«Введение в математическую философию»

На данный момент мы проигнорируем общий вопрос, который снова займет нас на более позднем этапе; предмет подобия сам по себе должен быть сначала исследован более глубоко.

В силу того факта, что когда два отношения сходны, их свойства одинаковы, за исключением случаев, когда они зависят от того, что поля состоят именно из тех членов, из которых они состоят, желательно иметь номенклатуру, которая собирает вместе все отношения, сходные с данным отношением. Точно так же, как мы назвали совокупность тех классов, которые сходны с данным классом, «числом» этого класса, мы можем назвать совокупность всех тех отношений, которые сходны с данным отношением, «числом» этого отношения. Но чтобы избежать путаницы с числами, соответствующими классам, мы будем говорить в этом случае о «число-отношении». Таким образом, у нас есть следующие определения:

«Число-отношение» данного отношения — это класс всех тех отношений, которые сходны с данным отношением.

«Числа-отношения» — это совокупность всех тех классов отношений, которые являются числами-отношениями различных отношений; или, что сводится к тому же, число-отношение — это класс отношений, состоящий из всех тех отношений, которые сходны с одним членом класса.

Когда необходимо говорить о числах классов таким образом, чтобы их невозможно было спутать с числами-отношениями, мы будем называть их «кардинальными числами». Таким образом, кардинальные числа — это числа, соответствующие классам. Они включают обычные целые числа повседневной жизни, а также некоторые бесконечные числа, о которых мы поговорим позже. Когда мы говорим о «числах» без уточнения, следует понимать, что мы имеем в виду кардинальные числа. Определение кардинального числа, как мы помним, таково:

«Кардинальное число» данного класса — это совокупность всех тех классов, которые сходны с данным классом.

Наиболее очевидное применение чисел-отношений — к сериям. Две серии можно считать одинаково длинными, когда они имеют одно и то же число-отношение. Две конечные серии будут иметь одно и то же число-отношение, когда их поля имеют одинаковое кардинальное число членов, и только тогда — то есть серия из (скажем) 15 членов будет иметь то же число-отношение, что и любая другая серия из пятнадцати членов, но не будет иметь того же числа-отношения, что и серия из 14 или 16 членов, и, конечно, не того же числа-отношения, что и отношение, которое не является серийным. Таким образом, в совершенно частном случае конечных серий существует параллелизм между кардинальными числами и числами-отношениями. Числа-отношения, применимые к сериям, можно назвать «серийными числами» (то, что обычно называют «ординальными числами», является подклассом этих); таким образом, конечное серийное число определимо, когда мы знаем кардинальное число членов в поле серии, имеющей рассматриваемое серийное число. Если n — конечное кардинальное число, число-отношение серии, которая имеет n членов, называется «ординальным» числом n. (Существуют также бесконечные ординальные числа, но о них мы поговорим в более поздней главе.) Когда кардинальное число членов в поле серии бесконечно, число-отношение серии не определяется просто кардинальным числом; действительно, для одного бесконечного кардинального числа существует бесконечное множество чисел-отношений, как мы увидим, когда перейдем к рассмотрению бесконечных серий. Когда серия бесконечна, то, что мы можем назвать ее «длиной», то есть ее число-отношение, может варьироваться без изменения кардинального числа; но когда серия конечна, этого произойти не может.

Мы можем определить сложение и умножение для чисел-отношений так же, как и для кардинальных чисел, и может быть развита целая арифметика чисел-отношений. То, как это должно быть сделано, легко увидеть, рассмотрев случай серий. Предположим, например, что мы хотим определить сумму двух неперекрывающихся серий таким образом, чтобы число-отношение суммы можно было определить как сумму чисел-отношений двух серий. Во-первых, ясно, что здесь задействован порядок между двумя сериями: одна из них должна быть помещена перед другой. Таким образом, если R и S — порождающие отношения двух серий, то в серии, которая является их суммой с R, поставленным перед S, каждый член поля R будет предшествовать каждому члену поля S. Таким образом, серийное отношение, которое должно быть определено как сумма R и S, — это не просто «R или S», а «R или S или отношение любого члена поля R к любому члену поля S». Предполагая, что R и S не перекрываются, это отношение является серийным, но «R или S» не является серийным, будучи не связным, поскольку оно не имеет места между членом поля R и членом поля S. Таким образом, сумма R и S, как определено выше, — это то, что нам нужно для определения суммы двух чисел-отношений. Подобные модификации необходимы для произведений и степеней. Результирующая арифметика не подчиняется коммутативному закону: сумма или произведение зависят от того, в каком порядке они взяты. Но она подчиняется ассоциативному закону, одной форме дистрибутивного закона и двум формальным законам для степеней, не только применительно к серийным числам, но и применительно к числам-отношениям в целом. Арифметика отношений, по сути, хотя и является недавней, — это вполне респектабельная ветвь математики.

Не следует полагать, только потому, что серии дают наиболее очевидное применение идеи подобия, что нет других важных применений. Мы уже упоминали карты, и мы могли бы расширить наши мысли от этой иллюстрации к геометрии в целом. Если систему отношений, с помощью которой геометрия применяется к определенному набору членов, можно полностью привести в отношения подобия с системой, применяемой к другому набору членов, то геометрия двух наборов неразличима с математической точки зрения, то есть все суждения одинаковы, за исключением того факта, что они применяются в одном случае к одному набору членов, а в другом — к другому. Мы можем проиллюстрировать это отношениями того рода, которые можно назвать «между», которые мы рассматривали в четвертой главе. Мы видели там, что при условии, что трехчленное отношение обладает определенными формальными логическими свойствами, оно порождает серии и может быть названо «отношением между». Имея любые две точки, мы можем использовать отношение «между», чтобы определить прямую линию, определяемую этими двумя точками; она состоит из x и y вместе со всеми точками z, такими, что отношение «между» имеет место между тремя точками x, z, y в том или ином порядке. О. Веблен показал, что мы можем рассматривать все наше пространство как поле трехчленного отношения «между» и определять нашу геометрию свойствами, которые мы приписываем нашему отношению «между». [13] Теперь подобие столь же легко определимо между трехчленными отношениями, как и между двухчленными. Если R и R' — два отношения «между», так что «R(x, z, y)» означает «z находится между x и y относительно R», мы назовем P коррелятором R и R', если он имеет поле R' в качестве своей обратной области определения и таков, что отношение R имеет место между тремя членами, когда R' имеет место между их P-коррелятами, и только тогда. И мы скажем, что R подобно R', когда существует по крайней мере один коррелятор R с R'. Читатель может легко убедиться, что если R подобно R' в этом смысле, не может быть никакой разницы между геометрией, порожденной R, и геометрией, порожденной R'.

[13] Это не относится к эллиптическому пространству, а только к пространствам, в которых прямая линия является открытой серией. Современная математика, под ред. Дж. У. А. Янга, стр. 3-51 (монография О. Веблена «Основания геометрии»).

Из этого следует, что математику не нужно беспокоиться о конкретном бытии или внутренней природе своих точек, линий и плоскостей, даже когда он размышляет как прикладной математик. Можно сказать, что существуют эмпирические свидетельства приблизительной истинности тех частей геометрии, которые не являются вопросом определения. Но нет эмпирических свидетельств того, чем должна быть «точка». Это должно быть нечто, что как можно ближе удовлетворяет нашим аксиомам, но это не обязательно должно быть «очень маленьким» или «без частей». Является ли оно таковым или нет — вопрос безразличный, до тех пор, пока оно удовлетворяет аксиомам. Если мы можем из эмпирического материала сконструировать логическую структуру, какой бы сложной она ни была, которая удовлетворяла бы нашим геометрическим аксиомам, эта структура может законно называться «точкой». Мы не должны говорить, что нет ничего другого, что могло бы законно называться «точкой»; мы должны лишь сказать: «Этот объект, который мы сконструировали, достаточен для геометра; это может быть один из многих объектов, любой из которых был бы достаточен, но это нас не касается, поскольку этот объект достаточен для подтверждения эмпирической истинности геометрии, постольку, поскольку геометрия не является вопросом определения». Это лишь иллюстрация общего принципа, согласно которому в математике, и в очень значительной степени в физической науке, важно не внутреннее естество наших терминов, а логическая природа их взаимосвязей.

Мы можем сказать о двух сходных отношениях, что они имеют одну и ту же «структуру». Для математических целей (хотя и не для целей чистой философии) единственное, что важно в отношении, — это случаи, в которых оно имеет место, а не его внутренняя природа. Точно так же, как класс может быть определен различными, но коэкстенсивными понятиями — например, «человек» и «двуногое без перьев», — так и два отношения, которые концептуально различны, могут иметь место в одном и том же наборе случаев. «Случай», в котором отношение имеет место, следует мыслить как пару членов с порядком, так что один из членов идет первым, а другой — вторым; пара должна быть, конечно, такой, что ее первый член имеет рассматриваемое отношение ко второму. Возьмем (скажем) отношение «отец»: мы можем определить то, что мы можем назвать «экстенсией» этого отношения, как класс всех упорядоченных пар (x, y), таких, что x — отец y. С математической точки зрения единственное, что важно в отношении «отец», — это то, что оно определяет этот набор упорядоченных пар. Говоря в общем, мы скажем:

«Экстенсия» отношения — это класс тех упорядоченных пар (x, y), которые таковы, что x имеет рассматриваемое отношение к y.

Теперь мы можем сделать шаг вперед в процессе абстракции и рассмотреть, что мы подразумеваем под «структурой». Имея любое отношение, мы можем, если оно достаточно простое, построить его карту. Ради определенности возьмем отношение, экстенсией которого являются следующие пары: (x1, x2), (x2, x3), (x3, x4), (x4, x5), (x5, x1), (x1, x3), (x2, x4), где x1, x2, x3, x4, x5 — пять членов, неважно каких.

Мы можем составить «карту» этого отношения, взяв пять точек на плоскости и соединив их стрелками, как на прилагаемом рисунке. То, что раскрывается картой, — это то, что мы называем «структурой» отношения.

Ясно, что «структура» отношения не зависит от конкретных членов, составляющих поле отношения. Поле может быть изменено без изменения структуры, и структура может быть изменена без изменения поля — например, если бы мы добавили пару (x3, x5) в вышеприведенной иллюстрации, мы изменили бы структуру, но не поле. Мы скажем, что два отношения имеют одну и ту же «структуру», когда одна и та же карта подойдет для обоих — или, что сводится к тому же, когда каждое из них может быть картой для другого (поскольку каждое отношение может быть своей собственной картой). И это, как показывает минутное размышление, — то же самое, что мы назвали «подобием». То есть два отношения имеют одну и ту же структуру, когда они имеют подобие, то есть когда они имеют одно и то же число-отношение. Таким образом, то, что мы определили как «число-отношение», — это то же самое, что смутно подразумевается словом «структура» — словом, которое, сколь бы важным оно ни было, никогда (насколько нам известно) не определяется точными терминами теми, кто его использует.

В традиционной философии было много спекуляций, которых можно было бы избежать, если бы была осознана важность структуры и трудность того, чтобы заглянуть за нее. Например, часто говорят, что пространство и время субъективны, но имеют объективные аналоги; или что феномены субъективны, но вызваны вещами в себе, которые должны иметь различия inter se, соответствующие различиям в феноменах, к которым они приводят. Там, где делаются такие гипотезы, обычно предполагается, что мы можем очень мало знать об объективных аналогах. Однако на самом деле, если бы сформулированные гипотезы были верны, объективные аналоги образовали бы мир, имеющий ту же структуру, что и феноменальный мир, и позволяющий нам вывести из феноменов истинность всех суждений, которые могут быть сформулированы в абстрактных терминах и известны как истинные по отношению к феноменам. Если феноменальный мир имеет три измерения, то и мир за феноменами должен иметь их; если феноменальный мир евклидов, то и другой должен быть таким; и так далее. Короче говоря, каждое суждение, имеющее коммуникабельное значение, должно быть истинным для обоих миров или ни для одного: единственное различие должно заключаться именно в той сущности индивидуальности, которая всегда ускользает от слов и не поддается описанию, но которая именно по этой причине не имеет отношения к науке. Единственная цель, которую преследуют философы, осуждая феномены, — убедить себя и других в том, что реальный мир сильно отличается от мира явлений. Мы все можем сочувствовать их желанию доказать столь желанное суждение, но мы не можем поздравить их с успехом. Правда, многие из них не утверждают объективных аналогов феноменов, и они избегают вышеприведенного аргумента. Те, кто утверждает наличие аналогов, как правило, очень сдержанны в этом вопросе, вероятно, потому, что инстинктивно чувствуют, что, если его развивать, это приведет к слишком большому сближению между реальным и феноменальным миром. Если бы они развивали эту тему, они вряд ли смогли бы избежать выводов, которые мы предлагали. Такими путями, как и многими другими, понятие структуры или числа-отношения важно.

ГЛАВА VII. РАЦИОНАЛЬНЫЕ, ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Теперь мы увидели, как определять кардинальные числа, а также числа-отношения, частным видом которых являются то, что обычно называют ординальными числами. Будет обнаружено, что каждое из этих видов чисел может быть бесконечным так же легко, как и конечным. Но ни одно из них не способно, в том виде, в каком оно есть, на более привычные расширения идеи числа, а именно расширения до отрицательных, дробных, иррациональных и комплексных чисел. В настоящей главе мы кратко дадим логические определения этих различных расширений.

Одной из ошибок, задержавших открытие правильных определений в этой области, является распространенная идея о том, что каждое расширение числа включает предыдущие виды как частные случаи. Считалось, что при работе с положительными и отрицательными целыми числами положительные целые числа можно отождествить с исходными целыми числами без знака. Опять же, считалось, что дробь, знаменатель которой равен 1, можно отождествить с натуральным числом, которое является ее числителем. А иррациональные числа, такие как квадратный корень из 2, должны были найти свое место среди рациональных дробей, будучи больше некоторых из них и меньше других, так что рациональные и иррациональные числа можно было объединить в один класс, называемый «вещественными числами». И когда идея числа была далее расширена, чтобы включить «комплексные» числа, то есть числа, включающие квадратный корень из -1, считалось, что вещественные числа можно рассматривать как те среди комплексных чисел, в которых мнимая часть (то есть часть, которая была кратна квадратному корню из -1) равна нулю. Все эти предположения были ошибочными и должны быть отброшены, как мы обнаружим, если хотим дать правильные определения.

Начнем с положительных и отрицательных целых чисел. При минутном размышлении становится очевидным, что +1 и -1 должны быть отношениями, и, по сути, должны быть обратными друг другу. Очевидное и достаточное определение состоит в том, что +1 — это отношение n+1 к n (для любого n), а -1 — это отношение n к n+1. Вообще, если n — любое индуктивное число, n+m будет отношением n+m к n (для любого n), а n-m будет отношением n к n+m. Согласно этому определению, n+m — это отношение, которое является «один-к-одному» до тех пор, пока n — кардинальное число (конечное или бесконечное), а m — индуктивное кардинальное число. Но n+m ни при каких обстоятельствах не способно быть отождествленным с n, которое не является отношением, а классом классов. Действительно, n+m столь же отлично от n, как и n от n+m.

Дроби интереснее, чем положительные или отрицательные целые числа. Нам нужны дроби для многих целей, но, пожалуй, наиболее очевидно для целей измерения. Мой друг и соавтор д-р А. Н. Уайтхед разработал теорию дробей, специально адаптированную для их применения к измерению, которая изложена в Principia Mathematica. [14] Но если все, что нужно, — это определить объекты, обладающие требуемыми чисто математическими свойствами, эта цель может быть достигнута более простым методом, который мы здесь примем. Мы определим дробь m/n как то отношение, которое имеет место между двумя индуктивными числами x и y, когда nx = my. Это определение позволяет нам доказать, что m/n — это отношение «один-к-одному», при условии, что ни m, ни n не равны нулю. И, конечно, n/m — это обратное отношение к m/n.

[14] Том III. * 300 и сл., особенно 303.

Из вышеприведенного определения ясно, что дробь 0/n — это то отношение между двумя целыми числами x и y, которое состоит в факте, что 0*x = n*y. Это отношение, подобно отношению 0/m, отнюдь не может быть отождествлено с индуктивным кардинальным числом 0, потому что отношение и класс классов — это объекты совершенно разных видов. [15] Будет видно, что 0/n — это всегда одно и то же отношение, каким бы ни было индуктивное число n; это, короче говоря, отношение 0 к любому другому индуктивному кардинальному числу. Мы можем назвать это нулем рациональных чисел; он, конечно, не идентичен кардинальному числу 0. И наоборот, отношение n/0 всегда одно и то же, каким бы ни было индуктивное число n. Не существует индуктивного кардинального числа, соответствующего n/0. Мы можем назвать его «бесконечностью рациональных чисел». Это пример того рода бесконечного, который традиционен в математике и представлен символом «∞». Это совершенно иной род, чем истинная канторовская бесконечность, которую мы рассмотрим в нашей следующей главе. Бесконечность рациональных чисел не требует для своего определения или использования никаких бесконечных классов или бесконечных целых чисел. На самом деле это не очень важное понятие, и мы могли бы обойтись без него вовсе, если бы в этом был какой-то смысл. Канторовская бесконечность, с другой стороны, имеет величайшее и фундаментальное значение; понимание ее открывает путь к целым новым областям математики и философии.

[15] Конечно, на практике мы будем продолжать говорить о дроби как (скажем) большей или меньшей 1, подразумевая большую или меньшую, чем отношение 1/1. Пока понятно, что отношение m/n и кардинальное число 1 различны, нет необходимости быть всегда педантичным, подчеркивая разницу.

Заметим, что ноль и бесконечность, единственные среди отношений, не являются «один-к-одному». Ноль — «один-ко-многим», а бесконечность — «многие-к-одному».

Нет никакой трудности в определении «больше» и «меньше» среди отношений (или дробей). Имея два отношения m/n и p/q, мы скажем, что m/n меньше p/q, если mq меньше np. Нет никакой трудности в доказательстве того, что отношение «меньше», определенное таким образом, является серийным, так что отношения образуют серию в порядке возрастания величины. В этой серии ноль — наименьший член, а бесконечность — наибольший. Если мы опустим ноль и бесконечность из нашей серии, больше не будет никакого наименьшего или наибольшего отношения; очевидно, что если m/n — любое отношение, отличное от нуля и бесконечности, то (m/n)/2 меньше, а 2(m/n) больше, хотя ни то, ни другое не является нулем или бесконечностью, так что m/n не является ни наименьшим, ни наибольшим отношением, и поэтому (когда ноль и бесконечность опущены) нет наименьшего или наибольшего, поскольку m/n было выбрано произвольно. Подобным образом мы можем доказать, что как бы близко ни были равны две дроби, между ними всегда есть другие дроби. Ибо пусть m/n и p/q — две дроби, из которых m/n больше. Тогда легко увидеть (или доказать), что (m/n + p/q)/2 будет больше p/q и меньше m/n. Таким образом, серия отношений — это такая серия, в которой никакие два члена не являются последовательными, но между любыми двумя всегда есть другие члены. Поскольку между этими другими есть другие члены и так далее ad infinitum, очевидно, что между любыми двумя отношениями существует бесконечное число отношений, как бы близко ни были равны эти два. [16] Серия, обладающая свойством, что между любыми двумя всегда есть другие члены, так что никакие два не являются последовательными, называется «компактной». Таким образом, отношения в порядке возрастания величины образуют «компактную» серию. Такие серии имеют много важных свойств, и важно заметить, что отношения дают пример компактной серии, порожденной чисто логически, без какого-либо обращения к пространству или времени или любому другому эмпирическому данному.

[16] Строго говоря, это утверждение, как и последующие до конца абзаца, включает в себя так называемую «аксиому бесконечности», которая будет обсуждаться в одной из следующих глав.

Положительные и отрицательные отношения могут быть определены способом, аналогичным тому, которым мы определили положительные и отрицательные целые числа. Сначала определив сумму двух отношений и как , мы определяем как отношение к , где — любое отношение; при этом , разумеется, является обратным к . Это не единственный возможный способ определения положительных и отрицательных отношений, но это способ, который для наших целей обладает тем достоинством, что является очевидной адаптацией метода, принятого нами в случае с целыми числами.

Теперь мы переходим к более интересному расширению понятия числа, а именно к расширению до так называемых «действительных» чисел, которые представляют собой вид чисел, охватывающий иррациональные. В главе I у нас был повод упомянуть «несоизмеримые величины» и их открытие Пифагором. Именно благодаря им, то есть благодаря геометрии, впервые возникла мысль об иррациональных числах. Квадрат со стороной в один дюйм будет иметь диагональ, длина которой равна квадратному корню из 2 дюймов. Но, как обнаружили древние, не существует дроби, квадрат которой равен 2. Это положение доказано в десятой книге Евклида — одной из тех книг, которые школьники, как предполагалось, к счастью, утратили в те времена, когда Евклид еще использовался в качестве учебника. Доказательство необычайно просто. Если возможно, пусть будет квадратным корнем из 2, так что , то есть . Таким образом, — четное число, а значит, и должно быть четным числом, поскольку квадрат нечетного числа нечетен. Теперь, если четно, то должно делиться на 4, ибо если , то . Таким образом, мы получим , где — половина . Следовательно, , а значит, и также будет квадратным корнем из 2. Но тогда мы можем повторить аргумент: если , то также будет квадратным корнем из 2, и так далее, через бесконечный ряд чисел, каждое из которых является половиной предыдущего. Но это невозможно; если мы делим число на 2, а затем делим пополам полученную половину и так далее, мы должны прийти к нечетному числу за конечное число шагов. Или мы можем изложить аргумент еще проще, предположив, что , с которого мы начинаем, приведено к несократимому виду; в этом случае и не могут оба быть четными; однако мы видели, что если , они должны быть таковыми. Таким образом, не может существовать никакой дроби , квадрат которой равен 2.

Таким образом, никакая дробь не выразит точно длину диагонали квадрата со стороной в один дюйм. Это похоже на вызов, брошенный природой арифметике. Как бы арифметик ни хвастался (как это делал Пифагор) силой чисел, природа, по-видимому, способна сбить его с толку, демонстрируя длины, которые никакие числа не могут оценить в единицах измерения. Но проблема не осталась в этой геометрической форме. Как только была изобретена алгебра, та же проблема возникла в отношении решения уравнений, хотя здесь она приняла более широкую форму, поскольку включала также комплексные числа.

Ясно, что можно найти дроби, которые все ближе и ближе подходят к тому, чтобы их квадрат был равен 2. Мы можем образовать возрастающий ряд дробей, квадраты которых меньше 2, но отличаются от 2 в своих последних членах менее чем на любую заданную величину. Иными словами, предположим, я заранее задам некоторую малую величину, скажем, одну миллиардную; окажется, что все члены нашего ряда после определенного, скажем, десятого, имеют квадраты, которые отличаются от 2 менее чем на эту величину. И если бы я задал еще меньшую величину, возможно, пришлось бы продвинуться дальше по ряду, но рано или поздно мы достигли бы члена ряда, скажем, двадцатого, после которого все члены имели бы квадраты, отличающиеся от 2 менее чем на эту еще меньшую величину. Если мы возьмемся за извлечение квадратного корня из 2 по обычному арифметическому правилу, мы получим бесконечную десятичную дробь, которая, будучи взята с таким-то количеством знаков, точно удовлетворяет вышеуказанным условиям. Мы можем с таким же успехом образовать убывающий ряд дробей, квадраты которых все больше 2, но превышают ее на постоянно уменьшающиеся величины по мере приближения к последующим членам ряда, и рано или поздно отличаются менее чем на любую заданную величину. Таким образом, мы как бы стягиваем кольцо вокруг квадратного корня из 2, и может показаться трудным поверить, что он может навсегда ускользнуть от нас. Тем не менее, не этим методом мы действительно достигнем квадратного корня из 2.

Если мы разделим все отношения на два класса в зависимости от того, меньше их квадраты 2 или нет, мы обнаружим, что среди тех, чьи квадраты не меньше 2, все имеют квадраты больше 2. Не существует максимума для отношений, квадрат которых меньше 2, и нет минимума для тех, квадрат которых больше 2. Нет нижнего предела, кроме нуля, для разности между числами, квадрат которых чуть меньше 2, и числами, квадрат которых чуть больше 2. Короче говоря, мы можем разделить все отношения на два класса так, что все члены одного класса меньше всех членов другого, при этом в одном классе нет максимума, а в другом — минимума. Между этими двумя классами, там, где должен был бы быть , ничего нет. Таким образом, наше кольцо, хотя мы и затянули его как можно туже, оказалось наложено не в том месте и не поймало .

Вышеописанный метод разделения всех членов ряда на два класса, из которых один полностью предшествует другому, был выдвинут на первый план Дедекиндом [17] и поэтому называется «дедекиндовым сечением». Относительно того, что происходит в точке сечения, существует четыре возможности: (1) может существовать максимум для нижнего сечения и минимум для верхнего сечения, (2) может существовать максимум для одного и не быть минимума для другого, (3) может не быть максимума для одного, но быть минимум для другого, (4) может не быть ни максимума для одного, ни минимума для другого. Из этих четырех случаев первый иллюстрируется любым рядом, в котором есть последовательные члены: в ряду целых чисел, например, нижнее сечение должно заканчиваться некоторым числом , а верхнее сечение должно тогда начинаться с . Второй случай будет проиллюстрирован в ряду отношений, если мы возьмем в качестве нашего нижнего сечения все отношения вплоть до 1 включительно, а в качестве нашего верхнего сечения — все отношения, большие 1. Третий случай иллюстрируется, если мы возьмем для нашего нижнего сечения все отношения, меньшие 1, а для нашего верхнего сечения — все отношения от 1 и выше (включая саму 1). Четвертый случай, как мы видели, иллюстрируется, если мы поместим в наше нижнее сечение все отношения, квадрат которых меньше 2, а в наше верхнее сечение — все отношения, квадрат которых больше 2.

[17] Stetigkeit und irrationale Zahlen, 2-е изд., Брауншвейг, 1892.

Мы можем пренебречь первым из наших четырех случаев, поскольку он возникает только в рядах, где есть последовательные члены. Во втором из наших четырех случаев мы говорим, что максимум нижнего сечения является нижним пределом верхнего сечения или любого множества членов, выбранных из верхнего сечения таким образом, что никакой член верхнего сечения не предшествует всем им. В третьем из наших четырех случаев мы говорим, что минимум верхнего сечения является верхним пределом нижнего сечения или любого множества членов, выбранных из нижнего сечения таким образом, что никакой член нижнего сечения не следует за всеми ними. В четвертом случае мы говорим, что существует «разрыв»: ни верхнее, ни нижнее сечение не имеют предела или последнего члена. В этом случае мы также можем сказать, что имеем «иррациональное сечение», поскольку сечения ряда отношений имеют «разрывы», когда они соответствуют иррациональным числам.

То, что задерживало создание истинной теории иррациональных чисел, было ошибочным убеждением, что должны существовать «пределы» рядов отношений. Понятие «предела» имеет величайшее значение, и прежде чем идти дальше, будет полезно его определить.

Член называется «верхним пределом» класса относительно отношения , если (1) в не существует максимума относительно , (2) каждый член , принадлежащий полю , предшествует , (3) каждый член поля , который предшествует , предшествует некоторому члену . (Под «предшествует» мы понимаем «имеет отношение к».)

Это предполагает следующее определение «максимума»:—

Член называется «максимумом» класса относительно отношения , если является членом и поля , и не имеет отношения к любому другому члену .

Эти определения не требуют, чтобы члены, к которым они применяются, были количественными. Например, если дан ряд моментов времени, упорядоченных по принципу «раньше» и «позже», их «максимумом» (если он есть) будет последний из моментов; но если они упорядочены по принципу «позже» и «раньше», их «максимумом» (если он есть) будет первый из моментов.

«Минимум» класса относительно есть его максимум относительно обратного отношения к ; а «нижний предел» относительно есть верхний предел относительно обратного отношения к .

Понятия предела и максимума не требуют в обязательном порядке, чтобы отношение, относительно которого они определены, было серийным, но они имеют мало важных применений, за исключением случаев, когда отношение является серийным или квазисерийным. Понятием, которое часто бывает важным, является понятие «верхний предел или максимум», которому мы можем дать название «верхняя граница». Таким образом, «верхняя граница» множества членов, выбранных из ряда, — это их последний член, если таковой имеется, а если нет — это первый член после всех них, если такой член существует. Если нет ни максимума, ни предела, то нет и верхней границы. «Нижняя граница» — это нижний предел или минимум.

Возвращаясь к четырем видам дедекиндова сечения, мы видим, что в случае первых трех видов каждое сечение имеет границу (верхнюю или нижнюю, в зависимости от обстоятельств), в то время как в четвертом виде ни одно из них не имеет границы. Также ясно, что всякий раз, когда нижнее сечение имеет верхнюю границу, верхнее сечение имеет нижнюю границу. Во втором и третьем случаях обе границы идентичны; в первом — они являются последовательными членами ряда.

Ряд называется «дедекиндовым», когда каждое сечение имеет границу, верхнюю или нижнюю, в зависимости от обстоятельств.

Мы видели, что ряд отношений в порядке возрастания не является дедекиндовым.

Из привычки находиться под влиянием пространственного воображения люди предполагали, что ряды должны иметь пределы в тех случаях, когда кажется странным, если их нет. Так, заметив, что не существует рационального предела для отношений, квадрат которых меньше 2, они позволили себе «постулировать» иррациональный предел, который должен был заполнить дедекиндов разрыв. Дедекинд в вышеупомянутой работе выдвинул аксиому, что разрыв должен быть всегда заполнен, то есть что каждое сечение должно иметь границу. Именно по этой причине ряды, в которых его аксиома подтверждается, называются «дедекиндовыми». Но существует бесконечное множество рядов, для которых она не подтверждается.

Метод «постулирования» того, что мы хотим, имеет много преимуществ; они те же, что и преимущества воровства перед честным трудом. Оставим их другим и продолжим наш честный труд.

Ясно, что иррациональное дедекиндово сечение каким-то образом «представляет» иррациональное число. Чтобы воспользоваться этим, что поначалу является не более чем смутным чувством, мы должны найти способ извлечь из него точное определение; и чтобы сделать это, мы должны освободить наш ум от представления, что иррациональное число должно быть пределом множества отношений. Подобно тому как отношения, знаменатель которых равен 1, не идентичны целым числам, так и те рациональные числа, которые могут быть больше или меньше иррациональных или могут иметь иррациональные числа в качестве своих пределов, не должны отождествляться с отношениями. Мы должны определить новый вид чисел, называемых «действительными числами», некоторые из которых будут рациональными, а некоторые — иррациональными. Те из них, которые являются рациональными, «соответствуют» отношениям таким же образом, как отношение соответствует целому числу ; но они не то же самое, что отношения. Чтобы решить, чем они должны быть, заметим, что иррациональное число представляется иррациональным сечением, а сечение представляется своим нижним сечением. Ограничимся сечениями, в которых нижнее сечение не имеет максимума; в этом случае мы будем называть нижнее сечение «сегментом». Тогда те сегменты, которые соответствуют отношениям, — это те, которые состоят из всех отношений, меньших того отношения, которому они соответствуют, являющегося их границей; в то время как те, которые представляют иррациональные числа, — это те, у которых нет границы. Сегменты, как те, что имеют границы, так и те, что их не имеют, таковы, что из любых двух, относящихся к одному ряду, один должен быть частью другого; следовательно, все они могут быть расположены в ряд по отношению целого и части. Ряд, в котором есть дедекиндовы разрывы, то есть в котором есть сегменты, не имеющие границы, даст больше сегментов, чем в нем есть членов, поскольку каждый член определит сегмент, имеющий этот член в качестве границы, а затем сегменты без границ будут дополнительными.

Теперь мы в состоянии определить действительное число и иррациональное число.

«Действительное число» — это сегмент ряда отношений в порядке возрастания.

«Иррациональное число» — это сегмент ряда отношений, который не имеет границы.

«Рациональное действительное число» — это сегмент ряда отношений, который имеет границу.

Таким образом, рациональное действительное число состоит из всех отношений, меньших определенного отношения, и оно является рациональным действительным числом, соответствующим этому отношению. Действительное число 1, например, — это класс правильных дробей.

В тех случаях, когда мы естественно предполагали, что иррациональное число должно быть пределом множества отношений, истина заключается в том, что оно является пределом соответствующего множества рациональных действительных чисел в ряду сегментов, упорядоченных по отношению целого и части. Например, является верхним пределом всех тех сегментов ряда отношений, которые соответствуют отношениям, чей квадрат меньше 2. Еще проще: — это сегмент, состоящий из всех тех отношений, чей квадрат меньше 2.

Легко доказать, что ряд сегментов любого ряда является дедекиндовым. Ибо, если дано любое множество сегментов, их границей будет их логическая сумма, то есть класс всех тех членов, которые принадлежат по крайней мере одному сегменту множества. [18]

[18] Более полное рассмотрение темы сегментов и дедекиндовых отношений см. в Principia Mathematica, т. II, * 210-214. Более полное рассмотрение действительных чисел см. там же, т. III, * 310 и сл., и Principles of Mathematics, гл. XXXIII и XXXIV.

Вышеприведенное определение действительных чисел является примером «конструкции» в противовес «постулированию», другой пример которого мы имели при определении кардинальных чисел. Большое преимущество этого метода в том, что он не требует новых допущений, а позволяет нам двигаться дедуктивно от исходного аппарата логики.

Нет никакой сложности в определении сложения и умножения для действительных чисел, определенных выше. Даны два действительных числа и , каждое из которых является классом отношений; возьмем любой член и любой член и сложим их вместе согласно правилу сложения отношений. Образуем класс всех таких сумм, получаемых путем варьирования выбранных членов и . Это дает новый класс отношений, и легко доказать, что этот новый класс является сегментом ряда отношений. Мы определяем его как сумму и . Мы можем сформулировать определение более кратко следующим образом:—

Арифметическая сумма двух действительных чисел — это класс арифметических сумм члена одного и члена другого, выбранных всеми возможными способами.

Мы можем определить арифметическое произведение двух действительных чисел точно таким же образом, умножая член одного на член другого всеми возможными способами. Класс отношений, таким образом порожденный, определяется как произведение двух действительных чисел. (Во всех таких определениях ряд отношений должен определяться как исключающий 0 и бесконечность.)

Нет никакой сложности в распространении наших определений на положительные и отрицательные действительные числа, а также на их сложение и умножение.

Остается дать определение комплексных чисел.

Комплексные числа, хотя и допускают геометрическую интерпретацию, не требуются геометрией столь же императивно, как иррациональные числа. «Комплексное» число означает число, включающее квадратный корень из отрицательного числа, будь то целое, дробное или действительное. Поскольку квадрат отрицательного числа положителен, число, квадрат которого должен быть отрицательным, должно быть новым видом числа. Используя букву для квадратного корня из , любое число, включающее квадратный корень из отрицательного числа, может быть выражено в форме , где и — действительные числа. Часть называется «мнимой» частью этого числа, а — «действительной» частью. (Причина использования фразы «действительные числа» в том, что они противопоставляются таким, которые являются «мнимыми».) Комплексные числа уже давно привычно используются математиками, несмотря на отсутствие какого-либо точного определения. Просто предполагалось, что они будут подчиняться обычным арифметическим правилам, и на этом допущении их использование было признано полезным. Они требуются меньше для геометрии, чем для алгебры и анализа. Мы желаем, например, иметь возможность сказать, что каждое квадратное уравнение имеет два корня, каждое кубическое уравнение — три, и так далее. Но если мы ограничены действительными числами, такое уравнение, как , не имеет корней, а такое уравнение, как , имеет только один. Каждое обобщение числа сначала представлялось как необходимое для какой-то простой задачи: отрицательные числа были нужны для того, чтобы вычитание было всегда возможно, поскольку иначе было бы бессмысленным, если бы было меньше ; дроби были нужны для того, чтобы деление было всегда возможно; а комплексные числа нужны для того, чтобы извлечение корней и решение уравнений были всегда возможны. Но расширения числа не создаются простой потребностью в них: они создаются определением, и именно к определению комплексных чисел мы должны теперь обратить наше внимание.

Комплексное число может рассматриваться и определяться просто как упорядоченная пара действительных чисел. Здесь, как и в других случаях, возможны многие определения. Все, что необходимо, — это чтобы принятые определения приводили к определенным свойствам. В случае комплексных чисел, если они определены как упорядоченные пары действительных чисел, мы сразу обеспечиваем некоторые из требуемых свойств, а именно: что для определения комплексного числа требуются два действительных числа, что среди них мы можем различить первое и второе, и что два комплексных числа идентичны только тогда, когда первое действительное число, входящее в одно, равно первому, входящему в другое, а второе — второму. То, что нужно дополнительно, может быть обеспечено определением правил сложения и умножения. Мы должны иметь . Таким образом, мы определим, что для двух упорядоченных пар действительных чисел и их сумма должна быть парой , а их произведение — парой . Этими определениями мы обеспечим, чтобы наши упорядоченные пары обладали желаемыми свойствами. Например, возьмем произведение двух пар и . Это, согласно вышеуказанному правилу, будет пара . Таким образом, квадрат пары будет парой . Теперь те пары, в которых второй член равен 0, — это те, которые, согласно обычной номенклатуре, имеют мнимую часть, равную нулю; в обозначении они являются , что естественно записать просто как . Точно так же, как естественно (но ошибочно) отождествлять отношения, знаменатель которых равен единице, с целыми числами, так естественно (но ошибочно) отождествлять комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, с действительными числами. Хотя это ошибка в теории, это удобство на практике; « » может быть заменено просто на « », а « » на « », при условии, что мы помним, что « » — это на самом деле не действительное число, а частный случай комплексного числа. И когда равно 1, « » может, конечно, быть заменено на « ». Таким образом, пара представляется как , а пара представляется как -1. Теперь наши правила умножения делают квадрат равным , то есть квадрат равен -1. Это то, что мы желали обеспечить. Таким образом, наши определения служат всем необходимым целям.

Легко дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел в геометрии плоскости. Этот предмет был приятно изложен У. К. Клиффордом в его книге «Здравый смысл точных наук» — книге больших достоинств, но написанной до того, как была осознана важность чисто логических определений.

Комплексные числа более высокого порядка, хотя и гораздо менее полезные и важные, чем те, которые мы определяли, имеют определенные применения, не лишенные важности в геометрии, что можно увидеть, например, в «Универсальной алгебре» д-ра Уайтхеда. Определение комплексных чисел порядка получается путем очевидного расширения данного нами определения. Мы определяем комплексное число порядка как одно-многозначное отношение, область определения которого состоит из определенных действительных чисел, а область значений — из целых чисел от 1 до . [19] Это то, что обычно обозначалось бы номенклатурой , где суффиксы обозначают корреляцию с целыми числами, используемыми в качестве суффиксов, и корреляция является одно-многозначной, не обязательно взаимно однозначной, потому что и могут быть равны, когда и не равны. Вышеприведенное определение с подходящим правилом умножения послужит всем целям, для которых нужны комплексные числа более высоких порядков.

[19] Ср. Principles of Mathematics, § 360, стр. 379.

Мы завершили наш обзор тех расширений числа, которые не включают бесконечность. Применение числа к бесконечным совокупностям должно стать нашей следующей темой.

ГЛАВА VIII БЕСКОНЕЧНЫЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Определение кардинальных чисел, которое мы дали в главе II, было применено в главе III к конечным числам, то есть к обычным натуральным числам. Им мы дали название «индуктивные числа», потому что обнаружили, что они определяются как числа, подчиняющиеся математической индукции, начиная с 0. Но мы еще не рассматривали совокупности, которые не имеют индуктивного числа членов, и не задавались вопросом, можно ли вообще сказать, что такие совокупности имеют число. Это древняя проблема, которая была решена в наши дни, главным образом Георгом Кантором. В настоящей главе мы попытаемся объяснить теорию трансфинитных или бесконечных кардинальных чисел, как она вытекает из сочетания его открытий с открытиями Фреге в логической теории чисел.

Нельзя сказать, что достоверно известно, существуют ли на самом деле в мире какие-либо бесконечные совокупности. Допущение, что они существуют, — это то, что мы называем «аксиомой бесконечности». Хотя напрашиваются различные способы, которыми мы могли бы надеяться доказать эту аксиому, есть основания опасаться, что все они ошибочны и что нет убедительной логической причины верить в ее истинность. В то же время, конечно, нет никакой логической причины против бесконечных совокупностей, и поэтому мы оправданы в логике, исследуя гипотезу о том, что такие совокупности существуют. Практическая форма этой гипотезы для наших текущих целей — это допущение, что если — любое индуктивное число, то не равно . Возникают различные тонкости при отождествлении этой формы нашего допущения с формой, утверждающей существование бесконечных совокупностей; но мы оставим их без внимания, пока в более поздней главе не перейдем к рассмотрению аксиомы бесконечности как таковой. На данный момент мы просто предположим, что если — индуктивное число, то не равно . Это включено в допущение Пеано о том, что никакие два индуктивных числа не имеют одного и того же преемника; ибо если , то и имеют одного и того же преемника, а именно . Таким образом, мы не предполагаем ничего, что не было бы включено в примитивные предложения Пеано.

Рассмотрим теперь совокупность самих индуктивных чисел. Это вполне определенный класс. Во-первых, кардинальное число — это множество классов, которые все подобны друг другу и не подобны ничему, кроме друг друга. Затем мы определяем как «индуктивные числа» те среди кардинальных чисел, которые принадлежат потомству 0 относительно отношения к , то есть те, которые обладают каждым свойством, присущим 0 и преемникам обладателей, понимая под «преемником» число . Таким образом, класс «индуктивных чисел» вполне определен. Согласно нашему общему определению кардинальных чисел, число членов в классе индуктивных чисел должно быть определено как «все те классы, которые подобны классу индуктивных чисел» — то есть это множество классов и есть число индуктивных чисел согласно нашим определениям.

Теперь легко увидеть, что это число не является одним из индуктивных чисел. Если — любое индуктивное число, число чисел от 0 до (включительно) равно ; следовательно, общее число индуктивных чисел больше , независимо от того, каким из индуктивных чисел может быть . Если мы расположим индуктивные числа в ряд в порядке возрастания, этот ряд не имеет последнего члена; но если — индуктивное число, каждый ряд, поле которого имеет членов, имеет последний член, что легко доказать. Такие различия можно умножать ad lib. Таким образом, число индуктивных чисел — это новое число, отличное от всех них, не обладающее всеми индуктивными свойствами. Может случиться так, что 0 обладает определенным свойством, и что если им обладает , то им обладает и , и все же это новое число им не обладает. Трудности, которые так долго задерживали теорию бесконечных чисел, были в значительной степени связаны с тем фактом, что некоторые, по крайней мере, индуктивные свойства ошибочно считались такими, которые должны принадлежать всем числам; действительно, считалось, что их нельзя отрицать без противоречия. Первый шаг в понимании бесконечных чисел состоит в осознании ошибочности этого взгляда.

Самое примечательное и удивительное различие между индуктивным числом и этим новым числом состоит в том, что это новое число не меняется при прибавлении 1, вычитании 1, удвоении, делении пополам или выполнении любого из ряда других операций, которые мы считаем обязательно делающими число больше или меньше. Факт неизменности при прибавлении 1 используется Кантором для определения того, что он называет «трансфинитными» кардинальными числами; но по разным причинам, некоторые из которых станут ясны по мере нашего продвижения, лучше определять бесконечное кардинальное число как такое, которое не обладает всеми индуктивными свойствами, то есть просто как такое, которое не является индуктивным числом. Тем не менее, свойство неизменности при прибавлении 1 является очень важным, и мы должны остановиться на нем на некоторое время.

Сказать, что класс имеет число, которое не меняется при прибавлении 1, — это то же самое, что сказать, что если мы возьмем член, который не принадлежит классу, мы можем найти взаимно однозначное отношение, область определения которого — класс, а область значений получена добавлением к классу. Ибо в этом случае класс подобен сумме самого себя и члена , то есть классу, имеющему один дополнительный член; так что он имеет то же число, что и класс с одним дополнительным членом, так что если — это число, то . В этом случае мы также будем иметь , то есть будут существовать взаимно однозначные отношения, области определения которых состоят из всего класса, а области значений состоят из всего класса без одного члена. Можно показать, что случаи, в которых это происходит, — те же, что и кажущиеся более общими случаи, в которых некоторая часть (меньшая целого) может быть приведена во взаимно однозначное отношение с целым. Когда это может быть сделано, коррелятор, с помощью которого это делается, можно сказать, «отражает» весь класс в часть самого себя; по этой причине такие классы будут называться «рефлексивными». Таким образом:

«Рефлексивный» класс — это класс, который подобен своей собственной правильной части. («Правильная часть» — это часть, меньшая целого.)

«Рефлексивное» кардинальное число — это кардинальное число рефлексивного класса.

Теперь мы должны рассмотреть это свойство рефлексивности.

Одним из самых ярких примеров «отражения» является иллюстрация Ройса с картой: он воображает, что решено сделать карту Англии на части поверхности Англии. Карта, если она точна, имеет идеальное взаимно однозначное соответствие со своим оригиналом; таким образом, наша карта, которая является частью, находится во взаимно однозначном отношении с целым и должна содержать то же число точек, что и целое, которое, следовательно, должно быть рефлексивным числом. Ройса интересует тот факт, что карта, если она верна, должна содержать карту карты, которая в свою очередь должна содержать карту карты карты, и так далее ad infinitum. Этот момент интересен, но не должен занимать нас в данный момент. На самом деле, нам будет лучше перейти от живописных иллюстраций к тем, которые более определенны, и для этой цели мы не можем сделать ничего лучше, чем рассмотреть сам числовой ряд.

Отношение к , ограниченное индуктивными числами, является взаимно однозначным, имеет все индуктивные числа в качестве своей области определения и все, кроме 0, в качестве области значений. Таким образом, весь класс индуктивных чисел подобен тому, чем становится тот же класс, когда мы опускаем 0. Следовательно, это «рефлексивный» класс согласно определению, а число его членов — «рефлексивное» число. Опять же, отношение к , ограниченное индуктивными числами, является взаимно однозначным, имеет все индуктивные числа в качестве своей области определения и только четные индуктивные числа в качестве области значений. Следовательно, общее число индуктивных чисел такое же, как число четных индуктивных чисел. Это свойство использовалось Лейбницем (и многими другими) как доказательство того, что бесконечные числа невозможны; считалось самопротиворечивым, что «часть должна быть равна целому». Но это одна из тех фраз, которые зависят в своей правдоподобности от невоспринятой расплывчатости: слово «равный» имеет много значений, но если его понимать как то, что мы назвали «подобным», то нет никакого противоречия, поскольку бесконечная совокупность вполне может иметь части, подобные самой себе. Те, кто считает это невозможным, как правило, бессознательно приписывали числам в целом свойства, которые могут быть доказаны только математической индукцией и которые только наша привычка заставляет нас ошибочно считать истинными за пределами области конечного.

Всякий раз, когда мы можем «отразить» класс в часть самого себя, то же самое отношение будет обязательно отражать эту часть в меньшую часть, и так далее ad infinitum. Например, мы можем отразить, как мы только что видели, все индуктивные числа в четные числа; мы можем тем же отношением (отношением к ) отразить четные числа в числа, кратные 4, их — в числа, кратные 8, и так далее. Это абстрактный аналог проблемы карты Ройса. Четные числа — это «карта» всех индуктивных чисел; числа, кратные 4, — это карта карты; числа, кратные 8, — это карта карты карты; и так далее. Если бы мы применили тот же процесс к отношению к , наша «карта» состояла бы из всех индуктивных чисел, кроме 0; карта карты состояла бы из всех чисел от 2 и далее, карта карты карты — из всех чисел от 3 и далее; и так далее. Главная польза таких иллюстраций состоит в том, чтобы освоиться с идеей рефлексивных классов, чтобы кажущиеся парадоксальными арифметические предложения можно было легко перевести на язык отражений и классов, в котором налет парадоксальности гораздо меньше.

Будет полезно дать определение числа, которое является числом индуктивных кардиналов. Для этой цели мы сначала определим вид ряда, примером которого являются индуктивные кардиналы в порядке возрастания. Вид ряда, который называется «прогрессией», уже рассматривался в главе I. Это ряд, который может быть порожден отношением последовательности: каждый член ряда должен иметь преемника, но должен быть только один, который не имеет предшественника, и каждый член ряда должен находиться в потомстве этого члена относительно отношения «непосредственный предшественник». Эти характеристики могут быть суммированы в следующем определении: [20]—

[20] Ср. Principia Mathematica, т. II, * 123.

«Прогрессия» — это взаимно однозначное отношение такое, что существует только один член, принадлежащий области определения, но не принадлежащий области значений, и область определения идентична потомству этого одного члена.

Легко видеть, что прогрессия, определенная таким образом, удовлетворяет пяти аксиомам Пеано. Член, принадлежащий области определения, но не области значений, будет тем, что он называет «0»; член, к которому другой член имеет взаимно однозначное отношение, будет «преемником» члена; а область определения взаимно однозначного отношения будет тем, что он называет «числом». Принимая его пять аксиом по очереди, мы получаем следующие переводы:—

(1) «0 — это число» становится: «Член области определения, который не является членом области значений, является членом области определения». Это эквивалентно существованию такого члена, которое дано в нашем определении. Мы назовем этот член «первым членом».

(2) «Преемник любого числа — это число» становится: «Член, к которому данный член области определения имеет рассматриваемое отношение, снова является членом области определения». Это доказывается следующим образом: согласно определению, каждый член области определения является членом потомства первого члена; следовательно, преемник члена области определения должен быть членом потомства первого члена (потому что потомство члена всегда содержит своих собственных преемников, согласно общему определению потомства), а значит, членом области определения, потому что согласно определению потомство первого члена то же самое, что и область определения.