«Эссе об основаниях геометрии»

43. Тот факт, что фикция удобна, однако, может быть истолкован как указание на то, что это нечто большее, чем фикция. Но это предположение, я думаю, можно легко опровергнуть. Ибо все плодотворные применения мнимых чисел в геометрии — это те, которые начинаются и заканчиваются вещественными величинами, а мнимые числа используют только для промежуточных шагов. Теперь во всех таких случаях мы имеем реальную пространственную интерпретацию в начале и в конце нашего аргумента, где только пространственная интерпретация и важна: в промежуточных звеньях мы имеем дело чисто алгебраическим образом с чисто алгебраическими величинами и можем выполнять любые операции, которые алгебраически допустимы. Если величины, которыми мы заканчиваем, способны к пространственной интерпретации, тогда, и только тогда, наш результат может рассматриваться как геометрический. Использовать геометрический язык в любом другом случае — лишь удобная помощь воображению. Говорить, например, о проективных свойствах, которые относятся к круговым точкам, — это просто memoria technica для чисто алгебраических свойств; круговые точки нельзя найти в пространстве, а только во вспомогательных величинах, с помощью которых преобразуются геометрические уравнения. То, что из геометрической интерпретации мнимых чисел не возникает противоречий, неудивительно: ибо они интерпретируются исключительно по правилам алгебры, которые мы можем признать справедливыми в их применении к мнимым числам. Восприятие пространства полностью отсутствует, алгебра царит безраздельно, и никакая непоследовательность возникнуть не может. Везде, где мы хоть на мгновение позволяем вторгнуться нашим обычным пространственным представлениям, возникают грубейшие нелепости — каждый может видеть, что круг, будучи замкнутой кривой, не может уйти в бесконечность. Метафизик, который изобрёл бы что-то столь нелепое, как круговые точки, был бы осмеян. Но математик может украсть лошадь безнаказанно.

Наконец, следовательно, только знание пространства, а не знание алгебры, может заверить нас в том, что любой заданный набор величин будет иметь пространственный коррелят, и при отсутствии такого коррелята операции с этими величинами не имеют геометрического значения. Это случай с мнимыми числами в смысле Кэли, и их использование в геометрии, сколь бы велики ни были его технические преимущества и сколь бы строгой ни была его техническая обоснованность, полностью лишено философской важности.

44. Мы теперь, я думаю, обсудили большинство вопросов, касающихся сферы действия и обоснованности проективного метода. Мы увидели, что он независим от всех метрических предпосылок и что его использование координат не предполагает допущения, что пространственные величины измеряются или выражаются ими. Мы увидели, что он способен справляться, только своими собственными методами, с вопросом о качественном сходстве геометрических фигур, который логически предшествует любому сравнению по количеству, поскольку количество предполагает качественное сходство. Мы видели также, что, насколько простирается его законное использование, он в равной степени применим ко всем однородным пространствам и что его критерий независимо возможного пространства — определение прямой линии двумя точками [60] — не подлежит тем оговоркам и ограничениям, которые относятся, как мы видели в случае с цилиндром, к метрическому критерию постоянной кривизны. Но мы также видели, что, когда проективная геометрия пытается справиться с пространственной величиной и подчинить себе расстояние и измерение углов, её успех, хотя технически обоснованный и важный, философски является лишь кажущимся успехом. Метрическая геометрия, следовательно, если количество вообще должно применяться к пространству, остаётся отдельной, хотя и логически последующей ветвью математики.

45. Остаётся сказать несколько слов о Софусе Ли. Как математика, как изобретателя нового и чрезвычайно мощного метода анализа, его нельзя перехвалить. Геометрия — лишь один из многочисленных предметов, к которым применима его теория непрерывных групп, но её применение к геометрии произвело революцию в методе и сделало возможным, в таких задачах, как задачи Гельмгольца, подход бесконечно более точный и исчерпывающий, чем любой, который был возможен ранее.

Общее определение группы следующее: если у нас есть любое число независимых переменных x1, x2... xn и любая серия преобразований их в новые переменные — преобразования определяются уравнениями заданных форм с параметрами, варьирующимися от одного преобразования к другому, — то серия преобразований образует группу, если последовательное применение любых двух из них эквивалентно одному члену исходной серии преобразований. Группа является непрерывной, когда мы можем перейти, посредством бесконечно малых градаций внутри группы, от любого одного из преобразований к любому другому.

Теперь, в геометрии, результат двух последовательных движений или коллинеаций фигуры всегда может быть получен одним движением или коллинеацией, и любое движение или коллинеация может быть построено из серии бесконечно малых движений или коллинеаций. Более того, аналитическое выражение любого из них есть некоторое преобразование координат всех точек фигуры [61]. Следовательно, преобразования, определяющие движение или коллинеацию, таковы, что образуют непрерывную группу. Но вопрос о проективной эквивалентности двух фигур, к которому сводится вся проективная геометрия, всегда должен решаться посредством коллинеации; а вопрос о равенстве двух фигур, к которому сводится вся метрическая геометрия, всегда должен решаться движением, вызывающим наложение; следовательно, весь предмет геометрии может рассматриваться как теория непрерывных групп, которые определяют все возможные коллинеации и движения.

Теперь Софус Ли развил, весьма подробно, чисто аналитическую теорию групп; у него, следовательно, благодаря этому методу формулировки задачи, есть очень мощное оружие, готовое к атаке. В двух статьях «Об основаниях геометрии [62]», предпринятых по настоятельной просьбе Клейна, он берёт посылки, которые грубо соответствуют посылкам Гельмгольца, опуская монодромию, и применяет теорию групп к дедукции их следствий [63]. Работа Гельмгольца, говорит он, едва ли может рассматриваться как доказывающая свои выводы, и действительно, более глубокий анализ теории групп выявляет несколько возможностей, неизвестных Гельмгольцу. Тем не менее, как первопроходец, лишённый аппарата Ли, Гельмгольц заслуживает, я думаю, большей похвалы, чем Ли готов ему дать [64].

Метод Ли является совершенно исчерпывающим; опуская посылку монодромии, остальные показывают, что тело имеет шесть степеней свободы, т. е. что группа, дающая все возможные движения тела, будет иметь шесть независимых членов; если мы зафиксируем одну точку, число независимых членов сокращается до трёх. Затем он, исходя из своей общей теории, перечисляет все группы, которые удовлетворяют этому условию. Чтобы такая группа давала возможные движения, необходимо, согласно второй аксиоме Гельмгольца, чтобы она оставляла инвариантной некоторую функцию координат любых двух точек. Это исключает несколько из ранее перечисленных групп, каждую из которых он обсуждает по очереди. Таким образом, он приходит к следующим результатам:

I. В двух измерениях, если свободная подвижность должна соблюдаться универсально, не существует групп, удовлетворяющих первым трём аксиомам Гельмгольца, кроме тех, которые дают обычные евклидовы и неевклидовы движения; но если она должна соблюдаться только в пределах определённой области, существует также возможная группа, в которой кривая, описываемая любой точкой при вращении, не является замкнутой, а представляет собой равноугольную спираль. Чтобы исключить эту возможность, требуется аксиома монодромии Гельмгольца.

II. В трёх измерениях результаты ещё больше противоречат Гельмгольцу. Предполагая свободную подвижность только в пределах определённой области, мы должны различать два случая: Либо свободная подвижность соблюдается в пределах этой области абсолютно без исключений, т. е. когда одна точка зафиксирована, любая другая точка внутри области может свободно перемещаться по поверхности: в этом случае аксиома монодромии излишня, и первых трёх аксиом достаточно, чтобы определить нашу группу как группу евклидовых и неевклидовых движений. Либо свободная подвижность в пределах указанной области соблюдается только для каждой точки общего положения, в то время как точки определённой линии, когда одна точка зафиксирована, способны двигаться только по этой линии, а не по поверхности: когда это так, возможны другие группы, и они могут быть исключены только четвёртой аксиомой Гельмгольца.

Изложив теперь чисто математические результаты исследований Ли, мы можем вернуться к философским соображениям, которыми в основном была мотивирована работа Гельмгольца. Становится очевидным, что не только исключения внутри определённой области, но и ограничение определённой областью аксиомы свободной подвижности философски совершенно невозможны и немыслимы. Как может определённая линия или определённая поверхность образовывать непреодолимый барьер в пространстве или обладать какой-либо подвижностью, отличной по роду от подвижности всех других линий или поверхностей? Это понятие в философии не может быть допущено ни на мгновение, поскольку оно разрушает ту самую фундаментальную из всех аксиом — однородность пространства. Мы не только можем, следовательно, но и должны принимать аксиому свободной подвижности Гельмгольца в её самом строгом смысле; аксиома монодромии, таким образом, становится математически, так же как и философски, излишней. Это, с философской точки зрения, самый важный из результатов Ли.

46. Я подошёл к концу своей истории метагеометрии. Моей целью не было дать исчерпывающий отчёт даже о важных работах по этому предмету — в третьем периоде, особенно, имена Пуанкаре, Паша, Кремоны, Веронезе и других, кого можно было бы упомянуть, устыдили бы меня, если бы у меня была такая цель. Но я попытался изложить, насколько мог ясно, принципы, действующие в различные периоды, мотивы и результаты последовательных теорий. Мы видели, как философский мотив, поначалу преобладающий, постепенно вытеснялся чисто математическим и техническим духом большинства недавних геометров. Поначалу дискредитация трансцендентальной эстетики казалась метагеометрам столь же важной, как и продвижение их науки; но из работ Кэли, Клейна или Ли ни один читатель не смог бы заключить, что Кант когда-либо жил. Мы также видели, однако, что по мере того, как интерес к философии угасал, интерес к философии возрастал: по мере того как математические результаты освобождались от философских споров, они постепенно принимали стабильную форму, от которой дальнейшее развитие, мы можем разумно надеяться, примет форму роста, а не трансформации. Такое же постепенное развитие из философии, я полагаю, можно было бы проследить в младенчестве большинства отраслей математики; когда философские мотивы перестают действовать, это, как правило, знак того, что стадия неопределённости в отношении посылок пройдена, так что будущее принадлежит полностью математической технике. Когда эта стабильная стадия достигнута, пришло время философии заимствовать у науки, принимая её окончательные посылки как навязанные реальной необходимостью факта или логики.

47. Теперь, обсуждая системы метагеометрии, мы обнаружили два вида, радикально отличных и подчинённых разным аксиомам. Исторически более ранний вид, который имеет дело с метрическими идеями, обсуждает, прежде всего, условия свободной подвижности, которая существенна для всякого измерения пространства. Он находит аналитическое выражение этих условий в существовании пространственной константы, или постоянной меры кривизны, что эквивалентно однородности пространства. Это его первая аксиома.

Его вторая аксиома гласит, что пространство имеет конечное целое число измерений, т. е. в метрических терминах, что положение точки относительно любой другой фигуры в пространстве однозначно определяется конечным числом пространственных величин, называемых координатами.

Третью аксиому метрической геометрии можно назвать, чтобы отличить её от соответствующей проективной аксиомы, аксиомой расстояния. Существует одно отношение, гласит она, между любыми двумя точками, которое может быть сохранено неизменным при комбинированном движении обеих точек и которое при любом движении системы как одного твёрдого тела всегда остаётся неизменным. Это отношение мы называем расстоянием.

Вышеприведённое изложение трёх существенных аксиом метрической геометрии взято у Гельмгольца в редакции Ли. Собственное изложение аксиом Ли, как процитировано выше, было слишком сильно подвержено влиянию проективных методов, чтобы дать исторически верную передачу духа второго периода; изложение Гельмгольца, с другой стороны, требует, как показал Ли, весьма значительных модификаций. Вышеуказанный компромисс может, следовательно, я надеюсь, быть принят как принимающий исправления Ли при сохранении духа Гельмгольца.

48. Но метрическая геометрия, хотя она исторически более ранняя, логически является последующей по отношению к проективной геометрии. Ибо проективная геометрия имеет дело непосредственно с тем качественным сходством, которое суждение количественного сравнения требует в качестве своей основы. Теперь вышеуказанные три аксиомы метрической геометрии, как мы увидим в главе III, раздел B, не предполагают измерения, а являются, напротив, условиями, предполагаемыми измерением. Без этих аксиом, которые общи для всех трёх пространств, измерение было бы невозможно; с ними, как я буду утверждать, измерение способно, хотя и только эмпирически, приблизительно решить, какое из трёх пространств справедливо для нашего актуального мира. Но если эти три аксиомы сами выражают не результаты, а условия измерения, не должны ли они быть эквивалентны утверждению того качественного сходства, от которого зависит количественное сравнение? И если так, не должны ли мы ожидать найти те же аксиомы, хотя, возможно, в другой форме, в проективной геометрии?

49. Это ожидание не будет обмануто. Вышеуказанные три аксиомы, как мы увидим далее, все до единой философски эквивалентны однородности пространства, а это, в свою очередь, эквивалентно аксиомам проективной геометрии. Аксиомы проективной геометрии, по сути, могут быть грубо сформулированы так:

I. Пространство непрерывно и бесконечно делимо; нуль протяжённости, возникающий в результате бесконечного деления, называется точкой. Все точки качественно подобны и различаются лишь тем фактом, что они лежат вне друг друга.

II. Любые две точки определяют уникальную фигуру, прямую линию; две прямые линии, подобно двум точкам, качественно подобны и различаются лишь тем фактом, что они взаимно внешни.

III. Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют уникальную фигуру, плоскость, а четыре точки, не лежащие в одной плоскости, определяют фигуру трёх измерений. Этот процесс может, насколько можно видеть à priori, быть продолжен, никоим образом не мешая возможности проективной геометрии, до пяти или до n точек. Но проективная геометрия требует, в качестве аксиомы, чтобы процесс остановился на некотором положительном целом числе точек, после чего любая новая точка содержится в фигуре, определённой уже данными. Если процесс останавливается на (n + 1) точках, говорят, что наше пространство имеет n измерений.

Эти три аксиомы, как будет видно, являются эквивалентами трёх аксиом метрической геометрии [65], выраженными без ссылки на количество. Мы найдём, что они выводимы, как и прежде, из однородности пространства или, ещё более общо, из возможности переживания внешности. Поэтому они предстанут как à priori, как существенные для существования любой геометрии и для опыта внешнего мира как такового.

50. То, что в этих аксиомах заключена некоторая логическая необходимость, можно, я думаю, вывести как вероятное, исходя из одного лишь их исторического развития. Ибо системы метагеометрии, как правило, не создавались как более вероятные для соответствия фактам, чем система Евклида; за исключением, например, Цёлльнера, я не знаю никого, кто рассматривал бы четвёртое измерение как необходимое для объяснения явлений. Что касается пространственной константы, опять же, хотя малая пространственная константа рассматривается как эмпирически возможная, она обычно не рассматривается как вероятная; а конечные пространственные константы, с которыми метагеометрия в равной степени имеет дело, обычно не считаются даже возможными в качестве объяснений эмпирического факта [66]. Таким образом, мотив был повсюду не фактологическим, а логическим. Не даёт ли это сильного презумптивного основания полагать, что те аксиомы, которые сохраняются, сохраняются потому, что они логически незаменимы? Если это так, аксиомы, общие для Евклида и метагеометрии, будут à priori, в то время как те, что свойственны Евклиду, будут эмпирическими. После критики некоторых различных теорий геометрии я перейду в главах III и IV к доказательству и следствиям этого тезиса, которые составят остаток настоящей работы.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[5] V. Mémoires de l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France, T. XII. 1833, для полного изложения его результатов, со ссылками на прежние труды.

[6] Этот более смелый метод, по-видимому, был предложен почти столетием ранее итальянцем Саккери. Его работа, которая, по-видимому, оставалась совершенно неизвестной до тех пор, пока Бельтрами не переоткрыл её в 1889 году, называется «Euclides ab omni naevo vindicatus, etc.» Mediolani, 1733. (См. Веронезе, Grundzüge der Geometrie, немецкий перевод, Лейпциг, 1894, стр. 636.) Его результаты включали сферическое, а также гиперболическое пространство; но они настолько встревожили его, что он посвятил последнюю половину своей книги их опровержению.

[7] Первое изложение эллиптической геометрии Клейном как результата проективной теории расстояния Кэли появилось в двух статьях под названием «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, I, II», Math. Annalen 4, 6 (1871–2). Впоследствии она была независимо открыта Ньюкомбом в статье под названием «Elementary Theorems relating to the geometry of a space of three dimensions, and of uniform positive curvature in the fourth dimension», Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik, Vol. 83 (1877). Обзор математических споров относительно эллиптической геометрии см. в книге Клейна «Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie», Гёттинген 1893, I, стр. 284 сл. Библиография соответствующей литературы до 1878 года была дана Халстедом в American Journal of Mathematics, Vols. 1, 2.

[8] Веронезе (op. cit. стр. 638) отрицает приоритет Гаусса в изобретении неевклидовой системы, хотя и признаёт его первым, кто стал рассматривать аксиому параллельных как недоказуемую. Его основания для этого утверждения кажутся едва ли адекватными: о доказательствах против него см. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 171–174.

[9] V. Briefwechsel mit Schumacher, Bd. II. стр. 268.

[10] f. Helmholtz, Wiss. Abh. II. стр. 611.

[11] Crelle's Journal, 1837.

[12] Theorie der Parallellinien, Берлин, 1840. Переиздано, Берлин, 1887. Переведено Халстедом, Остин, Техас, США. 4-е издание, 1892.

[13] Frischauf, Absolute Geometrie, nach Johann Bolyai, Лейпциг, 1872. Halsted, The Science Absolute of Space, перевод с латыни, 4-е издание, Остин, Техас, США, 1896.

[14] Как отмечает Веронезе, и Лобачевский, и Бойяи исходят скорее из пары точек, чем из расстояния. См. Frischauf, Absolute Geometrie, Anhang.

[15] Сравните Stallo, Concepts of Modern Physics, стр. 248.

[16] Gesammelte Werke, стр. 255–268.

[17] Об истории этого слова см. Stallo, Concepts of Modern Physics, стр. 258. Оно использовалось Кантом и было адаптировано Гербартом почти к тому же значению, которое оно имеет у Римана. Гербарт, однако, также использует слово Reihenform для выражения похожей идеи. См. Psychologie als Wissenschaft, I, § 100 и II, § 139, где также предложена аналогия Римана с цветами.

[18] Сравните Erdmann's «Grössenbegriff vom Raum».

[19] Сравните Веронезе, op. cit. стр. 642: «Riemann ist in seiner Definition des Begriffs Grösse dunkel». См. также всю последующую критику Веронезе.

[20] Vorträge und Reden, Vol. II. стр. 18.

[21] Cf. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 160.

[22] Поскольку мы рассматриваем кривизну в точке, нас интересуют только первые бесконечно малые элементы геодезических, начинающихся из такой точки.

[23] Disquisitiones generales circa superficies curvas, Werke, Bd. IV. SS. 219–258, 1827.

[24] Тем не менее, геометрии различных поверхностей равной кривизны подвержены важным различиям. Например, цилиндр — это поверхность нулевой кривизны, но поскольку его линии кривизны в одном направлении конечны, его геометрия совпадает с геометрией плоскости только для длин, меньших окружности его образующего круга (см. Веронезе, op. cit. стр. 644). Две геодезические на цилиндре могут встретиться во многих точках. Для поверхностей нулевой кривизны, на которых это невозможно, тождество с плоскостью может быть допущено. В противном случае тождество распространяется только на свойства фигур, не превышающих определённого размера.

[25] Ибо мы можем рассматривать две разные части одной и той же поверхности как соответствующие части разных поверхностей; вышеприведённое положение тогда показывает, что фигура может быть воспроизведена в одной части, когда она была начерчена в другой, если меры кривизны соответствуют в обеих частях.

[26] Crelle, Vols, XIX., XX., 1839–40.

[27] В этой формуле u, v могут быть длинами линий или углами между линиями, проведёнными на поверхности, и, таким образом, не имеющими необходимой связи с третьим измерением.

[28] В дальнейшем я изложил скорее экспозицию Римана Клейном, чем собственный отчёт Римана. Первая гораздо яснее и полнее и существенно ни в чём не отличается. V. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 206 сл.

[29] См. §§ 69–73.

[30] Grundlagen der Geometrie, I. и II., Leipziger Berichte, 1890; v. конец настоящей главы, § 45.

[31] Nicht-Euklid, I, стр. 258–9.

[32] Giornale di Matematiche, Vol. VI., 1868. Переведено на французский Дж. Хуэлем в «Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure», Vol. VI. 1869.

[33] Crelle's Journal, Vols. XIX. XX., 1839–40.

[34] Nicht-Euklid, I, стр. 190.

[35] Эта статья более тригонометрична и аналитична, чем немецкая книга, и поэтому делает вышеуказанную интерпретацию особенно очевидной.

[36] Такие поверхности отнюдь не являются особенно отдалёнными. Одна из них, например, образована вращением обычной трактрисы

x = a sin φ, y = a (log tan φ/2 + cos φ).

[37] «Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costanta», Annali di Matematica, II. Vol. 2, 1868–9. Также переведено Дж. Хуэлем, loc. cit.

[38] См. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 47 сл., и приведённые там ссылки.

[39] См. цитату ниже из его выступления на Британской ассоциации.

[40] Сравните вступительное предложение, принадлежащее Кэли, из Higher Plane Curves Сэлмона.

[41] V. Nicht-Euklid, I, главы I. и II.

[42] См. стр. 9 выступления Кэли на Brit. Ass. 1883. Также цитата из Клейна в Axiome der Geometrie Эрдмана, стр. 124, примечание.

[43] Nature, Vol. XLV. стр. 407.

[44] Nicht-Euklid, I, стр. 200.

[45] Т. е. уравнение AB + BC = AC для трёх точек на одной прямой.

[46] Формула, подставленная Клейном вместо обратного синуса или косинуса Кэли. Обе эквивалентны, но формула Клейна математически гораздо удобнее.

[47] Elements of Projective Geometry, второе издание, Оксфорд, 1893, глава IX.

[48] Глава III. Раздел B.

[49] См. Nicht-Euklid, I, стр. 338 сл.

[50] См. его Geometrie der Lage, § 8, Harmonische Gebilde.

[51] Ангармоническое отношение четырёх чисел, p, q, r, s, определяется как

(p - q).(r - s) / (p - r).(q - s).

[52] Т. е. как преобразуемые друг в друга посредством коллинеации. См. главу III. Раздел A, § 110.

[53] См. главу III. Раздел A.

[54] Из этого следует, что сведение метрических свойств к проективным, даже когда, как в гиперболической геометрии, Абсолют реален, является лишь кажущимся и имеет лишь техническую обоснованность.

[55] Сэр Р. Болл не рассматривает своё неевклидово содержание как возможное пространство (v. op. cit. стр. 151). В этом важном пункте я не согласен с его интерпретацией, полагая такое содержание пространством, столь же возможным à priori, как и пространство Евклида, и, возможно, фактически истинным в пределах погрешности, обусловленной ошибками наблюдения.

[56] См. Nicht-Euklid, I, стр. 97 сл. и стр. 292 сл.

[57] Ньюкомб говорит (loc. cit. стр. 293): «Система, изложенная здесь, основана на следующих трёх постулатах.

«1. Я предполагаю, что пространство трижды протяжённо, безгранично, не обладает свойствами, зависящими от положения или направления, и обладает такой плоскостностью в своих мельчайших частях, что как постулаты евклидовой геометрии, так и наши общие представления об отношениях частей пространства истинны для каждой бесконечно малой области в пространстве.

«2. Я предполагаю, что это пространство обладает такой кривизной, что прямая линия всегда возвращается в саму себя по прошествии конечного и реального расстояния 2D, не теряя ни на какой части своего пути той симметрии по отношению к пространству со всех сторон от неё, которая составляет фундаментальное свойство нашего представления о ней.

«3. Я предполагаю, что если две прямые линии исходят из одной точки, образуя бесконечно малый угол a друг с другом, их расстояние друг от друга на расстоянии r от точки пересечения будет дано уравнением

s = 2aD/π sin(rπ/2D).

Прямая линия, таким образом, имеет это общее с евклидовой прямой свойство, что две такие линии пересекаются только в одной точке. Может быть, число точек, в которых две такие линии могут пересекаться, допускает определение из законов кривизны, но, будучи не в состоянии определить его таким образом, я принимаю в качестве постулата фундаментальное свойство евклидовой прямой».

Ясно, что при отсутствии упомянутого определения возможность эллиптического пространства не установлена. Может быть возможным, например, доказать, что в пространстве, где существует максимум расстояния, должно быть бесконечное число прямых линий, соединяющих две точки максимального расстояния. В этом случае эллиптическое пространство стало бы невозможным.

[58] Для разъяснения этого термина см. Клейн, Nicht-Euklid, I, стр. 99 сл.

[59] Cf. стр. 9 Отчёта: «Мой собственный взгляд состоит в том, что двенадцатая аксиома Евклида в форме Плэйфэра не нуждается в доказательстве, а является частью нашего понятия пространства, физического пространства нашего опыта, которое является представлением, лежащим в основе всего внешнего опыта».

[60] Исключение из этой аксиомы в сферическом пространстве предполагает метрическую геометрию и не разрушает обоснованность аксиомы для проективной геометрии. См. главу III. Раздел B, § 171.

[61] Математики школы Ли имеют привычку, поначалу несколько сбивающую с толку, говорить о движениях пространства вместо движений тел, как будто пространство в целом могло двигаться. Всё, что имеется в виду, конечно, это эквивалентное движение координатных осей, т. е. изменение осей в обычном элементарном смысле.

[62] «Ueber die Grundlagen der Geometrie», Leipziger Berichte, 1890. Задача этих двух статей на самом деле метрическая, поскольку она касается не коллинеаций в целом, а движений. Задача, однако, решается проективным методом, причём движения рассматриваются как коллинеации, которые оставляют Абсолют неизменным. Казалось невозможным, следовательно, обсуждать работу Ли, пока не было дано некоторое описание проективного метода.

[63] Посылки Ли, если быть точным, следующие:

Пусть

x1 = f(x, y, z, a1, a2...) x2 = φ(x, y, z, a1, a2...) x3 = ψ(x, y, z, a1, a2...)

дают бесконечное семейство реальных преобразований пространства, относительно которых мы делаем следующие гипотезы:

A. Функции f, φ, ψ являются аналитическими функциями

x, y, z, a1, a2....

B. Две точки x1y1z1, x2y2z2 обладают инвариантом, т. е.

Ω(x1, y1, z1, x2, y2, z2) = Ω(x1′, y1′, z1′, x2′, y2′, z2′)

где x1′..., x2′... — преобразованные координаты двух точек.

C. Свободная подвижность: т. е. любая точка может быть перемещена в любое другое положение; когда одна точка зафиксирована, любая другая точка общего положения может занять ∞2 положений; когда две точки зафиксированы, любая другая точка общего положения может занять ∞1 положений; когда три, никакое движение невозможно — эти ограничения являются результатами уравнений, данных инвариантом Ω.

[64] По этому пункту cf. Клейн, Höhere Geometrie, Гёттинген, 1893, II. стр. 225–244, особенно стр. 230–1.

[65] Аксиома II. метрической триады соответствует аксиоме III. проективной, и наоборот.

[66] Cf. Гельмгольц, Wiss. Abh. Vol. II. стр. 640, примечание: «Die Bearbeiter der Nicht-Euklidischen Geometrie (haben) deren objective Wahrheit nie behauptet».

ГЛАВА II. КРИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРЕДЫДУЩИХ ФИЛОСОФСКИХ ТЕОРИЙ ГЕОМЕТРИИ.

51. Мы теперь проследили математическое развитие теории геометрических аксиом, от первого восстания против Евклида до наших дней. Мы можем надеяться, следовательно, иметь в своём распоряжении технические знания, требуемые для философии этого предмета. Важность геометрии в теориях познания, которые возникали в прошлом, едва ли можно преувеличить. У Декарта мы находим, что вся теория метода доминируется аналитической геометрией, плодотворностью которой он справедливо гордился. У Спинозы огромное влияние геометрии слишком очевидно, чтобы требовать комментариев. Среди математиков вера Ньютона в абсолютное пространство долгое время была верховной и до сих пор ответственна за текущую формулировку законов движения. Против этой веры, с одной стороны, и против теории пространства Лейбница, с другой, а не, как указал Кэрд [67], против эмпиризма Юма, было направлено то краеугольное положение критической философии — кантовское учение о пространстве. Таким образом, геометрия была повсюду первостепенно важной в теории познания.

Но в критике репрезентативных современных теорий геометрии, которая задумана не как история предмета, а как введение в воззрения автора и их защита, не будет необходимости обсуждать какую-либо более древнюю теорию, чем теория Канта. Воззрения Канта на этот предмет, истинные или ложные, настолько доминировали в последующей мысли, что, принимались они или отвергались, они казались одинаково мощными в формировании мнений и манеры изложения почти всех позднейших авторов.

Кант.

52. Не в моих целях в этой главе добавлять к объёмной литературе кантовской критики, а только обсудить влияние метагеометрии на аргумент трансцендентальной эстетики и аспект, под которым этот аргумент должен рассматриваться в дискуссии о геометрии [68]. По этому пункту, как мне кажется, широко распространено несколько недоразумений, как среди друзей, так и среди врагов, и эти недоразумения я постараюсь, если смогу, устранить.

Прежде всего, что означает учение Канта для геометрии? Очевидно, не тот аспект учения, который подвергался нападкам со стороны психологов, «кантовская мастерская», как называет её Джеймс, — во всяком случае, если это можно чётко отделить от логического аспекта. Вопрос о том, дано ли пространство в ощущении или же, как утверждал Кант, оно дано интуицией, которой не соответствует никакой внешний материал, может на данный момент быть проигнорирован. Если бы мы действительно придерживались взгляда, который, кажется, грубо суммирует позицию «Критики», взгляда, что всё достоверное знание есть самопознание, тогда мы были бы обязаны, если бы решили, что геометрия аподиктична, прийти к взгляду, что пространство субъективно. Но даже тогда психологический вопрос мог бы возникнуть только после того, как был решён эпистемологический вопрос, и поэтому не мог бы быть принят во внимание в нашем первом исследовании. Вопрос перед нами — это именно вопрос о том, является ли геометрия аподиктичной и в какой степени, и на данный момент мы должны только исследовать этот вопрос, без страха перед психологическими последствиями.

53. Теперь по этому вопросу, как и почти по всем вопросам в «Эстетике» или «Аналитике», аргументация Канта носит двойственный характер. С одной стороны, говорит он, известно, что геометрия обладает аподиктической достоверностью: следовательно, пространство должно быть априорным и субъективным. С другой стороны, из оснований, независимых от геометрии, следует, что пространство субъективно и априорно; следовательно, геометрия должна обладать аподиктической достоверностью. Эти два аргумента нечетко разграничены в «Эстетике», но, полагаю, небольшой анализ позволит их распутать. Так, в первом издании первые два аргумента выводят априорность пространства из негеометрических оснований; третий аргумент выводит аподиктическую достоверность геометрии и, наоборот, утверждает, что никакой другой взгляд не может объяснить эту достоверность [69]; последние два аргумента лишь утверждают, что пространство есть созерцание, а не понятие. Во втором издании двойной аргумент более ясен: априорность пространства доказывается независимо от геометрии в метафизическом истолковании и выводится из достоверности геометрии как единственно возможное объяснение последней в трансцендентальном истолковании. В «Пролегоменах» используется только последний аргумент, но в «Критике» применяются оба.

54. Теперь, я думаю, следует признать, что метагеометрия разрушила законность аргумента от геометрии к пространству; мы больше не можем утверждать на чисто геометрических основаниях аподиктическую достоверность Евклида. Но если только метагеометрия не сделала большего — если она не доказала то, что, как я полагаю, она одна доказать не может, а именно, что Евклид не обладает аподиктической достоверностью, — тогда другая линия аргументации Канта сохраняет ту силу, которую она могла иметь. Фактическое пространство, которое мы знаем, можно сказать, по общему признанию евклидово, и доказано, безо всякой отсылки к геометрии, что оно априорно; следовательно, Евклид обладает аподиктической достоверностью, а неевклидова геометрия осуждена. На это нельзя ответить, настаивая вместе с метагеометрами на том, что неевклидовы системы логически непротиворечивы; ибо Кант тщательно аргументирует, что геометрическое рассуждение в силу нашего созерцания пространства является синтетическим и не может, хотя и будучи априорным, поддерживаться одним лишь принципом противоречия [70]. Если только неевклиды не смогут доказать то, что им, безусловно, не удалось доказать до настоящего времени, а именно, что мы можем сформировать созерцание неевклидовых пространств, позиция Канта не может быть опрокинута одной лишь метагеометрией, но должна быть атакована, если она должна быть успешно атакована, со своей чисто философской стороны.

55. Для такой атаки открыты два пути: либо мы можем опровергнуть первые два аргумента «Эстетики», либо мы можем подвергнуть критике с точки зрения общей логики кантовское учение о синтетических априорных суждениях и их связи с субъективностью. Обе эти атаки, я полагаю, могли бы быть проведены с некоторым успехом; но если мы хотим опровергнуть аподиктическую достоверность геометрии, то необходим один из них, и оба, я полагаю, окажутся лишь частично успешными. Моей целью будет доказать при обсуждении этих двух линий атаки: (1) что различие между синтетическими и аналитическими суждениями несостоятельно и, далее, что принцип противоречия может дать плодотворные результаты только при допущении, что опыт в целом или, в частной науке, некоторая особая область опыта должна быть формально возможной; (2) что первые два аргумента Трансцендентальной эстетики достаточны для доказательства не евклидова пространства, а некоторой формы внешности — которая может быть сенсационной или созерцательной, но не просто концептуальной — необходимой предпосылки опыта внешнего мира. В третьей и четвертой главах я буду утверждать, как результат этих выводов, что те аксиомы, которые общи для Евклида и метагеометрии, совпадают с теми свойствами любой формы внешности, которые выводимы посредством принципа противоречия из возможности опыта внешнего мира. Эти свойства, таким образом, можно назвать, хотя и не совсем в кантовском смысле, априорными свойствами пространства, и в отношении них, я думаю, можно поддерживать модифицированную кантовскую позицию. Но вопрос о субъективной или объективной природе пространства может быть полностью оставлен без внимания в ходе этой дискуссии, которая выиграет от того, что будет иметь дело исключительно с логическими, в противоположность психологическим, точками зрения.

56. (1) Логическая позиция Канта. Учение о синтетических и аналитических суждениях — во всяком случае, если оно принимается как краеугольный камень эпистемологии — было настолько полностью отвергнуто большинством современных логиков [71], что оно потребовало бы здесь мало внимания, если бы не тот факт, что восторженный французский кантианец М. Ренувье недавно апеллировал к нему с полной уверенностью именно по вопросу геометрии [72]. И следует признать вместе с М. Ренувье, что если бы такие суждения существовали в кантовском смысле, неевклидова геометрия, которая не апеллирует к созерцанию, не могла бы ничего возразить против них. Утверждение М. Ренувье, следовательно, заставляет нас кратко пересмотреть аргументы против учения Канта и кратко обсудить, какой логический канон должен заменить его.

Каждое суждение — так утверждает современная логика — является одновременно синтетическим и аналитическим; оно объединяет части в целое и анализирует целое на части [73]. Если это так, то различие анализа и синтеза, какова бы ни была его важность в чистой логике, не может иметь никакой ценности в эпистемологии. Но такое учение, следует заметить, оставляет полный простор для принципа противоречия: этот критерий, поскольку все суждения, по крайней мере в одном аспекте, являются аналитическими, применим ко всем суждениям в равной степени. С другой стороны, целое, которое анализируется, должно предполагаться уже данным, прежде чем части могут быть взаимно противоречивыми: ибо только через связь в данном целом две части или предикаты могут быть несовместимыми. Таким образом, принцип противоречия остается бесплодным, пока у нас уже нет некоторых суждений и даже некоторых выводов: ибо части могут рассматриваться в некоторой степени как вывод из целого или наоборот. Как только арка знания построена, части поддерживают друг друга, и принцип противоречия является замковым камнем: но пока арка не построена, замковый камень остается подвешенным, неподдерживаемым и не поддерживающим, в пустом воздухе. Иными словами, существующее знание может быть проанализировано, но знание, которое должно было бы завоевывать каждый дюйм пути против критического скептицизма, никогда не могло бы начаться и никогда не могло бы достичь того кругового состояния, в котором оно только и может стоять.

Но учение Канта, если оно верно, призвано сдерживать критический скептицизм даже там, где он мог бы быть эффективным. Некоторые фундаментальные положения, говорит он, не выводимы из логики, т.е. их противоречия не являются самопротиворечивыми; они объединяют субъект и предикат, которые не могут быть показаны как имеющие какую-либо связь чисто логическим путем, и все же эти суждения обладают аподиктической достоверностью. Но относительно таких суждений Кант обычно старается не полагаться на простое субъективное убеждение в том, что они неоспоримы: он доказывает со всей предосторожностью, что без них опыт был бы невозможен. Опыт состоит в комбинации терминов, которые формальная логика оставляет в стороне, и предполагает, следовательно, определенные суждения, посредством которых создается каркас для сведения таких терминов вместе. Без этих суждений — так утверждает Кант — всякий синтез и всякий опыт были бы невозможны. Если, следовательно, детали кантовского рассуждения верны, его результаты могут быть получены посредством принципа противоречия плюс возможности опыта, так же как и посредством его различения синтетических и аналитических суждений.

Логика в наши дни присваивает себе одновременно более широкую и более узкую сферу, чем та, которую допускал для нее Кант. Более широкую, потому что она верит в свою способность осуждать любой ложный принцип или постулат; более узкую, потому что она верит, что ее закон противоречия без данного целого или данной гипотезы бессилен, и что два термина сами по себе, хотя они могут быть различными, не могут быть противоречивыми, а приобретают это отношение только через комбинацию в целом, о котором что-то известно, или через связь с постулатом, который по какой-то причине должен быть сохранен. Таким образом, ни одно суждение само по себе не является ни аналитическим, ни синтетическим, ибо отделение суждения от его контекста лишает его жизненности и делает его не вполне суждением вообще. Но в своем надлежащем контексте оно не является ни чисто синтетическим, ни чисто аналитическим; ибо, будучи дальнейшим определением данного целого и, таким образом, в этой мере аналитическим, оно также включает в себя возникновение новых отношений внутри этого целого и в этой мере является синтетическим.

57. Мы можем, однако, сохранить различие, грубо соответствующее кантовскому априорному и апостериорному, хотя и менее жесткое и более подверженное изменениям в зависимости от степени организации знания. Кант обычно стремился доказать, как отмечалось выше, что его синтетические априорные положения были необходимыми предпосылками опыта; теперь, хотя мы не можем сохранить термин «синтетический», мы можем сохранить термин «априорный» для тех допущений или тех постулатов, из которых только и следует возможность опыта. Все, что может быть выведено из этих постулатов без помощи материи опыта, будет, конечно, также априорным. С точки зрения общей логики, законы мышления и категории, вместе с необходимыми условиями их применимости, будут единственно априорными; но с точки зрения любой специальной науки мы можем назвать априорным все, что делает возможным опыт, который составляет предмет нашей науки. В геометрии, если конкретизировать, мы можем назвать априорным все, что делает возможным опыт внешности как таковой.

Следует заметить, что это использование термина является одновременно более рационалистическим и менее точным, чем у Канта. Кант, по-видимому, полагал, что он непосредственно осознает путем инспекции, что некоторое знание является аподиктическим, и его предмет, следовательно, априорным: но он не всегда выводил его априорность из какого-либо дальнейшего принципа. Здесь, однако, должно быть показано, прежде чем признать априорность, что ложность рассматриваемого суждения не была бы вызвана простым изменением в материи опыта, а только изменением, которое сделало бы некоторую область опыта формально невозможной, т.е. недоступной для наших методов познания. Вышеуказанное использование также менее точно, ибо оно варьируется в зависимости от специализации опыта, который мы предполагаем возможным, и с каждым прогрессом знания воспринимается некоторая новая связь, два ранее изолированных суждения приводятся в логическое отношение, и априорное может, таким образом, в любой момент расширить свою сферу, поскольку обнаруживается, что из фундаментальных постулатов можно вывести больше.

58. (2) Аргументы Канта в пользу априорности пространства. Обсудив теперь логический канон, который следует использовать в отношении априорного, мы можем перейти к проверке аргументов Канта в отношении пространства. Аргумент от геометрии, как отмечалось выше, опровергается метагеометрией, по крайней мере в той мере, в какой это касается тех свойств, которые принадлежат Евклиду, но не неевклидовым пространствам; что касается общих свойств обоих видов пространства, мы не можем решить вопрос об их априорности, пока не обсудим последствия их отрицания, что будет сделано в главе III. Что касается двух аргументов, которые доказывают, что пространство есть созерцание, а не понятие, они потребовали бы много обсуждений в специальной критике Канта, но здесь их можно пропустить с очевидным комментарием, что бесконечное однородное евклидово пространство есть понятие, а не созерцание — понятие, изобретенное для объяснения созерцания, это правда, но все же чистое понятие [74]. И именно с этим чистым понятием во всех дискуссиях о геометрии следует иметь дело в первую очередь; к созерцанию нужно обращаться только там, где оно проливает свет на функции или природу понятия. Второй аргумент Канта, что мы можем представить пустое пространство, хотя и не отсутствие пространства, ложен, если он означает пространство без материи где-либо, и нерелевантен, если он просто означает пространство между материями, рассматриваемое как пустое [75]. Единственный важный аргумент, таким образом, — это первый аргумент. Но я должен настаивать с самого начала, что наша проблема чисто логическая и что все психологические импликации должны быть исключены в максимально возможной степени. Более того, как будет доказано в главе IV, надлежащая функция пространства состоит в различении между различными представленными вещами, а не между «Я» и объектом ощущения или восприятия. Аргумент тогда становится следующим: сознание мира взаимно внешних вещей требует в представлениях когнитивного, но не выводного элемента, ведущего к различению представленных объектов. Этот элемент должен быть невыводным, ибо из любого числа или комбинации представлений, которые сами по себе не требовали разнообразия в своих объектах, я никогда не мог бы прийти к выводу о взаимной внешности их объектов. Кант говорит: «Для того чтобы ощущения могли быть приписаны чему-то внешнему по отношению ко мне... и точно так же для того, чтобы я мог представить их как находящиеся вне и рядом друг с другом... представление пространства должно быть уже налицо». Но это заходит несколько слишком далеко: во-первых, вопрос должен касаться только взаимной внешности представленных вещей, а не их внешности по отношению к «Я» [76]; и во-вторых, вещи будут казаться взаимно внешними, если у меня есть представление любой формы внешности, будь то евклидова или неевклидова. Что бы ни было верно относительно психологического охвата этого аргумента — чья значимость здесь нерелевантна — логический охват распространяется не на евклидово пространство, а только на любую форму внешности, которая могла бы существовать интуитивно и позволить знание, у существ с нашими законами мышления, о мире разнообразных, но взаимосвязанных вещей.

Более того, внешность, чтобы сделать охват аргумента полностью логическим, не должна оставаться с сенсационным или интуитивным значением, хотя она должна предполагаться данной в ощущении или созерцании. Она должна означать в этом аргументе факт инаковости [77], факт бытия отличным от какой-либо другой вещи: она должна включать различие между различными вещами и должна быть тем элементом в когнитивном состоянии, который ведет нас к различению составных частей в его объекте. Столько, таким образом, по-видимому, следует из аргумента Канта: что опыт разнообразных, но взаимосвязанных вещей требует в качестве необходимой предпосылки некоторый сенсационный или интуитивный элемент в восприятии, посредством которого мы приводимся к приписыванию сложности объектам восприятия [78]; что этот элемент в своей изоляции может быть назван формой внешности; и что те свойства этой формы, если таковые будут найдены, которые могут быть выведены из ее простой функции делания возможным опыта взаимосвязанной разнообразности, должны рассматриваться как априорные. Каковы эти свойства и как различные линии аргументации, предложенные здесь, сходятся к единому результату, мы увидим в главах III и IV.

59. У философов, последовавших за Кантом, метафизика по большей части настолько преобладала над эпистемологией, что мало что было добавлено к теории геометрии. То, что было добавлено, пришло косвенно от одного философа, который противостоял чисто онтологическим спекуляциям своего времени, а именно Гербарта. Фактические взгляды Гербарта на геометрию, которые можно найти главным образом в первом разделе его «Синехологии», не представляют большой ценности и не принесли больших плодов в развитии предмета. Но его психологическая теория пространства, его построение протяженности из рядов точек, его сравнение пространства с рядом тонов и цветов, его общее предпочтение дискретного перед непрерывным и, наконец, его вера в большую важность классификации пространства с другими формами рядов (Reihenformen [79]) дали начало многим эпохальным спекуляциям Римана и поощрили попытку объяснить природу пространства только через его аналитический и количественный аспект [80]. Через свое влияние на Римана он приобрел косвенно большое значение в геометрической философии. К диссертации Римана, которую мы уже обсудили в ее математическом аспекте, мы должны теперь вернуться, рассматривая на этот раз только ее философские взгляды.

Риман.

60. Цель диссертации Римана, как мы видели в главе I, состояла в том, чтобы определить пространство как вид многообразия, т.е. как особый род совокупности величин. Таким образом, с самого начала предполагалось, что пространственные фигуры могут рассматриваться как величины, и аксиомы, которые возникли соответственно, определяли только особое место этих фигур среди многих алгебраически возможных разновидностей величин. Результирующая формулировка аксиом — хотя с математической точки зрения метрической геометрии она была почти полностью похвальной — должна, с точки зрения философии, рассматриваться, по моему мнению, как petitio principii. Ибо когда мы пришли к рассмотрению пространственных фигур как величин, мы уже прошли самую трудную часть пути. Аксиомы метрической геометрии — а именно метрическая геометрия исключительно рассматривается в эссе Римана — окажутся в главе III делимыми на два класса. Из них первый класс — который содержит аксиомы, общие для Евклида и метагеометрии, единственные аксиомы, серьезно обсуждаемые Риманом, — не являются результатами измерения или какой-либо концепции величины, но являются условиями, которые должны быть выполнены, прежде чем измерение станет возможным. Только второй класс — те, которые выражают различие между евклидовыми и неевклидовыми пространствами — может быть выведен как результат измерения или концепций величины. Что касается первого класса, напротив, мы увидим, что относительность положения — посредством которой пространство отличается от всех других известных многообразий, кроме времени, — логически ведет к необходимости трех наиболее отличительных аксиом геометрии, и все же эта относительность не может быть названа выводом из концепций величины. В аналитической геометрии, благодаря тому факту, что системы координат начинаются с точек и, следовательно, выстраивают линии и поверхности, легко предположить, что точки могут быть даны независимо от линий и друг от друга, и таким образом относительность положения упускается из виду. Ошибка, таким образом подсказанная математикой, вероятно, была усилена теорией пространства Гербарта, которая, благодаря своему серийному характеру, как мы видели, казалась ему облегчающей построение из последовательных точек, и которой Риман выражает свою признательность как в своей диссертации, так и в других местах. Та же ошибка повторяется у Гельмгольца, у которого она, вероятно, целиком обусловлена методами аналитической геометрии. Поразительный факт, что во всех трудах этих двух людей нет, насколько мне известно, ни одного упоминания об относительности положения, того свойства пространства, из которого, как покажет наша следующая глава, можно извлечь богатейший карьер следствий. Это не результат какой-либо концепции величины, но следует из природы нашего созерцания пространства; однако никто, конечно, не мог бы назвать это эмпирическим, поскольку это связано с самой возможностью локализации вещей «там» в противоположность «здесь».

61. Действительно, мы можем видеть из чисто логического рассмотрения суждения о количестве, что манера Римана подходить к проблеме никогда не сможет законными методами достичь философски здравой формулировки аксиом. Ибо количество есть результат сравнения двух качественно подобных объектов, и суждение о количестве полностью пренебрегает качественным аспектом сравниваемых объектов. Следовательно, знание существенных свойств пространства никогда не может быть получено из суждений о количестве, которые пренебрегают этими свойствами, в то время как они все же предполагают их. С таким же успехом можно надеяться узнать природу человека по переписи населения. Более того, суждение о количестве есть результат сравнения и поэтому предполагает возможность сравнения. Чтобы знать, возможно ли сравнение или какими средствами оно возможно, мы должны знать качества сравниваемых вещей и среды, в которой осуществляется сравнение; в то время как чтобы знать, что количественное сравнение возможно, мы должны знать, что существует качественная идентичность между сравниваемыми вещами, что опять-таки предполагает предварительное качественное знание. Когда пространственные фигуры были однажды сведены к количеству, их качество уже было проигнорировано как известное и подобное качеству других фигур. Надеяться, следовательно, на качества пространства, исходя из сравнения его выражения как чистого количества с другими чистыми количествами, есть ошибка, естественная для аналитического геометра, но ошибка, тем не менее, из которой нет возврата к качественному базису пространственного количества.

62. Мы должны полностью не согласиться, следовательно, с дизъюнкцией, которая лежит в основе философии пространства Римана. Либо аксиомы должны быть следствиями общих концепций величины, думает он, либо они могут быть доказаны только опытом (стр. 255). Все, что может быть выведено из общих концепций величины, можем возразить мы, не может быть априорным предикатом пространства: ибо все необходимые предикаты пространства предполагаются в любом суждении о пространственном количестве и не могут, следовательно, быть следствиями такого суждения. Дизъюнкция Римана, соответственно, поскольку одна из ее альтернатив очевидно невозможна, на самом деле предвосхищает основание. При формулировании аксиом метрической геометрии наш вопрос должен быть таким: какие аксиомы, т.е. какие предикаты пространства, должны быть предположены, чтобы количественное сравнение частей пространства было вообще возможным? И только когда мы определили эти условия, которые априорно необходимы для любой количественной науки о пространстве, возникает второй вопрос: какие выводы мы можем сделать относительно пространства из наблюдаемых результатов этой количественной науки, т.е. этого измерения пространственных фигур? Сами условия измерения, хотя и не являясь результатами какой-либо концепции величины, будут априорными, если можно показать, что без них опыт внешности был бы невозможен.

После этого первоначального протеста против общей философской позиции Римана давайте перейдем к детальному изучению его использования понятия многообразия.

63. Во-первых, существует, если я не ошибаюсь, значительная неясность в определении многообразия, почти дословное изложение которого было дано в главе I. Что имеется в виду, для начала, под общей концепцией, способной к различным определениям? Разве это свойство не принадлежит всем концепциям? Оно дает, конечно, базис для счета, но если должно возникнуть непрерывное количество, мы должны, безусловно, иметь некоторую менее дискретную формулировку. Оно могло бы дать базис, например, для различения точек в проективной геометрии, но проективная геометрия не имеет ничего общего с количеством. Что-то более текучее и гибкое, чем концепция, можно было бы подумать, необходимо в качестве базиса континуумов. Затем, опять же, что имеется в виду под квантумом многообразия? В пространстве ответ очевиден: имеется в виду кусок объема. Но как насчет другого непрерывного многообразия Римана — цвета? Означает ли квантум цвета одну линию в спектре или полосу конечной толщины? В любом случае, каковы величины, подлежащие сравнению? И как наложение необходимо или даже возможно? Цвет фиксируется своим положением в спектре: две линии в одном и том же спектре не могут быть наложены, а две линии в разных спектрах не обязательно должны быть — их положений в соответствующих спектрах достаточно, или даже, грубо говоря, их непосредственного чувственного качества. Факт в том, что Риман с самого начала имел в виду пространство, и многие свойства, которые он провозглашает принадлежащими всем многообразиям, принадлежат, по сути, только пространству. Далеко не ясно, что представляют собой величины, которые делают возможными различные определения. Измеряют ли эти величины элементы многообразия или отношения между элементами? Это, безусловно, очень фундаментальный момент, но это тот, которого Риман никогда не касается. В первом случае наложение, о котором он говорит, становится ненужным, поскольку величина присуща рассматриваемому элементу. Нам не требуется наложение для измерения величин, соответствующих разным тонам или цветам; они могут быть обнаружены анализом отдельных тонов или цветов. С пространством, с другой стороны, если мы ищем элементы, мы не можем найти никаких, кроме точек, и никакой анализ точки не обнаружит величин, присущих ей — такие величины являются фикцией координатной геометрии. Величины, с которыми имеет дело пространство, как мы увидим в главе III, являются отношениями между точками, и именно по этой причине наложение существенно для измерения пространства. Нет присущего качества в отдельной точке, как есть в отдельном цвете, посредством которого она могла бы быть количественно отличима от другой. Таким образом, концепция многообразия, как она определена Риманом, либо не включает цвета, либо не предполагает наложение как единственное средство измерения. Из этой дилеммы нет выхода.