«История научных идей»

1. Дискурсивное Рассуждение. — Мы таким образом увидели, что наши понятия пространства, времени и их модификаций необходимо вовлекают определенную активность разума; и что условия этой активности формируют фундаменты тех наук, которые имеют отношения пространства, времени и числа своим объектом. На фундаментальных принципах, таким образом установленных, различные науки, которые включены в термин Чистая Математика (Геометрия, Алгебра, Тригонометрия, Конические сечения и остальная Высшая Геометрия, Дифференциальное исчисление и тому подобное), строятся рядом рассуждений. Эти рассуждения подчинены правилам Логики, как мы уже заметили; и нет необходимости здесь долго останавливаться на природе и правилах таких процессов. Но мы можем здесь заметить, что такие процессы называются дискурсивными, в противоположность операциям, посредством которых мы приобретаем наши фундаментальные принципы, которые являются, как мы видели, интуитивными. Эта оппозиция была ранее весьма знакома нашим писателям; как Мильтон, —

. . . Thus the soul reason receives,

Discursive or intuitive.—Paradise Lost, v. 438.

Ибо в таких рассуждениях мы получаем наши заключения не путем пристального взгляда на наши понятия в одном виде, что есть интуиция, а путем перехода от одного вида к другому, подобно тем, кто бежит с места на место (discursus). Так, прямая линия может быть в то же время стороной треугольника и радиусом круга: и в первом предложении Евклида линия рассматривается, сначала в одном из этих отношений, а затем в другом, и таким образом стороны определенного треугольника доказываются равными. И этим «дискурсом разума», как его называли наши старые писатели, мы отправляемся от тех аксиом, которые мы воспринимаем интуицией, путешествуем безопасно по обширному и разнообразному региону и становимся обладателями обильного запаса математических истин.

2. Технические Термины Рассуждения. — Рассуждение математики, таким образом исходящее от нескольких простых принципов ко многим истинам, ведется согласно правилам Логики. Если необходимо, математические доказательства могут быть сведены к логическим формам и выражены в Силлогизмах, состоящих из большей посылки, меньшей посылки и заключения. Но в большинстве случаев силлогизм того вида, который называется логическими писателями Энтимемой; слово, которое подразумевает нечто существующее только в мыслях и которое обозначает силлогизм, в котором одна из посылок подразумевается, а не выражена. Так, мы говорим в математическом доказательстве: «поскольку точка c есть центр круга ab, ac равно bc»; не утверждая большую посылку — что все линии, проведенные из центра круга к окружности, равны; или вводя ее только мимолетной отсылкой к определению круга. Но энтимема столь постоянно используется во всех привычных формах рассуждения, что нам не кажется, будто в ней есть что-то особенное в математических работах.

Предложения, которые доказаны как истинные в общем, называются Теоремами: но когда требуется что-то сделать, как провести линию или круг при заданных условиях, это предложение есть Задача. Теорема требует доказательства; задача — решения. И для обеих целей математик обычно делает Построение. Он направляет нас провести определенные линии, круги или другие кривые, на которых должно быть основано его доказательство того, что его теорема истинна или что его задача решена. Иногда, также, он устанавливает некоторую Лемму, или подготовительное предложение, прежде чем переходит к своей главной задаче; и часто он выводит из своего доказательства некоторое заключение в дополнение к тому, которое было заявленным объектом его предложения; и это называется Следствием.

Эти технические термины отмечены здесь не как очень важные, но для того, чтобы они не звучали странно и непонятно, если у нас будет повод использовать некоторые из них. Существует, однако, одно техническое различие, более особенное и более важное.

3. Геометрический Анализ и Синтез. — В геометрическом рассуждении, подобном тому, которое мы описали, мы вводим на каждом шагу некоторое новое соображение; и именно путем объединения всех этих соображений мы приходим к заключению, то есть доказательству предложения. Каждый шаг стремится к конечному результату, демонстрируя некоторую часть фигуры в новом отношении. К тому, что мы уже доказали, добавляется нечто большее; и поэтому этот процесс называется Синтезом, или складыванием вместе. Доказательство течет дальше, получая на каждом повороте новые вклады из разных сторон; подобно реке, питаемой и увеличиваемой многими притоками. И каждый из этих притоков течет из некоторого определения или аксиомы как своего источника или сам сформирован союзом меньших ручьев, которые имеют источники такого рода. Спускаясь вдоль своего течения, синтетическое доказательство собирает все эти приращения в один общий ствол, предложение, окончательно доказанное.

Но мы можем действовать иным образом. Мы можем начать от сформированной реки и подняться к ее источникам. Мы можем взять предложение, доказательство которого нам требуется, и можем исследовать, что подразумевает предположение его истинности. Если это истинно, то нечто другое может быть увидено как истинное; и из этого — нечто другое, и так далее. Мы можем часто, таким образом, обнаружить, из каких более простых предложений составлена наша теорема или решение, и можем разрешить их последовательно, пока не придем к некоторому предложению, которое очевидно. Это геометрический Анализ. Преуспев в этом аналитическом процессе, мы можем инвертировать его; и можем спуститься снова от простых и известных предложений к доказательству теоремы или решению задачи, которые были нашим отправным пунктом.

Этот процесс напоминает, как мы сказали, прослеживание реки до ее источников. По мере того как мы поднимаемся по течению, мы постоянно встречаем разветвления; и требуется некоторая проницательность, чтобы позволить нам увидеть, какое в каждом случае является главным потоком: но если мы продолжаем наше исследование, мы исчерпываем неисследованные долины и наконец получаем ясное знание места, откуда текут воды. Аналитическое иногда смешивают с символическим рассуждением, по каковому предмету мы сделаем замечание в следующей главе. Объект той главы — заметить некоторые другие фундаментальные принципы и идеи, не включенные в те, о которых говорилось до сих пор, которые мы находим брошенными на нашем пути по мере того, как мы продвигаемся в наших математических спекуляциях. Это задержало бы нас слишком долго и вовлекло бы в тонкие и технические рассуждения, чтобы исследовать полностью основания этих принципов; но Математика занимает столь важное место в отношении индуктивных наук, что я кратко замечу ведущие идеи, которые вовлекает дальнейший прогресс предмета.

ГЛАВА XII. Об Основаниях Высшей Математики.

1. Идея Предела. — Общие истины относительно отношений пространства, которые зависят от аксиом и определений, содержащихся в «Началах» Евклида, и которые вовлекают только свойства прямых линий и кругов, называются Элементарной Геометрией: все за пределами этого принадлежит Высшей Геометрии. К этой последней области относятся, например, все предложения относительно длин любых частей кривых линий; ибо они не могут быть получены посредством принципов одних лишь «Начал». Здесь тогда мы должны спросить, к каким другим принципам прибегает геометр и из какого источника они извлечены. Есть ли какое-либо происхождение геометрической истины, которое мы еще не исследовали?

Идея предела предоставляет новый способ обоснования математических истин. Так, в отношении длины любой части кривой — задачи, которую мы только что упомянули, — кривая не состоит из прямых линий, и поэтому мы не можем измерить длину любой кривой с помощью каких-либо положений элементарной геометрии. Однако мы можем составить фигуру, почти подобную любой кривой, соединив множество коротких прямых линий, подобно тому как многоугольное здание с очень большим числом сторон может почти напоминать круглое помещение. И чтобы приближаться все ближе и ближе к кривой, мы можем делать стороны все меньше и меньше, все более многочисленными. Тогда мы, возможно, сможем найти какой-то способ измерения, какое-то отношение этих малых линий к другим линиям, которое не нарушается умножением сторон, как бы далеко оно ни заходило. И таким образом мы можем совершить действие, эквивалентное измерению самой кривой; ибо, умножая стороны, мы можем приближаться к кривой все ближе и ближе, пока не останется никакой заметной разницы. Кривая линия есть предел многоугольника; и в этом процессе мы исходим из аксиомы: «То, что истинно вплоть до предела, истинно и в пределе».

Этот способ осмысления математических величин имеет широкое распространение и применение; ибо каждая кривая может рассматриваться как предел некоторого многоугольника; каждая изменяющаяся величина — как предел некоторой совокупности более простых форм; и таким образом отношения элементарных фигур позволяют нам продвигаться к свойствам наиболее сложных случаев.

Предел — это своеобразная и фундаментальная концепция, использование которой при доказательстве положений высшей геометрии не может быть заменено никакой комбинацией других гипотез и определений. Только что отмеченная аксиома, что то, что истинно вплоть до предела, истинно и в пределе, заложена в самом понятии предела: и этот принцип вместе с его следствиями ведет ко всем результатам, которые составляют предмет высшей математики, будь то доказанные посредством рассмотрения исчезающе малых треугольников, методами дифференциального исчисления или любым другим способом.

14 This assertion cannot be fully proved and illustrated without a reference to mathematical reasonings which would not be generally intelligible. I have shown the truth of the assertion in my Thoughts on the Study of Mathematics, annexed to the Principles of English University Education. The proof is of this kind:—The ultimate equality of an arc of a curve and the corresponding periphery of a polygon, when the sides of the polygon are indefinitely increased in number, is evident. But this truth cannot be proved from any other axiom. For if we take the supposed axiom, that a curve is always less than the including broken line, this is not true, except with a condition; and in tracing the import of this condition, we find its necessity becomes evident only when we introduce a reference to a Limit. And the same is the case if we attempt to supersede the notion of a Limit in proving any other simple and evident proposition in which that notion is involved. Therefore these evident truths are self-evident, in virtue of the Idea of a Limit.

Древние не вводили эксплицитно это понятие предела в свои математические рассуждения; хотя при применении того, что называется методом исчерпывания (в котором они показывают, как исчерпать разность между многоугольником и кривой или тому подобным), они фактически действовали на основе смутного постижения принципов, эквивалентных принципам метода пределов. Тем не менее, поскольку необходимый фундаментальный принцип в их время не был четко развит, их рассуждения были одновременно излишне запутанными и недостаточно удовлетворительными. Более того, они были вынуждены ставить на место аксиом допущения, которые отнюдь не были самоочевидными; как, например, когда Архимед принял за основу своего измерения окружности круга положение о том, что дуга круга обязательно меньше двух линий, которые ее заключают, соединяя ее концы. Рассуждения старых математиков, которые претендовали на то, чтобы исходить из таких допущений, приводили к истинным результатам в действительности лишь потому, что они руководствовались скрытой отсылкой к предельному случаю таких допущений. И это скрытое использование концепции предела вновь появлялось в различных формах в ранний период современной математики; как, например, в методе неделимых Кавальери и характеристическом треугольнике Барроу; пока, наконец, Ньютон отчетливо не отнес такие рассуждения к концепции предела и не установил фундаментальные принципы и процессы, которые вводит эта концепция, с такой отчетливостью и точностью, которые требовали лишь небольших улучшений, чтобы сделать их столь же неоспоримыми, как геометрические доказательства. И когда такие процессы, которые Ньютон таким образом вывел из концепции предела, представляются с помощью общих алгебраических символов вместо геометрических чертежей, мы имеем перед собой метод флюксий, или дифференциальное исчисление; способ решения математических задач, справедливо считающийся главным оружием, с помощью которого были достигнуты блестящие триумфы современной математики.

2. Использование общих символов. — Применение алгебраических символов, о которых мы только что говорили, было еще одним из главных инструментов, которым обязаны успехи современной математики. И здесь опять-таки процессы, с помощью которых мы получаем наши результаты, зависят в своей доказательности от фундаментальной концепции — концепции произвольных символов как знаков величины и ее отношений; и от соответствующей аксиомы, что «интерпретация таких символов должна быть совершенно общей». В этом случае, как и в предыдущем, лишь постепенно математики пришли к верному пониманию оснований своих рассуждений. Ибо символы поначалу использовались только для представления чисел, рассматриваемых в отношении их числовых свойств; и таким образом сформировалась наука алгебра. Но было обнаружено, даже в случаях, относящихся к обычной алгебре, что символы часто допускали интерпретацию, которая выходила за пределы задачи и которая тем не менее не была бессмысленной, поскольку указывала на вопрос, тесно аналогичный предложенному. Так было, например, когда ответом была отрицательная величина; ибо когда Декарт ввел способ представления кривых с помощью алгебраических отношений между символами координат, или расстояний каждой из их точек от фиксированных линий, было обнаружено, что с отрицательными величинами следует обращаться как с не менее значимыми, чем с положительными. И по мере того как исследования математиков продолжались, были найдены и другие случаи, в которых символы, хотя и лишенные смысла согласно первоначальным соглашениям об их введении, все же указывали на истины, которые могли быть проверены другими способами; как в случаях, когда встречаются так называемые невозможные величины. Такие процессы обычно могут быть подтверждены на основе других принципов, и рассматриваемая истина может быть установлена посредством доказательства, в котором никакие подобные кажущиеся заблуждения не опровергают рассуждение. Но во многих таких случаях было также показано, что процесс, в котором некоторые шаги кажутся лишенными реального смысла, на самом деле включает в себя верное доказательство положения. И что мы должны здесь отметить, так это то, что это верно не случайно или лишь частично, но что результаты систематического символического рассуждения должны всегда выражать общие истины по своей природе; и не требуют для своего обоснования, чтобы каждый из шагов процесса представлял какую-то определенную операцию над величиной. Абсолютная универсальность интерпретации символов является фундаментальным принципом их использования. Это было очень убедительно показано доктором Пикоком в его «Алгебре». Он проиллюстрировал там различными способами этот принцип: «Если общие символы выражают тождество, когда они предполагаются имеющими какую-либо особую природу, они должны также выражать тождество, когда они являются общими по своей природе». И таким образом, эта универсальность символов является принципом в дополнение к тем, которые мы уже отметили; и это принцип величайшей важности в формировании математической науки, согласно той широкой общности, которую такая наука приняла в современную эпоху.

3. Связь символов и анализа. — Поскольку в наших символических рассуждениях символы рассуждают за нас, мы не обязательно здесь, как в геометрических рассуждениях, продолжаем тщательно добавлять одну известную истину к другой, пока не достигнем желаемого результата. Напротив, если у нас есть теорема, которую нужно доказать, или задача, которую нужно решить, и которую можно подвести под область наших символов, мы можем сразу же изложить данную, но недоказанную истину или данную комбинацию неизвестных величин в ее символической форме. После этого первого процесса мы можем затем приступить к прослеживанию с помощью наших символов того, какая еще истина заключена в только что изложенной, или что должны означать неизвестные символы; разрешая шаг за шагом символическое утверждение, с которого мы начали, на другие, более подходящие для нашей цели. Первый процесс есть своего рода синтез, второй называется анализом. И хотя символическое рассуждение не обязательно предполагает такой анализ, тем не менее связь настолько привычна, что термин «анализ» часто используется для обозначения символического рассуждения.

ГЛАВА XIII. Учение о движении.

1. Чистая механика. — Учение о движении, о котором мы здесь должны говорить, — это то, в котором движение рассматривается совершенно независимо от его причины, силы; ибо все рассмотрение силы относится к классу идей, совершенно отличных от тех, с которыми мы здесь имеем дело. В этом представлении оно может быть названо чистым учением о движении, поскольку оно имеет дело исключительно с пространством и временем, которые являются предметами чистой математики. (См. гл. I этой книги.) Хотя учение о движении в связи с силой, которое является предметом механики, является, безусловно, наиболее важной формой, в которой рассмотрение движения входит в формирование наших наук, чистое учение о движении, которое трактует о пространстве, времени и скорости, могло бы быть прослежено так, чтобы дать начало весьма значительному и любопытному корпусу науки. Такая наука есть наука о механизме, независимая от силы и рассматриваемая как решение задачи, которая может быть сформулирована так: «Передать любое данное движение от первого движителя к данному телу». Науку, целью которой было бы решение всех различных случаев, на которые разветвлялась бы эта задача, можно было бы назвать чистой механикой в отличие от собственно механики, или машиноведения, в которых принимается во внимание сила. Большая часть машин, которые были сконструированы для использования в производстве, были практическими решениями некоторых случаев этой задачи. У нас также есть важные вклады в такую науку в трудах математиков; например, различные исследования и доказательства, которые были опубликованы относительно формы зубьев колес, и мемуар мистера Бэббиджа о языке машин. Существует также несколько работ, которые содержат коллекции механических приспособлений, изобретенных с целью передачи и изменения движения, и эти работы могут рассматриваться как трактаты по науке о чистом механизме. Но эта наука еще не была сведена к систематической простоте, которая желательна, и, по правде говоря, не была общепризнана как отдельная наука. Она смешивалась под общим названием «механика» с другой наукой, собственно механикой, или машиноведением, которая рассматривает эффект силы, передаваемой механизмом от одной части материальной комбинации к другой. Например, механические силы, как их обычно называют (рычаг, колесо и ось, наклонная плоскость, клин и винт), почти всегда рассматривались в связи с отношением между силой и весом, а не прежде всего как способ изменения скорости и вида движения. Наука о чистом движении обычно не отделялась от науки о движении, рассматриваемом в отношении его причин.

15 On a Method of expressing by Signs the action of Machinery. Phil. Trans. 1826, p. 250.

Недавно, действительно, необходимость такого разделения была осознана теми, кто придерживался философского взгляда на науку. Так, эта необходимость была подчеркнута М. Ампером в его «Опыте философии наук» (1834): «Задолго, — говорит он (с. 50), — до того, как я занялся настоящей работой, я заметил, что обычно опускают в начале всех книг, трактующих о науках, касающихся движения и силы, некоторые соображения, которые, будучи должным образом развиты, должны составлять особую науку: из которой некоторые части были рассмотрены либо в мемуарах, либо в специальных работах; такие, например, как работа Карно о движении, рассматриваемом геометрически, и эссе Ланца и Бетанкура о композиции машин». Затем он переходит к описанию этой науки почти так же, как это сделали мы, и предлагает назвать ее кинематикой (Cinématique), от κίνημα — движение.

2. Формальная астрономия. — Я не буду пытаться здесь далее развивать форму, которую должна принять такая наука. Но я могу отметить одну очень обширную область, которая к ней относится. Когда люди установили видимые движения Солнца, Луны и звезд с умеренной степенью регулярности и точности, они попытались представить в своем уме некоторый механизм, с помощью которого эти движения могли бы быть произведены; и таким образом они фактически предложили себе весьма обширную задачу в кинематике. Это, действительно, был взгляд, первоначально принятый относительно природы науки астрономии. Так, Платон в седьмой книге своего «Государства» говорит об астрономии как об учении о движении тел, подразумевая под этим сферы. И то же самое было верным описанием науки вплоть до времени Кеплера и даже позже: ибо Кеплер тщетно пытался соединить со знанием движений небесных тел те истинные механические концепции, которые превратили формальную астрономию в физическую.

16 P. 528.

17 Hist. Induc. Sc. ii. 130.

Астрономия древних не допускала ничего, кроме равномерных круговых движений, и поэтому могла быть полностью развита с помощью их элементарной геометрии. Но чистая наука о движении могла быть распространена на все движения, как бы они ни варьировались по скорости или пути движущегося тела. В этой форме она должна зависеть от учения о пределах; и фундаментальный принцип ее рассуждений был бы таким: скорость измеряется пределом описанного пространства, рассматриваемого в отношении времени, за которое оно описано. Я не буду далее развивать этот предмет; и чтобы завершить то, что я должен сказать относительно чистых наук, мне осталось добавить лишь несколько слов относительно их влияния на индуктивную науку в целом.

ГЛАВА XIV. О применении математики к индуктивным наукам.

1. Все объекты в мире, которые могут быть сделаны предметами нашего созерцания, подчинены условиям пространства, времени и числа; и по этой причине учения чистой математики имеют многочисленнейшие и обширные применения в каждой области наших исследований природы. И есть особенность в этих идеях, которая заставила математические науки быть во всех случаях первыми успешными усилиями пробуждающихся спекулятивных сил наций в начале их интеллектуального прогресса. Концепции, производные от этих идей, с самого начала совершенно точны и ясны, так что они являются подходящими элементами научных истин. Это не так с другими концепциями, которые составляют предметы научных исследований. Концепция статической силы, например, никогда не была представлена в отчетливой форме, пока не появились работы Архимеда: концепция ускоряющей силы была смутной в уме Кеплера и его современников и стала достаточно ясной для целей здравого научного рассуждения только в следующем столетии: верная концепция химического состава элементов постепенно, в современную эпоху, возникла из ошибочных и расплывчатых представлений древних. Если мы возьмем работы, опубликованные по таким предметам до эпохи, когда были заложены основы истинной науки, мы найдем знание не только малым, но и бесполезным. Писатели не видели никакой доказательности в том, что мы теперь считаем аксиомами науки; ни какой-либо непоследовательности там, где мы теперь видим самопротиворечие. Но это никогда не было случаем со спекуляциями относительно пространства и числа. С самого своего возникновения они были истинными, насколько они заходили. Геометрия и арифметика греков и индийцев, даже в их первой и самой скудной форме, не содержали ничего, кроме истинных положений. Интуиции людей по этим предметам никогда не позволяли им скатиться к ошибке и путанице; и истины, к которым они были приведены первыми усилиями своих способностей, так использованных, составляют часть нынешнего запаса наших математических знаний.

2. Но мы здесь озабочены не столько математикой в ее чистой форме, сколько ее применением к явлениям и законам природы. И здесь также самая ранняя история цивилизации представляет нам некоторые из наиболее примечательных примеров успеха человека в его попытках достичь науки. Пространство и время, положение и движение управляют всеми видимыми объектами; но, безусловно, наиболее заметные примеры отношений, которые возникают из таких элементов, демонстрируются вечно движущимися светилами неба, которые измеряют дни, месяцы и годы своими движениями, а место человека на Земле — своим положением. Отсюда науки о пространстве и числе с самого начала культивировались с особым вниманием к астрономии. Я в другом месте цитировал замечание Платона — что абсурдно называть науку об отношениях пространства геометрией, измерением Земли, поскольку ее важнейшая функция заключается в ее применении к небесам. И по другим поводам также видно, как сильно тот, кого можно считать представителем научных и спекулятивных тенденций своего времени и страны, был впечатлен убеждением, что формирование науки о небесных движениях должно зависеть исключительно от прогресса математики. В эпилоге к диалогу «Законы» он объявляет математическое знание первым и главным требованием для астронома и описывает те его части, которые он считает необходимыми для культивирования астрономическими спекулянтами. Кажется, это Планиметрия, Теоретическая Арифметика, Применение Арифметики к плоскостям и телам и, наконец, учение о гармониках. Действительно, склонность Платона, по-видимому, состоит скорее в том, чтобы рассматривать математику как сущность науки астрономии, чем как ее инструмент; и он, кажется, склонен, в этом, как и в других вещах, преуменьшать наблюдение и стремиться к науке, основанной только на доказательстве. «Астроном, — говорит он в том же месте, — не должен быть похож на Гесиода и лиц такого рода, чья астрономия состоит в отмечании заходов и восходов звезд; но он должен быть тем, кто понимает обращения небесных сфер, каждая из которых совершает свой собственный цикл».

18 Hist. Ind. Sc. b. iii. c. ii.

19 Epinomis, p. 990.

Большая часть математики греков, пока продолжалась их научная деятельность, была направлена на астрономию. Помимо многих любопытных положений планиметрии и стереометрии, к которым были приведены их астрономы, их арифметика, хотя и очень неудобная в своих фундаментальных допущениях (будучи шестидесятеричной, а не десятичной), культивировалась в значительной степени; и была создана наука тригонометрия, в которой задачи, касающиеся отношений пространства, решались с помощью таблиц числовых результатов, полученных ранее. Менелай Александрийский написал шесть книг о хордах, вероятно, содержащих методы вычисления таблиц этих величин; такие таблицы были хорошо известны более поздним греческим астрономам. Тот же автор также написал три книги по сферической тригонометрии, которые сохранились до сих пор.

3. Греки, однако, в первом порыве своего стремления к математической истине, во времена Платона и вскоре после, отнюдь не ограничивались теми положениями, которые имели видимое отношение к явлениям природы; но следовали многим прекрасным путям исследования, касающимся различных видов фигур, ради одной лишь их красоты; как, например, в их учении о конических сечениях, о которых они открыли все основные свойства. Но любопытно заметить, что эти исследования, таким образом преследуемые поначалу как простые вопросы любопытства и интеллектуального удовлетворения, были предназначены две тысячи лет спустя сыграть очень важную роль в установлении той системы небесных движений, которая сменила платоновскую схему циклов и эпициклов. Если бы свойства конических сечений не были доказаны греками и, таким образом, не стали знакомы математикам последующих веков, Кеплер, вероятно, не смог бы открыть те законы относительно орбит и движений планет, которые послужили поводом для величайшей революции, когда-либо случавшейся в истории науки.

4. Арабы, которые, как я уже говорил в другом месте, добавили мало своего к запасам науки, которые они получили от греков, тем не менее внесли некоторые очень важные вклады в те части чистой математики, которые служат астрономии. Их принятие индийского способа вычисления с помощью десяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 и метода местных значений вместо громоздкой шестидесятеричной арифметики греков было улучшением, благодаря которому удобство и легкость числовых расчетов были неизмеримо увеличены. Арабы также сделали некоторые процессы тригонометрии гораздо более удобными, используя синус дуги вместо хорды; улучшение, на которое, по-видимому, претендует Аль-Баттани; а также используя тангенсы дуг, или, как они их называли, «вертикальные тени».

20 Delambre, Ast., M. A., p. 12.

21 Ibid. p. 17.

5. Постоянное применение математического знания к исследованиям астрономии и взаимное влияние каждой науки на прогресс другой были еще более заметны в современную эпоху. Метод первых и последних отношений Ньютона, который мы уже отметили как первое правильное изложение учения о пределе, изложен в серии лемм, или подготовительных теорем, предваряющих его трактат «Система мира». Как свойства кривых линий, так и учения о силе и движении, которые он должен был установить, требовали, чтобы общие математические процессы были методизированы и расширены. Если бы Ньютон не был самым искусным и изобретательным математиком, а также глубоким и философским мыслителем, он никогда не смог бы сделать ни одного из тех огромных шагов в открытии, быстрая последовательность которых в его работе поражает нас удивлением. И если мы видим, что великая задача, начатая им, идет медленнее в руках его непосредственных преемников и немного задерживается перед своим полным завершением, мы понимаем, что это происходит в значительной степени из-за дефекта математических методов, использовавшихся тогда. Синтетические способы исследования Ньютона, как мы уже отмечали в другом месте, были инструментом, мощным, конечно, в его могучей руке, но слишком тяжеловесным для других лиц, чтобы использовать его с эффектом. Соотечественники Ньютона цеплялись за него дольше всех из почтения к своему учителю; и английские исследователи физической астрономии по этой самой причине отстали от прогресса математической науки во Франции и Германии на широкий интервал, который они только недавно наверстали. На континенте преимущества, предлагаемые привычным использованием символов и вниманием к их симметрии и другим отношениям, были приняты без оговорок. Таким образом, дифференциальное исчисление Лейбница, которое по своему происхождению и значению было идентично методу флюксий Ньютона, вскоре превзошло своего соперника по широте и общности своего применения к задачам. Это исчисление было применено к науке механики, которой оно вместе с симметричным использованием координат придало новую форму; ибо вскоре было замечено, что самые трудные задачи могут в общем случае быть сведены к нахождению интегралов, что является обратным процессом того, с помощью которого находятся дифференциалы; так что все трудности физической астрономии были сведены к трудностям символического вычисления, которые, действительно, часто бывают достаточно упорными. Клеро, Эйлер и Д’Аламбер использовали возросшие ресурсы математической науки в теории Луны и других вопросах, касающихся системы мира; и таким образом начали преследовать такие исследования в том русле, в котором математики трудятся и по сей день. Этот путь не был лишен своих препятствий и недоумений. Мы уже цитировали в другом месте выражение Клеро, когда он получил очень сложные дифференциальные уравнения, которые содержат решение задачи о движении Луны: «Теперь интегрируйте их, кто может!». Но в не очень долгое время они были проинтегрированы, по крайней мере приближенно; и методы приближения с тех пор были улучшены; так что теперь, при должном расходе труда, они могут быть доведены до любой степени, которая считается желательной. Если методы астрономического наблюдения в будущем достигнут более высокой степени точности, чем они претендуют сейчас, так что будут обнаружены нерегулярности в движениях Солнца, Луны и планет, которые в настоящее время ускользают от нас, математическая часть теории всемирного тяготения находится в таком состоянии, что она вскоре может быть приведена в сравнение с вновь наблюдаемыми фактами. Действительно, в настоящее время математическая теория опережает такие наблюдения. Она может рискнуть предположить то, что впоследствии может быть обнаружено, а также объяснить то, что уже наблюдалось. Это случилось недавно; ибо профессор Эйри вычислил закон и величину неравенства, зависящего от взаимного притяжения Земли и Венеры; относительно которого неравенства (настолько оно мало) еще предстоит определить, может ли его эффект быть прослежен в ряде астрономических наблюдений.

22 Hist. Ind. Sc. b. vii. c. ii.

23 Ibid. p. 175.

24 Hist. Ind. Sc. b. vi. c. vi. sect. 7.

6. Как влияние математики на прогресс астрономии таким образом видно в случаях, когда теория и наблюдение подтверждают друг друга, так это влияние проявляется и другим образом, в очень немногих случаях, когда факты не были полностью сведены к согласию с теорией. Наиболее заметным случаем такого рода является состояние нашего знания о приливах. Это часть астрономии: ибо ньютоновская теория утверждает, что эти любопытные явления являются результатом притяжения Солнца и Луны. И не может быть никаких сомнений в том, что это верно как общее утверждение; однако предмет этот до настоящего времени является пятном на совершенстве теории всемирного тяготения; ибо мы очень далеки от того, чтобы быть в состоянии в этом, как и в других частях астрономии, показать, что теория точно объяснит время, величину и все другие обстоятельства явления в каждом месте на поверхности Земли. И какая часть нашей математики связана с этим единственным заметным дефектом в астрономии? Это математика движения жидкостей; часть, в которой был достигнут чрезвычайно малый прогресс и в которой все более общие задачи предмета до сих пор оставались совершенно неразрешимыми. Попытки величайших математиков — Ньютона, Маклорена, Бернулли, Клеро, Лапласа — овладеть такими вопросами все включают некоторое произвольное допущение, которое вводится потому, что задача не может быть иначе математически решена: эти допущения, как признано, делают результат дефектным, и насколько дефектным, трудно сказать. И, вероятно, именно отсутствие теории, которая могла бы обоснованно ожидаться согласующейся с наблюдениями, сделало наблюдения этого весьма любопытного явления, приливов, столь пренебрегаемыми, какими они были до самого недавнего времени. В последние годы такие наблюдения проводились, и их результаты были сведены к эмпирическим законам, так что правила явлений были установлены, хотя зависимость этих правил от лунных и солнечных сил не была показана. Здесь, следовательно, у нас есть часть нашего знания, относящаяся к фактам, несомненно зависящим от всемирного тяготения, в которой наблюдение опередило теорию в ее прогрессе и вынуждено ждать, пока ее обычный спутник не нагонит ее. Это положение, к которому математическая теория обычно была очень нетерпелива, и мы можем ожидать, что она будет не менее таковой в настоящем случае.

7. Было бы легко показать из истории других наук, например, механики и оптики, насколько существенным было культивирование чистой математики для их прогресса. Парабола была уже знакома математикам, когда Галилей обнаружил, что это теоретический путь снаряда; и расширение и обобщение законов движения никогда не могли бы быть осуществлены, если бы дифференциальное и интегральное исчисление не было под рукой, готовое проследить результаты каждой гипотезы, которая могла быть сделана. Способ Д’Аламбера выражения третьего закона движения в его наиболее общей форме, если и не доказывал закон, то, по крайней мере, сводил его применение к аналитическим процессам, которые могли быть выполнены в большинстве тех случаев, в которых они были нужны. Во многих случаях требования механической науки предлагали расширение методов чистого анализа. Задача о вибрирующих струнах дала начало исчислению частных разностей, которое было еще более стимулировано его применением к движениям жидкостей и другим механическим задачам. И у нас есть в трудах Лагранжа и Лапласа другие примеры, столь же замечательные, новых аналитических методов, к которым дали повод механические задачи, и особенно космические задачи.

25 Hist. Ind. Sc. b. vi. c. vi. sect. 7.

8. Прогресс оптики как науки был, подобным же образом, повсюду зависим от прогресса чистой математики. Первое возникновение геометрии сопровождалось некоторыми успехами, небольшими, конечно, в учении об отражении и в перспективе. Закон преломления был прослежен до своих следствий с помощью тригонометрии, которая, действительно, была необходима для выражения закона в простой форме. Шаги, сделанные в оптической науке Декартом, Ньютоном, Эйлером и Гюйгенсом, требовали геометрического мастерства, которым обладали эти философы. И если бы Юнг и Френель не были, каждый по-своему, лицами с выдающимися математическими дарованиями, они не смогли бы привести теорию волн и интерференции в состояние, в котором она могла бы быть проверена экспериментами. Мы можем увидеть, как неожиданно глубокие части чистой математики могут влиять на физическую науку, вспомнив обстоятельство, уже отмеченное в «Истории науки»; — что Френель получил одно из самых любопытных подтверждений теории (законы круговой поляризации при отражении) через интерпретацию алгебраического выражения, которое, согласно первоначальному условному значению символов, включало невозможную величину. Мы уже отмечали, что в силу принципа общности символического языка такая интерпретация часто может указывать на некоторую реальную и важную аналогию.

26 Hist. Ind. Sc. b. ix. c. xiii. sect. 2.

9. Из этого беглого очерка можно увидеть, сколь важная роль в содействии прогрессу физических наук принадлежит математике. Действительно, в прогрессе многих наук каждый шаг был настолько тесно связан с некоторым продвижением в математике, что мы едва ли можем удивляться, если некоторые лица считали математическое рассуждение наиболее существенной частью таких наук; и упускали из виду другие элементы, которые входят в их формирование. Насколько ошибочен этот взгляд, мы лучше всего увидим, обратив наше внимание на другие идеи, помимо идей пространства, числа и движения, которые входят в некоторые из наиболее заметных и почитаемых частей того, что называется точной наукой; и показав, что ясное и отчетливое развитие таких идей столь же необходимо для прогресса точного и реального знания, как и знакомство с арифметикой и геометрией.

КНИГА III.

ФИЛОСОФИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ НАУК.

Только потому, что мы подчиняем ряды явлений, то есть всякое изменение вообще, закону причинности — отношению причины и следствия, — становится возможным опыт или эмпирическое знание.

Кант, «Критика чистого разума», ч. 1, отд. 1, кн. 2, гл. 2.

Что давит на другое или тянет его, то же самое испытывает от него давление или тягу... Если какое-либо тело, ударяясь о другое тело, изменило его движение своей силой каким бы то ни было образом, то оно само также, в свою очередь, испытает в собственном движении то же самое изменение в противоположную сторону силой другого (из-за равенства взаимного давления)... Этот закон соблюдается также и в притяжениях.

Ньютон, «Математические начала натуральной философии», в начале.

КНИГА III.

ФИЛОСОФИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ НАУК.

ГЛАВА I. О механических науках.

В истории наук тот класс, о котором мы здесь говорим, занимает заметное и важное место; появляясь в поле зрения сразу после тех частей астрономии, которые требуют для своего культивирования лишь идей пространства, времени, движения и числа. Из нашей истории следует, что некоторые истины относительно равновесия тел были установлены Архимедом; — что после долгого периода бездействия его принципы были расширены и развиты далее в современную эпоху: — и что к этим учениям относительно равновесия и сил, которые его производят (которые составляют науку статику), были добавлены многие другие учения относительно движений тел, рассматриваемых также как производимые силами, и таким образом была создана наука динамика. Совокупность этих наук составляет область механики. Более того, философы трудились над тем, чтобы выяснить законы равновесия как жидких, так и твердых тел; и отсюда возникла наука гидростатика. И было обнаружено, что учения механики имеют весьма примечательное отношение к движениям небесных тел; в связи с чем, действительно, они поначалу главным образом и изучались. Объяснение этих космических фактов с помощью механических принципов и их следствий образует науку физическую астрономию. Это основные примеры механической науки; хотя некоторые другие части физики, такие как магнетизм и электродинамика, вводят механические учения весьма широко в свои спекуляции.

Теперь во всех этих науках мы должны рассматривать силы. Во всех механических рассуждениях силы входят либо как производящие движение, либо как удерживаемые от этого другими силами. Таким образом, сила в своем самом общем смысле есть причина движения или стремления к движению; и чтобы открыть принципы, на которых истинно покоятся механические науки, мы должны исследовать природу и происхождение нашего знания о причинах.

В этих науках, однако, мы не имеем дела с причиной в ее более общем понимании, в котором она применяется ко всем видам деятельности, материальной или нематериальной; — к влиянию мысли и воли, а также к телесному давлению и силе притяжения. Наше дело в настоящее время только с такими причинами, которые непосредственно воздействуют на материю. Мы, тем не менее, в первую очередь рассмотрим природу причины в ее самой общей форме; а затем сузим наши спекуляции так, чтобы направить их специально на механические науки.

ГЛАВА II. Об идее причины.

1. Мы видим в окружающем нас мире постоянную последовательность причин и следствий, связанных друг с другом. Законы этой связи мы узнаем в значительной степени из опыта, путем наблюдения явлений, которые предстают нашему вниманию, сменяя друг друга. Но делая это и обращая внимание на эту последовательность явлений, о которых мы знаем с помощью наших чувств, мы привносим из нашего собственного ума идею причины. Эта идея, как мы уже показали в отношении других идей, не выводится из опыта, но имеет свое происхождение в самом уме; — вводится в наш опыт активной, а не пассивной частью нашей природы.

Под причиной мы подразумеваем некоторое качество, силу или эффективность, посредством которых состояние вещей производит последующее состояние. Так, движение тел из состояния покоя производится причиной, которую мы называем силой: и в частном случае, когда тела падают на Землю, эта сила называется гравитацией. В этих случаях концепции силы и гравитации получают свое значение от идеи причины, которую они включают: ибо сила мыслится как причина движения. Что эта идея причины не выводится из опыта, мы доказываем (как и в прежних случаях) следующим соображением: что мы можем делать утверждения, включающие эту идею, которые являются строго необходимыми и всеобщими; тогда как знание, полученное из опыта, может быть истинным лишь постольку, поскольку простирается опыт, и никогда не может содержать в себе никакого доказательства своей необходимости. Мы утверждаем, что «каждое событие должно иметь причину»: и это положение мы знаем как истинное, не только вероятно, и в общем, и насколько мы можем видеть: но мы не можем предположить его ложным ни в одном единственном случае. Мы так же уверены в нем, как в истинах арифметики или геометрии. Мы не можем сомневаться, что оно должно применяться ко всем событиям, прошлым и будущим, в каждой части Вселенной, так же верно, как к тем явлениям, которые мы сами наблюдали. Какие причины производят какие следствия; — что является причиной любого конкретного события; — что будет следствием любого особого процесса; — это пункты, в которых опыт может просветить нас. Наблюдение и опыт могут быть необходимы, чтобы позволить нам судить относительно таких материй. Но что каждое событие имеет некоторую причину, опыт не может доказать, так же как не может опровергнуть. Она не может добавить ничего к доказательству истины, как бы часто она ее ни иллюстрировала. Это учение, следовательно, не могло быть приобретено ее обучением; и идея причины, которую учение включает и от которой оно зависит, не могла прийти в наш ум из области наблюдения.

2. Что мы, действительно, применяем идею причины более обширным образом, чем это могло бы быть оправдано, если бы она была выведена только из опыта, легко показать. Ибо из принципа, что все должно иметь причину, мы не только рассуждаем относительно последовательности событий, которые происходят в ходе мира и которые образуют ход опыта; но мы заключаем, что сам мир должен иметь причину; — что цепь событий, связанных общей причинностью, должна иметь Первопричину природы, отличной от самих событий. Мы вправе это делать, если наша идея причины независима от опыта и выше его: но если у нас нет идеи причины, кроме той, которую мы собираем из опыта, это рассуждение совершенно беспочвенно и бессмысленно.

3. Опять же; используя наши способности наблюдения, мы осознаем последовательность явлений и событий. Но ни одно из наших чувств или способностей внешнего наблюдения не может обнаружить в этих явлениях силу или качество, которое мы называем причиной. Причина — это то, что связывает одно событие с другим; но ни одно чувство или восприятие не раскрывает нам, или не может раскрыть, никакой связи между событиями, которые мы наблюдаем. Мы видим, что одно явление следует за другим, но мы никогда не можем увидеть ничего, что показывает, что одно явление должно следовать за другим. Мы уже отмечали, что эта истина была подчеркнута метафизиками в современную эпоху и в целом принята теми, кто тщательно исследует связь своих собственных мыслей. Аргументы, действительно, достаточно очевидны. Один шар ударяет другой и заставляет его двигаться вперед. Но по какому принуждению? Где необходимость? Если ум может увидеть какое-либо обстоятельство в этом случае, которое делает результат неизбежным, пусть это обстоятельство будет указано. Но, в действительности, нет такой обнаруживаемой необходимости; ибо мы можем представить, что это событие вообще не происходит. Ударяемый шар может оставаться неподвижным, насколько мы можем видеть. «Но законы движения не позволят ему этого сделать». Несомненно, не позволят. Но законы движения изучаются из опыта и поэтому не могут доказать никакой необходимости. Почему законы движения не должны быть иными, чем они есть? Являются ли они обязательно истинными? Что они обязательно таковы, что действительно регулируют удар тел, — это, по крайней мере, не очевидная истина; и поэтому эта необходимость не может быть в обычных умах основанием для соединения удара одного шара с движением другого. И, безусловно, если это не удается, никакой другой основы такой необходимой связи не может быть показано. В этом случае, следовательно, события не видятся как обязательно связанные. Но если этот случай, где один шар движет другой импульсом, не является примером событий, демонстрирующих необходимую связь, мы будем тщетно искать любой пример такой связи. Нет, следовательно, никакого случая, в котором можно было бы наблюдать, что события обязательно связаны: наша идея причинности, которая подразумевает, что событие обязательно связано с причиной, не может быть выведена из наблюдения.

1 Book 3. chap. ii.

4. Но можно сказать, у нас нет никакой такой идеи причины, подразумевающей необходимую связь со следствием и качество, посредством которого эта связь производится. Мы не видим ничего, кроме последовательности событий; и под причиной мы не подразумеваем ничего, кроме некоторой последовательности событий; — а именно, постоянной, неизменной последовательности. Причина и следствие — это только два события, из которых второе неизменно следует за первым. Мы обманываем себя, когда воображаем, что наша идея причинности включает что-то большее.

На это я отвечаю вопросом: каково тогда значение максимы, приведенной выше и признаваемой всеми как универсально и обязательно истинная, что каждое событие должно иметь причину? Давайте переведем эту максиму на язык только что отмеченного объяснения; и она станет такой: — «Каждое событие должно иметь некоторое другое событие, неизменно предшествующее ему». Но почему должно? Где необходимость? Почему подобные события всегда должны быть предваряемы подобными, за исключением случаев, когда другие события вмешиваются? Что существует такая необходимость, никто не может сомневаться. Все признают, что если камень поднимается, потому что он брошен вверх в одном случае, камень, который поднимается в другом случае, также был брошен вверх или подвергся некоторой эквивалентной операции. Все признают, что в этом смысле каждый вид события должен иметь некоторый другой специфический вид события, предшествующий ему. Но этот поворот мыслей людей показывает, что они видят в событиях связь, которая не является простой последовательностью. Они видят в причине и следствии не просто то, что делает, часто или всегда, предшествует и следует, но то, что должно предшествовать и следовать. События не только соединены, они связаны. Причина — это больше, чем прелюдия, следствие — это больше, чем продолжение факта. Причина мыслится не как простой повод; это сила, эффективность, которая имеет реальное действие.

5. Таким образом, мы извлекли из максимы, что каждое следствие должно иметь причину, аргументы, чтобы показать, что у нас есть идея причины, которая не заимствована из опыта и которая включает больше, чем простую последовательность. Подобные аргументы могли бы быть выведены из любых других максим универсальной и необходимой значимости, которые мы можем получить относительно причины: как, например, максимы, что причины измеряются их следствиями и что реакция равна и противоположна действию. Эти максимы мы вскоре должны будем рассмотреть; но мы можем отметить здесь, что необходимая истина, которая им принадлежит, показывает, что они и идеи, которые они включают, не являются простыми плодами наблюдения; в то время как их значение, включая, как оно делает, нечто совершенно отличное от простой концепции последовательности событий, доказывает, что такая концепция далека от того, чтобы содержать весь смысл и значение нашей идеи причины.

Прогресс мнений философов по пунктам, обсуждаемым в этой главе, был одной из самых примечательных частей истории метафизики в современную эпоху: и я поэтому кратко отмечу некоторые из ее черт.

ГЛАВА III. Современные мнения относительно идеи причины.

1. К концу семнадцатого века в умах многих из наиболее энергичных и активных спекулянтов европейского литературного мира существовала сильная тенденция приписывать все наше знание учению опыта. Эта тенденция с ее последствиями, включая среди них реакцию, которая была произведена, когда догма была доведена до явно абсурдной крайности, оказала очень мощное влияние на прогресс метафизических доктрин вплоть до настоящего времени. Я перехожу к рассмотрению некоторых из наиболее заметных мнений, которые таким образом получили распространение среди философов, насколько это касается идеи причины.

Локк был одним из метафизиков, который произвел наибольший эффект в распространении этого мнения об исключительной зависимости нашего знания от опыта. Согласуясь с этой общей системой, он учил, что наши идеи причины и следствия получены из наблюдения вещей вокруг нас. Тем не менее, несмотря на эту его догму, он стремился все же использовать эти идеи в рассуждениях о предметах, которые далеко выходят за все пределы опыта: ибо он претендовал на то, чтобы доказать из нашей идеи причинности существование Божества.

2 Essay on the Human Understanding, b. ii. c. xxvi.

3 B. iv. c. x.

Юм заметил эту очевидную непоследовательность; но объявил себя неспособным найти какое-либо средство от дефекта, столь фатального для наиболее важных частей нашего знания. Он мог видеть в нашей вере в последовательность причины и следствия ничего, кроме привычки ассоциировать в наших умах то, что часто было ассоциировано в нашем опыте. Он поэтому утверждал, что мы не можем с логической правильностью распространять нашу веру в такую последовательность на случаи, совершенно отличные от всех тех, из которых состоял наш опыт. Мы видим, сказал он, фактическое соединение двух событий; но мы никак не можем обнаружить необходимую связь; и поэтому у нас нет средств выводить причину из следствия или следствие из причины. Единственный способ, которым мы распознаем причину и следствие в поле нашего опыта, — это как неизменная последовательность: мы тщетно ищем что-либо, что может уверить нас в безошибочном следствии. И поскольку опыт является единственным источником нашего знания, мы не можем с какой-либо справедливостью утверждать, что мир, в котором мы живем, обязательно должен был иметь причину.

4 Hume’s Phil. of the Human Mind, vol. i. p. 94.

2. Эта доктрина, взятая в сочетании с известным скептицизмом ее автора по религиозным вопросам, произвела значительное брожение в спекулятивном мире. Решение трудности, таким образом брошенной перед философами, отнюдь не было очевидным. Было тщетно пытаться найти в опыте какое-либо другое свойство причины, чем постоянная последовательность следствия. Тем не менее было столь же тщетно пытаться убедить людей, что у них нет идеи причины; или даже поколебать их веру в убедительность привычных аргументов относительно необходимости первопричины всего, что есть и происходит. Соответственно, эти враждебные и, по-видимому, непримиримые доктрины — обязательная необходимость причины каждого события и невозможность нашего знания такой необходимости — были, наконец, допущены расположиться бок о бок. Рид, Битти и другие сформировали одну партию, которая показала, как широко и постоянно идея причины пронизывает все процессы человеческого ума: в то время как другая секта, включая Брауна и, по-видимому, Стюарта, утверждала, что эта идея всегда способна быть разрешена в постоянную последовательность; и эти последние рассуждатели пытались предотвратить опасные и шокирующие выводы, которые некоторые лица могли бы попытаться сделать из их мнения, объявляя максиму «Каждое событие должно иметь причину» инстинктивным законом веры или фундаментальным принципом человеческого ума.

5 Stewart’s Active Powers, vol. i. p. 347. Browne’s Lectures, vol. i. p. 115.

3. В то время как этот ряд дискуссий продолжался в Британии, великий метафизический гений в Германии разрешал возникшее затруднение иным способом. Спекуляции Канта, как он сам сообщает, возникли из хода мыслей, к которому подтолкнули сочинения Юма; а «Критика чистого разума» (Kritik der Reinen Vernunft) была опубликована в 1787 году с целью показать истинную природу нашего познания.

Решение только что упомянутых трудностей, предложенное Кантом, существенно отличается от вышеизложенного. Согласно Брауну, наблюдаемая последовательность и выводимая из нее причинность — память о прошлых соединениях событий и вера в подобные будущие соединения — суть факты, независимые, насколько мы можем судить, но неразрывно связанные законом нашей ментальной природы. Согласно Канту, причинность является неотъемлемым условием нашего опыта: связь событий необходима для того, чтобы мы воспринимали их как события. Будущие явления должны быть связаны причинностью так же, как и прошлые, поскольку мы не можем мыслить прошлое, настоящее и будущее без такой связи. Мы не можем сосредоточить ум на явлениях, не включая эти явления в ряд причин и следствий. Отношение причинности — это условие, при котором мы мыслим события, подобно тому как отношения пространства являются условием, при котором мы видим объекты.

6 Lectures, vol. i. p. 114.

4. В столь абстрактном предмете нелегко сделать наши различия вполне ясными. Некоторые иллюстрации Брауна, по-видимому, очень близки к доктрине Канта. Так, он говорит: «Форма тел есть отношение их элементов друг к другу в пространстве, сила тел есть их отношение друг к другу во времени». И все же, несмотря на такие сближения в выражении, кантовская доктрина представляется отличной от взглядов Стюарта и Брауна в их общепринятом понимании. Согласно шотландским философам, причина и следствие — это две вещи, соединенные в нашем уме законом нашей природы. Но этот взгляд требует от нас предположения, что мы можем помыслить отсутствие этого закона и несвязанность хода событий. Если мы можем понять, в чем заключается особая сила этого закона, мы должны быть способны вообразить, каково было бы положение дел, если бы закон не существовал. Мы должны быть способны помыслить ум, который не связывает следствия с причинами. Кантовская доктрина, напротив, учит, что мы не можем вообразить события, свободные от связи причины и следствия: эта связь есть условие нашего постижения любых реальных явлений; мы не можем мыслить реальную последовательность вещей иначе, как предполагающую действие причин. В шотландской системе прошлое и будущее по своей природе независимы, но связаны правилом; в немецкой системе они разделяют общую природу и взаимное отношение благодаря акту мышления, который делает их прошлым и будущим. В первой доктрине причина — это узы, которые связывают; в последней — это характер, который пронизывает и формирует события. Шотландские метафизики лишь утверждают универсальность отношения; немецкий мыслитель пытается сверх того объяснить его необходимость.