«Логика: дедуктивная и индуктивная»

Трудность реального рассуждения, не с символами, а по вопросам факта, возникает не из принципов логики, а иногда из неясности или сложности фактов, иногда из двусмысленности или неуклюжести языка, иногда из недостатка нашего собственного ума в проницательности, упорстве и ясности. Нужно делать все возможное, чтобы изучать факты, и не слишком легко поддаваться унынию.

ГЛАВА VII

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

§ 1. Под общим названием «непосредственное умозаключение» логики обсуждают три предмета, а именно: оппозицию, обращение и превращение; к которым некоторые авторы добавляют другие формы, такие как целое и часть в коннотации, контрапозиция, инверсия и т. д. Об оппозиции, опять же, все признают четыре вида: субалтернация, противоречие, противоположность и подпротивоположность. Единственные особенности изложения, к которому мы сейчас приступаем, заключаются в том, что оно следует за тремя законами мышления, беря сначала те виды непосредственного умозаключения, в которых тождество наиболее важно, затем те, которые явно включают противоречие и исключенное третье; и что этот метод приводит к разделению видов оппозиции, связывая субалтернацию с обращением, а другие виды — с превращением. Чтобы компенсировать это отступление от обычая, четыре вида оппозиции будут снова собраны вместе в § 9.

§ 2. Субалтернация. — Оппозиция — это отношение пропозиций, которые имеют одно и то же содержание и различаются только по форме (как A, E, I, O), пропозиции форм A и I называются субалтернированными по отношению друг к другу, так же как E и O; универсальная пропозиция каждого качества выделяется как «subalternans», а частная — как «subalternate».

Из принципа тождества следует, что, если содержание пропозиций одно и то же, если A истинно, то I истинно, и если E истинно, то O истинно; ибо A и E предикатируют нечто о «всех S» или «всех людях»; и поскольку I и O делают ту же предикацию о «некоторых S» или «некоторых людях», смысл этих частных пропозиций уже был предикатирован в A или E. Если «все S есть P», то «некоторые S есть P»; если «ни одно S не есть P», то «некоторые S не есть P»; или, если «все люди любят смеяться», то «некоторые люди любят»; если «ни один человек не свободен от насмешек», то «некоторые люди не свободны».

Аналогично, если I ложно, то A ложно; если O ложно, то E ложно. Если мы отрицаем какую-либо предикацию о «некоторых S», мы должны отрицать ее о «всех S»; поскольку, отрицая ее о «некоторых», мы отрицали ее по крайней мере о части «всех»; и все, что ложно в одной форме слов, ложно в любой другой.

С другой стороны, если I истинно, мы не знаем, истинно ли A; ни если O истинно, то E; ибо делать вывод от «некоторых» к «всем» означало бы выходить за пределы доказательств. Мы увидим при обсуждении индукции, что великая проблема этой части логики заключается в определении условий, при которых мы можем в реальности выйти за пределы этого правила и делать вывод от «некоторых» к «всем»; хотя даже там будет видно, что формально правило соблюдается. На данный момент достаточно того, что I является непосредственным умозаключением из A, а O — из E; но что A не является непосредственным умозаключением из I, а E — из O.

§ 3. Коннотативная субалтернация. — Мы видели (гл. IV, § 6), что если коннотация одного термина является лишь частью другого, его денотация больше и включает в себя другого. Следовательно, род и вид находятся в субалтернированном отношении, и все, что истинно о роде, истинно о виде: если «всякая животная жизнь зависит от растительности», то «всякая человеческая жизнь зависит от растительности». С другой стороны, все, что не истинно о виде или более узком термине, не может быть истинным о всем роде: если ложно, что «всякая человеческая жизнь счастлива», то ложно, что «всякая животная жизнь счастлива».

Подобные умозаключения могут быть сделаны из субалтернированного отношения предикатов; утверждая вид, мы утверждаем род. Взять пример Милля: если «Сократ — человек», то «Сократ — живое существо». С другой стороны, отрицая род, мы отрицаем вид: если «Сократ не порочен», то «Сократ не пьяница».

Такие случаи признаются Миллем и Бэйном как непосредственные умозаключения по принципу тождества. Но некоторые логики могли бы рассматривать их как несовершенные силлогизмы, требующие другой посылки для легитимации вывода, таким образом:

All animal life is dependent on vegetation; All human life is animal life; ∴ All human life is dependent on vegetation.

Или опять же:

All men are living creatures; Socrates is a man; ∴ Socrates is a living creature.

Решение этого вопроса зависит от того (см. гл. VI, § 3), насколько логик вправе предполагать, что используемые им термины понятны и что тождества, включенные в их значения, будут распознаны. И на этот вопрос, ради последовательности, требуется один из двух ответов; в противном случае остается эмпирическое правило. Во-первых, можно считать, что никакие термины не понятны, кроме тех, которые определены при изложении науки, таких как «род» и «вид», «коннотация» и «денотация». Но очень немногие логики соблюдают это ограничение; немногие колеблются заменить «не мудр» на «глуп». Но по какому праву? Мальволио глуп, чтобы доказать, что он не-мудр, мы можем построить следующий силлогизм:

Foolish is not-wise;

Malvolio is foolish;

∴ Malvolio is not-wise.

Необходимо ли это? Почему нет?

Во-вторых, можно считать, что все термины могут считаться понятными, если определение не оспаривается. Этот принцип оправдает замену «не-мудр» на «глуп»; но он также легитимирует вышеуказанные случаи (касающиеся «человеческой жизни» и «Сократа») как непосредственные умозаключения, наряду с бесчисленными другими, которые могли бы быть основаны на доктрине относительных терминов: например, «охотник промахнулся»; следовательно, «добыча ускользнула». И из этого принципа далее будет следовать, что все кажущиеся силлогизмы, имеющие одну посылку в виде вербальной пропозиции, являются непосредственными умозаключениями (см. гл. IX, § 4).

Тесно связаны с такими случаями, как вышеупомянутые, те, которые упоминаются архиепископом Томсоном как «непосредственные умозаключения с добавленными детерминантами» (Laws of Thought, § 87). Он приводит случай: «негр — собрат по человечеству; следовательно, страдающий негр — страдающий собрат по человечеству». Это основывается на принципе, что увеличение коннотаций двух терминов одним и тем же атрибутом или детерминантом не влияет на отношение их денотаций, поскольку это должно в равной степени уменьшить (если вообще уменьшить) денотации обоих классов, исключая одних и тех же индивидов, если таковые отсутствуют в данном атрибуте. Но этот принцип верен только тогда, когда добавленный атрибут не просто тот же самый вербально, но имеет то же значение в квалификации обоих терминов. Мы не можем рассуждать: «мышь — животное; следовательно, большая мышь — большое животное»; ибо «большой» — это атрибут, относительный к нормальной величине описываемой вещи.

§ 4. Обращение — это непосредственное умозаключение путем транспозиции терминов данной пропозиции без изменения ее качества. Если количество также не изменено, умозаключение называется «простым обращением»; но если количество изменено с универсального на частное, оно называется «обращением через ограничение» или per accidens. Данная пропозиция называется «конвертендом»; та, которая из нее выведена, — «конверсом».

Отходя от обычного порядка изложения, я взял обращение вслед за субалтернацией, потому что обычно считается, что оно основывается на принципе тождества, и потому что кажется хорошим методом исчерпать формы, которые подпадают только под тождество, прежде чем переходить к тем, которые включают противоречие и исключенное третье. Некоторые, правда, оспаривают претензии обращения на иллюстрацию принципа тождества; и если достаточная формулировка этого принципа — «A есть A», может возникнуть вопрос, как обращение или любой другой вид умозаключения может быть отнесен к нему. Но если мы сформулируем его, как выше (гл. VI, § 3), что все, что истинно в одной форме слов, истинно в любой другой, нетрудно применить его к обращению.

Таким образом, чтобы взять простое обращение I:

Some S is P; ∴ Some P is S.

Some poets are business-like; ∴ Some business-like men are poets.

Здесь конвертенд и конверс говорят одно и то же, и это истинно, если истинно то.

У нас, таким образом, есть два случая простого обращения: I (как выше) и E. Для E:

No S is P; ∴ No P is S. No ruminants are carnivores; ∴ No carnivores are ruminants.

При обращении I предикат (P), взятый как новый субъект, будучи предварительно определенным, рассматривается как частный; и при обращении E предикат (P), взятый как новый субъект, рассматривается как универсальный, согласно правилу в гл. V, § 1.

A — это единственный случай обращения через ограничение:

All S is P; ∴ Some P is S. All cats are grey in the dark; ∴ Some things grey in the dark are cats.

Предикат рассматривается как частный, когда он берется как новый субъект, согласно правилу не выходить за пределы доказательств. Делать вывод, что «все серое в темноте — кошки», было бы явно абсурдно; однако никакой ошибки в рассуждении нет более распространенной, чем простое обращение A. Правильность обращения через ограничение может быть показана так: если «все S есть P», то по субалтернации «некоторые S есть P», и, следовательно, по простому обращению «некоторые P есть S».

O не может быть истинно обращено. Если мы возьмем пропозицию: «некоторые S не есть P», обратить это в «ни одно P не есть S» или «некоторые P не есть S» означало бы нарушить правило в гл. VI, § 6; поскольку S, нераспределенное в конвертенде, было бы распределено в конверсе. Если нам говорят, что «некоторые люди не есть повара», мы не можем сделать вывод, что «некоторые повара не есть люди». Это означало бы предположить, что «некоторые люди» идентичны «всем людям».

Квантифицируя предикат, действительно, мы можем обратить O просто, таким образом:

Some men are not cooks ∴ No cooks are some men.

И тот же план имеет некоторое преимущество при обращении A; ибо при обычном методе per accidens конверс A есть I, если мы обратим это снова, это все еще I, и, следовательно, означает меньше, чем наш исходный конвертенд. Таким образом:

All S is P ∴ Some P is S ∴ Some S is P.

Такое знание, как то, что «все S (целиком) есть P», слишком ценная вещь, чтобы растрачивать ее в чистой логике; и оно может быть сохранено путем квантификации предиката; ибо если мы обратим A в Y, таким образом —

All S is P ∴ Some P is all S—

мы можем переобратить Y в A без какой-либо потери смысла. Главная польза квантификации предиката заключается в том, что благодаря этому каждая пропозиция способна к простому обращению.

Обращение пропозиций, в которых отношение терминов неадекватно выражено (см. гл. II, § 2) обычной копулой («есть» или «не есть»), требует специального правила. Рассуждать так —

A is followed by B ∴ Something followed by B is A—

было бы неуклюжим формализмом. Мы обычно говорим, и мы должны говорить —

A is followed by B ∴ B follows A (or is preceded by A).

Теперь любое отношение между двумя терминами может рассматриваться с любой стороны — A: B или B: A. В обоих случаях это один и тот же факт; но с измененной точки зрения он может представлять другой характер. Например, в непосредственном умозаключении A > B ∴ B < A — уменьшающееся отношение превращается в увеличивающееся, в то время как предикатированный факт остается тем же. Таким образом, дано отношение между двумя терминами, рассматриваемое от одного к другому, то же самое отношение, рассматриваемое от другого к одному, может быть названо взаимным. В случаях равенства, сосуществования и одновременности данное отношение и его взаимное не только являются одним и тем же фактом, но они также имеют один и тот же характер: в случаях большего и меньшего и последовательности характер меняется.

Мы можем, таким образом, сформулировать следующее правило для обращения пропозиций, в которых все отношение, явно выраженное, берется как копула: транспонируйте термины и для данного отношения подставьте его взаимное. Таким образом —

A is the cause of B ∴ B is the effect of A.

Правило предполагает, что взаимное отношение данного отношения определенно известно; и поскольку это верно, оно может быть распространено на более конкретные отношения —

A is a genus of B ∴ B is a species of A A is the father of B ∴ B is a child of A.

Но не каждое реляционное выражение имеет только одно определенное взаимное отношение. Если нам говорят, что «A — брат B», мы можем только сделать вывод, что «B — либо брат, либо сестра A». Список всех взаимных отношений является желательным для логики.

§ 5. Превращение (иначе называемое перестановкой или эквиполентностью) — это непосредственное умозаключение путем изменения качества данной пропозиции и подстановки вместо ее предиката противоречащего термина. Данная пропозиция называется «превращаемой», а умозаключение из нее — «превращенной». Таким образом, если превращаемая пропозиция — «некоторые философы — последовательные мыслители», то превращенная будет — «некоторые философы — не непоследовательные мыслители».

Законность этого способа рассуждения следует, в случае утвердительных пропозиций, из принципа противоречия, что если какой-либо термин утверждается о субъекте, противоречащий термин может быть отрицаем (гл. VI, § 3). Таким образом, для превращения утвердительных пропозиций правило таково: вставьте знак отрицания и для предиката подставьте его противоречащий термин.

A.All S is P ∴ No S is not-P All men are fallible ∴ No men are infallible. I.Some S is P ∴ some S is not-P Some philosophers are consistent ∴ Some philosophers are not inconsistent.

В соответствии с этим способом умозаключения у нас есть правило современной английской грамматики, что «два отрицания дают утверждение».

Опять же, по принципу исключенного третьего, если какой-либо термин отрицается о субъекте, его противоречащий может быть утвержден: таким образом, для превращения отрицательных пропозиций правило таково: удалите знак отрицания и для предиката подставьте его противоречащий термин.

E.No S is P ∴ All S is not-P No matter is destructible ∴ All matter is indestructible. O.Some S is not P ∴ Some S is not-P Some ideals are not attainable ∴ Some ideals are unattainable.

Таким образом, путем превращения каждая из четырех пропозиций сохраняет свое количество, но меняет качество: A в E, I в O, E в A, O в I. И все превращенные пропозиции являются бесконечными пропозициями, причем утвердительные бесконечные имеют смысл отрицательных, а отрицательные бесконечные имеют смысл утвердительных.

Опять же, получив превращенную пропозицию, может быть желательно восстановить превращаемую; или в любое время может потребоваться изменить данную бесконечную пропозицию в соответствующую прямую утвердительную или отрицательную; и в таких случаях процесс все еще является превращением. Таким образом, если нам дано «ни одно S не есть не-P», чтобы восстановить превращаемую или найти соответствующую утвердительную; пропозиция формально отрицательная, мы применяем правило для превращения отрицательных: «удалите знак отрицания и для предиката подставьте его противоречащий». Это дает утвердительное «все S есть P». Аналогично, чтобы получить превращаемую из «все S не есть P», примените правило для превращения утвердительных; и это дает «ни одно S не есть P».

§ 6. Противоположность. — Мы видели в гл. IV, § 8, что противоположные термины таковы, что никакие два из них не могут быть предикатированы одинаковым образом об одном и том же субъекте, в то время как, возможно, ни один из них не может быть предикатирован о нем. Аналогично, противоположные пропозиции могут быть определены как те, из которых никакие две никогда не являются истинными одновременно, в то время как, возможно, ни одна из них не может быть истинной; или, другими словами, обе могут быть ложными. Это отношение между A и E, когда они касаются одного и того же содержания: как A — «все люди мудры»; E — «ни один человек не мудр». Такие пропозиции не могут быть обе истинными; но они могут быть обе ложными, ибо некоторые люди могут быть мудры, а некоторые нет. Они не могут быть обе истинными; ибо по принципу противоречия, если «мудрый» может быть утверждено о «всех людях», «не-мудрый» должно быть отрицаемо; но «все люди не-мудры» — это превращенная из «ни один человек не мудр», которая, следовательно, также может быть отрицаема.

В то же время мы не можем применить к A и E принцип исключенного третьего, чтобы показать, что одна из них должна быть истинной относительно одного и того же содержания. Ибо если мы отрицаем, что «все люди мудры», мы не обязательно отрицаем атрибут «мудрый» о каждом человеке: сказать, что «не все мудры», может означать не более чем то, что «некоторые не мудры». Это дает пропозицию в форме O; которая, как мы видели, не подразумевает свой subalternans, E.

Если, однако, две единичные пропозиции, имеющие одно и то же содержание, но различающиеся по качеству, должны рассматриваться как универсальные, и, следовательно, как A и E, они, тем не менее, противоречащие, а не просто противоположные; ибо одна из них должна быть ложной, а другая истинной.

§ 7. Противоречие — это отношение между двумя пропозициями, аналогичное отношению между противоречащими терминами (один из которых, будучи утвержденным о субъекте, другой отрицается) — такое, а именно, что одна из них ложна, а другая истинна. Это случай с формами A и O, и E и I, в одном и том же содержании. Если истинно, что «все люди мудры», то ложно, что «некоторые люди не мудры» (эквивалентно путем превращения «некоторые люди не-мудры»); или же, поскольку «некоторые люди» включены в «все люди», мы предикатировали бы о тех же людях, что они одновременно «мудры» и «не-мудры»; что нарушило бы принцип противоречия. Аналогично, «ни один человек не мудр», будучи путем превращения эквивалентным «все люди не-мудры», несовместимо с «некоторыми людьми, которые мудры», по тому же принципу противоречия.

Но, опять же, если ложно, что «все люди мудры», всегда истинно, что «некоторые не мудры»; ибо хотя, отрицая, что «мудрый» есть предикат «всех людей», мы не отрицаем его о каждом человеке, тем не менее мы отрицаем его о «некоторых людях». О «некоторых людях», следовательно, по принципу исключенного третьего, «не-мудрый» должно быть утверждено; и «некоторые люди не-мудры» путем превращения эквивалентно «некоторые люди не мудры». Аналогично, если ложно, что «ни один человек не мудр», что путем превращения эквивалентно «все люди не-мудры», тогда истинно по крайней мере, что «некоторые люди мудры».

Расширяя и усиливая доктрину относительных терминов, некоторые другие умозаключения подразумеваются в противоположных и противоречащих отношениях пропозиций. Мы видели в гл. IV, что противоречащий данному термину включает все его противоположности: «не-синий», например, включает красный и желтый. Следовательно, поскольку «небо синее» становится путем превращения «небо не есть не-синее», мы можем также сделать вывод «небо не есть красное и т. д.». Из истинности, таким образом, любой пропозиции, предикатирующей данный термин, мы можем сделать вывод о ложности всех пропозиций, предикатирующих противоположные термины в том же отношении. Но, с другой стороны, из ложности пропозиции, предикатирующей данный термин, мы не можем сделать вывод об истинности предикации любого конкретного противоположного термина. Если ложно, что «небо красное», мы не можем формально сделать вывод, что «небо синее» (см. гл. IV, § 8).

§ 8. Подпротивоположность — это отношение двух пропозиций относительно одного и того же содержания, которые могут быть обе истинными, но никогда не бывают обе ложными. Это случай с I и O. Если истинно, что «некоторые люди мудры», может быть также истинно, что «некоторые (другие) люди не мудры». Это следует из максимы в гл. VI, § 6, не выходить за пределы доказательств.

Ибо если истинно, что «некоторые люди мудры», может действительно быть истинно, что «все мудры» (это subalternans): и если «все мудры», то (по противоречию) ложно, что «некоторые не мудры»; но так как нам сказано только, что «некоторые люди мудры», незаконно делать вывод о ложности «некоторые не мудры», что могло бы быть оправдано только доказательствами относительно «всех людей».

Но если ложно, что «некоторые люди мудры», истинно, что «некоторые люди не мудры»; ибо по противоречию, если «некоторые люди мудры» ложно, то «ни один человек не мудр» истинно; и, следовательно, по субалтернации «некоторые люди не мудры» истинно.

§ 9. Логический квадрат. — По их отношениям субалтернации, противоположности, противоречия и подпротивоположности формы A, I, E, O (имеющие одно и то же содержание) называются находящимися в оппозиции: и логики представляют эти отношения квадратом, имеющим A, I, E, O по углам:

Как помощь памяти эта диаграмма полезна; но как попытка представить логические отношения пропозиций она вводит в заблуждение. Ибо, стоя по углам одного и того же квадрата, A и E, A и I, E и O, и I и O кажутся парами, имеющими одно и то же отношение друг к другу; тогда как мы видели, что их отношения совершенно различны. Следующее традиционное резюме их отношений в отношении истинности и ложности гораздо более уместно:

(1)If A. is true,I. is true,E. is false,O. is false. (2)If A. is false,I. is unknown,E. is unknown,O. is true. (3)If I. is true,A. is unknown,E. is false,O. is unknown. (4)If I. is false,A. is false,E. is true,O. is true. (5)If E. is true,A. is false,I. is false,O. is true. (6)If E. is false,A. is unknown,I. is true,O. is unknown. (7)If O. is true,A. is false,I. is unknown,E. is unknown. (8)If O. is false,A. is true,I. is true,E. is false.

Где, однако, как в случаях 2, 3, 6, 7, утверждая либо ложность универсальных, либо истинность частных, следует, что две из трех оппозиций неизвестны, мы можем сделать вывод далее, что одна из них должна быть истинной, а другая ложной, потому что две неизвестные всегда являются противоречащими.

§ 10. Вторичные виды непосредственного умозаключения получаются путем применения процесса обращения или превращения к результатам, уже полученным другим процессом. Самая известная вторичная форма непосредственного умозаключения — это контрапозиция, и это конверс превращенной данной пропозиции. Таким образом:

DATUM.OBVERSE.CONTRAPOSITIVE. A. All S is P∴ No S is not-P∴ No not-P is S I. Some S is P∴ Some S is not not-P∴ (none) E. No S is P∴ All S is not-P∴ Some not-P is S O. Some S is not P∴ Some S is not-P∴ Some not-P is S

Нет контрапозиции I, потому что превращенная I имеет форму O, а мы видели, что O не может быть обращено. O, однако, имеет контрапозицию («некоторые не-P есть S»); и это иногда дается вместо конверса и называется «обращением через отрицание».

Контрапозиция не нуждается в оправдании законами мышления, так как это не что иное, как соединение обращения с превращением, оба из которых уже были оправданы. Я даю таблицу напротив других способов соединения этих первичных видов непосредственного умозаключения.

A.I.E.O. 1All A is B.Some A is B.No A is B.Some A is not B. Obverse.2No A is b.Some A is not b.All A is b.Some A is b. Converse.3Some B is A.Some B is A.No B is A.— Obverse of Converse.4Some B is not a.Some B is not a.All B is a.— Contrapositive.5No b is A.—Some b is A.Some b is A. Obverse of Contrapositive.6All b is a.—Some b is not a.Some b is not a. Converse of Obverse of Converse.7——Some a is B.— Obverse of Converse of Obverse of Converse.8——Some a is not b.— Converse of Obverse of Contrapositive.9Some a is b.——— Obverse of Converse of Obverse of Contrapositive.10Some a is not B.———

В этой таблице a и b означают не-A и не-B, и их лучше читать так: для «ни одно A не есть b», «ни одно A не есть не-B»; для «все b есть a» (столбец 6), «все не-B есть не-A»; и так далее.

Может быть, поначалу не очевидно, почему процесс попеременного превращения и обращения любой пропозиции должен когда-либо закончиться; хотя, несомненно, будет считаться очень счастливым обстоятельством, что он всегда заканчивается. При изучении результатов обнаружится, что причиной его окончания является необратимость O. Ибо E, при превращении, становится A; каждое A, при обращении, вырождается в I; каждое I, при превращении, становится O; O не может быть обращено, и превратить его снова — значит просто восстановить прежнюю пропозицию: так что весь процесс движется к неизбежному распаду. I и O исчерпываются тремя преобразованиями, тогда как A и E каждое выдержит семь.

За исключением превращения, обращения и контрапозиции, не было принято давать специальные названия этим процессам или их результатам. Но форма в столбцах 7 и 10 («некоторые a есть B» — «некоторые a не есть B»), где исходный предикат утверждается или отрицается о противоречащем исходного субъекта, была сочтена д-ром Кейнсом заслуживающей отличительного названия, и он назвал ее «инверсией». В то время как инверсия — это одна форма, инверсия — это не один процесс, а получается разными процессами из E и A соответственно. В этом она отличается от превращения, обращения и контрапозиции, каждая из которых означает один процесс.

Против инверсной формы возражали на том основании, что умозаключение «все A есть B ∴ некоторые не-A не есть B» распределяет B (как предикат отрицательной пропозиции), хотя оно было дано как нераспределенное (как предикат утвердительной пропозиции). Но д-р Кейнс защищает ее на том основании, что (1) она получена путем превращений и обращений, которые все законны, и (2) что хотя «все A есть B» не распределяет B в отношении A, оно распределяет B в отношении некоторых не-A (а именно, в отношении всего, что не-A не есть не-B). Это одна из причин, почему, формулируя правило в гл. VI, § 6, я написал: «непосредственное умозаключение не должно содержать ничего, что не содержится или формально не подразумевается в пропозиции, из которой оно выведено»; и утверждал, что каждый термин формально подразумевает свой противоречащий в рамках suppositio.

§ 11. Непосредственные умозаключения из условных суждений — это те, которые состоят: (1) в преобразовании разделительного суждения в гипотетическое, или гипотетического в разделительное, или любого из них в категорическое; и (2) в отношениях противопоставления и эквивалентностях превращения, обращения и вторичных или сложных процессов, которые мы уже рассмотрели применительно к категорическим суждениям. Поскольку здесь не задействованы никакие новые принципы, достаточно будет привести некоторые результаты.

Мы уже видели (гл. V, § 4), как разделительные суждения могут быть прочитаны как гипотетические, а гипотетические — как категорические. Что касается противопоставления, то если мы признаем четыре формы гипотетического суждения A, I, E, O, то они, очевидно, соотносятся друг с другом в логическом квадрате точно так же, как и категорические. Таким образом, A и E (Если A есть B, то C есть D; и Если A есть B, то C не есть D) являются противными, но не противоречащими, поскольку оба могут быть ложными (C может иногда быть D, а иногда нет), хотя они не могут быть оба истинными. И если они оба ложны, то их подчиненные суждения оба истинны, являясь соответственно противоречащими универсальным суждениям противоположного качества, а именно: I — для E, а O — для A. Однако в случае с разделительными суждениями мы не можем построить удовлетворительный логический квадрат, потому что, как мы видели (гл. V, § 4), формы, требуемые для E и O, не являются истинно разделительными суждениями, а представляют собой экспонируемые суждения.

Превращенное, обращенное и контрапозитивное суждения для гипотетических суждений (при допущении различия по качеству) могут быть представлены следующим образом:

Datum.Obverse. A. If A is B, C is DIf A is B, C is not d I. Sometimes when A is B, C is DSometimes when A is B, C is not d E. If A is B, C is not DIf A is B, C is d O. Sometimes when A is B, C is not DSometimes when A is B, C is d Converse.Contrapositive. Sometimes when C is D, A is BIf C is d, A is not B Sometimes when C is D, A is B(none) If C is D, A is not BSometimes when C is d, A is B (none)Sometimes when C is d, A is B

Что касается разделительных суждений, то попытка применить к ним эти различные формы немедленно разрушает их разделительный характер. Тем не менее, имея любое суждение в форме «A есть либо B, либо C», мы можем сформулировать суждения, которые передают смысл превращения, обращения и т. д., следующим образом:

Datum.—A is either B or C;

Obverse.—A is not both b and c;

Converse.—Something, either B or C, is A;

Contrapositive.—Nothing that is both b and c is A.

Для разделительного суждения в форме I, разумеется, не существует контрапозитивного. Имея разделительное суждение в форме «Либо A есть B, либо C есть D», мы можем записать его превращенное суждение так: «Ни в каком случае A не есть b, и C в то же время не есть d». Но никакое обращенное или контрапозитивное суждение для такого разделительного суждения не может быть получено, кроме как путем предварительного приведения его к гипотетической или категорической форме.

Читатель, желающий изучить этот предмет более глубоко, найдет его детально изложенным в работе д-ра Кейнса «Формальная логика», часть II; этой работе и обязана своим содержанием вышеприведенная глава.

ГЛАВА VIII

ПОРЯДОК ТЕРМИНОВ, ДИАГРАММЫ ЭЙЛЕРА, ЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫЙ СТАТУС СУЖДЕНИЙ

§ 1. В терминах суждения, что является субъектом, а что предикатом? В большинстве примерных суждений, приводимых логиками, можно обнаружить, что субъект является существительным, а предикат — прилагательным, как в суждении «Люди смертны». Это отношение субстанции и атрибута, которое, как мы видели (гл. I, § 5), является центральным типом отношений сопринадлежности; и по этой модели могут быть сформированы другие предикации, в которых субъект не является субстанцией, но рассматривается так, как если бы он ею был, и, следовательно, мог бы служить основанием для атрибутов; например: «Слава коварна», «Погода переменчива». Однако в литературе нередко встречаются предложения, в которых прилагательное стоит на первом месте, например: «Громки были аплодисменты», «Мрачна судьба человека», «Блаженны миротворцы» и так далее. Здесь, следовательно, «громки», «мрачна» и «блаженны» занимают место логического субъекта. Являются ли они действительно субъектом, или мы должны изменить порядок таких предложений на «Аплодисменты были громкими» и т. д.? Если мы сделаем это, а затем перейдем к обращению, мы получим «Громки были аплодисменты» или (более скрупулезно) «Некоторый громкий шум был аплодисментами». Последняя форма, правда, дает субъекту слово-существительное, но «аплодисменты» стали предикатом; и если существительное «шум» не подразумевалось в первой форме «Громки аплодисменты», то по какому праву оно теперь вставлено? Признание обращения, по сути, требует от нас признать, что формально в логическом суждении термин, предшествующий связке, является субъектом, а следующий за ней — предикатом. И, конечно, при материальном рассмотрении простой порядок терминов в суждении не может изменить метод его доказательства, равно как и выводы, которые могут быть из него сделаны.

Тем не менее, если стоит вопрос о том, как лучше всего облечь литературное предложение в логическую форму, возможно, найдутся веские основания для определенного ответа. Мы не должны пытаться опираться на естественность выражения, ибо «Мрачна судьба человека» столь же естественно, как и «Человек смертен». Когда цель состоит не просто в констатации факта, но и в выражении наших чувств по поводу него, постановка грамматического предиката на первое место может быть вполне естественной и наиболее эффективной. Но основания для логического порядка изложения должны быть найдены в его приспособленности к целям доказательства и умозаключения. Общие суждения — это те, из которых можно сделать большинство выводов, которые, следовательно, наиболее важно установить, если они истинны; и они также наиболее легко опровергаемы, если ложны, поскольку единичного отрицательного примера достаточно для установления противоречащего суждения. Отсюда следует, что при переформулировании литературного или разговорного предложения для логических целей нам следует попытаться получить форму, в которой субъект распределен — является либо единичным термином, либо общим термином, предваренным квантором «Все» или «Ни один». Видя, таким образом, что большинство прилагательных коннотируют один атрибут, в то время как большинство существительных коннотируют более одного атрибута; и что, следовательно, денотация прилагательных обычно шире, чем у существительных; в любом суждении, один термин которого является прилагательным, а другой — существительным, если какой-либо из них может быть распределен по отношению к другому, то почти наверняка это будет существительное; так что выбор существительного в качестве субъекта дает нам наилучший шанс получить общее суждение. Эти соображения, по-видимому, оправдывают практику логиков при выборе своих примеров.

По схожим причинам, если оба термина суждения являются существительными, тот, который имеет меньшую денотацию, является (по крайней мере в утвердительных суждениях) более подходящим субъектом, как, например, «Кошки — хищники». И если один термин является абстрактным, то он является более подходящим субъектом; ибо, как мы видели, абстрактный термин может быть интерпретирован через соответствующий конкретный распределенный термин, как в суждении «Доброта заразительна»; то есть «Все добрые поступки предполагают подражание».

Если, однако, полемист не имеет иной цели, кроме как опровергнуть некоторое общее суждение, выдвинутое оппонентом, то частное суждение — это все, что ему нужно извлечь из любого утверждения, которое служит его цели.

§ 2. Для ясного понимания отношений между терминами суждения часто оказывается полезным использовать диаграммы; наиболее часто используемые диаграммы — это круги Эйлера.

Эти круги представляют денотацию терминов. Предположим, что суждение гласит: «Все полорогие животные жвачные»: тогда, если бы мы могли собрать всех жвачных на лугу и окружить их круговым частоколом, а затем выделить среди них всех полорогих зверей и окружить их другим кольцевым ограждением внутри первого, то один из способов интерпретации суждения (а именно, по денотации) был бы изображен для нас следующим образом:

Fig. 1.

Общеутвердительное суждение может также выражать отношение между двумя терминами, денотация которых совпадает. Определение всегда делает это, как, например, «Человек есть разумное животное»; и это, конечно, мы не можем представить двумя отдельными кругами, а в лучшем случае одним с толстой окружностью, чтобы показать, что два круга совпадают, вот так:

Fig. 2.

Частноутвердительное суждение может быть представлено несколькими способами. Во-первых, помня, что «некоторые» означает «по крайней мере некоторые, возможно, все», суждение I может быть представлено рис. 1 и 2; ибо истинно, что «Некоторые рогатые животные жвачные» и что «Некоторые люди разумны». Во-вторых, существует случай, когда «некоторые вещи», о которых делается предикация, на самом деле не являются всеми; в то время как предикат, хотя и не представлен как распределенный, мог бы быть таковым, если бы мы хотели высказать всю истину; как если мы говорим «Некоторые люди — китайцы». Этот случай также представлен рис. 1, где внешний круг представляет «Людей», а внутренний — «Китайцев». В-третьих, предикат может относиться только к некоторым из субъекта, но и к множеству других вещей, как в суждении «Некоторые рогатые звери домашние»; ибо истинно, что некоторые из них не являются домашними, и что некоторые другие виды животных являются домашними. Этот случай, следовательно, должен быть проиллюстрирован пересекающимися кругами, вот так:

Fig. 3.

Общеотрицательное суждение достаточно представлено одним рис. (4): два круга, взаимно исключающие друг друга, вот так:

Fig. 4.

То есть «Ни один рогатый зверь не является плотоядным».

Наконец, частноотрицательное суждение может быть представлено любым из рис. 1, 3 и 4; ибо истинно, что «Некоторые жвачные не являются полорогими», что «Некоторые рогатые животные не являются домашними» и что «Некоторые рогатые звери не являются плотоядными».

Помимо использования для иллюстрации денотативной силы суждений, эти круги могут быть применены для проверки результатов превращения, обращения и вторичных способов непосредственного умозаключения. Так, превращенное суждение A достаточно ясно видно при взгляде на рис. 1 и 2; ибо если мы согласимся, что денотация любого термина представлена данным кругом, то денотация противоречащего термина должна быть представлена пространством вне этого круга; тогда, если истинно, что «Все полорогие животные — жвачные», то в то же время истинно, что «Ни одно полорогое животное не является не-жвачным»; поскольку ни одно из полорогих не находится за пределами частокола, который окружает жвачных. Превращенное суждение I, E или O может быть проверено аналогичным образом.

Что касается обращения, то определение, конечно, поддается простому обращению, и это показано на рис. 2: «Люди — разумные животные» и «Разумные животные — люди». Но любое другое суждение A, по-видимому, обратимо только через ограничение, и это показано на рис. 1; где «Все полорогие животные — жвачные», но мы можем сказать лишь, что «Некоторые жвачные — полорогие».

То, что I может быть просто обращено, можно увидеть на рис. 3, который представляет минимум того, что может означать суждение I; и то, что E может быть просто обращено, очевидно на рис. 4.

Что касается O, мы знаем, что оно не может быть обращено, и это становится достаточно ясным при взгляде на рис. 1; ибо он представляет O: «Некоторые жвачные не являются полорогими», но также показывает, что это совместимо с «Все полорогие животные — жвачные» (A). Теперь при обращении (по определению) нет изменения качества. Следовательно, обращенное суждение для «Некоторые жвачные не являются полорогими» должно быть отрицательным суждением, имеющим «полорогие» в качестве субъекта, либо в форме E, либо O; но они были бы соответственно противным и противоречащим для «Все полорогие животные — жвачные»; и, следовательно, если последнее истинно, то оба они должны быть ложными.

Но (все еще ссылаясь на рис. 1) правомерность контрапозиции O столь же ясна; ибо если «Некоторые жвачные не являются полорогими», то «Некоторые животные, которые не являются полорогими, являются жвачными», а именно все животные между двумя кольцевыми ограждениями. Подобные умозаключения могут быть проиллюстрированы на рис. 3 и 4. А контрапозиция A может быть проверена рис. 1 и 2, а контрапозиция E — рис. 4.

Наконец, инверсия A ясна из рис. 1 — «Некоторые вещи, которые не являются полорогими, не являются жвачными», а именно вещи, которые лежат вне внешнего круга и не являются ни «жвачными», ни «полорогими». А инверсию E можно изучить на рис. 4 — «Некоторые вещи, которые не являются рогатыми зверями, являются плотоядными».

Несмотря на легкость и ясность полученных таким образом демонстраций, можно сказать, что диаграммный метод, представляющий денотации, не является собственно логическим. Фундаментально отношение, утверждаемое (или отрицаемое) как существующее между терминами суждения, есть отношение между терминами, определяемое их атрибутами или коннотацией; придерживаемся ли мы взгляда Милля, что суждение утверждает, что коннотация субъекта является признаком коннотации предиката; или взгляда д-ра Венна, что вещи, денотируемые субъектом (как имеющие его коннотацию), обладают (или не обладают) атрибутом, коннотируемым предикатом; или концептуалистского взгляда, что суждение есть отношение концептов (то есть коннотаций). За немногими искусственно созданными исключениями (такими как «короли, правящие в настоящее время в Европе»), денотация термина никогда не бывает известна прямо и исчерпывающе, а состоит лишь из «всех вещей, которые имеют данную коннотацию». Если ценность логической подготовки во многом зависит от того, приучаем ли мы себя толковать суждения и осознавать силу выводов из них в соответствии с коннотацией их терминов, нам будет лучше не обращаться слишком поспешно к кругам, а скорее рассматривать их как средство проверки в денотации тех выводов, которые мы уже научились распознавать как необходимые в коннотации.

§ 3. Уравненная трактовка суждений тесно связана с диаграммной. Гамильтон считал большой заслугой своего плана квантификации предиката то, что благодаря этому каждое суждение сводится к своей истинной форме — уравнению. Согласно этому учению, суждение «Все X есть все Y» (U) уравнивает X и Y; суждение «Все X есть некоторые Y» (A) уравнивает X с некоторой частью Y; и аналогично с другими утвердительными суждениями (Y и I). И до сих пор легко следовать его мысли: X тождественны некоторым или всем Y. Но переходя к отрицательным суждениям, уравненная интерпретация, безусловно, менее очевидна. Суждение «Ни один X не есть Y» (E) нельзя сказать в каком-либо смысле уравнивающим X и Y; хотя, если мы превратим его в «Все X есть некоторые не-Y», мы получим (в том же смысле, конечно, как и в вышеуказанных утвердительных формах) X, уравненный с частью, по крайней мере, «не-Y».

Но что это за смысл? Явно не тот, в котором уравниваются математические термины, а именно в отношении некоторого вида количества. Ибо если мы можем сказать «Некоторые X есть некоторые Y», то эти X, которые также являются Y, не просто одинаковы по числу, массе или фигуре; они одинаковы во всех отношениях, как количественно, так и качественно, имеют одни и те же позиции во времени и пространстве, они, по сути, тождественны. Суждение 2+2=4 означает, что любые две вещи, добавленные к любым другим двум, равны в отношении числа любым трем вещам, добавленным к одной другой вещи; и это верно для всех вещей, которые можно сосчитать, как бы они ни различались в других отношениях. Но «Все X есть все Y» означает, что X и Y — это одни и те же вещи, хотя они имеют разные имена, если рассматривать их в разных аспектах или отношениях. Так, все равносторонние треугольники являются равноугольными; но в одном случае они названы по равенству их углов, а в другом — по равенству их сторон. Аналогично, «британские подданные» и «подданные короля Георга V» — это одни и те же люди, названные в одном случае по особе Короны, а в другом — по Имперскому правительству. Эти логические уравнения, таким образом, по сути являются тождествами денотации; и они полностью иллюстрируются отношениями кругов, описанными в предыдущем разделе.

Когда нам говорят, что логические суждения следует рассматривать как уравнения, мы естественно ожидаем увидеть некоторые интересные разработки метода по аналогии с уравнениями математики; но из нововведений Гамильтона ничего подобного не следует. Однако этого нельзя сказать об уравнениях символической логики, которые являются отправной точкой весьма примечательных процессов рассуждения. Поскольку предмет символической логики в целом выходит за рамки данной работы, будет достаточно привести уравнения д-ра Венна, соответствующие четырем пропозициональным формам общей логики.

Согласно этой системе, универсальные суждения следует рассматривать как не обязательно предполагающие существование своих терминов; и поэтому, вместо того чтобы придавать им положительную форму, они переводятся в символы, которые выражают то, что они отрицают. Например, суждение «Все дьяволы уродливы» не обязательно предполагает, что такие вещи, как «дьяволы», действительно существуют; но оно определенно подразумевает, что «Дьяволы, которые не являются уродливыми, не существуют». Аналогично, суждение «Ни один ангел не является уродливым» подразумевает, что «Ангелы, которые являются уродливыми, не существуют». Поэтому, записывая x для «дьяволов», y для «уродливых» и ȳ для «не-уродливых», мы можем выразить A, общеутвердительное суждение, следующим образом:

A. xȳ = 0.

То есть «x, который не есть y, есть ничто»; или «Дьяволы, которые не являются уродливыми, не существуют». И аналогично, записывая x для «ангелов» и y для «уродливых», мы можем выразить E, общеотрицательное суждение, следующим образом:

E. xy = 0.

То есть «x, который есть y, есть ничто»; или «Ангелы, которые являются уродливыми, не существуют».

С другой стороны, частные суждения рассматриваются как предполагающие существование своих терминов, и соответствующие уравнения формулируются так, чтобы выразить существование. С этой целью принимается символ v для представления «чего-то», или неопределенной реальности, или «больше, чем ничто». Затем, взяв любое частноутвердительное суждение, такое как «Некоторые метафизики неясны», и записывая x для «метафизиков», а y для «неясных», мы можем выразить его следующим образом:

I. xy = v.

То есть «x, который есть y, есть нечто»; или «Метафизики, которые являются неясными, встречаются в опыте» (как бы мало их ни было, или независимо от того, все ли они неясны). И аналогично, взяв любое частноотрицательное суждение, такое как «Некоторые гиганты не являются жестокими», и записывая x для «гигантов», а y для «не-жестоких», мы можем выразить его следующим образом:

O. xȳ = v.

То есть «x, который не есть y, есть нечто»; или «Гиганты, которые не являются жестокими, существуют» — в романах, если не где-то еще.

Ясно, что эти уравнения, как и уравнения Гамильтона, касаются денотации. A и E утверждают, что составные термины xȳ и xy не имеют денотации; а I и O объявляют, что xȳ и xy имеют денотацию или обозначают нечто. Здесь, однако, сходство с системой Гамильтона заканчивается; ибо символическая логика, оперируя более чем двумя терминами одновременно, принимая алгебраические знаки операций +, -, ×, ÷ (с особым значением) и манипулируя символами с помощью квазиалгебраических процессов, получает результаты, которых общая логика достигает (если вообще достигает) с гораздо большими трудностями. Если бы ценность логических систем действительно оценивалась по достижимым результатам, формальная дедуктивная логика, вероятно, была бы вытеснена. И как умственная дисциплина, многое можно сказать в пользу символического метода. Но как введение в философию, общая логика должна удержать свои позиции. (Венн: «Символическая логика», гл. 7.)

§ 4. Предполагает ли формальная логика какое-либо общее допущение относительно реального существования терминов суждений?

Во-первых, логика занимается прежде всего отношениями, подразумеваемыми в суждениях. Это вытекает из того, что она является наукой о доказательстве для всех видов (качественных) суждений; поскольку все виды суждений не имеют ничего общего, кроме отношений, которые они выражают.

Но, во-вторых, отношения без терминов какого-либо рода немыслимы; и, следовательно, даже самые формальные иллюстрации логических доктрин включают такие термины, как S и P, X и Y, или x и y, в символическом или репрезентативном характере. Термины, следовательно, некоторого рода предполагаются существующими (вместе с их отрицаниями или противоречиями) для целей логических манипуляций.

В-третьих, однако, то, что формальная логика как таковая не может напрямую предполагать существование каких-либо конкретных терминов, таких как «человек» или «гора», используемых в качестве иллюстрации, подразумевается в слове «формальная», то есть «ограниченная тем, что является общим или абстрактным»; поскольку единственное, что является общим для всех терминов, — это быть связанными каким-либо образом с другими терминами. Фактическое существование любой конкретной вещи может быть познано только через опыт, как в случае с «человеком» или «горой»; или через методически оправданное умозаключение из опыта, как в случае с «атомом» или «эфиром». Если «человек» или «гора», или «Куско» используются для иллюстрации логических форм, они привносят с собой экзистенциальный статус, производный от опыта; но это статус языка, а не логических форм. «Кентавр» и «Эльдорадо» означают для нас несуществующее; но они служат так же хорошо, как «человек» и «Лондон», для иллюстрации формальной логики.

Тем не менее, в-четвертых, существование или несуществование конкретных терминов может оказаться подразумеваемым: а именно, везде, где сам факт существования или некоторое условие существования является гипотезой или данными. Так, при заданном суждении «Все S есть P», быть P становится условием существования S: откуда следует, что S, которое не есть P, не существует (xȳ = 0). При дальнейшей гипотезе, что S существует, следует, что P существует. При гипотезе, что S не существует, существование P проблематично; но тогда, если P действительно существует, мы не можем обратить суждение; поскольку «Некоторые P есть S» (при условии существования P) предполагало бы существование S; что противоречит гипотезе.

Предполагая, что универсальные суждения не предполагают, в то время как частные предполагают существование своих субъектов, мы не можем вывести подчиненное суждение (I или O) из подчиняющего (A или E), ибо это означало бы обосновывать фактическое через проблематичное; и по той же причине мы не можем обратить суждение A per accidens.

Предполагая, опять же, определенную suppositio или универсум, к которому в данной дискуссии должен относиться каждый аргумент, тогда любые суждения, термины которых лежат вне этой suppositio, являются нерелевантными и для целей этой дискуссии иногда называются «ложными»; хотя кажется лучше называть их нерелевантными или бессмысленными, видя, что называть их ложными подразумевает, что они могли бы в том же случае быть истинными. Таким образом, суждения, которые согласно доктрине противопоставления кажутся противоречащими, могут перестать быть таковыми; ибо из противоречащих суждений одно истинно, а другое ложно; но в предполагаемом случае оба бессмысленны. Если предметом дискуссии является зоология, все суждения о кентаврах или единорогах абсурдны; и такие кажущиеся противоречащими пары, как «Ни один кентавр не играет на лире — Некоторые кентавры играют на лире» или «Все единороги сражаются со львами — Некоторые единороги не сражаются со львами», обе бессмысленны, потому что в зоологии нет ни кентавров, ни единорогов; и, следовательно, в этом отношении суждения не являются действительно противоречащими. Но если предметом дискуссии или suppositio является мифология или геральдика, такие суждения, как вышеуказанные, уместны и образуют законные пары противоречащих суждений.

Короче говоря, в формальной логике мы можем по своему усмотрению сделать любое допущение относительно существования или относительно любого условия существования любого конкретного термина или терминов; и тогда определенные импликации и выводы следуют в соответствии с этой гипотезой или данными. Тем не менее, наши выводы сами по себе будут лишь гипотетическими, зависящими от истинности данных; и, конечно, пока это не будет эмпирически установлено, мы будем так же далеки от эмпирической реальности, как и прежде. (Венн: «Символическая логика», гл. 6; Кейнс: «Формальная логика», часть II, гл. 7: ср. Вольф: «Исследования по логике».)

ГЛАВА IX

ФОРМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ОПОСРЕДОВАННОГО УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

§ 1. Опосредованное умозаключение — это суждение, которое зависит для своего доказательства от двух или более других суждений, соединенных вместе одним или несколькими терминами (которые доказательные суждения, или каждая их пара, имеют общими) таким образом, чтобы оправдать определенный вывод, а именно рассматриваемое суждение. Типом или (точнее) единицей всех таких способов доказательства, когда они носят строго логический характер, является силлогизм, к которому, как мы увидим, сводятся все другие способы. Его можно представить символически следующим образом:

M is P;

S is M:

∴ S is P.

Силлогизмы могут быть классифицированы: по количеству — на универсальные или частные, в зависимости от количества вывода; по качеству — на утвердительные или отрицательные, в зависимости от качества вывода; и по отношению — на категорические, гипотетические и разделительные, в зависимости от того, являются ли все их суждения категорическими, или одно (по крайней мере) из их доказательных суждений является гипотетическим или разделительным.

Начнем с категорических силлогизмов, примером которых является следующий:

All authors are vain; Cicero is an author: ∴ Cicero is vain.

Здесь мы можем предположить, что нет прямых средств узнать, что Цицерон тщеславен; но нам известно, что «все авторы тщеславны» и что «он — автор»; и эти два суждения, взятые вместе, недвусмысленно подразумевают, что он тщеславен. Другими словами, мы сначала не знаем никакого отношения между «Цицероном» и «тщеславием»; но мы знаем, что эти два термина по отдельности связаны с третьим термином, «автором», который поэтому называется средним термином; и таким образом мы воспринимаем через опосредованное свидетельство, что они связаны друг с другом. Этот вид доказательства имеет очевидное сходство (хотя вовлеченные отношения не те же самые) с математическим доказательством равенства между двумя величинами, которые нельзя сравнить напрямую, путем показа равенства каждой из них некоторой третьей величине: A = B = C ∴ A = C. Здесь B — средний термин.

Нам предстоит выяснить, какие условия должны быть выполнены, чтобы силлогизм был формально убедительным или правильным. Кажущийся силлогизм, который на самом деле не является правильным, называется парасиллогизмом.

§ 2. Общие каноны силлогизма.

(1) Силлогизм содержит три, и не более, различных суждения.

(2) Силлогизм содержит три, и не более, различных унивокальных термина.

Эти два канона подразумевают друг друга. Три суждения с менее чем тремя терминами могут быть соединены только в некоторых способах непосредственного умозаключения. Три суждения с более чем тремя терминами не показывают ту связь двух терминов посредством третьего, которая необходима для доказательства опосредованного умозаключения. Если мы напишем —

All authors are vain; Cicero is a statesman—

здесь четыре термина и нет среднего термина, а следовательно, нет доказательства. Или если мы напишем —

All authors are vain;

Cicero is an author:

∴ Cicero is a statesman—

здесь термин «государственный деятель» встречается без какого-либо подтверждения; он появляется в выводе, но не в доказательствах, и поэтому нарушает максиму всякого формального доказательства: «не выходить за пределы доказательств». Правда, если кто-то аргументировал —

All authors are vain;

Cicero wrote on philosophy:

∴ Cicero is vain—

это нельзя было бы назвать плохим аргументом или материальной ошибкой; но это было бы ненужным отступлением от формы выражения, в которой связь между доказательствами и выводом наиболее легко просматривается.

Тем не менее, простого соблюдения одной и той же формы слов при выражении терминов недостаточно: мы должны также обращать внимание на их значение. Ибо если одно и то же слово используется двусмысленно (как «автор» то в значении «отец», то в значении «литератор»), оно становится по своему значению двумя терминами; так что всего у нас их четыре. Тогда, если двусмысленный термин является средним, никакой связи между двумя другими не показано; если двусмыслен любой из других, кажется, что выводится нечто, что никогда не было действительно дано в доказательствах.

Вышеуказанные два канона, действительно, включены в определение категорического силлогизма, которое может быть сформулировано так: категорический силлогизм — это форма доказательства или рассуждения (способ приведения доводов), в которой одно категорическое суждение устанавливается путем сравнения двух других, которые содержат вместе только три термина или имеют один и только один общий термин.