III. Орбиты комет, таким образом, имеют точно такую же природу, как и орбиты планет. В обоих действуют законы центростремительной и центробежной сил: в обоих Солнце является общим фокусом описываемой кривой; но является ли конкретная кривая эллипсом или гиперболой (хотя первое гораздо вероятнее), можно обнаружить только из наблюдений. После вывода соответствующих курсов, по которым комета следовала бы при допущении обеих кривых, мы наконец останавливаемся на той орбите как на истинной, которая наиболее точно представляет наблюдаемые движения. Для определения орбиты требуются следующие элементы: 1. Перигелийное расстояние кометы, или ее кратчайшее расстояние от Солнца: 2. Положение перигелия, зафиксированное его гелиоцентрической долготой: 3. Место узлов, или тех точек, где комета пересекает плоскость эклиптики: 4. Наклонение орбиты кометы к эклиптике: 5. Время прохождения перигелия; и 6. Период обращения кометы по своей орбите.
Исследование этих шести элементов — задача чрезвычайно сложная, требующая для своего решения искусного и трудоемкого применения самого утонченного анализа. Когда сам Ньютон, чей гений позволил ему преодолеть и сгладить даже самые пугающие препятствия на пути к открытию истины, описывает ее как «Problema longe difficillimum» (задача весьма трудная), и когда даже астрономы сегодняшнего дня, со всеми преимуществами улучшенной науки, находят так много расхождений в своих расчетах, определение орбиты кометы может по праву считаться одной из самых сложных проблем в астрономии. Эта трудность возникает из нескольких обстоятельств, присущих кометам. Во-первых, из-за вытянутой формы орбит, которые описывают эти тела, они различимы с Земли только на очень небольшой части своего пути, и наблюдения, сделанные в течение этого короткого периода, не могут быть впоследствии проверены в более удобных случаях; тогда как в случае планет, чьи орбиты почти круговые и чьи движения можно проследить непрерывно на протяжении полного оборота, таких препятствий для определения их орбит не возникает. Во-вторых, существует много комет, которые движутся в направлении, противоположном порядку знаков зодиака, и иногда почти перпендикулярно плоскости эклиптики; так что их видимый курс через небеса становится чрезвычайно сложным из-за встречного движения Земли. В-третьих, поскольку может существовать множество эллиптических орбит, чьи перигелийные расстояния равны, очевидно, что в случае очень эксцентричных орбит малейшее изменение в положении кривой вблизи вершины, где только и можно наблюдать комету, должно вызвать весьма заметную разницу в длине орбиты; и поэтому, хотя небольшая ошибка не производит ощутимого расхождения между наблюдаемым и вычисленным курсом, пока комета остается видимой с Земли, ее эффект, будучи распределенным по всей протяженности орбиты, может приобрести самое существенное или фатальное значение. Из-за этих обстоятельств оказывается чрезвычайно трудно проложить путь, по которому комета фактически следует через всю систему, и меньше всего возможно с точностью установить длину большой оси эллипса, или, следовательно, периодический оборот. Ошибка всего в несколько секунд вызовет разницу даже в много сотен лет. Таким образом, хотя Бессель определил обращение кометы 1769 года в 2089 лет, было обнаружено, что ошибка не более чем в 5″ при наблюдении изменила бы период либо до 2678 лет, либо до 1692 лет. Некоторые астрономы, вычисляя орбиту великой кометы 1680 года, нашли длину ее большой оси в 426 раз больше расстояния Земли от Солнца, и, следовательно, ее период в 8792 года; в то время как другие оценивают большую ось в 430 раз больше расстояния Земли, что меняет период до 8916 лет. Ньютон и Галлей, однако, судили, что эта комета совершала свои обороты всего за 570 лет.
IV. Обескураженные трудностью достижения какой-либо точности в том обстоятельстве, которым характеризуется эллиптическая орбита, и, более того, принимая во внимание трудоемкие расчеты, необходимые для ее исследования, астрономы обычно удовлетворяются установлением элементов кометы при допущении, что она описывает параболу; и, поскольку это кривая, ось которой бесконечна, процедура значительно упрощается тем, что приходится полностью оставить без внимания периодический оборот. Правда, парабола может не представлять с математической строгостью курс, по которому комета фактически следует; но поскольку парабола является промежуточной кривой между гиперболой и эллипсом, обнаруживается, что этот метод, который гораздо удобнее для вычислений, также достаточно согласуется с наблюдениями. Все общие элементы движения кометы могут быть таким образом легко определены; и если это не позволяет нам немедленно высказаться о тождественности или нетождественности двух комет, показывая сразу соответствующие периоды обращения, тем не менее, это предоставляет другие средства для осуществления этого, не менее верные и убедительные; ибо если любые две или более комет точно совпадают во всех элементах своих орбит, то мы можем заключить, что эти кометы — лишь одна и та же, чей период обращения показан ее последовательными приближениями к центру системы.
Приступая теперь к демонстрации методов, которыми определяются элементы орбиты кометы, я не намерен вдаваться в исторические детали относительно различных решений, которые предлагали астрономы от Ньютона до настоящего времени, или в какие-либо абстрактные математические исследования относительно сравнительных достоинств этих решений. Будет достаточно дать изложение наиболее одобренных из этих методов, которые предоставляет нынешнее состояние науки. Я заметил, что параболический метод, как гораздо менее трудный, чем эллиптический, обычно используется астрономами при вычислении первых элементов орбиты кометы. Поэтому я в первую очередь приступлю к параболическому исследованию, а затем перейду к эллиптическому методу.
Одним из самых простых и остроумных решений, которые были предложены на параболической гипотезе, является метод Ольберса. Этот метод я сейчас продемонстрирую, следуя почти по стопам самого автора, но время от времени вводя пояснения там, где рассуждения, по-видимому, требуют их.
Fig. 1
Пусть S — Солнце (Рис. 1.), E, E′, E″ — три места Земли, и C, C′, C″ — соответствующие точки на орбите кометы в три периода наблюдения. Соединим крайние места C, C″ и E, E″ и пусть пересечение радиуса-вектора в обоих случаях с хордой пройденной дуги будет D и F. Очевидно, что если t, t′ — интервалы среднего времени между тремя наблюдениями последовательно, то t : t′ :: сектор CSC′ : сектор C′SC″; и точно так же t : t′ :: сектор ESE′ : сектор E′SE″. Если, однако, мы предположим на данный момент, что эти секторы пропорциональны треугольникам, которые имеют в качестве своих оснований части хорд CC″, EE″, мы получим просто t : t′ :: CD : DC″ :: EF : FE″. И ошибка этого предположения не имеет никакого существенного значения при поиске приближенных элементов, что является всем, на что в первом случае мы можем рассчитывать. Ибо неравенство между отношением треугольников (принятых пропорциональными временам) и отношением секторов (которые истинно пропорциональны временам) настолько ничтожно, что оно имеет порядок выше, чем сами секторы. Кроме того, Ньютон продемонстрировал, что существует определенное положение вращающегося радиуса для каждой параболической или эллиптической дуги, которое делит хорду в точном отношении площадей (Princip. iii. lem. 8.), и он показывает, что истинная пропорция никогда не может сильно отличаться от вышеприведенной, если только не в очень неравные интервалы времени. Что касается Земли, величина этой разницы почти неощутима, поскольку ее орбита приближается так близко к кругу. Поэтому на данный момент мы будем предполагать, что хорды CDC″ и EFE″ представляют наблюдаемые движения кометы и Земли в три периода наблюдения.
Fig. 2
Предварив эти замечания, пусть CDC″ (Рис. 2.) будет хордой, в которой мы должны рассматривать движение кометы; и пусть c, d, c″ будут места в этой хорде, спроецированные на эклиптику. Пусть S — Солнце, и E — Земля во время второго наблюдения. Соединим E с c″, а также с c, d, c″. Проведем SE и продолжим ее, чтобы пересечь эклиптику в S′. Пусть Υ будет точкой на эклиптике, от которой отсчитываются гелиоцентрические долготы; соединим SΥ; тогда EΥ′ параллельно SΥ послужит для измерения геоцентрических долгот.
Let L, L′, L″
=
the angles S′SΥ or the arcs S′Υ, &c. viz. the longitudes of the Earth.
, ′, ″,
=
the angles cEΥ′, dEΥ′, ″EΥ′, viz. the geocentric longitudes of the Comet.
, ′, ″,
=
the angles C″Ec″, &c. viz. the geocentric latitudes of the Comet.
, ′, ″,
=
the straight lines Ec, Ed, Ec″, viz. the curtate distances of the Comet from the Earth.
Проведем cp, dp′, c″p″ перпендикулярно SES′, и соединим pC, p′D, p″C″; назовем углы Cpc, Dp′d, C″p″c″ соответственно b, b′, b″.
Тогда, поскольку Cp = Cc sin b, и C″p″ = C″c″ sin b″, мы имеем Cp : C″p″ :: Cc sin b : C″c″ sin b″. Точно так же Dp′ = Dd sin b′, и Dp′ = Dd sin b′. Также Dp′ = Dd sin b′, следовательно Dp′ = Dd sin b′; и так же C″p″ = C″c″ sin b″.
Fig. 3
Предположим, что две плоскости Ccp, Ddp′ спроецированы на третью плоскость C″c″p″ (как на Рис. 3.), в этом случае очевидно, что CD и C″D, со всеми другими частями фигуры, будут по-прежнему находиться в той же пропорции друг к другу, как на Рис. 2.
Тогда, поскольку sin D : Cp :: sin (b – b′) : CD, и C″p : sin D :: C″D : sin(b″ – b′), мы имеем, путем сравнения этих двух серий отношений, C″p : Cp :: C″D sin (b′ – b) : CD sin (b″ – b′). Теперь, сделав допущение (которое будет впоследствии исправлено), что C″D, CD точно пропорциональны интервалам времени t′, t, мы получаем C″p″ = C″D sin (b″ – b′) / sin (b″ – b′), и подставляя для C″p″, Cp их значения, найденные выше, C″p″ / Cp = t′ sin (b″ – b′) / t sin (b′ – b). Упрощая это выражение, оно становится C″p″ / Cp = t′ sin (b″ – b′) / t sin (b′ – b), и подставляя для C″p″ / Cp значения, найденные ранее, = C″c″ sin b″ / Cc sin b, мы получаем наконец C″c″ / Cc = t′ sin (b″ – b′) sin b / t sin (b′ – b) sin b″.
Таково отношение проективных расстояний кометы от Земли в первом и третьем наблюдениях. Чтобы определить реальные расстояния между Солнцем и кометой, соединим (на Рис. 2.) SC″; назовем SC″ = r″, и SE = R: Тогда, поскольку C″p″ перпендикулярно SES′, мы имеем C″S² = ES² + C″E² + 2SE × Ep″. Но EC″ = δ″, и Ep″ = Ee″ cos C″Ep″; и поэтому, поскольку по сферике cos C″ES = cos SEc″ × cos C″Ec″ (плоскость C″Ec″ находится под прямым углом к SEc″), мы имеем Ep″ = δ″ cos C″ES: Поэтому мы получаем r″² = R² + δ″² + 2Rδ″ cos C″ES; или, как мы назвали δ″ = Mδ, r″² = R² + M²δ² + 2RMδ cos C″ES, и точно так же r² = R² + δ² + 2Rδ cos CES.
Fig. 4
Нам нужно далее определить длину хорды CC″, соединяющей крайние точки, в которых наблюдалась комета. И для этой цели мы сначала находим положение кометы относительно Солнца с помощью координат x, y, z. На Рис. 4. проведем cm и Ee (где c — проективное место кометы, E — Земля, S — Солнце, и C — комета на своей орбите) перпендикулярно SES′: Тогда Sm будет представлять x, mc = y, и Cc = z. Очевидно, что r² = x² + y² + z², и так же r″² = x″² + y″² + z″²; и следовательно, если k представляет хорду между радиусами-векторами r, r″, k² = (x″ – x)² + (y″ – y)² + (z″ – z)², путем сокращения и подстановки для их значений. Но мы видим, что x″ – x = r″ cos v″ – r cos v; z = r sin v sin i; поэтому, подставляя, мы получаем k² = r² + r″² – 2rr″ cos (v″ – v); или поскольку k² = r² + r″² – 2rr″ cos θ,
Получив таким образом k, r, r″, мы теперь должны использовать их в следующей важной формуле, где t представляет время, которое комета затратила на движение от C до C″, и k = число ·017202. Чтобы продемонстрировать это уравнение, мы должны сравнить движение кометы по параболе с некоторым другим известным движением, как движение Земли. Давайте для этой цели сначала предположим, что перигелийное расстояние кометы равно радиусу-вектору Земли; тогда, из того, что уже было сказано, очевидно, что скорости в параболе и круге будут просто как 1 : √2, и следовательно, времена, которые комета и Земля соответственно требуют, чтобы пройти ту же аномалию (будучи обратно пропорциональными скоростям), будут как √2 : 1. Поскольку площадь прямоугольного сектора в параболе равна 2/3 соответствующего квадранта, мы имеем поэтому 2/3 × (π/4) × √2 для времени, которое комета затратит на прохождение 90° аномалии (где A — длина сидерического года, и π — площадь круга, чей радиус = 1). Из этого мы можем вычислить время, необходимое для описания любого другого угла θ; ибо поскольку площадь = 2/3 × r × r″ × sin θ, мы получаем площадь сектора 90° : площадь сектора θ :: время описания 90° : время описания θ; и время описания θ, которое назовем t. Но поскольку это время кометы, чье перигелийное расстояние = 1, и поскольку для разных парабол времена относятся как 3/2 степени D их перигелийного расстояния, мы имеем для времени, которое любая комета затрачивает на описание аномалии θ, t = D^(3/2) × (время для D=1). Теперь, если θ″ — аномалия, соответствующая радиусу-вектору r″ во время третьего наблюдения, мы имеем точно так же t″ = D^(3/2) × (время для D=1); но будет обнаружено, что t = (A/π√2) × D^(3/2) × (tan θ/2 + 1/3 tan³ θ/2), поскольку A = 365.25 = 1/k; следовательно, t = (D^(3/2) / k√2) × (tan θ/2 + 1/3 tan³ θ/2). Но, по фундаментальному свойству параболы, r = D sec² θ/2 и r″ = D sec² θ″/2, откуда, путем взаимного деления и подстановки D для r, r″, мы имеем tan θ/2 = √(r-D)/D; поэтому мы получаем наконец t = (1/k√2) × (√(r-D)³ + 3D√(r-D) + √(r″-D)³ + 3D√(r″-D)). Но k будучи стороной треугольника, противоположной углу θ″ – θ или 2(θ″/2 – θ/2), и r, r″ сторонами, прилежащими, мы имеем, по тригонометрии, k² = r² + r″² – 2rr″ cos θ, и cos θ = cos θ″ cos θ + sin θ″ sin θ; или, полагая R для r, r″, и S для sin θ/2, k² = (r + r″)² – 4rr″ cos² θ/2, k² = (r + r″)² – 4rr″ (1 – sin² θ/2); hence we find k = √(r + r″)² – 4rr″ cos² θ/2, and k = √(r + r″)² – 4rr″ sin² θ/2; consequently, k = √(r + r″ + k) (r + r″ – k); and by substitution, k = √(r + r″ + k) (r + r″ – k). But k = √(r + r″ + k) (r + r″ – k); therefore k = √(r + r″ + k) (r + r″ – k), and consequently k = √(r + r″ + k) (r + r″ – k). Now, k = √(r + r″ + k) (r + r″ – k); so that k = √(r + r″ + k) (r + r″ – k); and therefore k = √(r + r″ + k) (r + r″ – k). Multiplying each side of this last equation by k, we have k² = (r + r″ + k) (r + r″ – k). Now, if we put T, T″ for t, t″, we have, from equation (5.), seeing that T = (1/6k) × ((r+r″+k)^(3/2) - (r+r″-k)^(3/2)). The part (r+r″+k)^(3/2) has already been considered, let us now examine the part following. If, then, in this expression, we substitute r, r″ for r″ and r their values found before, (r+r″+k)^(3/2), and (r+r″-k)^(3/2), it becomes (r+r″+k)^(3/2) - (r+r″-k)^(3/2); but (r+r″+k)^(3/2) (as above) = (r+r″+k)^(3/2); hence (r+r″+k)^(3/2) - (r+r″-k)^(3/2), so that the expression reduces itself to (r+r″+k)^(3/2) - (r+r″-k)^(3/2); therefore, since it has been shewn that k = √(r+r″+k)(r+r″-k), we have k = √(r+r″+k)(r+r″-k). But k = √(r+r″+k)(r+r″-k) because k = √(r+r″+k)(r+r″-k); hence, k = √(r+r″+k)(r+r″-k). Now, k = √(r+r″+k)(r+r″-k), so that the two radicals in this expression are of the form √(a+b), putting a for r+r″ and b for k. Hence, the usual rule for extracting the root of a binomial surd applies to them, the root being, as is shewn in all books of algebra, √(a+b) = √(r+r″+k)/2 + √(r+r″-k)/2: consequently we obtain k = 1/6k × ((r+r″+k)^(3/2) - (r+r″-k)^(3/2)); and, by reducing this equation to its simplest terms, k = 1/6k × ((r+r″+k)^(3/2) - (r+r″-k)^(3/2)).
Мы получили теперь четыре уравнения (2.), (3.), (4.), (7.), охватывающие четыре неизвестные величины δ, δ″, r, r″; и из них нам остается только извлечь их значения. Самый простой способ осуществления этого в отношении данных уравнений — не прямое решение уравнения столь высокой степени, а метод ложного положения, одно из самых простых и полезных правил исключения, известных в математике. Предположим некоторое значение δ для первой δ, как можно ближе к истине, и применим это в уравнениях, включающих δ, чтобы получить значения для δ″, r, r″; затем, подставив эти значения в уравнение для времени, только что продемонстрированное, назовем расхождение между результатом и известной величиной ошибкой. Сделаем тогда для нового значения δ, некоторую менее ошибочную гипотезу, δ′; и, действуя во всем точно так же, как в первом случае, назовем ошибку на этот раз ошибкой′, тогда δ″ = δ - (δ - δ′) × ошибка / (ошибка - ошибка′), что даст еще более правильное значение для δ. Подставив это исправленное значение δ″ и повторив процесс в третий раз, мы приблизимся еще ближе к истине; и нет необходимости прибегать к шестой гипотезе, четвертой в целом достаточно.
Открыв таким образом значения δ, δ″, r, r″, и, следовательно, также r (которое равно r = √(R² + δ² + 2Rδ cos CES)), мы переходим далее к извлечению гелиоцентрических широт и долгот. Пусть λ представляет первые, а l — вторые. Поскольку z = r sin λ, мы имеем sin λ = z/r, и (на Рис. 4.) поскольку y/x = tan l, мы имеем tan l = y/x.
Fig. 5
Из гелиоцентрических широт и долгот мы легко получаем место узла кометы и наклонение орбиты к эклиптике: Ибо в прямоугольном сферическом треугольнике (Рис. 5.), где A — перигелий, Ω — узел, и I — угол, под которым орбита кометы наклонена к эклиптике, мы имеем sin (l – Ω) = tan λ / tan I, и sin λ = sin (l – Ω) sin I; следовательно, sin (l – Ω) = tan λ / tan I, что, по хорошо известному свойству синусов, дает tan (l – Ω) = tan (l – Ω), или tan I = tan λ / sin (l – Ω); следовательно, также sin I = sin λ / sin (l – Ω).
Если v, v″ — аргументы широты кометы на ее орбите, мы имеем tan v = tan (l – Ω) / cos I; но v″ – v — это то же самое, что разность истинных аномалий, или θ″ – θ, и поэтому мы можем определить величину каждой аномалии с помощью уравнения, уже продемонстрированного и отмеченного (6.). Следовательно, перигелийное расстояние кометы D получается, и долгота перигелия π, не приведенная к эклиптике, из уравнения π = l – v. Наконец, мы выводим время прохождения перигелия до первого наблюдения из формулы, продемонстрированной на странице 63. Прохождение перигелия будет до или после первого наблюдения (в случае прямого движения), в зависимости от того, меньше или больше долгота π перигелия, чем гелиоцентрическая долгота l при первом наблюдении; обратное будет в случае ретроградного движения.