«История научных идей»

Если мы вспомним аксиомы, которые мы ранее изложили как содержащие наиболее важные условия, включенные в идею причины, будет видно, что наше убеждение в этом случае зависит от первой аксиомы причинности: ничто не может произойти без причины. Каждое изменение скорости движущегося тела должно иметь причину; и если изменение может каким-либо образом быть отнесено к присутствию других тел, говорят, что они оказывают силу на движущееся тело: и концепция силы таким образом развивается из общей идеи причины. Сила — это любая причина, которая имеет своим эффектом движение или изменение движения; и таким образом, всё изменение скорости тела, которое может быть отнесено к посторонним телам — таким как воздух, который его окружает, или опора, на которой оно покоится, — рассматривается как эффект сил; и это рассмотрение рассматривается как объяснение разницы между движением, которое действительно происходит в эксперименте, и тем движением, которое, как утверждает закон, происходило бы, если бы на тело не действовали никакие силы.

Таким образом, истинность первого закона движения зависит от аксиомы, что никакое изменение не может произойти без причины; и следует из определения силы, если мы предположим, что не может быть никакой иной, кроме внешней, причины изменения. Но для установления закона было необходимо далее убедиться, что не существует никакой внутренней причины изменения скорости, присущей всей материи вообще и действующей таким образом, что одного лишь хода времени достаточно для производства уменьшения скорости во всех движущихся телах. Из истории механической науки видно, что этот последний шаг требовал обращения к наблюдению и эксперименту; и что первый закон движения в этом отношении, по крайней мере исторически, зависит от нашего опыта.

Но несмотря на это историческое свидетельство потребности, которую мы имеем в обращении к наблюдаемым фактам, чтобы поставить этот первый закон движения вне сомнения, весьма выдающимися математиками и философами утверждалось, что закон, по правде говоря, очевиден сам по себе и на самом деле не опирается на экспериментальное доказательство. Таково, например, мнение д’Аламбера, который предлагает то, что называется априорным доказательством этого закона; то есть доказательство, выведенное только из наших идей. Когда тело приводится в движение, говорит он, либо причина, которая приводит его в движение вначале, достаточна для того, чтобы заставить его пройти один фут, либо необходимо продолженное действие причины в течение этого фута для движения. В первом случае та же причина, которая заставила тело двигаться до конца первого фута, будет справедлива для его движения через второй, третий, четвертый фут и так далее для любого числа. Во втором случае та же причина, которая заставила силу продолжать действовать в течение первого фута, будет справедлива для её действия, а следовательно, для движения тела в течение каждого последующего фута. И таким образом, тело, начав двигаться, должно продолжать двигаться вечно.

20 Dynamique.

Очевидно, что мы могли бы ответить на этот аргумент тем, что причины, по которым тело движется в течение каждого последующего фута, не обязательно должны быть все одними и теми же; ибо среди этих причин может быть время, которое истекло; и таким образом, скорость может претерпеть изменение по мере того, как время идет: и нам требуется наблюдение, чтобы сообщить нам, что этого не происходит.

Профессор Плейфэр представил почти тот же аргумент, хотя и в другой и более математической форме. Если скорость изменяется, говорит он, она должна изменяться согласно некоторому выражению вычисления, зависящему от времени, или, на математическом языке, должна быть функцией времени. Если скорость уменьшается по мере увеличения времени, это может быть выражено путем указания скорости в каждом случае как некоторого числа, из которого вычитается другая величина, или член, увеличивающийся по мере увеличения времени. Но, добавляет Плейфэр, в природе случая нет условия, с помощью которого коэффициенты или числа, которые должны быть использованы вместе с числом, представляющим время, при вычислении этого второго члена, могут быть определены как имеющие одну величину, а не любую другую. Поэтому он делает вывод, что таких коэффициентов быть не может, и что скорость в каждом случае равна некоторому постоянному числу, независимому от времени; и поэтому она одинакова для всех времен.

21 Outlines of Natural Philosophy, p. 26.

В ответ на это мы можем заметить, что обстоятельство того, что мы не видим в природе случая ничего, что определяло бы для нас коэффициенты, о которых говорилось выше, не может доказать, что они не имеют некоторого определенного значения в природе. Мы не видим в природе случая ничего, что должно было бы определять тело падать шестнадцать футов в секунду времени, а не один фут или сто футов: тем не менее, на самом деле пространство, пройденное таким образом падающими телами, определено до некоторой величины. Было бы легко назначить математическое выражение для скорости тела, подразумевающее, что одна сотая скорости или любая другая дробь теряется в каждую секунду: и где абсурдность предположения, что такое выражение действительно представляет скорость?

22 This would be the case, if, t being the number of seconds elapsed, and C some constant quantity, the velocity were expressed by this mathematical formula, C(99⁄100)t.

Большинство современных авторов по механике приняли противоположное мнение и приписали наше знание этого первого закона движения опыту. Так, М. Пуассон, один из самых выдающихся математиков, писавших на эту тему, говорит: «Мы не можем утверждать априори, что скорость, сообщенная телу, не станет медленнее и медленнее сама по себе и не закончится полным угасанием. Только опытом и индукцией этот вопрос может быть решен».

23 Poisson, Dynamique, ed. 2, art. 113.

И всё же нельзя отрицать, что есть много силы в тех аргументах, с помощью которых делается попытка показать, что первый закон движения, каким мы его находим, более согласуется с нашими концепциями, чем любой другой. Закон, каким он существует, является самым простым, который мы можем себе представить. Вместо того чтобы определять с помощью экспериментов, каков закон естественного изменения скорости, мы находим, что закон заключается в том, что она не меняется вовсе. В некоторой степени закон зависит от очевидной аксиомы, что никакое изменение не может произойти без причины. Но далее возникает вопрос, не может ли само течение времени быть причиной изменения скорости. Чтобы обеспечить это, мы прибегаем к эксперименту; и результат заключается в том, что время само по себе не производит никакого такого изменения. В дополнение к условиям изменения, которые мы собираем из наших собственных идей, мы спрашиваем у опыта, какие еще условия и обстоятельства она может предложить; и ответ заключается в том, что она не может указать ни одного; когда мы устранили изменения, которые вызывают внешние причины в нашем самом представлении о них, больше нет никаких изменений. Вместо того чтобы руководствоваться опытом, мы узнаем, что по этому предмету ей нечего нам сказать. Вместо того чтобы принимать во внимание множество обстоятельств, мы обнаруживаем, что нам нужно только отвергнуть все обстоятельства. Скорость тела остается неизменной только от времени, какого бы рода ни было само тело.

Но доктрина, что время само по себе не является причиной изменения скорости в каком-либо теле, далее рекомендуется нам этим соображением: что время воспринимается нами не как причина, а только как условие других причин, производящих свои эффекты. Причины действуют во времени; но только когда причина существует, течение времени может привести к изменениям. Поэтому, когда все внешние причины изменения скорости предполагаются устраненными, скорость должна оставаться идентичной самой себе, какое бы время ни истекло. Вечность отрицания не может произвести никакого положительного результата.

Таким образом, хотя открытие первого закона движения было сделано, исторически говоря, с помощью эксперимента, мы теперь достигли точки зрения, с которой видим, что оно могло быть достоверно известно как истинное независимо от опыта. Этот закон в своей окончательной форме, когда он полностью упрощен и устойчиво созерцается, принимает характер самоочевидной истины. Мы обнаружим, что тот же процесс происходит и в других случаях. И эта черта в прогрессе науки в дальнейшем будет признана предлагающей очень важные взгляды как на природу, так и на перспективы нашего знания.

3. Тяжесть — это равномерная сила. — Мы обнаружим, что наблюдения того же рода предлагаются в той или иной степени очевидным образом в отношении других принципов динамики. Определение законов, согласно которым тела падают вниз под действием обычного притяжения тяжести, уже было отмечено в «Истории механики» как одно из самых ранних положительных достижений в доктрине движения. Эти законы были впервые правильно сформулированы Галилеем и установлены рассуждением и экспериментом, не без разногласий и споров. Суть этих доктрин такова: тяжесть — это равномерно ускоряющая сила; такая равномерная сила имеет своей характеристикой то, что она заставляет скорость увеличиваться в точном соответствии со временем движения. Отношение, которое пространства, описанные телом, имеют к временам, в которые они описаны, получается путем математического вывода из этого определения силы.

24 Hist. Ind. Sc. b. vi. c. ii. sect. 2.

Ясное определение равномерно ускоряющей силы и положение, что тяжесть является такой силой, были координационными и современными шагами в этом открытии. При определении ускоряющей силы ссылка, молчаливая или явная, была обязательно сделана на вторую из общих аксиом относительно причинности: что причины измеряются их эффектами. Сила в рассматриваемых нами случаях мыслится, как мы уже заявляли (стр. 236), как любая причина, которая, действуя извне, изменяет движение тела. Она должна, следовательно, в этом принятии измеряться величиной изменений, которые производятся. Но каким образом изменения движения должны быть использованы как меры силы, узнается из наблюдения фактов, которые мы видим происходящими в мире. Опыт интерпретирует аксиому причинности, из которой иначе мы не могли бы вывести никакого реального знания. Мы можем допустить, в силу наших общих концепций силы, что при тех же обстоятельствах большее изменение движения подразумевает большую силу, производящую его; но чего нам ожидать, когда обстоятельства меняются? Вес тела заставляет его падать из состояния покоя вначале и заставляет его двигаться быстрее, когда оно опускается ниже. Мы можем выразить это, сказав, что тяжесть, универсальная сила, которая заставляет все земные тела падать, когда они не поддержаны, своим непрерывным действием сначала дает скорость телу, когда у него её нет, а впоследствии добавляет скорость к той, которую тело уже имеет. Но как добавляемая скорость соотносится со скоростью, которая уже существует? Сила, действующая на тело в покое и на тело в движении, появляется при очень разных условиях; как связаны эффекты? Пусть сила мыслится в обоих случаях одинаковой, поскольку сила мыслится зависящей от посторонних тел, а не от состояния самой движущейся массы. Но сила будучи одинаковой, эффекты всё же могут быть разными. С первого взгляда мыслимо, что тело, на которое действует та же тяжесть, может получить меньшее приращение скорости, когда оно уже движется в направлении, в котором эта тяжесть его толкает; ибо если мы сами толкаем тело вперед, мы можем произвести мало дополнительного эффекта на него, когда оно уже движется быстро от нас. Не может ли быть правдой, подобным же образом, что хотя тяжесть всегда является одной и той же силой, её эффект зависит от скорости, которую тело под её влиянием уже обладает?

Наблюдение и рассуждение в сочетании, как мы сказали, позволили Галилею ответить на эти вопросы. Он утверждал и доказал, что мы можем последовательно и правильно измерять силу скоростью, которая ею генерируется в теле за некоторое определенное время, например, одну секунду; и далее, что если мы примем эту меру, тяжесть будет силой того же значения при всех обстоятельствах тела, на которое она влияет; поскольку оказалось, что, на самом деле, падающее тело получает равные приращения скорости в равные времена от начала до конца.

Если спросить, могли ли мы знать до или независимо от эксперимента, что тяжесть является равномерной силой в смысле, таким образом наложенном на термин; представляется ясным, что мы должны ответить, что мы не могли достичь такого знания, поскольку другие законы движения тел вниз легко мыслимы, и ничто, кроме наблюдения, не могло сообщить нам, что один из этих законов не преобладает на самом деле. Действительно, мы можем добавить, что утверждение, что сила тяжести равномерна, настолько далеко от того, чтобы быть самоочевидным, что оно даже не является истинным; ибо тяжесть изменяется в зависимости от расстояния от центра земли; и хотя это изменение настолько мало, что в случае падающих тел оно незаметно, оно отрицает строгую равномерность силы так же полно, хотя и не в той же степени, как если бы вес тела уменьшался в заметной степени, когда его переносили из нижней в верхнюю комнату дома. Это не может, тогда, быть истиной, независимой от опыта, что тяжесть равномерна.

Тем не менее, на самом деле, утверждение, что тяжесть равномерна, было принято не только до того, как оно было доказано, но даже до того, как оно было ясно понято. Все охотно признавали, что тела, которые падают свободно, равномерно ускоряются; но в то время как одни придерживались только что изложенного мнения, что равномерно ускоренное движение — это то, в котором скорость увеличивается пропорционально времени, другие утверждали, что равномерно ускоренное движение — это то, в котором скорость увеличивается пропорционально пространству; так что, например, тело при падении вертикально через двадцать футов должно приобрести вдвое большую скорость, чем то, которое падает через десять футов.

Эти два мнения оба выдвигаются собеседниками в «Диалоге» Галилея на эту тему. И последнее предположение отвергается, автор показывает не то, что оно несовместимо с опытом, а то, что оно невозможно само по себе: поскольку оно неизбежно привело бы к выводу, что падение через большое и малое вертикальное пространство заняло бы в точности одно и то же время.

25 Dialogo, iii. p. 95.

Действительно, Галилей принимает свое определение равномерно ускоренного движения как такое, которое достаточно рекомендуется своей собственной простотой. «Если мы будем внимательно следить, — говорит он, — мы обнаружим, что никакой способ увеличения скорости не является более простым, чем тот, который добавляет равные приращения в равные времена. Что мы можем легко понять, если рассмотрим близкое родство времени и движения: ибо как равномерность движения определяется равенством пространств, описанных в равные времена, так мы можем представить равномерность ускорения существующей, когда равные скорости добавляются в равные времена».

Способ Галилея поддержать свое мнение, что тела, падающие под действием тяжести, таким образом равномерно ускоряются, состоит, во-первых, в приведении максимы, что природа всегда использует самые простые средства. Но он далек от того, чтобы считать это решающим аргументом. «Я, — говорит один из его собеседников, — поскольку было бы очень неразумно с моей стороны противоречить этому или любому другому определению, которое может пожелать сделать любой автор, так как они все произвольны, могу всё же, без обиды, сомневаться, подходит ли, согласуется ли и подтверждается ли такое определение, задуманное и допущенное в абстрактном виде, в том роде ускоренного движения, которое имеют тела, когда они спускаются естественно».

26 Dialogo, iii. p. 91.

Экспериментальное доказательство того, что тела, когда они падают вниз, равномерно ускоряются, (Галилеем) выведено из наклонной плоскости; и поэтому предполагает положение, что если такое равномерное ускорение преобладает в вертикальном движении, оно также будет иметь место, когда тело вынуждено описывать наклонный прямолинейный путь. Это положение может быть показано как истинное, если (предполагая в предвосхищении третий закон движения, о котором мы вскоре должны будем говорить) мы введем концепцию равномерной статической силы как причины равномерного ускорения. Ибо сила на наклонной плоскости находится в постоянной пропорции к вертикальной силе, и эта пропорция известна из статических соображений. Но в работе, о которой мы говорим, Галилей не вводит эту абстрактную концепцию силы как основание своих доктрин. Вместо этого он предлагает, как постулат, достаточно очевидный, чтобы быть сделанным основой его рассуждений, что тела, которые спускаются по наклонным плоскостям разных наклонов, но одной и той же вертикальной высоты, все приобретают одну и ту же скорость. Но когда этот постулат был предложен одним из лиц диалога, другой собеседник говорит: «Вы рассуждаете очень вероятно; но помимо этой вероятности, я желаю увеличить вероятность настолько, чтобы она была почти такой же полной, как необходимое доказательство». Затем он приступает к описанию очень остроумного и простого эксперимента, который показывает, что когда тело заставляют качаться вверх на конце нити, оно достигает той же высоты, какой бы путь оно ни следовало, до тех пор, пока оно начинает с самой низкой точки с той же скоростью. И таким образом постулат Галилея экспериментально подтверждается, насколько сила тяжести может быть взята как пример сил, которые постулат рассматривает: и наоборот, тяжесть доказана как равномерная сила, насколько можно считать ясным, что постулат верен для равномерных сил.

27 Dialogo, iii. p. 36.

Когда мы ввели концепцию и определение ускоряющей силы, постулат Галилея, что тела, спускающиеся по наклонным плоскостям одной и той же вертикальной высоты, приобретают одну и ту же скорость, может, с помощью нескольких шагов рассуждения, быть доказан как истинный для равномерных сил: и таким образом доказательство того, что тяжесть, либо в вертикальном, либо в наклонном движении, является равномерной силой, подтверждается вышеупомянутым экспериментом; как оно также подтверждается, на подобных основаниях, многими другими экспериментами, сделанными на наклонных плоскостях и маятниках.

Таким образом, правильность концепции Галилея о равномерной силе и доктрина, что тяжесть является равномерной силой, были подтверждены одними и теми же рассуждениями и экспериментами. Мы можем сделать здесь два замечания: во-первых, что концепция, когда она установлена и правильно сформулирована, кажется настолько простой, что едва ли требует экспериментального доказательства; замечание, которое мы уже сделали в отношении первого закона движения: и во-вторых, что открытие реального закона природы было сделано путем принятия положений, которые, без дальнейшего доказательства, мы сочли бы очень ненадежными и гораздо менее очевидными, а также менее доказательными, чем закон природы в его простой форме.

4. Второй закон движения. — Когда тело, вместо того чтобы падать вниз из состояния покоя, брошено в любом направлении, оно описывает кривую линию, пока его движение не остановится. В этом и во всех других случаях, в которых тело описывает кривой путь в свободном пространстве, его движение определяется вторым законом движения. Закон в своей общей форме таков: когда тело таким образом брошено и на него действует сила в направлении, поперечном его движению, результатом является то, что с движением, с которым тело брошено, комбинируется другое движение, в точности такое же, как то, которое та же сила сообщила бы телу в покое.

Легко будет понять, что основой этого закона является аксиома, уже изложенная, что эффекты измеряются их причинами. В силу этой аксиомы эффект тяжести, действующей на тело в направлении, поперечном его движению, должен измерять ускоряющую или отклоняющую силу тяжести при этих обстоятельствах. Если этот эффект изменяется с изменяющейся скоростью и направлением тела, на которое таким образом воздействуют, отклоняющая сила тяжести также будет изменяться с этими обстоятельствами. Более простое предположение заключается в том, что отклоняющая сила тяжести одинакова, какова бы ни была скорость и направление тела, которое подвергается её влиянию: и это предположение, которое, как мы находим, подтверждается фактами. Например, шар, уроненный с вершины вертикальной мачты корабля, когда он устойчиво плывет вперед, упадет у основания мачты, точно так же, как если бы он был уронен, пока корабль был в покое; таким образом показывая, что движение, которое тяжесть дает шару, комбинируется с горизонтальным движением, которое шар разделяет с кораблем с самого начала. Эта общая и простая концепция движений как комбинированных друг с другом представляет, как доказано, способ, которым движение, произведенное тяжестью, модифицирует любое другое движение, которое тело могло иметь ранее.

Дискуссии, которые завершились общим принятием этого второго закона движения среди авторов по механике, были сильно смешаны с аргументами за и против системы Коперника, которая представляла землю вращающейся вокруг своей оси. Ибо очевидным аргументом против этой системы было то, что если каждая точка поверхности земли таким образом находится в движении с запада на восток, камень, уроненный с вершины башни, остался бы позади, так как башня удалялась бы от него: и ответом было то, что по этому закону движения камню было бы сообщено движение земли, так же как и то движение, которое возникло бы от его тяжести к земле; и что движение камня относительно башни было бы таким же, как если бы и земля, и башня были в покое. Галилей далее настаивал, как на презумпции в пользу мнения, что два движения — круговое движение, возникающее от вращения земли, и движение вниз, возникающее от тяжести камня, — были бы скомбинированы способом, который мы описали (ни одно из них не нарушая и не уменьшая другое), — что первое движение было по своей природе не подвержено никакому изменению или уменьшению, как мы узнаем из первого закона движения. И предмет не был легко отброшен. Эксперимент с камнем, уроненным с вершины мачты, был проделан в различных формах Гассенди; и в его послании «De Motu impresso a Motore translato» правило, о котором сейчас идет речь, поддерживается ссылкой на эти эксперименты. Таким образом, общая истина, второй закон движения, была установлена полностью и вне спора.

28 Dialogo, ii. p. 114.

Но когда этот закон был доказан как истинный в общем смысле, с такой точностью, какую допускали грубые эксперименты, подобные экспериментам Галилея и Гассенди, оставалось еще установить (предполагая, что наше знание закона является результатом только опыта), верен ли он с той точной и строгой точностью, которую могли проверить более утонченные способы экспериментирования. Мы так охотно верим в простоту законов природы, что строгая точность такого закона, известного как по крайней мере приблизительно истинного, принималась как должное, пока не появится какое-либо основание подозревать обратное. И всё же не было недостатка в расчетах, которые могли бы подтвердить закон как истинный до последней степени точности. Лаплас рассказывает («Syst. du Monde», книга iv, глава 16), что одно время он допускал возможность того, что эффект тяжести на луну может быть слегка модифицирован направлением и скоростью луны; и что таким образом можно было бы найти объяснение ускорения луны (отклонение её наблюдаемого места от вычисленного, которое долго озадачивало математиков). Но спустя некоторое время было обнаружено, что эта черта в движении луны возникла от другой причины; и второй закон движения был подтвержден как истинный в самом строгом смысле.

Таким образом, мы видим, что, хотя существовали аргументы, которые могли быть выдвинуты в пользу этого закона, основываясь на необходимых отношениях идей, люди убедились в его истинности только тогда, когда он был проверен и подтвержден реальным экспериментом. И все же в данном случае, как и в предыдущих, когда закон был установлен вне всякого сомнения, люди были весьма склонны полагать, что он не является простым результатом наблюдения, — что содержащаяся в нем истина не была получена из опыта, — что его можно было принять за истину в силу рассуждений, предшествующих опыту, — и что эксперименты служили лишь для того, чтобы сделать закон более ясным и понятным, подобно тому как наглядные чертежи в геометрии служат для иллюстрации геометрических истин; наше знание, как они полагали, в механике, так же как и в геометрии, не заимствовано из чувств. Многим казалось самоочевидным, что действие силы в любом направлении не может быть увеличено или уменьшено каким-либо движением, поперечным направлению силы, которое тело может иметь в то же самое время: или, выражаясь иначе, что если движение тела слагается из горизонтального и вертикального движений, то только вертикальное движение будет подвержено воздействию вертикальной силы. Этот принцип, действительно, не только казался очевидным многим лицам, но даже в наши дни принимается как аксиома многими выдающимися математиками. Он, например, так используется в «Небесной механике» Лапласа, которую можно рассматривать как эталон математической механики нашего времени; и в «Аналитической механике» Лагранжа, наиболее совершенном примере тонкости мысли по таким предметам, который когда-либо появлялся, а также силы математического обобщения. И таким образом, мы имеем здесь еще один пример того обстоятельства, которое мы уже отмечали, говоря о Первом законе движения (ст. 2 этой главы) и о законе, согласно которому тяжесть является равномерной силой (ст. 3); а именно, что закон, хотя исторически установленный экспериментами, кажется, будучи однажды открытым и сведенным к своей наиболее простой и общей форме, самоочевидным. Я тем более желаю привлечь внимание к этой особенности в различных частях истории науки, поскольку она, как будет обнаружено, ведет к некоторым весьма обширным и важным взглядам, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

29 I may observe that the rule that we may compound motions, as the Law supposes, is involved in the step of resolving them; which is done in the passage to which I refer. (Méc. Analyt. ptie. i. sect. i. art. 3. p. 225.) ‘Si on conçoit que le mouvement d’un corps et les forces qui le sollicitent soient decomposées suivant trois lignes droites perpendiculaires entre elles, on pourra considérer séparément les mouvemens et les forces relatives à chacun de ces trois directions. Car à cause de la perpendicularité des directions il est visible que chacun de ces mouvemens partiels peut être regardé comme indépendant des deux autres, et qu’il ne peut recevoir d’altération que de la part de la force qui agit dans la direction de ce mouvement; l’on peut conclure que ces trois mouvemens doivent suivre, chacun en particulier, les lois des mouvemens rectilignes accélérés ou retardés par les forces données.’ Laplace makes the same assumption in effect, (Méc. Cél. p. i. liv. i. art. 7), by resolving the forces which act upon a point in three rectangular directions, and reasoning separately concerning each direction. But in his mode of treating the subject is involved a principle which belongs to the Third Law of Motion, namely, the doctrine that the velocity is as the force, of which we shall have to speak elsewhere.

5. Третий закон движения. — Мы имеем в определении ускоряющей силы меру сил, поскольку они участвуют в создании движения. Ранее, говоря о принципах статики, мы определили меру сил или давлений, поскольку они используются для создания равновесия. Но эти два аспекта силы тесно связаны; и нам требуется закон, который установил бы правило их связи. С помощью того же самого мышечного усилия, которым мы можем поддерживать тяжелый камень, мы можем также привести его в движение. Тогда возникает вопрос: как определяется скорость и характер его движения? Ответ на этот вопрос содержится в Третьем законе движения, и он заключается в следующем: количество движения, которое любое давление производит в массе за данное время, пропорционально давлению. Под количеством движения понимается произведение чисел, выражающих скорость и массу тела: и, следовательно, если масса тела одинакова в сравниваемых нами случаях, правило таково: скорость пропорциональна силе, которая ее производит; и это один из самых простых способов выражения Третьего закона движения.

В соответствии с нашим общим планом мы должны спросить: каково основание этого правила? Какова самая простая и удовлетворительная форма, к которой мы можем свести его доказательство? Или, если взять пример: если двойное давление оказывается на данную массу, расположенную так, что она способна к движению, почему оно должно производить двойную скорость за то же время?

Чтобы ответить на этот вопрос, предположим, что двойное давление разложено на два отдельных давления: одно из них произведет определенную скорость; и вопрос в том, почему равное давление, действующее на ту же массу, произведет равную скорость в дополнение к прежней? Или, выражая дело иначе, вопрос в том, почему каждая из двух сил произведет свой отдельный эффект, не измененный одновременным действием другой силы?

Такая постановка вопроса заставляет его казаться очень близким к тем случаям, которые включены во Второй закон движения, и поэтому может показаться, что этот Третий закон не имеет оснований, отличных от Второго. Но необходимо помнить, что слово «сила» имеет разное значение в этом случае и в том; здесь оно означает давление; в формулировке Второго закона его значением была ускоряющая или отклоняющая сила, измеряемая создаваемой скоростью или отклонением. И таким образом, Третий закон движения, насколько позволяют наши рассуждения, по-видимому, покоится на ином фундаменте, чем Второй.

Соответственно, та часть Третьего закона движения, которую мы сейчас рассматриваем, а именно, что создаваемая скорость пропорциональна силе, была получена, по сути, в результате отдельного ряда исследований. Первым примером этого закона, который изучали математики, было движение тел по наклонным плоскостям: ибо сила, побуждающая тело двигаться вниз по наклонной плоскости, известна из статики, и, следовательно, скорость его спуска должна была быть определена. Галилей первоначально в своих попытках решить эту задачу о спуске тела по наклонной плоскости не исходил из принципа, который мы сформулировали (определение силы, действующей вниз по наклонной плоскости из статических соображений), каким бы очевидным он ни казался; но принял, как мы уже видели, предположение, по-видимому, гораздо более сомнительное, — а именно, что тело, скользящее вниз по гладкой наклонной плоскости, всегда приобретает одну и ту же скорость, до тех пор, пока вертикальная высота падения остается прежней. И это предположение (ибо поначалу это было не более чем предположение) он подтвердил остроумным экспериментом, в котором тела приобретали или теряли одну и ту же скорость при спуске или подъеме на одну и ту же высоту, хотя их пути были различными в других отношениях.

30 Dial. della Sc. Nuov. iii. p. 96. See Hist. Ind. Sci. b. vi. c. ii. sect. 5.

Такова была форма, в которой учение о движении тел по наклонным плоскостям было впервые представлено в «Диалогах» Галилея о науке о движении. Но его ученик Вивиани был недоволен введенным таким образом допущением; и в последующих изданиях «Диалогов» кажущаяся пропасть в рассуждениях была значительно сужена путем сведения доказательства к принципу, почти идентичному третьему закону движения, как мы его только что сформулировали. В добавленном таким образом доказательстве, «Мы согласны», — говорит собеседник, — «что в движущемся теле импульс, энергия, количество движения или стремление к движению настолько велики, насколько велика сила или наименьшее сопротивление, достаточное для его поддержания»; и поскольку импульс или количество движения в ходе доказательства принимаются равными скорости, произведенной за данное время, очевидно, что сформулированный таким образом принцип сводится к следующему: произведенная скорость пропорциональна статической силе. И таким образом, этот закон движения, по-видимому, в школе Галилея был предложен и установлен сначала экспериментально, но впоследствии подтвержден и доказан априорными соображениями.

31 Dialogo, p. 104.

Мы видим в приведенном выше рассуждении ряд абстрактных терминов, которые, по крайней мере поначалу, не очень четко определены, таких как «импульс», «количество движения» и т. д. Из них «количество движения» было выбрано для выражения той величины, которая в движущемся теле измеряет статическую силу, приложенную к телу. Эта величина, как мы только что видели, пропорциональна скорости в данном теле. Она также в разных телах пропорциональна массе тела. Эта часть третьего закона движения вытекает из нашего представления о материи в целом как состоящей из частей, способных к сложению. Двойное давление должно требоваться для создания той же скорости в двойной массе; ибо если масса уменьшена вдвое, каждая половина потребует равного давления; и сложение как давлений, так и масс будет происходить, не нарушая эффектов.

Мера количества материи тела, рассматриваемая как влияющая на скорость, которую давление производит в теле, называется его инерцией, как мы уже указывали (гл. V). Инерция — это свойство, благодаря которому большая масса материи требует большей силы, чем малая масса, чтобы придать ей равную скорость. Она принадлежит каждой части материи; и части инерции добавляются всякий раз, когда добавляются части материи. Следовательно, инерция пропорциональна количеству материи; что является лишь другим способом выражения этого третьего закона движения, насколько это касается количества материи.

Но как мы узнаем количество материи тела? Мы можем ответить, что принимаем вес в качестве меры количества материи: но тогда нас могут снова спросить, откуда следует, что вес пропорционален инерции; что он должен быть, чтобы количество материи было пропорционально и тому, и другому. Мы отвечаем, что это представляется верным экспериментально, потому что все тела падают с равными скоростями под действием силы тяжести, когда устранены известные причины различий. Наблюдения за падающими телами, действительно, не отличаются большой точностью: но эксперименты, ведущие к тому же результату и способные обеспечить большую точность, были проведены Ньютоном на маятниках; как он рассказывает в своих «Математических началах натуральной философии», книга III, предл. 6. Все они, по его словам, согласуются с идеальной точностью: и таким образом, вес и инерция пропорциональны во всех случаях, а следовательно, каждый из них пропорционален количеству материи, измеренному другим.

Концепция инерции, как мы уже видели в главе V, включает в себя понятие действия и противодействия; и таким образом, законы, включающие инерцию, зависят от идеи взаимной причинности. Правило, что скорость пропорциональна силе, зависит от принципа причинности, согласно которому эффект пропорционален причине; при этом эффект здесь оценивается так, чтобы быть согласованным как с другими законами движения, так и с экспериментом.

Но здесь, как и в других случаях, снова возникает вопрос: действительно ли эксперимент необходим для доказательства этого закона? Если мы обратимся к авторитетам, нам будет нелегко решить. Д’Аламбер против необходимости экспериментального доказательства. «Зачем», — говорит он, — «нам прибегать к этому принципу, используемому в наши дни всеми, что сила пропорциональна скорости? ... принципу, покоящемуся исключительно на этой расплывчатой и неясной аксиоме, что эффект пропорционален причине. Мы не будем здесь исследовать», — добавляет он, — «является ли этот принцип необходимо истинным; мы лишь признаем, что доказательства, которые до сих пор приводились, не кажутся нам безупречными: и мы не будем, подобно некоторым геометрам, принимать его как чисто случайную истину; что означало бы разрушить достоверность механики и свести ее к не более чем экспериментальной науке. Мы ограничимся наблюдением», — продолжает он, — «что, достоверный или сомнительный, ясный или неясный, он бесполезен в механике и, следовательно, должен быть изгнан из науки». Хотя Д’Аламбер отвергает третий закон движения в этой форме, он принимает другой, эквивалентного значения, который кажется ему обладающим аксиоматической достоверностью; и эта процедура согласуется с курсом, который он берет, претендуя для науки механики на нечто большее, чем просто экспериментальная истина. Напротив, Лаплас считает этот третий закон установленным экспериментом. «Пропорциональна ли сила», — говорит он, — «скорости? Это», — отвечает он, — «мы не можем знать априори, видя, что мы находимся в неведении относительно природы движущей силы: мы должны поэтому для этой цели прибегнуть к опыту; ибо все, что не является необходимым следствием немногих данных, которые у нас есть относительно природы вещей, является для нас лишь результатом наблюдения». И далее он говорит: «Здесь, следовательно, у нас есть два закона движения — закон инерции [первый закон движения] и закон силы, пропорциональной скорости, — которые даны наблюдением. Это самые естественные и самые простые законы, которые мы можем себе представить, и без сомнения они вытекают из самой природы материи; но эта природа будучи неизвестной, они являются для нас лишь наблюдаемыми фактами: единственными, однако, которые механика заимствует из опыта».

32 Dynamique, Pref. p. x.

33 Méc. Cél. p. 15.

34 p. 18.

Мне кажется, из взглядов, представленных в этой и нескольких других частях настоящей работы, будет ясно, что мы не можем с полным основанием сказать, что у нас есть очень «немногие данные относительно природы вещей» при размышлении о законах вселенной; поскольку все следствия, вытекающие из отношений наших фундаментальных идей, неизбежно регулируют наше знание вещей, насколько у нас есть какое-либо такое знание. Не можем мы сказать и того, что природа материи нам неизвестна в каком-либо смысле, в котором мы можем представить знание как возможное. Природа материи не более неизвестна, чем природа пространства или числа. В нашем представлении о материи, как и о пространстве и числе, заключены определенные отношения, которые являются необходимым фундаментом нашего знания; и все, что независимо от этих отношений, является не неизвестным, а непостижимым.

Читателю уже должно быть ясно из фразеологии, используемой этими двумя выдающимися математиками, что вопрос относительно формирования третьего закона движения может быть решен только путем тщательного рассмотрения того, что мы подразумеваем под наблюдением и опытом, природой и материей. Но, вероятно, будет общепризнано, что, принимая во внимание уже предложенные объяснения необходимых условий опыта и концепции инерции, этот закон движения, что инерция пропорциональна количеству материи, является почти или полностью самоочевидным.

6. Действие и противодействие равны в движущихся телах. — Когда мы должны рассматривать тела как воздействующие друг на друга и влияющие на движения друг друга, третий закон движения все еще применяется; но наряду с этим мы также используем общий принцип, что действие и противодействие равны и противоположны. Действие и противодействие здесь следует понимать как количество движения, произведенное и уничтоженное, в соответствии с мерой действия, установленной Третьим законом движения: и случаи, в которых этот принцип таким образом используется, составляют столь значительную часть тех, в которых используется третий закон движения, что некоторые авторы (во главе с Ньютоном) сформулировали равенство действия и противодействия как третий закон движения.

Третий закон движения будучи однажды установленным, равенство действия и противодействия в смысле приобретенного и потерянного количества движения неизбежно следует. Так, если вес, висящий на нити через край гладкого горизонтального стола, тянет другой вес вдоль стола, висящий вес движется медленнее, чем он двигался бы, если бы не был так соединен, и, таким образом, теряет скорость из-за соединения; в то время как другой вес приобретает благодаря соединению всю скорость, которую он имеет, ибо если бы его оставили в покое, он бы покоился. И давления, которые сдерживают спуск первого тела и ускоряют движение второго, равны во все моменты времени, ибо каждое из этих давлений есть натяжение нити: и, следовательно, по третьему закону движения, количество движения, приобретенное одним телом, и количество движения, потерянное другим в силу действия этой нити, равны. И аналогичное рассуждение может быть применено в любом другом случае, где тела соединены.

Случай, когда одно тело не толкает или тянет, а ударяет другое, поначалу казался механикам имеющим иную природу, чем другие; но небольшого размышления было достаточно, чтобы показать, что удар, по сути, является лишь коротким и сильным давлением; и что, следовательно, общее правило равенства потерянного и приобретенного количества движения применимо к этому, так же как и к другим случаям.

Таким образом, чтобы определить случай прямого действия тел друг на друга, нам не требуется никакого нового закона движения. Равенство действия и противодействия, которое неизбежно входит в любую концепцию механического процесса, в сочетании с мерой действия, как она дана третьим законом движения, позволяет нам проследить последствия каждого случая, будь то давление или удар.

7. Принцип Д’Аламбера. — Но каков будет результат, когда тела не действуют прямо друг на друга, а косвенно соединены каким-либо образом с помощью рычагов, нитей, блоков или иным способом, так что одна часть системы имеет механическое преимущество перед другой? Результат все равно должен определяться принципом, что действие и противодействие уравновешивают друг друга. Действие и противодействие, будучи давлениями в одном смысле, должны уравновешивать друг друга по законам статики, ибо эти законы определяют равновесие давления. Теперь действие и противодействие, согласно их мерам в Третьем законе движения, суть количество движения, приобретенное и потерянное, когда действие прямое; и если косвенное действие не вносит какой-либо модификации закона, они должны иметь ту же меру. Но, по сути, мы не можем хорошо представить себе, чтобы в этом случае происходила какая-либо модификация закона; ибо прямое действие — это лишь один (предельный) случай косвенного действия. Так, если два тяжелых тела действуют в разных точках рычага, действие каждого на другое косвенно; но если две точки сходятся, действие становится прямым. Следовательно, правило должно быть тем, которое мы уже сформулировали; ибо если бы правило было ложным для косвенного действия, оно было бы также ложным для прямого действия, для которого мы показали его истинность. И таким образом мы получаем общий принцип, что в любой системе тел, которые действуют друг на друга, действие и противодействие, оцениваемые по приобретенному и потерянному количеству движения, уравновешивают друг друга согласно законам равновесия. Этот принцип, который настолько общ, что служит ключом к решению всех возможных механических задач, обычно называется принципом Д’Аламбера. Экспериментальные доказательства, которые убедили людей в истинности Третьего закона движения, были, многие или большинство из них, доказательствами закона в этом расширенном смысле. И таким образом, доказательство принципа Д’Аламбера, как из идеи механического действия, так и из опыта, включено в доказательство уже сформулированного закона.

8. Связь динамических и статических принципов. — Принцип равновесия Д’Аламбера, только что сформулированный, есть закон, который он хотел бы подставить вместо Третьего закона движения; и он таким образом устранил бы необходимость в независимом доказательстве этого закона. Подобным образом Второй закон движения некоторыми авторами выводится из принципа сложения статических сил; и они таким образом устранили бы необходимость обращения к эксперименту в этом случае. Лаплас придерживается этого курса и, таким образом, как мы видели, основывает на опыте только Первый и Третий законы движения. Ньютон, с другой стороны, признает ту же связь предложений, но для другой цели; ибо он выводит сложение статических сил из Второго закона движения.

Тесную связь этих трех принципов — сложения (статических) сил, сложения (ускоряющих) сил со скоростями и измерения (движущих) сил скоростями — нельзя отрицать; однако представляется отнюдь не легким устранить необходимость независимых доказательств последних двух из этих принципов. Оба могут быть доказаны или проиллюстрированы экспериментом: и эксперименты, которые доказывают один, отличаются от тех, которые устанавливают другой. Например, из простых расчетов видно, что когда мы применяем наши принципы к колебаниям маятника, Второй закон доказывается тем фактом, что колебания происходят с одинаковой скоростью в восточном и западном, а также в северном и южном направлениях: при тех же обстоятельствах Третий закон доказывается тем, что мы находим, что время малого колебания пропорционально квадратному корню из длины маятника; и подобные различия можно было бы указать в других экспериментах, касательно их отношения к тому или иному закону.

9. Механические принципы становятся постепенно более простыми и более очевидными. — Я снова укажу в целом на два обстоятельства, которые я уже отмечал в частных случаях законов движения. — Истины часто поначалу принимаются в форме, которая далека от того, чтобы быть наиболее очевидной или простой; — и однажды открытые истины постепенно упрощаются, так что принимают вид самоочевидных истин.

Первое обстоятельство иллюстрируется несколькими примерами, которые нам пришлось рассмотреть. Допущение, что вечный двигатель невозможен, предшествовало знанию первого закона движения. Предполагаемое равенство скоростей, приобретенных при спуске по двум наклонным плоскостям одной и той же высоты, было впоследствии сведено к третьему закону движения самим Галилеем. В «Истории» мы отметили допущение Гюйгенса о равенстве фактического спуска и потенциального подъема центра тяжести: это было впоследствии сведено Германом и Бернулли к статической эквивалентности воздействий тяжести и викарных воздействий эффективных сил, действующих на каждую точку; и, наконец, к принципу Д’Аламбера, который утверждает, что приобретенные и потерянные движения уравновешивают друг друга.

35 B. vi. c. v. sect. 2.

Это раннее утверждение принципов, которые теперь кажутся ни очевидными, ни самоочевидными, не следует рассматривать как безосновательное допущение со стороны первооткрывателей, которыми оно было сделано. Напротив, это свидетельство глубокой проницательности и ясной мысли, которые требовались для того, чтобы сделать такие открытия. Ибо эти результаты действительно являются строгими следствиями законов движения в их простейшей форме: и доказательство их, вероятно, присутствовало, хотя и в неразвитом виде, в умах первооткрывателей. Нам рассказывают о студентах-геометрах, которые благодаря особой способности ума воспринимали доказательство некоторых более продвинутых предложений геометрии, не проходя через вводные шаги. Мы должны предположить наличие аналогичной способности к механическим рассуждениям, которая, существуя в умах Стевина, Галилея, Ньютона и Гюйгенса, привела их к тем допущениям, которые в конечном итоге разрешились в законы движения.

Мы можем заметить далее, что простота и очевидность, которые законы механики в конце концов приобрели, во многом способствуются употреблением слов лучшими авторами по таким предметам. Термины, которые первоначально, до того как законы движения были полностью известны, использовались в весьма расплывчатом и колеблющемся смысле, были впоследствии ограничены и сделаны точными, так что утверждения, которые поначалу кажутся тождественными предложениями, становятся отчетливыми и важными принципами. Таким образом, «сила», «движение», «количество движения» — это термины, которые использовались, хотя и в свободной манере, с самого начала механических спекуляций. И до тех пор, пока эти слова сохраняли расплывчатость обычного языка, было бы бесполезной и бесплодной трюизмом сказать, что «количество движения пропорционально силе» или что «тело теряет столько движения, сколько передает другому». Но когда «количество движения» и «количество движения» определяются как произведение массы и скорости, эти два предложения немедленно становятся отчетливыми формулировками третьего закона движения и его следствий. Подобным образом, утверждение, что «тяжесть есть равномерная сила», принималось до того, как было решено, что такое равномерная сила; но это утверждение стало значимым и полезным только тогда, когда этот пункт был должным образом определен. Утверждение, что «когда разные движения передаются одному и тому же телу, их эффекты слагаются», становится вторым законом движения, когда мы определяем, что такое сложение движений. И тот же процесс можно наблюдать в других случаях.

И таким образом мы видим, насколько хорошо форма, которую наука в конечном итоге принимает, приспособлена для упрощения знания. Определения, которые принимаются, и термины, которые становятся общепринятыми в точных смыслах, создают полную гармонию между материей и формой нашего знания; так что истины, которые поначалу были неожиданными и сокровенными, стали привычными фразами и через несколько поколений звучат даже для обычных ушей как тождественные предложения.

10. Спор о мере силы. — В «Истории механики» мы дали отчет о споре, который некоторое время занимал математиков Европы: следует ли считать силы движущихся тел пропорциональными скорости или квадрату скорости. Нам не нужно здесь вспоминать события этого спора; но мы можем заметить, что его история как метафизического спора примечательна в том отношении, что он был окончательно и полностью урегулирован; ибо теперь среди математиков принято считать, что обе стороны были правы и что результаты механического действия могут быть выражены с равной точностью посредством «количества движения» и «живой силы». Это, в одном смысле, как сказал Д’Аламбер, спор о словах; но мы не должны делать вывод, что по этой причине он был легкомысленным или бесполезным; ибо такие споры являются одним из главных средств сведения принципов нашего знания к их предельной простоте и ясности. Термины, которые используются в науке механики, теперь навсегда освобождены в умах математиков от той двусмысленности, которая была полем битвы в войне «живых сил».

36 B. vi. c. v. sect. 2.

37 D’Alembert has also remarked (Dynamique, Pref. xxi.) that this controversy ‘shows how little justice and precision there is in the pretended axiom that causes are proportional to their effects.’ But this reflection is by no means well founded. For since both measures are true, it appears that causes may be justly measured by their effects, even when very different kinds of effects are taken. That the axiom does not point out one precise measure, till illustrated by experience or by other considerations, we grant: but the same thing occurs in the application of other axioms also.

Но мы можем заметить, что истинной причиной этого спора была именно та тенденция, которую мы замечали, — склонность человека принимать в своих спекуляциях определенные общие предложения как истинные и фиксировать смысл терминов так, чтобы они согласовывались с этой истиной. Было общепризнано, что при взаимном действии тел всегда сохраняется одно и то же количество силы; и вопрос был в том, какой из двух мер это правило могло быть лучше всего подтверждено. Мы видим, следовательно, что спор касался не только определения, но определения в сочетании с общим предложением. Можно легко представить, что такой вопрос был отнюдь не маловажным; и мы можем заметить мимоходом, что такие споры, хотя их обычно впоследствии клеймят как ссоры о словах и определениях, в действительности являются событиями, имеющими значительные последствия в истории науки; поскольку они рассеивают всякую двусмысленность и расплывчатость в использовании терминов и выявляют условия, при которых фундаментальные принципы нашего знания могут быть представлены наиболее ясно и просто.

Стоит на мгновение остановиться на перспективе, которую мы таким образом получили относительно прогресса знания, как это проиллюстрировано в истории механики. Общая трансформация наших взглядов от расплывчатых к определенным, от сложных к простым, от неожиданных открытий к самоочевидным истинам, от кажущихся противоречий к тождественным предложениям весьма примечательна, но она отнюдь не специфична для нашего предмета. Те же обстоятельства, более или менее заметные, более или менее развитые, появляются в истории других наук, в зависимости от точки прогресса, которой каждая достигла. Они касаются весьма важных доктрин относительно перспектив, пределов и самой природы нашего знания. И хотя эти доктрины требуют рассмотрения в отношении всего корпуса науки, все же особый способ, которым они иллюстрируются обзором истории механики, которым мы только что занимались, делает это место удобным для их представления читателю.

ГЛАВА VIII. О парадоксе универсальных предложений, полученных из опыта.

1. Ранее было сказано, что опыт не может установить никаких универсальных или необходимых истин. Количество испытаний, которые мы можем провести для любого предложения, неизбежно ограничено, и одно лишь наблюдение не может дать нам никакого основания для распространения вывода на неиспытанные случаи. Наблюдаемые факты не имеют видимой связи необходимой зависимости, и никакое упражнение наших чувств не может позволить нам обнаружить такую связь. Мы никогда не можем приобрести из простого наблюдения фактов право утверждать, что предложение истинно во всех случаях и что оно не могло быть иным, чем мы его находим.

38 B. i. c. iv. Of Experience

И все же, как мы только что видели в истории законов движения, мы можем продолжать собирать наши знания из наблюдения, расширяя и упрощая их, пока они не приблизятся или не достигнут полной универсальности и кажущейся необходимости. Могут ли законы движения, как мы их теперь знаем, быть строго сведены к абсолютной необходимости в природе вещей, мы не решились абсолютно утверждать. Но мы видели, что некоторые из наиболее острых и глубоких математиков верили, что для этих законов движения, или некоторых из них, существовала такая доказуемая необходимость, принуждающая их быть такими, какие они есть, и никакими другими. Большинство тех, кто тщательно изучал принципы механики, признают, что некоторые, по крайней мере, из первичных законов движения приближаются очень близко к этому характеру необходимой истины; и признаются, что было бы трудно представить какую-либо другую последовательную систему фундаментальных принципов. И почти все математики признают за этими законами абсолютную универсальность; так что мы можем применять их без колебаний или сомнений в случаях, наиболее удаленных от тех, до которых распространился наш опыт. Какой астроном побоялся бы ссылаться на известные законы движения, рассуждая о двойных звездах; хотя эти объекты находятся на неизмеримо удаленном расстоянии от той солнечной системы, которая была единственным полем нашего наблюдения механических фактов? Какой философ, размышляя относительно магнитной жидкости или светоносного эфира, колебался бы применить к нему механические принципы, которые применимы к жидкостям с известными механическими свойствами? Когда мы утверждаем, что количество движения в мире не может быть увеличено или уменьшено взаимными действиями тел, не чувствует ли каждый математик убежденность, что было бы нефилософским ограничением ограничивать это предложение такими способами действия, которые мы испытали?