в то же время проективная геометрия способна иметь дело непосредственно с теми чисто описательными или качественными свойствами пространства, которые общи как для Евклида, так и для метагеометрии. Третий период, следовательно, имеет большое философское значение, в то время как его метод обладает, математически, гораздо большей красотой и единством, чем метод второго; он способен рассматривать все виды пространства сразу, так что каждое символическое суждение является, в соответствии со значением, придаваемым символам, суждением в той геометрии, которую мы выберем. Это имеет преимущество доказательства того, что дальнейшие исследования не могут привести к противоречиям в неевклидовых системах, если они в то же время не выявляют противоречий в геометрии Евклида. Эти системы, следовательно, логически столь же надежны, как и система самого Евклида.

После этого краткого очерка характеристик трех периодов я перейду к более подробному изложению. Моей целью будет избегать, насколько это возможно, всей технической математики и выделить только те фундаментальные моменты в математическом развитии, которые кажутся имеющими логическое или философское значение.

Первый период.

12. Основоположник всей системы, Гаусс, по-видимому, не представил, что касается строго неевклидовой геометрии, ни в одной из своих опубликованных до сих пор работ ничего, кроме результатов; его доказательства остаются нам неизвестными. Тем не менее, он был первым, кто исследовал последствия отрицания аксиомы параллельных [8], и в своих письмах он сообщал об этих последствиях некоторым своим друзьям, среди которых был Вольфганг Бойяи. Первое упоминание об этом предмете в его письмах встречается, когда ему было всего 18 лет; четыре года спустя, в 1799 году, в письме к В. Бойяи он формулирует важную теорему о том, что в гиперболической геометрии существует максимум площади треугольника. Из более поздних работ следует, что он разработал систему почти, если не совсем, столь же полную, как системы Лобачевского и Бойяи [9].

Важно помнить, однако, что работа Гаусса о кривизне, которая была опубликована, заложила фундамент для всего метода второго периода и была предпринята, согласно Риману и Гельмгольцу [10], с целью (неопубликованного) исследования оснований геометрии. Его работа в этом направлении будет, благодаря своему методу, лучше рассмотрена в рамках второго периода, но интересно наблюдать, что он стоял, подобно многим пионерам, во главе двух тенденций, которые впоследствии разошлись.

13. Лобачевский, профессор Казанского университета, впервые опубликовал свои результаты на родном русском языке в трудах этого ученого общества за 1829–1830 годы. Из-за этой двойной неясности языка и места они привлекли мало внимания, пока он не перевел их на французский [11] и немецкий [12] языки: даже тогда они, по-видимому, не получили должного внимания, пока в 1868 году Бельтрами не обнаружил статью в журнале Крелле и не сделал ее темой блестящей интерпретации.

Во введении к своей небольшой немецкой книге Лобачевский сетует на слабый интерес, проявленный к его трудам соотечественниками, и на невнимание математиков, со времен неудачной попытки Лежандра, к трудностям в теории параллельных. Основная часть работы начинается с формулировки нескольких важных предложений, которые справедливы как в предложенной системе, так и у Евклида: из них некоторые в любом случае независимы от аксиомы параллельных, в то время как другие становятся таковыми путем замены слова «параллельный» фразой «не пересекающиеся, как бы далеко они ни были продолжены». Затем следует определение, намеренно сформулированное так, чтобы противоречить Евклиду: по отношению к данной прямой линии все остальные в той же плоскости могут быть разделены на два класса: те, которые пересекают данную прямую, и те, которые ее не пересекают; линия, являющаяся пределом между двумя классами, называется параллельной данной прямой линии. Отсюда следует, что из любой внешней точки можно провести две параллели, по одной в каждом направлении. Из этой отправной точки, с помощью евклидового синтетического метода, выводится ряд предложений; наиболее важным из них является то, что в треугольнике сумма углов всегда меньше или всегда равна двум прямым, в то время как в последнем случае вся система становится ортодоксальной. Также доказывается определенная аналогия со сферической геометрией — значение и степень которой проявятся позже, — состоящая, грубо говоря, в замене гиперболических функций круговыми.

14. Очень похожа система Яноша Бойяи, настолько похожа, действительно, что независимость двух работ, хотя и является хорошо подтвержденным фактом, кажется почти невероятной. Янош Бойяи впервые опубликовал свои результаты в 1832 году в приложении к работе своего отца Вольфганга под названием: «Appendix, scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica». Гаусс, ставший его близким другом в колледже и остававшийся им всю жизнь, был, как мы видели, вдохновителем Вольфганга Бойяи и имел обыкновение говорить, что последний был единственным человеком, который оценил его философские спекуляции об аксиомах геометрии; тем не менее, Вольфганг, по-видимому, оставил своему сыну Яношу детальную разработку гиперболической системы. Работы обоих Бойяи очень редки, и их метод и результаты известны мне только через переводы Фришауфа и Халстеда [13]. Как по методу, так и по результатам система очень похожа на систему Лобачевского, так что ни одна из них не требует нашего внимания здесь. Только начальные постулаты, которые более эксплицитны, чем у Лобачевского, требуют краткого внимания. Введение Фришауфа, имеющее философский и ньютоновский дух, начинается с утверждения, что геометрия имеет дело с абсолютным (пустым) пространством, полученным путем абстрагирования от тел в нем, что две фигуры называются конгруэнтными, когда они различаются только положением, и что аксиома конгруэнтности незаменима во всяком определении пространственных величин. Конгруэнтность должна относиться к геометрическим телам, не обладающим никакими свойствами обычных тел, кроме непроницаемости (Эрдман, «Аксиомы геометрии», стр. 26). Прямая линия определяется как определяемая двумя своими точками [14], а плоскость — как определяемая тремя. Эти предпосылки, с небольшим исключением относительно прямой линии, мы в дальнейшем найдем существенными для каждой геометрии. Я обратил на них внимание, так как часто предполагается, что неевклиды отрицают аксиому конгруэнтности, что здесь и в других местах никогда не имеет места. Акцент, сделанный на этой аксиоме Бойяи, вероятно, обусловлен влиянием Гаусса, чья работа о кривизне поверхностей заложила фундамент для использования конгруэнтности Гельмгольцем.

15. Важно помнить, что на протяжении периода, который мы только что рассмотрели, цель гиперболической геометрии является косвенной: не истинность последней, а логическая независимость аксиомы параллельных от остальных является направляющим мотивом работы. Если, отрицая аксиому параллельных при сохранении остальных, мы можем получить систему, свободную от логических противоречий, то из этого следует, что аксиома параллельных не может быть имплицитно содержащейся в других. Если это так, попытки обойтись без аксиомы, подобные попытке Лежандра, не могут быть успешными; Евклид должен стоять или пасть вместе с подозреваемой аксиомой. Конечно, оставалась возможность того, что при дальнейшем развитии в этих системах могли быть выявлены скрытые противоречия. Эта возможность, однако, была устранена более прямой и конструктивной работой второго периода, к которой мы теперь должны обратить наше внимание.

Второй период.

16. Работа Лобачевского и Бойяи оставалась почти четверть века без последствий — действительно, исследования Римана и Гельмгольца, когда они появились, по-видимому, были вдохновлены не этими людьми, а скорее Гауссом [15] и Гербартом. Мы находим, соответственно, очень большое различие, как в цели, так и в методе, между первым периодом и вторым. Первый, начавшись с критики одного пункта в системе Евклида, сохранил его синтетический метод, в то время как отбросил одну из его аксиом. Второй, напротив, будучи ведомым скорее философским, чем математическим духом, стремился классифицировать понятие пространства как вид более общего понятия: он трактовал пространство алгебраически, и свойства, которые он приписывал пространству, были выражены в терминах не интуиции, а алгебры. Целью Римана и Гельмгольца было показать, путем демонстрации логически возможных альтернатив, эмпирическую природу принятых аксиом. Для этой цели они концептуализировали пространство как частный случай многообразия и показали, что различные отношения величин (Massverhältnisse) математически возможны в протяженном многообразии. Их философия, которая кажется мне не всегда безупречной, будет обсуждаться в главе II; здесь, хотя важно помнить о философском мотиве Римана и Гельмгольца, мы ограничим наше внимание математической стороной их работы. Делая это, хотя мы, боюсь, несколько исказим систему их мыслей, мы обеспечим более тесное единство предмета и более компактное изложение чисто математического развития. Но есть, на мой взгляд, дальнейшая причина для отделения их философии от их математики. В то время как их философской целью было доказать, что все аксиомы геометрии являются эмпирическими и что иное содержание нашего опыта могло бы изменить их все, непреднамеренным результатом их математической работы было, если я не ошибаюсь, предоставление материала для априорного доказательства определенных аксиом. Эти аксиомы, хотя они считали их ненужными, всегда вводились в их математических работах до закладки оснований неевклидовых систем. Я буду утверждать в главе III, что это сохранение было логически неизбежным и не было вызвано лишь, как они полагали, желанием соответствия с опытом. Если я прав в этом, существует расхождение между Риманом и Гельмгольцем — философами, и Риманом и Гельмгольцем — математиками. Это расхождение делает тем более желательным проследить математическое развитие отдельно от сопутствующей философии.

17. Эпохальная работа Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» [16] была написана и прочитана в узком кругу в 1854 году; однако из-за некоторых изменений, которые он желал в ней сделать, она оставалась неопубликованной до 1867 года, когда была издана его душеприказчиками. Двумя фундаментальными понятиями, на изобретении которых зиждется историческая важность этой диссертации, являются понятие многообразия и понятие меры кривизны многообразия. Первое понятие служит главным образом философской цели и предназначено, в основном, для того, чтобы представить пространство как пример более общего понятия. Об этом аспекте многообразия я скажу много в главе II; его математический аспект, который один касается нас здесь, менее сложен и менее богат противоречиями. Последнее понятие также служит двойной цели, но его математическое использование является более заметным. Мы рассмотрим эти два понятия последовательно.

18. (1) Понятие многообразия [17]. Общая цель диссертации Римана — представить аксиомы как последовательные шаги в классификации вида «пространство». Аксиомы геометрии, подобно признакам схоластического определения, предстают как последовательные определения родовых понятий, заканчивающиеся евклидовым пространством. Мы имеем, таким образом, с аналитической точки зрения, настолько логичную и точную формулировку, насколько можно желать, — формулировку, в которой, благодаря ее классификационному характеру, мы уверены в отсутствии чего-либо излишнего или избыточного и получаем аксиомы эксплицитно в наиболее желательной форме, а именно как прилагательные к понятию пространства. В то же время жаль, что Риман, в соответствии с метрической предвзятостью своего времени, рассматривал пространство прежде всего как величину [18], или совокупность величин, в которой главная проблема состоит в приписывании количеств различным элементам или точкам, без учета качественной природы приписываемых количеств. Таким образом, возникает значительная неясность относительно всей природы величины [19]. Этот взгляд на геометрию лежит в основе определения многообразия как общего понятия, частным случаем которого является пространство. Это определение, которое не очень ясно, может быть передано следующим образом.

19. Понятия величины, согласно Риману, возможны только там, где у нас есть общее понятие, способное к различным определениям (Bestimmungsweisen). Различные определения такого понятия вместе образуют многообразие, которое является непрерывным или дискретным, в зависимости от того, является ли переход от одного определения к другому непрерывным или дискретным. Отдельные части многообразия, или кванты, могут быть сравнены путем счета, когда они дискретны, и путем измерения, когда они непрерывны. «Измерение состоит в наложении величин, подлежащих сравнению. Если этого нет, величины могут быть сравнены только тогда, когда одна является частью другой, и тогда может быть решено только «больше» или «меньше», а не «насколько»» (стр. 256). Мы таким образом приходим к общему понятию многообразия нескольких измерений, из которых пространство и цвета упоминаются как частные случаи. Отсутствию этого понятия Риман приписывает «неясность», которая «длилась от Евклида до Лежандра» (стр. 254). И Риман, безусловно, преуспел, с алгебраической точки зрения, в том, чтобы показать, гораздо яснее, чем любой из его предшественников, аксиомы, которые отличают пространственное количество от других количеств, с которыми имеет дело математика. Но приняв с самого начала, что пространство можно рассматривать как количество, он был приведен к постановке проблемы как: «Какого рода величиной является пространство?» — а не: «Чем должно быть пространство, чтобы мы могли вообще рассматривать его как величину?». Он также не осознает — действительно, в его время немногие осознавали, — что возможна сложная геометрия, которая вообще не имеет дело с пространством как с количеством. Его определение пространства как вида многообразия, следовательно, хотя для аналитических целей оно наиболее удовлетворительно определяет природу пространственных величин, оставляет неясным истинное основание этой природы, которое лежит в природе пространства как системы отношений и предшествует возможности рассматривать его как систему величин вообще.

Но продолжим математическое развитие идей Римана. Мы видели, что он объявил измерение состоящим в наложении величин, подлежащих сравнению. Но для того, чтобы это было возможным средством определения величин, продолжает он, эти величины должны быть независимы от их положения в многообразии (стр. 259). Это может происходить, говорит он, несколькими способами, в качестве простейшего из которых он предполагает, что длины линий независимы от их положения. Было бы интересно узнать, какие еще способы возможны: со своей стороны, я не могу вообразить никакой другой гипотезы, при которой величина была бы независима от места. Откладывая это в сторону, однако, проблема, благодаря тому факту, что измерение состоит в наложении, становится идентичной определению наиболее общего многообразия, в котором величины независимы от места. Это приводит нас к другому фундаментальному понятию Римана, которое кажется мне даже более плодотворным, чем понятие многообразия.

20. (2) Мера кривизны. Это понятие принадлежит Гауссу, но было применено им только к поверхностям; новизна в диссертации Римана заключалась в его распространении на многообразие n измерений. Это распространение, однако, выражено довольно кратко и неясно и было еще более затемнено попытками Гельмгольца популярного изложения. Термин «кривизна» также вводит в заблуждение, так что эта фраза была источником большего недопонимания, даже среди математиков, чем любая другая в пангеометрии. Часто забывают, несмотря на прямое утверждение Гельмгольца [20], что «мера кривизны» n-мерного многообразия является чисто аналитическим выражением, которое имеет лишь символическое сродство с обычной кривизной. Применительно к трехмерному пространству импликация четырехмерного «плоского» пространства полностью вводит в заблуждение; поэтому я обычно буду использовать вместо этого термин «пространственная константа» [21]. Тем не менее, поскольку понятие исторически выросло из понятия кривизны, я дам очень краткое изложение исторического развития теорий кривизны.

Подобно тому, как понятие длины было первоначально выведено из прямой линии и распространено на другие кривые путем деления их на бесконечно малые прямые линии, так и понятие кривизны было выведено из круга и распространено на другие кривые путем деления их на бесконечно малые дуги окружности. Кривизну можно рассматривать, первоначально, как меру того, насколько кривая отклоняется от прямой линии; в круге, который подобен повсюду, эта величина очевидно постоянна и измеряется величиной, обратной радиусу. Но во всех других кривых величина кривизны варьируется от точки к точке, так что ее нельзя измерить без бесконечно малых величин. Мера, которая сразу приходит на ум, — это кривизна круга, наиболее близко совпадающего с кривой в рассматриваемой точке. Поскольку круг определяется тремя точками, этот круг будет проходить через три последовательные точки кривой. Мы таким образом определили кривизну любой кривой, плоской или извилистой; ибо, поскольку любые три точки лежат в плоскости, такой круг всегда может быть описан.