В работе «Эссе об основаниях геометрии» (1897) Бертран Рассел предпринимает попытку философского осмысления математических открытий XIX века, связанных с неевклидовыми геометриями. Автор ставит задачу определить, какие геометрические аксиомы являются априорно необходимыми для возможности опыта, а какие — эмпирическими. Рассел анализирует историю развития неевклидовой геометрии, выделяя три периода: работы Лобачевского и Бойяи, исследования Римана и Гельмгольца, а также проективную геометрию Кэли и Клейна. Автор критикует кантовскую концепцию пространства, утверждая, что логический анализ позволяет выделить априорные элементы, не прибегая к психологической субъективности.
Рассел доказывает, что проективная геометрия, свободная от метрических предпосылок, является наиболее фундаментальной и априорной, так как она описывает качественные свойства пространства, необходимые для любого опыта внешнего мира. Метрическая геометрия, напротив, вводит понятие величины и измерения, что требует дополнительных аксиом, таких как аксиома свободной подвижности (конгруэнтности). Рассел утверждает, что аксиомы, общие для евклидовой и неевклидовых геометрий, являются априорными условиями возможности измерения, тогда как специфические аксиомы евклидовой геометрии (например, аксиома параллельных) носят эмпирический характер и могут быть проверены только опытным путем.
В книге подробно рассматриваются философские взгляды Канта, Римана, Гельмгольца, Эрдмана и Лотце. Рассел настаивает на том, что пространство не является «вещью» или «субстанцией», а представляет собой систему отношений, и что геометрические аксиомы должны быть поняты как условия возможности познания многообразия в единстве. Труд завершается обсуждением логических противоречий, возникающих при попытке осмыслить пространство как континуум, и предложением рассматривать геометрические объекты как отношения между нерасширенными материальными элементами (атомами), что позволяет избежать парадоксов бесконечной делимости. Работа Рассела является важным связующим звеном между классической философией пространства и современной логико-математической школой, предвосхищая многие идеи аналитической философии.
