«Определение и реальность в общей теории политической экономии»

Общий взгляд Эрроу был принят во многих местах в литературе и учебниках, см. Luce & Raiffa (1957), Johansen (1969), Sen (1986) или различные другие статьи в том же Palgrave. Например, Тобин (1990):

«Мы знаем, что нет способа агрегировать индивидуальные предпочтения в социальные ранжирования (...). Как будто это было не очевидно, Кеннет Эрроу строго доказал это много лет назад. Невозможность применяется к агрегированию по одновременным когортам, а тем более по поколениям, живущим и нерожденным».

В широко используемой книге по анализу затрат и выгод (CBA), А.К. Дасгупта и Д.У. Пирс (1980):

«(...) путь к отступлению (...) кажется, еще не доступен».

По-видимому, чувствуя, что аргумент Эрроу разрушает основы CBA, они вынуждены, довольно неохотно, свести CBA к чему-то вроде сбора информации.

В в остальном рекомендуемом томе Statistical Science, Гилл и Гейнус (2002) обнаруживают:

«Фактически, он доказал, что если только вы не готовы нарушить одну из набора разумных демократических норм, (...непоследовательность...) является неизбежностью. (...) Поэтому коллективные социальные решения не могут дать по-настоящему демократическую систему в этом смысле».

Йоргенсон (1990), бывший президент Эконометрического общества, делает вывод «более позитивно» в пользу диктатуры:

«Классическим результатом теории социального выбора является теорема Эрроу (...) о невозможности, которая гласит, что порядковая несопоставимость индивидуальных упорядочений благосостояния подразумевает, что последовательное социальное упорядочение должно быть диктаторским, соответствующим предпочтениям одного индивида».

Не все поддаются на диктатуру. Влияние AGV обычно проистекает из того факта, что люди обнаруживают, что они, либо из морального обязательства, либо из разумности, хотят невозможного. И многие просто остаются в этом тупике.

Заметьте тонкость в этом тупике. Невозможность является логической, а не просто эмпирической. Пример может помочь. Позвольте мне признаться, что я хочу основать новый университет на острове Крит. Однако я не так богат, поэтому я хочу чего-то невозможного. Это, однако, не ставит меня в тупик, поскольку я привык к тому, что не могу позволить себе некоторые вещи, которые хочу. Однако общий взгляд Эрроу касается логической невозможности, что является чем-то совершенно иным.

Мы можем полезно признать:

разумный = рациональный и реалистичный

Разумность — это пересечение рациональности и эмпирического реализма. Несуществование может проистекать из эмпирических обстоятельств или из логической невозможности. Иррациональность, однако, всегда нереалистична. Непоследовательность не может существовать в истинном эмпирическом смысле. Например, круглый квадрат не может существовать. Несуществование эрроуской конституции аналогичным образом проистекает не из эмпирической реальности, а из логической необходимости.

Учитывая AGV, возникает вопрос, каковы на самом деле разумность и моральные предположения утверждений Эрроу. Являются ли эти утверждения такими сильными, как предполагалось?

Моя позиция такова:

1. Как было сказано о «круглых столах», постулировать противоречивые свойства нерационально. Люди, вовлеченные в процесс обучения, действительно могут делать противоречивые предположения. Однако, как только противоречие обнаружено, принятие этих предположений больше не считается рациональным. Люди могут наслаждаться «круглостью» и «квадратностью», но наличие обоих одновременно рассматривается как противоречивое, даже немыслимое, и, следовательно, неразумное. Эрроуские свойства неразумны точно таким же образом. Ловушка Эрроу заключается в том, чтобы путать процесс обучения, его контекст открытия, с применением в реальном мире образованными людьми.

2. Аналогично, человек не может быть морально обязан логической невозможности. Следовательно, свойства Эрроу морально нежелательны.

Эти пункты будут разъяснены ниже.

Заметим, что люди на практике отвергли некоторые свойства Эрроу. Даже те ученые, которые, по-видимому, принимают общее утверждение AGV, принимают, a fortiori, подразумеваемую непоследовательность и, таким образом, на практике отбрасывают некоторые предположения, чтобы справиться с реальным миром. К сожалению, однако, литература не пришла к согласию относительно того, какие свойства лучше отбросить. Позиция этой статьи будет заключаться в том, чтобы выдвинуть предложение о том, что аксиома Эрроу о принятии решений попарным сравнением (ранее известная как независимость от нерелевантных альтернатив) является виновником, которого нужно устранить. Это плохая аксиома для рационального коллективного принятия решений, поскольку она кажется несовместимой с самим этим понятием.

Далее мы разрабатываем концепции, приводим краткое доказательство и обсуждение теоремы Эрроу, выстраиваем аргументацию против этих утверждений, переоцениваем литературу и подводим итоги.

Основные концепции

Пожалуйста, обратите внимание, что только для этой главы нам придется переопределить некоторые символы.

Пусть X — область товаров. Элемент в области товаров можно назвать объектом или кандидатом. Агент представляет собой совокупность различных свойств, таких как полезность, богатство и т. д. Пусть S — множество возможных совокупностей на X. При наличии n агентов наш интерес представляет функция c: S^n -> S, которая отображает общество в совокупный результат. Это обычно называют «функцией общественного благосостояния типа Эрроу» или просто конституцией.

Конституция отличается от «функции общественного благосостояния (ФОБ) типа Бергсона-Самуэльсона», причем последняя определяется непосредственно на X как ФОБ: X -> [0, ∞).

Теорема Эрроу касается механизмов формирования функций общественного благосостояния (МФ-ФОБ), подобных c, приведенной выше. Таким образом, конституцию можно рассматривать как механизм, который использует население в качестве входных данных и генерирует ФОБ, упорядочивающую все элементы в товарном пространстве. Это можно сравнить с функцией социального выбора (ФСВ), которая выбирает только один элемент, а именно лучший из бюджетного множества. Это можно еще больше ослабить, рассматривая отношения предпочтения вместо функций. Конституции, как правило, лучше соотносятся с механизмами ФСВ, поскольку парламенты обычно не заботятся об упорядочивании всех предложений. Однако эти концепции можно перевести друг в друга путем изменения бюджетного множества. Поскольку ФОБ является общепринятой концепцией в экономике, слово «конституция» может оставаться связанным с МФ-ФОБ.

Достаточно ограничить S отношениями предпочтения. Эти отношения удовлетворяют рефлексивности, транзитивности и полноте. Важно добавить, что здесь нет места обману. Пусть R обозначает обычное предпочтение, P — строгое предпочтение, а I — безразличие. Когда нет путаницы, мы также можем использовать символы >=, < и =. Суффикс обозначает индивидуальное предпочтение, в противном случае — совокупное. Элемент в S^n называется профилем, и R = c(R1, ...Rn).

Существуют следующие аксиомы Эрроу:

AWP — слабый принцип Парето

AU — универсальная область (широкий спектр предпочтений)

AD — отсутствие диктатора

APDM — попарное принятие решений (аксиома

ранее известная как независимость от посторонних альтернатив)

a = AWP & AU & AD & APDM.

Теорема Эрроу может быть выражена в различных эквивалентных логических формах:

AT: a -> falsum

AT’: a -> ~a

AT”: ~a

AT”’: (AWP & AU & APDM) -> ~AD

где falsum — это противоречие или ложь, а ~ — знак отрицания. Если что-то ведет к противоречию, то мы делаем вывод о ложности самих предпосылок.

Существует кантовское различие между техническими, прагматическими и моральными (категорическими) императивами. Полезность, как ее обычно рассматривают экономисты, вероятно, относится к прагматическому типу. Интересно, что теоретики морали разработали нечто под названием «деонтическая логика», которая, по-видимому, дает много результатов, схожих с экономической теорией. Однако деонтическая логика применяется к суждениям, а не к областям товаров. Тем не менее, можно интегрировать все эти виды предпочтений в интегральный индекс полезности, если заменить точку x в области товаров утверждением «Состояние мира есть x». Этот интегральный индекс полезности, вероятно, был бы лексикографическим, в том смысле, что некоторые моральные и конституционные вопросы могли бы доминировать над прагматическими результатами в области товаров. Таким образом, хотя мы использовали бы те же символы R, P и I, нам нужно было бы изучить структуру индекса, чтобы найти кантовское различие, проводимое конкретным агентом. Мы заключаем, что можем с пользой ввести и применить некоторые термины из деонтической логики. Определим:

Ap (~p -> p) означает, что p разрешено (по крайней мере, не хуже, чем ~p)

Op (~p < p) означает, что p является моральным обязательством (следует сделать p)

Пример деонтического результата:

Op -> ~(A(~p))

Деонтическая логика позволяет нам перевести:

AMC = Oa

Использование деонтической логики позволяет убедительно переформулировать трудность Эрроу в общественном выборе:

Oa & ~a

Рассмотрим некоторые другие свойства морали и деонтической логики.

Разрыв между «есть» и «должно быть» (Sein und Sollen) означает отказ от p -> Op («Если что-то есть, то так и должно быть») и, в принципе, от Op -> p («то, что должно быть, достигается»).

Заметьте, что это означает на самом деле. Утверждение p имеет истинностное значение 1 (истина) или 0 (ложь) в зависимости от состояния мира. Утверждение Op имеет «истинностное значение» 1 (должно быть) или 0 (не должно быть) в зависимости от чьих-либо предпочтений. Применение логического исчисления для пропозициональных операторов ~, ->, & является, таким образом, ментальным упражнением, где эмпирическим и преференциальным утверждениям сначала придается общий знаменатель «принятия в качестве значимого». Также может случиться, что в одном случае принимаются и p, и Op, но отказ от p -> Op означает, что это отвергается как правило.

Моральная последовательность отражена в деонтической аксиоме:

DA: p,q (Op & (p -> q)) -> Oq

Среди теоретиков морали ведутся дискуссии о том, действительно ли выполняется DA. Может возникнуть ощущение, что логика не очень убедительна для эмпирических отношений сомнительной причинности. Однако, если p -> q отражает логическую истину, то DA обычно принимается.

Что касается разумности, кажется немного лучше приписывать свойства агентам, а не суждениям или товарам. Полезными аксиомами тогда являются:

AF: осуществимость, X — это бюджетное множество (а не все пространство)

ARe: агенты реалистичны (они рассматривают только осуществимые варианты, принимают AF)

Таким образом, я согласен с утверждением Эрроу 1950 года: «Мое собственное мнение заключается в том, что вкусы в отношении недостижимых альтернатив не должны иметь никакого отношения к решению среди достижимых; желания, противоречащие реальности, не заслуживают рассмотрения». Таким образом, также, когда одна точка является (общественно) наиболее предпочтительной, именно она и потребляется.

Наиболее сложным свойством кажется старая добрая рациональность. Похоже, нам лучше ввести информационное множество или базу знаний I(.) и сформулировать условие, что она должна содержать теорему Эрроу. Тогда:

ARa: агенты рациональны (они принимают логику, имеют отношение предпочтения, морально последовательны (DA) и осведомлены о теореме Эрроу (I(~a)))

Условие I(~a) — это новый аспект, который, однако, не должен вызывать удивления, учитывая то, что мы сказали во введении. Существует разница между процессом обучения и результатом. В обычной стратегии обучения или стратегии продавца подержанных автомобилей людей подталкивают к тому, чтобы принять некоторые аксиомы как разумные и привлекательные, а затем они обжигаются, что их и учит. Это можно назвать рациональным с точки зрения обучения. Однако данная статья сосредоточена на рациональности после обучения, того рода рациональности, которая делает обучение столь ценным.

Как оригинальный подход Эрроу соотносится с включением I(~a)? Эрроу (1950, 1951, 1963) не включает обучение — хотя позже он писал об «обучении в процессе деятельности» — поэтому может быть, что он предполагает стандартную экономическую рациональность. Если бы это было идеальное предвидение, то I(~a) подразумевалось бы. Однако лучше считать, что Эрроу в тот период обсуждал конституционный выбор для агентов, а не агентами. Выбор для людей тогда делается каким-то алгоритмом или вычислительной машиной. Его аксиомы не описывают образованных людей, участвующих в конституционном выборе. С другой стороны, еще один новый результат в этой главе — это расширение рамок полезности и рациональности до включения знаний о самом конституционном процессе. В этом смысле оригинальные аксиомы Эрроу можно назвать неполными. С другой стороны, если идея состоит в том, что эти аксиомы касаются образованных людей, то существует скрытое противоречие в том, что разумные агенты, как предполагается, считают противоречивые аксиомы разумными.

Следовательно:

ARC = ARe & ARa

Переформулировка теоремы Эрроу

Кажется очень полезным обсудить пример, приведенный маркизом де Кондорсе в 1785 году. Сен (1970) приводит простой пример, который, по-видимому, был впервые представлен Нэнсоном в 1882 году. Аналогичный пример воспроизведен в Таблице 12, и я буду называть его «случаем Кондорсе». Есть три партии и три темы A, B и C на голосовании, и количество мест и предпочтения таковы, что при попарном голосовании и правиле большинства возникает цикл: A < B < C < A.

Таблица 12: Кондорсе 1785

Партия

Места

Темы, упорядоченные по предпочтению

Попарное голосование

Низ

Mid

Верх

A

B

B

C

C

A

Красные

25

A

B

C

25

25

25

Зеленые

35

C

A

B

35

35

35

Синие

40

B

C

A

40

40

40

Итого

100

40

60

35

65

25

75

B

C

A

Совершенно очевидно, что не так просто агрегировать голоса по более чем двум темам. Для двух тем можно действительно спросить «за» и «против» и найти большинство (и случайные ничьи, для которых существуют правила разрешения ничьих). Для двух тем можно действительно спросить «за» и «против» и найти большинство (и случайные ничьи). Для большего количества тем голоса будут рассеиваться по темам, и часто не будет четкого большинства. Поэтому попарное голосование — хорошая стратегия для получения необходимой информации о предпочтениях. Однако попарное голосование, по-видимому, также вызывает проблемы. Так что, по сути, поиск идет стратегии без таких проблем. И в этом, по сути, заключается и предполагаемая ценность теоремы Эрроу: она утверждает, что такой хорошей стратегии не существует.

Однако в этом примере Кондорсе мы можем четко сделать вывод, что цикл в первую очередь означает ничью. Ситуация находится в тупике, и группа как коллектив безразлична. То, что существуют безразличия или ничьи, — это ничего особенного. Стандартный экономический анализ позволяет агентам быть безразличными (мы даже рисуем кривые безразличия), поэтому группам тоже должно быть позволено быть безразличными. В примере Кондорсе безразличие — это даже логичный выбор, поскольку, если мы предположим что-то другое, мы быстро столкнемся с трудностями.

Существует знаменитый случай Буриданова осла (1358 г. н.э.). Осел стоит между двумя равными стогами сена на равном расстоянии. Он не может решить, какой стог выбрать, и умирает от голода. Суть этой притчи в том, что рациональные существа могут принять решение. Конституции обычно определяют, что происходит, когда возникают ничьи. Обычно сохраняется статус-кво. (Это может произойти, даже если это была одна из тем на голосовании, и, по-видимому, была отвергнута на этом этапе.) Альтернативы заключаются в том, что председатель решает, или пункты (пере)согласовываются, или можно использовать кости.

Важно видеть разницу между голосованием и принятием решения. На двух этапах председатель сначала перечисляет голоса, а затем только во вторую очередь принимает решение ударом молотка. Таблица 12 по сути дает поле голосования, а не решение. Нет никакого противоречия, пока мы записываем эти результаты как результаты голосования, например «у B больше голосов, чем у A в попарном сравнении». Противоречие возникает только тогда, когда мы превращаем это в предпочтение, т.е. решаем, что «B лучше, чем A». Существуют дополнительные правила, которые переводят поле в уникальное решение. Часть парадоксального элемента в голосовании проистекает из путаницы между голосованием и принятием решения.

Мы можем использовать пример Кондорсе, чтобы дать краткое доказательство теоремы Эрроу, ограничив наше внимание голосованием большинством.

Доказательство: Групповое решение в случае Кондорсе — это безразличие, так что B = C. Согласно аксиоме универсальности, мы можем рассмотреть различные профили предпочтений, из которых пример Кондорсе — лишь один. Теперь рассмотрим скорректированный профиль так, чтобы предпочтения по B и C остались прежними, но предпочтение по A опустилось на самую низкую позицию. Новый профиль, таким образом, {A < B < C, A < C < B, A < B < C}. Поскольку предпочтения по B и C не изменились, результат APDM по B и C должен быть таким же. Однако голосование большинством теперь приводит к B < C, что отличается от B = C. Противоречие. Таким образом, существует контрпример к аксиомам. Значит, аксиомы противоречивы. Ч.Т.Д.

Достоинство этого краткого доказательства в том, что оно ясно показывает неловкость APDM. В случае примера Кондорсе вывод B = C является здравым решением, а в случае скорректированного примера вывод B < C также является здравым. То, что предпочтения вне пары B и C изменились, жизненно важно для группового решения, поскольку сдвиг помогает переходу от четкого безразличия к четкому предпочтению. Предпочтения по другим темам весьма актуальны, а не «неактуальны». APDM исключает жизненно важную информацию о предпочтениях — точнее: она уничтожает существующую информацию — и неудивительно, что возникают парадоксы и противоречия. APDM несовместима с понятием группового принятия решений. Возможно, индивид может исключить информацию о других темах, но группа — нет. (Или мозг, который работает как группа, не может.) Удивительно, что APDM не была убита прямо в 1951 году.

Примечание о названии APDM

Эрроу (1951, 1963) ввел аксиому «Независимость от посторонних альтернатив» (AIIA), которая вызвала много недопонимания. Эта аксиома здесь была окрещена «Аксиомой попарного принятия решений» (APDM). Таким образом, аксиома остается прежней, меняется только название. Новое название гораздо яснее говорит о том, что аксиома означает на самом деле в обычном английском языке.

Поскольку название «IIA» так укоренилось в литературе, это изменение названия требует некоторого объяснения. Объяснение строится по следующим линиям:

· Существует различие между голосованием и принятием решения.

· Объекты, вызывающие циклы, нельзя назвать «неактуальными» для принятия решений.

· Критерий отделения актуальных объектов от неактуальных скорее является бюджетом и не обязательно находится в попарном голосовании по всем объектам.

Аксиомы Эрроу об использовании всей области товаров и универсальных предпочтениях вводят возможность того, что мы также можем быть обязаны рассматривать надуманные объекты. Эрроу ввел APDM, чтобы снова ограничить этот эффект, поскольку она позволяет принимать решение по нашим текущим вопросам независимо от других надуманных возможностей. Разумно, что люди пренебрегают надуманными возможностями. Таким образом, Эрроу, с одной стороны, широко открывает дверь для таких надуманных возможностей, а с другой — вводит строгое условие, которое убивает актуальность этого. Все это выглядит разумно, поскольку люди на самом деле пренебрегают надуманными возможностями.

И все же, в целом это не соответствует практическим ситуациям в парламентах, где проблема определяется для существующих избирателей и где вопросы на столе задаются бюджетным множеством.

Таким образом, (а) понятие «неактуальности» решается путем рассмотрения бюджетного множества, (b) аксиому можно назвать в соответствии с тем, что она делает на самом деле: попарное принятие решений.

Если мы хотим иметь дело с возможно надуманными предпочтениями некоторых граждан, что является моральным смыслом аксиомы универсальных предпочтений, то нам следует работать над практическими процедурами, которые работают. Предположение противоречивых аксиом — не лучший способ справиться с этим моральным вопросом.

В следующих разделах используется формальная логика.

Лемма

Лемма A.I: AF подразумевает, что конституция p удовлетворяет свойству Op -> p.

Первое доказательство: AF означает, что желания (Op), противоречащие реальности (~p), не заслуживают рассмотрения. Но p -> ~(Op & (~p)) эквивалентно Op -> p. Ч.Т.Д.

Второе доказательство: Мы уже пришли к выводу, что наиболее предпочтительная точка (Op) также будет выбранной точкой (p). Таким образом, Op -> p. (Если точка не предпочтительна, то импликация истинна ex vacuoso.) Ч.Т.Д.

Обсуждение: Мы расширили область товаров конституциями, и поэтому аксиома осуществимости становится немного сильнее. Само расширение довольно слабое, поскольку мы расширяем только на последовательность (а не на эмпирическую обоснованность). Наш критерий заключается в том, что разумное общество будет придерживаться своих правил. Разрыв между «есть» и «должно быть» все еще существует в принципе, но на практике может быть преодолен человеческими усилиями для достижения своих целей.

Отказ от морального утверждения Эрроу (AMC)

Теорема A.1: Для разумного общества AMC недействительно.

Первое доказательство через рациональность и моральную последовательность (DA): Предположим Oa. Но a -> ~a, и с DA мы получаем O~a. Но это дает противоречие в предпочтениях Oa & O~a. Следовательно, ~Oa. Ч.Т.Д.

Второе доказательство через рациональность и моральную последовательность (DA): Предположим Oa. Поскольку a -> falsum, мы находим Ofalsum. Таким образом, для некоторого p0 мы имеем O(p0 & ~p0). Но это означает Op0 & O~p0, а это противоречие в предпочтениях. Следовательно, ~Oa. Ч.Т.Д.

Первое доказательство через реализм (AF): Предположим Oa. Согласно лемме Op -> p, мы находим a. Но тогда у нас есть ~a & a, что является противоречием. Следовательно, ~Oa. Ч.Т.Д.

Второе доказательство через реализм (AF): Поскольку ~a и вышеупомянутая лемма ~a -> ~Oa, следовательно, ~Oa. Таким образом, аксиомы также не являются морально желательными. Ч.Т.Д. Примечание: q -> p эквивалентно ~p -> ~q, и мы можем взять q = Op.

Если бы аксиомы были морально желательными, то выведенное противоречие было бы морально желательным — но никого нельзя просить сделать невозможное. Следовательно, аксиомы не являются морально желательными. Это кажущаяся простой схема рассуждения, но разрушительная для принятого взгляда.

Отказ от утверждения Эрроу о разумности (ARC)

Теорема A.2: Для разумного общества ARC недействительно.

Доказательство: Учитывая AF, неосуществимые варианты не рассматриваются. Поскольку ~a, по-видимому, a неосуществимо, и конституция Эрроу не является разумной. Так что недействительно, что аксиомы были бы разумными. Ч.Т.Д.

Обсуждение: Как мы заявили выше, мы расширили область товаров конституциями, и поэтому аксиома осуществимости становится немного сильнее. Само расширение довольно слабое, поскольку мы расширяем только на последовательность (а не на эмпирическую обоснованность). Но вывод сильный. Ни одно разумное общество в здравом уме не захотело бы принять аксиомы Эрроу в качестве своей конституции. Предположительно, на хаотичном Бостонском чаепитии конституция c = a могла быть опробована, но довольно скоро рациональные люди увидели бы, что им следует создать другую конституцию, иначе ситуация останется хаотичной, и Чаепитие не войдет в историю как примечательное событие.

Заметьте, что Эрроу принимает осуществимость, но также хочет навязать неосуществимые условия.

Если бы аксиомы Эрроу были разумными, то они должны были бы быть и последовательными. Однако они противоречивы. Таким образом, они не являются разумными. Это кажется довольно простой схемой рассуждения, но она разрушает влияние Теоремы.

Для аксиом существует тонкое различие между «разумным» и «кажущимся разумным при рассмотрении само по себе». Следующее — хорошая аналогия. Для велосипеда мы хотим круглые колеса, чтобы он ехал. Для велосипеда мы также хотим квадратные колеса, чтобы он не падал, когда стоит на месте. Но не бывает круглых квадратов! Ergo, условия, которые кажутся разумными сами по себе, создают нечто невозможное и решительно неразумное при объединении. Однако сделать вывод «нет хорошего велосипеда» было бы абсурдно. Признаться, это хороший метод обучения — сначала убедить студентов, что что-то было бы разумным, а затем заставить их вывести противоречие. Как и при покупке плохой подержанной машины, студенты учатся быть осторожными, и они учатся уважению к науке и ценности скромности. Этот метод обучения, однако, заходит слишком далеко, когда люди остаются верующими в разумность предпосылок — как, по-видимому, случилось с предпосылками теоремы Эрроу. Парадокс — это лишь кажущееся противоречие. Таким образом, должна существовать система, которую мы готовы принять как оптимальную.

Многие математики были чувствительны к различию между «разумным» и «кажущимся разумным при рассмотрении само по себе», но литература также изобилует примерами, где это различие не применяется с достаточной осторожностью. Часть принятого взгляда, таким образом, является случаем плохого общения «своих» с широкой публикой. (Учитывая приведенные выше цитаты, «своих», однако, может быть немного. Quis custodet custodes?)

Выбор аксиомы-виновника.

Выбор аксиомы-виновника прост. Мы упорядочиваем аксиомы по предпочтению, например AD > AWP > AU > APDM. Из ~a мы делаем вывод, что нам нужно отбросить одну из аксиом. Мы отбрасываем наименее предпочтительную. Мое обсуждение примера Кондорсе должно создать поддержку для отказа от APDM. Впрочем, по сути, ученые могут только давать советы по предпочтениям, а правильное решение остается за политическим органом.

Лемма A.II: Если все агенты имеют a > APDM, то с AWP общество имеет [AU, AWP, AD] > APDM. Примечание: здесь [x, y, z] означает неупорядоченное множество.

Доказательство: очевидно.

Обсуждение: Когда все люди ставят AU, AWP и AD в любой индивидуальный порядок, но у всех APDM ниже этих, то общество может единогласно отвергнуть APDM. На самом деле, условие AU можно было бы считать частью определения МФ-ФОБ, и аналогично, AWP можно было бы считать частью определения понятия коллективного предпочтения. Так что реальный выбор касается AD и APDM, или между диктатурой или нет. Здесь эгоистичный диктатор и его соратники имели бы ¬AD > APDM > AD. Цитата Йоргенсона предполагает его предпочтение доброжелательной и неэгоистичной диктатуре, но, также поскольку такие диктатуры имеют тенденцию портиться, мое впечатление таково, что он в конечном итоге стал бы соратником настоящего диктатора. Скорее всего, он не понял ситуацию, когда цитата была напечатана.

Заметьте, что упорядочивание аксиом означает, что деонтический предикат O не является однородным. Это означает, что деонтическая логика может быть более связана с теорией предпочтений, чем думают деонтические теоретики.

Примеры последовательных конституций

Последовательные конституции нарушают одну из аксиом теоремы Эрроу. Нарушение одной из этих аксиом следует считать полезным для разумности и морали, а не наоборот. (Это то, что мы доказали выше.)

Одной общей чертой является статус-кво, который сохраняется, когда возникают ничьи.

Один пример уже был упомянут в обсуждении проблемы Кондорсе. При голосовании большинством цикл означает безразличие, и существуют различные способы решения ничьих. Одно возможное решение — сохранение статуса-кво.

Другой пример конституции — правило «Парето-большинства». Сначала выбираются все парето-улучшения из статуса-кво. То есть те точки, где некоторые выигрывают, а никто не проигрывает. Может быть больше парето-точек, таких как B > A и C > A, со статусом-кво как A. Когда нет парето-порядка между B и C, то достаточно решить по этим точкам простым большинством. Конечно, при более чем двух точках голосование большинством может привести к циклу, но это опять же означает безразличие, которое можно урегулировать костями, председателем или другими творческими способами.

Смотрите мою домашнюю страницу и The Economics Pack для реализации этих правил в программе Mathematica. Мало что помогает так, как самостоятельная проба.

Переоценка литературы

Наше обсуждение приходит к выводу, который отличается от литературы, и, таким образом, оправдывает переоценку этой литературы. Эта переоценка не является темой данной статьи, но некоторые примеры полезны.

(1) Заметьте, что цитата Тобина выше была вводящей в заблуждение. Проблему с «нерожденными поколениями» не следует смешивать с трудностью Эрроу. Проблема Тобина на самом деле может иметь довольно простое решение. Важны предпочтения ныне живущих, и то, что они предпочитают для будущего нерожденных (что также может быть основано на прогнозе таких предпочтений). Эти будущие предпочтения логически не могут быть включены, поскольку они еще не существуют.

(2) Эрроу 1951 также заявил:

«Если ценности потребителей могут быть представлены широким спектром индивидуальных упорядочений, доктрина суверенитета избирателей несовместима с доктриной коллективной рациональности».

Это явно неточно. Утверждение предполагает, что мы должны принять аксиомы Эрроу, в то время как разумно отвергнуть эти аксиомы и принять как суверенитет избирателей, так и коллективную рациональность.

(3) Один из наиболее интересных моментов, сделанных здесь, — это различие между процессом обучения и конечным результатом. Как следует представлять результат Эрроу в будущем? Возможно ли сохранить стратегию обучения называть аксиомы «разумными», затем заставить студентов попасть в тупик, а затем позволить им найти выход? Это хорошая практика обучения! Однако в Palgrave, предназначенном для более широкой аудитории (или общей энциклопедии, которую даже могут читать диктаторы), может быть неуместно называть аксиомы Эрроу «разумными». Это должно быть, по крайней мере, «кажущимися разумными».

Заметьте, что фраза тогда становится менее чарующей:

«не существует механизма общественного выбора, который удовлетворяет ряду кажущихся разумными условий».

(4) Я немного шокирован обсуждением общего взгляда Эрроу у Мюллера (1989, с. 406-407). Можно было бы ожидать более критического отношения, но вместо этого находим:

«Теоремы Эрроу и Сена (...) поднимают фундаментальные вопросы о возможности установления процедур коллективного выбора, удовлетворяющих минимально привлекательным нормативным свойствам (...) Но негативную сторону не следует переоценивать. Мы предположили, что оба вида парадоксов могут быть избежаны с использованием кардинальной, межличностно сравнимой информации о полезности. Эрроу явно избегал использования такой информации, и аксиома независимости от посторонних альтернатив [таким образом, попарное принятие решений / TC] была навязана, чтобы исключить процедуры голосования, которые могли бы использовать такую информацию (... Но это) возможно, что гражданам можно доверить делать эти сравнения этически приемлемым способом».

Ну, межличностное сравнение, конечно, происходит, минимально, когда мы назначаем голоса людям, предоставляем права на включение тем в бюллетень и тому подобное. Так что межличностное сравнение не так плохо, как многим экономистам кажется. Но мое решение трудности Эрроу не опирается на кардинальность и кардинальное сравнение. Так что, разочаровывающе, Мюллер и принимает идею, что Эрроу вызвал бы «вопросы» о возможности общественного выбора, и он приходит к дико неверному выводу. Это должно быть современным учебником!

(5) Что важно, так это то, что развитию экономической теории и развитию реальных экономик мешала путаница, порожденная стандартным объяснением. Где лица, принимающие решения, были разделены, некоторые интересовались общественным благосостоянием, а другие нет, последней группе был предоставлен решающий порох — и остерегайтесь людей, у которых есть идеология и которые даже используют математическую теорему, чтобы доказать свое безумие. Поколения студентов были обучены лауреатами Нобелевской премии тому, что исследования общественного благосостояния будут подвержены невозможностям. Творческая энергия была направлена на увеличение невозможностей, а не на разработку структур, которые могли бы улучшить практические ситуации. Практические исследования функций и параметров общественного выбора были прерваны, и все это со ссылкой на неправильно понятую теорему!

Экономические исследования также приводят к предложению о поправке к конституции, см. Colignatus (1996b) и приложение. Я надеюсь, что эта глава поможет прояснить, что этот вид исследований — полезный тип экономики.

(6) Этот анализ также проясняет путаницу относительно отношения конституций к ФОБ. Хотя многие экономисты утверждали, что конституции не могут быть разумными или морально приемлемыми, они принимали ФОБ Бергсона-Самуэльсона, даже несмотря на то, что последняя была выведена из первой — и никого, кажется, не волнует это противоречие. Которое теперь устранено, поскольку свойства конституции проецируются в ФОБ.

(7) Уместно отметить, что я дал этот анализ ранее, в Colignatus (1990c, 1992a). Эта глава почти на 99% такая же, как 1997b, и перефразирование основных принципов. У меня пока нет успеха в получении публикации, ни в CPB, ни в журнале.

Заключение

Теорема Эрроу вызвала некоторые проблемы в литературе, см. цитаты выше. Мы достигли следующего решения:

· Теперь больше ясности благодаря различению между самой теоремой (a -> falsum), моральным утверждением (Oa) и утверждением о разумности (AF и I(~a)).

· Аргументы выше о рациональности и морали имеют разрушительный характер, поскольку они отвергают принятый взгляд. В другой перспективе они конструктивны, поскольку позволяют формализовать (мета)понятия и вернуть их обратно в математику (особенно голосование по конституциям).

· С математической точки зрения аксиомы Эрроу неполны для принятия решений в разумном обществе.

· Было показано, что APDM нежелательна. Отказ от APDM — это не печальное положение дел, как иногда предполагается в литературе, а признак понимания группового принятия решений.

· Аксиоматизация Эрроу не отражает по-настоящему желательные свойства, необходимые для конституции, как из-за неполноты, так и из-за APDM.

· Есть детальные результаты, такие как различие между голосованием и принятием решения, интеграция теории предпочтений и деонтической логики, а также доказательство теоремы Эрроу, которое ясно показывает злоупотребление со стороны APDM.

· Мы привели примеры последовательных конституций, которые многие могли бы счесть оптимальными.

Дополнение: Переформулировка Сена в «Развитии как свободе»

Сен (1999a:250-253) содержит краткое резюме обсуждения его взгляда на Теорему. Сначала я цитирую его, а затем даю свой комментарий. Сен заявляет:

«Теорема Эрроу на самом деле не показывает то, что популярная интерпретация часто принимает за то, что она показывает. Она устанавливает, по сути, не невозможность рационального выбора, а невозможность, которая возникает, когда мы пытаемся основывать общественный выбор на ограниченном классе информации».

Это неверно. Используя информацию, предоставленную результатами попарного голосования, мы можем решить в пользу ничьей (тупика, безразличия), когда такая может возникнуть. Именно принятие аксиомы APDM, порочно, превращает это безразличие в противоречие. APDM не означает недостаток информации, она только портит существующую информацию.

«Рискуя чрезмерным упрощением, позвольте мне кратко рассмотреть один способ видения теоремы Эрроу. Возьмем старый пример «парадокса голосования», которым были очень озабочены французские математики восемнадцатого века, такие как Кондорсе и Жан-Шарль де Борда. Если человек 1 предпочитает вариант x варианту y и y варианту z, в то время как человек 2 предпочитает y варианту z и z варианту x, а человек 3 предпочитает z варианту x и x варианту y, то мы знаем, что правило большинства привело бы к противоречиям. В частности, x имеет большинство над y, который имеет большинство над z, который, в свою очередь, пользуется большинством над x. Теорема Эрроу показывает, среди других идей, которые она предлагает, что не только правило большинства, но все механизмы принятия решений, которые полагаются на одну и ту же информационную базу (а именно, только индивидуальные упорядочения соответствующих альтернатив), привели бы к некоторому противоречию или неудаче, если только мы просто не выберем диктаторское решение, при котором ранжирование предпочтений одного человека правит бал».

Локализация проблемы в информационной базе ошибочна. Очевидно, что решение большинством не ведет к противоречиям, ибо именно использование аксиомы APDM делает это — и нам она не нужна для решений большинством. Теорема Эрроу не показывает, что существуют противоречия для всех механизмов — мы, а именно, можем использовать механизмы без APDM.

«Это необычайно впечатляющая и элегантная теорема — один из самых красивых аналитических результатов в области социальных наук. Но она вовсе не исключает механизмы принятия решений, которые используют больше — или другие — информационные базы, чем правила голосования. При принятии общественного решения по экономическим вопросам для нас было бы естественно рассмотреть другие типы информации».

Я не знаю насчет «необычайно впечатляющей и элегантной». Кондорсе придумал свой парадокс, как раньше люди придумывали парадоксы при делении на ноль, как у Бертрана Рассела был свой парадокс множеств, и как критянин Эпименид сказал «Все критяне — лжецы». Теорема Эрроу решает парадокс Кондорсе, показывая, что мы не должны использовать APDM — хотя Эрроу, по-видимому, этого не осознавал. Теорема фундаментальна, и мы должны быть рады, что она у нас есть, так как APDM, по-видимому, может вызвать много путаницы, как показали последние 50 лет.

«Действительно, правило большинства — последовательное или нет — было бы нежизнеспособным как механизм для разрешения экономических споров. Рассмотрим случай деления пирога между тремя лицами, названными (не очень изобретательно) 1, 2 и 3, с предположением, что каждый человек голосует только за то, чтобы максимизировать свою собственную долю пирога. (Это предположение упрощает пример, но ничего фундаментального от него не зависит, и его можно заменить другими типами предпочтений.) Возьмем любое деление пирога между тремя. Мы всегда можем добиться «улучшения большинством», взяв часть доли любого человека (скажем, долю человека 1), а затем разделив ее между двумя другими (а именно, 2 и 3). Этот способ «улучшения» общественного результата сработал бы — учитывая, что общественное суждение осуществляется правилом большинства — даже если человек, таким образом ставший жертвой (а именно, 1), окажется беднейшим из трех. Действительно, мы можем продолжать отбирать все больше и больше доли беднейшего человека и делить добычу между двумя более богатыми — все время делая улучшение большинством. Этот процесс «улучшения» может продолжаться до тех пор, пока у беднейшего не останется пирога, который можно было бы забрать. Какая чудесная цепь, в мажоритарной перспективе, общественного улучшения!»

Помните, что Сен пишет эту книгу для широкой аудитории экономистов, которые не углублялись в теорию общественного выбора. Хотя Сен теперь излагает базовые трюизмы, его рассуждения тем не менее немного неверны. Действительно, западные демократии склонны иметь права собственности и правило «статус-кво», и мэдисоновскую философию, что демократия на самом деле существует для защиты меньшинств. Мы используем все виды дополнительной информации, чтобы урегулировать проблемы справедливости и равенства. Таким образом, правило большинства не предлагается для сырой формы, которую Сен использует в качестве примера. Затем, что критически важно, когда Сен предполагает, что этот пример проясняет, что мы должны использовать больше информации для решения парадокса Эрроу, то это non-sequitur. Его аргумент становится соблазнительным, поскольку читатель соблазняется думать, что, действительно, мы используем больше информации. Но правда в том, что мы используем эту дополнительную информацию для решения вопросов справедливости, а не для решения противоречия Эрроу.

«Правила такого рода строятся на информационной базе, состоящей только из ранжирования предпочтений лиц, без какого-либо учета того, кто беднее кого, или кто сколько выигрывает (и кто проигрывает) от сдвигов в доходе, или любой другой информации (например, как соответствующие лица заработали конкретные доли, которые у них есть). Информационная база для этого класса правил, из которых процедура решения большинством является ярким примером, таким образом, крайне ограничена, и она явно совершенно неадекватна для принятия обоснованных суждений по проблемам экономики благосостояния. Это не в первую очередь потому, что она ведет к противоречию (как обобщено в теореме Эрроу), а потому, что мы не можем по-настоящему делать общественные суждения с таким малым количеством информации».

«Приемлемые общественные правила стремились бы учитывать множество других актуальных фактов при суждении о делении пирога: кто беднее кого, кто сколько выигрывает с точки зрения благосостояния или базовых ингредиентов жизни, как пирог «зарабатывается» или «разграбляется» и так далее. Настаивание на том, что никакой другой информации не требуется (и что другая информация, если она доступна, не могла бы повлиять на принимаемые решения), делает эти правила не очень интересными для экономического принятия решений. Учитывая это признание, тот факт, что существует также проблема противоречия — при делении пирога через голосование — может быть воспринят не столько как проблема, сколько как долгожданное облегчение от непоколебимой последовательности жестоких и информационно тупых процедур».

Сен осознает, что его рассуждения не строги (ср. его использование «в первую очередь» и «также»), но, тем не менее, он делает предложение, которое ошибочно.

Действительно, дух «невозможности» — это, я полагаю, не правильный способ видения «теоремы о невозможности» Эрроу. [сноска] Эрроу предоставляет общий подход к размышлению об общественных решениях, основанных на индивидуальных условиях, и его теорема — и класс других результатов, установленных после его новаторской работы — показывают, что то, что возможно, а что нет, может критически зависеть от того, какая информация принимается в эффективный расчет при принятии общественных решений. Действительно, через информационное расширение возможно иметь связные и последовательные критерии для общественной и экономической оценки. Литература по «общественному выбору» (как называется эта область аналитического исследования), которая возникла в результате новаторского шага Эрроу, — это в такой же степени мир возможностей, как и условных невозможностей. [сноска]

Эта цитата просто повторяет ошибку — и добавляет ряд восприятий, чтобы подсластить пирог. Сноски — это ссылки на его «Коллективный выбор и общественное благосостояние», его вклад в Справочник и Нобелевскую лекцию, Сен (1999b), и не добавляют ничего нового для нас к сути, обсуждаемой здесь. Действительно, очевидно актуальная Нобелевская лекция просто повторяет ошибку.

Следовательно, Сен, по сути, не понимает проблему. Я ценю его работу по общественному выбору, поскольку она была для меня полезным руководством в том, чтобы сделать результат Эрроу доступным, и в видении различных его перспектив. Как, по сообщениям, сказал Ньютон: «Стоя на плечах гигантов, мы можем видеть дальше». Я не могу дождаться, когда Сен напишет мне, что ему нравится мое решение!

Дополнение: Мас-Колелл, Уинстон и Грин, «Микроэкономическая теория»

Книга Андреу Мас-Колелла, Майкла Уинстона и Джерри Грина 1995 года «Микроэкономическая теория» просто замечательна. Это великолепная книга. Однако, в целом, поскольку они ошибочно пишут: «Либо мы должны отказаться от надежды на то, что социальные предпочтения могут быть рациональными в смысле, введенном в главе 1 (т. е. что общество ведет себя так, как вел бы себя индивид), либо мы должны принять диктатуру» (стр. 780), а последующее обсуждение действительно уводит студента в дебри и ложные направления, столь типичные для «теории общественного выбора» XX века. Математика в порядке, но она касается чего-то вроде вопроса о том, сколько ангелов может танцевать на кончике иглы, — и все это побуждает студента с осторожностью относиться к принятию общественных решений. (Безусловно, я ценю другие качества этой книги и использовал ее для разделов своего «Экономического пакета».)

35. Без времени нет морали

Резюме Теория показывает, что голосование подвержено парадоксам, в то время как также представляется, что результат голосования в равной степени зависит как от процедуры, так и от предпочтений избирателей. С моральной точки зрения выбор процедуры является главной проблемой. Ключевое понимание заключается в том, что мораль предполагает время. В статичном мире все предопределено, и нет места для индивидов, которые должны обдумывать свой моральный выбор. Однако реальный мир динамичен, и самые сложные парадоксы голосования касаются изменений бюджета. В статье разрабатывается новый механизм «неподвижной точки Борда», который обеспечивает лучшую защиту от неожиданностей при таких изменениях бюджета. В условиях динамики аргумент Дональда Саари о симметрии менее убедителен.

Введение

Общепринятое в настоящее время мнение иногда выражается в том, что «не существует идеальной схемы голосования». Предыдущая глава разрушила это мнение. Нет никаких математических причин полагать, что такой идеал не может существовать. Поскольку аксиомы Эрроу должны быть отвергнуты, они не образуют идеал. Идеал все еще может существовать, но, по-видимому, он отличается от того, что предполагалось изначально. Возможно, у людей разные идеалы, но тогда несуществование общего идеала проистекает из эмпирически различных мнений, а не из математических причин. Поскольку люди могут извлекать выгоду из сотрудничества, они все еще могут стремиться к схеме, с которой все могут согласиться.

Приведенный выше анализ пока не дает ответа на позитивный вопрос о том, что было бы в целом хорошей системой. Главный момент здесь заключается в том, что каждый должен определить это для себя. Теория может лишь помочь оставаться последовательным. Ниже предлагается схема, которая является последовательной и могла бы привлечь многих.

Контроль естественных сил в социальном процессе

Одна важная идея заключается в том, что время играет роль. Основа этой идеи состоит в том, что абстрактно мораль предполагает время. Без времени не было бы морали. В статичном мире все предопределено, и нет места для индивида, который должен обдумывать свой моральный выбор. Как экономисты, мы можем рисовать статичные функции полезности и изокванты, но это абстракции, и они могут отвлекать от реальной моральной проблемы. Моральная проблема заключается в том, что решение должно быть принято сейчас, в то время как последствия проявятся позже. Впоследствии все можно объяснить детерминистически (что и означает «объяснение»), и, согласно гипотезе, детерминизм будет справедлив и для будущего. Тем не менее, в промежутке прогнозы несовершенны, существует фундаментальная неопределенность, и это создает возможность морали (или иллюзию морали).

Экономическая наука призвана помочь объяснить реальность. В этой реальности мы видим эволюцию человеческих существ в социальном процессе естественных сил. Базовым понятием является власть в непрерывном процессе, поэтому базовый подход использует шкалы отношений и кардинальную полезность, а не порядковые шкалы. Другие предположения, помимо кардинальности, входят в обсуждение только тогда, когда группа хочет контролировать власть и, например, внедрить демократию. Общее представление состоит в том, что экономисты отвергают кардинальность и межличностное сравнение полезности. Однако концепция «один человек — один голос» фактически навязывает некоторое межличностное сравнение полезностей. Также сравнение упорядочений предпочтений подразумевает некоторое сравнение полезностей. Правильная перспектива скорее заключается в том, что кардинальность является дефицитной, поскольку люди могут жульничать в отношении своих предпочтений (по крайней мере, при текущем уровне технологий). Главный аргумент в пользу ординальности состоит в том, что она ограничивает пространство для обмана. Если бы люди не могли жульничать, межличностное сравнение, вероятно, было бы гораздо более популярным среди экономистов. Таким образом, довод о том, что ординальность уменьшает межличностное сравнение, кажется менее значимым, чем довод о том, что кардинальные сравнения ненадежны, поскольку люди могут жульничать.

Например, когда семья отправляется в отпуск и выбирает между Испанией или Грецией, маленький Робби может преувеличить свое предпочтение Греции и сказать, что он скорее умрет, если выберут Испанию. Если бы агрегирование предпочтений было кардинальным, такой огромный отрицательный вес для одного варианта определенно заблокировал бы его. Однако введение ординальности ограничивает влияние обмана. В обычных учебниках по теории голосования обман появляется относительно поздно, но более адекватно начать сразу с этого понятия. Решающее понимание заключается в следующем: теорема Эрроу и парадоксы голосования — это цена, которую мы должны заплатить, чтобы ограничить влияние «стратегического» поведения при голосовании.

Первоначальный вопрос Эрроу о том, не может ли существовать в целом хорошего механизма голосования, тем не менее остается актуальным. Как показала история, математики искусны в выявлении парадоксов и выводе новых невозможностей, и нелегко найти предложение для в целом хорошей системы. Но представляется, что когда мы рассматриваем проблему времени, решение как бы напрашивается само собой. Чтобы понять это решение, полезно сначала рассмотреть трех основных претендентов, т. е. «традиционные» решения, предоставляемые методами множественного голосования (Plurality), Борда и Кондорсе. Существуют и другие методы, но их свойства таковы, что они не требуют здесь рассмотрения.

Три традиционных метода

При множественном голосовании (Plurality) все избиратели имеют один голос, и выбирается кандидат с наибольшим числом голосов. Обратите внимание на проблемы этого метода. Критерий «наибольшего числа» не означает, что победитель также должен иметь более 50% голосов. Если это дополнительно навязывается, то это может потребовать большего количества туров голосования, и тогда возникает сложный вопрос, должны ли кандидаты выбывать, и если да, то как.

Метод Борда заключается в том, чтобы позволить каждому избирателю ранжировать кандидатов по важности, затем присвоить веса, заданные ранговой позицией, сложить веса по каждому кандидату для всех избирателей, а затем выбрать кандидата с наибольшим значением. Обратите внимание, что метод кажется чувствительным к изменению предпочтений, см. ниже.

Метод Кондорсе заключается в голосовании по всем парам кандидатов и выборе того, кто побеждает всех альтернатив. Обратите внимание, что такой «победитель по Кондорсе» не обязательно должен существовать. В этом случае маржа победы может быть использована для разрешения тупиковой ситуации, но это увеличивает чувствительность к тому, кто участвует.

Следующий пример взят из работы Саари (2001ab). Рассмотрим бюджет из трех кандидатов A, B и C, и пусть будет 114 избирателей. Если мы пренебрежем безразличием и будем использовать только строгие предпочтения, то при 3 кандидатах существует 3! = 6 возможных способов их ранжирования. Таблица 13 содержит произвольное распределение этих избирателей по таким предпочтениям. Кандидат с самым высоким рейтингом получает весовой коэффициент ранга 3, второй получает вес 2, а наименее предпочтительный кандидат получает вес 1. В таблице мы можем прочитать, например, что есть 33 кандидата с предпочтением A > B > C.

Таблица 13: Пример голосования

Количество избирателей

Кандидаты и их весовой коэффициент ранга

Сумма 114

A

B

C

33

3

2

1

0

3

1

2

25

2

1

3

17

1

2

3

14

1

3

2

25

2

3

1

Результаты процедур

Наиболее предпочтительный

33+0 = 33

14+25 = 39

25+17 = 42

Борда

230

242

212

Пары: A против B

58

56

-

A против C

58

-

56

B против C

-

72

42

Различные схемы голосования приводят к различным решениям:

1) Множественное голосование (Plurality): Избиратели отдают один голос кандидату с их наивысшим предпочтением. Для кандидата A мы рассматриваем его столбец, выбираем строки с оценкой 3 и складываем соответствующие числа избирателей 33 + 0 = 33. И так далее. Кандидат C получает больше всего голосов, а именно 42.

2) Борда: Голоса взвешиваются с весовым коэффициентом ранга. Столбец для A умножается строка за строкой на количество избирателей 3 * 33 + 3 * 0 + 2 * 25 + … = 230. Кандидат B получает больше всего голосов, а именно 242. (Оценки -1, 0, 1 могли бы вычисляться проще.)

3) Кондорсе: При парном голосовании A против B есть 33 + 0 + 25 = 58 избирателей, которые дают A более высокий ранг, чем B. И так далее. Кандидат A, по-видимому, побеждает как B, так и C, и тогда является «победителем по Кондорсе».

Этот пример показывает, что A, B и C могут все быть победителями, в зависимости от выбранного метода. Свойства методов тогда являются истинной проблемой.

Вышесказанное все еще игнорирует стратегическое голосование. Это можно представить как изменение видимой позиции. Как мы это оцениваем? Представляется, что подход Кондорсе наименее чувствителен к обману, поскольку при парном голосовании есть стимул выражать свои истинные предпочтения. Однако парное голосование может быть непривлекательным, поскольку не обязательно существует победитель по Кондорсе, или, если он существует, он может конфликтовать с ранжированием предпочтений. Один из способов решить сложность выбора между этими методами — пойти на компромисс, проведя второй тур голосования. Два лучших результата множественного голосования или метода Борда берутся и затем подвергаются парному голосованию, как в Кондорсе. Есть одно последнее соображение. Просто взять два «лучших результата» кажется чрезмерно простым, мы должны рассмотреть, что они собой представляют на самом деле. Во Франции выборы между Шираком, Жоспеном, Ле Пеном и другими привели к тому, что голоса Жоспена рассеялись по всевозможным мелким партиям, так что он выбыл из гонки, хотя был победителем по Кондорсе как над Шираком, так и над Ле Пеном. Когда мы идем на компромисс, мы должны сосредоточиться на определении двух главных претендентов.

Неподвижная точка Борда

Давайте пересмотрим динамический процесс, который происходит внутри экономики. Мы видим, что под влиянием времени бюджет постоянно меняется. Схема голосования естественным образом требует наличия списка кандидатов, но одной из причин парадоксов является то, что этот список не является фиксированным. Например, при голосовании по Борда выше B выбран, но если C решает сняться (или у него случается сердечный приступ), то мы ожидали бы, что B останется победителем, но внезапно это A (см. голосование по Кондорсе A против B). Вспомните также случай Буша, Гора и Нейдера. Мы могли бы считать процедуру лучшей, когда выбор менее зависит от изменений в бюджете.