«Эссе об основаниях геометрии»

193. Как нам объяснить счастливую реализацию этих требований — посредством ли предустановленной гармонии, дарвиновской адаптации к нашей среде, субъективности ли необходимого элемента в чувственном восприятии или фундаментального тождества и единства между нами и остальной реальностью — это дальнейший вопрос, относящийся скорее к метафизике, чем к нашему нынешнему ходу рассуждений. Априорное, как мы говорили на протяжении всего текста, — это то, что необходимо для возможности опыта, и в этом у нас есть чисто логический критерий, дающий результаты, которые могут доказать или опровергнуть только логика и эпистемология. То, что субъективно в опыте, напротив, является прежде всего вопросом для психологии и должно решаться исключительно на психологических основаниях. Когда на эти два вопроса будут даны отдельные ответы, но не раньше, мы сможем выстраивать теории относительно связи априорного и субъективного; позволить таким теориям влиять на наше решение по любому из двух предыдущих вопросов, безусловно, чревато путаницей и препятствует четкому различению фундаментально различных точек зрения.

194. Я перехожу теперь ко второму вопросу, с которым должна иметь дело эта глава, а именно: что нам делать с противоречиями, которые навязывали себя в главе III всякий раз, когда мы подходили к пункту, казавшемуся фундаментальным? Я рассмотрю этот вопрос кратко, так как мне мало что можно добавить к ответам, с которыми мы все знакомы. Мне остается лишь доказать, во-первых, что противоречия неизбежны и поэтому не составляют возражения против моего аргумента; во-вторых, что первый шаг к их устранению состоит в восстановлении понятия материи как того, что в данных чувственного восприятия локализовано и взаимосвязано в пространстве.

195. Противоречия в пространстве — древняя тема, столь же древняя, на самом деле, как опровержение движения Зеноном. Они, грубо говоря, бывают двух видов, хотя эти два вида нельзя резко разделить. Существуют противоречия, присущие понятию континуума, и противоречия, проистекающие из того факта, что пространство, хотя оно должно, чтобы быть познаваемым, быть чистой относительностью, должно также, по-видимому, поскольку оно непосредственно переживается, быть чем-то большим, чем просто отношения. Первый класс противоречий чаще встречался в этом эссе и, я думаю, является более определенным и более важным для нашей нынешней цели. Я сомневаюсь, однако, действительно ли эти два класса различны; ибо любой континуум, в котором элементы, я полагаю, не являются данными, а представляют собой интеллектуальные конструкции, возникающие в результате анализа, может быть показан как обладающий тем же реляционным, и все же не полностью реляционным характером, который принадлежит пространству.

Три следующих противоречия, которые я буду обсуждать последовательно, кажутся мне наиболее заметными в теории геометрии.

(1) Хотя части пространства интуитивно различаются, никакая концепция не является адекватной для их дифференциации. Отсюда возникает тщетный поиск элементов, с помощью которых можно было бы осуществить дифференциацию, и целого, компонентами которого должны быть части пространства. Таким образом, мы получаем точку, или нулевую протяженность, как пространственный элемент, и бесконечный регресс или порочный круг в поиске целого.

(2) Поскольку все положения относительны, положения могут быть определены только через их отношения, т.е. через прямые линии или плоскости, проходящие через них; но прямые линии и плоскости, будучи все качественно подобными, могут быть определены только через положения, которые они связывают. Следовательно, мы снова получаем порочный круг.

(3) Пространственные фигуры должны рассматриваться как отношения. Но отношение необходимо неделимо, в то время как пространственные фигуры необходимо делимы ad infinitum.

196. (1) Точки. Антиномия точки — которая возникает везде, где дан континуум и в нем должны быть найдены элементы — является фундаментальной для геометрии. Она была дана, возможно, непреднамеренно, Веронезе в качестве первой аксиомы в форме: «Существуют различные точки. Все точки идентичны» (op. cit. стр. 226). Мы видели при обсуждении проективной геометрии, что прямые линии и плоскости должны рассматриваться, с одной стороны, как отношения между точками, а с другой стороны, как состоящие из точек [190]. Мы видели также при рассмотрении измерения, как пространство должно рассматриваться как бесконечно делимое и в то же время как простая относительность. Но то, что делимо и состоит из частей, как пространство, должно в конечном итоге, путем продолженного анализа, привести к простой и неанализируемой части как единице дифференциации. Ибо все, что может быть разделено и имеет части, обладает некоторой вещностью и должно, следовательно, содержать две предельные единицы: целое, а именно, и наименьший элемент, обладающий вещностью. Но в пространстве это, как известно, не так. После гипостазирования пространства, к чему вынуждена геометрия, разум настоятельно требует элементов и настаивает на их наличии, возможны они или нет. Свидетельством этого требования являются все геометрические приложения исчисления бесконечно малых [191]. Но какие элементы мы таким образом получаем? Анализ, будучи не в состоянии найти какую-либо более раннюю остановку, находит свои элементы в точках, то есть в нулевых квантах пространства. Такая концепция является явным противоречием, терпимым лишь в силу своей необходимости и привычности. Точка должна быть пространственной, иначе она не выполняла бы функцию пространственного элемента; но опять же она не должна содержать пространства, ибо любая конечная протяженность способна к дальнейшему анализу. Точки никогда не могут быть даны в интуиции, которая не имеет дела с бесконечно малым: они являются чисто концептуальной конструкцией, возникающей из потребности в терминах, между которыми могут существовать пространственные отношения. Если пространство — это нечто большее, чем относительность, пространственные отношения должны включать пространственные релаты; но никакие релаты не появляются, пока мы не проанализируем наши пространственные данные до нуля. Противоречивое понятие точки как вещи в пространстве без пространственной величины — единственный результат нашего поиска пространственных релат. Это reductio ad absurdum, безусловно, само по себе достаточно, чтобы доказать существенную относительность пространства.

197. Таким образом, геометрия вынуждена, поскольку она желает рассматривать пространство как независимое, гипостазировать свои абстракции и, следовательно, изобретать самопротиворечивое понятие в качестве пространственного элемента. Подобная нелепость проявляется, еще более очевидно, в понятии целого пространства. Антиномию можно, следовательно, сформулировать так: пространство, как мы видели на протяжении всего текста, должно, если знание о нем возможно, быть простой относительностью; но оно должно также, если возможно независимое знание о нем, к которому стремится геометрия, быть чем-то большим, чем просто относительность, поскольку оно делимо и имеет части. Но мы видели в гл. III, раздел А (§ 133), что знание формы внешности должно быть логически независимым от конкретной материи, заполняющей эту форму. Как же тогда нам выбраться из этой дилеммы?

Единственный способ, я думаю, состоит не в том, чтобы сделать геометрию зависимой от физики, что, как мы видели, ошибочно [192], а в том, чтобы придать каждому геометрическому предложению определенное отношение к материи вообще. И в этом пункте необходимо сделать важное различие. Мы до сих пор говорили о пространстве как о реляционном, а о пространственных фигурах как об отношениях. Но пространство, по-видимому, является скорее относительностью, чем отношениями — само по себе не являясь отношением, оно дает голую возможность отношений между разнообразными вещами [193]. Применительно к пространственной фигуре, которая может возникнуть только путем дифференциации пространства и, следовательно, путем введения некоторой дифференцирующей материи, слово «отношение», возможно, менее вводит в заблуждение, чем любое другое; применительно к пустому недифференцированному пространству оно, по-видимому, отнюдь не является точным описанием.

Но голая возможность не может существовать или быть дана в чувственном восприятии! Что же тогда становится с аргументами первой части этой главы? Я отвечаю: не пустое пространство, а пространственные фигуры открывает чувственное восприятие, и пространственные фигуры, как мы только что видели, предполагают дифференциацию пространства и, следовательно, отсылку к материи, которая находится в пространстве. Именно с пространственными фигурами, а не с пустым пространством, имеет дело геометрия. Обсуждаемая выше антиномия возникает тогда — так кажется — из попытки иметь дело с пустым пространством, а не с пространственными фигурами и материей, к которой они необходимо отсылают.

198. Посмотрим, сможем ли мы с помощью этого изменения преодолеть антиномию точки. Пространственные фигуры, скажем мы теперь, суть отношения между материей, которая дифференцирует пустое пространство. Их делимость, которая, казалось, противоречила их реляционному характеру, может быть объяснена двумя способами: во-первых, как относящаяся к фигурам, рассматриваемым как части пустого пространства, которое само по себе не является отношением; во-вторых, как обозначающая возможность непрерывного изменения в отношении, выраженном пространственной фигурой. Эти два способа, по сути, одни и те же; ибо пустое пространство есть возможность отношений, и фигура, рассматриваемая в связи с пустым пространством, становится таким образом возможным отношением, с которым другие возможные отношения могут быть противопоставлены или сравнены. Но второй способ рассмотрения делимости лучше, поскольку он вводит отсылку к материи, которая дифференцирует пустое пространство, без чего пространственные фигуры, а следовательно, и геометрия, не могли бы существовать. Именно пустое пространство, следовательно — так мы должны заключить — порождает рассматриваемую антиномию; ибо пустое пространство есть голая возможность отношений, недифференцированная и однородная, и, таким образом, полностью лишенная частей или вещности. Говорить о частях возможности — бессмыслица; части и дифференциации возникают только через отсылку к материи, которая дифференцирована в пространстве.

199. Но какую природу мы должны приписать этой материи, которая должна быть вовлечена во все геометрические предложения? При критике Гельмгольца (гл. II, § 73), можно вспомнить, мы решили, что геометрия относится к особому и абстрактному виду материи, которая не рассматривается как обладающая какими-либо причинными качествами, как оказывающая или подвергающаяся действию сил. И это та материя, я думаю, которая нам нужна для нужд момента. Не то чтобы мы утверждали, конечно, что действительная материя может быть лишена свойств, с которыми имеет дело физика, но что мы абстрагируемся от этих свойств как нерелевантных для геометрии. Все, что нам нужно для нашей непосредственной цели, — это субъект того многообразия, которое делает возможным пространство, или термины для тех отношений, которыми пустое пространство, если пространство вообще должно изучаться, должно быть дифференцировано. Но как должна рассматриваться материя, которая должна выполнять эту функцию?

Пустое пространство, сказали мы, есть возможность многообразия в отношении, но пространственные фигуры, с которыми необходимо имеет дело геометрия, суть действительные отношения, ставшие возможными благодаря пустому пространству. Наша материя, следовательно, должна поставлять термины для этих отношений. Она должна быть дифференцирована, поскольку такая дифференциация, как мы видели, есть особая работа пространства. Мы должны найти, следовательно, в нашей материи ту единицу дифференциации, или атом [194], которую в пространстве мы не могли найти. Этот атом должен быть простым, т.е. он должен содержать никакого реального многообразия; он должен быть «Это», не разложимым на «Это-вещи». Будучи простым, он не может содержать отношений внутри себя, и, следовательно, поскольку пространственные фигуры суть лишь отношения, он не может появиться как пространственная фигура; ибо каждая пространственная фигура включает некоторое многообразие материи. Но наш атом должен иметь пространственные отношения с другими атомами, поскольку поставка терминов для этих отношений — его единственная функция. Он также способен иметь эти отношения, поскольку он дифференцирован от других атомов. Следовательно, мы получаем непротяженный термин для пространственных отношений, именно того вида, который нам требуется. Пока мы искали этот термин без отсылки к чему-либо, кроме пространства, самопротиворечивое понятие точки было единственным результатом нашего поиска; но теперь, когда мы допускаем отсылку к материи, дифференцированной пространством, мы сразу находим термин, который был нужен, а именно: непространственный простой элемент с пространственными отношениями к другим элементам. Для геометрии такой термин будет выглядеть, благодаря своим пространственным отношениям, как точка; но противоречие точки, как мы теперь видим, есть результат лишь чрезмерной абстракции, с которой имеет дело геометрия.

200. (2) Круг в определении прямых линий и плоскостей. Эта трудность не должна долго задерживать нас, поскольку мы уже, с помощью материального атома, прорвались через относительность, которая вызвала наш круг. Прямые линии в чисто геометрической процедуре определяются только точками, а точки — только прямыми линиями. Но точки теперь заменены материальными атомами: двойственность точек и линий, следовательно, исчезла, и прямая линия может быть определена как пространственное отношение между двумя непротяженными атомами. Эти атомы имеют пространственные прилагательные, производные от их отношений к другим атомам; но они не имеют внутренних пространственных прилагательных, таких, которые могли бы принадлежать им, если бы они имели протяженность или фигуру. Таким образом, прямые линии и плоскости являются истинными пространственными единицами, а точки возникают только из попытки найти внутри пространства те термины для пространственных отношений, которые существуют только в более чем пространственной материи. Прямые линии, плоскости и объемы суть пространственные отношения между двумя, тремя или четырьмя непротяженными атомами, а точки — лишь удобная геометрическая фикция, которой заменяются возможные атомы. Ибо, поскольку пространство, как мы видели, есть возможность, геометрия имеет дело не с фактически реализованными пространственными отношениями, а со всей схемой возможных отношений.

201. (3) Пространство является одновременно реляционным и чем-то большим, чем реляционным. Мы уже коснулись вопроса о том, насколько пространство является чем-то иным, чем отношения, но поскольку этот вопрос совершенно фундаментален, поскольку «отношение» — двусмысленное и опасное слово, поскольку я постоянно использовал относительность пространства, не пытаясь определить отношение, будет необходимо обсудить эту антиномию подробно.

202. Теперь для этого обсуждения важно четко различать пустое пространство и пространственные фигуры. Пустое пространство как форма внешности — это не актуальные отношения, а возможность отношений: если мы приписываем ему экзистенциальное значение как основанию в реальности всего многообразия в отношении, мы сразу получаем пространство как нечто, само по себе не являющееся отношениями, хотя и дающее возможность всех отношений. В этом смысле пространство следует отличать от пространственного порядка. Пространственный порядок, можно сказать, предполагает пространство как то, в чем этот порядок возможен. Так, Штумпф говорит [195]: «Нет порядка или отношения без позитивного абсолютного содержания, лежащего в его основе и делающего возможным упорядочивание чего-либо таким образом. Почему и как иначе мы должны были бы отличать один порядок от другого?... Чтобы отличить различные порядки друг от друга, мы должны везде признать особое абсолютное содержание, по отношению к которому происходит порядок. И поэтому пространство тоже — не просто порядок, а именно то, посредством чего пространственный порядок, рядоположенность (Nebeneinander), отличает себя от остального».

Не можем ли мы тогда разрешить антиномию очень просто, сославшись на эту двусмысленность пространства? Брэдли утверждает (Appearance and Reality, стр. 36–7), что, с одной стороны, пространство имеет части и поэтому не является просто отношениями, в то время как, с другой стороны, когда мы пытаемся сказать, что это за части, мы обнаруживаем, что они, в конечном счете, являются просто отношениями. Но нельзя ли пространство, которое имеет части, рассматривать как пустое пространство, абсолютное лежащее в основе содержание Штумпфа, которое не является просто отношениями, в то время как части, поскольку они оказываются просто отношениями, — это те отношения, которые составляют пространственный порядок, а не пустое пространство? Если это можно утверждать, антиномия больше не существует.

Но такое объяснение, хотя я верю, что это первый шаг к решению, само, боюсь, потребует почти столько же объяснений, сколько и первоначальная трудность. Ибо связь пустого пространства с пространственным порядком сама по себе является вопросом, полным трудностей, на который можно ответить только после большого труда.

203. Рассмотрим, что такое это пустое пространство. (Я говорю о «пустом» пространстве, не обязательно подразумевая отсутствие материи, а лишь для обозначения пространства, которое не является просто порядком материальных вещей.) Штумпф рассматривает его как данное в чувстве; Кант, в последних двух аргументах своей метафизической дедукции, утверждает, что это интуиция, а не концепт, и она должна быть познана до того, как станет возможным пространственный порядок. Я хочу утверждать, напротив, что оно полностью концептуально; что пространство дано только как пространственный порядок; что пространственные отношения, будучи данными, предстают как нечто большее, чем просто отношения, и поэтому становятся гипостазированными; что при гипостазировании вся их совокупность рассматривается как содержащаяся в пустом пространстве; но что это пустое пространство само по себе, если оно означает нечто большее, чем логическую возможность пространственных отношений, является ненужным и самопротиворечивым допущением. Начнем с рассмотрения аргументов Канта по этому пункту.

Лейбниц утверждал, что пространство — это только отношения, в то время как Ньютон настаивал на объективной реальности абсолютного пространства. Кант выбрал средний путь: он утверждал абсолютное пространство, но рассматривал его как чисто субъективное. Утверждение абсолютного пространства является объектом его второго аргумента; ибо если бы пространство было просто отношениями между вещами, оно неизбежно исчезло бы с исчезновением вещей в нем; но это второй аргумент отрицает [196]. Теперь пространственный порядок, очевидно, исчезает с материей, но абсолютное или пустое пространство может предполагаться остающимся. Именно об этом, следовательно, спорит Кант, и именно это он утверждает как чистую интуицию, необходимо предполагаемую пространственным порядком [197].

204. Но можем ли мы согласиться в рассмотрении пустого пространства, «бесконечного данного целого», как действительно данного? Не должны ли мы, вопреки аргументу Канта, рассматривать его как полностью концептуальное? Оно не требуется, во-первых, аргументом первой половины этой главы, который требовал только, чтобы каждое «Это» чувственного восприятия было разложимо на «Это-вещи», и, таким образом, включало только порядок среди «Это-вещей», а не что-либо данное изначально без отсылки к ним вообще. Во-вторых, два аргумента Канта [198], призванные доказать, что пустое пространство не является концептуальным, неадекватны своей цели. Аргумент о том, что части пространства содержатся не под ним, а в нем, доказывает, конечно, что пространство не является общей концепцией, частными случаями которой являются пространственные фигуры; но из этого отнюдь не следует, что пустое пространство не является концепцией. Пустое пространство недифференцировано и однородно; части пространства, или пространственные фигуры, возникают только путем отсылки к некоторой дифференцирующей материи и, таким образом, принадлежат скорее пространственному порядку, чем пустому пространству. Если пустое пространство является предусловием пространственного порядка, мы не можем ожидать, что оно будет связано с пространственными отношениями как род с видом. Но пустое пространство может тем не менее быть универсальной концепцией; оно может быть связано с пространственным порядком как государство с гражданами. Это не примеры государства, но они содержатся в нем; они также, в некотором смысле, предполагают его, ибо человек может стать гражданином, только будучи связанным с другими гражданами в государстве [199].

Уникальность пространства, опять же, вряд ли кажется веским аргументом в пользу его интуитивной природы; рассматривать его как аргумент означает, по сути, что все концепции абстрагируются из ряда примеров — взгляд, который был подвергнут критике в главе II (§ 77) и не нуждается в дальнейшем обсуждении здесь [200]. Нет, следовательно, оснований в двух аргументах Канта для интуитивной природы пустого пространства, которые можно было бы поддержать против критики.

205. Еще одно основание для осуждения пустого пространства можно найти в математических антиномиях. Ибо это не решение, как отмечает Лотце (Metaphysik, кн. II, гл. I, § 106), рассматривать пустое пространство как чисто субъективное: противоречия в необходимой субъективной интуиции представляют собой столь же большую трудность, как и в чем-либо другом. Но эти антиномии возникают только в связи с пустым пространством, а не с пространственным порядком как совокупностью отношений. Ибо только когда пространство рассматривается как обладающее некоторой вещностью, можно требовать целого или истинного элемента. Это мы уже видели в связи с точкой. Когда пространство рассматривается, насколько это обоснованно, только как пространственный порядок, безграничная протяженность и бесконечная делимость исчезают. То, что делится, — это не пространственные отношения, а материя; и если материя, как мы видели, что требует геометрия, состоит из непротяженных атомов с пространственными отношениями, нет причин рассматривать материю ни как бесконечно делимую, ни как состоящую из атомов конечной протяженности.

206. Но откуда возникает, с этой точки зрения, парадокс, что мы не можем не рассматривать пространство как имеющее большую или меньшую вещность и как делимое ad infinitum? Это должно быть объяснено, я думаю, как психологическая иллюзия, неизбежно возникающая из того факта, что пространственные отношения представлены непосредственно. Они, таким образом, имеют особое психическое качество, как непосредственные переживания, по которому они могут быть отличены от временных отношений или любого другого порядка, в котором могут быть расположены вещи. Для Штумпфа, чья проблема психологическая, такое психическое качество составляло бы абсолютное лежащее в основе содержание и полностью оправдало бы его тезис; для нас, однако, чья проблема эпистемологическая, это не сделало бы этого, но оставило бы значение пространственного элемента в чувственном восприятии свободным от какого-либо имплицирования абсолютного или пустого пространства [201]. Не можем ли мы тогда отказаться от пустого пространства и сказать: пространственный порядок состоит из ощущаемых отношений и как ощущаемый имеет, для психологии, существование, не полностью разложимое на отношения, и неизбежно кажущееся чем-то большим, чем просто отношения. Но когда мы исследуем информацию о пространстве, которую мы получаем из чувственного восприятия, мы обнаруживаем, что погружаемся в противоречия, как только позволяем этой информации состоять из чего-то большего, чем отношения. Это оставляет пространственный порядок в одиночестве на поле и сводит пустое пространство к простому имени для логической возможности пространственных отношений.

207. Кажущаяся делимость отношений, которые составляют пространственный порядок, тогда может быть объяснена двумя способами, хотя они в основе своей эквивалентны. Мы можем взять отношение как рассматриваемое в связи с пустым пространством, и в этом случае оно становится чем-то большим, чем отношение; но будучи ложно гипостазированным, оно предстает как сложная вещь, необходимо состоящая из элементов, которые, однако, нигде не появляются, пока мы не проанализируем псевдовещь до нуля и не придем к точке. В этом смысле делимость пространственных отношений есть неизбежная иллюзия. Или, опять же, мы можем взять отношение в связи с материальными атомами, которые оно связывает. В этом случае могут быть воображены другие атомы, иначе локализованные другими пространственными отношениями. Если они локализованы на прямой линии, соединяющей два из исходных атомов, эта прямая линия кажется разделенной ими. Но исходное отношение не разделено на самом деле: произошло лишь то, что два или более эквивалентных отношения заменили его, как два составных отношения отца и сына могут заменить эквивалентное отношение деда и внука. Эти два способа рассмотрения кажущейся делимости эквивалентны: ибо пустое пространство, поскольку оно не является иллюзией, есть имя для совокупности возможных пространственных отношений. Рассматривать фигуру в пустом пространстве как разделенную, следовательно, означает, если это вообще что-то означает, рассматривать два или более других возможных отношения как подставленные вместо нее, что дает второй способ рассмотрения вопроса.

Та же отсылка к материи, с помощью которой была решена антиномия точки, решает также антиномию относительно реляционной природы пространства. Пространство, если оно должно быть освобождено от противоречий, должно рассматриваться исключительно как пространственный порядок, как отношения между непротяженными материальными атомами. Пустое пространство, которое возникает, в силу неизбежной иллюзии, из пространственного элемента в чувственном восприятии, может рассматриваться, если мы хотим сохранить его, как голый принцип относительности, голая логическая возможность отношений между разнообразными вещами. В этом смысле пустое пространство полностью концептуально; только пространственный порядок непосредственно переживается.

208. Но в каком смысле пространственный порядок состоит из отношений? Мы до сих пор говорили о внешности как об отношении, и в некотором смысле такой способ говорить оправдан. Внешность, когда она предицируется чему-либо, является прилагательным этой вещи и подразумевает отсылку к некоторой другой вещи. В этой мере, следовательно, внешность аналогична другим отношениям; и только в этой мере, в наших предыдущих аргументах, она рассматривалась как отношение. Но когда мы принимаем во внимание дальнейшие качества отношений, внешность начинает представать не столько как отношение, сколько скорее как необходимый аспект или элемент в каждом отношении. И это подтверждается необходимостью, для существования отношений, некоторой данной формы внешности.

Каждое отношение, можно сказать, включает многообразие между связанными терминами, но также некоторое единство. Простое многообразие не дает основания для того взаимодействия и той взаимозависимости, которые требует отношение. Простое единство оставляет термины идентичными и, таким образом, разрушает отсылку одного к другому, требуемую для отношения. Простая внешность, взятая в абстракции, дает только элемент многообразия, требуемый для отношения, и, таким образом, является более абстрактной, чем любое актуальное отношение. Но простое многообразие не дает того неделимого целого, из которого должно состоять любое актуальное отношение, и, таким образом, при рассмотрении абстрактно, не подлежит ограничениям обычных отношений.

Но с простым многообразием мы, кажется, вернулись к пустому пространству и отказались от пространственного порядка. Простое многообразие, безусловно, либо полно, либо несуществующе; степени многообразия или количественная мера его — бессмыслица. Мы не можем, следовательно, свести пространственный порядок к простому многообразию. Две вещи, если они занимают разные положения в пространстве, необходимо разнообразны, но столь же необходимо являются чем-то большим; иначе пространственный порядок становится бессмысленным.

Пустое пространство, следовательно, в вышеуказанном смысле возможности пространственных отношений, содержит только один аспект отношения, а именно аспект многообразия; но пространственный порядок, благодаря своей отсылке к материи, становится более конкретным и содержит также элемент единства, возникающий из связи различных материальных атомов. Пространственный порядок, следовательно, состоит из отношений в обычном смысле; его чисто пространственный элемент, однако — если можно сделать такое различие — элемент, то есть, который может быть абстрагирован от материи и рассматриваться как составляющий пустое пространство, является лишь одним аспектом отношения, но аспектом, который в конкретном должен быть неразрывно связан с другим аспектом. Здесь, еще раз, мы видим основание противоречий в пустом пространстве и причину, почему пространственный порядок свободен от этих противоречий.

Заключение.

209. Мы завершили наш обзор оснований геометрии. Будет хорошо, прежде чем мы расстанемся с предметом, кратко рассмотреть и резюмировать результаты, которых мы достигли.

В первой главе мы наблюдали развитие отрасли математики, предназначенной поначалу лишь для установления логической независимости евклидовой аксиомы о параллельных и возможности самосогласованной геометрии, которая обходится без нее. Мы обнаружили, что дальнейшее развитие предмета было на некоторое время запутано в философских спорах; показав одну аксиому излишней, геометры второго периода надеялись доказать тот же вывод для всех остальных, но не смогли построить ни одной системы, свободной от трех фундаментальных аксиом. Будучи заняты аналитической и метрической геометрией, они склонны были рассматривать алгебру как априорную, но полагали, что те свойства пространственных величин, которые не были выводимы из законов алгебры, должны быть эмпирическими. Во всем этом они стремились в равной степени дискредитировать Канта и продвинуть математику. Но с третьим периодом интерес к философии уменьшается, оппозиция Евклиду становится менее заметной, и, что самое важное, измерение больше не рассматривается как фундаментальное, и пространство рассматривается скорее дескриптивными, чем количественными методами. Тем не менее, три аксиомы, по существу те же, что были сохранены во втором периоде, все еще сохраняются всеми геометрами.

Во второй главе мы попытались, путем критики некоторых геометрических философий, подготовить почву для конструктивной теории геометрии. Мы видели, что Кант, применяя аргумент Трансцендентальной эстетики к пространству, зашел слишком далеко, поскольку его логический охват простирался только на некоторую форму внешности вообще. Мы видели, что Риман, Гельмгольц и Эрдман, введенные в заблуждение количественным уклоном, упустили из виду качественный субстрат, требуемый всеми суждениями о количестве, и, таким образом, ошиблись в направлении, в котором следует искать необходимые аксиомы геометрии. Мы отвергли также взгляд Гельмгольца, что геометрия зависит от физики, потому что обнаружили, что физика должна предполагать знание геометрии, прежде чем она может стать возможной. Но мы допустили в геометрии отсылку к материи — не, однако, к материи, как она эмпирически известна в физике, а к более абстрактной материи, чья единственная функция — появляться в пространстве и поставлять термины для пространственных отношений. Мы допустили, однако, помимо этого, что все актуальное измерение должно осуществляться посредством актуальной материи и является лишь эмпирически возможным, через эмпирическое знание приблизительно жестких тел. Критикуя Лотце, мы увидели, что наиболее важный смысл, в котором возможны неевклидовы пространства, — это философский смысл, а именно, что они не осуждаются никаким априорным аргументом относительно необходимости пространства для опыта и что, следовательно, если они не утверждаются, это должно быть по одним лишь эмпирическим основаниям. Критику Лотце в адрес математической процедуры метагеометрии мы сочли полностью обусловленной незнанием предмета.

Переходя в третьей главе к конструктивной теории геометрии, мы увидели, что проективная геометрия, которая не имеет отсылки к количеству, необходимо истинна для любой формы внешности. Ее три аксиомы — однородность, размерности и прямая линия — были все выведены из концепции формы внешности и, поскольку некоторая такая форма необходима для опыта, были все объявлены априорными. В метрической геометрии, напротив, мы обнаружили эмпирический элемент, возникающий из альтернатив евклидова и неевклидова пространства. Три априорные аксиомы, общие для этих пространств и необходимые условия возможности измерения, все еще оставались; это были аксиома свободной подвижности, аксиома о том, что пространство имеет конечное целое число измерений, и аксиома расстояния. За исключением новой идеи движения, они были найдены эквивалентными проективной триаде и, таким образом, необходимо истинными для любой формы внешности. Но остальные аксиомы Евклида — аксиома о трех измерениях, аксиома о том, что две прямые линии никогда не могут заключить пространство, и аксиома о параллельных — рассматривались как эмпирические законы, производные от исследования и измерения нашего действительного пространства, и истинные только, насколько это касается последних двух, в пределах, установленных ошибками наблюдения.

В настоящей главе мы завершили наше доказательство априорности проективных и эквивалентных метрических аксиом, показав необходимость для опыта некоторой формы внешности, данной ощущением или интуицией, а не просто выведенной из других данных. Без этого, сказали мы, знание разнообразных, но взаимосвязанных вещей, краеугольный камень всего опыта, было бы невозможно. Наконец, мы обсудили противоречия, возникающие из относительности и непрерывности пространства, и попытались преодолеть их путем отсылки к материи. Эта материя, обнаружили мы, должна состоять из непротяженных атомов, локализованных их пространственными отношениями и появляющихся в геометрии как точки. Но непространственные прилагательные материи, мы утверждали, нерелевантны для геометрии, и ее причинные свойства могут быть оставлены без внимания. Чтобы иметь дело с новыми противоречиями, вовлеченными в такое понятие материи, потребовался бы новый трактат, ведущий нас через кинематику в области динамики и физики. Но обсудить специальные трудности пространства — это все, что возможно в эссе об основаниях геометрии.

СНОСКИ:

[178] Сравните со следующими параграфами замечательное обсуждение в книге г-на Хобхауса «Теория познания» (Methuen 1896), часть I, глава II.

[179] Я говорю о чувственном восприятии вместо ощущения, чтобы не предрешать вопрос о сенсационной природе пространства.

[180] См. Commentar Файхингера, II, стр. 86–7, 168–171.

[181] См. Кэрд, «Критическая философия Канта», том I, стр. 287.

[182] Ursprung der Raumvorstellung, стр. 12–30.

[183] См. ссылки в Commentar Файхингера, II, стр. 76 сл.

[184] Commentar, II, стр. 71 сл.

[185] Например, у Кэрда, op. cit. том I, стр. 286.

[186] Я не желаю, однако, отрицать, что пространство существенно в последующем различении Я и не-Я.

[187] См. также Книгу I, гл. II passim; особенно стр. 51 сл. и стр. 70–1.

[188] Логика, стр. 51 сл.

[189] Ибо «Это» при такой гипотезе имеет чисто временную сложность и не разложимо на сосуществующие «Это-вещи».

[190] Глава III, раздел А, (§ 131).

[191] Ср. Аннекен, Essai critique sur l'hypothèse des atomes, Париж 1895, гл. I, раздел III; особенно стр. 43.

[192] См. главу II, § 69 сл.

[193] См. третью антиномию ниже, § 201 сл.

[194] Этот атом, конечно, не следует путать с атомом химии.

[195] Ursprung der Raumvorstellung, стр. 15.

[196] См. Commentar Файхингера, II, стр. 189–190.

[197] См. ibid. стр. 224 сл. о противоречиях Канта по этому пункту.

[198] Четвертый и пятый в первом издании, третий и четвертый во втором.

[199] Ср. Commentar Файхингера, II, стр. 218.

[200] Ср. Commentar Файхингера, II, стр. 207.

[201] Ср. Джеймс, «Психология», том II, стр. 148 сл.

Кембридж:

ОТПЕЧАТАНО ДЖ. И К. Ф. КЛЕЕМ,

В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ.

ПРИМЕЧАНИЕ ТРАНСКРИПТОРА

Очевидные опечатки и ошибки пунктуации были исправлены после тщательного сравнения с другими вхождениями в тексте и консультации с внешними источниками.

Знак минус представлен символом n-тире «–». Диапазоны дат и чисел также используют n-тире «–».

За исключением изменений, отмеченных ниже, все орфографические ошибки в тексте, а также непоследовательное или архаичное использование были сохранены. Например, co-exist, coexist; every-day, everyday; connexion; assertorial; apodeictic; premisses.

§ 82, «so Erdmannn confidently» заменено на «so Erdmann confidently». Сноска [157] к § 150, «Delboeuf» заменено на «Delbœuf» для последовательности. § 152, «one subdivison must» заменено на «one sub-division must». Сноска [167] к § 159, «Delboeuf» заменено на «Delbœuf» для последовательности. § 204, «and homogenous;» заменено на «and homogeneous;».

The Project Gutenberg eBook of An Essay on the Foundations of Geometry, by Bertrand A. W. Russell.