«Введение в математическую философию»

Использование математической индукции в доказательствах в прошлом было своего рода загадкой. Казалось, нет разумных сомнений в том, что это был обоснованный метод доказательства, но никто точно не знал, почему он обоснован. Некоторые полагали, что это действительно случай индукции в том смысле, в котором это слово используется в логике. Пуанкаре[9] считал его принципом величайшей важности, с помощью которого бесконечное число силлогизмов могло быть сжато в один аргумент. Мы теперь знаем, что все такие взгляды ошибочны и что математическая индукция — это определение, а не принцип. Существуют некоторые числа, к которым она может быть применена, и есть другие (как мы увидим в главе VIII), к которым она не может быть применена. Мы определяем «натуральные числа» как те, к которым могут быть применены доказательства с помощью математической индукции, т. е. как те, которые обладают всеми индуктивными свойствами. Отсюда следует, что такие доказательства могут быть применены к натуральным числам не в силу какой-либо таинственной интуиции, аксиомы или принципа, а как чисто вербальное предложение. Если «четвероногие» определяются как животные, имеющие четыре ноги, то из этого будет следовать, что животные, которые имеют четыре ноги, являются четвероногими; и случай чисел, которые подчиняются математической индукции, точно такой же.

[9] Science and Method, гл. IV.

Мы будем использовать фразу «индуктивные числа» для обозначения того же множества, о котором мы до сих пор говорили как о «натуральных числах». Фраза «индуктивные числа» предпочтительнее, поскольку она служит напоминанием о том, что определение этого множества чисел получено из математической индукции.

Математическая индукция дает, больше чем что-либо другое, существенную характеристику, по которой конечное отличается от бесконечного. Принцип математической индукции можно было бы сформулировать популярно в такой форме: «то, что можно вывести от одного к другому, можно вывести от первого до последнего». Это верно, когда число промежуточных шагов между первым и последним конечно, но не иначе. Любой, кто когда-либо наблюдал, как начинает движение товарный поезд, замечал, как импульс передается с рывком от каждого вагона к следующему, пока, наконец, даже самый последний вагон не придет в движение. Когда поезд очень длинный, проходит очень много времени, прежде чем сдвинется последний вагон. Если бы поезд был бесконечно длинным, была бы бесконечная последовательность рывков, и время, когда весь поезд пришел бы в движение, никогда бы не наступило. Тем не менее, если бы существовал ряд вагонов не длиннее, чем ряд индуктивных чисел (который, как мы увидим, является примером наименьшей из бесконечностей), каждый вагон рано или поздно начал бы движение, если бы локомотив продолжал тянуть, хотя всегда оставались бы другие вагоны дальше позади, которые еще не начали движение. Этот образ поможет прояснить аргумент от одного к другому и его связь с конечностью. Когда мы перейдем к бесконечным числам, где аргументы от математической индукции будут уже недействительны, свойства таких чисел помогут прояснить, по контрасту, почти бессознательное использование математической индукции там, где речь идет о конечных числах.

ГЛАВА IV ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА

Мы довели наш анализ ряда натуральных чисел до точки, в которой получили логические определения членов этого ряда, всего класса его членов и отношения числа к его непосредственному последующему. Теперь мы должны рассмотреть сериальный характер натуральных чисел в порядке 0, 1, 2, 3,.... Мы обычно думаем о числах как находящихся в этом порядке, и существенной частью работы по анализу наших данных является поиск определения «порядка» или «ряда» в логических терминах.

Понятие порядка имеет огромное значение в математике. Не только целые числа, но и рациональные дроби и все вещественные числа имеют порядок величины, и это существенно для большинства их математических свойств. Порядок точек на прямой существенен для геометрии; так же как и несколько более сложный порядок линий, проходящих через точку на плоскости, или плоскостей, проходящих через линию. Измерения в геометрии являются развитием порядка. Концепция предела, которая лежит в основе всей высшей математики, является сериальной концепцией. Существуют разделы математики, которые не зависят от понятия порядка, но их очень мало по сравнению с теми разделами, в которых это понятие задействовано.

При поиске определения порядка первое, что нужно осознать, — это то, что ни одно множество членов не имеет только один порядок в исключение других. Множество членов имеет все порядки, на которые оно способно. Иногда один порядок настолько более привычен и естественен для наших мыслей, что мы склонны рассматривать его как порядок этого множества членов; но это ошибка. Натуральные числа — или «индуктивные» числа, как мы будем их также называть — приходят нам на ум легче всего в порядке величины; но они способны на бесконечное число других расположений. Мы могли бы, например, рассмотреть сначала все нечетные числа, а затем все четные числа; или сначала 1, затем все четные числа, затем все нечетные кратные 3, затем все кратные 5, но не 2 или 3, затем все кратные 7, но не 2, 3 или 5, и так далее через весь ряд простых чисел. Когда мы говорим, что мы «располагаем» числа в этих различных порядках, это неточное выражение: на самом деле мы обращаем свое внимание на определенные отношения между натуральными числами, которые сами по себе порождают такое-то расположение. Мы не можем «расположить» натуральные числа больше, чем звездное небо; но точно так же, как мы можем заметить среди неподвижных звезд либо их порядок по яркости, либо их распределение на небе, так существуют различные отношения между числами, которые могут быть наблюдаемы и которые порождают различные порядки среди чисел, все одинаково законные. И то, что верно для чисел, одинаково верно для точек на прямой или моментов времени: один порядок более привычен, но другие одинаково обоснованы. Мы могли бы, например, взять сначала на прямой все точки, имеющие целые координаты, затем все те, которые имеют нецелые рациональные координаты, затем все те, которые имеют алгебраические нерациональные координаты, и так далее, через любой набор усложнений, какой мы пожелаем. Результирующий порядок будет тем, который точки прямой, безусловно, имеют, независимо от того, выберем ли мы его заметить или нет; единственное, что является произвольным в различных порядках множества членов, — это наше внимание, ибо сами члены всегда имеют все порядки, на которые они способны.

Одним важным результатом этого рассмотрения является то, что мы не должны искать определение порядка в природе множества упорядочиваемых членов, поскольку одно множество членов имеет много порядков. Порядок заключается не в классе членов, а в отношении между членами класса, в отношении которого одни представляются как более ранние, а другие как более поздние. Тот факт, что класс может иметь много порядков, обусловлен тем, что между членами одного и того же класса может существовать много отношений. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы породить порядок?

Существенные характеристики отношения, которое должно породить порядок, могут быть обнаружены при рассмотрении того, что в отношении такого рода мы должны быть в состоянии сказать о любых двух членах класса, который должен быть упорядочен, что один «предшествует», а другой «следует». Теперь, чтобы мы могли использовать эти слова так, как мы бы их естественно понимали, нам требуется, чтобы упорядочивающее отношение обладало тремя свойствами:

(1) Если x предшествует y, то y не должен также предшествовать x. Это очевидная характеристика рода отношений, которые ведут к рядам. Если x меньше y, то y не является также меньше x. Если x раньше по времени, чем y, то y не является также раньше x. Если x находится слева от y, то y не находится слева от x. С другой стороны, отношения, которые не порождают ряды, часто не обладают этим свойством. Если x — брат или сестра y, то y — брат или сестра x. Если x того же роста, что y, то y того же роста, что x. Если x другого роста, чем y, то y другого роста, чем x. Во всех этих случаях, когда отношение имеет место между x и y, оно также имеет место между y и x. Но с сериальными отношениями такое произойти не может. Отношение, обладающее этим первым свойством, называется асимметричным.

(2) Если x предшествует y и y предшествует z, то x должен предшествовать z. Это может быть проиллюстрировано теми же примерами, что и раньше: «меньше», «раньше», «слева от». Но в качестве примеров отношений, которые не обладают этим свойством, послужат только два из наших предыдущих трех примеров. Если x — брат или сестра y, а y — z, то x может не быть братом или сестрой z, поскольку x и z могут быть одним и тем же лицом. То же самое относится к разнице в росте, но не к одинаковости роста, которая обладает нашим вторым свойством, но не первым. Отношение «отец», с другой стороны, обладает нашим первым свойством, но не вторым. Отношение, обладающее нашим вторым свойством, называется транзитивным.

(3) Если даны любые два члена класса, который должен быть упорядочен, должен быть один, который предшествует, и другой, который следует. Например, из любых двух целых чисел, или дробей, или вещественных чисел одно меньше, а другое больше; но из любых двух комплексных чисел это неверно. Из любых двух моментов времени один должен быть раньше другого; но о событиях, которые могут быть одновременными, этого сказать нельзя. Из двух точек на прямой одна должна быть слева от другой. Отношение, обладающее этим третьим свойством, называется связным.

Когда отношение обладает этими тремя свойствами, оно является такого рода, который порождает порядок среди членов, между которыми оно имеет место; и везде, где существует порядок, можно найти некоторое отношение, обладающее этими тремя свойствами, которое его порождает.

Прежде чем иллюстрировать этот тезис, мы введем несколько определений.

(1) Отношение называется алиорелятивным[10] или содержащимся в разнообразии, или подразумевающим разнообразие, если ни один член не имеет этого отношения к самому себе. Таким образом, например, «больше», «различный по размеру», «брат», «муж», «отец» являются алиорелятивными; но «равный», «рожденный от тех же родителей», «дорогой друг» — нет.

[10] Этот термин принадлежит Ч. С. Пирсу.

(2) Квадрат отношения — это то отношение, которое имеет место между двумя членами x и z, когда существует промежуточный член y такой, что данное отношение имеет место между x и y и между y и z. Таким образом, «дед по отцу» — это квадрат «отца», «больше на 2» — это квадрат «больше на 1» и так далее.

(3) Область отношения состоит из всех тех членов, которые имеют отношение к чему-либо, а обратная область состоит из всех тех членов, к которым что-либо имеет отношение. Эти слова уже были определены, но напоминаются здесь ради следующего определения:

(4) Поле отношения состоит из его области и обратной области вместе взятых.

(5) Одно отношение называется содержащим или подразумеваемым другим, если оно имеет место всякий раз, когда имеет место другое.

Видно, что асимметричное отношение — это то же самое, что отношение, квадрат которого является алиорелятивным. Часто случается, что отношение является алиорелятивным, не будучи асимметричным, хотя асимметричное отношение всегда является алиорелятивным. Например, «супруг» — это алиорелятивное отношение, но оно симметрично, поскольку если x — супруг y, то y — супруг x. Но среди транзитивных отношений все алиорелятивные отношения являются асимметричными, и наоборот.

Из определений видно, что транзитивное отношение — это такое, которое подразумевается своим квадратом, или, как мы также говорим, «содержит» свой квадрат. Таким образом, «предок» транзитивен, потому что предок предка является предком; но «отец» не транзитивен, потому что отец отца не является отцом. Транзитивное алиорелятивное отношение — это такое, которое содержит свой квадрат и содержится в разнообразии; или, что сводится к тому же, такое, чей квадрат подразумевает как его самого, так и разнообразие — потому что, когда отношение транзитивно, асимметрия эквивалентна тому, чтобы быть алиорелятивным.

Отношение является связным, когда, если даны любые два различных члена его поля, отношение имеет место между первым и вторым или между вторым и первым (не исключая возможности того, что могут иметь место оба, хотя оба не могут иметь место, если отношение асимметрично).

Видно, что отношение «предок», например, является алиорелятивным и транзитивным, но не связным; именно потому, что оно не связно, его недостаточно для того, чтобы расположить человеческий род в ряд.

Отношение «меньше или равно» среди чисел является транзитивным и связным, но не асимметричным или алиорелятивным.

Отношение «больше или меньше» среди чисел является алиорелятивным и связным, но не транзитивным, ибо если x больше или меньше y, а y больше или меньше z, может случиться, что x и z — одно и то же число.

Таким образом, три свойства: (1) быть алиорелятивным, (2) быть транзитивным и (3) быть связным — взаимно независимы, поскольку отношение может обладать любыми двумя, не обладая третьим.

Теперь мы вводим следующее определение:

Отношение является сериальным, когда оно алиорелятивно, транзитивно и связно; или, что эквивалентно, когда оно асимметрично, транзитивно и связно.

Ряд — это то же самое, что сериальное отношение.

Можно было бы подумать, что ряд должен быть полем сериального отношения, а не самим сериальным отношением. Но это было бы ошибкой. Например, 6 различных способов упорядочить 6 членов — это шесть различных рядов, которые все имеют одно и то же поле. Если бы поле было рядом, существовал бы только один ряд с данным полем. Что отличает вышеуказанные шесть рядов, так это просто различные упорядочивающие отношения в шести случаях. Если дано упорядочивающее отношение, поле и порядок оба детерминированы. Таким образом, упорядочивающее отношение может быть принято за ряд, но поле не может быть так принято.

Если дано любое сериальное отношение, скажем R, мы скажем, что в отношении к этому отношению x «предшествует» y, если x имеет отношение R к y, что мы будем записывать для краткости «xRy». Три характеристики, которыми R должен обладать, чтобы быть сериальным, следующие:

(1) Мы никогда не должны иметь xRx, т. е. никакой член не должен предшествовать самому себе.

(2) R должно подразумевать R^2, т. е. если x предшествует y и y предшествует z, x должен предшествовать z.

(3) Если x и y — два различных члена в поле R, мы должны иметь xRy или yRx, т. е. один из двух должен предшествовать другому.

Читатель может легко убедиться, что там, где эти три свойства обнаруживаются в упорядочивающем отношении, характеристики, которые мы ожидаем от рядов, также будут обнаружены, и наоборот. Мы поэтому оправданы в принятии вышеизложенного в качестве определения порядка или ряда. И будет замечено, что определение осуществляется в чисто логических терминах.

Хотя транзитивное асимметричное связное отношение всегда существует везде, где есть ряд, это не всегда отношение, которое наиболее естественно рассматривалось бы как порождающее ряд. Ряд натуральных чисел может послужить иллюстрацией. Отношение, которое мы предположили при рассмотрении натуральных чисел, было отношением непосредственного следования, т. е. отношением между последовательными целыми числами. Это отношение асимметрично, но не транзитивно или связно. Мы можем, однако, вывести из него, методом математической индукции, «предковое» отношение, которое мы рассматривали в предыдущей главе. Это отношение будет тем же самым, что и «меньше или равно» среди индуктивных целых чисел. Для целей порождения ряда натуральных чисел нам нужно отношение «меньше», исключая «равно». Это отношение x к y, когда x является предком y, но не тождественен y, или (что сводится к тому же), когда последующее x является предком y в том смысле, в каком число является своим собственным предком. То есть мы сформулируем следующее определение:

Индуктивное число x называется меньшим, чем другое число y, когда y обладает каждым наследственным свойством, которым обладает последующее x.

Легко видеть и нетрудно доказать, что отношение «меньше», определенное таким образом, является асимметричным, транзитивным и связным, и имеет индуктивные числа в качестве своего поля. Таким образом, с помощью этого отношения индуктивные числа приобретают порядок в том смысле, в каком мы определили термин «порядок», и этот порядок является так называемым «естественным» порядком, или порядком величины.

Порождение рядов с помощью отношений, более или менее напоминающих отношение n к n', очень распространено. Ряд королей Англии, например, порождается отношениями каждого к его преемнику. Это, вероятно, самый простой способ, где он применим, концептуализации порождения ряда. В этом методе мы переходим от каждого члена к следующему, пока есть следующий, или назад к предыдущему, пока есть предыдущий. Этот метод всегда требует обобщенной формы математической индукции, чтобы позволить нам определить «раньше» и «позже» в ряду, порожденном таким образом. По аналогии с «правильными дробями» дадим название «собственное потомство x по отношению к R» классу тех членов, которые принадлежат к R-потомству некоторого члена, к которому x имеет отношение R, в том смысле, который мы дали ранее «потомству», которое включает член в его собственное потомство. Возвращаясь к фундаментальным определениям, мы находим, что «собственное потомство» может быть определено следующим образом:

«Собственное потомство» x по отношению к R состоит из всех членов, которые обладают каждым R-наследственным свойством, которым обладает каждый член, к которому x имеет отношение R.

Следует заметить, что это определение должно быть сформулировано так, чтобы быть применимым не только тогда, когда есть только один член, к которому x имеет отношение R, но также в случаях (как, например, случай отца и ребенка), где может быть много членов, к которым x имеет отношение R. Мы определяем далее:

Член x является «собственным предком» y по отношению к R, если y принадлежит к собственному потомству x по отношению к R.

Мы будем говорить для краткости «R-потомство» и «R-предки», когда эти термины кажутся более удобными.

Возвращаясь теперь к порождению рядов отношением между последовательными членами, мы видим, что, если этот метод должен быть возможен, отношение «собственный R-предок» должно быть алиорелятивным, транзитивным и связным. При каких обстоятельствах это произойдет? Оно всегда будет транзитивным: независимо от того, какого рода отношение R может быть, «R-предок» и «собственный R-предок» всегда являются транзитивными. Но только при определенных обстоятельствах оно будет алиорелятивным или связным. Рассмотрим, например, отношение к своему соседу слева за круглым обеденным столом, за которым сидят двенадцать человек. Если мы назовем это отношение R, собственное R-потомство человека состоит из всех, до кого можно добраться, обходя стол справа налево. Это включает всех за столом, включая самого человека, поскольку двенадцать шагов возвращают нас к нашей отправной точке. Таким образом, в таком случае, хотя отношение «собственный R-предок» связно и хотя само R является алиорелятивным, мы не получаем ряд, потому что «собственный R-предок» не является алиорелятивным. Именно по этой причине мы не можем сказать, что один человек идет раньше другого по отношению к отношению «справа от» или к его предковому производному.

Выше был пример, в котором предковое отношение было связным, но не содержалось в разнообразии. Пример, где оно содержится в разнообразии, но не связно, выведен из обычного смысла слова «предок». Если x — собственный предок y, x и y не могут быть одним и тем же лицом; но неверно, что из любых двух лиц один должен быть предком другого.

Вопрос об обстоятельствах, при которых ряды могут быть порождены предковыми отношениями, выведенными из отношений последовательности, часто важен. Некоторые из наиболее важных случаев следующие: Пусть R — отношение «многие-к-одному», и ограничим наше внимание потомством некоторого члена x. Когда оно так ограничено, отношение «собственный R-предок» должно быть связным; поэтому все, что остается для обеспечения его сериальности, — это то, чтобы оно содержалось в разнообразии. Это обобщение примера с обеденным столом. Другое обобщение состоит в том, чтобы взять R как отношение «один-к-одному» и включить предков x, а также потомков. Здесь опять же единственное условие, требуемое для обеспечения порождения ряда, — это то, чтобы отношение «собственный R-предок» содержалось в разнообразии.

Порождение порядка с помощью отношений последовательности, хотя и важно в своей сфере, менее обще, чем метод, который использует транзитивное отношение для определения порядка. В ряду часто случается, что между любыми двумя выбранными членами существует бесконечное число промежуточных членов, как бы близко они ни находились. Возьмем, например, дроби в порядке величины. Между любыми двумя дробями есть другие — например, среднее арифметическое этих двух. Следовательно, не существует такой вещи, как пара последовательных дробей. Если бы мы зависели от последовательности для определения порядка, мы не смогли бы определить порядок величины среди дробей. Но на самом деле отношения «больше» и «меньше» среди дробей не требуют порождения из отношений последовательности, и отношения «больше» и «меньше» среди дробей обладают тремя характеристиками, которые нам нужны для определения сериальных отношений. Во всех таких случаях порядок должен быть определен с помощью транзитивного отношения, поскольку только такое отношение способно перепрыгнуть через бесконечное число промежуточных членов. Метод последовательности, подобно методу счета для обнаружения числа коллекции, уместен для конечного; он может быть даже распространен на некоторые бесконечные ряды, а именно те, в которых, хотя общее число членов бесконечно, число членов между любыми двумя всегда конечно; но его не следует рассматривать как общий. Мало того, необходимо позаботиться о том, чтобы искоренить из воображения все привычки мышления, возникающие из предположения о его общности. Если этого не сделать, ряды, в которых нет последовательных членов, останутся трудными и загадочными. А такие ряды жизненно важны для понимания непрерывности, пространства, времени и движения.

Существует много способов, которыми могут быть порождены ряды, но все они зависят от нахождения или построения асимметричного транзитивного связного отношения. Некоторые из этих способов имеют значительную важность. Мы можем взять в качестве иллюстрации порождение рядов с помощью трехместного отношения, которое мы можем назвать «между». Этот метод очень полезен в геометрии и может послужить введением в отношения, имеющие более двух членов; лучше всего он вводится в связи с элементарной геометрией.

Если даны любые три точки на прямой в обычном пространстве, должна быть одна из них, которая находится между двумя другими. Это не будет случаем с точками на окружности или любой другой замкнутой кривой, потому что, если даны любые три точки на окружности, мы можем перемещаться от любой одной к любой другой, не проходя через третью. На самом деле, понятие «между» характерно для открытых рядов — или рядов в строгом смысле — в противоположность тому, что можно назвать «циклическими» рядами, где, как с людьми за обеденным столом, достаточное путешествие возвращает нас к нашей отправной точке. Это понятие «между» может быть выбрано в качестве фундаментального понятия обычной геометрии; но в настоящее время мы будем рассматривать только его применение к одной прямой линии и к упорядочиванию точек на прямой.[11] Взяв любые две точки a, b, линия ab состоит из трех частей (помимо самих a и b):

[11] Ср. Rivista di Matematica, IV, стр. 55 сл.; Principles of Mathematics, стр. 394 (§ 375).

(1) Точки между a и b.

(2) Точки x такие, что a находится между x и b.

(3) Точки x такие, что b находится между a и x.

Таким образом, линия ab может быть определена через отношение «между».

Для того чтобы это отношение «между» могло расположить точки линии в порядке слева направо, нам нужны определенные допущения, а именно следующие:

(1) Если что-то находится между a и b, a и b не тождественны.

(2) Все, что находится между a и b, также находится между b и a.

(3) Все, что находится между a и b, не тождественно a (ни, следовательно, b, в силу (2)).

(4) Если x находится между a и b, все, что находится между a и x, также находится между a и b.

(5) Если x находится между a и b и y находится между a и x, то y находится между a и b.

(6) Если x и y находятся между a и b, то либо x и y тождественны, либо x находится между a и y, либо y находится между a и x.

(7) Если x находится между a и b и также между a и c, то либо b и c тождественны, либо x находится между b и c, либо c находится между b и x.

Эти семь свойств очевидно подтверждаются в случае точек на прямой в обычном пространстве. Любое трехместное отношение, которое подтверждает их, порождает ряды, как можно видеть из следующих определений. Ради определенности предположим, что a находится слева от b. Тогда точки линии ab — это (1) те, между которыми и a лежит b — их мы назовем слева от a; (2) a; (3) те, что между a и b; (4) b; (5) те, между которыми и b лежит a — их мы назовем справа от b. Мы можем теперь определить в общем виде, что из двух точек x, y на линии ab мы скажем, что x «слева от» y в любом из следующих случаев:

(1) Когда x и y оба слева от a, и x находится между a и y;

(2) Когда x слева от a, и y — это a, или b, или между a и b, или справа от b;

(3) Когда x — это a, и y находится между a и b, или является b, или справа от b;

(4) Когда x и y оба между a и b, и x находится между a и y;

(5) Когда x находится между a и b, и y — это b, или справа от b;

(6) Когда x — это b, и y справа от b;

(7) Когда x и y оба справа от b, и x находится между b и y.

Будет обнаружено, что из семи свойств, которые мы приписали отношению «между», можно вывести, что отношение «слева от», как определено выше, является сериальным отношением, как мы определили этот термин. Важно заметить, что ничто в определениях или аргументе не зависит от того, что мы подразумеваем под «между» фактическое отношение с таким названием, которое встречается в эмпирическом пространстве: любое трехместное отношение, обладающее вышеуказанными семью чисто формальными свойствами, послужит цели аргумента одинаково хорошо.

Циклический порядок, такой как порядок точек на окружности, не может быть порожден с помощью трехместных отношений «между». Нам нужно отношение четырех членов, которое можно назвать «разделением пар». Этот момент можно проиллюстрировать, рассмотрев кругосветное путешествие. Можно отправиться из Англии в Новую Зеландию через Суэц или через Сан-Франциско; мы не можем определенно сказать, что какое-либо из этих двух мест находится «между» Англией и Новой Зеландией. Но если человек выбирает этот маршрут, чтобы совершить кругосветное путешествие, каким бы путем он ни пошел, его время в Англии и Новой Зеландии отделено друг от друга его временем в Суэце и Сан-Франциско, и наоборот. Обобщая, если мы возьмем любые четыре точки на окружности, мы можем разделить их на две пары, скажем a, b и c, d, такие, что для того, чтобы добраться от a до b, нужно пройти через c или d, и для того, чтобы добраться от c до d, нужно пройти через a или b. При этих обстоятельствах мы говорим, что пара a, b «разделена» парой c, d. Из этого отношения можно породить циклический порядок способом, напоминающим тот, которым мы породили открытый порядок из «между», но несколько более сложным.[12]

[12] Ср. Principles of Mathematics, стр. 205 (§ 194) и приведенные там ссылки.

Цель второй половины этой главы состояла в том, чтобы предложить предмет, который можно назвать «порождением сериальных отношений». Когда такие отношения определены, их порождение из других отношений, обладающих лишь некоторыми из свойств, требуемых для рядов, становится очень важным, особенно в философии геометрии и физики. Но мы не можем в пределах настоящего тома сделать больше, чем дать читателю понять, что такой предмет существует.

ГЛАВА V ВИДЫ ОТНОШЕНИЙ

Большая часть философии математики связана с отношениями, и многие различные виды отношений имеют различные виды применений. Часто случается, что свойство, которое принадлежит всем отношениям, важно только в отношении отношений определенных видов; в этих случаях читатель не увидит значения предложения, утверждающего такое свойство, если он не имеет в виду виды отношений, для которых оно полезно. По причинам такого рода, а также из-за внутреннего интереса к предмету, хорошо иметь в уме приблизительный список наиболее математически полезных разновидностей отношений.

В предыдущей главе мы рассматривали чрезвычайно важный класс, а именно серийные отношения. Каждое из трех свойств, которые мы объединили при определении серий — а именно асимметричность, транзитивность и связность, — имеет свое собственное значение. Мы начнем с того, что скажем несколько слов о каждом из этих трех свойств.

Асимметричность, то есть свойство, несовместимое с обратным отношением, является характеристикой, представляющей величайший интерес и важность. Чтобы раскрыть ее функции, рассмотрим различные примеры. Отношение «муж» является асимметричным, так же как и отношение «жена»; то есть если x является мужем y, то y не может быть мужем x, и аналогично в случае с «женой». С другой стороны, отношение «супруг» является симметричным: если x является супругом y, то y является супругом x. Предположим теперь, что нам дано отношение «супруг» и мы хотим вывести отношение «муж». «Муж» — это то же самое, что «мужчина-супруг» или «супруг женщины»; таким образом, отношение «муж» может быть выведено из отношения «супруг» либо путем ограничения области определения мужчинами, либо путем ограничения обратной области определения женщинами. Из этого примера мы видим, что, когда дано симметричное отношение, иногда возможно, без помощи какого-либо дополнительного отношения, разделить его на два асимметричных отношения. Но случаи, когда это возможно, редки и исключительны: это случаи, когда существуют два взаимно исключающих класса, скажем A и B, такие, что всякий раз, когда отношение имеет место между двумя членами, один из них является членом A, а другой — членом B — как в случае с «супругом», где один член отношения принадлежит к классу мужчин, а другой — к классу женщин. В таком случае отношение с областью определения, ограниченной A, будет асимметричным, так же как и отношение с областью определения, ограниченной B. Но такие случаи не относятся к тем, что встречаются, когда мы имеем дело с сериями из более чем двух членов; ибо в серии все члены, за исключением первого и последнего (если таковые существуют), принадлежат как к области определения, так и к обратной области определения порождающего отношения, так что отношение вроде «муж», где область определения и обратная область определения не перекрываются, исключается.

Вопрос о том, как конструировать отношения, обладающие полезным свойством, посредством операций над отношениями, которые имеют лишь зачатки этого свойства, является весьма важным. Транзитивность и связность легко конструируются во многих случаях, когда исходно заданное отношение ими не обладает: например, если R — любое отношение, то анцестральное отношение, производное от R путем обобщенной индукции, является транзитивным; а если R — отношение «многие-к-одному», то анцестральное отношение будет связным, если ограничить его потомками данного члена. Но асимметричность — это свойство, которое гораздо труднее обеспечить путем конструирования. Метод, с помощью которого мы вывели «мужа» из «супруга», как мы видели, неприменим в наиболее важных случаях, таких как «больше», «до», «справа от», где область определения и обратная область определения перекрываются. Во всех этих случаях мы, конечно, можем получить симметричное отношение, сложив данное отношение и его обратное, но мы не можем вернуться от этого симметричного отношения к исходному асимметричному отношению, кроме как с помощью некоторого асимметричного отношения. Возьмем, например, отношение «больше»: отношение «больше или меньше» — то есть «неравно» — является симметричным, но в этом отношении нет ничего, что указывало бы на то, что оно является суммой двух асимметричных отношений. Возьмем такое отношение, как «различающиеся по форме». Оно не является суммой асимметричного отношения и его обратного, поскольку формы не образуют единую серию; но нет ничего, что указывало бы на то, что оно отличается от «различающихся по величине», если бы мы уже не знали, что величины имеют отношения «больше» и «меньше». Это иллюстрирует фундаментальный характер асимметричности как свойства отношений.

С точки зрения классификации отношений, асимметричность является гораздо более важной характеристикой, чем импликация различия. Асимметричные отношения подразумевают различие, но обратное неверно. «Неравно», например, подразумевает различие, но является симметричным. В широком смысле можно сказать, что если бы мы хотели по возможности обойтись без реляционных суждений и заменить их суждениями, приписывающими предикаты субъектам, мы могли бы преуспеть в этом до тех пор, пока ограничивались бы симметричными отношениями: те из них, которые не подразумевают различия, если они транзитивны, могут рассматриваться как утверждение общего предиката, в то время как те, которые подразумевают различие, могут рассматриваться как утверждение несовместимых предикатов. Например, рассмотрим отношение сходства между классами, с помощью которого мы определили числа. Это отношение симметрично, транзитивно и не подразумевает различия. Было бы возможно, хотя и менее просто, чем предложенная нами процедура, рассматривать число совокупности как предикат этой совокупности: тогда два сходных класса будут двумя классами, имеющими один и тот же числовой предикат, в то время как два несходных класса будут двумя классами, имеющими разные числовые предикаты. Такой метод замены отношений предикатами формально возможен (хотя часто очень неудобен), пока рассматриваемые отношения симметричны; но он формально невозможен, когда отношения асимметричны, поскольку как тождество, так и различие предикатов симметричны. Асимметричные отношения, можно сказать, являются наиболее характерно реляционными из всех отношений и наиболее важными для философа, желающего изучить конечную логическую природу отношений.

Другой класс отношений, который приносит величайшую пользу, — это класс отношений «один-ко-многим», то есть отношений, которые данный член может иметь не более чем к одному члену. Таковы «отец», «мать», «муж» (за исключением Тибета), «квадрат», «синус» и так далее. Но «родитель», «квадратный корень» и так далее не являются отношениями «один-ко-многим». Формально возможно заменить все отношения отношениями «один-ко-многим» с помощью одного приема. Возьмем (скажем) отношение «меньше» среди индуктивных чисел. Для любого числа n, большего 1, будет не только одно число, имеющее отношение «меньше» к n, но мы можем сформировать целый класс чисел, которые меньше n. Это один класс, и его отношение к n не разделяется никаким другим классом. Мы можем назвать класс чисел, которые меньше n, «собственной родословной» n в том смысле, в каком мы говорили о родословной и потомстве в связи с математической индукцией. Тогда «собственная родословная» является отношением «один-ко-многим» (термин «один-ко-многим» всегда будет использоваться так, чтобы включать «один-к-одному»), поскольку каждое число определяет единственный класс чисел как составляющий его собственную родословную. Таким образом, отношение «меньше чем» может быть заменено на «быть членом собственной родословной n». Таким образом, отношение «один-ко-многим», в котором «один» является классом, вместе с принадлежностью к этому классу, всегда может формально заменить отношение, которое не является «один-ко-многим». Джузеппе Пеано, который по какой-то причине всегда инстинктивно мыслит отношение как «один-ко-многим», поступает таким образом с теми отношениями, которые по своей природе таковыми не являются. Однако сведение к отношениям «один-ко-многим» этим методом, хотя и возможно формально, не представляет собой технического упрощения, и есть все основания полагать, что оно не представляет собой философского анализа, хотя бы потому, что классы должны рассматриваться как «логические фикции». Поэтому мы продолжим рассматривать отношения «один-ко-многим» как особый вид отношений.

Отношения «один-ко-многим» задействованы во всех фразах вида «такой-то такой-то у такого-то». «Король Англии», «жена Сократа», «отец Джона Стюарта Милля» и так далее — все они описывают некоторую личность с помощью отношения «один-ко-многим» к данному члену. Человек не может иметь более одного отца, поэтому «отец Джона Стюарта Милля» описывает некую одну личность, даже если мы не знаем, кого именно. О предмете описаний можно сказать многое, но в данный момент нас интересуют отношения, а описания актуальны лишь как примеры использования отношений «один-ко-многим». Следует заметить, что все математические функции являются результатом отношений «один-ко-многим»: логарифм x, косинус x и т. д. являются, подобно отцу x, членами, описанными с помощью отношения «один-ко-многим» (логарифм, косинус и т. д.) к данному члену (x). Понятие функции не обязательно ограничивать числами или теми применениями, к которым нас приучили математики; его можно распространить на все случаи отношений «один-ко-многим», и «отец x» является столь же законной функцией, аргументом которой является x, как и «логарифм x». Функции в этом смысле являются дескриптивными функциями. Как мы увидим позже, существуют функции еще более общего и фундаментального рода, а именно пропозициональные функции; но пока мы ограничим наше внимание дескриптивными функциями, то есть «членом, имеющим отношение R к x», или, короче, «R от x», где R — любое отношение «один-ко-многим».

Заметим, что если «R от x» должно описывать определенный член, то x должен быть членом, к которому что-то имеет отношение R, и не должно быть более одного члена, имеющего отношение R к x, поскольку «тот самый», при правильном использовании, должен подразумевать единственность. Таким образом, мы можем говорить об «отце x», если x — любое человеческое существо, кроме Адама и Евы; но мы не можем говорить об «отце x», если x — стол, стул или что-либо другое, не имеющее отца. Мы будем говорить, что «R от x» «существует», когда есть ровно один член и не более, имеющий отношение R к x. Таким образом, если R — отношение «один-ко-многим», то «R от x» существует всякий раз, когда x принадлежит к обратной области определения R, и не иначе. Рассматривая «R от x» как функцию в математическом смысле, мы говорим, что x — это «аргумент» функции, и если y — член, имеющий отношение R к x, то есть если y — это «R от x», то y — это «значение» функции для аргумента x. Если R — отношение «один-ко-многим», то область возможных аргументов функции — это обратная область определения R, а область значений — это область определения. Таким образом, область возможных аргументов функции «отец x» — это все, кто имеет отцов, то есть обратная область определения отношения «отец», в то время как область возможных значений функции — это все отцы, то есть область определения отношения.

Многие из наиболее важных понятий в логике отношений являются дескриптивными функциями, например: обратное отношение, область определения, обратная область определения, поле. Другие примеры будут встречаться по мере нашего продвижения.

Среди отношений «один-ко-многим» отношения «один-к-одному» представляют собой особо важный класс. Нам уже приходилось говорить об отношениях «один-к-одному» в связи с определением числа, но необходимо быть знакомыми с ними, а не просто знать их формальное определение. Их формальное определение может быть выведено из определения отношений «один-ко-многим»: их можно определить как отношения «один-ко-многим», которые также являются обратными к отношениям «один-ко-многим», то есть как отношения, которые являются одновременно «один-ко-многим» и «многие-к-одному». Отношения «один-ко-многим» можно определить как отношения, такие, что если x имеет рассматриваемое отношение к y, то нет другого члена x', который также имеет это отношение к y. Или, опять же, их можно определить следующим образом: для любых двух членов x и x' члены, к которым x имеет данное отношение, и те, к которым x' имеет его, не имеют общего члена. Или, опять же, их можно определить как отношения, такие, что относительное произведение одного из них и его обратного подразумевает тождество, где «относительное произведение» двух отношений R и S — это то отношение, которое имеет место между x и z, когда существует промежуточный член y, такой, что x имеет отношение R к y, а y имеет отношение S к z. Так, например, если R — отношение отца к сыну, то относительное произведение R и его обратного будет отношением, которое имеет место между x и человеком z, когда существует лицо y, такое, что x — отец y, а y — сын z. Очевидно, что x и z должны быть одним и тем же лицом. Если, с другой стороны, мы возьмем отношение родителя и ребенка, которое не является «один-ко-многим», мы уже не можем утверждать, что если x — родитель y, а y — ребенок z, то x и z должны быть одним и тем же лицом, потому что один может быть отцом y, а другой — матерью. Это иллюстрирует, что для отношений «один-ко-многим» характерно, когда относительное произведение отношения и его обратного подразумевает тождество. В случае отношений «один-к-одному» это происходит, а также относительное произведение обратного отношения и самого отношения подразумевает тождество. Если дано отношение R, удобно, если x имеет отношение R к y, думать о y как о достигнутом из x с помощью «R-шага» или «R-вектора». В том же случае x будет достигнут из y с помощью «обратного R-шага». Таким образом, мы можем сформулировать характеристику отношений «один-ко-многим», с которой мы имели дело, сказав, что R-шаг, за которым следует обратный R-шаг, должен вернуть нас к исходной точке. С другими отношениями это отнюдь не так; например, если R — отношение ребенка к родителю, то относительное произведение R и его обратного — это отношение «сам или брат или сестра», а если R — отношение внука к дедушке, то относительное произведение R и его обратного — «сам или брат или сестра или двоюродный брат/сестра». Заметим, что относительное произведение двух отношений в общем случае не коммутативно, то есть относительное произведение R и S в общем случае не является тем же отношением, что и относительное произведение S и R. Например, относительное произведение «родитель» и «брат» — это «дядя», но относительное произведение «брат» и «родитель» — это «родитель».

Отношения «один-к-одному» дают корреляцию двух классов, член за членом, так что каждый член в любом классе имеет свой коррелят в другом. Такие корреляции проще всего понять, когда два класса не имеют общих членов, как класс мужей и класс жен; ибо в этом случае мы сразу знаем, следует ли рассматривать член как тот, «от» которого идет коррелирующее отношение, или как тот, «к» которому оно идет. Удобно использовать слово «референт» для члена, «от» которого идет отношение, и термин «релятум» для члена, «к» которому оно идет. Таким образом, если x и y — муж и жена, то в отношении «муж» x является референтом, а y — релятумом, но в отношении «жена» y является референтом, а x — релятумом. Мы говорим, что отношение и его обратное имеют противоположные «смыслы»; таким образом, «смысл» отношения, которое идет от x к y, противоположен смыслу соответствующего отношения от y к x. Тот факт, что отношение имеет «смысл», является фундаментальным и отчасти объясняет, почему порядок может быть порожден подходящими отношениями. Заметим, что класс всех возможных референтов для данного отношения — это его область определения, а класс всех возможных релятумов — его обратная область определения.

Но очень часто случается, что область определения и обратная область определения отношения «один-к-одному» перекрываются. Возьмем, например, первые десять целых чисел (исключая 0) и прибавим 1 к каждому; таким образом, вместо первых десяти целых чисел мы теперь имеем целые числа от 2 до 11. Они те же самые, что были у нас раньше, за исключением того, что 1 была отсечена в начале, а 11 была присоединена в конце. По-прежнему десять целых чисел: они коррелируют с предыдущими десятью отношением числа к числу плюс 1, которое является отношением «один-к-одному». Или, опять же, вместо прибавления 1 к каждому из наших исходных десяти целых чисел, мы могли бы удвоить каждое из них, получив тем самым целые числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Здесь у нас все еще есть пять из нашего предыдущего набора целых чисел, а именно 2, 4, 6, 8, 10. Коррелирующим отношением в этом случае является отношение числа к его удвоенному значению, которое снова является отношением «один-к-одному». Или мы могли бы заменить каждое число его квадратом, получив тем самым набор 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. В этом случае от нашего исходного набора осталось только три, а именно 1, 4, 9. Такие процессы корреляции могут варьироваться бесконечно.

Наиболее интересный случай вышеуказанного рода — это случай, когда наше отношение «один-к-одному» имеет обратную область определения, которая является частью, но не целым, области определения. Если бы вместо ограничения области определения первыми десятью целыми числами мы рассмотрели все индуктивные числа, приведенные выше примеры проиллюстрировали бы этот случай. Мы можем расположить рассматриваемые числа в два ряда, поместив коррелят прямо под числом, чьим коррелятом он является. Так, когда коррелятором является отношение числа к числу плюс 1, мы имеем два ряда: 1, 2, 3, 4, 5... и 2, 3, 4, 5, 6... Когда коррелятором является отношение числа к его удвоенному значению, мы имеем два ряда: 1, 2, 3, 4, 5... и 2, 4, 6, 8, 10... Когда коррелятором является отношение числа к его квадрату, ряды таковы: 1, 2, 3, 4, 5... и 1, 4, 9, 16, 25... Во всех этих случаях все индуктивные числа встречаются в верхнем ряду, и только некоторые — в нижнем.

Случаи такого рода, когда обратная область определения является «собственной частью» области определения (то есть частью, не являющейся целым), снова займут нас, когда мы перейдем к рассмотрению бесконечности. Пока мы хотим лишь отметить, что они существуют и требуют рассмотрения.

Другой класс корреляций, которые часто важны, — это класс, называемый «перестановками», где область определения и обратная область определения идентичны. Рассмотрим, например, шесть возможных расположений трех букв: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Каждое из них может быть получено из любого другого с помощью корреляции. Возьмем, например, первое и последнее, abc и cba. Здесь a коррелирует с c, b — с самим собой, а c — с a. Очевидно, что комбинация двух перестановок снова является перестановкой, то есть перестановки данного класса образуют то, что называется «группой».

Эти различные виды корреляций имеют значение в различных связях, некоторые для одной цели, некоторые для другой. Общее понятие корреляций «один-к-одному» имеет безграничное значение в философии математики, как мы уже отчасти видели, но увидим гораздо полнее по мере нашего продвижения. Одно из его применений займет нас в следующей главе.

ГЛАВА VI. СХОДСТВО ОТНОШЕНИЙ

Мы видели во второй главе, что два класса имеют одинаковое число членов, когда они «сходны», то есть когда существует отношение «один-к-одному», область определения которого — один класс, а обратная область определения — другой. В таком случае мы говорим, что существует «корреляция один-к-одному» между двумя классами.

В настоящей главе мы должны определить отношение между отношениями, которое будет играть для них ту же роль, которую сходство классов играет для классов. Мы назовем это отношение «сходством отношений» или «подобием», когда кажется желательным использовать слово, отличное от того, которое мы используем для классов. Как определить подобие?

Мы по-прежнему будем использовать понятие корреляции: мы предположим, что область определения одного отношения может быть соотнесена с областью определения другого, а обратная область определения — с обратной областью определения; но этого недостаточно для того рода сходства, которого мы желаем достичь между нашими двумя отношениями. Мы хотим, чтобы всякий раз, когда любое из отношений имеет место между двумя членами, другое отношение имело место между коррелятами этих двух членов. Самый простой пример того, что мы хотим, — это карта. Когда одно место находится к северу от другого, место на карте, соответствующее первому, находится выше места на карте, соответствующего второму; когда одно место находится к западу от другого, место на карте, соответствующее первому, находится слева от места на карте, соответствующего второму; и так далее. Структура карты соответствует структуре страны, картой которой она является. Пространственные отношения на карте имеют «подобие» с пространственными отношениями в отображаемой стране. Именно этот вид связи между отношениями мы хотим определить.

Мы можем, во-первых, с пользой ввести определенное ограничение. Мы ограничимся при определении подобия такими отношениями, которые имеют «поля», то есть такими, которые позволяют сформировать единый класс из области определения и обратной области определения. Это не всегда так. Возьмем, например, отношение «область определения», то есть отношение, которое область определения отношения имеет к самому отношению. Это отношение имеет все классы в качестве своей области определения, поскольку каждый класс является областью определения некоторого отношения; и оно имеет все отношения в качестве своей обратной области определения, поскольку каждое отношение имеет область определения. Но классы и отношения нельзя сложить вместе, чтобы сформировать новый единый класс, потому что они относятся к разным логическим «типам». Нам не нужно углубляться в трудное учение о типах, но полезно знать, когда мы воздерживаемся от этого. Мы можем сказать, не вдаваясь в основания для этого утверждения, что отношение имеет «поле» только тогда, когда оно является тем, что мы называем «однородным», то есть когда его область определения и обратная область определения принадлежат к одному и тому же логическому типу; и в качестве грубого указания на то, что мы подразумеваем под «типом», мы можем сказать, что индивиды, классы индивидов, отношения между индивидами, отношения между классами, отношения классов к индивидам и так далее — это разные типы. Теперь понятие подобия не очень полезно применительно к отношениям, которые не являются однородными; поэтому при определении подобия мы упростим нашу задачу, говоря о «поле» одного из рассматриваемых отношений. Это несколько ограничивает общность нашего определения, но ограничение не имеет практического значения. И будучи сформулированным, оно больше не нуждается в запоминании. Мы можем определить два отношения R и S как «сходные» или как имеющие «подобие», когда существует отношение «один-к-одному» P, область определения которого — поле R, а обратная область определения — поле S, и которое таково, что если один член имеет отношение R к другому, то коррелят первого имеет отношение S к корреляту второго, и наоборот.

Рисунок сделает это более ясным. Пусть x и y — два члена, имеющие отношение R. Тогда должны существовать два члена x', y', такие, что x' имеет отношение S к y', где x' — коррелят x, а y' — коррелят y. Если это происходит с каждой парой членов, такой как x и y, и если обратное происходит с каждой парой членов, такой как x' и y', ясно, что для каждого случая, в котором имеет место отношение R, существует соответствующий случай, в котором имеет место отношение S, и наоборот; и это то, что мы хотим обеспечить нашим определением. Мы можем устранить некоторые избыточности в приведенном выше наброске определения, заметив, что, когда вышеуказанные условия реализованы, отношение R то же самое, что и относительное произведение P и S и обратного P, то есть R-шаг от x к y может быть заменен последовательностью P-шага от x к x', S-шага от x' к y' и обратного P-шага от y' к y. Таким образом, мы можем установить следующие определения:

Отношение P называется «коррелятором» или «ординальным коррелятором» двух отношений R и S, если P — «один-к-одному», имеет поле S в качестве своей обратной области определения и таково, что R является относительным произведением P и S и обратного P.

Два отношения R и S называются «сходными» или имеющими «подобие», когда существует по крайней мере один коррелятор R и S.

Будет обнаружено, что эти определения дают то, что мы выше решили считать необходимым.

Будет обнаружено, что когда два отношения сходны, они разделяют все свойства, которые не зависят от фактических членов в их полях. Например, если одно подразумевает различие, то и другое; если одно транзитивно, то и другое; если одно связно, то и другое. Следовательно, если одно серийно, то и другое. Опять же, если одно «один-ко-многим» или «один-к-одному», то и другое «один-ко-многим» или «один-к-одному»; и так далее, через все общие свойства отношений. Даже утверждения, включающие фактические члены поля отношения, хотя они могут быть неверны в том виде, в каком они есть, при применении к сходному отношению, всегда будут способны к переводу в аналогичные утверждения. Такие соображения приводят нас к проблеме, которая в математической философии имеет значение, до сих пор не признанное в должной мере. Нашу проблему можно сформулировать следующим образом:

Если дано некоторое утверждение на языке, грамматику и синтаксис которого мы знаем, но не знаем словаря, каковы возможные значения такого утверждения и каковы значения неизвестных слов, которые сделали бы его истинным?

Причина, по которой этот вопрос важен, заключается в том, что он представляет, гораздо ближе, чем можно было бы предположить, состояние нашего знания о природе. Мы знаем, что некоторые научные суждения — которые в наиболее развитых науках выражены в математических символах — более или менее верны по отношению к миру, но мы находимся в большом замешательстве относительно интерпретации, которую следует придать терминам, встречающимся в этих суждениях. Мы знаем гораздо больше (чтобы использовать на мгновение старомодную пару терминов) о форме природы, чем о ее материи. Соответственно, то, что мы действительно знаем, когда формулируем закон природы, — это лишь то, что, вероятно, существует некоторая интерпретация наших терминов, которая сделает закон приблизительно истинным. Таким образом, большое значение придается вопросу: каковы возможные значения закона, выраженного в терминах, субстанциальное значение которых мы не знаем, а знаем только грамматику и синтаксис? И этот вопрос — тот самый, что был предложен выше.